以看作勾股定理一种形式。这里的formula_4仅指实数向量空间，而加入了如上定义的欧几里得结构后才称为欧氏空间；有些作者会用符号formula_47来标记之。欧氏结构使formula_47具有这些空间结构：内积空间、希尔伯特空间、赋范向量空间以及度量空间。
欧氏拓扑.因为欧氏空间是一个度量空间，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓扑空间。formula_47上的度量拓扑被称为是欧氏拓扑。欧氏拓扑中的集是开的当且仅当它包含了该集的每一点周边的开球。可以证明，欧氏拓扑等价于