尺度不变性，以及（通常的）非整数豪斯多夫维数——将它们聚为同类并抽象为可用的基本工具，从而大大拓宽了科学理论对“不光滑”的真实世界的应用。曼德博还强调了碎形思想可用于构造实际可行的模型，来模拟真实世界中的很多“粗糙的”现象。自然界中的分形集有山脉，海岸线，河流流域的形状；植物，血管和肺部的结构；星系团；还有布朗运动。碎形几何在人类艺术和娱乐中亦有出现，如音乐，艺术，建筑和股票市场的价格走势。曼德博相信，碎形几何不但不是非自然的，相反在很多方面都比人类创造出的欧氏几何中各种光滑的研究对象更加直观和自然：云