上面的内积理解为对角形式的度量。
流形上的霍奇星号.在一个 "n"-维定向黎曼或伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造，将得到 "k"-形式的霍奇对偶，是一个 "n- k" 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个L-范数。对 formula_35 的空间截面 formula_26 与 formula_27，其内积可写做（截面的集合通常记做 formula_39；里面的元素称为外 "k"-形式。）更一般地，在非定向情形，我们可以定义 "k"-形式的霍奇星号维一个