Danmark internationella Fischer, 21, har varit med Amsterdam klubben sedan 2011 och gjorde 24 mål i 79 liga matcher.
Den framåt besökte Boro, som befordrades till Premier League denna säsong, för en medicinsk och överenskomna villkor.
"Det är den största ligan i världen och jag känner mig verkligen redo," Fischer berättade danska TV-stationen TV2.
Åtta gånger har Fischer kommit överens om ett treårigt avtal.
Fischer framträdde som en nyckelspelare på Ajax under nyligen avgång coach Frank De Boer, tillsammans med landsmän Lasse Schone och Christian Eriksen - den senare som han kommer att spela mot i nästa säsong bästa flygning när Boro möter Tottenham Hotspur.
Ajax ytter Viktor Fischer kommer att gå Middlesbrough för cirka £ 3,8m i början av den internationella överföringsfönstret nästa månad, BBC Tees rapporterar.