哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完备的：它包含了不能在此体系内以一阶谓词逻辑形式证明的命题，并且该命题的否命题也不能在该体系内以一阶谓词逻辑的形式证明。存在不完备的体系这一事实本身并不使人感到特别惊讶。例如，在欧几里得几何中，如果把平行公设去掉，就得到一个不完备的体系。不完备的体系可能只意味着尚未找出所有必须的公理而已。但哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论或者实分析中，永远不能找出公理的完整集合。换句话说，每一次将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在所