仿射聯絡

仿射聯絡是微分幾何中定義在流形上的幾何概念 ， 連接了鄰近幾點上的切空間 ， 使得在流形上的切向量場可以求導 。 仿射聯絡的概念起源於19世紀的幾何學和張量微積分 ， 但那時並沒有被完備的定義出來 。 直到1920年 ， 埃利 · 嘉當 （ 用於嘉當聯絡 （ Cartan connection ） 理論 ） 及赫爾曼 · 魏爾 （ 做爲廣義相對論的基礎理論 ） 。 這專門術語是源自嘉當 ， 其根據從歐幾里德空間Rn中切空間的推廣 。 換句話說 ， 仿射聯絡的概念是爲了推廣歐幾里德空間 ， 使得流形上每點都有一個光滑的 （ 可無限求導 ） 仿射空間 。 任何維數爲正數的流形都會有無窮個仿射聯絡 。 仿射聯絡能用來決定在向量場上求導 ， 並滿足線性及萊布尼茲法則的方法 ， 這表明了仿射聯絡有幾個可行的方法 ， 像是協變導數或在向量叢上的聯絡 。 仿射聯絡也能用來決定在切向量沿著一條曲線平行移動的方式 ， 或者用來決定標架叢的平行移動 。 仿射聯絡也可以用來決定流形上的測地線 ， 推廣了歐幾里德空間中直線的概念 。 在標架叢中的平行移動展現了仿射聯絡的一種形式 ， 其他像是仿射群上的嘉當聯絡 ， 或者在標架叢上的主叢也是如此 。 除此之外 ， 若在流形上賦予黎曼度量 ， 則可以在其上定義列維 - 奇維塔聯絡 。 仿射聯絡有幾個重要的不變量 ， 分別是撓率及曲率 。 撓率描述李括號藉仿射聯絡變換前後的差異 。 曲率則是用來衡量流形上的測地線與直線 （ 在歐幾里德空間的意義下 ） 的差異 。