_4上拓扑的一个并不浅显易懂的重要结论是，鲁伊兹·布劳威尔的区域不变性。任意formula_4的子集（以及其子拓扑）与另外一个formula_4的子集同胚的话，那么这个子集自己是开的。这个结果的一个直接的结论就是formula_54与formula_4不同胚，当formula_56。
与流形的关系.在现代数学中，欧几里得空间形成了其他更加复杂的几何对象的原型。特别是流形，它是逻辑上同胚于欧几里得空间的豪斯多夫拓扑空间。formula_1维欧氏空间是n维流形的典型例子，事实上也就