柯西-施瓦茨不等式。赫尔德不等式可以证明formula_17空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明formula_17空间是formula_19空间的对偶。
证明.赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。如果||"f" || = 0，那么"f" "μ"-几乎处处为零，且乘积"fg" "μ"-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||"g"|| = 0也是这样。因此，我们可以假设||"f" || > 0且||"g"|| > 0。如果||