ریاضیات

context: ریاضی‌دانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آن‌ها استفاده کرده و حدس‌های جدید را به‌صورت فرمول درآورد؛ آن‌ها درستی یا نادرستی حدس‌ها را با اثبات ریاضیاتی نشان می‌دهند. هرگاه ساختارهای ریاضی مدل‌های خوبی از پدیده‌های جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی می‌تواند پیش‌بینی‌هایی برای طبعیت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از تجرید و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازه‌گیری و مطالعهٔ نظام‌مند شکل‌ها و حرکات اشیای فیزیکی به‌وجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، به‌عنوان فعالیتی بشری وجود داشته‌است. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی، ممکن است سال‌ها یا حتی قرن‌ها طول بکشد.
qas: answers: text: الگوها
question: ریاضی‌دانان به دنبال چه چیزهایی هستند؟

answers: text: که بتوان از آن‌ها استفاده کرده و حدس‌های جدید را به‌صورت فرمول درآورد
question: چرا ریاضی‌دانان به دنبال الگوها هستند؟

answers: text: با اثبات ریاضیاتی
question: ریاضی‌دانان درستی یا نادرستی حدس‌ها را با چه چیزی نشان می‌دهند؟

answers: text: هرگاه ساختارهای ریاضی مدل‌های خوبی از پدیده‌های جهان واقعی باشند
question: چه زمان استدلال ریاضی می‌تواند پیش‌بینی‌هایی برای طبعیت ارائه کند؟

answers: text: تجرید و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازه‌گیری و مطالعهٔ نظام‌مند شکل‌ها و حرکات اشیای فیزیکی
question: علم ریاضیات با استفاده از چه چیزهایی به‌وجود آمد؟

answers: text: از زمانی که انسان نوشتن را آموخت
question: ریاضیات کاربردی از چه زمانی به‌عنوان فعالیتی بشری وجود داشته‌است؟

answers: text: سال‌ها یا حتی قرن‌ها
question: تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی، ممکن است چقدر طول بکشد طول بکشد؟

question: چند الگوی ریاضی نام ببرید؟

question: چند ریاضی‌دان نام ببرید؟

context: شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که بابلی‌ها و مصری‌ها شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم کردند. قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به میان‌رودان و مصر می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های فیثاغورثی را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که قضیه فیثاغورث کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در اسناد تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که حساب مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰ پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری زاویه و زمان استفاده می‌شود.
qas: answers: text: تا ۳۰۰۰ قبل میلاد
question: شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تاچند سال قبل مشاهده نشده؟

answers: text: محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم
question: بابلی‌ها و مصری‌ها تا ۳۰۰۰ قبل میلاد از حساب، جبر و هندسه برای چه چیزی استفاده می‌کردند؟

answers: text: به میان‌رودان و مصر
question: قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به چه دورانی قبل از میلاد می‌شود؟

answers: text: ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد
question:  قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به میان‌رودان و مصر به چند سال قبل از میلاد بازمی‌گردد؟

answers: text: سه تایی‌های فیثاغورثی
question: بسیاری از متون اولیه ریاضی چه چیزی را ذکر کرده‌اند؟

answers: text: قضیه فیثاغورث
question: کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه چیست؟

answers: text: ریاضیات بابلی‌ها
question: در اسناد تاریخی، حساب مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا در کجا پدیدار گشت؟

answers: text: دستگاه مکان-ارزشی
question: بابلی‌ها از چه دستگاهی بهره می‌جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰ پیاده‌سازی شده بود؟

answers: text: برای اندازه‌گیری زاویه و زمان استفاده می‌شود.
question: از دستگاه مکان-ارزشی در حال حاضر برای چه چیزی استفاده می‌شود؟

question: دستگاه مکان-ارزشی را چه کسی اختراع کرد؟

question:  قضیه فیثاغورث توسط چه کسی ارائه شد؟

question: جبر و هندسه توسط چه کسی ارائه شد؟

context: با آغاز قرن ششم قبل از میلاد مسیح، ریاضیات یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات یونانی‌ها بود. حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، اقلیدس روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به عناصر معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود. بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل سیراکوز می‌دانند. او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ مساحت و حجم اجسام در حال دوران پیدا کرد و از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با حساب دیفرانسیل و انتگرال مدرن نمی‌باشد. دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان مقاطع مخروطی (آپولونیوس اهل پرگا، قرن سوم قبل از میلاد)، مثلثات (هیپارکوس اهل نیکا (قرن دوم قبل از میلاد))، و آغاز جبر (دیوفانتوس، قرن سوم پس از میلاد) بود.
qas: answers: text: قرن ششم قبل از میلاد مسیح
question: با آغاز چه قرنی ریاضیات یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند؟

answers: text: شناخت بیشتر خود ریاضیات
question: یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مند در ریاضیات را با چه هدفی آغاز نمودند؟

answers: text: سرآغاز ریاضیات یونانی‌ها
question: نتیجه مطالعهٔ نظام مند یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها چه بود؟

answers: text: اقلیدس
question: حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، چه کسی روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد؟

answers: text: تعاریف، اصول، قضیه و اثبات
question: روش اصول موضوعه ای اقلیدس شامل چه چیزهایی بود؟

answers: text: عناصر
question: کتاب مرجع اقلیدس به چه چیزی معروف است؟

answers: text: ارشمیدس
question: بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب چه کسی می‌دانند؟

answers: text: سیراکوز
question: بزرگترین ریاضیدانان باستان ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) را اهل کجا می‌دانند؟

answers: text: فرمول‌هایی برای محاسبهٔ مساحت و حجم اجسام در حال دوران
question: ارشمیدس چه فرمول‌هایی را پیدا کرد؟

answers: text: برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی‌نهایت
question: ارشمیدس از روش افنا برای محاسبه چه چیزی استفاده کرد؟

answers: text: آپولونیوس اهل پرگا، قرن سوم قبل از میلاد
question: مقاطع مخروطی از دستاوردهای چه کسی و در چه زمانی است؟

answers: text: (هیپارکوس اهل نیکا (قرن دوم قبل از میلاد))
question: مثلثات از دستاوردهای چه کسی و در چه زمانی است؟

answers: text: دیوفانتوس، قرن سوم پس از میلاد
question: جبر از دستاوردهای چه کسی و در چه زمانی است؟

question: دیفرانسیل و انتگرال را چه کسی ارائه کرد؟

question: مشتق را چه کسی ارائه کرد؟

question: نوشتن کتاب عناصر چند سال طول کشید؟

question: روش افنا در چه سالی ارائه شد؟

context: در طی اوایل عصر مدرن، ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیز در قرن هفدهم ریاضیات را متحول کرد. لئونارد اویلر مهم‌ترین ریاضیدان قرن هجدهم بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان قرن نوزدهم ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس بود که خدمات متعددی به شاخه‌های مختلف ریاضیات چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس، نظریه اعداد و آمار کرد. در اوایل قرن بیستم، کورت گودل، ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند.
qas: answers: text: در طی اوایل عصر مدرن
question: در چه دوره‌ای ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در غرب اروپا کرد؟

answers: text: نیوتون و لایبنیز
question: حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط چه کسانی توسعه داده‌شد؟

answers: text: قرن هفدهم
question: توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیز در چه قرنی ریاضیات را متحول کرد؟

answers: text: لئونارد اویلر
question: مهم‌ترین ریاضیدان قرن هجدهم چه کسی بود؟

answers: text: چندین قضیه و کشفیات
question: لئونارد اویلر چه چیزهایی را به ریاضیات افزود؟

answers: text: ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس
question: مهم‌ترین ریاضیدانان قرن نوزدهم چه کسی بود؟

answers: text: جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس، نظریه اعداد و آمار
question: ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس چه خدماتی به شاخه‌های مختلف ریاضیات کرد؟

answers: text: اوایل قرن بیستم
question: در چه زمانی ریاضیات با انتشار قضایای ناتمامیت دچار تغییر شد؟

answers: text: کورت گودل
question: چه کسی ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد؟

question: نظریه اعداد را تعریف کنید؟

question: جبر را تعریف کنید؟

question: نظریه ماتریس را تعریف کنید؟

context: ریاضیات را می‌توان به‌طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات (یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز). علاوه بر این‌ها که دغدغه‌های اصلی ریاضیات هستند، گرایش‌های دیگری نیز وجود دارند که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های ریاضیات کرده‌اند، مثل ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه‌ها (شالوده‌های ریاضی)، یا دیگر شاخه‌های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت. در حالی که برخی از این قلمروها ممکن است به ظاهر غیر مرتبط به نظر برسند، برنامه لانگلند ارتباطاتی بین شاخه‌هایی را یافته‌است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند، مثل گروه‌های گالوا، رویه‌های ریمانی و نظریه اعداد.
qas: answers: text: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات
question: ریاضیات را می‌توان به‌طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد؟

answers: text: یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز
question: فضا و تغییرات یعنی چه؟

answers: text: ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه‌ها (شالوده‌های ریاضی)
question: گرایش‌های دیگری که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های ریاضیات کرده‌اند را نام ببرید؟

answers: text: (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت
question: شاخه‌های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند را نام ببرید؟

answers: text: برنامه لانگلند
question: چه برنامه‌ای ارتباطاتی بین شاخه‌های ریاضی را یافته‌است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند؟

answers: text: گروه‌های گالوا، رویه‌های ریمانی و نظریه اعداد
question: ارتباطاتی بین شاخه‌های ریاضی را که برنامه لانگلند یافته‌است و پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند را نام ببرید؟

question:  آنالیز را تعریف کنید؟

question: نظریه مجموعه‌ها را تعریف کنید؟

context: نظریه مجموعه‌ها و منطق به منظور تببین بنیان‌های ریاضیات توسعه یافته‌اند. منطق ریاضیات شامل مطالعهٔ منطق و کاربردهای منطق صوری به شاخه‌هایی از ریاضیات است؛ نظریه مجموعه‌ها شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مجموعه‌ها یا گردایه ای از اشیاء می‌پردازد. نظریه رسته‌ها که به صورت مجرد به مطالعه ساختارهای ریاضیاتی و ارتباطشان با هم می‌پردازد هنوز هم در حال تکوین است. عبارت «بحران بنیان‌های ریاضیاتی» به دوره ای تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ اشاره دارد که در آن دوره جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای ریاضیات انجام شد. اختلاف نظرها در مورد بنیان‌های ریاضی تا زمان کنونی هم ادامه دارد. این بحران با یک سری بحث‌ها تحریک شد، از جمله این بحث‌ها، بحث بر سر نظریه مجموعه‌های کانتور و جدال هیلبرت-براور بود.
qas: answers: text: به منظور تببین بنیان‌های ریاضیات
question: نظریه مجموعه‌ها و منطق به چه منظور توسعه یافته‌اند؟

answers: text: منطق و کاربردهای منطق صوری به شاخه‌هایی از ریاضیات
question: منطق ریاضیات شامل مطالعهٔ چیست؟

answers: text: شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مجموعه‌ها یا گردایه ای از اشیاء می‌پردازد
question: نظریه مجموعه‌ها چیست؟

answers: text: به صورت مجرد به مطالعه ساختارهای ریاضیاتی و ارتباطشان با هم
question: نظریه رسته‌ها که به چه چیزی می‌پردازد؟

answers: text: دوره ای تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰
question: عبارت «بحران بنیان‌های ریاضیاتی» به چه دوره ای اشاره دارد؟

answers: text: جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای ریاضیات انجام شد
question: در دوره ی تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ جستجو برای چه چیزی انجام شد؟

answers: text: بحث بر سر نظریه مجموعه‌های کانتور و جدال هیلبرت-براور
question: یک نمونه از بحث‌هایی که بحران بنیان‌های ریاضیاتی را تحریک کرد چه بود؟

question: نظریه رسته‌ها در چه سالی ارائه شد؟

question: نظریه رسته‌ها توسط چه کسی ارائه شد؟

context: دغدغهٔ منطق ریاضیاتی، ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است. منطق ریاضی الزامات چنین چارچوبی را مطالعه می‌کند. مثلاً قضایای عدم کمال گودل به‌طور ضمنی می‌گویند که هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضیای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد). گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم، می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه بدست نیایند؛ لذا در نظریه اعداد هیچ نظام صوری که از نظر اصول موضوعه ای کامل باشد وجود ندارد. منطق نوین به چند بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه اثبات و ارتباط نزدیکی با علوم کامپیوتر و نظریه رسته‌ها دارد. در زمینهٔ نظریه بازگشت، عدم امکان وجود سیستم اصول موضوعه ای کامل را می‌توان به صورت صوری از طریق پیامدهای قضیه MRDP نشان داد.
qas: answers: text: ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است
question: دغدغهٔ منطق ریاضیاتی چیست؟

answers: text: هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضیای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد).
question: قضایای عدم کمال گودل به‌طور ضمنی چه می‌گویند؟

answers: text: می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه بدست نیایند
question: گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم چه اتفاقی می‌افتد؟

answers: text: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه اثبات
question:  منطق نوین به چه بخش‌هایی تقسیم می‌شود؟

question: نظریه مدل را تعریف کنید؟

context: علوم کامپیوتر شامل نظریه محاسبه پذیری، نظریه پیچیدگی محاسباتی و نظریه اطلاعات است. نظریهٔ محاسبه پذیری محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها را بررسی می‌کند که شامل بسیاری از مدل‌های شناخته شده چون ماشین تورینگ می‌شود. نظریه پیچیدگی به مطالعهٔ رام پذیری حل مسائل در رایانه می‌پردازد. برخی مسائل وجود دارند که با وجود این که از لحاظ نظری توسط رایانه قابل حل هستند، اما در عمل هزینه حل کردنشان از نظر زمان یا فضا زیاد است و عملاً با وجود پیشرفت‌های سریع سخت‌افزاری در دنیای کامپیوتر حل آن‌ها به نظر نامعقول می‌آید. یک مسئله مشهور در این وادی مسئلهٔ "P=NP"؟ است که برای حل آن جایزهٔ مسائل هزاره تعیین شده‌است. در نهایت، نظریه اطلاعات با حجمی از داده‌ها سر و کار دارد که بتوان آن‌ها را بر روی یک وسیله خاص ذخیره کرد، پس این علم با مفاهیمی چون فشرده سازی و انتروپی سروکار دارد.
qas: answers: text: نظریه محاسبه پذیری، نظریه پیچیدگی محاسباتی و نظریه اطلاعات
question: علوم کامپیوتر شامل چه نظریه‌هایی است؟

answers: text: محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها
question: نظریهٔ محاسبه پذیری چه چیزهایی‌ را بررسی می‌کند؟

answers: text: شامل بسیاری از مدل‌های شناخته شده چون ماشین تورینگ
question: محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها شامل چه مدلی است؟

answers: text: رام پذیری حل مسائل در رایانه
question: نظریه پیچیدگی به مطالعهٔ چه چیزی می‌پردازد؟

answers: text: با حجمی از داده‌ها
question: نظریه اطلاعات با چه چیزی سر و کار دارد؟

answers: text: مفاهیمی چون فشرده سازی و انتروپی
question: نظریه اطلاعات با چه مفاهیمی سروکار دارد؟

question: انتروپی را تعریف کنید؟

question: چه مسائلی از لحاظ نظری توسط رایانه قابل حل هستند؟

context: با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در سلسله مراتب اعداد می‌باشد که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها می‌باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم "بی نهایت" بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند.
qas: answers: text: دستگاه اعداد
question: با پیشرفت چه چیزی، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند؟

answers: text: زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها")
question: اعداد صحیح به عنوان چه چیزی شناخته شدند؟ 

answers: text: اعداد حقیقی
question: اعداد گویا زیر مجموعهٔ چه اعدادی می‌باشند؟

answers: text: نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته
question: از اعداد گویا برای چه چیزی استفاده شده‌است؟

answers: text: اعداد مختلط
question:  اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ کدام اعداد است؟

answers: text: اعداد ترامتناهی
question: با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به چه چیزی رسید؟

answers: text: صوری
question: اعداد ترامتناهی، مفهوم "بی نهایت" بودن را چه می‌کنند؟

answers: text: قضیه بنیادی جبر
question: بر اساس چه چیزی تمام جواب‌های چند جمله ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند؟

answers: text: مجموعه‌های نامتناهی
question: اعداد الف امکان مقایسهٔ چه چیزی‌ را با هم می‌دهند؟

question: دستگاه اعداد توسط چه کسی ارائه شد؟

question: اعداد گویا توسط چه کسی شناخته شد؟

question: اعداد حقیقی توسط چه کسی شناخته شد؟

context: بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز می‌دهند که می‌تواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می‌شود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن مجموعه‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را با عملیات حساب بدست آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که می‌افتد این است که چنین مجموعه‌های ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز می‌دهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن‌ها را داده و لذا در چنین شرایطی می‌توان اصول موضعه‌هایی برای آن دسته خاص از مجموعه‌ها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آن‌ها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعه‌هایی که در آن اصول موضوعه صدق می‌کنند). ازین رو، می‌توان گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها و دیگر نظام‌های مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام جبر مجرد را می‌دهند.
qas: answers: text: ساختار داخلی
question: مجموعه اعداد و توابع، چه چیزی را از خود بروز می‌دهند؟

answers: text: پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می‌شود
question: در مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی را که از خود بروز می‌دهند می‌تواند باعث چه پیامدی شود؟ 

answers: text: به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح
question: نظریه اعداد به مطالعه چه چیزی میپردازد؟

answers: text: عملیات حساب
question: خواص مجموعه اعداد صحیح چگونه بدست می‌آید؟

answers: text: خواص مشابهی از خود بروز می‌دهند
question: مجموعه‌های ساخت یافته (ساختارها) چه چیزی را از خود بروز می‌دهند؟

answers: text: امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن‌ها
question: خواص مشابهی که در مجموعه‌های ساخت یافته بروز داده‌ می‌شود امکان چه چیزی را می‌دهد؟

question: چند مجموعه ساخت یافته نام ببرید؟

question: علم آمار توسط چه کسی ارائه شد؟

context: جبر مجرد را می‌توان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، که در آن از نظریه میدان و گروه‌ها استفاده شد. یکی دیگر از مثال‌های مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن بردارها می‌باشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و می‌توان از آن‌ها برای مدل‌سازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل هندسه و جبر، به گونه ای که مشخص می‌شود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیق‌تر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. ترکیبیات به مطالعه راه‌های شمارش تعدادی اشیاء می‌پردازد که آن اشیاء در ساختار داده شده‌ای صدق می‌کنند.
qas: answers: text: به مسائل به ظاهر غیر مرتبط
question: جبر مجرد را می‌توان در حالت کلی آن به چه چیزی اعمال کرد؟

answers: text: نظریه گالوا
question: تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار در نهایت با کمک نظریه چه کسی حل شدند؟

answers: text: از نظریه میدان و گروه‌ها
question: در مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار که در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، در آن از چه نظریه‌ای استفاده شد؟

answers: text: بردارها
question: عناصر جبر خطی، چه چیزی می‌باشند؟

answers: text: هم اندازه دارند و هم جهت
question: بردارها دارای چه چیزی می‌باشند؟

answers: text: برای مدل‌سازی روابط بین نقاط درون فضا
question: از بردارها برای چه چیزی استفاده می‌شود؟

answers: text: به مطالعه راه‌های شمارش تعدادی اشیاء می‌پردازد که آن اشیاء در ساختار داده شده‌ای صدق می‌کنند.
question: ترکیبیات به مطالعه چه چیزی می‌پردازد؟

question: بردارها توسط چه کسی شناخته شدند؟

question: بردارها در چه تاریخی شناخته شدند؟

context: فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و حساب دیفرانسیل و انتگرال به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را آنالیز حقیقی گویند، آنالیز مختلط هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار می‌کند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بی‌نهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مسائل به‌طور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر می‌شوند. بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت را می‌توان به وسیله سیستم‌های دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب به‌طور دقیق بررسی می‌کند که چگونه یک سیستم می‌تواند پیش‌بینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ می‌کند.
qas: answers: text: به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر
question: توابع در فهم و توصیف تغییر به عنوان چه چیزی ظهور پیدا کردند؟

answers: text: آنالیز حقیقی
question: مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را چه می‌گویند؟

answers: text: بر روی میدان اعداد مختلط
question: آنالیز مختلط بر روی کجا کار می‌کند؟

answers: text: بر روی فضاهای (اغلب بی‌نهایت بعدی) توابع
question: آنالیز تابعی بر روی کجا متمرکز است؟

answers: text: در مکانیک کوانتومی
question: یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در کجاست؟

answers: text: به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش
question: بسیاری از مسائل به‌طور طبیعی به چه چیزی منجر می‌شوند؟

answers: text: به وسیله سیستم‌های دینامیکی
question: بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت را می‌توان به وسیله چه چیزی توصیف کرد؟

answers: text: نظریه آشوب
question: کدام نظریه به‌طور دقیق بررسی می‌کند که چگونه یک سیستم می‌تواند پیش‌بینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ می‌کند؟

question: نظریه آشوب توسط چه کسی ارائه شد؟

question: نظریه آشوب در چه سالی ارائه شد؟

question: آنالیز تابعی در چه سالی شناخته شد؟