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历史.无折痕球面外翻的存在性证明是由史蒂芬·斯梅尔于1957年率先完成。虽然已经有一些电脑动画帮助人们想像，但很难提供这种翻转的动画片。第一个展示性的例子经过数位数学家的努力才完成，包括弗拉基米尔·阿诺尔德和盲人数学家。另一方面，证明这样的「翻转」存在容易多了，这就是斯梅尔证明的事。刚开始斯梅尔的博士指导老师拉乌尔·博特告诉他这件事显然是错误的。他的推论是，映射度的高斯映射必须保存在这种「翻转」—特别地，这表示在R没有这种S的翻转。但在R中，