Efter att ha överlevt en tight lbw appeal tidigt, den tidigare England kaptenen fortsatte att nå tre siffror utanför 202 bollar med 16 fyror.
Essexöppnaren delade med sig av ett 134-runt andra veklingsstativ till Tom Westley men föll för 110 när han drog en kort boll från Dean Elgar till James Hildreth.
Men Westleys oslagbara 86 såg till att besökarna jagade ner 255 på 84,1 overs.
I sin första tävlingsmatch sedan kliva ner som skeppare av den nationella sidan, Cook såg sällan orolig när vid vecket.
Cook återtog över natten obesegrad på fyra, signalerade sin avsikt genom att slå två gränser från första över dagen innan Craig Overton var övertygad om att England fladdermössen hade fångats lbw endast för umpire Graham Lloyd att förbli oberörd.
Trots 30 wickets faller under de första två dagarna, värdarnas bowlare kämpade och Nick Browne delade en 82-run öppning partnerskap med England öppnare innan fångas bakom Jamie Overton för 35.
Cook slogs på unfazed, som nya Somerset kapten Tom Abell fick slut på alternativ, och lämnade besökarna kräver bara 39 körningar för att vinna när han avskedades.
En föryngrad Westley, som gjorde bara 10 i de första innings, såg Essex hem när han körde seamer Lewis Gregory till gränsen.
Alastair Cooks mästerliga århundrade ledde Essex till en åtta-wicket seger över Somerset i Taunton.