定理，如但须注意，鲁菲尼并没有形式化群的概念，甚至也没有形式化置换群的概念。下一阶段的工作由埃瓦里斯特·伽罗瓦于1832年写出，但直到1846年才被公布。当时他第一次考量到的是现在被称为置换群的「封闭性」这个概念，他的叙述为置换群的理论到了奥古斯丁·路易·柯西与卡米尔·若尔当手上，得到了进一步的长远发展，两个人都引入了新的概念，并得到大量有关特别类型之置换群的结论，甚至有得到一些一般性的定理。其中，若尔当定义出同构的概念，虽然能在置换群的背景下。此外，也是他让「群」这个词得到了广泛的运用。群的抽象