角动量算符

title: 简介.
content: 角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里,如同能量和动量,角动量是守恒的。在量子力学里,角动量算符的概念是必要的,因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数,而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界,分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其几率性行为,而不是命定性(英语:deterministic)行为。
title: 数学定义.
content: 在经典力学里,角动量 formula_1 定义为位置 formula_2 与动量 formula_3 的叉积:  在量子力学里,对应的角动量算符 formula_5 定义为位置算符 formula_6 与动量算符 formula_7 的叉积:  由于动量算符的形式为  角动量算符的形式为  其中,formula_11 是梯度算符。
title: 角动量是厄米算符.
content: 在量子力学里,每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量,所以,角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点,思考角动量算符的 x-分量 formula_12 :  其伴随算符 formula_14 为 由于 formula_16 、formula_17 、formula_18 、formula_19,都是厄米算符,  由于 formula_19 与 formula_16 之间、formula_18 与 formula_17 之间分别相互对易,所以,  因此,formula_12 是一个厄米算符。类似地,formula_27 与 formula_28 都是厄米算符。总结,角动量算符是厄米算符。  再思考 formula_29 算符,  其伴随算符 formula_31 为  由于 formula_33 算符、formula_34 算符、formula_35 算符,都是厄米算符,  所以,formula_29 算符是厄米算符。
title: 对易关系.
content: 两个算符 formula_38 与 formula_39 的交换算符 formula_40,表示出它们之间的对易关系。
title: 角动量算符与自己的对易关系.
content: 思考 formula_12 与 formula_27 的交换算符,  由于两者的对易关系不等于 0, formula_44 与 formula_45 彼此是不相容可观察量。formula_12 与 formula_27 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言,formula_12 的本征态与 formula_27 的本征态不同。  给予一个量子系统,量子态为 formula_50 。对于可观察量算符 formula_12,所有本征值为 formula_52 的本征态 formula_53,形成了一组基底量子态。量子态 formula_50 可以表达为这基底量子态的线性组合:formula_55 。对于可观察量算符 formula_27,所有本征值为 formula_57 的本征态 formula_58,形成了另外一组基底量子态。量子态 formula_50 可以表达为这基底量子态的线性组合:formula_60 。  根据哥本哈根诠释,量子测量可以用量子态塌缩机制来诠释。假若,我们测量可观察量 formula_44,得到的测量值为其本征值 formula_52,则量子态几率地塌缩为本征态 formula_63 。假若,我们立刻再测量可观察量 formula_44,得到的答案必定是 formula_52,量子态仍旧处于 formula_63 。可是,假若,我们改为测量可观察量 formula_45,则量子态不会停留于本征态 formula_63,而会塌缩为 formula_27 的本征态。假若,得到的测量值为其本征值 formula_70,则量子态几率地塌缩为本征态 formula_71 。  根据不确定性原理,  formula_44 的不确定性与 formula_45 的不确定性的乘积 formula_75,必定大于或等于 formula_76 。  formula_44 与 formula_78 之间,formula_45 与 formula_78 之间,也有类似的特性。
title: 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系.
content: 思考 formula_29 与 formula_28 的交换算符,  formula_84 与 formula_28 是对易的,formula_86 与 formula_78 彼此是相容可观察量,两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理,我们可以同时地测量到 formula_86 与 formula_78 的本征值。  类似地,  formula_29 与 formula_12 之间、formula_29 与 formula_27 之间,都分别拥有类似的物理特性。
title: 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系.
content: 思考哈密顿算符 formula_96 与 formula_28 的交换算符,  formula_96 与 formula_28 是对易的,formula_101 与 formula_78 彼此是相容可观察量,两个算符拥有共同的本征态。根据不确定性原理,我们可以同时地测量到 formula_101 与 formula_78 的同样的本征值。  类似地,  formula_96 与 formula_12 之间,formula_96 与 formula_27 之间,都分别拥有类似的物理特性。
title: 在经典力学里的对易关系.
content: 在经典力学里,角动量算符也遵守类似的对易关系:  其中,formula_112 是帕松括号,formula_113 是列维-奇维塔符号,formula_114 、formula_115 、formula_116,代表直角坐标 formula_117 。
title: 本征值与本征函数.
content: 采用球坐标。展开角动量算符的方程序:  其中,formula_119 、formula_120 、formula_121,分别为径向单位向量、天顶角单位向量、与方位角单位向量。  转换回直角坐标,  其中,formula_123 、formula_124 、formula_125,分别为 x-单位向量、y-单位向量、与 z-单位向量。  所以,formula_12 、formula_27 、formula_28 分别是  角动量平方算符是  其中,  经过一番繁杂的运算,终于得到想要的方程序  满足算符 formula_29 的本征函数是球谐函数 formula_140 :  其中,本征值 formula_142 是正整数。  球谐函数也是满足算符 formula_28 微分方程序的本征函数:  其中,本征值 formula_145 是整数,formula_146 。  因为这两个算符的正则对易关系是 0,它们可以有共同的本征函数。  球谐函数 formula_140 表达为  其中,formula_114 是虚数单位,formula_150 是伴随勒让德多项式,用方程序定义为  而 formula_152 是 formula_153 阶勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为:  球谐函数满足正交归一性:  这样,角动量算符的本征函数,形成一组单范正交基。任意波函数 formula_156 都可以表达为这单范正交基的线性组合:  其中,formula_158 。

Summary: 在量子力学里,角动量算符(英语:angular momentum operator)是一种算符,类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性(英语:rotational symmetry)的理论里,角动量算符占有中心的角色。角动量,动量,与能量是物体运动的三个基本特性。

Angular momentum operator: In quantum mechanics, the angular momentum operator is one of several related operators analogous to classical angular momentum. The angular momentum operator plays a central role in the theory of atomic physics and other quantum problems involving rotational symmetry. In both classical and quantum mechanical systems, angular momentum (together with linear momentum and energy) is one of the three fundamental properties of motion.