傅里葉分析

傅里葉分析 ， 是數學的一個分支領域 。 它研究如何將一個函數或者信號表達爲基本波形的疊加 。 它研究並擴展傅里葉級數和傅里葉變換的概念 。 基本波形稱爲調和函數 ， 調和分析因此得名 。 在過去兩個世紀中 ， 它已成爲一個廣泛的主題 ， 並在諸多領域得到廣泛應用 ， 如信號處理 、 量子力學 、 神經科學等 。 定義於Rn上的經典傅里葉變換仍然是一個十分活躍的研究領域 ， 特別是在作用於更一般的對象 （ 例如緩增廣義函數 ） 上的傅里葉變換 。 例如 ， 如果在函數或者信號上加上一個分佈f ， 我們可以試圖用f的傅里葉變換來表達這些要求 。 Paley - Wiener定理就是這樣的一個例子 。 Paley - Wiener定理直接蘊涵如果f是緊支撐的一個非零分佈 ， （ 這包含緊支撐函數 ） ， 則其傅里葉變換從不擁有緊支撐 。 這是在調和分析下的測不準原理的一個非常初等的形式 。 參看經典調和分析 。 在希爾伯特空間 ， 傅里葉級數的研究變得很方便 ， 該空間將調和分析和泛函分析聯繫起來 。