多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在1900年巴黎的国际数学家大会上宣佈此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。库尔特·哥德尔在1940年指出连续统假设不能在ZFC系统下证否，即使接受了选择公理为前提。保罗·寇恩在1963年证明了连续统假设同样不能在ZFC下被证明。因此，连续统假设「逻辑地独立于」ZFC。这些结果都是以ZFC的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提，而这个大前提是被广泛接受为对的。连续统假设并非被证明跟ZFC互相独立的第一个命题