特征值的存在，而是要使用极大化论证，类似于特征值的变分表述。上述谱定理对于实或虚希尔伯特空间都成立。如果紧性假设被取消，则未必每个自伴算子都有特征。
有界自伴算子的谱定理.接下来的推广是希尔伯特空间"formula_1"上的有界自伴算子"formula_2"。这样的算子可能没有特征值：例如令"formula_2"为formula_66上乘以formula_67的算子，也即定理：令"formula_2"为希尔伯特空间formula_70上有界自伴算子。则存在测度空间formu