朗伯W函數

朗伯W函數 ( 又稱爲歐米加函數或乘積對數 ） ， 是f ( w ) = wew的反函數 ， 其中ew是指數函數 ， w是任意複數 。 對於任何複數z ， 都有 ： 由於函數f不是單射 ， 因此函數W是多值的 （ 除了0以外 ） 。 如果我們把x限制爲實數 ， 並要求w是實數 ， 那麼函數僅對於x ≥ −1 / e有定義 ， 在 ( −1 / e, 0 ) 內是多值的 ； 如果加上w ≥ −1 的限制 ， 則定義了一個單值函數W0 ( x ) （ 見圖 ） 。 我們有W0 ( 0 ) = 0 ， W0 ( −1 / e ) = −1 。 而在 [ −1 / e, 0 ) 內的w ≤ −1 分支 ， 則記爲W −1 ( x ) ， 從W −1 ( −1 / e ) = −1 遞減爲W −1 ( 0 − ) = − ∞ 。 朗伯W函數不能用初等函數來表示 。 它在組合數學中有許多用途 ， 例如樹的計算 。 它可以用來解許多含有指數的方程 ， 也出現在某些微分方程的解中 ， 例如y''' ( t ) = a y ( t'' − 1 ) 。