超實數_(非標準分析)

超實數系統是爲了嚴格處理無窮量 （ 無窮大量和無窮小量 ） 而提出的 。 自從微積分的發明以來 ， 數學家 、 科學家和工程師等 （ 包括牛頓和萊布尼茲在內 ） 就一直廣泛地用無窮小量等概念 。 超實數集 ， 或稱爲非標準實數集 ， 記爲 ， 是實數集 的一個擴張 ； 其中含有一種數 ， 它們大於所有如下形式的數 ： （ 有限個 ） 這可以解釋爲無窮大 ； 而它們的倒數就作爲無窮小量 。 滿足如下性質 ： 任何關於 的一階命題如果成立 ， 則對 也成立 。 這種性質稱爲 。 舉例來說 ， 實數集的加法交換律 是關於 的一階命題 。 因此以下命題同樣成立 ： 也就是說超實數集同樣滿足加法交換律 。 無窮小量的概念是否嚴格呢 ？ 此問題可以追溯到古希臘數學 ： 數學家們如歐幾里得 、 阿基米德等 ， 爲了在一些證明裏繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性 ， 而採用了窮竭法等其它說明方式 。 而亞伯拉罕 · 魯濱遜在1960年代證明了 ， 換句話說 ， 如果對實數的使用沒有懷疑 ， 那也可以放心使用超實數 。 在處理數學分析的問題時對超實數 、 尤其是傳達原理的使用 ， 通稱爲非標準分析 。