今日多数的微积分教科书透过比较formula_2在"n"是奇数或是偶数，甚至是接近无穷大的情况下，发现即使将"n"增加一就会发生不一样的情形。在那时，微积分尚未存在，而且有关数学收敛的分析工具也还未俱全，所以完成这证明较现今有相当的难度。从现在来看，从欧拉公式中的正弦展开式得到此乘积是必然的结果。在"x" = π/2时
严谨证明.先考虑不定积分formula_6有formula_7 formula_8formula_9formula_10formula_11