纯形对象称为单纯形集合（及其对偶上单纯形集合）。对单纯形集合可定义其几何实现，这是一个CW-复形。对于来自一个源自拓扑空间的单纯形集合，几何实现不外是将空间「拼回去」；而对源于代数构造的单纯形集，几何实现则能用以构造分类空间。在单纯形集合上可以抽象地开展同伦论的研究。另一方面，若取formula_67为一阿贝尔范畴，对任一单纯形对象formula_33皆可定义一个链复形formula_85。此时单纯形对象与链复形的关系由以下定理阐明：Dold-Kan对应定理（1957年）。函子formula_50给