整的证明版本到柏林和巴黎游学，然而仍然没有受到重视。1828年，阿贝尔的工作开始被数学界认知，但已经回到挪威的阿贝尔对此几无所知。由于染上肺结核，阿贝尔在1829年4月6日去世。鲁菲尼和阿贝尔的证明思路大致相同，以下只介绍阿贝尔的证明。其思路是使用反证法来证明五次或以上方程求根公式的不存在性，即反设存在这样的公式。假设有五次多项式方程，其根为五个不同的数。阿贝尔首先证明了，求根公式里，各个根的表达式必然是如同：的形式。其中的、、等是由方程系数和有理数构成的有理式，则是可以写成和一样形式的代数式，依此循