精確對角化法

在量子力學中的一個量子系統 ， 物理學家最有興趣的是找出這個量子系統的基態 ， 也就是能量本徵值最小的態 ， 例如 ： 兩個自旋1 / 2的粒子所形成的量子系統中 ， 若粒子之間的交互作用可寫成 其中 、 、 表示第個自旋的包立矩陣 。 將上面4 × 4的矩陣對角化後可得本徵值 ： ， 對應的本徵向量爲 ， 而 即爲這個系統中的基態 。 可想而知 ， 隨著量子系統的粒子數變多 ， 且交互作用愈來愈複雜時 ， 量子系統的基態很難用解析的方法計算出來 ， 因此許多物理學家轉向利用數值方法來求得基態 。 精確對角化法 （ exact diagonalization ） 是一個最直接求得基態的數值方法 ， 但由於將哈密頓算符完整對角化非常花費時間與電腦記憶體 ， 所以當需要的只是基態和少數激發態 ， 通常利用Lanczos演算法和Davidson演算法 。 精確對角化法本身的物理概念極爲簡單 ， 若是隻需要得到極小尺寸的結果 ， 在程式撰寫方面也很容易 ， 然而增加系統尺寸時 ， 隨著所需的記憶體暴增 ， 程式設計變得非常困難 。 主要困難之處在於如何有效運用有限的記憶體 ， 以及提升程式運作的效率 。 目前電腦的條件下 ， 精確對角化法的尺寸極限如下 ： 一維自旋 - 1 / 2的環 ： 36個格點 。 二維自旋 - 1 / 2的平方晶格 ： 40個格點 。 二維t - J模型的平方晶格 ： 32個格點 ， 4個電洞 。 二維Hubbard模型的平方晶格 ： 32個格點 。 一維Holstein 鏈 ： 14個格點 。