，有许多定理和表述方式。特例是：m次分圆域的Galois群同构于整数群模m的商群。类域论的大部分成果都在1900年至1950年间出现，并以希尔伯特类域的猜想及理论来命名的。该理论的第一代到了1930年才稳定下来。根据类域论，理想类群可被看成域扩张的伽罗瓦群。