。商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。如果"G"是阿贝尔群、幂零群或可解群，则"G" / "N"也是。如果"G"是循环群或有限生成群，则"G" / "N"也是。如果"N"被包含在"G"的中心内，则"G"也叫做这个商群的中心扩张。如果"H"是在有限群"G"中的子群，并且"H"的阶是"G"的阶的一半，则"H"保证是正规子群，因此"G" / "H"存在并同构于"C"。这个结果还可以陈述为“任何指标为2的子群都是正规子群”，并且它的这种形式还适用于无限群。所有群都同构于一个