）的有限维向量空间 formula_2，这些同构自然给出了 formula_3 和其对偶空间 formula_4 之间的同构，在这种情况一般称这些映射为典范同构（canonical isomorphosm）。这些运算在流形上的张量场理论里也称为指标的上升和下降。
正式定义.黎曼流形 "M" 的黎曼度量 formula_5 是一个二阶的对称、正定张量场 formula_6。在任意一点 "x"∈"M"，黎曼度量会诱导出一个映射 formula_7 这映射给了点 formula_9