狄拉克δ函數

在科學和數學中 ， 狄拉克函數或簡稱函數 （ 譯名德爾塔函數 、 得耳他函數 ） 是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈 。 它在除零以外的點上都等於零 ， 且其在整個定義域上的積分等於1 。 函數有時可看作是在原點處無限高 、 無限細 ， 但是總面積爲1的一個尖峯 ， 在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度 。 從純數學的觀點來看 ， 狄拉克函數並非嚴格意義上的函數 ， 因爲任何在擴展實數線上定義的函數 ， 如果在一個點以外的地方都等於零 ， 其總積分必須爲零 。 函數只有在出現在積分以內的時候纔有實質的意義 。 根據這一點 ， 函數一般可以當做普通函數一樣使用 。 它形式上所遵守的規則屬於的一部分 ， 是物理學和工程學的標準工具 。 包括函數在內的運算微積分方法 ， 在20世紀初受到數學家的質疑 ， 直到1950年代洛朗 · 施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論 。 嚴謹地來說 ， 函數必須定義爲一個分佈 ， 對應於支撐集爲原點的概率測度 。 在許多應用中 ， 均將視爲由在原點處有尖峯的函數所組成的序列的極限  ， 而序列中的函數則可作爲對函數的近似 。 在訊號處理上 ， 函數常稱爲單位脈衝符號或單位脈衝函數 。 克羅內克函數是對應於狄拉克函數的離散函數 ， 其定義域爲離散集 ， 值域可以是0或者1 。