formula_19或formula_20上的一个拓扑向量空间，"formula_21"和"formula_22" 是 "formula_2"的非空凸子集。假设formula_24。那么：
与选择公理的关系.前面已经提到，从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。对于可分巴拿赫空间，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫