式。则此函数的次泰勒多项式即为函数。泰勒多项式的极限是无穷级数，称为泰勒级数。多半来说泰勒级数是原函数非常理想的近似。一函数若都各点等于其泰勒级数，称为解析函数。若函数有不连续点或是斜率不连续的尖角，此函数不会是解析函数，不过相反的，存在一些函数是光滑函数（无穷阶可导的函数），却不是解析函数（）。
隐函数定理.有些几何图形（例如圆）无法用函数图形来表示。例如若，其圆即为所有使的点 的集合。这个集合称为的零集。这和本身的图形（抛物面）不同。隐函数定理可以将之类的关系转换为函数。其中