证明一.因为当"n"逐渐增大时，前"n"个整数的倒数之和趋近于ln("n")，所以
证明二.此证明由保罗·埃尔德什给出。用反证法。假设所有素数的倒数之和收敛：定义formula_6为第"i"个素数，可得到存在一个正整数"i"使得定义"N"("x")为不超过"x"且不能被任何大于第"i"个素数的素数整除的正整数"n"的个数。设"n"=formula_9，"k"不再含平方因子（任何整数都可以这样）。由于只有"i"个素数能整除"k"，"k"最多只有formula_1