Mr Hunt meddelade sitt beslut att sluta som MP för Stoke-on-Trent Central förra veckan för att bli chef för Londons Victoria och Albert Museum.
Reed lämnar Copelands valkrets för att tillträda en tjänst vid kärnkraftverket i Sellafield.
Parlamentsledamöterna förväntas lämna underhuset i början av nästa vecka.
I sin avskedsskrivelse sade Reed att hans sista handling som parlamentsledamot var "att be" Copeland väljare att stödja Gillian Troughton, en före detta sjukhusläkare och Labours kandidat till platsen.
"Denna by-val handlar om Tory regeringen farliga förslag för NHS", skrev han.
"The Tories har skapat en kris i NHS och som ett resultat av detta är framtiden för West Cumberland Hospital och de tjänster som tillhandahålls av Keswick Hospital under hot."
Fru Troughton, som sade att det var "en ära" att utses av Labour, står inför en hård kamp i West Cumbrian-sätet där hennes partis majoritet över de konservativa sänktes till 2 564 vid det senaste allmänna valet.
Arbetsledare Jeremy Corbyn sade: " Gillian är en kommunalrådsledamot med en stark erfarenhet av att få saker och ting gjorda för sitt samhälle. Hon har outtröttligt kämpat för att upprätthålla lokala sjukhustjänster.
"Som en St Johns blåljus ambulansförare, Gillian har sett vidden av krisen som orsakats av denna konservativa regering, som har valt att finansiera skattesänkningar för de rikaste i stället för vår hälso-och sjukvård."
De konservativa sade att valet var en "seger för den hårda vänstern", och beskrev Catherine Trawington - som röstade för att stanna kvar i EU:s folkomröstning och som en anhängare av kärnkraften - som "inget annat än en Corbyndocka".
Hennes val har emellertid betraktats på annat håll som ett uppsving för moderaterna, eftersom Troughton var en av de 1 000 labourrådsledamöter som undertecknade ett stödbrev till Owen Smith i hans misslyckade försök att avsätta Corbyn som ledare förra året.
Daniel Reed höll Copeland med 16,750 röster (42 %) under 2015, inför de konservativa på 14,686 (36 %), UKIP på 6,148 (15 %) och liberaldemokraterna på 1 368 (3 %).
UKIP har valt NHS-arbetare Fiona Mills för att bestrida sätet. Hon stod i Carlisle vid valet 2015 och kom trea med 12% av rösterna.
"Kopeland röstade 62 % för att lämna EU", sade hon. "Vilket bättre sätt att skicka ett meddelande till regeringen att vi vill ha en full Brexit så snart som möjligt än att returnera en UKIP MP."
Rebecca Hanson har valts att kämpa för liberaldemokraterna.
Labour kommer att välja en kandidat den 25 januari för att bekämpa Stoke-on-Trent Central, i ett urval som utlösts av historikern Hunts utnämning till chef för V&A-museet.
Trots att Corbyn är en traditionell säker plats för labour står han inför en besvärlig tävling i en stad som röstade för ett överväldigande avsked i förra årets EU-omröstning.
UKIP - som ägde rum på andra plats i 2015 års allmänna val - kommer att tillkännage sin kandidat på lördag, i utbredd förväntan att ledare Paul Nuttall kommer att kämpa platsen i hopp om att bli sitt partis andra riksdagsledamot i Commons.
Genom val till följd av labourparlamentsledamöterna Tristram Hunts och Jamie Reeds avgång kommer att hållas den 23 februari, har partiet sagt.