表示定理的直接推论， 希尔伯特空间 是 自反空间, 即由 到其对偶之对偶的自然映射是同构。
弱收敛序列.在希尔伯特空间 中，若序列 满足对任意的 , 都有则称该序列到向量 例如，任何正交序列 都弱收敛到  0. 此为贝塞尔不等式的结果。根据一致有界原理，每个弱收敛序列 都有界。反之，希尔伯特空间中的每个有界序列，都有一个弱收敛子序列，此谓巴拿赫-阿拉奥卢定理。 这可用作证明某些连续凸泛函的最小值的存在性，正如波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理适用于 上的连续函数。一个较简单的结