虑那些用纯形式化的语言写出的证明。这个区别导致了对过往到现在的数学实践、和的大部分检验。数学哲学就关注语言和逻辑在数学证明中的角色，和作为语言的数学。
定义.数学上的证明包括两个不同的概念。首先是非形式化的证明：一种以自然语言写成的严密论证，用来说服听众或读者去接受某个定理或论断的真确性。由于这种证明使用了自然语言，因此对于非形式化证明在严谨性上的标准，将取决于听众或读者对课题的理解程度。非形式化证明出现在大多数的应用场合中，例如科普讲座、口头辩论、初等教育或高等教育的某些