formula_23，垂线是formula_24。通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线formula_21下双曲角的 1/2。
虚数圆角定义.双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果"x"是实数而i = −1，则所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恆等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成cosh函数，后者形成了sin