范向量空间是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 R 的推广。R中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是：一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零，那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间，拥有半范数的叫做半赋范向量空间。
定义.一个半赋范向量空间（"E","p"）由一个向量空间 "E" 以及一个 "E" 上的半范数 "p" 构成。一个赋范向量空间（"E",||·||）由一个向量空间 "E"