开球，其并集覆盖 "M"。因为这些球为有限个，所以该空间的直径亦为有限值，从而得出(使用三角不等式)所有完全有界空间都是有界的。但逆命题不成立，因为任何无限集合均可给定其离散度量(上面第一个例子)，使得该空间是有界的，但不是完全有界的。须注意，在讨论实数空间的区间及欧氏空间的区域时，有时会将有界集合指为「有限区间」或「有限区域」。不过，有界性与「有限」之间一般并无关连；有限通常意含着有界，但反之不一定成立。
紧致空间.度量空间 M 是紧致的，若每个 M 内的序列均有个子序列，会