两个二元运算，即将环中的任意两个元素变为第三个的运算。他们称为加法与乘法，通常记作 + 与 ⋅ ，例如 "a" + "b" 与 "a" ⋅ "b"。为了形成一个群这两个运算需满足一些性质：环在加法下是一个阿贝尔群，在乘法下为一个幺半群，使得乘法对加法有分配律，即 "a" ⋅ ("b" + "c") = ("a" ⋅ "b") + ("a" ⋅ "c")。关于加法与乘法的单位元素分别记作 0 和 1。另外如果乘法也是交换的，即环 "R" 称为交换的。除非另有特别声明，下文中所有环假设是交换的。Sec