幾何拓撲學

幾何拓撲學是數學中研究流形以及它們的嵌入的分支 ， 俱代表性的主題有紐結理論和辮子群 。 紐結理論和辮子群是幾何拓撲學研究範圍的典型例子 。 隨着時間的變遷幾何拓撲學幾乎等同於考慮二維 、 三維 、 或者四維的低維拓撲學 。 1945年後拓撲學發展迅速 ， 逐漸地數學家將這個學科分爲三個分支 ： 代數拓撲學 （ 倫移等問題 ） 幾何拓撲學 （ 此分支中的龐加萊猜想已被佩雷爾曼於2003年成功證明 ） 微分拓撲學研究可微分結構等等 這些分支的基礎是研究一般的拓撲空間的點集拓撲學 。 但是隨着時間的發展這些區分又越來越顯得是人爲的區分了 。 1960年代初開始的許多研究成果導致幾何拓撲學本身變化了 。 1961年史提芬 · 斯梅爾解決了高維中的龐加萊猜想 ， 這使得三維和四維顯得尤其困難 。 事實上這些困難的解決需要新的技術 ， 而與此同時高維提供的自由度使得換球術的問題也成爲可計算的問題了 。 威廉 · 瑟斯頓在1970年代末提出的幾何化猜想提供了在低維中幾何與拓撲之間的關係的理論基礎 。 瑟斯頓使用過去在數學中只是很弱地互相關聯的分支的不同技術解決了Haken流體的幾何化問題 。 1980年代初沃恩 · 瓊斯發現的瓊斯多項式爲扭結理論提供了新的方向 ， 同時也給數學物理與低維拓撲學之間至今爲止依然不明瞭的關係提供了新的推動 。 這些發展使得幾何拓撲學被更好地引用於數學的其它領域了 。