的关注。1961年，斯梅尔（）证明了在五维以上，庞加莱猜想是成立的。对于一维二维的庞加莱猜想，人们早已熟知。于是在当时，三维四维的庞加莱猜想似乎是最难以证明的，因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情形。1980年代初，威廉·瑟斯顿（）的几何化猜想，预示着低维几何和低维拓扑有紧密的关系。1980年代早期，沃恩·琼斯（）发现了琼斯多项式，将纽结理论引向新的研究方向，并且琼斯多项式中含藏着低维拓扑和数学物理的联系。
二维拓扑空间.曲面是一个二维的拓扑流形。我们最熟悉的例子是