有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：以及它们的循环置换。这些规则与完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了O的一个子代数，与四元数H同构。
共轭、范数和逆元素.八元数的共轭为：共轭是O的一个对合，满足formula_8（注意次序的变化）。"x"的实数部分定义为½("x" + "x") = "x"，虚数部分定义为½("x" - "x")。所有纯虚的八元数生成了O的一个七维子空间，记为Im(O)。八元数"x"的范数定义为：在这里，平方根是