透过使用距离函数 formula_30，四元数便可成为同胚于 formula_31 的度量空间，并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数formula_32和formula_33皆有 formula_34。若以绝对值为模，则四元数可组成一实数巴拿赫空间。
群旋转.非零四元数的乘法群在R的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos("t")，它的共轭作用是一个角度为2"t"的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：所有单位四元