师梅兰芳，母亲福芝芳是满族京剧演员。梅绍武孩提时在上海读书。抗日战争爆发后，梅兰芳远走英属香港避难，其妻子福芝芳带着孩子们在暑假去英属香港度假期。1941年，梅兰芳把儿子梅葆琛、梅绍武接到英属香港读书，受到了良好的西式教育，后来考取岭南中学。大日本帝国攻占英属香港之后，梅绍武离开英属香港去了贵州省贵阳市，在清华中学读书。1946年，梅绍武考取浙江省杭州市之江大学，在工程系读书。1947年，梅绍武考取燕京大学西语系，学习英语、选修法语和德语。1952年，梅绍武从燕京大学毕业，在北京图书馆工作。