为正则局部环若且唯若 formula_8。
源流.正则局部环由 Wolfgand Krull 首先定义，而在扎里斯基的工作中展现其重要性。扎里斯基证明了代数簇在一点上平滑的充要条件是该点的局部环为正则局部环，此前平滑性系由雅可比矩阵定义，此定义涉及代数簇在仿射或射影空间中嵌入方式，而扎里斯基证明了这是代数簇的内在性质。事实上，定义中的 formula_9 可以解释为该点的余切空间，因此正则性可以粗略地理解为该点的余切空间具有「好的」维度。随着同调代数技术的发展，人们在1950