群论的代数工具，将根的置换集合作为群来考虑，将多项式方程可解转化为群的特性。伽罗瓦的结果在其生前并没有得到重视，在他去世后，才逐渐被数学界发现。
现代证明.伽罗瓦创造了群论来解决代数方程可解判定性的问题。此后阿廷等人建立了环和域扩张的理论。现代伽罗瓦理论中，使用域扩张的伽罗瓦群理论来证明阿贝尔-鲁菲尼定理。域扩张理论将代数方程的求解过程转化为特定的域扩张来描述。给定特征为0的系数域。设有以中元素为系数的多项式。将的根添加到系数域中，包含它们的“最小”的域称为的分裂域，记为。方程