在十二平均律中，上一节提到的无尽的向上五度模进（ascending fifths）变成一个封闭的循环。新里曼理论学家一般假设异名同音等价（即Ab = G#），因此二维平面上的调性网络会在两个不同的方向上循环，其在数学中同构于环面。理论学家们还运用数学中的群论来研究这个新循环形式的结构。新里曼理论学家也用调性网络来可视化各个非调性三和弦（non-tonal triadic）之间的关系。例如，从调性网络的 C 沿着一条边向左上走会依次经过 C-Ab-E-C（E 实际上是 Fb，而最后的 C 实际上是Dbb）