a_40的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：当formula_42的特例是欧拉恆等式：此式被理查德·费曼称为「欧拉的宝石」。即棣莫弗公式。就像以下的展开式：
无理数证明.
反证法.证明formula_1是无理数可以用反证法。假设formula_1是有理数，则可以表示成formula_53 ，其中formula_54为正整数。以formula_1的无穷级数展开式可以得出矛盾。考虑数字以下将推导出formula_26是小于