直到1900才由希尔伯特给出。结论是解的存在性微妙地依赖于边界与预定值的光滑性。
一般解.对具有足够光滑边界formula_1一个区域formula_2，狄利克雷问题的一般解由给出，这里formula_4是这个偏微分方程的格林函数，而是格林函数沿着内单位法向formula_6的导数。在边界上对测度formula_7进行积分。函数formula_8由第二类的惟一解给出上一个积分中的格林函数在边界上为零：这样的格林函数通常是自由域格林函数与一个微分方程的调和解之和。