点，并以6个线段与1圆圈表示7条线。不过，亦可等价地将小黑点视为「线」，并将线段与圆圈视为「点」。这为投影平面内对偶性的一个例子：若线与点互换，其结果仍为投影平面（见下文）。7个点的置换会将共线点（于同一线上的点）换成共线点，这称之为该平面的直射变换或对称性。一几何的直射变换会形成一个在置换下的群，而对法诺平面来说，该群 (PΓL(3,2) = PGL(3,2)) 有168个元素。
笛沙格定理与笛沙格平面.笛沙格定理在投影平面上是普遍有效的，若且唯若该平面可由如上述在除环上的三维向