将置零"n"×"n"旋转矩阵的除了最后一列的最后一行的所有元素。因为平面是固定的，每次旋转只有一个自由度，就是它的角度。通过归纳，"SO"("n")因此有自由度，"O"("n")也是。置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个有限群，"n"!次对称群"S"。通过同类的讨论，"S"是"S"的子群。偶置换生成行列式 +1的置换矩阵的子群，"n"!/2次交错群。
规范形式.更广泛的说，任何正交矩阵的效果分离到在正交二维空间上的独立动作。就是说，如果"Q"是狭义正交的，则你可以找到