Sussex kunde ha tagit tredje plats om de hade vunnit i Hampshire, men regn tvingade deras match att överges.
Somersets fixtur på Middlesex avblåstes också, vilket betyder Somersets andra mål i South Group.
Essex avslutade toppen av gruppen efter att ha slagit Kent med 57 kör på Duckworth-Lewis metoden på Canterbury.
De är förenade med North Group vinnare Worcestershire att gå rakt igenom till semifinalen.
Somerset kommer att vara värd för Nottinghamshire i kvartsfinalen den 13 juni med vinnaren att möta Essex på Chelmsford tre dagar senare.
Yorkshire spela Surrey på Rubrikeley i den andra kvartsfinalen, även den 13 juni. Vinnaren reser till Worcestershire den 17 juni.
På Canterbury på onsdag fick Varun Chopra 83 från 98 leveranser, medan England Testöppnare Alastair Cook gjorde 54 när besökarna nådde 307-6 från sina 50 overs.
Kent förlorade tre tidiga wickets innan regnet fick leken att stoppas efter att 11 overs hade bowlats, med värdarna på 50-3 - långt ifrån deras anpassade mål.
Överfallskapten Gareth Batty sa till BBC Radio London:
"Det var 100% rätt beslut [att avbryta spelet], vattnet kommer över dina skor där ute.
"Det finns inget du kan göra, du bara gå vidare till nästa match."
Surrey kvalificerad för One-Day Cup knockout stadier trots regn som orsakar deras spel på Gloucestershire att kallas av utan en boll som bowlas.