是光滑流形之间的光滑映射；则 "φ" 在一点 "x" 处的微分在某种意义上是 "φ" 在 "x" 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 "M" 在 "x" 处的切空间到 "N" 在 "φ"("x") 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 "M" 的切向量“前推”成 "N" 的切向量。 映射 "φ" 的微分也被一些的作者称为 "φ" 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（）。
动机.设 "φ":"U"→"V" 是从 R 的一个开集 "U" 到