面中，除了3-球面之外，就只有庞加莱同调球面有有限基本群。它的基本群称为，这个群的目是120。庞加莱在1900年猜想使用同调群就可以分辨3-流形是否3-球面，1904年他提出了这个反例，并引入了基本群概念证明他的反例不是球面，又将原来的猜想修改为庞加莱猜想。
构造法.庞加莱同调球面的一个简单构造法是使用正十二面体。将正十二面体的每个面与相对的另一面等同，将两个面用顺时针方向的最小「扭转」重合。这样黏合后得出的是闭3-流形。（参看用相似构造法及较大的「扭转」而成的，得出的是一个双