Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
De två bästa var bundna på en frigång på 4,85m, men den europeiska mästare Stefanidi vann genom att ha färre misslyckade hopp.
Bradshaw, 24, satte en säsong bästa av 4.70m, med Nya Zeelands Eliza McCartney ta brons med 4.80m.
Kubas världsmästare Yarisley Silva lyckades bara gemensamt sjunde med 4,60m, 31cm kort av sitt personliga bästa.
"Jag är femte på OS och jag är verkligen nöjd med det. Det var ett steg upp från de senaste OS jag var på i London, säger Bradshaw, som var gemensam sjätte fyra år sedan med 4.45m.
"Jag är en ultimat konkurrent så jag kommer alltid att bli besviken vad som än händer. Jag kände att jag hoppade det bästa av min säsong och jag var så nära 4.80m.
"Jag är bara lite för inkonsekvent för att blanda det med de bästa tjejerna i världen just nu. Jag behöver bara ett år där jag inte har en skada."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Försvara mästare Jennifer Suhr, den enda idrottsman att klara fem meter denna säsong, var gemensam sjunde och sade att hon lider av en sjukdom.
"Jag känner mig hemsk," Suhr sa.
"Jag börjar bli orolig. Det händer dag 10 och jag mår sämre idag.
"De tror att det är andningsvägar och nu i lungorna. I morse hostade jag upp blod. Det börjar bli läskigt.
"Jag vill bara härifrån och åka hem och räkna ut det."
Ta reda på hur du kommer in i friidrott med vår speciella guide.
Prenumerera på BBC Sport nyhetsbrev för att få vårt tips på nyheter, funktioner och video skickas till din inkorg.
Greklands Ekaterini Stefanidi vann kvinnors valv guld, smalt slå USA: s Sandi Morris i silver som Storbritanniens Holly Bradshaw var femte.