× "X" → "X" 为连续映射。註：某些作者也要求 "X" 是豪斯多夫空间，更有要求其为局部凸空间者（例如 Fréchet 空间）。一个拓扑向量空间是豪斯多夫空间的充分条件是该空间为 formula_1 空间。佈于 "K" 上的拓扑向量空间范畴通常记为 TVS 或 TVect，其对象为佈于 "K" 上的拓扑向量空间，态射则为连续的 "K"-线性映射。拓扑向量空间的同构是既是同胚也是线性的映射。
例子.所有赋范向量空间都是拓扑向量空间的例子。因此所有巴拿赫空间及希尔伯特