> 0，"x","y" ∈ R，Δ则表示拉普拉斯算子。方程的初始条件为其中δ表示狄拉克δ函数。对任一紧支撑的光滑函数φ，有对于R上的一般区域，热核并没有显式的表达式。当区域为圆盘或方形时，热核则分别为贝塞尔函数与雅可比Θ函数。可以证明，对任意黎曼流形，当边界条件充分正则时，热核存在且在"t">0时光滑。