康威十三进制函数

title: 康威十三进制函数.
title: 定义.
content: 为定义康威函数 formula_1 首先将自变量 formula_2 在十三进制下展开,并忽略展式中出现的正负号或小数点. (为保证唯一性,不妨令非零 formula_2 的展式中含有无穷项且不以 formula_4 结尾,并规定 formula_5;对于有限项展式则利用 formula_6 将其化为无穷项.)设十三进制所使用的13个字符为 formula_7 为方便起见,称其中的 formula_8 为"数码,"而 formula_9 为"字母." 康威函数的取值规则如下:  简言之,对于 formula_2 的无穷十三进制展式,忽略小数点和正负号,若从右往左数第一个字母为 formula_32 将其变为小数点,后面照抄;再从那一位开始往左数,遇到的第一个 formula_36 或 formula_37 变为相应的正负号,中间照抄;再左侧的全部删去. 所得的不包含字母的字符串可视为一个十进制数,即为 formula_38 其他情况下 formula_39.  例如:
title: 性质.
content: 如上定义的康威函数 formula_46 无处连续,却和连续函数一样满足介值性. 具体地说,对任何闭区间 formula_47 formula_21 在 formula_49 上可以取到介于 formula_50 和 formula_51 之间的任何值. 事实上 formula_46 还满足更强的性质——强达布性质,即 formula_46 在 formula_54 的每个非退化区间(左端点小于右端点的区间)上值域均为 formula_54;或等价地说,对每个 formula_56 formula_46 的水平集formula_58 在实轴上稠密. 显然,强达布性质蕴含介值性和无处连续性(因函数在连续点的某个邻域内有界).  对强达布性质的证明,关键在于康威函数的定义本质上只与自变量十三进制展式的尾部有关. 详言之,对任意 formula_59 首先写出 formula_60 的唯一无限十进制展式,之后将其小数点变为 formula_32 正负号分别变为 formula_36 或 formula_63 然后在其头部(即左侧)添加任意一个位数有限的十三进制字符串formula_64,再随意添加一个小数点和一个正负号,可得一个新的十三进制数. 根据康威函数的构造,按此法所得的新的十三进制数均在 formula_65 中,反之亦然(此时要求 formula_66). 事实上这正是康威函数的非零水平集(除零点集之外的其他水平集)之刻画:以 formula_67 为例,formula_68 由所有十三进制展式中(忽略小数点)尾部为 formula_69 的实数组成,例如formula_70 若 formula_71,formula_72 由所有十三进制展式中尾部为 formula_73 的实数组成.  因此,对任何非退化区间 formula_74 设其长度formula_75 并记 formula_76 为 formula_77 的中点. 对于 formula_76 的十三进制展式,保持其整数部分和小数点后 formula_79 位不动,将其右侧修改为任意的十三进制字符串 formula_80 其中 formula_81 为数码,则 formula_82 只由 formula_83 决定, 且所得的新十三进制数 formula_84 与 formula_76 的整数部分和小数部分前 formula_79 位都相同,故 formula_87 即 formula_88 可见只要适当选取 formula_89 formula_90 跑遍所有实数,即 formula_46 满足强达布性质,换言之 formula_46 的所有水平集都稠密.  从水平集的可数性角度考虑,康威函数 formula_46 在 formula_54 上的所有非零水平集均可数,而其零点集 formula_95 不可数. 前一论断是因为非零水平集的十三进制展式尾部须固定,而其左侧仅有有限项;后一论断是因为 formula_95 包含所有十三进制展式仅由数码构成(不包含字母)的实数,此类数构成的集合到 formula_97 中实数的小数部分有一个自然的满射,故不可数(因 formula_97 不可数),从而 formula_95 亦不可数.  康威函数 formula_46 是几乎处处为0的可测函数,事实上其零点集的补集 formula_101 是稠密且不可数的零测集(注意,康威函数的每个非零水平集都可数,但它们的并集不可数). 由 formula_46 的强达布性质, formula_103 的稠密性显然,不可数性亦为其推论:formula_46 的每一个水平集都非空,而不可数个非空集合之并必定不可数. formula_103 的零测性蕴含于下述两个事实:第一, formula_103 中每点的十三进制展式中仅有有限个字母;第二,对于任何一个字符,例如 formula_107 十三进制展式中仅包含有限个 formula_36 的实数全体为零测集. (后一个事实的证明类似于康托三分集为零测集的证明.)
title: 推广.
content: 康威函数 formula_46 的任一非零水平集虽稠密但可数. 一个自然的问题是:是否存在一个函数,其所有水平集不但稠密而且不可数. 答案是肯定的,并可由康威函数稍加改造而说明. 具体地讲,在康威函数的定义中,将 formula_21 的十进制小数部分由 formula_111 变为 formula_112 其他一律照旧,所构造的新函数称为 formula_113 则 formula_114 的任一水平集为不可数稠密集.  证明亦类似. 因 formula_115 故 formula_114 的零点集为不可数稠密集. 对于 formula_114 的非零水平集 formula_118,不妨设 formula_119 则 formula_118 恰为十三进制展式形如formula_121 的实数组成的集合(忽略正负号和小数点),其中 formula_64 取遍位数有限的十三进制字符串,formula_123 取遍由数码组成的无穷序列. 由 formula_64 的任意性,formula_125 稠密;其不可数性源于 formula_126 为不可数集.

Summary: 康威十三进制函数,或简称为康威函数,是由英国数学家约翰·康威构造的一个实函数(实变实值). 康威函数满足强达布性质:它限制在任一非空开区间上的值域都是全体实数. 作为推论,康威函数在实轴上无处连续,但和连续函数一样也满足介值性. 因此,康威函数可用来说明介值定理的逆命题不真,即一个函数的介值性并不蕴含它的连续性.

Fonction de Conway en base 13: La fonction de Conway en base 13, créée par le mathématicien britannique John H. Conway, est un contre-exemple extrême à la réciproque du théorème des valeurs intermédiaires. En effet, bien que cette fonction réelle "f" soit discontinue en tout point, elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire que pour tous réels "a", "b" et "r" tels que "f"("a") < "r" < "f"("b"), il existe "c" entre "a" et "b" tel que "f"("c") = "r". En réalité, la fonction vérifie une propriété bien plus forte que les deux précédentes : l'image par "f" de tout intervalle non trivial est R.