括由连续函数（紧致赫斯多夫空间上的连续函数）组成的空间、由勒贝格可积函数组成的L空间及由全纯函数组成的哈代空间。上述空间是拓扑向量空间中最常见的类型，这些空间的拓扑都自来其范数。巴拿赫空间是以波兰数学家斯特凡·巴拿赫的名字来命名，他和汉斯·哈恩及爱德华·赫利于1920-1922年提出此空间。
例子.以下令体为或其中之一。常见的欧氏空间 K（其范数为欧几里德范数，"x" = ("x", …, "x")的范数定义为||"x"|| = ("x"+…+ "x")）是巴拿赫空间。因此