Solomon Dacres slog Marin Mindoljevic på York Hall i London efter att den sammanlagda poängen var bunden vid 5-6.
Lejonhjärtan spårade 3-2 från första benet i Paris.
Will Cawley vann den andra benöppnaren och segrar följde för Calum franska och Andras Vadasz innan fransmännen kämpade tillbaka för att tvinga beslutsfattaren.
Brittiska Lejonhjärtan vann en dramatisk slipsbrytare för att besegra Frankrike Fighting Roosters och nå World Series Boxing semifinaler.