到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
主要结果和定理.泛函分析的主要定理包括：
泛函分析与选择公理.泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn's Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建于哈恩-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布尔素理想定理（Boolean prime ideal theo