若我们记 formula_39 为 formula_40，那么对 formula_1 中任意 formula_42、formula_43 和 formula_5 中任意 formula_45，有：其中 formula_48 是 formula_1 的单位元，而 formula_50 是 formula_1 中的积。对于结合代数也有类似要求，唯一例外是对于不具有乘法恒等元的结合代数需忽略等式(1)。等式(2)则是矩阵乘法结合律的抽象表达。这个等式对于矩阵交换子运算不成立，并且不存在交换子运算的恒等元。因此对