系可以推得每个包立矩阵"σ"的本征值分别为±1。每个包立矩阵有两个本征值，+1和−1，其对应的归一化本征向量为：
包立向量.包立向量定义为：这个定义提供了将一般向量基底对应到包立矩阵的基底的机制相同的下标是使用了爱因斯坦求和约定。此外：
对易关系.包立矩阵有以下的对易关系：以及以下的反对易关系。其中"ε"是列维-奇维塔符号，"δ"是克罗内克函数，是"I"是2 ×2的单位矩阵。而一样的，上面使用了爱因斯坦求和约定。