x" = 0；因此 -"x" = x，所有元素都是自身的加法逆元，在布尔环中使用减号没有意义。因为我们知道并且因为<"R",+>是阿贝尔群，我们可以从这个等式的两端减去"x" + "x"，这给出了"x" + "x" = 0。类似的证明证实了布尔环是可交换的：而这产生了"xy" + "yx" = 0，它意味着"xy" = −"yx" = "yx"（使用上面第一个性质）。"x" + "x" = 0的性质证实了布尔环是在带有两个元素的域F上的结合代数，但只在这个方向上。特别是，任何有限布尔环都有二的幂