，此一群为非可换的；如"ij"=−"ji"。"Q"有着汉弥尔顿群较不常见的性质：每一个"Q"的子群都是其正规子群，但这个群不是可换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个"Q"。在抽象代数里，可以造出一个其基底为{1,"i","j","k"}的实四维向量空间，且使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数。其即为一个称为四元数的除环。需注意的是，这并不是在"Q"上的群代数(其应该是8维的)。相反地，亦可以先由四元数开始，再「定义」出由八个元素{1, −1, "i", −"i", "j", −"j", "k"