集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。他定义了基数和序数及其算术。康托尔很清楚地自知自觉他的成果，富有极浓厚的哲学兴趣。康托尔提出的超越数，最初被当时数学界同侪认为如此反直觉-甚至令人震惊-因而拒绝接受他的理论，且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克罗内克反对代数数为可数的，而超越数为不可数的证明。康托尔本身是一位虔诚的路德派，相信这个理论是经由上帝传达给他；但一些基督教神