程仍然有这一类解，然而存在着其他非常复杂的解，函数 "f" 经常被外加条件以排除那些复杂的解。例如：另一方面，如果函数 "f" 没有其他限制条件，那么满足方程的函数有无穷多个(假设选择公理成立)。这在1905年由使用基的概念证明。希尔伯特的第五个问题是这个方程的推广。存在实数formula_4使得formula_5的解称为柯西─哈默方程（）。在希尔伯特的第三个问题中，往高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（），其中就用到柯西-哈默方程。
在有理数集下的证明.先设for