選擇公理

選擇公理 （ Axiom of Choice ， 縮寫AC ） 是數學中的一條集合論公理 。 這條公理聲明 ， 對所有非空可索引集合族 ， 總存在一個可索引集合 ， 對每一個 ， 均有 。 選擇公理最早於1904年 ， 由恩斯特 · 策梅洛爲證明良序定理而公式化完成 。 非正式地說 ， 選擇公理聲明 ： 給定一些盒子 （ 可以是無限個 ） ， 每個盒子中都含有至少一個小球 ， 那麼可以作出這樣一種選擇 ， 使得可從每個盒子中恰好選出一個小球 。 在很多情況下這樣的選擇可不借助選擇公理 ； 尤其是在 “ 盒子個數有限 ” 和 “ 存在具體的選擇規則 ” （ 當每個盒子都恰好只有一個小球具有某項特徵 ） 這兩種情況下 。 關於 “ 存在具體的選擇規則 ” 可以透過以下例子理解 ： 假設有許多 （ 甚至是無限 ） 雙鞋子 ， 則我們可以選取每雙鞋左邊的鞋子構成一個具體的選擇 ， 由於在鞋子之中 “ 存在具體的選擇規則 ” ， 故不需要選擇公理 ， 仍可做出有效的選擇 。 然而 ， 假設有無限雙襪子 ， 且每雙襪子都沒有可區分的特徵 ， 在這種情況下 ， 有效的選擇只能通過選擇公理得到 。 儘管曾具有爭議性 ， 選擇公理現在已被大多數數學家毫無保留地使用着 ， 例如帶有選擇公理的策梅洛 - 弗蘭克爾集合論 （ ZFC ） 。 數學家們使用選擇公理的原因是 ， 有許多被普遍接受的數學定理 ， 比如是吉洪諾夫定理 ， 都需要選擇公理來證明 。 現代的集合論學家也研究與選擇公理相矛盾的公理 ， 例如決定公理 。 在一些構造性數學的理論中會避免選擇公理的使用 ， 不過也有的將選擇公理包括在內 。