有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如Z/"p"Z对于素数"p"的有限多个群的直和，而后者是有限多个Z的复本的直和。如果"f", "g" : "G"  →  "H"是在阿贝尔群之间的两个群同态，则它们的和"f" + "g"，定义为("f" + "g")("x") = "f"("x") + "g"("x")，也是阿贝尔同态。（如果"H"是非阿贝尔群则这就不成立。）所有从"G"到"H"的群同态的集合Hom("G", "H")因此是自身方式下的阿贝