七边形镶嵌之商，而曲面作为 Riemann 面或代数曲线的自同构也就是镶嵌的自同构。对于 Klein 四次曲面来说，这会得到一个 24 个七边形构成的镶嵌，因此群的阶为 24 × 7 = 168. 对偶地，它可以用 56 个等边三角形镶嵌，共计 24 个顶点，每个顶点度数为 7，成为7阶三角形镶嵌之商。 Klein 四次曲面在数学的多个领域都有出现，包括表示论、同调论、八元数乘法、Fermat 大定理和具有类数 1 的虚二次数域上的Stark 定理。
Mathieu 群.PSL