上的等价结论，四维的情况则在二十年后被zh-cn:迈克尔·弗里德曼; zh-hk:米高·佛利民; zh-tw:麦可·弗里德曼;证明，但数学界始终对三维流形束手无策，而我们所处的宇宙是一个三维流形，更显现出问题的重要。庞加莱猜想的官方陈述由约翰·米尔诺写出。2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv贴出了完整证明，先后有两篇文章，但文字简略且原创性极强，数学界经过近三年才完成校验。2006年，多组研究者先后发表论文阐释了佩雷尔曼的成果，并认定其无误。由于这一贡献，国际数学家大会决定