计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。假设"U"是复平面上的一个单连通开子集，"a"、……、"a"是复平面上有限个点，"f"是定义在"U" \ {"a"、……、"a"}的全纯函数。如果γ是一条把"a"、……、"a"包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个"a"，并且其起点与终点重合，那么：一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数，然后利用留数定理来进行计算。