mula_31而曲线formula_32以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：曲线下面积:formula_33由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：这个方法的拓展即积分判别法。
反证法.假设调和级数收敛 , 则：formula_35但与formula_36矛盾，故假设不真，即调和级数发散。
发散率.调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前10项的和还不