rmula_39以线性变换作用在平面formula_41上。设这两个矩阵各自生成子群又设平面的两个不交子集为"H", "H"都同构于无限循环群。因为"H", "H", "X", "X"适合乒乓引理的条件，由乒乓引理得出"H", "H"生成的群为其自由积，而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群。