年来，第五公设（「通过一直线外一点恰好存在一平行线」）一直被怀疑可以从前4个公理中导出。但最后，第五公设还是被证实是独立于前4个公理。确实，可以假设通过一直线外一点会没有平行线、恰好有一平行线，或有着无限多条平行线存在。这些选择给出了不同形式的几何，其三角形的内角和会分别为小于、等于或大于180度。这几种几何分别被称为椭圆几何、欧几里得几何和双曲几何。
实分析.其研究的对象为实数。实数可唯一由一「戴德金完备有序体」（即带有上界的非空实数集合必然有最小上界）所决定（在同构意义上）。然