ula_9 可以解释为该点的余切空间，因此正则性可以粗略地理解为该点的余切空间具有「好的」维度。随着同调代数技术的发展，人们在1950年代以后对正则局部环有更深的了解。Auslander 与 Buchsbaum 证明了正则局部环必为唯一分解环，让-皮埃尔·塞尔则以同调维度刻划了局部诺特环的正则性。
性质.正则局部环的局部化仍为正则局部环，此点可由塞尔定理与同调维度对局部化的性质导出。借着同调维度，我们也可以推广正则性的定义：一个同调维度有限的交换环 formula_6 称为正则