群

在數學中 ， 群 （ group ） 是由一種集合以及一個二元運算所組成的代數結構 ， 並且符合 “ 群公理 ” 。 很多熟知的數學結構比如數系統都遵從群公理 ， 例如整數配備上加法運算就形成一個群 。 如果將群公理的公式從具體的群和其運算中抽象出來 ， 就使得人們可以用靈活的方式來處理起源於抽象代數或其他許多數學分支的實體 ， 而同時保留對象的本質結構性質 。 群在數學內外各個領域中是無處不在的 ， 這使得它們成爲當代數學的中心原理 。 群與對稱性有密切的聯繫 。 例如 ， 對稱群描述了幾何體的對稱性 ： 它是保持物體不變的變換的集合 。 李群應用於粒子物理的標準模型之中 ； 龐加萊群也是李群 ， 能表達狹義相對論中的對稱性 ； 點群能幫助理解分子化學中的對稱現象 。 群的概念產生自多項式方程的研究 ， 由埃瓦里斯特 · 伽羅瓦在19世紀30年代開創 。 在得到來自其他領域如數論和幾何學的貢獻之後 ， 群概念在1870年左右形成並牢固建立 。 現代群論是非常活躍的數學學科 ， 有自己獨特的研究方法 。 爲了研究群 ， 數學家發明了各種概念來把群分解成更小的 、 更好理解的部分 ， 比如子群 、 商群和單群 。 除了它們的抽象性質 ， 群論還研究表示群的各種具體方式 （ 群表示論和計算群論 ） 。 對有限群已經發展出了特別豐富的理論 ， 這在2004年完成的有限簡單群分類中達到頂峯 。 從1980年代中葉以來 ， 將有限生成群作爲幾何對象來研究的幾何群論 ， 成爲了群論中一個特別活躍的分支 。