展出向量和矩阵）。不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量（"a"）和向量（"bi + cj + dk"）的组合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（"Elements of Quaternions"）于他死后不久出版，长达八百多页。
用途争辩.即使到目前为止四元数在某些领域