量子力學的數學表述

量子力學的數學表述 （ Mathematical formulation of quantum mechanics ） 是對量子力學進行嚴謹描述的數學表述體系 。 與20世紀初發展起來的舊量子論的數學形式不同 ， 它使用了一些抽象的代數結構 ， 如無窮維希爾伯特空間和這些空間上的算子 。 這些結構中有許多源於泛函分析 。 這一純粹數學研究領域的發展過程既平行於又受影響於量子力學的需要 。 簡而言之 ， 物理可觀察量的值 ， 如能量和動量的值不再作爲相空間上的函數值 ， 而是作爲本徵值 ， 或者更爲精確地來說是希爾伯特空間中線性算子的譜值 。 這一表述體系一直沿用至今 。 該體系的核心爲 “ 量子態 ” 和 “ 可觀察量 ” 這兩個概念 。 對於原子尺度的系統來說 ， 這兩個概念與之前用來描述物理現實的模型大相徑庭 。 雖然數學上允許對許多量的計算結果進行實驗測量 ， 但是實際上 ， 在對於符合一定條件的兩個物理量同時進行精確測量時 ， 卻存在一個理論性限制 — — 不確定性原理 。 這一原理由維爾納 · 海森堡通過思想實驗首次闡明 ， 且在該體系中以可觀察量的不可交換性進行表述 。 在量子力學作爲一支獨立理論形成之前 ， 物理學中用到的數學理論主要是以微積分爲源頭 、 後來又添以微分幾何與偏微分方程的數學分析 。 統計力學中還用到概率論 。 幾何直觀在這兩個理論中扮演重要角色 。 相對論中的許多概念和方法也是基於幾何理論 。 量子物理學中對於實驗現象的一系列不同以往的理解在1895年到1915年間開始逐步形成 。 其中具有代表性的思想爲波粒二象性 。 但在量子理論形成之前的10至15年中 ， 物理學家仍然在經典物理學的框架內思考量子理論 ， 所基於的數學結構也是完全相同的 。 其中具有代表性的例子是玻爾 - 索末菲量子化條件 。 這一原理完全建構於經典框架中的相空間 。