Efter att ha klippt upp Kents första innings för 236 i morgonsessionen, trots Sam Northeast racking upp ett århundrade, Durham hade en 212-run bly.
Graham Clarks karriär-bästa 83, med hjälp av skeppare Paul Collingwood 51, såg Durham deklarera med en ledning på 483.
Kent överlevde de sista 10 overs av dagen till slutet av 35 utan förlust.
Northeast hade varit Kent hjälten på dag två, med hans oslagbara 109 med hjälp av Yasir Shah s hårt intjänade 48 i en 113-run åttonde-wicket partnerskap, innan Durham slog tillbaka för att minska Kent från 236-8 till 236 ut.
Södra Afrikas öppnare Stephen Cook (44) fortsatte sin återuppståndelse i Durham färger när han tog till vecket, även om partner Keaton Jennings inte var så tursam som han avgick för en första-ball anka.
Cameron Steel, som gjorde 43, tillsammans med Clark och Collingwood satte Jon Lewis sida i en anständig position vid deklarationen, trots tidiga utgångar för Ryan Pringle och Stuart Poynter.
Daniel Bell-Drummond och Sean Dickson skötte Kent till stubbar utan förlust, men fortfarande släpar med 449 körningar.
Durham satte sig i stark position för att tjäna en första Championship seger för säsongen efter att deklarera med en stor ledning på tredje dagen i Kent.