有單位的

在數學裏 ， 一代數結構是有單位的  ， 當它含有一乘法單位元素 ， 即含有一元素 1 ， 對所有此代數結構內的元素 x ， 有 1x = x1 = x 的性質 。 上述說法和一代數結構爲乘法上的幺半群的說法是等價的 。 和所有的麼半群一樣 ， 其乘法單位元也是唯一的 。 大部份在抽象代數內被考慮的結合代數 ， 如群代數 、 多項式代數和矩陣代數等都是有單位的 ， 當環被假設必須如此時 。 大部份在數學分析內被考慮之函數的代數都沒有單位 ， 例如平方可積函數 （ 於無界定義域內 ） 的代數和於無限會降至零之函數的代數 ， 尤其是在某些 （ 非緊 ） 集合上具有支集的函數 。 給定兩個單作代數A和B ， 一代數同態 f: A → B 爲有單位的當其映射 A 的單位元映爲 B 的單位元 。 若數域 K 上的結合代數 A 沒有單位 ， 可如下加入一單位元 ： A × K爲K - 向量空間且如下定義乘法 * ， ( x, r ) * ( y, s ) = ( xy + sx + ry, rs ) 其中 x 和 y 爲 A 的元素及 r 和 s 爲 K 的元素 。 然後 ， * 將爲有單位元 ( 0,1 ) 的結合運算 。 舊代數 A 包含於新代數內 ， 且 A × K 成爲是包含 A 的最一般的有單位代數 ， 在泛性質的意思之下 。 根據環理論術語 ， 一般假定乘法單位元存在於任一環內 。 依此假定 ， 所有的環都會有單位 ， 且所有的環同態也會是有單位 ， 且 （ 結合 ） 代數有單位若且唯若其爲環 。 作者若不把環當做都有乘法單位元 ， 會把有乘法單位元的環稱做有單位環 （ 幺環 ） ， 且把環單位元如單位元般作用在其上的模稱做有單位模 （ 幺模 ） 。