成熟的；对这个事态的反映是很多有关群论的概念，比如中心和交换子，描述了一个给定群不是阿贝尔群的程度。
对称群."对称群"是由给定数学对象的对称组成的群，对称源于它们的几何本性（比如前面介绍的正方形的对称群）或源于代数本性（比如多项式方程和它们的解）。概念上说，群论可以被认为是对称性的研究。 数学中的对称性极大的简化了几何或分析对象的研究。群被称为作用于另一个数学对象"X"上，如果所有群元素进行某个在"X"上的运算兼容于群定律。在下面最右侧例子中，7阶的（2,3,7）三角群的一个元素