的证明被其他数学家完善。其方法包括证明了不完全凸的封闭曲线的话，能以「翻折」凹的部分以成为凸的图形，以增加面积；不完全对称的封闭曲线能以倾斜来取得更多的面积。圆，是完全凸和对称的形状。可是这些并不足以作为等周定理的"严格"证明。1901年，阿道夫·赫维兹凭傅里叶级数和格林定理给出一个纯解析的证明。
证明.以下给出一个较初等的证明，分5步。设一条长度为P的封闭曲线围成的区域的最大面积为A，亦以A、P来标记该区域及其边界；那么该图形应当满足如下性质：1、A是一个凸区域。