formula_4对于所有"M"内的"x"和"y"。每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于"M"内的任何"x"，迭代函数序列"x"，"f" ("x")，"f" ("f" ("x"))，"f" ("f" ("f" ("x")))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定