外代数

title: 定义及运算律.
content: 外代数有很多种等价的定义,下面的定义是最简洁的一个。  定义: 设 formula_1是域 formula_39上的一个向量空间,让formula_40则定义 令 formula_27为 formula_1的张量代数的理想(即双边理想),该理想是由所有形如formula_44的张量生成的(其中formula_45任意),则将formula_1上的外代数formula_47定义为商代数formula_48,即  并且把formula_50的等价类 formula_51记为formula_52,其中 formula_53。设formula_54 称  为formula_1的formula_18-阶外幂(formula_18th exterior power of formula_1),称formula_60中的元素为formula_18-向量(formula_18-multivector)。  注:  运算律 将上面的注中的内容用formula_106写出,则分别给出  (1) formula_107, formula_108  证明如下: 作为等价类,我们从formula_109中任意挑选一个代表元formula_110,则formula_95而且formula_112。根据商代数的定义,  类似地,可以证明formula_114  (2) 根据注3.1中的内容,显然有formula_115.  (3) 根据注3.2中的内容,对任意formula_116成立着  注:即使formula_39的特征为2,这个公式也是对的,只不过此时有formula_119而已。  (4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质,运算formula_120满足结合律和分配律:  其中formula_124都是任意的。  以前两条性质为例,其证明如下:设张量formula_125分别是formula_126中的代表元,即formula_127, formula_128, formula_129, 则  (5) 根据上面的(3)和(4),用数学归纳法可以证明:formula_132 证明从略。
title: 基底和维数.
content: 若formula_1的维数是formula_135而formula_136是"formula_1"的基,则集合  是formula_18阶外幂formula_23的一个基。理由如下:给定任何如下形式的楔积  则每个向量formula_142可以记为基向量formula_143的一个线性组合;利用楔积的双线性性质,这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0;任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序,在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲,最后基formula_18-向量前的系数可以用通过积"formula_143"来描述"formula_142"的矩阵的子式来计算。  数一下基元素,我们可以看到formula_23的维数是"n" 取 "k"。特别的有, formula_148对于formula_149.  外代数是一个分级代数,是如下直和  其维数等于二项式系数之和,也就是formula_151.
title: 例子: 欧氏三维空间的外代数.
content: 考虑空间formula_152,其基为formula_153。一对向量 的楔积为  其中formula_157是三维空间formula_158的基底。  再加一个向量 这三个向量的楔积是  其中formula_161是一维空间formula_162的基底。  空间formula_163是formula_152, 而空间formula_165是formula_166。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间formula_167,这是八维向量空间  那么,给定一对8维向量formula_169和formula_170, 其中formula_169如上给出,而  formula_169和formula_170的楔积如下(用列向量表达),  容易验证8维楔积以向量formula_176为乘法幺元。也可以验证该formula_167代数的楔积是结合的(也是双线性的):  所以该代数是有单位且结合的。
title: 叉乘的实质,赝向量与赝标量.
content: 对三维欧几里得空间formula_179可以建立一个线性同构formula_180如下:任取formula_179的右手的标准正交基formula_182,formula_183,formula_184,规定formula_185把formula_186,formula_187,formula_188分别映射为formula_184,formula_182,formula_183,则formula_185的定义与右手的标准正交基如何选取无关。  不难看出,对任意向量formula_193和formula_194,这个线性同构把formula_195映射为formula_196。这就是叉乘(向量积)的实质。例如,formula_179中平行四边形formula_198的面积向量可以表示为formula_199,推广之后,高维黎曼流形formula_200中的紧的二维曲面formula_201的面积用  来计算(其中formula_203是度规张量场formula_204在formula_201上的诱导度规 formula_206 的坐标分量),由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。  物理学中经常要区分的向量(极向量)与赝向量(轴向量)这两个概念,现在就容易理解了:从根本上说,向量是formula_179中的元素,所以在空间反演变换下不会改变方向;而赝向量其实是formula_208中的元素,故在空间反演变换下会改变方向。  类似地,借助于右手的标准正交基,可以把formula_209中的元素formula_210映射为“标量"formula_211。但是,在空间反演变换下它就会原形毕露,所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的,而赝标量在空间反演下会改变符号。  把 2-向量formula_195映射为向量formula_196以及把 3-向量formula_210映射为一个实数formula_169的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。
title: 泛性质及构造.
content: 令formula_1为一个域formula_39(在多数应用中,也就是实数域)上的向量空间。formula_218是“最一般”的包含formula_1的并有一个交替乘法在"formula_1"上由单位的结合"formula_39"-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达:  要构造最一般的包含"formula_1"的代数,而且其乘法是在"formula_1"上交替的,很自然可以从包含"formula_1"的最一般的代数开始,也就是张量代数formula_225,然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取formula_225中由所有形为formula_227的元素生成的双边理想formula_27,其中formula_33属于"formula_1",并定义formula_218为商  (并且使用formula_5为formula_218中的乘法的代号)。然后可以直接证明formula_218包含"formula_1"并且满足上述泛性质。  如果不是先定义formula_218然后把外幂formula_23等同为特定的子空间,我们也可以先定义空间formula_23然后把它们合并成为一个代数formula_218。这个方法在微分集合中常常用到,并在下节中有描述。
title: 反对称算子和外幂.
content: 给定两个向量空间"formula_1"和formula_242,一个从formula_243到"formula_242"的"反对称算子"是一个多线性映射  使得只要formula_16是"formula_1"中线性相关的向量,则  最著名的例子是行列式值,从formula_249到formula_39的反对称线形算子。  映射  它关联"formula_1"中的formula_18个向量到他们的楔积,也就是它们相应的"formula_18"-向量,这也是反对称的。事实上,这个映射是定义在"formula_243"上的“最一般”的反对称算子:给定任何其它反对称算子formula_245,存在一个唯一的线性映射formula_257。这个泛性质表述了空间formula_23并且可以作为它的定义。  所有从"formula_243"到基域"formula_39"的反对称映射组成一个向量空间,因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若"formula_1"是有限维的,维数formula_135,则该空间可以认同为formula_263,其中formula_264表示"formula_1"的对偶空间。特别的有,从"formula_243"到"formula_39"的反对称映射的空间是formula_135取"formula_18"维的。  在这个等同关系下,若基域是formula_270或者formula_271,楔积有一个具体的形式:它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设formula_272和formula_273为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样,楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下:  其中多线性映射的交替formula_275定义为其变量的所有排列的带符号平均:  注意: 有一些书中楔积定义为
title: 指标记法.
content: 在主要由物理学家使用的指标记法中
title: 微分形式.
content: 令formula_279为一个微分流形。一个微分"k"-形式formula_280是formula_281(formula_279的余切丛的formula_18阶外幂)的一个截面。等价的有:formula_280是formula_279的光滑函数,对于formula_279的每个点formula_287给定一个formula_288的元素。大致来讲,微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具,其中,它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
title: 推广.
content: 给定一个交换环formula_270和一个"formula_270"-模"formula_279",我们可以定义和上文一样的外代数formula_292,它是张量代数formula_293适当的商。它会满足类似的泛性质。
title: 物理应用.
content: 格拉斯曼代数在物理中有重要应用,它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。  "参看":超空间,超代数,超群

Summary: 外代数(英语:Exterior algebra)也称为格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以纪念赫尔曼·格拉斯曼。