成一个双射，把在路径中 "A" 的每个元素，映射到在路径中直接前于或后于它的 "B" 的一个元素。对于在两个方向上都是无限的路径，和对于有限圈，我们选择映射所有元素到它在路径中的前驱。
最初的证明.康托尔的早先证明有效的依赖于选择公理，通过推导出良序定理的推论。上面给出的证明证实了可以证明这个结果而不使用选择公理。这个定理也叫做 Schroeder-Bernstein 定理，但一般会加上康托尔的名字，毕竟他贡献了最初的版本。它也叫做 Cantor-Bernstein 定理。