域为凹多边形。其特征值相等的证明用到拉氏算子的对称性。与合作者推广了此想法，从而构造了若干类似的例子。因此，卡克原先问题的答案是否定的：对于许多形状，不能 "完全" 听出鼓的形状，不过仍可推断出若干性质。另一方面，证明，若将卡克的问题收窄到仅考虑边界解析的平面凸区域，则会得到肯定的答案。仍未知道是否存在两个非凸的解析区域具有同样的特征值，但已知的是，与某个给定区域等谱的所有区域组成的集合，在 C 拓扑中是紧集。又例如，由知，球面是谱刚的（, 即若有流形与之等谱，则其形状亦必与之相同）。此外，利用奥斯古德