表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个阿贝尔和，可定义为一个整函数，并由此可知ζ函数是一个极点在"s" = 1的单极点亚纯函数。等价定义为：定义在复平面上实部为正的区域，该定义形式是一个Mellin变换。G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明：因此能将其扩展到整个复数域。
数值算法.大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单，合理的方法是应用交错序列的欧拉变换，得到：注意第二个求和里面是前向差分。
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