:定义.李括号有下列三种定义，这三种定义不同，但是等价：
作为微导的向量场.在一流形"M"上的所有平滑向量场"X" 可以视为作用在"C"("M")的平滑函数 微分算子。的确，每个向量场 "X" 可成为在"C"("M") 上的微分算子（导子），因此可定义 "X"("f") 的函数，计算函数在方向"X"("p")上点"p"的"f"值方向导数，更进一步，于"C"("M")的任意微导都是源于唯一的平滑向量场"X"。一般来说，任意两微导 formula_2 与formula_3的 交换