情况构成一个有更丰富结构的集合（Selmer 群理论）。实际上，典型的Q上的平面三次曲线C没有理由有一个有理点；标准的韦尔斯特拉斯（Weierstrass）模型确总是有一个，也就是无穷远点，但是必须有一点在K上以将C置入"在"K上的形式。这个理论在局部分析中有所发展，导出了Tate-Shafarevich群的定义。通常取主齐性空间理论的方法，首先在代数闭域上，然后回降到更小的域上，这是下降的一个方面。它立刻导致伽罗瓦上同调，因为主齐性空间代表了群上同调 H的等价类。
其它用法.