不變子空間

數學上 ， 一個從某個線性空間到自身的線性變換 的不變子空間是的一個子空間使得包含於 。 的一個不變子空間也稱爲是 － 不變的 。 若爲 － 不變 ， 我們限制到上得到一個新的線性變換 不變子空間的存在使得對於的研究變得更爲簡單 。 當然本身 ， 和子空間 ， 是每個線性算子的平凡不變子空間 。 對於特定的線性算子 ， 可能沒有非平凡的不變子空間 ； 譬如考慮二維實向量空間的旋轉 。 另一個例子是 ： 令爲的一個特徵向量 ， 也即 。 則是不變的 。 進一步擴展這個例子 ， 我們可以證明每個在一個至少兩維的復有限維向量空間的每個線性算子有一個非平凡的不變子空間 ： 的特徵值是的特徵多項式的零點 ， 而該多項式根據代數基本定理總是有零點的 ； 然後我們可以取對應於該特徵值的一個特徵向量張成的空間 。 這個證明在實數域上不成立 ， 因爲不是所有實多項式都有一個實根 。