除某个"q"；因为"q"也是一个素数，所以"p" = "q"。同理，对于每一个"p"都存在一个"q"与它相等。所以两种分解除了顺序不同以外是完全相同的。整数分解的惟一性在数学证明中有很多应用，下文将会提到。
线性丢番图方程.丢番图方程是以亚历山大数学家丢番图的名字命名的一类方程，它的解被限制在整数范围。关于整数"x"和"y"的线性丢番图方程形如：其中"a"、"b"、"c"是已知整数。这个方程可以写成关于"x"的同余式：令"g"为"a"和"b"的最大公约数，a、b都能被g整除