Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Vid 63-63, Robertson tog den första ramen med en respotterad svart men Carter tog den andra med en 94 paus.
Carter vann den tredje ramen att gå 2-1 upp men Robertson kämpade tillbaka med en paus på 43 och 57 för att ta en 3-2 ledning.
Carter kom emellertid bakifrån för att erövra segern, eftersom han vann tre raka ramar inklusive en 84 paus.
Han kommer att möta Trump, som slog Ronnie O'Sullivan på onsdag, i fredagens semifinal.
Halvfinaler
Judd Trump mot Ali Carter
Mark Selby/Marco Fu mot Ding Junhui/Anthony Hamilton
Kvartalsslutsatser
Mark Selby mot Marco Fu
Ding Junhui mot Anthony Hamilton
Neil Robertson 3-5 Ali Carter
Ronnie O'Sullivan 3-5 Judd Trump
Första ronden
Stuart Bingham 1-5 Anthony Hamilton
Ronnie O'Sullivan 5-1 Liang Wenbo
Mark Selby 5-4 Ryan Day
Marco Fu 5-1 Anthony McGill
Barry Hawkins 0-5 Neil Robertson
Judd Trump 5-2 Mark King
Ding Junhui 5-4 John Higgins
Ali Carter 5-4 Shaun Murphy
Ali Carter slog Neil Robertson 5-3 i Players Championship kvartsfinal i Llandudno, för att sätta upp en semifinal slips mot Judd Trump på fredag.