∈ "Y"和，都存在某个"x" ∈ "X"，满足：固定。根据(1)，存在某个，满足|||| < 1且|||| 。定义序列{"x"}如下。假设：根据(1)，我们可以选择，使得：因此满足(2)。设从(2)的第一个不等式可知，{"s"}是一个柯西序列，且由于"X"是完备的，"s"收敛于某个。根据(2)，序列趋于"y"，因此根据"A"的连续性，有。而且：这表明每一个都属于，或等价地，"X"内的单位球的像"A"("U")包含了"Y"内的开球。因此，"A"("U")是"Y"内0的邻域，定理得证。