调和级数

title: 历史.
content: 早在14世纪,尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散,但知道的人不多。17世纪时,、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。  调和序列历来很受建筑师重视;这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时,运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例,并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。
title: 佯谬.
content: 对刚接触这个级数的人而言,调和级数是违反直觉的——尽管随着formula_5不断增大,formula_6无限接近0,但它却是一个发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行,而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋,蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米,那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗?与直觉相反,答案是肯定的:formula_5分钟之后,蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为:  由于调和级数发散(证明见本条目“发散性”一节),即formula_5趋于无穷大时级数也趋于无穷大,所以这个比值也必定在某个时刻超过1;也就是说,蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而,在这个时刻的n的值极其之大,约为formula_10,超过10(1后面有40个零)。这也说明了,尽管调和级数确确实实是发散的,但它发散的速度非常慢。  另一个例子:假设你有一堆完全相同的骨牌,可以肯定的是,你可以把它们叠在一起,并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度,最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是,只要你的骨牌足够多,你就可以使最上层的骨牌与最底层骨牌水平距离无穷远。一个较简单的证明如下:  设每一块骨牌的长度为formula_11。再设一叠formula_5个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为formula_13;在只有1个骨牌时,质心就在骨牌的几何中心(假设骨牌密度均匀),即formula_14。对于一叠刚好平衡的骨牌(即对于任意一层骨牌,在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘),新骨牌不置于其上方(否则使得质心往右偏移而倒塌),而是垫在整叠骨牌之下,并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端(则原来的骨牌不会倒塌);设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为formula_15,则有:formula_16。根据质心的坐标系计算公式,可得到新的骨牌叠的质心为:  则formula_18,即formula_19。  也就是说,理想的摆法是:最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的formula_2,第二、三层间水平距离是骨牌长度的formula_4,第三、四层之间水平距离是骨牌长度的formula_22......依此类推。最终,最顶层和最底层骨牌的水平距离是:  因为调和级数发散,所以当骨牌数目formula_5趋于无穷大时,水平距离也趋于无穷大。
title: 发散性.
title: 比较审敛法.
content: 因此该级数发散。
title: 积分判别法.
content: 通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高formula_6个单位(换句话说,每个长方形的面积都是formula_6),所以所有长方形的总面积就是调和级数的和: 矩形面积和:formula_31 而曲线formula_32以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出: 曲线下面积:formula_33 由于这一部分面积真包含于(换言之,小于)长方形总面积,长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说,这证明了:  这个方法的拓展即积分判别法。
title: 反证法.
content: 假设调和级数收敛, 则:  formula_35  但与 formula_36 矛盾,故假设不真,即调和级数发散。
title: 发散率.
content: 调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说,调和序列前10项的和还不足100。这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地,  其中formula_38是欧拉-马歇罗尼常数,而formula_39约等于formula_40,并且随着formula_41趋于正无穷而趋于formula_42。这个结果由欧拉给出。  当然无论调和级数发散率再怎样低,其都不是发散率最慢的级数,仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。
title: 部分和.
content: 调和级数的第formula_5个"部分和"为:  也叫作第n个调和数。  第n个调和数与formula_5的自然对数的差值(即formula_46)收敛于欧拉-马歇罗尼常数。  两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。  除了formula_47时以外,没有任何一个调和数是整数。
title: 相关级数.
title: 交错调和级数.
content: 如下级数: 被称作交错调和级数。这个级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地,这个级数的和等于2的自然对数: 这个公式是墨卡托级数(自然对数的泰勒级数形式)的一个特例。  从反正切函数的泰勒展开式可以导出一个相关级数: 这个级数也被称作π的莱布尼茨公式。
title: 广义调和级数.
content: 广义调和级数是指有如下形式的级数:  其中formula_52且formula_53为实数。  由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。
title: formula_54-级数.
content: 调和级数广义化的其中一个结果是formula_54-级数,定义如下:  其中P是任意正实数。当formula_57,formula_54-级数即调和级数。由积分判别法或柯西稠密判定法可知formula_54-级数在formula_60时收敛(此时级数又叫过调和级数(over-harmonic series)),而在formula_61时发散。 当formula_60时,formula_54-级数的和即formula_64,也就是黎曼ζ函数在formula_54的值。
title: formula_66-级数.
content: 对一个凸实值函数formula_66,若满足以下条件: 则级数formula_69收敛。
title: 随机调和级数.
content: 随机调和级数定义如下:  其中formula_71是独立的、恒等分布的随机变量,取值范围为+1和-1,取这两个值的概率都是formula_2。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质,并发现这个级数收敛的概率为1,并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地,这个随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为,与formula_73只差了不到10。施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是formula_73。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分formula_75除以formula_76而给出的。
title: 贫化调和级数.
content: 贫化调和级数(肯普纳级数)是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的,其和的极限为80。实际上,将包含任意数字串的项从调和级数中去除后,所剩级数都收敛。
title: 拉马努金求和.
content: 调和级数是柯西发散的,而且很多常用的发散级数求和方法(如博雷尔求和法)对它也不适用。但是,调和级数的拉马努金求和存在,且为欧拉-马斯刻若尼常数。

Summary: 调和级数(英语:Harmonic series)是一个发散的无穷级数,表达式为:

Série harmonique: En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls. Elle tire son nom par analogie avec la moyenne harmonique, de la même façon que les séries arithmétiques et géométriques peuvent être mises en parallèle avec les moyennes arithmétiques et géométriques.