定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。
表述.定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量体formula_1（实数域或复数域）上的一个向量空间formula_2，一个函数formula_3称为"次线性"的，如果：可以很容易证明，formula_2上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。哈恩－巴拿赫定理说明，如果formula_3是一个次线性函数，f