建立了环和域扩张的理论。现代伽罗瓦理论中，使用域扩张的伽罗瓦群理论来证明阿贝尔-鲁菲尼定理。域扩张理论将代数方程的求解过程转化为特定的域扩张来描述。给定特征为0的系数域。设有以中元素为系数的多项式。将的根添加到系数域中，包含它们的“最小”的域称为的分裂域，记为。方程求解的过程，可以看作是“已知量”的集合从系数域扩张到分裂域的过程。另一方面，考察四则运算和开方所能生成的“新数量”。由于域对四则运算封闭，所以能够使得“已知量”增多的本质操作是开方运算。给定中元素，对开次方等价于将的个次方根作为“已知量”添加