达成方程的根构成的有理式。特别的，也可以表达为根的有理式。这一步结果也是鲁菲尼假设而未证明的。其后的一步是证明的核心。阿贝尔使用柯西的思想，揭露了作为根的有理式和系数的无理式之间的根本矛盾：如果，作为由方程的五个根的有理式，在方程的根取遍120个可能置换时只有少于5个的取值，那么它的取值个数是1或者2，而不可能是3或4。这个结果在群论中可以用formula_8的特性来解释。证明了这一点后，阿贝尔开始推出矛盾之处。首先，在所有置换下不可能只有一个值，否则方程只会有一个根，矛盾。其次，在所有置换下也不可能有