拉斯曼的外代数发展为符合物理学家需要的向量微积分。为了实现这一目标，吉布斯分别定义了两个向量的数量积和向量积，并引入了并矢张量的概念。而英国的数学家和工程师奥利弗·亥维赛也在同一时期独立地进行类似的工作。吉布斯一直尝试去让物理学家们认识到向量分析相对于四元数分析的优越性。后者由威廉·哈密顿引入，当时被英国科学家广泛应用。这引起了他和等人在19世纪90年代初于《自然》杂志上的一场论战。论战的焦点之一是标记方法及其背后更为深层的问题。吉布斯有关向量分析的讲义《向量分析要素》（）起初并没有公开发行，仅在188