Talibanerna har kommit nära staden under de senaste striderna och lämnat den avskuren och avsatt tiotusentals människor.
En BBC-korrespondent som flugit in i Kunduz har hört skottlossning och artilleriutbyten inte långt från centrum.
Afghanska tjänstemän säger att utländska jihadister som utbildats av Islamiska statens (IS) grupp kämpar vid sidan av talibanerna.
Provinsguvernör Mohammed Omer Safi berättade för BBC att kropparna av 18 utländska fighters, inklusive tre tjetjenska kvinnor, hade hittats.
Säkerhetsstyrkor och talibaner har varit inblandade i ett dödläge i ungefär en vecka efter det att rebellerna hade inlett en offensiv mot Kunduz i slutet av april.
Rebellerna sägs för närvarande samlas i Gul Tepa-distriktet i den södra utkanten av staden.
Detta är den första positiva bekräftelsen från en högre regeringstjänsteman att Islamiska staten är verksam vid sidan av talibanerna i Afghanistan.
Hittills, särskilt i södra delen av landet, har IS-stridande ofta råkat i konflikt med talibanerna. Men guvernören sade att slaget om norr är annorlunda, och här stöder IS-kämparna talibanerna, utbildar talibanerna och försöker bygga upp talibanernas kapacitet för en större kamp.
Och, sade han, de var mer våldsamma eftersom de ville dö i strid som martyrer.
Förutom Afghanistans närmaste nordliga grannar, Tadzjikistan, Uzbekistan och Kirgizistan, kom de döda från Tjetjenien och Turkiet. De bar svarta pannband markerade med samma islamiska verser som används av IS i Syrien och Irak.
Striden förebådar militant sammansvärjning
Korrespondenterna säger att förskottet är det allvarligaste hotet mot en provinsiell huvudstad på åratal.
Afghansk armé och polis är inblandade i striderna, men det finns ingen betydande hjälp från utländska trupper.
BBC:s David Loyn i Kunduz säger att afghanska styrkor är magra spridda i denna region, och liksom detta beslutsamma angrepp på Kunduz har talibanerna och deras allierade också attackerat avlägsna utposter i bergen i Badakhshan längre österut.
Enligt rapporter dödades minst 13 poliser i attackerna.
Guvernör Safi sa att de afghanska styrkorna i Kunduz inte hade tillräckligt med luftkraft och deras helikoptrar saknade de vapen de borde ha.
Bara några få tusen Nato-trupper finns kvar i landet, till stor del i övningsroller, efter att deras stridsuppdrag avslutades i december. De har tackat nej till flera förfrågningar om hjälp med flyganfall.
Människor som fördrivits av striderna är spridda över staden och landsbygden i provinsen Kunduz.
De långvariga striderna kan leda till ett större problem om man misslyckas med att föra in skörden den här månaden, säger vår korrespondent.
Kunduz levererar hälften av Afghanistans risskörd, så förseningar kan få långtgående konsekvenser, tillägger han.
Internationella biståndsorgan försöker hjälpa de fördrivna, med Världslivsmedelsprogrammet förbereda nödpaket med mjöl, pulser, matlagning olja och högenergikex för 500 familjer, talesman Wahiddullah Amini berättade Reuters nyhetsbyrå.
Den afghanska regeringen har inlett en stor offensiv mot talibanernas styrkor nära den nordöstra provinshuvudstaden Kunduz.