点的实数部分均为1/2，也即ζ函数非平凡解都位于直线formula_7（「临界线」）上，这便是黎曼猜想。为数不少的数学命题以黎曼猜想成立为前提，其在数学上的影响力已远超素数分布模式一点。它还对密码学和物理学意义重大。黎曼猜想是千禧年七大难题和希尔伯特的23个问题唯一一个共同的问题，是150年来一直吸引着数学家的难题，对它的研究极大推动了解析数论的发展。有分析和数值上的证据支持黎曼猜想是正确的。例如，1914年哈代证明了ζ函数有无限多个零点的实部等于1/2，1989年布莱恩·康瑞（）证明了ζ函数全部零点中