群，称为域扩张的自同构群，简记为。自同构在上是恒等映射，因此不属于的元素在自同构的作用下仍被映射到不属于的元素上。如果存在的子扩张⊂⊂，则的自同构也构成一个群：。它是的子群，因为在平凡的自同构必然也在其子域上平凡。反过来，给定的某个子群，则可以定义群作用的不动点集合：可以证明，这个集合是一个域，称为子群的不变域。它是的扩域，是的子域，即是的中间域。显然一个自然的猜想是：，即所有不属于的元素，都会在某个自同构的作用下被映射到其他的元素上去。然而这个命题只对特定的域扩张成立。如果某个不属于的元素是上