數學基礎

數學上 ， 數學基礎一詞有時候用於數學的特定領域 ， 例如數理邏輯 ， 公理化集合論 ， 證明論 ， 模型論 ， 和遞歸論 （ 可計算性理論 ） 。 但是尋求數學的基礎也是數學哲學的中心問題 ： 在什麼終極基礎上命題可以稱爲 “ 真 ”? 目前佔統治地位的數學典範思想是基於公理化集合論和形式邏輯的 。 實際上 ， 幾乎所有現在的數學定理都可以表述爲集合論下的定理 。 在這個觀點下 ， 所謂數學命題的真實性 ， 不過就是該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導出來 。 這個不能解釋一些問題 ： 爲什麼我們應沿用現行的公理而不是別的 ， 爲什麼我們應沿用現行的邏輯規則而不是別的 ， 爲什麼 「 真 」 數學命題 （ 例如 ， 算術領域的皮亞諾公理 ） 在物理世界中似乎是真的 。 這被尤金 · 維格納在1960年叫做 “ 數學在自然科學中無理由的有效性 ” （ The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences ） 。 在 （ 有時也叫柏拉圖主義 ） 中 ， 獨立於人類的數學對象的世界的存在性被作爲一個基本假設 ； 這些對象的真實性由人類 「 發現 」 。 在這種觀點下 ， 自然定律和數學定律有類似的地位 ， 因此 " 有效性 " 不再 " 無理由 " 。 不是我們的公理 ， 而是數學對象的真實世界構成了數學基礎 。 但 ， 顯然的問題在於 ， 我們如何接觸這個世界 ？ 一些數學哲學的現代理論不承認這種數學基礎的存在性 。 有些理論傾向於專注 ， 並試圖把數學家的實際工作視爲一種社會群體來作描述和分析 。 也有理論試圖創造一個 ， 把數學在 " 現實世界 " 中的可靠性歸結爲人類的認知 。 這些理論建議只在人類的思考中找到基礎 ，