象的，多数人关于它们的直观（事实上包括大部分术语）来自于具体范畴的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。
定义.一个范畴"C"由两个类给定：一个对象的类和一个态射的类。有两个操作定义在每个态射上，域（domain，或源）和陪域（codomain，或目标）。态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示，例如若一个态射"f"域为"X"而陪域为"Y"，它记为"f" : "X" → "Y"。所有从"X"到"Y"的态射的集合记为hom("X","Y")或者hom