Den 28-årige italienaren, som anslöt sig till Black Cats från Arsenal 2013, skadades under ett träningspass.
Direktör David Moyes sa att han skulle "definitivt" se ut att göra en signering som Jordan Pickford, 22, är hans enda passande senior målvakt.
Moyes tillade att klubben hade lagt ett bud på Sevilla midfielder Vicente Iborra.
28-åringen gick med i Sevilla från Levante 2013 och är en trefaldig vinnare av Europa League.
Moyes sa att Mannones skada ger Pickford "chansen att visa vad han kan göra".
Han tillade: "Han har en stor framtid framför sig."
The England Under-21 International är en produkt av Sunderland akademin och har spelat för en mängd klubbar på lån.
Han gjorde sin seniordebut för Black Cats i en FA Cup slips på Arsenal förra säsongen, innan han gjorde två Premier League framträdanden.
Sunderland målvakt Vito Mannone kommer att vara ute i minst tre månader och kan kräva en operation efter riva armbågsligament.