"H"的半直积当且仅当存在短正合序列和一个群同态"r" : "H" → "G" 使得"v" o "r" = id, "H"上的恒等映射。在这种情况, φ : "H" → Aut("N")给出如下
例子.有 2"n"个元素的二面体群"D" 同构于循环群"C" 和"C"的半直积。这里，"C"的非单位元作用于"C"，将元素变成其逆；这是一个自同构因为"C"是交换群。平面的刚体运动群(映射"f" : R → R 使得"x"和"y"之间的欧氏距离等于"f"("x") 和"f"("y