向量v。v的长度的平方是vv。如果矩阵形式为"Q"v的线性变换保持了向量长度，则所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。"n"×"n"正交矩阵形成了一个群，即指示为"O"（"n"）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是"O"（3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性