切消定理

切消定理 （ cut - elimination theorem ( or Gentzen's Hauptsatz ) ） 是確立相繼式演算重要性的主要結果 。 它最初由格哈德 · 根岑在他的劃時代論文 《 邏輯演繹研究 》 對分別形式化直覺邏輯和經典邏輯的系統LJ和LK做的證明 。 切削定理聲稱在相繼式演算中 ， 擁有利用了切規則的證明的任何判斷 ， 也擁有無切證明 ， 就是說 ， 不利用切規則的證明 。 相繼式是與多個句子有關的邏輯表達式 ， 形式爲 " " ， 它可以被讀做 " A, B, C, 證明N, O, P " ， 並且 （ 按Gentzen的註釋 ） 應當被理解爲等價於真值函數 " 如果 （ A & B & C ） 那麼 （ N or O or P ） " 。 注意LHS （ 左手端 ） 是合取 （ and ） 而RHS （ 右手端 ） 是析取 （ or ） 。 LHS可以有任意多個公式 ； 在LHS爲空的時候 ， RHS是重言式 。 在LK中 ， RHS也可以有任意數目的公式 -- 如果沒有 ， 則LHS是個矛盾 ， 而在LJ中 ， RHS只能沒有或有一個公式 ： 在右緊縮規則前面 ， 允許RHS有多於一個公式 ， 等價於容許排中律 。 注意 ， 相繼式演算是相當有表達力的框架 ， 已經爲直覺邏輯提議了允許RHS有多個公式的相繼式演算 ， 而來自Jean - Yves Girard的邏輯LC得到了RHS最多有一個公式的經典邏輯的更加自然的形式化 ； 邏輯和結構規則的相互作用是它的關鍵 。 " 切 " 是在相繼式演算的正規陳述中的一個規則 ， 並等價於在其他證明論中的規則變體 ， 給出 （ 1 ） 和 （ 2 ） 你可以推出 （ 3 ） 就是說 ， 在推論關係中 " 切掉 " 公式 " C " 的出現 。 切消定理聲稱 （ 對於一個給定的系統 ） 使用切規則的任何相繼式證明也可以不使用這個規則來證明 。 如果我們認爲是一個定理 ， 則切消簡單的聲稱用來證明這個定理的引理可以被內嵌 （ inline ） 。 在這個定理的證明提及引理的時候 ， 我們可以把它代換爲的證明 。 因此 ， 切規則是可接納的 。 對於用相繼式公式化的系統 ， 分析性證明是不使用切規則的證明 。 這種證明典型的會很長 ， 當然沒有必要這麼做 。 在散文 《 不要消除切呀! 》 中 ， George Boolos展示了可以使用切在一頁中完成的推導 ， 而它的分析性證明要耗盡宇宙的壽命來完成 。 這個定理有很多豐富的推論 。 一旦一個系統被證明有切消定理 ， 這個系統通常立即就是一致的 。 這個系統通常也有子公式性質 ， 這是達成證明論語義的重要性質 。 切削是證明插值定理的最強力工具 。 基於歸結原理的完成證明查找的可能性 ， 導致Prolog編程語言的本質洞察 ， 依賴於在適當的系統中接納切規則 。