但在双曲几何中，至少可以找到两条相异的直线，且都通过P点，并不与R相交，因此它违反了平行公设。然而，取代欧几里德几何中的平行公设的双曲几何本身并无矛盾之处，仍可以推得一系列属于它的定理，这也说明了平行公设独立于前四条公设，换句话说，无法由前四条公设推得平行公设。到目前为止，数学家对双曲几何中平行线的定义尚未有共识，不同的作者会给予不同的定义。这里定义两条逐渐靠近的线为渐近线，它们互相渐进；两条有共同垂直线的线为超平行线，它们互相超平行，并且两条线为平行线代表它们互相渐进或互相超平行。双曲几何还有一项性质