::::必要性.该定理的必要性比较显然，实用价值也比较小。事实上，由紧度量空间 "X" 到完备的度量空间 "Y" 的任何一列连续映射序列 {"f"} 如果在 "X" 上一致收敛，那么它收敛到一个连续映射 "f." 由紧度量空间上，连续映射 "f" 的一致连续性和收敛的一致性，可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质，可以推出该序列完全有界。若集合 "F" 中的映射不一致有界，则由定义，对任意 "n"∈N, 存在 F 中的映射 "f"，其范数大于"n", 于是 {