成之集合。这个证明通常会被错误地描述为，欧几里得一开始假定一个包含所有质数的集合，并导致矛盾；或者是，该集合恰好包含n个最小的质数，而不任意个由质数所组成之集合。今日，formula_1个最小质数相乘后加一的一个数字，被称为第formula_1个欧几里得数。
欧拉的解析证明.欧拉的证明使用到质数倒数的总和当formula_24够大时，该和会大于任意实数。这可证明，存在无限多个质数，否则该和将只会增长至达到最大质数formula_24为止。formula_52的增加率可使用梅