德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
定义.
从有理数构造实数.实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如formula_34所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理化方法.设 formula_10 是所有实数的集合，则：最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于formula_53的有理数的集合存在有理数上界，如for