交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。
推广：自守表示理论架构.朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。赫克（"Erich Hecke"）曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群 GL 的某类无限维不可约表示）。朗兰兹为这些"自守表示"配上"L-函数"，然后猜想：若要建立一