希爾伯特第十問題

希爾伯特的第十個問題 ， 就是不定方程 （ 又稱爲丟番圖方程 ） 的可解答性 。 這是希爾伯特於1900年在巴黎的國際數學家大會演說中 ， 所提出的23個重要數學問題的第十題 。 這個問題是問 ， 對於任意多個未知數的整係數不定方程 ， 要求給出一個可行的方法  ， 使得藉助於它 ， 通過有限次運算 ， 可以判定該方程有無整數解 。 這裏德文的方法  ， 就是英文所謂的演算法  。 對於演算法的概念我們是不陌生的 ， 例如遠在古希臘時代 ， 人們就知道可以使用輾轉相除法 ， 求兩個自然數的最大公約數 。 還有 ， 任給一個自然數 ， 也存在著一個方法 ， 在有限步驟內 ， 可以判定這個數是不是質數 。 雖然人們很早就有了演算法的樸素概念 ， 但對於到底什麼是可行的計算 ， 仍沒有精確的概念 。 一個問題的可解與不可解究竟是什麼含意 ， 當時的人們還不得而知 。 然而爲了研究第十問題 ， 必須給予演算法精確化的觀念 。 這點還有賴於數理邏輯學對可計算性理論的發展 ， 才得以實現 。