Fastighetsmäklaren George Low, 22, från Dartford, knivhöggs i halsen nära en nattklubb i Ayia Napa på söndagen.
Cypriotiska polisen sa att ett gräl bröt ut efter att de påstådda angriparna tog avstånd från två brittiska män som urinerade på gatan.
En tändsticka sägs ha brutit ut innan mr Low och hans vän Ben Barker, 22 år, knivhöggs.
Mr Barker hade knivsår i ryggen i attacken på Grigori Axfentiou Street, men överlevde.
Arresteringsorder har utfärdats för två turkcypriotiska män, Mehmet Akpinar, 22, och 42-årige Sali Ahmet.
Polisen har också utfärdat en häktningsorder för en tredje man misstänkt för att ha hjälpt de misstänkta att fly till den turkisk-hållna norra delen av semesterön.
En 48-årig grekcypriotisk kvinna har häktats misstänkt för medhjälp till mord.
George Economou, biträdande polischef i regionen Famagusta, sade att officerare hade fått höra att de två brittiska männen urinerade på gatan och att två turkcypriotiska män uppmanade dem att inte göra det offentligt, vilket ledde till att ett gräl bröt ut.
Han sa att 11 minuter senare återvände männen med en kniv.
Gruppen kände inte varandra i förväg, tillade Eduardo Economou.
Han sa att polisen fortsatte att leta efter övervakningskameror för att försöka spåra vägen de misstänkta tog för att fly.
Kontrollstationer och flygplatser har satts i beredskap, tillade han.
Den kvinna som har tagits i förvar i väntan på ytterligare undersökningar - men som inte har åtalats - sägs vara Akpinars flickvän och anklagas för att ha tagit honom ett par nya kläder och hämtat sin mobiltelefon.
En tingsrätt i Larnaca häktade henne i åtta dagar.
Mr Lows mamma, Helen, 47, har sagt att hennes son, en före detta klubbchef på orten, inte var en aggressiv person och hade helt enkelt varit "på fel plats vid fel tidpunkt".
Hon sa att han och Mr Barker skulle flyga hem senare samma dag.
En brittisk semesterfirare som knivhöggs till döds på Cypern var inblandad i en rad om att urinera offentligt, har polisen sagt.