幺半群

title: 定义.
content: 幺半群是一个带有二元运算 *: "M" × "M" → "M" 的集合 "M",其符合下列公理: 通常也会多加上另一个公理: 但这不是必要的,因为在二元运算中即内含了此一公理。  另外,幺半群也可以说是带有单位元的半群。  幺半群除了没有逆元素之外,满足其他所有群的公理。因此,一个带有逆元素的幺半群和群是一样的。
title: 生成元和子幺半群.
content: 幺半群 "M" 的 子幺半群是指一个在 "M" 内包含着单位元且具封闭性(即若"x","y"∈"N",则 "x"*"y"∈"N" )的子集 "N"。很明显地, "N" 自身会是个幺半群,在导自 "M" 的二元运算之下。等价地说,子幺半群是一个子集 "N",其中 "N"="N",且上标 * 为克莱尼星号。对任一于 "M" 内的子集 "N" 而言,子幺半群 "N" 会是包含着 "N" 的最小幺半群。  子集 "N" 被称之为 "M" 的生成元,当且仅当 "M"="N"。若 "N" 是有限的, "M" 即被称为是有限生成的。
title: 可交换幺半群.
content: 运算为可交换的幺半群称之为可交换幺半群(或称为阿贝尔幺半群)。可交换幺半群经常会将运算写成加号。每个可交换幺半群都自然会有一个它自身的代数预序 ≤,定义为下: "x ≤ y" 当且仅当存在 "z" 使得 "x+z=y" 。可交换幺半群 "M" 的序单位是一个在 "M" 内的元素 "u",其中对任一在 "M" 内的元素 "x" 而言,总会存在一个正整数 "n" 使得 "x ≤ nu"。这经常用在 "M" 是偏序阿贝尔群 "G" 的正锥体的情况,在这种情况下我们称 "u" 是 "G" 的序-单位。有接受任何交换幺半群,并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造;这个构造叫做格罗滕迪克群。
title: 部分可交换幺半群.
content: 运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是迹幺半群;迹幺半群通常出现在并发计算理论中。  某些固定字母Σ的有限字符串所组成的集合,会是个以字符串串接为运算的幺半群。空字符串当成单位元。这个幺半群标记为Σ,并称为在Σ内的自由幺半群。
title: 例子.
content: 此外,"f"也可以想成在点formula_4上的函数,给定如下  或等价地表示成  formula_7元素间的乘法即由复合函数给定。  注意当formula_8时,函数"f"是formula_9的置换,并给出个数为"n"的唯一循环群。
title: 性质.
content: 在一幺半群内,可以定义一元素"x"的正整数幂:"x"="x" 及 "x"="x"*...*"x" (乘上"n"次),其中"n">1。幂的规则"x"="x"*"x"则是很明显的。  由定义可以证明其单位元"e"是唯一的。然后,对任一"x",可以设"x"为"e",则其幂的规则在非负幂中依然会是成立的。  "逆元素":一元素"x"称为可逆,若存在一元素"y",使得"x"*"y" = "e"且"y"*"x" = "e"。此一元素"y"便称做"x"的逆元素。结合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。  若 "y"是"x"的逆元素,则可以定义"x"的负幂,以"x"="y"及 "x"="y"*...*"y" (乘上"n"次),其中"n">1。如此幂的规则在所有整数就都成立了,这也是为什么"x"的逆元素通常会写做"x"。所有在幺半群"M"内的可逆元素,和其自身的运算可组成一个群。在这意思之下,每个幺半群都含有一个群。  但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如,绝对可能有一个幺半群,其两个元素"a"和"b"会有"a"*"b"="a"的关系,即使"b"不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的, 因为在群里,两边一同乘"a"的逆元素,就会得到"b" = "e"的结果,但这不是真的。一个幺半群(M,*)若具有消去性,即表示对任何在"M"内的"a"、"b"、"c","a"*"b" = "a"*"c"永远意指"b" = "c"且"b"*"a" = "c"*"a"也永远意指"b" = "c"。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数(加法运算下的群)可以由自然数(具有消去性的加法运算下的可交换幺半群)建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。  若一幺半群有消去性且是有限的,它会是一个群。  一可逆幺半群为一幺半群,其任一在"M"内的"a",总存在一唯一在"M"内的a,使得a=aaa且a=aaa。  一幺半群"G"的子幺半群是"G"的子集"H",其包含有单位元,且若"x"、"y"属于"H",则"xy"属于"H"。很清楚地,"H"本身也是个幺半群,在"G"的二元运算之下。
title: 作用和算子幺半群.
content: 算子幺半群是一作用在集合"X"上的幺半群"M"。亦即,存在一运算$ : "M" × "X" → "X"符合幺半群的运算。  运算子幺半群也叫做作用(因为它们类似于群作用), 转移系统, 半自动机或变换半群。
title: 幺半群同态.
content: 两个幺半群("M", *)和("M"′, @)之间的同态是一个函数"f" : "M" → "M"′,会有如下两个性质: 其中"e"和"e"′分别是"M"和"M"′的单位元。  不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态,因为它不一定会维持单位元。和上述不同,群同态的情况则会成立:群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群,这不是永远成立的,而必须有另外的要求。  双射幺半群同态称做幺半群同构。
title: 幺半群同余和商幺半群.
content: 幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集  使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样),还要有如果 formula_11 且 formula_12 对于所有 "M" 中的 formula_13 和 formula_14,则有 formula_15 的性质。  幺半群同余引发同余类  而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 formula_17:  它是幺半群同态。它明显的也是结合的,所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群,可以写为  一些额外的符号是公用的。给定子集 formula_20,写  对于引发自 "L" 的同余类的集合。在这个表示法中,明显的 formula_22。但是一般的说,formula_23 不是幺半群。走相反的方向,如果 formula_24 是商幺半群的子集,写  当然这只是 "X" 的成员的并集。一般的说,formula_26 不是幺半群。  明显的有 formula_27 且 formula_28。
title: 和范畴论的关系.
content: 幺半群可视之为一类特殊的范畴。幺半群运算满足的公理同于范畴中从一个对象到自身的态射。换言之:  精确地说,给定一个幺半群 ("M",*),可构造一个只有单个对象的小范畴,使得其态射由 "M" 的元素给出,而其合成则由 幺半群的运算 * 给出。  同理,幺半群之间的同态不外是这些范畴间的函子。就此意义来说,范畴论可视为是幺半群概念的延伸。许多关于幺半群的定义及定理皆可推广至小范畴。  幺半群一如其它代数结构,本身也形成一个范畴,记作 Mon,其对象是幺半群而态射是幺半群的同态。  范畴论中也有么半对象的概念,它抽象地定义了何谓一个范畴中的幺半群。

Summary: 在抽象代数此一数学分支中,幺半群(英语:monoid,又称为单群、亚群、具幺半群或四分之三群)是指一个带有可结合二元运算和单位元的代数结构。