懷特海問題

懷特海問題 ， 是群論的一個重要問題 ， 由美國數學家約翰 · 懷特海在1950年代提出 。 給定環上的模 ， 投射模以及正合列其中第一個箭頭由單同態實現 ， 記 ， 這裏是由自然導出的從到的同態 。 如果是整數環 ， 則我們省去下標 。 注意任何一個阿貝爾群都可以看成一個整數模 。 可以證明一個模是投射模當且僅當對於所有的模 每一個自由模都是投射模 。 同調代數中一個經典定理說如果是主理想整環 ， 那麼每一自由模的子模也是自由的 。 特別地 ， 整數環上的所有自由模的子模都是自由的 。 因爲每一個投射模都是自由模的子模 ， 所以上的投射模和自由模是一致的 。 懷特海問題是同調代數中一個基本問題 ， 其表述如下 ： 給定阿貝爾群A ， 當且僅當A是自由的 。 因此懷特海問題可以看作上自由模的一個判別法則 。 在ZFC下可以證明如果A是可數的阿貝爾群 ， 那麼懷特海問題是正確的. Shelah於1974年證明了如果 （ 即可構成公理成立 ） ， 那麼對每一個基數爲的阿貝爾群 ， 懷特海問題是對的 。 同時 ， 如果馬丁公理成立並且連續統假設不成立 ， 那麼存在一個基數爲的阿貝爾群使得懷特海問題是錯的 。 最終地 ， Shelah於1975年證明了如果 ， 那麼懷特海問題對於所有阿貝爾群成立 。 H Category: 數學問題 Category: 獨立結果