维霍普夫代数 formula_1 以及其对偶 formula_2制作出新的霍普夫代数，还自动包含半三角结构。量子对是量子群理论中极重要的建构。在向量空间的层次上，量子对同构于张量积 formula_3，这个代数结构相当复杂。设 formula_4 为域formula_5 上的有限维霍普夫代数，假定 formula_6 可逆，并设 formula_7 为 formula_1 与 formula_2 的自然配对。下列性质确定了量子对上唯一的霍普夫代数结构：任取一组基 formula_14 及其对偶基