Voges var tvungen att gå i pension skada på 86 efter att ha lidit skadan medan slåss under County Championship dra med Somerset den 4 juni.
Middlesex hoppas att ha Australien tillbaka för sin T20 Blast match mot Hampshire på Lord's den 3 augusti.
Den 37-årige har gjort 230 körningar i fyra första klass spel den här säsongen i genomsnitt 57,50.
"Förlora Adam är naturligt ett slag som han bidrar avsevärt till allt vi gör," chef för cricket Angus Fraser sade.
"Hans frånvaro ger dock möjligheter till andra spelare som är desperata att spela i den första XI.
"Förr i tiden har vi klarat oss bra utan en utländsk spelare och jag förväntar mig att vi gör det nu."
Defending county mästare Middlesex är sjätte i Division One tabellen, efter att ha dragit alla fyra av sina matcher den här säsongen.
Voges pensionerade sig från internationell cricket i februari med ett Test batting genomsnitt av 61.87 från 31 innings, andra bara till Australiska stora Sir Donald Bradmans karriär genomsnitt 99.94 från 52 Tests.
Middlesex fladdermössen Adam Voges kommer att vara ute till augusti efter att ha lidit av en sönderriven kalvmuskel i hans högra ben.