非负，则这种表出是唯一的。
旋转操作的复合.显然有：于是两个旋转操作的复合，只需要将对应的单位四元数相乘，这一点比欧拉角表示要简单。
与超球面、典型群、自旋群的关系.首先很容易看到，单位四元数与3-球面（或三维实射影空间，RP）同构。其次，根据单位四元数的矩阵表示，我们又知道，存在一个单位四元数到特殊正交群 SO(3) 的同态，但这不是同构。给定一个角 ， 2π+ 与 对应的正交矩阵相同，但是由欧拉公式给出的单位四元数不同（恰好相反）。实际上，这