formula_25而它的绝对值则是非负实数，定义为：formula_26注意formula_27，一般状况下不等于formula_28。四元数的乘逆可以formula_29算得。透过使用距离函数 formula_30，四元数便可成为同胚于 formula_31 的度量空间，并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数formula_32和formula_33皆有 formula_34。若以绝对值为模，则四元数可组成一实数 巴拿赫空间。
群旋转.非零四元数的乘