都没有可区分的特征，在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。尽管曾具有争议性，选择公理现在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如。在一些构造性数学的理论中会避免选择公理的使用，不过也有的将选择公理包括在内。
陈述.首先定义几个概念：集族：指由非空集合组成的集合。选择