切丛（tangent bundle）。
正式定义.上述的非正式描述依赖于嵌入在较大向量空间 R, 使得切向量可以从流形延伸出到更大的空间。切空间更好的定义不依赖于这种嵌入，例如，切向量可以定义为通过该点的曲线的等价类，或者是对光滑函数在该点的在某个方向上的求导。但所有这些定义都是等价的。虽然通过曲线的速度的定义是直观上最简单的，但是也是挺麻烦的工作。更加优雅和抽象的方法描述如下。
曲线速度定义.在嵌入的流形图（manifold picture）中，点x处的