一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。每个黎曼曲面都是二维实解析流形（也就是曲面），但它有更多的结构（特别是一个复结构），因为全纯函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是可定向的。所以球和环有复