橢圓積分

在積分學中 ， 橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中 。 和歐拉是最早的研究者 。 現代數學將橢圓積分定義爲可以表達爲如下形式的任何函數 的積分 其中是其兩個參數的有理函數 ， 是一個無重根的或階多項式 ， 而是一個常數 。 通常 ， 橢圓積分不能用基本函數表達 。 這個一般規則的例外出現在有重根的時候 ， 或者是, 沒有的奇數冪時 。 但是 ， 通過適當的簡化公式 ， 每個橢圓積分可以變爲只涉及有理函數和三個經典形式的積分 。 （ 也即 ， 第一 ， 第二 ， 和第三類的橢圓積分 ） 。 除下面給出的形式之外 ， 橢圓積分也可以表達爲勒讓德形式和Carlson對稱形式 。 通過對施瓦茨 - 克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解 。 歷史上 ， 橢圓函數是作爲橢圓積分的逆函數被發現的 ， 特別是這一個 ： 其中是雅可比正弦橢圓函數 。