数，定义则 () 也是一个纯四元数，可以证明 确实表示一个旋转，这个旋转将空间的点 旋转为空间的另一个点 ()。
与正交矩阵表示的关系.四元数的表示与正交矩阵表示是等价的，这可以通过直接的代数计算得到。仿照关于单位复数的欧拉公式的证明方法，可以得到单位四元数的欧拉公式：显然，当 =1, ==0 的时候就回到一般的欧拉公式。设（通过下面的计算可以知道，=0，即计算结果是纯四元数）则为简便起见，令formula_8省略号表示由第一项通过简单的轮换可以得到