有从formula_3到formula_47的线性映射组成的向量空间。formula_48产生从formula_49至formula_50的单射；这是个同构若且唯若formula_47是有限维的。若 线性映射"f"表示作其对formula_44的基之矩阵formula_53 ,则formula_54表示作其对formula_55的对偶基之转置矩阵。若formula_56是另一线性映射，则formula_57。在范畴论的语言里，"为任何向量空间取对偶"及"为任何线性映射取转置"都是向量空间范畴的逆变