解析几何

title: 历史.
content: 古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)的解题、证明方式与现在使用坐标系十分相似,以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖。 阿波罗尼奥斯在《论切触》中解题方式在现在被称之为单维解析几何;他使用直线来求得一点与其它点之间的比例。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式,这种方式与解析几何十分相似,比起笛卡儿早了1800多年。他使用了参照线、直径、切线与现进所使用坐标系没有本质区别,即从切点沿直径所量的距离为横坐标,而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标。他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系,即两者等同于夸张的曲线。然而,阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何,但它没能完成它,因为他没有将负数纳入系统当中。在此,方程是由曲线来确定的,而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。  十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆发现了几何与代数之间的密切联系,在求三次方程使用了代数和几何,取得了巨大进步。但最关键的一步由笛卡儿完成。  从传统意义上讲,解析几何是由勒内·笛卡儿创立的。笛卡儿的创举被记录在《几何学》("La Geometrie")当中,在1637年与他的《方法论》一道发表。这些努力是以法语写成的,其中的哲学思想为创立无穷小演算提供了基础。最初,这些著作并没有得到认可,部分原因是由于其中论述的间断,方程的复杂所致。直到1649年,著作被翻译为拉丁语,并被冯·斯霍滕(van Schooten)恭维后,才被大众所认可接受。  费马也为解析几何的发展做出了贡献。他的《平面与立体轨迹引论》("Ad locos planos et solidos isagoge")虽然没有在生前发表,但手稿于1637年在巴黎出现,正好早于笛卡儿《方法论》一点。《引论》文字清晰,获得好评,为解析几何提供了铺垫。费马与笛卡儿方法的不同在于出发点。费马从代数公式开始,然后描述它的几何曲线,而笛卡儿从几何曲线开始,以方程的完结告终。结果,笛卡儿的方法可以处理更复杂的方程,并发展到使用高次多项式来解决问题。
title: 基本理论.
title: 坐标.
content: 在解析几何当中,平面给出了坐标系,即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系,其中,每个点都有formula_1坐标对应水平位置,和formula_2坐标对应垂直位置。这些常写为有序对formula_3。这种系统也可以被用在三维几何当中,空间中的每个点都以多元组呈现formula_4。  坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系,其中每个点都以从原点出发的半径formula_5和角度formula_6表示。在三维空间中,最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和 球坐标系。
title: 曲线方程.
content: 在解析几何当中,任何方程都包含确定面的子集,即方程的解集。例如,方程formula_7在平面上对应的是所有formula_1坐标等于formula_2坐标的解集。这些点汇集成为一条直线,formula_7被称为这道方程的直线。总而言之,线性方程中formula_1和formula_2定义线,一元二次方程定义圆锥曲线,更复杂的方程则阐述更复杂的形象。  通常,一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此:方程formula_13对应整个平面,方程formula_14只对应formula_15一点。在三维空间中,一个方程通常对应一个曲面,而曲线常常代表两个曲面的交集,或一条参数方程。方程formula_16代表了是半径为r且圆心在formula_15上的所有圆。
title: 距离和角度.
content: 在解析几何当中,距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如,使用平面笛卡儿坐标系时,两点formula_18和formula_19之间的距离 "formula_20" (又写作"formula_21",被定义为 上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地,直线与水平线所成的角可以定义为  其中formula_24是线的斜率。
title: 变化.
content: 变化可以使母方程变为新方程,但保持原有的特性。例如,母方程 formula_25 有水平和垂直的渐近线,处在第一和第三象限当中能够,它所有的变形都有水平和垂直的渐近线,出现在第一或第三、第二或第四象限当中。总的来说,如果formula_26,那么它可以变为formula_27。新的变形方程,formula_28 因素如果大于1,就垂直拉伸方程;如果小于1,就压缩方程。如果formula_28 值为负,那么方程就反映在 formula_1-轴上。 formula_31 值如果大于1就水平压缩方程,小于1就拉伸方程。与formula_28一样,如果为负就反映在formula_2-轴上。formula_34 和 formula_35 值为平移,formula_35值是垂直,formula_34 为水平。formula_35 和 formula_34 的正值意味着方程往数轴的正方向移动,负值意味这往数轴的负方向移动。  变化可以应用到任意几何等式中,不论等式是否代表某一方程。 变化可以被认为是个体处理、或是组合处理。  例如,formula_40 在 formula_41 平面上formula_42指代单位圆。 图像formula_40可以被变化为:  在基础的解析几何中,不会考虑太多的变化,例如偏移。更多信息请参阅仿射变换。
title: 交集.
content: 虽然本讨论仅限于formula_41平面上,但它可以很容易地衍生为更高维的空间中。两个几何对象formula_62和formula_63指代formula_64和formula_65,其交集是所有点formula_3的集合。 例如,formula_62可以是半径为1的圆,圆心在formula_15: formula_69, formula_63可以是半径为1的圆,圆心在formula_71。两圆的交叉点是满足方程的所有点的集合。点formula_15是否满足方程呢?将formula_15带入formula_3,formula_63便成为formula_76或formula_77,结论为真,因此formula_15在formula_63上。换句话来说,接着将formula_15带入formula_3,方程 formula_62 成为 formula_83 或 formula_84,结论为假。formula_15 不在 formula_62 上,因此不是它的集合。  formula_62 与 formula_63 的交集可以通过同时解方程来求得:  formula_89  解得 formula_90  我们的交集有两点:  就圆锥曲线而言,交集可能会出现至多4个点。
title: 截距.
content: 被广泛研究的一种交集是几何对象与formula_1和formula_2坐标轴的交集。  几何对象与 formula_2轴的交集被称之为对象的 formula_2截距。与formula_1轴的交集被称之为对象的formula_1截距。  就线 formula_98而言,参数formula_31定义线在何处与formula_2轴相交。据此,formula_31或formula_102点被称之为formula_2截距。
title: 主题.
content: 解析几何中的重要问题:  formula_104. 如果formula_105被考虑进去的话,就会常常用到旋转。这些问题常涉及到线性代数。
title: 例子.
content: 下面是美国初中数学竞赛(USMTS)中的题,可以用解析几何来解:  问题:在凸面五边形formula_106中,边长为 formula_107, formula_108, formula_109, formula_110, formula_111,虽然顺序不一定如此。设formula_112, formula_113, formula_114, formula_115 成为 formula_116, formula_117, formula_118, formula_119 的各个中点。 设 formula_120 为线段 formula_121的中点, formula_122 为线段 formula_123 的中点。线段 formula_124 的长度为整数。求边 formula_125 的所有可能长度。  解: 为了不失一般性,假设 formula_60, formula_127, formula_128, formula_129, formula_130 为 formula_131, formula_132, formula_133, formula_134, formula_135。  应用中点公式,点 formula_112, formula_113, formula_114, formula_115, formula_120, formula_122 位于  使用距离公式,  以及  由于 formula_124 为整数, (见同余) 因此 formula_152.
title: 现代解析几何.
content: 解析簇(analytic variety)定义为几个解析函数的共同解集。类似与实数与复数的代数簇。任何复流形都是一种解析簇。由于解析簇可能有奇点,但不是所有解析簇都是复数。.  解析几何总体上来说等同与实数与复数代数几何,让-皮埃尔·塞尔在他的著作《代数几何与解析几何》("Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique")阐述了这个观点。然而,两个领域依然有其独特性,而证明方式也十分不同,代数几何也包括几何的有限特征。

Summary: 解析几何(英语:Analytic geometry),又称为坐标几何(英语:Coordinate geometry)或卡氏几何(英语:Cartesian geometry),早先被叫作笛卡儿几何,是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线,使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面,同时研究它们的方程,并定义一些图形的概念和参数。