有拓扑结构的向量空间。拓扑向量空间主要都是函数空间，在上面定义的拓扑结构就是函数列收歛的条件。希尔伯特空间及巴拿赫空间是典型的例子。
定义.一个拓扑向量空间 "X" 是佈于一个拓扑域 "K" （通常取实数或复数域）上的向量空间，其上带有拓扑结构使得向量加法 "X" × "X" → "X" 与纯量乘法 "K" × "X" → "X" 为连续映射。註：某些作者也要求 "X" 是豪斯多夫空间，更有要求其为局部凸空间者（例如 Fréchet 空间）。一个拓扑向量空间是豪斯多夫空