變分法

變分法是處理泛函的數學領域 ， 和處理函數的普通微積分相對 。 譬如 ， 這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造 。 變分法最終尋求的是極值函數 ： 它們使得泛函取得極大或極小值 。 有些曲線上的經典問題採用這種形式表達 ： 一個例子是最速降線 ， 在重力作用下一個粒子沿着該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B 。 在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式 。 變分法的關鍵定理是歐拉 － 拉格朗日方程 。 它對應於泛函的臨界點 。 在尋找函數的極大和極小值時 ， 在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似 。 它不能分辨是找到了最大值或者最小值 （ 或者都不是 ） 。 變分法在理論物理中非常重要 ： 在拉格朗日力學中 ， 以及在最小作用量原理在量子力學的應用中 。 變分法提供了有限元方法的數學基礎 ， 它是求解邊界值問題的強力工具 。 它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用 。 而在純數學中的例子有 ， 黎曼在調和函數中使用狄利克雷原理 。 同樣的材料可以出現在不同的標題中 ， 例如希爾伯特空間技術 ， 莫爾斯理論 ， 或者辛幾何 。 變分一詞用於所有極值泛函問題 。 微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域 。 極小曲面 （ 肥皂泡 ） 上也有很多研究工作 ， 稱爲普拉託問題 。