于是便产生了许多各种各样的筛法。这些方法是尝试找出被“筛选”的集合的上界，而不是一个确切的公式。
错排.容斥原理的一个着名的应用，是计算一个有限集合的所有乱序排列的数目。一个集合"A"的"错排"，是从"A"到"A"的没有不动点的双射。通过容斥原理，我们可以证明，如果"A"含有"n"个元素，则乱序排列的数目为["n"! / "e"]，其中["x"]表示最接近"x"的整数。这也称为"n"的子阶乘，记为!"n"。可以推出，如果所有的双射都有相同的概率，则当"n"增大时，一个随机双射是