1代入formula_62和formula_63，可得出：因为formula_66和formula_67互不相关，所以formula_68和formula_69的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：现在用克莱姆法则就可得到：用两个雅可比矩阵来表示的方程：用类似的方法就可以找到formula_76、formula_77以及formula_78。
基本代数上的应用.克莱姆法则可以用来证明一些线性代数中的定理，当中的定理对环理论十分有用。