，满足 "d"("x","x") < 1/n，但 d("f"("x"), "f"("x")) ≥ ε. 这样，{"f"} 的任意一个子列都不是等度连续的，从而任意子列都非一致收敛，同样与假设矛盾。
充分性.充分性的证明用到了对角论证法。若紧度量空间 X 是个有限集，则充分性显然。因此，设 X 是个无穷集，由 X 的紧致性可知，存在在 X 中稠密的序列 formula_47。考虑 formula_3中任意一个映射序列 formula_23。由于 "formula_3" 是逐点有界