連續傅里葉變換

在數學中 ， 連續傅里葉變換是一個特殊的把一組函數映射爲另一組函數的線性算子 。 不嚴格地說 ， 傅里葉變換就是把一個函數分解爲組成該函數的連續頻率譜 。 在數學分析中 ， 信號的傅里葉變換被認爲是處在頻域中的信號 。 這一基本思想類似於其他傅里葉變換 ， 如週期函數的傅里葉級數 。 （ 參見分數階傅里葉變換得到概況 ） 假設是一個勒貝格可積的函數 。 我們定義其連續傅里葉變換也是一個複函數: 對任意實數 ， 爲角頻率 ， 爲複數 ， 並且是信號在該頻率成分處的相位和幅度 。 傅里葉變換是自反映射 ， 若 如上定義 ， 是連續的 ， 則對於任意實數 每個積分前的爲規範化因子 。 因子的選擇是主觀任意的 ， 只要滿足二者的乘積爲 ， 如上取法稱爲歸一化常數 。 另一種常見取法是前向方程和反向方程分別爲和 。 粗略估計 ， 數學家通常使用前者 （ 由於對稱的原因 ） ， 而物理學家和工程師們則常用後者 。 另外 ， 傅里葉座標有時可用來代替 ， 在頻率上積分 ， 這種情況下 ， 歸一化常數都變爲單位 。 另一個主觀的常規選擇是 ， 不管前向變換中的指數是還是 ， 只要滿足前向和反向方程中指數符號相反即可 。