前两个情形皆会发生，而且其机率在某种意义上相等。
素p分圆域和二次域.分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。
其他的分圆域.如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那么就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二