角和与π的差为该三角形的角亏，则该三角形的面积等于该三角形的角亏乘以 R²，而formula_4。故所有三角形的面积均小于等于πR²，且等号成立若且唯若该三角形为理想三角形。
圆与球.以下的圆或球半径皆为 r ，并且 K 代表高斯曲率， R 代表 formula_8双曲几何中圆的周长为formula_9因为sinh x的泰勒展开式为formula_10于是，对所有正实数 x＞0，formula_11，推得 formula_12故圆的周长必大于 formula_1