群。可以证明，如果某个群可解，那么其任一正规子群以及其对应的商群都可解。给定上一个一般的五次多项式，它在上的伽罗瓦群是formula_8，而formula_8不是交换群，它唯一的非平凡正规子群只有次交替群formula_19。而formula_19是单群，它的正规子群只有平凡子群。而这时候formula_19对平凡子群的商群（即它自身）不是交换群。所以formula_8不是可解群。因此一般的五次多项式代数方程不可解。对于一般的更高次的多项式，使用类似的论证，可以从formula_23（大于5）是不交