有乘法运算。 与四元数不同，分裂四元数包含非平凡的零因子、幂零元和。（例如， formula_1 是幂等的零因子，而formula_2 是幂零元。)作为一种数学结构，分裂四元数形成了域代数，且与2 × 2的实矩阵同构。集合 formula_3组成一个基。 这些元素的积由给出。因此formula_10。 由以上定义可得，集合formula_11在分裂四元数乘法的定义下是一个群，与二面体群formula_12同构，称为正方形的对称群。分裂四元数formula_13的共轭formula_14。由于其