有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间，必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间formula_1的一个子集 (有限或无限)formula_3满足：就称formula_3是无限维空间formula_1的一组基。没有装备拓扑结构的向量空间的结构不足以谈论向量的无限和，因此上述定义只包括对有限个向量求和。
性质.设formula_3是向量空间formula_1的子集。则formula_3是基，当且仅当满足了下列任一条件：如果承认良序定理或任何选择公