短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直，即发生了旋转。设旋转的角度为formula_81，则有若将代入式中便可得到旋转前的椭圆。
渐开线及其导数.有了椭圆渐开线的导数我们可以计算它的长度，其中formula_89是第二类完全椭圆积分。