等价关系在formula_2（距离定义为绝对值时），formula_3中（距离定义为模），formula_4和formula_5中（对任意一个模）成立。在巴拿赫空间中，所有的子空间都是完备的度量空间，等价关系对任意一个模成立。在formula_6-赋范向量空间formula_7中，若距离定义为几何距离，则上面的推论中只有第一个成立，因为这不是完备空间。不过这时所有的柯西序列仍然收敛，只是序列极限属于formula_4而不是formula_7。如果数列formula_10收敛于formula_11,那么