，所有"n"×"n"正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是"n"("n"−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为"O"("n")｡行列式为 +1的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为2的"O"("n")正规子群，叫做旋转的特殊正交群"SO"("n")。商群"O"("n")/"SO"("n")同构于"O"(1)，带有依据行列式选择[+1]或[−1]的投影映射。带有行列式−1的正交矩阵不包括单位矩阵，所以不形成子群而只是陪集；它也是（分离的）连通的。所以每个正交群被分为两个部分；因为投影映射分裂，"O"("n