须与群运算"兼容"。下列概念中以各种方式表现了这种兼容性。例如，群可以通过叫做群同态的函数相互关联。根据上述这个原理，要求它们以精确的意义照顾到群结构。群的结构还可以通过把它们分解成子群和商群来理解。“保持结构”的原理是在数学中反复出现的一个主题，它是靠范畴来工作的一个实例，在这里的情况下靠群范畴。
群同态.群同态是保持群结构的函数。两个群之间的函数"a": "G" → "H"是同态，如果等式对于所有"G"中的元素"g"、"k"都成立，就是说在进行映射"a"之后还是之前进行群运算