膜、以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。
早期历史.这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“”，意为“分类”""，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。格罗腾迪格需要在代数簇"X"的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群formula_1通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作form