G语义蕴涵φ”写成“G蕴涵φ”。我们要展示：(∀φ)(∀G)(如果G证明φ，则G蕴涵φ)我们注意到“G证明φ”有一个归纳定义，这给予我们直接的办法来验证“如果G证明φ，则……”形式的断言。所以我们的证明是用归纳法进行的。需要注意的是，对于自然演绎系统，基础步骤II可以省略，因为它们根本没有公理。基本上，基础步骤II是要展示每个公理都是（语义上的）逻辑真理。基础步骤证实了对于任何G，来自G的最简单的可证明的语句都被G所蕴涵。（这是简单的，因为集合蕴涵它的任何一个成员，是个平凡的语义事实）。归