龐特里亞金對偶性

title: 哈尔测度.
content: 一个拓扑群formula_1被称作局部紧的,当且仅当其单位元素e有个紧邻域。明白地说,这代表存在一个包含e的开集formula_2,使得它在formula_1里的闭包formula_4是紧的。局部紧群formula_1最值得注意的性质之一是它带有一个唯一的自然测度,称作哈尔测度,这使得我们可以一致地为formula_1中「够好」的子集测量大小;在此「够好」的明确意义是博雷尔集,即由紧集生成的σ-代数。更明确地说,局部紧群formula_1的一个右哈尔测度是指一个有限可加的博雷尔测度μ,并在formula_8的意义下满足「右不变性」;此测度尚须满足一些正则性(详见主条目哈尔测度)。任两个右不变哈尔测度至多差一个正的比例常数。准此要领,亦可定义左不变哈尔测度,当formula_1是阿贝尔群时两者符应。  此测度让我们得以定义formula_1上的复数值博雷尔函数的积分,特别是可以考虑相关的formula_11空间:  以下是局部紧阿贝尔群的若干例子:
title: 对偶群.
content: 若formula_1是局部紧致阿贝尔群,formula_1的特征标是一个从formula_1到圆群formula_16的连续群同态;特征标在逐点乘法下构成一个群,一个特征标的反元素是它的复共轭。可证明所有formula_1上的特征标在紧致开拓扑(即:以紧集上的一致收敛定义收歛性)下构成一个局部紧致阿贝尔群,称作对偶群,记为formula_23或formula_24。若formula_1可分,则formula_23可度量化,对一般的formula_1则不尽然。  这可用线性代数中的对偶空间来类比,就像一个布于formula_28的向量空间formula_2有对偶空间formula_30,对偶群可看成formula_31。更抽象的说,这两者都是可表函子,被formula_28及formula_16所表示。  定理:二次对偶formula_34与formula_1有个自然同构。  在此,「自然」或「典范」同构意谓一个「自然地」定义的映射formula_36,要点是它在范畴中满足函子性(详见条目范畴论)。举例明之:任何有限阿贝尔群都同构于其对偶群,但并不存在典范同构。  定理中的自然同构定义如下: 换言之,我们借着将一个元素formula_38在每个formula_1的特征上求值,得到一个formula_23上的特征。
title: 例子.
content: 在整数对加法形成的无穷循环群formula_41 (配上离散拓扑)上,设χ为一特征,则formula_42,因此χ决定于χ(1)的值;反之,给定一个formula_43,必存在特征χ使得χ(1)=α,由此得到群同构formula_44。此外也容易验证formula_45上的紧-开拓扑对应到formula_16诱导自formula_47的拓扑。  因此,formula_15的对偶群自然地同构于formula_16。  反之,formula_16上的特征皆形如formula_51,其中"n"是整数。由于formula_16是紧的,其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出,对应的不外是formula_41上的离散拓扑。因此formula_16的对偶群自然地同构于formula_41。  实数对加法构成的群formula_56同构于自身的对偶群;formula_14上的特征皆形如formula_58,其中"r"是实数。借着这些对偶性,下节描述的傅立叶变换将符应于formula_14上的古典版本。
title: 傅立叶变换.
content: 对于一个局部紧阿贝尔群formula_1,傅立叶变换的值域是其对偶群。设formula_61,则其傅立叶变换是下述formula_23上的函数:  其中μ是formula_1上的一个哈尔测度。可以证明formula_65是formula_23上的有界连续函数,且在无穷远处趋近零。同理可给出formula_67的傅立叶逆变换  其中ν是formula_23上的一个哈尔测度。
title: 群代数.
content: 局部紧阿贝尔群formula_1上的可积函数构成一个代数,其乘法由卷积给出:设formula_71,则卷积定义为  定理:巴拿赫空间formula_73在卷积下构成一个交换结合代数。  此代数称作formula_1的群代数。根据formula_73的完备性,它是个巴拿赫空间。巴拿赫代数formula_73一般没有乘法单位元,除非formula_1离散。但它有个近似单位元,这是个网,以一有向集formula_78为索引,写作formula_79并满足下述性质。  傅立叶变换将卷积映至逐点乘法,即:  特别是,对任意formula_1上的特征χ,可在群代数上定义一"积性线性泛函"  群代数的重要性质之一,在于这些线性泛函穷竭了群代数上所有非平凡(即:非恒零)的积性线性泛函。见文献中"Loomis"著作的第34节。
title: 普朗歇尔暨傅立叶反转定理.
content: 如前所述,一个局部紧阿贝尔群formula_1的对偶群依然是局部紧阿贝尔群,因而带有一族哈尔测度,彼此至多差一个比例常数。  定理:对偶群上存在一个哈尔测度,使得傅立叶变换在紧支集连续函数空间上的限制为等距同构。它可以唯一地延拓为一个么正算子。  其中formula_86是对偶群上既取的哈尔测度。  注意到:若formula_1非紧,formula_73并不包含formula_89,所以我们须诉诸一些技巧,例如限制于一个稠密子空间。  依循"Loomis"书中术语,我们称一对formula_1与其对偶群上的哈尔测度formula_91是"相系的",当且仅当傅立叶反转公式成立。傅立叶变换之么正性遂蕴含:对所有formula_1上的连续紧支集复数值函数formula_93都有  在平方可积函数空间上,我们考虑的傅立叶变换是透过上述么正延拓得到的算子。对偶群本身也有个傅立叶逆变换;它可以刻划为傅立叶变换之逆(或其伴随算子,因为傅立叶变换是么正的),这是以下傅立叶反转公式的内涵。  定理:取定一对相系哈尔测度formula_91;对于傅立叶变换在紧支集连续函数上的限制,其伴随算子是傅立叶逆变换:
title: 玻尔紧化.
content: 庞特里亚金对偶定理的重要应用之一是下述刻划:  定理:一个局部紧阿贝尔群formula_1为紧,当且仅当对偶群formula_23为离散。另一方面,formula_1为离散当且仅当formula_23为紧。  对任何拓扑群,无论局部紧或交换与否,皆可定义玻尔紧化。上述对偶性的用处之一是刻划局部紧阿贝尔群的玻尔紧化。对一个局部紧阿贝尔群formula_1,考虑拓扑群formula_111,其中formula_112就群结构而言是formula_23,但带离散拓扑。由于下述包含映射  是个连续同态,其对偶同态  是个映至一个紧群的同态;可以证明它满足定义玻尔紧化的泛性质,因而formula_111确为formula_1的玻尔紧化。
title: 范畴论观点.
content: 函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。  对偶群的构造formula_118给出一个对偶函子formula_119。其二次迭代formula_120遂给出函子formula_121。  定理:对偶函子是一个范畴等价。  定理:对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。  此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶(特别是实与复向量空间)。  庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若formula_122是一个环,而formula_1是个左formula_122-模,则从对偶性可推知离散左formula_122-模与紧右formula_122-模对偶。LCA里的自同态环formula_127依对偶性对应至其反环(即:环的乘法次序交换)。举例明之:取formula_128,则formula_129;前者满足formula_130,对后者亦然。
title: 非交换理论.
content: 对非交换群formula_1没有类似的理论,因为此时对偶的对象formula_23={formula_1的不可约表示之同构类}不只有一维表示,因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理;但它缺乏与调和分析的联系,因而无法处理关于formula_23上的普朗歇尔测度的问题。  某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。
title: 源流.
content: 庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的,并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen(1935年)与安德鲁·韦伊(1953年)改进为局部紧阿贝尔群。
title: 文献.
content: 下列书籍(可在大部分大学图书馆找到)都有局部紧阿贝尔群、对偶定理与傅立叶变换的相关章节。Dixmier的著作有非交换调和分析的材料,也有英译本。

Summary: 在数学上,特别是在调和分析与拓扑群的理论中,庞特里雅金对偶定理解释了傅立叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果,如:

Dualité de Pontriaguine: En mathématiques, notamment en analyse harmonique et dans la théorie des groupes topologiques, la dualité de Pontriaguine explique les principales propriétés de la transformée de Fourier. Elle place dans un cadre plus général certaines observations à propos de fonctions définies sur formula_1 ou sur un groupe abélien fini :