，他所观测到的，大部份这类的截面会包括一个或是两个卵形，不过若平面恰好和环面的内表面相切，其图形会是一个8字型的图案，普罗克洛称为或是。lemniscate这个名字最早是在十七世纪出现，19世纪的数学家也曾研究此一曲线。Booth双扭线可以定义为四次多项式formula_1的零集，其中参数"d"为负值。若参数"d"为正值，会得到。
伯努利双扭线.乔瓦尼·多梅尼科·卡西尼在1680年研究一系列的曲线，现今称为卡西尼卵形线，是所有到两个定点（图形的焦点）距离乘积为常数的点形成的轨迹