连续的单射。那么"X"的像的补集由两个不同的连通分支组成。其中一个分支是有界的（内部），另外一个是无界的（外部）。X的像是它们的公共边界。若尔当曲线定理还有另外一种推广，它说明平面上的任何若尔当曲线，视为从圆"S"到平面R的映射，都可以延伸到平面的一个同胚。这个表述比若尔当曲线定理更强。这个推广在更高的维数不成立，就是一个着名的反例。亚历山大角球的补集的无界分支不是单连通的，因此亚历山大角球的映射不能延伸到整个R。若尔当曲线定理的另外一个推广说明，如果"M"是R的任何紧致、连通、无界的"n"维子流形，