Willie Boy O'Neill, tre, och Tojo O'Neill, två, tidigare av Caldon Road, sågs senast den 3 augusti.
De tros vara i sällskap med sina föräldrar, Claire Watson, 32 och 39-årige Robert O'Neill (39).
Barnen anmäldes försvunna efter det att rådets tjänstemän blivit oroliga för sin välfärd efter det att de inte hade kontaktat familjen.
Willie Boy beskrivs som en smal byggnad med vackert hår, medan Tojo är stram med vackert hår.
Sedan polisen anmäldes saknad förra veckan har officerare gjort omfattande undersökningar i England - där det finns familjekontakter - för att spåra familjen.
Hittills har det inte funnits några positiva iakttagelser av barnen, förutom att hela familjen ses tillsammans inom Rivergate Shopping Centre i Irvine kl. 14:45 söndagen den 3 augusti.
Polisen har vädjat om att alla som har information om var barnen befinner sig ska kontakta dem snarast.
Polisen försöker spåra två försvunna barn från Irvine-området i norra Ayrshire.