rmula_13，有我们称"p"和"q"互为赫尔德共轭。若取formula_1为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。当formula_16，便得到柯西-施瓦茨不等式。赫尔德不等式可以证明formula_17空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明formula_17空间是formula_19空间的对偶。
证明.赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。如果||"f" || = 0，那么"f" "μ"-几乎处处为零，且乘积"f