许多未知的领域和待解决的问题，也一直有大量新的数学成果发表。这些数学成果有些是新的数学知识，有些是新的应用方式。所以心算家、珠算家不是数学家，数学家也不见得能够快速的做出各种计算。
动机.数学家通常在数论、拓扑学、近世代数、微分拓扑、泛函分析等领域进行研究工作。数学的多数问题来自数学本身，其它一些则来源于理论物理；除此以外，尚有少量问题来源于经济学、决策（games），以及计算机科学。某些数学问题仅仅是因为解决它们的困难而提出的。数千年以来，数学挑战着人们的思维，并使人们沉迷