如果有的话），幂级数必然发散。但是如果formula_37（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。根据达朗贝尔审敛法，收敛半径formula_28满足：如果幂级数formula_39满足formula_40，则：根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：
幂级数的运算.形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积：各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。
一致收敛性