From: kvdoel@cs.ubc.ca (Kees van den Doel)
Newsgroups: soc.culture.netherlands
Subject: Re: Wetenschap-2
Date: 7 Jan 1993 00:46:00 -0800
Organization: Computer Science, University of B.C., Vancouver, B.C., Canada
NNTP-Posting-Host: cascade.cs.ubc.ca

In article <93006.230239TGG1@psuvm.psu.edu> <TGG1@psuvm.psu.edu> writes:

>Ik sluit me aan bij Gerard en verwijs ook naar G"odel.  G"odel heeft systemen
>onderzocht die gebaseerd zijn op intern consistente regels, zoals W.'s systeem
>er ook een is.  Hij vond dat er altijd bepaalde "oerfeiten" zijn die noch waar
>noch vals zijn.

Nee, Goedel vond dat een formeel systeem X dat

a) Peano rekenkunde (een bepaalde axiomatisering vd. rekenkunde) bevat
b) eindig is
c) consistent is        *)
d) \omega consistent is

I)  incompleet is, in de zin dat er een ware zin in X bestaat die niet
    bewijsbaar is in X,

II) haar eigen consistentie niet kan *bewijzen* (binnen X).

Het bewijs gaat als volgt: ..., nee, toch maar niet :-)

>Iedereen geeft dezelfde waarde aan getallen, correct? [waarde aan getallen??]
>Dus als we een paradox kunnen vinden met getallen, dan moet Kees toegeven dat
>zijn uitspraak
>
>>"ik geloof niet dat je kunt bewijzen dat een LAF inconsistent of
>>onmogelijk of wat dan ook is."
>
>niet juist is en moet hij deze uitspraak terugnemen.

Nee nee nee nee nee, "oerfeiten" hebben op de wereld betrekking, het
zijn een totaal ander soort feiten dan wiskundige feiten, zoals ik al
aan Victor schreef. Uitleg:

" "1+1=2" kun je bewijzen uit de axioma's vd. rekenkunde": daar valt
verder niets aan te falsifieeren, dit is een wiskundig feit.
        ,,                                       ,,
"Als je een kip in een hoed doet en dan nog eens een kip in de hoed doet
dan zitten er daarna twee kippen in de hoed" is een "wereld-feit". Je
kunt het niet bewijzen door het uit te proberen, je weet immers nooit of
het morgen ook nog een juist feit is. Dit is een natuurkundig feit, dat
dus alleen maar te falsifieeren is (omdat het een oneindig domein (de
tijd) heeft).

Voor de rest begrijp ik niet waar je nu naartoe wilt met je verhaal:

>Samenvatting:
>* W.'s systeem is gebaseerd op intern consistente oerfeiten.
>* Kees denkt niet dat bewezen kan worden dat W's systeem inconsistent is.
>* Een paradox gebaseerd op getallen zou aantonen dat W's systeem
>  inconsistent is, zonder dat er semantische verwarring ontstaat.
>* Kees moet dan z'n ongelijk toegeven.

Webster defineert `paradox' zo:
1: a tenet contrary to received opinion
2a: a statement that is seemingly contradictory or opposed to common
     sense and yet is perhaps true
2b: a self-contradictory statement that at first seems true
2c: an argument that apparently derives self-contradictory conclusions
     by valid deduction from acceptable premises
3: something (as a person, condition, or act) with seemingly contradictory
     qualities or phases 

Nou ja, die Webster lult ook maar, wat een slechte definities! Welke
definitie van `paradox' bedoel jij nou?

1) "Inconsistentie"
2) "Schijnbare inconsistentie"

ad 1): Inderdaad, als de rekenkunde een inconsistentie zou bevatten zou
       alles dat een beetje op formele systemen gebaseerd is wel op losse
       schroeven komen te staan...
ad 2): Zo'n paradox toont niets aan (voorbeeld: tweelingen paradox in
       special relativity; een *schijnbare* inconsistentie).

>Nou Kees, neem je de uitdaging aan, of geef je je over :-)
>(Sorry Kees, ik kan het niet laten, je had dat stuk over die unconditional
> surrender niet moeten schrijven.....)

Wat is nou de uitdaging? Het gaat mij meer om het onderwerp dan om nu
gelijk of ongelijk te bewijzen trouwens.

>Proposition VI: All consistent axiomatic formulations of number theory
>                include undecidable propositions.

Niet helemaal een correcte formulering van Goedels eerste
onvolledigheids-theorema dus, zie boven.

Afijn, als ik door die Tractatus heen ben zal ik maar eens uit
"Bemerkungen ueber die Grundlagen der Mathematik" gaan .siggen, daar
schrijft W. ook hele grappige dingen over mogelijke inconsistenties in
de rekenkunde...


*)                                                    ,
Systeem X is \omega consistent als er geen A bestaat zo dat: X kan
bewijzen dat er een m bestaat zodat A(m) waar is EN X kan bewijzen dat
A(n) onwaar is voor elk gegeven getal n. (A is een formele zin (formule)
die een uitspraak over getal m doet, A(m) is dus waar of onwaar.)


Kees
2.172 Maar zijn afbeeldingsvorm kan het beeld niet verbeelden; deze
      toont het.