徒在赌马时的问题。赌徒希望决定最佳的赌金额，而他的内线消息不需完美（无杂讯），即可让他拥有有用的优势。凯利的公式随后被夏农的另一名同僚爱德华·索普应用于二十一点和股票市场中。
证明.凯利公式的目标是最大化资产的增长率，也即最大化对数资产的期望值。不失一般性，设开始时的资产是1，每次下注的比例为formula_2，有formula_3的概率会以formula_4的赔率赢钱，这时资产变为formula_5。如果输了，资产就是formula_6。因此资产的对数的期望值为要找到最大化这个