之，假设伽罗瓦群 formula_1 作用在一个群 formula_2（通常是数论中出现的代数结构，如 formula_3 等等）上，伽罗瓦上同调研究相关的群上同调 formula_4。这些群通常具有重要的数论或算术代数几何意义。伽罗瓦上同调是现代代数数论的基石之一。
在代数数论中的应用.伽罗瓦上同调最早在1950年代被提出，主要与克劳德·谢瓦莱在类域论上的工作相关。这套理论的目的在以群上同调「代数地」阐释类域论，避免使用L-函数。哈瑟原理在伽罗瓦上同调的框架下能得到清晰的描述