次开平方运算，例如用八次割圆术得到 formula_54， 无论分子分母都比祖冲之密率的分子分母复杂，但还不如密率的分数表示准确。用十一次割圆术可得到和密率相当精确但比较复杂的分数，再通过调日法求得准确而又简单的分数式。调日法后传入日本。日本数学家关孝和（Seki, Takakazu, 1642-1708）在《括要算法》一书中称之为零约术，并用之得出圆周率的近似分数为 formula_55，正是祖冲之的密率。
黄金分割与斐波那契数列.黄金分割：用调日法求分数表示：分母1,