"m" − "k"是偶数，这就是我们要证明的。现在我们可以定义置换σ是偶的，如果"N"(σ)是偶数；是奇的，如果"N"(σ)是奇数。这与首先给出的定义相同，但现在清晰地看到每个置换不是偶的就是奇的。
证明二.另一个证明利用多项式例如在"n" = 3的情形，我们有现在对{1...,"n"}的一个给定置换σ，我们定义因为多项式formula_24与formula_25除了符号之外它们的因子相同，从而sgn(σ)不是 +1就是−1。从而如果σ与τ是两个置换，我们有有此