则有如下的对数求和不等式：上式中，等号成立的充分必要条件是所有 formula_6 都相等。 
证明.设辅助函数 formula_7 ，容易验证这个函数是一个凸（Convex）函数，我们有 推导中第二行的不等号，是由琴生不等式得到的 （可验证 formula_9 ， formula_10）。 
应用.对数求和不等式可用于证明信息论中的几个不等式，例如吉布斯不等式或KL散度的基本性质 。 例如，证明吉布斯不等式时，将 formula_11看作 f