和虚部函数：formula_51 由于formula_52，积分依据格林定理，右端的两个环路积分都可以变形为formula_5围成的区域formula_55上的面积分。另一方面，由于formula_16是全纯函数，所以它的实部函数和虚部函数满足柯西－黎曼方程：所以以上的两个积分中的被积函数都是0，因而积分也是0：
推论.该定理的一个直接推论，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设formula_1是复平面formula_2的一个开子集。f