|是切空间的内积所得出的范数。）使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形"M"很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在"x"与"y"两点之间的距离"d"（"x", "y"）定义为：虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。