及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个"n+1"个0和"n-1"个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。从而formula_12。证毕。
汉克尔矩阵.无论"n"的取值为多少，"n"×"n"的汉克尔矩阵:formula_13的行列式为1。例如，"n" = 4 时我们有进一步，无论"n"的取值为多少，如果矩阵被移动成formula_15，它的行列式仍然为1。例如，"n" = 4 时我们有同时，这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。