研究方向包括微分方程、力学、数学物理和概率论。李亚普诺夫以他在动态系统的稳定性方面做出的贡献而闻名，这一稳定性被命名为李雅普诺夫稳定性，另外他在数学物理和概率理论方面也作出了一定贡献。
早期生平.李亚普诺夫出生于俄罗斯帝国的雅罗斯拉夫尔。他父亲米哈伊尔·李亚普诺夫是一位天文学家，还是Demidovski学院的校长。弟弟谢尔盖是很有天赋的作曲家和钢琴家。另一个兄弟Boris钻研斯拉夫语族。幼时，李亚普诺夫读了许多俄文、德文和法文书籍，内容包括数学、天文、哲学、历史、民族志、政治经济学