一階邏輯

一階邏輯是使用於數學 、 哲學 、 語言學及電腦科學中的一種形式系統 ， 也可以稱爲 ： 一階斷言演算 、 低階斷言演算 、 量化理論或謂詞邏輯 。 一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於 ， 一階邏輯包含量詞 。 高階邏輯和一階邏輯不同之處在於 ， 高階邏輯的斷言符號可以有斷言符號或函數符號當做引數 ， 且容許斷言量詞或函數量詞 。 在一階邏輯的語義中 ， 斷言被解釋爲關係 。 而高階邏輯的語義裏 ， 斷言則會被解釋爲集合的集合 。 在通常的語義下 ， 一階邏輯是可靠 （ 所有可證的敘述皆爲真 ） 且完備 （ 所有爲真的敘述皆可證 ） 。 雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的 ， 但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明 。 一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理 ， 如勒文海姆 – 斯科倫定理及緊緻性定理 。 一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份 。 許多常見的公理系統 ， 如一階皮亞諾公理 、 馮諾伊曼 - 博內斯 - 哥德爾集合論和策梅洛 - 弗蘭克爾集合論都是一階理論 。 然而一階邏輯不能控制其無窮模型的基數大小 ， 因根據勒文海姆 – 斯科倫定理和康托爾定理 ， 可以構造出一種 ＂ 病態 ＂ 集合論模型 ， 使整個模型可數 ， 但模型內卻會覺得自己有 「 不可數集 」 。 類似地 ， 可以證明實數系的普通一階理論既有可數模型又有不可數模型 。 這類的悖論被稱爲斯科倫悖論 。 但一階的直覺主義邏輯裏 ， 勒文海姆 – 斯科倫定理不可證明 ， 故不會有以上之現象 。