不是每个O的元素都唯一分解。虽然O元素的唯一分解束在某些情况下可能成立，如高斯整环，但在其它情况下可能会失败， 如二次域Z [√-5]中，6就不是唯一分解|:formula_1O的理想类群是一个整数环O的元素是否唯一因子分解的度量，特别是当整数环O理想类群是平凡群时，当且仅当O为唯一分解整环。0的唯一因子分解和O素理想间关系。O元素的唯一分解可能成立：这时O的理想的唯一分解成素理想（即它是一个戴德金整环）。这使得在研究O的素理想尤其重要。从另方面，从整数环Z更改为代数数域K的整数环O后，整数环Z中素