边积分可得到反正切的幂级数：将"x" = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当"x" = 1时级数收敛到tan(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。
初等证明.考虑如下分解对于|"x"| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数"x"成立。上式两端从0到1积