on::::证明.从闭图像定理可知，只需证明：如果序列formula_6趋于0，formula_7，那么formula_8。因为内积在formula_1上连续，故得所以formula_8。
物理结果.这定理带出了量子力学的数学基础的一些技术难题。量子力学中的可观察量对应到某个希尔伯特空间上的自伴算符，但一些可观察量（如能量）的算符是无界的。这定理说这些算符不能处处定义，只能定义在稠密子集上。以量子谐振子为例。这时希尔伯特空间是formula_13，即formula_14