半平面来定义。开单位圆盘 D（所有绝对值小于1的复数形成的集合）可以由共形映射转换到H（参照庞加莱度量），因此表示有可能在H和D之间转换。上半平面在双曲几何中有重要的地位，庞加莱半平面模型提供一种检验的方式。庞加莱度量提供此空间下的双曲度量张量。曲面的单值化定理提到上半平面是所有高斯曲率为负常数之空间的万有覆叠空间。闭上半平面（closed upper half-plane）是上半平面和X轴的并集，也是上半平面的闭包。
扩展.在微分几何中常见的扩展是 H，最大对称，单连