空间之间的函数被称为「连续」的，若任一开集合的原像均为开集合。若函数将实数映射至实数（两个空间均具有标准拓扑），则其连续之定义等价于微积分内对连续之定义。若一连续函数为一对一且满射，且若其反函数亦为连续，则该函数称之为同胚，且该函数的定义域被称为同胚于其值域。另一种说法为，该函数具有至拓扑的自然延伸。若两个空间同胚，则两者具有相同的拓扑性质，且被认为在拓扑上是相同的。立方体与球体同胚，咖啡杯与甜甜圈亦同。不过，圆圈并不同胚于甜甜圈。
流形.因为拓扑空间极为多变且奇特，许多拓扑学的领