间赋予formula_5范数formula_8，使得formula_5成为巴拿赫空间。那么，这定理指formula_4是连续的（与有界等价）当且仅当formula_11在formula_5内是闭集。
证明.闭图像定理可以从开映射定理推导出来。formula_11是闭集的充分必要条件是如果序列formula_14（即对任意formula_15有formula_16），而formula_17，那么formula_18，formula_19。如果formula_4是连续的，从连续性