模型的任何理论都有任意大基数的模型。所以，有着带有不可数多个自然数的皮亚诺算术有非标准模型。非标准分析是出现无限个自然数的另一个例子，是不能被任何公理化所排除的可能事物，也是紧致性定理的一个推论。
证明.紧致性定理可以使用哥德尔完备性定理来证明，它确立了一组句子是可满足的，当且仅当没有矛盾可以证明自它们。事实上，紧致性定理等价于哥得尔完备性定理，并且二者都等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理。因为证明总是有限的，所以只涉及有限多个给定句子，就得出了紧致性定理。哥德尔最初就是以