为单位圆是一个紧致可交换李群（如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看）。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面；也就是最大可能维度的闭子群环面。"n"维环面的基本群是一个"n"阶自由可交换群。"n"维环面的"k"阶同调群是"n"取"k"阶的自由可交换群。因此可以推出"n"维环面的欧拉示性数 是0。上同调环"H"(T,Z)可以等同为Z-模 Z上的外代数，其生成元为"n"非平凡闭链的对偶。
环面