变半双线性形式是比较容易的，然而要判断这个形式是否正定却非常困难。对酉对偶进行有效的描述，哪怕只是对于实半单李群（见下文）等相对规整的群的情况，仍然是表示论中的一个重要的开放问题。这个问题对于许多特殊的群，例如2次特殊线性群 formula_212以及洛仑兹群等，已有解答。
调和分析.圆群 formula_208 与整数 formula_210 的对偶，或更一般地，formula_215 维环面 formula_216 与 formula_217 的对偶，在分析中以傅里叶级数理论的