若 "M" 是紧致的，则条件可稍微放宽一点：f 会有个唯一的不动点，若
等距同构.映射 "f":"M"→"M" 称之为等距同构，若等距同构总会是单射的；紧致或完备集合在等距同构下的像仍分别会是紧致或完备的。不过，若等距同构不是满射的，则闭（或开）集的像不一定是闭（或开）的。
拟等距同构.映射　"f" : "M" → "M"　称之为拟等距同构，若存在常数 A ≥ 1 与 B ≥ 0，使得且有一个常数 C ≥ 0，使得 "M" 内的每个点与像 "f"("