两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面"M"和"N"称为保角等价（或共形等价），如果存在一个双射的从"M"到"N"的全纯函数并且其逆也是全纯的（最后一个条件是自动满足的所以可以略去）。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。每个单连通的黎曼曲面和C或黎曼球C ∪ {∞}或开圆盘{"z" ∈ C : |"z"| < 1}保角等价。这个命题称为单值化定理。每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的