元素。群中一个元素一定属于且仅属于一个类。如果群中没有元素与该元素共轭，则该元素自成一类。
例子和应用.群的例子和应用大量存在。起点是上面介绍过的整数的群 Z 带有加法作为群运算。如果把加法替代为乘法，就得到了乘法群。这些群是抽象代数中重要概念的前身。群应用于很多数学领域中。数学对象的性质经常是通过将群关联与数学对象关联，并研究相应的群的性质来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通过引入基本群创立了现在所谓的代数拓扑。通过这种连接方式，拓扑性质比如临近和连续转换成了群的性质。例如，