作用于交比上，这群作用的核为克莱因四元群（这是保持交比的群）。那么有效对称群是其商群，同构于"S"。对某些λ值会有更强的对称，交比的可能值就少于六个。这些λ值对应于"S"对黎曼球面的作用的不动点（由以上六个函数给出）；等价地，就是在置换群内有非平凡稳定子群的点。第一个这样的集合是{0, 1, ∞}。但若四点{"z"}相异，交比不可能取这些值。这些值是当有一对坐标彼此趋近时的极限值：第二个这样的集点是{−1, 1/2, 2}。这情况古典上称为「谐和交比」。最对称的交比是当formula_6。这时交