表示"H"的一组正交基;换句话说，"B"是一个其线性张成在"H"中稠密的正交集合。然后可得“B是全体"v"的总和”这一假定对于恒等式的有效性是不可或缺的。如果"B"不是"v"的总和，那么帕塞瓦尔恒等式中的等号必须用“≥”符号替换，恒等式此时退化为贝塞尔不等式。帕塞瓦尔恒等式的这种推广形式可以用里斯-费歇尔定理加以证明。