谱 (泛函分析)

title: 有界算子的谱.
title: 定义.
content: 作用在巴拿赫空间formula_2上的formula_3是标量域formula_4上的有界线性算子,且formula_5是formula_2上的恒等算子。formula_3的谱是所有使得算子formula_8没有有界线性逆的formula_9的集合。  由于formula_8是一个线性算子,所以如果它的逆存在,则一定是线性的;并且,通过有界逆定理可知,它的逆是有界的。 因此,谱正好由那些使得formula_11不是双射的标量formula_12组成。  给定算子formula_3的谱通常记为formula_14,而它的补集,也即预解集,记为 formula_15。
title: 谱和特征值.
content: 如果formula_12是formula_3的特征值,则算子formula_18不是一一映射,因此其逆formula_19没有定义。但否命题是不对的:即使formula_12不是特征值,算子formula_21可能也没有逆。因此,算子的谱总是包含其所有特征值,但却不限于此。  例如考虑希尔伯特空间formula_22,它由所有双向无限实数序列 构成,这些序列须满足平方和formula_24有限。双向移位算子formula_3简单地将序列的每个元素移动一个位置;即如果formula_26则对所有整数formula_27有formula_28。特征值方程formula_29在该空间中无解,因为如果有解则意味着所有formula_30拥有相同的绝对值(如果 formula_31)或者是等比数列(如果 formula_32);无论哪种情形,它们的平方和都不可能有限。然而,算子formula_18在formula_34时不可逆。例如满足formula_35的序列formula_36属于formula_22 ;但是不存在formula_22中的序列formula_39使得formula_40(即对所有formula_27有formula_42)。
title: 基本性质.
content: 有界算子"T"的谱总是复平面的非空闭有界子集。  如果谱是空的,那么预解函数 在复杂平面上处处有定义且有界。但可以证明,预解函数"R"在其定义域是全纯的。通过向量值情形的刘维尔定理可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零,所以恒为零。产生矛盾。  谱的有界性由关于"λ"的诺伊曼级数展开得出;频谱"σ"("T")有界||"T"||。类似的,可以证出谱是闭集。  谱的界||"T"||可以稍作改进。"T"的谱半径"r"("T")是复平面上最小的包含谱σ("T")以原点为圆心的圆的半径,即 谱半径公式指出,对于巴拿赫代数的任何元素"T"有
title: 算子谱点分类.
content: 巴拿赫空间上的有界算子"T"可逆(即有有界逆),当且仅当"T"有正下界且值域稠密。 因此,T的谱可以分为以下部分: 注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交(但点谱和剩余谱不相交)。  以下小节提供了关于上述σ("T")分类的更多细节。
title: 点谱.
content: 如果一个算子不是单射(因此有某个非零的"x"满足"T"("x")=0),那它显然是不可逆的。 因此,如果λ是"T"的特征值,则必有λ∈σ("T")。"T"的特征值集合被称为"T"的点谱,记为σ("T")。
title: 近似点谱.
content: 更一般地,"T"如果没有正下界,则不可逆; 也就是说,不存在"c">0满足||"Tx"||≥"c"||"x"||对所有 "x" ∈ "X" 。因此,谱包括近似特征值集合,即使得 "T" -λ"I" 没有正下界的λ; 等价地,它是满足如下条件的λ的集合,存在单位向量"x", "x",...使得 近似特征值集合被称为近似点谱,记为σ("T")。  容易看出特征值属于近似点谱。  例子 考虑"l"(Z)上双向移位算子"T"定义如下 其中ˆ表示第零个位置。直接计算可知"T"没有特征值,但满足|λ|=1的每个λ都是近似特征值;令"x"表示向量 则对所有"n"有||"x"||=1,但 由于"T"是酉算子,所以它的谱位于单位圆上。 因此"T"的近似点谱是其整个谱。 这对于更一般的一类算子也是正确的。  酉算子是正规的。由谱定理可知,希尔伯特空间H上的有界算子是正规的,当且仅当其等价于(将H等价为L^2空间)乘法算子。 可以证出,有界乘法算子的谱与它的近似点谱相等。
title: 剩余谱.
content: 算子可以是单射甚至有正下界,但不可逆。"l" (N)上的单向移位算子就是一例。这个移位算子是一个等距同构,因此下界为1。但是它不可逆,因为它不是满射。满足λ"I"-"T"是单射但值域不稠密的λ的集合被称为剩余谱,记为σ("T")。
title: 连续谱.
content: 满足λ"I"-"T"是单射且值域稠密但不是满射的λ的集合,被称为"T"的连续谱,记为σ("T")。 因此,连续谱由那些不是特征值且不在剩余谱中的近似特征值构成。即
title: 边缘谱.
content: 算子的边缘谱是其谱中模等于其谱半径的点的集合。
title: 例子.
content: 氢原子提供了这种分解的例子。氢原子的哈密顿算子的特征函数被称为本征态,并被分为两类。 氢原子的束缚态对应于谱的离散部分(它们具有离散的特征值集合,可由里德伯公式计算得到),而电离过程的最终结果由连续部分描述(碰撞/电离的能量不是“量子化的”)。
title: 进一步结果.
content: 如果"T"是一个紧算子,则可以证明谱中任意非零λ是特征值。 换句话说,这种算子的谱,被定义为特征值概念的推广,在这种情形下仅包括通常的特征值和0(可能有)。  如果"X"是希尔伯特空间且"T"是正规算子,则有被称为谱定理的显着结果,给出了正规有限维算子的对角化定理的类比(例如埃尔米特矩阵)。
title: 无界算子的谱.
content: 可以推广谱的定义用于巴拿赫空间"X"上的无界算子,这些算子不再是巴拿赫代数"B"(X)中的元素。 推广类似于有界情形。 复数λ被称为在预解集中,即线性算子"T" 的谱的补集,如果算子 有有界逆,即如果存在有界算子 使得 如果该性质不满足,则复数λ在谱中。 可以以与有界情形完全相同的方式来对谱进行分类。  无界算子的谱通常是复平面的闭子集,可能为空集。  对于预解集中的"λ"(即不在谱中),与有界情形相同,λ"I"-"T" 必须是双射,因为它必须有双边逆。 如前所述,如果逆存在,则其线性直接可得,但一般来说,它可能无界,因此必须单独检验该条件。  然而如果引入了"T"是闭算子的附加假设,由闭图像定理可知,逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此,与有界情情形相同,复数"λ"位于闭算子"T"的谱中,当且仅当λ"I"-"T"不是双射。 注意到闭算子包括所有有界算子。  通过其谱测度,可以定义任何自伴算子的谱分解,有界或其他类型分解为绝对连续、纯点和奇异部分。
title: 有单位的巴拿赫代数的谱.
content: 令"B"为包含单位"e"的复巴拿赫代数。我们定义"B"的元素"x"的谱σ("x")(或更明确地σ("x"))为使λ"e"-"x"在"B"中不可逆的那些复数λ的集合。这推广了巴拿赫空间"X"上有界线性算子"B"("X")的谱的定义,因为"B"("X")是一个巴拿赫代数。

Summary: 在数学中,特别是在泛函分析中,有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说,对于有界线性算子"T",如果"T"-λ"I"不可逆,其中"I"是恒等算子,则复数λ会被认为属于"T"的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论,其具有许多应用,最值得注意的是量子力学的数学表述。

Spectre d'un opérateur linéaire: En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le spectre d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel topologique est l'ensemble de ses valeurs spectrales. En dimension finie, cet ensemble se réduit à l'ensemble des valeurs propres de cet endomorphisme, ou de sa matrice dans une base.