基本定理从直线数轴推广到平面、空间，乃至一般的formula_3维空间中的曲线。梯度定理表明梯度场的曲线积分是路径无关的，这是物理学中“保守力”的定义方式之一。如果formula_4是位势，则formula_5就是保守向量场。上面的公式表明：保守力做功只和物体运动路径的端点有关，而与路径本身无关。梯度定理有个逆定理，是说任何路径无关的向量场都可以表示为某个标量场的梯度。这个逆定理和原定理一样在纯粹和应用数学中有很多推论和应用。
证明.设formula_4是个从formula