活動標架法

數學上 ， 光滑流形上的標架可以理解爲從一點到一點變化的標架 。 給定一個這樣的流形M和一個其中的點P ， 在P點的一個標架表示一個M在P點的切空間的向量空間基底 。 也就是說 ， 若M維數爲n ， 我們給定n個切向量t1, ..., tn ， 屬於M在P的切空間 ， 而且線性獨立 。 在P的某個鄰域U的一個活動標架要求我們給定 T1, ..., Tn 每個都是定義在U上的向量場 ， 全都假設爲作爲Q的函數在U中光滑 ， 並且在每一點Q線性無關 （ 爲簡單起見假設M處處維數爲n ） 。 用非常一般的術語來講 ， 這樣一個活動標架是廣義相對論中的一個觀測者的要求 ， 在那裏每個從P到附近點的連續對ti的選擇都是平等的 。 而狹義相對論中 ， M被取爲一個四維的向量空間V 。 在那種情況下 ， ti可以簡單的從P平移到其它點Q 。 在相對論和黎曼幾何中 ， 最重要的活動標架是正交和單位正交標架 ， 也就是在每一點 （ 單位長度的 ） 互相垂直的向量的有序集 。 在給定一點P可以通過正交化將任意標架變成正交 ； 事實上 ， 這可以以光滑的方式達到 ， 因而一個活動標架的存在也就隱含了活動正交標架的存在 。 活動標架在M上局部的存在性是很顯然的 ， 這可以由流形的切叢是一個向量叢 ， 需要滿足局部平凡的條件得到 ； 但是在M上的全局存在性要求拓撲條件的滿足 。 例如 ， 當M是一個圓圈 ， 或者是一個環 ， 這樣的標架存在 ； 但是當M是一個二維球時卻不存在 。 存在一個全局活動標架的流形稱爲可平行化的 ， 其等價於M的切叢TM是平凡的 。 注意 ， 例如將緯度和經度的單位方向作爲地球表面上的活動標架在北極和南極會有問題 。 埃裏 · 嘉當的活動標架法基於對於所研究的特定問題取一個相應的活動標架 。 例如 ， 給定一個空間中的曲線 ， 曲線的前三個導數通常可以給出其上一點一個標架 ( 參看定量的形式參看撓率 - 它假設撓率非0 ） 。 更一般地 ， 活動標架的抽象含義是將切叢作爲一個向量叢時 ， 其伴隨叢主叢GLn的一個截面 。 一般的嘉當方法利用了這點 ， 並在嘉當聯絡中討論 。 對於球面只有 、 和是可平行化的 ， 其中和的可平行化性質可以從他們拓撲等價於李群和看出 。 光滑李群的切叢光滑同胚於李群本身與李代數的直積 ， 因此必然是平凡的 。 H H