式成立：以及formula_38，下式成立：函数formula_40称为李亚普诺夫增益（Lyapunov gain）。若系统()没有输入（也就是formula_41），则最后一式可以简化如下因此formula_43也是（一般定义的）李亚普诺夫函数。E. Sontag和Y. Wang得到的重要结论是系统()为ISS，若且唯若存在光滑ISS李亚普诺夫函数。
例子.考虑一系统定义候选的ISS-李亚普诺夫函数formula_45如下formula_46form