运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于formula_1的公式：其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。对任何两个互质的正整数"a", "m"（即 gcd("a","m") = 1），formula_40，有即欧拉定理。这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与"m"互质的"a"都属于环 formula_3 的单位元组成的乘法群formula_43当"m"是质数"p"时，此式则为：即费马小定理。
生成函数.以下两个由欧拉函