把 "F"（排除0）的乘法群写为 "F"，则行列式是群同态这个映射的核就是特殊线性群。通过第一同构定理我们得出GL("n","F")/SL("n","F") 同构于 "F"。事实上，GL("n", "F")可以写为SL("n", "F")与 "F"的半直积：在 "F" 是 R 或 C 的时候，SL("n")是 "n" − 1维的GL("n")的李群。SL("n")的李代数由所有在 "F" 上的 "n"×"n" 矩阵构成带有成为零的迹数。李括号给出为交换子。特殊线性群SL("n", R)可以被刻画为