层 (数学)

title: 简介.
content: 层用于拓扑,代数几何和微分几何,只要想跟踪给定的几何空间的随着每个开集变化的代数数据,就可以用层。他们是研究"局部有变化"(依赖于所选开集的)的对象的"全局工具"。这样,它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具,例如开集,解析函数,流形,等等。  作为一个典型的例子,考虑拓扑空间"X",对于每个"X"中的开集"U",令"F"("U")为所有连续函数"U" → R的集合。如果"V"是"U"的开子集,则"U"上的函数可以限制到"V"上,而我们得到映射"F"("U") → "F"("V")。"粘合"描述了下列过程:假设"U"是给定的开集其并为"U",对于每个"i"我们给定一个元素"f" ∈ "F"("U"),一个连续函数"f" : "U" → R。如果这些函数在重合的地方相等,则我们可以一种唯一的方式把他们粘起来得倒一个连续函数"f" : "U" → R,它和所有给定的函数"f"一致。所有集合"F"("U")的类和限制映射"F"("U") → "F"("V")成为一个"X"上的集合的层。进一步的,每个"F"("U")是一个交换环,而限制映射是环同态,这使"F"成为"X"上的环的层。  作为很相似的例子,考虑一个微分流形"X",对于"X"的每个开集"U",令"F"("U")为所有可微函数"U" → R的集合。这里同样的有粘合,并且我们得到"X"上的环的层。另一个"X"上的层是,对于"X"的每个开集"U"给定所有定义在"U"上的可微向量场的向量空间。限制和粘合向量场和函数上的操作一样,然后我们得到流形"X"上的向量空间的层。
title: 形式化定义.
content: 要定义层,我们分两步进行。第一步是引入"预层"的概念,它抓住了把局部信息和拓扑空间联系起来的思想。第二步是引入额外的公理,称为"粘合公理",它抓住了把局部信息粘合起来得到全局信息的想法。
title: 预层的定义.
content: 假设"X"为一个拓扑空间,而C是一个范畴(这经常是集合的范畴,交换群的范畴,交换环的范畴,或是一个固定的环上的模的范畴)。一个C中的对象在空间"X"上的预层(presheaf)由如下数据给出:  这个定义可以用范畴论的术语很自然的表达。首先我们定义"X"上的开集的范畴为范畴Top,其对象是"X"的开集而其态射为包含映射。Top就成了和"X"的开子集上的偏序⊂相关的范畴。一个"X"上的C预层就是从Top到C的反变函子。  若"F"是一个"X"上的C-值预层,而"U"是一个"X"的开子集,则"F(U)"称为"F"在"U"上的"截面"。(这是因为和纤维丛的截面相似;参看下面的内容)。若C是一个具体范畴,则"F(U)"的每个元素称为一个"截面"。"F(U)"也常记为Γ("U","F")。
title: 粘合公理.
content: "高层次的讨论请参看主条目粘合公理"  层是小开集上面的截面可以粘合成为大开集上的截面的预层。这里粘合公理会以一种要求C为一个具体范畴的形式给出。  令"U"为一个开集族{"U"}的并集。对于每个"U",选定一个截面在"U"上的"f"。我们称"f"是"相容的"如果对于每个"i"和"j",  直观的讲,如果"f"表示函数,这是在说任何两个相容的函数在它们重叠的地方一致。层公理说我们可以从"f"产生一个唯一的"U"上的截面"f",其到每个"U"的限制为"f",也即,res("f")="f"。有时,这会分为两个公理,一个保证存在性,而另一个保证唯一性。
title: 例子.
content: 除了简介中给出的连续函数的层,可微函数的层和向量场的层之外,截面的层也是很重要的例子。假设"E"和"X"为拓扑空间而π : "E" → "X"是一个连续函数。对于"X"中的每个开集"U",令"F"("U")为使得π("f"("x")) = "x"对于所有"U"中的"x"成立的所有连续映射"f" : "U" → "E"的集合。这样的函数"f"称为π的截面。不难验证"F"是"X"上集合的层。实际上,每个"X"上集合的层基本上都是这个类型,对于某一个特殊的映射π来说;参看下面的内容。  给定一个"X"上的层"F" on "X","F"("X")的元素也称为全局截面,这是一个从上面的例子中来的术语。  进一步的例子:
title: 层的态射.
content: 令"F"和"G"为"X"上两个层,都在范畴"C"中取值。我们定义从"G"到"F"的态射为一族在范畴"C"内对于所有在"X"中的开"U"的态射φ : "G"("U") → "F"("U"),它们和限制映射可交换。也就是,下面的图必须可交换 对于"X"中的每一对开集"U" ⊆ "V"。若"F"和"G"视为从Top到"C"的反变函子,则它们之间的态射不过就是一个自然变换(natural transformation)。采用这个定义,所有"X"上的"C"-值层构成一个范畴(一个函子范畴)。"X"上的层的一个"同构"就是这个范畴里的一个同构。  可以把这个概念推广到不同空间上的层之间的态射。令"f" : "X" → "Y"为一个两个拓扑空间之间的连续函数,并令"F"为"X"上的层且"G"为"Y"上的层,二者都在"C"中取值。那么从"G"到"F"的相对于"f"的态射为一族态射φ : "G"("U") → "F"("f"("U"))对于"Y"中每个开集"U",使得图  对于"Y"中每一对开集"U" ⊆ "V"可交换。前面的定义是"f"是"X"上的恒等映射时的特殊情况。  在一般情况中范畴理论的表述稍微复杂一点。令Top为从拓扑空间范畴Top到小范畴范畴Cat的反变函子,它把每个拓扑空间"X"映到其开集的偏序集范畴Top。这里Top("f")是一个反变函子,从Top到Top,把每个开集映到它的原象。把"F"和Top("f")复合,我们得到一个从Top到"C"的反变函子。一个从"G"到"F"相对于"f"的态射就是从"G"到"F" ○ Top("f")的自然变换。  注意上面所有这些对于预层也成立。
title: 层在一点的茎和函数的芽.
content: 固定"X"中一点"x"。我们要研究"F"在点"x"附近的行为。在分析术语中,我们要在越来越靠近点"x"时取某种极限。相应的概念是"F"("N")在"N"跑遍"x"的以包含关系排序的领域时的有向极限(direct limit,用范畴论术语,这是一个余极限(colimit)的例子)。我们把该极限记为"F"并称它为"F"在"x"的茎(stalk)。如果"F"是"X"上的C-值层,则茎"F"是C的一个对象,对于像交换群范畴或交换环范畴这样的范畴来说。  对于任意包含"x"的开集"U",存在一个从"F"("U")到"F"的态射。如果C是一个具体范畴,则应用这个态射到"F"中的一个元素"f"上就得倒"F"的一个元素,称为"f"在"x"的芽(germ)。  这和在数学的其他地方所用的"函数的芽"的概念对应。直观的讲,函数"f"在"x"的芽决定了"f"在"x"的局部行为;它是"f"的一种"幽灵",只在离"x"很近的地方可以看。参看局部环中给出的详细例子。  对于某些层,芽的行为很好,可以给出好的局部信息;解析函数在一点附近的芽通过它的幂级数扩张决定了函数在一个小领域的取值。但是,有些层行为不好;光滑函数的芽在任意一点都不决定任何一个该点的小领域的函数值。作为一个例子,取任何隆起函数。它在它为1的区间是常数函数的局部行为,但是知道隆起函数在一点附近是常数1并不告诉你函数在哪里开始衰减;从它局部的行为,你甚至不能肯定它是一个隆起函数!
title: 层的平展空间.
content: 层论发展的早期,就证明了给定层"X"上的"F"和给定一个特定拓扑空间"E"以及一个从"E"到"X"的连续函数一样。更精确的讲:对于一个"X"上的集合层"F",存在一个局域同胚  使得"F"和上节例子中所述的π的截面层同构。  进一步的有,空间"E"是确定的,最多差一个"F"的同胚。这是"F"的"茎空间":每个茎给了离散拓扑,并且我们取所有茎的不交并,而π把所有的茎"F"映射到"x"。这个茎的空间的拓扑可以取为这样一个拓扑,它使得层"F"可以从π截面的层中重建出来。  在高一级的抽象中,我们可以说"X"上的集合的层的范畴是等价于到"X"的局部同胚的范畴的。(也可以从可表示函子的理论的角度来考虑这样一个空间;历史表明这个理论也在1950年代中期发展出来)。  在Godement的深具影响的关于同调代数和层论的书中("Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux", R. Godement),空间"E"被称为espace étalé(平展空间);在那本书中,层事实上"定义"为从局部同胚的截面得到;上面给出的函子方式的定义后来才出现,但现在更为普遍。  上面的考虑对于"X"上的C层也成立:我们还是从茎的空间出发,每个茎是C中的一个对象,而截面自然也成为"C"中的对象。  给定任意连续映射"g" : "Z" → "X",相应的截面的层给了上述方式的茎的空间"E"和一个局部同胚π : "E" → "X"。在某种意义上,这是处理映射"g"的所有'分支',并且是以'尽可能最好的方式'。这可以用共轭函子表示;但是从某种意义上讲层的更广泛的概念远离了几何直觉。
title: 推广.
content: 可以定义一个交换群的层的上同调理论(层上同调),它可以给出很多有用的更具体的信息。主要的问题是长正合序列的存在性来自于层的一个正合序列。在应用中,重点曾被放在比有限复空间更不行为良好的空间的层上。例如,代数几何中有Zariski拓扑的空间很少满足豪斯多夫性质。  代数几何的情况最早是Jean-Pierre Serre(塞尔)通过发展Cech上同调的相似物来处理的;这样做可以,但是一般来讲这种构造没有好的性质。然后格罗滕迪克(Alexander Grothendieck)使用全局截面函子的导函子,给出了更权威的解决。  格罗滕迪克想要发展层的一个上同调理论,以得到更强的结果,并且,特别的有,能够允许Weil猜想的证明。通过精确的分析定义层所需的"X"的性质,他在一个范畴上定义了格罗滕迪克拓扑的概念(这有些兜圈子—参看拓扑斯理论的背景和创立(background and genesis of topos theory))。  有格罗滕迪克拓扑的一个范畴称为一个"site(站)"。可以在任意站上定义层的概念。站的概念后来导致Lawvere发展出基本拓扑斯的概念。
title: 历史.
content: 层论最初的起源很难确认—它们可能和解析延拓的思想共存。可以识别的独立的层论才从上同调的基础工作中出现大约花了15年的时间。  至此,层成为数学的一个主流部分,其应用根本不局限于代数拓扑。后来层范畴的逻辑被发现是直觉逻辑(该发现现在经常被称为Kripke-Joyal语义,但可能应该归功于一系列作者)。这表明层论的某些方面甚至可以追述到莱布尼兹。

Summary: 数学上,在给定拓扑空间"X"上的一个层(sheaf)(或译束、捆)"F"对于"X"的每个开集给出一个集合或者一个更丰富的结构"F"("U")。这个结构"F"("U")和把开集"限制(restricting)"到更小的子集的操作相容,并且可以把小的开集"粘"起来得到更大的。一个预层(presheaf)和一个层相似,但它可能不可以粘起来。事实上,层使得我们可以用一种细致的方式讨论什么是"局部性质",就像应用在"函数"上的层。

Faisceau (mathématiques): En mathématiques, un faisceau est un outil permettant de suivre systématiquement des données définies localement et rattachées aux ouverts d'un espace topologique. Les données peuvent être restreintes à des ouverts plus petits, et les données correspondantes à un ouvert sont équivalentes à l'ensemble des données compatibles correspondantes aux ouverts plus petits couvrant l'ouvert d'origine. Par exemple, de telles données peuvent consister en des anneaux de fonctions réelles continues ou lisses définies sur chaque ouvert.