實數

在數學中 ， 實數 （ real number ） 是有理數和無理數的總稱 ， 前者如 、 、 ； 後者如 、 等 。 實數可以直觀地看作小數 （ 有限或無限的 ） ， 它們能把數軸 「 填滿 」 。 但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體 。 實數和虛數共同構成複數 。 根據日常經驗 ， 有理數集在數軸上似乎是 「 稠密 」 的 ， 於是古人一直認爲用有理數即能滿足測量上的實際需要 。 以邊長爲公分的正方形爲例 ， 其對角線有多長 ？ 在規定的精度下 （ 比如誤差小於公分 ） ， 總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果 （ 比如公分 ） 。 但是 ， 古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現 ， 只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度 ， 這徹底地打擊了他們的數學理念 ； 他們原以爲 ： 任何兩條線段 （ 的長度 ） 的比 ， 可以用自然數的比來表示 。 正因如此 ， 畢達哥拉斯本人甚至有 「 萬物皆數 」 的信念 ， 這裏的數是指自然數  ， 而由自然數的比就得到所有正有理數 ， 而有理數集存在 「 縫隙 」 這一事實 ， 對當時很多數學家來說可謂極大的打擊 ； 見第一次數學危機 。 從古希臘一直到17世紀 ， 數學家們才慢慢接受無理數的存在 ， 並把它和有理數平等地看作數 ； 後來有虛數概念的引入 ， 爲加以區別而稱作 “ 實數 ” ， 意即 “ 實在的數 ” 。 在當時 ， 儘管虛數已經出現並廣爲使用 ， 實數的嚴格定義卻仍然是個難題 ， 以至函數 、 極限和收斂性的概念都被定義清楚之後 ， 才由十九世紀末的戴德金 、 康托爾等人對實數進行了嚴格處理 。 所有實數的集合則可稱爲實數系 （ real number system ） 或實數連續統 。 任何一個完備的阿基米德有序域均可稱爲實數系 。 在保序同構意義下它是惟一的 ， 常用表示 。 由於是定義了算數運算的運算系統 ， 故有實數系這個名稱 。