系，得到一个现在记作formula_2的群。这两个构造都被称为；formula_1具有上同调表现而formula_2有同调表现。如果formula_5是一个光滑簇，两个群是相同的。在拓扑学中，我们对向量丛有类似的和构造。迈克尔·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义拓扑空间formula_5的formula_1（两个构造一致）。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。此外，这种途径导向了C*-代数的非交换formula_