Debutant Jordan Kirkpatrick satte Clyde framför efter åtta minuter men Arbroath vände spelet på huvudet tidigt i den andra halvan.
Bobby Linns straff jämnades ut 11 minuter efter pausen, sedan Richard Littles högerfota insats två minuter senare lämnade Clyde bedövad.
Clyde lyckades inte utnyttja ledare East Fifes 1-1 dragning med Queen's Park.
Bekämpa Arbroath kom bakifrån för att tjäna en seger som förnekade Clyde möjligheten att gå toppen av League Two.