∗ "H"同构于以"x"和"y"生成的自由群。设formula_3是群的一个族。用formula_4形成的字，也可以用上述操作简化为简约字。仿上可定义出formula_4的自由积formula_6。
展示.设是"G"的一个展示（"S"是生成元的集合，"R"是关系元的集合），又设是"H"的一个展示。那么即是"G" ∗ "H"是"G"的生成元和"H"的生成元所生成，而其关系是"G"的关系元和"H"的关系元所组成。（两者都是不交併。）
泛性质.设"G