角动量算符

title: 简介.
content: 角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里,如同能量和动量,角动量是守恒的。在量子力学里,角动量算符的概念是必要的,因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数,而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界,分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其几率性行为,而不是命定性(英语:deterministic)行为。
title: 数学定义.
content: 在经典力学里,角动量 formula_1 定义为位置 formula_2 与动量 formula_3 的叉积:  在量子力学里,对应的角动量算符 formula_5 定义为位置算符 formula_6 与动量算符 formula_7 的叉积:  由于动量算符的形式为  角动量算符的形式为  其中,formula_11 是梯度算符。
title: 角动量是厄米算符.
content: 在量子力学里,每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量,所以,角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点,思考角动量算符的 x-分量 formula_12 :  其伴随算符 formula_14 为 由于 formula_16 、formula_17 、formula_18 、formula_19,都是厄米算符,  由于 formula_19 与 formula_16 之间、formula_18 与 formula_17 之间分别相互对易,所以,  因此,formula_12 是一个厄米算符。类似地,formula_27 与 formula_28 都是厄米算符。总结,角动量算符是厄米算符。  再思考 formula_29 算符,  其伴随算符 formula_31 为  由于 formula_33 算符、formula_34 算符、formula_35 算符,都是厄米算符,  所以,formula_29 算符是厄米算符。
title: 对易关系.
content: 两个算符 formula_38 与 formula_39 的交换算符 formula_40,表示出它们之间的对易关系。
title: 角动量算符与自己的对易关系.
content: 思考 formula_12 与 formula_27 的交换算符,  由于两者的对易关系不等于 0, formula_44 与 formula_45 彼此是不相容可观察量。formula_12 与 formula_27 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言,formula_12 的本征态与 formula_27 的本征态不同。  给予一个量子系统,量子态为 formula_50 。对于可观察量算符 formula_12,所有本征值为 formula_52 的本征态 formula_53,形成了一组基底量子态。量子态 formula_50 可以表达为这基底量子态的线性组合:formula_55 。对于可观察量算符 formula_27,所有本征值为 formula_57 的本征态 formula_58,形成了另外一组基底量子态。量子态 formula_50 可以表达为这基底量子态的线性组合:formula_60 。  根据哥本哈根诠释,量子测量可以用量子态塌缩机制来诠释。假若,我们测量可观察量 formula_44,得到的测量值为其本征值 formula_52,则量子态几率地塌缩为本征态 formula_63 。假若,我们立刻再测量可观察量 formula_44,得到的答案必定是 formula_52,量子态仍旧处于 formula_63 。可是,假若,我们改为测量可观察量 formula_45,则量子态不会停留于本征态 formula_63,而会塌缩为 formula_27 的本征态。假若,得到的测量值为其本征值 formula_70,则量子态几率地塌缩为本征态 formula_71 。  根据不确定性原理,  formula_44 的不确定性与 formula_45 的不确定性的乘积 formula_75,必定大于或等于 formula_76 。  formula_44 与 formula_78 之间,formula_45 与 formula_78 之间,也有类似的特性。
title: 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系.
content: 思考 formula_29 与 formula_28 的交换算符,  formula_84 与 formula_28 是对易的,formula_86 与 formula_78 彼此是相容可观察量,两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理,我们可以同时地测量到 formula_86 与 formula_78 的本征值。  类似地,  formula_29 与 formula_12 之间、formula_29 与 formula_27 之间,都分别拥有类似的物理特性。
title: 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系.
content: 思考哈密顿算符 formula_96 与 formula_28 的交换算符,  formula_96 与 formula_28 是对易的,formula_101 与 formula_78 彼此是相容可观察量,两个算符拥有共同的本征态。根据不确定性原理,我们可以同时地测量到 formula_101 与 formula_78 的同样的本征值。  类似地,  formula_96 与 formula_12 之间,formula_96 与 formula_27 之间,都分别拥有类似的物理特性。
title: 在经典力学里的对易关系.
content: 在经典力学里,角动量算符也遵守类似的对易关系:  其中,formula_112 是帕松括号,formula_113 是列维-奇维塔符号,formula_114 、formula_115 、formula_116,代表直角坐标 formula_117 。
title: 本征值与本征函数.
content: 采用球坐标。展开角动量算符的方程序:  其中,formula_119 、formula_120 、formula_121,分别为径向单位向量、天顶角单位向量、与方位角单位向量。  转换回直角坐标,  其中,formula_123 、formula_124 、formula_125,分别为 x-单位向量、y-单位向量、与 z-单位向量。  所以,formula_12 、formula_27 、formula_28 分别是  角动量平方算符是  其中,  经过一番繁杂的运算,终于得到想要的方程序  满足算符 formula_29 的本征函数是球谐函数 formula_140 :  其中,本征值 formula_142 是正整数。  球谐函数也是满足算符 formula_28 微分方程序的本征函数:  其中,本征值 formula_145 是整数,formula_146 。  因为这两个算符的正则对易关系是 0,它们可以有共同的本征函数。  球谐函数 formula_140 表达为  其中,formula_114 是虚数单位,formula_150 是伴随勒让德多项式,用方程序定义为  而 formula_152 是 formula_153 阶勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为:  球谐函数满足正交归一性:  这样,角动量算符的本征函数,形成一组单范正交基。任意波函数 formula_156 都可以表达为这单范正交基的线性组合:  其中,formula_158 。

Summary: 在量子力学里,角动量算符(英语:angular momentum operator)是一种算符,类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性(英语:rotational symmetry)的理论里,角动量算符占有中心的角色。角动量,动量,与能量是物体运动的三个基本特性。