和它们的等价性的证明，参见文章。
性质.从指数函数的定义：可得出它有幂运算的“指数定律”：它们对所有实数"formula_3"与formula_52都是有效的。因为在指数函数的定义中formula_3是实数，可以使用自然对数，把更一般的指数函数，即正实数的实数幂函数定义为定义于所有的formula_55，和所有的实数"formula_3"。它叫做“底数为formula_2的指数函数”。从而拓展了通过乘方和方根运算定义的正实数的有理数幂函数：而方根运算可通过自然对数