凸函數

凸函數 （ 英文 ： Convex function ） 是指 （ 圖像上方的點的集合 ） 爲凸集的一類函數 。 換言之 ， 其圖像上 ， 任意兩點連成的線段 ， 皆位於圖像的上方 。 二階可導的一元函數爲凸 ， 當且僅當其定義域爲凸集 ， 且函數的二階導數在整個定義域上非負 。 一元凸函數的熟知例子有二次函數和指數函數 。 直觀理解 ， 凸函數的圖像形如開口向上的杯 ， 而相反 ， 凹函數則形如開口向下的帽 。 凸函數是多個數學分支的重要概念 ， 尤其在最優化研究中 ， 凸函數的最小化問題有許多方便的性質 。 舉例 ， 定義在凸開集上的嚴格凸函數 ， 至多隻有一個極小值 。 即使在無窮維空間中 ， 在合適的假設下 ， 凸函數 （ 在此定義域上 ， 常稱爲凸泛函 ） 仍具有此種性質 ， 故凸泛函是變分法中 ， 研究得較透徹的一類泛函 。 概率論中 ， 凸函數作用在某隨機變量期望值所得的結果 ， 總不大於對隨機變量先取函數值再取期望 ， 即 稱爲延森不等式 。 該不等式可以推導出均值不等式及赫爾德不等式等結果 。