另外一种方式的映射为将包立矩阵的次序反转既然单位四元数与为群同构，此亦代表包立矩阵也可用来描述。从到的2对1同态性，也可以用包立矩阵来表述。四元数构成可除代数——所有非零元素皆有反元素，然而包立矩阵并非如此。包立矩阵生成的代数的四元数版，参见复四元数，其共有8个实维度。