在实际应用中, 通常会用向量formula_55作为线性方程组的解. 这个求解过程中, 透过使用各种矩阵分解方法同近似求解方法, 求解速度可以大大提升. 然而, 这些矩阵分解方法或近似求解方法的使用需要满足一定条件; 例如, Cholesky分解同共轭梯度法只有在formula_47是正定矩阵时才适用. 这看似是一个限制, 但有时也能充当检验答案的工具; 例如, 在一个最小化问题 (formula_58) 中, 求出一个formula_59使得formula_60但formula_47不是正定矩阵, 那么