Reference number : GC-2017-Q1-02522, amendment number : , agreement type : G, recipient legal name : Kihel, Omar (Brock University), recipient country : CA, recipient province : nan, recipient city : Ontario, recipient postal code : nan, program name english : Discovery Grants Program - Individual, program name french : Programme de subventions à la découverte - individuelles, program purpose english : Ma proposition de recherche porte essentiellement sur l'arithm&eacute;tique des corps de nombres. Je m'int&eacute;resse plus particuli&egrave;rement au calcul de l'indice d'un corps de nombres, les nombres premiers qui le divisent ainsi que le nombre de classes pour les corps quadratiques. Un corps de nombres est un corps obtenu par adjonction au corps des rationnels Q , d'une racine dans C d'un polyn&ocirc;me &agrave; coefficients dans Q. Lorsque le polyn&ocirc;me est irr&eacute;ductible sur Q , et est de degr&eacute; n , le corps de nombres est de degr&eacute; n sur Q . L'anneau des entiers de K est l'ensemble de tous les &eacute;l&eacute;ments de K qui sont racines d'un polyn&ocirc;me unitaire &agrave; coefficient dans Z . L'indice d'un corps de nombres mesure en quelque sorte l'&eacute;cart que l'anneau de K soit monog&egrave;ne, i.e. l'existence d'un &eacute;l&eacute;ment dans A dont les puissances cons&eacute;cutives forment une base de A en tant que Z -module. 
 
Le calcul de l'indice d'un corps de nombres et les premiers qui le divisent sont des questions classiques en th&eacute;orie des nombres qui restent encore non r&eacute;solues. Le premier &agrave; avoir parl&eacute; de ces premiers (appel&eacute;s facteurs communs d'indices) est le math&eacute;maticien allemand Dedekind en 1878. Il n'existe cependant pas de m&eacute;thode pour d&eacute;terminer ces premiers ni pour calculer cet indice en g&eacute;n&eacute;ral. Ce probl&egrave;me appara&icirc;t comme probl&egrave;me 22 dans la liste des probl&egrave;mes ouverts dans le livre de Narkiwicz. Avec Ayad, nous avons fait beaucoup de progr&egrave;s dans cette direction. Ces questions sont reli&eacute;es aussi au nombre de classes d'un corps de nombres. L'arithm&eacute;tique d'un corps de nombres est intimement li&eacute;e &agrave; la factorisation des premiers dans son anneau d'entiers ainsi qu'au calcul du nombre de classes. &Agrave; part leur c&ocirc;t&eacute; th&eacute;orique, ces questions ont beaucoup d'impact en cryptographie (s&eacute;curit&eacute; informatique) et en th&eacute;orie du codage. La derni&egrave;re partie dans ma proposition porte sur la conjecture de la parit&eacute; pour certaines courbes elliptiques. La th&eacute;orie des courbes elliptiques &eacute;tait un ingr&eacute;dient fondamental dont la preuve de Wiles pour le dernier th&eacute;or&egrave;me de Fermat. Le calcul du rang d'une courbe elliptique reste encore un probl&egrave;me ouvert. Il existe une conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer qui pr&eacute;dit que le rang arithm&eacute;tique d'une courbe elliptique est &eacute;gal &agrave; l'ordre d'annulation d'une certaine fonction L en s = 1, appel&eacute; rang analytique. Cette conjecture semble loin d'&ecirc;tre r&eacute;solue. La conjecture de la parit&eacute; pr&eacute;dit que le rang d'une courbe elliptique est pair ou impair selon le signe de l'&eacute;quation fonctionnelle de L. Je m'int&eacute;resse &agrave; cette conjecture ainsi qu'au calcul du rang pour certaines courbes elliptiques reli&eacute;es aux probl&egrave;mes congruents., program purpose french : Ma proposition de recherche porte essentiellement sur l'arithm&eacute;tique des corps de nombres. Je m'int&eacute;resse plus particuli&egrave;rement au calcul de l'indice d'un corps de nombres, les nombres premiers qui le divisent ainsi que le nombre de classes pour les corps quadratiques. Un corps de nombres est un corps obtenu par adjonction au corps des rationnels Q , d'une racine dans C d'un polyn&ocirc;me &agrave; coefficients dans Q. Lorsque le polyn&ocirc;me est irr&eacute;ductible sur Q , et est de degr&eacute; n , le corps de nombres est de degr&eacute; n sur Q . L'anneau des entiers de K est l'ensemble de tous les &eacute;l&eacute;ments de K qui sont racines d'un polyn&ocirc;me unitaire &agrave; coefficient dans Z . L'indice d'un corps de nombres mesure en quelque sorte l'&eacute;cart que l'anneau de K soit monog&egrave;ne, i.e. l'existence d'un &eacute;l&eacute;ment dans A dont les puissances cons&eacute;cutives forment une base de A en tant que Z -module. 
 
Le calcul de l'indice d'un corps de nombres et les premiers qui le divisent sont des questions classiques en th&eacute;orie des nombres qui restent encore non r&eacute;solues. Le premier &agrave; avoir parl&eacute; de ces premiers (appel&eacute;s facteurs communs d'indices) est le math&eacute;maticien allemand Dedekind en 1878. Il n'existe cependant pas de m&eacute;thode pour d&eacute;terminer ces premiers ni pour calculer cet indice en g&eacute;n&eacute;ral. Ce probl&egrave;me appara&icirc;t comme probl&egrave;me 22 dans la liste des probl&egrave;mes ouverts dans le livre de Narkiwicz. Avec Ayad, nous avons fait beaucoup de progr&egrave;s dans cette direction. Ces questions sont reli&eacute;es aussi au nombre de classes d'un corps de nombres. L'arithm&eacute;tique d'un corps de nombres est intimement li&eacute;e &agrave; la factorisation des premiers dans son anneau d'entiers ainsi qu'au calcul du nombre de classes. &Agrave; part leur c&ocirc;t&eacute; th&eacute;orique, ces questions ont beaucoup d'impact en cryptographie (s&eacute;curit&eacute; informatique) et en th&eacute;orie du codage. La derni&egrave;re partie dans ma proposition porte sur la conjecture de la parit&eacute; pour certaines courbes elliptiques. La th&eacute;orie des courbes elliptiques &eacute;tait un ingr&eacute;dient fondamental dont la preuve de Wiles pour le dernier th&eacute;or&egrave;me de Fermat. Le calcul du rang d'une courbe elliptique reste encore un probl&egrave;me ouvert. Il existe une conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer qui pr&eacute;dit que le rang arithm&eacute;tique d'une courbe elliptique est &eacute;gal &agrave; l'ordre d'annulation d'une certaine fonction L en s = 1, appel&eacute; rang analytique. Cette conjecture semble loin d'&ecirc;tre r&eacute;solue. La conjecture de la parit&eacute; pr&eacute;dit que le rang d'une courbe elliptique est pair ou impair selon le signe de l'&eacute;quation fonctionnelle de L. Je m'int&eacute;resse &agrave; cette conjecture ainsi qu'au calcul du rang pour certaines courbes elliptiques reli&eacute;es aux probl&egrave;mes congruents., agreement title english : Arithmétique des corps de nombres et la conjecture de la parité, agreement title french : Arithmétique des corps de nombres et la conjecture de la parité, agreement number : RGPIN, agreement value : 70000.0, agreement start date : 2017-05-10, agreement end date : nan, description english : nan, description french : nan, expected results english : nan, expected results french : nan, additional information english : Grant or Award spanning more than one fiscal year. (2017-2018 to 2022-2023), additional information french : Subvention ou bourse octroyée s'appliquant à plus d'un exercice financier. (2017-2018 à 2022-2023), owner organization : nserc-crsng, owner organization title : Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada | Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada