加法与乘法系统符合此些侷限，则我们对此系统立即可以得到许多额外的资讯。现代数学家也对数学基础作了相当程度的形式化，从而使得数学理论可以被视为数学物件，且逻辑本身亦能被视为是数学的一个分支。戈特洛布·弗雷格、伯特兰·罗素、庞加莱、大卫·希尔伯特和库尔特·哥德尔是此发展中的几位关键角色。在现今的理解里，一套公理是任何一群形式陈述的断言，而透过应用某些定义良好的规则，可由这些公理推导出其他形式陈述的断言。在此观点下，逻辑只是变成了另一个形式系统。一套公理应该是相容的，即应该不可能由此公理中导出矛盾来。一套