Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Endast 12.2 overs var möjligt i två trollformler, under vilken Sri Lanka framskred från 32-0 till 78-1 i jakt på en notional 362 för att vinna.
Kaushal Silva var den enda Wicket att falla, lbw till James Anderson, innan pjäsen avblåstes vid 17:10 BST.
En 5-matchs endagsserie börjar den 21 juni, följt av ett tjugo20-tal.
Dimuth Karunaratne slutade unbeaten på 37, medan Kusal Mendis gjorde 17 inte ute, slå Joe Root för sex av den sista bollen i matchen.
Med båda sidor tar två poäng från dragningen - Sri Lankas första i 17 Tests - England leda 10-2 i den inledande "Super Series". Det finns 12 poäng tillgängliga i limited-over serien.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
För alla Englands frustration över vädret på måndag, kan de ta åt sig äran för det effektiva sätt på vilket de fullbordade en 2-0-serie seger över en oerfaren Sri Lanka sida exponeras av förtidiga sommarförhållanden.
Jonny Bairstows återkomst på 387 körningar var 95 fler än nästa bästa fladdermöss och befäste sin plats i mitten, medan Alex Hales tog ett stort steg mot att säkra öppningens kaj med i genomsnitt 58.
Men Englands framgång grundades på styrkan av deras attack, ledd briljant av James Anderson med 21 wickets på mindre än 11 styck.
Stuart Broad drag av 12 wickets var bättre endast av Anderson, Chris Woakes producerade sitt test bäst med fladdermus och boll efter att ha ersatt den skadade Ben Stokes, och Steven Finn antydde en välkommen återkomst till form på Lord's.
England kan hålla alla utom en av de nio troféer som erbjuds mot länder i bilaterala serier, men det finns fortfarande skäl till oro för tränare Trevor Bayliss.
Deras topporderkollapser kommer fortfarande att utrotas - de har förlorat sina första fyra wickets innan de nått 100 fem gånger under de senaste sju innings.
Sökandet efter en pålitlig nummer tre fortsätter efter Nick Compton hanterade bara 51 körningar i fem innings, och det återstår att se om James Vince, som gjorde endast 54 körningar på 13,5, kommer att behållas på nummer fem för Pakistan serien senare i sommar.
Trots 19 fångster - ett rekord för en wickekeeper i en tre-Test serie - Bairstow handskarbete har starkt kritiserats tack vare tre droppar och en missade stubbning.
Englands kapten Alastair Cook: " Det skulle ha varit en riktigt bra dags cricket. Det skulle ha varit bra att se våra killar under lite press. "
Sri Lanka skeppare Angelo Mathews: "Det skulle ha varit en intressant jakt men vädret avbröt. Vi ville satsa på det."
Mannen i matchen och mannen i serien Jonny Bairstow: " Det kändes som om jag hade några personer att bevisa fel. Den här serien och i Sydafrika tror jag att jag har gjort det."
Före detta England fladderman Geoffrey Boycott och Test Match Special: " Nummer tre, Compton, och Finns bowling är uppe för debatt.
"Om Stokes inte passar, kommer Finn att överleva." Om Stokes är i form, har Woakes utbött Finn. Compton har två fyra dagars matcher för Middlesex och jag vet inte åt vilket håll de väljer."
England nekades chansen att trycka på för en serie vitkalkning över Sri Lanka när regnet förstörde sista dagen av det tredje provet på Herrens.