一阶逻辑而研究，但对其他逻辑也是有价值的。所有演绎系统都在逻辑公理和推理规则之间作出取舍平衡。希尔伯特风格的演绎系统可以刻画为选择了大量的逻辑公理模式和少（Hilbert system）量的推理规则。最常研究的希尔伯特风格演绎系统只有一个推理规则即肯定前件和几个无限公理模式。自然演绎系统做了相反的取舍，包括了很多演绎规则但有非常少甚至没有公理模式。
形式定义.在希尔伯特风格演绎系统中，形式演绎是公式的有限序列，其中每个公式要么是个原子要么是从前面的公式通过推理规则而获得。这