Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Eli Walker avslutade en slick Ospreys drag för öppningen försök, innan Rory Hughes score satte Glasgow 13-10 upp på halvtid.
Sam Davies stövel höll Ospreys i kontakt men Ryan Grants kontroversiella försök återställde besökarnas ledning.
Ospreys jämnades igen med Dan Evans spetsiga poäng och Davies missade en sen chans att vinna matchen när hans drop-goal försök seglade brett.
Värdarna stannar sjua i Pro12 bordet, medan Glasgow återta åttonde plats från Cardiff Blues.
Buoyed av en European Champions Cup seger mot Racing 92 i sin senaste utflykt, Glasgow gjorde en stark start och ledde 6-0 tack vare två Duncan Weir straff.
Ospreys svarade först med en Davies straff och sedan ett smart arbetat försök från en line-out drag, som kulminerade i ett poppass från centrum Josh Matavesi till vinge Walker, som rusade över oemottaglig.
Det var också skicklig hantering i Glasgows öppningspoäng, med lås Leone Nakarawa offloading lysande för vinge Hughes att touch ner i hörnet.
En andra Davies straff gav Ospreys nivå på 13-13 tidigt i andra halvlek, men Glasgow återställde snart sin ledning med ett omtvistat försök.
Domare Peter Fitzgibbon konsulterade TV-match officiella Jon Mason och, även om det verkade vara en dubbel rörelse från bakre raden Ryan Wilson, poängen tilldelades som prop Grant störtade över från nära håll.
Ospreys utjämnade för andra gången med 10 minuter kvar för att sätta upp en spänd final, med Davies paus och offload sätta upp full-back Evans för att korsa för deras andra försök.
Davies hade en möjlighet att sätta värdarna framför tre minuter senare men drog hans drop-goal bred.
Ospreys: Dan Evans, Tom Grabham, Owen Watkin, Josh Matavesi, Eli Walker, Sam Davies, Brendon Leonard (kapten); Nicky Smith, Sam Parry, Dmitri Arhip, Rynier Bernardo, Rory Thornton, Joe Bearman, Sam Underhill, Dan Baker
Ersättningar: Scott Otten, Gareth Thomas, Ma'afu Fia, Adam Beard, Olly Cracknell, Tom Habberfield, Ben John, JJ Engelbrecht
Glasgow Warriors: Peter Murchie; Lee Jones, Taqele Naiyaravoro, Sam Johnson, Rory Hughes, Duncan Weir, Grayson Hart; Ryan Grant, Pat MacArthur, Sila Puafisi, Greg Peterson, Leone Nakarawa, Rob Harley, Chris Fusaro, Ryan Wilson (kapt)
Ersättningar: James Malcolm, Gordon Reid, D'arcy Rae, Josh Strauss, James Eddie, Ali Price, Gregor Hunter, Glenn Bryce
Domare: Peter Fitzgibbon (IRFU)
Biträdande domare: Leighton Hodges, Wayne Davies (båda WRU)
Citeringskommissionär: Gwyn Bowden (WRU)
TMO: Jon Mason (WRU)
Ospreys och Glasgow delade fyra försök i en underhållande dragning i Pro12.