映射（两个边缘转动方向相反，提升到带形上看得更清晰）至少有两个不动点。这个定理来自三体问题，最早由庞加莱1912年提出，他给出了不完整的证明，又称为“庞加莱最后的几何定理”；第二年，伯克赫夫第一次给出了完整的证明。
复结构.在复分析中，复平面上一个（圆）环域 ann"(a; r, R)" 是由定义的开区域，这里 a 是任意复数，0 < r < R < ∞ 。注意环域常定义为开集。更一般地，如果允许 "r" = 0，"R" < ∞ 这个区域又称以 "a" 为中心半径为 "R"