formula_29可以写成formula_1的幂次和：特征多项式有如下形式将方程式formula_32同乘以formula_29，便得到
定理证明.以下考虑佈于域formula_35上的矩阵。凯莱–哈密顿定理可以视为线性代数中拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若formula_36是formula_2矩阵，而formula_38表其伴随矩阵，则取formula_40，便得到formula_41。此式对所有formula_42皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上