Bråket på lördagen började efter att familjerna protesterade mot att foton togs, säger vittnen. Stenar och flaskor kastades.
Enligt rapporter var några av bråkstakarna beväpnade med stridsyxor och harpuner.
Unrest fortsatte på söndagen vid en protest i den regionala huvudstaden.
Chefen för den regionala ledningen, Gilles Simeoni, har vädjat om lugn.
Händelsen ägde rum på en bäck nära byn Sisco på övre Korsika.
Spänningen har ökat i sommar mellan lokala samhällen och muslimer av nordafrikanskt ursprung i södra Frankrike, särskilt efter massakern på 85 personer av en lastbilschaufför i Nice den 14 juli.
I slutet av förra månaden varnade en fredlös korsikansk paramilitär grupp islamistiska militanter för att rikta in sig på sin ö.
Tidigare denna vecka förbjöd resortstaden Cannes kontroversiellt den islamiska baddräkten för kvinnor, burkinin.
Tre av de skadade har släppts från sjukhuset i Bastia och de andra två skulle snart skickas hem, sade åklagare i ett uttalande (på franska).
De beskrev bråket som ett "stort våld".
Franska medier rapporterar att problemet började runt 18:15 (16:15 GMT) när turister tog bilder av kvinnor badar. Enligt rapporter bar kvinnorna burkinis.
Ange Vivoni, borgmästare i Sisco, berättade för reportrar att när en lokal tonåring knivhöggs "tog sig offrets familj och alla Siscos invånare samman".
Enligt tidningen Le Figaro (på franska) hade några av de äldre männen i badgruppen angripit en grupp tonåringar på stranden med stridsyxor.
När tonåringarnas föräldrar kom från byn, uppges två av dem ha skadats av harpuner. Byborna påstås då sätta lätta bilar som tillhör badarna.
En annan fransk dagstidning, Le Monde, rapporterar (på franska) att en man skadades två gånger av en harpun efter det att hans son hade blivit misshandlad. Stenar och flaskor kastades också.
Två pappor från badfesten skadades också under bråket, tillägger tidningen.
Enligt tidningen Le Monde är alla de tre som är inblandade i bråket muslimer.
Inrikesminister Bernard Cazeneuve fördömde våldet och vädjade också om lugn.
Hundratals människor protesterade i Bastia, på väg mot ett bostadshus, där några av dem som var inblandade i lördagens slagsmål sägs leva.
Man kunde se upploppspoliser trycka tillbaka dem och tårgas avfyrades enligt uppgift när stenar kastades.
Ett strandbråk på den franska ön Korsika mellan tre familjer av nordafrikansk härkomst och ungdomar på orten har gjort fem skadade och tre bilar utbrända, säger regionala åklagare.