.自然数从 "1" 加到 "n" 的和是 formula_5 能用许多方法证明。首先令我们将这些项重排反着写：将两者相加，对应项相加，我们得到 
ζ函数的求和与解析连续性.当 "s" 的实部大于 1，"s" 次方的黎曼ζ函数等于求和 formula_12。当 "s" 的实部小于或等于 1 时和式发散，但当 "s" = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 formula_3。1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉马努金另外给其定义，其拉