是把它们定义为无穷级数的和。一般地：对于0.999…来说，我们可以使用等比级数的收敛定理：由于0.999…是公比为formula_15的等比级数的和，应用以上定理，很快就可以得出证明了：这个证明（实际上是10等于9.999…）早在1770年就在瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的作品《Elements of Algebra》（《代数的要素》）中出现了。等比级数的和本身，是一个比欧拉还要早的结果。一个典型的18世纪的推导用到了逐项的操作，类似于以上的代数证明。直到1811年，Bonnycastle的教科书《