元數學

元數學  ， 又譯爲超數學 ， 使用數學技術來研究數學本身的一門學科 。 一般來說 ， 元數學是一種將數學作爲人類意識和文化客體的科學思維或知識 。 更進一步來說 ， 元數學是一種用來研究數學和數學哲學的數學 。 “ 數學的數學 ” 是於19世紀初由通常的數學分離出來的 ， 它最初研究的對象是在所謂的數學危機 。 將二者混爲一談會導致一些矛盾 ， 典型例子有理查德悖論 。 比如說 ， 元數學的主題之一就是 ： 分析某些數學要素是否在任意的數學系統中都是可證實或者證僞的 。 許多關於數學基礎與數學哲學的論說都涉及元數學的概念 ， 它們往往不能被當作我們通常所說的 “ 問題 ” 來處理 。 元數學的基本假設是 ： 數學的內容可以由一個形式系統獲得 ， 比如一個序理論或一個公理化集合論 。 元數學與數理邏輯休慼相關 ， 因而這兩者的發展也大同小異 。 元數學的發端大概要追溯到弗雷格的工作 ： 《 概念文字 》 。 大衛 · 希爾伯特首先引進了帶有正則性的 “ 元數學 ” （ metamathematics with regularity ） 這一說法 （ 見希爾伯特計劃 ） 。 這也就是現在所說的證明論 。 另一個重要的現代分支是模型論 。 這一領域的其他重要人物有 ： 伯特蘭 · 羅素 ， 斯科爾姆 （ Thoralf Skolem ） ， 普斯特 （ Emil Post ） ， 邱奇 ， 克萊尼 ， 蒯因 ， 貝納瑟拉夫 （ Paul Benacerraf ） ， 普特南 ， 柴汀 （ Gregory Chaitin ） ， 以及最著名的塔斯基和哥德爾 。 特別地 ， 哥德爾證明了 ： 給定任意有限多條皮亞諾算術的公理 ， 都存在一些正確的命題 ， 無法用所給公理來證明 ， 即所謂的哥德爾不完備定理 。 某種意義上來說 ， 這一結果是迄今爲止元數學與數學哲學的最高成就 。