formula_11）的轨迹是一个圆formula_12一样，当formula_8遍历实数集formula_9时，点（formula_15, formula_16）的轨迹是formula_17的右半边。这是因为有以下的恒等式：参数"t"不是圆角而是双曲角，它表示在"x"轴和连接原点和双曲线上的点（formula_15, formula_16）的直线之间的面积的两倍。
历史.在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积。自然对数函数是在直角双