以对"f"在单位圆上之奇点的性质有足够的了解之方式。对其基本的了解可以使用有理数的法里数列，或是等价地使用单位根这里的分母"s"是在"r/s"为最简分数下之分母，可以决定在ζ附近之"f"主要奇点的行为之相对的重要性。哈代-勒特伍德圆法因此可以用复分析的方式来表现出来。当"r" 趋近 1时的"I"的值的分佈可以被分成两个部份，传统上称之为大弧和小弧。可以将ζ分成两部份，分别是"s"≤"N"和"s">"N"两部份，其中的"N"是一个依方便选定之"n"的函数。积分"I"可以将其积分范围分成长度为"s"的长