其他根上。因此，对中任一个不属于的元素，都有自同构将其映射到它的极小多项式的任意其他根上。另外再假定任意元素的极小多项式都没有重根（这样的扩张称为可分扩张）。这时，一个自同构或某些自同构组成的群的不动点集合将和多项式的根产生密切联系。这样的域扩张称为伽罗瓦扩张。若是伽罗瓦扩张，它的自同构群称为伽罗瓦群，记作。当是有限扩张时，伽罗瓦群是有限群，其元素个数等于域扩张的次数，并且有。而伽罗瓦理论基本定理更进一步，给出了的子群和的中间域的对应关系。
对应关系.从前述中已经知道，给定的某个子