生成群的子群不必须是有限生成群，例如，设 "G" 是有两个生成元 "x" 和 "y" 的自由群，(它明显是有限生成群，因为 "G" = <{"x","y"}>)，并设 "S" 是由形如 "y""xy" 的所有 "G" 的元素构成子集，这里的 "n" 是自然数。因为 <"S"> 明显同构于有可数个生成元的自由群，它不能被有限生成。但是，所有有限生成阿贝尔群的子群完全是有限生成群。更进一步: 所有有限生成群的类在群扩张下闭合。要看出这个结论，选取(有限生成)正规子群和商群的生成集合: 正规子群的生成元和商群的生