Den 26-årige kolliderade med Black Cats mittfältare Wahbi Khazri.
"Det är ur led så han är ute i flera veckor," sade United boss Louis van Gaal efter lördagens match.
Luke Shaw, Marcos Rojo, Ashley Young, Antonio Valencia, Phil Jones och Guillermo Varela är ute - lämnar Cameron Borthwick-Jackson och Donald Love som klubbens enda passform backs.
Kärlek, 21, som var på lån på Wigan tidigare denna säsong, kom från bänken under Premier League-matchen för att göra sin första lagdebut. Lördagen var också första gången han hade medverkat i Uniteds första lag trupp.
Borthwick-Jackson 19, gjorde sin första lagdebut i november.
"Vi har inga fler backs i denna klubb," tillade Van Gaal. "Jag måste ställa upp en 13-årig kille eller en sån."
Darmian anslöt sig till United från italienska sidan Torino förra sommaren och började på höger sida mot Sunderland.
Matteo Darmian lade till Manchester Uniteds problem efter att ha flyttat axeln på Sunderland.