直言三段论

title: 语气和格.
content: 三段论形式如下: 其中S代表结论的主词(Subject),P代表结论的谓词(Predicate),M代表中词(Middle)。  三段论的命题可分为全称(universal)、特称(particular),及肯定、否定,组合起来有以下四类语气(Mood):  三段论中,结论中的谓词称作大词(P,或称大项),包含大词在内的前提称作大前提;结论中的主词称作小词(S,或称小项),包含小词在内的前提称作小前提;没有出现在结论,却在两个前提重复出现的称作中词(M,或称中项)。大词、中词、小词依不同排列方式,可分成四种格(Figure):  将以上整合在一起,三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一,又可分为4格,故总共有256种三段论(若考虑大前提与小前提对调,便有512种,但逻辑上是相同的)。  三段论依语气与格的分类缩写,例如AAA-1代表「大前提为A型,小前提为A型,结论为A型,第1格」的三段论。  此外,三段论的四种格之间可相互转换:  E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置,但可以在前项确实有元素存在的前提下,转换成与弱于原命题的I命题。O命题不能对换前后两项的位置。
title: 有效性.
content: 考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。  还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。  作为文氏图方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。  本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。  最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用这些规则来检验有效性。  基本规则:  其他检查:
title: 三段论式列表.
content: 总共有19个有效的论式(算结论弱化的5个论式则为24个有效论式),为便于记忆,中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字,每个名字的元音即是对应的语气,例如Barbara代表AAA。
title: 经典三段论式.
content: 下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。  所有M是P. <br>
title: 第1格.
content: 所有S是M. <br> ∴所有S是P.  formula_1  没有M是P. <br> 所有S是M. <br> ∴没有S是P.  formula_2  所有M是P. <br> 有些S是M. <br> ∴有些S是P.  formula_3  没有M是P. <br> 有些S是M. <br> ∴有些S不是P.  formula_4  没有P是M. <br>
title: 第2格.
content: 所有S是M. <br> ∴没有S是P.  formula_5  所有P是M. <br> 没有S是M. <br> ∴没有S是P.  formula_6  没有P是M. <br> 有些S是M. <br> ∴某些S不是P.  formula_7  所有P是M. <br> 某些S不是M. <br> ∴某些S不是P.  formula_8  所有M是P. <br>
title: 第3格.
content: 所有M是S. <br> ∴有些S是P. <br> (这种形式需要假定某些M确实存在。)  formula_9  有些M是P. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S是P.  formula_10  所有M是P. <br> 有些M是S. <br> ∴有些S是P.  formula_11  没有M是P. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S不是P. <br> (这种形式需要假定某些M确实存在。)  formula_12  某些M不是P. <br> 所有M是S. <br> ∴某些S不是P.  formula_13  没有M是P. <br> 有些M是S. <br> ∴某些S不是P.  formula_14
title: 增补的论式.
content: 第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充。  所有P是M. <br>
title: 第4格.
content: 所有M是S. <br> ∴有些S是P.<br> (这种形式需要假定某些P确实存在)  formula_15  所有P是M. <br> 没有M是S. <br> ∴没有S是P.  formula_16  有些P是M. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S是P.  formula_17  没有P是M. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S不是P.<br> (这种形式需要假定某些M确实存在)  formula_18  没有P是M. <br> 有些M是S. <br> ∴有些S不是P.  formula_19
title: 结论弱化的论式.
content: 在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可弱化论式中的结论A为I,结论E为O,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。它们是: AAI-1(弱化的AAA-1),EAO-1(弱化的EAE-1),EAO-2(弱化的EAE-2),AEO-2(弱化的AEE-2),AEO-4(弱化的AEE-4)。
title: 对附加的谓词演算公式的注解.
content: 按照布尔逻辑和集合代数的观点,三段论可以解释为:集合(类)S和集合M有某种二元关系,并且集合P和集合M有某种二元关系,从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:  将参与推理的命题分为两类:规则和事实,全称命题是规则,而特称命题只陈述事实:  两个规则可以推出一个新规则,一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实,两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作,因为推出的是两个否定的合取,不属于这四种命题之一。IE的组合都得出P不包含于S结论,不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。  首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上,所以是可直接推出结论。AA组合推出A,其中只有AAA-1是合理的,它推论出S包含于P的关系;第4格AA组合推论出P包含于S的关系,这不是四种命题之一,只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E,其中EAE-1和AEE-4是直接推出的,其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置,EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。  AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出 P不包含于S的结论,不属于四种命题之一。  其他论式都是一个全称命题作为规则,而另一个特称命题提出两个事实的合取,规则消去一个事实形成一个新事实,从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的,其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置,AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。OAO-3是直接推出的,它没有等价者。AOO-2没有等价者,这里对A命题采用了否定后件推理,历史上采用反证法,假定结论O命题不成立,它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果,所以结论成立。  历史上,对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4,如它们的拉丁语名字中的p所指示的,通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的(直言的意思就是无条件),这个问题被称为存在性引入问题。  最后,有全称结论的5个论式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化结论可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4,也可算入有效论式中。
title: 24论式图示.
content: 下表以文氏图展示24个有效直言三段论,不同栏表示不同的前提,不同外框颜色表示不同的结论,需要存在性默认的推理以虚线标示。

Summary: 直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。