Top-flight Boro tog ledningen i nionde minuten när David Nugent gick på debutant Fabios back post cross.
Cauley Woodrow nekades av Brad Guzan för värdarna strax efter Julien de Sart oavsiktligt avled Scott Malones strejk i sitt eget nät.
Lasse Vigen Christensen vände sig mot Malones låga kors för att få en plats i omgång tre.
De vita tar sig an Bristol City i omgång tre.
Fulham manager Slavisa Jokanovic:
"Jag hade ingen plan att lämna Fulham.
"Om jag klagar på något är det för att jag vill det bästa för mitt lag, mina lagkamrater, supportrarna också och jag var mycket tydlig vad är min åsikt om denna situation och det är det.
"Jag är fortfarande i samma position och tror att vi behöver fler människor för att bli starkare i framtiden."
Middlesbrough boss Aitor Karanka:
"Jag är besviken eftersom jag sa innan spelet denna trofé är mycket viktigt för klubben.
"Jag måste be vår publik om ursäkt eftersom de kom hit mitt i veckan och det är en viktig trofé för denna klubb, vi respekterar denna trofé mycket. Så detta har varit svårt."
Matchändar, Fulham 2, Middlesbrough 1.
Andra halvtiden tar slut, Fulham 2, Middlesbrough 1.
Foul av Matt Smith (Fulham).
Ben Gibson (Middlesbrough) vinner en frispark i anfallshalvan.
Försöket räddades. Alex Baptiste (Middlesbrough) header från vänster sida av rutan sparas i övre mitten av målet.
Jesse Joronen (Fulham) vinner en frispark i anfallshalvan.
Föl av David Nugent (Middlesbrough).
Försök blockerat. Julien de Sart (Middlesbrough) höger fotade skott utanför lådan är blockerad.
Mål!  Fulham 2, Middlesbrough 1. Lasse Vigen Christensen (Fulham) vänster fotade skott från mycket nära håll till nedre vänstra hörnet. Hjälpt av Scott Malone.
Försök missade. Julien de Sart (Middlesbrough) höger fotade skott utanför lådan är bara lite för hög.
Försök blockerat. Julien de Sart (Middlesbrough) höger fotade skott utanför lådan är blockerad.
Försening i match Tayo Edun (Fulham) på grund av en skada.
Andra halv extra tid börjar Fulham 1, Middlesbrough 1.
Första halvtiden slutar, Fulham 1, Middlesbrough 1.
Försök blockerat. Sean Kavanagh (Fulham) vänster fotade skott från höger sida av lådan är blockerad.
Försöket räddades. David Nugent (Middlesbrough) höger fotade skott från vänster sida av lådan sparas i mitten av målet.
Substitution, Fulham. Luca De La Torre ersätter Jozabed.
Försök missade. Matt Smith (Fulham) header från mitten av lådan är bara lite för hög.
Försöket räddades. Jozabed (Fulham) höger fotade skott från utsidan boxen sparas i mitten av målet.
Försök blockerat. Adam Forshaw (Middlesbrough) höger fotade skott utanför lådan är blockerad.
Foul av Matt Smith (Fulham).
Adam Clayton (Middlesbrough) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Substitution, Fulham. Matt Smith ersätter Cauley Woodrow.
Försening i match Cauley Woodrow (Fulham) på grund av en skada.
Försök missade. David Nugent (Middlesbrough) vänster fotade skott utanför lådan är bara lite för hög.
Första halvtiden börjar Fulham 1, Middlesbrough 1.
Andra halvlek, Fulham 1, Middlesbrough 1.
Substitution, Middlesbrough. Cristhian Stuani ersätter George Friend på grund av en skada.
Foul av Ryan Tunnicliffe (Fulham).
Nsue (Middlesbrough) vinner en frispark i anfallshalvan.
Försening över. De är redo att fortsätta.
Försening i match George Friend (Middlesbrough) på grund av en skada.
Försök missade. Stewart Downing (Middlesbrough) vänster fotade skott från utsidan boxen är bara lite för hög från en direkt frispark.
Foul av Dennis Adeniran (Fulham).
Stewart Downing (Middlesbrough) vinner en frispark i anfallshalvan.
Hörnet, Fulham. Sammankallad av Ben Gibson.
Jozabed (Fulham) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Daniel Ayala (Middlesbrough).
Substitution, Middlesbrough. Adam Forshaw ersätter Viktor Fischer.
Richard Stearman (Fulham) visas det gula kortet för en dålig foul.
Championship sida Fulham kom bakifrån för att slå ut Middlesbrough i EFL Cup andra omgången.