公理以直觉主义逻辑来表示，而不是使用一阶逻辑。其他的一些系统接受标准的一阶逻辑，但是允许非标准的隶属关系，包括粗集合及模煳集，其中表示隶属关系的原子公式数值不只是单纯的「真」或是「假」。ZFC中的布林值模型也是类似的概念。是ZFC集合论的扩张，允许无穷小量和其他「非标准」的数字存在，由在1977年提出。
应用.许多数学概念可以只用集合论的概念来准确定义。例如像图、流形、环和向量空间等数学结构都可以用满足特定公理性质的集合来定义。在数学领域中，等价关系及序关系无所不在，而数学关系