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与指数函数的关系.从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恆等式:和
复数的双曲函数.因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数sinh "z"和cosh "z"是全纯函数。指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：所以:因此，双曲函数是关于虚部有週期的，週期为formula_78 (对双曲正切和余切是formula_79).
反双曲函数.反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：