但是一般的序数的类不一定是集合（例如，所有序数的类不是集合）。替代公理允许你把在 ω 中每个有限数 "n" 替代为对应的 ω + "n"，并保证替代所得的类是集合。注意你可以轻易地构造序同构于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理：取 ω 的两个复件的不交并，然后设第二个复件大于第一个便可。但这样所得的集合并不是一个序数，因为它在属于关系下不是一个全序。显然，若要确保可以指派一个序数给任意的良序集合，也要用到替代公理。类似的，若要确保可以指派一个基数给任意集合（冯·诺伊曼基数指派），我们也需要替代公理，