理（霍普夫，1941年）.
量子群与非交换几何.上述所有例子若非交换便是余交换的。另一方面，泛包络代数的某些「变形」或「量子化」可给出非交换亦非余交换的例子；这类霍普夫代数常被称为量子群，尽管严格而言它们并不是群。这类代数在非交换几何中相当重要：一个仿射代数群可以由其座标环构成的霍普夫代数刻划，而这些霍普夫代数的变形则可设想为某类「量子化」了的代数群（实则非群）。