和 "q" 会交换 "F" 和 "V" 但 "E" 不变。正多面体只有五种这个定理是一个经典结果。下面给出了两个证明。注意这两个证明都只证明了正多面体至多有五种，这五种的存在性需要靠构造给出。
几何证明.下面的几何讨论和欧几里得在几何原本中给出的证明非常相似：
拓扑证明.纯粹的拓扑证明可以只利用正多面体的性质．关键在于 formula_4 和 formula_5．综合上面等式，我们有于是由于 formula_8，注意到 "p" 和 "q" 必须