一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过函子，把空间映射到相应的代数范畴上。例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。实现这个目标的主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。另一方面来讲，同调和上同调群是交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整