算符可以更进一步的用包立矩阵来表示：该算符有两个本征值，分别1和-1，这个算符可以用于代表某些哈密顿量的交互作用项，产生对称和反对称的本征态分裂的效果。
SU (2).
四元数与包立矩阵.的实数张成与四元数的实代数同构，可透过下列映射得到对应关系（注意到包立矩阵的负号）：另外一种方式的映射为将包立矩阵的次序反转既然单位四元数与为群同构，此亦代表包立矩阵也可用来描述。从到的2对1同态性，也可以用包立矩阵来表述。四元数构成可除代数——所有非零元素皆