Given a continuous function f on R2 a new function F(x) can be defined where F(x) is the maximum, relative to the radius, of the averages of the values of f on circles centred at x. Bourgain obtained bounds for F in the 2-dimensional case in 1986, using:
Ibinigay ng tuloy-tuloy na function f sa R 2 ng isang bagong function F (x) ay maaaring tinukoy na kung saan ang F (x) ay ang pinakamataas na, kamag-anak na ang radius, ng ang katamtaman ng mga halaga ng f sa circles center sa x. Bourgain makuha hangganan para sa mga F sa 2-dimensional kaso sa 1986, ang paggamit: