如果"p"# + 1或"p"# − 1是质数阶乘质数，这意味着有比第n个质数更大的质数（即使不是质数，也能证明质数无穷，但不那么直接。这两个数除以前n个中的任何一个质数 "p" 时，都有余数 1 或 "p"−1 ，因此不整除其中任何一数）。事实上，欧几里得的证明并没有假设一个有限集合包含所有质数的存在。相反，他说：意思是：考虑任何质数的有限集合（不一定是一开始的质数，例如，它可以是集合{3，11，47}），然后从两个方面得到这样的结论：至少存在一个不在该集合的质数。