下方式：若 T(x,m,k) = x•m + k，则称该三元运算子是「线性」的。当投影平面的坐标系确实形成一个环时，一个三元运算子可使用右边的环运算来定义，以产生出一个平面三元环。此一平面三元坐标环的代数性质可对应至该平面的几何重合性质。例如，笛沙格定理对应至由除环中获得的坐标环，而帕普斯定理则对应至由可交换体中获得的该环。满足帕普斯定理的投影平面一般称为「帕普斯平面」。此外，八元数等不一定具结合律的可除代数对应至穆方平面。在有限投影平面上，笛沙格定理蕴涵着帕普斯定理此一纯几何叙述目前所得的唯一证