基本运算及公理写成的形式定义开始加诸于许多基本代数结构之上，如群、环与zh-cn:域; zh-tw:体;等。因此，群论与环论开始在纯数学里占有一席之地。在代数的研究上，恩斯特·斯坦尼兹研究过一般的zh-cn:域; zh-tw:体;、大卫·希尔伯特、埃米尔·阿廷与埃米·诺特研究过可交换群与一般的环，恩斯特·库默尔、利奥波德·克罗内克与理察·戴德金研究过可交换环的理想，以及费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯与伊赛·舒尔研究过群的表示理论。上述研究定义出了抽象代数的范范。这些在19世纪末20世纪初的