4 年，德国数学家理查德·戴德金就发展了这种递归定义，并在接下来的几十年中扩展了这个定义。他利用数学归纳法证明了交换律、结合律等性质。
整数的加法.整数最简单的理解就是由绝对值（一个自然数）和符号（一般情况下，正或负）组成。整数零是一个特殊情况：它既不是正数也不是负数。对于任何整数 ，定义 为 的绝对值。设 与 为整数，则它们的和 的定义需要分类讨论：尽管对于实际的问题来说，这个定义足够了，但对于优雅的一般性的数学证明来说，它实在是太复杂了，情况太多了。一个数学上更方便的