柯氏复杂性

title: 定义.
content: 柯氏复杂度可以适用于任何数学概念,但是本文只针对字符串。首先需要确定我们用以描述字符串的语言,它可以基于任何计算机语言,例如LISP、Pascal或Java字节码。如果 P 是一个可以输出字符串 "x"的程序,则 P 是 "x"的描述。描述长度就等于程序 P 作为字符串的长度,乘上每个字符的比特数。(例如,对于 ASCII来说是7)  我们也可以使用图灵机的编码。每一个图灵机 M 都对应一个字符串 <M>。如果 M 是一个图灵机,给它输入字符串 "w" 它会输出字符串 "x",那么这段拼合起来的字符串 <M>+"w" 就是 "x"的描述。这种描述更适合比较严谨的证明,通常是在正式研究中才会使用。在本文的讨论中会使用比较非正式的描述。  对于任何一个字符串 "s",都存在至少一个描述。可以用以下程序表示:  如果 "s" 的描述 "d"("s") 长度达到最小(即使用最少的比特数),它就可以称为 "s" 的“最小描述”。同时,"d"("s")的长度(也就是这个描述使用的比特数)就是 "s"的“柯氏复杂度”,写作 "K"("s")。可以表示为:  最小描述长度取决于选择什么语言来描述;但是改变描述语言所带来的长度变化是有限的,这个属性称作不变性理论(英语:invariance theorem)。
title: 不变性理论.
title: 非正式表述.
content: 一些描述语言可以被称作“最优的”(英语:optimal)。它们有如下属性:给定任意一个描述语言来描述一个对象,我们也可以用最优描述语言来描述该对象,只需要在原来的那段描述前面加上一段固定的前缀。这段前缀仅仅取决于使用哪一种描述语言,不取决于对对象的描述,也不取决于被描述的对象。  以下是“最优描述语言”(英语:Optimal description language)的一个例子。这个语言中的描述都会包括以下两部分:  更技术性的说法是,第一部分是一段计算机程序,如果把第二部分输入这个程序,就会输出该对象。  不变性理论指的是:对于任意的描述语言 "L",最优描述语言都至少和 "L" 同样有效,但是会增加一段固定的前缀。  证明: 对于以"L"作为描述语言的任意一段描述 "D","D" 都可以转换成为最优描述语言下的一段描述,这段描述包括将 "L" 描述为一段计算机程序 "P" (前面提到的第一部分),然后将原来的描述 "D" 作为这段程序的输入(第二部分)。新的描述 "D" ’ 的长度(近似值)为:  "P" 的长度为常数,不取决于 "D",所以,至多有一个常数项长度的前缀,不取决于描述对象。所以,最优描述语言在up to固定前缀的意义上是通用的。
title: 更正式的描述.
content: "'定理"':设 "K" 和 "K" 是满足 图灵完备性的描述语言 "L" 和 "L"的复杂度函数,则存在一个常数 "c",仅取决于对于语言 "L" 和 "L" 的选择,有:  证明:根据对称性,可以证明存在一个常数 "c" 对于所有的字符串 "s" 满足:  然后,假设语言 "L" 中存在一个程序,相当于是 "L" 的解释器:  其中 "p" 是 "L" 中的一个程序。解释器有以下属性:  然后,设 "L" 中的程序 P 是 "s" 的最小描述,则 codice_1(P) 将会返回字符串 "s"。而 "s" 的描述长度,是以下两项之和:  以上证明了所需的上界。
title: 历史与背景.
content: 算法信息论是计算机科学中的一个领域,研究柯氏复杂性和其他对于字符串(或者其他数据结构)的复杂性度量。  柯氏复杂性的理论和概念基于雷·所罗门诺夫的一些关键性理论。1960年,所罗门诺夫发表了《归纳推理的通用性理论导论》,作为他所创立的算法概率论的一部分。在1964年发表的《信息与控制》的第一和第二部分 “归纳推理的正式理论” 中,他给出了一个更完整的描述。  安德雷·柯尔莫戈洛夫稍后于1965年在 "Problems Inform. Transmission" 上独立发表了这一理论。格里高利·柴廷也在 "J. ACM" 上发表了这一理论——柴廷的论文提交于1966年10月,于1968年12月修订,引用了所罗门诺夫和柯尔莫戈洛夫的论文。  这个理论认为,在所有从对字符串的描述中解码出字符串的算法里,存在一个最优的算法。这个算法对于所有的字符串来说,都可以得到和其他算法同样短的代码,除去一段固定的附加代码,这段代码不取决于字符串,只取决于所选择的算法。所罗门诺夫用这个算法和它所允许的代码长度,定义了一个字符串的“普适概率”英语:universal probability,以对字符序列的归纳推断作为基础。柯尔莫哥诺夫利用这个理论定义了字符串的很多属性,包括复杂度、随机度和信息。  当柯尔莫戈洛夫了解到所罗门诺夫的工作之后,承认了所罗门诺夫的发现在先。在很长一段时间内,所罗门诺夫的工作在苏联比在西方更为人知晓。科学界的共识一般是把和复杂度有关的工作归功于柯尔莫戈洛夫,因为他主要研究序列的随机程度;而算法信息论的工作则归功于所罗门诺夫,他主要集中研究用普适概率分布来进行序列预测。这两个领域的边界,包括描述复杂度和概率通常被称为柯尔莫戈洛夫复杂度。计算机科学家李明认为这是马太效应的体现。  柯尔莫戈洛夫复杂度或者算法信息论有很多变体,其中一个广泛应用的概念是“自生成程序”英语:self-delimiting-program,主要来自于里奥尼德·列文(1974)。  Mark Burgin基于布鲁姆公理(Blum 1967),对于柯氏复杂度进行了公理化(Burgin 1982)。
title: 基本结论.
content: 在以下讨论中,我们用 "K"("s") 来表示字符串 "s" 的复杂度。  显而易见,一个字符串的最小描述不可能超过字符串本身的长度太多。上文中的程序codice_4 可以输出 "s",长度比 "s" 稍长。  定理:存在一个常数 "c",使得:
title: 柯氏复杂性的不可计算性.
content: 定理:存在字符串,拥有任意大的柯氏复杂度。严格表述为:对于任意 "n" ∈ N,存在一个字符串 "s" 的复杂度 "K"("s") ≥ "n"  证明:反证。如果定理不成立,则任意的无限长字符串,都可以使用有限个数,复杂性小于 "n" 比特的程序 来生成了。  定理: "K" 不是一个可计算函数。也就是说,不存在一个程序,可以把字符串 "s" 作为输入,然后输出它的 "K"("s")。  证明:以下的反证法将使用类似Pascal语言的代码。为了证明的简单起见,该语言的描述(即其解释器)大概有 比特。下面开始反证法,假设有这样一个程序存在:  它可以把字符串 "s" 作为输入,然后输出它的 "K"("s");简单起见,假设这一函数的长度是 比特。现在考虑另一段长度为 比特的程序:  它将 codice_5 作为子程序,这个程序会从短到长检查所有的字符串,直到找到一个复杂度至少有 比特的字符串 "s" 。这也就意味着,任何短于 比特的程序都不可能输出这个字符串。但是,以上的整个程序能够输出 "s",而其长度却只有 比特,反证完毕。(如果 codice_5 的代码要更短一些,反证依然成立。如果它要更长,那么 codice_7 中使用的常数也可以相应变大。)  以上使用的反证法类似于佩里悖论:“不 能 用 少 于 二 十 个 字 定 义 的 最 小 整 数”。也可以使用停机问题 "H" 的不可计算性来推导 "K" 的不可计算性,因为 "K" 和 "H" 是图灵等价的。  它的一个结论,在程序员群体中被幽默地称为充分就业定理,其涵义之一是指不存在一个最优的规模优选编译器。
title: 柯氏复杂性的链式法则.
content: 柯氏复杂性的链式法则,是指:  它说明,能够输出 "X" 和 "Y" 的最短程序,相当于输出 "X" 和已知 "X" 的情况下可以输出 "Y" 的程序之和再加上一个对数参数。使用这个法则,可以定义柯氏复杂性的互信息近似。
title: 数据压缩.
content: 计算 "K"("s")的上界很简单:只需要使用某种算法压缩字符串 "s",再把所选语言中的压缩算法加上压缩后的字符串,它们的和就是长度上界。其实这就相当于给定语言中的自解压缩档。  如果一个字符串 "s" 的一个描述长度不超过 |"s"|−"c" 比特,则可以说这个字符串可以被压缩掉 "c" 。这相当于说 "K"("s") ≤ |"s"|-"c"。否则的话,我们就说 "s" 不能被压缩掉 "c" 。如果一个字符串不能被压缩掉1,那么我们就说这个字符串是 "不可压缩的" 。根据鸽巢原理,每一个压缩后的字符串对应唯一的压缩前的字符串,所以不可压缩串一定存在。因为长度为 "n" 的字符串有 2 个,但是只存在 2 - 1 个长度小于 "n" 的字符串, (i.e. 长度可能为 0,1...,"n − 1)。  由于同样的理由,大部分的字符串都是复杂的,也就是说难以被显著地压缩,它们的 "K"("s")并不比 |"s"|, "s"的长度小多少。准确地说,对于任意的 "n",有 2 个长度为 "n" 的字符串。在这些字符串的样本空间中的离散型均匀分布表明,对于每一个长度为 "n" 的字符串,权重为 2 。  定理:对于长度为 "n" 的字符串组成的样本空间的离散型均匀分布来说,一个串不能被压缩以 "c" 的概率至少为 1 - 2 + 2。  证明:所有描述长度不超过 "n"-"c" 的字符串的数量,可以由以下等比数列得到:  那么,还剩下至少:  个长度为 "n" 的字符串不能够被压缩以 "c" 。对于单个字符串的概率,应该除以 2 。
title: 柴廷不完全定理.
content: 我们已经知道,在所有可能的字符串里,大部分的串都是复杂的,也就是说它们不能被显著地压缩。然而,如果一个串的复杂度超过了某个阈值,则它不能被形式化地证明为复杂的。形式化的证明如下:首先,为自然数建立一个公理系统 S 。这个公理系统需要足够强,可以判定关于字符串复杂度的断言 A,并且和 S 中的 F 相关联。这个关联需要有以下属性:  如果 F可以被 S 中的定理证明,则相对应的断言 A 为真。这个「形式化」可以用人工编码例如哥德尔数的方法实现,或者依照对于 S 的预期解释来进行形式化。  定理:存在一个常数 "L" ( "L" 仅取决于特定的公理系统以及描述语言的选择),使得没有任何一个 "s" 满足以下情况:  可以在公理系统 S 中证明。  考虑到占多数的几乎不可压缩的串,大部分这样的情况都会成立。  这个结论的证明脱胎于佩里悖论中使用的自指结构。使用反证法,如果定理不成立,则:  我们可以使用以下方式列举 S 中的所有形式化证明  它接受输入 "n",然后输出一个证明。这个函数会列举所有的证明,有一些证明是针对我们并不关心的一些公式,尽管在 S 的语言中所有可能的证明都是关于某个 "n" 的。其中有一些证明是针对复杂度公式 "K"("s") ≥ "n",其中 "s" 和 "n" 都是语言 S 中的常数。以下程序  可以确定,第 "n" 个证明是否证明了复杂度公式 "K"("s") ≥ "n"。字符串 "s" 和整数 "L" 分别可以由以下程序计算:  考虑以下程序:  对于给定的 "n",这个程序会尝试所有的证明,直到找到一个字符串以及 S 中关于公式"K"("s") ≥ "L" (其中 "L" ≥ "n")的形式证明。如果假设(X)成立,那么这个程序会停止。这个程序的长度为 "U". 存在一个整数 "n" 使得 "U" + log("n") + "C" < "n",其中 "C" 是以下程序的前缀:  (注意 "n" 是直接包含在以上函数中的,而前面的 log("n") 已经包含了它) 程序 GenerateProvablyParadoxicalString 输出的字符串 "s",存在一个 "L" 使得 "K"("s") ≥ "L" 可以在 S 中形式化证明,且 "L" ≥ "n"。所以,"K"("s") ≥ "n" 成立。但是, "s" 也可以被长度为 "U" + log("n") + "C" 的程序描述,所以它的复杂度小于 "n"。以上矛盾证明了 假设 (X) 不能成立。

Summary: 在算法信息论(计算机科学和数学的一个分支)中,一个对象比如一段文字的柯氏复杂性(亦作柯尔莫哥洛夫复杂性、描述复杂性、柯尔莫哥洛夫-柴廷复杂度、随机复杂度,或算法熵)是衡量描述这个对象所需要的信息量的一个尺度。柯氏复杂性是由安德雷·柯尔莫哥洛夫于1963年发现,所以用他的名字命名。