变换是双曲空间上半平面模型的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。
伴随表示.群 SL() 通过共轭作用在它的李代数 SL() 上，导致 PSL() 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 作用在 上的二次型上。结果是如下表示sl() 上的基灵型有符号 (2,1)，诱导了 PSL() 与洛伦兹群 SO(2,1) 之间一个同构。PSL() 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL() 在双曲空间的双曲面模型上的等距。
元素的分类.S