:formula_9，那么 可见formula_11。
历史上的证明.历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。formula_12的情况很早就为人所知，但对于一般的 formula_2，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明.1821年，法国数学家柯西在他的着作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明：
归纳法的证明.使用常规