代數幾何

代數幾何 （ algebraic geometry ） 是數學的一個分支 ， 經典代數幾何研究多項式方程的零點 。 現代代數幾何將抽象代數 ， 尤其是交換代數 ， 同幾何學的語言和問題結合起來 。 代數幾何的基本研究對象爲代數簇 。 代數簇是由空間座標的若干代數方程的零點集 。 常見的例子有平面代數曲線 ， 比如直線 、 圓 、 橢圓 、 拋物線 、 雙曲線 、 三次曲線 （ 非奇異情形稱作橢圓曲線 ） 、 四次曲線 （ 如雙紐線 ， 以及卵形線 ） 、 以及一般n次曲線 。 代數幾何的基本問題涉及對代數簇的分類 ， 比如考慮在雙有理等價意義下的分類 ， 即雙有理幾何 ， 以及模空間問題 ， 等等 。 代數幾何在現代數學佔中心地位 ， 與多複變函數論 、 微分幾何 、 拓撲學和數論等不同領域均有交叉 。 始於對代數方程組的研究 ， 代數幾何延續解方程未竟之事 ； 與其求出方程實在的解 ， 代數幾何嘗試理解方程組的解的幾何性質 。 代數幾何的概念和技巧都催生了某些最深奧的數學的分支 。 進入20世紀 ， 代數幾何的研究又衍生出幾個分支 ： 研究代數簇中 ， 座標在有理數域或代數數域裏的點 ； 這一分支發展成算術幾何 （ 更經典地 ， 丟番圖幾何 ） ， 屬於代數數論的分支 。 研究代數簇的實點 ， 即實代數幾何 。 奇點理論的一大部分致力於研究代數簇中的奇異點 ， 及關於奇異點的解消的存在性和方法 。 代數簇的上同調理論 ， 如晶體上同調 、 平展上同調 、 以及Motive上同調 。 幾何不變量理論 ， 起始於戴維 · 芒福德在二十世紀六十年代的研究 ， 其思想起源於大衛 · 希爾伯特的古典不變量理論 。 隨着計算機的興起 ， 計算代數幾何作爲代數幾何與符號運算兩支的交叉而嶄露頭角 。 這一分支本質上包含開發算法和軟件與尋找顯代數簇的性質這兩項工作 。 20世紀以來 ， 代數幾何主流的許多進展都在抽象代數的框架內進行 ， 越發強調代數簇 “ 內蘊的 ” 性質 ， 即那些不取決於代數簇在射影空間的具體嵌入方式的性質 ， 與拓撲學 、 微分幾何及復幾何等學科的發展相應 。 抽象代數幾何的一大關鍵成就是格羅滕迪克的概形論 ； 概形論允許人們應用層論研究代數簇 ， 某種意義上與應用層論研究微分流形與解析流形是否相似 。 概形論延伸了點的概念 。 在經典代數幾何中 ， 根據希爾伯特零點定理 ， 一個仿射代數簇的一點對應於座標環上的一個極大理想 ， 仿射概形上的子簇則對應於座標環的素理想 。 而在概型論中 ， 概型的點集包含了經典情況代數簇的點集 ， 以及所有子簇的信息 。 這種方法使得經典代數幾何 （ 主要涉及閉點 ） 同時聯繫起了微分幾何 、 數論等主流分支的問題研究 。