Officerare som arbetade med en utredning av en saknad person gjorde upptäckten på Market Street omkring 23:55 på onsdag.
En man har häktats och hjälper polisen med deras utredningar.
En talesman för polisen i Skottland sade: "Utredningen av omständigheterna befinner sig i ett mycket tidigt skede när det gäller att fastställa vem som tillhör kvarlevorna och hur den personen dog."
Han tillade: "Våra undersökningar har fört oss till ett antal adresser i Montrose området där det sannolikt kommer att finnas en polis närvarande under en längre tid."
Polisen har hittat vad som tros vara mänskliga kvarlevor i ett hus i Montrose.