上半平面.函数是一个从开单位圆盘到平面的实解析双射函数；它的逆函数也是解析的。作为实二维解析流形，从而开单位圆盘同构于整个平面。特别地，开单位圆盘同胚于整个平面。但在开单位圆盘与整个平面之间没有共形双射函数。作为一个黎曼曲面，从而开单位圆盘与复平面不同。在开单位圆盘与开上半平面之间存在共形双射。所以作为黎曼曲面，开单位圆盘（双全纯或共形等价）同构于上半平面，两者经常是可以互换的。更一般地，黎曼映射定理指出复平面的每个单连通开子集若不同于复平面自己则有到开单位圆盘的一个共形双射。一个从开