formula_8, formula_9，自然数的序列就此终结。所以如果 Frege-Russell 自然数要满足皮亚诺公理，所用到的公理化集合论必须包括无穷公理。自然数的集合可以被定义为包含 0 并闭合在 σ 下的所有集合的交集。在朴素集合论、类型论和根源于类型论的集合论如新基础集合论和相关系统中，这个定义是可行的。但是它在公理化集合论 ZFC 和相关系统中不可行，因为在这种系统中在等势下的等价类作为集合而言太大了。这是由于罗素悖论的原因，在 ZFC 中没有全集 "V"。Hatcher（1982