相同的特征值，且相同特征值的代数重数也相同。又因U是上三角矩阵，所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。该定理表明，存在C的一个线性子空间序列{0} = "V" ⊂ "V" ⊂ ... ⊂ "V" = C，使得其中的每一个都是A（看成线性变换）的不变子空间。且存在C（指定标准内积）的一组单位酉正交基，使得前i个基向量张成上述序列中第i个子空间。
定理的证明.
以线性变换思想.把矩阵A看成是有限维酉空间C上的线性变换，它有特征值"λ"，所对应的特征子空间为"