{"r" ∈ "R", "f"("r") = 0} 与 im ("f") = "f"("R") = {"f"("r"), "r" ∈ "R"}。核与像分别是 "R" 与 "S" 的子环。
模.交换代数的外部结构由考虑这个环上的线性代数确定，即研究它的模理论，这与向量空间类似，除了底不必是一个域而可以为任何环 "R"。"R"-模的理论比向量空间的线性代数要复杂得多。模理论必须处理一些困难比如模没有基，自由模的秩（即向量空间的维数之类比）可能不是良好定义的，有限生成模的子模不必是有限生