一个R。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以所有取值为0并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间）。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。向量场是从流形到它的切空间的并集（切丛）的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给