理数数列都收敛到某个极限，将无理数定义为某个柯西数列的极限。当然也存在收敛到有理数的柯西数列，比如常数数列。如果两个柯西数列formula_33和formula_34的差：formula_35收敛于0，就称这两个数列等价。这样可以在所有的柯西数列中建立等价关系。而康托将所有的等价类的集合定义为formula_3。四则运算、绝对值度量和序关系“>”都可以从有理数域自然诱导到formula_3上。最重要的是，可以证明，所有formula_3中元素构成的柯西数列都收敛到formula_3中。这说明formula_