定义，但这个定义与上述的定义是等价的。运用拉普拉斯-德拉姆算子formula_4，调和函数可以在任意的黎曼流形上定义。在这种情况下，调和函数直接定义为：满足 formula_3一个formula_7的函数如果满足formula_8，则被称作次调和函数。 
例子.二元的调和函数的例子有：formula_9formula_10。"n"元的调和函数的例子有：在三元的调和函数的例子前，先定义formula_11以简化形式。下面表格中的函数在经过数乘（乘以一个常数）