四頂點定理

四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理 。 這定理指出 ， 一條簡單閉曲線的曲率函數 ， 如果不是常值 ， 便有至少四個局部極值 。 更確切地說 ， 這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值 。 1909年斯亞馬達斯 · 穆科帕迪亞亞最先證明這定理對凸曲線 （ 即有嚴格正曲率 ） 成立 。 他的證明用到了以下結果 ： 曲線上一點的曲率是極值 ， 當且僅當在該點的密切圓與曲線有4點切觸 。 （ 密切圓與曲線一般只有3點切觸 。 ） 1912年阿道夫 · 克內澤爾證明了定理在一般情況成立 。 四頂點定理的逆定理指 ， 在圓上定義任意連續實值函數 ， 使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值 ， 那麼這函數是一條簡單平面閉曲線的曲率函數 。 1971年赫爾曼 · 格盧克證出嚴格正函數的情形 。 他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理 ， 以上結果是其特例 。 比約恩 · 達爾貝里在他1998年1月去世前不久 ， 證明逆定理的完整版本 。 他的證法用到卷繞數 ， 類似代數基本定理的拓撲證明 。 這定理的一個推論是 ， 任何在平面上滾動受重力作用的均勻板 ， 都有至少四個平衡點 。 它的三維推廣並不容易 ， 實際上 ， 存在少於四個平衡點的三維凸均勻體 ， 見Gömböc 。