初希望数学的不同分支，最好是所有的数学，都可以被一套相容的基本公理中推导出来。数学形式主义的一个早期成功的例子为希尔伯特对欧几里得几何的公理化，以及相关地，对此些公理相容性的确定。在更广的方面来看，还有人企图将所有数学放在康托尔的集合论之下。不过，罗素悖论的出现和朴素集合论中相似的矛盾，指出任何此类的形式系统最终都有可能是不相容的。此计画遭受到的决定性挫败是在1931年，哥德尔证明出只要一个相容的形式系统能够蕴涵皮亚诺公理，就可以在系统内建构出一个其真实性和此套公理独立的陈述。作为一个推论，哥德尔证