Schwartz had made a big breakthrough in the understanding of partial differential equations which he saw should be completely recast in the context of distribution theory. Lions was one of several students who Schwartz directed to take this new approach and his doctoral thesis developed what has become the standard variational theory of linear elliptic and evolution equations.
Schwartz had natanggap ang mga medalya sa International Congress of Mathematicians sa Harvard sa 30 Agosto 1950 para sa kanyang trabaho sa teorya ng Distributions. Schwartz had ginawa ng isang malaking pambihirang tagumpay sa ang-unawa ng mga bahagi ng kaugalian equation na kung saan siya nakita ay dapat na ganap na muli sa context ng pamamahagi ng teorya. Lions ay isa sa ilang mga mag-aaral na Schwartz Directed sa kumuha ito bagong diskarte at sa kanyang tesis na binuo ng doktor kung ano ang maging ang standard variational teorya ng ebolusyon sa guhit tambilugin at equation.