式的不可约性也不一定总是可借由直接计算来证明：存在体，没有演算法能用来判断其中随意多项式的不可约性。 用来分解多项式与判断其不可约性的演算法，于在整数上、在有理数上、在有限体上，以及在这些体之有限生成体扩张上的多项式之中，都已被找到，并已实作于电脑代数系统里。
体扩张.不可约多项式与代数体扩张之间密切相关，如下所述。令x为体K的扩张L内之一元素。该元素被称为「代数」的，若该元素是系数属于K之多项式的根。在其根包括x之多项式中，会有且仅会有一个最小阶的首一多项式，称之为x的