域formula_12上。这是质数定理第一个完整证明中很关键的一步。1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他着名的23条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第8号问题。同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖难题的。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线formula_13上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）