自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角"u"，在渐近线即x或y轴上需要有的x或y的值。显见这里的底边是formula_23，垂线是formula_24。通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线formula_21下双曲角的 1/2。
虚数圆角定义.双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果"x"是实数而i = −1，则所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恆等式