则局部环，此前平滑性系由雅可比矩阵定义，此定义涉及代数簇在仿射或射影空间中嵌入方式，而扎里斯基证明了这是代数簇的内在性质。事实上，定义中的 formula_9 可以解释为该点的余切空间，因此正则性可以粗略地理解为该点的余切空间具有「好的」维度。随着同调代数技术的发展，人们在1950年代以后对正则局部环有更深的了解。Auslander 与 Buchsbaum 证明了正则局部环必为唯一分解环，让-皮埃尔·塞尔则以同调维度刻划了局部诺特环的正则性。
性质.正则局部环的局部化仍为正则局