果 "G" 中心平凡，则连通李群 "G" 的伴随表示是忠实的。进一步，如果 "G" 不连通，伴随映射的核是 "G" 的单位分支 "G" 的中心化子。由第一同构定理我们有
半单李群的根.如果 "G" 半单，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 "G"=SL(R)。我们可取对角矩阵 diag("t"...,"t") 的群是 "G" 的极大环面 "T"。用 "T" 中元素的共轭作用为从而 "T" 在 "G" 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有