Nadal mötte en matchpunkt men den 18-årige tysken missade en lätt volley - och erkände: "På matchpunkten sög jag."
Tre-tidens mästare Nadal spelar Japans Kei Nishikori nästa och kunde möta Novak Djokovic i semi-finalen.
Serena Williams slog försvarare Simona Halep 6-4 6-3 för att nå de sista fyra i kvinnors dragning.
Världen nummer ett nu spelar Polens Agnieszka Radwanska, som slog Petra Kvitova 6-2 7-6 och kommer att återta världen nummer två ranking när den nya listan släpps på måndag.
"Hon vet hur man spelar i stora arenor och stora matcher, stora spel," Williams sa om Halep.
Zverev har fått stor dricks som tonåring mest sannolikt att göra genombrottet bland spelets elit och han gick plågsamt nära en landmärke seger över Nadal.
Den 6ft 6på tyska, den yngre brodern av turnéspelaren Mischa Zverev, ledde 5-3 och 40-30 i den sista uppsättningen, bara för att göra tre raka otvingade fel.
Nadal, 29, kämpade tillbaka imponerande, men hade glödande beröm för tonåringen, som är inställd på att stiga till en karriär-hög ranking på 52 nästa vecka.
"Han är otroligt begåvad", sa Nadal. "Han kommer förmodligen att bli nummer ett i världen.
"Med sin andra serve på 120mph, med en hel del spin och på 124, 123, 120mph, var det omöjligt. Om han sätter den första serven i över 130 mph då är du i stora problem.
"Så jag tror att jag är här, och fortfarande lever."
Världens främsta slog Spaniens Feliciano Lopez 6-3 6-3 för att sätta upp en kvartsfinal med Jo-Wilfrid Tsonga i Frankrike.
Djokovic hade inte varit som bäst i de föregående rundorna utan såg Lopez med små problem.
"Jag var väldigt solid. Jag lät honom inte komma till nätet för många gånger," sade serben. "Det var en bra föreställning."
David Goffin slog fransk öppen mästare och tredje frö Stan Wawrinka 6-3 5-7 7-6 (7-5), medan Milos Raonic slog ut sjätte frö Tomas Berdych 6-4 7-6 (9-7).
Jamie Murray kommer att höja sig till toppen om han vinner sin kvartsfinal senare på torsdag. Murray och partner Bruno Soares möter Feliciano Lopez och Marc Lopez från 22:00 GMT.
Rafael Nadal nådde BNP Paribas Open kvartsfinal i indiska Wells efter att ha vunnit de senaste fem matcherna för att slå Alexander Zverev 6-7 6-0 7-5.