α 和 β 也是代数整数，满足：和同时，将 "a"α + "b"β 乘以理想数 ι 后就会得到非主理想 2"a" + "by"。
历史.库默尔首先在1844年发表了分圆域中唯一分解定理不成立的性质。1847年，文章在约瑟夫·刘维尔的杂志上发表。在接下来的1846年和1847年里，库默尔发表了他的主要定理：理想素数的唯一分解定理。库默尔的理想数概念在其后的四十年间被克罗内克和戴德金独立地发展。戴德金在试图直接推广理想数概念时遇到了巨大的困难，最终导致他发展出了模理论和理想论