注意：不等式对函数 "β" 和 "u" 的符号没有任何要求。 
证明.如果设是以下微分方程 其中 "v"("a") = 1 的解，那么对所有的 "t" 都有 "v"("t") > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则：对所有的 "t" > "a" 成立，因此 于是格朗沃尔不等式得证。
积分形式.设 "I" 是一个实数区间，记为：<nowiki>[</nowiki>"a", ∞) 或 <nowiki>[</nowiki>"a", "