函数

title: 定义.
content: 从输入值集合formula_24到可能的输出值集合formula_25的函数formula_6(记作formula_27)是formula_24与formula_25的关系,满足如下条件:  定义域中任一formula_1在到达域中唯一对应的formula_18记为formula_8。  比上面定义更简明的表述如下:从formula_24映射到formula_25的函数formula_6是formula_24与formula_25的直积formula_52的子集。formula_24中任一formula_1都与formula_25中的formula_18唯一对应,且有序对formula_20属于formula_6。  formula_24与formula_25的关系若满足条件(1),则为多值函数。函数都是多值函数,但多值函数不都是函数。formula_24与formula_25的关系若满足条件(2),则为偏函数。函数都是偏函数,但偏函数不都是函数。除非特别指明,本条目中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。 考虑如下例子:
title: 函数的判别.
content: 除了利用函数的定义之外,还可以利用竖直判别法,即函数的图形与任何一条平行于 y 轴的直线不能有一个以上的交点。
title: 历史.
content: 函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的,用来描述跟曲线相关的一个量,如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数,数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数,此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系,是微积分学的基础。中文的“函数”一词由清朝数学家李善兰译出。其《代数学》书中解释:“凡此变量中函(包含)彼变量者,则此为彼之函数”。
title: 表示方法.
title: 分段函数.
content: 分段函数(),在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,这样的函数通常叫分段函数。分段实际上是一种表达函数的方式,而不是函数本身的一个特征,但是具有额外的限定,可以描述函数的本质。
title: 函数图形.
content: 函数formula_6在平面上的图形是点对formula_65的集合,其中formula_1取遍定义域上的所有成员。函数图形可以帮助理解证明一些定理。  注意函数图形可以有两个定义:一是三元组formula_67,其中formula_24是函数的定义域,formula_25是函数的到达域,formula_70是关系的图;二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数formula_6等于其图形。
title: 像和原像.
content: 元素formula_82在formula_6之下的像就是formula_8。  子集formula_85在formula_6之下的像,是以formula_87的元素的像所组成的集合,为formula_25的一个子集,即  注意formula_6的值域就是定义域formula_24的像formula_92。在#正式定义一节的最后例子中,formula_93在formula_6的像是formula_95,而formula_6的值域是formula_97。  根据此定义,formula_6可引申成为由formula_24的幂集(由formula_24的子集组成的集)到formula_25的幂集之函数,亦记作formula_6。  子集formula_103在formula_6的原像(或"逆像")是如下定义的formula_24的子集: 沿用同一例子,我们可以看到formula_107的原像是formula_108,即空集。  根据此定义,formula_109是由formula_25的幂集到formula_24的幂集之函数。  以下是formula_6及formula_113的一些特性:  这些特性适合定义域的任意子集formula_120及formula_121和到达域的任意子集formula_122及formula_123,甚至可推广到任意子集群的交集和并集。
title: 函数范例.
content: 常用的数学函数包括多项式函数、根式函数、幂函数、对数函数、有理函数、三角函数、反三角函数等。它们都是初等函数。非初等函数(或特殊函数)包括伽马函数和贝塞尔函数等。
title: 函数的分类.
content: 函数可分为
title: 复合函数.
content: 函数formula_131及formula_132的复合函数是  举例,飞机在formula_134时刻的高度是formula_135,而高度formula_1处的氧气浓度是formula_137,则在formula_134时刻飞机周围的氧气浓度是 formula_139  若formula_140则 formula_6可自我复合;此时复合函数可记作formula_142(不要与三角学的符号混淆)。函数的幂的定义是对自然数formula_124有
title: 反函数.
content: 对一个函数,若值域中任何一个元素的原象是唯一的,那么这个函数就被称为是双射的。对任意的到它的原象的映射,我们称之为的反函数,记为。  举一个反函数的例子,比如,它的反函数是。同样,的反函数是。反函数是一个函数,它能够“抵消”它的原函数,并具有和原函数相同的单调性。参见逆映射。
title: 函数的限制及扩张.
content: 给出formula_25的子集formula_24以及函数  则  称为formula_6在formula_24的限制。  反之,若给出函数  当一个定义在formula_25的函数formula_154有formula_155,formula_6就是formula_21的扩张。
title: 点态运算.
content: 设函数及有为共同的定义域及环为共同的到达域。我们可以定义“函数和”及“函数积”如下: 对于所有中的。  这样子我们得出一个函数组成的环。这是一个抽象性扩张的例子,由此我们从较简单的结构得出更复杂的。  若然用别的代数结构代替,得出的由到的函数集会类似地拥有和相同的代数结构。
title: 歧义函数.
content: 歧义函数,也称多值函数,指有输出值多于一个的情况。例如,4的平方根可以是2或者-2,而两者的平方皆是4。  严格来说,歧义函数不完全算是函数,因为数学函数的定义对于一个输入值只能有唯一一个输出值。实际上,这样的「函数」通常被称为关系式。复变函数理论采用黎曼面处理函数多值的困境。
title: 一元函数.
content: 设 D 是实数集 R 中的非空子集,称映射 f : D -> R 为定义在 D 上的一元函数。
title: 多元函数.
content: 多元函数("n"-元函数)是指输入值为"n"-元组的函数。或者说,若一函数的输入值域为"n"个集合的笛卡尔积的子集,这函数就是"n"-元函数。例如,距离函数"dist"((x,y))是一个二元函数,输入值是由两个点组成的序对。另外,多复变函数(即输入值为复数的多元组)是一个重要的数学课题。  在抽象代数中,算子其实都是函数,如乘法"*"是个二元函数:当我们写"x"*"y"时,其实是用上了*("x","y")的中缀表示法。  函数式程序设计是一个以函数概念为中心的重要理论范式,其中的运算对象为多元函数,基本语法基于λ演算,而函数的复合则采用代换来完成。特别地,通过一种称为柯里化的变换,可将多元函数变换为一元函数。
title: 可计算和不可计算函数.
content: 所有从整数到整数的可计算函数的个数是可数的,这是因为所有可能的算法个数是可数的。从整数到整数的函数个数要更多些-和实数个数一样多,也就是说是等势的。这说明有些从整数到整数的函数是不可计算的。关于不可计算函数,请参看停机问题和莱斯定理,OEIS中有一个经典的例子:。
title: 范畴论观点下的函数.
content: 在范畴论中,函数的槪念被推广为态射的槪念。  一个范畴包括一组物件与一组态射,每一个态射是个三元组("X", "Y", "f"),"X"称为源物件(定义域的类比),"Y"称为目标物件(到达域的类比),而源物件与目标物件是范畴内的物件。基于这种解释,可以把函数看作集合范畴里面的态射。

Summary: 函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系:输入值集合中的每项元素皆能对应 唯一一项输出值集合

Funkce (matematika): Funkce je v matematice název pro zobrazení z nějaké množiny formula_1 do množiny čísel (většinou reálných nebo komplexních), nebo do vektorového prostoru (pak se mluví o "vektorové funkci"). Je to tedy předpis, který každému prvku z množiny formula_2 (kde formula_3 se nazývá definiční obor) jednoznačně přiřadí nějaké číslo nebo vektor (hodnotu funkce). Někdy se však slovo "funkce" používá pro libovolné zobrazení.