贡献.他在还是学生时就研究了同调的对偶理论。他继续了这个研究，并为傅立叶变换的抽象理论打下基础，现在该理论被称为庞特里亚金对偶性。在拓扑学中，他提出了的基本问题。这导致在1940年左右引入了1个现在被称为的，当它位于一个作为边界的流形上时会消失为0。在其学术生涯后期，他研究了优化控制理论。他的最小化原理对于该课题的现代理论是基础性的。他也在该领域引入了起停式控制的思想，用于描述一些需在最大驱动力或是无驱动力二个条件下选择的系统。