ula_47是有限维的。若 线性映射"f"表示作其对formula_44的基之矩阵formula_53 ,则formula_54表示作其对formula_55的对偶基之转置矩阵。若formula_56是另一线性映射，则formula_57。在范畴论的语言里，"为任何向量空间取对偶"及"为任何线性映射取转置"都是向量空间范畴的逆变函子。
双线性乘积及对偶空间.正如所见，如果formula_3拥有有限维度，formula_3跟formula_5是同构的，但是该同构并不自然；它