计算长度与面积.第一基本形式完全描述了曲面的度量性质。从而，它使我们可以计算曲面上曲线的长度与区域的面积。线元素（）可以用第一基本形式的系数表示为：由 formula_16 给出的经典面积元素可以用第一基本形式的系数利用拉格朗日恒等式（）写出，
例子.R 中单位球面可如下参数化formula_8 分别对 "u" 和 "v" 微分得出第一基本形式的系数可由取偏导数的点积得到：
球面上曲线的长度.球面的赤道可由 formul