由柯西不等式可知，方向导数的最大值等于其梯度的范数，当且仅当沿着其梯度的方向时取到。这也说明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向。
在微分几何中.设"M"是一个可微流形，"x"是"M"上的一个点。假设"f"是在"P"的邻域内有定义且在点"x"可微的函数。如果"v"是"M"在点"x"的一个切向量，则"f"沿着"v"方向的方向导数可以定义如下。设γ : [-1,1] → "M"是一个可微曲线，γ(0) = "x"，且γ(0) = "v"。则方向导数定义为：Section: