正交群

數學上 ， 數域F上的n階正交群 ， 記作O ( n, F ) ， 是F上的n × n 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群 。 它是一般線性群GL ( n, F ) 的子群 ， 由 給出 。 這裏QT是Q的轉置 。 實數域上的經典正交群通常就記爲O ( n ) 。 更一般地 ， F上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群 。 嘉當 - 迪奧多內定理描述了這個正交群的結構 。 每個正交矩陣的行列式爲1或 −1 。 行列式爲1的n × n正交矩陣組成一個O ( n, F ) 的正規子群 ， 稱爲特殊正交群SO ( n, F ) 。 如果F的特徵爲2 ， 那麼1 = −1 ， 從而O ( n, F ) 和SO ( n, F ) 相等 ； 其他情形SO ( n, F ) 在O ( n, F ) 中的指數是2 。 特徵2且偶數維時 ， 很多作者用另一種定義 ， 定義SO ( n, F ) 爲迪克森不變量的核 ， 這樣它在O ( n, F ) 中總有指數2 。 O ( n, F ) 和SO ( n, F ) 都是代數群 ， 因爲如果一個矩陣是正交的條件 ， 即轉置等於逆矩陣 ， 能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程 。