证明: formula_36(环的结合律)formula_37 ； formula_38 同理，故formula_39例：整数环，多项式环
环的理想.考虑环(R, +, ·)，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。集合I ⊆ R，考虑以下条件：若I满足条件1，2则称I是R的右理想；若I满足条件1，3则称I是R的左理想；若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。