解的存在性和谱性质可以由紧算子理论得出; 特别地，有界区域上的椭圆边界值问题有无穷多的孤立特征值。 由此得出的一个结果是固体只能在由特征值给出的孤立频率下振动，并且总是存在任意高的振动频率。从巴拿赫空间到自身的紧算子构成空间中所有有界算子的代数的双边理想。事实上，无限维可分希尔伯特空间上的紧算子构成极大理想，所以商代数（被称为Calkin代数）是单代数。 更一般地，紧算子构成一个算子理想。
希尔伯特空间上的紧算子.在希尔伯特空间上紧算子的等价定义可以如下给出。无限维希尔伯特