上的运作表示。群"F"也可以表达为单位区间上由所有如下所述的分段线性同胚组成的群：同胚保持区间的定向，不可微点都是二进有理数（即形为"m"/2的数，其中"m", "n"为整数），每段的斜率都是2的幂。将单位区间的端点等同，便可以视群"F"为在单位圆上作用，而群"T"是在"F"中加入单位圆的同胚"x"→"x"+1/2 mod 1而生成的群。在二元树上的对应操作是把根节点下方的两棵树交换。群"V"是在群"T"中加入一个不连续映射而生成的群，这映射固定半开区间[0,1/2)的点，并用最显然的方法交换区间[1/