Openers Mark Stoneman (93) och Phil Mustard (88) delade en 180-run första-wicket stativ och Scott Borthwick slog en quickfire 63 off 53 bollar som Jets pummelled 340-6 från deras 50 overs.
Ett århundrade mellan Kevin O'Brien (89) och Mark Cosgrove (63) satte rävarna på kurs mot sitt mål.
De var dock begränsade till 329-9, som paceman Jamie Harrison hävdade 4-40.
Tidigare, Mustard såg till att attackera Durham från den första bollen och slog 10 fyror och fyra sexor innan fångas av Kevin O'Brien efter att möta bara 70 bollar.
Stoneman och Borthwick föll senare i snabb följd till Rob Taylor (4-58) som Leicestershire försökte hejda poängsättningen.
Deras svar började katastrofalt när Chris Rushworth bowlade Mark Pettini och Harrison fick Neil Dexter fångad bakom för att reducera dem till 26-2.
O'Brien och Cosgrove delade ett 115-runt tredje vekling partnerskap för att sätta Leicestershire tillbaka i matchen, men den förra togs av Harrison som Durham höll på att vinna.
Leicestershire allrounder Kevin O'Brien sa till BBC Radio Leicester:
"Att komma nära när man jagar en stor total är en besvikelse men vi måste nog skylla på oss själva.
"Tre av oss som kom in, mig själv, Cossie och Niall (O'Brien), om vi är ärliga, vi kastade våra wickets bort vid kritiska tider.
"Om en av oss hade gått på och fått 100, 110, 130, hade vi varit på andra änden av detta resultat."
Durham Batsman Phil Mustard berättade för BBC Newcastle:
"Pitchen idag var lite bättre, vi hade den udda som gjorde lite men som dagen gick, det blev bättre.
"När dina två öppnare fått dig att börja som vi gjorde idag, tror jag att 330, 340 alltid kommer att vara vårt mål.
"Scotty kom in på nummer tre och gjorde ett fantastiskt jobb, och sedan pojkarna i slutet av innings sätta på ett trevligt partnerskap, och bowling var riktigt bra också."
Durham tjänade en smal 11-run seger över Leicestershire i en high-scoring One-Day Cup match på Grace Road.