" 的一个子空间 "W"，令 "P" 是 "V" 到 "W" 的投影。则是 "Gr"("V") 上一个度量，这里 formula_6 表示算子范数。如果底域 "k" 任意且将 "GL"("V") 视为一个代数群，则这种构造说明格拉斯曼是一个非奇异代数簇。还可以证明 "H" 是一个，由此得出 "Gr"("V") 完备。
普吕克嵌入.普吕克嵌入是格拉斯曼流形到一个射影空间的自然嵌入：假设 "W" 是 "V" 的一个 "r"-维子空间 "V"。为了定义 ψ("W")，取 "W"