人的成果为后来的研究提供了强有力的工具和深厚的积累，打下了牢固的基础。1920年左右，英国数学家哈代和约翰·伊登斯尔·利特尔伍德极大地发展了解析数论，建立起了“圆法”等研究数论问题的有力工具。他们在1923年合作发表的论文中使用“圆法”证明了：在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个质数的和。当然，“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的技术鸿沟。大约于此同时，挪威数学家布朗提供了另外一种证明的思路。1919年，他使用推广后的“筛法