情形下，辛结构也称为庞加莱不变量。从而关于庞加莱不变量的定理是刘维尔定理的推广。还可以进一步推广。在不变哈密顿形式化 的框架下，不变相空间中的辛结构的存在性定理是关于庞加莱不变量定理的一个深入推广。
量子力学.刘维尔方程在量子力学中的类比描述了一个混合态的时间演化。正则量子化得出这个定理的一个量子力学版本。这个过程利用哈密顿力学描述经典系统，经常用于产生经典系统的量子类比。经典变量重新解释为量子算子，而泊松括号用交换子代替。在这种情形，所得方程是这里 ρ 是密度矩阵。将