明上述的对应关系。然而，"并非"每个对应张量（或对称齐次多项式）都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换，即对每个基向量 formula_23, 都满足考虑结构常数 "f"，其满足于是对于满足上述条件的对称多项式，可得此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。 由该交换关系，可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换，从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此，能以其卡西米尔元的特征值来分类。注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者，诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半