formula_10希尔伯特本人证明了formula_6是某些半单李群的情形，包括formula_12。美国犹太人数学家奥斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski）在1954年证明了formula_13的情形。对于一般的状况，日本数学家永田雅宜（）借着考虑某些线性代数群的作用而在1959年造出反例。基于美国数学家蒙福德（David Bryant Mumford）提出的假设，可以推出：若formula_1是代数封闭域，且formula_6是定义在formula_1上的可约群，则formul