复合函数

title: 性质.
content: 函数的复合总是可结合的—这个性质来自于复合关系。 也就是说,如果,, 适当选择定义域和到达域,就会有,其中括号表示优先进行复合。由于括号如何放置没有分别,因此可以不用括号,也不会引起任何歧义。  严格来说,只有当 的到达域等于 的定义域时,才可以构造复合 ;更宽泛地说,只要前者是后者的子集就足够了。 此外,通常很容易通过限制 的定义域,使得 产生的值都在n 的定义域内;例如,函数 定义为,函数 定义为 复合而成的,可以把定义域限制在区间 上。 当 时,我们会说 和 是可交换的。可交换性是一个特殊的性质,只有特定函数具有,而且通常是在特定的情况下满足。例如,仅当 时 。上图也是一个说明可交换性例子。  一一对应函数的复合函数总是一一对应的。同样,两个满射函数的复合也总是满射的。因此,两个双射的复合也还是双射。复合函数的反函数(假定函数可逆)具有性质 。  涉及到可导函数的复合函数的导数,可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。
title: 复合幺半群.
content: 假设我们有两个(或多个)函数,定义域与到达域相同;这些函数一般称作变换。于是,我们可以构造多个变换复合而成的链,比如 。这种链具有幺半群的代数结构,称作变换幺半群或者复合幺半群。通常,变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 的集合称作 上的全变换半群或对称半群。(我们其实可以定义两个半群,这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。) 如果变换是双射(也就可逆),则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群;可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凯莱定理从本质上表明,(在同构意义下)任何群都是某一置换群的子群。  所有双射函数 (称作置换)的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群,有时称作复合群。  在(所有变换的)对称半群中,我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换(称作伪逆),因为对称子群是一个正则半群。
title: 函数幂.
content: 如果,则 有可能可以与自身复合;这有时候记作 。即:  更一般地,对于 的自然数, 次函数幂可以归纳定义为. 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。  注意:若 在一个环内取值(特别是对于实值或复值),存在混淆的风险,因为 也可以表示 的 次乘积,比如. 对于三角函数,通常会使用后者的含义,至少对于正指数是这样。例如,在三角学中,使用三角函数 的时候,这个上标记号表示标准的指数运算。不过,对于负指数(特别是 −1),则通常指的是反函数,例如,.  在一些情况下,对于给定函数,方程 只有一个解 的时候,该函数可以定义为 的函数平方根,记作.  更一般地,当 只有唯一解时(自然数 ),可以定义为.  在额外的限制下,这个想法还可以推广,使得迭代函数可以是一个连续的参数;在此情形下,这样的系统称作流,由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。  为避免混淆,有些数学家把 的 "n" 次迭代写作.
title: 其他记法.
content: 许多数学家,特别是群论方面的数学家,省去复合符号,把 写作.  在20世纪中叶,一些数学家认为用“”来表示“首先施加,然后施加 ”太令人困惑,于是决定改变记法。他们用“”来代表“”,用“”来代表“”。 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中,当 为行向量, 和 表示矩阵,而复合是通过矩阵乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要,因为函数复合不一定是可交换的(比如矩阵乘法)。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。  使用后缀表示法的数学家可能会写“”,表示先施加 再施加,这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致,不过这就会让“”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 来表示 [1],这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来,在Z表示法(Z notation)中 ⨾ 字符用于左关系复合。 由于所有函数都是二元关系,在函数复合中也应该用[粗]分号(参见 关系复合条目了解此记法的详细内容)。
title: 复合算子.
content: 给定函数,复合算子 定义为使得  的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。
title: 多元函数.
content: 对于多元函数来说,部分复合是有可能的。当函数 的部分参数 由 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中,记作  当 是一个常数 时,复合退化为一个(部分)求值,其结果就会是限制或者辅因子。  通常,多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数,如原始递归函数的定义。给定,一个 元函数, 个 元函数, 与 的复合是 元函数  这有时称作 "f" 与 的广义复合。 在这个一般化的情形中,可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数,只保留一个参数函数,就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意,在这个一般化情形中, 可以看作是单个向量或元组值函数,这样理解的话,这就是复合函数的标准定义。  某些基本集 "X" 上的一些有限性运算称作克隆,它们需要包含所有射影,并且在广义复合下封闭。请注意,克隆通常包含各种元数(arity)的运算。 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广:如果元数 "n"的函数 "f" 是保持 "g" 的同态函数("g" 的元数为 "m"),则可以说 "f"与 "g" 是可交换的,反之亦然。例如:  一元运算总是与自己可交换,但二元(或者更多元)运算不一定如此。与自身可交换的二元(或更多元)运算称为medial或entropic。
title: 推广.
content: 复合可以推广到任意二元关系。若 与 是两个二元关系,则它们的复合 是定义为. 考虑二元关系的一个特殊情形(函数关系),复合函数满足关系复合的定义。  偏函数的复合可是用相同方式定义的定义,有一个类似凯莱定理(Cayley's theorem)的定理叫做Wagner-Preston定理。  具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴(prototypical category)。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质(和定义)启发。 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广,函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 中的反序复合,同样适用于使用逆关系的关系复合,因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。
title: 排版.
content: 复合算子 编码为。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中,写作codice_1。

Summary: 在数学中,复合函数(英语:function composition)是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果,所得到的第三个函数。例如,函数 和 可以复合,得到从 中的 映射到 中 的函数。直观来说,如果 是 的函数, 是 的函数,那么 是 的函数。得到的复合函数记作,定义为对 中的所有,。 直观地说,复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程,内函数的输出就是外函数的输入。

Composition de fonctions: En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d'applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).