造了霍普夫映射 formula_1，并通过利用圆周 formula_2 对任意 formula_3 的环绕数（=1），证明了 formula_4 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 formula_5 是由 formula_4 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（formula_7 奇）有理同伦群 formula_8 是零除非 "i" = 0 或 "n"。但对一个偶数维球面（formula_7 偶），在 formula_10 次处多出一个无限循环同伦。对此有一