们无法在算术系统中定义何谓「算术的真理」。从而这个定理可被推广成适用于任何足够强的形式系统，以表明：我们无法在系统中定义何谓「系统标准模型的真理」。
历史.库尔特·哥德尔在1931年发表了着名的哥德尔不完备定理，他一部分是透过一阶算术的语义表达技巧来完成定理的证明。在他的算术语言中，每条表达式都配有各自的编码。这个过程称为「哥德尔编码」，而每组表达式也可配有各自的编码组。如此一来，各种语义属性（例如：当成式子或当成句子）变成可计算的。我们就可透过算术式定义任何可计算的编码组，具体而