3 ，下列公式是最大函数的平滑函数，可微、近似于最大值函数。 对于绝对值较大的负值参数，其近似最小值函数。 formula_5具有以下属性： formula_11的梯度近似于softmax函数，由以下公式可得：这使softmax函数使用梯度下降的优化时很有用。 
LogSumExp.另一个平滑最大值函数例子是LogSumExp ： 如果formula_14都是非负的，可产生定义域是formula_15和值域是formula_16的函数 ： formula_18