Lachie Turner och Cowan-Dickie båda tog första halvan tandställning, med Gareth Steenson sparka nio poäng som värdarna ledde 29-13 vid pausen.
Rob Buchanan gick över som svar och Tom Swiel konverterade efter att ha landat två tidigare straff.
Cowan-Dickie tävlade tre gånger innan Charlie Walker och Danny Care svarade och Tomas Francis såg rött för Exeter.
Francis skickades iväg med åtta minuter kvar, sparkade ut på en ruck och fånga Care med hans shin.
Besegra är Quins andra i tre matcher, med sin enda triumf hittills den här säsongen kommer mot nyligen främjas Bristol. Förlusten förvärrades också en skada för Jack Clifford, som lämnade fältet i andra halvan.
Quins ledde bara en kort stund, tack vare Swiels känga när han fick två straff efter Turners öppningsförsök.
Turner tog en sekund och Cowan-Dickie sin första innan Buchanan gick in för Quins nästa poäng.
Cowan-Dickie gick över för att säkra en bonus-punkt innan pausen och en annan poäng av England hora hjälpte sätta spelet bortom besökarnas räckhåll, trots försök från Walker och Care och en sen numerisk nackdel.
Exeter chef för rugby Rob Baxter: "Vi har varit lite pressade efter två förluster men det var fantastiskt att vinna och få en bonuspoäng också.
"Vi gjorde tillräckligt och gjorde några bra försök men vi är frustrerade över vår andra hälften prestation.
"Vi borde ha kontrollerat territoriet lite bättre än vi gjorde men jag är nöjd med karaktären vi visade.
"Vi var långt ifrån som bäst, men jag är inte så upprörd över att Quins kom tillbaka. De är en framgångsrik Premiership sida och de har fått några farliga spelare, som kan göra några bra försök. "
Harlequins chef för rugby John Kingston: "Vi gav bort två mjuka försök i mitten av första halvan när vi var 6-5 upp.
"En av dem var en enkel omstörtning och den andra kom från dålig tackling från den första fasen.
"Det var mycket svårt att komma tillbaka därifrån och vi startade inte den andra halvan så bra som vi skulle ha velat. Det var en fråga om för lite, för sent och slutresultatet är att vi straffades för alltför många fel på nyckelpunkterna.
"Vi måste fjärma oss från dessa misstag, men Exeter tog varje tillfälle i akt som kom deras väg."
Exeter: Turner; Mellanlandning, Devoto, Slade, Whitten; Steenson (kapteln), Chudley; Moon, Cowan-Dickie, Holmes, Welch, Parling, Armand, Salvi, Waldrom.
Ersättningar: Yeandle, Hepburn, Francis, Atkins, Dennis, Lewis, Hill, Short.
Rödt kort: Francis (71).
Harlequins: Brown; Yarde, Marchanant, Stanley, Walker; Swiel, Care (capt); Marler, Buchanan, Sinckler, Twomey, Horwill, Robshaw, Wallace, Clifford.
Ersättningar: Ward, Lambert, Collier, Merrick, J Chisholm, Dickson, Lang, Alofa.
Domare: Matthew Carley.
Luke Cowan-Dickie gjorde en hatt-trick som Exeter Chiefs slog Harlequins för att spela in sin första seger för säsongen.