ula_1 为局部诺特环，formula_2 为有限生成 formula_1-模，而且其投射维度有限，则定理：设 formula_1 为局部诺特环，formula_2 为有限生成 formula_1-模，而且其内射维度有限，则最后，同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划：定理（Serre）：一个局部诺特环 formula_1 是正则局部环的充要条件是 formula_58，此时 formula_59。