一个元素 "e"，而不是一个截面。"e" 沿着 "γ" 的平行移动是把 "e" 扩张成 "γ" 上一个“平行”截面 "X"。更确切地，"X" 是 "E" 沿着 "γ" 惟一的截面使得：注意到，在一个局部平凡化中（1）定义了一个常微分方程，（2）给出了初始条件。从而由柯西-利普希茨定理保证了解的存在惟一性。从而联络 ∇ 定义了纤维的元素沿着曲线移动的一种方式，这便给出了沿着曲线上点的纤维之间的线性同构：从 γ("s") 上的向量空间到 γ("t") 上的向量空间，这个同构称为与曲线关联的平行移动映射。