此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。
一维谐振子.
哈密顿算符与能量本征态.在一维谐振子问题中，一个质量为"m"的粒子，受到一位势formula_1。此粒子的哈密顿算符为其中"x"为位置算符，而"p"为动量算符formula_3。第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态，必须解所谓的「定态薛丁格方程式」：在座标基底下可以解这个微分方程式，用到幂级数方法。可以见到有