Model: ThanhLe0125/e5-math-ebd-01
Author: ThanhLe0125
Pipeline: sentence-similarity
Library: sentence-transformers
Tags: sentence-transformers, safetensors, xlm-roberta, sentence-similarity, feature-extraction, generated_from_trainer, dataset_size:1924, loss:MultipleNegativesRankingLoss, arxiv:1908.10084, arxiv:1705.00652, base_model:intfloat/multilingual-e5-base, base_model:finetune:intfloat/multilingual-e5-base, model-index, text-embeddings-inference, endpoints_compatible, region:us
Base models (finetune): id: intfloat/multilingual-e5-base
Card metadata: tags: sentence-transformers, sentence-similarity, feature-extraction, generated_from_trainer, dataset_size:1924, loss:MultipleNegativesRankingLoss
base_model: intfloat/multilingual-e5-base
widget: source_sentence: query: Khai triển của A(n, k) là gì?
sentences: passage: # Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

## Trên đoạn [a; b]
**Bước 1:** Tìm các điểm $x_i$ trong $(a; b)$ mà tại đó $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định
**Bước 2:** Tính các giá trị $f(a)$, $f(b)$ và $f(x_i)$
**Bước 3:** So sánh để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

## Ví dụ
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ trên $[-1; 3]$.

**Lời giải:**
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ (cả hai đều thuộc $(-1; 3)$)

Tính giá trị:
- $f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2$
- $f(0) = 2$ 
- $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$
- $f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$

**Kết luận:**
- $\max_{[-1;3]} f(x) = 2$ tại $x = 0$ và $x = 3$
- $\min_{[-1;3]} f(x) = -2$ tại $x = -1$ và $x = 2$

## Trên khoảng hoặc nửa khoảng
- Tìm cực trị trong khoảng
- Xét giới hạn tại các đầu mút
- Kết luận về sự tồn tại, passage: # Vectơ trong không gian

## Định nghĩa
**Vectơ trong không gian** là đại lượng có độ lớn và hướng, được biểu diễn bằng đoạn thẳng có hướng từ điểm đầu đến điểm cuối.

Vectơ $\overrightarrow{AB}$:
- Điểm đầu: $A$ 
- Điểm cuối: $B$
- Độ lớn: $|\overrightarrow{AB}| = |AB|$
- Hướng: từ $A$ đến $B$

## Các loại vectơ đặc biệt
**Vectơ không:** $\vec{0}$ có độ lớn bằng 0, không có hướng xác định

**Vectơ đơn vị:** Có độ lớn bằng 1

**Hai vectơ bằng nhau:** $\vec{a} = \vec{b}$ nếu cùng độ lớn và cùng hướng

**Hai vectơ đối nhau:** $\vec{a} = -\vec{b}$ nếu cùng độ lớn nhưng ngược hướng

## Điều kiện cùng phương
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (với $\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương khi tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.

## Ứng dụng
**Ba điểm thẳng hàng:** $A$, $B$, $C$ thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương

**Bốn điểm đồng phẳng:** $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng ⇔ $\overrightarrow{AD}$ biểu diễn được qua $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, passage: # Hoán vị và Chỉnh hợp

## Quy tắc nhân
Nếu có $m$ cách làm việc A và $n$ cách làm việc B thì có $m \times n$ cách làm cả hai việc A và B.

## Hoán vị
**Định nghĩa:** Hoán vị của $n$ phần tử là cách sắp xếp $n$ phần tử đó theo một thứ tự nhất định.

**Công thức:** $P_n = n!$

**Giai thừa:** $n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n$

Quy ước: $0! = 1$

## Chỉnh hợp
**Định nghĩa:** Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là cách sắp xếp $k$ phần tử được chọn từ $n$ phần tử theo một thứ tự nhất định.

**Điều kiện:** $0 \leq k \leq n$

**Công thức:** $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

**Khai triển:** $A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ ($k$ thừa số)

## Ví dụ minh họa
**Ví dụ 1:** Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người ngồi quanh bàn tròn?

**Lời giải:** Với bàn tròn, cố định 1 người, sắp xếp 4 người còn lại: $(5-1)! = 4! = 24$ cách.

**Ví dụ 2:** Có 8 vận động viên chạy. Có bao nhiêu cách trao giải Nhất, Nhì, Ba?

**Lời giải:** Chọn và sắp xếp 3 người từ 8 người: $A_8^3 = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ cách.

**Ví dụ 3:** Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được tạo từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6}?

**Lời giải:** $A_6^4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ số.

## Lưu ý quan trọng
- **Hoán vị:** Quan tâm đến thứ tự, sử dụng hết tất cả phần tử
- **Chỉnh hợp:** Quan tâm đến thứ tự, chọn một phần phần tử
- Luôn xác định rõ điều kiện bài toán (có lặp, không lặp, có ràng buộc gì không), source_sentence: query: Ví dụ, hãy tính Q1 cho bộ dữ liệu điểm thi: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10.
sentences: passage: # Khảo sát hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$

## Điều kiện
$c \neq 0$ và $ad - bc \neq 0$

## Đặc điểm chung
- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{d}{c}\}$
- Tiệm cận đứng: $x = -\frac{d}{c}$
- Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c}$
- Hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng xác định

## Tính đơn điệu
$f'(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$

- Nếu $ad - bc > 0$: hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định
- Nếu $ad - bc < 0$: hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

## Tâm đối xứng
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận: $I(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c})$

## Ví dụ
Khảo sát $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$.

**Lời giải:**
- TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
- $f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$
- Hàm nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
- Tiệm cận đứng: $x = 1$
- Tiệm cận ngang: $y = 2$
- Tâm đối xứng: $I(1; 2)$
- Giao trục tung: $(0; -1)$
- Giao trục hoành: $(-\frac{1}{2}; 0)$, passage: # So sánh các chỉ số đo mức độ phân tán

## Bảng so sánh

| Chỉ số | Ưu điểm | Nhược điểm | Khi nào sử dụng |
|--------|---------|------------|-----------------|
| **Khoảng biến thiên** | Đơn giản, dễ tính | Nhạy cảm với outliers, chỉ dùng 2 giá trị | Đánh giá sơ bộ, kiểm soát chất lượng |
| **Khoảng tứ phân vị** | Bền vững với outliers, dễ hiểu | Chỉ phản ánh 50% dữ liệu | Dữ liệu có outliers, phân tích thống kê mô tả |
| **Độ lệch chuẩn** | Sử dụng toàn bộ dữ liệu, tính chất toán học tốt | Phức tạp hơn, đơn vị khác với dữ liệu gốc (phương sai) | Phân tích thống kê sâu, so sánh chính xác |

## Hệ số biến thiên
$$CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$$

**Ý nghĩa:** So sánh mức độ phân tán tương đối giữa các bộ dữ liệu có đơn vị hoặc trung bình khác nhau.

## Ví dụ so sánh
**Lớp A:** Điểm TB = 7.5, độ lệch chuẩn = 1.2, IQR = 1.8
**Lớp B:** Điểm TB = 7.8, độ lệch chuẩn = 0.8, IQR = 1.1

**Phân tích:**
- Lớp B có điểm trung bình cao hơn
- Lớp B có độ phân tán thấp hơn (đồng đều hơn)
- Hệ số biến thiên: A = 16%, B = 10.3%

**Kết luận:** Lớp B vừa có kết quả tốt hơn vừa đồng đều hơn.

## Lựa chọn chỉ số phù hợp
- **Dữ liệu có outliers:** Dùng IQR
- **So sánh nhiều nhóm:** Dùng hệ số biến thiên  
- **Phân tích chính xác:** Dùng độ lệch chuẩn
- **Đánh giá nhanh:** Dùng khoảng biến thiên, passage: # Tính toán tứ phân vị - Ví dụ thực hành

## Ví dụ với dữ liệu rời rạc
Điểm thi của 10 học sinh: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10

**Tìm vị trí:**
- $Q_1$: vị trí $\frac{10}{4} = 2.5$ → trung bình của số thứ 2 và 3
- $Q_2$: vị trí $\frac{10}{2} = 5$ → trung bình của số thứ 5 và 6  
- $Q_3$: vị trí $\frac{3 \times 10}{4} = 7.5$ → trung bình của số thứ 7 và 8

**Kết quả:**
- $Q_1 = \frac{6 + 7}{2} = 6.5$
- $Q_2 = \frac{8 + 8}{2} = 8$
- $Q_3 = \frac{8 + 9}{2} = 8.5$
- $IQR = 8.5 - 6.5 = 2$

## Ví dụ với dữ liệu ghép nhóm
Cân nặng 100 học sinh:

| Lớp (kg)    | Tần số | Tần số tích lũy |
|-------------|--------|-----------------|
| [40; 45)    | 8      | 8               |
| [45; 50)    | 22     | 30              |
| [50; 55)    | 35     | 65              |
| [55; 60)    | 25     | 90              |
| [60; 65)    | 10     | 100             |

**Tính $Q_1$ (vị trí 25):** Nằm trong [45; 50) vì 30 ≥ 25
$$Q_1 = 45 + \frac{25 - 8}{22} \times 5 = 45 + 3.86 = 48.86$$

**Tính $Q_3$ (vị trí 75):** Nằm trong [55; 60) vì 90 ≥ 75  
$$Q_3 = 55 + \frac{75 - 65}{25} \times 5 = 55 + 2 = 57$$

**Kết quả:** $IQR = 57 - 48.86 = 8.14$ kg, source_sentence: query: Cho một cấp số cộng có u1 = 3 và d = 2, hãy tìm u5.
sentences: passage: # Cấp số cộng

## Định nghĩa
**Cấp số cộng** là dãy số $(u_n)$ mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi $d$.

$$u_{n+1} = u_n + d \quad (\forall n \geq 1)$$

Số $d$ được gọi là **công sai** của cấp số cộng.

## Số hạng tổng quát
$$u_n = u_1 + (n-1)d$$

Hoặc với số hạng bất kỳ: $u_n = u_k + (n-k)d$

## Tính chất cơ bản
1. **Tính chất đặc trưng:** $u_{n+1} - u_n = d$ (hằng số)

2. **Số hạng ở giữa:** $u_k = \frac{u_{k-p} + u_{k+p}}{2}$ với $p > 0$

3. **Ba số hạng liên tiếp:** $a, b, c$ tạo thành CSC ⇔ $b = \frac{a+c}{2}$

## Ví dụ
**Ví dụ 1:** Dãy số $2, 5, 8, 11, 14, ...$
- Số hạng đầu: $u_1 = 2$
- Công sai: $d = 5 - 2 = 3$
- Số hạng tổng quát: $u_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$

**Ví dụ 2:** Tìm số hạng thứ 20 của CSC có $u_3 = 7$ và $d = 4$.
$u_{20} = u_3 + (20-3) \times 4 = 7 + 17 \times 4 = 75$

## Ứng dụng thực tế
- **Tiết kiệm:** Mỗi tháng gửi thêm số tiền cố định
- **Chuyển động thẳng đều:** Quãng đường trong các khoảng thời gian bằng nhau
- **Lập kế hoạch sản xuất:** Tăng sản lượng đều đặn theo thời gian, passage: # Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

## Khoảng biến thiên (Range)
**Định nghĩa:** Khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

**Với dữ liệu ghép nhóm:** $R = a_n - a_1$ (cận trên lớp cuối - cận dưới lớp đầu)

**Ưu điểm:** Đơn giản, dễ tính
**Nhược điểm:** Chỉ phụ thuộc vào 2 giá trị cực trị, nhạy cảm với outliers

## Tứ phân vị
**Định nghĩa:** Các giá trị chia dữ liệu đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau:
- $Q_1$: 25% dữ liệu ≤ $Q_1$
- $Q_2$: 50% dữ liệu ≤ $Q_2$ (trung vị)  
- $Q_3$: 75% dữ liệu ≤ $Q_3$

## Công thức tính tứ phân vị (dữ liệu ghép nhóm)
Với $n$ quan sát, vị trí tứ phân vị thứ $k$: $\frac{kn}{4}$

$$Q_k = L + \frac{\frac{kn}{4} - F}{f} \times h$$

Trong đó:
- $L$: cận dưới lớp chứa $Q_k$
- $F$: tần số tích lũy trước lớp chứa $Q_k$  
- $f$: tần số lớp chứa $Q_k$
- $h$: độ rộng lớp

## Khoảng tứ phân vị
$$IQR = Q_3 - Q_1$$

**Ý nghĩa:** Đo độ phân tán của 50% dữ liệu ở giữa, ít bị ảnh hưởng bởi outliers., passage: # Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

## Công thức tổng
Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

**Công thức 1:** $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$

**Công thức 2:** $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$

**Công thức 3:** $S_n = nu_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

## Tính chất của tổng
1. $S_n - S_{n-1} = u_n$ (với $n \geq 2$)

2. Nếu $S_n = an^2 + bn$ thì dãy là CSC với:
   - $u_1 = a + b$
   - $d = 2a$

## Ví dụ tính toán
**Ví dụ 1:** Tính tổng 15 số hạng đầu của CSC: $3, 7, 11, 15, ...$

**Lời giải:**
- $u_1 = 3$, $d = 4$
- $S_{15} = \frac{15}{2}[2 \times 3 + (15-1) \times 4] = \frac{15}{2}[6 + 56] = 465$

**Ví dụ 2:** Tìm $n$ biết tổng $n$ số hạng đầu của CSC có $u_1 = 2$, $d = 3$ là $S_n = 77$.

**Lời giải:**
$77 = \frac{n}{2}[2 \times 2 + (n-1) \times 3] = \frac{n(4 + 3n - 3)}{2} = \frac{n(3n + 1)}{2}$

$154 = n(3n + 1) = 3n^2 + n$

$3n^2 + n - 154 = 0$

Giải được $n = 7$ (loại nghiệm âm)

## Bài toán thực tế
Một công ty kế hoạch tăng lương cho nhân viên theo CSC:
- Năm đầu: 15 triệu/năm  
- Mỗi năm tăng: 2 triệu/năm

Tính tổng lương 10 năm đầu:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2 \times 15 + (10-1) \times 2] = 5 \times 48 = 240$ triệu đồng, source_sentence: query: Bước thứ ba trong phương pháp giải bài toán tối ưu thực tế bằng đạo hàm là gì?
sentences: passage: # Tính toán tứ phân vị - Ví dụ thực hành

## Ví dụ với dữ liệu rời rạc
Điểm thi của 10 học sinh: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10

**Tìm vị trí:**
- $Q_1$: vị trí $\frac{10}{4} = 2.5$ → trung bình của số thứ 2 và 3
- $Q_2$: vị trí $\frac{10}{2} = 5$ → trung bình của số thứ 5 và 6  
- $Q_3$: vị trí $\frac{3 \times 10}{4} = 7.5$ → trung bình của số thứ 7 và 8

**Kết quả:**
- $Q_1 = \frac{6 + 7}{2} = 6.5$
- $Q_2 = \frac{8 + 8}{2} = 8$
- $Q_3 = \frac{8 + 9}{2} = 8.5$
- $IQR = 8.5 - 6.5 = 2$

## Ví dụ với dữ liệu ghép nhóm
Cân nặng 100 học sinh:

| Lớp (kg)    | Tần số | Tần số tích lũy |
|-------------|--------|-----------------|
| [40; 45)    | 8      | 8               |
| [45; 50)    | 22     | 30              |
| [50; 55)    | 35     | 65              |
| [55; 60)    | 25     | 90              |
| [60; 65)    | 10     | 100             |

**Tính $Q_1$ (vị trí 25):** Nằm trong [45; 50) vì 30 ≥ 25
$$Q_1 = 45 + \frac{25 - 8}{22} \times 5 = 45 + 3.86 = 48.86$$

**Tính $Q_3$ (vị trí 75):** Nằm trong [55; 60) vì 90 ≥ 75  
$$Q_3 = 55 + \frac{75 - 65}{25} \times 5 = 55 + 2 = 57$$

**Kết quả:** $IQR = 57 - 48.86 = 8.14$ kg, passage: # Khảo sát hàm đa thức bậc ba

## Dạng tổng quát
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a \neq 0$

## Đặc điểm chung
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Không có tiệm cận
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ nếu $a > 0$, $-\infty$ nếu $a < 0$
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ nếu $a > 0$, $+\infty$ nếu $a < 0$

## Số cực trị
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$
$\Delta = 4b^2 - 12ac$

- Nếu $\Delta > 0$: có 2 cực trị
- Nếu $\Delta \leq 0$: đồng biến trên $\mathbb{R}$

## Ví dụ
Khảo sát $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

**Lời giải:**
- TXĐ: $D = \mathbb{R}$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
- $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$
- Cực đại: $(0; 2)$, Cực tiểu: $(2; -2)$
- Giao trục tung: $(0; 2)$
- Giao trục hoành: giải $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$

Bảng biến thiên:
$x$: $-\infty$ → $0$ → $2$ → $+\infty$
$f'(x)$: $+$ → $0$ → $-$ → $0$ → $+$
$f(x)$: $-\infty$ ↗ $2$ ↘ $-2$ ↗ $+\infty$, passage: # Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu thực tế

## Phương pháp giải tổng quát
**Bước 1:** Phân tích bài toán
- Xác định đại lượng cần tối ưu (tối đa/tối thiểu)
- Xác định các ràng buộc thực tế

**Bước 2:** Thiết lập hàm mục tiêu
- Chọn biến độc lập $x$
- Biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo $x$: $f(x)$
- Xác định miền xác định thực tế

**Bước 3:** Tìm cực trị
- Tính $f'(x)$ và giải $f'(x) = 0$
- Kiểm tra điều kiện cực trị
- So sánh giá trị tại các điểm tới hạn và biên

**Bước 4:** Kết luận
- Kiểm tra tính hợp lý của nghiệm
- Diễn giải kết quả trong bối cảnh thực tế

## Lưu ý quan trọng
- Chú ý điều kiện thực tế (độ dài dương, diện tích dương, etc.)
- Kiểm tra nghiệm có nằm trong miền xác định không
- Đơn vị phải phù hợp với thực tế, source_sentence: query: Ý nghĩa của việc tìm nghiệm của phương trình f'(x) = 0?
sentences: passage: # Phương pháp tìm cực trị của hàm số

## Quy trình tìm cực trị
**Bước 1:** Tìm tập xác định của hàm số
**Bước 2:** Tính đạo hàm $f'(x)$
**Bước 3:** Tìm nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ và các điểm mà $f'(x)$ không xác định
**Bước 4:** Lập bảng xét dấu $f'(x)$
**Bước 5:** Kết luận về cực trị

## Ví dụ minh họa
Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

**Lời giải:**
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 0, x = 1$

Bảng xét dấu:
- $x \in (-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$
- $x \in (-1; 0)$: $f'(x) > 0$  
- $x \in (0; 1)$: $f'(x) < 0$
- $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) > 0$

**Kết luận:**
- $x = -1$: cực tiểu, $f(-1) = 0$
- $x = 0$: cực đại, $f(0) = 1$
- $x = 1$: cực tiểu, $f(1) = 0$, passage: # Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

## Trên đoạn [a; b]
**Bước 1:** Tìm các điểm $x_i$ trong $(a; b)$ mà tại đó $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định
**Bước 2:** Tính các giá trị $f(a)$, $f(b)$ và $f(x_i)$
**Bước 3:** So sánh để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

## Ví dụ
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ trên $[-1; 3]$.

**Lời giải:**
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ (cả hai đều thuộc $(-1; 3)$)

Tính giá trị:
- $f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2$
- $f(0) = 2$ 
- $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$
- $f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$

**Kết luận:**
- $\max_{[-1;3]} f(x) = 2$ tại $x = 0$ và $x = 3$
- $\min_{[-1;3]} f(x) = -2$ tại $x = -1$ và $x = 2$

## Trên khoảng hoặc nửa khoảng
- Tìm cực trị trong khoảng
- Xét giới hạn tại các đầu mút
- Kết luận về sự tồn tại, passage: # Tổ hợp

## Định nghĩa
**Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử** là cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử mà không quan tâm đến thứ tự.

**Ký hiệu:** $C_n^k$ hoặc $\binom{n}{k}$

**Điều kiện:** $0 \leq k \leq n$

## Công thức
$$C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

**Công thức Pascal:** $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

## Tính chất cơ bản
1. $C_n^0 = C_n^n = 1$
2. $C_n^k = C_n^{n-k}$
3. $C_n^1 = n$
4. $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

## Ví dụ tính toán
**Ví dụ 1:** Từ 10 học sinh, chọn 3 học sinh tham gia đội tuyển. Có bao nhiêu cách?

**Lời giải:** $C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ cách.

**Ví dụ 2:** Trong một lớp có 15 nam và 10 nữ. Chọn 5 người sao cho có đúng 3 nam và 2 nữ.

**Lời giải:** 
- Chọn 3 nam từ 15 nam: $C_{15}^3 = 455$ cách
- Chọn 2 nữ từ 10 nữ: $C_{10}^2 = 45$ cách
- Tổng cộng: $455 \times 45 = 20,475$ cách

## Nhị thức Newton
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$$

**Ví dụ:** $(x + 2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 2^2 + C_4^3 x \cdot 2^3 + C_4^4 \cdot 2^4$
$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

## Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
- **Chỉnh hợp:** Quan tâm thứ tự (Ví dụ: Chọn và xếp hạng)
- **Tổ hợp:** Không quan tâm thứ tự (Ví dụ: Chọn thành viên nhóm)

**Mối quan hệ:** $A_n^k = k! \times C_n^k$
pipeline_tag: sentence-similarity
library_name: sentence-transformers
metrics: cosine_accuracy, cosine_accuracy_threshold, cosine_f1, cosine_f1_threshold, cosine_precision, cosine_recall, cosine_ap, cosine_mcc
model-index: name: SentenceTransformer based on intfloat/multilingual-e5-base
results: task: type: binary-classification
name: Binary Classification
dataset: name: ranking evaluator
type: ranking_evaluator
metrics: type: cosine_accuracy
value: 0.95
name: Cosine Accuracy
verified: no, type: cosine_accuracy_threshold
value: 0.349759966135025
name: Cosine Accuracy Threshold
verified: no, type: cosine_f1
value: 0.923076923076923
name: Cosine F1
verified: no, type: cosine_f1_threshold
value: 0.2493414580821991
name: Cosine F1 Threshold
verified: no, type: cosine_precision
value: 0.868421052631579
name: Cosine Precision
verified: no, type: cosine_recall
value: 0.9850746268656716
name: Cosine Recall
verified: no, type: cosine_ap
value: 0.9736919697108746
name: Cosine Ap
verified: no, type: cosine_mcc
value: 0.8847750746802935
name: Cosine Mcc
verified: no
Likes: 0 | All-time downloads: 26
Created: 2025-07-11 03:47:49