_8 是沿着向量场 "X" 的李导数。在局部坐标中，我们得到这里（下面同样如此）使用了爱因斯坦求和约定，所以上式其实是一个关于 "i" 的和式。一个数量函数 "f" 的梯度利用流形上内积 formula_10 可定义为对位于流形在 "x" 点的切空间中所有向量 formula_12 成立。这里 "df" 是函数 "f" 的外导数；它是变量 formula_12 的一个函数。在局部坐标中有综上，对一个数量函数 "f" 的拉普拉斯–贝尔特拉米算子在局部坐标中公式为这里 formula_16 是度