考虑数formula_1，其中formula_2是实数，而量formula_3不是实数，但formula_4是实数。选取formula_5，得到一般复数。取formula_6的话，便得到双曲复数。定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：
共轭、范数.对于formula_1，其共轭值formula_10。对于任何双曲复数formula_11，可见它是自同构的。定义内积为 formula_15 。若formula_16 ，说formula_11（