要证明算术的公理是一致的。1931年，库尔特·哥德尔的第二不完备定理证明这是不可能的——至少算术本身不可能。大卫·希尔伯特的第十个问题是要确定某一整系数多项式丢番图方程是否有一个整数解。1970年，尤里·马季亚谢维奇证明这不可能做到。第二次世界大战时盟军有破解纳粹德军密码的需要，带动了密码学和理论计算机科学的发展。英国的布莱切利园因而发明出第一部数位电子计算机——巨像电脑。与此同时，军事上的需求亦带动了运筹学的发展。直至冷战时期，密码学的地位依然重要，其后的几十年间更发展出如公开密钥加密等根本性的长进。