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复共轭的独立性.方程组有时也被写作一个方程其中微分算子formula_8定义为在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为"f"独立于变量formula_10。
复可微性.柯西-黎曼方程是函数的复可微性（或称全纯性）的充要条件。精确的讲，设为复数"z"∈C的函数，则"f"在点"z"的复导数定义为如果该极限存在。若该极限存在，则可以取"h"→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到而从虚轴逼近有"f