Nesbitt meddelade att han kommer att sluta så snart en ny ledare har utsetts, efter partiets nedslående prestation i valet i mars.
UUP är nu det fjärde största partiet i församlingen, efter att ha blivit övertaget av SDLP för första gången.
Swann gjorde tillkännagivandet om sociala medier på fredag.
Han sade att han hade "inlämnat papper" för att söka val som ledare för UUP, efter "mottagande av stöd från hela partiet, inklusive medlemmar av vår Westminster, församling och lokala regeringsteam".
UUP ska välja Nesbitts efterträdare vid årsstämman den 8 april.
Det hade förekommit en del spekulationer om att UUP MLA Steve Aiken skulle kasta sin hatt i ringen för ledarskapet, men han berättade BBC: s Evening Extra han stödde Mr Swann's bud.
"Jag tycker att det är goda nyheter och Robin kommer att bli en utmärkt ledare. Jag skrev under hans papper och jag stöder honom fullt ut", sade han.
"Han är en av de få människor som har bredden och djupet av erfarenhet. Han är chefspiskan, förstår systemet i församlingen och har det stora flertalet stöd från partiet."
När Aiken tillfrågades om varför han inte hade lagt fram sitt eget namn, sade han att Swann var den bästa kandidaten till arbetet.
Tidigare i mars sa Swann till BBC att han "inte uteslöt" ett ledarskapsbud.
Han sade också att hans fru Jennifer var medlem i Ulster Unionist Party och kommer att ha en omröstning på stämman.
"Om mitt namn står på röstsedeln hoppas jag att hon röstar på mig."
Den 45-årige tvåbarnsfadern valdes för första gången till Nordirlands församling 2011 och representerar North Antrim.
Han var ordförande för Kommittén för offentliga räkenskaper under den senaste församlingens mandat och var tidigare ordförande för Ulsters ungdomsföreningar.
Swann var en av 10 UUP-medlemmar som vann mandat i det senaste valet till församlingen, men han sade att den nya ledaren inte nödvändigtvis behövde vara en MLA.
"Våra partiregler tillåter faktiskt alla som är i god ställning, och en medlem av Ulster Unionist Party, att lägga fram sitt namn, så det finns en missuppfattning där ute," sade han.
Robin Swann har meddelat att han har lagt fram sitt namn för Ulster Unionist Party (UUP) ledarskapstävling efter Mike Nesbitts avgång.