Barnet, som tas om hand på Edinburgh Royal Inservary, har fått namnet Charlotte efter poliskvinnan som följde henne till sjukhuset.
Baby Charlotte väger 2,6 kg (5,7 kg) och alla rutinmässiga kontroller av nyfödda har utförts.
Hon upptäcktes av en förbipasserande i Hailesland Park klockan 12:55 på torsdag.
Lawrence Liddell, 59, från Hailesland Park, berättade för BBC Scotland hur han fortfarande var chockad efter att ha hittat Charlotte.
Han sade: " Min vän och jag såg en baby ligga på bänken helt inlindad i väntan på att bli funnen, det såg ut som, eftersom hennes filt hade blivit hopfälld i en huva och bunden med en båge.
"Det var en total chock och allt känns surrealistiskt redan nu.
"Vi tog henne till concierge, som var den närmaste varma platsen, och ringde polisen.
"Från vad jag kunde se barnet var bra, hon var kärleksfullt lindad och jag hoppas bara att mamman är ok.
"Vi letade efter mamman, men vi kunde inte hitta henne."
Uppmaning till "baby boxes" för övergivna nyfödda
NHS Lothian sade också att tester har utförts på baby Charlotte för att utesluta infektion inklusive Grupp B Strep.  Som en försiktighetsåtgärd behandlas Charlotte med antibiotika.
Maria Wilson, NHS Lothians främsta barnmorska, sade: " Baby Charlotte har haft en trevlig kväll och mår bra.
"Vår personal fortsätter att ta hand om henne och vi hoppas att mamman och barnet kan återförenas.
"Jag vill inte att mamma ska känna sig rädd för att kontakta oss eftersom vi behandlar allt konfidentiellt.
"Jag tror att de saker vi skulle vilja kontrollera är att hon inte blöder eller att hon inte har någon infektion eller några problem efter födelsen av sitt barn som hon behöver hjälp med."
Baby Charlotte troddes inte vara mer än en dag gammal när hon hittades.
Polisen kollar övervakningsbilder från området där Charlotte hittades.
En nyfödd flicka som hittades övergiven på en gatubänk i Edinburgh "gör bra", sjukhuset har bekräftat.