，如果"X"是一个微分流形，则群元素是微分同胚。"G"-空间结构是到"X"微分同胚群的一个群同态ρ : "G" → Diffeo("X")。
几何.从埃尔朗根纲领的观点，可以理解在"X"的几何中“所有点是一样的”。十九世纪中叶黎曼几何提出之前的所有几何本质上都是如此。例如欧几里得空间、仿射空间和射影空间都自然是相应对称群的齐性空间。这对常曲率非欧几里得几何模型，比如双曲空间，同样成立。一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间（等价于，四维向量空间中的二维子空间）。用