的结果，二个函数在整个复数平面均为解析函数，而后者的零点是在"z" = 1的简单零点，因此可得ζ("z")为亚纯函数，只在"z" = 1有一个极点。
物理学.格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现，最典型的是量子化的费米子场，其中同时有正的及负的特征值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不过这些级数也出现在玻色子的相关研究中，例如卡西米尔效应。在领域也会用到由格兰迪级数衍生的级数，而其求和方式是正规化的一部份，例如就是其中的一种。