元素，则"nx"可以定义为"x" + "x" + ... + "x"（"n"个数相加）并且（−"n"）"x" = −（"nx"）。以这种方式，"G"变成在整数的环Z上的模。事实上，在Z上的模都可以被识别为阿贝尔群。关于阿贝尔群（比如在主理想整环Z上的模）的定理经常可以推广到在任意主理想整环上的模。典型的例子是有限生成阿贝尔群的分类是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况。在有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如Z/"p"Z对于素数"p