数对任意实数formula_50都是收敛的，所以很好地定义了正弦和余弦函数。三角函数的级数定义经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。其他三角函数的级数定义：其中formula_55是伯努利数，formula_56是欧拉数。这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它