ection::::正式定义.艾伦伯格－斯廷罗德公理用于从拓扑空间偶("X", "A")范畴到阿贝尔群范畴的函子列formula_1，连同称为边界映射的自然变换formula_2。（在此"H"("A")是"H"("A",∅)的简记。）这套公理是：约翰·米尔诺增加了一条公理：设"P"是单点空间，那么formula_21称为系数群。
结果.同调群的一些结果可以用公理推导出，例如同伦等价空间的同调群是同构的。一些较为简单的空间的同调群可以直接从公理算出，比如"n"-球面。因此