_4之概率的上限估计。切比雪夫不等式则给出了随机变量集中在距离其数学期望值距离不超过a的区间上之概率的上限估计。设X是一个随机变量，a>0为正实数，那么只要对随机变量formula_5应用马尔可夫不等式就可以得到：其中的formula_7表示变量X的方差，也就是：
霍夫丁不等式.霍夫丁不等式适用于有界的随机变量。设有两两独立的一系列随机变量formula_9。假设对所有的formula_10，formula_11都是几乎有界的变量，即满足：那么这n个随机变量的经验期望：