inor arcs for Goldbach's problem”中，给出了指数和形式的一个新界。在文章“Major arcs for Goldbach's theorem”中，哈洛德·贺欧夫各特综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法（主要工具是傅里叶分析，创建了一个周期函数，其范围包括所有素数），筛法和指数和等传统方法，把下界降低到了10左右，哈洛德·贺欧夫各特的同事大卫·普拉特用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。