果formula_133，那么模formula_4的二次剩余必然是四次剩余。 在第二篇论文中，高斯引进了着名的高斯整数。高斯证明了模4余1的质数总能分解为两个高斯整数中质数的乘积、唯一分解定理等其它代数数论的基础定理，并引进了一些基本概念，如范数和单位元。在高斯整数中，四次互反律的叙述十分简单。高斯并且注意到在艾森斯坦整环中，三次互反律最为简单。一部分的原因是高斯整数中1有4个四次方根，而艾森斯坦整数中1有3个三次方根。其它的推广是在以上整环中的二次互反律。高斯率先研究了高斯整数中的二次互反律。