未必有 formula_25。第一个群上同调群 formula_26 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 formula_27，其间关系可以由长正合序列表示。
形式建构.以下假设 formula_1 为有限群，全体 formula_1-模构成阿贝尔范畴，其间的态射 formula_30 定义为满足 formula_31 的群同态 formula_32。由于此范畴等价于 formula_10-模范畴，故有充足的内射对象。函子 formula_34 是从 f