展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。1. 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数：它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在"z" = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成： 则显然"z" = 0是可去奇点，因此"z" = 0处的留数为零。唯一一个另外的奇点是"z" = 1。函数"g"("z")在"z" = "a"的泰勒级数为：因此，对于"g"("z") = sin "z"和"a" = 1，我们有：对于"g"("z") = 1/"z"和"a"