的闭的一半的开子集。有一个同胚于"E"的开子集的点的集合称为流形的内部；它总是非空的。内部的补集称为边界；它是一个（"1"）流形，或者说闭曲线的并集。无边界的曲面称为闭的，如果它是紧的，否则称为开。
闭曲面分类.闭（紧无边界）连通曲面有完整的分类，同类的曲面至多相差一个同胚。所有这种曲面属于下面三个无穷多的集合之一：所以欧拉示性数和可定向性描述了一个紧曲面除了可能的同胚（若曲面光滑则为微分同胚）.
紧曲面.带边界紧曲面就是有一个或多个开圆盘被