Den tidigare Tottenham och Manchester United framåt är en av flera att ha träffat tjänstemän från klubben.
Sheringham, 51, hade en trollformel som ansvarade för League Two Stevenage 2015-16 men sparkades efter 33 matcher.
Swindon kommer att starta nästa säsong i League 2 efter att ha förvisats förra terminen efter att ha vunnit endast 11 av 46 matcher.
Sheringham har varit ur ledningen sedan lämna Stevenage - hans första chefsjobb - i februari 2016 efter att ha vunnit bara sju av sina matcher som chef.
Tidigare Robins boss Luke Williams lämnade sin roll kort efter klubbens nedflyttning bekräftades, efter att ha vunnit två av sina sista 11 liga matcher med honom ansvarig.
Sedan dess har Swindon haft en strategi för Mansfield chefen Steve Evans avböjt, och den 23 maj ordförande Lee Power sade även om processen hade tagit längre tid än väntat de hade en tre-personers lista.
Som en del av strukturella förändringar på County Ground, chef för fotboll Tim Sherwood roll verkar vara sannolikt att skrotas.
Swindon vann bara sju av 31 matcher efter tidigare Tottenham och Aston Villa boss Sherwood ankomst i november 2016.
Före detta Englandstrejkaren Teddy Sheringham höll samtal med Swindon Town på torsdag om chefsjobbet på League Two klubben.