为每个单独的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先发现的。从证明论的观点看，增加替代公理形成了很大的差异；把这个公理模式加进Zermelo 公理使系统在逻辑上更强，允许你证明更多的陈述。特别是，在ZF 中你可以通过构造冯·诺伊曼全集 V 为模型，证明 Z 的相容性。（当然，哥德尔第二不完备定理表明这两个理论都不能证明自身的相容性，如果它自身是相容的。）