瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。
定义.八元数可以视为实数的八元组。每一个八元数都是单位八元数{1, "i", "j", "k", "l", "il", "jl", "kl"}的线性组合。也就是说，每一个八元数"x"都可以写成其中系数"x"是实数。八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。
凯莱-迪克松构造.一个更加系统的定义八元数的