关于"v"的完备空间中有除了formula_111之外的解。希尔伯特二次互反律声称：对于固定的"a"、"b"，当"v"变动时，除了对有限个"v"以外，formula_108的值都是1，并且取遍所有"v"时，所有 formula_108 的乘积为1（这与复分析中的留数定理相似）。希尔伯特二次互反律的证明可以归结到几个特殊情况，可以证明其中非平凡的情况与勒让德符号下的二次互反律的两个辅助定理（-1和2的情况）是等价的。在希尔伯特二次互反律中其实并没有“互反”的情形，它的名字只是表明它的历史来源是作为二次互反律