在最原始的定义式中，积分是沿着实轴进行的，故要求在 (,) 中，运用上一小节里面的关系式，可以用下式来进行解析延拓：由比值审敛法可知，右边的级数的收敛半径是无穷大。由魏尔斯特拉斯原理，下式中的函数，有时记作formula_11，是关于 和 的整函数。因此下面的分解式的确给出了下不完全伽玛函数的一个解析延拓。其中前两个因子给出了下不完全伽玛函数的奇点（即=0 或 为非正整数），而后面的因子则给出了下不完全伽玛函数的零点。
多值性.下不完全伽玛函数的多值性来自于因子