为零时，此上链复形正合。想法基本上是一样的。链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。一个有界复形是其中，几乎所有的"A"为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。
例子.
奇异同调.假定我们给定一个拓扑空间"X"。定义"C"("X")（对于自然数"n"