平行公設

平行公設 （ Parallel postulate ） ， 也稱爲歐幾里得第五公設 ， 因是 《 幾何原本 》 五條公設的第五條而得名 。 這是歐幾里得幾何一條與別不同的公理 ， 比前四條複雜 。 公設是說 ： 假定所有歐幾里得公設 （ 當中包括平行公設 ） 都成立的幾何稱爲歐幾里得幾何 。 假定平行公設不成立的稱爲非歐幾里得幾何 。 不依賴於平行公設的幾何 ， 也就是隻假設前四條公設的 ， 稱爲仿射幾何 。 這只是一個與平行線的性質有關的公設 。 歐幾里得已在 《 幾何原本 》 第I卷定義第23條中定義過平行線了 。 。 歐幾里得幾何的有些性質與平行公設等價 ， 也就是假設平行公設成立 ， 可推導出這些性質 ， 反過來假設這些性質的一項爲公理 ， 也可以推導出平行公設 。 其中最重要的一項 ， 也是最常作爲公理代替平行公設的 ， 要算是蘇格蘭數學家約翰 · 普萊費爾提出的普萊費爾公理 ： 這裏有個問題要提出來 ， 即在證明第五公設時 ， 平面是不加定義 ， 如果平面作如下定義 ： 滿足第五公設的面定義爲平面 。 這實際上可用公理法對平面作定義 。 如果有這定義 ， 第五公設是自明的 。 這才符合直觀 。