它的正规子群只有平凡子群。而这时候formula_19对平凡子群的商群（即它自身）不是交换群。所以formula_8不是可解群。因此一般的五次多项式代数方程不可解。对于一般的更高次的多项式，使用类似的论证，可以从formula_23（大于5）是不交换单群的事实推出，一般的次（大于5）多项式代数方程不可解。