群是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。给定一个群"G"和"G"的正规子群"N"，"G"在"N"上的商群或因子群，在直觉上是把正规子群"N"“萎缩”为单位元的群。商群写为"G"/"N"并念作"G" mod "N"（"mod"是模的简写）。如果"N"不是正规子群，商仍可得到，但结果将不是群，而是齐次空间。
群的子集的乘积.在随后的讨论中，我们将使用在"G"的子集上的二元运算：如果给出"G"的两个子集"S"和"T"，我们定义它们的乘积为"ST" = { "s