在此基础上，可以定义度量映射以及其对应诱导的范数：例如可以验证映射formula_67满足度量所需的一切性质。因此，用与构造实数相同的手段，可以构造一个完备有序数域，记作formula_68。由奥斯特洛夫斯基定理，formula_2的所有绝对值赋值或者等价于绝对值，或为平凡赋值，或等价于某素数formula_1的formula_1进赋值。从而formula_2（关于某赋值）的完备化也只有这些。
代数方法.用代数的方法，首先定义formula_1进整数环formula_74