Craig Melville sägs ha skickat ett antal meddelanden till en namnlös kvinna en dag efter terrorattackerna i Paris.
Han har redan blivit avstängd från sin roll som medhjälpare till SNP:s biträdande ledare Stewart Hosie.
Dundee stadsfullmäktige bekräftade att dess verkställande direktör hade mottagit Melvilles avskedsansökan.
I ett uttalande till kuriren sade Melville: " Påtryckningarna från de djupt beklämmande anklagelserna på senare tid har en negativ inverkan på min familjs och min hälsa.
"Därför känner jag inte att jag för närvarande kan fullgöra mina uppgifter som fullmäktigeledamot för ovan nämnda avdelning och fortsätta som sammankallare av miljökommittén efter bästa förmåga."
I ett meddelande uppges Melville, som var stadens miljösammankallare, ha hänvisat till SNP:s internationella utvecklingsminister Humza Yousaf.
En talesman för Dundee stadsfullmäktige sade: " Vi kan bekräfta att en avskedsansökan från Melville har mottagits av den verkställande direktören.
"Ett val kommer att kallas för Maryfield avdelningen och arrangemang kommer att göras i sinom tid."
En Dundee fullmäktigeledamot som för närvarande är under utredning för att ha skickat anti-islamiska texter till en muslimsk kollega har avgått.