为在很多方面像整数。下列许多概念对非交换环也存在，但定义与性质一般更加复杂。例如，交换环中所有理想自动是双边的，相当简化了情形。
理想与商环.交换环的内部结构通过考虑它的理想来确定，即在与环中任何元素相乘以及加法下封闭的非空子集"I"：对所有 "r" 属于 "R"，"i" 与 "j" 属于 "I"，"ri" 与 "i"+"j" 都要求属于 "I"。给定 "R" 的任何子集 "F" = {"f"}（这里 "J" 是某个指标集），由 "F" 生成的理想是最小的包含 "F" 的理想