从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构通过庞加莱对偶性，这给出了 "H"("M") 与它的对偶空间的一个典范等价。
三维中的导数.formula_49 算子与外导数 formula_50 的组合推广了三维经典算子 grad、curl和 div。具体做法如下：formula_50 将一个 0-形式（函数）变成 1-形式，1-形式变成 2-形式，2-形式变成 3-形式（应用到 3-形式变成零）。1. 对一个 0-形式（formula_52），第一种情形，写成分量与 formul