）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。黎曼几何与以下主题有关：参看：
黎曼几何古典理论.下面给出部分的黎曼几何古典理论。
理论.所有给出的定理中，都将用用空间的局部行为