分和的收敛问题并能够明确证明这个问题是不收敛的。此外他还研究了无穷级数的内积空间、麦克斯韦方程组、可测函数的导数以及测度。在他的博士论文和在他的着作《线性操作理论》（"Théorie des opérations linéaires"）中他定义了巴拿赫空间。他奠定了泛函分析的基础并证明了其基本定理。他引入了泛函分析中有效的术语，并首次对这个方面讲课。1924年，巴拿赫与阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）一起提出了巴拿赫-塔斯基悖论。这个悖论被看作是现代数学中最奇特的理论之一。巴拿赫