一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例；但是通常完全形式化的努力仅带来在确定性上递减的收益，并让人更加难以阅读。所以，公理系统的讨论通常只是半形式化的。一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在模型论中表述的那样。一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。
性质.一个公理系统称为自洽（或称相容、一致），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力。在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一