论无法解释。这一经典模型后来由索末菲通过引入费米-狄拉克统计进行了改进，得到了半经典的自由电子模型。这一模型能够更精准地解释维德曼–夫兰兹定理，也能够粗略解答金属比热问题，但是它依然无法解释为什么自由电子的假设能够适用于金属这一基础问题。另一方面，马克斯·冯·劳厄与等人早在1912年就对金属的结构进行了研究。他们通过观察到晶体的X射线衍射图样总结出：金属的周期型结构来源于其中的原子构成的晶格。瑞士物理学家布洛赫将量子力学理论应用于金属，又将金属晶格近似为周期势场，从而得出了周期势场中薛定谔方程的解，即布洛赫