上的互相重叠的区间，可以在每个区间上构造突起函数，在半无限区间（formula_29和formula_30）上也可以，以覆盖整条直线，使得函数的和总是formula_31。根据前面所说，单位分解不适用于全纯函数；它们的对于存在性和解析连续的不同行为是层论的根源之一。作为对比，光滑函数的层趋向于不包含很多拓扑信息。
流形的光滑映射.光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数，定义在切向量上；它给出了在切