因为有若干个对拓扑结构的等价定义存在，所以亦存在若干种定义连续函数的方法。
开集与闭集定义.拓扑中最常见的连续概念之定义为将其定义为一个其开集之前像亦为开集的函数。类似开集的公式化，亦有一闭集公式化，其将连续函数定义为其闭集之前像亦为闭集的函数。
邻域定义.以前像为基底之定义时常很难直接地被使用。替代地，设有一由"X"至"Y"的函数"f"，其中的"X"和"Y"都是拓扑空间。则"f"会被称为是在"x"为连续的，其中"x"为"X"的元素，若对于任一"f"("