定理证明对于数学原理或其他任何类似的尝试，这个崇高的目标皆永远无法达到；也就是说，任何尝试以一组公理和推理规则来建立的数学系统，不是不自洽，就是不完备 (即存在一些数学真理不能由此系统推理演绎出来)。数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作，但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合（罗素悖论）。数学原理排除无限制创建任意的集合来试图避免这个问题，它以不同“类型”的集合来取代一般的集合，一组特定类型的集合只能包含套较低的类型。然而在当代数学，会使用如Zermelo-Fraenke