, 这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的.证明. 设所考虑的点为 x . 通过点 x 的水平集是 {x | "f"(x) = "f"(x)}. 考虑一条通过点x并且属于水平集的曲线 γ("t") , 不妨假设 γ(0) = x.从而得到使用链式法则, 在 "t" = 0 处微分. 我们发现同时, "f" 在 x 处的雅可比行列式 等于 "f" 在点 x 的梯度. 因此, "f" 在点 x 处的梯度与曲线在该点处的切线 γ′(0) 垂直. 由于曲线 γ("t") 是任意的, 因而断定梯度与