我们有对流形每点有定义的张量空间。手写体字母有时用于表示光滑的张量场。所以是"M"上的无限可微分张量场的（"m","n"）型张量丛的截面集。一个张量场是该集的一个元素。
张量微积分.在理论物理和其他领域，用张量场表达的微分方程提供了表达本质上是几何的（由张量的本质保证）并在传统上和微积分相关的关系的一种极为通用的方式。表述这样的方程需要一种新的概念，称为协变导数。这个概念用于表述张量场沿着一个向量场的变化。最初的绝对微积分后来被称为张量微积分，导致了联络这个几何概念被分离出