。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。
证明.所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式"p"("z")，以下的多项式就是一个实系数多项式，如果"z"是