ction::::莫比乌斯变换.PSL() 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上：这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL() 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理，它也是单位圆盘的共形自同构群。这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。
伴随表示.群 SL() 通过共轭作用在它的李代数 SL() 上，导致 PSL() 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 作用在 上的二次型上。结果是如下表示