度量提供此空间下的双曲度量张量。曲面的单值化定理提到上半平面是所有高斯曲率为负常数之空间的万有覆叠空间。闭上半平面（closed upper half-plane）是上半平面和X轴的并集，也是上半平面的闭包。
扩展.在微分几何中常见的扩展是 H，最大对称，单连通，截面曲率为-1的n维黎曼流形。此表示方式下，上半平面为H因为其实维度为2。数论中的希尔伯特模形式和一些函数在许多上半平面组成的空间H有关。另一个数论研究者感兴趣的空间是H，是西格尔模形式的定义域。