但已然假设formula_5是素数公式，所以formula_6必须是素数，于是它就只能等于formula_7。也就是说，对于任意的"k"，formula_8都是多项式"P"("n") - "p"的一个根。但根据代数基本定理，一个非零的整系数多项式不可能有无穷多个根。故此，"P"("n")只能是常数函数。应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式"P"("n")。欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式的值都是素数。对于前几个自然数