写下了：第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点，可把乘积分配进和里面：在这个结果中，每一个素数积都出现了正好一次，因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。右边的和是发散的调和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积内每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；因此得出共有无限个素数。
埃尔德什的证明.埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数formula_31都能被写成独一无二