实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。
等价命题.实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为公理。但一般而言，我们会首先承认LUB公理或"最小上界定理"，再由此出发证明其他等价命题。
最小上界性.最小上界定理，又称为上确界定理（LUB公理）