这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。由于八元数不是结合的，因此O的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。
自同构.八元数的自同构"A"，是O的可逆线性变换，满足：O的所有自同构的集合组成了一个群，称为"G"。群"G"是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。