全集

title: 在特定场合下.
content: 这个一般概念有数个精确的版本。最简单的可能就是,任意集合都可以是全集。当研究一个特定集合的时候,这个集合就是全集。若研究实数,则所有实数的集合实数线formula_1就是全集。在1870年代和1880年代,康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以应用于实分析,这时他默认地使用着的全集就是实数线formula_1。康托尔一开始关心的也只是formula_1的子集。  这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中,所有的操作按例都是在一个表示全集formula_4的大长方形内进行。集合通常表示为圆形,但这些集合只能是"formula_4"的子集。集合formula_6的补集则为长方形中表示"formula_6"的圆形的外面的部分。严格地说,这是"formula_6"对"formula_4"的"相对补集'"formula_10;但在"formula_4"是全集的场合下,这可以被当成是"formula_6"的"绝对补集'"formula_13。同样的,有一个称为空交集的概念,即零个集合的交集(指没有集合,而不是空集)。要是没有全集,空交集就会是所有东西组成的集合,这一般被认为是不可能的;但有了全集,空交集可以被当成是有条件(即"formula_4")下的所有东西组成的集合。  在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时,这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此,例如新基础集合论,这里所有集合的类并不是布尔格,而仅仅是相对有补格。相反,"formula_4"的幂集,即"formula_4"的所有子集组成的集合,是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算;而空交集"formula_4"则作为布尔格中的最大元(或空交)。这里,适用于补运算、交运算和并运算(集合论中的并集)的德·摩根律成立,而且对空交和空并(即空集)也成立。
title: 在一般数学中.
content: 然而,当考虑过给定集合formula_18的子集(在康托尔的例子中,formula_19),可能就会进一步关心"formula_18"的子集组成的集合。 (例如:"formula_18"上的一个拓扑就是一个"formula_18"的子集组成的集合。) 这些不同的"formula_18"的子集组成的集合本身,一般而言并不是"formula_18"的子集,却是"formula_18"的幂集formula_26的子集。当然,这还没有完;可以进一步考虑"formula_18"的子集组成的集合所组成的集合,等等。另一个方向是:可以考虑笛卡尔积formula_28,或从"formula_18"映射到其自身的函数。接着,还可以考虑笛卡尔积上的函数,或从"formula_18"映射到formula_31的函数,等等。  这样,尽管主要关心的是"formula_18",仍然需要一个比"formula_18"大很多的全集。顺着上面的思路,可能需要"formula_18"上的超结构。这可以通过结构递归来定义,如下:  注意到,无论初始集合"formula_18"如何,空集总是属于formula_37。重定义空集为冯·诺伊曼序数formula_54。则formula_55,是仅含有空集为元素的集合,属于formula_40;定义为冯·诺伊曼序数formula_57。类似的,formula_58属于formula_59,则formula_55和formula_58的并集formula_62也属于该集合;定义为冯·诺伊曼序数formula_63。重复这个过程,所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后,若formula_64和formula_65属于这个超结构,则formula_66(这个集合表示了有序对formula_67)也属于它。从而,这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且,这个超结构也包含各种函数和关系,因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及,还能够得到有序"n"元组,表示定义域为冯·诺伊曼序数formula_68的函数。等等。  所以,就算仅从formula_69出发,也可以构造大量的用于数学研究的集合,它们都是在{}上的超结构里的某个元素。但是,这样formula_70的每个元素都会是有限集合。每个自然数都属于formula_70,但“所有”自然数的集合formula_72不属于formula_70(尽管它是formula_70的“子集”)。实际上,"formula_18"上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样,它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下,假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话;他会相信每个自然数都存在,而集合formula_72(一个"完全的无穷大")则不然。  然而,对一般的数学家(它们不是有限主义者)来说,formula_70是不足够的,因为尽管formula_72是formula_70的子集,但formula_72的幂集仍然不是。特别的,任意的实数集合都不是。所以,需要重新开始这个过程,来构造formula_81。不过,为简单起见,就只用给出的自然数集合formula_72来构造formula_83,即formula_72上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指,一般研究的所有数学对象,都已作为这个全集的元素而包含其中。例如:任何通常的实数的构造方式(比如通过戴德金分割)都会属于formula_83。即使是非标准分析,也能够在自然数的一个非标准模型上的超结构中进行。  应当注意,这个部分在观念上有些改变,这里全集是任何被关心的集合formula_4。上个部分中,被研究的集合是全集的"子集";而现在,它们是全集的"元素"。这样尽管formula_87是一个布尔格,但相应的formula_47不是。因此,几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集;在上个部分中,它们被用来描述幂集式的全集。作为替代,可以采用独立的布尔格formula_89,这里formula_6是formula_47中任意相应的集合;则formula_89是formula_47的子集(实际上它属于formula_47)。
title: 在集合论中.
content: 正式来说,可以给出一个精确定义,来说明为何formula_83为一般数学的全集;这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学,完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作,特别是模型论,是不够的。举一个戏剧性的例子:上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成! 最后一步,构造formula_96成为一个无限并集,需要代换公理;这条公理在1922年被加入策梅洛集合论,成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以,尽管一般数学可以在formula_83中"进行,"对formula_83的讨论则不再"一般",而是转向元数学的领域。  但是,若在超级的集合论中,可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到formula_69(空集),并用(标准的)符号formula_100表示formula_101。则有formula_102,formula_103,等等,和前面一样。但是,所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项:formula_104,这里formula_105为第一个无穷序数。按照序数知识,得到:

Summary: 数学上,特别是在集合论和数学基础的应用中,全类(Universe,若是集合,则为全集)大约是这样一个类,它(在某种程度上)包含了所有的研究对象和集合。