7阶三角形镶嵌之商。 Klein 四次曲面在数学的多个领域都有出现，包括表示论、同调论、八元数乘法、Fermat 大定理和具有类数 1 的虚二次数域上的Stark 定理。
Mathieu 群.PSL(2, 7) 是Mathieu 群M 的极大子群。Mathieu 群 M 和 M 可由 PSL(2, 7) 作扩张得到。这些扩张可以用 Klein 四次曲面的镶嵌的语言解释，但不能通过镶嵌的几何对称实现。
群作用.PSL(2,7) 作用在多种集合上：