可對角化矩陣

可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣 。 如果一個方塊矩陣 A 相似於對角矩陣 ， 也就是說 ， 如果存在一個可逆矩陣 P 使得 P −1 AP 是對角矩陣 ， 則它就被稱爲可對角化的 。 如果 V 是有限維度的向量空間 ， 則線性映射 T: V → V 被稱爲可對角化的 ， 如果存在 V 的一個基 ， T 關於它可被表示爲對角矩陣 。 對角化是找到可對角化矩陣或映射的相應對角矩陣的過程 。 可對角化矩陣和映射在線性代數中有重要價值 ， 因爲對角矩陣特別容易處理 。 它們的特徵值和特徵向量是已知的 ， 且其行列式可通過計算對角元素相乘獲得 。 將矩陣對角化相當於是 ： 找到一組基 （ 即特徵基 ） ， 使得該線性變換在這組基下只是座標軸方向上的伸縮變換 ， 不同軸上的伸縮比例不同 。 所以 ， 矩陣對角化之後 ， 該線性變換的幾何意義更容易理解 。 用對角矩陣表示的差分方程組或者微分方程組比較容易解出 ， 因爲每個等式只涉及一個未知函數 。 若爾當 - 謝瓦萊分解表達一個算子爲它的對角部分與它的冪零部分的和 。