各种等价的方式定义。特别是它可以定义为幂级数：或序列的极限：在这些定义中，formula_36表示formula_37的阶乘，而formula_3可以是任何实数、复数、和巴拿赫代数的元素。设formula_39是确定的非负实数。定义据二项式定理，（设formula_42得到最终的不等式）故此可证明当formula_37趋于无限大时上述二定义等价。这些定义的进一步解释和它们的等价性的证明，参见文章。
性质.从指数函数的定义：可得出它有幂运算的“指数定律”：