热及黑体辐射时的失败，对表明需要一套物质及辐射的新理论（即量子力学及量子场论）起了关键性的作用。要说明均分的失效，可考虑一单（量子）谐波振荡子的平均能量，古典个案在上文已讨论过。它的量子能阶为"E=nhν"，其中"h"为普朗克常数，"ν"为振荡子的基本频率，而"n"则为一整数。某指定能阶正被置于正则系综的概率可由其波兹曼因子得出其中"β"=1/"k""T"，而分母中的"Z"为配分函数，此处为一等比级数则其平均能量为将"Z"的式子代入得最后结果：于高温时，当热能"kT"比能阶差"hν"大得多