arkas才会在2005年提出这个概念。3"x" + 1半群大部分的推广形式都已被构造并研究过了。
定义.3"x" + 1半群是一个由正有理数形成的乘法半群，并由集合生成。函数"T" : "Z" → "Z"被定义为考拉兹猜想的简化版本：考拉兹猜想断言对每个正整数"n"，总是可以透过重复迭代"T"的方式将"n"映射到1。换句话说，总是存在一个整数"k"使得"T"("n") = 1。举例来说：若"n" = 7，则对"k" = 1, 2, 3...，"T"("n")的值