就是着名的巴拿赫－塔斯基悖论。因此3维以上formula_1不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。冯纽曼研究他们的证明，发现问题关键不是在formula_1的结构，而是在formula_1的旋转群上。3维以上的formula_1，其旋转群有子群是秩2的自由群；而2维时，旋转群没有这样的子群。于是豪斯多夫原来的测度问题，可以把对象转到群上面。新的问题是：在一个群"G"上，是否存在有限可加的概率测度formula_8，是"G"-不变的，即是在"G"对其中的子集的群作用下不变：对任何for