Durch eine erst nach Antragstellung eingetretene außerprozessuale Änderung der Sach oder Rechtslage, die die Abweisung des Antrags als unzulässig oder unbegründet rechtfertigt, tritt Erledigung im prozessualen Sinne ein . Das gilt auch im Verfahren des vorläufigen Rechtsschutzes . Insbesondere wird der vom Antragsteller weiter verfolgte Antrag auf Gewährung vorläufigen Rechtsschutzes unzulässig, wenn sich der Rechtsstreit in der Hauptsache erledigt . Erst recht und von Anfang an unzulässig ist der Antrag auf Gewährung vorläufigen Rechtsschutzes, wenn auch eine Klage in der Hauptsache bereits vor Antragstellung unzulässig wäre, weil das materiell-rechtlich zur Erledigung führende Ereignis schon zuvor eingetreten war. Dies ist hier der Fall. 0

Tenor Auf die Beschwerde der Antragsgegnerin wird der Beschluss des Verwaltungsgerichts Karlsruhe vom [DATE] NC [REF] geändert. Der Antrag auf Erlass einer einstweiligen Anordnung wird abgelehnt. Die Antragstellerin trägt die Kosten des Verfahrens in beiden Rechtszügen. Der Streitwert für das Beschwerdeverfahren wird auf EUR 0, festgesetzt. Gründe 0 Die zulässige, insbesondere innerhalb der Frist des [REF] entsprechend den Anforderungen des [REF] begründete Beschwerde der Antragsgegnerin hat Erfolg. Der Antragstellerin steht im maßgeblichen Zeitpunkt der Entscheidung des Senats ein Rechtsschutzinteresse auf Erlass der von ihr begehrten einstweiligen Anordnung auf vorläufige Zuweisung eines Studienplatzes im 0. Fachsemester des Studiengangs Medizin nach den Rechtsverhältnissen des Wintersemesters [DATE] / [DATE] nicht mehr zu. Denn die Antragstellerin hat mit Schriftsatz vom [DATE] mitgeteilt, dass sie zwischenzeitlich anderweitig einen Studienplatz erhalten habe. Führt die Antragstellerin ihr Verfahren auf Erlass einer einstweiligen Anordnung gleichwohl fort, obwohl sie eine Einschreibung bei der Antragsgegnerin nicht mehr begehrt, so ist ihr Antrag unzulässig . 0 Dies ist offenkundig auch der Antragstellerin bewusst, denn sie hat mit Schriftsatz vom [DATE] „das Beschwerdeverfahren für erledigt erklärt" und, nachdem sich die Antragsgegnerin dieser auf das Beschwerdeverfahren beschränkten Erledigungserklärung nicht angeschlossen hat, die Feststellung beantragt, dass sich „das Beschwerdeverfahren" erledigt hat. Auf den Hinweis des Berichterstatters , den Rechtsstreit in der Hauptsache für erledigt zu erklären, teilte der Prozessbevollmächtigte der Antragstellerin mit, er vertrete die Auffassung, dass „auch bei einer einseitigen Erledigungserklärung im Beschwerdeverfahren eine gerichtliche Feststellung mit Kostenentscheidung möglich" sei. Dieser Auffassung kann worauf die Antragstellerin bereits mit Verfügung vom [DATE] hingewiesen wurde nicht gefolgt werden. 0 Zwar ist in der Rechtsprechung grundsätzlich die Möglichkeit anerkannt, in der Rechtsmittelinstanz nicht den Rechtsstreit als solchen, sondern lediglich das Rechtsmittelverfahren für erledigt zu erklären . Auch ist auf die einseitige Erledigungserklärung des Rechtsmittelführers regelmäßig festzustellen, dass sich das Rechtsmittelverfahren erledigt hat, wenn sich das Rechtsmittelverfahren objektiv erledigt hat. Eine solche einseitige Erledigungserklärung der Beschwerdeführerin liegt jedoch nicht vor. Vielmehr hat die Antragsgegnerin der auf das Beschwerdeverfahren beschränkten Erledigungserklärung der Antragsstellerin ausdrücklich widersprochen. Diese einseitige Erledigungserklärung der Antragstellerin ist jedoch prozessual ohne Relevanz, ihr kommt lediglich insoweit Bedeutung zu, als sie ein Angebot an die Antragsgegnerin darstellt, das Beschwerdeverfahren durch Abgabe übereinstimmender Erledigungserklärungen zu beenden . Denn es entspricht ständiger Rechtsprechung des Senats, dass der im verwaltungsgerichtlichen NC-Verfahren unterlegene Antragsgegner auch dann noch ein Rechtsschutzbedürfnis für die von ihm eingelegte Beschwerde hat, wenn sich der Rechtsstreit in der Hauptsache erledigt hat . Könnte die Antragstellerin durch eine auf das Beschwerdeverfahren beschränkte Erledigungserklärung eine Abänderung der verwaltungsgerichtlichen Kostenentscheidung verhindern und so eine auf das Beschwerdeverfahren beschränkte Kostenentscheidung erzwingen, würde dies dem Antragsgrundsatz des [REF] widersprechen, der entsprechend auch im Beschwerdeverfahren gilt . Mangels prozessualer Wirkung der einseitigen Erledigungserklärung der Antragstellerin bedurfte ihr Antrag, festzustellen, dass das Beschwerdeverfahren erledigt ist, mithin keiner Entscheidung. Eine solche beschränkte Erledigung liegt nach den obigen Ausführungen auch nicht vor. 0