En borrad skott av erfarna Slovenien internationella Milivoje Novakovic hotade att lämna Aberdeen med en uppförsbacke uppgift i nästa veckas returben.
Men Republiken Irlands internationella Hayes konverterade till slut en av de många chanser som Dons skapade i Pittodrie.
Aberdeen kommer dock att behöva poäng i Slovenien för att stanna kvar i slipsen.
Alla sju av Dons mål i de föregående två rundorna hade kommit i de sista 22 minuterna av matcher, med tre i stopptid.
Och även om det fanns ett ständigt hot från Derek McInnes sida, fullt av tempo, rörelse och intensitet, kunde de inte hitta ett sätt förbi målvakten Jasmin Handanovic förrän de avslutande stadierna.
Målet från McInnes var att störa ett lag som gillar att slot in i en stadig defensiv mönster i ett försök att få ett tidigt mål.
Toppskytten Adam Rooney fastnade på ett misstag av Dare Vrsic, men anfallarens skott var obeslutsam och Handanovic räddades vid det andra försöket.
Besökarna slösade sedan bort den bästa tidiga chansen efter en stor körning och korsa på motattack av höger tillbaka Denis Sme, Marwan Kabha skicka sin skott från 12 meter hopplöst över baren när han skulle ha gjort mål.
Handanovic gjorde ett modigt block vid Rooneys fötter och sedan såg samma spelare missa en utmärkt Andrew Considin leverans med tum som kors fortsatte blinka över sin straffbox.
Väktaren utmärkte sig igen genom att blockera Jayden Stockleys huvud på punkt-blank avstånd strax före pausen.
Vrsic orsakade några ögonblick av oro för Aberdeen när proppen Joe Lewis tvingades göra en skarp dykning till vänster för att förhindra den tidigare Österrike Wien spelare nät.
Rooney hade bollen i nätet efter några stora uppbyggnad spel av Niall McGinn men anfallaren hade gått offside. Sedan, när tiden tog slut, slog Novakovic till.
Det var en underbar avslutning från 37-åringen som han borstade bort utmaningen av Ash Taylor innan piling ett skott bortom den desperata dykningen av Lewis.
Men Taylor återlöste sig själv med ett beslutsamt bidrag för att sätta upp Hayes "sidefoot finish minuter senare.
Det ger Aberdeen större hopp om att nå play-off rundan, men Maribor vet att de kommer att utvecklas om de undviker att förlora ett mål nästa vecka.
Aberdeen slog till sent i Europa igen när Jonny Hayes utjämnade mot Maribor i Europa Leagues tredje kvalomgång första benet.