将算符formula_60作用于量子态formula_70，会形成新量子态formula_83：从左边乘以量子态formula_85，经过一番运算，可以得到所以，每一个本征值与其机率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量formula_59的期望值：将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数formula_89的期望值：例如，formula_91可以是formula_92，即重复施加算符formula_93两次：
对易算符.假设两种可观察量formula_37、