家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：
证明.考虑下面的几何数列：对等式两边积分可得到反正切的幂级数：将"x" = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当"x" = 1时级数收敛到tan(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。
初等证明.考虑如下分解对于|"x"| < 1