Faletau 28, har tre mössor för sitt land och kommer att anlända från mästerskapsklubben Yorkshire Carnegie.
Fellow prop Cosgrove, 22, är en före detta Skottland Under-20 internationell som också är berättigad att spela för England, och kommer att anlända från Pro12 outfit.
"Mästerskapet har några utmärkta spelare och Sione är i sin bästa," sade tillfälliga Bristol boss Mark Tainton.
"Båda spelarna var imponerade av att det finns en tydlig förståelse för vad vi vill uppnå, och de är ivriga att vara en del av det."
Bristol är botten av Premiership, sju poäng från säkerhet med fem matcher kvar.
Bristol har tecknat Tonga internationella Sione Faletau och Edinburgh Jack Cosgrove för nästa säsong.