，我们又知道，存在一个单位四元数到特殊正交群 SO(3) 的同态，但这不是同构。给定一个角 ， 2π+ 与 对应的正交矩阵相同，但是由欧拉公式给出的单位四元数不同（恰好相反）。实际上，这反映了在三维空间中旋转 2π 弧度和旋转 4π 弧度是不等价的，参见旋量。事实上，单位四元数群与自旋群 Spin(3) 同构。这也表明，与自旋群 Spin(3) 同构。进一步地，它们微分同胚。另一方面，单位四元数群与复数域上的2-球面同构，于是与特殊正交群 SO(2,C) 同构，而后者实际上就是特殊酉群 SU(2)。