Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Hemmalaget ledde 13-0 efter 28 minuter tack vare Conor Murrays försök och åtta poäng från boot av Johnny Sexton.
Men Wales slog tillbaka med Taulupe Faletaus försök konverteras av ersättande fluga halva Rhys Priestland, vars 72-minuters straff kantade Wales 16-13 framåt.
Sextons tredje straff i kvadrat och Priestlands sena fallförsök var utanför målet i en andlös final.
Med klockan i rött och fans nerver strimlad, båda lagen strävade efter den avgörande poängen snarare än nöja sig med dragningen.
Men försvaret höll ut och när domaren Jerome Garces slutligen kallade ett stopp, var det en kollektiv utandning av andan runt marken.
Det betyder att Wales inte har vunnit back-to-back-spel på Irland sedan 2000, medan den irländska drömmen om en tredje på varandra följande titel inte har skadats dödligt.
Men Grand Slams och Triple Crowns kommer att behöva vänta på en annan säsong efter en första dragning mellan de två sidorna i Dublin sedan 1974.
Med Irland som förlorat Sean O'Brien och Rob Kearney i veckan, Wales var tvungen att dra Liam Williams i full back efter Gareth Anscombes sena tillbakadragande.
Och inom 20 minuter var bytet av halva Priestland på när Dan Biggar haltade av med en fotskada.
Irländarna dominerade den första halvtimmen, med Wales oförmögen att behålla innehav och kämpar för att hålla debutant CJ Stander och Tommy O'Donnell i schack.
Scrum-halv Murray var förmånstagaren eftersom han dummade över från nära håll för att hjälpa till att etablera en 13-0 ledning.
Men Priestlands känga, och Faletau opportunism efter bollen sprutade ut ur en avancerande scrum, på något sätt såg Wales tillbaka inom tre punkter vid pausen, och stövlarna av flughyllor säkerställde spelet slutade nivå efter en nervsprängande andra halvan.
Wales dominans på strupen var hörnstenen i deras kamp tillbaka, men Irland såg mer kreativ bakom och med Stander och Jamie Heaslip framstående i den bakre raden, mötte Wales främsta fysiska utmaning head-on.
Jamie Roberts sprang raka vägen till Wales och tackla hårt och ofta, medan Simon Zebo och Sexton klippa linjer för Irland, med en andra halv paus av flugan-halva det enastående ögonblicket av matchen.
Wales möter Skottland hemma lördagen den 13 februari - en sida smarting från deras senaste Calcutta Cup nederlag och som inte har vunnit i Cardiff sedan 2002.
Samma dag kommer Irland att ta på sig den felaktiga franskan i Stade de France, efter att ha slagit dem så sent som i oktober när de vann en VM-pool match 24-9 i Cardiff.
Irland: Zebo; Trimble, Payne, Henshaw, Earls; Sexton, Murray; McGrath, Best, White, McCarthy, Toner, Stander, O'Donnell, Heaslip.
Ersättningar: D Kearney for Earls (71), Madigan for Sexton (75), S. Cronin for Best (75), Furlong for White (63), Ryan for McCarthy (63), Rudock for O'Donnell (48).
Ej använt: J Cronin, Marmion.
Wales: L Williams; North, J Davies, Roberts, T James; Biggar, G Davies; Evans, Baldwin, Lee, Charteris, Jones, Warburton, Tipuric, Faletau.
Ersättningar: Priestland for Biggar (21), L Williams for G. Davies (71), Jenkins for Evans (52), Owens for Baldwin (63), Francis for Lee (57), B Davies for Charteris (61), Lydiate for Warburton (72).
Används inte: Cuthbert.
Att: 51 700
Ref: Jerome Garces (Frankrike).
Irland lät en 13-punkts blyglidande som Wales kämpade tillbaka för en dragning i en övertygande Six Nations match i Dublin.