Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Ashton Hewitt gick över för att sätta värdarna i ledningen medan Angus O'Brien sparkade drakarna längre fram.
Två Jack Carty straff sätta Connacht tillbaka i spelet vid pausen innan Hewitt rörde ner igen.
O'Briens två drop-goals förlängde sin ledning men Niyi Adeolokun försöker sätta upp en spänd final för drakarna.
Värdarna hade lett Connacht med 15 poäng i den andra halvan men en sen återuppståndelse av Pro12 mästare - Adeolokun visar enorm takt att gå över med drygt 10 minuter kvar att spela - sprang dem nära.
Drakarnas seger, deras första i Pro12 sedan de slog Zebre i september, slutade med sju på varandra följande nederlag mot Connacht, medan den irländska provinsen halkade till ett andra på varandra följande nederlag efter deras förlust för Leinster.
Kingsley Jones sida var utan fyra spelare som är en del av Wales höst internationella trupp med Hallam Amos och den ofångade Cory Hill för testet mot Australien på lördag.
Under tiden stannar Tyler Morgan med Wales även om han inte är med i matchday truppen, medan Leon Brown tränar med Rob Howley s trupp samtidigt som han inte är en fullvärdig medlem.
Dragons huvudtränare Kingsley Jones sa till BBC Radio Wales:
"Det var kritiskt. Vi har haft en svår start men några bra föreställningar hemma. Om vi får rätt resultat är vi bara några poäng bakom de åttonde och sjunde platserna.
"Att få det ikväll gå in i Anglo-Welsh spel var verkligen avgörande för det. I en timme var jag ganska komponerad och jag är en ganska komponerad tränare men de senaste 10 minuterna darrade mina ben.
"Vi slutade bra i några matcher hemma på sistone. Det var en tight affär och Connacht är en mycket bra sida - de kommer att spela till döden och från var som helst och kan skada dig från ingenting."
Newport Gwent Dragons: Tom Prydie; Pat Howard, Sam Beard, Jack Dixon, Ashton Hewitt; Angus O'Brien, Sarel Pretorius; Phil Price, Thomas Rhys Thomas, Brok Harris, Nick Crosswell, Rynard Landman, Lewis Evans (kapt), Ollie Griffiths, Ed Jackson.
Ersättningar: Rhys Buckley, Sam Hobbs, Lloyd Fairbrother, Matthew Screech, Nic Cudd, Tavis Knoyle, Geriant Rhys Jones, Adam Warren.
Connacht: Tiernan O'Halloran; Niyi Adeolokun, Bundee Aki, Peter Robb, Stacey Il; Jack Carty, Caolin Blade, JP Cooney, Shane Delahunt, Conor Carey; Quinn Roux, Andrew Browne; Eoin McKeon, Jake Heenan, John Muldoon (kapt).
Ersättningar: Dave Heffernan, Saba Meunargia, Dominic Robertson-McCoy, James Cannon, James Connolly, Conor McKeon, Shane O'Leary, Cian Kelleher,
Domare: George Clancy (IRFU)
Biträdande domare: David Wilkinson (IRFU), Jason Bessant (WRU)
Citeringskommissionär: Jeff Mark (WRU)
Newport Gwent Dragons vann bara sin andra match i Pro12 den här säsongen när de övervann en sen Connacht comeback på Rodney Parade.