维纳滤波

title: 描述.
content: 从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波,而相应的装置称为滤波器。 根据滤波器的输出是否为输入的线性函数,可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。 滤波器研究的一个基本课题就是:如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。  所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。 20世纪40年代,维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础:即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和,两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性。 维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小),求得了最佳线性滤波器的参数,这种滤波器被称为维纳滤波器。  在维纳研究的基础上,人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。 实际上,在一定条件下,这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。因而,讨论线性滤波器时,一般均以维纳滤波器作为参考。  这是信号处理中经常采用的主要方法之一,具有十分重要的应用价值。常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成,如RC低通滤波器、LC谐振回路等。但对于混在随机信号中的噪声滤波,这些简单的电路就不是最佳滤波器,这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。不管滤波器具有什么样的频率响应,均不可能做到噪声完全滤掉,信号波形的不失真。因此,需要寻找一种使误差最小的最滤波方法,又称为最佳滤波准则。  从噪声中提取信号波形的各种估计方法中,维纳(Wiener)滤波是一种最基本的方法,适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号(波形),而不只是它的几个参量。其基本依据就是最小均方误差准则。  设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。期望输出与实际输出之间的差值为误差,对该误差求均方,即为均方误差。因此均方误差越小,噪声滤除效果就越好。  为使均方误差最小,关键在于求冲激响应。如果能够满足维纳-霍夫方程,就可使维纳滤波器达到最佳。根据维纳-霍夫方程,最佳维纳滤波器的冲激响应,完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数 所决定。  与设计一个特定频率响应所用的通常滤波器设计理论不同,维纳滤波器从另外一个不同的角度实现滤波器。仅仅在频域进行滤波的滤波器,仍然会有噪声通过滤波器。维纳设计方法需要额外的关于原始信号所包含频谱以及噪声的信息,维纳滤波器具有以下一些特点:  维纳滤波器的设计目的是就是滤除按照统计方式干扰信号的噪声。
title: 模型/问题的建立.
content: 假设维纳滤波器的输入信号是formula_1,叠加噪声formula_2。输出信号formula_3通过滤波器formula_4使用下面的卷积运算得到: <BR>其中  误差是formula_11,方差是formula_12其中  根据"d"的不同,问题名称可以更换为:  将formula_3写成卷积积分:formula_19.  计算平方误差的均值,可得 其中  如果信号formula_1和噪声formula_2是不相关的(例如,互相关是0)那么请注意  这个的目的是求最优的formula_4,使得formula_33最小。
title: 稳态解(Stationary solution).
content: 维纳滤波对于因果系统与非因果系统有两种不同解,如下:
title: 非因果解(Anticausal solution).
content: 其中formula_35 是谱函数。 只要formula_4是最优的,那么最小均方误差公式简化为formula_37  那么方程的解formula_4就是formula_39的双边拉普拉斯变换逆变换(inverse two-sided Laplace transform)。
title: 因果解(Causal solution).
content: 其中
title: 离散序列的有限冲激响应维纳滤波器.
content: 因果的有限冲激响应(FIR)维纳滤波器通过使用输入和输出信号的统计信息,而不是使用一些给定的数据矩阵X和输出矢量Y,来发现最佳的抽头权重。它将输入信号的自相关的估计(T)代入输入矩阵X,将输出和输入信号的互相关估计(V)代入的输出向量Y。  为了获得维纳滤波系数,考虑将信号w[n]输入到一个N阶维纳滤波器,系数formula_47, formula_48,N的滤波器的输出被记作x[n],这是由下式给出  剩余误差来表示e[n]的,被定义为"e"["n"] = "x"["n"] − "s"["n"](参见相应的框图)。维纳滤波器被设计成最小化均方误差(MMSE准则),它可以如下简而言之:  formula_51表示期望算子。在一般情况下,系数formula_52可能是复数,在w[n]的和s[n]是复数的情况下可能推导出。对于复信号,待求解矩阵是一个共轭对称Toeplitz矩阵,而不是对称Toeplitz矩阵。为简单起见,下面只考虑所有这些量实数的情况。均方误差(MSE)可改写为:  矢量formula_54减少上面的表达式,计算其关于formula_52的导数  假设,formula_57和formula_58均为平稳和联合平稳,记序列formula_59和formula_60为formula_61的自相关和formula_61和formula_63之间的互相关,定义如下:  因此,注意到formula_65,导数的MSE可以改写为  令该导数等于零,得到  上式可以改写为矩阵形式  这些方程被称作Wiener-Hopf方程。出现在方程中的矩阵T是一个对称的Toeplitz矩阵。当formula_69在适当条件下,这些矩阵是正定的,也就是非奇异的,从而使得有唯一解来确定维纳滤波器系数矢量,formula_70。此外,Wiener-Hopf方程存在一个求解的有效算法,称为Levinson-Durbin算法,因此并不需要对矩阵formula_71的显式求逆。
title: 维纳滤波器的优缺点.
content: 维纳滤波器的优点是适应面较广,无论平稳随机过程是连续的还是离散的,是标量的还是向量的,都可应用。对某些问题,还可求出滤波器传递函数的显式解,并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是,要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足,同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况,对于向量情况应用也不方便。因此,维纳滤波在实际问题中应用不多。 实现维纳滤波的要求是:1输入过程是广义平稳的;2输入过程的统计特性是已知的。根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。然而,由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境,这种环境的统计特性常常是未知的、变化的,因而难以满足上述两个要求。这就促使人们研究自适应滤波器。

Summary: 维纳滤波是美国应用数学家诺伯特·维纳(Norbert Wiener)在二十世纪四十年代提出的一种滤波器,并在1949年出版.

Wienerův filtr: Tento filtr byl navržen tak, aby dokázal zpětně rekonstruovat obrázek, který byl poničen šumem nebo špatnou impulzní odezvou snímacího zařízení. Tato problematika je popsána v článku o rekonstrukci a předzpracování obrazu. Opět jde o to vyřešit tzv. radiometrický inverzní problém, tedy vyjádřit z následující rovnice proměnou formula_1, což je požadovaný obrázek ještě před deformací špatným fotoaparátem nebo šumem.