If the same calculation is done for the terms in this new sequence, and the sequence that is the outcome of this process, and again "ad infinitum" for each sequence that is the output of such a calculation, the following five sequences in this list are given by:1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...:1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...:1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...:1, 2, 0, 0, 0, 2, ...:1, 2, 0, 0, 2, ...What Gilbreath—and François Proth before him—noticed is that the first term in each series of differences appears to be 1.
Рассмотрим последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …Вычислим абсолютные значения разностей между каждым "n"+1-м членом и предыдущим ему "n"-ым членом и выпишем полученную последовательность: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …: 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …: 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …: 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …: 1, 2, 0, 0, 0, 2, …: 1, 2, 0, 0, 2, …Видим, что первый элемент каждой последовательности равен 1.