formula_48定义，则formula_47的奇点恰为formula_47上使得formula_51为零的点，即：在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。
奇点分类.曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线formul