其行列式为：行列式e处处不为零。根据反函数定理，对于R中的任意点"p"，都存在"p"的一个邻域，使得在这个邻域内"F"具有反函数。
方法和证明.作为一个重要的结果，反函数定理已经有许多证明。在教科书中最常见的证明依靠了压缩映射原理，又称为巴拿赫不动点定理。（这个定理还可以用于证明常微分方程的存在性和唯一性）。由于这个定理在无穷维（巴拿赫空间）的情形也适用，因此它可以用来证明反函数定理的无穷维形式（参见下面的“推广”）。 另外一个证明（只在有限维有效）用到了紧集上的函数的