ion::::证明.设formula_5且formula_6，由排序不等式可知，最大的和为顺序和：于是：将这formula_13个不等式分边相加，同时对右边进行因式分解，便得到：两边都除以formula_15，就得到切比雪夫不等式的第一个不等号：同理，右边的不等号可由最小的和为逆序和推得。
积分形式.切比雪夫不等式的积分形式如下:若formula_17和formula_18是区间formula_19上的可积的实函数，并且两者都是递增或两者都是递减的，则：上