二次曲面相交，即称为椭圆曲线。运用椭圆函数理论，我们可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群，事实上，这个对应也是一个群同构。
实数域上的椭圆曲线.尽管椭圆曲线的正式定义需要一定的代数几何背景，在实数上的椭圆曲线的一些特征可以使用入门级别的代数与几何来描绘。在这种情况下，椭圆曲线是由下列方程定义的平面曲线：其中"a"和"b"为实数。这类方程被称为魏尔斯特拉斯方程。椭圆曲线的定义也要求曲线是非奇异的。几何上来说，这意味着图像里