上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。一个有界复形是其中，几乎所有的"A"为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。
例子.
奇异同调.假定我们给定一个拓扑空间"X"。定义"C"("X")（对于自然数"n"）为自由交换群由"X"中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射其中帽子表示省略一个顶点