。基数指派需要完全的选择公理，如果我们想要像样的基数算术和对"所有"集合的基数指派。
不用选择公理的基数指派.形式上，假定选择公理，一个集合 "X" 的势，是使得在 "X" 和 α 之间有双射的最小序数 α。这个定义叫做冯·诺伊曼基数指派。如果不假定选择公理，我们需要採取别的方式。一个集合 "X" 的势的最古旧的定义（康托尔隐含地使用着，而在弗雷格和《数学原理》那里被明确提出），是等势于 "X" 的所有集合的集合：这在 ZFC 或其他有关的公理化集合论中不可行，因为这个搜集对于一个