"C", "C", "C"）及半径"r" 乃在R符合条件的所有点的集合：（"x", "x", "x", "x"）。 三维球面球心在原点，而半径是1的称为单位三维球面(unit 3-sphere)，常写作"S"：方便性上，常将R另外以复数C或四元数(quaternions)H等价表示。单位三维球面则可写为或最后一个表示法常是最有用的。其将三维球面描述为所有单位四元数（绝对值为1的四元数）的集合。正如同所有单位复数的集合在复数几何是重要的，所有单位四元数的集合在四元数几何中也是重要的。