。一个有限有序集合 "X" 的所有的下闭集合 "Y" 等于包含 "Y" 的所有极大元的最小下闭集合："Y" = ↓Max("Y")，这里的 Max("Y") 指示包含 "Y" 的极大元素的集合。有向下闭集合叫做序理想。任何上闭集合的极小元形成一个反链（antichain）。反过来任何反链 "A" 确定一个上闭集合 {"x"：对于 "A" 中某个 "y", "x" ≥ "y"}。对于满足降链条件的偏序，在反链和上闭集合之间这种对应是一对一的，但对于更一般的偏序这不为真。
序数.