统中确实地证明他们所需要的命题，比如在二阶算术中就可能做到这点。在数学中，拓扑学的研究扩展成点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑，和所有相关领域，如同调论和同伦论。「抽象代数」也发展出群论、环、体和伽罗瓦理论。此列表可以扩展至包含大多数的数学领域，如公理化集合论、测度论、遍历理论、机率论、表示理论和微分几何等。
算术.皮亚诺公理是一阶算术最广被使用的「公理化」。这套公理的强度足以证明许多数论中重要事实，以及允许哥德尔建立他着名的哥德尔不完备定理。设有一语言formula_23，