一组整数解x，y满足formula_6，formula_7（引理一）至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。
证明.根据上面的四平方和恆等式及算术基本定理，可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。formula_8，因此只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。根据引理一，奇质数formula_9必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中，必存在一个最小的。设该数为formul