H"的元素是以"G"和"H"形成的简约字，其上的运算是将两字接合后简化。例如若"G"是无穷循环群<"x">，"H"是无穷循环群<"y">，则"G" ∗ "H"的元素是"x"的幂和"y"的幂交替的积。此时"G" ∗ "H"同构于以"x"和"y"生成的自由群。设formula_3是群的一个族。用formula_4形成的字，也可以用上述操作简化为简约字。仿上可定义出formula_4的自由积formula_6。
展示.设是"G"的一个展示（"S"是生成元的集合，"R"是关系元的