哈密頓-雅可比方程式

在物理學裏 ， 哈密頓 - 雅可比方程 （ Hamilton - Jacobi equation ， HJE ） 是經典力學的一種表述 。 哈密頓 - 雅可比方程 、 牛頓力學 、 拉格朗日力學 、 哈密頓力學 ， 這幾個表述是互相全等的 。 而哈密頓 - 雅可比方程在辨明守恆的物理量方面 ， 特別有用處 。 有時候 ， 雖然物理問題的本身無法完全解析 ， 哈密頓 - 雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量 。 HJE 是經典哈密頓量一個正則變換 ， 經過該變換得到的結果是一個一階非線性偏微分方程 ， 方程式之解描述了系統的行爲 。 與哈密頓運動方程的不同之處在於 HJE 是一個偏微分方程 ， 每個變量對應於一個座標 ， 而哈密頓方程是一個一階線性方程組 ， 每兩個方程對應於一個座標 。 HJE 可以漂亮地解析一些重要問題 ， 例如開普勒問題 。 HJE 是唯一能夠將粒子運動表達爲波動的一種力學表述 。 因此 ， HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標 （ 早至 18 世紀 ， 約翰 · 白努利和他的學生皮埃爾 · 莫佩爾蒂的年代 ） ； 那就是 ， 尋找波傳播與粒子運動的相似之處 。 力學系統的波動方程式與薛丁格方程式很相似 ； 但並不相同 。 稍後會有詳細說明 。 HJE 被認爲是從經典力學進入量子力學最近的門階 。