开始使用域扩张的理论，更严谨地表述伽罗瓦的理论，先将多项式的性质转化为域扩张中的性质，然后通过研究域扩张对应的自同构群，利用群论的知识来解析域扩张的结构，从而对多项式及其根的性质进行更深刻的刻画。给定域扩张，上的自同构里，在上平凡（即为恒等映射）的环自同构称为中的自同构。所有中的自同构组成一个群，称为域扩张的自同构群，简记为。自同构在上是恒等映射，因此不属于的元素在自同构的作用下仍被映射到不属于的元素上。如果存在的子扩张⊂⊂，则的自同构也构成一个群：。它是的子群，因为在平凡的自同构必然也在其子域上平