在矩阵乘法和求逆矩阵运算下保持的性质都可以用来刻画一定的矩阵群。例如所有行列式为1的矩阵可以构成一个群，称为formula_3阶特殊线性群。所有formula_3维的正交矩阵，即满足：的矩阵formula_85也构成一个群，称为formula_3阶正交群。正交矩阵得名于它在formula_267中对应的线性变换具有保角性，也就是说对基本的点积，满足每个有限群都同构于一个矩阵群。实际上，每个有限群都同构于某个置换群的子群，而每个置换群都同构于一个矩阵群（见置换群的正则群表示）鉴于矩阵群的性质可以通过与