给出，是霍奇理论的核心。它有对称性：以及非负：霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理的一个推论，德拉姆上同调自然同构于调和 "k"-形式空间，从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构通过庞加莱对偶性，这给出了 "H"("M") 与它的对偶空间的一个典范等价。
三维中的导数.formula_49 算子与外导数 formula_50 的组合推广了三维经典算子 grad、curl 和 div。具体做法如下：formula_50 将一个 0-形式（函数）变成 1-形式，1