黎曼积分

title: 概念.
content: 让函数 formula_1 为定义在区间 的非负函数,我们想要计算 formula_2所代表的曲线与 formula_3坐标轴跟两条垂直线 formula_4 跟 formula_5 所夹图形的面积(既右图区域 的面积),可将区域 的面积以下面符号表示:  黎曼积分的基本概念就是对 "x"-轴的分割越来越细,则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 的面积(参考右方第二张图)。同时请注意,如函数为负函数, formula_7,则其面积亦为负值。
title: 定义.
title: 区间的分割.
content: 一个闭区间formula_8的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列formula_9。每个闭区间formula_10叫做一个子区间。定义formula_11为这些子区间长度的最大值:formula_12,其中formula_13。  再定义取样分割。一个闭区间formula_8的一个取样分割是指在进行分割formula_9后,于每一个子区间中formula_10取出一点formula_17。formula_11的定义同上。  精细化分割:设formula_19以及formula_20构成了闭区间formula_8的一个取样分割,formula_22和formula_23是另一个分割。如果对于任意formula_24,都存在formula_25使得formula_26,并存在formula_27使得formula_28,那么就把分割:formula_22、formula_23称作分割formula_19、formula_20的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。  于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。
title: 黎曼和.
content: 对一个在闭区间formula_8有定义的实值函数formula_1,formula_1关于取样分割formula_19、formula_20的黎曼和(积分和)定义为以下和式:  和式中的每一项是子区间长度formula_39与在formula_40处的函数值formula_41的乘积。直观地说,就是以标记点formula_40到X轴的距离为高,以分割的子区间为长的矩形的面积。
title: 黎曼积分.
content: 不太严格地来说,黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候,黎曼和趋向的极限。下面的证明中,会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。  要使得“越来越‘精细’”有效,需要把formula_11趋于0。如此formula_10中的函数值才会与formula_41接近,矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上,这就是黎曼积分定义的大概描述。  严格定义如下:formula_46是函数formula_1在闭区间formula_8上的黎曼积分,当且仅当对于任意的formula_49,都存在formula_50,使得对于任意的取样分割formula_19、formula_20,只要它的子区间长度最大值formula_53,就有:  也就是说,对于一个函数formula_1,如果在闭区间formula_8上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数formula_1的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么formula_1在闭区间formula_8上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数formula_1为黎曼可积的。  这个定义的缺陷是没有可操作性,因为要检验所有formula_53的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义,然后证明它们是等价的。  另一个定义: formula_46是函数formula_1在闭区间formula_8上的黎曼积分,当且仅当对于任意的formula_49,都存在一个取样分割formula_19、formula_20,使得对于任何比其“精细”的分割formula_22 and formula_23,都有:  这两个定义是等价的。如果有一个formula_46满足了其中一个定义,那么它也满足另一个。首先,如果有一个formula_46满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值formula_53的分割中任取一个。对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于formula_74,于是满足  其次证明满足第二个定义的formula_46也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念,第二个定义和达布积分的定义是等价的,具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割formula_19使得它的上达布和与下达布和都与formula_46相差不超过formula_79。令formula_80等于formula_81,其中formula_82和formula_83是formula_1在formula_85上的上确界和下确界。再令formula_74是formula_87和formula_88中的较小者。可以看出,当一个分割的子区间长度最大值小于formula_74时,formula_1关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差formula_79,所以和formula_46至多相差formula_93。  由于以上原因,黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义),因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。
title: 黎曼积分的性质.
content: 由于一个函数的黎曼积分是一个实数,因此在固定了一个区间formula_8后,将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射formula_101是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。  无论"a"、"b"、"c"之间的大小关系如何,以上关系式都成立。
title: 黎曼积分的推广.
content: 黎曼积分可推广到值属于formula_123维空间formula_124的函数。积分是线性定义的,即如果formula_125,则formula_126。特别地,由于复数是实数向量空间,故值为复数的函数也可定义积分。  黎曼积分只定义在有界区间上,扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分,即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令  不幸的是,这并不是很合适。平移不变性(如果把一个函数向左或向右平移,它的黎曼积分应该保持不变)丧失了。例如,令formula_128若formula_129,formula_130,formula_131若formula_132。则对所有formula_3  但如果我们将formula_2向右平移一个单位得到formula_136,则对所有formula_137,我们得到  由于这是不可接受的,我们可以尝试定义:  此时,如果尝试对上面的formula_1积分,我们得到formula_141,因为我们先使用了极限formula_142。如果使用相反的极限顺序,我们得到formula_143。  这同样也是不可接受的,我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足,依然不是我们想要的,因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如,令formula_144在formula_145上,其它域上等于0。对所有formula_123,formula_147。但formula_148一致收敛于0,因此formula_149的积分是0。因此formula_150。即使这是正确的值,可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。  一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见,但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的,并且当二者都有定义时积分值也是一致的。  事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。  扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子formula_151,粗略地说,这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

Summary: 在实分析中,由黎曼创立的黎曼积分(英语:Riemann integral)首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼-斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。