辛向量空間

數學中 ， 一個辛矢量空間是帶有辛形式 ω 的向量空間 V ， 所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式 。 確切地說 ， 一個辛形式是一個雙線性形式 ω ： V × V → R 滿足 ： 斜對稱 ： ω ( u, v ) = − ω ( v, u ) ， 對所有 u, v ∈ V 成立 ； 非退化 ： 如果 ω ( u, v ) = 0 對所有 v ∈ V 成立 ， 那麼 u = 0 。 取定一組基 ， ω 能表示爲一個矩陣 。 以上兩個條件表明這個矩陣必須是斜對稱非奇異矩陣 。 這不同於下面將介紹的辛矩陣 ， 辛矩陣表示空間的一個辛變換 。 如果 V 是有限維的那麼維數必須爲偶數 ， 因爲每個奇數階斜對稱矩陣的行列式爲 0 。 非退化斜對稱雙線性形式和非退化 “ 對稱 ” 雙線性形式 ， 比如歐幾里得向量空間的內積 ， 的表現非常不同 。 歐幾里得內積 g ， 對任何非零向量 v ， 均有 g ( v, v ) > 0 成立 ； 但是一個辛形式 ω 滿足 ω ( v, v ) = 0 。