数学中，一个拓扑群"G" 的极大紧子群 "K" 是一个在子空间拓扑下是紧空间的子群，且是这些子群中的极大元。一个一般李群不一定有极大紧子群，但半单李群却一定存在，而且他们在理论中有重要地位。极大紧子群一般不是惟一的，但在相差一个共轭的意义下是惟一的——他们是本质惟一的。
例子.一个好例子是正交群 "O"(2)，是一般线性群 "GL"(2,R) 的极大紧子群。一个相关的例子是循环群 "SO"(2)，是"SL"(2, R)的极大紧子群。显然 "SO"(2) 在 "GL"(2, R