无穷级数可从cosh得出，通过把它变为交错级数，而sin函数可来自将sinh变为交错级数。上面的恆等式使用虚数i，从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)，来恢复为指数函数的那两部份级数。双曲函数可以通过虚数圆角定义为：这些复数形式的定义得出自欧拉公式。
与三角函数的类比.奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。