群运算如右侧所示。例如，"U"·"U" = f"R"·f"R" =（f·f）"R" = "R"。子群"R" = {id, r, r, r}和对应的商群都是阿贝尔群，而D不是阿贝尔群。通过较小的群构造较大的群，例如从子群"R" 和商群构造D，被抽象为叫做半直积的概念。商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一种方法：任何群都是这个群的生成元上的自由群模以“关系”子群得到的商群。例如，二面体群D可以由两个元素 "r" 和 "f" 生成（比如"r" = r右旋，和 "f" = f 垂直）或任何其他）翻转），