斯特林数

title: 第一类斯特林数.
title: 定义.
content: 可以定义为对应递降阶乘展开式的各项系数,即 formula_1 其中,formula_2(formula_3)即为第一类斯特林数。例如: 则 于是formula_6, formula_7, formula_8, formula_9。  由此可知,formula_2是代数数,或称为有符号(第一类)斯特林数(英语:signed Stirling numbers of the first kind)。  有符号斯特林数的绝对值formula_11可以看作(或直接定义为)把formula_12个元素排列成formula_13个非空圆圈(循环排列)的方法数目。所以formula_11是算术数,或称为无符号(第一类)斯特林数(英语:unsigned Stirling numbers of the first kind)。无符号斯特林数一般可以记为formula_15或formula_16。例如:把formula_17,formula_18,formula_19三个数排列成formula_20个非空圆圈,显然有零种方法;排列成formula_17个非空圆圈,有formula_22,formula_23两种方法;排列成formula_18个非空圆圈,有formula_25formula_26,formula_27formula_28和formula_29formula_30三种方法;排列成formula_19个非空圆圈,有formula_25formula_30formula_28一种方法,所以formula_35formula_36,formula_37,formula_38。可以看到这和前面有符号斯特林数formula_2在formula_40时的结果一致(只是符号差异)。  与有符号斯特林数类似,无符号斯特林数可以定义为对应递进阶乘展开式的各项系数,即 其中,formula_16(formula_3)即为无符号斯特林数。不过要注意,这里的记号formula_16有时候会用来表示高斯二项式系数。  有符号斯特林数和无符号斯特林数有如下关系:
title: 拓展示例.
content: 无符号斯特林数有更多的应用。例如,将formula_12个元素分成formula_13组,每组内的元素再进行排列的方法数目即可用无符号斯特林数formula_16求得。以formula_49为例:  或用有向图表示如下:
title: 递推关系式.
content: 无符号斯特林数有如下递推关系式: 其中,formula_51,且初始条件为 formula_52,formula_53(formula_54)。  有符号斯特林数有如下递推关系式:
title: 第一类斯特林数表.
content: 下表其实是一部分无符号斯特林数,要想获得有符号斯特林数,可以通过它们之间的关系式: 求得。
title: 简单性质.
content: 观察前面的“第一类斯特林数表”,我们可以得到一些简单的性质:  如果formula_60,我们有 或更一般地,如果formula_62,我们有  还有  注:这里记号formula_69表示组合数。
title: 第二类斯特林数.
title: 定义.
content: 与第一类斯特林数类似,可以用递降阶乘定义为 其中,formula_71即为第二类斯特林数,也可以记为formula_72。例如: 即 将递降阶乘展开并合并同类项,得 比较等式两边系数,得 解得  formula_77,formula_78,formula_79,formula_80。  第二类斯特林数计算的是将含有formula_12个元素的集合拆分为formula_13个非空子集的方法数目。例如:对于集合formula_83,若拆分为formula_20个非空子集,显然有零种方法;拆分为formula_17个非空子集,只有formula_83一种方法;拆分为formula_18个非空子集,有formula_88formula_89,formula_90formula_91,formula_92formula_93三种方法;拆分为formula_19个非空子集,有formula_88formula_92formula_91一种方法。于是formula_77,formula_78,formula_79,formula_80。  第二类斯特林数可以使用以下公式进行计算:  取formula_103进行验算,有 即 于是
title: 拓展示例.
content: 将formula_12个人分成formula_13组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人,若所有人分成formula_17组,只能所有人在同一组,因此formula_110;若所有人分成formula_111组,只能每人独立一组,因此formula_112;若分成formula_18组,可以是甲乙一组、丙丁一组,或甲丙一组、乙丁一组,或甲丁一组、乙丙一组,或其中三人同一组另一人独立一组,即:  因此formula_114。同理,可以得到formula_115。
title: 递推关系式.
content: 第二类斯特林数有与第一类斯特林数类似的递推关系式:  其中,formula_51,且初始条件为 formula_118,formula_119(formula_54)。
title: 第二类斯特林数表.
content: 下面为部分第二类斯特林数:
title: 简单性质.
content: 观察前面的“第二类斯特林数表”,我们可以得到一些简单的性质:  如果formula_60,我们有 或更一般地,如果formula_62,我们有  还有
title: 其他性质.
content: 贝尔数和第二类斯特林数有如下关系:
title: 两类之间的关系.
content: 第一类和第二类斯特林数可以看作互为逆矩阵的关系:  以及  其中,formula_138是克罗内克尔δ。
title: 拉赫数.
title: 定义.
content: 是由在1954年发现的,因为拉赫数与斯特林数关系密切,所以有时拉赫数也被称为第三类斯特林数。可以用递进阶乘和递降阶乘定义为  或  其中, formula_141即为拉赫数。例如:  即  等式两边展开并合并同类项,得  比较等式两边系数,得  解得 formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  或  即  等式两边展开并合并同类项,得  比较等式两边系数,得  解得 formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  以上定义的拉赫数是无符号拉赫数(英语: signed Lah numbers),有符号拉赫数(英语:signed Lah numbers)的定义如下:  或  无符号拉赫数计算的是将含有formula_12个元素的集合拆分为formula_13个非空线性有序子集的方法数目。例如:对于集合formula_83,若拆分为formula_20个非空线性有序子集,显然有零种方法;拆分为formula_17个非空线性有序子集,有formula_165,formula_166,formula_167,formula_168,formula_169,formula_170六种方法;拆分为formula_18个非空线性有序子集,有formula_172formula_173,formula_172formula_175,formula_176formula_177,formula_176formula_179,formula_180formula_181,formula_180formula_183六种方法;拆分为formula_19个非空线性有序子集,有formula_172,formula_176,formula_180一种方法。于是formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  无符号拉赫数可以使用以下公式进行计算:  有符号拉赫数可以使用以下公式进行计算:
title: 递推关系式.
content: 无符号拉赫数有如下递推关系:  或  其中,formula_196,formula_196,formula_198(formula_62),formula_200
title: 拉赫数表.
content: 下面为部分无符号拉赫数:
title: 简单性质.
content: 观察前面的“拉赫数表”,我们可以得到一些简单性质:  formula_201, formula_202(formula_54)  如果formula_204,有 formula_201,formula_206  还有
title: 其他性质.
content: 无符号拉赫数计算公式可以作进一步拓展:  无符号拉赫数与两类斯特林数都有关系,关系如下:  取formula_216进行验算,有  即  于是  由无符号拉赫数与两类斯特林数之间的关系,考虑到两类斯特林数之间的关系,有  其中,formula_138是克罗内克尔δ。
title: 三类之间的关系.
content: 三类斯特林数以及乘方、阶乘之间的关系可以用下图表示:

Summary: 在数学中,用于解决各种数学分析和组合数学问题,斯特林数是两组不同的数,均是18世纪由 引入并以其命名,以'和'的称呼区分。此外,有时候也将称为第三类斯特林数。