貝爾數

貝爾數以埃裏克 · 坦普爾 · 貝爾命名 ， 是組合數學中的一組整數數列 ， 開首是 （ OEIS的數列 ） ： Bn是基數爲n的集合的劃分方法的數目 。 集合S的一個劃分是定義爲S的兩兩不相交的非空子集的族 ， 它們的並是S 。 例如B3 = 5因爲3個元素的集合 { a, b, c } 有5種不同的劃分方法 ： ; B0是1因爲空集正好有1種劃分方法 。 空集的每個成員都是非空集合 （ 這是Vacuous truth ， 因爲空集實際上沒有成員 ） ， 而它們的並是空集本身 。 所以空集是它的唯一劃分 。 貝爾數適合遞推公式 ： 上述組合公式的證明 ： 可以這樣來想 ， 是含有n +1 個元素集合的劃分的個數 ， 考慮元素 假設他被單獨劃分到一類 ， 那麼還剩下n個元素 ， 這種情況下劃分個數爲 ； 假設他和某一個元素被劃分爲一類 ， 那麼還剩下n - 1個元素 ， 這種情況下劃分個數爲 ； 假設他和某兩個元素被劃分爲一類 ， 那麼還剩下n - 2個元素 ， 這種情況下劃分個數爲 ； 依次類推 ， 得到了上述組合公式 它們也適合 「 Dobinski公式 」 ： 期望值爲1的泊松分數的n次矩 。 它們也適合 「 Touchard同餘 」 ： 若p是任意質數 ， 那麼 每個貝爾數都是 " 第二類Stirling數 " 的和 Stirling數S （ n, k ） 是把基數爲n的集劃分爲正好k個非空集的方法的數目 。 把任一概率分佈的n次矩以首n個累積量表示的多項式 ， 其係數和正是第n個貝爾數 。 這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙 。 貝爾數的指數母函數是