群子集的乘積

在數學 ， 若S和T爲群G的子集 ， 則其乘積爲G的子集 ， 其定義爲 其中 ， S和T不必然需要是子群 。 其乘積的結合律源自群的結合律 。 因此 ， 群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然麼半群結構 。 即使S和T爲G的子群 ， 其乘積也不必然會是個子群 。 其乘積爲子群若且唯若ST = TS 。 在這一情形之下 ， ST會是個由S和T生成出的群 ， 即ST = TS = < S ∪ T > 。 若S或T有一是G的正規子群 ， 上述情形便會滿足 ， ST會是個子群 。 設S是正規子群 ， 則根據第二同構定理 ， S ∩ T是T的正規子群且ST / S 同構於 T / ( S ∩ T ) 。 若G爲一有限群 ， 且S和T爲G的子群 ， 則ST的元素個數可由乘積公式給定 ： 即使S和T都不是正規子群 ， 上述公式也一樣適用 。 特別地 ， 如果S和T的交集僅爲單位元 ， 那麼ST的每一個元素都可以唯一地表示爲乘積st ， 其中s位於S內 ， t位於T內 。 如果 S和T還是可交換的 ， 那麼ST就是一個群 ， 稱爲扎帕 - 塞普乘積 。 更進一步 ， 如果S或T在ST中正規 ， 那麼ST便稱爲半直積 。 最後 ， 如果S和T都在ST中正規 ， 那麼ST便稱爲直積 。