间的给定开覆盖的有限子覆盖的存在性。他在1852年的演讲中使用了这个证明，并在1904年得以出版。后来、卡尔·魏尔斯特拉斯和使用了类似的技术。埃米尔·博雷尔在1895年首次发表并证明了一种形式的现在的海涅-博雷尔定理。他的公式化受限制于可数覆盖。昂利·勒贝格(1898年)和(1900年) 把它推广到了任意覆盖。
定理的讨论.如果一个集合是紧致的，则它必定是闭合的。设集合S是R的子集。首先证明一个引理：若a是S的一个极限点，则任意有限个开集U，其中U与a的某邻域V不相交，所组