线上都是1，其它元素都是0的矩阵（见右图）。特征分解可以方便计算矩阵的幂次和多项式，如要计算formula_232：而其中对角矩阵的幂次formula_234要比formula_232容易计算得多。同理还可计算矩阵指数：formula_236（在线性微分方程中有应用）、矩阵对数和矩阵的平方根。为了提高算法的数值稳定性，还有舒尔分解等矩阵分解方法。
矩阵的推广.矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，也可以任意环或域中元素。在线性代数中，矩阵的性质可以经由有限维的线性空间中的线性变换