积内每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；因此得出共有无限个素数。
埃尔德什的证明.埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数formula_31都能被写成独一无二的其中formula_50非平方数，或任何平方数的倍数（设formula_51为能整除formula_31的最大平方数，并使formula_53）。此时假设素数的数量为有限，且其数量为formula_54。由于每个素数只有一个非平方数的因子，所以根据算术基本定理，得出共有非平方数form