A" 中一致收敛的子序列。更广泛地，对于 "X" 是紧豪斯多夫空间的情况，定理一样成立：阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上，连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说，函数的取值空间可以换为豪斯多夫的拓扑向量空间，这时仍然有基本相同的定理。
证明.以下证明在实数域上的叙述。
必要性.该定理的必要性比较显然，实用价值也比较小。事实上，由紧度量空间 "X" 到完备的度量空间 "Y" 的任何一列连续映射序列 {"