"的级数中的项配对，并将表达式变换为黎曼积分的形式予以证明。在后一步中，对的运用了中值定理，但在这里需要泰勒公式中更强的拉格朗日形式。
广义化.的三重柯西乘积为，为三角形数的交错级数；其阿贝耳与欧拉和为⁄。的四重柯西乘积为，为四面体数的交错级数，其阿贝耳和为⁄。另一个在略微不同的方向的广义化是一般级数。对正整数"n"来说，此级数有下列的阿贝耳和：其中"B"是伯努利数。对大于0的偶数"n"，则化约为：后一个和成为尼尔斯·亨利克·阿贝尔特别嘲笑的对象，在1826年时他说：