们可考虑一个交换环 "R" 上 "n" × "n" 矩阵（矩阵的大小限制为有限，因任何群可表示为任何域上一个无限矩阵群）。线性群（）是同构于一个域 "K" 上矩阵群的抽象群，换句话说，在 "K" 上有一个忠实有限维表示。任何有限群是线性的，因为利用凯莱定理可以实现为置换矩阵。在无限群中，线性群组成有趣且易于处理的一类。非线性群的例子包括所有“足够大”群；例如一个无限集合的无限对称群。
基本例子.在一个交换环 "R" 上 "n" × "n" 矩阵集合 "M"("n","n") 在