O'Bryant) 证出了上述的下界 ，其证明建基于贝哈连德（Felix Behrend)、，以及埃尔金（Michael Elkin) 先前的成果。上界由高尔斯证出。对于较小的 "k," 可以找到比起一般情况更紧的上下界。当 "k" = 3 时，布尔甘、希思-布朗 (Roger Heath-Brown)、塞迈雷迪，以及依次给出了愈来愈好的下界。目前所知的上下界为两边的界限分别由欧布莱恩 和布鲁姆（Thomas Bloom) 给出。当 "k" = 4 时，和陶哲轩 证明了存在 "c" > 0 使