射影幾何

在數學裏 ， 投影幾何 （ projective geometry ） 研究在投影變換下不變的幾何性質 。 與初等幾何不同 ， 投影幾何有不同的設定 、 射影空間及一套基本幾何概念 。 直覺上 ， 在一特定維度上 ， 投影空間比歐氏空間擁有 「 更多 」 的點 ， 且允許透過幾何變換將這些額外的點 （ 稱之爲無窮遠點 ） 轉換成傳統的點 ， 反之亦然 。 投影幾何中有意義的性質均與新的變換概念有關 ， 此一變換比透過變換矩陣或平移 （ 仿射變換 ） 表示的變換更爲基礎 。 對幾何學家來說 ， 第一個問題是要找到一個足以描述這個新的想法的幾何語言 。 不可能在投影幾何內談論角 ， 如同在歐氏幾何內談論一般 ， 因爲角並不是個在投影變換下不變的概念 ， 如在透視圖中所清楚看到的一般 。 投影幾何的許多想法來源來自於對透視圖的理論研究 。 另一個與初等幾何不同之處在於 ， 平行線可被認爲會在無窮遠點上交會 ， 一旦此一概念被轉換成投影幾何的詞彙之後 。 這個概念在直觀上 ， 正如同在透視圖上會看到鐵軌在水平線上交會一般 。 有關投影幾何在二維上的基本說明 ， 請見投影平面 。 雖然這些想法很早以前便已存在 ， 但投影幾何的發展主要還是到19世紀纔開始 。 大量的研究使得投影幾何變成那時幾何的代表學科 。 當使用複數的座標 （ 齊次座標 ） 時 ， 即爲研究之理論 。 一些更抽象的數學 （ 包括不變量理論 、 代數幾何義大利學派 ， 以及菲利克斯 · 克萊因那導致古典群誕生的愛爾蘭根綱領 ） 都建立在投影幾何之上 。 此一學科亦吸引了許多學者 ， 在綜合幾何 （ synthetic geometry ） 的旗幟之下 。 另一個從投影幾何之公理化研究誕生的領域爲有限幾何 。 投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域 ， 其中的兩個例子爲投影代數幾何 （ 研究投影簇 ） 及投影微分幾何 （ 研究投影變換的微分不變量 ） 。