Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Fans skanderade "Vi vill ha ut Moyesy" när Black Cats förlorade 1-0 till andra kämpar Middlesbrough.
Sunderland är 12 poäng på drift av säkerhet med fem matcher kvar, och kan delegeras under helgen.
Frågade om han skulle gå, Moyes, 54, sa: "Nej, jag är här, jag är chef, du tar det på hakan."
Medan det finns en chans, måste jag fortsätta.
Han tillade: " Jag är fotbollssupporter, jag vet hur det är. Du gillar inte att se ditt team förlora.
"Det finns ingen som vill vinna mer än jag. Jag är van vid att vinna, jag är inte van vid att förlora och jag vill inte vänja mig vid det heller."
Sunderland har misslyckats med att göra mål i 17 Premier League matcher den här säsongen - mer än någon annan sida i ligan.
Spelarna buade iväg på heltid på Riverside, men Moyes - som åtalades av Football Association tidigare på onsdag efter att berätta BBC reporter Vicki Sparks hon kanske "få en örfil" - sade hans lag måste fortsätta.
"Vi njuter inte av det, vi inte njuta av att förlora eller den position vi är i", tillade skotten.
"Kritik är med rätta rätt, men jag skulle inte göra det på kvällens föreställning.
"Medan det finns en chans, måste jag fortsätta och vi alla måste fortsätta."
Sunderland manager David Moyes har motstått samtal från fans för att sluta med sin sida inför nedflyttning från Premier League.