A"表示模4余1的正质数，用"b"和"B"表示模4余3的正质数。他建立了一个有8个定理的表格，这8个定理合起来就是二次互反律。勒让德认为表达式formula_54出现了太多次，可以简写为：其中"N"、"c"为互质的数。这个符号就是现在使用的勒让德符号：对于所有的整数"a"以及任意奇质数"p"：勒让德使用勒让德符号的叙述为：他也提到上面的两种情况可以合并为：勒让德完整地证明了八种情况中的第一、第二和第七种。在证明第八种情况时，勒让德作了一个可以等价于狄利克雷定理的假设。正如高斯在其《算