，这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔）群Z。"p"阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到"p"阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群D所示，其中8 = 2。可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。一个中间步骤是有限单群分类。如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。若尔当-赫尔德定理说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。有限单群列表是当代群论的一个主要成就。19