So, not only is there no general algorithm for testing Diophantine equations for solvability, even for this one parameter family of equations, there is no algorithm.
Несмотря на результат Туэ, даже уравнения с двумя неизвестными не поддавались никаким усилиям математиков (алгоритм для решения уравнений с одним неизвестным следует из теоремы Безу).