于 formula_29，此函数有完善的定义。此外也不难验证 formula_30 仅依赖于 formula_31 的同伦类。可以证明运算 formula_32 满足群公理，其单位元素为常值映射 formula_33。formula_34 不外就是基本群；而当 formula_35 时，formula_6 是阿贝尔群，称为高阶同伦群。不同基点对应的同伦群只差一个自然同构。若在定义中省掉基点，则得到的集合 formula_7 等同于 formula_6 在 formula_34 作用下的轨道集。可见若