.刘维尔和施图姆在1830年代一起研究了热传导的微分方程，创造了逐次逼近法。随后他研究了更一般的二次微分方程，以及确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数的问题，得到了许多重要结论。
数论.刘维尔对数论问题产生兴趣始于费马大定理。1840年，他将费马的问题作了转化，证明方程formula_1的不可解性意味着formula_2的不可解性。之后又研究了e的超越性质，建立了有关代数数丢番图逼近的一个基本定理，并由此构造了刘维尔数，首次证明了超越数的存在性。从1856年开始，刘维