有限多项式的观察推广到无穷级数，并假设相同的性质对于无穷级数也是成立的。当然，欧拉的想法不是严密的，还需要进一步证明，但他计算了级数的部分和后发现，级数真的趋于formula_14，不多不少。这给了他足够的自信心，把这个结果公诸于众。欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始：两边除以formula_17，得：现在，formula_19的根出现在formula_20，其中formula_21我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积，就像把多项式因式分解一样：如果把这个乘积展开，并把所有