質數

質 - { } - 數 （ Prime number ） ， 又稱素 - { } - 數 ， 指在大於1的自然數中 ， 除了1和該數自身外 ， 無法被其他自然數整除的數 （ 也可定義爲只有1與該數本身兩個正因數的數 ） 。 大於1的自然數若不是質數 ， 則稱之爲合數 （ 也稱爲合成數 ） 。 例如 ， 5是個質數 ， 因爲其正因數只有1與5 。 7是個質數 ， 因爲其正因數只有1與7 。 而4則是個合數 ， 因爲除了1與4外 ， 2也是其正因數 。 6也是個合數 ， 因爲除了1與6外 ， 2與3也是其正因數 。 算術基本定理確立了質數於數論裏的核心地位 ： 任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積 。 爲了確保該定理的唯一性 ， 1被定義爲不是質數 ， 因爲在因式分解中可以有任意多個1 （ 如3 、 1 × 3 、 1 × 1 × 3等都是3的有效因數分解 ） 。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在 （ 歐幾里得定理 ） 。 現時人們已發現多種驗證質數的方法 。 其中試除法比較簡單 ， 但需時較長 ： 設被測試的自然數爲 ， 使用此方法者需逐一測試2與之間的整數 ， 確保它們無一能整除 。 對於較大或一些具特別形式 （ 如梅森數 ） 的自然數 ， 人們通常使用較有效率的演算法測試其是否爲質數 （ 例如282589933 - 1是直至2018年12月爲止已知最大的梅森質數 ， 也是直至2018年12月爲止已知最大的質數 ） 。 雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式 ， 但已建構了質數的分佈模式 （ 亦即質數在大數時的統計模式 ） 。 19世紀晚期得到證明的質數定理指出 ： 一個任意自然數n爲質數的機率反比於其數位 （ 或的對數 ） 。 許多有關質數的問題依然未解 ， 如哥德巴赫猜想 （ 每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和 ） 及孿生質數猜想 （ 存在無窮多對相差2的質數 ） 。 這些問題促進了數論各個分支的發展 ， 主要在於數字的解析或代數方面 。 質數被用於資訊科技裏的幾個程序中 ， 如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質 。 質數亦在其他數學領域裏形成了各種廣義化的質數概念 ， 主要出現在代數里 ， 如質元素及質理想 。