，其中 "v" 是 "E" 中范数为 1 的所有向量。由于函子是连续的，这个上确界存在。这样我们就将 "E "定义成为一个赋范向量空间。关于赋范向量空间上的连续线性函子有哈恩-巴拿赫定理。
商空间.很多赋范向量空间（特别是巴拿赫空间）的定义涉及到空间上定义的半范数。赋范向量空间可以定义为一个空间关于半范数为零的元素的商空间。比如说，对于L空间的定义，考虑所有函数组成的空间上的函数：是一个半范数，它对所有能使式子右边勒贝格可积的函数有定义。然而，对于任意定义在勒贝格测度为 0