维度 formula_8 则定义为其投射分解的最短长度。利用同调代数的工具，可以进一步得到下述刻划：命题一. 设 formula_9 为整数，下述条件等价：命题二. 设 formula_9 为整数，下述条件等价：当 formula_1 为诺特环而 formula_2 为有限生成 formula_1-模时，上述条件更等价于由此可定义环 formula_1 的同调维度 formula_35为：
性质.内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系：其中的 form