環論

抽象代數中 ， 環論  是針對一種稱爲環的代數結構之研究 ， 環類似可交換群 ， 有定義運算 「 + 」 ， 此外又定義另一種運算 「 · 」 （ 此處的 「 + 」 和 「 · 」 不一定是一般的加法及乘法 ， 但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質 ） 。 環論研究環的結構 、 環的 （ 或稱爲 ） 、 特殊的環 （ 例如群環 、 除環 、 泛包絡代數等 ） ， 也包括一些和環論有關的定理以及其應用 ， 例如同調代數 、 及 。 交換環是指其中運算 「 · 」 符合交換律的環 ， 本身比較容易理解 。 代數幾何及代數數論中有許多交換環的例子 ， 也帶動了交換環理論的發展 ， 這部份後來稱爲交換代數 ， 是現代數學中的主要領域之一 。 代數幾何 、 代數數論及交換代數在本質上連結的非常緊密 ， 因此有時很難去區分某特定數學原理屬於哪個領域 。 例如希爾伯特零點定理是代數幾何的基本定理 ， 但是陳述及證明時都是以交換代數的方式進行 。 而費馬大定理問題的形式是以基本的算術方式 （ 屬於交換代數的一部份 ） 呈現 ， 但其證明用到很深的代數幾何及代數數論 。 是指其中運算 「 · 」 不符合交換律的環 ， 會有一些和交換環不同的的特殊特性 。 非交換環此一數學概念本身也在進展 ， 而近來的也有一些研究將特定的非交換環以幾何的方式表示 ， 例如在 （ 不存在的 ） 非交換空間下的函數環 。 這種趨勢自1980年代開始發展 ， 也和量子群的出現同時 。 目前對非交換環已有多一些的認識 ， 尤其是非交換的諾特環 。 在 「 環 」 條目中 ， 有環的定義以及其基本的概念及性質 。