为了要做到这一点，他发明（和伽罗瓦各自独立发明 ）极其重要的理论：群论 。除此之外，阿贝尔对椭圆积分理论基础很有贡献，并且研究部分的椭圆函数、超椭圆函数，以及另外一类后来以他名字命名的阿贝尔函数，并写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数的巨着。当阿贝尔在巴黎时，他发表了一篇论文，提出椭圆函数具有双週期的特性，阿德里安-马里·勒壤得将该文交给柯西，并引用罗马诗人贺拉斯的话，说该文乃是一个「比青铜还不朽的里程碑」。然而，柯西仍然不曾把它当一回事。 阿贝尔曾谈及高斯的简洁的写作风格，“他是像狐狸用尾巴抹去它的