它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。每个R的平滑子流形可以导出黎曼度量：把R的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。我们可以"定义"黎曼流形为和R的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从R导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：如果γ : ["a", "b"] → "M