Enrique åker efter tre år som chef på Nou Camp.
Ibai Gomez slog inlägget för Alaves innan Messi gjorde sitt 54: e mål för säsongen med en 20-yards lockeller.
Theo Hernandez böjd i en frikick att utjämna, men Neymar vände in från nära håll och sedan Messi spelade i Paco Alcacer rätt på halvtid.
Det har varit en nedslående säsong för Barcelona, som avslutade löpare upp till Real Madrid i La Liga och eliminerades från Champions League av Juventus i kvartsfinalen.
De gjorde åtminstone återställa lite stolthet med seger över förra säsongens andra division mästare i vad som var den sista matchen att spelas på Atletico Madrids Vicente Calderon Stadium.
Det fanns några skivor som satt längs vägen som Enriques team behöll trofén, efter att ha slagit Athletic Bilbao och Sevilla i de senaste två finalerna.
Messi, som slog öppnaren efter utbyte passerar med Neymar utanför straffområdet, blev den första spelaren att göra mål i fyra Copa finaler sedan Athletic Bilbao Telmo Zarra 1950.
Neymar, som tvingade i Barcelonas andra när Messi spelade i Andre Gomes att korsa lågt från höger, är den första mannen att göra tre på varandra följande Copa finaler sedan Ferenc Puskas, som uppnått bedriften med Real Madrid mellan 1960 och 1962.
Messis pass för det tredje målet var sublimt, och avslutades lugnt av Alcacer - som har varit inkonsekvent sedan han flyttade från Valencia förra sommaren.
Den enda stora oron för Barcelona var en otäck huvudskada för Javier Mascherano, som bars iväg på en bår efter en tidig kollision med Marcos Llorente,
Han fick hjärnskakning och ett snitt i huvudet, och en skada på höger knä som kommer att behöva ytterligare tester, sade klubben efteråt.
Lionel Messi inspirerades när Barcelona slog Alaves för att säkra Copa del Rey för tredje året i rad och ge coach Luis Enrique en vinnande avgång.