Det sades att det fanns ett "högt hot från terrorism", med arenor, fanzoner och transportnav möjliga mål.
Brittiska antiterroristofficerare har varit "en viktig del" av säkerhetsplaneringen och ett team är i Frankrike, sade polisen.
Officerare kommer också att vara stationerade vid Eurostars terminaler och på vissa tvärgående tåg.
Det kommer efter tjänstemän i Ukraina arresterade en fransman tydligen inspirerad av extremistiska högern övertygelser att planera en rad attacker.
I sin bil bar han två raketgevär, sprängämnen, detonatorer, fem Kalashnikover och 5 000 ammunitionsrundor, sade underrättelsetjänstemän.
Utrikesministeriets råd uppdaterades i måndags, även om tjänstemän sade att detta inte var kopplat till det ukrainska gripandet.
"Koncernera" över terrorhotet Euro 2016
Flytta "att stänga Paris Euro 2016 fläktzon"
Befälhavare Dean Haydon, chef för Scotland Yards anti-terrorgrupp, sa att de arbetade med franska polis- och säkerhets- och underrättelsemyndigheter över hela världen för att fastställa om det fanns ett hot mot euron.
"Vi har sett propaganda, Islamiska staten (IS) och potentiella samtal om sammansvärjningar mot euro, men vi arbetar med alla dessa olika myndigheter för att polisen och göra Euros en säker händelse och ett säkert spel," sade han.
"Även om den ultimata polisen av händelsen och planeringen är för fransmännen, är vi alla involverade i att korrekt försöka förstå hotet, om det finns en."
Den franske ambassadören till Storbritannien, Sylvie Bermann, sade att hennes land var väl förberett.
I november förra året dödades 130 personer i Paris när beväpnade män och självmordsbombare kopplade till IS attackerade Bataclans konsertsal, restauranger och barer och Stade de France.
Tre explosioner inträffade utanför stadion Stade de France i norra utkanten av Paris där Frankrike spelade Tyskland i en internationell fotbollsvänlig. En bombare och en förbipasserande dödades.
Tidigare under året dödade två beväpnade män 12 personer i en attack på kontoret för den satiriska tidskriften Charlie Hebdo. Ytterligare fem personer dödades när en tredje angripare tog en judisk stormarknad som gisslan.
Matcher på Euro 2016, som börjar på fredag, kommer att spelas över flera arenor, inklusive i Bordeaux, Lille och Toulouse.
Det finns också en rad fanzoner för tusentals supportrar att titta på matcherna - inklusive flera i London.
England, Wales och Nordirland har alla kvalificerat sig för turneringen, med tusentals fans förväntas resa till Frankrike för matcher.
The England Supporters Club berättade BBC varningen till fans skulle inte stoppa en enda fläkt från att gå till turneringen.
Fans hade väntat i två år på euron - detta hot skulle inte stoppa dem, sade det.
Men Gavin Montgomery, från Guildford, Surrey, som har biljetter till en match i knockout fasen av turneringen, sade att han planerade att inte gå.
Hoten har förstört det för mig. Jag kommer inte att kunna koppla av i stadion och jag kommer definitivt inte att bära min England skjorta som jag är rädd att detta kommer att dra till sig onödig uppmärksamhet," sade han.
Några berättade för BBC att de hade beslutat att vidta försiktighetsåtgärder, till exempel hålla sig borta från staden eller undvika trånga barder.
Frankrikes 10 Euro 2016 arenor
Euro 2016 - Uefa webbplats
Men andra fans berättade för BBC att de förblev oavskräckta.
Phil Padgham från Derby, som reser till Marseille för att titta på den första matchen i England, sade: " Det bör inte hindra någon från att fortsätta som vanligt.
"Alla förslag att inte resa, eller att turneringen ska skjutas upp är löjliga, vi kan inte skrämmas."
En polisoperation riktad mot 29 brittiska hamnar i upptakten till turneringen började på måndag, med utbildade spanare försöker upptäcka fotbollshuliganer försöker smyga ut ur landet.
För närvarande 1,841 England fans och 86 Wales supportrar är föremål för förbud order som hindrar dem att resa till turneringen.
Downing Street sade att de franska myndigheterna hade "en omfattande säkerhetsoperation på plats, med 77 000 poliser och gendarmer, 10 000 militärer och en liknande mängd säkerhetsvakter".
Hon tillade att Förenade kungariket gav extra stöd, inklusive polis på tåg till Frankrike och fler gränskontroller från Förenade kungarikets gränsstyrkor.
Fotbollsfans som reser till Frankrike för Euro 2016 bör vara "starka hela tiden" inför terrorismen hot, har utrikesdepartementet sagt.