ula_218 ，此粒子的哈密顿算符 formula_75 为每一个能级所对应的能量本征态必需满足由这哈密顿算符所形成的薛定谔方程 ：採用位置表现，解析这个微分方程，使用幂级数方法。可以得到一族的解：其中，函数formula_224 为埃尔米特多项式。对应于函数formula_225的能级为一维谐振子的能谱有以下性质：
球对称位势.假设单独粒子移动于球对称位势 ，描述这量子系统运动的薛定谔方程为其中，formula_230 是粒子的质量，formula_27