_8是模formula_72的二次剩余（非剩余）后，高斯令formula_8和formula_74表示模4余1的质数，用formula_72和formula_76表示模4余3的，于是写出了勒让德得到的8种情况：在接下来的文章中他将其推广到关于所谓的雅可比符号，以下的大写字母表示的意思和相应的小写字母一样，但不再是质数。最后他分各种情况分别运用强数学归纳法将其证明。证明中高斯用到了一个引理：如果formula_77 是质数，那么存在奇质数 formula_78 使得 formula_79如果使