界当且仅当 formula_41，集合 formula_42都是 formula_34中相对紧致的子集。如果一个集合 "A" 在紧致开拓扑中是紧致的，那么 "A" 中的所有序列都拥有一个在 "A" 中一致收敛的子序列。更广泛地，对于 "X" 是紧豪斯多夫空间的情况，定理一样成立：阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上，连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说，函数的取值空间可以换为豪斯多夫的拓扑向量空间，这时仍然有基本相同的定理。
证明