指数函数formula_39来定义。复指数类似余弦函数，可透过多种方式定义。令函数formula_39值为一的复数集合是一个如下所示的（虚）算数过程：并且其中包括一个独特的正实数formula_1。一个基于同样想法，但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字formula_1被定义为此同态派生的模的一半。在给定的周长的条件下，圆会围成最大