Trump kallade det en "mycket osäker" fråga för partiet och sade att Cruz nominering kan ifrågasättas i domstol.
Mr Cruz föddes i Calgary av en amerikansk mor och en kubansk far.
De flesta juridiska experter anser att Cruz uppfyller kraven på att bli president.
Cruz kampanjen svarade med att säga att Trump hade "hoppat hajen" - en popkultur hänvisning till när en TV-show eller modefluga har överlistat och fallit i nedgång.
Texas senatorn presterar bra i röstningen i den tidiga röstningsstaten Iowa. Medan Trump leder de flesta opinionsundersökningar, flera undersökningar visar Mr Cruz är det bästa valet av sannolikt republikanska väljare.
Mycket av Trumps stöd kommer från oberoende, desillusionerade demokrater och människor som aldrig har röstat tidigare.
Vissa analytiker förutspår att Cruz kommer att vinna på grund av hur omröstningsprocessen är strukturerad i Iowa.
Caucus-formatet kräver mer tid och engagemang från väljarna än ett typiskt amerikanskt primärval.
Innan Trump blev presidentkandidat hade affärsmannen i New York upprepade gånger ifrågasatt president Barack Obamas medborgarskap.
Mr Obama föddes på Hawaii av en amerikansk mor och en kenyansk far.
Myndigheter på Hawaii och Barack Obama båda lämnade detaljerade födelseuppgifter efter några konservativa som Mr Trump ifrågasatte var han föddes.
Obamas allierade har sagt att "födelserörelsen" var ett rasistiskt försök att misskreditera länets första svarta president.
Republikanska presidenten front-runner Donald Trump har ifrågasatt om rivaliserande kandidat Ted Cruz är berättigad att bli hans parti nominerade eftersom han föddes i Kanada.