。大约在20世纪中叶，张量的研究转向抽象。布尔巴基学派的专着《多重线性代数》特别流行；事实上，也许“多重线性代数”便是由此发明的。原因之一是当时在同调代数这个新领域的应用。20世纪40年代代数拓扑的发展给纯代数方式处理张量积注入了新的活力。两个空间的积同调群的计算涉及到张量积；但是只在最简单的情形，比如环面是直接算出来的（参见万有系数定理）。细微的拓扑现象要求一种更好的概念；从技术上说，需要定义Tor函子。该材料组织得很广泛，包括追溯到赫尔曼·格拉斯曼的想法，从微分形式理论导致了德拉姆上同调中的想法