a_1-模时，上述条件更等价于由此可定义环 formula_1 的同调维度 formula_35为：
性质.内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系：其中的 formula_44 取遍 formula_1 的所有素理想（或极大理想），而投射维度给出 formula_46 的上半连续函数。事实上，仅须考虑 formula_2 的支撑集中的素理想。由此立刻得到 formula_48。此外，它们与模的深度也有密切的关系，例如：定理 （Auslander-Buch