mula_1 为交换环，而 formula_2 为 formula_1-模。formula_2 的内射维度 formula_5 定义为其内射分解的最短长度（当 formula_6 时置 formula_7）。投射维度 formula_8 则定义为其投射分解的最短长度。利用同调代数的工具，可以进一步得到下述刻划：命题一. 设 formula_9 为整数，下述条件等价：命题二. 设 formula_9 为整数，下述条件等价：当 formula_1 为诺特环而 formula_2 为有限生成 f