内向外翻。值得注意的是，我们有办法在不割开、撕裂或制造折痕的前提下，连续且光滑地将球面由内向外翻（有可能产生）。 这对非数学家甚至是了解的人来说都十分意外，并可以被视为一种真诡论：乍看下是假，实际上为真。更准确地说，令为标准嵌入，则有一个定期同伦的浸入使得"ƒ" = "ƒ" 且 "ƒ" = −"ƒ。"
历史.无折痕球面外翻的存在性证明是由史蒂芬·斯梅尔于1957年率先完成。虽然已经有一些电脑动画帮助人们想像，但很难提供这种翻转的动画片。第一个展示性的例子经过数位数学家的努