Z轉換

title: 历史.
content: 现在所知的Z变换的基本思想,拉普拉斯就已了解,而1947年维托尔德·胡列维茨用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的雷加基尼和乍得称其为“Z变换”。  E. I. Jury后来发展并推广了改进或高级Z变换。  Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法,该方法可以追溯到1730年的时候,棣莫弗与概率论结合将其引入。 从数学的角度,当把数字序列视为解析函数的(洛朗)展开时,Z变换也可以看成是洛朗级数。
title: 定义.
content: 像很多积分变换一样,Z变换可以有单边和双边定义。
title: 双边Z变换.
content: "双边"Z转换把离散时域信号 "x[n]" 转为形式幂级数 "X(Z)"。  当中 formula_2 是整数,formula_3 是复数变量,其表示方式为 其中 "A" 为 "z" 的模,"j" 为虚数单位,而 ɸ 为"幅角"(也叫"相位角"),用弧度表示。
title: 单边Z变换.
content: 另外,只对 "n" ≥ 0 定义的 "x[n]","单边"Z变换定义为  在信号处理中,这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。  单边Z变换的一个重要例子是概率母函数,其中 "x[n]" 部分是离散随机变量取 "n" 值时的概率,而函数 "X(z)" 通常写作 "X(s)",用 "s" = "z" 表示。Z变换的性质(在下面)在概率论背景下有很多有用的解释。
title: 地球物理学定义.
content: 地球物理中的Z变换,通常的定义是 "z" 的幂级数而非 "z" 的。例如,Robinson、Treitel和Kanasewich都使用这个惯例。 地球物理定义为:  这两个定义是等价的;但差分结果会有一些不同。例如,零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义,在单位圆外用另一个定义。 因此,需要注意特定作者使用的定义。
title: 逆Z变换.
content: "逆"Z变换为  其中 "C" 是完全处于收敛域(ROC)内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下(参见例2),这意味着路径 "C" 必须包围 "X(z)" 的所有极点。  这个曲线积分的一个特殊情形出现在 "C" 是单位圆的时候(可以在ROC包含单位圆的时候使用,总能保证 "X(z)" 是稳定的,即所有极点都在单位圆内)。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换:  有限范围 "n" 和有限数量的均匀间隔的 "z" 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换(DFT)混淆—是通过将 "z" 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。
title: 收敛域.
content: 收敛域(ROC)是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。
title: 例1(无ROC).
content: 令 "x[n]" = (0.5)。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x[n]" 成为  观察上面的和  因此,没有一个 "z" 值可以满足这个条件。
title: 例2(因果ROC).
content: 令 formula_12(其中 "u" 是单位阶跃函数)。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x[n]" 得到  观察这个和  最后一个等式来自无穷几何级数,而等式仅在 |0.5"z"| < 1 时成立,可以以 "z" 为变量写成 |"z"| > 0.5。因此,收敛域为 |"z"| > 0.5。在这种情况下,收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。
title: 例3(非因果ROC).
content: 令 formula_15(其中 "u" 是单位阶跃函数)。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x[n]" 得到  观察这个和  再次使用无穷几何级数,此等式只在 |0.5"z"| < 1 时成立,可以用 "z" 为变量写成 |"z"| < 0.5。因此,收敛域为 |"z"| < 0.5。在这种情况下,收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。  本例与上例的不同之处"仅在"收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。
title: 实例结论.
content: 实例2和3清楚地表明,当且仅当指定收敛域时,"x[n]" 的Z变换 "X(z)" 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图表明,在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形:收敛域"永远不会"包含极点。  在例2中,因果系统产生一个包含 |"z"| = ∞ 的收敛域,而例3中的非因果系统产生包含 |"z"| = 0 的收敛域。 在有多个极点的系统中,收敛域可以既不包含 |"z"| = ∞ 也不包含 |"z"| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如,  的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |"z"| < 0.75,不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统,因为它包含一个因果项 (0.5)"u"["n"] 和一个非因果项 −(0.75)"u"[−"n"−1]。  一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆(即 |"z"| = 1),那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统(例2)是稳定的,因为 |"z"| > 0.5 包含单位圆。  如果给定一个没有收敛域的Z变换(即模糊的 "x[n]"),可以确定一个唯一的 "x[n]" 满足下列:  如果你要稳定性,收敛域必须包含单位圆;如果你需要一个因果系统,收敛域必须包含无穷大,并且系统函数应为一个右边序列。如果你需要一个非因果系统,那么收敛域必须包含原点,且系统函数为左边序列。如果你既要稳定性,也要因果性,系统函数的所有极点都必须在单位圆内。  可以找到唯一的 "x[n]"。
title: 性质.
content: 帕塞瓦尔定理  初值定理:如果 "x"["n"] 为因果的,那么  终值定理:如果 ("z"−1)"X"("z") 的极点在单位圆内,则
title: 常见的Z变换对表.
content: 这里:  是单位阶跃函数而  是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数,但由于它们的不连续性把它们看成是分布(它们在 "n" = 0 处的值通常无关紧要,除非在处理离散时间的时候,它们会变成衰减离散级数;在本章节中对连续和离散时间域,都在 "n" = 0 处取 1,否则不能使用下表中收敛域一栏的内容)。同时列出两个“函数”,使得(在连续时间域)单位阶跃函数是单位冲激函数的积分,或(在离散时间域)单位阶跃函数是单位冲激函数的求和,因此要令他们的值在 "n" = 0 处为 1。
title: 与傅里叶级数和傅里叶变换的关系.
content: 对于区域 |z|=1(称为单位圆)内的 z 值,我们可以通过定义 z=e 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数:  也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的周期性求和,这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点,令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换,该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作:  若T的单位是秒,formula_25的单位即为赫兹。比较两个数列可得 formula_26 为标准化频率,单位是radians per sample。数值ω=2π对应formula_27 Hz.,而且在替换 formula_28后, 可以表示为傅里叶变换X(•):  若数列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应,这些函数也称为频率响应,当x(nT)是周期性数列,其DTFT在一或多个共振频率发散,在其他频率均为零。这一般会用在共振频率,振幅可变的狄拉克δ函数表示。因为其周期性,只会有有限个振幅,可以用较简单许多的离散傅里叶变换来计算。(参照离散傅立叶变换#周期性)
title: 和拉氏变换的关系.
title: 双线性变换.
content: 双线性变换可以用在连续时间滤波器(用拉氏域表示)和离散时间滤波器(用Z域表示)之间的转换,其转换关系如下:  将一个拉氏域的函数formula_31转换为Z域下的formula_32,或是  从Z域转换到拉氏域。借由双线性变换,复数的s平面(拉氏变换)可以映射到复数的z平面(Z转换)。这个转换是非线性的,可以将S平面的整个"j"Ω轴映射到Z平面的单位圆内。因此,傅立叶变换(在"j"Ω axis计算的拉氏变换)变成离散时间傅立叶变换,前提是假设其傅立叶变换存在,也就是拉氏变换的收敛区域包括"j"Ω轴。
title: 线性常系数差分方程.
content: 线性常系数差分(LCCD)方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。  上面等式两边可以同时除以 α,如果非零,正规化 α = 1,LCCD方程可以写成  LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 "y[n]" 是过去输出 "y[n−p]"、当前输入 "x[n]" 与之前输入 "x[n−q]" 的一个函数。
title: 传递函数.
content: 对上述方程去Z变换(使用线性和时移法则)得到  整理结果
title: 零点和极点.
content: 由代数基本定理得知分子有 "M" 个根(对应于 H 的零点)和分母有 N 个根(对应于极点)。用极点和零点重新整理传递函数为  其中 "q" 为 "k" 阶零点,"p" 为 "k" 阶极点。零点和极点通常是复数,当在复平面(z平面)作图时称为零极点图。  此外,在 "z" = 0 和 "z" = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的话,零点和极点的数目总会相等。  通过对分母因式分解,可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。
title: 输出响应.
content: 如果一个系统 "H(z)" 由信号 "X(z)" 驱动,那么输出为 "Y(z)" = "H(z)X(z)"。通过对 "Y(z)" 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 "y[n]"。在实际运用中,在分式分解 formula_39 之后再乘 "z" 产生 "Y(z)" 的一个形式(含有很容易计算逆Z变换的项)往往很有用。

Summary: 在数学和信号处理中,Z转换(英语:Z-transform)把一连串离散的实数或复数讯号,从时域转为复频域表示。