方塊矩陣

方塊矩陣 ， 也稱方陣 、 方矩陣或正方矩陣 ， 是行數及列數皆相同的矩陣 。 由矩陣組成的集合 ， 連同矩陣加法和矩陣乘法 ， 構成環 。 除了 ， 此環並不是交換環 。 M ( n, R ) ， 即實方塊矩陣環 ， 是個實有單位的結合代數 。 M ( n, C ) ， 即複方塊矩陣環 ， 則是復結合代數 。 單位矩陣的對角線全是1而其他位置全是0 ， 對所有矩陣及矩陣都有及 。 例如 ， 若 ： 單位矩陣是方塊矩陣環的單位元 。 方塊矩陣環的可逆元稱爲可逆矩陣或非奇異方陣 。 矩陣是可逆當且僅當存在矩陣使得 。 此時稱爲的逆矩陣 ， 並記作 。 所有矩陣在乘法上組成一個群 （ 亦是一個李群 ） ， 稱爲一般線性群 。 若數字和非零向量滿足 ， 則爲的一個特徵向量 ， 是其對應的特徵值 。 數字爲的特徵值當且僅當可逆 ， 又當且僅當 。 這裏 ， 是的特徵多項式 。 特徵多項式是一個次多項式 ， 有個復根 （ 考慮重根 ） ， 即有個特徵值 。 方塊矩陣的行列式是其個特徵值的積 ， 但亦可經由萊布尼茨公式計算出來 。 可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣 。 高斯 - 若爾當消元法非常重要 ， 可以用來計算矩陣的行列式 ， 秩 ， 逆矩陣 ， 並解決線性方程組 。 矩陣的跡是矩陣的對角線元素之和 ， 也是其個特徵值之和 。 所有正交矩陣都是方塊矩陣 。