昂利·庞加莱通过引入基本群创立了现在所谓的代数拓扑。通过这种连接方式，拓扑性质比如临近和连续转换成了群的性质。例如，右侧的图像描绘了平面减去一个点的基本群的元素。这个群的元素给出为在这个区域内的环路。蓝色环路被认为是零同伦（因此是无关紧要的），因为它可以收缩为一个点。圆孔的存在防止了橙色环路被收缩。橙色环路（或任何环绕这个圆孔一次的其他环路）所生成的，去掉了一个点的平面的基本群是无限循环群。基本群以这种方式探测到了这个圆孔。在更新近的应用中，影响已经被倒转过来，由群论背景来激发几何结构了。在类似的脉络下