分别为自由粒子哈密顿算符的特征值与特征态。此方程可以看作第一类弗雷德霍姆积分方程。这样的积分方程可使用预解核的方法求解，因而能够得到势能的表达式其中，formula_11为预解核，formula_12为一实常数，而其中，formula_14为狄拉克δ函数，formula_15则为黎曼猜想的非平凡零点。迈克尔·贝里与乔·基廷（Jon Keating）推测formula_3实际是经典哈密顿量formula_17的某种量子化，与formula_17相应的最简单的厄米算符为这一对希尔伯特－波利亚猜想