总是映射单位元到自身。共轭类在自同构下的像总是共轭类(同一个或另一个)。一个元素的像有同这个元素相同的阶。两个自同构的复合也是自同构，并且群 G 的所有自同构的集合在复合运算下自身形成了一个群，即 G 的自同构群，指示为 Aut(G)。对于所有阿贝尔群，至少有把群的元素替换为它的逆元的自同构。但是，在所有元素都等于它的逆元的群中这是一个平凡自同构，比如在克莱因四元群中。对于这种群三个非单位元素的所有置换都是自同构，所以这个自同构群同构于 S 和 Dih。在对于素数 p 的 Z 中，一个非单位元元