單元素集合

數學上 ， 單元素集合是由唯一一個元素組成的集合 。 例如 ， 集合 { 0 } 是個單元素集合 。 注意 ， 集合諸如 也是單元素集合 ， 唯一的元素是一個集合 （ 這個集合可能本身不是單元素集合 ） 。 一個集合是單元素集合 ， 當且僅當它的基數爲1 。 在自然數的集合論定義中 ， 數字 1 就是定義爲單元素集合 { 0 } 。 在公理集合論中 ， 單元素集合的存在性是空集公理和對集公理的結果 ： 前者產生了空集 { } ， 後者應用於對集 { } 和 { } ， 產生了單元素集合 。 若 A 是任意集合 ， S 是單元素集合 ， 則存在唯一一個從 A 到 S的函數 ， 該函數將所有 A 中的元素映射到 S 的單元素 。 在範疇論中 ， 單元素集合上構建的結構通常作爲終對象或零對象 ： 上述說明所有單元素集合 S 都是集合範疇的終對象 。 該範疇中沒有其它終對象 。 任意單元素集合都能夠轉化成拓撲空間 （ 所有子集都是開集 ） 。 這些單元素拓撲空間是拓撲空間範疇的終對象 。 該範疇中沒有其它終對象 。 任意單元素集合都能夠轉化成群 （ 唯一的元素作爲單位元 ） 。 這些單元素是群範疇的零對象 。 群範疇中沒有其它零對象或終對象 。