formula_46都不能由给定的公理中证出。这里，一边是指「演绎系统的完备性」，一边则是指「一套非逻辑公理的完备性」。因此，完备性定理和不完备性定理，除了其名称之外，并不相互冲突。
更多的探讨.早期的数学家视公理化几何为物理空间的模型，且明显地只能有此一模型。另一种数学系统可能存在的想法，对19世纪的数学家而言是极度困扰的，并费尽苦心地想要将这些系统从传统算术中推导出来。伽罗瓦证明这些努力大多都是白费的。最后，这些在代数系统中相互平行的抽象系统看起来似乎有其重要性，而现代代数