a_66和formula_67的唯一解，而余弦函数是满足初始条件formula_68和formula_69的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了formula_65的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足formula_71，这意味着它们是二阶导数算子的特征函数。正切函数是非线性微分方程满足初始条件formula_66的