。由于快度是无界的，快度的单参数群是非紧致的。快度的概念是由 () 于 1911 年提出，是十九世纪双曲正规化四元量 () 概念的重新包装。 、威廉·金顿·克利福德 、 ，这几位数学物理学家，都曾经在他们的作品中，使用过一个等价的笛卡儿平面映射。这映射的算子是个双曲复数：其中，formula_4 是双曲正规化四元量，formula_5 。请注意，formula_6 与虚数单位类似。但是，formula_6 不是虚数单位。并且， formula_8 。