但"R"中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数是一致连续的。
定义.
欧几里得空间中的紧致性.对于欧几里得空间R的子集，下列四个条件是等价的：在其他空间中，这些条件等价与否依赖于这个空间的性质。注意尽管紧致性是集合自身（和它的拓扑）的性质，闭合性是相对于它所在的空间的；上面的“闭合”是在闭合于R中的意义上使用的。比如闭合在Q中的集合典型的不闭合在R中