a_1是卡迈克尔数，若且唯若formula_1无平方数因数且对于所有formula_1的质因数formula_9，formula_10。这个定理即时说明了所有卡迈克尔数是奇数。Korselt虽然发现了这些性质，但不能找到例子。1910年罗伯特·丹尼·卡迈克尔找到了第一个兼最小的有这样性质的数——561。formula_11，无平方数因数，且2|560 ; 10|560 ; 16|560 。之后的卡迈克尔数：（）J. Chernick 在1939年证明的一个定理，可以构造卡迈克尔数的一个子集。