尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑中也有应用。
历史.八元数第一次被描述于1843年，于一封约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中。后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。
定义.八元数可以视为实数的八元组。每一个八元数都是单位八元数{1, "i", "j", "k", "l", "il",