的比例论.毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数）formula_3，这破坏了他们的比例论：无理数的存在，表示物体的比例可能无法以正整数来表示，这破坏了他们以正整数来描述自然规律的哲学。
尤得塞斯的比例论.为了挽救比例论，尤得塞斯提出了以几何量为基础的比例论，被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。其中的第五条定义是其比例论的核心：这个定义回避了数系的规范，因此，即使 formula_14 是无理数，等比关系也可以成立。