们就将 "E "定义成为一个赋范向量空间。关于赋范向量空间上的连续线性函子有哈恩-巴拿赫定理。
商空间.很多赋范向量空间（特别是巴拿赫空间）的定义涉及到空间上定义的半范数。赋范向量空间可以定义为一个空间关于半范数为零的元素的商空间。比如说，对于L空间的定义，考虑所有函数组成的空间上的函数：是一个半范数，它对所有能使式子右边勒贝格可积的函数有定义。然而，对于任意定义在勒贝格测度为 0 的支撑上的函数，其半范数皆为 0 。在“除掉”这些函数（将它们归为 0 函数的等价类）之后，得