單參數群

在數學中 ， 一個單參數群  或稱單參數子群  通常表示從實數 R （ 作爲加法群 ） 到另一個拓撲群 G 的一個連續群同態 φ: R → G. 這意味着它嚴格說來其實不是一個群 ； 如果 φ 是單射 ， 則其像 φ ( R ) 是 G 的一個同構於加法群 R 的子群 。 這就是說 ， 我們只知道 φ ( s + t ) = φ ( s ) φ ( t ) 其中 s, t 是群在 G 中的參數 。 我們可能有 φ ( s ) = e, G 中的單位元 ， 對某個 s ≠ 0 成立 。 譬如 G 是單位圓是這可能發生 ， 且 φ ( s ) = eis. 在這種情形 ， φ 的核由 2π 乘以整數組成 。 一個單參數群在一個集合上的作用稱爲流 。 一個技術複雜性在於 φ ( R ) 作爲 G 的子空間的拓撲可能比 R 上的要粗糙 ； 這在 φ 是單射時可能發生 。 譬如考慮當 G 是一個環面 T ， φ 是沿着一個無理斜率纏繞的直線 。 所以一個單參數群或單參數子群需區別於一個群或一個子群自身 ， 有三個原因 ： 它有一個確定的參數化 ， 群同態可能不是單射 ， 誘導拓撲可能不是實線上的標準拓撲 。 這樣的單參數群在李群理論具有基本重要性 ， 其中相伴的李代數中每一個元素定義了這樣一個同態 ， 指數映射 。 在矩陣群的情形 ， 它由矩陣指數給出 。 另一個重要情形出現於泛函分析 ， G 是一個希爾伯特空間中的酉算子 。 參見 。 鮑爾 · 科恩  在其1957年專題論文 《 李群 》 中58頁 ， 給出如下定理 ： 任何連通一維李群解析同構於實數加法群 或實數模 1 加法群 。 特別地 ， 任何一位李群局部同構於 R 。