三次方程

title: 历史.
content: 中国唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。  波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。  中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。  在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如formula_3的方程。事实上,如果我们允许formula_4是复数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道复数。  尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程序一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程序的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程序解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是复数的发现者。
title: 三次方程解法.
title: 求根公式法.
content: 红色字体部分为判别式formula_5。  当formula_6时,方程有一个实根和两个共轭复根;  当formula_7时,方程有三个实根:当  时,方程有一个三重实根;  当时,方程的三个实根中有两个相等;  当formula_8时,方程有三个不等的实根。
title: 三角函数解.
content: formula_1,其中formula_10。  若令formula_11,则  formula_12  formula_13  formula_14
title: 卡尔丹诺法.
content: 令formula_15为域,可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根formula_16,然后把方程formula_17除以formula_18,就得到一个二次方程,而我们已会解二次方程。  在一个代数封闭域,所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域,这是代数基本定理的结果。  解方程步骤:  接下来,formula_39和formula_53是formula_49和formula_50的立方根,适合formula_56,formula_57,最后得出formula_24。  在域formula_59里,若formula_60和formula_61是立方根,其它的立方根就是formula_62和formula_63,当然还有formula_64和formula_65,其中formula_66,是1的一个复数立方根。  因为乘积formula_56固定,所以可能的formula_68是formula_69,formula_70和formula_71。因此三次方程的其它根是formula_72和formula_73。
title: 判别式.
content: 最先尝试解的三次方程是实系数(而且是整数)。因为实数域并非代数封闭,方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在formula_59里,就是formula_75的代数闭包。其中差异出现于formula_49和formula_50的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。  可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式formula_78,  注意到实系数三次方程至少有一实根存在,这是因为非常数多项式在formula_90和formula_91的极限是无穷大,对奇次多项式这两个极限异号,又因为多项式是连续函数,所以从介值定理可知它在某点的值为0。
title: 第一个例子.
content: 解formula_92。  我们依照上述步骤进行:  该方程的另外两个根:
title: 第二个例子.
content: 这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。  方程是formula_114。  从函数formula_115算出判别式的值formula_116,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。  前两步都不需要做,做第三步:formula_98,formula_44,formula_100。 formula_49和formula_50是formula_124的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。  我们解出formula_125和formula_126。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部: 现设formula_127。  得到formula_132和formula_133,也就是formula_134,而formula_53是其共轭:formula_136。  归结得formula_137,可以立时验证出来。  其它根是formula_138和formula_139,其中formula_140。  当formula_5是负,formula_49和formula_50共轭,故此formula_39和formula_53也是(要适当选取立方根,记得formula_56);所以我们可确保formula_147是实数,还有formula_148和formula_149。
title: 盛金公式法.
content: formula_150,其中系数皆为实数。
title: 判别式.
content: 重根判别式:formula_151;  总判别式:formula_152。
title: 情况1:formula_153.
content: formula_154。
title: 情况2:formula_155.
content: 让formula_156,得:  formula_157;  formula_158;  formula_159。
title: 情况3:formula_80.
content: 让formula_161,得:  formula_162;  formula_163。
title: 情况4:formula_83.
content: 让formula_165,得:  formula_166;  formula_167;  formula_168。
title: 极值.
title: 驻点的公式.
content: 设formula_169  将其微分,可得formula_170
title: 极值.
content: 设formula_171,可得formula_147在formula_173中的极值(极大值或极小值)formula_174满足:  formula_175  formula_176  将formula_177代入formula_173,可得formula_173的极值formula_180:  formula_181  formula_182
title: 拐点.
content: formula_183  设formula_184,可得formula_173。  formula_186
title: 驻点的类型.
content: 由函数取极值的充分条件可知: formula_187,formula_174是formula_189的极大值点; formula_190,formula_174是formula_189的极小值点; formula_193,formula_174是formula_189的拐点。  formula_196可知: formula_197,formula_173的驻点为极大值点; formula_199,formula_173的驻点为极小值点; formula_201,formula_173的驻点为拐点。

Summary: 三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程,一元三次方程一般形式为 其中formula_2是属于一个域的数字,通常这个域为R或C。