拉格朗日点

title: 位置.
content: 五个拉格朗日点之定义及位置如下: 在M和M两个大天体的连线上,且在它们之间。  其中:"r" 表示 与较小的物体之间的距离,"R" 表示两个主要物体之间的距离,"M" 和 "M" 分别表示较大物体和较小物体的质量。  求解 "r" 需要求解五次方程,但是当小物体的质量("M")远小于大物体的质量("M")时,近似于希尔球的半径,求解如下:  例如一个围绕太阳旋转的物体,它距太阳的距离越近,它的轨道周期就越短。但是这忽略地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间,地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力,因此增加这个物体的轨道周期。物体距地球越近,这种影响就越大。在点,物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。太阳及日光层探测仪(SOHO)即在日-地系统的点上运行。 在两个大天体的连线上,且在较小的天体一侧。  同样的,当小物体的质量("M")远小于大物体的质量("M")时:  日地系统的在地球远离太阳的一侧。一般来讲,一个物体距太阳的距离越远,它的轨道周期通常就越长,但点上的物体还受到地球的引力,所以轨道周期变得与地球的相等。日地系统的通常用于放置空间天文台。因为上的物体可以保持背向太阳和地球的方位,易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经在日-地系统的点上运行。詹姆斯韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的点上。嫦娥二号亦于2011年进入拉格朗日点的环绕轨道,为从月球轨道出发进入日-地系统点的首例。  地月系统的在月球远离地球的一侧(月球背面)。2014年中国探月工程三期再入返回飞行试验器服务舱曾进入环绕地月的李萨如轨道开展试验。服务舱实现了环绕地月飞行三圈,验证了轨道设计、轨道控制和轨道维持技术。 在两个大天体的连线上,且在较大的天体一侧。  一些科幻小说和漫画会在点创造一个「反地球」。  在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上,且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于,它到两大物体的距离相等,其对两物体分别的引力之比,正好等于两大物体的质量之比。因此,两个引力的合力正好指向该系统的质心,合力大小正好提供该物体公转所需之向心力,使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中,两大物体和上物体围绕质心旋转,旋转中心与质心重合。事实上,上的物体的质量不须小到可忽略。处,小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适。 在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上,且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方。  和有时称为三角拉格朗日点或特洛伊点。科幻作品(如漫画、小说)所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指和,不包括。  实质上是三个物体围绕共同质心转动。
title: 平衡性.
content: 严格而言,首先拉格朗日点只算是二星体连线之法平面内的稳定点,而在三维空间内则不稳定:考虑:若垂直于中线地推移测试质点,则有一力将其推回平衡点(稳定平衡);但若测试质点漂向任一星体,则该星体之引力会将其拉向自己(不稳定平衡)。在这条直线上不稳定,如果把物体放在这上面的话,它马上会离开这个点。所以,有一种轨道的设计就是,它是围绕做周期运动(Halo orbit),这样的话,我们的卫星只需少量调节便能维持其轨道。  此对比:若M比M大于24.96,则处于与的物体是稳定平衡:当一测试质点偏离此平衡点,则科里奥利力会将其轨道扭曲成(相对于旋转座标之)扁豆状。太阳-木星系统有几千枚小行星,通称为「特洛伊小行星」,俱划此等轨迹。太阳-火星、太阳-土星、木星-木衞、土星-土衞等系统亦有类似星体。日-地系统中亦有 2010 TK7(第一颗地球特洛伊小行星),在二十世纪五十年代发现尘雾围绕与。在地-月系统之与点亦发现比对日照更微弱之尘雾。  地球的伴星(companion object)克鲁特尼以类似特洛伊之轨道「围绕」地球,但不是真正的特洛伊衞星,它基本上以一周期略小于一年之椭圆轨道环绕太阳,接近地球时从地球公转提取动能而进入较高之轨道。当克鲁特尼被地球追上,则会交回此动能,跌落低能轨道,重新开始循环。  土卫十一(Epimetheus)与土卫十(Janus)有类似关系,唯因其质量相若,故周期性地互换轨道。  另一类似位形为轨道共振,其中各星体之周期,因其相互作用,成简单整数比。  土卫三(Tethys)的和点有两个小卫星,土卫十三(Telesto)和土卫十四(Calypso)。土卫四(Dione)的点有一个卫星土卫十二(Helene)。

Summary: 拉格朗日点(Lagrangian point)又称平动点(libration points)在天体力学中是限制性三体问题的五个特殊解(particular solution)。就平面圆型三体问题,1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点(特解)为、、,1772年数学家拉格朗日推算出另外两个点(特解)为、。例如,两个天体环绕运行,在空间中有五个位置可以放入第三个物体(质量忽略不计),使其与另两个天体的相对位置保持不变。理想状态下,两个同轨道物体以相同的周期旋转,两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡,使得第三个物体与前两个物体相对静止。

Point de Lagrange: Un point de Lagrange (noté à ), ou, plus rarement, point de libration, est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en mouvement orbital l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément le mouvement orbital des deux corps. Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps, de masse négligeable, resterait immobile par rapport aux deux autres, au sens où il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n'évolue. Au nombre de cinq, ces points se scindent en deux points stables dénommés et, et en trois points instables notés à. Ils sont nommés en l'honneur du mathématicien français Joseph-Louis Lagrange. Ils interviennent dans l'étude de certaines configurations d'objets du Système solaire (principalement pour les points stables) et dans le placement de divers satellites artificiels (principalement pour les points instables). Ce sont les points remarquables de la « géométrie de Roche » (points-col et extrema), laquelle permet notamment de classer les différents types d'étoiles binaires.