Jose Ortiz var ombord på 5-1 andra favorit - tränad av Todd Pletcher - att efterlikna bror Irad Ortiz Jr, som vann samma lopp förra året på Skaparen.
Tapwrit's sena laddning omarbetade Irish War Cry i slutskedet för att vinna med två längder i New York, med enögd häst Patch, en 13-1 skott, i tredje.
Triple Crown inkluderar Kentucky Derby och Preakness Stakes.
Det är Pletcher tredje seger i loppet och hans andra av Triple Crown denna säsong, efter att ha vunnit Derby med Alltid Drömmer.
Tapwrit vann Belmont Stakes före 3-1 favorit Irish War Cry i sista etappen av den amerikanska Triple Crown.