角函数间的关系，得出
几何证明.在单位圆内，t = tan("φ"/2)。根据 相似关系，formula_15，可得出显然formula_17。
双曲函数.此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用，由双曲线右支上的一点(cosh "θ", sinh "θ")给出。从(−1, 0)到"y"轴给出了如下等式：可以得到和卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。"θ"在"T"而得出下面的双曲反正切函数和自然对数之间的关系：