"R"）的理想称为极大的。一个理想 "m" 是极大的当且仅当 "R" / "m" 是一个域。任何环至少有一个极大理想，这可由与选择公理等价的佐恩引理得出。理想的定义使得“除以” "I" 中的元素给出另一个环，商环 "R" / "I"：它是 "I" 的陪集，两个运算为例如，环 Z/"n"Z（也记作 Z），其中 "n" 是一个整数，是整数模 "n" 环。它是模算术的基础。
局部化.一个环的局部化是商环的对立面，在商环 "R" /"I" 中某些元素（"I" 中的元素）变为零，而在局