许多性质并不能推广到一般数域里的代数整数上，其中一个例子是素因数分解的唯一性（又称算术基本定理），这是十九世纪数学家试图证明费马大定理时遇到的主要阻碍，然而代数数论的应用不仅止于此。数学中一些较深入的理论有助于让我们了解代数数与代数整数的性质——包括伽罗瓦理论、伽罗瓦上同调、类域论、表示理论与L-函数的相关理论等等。数论中的许多问题可借由「模 p」（其中 p 为素数）来研究。这套技术导向p进数的建构，而p进数是局部域的例子；局部域的研究运用了一些研究数域时的相同方法，但是通常更容易处理。一般数域上的陈述