formula_18 可得到因为 formula_15 在 formula_22 是正值，所以formula_23 必须恆等于 0 ，与假设 formula_11 矛盾。故 formula_9 。
应用.这引理可用来证明泛函的极值是欧拉-拉格朗日方程式的弱解。欧拉-拉格朗日方程式在经典力学和微分几何佔有重要的角色。