Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Inst ledde 6-3 i pausen tack vare två Hume straff medan John Crowther slitsade över en Campbell straff.
Campbell staplade på trycket i andra halvan men kunde inte hitta en väg genom ett beslutsamt RBAI försvar, även när Mark Keane var gul-carded.
Hume sprintade från djupt i sin egen hälft för att köra i ett försök, som han konverterade i spelets sista åtgärd.
Campbell kommer att rue missade möjligheter under St Patrick's Day beslut i en solkysst Belfast.
De dominerade de senare stadierna av första halvåret och hela andra perioden.
Straffmöjligheterna avvisades till förmån för ett försök, men de omintetgjordes genom att man hanterade fel och Inst försvarade.
Campbell inledde en sista attack men Hume samlades från en studsande boll och sprang iväg för att försegla en andra raka Schools Cup triumf.
RBAI kapten Conor Field sade: " Jag kan inte beskriva mina känslor efter det men jag är så stolt över pojkarna.
"Kredit måste gå till Campbell som de sätter oss under så mycket press även om vi försvarade starkt under hela spelet.
"Att se James springa klart för att vinna för oss så sent i matchen var helt lysande."
James Hume gjorde ett sent försök som RBAI slog Campbell College 13-3 på Kingspan Stadium för att behålla Schools' Cup.