动点定理证明了博弈论中的一个重要结论。这一定理暗示，在任何混合策略的多人有限游戏中都必定存在纳什均衡。纳什的贡献使他获得了诺贝尔经济学奖。
证明框架.
S是单维区间的情况.角谷不动点定理的证明对于定义在闭区间上的实数多值函数最为简单。假设formula_55。假设formula_56为在闭区间[0,1]上的多值函数，且满足角谷不动点定理的条件。令formula_57为一个具有下列特点的序列：闭集formula_58形成了一个由formula_59的