形为"a" + "bi" + "cj" + "dk"的四元数的集合，其中"a", "b", "c"和"d"或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合"A"是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。
以矩阵表示四元数.有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。第一种是以二阶复数矩阵表示。四元数的三个元素i、j、k採用矩阵表示法（其中斜体字formula_2为formula_