V" 自己，另一个是 "V" 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。
扩张.由于一个向量空间上 "k" 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 "k"-向量空间的对偶，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数构造余微分（），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。