中不能被单独量化。现在标准的逻辑的阶数等级就是从那时开始的。发现了集合论可以在一阶逻辑的设施内公式化为公理化系统（损失了某种完备性，但是不至于象罗素悖论那么糟糕），并且真就这么做了（参见Zermelo-Fraenkel集合论），因为集合是数学的关键。算术、分体论和各种其他强力逻辑理论可以被公理化的公式化，而不用使用比一阶量化更多的逻辑设施，随着哥德尔和Skolem忠于一阶逻辑，导致了对二（或更高）阶逻辑的工作的普遍放弃。这种舍弃由一些逻辑学家活跃的推动着，最着名的是蒯因。蒯因推进了这种观点，在谓词语