C类, 3 ≤ "k" ≤ ∞), 则存在"n" (formula_23 就可以)和一个单射"f" : "M" -> R (也是解析的或者属于C类)使得对于"M"的所有点"p"，导数 d"f" 是一个线性映射从切空间 T"M" 到R，和给定在T"M"上的内积和R的标准内积在如下意义下兼容:对于T"M"中的所有向量"u", "v"。 这是偏微分方程(PDE)的不定系统。纳什嵌入定理是全局系统，因为整个流形嵌入到了R。局部嵌入定理要简单得多，可以在流形的座标邻域中用高等微积分的隐函数定理证明。这里给出的