1) Ein Ehepaar mit vier Kindern hat einen Mietvertrag mit mir, beide haften daraus gesamtschuldnerisch. Beide haben Privatinsolvenz angemeldet.  2) Der Ehemann entzieht sich seiner Verantwortung, zahlt keinen Unterhalt  und ist erstmal unbekannt verzogen  3) Es bestehen Mietschulden von mehr als einer Monatsmiete, so dass ich den Mietvertrag frislos kündigen könnte - dies ist auch der Wunsch der zurückgebliebenen Ehefrau mit den Kindern  4) Die Frau arbeitet und beantragt Aufstockung bzw. Grundsicherung nach SGB XII.  Frage: Ist es notwendig und ratsam, dass ich den Mietvertrag fristlos kündige und mit der zurückgebliebenen Ehefrau einen neuen Mietvertrag abschließe, damit sie den vollen Mietzuschuss nach SGB erhalten kann oder reicht der vorhandene Mietvertrag, den  beide Ehepartner unterzeichnet haben, aus  Ist es möglich mittels Urkundenklage auf Basis des Mietvertrages  (gesamtschulnderischen Haftung beider Ehepartner) ausschließlich den Ehemann auf Zahlung der ausstehenden Mietschulden zu verpflichten?

§ 543 Außerordentliche fristlose Kündigung aus wichtigem Grund. (1) Jede Vertragspartei kann das Mietverhältnis aus wichtigem Grund außerordentlich fristlos kündigen. Ein wichtiger Grund liegt vor, wenn dem Kündigenden unter Berücksichtigung aller Umstände des Einzelfalls, insbesondere eines Verschuldens der Vertragsparteien, und unter Abwägung der beiderseitigen Interessen die Fortsetzung des Mietverhältnisses bis zum Ablauf der Kündigungsfrist oder bis zur sonstigen Beendigung des Mietverhältnisses nicht zugemutet werden kann.(2) Ein wichtiger Grund liegt insbesondere vor, wenn 1.dem Mieter der vertragsgemäße Gebrauch der Mietsache ganz oder zum Teil nicht rechtzeitig gewährt oder wieder entzogen wird, 2.der Mieter die Rechte des Vermieters dadurch in erheblichem Maße verletzt, dass er die Mietsache durch Vernachlässigung der ihm obliegenden Sorgfalt erheblich gefährdet oder sie unbefugt einem Dritten überlässt oder 3.der Mietera)für zwei aufeinander folgende Termine mit der Entrichtung der Miete oder eines nicht unerheblichen Teils der Miete in Verzug ist oder b)in einem Zeitraum, der sich über mehr als zwei Termine erstreckt, mit der Entrichtung der Miete in Höhe eines Betrages in Verzug ist, der die Miete für zwei Monate erreicht.  Im Falle des Satzes 1 Nr. 3 ist die Kündigung ausgeschlossen, wenn der Vermieter vorher befriedigt wird. Sie wird unwirksam, wenn sich der Mieter von seiner Schuld durch Aufrechnung befreien konnte und unverzüglich nach der Kündigung die Aufrechnung erklärt.(3) Besteht der wichtige Grund in der Verletzung einer Pflicht aus dem Mietvertrag, so ist die Kündigung erst nach erfolglosem Ablauf einer zur Abhilfe bestimmten angemessenen Frist oder nach erfolgloser Abmahnung zulässig. Dies gilt nicht, wenn 1.eine Frist oder Abmahnung offensichtlich keinen Erfolg verspricht, 2.die sofortige Kündigung aus besonderen Gründen unter Abwägung der beiderseitigen Interessen gerechtfertigt ist oder 3.der Mieter mit der Entrichtung der Miete im Sinne des Absatzes 2 Nr. 3 in Verzug ist.  (4) Auf das dem Mieter nach Absatz 2 Nr. 1 zustehende Kündigungsrecht sind die §§ 536b und 536d entsprechend anzuwenden. Ist streitig, ob der Vermieter den Gebrauch der Mietsache rechtzeitig gewährt oder die Abhilfe vor Ablauf der hierzu bestimmten Frist bewirkt hat, so trifft ihn die Beweislast.