数年后约翰·米尔诺重新发现。这条引理有时称为几何群论基本定理。有了这条引理，就可以由度量空间的几何性质，来研究群的性质。
定义.设"X"为一个度量空间。如果"X"每两点都有测地线相连，就称"X"为测地的。如果"X"中每一个闭球都是紧致集，就称"X"为常态的。考虑"X"中从某点formula_1量度距离的函数formula_2那么闭球formula_4是紧致区间[0,a]在formula_5下的原像。因此，闭球都是紧致集这个条件，便等价于所有形如formula_5的距离函数都是