不變子空間問題

數學領域泛函分析中 ， 最著名的懸而未決的問題之一就是不變子空間問題 ， 有時被樂觀地稱爲不變子空間猜想 。 這個問題就是如下命題是否成立 ： 給定一個復希爾伯特空間H ， 其維度 > 1 ， 以及一個有界線性算子T: H → H ， 則H有一個非平凡閉T - 不變子空間 ， 也即存在一個H的閉線性子空間W ， 而且它不同於 { 0 } 和H ， 且使得T ( W ) ⊆ W 。 該命題對於所有2維以上有限維復向量空間是成立的 ： 一個線性算子 （ 矩陣 ） 的特徵值是其特徵多項式的零點 ； 根據代數基本定理 ， 這個多項式存在零點 ； 一個對應的特徵向量可以張成一個不變子空間 。 該命題也很容易成立如果W不必是閉的 ： 取任意H中非零向量x並考慮H的由 { T n ( x ): n ≥ 0 } 線性張成的子空間W. 雖然該猜想的一般情況未獲證明 ， 但已經可以列出命題成立的一些特殊情況 ： 在希爾伯特空間H可分的情況下該猜想相對比較容易證明 （ 也即 ， 如果它又一個不可數正交基 。 譜定理表明所有正則算子有不變子空間 。 每個緊算子有不變子空間 ， 由Aronszajn和Smith於1954年證明 。 緊算子理論在很多方面和有限維空間算子理論相類似 ， 所以該結果並不令人驚訝 。 波恩斯坦和洛賓遜於1966年證明若T n對於某個正整數n是緊緻的 ， 則T有不變子空間 。 V. I. 羅門諾所夫 （ Lomonosov ） 於1973年證明若T和某個非零緊算子可交換 ， 則T有不變子空間 。 近年來 ， 有些數學家試圖採用隨機矩陣理論來構造該猜想的反例 。 如果考慮巴拿赫空間而不是希爾伯特空間 ， 則該猜想不成立 ； P. Enflo於1975年給出了沒有非平凡不變子空間的有界算子的顯式例子 ， Charles Read於1984年也給出一個反例 。 但是 ， 該命題對於算子的特定類別是成立的 。 1964年 ， Louis de Branges發表了不變子空間猜想的可能證明 ， 但後來被發現是錯誤的 。 他最近在他的網站上發表了一個新的可能證明 ； 但他的證明還未經過同行評審 。