P"("x" − "y") = "Px" − "Py" = "Px" − "y" = 0，这证明了这个断言。上述论证利用 "U" 和 "V" 都是闭合的假定。一般的说，给定一个闭合子空间 "U", 不需要存在一个互补的闭合子空间 "V"，尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间，一维子空间总是有闭合的补子空间。这是 哈恩-巴拿赫定理的直接推论。设 "U" 是 "u" 的线性扩张。通过哈恩-巴拿赫定理，存在一个有界线性泛函 "φ"，使得 "φ"("u") = 1。算子 "P"("x")