弗羅貝尼烏斯定理

弗羅貝尼烏斯定理指出 （ 光滑的情況 ） ： U爲Rn的開集 ， F是Ω1 ( U ) 的常數階r階的子模 。 則F可積當且僅當對每個p ∈ U莖 ( stalk ) Fp由r個恰當微分形式給出 。 幾何上來看 ， 它說每個1 - 形式的r階可積模和一個餘維爲r的層相同 。 這是研究向量場和層理論的基本工具之一 。 這個結論在解析1 - 形式和和樂情況下也成立 ， 但要把R換成C 。 它可以推廣到高階的微分形式 ， 在有些條件下 ， 也可以推廣到有奇點的情況 。 也有用向量場表達的定理 。 存在和如下向量場相切的V的子流形的充分條件 X1, X2, ..., Xr, 可以表達爲任意兩個場的李括號 [ Xi, Xj ] 包含在這些場撐成的空間中 。 因爲李括號可在子空間上取 ， 這個條件也是必要的 。 定理的這兩種表述是因爲李括號和外微分是相關的 。 上面最後這個表述可以用來表明向量場在流形上的可積性 。 定理的這個變種表明流形M上的任何光滑向量場X可以積分 ， 得到一個單參數族的曲線 。 這個可積性是因爲定義曲線的方程是一階常微分方程 ， 所以可積性有皮卡 - 林德洛夫定理保證 。