不能在该体系内以一阶谓词逻辑的形式证明。存在不完备的体系这一事实本身并不使人感到特别惊讶。例如，在欧几里得几何中，如果把平行公设去掉，就得到一个不完备的体系。不完备的体系可能只意味着尚未找出所有必须的公理而已。但哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论或者实分析中，永远不能找出公理的完整集合。换句话说，每一次将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在所能形式证明的范围之外。如果加入无穷条公理（例如，所有真命题）到公理列表中，确保所有命题都可证明为真或假，但得到的公理列表将不再是递归集。给出任意