对每个其标识内的公式，此公式或公式的否定会是个由理论公理导出的逻辑结论。哥德尔不完备定理证明，有效的一阶理论只要它强到足以蕴涵自然数的理论，即无法同时是相容且完备的。
空论域.上述定义需要任何一个解释的论域均为非空集合。但在如自由逻辑之中，设定空论域是被允许的。更甚之，若代数结构的类包含一个空结构（如空偏序集），当允许空论域时，这个类只能是一阶逻辑中的一个基本类，不然就要将空结构由类中移除。不过，空论域存在着一些难点：因此，若空论域是被允许的，通常也必须被视成特例。不过，大多