中的元素 "a", "b", "c":整数集 Z 和实数集 R 是在加法 '+' 下的群，对于所有 Z 或者 R 中的元素 "a", "b" 和 "c":实数集 R 不是乘法 '*' 下的群。对于所有 R 中的 "a", "b" 和 "c":实数集去除 0 即 R 是在乘法 '*' 下的群。
可替代的公理.A3 和 A4 可以被替代为:还可以替代为:这些看起来更弱的公理对天然的蕴含于 A3 和 A4 中。我们现在证明逆过来也是真的。定理: A1 和 A2 ，