已由拉格朗日在1770年由四平方和定理证明。针对任意整数的例子由大卫·希尔伯特在1909年证明，不过运用的是代数的技巧，没有提出数字个数的上界。戈弗雷·哈罗德·哈代及约翰·恩瑟·李特尔伍德应用解析数论的工具处理此一问题，带来突破性的进展，他们用的工具称为圆法（circle method），可以针对函数"G"("k")（整数用"k"次方和表示时，需要的最小整数）提出具体的上界，例如维诺格拉多夫上界为
丢番图方程.丢番图方程和多项式方程的整解有关。有些研究可能是探讨解的分析情形，也就是