上，得到了进一步的长远发展，两个人都引入了新的概念，并得到大量有关特别类型之置换群的结论，甚至有得到一些一般性的定理。其中，若尔当定义出同构的概念，虽然能在置换群的背景下。此外，也是他让「群」这个词得到了广泛的运用。群的抽象概念直到1854年才在阿瑟·凯莱的论文中首次出现。凯莱理解到群不必然要是置换群（甚至不需要是「有限」的），且可改由矩阵组成。矩阵的代数性质，如乘法及反元素，凯莱在接下来的几年间有系统地作出了一些研究。很久之后，凯来重新审视抽象群是否更一般于置换群这个问题，并确立，实际上，任一群均会同