Den nederländska pacemanen visade vägen med sin fyra-wicket drag.
Surrey sjönk till 93 och bara bröderna Curran, Sam och Tom, nådde 20.
Craig Meschede och Dean Cosker hävdade två Wickets styck när Surrey föll isär och Glamorgan promenerade till en åtta-wicket seger med 46 bollar att undvara.
Glamorgans nya öppnare David Lloyd träffade 31 och kapten Jacques Rudolph var 34 inte ute.
Surrey valde att slå men deras öppningsstativ på 28 var det högsta partnerskapet av innings, med sju wickets då faller för 32.
De var ytterligare hindras av veteran Pakistan allrounder Azhar Mahmood pensionerar skada med en kalv skada utan poäng.
Glamorgans nästa match är också i T20 Blast, hemma till Essex den 1 juni, medan Surrey reser till Somerset i mästerskapet den 28 maj.
Mannen i matchen Van der Gugten berättade för BBC Wales Sport: "Jag tyckte som ett lag vi bowlade riktigt bra, vi höll dem till en låg total och våra smeter bara gjorde jobbet mycket professionellt.
"Ett par korgar gick min väg, vem som helst kunde ha tagit en påse, men lyckligtvis var det min kväll. Dale Steyn kommer att stärka vår grupp och vi ser fram emot att arbeta med honom."
Glamorgan kapten Jacques Rudolph berättade för BBC Wales Sport: "De senaste två åren har vi kommit ner hit vi har haft mycket bra föreställningar, så långt som kliniska föreställningar som är så bra som du kommer att få. Vår bowling var enastående och Timm van der Gugten igen var otrolig och vi backade upp det väl med slagfältet.
"Surreys topp tre smetar kan vara mycket farligt, jag försökte ständigt attackera och få Wickets, och det är trevligt att få lite förtroende i omklädningsrummet.
"Såvitt jag vet Dale Steyn [för närvarande i Indien] är mycket angelägen om att spela på onsdag (mot Essex), Timm van der Gugten har visat med lite extra fart den typ av X-faktor vi behöver i vårt team. Med honom och Dale i samma lag kan vi bli riktigt glada över det."
Glamorgan vann för första gången sedan juli 2015 med Timm van der Gugten tar fyra wickets som de thrash Surrey i sin öppning T20 Blast spel.