其中formula_5，formula_6。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角（保持角度不变）的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。
复共轭的独立性.方程组有时也被写作一个方程其中微分算子formula_8定义为在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为"f"独立于变量formula_10。
复可微性.柯西-黎曼方程是函