于大于formula_3或小于formula_19的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数：对于任何角度formula_15和任何整数formula_22。
微分方程定义.由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足初值问题这就是正弦的微分方程定义。
指数定义.正弦函数的指数定义可由欧拉公式导出：
正弦定理.正弦定理说明对于任意三角形，它的边是formula_51, fo