粘性解

數學中 ， 粘性解是20世紀80年代早期由皮埃爾 - 路易 · 利翁和Michael G. Crandall作爲對偏微分方程 （ PDE ） 經典解的擴展而引入的 。 粘性解在PDE的許多應用中作爲解是非常自然的 ， 例如優化控制中的一階偏微分方程 （ 哈密頓 - 雅可比 - 貝爾曼方程 ） ， 微分對策中 （ Hamilton – Jacobi – Isaacs equation ） ， 前端演化問題 （ front evolution problem ） ， 還有二階方程 ， 例如在隨機優化控制或隨機微分博弈 （ stochastic differential game ） 中出現的 。 經典的概念是在域中PDE 有解 ， 如果能找到在整個域上連續且可微的函數u ( x ) ， 使得x, u和Du （ u的微分 ） 在每個點都滿足上面的等式 。 在粘性解的意義下 ， u不需要在每個點都可微 。 可能在有些點上Du不存在 ， 即u中存在扭結 （ kink ） 但u在適當意義下滿足等式 。 雖然在某個點上Du可能不存在 ， 但可以使用下面定義的上微分 （ superdifferential ） 和下微分 （ subdifferential ） 代替 。 定義1. 定義2. 一般地 ， 集合中的每個是在 " 斜率 " （ slope ） 的一個上界 ， 集合中每個是在 " 斜率 " （ slope ） 的一個下界 。 定義3. 連續函數u是上面PDE的一個粘性上解 （ viscosity subsolution ） ， 如果滿足 定義4. 連續函數u是上面PDE的一個粘性下解 （ viscosity supersolution ） ， 如果滿足 。 定義5.連續函數u是PDE的一個粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解 。 粘性解存在不需引入上 （ 下 ） 微分概念的等價定義 ， 見Fleming與Soner書中的第II .4 節 。