中每个元素与它的负元素等同得到的商： 一些作者将这个群记做 ．这是一个单李群，包含模群 ．
描述.SL() 是 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群 Sp() 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。商 PSL() 有多个有趣的描述：
线性分式变换.PSL() 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 formula_4 上：这类似于 PSL() 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用。这是 PSL() 在双曲平面上