出解"x" = "x"·"a"·"a" = "b"·"a"。类似地，"G"中存在方程"a"·"y" = "b"的唯一解"y"，也就是"y" = "a"·"b"。一般地说，"x"和"y"不一定相等。这一结果的一个推论是“乘以某个群中的元素"g"”是一个双射。特别地，如果"g"是群"G"的一个元素，则有"G"到自身的双射，（称为由"g"引起的左平移）它将formula_14映射为formula_15。类似地，由"g"引起的右平移是一个"G"到自身的双射，它将formula_14映射为formula_17。如