些多项式的所有解都可用根式表达的判定标准，就是说这些解可以类似上面公式那样只使用加法、乘法和方根来表达。这个问题可以使用域论来处理：考虑一个多项式的分裂域就把问题转移到了域论的领域中了。现代伽罗瓦理论把上述类型的伽罗瓦群推广到了域扩张，并通过伽罗瓦理论基本定理建立了在zh-cn:域; zh-tw:体;和群之间的严格关联，再次凸显了群在数学中无所不在。
有限群.一个群被称为有限群，如果它有有限个元素。元素的数目叫做群"G"的阶。一类重要的有限群是n次对称群"S"，它是"N