右边的运算元线性，即于是 可以视为线性泛函 （称为 "左矢" ）作用在向量 （称为 "右矢" ）的结果。里斯表示定理要求空间的完备性。事实上，从定理可知任意内积空间的拓扑对偶都与其完备化空间同构。作为里斯表示定理的直接推论， 希尔伯特空间 是自反空间, 即由 到其对偶之对偶的自然映射是同构。
弱收敛序列.在希尔伯特空间 中，若序列 满足对任意的 , 都有则称该序列到向量 例如，任何正交序列 都弱收敛到  0. 此为贝塞尔不等式的结果。根据一致有界原理，每个弱收敛序