换为代数方程组。这些方法又可以利用阿波罗尼奥斯问题所固有的对称性以得到简化，比如作为解的那些圆周（解圆）一般都成对出现：一个解圆和某已知圆外切的话，相应一定有另一个解圆是内切的（图２）。利用这种对称性提供了一个优美的尺规解法；也有一些数学家使用圆反演等几何变换来简化已知圆的配置。以上这些发展为一些代数方法提供了几何的框架（见），以及根据已知圆的33种不同的配置来对解圆分类的方法。阿波罗尼奥斯问题还进一步激发了很多工作。这个问题的三维推广－－构造与四个已知球面相切的球面－－或者更高维的推广，都有人研究。另