波函数

title: 历史.
content: 在1920年代与1930年代,理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛定谔等等,他们使用的数学工具是微积分,他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等,使用线性代数,他们建立了矩阵力学。后来,薛定谔证明这两种方法完全等价。  德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明,每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外,具有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性,应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程序,这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示,他因此开始寻找这波动方程序。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究,在其中隐藏了一个奥妙的发现,即在零波长极限,物理光学趋向于几何光学;也就是说,光波的轨道趋向于明确的路径,而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为,在零波长极限,波传播趋向于明确的运动,但他并没有给出一个具体方程序来描述这波动行为,而薛定谔给出了这方程序。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程序。他又用自己设计的方程序来计算氢原子的谱线,得到的答案与用波耳模型计算出的答案相同。他将这波动方程序与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文,1926年,正式发表于物理学界。从此,量子力学有了一个崭新的理论平台。  薛定谔给出的薛定谔方程序能够正确地描述波函数的量子行为。那时,物理学者尚未能解释波函数的涵义,薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度,但遭到失败。1926年,玻恩提出几率幅的概念,成功地解释了波函数的物理意义。可是,薛定谔本人不赞同这种统计或几率方法,和它所伴随的非连续性波函数塌缩,如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这意见。  1927年,道格拉斯·哈特里与弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出了第一步,他们发展出哈特里-福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出,后来福克将之加以改善,能够符合包立不相容原理的要求。  薛定谔方程序不具有劳仑兹不变性,无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程序,并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程序给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果,又会给出违背量子力学的负几率和怪异的负能量现象,他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁,先行发表前面提到的非相对论性部分。  1926年,奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登将电磁相对作用纳入考量,独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分,并且证明其具有劳仑兹不变性。这方程序后来称为克莱因-戈尔登方程序。  1928年,保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学,他推导出狄拉克方程序,适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程序的波函数是一个旋量,拥有自旋性质。
title: 概述.
title: 位置空间波函数.
content: 假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 formula_8 ;其中,formula_9 是位置,formula_3 是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的,而是几率性的。粒子的位置 formula_9 在区间 formula_12 (即 formula_13 )的几率formula_14为  其中,formula_3 是对于粒子位置做测量的时间。  换句话说,formula_17 是粒子在位置 formula_9 、时间 formula_3 的几率密度。  这导致归一化条件:在位置空间的任意位置找到粒子的几率为100%:
title: 动量空间波函数.
content: 在动量空间,粒子的波函数表示为 formula_21 ;其中,formula_22 是一维动量,值域从 formula_23 至 formula_24 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的,而是几率性的。粒子的动量 formula_22 在区间 formula_12 (即 formula_27 )的几率为  动量空间波函数的归一化条件也类似:
title: 两种波函数之间的关系.
content: 位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅立叶变换。他们各自拥有的信息相同,任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为
title: 薛定谔方程序.
content: 在一维空间里,运动于位势 formula_32 的单独粒子,其波函数满足含时薛定谔方程序  其中,formula_34 是质量,formula_35 是约化普朗克常数。  不含时薛定谔方程序与时间无关,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变量法,猜想 formula_36 的函数形式为  其中,formula_38 是分离常数,稍加推导可以论定 formula_38 就是能量,formula_40 是对应于 formula_38 的本征函数。  代入这猜想解,经过一番运算,可以推导出一维不含时薛定谔方程序:
title: 波函数的概率诠释.
content: 波函数 formula_1 是概率波。其模的平方 formula_44 代表粒子在该处出现的概率密度,并且具有归一性,全空间的积分  波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验。
title: 波函数的本征值和本征态.
content: 在量子力学中,可观察量 formula_46 以算符 formula_47 的形式出现。formula_47 代表对于波函数的一种运算。例如,在位置空间里,动量算符 formula_49 的形式为  可观察量 formula_46 的本征方程序为  对应的 formula_53 称为算符 formula_47 的本征值,formula_55 称为算符 formula_47 的本征态。假设对于 formula_47 的本征态 formula_55 再测量可观察量 formula_46,则得到的结果是本征值 formula_53 。
title: 态叠加原理.
content: 假设对于某量子系统测量可观察量 formula_46,而可观察量 formula_46 的本征态 formula_63 、formula_64 分别拥有本征值 formula_65 、formula_66,则根据薛定谔方程的线性关系,叠加态 formula_67 也可以是这量子系统的量子态:  其中, formula_69 、formula_70 分别为叠加态处于本征态 formula_63 、formula_64 的几率幅。  假设对这叠加态系统测量可观察量 formula_46,则测量获得数值是 formula_74 或 formula_75 的几率分别为 formula_76 、formula_77,期望值为
title: 定态.
content: 在量子力学中,一类基本的问题是哈密顿算符 formula_79 不含时间的情况。对于这问题,应用分离变量法,可以将波函数 formula_1 分离成一个只与位置有关的函数 formula_81 和一个只与时间有关的函数 formula_82 :  将这公式代入薛定谔方程,就会得到  而 formula_85 则满足本征能量薛定谔方程序:
title: 例子.
title: 自由粒子.
content: 3D空间中的自由粒子,其波矢 为, 角频率 为,其波函数为:
title: 无限深方形阱.
content: 粒子被限制在和之间的1D空间中,其波函数为:  其中,formula_89是能量本征值,formula_90是正整数,formula_34是质量。
title: 有限位势垒.
content: 在1D情况下,粒子处于如下势垒中:
title: 量子点.
content: 量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自组量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。

Summary: 在量子力学里,量子系统的量子态可以用波函数(英语:wave function)来描述。薛定谔方程序设定波函数如何随着时间流逝而演化。从数学角度来看,薛定谔方程序乃是一种波动方程序,因此,波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。