多项式和一个代表元在 PSL(2, 7) 中的函数表示描述各个共轭类。注意类 7A 在 7B 在一个自同构下互换，因此出自 GL(3, 2) 和 PSL(2, 7) 的代表元可任意切换。群的阶是 168=3×7×8，因此必有 3，7，8 阶的Sylow 子群。头两个容易描述，它们是循环群，因为任何质数阶群是循环群。共轭类 3"A" 中任一元素生成 Sylow 3-子群。共轭类 7"A", 7"B" 中任一元素生成 Sylow 7-子群。Sylow 2-子群是八阶二面体群。它可以描述为共轭类 2"A"