:::历史.在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积。自然对数函数是在直角双曲线formula_21下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线formula_22上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角"u"，在渐近线即x或y轴上需要有的x或y的值。显见这里的底边是formula_23，垂线是formula_24。通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：单位双曲线