的（上）同调理论，从而证明先前种种理论只是同一个对象的不同面貌。此时同调代数俨然已自成一格了。此后拓扑学仍不断为同调代数注入动力，例子包括了：
希尔伯特与合冲模.同调代数的另一条线索可以追溯到十九世纪的显学不变量理论与大卫·希尔伯特。希尔伯特为了研究不变量本身、不变量间的关系、以及关系间的关系……，而考虑自由分解的问题：设formula_33为诺特环，formula_27为有限生成的formula_33-模，希尔伯特基底定理（1888年）。存在正整数formula_36及满