定义双曲复数，考虑数formula_42，其中formula_43是实数，而量formula_44不是实数，但formula_45是实数。选取formula_46，得到一般复数。取formula_47的话，便得到双曲复数。而双曲复数有对应的欧拉公式:formula_48其中j为双曲复数。因此双曲cis函数得到的值为双曲复数，相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。如此一来，值域将会变成四元数。
cas函数.cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一