Det är resultatet av en undersökning som genomfördes av opinionsbildarna, Ipsos Mori, för BBC Northern Irelands politiska program, The View.
I kölvattnet av EU:s folkomröstningsresultat i juni krävde Sinn Féin att utrikesministern skulle kalla en gränsundersökning i enlighet med långfredagsavtalet.
Utrikesdepartementet i Dublin rapporterade också en kraftig ökning av antalet personer från Nordirland som ansökte om irländska pass.
Denna undersökning visar dock att mindre än en femtedel av de personer som intervjuades av Ipsos Mori säger att Brexitbeslutet har påverkat hur de skulle rösta i en folkomröstning för att avgöra om Nordirland stannar i Storbritannien eller ansluter sig till Irland.
Mer än 1 000 personer intervjuades av opinionsbildarna på platser i Nordirland mellan mitten av augusti och början av september.
En tredjedel av de tillfrågade (33 %) vill att regeringen ska kalla till gränsomröstning.
Mer än hälften (52 %) motsätter sig emellertid en sådan åtgärd. Oppositionen var starkast bland dem med protestantisk bakgrund med 72 procent mot att genomföra en gränsundersökning.
Om en sådan undersökning genomförs säger en klar majoritet av befolkningen, 63 procent, att de kommer att rösta för att Nordirland ska stanna kvar i Förenade kungariket, medan endast 22 procent skulle stödja ett Förenade Irland.
Omkring 13 procent av de tillfrågade vet inte hur de skulle rösta, medan ytterligare 2 procent inte skulle delta i en gränsundersökning.
Samma fråga ställdes för BBC av Ipsos Mori för tre år sedan.
En direkt jämförelse med den undersökningen visar en liten minskning av stödet för vistelse i Storbritannien, beräknad till 65 % 2013, två procentenheter högre än den senaste siffran - vilket ligger inom felmarginalen så inte statistiskt signifikant.
Ipsos Mori rapporterade en 5-punkts ökning av stödet för ett Förenade Irland (22 %), vilket bara var 17 % i 2013 års undersökning - en ökning som betraktas som en betydande förändring.
Den överväldigande majoriteten av dem med protestantisk bakgrund (88 %) skulle rösta för att stanna i Storbritannien.
Mer än en tredjedel av dem med katolsk bakgrund (37%) skulle också välja att stanna i Storbritannien, ungefär som 2013 års siffra på 38%.
Mer än fyra av tio personer med katolsk bakgrund (43 %) skulle stödja ett Förenade Irland, en ökning med 8 % jämfört med 2013 års siffra på 35 % - en ökning som betraktas som statistiskt signifikant.
Man frågade sig om resultatet av EU-omröstningen i juni hade ändrat deras syn på Nordirlands konstitutionella framtid.
Omkring 83 % sade att Brexit-beslutet inte hade ändrat sin ståndpunkt, medan 17 % angav att det hade förändrat deras tänkesätt.
De vars åsikter hade påverkats av EU:s resultat var något mer benägna att vara kvinnor, från katolsk bakgrund och hämtade från de välbärgade AB:s samhällsklasser.
I de omedelbara efterdyningarna av EU:s folkomröstning sade den skotske förste ministern Nicola Sturgeon att en andra skotsk självständighetsomröstning var "mycket trolig".
Tidigare denna månad bad SNP-aktivisterna att ta ledningen i vad hon beskrev som ett "nytt samtal" om självständighet.
Tidigare har Sinn Féin president Gerry Adams förutspått att utvecklingen i Skottland kan få "seismiska konsekvenser" för politiken på Irland.
I Ipsos Mori-undersökningen tillfrågades om en framtida röst för oberoende i Skottland skulle ändra deras syn på en gränsundersökning.
En majoritet (56 %) räknade med att Skottlands beslut att bryta med Storbritannien inte skulle förändra deras sätt att rösta i en sådan gränsundersökning.
Omkring 18 % berättade för Ipsos Mori att skotskt oberoende skulle göra dem mer benägna att rösta för Nordirland att stanna kvar i Storbritannien.
Men 15 procent trodde att skotskt oberoende skulle göra dem mer benägna att rösta för ett Förenade Irland.
Enligt långfredagsavtalet ska Nordirlands sekreterare James Brokenshire kalla en gränsundersökning om det förefaller honom "troligt att en majoritet av dem som röstar skulle uttrycka en önskan om att Nordirland skulle upphöra att vara en del av Förenade kungariket och utgöra en del av ett enat Irland".
Nordirlands kontor har tidigare uteslutit en sådan undersökning.
Även om Ipsos Mori-undersökningen tyder på en liten ökning av stödet för ett enat Irland, med tanke på att mindre än en fjärdedel av Nordirlands befolkning skulle rösta för en förändring, verkar det osannolikt att den brittiska regeringen kommer att ändra sin ståndpunkt när det gäller att göra en gränsundersökning inom en nära framtid.
För att se hela enkäten, klicka här.
Mer än åtta av tio personer i Nordirland säger att Storbritanniens beslut att lämna Europeiska unionen inte har förändrat deras sätt att rösta i en framtida gränsundersökning.