秩 (线性代数)

title: 可替代定义.
title: 用行列式定义.
content: 设 formula_1 为 formula_9 矩阵。若 formula_1 至少有一个 formula_11 阶非零子式,而其所有 formula_12 阶子式全为零,则称 formula_11 为 formula_1 的秩。
title: 用向量组的秩定义.
content: 对于 formula_15 维线性空间 formula_16 中的一个向量组 formula_17,若 formula_18 中的 formula_11 个向量线性无关,且若 formula_20,formula_21 中 formula_12 个向量都线性相关,则称 formula_23 为 formula_24 的极大线性无关组,formula_11 为 formula_24 的秩。可以证明 formula_27 的秩等于向量组 formula_27 生成的子空间的维数。 矩阵 formula_1 的列秩定义为 formula_1 的列向量组的秩,也即矩阵的列空间的维数。类似地,矩阵的行秩定义为 formula_1 的行向量组的秩,即矩阵的行空间的维数。
title: 用线性映射定义.
content: 考虑线性映射:  对于每个矩阵 formula_1,formula_35 都是一个线性映射,同时,对每个 formula_36 的 线性映射 formula_37,都存在矩阵 formula_38使得 formula_39。也就是说,映射  是一个同构映射。所以一个矩阵 formula_1 的秩还可定义为 formula_35 的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。矩阵 formula_1 称为 formula_35 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵,因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 formula_46 的核的维度;秩-零化度定理声称它等于 formula_37 的像的维度。
title: 行秩列秩相等性.
content: 矩阵的行秩与列秩相等,是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是,矩阵可以看作线性映射的变换矩阵,列秩为像空间的维度,行秩为非零原像空间的维度,因此列秩与行秩相等,即像空间的维度与非零原像空间的维度相等(这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间:原像空间)。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。  给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的,仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵,第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间,也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.
title: 证明一.
content: 令 formula_1 是一个 formula_9 的矩阵,其列秩为 formula_11. 因此矩阵 formula_1 的列空间的维度是 formula_11. 令 formula_53 是 formula_1 的列空间的一组基,构成 formula_55 矩阵 formula_56的列向量 formula_57,并使得 formula_1 的每个列向量是 formula_56的formula_11 个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义,存在一个 formula_61 矩阵 formula_62, 使得 formula_63. (formula_1 的 formula_65 元素是 formula_66 与 formula_62 的第 formula_68 个行向量的点积.)  现在,由于 formula_63, formula_1 的每个行向量是 formula_62 的行向量的线性组合,这意味着 formula_1 的行向量空间被包含于 formula_62 的行向量空间之中. 因此 formula_1 的行秩 ≤ formula_62的行秩. 但formula_62仅有formula_11行, 所以formula_62的行秩 ≤ formula_11 = formula_1的列秩. 这就证明了formula_1的行秩 ≤ formula_1的列秩.  把上述证明过程中的“行”与“列”交换,利用对偶性质同样可证formula_1的列秩 ≤ formula_1的行秩。更简单的方法是考虑formula_1的转置矩阵formula_86,则formula_1的列秩 = formula_86的行秩 ≤ formula_86的列秩 = formula_1的行秩. 这证明了formula_1的列秩等于formula_1的行秩. 证毕.
title: 证明二.
content: 令formula_1是formula_9矩阵,其行秩是formula_11. 因此formula_1的行向量空间的维度是formula_11,设formula_98是formula_1的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待,则向量集formula_100是线性独立的。 这是因为对一组标量系数formula_53,如果: 其中formula_103. 则可以推出有两个事实: (a) formula_104是formula_1行向量空间的线性组合, 即formula_104属于formula_1的行向量空间;(b) 由于formula_108 = 0, formula_104正交于formula_1的所有行向量,从而正交于formula_1的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来,则formula_104正交于自身,这意味着formula_104 = 0. 由formula_104的定义: 再由formula_116是formula_1的行向量空间的一组线性独立的基,可知formula_118. formula_100因而是线性独立的.  formula_120是formula_1的列空间中的向量. 因此formula_100是formula_1的列空间中formula_11个线性独立的向量. 所以formula_1的列向量空间的维数(formula_1的列秩)必然不小于formula_11. 这证明了formula_1的行秩r ≤ formula_1的列秩. 把这一结果应用于formula_1的转置矩阵可以得到: formula_1的列秩 = formula_86的行秩 ≤ formula_86列秩 = formula_1的行秩. 这证明了formula_1的列秩等于formula_1的行秩,证毕.  最后, 还可以证明rk("A") = rk("A"), 其中"A"是"A"的共轭转置或称施密特转置. 当"A"的元素都是实数, 这一结果变为rk("A") = rk("A"). 然而对于复系数矩阵,rk("A") = rk("A")并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.
title: 证明三.
content: 令"A"是一个"m"×"n"矩阵. 定义rk(A)为"A"的列秩,"A"为"A"的共轭转置或称施密特转置. 首先可知"A""Ax" = 0当且仅当"Ax" = 0. 其中‖·‖是欧氏范数. 这说明"A"的零空间与"A""A"的零空间相同. 由秩-零化度定理, 可得rk("A") = rk("A""A"). "A""A"的每一个列向量是"A"的列向量的线性组合. 所以"A""A"的列空间是"A"的列空间的子空间. 从而rk("A""A") ≤ rk("A"). 即: rk("A") = rk("A""A") ≤ rk("A"). 应用这一结果于"A"可获得不等式: 由于("A") = "A", 可写作rk("A") ≤ rk(("A")) = rk("A"). 这证明了rk("A") = rk("A"). 证毕.
title: 性质.
content: 我们假定"A"是在域"F"上的"m" × "n"矩阵并描述了上述线性映射。
title: 向量组的线性相关性.
content: 将formula_15个formula_154维列向量排列成formula_155的矩阵"A",这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。  原向量组线性相关的充分必要条件为:  如果  则向量组线性无关。另外,不存在  特殊的,若向量的个数formula_15大于向量的维数formula_154,则根据:  这个向量组必然线性相关。
title: 计算.
content: 计算矩阵"A"的秩的最容易的方式是高斯消去法,即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵,由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,因此"A"的行梯阵形式有同"A"一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。  例如考虑4 × 4矩阵  我们看到第2纵列是第1纵列的两倍,而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的,所以"A"的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列"A"的行梯阵形式:  它有两个非零的横行。  在应用在计算机上的浮点数的时候,基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的,应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD),但还有更少代价的选择,比如有支点(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据,实际选择依赖于矩阵和应用二者。
title: 应用.
content: 计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则该方程组有解。在这种情况下,如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩,则方程组是不一致(Inconsistent)的。  在控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。

Summary: 在线性代数中,一个矩阵 formula_1 的列秩是 formula_1 的线性无关的纵列的极大数目。类似地,行秩是 formula_1 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵 formula_1 的秩。通常表示为 formula_5,formula_6 或formula_7。