la_13,formula_14都存在一条定义在整条实数线上的测地线formula_32，则称formula_1是测地完备的。霍普夫－里诺定理指出，若formula_1是一个完备的度量空间，则formula_1是测地完备的。（formula_1上两点间的度量，是连接此两点的所有曲线的长度的最大下界。）
局部最短性.在黎曼流形formula_1上连接两点之间的等速曲线，若其长度等于两点间的距离，即这曲线是两点间最短的曲线，那么这曲线必定是测地线。然而，连接两点间的测地线未必最短。比如