上的函数formula_1：这个定义在逻辑上是成立的，因为它首先定义了formula_1在最小的自然数0上的取值，接下来对每个大于零的自然数formula_5，只要重复有限多次定义的过程，最终就会回到对0的定义上。这样定义出的函数formula_1就是阶乘函数。递归定义和循环定义的不同之处在于，后者不包括对基本情况的定义。比如定义建立在整数集上的函数formula_7：formula_8则我们永远无法确定formula_7的取值，这便是循环定义。