South Coast sida har aldrig varit med i de senaste åtta och kommer nu att vara värd åtta gånger vinnare Liverpool på Goldsands Stadium.
Derby har en hemma slips mot Premier League ledare Chelsea, medan League One Sheffield United välkomnar högt flygande Southampton.
Newcastle, som slog ut innehavare Manchester City, reser till Tottenham.
Slipsarna spelas i veckan med början den 15 december.
Sheffield United nådde semifinalen i FA Cup förra säsongen och njuter av en annan bra cupkörning efter att ha slagit ut MK Dons i föregående omgång.
Championship ledare Derby belönas för att komma från 2-0 ner för att slå Fulham 5-2 med en hemmadragning mot Premier League ledare.
Bournemouth - den tredje av de icke-premiärliga sidorna kvar i tävlingen - eliminerade West Brom på tisdag.
Fullt quarter-final dragning:
Derby mot Chelsea
Tottenham mot Newcastle
Bournemouth mot Liverpool
Sheffield United mot Southampton
Championship sida Bournemouth kommer att spela Liverpool i kvartsfinalen av Capital One Cup.