入了基本群概念证明他的反例不是球面，又将原来的猜想修改为庞加莱猜想。
构造法.庞加莱同调球面的一个简单构造法是使用正十二面体。将正十二面体的每个面与相对的另一面等同，将两个面用顺时针方向的最小「扭转」重合。这样黏合后得出的是闭3-流形。（参看用相似构造法及较大的「扭转」而成的，得出的是一个双曲3-流形。）另一个得出庞加莱同调球面的方法，是用商空间SO(3)/I，此处 I 是二十面体群，就是正二十面体和正十二面体的旋转对称群，同构于交错群"A"。更直观地说，庞加莱同调球面就是正二