内的凸函数"f"在"C"内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果"C"是闭区间，那么"f"有可能在"C"的端点不连续。一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有"x"和"y"，都有"f"("y") ≥ "f"("x") + "f" '("x") ("y" − "x")。特别地，如果"f" '("c") = "0"，那么"f(c)"是"f"("x")的最小值。一元二阶可微的函数在区间上