三角形

title: 分类.
title: 以角度分类.
title: 锐角三角形.
content: 锐角三角形的所有内角均为锐角(即小于90°)。
title: 钝角三角形.
content: 钝角三角形是其中一角为钝角(大于90°)的三角形,其余两角均小于90°。
title: 直角三角形.
content: 有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」(cathetus),直角所对的边是「斜边」(hypotenuse);或最长的边称为「弦」,底部的一边称作「勾」(又作「句」),另一边称为「股」。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积(ch=ab)  直角三角形各边与角度的关系,可以三角比表示。详见三角函数。
title: 以边长分类.
title: 不等边三角形.
content: 三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。
title: 等边三角形.
content: 等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三个内角相等,均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 formula_4,则其面积公式为 formula_12 。  等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。
title: 等腰三角形.
content: 等腰三角形是三条边中有两条边相等(或是其中两只内角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」,而另一条边被称为「底边」,两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」,它们组成的角被称为「顶角」。  等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
title: 退化三角形.
content: 退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,这是由于它介乎于三角不等式之间,在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。
title: 勒洛三角形.
content: 勒洛三角形(英语:Reuleaux triangle),也译作莱洛三角形或弧三角形,又被称为划粉形[1]或曲边三角形,是除了圆形以外,最简单易懂的勒洛多边形,一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间,使之与这两平行线相切,则可以做到:无论这个曲线图如何运动,只要它还是在这两条平行线内,就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux(英语:Franz Reuleaux)命名。
title: 全等及相似.
title: 全等三角形.
content: 三角形具有稳定性,若二个三角形有以下的边角关系确定后,它的形状、大小就不会改变,二个三角形即为全等三角形。 注意,SSA(Side-Side-Angle、边、边、角)不能保证两个三角形全等,除非该角等于90°。
title: 特殊线段.
content: 三角形中有着一些特殊线段,是三角形研究的重要对象。 以上特殊线段,每个三角形均有三条,且三线共点。
title: 中线长度.
content: 设在formula_28中,若三边formula_4、formula_5、formula_31的中线分别为formula_32、formula_33、formula_34,则:
title: 高线长度.
content: 设在formula_28中,连接三个顶点formula_1、formula_2、formula_3上的高分别记作formula_42、formula_43、formula_44,则: 其中 formula_48 。
title: 角平分线长度.
content: 设在formula_28中,若三个角formula_1、formula_2、formula_3的角平分线分别为formula_53、formula_54、formula_55,则:
title: 三角形的心.
content: 三角形的内心、外心、垂心及形心称为三角形的四心,定义如下:  关于三角形的四心,有这样的一首诗:  垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能连成一线,且成比例1:2,称为欧拉线,与九点圆的圆心(红)四点共线,为垂心和形心线段的中点。  连同以下的旁心,合称为三角形的五心:
title: 外接圆和内切圆半径.
content: 设外接圆半径为formula_19, 内切圆半径为formula_60,则:  其中formula_63为三角形面积;formula_64为三角形半周长,formula_48
title: 面积.
title: 基本公式.
content: 三角形的面积 formula_1 是底边 formula_67 与高 formula_68 乘积的一半,即: 其中的高是指底边与对角的垂直距离。  从右图可知,将两个全等三角形相拼,可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补,正好能得到一个面积等于 formula_70 的长方形。因此原来的三角形面积为 证毕。
title: 已知两边及其夹角.
content: 设 formula_4 formula_5 为已知的两边, formula_9 为该两边的夹角,则三角形面积是:  观察右图,根据正弦的定义:  因此:  将此式代入基本公式,可得:  证毕。
title: 已知两角及其夹边.
content: formula_8 、 formula_9 为已知的两角, formula_4 为该两角的夹边,则三角形面积是:  从正弦定理可知:  代入 formula_84,得:  注意到formula_86,因此:  证毕。
title: 已知三边长.
content: 海伦公式,其表示形式为: 其中 formula_64 等于三角形的半周长,即:  秦九韶亦求过类似的公式,称为三斜求积法:  也有用幂和来表示的公式:  亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:  基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法。设 formula_94,三角形面积为:  设 formula_4 、 formula_5、formula_6为三角形三条边, formula_7 、 formula_8 、 formula_9 为相应边的对角。从余弦定理可知:  以毕氏三角恒等式可得:  将此式代入formula_75,得:  因式分解及简化后可得:  代入formula_48,即可证毕。
title: 已知坐标系中三顶点坐标.
content: 由 formula_108 、 formula_109 及 formula_110 三个顶点构成的三角形,其面积可用行列式的绝对值表示:  无论三角形的顶点位置如何,该三角形总可以用一个直角梯形(或矩形)和两个直角三角形面积的和差来表示,而在直角坐标系中,已知直角梯形(或矩形)和直角三角形的顶点的坐标,该三角形的面积容易求出,即用上述的行列式表示。 若三个顶点设在三维座标系上,即由 formula_112 、 formula_113 及 formula_114 三个顶点构成三角形,其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和,即:
title: 已知周界及内切圆或外接圆半径.
content: 设三角形三边边长分别为 formula_4 、 formula_5 及 formula_6,三角形半周长( formula_119 )为 formula_64,内切圆半径为 formula_60,则:  若设外接圆半径为 formula_19,则:  内切圆半径公式  根据右图,设 formula_125, formula_126, formula_127,则三角形面积可表示为:  外接圆半径公式  根据正弦定理:  因此:
title: 已知两边向量.
content: 设从一角出发,引出两边的向量为 formula_131 及 formula_132,三角形的面积为:  根据向量积定义,formula_134, 其中 formula_135 是两支向量的夹角。  因此:  证毕。
title: 半角定理.
content: 在三角形formula_137中,三个角的半角的正切和三边有如下关系: 以正弦及余弦之比表示正切:  因为  所以  而  所以  即  同理可得

Summary: 三角形,又称三边形,是由三条线段顺次首尾相连,或不共线的三点两两连接,所组成的一个闭合的平面图形,是最基本和最少边的多边形。