的，兼容的，并且是足够强大的，但不是递归可枚举的。哥德尔本人只证明了以上定理的一个较弱版本；以上定理的第一个证明是罗素（Russel）于1936年给出的。基本上，第一定理的证明是通过在形式公理系统中构造如下命题来完成的。这样，它可以看成是说谎者悖论的一个现代变种。如果公理系统是相容的，哥德尔证明了（及其否定）不能在系统内证明。因此"p"是真命题（"p"声称它不可证明，而它确实不能），尽管其证明不能在系统内形式化。请注意将作为公理加入系统并不能解决问题：扩大了的系统中会有另一个哥德尔语句出