电子云」，德鲁德模型得以解释电导率和热导率，以及金属的霍尔效应，虽然电子热容被大大地高估了。阿诺·索末菲在自由电子模型（又名德鲁德-索末菲模型）中将古典的德鲁德模型与量子力学结合。此模型中，电子被假想为费米气体，该气体中的组成粒子遵守量子力学的费米-狄拉克统计。自由电子模型对金属的热容量的预测更为精准，但却无法解释绝缘体为何存在。近自由电子近似为自由电子模型的修正版，其借由週期性的微扰模拟导电电子及晶体中的离子之间的相互作用。 借由导入能带结构的概念，此理论成功解释了导体、半导体及绝缘体的存在。