Förbudet, det första i Skandinavien, riktar sig mot såväl niqab som burqas, balaclavas och masker, och skulle gälla i plantskolor, skolor och universitet.
Men huvuddukar, hattar och mössor kunde fortsätta att bäras.
De flesta parter stöder lagförslaget, som förväntas gå igenom nästa år.
"Dessa kläder förhindrar god kommunikation, vilket är viktigt för studenterna att få en bra utbildning," Minister för utbildning och forskning Torbjörn Roe Isaksen sade i ett uttalande.
Interimsminister för invandring och integration Per Sandberg sade att kunna kommunicera med varandra var ett "grundläggande värde".
De lokala myndigheterna i Norge kan redan nu förbjuda helslöjan i skolorna, men det finns ingen nationell politik.
Kritikerna har dock ifrågasatt lagförslagets relevans med tanke på att helslöjan inte bärs i någon större utsträckning i Norge.
"Det finns mycket, mycket få som använder niqab, så detta är marginellt problem i integrationssammanhang. Därför anser jag att förslaget inte är nödvändigt, säger Linda Noor of the Minotenk Think tank, som fokuserar på minoritetsfrågor, till programföretaget NRK.
Tidigare i år en muslimsk grupp, Islamiska Rådet av Norge, utlöste kontroverser efter att anställa en kommunikationsofficer som bar niqab.
Det islamiska rådet - som hade fått statliga bidrag för att förbättra dialogen mellan trossamfunden - kritiserades av kulturministern, muslimska parlamentsledamöter och andra muslimska organisationer.
Den försvarade flytten och sa att Leyla Hasic var den bästa personen för jobbet.
Norge föreslår ett förbud mot muslimsk helslöja och andra ansiktsklädda kläder eftersom det säger att det hindrar kommunikationen mellan elever och lärare.