交叉數

在圖論 ， 交叉數是將圖畫在平面上時 ， 邊的交叉點的最小數目 。 若 ， 則稱爲平面圖 。 在方面 ， 計算圖的交叉數仍是一個重要問題 ， 因爲讀者研究發現 ， 畫圖的交叉越少 ， 越有利於讀者理解 。 交叉數的研究始於 。 圖蘭 · 帕爾想求磚廠中 ， 將每個窯爐各與全部貨倉用路軌連接的最優方案 ， 使路軌的交叉儘可能少 。 按上述定義 ， 即是問完全二部圖的交叉數 。 同一問題約莫同時在社會學研究提出 ， 因爲事關的繪製 。 圖蘭猜想了完全二部圖交叉數的公式 ， 但該公式迄今未獲證 ， 完全圖的交叉數公式亦然 。 交叉數不等式斷言 ， 若邊數與頂點數的比值大於某個常數 ， 則交叉數不小於乘以另一個固定的常數 。 此結論在超大規模集成電路設計與組合幾何方面有應用 。 如無特別註明 ， 交叉數允許使用任意曲線來畫邊 。 另一個相關概念是直線交叉數 ， 其要求僅使用直線段來畫邊 ， 所以未必等於交叉數 。 更具體說 ， 完全圖的直線交叉數就是平面上處於一般位置的個點所能組成的凸四邊形的最少數目 ， 因爲每個凸四邊形的兩條對角線產生一個交叉 。 直線交叉數問題與幸福結局問題密切相關 。 給定一個圖 ， 計算其交叉數是一個NP難問題 。