由于 formula_2 是formula_23的函数，formula_29 有界，于是以上括号中的三项都是有限的，因此当 formula_30 趋于无穷的时候，式子趋于0。对于阶梯函数，经过类似的计算，也可以容易地证明定理成立。而由于紧支撑的阶梯函数的集合（或formula_23函数的集合）在所有可积函数集合formula_22中是稠密的，于是只要将每个可积函数 formula_2 看成是一列紧支撑阶梯函数（或formula_23函数）的极限，那么根据勒贝格控制收敛定理，就有：