有非平凡零点，表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。
哈代与李特尔伍德.1921年，哈代和李特尔伍德证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为。
塞尔伯格.1942年，阿特勒·塞尔伯格更进一步，证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为，这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度，而临界线对于临界带的测度为0。
解析延拓.ζ函数原本定义在右半平面上，并且在