上极限（limit superior）跟下极限（limit inferior）是数学中的概念，数列的上极限和下极限可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说，数列 formula_1 的上极限为 1，下极限为 -1。函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。（参见函数的极限）。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。
定义.序列formula_2的上极限定义是或者 同样的，序列formula_5的下极限定义是或者这些定义在任意的偏序集都适用，只需要