数学性质.三个包立矩阵可以共同用一种单一形式表达：其中是克罗内克"δ"函数。当"a"="b"时，其值为1；当"a"≠"b"时，其值为0。
本征值和本征向量.这些矩阵是对合的：其中"I"是单位矩阵。此外，包立矩阵的行列式和它们的迹分别为：故从上述关系可以推得每个包立矩阵"σ"的本征值分别为±1。每个包立矩阵有两个本征值，+1和−1，其对应的归一化本征向量为：
包立向量.包立向量定义为：这个定义提供了将一般向量基底对应到包立矩阵的基底