要超越上述纯粹符号操作水平去理解群，必须采用更加结构性的概念。有一个概念性原理位于所有下列概念的底层：要发挥群提供的结构（而无结构的集合就没有）的优势，与群有关的构造必须与群运算"兼容"。下列概念中以各种方式表现了这种兼容性。例如，群可以通过叫做群同态的函数相互关联。根据上述这个原理，要求它们以精确的意义照顾到群结构。群的结构还可以通过把它们分解成子群和商群来理解。“保持结构”的原理是在数学中反复出现的一个主题，它是靠范畴来工作的一个实例，在这里的情况下靠群范畴。
群同态.群同态是