体积形式

title: 定义.
content: 流形"M"上一个体积形式是处处非0的最高阶("n"-维流形上的"n"-形式)微分形式。  用线丛的语言来说,称最高阶外积formula_1为行列式线丛,"n"-形式是它的截面。  对不可定向流形,一个体积“伪”形式,也称为“奇”或“扭曲”的体积形式,可以定义为定向丛的一个处处非0截面;这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下,(非扭曲的)微分形式就是“偶” "n"-形式。除非特别地讨论扭曲形式时,我们总是略去形容词“偶”。  第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。
title: 定向.
content: 一个流形具有体积形式当且仅当它可定向,这也可以作为可定向的一个定义。  在G-结构的语言中,一个体积形式是一个SL-结构。因为formula_2是形变收缩(因为formula_3,这里正实数视为纯量矩阵),一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个formula_4-结构,即是一个定向。  在线丛的语言中,行列式丛formula_5的平凡性等价于可定向性,而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面,这样又得到,体积形式的存在性等价于可定向性。  对于伪体积形式,一个伪体积形式是一个formula_6-结构,因为formula_7 同伦等价(事实上是形变收缩),任何流形都有伪体积形式。类似地,定向丛总是平凡的,所以任何流形都有一个伪体积形式。
title: 和测度的关系.
content: 任何流形有一个伪体积形式,因为定向丛(作为线丛)是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω,密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。  任何伪体积形式ω(从而任何体积形式亦然)定义了一个波莱尔集合上一个测度:  注意区别,在于任何一个测度可以在(Borel)子集上积分,而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中,写成formula_9,将formula_10视为体积形式而不是测度,formula_11表明“在formula_12上沿着定向相反的反向积分”,有时记成formula_13。  进一步,一般的测度不必连续或光滑,他们不必由体积形式定义;或更形式地说,关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。
title: 例子.
title: 李群.
content: 任何李群,可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说,如果ω 是formula_14中一个元素,那么一个左不变形式可以定义为formula_15,这里"L"为左平移。作为一个推论,任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的,相应的测度称为哈尔测度。
title: 辛流形.
content: 任何辛流形(或更确切地为殆辛流形)有一个自然的体积形式。如果"M"是一个带有辛形式ω的2"n"-维流形,那么由辛形式非退化可知ω处处非零。作为一个推论,任何辛流形是可定向的(事实上,已经定向)。
title: 黎曼体积形式.
content: 任何黎曼流形(或伪黎曼流形)有一个自然的体积(或伪体积)形式。在局部坐标系下,能写成表达式:  这里流形为"n"-维,formula_17是流形上度量张量行列式的绝对值,formula_18为组成流形余切丛一组基的1形式。  这个体积形式有许多不同的记号,包括:  这里∗是霍奇对偶,从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。  尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式,但是这个记法很难通用,符号ω在微分几何中经常有其它意思(比如辛形式),所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。  一个流形如果既是辛的又是黎曼的,如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。
title: 曲面的体积形式.
content: 体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入"n"-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集formula_20,以及映射函数  定义了嵌入到formula_22中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为  指标"i"从1跑到"n","j"从1跑到2。"n"-维空间的欧几里得度量诱导了集合"U"上的一个度量,度量矩阵分量为:  度量的行列式由  给出,这里formula_26是楔积。对一个正则曲面,这个行列式不为0;等价地,雅可比矩阵的秩为2。  现在考虑"U"的一个坐标变换,由微分同胚  给出。从而坐标formula_28用formula_29形式表示是formula_30。坐标变换的雅可比矩阵为:  在新坐标系下,我们有:  从而度量变换为:  这里 formula_34是在"v"坐标系下的度量。行列式:  给出以上构造后,现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维,体积就是面积。子集formula_36的面积由积分:  给出。从而,在任一坐标系下,体积都有相同的表达式,即这个表达式在坐标变换下是不变的。  注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性,以上结论可以平凡地推广到任意维数。
title: 体积形式不变性.
content: 体积形式不是惟一的,它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。  给定"M"上一个处处函数"f",和一个体积形式formula_38,formula_39也是"M"上的体积形式。相反地,给定任何两个体积形式formula_40,他们的比是一个处处非0函数(如果定向相同为正,定向相反为负)。  在坐标系中,他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度,他们的比就是函数的比,这和坐标系的选取无关。本质上,这是formula_41关于formula_38的Radon–Nikodym导数。
title: 无局部结构.
content: 一个体积形式没有局部结构:任何两个体积形式(在相同维数的流形上)是局部同构的。  正式地说,这个结论意味着给定任何两个同维数的流形formula_43,分别具有体积形式formula_44,对任何点formula_45,存在一个映射formula_46(这里formula_47是formula_48的一个邻域而formula_49是formula_50的一个邻域),使得"N"(限制在邻域formula_49上)上的体积形式拉回到formula_52(限制在邻域formula_47)上的体积形式:formula_54。给定维数的可微流形是局部微分同胚的;增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。  在1维情形,可以这样证明:给定formula_55上一个体积形式formula_38,定义 那么标准勒贝格测度formula_10通过"f": formula_59拉回到formula_38,实际上,formula_61。  高维数时,给定任何一点formula_62,存在一个邻域局部同胚于formula_63,我们可以进行相同的步骤。
title: 整体机构:体积.
content: 连通流形"M"上一个体积形式有一个惟一的整体不变量,即总体积(记作formula_64),在保持体积形式的映射下不变;总体积可能是无穷,比如formula_22上的勒贝格测度。对于一个不连通流形,任何连通分支的体积是不变量。  用符号表示,如果formula_66是流形的同胚,将formula_67拉回到formula_68,那么 从而流形具有相同的体积。  体积形式也能在覆盖映射下拉回,在此情况下将体积乘以纤维的基数(形式地说,在纤维上积分)。在无穷重复盖(比如formula_70),有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。  反过来,于尔根·莫泽的一个定理指出,对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式formula_71和formula_72,存在一个流形的微分自同胚将formula_71拉回到formula_72,事实上存在由的流形成同痕。

Summary: 数学中,体积形式提供了函数在不同坐标系(比如球坐标和圆柱坐标)下对体积积分的一种工具。更一般地,一个体积元是流形上一个测度。

Forme volume: En géométrie différentielle, une forme volume généralise la notion de déterminant aux variétés différentielles. Elle définit une mesure sur la variété, permet le calcul des volumes généralisés, et la définition générale des orientations.