，例如集合之间的双射，康托尔对于实数较整数多的证明，以及由幂集所产生「无穷的无穷」的概念，等等。这些概念最后成为1898年《》中的《Mengenlehre》（集合论）条目。在1900年左右许多数学家发现朴素集合论会产生一些矛盾的情形，称为二律背反或是悖论，伯特兰·罗素和恩斯特·策梅洛均发现了最简单的悖论，也就是现在所称的罗素悖论：考虑「由所有不包含集合自身的集合所构成的集合」，记之为 "S"。不管假设 "S" 是或不是 "S" 自身的元素，按照 "S" 的定义都会导致矛盾。罗素悖论也造成了第三次数学危机