P"为自"X"投射第一个座标至"P"。φ' 是满射，所以对任何"p" ∈ "X"，都有"q" ∈ "P" ' 使得φ("p") = φ'("q")。故有("p","q") ∈ "X"，得 π ("p","q") = "p"。因此π 是满射。考虑π 的核：formula_2由此可知有短正合序列因为"P"是投射的，所以序列分裂，故有"X" ≅ "K" ' ⊕ "P"。同理可得因此"X" ≅ "P" ' ⊕ "K"。结合"X"的两等价式，结果得证。
长正合序列.以上证