际上是公理模式。Richard Montague证明了ZFC和ZF集合论二者都不能用有限个公理来公理化。在另一方面，冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG）可以被有限公理化。NBG的对象同时包括集合和类；类是有含有元素但不在其他任何类中的实体。NBG和ZFC事实上是等价的，即所有不以任何方式提及类的定理在两个公理体系中同时可以证明或同时不能证明。依据哥德尔第二不完备定理，ZFC的一致性不能在ZFC之内证明。ZFC的延展包括了通常意义上的大部分数学，所