微分方程的特征值与特征函数的问题，得到了许多重要结论。
数论.刘维尔对数论问题产生兴趣始于费马大定理。1840年，他将费马的问题作了转化，证明方程formula_1的不可解性意味着formula_2的不可解性。之后又研究了e的超越性质，建立了有关代数数丢番图逼近的一个基本定理，并由此构造了刘维尔数，首次证明了超越数的存在性。从1856年开始，刘维尔基本放弃了其他方面的数学研究，把精力投入到数论领域。在此后的十年中，他在《纯粹与应用数学杂志》上发表了18篇系列注记，未加证明地给出