替换地定义为有限秩算子在算子范数意义下的闭包。这一性质对于巴拿赫空间（渐进性）是否成立是多年来未解决的问题; 最后Per Enflo给出了一个反例。紧算子理论的起源于积分方程理论，积分算子给出这样算子的具体例子。 典型的Fredholm积分方程给出函数空间上的紧算子"K"; 紧性由等度连续性得出。 利用有限秩算子近似是数值求解这种方程的基本方法。 Fredholm算子的抽象概念也由此得出。
等价描述.有界算子"T:X→Y"是紧的，当且仅当以下任一项为真注意到如果线性算子是紧的