家威廉·哈密顿在1856年给出。在他的中，他发现了一个2阶的自同构，写道：使得formula_1是新的五次单位根，与之前的五次单位根formula_2以完美互反性的关系相关联。
内自同构和外自同构.有一些范畴，特别是群、环、李代数，其中的自同构可以分为两种，称为「内」自同构和「外」自同构。对群而言，内自同构就是群本身的元素的共轭作用。对一个群"G"的每个元素"a"，以"a"共轭是一个运算"φ" : "G" → "G"，定义为"φ"("g") = "aga"（或"a""ga"；