黎曼曲面

數學上 ， 特別是在複分析中 ， 一個黎曼曲面是一個一維複流形 。 黎曼曲面可以被視爲是一個複平面的變形版本 ： 在每一點局部看來 ， 他們就像一片複平面 ， 但整體的拓撲可能極爲不同 。 例如 ， 他們可以看起來像球或是環 ， 或者兩個頁面粘在一起 。 黎曼曲面的精髓在於在曲面之間可以定義全純函數 。 黎曼曲面現在被認爲是研究這些函數的整體行爲的自然選擇 ， 特別是像平方根和自然對數這樣的多值函數 。 每個黎曼曲面都是二維實解析流形 （ 也就是曲面 ） ， 但它有更多的結構 （ 特別是一個復結構 ） ， 因爲全純函數的無歧義的定義需要用到這些結構 。 一個實二維流形可以變成爲一個黎曼曲面 （ 通常有幾種不同的方式 ） 當且僅當它是可定向的 。 所以球和環有復結構 ， 但是莫比烏斯帶 ， 克萊因瓶和射影平面沒有 。 黎曼曲面的幾何性質是最妙的 ， 它們也給與其它曲線 ， 流形或簇上的推廣提供了直觀的理解和動力 。 黎曼 - 羅赫定理就是這種影響的最佳例子 。