规行列式的变分.根据对行列式进行求导的雅可比公式我们得到从而结论为
运动方程.我们得到了所需要的所有变分，将它们代入运动方程可得这是爱因斯坦引力场方程，其中formula_34的选取是为了使非相对论极限能够满足牛顿引力理论的形式，而formula_35是万有引力常数。
宇宙学常数.对于含有宇宙常数项的爱因斯坦方程 对应的希尔伯特作用量也包含宇宙学常数，写为