以它的实部函数和虚部函数满足柯西－黎曼方程：所以以上的两个积分中的被积函数都是0，因而积分也是0：
推论.该定理的一个直接推论，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设formula_1是复平面formula_2的一个开子集。formula_3是一个formula_1上的全纯函数。函数formula_16在formula_1内的路径积分，只与积分的起点和终点有关，与中间经历的路径无关。假设，起点为，则可以定义一个函数formula_68其中的