上述古老和现代的方法，我们也考察一些具有历史和实际兴趣的不同方法，其中有精确的也有近似方法。
算术证明.按照阿基米德（）的方法，比较一个圆与底为圆周长高为半径的直角三角形。如果圆与三角形的面积不相等，那么必为大于或小于。我们用反证法排除这两种情形，剩下惟一可能就是等于。证明的关键是利用正多边形。
不大于.假设圆面积formula_4大于三角形formula_5。记formula_6为超过的部分。取一正方形内接于圆周，所有四个角在圆周上。在正方形和圆周之间是