Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Den fjärde omgången replay var sekunder från en straff straffar när Angelo Ogbonnas rubrik gjorde det 2-1.
"Det kommer att gå in i historien om West Hams största spel," sade Bilic. "Against Liverpool, den sista säsongen på Upton Park, natt kick-off, ett mål i sista minuten.
"De lämnade sitt hjärta på planen."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Hammers hade aldrig slagit de röda i FA Cup och har inte vunnit trofén på 36 år. De kommer att möta Championship sida Blackburn i den femte omgången söndagen den 21 februari.
Bilic, 47, sade tidigare i år skulle han hellre vinna koppen än avsluta i de fyra bästa i Premier League och kvalificera sig för Champions League, säger "beviset är silvergods".
Efter Italien försvarare Ogbonnas extra tid vinnare, den kroatiska chefen sade: "Jag är en jordnära kille, men ikväll var en stor, stor match och jag var lite känslosam i slutet av spelet, jag ska erkänna det.
"Spelarna gjorde fansen stolta över dem och vi vill gå ännu längre. Om vi producerar en sådan föreställning kan vi slå vilket lag som helst i England."
Bilic sade också mittfälter Dimitri Payet är engagerad i klubben efter rapporter kopplade Frankrike internationella med en stor pengar flytta till Kina.
Payet, 28, är i samtal om ett nytt kontrakt och Bilic sade: " Vi är en klubb som går framåt och de viktigaste dragen är på planen.
"Vi måste göra allt vi kan för att behålla våra bästa spelare - och han är vår bästa spelare. Han är lycklig här och mycket snart kommer vi att reda ut hans situation."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Liverpool manager Jurgen Klopp kände att hans mycket ändrade sida borde ha vunnit spelet efter Philippe Coutinhos låga fri-kick hade avbokat Michail Antonios öppnare.
De rödas 32,5 miljoner pund strejker Christian Benteke igen missade flera goda chanser som besökarna hade 20 försök på mål - en mer än West Ham.
"Det är svårt. Vi var det bättre laget, skapade chanser och spelade bra fotboll, men vi använde dem inte," sade Klopp.
"Det fanns massor av beslut som på en bättre dag skulle jag säga var roliga beslut.
"Det är inte lätt eftersom vi bara var här för att vinna. Du behöver inte visa ditt bästa, du behöver bara gå till nästa runda.
"Dörren var vidöppen för oss eftersom vi gjorde bra ifrån oss, men det räckte inte. Vi måste fortsätta och kämpa till nästa match."
West Hams extratidsseger över Liverpool var "en klassisk FA Cup-slips" och en av klubbens bästa, enligt chefen Slaven Bilic.