动点集合：可以证明，这个集合是一个域，称为子群的不变域。它是的扩域，是的子域，即是的中间域。显然一个自然的猜想是：，即所有不属于的元素，都会在某个自同构的作用下被映射到其他的元素上去。然而这个命题只对特定的域扩张成立。如果某个不属于的元素是上的代数元，设其为某个多项式的根，则在中任一个自同构的作用下的像仍是的一个根。事实上，如果设：那么这说明，自同构将多项式的根进行重新排列。因此，对自同构的研究可以帮助了解多项式的根。为了讨论多项式的根，引入正规扩张的概念。给定一个域扩张，任一不可约多项式如