球面到它自身的一一对应的共形变换。事实上，所有这样的变换都是莫比乌斯变换。所有莫比乌斯变换的集合在函数复合作用下构成一个群，称为“莫比乌斯群”，记作 formula_3。这个群是黎曼球面（作为一个黎曼曲面）的自同构群，因此有时也被记作：莫比乌斯群同构于三维双曲空间中的保向等距同构群，因此在三维双曲空间中的子流形的研究中占有重要地位。
定义.莫比乌斯变换的常见形式为：其中"a"、"b"、"c"、"d"是任何满足 "ad" − "bc" ≠ 0 的复数（当"ad" = "bc