formula_39正式定义为积分，这个函数为对数是因满足对数的基本性质:这可以通过将定义了formula_42的积分拆分为两部份，并在第二部份中进行换元formula_43来证实:幂公式formula_46可如下推出:第二个等式使用了换元formula_48。自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：
导数.自然对数的导数为证明一 （微积分第一基本定理）:formula_58证明二: 按此影片设 formula_63设 formula