選擇函數

選擇函數是一個函數f ， 其定義域X爲一堆非空集合組成的集合 ， 且對每一個在X內的S ， 均有f ( S ) ∈ S 。 換句話說 ， f會在X的每一集合中恰好選取一個元素 。 選擇公理 （ AC ） 斷言 ， 每一非空集合組成的集合都會有一選擇函數 。 另一較弱的選擇公理 － 可數選擇公理 （ CC ） 則斷言每一非空集合組成的可數集合都會有一選擇函數 。 但無論如何 ， 即使沒有AC或CC ， 某些集合還是可以有選擇函數 。 若X爲一非空集合組成的有限集合 ， 則可以建立一選擇函數 ， 由每一個X的元素內選取一個元素 。 這隻需要做有限多次的選擇 ， 所以不需要用到AC或CC 。 若X的每一元素都是非空的良序集 ， 則可以由每一個X的元素中選取其極小元 。 如此 ， 或許需要有無限多次的選擇 ， 但我們有明確的選擇規則 ， 所以也不需要AC或CC 。 分辨 「 良序 」 和 「 可良序 」 是很重要的 ： 當X的元素都是可良序的 ， 那麼我們需要選取每一元素的一良序 ， 而這又可能需要無限多次隨意的選擇 ， 因此需要有AC （ 或CC ， 若X爲可數無限 ） 。 若X的每一元素都是非空集合 ， 且其聯集爲可良序的 ， 則有可能可以選擇一此聯集的良序 ， 且給X內每一元素誘導出相應的良序 ， 如此一個選擇函數就可以如前述例子一樣地存在 。 在此一例子裏 ， 可以只做一次選擇便決定X內每一元素的良序 ， 故不需要AC或CC 。 （ 此一例子表示出若良序定理成立 ， 即每一集合若皆可良序的話 ， 則AC成立 。 其逆命題亦爲真 ， 但並不那麼顯然 。 ）