階乘

在數學中 ， 正整數的階乘 （ Factorial ） 是所有小於等於該數的正整數的積 ， 計爲 ， 例如5的階乘表示爲 ， 其值爲120 ： 並定義 ， 1的階乘和0的階乘都爲1 ， 其中0的階乘表示一個空積 。 1808年 ， 基斯頓 · 卡曼引進這個表示法 ： ， 符號表示連續乘積 ， 亦即n! = 1 × 2 × 3 × ... × n 。 階乘亦可以遞迴方式定義 ： 0! = 1 ， n! = ( n - 1 )! × n 。 除了自然數之外 ， 階乘亦可定義於整個實數 （ 負整數除外 ） ， 其與伽瑪函數的關係爲 ： 階乘應用在許多數學領域中 ， 最常應用在組合學 、 代數學和數學分析中 。 在組合學中 ， 階乘代表的意義爲n個相異物件任意排列的數量 ， 例如前述例子 ， 其代表了5個相異物件共有120種排列法 。 在正整數的情形下 ， n的階乘又可以稱爲n的排列數 。