20-åringen, som har tre mössor, tillbringade fem år på Fulham innan han åkte till Cherries på sommaren på ett fyraårigt kontrakt.
Han gjorde sin första Bournemouth start i lördagens FA Cup nederlag på Millwall.
Rangers är också i samtal med Arsenal om lånet signering av attackerande midfielder Jon Toral, som för närvarande är på lån med Grenada i Spanien.
"Jag tror att de två klubbarna har liknande stilar som gör det till en enkel övergång och alla pojkarna har hjälpt mig på min första dag," Hyndman berättade Rangers TV.
– Filosofin här är densamma som Bournemouth på det sätt som de tycker om att trycka på, men när de har bollen gillar de att hålla den i attack.
"På så sätt är det väldigt likt vilket förhoppningsvis kommer att göra min övergång mycket lättare.
"Det fanns en hel del skäl jag ville underteckna för Rangers, det är en massiv klubb, de kämpar för Europa och det finns bra spelare här.
"Jag tycker att det är en bra möjlighet för mig att spela i, inte bara en bra miljö, men framför 50.000 fans hemma vilket är helt otroligt."
Under tiden pågår samtal med Arsenal över Spaniard Toral, 21, som bara har presenterat sex gånger för Granada denna säsong och var en oanvänd ersättning i deras 5-0 nederlag bort till Real Madrid på lördag.
Toral spelade under Rangers chef Mark Warburton i 2014-15 när han var ansvarig på Brentford, och tillbringade förra säsongen på lån på Birmingham.
Rangers har undertecknat USA midfielder Emerson Hyndman på en sex månaders låneavtal från Bournemouth.