尔簇的工作中，就已考虑过黎曼曲面上的闭曲线是否为一块区域的边界的问题；根据斯托克斯定理，闭形式在这类闭曲线上的积分恆为零，而这类曲线的多寡显然牵涉到曲面的拓扑性状。黎曼依此定义了「连通数」——用现代的语言表述即是formula_12，此量关系到黎曼曲面的亏格，直观地理解便是曲面上有几个「洞」。庞加莱在1895年的经典论文"Analysis Situs"及其后续工作真正奠定了代数拓扑学的基础。他考虑的对象是后来所谓的单纯复形，这类空间在同胚的意义下可剖分为多面体，它包含了微分拓扑中处理的大多数有限维空间。