用到群的交换性。为证明 (2)，在下图中假设 formula_29 与 formula_12 是单射，而 formula_2 是满射。结合两个四引理，便可证得五引理。
应用.五引理通常用于长正合序列：在计算一个对象的同调或上同调群时，我们通常利用一个较简单的子对象，其同调或上同调已知，再配合长正合序列进行计算。长正合序列本身不一定能确定所求的同调或上同调，此时可以试着以态射比较原对象与一个已知的对象，此态射导出长正合序列的链映射，此时五引理有助于决定未知的同调或上同调群