正交群

title: 实数域上的正交群.
content: 实数域R上的正交群O("n",R)和特殊正交群SO("n",R)在不会引起误会时经常记为O("n")和SO("n")。他们是"n"("n"-1)/2 维实紧李群。O("n",R)有两个连通分支,SO("n",R)是单位分支,即包含单位矩阵的连通分支。  实正交群和特殊正交群有如下的解释:  O("n",R)是欧几里得群"E"("n")的子群,"E"("n")是R的等距群;O("n",R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 ("n" = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。  SO("n",R)是"E"("n")的子群,"E"("n")是“直接”等距,即保持定向的等距;SO("n",R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。  取合适的正交基,等距是  的形式。这里矩阵"R"...,"R"是2×2旋转矩阵。  圆的对称群是O(2,R),也称为Dih(S),这里S是模长1复数的乘法群。  SO(2,R) (作为李群)同构于圆S(圆群)。这个同构将复数exp(φ"i") = cos(φ) + "i" sin(φ)映到正交矩阵  群SO(3,R),视为3维空间的旋转,是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式  在代数拓扑方面,对"n" > 2,SO("n",R)的基本群是2阶循环,而自旋群Spin("n")是其万有覆叠。对"n" = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴(旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠)  李群O("n",R)和SO("n",R的李代数由斜对称实"n"×"n"矩阵组成,李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o("n",R)或so("n",R)。
title: 保持原点的3维同构.
content: 保持R原点不动的同构,组成群O("3",R),能分成如下几类:  特别地指出4阶和5阶正交群,在更宽泛的意义下6阶也是,称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。
title: 共形群.
content: 作为保持距离的同构,正交变换也保角,从而是共形变换,但是不是所有的共形变换都是正交变换。R的线性共形映射构成的群记作CO("n"),由正交群和收缩的乘积给出。如果"n"是奇数,两个子群不相交,他们是直积:formula_4;如果"n"是偶数,两个子群的交是formula_5,所以这不是直积,但这是和正收缩子群的直积:formula_6。  我们可以类似地定义CSO("n"),这时总有formula_7。
title: 复数域上正交群.
content: 复数域C上,O("n",C)和SO("n",C)是C上"n"("n"-1)/2维的李群,这意味着实维数是"n"("n"-1)。O("n",C)有两个连通分支,SO("n",C)是包含恒同矩阵的分支。当"n" ≥ 2时,这些群非紧。  和实情形一样,SO("n",C)不是单连通的,对"n" > 2 SO("n",C)的基本群是2阶循环群,而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。  O("n",C)和SO("n",C)的复李代数由斜对称复"n"×"n"矩阵组成,李括号由交换子给出。
title: 拓扑.
title: 低维数.
content: 低维实正交群是熟悉的空间:  由于三维旋转在工程中有重要应用,产生了很多SO(3)上的卡。
title: 同伦群.
content: 正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关,从而一般是很难计算的。  但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群(也称为有限正交群),定义为包含序列 的正向极限(因为包含都是闭包含,从而是上纤维化,也能理解成并)。  formula_10是formula_11的齐性空间,从而有如下纤维丛: 可以理解为:正交群formula_11 传递地作用于单位球面formula_10上,一点(看作一个单位向量)的稳定子群是其正交补的正交群,这是第一维的正交群。映射formula_15是自然包含。  从而包含formula_15是"(n-1)" -连通的,故同伦群稳定,对formula_17有formula_18,所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。  通过博特周期性定理,formula_19,从而"O"的同伦群以8为周期,即 formula_20,这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。
title: 和KO-理论的关系.
content: 通过,稳定空间"O"的同伦群和稳定球面上的向量丛等价(同构的意义下),提高一个维数:formula_22。  设formula_23(使得formula_24满足周期性),我们得到:
title: 同伦群的计算和解释.
title: 低维群.
content: 最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。  formula_28得出:
title: 李群.
content: 由李群一般性事实,formula_32总消失,formula_33是自由阿贝尔群。
title: 向量丛.
content: 从向量丛的观点来看,formula_34是formula_35上的向量丛,具有两个点。从而在每个点上,丛是平凡的,这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差,所以
title: 环路空间.
content: 利用博特周期性中环路空间具体的描述,我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用formula_24、"O",以及"O/U"有两个分支,formula_38和formula_39有formula_40个分支,其实是连通的。
title: 同伦群的解释.
content: 一小部分结论:  令formula_45,以及formula_46为射影线formula_47上的重复线丛,formula_48是其K-理论。注意到formula_49,这些得出相应球面上的向量丛,以及:
title: 有限群上的正交群.
content: 正交群也能定义在有限域formula_58上,这里formula_59是一个质数formula_60的幂。在这样的域上定义正交群,偶数维时有两类:formula_61和formula_62;奇数维有一类:formula_63。  如果formula_64是正交群formula_65作用的向量空间,它可以写成正交直和:  这里formula_67是双曲线而formula_68不包含奇异向量。如果formula_69,那么formula_65是正类型;若formula_71那么formula_65有偶维数;若formula_68有维数2,则formula_65是负类型。  在"n" = 1的特例,formula_75是阶为formula_76的二面体群。  当特征大于2时,记O("n","q") = { "A" ∈ GL("n","q") : "A"·"A"=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式  如果formula_78是formula_79中的平方元素
title: 迪克森不变量.
content: 对偶数维正交群,迪克森不变量是从正交群到"Z"/2"Z"的同态,是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价:行列式等于−1的迪克森不变量次幂。  在特征2的域上,行列式总为1,所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素,而不是行列式为1。  迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。
title: 特征2域上正交群.
content: 特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同:
title: 旋量模.
content: 旋量模是一个从域"F"上正交群到域"F"的乘法群模去平方元素  的同态,将关于模长为"n"向量的反射映到"F"/"F"中的"n"。  旋量模对实数域上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如实数域上不定二次型定义的正交群。
title: 伽罗瓦上同调和正交群.
content: 代数群的伽罗瓦上同调理论,引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值,特别是二次型理论的联系; 但就目前所发现的现象而言,大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式(张量)可以与伽罗瓦"H"等同起来。作为一个代数群,正交群一般不是连通或单连通的;第二个观点是引入自旋现象,但前一个和判别式相联系。  一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群(更准确地pin群)的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调(引入克利福德代数的术语)来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列: 这里μ是单位根的代数群;在一个特征非2的域上,粗略地看,和作用平凡的两元素群相同。  从"H"(就是取值于"F"中点的群"O"("F"))到"H"(μ)的连接同态本质上是spinor模,因为 "H"(μ)同构于域模去平方元素的乘法群。  正交群的"H"到自旋群覆叠的核的"H"也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的,所以,至少用普通定义,这是我们能走得最远的。
title: 重要子群.
content: 物理中,特别是在Kaluza-Klein紧化领域,找出正交群的子群非常重要。主要结论如下: 正交群O(n)也是一些李群的重要子群:  群O(10)在超弦理论中非常重要,因为它是10维时空的对称群。

Summary: 数学上,数域"F"上的"n"阶正交群,记作O("n","F"),是"F"上的"n"×"n" 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL("n","F")的子群,由