一般的运算所组成的。不过，勒文海姆–斯科伦定理证明，大多数的一阶理论也都会有其他的非标准模型。一个理论是相容的，若不可能由这个理论的公理中证明出矛盾来。一个理论是完备的，若对每个其标识内的公式，此公式或公式的否定会是个由理论公理导出的逻辑结论。哥德尔不完备定理证明，有效的一阶理论只要它强到足以蕴涵自然数的理论，即无法同时是相容且完备的。
空论域.上述定义需要任何一个解释的论域均为非空集合。但在如自由逻辑之中，设定空论域是被允许的。更甚之，若代数结构的类包含一个空结构（如空偏序集