是黎曼球面到自身的可逆双全纯映射。唯一可能的这样的映射只有莫比乌斯变换。这些变换有如下形式：其中formula_73、formula_74、formula_75、和formula_76为复数，满足formula_77.莫比乌斯变换的例子包括膨胀，旋转，平移，和复倒数。事实上，所有莫比乌斯变换可以有这些特例的复合得到。将莫比乌斯变换视作复射影线上的变换很有益。在射影座标下，变换formula_78可以写作这样，莫比乌斯变换可以表述为行列式非零的formula_80复矩阵；两个矩阵产生同样的莫比乌斯变换