閉包_(數學)

數學中 ， 若對某個集合的成員進行一種運算 ， 生成的仍然是這個集合的成員 ， 則該集合被稱爲在這個運算下閉合 。 例如 ， 實數在減法下閉合 ， 但自然數不行 ： 自然數 3 和 7 的減法 3 − 7 的結果不是自然數 。 類似的 ， 一個集合被稱爲在某些運算的蒐集下閉合 ， 如果它在每個運算之下都閉合 。 一個集合在某個運算或某些運算的蒐集下閉合被稱爲滿足閉包性質 。 閉包性質經常作爲公理 ， 通常叫做閉包公理 。 現代集合論通常這樣定義 ： 運算爲在集合間的映射 。 所以向一個結構增加閉包性質作爲公理是多餘的 ， 儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義 。 當一個集合 S 在某個運算下不閉合的時候 ， 我們通常可以找到包含 S 的最小的閉合集合 。 這個最小閉合集合被稱爲 S 的 （ 關於這個運算的 ） 閉包 。 例如 ， 若把自然數集看作實數集的子集 ， 它在減法下的閉包就是整數集 。 一個重要的例子是拓撲閉包 。 閉包的概念推廣爲伽羅瓦連接 ， 進一步爲單子 。 注意集合 S 必須是閉合集合的子集 ， 這樣才能定義閉包算子 。 在前面的例子中 ， 實數在減法下閉合是重要的 ， 減法不總是在自然數的定義域中有定義的 。 閉包這個詞的兩種用法不應混淆 。 前者用來提及閉合的性質 ， 而後者提及包含不閉合集合的最小閉合集合 。 簡要的說 ， 一個集合的閉包滿足閉包性質 。