。如果"H"是在有限群"G"中的子群，并且"H"的阶是"G"的阶的一半，则"H"保证是正规子群，因此"G" / "H"存在并同构于"C"。这个结果还可以陈述为“任何指标为2的子群都是正规子群”，并且它的这种形式还适用于无限群。所有群都同构于一个自由群的商。有时但非必然的，群"G"可以从"G" / "N"和"N"重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。Z / { 0, 2 }同构于Z，并且还同构于{ 0, 2 }，但是唯一的半直积是直积，因为Z只有一个平凡的自