霍普夫-裏諾定理

數學中 ， 霍普夫 - 裏諾定理 （ Hopf – Rinow theorem ） 是關於黎曼流形的測地完備性的一套等價命題 ， 以海因茨 · 霍普夫和他的學生維利 · 裏諾命名 。 定理如下 ： 設M是黎曼流形 ， 則下列命題等價 ： 的有界閉子集是緊的 。 是完備度量空間 。 是測地完備 ： 對中任意點 ， 指數映射可定義在整個切空間 。 而且 ， 以上任一條均可導出對於中任何兩點和 ， 存在連起兩點的測地線使長度最短 （ 測地線一般是極值 ， 不一定是最小值 ） 。