预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几里德几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。高斯的老师布吕特内尔与他的助手马丁·巴尔特斯很早就认识到了高斯在数学上的天赋，当时普鲁士元帅卡尔·威廉·斐迪南也对这个天才儿童留下了深刻印象，并与布吕特内尔从高斯14岁起资助其学习与生活。这也使高斯能够在公元1792年进入Carolinum学院（今天布伦瑞克工业大学的前身）学习，并在那里开始对高等数学作研究：独立发现二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反