了所有可能的不可定向曲面，这是昂利·庞加莱证明的。
紧黎曼曲面的基本多边形.一个（双曲）紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的富克斯模型（）联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠，从而可以表示为一个商流形H/Γ，这里 Γ是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群（）。商空间的陪集有标准多边形做为代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。
度量基本多边形.给定上半平面H中一点formula_25，以及PSL(2,R)一个离散子