。
动机.设 "φ":"U"→"V" 是从 R 的一个开集 "U" 到 R 的开集 "V" 的一个光滑映射。对任何 "U" 中的给定点 "x"， "φ" 在 "x" 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 "φ" 在 "x" 的全微分的矩阵表示，这是一个从 R 到 R 的线性映射：我们希望将其推广到 "φ" 是“任何”两个光滑流形 "M" 与 "N" 之间的光滑映射。
光滑映射的微分.令 "φ" : "M" → "N" 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 "x"