卡西米爾不變量

title: 定义.
content: 最常用的卡西米尔元是二次的。其最易定义,因此先在下文给出。然而,也有更高次的卡西米尔不变量,其对应高次的对称齐次多项式,这些不变量在最后定义。
title: 二次卡西米尔元.
content: 设 formula_1 为一个 formula_2 维半单李代数。设 "B" 为 formula_1 上非奇异的二次型,并要求 "B" 在 formula_1 的伴随作用下不变,即对 formula_1 中的任意 "X,Y,Z," 都有 formula_6 (例如,可取 "B" 为基灵型。) 设 为 formula_1 的基,以及 为 formula_1 关于 "B" 的对偶基,则 "B" 的卡西米尔不变量 formula_11 是泛包络代数 formula_12 的元素  尽管上述定义取决于选取的基,可以证明所得的 "Ω" 与所选的基无关。另一方面,不同的二次型 "B" 可以给出不同的 "Ω". "B" 的不变性,说明卡西米尔元与李代数 formula_1 的任何元素都可交换,因此是泛包络代数 formula_12 的中心的元素。
title: 线性表示和光滑作用的卡西米尔元.
content: 给定 formula_1 在向量空间 "V" 上的李代数表示 "ρ" (允许无穷维),将 ρ(Ω) 称为 "ρ" 的卡西米尔不变量,其为 V 上的线性算子,且由下式给出:  此处假定了 "B" 为基灵型,否则必须指明 "B".  该构造的特定形式,在微分几何和大域分析中有重要作用。假设连通李群 "G" 的李代数 formula_1 作用在微分流形 "M" 上,则在 "M" 的连续函数空间上,有 "G" 相应的表示 "ρ". formula_1 的元素均由 "M" 上的一阶微分算子表示,于是,上式给出 "ρ" 的卡西米尔元,其为 "M" 上的二阶微分算子,且在 "G" 的作用下不变。  更进一步,若 "M" 有度量张量,使得 "G" 的元素作为 "M" 的保距变换,可递地作用在 "M" 上,且一点的稳定子 "G" 不可约地作用在切空间 "TM" 上,则 "ρ" 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。  也可定义更一般的卡西米尔不变量,其于弗雷德霍姆理论研究伪微分算子时用到。
title: 一般情况.
content: 每个卡西米尔算子,都对应伴随表示的对称代数 formula_20 的对称齐次多项式。换言之,任何一个卡西米尔算子都具有下列形式:  其中 是对称张量 formula_22 的阶,且 formula_23 组成 formula_1 的基。域 上的多项式环 formula_25 内,有 元对称齐次多项式  与该卡西米尔算子对应。庞卡莱–伯克霍夫–维特定理给出了泛包络代数的显式构造,由此可以证明上述的对应关系。  然而,"并非"每个对应张量(或对称齐次多项式)都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换,即对每个基向量 formula_23, 都满足  考虑结构常数 "f",其满足 于是对于满足上述条件的对称多项式,可得 此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。 由该交换关系,可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换,从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此,李代数表示能以其卡西米尔元的特征值来分类。  注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者,诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半单李代数的秩为 即其嘉当子代数的维数为 则其恰有 个卡西米尔元。
title: 性质.
title: 唯一性.
content: 一个单李代数中,每个不变二次型皆为基灵型的倍数,所以对应的卡西米尔元唯一(允许相差一个常数的意义下)。对于一般的半单李代数,考虑其不变二次型组成的空间。半单李代数是若干单李代数的直和,因此该二次型空间中,对应每个单分量,恰有一个基向量。故卡西米尔元组成的空间中,也对应每个单分量,恰有一个基向量。
title: 与 G 上拉普拉斯算子的关系.
content: 若 formula_31 为李群,且其李代数为 formula_1, 则 formula_1 上的不变二次型对应 formula_31 上的双不变黎曼度量。并且, formula_1 的泛包络代数等同于 formula_31 上的左不变微分算子空间。在此等同关系下,formula_1 上双线性型的卡西米尔元,对应 formula_31 关于双不变度量的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
title: 推广.
content: 卡西米尔算子是李代数的泛包络代数的中心的特殊二次元素。换言之,卡西米尔算子是一个微分算子,其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里,每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而,中心内可以有其他(非二次)的元素。  由拉卡定理,半单李代数的泛包络代数中心的维数,等于该李代数的秩。在任意的半单李群(即其李代数为半单李代数)上,可以利用卡西米尔元,定义群上的拉普拉斯算子。然而,按照上述关于秩的结论,当秩大于 1 时,无法类比地定义唯一的拉普拉斯算子。  根据定义,泛包络代数的中心内,任何元素都与整个代数的元素可交换。由舒尔引理,任何既约表示中,卡西米尔算子必为恒等映射的倍数。该比例常数适用于李代数表示的分类(也就适用于李群表示的分类)。物理上,质量和自旋均属该种常数,并且量子力学中许多量子数亦然。
title: 例:formula_39.
content: 考虑三维欧几里得空间的旋转群 SO(3). 其李代数 formula_39 的秩为 1, 因此仅得一个独立的卡西米尔元。旋转群的基灵型为克罗内克δ, 故相应的卡西米尔不变量正是李代数的生成元 formula_41 的平方和。换言之,卡西米尔元由等式  给出。 考虑 formula_39 的一个不可约表示。记其中 formula_44 的最大特征值为 formula_45, 则 formula_45 的可能取值为 formula_47 卡西米尔元的不变性可推出其为恒等算子 "I" 的倍数。该常数可以具体计算出,即:  在量子力学中,常数 formula_45 称为总角动量量子数。对于旋转群的有限维矩阵取值表示,formula_45 总为整数或半整数(奇数的一半)。倘为整数,则该表示称为玻色子表示(英语:bosonic representation),否则称为费米子表示(英语:fermionic representation)。  给定 formula_45, 得到的矩阵表示是 formula_52 维的。例如 formula_39 的三维表示对应于 formula_54, 由下列的生成元给出:  其中照物理学常用的约定加入了 formula_56 因子,使得诸生成元皆为自伴算子。  由此,可以手算二次卡西米尔元,结果为  当 formula_54时,formula_59, 故此例子与前段的一般结果一致。类似地,二维的表示以泡利矩阵作基,对应物理上自旋为 1/2 的粒子。
title: 特征值.
content: 由于卡西米尔元 formula_11 在泛包络代数的中心内,其在一个单模(该代数的直和分解的一个分量)上的作用是乘上一个常数。设 formula_61 为 formula_11 定义采用的对称非退化二次型。记 formula_63 为具有最高权 formula_64 的元素组成的有限维模(称为该表示的最高权模)。则卡西米尔元 formula_11 在 formula_63 的作用为乘常数 其中 formula_68 为所有正根之和之半。  若 formula_63 非平凡(即 formula_70), 则上述常数非零。原因是,由于 formula_64 是优控的(英语:dominant, 即与任意正根的内积皆非负),若 formula_70,则 formula_73, 且 formula_74, 故 formula_75. 此结果适用于魏尔完全可约性定理的证明。亦可不使用上述公式,而采用更抽象的嘉当判别法证明该常数非零。

Summary: 在数学里,卡西米尔不变量(又称卡西米尔元或卡希米尔算子)是李代数的泛包络代数中心的一个特别的元素。典型的例子是角动量算符的平方 "J", 一个三维旋转群的卡西米尔不变量。

Opérateur de Casimir: En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, l'opérateur de Casimir est un opérateur particulier. Plus précisément, étant donné une algèbre de Lie munie d'une forme bilinéaire non-dégénérée et "invariante", et une représentation de dimension finie, l'opérateur de Casimir est une application linéaire continue particulière sur l'espace vectoriel de la représentation. Cet "opérateur" commute avec la représentation. Pour l'algèbre de Lie et la représentation étudiées, cet opérateur joue le rôle du laplacien.