Leeds, spelar under huvudtränare Thomas Christiansen för första gången, gick vidare genom Phillips smart finish.
Förra säsongens bästa målskytt Chris Wood sedan på väg in för 2-0, endast för Bolton framåt Gary Madine att nicka hem.
Men Phillips hade snabbt återställt Leeds två mål, och de höll fast vid Adam Le Fondres straff.
Den förre Läsande frontmannen slog sönder sin spot-kick i mitten, med Conor Shaughnessy har fouled Madine nästan omedelbart efter att ha kommit på.
Men rubrikerna tillhörde 21-åriga Phillips, som fördubblade sin karriär för Leeds under första halvan för att sätta besökarna i kontroll.
Nya Zeeland framåt Wood, som gjorde 30 mål förra säsongen som Leeds trångt missade på play-offs, öppnade också sitt konto med en klinisk rubrik i utanför undersidan av baren.
Men det kommer att finnas en viss oro över lämpligheten hos försvararna Gaetano Berardi och Matthew Pennington, som båda tvingades bort skadade före halvtid.
Bolton, befordrad från League One i maj, var direkt hela men kämpade för att skapa något klart-klippt från öppet spel - och förlorade också mittfältaren Josh Vela genom skada i slutet av spelet.
Kalvin Phillips gjorde mål två gånger när Leeds United inledde sin mästerskapskampanj 2017-18 med seger på Bolton Wanderers.