为欧拉乘积公式的等式标志着解析数论的肇始，它表明ζ函数与素数有着隐约而紧密的关系。19世纪的德国数学家黎曼对这一函数的性质做出了更深入的研究，他证实了通过解析开拓，formula_1函数可以被定义在复数域。由于他是认识到这一点第一人，此函数通常被称作黎曼ζ函数。在1859年的论文中，黎曼首先观察到ζ函数在负偶数上有零点，它们被称作「平凡零点」，在注意到一些规律后，他猜测ζ函数所有非平凡零点的实数部分均为1/2，也即ζ函数非平凡解都位于直线formula_7（「临界线」）上，这便是黎曼猜想。为数不少的数学命题