的数学定理指出在多数人熟悉的可测集合之外，还有更多更多的不可测集合。对于三维以上的情形这个悖论依然成立。但对于欧几里得平面它不成立。（以上叙述不适用于三维空间的二维子集，因为这个子集可能具有空的内部。）同时，也有一些悖论性的分解组合在平面上成立：一个圆盘可以分割成有限块并重新拼成一个面积相同的实心正方形。参见塔斯基分割圆问题。这个悖论表明如果等度分解的子集被认为具有相同体积的话，就无法对欧几里得空间的有界子集定义什么叫做“体积”。证明是基于费利克斯·豪斯多夫早些时候的工作。他10年前发现一个类似