西羅定理

title: 定义.
content: 设"p"是一个质数;则可定义"G"的西罗"p"-子群(或者称为"p"-西罗子群),其为"G"的"p"-子群中最大的一个(即其为"G"的p-群,且不为其他"G"的"p"-子群的真子群)。  西罗"p"-子群所组成的集合记为Syl("G")。 Syl("G")之中群的差异在群论的讨论中是可以忽略的。更明确地说,在Syl("G")内的每个群彼此间同构;这性质也同时回过头来决定了"G"的其他性质。
title: 西罗定理.
content: 以下定理由挪威数学家彼得·卢德维格·梅德尔·西罗首次于1872年提出并证明,刊载于《Mathematische Annalen》中。  给定一有限群"G",则可以将|"G"|可以写成"p" formula_1 "s" 的形式  其中|"G"|表示"G"的阶,"n"为正整数,且"p"不为"s"的质因子。 下面的推论比起定理1较为狭义 上述推论又称作柯西定理,由柯西首次证明 从这可以推论出,所有"G"的西罗"p"-子群彼此共轭(且因共轭可得到同构),即若"H"、"K"阶为"G"的西罗"p"-子群,则存在一个于"G"内的元素"g",使得"g""Hg" = "K"。 特别地是,上述表示著每个西罗"p"-子群都会有相同的目"p";相反地,若一个子群有"p"目,则其为一个西罗"p"-子群,且会同构于每个其他的西罗"p"-子群。基于质数最大次方的条件,若"H"为"G"的任一个"p"-子群,则"H"会为一个有"p"目之"p"-子群的子群。  定理3的一个很重要结论为"n"=1的条件会等价于描述此一"G"的西罗"p"-子群是一个正规子群。(存在没有正规西罗子群但有正规子群的群,如"S"。)
title: 无限群的西罗定理.
content: 西罗定理有个对无限群的类比。可定义一个于无限群中的西罗"p"-子群为一个在所有群内之"p"-子群的内含关系内为极大的"p"-子群。因佐恩引理,这种子群存在。  定理:若"K"为一个"G"的西罗"p"-子群,且"n" = |Cl("K")|为有限的,则每一个西罗"p"-子群都会共轭于"K",且"n" = 1 mod "p",其中Cl("K")表示为"K"的共轭类。
title: 应用例子.
content: 设"G"为一个其目为15 = 3 · 5的群,则"n"必须整除5,且"n"=1 mod 3。其中唯一满足上述限制的值只有1;因此,只存在一个其目为3的子群,且其必须为正规子群(因为其没有其他的共轭)。相似地,"n"会整除3,且"n"=1 mod 5;因此亦只有一个其目为5的正规子群。当3和5为互质时,此两个子群的交集为当然群,所以"G"必须要是个循环群。因此,只存在一个其目为15的群(以同构来分),标记为Z/15Z。  举另一个更复杂的例子来说,可证明不存在一个其目为350的简单群。若|"G"| = 350 = 2 · 5 · 7,则"n"必须整除14=2·7,且"n" = 1 mod 5。因此,"n"=1(因为6和11都不会整除14),而因此"G"必然会有一个其目为5的正规子群,故不可能为简单群。
title: 西罗定理的证明.
content: 西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群"G"会以许多种方式作用在其自身或其"p"-子群上,而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于1959年H.Wielandt所发表之整合的论述。在下面的论述中,用"a"|"b"来表示「a会整除b」,而"a" formula_3 "b"则用来表示「a不可整除b」。  定理1:一个其目|"G"|可以被一质数次方"p"整除的有限群"G"会有一个其目为"p"的子群。  证明:设|"G"|="pm","p" formula_4m且 "p" formula_3m 。记Ω为"G"的元素个数为"p"之子集所组成的集合,可知|Ω| = formula_6及"p" formula_3 formula_6,基于之前"r"的选定。令"G"以左乘积作用于Ω上,则基于"r"之选定,会存在一个于Ω内的"A",其具有一个会使"p" formula_3 |θ|之轨道θ="A"。这里会有|θ| = |"A"| = ["G" : "G"]的关系,其中"G"标示为集合"A"的隐定子子群,因此"p" | |"G"|,故"p" ≤ |"G"|。注意在"G"的作用下之于"A"内的两个元素"a"和"ga"可能为不同个的,所以|"A"| ≥ |"G"|。由上述"p" ≤ |"G"|和|"A"| ≥ |"G"|两个结果,故知|"G"| = "p"。然后,"G"即为此一想要的群。  引论: 设"G"为一个有限"p"-群,将"G"作用于一个有限集合Ω上,及令Ω为在"G"的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω| mod "p"。  证明:将Ω写成在"G"下之轨道此种不相交集合的联集。每一个在Ω内的元素"x"若在"G"的作用下不固定的话,其将会在其目为|"G"|/|"G"|之轨道上(其中"G"为隐定子),此目依题目的假设会是"p"的倍数(不可能为1,因为其目为1的轨道即为在"G"的作用下固定的点)。因此结论立即就出来了。  定理2:若"H"是"G"的子群且|"H"|="p",以及"P"为"G"的p-西罗子群,则存在一个在"G"内的元素"a"会使得"a"H"a"为"P"的子群。特别地是,所有"G"的西罗"p"-子群都会共轭(且因此同构)于另一个,即若"H"和"K"为"G"的西罗"p"-子群,则存在一个"G"内的元素"g"会使得"g""Hg" = "K"。  证明:设Ω为"G"内"P"的左陪集所组成的集合,及"H"以左乘积作用在Ω上。应用"H"于Ω上的引理,可知|Ω| ≡ |Ω| = ["G" : "P"] mod "p"。由定义可知"p" formula_3 ["G" : "P"],所以"p" formula_3 |Ω|,且因为|Ω| ≠ 0,故会存在一些"gP" ∈ Ω。因此对每个于"H"内的元素"h","hgP" = "gP",故"g""hgP" = "P"且"g""hg" ∈ "P",且因此"h" ∈ "gPg",故"H"会包含于某些"G"内元素"g"之"gPg"内。若"H"为一个西罗"p"-子群,则|"H"| = |"P"| = |"gPg"|,因此对某些在"G"内的"g","H" = "gPg"。  定理3:设"q"为一有限群"G"的任一西罗"p"-子群的目,则"n" | |"G"|/"q"且"n" ≡ 1 mod "p"。  证明:依定理2,"n" = ["G" : "N"("P")],其中"P"为任一个子群且"N"("P")为于"G"内"P"的正规化子,可知此数为|"G"|/"q"的因子。令Ω为所有"G"的西罗"p"-子群所组成的集合,且"P"以共轭作用于Ω上。设"Q" ∈ Ω并可知对所有"x" ∈ "P","Q" = "xQx",因此"P" ⊆ "N"("Q")。依定理2,"P"和"Q"会于"N"("Q")内共轭,尤其是"Q"会在"N"("Q")为正规,故可知"P" = "Q"。由上可知Ω = {"P"},因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω| = 1 mod "p"。
title: 得到一个西罗子群.
content: 由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里,已由William Kantor证明出一个西罗"p"-子群可以在输入数量的多项式时间内被找到。

Summary: 在数学里,尤其是在群论内,西罗(Sylow)定理(以彼得·卢德维格·梅德尔·西罗来命名,或称西洛定理)为一系列定理的总称。这些定理关于给定的有限群包含的固定阶子群的数目给出了详细的信息。这些定理在有限群论中起到了基础的作用,并且在有限单群分类中有重要应用。西罗定理假设了拉格朗日定理部分反面的情况。拉格朗日定理叙述了若"H"是一个有限群"G"的子群,则"H"的阶会整除"G"的阶。西洛定理则保证,对于"G"之目的某些因子,会有对应此些因子的子群存在着,且会给出有关此类子群之数目的相关讯息。