基_(線性代數)

在線性代數中 ， 基 （ 英文 ： basis ， 又稱基底 ) 是描述 、 刻畫向量空間的基本概念 。 向量空間的基是它的一個特殊的子集 ， 基的元素稱爲基向量 。 向量空間中任意一個元素 ， 都可以唯一地表示成基向量的線性組合 。 如果基中元素個數有限 ， 就稱向量空間爲有限維向量空間 ， 將元素的個數稱作向量空間的維數 。 通過基底可以直接地描述向量空間 。 比如說 ， 在討論一個向量空間上定義的線性變換時 ， 可以考察變換作用在的一組基上的效果 。 經此掌握 ， 就能瞭解到作用在中任意元素的效果 。 事實上 ， 不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底 。 這樣的空間稱爲無限維空間 。 某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基 。 在現代集合論中 ， 如果承認選擇公理 ， 就可以證明任何向量空間都擁有一組基 。 一個向量空間的基不止一組 ， 但同一個空間的兩組不同的基 ， 它們的元素個數或勢 （ 當元素個數是無限的時候 ） 會是相等的 。 一組基裏面的任意一部分向量都是線性無關的 ； 反之 ， 如果向量空間擁有一組基 ， 那麼在向量空間中取一組線性無關的向量 ， 一定能得到一組基 。 特別地 ， 在內積向量空間中 ， 可以定義正交的概念 。 通過特別的方法 ， 可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基 。