积空间R来确定的，并带有自然的乘积空间．有了这个拓扑，"X"成了拓扑向量空间，称唿为逐点收敛的空间．命名的原因是如果("f") 是"X"集合内元素的序列而对于所有实数"x" "f"("x")都有一个极限 "f"("x") ，那么"f"在"X"集合内有一个极限"f"．这个空间就是完整但不能赋范．
拓扑结构.向量空间对加法构成阿贝尔群，拓扑向量空间的加法逆运算 formula_17 是连续的（因为 formula_18），因此拓扑向量空间可视为可交换的拓扑群。特别是：拓扑向量空间是