Spelare inblandade i incidenten med Morpeth Town, efter Newtons 3-2 FA Vase nederlag, har också lämnat klubben.
Dixon avfärdades "på grund av pågående dålig disciplin" av vissa spelare.
"Det har inte varit lätt men vi har agerat direkt och vill dra en linje under det," ordförande Allan Oliver berättade BBC Sport.
"Om det finns några utredningar kommer vi att delta fullt ut, men det är svårt att kommentera ytterligare."
Newton Aycliffe, Northern Football League Division One - den nionde nivån av engelsk fotboll - har tidigare varit föremål för en Durham Football Association undersökning efter Spennymoor Town vägrade att spela den andra halvan av en försäsongen vänlig i juli efter matchen tog en "aggressiv riktning".
Oliver sa att Dixons avresa bara var relaterad till lördagens händelse.
Morpeths medordförande Gary Munday sa att klubben, som spelar i samma liga som Newton Aycliffe, är på väg att lämna ett fullständigt uttalande till fotbollsföreningen som händelsen anses också ha bevittnats av matchdomaren.
Även om klubben inte har lämnat in ett klagomål till polisen, sade de att om någon spelare skulle anmäla ett angrepp de kommer att stödja till fullo någon utredning.
Videofilmer av sammandrabbningen på Newton Aycliffe's Moore Lane Park mark mot deras nordost rivaler visar ett antal spelare från hemmasidan kör mot och samlas vid besökarnas omklädningsrum dörr.
Morpeth personal och tränare sägs ha hållit Newton Aycliffe spelare tillbaka, med minst en medlem av hemmaklubbens personal också försöker hålla spelarna ute.
Oliver och en annan anställd förstås också ha gått Morpeth spelare tillbaka till sina bilar efter matchen.
Munday sa att han " aldrig hade sett något liknande på en fotbollsmatch" och "applåde Newton Aycliffes starka hållning" i behandlingen av frågan internt.
Men han fruktar att det kan påverka klubbens stöd.
"Vi är chockade och äcklade av vad som hände", sade han.
"Morpeth Town är en mycket familjeinriktad fotbollsklubb som vi uppmuntrar våra juniorer, gratis för att stödja klubben - att gräsrotsstöd är fotbollens framtid.
"Tyvärr har vi haft föräldrar säga att de aldrig kommer att ta sina barn till bort spel igen.
"Vi ska försöka uppmuntra dem tillbaka eftersom vi känner att detta är en engångsföreteelse."
BBC har kontaktat FA för kommentar, men är ännu inte att få ett svar.
Newton Aycliffe sparkade sin manager Peter Dixon efter spelare från icke-league klubben kämpade sig in i sina motståndares omklädningsrum.