不可计的」及「无限」。每一类再细分成三种阶：现代科学家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿（），在残卷《方法》命题14中，发现阿基米德开始计算无穷的数目。他採取近似于19世纪微积分与集合论的手法，计算了两组无穷大的集合，以求和的方法，证明它们之间的数目是相等的。这是在人类记载上第一次出现无限也可以分类这一个念头。
文艺复兴时代至近代.伽利略最先发现一个集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。他用上一一对应的概念说明自然数集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方数集{1,4