列維-奇維塔符號

列維 - 奇維塔符號 （ Levi - Civita symbol ） ， 又稱列維 - 奇維塔ε ， 爲一在線性代數 ， 張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號 。 對於正整數 ， 它以 所形成排列的奇偶性來定義 。 它以義大利數學家和物理學家圖利奧 · 列維 - 齊維塔命名 。 其他名稱包括排列符號 、 反對稱符號與交替符號 。 這些名稱與它排列和反對稱的性質有關 。 列維 - 奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 或 ， 較不常見的也有以拉丁文小寫 記號 。 下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列 ： 其中每個下標指標 取值介乎 到 。 在 中 ， 共有 個指標排列 ， 可以排成爲一個 維陣列 。 當任何兩個指標相等 ， 則定義符號值等於 ： ； 當全部指標都不相等時 ， 我們定義 ： ， 其中 稱爲 「 排列的奇偶性 」 ( parity of permutation ) ， 是要將 變換成自然次序 ， 所需的對換次數 。 而因子 被稱爲 「 排列正負號 」 ( signum of permutation ) 。 這裏 ， 的值必須有定義 ， 否則其他特定排列的符號值將無法確定 。 大多數作者選擇 作爲自然次序的值 ： 。 在本文中 ， 也將使用這個定義 。 從定義可知 ， 當任何兩個指標互換 ， 則須加上負號 ： 。 這稱爲 「 完全反對稱性 」 。 “ 維列維 - 奇維塔符號 ” 一詞是指符號上的指標數 ， 和所討論的向量空間維度相符 ， 其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間 ， 例如 的 或閔可夫斯基空間的 。 列維 - 奇維塔符號的值 ， 與參考座標系無關 。 此外 ， 這裏使用 「 符號 」 一詞 。 強調了它並不是一個張量 ； 然而 ， 它可以被理解爲張量的密度 。 列維 - 奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式 ， 及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積 。