趋于零的速度比formula_7快或与之相等，那么formula_5满足以下关系：和其中formula_11表示柯西主值。因此可析函数的实部和虚部并不独立：函数的一部分可以重建整个函数。
推导.推导克喇末-克勒尼希关系式是留数定理的基本应用。对任何复面上半可析函数formula_12和实数formula_1函数formula_14在复面上半可析。留数定理得到对任何在复面上半的积分路径： 选用实轴上的路径、跳过任何实轴上极点、再以复面上半圆完成。把积分分解成三部分。其中半圆部分