个序数formula_79，集合formula_80按定义包含了所有阶数小于formula_79的纯集合，整个冯·诺伊曼全集用formula_82来表示。
公理集合论.基础集合论可以用非正式的、直觉的方式学习，在小学中就可以用文氏图说明。基础集合论直观地假设集合就是一群符合任意特定条件的物件的组合，但此假设会造成悖论。最简单及着名的是罗素悖论及布拉利-福尔蒂悖论。公理集合论的形成就是为了避免这些集合论的悖论。许多数学家研究的公理集合论系统假设所有的集合形成累计层次。这类的系统可