Världens nummer 324, som representerade Australien fram till 2013, svepte igenom den första uppsättningen mot Argentina.
Ta reda på hur du kommer in i tennis i vår speciella guide.
Den 27-årige Briton slösade sedan fyra matchpoäng i den andra uppsättningen tie-break som Bagnis slog tillbaka till nivå.
Men Klein behöll sitt lugn och välte ett 5-2 underskott i finalen för att vinna matchen i tie-break.
Klein kommer att spela Portugals Joao Sousa i den andra omgången.
Briton Brydan Klein nådde den andra omgången av Auckland Open med en 6-1 6-7 (6-8) 7-6 (7-3) seger över Facundo Bagnis - rankad 269 platser ovanför honom.