物理空间的模型，且明显地只能有此一模型。另一种数学系统可能存在的想法，对19世纪的数学家而言是极度困扰的，并费尽苦心地想要将这些系统从传统算术中推导出来。伽罗瓦证明这些努力大多都是白费的。最后，这些在代数系统中相互平行的抽象系统看起来似乎有其重要性，而现代代数也由此诞生了。以现在的观点来看，任意的公式集合都可以作为公理，只要这些公式并未被发现为不一致的便可。