数来说，其浩大程度超越了之前一切的数学成果。简化此证明的研究还在进行中。群论在当下仍是一个活跃的数学分支，并仍在对其他分支产生重大影响。
群公理的简单结论.可以从群公理直接获得的关于所有群的基本事实，通常包含在初等群论中。例如，重复应用结合律公理，可以证明以下等式可以推广到多于三个因子。因为这意味着括号可以插入到一序列的项的任何地方，所以通常省略括号。公理可以弱化为只宣称左单位元和左逆元的存在性。二者可以被证明实际上是双侧的，所以得出的定义与上面给出的等价。Section