球對稱位勢

title: 薛定谔方程序.
content: 采用球坐标formula_11,将拉普拉斯算子formula_13展开:  满足薛定谔方程序的本征函数formula_4的形式为:  其中,formula_17,formula_18,formula_19,都是函数。formula_18与formula_19时常会合并为一个函数,称为球谐函数,formula_22。这样,本征函数formula_4的形式变为:
title: 角部分解答.
content: 参数为天顶角formula_9、方位角formula_10的球谐函数formula_27,满足角部分方程序  其中,非负整数formula_29是角动量的角量子数。formula_30(满足formula_31)是角动量对于z-轴的(量子化的)投影。不同的formula_29与formula_30给予不同的球谐函数解答formula_27:  其中,formula_36是虚数单位,formula_37是伴随勒让德多项式,用方程序定义为  而formula_39是formula_29阶勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为
title: 径向部分解答.
content: 将角部分解答代入薛定谔方程序,则可得到一个一维的二阶微分方程序:  设定函数formula_43。代入方程序(1)。经过一番繁杂的运算,可以得到  径向方程序变为  其中,有效位势formula_46。  这正是函数为formula_47,有效位势为formula_48的薛定谔方程序。径向距离formula_6的定义域是从formula_50到formula_51。新加入有效位势的项目,称为离心位势。  为了要更进一步解析方程序(2),必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。
title: 实例.
content: 在这里,有四个很特别、很重要的实例。这些实例都有一个共同点,那就是,它们的位势都是球对称的。因此,它们的角部分解答都是球谐函数。这四个实例是:
title: 真空状况实例.
content: 思考formula_52的状况,设定formula_60,在设定无因次的变量 代入方程序(2),定义formula_62,就会得到贝塞尔方程序,一个二阶常微分方程序:  贝塞尔方程序的解答是第一类贝塞尔函数formula_64;而formula_17是第一类球贝塞尔函数(真空解的边界条件要求原点的函数值有限,因此在原点趋于无穷的第二类球贝塞尔函数项的系数必须为零):  在真空里,一个粒子的薛定谔方程(即自由空间中的齐次亥姆霍兹方程)的解,以球坐标来表达,是球贝塞尔函数与球谐函数的乘积:  其中,归一常数formula_68,formula_29是非负整数,formula_30是整数,formula_71,formula_72是实数,formula_73。  这些解答都是角动量确定态的波函数。这些确定态都有明确的角动量。
title: 波函数归一化导引.
content: 波函数的角部分已经归一化,剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为  根据球贝塞尔函数的封闭方程序,  其中,formula_76,formula_77为克罗内克δ。  所以,formula_78。取平方根,归一常数formula_68。
title: 球对称的三维无限深方形位势阱.
content: 思考一个球对称的无限深方形阱,阱内位势为0,阱外位势为无限大。用方程序表达:  其中,formula_81是球对称阱的半径。  立刻,可以察觉,阱外的波函数是0;而由于阱内的薛定谔方程序与真空状况的薛定谔方程序相同,波函数是球贝塞尔函数formula_82。为了满足边界条件,波函数必须是连续的。匹配阱内与阱外的波函数,球贝塞尔函数在径向坐标formula_83之处必须等于0:  设定formula_85为formula_29阶球贝塞尔函数formula_87的第formula_88个0点,则formula_89。  那么,离散的能级formula_90为  薛定谔方程序的整个解答是  其中,归一常数formula_93。
title: 波函数归一化导引.
content: 波函数的角部分已经归一化,剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为  将球贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的关系方程序(4)代入积分:  设定变量formula_96,代入积分:  根据贝塞尔函数的正交归一性方程序,  其中,formula_99,formula_100为克罗内克δ,formula_101表示formula_102的第formula_88个0点。  注意到formula_104的第formula_88个0点formula_85也是formula_107的第formula_88个0点。所以,  取平方根,归一常数formula_110。
title: 三维均向谐振子.
content: 三维均向谐振子的位势为  其中,formula_112是角频率。  用阶梯算符的方法,可以证明N维谐振子的能量是  所以,三维均向谐振子的径向薛定谔方程序是  设定常数formula_115,  回想formula_117,则径向薛定谔方程序有一个归一化的解答:  其中,函数formula_119是广义拉盖尔多项式,formula_120是归一化常数:  本征能级formula_122的本征函数formula_123,乘以球谐函数formula_124,就是薛定谔方程序的整个解答:  其中formula_126。假若formula_88是偶数,设定formula_128;否则,设定formula_129。
title: 导引.
content: 在这导引里,径向方程序会被转换为广义拉盖尔微分方程序。这方程序的解是广义拉盖尔多项式。再将广义拉盖尔多项式归一化以后,就是所要的答案。  首先,将径向坐标无因次化,设定变量formula_130;其中,formula_116。则方程序(5)变为 其中,formula_133是新的函数。  当formula_134接近0时,方程序(6)最显著的项目是  所以,formula_136与formula_137成正比。  又当formula_134无穷远时,方程序(6)最显著的项目是  因此,formula_136与formula_141成正比。  为了除去formula_136在原点与无穷远的极限性态,达到孤立解答函数的形式的目的,必须使用formula_136的替换方程序:  经过一番运算,这个替换将微分方程序(6)转换为
title: 转换为广义拉盖尔方程序.
content: 设定变量formula_146,则微分算子为  代入方程序(7),就可得到广义拉盖尔方程序:  其中,函数formula_150。  假若,formula_151是一个非负整数,则广义拉盖尔方程序的解答是广义拉盖尔多项式:  因为formula_72是非负整数,要求
title: 波函数归一化.
content: 回忆到formula_117,径向函数可以表达为 其中,formula_120是归一常数。  formula_161的归一条件是 设定formula_163。将formula_123与formula_165代入积分方程序:  应用广义拉盖尔多项式的正交归一性,这方程序简化为  因此,归一常数可以表达为  应用伽玛函数的数学特性,同时注意formula_88与formula_29的奇偶性相同,可以导引出其它形式的归一常数。伽玛函数变为  在这里用到了双阶乘 (英语:double factorial)的定义。  所以,归一常数等于
title: 类氢原子.
content: 类氢原子只含有一个原子核与一个电子,是个简单的二体系统。两个物体之间,互相作用的位势遵守库仑定律:  其中,formula_174是真空电容率,formula_175是原子序,formula_176是单位电荷量,formula_6是电子离原子核的径向距离。  将位势代入方程序(1),  这方程序的解答是  其中,formula_180。formula_181近似于波耳半径formula_182。假若,原子核的质量是无限大的,则formula_183,并且,约化质量等于电子的质量,formula_184。formula_185是广义拉盖尔多项式,定义为  其中,formula_187是拉盖尔多项式,可用罗德里格公式表示为  为了满足formula_161的边界条件,formula_88必须是正值整数,能量也离散为能级formula_191。随着量子数的不同,函数formula_161与formula_27都会有对应的改变。为了要结束广义拉盖尔多项式的递回关系,必须要求formula_194。  知道径向函数formula_161与球谐函数formula_27的形式,就可以写出整个类氢原子量子态的波函数,也就是薛定谔方程序的整个解答:
title: 导引.
content: 为了要简化薛定谔方程序,设定能量与长度的原子单位 (英语:atomic unit)  将变量formula_200与formula_201代入径向薛定谔方程序(2):  这方程序有两类解答:  这条目只讲述第(1)类解答。设定正实数formula_206与formula_207。代入方程序(8):  当formula_209接近0时,方程序(9)最显著的项目是  所以,formula_211与formula_212成正比。  又当formula_209无穷远时,方程序(9)最显著的项目是  因此,formula_211与formula_216成正比。  为了除去formula_211在原点与无穷远的极限性态,达到孤立解答函数的形式的目的,必须使用formula_211的替换方程序:  经过一番运算,得到formula_220的方程序:  其中,formula_222。  假若,formula_223是个非负整数formula_72,则这方程序的解答是广义拉盖尔多项式  采用Abramowitz and Stegun的惯例。无因次的能量是  其中,主量子数formula_227满足formula_228,或formula_229。  由于formula_230,径向波函数是  能量是

Summary: 球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙交互作用的基本位势,像重力势、电势,都是球对称位势。这条目只讲述,在量子力学里,运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为,可以用薛定谔方程序表达为