间定义了形形色色的同调与上同调，例如在德拉姆上同调中，我们设formula_26为光滑流形formula_27上的formula_16次微分形式，同态formula_29定义为外微分。无论哪种理论，对同一空间总是给出相同的同调群；塞缪尔·艾伦伯格与诺曼·斯廷罗德在1945年以公理化方法梳理拓扑空间的（上）同调理论，从而证明先前种种理论只是同一个对象的不同面貌。此时同调代数俨然已自成一格了。此后拓扑学仍不断为同调代数注入动力，例子包括了：
希尔伯特与合冲模.同调代数的另一条线索可