可以存在曲线C，它在K没有点，而它在更大的域上同构于E，E按定义有K上一点作为它的加法律的么元。也就是，在这个情况我们应该区分亏格为1的C，和有一个K-点的椭圆曲线E（或者说，有一个解在K中的一个丢番图方程）。曲线C其实就是E上的主齐性空间，并在K为一个数域的情况构成一个有更丰富结构的集合（Selmer 群理论）。实际上，典型的Q上的平面三次曲线C没有理由有一个有理点；标准的韦尔斯特拉斯（Weierstrass）模型确总是有一个，也就是无穷远点，但是必须有一点在K上以将C置入"在"K上的形式。这个理论在