De kommer att spela värdar Frankrike i kvartsfinalen på söndagen efter mål från Ragnar Sigurdsson och Kolbeinn Sigthorsson knockade England och tvingade manager Roy Hodgson att avgå.
Island, rankad 34: e i världen, var överraskning kval för vad som är deras första internationella turnering.
"Vi trodde alla. Resten av världen gjorde det inte, men vi gjorde det", säger Arnason.
Islands befolkning är bara 329000 - inte många fler än bor i Coventry och nästan 10 gånger färre än Wales - och man tror att 8 procent av dem är i Frankrike efter deras sida.
Ön nationen, som inte har några professionella klubbar, rankas 131st i världen under de senaste EM för fyra år sedan.
"Detta är utan tvekan det största resultatet i den isländska fotbollens historia. Vi har chockat världen", tillade Arnason.
Wayne Rooney satte England framåt med en fjärde minut straff men Island var före den 18: e minuten och hölls på bekvämt trots Hodgson sida har 18 försök på mål.
Islands försvarare Sigurdsson, 29, anklagade England för självbelåtenhet mot en sida som redan hade innehaft Portugal och Ungern och slog Österrike under gruppstadiet.
– De trodde att det skulle bli en promenad i parken men vi hade förtroende för vår förmåga, säger Sigurdsson.
"Det gick bra. Vi kände inte att England skapade några chanser. Vi var bara på väg iväg långa bollar. Jag var inte stressad i andra halvan."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Island tränare Heimir Hallgrimsson - gemensam chef med tidigare Sverige chefen Lars Lagerback - berömde sin sida för att ta sina chanser och är på säker humör för söndagens kvartsfinal i Paris.
"Jag var mer avslappnad än under matchen mot Österrike", sade han.
"Om någon hade berättat för mig för några år sedan att vi skulle nå de sista åtta, måste jag säga att jag inte skulle tro det.
"Men inget hinder är för stort för de här killarna nu. Om du vill ha det bästa av livet måste du vara redo när chansen kommer. Det är ett faktum och dessa pojkar var redo och denna möjlighet som lades i vår hand var enorm - det kan förändra deras liv.
"Vi är optimistiska. Vissa islänningar kanske tycker att vi är för optimistiska, att vi inte tror att vi kan misslyckas, men vi har en spelplan."
Isländsk TV-kommentator Gudmundur Benediktsson blev viral förra veckan med sin upphetsade reaktion på segern över Österrike och han var på det igen under segern i Nice - även verkar hänvisa till resultatet av Storbritanniens EU-omröstning.
"Det här är gjort! Det här är gjort! Vi ska aldrig åka hem! Såg du det där? Såg du det där?" sade han.
"Väck mig aldrig från denna fantastiska dröm!
"Lev som du vill ha England! Island ska spela Frankrike på söndag. Frankrike-Island! Du kan åka hem. Du kan resa ut ur Europa.
"Du kan gå vart fan du vill. England 1 Island 2 är slutresultatet här i Nice. Och sagan fortsätter."
Skapa ligor och spela mot dina vänner i BBC Sports nya Euro 2016 Predictor spel
Islands EM förra 16 seger över England "chockade världen", enligt försvarare Kari Arnason.