而前两步的余数又分别可以表示成它们前两步的余数和商：将这两行式子先后代入第一个式子，可以将"g"表示成"r"和"r"的线性和。重复进行迭代直到出现"a"和"b"：最终，"g"可以表示成"a"和"b"的线性和："g" = "sa" + "tb"。贝祖等式以及以上证明都可以扩展至欧几里得整环。
主理想和相关问题.贝祖等式提供了另一种定义"a"和"b"的最大公约数"g"的方法。考虑形如"ua" + "vb"（其中"u"和"v"是整数）的数的集合。因为"a"和"b"都可以被"g"整