理论的丰富性间寻求出一个平衡。具有一个二元运算的代数结构之例子如下：更复杂的例子如下：
应用.因为其一般性，抽象代数运用于许多数学与科学领域之中。例如，代数拓扑即使用代数物件来研究拓扑学。最近（2006年）被证明出之庞加莱猜想表示，一个流形的基本群（握有连通性的资讯）可用来确认一个流形是否为一球面。代数数论研究各种广义化整数集合之数环。使用代数数论里的工具，安德鲁·怀尔斯证明出费马最后定理。在物理学里，群用来表示对称运算，且使用群论可以算化许多微分方程。在规范理论里，要