我们可清晰地找出 "T" 上一个定向区域其边界是 "C" − "D"。可以证明整系数 1-圈的同调类构成一个有两个生成元的自由阿贝尔群，他们是绕此环面的两种不同方式。
十九世纪.这种层次的理解是十九世纪数学界中的共有性质，源于黎曼曲面的想法。十九世纪末，庞加莱给出了一个更一般但仍基于直觉的背景。例如，考虑最先由庞加莱于1899年表述的一般斯托克斯定理：它必须涉及一个积分项（现在我们称为微分形式）和一个积分区域（一个 "p"-链），以及两类边缘算子，一个用现代术语是外微分，另一个