单位四元数的集合组成一个三维球"S"和在乘法下的一个群（一个李群）。"S"是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群"SO"(3,R)的双重复盖，因为每"两个"单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群"S"和"SU"(2)同构，"SU"(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令"A"为形为"a" + "bi" + "cj" + "dk"的四元数的集合，其中"a", "b", "c"和"d"或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合"A"是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符