得到了乘法群。这些群是抽象代数中重要概念的前身。群应用于很多数学领域中。数学对象的性质经常是通过将群关联与数学对象关联，并研究相应的群的性质来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通过引入基本群创立了现在所谓的代数拓扑。通过这种连接方式，拓扑性质比如临近和连续转换成了群的性质。例如，右侧的图像描绘了平面减去一个点的基本群的元素。这个群的元素给出为在这个区域内的环路。蓝色环路被认为是零同伦（因此是无关紧要的），因为它可以收缩为一个点。圆孔的存在防止了橙色环路被收缩。橙色环路（或任何环绕这个圆孔一次的其他环路）所