和几何学的贡献之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，有自己独特的研究方法。为了研究群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群论还研究表示群的各种具体方式（群表示论和计算群论）。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在2004年完成的有限简单群分类中达到顶峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。
定义.群是由集合"G"和二元运