局部平凡"，因此局部地结构就是卡积的结构。但是截面经常不是全局存在的。例如一个微分流形M有一个和其切丛相应的标架主丛。全局截面只有当M是可平行化时才存在；而那是很强的拓扑限制。在数论中，有一个（看似不同的）使用主齐性空间的原因，就是为了在域K上定义椭圆曲线E（以及更一般的交换簇）。一旦理解了这点，很多其它例子也是同样的情况，应用于其它的代数群：正交群的二次型，以及射影线性群的Severi-Brauer簇就是两个例子。 在椭圆曲线情况，对丢番图方程的意义，在于K可能不是代数闭的。可以存在曲线C，它在K