化地应用线性规划的方法，对超过五千种不同的装球法的每一个，找出其所提出的方程式的下界的研究。如果此方程式对于这些装球法的下界都超过（此方程式对于）面心立方的值的话，那克卜勒猜想就可得证。若要寻找每种情况的下界，则需要解超过十万个线性规划问题。当托马斯·黑尔斯在1996年公开其计划时，他说这证明的结果近了，然而依旧需要「一两年的时间」来完成它。在1998年，托马斯·黑尔斯宣佈他的证明已经完成了。在此阶段，其证明包含了250页的註解与3GB的电脑档案，其中包括了电脑程式、资料和结果等。虽然这证明在本质上