特定公理扩展为带有等式的算术形式系统的一阶谓词逻辑的定理，证实了它们可以同时满足自洽性和完备性。
对于逻辑的不同理解.逻辑产生于对论证正确性的关注。逻辑是对论证的研究，这个概念在历史上是很基本的，而这也是不同逻辑传统的创立者如柏拉图和亚里斯多德所设想的。现代的逻辑学家通常会希望确保对逻辑的研究只侷限于由适度一般化了的推论中所产生出来的论证；所以如《斯坦福哲学百科》所称，「逻辑……没有涵盖有效推理的整个课题，那是理性理论的工作。更明确地说，逻辑处理一种推论，其有效性可追溯至推论中的表