x", "Ty") < d("x", "y")的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射"T" : <nowiki>[1,∞) → [1,∞)</nowiki>，"T"("x") = "x" + 1/"x"，就没有不动点。但是，如果空间"X"是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义"X"，使"T"把元素从"X"映射到"X"，即"Tx"总是"X"的一个元素。
证明.选择任何formula_5。如果formula