Model: ThanhLe0125/e5-math-ebd
Author: ThanhLe0125
Pipeline: sentence-similarity
Library: sentence-transformers
Tags: sentence-transformers, safetensors, xlm-roberta, sentence-similarity, feature-extraction, generated_from_trainer, dataset_size:1924, loss:MultipleNegativesRankingLoss, arxiv:1908.10084, arxiv:1705.00652, base_model:intfloat/multilingual-e5-base, base_model:finetune:intfloat/multilingual-e5-base, model-index, text-embeddings-inference, endpoints_compatible, region:us
Base models (finetune): id: intfloat/multilingual-e5-base
Card metadata: tags: sentence-transformers, sentence-similarity, feature-extraction, generated_from_trainer, dataset_size:1924, loss:MultipleNegativesRankingLoss
base_model: intfloat/multilingual-e5-base
widget: source_sentence: query: Cách tính chi phí biến đổi trong một bài toán cụ thể.
sentences: passage: # Bài toán tối ưu hình học

## Dạng bài thường gặp
1. **Chu vi cố định, tối ưu diện tích**
2. **Diện tích cố định, tối ưu chu vi**  
3. **Vật liệu cố định, tối ưu thể tích**
4. **Tối ưu kích thước hộp, hình trụ**

## Ví dụ 1: Hình chữ nhật có chu vi cố định
Trong tất cả hình chữ nhật có chu vi $2p$, tìm hình có diện tích lớn nhất.

**Lời giải:**
Gọi hai cạnh là $x$ và $y$ với $x, y > 0$
Điều kiện: $2(x + y) = 2p \Rightarrow y = p - x$
Miền xác định: $0 < x < p$

Diện tích: $S(x) = xy = x(p - x) = px - x^2$
$S'(x) = p - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{p}{2}$

Khi đó $y = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$

**Kết luận:** Hình vuông có diện tích lớn nhất.

## Ví dụ 2: Hộp không nắp từ tấm tôn
Từ tấm tôn vuông cạnh $a$, cắt bỏ bốn góc là hình vuông cạnh $x$, gập thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.

**Lời giải:**
- Đáy hộp: $(a-2x) \times (a-2x)$
- Chiều cao: $x$
- Điều kiện: $0 < x < \frac{a}{2}$

Thể tích: $V(x) = x(a-2x)^2$
$V'(x) = (a-2x)^2 + x \cdot 2(a-2x)(-2) = (a-2x)(a-6x)$
$V'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{6}$ (loại $x = \frac{a}{2}$)

**Kết luận:** $x = \frac{a}{6}$ cho thể tích lớn nhất., passage: # Các phép toán vectơ trong không gian

## Phép cộng vectơ
**Quy tắc hình bình hành:** Đặt hai vectơ chung gốc, vectơ tổng là đường chéo hình bình hành.

**Quy tắc tam giác:** $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

**Tính chất:**
- Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
- Kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
- Phần tử trung hòa: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

## Phép trừ vectơ
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

**Ý nghĩa:** $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$

## Phép nhân vectơ với số thực
Cho vectơ $\vec{a}$ và số thực $k$:
- Nếu $k > 0$: $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$, độ lớn $|k\vec{a}| = k|\vec{a}|$
- Nếu $k < 0$: $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$, độ lớn $|k\vec{a}| = |k||\vec{a}|$  
- Nếu $k = 0$: $k\vec{a} = \vec{0}$

**Tính chất:**
- $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
- $(k + h)\vec{a} = k\vec{a} + h\vec{a}$
- $(kh)\vec{a} = k(h\vec{a})$

## Ví dụ ứng dụng
Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Chứng minh: $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$

**Lời giải:**
$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG}$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$  
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$, passage: # Bài toán tối ưu kinh tế

## Các khái niệm cơ bản
- **Doanh thu:** $R(x) = p \cdot x$ (giá × số lượng)
- **Chi phí:** $C(x) = $ chi phí cố định + chi phí biến đổi
- **Lợi nhuận:** $P(x) = R(x) - C(x)$

## Ví dụ: Tối ưu lợi nhuận
Một công ty sản xuất $x$ sản phẩm/ngày với:
- Chi phí: $C(x) = x^2 + 40x + 400$ (nghìn đồng)
- Giá bán: 200 nghìn đồng/sản phẩm

Tìm mức sản xuất để lợi nhuận tối đa.

**Lời giải:**
Doanh thu: $R(x) = 200x$
Lợi nhuận: $P(x) = 200x - (x^2 + 40x + 400) = -x^2 + 160x - 400$

$P'(x) = -2x + 160 = 0 \Rightarrow x = 80$
$P''(x) = -2 < 0$ nên $x = 80$ cho cực đại.

Lợi nhuận tối đa: $P(80) = -6400 + 12800 - 400 = 6000$ nghìn đồng.

**Kết luận:** Sản xuất 80 sản phẩm/ngày để đạt lợi nhuận tối đa 6 triệu đồng.

## Dạng bài khác
- **Tối ưu giá bán** khi có mối quan hệ giữa giá và lượng tiêu thụ
- **Tối ưu chi phí vận chuyển, sản xuất**
- **Tối ưu thời gian với chi phí nhân công**, source_sentence: query: Hãy nêu một ví dụ về việc áp dụng IQR trong lĩnh vực y tế để đánh giá sự biến động của một chỉ số sức khỏe.
sentences: passage: # Tính toán phương sai và độ lệch chuẩn

## Ví dụ 1: Dữ liệu rời rạc
Điểm số: 6, 7, 8, 9, 10

**Bước 1:** Tính trung bình
$\bar{x} = \frac{6 + 7 + 8 + 9 + 10}{5} = 8$

**Bước 2:** Tính phương sai
| $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|-------|-----------------|---------------------|
| 6     | -2              | 4                   |
| 7     | -1              | 1                   |
| 8     | 0               | 0                   |
| 9     | 1               | 1                   |
| 10    | 2               | 4                   |

$s^2 = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2$

**Bước 3:** Tính độ lệch chuẩn
$s = \sqrt{2} \approx 1.41$

## Ví dụ 2: Dữ liệu ghép nhóm
Chiều cao 40 học sinh:

| Lớp (cm)     | Tần số | Giá trị đại diện |
|--------------|--------|------------------|
| [150; 155)   | 4      | 152.5            |
| [155; 160)   | 8      | 157.5            |
| [160; 165)   | 16     | 162.5            |
| [165; 170)   | 10     | 167.5            |
| [170; 175)   | 2      | 172.5            |

**Tính trung bình:**
$\bar{x} = \frac{152.5 \times 4 + 157.5 \times 8 + 162.5 \times 16 + 167.5 \times 10 + 172.5 \times 2}{40} = 162.25$

**Tính phương sai:**
$s^2 = \frac{4(152.5-162.25)^2 + 8(157.5-162.25)^2 + 16(162.5-162.25)^2 + 10(167.5-162.25)^2 + 2(172.5-162.25)^2}{40}$

$s^2 = \frac{380.25 + 180.5 + 1 + 275.625 + 210.125}{40} = 26.19$

$s = \sqrt{26.19} \approx 5.12$ cm, passage: # Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu thực tế

## Phương pháp giải tổng quát
**Bước 1:** Phân tích bài toán
- Xác định đại lượng cần tối ưu (tối đa/tối thiểu)
- Xác định các ràng buộc thực tế

**Bước 2:** Thiết lập hàm mục tiêu
- Chọn biến độc lập $x$
- Biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo $x$: $f(x)$
- Xác định miền xác định thực tế

**Bước 3:** Tìm cực trị
- Tính $f'(x)$ và giải $f'(x) = 0$
- Kiểm tra điều kiện cực trị
- So sánh giá trị tại các điểm tới hạn và biên

**Bước 4:** Kết luận
- Kiểm tra tính hợp lý của nghiệm
- Diễn giải kết quả trong bối cảnh thực tế

## Lưu ý quan trọng
- Chú ý điều kiện thực tế (độ dài dương, diện tích dương, etc.)
- Kiểm tra nghiệm có nằm trong miền xác định không
- Đơn vị phải phù hợp với thực tế, passage: # So sánh các chỉ số đo mức độ phân tán

## Bảng so sánh

| Chỉ số | Ưu điểm | Nhược điểm | Khi nào sử dụng |
|--------|---------|------------|-----------------|
| **Khoảng biến thiên** | Đơn giản, dễ tính | Nhạy cảm với outliers, chỉ dùng 2 giá trị | Đánh giá sơ bộ, kiểm soát chất lượng |
| **Khoảng tứ phân vị** | Bền vững với outliers, dễ hiểu | Chỉ phản ánh 50% dữ liệu | Dữ liệu có outliers, phân tích thống kê mô tả |
| **Độ lệch chuẩn** | Sử dụng toàn bộ dữ liệu, tính chất toán học tốt | Phức tạp hơn, đơn vị khác với dữ liệu gốc (phương sai) | Phân tích thống kê sâu, so sánh chính xác |

## Hệ số biến thiên
$$CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$$

**Ý nghĩa:** So sánh mức độ phân tán tương đối giữa các bộ dữ liệu có đơn vị hoặc trung bình khác nhau.

## Ví dụ so sánh
**Lớp A:** Điểm TB = 7.5, độ lệch chuẩn = 1.2, IQR = 1.8
**Lớp B:** Điểm TB = 7.8, độ lệch chuẩn = 0.8, IQR = 1.1

**Phân tích:**
- Lớp B có điểm trung bình cao hơn
- Lớp B có độ phân tán thấp hơn (đồng đều hơn)
- Hệ số biến thiên: A = 16%, B = 10.3%

**Kết luận:** Lớp B vừa có kết quả tốt hơn vừa đồng đều hơn.

## Lựa chọn chỉ số phù hợp
- **Dữ liệu có outliers:** Dùng IQR
- **So sánh nhiều nhóm:** Dùng hệ số biến thiên  
- **Phân tích chính xác:** Dùng độ lệch chuẩn
- **Đánh giá nhanh:** Dùng khoảng biến thiên, source_sentence: query: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 quyển sách lên một kệ?
sentences: passage: # Hoán vị và Chỉnh hợp

## Quy tắc nhân
Nếu có $m$ cách làm việc A và $n$ cách làm việc B thì có $m \times n$ cách làm cả hai việc A và B.

## Hoán vị
**Định nghĩa:** Hoán vị của $n$ phần tử là cách sắp xếp $n$ phần tử đó theo một thứ tự nhất định.

**Công thức:** $P_n = n!$

**Giai thừa:** $n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n$

Quy ước: $0! = 1$

## Chỉnh hợp
**Định nghĩa:** Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là cách sắp xếp $k$ phần tử được chọn từ $n$ phần tử theo một thứ tự nhất định.

**Điều kiện:** $0 \leq k \leq n$

**Công thức:** $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

**Khai triển:** $A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ ($k$ thừa số)

## Ví dụ minh họa
**Ví dụ 1:** Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người ngồi quanh bàn tròn?

**Lời giải:** Với bàn tròn, cố định 1 người, sắp xếp 4 người còn lại: $(5-1)! = 4! = 24$ cách.

**Ví dụ 2:** Có 8 vận động viên chạy. Có bao nhiêu cách trao giải Nhất, Nhì, Ba?

**Lời giải:** Chọn và sắp xếp 3 người từ 8 người: $A_8^3 = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ cách.

**Ví dụ 3:** Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được tạo từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6}?

**Lời giải:** $A_6^4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ số.

## Lưu ý quan trọng
- **Hoán vị:** Quan tâm đến thứ tự, sử dụng hết tất cả phần tử
- **Chỉnh hợp:** Quan tâm đến thứ tự, chọn một phần phần tử
- Luôn xác định rõ điều kiện bài toán (có lặp, không lặp, có ràng buộc gì không), passage: # Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

## Thiết lập hệ trục
Hệ trục tọa độ $Oxyz$ gồm:
- **Gốc tọa độ:** $O$
- **Trục $Ox$ (hoành):** vectơ đơn vị $\vec{i}$
- **Trục $Oy$ (tung):** vectơ đơn vị $\vec{j}$  
- **Trục $Oz$ (cao):** vectơ đơn vị $\vec{k}$

**Điều kiện:** Ba trục vuông góc từng đôi một, $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$

**Quy tắc bàn tay phải:** Khi co bốn ngón từ $\vec{i}$ về $\vec{j}$, ngón cái chỉ theo $\vec{k}$.

## Tọa độ của điểm
Mỗi điểm $M$ trong không gian có tọa độ duy nhất $(x; y; z)$ với:
- $x$: khoảng cách có dấu đến mặt phẳng $Oyz$
- $y$: khoảng cách có dấu đến mặt phẳng $Oxz$
- $z$: khoảng cách có dấu đến mặt phẳng $Oxy$

## Các điểm đặc biệt
- Gốc tọa độ: $O(0; 0; 0)$
- Trên trục $Ox$: $(a; 0; 0)$
- Trên trục $Oy$: $(0; b; 0)$
- Trên trục $Oz$: $(0; 0; c)$
- Trên mặt phẳng $Oxy$: $(x; y; 0)$
- Trên mặt phẳng $Oxz$: $(x; 0; z)$
- Trên mặt phẳng $Oyz$: $(0; y; z)$

## Tọa độ của vectơ
Vectơ $\vec{a}$ có tọa độ $(a_x; a_y; a_z)$ nếu:
$$\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$$

**Mối quan hệ:** $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$, passage: # Bài toán tối ưu kinh tế

## Các khái niệm cơ bản
- **Doanh thu:** $R(x) = p \cdot x$ (giá × số lượng)
- **Chi phí:** $C(x) = $ chi phí cố định + chi phí biến đổi
- **Lợi nhuận:** $P(x) = R(x) - C(x)$

## Ví dụ: Tối ưu lợi nhuận
Một công ty sản xuất $x$ sản phẩm/ngày với:
- Chi phí: $C(x) = x^2 + 40x + 400$ (nghìn đồng)
- Giá bán: 200 nghìn đồng/sản phẩm

Tìm mức sản xuất để lợi nhuận tối đa.

**Lời giải:**
Doanh thu: $R(x) = 200x$
Lợi nhuận: $P(x) = 200x - (x^2 + 40x + 400) = -x^2 + 160x - 400$

$P'(x) = -2x + 160 = 0 \Rightarrow x = 80$
$P''(x) = -2 < 0$ nên $x = 80$ cho cực đại.

Lợi nhuận tối đa: $P(80) = -6400 + 12800 - 400 = 6000$ nghìn đồng.

**Kết luận:** Sản xuất 80 sản phẩm/ngày để đạt lợi nhuận tối đa 6 triệu đồng.

## Dạng bài khác
- **Tối ưu giá bán** khi có mối quan hệ giữa giá và lượng tiêu thụ
- **Tối ưu chi phí vận chuyển, sản xuất**
- **Tối ưu thời gian với chi phí nhân công**, source_sentence: query: Công bội của cấp số nhân được định nghĩa như thế nào?
sentences: passage: # Tổ hợp

## Định nghĩa
**Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử** là cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử mà không quan tâm đến thứ tự.

**Ký hiệu:** $C_n^k$ hoặc $\binom{n}{k}$

**Điều kiện:** $0 \leq k \leq n$

## Công thức
$$C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

**Công thức Pascal:** $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

## Tính chất cơ bản
1. $C_n^0 = C_n^n = 1$
2. $C_n^k = C_n^{n-k}$
3. $C_n^1 = n$
4. $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

## Ví dụ tính toán
**Ví dụ 1:** Từ 10 học sinh, chọn 3 học sinh tham gia đội tuyển. Có bao nhiêu cách?

**Lời giải:** $C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ cách.

**Ví dụ 2:** Trong một lớp có 15 nam và 10 nữ. Chọn 5 người sao cho có đúng 3 nam và 2 nữ.

**Lời giải:** 
- Chọn 3 nam từ 15 nam: $C_{15}^3 = 455$ cách
- Chọn 2 nữ từ 10 nữ: $C_{10}^2 = 45$ cách
- Tổng cộng: $455 \times 45 = 20,475$ cách

## Nhị thức Newton
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$$

**Ví dụ:** $(x + 2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 2^2 + C_4^3 x \cdot 2^3 + C_4^4 \cdot 2^4$
$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

## Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
- **Chỉnh hợp:** Quan tâm thứ tự (Ví dụ: Chọn và xếp hạng)
- **Tổ hợp:** Không quan tâm thứ tự (Ví dụ: Chọn thành viên nhóm)

**Mối quan hệ:** $A_n^k = k! \times C_n^k$, passage: # Phương pháp tìm cực trị của hàm số

## Quy trình tìm cực trị
**Bước 1:** Tìm tập xác định của hàm số
**Bước 2:** Tính đạo hàm $f'(x)$
**Bước 3:** Tìm nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ và các điểm mà $f'(x)$ không xác định
**Bước 4:** Lập bảng xét dấu $f'(x)$
**Bước 5:** Kết luận về cực trị

## Ví dụ minh họa
Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

**Lời giải:**
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 0, x = 1$

Bảng xét dấu:
- $x \in (-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$
- $x \in (-1; 0)$: $f'(x) > 0$  
- $x \in (0; 1)$: $f'(x) < 0$
- $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) > 0$

**Kết luận:**
- $x = -1$: cực tiểu, $f(-1) = 0$
- $x = 0$: cực đại, $f(0) = 1$
- $x = 1$: cực tiểu, $f(1) = 0$, passage: # Cấp số nhân

## Định nghĩa
**Cấp số nhân** là dãy số $(u_n)$ mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi $q \neq 0$.

$$u_{n+1} = u_n \times q \quad (\forall n \geq 1)$$

Số $q$ được gọi là **công bội** của cấp số nhân.

## Số hạng tổng quát
$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$

Hoặc với số hạng bất kỳ: $u_n = u_k \times q^{n-k}$

## Tính chất cơ bản
1. **Tính chất đặc trưng:** $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (hằng số, $u_n \neq 0$)

2. **Số hạng ở giữa:** $u_k^2 = u_{k-p} \times u_{k+p}$ với $p > 0$

3. **Ba số hạng liên tiếp:** $a, b, c$ tạo thành CSN ⇔ $b^2 = ac$ (với $a, c$ cùng dấu)

## Ví dụ
**Ví dụ 1:** Dãy số $3, 6, 12, 24, 48, ...$
- Số hạng đầu: $u_1 = 3$
- Công bội: $q = \frac{6}{3} = 2$
- Số hạng tổng quát: $u_n = 3 \times 2^{n-1}$

**Ví dụ 2:** Cho CSN có $u_2 = 6$ và $u_5 = 162$. Tìm $u_1$ và $q$.

**Lời giải:**
$u_5 = u_2 \times q^3 \Rightarrow 162 = 6 \times q^3 \Rightarrow q^3 = 27 \Rightarrow q = 3$

$u_1 = \frac{u_2}{q} = \frac{6}{3} = 2$

## Ứng dụng thực tế
- **Lãi suất kép:** Tiền lãi được cộng vào vốn gốc
- **Tăng trưởng dân số:** Tăng theo tỷ lệ phần trăm hàng năm
- **Phân rã phong xạ:** Giảm theo tỷ lệ cố định
- **Lan truyền virus:** Số ca nhiễm tăng theo cấp số nhân, source_sentence: query: Trong định nghĩa điểm cực đại, khoảng (a; b) có vai trò gì?
sentences: passage: # Cực trị của hàm số

## Định nghĩa
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ và $x_0 \in D$.

**Cực đại:** $x_0$ được gọi là điểm cực đại nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) \leq f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \cap D$.

**Cực tiểu:** $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) \geq f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \cap D$.

## Điều kiện cần (Định lý Fermat)
Nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ và $x_0$ là điểm cực trị thì $f'(x_0) = 0$.

## Điều kiện đủ
**Dấu của đạo hàm bậc nhất:**
- Nếu $f'(x) > 0$ trên $(x_0 - h; x_0)$ và $f'(x) < 0$ trên $(x_0; x_0 + h)$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu $f'(x) < 0$ trên $(x_0 - h; x_0)$ và $f'(x) > 0$ trên $(x_0; x_0 + h)$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.

**Đạo hàm bậc hai:**
- Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
- Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại., passage: # Quy trình khảo sát hàm số tổng quát

## Sơ đồ khảo sát
**Bước 1:** Tìm tập xác định
**Bước 2:** Khảo sát sự biến thiên
- Tính $f'(x)$ và tìm nghiệm $f'(x) = 0$
- Lập bảng biến thiên
- Tìm cực trị

**Bước 3:** Tìm tiệm cận
- Tiệm cận đứng tại các điểm gián đoạn
- Tiệm cận ngang/xiên bằng giới hạn vô cực

**Bước 4:** Tìm điểm đặc biệt
- Giao với trục tung: $f(0)$
- Giao với trục hoành: $f(x) = 0$

**Bước 5:** Vẽ đồ thị

## Bảng biến thiên
Bảng biến thiên tóm tắt:
- Dấu của $f'(x)$ 
- Chiều biến thiên của $f(x)$
- Giá trị cực trị
- Tiệm cận

## Lưu ý quan trọng
- Kiểm tra tính liên tục tại các điểm đặc biệt
- Chú ý đến tính đối xứng (nếu có)
- Xác định đúng miền xác định
- Tiệm cận ngang và xiên loại trừ lẫn nhau, passage: # Các phép toán vectơ trong không gian

## Phép cộng vectơ
**Quy tắc hình bình hành:** Đặt hai vectơ chung gốc, vectơ tổng là đường chéo hình bình hành.

**Quy tắc tam giác:** $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

**Tính chất:**
- Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
- Kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
- Phần tử trung hòa: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

## Phép trừ vectơ
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

**Ý nghĩa:** $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$

## Phép nhân vectơ với số thực
Cho vectơ $\vec{a}$ và số thực $k$:
- Nếu $k > 0$: $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$, độ lớn $|k\vec{a}| = k|\vec{a}|$
- Nếu $k < 0$: $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$, độ lớn $|k\vec{a}| = |k||\vec{a}|$  
- Nếu $k = 0$: $k\vec{a} = \vec{0}$

**Tính chất:**
- $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
- $(k + h)\vec{a} = k\vec{a} + h\vec{a}$
- $(kh)\vec{a} = k(h\vec{a})$

## Ví dụ ứng dụng
Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Chứng minh: $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$

**Lời giải:**
$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG}$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$  
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$
pipeline_tag: sentence-similarity
library_name: sentence-transformers
metrics: cosine_accuracy, cosine_accuracy_threshold, cosine_f1, cosine_f1_threshold, cosine_precision, cosine_recall, cosine_ap, cosine_mcc
model-index: name: SentenceTransformer based on intfloat/multilingual-e5-base
results: task: type: binary-classification
name: Binary Classification
dataset: name: ranking evaluator
type: ranking_evaluator
metrics: type: cosine_accuracy
value: 0.955
name: Cosine Accuracy
verified: no, type: cosine_accuracy_threshold
value: 0.3221660256385803
name: Cosine Accuracy Threshold
verified: no, type: cosine_f1
value: 0.9333333333333335
name: Cosine F1
verified: no, type: cosine_f1_threshold
value: 0.2706942856311798
name: Cosine F1 Threshold
verified: no, type: cosine_precision
value: 0.9264705882352942
name: Cosine Precision
verified: no, type: cosine_recall
value: 0.9402985074626866
name: Cosine Recall
verified: no, type: cosine_ap
value: 0.9869123299930453
name: Cosine Ap
verified: no, type: cosine_mcc
value: 0.8994301014884295
name: Cosine Mcc
verified: no
Likes: 0 | All-time downloads: 189
Created: 2025-07-06 08:43:39