Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
National League sidan slogs 2-0 av Premier League besökare Arsenal, som är 105 platser ovanför Sutton på engelska fotboll stege.
Hemsidan hade flera chanser, med Adam May slösa en chans och Roarie Deacon träffa crossbaren.
"Detta var vår kopp final", sade Doswell. "Jag är väldigt, väldigt stolt."
50-åringen sa att det var "en dröm" att se hans sidospel Arsenal, som kommer att möta ett annat team - Lincoln City - under de senaste åtta.
"Vi var besvikna över att inte få ett mål för supportrarna här men den överskuggande känslan är stolthet", tillade han.
Sutton, som berömda slog Coventry i FA Cup 1989, hade övervinna ligan sidor AFC Wimbledon och Leeds United på väg till den femte omgången.
Men de kunde inte få det bättre av en Arsenal laget som hade förlorat tre av sina tidigare fyra matcher.
FA Cup saga över för Sutton United - 5 levande podcast
Detta innehåll fungerar inte på din enhet, kontrollera Javascript och cookies är aktiverade eller uppdatera din webbläsare
Sutton höll sin egen mot 12-tidens FA Cup vinnare Arsenal, som är fjärde i Premier League, innan Lucas Perez 26-minuters korsspel gav Arsene Wenger sida ledningen.
Theo Walcotts 100:e mål för klubben förseglade segern på Gander Green Lane.
Wenger, som gjorde sju ändringar i laget slog 5-1 av Bayern München förra veckan, sade Suttons prestation överraskade honom.
"Jag tycker inte riktigt om ikväll eftersom vi absolut var tvungna att göra jobbet och det är svårt", sade han.
"De spelade mycket bra. Det är i grund och botten division fem och när jag kom hit till England för 20 år sedan, i division fem var de inte så vältränade som de var idag.
"De var organiserade och hade en enorm önskan. Om vi inte var mentalt förberedda, skulle vi inte ha gått igenom."
Tidigare Arsenal försvarare Martin Keown blev förvånad över att se Deacon, som kom genom Gunners ungdomssystem, spela på icke-league nivå.
"Du undrar, tittar på Roarie Deacon, om spelet har misslyckats honom", sade han.
"Han borde spela på en högre nivå. Han har bra kvalitet med båda fötterna och han hade verkligen otur med det skottet som träffade baren."
Före detta England strejkaren Alan Shearer sade Sutton spelarna kan vara mycket stolt över sin prestation under hela tävlingen.
"Det har varit en sjuhelsikes löpning", sade han. "Det fanns några mycket, mycket positiva föreställningar där ute."
Sutton Uniteds spelare kommer att "gå ner i historien" trots att missa en plats i FA Cup kvartsfinalen, sade manager Paul Doswell.