量的情况的严格证明由高斯于1839年第一次给出。两个方程在向量代数中都​​有对应。从给定其梯度的散度ρ("x", "y", "z") 得到的标量场导出三维空间的泊松方程：例如，对于曲面电势Ψ的泊松方程，显示对于电荷密度ρ在特定点的依赖性：流体中的电荷分佈是未知的，我们必须使用泊松-波尔兹曼方程：它在多数情形下无法求得解析解，但是对于特殊情况可以。在极坐标下，泊松－波尔兹曼方程为：它也不能解析求解。如果场 φ 不是一个标量，泊松方程是正确的，例如在四维闵可夫斯基空间：若ρ("x", "y"