代數基本定理

代數基本定理說明 ， 任何一個一元復係數多項式方程都至少有一個複數根 。 也就是說 ， 複數域是代數封閉的 。 有時這個定理表述爲 ： 任何一個非零的一元n次復係數多項式 ， 都正好有n個複數根 （ 重根視爲多個根 ） 。 這似乎是一個更強的命題 ， 但實際上是 “ 至少有一個根 ” 的直接結果 ， 因爲不斷把多項式除以它的線性因子 ， 即可從有一個根推出有n個根 。 也就是說 ， 任何一個n次多項式 ， 都可以因式分解爲n個復係數一次多項式的乘積 。 儘管這個定理被命名爲 “ 代數基本定理 ” ， 但它還沒有純粹的代數證明 ， 許多數學家都相信這種證明不存在 。 另外 ， 它也不是最基本的代數定理 ； 因爲在那個時候 ， 代數基本上就是關於解實係數或復係數多項式方程 ， 所以才被命名爲代數基本定理 。 高斯一生總共對這個定理給出了四個證明 ， 其中第一個是在他22歲時 （ 1799年 ） 的博士論文中給出的 。 高斯給出的證明既有幾何的 ， 也有函數的 ， 還有積分的方法 。 高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性 ， 開創了關於研究存在性命題的新途徑 。 同時 ， 高次代數方程的求解仍然是一大難題 。 伽羅瓦理論指出 ， 對於一般五次以及五次以上的方程 ， 不存在一般的代數解 。