圓周折積

兩個函數的圓周折積是由他們的週期延伸所來定義的 。 週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來 ， 所產生的新函數 。 的週期延伸可以寫成 兩個函數 與 的圓周折積 可用兩種互相等價的方式來定義 其中 表示原本的 （ 線性 ） 折積 。 類似地 ， 對於離散信號 （ 數列 ） ， 可以定義週期 N 的圓周折積 爲 離散信號的圓周折積可以經由圓周折積定理使用快速傅立葉變換 （ FFT ） 而有效率的計算 。 因此 ， 若原本的 （ 線性 ） 折積能轉換成圓周折積來計算 ， 會遠比直接計算更快速 。 考慮到長度 和長度 的有限長度離散信號 ， 做折積之後會成爲長度 的信號 ， 因此只要把兩離散信號補上適當數目的零 （ zero - padding ） 成爲 N 點信號 ， 其中 ， 則它們的圓周折積就與折積相等 。 即可接著用 N 點 FFT 作計算 。 用以上方法計算折積時 ， 若兩個信號長度相差很多 ， 則較短者須補上相當多的零 ， 太不經濟 。 而且在某些情況下 ， 例如較短的 是一個 FIR 濾波器而較長的 是未知長度的輸入 （ 像語音 ） 時 ， 直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號 ， 太不方便 。 這時可以把 分割成許多適當長度的區塊 （ 稱爲 block convolution ） ， 然後一段一段的處理 。 經過濾波後的段落再仔細的連接起來 ， 藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份 。 這兩種做法分別稱爲重疊 - 儲存之折積法和重疊 - 相加之折積法 。