，通过这十四个点的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度为14。四次曲线最多可以有：也可以考虑在其他数学域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此时可以得到黎曼曲面，在C上是一维的物件，但在R上是二维的物件。例如，另外也可以探讨射影平面下的曲线，由齐次多项式所定义。
举例.上述曲线中，系数的不同组合产生了以下重要的曲线族。
&符号曲线.&符号曲线（ampersand curve）是以下方程对应的四次曲线其亏格为0，有三个一般的双