。证明的关键操作是用一个证明去替换在另一个证明中使用的假定。这通常叫做“代换定理”，并可以通过关于第二个判断的深度(或结构)的归纳法证明。
类型论.迄今为止判断“Γ formula_35 π : "A"”有一个纯逻辑释义。在类型论中，逻辑观点被调换为更加可计算的对象的观点。在逻辑释义中的命题现在被看作类型，而证明被看作使用lambda 演算写的程序。所以“π : "A"”的释义是“程序 π 有类型 "A"”。逻辑连结词也有不同的读法: 合取被看作乘积(×)，蕴涵被读做函数箭头(→