算术几何也受益于这个概念，且许多概念会同时存在于几何与数论之内。例如，对一扩张体的质理想分解（这是代数数论里的一个基本问题），与几何里的分歧具有某些相似之处。此类分歧问题甚至在只关注整数的数论问题里也会出现。例如，二次体的整数环内的质理想可被用来证明二次互反律。二次互反律讨论下面二次方程是否有整数解，其中x为整数，p与q为（一般）质数。早期对费马最后定理证明之尝试，于恩斯特·库默尔引入正则素数后达到了高潮。正则质数是指无法在由下列式子（其中"a"、…、"a为整数，ζ则是能使的复数）组成的环里，使得唯一分