在formula_7中由六条等夹角线组成的系统，它们都相交于一点，两两之间都夹着锐角formula_17。±"v"，...，±"v"向"A"的√5-特征空间的正交投影形成了正二十面体的12个顶点。<br>正二十面体另一个直接的构造用到了交错群"A"的群表示论方法，它直接利用了正二十面体的等距同构。
半正涂色和子对称群.作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有