格爾斯滕哈伯代數

格爾斯滕哈伯代數是Gerstenhaber在研究結合代數的形變時發現的 。 一個結合代數的形變跟它的Hochschild上覆形有密切的關係 ， Gerstenhaber證明 ， Hochschild上覆形實際上形成一個微分分次李代數 ， 並且這個微分分次李代數完全控制了該結合代數的形變 。 Gerstenhaber的研究受到小平邦彥 （ Kodaira ） - Spencer關於流形復結構形變研究的啓發 ， 這些思想後來由Deligne和Kontsevich等人加以系統完成 。 在下面後4個例子中 ， 例2和例3是1990年代之前發現的 ， 1993年 ， Deligne在給一些數學家的通信中猜測它們之間也許是有關係的 ， 用數學語言表述 ， 即 ： 對任何一個結合代數 ， 其Hochschild上覆形是little disks operad的鏈 ( chain ) operad上的代數 。 這就是著名的Deligne猜想 ， 最後由Kontsevich - Soibelman ， McClure - Smith ， Tamarkin和Voronov等人解決 。 Deligne猜想的證明涉及到了很多高深的數學工具 ， 而這些工具都與拓撲共形場論有着密切的聯繫 ， 因而引起了很多人的興趣 。 稍後 ， 在1997年 ， Chas和Sullivan的研究論文發表了名爲弦拓撲的論文 ， 發現了例5 。 他們的研究結果引起了數學家們很大的關注和進一步的研究 ， 從而開闢了一門嶄新的學科 。 最後 ， 需要補充的是 ， 關於Gerstenhaber代數的研究往往伴隨着Batalin - Vilkovisky代數 （ 簡稱BV代數 ） 的研究 。 BV代數是一類特殊的Gerstenhaber代數 ， 往往由Gerstenhaber代數里面的某種對稱性而得到 ， 如 。