Värdarna, som återupptog på 23-0 på Oval behov 230 springer för att undvika en innings nederlag, förlorade Rory Burns för 18.
Kumar Sangakkara (84 inte ute) delade med Arun Harinath (57) ett sekels tredje veklingsstånd innan det senare fångades bakom Sean Ervine.
En regndusch såg spelarna tas av vid 16:00 BST, med Surrey på 248-3 och spela avbröts.
Surrey är nu 27 poäng bakom ledare Middlesex med bara en match kvar, medan Hampshire är sex poäng från säkerhet, men Lancashire och Durham ovanför dem har ett spel i handen.
Om Durham och Lancashire tar upp ett betydande drag av poäng nästa vecka, kan striden om den slutliga nedflyttningen plats vara mellan Hampshire och Warwickshire, som separeras med åtta poäng med en match kvar vardera.
Med Hampshire söker 10 wickets den sista dagen, Brad Wheal följde upp Liam Dawson tidiga uppsägning av Burns genom att ta bort Dominic Sibley för 44, fångas bakom.
Men på en platt pitch Sangakkara förblev oberörd, når hans sjunde Championship halv-talet av säsongen har nått åtta gränser.
Steven Davies 57-run obruten fjärde vekling partnerskap med den tidigare Sri Lanka fladdermössen såg Surrey krypa mot att ta ledningen i den sista sessionen av spel innan regnet ingrep.
Surrey skeppare Gareth Batty berättade för BBC Radio London:
"Det kommer att finnas människor som kommer att säga att efter de fyra första sessionerna i spelet planen dog och det fanns inte mycket (i det) för någon.
"Bra kommentar, men du har fortfarande att rida ut dessa trycksituationer.
"Hampshire satte oss på den bakre foten genom att gå så långt framåt, och göra det så att vi var det enda laget som kunde vara på fel ände av resultatet.
"Karaktären som visades var fantastisk. På det hela taget, att gå iväg med en dragning är inte ett särskilt dåligt resultat."
Hampshire kapten James Vince berättade för BBC Radio Solent:
"Vi ställde upp spelet fint för idag och bowlarna fast vid det riktigt bra och hade otur att inte ha några fler wickets.
"På en wicket där det snurrade ur grov, de har vänster-handers, om vi hade kunnat få en eller två fler i den mittersta sessionen, Jag skulle ha backat oss att gå på och vinna den.
"Vi måste se hur nästa vecka utvecklas och sedan göra en plan går in i Durham spelet (i den sista veckan).
"Vi lever fortfarande, tror jag."
Surreys små chanser att vinna Division One-titeln slutade när de ritade med "delegation-hotade Hampshire".