ω + ω（使用冯·诺伊曼的现代定义）是第一个不使用替代公理就不能构造的序数。无穷公理断言无限序列 ω = {0, 1 ,2 ...} 的存在，也只断言了这个序列。我们希望定义 ω·2 为序列 {ω, ω + 1, ω + 2...}，但是一般的序数的类不一定是集合（例如，所有序数的类不是集合）。替代公理允许你把在 ω 中每个有限数 "n" 替代为对应的 ω + "n"，并保证替代所得的类是集合。注意你可以轻易地构造序同构于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理：取 ω 的两个复件的不交并，然后设第二个复