，因此定理得证。
其它表达方式.关于勒贝格测度的积分也可以不通过使用整个测度理论引导出来。一个这样的方法是使用丹尼尔积分。使用泛函分析的方法也可以发展出积分的理论。任何定义在formula_162（或一个固定的开子集）上的紧支撑连续函数formula_4都有黎曼积分。从这些积分开始，我们可以建立更一般的函数的积分。设formula_164为formula_165上所有实数值紧支撑连续函数所构成的空间。定义formula_164的范数为这样一来formula_164是一个赋范