"，使得函数"u+iv"是全纯函数。这个函数"v"被称为调和函数"u"的调和共轭。这里的函数"v"在差一个常数的意义上是唯一定义的。这个结果在希尔伯特变换中有应用，也是数学分析中一个与奇异积分算子有关的基本例子。在几何意义上，"u"和"v"可以被看作具有正交的关系。如果画出两者的等值线，那么两条线在交点处正交（两条切线成直角）。在这种视角下，函数"u+iv"可以被看作一种“复位势场”，其中"u"是一个位势函数，而"v"是流函数。
调和函数规则性的理论.调和函数总是无穷次可导（光滑）