formula_32或formula_33的情况。关于超运算的一个未解决问题是超运算等级formula_34是否能推广到formula_35，以及formula_36是否能成为一个拟群。
从a开始的变体形式.1928年，威廉·阿克曼提出了一个三自变量的函数formula_12，后来发展为现有的两个自变量的阿克曼函数。初始的阿克曼函数与现在的超运算之间的区别更大，因为他当时使用了初始条件：对所有formula_38，有formula_39。另外他还将formula_40指定为加法