外測度

在數學中 ， 特別是測度論中 ， 外測度是一個定義在給定集合上的擴展實數值的函數 ， 並滿足幾條附加條件 。 一般的外測度理論由C. Carathéodory引進 ， 目的是給可測集和可數可加測度的理論建立基礎 。 C. Carathéodory關於外測度上所做的工作應用於測度理論中的集合論上 （ 例如外測度用於證明Carathéodory擴張定理 ） 。 豪斯多夫也用此來定義一個類似維數的度量 ， 現在稱爲豪斯多夫維數 。 從長度 ， 面積及體積歸納出來的測度概念 ， 對於很多抽象不規則的集合是很有用的 。 我們希望定義一個廣義的測度函數, 使其滿足以下4個條件 ： 任意實數區間 有測度 ； 測度函數 是非負擴展實數值函數 ， 定義在的所有子集合上 ； 平移不變性 ： 任給集合和實數 ， 與 有相同的測度 ( 這裏 ) ； 可數可加律 ： 對的任意的兩兩無交的子集序列 ， 有 ： 。 事實上 ， 這幾條要求是不相容的 。 這樣的測度函數 不能定義在的所有子集上 ， 也就是說 ， 不可測集是存在的 。 構造外測度的目的就是選出那些可測集合 ， 使得可數可加性得到滿足 。