代的语言可大致对应到「数论」、「方程理论」与「几何学」。李昂哈德·欧拉在他对费马小定理的推广中，想出数字模一整数的代数运算，即模运算。这些研究被卡尔·弗里德里希·高斯更进一步的推进，他考量了可交换群模 n 的剩余之结构，并建立起许多循环群与更一般的阿贝尔群之性质。在高斯对二元二次型复合的研究中，他明确指出了复合的结合律，但如同欧拉一般，比起一般性的理论，他似乎对具体的结论更感兴趣。1870年，利奥波德·克罗内克给出阿贝尔群在数体之理想类群的定义，扩展了高斯的成果；但他似乎没有将他的定义与之前跟群有关之成