皆以一种符号语言描述，只要检查每一个证明的有效性，便可从一组公理开始无可辩驳地证明一条定理。理论上，这样的证明可以在电脑上检查，事实上这样的有效性检查程序也已经有了。为了这个过程得以进行，需确定手头有什么样的公理。可以从一组有限的公理集开始，例如欧几里得几何。或者更一般地，由一个可以允许无穷的公理列表开始，只要能机械地判断给定的命题是否是一条公理就行。在计算机科学里面，这被称为公理的递归集。尽管无穷的公理列表听起来有些奇怪，实际上自然数的通常理论中(被称为皮亚诺公理)就是如此。哥德尔的第一条不完备定