I Dame Janet Smiths granskning identifierades sammanlagt 72 offer, däribland åtta som blev våldtagna.
Enligt hennes rapport hade BBC:s personal känt till klagomålen om Savile men informerade inte den högsta ledningen.
BBC Trust ordförande Rona Fairhead sa att företaget hade misslyckats offren.
Dame Janets granskning visade att många, men inte alla, av de allvarligaste fallen av våldtäkt, våldtäktsförsök och sexuella övergrepp utfördes av Savile i hans egna lokaler och inte på BBC.
Men hon sa att Savile också skulle "grattisa sig sexuellt" på BBC lokaler när tillfället uppstod, och att hon hade hört talas om incidenter som hade ägt rum i företagets Glasgow studior samt i städer som London, Manchester och Leeds.
Dame Janet sade Savile, som hade en stuga i Glen Coe innan han dog vid 84 års ålder 2011, och en annan tidigare BBC presentatör, Stuart Hall, var "serial sexuella rovdjur" och BBC missade fem tillfällen att stoppa deras tjänstefel.
Hon berättade om en incident med en 12-årig flicka som reste från Skottland för att besöka sin faster i London i december 1973.
Enligt rapporten övertalade flickan sin faster att ta henne till en inspelning av Top of the Pops, som Savile presenterade medan hon var klädd i en Womble outfit.
Det stod att hon separerades från sin faster i studion, och efter showen var hon och en 10-årig pojke tillfrågades av en man om de skulle vilja träffa Savile.
De fördes till hans omklädningsrum, där de erbjöds fizzy drinkar och kex av mannen, innan Savile kom in, fortfarande bär sin Womble kostym men utan huvudet.
Efter att ha pratat med de två barnen såg flickan när Savile våldtog pojken, som sa "låt bli".
Sedan sa Savile till barnen: "Det är okej. Det är vår hemlighet, innan vi våldtar flickan.
I rapporten sades det att flickan senare gick till tunnelbanestationen och berättade för sin moster att hon hade sett Slade och hade haft pop och kex med Savile själv.
Den tillade: " Hon berättade inte för någon vad som hade hänt. Hon trodde att det var hennes fel och att hon kanske skulle hamna i helvetet för det hon hade gjort.
"Naturligtvis var hon ett barn i en sårbar situation och det som hände henne var inte på något sätt hennes fel."
I april 2014 fick offret se en tidningsannons från en advokatbyrå som bad alla som hade blivit attackerade av Savile att träda fram.
Hon kontaktade dem, och det visade sig att pojken som våldtogs medan hon tittade också hade kontaktat advokatbyrån.
Under sin livstid kände miljontals människor Jimmy Savile som en excentrisk TV-personlighet.
Han var en av Storbritanniens största stjärnor, en större än livet karaktär som var känd för te tid TV-favoriter som Top of the Pops och Jim'll Fix It, samt stints på BBC Radio 1.
Han var också, för vissa, Saint Jimmy, en flitig insamling som höjde 40 miljoner pund för välgörenhet.
Men ett år efter hans död 2011 dök anklagelserna om övergrepp upp.
Det visade sig att han faktiskt var ett av Storbritanniens mest produktiva sexuella rovdjur.
Han hade utnyttjat sin status för att utnyttja hundratals människor - flickor och pojkar, män och kvinnor, men mestadels sårbara unga kvinnor.
Typ: Jekyll och Hyde TV presentatör
Dame Janets rapport innehöll också en redogörelse för att Savile gick in i sin husbil med en ung kvinna medan han var i Skottland för att göra en långväga välgörenhetsrunda.
Men vittnet sade till undersökningen: " Jag har ingen aning om vad som hände när de gick in i bilen, för allt jag vet var att hon fick en autograf, ett fotografi eller att de chattade eller att han gjorde en intervju med henne.
"Jag vet inte om hans team visste mer än jag. Hon var bara i bilen en kort tid. En kort tid senare, d.v.s. inom den maximala timmen som jag var närvarande, en gammal dam tog Savile en gryta med marmelad och sade att det var för arbetet som han gjorde för unga människor."
Tony Hall, generaldirektör för BBC, bad offren om ursäkt och sade: " BBC svek dig när det borde ha skyddat dig.
"En serievåldtäktsman och en rovlysten sexuella övergreppare båda gömde sig i öppen syn på BBC i årtionden.
"Vad denna fruktansvärda episod lär oss är att berömmelse är makt, en mycket stark form av makt och som alla former av makt det måste ställas till svars... och det var det inte."
Jimmy Savile misshandlade några av sina offer i BBC: s studior i Glasgow och även sexuellt våldtog en skotsk flicka som hade rest till London för att titta på Top of the Pops, en rapport har hittat.