分别为formula_45和formula_46，其中，formula_47
变化.
定义扩展.阶乘的定义可推广到复数，其与伽玛函数的关系为：伽玛函数满足formula_49，另一种定义扩展是阿达马伽玛函数，但由于其不在所有实数上皆能满足阶乘的递回定义，只有在正整数上满足阶乘的递回定义因此比较少被拿出来讨论。其后面的项formula_51只有在正整数的情形为零。也因为其有加上一项，也因此，此扩展在描述负阶乘时不会有除以零的情况，而使阿达马伽玛函数是一