以用乘法算子来代表的线性算子，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换C*-代数的命题。参看谱分析中的历史观点。可以应用谱定理的例子有希尔伯特空间上的自伴算子或者更一般的正规算子。谱定理也提供了一个算子所作用的向量空间的标准分解，称为谱分解，特征值分解，或者特征分解。本条目中，主要考虑谱定理的简单情况，也就是希尔伯特空间上的自伴算子。但是，如上文所述，谱定理也对希尔伯特空间上的正规算子成立。
有限维的情况.
埃尔米特矩阵.