集合按包含排序形成了一个完全格，指示为 Ext"L"。类似的模态逻辑 "M" 的正规扩展的集合形成了完全格 NExt"M"。伙伴算子 ρ"M"、τ"L" 和 σ"L" 可以被认为是在格 ExtIPC 和 NExtS4 之间的映射:容易看出所有这三个都是单调的，并且 formula_19 是在 ExtIPC 上的恒等函数。L. Maximova 和 V. Rybakov 已经证明了 ρ、τ 和 σ 实际上是完全格同态。模态伙伴理论基石是 Blok–Esakia 定理，由 Wim Blok 和 Leo Esa