群的生成集合

在抽象代數中 ， 群 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達爲 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積 。 更一般的說 ， 如果 S 是群 G 的子集 ， 則 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群 ， 這意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集 ； 等價的說 ， <S> 是 G 中所有可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限乘積表達的元素的子群 。 如果 G = <S> ， 則我們稱 S 生成 G ； S 中的元素叫做生成元或群生成元 。 如果 S 是空集 ， 則 <S> 是平凡群 { e } ， 因爲我們認爲空乘積是單位元 。 在 S 中只有一個單一元素 x 的時候 ， <S> 通常寫爲 <x> 。 在這種情況下 ， <x> 是 x 的冪的循環子群 ， 我們稱這個循環群是用 x 生成的 。 與聲稱一個元素 x 生成一個群等價 ， 還可以聲稱它有階 | G | ， 或者說 <x> 等於整個群 G 。