0 酉表示上的formula_222 函数空间的同构。庞特里亚金对偶性和彼得-外尔定理分别在 formula_110 为阿贝尔群和为紧致群的情况达成了这一目标。另一种研究手段则是考虑所有的酉表示，而不仅是不可约的酉表示。这样，由于所有的酉表示构成一个范畴，因此淡中-克莱恩对偶提供了从酉表示的范畴还原出紧致群的方法。对于非紧、非交换的群，虽然有部分较完整的理论，如格罗滕迪克对淡中-克莱恩对偶的推广，建立了线性代数群和淡中范畴之间的联系；但目前还没有一般的理论可以视为普朗歇尔定理或傅里叶逆定理的类比。