并且这些阶数是唯一确定的，形成了一个不变量（invariant）的完备系统。有限阿贝尔群的自同构群可以依据这些不变量来直接描述。有关理论最初发展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和在1879年的论文，后来被简化和推广到在主理想整环上的有限生成模，形成了线性代数的一个重要组成部分。
分类.有限阿贝尔群的基本定理声称所有有限阿贝尔群"G"都可以表达为素幂（prime-power）阶的循环子群的直和。这是有限生成阿贝尔群的基本定理在"G"有零秩时的特殊情况。"mn"阶的循环群form