r = f然而r·f = f。换句话说，D不是阿贝尔群，这使得这个群的结构比上面介绍的整数群要更加复杂。
历史.抽象群的现代概念是从多个数学领域发展出来的。群论的最初动机是为了求解高于4次的多项式方程。十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，扩展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依据特定多项式方程的根（解）的对称群给出了对它的可解性的判别准则。这个伽罗瓦群的元素对应于根的特定置换。伽罗瓦的想法最初被同代人所拒绝，只在死后才出版。更一般的置换群由奥古斯丁·路易·柯西专门研究。