态C("f") : C("Y") → C("X")，经由让每个C("Y")内的&phi，C("f")(φ) = φ o "f"。当空间formula_38带有更多结构（例如光滑流形、复流形）时，定义可以相应地推广。切丛和余切丛：将每个微分流形映射至其切丛中且将每个光滑映射映射至其导数中的映射，为一由微分流形的范畴至向量丛的范畴的协变函子。同样地，将每个微分流形映射至其余切丛中且将每个光滑映射映射至其回拉的映射，为一反变函子。在每个点上做此建构可以给出由有点微分流分的范畴至实向量空间的范畴的协变及反变