谱序列

title: 动机.
content: 让·勒雷当初为了研究代数拓扑学,而引入层的概念,从而面临计算层上同调的问题。为此,勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法,它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。  人们很快就发现:勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题;更抽象地说,对合成函子取导函子也会得到谱序列,称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架,谱序列仍是最有效的计算工具。  由于谱序列包含大量的项,实际计算时往往会陷入带(至少)三重指标的群或模的迷阵。在许多实际状况中,谱序列最后会「塌陷」,此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷,则须靠一些窍门取得有用的资讯。
title: 形式定义.
content: 以下固定一个阿贝尔范畴 formula_1,常见例子是一个环上的模范畴。谱序列是一个非负整数 formula_2 及下述资料:  通常省去 formula_7 与 formula_8 的同构,而写成等式。  最基本的例子是链复形 formula_11,它带有一个微分 formula_12。取 formula_13,并令 formula_14,于是必有 formula_15;这个新链复形上的微分只有一个自然的选择,就是零映射。于是有 formula_16。综之,我们得到一个链复形范畴上的谱序列:  由于只有 formula_19 时微分映射才可能非零,此序列在第一步后就不含任何新资讯。  较常见的是双分次模(或层)范畴上的谱序列,表作 formula_20,此时的微分映射次数与 formula_21 有关:对于上同调谱序列,formula_5 的次数是 formula_23。对于同调谱序列,通常将各项写成 formula_4,微分映射 formula_25 的次数是 formula_26。  谱序列之间的态射 formula_27 定义为一族态射 formula_28,使之与同构 formula_29 交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。
title: 正合偶.
content: 交换代数中大部分的谱序列来自链复形,而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见,此时对于许多谱序列,正合偶是唯一已知的构造法。事实上,正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。  同样固定一个阿贝尔范畴(通常取一个环上的双分次模)formula_1,一个正合偶是:  使之满足下述正合条件:  将这组资料简记为 formula_35。正合偶通常以三角形表示。formula_36 对应到谱序列的 formula_37 项,而 formula_38 是一些辅助资料。  为了得到谱序列的后续项,以下将构造导出偶。令:  现在可以验证 formula_54 构成正合偶。formula_52 对应到谱序列的 formula_56 项。续行此法,可以得到一族正合偶 formula_57。相应的谱序列定义为 formula_58,formula_59。
title: 图解.
content: 一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯,不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 formula_60。对每个 formula_21,设想有一张方格纸,分别让 formula_62 对应于横、纵轴。每一个格子点 formula_63 对应到对象 formula_20。微分 formula_65 的次数为 formula_66,方向如图所示。
title: 收敛与退化.
content: 在第一个简单的例子中,谱序列在 formula_67 后的微分映射皆为零,故不再改变。这时可定义该谱序列的极限为 formula_68。对于一般的谱序列,也往往存在一个极限,极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。  定义:若谱序列 formula_20 对每个 formula_63 都存在 formula_71,使得当 formula_72 时,formula_73 及 formula_74 皆为零,则称 formula_20 之极限项为 formula_76(取充分大的 formula_21)。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列,此时极限项恒存在。  其中的指标 formula_78 指涉过滤结构。  若存在对象 formula_79、过滤结构 formula_80,及一族同构 formula_81,满足 formula_82(这种过滤称为「正则过滤」),则称 formula_20 收敛到 formula_79,通常表为下述符号:  习惯上,人们也常将左式写成 formula_86,因为谱序列中最重要的页往往是 formula_86。  最简单的收敛特例是退化:  定义:固定 formula_88,若对每个 formula_89,微分映射 formula_90 都是零,则称该谱序列在第 formula_21 页退化。  退化性保证了 formula_92,此时 formula_4 即其极限。如果一个双分次谱序列 formula_20 的非零项集中于某一条水平或垂直线上,则必在 formula_95 时退化。
title: 例子.
title: 过滤结构导出的谱序列.
content: 最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象,通常是链复形或上链复形。这是一个对象 formula_36 及微分映射 formula_97,使之满足 formula_98,以及  同调群上也有相应的过滤  对此,定义相应的分次对象  取微分映射为零,可视之为复形。  以下式定义谱序列:  此时有 formula_106,且谱序列收敛: 通常也写成 formula_108。  取 formula_1 为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 formula_36 是个上链复形 formula_111,formula_12 是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 formula_113,并可进一步化成下述形式:
title: 双复形的谱序列.
content: 以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形,即一组对象 formula_117,及两组微分映射 formula_118 及 formula_119,满足  对一个双复形,可定义其全复形 formula_122(也记为 formula_123 或 formula_124) 为  formula_36 上有两组过滤,分别是:  它们给出两个谱序列 formula_130 与 formula_131。首先计算 formula_132 项:  同理可计算 formula_136:  这两个谱序列通常是不同的,但随着 formula_21 增大,它们都收敛到 formula_141,由此可以得到一些有趣的比较定理。
title: 例子.
title: Tor函子的交换性.
content: 利用谱序列,可以迅速导出Tor函子的交换性,即一自然同构:  取定平坦分解 formula_143 及 formula_144。视之为集中于正项的复形,其微分映射分别记为 formula_145。考虑双复形 formula_146,其微分映射定义为 formula_147(以使微分映射满足反交换性)。取其谱序列,遂得到:  由于复形 formula_150 是平坦分解,其同调群只集中在零次项,此时其表示式为:  故 formula_153 只在 formula_154 上有非零项,而 formula_155 只在 formula_156 上有非零项,这保证了谱序列在第二页退化,由此导出同构:  当 formula_159 时,上述等式的右项同构(虽然其分次结构不同),由此得到 Tor 的交换性。
title: 示性数.
content: 运用谱序列时,通常会假设某些项为零,或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知,仍可从谱序列中萃取资讯,最简单的例子是示性数:固定一个阿贝尔范畴 formula_1 及一个交换群 formula_36,所谓示性数是一个函数 formula_162,满足: 例如:取 formula_1 为某个域 formula_166 上的有限维向量空间范畴,则 formula_167 是一个示性数。  对任一 formula_1 上的有限复形 formula_169,定义  容易证明 formula_171。考虑任一在 formula_1 上的收敛谱序列 formula_173,由于谱序列的每一页都是前一页的同调,遂得到 然而 于是得到

Summary: 在同调代数中,谱序列是一种借着逐步逼近以计算同调或上同调群的技术,由让·勒雷在1946年首创。其应用见诸代数拓扑、群上同调与同伦理论。

Spectral sequence: In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by, they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.