Försvarsministeriet (MoD) har efter en begäran skrivit till David Cameron till de flesta av familjernas juridiska representanter.
Två systrar till ett offer har förkastat erbjudandet.
Tretton personer dog efter att medlemmar av den brittiska arméns parachuteregemente öppnade eld mot medborgarrättsmarscher i Londonderry den 30 januari 1972.
MoD har bekräftat att den avser att lösa kraven så snabbt som möjligt. Det är ännu inte känt vem som exakt kommer att kompenseras och hur mycket.
Brevet från advokatbyrån Madden och Finucane, som representerade många av familjerna, frågade regeringen vilka åtgärder den vidtog för att "fullständigt kompensera" familjerna för "förlusten av deras nära och kära, sårandet av andra, och de skamliga anklagelser som besudlade deras goda namn under många år".
I ett uttalande accepterade en talesman för MoD att medlemmar av de väpnade styrkorna hade handlat felaktigt och att regeringen var "djupt ledsen".
I uttalandet bekräftades att ersättning skulle betalas "där det fanns ett rättsligt ansvar att göra detta".
• Alla föräldrar till de döda på Bloody Sunday har dött
• Många av de sårade är nu döda
• De flesta av de döda var unga, ogifta, utan beroende
• MoD har föreslagit ett poängsystem för att undvika diskriminering.
• Vissa familjer har redan fått ersättning
• I en skrivelse enligt MoD anges att tidigare kompensationsbetalningar kommer att dras av från varje ny betalning
När premiärministern presenterade Blodiga söndagsrapporten för parlamentet i juni förra året bad han om ursäkt och sade att skottlossningen av armén var både "omotiverad och oförsvarlig".
Madden och Finucane-advokaterna citerade dessa ord och skrev till Cameron i januari i år och frågade honom vad regeringen hade för avsikt att göra "för att fullt ut kompensera sina klienter för förlusten av sina nära och kära och sårandet av andra".
Försvarsministeriet har nu skrivit till advokaterna och sagt att det skulle vilja lösa skadeståndsanspråken så snabbt och effektivt som möjligt.
I ett uttalande till BBC, MoD sade att det erkände den smärta som familjerna känt i nästan 40 år och att medlemmar av de väpnade styrkorna " agerade felaktigt".
East Londonderry MP Gregory Campbell sade premiärministern hade öppnat "vad kan vara en pandoras låda" som ett resultat av hans "önskemål att få stängning" genom sitt uttalande förra året på Bloody Sunday i House of Commons.
Han sade att det var nödvändigt med klarhet när det gäller MoD:s svar i frågan.
"Vi måste se hur stort engagemanget är i förhållande till andra anhöriga till andra offer som också kan känna sig förnärmade att de inte har fått tillräcklig ersättning", tillade han.
Frågan om vem som ska få ersättning i förhållande till Bloody Sunday kan vara komplicerad.
Vissa familjer har antytt att de inte kommer att söka ersättning förrän en soldat åtalas.
Samtidigt har Kate och Linda Nash, som är systrar till ett av offren William Nash, beskrivit regeringens erbjudande om ersättning som "återkallande" och sagt att de inte skulle acceptera betalning "under några omständigheter".
Många av dem som drabbats direkt av händelserna på Bloody Sunday har dött sedan dess och det är inte känt i detta skede om de större familjerna till de döda och sårade faktiskt kommer att göra anspråk.
Det är troligt att åtminstone vissa familjer kommer att kompenseras för en andra gång.
År 1974 gjorde försvarsministeriet mestadels små betalningar på ett par hundra pund utan att ta på sig någon skuld till de dödas familjer.
I ett uttalande på torsdag sade Madden och Finucane att de ex-gratiabetalningar som gjordes till offren vid den tidpunkten baserades på de "flammerade slutsatserna" i Widgery-rapporten och var "derisory och helt olämpligt i belopp".
" Offren kommer därför inte att kompenseras 'två gånger' som vissa kommentatorer har hävdat", sade Peter Madden.
Han sade att det inte var "inget ovanligt med betalning av korrekt ersättning i ett fall som detta".
Claude Madden sade att man skulle överväga en korrespondens med de familjer som den företrädde och att diskussionerna snart skulle inledas med samförståndsavtalet "för att lösa frågan".
Saville-utredningen av händelserna i Bloody Sunday inleddes 1998 och tog 12 år att slutföra till en kostnad av cirka £195 miljoner.
Regeringen ska betala ersättning till familjerna till de döda och sårade på den blodiga söndagen.