哈代-李特爾伍德圓法

在數學裏 ， 哈代 - 勒特伍德圓法是在解析數論中最常被使用的技術之一 。 其是以高德菲 · 哈羅德 · 哈代和約翰 · 恩瑟 · 李特爾伍德來命名的 ， 他們是在一連討論華林問題的論文中發展了此一技術 。 這個觀念一開始的起源通常被歸功於哈代在1916年和1917年中和拉馬努金在整數分拆的漸進分析中之研究 。 這被許多其他的研究者們所使用 ， 包括哈羅德 · 達芬波特和維諾格拉多夫 ， 他們稍微地修改了其公式 （ 由複分析移至指數和 ） ， 但沒有改變大略的內容 。 上千篇論文使用著此一方法 ， 且直到2005年 ， 這個方法仍然被使用來產生新的成果 。 問題中的圓一開始是在複數平面上的單位圓 。 假定問題一開始是一連串的複數 an, n = 0, 1, 2, 3, ... 想要求得其中的一些可能的漸進類型 an ~ F ( n ) 其中有一些啓發性的方法可以用來猜測F可能的類型 ， 先寫下 ， 一個冪級數生成函數 。 其中有些有趣的例子在於f的收斂半徑等於1的條件下 ， 故將問題假裝已調整至承現出滿足此一條件 。 經由此規劃之後 ， 便可以直接由留數定理得出對每個整數 n ≥ 0 ， 其中這個積分是繞著圓心爲0且半徑爲0 < r < 1之r的圓來積的 。 亦即 ， 這是一個閉軌積分 ， 其軌道是一個以逆時鐘方向繞了一圈的圓 。 爲了使其較易回答 ， 可以直接將r的值取1 ， 即使用單位圓閉軌 。 但在復變分析中卻有著一些問題 ， 因爲f在單位圓上不一定總是會有定義 。 圓法在其問題上的做法是強迫將r值取1 ， 以對f在單位圓上之奇點的性質有足夠的瞭解之方式 。 對其基本的瞭解可以使用有理數的法裏數列 ， 或是等價地使用單位根 這裏的分母s是在r / s爲最簡分數下之分母 ， 可以決定在ζ附近之f主要奇點的行爲之相對的重要性 。 哈代 - 勒特伍德圓法因此可以用複分析的方式來表現出來 。 當r 趨近 1時的In的值的分佈可以被分成兩個部份 ， 傳統上稱之爲大弧和小弧 。 可以將ζ分成兩部份 ， 分別是s ≤ N和s > N兩部份 ， 其中的N是一個依方便選定之n的函數 。 積分In可以將其積分範圍分成長度爲s的長度 （ 一樣是依方便選定的 ） ， 和ζ相連的弧 。 這些弧可以形成整個圓圈 ， 而其在 「 大弧 」 上積分的總和會是2πiF ( n ) （ 實際上 ， 會存在一個可掌控的剩餘項 ） 。 剩下在 「 小弧 」 上的積分總和則可以被一個上界所取代 ， 而且這個上界會數量級地小於F ( n ) 。