黎曼流形

黎曼流形 （ Riemannian manifold ） 是一個微分流形 ， 其中每點p的切空間都定義了點積 ， 而且其數值隨p平滑地改變 。 它容許我們定義弧線長度 、 角度 、 面積 、 體積 、 曲率 、 函數梯度及向量域的散度 。 每個Rn的平滑子流形可以導出黎曼度量 ： 把Rn的點積都限制於切空間內 。 實際上 ， 根據納什嵌入定理 ， 所有黎曼流形都可以這樣產生 。 我們可以定義黎曼流形爲和Rn的平滑子流形是等距同構的度量空間 ， 等距是指其內蘊度量 （ intrinsic metric ） 和上述從Rn導出的度量是相同的 。 這對建立黎曼幾何是很有用的 。 黎曼流形可以定義爲平滑流形 ， 其中給出了一個切叢的正定二次形的光滑截面 。 它可產生度量空間 ： 如果γ: [ a, b ] → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線 ， 我們可以定義它的長度L （ γ ） 爲 （ 注意 ： γ' （ t ） 是切空間M在γ （ t ） 點的元素 ； | | · | | 是切空間的內積所得出的範數 。 ） 使用這個長度的定義 ， 每個連通的黎曼流形M很自然的成爲一個度量空間 （ 甚至是長度度量空間 ） ： 在x與y兩點之間的距離d （ x, y ） 定義爲 ： d ( x, y ) = inf { L: γ是連接x和y的一條光滑曲線 } 。 雖然黎曼流形通常是彎曲的 ， “ 直線 ” 的概念依然存在 ： 那就是測地線 。 在黎曼流形中 ， 測地線完備的概念 ， 和拓撲完備及度量完備是等價的 ： 每個完備性都可以推出其他的完備性 ， 這就是Hopf - Rinow定理的內容 。