集合 "X" 与任何拓扑空间 "Y"。
单纯集合的同伦论.在单纯集合范畴中，可以定义纤维化为阚纤维化。单纯集合的一个映射定义为弱等价如果其几何实现是空间的弱等价。单纯集合的一个映射定义为上纤维化如果它是单纯集合的一个单态射。丹尼尔·奎伦的一个艰深的定理说具有这三类态射的单纯集合范畴满足真闭单纯模型范畴的公理。此理论的一个重要转折点是阚纤维化的几何实现是空间的塞尔纤维化。以空间上的模型结构为基础，利用标准同伦抽象废话可以发展一套单纯集合的同伦论。进一步，集合实现与奇异函子给出闭模