可以取"h"→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到而从虚轴逼近有"f"沿着两个轴的导数相同也即这就是在点"z"的柯西-黎曼方程（2）。反过来，如果"f":C → C作为映射到R上的函数可微，则"f"复可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。
物理解释.柯西-黎曼方程的一个解释和复变理论无关。设"u"和"v"在R的开子集上满足柯西-黎曼方程，考虑向量场将其视为（实）两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程（1b）断言formula_1