作下不变，也就是给出旋转的旋转轴（当然也给出旋转的旋转轴），不妨取=，由四元数的欧拉公式我们马上知道，任给一个单位四元数，计算它的虚部，我们就马上可以知道转轴是什么。同时，根据四元数的正交矩阵表示，我们又可以马上得到，计算一个单位四元数的实部，它的反余弦值给出旋转角的一半。于是我们马上可以看到用四元数相对于正交矩阵表示的优势：在四元数表示下，计算转轴和旋转角变得异常简单。进一步地，这表明了三维空间中的每一个旋转都可以用单位四元数表出。若进一步要求 非负，则这种表出是唯一的。