面上是否有一个面积最小的区域"D"，在其中针可以旋转360度。挂谷宗一于1917年首次对于凸集提出此问题。Pál的研究显示，凸集的最小面积可以通过一个高为1和面积为1/的 等边三角形达到。挂谷似乎认为面积最小的没有凸性限制的挂谷集 "D" 将是一个三尖瓣线。然而这是错误的；还有较小的非凸挂谷集合。
贝西科维奇集合.贝西科维奇可以证明在其中单位长度的转针可以旋转一周的区域"D"的面积没有一个大于0的下界。 这个结论建立于他早期对于每个方向上包含单位段的平面集的研究。这样的集合现在