Taylor, 25 år, kom till County i maj från Macclesfield, men har ännu inte börjat i ligan.
Flytten har lämnat Newport med bara en målvakt på Joe Day, men manager John Sheridan är säker på att han snabbt kommer att fylla vakansen.
"Rhys är för bra en målvakt för att hållas på bänken och inte spela fotboll," sade Sheridan.
"Ekonomiskt kan det göra det möjligt för mig att ta in någon annan, att försöka fylla i ett annat område."
På lördag Newport värd fjärde plats Northampton Town hoppas på att vinna sin tredje match i rad för första gången sedan förra december, 2014.
Exiles söker också sin första hemvinst sedan mars.
Taylors drag betyder att County saknar en andra målvakt.
Sheridan tillade: " Rys'flytt till Wrexham hände snabbt... men vi kommer definitivt att ha en väktare i mitten av nästa vecka.
"Det är bara en match. Jag är inte riktigt orolig."
Sheridan bekräftade också att försvararen Janoi Donacien har förlängt sin låneformel från Aston Villa till januari.
Donacien har varit med i alla fyra matcher sedan irländaren ersatte Terry Butcher som chef i början av oktober.
Samtidigt Newport har inga skador oro inför lördagens match.
Newport County målvakt Rhys Taylor har gått med Wrexham på lån fram till januari.