承现出很多种不同的类型。下面列出较常见的几种类型，并证明由所有一阶酉矩阵（即单位复数）所组成之群显然与圆群相对应；其酉的条件即等价于其元素的模为1的条件。因此圆群会同构于第一个酉群U(1)。纯虚数指数函数会产生一个由实数加法群R映射至圆群T上之群同态exp:R→T，其映射为其最后一个等式为欧拉公式。实数"θ"会对应到单位圆上由正"x"轴量起的角度。这个映射是一个同态，因为单位复数的乘法可以对应到角度的加法上：此一指数映射很明显地是一个由R映射至T的满射函数，但它不是单射。这个映射的核为所有"