下确界，则其为柯西序列（利用平行四边形恆等式），故由完备性知其收敛到 的某点。此结论对任意一致凸巴拿赫空间均适用。当对 的闭子空间 应用此结论时，可以证明最靠近 的点 满足该点 称为 到 上的 "正交射影" ，而这给出的映射 是线性的。此结论于应用数学有用，而数值分析尤甚，因这结论是最小二乘法的基础。 特别到，当 不等于 时，可找到一支非零向量 与 正交（选 并考虑 ）。由此得到一个有用的判定条件： 
对偶性.对偶空间 是所有由 到其系数域的连续线性函数组成的空间。 其