了知道相关现象的表现。如果这种现象与实数系统中的现象不一致的话，那么至少一个建立在这个系统中的假设便一定不成立了。
无穷小.0.999… = 1的证明依赖于标准实数的阿基米德性质：不存在非零的无穷小。存在着数学上密切相关的有序代数结构是非阿基米德的，其中包括标准实数的各种各样的替代品。0.999…的意义与我们使用的结构有关。例如，在对偶数中，引进了一个新的无穷小单位ε，就像复数系统中的虚数单位"i"一样，但是ε² = 0。这样便得出了一个在自动微分中十分有用的结构。我们可以给予对偶