1911年引入了快度这一概念来描述参考系速度的双曲角。1912年，埃德温·比德韦尔·威尔逊和吉尔伯特·牛顿·路易斯引入了时空的向量描述方法。而1913年埃米尔·博雷尔则推导出汤马斯进动的动力学基础。有些作者用双曲平面来同时指称（波尔约-罗巴切夫斯基的）双曲几何和闵可夫斯基几何，但实际上这是两种不同的几何学。闵可夫斯基空间描述的是时空，而双曲几何描述的是速度。特别注意的是，正是闵可夫斯基于1908年确定了双曲面模型是描述速度的。今天仍然会发现有关于狭义相对论的课本使用虚数时间坐标轴，但大多数都是用了负符号度量