基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被较为彻底地研究了。无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。
定义.阿贝尔群的群运算符合交换律，因此阿贝尔群也被称爲交换群。它由自身的集合"G"和二元运算* 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、"G"有单位元、所有"G"的元素都有逆元之外，还满足交换律公理因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。而群运算不满足交换律的群被称爲“非阿贝尔群”，或“非交