。这几种几何分别被称为椭圆几何、欧几里得几何和双曲几何。
实分析.其研究的对象为实数。实数可唯一由一「戴德金完备有序体」（即带有上界的非空实数集合必然有最小上界）所决定（在同构意义上）。然而，若要表达这些公理的性质，需要使用到二阶逻辑。勒文海姆-斯科伦定理告诉我们若侷限于一阶逻辑里来描述，任何实数的公理系统都会允许有其他的模型，有些会小于实数，有些则会大于实数。后者有些被研究于非标准分析中。
在数理逻辑中的角色.
演绎系统和一致性.一