基數指派

在集合論中 ， 勢的概念可以有相當的發展 ， 而無需藉助於定義基數爲理論自身內的對象 （ 這實際上是弗雷格採用的觀點 ； 弗雷格基數基本上是指在等勢關係下 ， 由在全集中的集合所組成的各個等價類 ） 。 勢的概念可以依據函數的單射 、 雙射與滿射概念來闡述 ； 比如透過單射 ， 可以給出在整個全集上通過大小比較的預序關係 是單射 。 它不是真的排序 ， 因爲三分律不一定成立 ： 如果 和 都爲真 ， 則通過 康托爾 - 伯恩斯坦 - 施羅德定理 爲真 ， 就是說 A 和 B 是等勢的 ， 但作爲集合它們可以不是相等的 ； “ 三者至少一種情況成立 ” 這一陳述等價於選擇公理 。 不過多數關於勢和它的算術的有趣結果可以只通過 = c 來表達 。 基數指派的目標是把每個集合 A 指派到特定的唯一的一個集合 ， 所指派的集合只取決於 A 的勢 。 這跟康托爾最初對基數的設想是一致的 ： 取一個集合並把它的元素抽象爲規範 “ 單位 ” ， 再把這些單位收集到另一個集合中 ， 使得有關這個集合唯一特殊的事情是它的大小 。 這類集合在 下會是全序的 ， 而 = c 會變成真正的等號 。 不過 ， 如 Y. N. Moschovakis 所說 ， 這只是作爲體現數學簡潔性的一個練習 ， 你不會得到更多東西除非你 “ 對下標過敏 ” 。 但是在集合論的各種模型中 ， 有 “ 真實 ” 基數的各種有價值的應用 。 在現代集合論中 ， 我們通常使用馮 · 諾伊曼基數指派 ， 它使用序數的理論與選擇公理和替代公理的全部能力 。 基數指派需要完全的選擇公理 ， 如果我們想要像樣的基數算術和對所有集合的基數指派 。