F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。
证明.如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段formula_1、formula_2、formula_3的长度分别是formula_4、formula_5、formul