"-维实向量空间上的表示简单的是从群到一般线性群的群同态以这种方式，抽象给出的群运算被转换成用明确的计算可触及到的矩阵乘法。给定一个群作用，这给出了研究所作用的对象的进一步方法。在另一方面，它还产生了关于群的信息。群表示是在有限群、李群、代数群和拓扑群特别是（局部）紧群理论中的起组织作用的原则。
伽罗瓦群."伽罗瓦群"是通过对求解多项式方程的过程中涉及到的对称性的研究而被发展起来的。例如，二次方程"ax" + "bx" + "c" = 0的解给出为对换表达式中的"+"和"−