"i", "j", "k", "l", "il", "jl", "kl"}的线性组合。也就是说，每一个八元数"x"都可以写成其中系数"x"是实数。八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。
凯莱-迪克松构造.一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数("a", "b")和("c", "d")的乘积定义为：其中for