formula_5 称为双曲角，formula_6 称为几何平均。反映射为这是一个连续函数，但不是一个解析函数。
理工科学的应用.在热力学里，定温过程（）显性地跟随着双曲路径，所做的功可以解释为双曲角的改变。类似地，等压过程可以描绘出一条双曲线，在绝对温度与气体密度的象限。