:::柯西收敛准则.设 formula_5 是柯西序列。设 S 为这样一个集合，其中每个实数只大于序列 formula_5 中的"有限个"成员。formula_7，设 formula_8 使得 formula_9， formula_10。于是这个序列在区间formula_11 里出现无限多次，而且只在它的补集里最多出现"有限次"。这意味着 formula_12 S， 因此 Sformula_13。另外 formula_14 是 S 的上界。于是通过 LUB 公理，可以设 b 是 "S" 的最小上界，而且