后，两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由为了研究“空间的代数K-理论”提出，这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶K-理论研究与代数几何和有关。带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论。它是割补理论的主要工具。在弦理论中，拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的K-理论分类在1997年首次提出。