玻尔兹曼分布

title: 分布形式.
content: 波兹曼分布是状态能量与系统温度的函数,给出了粒子处于特定状态下的几率。其具有以下形式:  其中formula_5为量子态i的几率,formula_13为量子态i之能量, formula_7为波兹曼常数,formula_8为系统温度,formula_9为系统可具有的量子态数目。 分母的部分是对系统所有量子态进行总和,而此部分又被称为配分函数,通常以Q(在某些书中为Z)表示:  因此波兹曼分布也可写成:  若是知道系统中各状态的能量,可以直接计算此系统的配分函数。各种原子的配分函数可以在NIST Atomic Spectra Database找到。  从分布的形式可以看出,低能量的状态比起高能量的状态具有较高的分布几率。同时也能定量地比较两能阶分布几率的关系:  波兹曼分布通常用于描述粒子的分布,例如原子与分子在各种量子态的分布情形。在多个粒子的情况下,能阶的分布几率即对应到处于该能阶的粒子数的期望值:  其中formula_21为处于i能阶中的粒子数,formula_22为系统中的粒子总数。带入波兹曼分布后得到:  这个表达式在光谱学中有重要的应用。光谱中的谱线位置代表粒子量子态转移的能量。为了使谱线强度足够,必须有足量粒子处于高量子态,对此可以透过上述表达式确定粒子分布与系统温度、能阶差的关系,得到恰当的系统参数。
title: 统计力学上的应用.
content: 波兹曼分布可应用热平衡的孤立(或近似孤立)系统。最一般的情况为正则系综的几率分布,而在某些特殊情况下(衍生自正则系综)也有相关的应用。
title: 数学上的应用.
content: 在数学上,波兹曼函数更广义的形式为吉布斯测度。在统计学与机器学习中又被称为对数-线性模型。在深度学习中,玻尔兹曼分布被用于随机神经网络的采样分布,例如玻尔兹曼机,受限玻尔兹曼机和深度玻尔兹曼机。

Summary: 在统计力学与数学中,波兹曼分布(或称吉布斯分布)是系统中的粒子在各种可能微观量子态的几率分布、几率测度,或频度分布。具有以下形式

Distribution de Boltzmann: En physique, la distribution de Boltzmann prédit la fonction de distribution pour le nombre fractionnaire de particules "N" / "N" occupant un ensemble d'états "i" qui ont chacun pour énergie "E" : où formula_2 est la constante de Boltzmann, "T" est la température (postulée comme étant définie très précisément), formula_3 est la dégénérescence, ou le nombre d'états d'énergie formula_4, "N" est le nombre total de particules : et "Z"("T") est appelée fonction de partition, qui peut être considérée comme égale à : D'autre part, pour un système simple à température définie de manière exacte, elle donne la probabilité pour que le système soit dans l'état spécifié. La distribution de Boltzmann s'applique seulement pour des particules à assez haute température et assez faible densité pour que les effets quantiques soient ignorés, et que ces particules obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann (se référer à cet article pour la démonstration de la distribution de Boltzmann). La distribution de Boltzmann est parfois écrite en termes de β = 1/"kT" où β est le beta thermodynamique. Le terme exp(−β"E") ou exp(−"E"/"kT"), qui donne la probabilité relative (non normalisée) d'un état, est appelé facteur de Boltzmann et apparaît parfois dans les études en physique et chimie. Lorsque l'énergie est identifiée à l'énergie cinétique de la particule : la distribution suit une statistique de Maxwell-Boltzmann des vitesses de molécules gazeuses, auparavant prédite par Maxwell en 1859. La distribution de Boltzmann est, cependant, plus générale. Par exemple, elle prédit aussi les variations de la densité de particules dans un champ gravitationnel en fonction de la hauteur, si formula_8. En fait, cette distribution s'applique dans tous les cas où les considérations quantiques peuvent être ignorées. Dans certains cas, une approximation continue existe. S'il existe "g"("E") "dE" états d'énergie comprise entre "E" et "E" + "dE", la distribution de Boltzmann prédit la distribution de probabilité pour l'énergie : "g"("E") est appelé densité d'états si le spectre énergétique est continu. Les particules classiques avec cette distribution d'énergie obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann. Dans la limite classique, i.e. pour des valeurs élevées de "E"/"kT" ou une faible densité d'états— lorsque les fonctions d'ondes des particules ne se superposent pas en pratique, les distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac s'identifient à une distribution de Boltzmann.