I ett inlägg på Twitter sa kvinnan att hon var "förvirrad" av begäran och la upp flera bilder av nakna kvinnliga statyer från museets utställningar.
Hon fortsatte med att säga att hon hade en underbar dag på V&A "undersökt avbildningar av bröst genom tiderna".
Dess regissör Tristram Hunt sa att kvinnor kan amma "varhelst de vill".
Tweeting under namnet @vaguechera, sade kvinnan: "Flashed en nanosekund av bröstvårta medan amning och ombads att täcka upp på V&A gården. Jag är förbryllad."
Hennes tweet har varit omtyckt mer än 6.700 gånger och fått mer än 3.900 retweets, med många människor erbjuder meddelanden om stöd.
Modern påpekade ironin i begäran på ett museum som visar många statyer av nakna kvinnor.
Hon satte upp ett foto på en staty som visar en man som håller upp en naken kvinna och ritade den: "'Jag ska kasta ut dig från detta museum med dina nakna bröst!' Men jag är gjord av marmor! "Åh förlåt att du mår bra då."
Kvinnan berättade för BBC att hon var "förvirrad till tystnad" av begäran från en kvinnlig anställd.
Hon sa att det var den första negativa upplevelsen hon har haft under tre och ett halvt års amning.
"Jag hade försökt vara diskret och mata under en kofta, men med en distraherad ettåring kan det vara utmanande.
"Den anställde var vänlig och artig, men uppenbarligen att be mig att mörklägga var fortfarande påträngande, obehagligt och pinsamt för mig, liksom uppenbarligen löjligt."
Mamman sa att hon tyckte att det var viktigt att belysa händelsen eftersom "den skam och förlägenhet som orsakas av den typen av förkastelse när du försöker mata kan vara förkrossande för en kvinna som var mindre Teflon än mig".
Hon tillade: "Det skulle verkligen kunna påverka någons försök att amma om de kämpade med sitt självförtroende."
Hunt, före detta riksdagsledamot i Labour och skuggföredragande, bad om ursäkt på twitter och sade: " Mycket ledsen. Vår politik är tydlig. Kvinnor kan amma var de vill, var de känner sig bekväma och bör inte störas."
Museet twittrade också en ursäkt och sa att det var att undersöka händelsen, tillägger: "Kvinnor är välkomna att amma i museet och vi har tysta utrymmen för dem som föredrar avskildhet."
Museet sade att dess personal fick regelbunden kundservice utbildning och de kommer att påminnas om sin amning politik.
Kvinnan sa att hon uppskattade ursäkten och att det stöd hon fick på Twitter och museets svar "visar att attityderna till största delen är positiva".
Hon tillade: " Med detta sagt är det uppenbart att inte alla är medvetna om det rättsliga skydd som kvinnor ges när de äter på ett offentligt rum.
"Policies är viktiga, men de fungerar bara om personalen får stöd för att förstå och genomföra dem."
Victoria och Albert Museum har bett om ursäkt efter att en mamma sa att hon skulle "täcka upp" medan hon ammade vid ett besök på Londonattraktionen.