毛球定理

在代數拓撲中 ， 毛球定理 （ 英語 ： Hairy ball theorem ） 說明了偶數維單位球面上的連續而又處處不爲零的切向量場是不存在的 。 具體來說 ， 如果 f 是定義在一個單位球面上的連續函數 ， 並且對球面上的每一點 P ， 其函數值是一個與球面在該點相切的向量 ， 那麼總存在球面上的一點 ， 使得f在該點的值爲零 。 直觀上 （ 三維空間中的球面 ） ， 不存在零點的球面向量場可以想象爲一個被 “ 撫平 ” 的 “ 毛球 ” 。 而這個定理最著名的通俗陳述也正是 “ 永遠不可能撫平一個毛球 ” 。 這個定理首先在1912年被魯伊茲 · 布勞威爾證明 。 實際上 ， 根據龐加萊 - 霍普夫定理 ， 三維空間中的向量場的零點處的指數和爲2 ， 即二維球面的歐拉示性數 ， 因此零點必然存在 。 對於二維環面 ， 其歐拉特徵數爲0 ， 因此 “ 長滿毛的甜甜圈 ” 是有可能被 “ 撫平 ” 的 。 推廣來說 ， 對於任意的正則的偶數維緊流形 ， 若其歐拉示性數不爲0 ， 則其上的連續的切向量場必然存在零點 。