特提议研究其极限环的最大数目及其拓扑。总而言之，此问题意在研究由实多项式定义出的拓扑结构。在第一部份，我们考虑实多项式的零点；在第二部份，我们考虑实多项式定义的向量场及其积分曲线。
进展.希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基（I.G.Petrovsky）与兰迪斯（E.M.Landies）解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年，中国科学技术大学研究生史松龄，南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例，彻底推翻了二人的证明 。因此第十六问题至今仍未解