Vid 32 års ålder är Eames den yngsta heltids bossen i de fyra största divisionerna i engelsk fotboll.
"Vi stöder hans spelstil och vårt team svarar positivt på hans filosofi," ordförande Tony Kleanthous berättade klubbens officiella hemsida.
Under tiden har försvararen Bira Dembele, 29, och mellanfältaren Tom Champion, 31, lämnat klubben League Two.
Dembele spelade 57 gånger efter att ha gått med i Barnet 2015, medan Champion gjorde en gång i 32 framträdanden förra säsongen.
Eames tog gemensamt ansvar för Bees i december när Martin Allen lämnade för att gå Eastleigh, vinna fyra av sina 11 matcher tillsammans med Henry Newman.
Han vann sedan två av de sista fyra matcherna i säsongen efter Kevin Nugent sparkades som huvudtränare i april.
Eames var tidigare tränare med klubbens utvecklings- och akademisidor innan han arbetade som Nugents assistent.
"För oss var detta det djärva valet och rätt tillfälle att äntligen låta Rossi ta ensam kontroll över vårt fotbolls öde", säger Kleanthous.
Barnet slutade 15th i League Two denna säsong, 11 poäng över nedflyttningszonen.
Barnet har utsett före detta mellanchef och assisterande första lagtränare Rossi Eames till sin nya huvudtränare.