張量

張量 （ Tensor ） 是一個可用來表示在一些向量 、 純量和其他張量之間的線性關係的多線性函數 ， 這些線性關係的基本例子有內積 、 外積 、 線性映射以及笛卡兒積 。 其座標在 維空間內 ， 有 個分量的一種量 ， 其中每個分量都是座標的函數 ， 而在座標變換時 ， 這些分量也依照某些規則作線性變換 。 稱爲該張量的秩或階 （ 與矩陣的秩和階均無關係 ） 。 在同構的意義下 ， 第零階張量  爲純量 ， 第一階張量  爲向量 ， 第二階張量  則成爲矩陣 。 例如 ， 對於3維空間 ， 時的張量爲此向量 ： 。 由於變換方式的不同 ， 張量分成 「 協變張量 」 （ 指標在下者 ） 、 「 逆變張量 」 （ 指標在上者 ） 、 「 混合張量 」 （ 指標在上和指標在下兩者都有 ） 三類 。 在數學裏 ， 張量是一種幾何實體 ， 或者說廣義上的 「 數量 」 。 張量概念包括純量 、 向量和線性算子 。 張量可以用座標系統來表達 ， 記作純量的數組 ， 但它是定義爲 「 不依賴於參照系的選擇的 」 。 張量在物理和工程學中很重要 。 例如在擴散張量成像中 ， 表達器官對於水的在各個方向的微分透性的張量可以用來產生大腦的掃描圖 。 工程上最重要的例子可能就是應力張量和應變張量了 ， 它們都是二階張量 ， 對於一般線性材料他們之間的關係由一個四階彈性張量來決定 。 雖然張量可以用分量的多維數組來表示 ， 張量理論存在的意義在於進一步說明把一個數量稱爲張量的涵義 ， 而不僅僅是說它需要一定數量的有指標索引的分量 。 特別是 ， 在座標轉換時 ， 張量的分量值遵守一定的變換法則 。 張量的抽象理論是線性代數分支 ， 現在叫做多重線性代數 。 張量在物理學中提供了一個簡明的數學框架用來描述和解決力學 （ 應力 、 彈性 、 流體力學 、 慣性矩等 ） 、 電動力學 （ 電磁張量 、 麥克斯韋張量 、 介電常數 、 磁化率等 ） 、 廣義相對論 （ 應力 - 能量張量 、 曲率張量等 ） 物理問題 。 在應用中 ， 數學家通常會研究在物體的不同點之間的張量變化; 例如 ， 一個物體內的應力可能因位置不同而改變 。 這就引出了張量場的概念 。 在某些領域 ， 張量場十分普遍以至於它們通常被簡稱爲 “ 張量 ” 。