上的整数加法群为例，如果再加上普通的乘法，就形成。大部分整数的乘法逆（倒数）并不是整数，所以整数环不是一个除环，从而也不是一个zh-hans:域; zh-hant:体（尽管整数的乘法符合交换律）。乘法不符合交换律的环有：矩阵环和四元数等等。群表示论是研究群的性质的常用方法。笼统地说，对于一个给定的群，先选择一个集合，然后指定群的元素如何作用于这个集合。换言之，群的每个元素都被视为一个函数，对于集合中的每个元素都会给出集合中的又一个元素。最常选用的集合是向量空间，群的元素就代表向量空间的对称。以旋