平面（"n"=2）上时，它的图像是空间中一个曲面"z"="f"("x","y")，曲线积分就是以曲线"C"为界的有符号的截面面积。参见动画演示。
推导.对于标量场上的曲线积分，
向量场的曲线积分.设有向量场：F : "U" ⊆ R formula_12 R，则其在路径"C" ⊂ "U"上关于方向r的曲线积分是： 其中，r: [a, b] formula_12 "C" 是一个一一的参量化函数，并且r("a")和r("b")分别是路径曲线"C"的两个端点。