"，定义为("f" + "g")("x") = "f"("x") + "g"("x")，也是阿贝尔同态。（如果"H"是非阿贝尔群则这就不成立。）所有从"G"到"H"的群同态的集合Hom("G", "H")因此是自身方式下的阿贝尔群。某种程度上类似于向量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。它定义为群的线性无关元素的最大集合的势。整数集和有理数集和所有的有理数集的子群都有秩1。
有限阿贝尔群.整数模以"n"的循环群Z/"n"Z是最常见的群的例子。已证实了任意有限阿贝尔群都同构于素数阶的