算术基本定理可证得，该级数会等于下面的无穷乘积ζ函数与质数密切相关。例如，存在无限多个质数这个事实也可以使用ζ函数看出：若只有有限多个质数，则ζ(1)将会是个有限值。不过，调和级数会发散，所以必须有无限多个质数。另一个能看见ζ函数的丰富性，并一瞥现代代数数论的例子为下面的恆等式（巴塞尔问题，由欧拉给出）：ζ(2)的倒数6/π，是两个随机选定的数字会互质的机率。未被证明的「黎曼猜想」，于1859年提出，表示除外，ζ函数所有的根，其实数部分均为1/2。此一猜想与质数间的关连在于，该猜想实际上是在说，质数