面所示之对称群中，ord(S) = 6，且其内元素的阶分别为1、2或3。下面的部份相反对有限群为真：若"d"会整除一个群"G"的阶且"d"为一个质数，则存在一个内"G"内为"d"阶的元素(这有时被称为柯西定理)。此一叙述在其阶为合数时并不成立，如克莱因四元群中即不存在一个4阶的元素。这可以用数学归纳法来证明。这个定理的结论包括：一个群"G"的阶为一个质数"p"的次方若且唯若对每个在"G"内的"a"，ord("a")都是"p"的某个次方。若"a"有无限阶，则"a"的所有次方也都会有无限阶。若"a"有有