formula_48 且 formula_49 恆非零，因此可定义乘法逆元 formula_50。于是 formula_40 是局部环，其唯一的极大理想是所有在 formula_34 点取零的函数，剩余域则是 formula_53。类似想法可施于微分流形、解析流形或复流形，稍作修改后亦可推广至代数簇与概形。在代数几何与复几何中，假设适当的有限性条件（例如凝聚性）， 若一陈述对某一点的芽成立，则在该点的某个开邻域上皆成立；就此而论，局部环集中表现了一点附近的"局部性质"。在交换代数中，局部化的技