备相容的运算，两相比较后可将指标定理化约到一个点的情形，此时极易证明。
热传导方程.阿蒂亚、博特 与 Patodi 在1973年给出了热传导方程手法的证明。格茨勒、伯利纳与弗尼在2002年给出一个精神相近的简化证明，其中利用了超对称的想法。设 formula_2 为偏微分算子，formula_39 为其伴随算子，则 formula_91、formula_92 是自伴算子，并具有相同的非零特征值（记入重数），但是它们核空间不一定有相同维度。formula_2 的指标写作在此