mula_5是区域内的解析函数；其中前一个命题由在1900年证明，又被称为古尔萨定理。实际上，这些附加条件存在放宽的余地。20世纪初，人们对放宽函数解析性的判定条件这一问题开展了大量的研究。1905年，指出，古尔萨定理的附加条件可以放宽到“函数在区域内几乎处处可微”。之后，卢曼和在这一领域做出了重要的贡献。卢曼注意到，仅仅假定偏导数在区域内处处存在，且满足柯西-黎曼方程，并不足以保证函数在区域上的解析性——甚至不能保证函数在其上的连续性：如下定义的复变函数，在复平面上处处可求偏导，且偏导数满足柯西-黎曼