中的次序变得很重要——如果最后一个因子是formula_23而不是formula_24，从一个元素与其共轭的积的公式得不到一个实数。由与之前完全一样的原因，共轭运算产生了一个范数和任一非零元的逆。这个由约翰·格雷夫斯在1843年描述的代数被称为八元数或者“凯莱数”。由于八元数由独立的两个四元数组成，它们构成实数域上的8维线性空间。八元数的乘法比四元数还要奇怪。除了非交换，它还是非结合的：如果formula_16, formula_17和formula_27都是八元数，则并不总能得到Sec