数函数可以表达 formula_13，但是是有一个普遍的公式借由微积分的积分与极限去表达阶乘的，而 Γ函数就是那个好公式。阶乘有无限多种的连续扩张方式将定义域扩张到非整数：可以通过任何一组孤立点画出无限多的曲线。Γ函数是实务上最好的一个选择，因为是解析的(除了正整数点)，而且它可以被定义成很多种等价形式。然而，它并不是唯一一个扩张阶乘意义的解析函数，只要给予任何解析函数，其在正整数上为零，像是 ，会给出其他函数有着阶乘性质。
定义.formula_1函数可以通过尤拉（Euler