::::应用.从上述例子可见，伽罗瓦理论基本定理的作用是将域扩张的中间域结构，转化为特定群的子群来描述。将难以用直接的方法刻画的中间域，和可以用群论中的成熟方法刻画的有限群子群对应起来。伽罗瓦基本定理的最初应用是在使用伽罗瓦理论证明五次或以上的多项式方程没有代数解求根公式的问题上。其证明的主要思路是将“开次方”的过程转化为“在基域中添加次方根”生成的域扩张。将多项式有代数解的问题转化为某个分裂域是否可以通过有限次特定的域扩张得到的问题。而这些域扩张是否满足条件，则可以由伽罗瓦基本定理将其转化为判定“特