动。如若相互作用是斥力形式的， formula_28，格罗斯–皮塔耶夫斯基方程的可能解为，其中formula_30为凝聚态波函数在无穷远处的值，formula_31为相干长度。此解代表暗孤子，它描述在空间上原本均匀分布的密度出现了缺失。暗孤子是一种拓扑缺陷，因为formula_32在经过原点处符号发生翻转。这对应了数学上formula_33的相移。对于formula_34其中化学势为formula_36。此解为亮孤子, 代表了空间上的凝聚。
变分解.对于难以得到精确解析