"F"是另一个群，并有群同态对"F"中所有元素"f"，在自由积"G" ∗ "H"中加入关系便得出其共合积。换言之，在"G" ∗ "H"中取最小的正规子群"N"，使得上式左方的元素都包含在内，则商群就是共合积formula_26。共合积可视为在群范畴中图表formula_27的推出。塞弗特－范坎彭定理指，两个路径连通的拓扑空间沿着一个路径连通子空间接合的併，其基本群是这两个拓扑空间的基本群的共合积。共合积及与之相近的HNN扩张，是讨论在树上作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。