为formula_8内所有formula_27的集合，使得formula_28。那么formula_25是非空的，因为formula_30是formula_25的一个元素，且formula_25是上有界的，其上界为formula_33。于是，根据实数的完备性，最小上界formula_34 formula_25一定存在。我们来证明formula_6。因此formula_6。 
与实数完备性的关系.此定理仰赖于实数完备性，它对有理数不成立。例如函数formula_62满足for