间等距。Rips证明了的猜想，就是每个自由作用在R-树上的有限生成群都是自由阿贝尔群和曲面群的自由积。
曲面群在R-树上的作用.根据Bass–Serre理论，一个自由作用在单纯树上的群是自由的。这结果对R-树不成立： 证明了欧拉示性数小于-1的曲面的基本群也自由作用在R-树上。他们证明了一个连通闭曲面"S"的基本群在R-树上自由作用，当且仅当"S"不是欧拉示性数≥-1的三个不可定向曲面之一。
应用.对一个有限生成群"G"的一个稳定等距作用，Rips mac