，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：在概率密度函数"f"存在的情况下，该公式就变为：如果"X"是一个向量值随机变量，我们便取自变量"t"为向量，"tX"为数量积。R或R上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足"f"("x") = "f"(-"x")）是实数，因为从"x">0所获得的虚数部分与从"x"<0所获得的相互抵消。
连续性.勒维