r" 属于 "R"，"i" 与 "j" 属于 "I"，"ri" 与 "i"+"j" 都要求属于 "I"。给定 "R" 的任何子集 "F" = {"f"}（这里 "J" 是某个指标集），由 "F" 生成的理想是最小的包含 "F" 的理想。等价地，它有有限线性组合给出由一个元素生成的理想叫做主理想。若环中所有理想都是主理想称为主理想环，两个重要的情形是 Z 与一个域 "k" 上的多项式环 "k"[X]。任何环有两个理想，零理想 { 0 } 与整个环 "R"。不包含于任何真理想（即 ≠"R"）的理想称为极大的。