"R"会是环"Re"、...、"Re"的直和。所有较有趣的是，每一于"R"内的核心幂等"e"都会给出一"R"的分解－"Re"和"R"(1 − "e")的直和。任一不等于0和1的幂等元素都是零因子(因为"e"(1 − "e") = 0)。这表示了整环及除环都不会存在此种幂等元素。局部环也没有此种幂等元素，但理由有点不同。唯一包含于一环的雅各布森根内的幂等元素只有0。共四元数环内会有一幂等元素组成的悬链曲面。"所有"元素都幂等的环称做布尔环。可证明在每一此类环内，乘法都是可交换的，且每一元素都有其各自的