卷積定理

卷積定理指出 ， 函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積 。 即一個域中的卷積對應於另一個域中的乘積 ， 例如時域中的卷積對應於頻域中的乘積 。 其中表示f 的傅里葉變換 。 下面這種形式也成立 ： 藉由傅里葉逆變換 ， 也可以寫成 注意以上的寫法只對特定形式定義的變換正確 ， 變換可能由其它方式正規化 ， 使得上面的關係式中出現其它的常數因子 。 這一定理對拉普拉斯變換 、 雙邊拉普拉斯變換 、 Z變換 、 梅林變換和Hartley變換 （ 參見 ） 等各種傅里葉變換的變體同樣成立 。 在調和分析中還可以推廣到在局部緊緻的阿貝爾群上定義的傅里葉變換 。 利用卷積定理可以簡化卷積的運算量 。 對於長度爲的序列 ， 按照卷積的定義進行計算 ， 需要做組對位乘法 ， 其計算複雜度爲 ； 而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上後 ， 只需要一組對位乘法 ， 利用傅里葉變換的快速算法之後 ， 總的計算複雜度爲 。 這一結果可以在快速乘法計算中得到應用 。