数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 "n"-阶多项式能有多于 "n" 个不同的根。例如方程式 formula_21 就有无数多个解。只要是符合 formula_22 的实数，那么 formula_23就是一个解。一个四元数 formula_24 的共轭值定义为：formula_25而它的绝对值则是非负实数，定义为：