，(事实上他是用一个有点不一样的级数表达式)。勒让德和狄利克雷的式子皆等价于现在的版本，但如果考虑逼近式与 formula_8 的差，而不是比值的话，狄利克雷的式子是准确许多的。俄国数学家切比雪夫参考了欧拉在1731年的工作，引进了定义在实数轴上黎曼ζ函数，企图证明质数分布的渐进式，并将他所得到的结果写成两篇论文，分别在1848和1850年发表。切比雪夫可以证明，如果formula_18存在且有限，则它一定是1。此外，在没有假设任何结果之下，他也证明当 x 足够大，formula_19会界在两个很靠近