Familjen Al-Qadi såg sin sida gå bakom Jamie Devitts straff när Tom Parkes straffades för handboll.
Men Rory Gaffney utjämnade med en 12-yard volley efter bort målvakt Barry Roches föga övertygande försök att hantera en Danny Leadbitter kors.
Och ersätta Billy Bodins nära håll-header tjänade seger sent.
Rovers går sjätte, fem poäng på drift av de tre översta, medan Morecambe är på 17: e plats, 11 poäng fri från nedflyttningszonen.
Bristol Rovers firade sin första match under sina nya jordanska ägare med en seger över Morecambe som tar dem upp till femte i League Two.