。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在量子力学中，谐振子基态的概率密度；在路径积分公式中，谐振子的传播子；以及统计力学中的配分函数，以上的计算都要用到这个积分。我们可以通过Risch算法证明误差函数不具有初等函数形式；尽管如此，高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解。虽然不定积分formula_2无法用初等函数表示，但定积分formula_3是可以计算的。任意高斯函数的定积分为
计算方式.
通过极限计算.要想找到高斯积分的闭合形式，首先定义一个近似