rmula_19是自相似的如果存在压缩映射使得事实上，如果formula_23都是压缩映射，那么存在唯一的非空紧致集合formula_24满足上上式。这个定理可将巴拿赫的巴拿赫不动点定理应用在完备度量空间（formula_25的非空紧致子集和郝斯多夫距离）。
开集条件.为了计算某些特定情况时的郝斯多夫维数，我们需要定义开集条件（open set condition 简称 OSC）：我们说映射formula_26满足开集条件如果非空有界开集formula_27使得其中上式