伯努利定律

title: 物理量及定律.
title: 原表达形式.
content: 其中:
title: 定理假设.
content: 使用伯努利定律必须符合以下假设,方可使用;如没完全符合以下假设,所求的解也是近似值。
title: 推论过程.
content: 考虑一符合上述假设的流体,如图所示:  流体因受压力的推动而得之能量:  流体因重力做功所损失的能量:  流体所得的动能可以改写为:  根据能量守恒定律,流体因受力所得的能量+流体因重力做功所损失的能量=流体所得的动能。  由连续方程序可知:  令formula_16 从等式两边除以formula_17 及formula_18可得:  或
title: 垂直流线方向的加速度定律.
content: 考虑沿流线运动的微小流体质点,其质量以formula_21表示,δy代表宽度,流体质点运动以速度向量V表示,流线座标可表示为与某参考点的距离s=s(t)及流线局部曲率半径formula_22,沿着流线的座标为s;垂直流线的座标为 n。  在垂直流线的方向n̂上,由于存在向心加速度formula_23,故质点所受净力为:  formula_24,其中formula_25为微小流体质点体积,formula_26为流体密度。  而质点所受重力为:  formula_27,其中formula_28。  如图所示的质点中央压力为p,垂直流线的两端平均压力分别为formula_29及formula_30,可用泰勒级数展开求压力差异formula_31。  formula_32为质点于垂直方向上所受净压  formula_33  故  formula_34  因为沿着垂直流线方向 formula_35,可得到垂直流线方向之运动方程序  formula_36  此式意味着,压力跟重力会造成弯曲的流线。 若考虑在垂直流线方向,忽略重力因素的情形,即流体在水平面上流动,则formula_37,得到formula_38,这意味着,压力随着远离曲率中心的距离而增大(正n的方向,指向弯曲的流线内部,与径向相反),当formula_39是负的时候,formula_40是正的,因此在龙卷风之外的的压力(平常的大气压力)远大于中心处(低气压,可能会产生部分真空),而这些压力差是为了平衡曲率运动所需的向心力。 当S为定值的情况下  formula_41  沿n的方向积分可得  formula_42  对于不可压缩流  formula_43  由推导方程序所需的基本假设:稳定、无黏性 及不可压缩流,可以得到结论  1.跨过流线的运动方程序 formula_36  formula_43 2.沿着流线的运动方程序 上述做法依此类推,可得沿着流线方向之运动方程序  formula_46  以及伯努利定律  formula_47  需要注意的是,在跨过流线的情形下,如果流体在计算的位置发生旋转或弯曲,这时使用伯努力定律就会因为在跨过流线的运动方程序中,含有伯努力定律里没有的项formula_48,导致计算结果出现严重错误。
title: 特例:托里切利定律.
content: 当液体因受到地心吸力的作用而流出时,其速度等于formula_49,其中formula_50为重力加速度,formula_51为开口的中心和液体最高面的距离。这个速度刚好等于液体从离地formula_51的地方以自由落体的方式下落时,着地前的速度(但实际上因为有空气阻力,所以实际情形一般不会以自由落体的方式下落)。
title: 伯努利定律演示实验.
content: 简易喷雾器,以大吸管固定两只小吸管使之夹角略小于直角,因从吸管吹出之气体流速较快,压力较一大气压力为低,因此能够将水经由下端吸管中吸起,并于开口处加速破碎成雾滴,模型制作用喷枪以及工业用喷漆喷枪多为此种设计。  不过因为伯努利定律是假设流体沿着流线流动,探讨同一流线上二点的速度及压力变化。因此有些现象和伯努利定律无关,例如悬浮保丽龙球,将可折弯的吸管一端向上稳定吹出气体,将一直径约3公分之保丽龙球放置于气柱上,保丽龙球能够悬浮晃动于一定区域中,因为保丽龙球上方和下方的气流不是同一流线,这和伯努利定律无关,是康达效应的结果。
title: 可压缩流体的伯努利定律.
content: 伯努利从观察液体的行为中推导出伯努利方程序,但他的方程是只能应用在不可压缩的流体,以及虽然可压缩但流速非常慢的流体(也许可以到1/3的声速)。利用基本物理原理,可以发展出类似的方程序,以适用于可压缩的流体。以下有几个类似于伯努力定律,能应用在不同领域方程序。它们的推导只运用了像是牛顿第二定律和热力学第一定律的基本物理定律。
title: 可压缩流体之流体力学.
content: 对于可压缩的流体,在保守力的作用之下,所得到的守恒式为 其中: 在工程领域,在海拔比较高的地方,其压力会比地表来的小,而且流体流动的时间通常是相当的小,如同绝热系统般。在这种情形下,上述的方程即 其中:  在可压缩流体可以应用的地方,因为高度变化与其他变因相比小的很多,故gz项可以省略,所以较常用的方程序为  其中:
title: 可压缩流动的热力学.
content: 另一个适合使用在热力学的公式是  其中:  请注意formula_70,其中formula_71为热力学单位质量的能量,即比内能(specific internal energy);formula_72为压力;formula_26为密度。  公式右侧的常数通常被称为伯努力常数,常被写为formula_74。当在绝热非黏滞性的流动,没有能量的流进或流出时,formula_74在任何曲线都是常数。  当formula_76变化可以忽略,一个非常有用的形式的方程序是:  其中formula_78是焓的总量。

Summary: 伯努利原理(英语:Bernoulli's principle),又称伯努利定律或柏努利定律(英语:Bernoulli's Law),是流体力学中的一个定律,由瑞士流体物理学家丹尼尔·伯努利于1738年出版他的理论《Hydrodynamica》,描述流体沿着一条稳定、非黏性、不可压缩的流线移动行为。

Théorème de Bernoulli: Le théorème de Bernoulli, qui a été établi en 1738 par Daniel Bernoulli, est la formulation mathématique du "principe de Bernoulli" qui énonce que dans le flux d'un fluide homogène et incompressible soumis uniquement aux forces de pression et de pesanteur, une accélération se produit simultanément avec la diminution de la pression. Dans un flux de fluide sans viscosité et donc dans lequel une différence de pression est la seule force d'accélération, la vitesse est équivalente à celle donnée par les lois du mouvement de Newton. Il est très commun que l'effet de Bernoulli soit cité pour affirmer qu'un changement de vitesse cause un changement de pression ; cependant le principe de Bernoulli ne fait pas ce rapport et ce n'est pas le cas.