特徵值和特徵向量

在數學上 ， 特別是線性代數中 ， 對於一個給定的方陣 ， 它的特徵向量 （ eigenvector ， 也譯固有向量 、 本徵向量 ） 經過這個線性變換之後 ， 得到的新向量仍然與原來的 保持在同一條直線上 ， 但其長度或方向也許會改變 。 即 ， 爲純量 ， 即特徵向量的長度在該線性變換下縮放的比例 ， 稱 爲其特徵值 （ eigenvalue ， 也譯固有值 、 本徵值 ） 。 如果特徵值爲正 ， 則表示 在經過線性變換的作用後方向也不變 ； 如果特徵值爲負 ， 說明方向會反轉 ； 如果特徵值爲0 ， 則是表示縮回零點 。 但無論怎樣 ， 仍在同一條直線上 。 圖1給出了一個以著名油畫 《 蒙娜麗莎 》 爲題材的例子 。 在一定條件下 （ 如其矩陣形式爲實對稱矩陣的線性變換 ） ， 一個變換可以由其特徵值和特徵向量完全表述 ， 也就是說 ： 所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底 。 一個特徵空間 （ eigenspace ） 是具有相同特徵值的特徵向量與一個同維數的零向量的集合 ， 可以證明該集合是一個線性子空間 ， 比如 即爲線性變換 中以 爲特徵值的特徵空間 。 這些概念在純數學和應用數學的衆多領域中都有重要的應用 。 在線性代數和泛函分析之外 ， 甚至在一些非線性的情況下 ， 這些概念都是十分重要的 。 「 特徵 」 一詞譯自德語的eigen ， 由希爾伯特在1904年首先在這個意義下使用 （ 赫爾曼 · 馮 · 亥姆霍茲在更早的時候也在類似意義下使用過這一概念 ） 。 eigen一詞可翻譯爲 “ 自身的 ” ， “ 特定於 ... 的 ” ， “ 有特徵的 ” 或者 “ 個體的 ” — 這強調了特徵值對於定義特定的變換上是很重要的 。