单射，当且仅当它的核只是单元素集合{"e"}。ker "f" 明显不只是 "G" 的子群，实际上还是正规子群。因此它使谈论商群 "G"/(ker "f") 有意义。群的第一同构定理声称这个商群自然同构于 "f" 的像（它是 "H" 的子群）。在阿贝尔群的特殊情况下，这以同前面章节的完全同样的方式工作。