在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
公理化定义.给定域，上的向量空间是一个集合，其上定义了两种二元运算：中的元素称为向量，相对地，中的元素称为标量。而集合公理才构成一个向量空间（对中的任意元素、以及中的任意元素、、都成立）：前四个公理说明装备了