使证明更严密，我们只需注意到当formula_12，已筛的右方项趋向1，并遵从狄利克雷级数的收歛性。
特别情形 formula_13.从以上公式可推导出 ζ(1) 的有趣结果。可以写成，又知：所以我们得知左式是调和级数，并发散至无穷大，故此右式的分子（质数阶乘）必定同样发散至无穷大。由此可以证明质数有无限多个。