穷集，由 X 的紧致性可知，存在在 X 中稠密的序列 formula_47。考虑 formula_3中任意一个映射序列 formula_23。由于 "formula_3" 是逐点有界的，序列 formula_51 在 Y 中是有界的。根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理和 "Y" 的完备性，该序列拥有收敛的子列，记作formula_52。而序列formula_53又存在收敛的子列，记作 formula_54 … 。如此重复，即得到了一系列的映射序列 formula_55。考虑其中对角线元素 formula_5