本質上確界和本質下確界

本質上確界和本質下確界的概念與上確界和下確界有關 ， 但前者與測度論的關聯性更大 ， 其中通常要涉及不是處處都成立的命題 ， 而是幾乎處處 ， 也就是說 ， 除了在測度爲零的集合以外 。 設 ( X, Σ, μ ) 爲測度空間 ， 並設f: X → R爲定義在X上的實函數 ， 它並不一定是可測的 。 實數a稱爲f的上確界 ， 如果對於X內的所有x ， 都有f ( x ) ≤ a ， 也就是說 ， 集合 是空集 。 而a稱爲本質上確界 ， 如果集合 的測度爲零 ， 也就是說 ， 對於X內的幾乎所有x ， 都有f ( x ) ≤ a 。 更加正式地 ， f的本質上確界 ， ess sup f ， 定義爲 ： 如果本質上確界的集合不是空集 ， 否則ess sup f = + ∞ 。 類似地 ， 我們也可以定義本質下確界 ： 如果本質下確界的集合不是空集 ， 否則爲 − ∞ 。