面来讲，同调和上同调群是交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。
同调的结果.通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的"n"-阶同调群的自由阶等于"n"-阶贝蒂数（Betti number），所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的欧拉示性数。作为另外一个例子，闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。