证明了上式对于某类边界光滑的流形适用，其不具由两个连续参数给出的一族测地线（例如球面则具有如此一族测地线）。
外尔－贝里猜想.对于边界非光滑的情况，迈克尔·贝里于 1979 年猜想，修正值的量级应为其中 "D" 为边界的豪斯多夫维数。宝乐沙 (）和卡莫纳（）推翻了此猜想，但提出应将豪斯多夫维数改成顶盒维数（即上计盒维数）。在平面上，边界维数为 1 的情况已获证（1993 年），但大多数高维情况被否证（1996 年），两个结论都是和的成果。