僞黎曼流形

僞黎曼流形 ， 也稱爲半黎曼流形 （ Pseudo-Riemannian manifold ） ， 在微分幾何中是指一光滑流形 ， 其上有一光滑 、 對稱 、 點點非退化的 張量 。 此張量稱爲僞黎曼度量或僞度量張量 。 僞黎曼流形與黎曼流形的區別是它不需要正定 （ 通常要求非退化 ） 。 因爲每個正定形式都是非退化的 ， 所以黎曼度量也是一個僞黎曼度量 ， 亦即黎曼流形是僞黎曼流形的一種特例 。 每一個非退化對稱 ， 雙線性形式有一個固定的度量符號 。 這裏與記作正特徵值及負特徵值的個數 。 注意是流形的維數 。 黎曼流形就是以作爲符號 。 僞黎曼流形的符號稱爲洛倫茲度量 。 擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形 。 除黎曼流形外 ， 洛倫茲流形是僞黎曼流形的最重要的子類 。 因爲它常被用於廣義相對論 。 廣義相對論首要假設是時空可以轉爲擁有符號的洛倫茲流形的模型 。 和歐幾里得空間可以被認爲是黎曼流形的模型一樣 ，, 有平坦閔可夫斯基度量的閔可夫斯基空間 ( Minkowski space ) 是洛倫茲流形的模型空間 。 特徵數爲的僞黎曼流形的模型空間是有如下僞度量的: 有些黎曼度量的基本定理可以推廣到僞黎曼的情形 。 例如黎曼幾何基本定理對僞黎曼流形也成立 。 這使得我們能夠在僞黎曼流形上能夠使用列維 - 奇維塔聯絡和相關的曲率張量 。 另一方面 ， 黎曼幾何的很多定理在推廣到僞黎曼的情況下不成立 。 例如 ， 並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的僞黎曼度量 ； 因爲有一些特殊的拓撲阻礙存在 。