论的问题「一个由所有集合形成的集合，其基数为何？」因而产生康托尔悖论。罗素在1903年他所着的《数学原理》中也用此悖论来评论当时的欧陆数学。不过上述的争论没有使数学家放弃集合论，恩斯特·策梅洛及分别在1908年和1922年的研究．最后产生了策梅洛-弗兰克尔集合论的许多公理。昂利·勒贝格等人在实分析上的研究用到集合论中的许多数学工具，后来集合论也成为近代数学的一部份。集合论已被视为是数学的基础理论，不过在一些领域中范畴论被认为是更适合的基础理论。
基础概念及符号.集合论是从一个对