何其他）翻转），这意味着正方形的所有对称都是这两个对称或它们的逆元的有限复合。与关系在一起这个群就完全描述出来了。群的展示还可以被用来构造凯莱图，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。子群和商群以下列方式相互关联："G" 的子集"H" 可以被看作单射，就是说任何目标元素都有最多一个映射到它的元素。单射的对立是满射（所有目标的元素都被映射到了），比如规范映射。通过这些同态理解子群和商群强调了这些定义中内在的结构性概念。一般的说，同态既不是单射也不是满射。群同态的核与像和第一同构定理研究这个现象。S