a"*) = "a"*、("a"*)* = "a"* 和 "a" ≤ "b"* 当且仅当 "a"* ≤ "b"*。如果 "A" 是 Kleene 代数而 "n" 是自然数，则你可以认为集合 M("A") 由带有 "A" 中条目的所有 "n"×"n"矩阵构成。使用普通的矩阵加法和乘法概念，你可以定义一个唯一的 *-运算，所以 M("A") 成为一个 Kleene 代数。
历史.Kleene 代数不是 Kleene 定义的；他介入了正则表达式并寻求一个完备的公理集合来允许在正则表