对称性.正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。这八个变换组成了一个群，是二面体群中的一个，记作D。
正方形与无理数.公元前五世纪时，毕达哥拉斯学派最早证明了正方形的对角线长度与边长长度的比例：formula_7，是无法表示为两个自然数的公比的。