Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Cook, 32, avgick i februari och i sin första match under ersättare Joe Root gjorde 69 som England besegrade Sydafrika med 211 körningar på Lord's.
"Jag hade ett skratt titta på honom på fältet, springa runt i omslagen", sade Bayliss.
"Han såg ut som om han njöt av det. För någon i detta skede av sin karriär, det är ett bra tecken. "
Precis som Cook innan honom, började Root sitt styre som kapten med en seger, poäng 190 i de första innings för att hjälpa till att rädda England från 76-4.
Vid 26 års ålder hade fladdermössen i Yorkshire bara varit kapten i fyra tidigare förstaklassmatcher innan han tog Englands jobb.
"Innan detta test var han lite mer spänd än jag har sett honom tidigare", sade Bayliss. "Vi talade om att Joe var sig själv, att få fram budskapet i hans väg.
"Han är proaktiv och självsäker och jag trodde att det kom över i sättet han ledde laget.
"Root och Cook är olika karaktärer, de gör sitt slagspel på olika sätt, så omklädningsrummet var lite annorlunda. Många av meddelandena var likartade, bara levererade på ett annat sätt."
England har utsett en oförändrad 12-mansgrupp för det andra testet av fyrmatchsserien mot Proteas vid Trent Bridge, som börjar på fredag.
Det innebär att balansen i laget kommer sannolikt att förbli densamma, med vänster-arm spinner Liam Dawson fortsätter tillsammans med Moeen Ali, som tog 10 wickets på Lord's.
"Kombinationen vi hade du kunde ganska mycket plocka på någon typ av Wicket," tillade Australian Bayliss, som ytterligare förtydligade Moeens roll i laget efter att ha sagt på söndagen han trodde att hans man-of-the-match prestanda kunde vara en "vattendelare" ögonblick.
"Han vill vara i laget som en smet som skålar lite, så det är vad vi har valt honom som," sade Bayliss.
"Mo är lite av en komplex karaktär ibland, så det är mer till hans fördel än något annat. Det tar bort trycket från honom. Det betyder inte att han inte kan vara den bästa spinnaren, men hans främsta jobb är att slåss.
"Detta test var förmodligen ett tecken på att detta är det bästa sättet att gå med honom."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Från BBC:s cricketkorrespondent Jonathan Agnew
Alastair Cook ser ut som har han gulled i en stor fläkt av frisk luft genom att ge upp kaptency.
Jag intervjuade honom den fjärde morgonen och kunde göra en jämförelse mellan kocken nu och kocken som jag talade med efter det femte testet mot Indien i Chennai förra året. Det var som en annan man.
Cook kommer inte att vara en grinig gammal proffs, chuntering i hörnet när laget går vidare. Han kommer att njuta av sin cricket och fladdra som han gör. De 69 han gjorde i den andra innings var klassiska Cook - spela snyggt utan att ta attacken isär.
Med sitt schema - inga endagsinternationaler - kunde han spela Tests under en lång tid framöver.
Läs mer från Jonathan Agnew här.
Opener Alastair Cook är "älskande" liv utan England Test kaptency, säger huvudtränare Trevor Bayliss.