是一个有限维李群但不是矩阵群。即 formula_12 没有忠实有限维表示。做为一个拓扑空间，formula_12 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量，3-流形 formula_12 成为瑟斯顿八几何之一。例如，formula_12 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 formula_12 为模型的流形是可定向的，也是一个二维双曲轨形上的圆丛（一个塞弗特纤维空间（））。
代数结构.SL() 的中心是两个元素的群 {-1,1}，商 PSL() 是单群。PSL(