完备黎曼流形存在调和映射，这个结果是证出。
数学定义.给出黎曼流形("M","g"), ("N","h")和映射φ:"M"→"N"，定义φ在"M"中一点"x"上的能量密度为其中formula_3是φ的微分的范数平方，范数是对向量丛"TM"⊗φ"TN"上的导出度量而取。能量是能量密度在"M"上的积分其中dv是"M"上由度量导出的测度。这是古典狄利克雷能量的推广。能量密度可以更明确地表作用爱因斯坦求和约定，上式右方在局部座标中可表示为：当"M"是紧致时，则φ称为调和映射，若