Återuppta 27-2, Bears såg sannolikt att följa på när skadade skeppare Ian Bell avgång lämnade dem 88-6.
De återhämtade sig till post 152, tack vare Varun Chopras 56, och kämpade sedan tillbaka.
De bowlade Somerset ut för 178 - varav Peter Trego gjorde 51 - och stängde på 4-0 i jakt på 322 för att vinna.
Tregos andra halvsekel av matchen, efter hans första innings 94, kan ännu visa sig avgörande, trots Boyd Rankins 3-33 och Chris Woakes 3-45.
En första-innings bly på 143 var en betydande fördel på en tonhöjd som har erbjudit bowlare mer hjälp än planerat.
Lewis Gregory och Jamie Overton tog tre wickets för Somerset, men Craig Overton avslutade innings efter Warwickshires sista par Woakes och Jeetan Patel hade lagt till 17 för att se deras sida förbi uppföljningsmålet.
Med båda sidor letar efter sin första seger för säsongen, Warwickshire måste göra den högsta poängen av matchen för att göra det - och balansen lutas ännu mer i besökarnas fördel av den fortsatta oro över Bell, som sköter en skadad hamstring.
Efter att inte ha kommit in förrän nummer sju i de första innings på grund av den tid han hade tillbringat utanför fältet föregående dag, Bell varade bara 12 bollar innan holo ut Trego för sju.
Bell, i hopp om en England recall mot Sri Lanka för den första testet på Rubrikeley om 10 dagar, gick av i slutet av dagen för en scan, men förväntas kunna fladdra.
Warwickshire Bowler Boyd Rankin sa till BBC WM:
"Vi kommer att försöka slå riktigt positivt. Vi tror fortfarande att vi kan vinna. I allmänhet är det en ganska bra wicket. Det finns några sprickor där i planen men vi måste bara vara positiva.
"Jag skulle säga att anledningen till att så många wickets har fallit är mer ner till fladdermöss fel än högkvalitativ bowling.
"När vi såg tillbaka på våra innings det fanns en hel del mjuka wickets och jag antar samma sak med dem.
"Snutarna här verkar bli lite smickrande så vårt knep var att bowla lite kort. Det fanns en av två som inte var alltför förtjust i den korta bollen så det var något vi kände skulle fungera bra på den där korgen."
Somerset allrounder Peter Trego berättade för BBC Somerset:
"Tom Abell spelade magnifikt bra på dag ett, stöttade upp den andra änden själv, men vi spelade och missade på en massa bollar som vi lätt kunde ha snott. Den allmänna känslan var att man lätt kunde rullas för 150 och som spelades ut i Warwickshires innings.
"Vi har hamnat i en bra position nu och det handlar om att hålla disciplinerad och ganska mycket replikera vad vi gjorde i deras första innings.
"Pitchen har några ganska hyfsade sprickor så, när bollen är i och runt det området, det finns lite ojämn studs och sidorörelser. På grund av vad som händer när bollen träffar en spricka, är det bara oroande fladdermössen.
"Vi har sett ett par killar träffas på handskarna och kroppen från relativt fulla leveranser och det sätter fladdermössen på bakfoten lite så att de inte är så framåt som de borde vara ibland.
"Det skapar bara lite tvivel och om vi fortsätter slå bort i en anständig hastighet, 80-85mph som de flesta av våra bowlare är, jag är säker på att vi kommer att få belöningarna."
Somerset ser i bästa form att vinna på Edgbaston efter en bowler-dominerad andra dagen mot Warwickshire där 18 wickets föll.