值位于矩阵的向量空间内。"A"的特征值正好是"R(z)"的极点。根据假设，"A"没有特征值，因此函数"R(z)"是整函数，根据柯西积分定理可知：另一方面，把"R(z)"展开为几何级数，可得：这个公式在半径为||"A"||的闭圆盘的外部（"A"的算子范数）成立。设"r" > ||"A"||。那么：（仅当"k" = 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此"A"一定有一个特征值。
拓扑学证明.设"z" ∈ C为使|"p"("z")|在"z"取得最小值的数; 从用到刘维尔定