样分为薄圆环，递增地求出面积。这是二维微积分学。对“洋葱”以 "t" 为半径的无穷薄圆环，贡献的面积是formula_44，周长的长度乘以其无穷小宽度。这样对半径为formula_33的圆给出了一个初等积分：
半圆证明.利用三角换元法，我们代换formula_47：圆面积 formula_50利用三角恒等式 formula_54，
快速逼近.阿基米德算法逼近圆的面积数值非常费力，他算到 96 边形便停下了。一个更快的方法由威理博·斯涅尔提出（"Cyc