根所组成的集也维持不变。不过，集当中的每个根有可能会被转换至另一个根，因此伽罗瓦群中的每一个转换都定义了作用于根集上的一个置换。伽罗瓦群的重要性来自于伽罗瓦理论基本定理：位于基域和分裂域之间的zh-hans:域; zh-hant:体，与伽罗瓦群的子群有着一对一的关系。1918年，诺特发表了一篇有关的论文。伽罗瓦理论所提出的问题是，给定基域及其扩张域，找出其伽罗瓦群；诺特所提出的问题则相反：给定基域和一个群，是否有可能找出一个扩张域，使这个群成为它的伽罗瓦群？她把这道问题简化为所谓的诺特问题：设是