_1的元素映成可逆矩阵，并使得群运算对应到矩阵乘法。表示论的妙用在于能将抽象代数问题转为较容易解决的线性代数问题。此外，群还可以表示在无穷维空间上；例如，若考虑无穷维希尔伯特空间上的表示，并要求一些连续性条件，此时表示论就牵涉到一些泛函分析的课题，数学分析的方法就可以用于解决群论的问题。表示论在自然科学中也有应用。对称性的问题离不开群，而群的研究又有赖于其表示，最明显的例子便是李群及李代数表示论在量子力学中的关键角色。表示论的一大特点是它遍布数学各个领域。这个特点有两个方面。首先，表示论的应用十分广