等式利用了斯托克斯定理。另外注意拉普拉斯–贝尔特拉米算子是负的且对称：对函数 "f" 与 "h"。因此，许多作者定义拉普拉斯–贝尔特拉米算子时添一个减号，将其变成正的。
利用共变导数.拉普拉斯–贝尔特拉米算子也可利用与列维-奇维塔联络相伴的迭代共变导数的迹写出来。从这个观点来看，设 "X" 是切向量场的一个基（不必由坐标系诱导）。则一个函数 "f" 的黑塞矩阵是一个 2-张量，分量由给出。容易看出有张量性变换，因为对每个变量 "X" 与 "X" 都是线性的。则拉普拉斯–贝尔