佐恩引理

佐恩引理 （ Zorn's Lemma ） 也被稱爲庫拉托夫斯基 - 佐恩 （ Kuratowski - Zorn ） 引理 ， 是集合論中一個重要的定理 ， 其陳述爲 ： 在任何一非空的偏序集中 ， 若任何鏈 （ 即全序的子集 ） 都有上界 ， 則此偏序集內必然存在 （ 至少一枚 ） 極大元 。 佐恩引理是以數學家馬克斯 · 佐恩的名字命名的 。 具體來說 ， 假設是一個偏序集 ， 它的一個子集稱爲是一個全序子集 ， 如果對於任意的有或 。 而稱爲是有上界的 ， 如果中存在一個元素 ， 使得對於任意的 ， 都有 。 在上述定義中 ， 並不要求一定是中的元素 。 而一個元素稱爲是極大的 ， 如果且 ， 則必然有 。 佐恩引理 、 良序定理和選擇公理彼此等價 ， 在集合論的Zermelo - Fraenkel公理基礎上 ， 上述三者中從任一出發均可推得另外兩個 。 佐恩引理在數學的各個分支中都有重要地位 ， 例如在證明泛函分析的哈恩 - 巴拿赫定理 （ Hahn - Banach Theorem ） ， 證明任一向量空間必有基 ， 拓撲學中證明緊空間的乘積空間仍爲緊空間的吉洪諾夫定理 ， 和抽象代數中證明任何含幺環的真理想必然包含於一個極大理想和任何域必然有代數閉包的過程中 ， 佐恩引理都是關鍵 。