论中的论域预期为一自然数的集合。不过，也总是存在其他「非预期解释」，其论域或非逻辑符号不是由其预期意义所给定。在皮亚诺算术之中，其预期解释称为算术的标准模型，由自然数及其一般四则运算所组成。所有同构于上述模型的模型都称为是标准的；这些模型也都满足皮亚诺公理。当然，也存在皮亚诺公理的非标准模型，其中包含与自然数不相关连的元素。
解释的其他概念.除了将形式语言赋予上意义外，「解释」还有其他不同的意思。在模型论中，称结构"A" 解释结构"B"，若存在一个"A" 的可定义子集"D"