导数是梯度的一个分量):这适用于formula_13 可以展开成formula_14的级数时 (或者至少能展为1阶). 但是这一表达在数学上并不严格,因为 formula_15一般而言并未定义。
正式表述.通过更仔细地定义函数空间，泛函导数的定义可以更准确、正式。例如，当函数空间是一个巴拿赫空间时, 泛函导数就是着名的Fréchet导数, 而这在更一般的局部凸空间上使用加托导数。注意，着名的希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例。更正式的处理允许将普通微积分和数学分析的定理推广为泛函分