要的主题便成了用空间上的层研究空间。亚历山大·格罗滕迪克以引入拓子的概念，详细说明了这个想法。在数学中，常常有这样的情况：拓扑直觉很有效，但是并没有拓扑空间，这时拓扑斯便显出它的功效；有时可以找到一个拓扑斯，使得直觉形式化。这个程式化的想法最伟大的成就是概形的平展拓扑斯的引入。
等价构造.令"C"为一范畴。Giraud的一个定理断言，以下命题等价：有如上之性质的范畴称为“（格罗滕迪克）拓扑斯”。这里Presh("D")表示从"D"到几何范畴的反变函子范畴；如此的反变函子常被称为