组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。在一对实值函数"u"("x","y")和"v"("x","y")上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：和通常，"u"和"v"取为一个复函数的实部和虚部："f"("x" + i"y") = "u"("x","y") + i"v"("x","y")。假设"u"和"v"在开集C上连续可微，则当且仅当"u"和"v"的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)，"f"="u"+i"v"是全纯的Sec