群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。
代数拓扑的问题.代数拓扑的经典应用包括：代数拓扑中最着名的问题之一是庞加莱猜想，它已经由俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年解决。同伦论领域包含了很多悬疑，如表述球面的同伦群的正确方式等。