学归纳法来验证对于所有"i"，都有formula_5：最后一个步骤可从formula_8推出。在两个部分中，我们都将用到这个结果。
充分性.我们希望证明formula_9意味着formula_10是素数。我们叙述一个利用初等群论的证明，由J. W.布鲁斯给出。 假设formula_11。那么对于某个整数"k"，有formula_12，以及：现在假设"M"是合数，其非平凡素因子"q" > 2（所有梅森素数都是奇数）。定义含有"q"个元素的集合formula_14，其中fo