该不可能由此公理中导出矛盾来。一套公理亦应该是非冗余的，即一个可以由其他公理导出的断言不应被视为是一个公理。近代的逻辑学家最初希望数学的不同分支，最好是所有的数学，都可以被一套相容的基本公理中推导出来。数学形式主义的一个早期成功的例子为希尔伯特对欧几里得几何的公理化，以及相关地，对此些公理相容性的确定。在更广的方面来看，还有人企图将所有数学放在康托尔的集合论之下。不过，罗素悖论的出现和朴素集合论中相似的矛盾，指出任何此类的形式系统最终都有可能是不相容的。此计画遭受到的决定性挫败是在1931年，哥