在单纯形上的作用是将formula_16维单纯形的formula_17维边界取适当正负号后作线性组合；彼此差个边界的链在拓扑上称作同调的，这也是同调代数的词源。庞加莱证明formula_18，于是我们有以下链复形定义formula_13的贝蒂数与欧拉示性数：这两个量都与空间formula_13的剖分方式无关，仅决定于空间的伦型。起初庞加莱只考虑数值不变量；在1925年，埃米·诺特于一份只有14行的报告中指出：根本的不变量是阿贝尔群formula_24，而不仅仅是它派生的非负整数formula_25；群