，这给出了"x" + "x" = 0。类似的证明证实了布尔环是可交换的：而这产生了"xy" + "yx" = 0，它意味着"xy" = −"yx" = "yx"（使用上面第一个性质）。"x" + "x" = 0的性质证实了布尔环是在带有两个元素的域F上的结合代数，但只在这个方向上。特别是，任何有限布尔环都有二的幂的势。不是所有的在F上的单作结合代数都是布尔环：比如多项式环F["X"]。任何布尔环"R"模以任何环理想"I"的商环"R"/"I"也是布尔环。类似的，布尔环的任何子环是布尔环。在布尔