無窮小變換

數學裏 ， 無窮小變換是小變換的一個無窮小極限 。 例如我們可以談論三維空間中一個剛體的無窮小旋轉 。 這通常由一個 3 × 3 反對稱矩陣 A 表示 。 它不是空間中的實際旋轉 ； 但是對一個小參數 ε ， 我們有 與小旋轉之差只是 ε2 階量 。 無窮小變換的綜合理論最早由索甫斯 · 李給出 。 事實上這是他在如今稱爲李群及其李代數方面工作的核心 ； 以及它們在幾何特別是微分方程中作用的等同 。 一個抽象李群的性質正是無窮小變換的那些限定 ， 正如群論的公理實現了對稱 。 例如 ， 在無窮小旋轉情形 ， 將一個反對稱矩陣與一個三維向量等同 ， 則李代數結構由叉積給出 。 這相當於選取旋轉的一個軸 ； 雅可比恆等式是叉積一個熟知的性質 。 無窮小變換最早的例子可能認爲出現於齊次函數的歐拉定理中 。 它斷言 n 個變量 x1, ..., xn 的一個度數爲 r 的齊次函數 F ， 滿足 其中 是一個微分算子 。 這是由性質 我們可對 λ 微分 ， 然後取 λ 等於 1 。 這是光滑函數 F 有齊次性質的一個必要條件 ； 這也是充足的 （ 通過利用施瓦茲分佈我們簡化這裏考慮的數學分析 ） 。 在我們有一個縮放算子的單參數子群時這個過程是典型的 ； 變換的信息事實上包含於一階微分算子無窮小變換中 。 算子方程 這裏 是泰勒定理的一個算子版本 ， 從而只對 f 是一個解析函數成立 。 集中於算子部分 ， 它實際上說明 D 是一個無窮小變換 ， 通過指數生成在實直線上的平移 。 在李理論中 ， 這推廣得很遠 。 任何連通空間李群可由它的無窮小生成元 （ 這個群李代數的一個基 ） 構造出來 ； 貝克 - 坎貝爾 - 豪斯多夫公式中給出了清晰不過未必總有用的信息 。 Category: 李群