加莱度量就是二维双曲几何的庞加莱圆盘模型的度量。这定理本质上就是说单位圆盘到自身的全纯映射会减小各点之间的庞加莱距离。若以上两不等式有一式的等号成立（就是说这个全纯映射保持庞加莱度量下的距离），那么"f"一定是单位圆盘的解析自同构，由单位圆盘到自身的莫比乌斯变换所给出。关于上半平面formula_34有一个相似的命题：设formula_35全纯。那么，对所有formula_36，这是上面提到的施瓦茨-皮克定理的简单推论：只要注意到凯莱变换formula_38把上半平面formula_34共形地映