用解析数论的工具处理此一问题，带来突破性的进展，他们用的工具称为圆法（circle method），可以针对函数"G"("k")（整数用"k"次方和表示时，需要的最小整数）提出具体的上界，例如维诺格拉多夫上界为
丢番图方程.丢番图方程和多项式方程的整解有关。有些研究可能是探讨解的分析情形，也就是依照某种「高度函数」来计算这些解。是丢番图方程中的一个重要例子，要求满足下式的整数点("x" "y")用几何的方式来说，给定在平面上，以原点为圆心，半径是 formula_7 的圆，