Opener Lumb gjorde 105 när Notts nådde 274-5 från en väderreducerad 42 overs.
Paul Collingwood (69) och Michael Richardson (64) höll Durham i kontakt.
Richardson föll sedan för Harry Gurney (5-51) med två bollar kvar, men Keaton Jennings slog en sexa och en fyra för att vinna den, tar dem till 254-8.
Värdarna hade sett osannolika segrare på väg in i finalen, vilket krävde 12 körningar men inte hittat gränsen för 35 leveranser.
Deras uppgift såg ännu svårare ut när Richardson avskedades av Gurney, bara för nummer nio Jennings att klubba nästa boll för sex och sedan pressa den slutliga leveransen för fyra.
Tidigare hade Lumb fortsatt sin senaste fina form genom att sammanställa en 101-ball 105 som innehöll 12 gränser.
Den 36-årige, som inte har representerat England sedan 2014, följde upp poäng av 184 och 133 mot Northants och Warwickshire i hans tidigare två One-Day Cup innings med en tredje på varandra följande sekel.
Michael Lumbs tredje raka One-Day Cup ton kunde inte stoppa Nottinghamshire glider till en sista-ball två-wicket nederlag av Durham på Chester-le-Street.