子代数以同构于1，并引入一个向量正交于1。此子代数是同构于复数的。如果它不是"A"的全体，那么我们再次使用凯莱-迪克森结构和另一个与复数正交的向量，得到一个与四元数同构的子代数。如果这还不是不是"A"的全体，我们重复以上行为一次，并得到同构于凯莱数（或八元数）的子代数。我们现在有一个定理，说的是每一个包含1而又不是"A"自身的子代数是结合的。凯莱数不是结合的，因此必须为"A"。胡尔维兹定理也可以用于证明n个平方和与n个平方和的积仍可以写成n个平方和仅当n为1,2,4或者8时。