调有界定理.如果"a"是一个单调的实数序列（例如"a" ≤ "a"），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。
聚点定理.波尔查诺-魏尔施特拉斯定理（）说明，formula_22中的一个子集formula_23是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当formula_23是有界闭集。更一般地，这个定理对有限维实向量空间formula_25亦有效。