Now, apply this lemma to the angle ABC and the point P, whose reflections in the lines BA and BC are and, respectively, and you see that the perpendicular bisector of the line is the line BD. Hence, the points and are symmetric to each other with respect to the line BD. Similarly, the points and are symmetric to each other with respect to the line BD, too. Hence, since symmetry is a congruence transformation, we have . Now, since and are the reflections of P in and, the points and are the midpoints of the segments and, and thus . Similarly . Now, from, it follows that .
Ngayon, mag-apply na ito lemma sa anggulo ABC at ang point P, na ang reflections sa mga linya ng BA at sa BC ay at, Ayon sa pagkakabanggit, at nakikita mo na ang tirik panggitnang guhit ng linya ay ang linya sa BD. Kaya, ang mga puntos sa at ay simetriko sa bawat isa na may paggalang sa mga linya ng BD. Katulad nito, ang mga puntos sa at ay simetriko sa bawat isa na may paggalang sa mga linya ng BD, too. Kaya, dahil mahusay na proporsyon ay isang pagkapareho pagbabagong-anyo, Kami ay may . Ngayon, dahil at ay ang mga reflections ng P sa at, Ang mga puntos sa at ay ang mga midpoints ng segment at, At sa gayon ay . Katulad . Ngayon, mula sa, Ang mga sumusunod na .