拉姆齊定理

在組合數學上 ， 拉姆齊定理 （ Ramsey's theorem ） ， 又稱拉姆齊二染色定理 ， 斷言對任意正整數和 ， 若一個聚會的人數足夠大 ， 則無論相識關係如何 ， 必定有個人相識或個人互不相識 。 給定時 ， 保證前述結論的最小值稱爲拉姆齊數 ， 其值取決於 。 用圖論術語複述 ： 若將足夠大的完全圖各邊染紅藍兩色 ， 則不論如何染 ， 必定有紅色的階完全圖或藍色的階完全圖 。 拉姆齊定理是組合數學的重要結論 ， 以弗蘭克 · 普倫普頓 · 拉姆齊命名 。 他在1930年論文證明此定理最初的版本 ， 開創現稱拉姆齊理論的組合理論分支 。 拉姆齊理論的主題是從 「 無序 」 尋找 「 規律 」 ， 希望找出某數學結構中 ， 存在規律子結構的一般條件 。 在拉姆齊定理的圖論表述中 ， 此 「 規律子結構 」 是同色集 （ monochromatic set ） ， 即頂點集的子集 ， 其中各邊皆染成同一顏色 。 拉姆齊定理不止一條 ， 前述版本的若干引伸仍稱拉姆齊定理 。 例如 ， 可以將二染色推廣至更多種色 ， 此時定理斷言 ： 對任意色數 ， 和任意正整數 ， 必有某數 ， 使階的完全圖各邊不論如何染色 ， 仍必可找到某 （ 介於至 ） 和某階完全子圖 ， 其各邊皆染第色 。 可見拉姆齊二染色定理是的特例 （ 同時取 ） 。