主曲率

在微分幾何中 ， 在曲面給定點的兩個主曲率  衡量了在給定點一個曲面在這一點的不同方向怎樣不同彎曲的程度 。 在曲面上取一點E ， 曲面在E點的法線爲z軸 ， 過z軸可以有無限多個剖切平面 ， 每個剖切平面與曲面相交 ， 其交線爲一條平面曲線 ， 每條平面曲線在E點有一個曲率半徑 。 不同的剖切平面上的平面曲線在E點的曲率半徑一般是不相等的 。 這些曲率半徑中 ， 有一個最大和最小的曲率半徑 ， 稱之爲主曲率半徑 ， 記作 k1 與 k2 ， 這兩個曲率半徑所在的方向 ， 數學上可以證明是相互垂直的 。 這裏一條曲線的曲率由定義是密切圓半徑的倒數 。 當曲線轉向與平面給定法向量相同方向時 ， 曲率取正值 ， 否則取負值 。 當曲率取最大與最小值的兩個法平面方向總是垂直的 ， 這是歐拉在1760年的一個結論 ， 稱之爲主方向 。 從現代的觀點來看 ， 這個定理來自譜定理因爲它們可以作爲對應於高斯映射微分的一個對稱矩陣的本徵向量 。 對主曲率和主方向的系統研究由達布使用達布標架完成 。 兩個主曲率的乘積 k1k2 是高斯曲率 K ， 而平均值 ( k1 + k2 ) / 2 是平均曲率 H 。 如果在每一點至少有一個主曲率是零 ， 則高斯曲率是零 ， 這種曲面是可展曲面 。 對極小曲面 ， 平均曲率在每一點是零 。