概念和声称所有闭区间上的连续函数是一致连续的定理。狄利克雷首先证明了它，并隐含的在他的证明中利用了闭区间的给定开覆盖的有限子覆盖的存在性。他在1852年的演讲中使用了这个证明，并在1904年得以出版。后来、卡尔·魏尔斯特拉斯和使用了类似的技术。埃米尔·博雷尔在1895年首次发表并证明了一种形式的现在的海涅-博雷尔定理。他的公式化受限制于可数覆盖。昂利·勒贝格(1898年)和(1900年) 把它推广到了任意覆盖。
定理的讨论.如果一个集合是紧致的，则它必定是闭合的。设集合S是