整数构成一个环，通常记作formula_2。如果formula_1是整系数本原多项式（即系数的最大公因数是1的多项式），但非首一多项式，则formula_4的根都不是代数整数。
定义.以下是代数整数四种相互等价的定义。设为代数数域（有理数域formula_5的有限扩张）。根据本原元定理，可以写成formula_6的形式。其中formula_7是某个代数数。设有formula_8，则是代数整数当且仅当以下命题之一成立：formula_21