。可以证明，formula_12是域，而且是formula_1向量空间，以formula_16为基，空间维数是2。所以formula_12是formula_1的二次扩张，formula_19给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数，二次域formula_20在formula_1中添加的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明formula_20是formula_1向量空间，以formula_24为基，空间维数是2，即formula_25考虑多项式方程formula_26的个复根