个素数积都出现了正好一次，因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。右边的和是发散的调和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积内每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；因此得出共有无限个素数。
埃尔德什的证明.埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数formula_31都能被写成独一无二的其中formula_50非平方数，或任何平方数的倍数（设formula_51为能整除formula_31的最大平方数，并使formula_53）。此时假