射影直线的直射变换群则是整个点的对称群。但是， PSL(2, 7) 亦同构于 PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2))，二元域上三阶方阵的特殊（一般）线性群。以相似的方式， "G" = PSL(3, 2) 作用在二元域上的射影平面P(2) —— 或叫Fano 平面上：formula_4同样，任一 P(2) 的自同构由此产生，"G" = PSL(3, 2) 可视为该射影平面的对称群。Fano 平面可用于描述八元数的乘法，因此 "G" 在八元数的乘法表上也有一个作用。