自1951年以来，所有已知最大的质数都由电脑所发现。对更大质数的搜寻已在数学界以外的地方产生出兴趣。网际网路梅森质数大搜索及其他用来寻找大质数的分散式运算计画变得流行，在数学家仍持续与质数理论奋斗的同时。
素数的数目.存在无限多个质数。另一种说法为，质数序列永远不会结束。此一陈述被称为「欧几里得定理」，以古希腊数学家欧几里得为名，因为他提出了该陈述的第一个证明。已知存在其他更多的证明，包括欧拉的分析证明、哥德巴赫依据费马数的证明、佛丝登宝格使用一般拓扑学的证明，以及库默尔优雅