a_9。如果一个圈同时具有左可逆和右可逆性质，则称其有 可逆性质。可逆的圈同时也拥有反自同构逆性质和弱可逆性质。实际上，满足以上四个性质中任意两个的圈都是可逆的，而满足前三个性质之一的圈都是双边可逆的。
态射.一个拟群或圈同态是两个拟群（圈）之间的映射："f" : "Q" → "P" 满足 "f"("xy") = "f"("x")"f"("y")。 拟群同态保持了左右除法以及单位元（如果有的话）。
同伦与同痕.设 "Q" 和 "P" 为拟群，一个从