。不过，罗素悖论的出现和朴素集合论中相似的矛盾，指出任何此类的形式系统最终都有可能是不相容的。此计画遭受到的决定性挫败是在1931年，哥德尔证明出只要一个相容的形式系统能够蕴涵皮亚诺公理，就可以在系统内建构出一个其真实性和此套公理独立的陈述。作为一个推论，哥德尔证明出一个如皮亚诺算术的理论，其相容性在理论本身之内会是一个不可证的断言。相信皮亚诺算术的相容性是合理的，因为它被自然数的系统所满足－一个无限但在直觉上易被接受的形式系统。然而，直到现在，依然没有已知的方法判定集合论中策梅罗-弗兰克尔公理的相