–"f"，也可推出"f"的下界和最小值的存在。我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。证明极值定理的基本步骤为：
有界性定理的证明.假设函数"f"在区间["a","b"]内连续且没有上界。那么，根据实数的阿基米德公理，对于每一个自然数"n"，都存在["a","b"]内的一个"x"，使得"f"("x") > "n"。这便定义了一个序列{"x"}。由于["a","b"]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{"x"}的一个收敛的子序列{formula_