点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。
奇点分类.曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线formula_53之于原点formula_54，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线formula_7在一点formula_38的奇点性质可以透过下述方式理解：透过平移，不妨假设formula_57。