中证明的关于集合和成员关系的种种事实，公理起源自对对象的搜集和它们的成员的理解，但为了各种目的而被谨慎地构建，例如是避免已知的各种悖论，例如理发师悖论－一个理发师他只为（而且一定要为）城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子，那理发师该为自己刮胡子吗？集合在数学中是极其重要的；事实上，採用现代的形式化定义，多种数学对象（数、关系、函数等等）都可以用集合来构建。
集合、成员及相等.在朴素集合论中，集合是指由许多物件组成，有明确定义的搜集（collection）。这些物件称为集合的元素或是