閉形式和恰當形式

在數學 ， 特別是向量分析與微分拓撲中 ， 一個閉形式 是微分算子 的核 ， 即 的微分形式 ； 而恰當形式 是微分算子 的像 ， 即存在某個微分形式 使得 ， 稱爲關於 的一個 “ 本原 ” 。 因爲 ， 所以恰當形式一定是閉形式 ， 但閉形式是否爲恰當形式並不顯然 。 考慮一個閉形式是不是恰當的 ， 可由不同的條件檢測拓撲信息來得知 。 問一個 0 - 形式是否恰當沒有意義 ， 因爲 將階數提高 1 ， 不過可以規定恰當 0 - 形式就是零函數 。 當兩個閉形式的差是一個恰當形式時 ， 稱它們爲相互上同調的 。 這便是說 ， 如果 與 是閉形式 ， 且存在某個 使得 則我們說 與 是互相上同調的 。 恰當形式經常稱爲上同調於零 。 相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素 ； 對這樣的類作一般性研究稱爲上同調理論 。 與 上的微分形式已經爲十九世紀的數學物理所熟知 。 在平面上 ， 0 - 形式就是函數 ， 2 - 形式是函數乘以基本面積元 ， 故只有 1 - 形式 具有真正的意義 ， 其外導數 是 這裏下標表示偏導數 。 從而 “ 閉 ” 的條件是 當 是一個函數時則 “ 恰當形式是閉形式 ” 便是關於 x 與 y 二階導數的對稱性的一個推論 ， 這可以直接推廣到高維情形 。 在上 ， 恰當 1 - 形式相當於有勢場 （ 保守場 ） ， 閉 1 - 形式相當於無旋場 。 故 “ 恰當形式是閉形式 ” 用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場 。