的欧拉示性数等于 1。任意从闭单位圆盘到自身的连续映射至少有一个不动点（我们甚至不要求双射或满射）；这是布劳威尔不动点定理 "n"=2 的情形。这个论断对开单位圆盘不成立：考虑映射它将开单位圆盘的每个点稍微向右移动。开单位圆盘的单点紧化同胚于球面：想象开单位圆盘的边界向上弯曲收缩，直到它成为一点；这说明开单位圆盘同胚于去掉北极点的球面；添上那点成为（紧）球面。
双曲空间.通过开单位圆盘上引入一个新度量（庞加莱度量），开单位圆盘常常作为双曲平面的一个模型。利用如上提到的开