Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Off-spinner JP Duminy tog en hatt-trick och ben-spinner Imran Tahir 4-26 som Sri Lanka skålades ut för 133.
Proteasen lättade sedan till sitt mål för förlusten av endast en wicket av 18 overs, med Quinton de Kock gör en unbeaten 78.
De går vidare till ett sista-fyra möte med Nya Zeeland eller Västindien i Auckland på tisdag.
Sydafrikas första knockout seger i 23 år av att spela VM cricket tar dem till en första semifinal sedan ett känt nederlag av Australien 1999.
Genom att nå sitt mål med 32 overs to reserv, AB de Villiers sida också avslutat den snabbaste framgångsrika kör jakten i en VM knockout match som Sri Lanka, finalister i de två tidigare VM, vissnade.
Deras skyltning var inte passande vad som visade sig vara den sista internationella matchen för Mahela Jayawardene och Kumar Sangakkaras sista ODI. Duon har gjort 117 internationella århundraden mellan dem.
Efter Proteas takt bowlare gjorde tidiga infarter, spin paret Duminy och Tahir utnyttjade en följd av lösa skott, medan Sydafrika var utmärkt på fältet i hela.
Sangakkara, på baksidan av fyra på varandra följande hundra, gjorde en mödosam 45 och Lahiru Thirimanne en motattack 41, men ingen annan fladdermöss nådde 20.
För att sätta stopp för Sydafrikas dag återvände Wicketkeeper De Kock, som bara hade lyckats med 53 körningar i sina sex tidigare innings, till att bilda med en rad täckenheter.
Ändå byggdes deras seger på en lysande bowling performance efter att förlora kastet på en utmärkt tonhöjd.
New-ball par Kyle Abbott och Dale Steyn tog kanterna av Kusal Perera och Tillakaratne Dilshan respektive före Sangakkara och Thirimanne stabiliserade med stand av 65.
Medan Thirimanne flytande genom off-side, Sangakkara var stodgy, tar 16 bollar för att få av märket och, vid ett tillfälle, har sex från 42 bollar.
När Thirimanne blev den första av de sju wickets att falla för att snurra, Sangakkara var tvungen att titta från den andra änden som mitten och lägre ordning föll runt honom.
Med bollen håller i planen, Thirimanne klappade tillbaka till Tahir och Jayawardene lobbade samma bowlare till kort mid-wicket.
Duminy, fylla den femte bowler slot som har orsakat Sydafrika problem under turneringen, sedan fick arbeta för att bli den första Proteas spelare att ta en VM hatt-trick.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Angelo Mathews fångades mitt på och, i Duminys nästa över, Nuwan Kulasekara fjädrade bakom innan debutanten Tharindu Kaushal var fastsatt ben innan.
För 19-årige Kaushal, var det en gyllene anka på hans ODI debut efter att ha lagts till i Sri Lanka truppen på morgonen av matchen.
Sangakkara lämnades att spela en ensam hand, men hans försök till aggression avslutades med ett slag till tredje man utanför Morne Morkel.
Han avgick med 14,234 körningar, en räkning sekund bara till Sachin Tendulkar, i 404 matcher. Detta var den 150:e en dag då han slogs med Jayawardene, som har 12.650 körningar.
Den skoningslösa Sydafrikajakten såg till att de inte kommer att dela ett annat internationellt partnerskap.
Lyssna på höjdpunkter från Test Match Specials och 5 live Sports 2015 VM-täckning.
Sydafrika kryssade in i VM semifinalen med en ensidig thrashing av en ledsen Sri Lanka i Sydney.