在规则“Γ, "u":"A"”中表示一组假设 Γ，同增补的一个假设 "u" 在一起。通过明确可用的证明，你可以操纵和思辩证明。证明的关键操作是用一个证明去替换在另一个证明中使用的假定。这通常叫做“代换定理”，并可以通过关于第二个判断的深度(或结构)的归纳法证明。
类型论.迄今为止判断“Γ formula_35 π : "A"”有一个纯逻辑释义。在类型论中，逻辑观点被调换为更加可计算的对象的观点。在逻辑释义中的命题现在被看作类型，而证明被看作使用lambda 演算写的程序。所以“