Partiet gick från 37 DÃil (Irländska parlamentet) platser i 2011 till bara sju.
Burton var minister för social trygghet i den senaste regeringen.
Hon tog över från Eamon Gilmore, för två år sedan, men stannar kvar tills hennes efterträdare är utvald.
Framlöparen är Brendan Howlin, från Wexford, som är före detta minister för offentliga utgifter.
Men det är underförstått att han bara vill ha jobbet som Labourledare om han är det enhälliga valet.
Andra möjliga kandidater är Alan Kelly, den tidigare miljöministern, och Sean Sherlock, en biträdande minister vid utrikesdepartementet som var inblandad i samtalen om Fresh Start-avtalet i Nordirland.
Om det är en tävling kan det vara sent augusti innan resultatet är känt.
Ledaren för det irländska labourpartiet, Joan Burton, är att avgå efter partiets dåliga resultat i februaris allmänna val.