带正面，箭头朝环带内；在旋转360°后，向量移到莫比乌斯带背面，箭头朝环带外。若再转360°（总和720°），才回到莫比乌斯带正面，并且箭头朝环带内，相应于咖啡杯与橡皮带的例子。
数学细节.三维空间中，上述的例子对应到SO(3)李群不是单连通的。我们可以展示亦是三维欧几里得空间中旋量群的特殊么正群SU(2)，其为SO(3)的双。若"X" = ("x","x","x")是R中的向量，则我们可以将"X"表示作具有复数元素的2 × 2矩阵注意到矩阵行列式的负值−det("X")正是"X