一类曲线称为（仿射）测地线。一条光滑曲线 γ: "I" → "M" 是一条仿射测地线如果 formula_12 是沿着 formula_13 的平行移动，即取关于时间的导数，得到更熟悉的形式
黎曼几何中的平行移动.在（伪）黎曼几何中，度量联络是其平行移动保持度量张量的任何联络。即度量联络是任何联络 Γ 使得，对任意两个向量 "X", "Y" ∈ T取 "t"=0 的导数，伴随的微分算子 ∇ 必须满足关于度量的乘积法则： 
测地线.如果 ∇ 是一个度