。希尔伯特演绎系统不需要区分公式和判断；提及它只是为了和下面的情况做比较。希尔伯特演绎系统的简单语法付出的代价是完整的形式证明变得非常长。在这种系统中的关于证明的具体论证总是求助于演绎定理。这导致了把演绎定理包括为系统中的形式规则的想法，这激发出了自然演绎。在自然演绎中，判断有形式这里的formula_5和formula_2是公式并且formula_7。用语言表述，判断组成自十字转门符号“formula_8”左手端的公式（可能为空）列表与右手端的一个单一公式。定理是那些公式formula_2使得for