勾股容方

勾股容方是古代中國數學中的一個命題 。 出自 《 九章算術 》 第九卷 《 勾股 》 章第十五題 。 經三國時數學家劉徽論證 ， 其後又經中國曆代數學家研究和擴充爲股中容直 ， 勾中容橫 ， 由此產生一套具有中國傳統數學特色的求解直角三角形幾何學問題的方法 ， 廣泛用於在中國古代幾何學和測量學 。 中國古代沒有古希臘歐幾里得幾何學的平行線概念 ， 採用容方 、 容橫 、 容直概念 ， 收到異曲同工的效用 。 《 九章算術 》 第九卷 《 勾股 》 章第十五題 ； “ 今有勾五步 ， 股十二步 ， 問勾中容方几何 ？ 答曰三步十七分步之九 。 術曰 ： 並勾股爲法 ， 勾股相乘爲實 ， 實如法而一 ， 得方一步 。 ” 如圖直角三角形ABC中內接正方形DEFB 。 直角三角形高 （ 股 ） ） H = AB ， 底長 （ 勾 ） L = BC ， 正方形邊長爲X 。 答案 ： 以勾5步 、 股12步之和爲分母 （ 並勾股爲法 ） ； 以勾5步 、 股12步之積爲分子 （ 勾股相乘爲實 ） ， 得勾中容方之邊長 = 12x5 / ( 12 +5 ) = 60/17 = 3 9/17 劉徽爲勾股容方的關係式 ， 提供了兩個證明 ， 一個是利用出入相補原理 ， 即利用幾何圖形在移動 、 轉動時面積守恆 ， 將幾何圖形重新排列 ， 以求結果的方法 。 先將三角形ABC複製 ， 倒置 ， 和原三角形合併成爲一個高爲H 、 寬爲L的長方形 ， 如圖 。 將兩個邊長爲X的正方形標以黃色 ， 兩個大直角三角形標以紅色 ， 兩個小直角三角形標以青色 。 再將左圖的兩個黃色正方形 、 兩個紅色大直角三角形 、 兩個青色小直角三角形 ， 重新排列如右圖 。 從出入相補 ， 面積守恆原理 ， 左圖的面積和右圖的面積相等 。 左圖面積 = HL ， 右圖面積 = X ( H+L ) HL = X ( H+L ) 由此得出勾股容方的關係式 ： 邊長 X = HL / ( H+L ) 劉徽的第二個證明 ， 利用相似三角形比率不變原理 。 劉徽注曰 ： “ 冪圖方在勾中 ， 則方之兩廉各自成小勾股 ， 其相與之勢 ， 不失本率也 ” 。 即內接正方形DEFB的兩邊DE, EF與直角三角形的三邊 ， 各自形成小的直角三角形 ， 而這兩個小直角三角形三邊的比率 ， 和原來大直角三角形的三邊比率相同 。 劉徽從勾中容方中歸納出 “ 不失本率 ” 原理 ， 即三個相似三角形比率相同 。 AD: DE: AE = EF: FC: EC = AB: BC: AC 令股高爲H ， 勾長爲L ， 勾股容方的邊長爲X ， 根據不失本率原理 ， ( H - X ): X = H: L HL - XL = HX HX + XL = HL 得勾股容方關係式 Ｘ ＝ ＨＬ ／ （ Ｈ ＋ Ｌ ）