ula_3 的卷积。由于 formula_4 是不，定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用柯西主值（这里记为formula_5）定义的。准确说来，函数（或信号） formula_2 的希尔伯特变换是：假设此积分作为主值存在。这就是 "u" 与缓增分布p.v. 1/"t" 的卷积（由于；参见）。另外，通过改变变量，主值积分可以显式地写为：若希尔伯特变换接连用在函数 "u" 上两次，结果就是负 "u"：假设定义两次迭代的积分都收敛。特别地，逆变换是 −"H"。可以通过考虑 "u"("t")