现。另外，值得一提的是，范罗门的方法后来被艾萨克·牛顿简化了，而且他证明了阿波罗尼奥斯问题等价于另一个问题：寻找一个点，其与三个给定点的距离之差是已知的。此想法在导航和定位系统中有一些应用，比如LORAN（远距离无线电导航系统）。再后来的数学家引入了代数的方法，即把几何问题变换为代数方程组。这些方法又可以利用阿波罗尼奥斯问题所固有的对称性以得到简化，比如作为解的那些圆周（解圆）一般都成对出现：一个解圆和某已知圆外切的话，相应一定有另一个解圆是内切的（图２）。利用这种对称性提供了一个优美的尺规解法；也有一