别地，formula_7不能是代数数，因此一定是超越数。 现在，我们来证明formula_17是超越数。如果π是代数数，formula_18也是代数数（因为formula_19是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，formula_20（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。把这个证明稍微改变以下，可以证明如果formula_6是一个非零的代数数，那么formula_22、formula_23、formula_24和它们的双曲函数也是超越数。
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