，从离散度量空间到另一个有界度量空间的函数是利普希茨连续的，而任何从离散度量空间到另一个有界于1的度量空间的函数是短映射。在其他方向上，从拓扑空间"Y"到离散空间"X"的函数"f"是连续的，当且仅当它是局部常数函数，在所有"Y"的点都有"f"在其上的邻域是常数的意义上。
用途.离散结构通常用做不承载任何其他自然拓扑、一致或度量的集合上“缺省结构”。例如，任何群都可以通过给予它离散拓扑被认为是拓扑群，蕴涵了关于拓扑群适用于所有群的定理。实际上，分析学家更偏好被代数学家作为离散群来