formula_24，而不仅仅是它派生的非负整数formula_25；群结构能给出更细的拓扑资讯，而空间的连续映射能导出同调群的同态。代数拓扑的风貌从此遂澈底改变。循此脉络，L. Mayer在1929年定义了抽象的链复形及其同调群。同调理论自此有了纯代数的框架。随后十年间，数学家们为各种空间定义了形形色色的同调与上同调，例如在德拉姆上同调中，我们设formula_26为光滑流形formula_27上的formula_16次微分形式，同态formula_29定义为外微分。无论哪种理论，对同一空间总是给