"M"的完备化即涉及从"M"到"M' "的等距同构，这里"M' "是"M"上柯西序列所构成的空间关于“距离为零”的等价关系的商集。这样，原空间"M"就等距同构到完备的度量空间的一个稠密子空间并且通常用这一空间来指代原空间"M"。 其它的嵌入构造表明每一度量空间都等距同构到某一赋范向量空间的一个闭子集以及每一完备度量空间都等距同构到某一巴拿赫空间的一个闭子集。一个希尔伯特空间上的等距、满射的线性算子被称为酉算子。
定义.设"X", "Y"是两个度量空间，其中的距离分别是"d" 和