Den tidigare West Ham strejkaren, 32, var en fri agent och lockade intresse från England och utomlands, men valde Celtic på grund av klubbens storlek.
Cole, som har sju England kepsar, är också angelägen om att lägga till ytterligare utmärkelser till sin karriär och vinna troféer med de skotska mästarna.
"När Celtic ringde och sa att de ville ha mig, jag bara sprang över," Cole sade.
"Att vara på Celtic handlar inte om pengar, det handlar om att bära skjortan med stolthet.
"Celtic är i en bra position för att vinna troféer och jag vill lägga till det till min karriär."
Cole, som hade tränat med Celtic under de senaste veckorna, var en del av Chelseas Premier League-vinnande trupp 2006 och en medlem av West Ham sidan som vann Championship play-off finalen 2012.
Han har varit utan klubb sedan han lämnade Upton Park i slutet av förra säsongen och även lockat intresse från Mellanöstern.
Celtic är i Norge för att möta Molde i torsdagens Europa League Group En match. Cole, som också har spelat för vargar och Charlton, kommer inte att vara tillgänglig för Celtics europeiska matcher förrän det nya året men kunde göra sin debut hemma under de kommande veckorna.
Celtics ambition att vinna inhemska titlar och tävla i Europa lockade Cole till Skottland. Men en skada som lidits under rättegången med klubben fördröjde hans signering. Han hoppas snart vara tillräckligt lämplig för att vara i strid för urval.
"Detta är första gången jag bor i London, jag har inte [levt] över Watford gap," strejkaren förklarade.
"Det har varit lite svårt för mig att försöka anpassa mig när jag har varit någonstans, som när jag gick till Aston Villa på lån, men jag har varit här uppe ensam de senaste två eller tre veckorna och jag har kommit riktigt bra överens. Folket i Glasgow är mycket välkomnande och jag har haft ett bra rykte från människor.
"Jag har redan passat in. Spelarna har tagit mig väl och jag har tagit dem. I omklädningsrummet finns en härlig atmosfär och jag ville vara en del av det.
"[Det är] samma jag hade på West Ham, om du bär den skjortan med stolthet, fansen ta till dig och du får en bra relation med dem. Det är därför jag är här.
"Så fort jag kom hit, har jag fått alla förklara för mig, inklusive taximannen, hur mycket klubben betyder för dem. Det var det jag ville höra och förhoppningsvis blir jag en hjälte för vissa."
Cole beskriver sig själv som en annan typ av strejkare till Leigh Griffiths, vars produktiva målsättning har sett honom bli etablerad som den första valet strejker på Celtic.
Deilas preferens är en 4-2-3-1 form, med bara en framåt, men Cole är säker på att han kan bevisa sitt värde och bidra till laget, och han inspirerades av atmosfären han upplevde på Celtic Park under den senaste 2-2 dragningen med Fenerbahce i Europa League.
"Jag är en annan spelare än Leigh, han är en bra, nippy spelare, gör mål vänster, höger och centrum," Cole sade.
"Jag ser mig själv som lite mer av ett kraftpaket, ockuperar två eller tre försvarare och kommer på slutet av kors. Jag ser mig själv som försöker bryta öppna försvar när de är trånga och låsta.
"[Ronny Deila] ville att jag skulle vara här. Han vet att det är ett stort drag för mig att flytta från min familj till ett annat land. Jag ser det som en stor möjlighet, att vara på en så stor klubb. Personalen har varit lysande mot mig och jag har känt mig så välkommen.
"Fenerbahce spelet var massiv och det är den första jag har sett det rytande. Fansen och passionen, de är den 12: e mannen verkligen och det är vad klubben handlar om så det är därför jag ville skriva under här."
Carlton Cole tackade nej till erbjudanden från andra klubbar att skriva på för Celtic, säger beslutet var en "ingen brainer".