Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Den tidigare högsta jakten av England på Lord's är 282-3 mot Nya Zeeland 2004, vilket innebär att Alastair Cooks män sannolikt kommer att möta ett rekordmål.
Asad Shafiq (49) och Sarfraz Ahmed (45) slog Pakistan till en stark position.
England skålade bra - Chris Woakes tar ytterligare fem vekling drag - men tappade två fångster sent på dagen.
Stuart Broad spillde en svår chans att avfärda Yasir Shah (30 inte ute) vid mitten av och sedan Wicketkeeper Jonny Bairstow tappade vad som var mer av en förordning fångst för att avsluta en punchy innings från strokemaker Sarfraz.
De kan också rue ögonblicket Younus Khan, som satte på 69 med Shafiq för den femte wicketen, hade ett ben-före uppsägning omvänd efter en översyn med poängen på 75-4 och Pakistans ledning bara 142.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Woakes var huvud och axlar ovanför resten av sina lagkamrater med bollen.
Den Warwickshire allrounder började dagen i hopp om att driva England närmare Pakistans första innings totalt 339 alla ut.
Men han sveks av sina kamrater när Englands sista tre wickets föll för 19 körningar - och lämnade Woakes obesegrad på en välkonstruerad 35:a.
Han lyste sedan med bollen, spela in vad som för närvarande är den näst bästa match siffror (11-101) av en England bowler detta årtionde.
Hans expert linje och längd, som levereras i en livligare takt än när han gjorde sin debut 2013, såg honom snara öppnare Shan Masood via en fångst vid första slip och hjälpte honom att sätta Azhar Ali framför.
Han återvände senare på dagen för att skåla obdurate Asad Shafiq för 49 och har både Sarfraz och Wahab Riaz fångas bakom med en outswinger och försök dörrvakt respektive.
Englands fladdermöss var förlamade av Yasir Shahs benpin i deras första innings, med Steven Finn som blev 30-åringens sjätte offer på en frenetisk tredje morgon.
Den udda leveransen börjar hålla sig låg, medan Woakes visade fördelen av en livlig linje och längd på en idrottsyta.
Historien är också staplad mot Alastair Cooks sida. Deras högsta jakt på Lord's är den 282-3 de gjorde mot Nya Zeeland 2004, med markens högsta framgångsrika fjärde-innings totalt är 344-1 hit av Västindien 1984.
Test Match Specials Geoffrey Boycott: " Du skulle vilja tro att England kan göra detta. Det handlar om hur de spelar benspinner (Yasir).
"Seamers kommer att vara anständiga som vår, men när glansen går är det inte lätt. Så de gör sin del.
"Men vi kommer till handleden spinner - om England spelar lika dåligt som de första innings, då är det hej då. Du vill att England ska spela bättre, men de behöver Alastair Cook att hänga runt. "
Pakistan tränare Mickey Arthur på Sky Sports: "En ledning av 300 skulle vara mycket trevligt i morgon.
"Misbahs innings i den första gladde mig, Asad Shafiq har varit fantastisk på nummer sex, men jag är besviken över att ingen av våra fladdermöss pressade på idag.
"Misbah är en statsman, en mycket bra ledare för män."
England står inför en svår körning jakt mot Pakistan efter turisterna avslutade den tredje dagen av det första testet med en ledning av 281.