四維矢量

title: 数学性质.
content: 在闵考斯基时空内的任何一点,都可以用四维向量(一组标准基底的四个坐标) formula_1 来表示;其中,上标 formula_2 标记时空的维数次序。称这四维向量为「坐标四维向量」,又称「四维坐标」,定义为  其中,formula_4 是光速,formula_5 是时间,formula_6 是位置的三维直角坐标。  为了确使每一个坐标的单位都是长度单位,定义 formula_7 。  「四维位移」定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里,四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时,位移就是位置。四维位移 formula_8 表示为  带有上标的四维向量 formula_10 称为反变矢量,其分量标记为  假若,标号是下标,则称四维向量 formula_12 为协变矢量。其分量标记为  在这里,闵考斯基度规 formula_14 被设定为  采用爱因斯坦求和约定,则四维向量的协变坐标和反变坐标之间的关系为  闵考斯基度规与它的「共轭度规张量」 formula_17 相等:
title: 劳仑兹变换.
content: 给予两个惯性参考系 formula_19、 formula_20 ;相对于参考系 formula_19,参考系 formula_20 以速度 formula_23 移动。对于这两个参考系,相关的「劳仑兹变换矩阵」 formula_24 是  其中,formula_26 是劳仑兹因子,formula_27是「贝塔因子」。  对于这两个参考系 formula_19、 formula_20,假设一个事件的四维坐标分别为 formula_30、 formula_31 。那么,这两个四维坐标之间的关系为  其中,formula_34 是 formula_35 的逆反,  将这两个四维坐标之间的关系式合并为一,则可得到  因此,可以找到劳仑兹变换矩阵的一个特性:  其中,formula_39 是克罗内克函数。  另外一个很有用的特性为  给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标,通过劳仑兹变换,就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时,所涉及的四维向量,最好都能够具有这有用的性质。这样,可以使得数学分析更加精致犀利。以方程序表示,对于两个参考系 formula_19、 formula_20,具有这种有用性质的四维向量 formula_10 、formula_44 满足  在计算这四维向量对于时间的导数时,若能选择固有时为时间变量,则求得的四维向量仍旧具有这有用的性质。因为,固有时乃是个不变量;改变惯性参考系不会改变不变量。  假设一个物体运动于闵考斯基时空。在「实验室参考系」里,物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻,选择与物体同样运动的惯性参考系,称为「瞬间共动参考系」(momentarily comoving reference frame)。在这瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,这参考系也是物体的「瞬间静止参考系」。随着物体不断地改变运动速度与方向,新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时,标记为 formula_47 。这就好像给物体挂戴一只手表,随着物体的运动,手表也会做同样的运动,而手表所纪录的时间就是固有时。  这物体的运动可以用一条世界线 formula_48 来描述。由于时间膨胀,发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 formula_49 与从别的惯性参考系 formula_19 所观测到的微小时间间隔 formula_51 的关系为  所以,固有时 formula_47 对于其它时间 formula_5 的导数为
title: 闵考斯基内积.
content: 在闵考斯基空间里,两个四维向量 formula_56 与 formula_57 的内积,称为闵考斯基内积,以方程序表示为:  由于这内积并不具正定性,即  可能会是负数;而欧几里得内积一定不是负数。  许多学者喜欢使用相反正负号的 formula_60:  这样,formula_56 与 formula_57 的内积改变为  其它相联的量值也会因而改变正负号,但这不会改变系统的物理性质。  从参考系 formula_19 改换至另一参考系 formula_66,formula_56 与 formula_57 的内积为  所以,在闵考斯基时空内,两个四维向量的内积是个不变量:  四维向量可以分类为类时,类空,或类光(零矢量):
title: 动力学实例.
title: 四维速度.
content: 设想一个物体运动于闵考斯基时空,则其世界线的任意事件 formula_74 的四维速度 formula_56 定义为  其中,formula_77 是三维速度,或经典速度矢量。  formula_56 的空间部分与经典速度 formula_79 的关系为  四维速度与自己的内积等于光速平方,是一个不变量:  在物体的瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,四维速度为  其方向与瞬间共动参考系的第零个基底向量 formula_83 同向;  其中,formula_84 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。
title: 四维加速度.
content: 四维加速度 formula_85 定义为  经过一番运算,可以得到劳仑兹因子对于时间的导数:  其中,formula_88 是经典加速度。  所以,四维加速度 formula_85 可以表示为  由于 formula_91 是个常数,四维加速度与四维速度相互正交;也就是说,四维速度与四维加速度的闵考斯基内积等于零:  对于每一条世界线,这计算结果都成立。  注意到在瞬间共动参考系里, formula_93 只有时间分量不等与零,所以, formula_85 为的时间分量为零:
title: 四维动量.
content: 一个静止质量为 formula_96 的粒子的四维动量 formula_97 定义为  经典动量 formula_99 定义为  其中,formula_101 是相对论性质量。  所以,formula_97 的空间部分等于经典动量 formula_99 :
title: 四维力.
content: 作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数:  提出四维动量内的静止质量因子,即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度:  因此,四维力可以表示为  经典力 formula_108 定义为  所以,formula_110的空间部分等于 formula_111 :
title: 物理内涵.
content: 在四维向量的表述里,存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系,可以显示出这表述的功能与精致。
title: 质能方程序.
content: 假设,在微小时间间隔 formula_113,一个运动于时空的粒子,感受到作用力 formula_108 的施加,而这粒子的微小位移为 formula_115 。那么,作用力 formula_108 对于这粒子所做的微小机械功 formula_117 为  因此,这粒子的动能的改变 formula_119 为  粒子的动能 formula_121 对于时间的导数为  将前面经典力和经典速度的公式带入,可以得到  这公式的反微分为  当粒子静止时,动能等于零。所以,  这公式的右手边第二个项目就是静止能量 formula_126 。动能 formula_121 加上静止能量 formula_128 等于总能量 formula_129 :  再加简化,以相对论性质量 formula_101 表示:  这方程序称为质能方程序。
title: 能量-动量关系式.
content: 使用质能方程序 formula_133,四维动量可以表示为  四维动量与自己的内积为  改以四维速度来计算内积:  所以,能量-动量关系式为
title: 电磁学实例.
title: 四维电流密度.
content: 在电磁学里,四维电流密度 formula_138 是一个四维向量,定义为  其中,formula_140 是电荷密度,formula_141 是三维电流密度。  在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度,称为固有电荷密度 formula_142 。四维电流密度与四维速度的关系为  电荷守恒定律能以三维矢量表示为  这定律也能以四维电流密度表示为  从这方程序,可以推论四维电流密度的四维散度等于零。
title: 电磁四维势.
content: 电磁四维势是由电势 formula_146 与矢量势 formula_147 共同形成的,定义为  黎曼-索末菲方程序表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系:  其中,formula_150 是磁常数,formula_151 是达朗贝尔算符,又称为四维拉普拉斯算符。
title: 四维频率和四维波矢量.
content: 一个平面电磁波的四维频率 formula_152 定义为  其中,formula_154 是电磁波的频率,formula_155 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。  四维频率与自己的内积永远等于零:  一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量 formula_157 来描述:  其中,formula_159 是三维波矢量。  四维波矢量与四维频率之间的关系为

Summary: 在相对论里,四维向量(英语:four-vector)是实值四维向量空间里的矢量。这四维向量空间称为闵考斯基时空。四维向量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵考斯基时空内的任何一点,都代表一个「事件」,可以用四维向量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维向量,通过劳仑兹变换,可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维向量。