为旋转群。根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持向量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转；零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律．由于符合上述四个要求，所有旋转的集合是一个群。更加地，旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构，旋转群的运算是光滑的；所以，它是一个李群。旋转群时常会用 SO(3) 来表示。
长度与角度.除了保持长度（保长），旋转也保持向量间的角度（保角）。原因是两向量u和v的内积可写