Dan Lawrence (75) och Adam Wheathers (64) 127-drivna partnerskap hjälpte Essex att skapa en plattform innan de alla var ute för 295, efter att ha återupptagit på 120-4.
Middlesex, även med hjälp av Toby Roland-Jones 3-81, valde att inte genomdriva uppföljningen, trots att 212 ligger före.
Sam Robson slog 77 och Nick Gubbins 64 som värdarna förklarade på 239-3, och Essex slutade 19-0 jaga 452 för att vinna.
Med tanke på prognosen för regn den sista dagen, beslutet att inte sätta Essex tillbaka i fladdermus igen var förvånande. Robson och Gubbins byggde dock på sina första innings århundraden för att säkerställa bästa möjliga chans till seger om vädret håller ut.
Efter att ha avskedat före detta England kapten Alastair Cook billigt på dag två, Roland-Jones tog sin tredje wicket av matchen med den 14: e bollen på den tredje morgonen, som Ravi Bopara fångades på tredje slip, fortsätter hans stackars slagform denna säsong.
Det förde Wheafer till vecket, och tillsammans Lawrence paret släpade Essex bort från ett katastrofalt svar på Middlesex 507-7 deklarerade, men Wheafer var så småningom ut till en lysande enhänt tumlande fångst av Stevie Eskinazi på fyrkantigt ben för att minska besökarna till 253-6.
Ryan ten Doschate (20) fångades sedan plump lbw av Tim Murtagh, Simon Harmer slog en bred boll till Eskinazi händer, och Lawrence och Neil Wagner avfärdades av Finn (4-51) som de sista fyra wickets tumlade i nio overs.
I en takt av mer än sex kör en over, Middlesex dundrade till en ledning av 451, tack vare Robson, Gubbins och kollega förstainnings centurion Eskinazi, som slog 62 i 34 bollar, går till hans femtio med tre på varandra följande sexor in i Grand Stand utanför Jamie Porter.
Essex mötte sex overs sent på dagen och öppnaren Nick Browne överlevde ett skrämsel när Ollie Rayner släppte honom på andra glid av Roland-Jones när han var på åtta.
Middlesex huvudtränare Richard Scott berättade för BBC Radio London:
"Vi bestämde oss för att inte genomdriva uppföljning eftersom våra bowlare hade skickat ner nästan 100 overs i deras första innings.
"Vi ville ge dem en sessionsvila så att de kunde komma tillbaka starka och även få chansen att bowla färskt på morgonen.
"Våra fladdermöss gjorde faktiskt lysande för att öka poängsättningen och ge oss en ledtråd på 450 i tid för oss att ha sex overs på dem innan stubbar."
Essex Wicketkeeper-batsman Adam Wheater berättade för BBC Radio Essex:
"Vi försökte bromsa poängsättningen i deras andra innings men deras topp tre alla spelade riktigt bra.
"Med den lilla gränsen på ena sidan är det svårt att försvara den.
"Vi måste bara slå bra den sista dagen och man vet aldrig vad som kan hända."
Steven Finn tog fyra wickets när Middlesex fortsatte att dominera mot Essex på dag tre på Lord's.