CW 复形的通常同伦论之间的等价：
单纯对象.范畴 "C" 中的一个单纯对象 "X" 是一个反变函子或等价地共变函子：当 "C" 是集合范畴，我们讨论的就是单纯集合。设 "C" 是群范畴或阿贝尔群范畴，我们分别得到单纯群范畴和单纯阿贝尔群范畴。单纯群与单纯阿贝尔群也带有由底单纯集合诱导的闭模型结构。单纯阿贝尔群的同伦群可由给出，它诱导了单纯阿贝尔群与有界链复形两个范畴之间的等价，这个等价关系由函子： 与给出。