给定在T"M"上的内积和R的标准内积在如下意义下兼容:对于T"M"中的所有向量"u", "v"。 这是偏微分方程(PDE)的不定系统。纳什嵌入定理是全局系统，因为整个流形嵌入到了R。局部嵌入定理要简单得多，可以在流形的座标邻域中用高等微积分的隐函数定理证明。这里给出的全局嵌入定理的证明依赖于纳什对隐函数定理的极大推广版本，Nash-Moser定理和带后处理(postconditioning)的牛顿法(见参考)。纳什解决嵌入问题的基本思想是采用牛顿法来证明该PDE系统有解。标准的牛顿法应用于该系统时不