作用量-角度坐标

title: 导引.
title: 保守的哈密顿量系统.
content: 假设,在一个物理系统里,哈密顿量是保守的,也就是说,哈密顿量 formula_1 不显含时间;  其中,formula_3 是运动常数,formula_4 是广义坐标,formula_5 是广义动量。  采用哈密顿特征函数 formula_6 为正则变换的第二型生成函数。变换方程序为  其中,formula_9 是新广义坐标,formula_10 是新广义动量。  新哈密顿量 formula_11 与旧哈密顿量 formula_1 相等:  新广义动量的哈密顿方程序为  所以,新广义动量是常数 formula_15 :  假设,这物理系统的哈密顿-亚可比方程序 formula_17 为完全可分的,则哈密顿特征函数 formula_6 可以分离为 formula_19 个函数 formula_20 :  哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是
title: 周期性运动.
content: 假若,粒子的运动是周期性运动,最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动,则可以设计一个新正则坐标-作用量-角度坐标 formula_24 。定义作用量为  这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。  由于广义动量 formula_26 只跟 formula_27 、formula_15 有关,经过积分,作用量formula_29 只跟 formula_15 有关。所以,作用量向量 formula_31 只是个常数向量。哈密顿特征函数可以表达为  虽然是同样的物理量,函数的参数不同,形式也不同。  定义角度 formula_33 为  由于所有的广义坐标 formula_27 都相互独立,所有的广义动量 formula_26 也都相互独立,所以,所有的作用量 formula_37 都相互独立,作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样,哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为  新哈密顿量 formula_39 与旧哈密顿量 formula_1 相等:  因为作用量 formula_42 只是常数向量,所以,  新哈密顿量 formula_44,只跟作用量 formula_31 有关,跟角度 formula_33 无关。  角度 formula_47 随时间的导数 formula_48,可以用哈密顿方程序决定:  每一个 formula_37 都是常数,所以,formula_51 也是常数:  其中,formula_53 是积分常数。
title: 运动频率.
content: 假设原本广义坐标 formula_54 的振荡或旋转的运动周期为 formula_55,则其对应的角度变量 formula_56 的改变是 formula_57 。进一步了解物理量 formula_48 的性质,猜想 formula_48 与广义坐标 formula_54 周期性运动的频率有关。可是,因为角度 formula_56 是广义座标 formula_4 与作用量 formula_31 的函数,无法确定前面的猜想。为了证实这论点,计算周期 formula_55 :  新哈密顿量 formula_66 与旧哈密顿量 formula_1 相等。所以,  假若 formula_69 是个循环坐标,那么,其共轭动量 formula_70 必是个常数,可以从作用量的定义积分内提出来:  其中,formula_72 是 formula_69 运动一周期的值。  这样,  代入周期 formula_55 的公式,  肯定地,formula_48 是广义坐标 formula_27 的频率。  假若 formula_69 不是循环坐标,则不能将其共轭动量 formula_70 从作用量的定义积分内提出来,必须采用另外一个方法计算。从角度的定义,可以察觉角度 formula_56 跟广义坐标 formula_4 、作用量 formula_31 有关:  保持作用量不变,角度的虚位移 formula_85 是:  在一个周期性物理系统里,每一个广义坐标 formula_27 都有它运动的周期 formula_55 。假若,其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同,则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若,两个广义坐标的周期不同 formula_89 、formula_90 。在做闭路径积分的时候,就必须使用使用一个新的周期 formula_91,让闭路径积分能够开始与结束于同一点.假若,两个周期的比例是个有理数,则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为  其中,formula_93 、formula_94 、formula_95 、formula_96,都是正值的整数。  同样地,在多重周期性物理系统里,假若,每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的,则此系统是完全可通约的,称此系统为完全可通约系统。那么,新周期 formula_91 为  其中,formula_99 、formula_100,都是正值的整数。  经过一个周期 formula_91,角度 formula_56 的变化是:  由于作用量 formula_29 是个常数,可以将它从积分内提出:  所以,频率是  假若,有任何两个互相不可通约的广义坐标 formula_27 、formula_108,其周期 formula_55 、formula_110 的比例是无理数。那么,formula_27 不可能与 formula_108 同时回到同一点。虽然如此,有理论证明,formula_113 、formula_113 仍旧分别是 formula_27 、formula_108 的频率。
title: 傅立叶级数.
content: 角度 formula_33 是一组互相独立的广义坐标。所以,一般而言,每一个广义坐标 formula_118 可以用角度的傅立叶级数表示:  其中, formula_120 是傅立叶级数系数。  在大多数实际案例,物理系统的哈密顿-亚可比方程序 formula_17 为完全可分的。那么,一个原本广义坐标 formula_118 只需用其相应的角度变量的傅立叶级数表示:
title: 基本规则总结.
content: 一般程序有三个步骤:
title: 简并度.
content: 在有些案例,两个不同的广义坐标会有相同的频率;也就是说,formula_126 for formula_127 。称这些案例的运动状态为简并。  简并的运动给出暗示,很可能有更多的保守量。例如,开普勒问题的频率是简并的,这对应于拉普拉斯-龙格-冷次向量的恒定性。  简并的运动还给出暗示,在多于一种坐标系统里,哈密顿-亚可比方程序会是完全可分的。例如,开普勒问题在球坐标系与抛物线坐标系,都是完全可分的。

Summary: 在经典力学里,作用量-角度坐标(action-angle coordinate)是一组正则坐标,通常在解析可积分系统 (英语:Integrable system) 时,有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法,不需要先解析运动方程序,就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程序(哈密顿量显性地不含时间,也就是说,能量保持恒定)。作用量-角度变量可以用来定义一个环面不变量。因为,保持作用量的不变设定了环的曲面,而角度是环面的另外一个坐标,粒子依照着角度,卷绕于环面。

Action-angle coordinates: In classical mechanics, action-angle coordinates are a set of canonical coordinates useful in solving many integrable systems. The method of action-angles is useful for obtaining the frequencies of oscillatory or rotational motion without solving the equations of motion. Action-angle coordinates are chiefly used when the Hamilton–Jacobi equations are completely separable. (Hence, the Hamiltonian does not depend explicitly on time, i.e., the energy is conserved.) Action-angle variables define an invariant torus, so called because holding the action constant defines the surface of a torus, while the angle variables parameterize the coordinates on the torus.