Den 29-årige England-internationalen har inte fattat något slutgiltigt beslut, men är förstådd för att förlänga sin tid på King Power Stadium.
Arsenal gjorde ett bud på 20 miljoner pund för Vardy, vilket aktiverade en releaseklausul i hans kontrakt och erbjöd honom en affär som uppges vara värd 120 000 pund i veckan.
Leicester svarade med ett erbjudande som sades vara värt 100 000 pund.
Arsenal planerar inte att förbättra sitt erbjudande och tros sträva efter alternativa alternativ.
Vardy, som anslöt sig till Leicester från icke-legue Fleetwood Town för £1m 2012, undertecknade ett treårigt avtal i februari, och Foxes nya erbjudande skulle förlänga det till ett fjärde år.
Arsenals erbjudande var ett treårigt kontrakt med möjlighet till ett fjärde.
Vardy, vars räkning av 24 liga mål förra säsongen var bättre endast av Tottenhams Harry Kane, är för närvarande med England truppen på Euro 2016.
Gunners bad Vardy att ge dem ett svar innan han flög till Frankrike, men han ville fokusera på tävlingen.
Leicester-strejkaren Jamie Vardy är inställd på att avvisa ett erbjudande om att gå med i Arsenal och stanna hos Premier League-mästarna.