不包含正则公理的康托的集合论，实际上假定了以自身为一个元素的集合的存在。
基本蕴涵.
不存在以自身为元素的集合.反证，假设有一个集合"A"，使得 "A" 是自身的一个元素，即formula_3。这时，根据配对公理，可以构造出 "B" = {"A"}，"B"也是一个集合。由于"B"中只有一个元素"A"，根据正则公理，我们得到formula_4。但是根据我们的假定有formula_3及formula_6，所以formula_7。这与正则公理相矛盾！所以不存在这样的