距同构（如平移、旋转和此两者的组合）的子群则称为其纯对称群。一物件的纯对称群若等同于其全对称群，则称此物件为对掌的（也因此不存在使其不变的反转定位之等距同构。)任何其元素有着相同个不动点的对称群都可以由选定其原点为不动点来被表示成一个正交群O(n)的子群，其对所有的有限对称群及有界图像之对称群皆为真的。离散对称群可以分成三种类型：另外亦有着包含任意小角度的旋转或任意小距离的平移之「连续」对称群。一个球面O(3)的所有对称所组成的群即是一种连续对称群，而通常如此类的连续对称的群是在李群中所研究的对象