Abdul Kader Mullah hängs för brott mot mänskligheten under 1971 års självständighetskrig med Pakistan.
Hans parti Jamaat-e-Islami kallade den två dagar långa riksstrejken och beskrev rättegången som politiskt motiverad.
Men hans dom välkomnades av hans motståndare.
Skolor och företag stängdes på onsdag. Motorvägarna var tomma och busstrafiken avbröts också, sades det i rapporterna.
Polisen sköt gummikulor och tårgas för att skingra demonstranter i den västra staden Rajshahi, medan demonstranterna kastade tegelstenar.
En man dödades i södra Bangladesh efter att ha blivit slagen av en sten kastad av demonstranter, sade tjänstemän.
Gränsvakter har satts in i huvudstaden för att hantera lag och ordning, BBC: s Anbarasan Ethirajan i Dhaka rapporter.
Dhakas hektiska affärsdistrikt är mestadels övergivna, tillägger vår korrespondent.
Mullah dömdes till livstids fängelse för krigsförbrytelser av en specialdomstol i februari.
Gruppen för mänskliga rättigheter har sagt att domstolen inte uppfyller internationella normer.
Domen på den tiden föranledde arga protester från kritiker som sade att den var alltför mild. Hans anhängare, under tiden, sade anklagelserna var politiskt motiverade
Mullah överklagade sitt livstidsstraff till Bangladeshs högsta domstol, medan staten vädjade om ett hårdare straff.
Krockerna bröt ut på tisdagen efter att domstolen dömt honom till döden.
Många bussar och bilar vandaliserades i den södra delen av Chittagong, säger vår korrespondent.
Krocker har brutit ut över Bangladesh under en strejk kallad av det största islamistiska partiet, en dag efter att en av dess ledare dömdes till döden för krigsförbrytelser.