P和反NP可被定义为formula_38和formula_39, 其中P是所有可行的（多项式时间内的）递归语言。则多项式谱系可被递归定义为注意formula_43, and formula_44。这个定义反映出多项式谱系和算数阶层之间的紧密关系。其中R和RE分别扮演了类似P和NP的角色。算数阶层同样是用一系列的实数子集来定义的。
多项式谱系类别之间的关系.由定义可推论出如下关系：算术阶层和分析阶层中各层次包含关系都已确定为真包含，而多项式谱系中的这些包含关系是否为真包含仍未有