戴德金η函數

戴德金η函數 （ Dedekind eta function ） 是定義在上半平面的全純函數 ， 這是權1 / 2的模形式之一例 。 對每個屬於上半平面的複數 ， 置 ， 則η函數表爲 η函數滿足以下函數方程 ： 此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓 。 一般而言 ， 對 ， 我們有 其中的自守因子定爲 。 而爲戴德金和 由此函數方程可知η是權1 / 2的模形式 ， 因此可由η構造更多的模形式 ， 例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表爲 。 事實上 ， 由函數方程可知是權12的模形式 ， 而這類模形式構成復一維向量空間 ， 比較傅里葉展開的常數項 ， 上式立可得證 。 拉馬努金有一個著名的猜想 ： 在傅立葉展開式中 ， 對任一素數 ， 的係數的絕對值恆 。 此猜想最後由德利涅證明 。 上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫 ， 例如以二次型表示整數以及整數分拆問題 。 赫克算子 （ 英語 ： Hecke operator ） 理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫 ， 同時也聯繫了模形式與表示理論 。