合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证，而在他1891年的论文中，他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数，记作c，代表连续统。接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。康托尔随后提出连续统假设：c就是第二个超穷基数formula_10