曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域formula_3上的函数域formula_19是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素formula_20使得formula_21在formula_3上超越，而且formula_23是有限扩张。以复数域formula_24为例，我们可以定义复系数有理函数域formula_25。变元formula_26对代数关系formula_27生成的域formula_28是一个椭圆函数域，代数曲线formula_29