Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Hamilton var tvåa till Mercedes lagkamrat Nico Rosberg när tysken stötte på problem med sin gas tidigt i loppet och var tvungen att dra sig tillbaka.
Ferrari's Sebastian Vettel tog andra plats för att passera Rosberg i titelställningarna.
Tvinga Indiens Sergio Perez var en fin tredjedel efter Ferrari Kimi Raikkonen dramatiskt kolliderade med Williams Valtteri Bottas i sista varvet.
Hamiltons nionde seger den här säsongen innebär att han behöver nio fler poäng än Vettel och två fler än Rosberg vid nästa lopp i USA för att klinka titeln.
Raikkonens femte plats blev åtta när han fick 30 sekunders straff efter loppet för att ha orsakat kraschen.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Resultatet innebar Mercedes hävdade Formel 1 konstruktörernas titel efter att ha säkrat tillräckligt av en skillnad i poäng från Hamiltons 25 för vinsten.
När Rysslands president Vladimir Putin tittade från läktarna och senare hälsade på förarna innan de gick upp på podiet, var den andra löpningen av detta lopp en dramatisk kontrast till det sporiska första året förra året.
Två säkerhetsbilsperioder - den andra efter en hög hastighetsolycka för Lotus Romain Grosjean i den långa Turn Three - innebar att förare gick in i den sista delen av loppet på olika däckstrategier.
Den andra säkerhetsbilen introducerades på varv 13, flera varv innan fönstret öppnades för den perfekta depåstopp på en one-stop strategi, men flera lag bestämde sig för att ta chansen att stanna för däck och försöka ta sig till slutet av loppet.
I spetsen för dem, Force Indias Perez och Red Bull Daniel Ricciardo gick in i de avslutande varv på tredje och fjärde plats, med de fräschare-tyred bilar Bottas och Raikkonen stänga ner dem.
Bottas stannade 13 varv efter Perez och Raikkonen en massiv 18.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Williams föraren hittade en väg förbi Ricciardo på varv 45, med åtta varv att gå, och snabbt stängt på Perez svans, medan Raikkonen passerade Red Bull tre varv senare och stängde tre sekunder gapet till Force India och Mercedes.
Bottas blev tillsagd av sitt team att gå till "steg ett" på sin motor på de sista två varven - den mest kraftfulla inställningen.
Det gjorde det möjligt för Bottas att passera Perez runt utsidan av Turn 13 på näst sista varvet, med Raikkonen följa honom genom att degradera mexikanen till femte i utrymmet av bara två hörn.
Men handlingen var inte klar - Raikkonen försökte sedan ett optimistiskt drag på Bottas in i Turn Four i sista varvet och de två kolliderade.
Williams drog sig tillbaka som en följd av skadorna från olyckan men Raikkonen haltade runt i slutvarvet med gnistor kaskad från bilen för att ta femte efter att ha passerats av Williams Felipe Massa och ge Ferrari precis tillräckligt med poäng för att hålla konstruktörernas mästerskap öppet för ytterligare en tävling.
Ricciardo gick i pension med vad han sa att han trodde var ett avstängningsfel och hans lagkamrat Daniil Kvyat tog sjätte på sitt hem Grand Prix.
Sauber's Felipe Nasr var sjunde före Lotus Pastor Maldonado, med Jenson Button och Fernando Alonso tar de sista två punkterna positioner för McLaren.
De två McLaren förare var på motsatta däck strategier och Alonso gjorde ett anmärkningsvärt jobb med anledning av hans 250: e Grand Prix möte för att sjuksköterska en uppsättning super-softs för 39 varv efter Grosjean säkerhet bil period och tillbringa större delen av loppet på Button svans.
Men Alonso fick fem sekunders straff för att ha överskridit spårgränserna och befordrade Toro Rossos Max Verstappen till 10:e.
Även om Rosberg fortfarande är matematiskt in med en chans till titeln, hans sätt efter loppet förrådde verkligheten att hans förhoppningar är över för en annan säsong.
Rosberg konverterade stolpeposition till en ledning på första varvet, avvärja attacker från Hamilton till Turn Two och Turn Four, innan loppet sattes under säkerhetsbilen på grund av en multi-bil kollision vid Turn Two orsakas av en spin för Force Indias Nico Hulkenberg.
Men hans spjäll började spela upp under säkerhetsbilsperioden och även om han höll på i ytterligare två varv efter omstart på varv fyra, sprang han bred vid Turn Two i början av varv sju och Hamilton var igenom i ledningen.
Bottas och Ferraris följde honom snart igenom och Rosberg drog in till groparna för att dra sig tillbaka i slutet av knät.
Rosberg sade: "F1 är ganska otroligt ibland, hur tufft det är. Sådan otur efter en dag som denna - bra start, ledande loppet.
"Under säkerhetsbilen gick pedalen sönder och jag kunde inte komma ur gasen längre."
Rosberg frågade om han hade tänkt över sin titel och sade: " Jag vet inte. Det har naturligtvis gjort det svårare. Men jag kommer aldrig att vinna det ändå med sådana normala saker som att bryta.
"Men självklart fortsätter jag att krysta och anfalla."
Fullständiga tävlingsresultat
Ryska Grand Prix täckning detaljer
Lewis Hamilton tog en lätt seger i den ryska Grand Prix för att flytta till randen av hans tredje världsmästerskap.