Den ende chefen Louis van Gaal försöker stärka sin trupp när de är fyra i Premier League.
Tyskland internationella Schweinsteiger, 30, och 29-åriga Spanien spelare Ramos är bland dem som intresserar honom.
Ramos avtal med Real löper ut 2017, medan Schweinsteiger's Bayern affär löper fram till 2016.
Scorer of Reals skadetidsutjämning i deras Champions League final seger över Atletico Madrid 2014, Ramos har gjort 445 framträdanden för klubben sedan anslutning från Sevilla 2005.
Han har 128 Spanien caps och var i start-line-up som de vann Euro 2008, Euro 2012 och 2010 VM.
Schweinsteiger har också en VM-vinnarmedalj - med start för Tyskland i sin seger över Argentina förra året.
Han har varit med Bayern hela sin karriär och vann sin åttonde ligan titel i maj. Han vann också Champions League 2013.
Reals intresse för målvakt David De Gea kommer att användas av United i deras försök att underteckna Ramos.
Van Gaal sade i slutet av förra säsongen skulle det inte vara lätt att hålla De Gea - Uniteds spelare av året för andra på varandra följande år.
Den 24-åriga Spanien internationella har vägrat att förlänga sitt kontrakt efter 2016.
De röda Devils har kopplats till flera potentiella ersättare under vad Van Gaal sade kan vara en "rough" sommar för några av hans spelare med tanke på de förändringar han förväntade sig.
"En klubb som Manchester United måste vara så", sade Van Gaal i maj. "När du köper andra spelare får du en stimulans."
Van Gaal är särskilt angelägen om att rekrytera en högerback, central försvarare, central midfielder och anfallare.
United, som redan har köpt PSV Eindhoven ytter Memphis Depay för £ 31m, är också intresserade av Tottenham framåt Harry Kane.
Barcelona full-back Dani Alves intresserade dem också, men han har tecknat ett nytt avtal på Nou Camp.
Manchester United är intresserade av att underteckna Bayern Munich midfielder Bastian Schweinsteiger och Real Madrid försvarare Sergio Ramos.