谷山-志村定理

谷山 － 志村定理 （ Taniyama - Shimura theorem ） 建立橢圓曲線 （ 代數幾何的對象 ） 和模形式 （ 數論中用到的某種週期性全純函數 ） 之間的重要聯繫 。 定理的證明由英國數學家安德魯 · 懷爾斯 （ Andrew John Wiles ） 、 理查 · 泰勒 （ Richard Taylor ） 、 法國數學家 、 美國數學家和所完成 。 若p是一個質數而E是一個Q （ 有理數域 ） 上的一個橢圓曲線 ， 我們可以簡化定義E的方程模p ； 除了有限個p值 ， 會得到有np個元素的有限域Fp上的一個橢圓曲線 。 然後考慮如下序列 ap = np − p, 這是橢圓曲線E的重要的不變量 。 從傅里葉變換 ， 每個模形式也會產生一個數列 。 一個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的 。 谷山 - 志村定理說 ： “ 所有Q上的橢圓曲線是模的 。 ” 通俗而言 ， 橢圓方程與模形式是一一對應的 ， 每個橢圓方程都可以用模形式表達出來 ， 而費馬大定理和谷山 － 志村猜想是共存關係 。 如果費馬大定理成立則谷山 - 志村猜想也成立 ， 反之亦然 。