上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。其他三角函数的级数定义：其中formula_55是伯努利数，formula_56是欧拉数。这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述级数来定义的。
与指数函数和复数的联系.可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚