基域扩张至更大的数域，多项式就可能会有根。如果扩张域足够大，多项式就必定会有根，而且根的数目和多项式的次数相等，这个扩张域就被称作此多项式的分裂域。若以上多项式的zh-hans:域; zh-hant:体从实数扩张至复数，则存在两个根：和，其中是虚数单位，定义为。考虑一个多项式及其分裂域。作用于分裂域上并保持基域和多项式的根的所有变换（在数学中称为自同构），被称为该多项式的伽罗瓦群。多项式的伽罗瓦群共含两个元素：恆等变换使每个复数维持不变，共轭则将替换为。由于伽罗瓦群并不改变基域的元素，所以多项式