丟番圖逼近

丟番圖分析  是數論的一個分支 。 最經典的丟番圖逼近主要用於有理數逼近實數 ， 亦即實數的有理逼近相關問題 。 其中有理數一般用分數形式表達 ， 且一律要求分子爲整數 ， 分母爲正整數 ， 通常要求是既約分數 。 丟番圖逼近的名稱源於古希臘數學家丟番圖 。 這是因爲有理逼近可以歸結爲求不等式整數解的問題 ， 而求方程整數解的問題一般稱爲丟番圖方程 （ 或不定方程 ） ， 故而得名 。 事實上 ， 丟番圖逼近與不定方程的研究確有頗多相關 。 丟番圖逼近的首要問題是尋求實數的最佳 （ 有理 ） 丟番圖逼近 ， 簡稱最佳逼近 。 具體來說 ， 對於一個實數 ， 希望找到一個 “ 最優 ” 的有理數 作爲 的近似 ， 使在分母不超過 的所有有理數中 ， 與 的距離最小 。 這裏的 “ 距離 ” 可以是歐氏距離 ， 即兩數之差的絕對值 ； 也可以用 等方式度量 。 滿足此類要求的有理數 稱爲實數 的一個最佳逼近 。 關於如何尋找實數的最佳逼近及相關論題 ， 已於18世紀隨着連分數理論的發展得到基本解決 。 其後 ， 該領域的主要注意力轉向對有理逼近的誤差進行估計 、 度量 ， 以給出儘可能精確的上下界 （ 一般用分母的函數表示 ） 。 作爲分母的函數, 這種上下界的階與 的性質密切相關 。 當 分別爲有理數 、 代數數 、 超越數時 ， 其最佳逼近誤差下界的階是不同的 。 基於這種思想 ， 劉維爾在1844年建立了有關代數數逼近的一個基本結論 ， 並由此具體地構造出了一個超越數 （ 參見劉維爾數 ） ， 證明了它的超越性 。 這在人類歷史上尚屬首次 。 由此可見 ， 丟番圖逼近與數論的另一分支 — — 超越數論緊密相關 。 除了上述最經典的單個實數的有理逼近問題 ， 該領域還包括多個實數的聯立逼近 ， 非齊次逼近 ， 實數的代數數逼近 ， 一致分佈 （ 均勻分佈 ） 等方面 。 甚至連p進數上的丟番圖逼近也有頗多研究 。