希尔伯特和鲁伊兹·布劳威尔曾就集合论与超限数的研究是否有意义展开激烈争论，争执一直上升到数学形式化主义和数学直觉主义两派的对立。希尔伯特希望将包括集合论在内的现代数学公理化，使之更严谨和体系化；布劳威尔则认为集合论有瑕疵以至于并不实用。希尔伯特的学生赫尔曼·外尔站在对手布劳威尔一边，认为对无穷概念的过多研究意义不大，甚至是作茧自缚。希尔伯特认为外尔等人对发展集合论的保守观念会削弱数学。阿尔伯特·爱因斯坦将这场争论称为“蛙鼠之争”。
晚年.1943年，心情忧郁的希尔伯特在哥廷根去