：如果γ : ["a", "b"] → "M"是黎曼流形"M"中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度"L"（γ）为（注意：γ'（"t"）是切空间"M"在γ（"t"）点的元素；||·||是切空间的内积所得出的范数。）使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形"M"很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在"x"与"y"两点之间的距离"d"（"x", "y"）定义为：虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是