Polisen sa att den misstänkte var 26 år gammal och född i Förenade Arabemiraten. De sa att han agerade ensam och att han var överväldigad av förbipasserande.
Borgmästare Olaf Scholz sa att attacken var motiverad av "hat" men sa inte att det var en terrorattack.
Det finns obekräftade rapporter om att mannen ropade "Allahu Akhbar", arabiska för "Gud är stor" medan han attackerar människor.
Polisen sa att de fortfarande ville bekräfta hans nuvarande nationalitet. Mr Sholz sa att han var en misslyckad asylsökande.
Mannen attackerade kunderna i snabbköpet på måfå, sprang ut och jagades av kunder och av människor utanför butiken. De förde honom till marken innan han fängslades av civilklädda poliser.
Mobilfilm på tyska medier som påstås vara efter attacken visar flera människor som jagar en man och kastar stolar på honom.
En 50-årig kvinna och fyra män mellan 19 och 64 år knivhöggs, medan en 35-årig man skadades medan han hjälpte till att övervinna den misstänkte.
Angreppet inträffade i Barmbekregionen i norra delen av staden i en gren av Edeka, Tysklands största snabbköpskedja.
Polisen säger att mannens vapen kan ha sett ut som en machete men de är, för tillfället, förutsatt att det var en kökskniv.
Ett ögonvittne gjorde en gest omkring 50 cm lång när han tillfrågades på tysk TV om hur stor kniven var.
En polistjänsteman frågade om detta var en terrorattack och sade till BBC: " Vi befinner oss i ett tidigt skede av utredningen... för tillfället kan vi inte utesluta någonting. Vi undersöker alla vägar."
Spekulation i tyska medier sade att attacken kan ha varit en del av ett rånförsök, men polisen sade att detta motiv inte kunde bekräftas.
Ett ögonvittne, som sprang från platsen till en närbelägen butik när situationen utspelade sig, sade till det tyska tv-bolaget NTV att det verkade "hektiskt och förvirrat, inte som en riktigt planerad attack".
En 50-årig tysk man har dödats och sex personer skadades i en knivattack i ett snabbköp i Hamburg.