代数基本定理

title: 证明.
content: 所有的证明都包含了一些数学分析,至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数,甚至是解析函数。  定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式,这是因为,给定复系数多项式"p"("z"),以下的多项式 就是一个实系数多项式,如果"z"是"q"("z")的根,那么"z"或它的共轭复数就是"p"("z")的根。  许多非代数证明都用到了“增长引理”:当|"z"|足够大时,首系数为1的"n"次多项式函数"p"("z")的表现如同"z"。一个更确切的表述是:存在某个正实数"R",使得当|"z"| > "R"时,就有:
title: 复分析证明.
title: 证明一.
content: 寻找一个中心为原点,半径为"r"的闭圆盘"D",使得当|"z"| ≥ "r"时,就有|"p"("z")| > |"p"(0)|。因此,|"p"("z")|在"D"内的最小值(一定存在,因为"D"是紧致的),是在"D"的内部的某个点"z"取得,但不能在边界上取得。于是,根据最小模原理,"p"("z") = 0。也就是说,"z"是"p"("z")的一个零点(根)。
title: 证明二.
content: 由于在"D"之外,有|"p"("z")| > |"p"(0)|,因此在整个复平面上,|"p"("z")|的最小值在"z"取得。如果|"p"("z")| > 0,那么1/"p"在整个复平面上是有界的全纯函数,这是因为对于每一个复数"z",都有|1/"p"("z")| ≤ |1/"p"("z")|。利用刘维尔定理(有界的整函数一定是常数),可知1/"p"是常数,因此"p"是常数。于是得出矛盾,所以"p"("z") = 0。
title: 证明三.
content: 这个证明用到了辐角原理。设"R"为足够大的正实数,使得"p"("z")的每一个根的绝对值都小于"R";这个数一定存在,因为"n"次多项式函数最多有"n"个根。对于每一个"r" > "R",考虑以下的数:  其中"c"("r")是中心为0,半径为"r"的逆时针方向的圆;于是辐角原理表明,这个数是"p"("z")在中心为0、半径为"r"的开圆盘内的零点的数目"N",由于"r" > "R",所以它也是"p"("z")的零点的总数目。另一方面,"n"/"z"沿着"c"("r")的积分除以2π"i",等于"n"。但这两个数的差为:  被积分的有理表达式中的分子,次数最多是"n" − 1,而分母的次数是"n" + 1。因此,当"r"趋于+∞时,以上的数趋于0。但这个数也等于"N" − "n",因此有"N" = "n"。
title: 证明四.
content: 这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个"n" > 0次复系数多项式都有一个根,只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。  设"A"为大小"n" > 0的方块矩阵,并设"I"为相同大小的单位矩阵。假设"A"没有特征值。考虑预解函数  它在复平面上是亚纯函数,它的值位于矩阵的向量空间内。"A"的特征值正好是"R(z)"的极点。根据假设,"A"没有特征值,因此函数"R(z)"是整函数,根据柯西积分定理可知:  另一方面,把"R(z)"展开为几何级数,可得:  这个公式在半径为||"A"||的闭圆盘的外部("A"的算子范数)成立。设"r" > ||"A"||。那么:  (仅当"k" = 0时,积分才不等于零)。于是得出矛盾,因此"A"一定有一个特征值。
title: 拓扑学证明.
content: 设"z" ∈ C为使|"p"("z")|在"z"取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中,可以看到这样一个数一定存在。我们可以把"p"("z")写成"z" − "z"的多项式:存在某个自然数"k"和一些复数"c"、"c"、...、"c",使得"c" ≠ 0,以及:  可推出如果"a"是("p"("z")-"p"("z"))/"c"的一个"k"重根,且"t"是足够小的正数,那么|"p"("z" + "ta")| < |"p"("z")|,这是不可能的,因为|"p"("z")|是|"p"|在"D"内的最小值。  对于另外一个用到反证法的拓扑学证明,假设"p"("z")没有根。选择一个足够大的正数"R",使得对于|"z"| = "R","p"("z")的第一项"z"大于所有其它的项的和;也就是说,|"z"| > |"a""z" + ··· + "a"|。当"z"依逆时针方向绕过方程为|"z"| = "R"的圆一次时,"p"("z"),像"z"那样,依逆时针方向绕过零"n"次。在另外一个极端,|"z"| = 0时,“曲线” "p"("z")仅仅是一个(非零的)点"p"(0),它的卷绕数显然是0。如果"z"所经过的回路在这两个极端中被连续变形,那么"p"("z")的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为formula_10,其中"t"大于或等于0,而小于或等于1。如果我们把变量"t"视为时间,那么在时间为零时,曲线为"p(z)",时间为1时,曲线为"p(0)"。显然在每一个点"t",根据原先的假设"p(z)"都不能是零,因此在变形的过程中,曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而,由于绕数在一开始是"n",结束时是0,因此得出矛盾。所以,"p"("z")至少有一个根。
title: 代数证明.
content: 这个证明需要依赖实数集的如下事实:正实数在formula_11上有实平方根,以及任何奇次多项式在formula_11上有一个根(这可以用介值定理证明)。  首先formula_13。经过简单的计算可以证明formula_14在开平方运算下是封闭的(利用事实1)。结合formula_15。得出formula_14不存在二阶扩张。  由于formula_17,于是任何formula_11的扩张都是可分的,从而任何formula_11的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设formula_20、formula_21都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群formula_22的西罗2-子群"H"。那么formula_23是奇数。由本原元定理得出,"K"存在本原元formula_24,它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2,任何奇次数多项式在实数上有一个根,不存在奇数次且次数>1的不可分多项式。于是formula_25是2的幂次。  假设formula_26并且"r>0",再次利用西罗定理,"G"存在一个阶为"2"的子群"N"。这时formula_27。这和先前formula_14不存在二阶扩张矛盾。因此formula_14的任何代数扩张都是formula_14本身,代数基本定理得证。
title: 推论.
content: 由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭的,可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论,要么是关于实数域的,要么是关于实数域与复数域之间的关系的:
title: 韦达公式.
content: 韦达公式把多项式的系数formula_31与它的根formula_32的和与积联系起来。 这可以直接从以下等式的展开式推出: formula_33

Summary: 代数基本定理说明,任何一个一元复系数方程序都至少有一个复数根。也就是说,复数域是代数封闭的。

Théorème fondamental de l'algèbre: En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur C, le corps des nombres complexes, tout polynôme "P" est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1.