Hjärtan värderar Skottland Under-21 internationella på cirka £1m.
Den 23-årige angriparen är kontrakterad på Tynecastle till nästa sommar och har tackat nej till erbjudandet om en förlängning.
Walker, som har gjort mer än 180 framträdanden för Hearts och som gjorde 15 mål förra säsongen, kan underteckna ett avtal med en annan klubb från 1 december.
Rangers första bud avslogs på onsdag.
Hearts chef för fotboll Craig Levein sa förra månaden att Walker ville lämna klubben.
Klubben senare sade "spelaren skulle föredra att se ut det återstående året av sitt kontrakt".
Rangers slutade tredje i skotska Premiership - två platser och 21 poäng över Hearts - och har undertecknat försvarare Bruno Alves och Fabio Cardoso, mittfältare Ryan Jack och framåt Daniel Candeias och Dalcio i sommar.
Klubben, som kommer att delta i den första kvalomgången av Europa League senare denna månad, har också haft ett andra erbjudande för Norwich City midfielder Graham Dorrans tackat nej.
Hjärtan har avvisat ett andra bud från Rangers, tros vara i regionen £ 600.000, för ytter Jamie Walker.