38为formula_39生成的循环群。所以通过归纳法我们即可得到原命题。
推论.不同陈述的基本定理说明了有限生成阿贝尔群是有限秩的自由阿贝尔群和有限阿贝尔群的直和，此两者都是唯一（不别同构之异）。有限阿贝尔群就是 "G" 的挠子群。"G" 的秩定义为 "G" 的无挠部分的秩，这就是上面公式中的数 "n"。基本定理的推论是所有有限生成无挠阿贝尔群是自由阿贝尔群。有限生成条件在这里是本质性的：Q 是无挠但非自由阿贝尔群。有限生成阿贝尔群的所有子群和因子群也是有限生成阿贝尔群。