乘法子群做为四元群。"i"、"j"和"k"都是"Q"内4目的元素且选定其中任两个都可以产生出整个群来。"Q"有着下列的展现其中可以取成"i"="x"、"j"="y"及"k"="xy"。"Q"的中心及交换子群为{±1}。其商群 "Q"/{±1}会同构于克莱因四元群"V"。"Q"的内自同构群会同构于"Q"同余其中心，且因此也会同构于克莱因四元群。"Q"的全自同构群会同构于对称群"S"。"Q"的外自同构群因此为"S"/"V"，其会同构于"S"。四元群"Q"亦可视为是作用于在有限体GF(3)上之二维向