级数

title: 无穷级数的定义.
content: 设formula_9是一个无穷序列 :formula_10,其前n项的和称为formula_11的部分和:  formula_9部分和依次构成另一个无穷序列:formula_14  这两个序列合称为一个级数,记作formula_11或者formula_6。
title: 无穷级数的敛散性.
content: 对于级数formula_6,如果当formula_18趋于正无穷大时,formula_19趋向一个有限的极限:formula_20,那么这个无穷级数就叫做是收敛的,formula_21叫做级数formula_6的和。如果极限不存在,这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和"formula_21"。这时可以定义级数formula_11的余项和:formula_25。
title: 任意项级数.
content: 如果级数formula_6中的各项可以是正数,负数或零,则级数formula_6称为任意项级数。 将任意项级数各项formula_28取绝对值,得到正项级数。 formula_29
title: 绝对收敛.
content: 定理:如果任意项级数formula_6的各项的绝对值所组成的正项级数formula_31收敛,则级数formula_6收敛。  这两个级数的敛散性是一样的。
title: 无穷级数的研究历史.
content: 将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开,还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。  17世纪,詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数,并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年,布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。
title: 对审敛法的研究.
content: 14世纪时,马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则,后来他的学生将其推广。  然而在欧洲,审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数 的论文,提出了一些简单的收敛准则,并对余项和以及收敛半径进行了讨论。  柯西提出了严格的审敛法的重要性,他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的,同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。  1826年,阿贝尔在他的关于二项式级数 的论文中更正了柯西的若干个结论,并给出了二项式级数的严格的求和方法,指出了连续性在收敛问题中的重要性。  柯西提出的审敛法并不是普遍适用的,只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家,比如拉贝(Joseph Ludwig Raabe)的对数判别法,德·摩根的对数判别法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效),以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。  对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始,之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。
title: 对一致连续性的研究.
content: 1821年,柯西首先开始对一致连续性的研究,但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出,但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究,并得到了与斯托克斯一样的结论。然而,一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。
title: 类别.
title: 几何级数.
content: 几何级数(或等比级数)是指通项为等比数列的级数,比如:  一般来说,几何级数formula_56收敛当且仅当formula_57。
title: 调和级数.
content: 调和级数是指通项为formula_58的级数:  它是发散的。
title: formula_60-级数.
content: "formula_60"-级数是指通项为formula_62的级数:  对于实数值的"formula_60",当formula_65时收敛,当formula_66时发散。这可以由积分比较审敛法得出。  函数formula_67是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制,关于黎曼formula_68函数有著名的黎曼猜想。 特别地,当formula_69时,formula_60-级数即为调和级数。
title: 裂项级数.
content: 收敛当且仅当数列formula_72收敛到某个极限formula_73,并且这时级数的和是formula_74。
title: 泰勒级数.
content: 泰勒级数是关于一个光滑函数formula_75在一点formula_39附近取值的级数。泰勒函数由函数在点formula_39的各阶导数值构成,具体形式为: 这是一个幂级数。如果它在formula_39附近收敛,那么就称函数formula_75在点formula_39上是解析的。
title: 交错级数.
content: 具有以下形式的级数  其中所有的formula_83非负,被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。
title: 幂级数.
content: 形同formula_84的函数项无穷级数称为formula_85的幂级数。它的收敛与否和系数formula_83有关。
title: 傅里叶级数.
content: 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数,也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。  例如,周期为formula_87的周期函数formula_88可以表示为: 其中,formula_90,formula_91,特别的,formula_92
title: 常数项无穷级数审敛法.
title: 正项级数.
content: 若通项为实数的无穷级数formula_11每一项formula_28都大于等于零,则称formula_11是一正项级数。  如果无穷级数 formula_11 是正项级数,则部分和formula_97是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则:单调有界数列必有极限。因此,要么部分和数列"S"有界,这时formula_11收敛,formula_99,要么部分和数列趋于正无穷,这时级数发散。
title: 比较判别法.
content: 设formula_11 和 formula_101是正项级数。  比如,我们已知级数:formula_117收敛,则级数:formula_118也收敛,因为对任意的formula_18,formula_120。  比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说,我们可以选择比较简单的级数:formula_121作为“标准级数”,依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当formula_122时,formula_123发散,当formula_124时,formula_123收敛。
title: 达朗贝尔判别法.
content: 在比较判别法中,如果取几何级数为比较的标准级数,可得:  这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。
title: 柯西收敛准则.
content: 这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。
title: 交错级数.
content: 具有以下形式的级数  其中所有的formula_83非负,被称作交错级数。
title: 莱布尼茨判别法.
content: 在上述的级数formula_82中,如果当formula_18趋于无穷时, 数列formula_83的极限存在且等于 0,并且每个formula_83小于formula_148(即, 数列formula_83是单调递减的),那么级数收敛。
title: 任意项级数.
content: 对于通项为任意实数的无穷级数formula_11,将级数formula_151称为它的绝对值级数。可以证明,如果formula_151收敛,那么 formula_11也收敛,这时称 formula_11绝对收敛。如果formula_11收敛,但是formula_151发散,则称formula_11条件收敛。比如说,级数formula_158绝对收敛,因为前面已经证明 formula_159收敛。而级数formula_160是条件收敛的。它自身收敛到formula_161,但是它的绝对值级数formula_162是发散的。  黎曼级数定理说明,如果一个无穷级数formula_11条件收敛,那么对于任意的实数formula_164,存在一个正整数到正整数的双射formula_165,使得级数formula_166收敛到 formula_164。对于正负无穷大,上述双射也存在。
title: 函数项级数.
content: 设formula_168为定义在区间formula_169上的函数列,则表达式:formula_170称为函数项级数,简记为formula_171。对函数项级数的主要研究是:
title: 收敛域.
content: 对区间formula_169上的每个 formula_176,级数 formula_177是常数项级数。若 formula_177收敛,则称formula_176是formula_171的一个收敛点,formula_171全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 formula_177发散,则称formula_176是formula_171的一个发散点,formula_171全体发散点的集合称为它的发散域。formula_171在其收敛域的每一点上都有定义,因此定义了一个函数,称为formula_171的和函数,记为formula_188。按照定义,formula_189,其中formula_190为函数项级数在formula_176点上的部分和。
title: 一致收敛.
content: 函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义,但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说,当函数项级数formula_171中的每一项formula_193在收敛域上都是连续函数时,和函数未必会是连续函数。以下是一个例子:  然而,如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话,可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性,这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样,函数项级数formula_171在某个区间formula_169内(关于某个范数formula_212)一致收敛的定义是它的部分和函数formula_97 在区间formula_169上一致收敛到和函数formula_215,  可以证明: 进一步的,如果导函数级数的每一项都是formula_218函数(formula_60阶连续可微函数),并且各阶导函数级数formula_220在区间formula_169内都一致收敛,那么级数和函数formula_222 也是formula_218函数,并且:
title: 绝对收敛.
content: 函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间formula_169和范数formula_227,函数项级数formula_171在区间formula_169内绝对收敛,当且仅当常数级数formula_230收敛。  绝对收敛的(连续?)函数在每一点都收敛,并且在区间formula_169内一致收敛。
title: 幂级数.
content: 形同formula_84的函数项无穷级数称为formula_85的幂级数。一般只需讨论形同formula_234的幂级数。
title: 幂函数的收敛域.
content: 根据阿贝尔定理,它的收敛域是一个关于零对称的区间,即为formula_235(可开可闭)的形式。这个正数formula_236(可以是无穷大)叫做幂级数的收敛半径。并有定理:  设幂级数formula_234满足formula_238,则:
title: 幂级数的和函数.
content: 求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分(或求导)以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式,在求和后在对各项求导(或积分)。
title: 渐进级数.
content: 渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的,它的部分和趋于无穷大,因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是,渐进级数提供的逼近是相对的,即只是比值趋于一致,与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说,渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差,之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。
title: 发散级数的和.
content: 发散级数的部分和没有极限,但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义,比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。
title: 推广.
content: 级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义,常用的是在一个巴拿赫空间(比如实数或复数空间)中。

Summary: 在数学中,一个有穷或无穷的序列formula_1的和formula_2称为级数。如果序列是有穷序列,其和称为有穷级数;反之,称为无穷级数(一般简称为级数)。序列formula_3中的项称作级数的通项(或一般项)。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量,也可以是关于其他变量的函数,不一定是一个数。一般的,如果级数的通项是常量,则称之为常数项级数,如果级数的通项是函数,则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。