超限數

超限數是大於所有有限數 （ 但不必爲絕對無限 ） 的基數或序數 ， 分別叫做超窮基數  和超窮序數  。 術語 「 超限 」 （ transfinite ） 是康托爾提出的 ， 他希望避免詞語無限 （ infinite ） 和那些只不過不是有限 （ finite ） 的那些對象有關的某些暗含 。 當時其他的作者少有這些疑惑 ； 現在被接受的用法是稱超限基數或序數爲無限的 。 但是術語 「 超限 」 仍在使用 。 超窮序數可以確定超窮基數 ， 並導出阿列夫數序列 。 對於有限數 ， 有兩種方式考慮超限數 ， 作爲基數和作爲序數 。 不像有限基數和序數 ， 超限基數和超限序數定義了不同類別的數 。 最小超限序數是ω 。 第一個超限基數是aleph - 0 ， 整數的無限集合的勢 。 如果選擇公理成立 ， 下一個更高的基數是aleph - 1 。 如果不成立 ， 則有很多不可比較於aleph - 1並大於aleph - 0的其他基數 。 但是在任何情況下 ， 沒有基數大於aleph - 0並小於aleph - 1 。 連續統假設聲稱在aleph - 0和連續統 （ 實數的集合 ） 的勢之間沒有中間基數 ： 就是說 ， aleph - 1是實數集合的勢 。 已經在數學上證實了連續統假設不能被證明爲真或假 ， 由於不完備性的影響 。 某些作者 ， 比如Suppes 、 Rubin使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢 ， 在可以不等於無限基數的上下文中 ； 就是說在不假定可數選擇公理成立的上下文中 。 給定這個定義 ， 下列是等價的 ： 是超限基數 。 就是說有一個戴德金無限集合A使得A的勢是 。 。 。 有一個基數使得 。