哈德維格-納爾遜問題

哈德維格 - 納爾遜問題  ， 是指在平面上爲每點填色 ， 最少要多少種顏色 ， 才能使若兩點距離爲1 ， 其顏色必定不相同呢 ？ 用圖論的語言可這樣敍述 ： 設G爲圖 ， G的頂點是平面上的所有點 ， 兩個頂點相鄰若且唯若它們在平面上的距離爲1 ， 求G的點色數 。 這個問題等於求任意G的有限子集的最大點色數 。 這個問題的下界是5 ， 上界是7 。 只有三種顏色無法完成的證明如下 ： 平面上任取一點A ， 設其顏色爲x ， 以其爲圓心 ， 分別以1和爲半徑做圓 。 在半徑的圓上任取一點B ， 以其爲圓心1爲半徑做圓 ， 交以A爲圓心1爲半徑的圓與C和D ， 則C與D的距離爲1 ， 所以A 、 C 、 D顏色必須各不相同 ， 設C 、 D的顏色分別爲y 、 z 。 B 、 C 、 D的顏色也必須各不相同 ， 所以B的顏色只能是x ， 所以以A爲圓心爲半徑的圓上所有的點的顏色都必須爲x ， 在其上選擇兩個相距爲1的點 ， 它們的顏色相同 ， 與題設矛盾 。 另一方面 ， 將平面劃成以外接圓直徑略少於1的正六邊形密鋪 ， 以七種顏色填上 ， 使得一個正六邊形和相鄰的六個正六邊形的顏色不同 。 這樣的密舖符合距離爲1的點顏色不相同 ， 所以上界是7 。