称为高斯常数。
存在性的证明.由算术几何不等式可得因此这意味着 formula_14 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（formula_15 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 formula_16 使得:然而，我们又有:从而:证毕。
关于积分表达式的证明.该证明由高斯首次提出。令将积分变量替换为 formula_21, 其中于是可得因此，我们有最后一个等式可由