Efter att ha återupptagit 111-4 flyttade Voges över natten från 29 till 196 leveranser för att omintetgöra Hampshires attack, ledd av Kyle Abbott (5-59).
När Voges, James Franklin och John Simpson föll till den nya bollen, lämnade det dem på 215-8 och Hampshire i hopp om en seger, med ledningen på bara 133.
Men Middlesex svansen höll på och händerna skakas på en dragning efter te.
Middlesex var den enda sidan att förbli obesegrad under hela 2016 säsongen som de hävdade sin första titel sedan 1993, men de såg ut att riskera att starta en ny kampanj med en förlust när de kom igång.
Utan den skadade Fidel Edwards, Abbott - som tog sin totala till 16 Division One Wickets i två matcher - ledde Hampshire attack, med Brad Wheal (3-73) också bidra.
Voges överlevde en lbw appeal på 29 innan nattväktaren Steven Finn (16) fångades av en Wheal dörrvakt, men Simpson anslöt sig till den tidigare Australien Test fladdermössen för att stoppa någon Hampshire momentum.
Men med den nya bollen i handen gav Abbott värdarna en glimt av hopp, efter att Voges fångats bakom och Franklin tas i slipsen innan Gareth Berg snarkade Simpson (22) för Wicket-keeper Lewis McManus fjärde fångst.
Det skulle inte vara för Hampshire men som Toby Roland-Jones (25), Ollie Rayner (17 inte ute) och Tim Murtagh (19 inte ute) tog Middlesex till en ledning av 196 och säkerhet på te.
Michael Carberry och Jimmy Adams fördes vidare till skålen, vilket signalerade deras avsikter att komma överens om en dragning, som förde båda sidor 10 poäng och flyttade Hampshire till andra plats i Division One bakom Surrey.
Hampshire kapten James Vince berättade för BBC Radio Solent:
"Det sätt som killarna kämpade tillbaka från Middlesex att vara 220-2 i deras första innings för att komma in i en position där vi var riktigt nära att kunna jaga en gettable poäng på den Wicket är en otrolig insats från alla.
"Bowlarna, som hade förlorat Fidel tidigt i de första innings, var enastående att sätta in ett skift för att få oss i den positionen.
"Vi gjorde precis vad vi ville med den nya bollen och kom inom en wicket av förmodligen sätta upp en 150-run jakt i 40-od overs. Så det är en stor ära för alla pojkar."
Middlesex huvudtränare Richard Scott berättade för BBC Radio London:
– Vi visade förra årets gamla motståndskraft när vi stod emot det.
"När den nya bollen kom föll ett par snabba korgar, men Ollie Rayner, Toby Roland-Jones och Tim Murtagh var magnifika.
"Vi sätter oss själva under pumpen detta spel. Vi tappade några avgörande chanser - om vi hade tagit de chanserna hade vi åtminstone haft paritet efter de första innings. Men det var inte att vara och jag tyckte att de spelade mycket bra."
Adam Voges gjorde 92 som Middlesex lägre ordning höll Hampshires bowlare i schack för att tjäna en dragning för mästarna.