易的证明），但是不能在经典Zermelo-Fraenkel集合论中证明。但是BPI严格的弱于选择公理，尽管这个陈述的证明是非常不平凡的。
进一步的素理想定理.我们前面对布尔代数讨论的元型性质可以轻易的修改来包括更一般的格，比如分配格或Heyting代数。但是，在这些情况下极大理想不同于素理想，而在PIT和MIT之间的关系是不明显的。实际上，已发现分配格甚至Heyting代数的MIT等价于选择公理。在另一方面，已知分配格的强PIT等价于BPI（比如布尔代数MIT和PIT）。所以这