sup("S")，并被定义为大于或等于 "S" 中所有成员的最小实数。实数的一个重要性质是它的完备性：实数集合的所有非空子集是有上界的就是这个实数集合成员的上确界。
例子.这个有理数的集合的上确界是个无理数，这意味着有理数是不完备的。此外，如果我们定义在 "S" 是空集的时候 sup("S") = −∞ 和在 "S" 没有上界的时候 sup("S") = +∞ ，则实数的所有集合都在扩展的实数轴上有上确界。如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的最大元素。术语极大元在处理