点的附近区域一定不是简单的：既不是线也不是面，无论这个区域有多小。流形有很多种。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧几里得空间。其他的种类包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。
引例.
圆.圆是除欧几里得空间外的拓扑流形的一个简单例子。考虑一个半径为1，圆心在原点的圆。若formula_2和formula_3是圆上的点的坐标，则有for