一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷和以及积分不封闭。只有（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。
名称来源.之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：fonction élémentaire），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行