示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的。自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画。
详细定义.设formula_1为标量域formula_2（formula_3或formula_4）上的赋范向量空间，其中的范数记作formula_5。考虑它的对偶赋范空间formula_6。依定义，formula_6是由所有从formula_1射到标量域formula_2上的连续线性泛函formula_10构成的空间（也称为连续对偶空间），装备了对偶范数formula_11：