此外又定义另一种运算「·」（此处的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整数中定义的加法及乘法有类似性质）。环论研究环的结构、环的（或称为）、特殊的环（例如群环、除环、泛包络代数等），也包括一些和环论有关的定理以及其应用，例如同调代数、及。交换环是指其中运算「·」符合交换律的环，本身比较容易理解。代数几何及代数数论中有许多交换环的例子，也带动了交换环理论的发展，这部份后来称为交换代数，是现代数学中的主要领域之一。代数几何、代数数论及交换代数在本质上连结的非常紧密，因此有时很难去区分某特定数学原理