试有系统的这么做，而不管用什么系统来定义和构造序数，总是有一个序数正好位于这个系统所构造的所有序数之上。也许以这种构造系统的方式限定的最重要的序数是邱奇-克莱尼序数formula_70（尽管名字中有formula_42，这个序数是可数的），它是不能以可计算函数表示的最小序数。不过，还是可以在formula_70之下定义相当大的序数，它们有的标志着特定形式系统的“证明论强度”（例如，formula_73标志着皮亚诺算术的强度）。也可以在邱奇-克莱尼序数之上定义更大的序数，这些大序数会在逻辑的多个部分有研究价值