量子諧振子

title: 一维谐振子.
title: 哈密顿算符与能量本征态.
content: 在一维谐振子问题中,一个质量为"m"的粒子,受到一位势formula_1。此粒子的哈密顿算符为  其中"x"为位置算符,而"p"为动量算符formula_3。第一项代表粒子动能,而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态,必须解所谓的「定态薛定谔方程序」:  在座标基底下可以解这个微分方程序,用到幂级数方法。可以见到有一族的解:  前8个解("n" = 0到5)如右图。函数formula_7为埃尔米特多项式:  注意到不应将之与哈密顿算符搞混,尽管哈密顿算符也标作"H"。相应的能阶为  值得注意的是能谱,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有离散的值——即formula_10乘以1/2, 3/2, 5/2......等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的「阶梯算符」段落,将对此现象做更详细的检视。再者,可有的最低能量(当"n" = 0)不为零,而是formula_11,被称为「基态能量」或零点能量。在基态中,根据量子力学,一振子执行所谓的「零振动」(null oscillations)且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见,因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量,因为可以任意选择;有意义的是能量差。虽然如此,基态能量有许多的意涵,特别是在量子重力。最后一个理由式能阶值是等距的,不像波耳模型或盒中粒子问题那样。  注意到基态的几率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部,合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时,几率密度变成集中在「古典转向点」(classical turning points),其中状态能量等同于势能。这样的结果与古典谐振子相一致;古典的描述下,粒子多数时间处在(而更有机会被发现在)转向点,因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。
title: 阶梯算符方法.
content: 前述的幂级数解虽然直观,但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克,允许抽像求得能量本征值,而不用直接解微分方程序。此外,此法很容易推广到更复杂的问题,尤其是在量子场论中。跟从此方法,定义算符"a"与其伴随算符(adjoint)"a":  算符"a"并非厄米算符(Hermitian),以其与伴随算符"a"并不相同。  算符"a"与"a"有如下性质:  在推导"a"形式的过程中,已用到算符"x"与"p"(代表可观测量)为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合:  利用上面关系,可以证明如下等式:  现在,让formula_17代表带有能量"E"的能量本征态。任何右括向量(ket)与自身的内积必须是非负值,因此  将"a""a"以哈密顿算符表示:  因此formula_20。注意到当(formula_21)为零右括向量(亦即:长度为零的右括向量),则不等式饱和而formula_22。很直观地,可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态("n" = 0)。  利用上面等式,可以指出"a"及"a"与"H"的对易关系:  因此要是(formula_21)并非零右括向量,  类似地,也可以指出  换句话说,"a"作用在能量为"E"的本征态,而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为 formula_27的本征态,而"a"作用在能量为"E"的本征态,产生出另一个能量为formula_28的本征态。因为这样,"a"称作降算符而"a"称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中,"a"与"a"也分别称作消灭算符与创生算符,以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。  给定任何能量本征态,可以拿降算符"a"作用在其上,产生了另一个能量少了formula_29的本征态。重复使用降算符,似乎可以产生能量本征态其能量低到"E" = −∞。不过这样就就与早先的要求formula_20相违背。因此,必须有一最底的能量本征态——基态,标示作formula_31(勿与零右括向量混淆),使得  在这情况下,继续使用降算符只会产生零右括向量,而不是产生额外的能量本征态。此外,还指出了  最后,透过将升算符作用在formula_31上,并且乘上适当的归一化因子,可以产生出一个能量本征态的无限集合formula_36使得  这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态,formula_38变为  所以,  这个方程序的解为,经过归一化,
title: 自然长度与能量尺度.
content: 量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度,可以用来简化问题。这可以透过无因次化来得到。结果是如果以formula_29为单位来测量能量,以及formula_43为单位来测量距离,则薛定谔方程序变成:  且能量本征态与本征值变成  为了避免混淆,在此文中不采用这些自然单位。不过,这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。
title: 案例:双原子分子.
content: 在双原子分子中,自然频率可以发现为: 其中
title: N维谐振子.
content: 一维谐振子很容易地推广到formula_50维。在一维中,粒子的位置是由单一座标"x"来指定的。在formula_50维中,这由formula_50个位置座标所取代,以formula_53标示。对应每个位置座标有个动量,标示为"p",..., "p"。这些算符之间的正则对易关系为  系统的哈密顿算符为  从这个哈密顿量的形式,可以发觉,formula_50维谐振子明确地可比拟为formula_50个质量相同,弹性常数相同,独立的一维谐振子。在这案例里,变量formula_53是formula_50个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性,允许位势被分离为formula_50个项目,每一个项目只跟一个位置坐标有关。  这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数formula_61,一个formula_50维谐振子的能量本征函数formula_63等于formula_50个一维本征函数formula_65的乘积:  采用阶梯算符方法,定义formula_50组阶梯算符,  类似前面所述的一维谐振子案例,可以证明每一个formula_70与formula_71算符将能量分别降低或升高formula_10。哈密顿量是  这量子系统的能阶formula_74是  其中,正整数formula_76是formula_77的量子数。  如同一维案例,能量是量子化的。formula_50维基态能阶是一维基态能阶的formula_50倍。只有一点不同,在一维案例里,每一个能阶对应于一个单独的量子态。在formula_50维案例里,除了底态能阶以外,每一个能阶都是简并的,都对应于多个量子态。  简并度可以很容易地计算出来。例如,思考三维案例,设定formula_81。每一个formula_82相同的量子态,都会拥有相同的能量。给予formula_82,首先选择一个formula_84。那么,formula_85,有formula_86个值,从formula_87到formula_88,可以选择为formula_89的值。formula_90的值自动的设定为formula_91。因此,简并度是  对于formula_50维案例,
title: 案例:三维均向谐振子.
content: 球对称的三维均向谐振子可以用分离变量法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法,只有球对称位势不一样:  其中,formula_96是这问题的质量。由于formula_97会被用来标记磁量子数,所以,用formula_96来标记质量。  这问题的薛定谔方程序为  薛定谔方程序的全部解答写为 其中,  能量本征值是  能量通常可以用一个量子数formula_82来描述:  由于formula_104是个正整数,假若formula_82是偶数,那么,角量子数也是偶数:  假若formula_82是奇数,那么,角量子数也是奇数:  磁量子数formula_97满足不等式  对于每一个formula_82与formula_119,存在formula_120个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数formula_97。因此,formula_82的兼并度是  其中,总和的指数formula_119的初始值是formula_125。  这结果与先前的方程序相同。
title: 耦合谐振子.
content: 设想formula_50个相同质量的质点,以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为formula_53(也就是说,假若一个质点formula_104位于其平衡点,则formula_129)。整个系统的哈密顿量是  其中,formula_131。  这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子,每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质,称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固态物理学里,这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。

Summary: 在量子力学里,量子谐振子(英语:quantum harmonic oscillator)是古典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者,因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外,其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。