作出证明时并不知道鲁菲尼的工作。他的证明过程与鲁菲尼大体相似，但包括了鲁菲尼没有注意到的关键一步的证明。阿贝尔将此证明寄给德国大数学家高斯，然而后者以为是恶作剧，甚至没有拆封，也没有回应。1826年，阿贝尔得到挪威政府资助，带着更为完整的证明版本到柏林和巴黎游学，然而仍然没有受到重视。1828年，阿贝尔的工作开始被数学界认知，但已经回到挪威的阿贝尔对此几无所知。由于染上肺结核，阿贝尔在1829年4月6日去世。鲁菲尼和阿贝尔的证明思路大致相同，以下只介绍阿贝尔的证明。其思路是使用反证法来证明五次或以上方程