角度来看，埃尔米特矩阵（算符）代表可观测的物理量，因此，σ, "k"= 0,1,2,3的线性张成代表所有作用在二维希尔伯特空间的物理量所形成的空间。从包立本人的的研究来看， , "k"=1,2,3所代表的物理量是自旋在三维欧几里得空间中第"k"个座标轴的投影分量。
数学性质.三个包立矩阵可以共同用一种单一形式表达：其中是克罗内克"δ"函数。当"a"="b"时，其值为1；当"a"≠"b"时，其值为0。
本征值和本征向量.这些矩阵是对合的：其中"I"是