系、及其定理的证明。
勾股数.勾股数的发现时间较早，例如埃及的纸草书里面就有formula_1这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是formula_27。后来的中国的算经、印度与阿拉伯的数学书也有记载。在中国，《周髀算经》中也记述了formula_1这一组勾股数；金朝数学家李冶在《测圆海镜》中，通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。
普遍定理的发现.