Hilda Marcel dog 1987 av lungsvikt och hennes man Eugenios dog av prostatacancer sju år senare.
Deras mumifierade kroppar förvarades i en källarvåning i stadens Gilmore Place, som regelbundet besöktes av en son till paret fram till 2002.
Sedan de upptäcktes har kropparna förvarats i stadens bårhus.
Edinburghs kommunfullmäktige har försökt få familjens samtycke att begrava herr och fru Marcel, men detta har upprepade gånger vägrats.
Nu, nästan 30 år efter Marcels död, har rådet lämnat in en framställning till sessionsdomstolen för att söka tillstånd att göra sig av med sina kroppar.
Prof Roderick Paisley från Aberdeen University's Law School sade: " Rättvisans hjul mal långsamt, och de tycks mala otroligt långsamt på just denna likbil.
"Jag tycker att detta borde ha behandlats för tre eller fyra år sedan.
"Jag uppskattar att det finns känsligheter här, men lagen är någorlunda tydlig."
En polisutredning genomfördes när kropparna hittades 2002, men inga åtal väcktes.
Dödsintyg hade utfärdats korrekt och paret hade dött av naturliga orsaker.
Cameron Rose, ledare för den konservativa gruppen i Edinburgh City Council, sa att det var en "extraordinär historia".
Han tillade att det måste finnas "känslighet för familjerna".
Domstolen har nu gått med på att pröva ärendet, även om inget datum ännu har fastställts.
Ett råd har inlett en rättslig åtgärd i ett försök att begrava de mumifierade kropparna av en man och hustru som dog för årtionden sedan i Edinburgh.