来令a表示任意实数，并考虑反四元数这正是和Carmody的等边双曲面坐标。接下来，在环的向量子空间中构造三个基础集合:现在很容易验证及这些集合相等意味着当formula_69时，平面是formula_26的一个与双曲复数平面同构的子环，就像对formula_72中的任意formula_73，是与普通复平面formula_48同构的formula_26的平面子环。注意对于所有formula_77， formula_78，因此formula_79和formula_80是幂零元。平