Strejken, på lån från Aberdeen, fastnade på Scott Frasers pass för öppnaren och tog sin andra med en högklassig solokörning och smart finish.
Han skickade ett straff för sin diskant i 30: e minuten och United kunde ha haft flera mer halvtid.
Sean Welsh straff gav Thistle hopp men United såg ut segern bekvämt.
Värdarna var tröga i första halvan av sin Championship öppnare mot Queen of the South på lördag men det fanns inget att skylla på hur de startade denna slips.
United hade för mycket tempo och uppfinningsrikedom för sina topp-flight motståndare, den enastående Scott Fraser och Tope Obadeyi orsakar förödelse med deras rörelse.
Obadeyi, två gånger, och Blair Spittal kan ha lagt till ytterligare mål genom intervallet men United boss Ray McKinnon manager måste ha varit nöjd med de tre de gjorde poäng.
Smith visade fördelen av en regelbunden start på lån, tar sitt mål till fyra för Terrors, samma antal han gjorde i nästan 90 framträdanden för Aberdeen, även om en hög andel av dessa utflykter var som en ersättning.
Hans första var en sublim finish, samla en läcker Fraser pass, styra bollen sedan styra den bakom Ryan Scully.
För sin andra, tog Smith upp innehav precis inne i Thistle halvan, sprang bort från Callum Booth sedan höll av försvararen för att göra mål när han kom tillbaka till honom i lådan.
20-åringen avslutade sitt hat trick med ett straff slog rakt ner i mitten efter Ziggy Gordon blockerade Blair Spittals skott med en arm.
Thistle fick en glimt av en väg tillbaka från ett eget straff när Chris Erskine knuffades över av Mark Durnan och Welsh gjorde med 25 minuter kvar, men Uniteds försvar hölls fast.
United boss Ray McKinnon: "Vi spelade några mycket bra fotboll i den första halvan, särskilt framåt pjäsen, och när straffet gavs mot oss i den andra, var jag verkligen nöjd med hur vi reagerade.  Vi visade lite motståndskraft.
"En del av länkuppspelningen och avslutningen var ganska speciell. Cammys fattning och rörelse för målen var enastående, han har gjort riktigt bra ifrån sig sedan han kom in på lån. Jag är glad för hans skull.
"Det fanns enorma positiva överallt. Unga vänster-back Jamie Robson var enastående, Scott Fraser var enastående, Blair Spittal var utmärkt och Tope Obadeyi spelar som en ensam strejkare var fantastisk. "
United hat-trick hjälte Cammy Smith: " Standarden har satts efter det. Vi såg farliga ut varje gång vi gick framåt och kunde ha haft några fler mål, men vi måste vara nöjda med vår natts arbete.  Det är en stor seger för oss.
"Det var inte som om [Aberdeen boss Derek McInnes] knuffade mig ut genom dörren. Vi hade några samtal och tänkte att gå ut på lån skulle vara bäst för min utveckling. Jag är här för att spela spel och länge må det fortsätta."
Thistle boss Alan Archibald: "Det var hemskt ända från kick-off - en riktigt dålig prestation.  Jag visste inte att det skulle hända.
"Det var den totala motsatsen till helgen seger [2-0] mot Caley Thistle när vår väktare inte hade en seriös spara att göra. Vi var oigenkännliga och jag tycker synd om våra fans som har betalat bra pengar för att resa hit.
"Vi avstod United från kick off, tog dåliga beslut tvärs över planen och killar som vanligtvis våra ledare inte gjorde det i kväll. Ingen fick godkänt över hela linjen. Alla inklusive mig själv måste se sig själva i spegeln."
Matchändar, Dundee United 3, Partick Thistle 1.
Andra halvlek, Dundee United 3, Partick Thistle 1.
Coll Donaldson (Dundee United) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Adebayo Azeez (Partick Thistle).
Foul av Stewart Murdoch (Dundee United).
Adebayo Azeez (Partick Thistle) vinner en frispark i defensiva halvan.
Försök missade. Blair Spittal (Dundee United) vänster fotade skott från mitten av lådan är nära, men missar till höger.
Coll Donaldson (Dundee United) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Mathias Pogba (Partick Thistle).
Ryan Edwards (Partick Thistle) visas det gula kortet.
Mark Durnan (Dundee United) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Ryan Edwards (Partick Thistle).
Ersättning, Dundee United. Charlie Telfer ersätter Scott Fraser på grund av en skada.
Försök missade. Ryan Edwards (Partick Thistle) huvud från mitten av rutan missar till vänster.
Försöket räddades. Simon Murray (Dundee United) höger fotade skott från utsidan rutan sparas i nedre vänstra hörnet.
Foul av Scott Fraser (Dundee United).
Steven Lawless (Partick Thistle) vinner en frispark i defensiva halvan.
Försök missade. Willo Flood (Dundee United) höger fotade skott utanför lådan är för hög.
Ersättning, Dundee United. Simon Murray ersätter Cameron Smith.
Substitution, Partick Thistle. Mathias Pogba ersätter Kris Doolan.
Hörnet, Dundee United. Förföljd av Ziggy Gordon.
Hörnet, Partick Thistle. Förföljd av Jamie Robson.
Ersättning, Dundee United. Sean Dillon ersätter Lewis Toshney på grund av en skada.
Foul av Coll Donaldson (Dundee United).
(Partick Thistle) vinner en frispark i anfallshalvan.
Callum Booth (Partick Thistle) visas det gula kortet för en dålig foul.
Tope Obadeyi (Dundee United) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Abdul Osman (Partick Thistle).
Willo Flood (Dundee United) vinner en frispark i defensiva halvan.
Foul av Ryan Edwards (Partick Thistle).
Försöket räddades. Kris Doolan (Partick Thistle) höger fotade skott från utsidan rutan sparas i nedre högra hörnet.
Danny Devine (Partick Thistle) visas det gula kortet för en dålig foul.
Scott Fraser (Dundee United) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Danny Devine (Partick Thistle).
Mål!  Dundee United 3, Partick Thistle 1. Sean Welsh (Partick Thistle) konverterar straffet med en högerfotad skott till mitten av målet.
Coll Donaldson (Dundee United) visas det gula kortet.
Straffet medgavs av Lewis Toshney (Dundee United) efter ett brott i straffområdet.
Straffet Partick Thistle. Chris Erskine drar ett brott i straffområdet.
Willo Flood (Dundee United) visas det gula kortet för en dålig foul.
Foul av Willo Flood (Dundee United).
Cammy Smiths hatt-trick inom 20 första-halv minuter såg Championship sida Dundee United slå Partick Thistle för att nå League Cup kvartsfinaler.