点足以完成对引理的证明。注意可以选择满足两个引理的formula_51，从而我们能得出矛盾。进而得以证明formula_47的超越性。
马勒的分类.在1932年把超越数分为3类，分别叫做S数、T数和U数。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。
实数的无理性度量.一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数formula_1，可以使得一次多项式formula_76尽可能小但不精确地等于 0 。这里的formula_77 , formula_78是满足for