工具就是乒乓引理。这结果指出任何有限生成的线性群，或是一个逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一个秩2的自由子群。乒乓引理及其引申结果广泛应用于几何拓扑学及几何群论。
定理敍述.设"G"为群，作用在集合"X"上，"H"和"H"是"G"的非平凡子群，"H"是"H"和"H"生成的群。若"X"有两个不交非空子集"X"和"X"，使得则"H"是"H"和"H"的自由积，即formula_5，或者formula_6，而"H"是二面体群。Section:::