着固定轴 formula_5 角值的旋转，可以表达为欧拉旋转定理基要地阐明，所有的旋转都能以这形式来表达。乘积 formula_10 是这个旋转的生成元。用生成元来分析，而不用整个旋转矩阵，通常是较简易的方法。用生成元来分析的学术领域，称为旋转群的李代数。
四元数.根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征向量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。如上所描述的四元数，并不介