证明。
定理.设 "D" 为R × R 的一个开子集，以及一个连续函数：皮亚诺存在定理：定义在 "D" 上的一个一阶线性常微分方程（其中 formula_2）必然有局部解。也就是说，必定存在一个关于 formula_5 的邻域"I"，以及一个函数：
相关定理.皮亚诺存在定理可以和另外一个存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比较。相比起皮亚诺存在定理，皮卡-林德洛夫定理对函数 formula_8 的要求更严格，但结论也更强。皮卡-林德洛夫定理要求函数 f