This is the hardest part of the proof as it requires the maximization of k given that the first (m-12) boys know, in total, say c girls that compose S. Then try to choose the rest of the girls and guys in B that also know girls in S to exceed 31, contradiction.
Ito ay ang hardest bahagi ng patunay na ito ay nangangailangan ng Pinalawak ng k ibinigay na ang unang (m-12) boys alam, sa kabuuan, sinasabi ng mga batang babae na c na gumawa ng sulat S. Pagkatapos subukan upang piliin ang magpahinga ng ang mga batang babae at guys sa B na alam din ng mga batang babae sa S lalampas sa 31, pagkakasalungatan.