过基于双曲运动的一个发展来学习双曲几何的庞加莱半平面模型。
从爱尔兰根纲领的抽象的回归.经常，两个或者更多的不同的几何有同构的自同构群。这就产生了从爱尔兰根纲领的"抽象"群解读出具体的几何的问题。一个例子：可定向（也就是说，反射是除外的）椭圆几何（也就是，把n维球面相对点等同的曲面）和可定向球面几何（同样的非欧几里得几何，但是相对的点没有等同起来）有同构的自同构群，偶数"n"的"SO"("n"+1)｡这两个看起来不同。但是事实上，这两个几何紧密相关，以一种可以精确描述的方式。