。如果另一个数"w"与"u"互素的数也能整除"L"，那么"w"必须整除"v"，证明如下：如果"u"和"w"的最大公约数是1，则根据贝祖等式存在"s"和"t"使两边都乘以"v"：因为"w"整除等式右边，所以也应整除等式左边的"v"。这个结果叫做欧几里得引理。如果一个素数整除"L"那么它至少整除"L"的一个因数。如果一个数"w"互素于数列"a"、"a"、…、"a" 中的每一个数，则"w"也一定互素于它们的乘积"a" × "a" × … × "a"。欧几里得引理足以证明每一个自然数的素数分解是惟一的。