M","d")，：对"M"中任何两点"x", "y"，都有唯一的自"x"至"y"的弧，而这条弧是测地线。自"x"至"y"的弧，是指从区间["a", "b"]到"M"中的拓扑嵌入"f"，使得"f"("a")="x"，"f"("b")="y"。一个测地度量空间是实树，当且仅当这空间是δ-双曲空间，且δ=0。完备实树是单射度量空间。研究实树上的群作用的理论称为Rips machine，是几何群论的一部份。
单纯实树.一个单纯实树是没有某种奇怪的拓扑性质的实树。实树"T"中的一