方程并不具有足够的光滑的解, 从而求解此类方程只能使用弱形式. 即使在方程确实具有可微解的情况下, 首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的.
一个具体的例子.作为弱解的说明, 考虑一阶波动方程.(其中的记号请参阅偏导数)其中 "u" = "u"("t", "x") 是两个实变量的函数. 假设 "u" 在欧式空间R上连续可微 , 在方程的两侧同时乘以一个具紧支集的光滑函数 "φ" 并积分. 得到使用富比尼定理和分部积分, 该方程化为以上的陈述表明:如果 "u"