formula_4 分别代表着在 "M" 和 "N" 上的二元运算。
自由原群.在一集合 "X" 上的自由原群 formula_5 是指由集合 "X" 产生出的「最一般可能的」自由原群（并没有任何的关系或公理在产生子上；详见自由对象）。自由原群可以用计算机科学中熟悉的词汇来描述，如同其树叶被 "X" 内的元素标示的二元树的原群，其运算是将树在树根上连结。因此，自由原群在语法学中有着很基本的重要性。自由原群有个泛性质，其内容为：若 formula_6 是一个从集合 "X" 映射