数，可验证：与前述两例不同的是，三维向量的叉积不满足结合律，即一般来说 formula_44 不成立，亦不存在单位元，即不存在向量 formula_36 使得对任意向量 formula_37 皆有 formula_47。带叉积的三维向量空间是一个李代数。
定义.以上三例中，乘法运算皆满足双线性性而不一定满足交换律或结合律或存在单位元。以上三例的共同点，概括为域上的代数，定义如下：设 formula_48 为域，formula_49 为 formula_48 上的向量空间，其加