微積分基本定理

微積分基本定理 （ Fundamental theorem of calculus ） 描述了微積分的兩個主要運算 ─ ─ 微分和積分之間的關係 。 定理的第一部分 ， 稱爲微積分第一基本定理 ， 此定理表明 ： 給定任一連續函數 ， 可以 （ 利用積分 ） 構造出該函數的反導函數 。 這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性 。 定理的第二部分 ， 稱爲微積分第二基本定理或牛頓 - 萊布尼茨公式 ， 表明某函數的定積分可以用該函數的任意一個反導函數來計算 。 這一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理 ， 因爲它大大簡化了定積分的計算 。 該定理的一個特殊形式 ， 首先由詹姆斯 · 格里高利 （ 1638 - 1675 ） 證明和出版 。 定理的一般形式 ， 則由艾薩克 · 巴羅完成證明 。 對微積分基本定理比較直觀的理解是 ： 把函數在一段區間的 「 無窮小變化 」 全部 「 加起來 」 ， 會等於該函數的淨變化 ， 這裏 「 無窮小變化 」 就是微分 ， 「 加起來 」 就是積分 ， 淨變化就是該函數在區間兩端點的差 。 我們從一個例子開始 。 假設有一個物體在直線上運動 ， 其位置爲x ( t ) ， 其中t爲時間 ， x ( t ) 意味着x是t的函數 。 這個函數的導數等於位置的無窮小變化dx除以時間的無窮小變化dt （ 當然 ， 該導數本身也與時間有關 ） 。 我們把速度定義爲位置的變化除以時間的變化 。 用萊布尼茲記法 ： 整理 ， 得 根據以上的推理 ， 的變化 ─ ─ ， 是的無窮小變化之和 。 它也等於導數和時間的無窮小乘積之和 。 這個無窮的和 ， 就是積分 ； 所以 ， 一個函數求導之後再積分 ， 得到的就是原來的函數 。 我們可以合理地推斷 ， 這個運算反過來也成立 ， 積分之後再求導 ， 得到的也是原來的函數 。