xp(φ"i") = cos(φ) + "i" sin(φ)映到正交矩阵群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式在代数拓扑方面，对"n" > 2，SO("n",R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin("n")是其万有覆叠。对"n" = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重覆叠）李群O("n",R)和SO("n",R的李代数由斜对称实"n"×"n"矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经