1是诺特环，那么formula_11也是诺特环。定理可以如下翻译成代数几何的语言：域上的每个代数集都可以描述成有限多个多项式方程的公共根的集合。 在他对不变量环的有限生成的证明中，证明了希尔伯特基定理（在域上的多项式环这一特例）。希尔伯特应用数学归纳法给出了一个创新的反证：他的证明并没有提供对于任一理想生成对应的有限多个多项式方程的算法；相反，它只说明了这些多项式方程存在。通过Gröbner基的方法，我们可以确定给定理想的基多项式。。
应用.设formula_1为诺特交换环