I april inledde myndigheten ett sökande efter organisationer för att driva anläggningarna, bland annat Wales enda fungerande väderkvarn och ett viktorianskt fängelse.
Rådet sa att budgetnedskärningar hade tvingat den att ge upp attraktionerna.
Endast en organisation har hittills uttryckt intresse.
Beaumaris tingshus och gaol, och Melin Llynnon och dess gamla rundhus, nära Llanddeusant, drivs för närvarande av rådets museer och kulturservice.
Angleseys lärarchef, Delyth Molyneux, sade: "Med tanke på de betydande ekonomiska påfrestningarna och det faktum att dessa platser inte ingår i en lagstadgad tjänst, finns det en verklig möjlighet att de måste malas eller stängas helt och hållet om ingen annan kan hittas att köra dem."
Politiker hade uttryckt oro domstolen och gaol kunde säljas till utvecklare.
Beaumaris stadsfullmäktige Jason Zalot sa att en underkommitté hade inrättats för att undersöka hur Beaumaris gaol och tingshuset skulle skötas.
"Det är ett stort åtagande för oss. Men kom ihåg att kommunfullmäktige redan har tagit över förvaltningen av toaletterna.
"Vi har bevisat att vi kan arbeta hand i hand med rådet."
Llynnon är för närvarande stängt och både Beaumaris tingshus och mål är öppet på helger och under kommande halv termin semester.
Rådets ledare Ieuan Williams sade att rådet skulle göra sitt bästa för att stödja "intresserade parter" för att säkerställa en smidig överlämning "eftersom framgången för dessa attraktioner är mycket viktig för oss".
Några av norra Wales viktigaste kulturarv platser kan stänga om ingen hittas att ta över dem, Anglesey rådet har varnat.