关广富早年任黑龙江省穆棱县财政科科员、东北财经干部学校学员、东北人民政府粮食总局科员等职务。1949年5月湖北解放后，长期在湖北省工作，历任湖北省财政厅股长、主任科员、副科长、科长、办公室副主任、地方企业财务处副处长、处长等职务。1966年9月，在文化大革命中受到冲击，被下放到五七干校校部工作组工作。1972年12月任中国人民银行湖北省分行副行长，1978年4月任中国人民银行湖北省分行行长。1983年1月，任中共湖北省委书记。1993年5月，任湖北省人大常委会主任，1994年12月卸任中共湖北省委书记