为万能公式的原因是利用formula_3的代换可以解决一些有关三角函数的积分。参见三角换元法。
万能公式的证明.由二倍角公式，有：formula_6再由同角三角函数间的关系，得出
几何证明.在单位圆内，t = tan("φ"/2)。根据 相似关系，formula_15，可得出显然formula_17。
双曲函数.此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用，由双曲线右支上的一点(cosh "θ", sinh "θ")给出。从(