由于 |"a"| = "a "，平方可积性之要求也即可以证明，平方可积函数在上述定义的内积导出的度量下构成一个完备度量空间。完备度量空间也被称为柯西空间，因为在这样的度量空间中，数列收敛当且仅当其为柯西序列。由一个范数导出的度量下的完备空间是巴拿赫空间。因此，平方可积函数的空间是由该范数导出的度量下的巴拿赫空间，而范数又是由内积导出的。由于内积的补充性质，这（空间）其实就是一个希尔伯特空间，因为空间在由内积导出的度量下是完备的。这个内积空间通常记为 formula_6，并经常缩写为 formul