用行列式的莱布尼兹公式，得出 det("A") 的系数是 det("B")。这个证明没有利用行列式的可乘性，相反这个证明建立了它。如果 "A" 是一个实 "m"×"n" 矩阵，则 det("A" "A") 等于由 "A" 中行向量在 R 中张成的平行多面体"m"-维体积的平方。柯西–比内公式说这等于该平行多面体在所有 "m"-维坐标平面（共有 C("n","m") 个）的正交投影的平行多面体的 "m"-维体积的平方之总和。"m"=1 的情形是关于一条线段的长度，这恰是毕达哥拉斯定理。柯西–比内公式