虽然可光滑地「摊平」某些流形，但可能需要扭曲空间，并影响其曲率或体积。
几何拓扑学.几何拓扑学是拓扑学的一个分支，主要侧重于低维（即二维、三维与四维）流形及其与几何之互动的研究，但亦包括部分较高维拓扑。几何拓扑学的研究主题包括可定向性、柄分解、局部平坦与平面及高维商弗力士定理。在高维拓扑里，特征类是个基本的不变量，割补理论是其重要理论。低维拓扑具有强烈几何含意，体现在二维的单值化定理里，这个曲面都有一个常数曲率的度量；几何上来说，每个曲面都会是下面 3 种几何的其中一种：正