从(1)可知，以下微分方程其中"A"是矩阵，具有解矩阵指数也可以用来解非齐次方程：参见以下的例子。当"A"不是常数时，以下形式的微分方程没有闭式解：但马格努斯级数可以给出无穷级数形式的解。
矩阵指数的行列式.根据雅可比公式，对任意复矩阵，下列迹等式成立：除了提供一种额外的计算工具，这个等式还表明矩阵指数总是可逆矩阵。这点可以如下证明：因为上述等式的右边恒不等于0，所以左边，从而必可逆。
指数相加.我们知道，对于任何实数（标量）"x"和"y"，