有特定的与特征函数 formula_21 相关的特征值 formula_22 满足薛定谔方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及元素周期表，每个 formula_22 定义了一个允许存在系统能量状态。这个方程成功地解释了氢原子的谱特性被认为是20世纪物理学的一项巨大成就。根据 哈密顿算子 formula_23 的特性，可以知道它的特征函数是正交函数。但是对于其它算子的特征函数可能并不是这样，如上面提及的 formula_1。正交函数 formula_29（formula_30）有以下特性其中 for