为更好的理解定理的含义, 设想两个旅行者在一座山峰的同一位置.其中一个人很大胆, 决定从坡度最大的地方走. 另一个人比较保守; 他不想向上爬, 也不想走下去, 选择了一条在同一高度的路. 上面的定理就是说, 这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的.证明. 设所考虑的点为 x . 通过点 x 的水平集是 {x | "f"(x) = "f"(x)}. 考虑一条通过点x并且属于水平集的曲线 γ("t") , 不妨假设 γ(0) = x.从而得到使用链式法则, 在 "t" = 0 处微分. 我们发现