夫微分同胚（）。
拓扑和万有覆盖.做为一个拓扑空间，PSL("R") 可以描述为双曲平面的单位切丛，这是一个圆丛，有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL("R") 是 PSL("R") 的二重覆盖，可以认为是双曲平面上的旋量丛。SL("R") 的基本群是无限循环群 。其万有覆盖群记做 formula_12，是一个有限维李群但不是矩阵群。即 formula_12 没有忠实有限维表示。做为一个拓扑空间，formula_12 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量，3-