特徵函數_(概率論)

在概率論中 ， 任何隨機變量的特徵函數 （ 縮寫 ： ch.f ， 複數形式 ： ch.f's ） 完全定義了它的概率分佈 。 在實直線上 ， 它由以下公式給出 ， 其中X是任何具有該分佈的隨機變量 ： ， 其中t是一個實數 ， i是虛數單位 ， E表示期望值 。 用矩母函數MX （ t ） 來表示 （ 如果它存在 ） ， 特徵函數就是iX的矩母函數 ， 或X在虛數軸上求得的矩母函數 。 與矩母函數不同 ， 特徵函數總是存在 。 如果FX是累積分佈函數 ， 那麼特徵函數由黎曼 － 斯蒂爾傑斯積分給出 ： 。 在概率密度函數fX存在的情況下 ， 該公式就變爲 ： 。 如果X是一個向量值隨機變量 ， 我們便取自變量t爲向量 ， tX爲數量積 。 R或Rn上的每一個概率分佈都有特徵函數 ， 因爲我們是在有限測度的空間上對一個有界函數進行積分 ， 且對於每一個特徵函數都正好有一個概率分佈 。 一個對稱概率密度函數的特徵函數 （ 也就是滿足fX ( x ) = fX (-x) ） 是實數 ， 因爲從x > 0所獲得的虛數部分與從x < 0所獲得的相互抵消 。