辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中 formula_12-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了 formula_27 的整数环在 formula_28 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。