ula_80表示包含序列formula_64的等价类。设formula_72为包含所有等价类的集合，然后也在formula_72上定义加法和乘法：同样地，这两个运算是良好定义的。可以证明formula_86是一个域。我们可以把formula_49嵌入到formula_72——只要把有理数formula_89对应于formula_90便可。实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的：称一个实数是正的，即formula_91，当且仅当存在自然数formula_66和正有理数formula_8