Chern was appointed professor of geometry at Chicago in 1949, the year following Spanier's appointment, and the two began the study of homology groups of fibre spaces with their joint paper The homology structure of sphere bundles in 1950. Spanier began joint work with Henry Whitehead and in a series of papers they introduced the method of duality in homotopy theory .
Chern ay hihirangin propesor ng geometry sa Chicago sa 1949, ang mga sumusunod na taon Spanier's appointment, at ang dalawa ay nagsimulang ang pag-aaral ng homology grupo ng mga hibla ng espasyo sa kanilang mga pinagsamang papel Ang homology istraktura ng globo bundle sa 1950. Spanier ay nagsimulang magtrabaho sa pinagsamang Henry Whitehead at sa isang serye ng mga papeles nila ipinakilala ang mga paraan ng duality sa homotopy theory.