，首先是证明和项，其次是证明归约步骤和beta归约。有多种方式考虑柯里-霍华德对应。在一个方向上，它工作于“把证明编译为程序”级别上。这里的“证明”最初被限定为在构造性逻辑中—典型的是直觉逻辑系统中的证明。而“程序”是在常规的函数式编程的意义上的；从语法的观点上看，这种程序是用某种λ演算表达的。所以柯里-霍华德同构的具体实现是详细研究如何把来自直觉逻辑的证明写成λ项。（这是霍华德的贡献；柯里贡献了组合子，它是相对于是高级语言的λ演算是能写所有东西的机器语言）。最近，同样处理经典逻辑的柯里-霍华德对应的扩