定“特定的伽罗瓦群是否有某种特殊的子群和商群（称为可解群）”的问题。阿贝尔-鲁菲尼定理说明了：一般的五次或以上的多项式方程，其对应的伽罗瓦群是元置换群formula_35（大于等于5），而这个群唯一的非平凡正规子群：元交替群formula_36是不交换的单群，无法满足要求。因此，不存在使用根式求解一般的五次或以上的多项式方程的方法。
推广.对于无限的伽罗瓦扩张，伽罗瓦理论基本定理不再成立，因为这时伽罗瓦群的子群个数会比中间域的个数要多。然而，在给伽罗瓦群装备了一定的拓扑结构（Kru