Tre konverterade första hälften försök från Cory Hill, Ashton Hewitt och Jason Tovey gav den walesiska sidan en 24-0 ledning vid pausen som inte smickrade dem.
Carl Meyer korsade efter pausen för ett fjärde försök att säkra bonuspunkten.
Paddy Butler, Mosese Ratuvou och Watisoni Votu alla tillagda försök för Pau men drakarna var alltid i kontroll.
Segern lämnar Dragons toppen av Pool Two, två poäng över andra plats Sale Sharks efter deras seger över Castres.
Andra raden Hill lysande individuella försök gav besökarna en tidig ledning, innan en Tovey straff gjorde det 10-0 och sedan Sarel Pretorious "pass såg Hewitt spricka genom en lucka i Pau försvar för att korsa för andra försöket.
Tovey sprang klart efter ett misstag av den franska sidan att lägga till Dragons tredje försök och han korrekt konverterade, innan sparka igenom till Meyer för den fjärde försöket efter pausen.
Med Hill skickas till sin-bin, Pau kapitaliserade att göra mål genom Butler, men de misslyckades med att konvertera och en Tovey drop-goal gjorde det 34-5.
Word Cup-vinnande Nya Zeeland centrum Conrad Smith kom på för sin Pau debut och, kort därefter, Ratuvou pråmade sig över linjen för hemmasidans andra försök.
Fijian Votu lade till en sent tredje poäng men Pau förblir botten av poolen.
Dragons chef för rugby Lyn Jones berättade för BBC Radio Wales:
"Vi är jätteglada. Det var en stor prestation från oss. Det var så bra som vi får
"Vi var ett mycket bättre team än dem och vi förtjänade att komma undan med bytet.
"Vi höll tyst (Colin) Slade och de kunde inte ta itu med oss."
Pau: Damien Traille; Sireli Bobo, Julien Fumat (c), Jale Vatugua, Mosese Ratuvou; Colin Slade, Thierry Lacrampe; Jérémy Hurou, Mehdi Boundjema, Sylvain Charlet; Daniel Ramsay, Julien Pierre; Josefa Ulago Domolalai, Paddy Butler, Brice Monzeglio.
Ersättningar: Quentin Lespiaucq Brettes, Julien Jacquot, Euan Murray, James Coughlan, Sean Dougall, Thibault Daubagna, Conrad Smith, Watisoni Votu.
Newport Gwent Dragons: Carl Meyer; Nick Scott, Adam Hughes, Adam Warren, Ashton Hewitt; Jason Tovey, Sarel Pretorious; Phil Price, Elliot Dee, Lloyd Fairbrother; Cory Lewis Hill, Rynard Landman (c); Nick Crosswell, Nic Cudd, Taulupe Faletau.
Ersättning: Rhys Buckley, Brok Harris, Shaun Knight, Matthew Screech, Ollie Griffiths, Charlie Davies, Dorian Jones, Ross Wardle.
Domare: Andrew Brace (Irland)
Rörande domare: Frank Murphy (Irland), Stuart Douglas (Irland)
TMO: Kevin Beggs (Irland)
Citeringskommissionär: Dave Guyan (England)
Newport Gwent Dragons hade en bekväm bonus-punktsvinst i Pau för att kanta ett steg närmare att nå den europeiska Challenge Cup kvartsfinalen.