數量曲率

在黎曼幾何中 ， 數量曲率  或裏奇數量  是一個黎曼流形最簡單的曲率不變量 。 對黎曼流形的每一點 ， 數量曲率是由該點附近的內蘊幾何確定的一個實數 。 在 2 維數量曲率完全確定了黎曼流形的曲率 ； 當維數 ≥ 3 ， 曲率比數量曲率含有更多的信息 。 參見黎曼流形的曲率中完整的討論 。 數量曲率一般記爲 S （ 其它記法有 Sc, R ） ， 定義爲關於度量的裏奇曲率張量的跡 ： 這個跡和度量相關 ， 因爲裏奇張量是一個 ( 0,2 ) 型張量 ； 必須將指標上升得到一個 ( 1,1 ) 型張量才能取跡 。 在局部座標中我們可以寫成 這裏 給了一個座標系與一個度量張量 ， 數量曲率可以表示爲 ： 這裏 是度量的克里斯托費爾符號 。 不像黎曼曲率張量或裏奇張量可以對任何仿射聯絡自然地定義 ， 數量曲率只在黎曼幾何存在 ； 其定義與度量密不可分 。