)。所有纯虚的八元数生成了O的一个七维子空间，记为Im(O)。八元数"x"的范数定义为：在这里，平方根是定义良好的，因为formula_10总是非负实数：这个范数与R上的标准欧几里得范数是一致的。O上范数的存在，意味着O的所有非零元素都存在逆元素。"x" ≠ 0的逆元素为：它满足formula_13。
性质.八元数的乘法既不是交换的：也不是结合的：然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上，我们可以证