表示論

表示論  是數學中抽象代數的一支 。 旨在抽象代數結構中的元素 「 表示 」 成向量空間上的線性變換 ， 並研究這些代數結構上的模 ， 藉以研究結構的性質 。 略言之 ， 表示論將一代數對象表作較具體的矩陣 ， 並使得原結構中的代數運算對應到矩陣加法和矩陣乘法 。 此法可施於群 、 結合代數及李代數等多種代數結構 ； 其中肇源最早 ， 用途也最廣的是群表示論 。 設爲群 ， 其在域 （ 常取複數域 ） 表示是一 - 矢量空間及映至一般線性群之群同態 假設有限維 ， 則上述同態即是將的元素映成可逆矩陣 ， 並使得群運算對應到矩陣乘法 。 表示論的妙用在於能將抽象代數問題轉爲較容易解決的線性代數問題 。 此外 ， 群還可以表示在無窮維空間上 ； 例如 ， 若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示 ， 並要求一些連續性條件 ， 此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題 ， 數學分析的方法就可以用於解決群論的問題 。 表示論在自然科學中也有應用 。 對稱性的問題離不開群 ， 而群的研究又有賴於其表示 ， 最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色 。 表示論的一大特點是它遍佈數學各個領域 。 這個特點有兩個方面 。 首先 ， 表示論的應用十分廣泛 ： 除了在代數的影響之外 ， 表示論 通過調和分析闡明並推廣了傅里葉分析 ， 通過不變量理論和愛爾蘭根綱領與幾何學建立了聯繫 通過自守形式和朗蘭茲綱領對數論產生了影響 。 另一方面 ， 研究表示論的途徑也相當多元化 ， 應用了代數幾何 、 、 解析數論 、 微分幾何 、 、 代數組合學和拓撲學的思想和方法 「 表示 」 的概念後來也得到進一步的推廣 ， 例如範疇的表示 。 表示論所施的代數對象可被視爲特定的範疇 ， 而表示本身則是從對象範疇到向量空間範疇的函子 。 這個表述方式立即指向兩種顯然的推廣 ： 其一 ， 代數對象可換成成更一般的範疇 ； 其二 ， 向量空間範疇也可換成其它較好理解的範疇 。 注意不要將 “ 表示 ” 與代數對象的 “ 展示 ” 混淆 ， 如群的展示 。