_91是formula_81的元素，并且formula_93在formula_94中，则 这证明了一个阿贝尔群的所有自同态的集合formula_97形成了一个环，即formula_6的自同态环。例如，由两个formula_76的直积构成的阿贝尔群（克莱因四元群）的自同态群同构于带有formula_76内元素的formula_101 矩阵的环。上述兼容性还证明所有阿贝尔群带有群同态的范畴形成了预加法范畴；存在直积和良定义的核使这个范畴成为阿贝尔范畴的原型。