有限阿贝尔群就是 "G" 的挠子群。"G" 的秩定义为 "G" 的无挠部分的秩，这就是上面公式中的数 "n"。基本定理的推论是所有有限生成无挠阿贝尔群是自由阿贝尔群。有限生成条件在这里是本质性的：Q 是无挠但非自由阿贝尔群。有限生成阿贝尔群的所有子群和因子群也是有限生成阿贝尔群。有限生成阿贝尔群和群同态一起形成了阿贝尔范畴，它是阿贝尔群范畴的子范畴。
非有限生成阿贝尔群.注意不是所有有限秩的阿贝尔群都是有限生成的；秩-1 群 Q 就是一个例子，而Z 的可数个复本的直和给出的