，群论的影响一直在扩大，在20世纪早期促进了抽象代数、表示论和其他许多有影响力的子领域的建立。有限单群分类是20世纪中叶一项规模庞大的工作，对一切的有限单群进行了分类。
群的主要类型.群论考虑的群的类型从有限置换群和一些特殊的矩阵群逐渐进展到抽象群。这些抽象群可以由生成元和关系给定。
置换群.置换群是第一类被系统研究的群。对给定的集合formula_1，formula_1到自身的一些双射（通常叫做"置换"）的集合formula_3如果在复合运算和求逆运算下