泛包络代数等同于 formula_31 上的左不变微分算子空间。在此等同关系下，formula_1 上双线性型的卡西米尔元，对应 formula_31 关于双不变度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。
推广.卡西米尔算子是李代数的泛包络代数的中心的特殊二次元素。换言之，卡西米尔算子是一个微分算子，其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里，每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而，中心内可以有其他（非二次）的元素。由拉卡定理，半单李代数的泛包络代数中心的维数，等于该李代数的秩。