的思路继续拓展，且都使用复分析的工具，其中的关键步骤是证明如果复数 s 可以写成 的形式，且 t>0，则 formula_22。进入20世纪之后，阿达马和普桑证明的定理经常被称作质数定理，定理的其他不同证明也陆陆续续被发现，这之中包括1949年阿特勒·塞尔伯格和艾狄胥·帕尔发现的「初等证明」。原本的证明是既冗长，又复杂，于是有很多后面发现的证明使用了让证明变得比较简短，但却变得让人比较难以消化。1980年，美国数学家发现了一个简洁的证明，这可能是目前已知最简单的证明。不过，证明中使用了柯西积分公式，因此