与整个平面之间没有共形双射函数。作为一个黎曼曲面，从而开单位圆盘与复平面不同。在开单位圆盘与开上半平面之间存在共形双射。所以作为黎曼曲面，开单位圆盘（双全纯或共形等价）同构于上半平面，两者经常是可以互换的。更一般地，黎曼映射定理指出复平面的每个单连通开子集若不同于复平面自己则有到开单位圆盘的一个共形双射。一个从开单位圆盘到开上半平面的共形双射是莫比乌斯变换几何上，我们可想象实轴弯曲收缩使得上半平面成为圆盘的内部而实轴成为圆盘的边界，只在最上面留下无穷远点。从单位圆盘到上半平面的一个共形双射也