ion::::公理化与异常理论.从1940年到1960年，代数拓扑迅速地发展，同调论的角色通常作为基本理论，容易计算，拓扑学家用它去计算其它函子。艾伦伯格与斯廷罗德的同调论公理化（艾伦伯格-斯廷罗德公理）揭示了同调理论的不同候选通常是，粗糙地讲，某些正合序列特别是迈耶-菲托里斯序列，以及算出了一个点的同调的维数公理。在拓扑K-理论与配边理论中导出的（上）同调，在同伦论中成为标准的推广到异常（上）同调论，中维数公里减弱了。他们对 CW复形范畴容易刻画。
同调论现状.对更一般（即不那