一些置换，例如：如此继续下去，我们可以求出满足所有等式的置换只有：因此伽罗瓦群同构于克莱因四元群。
现代的域论描述.现代的研究方法是从代数扩张"L"/"K"开始，并分析"L"/"K"的自同构群。进一步的解释和例子请参见关于伽罗瓦群的文章。这两种描述的关系如下说明。问题中的多项式的系数应当属于基域"K"。扩域"L"应当是在域"K"中添加多项式的根之后所得到的域。任一满足上述保持多项式性质的根的置换，都对应"L"/"K"的一个自同构，反之亦然。在上面的第一个例子中，我们研究