绎推理，而不是依靠自然归纳和经验性的理据。这样推导出来的命题也叫做该系统中的定理。数学证明建立在逻辑之上，但通常会包含若干程度的自然语言，因此可能会产生一些含煳的部分。实际上，用文字形式写成的数学证明，在大多数情况都可以视为非形式逻辑的应用。在证明论的范畴内，则考虑那些用纯形式化的语言写出的证明。这个区别导致了对过往到现在的数学实践、和的大部分检验。数学哲学就关注语言和逻辑在数学证明中的角色，和作为语言的数学。
定义.数学上的证明包括两个不同的概念。首先是非形式化的