所有交换子所生成的子群：类似地可以定义高阶的导群。可以证明，如果存在自然数 n 使得 formula_5 ，那么"G"是可解群。商群formula_6是一个阿贝尔群，叫做"G"的阿贝尔化子群，通常记作"G"。"G"的阿贝尔化子群就是"G"的一阶同调群。 formula_7的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。