这已足以推出"f"("d") = "M"的结论。证毕。把这个结果应用于−"f"，可得：定理：如果函数"f" : ["a","b"] → (–∞,∞]是下半连续的，也就是说，对于["a","b"]内的所有"x"，都有：那么"f"有下界，且取得最大下界。一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。