酉群

title: 性质.
content: 因为酉矩阵的行列式是模长1复数,行列式给出了一个群同态 这个同态的核是行列式为单位的酉矩阵集合,这个子群称为特殊酉群,记作formula_14。我们有李群的短正合列: 这个短正合列分裂,故formula_3可以写成formula_14与formula_6的半直积。这里formula_6是formula_3中由formula_21形式的矩阵组成的子群。  酉群formula_3对formula_23是非交换的。formula_3的中心是数量矩阵formula_25,这里formula_26。这由舒尔引理得来。这样中心同构于formula_6。因为formula_3的中心是一个1维阿贝尔正规子群,酉群不是半单的。
title: 拓扑.
content: 酉群formula_3作为formula_30的子集赋予相对拓扑,formula_30是所有formula_2复矩阵集合,本身同构于formula_33维欧几里得空间。  作为一个拓扑空间,formula_3是紧连通空间。因为formula_3是formula_30的一个有界闭子集,然后海涅-博雷尔定理可知紧性。欲证formula_3是连通的,回忆到任何酉矩阵formula_11能被另一个酉矩阵formula_39对角化。任何对角酉矩阵的对角线上都是绝对值为1的复数。从而我们可以写成  formula_3中从单位到formula_11的一条道路由  给出。  酉群不是单连通的;对所有formula_1,formula_3的基本群是无限循环群  第一个酉群U(1)是一个拓扑圆周,熟知其有同构于formula_47的基本群,包含映射formula_48在formula_49上是同构(其商是斯蒂弗尔流形)。  行列式映射formula_50诱导了基本群的同构,分裂映射formula_51诱导其逆。
title: 相关的群.
title: 三选二性质.
content: 酉群是正交群、辛群与复数群的3重交集: 从而一个酉结构可以视为一个正交结构、复结构与辛结构,他们要求是“一致的”(意思是说:复结构与辛形式使用同样的formula_53,且formula_53是正交的;取定一个formula_53将所有群写成矩阵群便确保了一致性)。  事实上,它是这三个中任何两个的交集;从而一个一致的正交与复结构导致了一个辛结构,如此等等。  在方程的层次上,这可以由下面看出 任何两个方程蕴含第三个。  在形式的层次上,这可从埃尔米特形式分解为实部与虚部看出: 实部是对称的(或正交),虚部是斜正交(辛)——他们由复结构联系(这便是一致性)。在一个殆凯勒流形上,可以将这个分解写成formula_59,这里formula_60是埃尔米特形式,formula_61是黎曼度量,formula_62是殆复结构,而formula_63是殆辛结构。  从李群的观点来看,这可部分地解释如下: formula_64是formula_65的极大紧子群,而formula_66是formula_67与formula_68的极大紧子群。从而交集formula_69或formula_70是这些群的极大紧子群,即formula_66。从这个观点来看,意料之外的是交集formula_72。
title: 特殊酉群与射影酉群.
content: 就像正交群有子群特殊正交群与商群射影正交群formula_73,以及子商群射影特殊正交群;酉群也有关联的特殊酉群formula_14,射影酉群formula_75,以及射影特殊酉群formula_76。他们的关系如左所示的交换图表;特别地,两个射影群相等:formula_77。  上面对经典酉群成立(复数上),对有限域,可以类似地得到特殊酉群与射影酉群,但是一般地formula_78。
title: G-结构:殆埃米尔特.
content: 用G-结构的语言来说,一个具有formula_79-结构的流形是一个殆埃米尔特流形。
title: 推广.
content: 从李群的观点来看,典型酉群是斯坦伯格群formula_80的实形式,后者是由一般线性群的“图表自同构”(翻转 formula_81,对应于转置逆)与扩张formula_82的域同构(即复共轭)的复合得到的代数群。两个自同构都是代数群的自同构,阶数为2,可交换,酉群作为代数群是乘积自同构的不动点。典型酉群是这个群的实形式,对应于标准埃尔米特形式formula_83,它是正定的。  这可从几个方面推广:
title: 不定形式.
content: 类似于不定正交群,给定一个不必正定(但一般取为非退化)的埃尔米特形式,考虑保持这个形式的变换,我们可以定义不定酉群。这里我们在复向量空间上考虑问题。  给定复向量空间formula_88上的一个埃尔米特形式formula_83,酉群formula_90是保持这个形式的变换群:变换formula_91使得formula_92,对所有formula_93。写成矩阵,设这个形式用矩阵formula_94表示,这便是说formula_95。  就像实数上的对称形式,埃尔米特形式由符号确定,所有都是酉合同于对角线上formula_96个元素为1,formula_97个formula_98的对角矩阵。非退化假设等价于 formula_99。在一组标准基下,这代表二次形式: 作为对称形式是: 得出的群记为formula_102。
title: 有限群.
content: 在formula_103个元素的有限域formula_104上,有一个惟一的2阶扩张域 formula_105,带有2阶自同构formula_106(弗罗贝尼乌斯自同构的formula_107次幂)。这使得我们可以定义formula_105上一个向量空间formula_88上的埃尔米特形式,是一个formula_104-双线性映射formula_111使得formula_112以及formula_113对formula_114。另外,有限域上向量空间的所有非退化埃尔米特形式都酉合同与用恒同矩阵表示的标准形式。这便是说,任何埃尔米特形式酉等价于 这里formula_116表示formula_117在formula_1-维空间formula_88的某个特定formula_105-基下的坐标。  从而我们对扩张formula_121可以定义一个(惟一的)formula_1维酉群,记作formula_123或formula_124(取决于作者的习惯)。酉群中矩阵的行列式为1的子群称为特殊酉群,记作formula_125或formula_126。为方便起见,本文使用formula_127写法。formula_127的中心的阶数为formula_129由为酉数量矩阵组成,这便是所有矩阵formula_130,这里formula_131。特殊酉群的中心的阶数为formula_132,由那些阶数整除formula_1的酉数量矩阵组成。酉群除以中心的商称为射影酉群,formula_134,特殊酉群除以中心是射影特殊酉群formula_135。在大多数情形(formula_136与formula_137),formula_126是完全群而formula_135是有限单群。
title: 2阶可分代数.
content: 更一般地,给定一个域formula_140与一个2阶可分formula_140-代数formula_142(可能是一个域扩张但也未必),我们可以定义关于这个扩张的酉群。  首先,存在formula_142的惟一formula_140-自同构formula_145是一个对合且恰好不动元为formula_140(formula_147当且仅当formula_148)。这是复共轭与2阶有限域扩张共轭的推广,从而我们可以在它上面的定义埃尔米特形式与酉群。
title: 代数群.
content: 定义酉群的方程是一些formula_140上的多项式方程(但不是在formula_140上):对标准形式 formula_151,这些方程由矩阵formula_152给出,这里formula_153是共轭转置。给定另外一个形式,它们是formula_154。从而酉群一个代数群,它在一个formula_140-代数formula_156上的点由 给出。  对域扩张formula_82与标准(正定)埃尔米特形式,这得出了具有实点与复点的代数群:
title: 分类空间.
content: 关于"U"("n")的分类空间在条目U(n)的分类空间中描述。

Summary: 酉群,又叫幺正群,是李群的一种。在群论中,formula_1阶酉群(英语:unitary group)是formula_2酉矩阵组成的群,群乘法是矩阵乘法。酉群记作formula_3,是一般线性群formula_4的一个子群。