His proof utilizes the fact that a point on the curve is an extremum of the curvature function if and only if the osculating circle at that point has 4th-order contact with the curve (in general the osculating circle has only 3rd-order contact with the curve).
Его доказательство использует факт, что точки кривой являются экстремумами функции кривизны тогда и только тогда, когда соприкасающаяся окружность имеет в этой точке 3-й порядок касания с кривой (в общем случае соприкасающаяся окружность имеет только второй порядок касания с кривой).