由此可知，"G"作用的轨道正好就是π : "P" → "X"的纤维而轨道空间"P"/"G"和基空间"X"同胚。要求"G"在纤维上自由和推移的作用意味着纤维具有"G"-旋子的结构。一个"G"-旋子是同胚于"G"的空间但没有群的结构，因为它没有一个特定的单位元的选择。主"G"丛的局部平凡化必须是"G"等变（equivariant）映射，使得纤维的"G"-旋子结构得到保持。确切地说，这表示如果是一个有formula_2形式的局部平凡化，则主丛也可定义在光滑流形的范畴中。这里π : "P" → "X"要