表示论及物理中有重要应用．与  密切相关的是射影线性群 。这是将  中每个元素与它的负元素等同得到的商： 一些作者将这个群记做 ．这是一个单李群，包含模群 ．
描述.SL() 是 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群Sp() 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。商 PSL() 有多个有趣的描述：
线性分式变换.PSL() 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 formula_4 上：这类似于 PSL()