ω 的集合，它自身可以被证明是不可数的。这个构造使用了替代公理两次；第一次确保对每个良序集合的一个序数指派，第二次把良序集合替代为其对应的序数。这是 的结果的特殊情况，而一般情况可以类似的证明。不带替代公理的选择公理（ZC 集合论）不足以强到证明博雷尔集是的；为此你需要替代公理。
历史和哲学.多数可以应用替代公理的应用实际上不需要它。例如，假设 "f" 是从集合 "S" 到集合 "T" 的函数。接着我们可以构造一个泛函谓词 "F" 使得在 "x" 是 "S" 的成员的时候有