围成的双曲线扇形同formula_29对应的扇形，在formula_30时面积相同，这指出了双曲线从formula_31到formula_32的积分formula_33满足：1649年，将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将formula_35展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的着作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。
十八世