Undersökningen, som genomfördes dagar efter Skottland röstade nej, fann att 3 % ville att Wales skulle vara oberoende.
Men det fanns stöd för tanken på att fler befogenheter skulle delegeras till den walesiska församlingen, med 49 procent för.
ICM Research intervjuade ett slumpmässigt urval av 1 006 personer i Wales över telefon.
Undersökningen visade att 12 % ville att sammankomsten skulle avskaffas.
Undersökningen fann också ett växande stöd för UKIP i Wales inför nästa års allmänna val.
Nigel Farages fest är på 14%, upp sju poäng från den senaste BBC Wales-undersökningen i mars.
Labour har minskat med fyra procentenheter till 38 procent, med de konservativa på 23 procent (ned en), Plaid Cymru på 13 procent (ned en) och liberaldemokraterna på 7 procent (ned två).
Professor Roger Scully vid Wales Governance Centre vid Cardiff University sade: " Stöd för självständighet är det lägsta jag har sett någonstans.
"Det har skett ett tydligt steg mot att stödja fler krafter, och några av de människor som kan ha sagt "oberoende" har gått i den riktningen.
"Vi närmar oss en majoritet som säger att de vill att saker och ting ska gå längre.  Det finns också ganska låga stödnivåer för avskaffandet av församlingen - de extrema ståndpunkterna håller på att förlora."
En analys av Prof Scully:s röstsiffror tyder på att Labour skulle få två platser i huvudstaden - Cardiff Nord och Cardiff Central - vid det allmänna valet i maj nästa år.
De konservativa skulle förlora Cardiff Nord men vinna Brecon och Radnor; Plaid Cymru skulle behålla sina tre platser men liberaldemokraterna skulle reduceras till en ensam walesiska plats i Westminster - Ceredigion.
UKIP:s stödnivå är för låg för att vinna sin egen plats, men tillräckligt hög för att påverka vissa marginella valkretsar.
"UKIP: s stöd är tydligt går upp", sade Prof Scully.  "De börjar nå den typ av nivå där de kan göra en allvarlig skillnad i marginella säten."
Han sade att de flesta bevis tyder på att de tar mer stöd från de konservativa än någon annanstans, vilket kan vara av betydelse i Tory-hållna marginella platser som Vale of Glamorgan och Aberconwy.
ICM Research intervjuade ett slumpmässigt urval av 1 006 walesiska vuxna över 18 år per telefon den 19-22 september 2014. Intervjuer genomfördes över hela Wales och resultaten har viktats till profilen för alla vuxna. ICM är medlem i British Polling Council och följer dess regler.
Det finns mer om denna berättelse på Week In Week Out på BBC One Wales på 22:35 onsdagen den 24 september.
Stödet för walesiskt oberoende har sjunkit till sin lägsta registrerade nivå i kölvattnet av den skotska folkomröstningen, enligt en opinionsundersökning för BBC Wales.