直距离"D"后达到了最大速度，则整理折射定律式中的各项并平方得到可以解得"dx"对"dy"有代入v和v的表达式得到这是一个由直径为"D"的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。
雅各布·伯努利的证明.约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足"dy"不变求微分，得到最后整理得到最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径