曲線的微分幾何

曲線的微分幾何是幾何學的一個分支 ， 使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線 。 從古代開始 ， 許多具體曲線已經用綜合方法深入研究 。 微分幾何採取另外一種方式 ： 把曲線表示爲參數形式 ， 將它們的幾何性質和各種量 ， 比如曲率和弧長 ， 用向量分析表示爲導數和積分 。 分析曲線最重要的工具之一爲 Frenet 標架 ， 是一個活動標架 ， 在曲線每一點附近給出 “ 最合適 ” 的座標系 。 曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多 ， 也簡單得多 。 因爲歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何 。 任何正則曲線可以用弧長 （ “ 自然參數 ” ） 參數化 ， 從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息 ， 所有曲線都是一樣的 。 不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分 。 數量上 ， 這由微分幾何不變量曲線的 “ 曲率 ” 和 “ 撓率 ” 來衡量 。 曲線基本定理斷言這些不變量的信息完全確定了曲線 。