其中D/D"t"为实质导数，"ρ"为流体密度，"p"为密度，以及"Φ"为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。正压性条件意味着密度是压力的函数，且为其唯一自变量，即formula_8。取环流的实质导数，得：把主宰方程式代入第一项并使用斯托克斯定理，得：最后的等式是源自formula_11，它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数formula_12的梯度的旋度皆为零这一事实formula_13。已知材料线元的时间进化由下式给出（可由实质导数的定义求得）因此使用交换律后再使用for