::::欧拉的证明.另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明，则使用了算术基本定理：每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设formula_12为所有素数的集合，欧拉写下了：第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点，可把乘积分配进和里面：在这个结果中，每一个素数积都出现了正好一次，因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。右边的和是发散的调和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积内每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；