Förtal på nätet var redan ett brott, men den nya lagen innehåller särskilda bestämmelser för presidenten.
Förbrytare som använder falska konton kan ställas inför en 1500 manat (676; $855) böter och upp till tre år i fängelse för förolämpningar mot Ilham Alijev.
Azerbajdzjans traditionella medier kontrolleras strikt av regeringen.
Sociala medier hade varit ett sätt för medborgarna att uttrycka sin frustration över den alltmer auktoritära regeringen och den misslyckade ekonomin - som nu kompliceras av den nya lagen.
På nätet kommer förolämpningar mot Aliyev som spårar tillbaka till ett autentiskt konto att få ett mildare tvåårigt straff och betala en mindre böter.
BBC:s korrespondent i Sydkaukasien, Rayhan Demytrie, säger att vad som utgör en förolämpning kommer att avgöras av nationella domstolar, som inte är oberoende enligt människorättsgrupper.
Under de senaste åren har dussintals journalister, ungdomar och demokratiaktivister hamnat bakom galler för att de är kritiska mot landets ledarskap.
Runt om i världen har flera andra länder infört stränga kontroller av internet och sociala medier, och hindrat sina medborgare från att kritisera regeringstjänstemän.
I Thailand skyddas kungafamiljen från förolämpningar eller hot. De som förtalar eller förolämpar kungen, drottningen eller arvingarna ställs inför 15 års fängelse.
Turkiet har upprepade gånger blockerat sociala medier inför valet och fängslat journalister för kritisk bevakning av regeringen. Ryssland blockerade nyligen det sociala nätverket LinkedIn och har fängslat internetaktivister som har lagt ut material kritisk mot regeringen, Ukraina eller Krim, den halvö som den bifogade 2014.
På torsdag förbjöd Gambia internet och internationella telefonsamtal under presidentvalet.
Azerbajdzjans parlament har godkänt en ny lag som gör det brottsligt att förolämpa landets president i sociala medier.