看似不同的）使用主齐性空间的原因，就是为了在域K上定义椭圆曲线E（以及更一般的交换簇）。一旦理解了这点，很多其它例子也是同样的情况，应用于其它的代数群：正交群的二次型，以及射影线性群的Severi-Brauer簇就是两个例子。 在椭圆曲线情况，对丢番图方程的意义，在于K可能不是代数闭的。可以存在曲线C，它在K没有点，而它在更大的域上同构于E，E按定义有K上一点作为它的加法律的么元。也就是，在这个情况我们应该区分亏格为1的C，和有一个K-点的椭圆曲线E（或者说，有一个解在K中的一个丢番图方程）。曲线C其实