其中"δ"函数可表达为：在接下来的几个世纪，数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义，以及方程式中的函数"f"所需的条件。用旧有的数学观念来理解，会有以下的问题：之后，（Michel Plancherel）开创性的"L"理论（1910年）、诺伯特·维纳和（Salomon Bochner）的贡献（1930年前后）以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分佈理论（1945年）进一步推广了傅里叶积分，并建立了狄拉克"δ"函数的严格定义。1827年，柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数（柯西分佈的无限小版