莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。
定义.让 formula_1 为非空集合，集合系 formula_2 中的元素是 formula_1 的子集合，满足以下条件的集合系 formula_2 称为 formula_1 上的一个 σ-代数：以