:::等价命题.实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为公理。但一般而言，我们会首先承认LUB公理或"最小上界定理"，再由此出发证明其他等价命题。
最小上界性.最小上界定理，又称为上确界定理（LUB公理）。其内容是，如果实数的非空子集有上界，则它有最小上界。这个公理可以用来证明实数集是完备度量空间。有理数集不满足最小上界公理，因而就不是完备的。一个理想的例子是 formula_1。2 当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界 — 对于任何上界 formula_2，我们可以找