定理声称在布尔代数中有"足够"的素理想，在我们可以扩展"所有"理想到极大理想的意义上。这对于证明Stone布尔代数表示定理是有实践上重要性的，它是Stone对偶性的特殊情况，在其中用特定拓扑架设所有素理想的集合并可以真正的从这个数据恢复最初的布尔代数（在同构的意义下）。进一步的，已发现在应用中你可以自由的选择用素理想或素滤子来工作，因为所有理想唯一的确定一个滤子：所有它的元素的布尔补的集合。这些方式在文献中都可找到。在一般拓扑学中被称为依赖于选择公理的很多其他定理实际上等价于BPI。例如，紧致豪斯多夫空