哥德尔在1940年用内模型法证明了连续统假设与ZFC的相对协调性（无法以ZFC证明为误），保罗·柯恩在1963年用力迫法证明了连续统假设不能由ZFC推导。也就是说连续统假设独立于ZFC。
作为希尔伯特第一问题.1900年，大卫·希尔伯特以「连续统假设是否成立」作为「希尔伯特第一问题」。Kurt Godel和Paul Cohen确定了连续统假设在ZFC系统下，加上了选择公理，也不能证明或证否。连续统假设简记CH。选择公理简记AC。
集合的大小.要正式地列出