，要么和整数集有相同的基数，要么和实数集有相同的基数。
证明或证否的不可能性（在ZFC系统下）.康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在1900年巴黎的国际数学家大会上宣佈此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。库尔特·哥德尔在1940年指出连续统假设不能在ZFC系统下证否，即使接受了选择公理为前提。保罗·寇恩在1963年证明了连续统假设同样不能在ZFC下被证明。因此，连续统假设「逻辑地独立于」ZFC。这