所生成的子空间在formula_5中稠密（对于内积诱导的拓扑来说）。而如果formula_111任何两个向量都正交，任何向量范数都是1，那么就称之为formula_5的一组标准正交基。用类似格拉姆－施密特正交化的方法可以证明：使用豪斯多夫最大原理（佐恩引理的一个等价版本）并且注意到完备的内积空间里对子空间的投影总是良好定义的事实，可以得到另一个结论：然而，不是所有的内积空间都有标准正交基的。可以构造出不含有标准正交基的内积空间。