霍夫在1913年证明了庞加莱的最终几何定理（Last Geometric Theorem），一个三体问题的特殊形况。在1927年，他则发行了《动态系统》（"Dynamical Systems"）。在1931年，伯克霍夫发现了最使他名留青史的结果，现在称作遍历定理。美国数学家斯梅尔也对动态系统作出重大贡献。他的贡献马蹄映射推动了动态系统重要研究，此外他还勾划出研究计划，让很多研究者实行。乌克兰数学家在1964年给出关于离散动力系统的，此定理的一个含义是，如果实数轴上的离散动态系统具有週期为3的週期点，