富比尼–施图迪度量

title: 构造.
content: 富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。  具体地,可以定义 CP 由 C 中复直线组成的空间,即 C 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C = C \ {0} 的对角群作用下的商相同:  这个商将 C 实现为底空间 CP 上的复线丛(事实上这就是 CP 上所谓的重言丛)。CP 中的一点等同于 ("n"+1)-元组 ["Z"...,"Z"] 模去非零复缩放的一个等价类;这些 "Z" 称为这个点的齐次坐标。  进一步,我们可以分两步实现这个商:因为乘以一个非零复数 "z" = "R" "e" 可以惟一地想成一个以模长 "R" 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 formula_2 的复合,商 C→CP 分成两块。  其中第 (a) 步以正实数乘法群 R 的缩放 Z ~ "R"Z,这里 "R" ∈R,作商;步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ "e"Z 的商。  第 (a) 步所得的商是由方程 |Z| = |"Z"| +... + |"Z"| = 1 所定义的实超球面 "S"。第 (b) 步的商实现为 CP = "S"/"S",这里 "S" 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化"S" → "S" → CP实现,纤维属于 formula_4 中的大圆。
title: 作为度量商.
content: 当取一个黎曼流形(或一般的度量空间)的商时,必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如,如果群 "G" 作用在黎曼流形 ("X","g")上,则为了是轨道空间 "X"/"G" 拥有一个诱导度量,formula_5 沿着 "G"-轨道必须是常值,这便是说对任何元素 "h" ∈ "G" 以及一对向量场 formula_6 必须有 "g"("Xh","Yh") = "g"("X","Y")。  "'C" 上标准埃尔米特度量在标准基下为 它的实化是 R 上标准欧几里得度量。这个度量在 C 的作用下没有不变性,所以我们不能直接将其推下到商空间 CP 中。但是,这个度量在旋转群 "S" = U(1) 的对角作用下是不变的。从而,上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。  富比尼–施图迪度量是在商CP = "S"/"S" 上诱导的度量, 其中 formula_4 带着所谓的“圆度量”,是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。
title: 在局部仿射坐标中.
content: 对应于 CP 中具有齐次坐标("Z"...,"Z") 的一点,只要 "Z" ≠ 0,存在惟一 "n" 个坐标集合 ("z",...,"z") 使得 特别地 "z" = "Z"/"Z"。这个 ("z",...,"z") 组成 CP 在坐标片 "U" = {"Z" ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 "U"={"Z"≠0} 上通过除以 "Z",得到一个仿射坐标系。这 "n"+1 个坐标片 "U" 盖住了 CP,在 "U" 上可以利用仿射坐标系 ("z",...,"z") 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CP 全纯切丛的一个标架 formula_10,利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量  这里|z| = "z"+...+"z"。这样,富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是  注意每个矩阵元素是酉不变的:对角作用 formula_13 不会改变这个矩阵。  对应地,线元素为 在最后的表达式中,使用了爱因斯坦求和约定,拉丁字母指标 "i" 和 "j" 从 1 求到 "n"。
title: 在齐次坐标中.
content: 在齐次坐标 Z = ["Z"...,"Z"] 中也有相应的表达式。形式上,我们有  上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定,希腊字母指标从 0 求到 "n",最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号:  现在,d"s" 的这个表达式显然在重言丛 C\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CP 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CP 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关:这可以直接计算。  差一个整体正规化常数,这个度量的凯勒形式为  其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z| 是 CP 的凯勒数量。
title: "n" = 1 情形.
content: 当 "n" = 1,有由球极投影给出的微分同胚 formula_18。这导致了特殊的霍普夫纤维化 "S"→"S"→"S"。当在 CP 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量,它在实切丛上的限制得出 "S" 上半径 1/2 的通常圆度量。  具体地,如果 "z" = "x" + i"y" 是黎曼球面 CP 上标准仿射坐标卡,且"x"="r"cosθ, "y" = "r"sinθ 是 C 上的极坐标,则一个简单的计算表明  这里 formula_20 是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 "r" tan(φ/2) = 1, tanθ = "y"/"x" 给出的 "S" “数学家的”球坐标(许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换)。
title: 曲率性质.
content: 在 "n" = 1 的特例,富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率,因为它与 2-球面的圆度量等价(半径 "R" 球面的数量曲率是 formula_21)。但是,对 "n" > 1,富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出  这里 formula_23 是 2-维平面 σ 的一个标准正交基,"J" : "TCP → "TCP 是 CP 上的复结构,而 formula_24 是富比尼–施图迪度量。  这个公式的一个推论是任何 2-维平面 formula_25 的截面曲率满足 formula_26。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 "J"(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 "J"(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此,富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。  这使 CP 成为一个(非严格的);一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 "n"-流形一定同胚于球面。  富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量,它与里奇张量成比例:存在一个常数 λ 使得对所有 "i","j" 我们有  除此以外,这蕴含着,在差一个数量相乘的意义下,富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 CP 与广义相对论不可分离,它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。
title: 量子力学.
content: 富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号,或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来,令  这里 formula_29 是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合,formula_30 是复数,而 formula_31 是射影空间 formula_32 中一点在齐次坐标中的标准记号。那么,给定空间中两点 formula_33 与 formula_34,它们之间的距离是  或等价地,在射影簇记号中,  这里 formula_37 是 formula_38 的复共轭。分母中出现的 formula_39 提醒了 formula_40 以及类似的 formula_41 不是单位长规范化的;故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中,此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度;故它又称为量子角(英语:quantum angle)。这个角度是实值的,取值于零到 formula_42。  通过取 formula_43,或等价地 formula_44,马上可以等到这个度量的无穷小形式  \frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;

Summary: 在数学中,富比尼–施图迪度量(英语:Fubini–Study metric)是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CP。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。

Métrique de Fubini-Study: En géométrie différentielle, la métrique de Fubini-Study est une métrique kählérienne sur l'espace projectif complexe CP