群作用来研究连续对称的概念。
形式定义.拓扑群 "G" 是拓扑空间和群使得群运算和是连续函数。这里的 "G" × "G" 被看作使用乘积拓扑得到拓扑空间。尽管我们这里没有做其他要求，很多作者要求在 "G" 上的拓扑是豪斯多夫空间。下面会讨论其理由和一些等价条件。最后，这不是个严重的限制 — 很多拓扑群都可以用规范方式变成豪斯多夫空间。使用范畴论的语言，拓扑群可以简明的定义为在拓扑空间范畴内的群对象，如同普通的群是集合范畴的群对象一样。
同态.在