小联盟开始他的职业生涯；1994年在短期1A队度过，出赛14场缴出3胜7败、防御率4.66的成绩。1995年，分别效力于1A队和高阶1A队。在坦帕洋基，梅迪纳出赛6场，缴出防御率2.37的成绩；随后被晋升到2A队，出赛19场缴出5胜8败、防御率3.06、三振112次的成绩。1996年球季结束后，他和鲁本·李维拉一起被交易到圣地牙哥教士队，换来伊良部秀辉和。1997年，梅迪纳在教士队3A度过，出赛13场缴出防御率7.56的成绩；不理想的数据和投球缺乏自信，使得球探不再认为他是顶级新秀。在教士队度过一个赛季