n" 次)为 "x"，并定义 "x" = "e"。类似的，定义 "x" 为 ("x")。则我们有:定理 2.5: 设 "a" 是群 ("G",*) 的元素。则集合 { "a": "n" 是整数 } 是 "G" 的子群。"证明"。这种类型的子群叫做循环子群；"a" 的幂的子群经常写为 <"a">，并称为 "a" 生成 <"a">。
陪集.如果 "S" 和 "T" 是 "G" 的子集，并且 "a" 是 "G" 的元素，我们写“"a"*"S"”来提及形如 "a"*"s" 的所有元