在1971年Graham与Rothschild证明了此题之解formula_4的上下界为formula_5，其中formula_6是一个极大但明确定义的数字formula_7，用高德纳箭号表示法，formula_8可表示为formula_9；康威链式箭号表示法也可以表示此数的大略范围，此数介于formula_10与formula_11之间，formula_4的上界在2014年借由Hales–Jewett数的上界而降为formula_13，并于2019年进一步降低为formula_14；下界则在2003年