On his return to Tokyo in 1903 Takagi proved a conjecture on abelian extensions of imaginary number fields made by Kronecker . Kronecker described this conjecture as:
Sa kanyang bumalik sa Tokyo sa 1903 Takagi proved isang haka-haka sa abelian extension ng haka-haka numero ng mga patlang na ginawa sa pamamagitan ng Kronecker. Kronecker inilarawan haka-haka na ito bilang: