前formula_1的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理，虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面（即非欧几里得几何），但这些圆将不再符合定律formula_26。这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆formula_31上半部分的弧长，需要用到积分：上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对formula_1的积分定义。这些依赖于周长，且隐性地依赖积分的formula_1的定义，如今在文献中并不常见