曼张量的变分表达式的两个分量得到：里奇标量的定义为从而它相对于度规formula_24的变分为在第二行中我们使用了上面得到的里奇张量的变分结果以及协变导数对度规的性质formula_26。最后一项formula_27是一个全微分，根据斯托克斯定理当对它进行积分时只能得到一个边界项。因而当度规的变分formula_13 在无穷远处趋于零时这项的积分也为零，从而不对作用量有贡献。这样我们得到
度规行列式的变分.根据对行列式进行求导的雅可比公式我们得到从而结论为