次2和3的所有倍数项都被减去。可见右方的的倍数项可被筛去，不断重复以上步骤可得：左右两方除以所有括号项，我们得到：最后，公式可写成质数的无穷乘积：证毕。为了使证明更严密，我们只需注意到当formula_12，已筛的右方项趋向1，并遵从狄利克雷级数的收歛性。
特别情形 formula_13.从以上公式可推导出 ζ(1) 的有趣结果。可以写成，又知：所以我们得知左式是调和级数，并发散至无穷大，故此右式的分子（质数阶乘）必定同样发散至无穷大。由此可以证明质