formula_15 是 formula_47 与 formula_48 的比例的自然对数：formula_50 是两条从点 P 到两个焦点的线段 formula_51 与 formula_52 的夹角。这夹角的弧度是 formula_13 。用余弦定理来计算：z-坐标的公式不变：
标度因子.双极圆柱坐标 formula_13 与 formula_15 的标度因子相等；而 formula_58 的标度因子是 1 ：所以，无穷小体积元素等于拉普拉斯算子是其它微分