實射影平面

在數學中 ， 實射影平面  是R3中所有過原點直線組成的空間 ， 通常記作 ， 無歧義時也記爲 。 這是一個不可定向 、 緊緻 、 無邊界二維流形 （ 即一個曲面 ） ， 它在幾何中有基本的應用 ， 但不能無自交地嵌入我們通常的三維歐幾里得空間 。 它的虧格是1 ， 故歐拉示性數也爲1 。 實射影平面有時描述爲基於莫比烏斯帶的構造 ： 如果能把莫比烏斯帶的 （ 一條 ） 邊以恰當的方向黏合 ， 將得到射影平面 。 等價地 ， 沿着莫比烏斯帶的邊界黏合一個圓盤給出射影平面 。 由於莫比烏斯帶可構造爲將正方形的一組對邊反向黏合 ， 從而實射影平面可以表示爲單位正方形 （ [ 0,1 ] × [ 0,1 ] ） 將它的邊界通過如下等價關係等同 ： ( 0, y ) ~ ( 1, 1 − y ) 對0 ≤ y ≤ 1, 以及 ( x, 0 ) ~ ( 1 − x, 1 ) 對0 ≤ x ≤ 1, 即如右圖所示 。 因爲正方形同構於圓盤 ， 故這也等價於將圓盤邊界的對徑點黏合 。