方程和更高次的方程就不普遍性的存在。与多项式相关联的伽罗瓦群的抽象性质（特别是它们的可解性）给出了那些多项式的所有解都可用根式表达的判定标准，就是说这些解可以类似上面公式那样只使用加法、乘法和方根来表达。这个问题可以使用域论来处理：考虑一个多项式的分裂域就把问题转移到了域论的领域中了。现代伽罗瓦理论把上述类型的伽罗瓦群推广到了域扩张，并通过伽罗瓦理论基本定理建立了在zh-cn:域; zh-tw:体;和群之间的严格关联，再次凸显了群在数学中无所不在。
有限群.一个群被称为