法国数学家奥利维耶·拉马雷（Olivier Ramaré）于1995年证明，不小于4的偶数都可以表示为最多六个素数之和。而莱塞克·卡涅茨基（Leszek Kaniecki）则证明了在黎曼猜想成立的前提下，奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年，陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。1997年，戴舍尔（Deshouillers）、埃芬格（Effinger）、特里尔（te Riele）与季诺维也夫（Zinoviev）证明，在广义黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。这一结果由两部分构