，他提出了术语“二阶逻辑”）介绍给数学社区的时候，他确实使用不同的变量来区分在物体上量化和在属性和集合上的量化；但是他自己没有去区分出两类不同的逻辑。在发现罗素悖论之后，认识到了他的系统有些毛病。最终逻辑学家建立了以各种方式做限制的弗雷格逻辑—现在叫做一阶逻辑—除去了这个问题：集合和谓词在一阶逻辑中不能被单独量化。现在标准的逻辑的阶数等级就是从那时开始的。发现了集合论可以在一阶逻辑的设施内公式化为公理化系统（损失了某种完备性，但是不至于象罗素悖论那么糟糕），并且真就这么做了（参见Zermelo-Frae