作用量

title: 历史.
content: 皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明:光传播的正确路径,所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性,现今,一个物理系统的运动拥有了展望与目标。  戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论:光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径;更精确地说,阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题,如果要符合实验的结果,玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍;但是,玻璃的密度大于空气,应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散;因此,光被约束在一个很窄的路径内。假若,河道变窄,水的流速会增加;同样地,光的路径变窄,所以光的速度变快了。  1744年,皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中,发表了最小作用量原理:光选择的传播路径,作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理,他证明了费马原理:光传播的正确路径,所需的时间是极值;他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年,莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中,应用这原理于碰撞,正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞;这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。  莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ;其中,他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律,而这物理量是formula_1。应用这理论,欧拉成功的计算出,当粒子受到连心力作用时,正确的抛射体运动。  在此以后,许多物理学家,包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理乍得·费曼等等,对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。
title: 概念.
content: 微分方程序时常被用来表述物理定律。微分方程序指定出,随着极小的时间、位置、或其他变量的变化,一个物理变量如何改变。总合这些极小的改变,再加上这物理变量在某些点的已知数值或已知导数值,就能求得物理变量在任何点的数值。  作用量方法是一种全然不同的方法,它能够描述物理系统的运动,而且只需要设定物理变量在两点的数值,称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算,可以得到,此变量在这两点之间任何点的数值。而且,作用量方法与微分方程序方法所得到的答案完全相同。 哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价:描述物理系统运动的微分方程序,也可以用一个等价的积分方程序来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或重力场,这描述都是正确的。更加地,哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。  用变分法数学语言来描述,求解一个物理系统作用量的平稳值(通常是最小值),可以得到这系统随时间的演化(就是说,系统怎样从一个状态演化到另外一个状态)。更广义地,系统的正确演化对于任何微扰必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程序。
title: 作用量形式.
content: 在经典物理里,作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
title: 作用量(泛函).
content: 最常见的作用量是一个泛函formula_2,输入是参数为时间与空间的函数,输出是一个纯量。在经典力学里,输入函数是物理系统在两个时间点formula_3,formula_4之间广义座标formula_5的演变。  作用量formula_2定义为,在两个时间点之间,系统的拉格朗日量formula_7对于时间的积分:  根据哈密顿原理,正确的演化formula_9要求平稳的作用量formula_2(最小值、最大值、鞍值)。经过运算,结果就是拉格朗日方程序。
title: 简略作用量(泛函).
content: 简略作用量也是一个泛函,通常标记为formula_11。这里,输入函数是物理系统移动的一条路径,完全不考虑时间参数。举例而言,一个行星轨道的路径是个椭圆,一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线;在这两种状况,路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量formula_11定义为广义动量formula_13延著路径的积分:  其中,formula_15是广义座标.根据莫佩尔蒂原理,正确路径的简略作用量formula_11是平稳的。
title: 哈密顿主函数.
content: 哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程序定义的。哈密顿-雅可比方程序是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数formula_17与泛涵formula_2有密切的关系。固定住初始时间formula_3和其对应的座标点formula_20;而准许时间上限formula_4和其对应的座标点formula_22的改变。取formula_4和formula_22为函数formula_17的参数。换句话说,作用量函数formula_17是拉格朗日量对于时间的不定积分:  更加地,可以证明formula_28是某常数向量formula_29。所以,
title: 哈密顿特征函数.
content: 假若,哈密顿量formula_31是守恒的;  其中,formula_33是常数。  设定哈密顿特征函数formula_34为  则哈密顿特征函数formula_34是一个作用量。  更加地,  对于时间积分:  这正是简略作用量的方程序。
title: 哈密顿-雅可比方程序解答.
content: 哈密顿-雅可比方程序是经典力学的一种表述。假若,哈密顿-雅可比方程序是完全可分的;则哈密顿主函数formula_39分出的每一个项目formula_40也称为"作用量"。
title: 作用量-角度座标.
content: 这变量formula_41称为广义座标formula_44的作用量;相应的正则座标是角度formula_45。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分向量;这里,只有一个纯量变量formula_44被用来积分。作用量formula_41等于,随着formula_44沿着闭路径,formula_49的改变。应用于几个有趣的物理系统,formula_41或者是常数,或者改变非常地慢。因此,formula_41时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。
title: 哈密顿流作用量.
content: 参阅重言1形式。
title: 数学导引.
content: 哈密顿原理阐明,如果一个物理系统在两个时间点formula_3、formula_4的运动是正确运动,则作用量泛函formula_2的一次变分formula_55为零。用数学方程序表示,定义作用量为  其中,formula_57是系统的拉格朗日函数,广义座标formula_58是时间的函数。  假若,formula_5乃系统的正确运动,则formula_60。  从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程序.假设formula_5是系统的正确运动,让formula_62成为一个微扰formula_63;微扰在轨道两个端点的值是零:  取至formula_62的一阶微扰,作用量泛函的一次变分为  这里,将拉格朗日量formula_7展开至formula_62的一阶微扰。  应用分部积分法于最右边项目,  边界条件formula_70使第一个项目归零。所以,  要求作用量泛函formula_2平稳。这意味着,对于正确运动的任意微扰formula_62,一次变分formula_74必须等于零:  请注意,还没有对广义座标formula_5做任何要求。现在,要求所有的广义座标都互相无关(完整限制)。这样,根据变分法基本引理,可以得到拉格朗日方程序:  在各个物理学领域,拉格朗日方程序都被认为是非常重要的方程序,能够用来精确地理论分析许多物理系统。  对应于广义座标formula_44的广义动量formula_79,又称为共轭动量,定义为  假设formula_7不显性地跟广义座标formula_44有关,  则广义动量formula_84是常数。在此种状况,座标formula_44称为循环座标。举例而言,如果用极座标系formula_86来描述一个粒子的平面运动,而formula_7与formula_88无关,则广义动量是守恒的角动量。

Summary: 在物理学里,作用量(英语:action)是一个很特别、很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程序方法大不相同,作用量也可以被用来分析物理系统的运动,所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态,初始状态与最终状态,然后,经过求解作用量的平稳值,就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。