，"R"是"X"上的全序关系，且"X"内每个非空子集在"R"下都有一个最小元素。若给定前八个公理，就可以找到许多个和第九个公理等价的叙述，最着名的则为选择公理，其叙述如下：令"X"为一非空集合，则存在一从"X"映射至"X"内成员的联集的函数（称为「选择函数」），可使得对所有的"Y" ∈ "X"都会有"f"("Y") ∈ "Y"。因为当"X"为有限集合时，选择函数的存在性很容易由前八个公理中证出，所以选择公理只在无限集合中有意义。选择公理被认为是非结构的，因为它只声明一个选择集合的存在，但完全不讲这个选择