向量场"X"定义了一个"M"上的单参数曲线族。也就是，可以表明存在曲线formula_11在"M"上使得其中formula_13对于所有"M"中的点"p"成立。这个一阶常微分方程的解的存在性由皮卡-林德洛夫定理给出（更一般的，这种曲线的存在性是弗罗贝尼乌斯定理给出）。然后可以定义李导数为第三个可能的定义可以通过先定义一对向量场的李括号给出。首先注意到切空间的基向量可以写为formula_15，所以一个向量场，用一组选定的基向量可以表示为定义李括号formula_17为然后定义向量场"Y"的李