对此问题实际的证明过程。与此同时，人们也努力地寻找三维空间里任何可能的装球方法的上界。英国数学家在1958年给出了一个78%的上界，之后数学家的努力稍微缩减了此数值，唯此数值距离面心立方密度的数值，也就是上述的74%左右的数值，依旧有一段距离。项武义在1993年和2001年曾宣称自己借由几何的方法，证明了克卜勒猜想。然而嘉伯‧费耶斯‧托特（拉斯罗‧费耶斯‧托特的儿子）却在看此文后，说道：「在考虑细节后，我认为其证明许多关键性的陈述都没有可接受的证明。」黑尔斯在1994年丢出了对项武义证明较为详尽