了该算子来解决全纯函数的的一个特殊情况。 
定义.formula_1 的希尔伯特变换可以认为是 formula_2 与函数 formula_3 的卷积。由于 formula_4 是不，定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用柯西主值（这里记为formula_5）定义的。准确说来，函数（或信号） formula_2 的希尔伯特变换是：假设此积分作为主值存在。这就是 "u" 与缓增分布 p.v. 1/"t" 的卷积（由于；参见）。另外，通过改变变量，主值积分可以显式地写为：若