希爾伯特空間

在數學裏 ， 希爾伯特空間 （ Hilbert space ） 即完備的內積空間 ， 也就是一個帶有內積的完備向量空間 。 希爾伯特空間是有限維歐幾里得空間的一個推廣 ， 使之不侷限於實數的情形和有限的維數 ， 但又不失完備性 （ 而不像一般的非歐幾里得空間那樣破壞了完備性 ） 。 與歐幾里得空間相仿 ， 希爾伯特空間也是一個內積空間 ， 其上有距離和角的概念 （ 及由此引申而來的正交性與垂直性的概念 ） 。 此外 ， 希爾伯特空間還是一個完備的空間 ， 其上所有的柯西序列會收斂到此空間裏的一點 ， 從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中 。 希爾伯特空間爲基於任意正交繫上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式 ， 而這也是泛函分析的核心概念之一 。 希爾伯特空間是公設化數學和量子力學的關鍵性概念之一 。