射影平面会使用齐次坐标，或是在仿射空间中的非齐次版本，会令上述方程中的。"F"是以下三次的非零线性组合共有十个单项，因此三次曲线会在给定的任意域"K"中形成九维的。。若指定九个任意的点，通过其上的三次曲线可能会退化，也可能不唯一，不过若这九个点是在一般位置上，通过其上的三次曲线唯一，且不会退化，就像二点决定一直线，以及一样，若二条圆锥曲线通过相同的九个点，这些点会满足一些特殊的条件，可参考。牛顿曾研究三次曲线中的实数点。非奇异的投影三次曲线会落在一个或二个「卵形」内。其中一个卵形会和