洛朗級數

在數學中 ， 複變函數f ( z ) 的洛朗級數  ， 是冪級數的一種 ， 它不僅包含了正數次數的項 ， 也包含了負數次數的項 。 有時無法把函數表示爲泰勒級數 ， 但可以表示爲洛朗級數 。 洛朗級數是由皮埃爾 · 阿方斯 · 洛朗在1843年首次發表並以他命名的 。 卡爾 · 魏爾斯特拉斯可能是更早發現這個級數的人 ， 但他1841年的論文在他死後才發表於世 。 函數f ( z ) 關於點c的洛朗級數由下式給出 ： 其中an是常數 ， 由以下的曲線積分定義 ， 它是柯西積分公式的推廣 ： 積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線 ， 把c包圍起來 ， 在這個圓環內是全純的 （ 解析的 ） 。 的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的 。 在右邊的圖中 ， 該環用紅色顯示 ， 其內有一合適的積分路徑 。 如果我們讓是一個圓 ， 其中 ， 這就相當於要計算的限制到上的復傅里葉係數 。 這些積分不隨輪廓的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果 。 在實踐中 ， 上述的積分公式可能不是計算給定的函數係數最實用的方法 ； 相反 ， 人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數 。 因爲函數的洛朗展開式只要存在就是唯一的 ， 實際上在圓環中任何與相等的 ， 以上述形式表示的給定函數的表達式一定就是的洛朗展開式 。