微分

函數的微分 （ Differential of a function ） 是指對函數的局部變化的一種線性描述 。 微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時 ， 函數的值是怎樣改變的 。 微分在數學中的定義 ： 由y是x的函數 ( y = f ( x ) ) 。 從簡單的x - y座標系來看 ， 自變數x有微小的變化量時 ( d / dx ) ， 應變數y也會跟著變動 ， 但x跟y的變化量都是極小的 。 當x有極小的變化量時 ， 我們稱對x微分 。 微分主要用於線性函數的改變量 ， 這是微積分的基本概念之一 。 當某些函數的自變量有一個微小的改變時 ， 函數的變化可以分解爲兩個部分 。 一個部分是線性部分 ： 在一維情況下 ， 它正比於自變量的變化量 ， 可以表示成和一個與無關 ， 只與函數及有關的量的乘積 ； 在更廣泛的情況下 ， 它是一個線性映射作用在上的值 。 另一部分是比更高階的無窮小 ， 也就是說除以後仍然會趨於零 。 當改變量很小時 ， 第二部分可以忽略不計 ， 函數的變化量約等於第一部分 ， 也就是函數在處的微分 ， 記作或 。 如果一個函數在某處具有以上的性質 ， 就稱此函數在該點可微 。 不是所有的函數的變化量都可以分爲以上提到的兩個部分 。 若函數在某一點無法做到可微 ， 便稱函數在該點不可微 。 在古典的微積分學中 ， 微分被定義爲變化量的線性部分 ， 在現代的定義中 ， 微分被定義爲將自變量的改變量映射到變化量的線性部分的線性映射 。 這個映射也被稱爲切映射 。 給定的函數在一點的微分如果存在 ， 就一定是唯一的 。