庞加莱对偶定理于任何系数环都成立，只需在流形上相对于系数环而取定向。特别是由于流形于模2都有唯一定向，故于模2时庞加莱对偶定理不需假设定向就成立。
历史.庞加莱对偶定理的一个形式最初由庞加莱于1893年提出，没有证明。当时他用贝蒂数来表达：一个"n"维可定向闭流形的第"k"个和第("n" − "k")个贝蒂数相等。其时未有上同调的概念，须待四十年后才得以釐清。庞加莱在1895年的论文《Analysis Situs》中尝试用他创造的拓扑相交理论去证明定理。波尔·赫高对这篇论文的批评，