ula_2 到 formula_15 的证明。此外还有更简洁的归纳法证明：
基于琴生不等式的证明.注意到几何平均数formula_16 实际上等于 formula_17，因此算术-几何平均不等式等价于：由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明.令 formula_19，于是有 formula_20，再作代换 formula_21，运用排序不等式得到：于是得到 formula_23，即原不等式成立。此外还有基于伯