四元群

在群論裏 ， 四元群是指一個8目的不可換群 。 它常被標示爲Q ， 且被寫成乘法的形式 ， 以下列的8個元素 Q = { 1, −1, i, − i, j, − j, k, − k } 這裏 ， 1是單位元素 ， ( −1 ) 2 = 1且對每個Q內的a ， ( −1 ) a = a ( −1 ) = − a 。 剩下的乘法律能由下列的關係獲得 ： Q的凱萊表如下 ： 需注意的是 ， 此一群爲非可換的 ； 如ij = − ji 。 Q有著漢彌爾頓群較不常見的性質 ： 每一個Q的子群都是其正規子群 ， 但這個群不是可換的 。 每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q 。 在抽象代數里 ， 可以造出一個其基底爲 { 1, i, j, k } 的實四維向量空間 ， 且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數 。 其即爲一個稱爲四元數的除環 。 需注意的是 ， 這並不是在Q上的群代數 ( 其應該是8維的 ) 。 相反地 ， 亦可以先由四元數開始 ， 再 「 定義 」 出由八個元素 { 1, −1, i, − i, j, − j, k, − k } 所組成之乘法子群做爲四元群 。 i 、 j和k都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來 。 Q有著下列的展現 其中可以取成i = x 、 j = y及k = xy 。 Q的中心及交換子群爲 { ± 1 } 。 其商群 Q / { ± 1 } 會同構於克萊因四元群V 。 Q的內自同構群會同構於Q同餘其中心 ， 且因此也會同構於克萊因四元群 。 Q的全自同構群會同構於對稱群S4 。 Q的外自同構群因此爲S4 / V ， 其會同構於S3 。 四元群Q亦可視爲是作用於在有限體GF ( 3 ) 上之二維向量空間的八個非零元素 。 關於其圖像 ， 請見圖像化GL ( 2, p ) 。