The problem which Heilbronn worked on for his doctorate was related to a conjecture made by Bertrand in 1845. Bertrand conjectured that there was always at least one prime between x and 2x for x > 1. Chebyshev proved Bertrand 's conjecture in 1850 and then in 1930 Hoheisel proved that there exists a t < 1 such that for all large x, there is a prime p between x and x + xt . Heilbronn found a simpler proof to that given by Hoheisel and he also proved a stronger result by giving a smaller value of t.
Ang problema kung saan Heilbronn nagtrabaho para sa kanyang mga titulo ng doktor ay may kaugnayan sa isang haka-haka na ginawa sa pamamagitan ng Bertrand sa 1845. Bertrand conjectured na doon ay palaging hindi bababa sa isa sa pagitan ng mga kalakasan at x 2 x para sa x> 1. Chebyshev proved Bertrand 's haka-haka sa 1850 at pagkatapos ay sa 1930 Hoheisel na ang umiiral na may isang t <1 na para sa lahat ng mga malalaking x, may kalakasan p sa pagitan ng mga x at x + x t. Heilbronn natagpuan ang isang patunay na mas simple na ibinigay ng Hoheisel at siya rin proved isang malakas na resulta sa pamamagitan ng pagbigay ng isang mas maliit na halaga ng t.