有界子集，不会改变其测度。不过，新测度无需有勒贝格测度的σ可加性（可数无限可加性），就是可数无限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。他只要求新测度满足较弱的有限可加性，就是有限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基后来的研究，发现了维度不小于3的formula_1中，任意两个有内点的有界子集，可以将其一分成有限块，再移动拼合成另一个，这就是着名的巴拿赫－塔斯基悖论。因此3维以上formula_1不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。冯纽曼研究他