证明.通过对导数的拉普拉斯变换定义积分得："如果"右侧的无穷积分存在，则积分的极限可以写作极限的积分，因此：通过令上面两个等式的右侧相等，两边同时消去 f(0) 得：
终值定理成立的例子.例如，一个传递函数为的系统，冲激响应收敛于即系统在受到一个短暂的冲激后回归零值。而单位阶跃响应的拉普拉斯变换为因此，阶跃响应收敛于于是一个零状态系统会按照指数增长到终值3。
终值定理不成立的例子.然而，对于传递函数为的系统，终值定理"