Värdarna höll en smal 13-11 ledning vid pausen, med Bristol flygeln David Lemi svarar på Will Hurrells försök.
Men andra hälften poäng från Ross McMillan och Ben Glynn satte bort sidan, som avslutade säsongen toppen av bordet, som befäl över slipsen.
De två lagen spelar det andra benet på Ashton Gate onsdagen den 25 maj.
Bristol, som deltar i Championship play-offs för femte gången på sju säsonger, valde att spela det första benet hemifrån efter att ha förlorat i finalen i var och en av de två senaste kampanjerna.
De är ute efter att återvända till Premiership för första gången sedan de förvisades 2009, när de slutade botten med bara två segrar från 22 matcher.
Andy Robinsons lag slutade 16 poäng före andra plats Doncaster i ordinarie säsong.
Doncaster: Jarvis, Bulumakau, M. Clark, Hurrell, Lewis, Cusack, Heaney, List, Hunter, Quigley, Challinor, Phelan, Makaafi, Hills, Shaw.
Ersättningar: Veikoso, Brugnara, W. John, Steadman, Young, Flockhart, Field.
Bristol: Arscott, Varndell, Tovey, Mosses, Lemi, Sheedy, Cliff, O'Connell, McMillan, Perenise, Evans, Glynn, Mama, Lam, J. Phillips.
Ersättningar: Brooker, Traynor, G. Cortes, Sorenson, Robinson, Roberts, Morgan.
Bristol tog ett betydande steg mot befordran till Premiership med seger på Doncaster i deras Championship play-off sista första benet.