4时，极小分解的长度不大于formula_55。希尔伯特借着一个分次版的合冲定理证明了：在同样条件下，一个有限生成分次模的希尔伯特函数是个多项式；他借此阐明了不变量的个数对次数的关系。希尔伯特考虑的自由分解是投射分解的特例；在现代的同调代数理论中，投射分解及内射分解是定义导函子的基础。当formula_33是局部环时，极小分解的长度称作formula_27的投射维度，它相当于使下式成立的最小整数formula_55：对所有formula_33-模的投射维度取极大值，得到的数称为同调维度；同调维度