项式环的纯粹性定理，科恩（1946年）则证明了幂级数环的情形；事实上所有Cohen-Macaulay环都具纯粹性。
形式定义.若交换局部环 formula_1 满足 formula_2，其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数，则称之为Cohen-Macaulay环。此性质在局部化之下不变。一般而言，若交换环 formula_3 对所有素理想的局部化皆为Cohen-Macaulay环，则称之为Cohen-Macaulay 环。若一个概形的所有局部环皆为Cohen-M