圆上的函数）有定义，在这种情况下它就是与"希尔伯特核"的卷积。然而更常见的情况下，对于定义在实直线 R（上半平面的边界）上的函数，希尔伯特变换是指与"柯西核"卷积。希尔伯特变换与有着密切的联系，帕利-维纳定理是将上半平面内的全纯函数与实直线上的函数的傅里叶变换相联系起来的另一种结果。希尔伯特转换是以大卫·希尔伯特来命名的，他首先引入了该算子来解决全纯函数的的一个特殊情况。 
定义.formula_1 的希尔伯特变换可以认为是 formula_2 与函数 formula_3 的卷积