就开始研究实数线，但直到1872年，它才被严格地定义。而自始至终，它一直是在数学的许多分支中扮演重要角色的实例。
定义.实数线具有一个标准拓扑，它可以通过两种等价的方法引入。它既是可缩空间、局部紧致空间，也是仿紧致空间、第二可数空间。
应用.它还具有标准可微结构，使它成为可微流形。（由于可微同构，该拓扑空间只支持一个可微结构。）事实上，R 是历史上研究这些数学结构的第一个实例，它启示了现代数学这些分支。（实际上，上述这些术语中的其中一些在没有 R