扭率張量

在微分幾何中 ， 扭率或稱撓率此一概念是刻畫沿着曲線移動的標架的扭曲或螺旋的方法 。 例如曲線的撓率 ， 出現在弗萊納公式中 ， 量化了一條曲線變化時關於它的切向量的扭曲程度 （ 更確切的說弗萊納標架關於切向量的旋轉 ） 。 在曲面的幾何中 ， “ 測地撓率 ” 描述了曲面關於曲面上一條曲線的扭曲 。 相伴的曲率概念度量了沿着曲線的活動標架 “ 沒有扭曲的轉動 ” 。 更一般地 ， 在裝備一個仿射聯絡 （ 即切叢的一個聯絡 ） 的微分流形上 ， 撓率與曲率構成了聯絡的兩個基本不變量 。 在這種意義下 ， 撓率給出了切空間關於一條曲線平行移動怎樣扭曲的內蘊刻畫 ； 而曲率描述了切空間沿着曲線怎樣旋轉 。 撓率可具體的描述爲一個張量 ， 或一個向量值2 - 形式 。 如果 ∇ 是微分流形上一個聯絡 ， 那麼撓率張量用向量場 X 與 Y 表示定義爲 ： 這裏 [ X, Y ] 是向量場的李括號 。 撓率在測地線幾何的研究特別重要 。 給定一個參數化測地線系統 ， 我們一定指定一族仿射聯絡具有這些測地線 ， 但是具有不同的撓率 。 具有惟一 “ 吸收撓率 ” 的聯絡 ， 將列維 - 奇維塔聯絡推廣到其他 ， 也許沒有度量的情形 （ 比如芬斯勒幾何 ） 。 吸收撓率在G - 結構與嘉當等價方法的研究中也起着重要的作用 。 撓率通過關聯的射影聯絡在研究測地線非參數族也很有用 。 在相對論中 ， 這種想法以愛因斯坦 - 嘉當理論的形式提供了工具 。