和 φ 一起确定了"G" 最多相差一个同构，如下面所证。给定任意两个群"N"和"H"（不必是某个群的子群）和一个群同态φ : "H" → Aut("N")，我们定义一个新群"N" ⋊ "H"，"N"和"H"相对于φ的半直积，如下:基础的集合是集合直积"N" × "H"，而群运算*给定为对于所有"n", "N"中的"n" 和"H"中的"h", "h"。这确实定义了一个群；其幺元为("e", "e")而元素("n", "h")的逆为(φ("h")("n"), "h"). "N" × {"e"}是同构