|"x" − "y"|，其中绝对值|"z"|定义为"z"和−"z"的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关于这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（"x"，"x"，"x"，…）。这是一个从自然数到有理数的映射，使得对于任何正有理数δ，总存在一个"N"，使得对于所有的"m"、"n" > "N"，都有|"x" − "x"| ≤ δ。（两项之间的距离变得比任何正的有理数都要小。）如果（"x"）和（"y"）是两个柯西数列，那么如果数列（"x" − "y"）有极限