实数。定义据二项式定理，（设formula_42得到最终的不等式）故此可证明当formula_37趋于无限大时上述二定义等价。这些定义的进一步解释和它们的等价性的证明，参见文章。
性质.从指数函数的定义：可得出它有幂运算的“指数定律”：它们对所有实数"formula_3"与formula_52都是有效的。因为在指数函数的定义中formula_3是实数，可以使用自然对数，把更一般的指数函数，即正实数的实数幂函数定义为定义于所有的formula_55，和所有的