9 ≡ 4, 3 ≡ 2,而3 ≡ 1。无限循环群同构于（Z, +），它是前面介绍的整数在加法下的群。因为这两个原型都是阿贝尔群，所以任何循环群都是。阿贝尔群包括有限生成阿贝尔群的基本定理的研究是非常成熟的；对这个事态的反映是很多有关群论的概念，比如中心和交换子，描述了一个给定群不是阿贝尔群的程度。
对称群."对称群"是由给定数学对象的对称组成的群，对称源于它们的几何本性（比如前面介绍的正方形的对称群）或源于代数本性（比如多项式方程和它们的解）。概念上说，群论可以被认为是对称性