:::証明.定义共轭动量"p"为"L"的偏微分则欧拉-拉格朗日方程给出即再定义哈密顿量"H"为"L"之勒壤得转换：则其中第二及第三项相抵，根据"p"之定义及欧拉-拉格朗日方程，第一及第四项亦相抵，所以给出贝尔特拉米等式：此亦是诺特定理的特例。
应用.若"L"独立于"x"，则贝尔特拉米等式说明"H"为一常数：此可用作求欧拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恆律解牛顿力学一样。"H"为常数给出"u"的一阶导数方程，而欧拉-拉格朗日方程则为"u"的二阶导数方程