分方程中。在二十世纪，人们发现formula_1函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。而索伯列夫空间正是formula_1空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。
技术性讨论.我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始，也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下，索伯列夫空间formula_4定义为"L"的子集，使得"f"和它的直到"k"阶的导数有一个有限的"L"范数，对于某个给定的"p" ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设formula_5是几乎处处可微并