则 "s" = -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以 "s" = +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。
流形上的霍奇星号.在一个 "n"-维定向黎曼或伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造，将得到 "k"-形式的霍奇对偶，是一个 "n- k" 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L-范数。对 formula_35 的空间截面 formula_26 与 formula_27，其内积可写