公理

在傳統邏輯中 ， 公理 （ Axiom ） 是沒有經過證明 ， 但被當作不證自明的一個命題 。 因此 ， 其真實性被視爲是理所當然的 ， 且被當做演繹及推論其他 （ 理論相關 ） 事實的起點 。 當不斷要求證明時 ， 因果關係畢竟不能無限地追溯 ， 而需停止於無需證明的公理 。 通常公理都很簡單 ， 且符合直覺 ， 如 「 a + b = b + a 」 。 不同的系統 ， 會預計不同的公理 。 例如非歐幾何的公理 ， 和歐氏幾何的公理就有一點不同 ； 另外 ， 集合論的選擇公理在許多系統的建構中 ， 也富有爭議 。 有些系統堅持不預設選擇公理 。 也有一些數學家在建構系統時 ， 刻意排除掉皮亞諾公理中的數學歸納法 ， 以確保所有的證明 ， 都可以直接演算 。 在數學中 ， 公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下 — — 邏輯公理和非邏輯公理 。 在這兩種意義之下 ， 公理都是用來推導其他命題的起點 。 和定理不同 ， 一個公理 （ 除非有冗餘的 ） 不能被其他公理推導出來 ， 否則它就不是起點本身 ， 而是能夠從起點得出的某種結果 — 可以乾脆被歸爲定理了 。 邏輯公理通常是被視爲普遍爲真的陳述 （ 如 ( A ∧ B ) → A ） ， 而非邏輯公理 （ 如a + b = b + a ） 則實際上是在一特定數學理論 （ 如算術 ） 中的定義性的性質 。 在後者的意思之下 ， 公理又可被稱爲 「 公設 」 。 一般而言 ， 非邏輯公理並不是一個不證自明的事實 ， 而應該說是在建構一個數學理論的過程中被用來推導的一個形式邏輯表示式 。 要公理化一個知識系統 ， 就是要去證明該系統的主張都可以由數目不多而又可明確理解的陳述 （ 公理 ） 推導出來 。 一般來說都有多種方法來公理化一個給定的數學領域 。 然而 ， 邏輯公理系統也並非唯一 。 直覺主義邏輯 、 模糊邏輯等新的邏輯結構 ， 都建立在略有差異的公理上 。 因此 ， 與其把公理看作不證自明的事實 ， 不如看作是在一個特定的數學或邏輯系統中 ， 先於一切證明的前設 。