元的有限复合。与关系在一起这个群就完全描述出来了。群的展示还可以被用来构造凯莱图，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。子群和商群以下列方式相互关联："G" 的子集"H" 可以被看作单射，就是说任何目标元素都有最多一个映射到它的元素。单射的对立是满射（所有目标的元素都被映射到了），比如规范映射。通过这些同态理解子群和商群强调了这些定义中内在的结构性概念。一般的说，同态既不是单射也不是满射。群同态的核与像和第一同构定理研究这个现象。
共轭.如果同一个群中的两个元素"p" 和"