Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Sessionen avbröts efter bara två av de tre delarna eftersom förhållandena hade försämrats till den grad att banan var för farlig.
Ferrari's Sebastian Vettel tog femte men kommer att degraderas 10 platser.
Hamilton måste slå Rosberg med två poäng och Vettel med nio för att försegla sin tredje titel i helgen.
De röda Bulls Daniel Ricciardo och Daniil Kvyat kommer att vara på andra raden med Force India bilar som utgör den tredje efter Vettels demotion.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Vettel och team-mate Kimi Raikkonen, som kvalificerade åttonde, har straffats för att använda mer än det tillåtna antalet motorer.
Tvinga Indiens Sergio Perez kommer att börja femte före lagkamrat Nico Hulkenberg.
Ferrari-förarnas straff innebär att Williams Felipe Massa, som kvalificerade sig som nionde förare, börjar på sjunde plats före Toro Rossos Max Verstappen och McLaren's Fernando Alonso.
"Jag kände mig bekväm med bilen", sa Rosberg. "Det är ganska utmanande - bilen snaps ganska plötsligt, men jag fick ett bra varv tillsammans."
Hamilton sade: "Det var mycket roligt där ute för oss alla. Synd att vi inte kunde gå ut i slutet.
"Jag hade hoppats att vi kunde gå ut och städa banan. Det ser ut som om många har dykt upp idag för att titta på. Jag hoppas vädret underlättar för loppet."
Ricciardo sa att han förväntade sig "vi kommer att ha en hel del löpning" i loppet.
Tävlingen ska börja kl 14:00 lokal tid (19:00 GMT) och väderprognoser tyder på att förhållandena kommer att förbättras vid det laget.
Austin i Texas påverkas fortfarande av regn i utkanten av den tropiska stormen Patricia och har sett rekordstort regn under de senaste 24 timmarna.
Bakom Alonso kommer Williams Valtteri Bottas, Lotus's Romain Grosjean och den andra McLaren av Jenson Button.
Alonso har en ny-specifikation Honda motor i sin bil, som inte var tillgänglig för Button i helgen, uppmana engelsmannen att skämta på torsdag att han hoppades att hans lag-kamrat skulle "förinta" honom.
Tyvärr fick han sin önskan, åtminstone i kvalificering - Button var 0,928sek långsammare än Alonso, betydligt mer än den lilla förbättringen av kraften i den uppgraderade motorn var värt i varvtid.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Button, som klagade över bristen på bakgrepp, sade att förhållandena i slutet av den andra delen av sessionen var alltför farliga.
"I slutet", sa han, "laget var som, "Kom igen, en sista stor knuff." Och jag sa: "Visst." Jag bara flöt."
Vettel tillade att vädret hade inneburit att banan var i "röd flagg förhållanden".
Ett antal förare hade snurrar under den förrädiska sessionen, med den snabba kink på Turn 10 visar den farligaste delen av banan - Hamilton, Vettel, Hulkenberg och Raikkonen var bland de förare som förlorade kontrollen där.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Men trots de svåra förhållandena kraschade bara en förare - Toro Rossos Carlos Sainz förlorade kontrollen på Turn Four och krossade in i väggen på sitt andra flygvarv i första delen av kvalet.
USA GP kvalificerande resultat
USA GP täckning detaljer
Nico Rosberg slog Mercedes lagkamrat Lewis Hamilton till pole position vid USA Grand Prix som kval var trunkerad av regn.