代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域formula_31并考虑其上的代数曲线formula_32，此方程定义了一个formula_33的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。
复代数曲线与黎曼曲面.复射影曲线可以嵌入formula_5维复射影空间formula_36。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，