都扮演了重要角色。包括：伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。
有限置换群.各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。 称"X"上的对称群是S。"X"上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，S有"n"!个元素。对"n" > 2，S不是阿贝尔群。当且仅当"n" ≤ 4时，S是可解群。对称群的子群称为置换群。
置换的乘积.对称群中，两个置换的乘积就是指双射函数的复合，由符号"∘"（）来表示，也可以省略。例如："f"与"g"的