，互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射（），相应的 PSL() 元素作用在双曲平面是平移，在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升。模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚（）。
拓扑和万有覆盖.做为一个拓扑空间，PSL("R") 可以描述为双曲平面的单位切丛，这是一个圆丛，有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL("R") 是 PSL("R") 的二重覆盖，可以认为是双曲平面上的旋量丛。SL("R") 的基本群是无限循环群 。其万有覆盖群记做 for