有一个双射映射；如果"H"是包含"N"的"G"的子群，则对应的"G / N"的子群是"π"("H")。这个映射对于"G"的正规子群和"G" / "N"也成立，并在格定理中形式化。商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。如果"G"是阿贝尔群、幂零群或可解群，则"G" / "N"也是。如果"G"是循环群或有限生成群，则"G" / "N"也是。如果"N"被包含在"G"的中心内，则"G"也叫做这个商群的中心扩张。如果"H"是在有限群"G"中的子群，并且"H"的阶是"G"的阶的一半，