P-群

在數學裏 ， 給定一質數p ， p - 群即是指一個其每個元素都有p的次方階的週期群 。 亦即 ， 對每個群內的元素g ， 都存在一個正整數n使得g的pn次方等於其單位元素 。 若G是有限的 ， 則其會和G自身的階爲p的次方之敘述相等價 。 關於有限p - 群的結構已知道了許多 ， 其中第一個使用類方程的標準結論爲一個非當然有限p - 群的中心不可能爲一個當然子群 。 一個pn階的p - 群會包含著pi階的子群 ， 其中0 ≤ i ≤ n 。 更一般性地 ， 每一個有限p - 群都會是冪零群 ， 且因此都會是可解群 。 有相同階的p - 群不一定會互相同構 ； 例如 ， 循環群C4和克萊因四元群都是4階的2 - 群 ， 但兩者並不同構 。 一個p - 群不一定要是阿貝爾群 ； 如8階的二面體群即爲一個非可換2 - 群 。 （ 但每個p2階的群都會是可換的 。 ） 以趨進的觀點來看 ， 幾乎所有的有限群都會是p - 群 。 實際上 ， 幾乎所有的有限群都是2 - 群 ： 2 - 群的同構類與其階至多爲n之群的同構類的比例在當n趨進於無限大時會趨進於1 。 例如 ， 其階至多爲2000的所有不同的群會有99 % 爲1024階的2 - 群 。 每一個非當然有限群都會包括一個爲非當然p - 群之子群 。 詳述請見西洛定理 。 無限群的例子 ， 見普呂弗群 。