正規數

數學上 ， 粗略來說 ， 正規數 （ Normal Number ） 指 ， 數字顯示出隨機分佈 ， 且每個數字出現機會均等的實數 。 「 數字 」 指的是小數點前有限個數字 （ 整數部份 ） ， 以及小數點後無窮數字序列 （ 分數部份 ） 。 設b是大於1的整數 ， x是實數 。 考慮以b爲底的位值記數法中x的數字序列 。 若s是以b爲底的有限數字序列 ， 我們以N ( s, n ) 表示字串s在x的開首n個數字出現次數 。 數x稱爲以b爲底正規若對任意長度k的字串s 。 （ 即是說在x的數字中找到字串s的概率 ， 就像在完全隨機生成的數字序列中的一樣 。 ） x稱爲正規數 （ 有時稱爲絕對正規數 ， 如果以任何b爲底x都是正規 ） 。 這個概念是由埃米爾 · 博雷爾在1909年創造 。 用波萊爾 － 坎泰利引理 ， 他證明了正規數定理 ： 幾乎所有實數是正規的 ， 意思是非正規數集合的勒貝格測度爲0 。 這定理證明存在正規數 ， 但首先給出一個例子的是瓦茨瓦夫 · 謝爾賓斯基 （ Wacław Sierpiński ） 。 非正規數集合是不可數的 ， 這個結果容易得出 ， 想法是從每個實數中完全除去一個數字 。 錢珀瑙恩數 （ Champernowne ） 0.1234567891011121314151617 ... 是從連結所有自然數的數字而得出的數 ， 它以10爲底正規 ， 但可能在某些底不是正規 。 克柏蘭 - 爾杜斯常數 （ Copeland - Erdős ） 0.235711131719232931374143 ... 從連結所有質數的數字而得出的數 ， 也是以10爲底正規 。 無論在任何底下均沒有爲正規數的有理數 ， 因爲它們的數字序列最終會循環出現 。 瓦茨瓦夫 · 謝爾品斯基在1917年給出第一個明確構造的一個正規數 。 韋羅妮卡 · 比徹 （ Verónica Becher ） 和桑蒂亞戈 · 菲蓋拉 ( Santiago Figueira ) 構造一個正規數 ； 柴廷常數給出一個不可計算的正規數例子 。 要證明一個不是明確構造爲正規數的數的正規性非常困難 。 例如2的平方根 、 圓周率 （ 2000年時數學家證明了π的2進數 - 正規性可以由一個有關混沌理論的合理但尚未證明的猜想導出 ） 、 2的自然對數和e是否正規仍不知道 。 （ 但基於實驗證據 ， 猜想它們很可能是正規數 。 ） 證明仍遙不可及 ： 就連哪些數字在這些常數的10進表示法無窮次出現仍不知道 。 大衛 · 貝利 （ David H. Bailey ） 和理查德 · 克蘭德爾 （ Richard E. Crandall ） 在2001年猜想每個無理代數數是正規的 ， 雖沒有找到反例 ， 卻還沒有一個這樣的數被證明在每個底都是正規的 。