种异常上同调，称为拓扑K-理论；在代数与代数几何中，称之为代数K-理论；在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类"K"-函子构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。 在物理学中，K-理论特别是出现在第二型弦理论，其中猜测它们可分类D-膜、以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。
早期历史.这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“”，意为“分类”""，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。格罗腾迪格需要在代数簇"X"的层上工作。不是直接