狄拉克δ函数

title: 概述.
content: "δ"函数的图形通常可以视为整条"x"轴和正"y"轴。虽然称为函数,但"δ"函数并非真正的函数,至少它的值域不在实数以内。例如,和这两个数学对象除了在以外都有相同的值,但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论,若"f"和"g"为函数,使得几乎处处成立,则"f"可积当且仅当"g"可积且"f"和"g"的积分相同。要严谨处理"δ"函数,须用到测度论或分布。  "δ"函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数(脉冲),用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说,要描述球杆击球的动力学问题,可以用"δ"函数描述击球那一刻的力。不但各种方程序会因此简化,而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动,而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。  在应用数学中,"δ"函数往往能看作是某函数序列的极限(弱极限),该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰,例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。
title: 历史.
content: 约瑟夫·傅里叶在他的《热分析理论》()中呈现了以下的方程序,今天称为傅里叶积分定理:  这相当于以这种方式引入了"δ"函数:  之后,奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理:  柯西指出,在某些情况下,积分的计算顺序会影响计算结果。  分布理论允许重新排列柯西方程序,使它更接近以上傅里叶的方程序:  其中"δ"函数可表达为:  在接下来的几个世纪,数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义,以及方程序中的函数"f"所需的条件。用旧有的数学观念来理解,会有以下的问题:  之后,米歇尔·普朗歇尔(Michel Plancherel)开创性的"L"理论(1910年)、诺伯特·维纳和萨洛蒙·博赫纳(Salomon Bochner)的贡献(1930年前后)以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分布理论(1945年)进一步推广了傅里叶积分,并建立了狄拉克"δ"函数的严格定义。  1827年,柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数(柯西分布的无限小版本)。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基尔霍夫之后在研究波传播的时候,考虑过这一函数。基尔霍夫与赫尔曼·冯·亥姆霍兹将单位脉冲描述为高斯分布的极限,这也符合开尔文勋爵对点热源的描述。19世纪末,奥利弗·黑维塞利用形式上的傅里叶级数对单位脉冲进行操作。1930年,保罗·狄拉克在影响深远的《量子力学原理》中引入了"δ"函数作为一种「方便的记号」,故此该函数今天以他命名。
title: 定义.
content: 笼统地来说,"δ"函数是在实数线上的一个函数,在原点上无限,在所有其他点上为零,  并同时满足以下条件  这只是一个概略的表述:"δ"函数并不是一个严格意义上的函数,没有任何定义在实数线上的函数能满足以上的条件。更严谨地来说,"δ"函数可以定义为分布或测度。
title: 测度.
content: 测度是其中一种严谨定义"δ"函数的方法。作为一个测度,"δ"函数取一个实线R的子集"A",当时输出,否则。如果把"δ"函数想象成位于0的一个理想化的质点,则"δ"("A")代表集合"A"所包含的质量。一个函数相对于"δ"的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数"f",这一积分满足:  测度"δ"相对于勒贝格测度不绝对连续,它其实是一个奇异测度。因此,它并不具有拉东-尼科迪姆导数,也就是不存在满足以下条件的函数"δ":  虽然这种写法仍非常常见,但是它实际上只是一种方便的记号,而不是任何有良好定义的(黎曼或勒贝格)积分。  作为R上的概率测度,狄拉克测度可以通过它的累积分布函数──单位阶跃函数──来定义:  换句话说,"H"("x")是积累指示函数相对于测度"δ"的积分:  "δ"函数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼-斯蒂尔杰斯积分严格定义:  "δ"函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于1。
title: 分布.
content: 在分布理论中,一个广义函数并不像普通函数一样直接定义,而是在它相对其他函数积分的时候,以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路,只须定义"δ"函数相对某个足够「良好」的测试函数的「积分」就足够了。如果"δ"函数已经定义为测度,则这种积分可以是测试函数相对于这"δ"测度的勒贝格积分。  测试函数空间一般可包括所有R上的紧支撑光滑函数。作为一个分布,"δ"函数是在测试函数空间上的线性泛函,定义为  对于所有测试函数"φ"。  若要使"δ"成为一个正式的分布,它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的。在测试函数空间上的线性泛函"S"要能够良好定义一个分布,其必要和充分条件是,对于每个正整数"N",有整数"M"和常数"C",使得对每个测试函数"φ",以下不等式都成立:  当"S"就是"δ"分布时,,对于所有"N",就能满足这条不等式。因此,"δ"是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布,其支撑集是{0}。  δ分布有几种等价的定义。例如,它是黑维塞阶跃函数的分布导数,也就是说,对于任何测试函数"φ",  直观而言,如果允许分部积分法,以上的积分就会简化为  斯蒂尔杰斯积分的确有一种分部积分法,可如下表示:  在测度论中,狄拉克测度通过积分产生分布。相反,公式()在所有紧支撑连续函数"φ"空间上定义了一个Daniell积分,且根据里斯表示定理,该积分可以表示为"φ"相对于某拉东测度的勒贝格积分。  当讲到「狄拉克"δ"函数」时,一般指的是分布,而不是测度。因此一些文献也会称之为「狄拉克"δ"分布」。测度论中相对应的概念则称为狄拉克测度。
title: 推广.
content: 在"n"维欧几里得空间R中,狄拉克"δ"函数可以定义为一个测度,使得对于所有紧支撑连续函数"f",满足  作为一个测度,"n"维"δ"函数是每个独立变量的1维"δ"函数的积测度。也就是说,若,则  上文的1维"δ"分布也存在"n"维推广。尽管在物理学和工程学中应用广泛,公式()还是必须小心使用,因为多个分布的积只有在较狭窄的条件下才有良好的定义。  狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。设"X"是集合,,Σ为"X"子集上的任何σ-代数,则对每个集合可以定义测度:  这就是单位质量集中在"x"处的狄拉克测度。  "δ"函数也可以推广至微分流形,由于具有微分结构,因此能保留它作为分布的一些性质。流形"M"上以为中心的"δ"函数可定义为以下分布:  对于所有"M"上的紧支撑光滑实数值函数"φ"。一个常见的特殊情况是,"M"是欧几里得空间R中的一个开集。  在局部紧豪斯多夫空间"X"中,集中在点"x"的狄拉克测度是对应于对紧支撑连续函数"φ"的Daniell积分()的拉东测度。推广到这一层次,已经无法进行普通的微积分,不过仍然可以使用抽象分析中的许多工具。例如,映射formula_19是把"X"嵌入到包含所有在"X"上的有限拉东测度的空间(具有淡拓扑)的一个连续函数。而且,"X"在这一嵌入下的值域的凸包,在在"X"上的概率测度空间中是一个稠密集。
title: 性质.
title: 缩放与对称.
content: 对非零纯量"α","δ"函数有以下缩放性质:  要取得"δ",对相对球体测度dω积分,再对积分施用拉普拉斯算子的幂,其中"ξ"属於单位球面"S":  此处的拉普拉斯算子理解为弱导数,所以上式的意思是,对于任何测试函数"φ",  这一结果来自牛顿位势公式(牛顿位势是帕松方程的基本解)。这实际上是拉东变换的逆转公式,因为它能够从"φ"("x")在超曲面上的积分取回"φ"("x")的值。例如,若"n"是奇数,而,则右边的积分等于  其中是"φ"的拉动变换:  平面波分解的另一个等价表达式是()  对于偶数"n",且  对于奇数"n"。
title: 傅里叶核.
content: 在对傅里叶级数的研究当中,一个重要的问题是须要判断,和某周期函数相关的傅里叶级数是否收敛到该函数,以及从何种意义上收敛。周期为2π的函数"f"的傅里叶级数的第"n"部分和,定义是与狄利克雷核在区间[−π,π]上的卷积:  因此  其中  傅里叶级数的一个基础结果说明,当,狄利克雷核趋向于"δ"函数的倍数。收敛指的是从分布意义上的收敛,即  对于一切紧支撑光滑函数"f"。从而,在区间[−π,π]上有  尽管如此,但这并不对所有紧支撑连续函数成立,换言之,"D"从测度意义上并不弱收敛。鉴于傅里叶级数无法收敛,因此数学家建立了各种可和性方法来达到收敛。从切萨罗求和法发展出费耶核  费耶核从一种更强的意义向"δ"函数收敛:  对于一切紧支撑连续函数"f"。结果是,所有连续函数的傅里叶级数在每一点上都是切萨罗可和的,且和的值等于该函数的值。
title: 希尔伯特空间理论.
content: 狄拉克"δ"分布是在包含所有平方可积函数的希尔伯特空间L上所稠密定义的一个无界线性泛函。紧支撑光滑函数在"L"中是一个稠密集,且"δ"分布对于紧支撑光滑函数有良好定义。在许多应用中,可以对"L"的某个子空间赋予更强的拓扑,使得"δ"函数能够定义一个有界线性算子。  索伯列夫嵌入定理应用在实数线R上的索伯列夫空间上时,意味着任何平方可积函数"f",只要满足  就必定是连续的,而且满足  从而"δ"是一个在索伯列夫空间"H"上的有界线性泛函。另一个等价的说法是,"δ"是"H"的连续对偶空间"H"的元素。更一般地说,在"n"维中,有,条件是。
title: 全纯函数空间.
content: 在复分析中,"δ"函数出现在柯西积分公式中,公式说明,若"D"是复数平面上一个具有光滑边缘的域,则  对于一切在"D"的闭包内连续的全纯函数。从而,对于此类全纯函数,"δ"函数"δ"可以以柯西积分表示:  更一般地来说,设"H"(∂"D")是一个哈代空间,它是所有在"D"中直到"D"的边缘都是连续的全纯函数,在"L"(∂"D")中的凸包。"H"(∂"D")中的函数可以唯一地延续成"D"上的全纯函数,而且柯西积分公式仍然成立。特别是对于,"δ"函数"δ"是一个"H"(∂"D")上的连续线性泛函。这是多复数变量函数中的特殊情况:对于光滑域"D",Szegő核代替了柯西积分的角色。
title: 单位分解.
content: 在可分希尔伯特空间中,给定一个由函数{"φ"}组成的标准正交基(如一个紧自伴算子的归一化特征向量),那么任何向量"f"都可以表达成:  系数{α}可以如下得出:  也可以写为  这是狄拉克符号的一种。在这种写法下,"f"以并矢方式展开:  设"I"是该希尔伯特空间上的恒等算子,则表达式  称为单位分解。当希尔伯特空间是"L"("D"),包含所有在域"D"上的平方可积函数,那么  就是一个积分算子,而"f"可以重新表达为:  右边的级数是在"L"当中向"f"收敛。就算"f"是连续函数,点收敛极限也不一定存在。尽管如此,往往可以滥用符号,写  如此来表示"δ"函数:  在适当的装备希尔伯特空间中,其中包含所有紧支撑光滑函数,视乎基"φ"的性质,上方的级数有可能在Φ*中收敛。在大多数实际情况下,标准正交基来自于某个积分或微分算子,这时候级数会从分布的意义上收敛。
title: 无限小"δ"函数.
content: 1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时,用到了一个无限小数"α",使得函数"δ"满足  formula_47  他(以及拉扎尔·卡诺)把无限小数定义为一个趋向于零的序列。  非标准分析能够严谨地处理无限小数。利用超实数的语言,狄拉克"δ"函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达,详见论文所列出的相关书目。这样定义的"δ"函数是真正意义上的函数,使得对于每个实函数"F",都有  formula_48  结果与傅里叶和柯西用别的语言所表达的一样。
title: 狄拉克梳子.
content: 由一系列狄拉克测度组成的均匀脉冲串叫做狄拉克梳子,亦称Shah分布,是一个取样函数,常用在数字信号处理和离散时间讯号分析中。狄拉克梳子是许多单个"δ"函数的无限和,和的极限是分布意义上的极限:  这可以理解为,在每个整数处都有一个单位质点。  狄拉克梳子是其自身的傅里叶变换(或乘以某个归一常数)。其重要性在于,若"f"是速降函数,则"f"在周期化后的结果以以下卷积表示:  特别有,  这正是帕松求和公式。
title: 索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理.
content: 索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理是量子力学中重要的定理,它把"δ"函数和分布p.v.1/"x"联系起来,后者是函数1/"x"的柯西主值,定义是  索霍茨基公式说明,  此处的极限是分布意义上的极限,就是说对于一切紧支撑光滑函数"f",
title: 与克罗内克"δ"函数的关系.
content: 克罗内克"δ"函数"δ"的定义是,  对于所有整数"i"、"j"。它满足以下的筛选性质:若formula_56是一个两头无限的序列,则  这和狄拉克"δ"函数的筛选性质十分相似:对于任何R上的实函数或复函数"f",有  也就是说,克罗内克"δ"函数可以看作是与狄拉克"δ"函数对应的离散函数。
title: 应用.
title: 概率论.
content: 在概率论和统计学中,狄拉克函数往往以概率密度函数的身份,来代表一个离散分布或部分离散、部分连续的分布(概率密度函数一般只用作描述完全连续分布)。例如,设一组点x = {"x",..., "x"},对应概率为"p",..., "p";由这些点所组成的离散分布的概率密度函数可以写作  又举一例,设一个分布,其中十分之六的情况下输出标准正态分布,而十分之四的情况下输出单个数值3.5,这是一个部分连续、部分离散的混合分布。其密度函数是  也可以以完全不同的方法,用"δ"函数表示扩散过程(如布朗运动)中的局部时。一个随机过程的局部时的表达式为  这代表了该过程在某特定区间内,在点"x"所花的时间。更准确地说,当只有一个维度时,上面的积分可以写成  其中是区间的指示函数。
title: 量子力学.
content: 以下举一个例子,展示"δ"函数如何在量子力学中派上用场。一个粒子的波函数所给出的,是粒子出现在特定空间范围内的几率幅。波函数假定属于希尔伯特空间"L"(平方可积函数空间),且粒子在某空间范围内出现的总概率,等于波函数的绝对值平方在该范围内的积分。一组波函数{"φ"}叫做标准正交,如果  其中"δ"指的是克罗内克"δ"函数,而不是狄拉克"δ"函数。一组标准正交波函数叫做在平方可积函数空间中完备,如果任何波函数"ψ"都可以表达为一些"φ"的线性组合:  其中formula_65。量子力学中的哈密顿算符量度的是(束缚态的)能级,而算符的所有本征函数正正就组成了波函数完备标准正交系统,每个本征函数所对应的特征值等于能量值。这组能量值叫做这个哈密尔顿算符的光谱。利用狄拉克符号(如上),上式所表达的就是单位分解:  此处,特征值都是离散的,但一个可观察量的特征值也可以是连续的,就如位置算符。位置(在一维当中)的光谱是整条实数线,所以称作连续光谱。不过,和哈密顿算符不同的是,位置算符并没有正式的本征函数。为了解决这一困局,通常会扩大所允许使用的函数,从普通的函数到所有分布。换言之,量子力学的希尔伯特空间要由合适的装备希尔伯特空间取代。这样一来,位置算符就有了一套完备的本征分布,对应于实数线上的每个点"y":  位置的本征函数(分布)用狄拉克符号记作formula_68,亦称为位置本征态。  这种处理方法同样可以应用于动量算符,以及一切希尔伯特空间上的自伴无界算子"P",前提是"P"具有连续光谱,且不存在退化特征值。更确切地说,有一个实数的子集Ω(即算子的光谱)和一组分布"φ",对应于Ω的每个元素"y",使得  也就是说,"φ"是"P"的特征向量(本征分布)。如果这些特征向量(作为分布)都满足归一化条件:  那么对于一切测试函数ψ,就有  其中  此处所得出的单位分解和离散的情况比较,有相似之处:  其中以算子为值的积分同样理解为弱积分。若"P"的光谱同时含有连续和离散部分,则它的单位分解须包含跑遍所有离散态的和,再加上跑遍所有连续态的积分。  "δ"函数在量子力学中还有众多特殊应用,例如"δ"位势阱。
title: 结构力学.
content: 在结构力学中,"δ"函数可以用来描述结构上的瞬时荷载或点荷载。一个谐振子在"t"=0时突然受到冲量为"I"的力的冲击,其演变可以如下描述:  其中"m"是质量,ξ是挠度,而"k"是弹簧常数。  根据欧拉-伯努力理论,一条细长的梁的静力负荷挠度是  其中"EI"是梁的弯曲刚度,"w"是挠度,"x"是空间坐标,而"q"("x")则是负荷分布。如果栋梁在"x" = "x"处受到点力"F"的负荷,那么负荷分布可以写作  由于"δ"函数的积分是黑维塞阶跃函数,因此细长栋梁在多个点受到点力负荷时的静力负荷挠度,可以用一组分段多项式来表示。  "δ"函数还可以描述作用在一条梁上的点弯矩。设两个相距"d"的相反方向的点力"F",它们在栋梁上所产生的弯矩为"M" = "Fd"。在保持"M"不变的情况下,使"d"趋向于零。假设所产生的弯矩位于"x" = 0,方向是顺时针,那么对栋梁的负荷分布就是  因此点弯矩可以用"δ"函数的导数来描述。对栋梁方程积分,得出的挠度一样是分段多项式。

Summary: 在科学和数学中,狄拉克函数或简称函数(译名德尔塔函数、得耳他函数)是在实数线上定义的一个广义函数或分布。它在除零以外的点上都等于零,且其在整个定义域上的积分等于1。函数有时可看作是在原点处无限高、无限细,但是总面积为1的一个尖峰,在物理上代表了理想化的质点或点电荷的密度。

Dirac delta function: In mathematics, the Dirac delta function ( function) is a generalized function or distribution introduced by physicist Paul Dirac. It is used to model the density of an idealized point mass or point charge as a function equal to zero everywhere except for zero and whose integral over the entire real line is equal to one. As there is no function that has these properties, the computations made by theoretical physicists appeared to mathematicians as nonsense until the introduction of distributions by Laurent Schwartz to formalize and validate the computations. As a distribution, the Dirac delta function is a linear functional that maps every function to its value at zero. The Kronecker delta function, which is usually defined on a discrete domain and takes values 0 and 1, is a discrete analog of the Dirac delta function.