开，或使用正规的多项式长除。从左方开始，可采用上文的一般启发式，并尝试乘以两次(1+"x")，或对几何级数求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项求导。以现代的观点看，级数 1 − 2"x" + 3"x" − 4"x" + … 并没有定义一个在时的函数，因此不能简单地把值代入到其相应的表达式。不过由于此级数在时定义了一个函数，所以仍可取"x"趋近于1时的极限，而这就是阿贝耳和的定义：
欧拉与波莱尔.欧拉对该级数还使用了另外一种技巧：欧拉变换，这是他自己的发明。要计算欧拉变换，