令formula_13，考虑普通复数formula_33, formula_34，它们的共轭复数为formula_33, formula_34。然后将"formula_17"表示为矩阵环，其中的分裂四元数的乘法与矩阵乘法的行为相同。例如，这个矩阵的行列式是减号的出现将反四元数与使用了加号的四元数formula_40区分开来。双曲几何中，庞加莱圆盘模型上范数为1的分裂四元数代表多重引导的使用是代数最重要的运用之一。除了复矩阵表示，另一种线性表示将反四元数与联系起来。这种同构可以明确如下：首先注意到