一个没拿到文凭的本科辍学者，但经过一段时间积累后，已具备了直接从事前沿研究的能力，并得到了几位前辈的认可。1842年，他在《新数学年刊》（"Nouvelles Annales de Mathématiques"）上发表了自己的第1篇原创论文，讨论了阿贝尔关于5次方程代数不可解性的一个引理的简化证明。1843年至1844年，埃尔米特曾与当时正在研究椭圆函数的卡尔·雅可比多次通信。在雅可比最后的成品中，收录了2篇埃尔米特写的文章。其中一篇的内容是如何对阿贝尔曾给出的有关阿贝尔函数的一个定理加以推广，另一篇的