形的表述，特别是微分和黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得到的流形就是微分流形。这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的"t" = ⁄来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝