尔·约尔旦的协助下，玻恩在不久后即开始改写并扩展海森堡的理论，并在海森堡的文章发表仅60天后即发表了他们的结果，随后在年底前三人又联合发表了一篇文章。结果是以下这个等式：在此等式中，p和q分别代表位置与动量矩阵，I则是单位矩阵。会有如此结果，是因为矩阵乘法并不遵守交换律。此式的发现完全归功于玻恩，他发现不在对角线上的元素全都是零。玻恩认为他与约尔当合写的文章包含了「量子力学与其电动力学之延伸中最为重要的原理」。同时，这篇文章也为海森堡的方法奠定了坚实的数学基础。此时，保罗·狄拉克也在沿着与海森堡类似