事实是数的2点线至少是6"n"/13 ，该上限可以降低到"t"("n")的下限由通过定点的许多的3点线的构造给出。最早的二次方程式下限-(1/8)"n"由西尔维斯特给出，他在三次曲线"y" = "x"放了"n"个点。这在1974年由采用一个魏尔斯特拉斯椭圆函数基础上的结构改善至[(1/6)"n" − (1/2)"n"] + 1。一个建立的圆内螺线基本的构造取得了相同的下限。在2013年九月, Ben Green和陶哲轩发表的一篇论文中，他们证明了所有的点集必然的大小，"n" > "n"，至多有([