ula_41内的元素（质数），因为后者除N都会余1。所以，formula_44可被其他质数所整除。因此，任一个由质数所组成的有限集合，都可以扩展为更大个由质数所组成之集合。这个证明通常会被错误地描述为，欧几里得一开始假定一个包含所有质数的集合，并导致矛盾；或者是，该集合恰好包含n个最小的质数，而不任意个由质数所组成之集合。今日，formula_1个最小质数相乘后加一的一个数字，被称为第formula_1个欧几里得数。
欧拉的解析证明.欧拉的证明使用到质数倒数的总和当form