量子力学有关的希尔伯特－波利亚算符。该算符可表示为formula_2，其中formula_3是质量为formula_4、势能为formula_5的粒子的哈密顿算符。黎曼的猜想等价于哈密顿算符为厄米算符，或者说formula_6是实的。根据一阶修正的微扰理论，第n特征态的能量与势能期望值有关：其中，formula_8与formula_9分别为自由粒子哈密顿算符的特征值与特征态。此方程可以看作第一类弗雷德霍姆积分方程。这样的积分方程可使用预解核的方法求解，因而能够得到势能的表达式其中，formula