曼曲面，基本群同构于富克斯群，因而曲面可以由富克斯模型H/Γ构造，其中H是上半平面而Γ是富克斯群。H/Γ陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是formula_1,其中"g"是曲面的亏格；面积可由把高斯-博内定理应用到基本多边形的面积上来算出。前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样可定向。因为复图"f"和"g"有变换函数"h" = "f"("g"("z"))，我们可以认为"h"是从R开集到R的映射，在点"z"的雅可比矩阵也就是由乘以复数"h'(