为在 formula_5 上基本初等，若以下三种情况任一成立:微分域的"初等扩张"是指接连进行如上的扩张得到的微分域 formula_40，其中 formula_41 在 formula_42 上基本初等。一个函数 formula_43 称为初等函数若它在微分域 formula_44（有理函数加普通导数）的某个初等扩张中。
基本定理.
刘维尔第一定理.以下为刘维尔第一定理（Theorem of Liouville-first statement）。