些形成稠密的有序集合的事实）必然的蕴含了这个集合不满足完全的最小上界公理。所有“内在”集合的集合的可数性必然的蕴含了它不是所有“内在”数的集合的“所有”子集的集合（因为康托尔定理蕴含了可数无限集合的所有子集的集合是不可数无限集合）。这个构造密切关联于斯科伦悖论。所以实数和实数的集合的一阶理论可以有很多模型，其中一些是可数的。但是实数的二阶理论只有一个模型。这可以从只有一个阿基米德完备有序域的经典定理，和所有阿基米德完备有序域的在二阶逻辑中可表达的事实得出。这证实了实数的二阶理论不能简约到一阶理论，在实数