S"，我们可总结为映射将每个置换映为其符号是一个群同态。进一步，我们见到偶置换组成"S"的一个子群。这就是"n"个字母上的交错群，记作"A"。它是符号同态的核。奇置换不能组成一个子群，因为两个奇置换的复合是偶置换，但它们是"A"（在"S"中）的一个陪集。如果"n">1，则"S"中偶置换与奇置换一样多；从而"A"包含"n"!/2个置换。（原因：如果σ是偶的，则 (12)σ是奇的；如果σ是奇的，则 (12)σ是偶的；这两个映射互逆。）一个轮换是偶的当且仅当它的长度是奇的。这得自如下类似公式特别地