formula_20分别是椭圆的半轴。所以，依照威尔森-索末菲量子化定则能量formula_15是其中，formula_23是约化普朗克常数。这众所皆知的量子化能量结果，时常用来建立其它旧量子条件。通过平均每一个离散态的能量，假设处于的离散态的机率是波兹曼权 ()，量子化谐振子的热性质可以用方程式表达为其中，formula_25是谐振子的总数，formula_26是系统的热能量，formula_27是波兹曼常数。由于每一个谐振子的自由度是3，所以热能量方程式有一个系数formula_