偶置换的乘积是偶置换，两个奇置换的乘积是偶置换，奇置换和偶置换的乘积是奇置换，偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的正负号（sign）：在这个定义下，是一个群同态。({+1,-1}关于乘法构成群)，这个同态的同态核是所有的偶置换，称作n次交错群，记作A。它是S的正规子群，有"n"! / 2个元素。置换的正负号也可以定义为：其中n-O(n)表示置换"f"的轮换指数，O(n)表示置换"f"的轨道（orbit）数。群S是A和由一个单一对换生成的任何子群的半直积。
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