域（今新疆），占籍大同（今属山西）。其父高亨，字嘉甫，移居燕京（今北京），“时皆知名士”。克恭自幼聪慧好学，博览经史，早年任工部令史，至元二十四年，官至监察御史；至元二十八年出任江浙省左右司郎中。大德元年 （1297年），迁山西、河北道廉访副使，二年担任江南行台治书侍御史，任上“兴学校，选真才”，大德三年为工部侍郎。六年任吏部侍郎。历官刑部主事、刑部侍郎、大名路总管、太中大夫。累官至刑部尚书，深得百姓爱戴。至大三年（1310年），病逝于燕京之南。工山水画，亦擅墨竹，山水师法米芾父子、巨然、李成等人，被虞