赋值作完备化便成为局部域。局部域上的分析较为简单；数学家通常先由局部域入手，再透过阿代尔环之构造研究整体情形。戴德金与安里西·韦伯在19世纪末首先发现了数域与黎曼曲面的类比；formula_1 类比于复射影直线 formula_5，有限扩张类比于分歧覆叠。安德烈·韦伊在1940年提出代数曲线的黎曼猜想，可视作此想法的进一步发展。代数数论关心的课题原是数域，然而许多猜想或定理都有函数域上的类比，而后者技术上通常比较简单。因此，研究函数域有助于启示或釐清数域的情形。模型论上也有手法能将一些函数域的性质转