快观察到，的一条定理足以推出存在两个不同形状的 16 维环面，其具有相同的特征值。然而，原来的二维问题要待 1992 年才得到解决。当时， , 和斯科特·沃尔珀特利用砂田方法（得名自）, 在平面上构造了两个不同形状，但却具有同样特征值的区域。该些区域为凹多边形。其特征值相等的证明用到拉氏算子的对称性。与合作者推广了此想法，从而构造了若干类似的例子。因此，卡克原先问题的答案是否定的：对于许多形状，不能 "完全" 听出鼓的形状，不过仍可推断出若干性质。另一方面，证明，若将卡克的问题收窄到仅考虑边界解析的平面