每个凯勒流形也是一个辛流形。直到1970年代，辛专家们还不确信是否有任何紧非Kähler辛流形存在，但从那以后又很多例子被构造出来（第一个由William Thurston给出）；特别的，Robert Gompf证明每个有限表示群都可以作为辛4维流形的基本群出现，这和凯勒的情形完全不同。可以说大部分辛流形都是非凯勒的;所以没有和辛形式相容的可积复结构。但是米哈伊尔·格罗莫夫给出了一个重要的发现，就是辛流形可以接受很多相容的殆复结构，所以它们满足复流形的所有假设，「除了」坐标变换函数必须是全纯的这一条。