等周定理

等周定理 ， 又稱等周不等式 （ isoperimetric inequality ） ， 是一個幾何中的不等式定理 ， 說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係 。 其中的 “ 等周 ” 指的是周界的長度相等 。 等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中 ， 以圓形的面積最大 ； 另一個說法是面積相等的幾何形狀之中 ， 以圓形的周界長度最小 。 這兩種說法是等價的 。 它可以以不等式表達 ： 若爲封閉曲線的周界長 ， 爲曲線所包圍的區域面積 ， 。 雖然等周定理的結論早已爲人所知 ， 但要嚴格的證明這一點並不容易 。 首個嚴謹的數學證明直到19世紀纔出現 。 之後 ， 數學家們陸續給出了不同的證明 ， 其中有不少是非常簡單的 。 等周問題有許多不同的推廣 ， 例如在各種曲面而不是平面上的等周問題 ， 以及在高維的空間中給定的 “ 表面 ” 或區域的最大 “ 邊界長度 ” 問題等 。 在物理中 ， 等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關 。 一個直觀的表現就是水珠的形狀 。 在沒有外力的情況下 （ 例如失重的太空艙裏 ） ， 水珠的形狀是完全對稱的球體 。 這是因爲當水珠體積一定時 ， 表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值 。 根據等周定理 ， 最小值是在水珠形狀爲球狀時達到 。