典问题上的应用.伽罗瓦理论的诞生最初是由于如下的现在称之为阿贝尔-鲁菲尼定理的问题：伽罗瓦理论不仅对于这个问题提供了一个漂亮的解答，而且详细的解释了为什么四次及更低次方程有代数解，以及它们的代数解为什么是那样的形式。伽罗瓦理论还给出了一些有关尺规作图的问题的清晰洞察。它给出了所有可以尺规作图的长度比的一个优雅的描述。这样，一些经典几何问题的解答变得相对容易：
伽罗瓦理论的置换群描述.如果我们给定一个多项式，它的一些根可能是被不同的代数方程联系起来的。例如，有两个根"A"和