超冪*R模型

超冪 * R模型是由美國數學家梵 · 奧士達根據日本數學家高橋的思想創立的簡化的非標準分析模型 。 考慮一個整點階梯函數 x = x ( t ), n ≤ t < n +1 ， n = 0,1,2,3, … …. 並稱之爲過程量 。 若x ( t ) ≡ c, 則稱之爲常過程量 （ 對應於實數c ） ； 若x ( t ) 趨於零 ， 則稱之爲趨零過程量 。 可以想象各種趨零過程量當可以用來規定各種不同的無窮小 ， 而關鍵在於確立劃分標準 ， 這就引出超濾集的概念 。 先定義 〈 x 〉 = { x ( t ) | n ≤ t < n +1 } 是具有某種性質的x ( t ) 的等價類 。 再定義濾集的概念 ： Ω稱爲u上的濾集 ， 如果Ω ⊆ Ρ 〔 u 〕 且滿足 ： 1 ） ¬ 〔 ø ∈ Ω 〕 2 ) （ 〔 α ∈ Ω ） ∧ 〔 β ∈ Ω 〕 ） → 〔 α ∩ β ∈ Ω 〕 3 ） 〔 〔 α ⊆ β ⊆ u 〕 ∧ 〔 α ∈ Ω 〕 〕 → 〔 β ∈ Ω 〕 特別地 ， 如果u中的子集 ， 要麼在Ω中 ， 要麼不在Ω中 ， 則Ω稱爲u上的超濾集 。 可以證明至少存在一個超濾集Ω 。 那麼不難得到如下排中律 ： α = { x ( t ) | x ( t ) 具有性質p }, β = { x ( t ) | x ( t ) 不具有性質p }, 則α ∩ β = ø且α ∪ β = u. 那麼 〈 x > = { x ( t ) | n ≤ t < n +1, n ∈ Ω } 叫做一個超實數 ， 並定義其四則運算及序關係如下 ： 1 ） <x> ± <y> = { x ( t ) ± y ( t ) | n ≤ t < n +1, n ∈ Z ∈ Ω } 2 ) <x> · <y> = { x ( t ) · y ( t ) | n ≤ t < n +1, n ∈ Z ∈ Ω } 3 ) <x> / <y> = { x ( t ) / y ( t ) | n ≤ t < n +1, n ∈ Z ∈ Ω, y ( t ) ≠ 0 } 4 ) <x> ≤ <y> ⇔ { n | x ( t ) ≤ y ( t ), n ≤ t < n +1 } ∈ Ω 由上可證得超實數的各種基本性質 ， 如三分律 、 結構定理 （ 即有限數β = α + ε ， 記α = st [ β ] ) 、 等和原理 … … 等 。 其他部分與非標準分析原模型基本一致 。