计算素数的个数时），但是用处不大，这是因为它里面含有的项太多。即使每一个单独的项都可以准确地估计，误差累积起来仍然意味着容斥原理不能直接应用。在数论中，这个困难由维戈·布朗解决。开始时进展很慢，但他的想法逐渐被其他数学家所应用，于是便产生了许多各种各样的筛法。这些方法是尝试找出被“筛选”的集合的上界，而不是一个确切的公式。
错排.容斥原理的一个着名的应用，是计算一个有限集合的所有乱序排列的数目。一个集合"A"的"错排"，是从"A"到"A"的没有不动点的双射。通过容斥原理，我们可以证