柯西-比內公式

線性代數中 ， 柯西 - 比內公式  將行列式的可乘性 （ 兩個方塊矩陣的行列式等於兩個行列式的乘積 ） 推廣到非方塊矩陣 。 假設 A 是一個 m × n 矩陣 ， 而 B 是一個 n × m 矩陣 。 如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 個元素的子集 ， 我們記 AS 爲 A 中列指標位於 S 中的 m × m 子矩陣 。 類似地 ， 記 BS 爲 B 中行指標位於 S 中的 m × m 子矩陣 。 柯西 - 比內公式說 這裏求遍 { 1, ..., n } 中 m 個元素的所有可能子集 S （ 共有 C ( n, m ) 個 ） 。 如果 m = n ， 即 A 與 B 是同樣大小的方塊矩陣 ， 則只有一個容許集合 S ， 柯西 - 比內公式退化爲通常行列式的可乘性 。 如果 m = 1 則有 n 容許集合 S ， 這個公式退化爲點積 。 如果 m > n ， 沒有容許集合 S ， 行列式 det ( AB ) 是零 （ 參見空和 （ empty sum ） ） 。 這個公式對矩陣元素取值於任何交換環都成立 。 證明可將 AB 的列寫成係數來自 B 的 A 的列的線性組合 ， 利用行列式的可乘性 ， 將屬於一個 det ( AS ) 的項收集起來 ， 並利用行列式的反對稱性 。 利用行列式的萊布尼茲公式 ， 得出 det ( AS ) 的係數是 det ( BS ) 。 這個證明沒有利用行列式的可乘性 ， 相反這個證明建立了它 。 如果 A 是一個實 m × n 矩陣 ， 則 det ( A AT ) 等於由 A 中行向量在 Rn 中張成的平行多面體 m - 維體積的平方 。 柯西 - 比內公式說這等於該平行多面體在所有 m - 維座標平面 （ 共有 C ( n, m ) 個 ） 的正交投影的平行多面體的 m - 維體積的平方之總和 。 m = 1 的情形是關於一條線段的長度 ， 這恰是畢達哥拉斯定理 。 柯西 - 比內公式可直接推廣到兩個矩陣乘積的子式的一個一般公式 。 該公式在子式一文給出 。 例 如果 與 則柯西 - 比內公式給出行列式 ：