不把上述陈述作为公理，而是作为对等号的定义。那么，就必须连同来自谓词逻辑中有关等式的公理，作为关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出；余下的一个是而这就成为了所谓的外延性公理。
在有基本元素的集合论中.基本元素是自身不是集合的一个集合的一个元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中没有基本元素，但在某些可替代的集合论的公理化中会有它们。基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型；在这种情况下，如果formula_2是基本元素，则formula_21没有意