对于一串数字序列讯号formula_1，定义它的离散傅立叶转换是：引入矩阵符号其中 formula_5 ，现在可以把离散傅立叶转换写成： formula_6由上面的分析可知一串长度为N的数字序列讯号formula_1，其离散傅立叶转换在N维向量空间相当于一个线性转换，也就是矩阵E，矩阵E称作离散傅立叶转换的矩阵。又因为所以 formula_9离散傅立叶转换的线性转换是正交转换。
离散傅立叶转换4周期性质的证明.利用离散傅立叶转换的矩阵，可以证明4周期性质。因为