Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
O'Sullivan, 38, utspelades av sin kollega engelsman i två högkvalitativa öppningssessioner och hade turen att följa endast 9-7 i bästa-av-25 match.
De följande fyra delades, innan O'Sullivan vann tre raka ramar för att gå vidare för första gången vid 12-11.
Och en paus av 113 såg O'Sullivan sätta upp en slips med Shaun Murphy eller Marco Fu.
Barry Hawkins upprepade förra årets semi-final seger över Ricky Walden när han kantade förbi sin kollega engelsman 13-11 för att nå de sista åtta, där han kommer att möta Dominic Dale eller Michael Wasley.
O'Sullivan, som kommer att spela i sin 16: e VM kvartsfinal, sade till BBC Sport: "Det var det närmaste jag har varit att gå ut här ett bra tag. Jag hade aldrig kontroll över matchen.
"Men jag var fast besluten att stanna i det ända till slutet, jag tänkte inte ge upp. Det är nog en av de mest spännande matcher jag någonsin haft på Crucible."
Perry tillade: " Jag är utsliten. Jag gav det allt jag hade, men jag stötte på ett geni i slutet av matchen.
"När han spelar så där, är det svårt att se någon annan än honom vinna titeln."
Kommer in i turneringen, O'Sullivan var den överväldigande favoriten att vinna sin sjätte världstitel och tredje i rad.
"Det var Ronnie O'Sullivan som spelade tryck snooker när han behövde. Jag tror att han är den bästa pressspelare jag någonsin sett. Problemet för de andra spelarna är att O'Sullivan nu inte har några svagheter i sitt spel. Och eftersom han är så stark i varje avdelning, sätter det stor press på hans motståndare. Det är svårt för dem att inte komma in i matchen i en negativ ram om sinne."
Han kryssade igenom sin öppningsmatch, slog kval Robin Hull 10-4, men mötte en mycket mer erfaren motståndare i världsnummer 15 Perry.
O'Sullivan var aldrig före i de inledande två sessioner som Perry höll mästaren utanför bordet med någon stor paus byggnad.
Men statistiken berättade historien under den sista sessionen, med O'Sullivan ökade sin pott framgång till 97% och Perry sjunka ner till 85%.
De första fyra ramarna på morgonen var skrotiga och det var Perry som behöll sin två ram fördel i mitten av sessionen intervall.
Men O'Sullivan såg föryngrad ut efter pausen, knackar i raster på 52 och 53 för att dra nivå.
Engelsmannen tog sedan ledningen för första gången i matchen med ett scintillerande brott på 124 i den 23:e ramen.
Och ett tredje sekel av matchen förseglade en lysande comeback seger, O'Sullivan slår luften i firandet och vinkar till publiken innan du lämnar arenan.
Även på lördag, förra årets semi-finalist Judd Trump rullade av fyra raka ramar för att avsluta den första sessionen med en 6-2 ledning över Ryan Day.
Försvarsmästare Ronnie O'Sullivan nådde kvartsfinalen i världsmästerskapet med en hårdgrävd seger 13-11 över Joe Perry i Sheffield.