变换对角化的矩阵形成一个交换环。一个例子是关于一个固定节点集合差商的矩阵集合。如果 "R" 是一个给定的交换环，关于变量 "X" 系数位于 "R" 中的所有多项式形成一个多项式环，记作 "R"["X"]。对多个变量同样成立。如果 "V" 是某个拓扑空间，例如某个 R 的子集，"V" 上实值或复值连续函数形成一个交换环。同样对可微函数或全纯函数也对，只要两者有定义，比如 "V" 是一个复流形。
理想与谱.和域中每个非零元素是乘法可逆不同，环的理论更复杂。有多个概念处理这种情形