符合任意特定条件的物件的组合，但此假设会造成悖论。最简单及着名的是罗素悖论及布拉利-福尔蒂悖论。公理集合论的形成就是为了避免这些集合论的悖论。许多数学家研究的公理集合论系统假设所有的集合形成累计层次。这类的系统可分为二类：可以修改上述系统，允许基本元素（urelement）的存在，基本元素不是集合，因此本身也没有成员，但基本元素可以是其他集合中的成员。新基础集合论的系统NFU（允许基本元素）及NF（不允许基本元素）不是以累计层次为基础，NFU和NF有一个「包括所有物件的集合」，此外，每个集合都有