On the basis of this, and using the daring idea of converting an elliptic equation into a hyperbolic one by penetrating into the complex domain, he developed a new proof of the analyticity of solutions of analytic elliptic equations in two independent variables, one which far exceeded the known proof in its elegance and simplicity. He proved the well-posedness of the initial value problem for wave equations in what is now called Sobolev spaces two decades before these spaces became a common tool for specialists.
Sa batayan ng mga ito, at ang paggamit ng pangahas na ideya ng pag-convert ng isang tambilugin equation sa isang hayperboliko isa sa pamamagitan ng matalino sa mga komplikadong domain, siya na binuo ng isang bagong patunay ng analyticity ng mga solusyon ng analytic tambilugin equation sa dalawang independent variable, isa na malayo lumampas kilala ang mga patunay sa kanyang tikas at simple. He proved ang mga well-posedness ng unang halaga ng problema para sa kumaway equation sa kung ano ang ngayon ay tinatawag na Sobolev agwat ng dalawang dekada bago ang mga agwat ay naging isang karaniwang kasangkapan para sa mga espesyalista.