Den tunisiska inrikesministern sade att de tre, mellan 18 och 27 år, var medlemmar i en "terroristcell", och att de hölls fängslade över en natt.
Tunisiskfödde Amri, 24 år, sköts ihjäl av polisen i närheten av den italienska staden Milano under de tidiga fredagstimmarna.
Måndagens lastbilsattack på marknaden gjorde att 12 personer dog och 49 skadades.
I inrikesdepartementets uttalande sade Amris brorson - sonen till hans syster - hade erkänt att han hade kommunicerat med sin farbror via det krypterade chattprogrammet Telegram för att undvika säkerhetsövervakning.
Det sades att cellen med tre medlemmar hade varit verksam i städerna Fouchana, utanför Tunis, och Oueslatia nära Abris hemstad Kairouan, omkring 150 kilometer söder om huvudstaden.
Uttalandet tillade att Amri hade skickat pengar till sin brorson för att resa till Tyskland och gå med i en jihadist grupp, och uppmuntrade honom att svära trohet till den så kallade islamiska staten (IS) gruppen.
Under tiden undersöker underrättelsetjänsterna i Spanien en möjlig internetkommunikation mellan Amri och en spansk invånare den 19 december berättade inrikesminister Juan Ignacio Zoido för radiostationen COPE.
Tunisien har pressats att reformera sin säkerhetssektor sedan landet drabbades av en rad dödliga attacker av IS-aktivister 2015.
Med hjälp av länder som Tyskland och Storbritannien har insatserna mot terrorism och gränssäkerhetshanteringen förbättrats avsevärt, och landet har inte bevittnat någon större terroristattack i år.
Men dess medborgare har varit inblandade i några av de dödligaste attackerna mot Europa i år. Angreppen i Nice, och senare i Berlin, genomfördes av tunisier som hade flyttat till Europa långt innan IS existerade, och inte heller verkade ha några islamistiska band innan de lämnade sitt hemland.
De senaste arresteringarna visar att även om landets medborgare radikaliseras utomlands kan detta också bidra till att andra ansluter sig till deras led härifrån. Detta är fortfarande ett land som bidrar med det största antalet militanter i regionen, och myndigheterna här har inte kommit på hur man ska sätta stopp för det.
I dag står den också inför möjligheten att tusentals försöker komma tillbaka hit, eftersom IS förlorar mark i några av sina största fästen i regionen. Folk oroar sig för att staten är dåligt förberedd för att hantera denna tillströmning, och det finns en oro över det hot som denna hotande verklighet utgör på hemmaplan.
På fredag, IS släppt en video som visar Amri förbinder lojalitet till sin ledare Abu-Bakr al-Baghdadi.
Amri sköts ihjäl efter att ha öppnat eld mot poliser under en rutinkontroll i Milanos förort Sesto San Giovanni, efter en tre dagar lång människojakt i Europa.
Sommaren 2015 sades det i en FN-rapport att uppskattningsvis 5 500 tunisier - oftast ungdomar mellan 18 och 35 - kämpade i leden av terroristorganisationer i Libyen, Irak, Syrien och, i mindre utsträckning, Mali.
I november i år sade inrikesdepartementet i Tunis att omkring 800 soldater hade återvänt till landet.
Tunisiska säkerhetsstyrkor har arresterat brorsonen till Berlins marknadsöverträdare Anis Amri och två andra misstänkta, säger tjänstemän.