集合论在内的现代数学公理化，使之更严谨和体系化；布劳威尔则认为集合论有瑕疵以至于并不实用。希尔伯特的学生赫尔曼·外尔站在对手布劳威尔一边，认为对无穷概念的过多研究意义不大，甚至是作茧自缚。希尔伯特认为外尔等人对发展集合论的保守观念会削弱数学。阿尔伯特·爱因斯坦将这场争论称为“蛙鼠之争”。
晚年.1943年，心情忧郁的希尔伯特在哥廷根去世。他死前感叹哥廷根大学的衰落：“数学？什么都没有了！”。希尔伯特的学生分布在世界各地。赫尔曼·外尔参与创建了普林斯顿高等研究院，在美国建立起