取formula_6的话，便得到双曲复数。定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：
共轭、范数.对于formula_1，其共轭值formula_10。对于任何双曲复数formula_11，可见它是自同构的。定义内积为 formula_15 。若formula_16 ，说formula_11（双曲）正交。双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：这个范数非正定，其Metric signature是(1,