空间formula_2的一个线性扩张formula_12，也就是说，存在一个线性泛函"ψ"，使得：以及：扩张"ψ"一般不是由"φ"唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出"ψ"的方法：在无穷维空间formula_2的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。我们可以把formula_16的次线性条件稍微减弱，只需要：根据（Reed and Simon, 1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。
重要的结果.这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时