构在共形等价下依赖于该度量。因此可定向曲面的复结构和该曲面上的度量的共形类有一一对应。给定共形类，可以用共形对称性找到一个有合适属性的代表度量。精确地讲，每个共形类总是有一个常曲率完备度量。在黎曼球面的情况，高斯-博内定理表明常曲率度量必须有正的曲率"K"。因而该度量必须通过球极投影等度于formula_40中半径为formula_66的球面。对于黎曼球面上的formula_6-图，formula_68度量可以给出如下：在实座标formula_70中，该公式为：除了一个常数因子，该度量和复射影空