加莱-霍普夫定理，三维空间中的向量场的零点处的指数和为2，即二维球面的欧拉示性数，因此零点必然存在。对于二维环面，其欧拉特征数为0，因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说，对于任意的正则的偶数维紧流形，若其欧拉示性数不为0，则其上的连续的切向量场必然存在零点。
零点的计数.从一个更先进的观点来看：向量场的每个零点具有一个（非零的）"指标"，并且可以证明，所有零点的指标之和必为2。这是因为2维球面的欧拉示性数为2，因此，必定存在至少一个零点。这是由庞加莱-霍普夫定理导出