域扩张成立。如果某个不属于的元素是上的代数元，设其为某个多项式的根，则在中任一个自同构的作用下的像仍是的一个根。事实上，如果设：那么这说明，自同构将多项式的根进行重新排列。因此，对自同构的研究可以帮助了解多项式的根。为了讨论多项式的根，引入正规扩张的概念。给定一个域扩张，任一不可约多项式如果有一个根在中，那么全部根都在中。这样的扩张称为正规扩张。正规扩张中，自同构可以将多项式的根映射到它的任意其他根上。因此，对中任一个不属于的元素，都有自同构将其映射到它的极小多项式的任意其他根上。另外再假定任意