群除了formula_20以外均为平凡群。环面被定义为两个圆formula_21的笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支，两个独立的一维洞（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维洞（环面的内部）。其对应的同调群为两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群formula_23.
例子.导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形formula_1的单纯同调。formula_25在这里就是formula_1中的"n"维可定向单纯形所生成的自由可换群