"是"H"上的一个正交基，那么"H"中的每个元素"x"都可以表示成：当"B"是标准正交基时，就是："x"的模长表示为：即使"B"不是可数的，上面和式里的非零项也只会有可数多个，所以这个表达式仍然是有效的。上式被称作"x"的傅立叶展开，详见傅里叶级数。若"B"是"H"上的一个标准正交基，那么"H"“同构”于序列空间"l"（"B"）。因为存在以下"H" -> "l"（"B"）的双射Φ，使得对于所有"H"中的"x"和"y"有：
正交基的存在性.运用佐恩引理和格拉姆-施密特