换会固定所有"V"中的"v"，因此它是一般线性群 GL("V")的么元，也就是说"G"的作用是自由的：所以X确实是一个"主"齐性空间。在线性代数中跟随基的依赖性的一个论证办法就是跟踪"X"中的变量"x"。
应用.主齐性空间概念是主丛的一个特殊情况：它就是基空间为一点的主丛。换句话说，主丛的局部理论就是一族依赖于基空间中的参数的主齐性空间的理论。可以通过取丛的一个截面来给定“原点” - 这样的截面通常是"局部地在基空间上"存在 - 也就是丛"局部平凡"，因此局部地结构就是卡积的结构。