上量化和在属性和集合上的量化；但是他自己没有去区分出两类不同的逻辑。在发现罗素悖论之后，认识到了他的系统有些毛病。最终逻辑学家建立了以各种方式做限制的弗雷格逻辑—现在叫做一阶逻辑—除去了这个问题：集合和谓词在一阶逻辑中不能被单独量化。现在标准的逻辑的阶数等级就是从那时开始的。发现了集合论可以在一阶逻辑的设施内公式化为公理化系统（损失了某种完备性，但是不至于象罗素悖论那么糟糕），并且真就这么做了（参见Zermelo-Fraenkel集合论），因为集合是数学的关键。算术、分体论和各种其他强力逻辑理论可以被公