迪尼定理

在數學中 ， 迪尼定理敘述如下 ： 設 X 是一個緊緻的拓撲空間 ， 是 X 上的一個單調遞增的連續實值函數列 （ 即使得對任意 n 和 X 中的任意 x 都有 ） 。 如果這個函數列逐點收斂到一個連續的函數 f ， 那麼這個函數列一致收斂到 f 。 這個定理以意大利數學家烏利塞 · 迪尼命名 。 對於單調遞減的函數列 ， 定理同樣成立 。 這個定理是少數的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一 ， 原因是由單調性這個更強的條件 。 注意定理中的 f 一定要是連續的 ， 否則可以構造反例 。 比如說在區間 [ 0,1 ] 上的函數列 { xn } 。 這是一個單調遞減函數 ， 逐點收斂到函數 f ： 當 x 屬於 [ 0,1 ) 時f ( x ) 等於 0 ， f ( 1 ) 等於 1 。 但這個函數列不是一致收斂的 ， 因爲 f 不連續 。