2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至，但仍然与实际验证过的范围（）有很大距离。而如果假设广义黎曼猜想正确的话，等人在1998年证明了：每个大于等于的奇数都可以写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。1938年，华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数，每个充分大的奇数都可以表示的形式。当 = 的时候，就是弱哥德巴赫猜想。由于维诺格拉多夫估计formula_66 时使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。1945年，林尼克