构造导出范畴的直接动机，是给出导出函子的一种新的定义。导出函子的概念的出现要早于导出范畴。考虑阿贝尔范畴formula_1和formula_2之间的一个左正合函子formula_3，那么历史上，函子f的导出函子首先是通过formula_1的对象的内射分解来定义的。具体地说，假设范畴formula_1有足够多的内射对象，那么formula_1中的每个对象formula_7都有内射消解如下：formula_8其中诸formula_9 均为内射对象，使得上面的链复形是正合的。 将f作用在除去X的链复