德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:
恆等式.与双曲函数有关的恆等式如下:由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恆等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的