和相关系统中，这个定义是可行的。但是它在公理化集合论 ZFC 和相关系统中不可行，因为在这种系统中在等势下的等价类作为集合而言太大了。这是由于罗素悖论的原因，在 ZFC 中没有全集 "V"。Hatcher（1982）从一些基础系统，包括 ZFC 和范畴论推导出了皮亚诺公理。他也从弗雷格的 "Grundgesetze" 系统出发，使用现代符号和自然演绎谨慎的推导出这些公理。当然，罗素悖论证明了这个系统是不自恰的，但是 George Boolos（1998）和 Anderson 与 Zalta（2004）展