.张量代数formula_2也成为向量空间"formula_1"上的自由代数，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子formula_36左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个"formula_7"-代数送到它的底向量空间。准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含"formula_1"的最一般的代数：这里formula_45是"formula_1"到formula_2的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数formula_2为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下