，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。（参见欧几里得群）。为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了内积的二维实数的向量空间。有着:一旦欧几里得平面用这种语言描述了，扩展它的概念到任意维度就是简单的事情了。对于大多数部分，词汇、公式、和计算对更高维的出现不造成任何困难。（但是，旋转在高维中是非常微妙，而高维空间的可视化仍很困难，即使对有经验的数学家也一样）。欧几里得空