所有自然数的和，是一个发散级数，其数学式也写作 formula_1 此级数前 "n" 项的部分和即是三角形数：尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透过与拉马努金求和等方法可产生一有限值 formula_3，表示为：此结果在复分析、量子力学及弦理论等领域中有所应用。
部分和公式的证明.自然数从 "1" 加到 "n" 的和是 formula_5 能用许多方法证明。首先令我们将这些项重排反着写：将两者相加，对应项相加，我们得到 
ζ函