Situs》中尝试用他创造的拓扑相交理论去证明定理。波尔·赫高对这篇论文的批评，令庞加莱发现他的证明有重大错误。庞加莱在论文的附录首两篇中，用对偶三角剖份给出新证明。直至1930年代上同调概念出现，庞加莱对偶定理的现代形式才出现。爱德华·切赫和哈斯勒·惠特尼发明了杯积和笠积，用这些新概念表达庞加莱对偶定理。
现代形式.庞加莱对偶定理的现在形式是以同调和上同调给出：若"M"是闭有向"n"-流形，"k"是整数，则有从第"k"阶上同调群"H"("M")到第("n" − "k")阶同调