formula_38使得 formula_39。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 formula_1 的秩还可定义为 formula_35 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 formula_1 称为 formula_35 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 formula_46 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 formula_37 的像的维度。
行秩列秩相等性.矩