代公理：取 ω 的两个复件的不交并，然后设第二个复件大于第一个便可。但这样所得的集合并不是一个序数，因为它在属于关系下不是一个全序。显然，若要确保可以指派一个序数给任意的良序集合，也要用到替代公理。类似的，若要确保可以指派一个基数给任意集合（冯·诺伊曼基数指派），我们也需要替代公理，以及选择公理。所有的可数的极限序数的构造也要求替代公理，就像 ω·2 的构造那样。较大的序数则不那么直接地依赖于替代公理。例如 ω 是第一个不可数序数，可以构造如下：由全体可数良序组成的集合，会是 ℘(N×N) 的一个子