时的这条件等价的条件为「存在一个对称矩阵，使得 with 」从转置的定义，可轻易地得知说一个汉弥尔顿矩阵的转置也是汉弥尔顿矩阵，两个汉弥尔顿矩阵的和也是弥尔顿矩阵，一个汉弥尔顿矩阵的交换子也是汉弥尔顿矩阵。由所有同阶的汉弥尔顿矩阵组成的空间形式一个李代数，记作，而的维度则为。与这个李代数相对应的李群是这个辛群。这个群可将之视作由辛矩阵所构成的一个群，其中若一矩阵为一辛矩阵，则它满足这条件。因此，一个汉弥尔顿矩阵的指数是一个辛矩阵，而一个辛矩阵的对数是一个汉弥尔顿矩阵。实汉弥尔顿矩阵的特征多项式是个偶