The assumption that the sum of the three angles of a triangle is less than 180 leads to a curious geometry, quite different from ours [i.e. Euclidean geometry] but thoroughly consistent, which I have developed to my entire satisfaction, so that I can solve every problem in it excepting the determination of a constant, which cannot be fixed a priori..... the three angles of a triangle become as small as one wishes, if only the sides are taken large enough, yet the area of the triangle can never exceed, or even attain a certain limit, regardless of how great the sides are.
Sa palagay na ang kabuuan ng tatlong angles ng isang tatsulok ay mas mababa sa 180 mga leads sa isang usisero geometry, lubos na naiiba mula sa atin [ibig sabihin Euclidean geometry] ngunit lubusan pare-pareho, na kung saan ako may binuo para sa aking buong kasiyahan, kaya ko na maaaring malutas ang bawat problema sa mga ito nguni't ang pagpapasiya ng isang pare-pareho, na kung saan ay hindi maaaring taning na walang pagsubok..... ang tatlong angles ng isang tatsulok ay maging tulad ng maliit na bilang isang hangarin, kung lamang ang mga gilid ay kinuha malaki sapat, pa ang lugar ng tatsulok ay maaaring hindi lalampas sa, o kahit na makuha ang isang tiyak na hangganan, hindi alintana kung paano mahusay ang mga gilid.