b"（通常读做"a是b的元素"）。ZFC是一阶理论，所以ZFC包括后台逻辑是一阶逻辑的公理。这些公理支配了集合的行为和交互。ZFC是标准形式的公理化集合论。使用ZFC的大量的正在进行中的普通数学推导请参见Metamath在线计划。在1908年，恩斯特·策梅洛提出了第一个公理化集合论，即策梅洛集合论。然而，这个公理系统无法构建出序数的集合；而序数是许多集合论研究的根本工具。此外，Zermelo的分类公理中使用了被称作“明确性”的性质，而它的实际意义是有歧义的（此时一阶逻辑的概念还未被提出）。在1922年，