rmula_3表示连续乘积，亦即n!=1×2×3×...×n。阶乘亦可以递回方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。除了自然数之外，阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），其与伽玛函数的关系为：阶乘应用在许多数学领域中，最常应用在组合学、代数学和数学分析中。在组合学中，阶乘代表的意义为n个相异物件任意排列的数量，例如前述例子，其代表了5个相异物件共有120种排列法。在正整数的情形下，n的阶乘又可以称为n的排列数。
历史.早在12世纪，印度学者就已有使用阶乘的概念来计算排列数的