明了二项式定理对所有的数字成立，扩展了欧拉的研究：只对有理数成立。19岁时，他发现没有一般的代数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点，他发明（和伽罗瓦各自独立发明 ）极其重要的理论：群论 。除此之外，阿贝尔对椭圆积分理论基础很有贡献，并且研究部分的椭圆函数、超椭圆函数，以及另外一类后来以他名字命名的阿贝尔函数，并写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数的巨着。当阿贝尔在巴黎时，他发表了一篇论文，提出椭圆函数具有双週期的特性，阿德里安-马里·勒壤得将该文交给柯西，并引用罗马诗人贺拉斯的话，说该文乃是一个「比