mula_14的像为核是formula_6的正规子群（事实上，formula_34)，而像则是formula_13的子群。同态formula_14是单射（并叫做单同态）当且仅当formula_37。同态的核和像可以被解释为对它接近于同构的程度。第一同构定理说明了群同态的像formula_38同构于商群formula_39。
群范畴.如果formula_53和formula_63是群同态，则formula_64也是群同态。这证明所有群构成的类，和态射即群同态，一起构成