索末菲与里昂·布里于因（Léon Brillouin）对此皆有理论性描述。"参阅色散以对波的各种速度有更完整的了解。"
物质波相速度.量子力学中，粒子也具有波的行为，并带有复数相位。透过德布罗意假说，我们可以得到：运用相对论中能量与动量的关系式：其中formula_4是粒子总能（运动学观点上，即静质能加上动能），"p"是粒子动量，formula_5是劳仑兹因子，"c"是光速，以及formula_6是速度与c的比值。变数"v"可以是粒子速度或相应的物质波群速度。"细节请参