指標的上升和下降

在數學與數學物理中 ， 給定流形 M 上一個張量 ， 若在 M 已有一個非退化形式 （ 比如黎曼度量或閔可夫斯基度量 ） ， 我們可將指標上升或下降 ： 將一個 張量變成一個 張量 （ 上升 ） 或一個 張量 （ 下降 ） 。 這裏記號 用於表示張量的秩 ， 有 個上指標和 個下指標 。 可以這樣做 ： 將張量乘以共變或反變度量張量 ， 然後做縮並 。 下文在對重複指標 求和時使用愛因斯坦記號 。 乘以反變度量張量 （ 然後縮並 ） 上升指標 ： 而乘以共變度量張量 （ 然後縮並 ） 下降指標 ： 對同一個指標先上升然後下降 （ 或順序相反 ） 得到原來的張量 ， 這反應了共變度量張量與反變度量張量互逆 ： 這裏 N 是流形的維數 。 注意下降一個指標不要求形式非奇異 ， 但相反的過程需要非奇異條件 。