辛幾何

辛幾何 （ Symplectic geometry ） ， 也叫辛拓撲 （ Symplectic topology ） ， 是微分幾何的一個分支 。 其研究對象爲辛流形 ， 亦即帶有閉非退化2 - 形式的微分流形 。 辛拓撲源於經典力學的哈密頓表述 ， 其中特定經典系統的相空間有辛流形的結構 。 辛拓撲和研究有非退化對稱2階張量 （ 稱爲度量張量 ） 的流形的黎曼幾何有一些相似和不同之處 。 不像黎曼的情況 ， 辛流形沒有像曲率那樣的局部不變量 。 這是達布定理的一個結果 ， 表明每一對辛流形是局部同構的 。 另一個和黎曼幾何的區別是不是所有的微分流形可以接受一個辛形式 ； 有一些特定的拓撲限制 。 首先 ， 流形必須是偶數維的 。 辛拓撲的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛結構爲中心的 。 每個凱勒流形也是一個辛流形 。 直到1970年代 ， 辛專家們還不確信是否有任何緊非Kähler辛流形存在 ， 但從那以後又很多例子被構造出來 （ 第一個由William Thurston給出 ） ； 特別的 ， Robert Gompf證明每個有限表示群都可以作爲辛4維流形的基本群出現 ， 這和凱勒的情形完全不同 。 可以說大部分辛流形都是非凱勒的; 所以沒有和辛形式相容的可積復結構 。 但是米哈伊爾 · 格羅莫夫給出了一個重要的發現 ， 就是辛流形可以接受很多相容的殆復結構 ， 所以它們滿足複流形的所有假設 ， 「 除了 」 座標變換函數必須是全純的這一條 。 以幾乎復結構相容的映射到辛流形的黎曼曲面稱爲僞全純曲線 ， 格羅莫夫證明了該類曲線的緊緻性定理 ； 這個結構導致了辛拓撲一個很大的子學科的發展 。 從格羅莫夫的理論產生的結果包括關於球到柱的辛嵌入的 ， 和關於哈密頓流的不動點的個數的阿爾諾德的一個猜想的證明 。 這是由從Andreas Floer開始的幾個研究者 所證明的 ， Floer用格羅莫夫的方法引入了現在稱爲Floer同調的概念 。 僞全純曲線也是辛不變量的一個來源 ， 這種不變量稱爲 ， 原則上可以用來區分兩個不同的辛流形 。