使得"x"和"y"之间的欧氏距离等于"f"("x") 和"f"("y")之间的距离对于所有在R中的"x"和"y"成立)同构于交换群R (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R上，并且是一个自同构。所有正交"n"×"n"矩阵的群O("n")(直观的讲，所有"n"维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO("n") (所有行列式值为1的正交矩阵，直观的讲"n"维空间的转动的集合)和"C"的准直积。如果我们将"C"表示为矩阵{"I", "R"}的