道路_(拓撲學)

在數學中 ， 拓撲空間 X 中一條道路  是從單位區間 I = [ 0,1 ] 到 X 的一個連續函數 f f: I → X. 道路的起點是 f ( 0 ) ， 終點是 f ( 1 ) 。 通常說從 x 到 y 的一條道路 ， 這裏 x 與 y 是道路的起點與終點 。 注意 ， 一條道路不僅是 X 中看起來像一條曲線的子集 ， 它也包含了參數化 。 例如 ， 映射 f ( x ) = x 與 g ( x ) = x2 表示兩個實數軸上從 0 到 1 兩條不同的道路 。 空間 X 中以 x ∈ X 爲基點的一條環路  是從 x 到 x 的一條道路 。 一條環路可以視爲連續映射 f: I → X ， 滿足 f ( 0 ) = f ( 1 ) 或從單位圓 S1 到 X 的連續映射 f: S1 → X. 這是因爲 S1 可以視爲 I 把 0 ∼ 1 等價起來的商空間 。 所有 X 中的道路集合組成一個空間 ， 稱爲 X 的環路空間 。 如果拓撲空間中任何兩點之間有一條道路連接 ， 則稱之爲道路連通 。 任何空間可以分成一些道路連通分支 。 空間 X 的道路連通分支集合通常記作 π0 ( X ) （ 與高維同倫群使用相同的記號 ， 但第 0 個事實上不是群 。 ） 我們也可以定義帶基點的空間中的道路與環路 ， 這在同倫論中非常重要 。 如果 X 是以 x0 爲基點的拓撲空間 ， 則 X 中的道路以 x0 爲起點 ； 類似地 ， X 中環路以 x0 爲基點 。