这个变体产生了BPI的另一个等价特征化：这个陈述等价于BPI的事实可以轻易的从下列定理中看出：对于任何分配格"L"，如理想"I"在不相交于给定滤子"F"的"L"的所有理想中是极大的，则"I"是素理想。这个陈述的证明（它可以在ZF集合论内得出）包含关于理想的文章内。因为任何布尔代数都是分配格，这证实了想要的蕴涵。所有上述陈述都是等价的。进一步的，你可以发现布尔代数的对偶次序完全的是布尔代数自身。因此，当采用所有前者陈述的等价对偶的时候，你可能终结于同等的适用于布尔代数的定理，但是这里所有“理想”的出现