∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称有序对(S,·)为半群，运算·称为该半群的乘法。实际使用中，在上下文明确的情况下，可以简略叙述为“半群S”。
历史.半群的正式研究比其他起步于十九世纪中期的代数结构如群或环要晚一些。一些来源把(法语的)这个术语归功于 J.-A. de Séguier 在1904年在《Élements de la Théorie des Groupes Abstraits》(《抽象群论基础》)中的首次使用。这个术语的英语使用是在1908年