By Gödel 's unprovability theorem, such a proof as Gentzen gave had to make use of tools stronger than those of S; extending ordinary mathematical induction, Gentzen employed transfinite induction up to Cantor 's first epsilon number, and he also showed that this was the minimum required for such proof.
Sa pamamagitan ng Gödel 's unprovability teorama, tulad ng isang patunay na Gentzen ibinigay had sa gumawa ng paggamit ng mga kasangkapan ng mas malakas kaysa sa mga ng S; pagpapalawak ng mga karaniwang matematiko pagtatalaga sa tungkulin, Gentzen trabaho transfinite pagtatalaga sa tungkulin hanggang sa kantor' s unang epsilon numero, at siya rin ay nagpakita na ito ay ang pinakamaliit na kinakailangan para sa mga tulad ng patunay.