。这个群称为"X"的自同构群。可以直接检查这的确是一个群：在一个范畴"C"中的一个对象"X"的自同构群，记为Aut("X")，如果内文明显看出该范畴，可简记为Aut("X")。
历史.群自同构的一个最早期的例子，是爱尔兰数学家威廉·哈密顿在1856年给出。在他的中，他发现了一个2阶的自同构，写道：使得formula_1是新的五次单位根，与之前的五次单位根formula_2以完美互反性的关系相关联。
内自同构和外自同构.有一些范畴，特别是群、环、李代