同调群上。有了Chas-Sullivan环路乘积，我们自然问：这个乘积是不是交换的？在链水平上这显然不是，但是Chas和Sullivan证明它在同伦的意义下是交换的，也就是说，自由环路空间的同调群在Chas-Sullivan环路乘积下形成一个交换的结合代数。并且，Chas和Sullivan还证明，这个同伦算子形成一个准李代数(pre-Lie algebra),因而它的交换子形成一个李代数；这个李代数和上面的交换结合代数满足Gerstenhaber代数所必须的相容条件，从而我们在自由环路空间的同调群上得到