合函子。函子的复合依定义是可结合的。这显示函子可以被认为是范畴的范畴中的态射。一个只具单一对象的小范畴等同于一个么半群，此一单一对象范畴的态射可被视为是么半群中的元素，且其在范畴中的复合则可以视为是么半群中的运算。此时这类范畴间的函子无非是么半群间的同态。在此意义下，任意范畴间的函子可被视为是么半群同态至多于一个对象的范畴的一种广义化。
双函子与多函子.双函子是函子概念在「双变元」时的推广。形式的定义则定义在两个范畴的积上的函子formula_46。函子formula_47