ula_164上的范数是一致连续的泛函，而formula_164在formula_169是稠密的。因此∫是所有formula_169唯一的延伸。这个积分正好就是勒贝格积分。这个结果可以被广泛化来建立关于局部紧空间的拉东测度的积分理论。2004年尼古拉·布尔巴基就是使用了这个方法。
应用.值得指出的是许多拓扑向量空间（比如希尔伯特空间或者巴拿赫空间）中的定理以及其中的极限运算，通过使用勒贝格积分获得了巨大的简化。