线是阿贝尔簇 – 也就是说，它有代数上定义的乘法，并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 "O"即为单位元。若formula_2，其中P为任一没有重根的三次或四次多项式，然后可得到一亏格1的无奇点平面曲线，其通常亦被称为椭圆曲线。更一般化地，一亏格1的代数曲线，如两个三维二次曲面相交，即称为椭圆曲线。运用椭圆函数理论，我们可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群，事实上，这个对应也是一个群同构。
实数域上的椭圆曲线.尽管椭圆曲线的正式定