问题是由希伍德开始研究的。他在1890年的论文中不仅指出肯普的错误，而且运用肯普的方法证明了五色定理。在此之后，希伍德又将注意力转移到更一般的曲面染色问题上。他证明能够对上面任何的地图进行染色，使得相邻两国不同色所需要的最少颜色数目有上限：其中的是指亏格为（有个“洞”）的曲面（或者说二维可微流形），formula_21表示下取整函数。他还证明当亏格为1，也就是曲面为环面的时候，存在至少要用7种颜色才能染色的地图。而环面对应的上限不等式是：因此希伍德证明了formula_23：最多用7种颜色就能为任何环