实变函数论

title: 内容.
title: 实数的构造.
content: 有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理,将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下,可以证明这些公理都是明确的,也就是说有一个公理的模型,任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义,而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。
title: 实数的有序性.
content: 实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关,这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是,实数形成有序域,实数的有序满足反对称性、传递性及完全性,属于全序关系,而且实数有最小上限属性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理,例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。  在实变分析中这些定理只针对实数,不过许多的结果可以应用在其他的数学对象。特别是许多泛函分析及算子理论中的概念是来自实数中概念的扩展,这类的扩展包括里斯空间及正算子的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部,例如算子数列的强算子拓扑。
title: 序列.
content: 序列是一个定义域为可数全序集合的函数,多半会让定义域是自然数或是所有整数。例如,一个实数的序列为以下定义的映射formula_1,常会表示为formula_2。若一序列会慢慢的接近一个极限(也就是存在formula_3 ),称此序列为收敛,否则则称此序列为发散。
title: 极限.
content: 极限是指函数或序列在其输入接近一定值时,其输出数值所接近的特定定值。极限是微积分学及广义数学分析的基础,连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。
title: 连续函数.
content: 若函数的输入及输出值都是实数,可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说,若函数图形是一条连续未分割的曲线,其中没有「洞」或是「断点」,函数即为连续函数。  针对上述粗略的定义,在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的,因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续,在以下的定义中 是一个定义在实数formula_5以内子集的函数,子集"I"称为函数"f"的定义域。子集"I"的一些可能选择包括formula_6(所有实数)、以下的开区间 或闭区间 因此formula_9及formula_10是实数。  一致连续是连续函数中,比连续函数更强的性质。若"X"和"Y"是实数子集,函数formula_11为一致连续的条件是针对所有大于0的实数formula_12,存在一实数formula_13,使得针对所有的formula_14即表示formula_15。  一致连续和每一点连续的差异在一致连续时,formula_16值只和formula_12值有关,和该值在定义域中的位置无关。一般情况下,连续不意味着均匀连续。
title: 级数.
content: 给定一无穷序列 formula_18,即可定义相关的级数为formula_19,有时会简称为formula_20。级数的部分和formula_20为formula_22。级数formula_20收敛的条件是部分和的数列formula_24收敛,否则级数即称为发散。收敛级数的和formula_25定义为formula_26.  等比数列的和就是一个收敛级数,也是芝诺悖论的基础:  以下的调和级数即为发散级数:  (此处formula_29不是严谨的表示方式,只是表示部分和会无限制的成长)
title: 微分.
content: 函数formula_30在formula_9位置的导数为以下的函数极限  若导数在所有位置都存在,称函数为可微分,可以再继续计算函数的高阶导数。  也可以将函数依其微分分类来区分。分类formula_33包括所有连续函数,分类formula_34包括所有导数连续的可微函数,这类函数称为「连续可微」。分类formula_34是指其导数在分类formula_34中的函数。一般来说,分类formula_37可以用递归方式定义,定义方式是宣告分类formula_33是所有的连续函数,而分类"formula_37"(formula_40为正整数)是所有可微,而且其导数为formula_41的函数。而分类"formula_37"包括在分类formula_41中,对所有的正整数"formula_40"都成立。分类formula_45是所有"formula_37"的交集,其中"formula_40"为所有的非负整数。formula_48包括所有的解析函数,是分类formula_45的严格子集。
title: 积分.
title: 黎曼积分.
content: 黎曼积分定义函数的黎曼和,对应为一个区间内的标记分区(tagged partitions)。令formula_50为实数下的封闭区间,则在区间formula_50内的标记分区为有限数列  将区间formula_50分隔为formula_54个下标为formula_55子区间formula_56,每一个用不同的点formula_57来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为  则和的每一项都是长方形的面积,其高为函数在给定子区间内,标示点的数值,宽和子区间的宽相等。令formula_59为子区间"formula_55"的宽,则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度formula_61。函数formula_30在区间formula_50内的黎曼积分等于formula_64若:  若选定的标示都是每个区间内函数的最大值(或最小值),黎曼积分就会成为上(或下)达布和,因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。
title: 勒贝格积分.
content: 勒贝格积分是一种积分概念,可以将积分延伸到更大范围的函数,同时也拓展函数的定义域。
title: 分布.
content: 分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分(例如单位阶跃函数)。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。
title: 和复变分析的关系.
content: 实变函数论是数学分析的一部分,探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数,多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中,很自然的会对全纯函数定义导数,全纯函数有许多有用的性质,包括多次可微、可以用幂级数表示,而且满足柯西积分公式。  实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数,这些也常常用到,不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。  复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析,例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。
title: 重要结果.
content: 实分析的重要结果包括波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、海涅-博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。  实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间,包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

Summary: 实分析(英语:real analysis,也称作实变函数论,英语:theory of real variable function)或实数分析是处理实数及实函数的数学分析。专门实数函数及数列的解析特性,包括实数数列的极限,实函数的微分及积分、连续性,光滑性以及其他相关性质。

Analyse réelle: L'analyse réelle est la branche de l'analyse qui étudie les ensembles de réels et les fonctions de variables réelles. Elle étudie des concepts comme les suites et leurs limites, la continuité, la dérivation, l'intégration et les suites de fonctions.