始递归函数存在，因为它与每个可能的原始递归函数都有至少一个值不同。所以，必然存在不是原始递归的可计算函数。这个论证可以应用于能用这种方式枚举的任何一类的可计算(全)函数上。所以，任何这种可计算(全)函数的明确列表都不可能是完全的，比如那些可以用总是停机的机器计算的函数。但是要注意，"偏"可计算函数集合(那些不需要对所有参数有定义的函数)可以被明确的枚举，例如通过枚举图灵机编码。可以明确展示的一个简单的 1-元可计算函数阿克曼函数，它是对任何自然数递归定义的，但不是原始递归的。