形构成的镶嵌，因此群的阶为 24 × 7 = 168. 对偶地，它可以用 56 个等边三角形镶嵌，共计 24 个顶点，每个顶点度数为 7，成为7阶三角形镶嵌之商。 Klein 四次曲面在数学的多个领域都有出现，包括表示论、同调论、八元数乘法、Fermat 大定理和具有类数 1 的虚二次数域上的Stark 定理。
Mathieu 群.PSL(2, 7) 是 Mathieu 群 M 的极大子群。Mathieu 群 M 和 M 可由 PSL(2, 7) 作扩张得到。这些扩张可以用 K