Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Storbritannien ledde Nya Zeeland 21-0 vid halvtid och klängde sig fast när All Blacks svarade med tre andra hälften försök.
De fortsätter att möta Argentina i kvartsfinalen klockan 22:00 BST.
Nya Zeeland var i fara att gå ut men kvalificerade efter Fijis 24-19 seger över USA, och All Black Sevens kommer att spela Fiji i de senaste åtta.
Den andra kvartsfinalen kommer att se Japan ta sig an Frankrike och Sydafrika spela Australien.
Storbritanniens män siktar på att säkra en medalj i Rio, efter att ha sett kvinnors lag spela så bra för att nå semifinalen, sedan missa på brons efter en 33-10 nederlag av Kanada i tredje plats match.
Nya Zeeland, under tiden, har haft en svår turnering, med 15-a-side World Cup vinnare Sonny Bill Williams uteslutas ur OS efter delvis rupturing en akilles sena under All Blacks Sevens chock 14-12 nederlag av Japan.
The All Blacks Sevens klarade sig bara fram till de sista åtta som en av de två bästa tredjeplaceringarna i gruppscenen.
Prenumerera på BBC Sport nyhetsbrev för att få vårt tips på nyheter, funktioner och video skickas till din inkorg.
Storbritanniens män slutade toppen av Pool C i OS rugby sjuor genom att slå Nya Zeeland 21-19 för att göra det tre segrar från tre matcher.