壓縮映射

度量空間 ( M, d ) 上的壓縮映射  ， 或壓縮 ， 是一個從M到它本身的函數f ， 存在某個實數 ， 使得對於所有M內的x和y ， 都有 ： 滿足以上條件的最小的k稱爲f的利普希茨常數 。 壓縮映射有時稱爲利普希茨映射 。 如果以上的條件對於所有的都滿足 ， 則該映射稱爲非膨脹的 。 更一般地 ， 壓縮映射的想法可以定義於兩個度量空間之間的映射 。 如果 ( M, d ) 和 ( N, d' ) 是兩個度量空間 ， 則我們尋找常數k ， 使得對於所有M內的x和y 。 每一個壓縮映射都是利普希茨連續的 ， 因此是一致連續的 。 一個壓縮映射最多有一個不動點 。 另外 ， 巴拿赫不動點定理說明 ， 非空的完備度量空間上的每一個壓縮映射都有唯一的不動點 ， 且對於M內的任何x ， 迭代函數序列x ， f ( x ) ， f ( f ( x ) ) ， f ( f ( f ( x ) ) ) ， … … 收斂於不動點 。 這個概念在迭代函數系統中是非常有用的 ， 其中通常要利用壓縮映射 。 巴拿赫不動點定理也用來證明常微分方程的解的存在 ， 以及證明反函數定理 。