l公理基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。佐恩引理在数学的各个分支中都有重要地位，例如在证明泛函分析的哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem），证明任一向量空间必有基，拓扑学中证明紧空间的乘积空间仍为紧空间的吉洪诺夫定理，和抽象代数中证明任何含幺环的真理想必然包含于一个极大理想和任何域必然有代数闭包的过程中，佐恩引理都是关键。
应用举例.佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环formula_17必然有极大理想。用formula_7来表示formula_1