算符

title: 经典力学.
content: 在经典力学里,粒子(或一群粒子)的动力行为是由拉格朗日量formula_1或哈密顿量formula_2决定;其中,formula_3、formula_4分别是广义坐标、广义速度,formula_5是共轭动量,formula_6是时间。  假设拉格朗日量formula_7或哈密顿量formula_8与某广义坐标formula_9无关,则当formula_9有所改变时,formula_7或formula_8仍旧会保持不变,这意味着粒子的动力行为也会保持不变,对应于formula_9的共轭动量formula_14守恒。对于广义坐标formula_9的改变,动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里,当研读有关对称性的课题时,算符是很有用的工具。  特别而言,假设对于某种群formula_16的变换运算,物理系统的哈密顿量是个不变量;也就是说,假设formula_17,  在这案例里,所有formula_16的元素formula_20都是物理算符,能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态;尽管formula_20作用于这物理系统,哈密顿量守恒不变。  举一个关于平移于空间的简单例子。「平移算符」formula_22能够将粒子从坐标为formula_9移动至坐标为formula_24,以方程序表示:  其中,formula_26是描述一群粒子的密度函数。  给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统,则尽管formula_22的作用,这物理系统的哈密顿量formula_8是个不变量,对应于坐标formula_9的动量formula_14守恒。
title: 生成元概念.
content: 对于一个微小的平移变换,猜测平移算符的形式为  其中,formula_35是「单位算符」──变换群的单位元,formula_36是微小参数,formula_37是专门用来设定平移变换群的生成元。  为了简化论述,只考虑一维案例,推导平移于一维空间的生成元。将平移算符formula_38作用于函数formula_39:  由于formula_36很微小,可以泰勒近似formula_42为  重写平移算符的方程序为  其中,导数算符formula_45是平移群的生成元。  总结,平移群的生成元是导数算符。
title: 指数映射.
content: 在正常状况下,通过指数映射,可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例,重复地做formula_46次微小平移变换formula_47,来代替一个有限值为formula_48的平移变换formula_22 :  现在,让formula_46变得无穷大,则因子formula_52趋于无穷小:  这表达式的极限为指数函数:  核对这结果的正确性,将指数函数泰勒展开为幂级数:  这方程序的右手边可以重写为  这正是formula_57的泰勒级数,也是formula_58的原本表达式结果。  物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容,请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理(Gelfand-Naimark theorem)。
title: 量子力学.
content: 在量子力学里,算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定,态向量是向量空间的单位范数向量。在向量空间内,量子算符作用于量子态,使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变,量子算符必须是么正算符。假若变换前的量子态与变换后的量子态,除了乘法数值以外,两个量子态相同,则称此量子态为本征态,称此乘法数值为本征值。  物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量,都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释,每一次测量的结果只能是其中的一个本征值,而且,测得这本征值的机会呈几率性,量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。
title: 量子算符.
content: 假设,物理量formula_59是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符formula_60可能有很多不同的本征值formula_61与对应的本征态formula_62,这些本征态formula_63,形成了具有正交归一性的基底:  其中,formula_65是克罗内克函数。  假设,某量子系统的量子态为  其中,formula_67是复系数,是在formula_62里找到formula_69的几率幅。  测量这动作将量子态formula_70改变为本征态formula_62的几率为formula_72,测量结果是本征值formula_61的几率也为formula_14。
title: 期望值.
content: 在量子力学里,重复地做同样实验,通常会得到不同的测量结果,期望值是理论平均值,可以用来预测测量结果的统计平均值。  采用狄拉克标记,对于量子系统的量子态formula_70,可观察量formula_59的期望值formula_77定义为  其中,formula_60是对应于可观察量formula_59的算符。  将算符formula_60作用于量子态formula_70,会形成新量子态formula_83:  从左边乘以量子态formula_85,经过一番运算,可以得到  所以,每一个本征值与其几率的乘积,所有乘积的代数和,就是可观察量formula_59的期望值:  将上述定义式加以推广,就可以用来计算任意函数formula_89的期望值:  例如,formula_91可以是formula_92,即重复施加算符formula_93两次:
title: 对易算符.
content: 假设两种可观察量formula_37、formula_96的算符分别为formula_97、formula_98,它们的对易算符定义为  对易算符是由两种算符组合而成的复合算符,当作用于量子态formula_70时,会给出  假设formula_102,则称这两种可观察量为「相容可观察量」,否则,formula_103,称这两种可观察量为「不相容可观察量」。  假设两种可观察量为不相容可观察量,则由于不确定原理,绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题,不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验,装备足够优良的测量仪器,则对于某些量子系统,测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。
title: 厄米算符.
content: 每一种经过测量而得到的物理量都是实值,因此,可观察量formula_59的期望值是实值:  对于任意量子态formula_70,这关系都成立:  根据伴随算符的定义,假设formula_108是formula_60的伴随算符,则formula_110。因此,  这正是厄米算符的定义。所以,表现可观察量的算符,都是厄米算符。
title: 矩阵力学.
content: 应用基底的完备性,添加单位算符formula_112于算符formula_60的两旁,可以得到  其中,formula_115是求和式内每一个项目的系数。  所以,量子算符可以用矩阵形式来代表:  算符formula_60与它的伴随算符formula_108彼此之间的关系为  所以,分别代表这两个算符的两个矩阵,彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符,代表的矩阵是个实值的对称矩阵。  用矩阵代数来计算算符formula_60怎样作用于量子态formula_70,假设系统因此变换为量子态formula_83:  从左边乘以本征态formula_124,应用基底的完备性,添加单位算符formula_125于算符的右边,可以得到  右矢formula_83、formula_70分别用竖矩阵来代表  两个竖矩阵彼此之间的关系为  假设算符formula_60是厄米算符,则其所有本征态都相互正交。以矩阵来代表算符,可以计算出一组本征值与对应的本征态,每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质,可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式,就可以找到本征值formula_133:
title: 量子算符表格.
content: 在这表格里,算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间,则表示出的方程序会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符,不是单位向量。
title: 范例.
title: 位置算符.
content: 只思考一维问题,将位置算符formula_135施加于位置本征态formula_136,可以得到本征值formula_137,即粒子的位置:  由于位置基底具有完整性,formula_139,任意量子态formula_70可以按着位置本征态形成的基底展开:  将位置算符formula_135施加于量子态formula_70,由于算符formula_135只作用于右矢formula_145,与其它数学个体无关,可以移入积分式内:  左矢formula_85与这方程序的内积为  设定量子态formula_149。由于位置基底具有完整性,formula_150,量子态formula_85与formula_152的内积,可以按着位置本征态形成的基底展开为  将这两个积分式加以比较,立刻可以辨识出全等式  设定量子态formula_155。量子态formula_156、formula_70的位置空间表现,即波函数,分别定义为  两个波函数formula_160、formula_161之间的关系为  总结,位置算符formula_135作用于量子态formula_70的结果formula_156,表现于位置空间,等价于波函数formula_161与formula_137的乘积formula_160。
title: 动量算符.
content: 表现于位置空间,一维动量算符为  将动量算符formula_170施加于量子态formula_70,可以得到类似前一节得到的结果:  应用位置基底所具有的完整性,对于任意量子态formula_83,可以得到更广义的结果:  其中,formula_175、formula_176分别是量子态formula_83、formula_70表现于位置空间的波函数。  假设formula_70是formula_170的本征态,本征值为formula_181,则可得到  将formula_70改写为本征值为formula_181的本征态formula_185,方程序改写为  这微分方程序的解析解为  所以,动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛定谔方程序,就可以推导求得这出结果。

Summary: 在物理学里,算符(operator),又称算子,作用于物理系统的状态空间,使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂,需要用很多方程序来表明,假若能够使用算符来代表,可以更为简单扼要地表达论述。

Opérateur (physique): Un opérateur est, en mécanique quantique, une application linéaire d'un espace de Hilbert dans lui-même. Le terme est une spécialisation du concept mathématique d'opérateur. Une observable est un opérateur hermitien.