柯西积分定理（柯西－古尔萨定理）断言"f"在开复域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程。特别是，"f"不需假定为连续可微。柯西－古尔萨定理的假设可以大幅减弱；"f"不需可微，只要"f"="u"+i"v"在Ω上连续且"f"关于"x"和"y"的偏导数在Ω中存在即可，这个结果称为Looman–Menchoff定理。"f"在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数，但它不在该点解析（譬如，"f"("z") = "z"/|z|）。只满足柯西-黎曼方程也是不够的，（