点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
定义.拓扑是一个包含一个集合"X"连同和"X"的子集族Σ(称为开集系)的二元组("X",Σ)，它满足如下三个公理：
研究范围.具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如：虽然还有其它一些更加复杂的术语，但这些术语通常都直接与这些