叶开始的，他在1822年发表《热的解析理论》，提出热传导方程的偏微分方程，并且利用分离变数法求得级数解，并且开始有关傅立叶级数的研究。另外在十九世纪有关 拉普拉斯方程的研究也是偏微分方程的重要发展。拉普拉斯和泊松都有许多的贡献，后来乔治·格林提出了相关格林函数及格林公式等概念，并带动斯托克斯、麦克斯韦及后来电磁学相关的研究。而流体力学的纳维-斯托克斯方程及弹性介质的也是在十九世纪提出的偏微分方程。。后来许多的理论都是以偏微分方程的形式出现，量子力学的基础方程式薛丁格方程也是偏微分方程，广义相对论中的爱因斯坦