数的许多特性，这五条公理用非形式化的方法叙述如下：其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。
基于基数理论.在基数理论中，集合论的一般做法是将0定义为空集后，将任一非零自然数看作是所有比该数小的自然数组成的集合，即通过无穷公理，可以得到存在一个只包含全体自然数的自然数集formula_2。另外，在此定义下，在集合formula_11内就有formula_11个元素；而若f