ula_9是素数当且仅当：或以下给出这些条件的证明。必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数formula_15，formula_16。现在，formula_17是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数formula_18的乘积。根据素数的定义，如果formula_15是素数，则它可以整除formula_20，对于某个formula_21。另外，formula_22可以整除formula_23，因此formula_24。于是现在只