"x" 的微分或（全）导数是从 "M" 在 "x" 的切空间到 "N" 在 "φ"("x") 的切空间一个线性映射映射 d"φ" 运用到切向量 "X" 上有时称为 "X" 由 "φ" 的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。如果我们定义切向量为通过 "x" 的曲线等价类，那么微分由给出，这里 "γ" 是 "M" 上满足 "γ"(0) = "x" 的一条曲线。换句话说，一条曲线 "γ" 在 0 处切向量的前推恰好是 "φ"formula_4"γ" 在 0 处的切向量