_12 成为瑟斯顿八几何之一。例如，formula_12 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 formula_12 为模型的流形是可定向的，也是一个二维双曲轨形上的圆丛（一个塞弗特纤维空间（））。
代数结构.SL() 的中心是两个元素的群 {-1,1}，商 PSL() 是单群。PSL() 的离散子群称为富克斯群（）。他们是欧几里得壁纸群（）和饰带群（）的双曲类比。最有名的是模群 PSL()，它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。圆群SO(2)是 SL() 的一个