ormula_48，于是根据正定性，formula_49，定理得证。
逆定理.巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：设formula_50为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代"f"都有一个唯一的不动点。设"q"为一个实数，0 < q < 1。那么存在"X"上的一个完备度量，使得"f"是压缩映射，且"q"是压缩常数。
推广.一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这