带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零若且唯若它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于formula_114，其中的formula_115由相应的椭圆函数给出。
亏格大于一的曲线.对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显着不同。根据Faltings定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括、与一开始提到的在form