五次方程

五次方程是一種最高次數爲五次的多項式方程 。 本條目專指只含一個未知數的五次方程 （ 一元五次方程 ） ， 即方程形如 其中 ， a 、 b 、 c 、 d 、 e和f爲複數域內的數 ， 且a不爲零 。 例如 ： 尋找五次方程的解一直是個重要的數學問題 。 一次方程和二次方程很早就找到了公式解 ， 經過數學家們的努力 ， 後來三次方程及四次方程也有了解答 ， 但是之後很長的一段時間裏沒有人知道五次方程是否存在公式解 。 相形之下 ， 解五次方程顯得格外的困難 。 後來 ， 保羅 · 魯菲尼和尼爾斯 · 阿貝爾證明了一般的五次方程 ， 不存在統一的根式解 （ 即由方程的係數通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解 ） 。 認爲一般的五次方程沒有公式解存在的看法其實是不正確的 。 事實上 ， 利用一些超越函數 ， 如Θ函數或戴德金η函數即可構造出五次方程的公式解 。 另外 ， 若只需求得數值解 ， 可以利用數值方法 （ 如牛頓法 ） 得到相當理想的解答 。 證明一般五次及其以上的一元多項式方程無根式解的人是埃瓦里斯特 · 伽羅瓦 ， 他巧妙地利用群論處理了上述的問題 。