扎里斯基拓扑

title: 代数簇的扎里斯基拓扑.
content: 在古典的(即格罗滕迪克尚未于约 1960 年提出概形概念前)代数几何,扎里斯基拓扑是定义在代数簇上的。 扎里斯基拓扑定义该代数簇的代数子集为闭集。由于最简单的代数簇就是仿射簇和射影簇,有必要先明确给出其上扎里斯基拓扑的详细定义。以下取定 "k" 为一个代数闭域(古典代数几何的 "k" 几乎总是复数域)。
title: 仿射簇.
content: 首先定义仿射空间 formula_1(即 "k" 上的 "n" 维向量空间)上的拓扑。这个拓扑是通过指定其闭集,而非指定其开集来定义的。其所有闭集就是 其中 "S" 是 "k" 上任意的若干个 "n" 元多项式的集合。 可以验证: 因此,形如 "V"("S") 的集合,其有限并和任意交亦将具有此种形式,从而以该些集合为闭集,可以定义一个拓扑结构。(这等价于,它们的补集就是该拓扑的所有开集。记 "V(S) "的补集为 "D"("S"),称为"主开集 ")此谓之Z <math />  若 "X" 是一个仿射代数集(不论可约与否),则可将 "X" 视为某 formula_1 的子空间,并定义 "X" 上的扎里斯基拓扑为 formula_1 的扎里斯基拓扑的子空间拓扑。等价地,可以验证: 的元素作用在 "X" 上,正如 formula_8 的元素作用在 formula_9 等于 "X" 与 "V(S) "的交。  这就说明可以在任意仿射簇上定义一个扎里斯基拓扑。
title: 射影簇.
content: 在 formula_11 中,视任两个相差 "k" 中的标量倍的点为等同,这样得到的等价类的集合称为 "n" 维射影空间 formula_12 多项式环 formula_13 中的元素不都是 formula_14 上的函数,因为即使是同一点,也能以不同的坐标表示,而代入一个多项式时便会得到不同的值;但是却可以确定一个齐次多项式在某点是否为零,因为如果一点能以两组坐标表示,则一组为另一组的标量倍,而该标量可以在齐次多项式各项中提取出来。所以若 "S" 为若干个齐次多项式的集合,则可定义 上一节的几个结论,把「理想」一词换成本节的「齐次理想」之后,将继续适用。于是,对任意的齐次多项式集 "S, "以 "V"("S") 为闭集,可以定义 formula_12 同样以 "D"("S") 表示 "V(S)" 的补集,但当可能引起误会时,改为用 "D′"("S").  要定义射影代数集上的射影扎里斯基拓扑,正如定义仿射代数集上的仿射扎里斯基拓扑,将之定义为相应的射影空间的子空间拓扑即可。又或者,这个拓扑是射影坐标环内蕴的:根据仿射簇一节的等式,可以仅用坐标环的子集定义出一个射影代数集上的扎里斯基拓扑。
title: 性质.
content: 此种拓扑都具有一组基,该组基由对应每个多项式(对于射影簇,则为齐次多项式)"f" 的 "D"("f") 组成。要证明这些形式的元素组成一组基,可以考虑 ("S") 的各生成元所生成的主理想,并反复运用两个闭集的交的公式。这些" D(f) "称为 "特异 "(英语:distinguished) 开集或 "基 "(英语:basic) 开集。  由希尔伯特基定理和诺特环的基本性质,每个仿射或射影坐标环都是诺特环。于是,具有扎里斯基拓扑的仿射或射影空间都是诺特拓扑空间,故其中每一个闭集都是紧的。  然而,除了有限代数集,并无代数集是豪斯多夫空间。某些旧文献要求紧空间必须是豪斯多夫的,而代数几何通常沿用这个定义。于是,现今较常见的「紧」的意思,在代数几何学表达为「拟紧」(英语:quasicompact) 。不过因为每个点 ("a",..., "a") 都是多项式 "x" - "a",..., "x" - "a" 的零点集的唯一元素,单点集是闭集,所以每个簇都满足"T" 公理。  簇之间的正则映射相对其上的扎里斯基拓扑是连续的。而且,假如要求单点集均为闭集,又要保持正则映射的连续性,则扎里斯基拓扑是最弱(最少开集)而仍满足要求的拓扑。原因是,扎里斯基拓扑的闭集就是若干个多项式函数对 {0} 的原像的交,而多项式函数可视为映到formula_17 的正则函数。
title: 环的谱.
content: 现代代数几何里,一个代数簇经常用其对应的概形表示。这是一种局部同胚于一个环的谱的拓扑空间(此外还具有其他结构)。 交换环"A" 的 "谱 "记为 Spec("A"),是配备了扎里斯基拓扑的 "A" 的素理想集,其中闭集具有形式 当中 "I" 是一个理想。  这个定义与古典的定义有很大关系。根据希尔伯特零点定理,"V"("S") (按旧定义)有点 ("a",..., "a") 当且仅当理想 ("x" - "a",..., "x" - "a") 包含 "S";此外,由「弱」零点定理可知,该些理想均为极大理想,且任何仿射坐标环中的极大理想均具有此种形式。所以,"V"("S") 与包含 "S "的所有极大理想的集合是一样的。格罗滕迪克定义 Spec 的创新之处,是他将极大理想换成素理想。这样也可自然地定义环的谱上的闭集。  另一个诠释现代定义的方法更贴近旧有的。以下将给出一种方法,使 "A" 的元素可以作为 "A "的素理想集上的函数,因此也是 Spec "A "上的函数。注意每个素理想 "P" 都对应一个剩余域,即整环" A"/"P "的分式域。此外,"P" 的元素正是那些映到 "A"/"P" 会变成 0 的元素,所以对应 "A" 的每个元素 "a",可以定义以下映射: (「对 "a" 求值」),其将每个素理想映到 "a" 在该素理想的剩余域的像。如此,定义了 Spec "A" 上的函数(尽管其取值不都在同一个域上),且有 一般来说, 对任意的理想 "I"," V"("I")是使 "I" 中所有「函数」都取零值的点的集合,与古典的定义具有同样形式。若 "A" 为代数闭域 "k "上的多项式环,则 "A" 中的极大理想与 "k "的元素的 "n" 元组一一对应,且其剩余域就是 "k", 而「求值」运算正是将该 "n" 元组代入多项式中求值。从而本段的定义与古典的定义一致,即古典定义就是只考虑极大理想的现代定义,而当现代定义和古典定义两者皆适用时,也可将现代定义理解成「若干函数的零点集」。  正如 Spec 取代了仿射簇,Proj构造在现代代数几何中取代了射影簇。如同古典的情况,从仿射到射影,只须把理想皆换成齐次理想即可,不过此时要额外考虑无关极大理想(英语:irrelevant maximal ideal) 带来的特殊情况。
title: 性质.
content: 新的扎里斯里拓扑跟古典的最大分别在于,新拓扑中的点无须为闭点。格罗滕迪克引入了泛点,以扩展此定义。泛点即有最大闭包的点,其对应包含零理想的最小素理想。而闭点则对应 "A "的极大理想。不过注意,谱和射影谱也是" T" 空间,因为给定任意两点 "P", "Q", 其对应 "A" 中的两个互异的素理想,故必一个不包含另一个,假设 "P" 不包含 "Q", 则 "D "("Q") 包含 "P",但不包含" Q".  正如在古典代数几何所见,任何谱或射影谱都是(拟)紧的,且若该环为诺特环,则其谱是诺特空间。但是,这与一般直觉有所抵触。平常若一个开集是紧的,则其为空间的某个连通分支,而对仿射空间(例如欧几里得空间)来说,整个空间并非紧的。可见扎里斯基拓扑在几何上有其不当之处。格罗滕迪克引入了正常性的概念,用来描述概形和概形间的态射,使得紧的概念回复直观。其中 Proj 是正常的,但 Spec 不是。

Summary: 在代数几何和交换代数中,扎里斯基拓扑是定义在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出,及后用作给出一般交换环的素理想集的拓扑结构,称为环的谱。