此定义了「连通数」——用现代的语言表述即是formula_12，此量关系到黎曼曲面的亏格，直观地理解便是曲面上有几个「洞」。庞加莱在1895年的经典论文"Analysis Situs"及其后续工作真正奠定了代数拓扑学的基础。他考虑的对象是后来所谓的单纯复形，这类空间在同胚的意义下可剖分为多面体，它包含了微分拓扑中处理的大多数有限维空间。庞加莱考虑一个单纯复形formula_13中各种维度的单纯形（零维的点、一维的线、二维的三角形、三维的四面体等等）的整系数线性组合，称之为链，它们构成一系列的阿贝尔群fo