的陪集，故其元素不是外自同构，同一元素可对应到某个外自同构和任何内自同构的复合，因此不能定义"G"的外自同构群于"G"上的作用。不过因为内自同构都将群"G"的元素映射到同共轭类的元素，所以可定义出外自同构群在"G"的共轭类上的作用。然而，若"G"为阿贝尔群，则"G"的内自同构群是平凡群，于是Out("G")可以自然地等同于Aut("G")，即是Out("G")的每个元素都对应唯一的自同构，因此Out("G")可以作用于"G"上。（而这时"G"的共轭类也各仅有一个元素。）
与中心对