Den 34-åriga dominerade motståndaren Aleksandr Nedovyesov för en 7-6 (7-2) 6-2 6-3 seger i de avgörande singlar gummi i Darwin.
Tidigare jämnade Sam Groth slipsen mot Michail Kukushkin.
Australien reser till Storbritannien, som besegrade Frankrike, för de sista fyra slipsen i september.
Varken Hewitt eller Groth hade ursprungligen valts ut för att spela singlar men kapten Wally Masur släppte ungdomar Thanasi Kokkinakis och Nick Kyrgios efter Kazakstan hade öppnat upp en 2-0 ledning.
De samarbetade för att minska underskottet i dubbelgångar innan segrar i sina respektive singlar matcher såg dem komma tillbaka för att vinna från 2-0 ner för första gången sedan 1939.
Hewitt, Wimbledonvinnare 2002, omfamnade sina lagkamrater efter segern och sade: "Det här är där uppe.  Jag älskar bak-mot-vägg-situationerna. Det är vad vi hade efter dag ett.
"Vi var tvungna att samlas och hitta ett sätt att vinna.  Jag har alltid sagt att några av mina största vinster är i Davis Cup och några av mina svåraste förluster är i Davis Cup så jag kommer att njuta av den här. Detta är vad drömmar är gjorda av."
Tidigare Wimbledon mästare Lleyton Hewitt guidade Australien in i Davis Cup semifinalen som värdarna kom från 2-0 ner för att slå Kazakstan 3-2.