Landet har aldrig spelat tidigare i en stor fotbollstävling. Men det är ännu inte klart om Albanien kommer att kvalificera sig för nästa omgång i Frankrike.
Laget kommer att få 1 miljoner pund (770 000,1 miljoner dollar) i extra finansiering samt de nya passen, sade regeringen.
Albanien förlorade sina andra två matcher, kommer tredje i sin Euro 2016 grupp.
Albansk premiärminister Edi Rama fångade nationens spänning på söndagen genom att twittra "Goooooooool...." när Armando Sadiku ledde det vinnande målet mot Rumänien i den första halvan.
Utmärkelsen av diplomatpass är huvudsakligen symbolisk, eftersom många av de albanska spelarna redan har klubbar på andra håll i Europa och albanerna åtnjuter viseringsfria resor till EU.
De kommer inte att åtnjuta diplomatisk immunitet, eftersom detta är förbehållet officiella diplomater, men de kommer att gynnas av enklare internationella resor.
Vinsten utlöste stora festligheter på gatorna i Albaniens huvudstad Tirana och i Pristina, huvudstaden i grann Kosovo, där de flesta av befolkningen är etniska albanska.
Fans viftade med albanska flaggor, släppte av fyrverkerier, tutade bilhorn i timmar och dansade till folkmusik.
Den europeiska fotbollsorganisationen Uefa har inlett disciplinära förfaranden mot de albanska och rumänska fotbollsförbunden på grund av folkmassornas problem vid matchen.
Vissa anhängare släppte av rökbomber, slungade föremål och invaderade planen. En fransk-albansk man gömde ett förbjudet bloss i sin ändtarm för att smuggla in det i stadion, sa åklagarna.
Uefa har nu öppnat disciplinära åtgärder mot åtta länder i turneringen på grund av huliganism av fans.
Albanien säger att det kommer att belöna sina nationella fotbollsspelare med diplomatiska pass för att ha slagit Rumänien 1-0 vid Euro 2016 turneringen.