表示论和计算群论）。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在2004年完成的有限简单群分类中达到顶峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。
定义.群是由集合"G"和二元运算"·"构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何两个元素"a"和"b"而形成另一个元素，记为，符号"·"是具体的运算，比如整数加法。群公理所述的四个性质为：群运算的次序很重要，把元素"a"与元素"b"结合，所得到