formula_6阶多项式，而formula_7是一个常数。通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在formula_4有重根的时候，或者是formula_3,formula_10没有formula_11的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史