球對稱位勢

title: 薛定谔方程序.
content: 采用球坐标formula_11,将拉普拉斯算子formula_13展开:  满足薛定谔方程序的本征函数formula_4的形式为:  其中,formula_17,formula_18,formula_19,都是函数。formula_18与formula_19时常会合并为一个函数,称为球谐函数,formula_22。这样,本征函数formula_4的形式变为:
title: 角部分解答.
content: 参数为天顶角formula_9、方位角formula_10的球谐函数formula_27,满足角部分方程序  其中,非负整数formula_29是角动量的角量子数。formula_30(满足formula_31)是角动量对于z-轴的(量子化的)投影。不同的formula_29与formula_30给予不同的球谐函数解答formula_27:  其中,formula_36是虚数单位,formula_37是伴随勒让德多项式,用方程序定义为  而formula_39是formula_29阶勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为
title: 径向部分解答.
content: 将角部分解答代入薛定谔方程序,则可得到一个一维的二阶微分方程序:  设定函数formula_43。代入方程序(1)。经过一番繁杂的运算,可以得到  径向方程序变为  其中,有效位势formula_46。  这正是函数为formula_47,有效位势为formula_48的薛定谔方程序。径向距离formula_6的定义域是从formula_50到formula_51。新加入有效位势的项目,称为离心位势。  为了要更进一步解析方程序(2),必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。
title: 实例.
content: 在这里,有四个很特别、很重要的实例。这些实例都有一个共同点,那就是,它们的位势都是球对称的。因此,它们的角部分解答都是球谐函数。这四个实例是:
title: 真空状况实例.
content: 思考formula_52的状况,设定formula_60,在设定无因次的变量 代入方程序(2),定义formula_62,就会得到贝塞尔方程序,一个二阶常微分方程序:  贝塞尔方程序的解答是第一类贝塞尔函数formula_64;而formula_17是第一类球贝塞尔函数(真空解的边界条件要求原点的函数值有限,因此在原点趋于无穷的第二类球贝塞尔函数项的系数必须为零):  在真空里,一个粒子的薛定谔方程(即自由空间中的齐次亥姆霍兹方程)的解,以球坐标来表达,是球贝塞尔函数与球谐函数的乘积:  其中,归一常数formula_68,formula_29是非负整数,formula_30是整数,formula_71,formula_72是实数,formula_73。  这些解答都是角动量确定态的波函数。这些确定态都有明确的角动量。
title: 波函数归一化导引.
content: 波函数的角部分已经归一化,剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为  根据球贝塞尔函数的封闭方程序,  其中,formula_76,formula_77为克罗内克δ。  所以,formula_78。取平方根,归一常数formula_68。
title: 球对称的三维无限深方形位势阱.
content: 思考一个球对称的无限深方形阱,阱内位势为0,阱外位势为无限大。用方程序表达:  其中,formula_81是球对称阱的半径。  立刻,可以察觉,阱外的波函数是0;而由于阱内的薛定谔方程序与真空状况的薛定谔方程序相同,波函数是球贝塞尔函数formula_82。为了满足边界条件,波函数必须是连续的。匹配阱内与阱外的波函数,球贝塞尔函数在径向坐标formula_83之处必须等于0:  设定formula_85为formula_29阶球贝塞尔函数formula_87的第formula_88个0点,则formula_89。  那么,离散的能级formula_90为  薛定谔方程序的整个解答是  其中,归一常数formula_93。
title: 波函数归一化导引.
content: 波函数的角部分已经归一化,剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为  将球贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的关系方程序(4)代入积分:  设定变量formula_96,代入积分:  根据贝塞尔函数的正交归一性方程序,  其中,formula_99,formula_100为克罗内克δ,formula_101表示formula_102的第formula_88个0点。  注意到formula_104的第formula_88个0点formula_85也是formula_107的第formula_88个0点。所以,  取平方根,归一常数formula_110。
title: 三维均向谐振子.
content: 三维均向谐振子的位势为  其中,formula_112是角频率。  用阶梯算符的方法,可以证明N维谐振子的能量是  所以,三维均向谐振子的径向薛定谔方程序是  设定常数formula_115,  回想formula_117,则径向薛定谔方程序有一个归一化的解答:  其中,函数formula_119是广义拉盖尔多项式,formula_120是归一化常数:  本征能级formula_122的本征函数formula_123,乘以球谐函数formula_124,就是薛定谔方程序的整个解答:  其中formula_126。假若formula_88是偶数,设定formula_128;否则,设定formula_129。
title: 导引.
content: 在这导引里,径向方程序会被转换为广义拉盖尔微分方程序。这方程序的解是广义拉盖尔多项式。再将广义拉盖尔多项式归一化以后,就是所要的答案。  首先,将径向坐标无因次化,设定变量formula_130;其中,formula_116。则方程序(5)变为 其中,formula_133是新的函数。  当formula_134接近0时,方程序(6)最显著的项目是  所以,formula_136与formula_137成正比。  又当formula_134无穷远时,方程序(6)最显著的项目是  因此,formula_136与formula_141成正比。  为了除去formula_136在原点与无穷远的极限性态,达到孤立解答函数的形式的目的,必须使用formula_136的替换方程序:  经过一番运算,这个替换将微分方程序(6)转换为
title: 转换为广义拉盖尔方程序.
content: 设定变量formula_146,则微分算子为  代入方程序(7),就可得到广义拉盖尔方程序:  其中,函数formula_150。  假若,formula_151是一个非负整数,则广义拉盖尔方程序的解答是广义拉盖尔多项式:  因为formula_72是非负整数,要求
title: 波函数归一化.
content: 回忆到formula_117,径向函数可以表达为 其中,formula_120是归一常数。  formula_161的归一条件是 设定formula_163。将formula_123与formula_165代入积分方程序:  应用广义拉盖尔多项式的正交归一性,这方程序简化为  因此,归一常数可以表达为  应用伽玛函数的数学特性,同时注意formula_88与formula_29的奇偶性相同,可以导引出其它形式的归一常数。伽玛函数变为  在这里用到了双阶乘 (英语:double factorial)的定义。  所以,归一常数等于
title: 类氢原子.
content: 类氢原子只含有一个原子核与一个电子,是个简单的二体系统。两个物体之间,互相作用的位势遵守库仑定律:  其中,formula_174是真空电容率,formula_175是原子序,formula_176是单位电荷量,formula_6是电子离原子核的径向距离。  将位势代入方程序(1),  这方程序的解答是  其中,formula_180。formula_181近似于波耳半径formula_182。假若,原子核的质量是无限大的,则formula_183,并且,约化质量等于电子的质量,formula_184。formula_185是广义拉盖尔多项式,定义为  其中,formula_187是拉盖尔多项式,可用罗德里格公式表示为  为了满足formula_161的边界条件,formula_88必须是正值整数,能量也离散为能级formula_191。随着量子数的不同,函数formula_161与formula_27都会有对应的改变。为了要结束广义拉盖尔多项式的递回关系,必须要求formula_194。  知道径向函数formula_161与球谐函数formula_27的形式,就可以写出整个类氢原子量子态的波函数,也就是薛定谔方程序的整个解答:
title: 导引.
content: 为了要简化薛定谔方程序,设定能量与长度的原子单位 (英语:atomic unit)  将变量formula_200与formula_201代入径向薛定谔方程序(2):  这方程序有两类解答:  这条目只讲述第(1)类解答。设定正实数formula_206与formula_207。代入方程序(8):  当formula_209接近0时,方程序(9)最显著的项目是  所以,formula_211与formula_212成正比。  又当formula_209无穷远时,方程序(9)最显著的项目是  因此,formula_211与formula_216成正比。  为了除去formula_211在原点与无穷远的极限性态,达到孤立解答函数的形式的目的,必须使用formula_211的替换方程序:  经过一番运算,得到formula_220的方程序:  其中,formula_222。  假若,formula_223是个非负整数formula_72,则这方程序的解答是广义拉盖尔多项式  采用Abramowitz and Stegun的惯例。无因次的能量是  其中,主量子数formula_227满足formula_228,或formula_229。  由于formula_230,径向波函数是  能量是

Summary: 球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙交互作用的基本位势,像重力势、电势,都是球对称位势。这条目只讲述,在量子力学里,运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为,可以用薛定谔方程序表达为

Mouvement dans un champ central symétrique: L'étude du mouvement dans un champ central symétrique correspond à la généralisation en mécanique quantique du problème à deux corps de la mécanique classique. Ce dernier est un modèle théorique important, notamment en astronomie où il permet de comprendre le mouvement des planètes autour du Soleil (ou d'une autre étoile), ou encore celui des satellites artificiels, au moins en première approximation. Il s'agit d'étudier le mouvement relatif de deux corps (de positions notées "M" et "M") supposés ponctuels (faibles dimensions devant les distances qui les séparent), de masses "m" et "m", interagissant par l'intermédiaire d'une force conservative ne dépendant que de la distance "r" entre ces deux corps, et dirigée suivant la direction "(MM)", le système global étant considéré comme isolé.