上。泛包络代数. 假设 formula_21 是域 formula_2 上的李代数，置 formula_23 为其泛包络代数，定义：后两条规则与交换子相容，因此可唯一地延拓至整个 formula_26 上。
李群的上同调.李群的上同调代数构成一个霍普夫代数，其代数结构由上同调的上积给出，余代数结构则来自群乘法 formula_27，由此导出对极映射来自 formula_29。这是霍普夫代数的历史起源，事实上，霍普夫借着研究这种结构，得以证明李群上同调的结构定理：定理（