，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离"D"后达到了最大速度，则整理折射定律式中的各项并平方得到可以解得"dx"对"dy"有代入v和v的表达式得到这是一个由直径为"D"的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。
雅各布·伯努利的证明.约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足"dy"不变求微分，得到最后整理得到最后的部