三次方程

title: 历史.
content: 中国唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。  波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。  中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。  在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如formula_3的方程。事实上,如果我们允许formula_4是复数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道复数。  尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程序一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程序的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程序解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是复数的发现者。
title: 三次方程解法.
title: 求根公式法.
content: 红色字体部分为判别式formula_5。  当formula_6时,方程有一个实根和两个共轭复根;  当formula_7时,方程有三个实根:当  时,方程有一个三重实根;  当时,方程的三个实根中有两个相等;  当formula_8时,方程有三个不等的实根。
title: 三角函数解.
content: formula_1,其中formula_10。  若令formula_11,则  formula_12  formula_13  formula_14
title: 卡尔丹诺法.
content: 令formula_15为域,可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根formula_16,然后把方程formula_17除以formula_18,就得到一个二次方程,而我们已会解二次方程。  在一个代数封闭域,所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域,这是代数基本定理的结果。  解方程步骤:  接下来,formula_39和formula_53是formula_49和formula_50的立方根,适合formula_56,formula_57,最后得出formula_24。  在域formula_59里,若formula_60和formula_61是立方根,其它的立方根就是formula_62和formula_63,当然还有formula_64和formula_65,其中formula_66,是1的一个复数立方根。  因为乘积formula_56固定,所以可能的formula_68是formula_69,formula_70和formula_71。因此三次方程的其它根是formula_72和formula_73。
title: 判别式.
content: 最先尝试解的三次方程是实系数(而且是整数)。因为实数域并非代数封闭,方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在formula_59里,就是formula_75的代数闭包。其中差异出现于formula_49和formula_50的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。  可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式formula_78,  注意到实系数三次方程至少有一实根存在,这是因为非常数多项式在formula_90和formula_91的极限是无穷大,对奇次多项式这两个极限异号,又因为多项式是连续函数,所以从介值定理可知它在某点的值为0。
title: 第一个例子.
content: 解formula_92。  我们依照上述步骤进行:  该方程的另外两个根:
title: 第二个例子.
content: 这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。  方程是formula_114。  从函数formula_115算出判别式的值formula_116,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。  前两步都不需要做,做第三步:formula_98,formula_44,formula_100。 formula_49和formula_50是formula_124的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。  我们解出formula_125和formula_126。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部: 现设formula_127。  得到formula_132和formula_133,也就是formula_134,而formula_53是其共轭:formula_136。  归结得formula_137,可以立时验证出来。  其它根是formula_138和formula_139,其中formula_140。  当formula_5是负,formula_49和formula_50共轭,故此formula_39和formula_53也是(要适当选取立方根,记得formula_56);所以我们可确保formula_147是实数,还有formula_148和formula_149。
title: 盛金公式法.
content: formula_150,其中系数皆为实数。
title: 判别式.
content: 重根判别式:formula_151;  总判别式:formula_152。
title: 情况1:formula_153.
content: formula_154。
title: 情况2:formula_155.
content: 让formula_156,得:  formula_157;  formula_158;  formula_159。
title: 情况3:formula_80.
content: 让formula_161,得:  formula_162;  formula_163。
title: 情况4:formula_83.
content: 让formula_165,得:  formula_166;  formula_167;  formula_168。
title: 极值.
title: 驻点的公式.
content: 设formula_169  将其微分,可得formula_170
title: 极值.
content: 设formula_171,可得formula_147在formula_173中的极值(极大值或极小值)formula_174满足:  formula_175  formula_176  将formula_177代入formula_173,可得formula_173的极值formula_180:  formula_181  formula_182
title: 拐点.
content: formula_183  设formula_184,可得formula_173。  formula_186
title: 驻点的类型.
content: 由函数取极值的充分条件可知: formula_187,formula_174是formula_189的极大值点; formula_190,formula_174是formula_189的极小值点; formula_193,formula_174是formula_189的拐点。  formula_196可知: formula_197,formula_173的驻点为极大值点; formula_199,formula_173的驻点为极小值点; formula_201,formula_173的驻点为拐点。

Summary: 三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程,一元三次方程一般形式为 其中formula_2是属于一个域的数字,通常这个域为R或C。

Équation cubique: En mathématiques, une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, de la forme avec "a" non nul, où les coefficients "a", "b", "c" et "d" sont en général supposés réels ou complexes.