敛序列 都有界。反之，希尔伯特空间中的每个有界序列，都有一个弱收敛子序列，此谓巴拿赫-阿拉奥卢定理。 这可用作证明某些连续凸泛函的最小值的存在性，正如波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理适用于 上的连续函数。一个较简单的结果是：此个结论（并其若干推广）是变分法中的基础。更抽象地说，凸泛函的最小值存在，也是因为希尔伯特空间 上的闭有界凸集均为弱紧集（因为 是自反空间）。弱收敛子序列的存在性是 的特殊情况。
希尔伯特空间的基.希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基，即其上的一族函数for