和收敛等概念。更抽象地说，每个半赋范向量空间都是一个拓扑空间，其拓扑结构由它的半范数诱导。在赋范向量空间中，完备的赋范向量空间特别重要，称为巴拿赫空间。每个赋范向量空间都是一个巴拿赫空间的稠密子空间，这个巴拿赫空间由此赋范向量空间唯一确定，称为它的完备空间。在拓扑的角度来说，有限维的向量空间上的任意两个范数都是等价的，即它们诱导出相同的拓扑结构（尽管由它们各自定义的度量空间并不相同）。由于欧几里得空间是完备的，我们可以推出每个有限维的赋范向量空间都是巴拿赫空间。实际上对自然拓扑来说，任意有限维的赋范