纳什引入，指出存在一个常数"C" > 0，满足对所有"u" ∈ "L"(R) ∩ "W"(R),这个不等式由傅立叶变换的基本性质导出。实际上，在半径为ρ的球的补集上的积分，由帕塞瓦尔定理。另一方面，有，在半径为ρ的球上的积分给出其中"ω"是n维球的体积。选择ρ最小化()和()的和，再次使用帕塞瓦尔定理：给出不等式。在"n" = 1的特殊情形，纳什不等式可以扩展到"L"情形，此时是Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的推广。实际上，如果I是有界区间，则对所有1 ≤ "