。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间formula_1中的一个子集formula_3是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当formula_3是有界闭集。
历史.这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明，当他在证明介值定理时，附带证明了这个定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。
定理.波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间formula_1中序列