零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos("t")，它的共轭作用是一个角度为2"t"的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：所有单位四元数的集合组成一个三维球"S"和在乘法下的一个群（一个李群）。"S"是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群"SO"(3,R)的双重复盖，因为每"两个"单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群"S"和"SU"(2)同构，"SU"(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令"A"为形为"a" + "bi" + "cj" + "dk"的