例子。
有理函数.勒让德多项式和切比雪夫多项式在上提供正交函数族，但偶尔需要上的正交函数族。这种情况下可以先使用，让参数在内。这个过程可以得到 有理正交函数族，称为和。
在微分方程中.有边界条件的线性微分方程的解常常可以写成带权重的正交函数的和，（即本征函数），进而有。