加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。formula_46formula_47由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是:formula_46formula_49点积可以用格拉斯曼积的形式表示:formula_50这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：formula_51欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:form