空间"X"是集合"X"上的自由对象。这些性质是更广泛现象的实例，在其中离散结构通常自由于集合上。对于度量空间，事情更加复杂，因为依赖于所选择的态射有很多度量空间范畴。离散度量空间当然是自由的，在态射都是一致连续映射或连续映射的时候，但是这没有说对度量结构有价值的事情，只针对了一致或拓扑结构。与度量结构更有关的范畴可以通过把态射限制为利普希茨连续映射或短映射来找到；但是，这些范畴没有自由对象（在多于一个元素的时候）。但是，离散度量空间在有界度量空间和利普希茨连续映射范畴内是自由的，并且它在有界于1的度量空