有界函数。在开集上重定义"f"为0，那么"f"在["a","b"]上有界，因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间formula_6中稠密，存在连续函数序列formula_7依L范数收敛至"f"，即formula_8。故此有子序列formula_9几乎处处收敛至"f"。从叶戈罗夫定理可知，除了一个测度任意小的开集外，formula_9一致收敛至"f"。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的，故此"f"在此开集外连续。取"E"为以上两个开集的并集在["a","b"]中的补集，那么原本的"f"在"E"上连续。