一般線性群

在數學中 ， n 次一般線性群是 n × n 可逆矩陣的集合 ， 和與之一起的普通矩陣乘法運算 。 這形成了一個群 ， 因爲兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣 ， 而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣 。 叫這個名字是因爲可逆矩陣的縱列是線性無關的 ， 因此它們定義的向量 ／ 點是在一般線性位置上的 ， 而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點 。 爲了使定義更明確 ， 必需規定哪類對象可以成爲矩陣的元素 。 例如 ， 在 R （ 實數集 ） 上的一般線性群是實數的 n × n 可逆矩陣的群 ， 並指示爲 GLn ( R ) 或 GL ( n, R ) 。 更一般的說 ， 在任何域 F （ 比如複數集 ） 或環 R （ 比如整數集的環 ） 上的 n 次一般線性群是帶有來自 F （ 或 R ） 的元素的 n × n 可逆矩陣的群 ， 帶有矩陣乘法作爲群運算 。 典型符號是 GLn ( F ) 或 GL ( n, F ) ， 如果域是自明的也可簡寫爲 GL ( n ) 。 更一般的說 ， 向量空間的一般線性群 GL ( V ) 仍是抽象自同構群 ， 不必需寫爲矩陣 。 特殊線性群 ， 寫爲 SL ( n, F ) 或 SLn ( F ) ， 是由行列式 = 1的矩陣構成的 GL ( n, F ) 的子群 。 群 GL ( n, F ) 和它的子群經常叫做線性群或矩陣群 （ 抽象群 GL ( V ) 是線性群但不是矩陣群 ） 。 這些群在群表示理論中是重要的 ， 並引發對空間對稱和一般向量空間對稱的研究 ， 還有多項式的研究 。 模群可以實現爲特殊線性群SL ( 2, Z ) 的商群 。 如果 n ≥ 2 ， 則群 GL ( n, F ) 不是阿貝爾群 。