元素为formula_38，当formula_81。但无论如何，于乘法运算下的整数不会形成一个群。这是因此一整数的乘法逆元通常不会是一个整数。例如，formula_82是一个整数，但其乘法逆元为formula_83，不为一个整数。群的理论被学习于群论中。此一理论的一主要成果为有限简单群分类，主要发表于formula_84年至formula_85年之间，其目的在于将所有的有限简单群分类至约formula_86种的基本类型中。半群、拟群和幺半群是类似于群的结构，但更具一般性。它们由一个集合和一个封闭