9年阿特勒·塞尔伯格和艾狄胥·帕尔发现的「初等证明」。原本的证明是既冗长，又复杂，于是有很多后面发现的证明使用了让证明变得比较简短，但却变得让人比较难以消化。1980年，美国数学家发现了一个简洁的证明，这可能是目前已知最简单的证明。不过，证明中使用了柯西积分公式，因此一般不被视为是为初等的证明。因为黎曼ζ函数与π("x")关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家海里格·冯·科赫证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进