電勢

title: 简介.
content: 处于外电场的带电粒子会受到外电场施加的作用力,称为电场力,促使带电粒子加速运动。对于带正电粒子,电场力与电场同方向;对于带负电粒子,电场力与电场反方向。电场力的数值大小与电荷量、电场数值大小成正比。  作用力与势能之间有非常直接的关系。随着物体朝著作用力的方向的加速运动,物体的动能变大,势能变小。例如,一个石头在山顶的重力势能大于在山脚的重力势能。随着物体的滚落,重力势能变小,动能变大。  对于某种特别作用力,科学家可以定义其向量场和其位势,使得物体因为这向量场而具有的势能,只与物体位置、参考位置之间的距离有关。称这种作用力为保守力,这种向量场为保守场。  例如,重力、静电场的电场力,都是保守力。静电场的纯量势称为电势,或称为静电势。  电势和磁向量势共同形成一个四维向量,称为四维势。从某一个惯性参考系观察到的四维势,应用劳仑兹变换,可以计算出另外一个惯性参考系所观察到的四维势。
title: 静电学里的电势.
content: 在静电学里,电场formula_1内某位置formula_2的电势formula_3,以方程序定义为  其中,formula_5是在位置formula_2的检验电荷formula_7所具有的电势能。  电势能的数值是人为设定的,没有绝对意义,只有相对于某参考位置的已设定参考值时才有物理意义。假若要设定电势能在空间任意位置的数值,必须先设定其在某参考位置formula_8的数值。为了方便运算,假设其参考数值为0。然后,就可以将在位置formula_2的电势能formula_10定义为从参考位置formula_8缓慢地将检验电荷formula_7移动至formula_2所需做的机械功formula_14:  移动检验电荷时所施加的外力formula_16,必须恰巧抵消处于电场formula_1的检验电荷formula_7所感受到的电场力formula_19,即formula_20。其所做机械功等于外力formula_16的路径积分:  其中,formula_23是从参考位置formula_8到位置formula_2的一条任意路径,formula_26是微小线元素。  在静电学里,formula_27,电场是保守场,所以,在积分时,可以选择任意路径formula_23,计算出来的结果都一样。欲知更详尽细节,请参阅条目保守力。由于这方程序右边的路径积分跟路径formula_23无关,只跟路径的初始位置formula_8、终止位置formula_2有关,因此若能够假设无穷远位置formula_32的电势能为0,则可以设定参考位置formula_8在无穷远位置formula_32:  所以,电势就是从无穷远位置到检验位置对于电场做路径积分所得结果的负值:  在任意两个位置formula_37、formula_38之间的「电势差」formula_39为  由于电场formula_1是保守场,电势差也与积分路径无关,只跟积分路径的初始位置与终止位置有关。
title: 点电荷.
content: 由点电荷 "Q" 所产生的电势,在距离 "r" 时,可表示为 其中,"ε" 是真空电容率。  在无限远处,电势为零。由多个点电荷产生的电势,相等于各点电荷所产生的电势之和。此外,电势场是纯量场,电场则是向量场。
title: 叠加原理.
content: 电场遵守叠加原理:假设在三维空间里,由两组完全不相交的电荷分布所产生的电场分别为formula_43、formula_44,则总电场为formula_45。  总电势为每单位电荷克服电场力所做的机械功之和:  所以,电势也遵守叠加原理。当计算一组电荷分布所产生的电势时,只需要知道在电荷分布的每个源位置的单独电荷所产生在检验位置的电势,就可以应用积分运算,得到整个电荷分布所产生在检验位置的电势。
title: 电势的微分方程序.
content: 应用积分符号内取微分方法,电势的梯度为  所以,电场与电势之间的关系为  根据高斯定律的方程序,  其中,formula_50是电荷密度,formula_51是电常数。  所以,电势满足帕松方程序:  假设电荷密度为零,则这方程序变为拉普拉斯方程序:  请注意,假若formula_54,也就是说,电场不具保守性(由于随时间变化的磁场造成的效应;参阅马克士威方程组),则不能使用这些方程序。  由于电势乃是纯量,而电场是具有三个分量的向量,所以,很多时候,使用电势来解析问题会省去很多运算工作,带来很大的便利。
title: 拉普拉斯方程序的解答.
content: 在某空间区域内,假设电荷密度为零,则电势必须满足拉普拉斯方程序,并且符合所有相关边界条件。
title: 边界条件.
content: 在静电学里,有三种边界条件:  根据拉普拉斯方程序的唯一性定理,对于这些种类的边界条件,拉普拉斯方程序的解答都具有唯一性。所以,只要找到一个符合边界条件的解答,则这解答必定为正确解答。
title: 分离变量法.
content: 应用分离变量法来解析拉普拉斯方程序,可以将问题的偏微分方程序改变为一组较容易解析的常微分方程序。对于一般问题,通常会采用直角坐标系、圆柱坐标系或球坐标系来分离拉普拉斯方程序。但是,对于其它比较特别的问题,另外还有八种坐标系可以用来分离拉普拉斯方程序。分离之后,找到每一个常微分方程序的通解(通常为一组本征方程序的叠加),电势可以表达为这些通解的乘积。将这表达式与边界条件相匹配,就可以设定一般解的系数,从而找到问题的特解。根据拉普拉斯方程序的唯一性定理,这特解也是唯一的正确解答。
title: 两个半平面导体案例.
content: 假设在xy-平面的无限平面导体被一条位于formula_55的绝缘线条分为两半,两个处于y、y-半平面的导体的电势分别设定为formula_56、formula_57,则计算z-半空间任意位置的电势这问题,由于边界条件的几何形状适合用直角坐标来描述,可以以直角坐标formula_58将拉普拉斯方程序表示为:  因为这案例与x-坐标无关,方程序可以简化为  应用分离变量法,猜想解答的形式为  将这公式代入拉普拉斯方程序,则可得到  注意到这方程序的每一个项目都只含有一个变量,并且跟其它变量无关。所以,每一个项目都等于常数: 这样,一个二次偏微分方程序被改变为两个简单的二次常微分方程序。解答分别为  其中,formula_67、formula_68、formula_69、formula_70都是系数函数。 当formula_71趋向于无穷大时,formula_72趋向于零,所以,formula_73。综合起来,电势为  由于在formula_75,y、y-半平面的电势分别为formula_56、formula_57,所以,  应用傅立叶变换,可以得到  所以,由formula_67项目贡献出的电势为  类似地,由formula_68项目贡献出的电势为  总电势为
title: 帕松方程序的解答.
title: 电荷分布所产生的电势.
content: 根据库仑定律,一个源位置为formula_89的点电荷formula_7,所产生在任意位置formula_2的电场为  注意到,以上这些推导,并没有涉及时间参数。加入时间参数formula_93,结果也成立。所以,永远可以找到磁向量势formula_94:  根据法拉第电磁感应定律,向量场formula_96是一个保守场:  所以,必定可以找到纯量势formula_3,满足formula_99。因此,下述方程序成立:  静电势只是这含时定义的一个特别案例,在这案例里,磁向量势formula_94不含时间。从另一方面来说,对于含时向量场,电场的路径积分与静电学的结果大不相同:

Summary: 在静电学里,电势,或作电位(英语:electric potential),是纯量,定义为处于电场中某个位置的单位电荷所具有的电势能。其数值不具有绝对意义,只具有相对意义,因此为了便于分析问题,必须设定一个参考位置,并把它设为零,称为零势能点。通常,会把无穷远处的电势设定为零。那么,电势可以定义如下:假设检验电荷从无穷远位置,经过任意路径,克服电场力,缓慢地移动到某位置,则在这位置的电势,等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值。在国际单位制里,电势的度量单位是伏特(Volt),是为了纪念意大利物理学家亚历山德罗·伏打(Alessandro Volta)而命名。