同三角函数，我们可以令：formula_30，其可用于诱导公式来化简某些特定的formula_7函数的式子。至于指数定义，经过正弦和余弦的指数定义得:有恆等式:
双曲cis函数.一般会将双曲cis函数定义成:定义域和值域皆为实数，但若定义双曲复数，考虑数formula_42，其中formula_43是实数，而量formula_44不是实数，但formula_45是实数。选取formula_46，得到一般复数。取formula_47的话，便得到双曲复数。而双曲