拓扑的角度来说，有限维的向量空间上的任意两个范数都是等价的，即它们诱导出相同的拓扑结构（尽管由它们各自定义的度量空间并不相同）。由于欧几里得空间是完备的，我们可以推出每个有限维的赋范向量空间都是巴拿赫空间。实际上对自然拓扑来说，任意有限维的赋范向量空间都同胚于欧几里得空间R。一个赋范向量空间被称为局部紧致的，如果单位球formula_3 是紧集。由可知，一个赋范向量空间局部紧致当且仅当它的维数有限。实际上，这个定理证明了对任意的拓扑空间（不一定是由范数诱导的度量空间）都有这个结论。Section::