量空间都是巴拿赫空间。实际上对自然拓扑来说，任意有限维的赋范向量空间都同胚于欧几里得空间R。一个赋范向量空间被称为局部紧致的，如果单位球formula_3 是紧集。由可知，一个赋范向量空间局部紧致当且仅当它的维数有限。实际上，这个定理证明了对任意的拓扑空间（不一定是由范数诱导的度量空间）都有这个结论。
线性变换和对偶空间.在赋范向量空间之间的线性变换中，最重要的是连续线性变换，赋范向量空间和连续线性变换一起构成一个范畴。范数自身，作为函数，是连续的。任意两个有限维的赋范向量