Mourne County var 4-1 outsiders för deras semifinal mot Monaghan men clinched en 1-14 till 0-15 seger.
"Jag är säker på att om vi går dit och uttrycker oss och spelar hårt, har vi en realistisk chans att bli Ulster mästare", säger Burns.
"Men vi vet att det kommer att bli en enorm uppgift."
1991 och 1994 All-Ireland medaljör Burns uthärdade en torr start på hans Down management stint som hans sida förlorade 11 raka tävlingsspel innan en anmärkningsvärd flykt handling tidigare i år såg dem undvika en andra på varandra följande liga relegation som de förblev i Division Two.
"När jag tog över jobbet visste jag att det skulle bli tuffa tider framför mig. Jag hade förberett mig för det, men ibland fanns det en hel del otillbörlig kritik mot laget," tillägger Down boss.
"När jag tog jobbet, jag förlorade kanske åtta eller 10 spelare och de var de mest erfarna spelarna i panelen.
"Så du börjar från början som sådan. Du måste starta och bygga en panel och du tar in unga och oerfarna spelare som kan ha spelat på mindre och under 21 nivå.
"Det finns ett stort steg upp från under 21 till att behöva spela på högre nivå. Men vi arbetade bort, vi höll våra huvuden nere, vi introducerade en hel del spelare och bollen börjar rulla i rätt riktning för oss."
Burns tror att den avslutande ligan dra i Cork som höll nere i Division Two som Derry och Fermanagh lidit nedgången var ett viktigt ögonblick i hans lags utveckling.
"Vi visste att vi skulle behöva få något när vi var där nere och det var länge sedan Down hade fått något i Cork.
"Vi hade en tuff andra hälft med dem men vi kämpade ut det och resultatet höll oss i Division Two och gav oss en plattform att bygga vidare på i ledningen till mästerskapet."
Trots att undvika fall för att gå Armagh i Division Three, Down fortfarande gick in i Ulster derby mot Orchard County den 4 juni som underdogs men Mournemen producerade en komponerad andra halvan visning för att tjäna en välförtjänt 0-15 till 2-7 seger.
"Vi visste om vi uppträdde den dagen att vi hade en enorm chans att slå Armagh. Det resultatet gav oss ett stort uppsving och sedan hade vi en annan stor seger mot Monaghan."
Burns sakliga beskrivning av belies den känsla han visade vid den slutliga visselpipan av den provinsiella semifinalen i Athletic Grounds när han känslomässigt omfamnade Down county sekreterare Sean Og McAteer.
"Jag tror att det finns ett par bilder av mig kramar honom. Det var bara bra att ge spelarna en möjlighet att spela i en Ulster Final. Spelarna hade tagit stöten av kritiken när vi kämpade efter att jag tog på jobbet. "
När det gäller söndagens final, Burns vet mycket väl att hans sida är ännu större underdogs än i sina två senaste spel.
"Tyrone är laddad med mycket erfarenhet och talang. De spelar i Division One och hade en bra liga kampanj i år.
"De har spelat i Croke Park de senaste fyra eller fem åren så ja det kommer att bli mycket svårt för oss.
"Men vi har en hel del självtro och inre styrka som vi kommer att behöva gräva i och använda för att kämpa hårt om vi ska få ett resultat."
Down manager Eamonn Burns tror att hans sida är kapabel att orsaka ytterligare en chock genom att slå innehavare Tyrone i söndagens Ulster Football Final.