Slogshowen om livet för en av USA:s grundare saknades helt nyligen i producenternas register över 12 statyetter 2001.
För första gången vid ceremonin var alla fyra musikaliska skådespelarvinnarna svarta, däribland den brittiska stjärnan Cynthia Erivo.
Men lördagens massskjutning i en Orlando gayklubb överskuggade showen, och många hyllade offren.
Värden för James Corden ägnade natten i New York åt att fira Broadways mångfald och sade: " Våra hjärtan går ut till alla dem som påverkas av denna grymhet. Allt vi kan säga är att du inte är ensam just nu. Din tragedi är vår tragedi.
"Hatet kommer aldrig att vinna. Kvällens show står som en symbol och ett firande av den principen."
Corden vann en Tony Award 2012 för sin föreställning i One Man, Two Guvnors.
USA:s president Barack Obama och första Lady Michelle presenterade rollen som Hamilton, som hade 16 nomineringar, med ett videomeddelande vid ceremonin. Presidenten sa att det var "inte bara en smäll hit men en medborgarlektion våra barn inte kan få nog av", medan rappare Common beskrev showen som ett "kulturellt fenomen".
Den vann utmärkelser inklusive bästa musikaliska, bästa regissör, bästa ursprungliga poäng och bästa bok av en musikal för den talade, icke-sung dialog och storyline.
Skådespelarna ändrade sitt uppträdande i ljuset av Orlando-skjutningen, som dödade 50 personer och skadade 53 personer, och lämnade sina rekvisita bakom sig när de tog sig till scenen.
Hamilton, som vann Pulitzerpriset för drama tidigare i år, har hyllats som "en milstolpe amerikansk musikal", samlar kändisfans inklusive Star Wars regissör JJ Abrams, Jay Z och president Obama.
Förutom en stor biljettförsäljning, är albumet för showen den mest säljande inspelningen i 50 år, plocka upp årets Grammy Award för bästa musikaliska teateralbum.
Erivo, som vann den bästa skådespelerskan för sin ledande roll i Broadways väckelse av Color Purple, sade: "Jag lovade mig själv att jag inte skulle gråta för att min make-up artist skulle vara riktigt arg på mig. Tack American Theatre Wing för att göra en London flicka mycket, mycket lycklig."
Color Purple började på Menier Chocolate Factory i London 2013, där Erivo spelade Celie. Den konstnärlige regissören David Babani sade: " Det är en ära att bli erkänd på detta sätt av teatergemenskapen i New York.
"Hur underbara händelserna än är i kväll överskuggas de av tragedin i Orlando, och våra tankar och böner är med alla som påverkas av denna fruktansvärda händelse."
De andra tre bästa vinnarna var från Hamilton. De var Leslie Odom Jr för skådespelaren Daveed Diggs för skådespelaren och Renee Elise Goldsberry för skådespelerskan.
Utställningen beräknas öppna på Londons Victoria Palace Theatre i oktober 2017.
Före ceremonin sa Hamiltons stjärna och skapare Lin-Manuel Miranda att skottlossningen var "tung i mitt hjärta och tung i mitt sinne".
Veteran amerikansk skådespelare Frank Langella, som vann bästa prestanda av en ledande skådespelare i en pjäs för sin roll i Fadern, uppmanade Orlando att vara "stark" i kölvattnet av illdåd.
"Jag står i ett rum fullt av de mest generösa människorna på jorden och vi kommer att vara med dig varje steg på vägen", sade han.
Jessica Lange vann priset för bästa uppträdande av en huvudrollsinnehavare i en pjäs för sin roll som morfinberoende Mary Tyrone i Long Day's Journey Into Night.
"Det här är en dröm som besannas. Det fyller mig med sådan lycka även på en sådan sorglig dag som denna, sade hon.
Barbra Streisand deltog också i ceremonin för första gången på 46 år för att dela ut den bästa musikaliska utmärkelsen.
Hip-hop musikal Hamilton har lett Tony Awards i New York, vinna 11 inklusive bästa musikaliska och ledande skådespelare.