是局部环时，极小分解的长度称作formula_27的投射维度，它相当于使下式成立的最小整数formula_55：对所有formula_33-模的投射维度取极大值，得到的数称为同调维度；同调维度等于formula_61若且唯若formula_33是正则局部环；在这个意义下，可以说极小分解反映了几何性质。合冲模也是计算代数几何中的重要方法。
嘉当-艾伦伯格革命.昂利·嘉当与塞缪尔·艾伦伯格在1956年出版的着作"Homological Algebra"标示了同调代数的成熟。书中的概