Gyikoo/KT_QA huggingface dataset:
问题：当(a,b)满足____, (A =begin{pmatrix} a &amp; b &amp; b a &amp; a &amp; b a &amp; a &amp; a end{pmatrix})可逆 {'A': '(aneq 0)', 'B': '(aneq 0,)且(aneq b)', 'C': '(aneq 0,)或(aneq b)', 'D': '(aneq b)'}
答案：B
问题：判断对错:((A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}) {'A': '正确', 'B': '错误'}
答案：B
问题：设n阶方阵(A)可逆，则(Amathbf{x} = 0)的解为 {'A': '0', 'B': '(mathbb{R}^n)中任一向量都是解', 'C': '不能确定'}
答案：A
问题：设(A^3 = 0, A^2 neq 0,)则(I-A)的逆为 {'A': '(A)', 'B': '(I+A)', 'C': '(I+A+A^2)', 'D': '(I-A)不可逆'}
答案：C
问题：若(A,B)都是n阶可逆矩阵,且满足(AB=BA)则下述结论错误的是 {'A': '(A^{-1}B=BA^{-1})', 'B': '(AB^{-1}=B^{-1}A)', 'C': '(A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1})', 'D': '(BA^{-1}=AB^{-1})'}
答案：D
问题：设(A)是n阶幂零方阵,即存在正整数k,使得(A^k=0),那么 {'A': '(A)不可逆且(A-I)不可逆', 'B': '(A)可逆但(A+I)不可逆', 'C': '(A+I)可逆但(A-I)不可逆', 'D': '(A)不可逆'}
答案：D
问题：设(A)是n阶反对称阵(即(A^T=-A)),且(A)可逆,那么 {'A': '(A^TA^{-1}=-I)', 'B': '(AA^T=-I)', 'C': '(A^{-1}=A^T)'}
答案：A
问题：设n阶矩阵(A,B,C,D)满足(ABCD=I),则 {'A': '((CB)^{-1} = CDADAB)', 'B': '((CB)^{-1} = DA)', 'C': '((CB)^{-1} = AD)', 'D': '((CB)^{-1} = DABCDA)'}
答案：A
问题：(A=begin{pmatrix}0&amp;0&amp;0&amp;10&amp;0&amp;2&amp;00&amp;3&amp;0&amp;04&amp;0&amp;0&amp;0end{pmatrix})的逆为 {'A': '[mathjaxinline]begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0&amp;00&amp;frac{1}{2}&amp;0&amp;00&amp;0&amp;frac{1}{3}&amp;00&amp;0&amp;0&amp;frac{1}{4}end{pmatrix}[/mathjaxinline]', 'B': '[mathjaxinline]begin{pmatrix}frac{1}{4}&amp;0&amp;0&amp;00&amp;frac{1}{3}&amp;0&amp;00&amp;0&amp;frac{1}{2}&amp;00&amp;0&amp;0&amp;1end{pmatrix}[/mathjaxinline]', 'C': '[mathjaxinline]begin{pmatrix}0&amp;0&amp;0&amp;10&amp;0&amp;frac{1}{2}&amp;00&amp;frac{1}{3}&amp;0&amp;0 frac{1}{4}&amp;0&amp;0&amp;0end{pmatrix}[/mathjaxinline]', 'D': '[mathjaxinline]begin{pmatrix}0&amp;0&amp;0&amp;frac{1}{4}0&amp;0&amp;frac{1}{3}&amp;00&amp;frac{1}{2}&amp;0&amp;01&amp;0&amp;0&amp;0end{pmatrix}[/mathjaxinline]'}
答案：D
问题：考虑增广矩阵((A b)), 若(A)可逆, 通过行变换把(A)变为(I)时, (b)变为___. 考虑(begin{pmatrix}Ab^Tend{pmatrix})作列变换, (A)变为(I)时, (b^T)变为___. {'A': '(b A^{-1}, b^T A^{-1})', 'B': '(A^{-1}b, (A^{-1}b)^T)', 'C': '(A^{-1}b, b^T A^{-1})', 'D': '(A^{-1}b, b^T (A^{-1})^T)'}
答案：C
问题：差分矩阵(begin{pmatrix}2&amp;-1&amp;&amp;&amp;-1&amp;2&amp;-1&amp;&amp;&amp;ddots&amp;ddots&amp;ddots&amp;&amp;&amp;-1&amp;2&amp;-1&amp;&amp;&amp;-1&amp;2end{pmatrix})作(LU)分解, (L=)____. {'A': '(begin{pmatrix}1&amp;&amp;&amp;&amp; frac{1}{2}&amp;1&amp;&amp;&amp;0&amp;frac{1}{2}&amp;1&amp;&amp; vdots &amp;&amp;ddots &amp; ddots &amp;0&amp; cdots &amp;0&amp; frac{1}{2}&amp;1end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix}1&amp;&amp;&amp;&amp; -frac{1}{2}&amp;1&amp;&amp;&amp;0&amp;-frac{1}{2}&amp;1&amp;&amp; vdots &amp;&amp;ddots &amp; ddots &amp;0&amp; cdots &amp;0&amp; -frac{1}{2}&amp;1end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix}1&amp;&amp;&amp;&amp; -frac{1}{2}&amp;1&amp;&amp;&amp;0&amp;-frac{2}{3}&amp;1&amp;&amp; vdots &amp;&amp;ddots &amp; ddots &amp;0&amp; cdots &amp;0&amp; -frac{n-1}{n}&amp;1end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix}1&amp;&amp;&amp; l_{21}&amp;1&amp;&amp; vdots &amp;ddots &amp;ddots &amp;l_{n1}&amp; cdots &amp; l_{n n-1}&amp;1end{pmatrix}, l_{ij}=-frac{j}{i})'}
答案：C
问题：设(A=LDU=L_1 D_1 U_1), 全部矩阵可逆, 则(L,D,U)和(L_1,D_1,U_1)的关系是____. 若这些矩阵不全可逆, 则____. {'A': '(L=L_1,D=D_1,U=U_1; D=D_1)', 'B': '(L=L_1,D=D_1,U=U_1); (L_1^{-1}L)为对角阵', 'C': '(L=L_1,D=D_1,U=U_1); 此关系仍然成立'}
答案：A
问题：若(U)是一个可逆上三角阵, 则(U^{-1})是___阵. {'A': '上三角', 'B': '下三角', 'C': '不一定是上三角或下三角'}
答案：A
问题：设(A=begin{pmatrix}0&1&11&0&12&3&4end{pmatrix}), 令P=____, PA有LU分解_____. {'A': '$begin{pmatrix}0&amp;1&amp;01&amp;0&amp;00&amp;0&amp;1end{pmatrix}, begin{pmatrix}1&amp;&amp;0&amp;1&amp;-2&amp;-3&amp;1end{pmatrix}begin{pmatrix}1&amp;0&amp;1&amp;1&amp;1&amp;&amp;-1end{pmatrix}$', 'B': '$begin{pmatrix}0&amp;1&amp;01&amp;0&amp;00&amp;0&amp;1end{pmatrix}, begin{pmatrix}1&amp;&amp;0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;1end{pmatrix}begin{pmatrix}1&amp;0&amp;1&amp;1&amp;1&amp;&amp;-1end{pmatrix}$', 'C': '$begin{pmatrix}0&amp;0&amp;10&amp;1&amp;01&amp;0&amp;0end{pmatrix}, begin{pmatrix}1&amp;&amp; frac{1}{2}&amp;1&amp;0&amp;-frac{2}{3}&amp;1end{pmatrix}begin{pmatrix}2&amp;3&amp;4&amp;-frac{3}{2}&amp;-1&amp;&amp;1end{pmatrix}$'}
答案：B
问题：设(x=begin{pmatrix}x_1x_2x_3end{pmatrix}), (P)是一个3阶置换阵, 则((Px)^T Px=)____. {'A': '(x_1^2+x_2^2+x_3^2)', 'B': '(x_1 x_2+x_2x_3+x_3 x_1)', 'C': '上面两种情况都有可能'}
答案：A
问题：设(A)为一置换阵, 找置换阵(P)作LU分解(PA=LU), 则____. {'A': '对每一置换阵P均可做LU分解', 'B': '存在唯一的P使得PA有LU分解'}
答案：B
问题：设(A=begin{pmatrix} 2 &amp; 4 &amp; 8 0 &amp; 3 &amp; 9 0 &amp; 0 &amp; 7 end{pmatrix}),则(A=LDU,L,D,U=) {'A': '(L=I_3, D=begin{pmatrix} 2 &amp; &amp; &amp; 3 &amp; &amp; &amp; 7 end{pmatrix}, U=begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 4 0 &amp; 1 &amp; 3 0 &amp; 0 &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(L=I_3, D=begin{pmatrix} 2 &amp; &amp; &amp; 3 &amp; &amp; &amp; 7 end{pmatrix}, U=begin{pmatrix} 1 &amp; 4 &amp; 8 0 &amp; 1 &amp; 9 0 &amp; 0 &amp; 1 end{pmatrix})', 'C': '(L=begin{pmatrix} 2 &amp; &amp; &amp; 3 &amp; &amp; &amp; 7 end{pmatrix}, D=I_3, U=begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 4 0 &amp; 1 &amp; 3 0 &amp; 0 &amp; 1 end{pmatrix})'}
答案：A
问题：关于(A = begin{pmatrix} a &amp; a &amp; a &amp; a a &amp; b &amp; b &amp; b a &amp; b &amp; c &amp; c a &amp; b &amp; c &amp; d end{pmatrix})的(L,U=) {'A': '(L = begin{pmatrix} 1 &amp; &amp; &amp; 1 &amp; 1 &amp; &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 end{pmatrix}, U = begin{pmatrix} a &amp; a &amp; a &amp; a 0 &amp; b &amp; b &amp; b 0 &amp; 0 &amp; c &amp; c 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; d end{pmatrix})', 'B': '(L = begin{pmatrix} 1 &amp; &amp; &amp; 1 &amp; 1 &amp; &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 end{pmatrix}, U = begin{pmatrix} a &amp; a &amp; a &amp; a 0 &amp; b-a &amp; b-a &amp; b-a 0 &amp; 0 &amp; c-b &amp; c-b 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; d-c end{pmatrix})'}
答案：B
问题：在第2题中，(A)有4个主元的条件是 {'A': '(aneq 0)', 'B': '(aneq 0, bneq a, cneq b, dneq c)', 'C': '(bneq a, cneq b, dneq c)'}
答案：B
问题：设(A=begin{pmatrix} 1 &amp; 0 9 &amp; 3 end{pmatrix}),则((A^{-1})^T - (A^T)^{-1} =) {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 0 -3 &amp; frac{1}{3} end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -3 0 &amp; frac{1}{3} end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 0 &amp; 0 0 &amp; 0 end{pmatrix})'}
答案：C
问题：设(mathbf{x} = begin{pmatrix} 0 1 end{pmatrix}, A = begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 3 4 &amp; 5 &amp; 6 end{pmatrix}, mathbf{y} = begin{pmatrix} 0 1 0 end{pmatrix},) 则(mathbf{x}^TAmathbf{y}=) {'A': '3', 'B': '4', 'C': '5', 'D': '6'}
答案：C
问题：总共有____个(n)阶置换阵 {'A': '(n)', 'B': '(n^2)', 'C': '(n!)', 'D': '1'}
答案：C
问题：设(mathbf{x} = begin{pmatrix} x_1 x_2 x_3 end{pmatrix}, x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 1,) 则((I_3 - 2mathbf{x}mathbf{x}^T)^{-1}=) {'A': '(I_3 - 2mathbf{x}mathbf{x}^T)', 'B': '(I_3 - mathbf{x}mathbf{x}^T)', 'C': '(I_3 + 2mathbf{x}mathbf{x}^T)', 'D': '(I_3 + mathbf{x}mathbf{x}^T)'}
答案：A
问题：(A=begin{pmatrix} 1 &amp; b b &amp; c end{pmatrix})的(LDL^T)分解中(L=) {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 0 b &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 0 -b &amp; 1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 0 c &amp; 1 end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 0 -c &amp; 1 end{pmatrix})'}
答案：A
问题：关于(A = begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 1 &amp; 3 &amp; 6 &amp; 10 1 &amp; 4 &amp; 10 &amp; 20 end{pmatrix})的(U=) {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; &amp; 1 &amp; 3 &amp; &amp; &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 1 &amp; &amp; &amp; 1 &amp; 1 &amp; &amp; 1 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 &amp; 3 &amp; 1 end{pmatrix})'}
答案：A
问题：(A=begin{pmatrix} 1 &amp; 4 &amp; 0 4 &amp; 12 &amp; 4 0 &amp; 4 &amp; 0 end{pmatrix})的(LDL^T)中的(L)为 {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; &amp; 4 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 4 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; &amp; 1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 &amp; &amp; 4 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 4 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -1 &amp; &amp; 1 end{pmatrix})'}
答案：C
问题：(A = begin{pmatrix} a &amp; r &amp; r &amp; r a &amp; b &amp; s &amp; s a &amp; b &amp; c &amp; t a &amp; b &amp; c &amp; d end{pmatrix})有4个主元的条件是 {'A': '(aneq 0)', 'B': '(aneq 0, bneq a, cneq b, dneq c)', 'C': '(aneq 0, bneq r, cneq s, dneq t)'}
答案：C
问题：设3阶方阵(A)有主元5,9,3(没有行交换)，则(A)前两行前两列的子矩阵有主元 {'A': '5,3', 'B': '5,9', 'C': '9,3'}
答案：B
问题：在(mathbb{R}^2)中定义运算((x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+y_2,y_1+x_2))作为向量加法运算,数乘为通常的数乘预算(c(x, y) = (cx, cy)).问(mathbb{R}^2)在这两个运算下是不是一个线性空间? {'A': '是', 'B': '否'}
答案：B
问题：系数在实数域(mathbb{R})中的2阶方阵全体构成了(mathbb{R})上的一个线性空间(M_2(mathbb{R})).令(A = begin{pmatrix} 2 &amp; -2 2 &amp; -2 end{pmatrix})为这个空间的一个"向量",那么"向量"(frac{1}{2}A=) {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -2 1 &amp; -2 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 2 &amp; -1 2 &amp; -1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 1 &amp; -1 end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -2 2 &amp; -1 end{pmatrix})'}
答案：C
问题：下列哪个集合是(mathbb{R}^3)的线性子空间? {'A': '({(a_1, a_2, a_3) | a_1 = 1})', 'B': '(mathbf{v}=(1,4,0))和(mathbf{u}=(2,2,2))的所有线性组合', 'C': '({(a_1, a_2, a_3) | a_1leqslant a_2leqslant a_3})', 'D': '({(a_1, a_2, a_3) | a_1a_2a_3 = 0 })'}
答案：B
问题：线性方程(x+y-2z=4)所决定的集合是不是(mathbb{R}^3)的线性子空间? {'A': '是', 'B': '不是'}
答案：B
问题：下列哪个集合不是(M_n(mathbb{R}))的线性子空间 {'A': '所有的对称矩阵(A^T = A)', 'B': '所有的反对称矩阵(A^T = -A)', 'C': '所有的非对称阵(A^T neq A)'}
答案：C
问题：设(V)为一个实线性空间,(W,U)为它的两个互不包含的线性真子空间(不是零空间和(V)自身),以下哪个不是(V)的线性子空间? {'A': '(Wcup U)', 'B': '(Wcap U)', 'C': '(W,U)中所有向量的线性组合构成的集合'}
答案：A
问题：由(begin{pmatrix} 1 &amp; 0 0 &amp; 0 end{pmatrix}), (begin{pmatrix} 0 &amp; 1 0 &amp; 0 end{pmatrix}), (begin{pmatrix} 1 &amp; 1 0 &amp; 0 end{pmatrix})生成的(M_2(mathbb{R}))的子空间是: {'A': '({begin{pmatrix} a &amp; b 0 &amp; 0 end{pmatrix} | a, bin mathbb{R}})', 'B': '({begin{pmatrix} a &amp; a 0 &amp; 0 end{pmatrix} | ain mathbb{R}})'}
答案：A
问题：下列哪个不是(mathbb{R}^3)的线性子空间? {'A': '原点((0,0,0))', 'B': '(xy)平面', 'C': '直线(x=y=z)', 'D': '平面(x=1)'}
答案：D
问题：下列哪个是线性空间? {'A': '(n)阶可逆方阵全体,在通常的矩阵加法与数乘下', 'B': '(mathbb{R}^3)中的单位球面,在通常的(mathbb{R}^3)的向量加法与数乘下', 'C': '定义在实数域上的连续函数全体,在通常的函数相加与数乘下', 'D': '定义在实数域上的可逆函数全体,在通常的函数相加与数乘下'}
答案：C
问题：(mathbb{R}^3)内两个过原点的平面的交可能是 {'A': '(mathbb{R}^3)', 'B': '空集', 'C': '原点', 'D': '一个过原点的平面或者一个过原点的直线'}
答案：D
问题：如果(A)是一个5阶可逆实方阵,那么它的列空间是 {'A': '(mathbb{R}^5)', 'B': '(mathbb{R}^5)的某个真子空间'}
答案：A
问题：设(A,B)为n阶实方阵,那么(AB)的列空间(C(AB))与(A)的列空间(C(A))的关系是 {'A': '(C(AB)cap C(A) = {0})', 'B': '(C(AB)cup C(A) = mathbb{R}^n)', 'C': '(C(AB)subset C(A))', 'D': '没有关系'}
答案：C
问题：(A)为(9times 12)的矩阵,若线性方程组(Amathbf{x} = mathbf{b})对任何(mathbf{b})都有解,那么(A)的列空间(C(A)=) {'A': '(mathbb{R}^9)', 'B': '(mathbb{R}^{12})', 'C': '不能确定'}
答案：A
问题：线性方程组(Amathbf{x} = mathbf{b})的所有解何时构成一个线性空间? {'A': '(mathbf{b}=0)', 'B': '(mathbf{b}neq 0)', 'C': '(Amathbf{x} = mathbf{b})的所有解的集合任何时候都是一个线性空间'}
答案：A
问题：下列哪两个线性方程组是同解的? {'A': '(Amathbf{x} = 0 , A^T mathbf{x} = 0)', 'B': '(Amathbf{x} = 0 , (A - A^T) mathbf{x} = 0)', 'C': '(Amathbf{x} = 0 , -A mathbf{x} = 0)'}
答案：C
问题：(Amathbf{x} = 0)的解空间与(A)的列空间是什么关系 {'A': '(Amathbf{x} = 0)的解空间是(A)的列空间的子空间', 'B': '(A)的列空间是(Amathbf{x} =0)的解空间的子空间', 'C': '(A)的列空间的每个向量都与(Amathbf{x} = 0)的解空间的每个向量垂直', 'D': '没有关系'}
答案：D
问题：(Amathbf{x} = 0)的解空间与(A)的行空间是什么关系 {'A': '(Amathbf{x} = 0)的解空间是(A)的行空间的子空间', 'B': '(A)的行空间是(Amathbf{x} = 0)的解空间的子空间', 'C': '(A)的行空间的每个向量都与(Amathbf{x} = 0)的解空间的每个向量垂直', 'D': '没有关系'}
答案：C
问题：设(A, B)都是n阶方阵,那么 {'A': '若(mathbf{x})是(Amathbf{x} = 0)的解,那么(mathbf{x})一定是(BAmathbf{x} = 0)的解', 'B': '若(mathbf{x})是(Amathbf{x} = 0)的解,那么(mathbf{x})一定是(ABmathbf{x} = 0)的解', 'C': '以上都不正确'}
答案：A
问题：以下哪个是线性方程组(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 0 0 &amp; 1 &amp; 1 1 &amp; 0 &amp; 1 end{pmatrix} mathbf{x} = 0)的解 {'A': '(begin{pmatrix} 1 1 0 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 1 1 -1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} -1 0 1 end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix} 1 1 1 end{pmatrix})'}
答案：B
问题：线性方程组(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 0 0 &amp; 1 &amp; 1 1 &amp; 0 &amp; 1 end{pmatrix} mathbf{x} = 0)的解空间是 {'A': '一个过原点的平面', 'B': '一条过原点的直线', 'C': '(mathbb{R}^3)中的一个点'}
答案：B
问题：设(A, B)都是n阶方阵,那么线性方程组(begin{pmatrix} A B end{pmatrix} mathbf{x} = 0)解空间是 {'A': '( Amathbf{x} = 0)的解空间与(Bmathbf{x} = 0)的解空间的交', 'B': '( Amathbf{x} = 0)的解空间与(Bmathbf{x} = 0)的解空间的并', 'C': '( ABmathbf{x} = 0)的解空间', 'D': '零空间'}
答案：A
问题：(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 1 -1 &amp; 2 &amp; 0 1 &amp; 0 &amp; a end{pmatrix} mathbf{x} = 0)只有零解,那么 {'A': '(a=1)', 'B': '(aneq 1)', 'C': '(a=2)', 'D': '(aneq 2)'}
答案：D
问题：若(begin{pmatrix} 1 2 1 end{pmatrix})是(Amathbf{x} = 0)的解,(begin{pmatrix} 0 1 0 end{pmatrix})是(Bmathbf{y} = 0)的解,那么下列哪个是(begin{pmatrix} A &amp; B end{pmatrix}mathbf{z} = 0)的解? {'A': '(begin{pmatrix} 1 2 1 end{pmatrix} - 2 begin{pmatrix} 0 1 0 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 0 1 0 1 2 1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 2 1 0 1 0 end{pmatrix})'}
答案：C
问题：设(A,B)为n阶方阵,且(B)可逆,那么 {'A': '(Amathbf{x} = 0)与(BAmathbf{x} = 0)同解', 'B': '存在(Amathbf{x} = 0)的解使得它不是(BAmathbf{x} = 0)的解', 'C': '存在(BAmathbf{x} = 0)的解使得它不是(Amathbf{x} = 0)的解'}
答案：A
问题：设(begin{pmatrix} 1 2 9 end{pmatrix})和(begin{pmatrix} 3 1 8 end{pmatrix})都是线性方程组(Amathbf{x} = mathbf{0})的解,那么下列哪个必定也是解? {'A': '(begin{pmatrix} 0 2 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 2 -1 -1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 9 1 8 end{pmatrix})', 'D': '以上都不一定是'}
答案：B
问题：将(3x-y+z = 0)写为(Abegin{pmatrix} x y z end{pmatrix} = 0,)那么(A=) {'A': '(begin{pmatrix} 3 &amp; -1 &amp; 1 0 &amp; 0 &amp; 0 0 &amp; 0 &amp; 0 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 3 &amp; 0 &amp; 0 -1 &amp; 0 &amp; 0 1 &amp; 0 &amp; 0 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 3 &amp; 0 &amp; 0 0 &amp; -1 &amp; 0 0 &amp; 0 &amp; 1 end{pmatrix})'}
答案：A
问题：(A=begin{pmatrix}2&amp;1&amp;36&amp;3&amp;94&amp;2&amp;6end{pmatrix}), 使得(Ax=b)可解的(b)形成____. {'A': '一条直线', 'B': '一个平面', 'C': '整个三维空间'}
答案：A
问题：(begin{pmatrix}1&amp;3&amp;1&amp;20&amp;0&amp;2&amp;42&amp;6&amp;5&amp;10end{pmatrix} begin{pmatrix}xyztend{pmatrix}=begin{pmatrix}113end{pmatrix} )的所有解为____. {'A': '一条直线', 'B': '过点((1,0,frac{1}{2},0)^T)的一个平面', 'C': '无解'}
答案：C
问题：(b_1,b_2,b_3)满足什么条件时, 方程组(left{begin{array}{l} x+2y-2z=b_1 2x+5y-4z=b_2 4x+9y-8z=b_3end{array} right.)有解. {'A': '(b_1 ne 2b_2)', 'B': '(b_2+b_3=6b_1)', 'C': '(2b_1+b_2-b_3=0)', 'D': '不需要满足特定的条件'}
答案：C
问题：若(Ax=b)有两个解,则(Ax=0)____,进而(Ax=b)____. {'A': '有一个解,只有两个解', 'B': '有两个解,只有两个解', 'C': '只有两个解,有无穷多解', 'D': '有无穷多解,有无穷多解'}
答案：D
问题：矩阵(U)的第5列没有主元,那么(x_5)是__变量,零向量__(Ax=0)的唯一解,(Ax=b)____. {'A': '主;不是;一定有解', 'B': '自由;不是;若有解,则有无穷多解', 'C': '自由;是;无解或有唯一解', 'D': '自由;不是;有无穷多解'}
答案：B
问题：(U)的第三行没有主元,则第三行____.方程(Ux=c)在____时有解.(Ax=b)____有解. {'A': '等于0,(c_3=0),不一定', 'B': '是前两行的线性组合,不需要特定条件,一定', 'C': '是前两行的线性组合,不需要特定条件,可能'}
答案：A
问题：(3times5)矩阵最大可能的秩为__,此时(Ax=b)____.(6times4)矩阵最大秩为__,此时(Ax=b)____. {'A': '3,有唯一解,6,必然有解', 'B': '3,必然有解,4,不一定有解', 'C': '3,有唯一解,4,不一定有解', 'D': '3,必然有解,4,必然有解'}
答案：B
问题：(Ax=b)有无穷多解,那么(Ax=b')((b')是新的列)是否一定有解?是否可能有唯一解? {'A': '是,否', 'B': '否,否', 'C': '否,是'}
答案：B
问题：固定矩阵(A),(Ax=b)的以下哪种解的情况不会出现 {'A': '0或1,依赖于b', 'B': '无穷', 'C': '1或无穷,依赖于b', 'D': '0或无穷,依赖于b'}
答案：C
问题：(A)是(m times n)的矩阵,秩为(r),若(Ax=b)有无穷多解,则____. {'A': 'm>r或n>r', 'B': 'm>r', 'C': 'n>r', 'D': 'm>r且n>r'}
答案：C
问题：(Ax=begin{pmatrix}13end{pmatrix})的全部解为(begin{pmatrix}10end{pmatrix}+cbegin{pmatrix}01end{pmatrix}),求(A). {'A': '(begin{pmatrix}1&amp;03&amp;0end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix}1&amp;30&amp;0end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix}0&amp;10&amp;3end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix}1&amp;13&amp;3end{pmatrix})'}
答案：A
问题：对任意(b),(Ax=b)与(Cx=b)的解是完全相同的,是否一定有(A=C)? {'A': '是', 'B': '否'}
答案：A
问题：(给定向量v_1=(1,-1,0,0)^T, v_2=(1,0,-1,0)^T, v_3=(1,0,0,-1)^T, v_4=(0,1,-1,0)^T, v_5=(0,1,0,-1)^T, v_6=(0,0,1,-1)^T,其中线性无关的向量个数最大为) {'A': '3', 'B': '4', 'C': '5', 'D': '6'}
答案：A
问题：(U=begin{pmatrix}a&amp;b&amp;c0&amp;d&amp;e0&amp;0&amp;fend{pmatrix}),下面哪个条件与(U)的列线性无关不等价? {'A': '(U)的行线性无关', 'B': '(a,d,f)不全为0', 'C': '(a,d,f)全不为0', 'D': '(adfneq 0)'}
答案：B
问题：判断下面两组向量线性相关还是无关:a) (1,3,2),(2,1,3)与(3,2,1)b) (1,-3,2),(2,1,-3)与(-3,2,1) {'A': '相关;相关', 'B': '相关;无关', 'C': '无关;相关', 'D': '无关;无关'}
答案：C
问题：(w_1,w_2,w_3)是三个线性无关的向量,则(u_1=w_2+w_3,u_2=w_1+w_3,u_3=w_1+w_2)线性__; (v_1=w_2-w_3,v_2=w_1-w_3,v_3=w_1-w_2)线性__. {'A': '相关;相关', 'B': '相关;无关', 'C': '无关;相关', 'D': '无关;无关'}
答案：C
问题：零向量在矩阵(A)的列空间中,则 {'A': 'A的列线性相关', 'B': 'A的行线性相关', 'C': 'Ax=0有解'}
答案：C
问题：矩阵(A)的行线性相关,则 {'A': '(A)的列线性相关', 'B': '(A)的行数大于列数', 'C': '(Ax=0)有非零解', 'D': '(A^Tx=0)有非零解'}
答案：D
问题：(v_1,v_2,cdots,v_6)是(mathbb{R}^4)中的向量,则它们___线性相关,___张成(mathbb{R}^4),是否可能其中任意四个向量张成(mathbb{R}^4)? {'A': '一定,一定,可能', 'B': '一定,不一定,可能', 'C': '一定,不一定,不可能', 'D': '不一定,不一定,不可能'}
答案：B
问题：(S)是(mathbb{R}^6)中的一个5维子空间,判断对错a) (S)的一组基可以通过添加一个向量得到(mathbb{R}^6)的一组基;b) (mathbb{R}^6)的一组基可以通过去掉一个向量成为(S)的一组基. {'A': '对;错', 'B': '对;对', 'C': '错;错', 'D': '错;对'}
答案：A
问题：下列说法正确的是 {'A': '若矩阵的行向量相关,则其列向量也相关', 'B': '矩阵的行向量是其行空间的一组基', 'C': '矩阵的行向量包含行空间的一组基', 'D': '矩阵的行空间与列空间相同'}
答案：C
问题：求下面空间的维数:a) 所有(3 times 3)的对角矩阵;b) 所有(3 times 3)的对称矩阵(即满足(A^T=A) );c) 所有(3 times 3)的反对称矩阵(即满足(A^T=-A) ). {'A': '3,3,3', 'B': '3,6,6', 'C': '3,6,3', 'D': '3,5,4'}
答案：C
问题：下面哪组向量是(mathbb{R}^3)的一组基 {'A': '((1,2,0),(0,1,-1))', 'B': '((1,1,-1),(2,3,4),(4,1,-1),(0,1,-1))', 'C': '((1,2,2),(-1,2,1),(0,8,0))', 'D': '((1,2,2),(-1,2,1),(0,8,6))'}
答案：C
问题：(x=(x_1,x_2,x_3,x_4))是(mathbb{R}^4)中的向量,重新排列各分量得到24个向量(例如((x_2,x_1,x_3,x_4),(x_4,x_3,x_2,x_1)),可能会有重复),它们所张成的空间的维数不可能为__. {'A': '1', 'B': '2', 'C': '3', 'D': '4'}
答案：B
问题：下列哪个矩阵的列空间是和其他三个矩阵的列空间不同的 {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 1 -1 &amp; 1 &amp; 1 1 &amp; -1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} -1 &amp; 1 1 &amp; 1 -1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 1 0 &amp; 1 &amp; 1 0 &amp; 0 &amp; -1 end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix} 2 &amp; 0 &amp; 2 -2 &amp; 1 &amp; 2 2 &amp; 0 &amp; 2 end{pmatrix})'}
答案：C
问题：下列哪个矩阵的列空间,行空间,零空间,左零空间维数之和最大? {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 1 -1 &amp; 1 &amp; 1 1 &amp; -1 &amp; 1 1 &amp; 1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} -1 &amp; 1 1 &amp; 1 -1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 1 1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'D': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 9 9 &amp; 1 &amp; 8 1 &amp; 0 &amp; 1 end{pmatrix})'}
答案：A
问题：如果交换矩阵(A)的某两行,那么 {'A': '(A)的列空间保持不变', 'B': '(A)的零空间保持不变', 'C': '(A)的左零空间保持不变'}
答案：B
问题：设(mathbf{u},mathbf{v},mathbf{w},mathbf{z}inmathbb{R}^3)都是非零列向量,令(A = mathbf{u}mathbf{v}^T + mathbf{w}mathbf{z}^T,)那么(A)的秩 {'A': '至多为2', 'B': '可能为3', 'C': '不可能为0', 'D': '一定是2'}
答案：A
问题：设一个(7times 9)的矩阵秩为5,那么它的行空间,列空间,零空间,左零空间维数分别为 {'A': '7,9,4,2', 'B': '7,9,5,5,', 'C': '5,5,7,9', 'D': '5,5,4,2'}
答案：D
问题：若一个(3times 4)的矩阵秩为3,那么它的列空间与左零空间分别是什么? {'A': '(mathbb{R}^3, mathbf{0})', 'B': '(mathbb{R}^4, mathbf{0})', 'C': '(mathbf{0}, mathbb{R}^3)', 'D': '(mathbf{0}, mathbb{R}^4)'}
答案：A
问题：(begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 4 2 &amp; 4 &amp; 8end{pmatrix})的行空间,列空间,零空间,左零空间维数分别为 {'A': '2,2,2,1', 'B': '2,2,1,2,', 'C': '1,1,2,1', 'D': '1,1,1,2'}
答案：C
问题：下列哪个矩阵满足:列空间包含(begin{pmatrix} 1 1 0 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 0 0 1 end{pmatrix},)行空间包含(begin{pmatrix} 1 &amp; 2 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 2 &amp; 5 end{pmatrix}). {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 -1 &amp; 1 0 &amp; -1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 1 1 &amp; 1 0 &amp; 1 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 1 0 &amp; 1 &amp; 1 end{pmatrix})'}
答案：B
问题：下列哪个矩阵满足:左零空间包含(begin{pmatrix} 1 3 end{pmatrix},)行空间包含(begin{pmatrix} 3 &amp; 1 end{pmatrix}). {'A': '(begin{pmatrix} -9 &amp; 3 3 &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 6 &amp; 2 3 &amp; 1end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} -9 &amp; -3 3 &amp; 1end{pmatrix})'}
答案：C
问题：一个矩阵不可能满足以下那条性质? {'A': '零空间维数=左零空间维数+1', 'B': '行空间维数=左零空间维数', 'C': '行空间与列空间相同,零空间与左零空间维数不同'}
答案：C
问题：设(A)是一个(3times 3)的可逆方阵,那么(3times 6)的矩阵(B = begin{pmatrix} A &amp; A end{pmatrix})的行空间,列空间,零空间,左零空间维数分别是 {'A': '3,3,3,0', 'B': '6,3,0,0', 'C': '3,6,0,3', 'D': '3,3,0,3'}
答案：A
问题：设(A)为矩阵,下列关于矩阵(A)和(B=begin{pmatrix} A A end{pmatrix})的叙述哪个是错误的? {'A': '(A)和(B)的行空间相同', 'B': '(A)和(B)的零空间相同', 'C': '(A)和(B)的左零空间相同'}
答案：C
问题：设(A)为矩阵,下列关于矩阵和(B=begin{pmatrix} A A end{pmatrix})和(C=begin{pmatrix} A &amp; A A &amp; A end{pmatrix})的叙述哪个是正确的? {'A': '(B)和(C)的行空间相同', 'B': '(B)和(C)的零空间相同', 'C': '(B)和(C)的左零空间相同', 'D': '(B)和(C)的秩不同'}
答案：C
问题：下列哪个叙述是正确的? {'A': '若矩阵(A)为方阵,则它的行空间与列空间相同', 'B': '矩阵(A)和(-A)的行空间,列空间,零空间,左零空间分别都是相同的', 'C': '如果矩阵(A)和(B)的行空间,列空间,零空间,左零空间分别都是相同的,那么(A = cB),(c)为一个实数.'}
答案：B
问题：设(A)是一个(mtimes n)的矩阵,秩为(r).假设存在向量(mathbf{b}inmathbb{R}^m)使得线性方程组(Amathbf{x} = mathbf{b})无解,那么 {'A': '(m)严格小于(n)', 'B': '(r)严格小于(n)', 'C': '(A^Tmathbf{y} = 0)只有零解', 'D': '(A^Tmathbf{y} = 0)有非零解'}
答案：D
问题：(A^Tmathbf{y} = mathbf{d})一定有解,如果 {'A': '(mathbf{d})在(A)的行空间中', 'B': '(mathbf{d})在(A)的列空间中', 'C': '(mathbf{d})在(A)的零空间中', 'D': '(mathbf{d})在(A)的左零空间中'}
答案：A
问题：设(mathbf{u},mathbf{v},mathbf{w},mathbf{z}inmathbb{R}^n)都是非零列向量,令(A = mathbf{u}mathbf{v}^T + mathbf{w}mathbf{z}^T,)那么(A)的列空间是? {'A': '(mathbf{u},mathbf{w})线性生成的空间的子空间', 'B': '(mathbf{v},mathbf{w})线性生成的空间的子空间', 'C': '(mathbf{u},mathbf{z})线性生成的空间的子空间', 'D': '(mathbf{v},mathbf{z})线性生成的空间的子空间'}
答案：A
问题：若(AB=C),那么 {'A': '(C)的行空间是(A)的行空间的子空间', 'B': '(C)的列空间是(B)的列空间的子空间', 'C': '(C)的零空间是(B)的零空间的子空间', 'D': '(B)的零空间是(C)的零空间的子空间'}
答案：D
问题：以下哪个矩阵满足:列空间包含(begin{pmatrix} 1 2 -3 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 2 -3 5 end{pmatrix},)且其零空间包含(begin{pmatrix} 1 1 1 end{pmatrix}?) {'A': '(begin{pmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 1 -1 &amp; 1 &amp; 1 1 &amp; -1 &amp; 1 end{pmatrix})', 'B': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 2 2 &amp; -3 -3 &amp; 5 end{pmatrix})', 'C': '(begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; -3 2 &amp; -3 &amp; 1 -3 &amp; 5 &amp; -2 end{pmatrix})'}
答案：C
问题：(A)为3阶方阵,若(A^Tmathbf{x} = 0)有一个解为(begin{pmatrix} 1 0 0 end{pmatrix}),那么方程(Amathbf{x} =begin{pmatrix} 1 1 1 end{pmatrix}) {'A': '无解', 'B': '有解', 'C': '不能确定是否有解'}
答案：A
问题：列空间与行空间正交的矩阵是否存在 {'A': '存在', 'B': '不存在'}
答案：A
问题：行空间包含(begin{pmatrix} 1 2 -3 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 2 -3 5 end{pmatrix},)且零空间包含(begin{pmatrix} 1 1 1 end{pmatrix})的矩阵是否存在? {'A': '存在', 'B': '不存在'}
答案：B
问题：(A, B)为矩阵,且(AB=0.)那么 {'A': '(B)的行空间包含于(A)的零空间,(A)的列空间包含于(B)的左零空间', 'B': '(B)的零空间包含于(A)的行空间,(A)的左零空间包含于(B)的列空间', 'C': '(B)的列空间包含于(A)的零空间,(A)的行空间包含于(B)的左零空间', 'D': '(B)的列空间包含于(A)的左零空间,(A)的行空间包含于(B)的零空间'}
答案：C
问题：如果(A,B)是(3times 3)的方阵,且秩都为2,问(AB=0)是否可能? {'A': '可能', 'B': '不可能'}
答案：B
问题：若线性方程组(Amathbf{x} = mathbf{b}_0)有解(mathbf{x}_0,)(A^Tmathbf{y} = mathbf{0})有解(mathbf{y}_0),那么 {'A': '(mathbf{y}_0^Tmathbf{x}_0 = 0)', 'B': '(mathbf{y}_0^Tmathbf{b}_0 = 0)', 'C': '(mathbf{y}_0^Tmathbf{x}_0 neq 0)', 'D': '(mathbf{y}_0^Tmathbf{b}_0 neq 0)'}
答案：B
问题：设(A)为方阵,那么 {'A': '(A^TA)与(A)的左零空间相同', 'B': '(A^TA)与(A)的列空间相同', 'C': '(A^TA)与(A)的零空间相同'}
答案：C
问题：以下说法哪个正确? {'A': '线性子空间的正交补和它自身的交集为空集', 'B': '(mathbb{R}^3)中过原点相互垂直的两条直线互为正交补', 'C': '线性空间的一个子集即使不是线性子空间,它的正交补也是一个线性子空间.'}
答案：C
问题：设(W)是(mathbb{R}^n)的真子空间,那么下面关于(W^{bot})的叙述哪个是错误的? {'A': '(W^{bot}cup W = mathbb{R}^n)', 'B': '(W^{bot}cap W = {mathbf{0}})', 'C': '(dim W^{bot} + dim W = n)', 'D': '((W^{bot})^{bot} = W)'}
答案：A
问题：下列叙述正确的是 {'A': '由于((1,1,1))与((1,1,-2))垂直,所以平面(x+y+z=0)与平面(x+y-2z=0)相互正交', 'B': '若线性空间的两个子空间的交集为零向量组成的单点集,那么这两个子空间相互正交', 'C': '线性空间的零向量与其任何一个向量正交'}
答案：C
问题：下列说法正确的是 {'A': '矩阵(A)的行空间和它的列空间互为正交补', 'B': '矩阵(A)的行空间和它的左零空间互为正交补', 'C': '矩阵(A)的行空间和它的零空间互为正交补', 'D': '矩阵(A)的零空间和它的左零空间互为正交补'}
答案：C
问题：(P_1,P_2)为投影矩阵, 若(P_1+P_2)仍为投影矩阵, 则 {'A': '(P_1=0)或(P_2=0)', 'B': '(P_1+P_2=0)', 'C': '(P_1 P_2)是反对称矩阵'}
答案：C
问题：(lambda,mu)为何值时, (lambda(1,2,-1)+mu(1,0,1))离((2,1,1))最近? {'A': '1,1', 'B': '(frac{1}{2},frac{1}{2})', 'C': '(frac{1}{2},frac{3}{2})'}
答案：C
问题：(a_1=(-1,2,2),a_2=(2,2,-1), P_1,P_2)分别是在(a_1,a_2)上的投影, 求(P_1P_2). {'A': '零矩阵', 'B': '(frac{1}{9} begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;-2-2&amp;4&amp;4-2&amp;4&amp;4end{pmatrix})', 'C': '(frac{1}{9} begin{pmatrix}4&amp;4&amp;-24&amp;4&amp;-2-2&amp;-2&amp;1end{pmatrix})'}
答案：A
问题：若(P)是在(C(A))上的投影, 则(I-P)是在___上的投影. {'A': '(C(A))', 'B': '(N(A))', 'C': '(C(A^T))', 'D': '(N(A^T))'}
答案：D
问题：若(A^Tb=0), 则(b)在(C(A))上的投影为___. {'A': '(Ab)', 'B': '(b)', 'C': '0'}
答案：C
问题：若(A^TAx=0), 是否一定有(Ax=0)? {'A': '是', 'B': '否'}
答案：A
问题：(A=begin{pmatrix}1&amp;02&amp;10&amp;1end{pmatrix}), (P_1)是在(A)的第一列张成的空间上的投影, (P_2)是在(A)的前两列张成的空间上的投影, 求(P_2P_1). {'A': '(frac{1}{5}begin{pmatrix}1&amp;2&amp;02&amp;4&amp;00&amp;0&amp;0end{pmatrix} )', 'B': '(frac{1}{5}begin{pmatrix}0&amp;0&amp;01&amp;2&amp;01&amp;2&amp;0end{pmatrix} )', 'C': '(frac{1}{2}begin{pmatrix}0&amp;0&amp;00&amp;1&amp;10&amp;1&amp;1end{pmatrix} )'}
答案：A
问题：(P)是一个投影矩阵, 下列哪一条件不能由(P^2=P,P^T=P)推出? {'A': '(P_{ii})是(P)的第(i)列的模长的平方', 'B': '(P_{ij} ge 0)', 'C': '(P_{ii} le 1)', 'D': '(|P_{ij}| le 1)'}
答案：B
问题：(P_1,P_2,P_3)分别是(mathbb{R}^3)中在向量(a_1,a_2,a_3)上的投影, 若(P_1+P_2+P_3=I), 是否一定有(a_1,a_2,a_3)两两正交? {'A': '是', 'B': '否'}
答案：A
问题：(P_1,P_2)分别是在子空间(S,T)上的投影, (P_1P_2=P_2P_1)的充要条件是? {'A': '(S subset T)或(T subset S)', 'B': '(S,T)正交', 'C': '(S^{perp})与(T^{perp})正交', 'D': '(P_1P_2)是在(S cap T)上的投影'}
答案：D
问题：求((1,1))在((1,-1))上的投影. {'A': '(1,-1)', 'B': '(0,0)', 'C': '(1,1)'}
答案：B