蝴蝶定理

蝴蝶定理 （ Butterfly theorem ） ， 是古典歐氏平面幾何的最精彩的結果之一 。 蝴蝶定理最先是作爲一個徵求證明的問題 ， 這個命題最早出現在1815年 ， 而 “ 蝴蝶定理 ” 這個名稱最早出現在 《 美國數學月刊 》 1944年2月號 ， 題目的幾何圖形象一隻蝴蝶 ， 便以此命名 。 這個定理的證法多得不勝枚舉 ， 至今仍然被數學熱愛者研究 ， 在考試中時有出現各種變形 。 最基本的敘述爲 ： 設M爲圓內弦PQ的中點 ， 過M作弦AB和CD 。 設AD和BC各相交PQ於點X和Y ， 則M是XY的中點 。 這個命題最早作爲一個徵解問題出現在公元1815年英國的一本雜誌 《 男士日記 》 （ Gentleman's Diary ） 39 - 40頁上 。 登出的當年, 英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納 （ 他發明了多項式方程近似根的霍納法 ） 給出了第一個證明 ， 完全是初等的 ； 另一個證明由理查德 · 泰勒 （ Richard Taylor ） 給出 。 一種早期的證明由M.布蘭德 （ Miles Bland ） 在 《 幾何問題 》 （ 1827年 ） 一書中給出 。 最爲簡潔的證法是射影幾何的證法 ， 由英國的J · 開世在 " A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid " （ 中譯 ： 近世幾何學初編 ， 李儼譯 ， 上海商務印書館 1956 ） 給出 ， 只有一句話 ， 用的是線束的交比 。 1981年 ， Crux雜誌刊登了K.薩蒂亞納拉亞納 （ Kesirajn Satyanarayana ） 用解析幾何的一種比較簡單的方法 （ 利用直線束 ， 二次曲線束 ） 。 該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況 ， 有多種推廣 ： M ， 作爲圓內弦是不必要的 ， 可以移到圓外 。 圓可以改爲任意圓錐曲線 。 將圓變爲一個完全四角形 ， M爲對角線交點 。 去掉中點的條件 ， 結論變爲一個一般關於有向線段的比例式 ， 稱爲 “ 坎迪定理 ” ， 不爲中點時滿足:, 這對2 ， 3均成立 。