导出信号 "u"("t") 的解析表示。这就意味着将实信号 "u"("t") 拓展到复平面，使其满足柯西－黎曼方程。例如，希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的，也就是。等价地说，它是奇异积分算子与的一个例子。希尔伯特变换最初只对周期函数（也就是圆上的函数）有定义，在这种情况下它就是与"希尔伯特核"的卷积。然而更常见的情况下，对于定义在实直线 R（上半平面的边界）上的函数，希尔伯特变换是指与"柯西核"卷积。希尔伯特变换与有着密切的联系，帕利-维纳定理是将上半平面内的全纯函数与实直线上的函数的傅里叶变