塔斯基分割圓問題

1925年 ， 阿爾弗雷德 · 塔斯基提出一個問題 ： 將平面上的一個圓分割成有限多塊 ， 然後重新拼合成面積相同的正方形 。 1990年米可斯 · 拉茲柯維奇證明這是可行的 。 但他的分割方法大量使用了選擇公理 （ axiom of choice ） ， 故該方法是不可構造的 。 這種分割方法至多將圓分割成約1050塊 。 2017年 ， Andrew Marks 和 Spencer Unger 使用博雷爾片給出了一個完全構造性的分割方法 。 拉茲柯維奇還證明了更多 ： 該重新拼合的過程中只須移動即可 ； 旋轉並非必要 。 他隨之而證明任何平面上的單純多邊形均可分割成有限多片 ， 只須移動來重新拼合一個面積相同的正方形 。 華勒斯 · 波埃伊 · 格維也納定理是相關但簡單得多的結果 — — 若可以在重新拼合過程中移動和旋轉 ， 一個多邊形割爲有限多的多邊形塊後 ， 可重新拼合成另一個面積相同的多邊形 。 這些結果可以和在三維上的巴拿赫 - 塔斯基悖論 （ Hausdorff - Banach - Tarski paradox ） 相比 ； 這些分割甚至改變集的體積 ， 而平面上的問題則不能做到 。 它跟化圓爲方問題是不同的 ： 使用尺規作圖的方法令圓形的面積變成正方形的面積 ， 這是不可能的 。 塔斯基的問題使用了 （ 不可證的 ） 選擇公理來分割圓令成爲一塊塊數目多至不可量度子集的片 ， 所以它不能用實質工具這種只能畫出可量度集的物件顯示出來 。