实用求解方法，如三次、四次和五次方程式，还有用尺规作图画出正多边形的问题。卡尔·弗里德里希·高斯在1832年证明包括5在内的一些质数可以分解为高斯整数，埃瓦里斯特·伽罗瓦在同年提出置换群的概念（但论文要在他死后的1846年才由约瑟夫·莱欧维尔发表），威廉·哈密顿在1843年发现四元数，阿瑟·凯莱在1854年写下群的现代定义，数学研究的对象逐渐转移至更抽象、更广义的系统。这一领域称为抽象代数，是诺特成果最丰盛的领域。
抽象代数及概念数学的概述.群和环是抽象代数中最基本的两个概念。