。若将格兰迪级数的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −⁄。参照1 + 1 + 1 + 1 + …。上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η("z")和(1 − 2)相除的结果，二个函数在整个复数平面均为解析函数，而后者的零点是在"z" = 1的简单零点，因此可得ζ("z")为亚纯函数，只在"z" = 1有一个极点。
物理学.格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现，最典型的是量子化的费米子场，其中同时有正的及负的特征值，例如手征口袋模型（c