集。这个希尔伯特空间可在将formula_5完备化时唯一确定（同构意义下）。从内积的性质可以推出范数的一些基本性质。这些性质可以看作是欧几里德空间中一些几何性质的推广：只要注意到formula_93是formula_94到formula_95的连续函数，我们可以进一步将勾股定理推广为：这里假定左侧的无穷级数是收敛的。这时候空间formula_5的完备性保证了等式的右侧向量级数也有意义，因为容易证明部分和序列formula_101是收敛的柯西序列。从内积可以定义范数，而反过来也一样，从范数可以定