。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此"无穷小"得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间"整体"上有这么对称。研究的对象是"复流形"。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。这是研究"辛流形"的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是