外代數

外代數 （ Exterior algebra ） 也稱爲格拉斯曼代數 （ Grassmann algebra ） ， 以紀念赫爾曼 · 格拉斯曼 。 數學上 ， 給定向量空間的外代數 ， 是特定有單位的結合代數 ， 其包含了爲其中一個子空間 。 它記爲或而它的乘法 ， 稱爲楔積或外積 ， 記爲 。 楔積是結合的和雙線性的 ； 其基本性質是它在V上交錯的 ， 也就是 ： ， 對於所有向量 這表示 ， 對於所有向量 ， 以及 ， 當 線性相關時 。 注意這三個性質只對中向量成立 ， 不是對代數中所有向量成立 。 外代數事實上是 “ 最一般的 ” 滿足這些屬性的代數 。 這意味着所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出 。 的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示 ， 請參看下文 。 形式爲的元素 ， 其中在中 ， 稱爲 - 向量 。 所有 - 向量生成的的子空間稱爲的 - 階外冪 ， 記爲 。 外代數可以寫作每個階冪的直和 ： 該外積有一個重要性質 ， 就是 - 向量和 - 向量的積是一個 - 向量 。 這樣外代數成爲一個分次代數 ， 其中分級由給出 。 這些 - 向量有幾何上的解釋 ： 2 - 向量代表以和爲邊的帶方向的平行四邊形 ， 而3 - 向量代表帶方向的平行六面體 ， 其邊爲,, 和 。 外冪的主要應用在於微分幾何 ， 其中他們用來定義微分形式 。 因而 ， 微分形式有一個自然的楔積 。 所有這些概念由格拉斯曼提出 。