Briton sparade två matchpoäng för att vinna 4-6 7-6 (7-4) 7-5 innan ett argt byte med lettiskan på nätet.
Ostapenko hävdade att hennes racket halkade ur hennes hand i den andra uppsättningen slips-break och släpptes iväg med en varning.
Broady höll inte med om att hennes motståndare borde vara "straight diskvalificerade".
"Du kommer att se på reprisen, det finns ingen chans att det var en slump. Hon kastade racketen och det slog bollen pojke, "Britt nummer tre Broady berättade umpire i en domstol utbyte.
WTA:s regler anger att "spelare aldrig får fysiskt missbruka någon tjänsteman, motståndare, åskådare eller annan person... vid tillämpningen av denna regel, fysisk misshandel är otillåten beröring av en tjänsteman, motståndare och åskådare eller annan person".
Spelare kan diskvalificeras för incidenter av umpire och bötfällas upp till $ 10,000 (6.830) för varje överträdelse.
Tidigare brittisk nummer ett Tim Henman diskvalificerades från Wimbledon 1995 efter att oavsiktligt slå en boll flicka med en boll slog i frustration, medan David Nalbandian kastades ut ur Queens finalen i 2012 efter sparka ut på en reklam hamstring, skära skenan av en linje domare.
Världsnummer 88 Ostapenko, rangordnad 38 platser högre än Broady, tilläts fortsätta efter det att en reseledare kallades till domstol, med Broady verkar vara nära tårar över händelsen.
Briton knucked ner i den tredje uppsättningen, rulla av sex på varandra följande matcher för att rycka seger innan bli involverad i ett argument efter efter match handslag.
"Jelena kommenterade att mitt beteende var hemskt, vilket jag tyckte var lite ur ordning med tanke på de händelser som hade pågått i matchen", säger Brody på raden.
Broady, som slog tidigare värld nummer ett Ana Ivanovic i den första omgången, kommer nu att spela American Sloane Stephens.
Naomi Broady är in i ASB Classic tredje omgången efter en kontroversiell match mot Jelena Ostapenko, som undkom diskvalificering för att visas att kasta en racket mot en boll pojke.