Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Wes Hoolahan gav republiken en välförtjänt ledning kort efter halvtid med en skarpt slagen halvvolley värdig att öppna poäng i någon match.
Martin O'Neills team hade slagit till mot träslöjden och gått nära flera gånger innan de gjorde mål.
Men efter att ha tagit ledningen fann de sig själva under ökande press och medgav när Clark, utvald framför Richard Keogh i försvarets centrum, ledde ett lågt kors från Zlatan Ibrahimovic in i sitt eget nät.
Equalizern kom från en av de få ögonblicken av kvalitet från Sverige kapten, som samlade en snygg backheel från substitut John Guidetti och tävlade till byeline innan borrning i ett lågt kors.
Jeff Hendrick drog en sen räddning från Andreas Isaksson men det skulle inte finnas någon vinnare i slutet av en hetsig, risig match Republiken skuggade men kunde inte stänga ut.
Engagemang, passion och beslutsamhet fanns i hög grad i Stade de France, med dessa hantverksmässiga egenskaper som på ett behagligt sätt förskönade alla kvaliteter och finesser.
Men i slutändan hade ingen av sidorna tillräckligt för att segra och de lämnas att fundera över ett resultat som knappast är katastrofalt men inte exakt vad de ville.
Båda har fortfarande grupp E mot Italien och Belgien - de två favoriterna att göra framsteg - och har utan tvekan missat sin bästa chans att få en avgörande seger.
I en turnering med 16 kval från gruppstadiet skulle tre poäng ha tagit en av dem ett stort steg mot att nå nästa omgång.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Republiken förlorade alla tre av sina matcher på Euro 2012, när italienska tränare Giovanni Trapattoni satte upp sitt lag för att försöka hämma sina motståndare och ta poäng.
Men efter att ha kvalificerat sig från en grupp som inkluderade Polen och Tyskland, fanns det ingen brist på äventyr och ambitioner här i Paris.
Robbie Brady var ett hot ner till vänster, Hendrick slog i ribban med en smekt höger-fot strejk och ritade en fantastisk räddning med ett skarpt skott från kanten av området, och John O'Shea var inches från konvertera Clark s flick-on.
Det fanns heller ingen disputation kvaliteten på Hoolahan mål tre minuter efter omstart.
Seamus Coleman levererade ett superbt kors efter en retande, jinking springa ner till höger och Hoolahan, som hade hittat utrymme på en premium i en allmänt överbelastad mittfält, utmärkt krossade hem en halvvolley från 14 meter över mål och bortom Isaksson.
Hendrick tvingade ännu en rädda från Sverige målvakt med en låg strejk efter att hans lag medgav och männen i grönt visade tillräckligt för att föreslå att vad som än händer med dem i denna turnering kommer de att lämna allt på fältet.
Ibrahimovic sade före matchen att "legenden fortfarande kan leverera", men det såg inte ut som det för det mesta av matchen. Vid många tillfällen - särskilt under första halvlek - drogs 34-åringen så djupt på jakt efter bollen att han såg mer ut som en mellanfältare.
Ibrahimovic, starkt kopplad till Manchester United, gjorde 11 av sitt lags 19 mål i kvalificering, och gå in i fixturen med Republiken kan ha fancied sina utsikter mot en central-försvarande parning av O'Shea och Clark.
Ändå hade han mycket liten chans att förbättra sina 62 internationella mål. Han slog mot väggen med en frikick, ryckte en volley och var tum från att konvertera ett lågt borrat kors.
Men han stod i centrum för det drag som ledde till utjämningen.
Den olyckliga Clark hade redan gått nära en gång för att sätta bollen i sitt eget nät med en rubrik Darren Randolph gjorde bra för att spara innan Emil Forsberg hamrade rebound bred.
Men Randolph kunde inte göra något för att stoppa Clarks huvud efter att Ibrahimovic äntligen hade sprungit till liv och åtminstone delvis rättfärdigat hans toppfakturering.
Republic of Ireland manager Martin O'Neill: "Jag tyckte att vi var magnifika i spelet med några riktigt bra fotboll.
"Naturligtvis är målet deflaterat och det finns besvikelser i omklädningsrummet, men jag tycker inte att spelarna ska vara modfällda med sin prestation.
"Jag tycker att de ska vara helt glada över hur vi spelade."
Målsättaren Wes Hoolahan: " Pojkarna hade otur, men vi tar poängen. Vi skapade många chanser.
"Under den första halvan var vi utmärkta och i början av den andra också. Pojkarna borde vara stolta över sig själva, det är en bra punkt i slutändan. "
Sverige tar Italien i Toulouse kl 14:00 BST på fredag medan Republiken möter Belgien i Bordeaux kl 14:00 BST dagen efter.
Matchen slutar, Republiken Irland 1, Sverige 1.
Andra halvlek, Irland 1, Sverige 1.
Foul av Zlatan Ibrahimovic (Sverige).
Ciaran Clark (Republic of Ireland) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Andreas Granqvist (Sverige).
Shane Long (Republiken Irland) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Albin Ekdal (Sverige) vinner en frispark i defensiven.
Foul av James McClean (Republiken Irland).
Foul av Sebastian Larsson (Sverige).
James McClean (Republic of Ireland) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Substitution, Sverige. Albin Ekdal ersätter Oscar Lewicki.
Substitution, Republiken Irland. Aiden McGeady ersätter James McCarthy.
Guidetti (Sverige) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Glenn Whelan (Republiken Irland).
Offside, Republiken Irland. Glenn Whelan försöker en genom boll, men Shane Long fångas offside.
Foul av Zlatan Ibrahimovic (Sverige).
Ciaran Clark (Republic of Ireland) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Substitution, Republiken Irland. Robbie Keane ersätter Wes Hoolahan.
Glenn Whelan (Republiken Irland) visas det gula kortet.
Foul av Zlatan Ibrahimovic (Sverige).
Seamus Coleman (Republic of Ireland) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Andreas Granqvist (Sverige) vinner en frispark i defensiven.
Foul av Ciaran Clark (Republiken Irland).
Hörnet, Republiken Irland. Sammankallad av Martin Olsson.
Försök missade. Shane Long (Republic of Ireland) huvud från mitten av rutan missar till vänster. Hjälpt av James McCarthy med ett kors.
Foul av Kim Källström (Sverige).
Wes Hoolahan (Republiken Irland) vinner en frispark i anfallshalvan.
Försöket räddades. Jeff Hendrick (Republic of Ireland) höger fotade skott från en svår vinkel till höger sparas i nedre högra hörnet. Hjälpt av Glenn Whelan.
Eget mål av Ciaran Clark, Republiken Irland.  Republiken Irland 1, Sverige 1.
Försök missade. James McClean (Republic of Ireland) huvudet från mitten av lådan missar till vänster. Hjälpt av Wes Hoolahan efter en viss situation.
Foul av Andreas Granqvist (Sverige).
Wes Hoolahan (Republiken Irland) vinner en frispark på högerkanten.
Handboll av Wes Hoolahan (Republiken Irland).
Utombords, Sverige. Martin Olsson provar en genomboll, men Zlatan Ibrahimovic fångas offside.
Utombords, Sverige. Martin Olsson provar en genomboll, men Zlatan Ibrahimovic fångas offside.
Substitution, Republiken Irland. James McClean ersätter Jonathan Walters.
Offside, Republiken Irland. Ciaran Clark försöker en genom boll, men Jonathan Walters fångas offside.
Utombords, Sverige. Guidetti försöker en genom boll, men Zlatan Ibrahimovic fångas offside.
Nilsson-Lindelöf (Sverige) visas det gula kortet för en dålig foul.
Foul av Nilsson-Lindelöf (Sverige).
Ciaran Clark gjorde ett plågsamt eget mål när Republiken Irland hölls till en frustrerande dragning mot Sverige i deras öppning Euro 2016 fixtur i Paris.