个结论（并其若干推广）是变分法中的基础。更抽象地说，凸泛函的最小值存在，也是因为希尔伯特空间 上的闭有界凸集均为弱紧集（因为 是自反空间）。弱收敛子序列的存在性是 的特殊情况。
希尔伯特空间的基.希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基，即其上的一族函数formula_53满足：有时也使用"标准正交列"或"标准正交集"指代。标准正交基的一些实例：