但其乘法逆元为formula_83，不为一个整数。群的理论被学习于群论中。此一理论的一主要成果为有限简单群分类，主要发表于formula_84年至formula_85年之间，其目的在于将所有的有限简单群分类至约formula_86种的基本类型中。半群、拟群和幺半群是类似于群的结构，但更具一般性。它们由一个集合和一个封闭二元运算所组成，但不必然满足其他条件。半群有一"结合"二元运算，但没有单位元素。幺半群是一有单位元素但可能没有每个元素之逆元素的半群。拟群满足任一元素皆以一唯一的前或后运算转换成另一元