需要证明formula_7的任何一个全序子集formula_2都有一个上界，即存在一个理想formula_28满足formula_29并且formula_28比formula_2中任何一个元素都大。现取formula_28为formula_2中所有理想的并。可以证明，formula_28是一个理想：如果formula_35和formula_36是formula_28中的两个元素，那么必然存在formula_2中两个理想formula_39满足formula_40。注意formula_2是一个全序集，所以必然