在 "M" 的连续函数空间上，有 "G" 相应的表示 "ρ". formula_1 的元素均由 "M" 上的一阶微分算子表示，于是，上式给出 "ρ" 的卡西米尔元，其为 "M" 上的二阶微分算子，且在 "G" 的作用下不变。更进一步，若 "M" 有度量张量，使得 "G" 的元素作为 "M" 的保距变换，可递地作用在 "M" 上，且一点的稳定子 "G" 不可约地作用在切空间 "TM" 上，则 "ρ" 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。也可定义更一般的卡西米尔不变量，其于研究伪微分算子时用到。