所以柯里-霍华德同构的具体实现是详细研究如何把来自直觉逻辑的证明写成λ项。（这是霍华德的贡献；柯里贡献了组合子，它是相对于是高级语言的λ演算是能写所有东西的机器语言）。最近，同样处理经典逻辑的柯里-霍华德对应的扩展可被公式化了，通过对经典有效规则比如双重否定除去和皮尔士定律关联上明确的用续体比如call/cc处理的一类项。还有一个相反的方向，对一个程序的正确性关联上“证明提取”的可能性。这在非常丰富的类型论环境中是可行的。实际上理论家对推进非常丰富类型的函数式编程语言的开发的动机，已经部分地混合了希望带