求根公式不存在的证明后，开始研究可以通过开方求解的某些特殊类型高次多项式方程。但阿贝尔的研究随着他病逝而中断。不过，在同一时期，法国的伽罗瓦运用深刻的洞察力，用更为抽象的方式，给出了“哪些多项式方程可以通过开方求解”的完整判别方法。伽罗瓦使用的是现今称为群论的代数工具，将根的置换集合作为群来考虑，将多项式方程可解转化为群的特性。伽罗瓦的结果在其生前并没有得到重视，在他去世后，才逐渐被数学界发现。
现代证明.伽罗瓦创造了群论来解决代数方程可解判定性的问题。此后阿廷等人建立了环和域扩张