两点的长度最短的曲线称为测地线。两个空间若彼此间有保持距离相同的双射，则这两个空间等距。若在空间中每一点都有邻域，可在其上定义如此的双射，则这两个空间是局部等距。曲面上的一点的高斯曲率有几种定义：在这些定义中，要算出高斯曲率，先要知道曲率如何嵌入到空间中。而一个曲面的不同嵌入，可得出局部等距的不同曲面。最简单的例子是平面和圆柱体的侧面：将一张摊成平面的纸卷起来包着圆柱体，就得出从平面到圆柱体侧面的局部等距变换，因为这个变形不会改变纸上相近两点的距离。这条定理称为绝妙定理，是因为高斯曲率的定义