25-åringen är en av de hetaste fastigheterna på transfermarknaden.
Liverpools chef Jurgen Klopp har gjort sin signering till högsta prioritet.
De röda vägrade att kommentera förnyade spekulationer men det förväntas att de kommer att intensifiera ansträngningarna för att nå ett avtal med både Southampton och spelaren.
Chelsea och Manchester City har båda varit starkt knutna till försvararen, som gick Southampton från Celtic för £13m i september 2015.
Men BBC Sport förstår Van Dijk vill flytta till Anfield i vad som skulle vara en stor kupp för Klopp och Liverpool ägare Fenway Sports Group, som är villiga att spendera stort efter kval för nästa säsong Champions League.
Liverpool måste fortfarande nå en överenskommelse med Southampton - och ett krav på en avgift som ligger långt över 50 miljoner pund skulle kunna innebära att förhandlingar kommer att bli komplicerade innan någon affär närmar sig ett avtal.
Före detta klubb Celtic förstås också ha en 10% sälj-on avtal.
Van Dijk missade de sista fem månaderna av säsongen efter att upprätthålla en fotled skada efter en utmaning av Leicester Citys Jamie Vardy i Southamptons 3-0 seger på St Marys den 22 januari.
Det tvingade honom att missa Southamptons EFL Cup sista förlust till Manchester United på Wembley.
Liverpool är redo att vinna loppet för att underteckna Southamptons £ 50m-klassade Nederländerna försvarare Virgil van Dijk efter det dök upp han vill flytta till Anfield om han lämnar St Mary.