性。黎曼ζ函数与质数的分佈有着深厚的连结。Helge von Koch在1901年证明了黎曼猜想等价于质数定理一个可观的强化：给出任何formula_15，我们有式中formula_17为质数计数函数，formula_18为formula_19 的自然对数，以及右手边用上了大O符号。一个由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于：formula_20。黎曼ζ函数的零点与质数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为质数分佈的谐波。