Barnet tog ledningen i åttonde minuten när Luke Gambin kraschade en vänsterfotad insats mot baren och Curtis Weston var snabbast att reagera, rulla ett skott i nätet från åtta meter.
Cheltenham bad om straff för handboll fyra minuter senare när Jack Barthrams kors från höger åtalades.
Danny Wright slog vänster inlägg i 37: e minuten med Jamie Stephens slagna och nästan omedelbart Barnet bröt och slog posten själva genom Afente, som drev förbi Dan Parslow.
Men Cheltenham planade i 44: e minuten när Wright nådde Jack Munns fri-kick och på väg in i det övre högra hörnet för hans sjätte mål för säsongen.
Barnet återfick ledningen sju minuter in i andra halvlek när Afente avslutade en snabb paus och la sig i Gambins pass.
Griffiths räddade Alex Nicholls "frispark låg till vänster och Afente slog inlägget igen med en rubrik i 68: e minuten.
Rapport från pressorganisationen
Matchen slutar, Cheltenham Town 1, Barnet 2.
Andra halvlek, Cheltenham Town 1, Barnet 2.
Kyle Storer (Cheltenham Town) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Jack Taylor (Barnet).
Hörnet, Cheltenham Town. Förföljd av Curtis Weston.
Dan Holman (Cheltenham Town) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av John Afente (Barnet).
Harry Pell (Cheltenham Town) visas det gula kortet för en dålig foul.
Jamal Campbell-Ryce (Barnet) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Harry Pell (Cheltenham Town).
Jamal Campbell-Ryce (Barnet) visas det gula kortet.
Foul av Kyle Storer (Cheltenham Town).
Mauro Vilhete (Barnet) vinner en frispark på höger vinge.
Jack Barthram (Cheltenham Town) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av John Afente (Barnet).
Substitution, Barnet. Alie Sesay ersätter Luke Gambin.
Aaron Downes (Cheltenham Town) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av John Afente (Barnet).
Hörnet, Cheltenham Town. Förföljd av Elliot Johnson.
Harry Pell (Cheltenham Town) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Curtis Weston (Barnet).
Foul av Harry Pell (Cheltenham Town).
Bira Dembélé (Barnet) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Försök missade. Sam Muggleton (Barnet) höger fotade skott från utsidan lådan är nära, men missar till vänster.
Substitution, Barnet. Sam Muggleton ersätter Jean-Louis Akpa-Akpro.
Billy Waters (Cheltenham Town) visas det gula kortet för en dålig foul.
Foul av Billy Waters (Cheltenham Town).
Jack Taylor (Barnet) vinner en frispark på höger vinge.
Substitution, Cheltenham Town. Amari Morgan-Smith ersätter Daniel Wright.
Substitution, Barnet. Jamal Campbell-Ryce ersätter Alex Nicholls.
Foul av Kyle Storer (Cheltenham Town).
Alex Nicholls (Barnet) vinner en frispark på högerkanten.
John Afente (Barnet) träffar rätt inlägg med en rubrik från mitten av rutan.
Jordan Cranston (Cheltenham Town) visas det gula kortet för en dålig foul.
Foul av Jordan Cranston (Cheltenham Town).
Luke Gambin (Barnet) vinner en frispark i defensiva halvan.
Dan Holman (Cheltenham Town) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Jean-Louis Akpa-Akpro (Barnet).
Försök missade. Billy Waters (Cheltenham Town) höger fotade skott från vänster sida av lådan är nära, men missar till höger.
Daniel Wright (Cheltenham Town) vinner en frispark i den defensiva halvan.
John Afente: s 17: e mål för säsongen säkrade en seger för Barnet på kämpande Cheltenham Town.