列的第"n"项，我们需要证明这个极限是众所周知的；一个可能的证明，是在数列的极限的定义中，对于ε = "a"/"b" > 0，我们可以取"N" = "b"。所以，这又一次证明了0.999… = 1。把实数定义为柯西序列，首先由爱德华·海涅和格奥尔格·康托尔独立发表，也是在1872年。以上的小数展开式的方法，包括0.999… = 1的证明，则主要是得自格利菲斯（）和希尔顿（）在1970年的作品《一本经典数学的综合教科书：一个当代的阐释》（"A comprehensive textbook of cla