For instance, if there are 8 students, the game proceeds as follows: student 1 (duck), student 2 (goose), student 3 (goose), student 4 (duck), student 5 (goose), student 6 (goose), student 7 (duck), student 8 (goose), student 1 (goose), student 4 (duck), student 7 (goose) and student 4 is the winner. Find, with proof, all values of with such that if the circle starts with students, then the th student is the winner.
Halimbawa, kung may mga 8 mga mag-aaral, ang mga nalikom na laro tulad ng sumusunod: ang mag-aaral 1 (pato), mag-aaral 2 (gus), mag-aaral 3 (gus), mag-aaral 4 (pato), mag-aaral 5 (gus), mag-aaral 6 (gus), mag-aaral 7 (pato), mag-aaral 8 (gus), mag-aaral 1 (gus), mag-aaral 4 (pato), mag-aaral 7 (gus) at mag-aaral 4 ay ang mga nagwagi. Maghanap, may patunay, ang lahat ng mga halaga ng may tulad na kung ang mga bilog ay nagsisimula sa mag-aaral, pagkatapos ay ang ika ang mag-aaral ay ang nagwagi.