其中formula_32为自然数的集合、formula_25为后继函数，且formula_24自然被解释为数0。
欧几里得几何.平面几何中的4+1个公设大概是最古老且最有名的一组公理。这些公理被称为「4+1」，因为近两千年来，第五公设（「通过一直线外一点恰好存在一平行线」）一直被怀疑可以从前4个公理中导出。但最后，第五公设还是被证实是独立于前4个公理。确实，可以假设通过一直线外一点会没有平行线、恰好有一平行线，或有着无限多条平行线存在。这些选择给出了不同形式的几何，其三角形的内角和