赠券的概率是formula_5，所以formula_3是一种几何分佈，并有期望值formula_7。根据期望值的线性性质，其中formula_9是调和数，根据其近似值，可化约为：其中formula_11是欧拉-马歇罗尼常数. 那么，可用马尔可夫不等式求取机率的上限：
变异数.基于formula_3相互独立的特性，则有：最末一行的等式来自黎曼ζ函数的巴塞尔问题。此式继而可用切比雪夫不等式求取机率上限：
尾部估算.我们亦可用以下方法求另一个的上