任何一个秩为的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵：其中的每个非零的对角元素formula_18都是首一多项式，并且整除下一个对角元素formula_19。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型（），所有的formula_18被称为原多项式矩阵的不变因子。如果将阶多项式矩阵看成以阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元替换为一个阶方块数值矩阵，而得到一个阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换：如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可