运算之下的集合 "S" 构成的代数结构。半群的运算经常指示为乘号，也就是 formula_1 或简写为 "xy" 来指示应用半群运算于有序对 ("x", "y") 的结果。半群的正式研究开始于二十世纪早期。自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动机之间有自然的联系。
定义.集合S和其上的二元运算·:S×S→S。若·满足结合律，即：∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称有序对(S,·)为半群，运算·称为该半群的