约地作用在切空间 "TM" 上，则 "ρ" 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。也可定义更一般的卡西米尔不变量，其于研究伪微分算子时用到。
一般情况.每个卡西米尔算子，都对应伴随表示的 formula_20 的对称齐次多项式。换言之，任何一个卡西米尔算子都具有下列形式：其中 是对称张量 formula_22 的阶，且 formula_23 组成 formula_1 的基。域 上的多项式环 formula_25 内，有 元对称齐次多项式与该卡西米尔算子对应。给出了泛