自旋之希尔伯特空间的完整基底，即自旋的态可用这两个态的线性组合来代表。这两个态方便上称之为「自旋向上」（）与「自旋向下」（）。自旋算符S有些特质和角动量算符L相同，但其他特质则不相同。可为自旋formula_1物体建构升降算符；其遵守和其他角动量算符相同的对易关系(交换关系)。自旋投影算符的旋转的两个本征值与前面相同(相应于测量的可能结果)，但本征向量则不同——为向量自旋算符formula_15；其中formula_16是一个顺沿投影方向的单位向量，而这些formula_18为包立矩阵或称包