伯特蘭定理

title: 前论.
content: 所有吸引性连心力都可以产生圆形的公转轨道;这圆形轨道当然是闭合轨道;其形成的唯一条件是连心力恰巧地与离心力等值;后者决定了维持某圆形半径所需的角速度。本篇文章不研究非连心力。一般而言,非连心力不会产生圆形的公转轨道。  采用极坐标formula_6,一个移动于连心势formula_7的粒子,其拉格朗日量formula_8是  其中,formula_10是粒子质量,formula_11、formula_12分别表示formula_4、formula_14对于时间formula_15的导数。  这粒子的拉格朗日方程序为  由于角坐标formula_14显性地跟拉格朗日量无关,formula_14是个可略坐标,其共轭动量(角动量)formula_20守恒,formula_20是个常数:  将角动量的方程序代入径向拉格朗日方程序,可以得到一个formula_4的二次微分方程序,  假设轨道是圆形轨道,方程序左手边第一个项目是零,则如同期待的,连心力formula_25等值于离心力formula_26。  对于时间的导数与对于角变量的导数之间关系为  将这公式代入,可推导出一个跟角度有关,跟时间无关的轨道方程序:  设定变量formula_29,改换方程序的变量为formula_30,同时将方程序两边乘以formula_31,可以得到一个常系数非齐次线性全微分方程序:
title: 导引.
content: 如同前面所说,给予粒子适当的初始速度,任何连心力都能产生标准圆形轨道。可是,假设给予粒子某径向速度,则这些轨道可能不稳定(稳定在这里定义为长久地公转于同一条轨道),也可能不闭合。本段落会证明,稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势(一个必要条件)。下一个段落会证明,这些位势的确会产生稳定的闭合轨道(一个充分条件)。  为了简化标记,设定  其中,formula_34是连心力函数。  则轨道方程序为  如果要得到半径为formula_36的圆形运动轨道,必要条件是轨道方程序左边第一项等于零,方程序变为  思考对于标准圆形运动轨道的变量formula_30的微扰formula_39,函数formula_40在formula_41的泰勒级数为  将此展开示代入轨道方程序:  设定常数formula_44(formula_45的解答为标准圆形运动轨道):  取至formula_47的1次方:  formula_49必须是个非负数;否则,轨道的半径会呈指数方式递增。一阶微扰解答为  其中,振幅formula_51是个积分常数。  假若这轨道是闭合轨道,则formula_52必须是有理数。继续运算,从方程序(1),取对于formula_30的导数:  这方程序对于任意formula_41值都必须成立,因此可以将formula_41认定为函数formula_57的参数。用符号formula_30来代替formula_41,  将方程序的变量换回为formula_4,  这意味著作用力必须遵守幂定律:  代入方程序 (1), formula_64的一般形式为  假设实际轨道与圆形有更大的差别(也就是说,不能忽略formula_64函数的泰勒级数的更高次方项目),则可以用傅立叶级数来展开formula_47:  因为高频率项目的系数太小,傅立叶级数只取至formula_69项目。方程序 (2)也只取至formula_47的三次方。注意到formula_71与formula_72的数量级为formula_73,超小于formula_51;formula_75的数量级为formula_76,超小于formula_71与formula_72。将上述傅立叶级数代入方程序 (2),匹配方程序两边同频率项目的系数。这样,可以得到一系列方程序:  求formula_40在formula_41对于formula_30的微分:  将方程序(7)、(8)代入方程序(4)、(6):  再将方程序 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程序 (5),经过一番运算,可以得到伯特兰定理的重要结果:  解答formula_45是标准圆形轨道。只有平方反比连心势 (formula_92)与径向谐振子势 (formula_93)能够造成稳定的,闭合的,非圆形的公转轨道。
title: 平方反比力(开普勒问题).
content: 平方反比连心力给出的连心势,像重力势或静电势,以方程序表示为  处于这种连心势的粒子,其一般轨道方程序写为  其解答为轨道函数formula_96:  其中,formula_98是椭圆轨道的离心率,formula_99是相位差,是一个积分常数。  这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程序。当formula_100时,这轨道对应于圆形轨道; 当formula_101时,这轨道是椭圆形轨道;当formula_102时,这轨道是抛物线轨道;当formula_103时,这轨道是双曲线轨道。  离心率与粒子能量formula_104的关系为  所以,当formula_106时,这轨道是圆形轨道; 当formula_107时,这轨道是椭圆形轨道;当formula_108时,这轨道是抛物线轨道;当formula_109时,这轨道是双曲线轨道。
title: 径向谐振子.
content: 为了方便解析这问题,采用直角坐标formula_110。势能可以写为  处于径向谐振子位势的粒子,其拉格朗日量formula_8是  这粒子的拉格朗日方程序为  其中,formula_117是振动频率。  常数formula_5必须为正值;否则,粒子会朝着无穷远飞离。这些微分方程序的解答为  其中,formula_122、formula_123、formula_124分别为x、y、z方向的振幅,formula_125、formula_126、formula_127分别为其相位  由于上述方程序经过整整一周期formula_128后,会重复自己,轨道解答formula_129是闭合轨道。
title: 牛顿旋转轨道定理.
content: 牛顿旋转轨道定理表明,对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子,假设再增添立方反比力于此粒子,只要因子formula_130是有理数,则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程序,增添的立方反比力formula_131为  其中,formula_133是粒子原本的角动量,formula_10是粒子的质量。  所以,formula_135。  由于formula_130是有理数,formula_130可以写为分数formula_138;其中,formula_10和formula_140都是整数。对于这案例,增添立方反比力使得粒子完成formula_10圈公转的时间等于原本完成formula_140圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理,因为,增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。

Summary: 在经典力学里,伯特兰定理阐明,只有两种位势formula_1可以给出闭合轨道:

Théorème de Bertrand: Le théorème de Bertrand est un résultat de mécanique, du nom du mathématicien Joseph Bertrand (1822-1900) qui le démontra en 1873. Il établit que dans un mouvement à force centrale, seules les lois de force de Hooke (en, qui produit une ellipse où péricentre P et apocentre A forment un angle (POA) égal à 90°) et de Newton (en, qui produit une ellipse où l'angle (POA) vaut 180°) produisent une trajectoire fermée (si la trajectoire est au préalable bornée), quelles que soient les conditions initiales.