狄拉克δ函数

title: 概述.
content: "δ"函数的图形通常可以视为整条"x"轴和正"y"轴。虽然称为函数,但"δ"函数并非真正的函数,至少它的值域不在实数以内。例如,和这两个数学对象除了在以外都有相同的值,但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论,若"f"和"g"为函数,使得几乎处处成立,则"f"可积当且仅当"g"可积且"f"和"g"的积分相同。要严谨处理"δ"函数,须用到测度论或分布。  "δ"函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数(脉冲),用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说,要描述球杆击球的动力学问题,可以用"δ"函数描述击球那一刻的力。不但各种方程序会因此简化,而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动,而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。  在应用数学中,"δ"函数往往能看作是某函数序列的极限(弱极限),该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰,例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。
title: 历史.
content: 约瑟夫·傅里叶在他的《热分析理论》()中呈现了以下的方程序,今天称为傅里叶积分定理:  这相当于以这种方式引入了"δ"函数:  之后,奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理:  柯西指出,在某些情况下,积分的计算顺序会影响计算结果。  分布理论允许重新排列柯西方程序,使它更接近以上傅里叶的方程序:  其中"δ"函数可表达为:  在接下来的几个世纪,数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义,以及方程序中的函数"f"所需的条件。用旧有的数学观念来理解,会有以下的问题:  之后,米歇尔·普朗歇尔(Michel Plancherel)开创性的"L"理论(1910年)、诺伯特·维纳和萨洛蒙·博赫纳(Salomon Bochner)的贡献(1930年前后)以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分布理论(1945年)进一步推广了傅里叶积分,并建立了狄拉克"δ"函数的严格定义。  1827年,柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数(柯西分布的无限小版本)。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基尔霍夫之后在研究波传播的时候,考虑过这一函数。基尔霍夫与赫尔曼·冯·亥姆霍兹将单位脉冲描述为高斯分布的极限,这也符合开尔文勋爵对点热源的描述。19世纪末,奥利弗·黑维塞利用形式上的傅里叶级数对单位脉冲进行操作。1930年,保罗·狄拉克在影响深远的《量子力学原理》中引入了"δ"函数作为一种「方便的记号」,故此该函数今天以他命名。
title: 定义.
content: 笼统地来说,"δ"函数是在实数线上的一个函数,在原点上无限,在所有其他点上为零,  并同时满足以下条件  这只是一个概略的表述:"δ"函数并不是一个严格意义上的函数,没有任何定义在实数线上的函数能满足以上的条件。更严谨地来说,"δ"函数可以定义为分布或测度。
title: 测度.
content: 测度是其中一种严谨定义"δ"函数的方法。作为一个测度,"δ"函数取一个实线R的子集"A",当时输出,否则。如果把"δ"函数想象成位于0的一个理想化的质点,则"δ"("A")代表集合"A"所包含的质量。一个函数相对于"δ"的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数"f",这一积分满足:  测度"δ"相对于勒贝格测度不绝对连续,它其实是一个奇异测度。因此,它并不具有拉东-尼科迪姆导数,也就是不存在满足以下条件的函数"δ":  虽然这种写法仍非常常见,但是它实际上只是一种方便的记号,而不是任何有良好定义的(黎曼或勒贝格)积分。  作为R上的概率测度,狄拉克测度可以通过它的累积分布函数──单位阶跃函数──来定义:  换句话说,"H"("x")是积累指示函数相对于测度"δ"的积分:  "δ"函数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼-斯蒂尔杰斯积分严格定义:  "δ"函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于1。
title: 分布.
content: 在分布理论中,一个广义函数并不像普通函数一样直接定义,而是在它相对其他函数积分的时候,以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路,只须定义"δ"函数相对某个足够「良好」的测试函数的「积分」就足够了。如果"δ"函数已经定义为测度,则这种积分可以是测试函数相对于这"δ"测度的勒贝格积分。  测试函数空间一般可包括所有R上的紧支撑光滑函数。作为一个分布,"δ"函数是在测试函数空间上的线性泛函,定义为  对于所有测试函数"φ"。  若要使"δ"成为一个正式的分布,它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的。在测试函数空间上的线性泛函"S"要能够良好定义一个分布,其必要和充分条件是,对于每个正整数"N",有整数"M"和常数"C",使得对每个测试函数"φ",以下不等式都成立:  当"S"就是"δ"分布时,,对于所有"N",就能满足这条不等式。因此,"δ"是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布,其支撑集是{0}。  δ分布有几种等价的定义。例如,它是黑维塞阶跃函数的分布导数,也就是说,对于任何测试函数"φ",  直观而言,如果允许分部积分法,以上的积分就会简化为  斯蒂尔杰斯积分的确有一种分部积分法,可如下表示:  在测度论中,狄拉克测度通过积分产生分布。相反,公式()在所有紧支撑连续函数"φ"空间上定义了一个Daniell积分,且根据里斯表示定理,该积分可以表示为"φ"相对于某拉东测度的勒贝格积分。  当讲到「狄拉克"δ"函数」时,一般指的是分布,而不是测度。因此一些文献也会称之为「狄拉克"δ"分布」。测度论中相对应的概念则称为狄拉克测度。
title: 推广.
content: 在"n"维欧几里得空间R中,狄拉克"δ"函数可以定义为一个测度,使得对于所有紧支撑连续函数"f",满足  作为一个测度,"n"维"δ"函数是每个独立变量的1维"δ"函数的积测度。也就是说,若,则  上文的1维"δ"分布也存在"n"维推广。尽管在物理学和工程学中应用广泛,公式()还是必须小心使用,因为多个分布的积只有在较狭窄的条件下才有良好的定义。  狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。设"X"是集合,,Σ为"X"子集上的任何σ-代数,则对每个集合可以定义测度:  这就是单位质量集中在"x"处的狄拉克测度。  "δ"函数也可以推广至微分流形,由于具有微分结构,因此能保留它作为分布的一些性质。流形"M"上以为中心的"δ"函数可定义为以下分布:  对于所有"M"上的紧支撑光滑实数值函数"φ"。一个常见的特殊情况是,"M"是欧几里得空间R中的一个开集。  在局部紧豪斯多夫空间"X"中,集中在点"x"的狄拉克测度是对应于对紧支撑连续函数"φ"的Daniell积分()的拉东测度。推广到这一层次,已经无法进行普通的微积分,不过仍然可以使用抽象分析中的许多工具。例如,映射formula_19是把"X"嵌入到包含所有在"X"上的有限拉东测度的空间(具有淡拓扑)的一个连续函数。而且,"X"在这一嵌入下的值域的凸包,在在"X"上的概率测度空间中是一个稠密集。
title: 性质.
title: 缩放与对称.
content: 对非零纯量"α","δ"函数有以下缩放性质:  要取得"δ",对相对球体测度dω积分,再对积分施用拉普拉斯算子的幂,其中"ξ"属於单位球面"S":  此处的拉普拉斯算子理解为弱导数,所以上式的意思是,对于任何测试函数"φ",  这一结果来自牛顿位势公式(牛顿位势是帕松方程的基本解)。这实际上是拉东变换的逆转公式,因为它能够从"φ"("x")在超曲面上的积分取回"φ"("x")的值。例如,若"n"是奇数,而,则右边的积分等于  其中是"φ"的拉动变换:  平面波分解的另一个等价表达式是()  对于偶数"n",且  对于奇数"n"。
title: 傅里叶核.
content: 在对傅里叶级数的研究当中,一个重要的问题是须要判断,和某周期函数相关的傅里叶级数是否收敛到该函数,以及从何种意义上收敛。周期为2π的函数"f"的傅里叶级数的第"n"部分和,定义是与狄利克雷核在区间[−π,π]上的卷积:  因此  其中  傅里叶级数的一个基础结果说明,当,狄利克雷核趋向于"δ"函数的倍数。收敛指的是从分布意义上的收敛,即  对于一切紧支撑光滑函数"f"。从而,在区间[−π,π]上有  尽管如此,但这并不对所有紧支撑连续函数成立,换言之,"D"从测度意义上并不弱收敛。鉴于傅里叶级数无法收敛,因此数学家建立了各种可和性方法来达到收敛。从切萨罗求和法发展出费耶核  费耶核从一种更强的意义向"δ"函数收敛:  对于一切紧支撑连续函数"f"。结果是,所有连续函数的傅里叶级数在每一点上都是切萨罗可和的,且和的值等于该函数的值。
title: 希尔伯特空间理论.
content: 狄拉克"δ"分布是在包含所有平方可积函数的希尔伯特空间L上所稠密定义的一个无界线性泛函。紧支撑光滑函数在"L"中是一个稠密集,且"δ"分布对于紧支撑光滑函数有良好定义。在许多应用中,可以对"L"的某个子空间赋予更强的拓扑,使得"δ"函数能够定义一个有界线性算子。  索伯列夫嵌入定理应用在实数线R上的索伯列夫空间上时,意味着任何平方可积函数"f",只要满足  就必定是连续的,而且满足  从而"δ"是一个在索伯列夫空间"H"上的有界线性泛函。另一个等价的说法是,"δ"是"H"的连续对偶空间"H"的元素。更一般地说,在"n"维中,有,条件是。
title: 全纯函数空间.
content: 在复分析中,"δ"函数出现在柯西积分公式中,公式说明,若"D"是复数平面上一个具有光滑边缘的域,则  对于一切在"D"的闭包内连续的全纯函数。从而,对于此类全纯函数,"δ"函数"δ"可以以柯西积分表示:  更一般地来说,设"H"(∂"D")是一个哈代空间,它是所有在"D"中直到"D"的边缘都是连续的全纯函数,在"L"(∂"D")中的凸包。"H"(∂"D")中的函数可以唯一地延续成"D"上的全纯函数,而且柯西积分公式仍然成立。特别是对于,"δ"函数"δ"是一个"H"(∂"D")上的连续线性泛函。这是多复数变量函数中的特殊情况:对于光滑域"D",Szegő核代替了柯西积分的角色。
title: 单位分解.
content: 在可分希尔伯特空间中,给定一个由函数{"φ"}组成的标准正交基(如一个紧自伴算子的归一化特征向量),那么任何向量"f"都可以表达成:  系数{α}可以如下得出:  也可以写为  这是狄拉克符号的一种。在这种写法下,"f"以并矢方式展开:  设"I"是该希尔伯特空间上的恒等算子,则表达式  称为单位分解。当希尔伯特空间是"L"("D"),包含所有在域"D"上的平方可积函数,那么  就是一个积分算子,而"f"可以重新表达为:  右边的级数是在"L"当中向"f"收敛。就算"f"是连续函数,点收敛极限也不一定存在。尽管如此,往往可以滥用符号,写  如此来表示"δ"函数:  在适当的装备希尔伯特空间中,其中包含所有紧支撑光滑函数,视乎基"φ"的性质,上方的级数有可能在Φ*中收敛。在大多数实际情况下,标准正交基来自于某个积分或微分算子,这时候级数会从分布的意义上收敛。
title: 无限小"δ"函数.
content: 1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时,用到了一个无限小数"α",使得函数"δ"满足  formula_47  他(以及拉扎尔·卡诺)把无限小数定义为一个趋向于零的序列。  非标准分析能够严谨地处理无限小数。利用超实数的语言,狄拉克"δ"函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达,详见论文所列出的相关书目。这样定义的"δ"函数是真正意义上的函数,使得对于每个实函数"F",都有  formula_48  结果与傅里叶和柯西用别的语言所表达的一样。
title: 狄拉克梳子.
content: 由一系列狄拉克测度组成的均匀脉冲串叫做狄拉克梳子,亦称Shah分布,是一个取样函数,常用在数字信号处理和离散时间讯号分析中。狄拉克梳子是许多单个"δ"函数的无限和,和的极限是分布意义上的极限:  这可以理解为,在每个整数处都有一个单位质点。  狄拉克梳子是其自身的傅里叶变换(或乘以某个归一常数)。其重要性在于,若"f"是速降函数,则"f"在周期化后的结果以以下卷积表示:  特别有,  这正是帕松求和公式。
title: 索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理.
content: 索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理是量子力学中重要的定理,它把"δ"函数和分布p.v.1/"x"联系起来,后者是函数1/"x"的柯西主值,定义是  索霍茨基公式说明,  此处的极限是分布意义上的极限,就是说对于一切紧支撑光滑函数"f",
title: 与克罗内克"δ"函数的关系.
content: 克罗内克"δ"函数"δ"的定义是,  对于所有整数"i"、"j"。它满足以下的筛选性质:若formula_56是一个两头无限的序列,则  这和狄拉克"δ"函数的筛选性质十分相似:对于任何R上的实函数或复函数"f",有  也就是说,克罗内克"δ"函数可以看作是与狄拉克"δ"函数对应的离散函数。
title: 应用.
title: 概率论.
content: 在概率论和统计学中,狄拉克函数往往以概率密度函数的身份,来代表一个离散分布或部分离散、部分连续的分布(概率密度函数一般只用作描述完全连续分布)。例如,设一组点x = {"x",..., "x"},对应概率为"p",..., "p";由这些点所组成的离散分布的概率密度函数可以写作  又举一例,设一个分布,其中十分之六的情况下输出标准正态分布,而十分之四的情况下输出单个数值3.5,这是一个部分连续、部分离散的混合分布。其密度函数是  也可以以完全不同的方法,用"δ"函数表示扩散过程(如布朗运动)中的局部时。一个随机过程的局部时的表达式为  这代表了该过程在某特定区间内,在点"x"所花的时间。更准确地说,当只有一个维度时,上面的积分可以写成  其中是区间的指示函数。
title: 量子力学.
content: 以下举一个例子,展示"δ"函数如何在量子力学中派上用场。一个粒子的波函数所给出的,是粒子出现在特定空间范围内的几率幅。波函数假定属于希尔伯特空间"L"(平方可积函数空间),且粒子在某空间范围内出现的总概率,等于波函数的绝对值平方在该范围内的积分。一组波函数{"φ"}叫做标准正交,如果  其中"δ"指的是克罗内克"δ"函数,而不是狄拉克"δ"函数。一组标准正交波函数叫做在平方可积函数空间中完备,如果任何波函数"ψ"都可以表达为一些"φ"的线性组合:  其中formula_65。量子力学中的哈密顿算符量度的是(束缚态的)能级,而算符的所有本征函数正正就组成了波函数完备标准正交系统,每个本征函数所对应的特征值等于能量值。这组能量值叫做这个哈密尔顿算符的光谱。利用狄拉克符号(如上),上式所表达的就是单位分解:  此处,特征值都是离散的,但一个可观察量的特征值也可以是连续的,就如位置算符。位置(在一维当中)的光谱是整条实数线,所以称作连续光谱。不过,和哈密顿算符不同的是,位置算符并没有正式的本征函数。为了解决这一困局,通常会扩大所允许使用的函数,从普通的函数到所有分布。换言之,量子力学的希尔伯特空间要由合适的装备希尔伯特空间取代。这样一来,位置算符就有了一套完备的本征分布,对应于实数线上的每个点"y":  位置的本征函数(分布)用狄拉克符号记作formula_68,亦称为位置本征态。  这种处理方法同样可以应用于动量算符,以及一切希尔伯特空间上的自伴无界算子"P",前提是"P"具有连续光谱,且不存在退化特征值。更确切地说,有一个实数的子集Ω(即算子的光谱)和一组分布"φ",对应于Ω的每个元素"y",使得  也就是说,"φ"是"P"的特征向量(本征分布)。如果这些特征向量(作为分布)都满足归一化条件:  那么对于一切测试函数ψ,就有  其中  此处所得出的单位分解和离散的情况比较,有相似之处:  其中以算子为值的积分同样理解为弱积分。若"P"的光谱同时含有连续和离散部分,则它的单位分解须包含跑遍所有离散态的和,再加上跑遍所有连续态的积分。  "δ"函数在量子力学中还有众多特殊应用,例如"δ"位势阱。
title: 结构力学.
content: 在结构力学中,"δ"函数可以用来描述结构上的瞬时荷载或点荷载。一个谐振子在"t"=0时突然受到冲量为"I"的力的冲击,其演变可以如下描述:  其中"m"是质量,ξ是挠度,而"k"是弹簧常数。  根据欧拉-伯努力理论,一条细长的梁的静力负荷挠度是  其中"EI"是梁的弯曲刚度,"w"是挠度,"x"是空间坐标,而"q"("x")则是负荷分布。如果栋梁在"x" = "x"处受到点力"F"的负荷,那么负荷分布可以写作  由于"δ"函数的积分是黑维塞阶跃函数,因此细长栋梁在多个点受到点力负荷时的静力负荷挠度,可以用一组分段多项式来表示。  "δ"函数还可以描述作用在一条梁上的点弯矩。设两个相距"d"的相反方向的点力"F",它们在栋梁上所产生的弯矩为"M" = "Fd"。在保持"M"不变的情况下,使"d"趋向于零。假设所产生的弯矩位于"x" = 0,方向是顺时针,那么对栋梁的负荷分布就是  因此点弯矩可以用"δ"函数的导数来描述。对栋梁方程积分,得出的挠度一样是分段多项式。

Summary: 在科学和数学中,狄拉克函数或简称函数(译名德尔塔函数、得耳他函数)是在实数线上定义的一个广义函数或分布。它在除零以外的点上都等于零,且其在整个定义域上的积分等于1。函数有时可看作是在原点处无限高、无限细,但是总面积为1的一个尖峰,在物理上代表了理想化的质点或点电荷的密度。