利·庞加莱于1895年发表论文《相位分析》（Analysis Situs），引进同伦与同调的概念，这些概念现在被认为是代数拓扑的一部分。统合格奥尔格·康托尔、维多·沃尔泰拉、西萨尔·阿尔泽拉、雅克·阿达马与朱利奥·阿斯科利等人对函数空间的成果，莫里斯·弗雷歇于1906年引入度量空间的概念。度量空间现在被认为是一般拓扑空间的特例。于1914年，费利克斯·豪斯多夫提出「拓扑空间」一词，并给出现代称之豪斯多夫空间的定义。今日的拓扑空间之定义为豪斯多夫空间稍微的推广，由卡齐米日·库拉托夫斯基于1922年所给出。