"g"("b"))都存在切线，因为可能存在一些"c"值使,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在时。柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当时的特殊情况。
证明.首先，如果formula_10，由罗尔定理，存在一点formula_11使得formula_12，与条件3矛盾。所以form