有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个具有正交基的巴拿赫空间，就是一个希尔伯特空间。
基本性质."B"是"H"上的一个正交基，那么"H"中的每个元素"x"都可以表示成：当"B"是标准正交基时，就是："x"的模长表示为：即使"B"不是可数的，上面和式里的非零项也只会有可数