因两多项式，他们的对应项系数相等得：在等式两边t的i次项系数分别乘以"A", 并将等式左右两边分别相加并合项得：得证。
抽象化与推广.前述证明用到系数在formula_43的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此，凯莱–哈密顿定理可以推广到一个交换环formula_68上的任何有限生成自由模formula_46（向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。