给出了证明。设"X"与"Y"为巴拿赫空间，若"T" : "D"("X") → "Y"是一个闭合的线性算子，它的定义域"D"("X")在"X"中稠密，而formula_1是它的。则定理指出，如下四个结论等价：此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个稠定线性算子"T"使得Im("T") = "Y"。相似地，当且仅当"T"存在连续的逆算子时，formula_11。