f=0的函数称为调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆算子中的一个重要例子。拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如，常用于波方程的数学模型、热传导方程、流体力学以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛丁格方程式中的动能项。拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如和边缘