下：下面只需证明这是微分学中一条已知定理的应用：
洛伦兹力.洛伦兹力的密度是一个协变矢量：如果在一个测试粒子上的作用力只有引力和电磁力，则有其中formula_53是粒子的四维动量，formula_54是将粒子世界线参数化的任意时间坐标。式中第一项含有克里斯托费尔符号，表示引力项，第二项含有电荷，表示电磁力项。方程具有洛伦兹不变性，对时间坐标变换的验证方法为将方程乘以formula_55并使用链式法则。对空间坐标变换，通过对克里斯托费尔符号进行坐标变换我