是实希尔伯特空间时，从 到其对偶的反线性同构实际上是一般的同构，所以实希尔伯特空间自然地与其对偶同构。表示 的向量 可借下列方法找到。 当 时， 核 是 的闭子空间，且不等于 ，故存在非零向量 与 正交。 取向量 为 的纯量倍 ，于是条件 给出物理学上广泛应用的狄拉克符号正利用了 的对应关系。 物理学家通常约定，内积 对右边的运算元线性，即于是 可以视为线性泛函 （称为 "左矢" ）作用在向量 （称为 "右矢" ）的结果。里斯表示定理要求空间的完备性。事实上，从定理可知任意内积空间的拓扑对偶