I en intervju med Empire hävdade skådespelaren och f.d. Kalifornien guvernör att låga betyg berodde på president Trumps kredit som verkställande producent.
Han sa att han skulle vilja jobba "på en show som inte har det här bagaget".
Trump twittrade dock att Schwarzenegger "inte frivilligt lämnar".
Han sade att skådespelaren var "avfyrad av sina dåliga (patetiska) tittarsiffror", och tillade att det var en "sad end to [en] stor show" - som refererar sin egen tidigare anställning som dess presentatör.
När raden trappades upp svarade Schwarzenegger: "Du bör tänka på att anställa en ny skämtförfattare och en faktakontroll."
Presidenten - som lämnade showen för att ställa upp i Vita huset - har tidigare förlöjligat sin efterträdare i tv-rummet.
I fredagens intervju hävdade Schwarzenegger att en anti-Trump social media kampanj hade påverkat tittarsiffrorna för showen, som han debuterade i januari.
"När folk fick reda på att Trump fortfarande var inblandad som verkställande producent och fortfarande fick pengar från showen, sedan hälften av människor [började] bojkotta det," sade den tidigare Mr Universe.
"Det handlar inte om showen... eftersom alla jag sprang in kom fram till mig och sade, "Jag älskar showen... men jag stängde av den eftersom så fort jag läste Trump namn jag är därifrån! "
"Det är en mycket splittrande period nu och jag tror att denna show fastnade i all den division," sade han, tillade att han skulle avböja om han blev ombedd att vara värd igen."
Herr Schwarzenegger har ofta råkat i konflikt på Twitter med herr Trump.
Förra månaden på den nationella bönefrukosten i Washington DC, bad Mr Trump hånfullt folk att "be för Arnold... för dessa tittarsiffror".
Han sa att showen hade trängts "i jämförelse med tittarmaskin, DJT", med hjälp av sina egna initialer.
Showen, vars 15: e säsong slutade förra månaden, i genomsnitt färre än fem miljoner tittare per episod.
New York fastighetsmäklare Mr Trump blev ett namn som showens värd för 14 säsonger.
Omkring 20 miljoner amerikaner var regelbundna åskådare under sitt första år innan tittarsiffrorna minskade till sex miljoner för Mr Trump sista episoden.
Arnold Schwarzenegger har lämnat The New Celebrity Apprentice, säger att det har blivit förorenat av Donald Trumps inblandning.