义“明确性”为可以在一阶逻辑中公式化并原子公式仅包括集合的公式。他们还同时提出应该用替代公理取代分类公理，并在体系中添加正规公理（首先由 冯诺依曼提出），从而得到了被称作 ZF的公理体系。再向ZF增加选择公理就诞生了ZFC。选择公理曾饱受争议，因为选择函数的存在性是非构造性的；选择公理确立了选择函数的存在，而不说明如何构造这些函数。所以使用选择公理构造的一些集合，尽管可以证明其存在，但可能无法详细、描述性地构造出。因此，当一个结论依赖于选择公理时，有时会被明确地指出。ZFC一般由一阶逻辑写出，实际上