扑向量空间中最常见的类型，这些空间的拓扑都自来其范数。巴拿赫空间是以波兰数学家斯特凡·巴拿赫的名字来命名，他和汉斯·哈恩及爱德华·赫利于1920-1922年提出此空间。
例子.以下令体为或其中之一。常见的欧氏空间 K（其范数为欧几里德范数，"x" = ("x", …, "x")的范数定义为||"x"|| = ("x"+…+ "x")）是巴拿赫空间。因此，因为在每一个有限维K向量空间上的所有范数均等价，所以每一个具有任意范数的有限维K向量空间都是巴拿赫空间。考虑一个由定义