幾乎處處

在測度論裏 ， 若說一個性質爲幾乎處處成立 ， 即表示不符合此性質的元素組成的集合爲一零測集 ， 即其測度等於零的集合 。 當使用在實數的性質上時 ， 若沒有另外提起則假定爲勒貝格測度 。 一個有全測度的集合是一個其補集爲零測度的集合 。 除了說一個性質幾乎處處成立之外 ， 偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的 ， 即使幾乎所有這一詞有著其他的意義 。 下面是包含有 「 幾乎處處 」 這一詞的一些定理 ： 若: → 爲一勒貝格可積函數且幾乎處處大於零 ， 則 。 若: → 爲一單調函數 ， 則幾乎處處可微 。 當: → 爲勒貝格可積且對所有實數 ， 則存在一零集E （ 根據 ） 使得若不在內 ， 其勒貝格平均 便會收斂至 ， 當ε趨向至零時 。 換句話說 ， 的勒貝格平均幾乎處處收斂至 。 集合E則稱爲的勒貝格集合 ， 且可以證明爲零測度的 。 若在上爲博雷爾可測的 ， 則對幾乎所有 ， 函數 → 爲博雷爾可測的 。 一有界函數: - > 爲黎曼可積的 ， 若且唯若其爲幾乎處處連續的 。 在實分析之外 ， 「 幾乎處處 」 一詞可以用極大濾子定義 。 例如在超實數的建構中 ， 一個超實數被定義爲相對於某一濾子幾乎處處相等的等價類 。 在抽象代數及其相關領域中 ， 「 幾乎處處 」 通常指某性質只對給定集合中的有限個元素不成立 。 在概率論裏 ， 這一詞變成了 「 幾乎必然 」 ， 「 幾乎確定 」 或 「 幾乎總是 」 ， 相對於一爲1的概率 。