密度矩陣

title: 纯态与混合态.
content: 假设一个量子系统的量子态是纯态,则这量子态可以用态向量表示为 formula_20 。几种纯态依照几率组成的量子态称为混合态。例如,假设一个量子系统处于纯态 formula_2 、formula_3 的几率都为50%,则这量子系统处于混合态。密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态,不管是纯态,还是混合态,都可以用密度矩阵表示。  混合态与叠加态的概念不同,几种纯态通过量子叠加所组成的叠加态仍旧是纯态。例如,formula_23 是个纯态。
title: 光子偏振案例.
content: 光子的两种圆偏振态,右旋圆偏振态与左旋圆偏振态,分别以态向量 formula_24 、formula_25 标记。光子也可能处于叠加态,例如,垂直偏振态与水平偏振态分别为 formula_26 、formula_27 。更一般地,光子偏振所处于的叠加态可以表示为 formula_28 ;其中,formula_29 、formula_30 是系数。这一般式可以表示平面偏振态、圆偏振态、椭圆偏振态等等。  假若让处于叠加态 formula_26 的光子通过左旋圆偏振器,则出射的光子处于左旋圆偏振态 formula_25 ;假若通过右旋圆偏振器,则出射的光子处于右旋圆偏振态 formula_24 。对于这两种圆偏振模,光子强度都会减半,貌似意味着叠加态 formula_26 的一半光子处于量子态 formula_24,另一半处于量子态 formula_25,但这种解释并不正确,处于量子态 formula_24 与 formula_25 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收,但是处于量子态 formula_26 的光子不会被垂直平面偏振器吸收。  从白炽灯发射出的光子是一种非偏振态光子,不能用叠加态 formula_28 来描述。特别而言,与平面偏振态光子不同,它通过任何偏振器后都会失去50%强度,与圆偏振态光子不同,使用波片(waveplate)不能直接将它改变为平面偏振态光子。非偏振态光子可以描述为,处于 formula_41 的几率是50%,处于 formula_42 的几率是50%。它也可以描述为,处于垂值偏振态的几率是50%,处于水平偏振态的几率是50%。  非偏振态光子的量子态不是纯态,而是由几种纯态依照统计几率组成。它可以由50%右旋圆偏振态与50%左旋圆偏振态组成,或者,它可以由50%垂直偏振态与50%水平偏振态组成。这两种组合无法做实验辨识区分,因此它们被视为同样的混合态。密度算符含有混合态的所有资料,足够计算任何关于混合态的可测量性质。  混合态到底源自何处?试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统,这系统拥有很多个微观态(microstate),伴随每一个微观态都有其发生的几率(波兹曼因子),它们会因热力学涨落(thermal fluctuation)从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序,例如,将光束通过表面粗糙的双折射晶体,使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制,有些放射性衰变会发射两个光子朝着反方向移动离开,这纠缠系统的量子态为 formula_43,整个系统是处于纯态,但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子,从分析光子子系统的约化密度算符,可以得到这结论。  一般而言,混合态时常会出现于几种纯态的统计性混合(例如热力学平衡)、制备程序的不确定性(例如光子可能移动于稍微不同路径)、包含在纠缠系统内的子系统(例如EPR机制)。
title: 数学表述.
title: 纯态.
content: 假设一个量子系统的量子态是纯态,则这量子态可以用态向量表示为 formula_20,对应的密度算符定义为  从密度算符的形式,可以推论密度算符是自伴算符:  假设,物理量 formula_15 是这量子系统的可观察量,其本征值为 formula_48 的本征态 formula_49 形成一个规范正交基 formula_50,则对可观察量 formula_15 做测量得到 formula_48 的几率 formula_53为  其中,formula_55 是对应于本征态 formula_56 的投影算符,formula_57 是迹数。  做实验测量可观察量 formula_15 获得的期望值为  这种可观察量的期望值与迹数运算之间的关系称为迹定则(trace rule)。对于不同的规范正交基,迹数是个不变量。采用任何规范正交基,都可以计算出同样迹数。另外,几率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性,这是很优良的性质,这意味着几率公式与期望值公式也适用于几个密度算符的线性组合。  由于 formula_20 被归一化, 密度算符的迹数为1:  对于任意归一化量子态 formula_62,  所以,密度算符是非负算符(nonnegative operator)。
title: 混合态.
content: 将先前纯态密度算符的定义式加以延伸,假设在一个量子系统处于纯态 formula_2 、formula_3 、formula_4 、......的几率分别为 formula_5 、formula_6 、formula_7 、......,则这混合态量子系统的密度算符 formula_8 为  每一个几率都是非负实值,所有几率的总和为1:  按照「无知诠释」,这种量子系统确定是处于某个纯态formula_74,但是无法知道到底是哪一个纯态。这种可以用无知诠释来论述的量子系统称为「真混合物」(proper mixture),否则,称为「瑕混合物」(improper mixture)。  回想在纯态段落里,几率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性,这意味着对于混合态的密度算符,这些公式也都适用。加以延伸后的密度算符,也具有先前纯态的密度算符所拥有的性质:  由于密度算符 formula_8 是自伴算符,它具有谱表示  其中,formula_85 是本征值为 formula_86 的本征态,所有 formula_85 形成一个规范正交基。  按照自伴算符的定义,每一个本征值 formula_86 是它自己的共轭:  由于密度算符 formula_8 是非负算符,每一个本征值 formula_86 都是非负值。  由于密度算符 formula_8 的迹数为1,  给定一个量子系统,其所有可能的密度算符组成一个凸集。假设 formula_94 属于这凸集,则 formula_95 也属于这凸集;其中,formula_96 是系数,formula_97 。
title: 用密度算符辨认纯态与混合态.
content: 由于纯态的密度算符定义式为  所以纯态的密度算符具有特征  否则,非纯态的密度算符遵守关系式  另外,将纯态的密度矩阵 formula_12 对角化后,只能有一个对角元素等于1,其它对角元素都等于0,例如,一种形式为  量子态的纯度formula_104 定义为  纯态的纯度为1。处于N维希尔伯特空间、完全混合的混合态,其对角元素的数值为formula_106 、非对角元素的数值为0,其纯度为formula_106 。  冯诺伊曼熵是另一种描述量子态混合程度的量度。
title: 连续性本征态基底.
content: 位置是一种连续性可观察量,具有连续性本征值谱,用这种可观察量的连续性本征态为基底,密度矩阵 formula_12 含有两个位置参数 formula_109 、formula_110 :  可观察量 formula_15 的期望值为
title: 复合系统.
content: 假设密度算符为 formula_114 的复合系统是由两个子系统 formula_15 、formula_116 组成,这两个子系统的物理行为分别由其对应约化密度算符(reduced density operator) formula_117 、formula_118 描述:  其中,formula_121 、formula_122 分别是对于子系统formula_116 、formula_15 的偏迹数(partial trace)。  这复合系统的两个子系统之间没有任何关联(没有任何量子关联或经典关联),当且仅当 formula_8 是 formula_126 与 formula_127 的张量积:
title: 约化密度算符.
content: 约化密度算符最先由保罗·狄拉克于1930年提出。假设两个希尔伯特空间formula_129、formula_130的规范正交基分别为formula_131、formula_132,分别在这两个希尔伯特空间formula_129、formula_130的两个子系统formula_15、formula_116所组成的复合系统,其量子态为纯态formula_137,其密度算符formula_8为  取密度算符formula_8对于子系统formula_116的偏迹数,可以得到子系统formula_15的约化密度算符formula_117:  例如,纠缠态formula_145,其子系统formula_15的约化密度算符formula_117为  如同预想,这公式演示出,子系统formula_15的约化密度算符formula_117为混合态。
title: 范例.
content: 如右图所示,使用z-轴方向的斯特恩-革拉赫实验仪器,可以将入射的银原子束,依照自旋的z-分量 formula_151 分裂成两道,一道的 formula_151 为上旋,标记为 formula_153,另一道的 formula_151 为下旋,标记为 formula_155 。
title: 完全随机粒子束.
content: 完全随机粒子束的量子态不是纯态,它可以由50% formula_168 纯态与50% formula_169 纯态组成:  它也可以由50% formula_171 纯态与50% formula_172 纯态组成:  另外,它还可以由50% formula_174 纯态与50% formula_175 纯态组成,因此可见,不同的组合仍可得到同样的混合态。  一般而言,完全随机粒子束的 formula_176 密度矩阵 formula_12,经过对角化之后,可以写为
title: 冯诺伊曼方程序.
content: 薛定谔方程序描述纯态怎样随着时间流逝而演化,冯诺伊曼方程序描述密度算符怎样随着时间流逝而演化。实际而言,这两种方程序等价,因为它们彼此都可以推导出对方。假设,在时间 formula_179,量子系统的密度算符为  其中,量子系统在时间 formula_179 处于纯态 formula_182 的几率是 formula_19  假若不搅扰这量子系统,则几率 formula_19 跟时间无关。在时间 formula_185,纯态 formula_186 遵守含时薛定谔方程序  其中,formula_188 是约化普朗克常数,formula_189 是哈密顿算符。  所以,冯诺伊曼方程序表示为  其中,方括号代表对易算符。  注意到只有当采用薛定谔绘景时(必须采用薛定谔绘景来计算密度算符)这方程序才成立,虽然这方程序看起来很像海森堡绘景的海森堡方程序,唯一差别是关键的正负号:  其中,formula_192 是某种采用海森堡绘景的算符。  在海森堡绘景里,密度算符与时间无关,正负号差别确使期望值 formula_193 对于时间的导数会得到与薛定谔绘景相同的结果。  假若哈密顿算符不含时,则可从冯诺伊曼方程序推导出
title: 冯诺伊曼熵.
content: 在量子统计力学(quantum statistical mechanics)里,冯诺伊曼熵(von Neumann entropy)是经典统计力学关于熵概念的延伸。对于密度矩阵为 formula_12 的混合态,冯诺伊曼熵定义为  这公式涉及到矩阵对数(logarithm of a matrix),似乎很难计算,但密度算符 formula_8 是自伴算符,具有谱表示  其中,formula_85 是本征值为 formula_86 的本征态,所有 formula_85 形成一个规范正交基。  因此,可以将密度矩阵 formula_12 对角化,将冯诺伊曼熵更简单地以对角化后的密度矩阵 formula_12 定义为  冯诺伊曼熵 formula_205 又可以写为  从这形式,可以推论冯诺伊曼熵与经典信息论里的夏农熵(Shannon entropy)相关。  在这里,可以视每一个本征值 formula_48 为处于本征态 formula_85 的几率。假若某事件的发生几率为零,则这事件不应贡献出丝毫冯诺伊曼熵。从数学而言,以下极限为零:  因此,可以采用约定  纯态的冯诺伊曼熵为零,因为其密度矩阵对角化之后,只有一个元素为1,其它均为0。即所有对角元素 formula_86 必定满足 formula_212 或 formula_213 。  完全随机混合态的 formula_176 密度矩阵,其冯诺伊曼熵 formula_205 为  假若,将冯诺伊曼熵视为量子系统失序现象的一种量度,则纯态拥有最小的冯诺伊曼熵 formula_217,而完全随机混合态拥有最大的冯诺伊曼熵 formula_218 。  每一次做投影测量,冯诺伊曼熵都会增加,永远不会减少,但是,对于广义测量(generalized measurement),冯诺伊曼熵可能会减少。混合态的冯诺伊曼熵永远不小于零。因此,纯态可以通过投影测量改变为混合态,但是,非纯态的混合态永远无法通过投影测量改变为纯态。投影测量这动作促成了一种基本不可逆性的对于密度算符的改变,如同波函数塌缩。实际而言,相当反直觉地,投影测量这动作抹除了复合系统的量子相干性。更详尽内容,请参阅条目量子退相干。  一个量子系统的子系统可以从混合态改变为纯态,但是所附出的代价是其它部分的冯诺伊曼熵会增加,就好似将一个物体放进冰箱来降低其熵,冰箱热交换器外的空气会变暖,而所增加的熵会比物体所减少的熵更多。更详尽内容,请参阅条目热力学第二定律。

Summary: 在量子力学里,密度算符(英语:density operator)与其对应的密度矩阵(英语:density matrix)专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态向量 formula_1 来描述的量子态,混合态则是由几种纯态依照统计几率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态 formula_2 、formula_3 、formula_4 、......的几率分别为 formula_5 、formula_6 、formula_7 、......,则这混合态量子系统的密度算符 formula_8 为