和函数的一种卓有成效的办法是研究它们满足的不等式，其中最基本者当属极大值原理，由此可推出大多数其它不等式。另一个重要结果是刘维尔定理，它断言定义在整个 formula_1 上的有界调和函数必为常数函数。除此之外，还有柯西估计、Harnack 不等式与施瓦茨引理等几个重要的不等式。这些不等式的重要应用之一是研究一族调和函数或次调和函数的极限，这些收敛定理往往可用来证明存在满足某些特殊性质的调和函数。
函数空间.由于拉普拉斯方程是线性的，定域上的调和函数集构成一个向量空间。借着赋予