分体拓扑学

title: 历史与研究动机.
content: 分体拓扑学开始于阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德的理论,在1916年至1929年间阐述于他出版的一些著作及文章。怀特黑德的早期研究在尼彭(Kneebone)(1963年: chpt. 13.5)与西门(Simons)(1987年: 2.9.1)的著作中均有讨论到。怀特黑德的理论在1929年出版的书"历程与实在(Process and Reality)"中扩大讨论到整体与部分的关系,这是夹杂着以诸如切点及连通空间的拓扑观念一起来讨论。尽管怀特黑德有如数学家版的洞察力,他的理论仍是不够充分且不是很正式的立论,甚至颇有瑕疵。经由证明怀特黑德理论能够被充分地正式化、且作一些订正,就此克拉克(Clarke)(1981年, 1985年)确立了现代化的分体拓扑学。 克拉克与怀特黑德的理论在赛门(Simons)(1987年: 2.10.2)及卢卡斯(Lucas)(2000年: chpt. 10)的书上都有讨论到。怀特黑德无点几何学入门观点包含两项现代怀特黑德理论的论述,因于基安吉阿卡茅·葛拉(Giangiacomo Gerla)的论说,理论上每项不同的论点将在下一章节中陈述说明。  虽然分体拓扑学是数学理论,不过我们将之后的发展归功于逻辑学家与理论计算机科学家。卢卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪与瓦力(1999年: chpts. 4,5)论述中提到分体拓扑学的有关引介,说到只要修过一阶逻辑的课程任何人都可以理解分体拓扑学的理论。更多进一步分体拓扑学的论述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作,而以复杂数学来论述的有罗艾伯(Roeper)(1997年)的著作。关于怀特黑德无点几何学的数学论述,参见葛拉(Gerla)(1995年)的著述。  巴力·史密斯(Barry Smith)(1996年)、安东尼·孔(Anthony Cohn)及共同作者、再则瓦力(Varzi)单独个人与其他人,他们所有人都证明分体拓扑学能够用在形式本体论与本体论,借此达到正式化关连的作用,诸如在切点、连通空间、边界、内部、孔洞(hole)等等上的应用。
title: 卡塞迪与瓦力较优法.
content: 卡塞迪与瓦力(1999年: chpt.4)阐述种种的分体论理论于一致的标记法上。这一章节阐述了一些巢状理论,而这些巢状理论在GEMTC的较优理论里也已发展到顶点了,接着咱们紧跟着他们的解说来走。在GEMTC的分体拓扑阐述中,有部分为GEM的传统理论。卡塞迪与瓦力也没有说到是否GEMTC的模型论包含到任何传统的拓扑空间。  我们以一些论域观点作为起始论述,它们的元素称为个体(即一个分体论同义词表示"个体的计算")。卡塞迪与瓦力较偏好限制本体论至实体物件,不过其他人就任意地应用分体拓扑理论来合理化几何图形与事件,并借由提出人工智能的研究工作来解决问题。  使用一个大写的拉丁字母来定义一个二元关系及谓词变量(英语:predicate),而谓词变量的字母关系到一阶逻辑的关系。从拉丁字母群(A-Z)的后段取用小写字母来定义变量范围,且及于整个定义域;而从字母群的初始段取用的小写字母就用来作为任意个体的名称。假如以一公式以原子公式表示再接着逻辑双如言,因此逻辑双如言右边的次公式表为原子公式的定义,他们的变量就为非约束形式。否则,变量不是外显性的量化而是内隐性的全称量化。底下所提的公理Cn系列对应到卡塞迪与瓦力(1999年: chpt. 4)著述里的公理C.n系列。  咱们从拓扑的基本理论谈起,如二元关系的"连接"特性;基本原子公式"Cxy"表示""x"是连接到"y""。连结是被控制着,至少,是经由这些公理来达成:  C1. formula_1 (自反关系)  C2. formula_2 (对称)  现在假定二元关系为"E",定义为:  formula_3  "Exy"读为""y"包围"x""且也全然为拓扑关系。而C1-2的表达结果即"E"是自反关系及传递关系,因此亦是预序关系。假如"E"也假定为外延公理,以致于:  formula_4  接着"E"被证明为反对称关系且因此变成为一偏序关系。在区域内,标记为"xKy",为怀特黑德理论(1919年,1925年)上的单一最初关系,且为分体拓扑学的起始点。  令"子集"(parthood)为主要分体论定义上最初的二元关系,且令原子公式"Pxy"定义作""x"是"y"的一部分"。咱们假设"P"为一偏序关系。称其为结果的最简化分体论M。  假如"x"为"y"的一部分,我们假定"y"包围"x":  C3. formula_5  C3精巧的连接分体论这个部分到拓扑学的范围内。  令"O"表示为这个分体论"重复"的二元关系,定义为:  formula_6  令"Oxy"表示为""x"与"y"重复",再着手进行"O"的处理,C3的结果为:  formula_7  要注意到逆命题(converse)是不需要一直坚持着。尽管情况显示重复是需要连结的,然而连结的情况是反而是不需要重复的。假如不是这种情况,拓扑学不会仅是一个分体论模式(这儿"重复"总是表示为原来的或是定义好的两种情况之一)。  基础分体拓扑学(MT)即表示这个理论含有最初的"C"与"P",定义的"E"与"O",及公理C1-3,而这些公理可以用来确定"P"即是偏序关系。在MT中以标准的外延公理分体论GEM来替代M产生GEMT理论.  令"IPxy"表示为""x"是"y"内之一部分","IP"定义为:  formula_8  令σ"x" φ("x")定义为所有在定义域满足φ("x")之分体逻辑和(合并)。σ为一约束变量前缀(英语:prefix)算子。GEM的公理假设φ("x")是一个一阶逻辑则这个和就存在着。根据现成的σ及"IP"关系的条件,咱们能定义"x"内部结构,formula_9 而这是"x"所有的内部部分"z"分体之和,或则:  formula_10  这个定义出两个简单结果为:  formula_11  这儿"W"表全体的个体部分,且  C5. formula_12 (子集)  算子 i 含有超过两个公理属性:  C6. formula_13 (等幂)  C7. formula_14  而"a"×"b"为"a"与"b"的分体乘积,在"Oab"不成立时并不定义。i分散在乘积里。  现在看得出来,对于拓扑学的内部算子而言i为同构。也因此i的对偶性(英语:duality)、拓扑闭包算子c,以i的观点可以被定义出来,且卡齐米日·库拉托夫斯基公理对c而言是一些定理。同样地,已知c的公理是类比于C5-7,i依c可以被定义,且C5-7可以成为定理。将C5-7加进GEMT而产生卡塞迪与瓦力较优分体拓扑理论,GEMTC。  "x"为"自我连接",假如它满足下列谓语变量逻辑:  formula_15  要注意到在定义上MT不但是单独、且为充分之最原始的及有定义的谓语变量。谓语变量"SC"可以正式成立需要的条件、是基于所给予的怀特黑德'的"历程与实在"书中所述:两个个体之分体逻辑和是能够存在:他们也必须是连结的。正式定义为:  C8. formula_16  给予一些分体拓扑X,加C8到X结果产生出卡塞迪与瓦力所称的X的"怀特黑德衍伸式",表记为WX。因此这个定理为WGEMTC,它的公理为C1-8。  C8的逆向为GEMTC定理。因此,已知一GEMTC的公理,假如"O"及"SC"视为起初的谓语变量,则"C"为一已定义的谓语变量。  假如主要的分体论是没有原子公式且比GEM来的弱,这公理确定是缺少原子公式(P9出于"卡塞迪与瓦力1999"的论述)那就可以被C9替代,如此则可以设想没有一个个体有拓扑边界:  C9. formula_17  当定义域包含有几何图形时,则边界值可以是点、曲线,或面。考虑到其它的本体论时、边界值能够代表什么意思,讨论起来不是一件简单的事情,在卡塞迪与瓦力(1999年: chpt. 5)的著作里有讨论到这些问题。

Summary: 在形式本体论(英语:英语:formal ontology)领域(形而上学的一个分支)以及在计算机与信息科学本体领域,分体拓扑学(英语:英语:mereotopology)是一种关于整体、部分、部分之部分以及部分间边界之间关系的,用于具体表达分体论及拓扑学概念的一阶理论(英语:英语:first-order theory)。