代数运用于许多数学与科学领域之中。例如，代数拓扑即使用代数物件来研究拓扑学。最近（2006年）被证明出之庞加莱猜想表示，一个流形的基本群（握有连通性的资讯）可用来确认一个流形是否为一球面。代数数论研究各种广义化整数集合之数环。使用代数数论里的工具，安德鲁·怀尔斯证明出费马最后定理。在物理学里，群用来表示对称运算，且使用群论可以算化许多微分方程。在规范理论里，要求局部对称可用来减少描述系统所须之方程。描述这些对称的群称为李群，而对李群与李代数之研究亦揭示出许多物理系统内的知识；例如，在一理论中载力粒子（f