通过向量值情形的刘维尔定理可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零，所以恒为零。产生矛盾。 谱的有界性由关于"λ"的诺伊曼级数展开得出；频谱"σ"("T")有界||"T"||。类似的，可以证出谱是闭集。谱的界||"T"||可以稍作改进。"T"的谱半径"r"("T")是复平面上最小的包含谱σ("T")以原点为圆心的圆的半径，即 谱半径公式指出，对于巴拿赫代数的任何元素"T"有
算子谱点分类.巴拿赫空间上的有界算子"T"可逆（即有有界逆），当且仅当"T"有正下界且值域稠密。