系数定理指出整系数同调决定了所以其它同调理论，但利用了张量积；这不是止痛剂，在张量积有导出函子，导致一个一般的表述。
上同调与奇异同调.1930年代是上同调论发展的十年，多个研究方向一起成长，而上面讲过在庞加莱工作中不明确的德拉姆上同调成为一个清楚的定理。上同调与同调是对偶理论；同时得知同调论，单纯同调，远非它故事的结束。奇异同调的定义避开了明显的三角化，其代价是引入无限生成模。
公理化与异常理论.从1940年到1960年，代数拓扑迅速地发展，同调论的角色