子群，同时，在纯量乘下回到自身，那么，V上运算在U上的限制导出U的向量空间结构，我们把U称为V上的向量（或线性）子空间。
定理.设 "V" 是在域 "K" 上的向量空间，并设 "W" 是 "V" 的子集。则 "W" 是个子空间，当且仅当它满足下列三个条件:
例子.例子 I:设域 "K" 是实数的集合 R，并设向量空间 "V" 是欧几里得空间 R。取 "W" 为最后的分量是 0 的 "V" 中所有向量的集合。则 "W" 是 "V" 的子空间。"证明: