其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：其中整数 。因为对于所有 } 我们都有不等式 及 ，故对分母中的根式有 。因此，由于共有 个被加项，故对于所有的整数 有因此， 在 时并不趋于 0，级数 发散（项测试）。
梅尔滕斯定理的证明.令formula_37，formula_38 ，formula_39，重排后formula_40。则formula_41，对任意给定的 ε > 0，因为formula_32绝对收敛，formula_