若formula_2具有完全可控制性，则满足下式的对称矩阵P和向量Q存在的充份必要条件是而且，集合formula_6是formula_7的不可观测子空间。此引理可以视为是稳定性理论李亚普诺夫方程的推广。建构了由状态空间A, B, C建构的线性矩阵不等式以及其频域条件的关系。Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由写出且证明，当时列的是严格的频率不等式。允许等于的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出。在该文中也建立了Lur'e方程可解性的关系。两篇都是针对纯量输