Wales stjärnan har kommit överens om en £ 300 000 per vecka, sex års affär efter att ha förseglat en £ 85.3m (100 miljoner euro) flytta som överskuggar £ 80m Real betalade Manchester United för Cristiano Ronaldo 2009.
"Det är mycket viktigt för Gareth att kasta sitt hjärta och själ i detta drag.
"Han har allt och förmåga vis han är fenomenal. Frågan är bara om han har den mentala styrkan att klara av en så stor överföring och strålkastarljuset som kommer att bli enormt i Spanien.
"Men det är en fantastisk möjlighet för honom och det viktiga är att han verkligen behöver förstå det med båda händerna."
Läs mer analys från Gary Lineker och BBC Sports chefsfotbollskorrespondent Phil McNulty
"Jag har haft sex mycket lyckliga år på Tottenham men det är rätt tillfälle att säga adjö", sade 24-årige Bale.
"Vi har haft några speciella stunder tillsammans och jag har älskat varje minut av det."
Bale kommer att ha en medicinsk och sedan presenteras för Real Madrid fans på Bernabeu på 12:00 BST på måndagen innan du talar på en mediekonferens.
Han tillade: " Jag är inte säker på att det någonsin finns en bra tid att lämna en klubb där jag kände mig bosatt och spelade den bästa fotbollen i min karriär hittills.
"Jag vet att många spelare talar om sin önskan att gå med i klubben för deras barndom drömmar, men jag kan ärligt säga, detta är min dröm besannas.
"Tottenham kommer alltid att finnas i mitt hjärta och jag är säker på att den här säsongen kommer att bli framgångsrik för dem.
"Jag ser nu fram emot nästa spännande kapitel i mitt liv, att spela fotboll för Real Madrid."
Bale gick Spurs som en vänster-back för £ 10m från Southampton 2007 och gjorde 26 mål förra säsongen som han fick namnet både Professional Footballers' Association och Football Writers "spelare för året.
Hans representanter som han ville tala med de spanska jättarna.
Real Madrid coach Carlo Ancelottis påstående i början av augusti att de var "i samtal för att hitta en lösning" till överföringen arg Tottenham manager Andre Villas-Boas, men klubbarna har nu nått en uppgörelse.
Efter sin sidas 1-0 förlust för Arsenal sade Villas-Boas: "Bale är en underbar spelare. Han ska gå med i Real Madrid så vi önskar honom allt gott.
"Han lämnade oss med några fina minnen från förra säsongen."
Bale, som blir Real Madrids femte signering av sommaren, hyllade både Southampton och Tottenham för att han utvecklat sin karriär.
Han sade: " Jag är väl medveten om att jag inte skulle vara på den nivå jag är idag om det inte först Southampton och sedan Spurs står vid mig under några av de hårdare tider och ger mig miljön och stöd de har.
"Jag vill tacka alla på klubben; ordförande, styrelse, personal, tränare och spelare, och framför allt de fantastiska fans som jag hoppas kommer att förstå denna fantastiska karriär möjlighet."
Spurs har varit upptagen i detta överföringsfönster, signera sju spelare för en total utlägg närmar £105m.
Brasilien midfielder Paulinho har anlänt från Corinthians för omkring £ 17m; framåt Roberto Soldado har undertecknat från Valencia för £ 26m, och Roma playmaker Erik Lamela har gått med för en rapporterad £ 25,7m.
Deras övriga sommaranländande är Nacer Chadli från FC Twente för £7m, Etienne Capoue för £9m från Toulouse, Rumänien center-back Vlad Chiriches från Steaua Bukarest för £8,5m, och Ajax 21-åriga danska midfielder Christian Eriksen för £11,5m.
Tottenham ordförande Daniel Levy medgav att han inte förväntade sig att behöva planera för säsongen utan Bale.
"Gareth var en spelare vi hade absolut ingen avsikt att sälja som vi ser att bygga för framtiden," sade Levy.
"Han är en spelare vars karriär vi har främjat och utvecklat och han var bara ett år in i sitt nya fyraårskontrakt.
"Så mycket har varit uppmärksamheten från Real Madrid, och så stor är Gareths önskan att ansluta sig till dem, vi har ansett att spelaren inte kommer att vara tillräckligt engagerad i vår kampanj under den nuvarande säsongen.
"Vi har därför, med stor motvilja, gått med på denna försäljning och gjort det i vetskapen om att vi har en exceptionellt stark trupp som vi har lagt till inte mindre än sju toppinternationaler.
"Men viktigast av allt, vi har en enorm laganda och ett omklädningsrum som är sugen på framgång."
Bale försäljning kan nu utlösa en rad erbjudanden som involverar andra Premier League klubbar innan överföringsfönstret stängs på 23:00 BST på måndag.
Southampton kommer att få £ 2m som ett resultat av flytten men den siffran kunde ha varit 10 gånger så mycket, om de inte hade beslutat att tillåta Spurs att köpa ut spelarens 15% sälj-on klausul 2007.
Vid den tiden kämpade Southampton ekonomiskt och bestämde sig därför för att sälja klausulen tillbaka till Tottenham för 3 miljoner pund.
Som en del av affären, Southampton fick Spurs ungdom målvakt Tommy Prognos även om han aldrig spelade en senior spel. Så i stället för en £11m windfall, Southampton måste göra sig av med en £2m Fifa solidaritetsbetalning, som kommer deras väg för att utveckla spelaren.
Real Madrid har brutit världsrekordet för att signera Tottenham framåt Gareth Bale.