質數定理

在數論中 ， 素數定理描述素數在自然數中分佈的漸進情況 ， 給出隨著數字的增大 ， 質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述 。 1896年法國數學家雅克 · 阿達馬和比利時數學家先後獨立給出證明 。 證明用到了複分析 ， 尤其是黎曼ζ函數 。 素數的出現規律一直困惑著數學家 。 一個個地看 ， 素數在正整數中的出現沒有什麼規律 。 可是總體地看 ， 素數的個數竟然有規可循 。 對正實數x ， 定義π ( x ) 爲素數計數函數 ， 亦即不大於x的素數個數 。 數學家找到了一些函數來估計π ( x ) 的增長 。 以下是第一個這樣的估計 。 其中 ln x 爲 x 的自然對數 。 上式的意思是當 x 趨近無限 ， π ( x ) 與x / ln x的比值趨近 1 。 但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近 。 下面是對π ( x ) 更好的估計 ： ， 當x 趨近 ∞ 。 其中 （ 對數積分 ） ， 而關係式右邊第二項是誤差估計 ， 詳見大O符號 。