上的二阶微分算子，且在 "G" 的作用下不变。更进一步，若 "M" 有度量张量，使得 "G" 的元素作为 "M" 的保距变换，可递地作用在 "M" 上，且一点的稳定子 "G" 不可约地作用在切空间 "TM" 上，则 "ρ" 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。也可定义更一般的卡西米尔不变量，其于研究伪微分算子时用到。
一般情况.每个卡西米尔算子，都对应伴随表示的 formula_20 的对称齐次多项式。换言之，任何一个卡西米尔算子都具有下列形式：其中 是对称张量