上运动，即角动量量子化假设。后来这一假设进一步发展为玻尔-索末菲量子化条件。尽管玻尔的氢原子玻尔模型可以通过这一假设解释，但其却并不适用于氦原子等多电子原子。量子理论的数学表述在一段时期内仍前途未定。1924年，路易·德布罗意提出了物质波假设，即波粒二象性不只对光子适用，对于电子以及其他物理系统也适用。量子力学的数学表述也于1925年至1930年获得突破性进展。埃尔温·薛定谔、维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩以及帕斯库尔·约当为奠定量子力学的数学基础做出了突破性的工作。约翰·冯·诺伊曼、赫尔曼·外尔以及保罗