凡的左理想或/和右理想：例如域上的全矩阵环，它没有非平凡理想（因为formula_1的任何理想都具有formula_2的形式，其中formula_3是formula_4的理想，但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。根据阿廷-韦德伯恩定理，即单的环左阿廷环或右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限维向量空间，则他同构于实数域上的矩阵环，复数域上的矩阵环，或四元数域上的矩阵环。单环，但非除环上的矩阵环的简单环的一个例子是外尔代数。