的子集"H" 可以被看作单射，就是说任何目标元素都有最多一个映射到它的元素。单射的对立是满射（所有目标的元素都被映射到了），比如规范映射。通过这些同态理解子群和商群强调了这些定义中内在的结构性概念。一般的说，同态既不是单射也不是满射。群同态的核与像和第一同构定理研究这个现象。
共轭.如果同一个群中的两个元素"p" 和"q "满足关系："p = xqx"，其中"x" 也是同一个群中的元素，则称元素"p" 和"q" 共轭。共轭关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共轭是自反的、对称的和