剩余是利用希尔伯特符号计算。
进展.在此问题的求解上，已有一些进展，但还没完全解决。奥地利数学家埃米尔·阿廷（Emil Artin，1924; 1927; 1930）发现了处理代数数域下的。不但发现了更一般性的哈塞互反律，他和高木贞治的贡献也带动了类域论的发展，用抽象的方式来处理希尔伯特符号。后来（1948; 1949; 1950）找到特定情形下范式剩余的公式。和希尔伯特第十二问题有关的是数论中最有挑战性的问题之一，此问题仅解决了一小部份。