Hennes avdelning föreslog att skolor skulle kunna dra tillbaka platser som erbjöds barn om deras familjer befanns bo olagligt i landet.
Inrikesministeriet ville också att skolorna skulle genomföra invandringskontroller.
Skuggutbildningssekreterare Angela Rayner sa att planen var "avskyvärd".
"Inte regeringens politik"
Chief Inspector of schools Sir Michael Wilshaw sade att han var "amazed och chockad" av påståendet - medan Liberaldemokratisk utbildnings talesman John Pugh avfärdade det som "en smutsig liten idé".
Men invandringsminister Robert Goodwill insisterade på att deprioritering av skolor för barn till människor i Storbritannien olagligt är "inte regeringens politik".
Regeringen sade att den inte skulle kommentera läckta dokument, men tillade att det var rätt att en rad alternativ skulle övervägas innan ministrarna fattade ett slutligt beslut.
Enligt lag har barn under 16 år rätt till utbildning oavsett föräldrarnas omständigheter.
Men dokumenten visade att hemkontoret ville att skolor skulle be om pass innan de tog emot nya elever.
Sommaren 2015 ville Theresa May att Whitehalls avdelningar skulle bidra till regeringens ambition att minska invandringen till tiotusentals.
En källa säger att varje avdelning skulle ha sina händer "doppade i blod". Men breven visar att det fanns en "obekymra bland våra egna ministrar om potentialen för inflammatoriska jämförelser" genom att använda skolor som en del av invandringssystemet, straffa barn till olagliga invandrare genom att sätta dem till botten på listan för skolor.
Efter diskussioner i en regeringskommitté skrev Nicky Morgan, då utbildningssekreterare, två gånger till den dåvarande premiärministern David Cameron med "djup oro" om inrikesministeriets plan för skolor.
Det är inte klart hur omfattande planerna var, men utbildningsdepartementet ansvarar bara för skolorna i England.
Morgan skrev i sitt brev: " Jag är bekymrad över de praktiska och presentationsmässiga frågorna om att tillämpa vår starka ställning när det gäller olagliga invandrare på den känsloladdade frågan om barnens utbildning.
"Dessa omfattar deprioritering av olagliga invandrare i skolans antagningsprocess och genomförande av invandringskontroller genom skolor."
Utbildningsdepartementet var också bekymrad över hur invandringskontroller skulle störa antagningsprocessen.
Morgan skrev att "kontrollerna måste behandlas och kontrolleras i tid för att göra eventuella ändringar (dvs. att dra tillbaka en plats från en olaglig invandrare och ge denna plats till ett annat barn) innan skoltiden börjar.
"Detta skulle destabilisera antagningsprocessen - som redan är föremål för omfattande mediegranskning och politiska påtryckningar - till exempel för att försena skolorna från att kunna bekräfta brittiska och lagliga invandrares barns plats i god tid före skolårets början."
Utbildningsavdelningen var också oroad över åtgärden förvärrad segregation, vilket tyder på: "Den övergripande effekten av en deprioriteringsåtgärd skulle vara att koncentrera barn till olagliga invandrare i de minst populära skolorna i alla områden, vilket äventyrar vårt allt viktigare fokus på att ta itu med både segregation och extremism, och med därav följande konsekvenser för barn till brittiska medborgare som går i skolan.
– Förutom påverkan på vanliga föräldrar finns det också en risk för barns säkerhet.
"Att införa dessa kontroller kan leda till att vissa barn inte registreras till skolan på grund av verklig eller upplevd rädsla för utvisning.
"Bortsett från det faktum att dessa ungdomar inte kommer att få en anständig utbildning är detta en risk som skyddar - vi har verklig oro för att barn som slutar skolan kan löpa större risk för radikalisering eller andra skador."
Morgan varnade också David Cameron för att inrikesdepartementets policy "skulle förstärka negativa stereotyper hos vårt parti... slösa bort den aldrig tidigare skådade möjligheten att fånga centrumplatsen, att valet av Jeremy Corbyn har gett oss".
Åtgärderna togs bort från migrationslagen, och May förstod att hon var rasande.
Men en konservativ källa som kände till diskussionerna sade: "Det var ett av de ögonblick då önskan att kontrollera invandringen möter verkliga människors liv och våra värderingar."
I ett regeringsuttalande sades det: " Det är bara rätt att varje regering tittar på en rad olika alternativ när man överväger politiska alternativ, men i slutändan är det ministrarna som avgör vilken politik som förs framåt.
"Vi bygger ett system som fungerar i det brittiska folkets bästa och ser till att bara de som har rätt att vara i Storbritannien kan bo och arbeta här.
"Vi kommenterar inte läckta dokument."
"Större idé"
Men Labourfrontbencher Rayner hävdade att dokumenten visade att May hade försökt "avlasta" inrikesministeriets misslyckande med att minska invandringen genom att försöka få lärare att utföra gränskontrollfunktioner.
Hon berättade för BBC Radio 4's Today: "Jag tycker att det är en hemsk idé. Att förneka oskyldiga barn på grund av omständigheterna för deras föräldrar rätten till en bra utbildning är äckligt - det är inte ett brittiskt värde som vi har.
"Och naturligtvis, en av åtta brittiska medborgare har inte heller ett pass, så det är helt opraktiskt."
Sir Michael Wilshaw, som är på väg att avsluta sin ämbetsperiod som skolinspektör, tillade: " Jag är förvånad över den och chockad över den. Skolor ska inte användas för gränskontroll - det är gränsmyndigheternas jobb.
"Skolorna har tillräckligt för att höja standarden än att oroa sig för vem de tar in och om de har ett pass."
Lib Dem John Pugh sade: " Det är helt enkelt så mycket fel med denna smutsiga lilla idé, inte minst att skolor inte är en andra gränsstyrka, de är för utbildning.
"Detta visar hur inrikesministeriet under Theresa May försökte allt det kunde för att foder runt i rännstenen för några röster och några billiga rubriker. Att lämna barn outbildade skulle göra mycket skada och är kortsiktigt."
Läckta kabinettsbrev tyder på att inrikesministeriet - när det drevs av Theresa May - ville att barn till olagliga invandrare skulle gå till botten med listan för skolplatser.