馬尤厄－嘉當形式

數學上 ， 一個李群G的Maurer - Cartan形式是一個特別的微分形式 ， 它包含關於這個李群的結構的基本的無窮小信息 。 它被埃裏 · 嘉當多次使用 ， 作爲他的移動標架法的基本組成 。 設是李群在幺元的切空間 。 G可以由左平移作用在自身 , 這個誘導出切叢到自身的一個映射 . 一個左移不變向量場是的一個截面 ， 使得 ∀ Maurer - Cartan形式 是在g值 ( 在g中取值 ) 的G上的1形式 ， 根據公式作用在向量上 。 若X是G上的左移不變向量場 ， 則在G爲常數 。 而且 ， 若X和Y都是左移不變 ， 則 其中左邊的括號爲向量場的李括號 ， 而右邊的括號爲李代數g的李括號 。 ( 這可以作爲g上的李括號的定義 。 ) 這些事實可以用來建立李代數的同構 G上的左移不變向量場. 根據微分的定義 ， 若X和Y爲任意向量場 ， 則 . 實用上 ， 若X和Y爲左移不變 ， 則 , 所以 但是左邊只是一個2 - 形式 ( 其值只和X, Y在一點的取值有關 ， 所以跟X, Y作爲場在周圍的變化無關 ) ， 所以方程不依賴於X和Y是左移不變的條件 。 所以這個方程對所有向量場X和Y成立 。 這被稱爲Maurer - Cartan方程. 如果G嵌入到GL ( n ， R ), 則可以把的公式顯式的寫成 若我們在李群G上引入主叢 ， 並把G上的左作用定義爲變換函數 ， 則聯絡形式是平坦的 。 實際上 和Maurer - Cartan方程完全一致 。 M M M