用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。
复代数曲线与黎曼曲面.复射影曲线可以嵌入formula_5维复射影空间formula_36。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以採复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。于是