如 Y. N. Moschovakis 所说，这只是作为体现数学简洁性的一个练习，你不会得到更多东西除非你“对下标过敏”。但是在集合论的各种模型中，有“真实”基数的各种有价值的应用。在现代集合论中，我们通常使用冯·诺伊曼基数指派，它使用序数的理论与选择公理和替代公理的全部能力。基数指派需要完全的选择公理，如果我们想要像样的基数算术和对"所有"集合的基数指派。
不用选择公理的基数指派.形式上，假定选择公理，一个集合 "X" 的势，是使得在 "X" 和 α 之间有双射的最小序数 α