同态核是所有的偶置换，称作n次交错群，记作A。它是S的正规子群，有"n"! / 2个元素。置换的正负号也可以定义为：其中n-O(n)表示置换"f"的轮换指数，O(n)表示置换"f"的轨道（orbit）数。群S是A和由一个单一对换生成的任何子群的半直积。
轮换.轮换指一种置换"f"，使得对集合{1...,"n"}中的某个"x"，"x", "f"("x"), "f"("x"), ..., "f"("x") = "x"是"f"作用下不映射到自身的所有元素。比如说，以下的置换"h"