希爾伯特轉換

在數學和信號處理中 ， 希爾伯特變換  是一個對函數 u ( t ) 產生定義域相同的函數 H ( u ) ( t ) 的線性算子 。 希爾伯特變換在信號處理中很重要 ， 能夠導出信號 u ( t ) 的解析表示 。 這就意味着將實信號 u ( t ) 拓展到複平面 ， 使其滿足柯西 － 黎曼方程 。 例如 ， 希爾伯特變換引出了傅里葉分析中給定函數的 ， 也就是 。 等價地說 ， 它是奇異積分算子與的一個例子 。 希爾伯特變換最初只對週期函數 （ 也就是圓上的函數 ） 有定義 ， 在這種情況下它就是與希爾伯特核的卷積 。 然而更常見的情況下 ， 對於定義在實直線 R （ 上半平面的邊界 ） 上的函數 ， 希爾伯特變換是指與柯西核卷積 。 希爾伯特變換與有着密切的聯繫 ， 帕利 - 維納定理是將上半平面內的全純函數與實直線上的函數的傅里葉變換相聯繫起來的另一種結果 。 希爾伯特轉換是以大衛 · 希爾伯特來命名的 ， 他首先引入了該算子來解決全純函數的的一個特殊情況 。