这些依赖于周长，且隐性地依赖积分的formula_1的定义，如今在文献中并不常见。雷默特（）解释说这是因为在现代微积分教学中，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的formula_1的定义就很有必要了。其中一种定义，由提出，由爱德蒙·兰道推广，其表述如下：formula_1是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数定义，或者使用微分方程的解来定义。在相似的启发下，formula_1可以用关于复变量formula_38的复指数函数formula_39