正交群被分为两个部分；因为投影映射分裂，"O"("n")是"SO"("n")与"O"(1)的半直积。用实用术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成，如我们在2×2矩阵中看到的。如果"n"是奇数，则半直积实际上是直积，任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。现在考虑 ("n"+1)×("n"+1)右底元素等于1的正交矩阵。最后一列（和最后一行）的余下元素必须是零，而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是"n"×"n"正交矩阵；因此