磁矩

title: 概述.
content: 一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积:  其中,formula_2为磁偶极矩,formula_3为电流,formula_4为面积向量。磁偶极矩、面积向量的方向是由右手定则决定。  处于外磁场的载流循环,其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为:  其中,formula_7为力矩,formula_8为磁场,formula_9为势能。  许多基本粒子,例如电子,都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源,许多物理现象也和此有关。这种磁矩和古典物理的磁矩不同,而是和粒子的自旋有关,必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的,最小的基本单位,常常称为「磁子」(英语:magneton)。例如,电子自旋的磁矩与波耳磁子的关系式为:  其中,formula_11为电子自旋的磁矩,电子自旋g因子formula_12是一项比例常数,formula_13为波耳磁子,formula_14为电子的自旋,formula_15是约化普朗克常数。
title: 单位.
content: 采用国际单位制,磁偶极矩的因次是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法:  CGS单位制又可细分为几种亚单位制:静电单位制(英语:electrostatic units),电磁单位制(英语:electromagnetic units)、高斯单位制。 磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分/秒的光速。  在这篇文章内,所有的方程序都采用国际单位制。
title: 两种磁源.
content: 在任何物理系统里,磁矩最基本的源头有两种:  整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的向量和。例如,氢原子的磁场是以下几种磁矩的向量和:  再举个例子,构成条形磁铁的物质,其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的向量和,是条形磁铁的磁矩。
title: 计算磁矩的方程序.
title: 平面循环.
content: 对于最简单的案例,平面载流循环的磁偶极矩formula_2是  其中,formula_3是循环所载有的恒定电流,formula_4是平面循环的面积向量。  面积向量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出:令四只手指朝着电流方向弯曲,伸直大拇指,则大拇指所指的方向即是面积向量的方向,也是磁偶极矩的方向。  这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩,像磁四极矩,磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大,同时保持formula_1不变,则所有更高阶的磁矩会趋向于零,这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子,或纯磁偶极子。
title: 任意回路.
content: 对于任意回路案例,假设回路载有恒定电流formula_3,则其磁偶极矩为  其中,formula_23是积分曲面,formula_24是formula_23边缘的闭合回路,formula_26是微小面积元素,formula_27是微小线元素,formula_28是formula_27的位置。  引用向量恒等式  即可得到磁偶极矩的路径积分方程序
title: 任意电流分布.
content: 对于最广义的任意电流分布案例,磁偶极矩为  其中,formula_33是积分体积,formula_28是源电流位置,formula_35是电流密度,formula_36是微小体积元素。  任意一群移动电荷,像旋转的带电固体,都可以用这方程序计算出其磁偶极矩。
title: 基本粒子.
content: 在原子物理学和核子物理学里,磁矩的大小标记为formula_37,通常测量单位为波耳磁子或核磁子(英语:nuclear magneton)。磁矩关系到粒子的自旋,和/或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩:  欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系,请参阅条目磁化强度。
title: 载流回路产生的磁场.
content: 载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是,随着距离的增远,这些多极项目会更快速地减小,因此,在远距离位置,只有偶极项目是磁场的显要项目。  思考一个载有恒定电流formula_3的任意局域回路formula_24,其磁矢势formula_40为  其中,formula_28是检验位置,formula_43是源头位置,是微小线元素formula_44的位置,formula_45是磁常数。  假设检验位置足够远,formula_46,则表达式formula_47可以泰勒展开为  其中,formula_49是勒让德多项式,formula_50是formula_28与formula_43之间的夹角。  所以,磁矢势展开为  思考formula_54项目,也就是磁单极子项目:  由于闭合回路的向量线积分等于零,磁单极子项目恒等于零。  再思考formula_56项目,也就是磁偶极子项目:  注意到磁偶极矩为formula_58,偶极磁矢势可以写为  偶极磁场formula_60为  由于磁偶极子的向量势有一个奇点在它所处的位置(原点formula_62),必须特别小心地计算,才能得到正确答案。更仔细地推导,可以得到磁场为  其中,formula_64是狄拉克δ函数。  偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂,因而形成了超精细结构(英语:hyperfine structure)。在天文学里,氢原子的超精细结构给出了21公分谱线,在电磁辐射的无线电波范围,是除了3K背景辐射以外,宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元(英语:recombination)至再电离纪元(英语:reionization)之间的天文学研究,只能依靠观测21公分谱线无线电波。  给予几个磁偶极矩,则按照叠加原理,其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总向量和。
title: 处于外磁场的磁偶极子.
title: 磁偶极子感受到的磁力矩.
content: 如图右,假设载有电流formula_3的一个方形循环处于外磁场formula_66。方形循环四个边的边长为formula_67,其中两个与formula_68平行的边垂直于外磁场,另外两个边与磁场之间的夹角角弧为formula_69。  垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为  另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为 formula_71。所以,这循环感受到的磁力矩为  令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大,同时保持formula_1不变,则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以,处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程序表示。  当磁偶极矩垂直于磁场时,磁力矩的大小是最大值formula_74;当磁偶极矩与磁场平行时,磁力矩等于零。
title: 磁偶极子的势能.
content: 将载流循环从角弧formula_75扭转到角弧formula_76,磁场所做的机械功formula_77为  注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向,而formula_79是朝着顺时针方向递增,所以必须添加一个负号。设定formula_80,则  对抗这磁场的磁力矩,将载流循环从角弧formula_82扭转到角弧formula_76,所做的机械功formula_84为  定义载流循环的势能formula_9等于这机械功formula_84,以方程序表示为  与前段所述同理,磁偶极子的势能也可以用这方程序表示。当磁偶极矩垂直于磁场时,势能等于零;当磁偶极矩与磁场呈相同方向时,势能是最小值formula_89;当磁偶极矩与磁场呈相反方向时,势能是最大值formula_74。
title: 非均匀磁场.
content: 假设外磁场为均匀磁场,则作用于载流回路formula_91的磁场力等于零:  假设外磁场为非均匀的,则会有一股磁场力,作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同,求得的磁场力也会不同。采用常见的「电流模型」,则一个磁偶极子所感受到的磁场力为  另外一种采用「磁荷模型」。这类似电偶极矩的模型,计算出的磁场力为  两者之间的差别为  假设,电流等于零,电场不含时间,则根据马克士威-安培方程序,  两种模型计算出来的磁场力相等。可是,假设电流不等于零,或电场为含时电场,则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年,两个不同的实验,研究中子的散射于铁磁性物质,分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合。
title: 范例.
title: 圆形载流循环的磁偶极矩.
content: 一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如,载有1安培电流,半径formula_97为0.05米的单匝圆形载流循环,其磁偶极矩为:  磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩,可以用来建立以下几点论据:
title: 螺线管的磁矩.
content: 一个多匝线圈(或螺线管)的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的向量和。对于全同匝(单层卷绕),只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数,就可得到总磁矩。然后,这总磁矩可以用来计算磁场,力矩,和储存能量,方法与使用单匝线圈计算的方法相同。  假设螺线管的匝数为formula_111,每一匝线圈面积为formula_112,通过电流为formula_3,则其磁矩为
title: 载电粒子圆周运动的磁矩.
content: 假设,一个点电荷formula_115以等速formula_116绕着z-轴,移动于半径为formula_99的平面圆形路径,则其电流为  其磁矩为  其角动量formula_35为  其中,formula_122是载电粒子的质量。  所以,磁矩与角动量的经典关系为  对于电子,这经典关系为  其中,formula_125是电子的质量,formula_126是电子的绝对电量。  假设,这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力,  其中,formula_128是电常数。  现在施加外磁场formula_129于此氢原子,则会有额外的劳仑兹力作用于电子。假设轨道半径不变(这只是一个粗略计算),只有电子的速度改变为formula_130,则  所以,  假设,两个速度的差别formula_133超小,则  所以,由于施加外磁场formula_8,磁矩的变化为  注意到formula_137与formula_8呈相反方向,因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是,抗磁性是一种量子现像,经典解释并不正确。  为了简略计算,使用半经典方法,可以求出磁矩的变化为  其中,formula_140是半径平方的期望值。
title: 电子的磁矩.
content: 电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性,涉及到量子力学。详尽细节,请参阅条目电子磁偶极矩(英语:electron magnetic dipole moment)。微观的内禀磁矩集聚起来,形成了巨观的磁效应和其它物理现象,例如电子自旋共振。  电子的磁矩是  其中,formula_142是电子的朗德g因子,formula_143是波耳磁子,formula_14是电子的自旋角动量。  按照前面计算的经典结果,formula_145;但是,在狄拉克力学里,formula_146;更准确地,由于量子电动力学效应,它的实际値稍微大些,formula_147。  请注意,由于这方程序内的负号,电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为,经典电磁学的解释为:假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷,这旋转所产生的电流的方向是相反的方向,这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理,带有正电荷的正子(电子的反粒子),其磁矩与自旋呈相同方向。
title: 原子的磁矩.
content: 在原子内部,可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算,必须先将每一个电子的自旋总和,得到总自旋,再将每一个电子的轨角动量总和,得到总轨角动量,最后用角动量耦合(英语:angular momentum coupling)方法将总自旋和总轨角动量总和,即可得到原子的总角动量。原子的磁矩formula_37与总角动量formula_35的关系为  其中,formula_151是原子独特的朗德g因子。  磁矩对于磁场方向的分量formula_152是  其中,formula_154是总角动量对于磁场方向的分量,formula_155是磁量子数,可以取2J+1个整数値,-J、 -J+1、...、J-1、J,之中的任意一个整数值。  因为电子带有负电荷,所以formula_152是负值。  处于磁场的磁偶极子的动力学,不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子,迫使它依著磁场线排列。但是,力矩是角动量对于时间的导数。所以,会产生自旋进动,也就是说,自旋方向会改变。这物理行为以方程序表达为  其中,formula_158是回转磁比率(英语:gyromagnetic ratio),formula_159是磁场。  注意到这方程序的左手边项目是角动量对于时间的导数,而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分:  其中,formula_161是有效磁场(外磁场加上任何自身场),formula_162是阻尼系数。  这样,可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程序(英语:Landau–Lifshitz–Gilbert equation):  方程序右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动,第二个项目是阻尼项目,会使得进动渐渐减弱,最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程序是研究磁化动力学最基本的方程序之一。
title: 原子核的磁矩.
content: 核子系统是一种由核子(质子和中子)组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关,从核磁矩的测量数据,更明确地,从核磁偶极矩的测量数据,可以研究这些量子性质。  虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长,大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩,其大小是一个常数,通过细心设计的实验,可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值,就可以揭示核子波函数的内涵。现今,有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值,也有很多种实验技术能够进行原子核测试。
title: 分子的磁矩.
content: 任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言,一个分子的磁矩是下列贡献的总和,按照典型强度从大至小列出:

Summary: 磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁,会感受到力矩,促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用向量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极,磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩,载流回路、电子、分子或行星等等,都具有磁矩。