首先是 "n" = 2 然后是一般的 "n"，用于证明双曲几何与通常欧几里得几何的（）。距离公式最先由阿瑟·凯莱在射影和球面几何的情形下写出。菲利克斯·克莱因意识到它对非欧几里得几何的重要性并普及了这个论题。
距离公式.阿瑟·凯莱使用射影几何中的交比衡量球面几何中的距离和角度。随后，菲利克斯·克莱因意识到凯莱的想法给出了非欧几里得平面的一个射影模型。给定开单位球中两个不同点 "p" 和 "q"，连接它们的惟一直线与单位球面相交 "a" "b" 两点，使得 "a", "p", "