反之，如果在 formula_30 上给了一个内积，则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义。本质上，"V" 的正交基元素的楔积组成了 "V" 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做其中 formula_32 是流形的度量。
对偶性.当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶，不考虑符号的话，所得结果是外代数上一个恒等式。给定 "n"-维空间 "V" 上一个 "k"-向量 formula_33，我们有这里 "s" 与 "V" 上内积的符号有关。具体说