勒热纳·狄利克雷命名，他利用变分方法提出了一个解决办法，这便是狄利克雷原理。唯一解的存在性由物理分析似乎很有理：边界上任何电荷分布，由静电学定律，将确定一个电势做为一个解。但魏尔斯特拉斯发现了狄利克雷证明的一个漏洞，存在性严格的证明直到1900才由希尔伯特给出。结论是解的存在性微妙地依赖于边界与预定值的光滑性。
一般解.对具有足够光滑边界formula_1一个区域formula_2，狄利克雷问题的一般解由给出，这里formula_4是这个偏微分方程的格林函数，而是格林函