橢圓曲線

在數學上 ， 橢圓曲線 （ Elliptic curve ， 縮寫爲EC ） 爲一平面代數曲線 ， 由如下形式的方程定義 ， 且滿足其是無奇點的 ； 亦即 ， 其圖形沒有尖點或自相交 。 （ 當的特徵爲2或3時 ， 上面的方程不能涵蓋所有非奇異的三次曲線 ； 見下面的 #一般域上的橢圓曲線 。 ） 正式地 ， 橢圓曲線是 、 、 虧格爲1的代數曲線 ， 其上有一個特定的點O 。 橢圓曲線是 – 也就是說 ， 它有代數上定義的乘法 ， 並且對該乘法形成阿貝爾群 – 其中 O即爲單位元 。 若 ， 其中P爲任一沒有重根的三次或四次多項式 ， 然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線 ， 其通常亦被稱爲橢圓曲線 。 更一般化地 ， 一虧格1的代數曲線 ， 如兩個三維二次曲面相交 ， 即稱爲橢圓曲線 。 運用橢圓函數理論 ， 可以證明定義在複數上的橢圓曲線對應於環面在復射影平面內的嵌入 。 環面也是一個阿貝爾群 ， 事實上 ， 這個對應也是一個群同構 。 橢圓曲線的形狀不是橢圓 。 命名爲橢圓曲線的原因是此曲線原來和橢圓函數有關 。 在拓撲學上 ， 複數的橢圓曲線是環面 ， 而複數的橢圓會是球面 。