研究微分流形的几何性质，是现代数学中一主流；是广义相对论的基础，与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
内在对外在.从一开始到19世纪中叶，微分几何是从外在观点来进行研究的：曲线