抽象框架.无界算子的名称具有一定的误导性，这是因为不同于有界算子, 给定空间上的无界算子不构成代数，甚至不构成线性空间，这是因为每一个无界算子有各自的定义域。“算子”通常指“有界线性算子”，但在以下内容中默认指“无界算子”。给定空间默认为希尔伯特空间，但可以扩展到巴拿赫空间与更有普遍性的拓扑矢量空间。
历史简述.无界算子理论诞生于20世纪20年代晚期以及30年代早期，作为量子力学严格数学框架的一部分而得到发展. 约翰·冯·诺伊曼以及爲理论发展的主要贡献者。冯·诺伊曼在1