::共形映射.柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式其中formula_5，formula_6。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角（保持角度不变）的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。
复共轭的独立性.方程组有时也被写作一个方程其中微分算子formula_8定义为