作formula_1，是个不可以转成有序环的欧几里得整环。高斯整数的范数都是非负整数，定义为formula_1单位元formula_5的范数均为formula_6。
作为唯一分解整环.高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为formula_5。高斯整数formula_9是素数当且仅当：或以下给出这些条件的证明。必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数formula_15，formula_16。现在