弗里德里希·高斯更进一步的推进，他考量了可交换群模 n 的剩余之结构，并建立起许多循环群与更一般的阿贝尔群之性质。在高斯对二元二次型复合的研究中，他明确指出了复合的结合律，但如同欧拉一般，比起一般性的理论，他似乎对具体的结论更感兴趣。1870年，利奥波德·克罗内克给出阿贝尔群在数体之理想类群的定义，扩展了高斯的成果；但他似乎没有将他的定义与之前跟群有关之成果结合在一起，尤其是在置换群的部分。1882年，考虑着相同的问题，安里西·韦伯理解到其中的关连性，并给出类似的定义，不过虽然包含消去律，但却忽略了反元素的