现了严格弱于AC的性质。由于这个在ZF和ZF+AC (ZFC)之间的中介状态，布尔素理想定理经常被接受为集合论的公理。经常用缩写BPI（对布尔代数）或PIT提及这个额外公理。
素理想定理.在进行实际的素理想定理介绍之前，回想序理论理想就是（非空）有向的下闭集合。如果被考虑的poset有如同本文中的poset这样的二元上确界，则它可等价的特征化为下闭集合"I"，它闭合于二元上确界下（就是说"x", "y"在"I"中蕴涵了"x"formula_1"y"在"I"中）。一个理想"I"是素的