_1为诺特环——那么formula_2也具有相同性质。形式上，希尔伯特基定理. 如果formula_1是诺特环，那么formula_2也是诺特环。推论. 如果formula_1是诺特环，那么formula_11也是诺特环。定理可以如下翻译成代数几何的语言：域上的每个代数集都可以描述成有限多个多项式方程的公共根的集合。 在他对不变量环的有限生成的证明中，证明了希尔伯特基定理（在域上的多项式环这一特例）。希尔伯特应用数学归纳法给出了一个创新的反证：他的证明并没有提供对于任一理想生成对应的有限多个