在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。
常见的例子.在以下例子中，假设所有的希尔伯特空间都是复数，尽管实际应用中大多是实数。
欧几里得空间.formula_1及其上的内积构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。
序列空间.更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设formula_3是一个任意集合，可以定义其上