ula_2。有界线性算子一般不会是有界函数；后者需要对所有的"v"，"L"("v")的范数是有界的，但这只有在"Y" 为零向量空间时才有可能。然而，有界线性算符为局部有界函数。一个线性算子为有界的，若且唯若其为连续的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。
有界和连续的等价.如开头所述，在赋范空间"X" 及"Y"间的线性算子"L" 是有界的，若且唯若其为连续线性算子。证明如下：