界的非空实数集合必然有最小上界）所决定（在同构意义上）。然而，若要表达这些公理的性质，需要使用到二阶逻辑。勒文海姆-斯科伦定理告诉我们若侷限于一阶逻辑里来描述，任何实数的公理系统都会允许有其他的模型，有些会小于实数，有些则会大于实数。后者有些被研究于非标准分析中。
在数理逻辑中的角色.
演绎系统和一致性.一致性的要求是最重要的。如果一公理系统，不会同时推导到命题「p」和「非p」，那么它就称为一致的系统。不一致的系统，会同时推导出「p」和「非p」的矛盾结果，在