的切丛可分解成局域和乐群作用下不变的子空间，则该流形分解为黎曼流形的笛卡儿积。稍后，于1953年， 给出所有不可约和乐的分类。黎曼和乐的分解和分类适用于物理和弦论。
定义.
向量丛联络的和乐.设 "M" 为光滑流形，"E" 为其上的 "k" 维向量丛，∇ 为 "E" 上的联络。给定 "M" 上一点 "x" 和以 "x" 为基点的分段光滑环圈 "γ" : [0,1] → "M", 该联络定义了一个平行移动映射 "P" : "E" → "E". 该映射是可逆线性映射