幅进展）的部份是在确认此误差项 formula_11的上界。高斯证明了误差项的渐近行为formula_12，O(r)为大O符号，表示误差项不会超过 formula_7 的线性项。而后来瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基在1906年证明了formula_14。哈代和爱德蒙·兰道都证明了formula_15不成立（formula_16 数量级超过 formula_7 开根号）。因此以后目标是证明针对每一个formula_18，都存在实数 formula_19 使得 formula_20。2000年证明了formula_2