一个"G"内"p"阶之子群－由柯西定理内之元素产生的循环群。
证明.我们对"n" = |"G"|使用数学归纳法。考虑"G"是阿贝尔群，以及"G"不是阿贝尔群的两个情况。假设"G"是阿贝尔群。如果"G"是单群，那么它一定是素数阶循环群，因此显然含有"p"阶的元素。否则存在一个非平凡的正规子群formula_1。如果"p"能整除|"H"|，那么根据归纳假设，"H"含有一个"p"阶的元素，因此"G"也含有"p"阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，"p"一定能整除指数["G":"H"]，因此