斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个：第一逼近定理可以推广至formula_2上的有界闭集设formula_3为周期为formula_1的连续函数，定义formula_5为一三角级数。
证明.首先证明formula_6，为一个正交函数系：formula_7formula_8(因为formula_9)。故令formula_10，于是我们可以求出formula_11。将formula_12代入 formula_13