被收缩。橙色环路（或任何环绕这个圆孔一次的其他环路）所生成的，去掉了一个点的平面的基本群是无限循环群。基本群以这种方式探测到了这个圆孔。在更新近的应用中，影响已经被倒转过来，由群论背景来激发几何结构了。在类似的脉络下，几何群论采用了几何概念，比如在双曲群的研究中。其他一些大量应用群论的数学分支包括代数几何和数论。例如，典型群和Picard群在代数几何上有重要应用；参见除了上述理论应用之外，还存在很多群的实践应用。密码学依赖于抽象群论方式和从计算群论中特别是实现于有限群上的时候所得到的算法知识的结合。