其中一个常数固定为1，留下14个可调整的常数。四次曲线的空间可以视为是formula_2的实射影空间。依照，若考虑一般位置下14个不同的点，通过这十四个点的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度为14。四次曲线最多可以有：也可以考虑在其他数学域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此时可以得到黎曼曲面，在C上是一维的物件，但在R上是二维的物件。例如，另外也可以探讨射影平面下的曲线，由齐次多项式所定义。
举例.上述曲线中，系数的不同组合产生了以下重要的曲线族。