267的自同态环同构。若formula_39是交换环，则formula_45是一个带单位元的formula_39-代数，满足结合律，但不满足交换律。其中的矩阵仍然可以用莱布尼兹公式定义行列式。一个矩阵可逆当且仅当其行列式为环formula_39中的可逆元（域上的矩阵可逆只需行列式不等于0）。
矩阵与线性变换.前面已经提到，所有formula_272的线性变换都对应着一个formula_42中的矩阵。更一般地，给定了基底后，任意两个有限维线性空间之间的线性映射formula_27