也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述：一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。
扩展到泛函分析.全纯函数的概念可以扩展到泛函分析中的无穷维空间。Fréchet导数条目介绍了巴拿赫空间上的全纯函数的概念。