Ravichandran Ashwin tog 5-67 eftersom turisterna skålades ut för 255 för att ge upp en första innings underskott på 200.
Ben Stokes gjorde 70 och Jonny Bairstow 53 i ett sjätte-wicket partnerskap på 110 innan England förlorade sina sista fyra wickets för 30 körningar.
Indien reducerades till 40-3, men Virat Kohlis oslagbara 56 tog hans sida till 98-3 och en ledning av 298.
Någon gång på söndag, förmodligen strax efter lunch, England kommer att börja kampen för en och en halv dag för att rädda spelet.
Det kommer att kräva en anmärkningsvärd ansträngning på en yta som visar variabel studs och kommer sannolikt att erbjuda mer än sin nuvarande blygsamma tur.
"Om England hade fått 350 och tagit mer tid ur spelet, kunde jag se en väg ut för dem," sade före detta England kapten Michael Vaughan på Test Match Special.
"Men de lät Indien vara för långt före. England måste slå fyra och en halv sessioner för att undvika att gå 1-0 ner i serien - på en tonhöjd som inte kommer att bli bättre."
Tidigare England fladdermöss Geoffrey Boycott
Jag tänkte att om England inte spelade så bra så kunde det ha gått över väldigt snabbt, även idag.
Om idag var en boxningsmatch, England faktiskt vann den på poäng. Men det slog verkligen ut fyllningen i England igår.
Ex-England spinnare Vic Marks
Skadan skedde i går - i en session. England har kämpat hårt idag, men om de tar sig ur detta kommer det att bli en storslagen bedrift.
F.d. kapten i England, Michael Vaughan
Realistiskt sett kommer England att tro att de behöver slå 140 overs i den andra innings för att komma undan med en oavgjort. Jag kan inte se hur de kan vinna. Oavgjort är en möjlighet, men det är mycket, mycket minut.
Englands belägenhet var resultatet av en kollaps på 4-29 på andra kvällen, en nedgång där turisterna bidrog till varje korg som föll.
Den tredje morgonen visade den vaksamma och skickliga kombinationen av Stokes och Bairstow vägen för sina lagkamrater, liksom att de fortsatte sin produktiva 2016, både individuellt och som ett partnerskap.
Bairstow, den ledande testkörningen 2016 och Stokes, som i genomsnitt är 60, har lagt till 772 som ett partnerskap, mer än något annat par i världen.
Wicketkeeper Bairstow övervann en knäskada som uppstod när han limmade upp på vägen till mitten innan lek och några tidiga obeslutsamma fotarbete för att sopa och knuffa sig fram till en 137-boll halv-talet, hans långsammaste i tester.
När han var bowled av sina kuddar spelar över en searing inswinger från Umesh Yadav, det sammanlagda antalet körningar som lagts till av Englands sjätte wicket 2016 stod på 1.759, en England rekord för någon wicket i Tests.
"Det sätt Bairstow och Stokes spelade var fantastiskt", sade Boycott. "För att störa försvaret och anfalla i den situation England var i innebär att de förtjänar fulla betyg."
Stokes gjorde också sin långsammaste test halv-talet, från 108 leveranser, men var mer säker än Bairstow, bar en skarp stubbe chans till Wriddhiman Saha när han var på 21.
Han återinsatte sina anfallsinstinkter och väntade tålmodigt på att skära spinnarna och visade bara aggression efter Bairstows avgång och den andra nya bollen togs och körde sött på bensidan.
Medan allrounder Stokes erbjuder så mycket till England med sin bowling och Fielding, hans slag genomsnitt 2016 ligger bakom bara Bairstow och hans 227 körningar är mest för turister hittills i denna serie.
"Om han någonsin får en nigger och inte kan bowla, han måste stanna i sidan som en fladdermöss", sade Vaughan.
Efter att Stokes gavs ut lbw till Ashwin - han såg har fått en inside edge men bollen fångades på fånig punkt ändå - Indien sprang genom svansen.
Zafar Ansari missade oförklarligt en Ravi Jadeja halvvolley att vara ben innan och den ofelbart korrekta Ashwin pinned Stuart Broad och James Anderson med på varandra följande bollar - Broad kan inte granska en leverans på väg ner för benet sidan.
Indien avvisade möjligheten att tvinga fram en uppföljning till förmån för att döma England till en demoraliserande kväll på fältet.
Med turister som kräver en särskild ansträngning med bollen för att ha ens den minsta chans att komma tillbaka in i matchen, höjdes förhoppningar när Indien reducerades till 40-3.
Broad, som har ansträngt en sena i foten, hade Murali Vijay hålls på måsen från en insida via lårdynan och sedan framkallade en nick bakom KL Rahul - båda besluten resultatet av England recensioner - innan Anderson producerade en vacker inswinger att skåla Cheteshwar Pujara.
Men Indien kapten Kohli, på baksidan av 167 i de första innings, fördröjde dynamiken i en tapper England bowling ansträngning med att slåss mer flytande än någon annan i matchen.
När han körde genom täckena och ner på marken, lade han till en obruten 58 med Ajinkya Rahane och fortsätter att leda Indiens laddning på den fjärde morgonen.
"Kohli spelar ett annat spel", sa Vaughan. "Pitchen har gjort mycket - det finns spin, studs, omvänd sving. Det är här han visar sin klass - han sticker ut en kilometer. Han har låtit det se mycket lätt ut."
"Virat har visat att det kan göras"
England wicketkeeper Jonny Bairstow på Sky Sports: " I början av dagen, få inom 200 har varit fem ner var en rimlig ansträngning från oss. Imorgon bitti kommer vi tillbaka och hoppas att vi kan få något ur planen tidigt.
"Det kommer att krävas ett par speciella knackningar men sättet Virat har gått ikväll visar att det kan göras."
Indien spinner Ravichandran Ashwin: "Jag har inte haft en fem-wicket drag mot England tidigare. Det var på baksidan av mitt sinne men jag var inte orolig eftersom jag visste att det skulle komma om jag fortsatte att göra vad jag har gjort.
"Jag tyckte att Virat slogs vackert i vad som kunde ha varit en knepig situation. Vi är väl placerade att driva på i morgon."
England drevs vidare mot nederlag på dag tre av det andra testet mot Indien i Visakhapatnam.