Aldershot nästan ledde innan pausen när Rhys Browne satte upp Lafayette men Marek Rodak räddade och Charlie Walker misslyckades med att göra mål på rebound.
Besökarna fortsatte att pressa när Jake Gallagher och Jim Stevenson tvingade Rodak till ytterligare räddningar.
Segern för skotten förseglades när Rodak tog ner Lafayette och han gjorde mål från platsen på 76 minuter.
Chefen för Aldershot Town Barry Smith sa till BBC Surrey:
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
"Du vet att det var ett mycket risigt spel och Welling gav oss en hel del problem i första halvan.
"Jag tänkte på halvtid vi höjde våra nivåer och vi orsakade dem problem i andra halvan och jag tycker att vi förtjänade att vinna spelet.
"Jag har förtroende för de strejkande och förtroende för spelare som kan göra mål och det var en tidsfråga. Deras väktare gjorde några fantastiska räddningar, men du måste fortsätta tro som vi har gjort den här säsongen. "
Ross Lafayette gjorde en andra halv straff för att försegla alla tre poäng för Aldershot Town som de slog Welling.