据概括公理有：x∈R⇔x∉x。又因为R本身也是一个对象，令x=R，则得到背景命题R∈R⇔R∉R，背景命题为真因为它是推出来的。因为R∉R=¬(R∈R)，所以背景命题就是悖论情形A⇔¬A。所以罗素悖论是朴素集合论的一个悖论。因为有罗素悖论，所以现代的集合论去掉了概括公理，而且将集合限制在一个很小的范围内，从而解决了悖论的问题。尽管集合被限制在一个很小的范围内，但已足以表示数学的基本要素，如数、形等，所以现代集合论仍可以作为数学的基础。再举一个理发师悖论的例子，小城里的理发师放出豪言：他要为，而且只为，