柴廷常數

title: 背景.
content: 停止的概率的定义依赖于无字首的图灵完备的可计算函数的存在。这样的函数,直观地说,代表了一种编程语言具有这样的性质:没有有效的程序可以被获得为另一个有效的程序的部分扩展。  假设 "F" 是一个部分函数,需要一个参数跟一个有限的二元串,并有可能返回一个二元串作为输出。这个函数"F" 被称为可计算的,如果有一个图灵机有计算出他(在这个意义上:对于任何有限的二元串 "x" 和 "y、F(x)=y" 当且仅当这个图灵机停止且"y" 在他的地带当给出输入 "x的时候)."  函数 "F" 被称为图灵完备,如果拥有下列性质:对于一个单一的变量的每个可计算函数 "f",都有一串 "w" 使得对于所有的 "x", "F"("w" "x")= "f"("x");这里 "w" "x" 表示两个二元串 "w" 和 "x"的串接. 这意味着: "F" 可用于模拟一个变量的任何一个可计算函数。非正式地说, "w" 表示可计算函数"f的「脚本」,另外 F" 表示一个"解释"解析脚本作为前缀的其输入和随后执行它其余的输入。  F的定义域是所有输入 "p" 的集合。对于图灵完备的 "F",这样的"p" 通常可以被看到作为程序部分和数据部分的连接,并作为函数F的单一程序。  函数 "F" 被称为无字首如果没有两个元素 "p", "p′" 在其定义域使得 "p′" 是p的一个部分扩展,换句话说,"F" 的定义域是一个前置码(瞬间代码)在有限二元串的集合。一个简单的方法来强制执行「无字首性」是使用机器,这些机器的输入是一个二流从哪位可以读一个在一段时间。 没有结束的标记;结束的输入确定通过时这个图灵完备的机器决定将停止阅读更多位数。在这里,之间的差别这两个概念的程序中提到的最后一段变得清楚的;一个是很容易地认识到一些文法,而其他需要任意的计算到承认。  任何图灵完备的可计算函数的定义域都是递归可枚举集合,但是不是递归集合. 这个定义域是图灵等同于停机问题.
title: 定义.
content: 设 "P" 是无字首的图灵完备的可计算函数 "F的定义域,常数" Ω 被定义为  formula_2 表示的字串p的长度。这是一个无限和, 其中有一个加数对于F的定义域中的每个p。这要求该定义域是无字首的,再配合克拉夫特不等式,确保这个和会收敛到0到1之间的一个实数。如果 "F" 是明确的,则Ω 可以被简单地写为Ω,虽然不同的无字首的图灵完备的可计算函数会有不同的Ω值。
title: 与停机问题的关系.
content: 知道 Ω 的(二进制的)前N位数,我们可以计算出每个不超过N个字符的程序的 停机问题 。假设程序 "p" 其停机问题是要解决"N" 个字符的程序。在衔接 时,所有长度的所有程序都在运行,直到足够的程序贡献了足够的机率,以与这些「前"N" 位数」相配。如果程序 "p" 并没有停止,那么它永远也不会,因为它的贡献停止的概率将影响的第 "N" 位。因此,制止的问题(对于p)将得到解决。  因为有很多悬而未决的数论问题,例如哥德巴赫猜想,相当于解决特别程序(这基本上就是搜索反例,如果有一个反例发现就停止)的停机问题,知道了柴廷常数的足够位数还将意味着知道这些问题的答案。但是,由于停机问题一般并不是可以解决的,因此计算柴廷常数的任意位数是不可能的,这只是把困难的问题变成不可解决的问题,就像在试图建立一个预言机一样。
title: 解释作为一个机率.
content: 康托空间是所有0跟1的无限序列的集合,一个停机的概率可被解释为的测度的特定子集的康托空间在通常的概率衡量在康托空间。它是从这一解释,终止的概率取他们的名字。  该概率的测度在康托空间,有时也称为公平的硬币措施,定义,以便为任何二元字串 "x" 的组序列的开头 "x" 具有测量2. 这意味着为每个自然的数量 "n",该组序列的 "f" 在坎特的空间,这样 "f"("n")=1测量的1/2和本组序列的 "n"个元素是0还有衡量的1/2。  设 "F" 是无字首的图灵完备的的可计算函数, F的定义域P包括一个二元字串的无限集合  这些字符串中的每一个 "pi确定了康托空间的"一个子集 "Si," 该组 "Si"包含康托空间的所有从pi开始的序列"。"这些都是分离的,因为 "P" 为无字首的集合, 总和  表示该集合的测度  在这种方式, Ω 表示的概率是随机选择的无限的0跟1的序列以F的定义域里的一位字串(的某个有限的长度)开始,由于这个原因, Ω 被称为停机的概率。
title: 性能.
content: 每个柴廷常数 Ω 具有以下性质:  并不是每个图灵等同于停机问题的集合都是停止的概率。 一个等价关系,索罗维等同,可以用来描绘制止的概率之间的左-c。e.实数 。 我们可以显示:一个在[0,1]里的实数是一个柴廷常数(即停止的概率的某些无字首的图灵完备的的可计算函数)当且仅当如果它是左-c。e. 并且是算法随机。 Ω 是少数几个 可定义的 算法随机数,它是最着名的算法随机数,但它根本不是典型的算法随机数。
title: 不可计算性.
content: 一个实数是可计算的,如果有一个算法,给出"n",返回该数的前n个位数。 这相当于存在一个程序,能够列举数字的所有位数。  没有停机的概率是可计算的。 证明这一事实依赖于一种算法,给出Ω的前n个位数,解决图灵的停机问题对于长度不超过n的程序。由于停机问题是不可判定问题, Ω 没有办法被计算出来。  算法进行如下。 给出 Ω 的前n个位数,以及数字"k" ≤ "n",这个算法枚举了 "F" 的定义域,直到这个定义域里足够的元素已经被找到,使他们所代表的概率是Ω的2. 在这一点后,没有长度k的附加程序可以在定义域里,因为每个程序将增加2 到这个措施,这是不可能的。因此,长度k的字串的集合在这个定义域中就是「已经一一列举的字串的集合」。
title: 算法的随机性.
content: 一个真正的数量是随机的,如果二进制序列代表实际数量是一个 算法的随机序列. 卡路德、赫特凌,寇赛诺夫 以及 王 表明, 这一递归的实数是一个算法随机的序列,当且仅当它是一个柴廷Ω 数。
title: 停机问题的不完备定理.
content: 对于每一个的一致有效的代表自然数的公理系统,如皮亚诺公理,存在常数 "N" 使得没有「 Ω 在"第N位数 之后的位数」"可以被证明为1或0,在这个系统。常数"N" 取决于形式系统是有效地代表,并因此并不直接反映的复杂性不言自明的系统。这个不完整的结果是类似于哥德尔不完备定理在于,它表明,没有一致的正式理论运算可以完成。

Summary: 在计算机科学中的算法信息论,柴廷常数(柴廷欧米茄数)或停机的概率是一个实数,非正式地来讲,所表示的是随机的程序将会停止的概率。这些数字是从一个格雷戈里·柴廷制作的构造。

Oméga de Chaitin: En théorie algorithmique de l'information, une constante Oméga de Chaitin (nombres définis et étudiés par Gregory Chaitin) caractérise de manière univoque et mathématiquement précise un nombre réel, qui possède la particularité d'être aléatoire et de ne pas être calculable au sens de Turing : un algorithme donné ne permet de calculer qu'un nombre fini de ses décimales. Jusqu'à la définition de ce nombre, il n'existait pas d'exemple mathématiquement précis et « concret » de suite aléatoire.