显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方法，我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样的大小，而它们都被称为可列集。对角论证法则证明了整数集跟连续统（实数集）的基数并不一样。连续统假设亦指出，实数集中每一个无穷子集，要么和整数集有相同的基数，要么和实数集有相同的基数。
证明或证否的不可能性（在ZFC系统下）.康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在1900年巴黎的国际数