微分学

title: 导数.
content: 假设formula_2和是实数,而且是的函数,也就是说,针对每一个,都有一个对应的。两者的关系可以表示为。若是直线的方程序(称为一次方程),则会存在两个实数和使得。在这个「斜率-截距式」中,是斜率,可以用下式来求得:  其中符号(是希腊大写字母Δ)表示「变化」。以下的式子会成立:.  一般的函数不是直线,因此没有斜率。在几何上来看,函数在的导数就是函数在点切线的斜率(如图)。常会表示为 或。因为导数是在点线性近似的斜率,因此导数(以及函数在点的值)是函数在点附近最佳的线性化近似。  若在函数定义域中的每一点都有导数,则存在一函数可以将每一点对应到函数在点的导数。例如,若函数,则其导数函数。  另一个有关的表示法是函数的微分。若和是实数变量,函数在点的导数为函数在点切线的斜率。因为的引数及输出都是纯量,因此的导数也是实数。若和是向量,则图形的最佳线性近似会和函数在不同方向的变化有关。找到在单一方向的最佳近似,也就决定了偏微分,一般会表示为。若找到了函数在所有方向的线性化近似,则称为全微分。
title: 微分的历史.
content: 若以切线来看,微分的概念很早以前就出现了,像希腊几何学家欧几里得(约300 BC)、阿基米德(约287–212 BC)及阿波罗尼奥斯(约262–190 BC)。阿基米德也引进了无穷小量的使用,不过最早是用在面积及体积上的研究,而不是在导数及切线上,参考阿基米德使用的无穷小量。  在印度数学家的研究中有看到用无穷小量来探讨量的变化,最早也许可以推到公元500年,当时天文学家及数学家阿耶波多用无穷小量来研究月球轨道。在印度数学家婆什迦罗第二(1114–1185)时,用无穷小量来计算量变化的研究有显著的进展,也有人提到在他的著作中已提到许多微分学的重要概念,例如罗尔定理。  伊斯兰数学家纳色阿尔图斯(1135年–1213年)在其著作《Treatise on Equations》中说明了部分三次方程有解的条件,是透过找适当三次多项式的最大值来求得。他证明了三次多项式的最大值出现在,并且得到结论:方程序在时恰有一正值的解,若会有二个正值的解。科学历史学家Roshdi Rashed认为阿尔图斯一定是用到了三次多项式的导数才得到此一结果。不过也有其他学者质疑Rashed的想法,他们认为Rashed也可能用了其他不用导数概念的作法。  普遍认为近代微积分的发展是因为艾萨克·牛顿(1643年–1727年)及戈特弗里德·莱布尼茨(1646年–1716年)同时但独立个别的研究,并且整合了有关微分及导数的作法。不过其中关键的概念(也是后来认定微积分是由他们两人创始的原因)是结合微分以及积分的微积分基本定理,这也让以往计算面积及体积,自从海什木(Alhazen)以来没有大幅进步的的方式变的过时。有关牛顿和莱布尼茨在微分上的想法,都是以早期数学家的贡献为基础,例如皮埃尔·德·费马(1607年-1665年)、伊萨克·巴罗(1630年–1677年)、勒内·笛卡尔(1596年–1650年)、克里斯蒂安·惠更斯(1629年–1695年)、布莱兹·帕斯卡(1623年–1662年)及约翰·沃利斯 (1616年–1703年)。有关费马的影响,牛顿曾在一封信中提到:「我从费马画切线的方式得到有关(通量)方法的暗示,将其用在抽象的方程......,我扩展了这个概念(directly and invertedly, I made it general.)。一般会将导数早期的发展归功于伊萨克·巴罗,不过牛顿和莱布尼茨仍在微分学的历史上有重要的贡献,其中也包括了牛顿将微分用在理论物理学中,而莱布尼茨发展的符号到现今仍在普遍使用。  自从17世纪起,许多数学家都对微分学有所贡献。在19世纪时,在奥古斯丁·路易·柯西(1789年–1857年)、波恩哈德·黎曼(1826年–1866年)及卡尔·魏尔斯特拉斯(1815年–1897年)等数学家的贡献下,微分学已更加的严谨。微分学也在此一时期扩展到欧几里得空间及复平面。
title: 微分的应用.
title: 最佳化.
content: 若是在(或是其他开区间)内的可微函数,而是有局部最小值或是局部最大值的位置,则在处的导数为零。满足的点称为临界点或是驻点(则在处的值称为临界值)。若没有处处可微的特性,则不可微的点也称为临界点。  若是二次可微,则的临界点可以用在的二次导数来分析:  上述作法称为二次导数测试。一次导数测试是另一种分析方式,考虑在临界点前后的符号变化。  取导数,并且求解临界点是要找局部最小值或最大值的最简单作法,常应用在最优化中。根据极值定理,连续函数在闭区间内至少会有一次局部最小值及局部最大值。若函数可微,其局部最小值及局部最大值只会出现在临界点或是端点上。  取局部最小值及局部最大值也可以在函数图形的绘制上:只要找到可微分函数的局部最小值、局部最大值以及位,可以根据观察函数在各临界点之间的趋势来绘制简图。  在高维度的空间中,标量函数的临界点是其梯度为0的点。仍然可以用二次导数测试来分析临界点,作法是考虑函数在临界点上二阶导数形成海森矩阵的特征值。若所有特征值都为正,此点为局部最小值;若所有特征值都为负,此点为局部最大值;若部分为正,部分为负,表示临界点为鞍点;不过若有部分特征值为零,则无法以此方式判断。
title: 变分法.
content: 最佳化问题的一个例子是:找到在一曲面上,通过曲面上二点的最短路径。若是在平面上,其最短路径是直线。不过若曲面是较复杂的形状(例如蛋形),最短路问题的解就不是那么直观了,此路径称为测地线,而这也是最佳化问题中最简单的问题之一。另一个例子是:找到可以填充空间中封闭曲线的最小面积曲面,此曲面称为极小曲面,也可以透过变分法求得。
title: 物理.
content: 微分在物理学上格外重要:许多物理的现象都是用有关微分的方程序来描述,这类方程称为微分方程。物理学格外关注物理量随时间的变化,而时间导数是物理量随时间的变化率,是许多重要概念精准定义的基础。尤其在牛顿力学中,很重视一物体位置的时间导数:  例如:若物体在一直线上的位置可以用下式表示  则其速度为  而加速度为  此时加速度已为定值。
title: 微分方程.
content: 微分方程是指一函数和其微分之间的关系。常微分方程会描述单变量函数和其微分之间的关系。而偏微分方程则是多变量函数和其偏微分之间的关系。在自然科学、数学建模,甚至是数学领域中都常常会出现微分方程。例如,牛顿第二定律描述力和加速度的关系,可以表示为以下的常微分方程  一维空间下的热传导方程序描述热在一杆状物上如何传递,其偏微分方程如下  此处为杆状物时间时,在位置的温度,而为一常数,和热在杆状物上传递的速度成正比。
title: 均值定理.
content: 均值定理提供了函数的导数和其原始值之间的关系。若是实值函数,而 和是实数,且,则根据均值定理(配合少许的假设),两点和之间的斜率会等于在和中间某一点的切线斜率。换句话说 实际上,均值定理是以其导数的方式来控制一个函数。例如,假设有导数,在每一点均为0,这表示其每一点的切线都是水平线,因此其函数应该也就是水平线。均值定理证明这是对的:图上二点之间的斜率必须等于中的某一条切线。而所有的切线斜率都是0,因此从函数上任二点之的直线斜率也是0。这表示函数不会上升也不会下降,因此是水平线。若是导数的条件比较复杂,所产生的原函数资讯会比较不准确,但仍然有用。
title: 泰勒多项式及泰勒级数.
content: 一函数的某一点的微分是对该点附近最佳的线性近似,不过这和实际的函数可能有很大的差异。改善近似的一个方式就是进行二次近似。也就是说,实值函数在点的线性化是线性多项式,若考虑一个二次多项式,可能会有更好的近似结果。若二次多项式改为三次多项式,近似效果会更好一些,此概念可以扩展到任意多次的高次多项式。针对一个多项式,都应该会有一个最佳的系数、、、......的组合,让近似的效果最好。  在的邻域,对来说,最理想的数值一定是,对来说,最理想的数值一定是,对For 、及更高阶的系数来说,其系数最理想的数值是由更高阶的导数决定。最理想的数值一定是,and 最理想的数值一定是。利用这些系数,可以得到的泰勒多项式。次的泰勒多项式是对可以有最佳近似的次多项式,其系数可以用上述公式推广而得。泰勒公式提供近似程度的精确范围。若函数是次数小于等于的多项式。则此函数的次泰勒多项式即为函数。  泰勒多项式的极限是无穷级数,称为泰勒级数。多半来说泰勒级数是原函数非常理想的近似。一函数若都各点等于其泰勒级数,称为解析函数。若函数有不连续点或是斜率不连续的尖角,此函数不会是解析函数,不过相反的,存在一些函数是光滑函数(无穷阶可导的函数),却不是解析函数(非解析的光滑函数)。
title: 隐函数定理.
content: 有些几何图形(例如圆)无法用函数图形来表示。例如若,其圆即为所有使的点 的集合。这个集合称为的零集。这和本身的图形(抛物面)不同。隐函数定理可以将之类的关系转换为函数。其中提到,若是连续可微函数,的零集中大部分都可以表示为函数图形「粘贴」的组合。零集上的个点是否满足上述条件,可以用一个和微分有关的方式来确认。例如圆可以表示成二个函数图形±「粘贴」后的结果。圆上除了和二点之外,在其余每一个点的邻域上,上述二个函数中都有一个的图形和圆的图形类似。(上述二个函数其实刚好也通过和,不过这不是隐函数定理中提到的内容)  隐函数定理和反函数定理有密切的关系。反函数定理提到一函数在一点的开区域内具有反函数的充分条件。

Summary: 微分学(英语:differential calculus)是微积分的一部分,是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科,也是探讨特定数量变化速率的学科。微分学是微积分的二个主要分支之一,另一个分支则是积分学,探讨曲线下的面积。