2 及作用在 formula_2 的幂集上的闭包算子闭包算子需符合以下条件：如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了预闭包算子。
等价的证明.从由闭包算子定义的拓扑空间开始。"A" 称为在formula_1 是闭合的，若formula_10。亦即，"X" 的闭集是闭包算子的不动点。若称「开集」为其补集为闭集的集合，则所有开集会形成一个拓扑，证明如下：相反地，由开集定义的拓扑也可推导至由闭包算子定义的拓扑空间。令外，也可得出下列等价的定义：两个拓扑空间之间