化，例如在鲁宾逊算术Q中那样。有一些更弱的公理系统是相容而且完备的，例如，它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。公理系统可能含有无穷条公理（例如皮亚诺算术就是这样），但要哥德尔定理生效，必须存在检验证明是否正确的有效算法。例如，可以将关于自然数的所有在标准模型中为真的一阶语句组成一个集合。这个公理系统是完备的；哥德尔定理之所以无效，是因为不存在决定任何一条语句是否正确的有效算法。从另一方面说，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。另一个哥德尔定理不适用的特殊情况是：将关于自然数的所有语