53定义为构造以formula_18，formula_12，formula_53为边的三角形，采用余弦定理，有根据引理1，用点积代替向量长度的平方，有同时，根据定义formula_53 ≡ formula_18 - formula_12，有根据分配律，得连接等式"（1）"和"（2）"有简化等式即得以上即为向量点积的几何定义。需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于formula_36 (formula_68)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是点积可以用来计算合力和功。