这样得到的纤维之间的同构一般会取决于曲线的选取；如果与选取无关，那么沿着任何曲线的平行移动都可以用来定义在整个 "M" 上 "E" 的平行截面，这当且仅当联络 ∇ 的曲率为 0 。特别地，沿着一条始于点 "x" 的闭曲线的平行移动定义了 "x" 处切空间的一个自同构，这个自同构不一定平凡。由以 "x" 为基点的所有闭曲线定义的平行移动自同构组成了一个变换群称为 ∇ 在 "x" 处的和乐群。这个群与 ∇ 在 "x" 处的曲率有紧密的关系，这便是安布罗斯-辛格和乐定理。
由平行移动得到