类型的伽罗瓦群推广到了域扩张，并通过伽罗瓦理论基本定理建立了在zh-cn:域; zh-tw:体;和群之间的严格关联，再次凸显了群在数学中无所不在。
有限群.一个群被称为有限群，如果它有有限个元素。元素的数目叫做群"G"的阶。一类重要的有限群是n次对称群"S"，它是"N"个字母的置换的群。例如，在3个字母上的n次对称群"S"是由三个字母"ABC"的所有可能置换构成的群，就是说它包含元素"ABC", "ACB", ...,直到"CBA"，总共有6（或3的阶乘）个元素。这类群是基