例子.
几何.在几何中，有时研究向量空间上的附加结构。 在这些研究中，将这些向量空间一一映射到自身的算子非常有用，它们通过构造自然地构成群。例如保持向量空间结构的双射算子正是可逆线性算子。 它们构成了一般线性群。 它们算子加法下不是向量空间，例如， "id"和-"id"都是可逆的（双射），但它们的和为0，不可逆。在这样的空间上保持欧几里得度量的算子构成等度群，保持原型不变的子群被称为正交群。正交群中的保角算子构成特殊正交群。
概率