Paul Kelly, biträdande ledare för North Lanarkshire Council, talade dagen efter att planer på 500 uppsägningar vid Uddingston-basen offentliggjordes.
Belgiens ägare Ageas sade att det var ute efter att stänga platsen i slutet av mars nästa år.
Den skotska regeringen sade att den var "redo att hjälpa" om jobben går.
Kelly berättade för BBC Radio Scotland's Good Morning Scotland-programmet att nedläggningen skulle ha en "direkt inverkan på Lanarkshire-området och lokalsamhället".
Han tillade: " Detta är ett mycket stort antal arbetstillfällen, och vår omedelbara oro gäller arbetskraften och deras familjer. Detta är inledningen fram till jul, det är förödande nyheter.
"Men vi vill ha handling, vi vill omedelbart agera på detta, det är därför vi har uppmanat till inrättandet av en arbetsgrupp."
Kelly uppmanade den skotska regeringen att komma runt bordet med andra partner "att göra allt vi kan" och "så snart som möjligt".
Scottish Enterprise och den skotska regeringen är menade att söka ett annat företag som skulle kunna använda försäkringsbolagets kontaktcenter färdigheter.
För fem år sedan hade företaget mer än 900 anställda i North Lanarkshire. Den sysselsätter nu 521 personer på webbplatsen Tannochside Business Park.
En Ageas taleskvinna sade Kwik Fit Insurance Services hade varit "under press under en tid" som ett resultat av förändringar i hur människor köper försäkring och hur den personliga försäkringsmarknaden nu fungerar.
Seppo Kelly sade att han inte höll med om de skäl som Ageas hade angett för den planerade nedläggningen, men han ansåg att den nuvarande arbetskraften var "högkvalificerad och en enorm tillgång" för näringslivet i stort.
Han förklarade att rådet hade skrivit till förste minister Nicola Sturgeon och bett om att en arbetsgrupp skulle inrättas.
Affärsminister Paul Wheelhouse sade på tisdagen att han var "mycket besviken" att få veta om den föreslagna nedläggningen.
Han tillade: "Om någon förlust av arbetstillfällen skulle fortsätta, är vi redo att hjälpa dem som påverkas genom vårt initiativ för att reagera på uppsägningssituationer, partnerskapsåtgärder för fortsatt sysselsättning (PACE) och vår arbetsgrupp för arbetstillfällen inom finanssektorn.
"Jag är angelägen om att träffa North Lanarkshire Council för att samarbeta med dem för att se till att vi stöder det lokala samhället och säkra investeringar på platsen."
Ageas sade att det nu skulle gå in i en samrådsperiod före den planerade stängningen nästa år.
En arbetsgrupp för att rädda jobb på Kwik Fit försäkringsbyrå i Lanarkshire bör inrättas "så snart som möjligt", har en kommunal ledamot sagt.