域上的代数（algebra over a field）或域代数，一般可简称为代数，是在向量空间的基础上定义了一个双线性的乘法运算而构成的代数结构。
定义.介绍域上的代数的一般定义之前，先看几个例子。
例1：复数.复数即形如 formula_1 的数，其中 formula_2，formula_3 为实数而 formula_4 为虚数单位。formula_1 可表示为实向量 formula_6，且在向量表示下的加法与标量乘法分别与两个复数的加法和一个实数与一个