formula_47，借着将formula_2对换，将formula_49对换，可以得到新的根资料，称为其对偶。若formula_37是代数封闭域formula_38上的连通、约化代数群，则根资料的对偶决定了复数域 formula_52上唯一的连通、约化、分裂代数群G，称为formula_37的郎兰兹对偶群。