域中每个非零元素是乘法可逆不同，环的理论更复杂。有多个概念处理这种情形。首先，"R" 的一个元素如果有乘法逆称之为单位。另一种特别的元素类型是零因子，即非零元素 "a" 使得存在环中一个非零元素 "b" 使得 "ab"=0。如果 "R" 没有零因子，称为整环，因为在很多方面像整数。下列许多概念对非交换环也存在，但定义与性质一般更加复杂。例如，交换环中所有理想自动是双边的，相当简化了情形。
理想与商环.交换环的内部结构通过考虑它的理想来确定，即在与环中任何元素相乘以及加法下封闭的