余数的绝对值较小的数作为下一步运算时使用的余数。取余运算后，设"r"是计算出的余数（此时为正），"q"是计算出的商：即假设。然后使用以下式子计算出一个负的余数"e"：如果|"e"| < |"r"|，那么用"e"替换"r"进行下一次运算。如利奥波德·克罗内克所指出的，这个版本需要的运算步骤是欧几里得算法的所有版本中最少的。
历史发展.辗转相除法是目前仍然在使用的历史最悠久的算法之一。它首次出现于《几何原本》（卷7命题1–2、卷10命题2–3）（大约公元前300年）。在卷7中用