高合成數

高合成數 （ highly composite number ） 指一類整數 ， 任何比它小的自然數的因子數目均比這個數的因子數目少 。 這個詞是由斯里尼瓦瑟 · 拉馬努金所創建 。 但是認爲柏拉圖已有提出此一概念 ， 柏拉圖認爲城市理想的人口數爲5040 ， 因爲這個數的因子數量多過任何一個比小於它的數 。 以數字6爲例 ， 小於6的數字中 ， 因子最多的數是4 ， 有3個因子 （ 1,2,4 ） ， 而6有4個因子 （ 1,2,3,6 ） ， 因此6是高合成數 。 高合成數的名稱容易讓人誤以爲其中都是合成數 ， 其實前二個高合成數1和2都不是合成數 。 最小的20個高合成數爲 ： 高度合成數有無限個 。 爲了證明這點 ， 可用反證法 。 假設是最大的高度合成數 。 顯然比有更多因子 ， 所以纔是最大的高度合成數 ， 矛盾 ， 故高度合成數有無限個 。 大於6的高度合成數亦是豐數 。 這些數常見於量度系統 ， 在工程設計亦很常用 ， 因爲它們在分數計算時很方便 。 若 Q ( x ) 表示所有小於或等於x的高度合成數的數目 ， 則存在兩個均大於1的常數 ， 使得 ∶