分形

分形 （ fractal ， 源自frāctus ， 有 「 零碎 」 、 「 破裂 」 之意 ） ， 又稱 - { zh - cn: 碎形; zh - tw: 分形; } - 、 殘形 ， 通常被定義爲 「 一個粗糙或零碎的幾何形狀 ， 可以分成數個部分 ， 且每一部分都 （ 至少近似地 ） 是整體縮小後的形狀 」 ， 即具有自相似的性質 。 分形在數學中是一種抽象的物體 ， 用於描述自然界中存在的事物 。 人工分形通常在放大後能展現出相似的形狀 。 分形也被稱爲擴展對稱或展開對稱 。 如果在每次放大後 ， 形狀的重複是完全相同的 ， 這被稱爲自相似 。 自相似的一個例子是門格海綿 。 分形在不同的縮放級別上可以是近似相似的 。 曼德博集合的放大圖像中顯示了這種模式 。 分形也包有圖像的細節重複自身的意味 。 分形與其他幾何圖形相似但又有所不同 。 當你縮放一個圖形時 ， 你就能看出分形和其他幾何圖形的區別 。 將一個多邊形的邊長加倍 ， 它的面積變爲原來的四倍 。 新的邊長與舊邊長相比增加了 2 倍 ， 而面積增加了 4 倍 ， 即 倍 。 平面內的多邊形在二維空間中 ， 指數 2 剛好是多邊形所在的二維空間的維數 。 類似的 ， 對於三維空間中的球 ， 如果它的半徑加倍 ， 則它的體積變爲原來的 8 倍 ， 即 倍 ， 指數 3 依舊是球所在空間的維數 。 如果將分形的一維長度加倍 ， 如將康託三分集的初始線段長加倍 ， 分型空間的內容變爲 倍 ， 此時n 不一定是個整數 。 冪指數n 稱爲分型的維數 ， 它通常大於分型的拓撲維數 。 作爲一個數學函數 ， 分形通常是處處不可微的 。 無窮分形曲線可以理解爲一條一維的曲線在空間中繞行 ， 它的拓撲維數仍然是 1 ， 但大於 1 的分形維數暗示了它也有類似曲面的性質 。 我們可以從這些年來正式發表的文獻中追蹤分形概念的發展史 。 從 17 世紀有了遞歸的概念開始 ， 到 19 世紀 ， 伯納德 · 波爾查諾 、 波恩哈德 · 黎曼和卡爾 · 魏爾斯特拉斯對連續不可微函數開創性的研究 ， 這些嚴謹的數學概念推動着分形的發展 。 20 世紀時 ， 人們創造了wikt: 分形這個詞 ， 隨之而來的是人們對分形和計算機建模和興趣的迅速增長 。 1975 年本華 · 曼德博首次提出 “ 分形 ( fractal ) ” 這個術語 。 分型的拉丁文詞源 有 “ 破壞 ” 、 “ 破碎 ” 的意思 ， 曼德博將分型的概念從理論分形維數拓展到自然界中的幾何圖形 。 一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代的方程式 ， 即一種基於遞歸的反饋系統 。 碎形有幾種類型 ， 可以分別依據表現出的精確自相似性 、 半自相似性和統計自相似性來定義 。 權威學者們對分形的精確定義仍有爭論 。 曼德博自己將分形總結爲 ： “ 美麗 、 （ 研究起來 ） 極其困難但又非常的有用 ， 這就是分形 ” 。 1982 年曼德博提出了更正式的定義 ： “ 分形是一種其豪斯多夫維數嚴格大於拓撲維數的集合 ” 。 後來他認爲這種定義過於嚴格 ， 於是簡化並擴展了這個定義 ： “ 分形是由與整體在某些方面相似的部分構成的圖形 。 ” 。 又過了一段時間 ， 曼德博決定使用以下方式來描述分形 ： “ ... 在研究和使用分形 時 ， 不需要迂腐的定義 。 用分形維數 作爲描述各種不同分型的通用術語 ” 。 通常認爲 ， 理論分型是無限迭代 、 自相似的 、 具有分形維數的詳細數學結構 。 人們創造了許多分型圖形並進行了充分的研究 。 分形並不限於幾何圖形 ， 它也可以描述時間序列 。 雖然碎形是一個數學構造 ， 它們同樣可以在自然界中被找到 ， 這使得它們被劃入藝術作品的範疇 。 碎形在醫學 、 土力學 、 地震學和技術分析中都有應用 。 在自然 、 技術 、 藝術 、 建築和法律等領域 ， 人們對圖形 、 結構和音頻中不同程度自相似的分形圖形進行了研究 ， 並反過來利用分形理論取生成圖形 、 結構和音頻 。 分形和混沌理論密切相關 ， 因爲混沌過程的圖形大多數都是分形 。