群公理包含下述四个性质，分别是封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元素。很多熟知的数学结构比如数系统都遵从群公理，例如整数配备上加法运算就形成一个群。如果将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理起源于抽象代数或其他许多数学分支的实体，而同时保留对象的本质结构性质。群在数学内外各个领域中是无处不在的，这使得它们成为当代数学的组成的中心原理。群与对称性有密切的联系。例如，对称群描述了几何体的对称性：它是保持物体不变的变换的集合。李群应用于粒子物理的标准