且仅当"p"("x")有根。但如果"q"("x") = "x" + "a""x"+ ··· + "a"，那么"q"("x")是以下友矩阵的特征多项式：
有理表达式的分解.域"F"是代数闭域，当且仅当每一个系数位于"F"内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为"a"/("x" − "b")的有理函数之和，其中"n"是自然数，"a"和"b"是"F"的元素。如果"F"是代数闭域，那么由于"F"["x"]内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。