圆的交点作为三角形的第三个顶点。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有。欧几里得还提出了五个一般概念，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
现代方法.如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。首先，定义点的集合为实数对formula_1的集合。给定两个点formula_2和formula_3，定义距离：这就是欧几