以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。商 PSL() 有多个有趣的描述：
线性分式变换.PSL() 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 formula_4 上：这类似于 PSL() 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用。这是 PSL() 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。
莫比乌斯变换.PSL() 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上：这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL() 是上半平面的共形自同