T(x,m,k) = x•m + k，则称该三元运算子是「线性」的。当投影平面的坐标系确实形成一个环时，一个三元运算子可使用右边的环运算来定义，以产生出一个平面三元环。此一平面三元坐标环的代数性质可对应至该平面的几何重合性质。例如，笛沙格定理对应至由除环中获得的坐标环，而帕普斯定理则对应至由可交换体中获得的该环。满足帕普斯定理的投影平面一般称为「帕普斯平面」。此外，八元数等不一定具结合律的可除代数对应至穆方平面。在有限投影平面上，笛沙格定理蕴涵着帕普斯定理此一纯几何叙述目前所得的唯一证明是透过代数的