义极限的空间中都有同样的结果（比如度量空间或豪斯多夫空间）。在阿尔泽拉-阿斯卡利定理首次获证的年代，人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入，紧致性成为了分析学、拓扑学领域的关键概念，而此定理就描述了紧致性。该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环，也是复分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外，彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理。
定义.以下的定义在定理的叙述和证明中会不断使用到。
等度连续.