塞尔伯格在1956年处理了紧黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其幂次，塞尔伯格定义了塞尔伯格ζ函数。此时的公式相似于解析数论关注的「明确公式」：黎曼曲面上的测地线在公式中扮演素数在明确公式里的角色。一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及该曲面上的週期测地线长度。对于环面，塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式。
定义.设 formula_4 为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面 formula_5 对 formula_6 的某