辗转相除法促成了新数系的建立，如高斯整数和艾森斯坦整数。1815年，高斯用辗转相除法证明高斯整数的分解是惟一的，尽管他的研究到了1832年才首度发表。高斯在他的《算数研究》（出版于1801年）中实际上也有援引这个算法，但仅是以连分数方法的形式叙述。约翰·狄利克雷是第一个将辗转相除法作为数论的基础的数学家。狄利克雷提出，数论中的很多结论，如分解的惟一性，在任何使辗转相除法适用的数系中均有效。狄利克雷的数论讲义后来经理查德·戴德金编辑和推广，戴德金也有以辗转相除法来研究代数整数。比如，他是第一个用高斯整数的分解