有 "G" 的元素构成子集，这里的 "n" 是自然数。因为 <"S"> 明显同构于有可数个生成元的自由群，它不能被有限生成。但是，所有有限生成阿贝尔群的子群完全是有限生成群。更进一步: 所有有限生成群的类在群扩张下闭合。要看出这个结论，选取(有限生成)正规子群和商群的生成集合: 正规子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了这个群。
自由群.由集合 "S" 生成的最一般的群是 "S" 自由生成的群。所有 "S" 生成的群同构于这个群的因子群，这个特征实用于一个群的展示的表达中。