Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
De röda sa adjö till kapten Gerrard med en 6-1 thrashing på Stoke för att avsluta sjätte i Premier League.
"Jag har alltid sagt om ägarna vill att jag ska gå, då jag går", sade Rodgers, som har vunnit två av sina senaste nio matcher.
"För alla som är anslutna till Liverpool är vi alla generade över det resultatet."
Det var första gången på 52 år de röda hade släppt in sex mål i ligan men Rodgers, 42, insisterade på att han fortfarande har "mycket att erbjuda klubben", trots att vinna inget silver under sina tre år som chef.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Liverpool måste nu också gå igenom två kvalomgångar om de ska kunna tävla i gruppstadiet av nästa säsong Europa League.
"En hel del har hänt i år som har gjort jobbet svårt", tillade Rodgers, som guidade de röda till andra plats förra säsongen.
"Förra säsongen, när saker och ting fungerade bra, hade vi stöd av alla men föreställningar som idag hjälper inte det och jag förstår det fullt ut.
Fansen förtjänar en ursäkt. De var arga vid halvtid - och det med rätta - eftersom det var fruktansvärt, fullständigt hemskt.
"De har all rätt att vara arga och frustrerade och jag tar naturligtvis fullt ansvar för det som chef."
Rodgers står inför ett stort återuppbyggnadsarbete under sommaren och, liksom Gerrard som går med i LA Galaxy, det spekuleras om framtiden för unga framåt Raheem Sterling.
Rodgers tappade Sterling, 20, till bänken på Britannia Stadium och Liverpool fann sig följa 5-0 i intervallet efter en fruktansvärd visning.
Alla fem mål kom på 23 minuter från Mame Biram Diouf, två gånger, Jonathan Walters, tidigare Liverpool mittfältare Charlie Adam och Steven Nzonzi.
Gerrard markerade sitt farväl med ett tröst mål men det fanns fortfarande tid för ex-Liverpool anfallare Peter Crouch att leda en sjätte för Stoke fem minuter efter att ha kommit på som en ersättare.
Rodgers frågade om hans återuppbyggnadsplaner och tillade: " Det finns mycket arbete att göra och arbetet är nu att gå och fixa det, och se till att vi kommer tillbaka med en motivation som är större än någonsin för att driva på nästa säsong.
"Vi har avslutat säsongen i sjätte, vilket är där vi förtjänar att avsluta.
"Vi måste nu börja, idag, på klättringen för att komma upp igen."
Liverpool boss Brendan Rodgers accepterade sin framtid på klubben är tveksam efter Steven Gerrards sista match slutade i ett förödmjukande nederlag.