formula_17均为偶数，可得出公式：formula_18formula_19，与formula_12是最小的正整数使得的假设formula_10可以表示成四个整数的平方和不符。
证明 formula_22.现在用反证法证明formula_22。设formula_24。故存在不全为零、绝对值小于formula_32（注意formula_12是奇数在此的重要性）整数的formula_34使得 formula_35。可得 formula_38，其中formula_