空间，内积"<,>"称为欧氏内积。利用这个内积，可以建立距离、长度、角度等概念：这里的长度函数满足范数所需的性质，故又称为formula_4上的欧氏范数。这里的formula_43为反余弦函数。这个距离函数称为欧几里得度量，它可以看作勾股定理一种形式。这里的formula_4仅指实数向量空间，而加入了如上定义的欧几里得结构后才称为欧氏空间；有些作者会用符号formula_47来标记之。欧氏结构使formula_47具有这些空间结构：内积空间、希尔伯特空间、赋范向量空间以及度量空间。