完備性

在數學及其相關領域中 ， 一個對象具有完備性  ， 即它不需要添加任何其他元素 ， 這個對象也可稱爲完備的或完全的 。 更精確地 ， 可以從多個不同的角度來描述這個定義 ， 同時可以引入完備化這個概念 。 但是在不同的領域中 ， “ 完備 ” 也有不同的含義 ， 特別是在某些領域中 ， “ 完備化 ” 的過程並不稱爲 “ 完備化 ” ， 另有其他的表述 ， 請參考代數閉域 、 緊化或哥德爾不完備定理 。 一個度量空間或一致空間被稱爲 “ 完備的 ” ， 如果其中的任何柯西列都收斂 ， 請參看完備空間 。 在泛函分析中 ， 一個拓撲向量空間的子集被稱爲是完全的 ， 如果的擴張在中是稠密的 。 如果是可分空間 ， 那麼也可以導出中的任何向量都可以被寫成中元素的 （ 有限或無限的 ） 線性組合 。 更特殊地 ， 在希爾伯特空間中 （ 或者略一般地 ， 在線性內積空間  中 ） ， 一組標準正交基就是一個完全而且正交的集合 。 一個測度空間是完全的 ， 如果它的任何零測集  的任何子集都是可測的 。 請查看完全測度空間  。 在統計學中 ， 一個統計量被稱 - { zh - cn: 完全的; zh - tw: 完備的; } - ， 如果不存在由其構造的非平凡的0的無偏估計量  。 在圖論中 ， 一個圖被稱爲完全的 ， 如果這個圖是無向圖 ， 並且任何兩個頂點之間都恰有一條邊連接 。 在範疇論 ， 一個範疇被稱爲完備的 ， 如果任何一個從小范疇到的函子都有極限 。 而它被稱爲上完備的 ， 如果任何函子都有一個上極限 。 請查看範疇論中的極限定義 。 在序理論和相關的領域中 ， 如格和疇 （ 域理論 ） 中 ， 全序性  一般是指對於偏序集存在某個特定的上確界或下確界 。 值得特別注意的是 ， 這個概念在特定的情況下也應用於完全布爾代數 ， 完全格和完全偏序 。 並且一個有序域被稱爲完全的 ， 如果它的任何在這個域中有上界的非空子集 ， 都有一個在這個域中的最小上界 ； 注意這個定義與序理論中的完全有界性  有細小的差別 。 在同構的意義下 ， 有且僅有一個完全有序域 ， 即實數 。 在數理邏輯 ， 一個理論被稱爲完備的 ， 如果對於其語言中的任何一個句子 ， 這個理論包括且僅包括或 。 一個系統是相容的 ， 如果不存在同時和非的證明 。 哥德爾不完備定理證明了 ， 包含皮亞諾公理的所有公理系統都是不可能既完備又 - { 相容 } - 的 。 下面還有一些邏輯中關於完備性的定義 。 在證明論和相關的數理邏輯的領域中 ， 一個形式的演算相對於一個特定的邏輯 （ 即相對於它的語義 ） 是完備的 ， 如果任何由一組前提根據語義導出的陳述 ， 都可以從這組前提出發利用這個演算語法地導出 。 形式地說 ， 導出 。 一階邏輯在這個意義下是完備的 。 特別地 ， 所有邏輯的重言式都可以被證明 。 即使在經典邏輯中 ， 這與前述的完備性是不同的 （ 即一個陳述和否定陳述對於這個邏輯而言不可能是重言式 ） 。 相反的概念被稱爲可靠性  。 在計算複雜度理論中 ， 一個問題對於一個複雜度類 ， 在某個給定類型的歸約下是完全的 （ 完備 ） ， 如果在中 ， 並且中的任何問題利用該歸約都可以化歸到 。 例如 ， NP完全問題在NP類和多項式時間和多對一歸約的意義下是完全的 。 Category: 數學術語 Category: 數理邏輯 Category: 證明論