圈都可被收紧至一点。庞加莱猜想考虑的是更高维的情况：一个闭的三维空间，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么拓扑地看，这个空间是否就是球面。它的数学陈述为：一个单连通三维闭流形同胚于三维球面。这一猜想是三维流形的分类问题的核心。1962年，斯蒂芬·斯梅尔证明了庞加莱猜想在五维以上的等价结论，四维的情况则在二十年后被zh-cn:迈克尔·弗里德曼; zh-hk:米高·佛利民; zh-tw:麦可·弗里德曼;证明，但数学界始终对三维流形束手无策，而我们所处的宇宙是一个三维流形，更显现出问题的重要。