定理。定理：令 "M" 为紧微分流形。令 "v" 为 "M" 上有孤立零点的向量场。若 "M" 有边界，则我们要求在边界上 "v" 指向边界的外法向。然后，我们有如下公式其中，求和取遍 "v" 的孤立零点而 formula_2 是 "M" 的欧拉示性数。定理由庞加莱在二维的情况证明，而后由霍普夫推广到高维。