以证明，如果formula_18存在且有限，则它一定是1。此外，在没有假设任何结果之下，他也证明当 x 足够大，formula_19会界在两个很靠近 1 的数字之间。虽然切比雪夫的论文没办法证明质数定理，但它对 formula_8 已经可以推论出伯特兰-切比雪夫定理：对任何大于 1 的正整数 n ，存在一个质数介于 n 和 2n 之间。1859年，黎曼提交了一篇关于质数分布的非常重要的报告《》，这也是黎曼在这个领域的唯一一篇文章。黎曼在报告中使用了创新的想法，将ζ函数的定义解析延拓到整个复数平面，并且将