亦与调和级数的本质相关。当双曲角的值介乎formula_6，即为负值。双曲函数formula_7等採用双曲角作为自变量，因为採用双曲角作为自变量，在三角函数作类比的前提下，所有现有的三角函数都可以套用在双曲函数里。这亦使微积分的计算简化，因为可以使用实数作为变量。