它们被发现时，这些实例被认为是高度病态的；今天，每个实例都被同化为现代数学理论了。这些例子促使他们的观察者纠正他们的信仰或直觉；有时他们甚至可能需要重新评估基本定义和概念。在历史的过程中，它们导致了更正确，更精确，更强大的数学。 例如，狄利克雷函数是勒贝格可积的，并且使用测试函数的卷积通过平滑函数来近似任何局部可积函数。（近似值几乎处处和局部可积函数的空间中的拟合。） 根据定义，行为是否是病态的，取决于个人的直觉。病态依赖于背景，培训和经验——对于一个研究人员看来的病态很可能是另一个人看来的表现良好的行