Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Den walesiska regionen hade spelet insvept i halvtid efter försök från Parry, Lloyd Ashley och Ashley Beck, med Sam Davies lägga till statister.
Tommaso d'Apice slog tillbaka innan pausen, innan Parry gjorde sin tredje rullande maul försöka följa en line-out.
Ben John och Dafydd Howells lade till ytterligare poäng för Pro12-ledarna.
Fly-halv Davies gjorde Ospreys "första poäng för säsongen med ett straff efter Zebre straffas för att inte rulla iväg efter bara fem minuter.
Man-of-the-match Parry buntad över från en rullande maul kort efter att ha följt en period av ihållande tryck från Steve Tandys sida.
Och mållinjen blev ännu ljusare för Ospreys när Ashley på andra raden bröt sig igenom ett gapande hål i besökarnas försvar med en laddning från 22-meterslinjen.
Centre Beck var bredvid att landa när han kraschade genom två tacklingar från nära håll på 25 minuter.
Zebre minskade underskottet när d'Apice mullrade över från en line-out fem minuter före halvtid, men deras goda arbete var snart ogjort.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Parry tvingade sig över för sitt andra försök på halvtid med Zebre igen oförmögen att stoppa Ospreys "rullande maul.
Det blev en natt att minnas för 24-åringen när han gjorde en nära kopia av sitt andra försök sju minuter in i andra halvlek.
Parry ersattes halvvägs genom den andra perioden, men angreppet fortsatte med att ersätta John som sprang in från ett fint inre pass från Davies.
Fellow substitut Howells samlade en cross-kick från full-back Dan Evans till poäng med fem minuter kvar, innan John gjorde sin andra efter en off-load från Wales flanker Justin Tipuric.
Lock Bradley Davies gjorde sin Ospreys debut från bänken efter att ha gått med från Wasps, medan Tipuric började efter återhämtning från hjärnskakning.
Tipuric återvände under försäsongen har inte spelat sedan landning kraftigt vid en line-out mot Italien i 2016 Six Nations.
Ospreys: Dan Evans; Jeff Hassler, Ashley Beck, Josh Matavesi; Eli Walker, Sam Davies, Tom Habberfield (kapt); Nicky Smith, Sam Parry, Dmitri Arhip, Lloyd Ashley, Rory Thornton, Olly Cracknell, Justin Tipuric, Tyler Ardron.
Ersättningar: Hugh Gustafson, Paul James, Ma'afu Fia, Bradley Davies, Dan Baker, Rhys Webb, Ben John, Dafydd Howells.
Zebre: Kurt Baker; Lloyd Greeff, Giulio Bisegni, Tommaso Castello, Gabriele Di Giulio; Edoardo Padovani, Guglielmo Palazzani; Andrea Lovotti, Tommaso D'Apipe, Pietro Ceccarelli, Federico Ruzza, George Biagi (kapt), Jacopo Sarto, Maxime Mbanda, Andries Van Schalkwyk.
Ersättningar: Carlo Festuccia, Andrea De Marchi, Dario Chistolini, Valerio Bernabo, Giovanni Pettinelli, Fabio Semenzato, Carlo Canna, Tommaso Boni.
Domare: Andrew Brace (IRFU)
Biträdande domare: Stuart Gaffikin (IRFU), Gareth Newman (WRU)
Citeringskommissionär: Aurwel Morgan (WRU)
TMO: Simon McDowell (IRFU)
Hooker Sam Parry gjorde en hatt-trick som Ospreys gjorde en vinnande start i Pro12 med en åtta-try bonus-poäng seger över italienska sidan Zebre.