formula_3 总相等。这样得到了如下另外的公式注意到 formula_5 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而 formula_6 只涉及到上交叉。
高斯的积分定义.给定两条不交可微曲线 formula_7，定义从环面到单位球面高斯映射 formula_8 为取单位球面上一点 "v"，从而链环的正交投影到垂直于 "v" 的平面给出一个链环图表。观察到点 ("s", "t") 在高斯映射下映为 "v" 对应于链环图表中一个交叉，这里 formula_10 在 formula