生存分析

生存分析  是指根據試驗或調查得到的數據對生物或人的生存時間進行分析和推斷 ， 研究生存時間和結局與衆多影響因素間關係及其程度大小的方法 ， 也稱生存率分析或存活率分析 。 生存分析涉及有關疾病的癒合 、 死亡 ， 或者器官的生長發育等時效性指標 。 某些研究雖然與生存無關 ， 但由於研究中隨訪資料常因失訪等原因造成某些數據觀察不完全 ， 要用專門方法進行統計處理 ， 這類方法起源於對壽命資料的統計分析 ， 故也稱爲生存分析 。 關於生存函數  ： t表示某個時間 ， T表示生存的時間 （ 壽命 ） ， Pr表示表示概率 。 生存函數就是壽命T大於t的概率 。 舉例來說 ， 人群中壽命超過50 （ t ） 歲的人在所有人中的概率是多少 ， 就是生存函數要描述的 。 假定t = 0時 ， 也就是壽命超過0的概率爲1 ； t趨近於無窮大 ， 生存概率爲0 ， 沒有人有永恆的生命 。 如果不符合這些前提假定 ， 則不適應Survival analysis ， 而使用其他的方法 。 由上可以推導 ： 生存函數是一個單調非增函數 。 t越大 ， S ( t ) 值越小 。 衍生函數 ： Lifetime distribution function F ( t ) = 1 - S ( t ) = Pr ( T < = t ) 概率密度函數 ： f ( t ) = d ( F ( t ) ) / dt 又叫event density ， 單位時間事件event （ 可以是死亡或者機器失效 ） 的概率 ， 是生存函數的導數 。 f ( t ) 的性質 ： f ( t ) 總是非負的 （ 沒有人可以再生 ） 。 函數曲線下方面積 （ 從0到無窮大積分 ） 爲1 。 s ( t ) = d ( S ( t ) ) / dt = - f ( t ) 危險函數Hazard function λ ( t ) = f ( t ) / S ( t ) 危險函數引入分母S ( t ) 。 其物理意義是 ， 如果t = 50歲 ， λ ( t ) 就是事件概率 （ 死亡 ） 除以50歲時的生存函數 。 因爲年齡t越大 ， 分母生存函數S ( t ) 越小 ， 假定死亡概率密度f ( t ) 對任何年齡一樣 （ 這個不是survival analysis的假設 ） ， 那麼危險函數λ ( t ) 值越大 ， 預期存活時間短 。 綜合很多因素 ， 賣人身保險的對年齡大的收費越來越高 。 嬰兒的死亡概率密度相對高一些 ， 雖然分母生存函數S ( t ) 大 ， λ ( t ) 值還是略微偏高 ， 交的人身保險費也略偏高 。