不使用S就能确立T的相容性。举个例子，自然数上的皮亚诺公理的相容性可以在集合论中证明，但不能单独在自然数理论范围内证明。这对大卫·希尔伯特的着名的未解决的23个数学问题中的第二个给出了一个否定回答。理论上，哥德尔理论仍留下了一线希望：也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的，让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而，对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法。值得注意的是，符合哥德尔不完备定理的系统，必须要蕴涵皮亚诺算术公理以承载对第一不完备定理证明过程的编码。基本上，这就要求系统能将