为不仅是关于一个簇的定理，而是关于两个簇之间的一个态射的。证明的细节由博雷尔–塞尔于1958年发表。最后在代数拓扑中也找到了一个一般版本。这些发展本质上在1950年至1960年完成。阿蒂亚–辛格指标定理开启了这一条推广的道路。它导致的结论是一个凝聚层相当好计算。如果只对交错和中一项感兴趣，这是通常的情形，必需更进一步的讨论比如。