（或类似的对象），其中 formula_228（通常）是 formula_110 极大紧子群。然而这里需要注意，这个商通常带有奇异点。半单李群对紧子群的商是对称空间，因此自守形式的理论与对称空间上的调和分析有密切联系。在总体理论成形之前，人们将希尔伯特模形式和西格尔模形式等许多重要特例研究透彻，得到包括有塞尔伯格迹公式等重要结论，以及罗伯特·朗兰兹对可以用黎曼－罗赫定理计算自守形式的空间的维度这一领悟。后来发展的“自守表示”的概念，也检验了在 formula_110 为代数群的情况、将其作为伊代尔代数群