可觀察量

title: 数学表述.
title: 本征态.
content: 假设,物理量formula_1是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符formula_2,可能有很多不同的本征值formula_3与对应的本征态formula_4,这些本征态formula_5,形成了具有正交归一性的基底:  其中,formula_7是克罗内克函数。  任何描述这量子系统的量子态formula_8,都可以用这基底的本征态表示为  其中,formula_10是复系数,是在量子态formula_4里找到量子态formula_12的几率幅。  假设,量子态formula_8等于这些本征态之中的一个本征态formula_14,则对于这量子系统,测量可观察量formula_1,得到的结果必定等与本征值formula_16,几率为1,量子态formula_8是「确定态」。
title: 统计诠释.
content: 根据统计诠释,对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值,测量结果只能是其中一个本征值,而且,每一个本征值出现的机会呈几率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态,并且,在之后短暂片刻内,量子系统的量子态仍旧是这本征态。  假设,某量子系统的量子态为  测量这个动作会将量子系统的量子态改变为算符formula_2的一个本征态。假设量子态改变为本征态formula_4,则改变为这本征态的几率为formula_21,测量结果是本征值formula_3,得到这本征值的几率也为formula_23。在测量之后短暂片刻内,量子系统的量子态仍旧是本征态formula_4。  将算符formula_2作用于量子态formula_8,会形成新量子态formula_27:  从左边乘以量子态formula_29,经过一番运算,可以得到  所以,每一个本征值与其几率的乘积,所有乘积的代数和就是可观察量formula_1的期望值:
title: 厄米算符.
content: 每一种经过测量而得到的物理量都是实数,因此,可观察量formula_1的期望值是实数:  对于任意量子态formula_8,这关系都成立:  根据伴随算符的定义,假设formula_37是formula_2的伴随算符,则formula_39。因此,  这正是厄米算符的定义。所以,表现可观察量的算符,都是厄米算符。
title: 不相容可观察量.
content: 假若两种可观察量的对易算符不等于0,则称这两种可观察量为「不相容可观察量」:  其中,formula_42、formula_43分别是可观察量formula_44、formula_45的算符。  这两种算符formula_42与formula_43绝对不会有共同的基底。一般而言,formula_42的本征态与formula_43的本征态不同假设量子系统的量子态为formula_8。对于算符formula_42,所有本征值为formula_52的本征态formula_53,形成一个基底。量子态formula_8可以表示为这组基底本征态的线性组合:  其中,formula_56是复系数,是在量子态formula_57里找到量子态formula_12的几率幅。  对于算符formula_43,所有本征值为formula_60的本征态formula_61,形成了另外一个基底。量子态formula_8可以表示为这组基底本征态的线性组合:  其中,formula_64是复系数,是在量子态formula_65里找到量子态formula_12的几率幅。  对于量子系统的可观察量formula_44做测量,可能得到的结果是各种本征态formula_57的本征值formula_52,获得这些不同结果的机会具有几率性,可以表达为几率分布,结果为formula_52的几率是formula_71。  假设测量的结果是本征值formula_72,则可以推断,在测量之后短暂片刻内,量子态是本征态formula_73。假若立刻再测量可观察量formula_44,由于量子态仍旧是本征态formula_73,所得到的测量值是本征值formula_52几率为1。假若立刻再对本征态formula_73测量可观察量formula_45,则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值formula_79,则可以推断,在测量之后短暂片刻内,量子态是本征态formula_80。  根据不确定性原理,  设定formula_82。假设,formula_44与formula_45是两个不相容可观察量,则formula_85。而formula_44的不确定性与formula_45的不确定性的乘积formula_88,必定大于或等于formula_89。
title: 实例.
content: 为了具体计算位置与动量的期望值,可以将量子态表现于位置空间,以位置空间的波函数来表示,使用对应的代数算符。
title: 位置与动量.
content: 位置formula_90,动量formula_91都是可观察量,它们的算符都是厄米算符:
title: 角动量.
content: 在三维空间里,角动量算符的x-分量formula_94是厄米算符。因为  其中,formula_96与formula_97分别是位置的y-分量与z-分量,formula_98与formula_99分别是动量的y-分量与z-分量。  类似地,角动量算符的y-分量formula_100也是厄米算符。

Summary: 在物理学里,特别是在量子力学里,处于某种状态的物理系统,它所具有的一些性质,可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质,称为可观察量(英语:observable)。例如,物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统,然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里,任何可以用实验测量获得的可观察量,都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里,物理系统的状态称为量子态,其与可观察量的关系更加微妙,必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述,量子态可以用存在于希尔伯特空间的态向量来代表,量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。

Observable: Une observable est l'équivalent en mécanique quantique d'une grandeur physique en mécanique classique, comme la position, la quantité de mouvement, le spin, l'énergie, etc. Ce terme provient d'une expression utilisée par Werner Heisenberg dans ses travaux sur la mécanique des matrices, où il parlait de "beobachtbare Grösse" (quantité observable), et où il insistait sur la nécessité d'une définition opérationnelle d'une grandeur physique, qui prend mathématiquement la forme d'un opérateur. Appliqué à un état quantique, l'opérateur permet de connaître tous les résultats possibles, et leur probabilité, d'une mesure d'une grandeur physique donnée sur un système quantique donné.