幾何學

[ [ 圖像: Teorema de desargues.svg | thumb | right | 236px | 笛沙格定理的描述 ， 笛沙格定理是歐幾里得幾何及射影幾何的重要結果 ] ] 幾何學 （ 英語 ： Geometry ， γεωμετρία ） 簡稱幾何 。 幾何學是數學的一個基礎分支 ， 主要研究形狀 、 大小 、 圖形的相對位置等空間區域關係以及空間形式的度量 。 許多文化中都有幾何學的發展 ， 包括許多有關長度 、 面積及體積的知識 ， 在西元前六世紀泰勒斯的時代 ， 西方世界開始將幾何學視爲數學的一部份 。 西元前三世紀 ， 幾何學中加入歐幾里德的公理 ， 產生的歐幾里得幾何是往後幾個世紀的幾何學標準 。 阿基米德發展了計算面積及體積的方法 ， 許多都用到積分的概念 。 天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置 ， 以及其相對運動的關係 ， 都是後續一千五百年中探討的主題 。 幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中 ， 是中古世紀西方大學教授的內容之一 。 勒內 · 笛卡兒發明的座標系以及當時代數的發展讓幾何學進入新的階段 ， 像平面曲線等幾何圖形可以由函數或是方程等解析的方式表示 。 這對於十七世紀微積分的引入有重要的影響 。 透視投影的理論讓人們知道 ， 幾何學不只是物體的度量屬性而已 ， 透視投影后來衍生出射影幾何 。 歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究 ， 使幾何的主題繼續擴充 ， 最後產生了拓撲學及微分幾何 。 在歐幾里德的時代 ， 實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別 ， 但自從十九世紀發現非歐幾何後 ， 空間的概念有了大幅的調整 ， 也開始出現哪一種幾何空間最符合實際空間的問題 。 在二十世紀形式數學興起以後 ， 空間 （ 包括點 、 線 、 面 ） 已沒有其直觀的概念在內 。 今日需要區分實體空間 、 幾何空間 （ 點 、 線 、 面仍沒有其直觀的概念在內 ） 以及抽象空間 。 當代的幾何學考慮流形 ， 空間的概念比歐幾里德中的更加抽象 ， 兩者只在極小尺寸下才彼此近似 。 這些空間可以加入額外的結構 ， 因此可以考慮其長度 。 近代的幾何學和物理關係密切 ， 就像僞黎曼流形和廣義相對論的關係一樣 。 物理理論中最年輕的弦理論也和幾何學有密切關係 。 幾何學可見的特性讓它比代數 、 數論等數學領域更容易讓人接觸 ， 不過一些幾何語言已經和原來傳統的 、 歐幾里得幾何下的定義越差越遠 ， 例如碎形幾何及解析幾何等 。 現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高 ， 並與分析 、 抽象代數和拓撲學緊密結合 。 幾何學應用於許多領域 ， 包括藝術 ， 建築 ， 物理和其他數學領域 。