Watsons affär löper ut i slutet av säsongen, men han säger att han har en "sens av oavslutade affärer" på klubben.
"Jag vill stanna", den 25-årige berättade BBC Skottland framför Edinburghs derby mot Glasgow Warriors på måndag.
"Vid denna tidpunkt, Jag gör bra för Edinburgh, och det bästa stället för mig att hålla få tak är att spela i Skottland."
Edinburgh har inte slutat högre än åttonde under de senaste fem Pro12 säsongerna, och Watson, som spelade varje minut av Skottlands tre höstinternationaler, vill följa back-row kollega Magnus Bradbury i utfästelse sin framtid till huvudstaden sidan.
"Även om detta är min sjätte säsong, det är ganska frustrerande, eftersom vi vinner riktigt tuffa spel, och när vi sätter ihop en säsong, denna trupp kan uppnå stora saker, och jag vill inte missa det," sade han.
"Definitivt finns det en känsla av oavslutade affärer. Jag tror att vi under de kommande två åren kan uppnå mycket om vi håller fast vid alla våra spelare."
Den skotske flankören Hamish Watson säger att han "vill stanna" i Edinburgh efter att hans kontrakt löpt ut.