平面上，该问题与上文中的平交道问题相当。 1921年波利亚·哲尔吉证明了这在二维随机游走中几乎必然会发生，但对于3维或更高维度，返回原点的概率随着维数的增加而减少。 在3个维度中，这个概率降低到大约34％。随着步数的增加，二维随机游走的渐近函数遵从瑞利分布。 概率分布是距离原点的半径的函数，并且每一步的步长是恒定的。
与维纳过程的关系.维纳过程是一个随机过程， 它与布朗运动，也就是微小颗粒在流体中扩散的现象有相似之处。（布朗运动是物理现象，而维纳过程是模拟该现象的模型。由于概念