a_2的函数，可以将时间formula_2的状态向量formula_4和此矩阵相乘，得到时间formula_1时的状态向量formula_4。状态转移矩阵可以用来找线性动态系统的通解。
线性系统的解.状态转移矩阵用来找以下形式线性系统在状态空间下的解：其中formula_8为系统状态，formula_9为输入信号，而formula_10为时间formula_2时的初始条件。利用状态转移矩阵formula_12，其解如下：第一项为零输入响应（zero-input respons