波尔查诺证明，当他在证明介值定理时，附带证明了这个定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。
定理.波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间formula_1中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：从这个定理出发，在给定的有界闭集formula_24中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从formula_24