行加减法和乘法的运算。当formula_9在"D"的连通部分上不恒为零时，还可以定义"f"/"g"。因此，当"D"连通时，所有的亚纯函数构成一个域，为复数域的一个域扩张。
黎曼曲面上的亚纯函数.在一个黎曼曲面上，每个点都拥有一个同构于复平面上的一个开子集的开邻域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数。当"D"为整个黎曼球时，亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域，因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数（这是所谓的GAGA原理的一个特例）。