象由可逆层代表。正则性最强，它对应于交换环谱在该点的平滑性。就几何观点，Gorenstein 与 Cohen-Macaulay 条件是平滑性的逐步推广，在此框架下可以证明较广的几何定理。
纯粹性定理.设 formula_3 为诺特环，formula_9 为其理想。若对每个 formula_10 的相伴素理想 formula_11 皆有 formula_12，则称 formula_13 为纯粹的。若每个能由 formula_14 个元素生成之理想 formula_13 都是纯粹的，则