GB började nervöst och kämpade med sitt brott i öppningshalvan, föll 29-20 efter i intervallet.
Men de drog nivå halvvägs genom tredje kvartalet för att ge sig själva hopp.
Men USA drog sig tillbaka igen mot slutet av kvartalet och deras försvar begränsade också GB: s skytte möjligheter.
Steve Serio gjorde mycket av skadan med 20 poäng för USA, som hämnades sitt nederlag till GB i samma skede för fyra år sedan.
Storbritannien, slagna i semifinalen 69-52 av Kanada, kunde inte göra det mesta av sina tidiga möjligheter och Serio, firar sin 25-årsdag, kapitaliserade för att hjälpa till att bygga upp en 17-10 ledning efter första kvartalet.
Införandet av framåt Joe Chambers, som slog åtta poäng i rad i början av andra kvartalet, gjorde det möjligt för USA att behålla kontrollen.
Spelet utvecklas och blir snabbare och det är mycket svårt att få snabbare när du kommer till mitten av 30-talet
GB startade den andra halvan med mycket mer syfte och Terry Bywater och Ian Sagar inspirerade comebacken att jämna ut matchen på 29-29 med fyra minuter och 55 sekunder kvar till tredje kvartalet.
Men när USA coach Jim Glatch tog Joshua Turek, Matt Scott och Serio tillbaka i spelet, de slog sig tillbaka och dominerade, tvingar GB i svåra skytte positioner, och det gav dem en första medalj i sporten sedan Sydney 2000.
Efteråt, coach Murray Treseder var realistisk om hans brittiska lagets prestation.
"Vi har avslutat fjärde och det är förmodligen där vi är för tillfället," sade han.
"Vi började nervöst och de kom upp tidigt, men vi gjorde för många misstag. Jag beundrade vår kamp i tredje kvartalet men när vi kom tillbaka till 33-alla, vi gjorde fem fel och det bara dödade oss.
"Vi jagade vår svans i sista kvartalet när vi försökte komma tillbaka i spelet, men ge USA kredit, de är ett bra team."
Den australiska har också antytt om förändringar som laget ser till Rio 2016, börjar med nästa års EM i Frankfurt.
"Vi har en enastående junior utvecklingsprogram med massor av hoppfulla spelare," tillade han. "Spelet utvecklas och blir snabbare och det är mycket svårt att få snabbare när du kommer till mitten av 30-talet.GB missar på basket brons
"Jag tycker att den standard vi har sett här är ganska betydande och vi måste svara på det. Jag tror att hitta några nya låg-punkt spelare är avgörande för oss och vi kommer att gå därifrån. "
Patrick Anderson bekräftade sin status som spelare av turneringen som han ledde Kanada till guld.
Den 33-årige, som kom ut ur pension förra året, bidrog 34 poäng, 10 rebounds och åtta assist i deras 64-58 seger över Australien.
Även om Australien ledde tidigt, Anderson tände språnget som satte Kanada på toppen i början av andra kvartalet, och sedan hjälpte dem dra klart i den tredje.
"Det känns som om jag aldrig har vunnit något i mitt liv", sade Anderson om att samla hans tredje paralympiska guld. "Jag känner mig som ett litet barn."
Storbritannien missade en tredje på varandra följande män rullstol basket Paralympisk bronsmedalj efter att ha förlorat 61-46 till USA.