过 为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到 。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析延拓，把定义域扩展到几乎整个复数域上的全纯函数 。这也是黎曼猜想所研究的函数。虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学（参看齐夫定律和）、物理，以及调音的数学理论中。
历史.
奥里斯姆.ζ函数最早出现于1350年左右，尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即formula_3
欧拉.之后的一次进展来自莱昂哈德·