们可以证明对所有 formula_20 成立。详情请见李代数的伴随表示。
性质.下表总结了定义中提到的不同映射的性质"G" 在伴随映射下的像记为 Ad。如果 "G" 连通，则伴随表示的核与 Ψ 的核相同，就是 "G" 的中心。从而，如果 "G" 中心平凡，则连通李群 "G" 的伴随表示是忠实的。进一步，如果 "G" 不连通，伴随映射的核是 "G" 的单位分支 "G" 的中心化子。由第一同构定理我们有
半单李群的根.如果 "G" 半单，伴随表示的非零