称为外代数。（必须注意在格拉斯曼的年代，唯一公理化的理论是欧氏几何，而且抽象代数的一般概念还没有被定义）。1878年，威廉·金顿·克利福德将这个外代数的概念加入哈密尔顿的四元数中，他将格拉斯曼的"ee" = 0的规则换成"ee" = 1即可。细节请参看外代数。A1是革命性的着述，因太超前而不被赏识。1847年，格拉斯曼以此着作申请教授职位，当局请教恩斯特·库默尔的意见，库默尔评价道里面有不错的想法，但缺乏清晰的解释，不赞成给予大学教职。在接下来的十年间，格拉斯曼写了各种应用他的扩张理论的着述，包括184