步，证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为，这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度，而临界线对于临界带的测度为0。
解析延拓.ζ函数原本定义在右半平面上，并且在此区域内为全纯函数解析延拓后在全局具有积分表达式满足函数方程特别地，如果考虑正规化的ζ，即黎曼ξ函数那么它满足函数方程
和数论函数的关系.黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例：这种类型的级数被称作狄利克雷级数。当f为狄利克雷特