对冯·诺依曼代数 M的affiliated operator，且 "A" = "UP"是其极分解，那么 "U" 在 "M"中从而是 "P", 1("P") 对任何 [0, ∞) 中 Borel 集 "B" 的谱投影。
应用.连续介质力学中使用极分解来将形变分解成拉伸和旋转的部分，其中 "P" 表示拉伸的部分，"U" 表示旋转的部分。