这里，sinh 为双曲正弦函数。热方程的这个解是通过将  的每一项乘以 sinh("ny")/sinh("n"π) 得到的。我们示例的函数 "s"("x") 的傅里叶级数似乎很复杂，热分布 "T"("x", "y") 是非平凡的。函数 "T" 不能写成解析解。用傅里叶的方法却可以求解这个热分布问题。
其他例子.我们也可以应用傅立叶级数去证明等周不等式，或是构造处处连续处处不可微的函数。
延伸.
希尔伯特空间的解读.所谓的两个不同向量正