≤ "i" < "j" 且 "F" 和 "F" 有一个公因子 "a" > 1。那么 "a" 能把和"F"都整除；则"a"能整除它们相减的差。因为"a" > 1，这使得"a" = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。其他性质：
费马数的因式分解.最小的12个费马数为：其中前八个来源于。只有最小的12个费马数被人们完全分解了。
历史.1640年，费马提出了一个猜想，认为所有的费马数都是素数。