证明「对于每个反例，都有一个更小的反例元素」这句更为简单的陈述，就能得出矛盾，因为不可能再有比极小反例元素更小的反例。从而，原先有关整个集的陈述必须成立。
交换环、理想与模.诺特在1921年发表《环的理想理论》，（）首次写下了交换环的定义，为交换环论打下了基础。此前，在交换代数上的研究主要针对个别的交换环，如zh-hans:域; zh-hant:体上的多项式环和代数整数环等。诺特证明，若环的理想满足升链条件，则它的每个理想都是有限生成的。法国数学家克劳德·谢瓦莱于1943年