表达式取极限来计算时域行为，无需先转换到时域表达式再取极限。在数学上，如果有一个有限极限，那么其中 formula_3 为 formula_4 的（单边）拉普拉斯变换。同样，在离散时间中其中 formula_6 为 formula_7 的Z转换。
证明.通过对导数的拉普拉斯变换定义积分得："如果"右侧的无穷积分存在，则积分的极限可以写作极限的积分，因此：通过令上面两个等式的右侧相等，两边同时消去 f(0) 得：
终值定理成立的例子.例如，