，formula_18为formula_19 的自然对数，以及右手边用上了大O符号。一个由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于：formula_20。黎曼ζ函数的零点与质数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为质数分佈的谐波。将黎曼ζ函数代为更一般的L-函数，此时仍有相应的猜想：整体L-函数的非平凡零点的实部必等于formula_21。这被称为广义黎曼猜想。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。Sect