，它们唯一地定义了脉冲响应，反之亦然。从数学的观点来看，连续时间脉冲冲激响应可以用线性微分方程描述，它们的脉冲响应是方程的格林函数（Green's function）。连续时间滤波器可以用脉冲响应的拉普拉斯变换表示，这种方法根据复平面内拉普拉斯变换极点和零点的样式就可以很容易地分析滤波器的所有特性。对于离散时间信号，也可以类似地分析脉冲响应的Z变换。在滤波器的计算机合成工具出现之前，类似于波特图和Nyquist图这样的图形工具大量地用作设计工具，即使如今，它们也是理解滤波器行为的无价之宝。人们开发出