真因子和數列

選擇一個正整數作爲一個數列的開首 ， 數列的之後的項都是上一項的真因子之和 （ 因數函數 ） ， 即 ： 這樣組成的數列稱爲真因子和數列 （ aliquot sequence ） 。 例如取10爲首項 ， 之後是 （ 任何質數的唯一真因子都是1 ， 1沒有真因子 ） 。 真因子和數列有幾種可能的發展方式 ： 在1結束 ： 好像上面的10 、 任何質數 、 18  … … （ OEIS: A080907 ） 循環不斷 ： 對於完全數 、 相親數 、 相親數鏈的成員 ， 真因子和數列是循環的 。 如果有些數本身並不屬於上述提到那類數 ， 卻因爲數項中有些項的真因子之和屬於那類數 ， 而有循環的真因子和數列 ， 它們稱爲aspiring numbers （ OEIS: A063769 ） 。 譬如 ： 完美數 ： 28, 28, 28 ... 四環相親數鏈的成員1264460 ： 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, .... aspiring number 95 ： 95, 25, 6, 6, 6, 不循環地一直延續下去 ： 19世紀數學家歐仁 · 查理 · 卡塔蘭猜想任何真因子和數列都是按上面兩種方式延續下去 ， 但人們不但未能證明或推翻這個猜想 ， 而且不能確定一些整數的真因子和數列 。 在1至1000之間 ， 便有五個這樣的數 ， 它們稱爲Lehmer Five — — 276, 552, 564, 660, 966 。 截止2007年7月 ， 1至105間有909個這樣的數 ， 1至106間有9466個 。