到的矩阵乘法。给定一个群作用，这给出了研究所作用的对象的进一步方法。在另一方面，它还产生了关于群的信息。群表示是在有限群、李群、代数群和拓扑群特别是（局部）紧群理论中的起组织作用的原则。
伽罗瓦群."伽罗瓦群"是通过对求解多项式方程的过程中涉及到的对称性的研究而被发展起来的。例如，二次方程"ax" + "bx" + "c" = 0的解给出为对换表达式中的"+"和"−"，也就是置换方程的两个解可以被看作（非常简单的）群运算。类似的公式对于三次方程和四次方程也有，但是对于五次方程