mula_4为针和线之间的锐角。formula_5且均匀分布，其机率密度函数为formula_6。 formula_7且均匀分布，其机率密度函数为formula_8。formula_9两个随机变数互相独立，因此两者结合的机率密度函数只是两者的积：当formula_11，针和线相交，然后对formula_12积分得出所求机率。要求上式的积分需要分为两种情况：“短针”formula_13以及“长针”formula_14；以下考虑“短针”情况，计算上式积分得针与线相交的机率：作简单变换可得