当范数非零时，"formula_17"有倒数，即 formula_24. 集合是单位元的集合。 全体分裂四元数的集合formula_26组成环 formula_27 ，其单位群为formula_28。全体formula_29的分裂四元数组成一个非紧致的拓扑群 formula_30，且与formula_31同构（见下）。历史上讲，分裂四元数早于凯莱的矩阵代数；分裂四元数(及四元数和双复数)引发了对线性代数的深入研究。
矩阵表示.令formula_13，考虑普通复数form