一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。实现这个目标的主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。另一方面来讲，同调和上同调群是交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。
同调的结果.通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的"n"-阶同调群的自由阶等于"n"-阶贝蒂数（Bet