扩张Q(√3)/Q，其中Q是有理数域，而Q(√3)是在Q中加入√3之后所得到的域。在第二个例子中，我们研究的是域扩张Q("A","B","C","D")/Q。现代的方法比起置换群的方法，有几点优势：
可解群和根式解.群论中可解群的概念让我们得以确定多项式何时有根式解。有根式解的充要条件是其分裂域formula_13对基域formula_14的伽罗瓦群可解。简言之，取此伽罗瓦群的任一合成列，透过伽罗瓦理论基本定理，合成列对应到一族子域formula_15，各段formula_16