式给出一个明确定义的群同态。任两个满足上述泛性质的资料 formula_41、formula_42 至多差一个同构，因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例，用范畴论的语言来说，函子 formula_43 是遗忘函子的左伴随函子。
性质与定理.以下是一些相关定理：自由群虽然看似是离散的对象，却可借微分几何或拓扑学工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可运用同伦上纤维的构造证明）；这套技术属于几何群论的一支。Se