切除定理

數學之分支代數拓撲學中 ， 切除定理  是關於相對同調的一個很有用的定理 。 給定拓撲空間 X 及其子空間 A 與 U 使得 U 也是 A 的子空間 ， 此定理說在一定情形下 ， 我們可將 U 從兩個空間中切除使得空間偶 ( X, A ) 與 ( X \ U, A \ U ) 的相對同調群是同構的 。 這在奇異同調群的計算中很有用 ， 在許多情形切除一個合適的子空間後更容易計算 。 或者 ， 在許多情形 ， 它使得可以應用歸納法 。 與同調中的長正合序列一起 ， 我們可以導出計算同調群的另一個有用的工具 。 更確切地 ， 如果 X ， A ， 與 U 如上 ， 我們稱 U 可切除如果空間偶 ( X \ U, A \ U ) 到 ( X, A ) 的包含映射在相對同調上誘導了 Hq ( X, A ) 到 Hq ( X \ U, A \ U ) 的同構 。 該定理說如果 U 的閉包屬於 A 的內部 ， 則 U 是可切除的 。 通常 ， 不滿足此包含判據的子空間也可切除 — — 只要找到此子空間到滿足這個條件的子空間的一個形變收縮便足夠了 。 切除定理的證明相當直觀 ， 儘管具體細節相當複雜 。 其想法是將 ( X, A ) 中的相對圈中的單形重分 ， 得到另一個包含更小單形的鏈 ， 繼續此步驟直到鏈中每個單形要麼完全屬於 A 的內部要麼屬於 X \ U 的內部 。 因爲這樣形成了 X 的一個開覆蓋以及單形是緊的 ， 我們事實上可在有限步內完成 。 這個過程不改變原先鏈的同調類 （ 這是說重分算子在同調上鍊同倫於恆等映射 ） 。 則在相對同調Hq ( X, A ) 中 ， 這說明完全包含於 U 內部的所有項可丟掉而不影響此圈的同調類 。 這使我們可以證明包含映射是一個同構 ， 因爲每個相對圈等價於一個完全不涉及 U 的圈 。