假设对所有formula_5，formula_13（注意formula_14表示formula_5个formula_1相加），令formula_17，则formula_2爲formula_19的上界（formula_19上方有界，依实数完备性，必存在最小上界，令其为formula_21），于是formula_22有得出formula_24也是formula_19的一个上界，这与formula_21是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性质推不出实数的完备性，因为有理数满足阿