rmula_30也群同构，后者可以从上面的复表示中得到。例如，用2×2实矩阵表示双曲运动群，见Karzel和Kist。在这两种线性表示中，范数由行列式给出。由于行列式是乘法映射，两个反四元数积的范数等于范数的积。这样反四元数就形成了合成代数。作为实数域上的代数，它是仅有的七个这样的代数之一。
由双曲复数生成.Kevin McCrimon展示了如何按照L. E. Dickson和Adrian Albert为formula_48、formula_40和formula_50给出的