们还虑及流形上的向量丛。解析指标与拓扑指标皆可诠释为从此环映至整数环的同态。托姆的配边理论给出了这个环的一组生成元，我们可以对这些较简单的例子验证指标定理，从而导出一般的情形。
K 理论.阿蒂亚与辛格正式发表的第一个证明採用了K-理论。设 formula_80 为紧流形，formula_81 为闭浸入，他们对椭圆算子定义了一个推前运算 formula_82，并证明 formula_82 保持指标。我们一方面可取 formula_84 为一个包括 formula_15 的高维球面；另