。在集合论中，加法接着被拓展到逐渐广阔的集合上：整数，有理数，实数……（在数学教育中，正分数的加法通常在负数之前教授；这也是历史发展的路线。）
自然数的加法.目前有两种流行的方法用于定义两个自然数 和 的和。如果自然数被定义为有限集合的元素个数，那么 可以这样定义：设 为集合 中的元素个数。设 与 为不相交的集合且 且 。那么 定义为 （ 表示 和 的交集）。另一种方法是允许 与 相交并取它们的不交并集（一种允许公共的元素被分开计算两次的运算）。另一种流行的方法是递归：设 为