ahaney在1982年利用这个证明了如果任何稀疏语言是NP-完全, 则 P = NP (这就是Mahaney's theorem). 在1991年， Ogihara和Osamu提出一个基于left-sets的比较简单的证明。 EXPTIME ≠NEXPTIME若且唯若存在任何属于NP的稀疏语言不属于P。 在1999年，基于之前Ogihara的证明，Jin-Yi Cai和D. Sivakumar证明出若存在任何稀疏语言是P-完全 问题，则L = P.