量雅可比矩阵方程，乘上P后可得：经过这样的处理后，方程实际上已经被非耦合化，而且可被视作三条波方程，其中特征值为波速。变量"w"为雷曼不变量，或在一般的双曲系统中为特征变量。
冲击波.欧拉方程为非线性双曲方程，而它们的通解为波。与海浪一样，由欧拉方程所描述的波碎掉后，所谓的冲击波就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数（即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得更多资讯，就必须回到更基础的积分形式。然后，在构建