1943 年格哈德·根岑直接证明皮亚诺算术中 ε-induction 不可被证明之后，第三个被证明在皮亚诺算术中是不可证明的。之后的例子是 柏丽斯–哈灵顿定理。劳伦斯・柯比和杰夫・柏丽斯 介绍了一个图论中的九头蛇游戏，其行为类似古德斯坦序列：: "九头蛇" 是一棵有根的树，其每一步是砍掉它的一颗头（即树的分支），而九头蛇则对应地会依据某些规则来增加有限数量的头。柯比和柏丽斯则证明，不管赫拉克勒斯使用何种策略来砍头，九头蛇最终会被斩杀（尽管这个过程可能会非常漫长）。如古德斯坦序列，柯比和柏丽斯证明其在皮亚