合所构成的集合」，记之为 "S"。不管假设 "S" 是或不是 "S" 自身的元素，按照 "S" 的定义都会导致矛盾。罗素悖论也造成了第三次数学危机。1899年时康托尔自己也提出一个会产生悖论的问题「一个由所有集合形成的集合，其基数为何？」因而产生康托尔悖论。罗素在1903年他所着的《数学原理》中也用此悖论来评论当时的欧陆数学。不过上述的争论没有使数学家放弃集合论，恩斯特·策梅洛及分别在1908年和1922年的研究．最后产生了策梅洛-弗兰克尔集合论的许多公理。昂利·勒贝格等人在实分析上的研究用到集合论