Richard Cushworth och hans fru Mercedes Casanella säger att ett DNA-test bekräftar att pojken de uppfostrar inte är deras son.
Lokala medier säger att deras barn nu har hittats, efter att ha testat andra barn födda på sjukhuset samma dag.
Läkaren, som förnekar varje orätt handling, åtalas av myndigheterna.
Vid en utfrågning i det centralamerikanska landet på måndagen avgjorde en domstol målet mot Dr Alejandro Guidos bör gå vidare och slog fast att han inte kunde lämna landet. Den beordrade också att ett nytt DNA-test skulle utföras efter en begäran från dr Guidos advokater.
Cushworth och Casanella, som deltog i utfrågningen, reste ursprungligen till El Salvador i maj för att föda barn i sin mors hemland.
Men miss Casanella säger att hon blev misstänksam eftersom hudfärgen på barnet hon fick för att ta hem var mörkare än pojken hon såg efter förlossningen och deras egenskaper var annorlunda.
När paret återvände till sitt hem i USA bestämde de sig så småningom för att ha ett DNA-test som de säger bekräftade att barnet inte var deras.
Cushworth, som ursprungligen kommer från West Yorkshire, sade: " Gud har gett oss detta barn och på något sätt har någon tagit honom ifrån oss, och vi vill ha honom tillbaka.
"Det är en hemsk situation för mig, för henne (hans fru) för min familj, hennes familj. Ett barn är en upplevelse du har för en livstid... detta är en livslång skada som är mycket, mycket djup, och det är hemskt. "
Francisco Meneses, parets advokat, sade: "Vi har ingenting emot de människor som var inblandade under barnets födelse, men vi vill att alla dessa människor att lägga händerna på sina hjärtan eftersom från läkaren som utförde operationen, barnläkare, narkosläkare, och de två sjuksköterskor som var i förlossningsrummet, det är mycket viktigt för dem att berätta för oss vad som hände."
Casanella säger att hon är beredd att fortsätta att ta hand om Jacobs barn om hans mor inte kan hittas. Hon säger att hon inte söker ekonomisk ersättning men att hon inte kommer att vila förrän hon får sitt barn tillbaka.
En brittisk far och hans hustru har anklagat en läkare på ett sjukhus i El Salvador för att byta ut sin nyfödde son på begäran av barnhandlare.