，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明。而积分形式则是由理查德·贝尔曼（）在1943年证明。
微分形式.设 "I" 是一个实数区间，记为：<nowiki>[</nowiki>"a",