若绘制一个三边为formula_4的开普勒三角形，并且考虑则正方形的周长（formula_6）和圆的周长（formula_7）相当接近，误差小于0.1%。这是因为formula_8的数学巧合，上述的圆和正方形其周长不可能相同，若是相同，就可以求解化圆为方的不可能问题了。换句话说formula_9，因为formula_10是超越数。一些资料指出，埃及金字塔设计时有用到开普勒三角。不过古埃及人可能不知道有关formula_10和黄金比例formula_12之间的数学巧合。