mula_4是formula_1上的列维-奇维塔联络。方程左边为曲线在流形上的加速度向量，所以方程是说测地线是在流形上加速度为零的曲线，也因此测地线必定是等速曲线。以上方程用局部座标表示为其中formula_7是formula_1的黎曼度量的克里斯托费尔符号。
唯一性及存在性.给定流形上一点formula_9及点上一个非零的切向量formula_10，因测地线方程是二阶常微分方程，柯西－利普希茨定理指出存在区间formula_11，使得方程在此区间上存在唯一解满足初值条件f