构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在已久的庞加莱猜想，以及有争议的四色定理。庞加莱猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明，而四色定理已在1976年由凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯用电脑证明，而从来没有由人力来验证过。
变化.了解及描述变化在自然科学里是一普遍的议题，而微积分更为研究变化的有利工具。函数诞生于此，做为描述一变化的量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析