个一维实流形且其乘法和反演为圆上的圆变映射，这给了圆群一个一维李群的结构。实际上，以同构来分，其为唯一的一个同构于T的一维紧致连通李群
同构.圆群在数学里可承现出很多种不同的类型。下面列出较常见的几种类型，并证明由所有一阶酉矩阵（即单位复数）所组成之群显然与圆群相对应；其酉的条件即等价于其元素的模为1的条件。因此圆群会同构于第一个酉群U(1)。纯虚数指数函数会产生一个由实数加法群R映射至圆群T上之群同态exp:R→T，其映射为其最后一个等式为欧拉公式。实数"θ"会对应到