数是不完备的。此外，如果我们定义在 "S" 是空集的时候 sup("S") = −∞ 和在 "S" 没有上界的时候 sup("S") = +∞ ，则实数的所有集合都在扩展的实数轴上有上确界。如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的最大元素。术语极大元在处理实数或任何其他全序集合的时候是同义的。要证明 "a" = sup("S")，必须证明 "a" 是 "S" 的上界并且 "S" 的任何其他上界大于 "a"；等价地，也可以证明 "a" 是 "S" 的上界并且小于 "a" 的任何数都不是 "S" 的