莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，"e"为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：克莱因四元群是下图的图自同构群。克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：在这表示中，V是交错群"A"的正规子群，也是4个字母上的对称群"S"的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了四次方程可以用根式求解的原因。