Jedburgh blev den senaste staden att få provision förra veckan.
Ledamot Stewart Bell sade i slutet av den senaste utbyggnaden, 94% av bostäder i regionen bör ha tillgång.
Han tillade att en rad grupper arbetade på sätt att leverera supersnabba tjänster till dem som inte omfattas av programmet.
Tidigare har det funnits farhågor för att regionen saknades trots stora investeringar i bredband.
Bell sade att det fanns tekniska skäl till att vissa webbplatser inte skulle se sina tjänster förbättras.
"Över mycket långa avstånd hastigheterna går ner lite och därför finns det vissa lokaler som är mycket långt från skåp som inte kommer att se en betydande förbättring av tjänster," sade han.
"Målet för detta supersnabba system som kommer att vara fullt operativt mellan 2017 och 2018 är att få 94 % av lokalerna i Gränserna anslutna.
"De återstående 6 % är något som Digital Scotland och Community Bredband Skottland överväger i samarbete med lokala myndigheter för att se om vi kan hitta skräddarsydda lokala lösningar."
En gränsråd har sagt arbete görs för att leverera supersnabbt bredband till bostäder i regionen för närvarande missar på tjänsten.