指示为 ↑"Y"。对偶的，包含 "Y" 的最小下闭集合使用下箭头指示为 ↓"Y"。下闭集合被称为主要的，如果它有 ↓{"x"} 的形式，这里的 "x" 是 "X" 的一个元素。一个有限有序集合 "X" 的所有的下闭集合 "Y" 等于包含 "Y" 的所有极大元的最小下闭集合："Y" = ↓Max("Y")，这里的 Max("Y") 指示包含 "Y" 的极大元素的集合。有向下闭集合叫做序理想。任何上闭集合的极小元形成一个反链（antichain）。反过来任何反链 "A" 确定一个上闭集合 {"x"：对于