交两篇论文，对代数函数和超越函数进行了分类，作为对阿贝尔和拉普拉斯等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论的整理，并给出了初等函数的分类。初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。1844年，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从卡尔·雅可比的定理（单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数）出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。围绕双周期性，刘维尔提出以下定理：
微分方程与积分方程.刘维尔和施图姆在1830年代一起研究了热传导的微分方程，创造