已经可以推论出伯特兰-切比雪夫定理：对任何大于 1 的正整数 n ，存在一个质数介于 n 和 2n 之间。1859年，黎曼提交了一篇关于质数分布的非常重要的报告《》，这也是黎曼在这个领域的唯一一篇文章。黎曼在报告中使用了创新的想法，将ζ函数的定义解析延拓到整个复数平面，并且将质数的分布与ζ函数的零点紧密的联系起来。因此，这篇报告是历史上首次用复分析的方法研究实函数 formula_8。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家先后独立给出证明。两个证明延着黎曼的思路继续拓展，且都使用复分析的工具，