致的命题使用“悖论”一词，例如说谎者悖论或者罗素悖论。巴拿赫 - 塔斯基悖论并非这种意义上的悖论，它是一个已证明的定理，只因为违反直觉才被称为悖论。由于其证明明确地用到选择公理，这种反常的结论被用作反对使用该公理的理据。冯纽曼研究这个悖论时，创出了可均群的概念。他发现三维以上情形之所以产生悖论，和这些空间的旋转群的非可均性有关。
证明概要.基本上，寻找这个分球的奇怪方法可以分为4个步骤：每个步骤的详情如下：第一步，具有两个生成元"a"和"b"的自由群由所有含有"a"、