射下是等价的。
对称群.射影线性群 PGL(2,C) 由莫比乌斯变换作用在黎曼球面上。保持上半平面不动的子群是 PGL(2,R)，这些变化的系数是实数，它们传递、等距作用在上半平面上，将它变成一个齐性空间。 有四个非常相关的李群通过分式线性变换作用在上半平面上，且保持双曲距离。这些群与庞加莱模型的关系如下：等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一个经常见到的是模群 SL(2,Z)。这个群在两个方面很重要。首先，它是正方形 2×2 格点的对称群。从而在一个方形网格中周期函