证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如。在一些构造性数学的理论中会避免选择公理的使用，不过也有的将选择公理包括在内。
陈述.首先定义几个概念：集族：指由非空集合组成的集合。选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族formula_5中的集合formula_6，formula_7是"formula_6"的一个元素。那么，选择公理表示：上述可表示为：或者：该定理也可表达为：
变体.第二个版本的选择公理声称