formula_17，因此算术-几何平均不等式等价于：由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明.令 formula_19，于是有 formula_20，再作代换 formula_21，运用排序不等式得到：于是得到 formula_23，即原不等式成立。此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广.算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等