Trescothick gjorde 153 och Abell slog 131 - hans jungfru första klass hundra - som de satte på 272 för den första Wicket.
Cooper slog 118 på nummer tre och James Hildreth gjorde 71 när värdarna byggde en stor första inningsledning på 329.
Somerset, som ledde åttonde plats Hampshire med fem poäng i början av spelet, har åtta bonuspoäng.
Hampshire å andra sidan har bara tagit en bowling och en bowling bonus punkt från spelet.
På 147-0 tog Trescothick och Abell värdarna förbi Hampshires första innings totalt 240 innan Abell fångades lbw av Gareth Berg.
Skipper Trescothick, som undertecknade ett nytt ettårigt avtal med länet på onsdag, slog 29 fyror i sin 261-ball innings som slutade när han skålades av West Indies paceman Fidel Edwards.
Cooper fortsatte sedan det fina arbete som öppningarna utförde under härliga battingförhållanden, då han tog upp sitt första århundrade för Somerset av bara 103 leveranser och satte på 142 med Hildreth.
Hildreth passerade 1.200 mästerskapskörningar för säsongen innan han skålades av Liam Dawson (3-130) strax före stängningen på en dag då 422 matcher gjordes.
Marcus Trescothick, Tom Abell och Tom Cooper alla slog århundraden som Somerset staplade upp 569-5 på dag två mot relegation rivaler Hampshire på Taunton.