(2,Z) 当然也是 SL(2,R) 的一个子群，从而嵌入其中有双曲表现。特别地，SL(2,Z) 可用来将双曲平面镶嵌为等（庞加莱）面积的单元。
等距对称.特殊线性群 PSL(2,R) 在 H 上的作用定义为注意到这个作用是传递的，从而任何对 formula_3，存在一个 formula_4 使得 formula_5。这个作用也是忠实的：如果对 "z" 属于 H 有 formula_6，那么 "g"="e"。H 中一个元素 "z" 稳定子或迷向子群是所有 formula_7