交换环时，多项式环可以被刻划为交换 formula_1-代数范畴中的自由对象。
定义.
多项式函数与多项式.在初等数学与微积分中，"多项式"视同"多项式函数"，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域formula_5 上的多项式此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述 formula_7