_23在此标准基向量上的投影，而根据向量自身的定义，这个投影即为formula_42。因此：
由代数定义推出几何定义.应用余弦定理。注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到formula_44维的情形。考虑向量重复使用勾股定理得到而由代数定义所以，根据向量点积的代数定义，向量formula_48和自身的点积就是其长度的平方。现在，考虑两个从原点出发的向量formula_18和formula_12，夹角formula_17。第三个向量formula_53定义为构造