模型論

模型論 ( Model theory ) 一般是指數學中集合論的論述角度對數學概念表現 （ representation ） 的研究 ， 或者說是對於作爲數學系統基礎的 “ 模型 ” 的研究 。 粗略地說 ， 該學科假定有一些既存的數學 “ 對象 ” ， 然後研究 ： 當這些對象之間的一些運算或者一些關係乃至一組公理被給定時 ， 可以相應證明出什麼 ， 以及如何證明 。 比如實數理論中一個模型論概念的例子是 ： 我們從一個任意集合開始 ， 作爲集合元素的每個個體都是一個實數 ， 其間有一些關係和 （ 或 ） 函數 ， 例如 { ×, +, −,. , 0, 1 } 。 若我們在該語言中問 " ∃ y ( y × y = 1 + 1 ) " 這樣一個問題 ， 顯然該陳述對實數而言成立 - 確實存在這樣的一個實數y, 即所謂2的平方根 ； 對於有理數 ， 該陳述卻並不成立 。 一個類似的命題 ， " ∃ y ( y × y = 0 − 1 ) ", 在實數中不成立 ， 卻在複數中成立 ， 因爲i × i = 0 − 1 。 模型論研究什麼是在給定的數學系統中可證的 ， 以及這些系統相互間的關係 。 它特別注重研究當我們試圖通過加入新公理和新語言構造時會發生什麼 。 現在模型論 （ 及其方法 ） 已經廣泛地應用於其它數學分支甚至理論計算機與工程計算中 。 例如Hrushovski用模型論方法證明了代數幾何中的Mordell - Lang猜想 。