法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，扩展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依据特定多项式方程的根（解）的对称群给出了对它的可解性的判别准则。这个伽罗瓦群的元素对应于根的特定置换。伽罗瓦的想法最初被同代人所拒绝，只在死后才出版。更一般的置换群由奥古斯丁·路易·柯西专门研究。阿瑟·凯莱的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ = 1》（1854年）给出有限群的第一个抽象定义。几何是第二个系统性的使用群，特别是对称