自然對數

title: 数学表示方法.
content: 自然对数的一般表示方法为 formula_19,数学中亦有以 formula_20 表示自然对数。 若要避免与底为10的常用对数 formula_20 混淆,可用「全写」 formula_22 。
title: 历史.
title: 十七世纪.
content: 约翰·纳皮尔在1614年以及约斯特·比尔吉在6年后,分别发表了独立编制的对数表,当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算,来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数,当时还没出现有理数幂的概念。按后世的观点,约斯特·比尔吉的底数1.0001相当接近自然对数的底数formula_16,而约翰·纳皮尔的底数0.9999999相当接近formula_24。实际上不需要做开高次方这种艰难运算,约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算,建议纳皮尔改用10为底数未果,他用自己的方法于1624年部分完成了常用对数表的编制。  形如formula_25的曲线都有一个代数反导数,除了特殊情况formula_26对应于双曲线的,即双曲线扇形;其他情况都由1635年发表的给出,其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成(),双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年将对数联系于双曲线formula_13的弓形面积,他发现x轴上formula_28两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同formula_29对应的扇形,在formula_30时面积相同,这指出了双曲线从formula_31到formula_32的积分formula_33满足: 1649年,将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年,伊萨克·牛顿推广了二项式定理,他将formula_35展开并逐项积分,得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中,他也独立发现了同样的级数,即自然对数的麦卡托级数。
title: 十八世纪.
content: 大约1730年,欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为: 1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念。
title: 形式定义.
content: 欧拉定义自然对数为序列的极限:  formula_39正式定义为积分,  这个函数为对数是因满足对数的基本性质:  这可以通过将定义了formula_42的积分拆分为两部分,并在第二部分中进行换元formula_43来证实:  幂公式formula_46可如下推出: 第二个等式使用了换元formula_48。  自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示:
title: 导数.
content: 自然对数的导数为  证明一 (微积分第一基本定理):formula_58  证明二: 按此影片  设 formula_63  设 formula_68  用自然对数定义的更一般的对数函数,formula_73,根据其逆函数即一般指数函数的性质,它的导数为: 根据链式法则,以formula_75为参数的自然对数的导数为 右手端的商叫做formula_77的,通过formula_78的导数的方法计算formula_79叫做对数微分。
title: 幂级数.
content: 自然对数的导数性质导致了formula_80在0处的泰勒级数,也叫做麦卡托级数: 把formula_84代入formula_10中,可得到formula_86自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换,可以得到对绝对值大于1的任何formula_10有效的如下级数: 这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。  还要注意到formula_89是自身的逆函数,所以要生成特定数formula_90的自然对数,简单把formula_89代入"formula_10"中。  自然数的倒数的总和 叫做调和级数。它与自然对数有密切联系:当formula_96趋于无穷的时候,差 收敛于欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。
title: 积分.
content: 自然对数通过分部积分法积分:  假设:  所以:  自然对数可以简化形如formula_102的函数的积分:formula_103的一个原函数给出为formula_104。这是基于链式法则和如下事实:  换句话说, 且
title: 例子.
content: 下面是formula_108的例子:  设formula_110且formula_111:
title: 与双曲函数的关系.
content: 在18世纪,约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数,并计算双曲几何中双曲三角形的面积。对数函数是在直角双曲线formula_13下定义的,可构造双曲线直角三角形,底边在线formula_114上,一个顶点是原点,另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数,是自然对数的逆函数指数函数,即要形成指定双曲角formula_115,在渐近线即x或y轴上需要有的formula_10或formula_90的值。显见这里的底边是formula_118,垂线是formula_119。  通过旋转和缩小线性变换,得到单位双曲线下的情况,有: 单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线formula_13下双曲角的formula_123。
title: 连分数.
content: 尽管自然对数没有简单的连分数,但有一些广义连分数如:  这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是,更大的数的自然对数,可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算,带有类似的快速收敛。  例如,因为formula_126,2的自然对数可以计算为:  进而,因为formula_128,10的自然对数可以计算为:
title: 复数对数.
content: 指数函数可以扩展为对任何复数formula_10得出复数值为formula_3的函数,只需要简单使用"formula_10"为复数的无穷级数;这个指数函数的逆函数形成复数对数,并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难: 不存在"formula_10"使得formula_134;并且有着formula_135。因为乘法性质仍适用于复数指数函数,formula_136,对于所有复数formula_137和整数formula_96。  所以对数不能定义在整个复平面上,并且它是多值函数,就是说任何复数对数都可以增加formula_139的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如,formula_140或formula_141或formula_142等等;尽管formula_143,formula_144不能定义为formula_139或formula_146或formula_147,以此类推。
title: 主值定义.
content: 对于每个非0复数formula_148,主值formula_149是虚部位于区间formula_150内的对数。表达式formula_151不做定义,因为没有复数formula_152满足formula_153。  要对formula_149给出一个公式,可以先将formula_137表达为极坐标形式,formula_156。给定formula_137,极坐标形式不是确切唯一的,因为有可能向formula_158增加formula_159的整数倍,所以为了保证唯一性而要求"formula_158"位于区间formula_150内;这个"formula_158"叫做幅角的主值,有时写为formula_163或formula_164。则对数的主值可以定义为 :  例如,formula_166。
title: 常见科学用法.
content: 自然指数有应用于表达放射衰变(放射性)之类关于衰减的过程,如放射性原子数目formula_167随时间变化率formula_168,常数formula_169为原子衰变概率,积分得formula_170。

Summary: 自然对数(英语:Natural logarithm)为以数学常数e为底数的对数函数,标记作formula_1或formula_2,其反函数为指数函数formula_3。根据微积分学,某函数之定义域为其反函数之值域,反之其值域为其反函数之定义域。因formula_3的值域为formula_5,且其为formula_1之反函数,故可知formula_1之定义域为formula_5,即formula_1在非正实数系无法定义。

Logarithme naturel: Le logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu'au, transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté.