布勞威爾不動點定理

在數學中 ， 布勞威爾不動點定理是拓撲學裏一個非常重要的不動點定理 ， 它可應用到有限維空間並構成了一般不動點定理的基石 。 布勞威爾不動點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲 · 布勞威爾  。 布勞威爾不動點定理說明 ： 對於一個拓撲空間中滿足一定條件的連續函數 ， 存在一個點 ， 使得 。 布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤射到它自身的函數 。 而更爲廣義的定理則對於所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數都成立 。 關於不動點的定理很多 ， 但布勞威爾不動點定理是最著名的不動點定理之一 ， 因爲它在不少領域中都有應用 。 在最初的領域中 ， 這個結果與若爾當曲線定理 、 毛球定理和博蘇克 － 烏拉姆定理一樣 ， 是少數刻畫歐幾里得空間之拓撲性質的關鍵定理之一 。 因此 ， 布勞威爾定理在拓撲學中也有重要的地位 。 這個定理也被應用於證明各種微分方程的深入結果中 ， 在大部分的微分幾何課程中都可以見到對這個定理的介紹 。 即使在看上去與這個定理沒有什麼關係的領域 ， 例如博弈論中 ， 也能見到布勞威爾定理的應用 。 在經濟學中 ， 布勞威爾不動點定理以及其推廣 ： 角谷靜夫定理在證明經濟學市場中全局平衡的存在性中扮演了重要角色 。 後者是由諾貝爾獎獲得者吉拉德 · 德布魯和肯尼斯 · 阿羅在二十世紀五十年代發展起來的 。 最初研究這個定理的是專研微分方程的以亨利 · 龐加萊和皮卡爲首的法國數學家 ， 因爲在證明類似龐加萊 - 本迪克松定理時需要用到拓撲學的方法 。 19世紀末期 ， 這個定理的各種類似的版本 。 一般性的定理是由法國數學家雅克 · 阿達馬在1910年證明的 ， 1912年 ， 魯伊茲 · 布勞威爾給出了一個新的證明 。