，有界的集合经过连续映射后的像仍然会是有界集合。因为这一点，连续线性映射也被称作有界算子。而为了“精确计算”线性映射的“大小”，会引进算子范数的定义。有界线性算子的范数是能够作为上界估计的所有常数中“最小”的一个：其中的formula_7指下确界。由于实数集合formula_8是有下界的闭集，定义中的下确界formula_7可以改成“最小元素”：formula_10。当是的系数域时，从到的连续线性映射被称为连续线性泛函。连续线性泛函构成的空间被称为从的对偶空间，而连续线性泛函的算子范数被称为对偶范数。