formula_2、formula_5 和 formula_6 的线性组合，即是四元数一般可表示为formula_11。要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘数表：四元数的单位元素的乘法构成了八阶四元群，formula_12。
例子.假设：那么：
性质.四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如：四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合