所以，形如"ua" + "vb"的数的集合等于"g"的整数倍的集合。也就是说，任意两个数的线性和的集合等同于它们最大公约数的整数倍的集合。"a"和"b"的最大公约数叫做"a"和"b"的理想的生成元素。这个最大公约数的定义导出了两个现代抽象代数的概念：主理想（由单个元素生成的理想）以及主理想整环（其每一理想都是主理想的整环）。这个结果可以解决某些实际问题。例如，考虑两个容积分别为"a"和"b"的量杯，其中"a"和"b"为正整数。通过加入或倒去"u"倍第一个量杯的体积以及"v"倍第二个量杯的体积的液体，任