:几何诠释.Cohen-Macaulay 条件的一种诠释见诸凝聚对偶性，其中模的「对偶化对象」本属于某个导范畴，当考虑的环是 Cohen-Macaulay 环时，该对象可由某个模代表。Gorenstein 条件则更精细，它断言此对偶对象由可逆层代表。正则性最强，它对应于交换环谱在该点的平滑性。就几何观点，Gorenstein 与 Cohen-Macaulay 条件是平滑性的逐步推广，在此框架下可以证明较广的几何定理。
纯粹性定理.设 formula_3 为诺特环，formula_