n θ = 1》（1854年）给出有限群的第一个抽象定义。几何是第二个系统性的使用群，特别是对称群的领域。这类群是菲利克斯·克莱因1872年的爱尔兰根纲领的一部分。在新型的几何如双曲几何和射影几何形成之后，克莱因利用群论以更连贯的方式来组织它们。索菲斯·李进一步发展了这些想法，在1884年创立了李群的研究。对群论有贡献的第三个领域是数论。一些阿贝尔群结构在卡尔·弗里德里希·高斯的数论着作《算术研究》（1798年）中被隐含地用到，并被利奥波德·克罗内克更明显地用到。1847年，恩斯特·库默尔发展了描述