论的语言，拓扑群可以简明的定义为在拓扑空间范畴内的群对象，如同普通的群是集合范畴的群对象一样。
同态.在两个拓扑群 "G" 和 "H" 之间的同态就是连续群同态 "G" → "H"。拓扑群的同构则要求同时是群同构及对应拓扑空间的同胚。这比单纯要求连续群同构要更强，因其逆函数必须也是连续。有作为普通群是同构的但作为拓扑群却不同构的例子。实际上，任何非离散的拓扑群在用离散拓扑来考虑的时候也是（另一个）拓扑群。底层的群是一样的（同构），但两个拓扑群并非同构。拓扑群和它们的同态一起形成