射的定义，则可形成一个有效的范畴，且所有在范畴论中导出的结论都可应用在这个数学概念之上。范畴最简单的例子之一为广群，其态射皆为可逆的。群胚的概念在拓扑学中很重要。范畴现在在大部分的数学分支中都有出现，在理论电脑科学的某些领域中用于对应资料型别，而在数学物理中被用来描述向量空间。范畴论不只是对研究范畴论的人有意义，对其他数学家而言也有着其他的意思。一个可追溯至1940年代的述语「一般化的抽象废话」，即被用来指范畴论那相对于其他传统的数学分支更高阶的抽象化。
背景.研究范畴就是