年证否。在参考资料中的反例用到了进阶的量度理论（measure-theoretical）概念。之后，也找到了许多的反例，包括只用到简单组合数学性质的矩阵以及另一个用到动态系统概念的反例。近来也提出了一显式的反例。许多相关的问题还没有证明，例如对于成对的逻辑矩阵，此猜想是否成立。
应用.联合谱半径的出现，是为了作为离散时间切换动力系统的稳定性条件。而以下方程定义的系统为李雅普诺夫稳定性若而唯若formula_11。因为英格丽·多贝西及杰佛瑞·拉加里亚斯将联合谱半径应用在小波函数