矩阵表示法.使用矩阵，二元数可表示为：二元数的和与积可以寻常的矩阵加法、矩阵乘法计算。在二元数的代数中，两种数学运算都符合交换律、结合律。二元数的矩阵表示与复数的矩阵表示类似。然而这并非唯一的表示法，参见。如同复平面与双曲复数平面，二元数也是平面代数的实现方式之一。
几何.定义"z"* = "a" − "b"ε，二元数的「单位圆」包括了那些"a"值为1或−1的二元数，因为"z z"* = 1。然而注意到所以ε轴的指数映射仅涵盖半「圆」。若"