趣的是，圆环的面积也等于 π 乘以完全位于圆环内部的最长线段的长度一半的平方，这可由勾股定理证明。位于圆环内最长的线段必定和内圆相切，该线段的一半和半径 "r"、"R" 能组成一个以 "R" 为斜边的直角三角形。这个公式也可通过积分得到，将圆环分解成无穷个宽 dρ面积 formula_2 ( = 周长 × 宽) 的小环形，从 formula_3 到 formula_4 积分:
拓扑.在拓扑的意义上来说，平面内一个开环形是由一条简单闭曲线为外边缘和其内部一简单闭曲线为内边缘之间围