法拉第弔詭

title: 实验组态.
content: 如右图所示,法拉第吊诡实验只需要一些简单器件:圆柱形永久磁铁、圆盘形导体、金属刷、转轴导体、支撑架导体,检流计。圆柱形永久磁铁与圆盘形导体分别安装于各自的转轴,可以各自自由旋转。将安装于支撑架一端的金属刷与圆盘边缘相接触,又将与圆盘相连接的转轴安装于支撑架另一端,就可以形成完整闭合电路。在这闭合电路中,串联一个检流计来测量电流。
title: 实验程序.
content: 这实验的进行有三个步骤:
title: 为什么吊诡?.
content: 有些物理学者称这实验为吊诡,因为,猛然一看,这实验似乎违背了法拉第定律,不论是什么部分在旋转,穿过圆盘的磁通量好像都一样,所以,从磁通量观点来看,对于这三个案例,电动势都应该预测为零。这观点错误地选择了用来计算磁通量的曲面,对于这论点,稍后会有更详细解释。 从磁场线观点来看,这吊诡又有不同的理论结果。在法拉第的电磁感应模型里,磁场是由想像的磁场线组成。若将条状磁铁放在白纸下面,铺洒一堆铁粉在白纸上面,这些铁粉会依著磁场线的方向排列,形成一条条的曲线,在曲线的每一点显示出磁场线的方向。假若电动势与磁场线被电路切割的速率呈正比,则从磁铁的参考系观测,磁场线为固定不动。所以,相对于磁铁,将圆盘旋转,或相对于圆盘,将磁铁旋转,这两种动作应该都会生成电动势,但是若将磁铁与圆盘一同旋转,则电动势为零。
title: 法拉第的解释.
content: 在法拉第的「电磁感应模型」里,当闭合电路切割过磁场线时,会有感应电流生成于这闭合电路。按照这模型,当圆盘旋转或磁铁旋转时,应该会有感应电流流动于法拉第圆盘,而当磁铁与圆盘一同旋转时,应该不会出现感应电流。然而,这结果与实验结果迥然不同。法拉第试图解释这差异,他假定当磁铁旋转时,磁铁的整个磁场于其伴随的磁场线固定不动(注意到这是一个完全正确的绘景,虽然也许不太容易从电磁感应模型推理出来)。换句话说,磁场线的参考系与磁铁的参考系不同。在下一个段落,会有详细论述,现代物理学(自从发现电子之后)不需要电磁感应模型,就能够完全解释这吊诡。
title: 现代解释.
title: 电子与劳仑兹力.
content: 自从约瑟夫·汤姆森于1897年发现电子之后,物理学者获得了微观解析这吊诡的能力。注意到移动于磁场 formula_1 的电子会感受到劳仑兹力 formula_2 ;其中,formula_3 是电子所带电荷量,formula_4 是电子移动速度。如图1所示,呈旋转运动中的圆盘导体,其内部自由电子会感受到劳仑兹力。这劳仑兹力垂直于电子的速度 formula_4,也垂直于磁场 formula_1,而磁场 formula_1 又垂直于圆盘。所以,按照右手定则,这劳仑兹力的方向(对于电子)是反径向,即朝着转轴的方向;对于正价粒子,劳仑兹力的方向是径向,即朝着圆盘边缘的方向。  当然,这径向力会生成动生电动势,造成电流流动于整个电路,因为它造成了电子的反径向移动。这电子的反径向运动又会生成另一股劳仑兹力,反抗随着圆盘旋转的电子圆周运动,这趋向于使圆盘旋转变慢。因此,只有倚赖不断地施加外力,圆盘才能持续旋转。由于圆盘持续旋转,电流也持续地流动于整个电路。这机制与实验观测相符合:每当圆盘旋转,就会生成电流,不论磁场的属性为何。  应用劳仑兹力定律可以解释法拉第吊诡,但这也在学术界引起极大的争论──到底磁场是否随着磁铁旋转?按照劳仑兹力定律,磁场与导体之间的相对运动,直接地与作用于电荷的劳仑兹力有关,物理学者猜测,对于磁铁与圆盘共同旋转而电动势不为零的案例,磁场应该不会与磁铁共同旋转,否则,磁场就无法与圆盘呈相对运动。
title: 数学分析.
content: 对于从金属刷,经过支撑架与转轴,到圆盘中心这一段路径,由于磁场与这路径的包含平面之间互相平行,而不是互相正交,不论是什么器件在旋转,路径积分获得的电动势永远为零。因此,只需要专注于从圆盘中心到金属刷这一段路径。  法拉第定律表明, 以方程序表示,  其中,formula_9 是电动势,formula_10 是磁通量,formula_1 是磁场,formula_12 是以闭合电路为边缘的任意积分曲面,formula_13 是微小面元素。 怎样才能应用这定律于法拉第圆盘发电机?一种方法是定义「磁通切割率」,首先绘一条假想线于圆盘,从金属刷到转动轴,然后,计算这条假想线切割过多少磁通量每单位时间。如图2所示,假定圆盘半径为 formula_14,则其圆心角为 formula_15 的扇形部分的面积 formula_16 为  这假想线的磁通切割率为  其中,formula_19 为圆盘旋转的角速率。  将法拉第定律内的磁通量变化率更改为磁通切割率,其它内容不变。根据这更改的法拉第定律,电动势为  注意到在思考电动势(或电流)的方向时,需要基于冷次定律,运动所生成的电动势必会抗拒由于运动而产生的磁通量。例如,在图2中的金色回路,其处于圆盘的径向线段(假想线),所切割过的扇面,假设这扇面向量与磁场相向,则磁通量为正值,并且随着时间演进而增加。根据冷次定律,感应的电动势(因此电流)趋向于削减磁通量。按照右手定则,假想线内的电动势(或电流)的方向为径向。  这从计算切割磁通量所得到的电动势结果,可以与从假想线移动于磁场所感应出的动生电动势相比较:  其中,formula_22 是劳仑兹力。  两个答案相同。处于假想线的正电荷,所感受到的劳仑兹力的方向为formula_23 的方向,即径向。  对于这计算电路所切割的磁通量的方法,若要严格地以法拉第定律做形式化处理,必需正确地计算被闭合电路围入的曲面 formula_12 。当然,假若积分的区域与时间有关,则取这积分的时间微分并不能简单地只取其被积函数的时间微分,这一点时常会被忽略。详细计算方法,请参阅莱布尼茨积分定则(英语:Leibniz integral rule)与劳仑兹力定律。  在选择曲面 formula_12 时,有两个限制:  再度强调一次,闭合回路不需要对应于实际电流的流动路径。电磁感应倚赖的是相对运动,闭合回路必需捕获所有相对运动。对于图1所示案例,因为电流流动回路的一部分分布于空间的某区域,有很多条可能回路可以选来计算趋动电流的电动势。图2展示出两条可能回路。所有的可能回路必需包括回程路径,但是在圆盘区域,展示出两条可能路径:一条是几何简单路径,另一条是迂回曲折路径。选择哪一条路径乃见仁见智之举。但是,一旦做出选择,就不能在计算中更改路径,必需使用固定于圆盘的同样路径,跟着圆盘一同旋转,计算切割过的磁通量。  对于这案例,所有这些回路获得的磁通切割率都相同,因而电动势也相同。为了帮助理解这路径独立的点子,如图3所示,法拉第圆盘被展开为长方块,使得这问题看起来好似滑动的长方块问题。对于滑动的长方块案例,很明显地,在长方块内部,电流流动的图样与时间无关,因此也与电路的磁通切割率无关。所以,不需要思考电流怎样流过长方块(或圆盘)。任意连结长方形顶部轨道与底部轨道(从转轴经过圆盘到金属刷)的路径选择,其随着长方块的移动(随着圆盘的旋转)会扫出同样的磁通切割率,也会计算出同样的电动势。
title: 更多观察.
content: 磁铁到底是否在旋转,这事实对于本分析无关紧要,因为相关资料并没有出现于法拉第感应定律。实际而言,假设磁铁具有圆柱对称性,则旋转磁铁绝不会改变电磁场。同样地,将磁铁与圆盘一起旋转,或将圆盘旋转而固定磁铁不动,两种方式得到的结果相同。关键是在于圆盘与回程导体之间的相对运动,而不是圆盘与磁铁之间的相对运动。  为了清楚解释这论点,将法拉第圆盘修改,将回程导体改为另外一个圆盘,也就是说,将两个圆盘导体安装于同一个转轴,让这两个圆盘在转轴与周边都拥有电接触点。则电流会与两个圆盘的相对旋转运动成正比,与磁铁的任意旋转无关。
title: 法拉第感应定律不适用案例.
content: 如图4所示,光电导体长方块平移于两条平行导线。在某狭窄固定区域,照射强烈光波,施加强烈磁场。当长方块行经这狭窄固定区域时,被照射到的光电导体会出现导电性质。由于劳仑兹力定律,会有电流从顶方导线,经过这狭窄固定区域的光电导体,流动到底方导线,然后经过连接电路,回到顶方导线。对于这案例,电路固定不动,穿过电路的磁通量不变,所以,应用法拉第定律计算出来的电流为零。但是,劳仑兹力定律建议,电流实际存在。  这案例是根据物理大师理查·费曼想出来的点子,凸显法拉第定律(即连结电动势与磁通量之间的关系的版本,费曼称为「通量定则」)不适用于某些状况的事实。费曼这样说:  费曼应用劳仑兹定律来解释为何会出现这种现象。重点是通量定则只适用于某些状况,虽然这些是非常实用的状况。
title: 狭义相对论的解释.
content: 假若应用狭义相对论,就不会遭遇任何吊诡或困扰。思考狭窄固定区域的参考系 formula_26,对于处于这参考系 formula_26 的观测者而言,光电导长方块以速度 formula_28 移动。恰巧处于狭窄固定区域的光电导物质,由于被强烈光波照射,会变得具有导电性质,其载有电量 formula_3 的载电粒子会感受到劳仑兹力 formula_30 。  换到光电导长方块的参考系 formula_31 。对于处于参考系 formula_31 的观测者而言,光电导长方块是固定不动,狭窄光波照射区域是以速度 formula_33 移动,磁场为 formula_34,电场为 formula_35 ;其中,formula_36 是劳仑兹因子。所以,其载有电量 formula_3 的载电粒子会感受到劳仑兹力 formula_38 。  注意到从参考系 formula_26 变换到参考系 formula_31,劳仑兹的变换为  这与分别在参考系 formula_26 与 formula_31 推导出来的劳仑兹力表达式相符合。
title: 倜立实验.
content: 通量定则不适用于倜立实验。图5展示「倜立实验」。在这由物理学者唐纳德·倜立(英语:Donald Tilley)设计出的实验里,整个电路是由两个回路或网目组成。在右手边回路串联了一具检流计。在左手边回路中心置放了一块磁铁,其产生的磁场为 formula_1 。两个回路共同享有一个转闸开关。首先设定转闸开关与端点1相接触,左手边回路为开路,右手边回路为闭路。然后旋转转闸开关,改与端点2相接触,使得右手边回路成为开路,左手边回路仍旧为开路,但整个电路成为闭路。注意到磁场并没有改变,但是穿过的面积变大,因此,磁通量也会改变。可是,检流计的量针并没有偏动(假定可以忽略转闸开关旋转时的效应),这意味着检流计并没有检测到任何感应电动势。所以,法拉第定律不适用于这案例。  有些物理学者认为,在法拉第实验里,感应电压的出现,是因为电路切割了磁场线,而不是因为实际磁通量有所变化。这可以从倜立实验观察得知,因为,虽然穿过电路的磁通量有所变化,并没有任何磁场线移动经过电路,所以不会有任何感应电流。  物理学者艾伦·纳斯邦(英语:Allen Nussbaum)建议,只有在磁通量改变的时候,同时也给出机械功,法拉第定律才适用。思考处于磁场 formula_1 、载有电流 formula_46 的载流导线,其所感受到的作用力可以表达为  其中,formula_48 是载流导线所感受到的微小作用力,formula_49 是载流导线的微小线元素。  假设微小线元素 formula_49 的位移为 formula_51,则所做的机械功 formula_52 为  微小线元素 formula_49 因为位移而遮盖的面积 formula_55 为  所做的机械功为  其中,formula_58 是磁通量。  这机械功等于电势为 formula_59 的电荷 formula_60 的电势能:  这样,可以得到法拉第定律的方程序:  注意到,法拉第定律的方程序为正确无误,当且仅当,机械功 formula_52 不等于零。换句话说,只有倚赖做机械功来改变磁通量,法拉第定律才正确无误。  回到倜立实验。由于磁通量的改变并没有做出机械功(假定扭转转闸开关所做的机械功为零),所以,法拉第定律不适用,不会出现任何电动势或电流。

Summary: 法拉第吊诡,或法拉第悖论(英语:Faraday paradox)是一个关于法拉第感应定律的物理实验。1831年,物理学家麦可·法拉第推断出法拉第感应定律(简称「法拉第定律」),但是,在应用这定律来解释法拉第吊诡的过程中,他遇到了很多困难。这在本文会有详细相关叙述。