符号 (2,1)，诱导了 PSL() 与洛伦兹群 SO(2,1) 之间一个同构。PSL() 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL() 在双曲空间的双曲面模型上的等距。
元素的分类.SL() 中一个元素 "A" 的本征值满足特征多项式从而这导致了如下元素分类：
椭圆型元素.椭圆型元素的本征值都是复数，是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转，相应的 PSL() 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。模群的椭圆型元素的