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虚数圆角定义.双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果"x"是实数而i = −1，则所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恆等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成cosh函数，后者形成了sinh函数。cos函数的无穷级数可从cosh得出，通过把它变为交错级数，而sin函数可来自将sinh变为交错级数。上面的恆等式使用虚数i，从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)，来恢复为