射"U" → "V"若且唯若formula_42时。在Open("X")上的反变函子称之为在"X"上的「预层」。例如，将每个开集"U"赋值至在"U"上的实变连续函数的结合代数，即可得到一个在"X"上的代数的顶层。
性质.从函子的公理中可得出两个重要的推论：若函子formula_1满足formula_44为同构若且唯若formula_45为同构，则称之为保守函子。在任意范畴"C"上，可定义一个单位函子1，其将每个对象和态射映射至其自身。也可以将函子复合，即若"F"为一由"A"