阿瑟·凯莱和奥古斯丁·路易·柯西进一步发展了这些研究，创立了置换群理论。群论的第三个主要历史渊源来自几何。群论在射影几何中首次显示出它的重要性，并在之后的非欧几何中起到了作用。菲利克斯·克莱因用群论的观点，在不同的几何学（如欧几里德几何、双曲几何、射影几何）之间建立了联系，即爱尔兰根纲领。1884年，索菲斯·李开始研究分析学问题中出现的群（现在称为李群）。属于不同领域的来源导致了群的不同记法。群的理论从约1880年起开始统一。在那之后，群论的影响一直在扩大，在20世纪早期促进了抽象代数、表示论和其他