Västafrikanska medlare tillbringade flera timmar med Jammeh på fredag och förhandlade om hans framtid.
Den bilkortege som bär Guineas och Mauretaniens presidenter har lämnat det officiella residenset, men man tror inte att de har lämnat landet.
Jammeh besegrades i valet i december och hans efterträdare Adama Barrow har invigts.
En tweet från ett konto som tros tillhöra den nya presidenten och som säger att Jammeh hade gått med på att avgå och gå i exil har sedan dess raderats.
Men Mai Fatty, en senior rådgivare till den nya presidenten, berättade för BBC: s Umaru Fofana att Mr Jammeh hade gått med på att avgå.
Nyhetsbyrån AFP rapporterade att Jammeh i princip hade gått med på att gå, men att villkoren för hans avresa fortfarande var klara.
Barrow berättade för Gambians som hade flytt landet att de nu hade "frihet att återvända hem".
"Reglen av rädsla har försvunnit från Gambia för gott", sade han i Senegals huvudstad, Dakar.
Barrow har varit i grannlandet Senegal i flera dagar. Han svors in på Gambian ambassaden där på torsdag.
Västafrikanska nationer, däribland Senegal, har utplacerat trupper i Gambia - hotar att driva ut Jammeh från ämbetet med våld.
Barrows legitimitet som president har erkänts internationellt efter att han vann förra månadens val.
Jammeh fick ett ultimatum för att lämna sitt ämbete eller tvingas ut av FN-understödda trupper, som löpte ut kl. 16.00 GMT på fredag.
Tidsfristen fastställdes av Västafrikanska staters ekonomiska gemenskap (Ecowas), en regional gruppering som stöds av Förenta nationerna.
Mannen som en gång sa att han skulle styra Gambia i en miljard år ska äntligen ge sig av.
Man tror att han har erbjudits amnesti, så att han inte kommer att åtalas för kränkningar av de mänskliga rättigheterna.
Han hade velat stanna i Gambia men detta var inte förhandlingsbart.
Det har funnits förslag som han nu kan resa till Guinea, även om han har erbjudits asyl i Nigeria och man tror att Marocko har gjort detsamma.
Jan Jammehs mandatperiod löpte ut vid midnatt på onsdag - men samtidigt som han fortfarande var ordförande konstruerade han en omröstning i parlamentet för att förlänga sitt ordförandeskap. Som Barrow redan har svurits in kan landet sägas ha två presidenter samtidigt.
Ecowas sade att dess styrkor, från Senegal och andra västafrikanska länder, inte hade stött på något motstånd efter att ha kommit in i Gambia.
Efter att först ha accepterat nederlag i valet vände han sin ståndpunkt och sade att han inte skulle avgå. Han förklarade att undantagstillståndet var 90 dagar och skyllde på oegentligheter i valprocessen.
Valkommissionen godtog att vissa av dess tidiga resultat hade innehållit fel, men sade att de inte skulle ha påverkat Barrows seger.
Jammeh hade sagt att han skulle sitta kvar tills nya val hölls.
Gambias ledare Yahya Jammeh ska avgå och lämna landet, säger tjänstemän som är inblandade i förhandlingar.