标平面 ("r","θ") 上定义函数那么相应的解析函数为在这里需要注意的是，极角 "θ" 仅在不包含原点的区域内才是单值的。拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含"任意"函数，其中一些的可微分阶数是很小的。幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数 "f" 在复平面上以原点为中心，"R" 为半径的圆域内展开成幂级数，即