可解群。 因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数。
群的非单性判据.西罗测试：设为一正合数，是它的一个素因子。 若在的所有约数中只有 1 模同余于 1，则不存在阶为的单群。证明：如为一素数幂，则阶数为的群有非平凡的中心，因而不是单群。若不是素数幂，则阶数为的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知， 阶数为的群的西罗-子群的个数模同余于1且为的约数。但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗-子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。根据上面