其中"X"是切向量。从上可见formula_2。两个对称张量的库尔卡尼－野水积，有黎曼张量的代数对称性。因此，库尔卡尼－野水积常用以表示里奇曲率张量和外尔张量在黎曼流形的曲率中的构成部份。这是在微分几何中有用的里奇分解。一个黎曼流形有常截面曲率"k"，当且仅当黎曼张量有以下形式其中"g"是度量张量。