正則性公理

正則公理 （ 也叫做基礎公理 ） 是 Zermelo - Fraenkel 集合論的公理之一 。 在一階邏輯中 ， 這個公理可敘述如下 ： 翻譯爲較容易理解的說法就是 ： 所有非空集合 A 中至少有一個這樣的元素 x ， 它與A 本身的交集爲空集 。 即 從這個公理可得出兩個結果 ， 其一爲 “ 不存在以自身爲元素的集合 ” ， 其二爲 “ 沒有無限序列 an 使得對於所有 i ， ai +1 是 ai 的元素 ” 。 通過選擇公理可以證明後者的逆命題也成立 ： 如果這樣的無限序列不存在 ， 則正則公理爲真 。 所以在假定選擇公理的情況下 ， 兩個陳述是等價的 。 正則公理被認爲是Zermelo - Fraenkel 集合論中應用最少的公理 ， 因爲數學分支中的所有關鍵性結果都可用集合論中的其他公理證明得到 。 另外 ， 不包含正則公理的康託的集合論 ， 實際上假定了以自身爲一個元素的集合的存在 。