两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘数表：四元数的单位元素的乘法构成了八阶四元群，formula_12。
例子.假设：那么：
性质.四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如：四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合