标诠释。这个问题也由阿蒂亚与辛格在1961年联手解决。阿蒂亚与辛格在1963年宣佈他们的指标定理，但一直没有正式发表，只出现在 Palais 在1965年出版的书上。他们在1968年发表了第二个证明，用K理论取代了初版证明中的配边论手法。阿蒂亚、博特与 Patodi 在 1973 年以热传导方程的手法给出另一个证明。格茨勒基于爱德华·维腾（1982）及 Alvarez-Gaume（1983）的想法，给出了局部狄拉克算子的局部指标定理的简短证明，这涵摄了实际应用中的大多数例子。Section:::