Mourinho har redan gjort tre stora sommarsigneringar och närmar sig Juventus midfielder Paul Pogba.
Schweinsteiger, 31, ser ut som en av nio spelare som kan lämna.
Mittfältaren, som har meddelat sin internationella pensionering, tränade på egen hand som United's full trupp tränade tillsammans för första gången.
Vidarebefordrar Adnan Januzaj, Will Keane och James Wilson, mellanfältare Andreas Pereira och försvarare Cameron Borthwick-Jackson, Tim Fosu-Mensah, Tyler Blackett och Paddy McNair uppges också göras tillgängliga, även om vissa endast kan lämna på lån.
Med alla andra seniora spelare som var frånvarande från den senaste turnén i Kina närvarande, Schweinsteiger frånvaro från torsdagens trupp utbildning session betraktas som betydande.
United betalade en rapporterad £14.4m för att underteckna honom från Bayern München 12 månader sedan men flytten fungerade inte som planerat.
Skadan begränsade Schweinsteiger till 31 framträdanden och han var inblandad i bara sju av Uniteds sista 34 matcher, inklusive saknade FA Cup finalen seger över Crystal Palace.
Han skadade ett knä på internationell tjänst i mars och återvände först vid Euro 2016, när han gjorde sitt första framträdande, som en ersättning, mot Ukraina.
Av de andra spelarna som inte tränade med United truppen på torsdag, Januzaj har haft den största nedgången från nåd.
Den 21-årige belgare var en av stjärnartisterna under David Moyes enda säsong, när han fick en stor ökning i ett femårigt kontrakt.
Men hans framsteg upprätthölls inte och han lånades ut till Borussia Dortmund förra säsongen.
Han startade inte en liga spel och den tyska sidan var glada att låta United klippa affären kort halvvägs genom säsongen när Louis van Gaal s trupp var svårt drabbade av skada.
Han presenterade sedan i 17 minuter i tre ersättande framträdanden.
Sedan hans ankomst, Mourinho har undertecknat Villarreal försvarare Eric Bailly för ca £ 30m, midfielder Henrikh Mkhitaryan från Borussia Dortmund för en hemlig avgift och tidigare Paris St Germain strejker Zlatan Ibrahimovic på en fri överföring.
Tyska VM-vinnaren Bastian Schweinsteigers framtid i Manchester United är tveksam efter Jose Mourinhos utnämning som manager.