貝塞爾函數

貝塞爾函數  ， 是數學上的一類特殊函數的總稱 。 通常單說的貝塞爾函數指第一類貝塞爾函數  。 一般貝塞爾函數是下列常微分方程 （ 一般稱爲貝塞爾方程 ） 的標準解函數 ： 該方程的通解無法用初等函數表示 。 由於貝塞爾微分方程是二階常微分方程 ， 需要由兩個獨立的函數來表示其標準解函數 。 典型的是使用第一類貝塞爾函數和第二類貝塞爾函數來表示標準解函數 ： 注意 ， 由於 在 x = 0 時候是發散的 （ 無窮 ） ， 當取 x = 0 時 ， 相關係數 必須爲0時 ， 才能獲得有物理意義的結果 。 貝塞爾函數的具體形式隨上述方程中任意實數或複數α變化而變化 （ 相應地 ， α被稱爲其對應貝塞爾函數的階數 ） 。 實際應用中最常見的情形爲α是整數n ， 對應解稱爲n 階貝塞爾函數 。 儘管在上述微分方程中 ， α本身的正負號不改變方程的形式 ， 但實際應用中仍習慣針對α和 − α定義兩種不同的貝塞爾函數 （ 這樣做能帶來好處 ， 比如消除了函數在α = 0 點的不光滑性 ） 。 貝塞爾函數也被稱爲柱諧函數 、 圓柱函數或圓柱諧波 ， 因爲他們是於拉普拉斯方程在圓柱座標上的求解過程中被發現的 。