称formula_3是一个作用于formula_1上的群。如果formula_1包含formula_7个元素而formula_3包含所有可能的置换，那么formula_3被称为对称群formula_10。一般地，任何置换群都是formula_1的对称群的子群。凯莱定理表明，通过构造左正规表示，任何一个群都可以视作自身上的一个变换群。
矩阵群.例子：李群
变换群.如果集合formula_12的所有一一变换作成群，则称为formula_12的一一变换群或对称群