：可以证明其极限存在，而且其数值不会随所选择的矩阵范数种类而改变（这对任何矩阵范数都成立，不过若矩阵范数有次可乘性sub-multiplicative，更容易证明）。联合谱半径的概念是在1960年由麻省理工学院的两位数学家吉安-卡洛·罗塔及威廉·吉尔伯特·斯特朗发明，不过在英格丽·多贝西及的研究后，才开始受到注意，他们证明了联合谱半径可以用来描述特定小波函数的光滑性。之后就提出了许多相关的应用。目前已知联合谱半径的量值求值，不论是要计算或只是近似，在运算复杂度上都是NP困难，就算集合formula_3中