本上所有的数学概念都可以用纯集合来表示，上述的限制不影响相关的应用。冯·诺伊曼全集中的集合可以以累积层次（cumulative hierarchy）的方式整理，也就会依元素的深度、元素的元素的深度……来分类。层次中的每一个集合都会以超限递归的方式指定一个序数，称为集合的阶。纯集合X的阶定义为集合formula_78所有元素的阶的后继序数的最小上界。例如空集的阶定义为0，只包括空集的集合定义为1，针对每一个序数formula_79，集合formula_80按定义包含了所有阶数小于formula_79的纯集合，