定理。在高斯（, 1777年—1855年）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（）、匈牙利数学家波约（）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是「三角形内角和不一定等于一百八十度」，从而发现非欧几里得的几何学，即非欧几何（）。
公理描述.欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的真命题。欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：平行公理并不像其他公理那么显然