高斯積分

高斯積分  ， 有時也被稱爲概率積分 ， 是高斯函數 （ e − x2 ） 在整個實數線上的積分 。 它得名於德國數學家兼物理學家卡爾 · 弗里德里希 · 高斯之姓氏 。 高斯積分用處很廣 。 例如 ， 利用換元積分法 ， 它可以用來計算正態分佈的歸一化常數 。 在極限爲有限值的時候 ， 高斯積分與正態分佈的誤差函數和累積分佈函數密切相關 。 在物理學中 ， 這種積分也經常出現 ： 例如在量子力學中 ， 諧振子基態的概率密度 ； 在路徑積分公式中 ， 諧振子的傳播子 ； 以及統計力學中的配分函數 ， 以上的計算都要用到這個積分 。 我們可以通過Risch算法證明誤差函數不具有初等函數形式 ； 儘管如此 ， 高斯積分可以通過多元微積分方法分析求解 。 雖然不定積分 無法用初等函數表示 ， 但定積分是可以計算的 。 任意高斯函數的定積分爲