会将共线点（于同一线上的点）换成共线点，这称之为该平面的直射变换或对称性。一几何的直射变换会形成一个在置换下的群，而对法诺平面来说，该群 (PΓL(3,2) = PGL(3,2)) 有168个元素。
笛沙格定理与笛沙格平面.笛沙格定理在投影平面上是普遍有效的，若且唯若该平面可由如上述在除环上的三维向量空间所建构。此类平面称之为「笛沙格平面」，因吉拉德·笛沙格而得名。实（或复）投影平面与上述的三阶投影平面均为笛沙格投影平面的例子。无法依此方法建构的投影平面则称为非笛沙格平面，而上面的