"，其为"G"的纯子集(即"H" ≠ "G")。任一个群总会有两个子群"当然群"(为只包含单位元素的子群，{"e"})以及"群本身"。若"H"为"G"的子群，则"G"有时会被称为"H"的「母群」。相同的定义可以应用在更广义的范围内，当"G"为一任意的半群，但此一条目中只处理群的子群而已。群"G"有时会被标记成有序对("G",*)，通常用以强调其运算*当"G"带有多重的代数或其他结构。在下面的文章中，会使用省略掉*的常规，并将乘积"a"*"b"写成"ab"。
子群的检验.给定