二次互反律

在數論中 ， 特別是在同餘理論裏 ， 二次互反律 （ Law of Quadratic Reciprocity ） 是一個用於判別二次剩餘 ， 即二次同餘方程之整數解的存在性的定律 。 二次互反律揭示了方程 可解和 可解的簡單關係 。 運用二次互反律可以將模數較大的二次剩餘判別問題轉爲模數較小的判別問題 ， 並最後歸結爲較少的幾個情況 ， 從而在實際上解決了二次剩餘的判別問題 。 然而 ， 二次互反律只能提供二次剩餘的存在性 ， 對於二次同餘方程的具體求解並沒有實際幫助 。 二次互反律常用勒讓德符號表述 ： 對於兩個奇素數 和 ， 其中是勒讓德符號 。 但是對於更一般的雅可比符號和希爾伯特符號也有對應的二次互反律 。 歐拉和勒讓德都曾經提出過二次互反律的猜想 。 但第一個嚴格的證明是由高斯在1796年作出的 ， 隨後他又發現了另外七個不同的證明 。 在 《 算數研究 》 一書和相關論文中 ， 高斯將其稱爲 “ 基石 ” ： 這個定理肯定屬於最優雅的基本定理 。 ( Art. 151 ) 私下裏高斯把二次互反律譽爲算術理論中的寶石 ， 是一個黃金定律 。 高斯之後雅可比 、 柯西 、 劉維爾 、 克羅內克 、 弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明 。 至今 ， 二次互反律已有超過200個不同的的證明 。 二次互反律可以推廣到更高次的情況 ， 如三次互反律等等 。