是指在普通的复平面加入无穷远点构成的集合）扩充复平面可以看做是一个球面，它的另一个名称就是黎曼球面。每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的一一对应的共形变换。事实上，所有这样的变换都是莫比乌斯变换。所有莫比乌斯变换的集合在函数复合作用下构成一个群，称为“莫比乌斯群”，记作 formula_3。这个群是黎曼球面（作为一个黎曼曲面）的自同构群，因此有时也被记作：莫比乌斯群同构于三维双曲空间中的保向等距同构群，因此在三维双曲空间中的子流形的研究中占有重要地位。
定义.莫比乌