来证明开映射定理、闭图像定理和一致有界原理。BCT1也表明每一个没有孤立点的完备度量空间都是不可数的。（如果"X"是一个可数的完备度量空间且没有孤立点，那么在"X"中每一个单元素集合都是无处稠密的，因此"X"在它本身内是第一纲）。特别地，这证明了所有实数所组成的集合是不可数的。BCT1表明以下每一个都是贝尔空间：根据BCT2，每一个流形都是贝尔空间，因为它是局部紧空间，也是豪斯多夫空间。这甚至对非仿紧（因此不可度量化）的流形如长直线也是成立的。
证明.以下是完备度量空间