"("x","y","z")、"R"("x","y","z")都是定义在“曲面连同其边界”上且都具有一阶连续偏导数的函数，则有：引进符号行列式，这个公式也可以写成以下形式：这个公式叫做  上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：它将ℝ³ 空间上“向量场的旋度的曲面积分”跟“向量场在曲面边界上的线积分”之间建立联系，这是一般的斯托克斯公式（在  时）的特例，我们只需用ℝ³ 空间上的内积把向量场看作等价的1-形式。该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆