知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。
定义.亚纯函数formula_2在孤立奇点formula_3的留数，通常记为formula_4或formula_5，是使formula_6在穿孔圆盘formula_7内具有解析原函数的唯一值formula_8。另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数"a"留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。
例子.作为例子，考虑以下的路径积分：其中C是围绕原点的任意