連續性方程式

title: 概论.
title: 微分形式.
content: 一般的连续性方程序,其微分形式为  其中,formula_2 是某物理量 formula_3 的密度(物理量每单位体积),formula_4 是 formula_3 的流量密度(物理量每单位面积每单位时间)的向量函数(英语:vector function),formula_6 是 formula_3 的生成量每单位体积每单位时间。  假若 formula_8 则称 formula_6 为「源点」;假若 formula_10 则称 formula_6 为「汇点」。假设 formula_2 是守恒量,不能够生成或湮灭(例如,电荷),则 formula_13,连续性方程序变为  从简单的「能量连续性方程序」到复杂的纳维-斯托克斯方程序,这方程序可以用来表示任意连续性方程序。这方程序也是平流方程序(英语:advection equation)的推广。  其它物理学里的方程序,像电场的高斯定律或高斯重力定律(英语:Gauss' law for gravity),都具有类似连续性方程序的数学形式,但是通常不会称为连续性方程序,因为 formula_4 并不代表真实物理量的流动。
title: 积分形式.
content: 根据散度定理,连续性方程序可以写为等价的积分形式:  其中,formula_17 是包住体积 formula_18 的任意固定(不随时间改变)闭曲面,formula_19 是在体积 formula_18 内的 formula_3 总量,formula_22 是在积分体积 formula_18 内源点与汇点的总生成量每单位时间,formula_24 是微小面向量积分元素。  举一简例,假设 formula_18 是台北101大楼,formula_19 是在大楼内某时间的总人数,formula_17 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等,共同组成的曲面,则连续性方程序表明,当人们进入大楼时(代表穿过曲面的内向通量),或当大楼里面的孕妇生产时(代表源点的 formula_8 ),在大楼里面的总人数会增加;而当人们离开大楼时(代表穿过曲面的外向通量),在大楼里面的总人数会减少。
title: 电磁理论.
content: 在电磁理论里,连续性方程序可以视为一条经验定律,表达局域电荷守恒,或是从马克士威方程组推导出的结果。「电荷连续性方程序」表明,电荷密度 formula_29 的变率与电流密度 formula_30 的散度,两者的代数和等于零:
title: 马克士威-安培方程序满足局域电荷守恒的连续性方程序.
content: 马克士威-安培方程序为  其中,formula_33 是磁场,formula_34 是电场,formula_35 是磁常数,formula_36 是电常数。  取散度于方程序的两边,由于旋度的散度必是零,  高斯定律的方程序为  将这方程序代入,可以得到  电流是电荷的流量。连续性方程序可以这样论述:假若电荷从某微小体积元素移动出去(电流密度的散度是正值),则在那微小体积元素内的总电荷量会减少,电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉,连续性方程序就是电荷守恒。
title: 四维电流.
content: 四维电流密度定义为  其中,formula_41 标记哪一个时空坐标,formula_42 是光速。  电荷守恒可以简洁地表达为四维电流密度的散度,即连续性方程序  其中,formula_44 。
title: 流体力学.
content: 在流体力学里,连续性方程序表明,在任何稳定态过程中,质量进入物理系统的速率等于离开的速率。。连续性方程序类比于电路学的克希荷夫电流定律。「质量连续性方程序」的微分形式为  其中,formula_46 是流体质量密度,formula_47 是流速向量场,两者相乘后为质量通量。  假设流体是不可压缩流,则密度 formula_46 是常数,质量连续性方程序简化为体积连续性方程序:  这意味着,在所有位置,速度场的散度等于零;也就是说,局域的体积变率为零。  在另一方面,纳维-斯托克斯方程序是一个向量连续性方程序,描述动量守恒。
title: 能量.
content: 根据能量守恒,能量只能够传输,不能够生成或湮灭,这导致「能量连续性方程序」。这是在热力学定律(英语:Laws of thermodynamics)外,又一种关于能量守恒的数学论述。以方程序表达,  其中,formula_51 是能量密度(能量每单位体积),formula_3 是能量通量向量(数值大小为传输的能量每单位截面面积每单位时间,方向为截面的法向方向)。  根据傅立叶定律(英语:Fourier's law),对于均匀传导介质,  其中,formula_54 是热导率,formula_55 是温度函数。  能量连续性方程序又可写为
title: 量子力学.
content: 在量子力学里,从几率守恒可以得到「几率连续性方程序」。设定一个量子系统的波函数为 formula_57 。定义几率流 formula_30 为  其中,formula_60 是约化普朗克常数,formula_61 是质量,formula_62 是 formula_63 是共轭复数,formula_64 是取括号内项目的复值。
title: 连续方程序与几率保守定律.
content: 几率流满足量子力学的连续方程序:  其中,formula_66 是几率密度。  应用高斯公式,等价地以积分方程序表示,  其中,formula_18 是任意三维区域,formula_17 是 formula_18 的边界曲面。  这就是量子力学几率守恒定律的方程序。  方程序 (1) 左边第一个体积积分项目(不包括对于时间的偏微分),即是测量粒子位置时,粒子在 formula_18 内的几率。第二个曲面积分是几率流出 formula_18 的通量。总之,方程序 (1) 表明,粒子在三维区域 formula_18 内的几率对于时间的微分,加上几率流出三维区域 formula_18 的通量,两者的总和等于零。
title: 连续方程序导引.
content: 测量粒子在三维区域 formula_18 内的几率 formula_76 是  几率对于时间的导数是  假设 formula_79 的含时薛定谔方程序为  其中,formula_81 是位势。  将含时薛定谔方程序代入方程序 (2),可以得到  应用一则向量恒等式,可以得到  这方程序右手边第一个项目与第三个项目互相抵销,将抵销后的方程序代入,  将几率密度方程序与几率流定义式代入,  这相等式对于任意三维区域 formula_18 都成立,所以,被积项目在任何位置都必须等于零:

Summary: 在物理学里,连续性方程序(英语:continuity equation)乃是描述守恒量传输行为的偏微分方程序。由于在各自适当条件下,质量、能量、动量、电荷等等,都是守恒量,很多种传输行为都可以用连续性方程序来描述。

Équation de continuité: En mécanique des fluides, le principe de conservation de la masse peut être décrit par l'équation de continuité sous plusieurs formes différentes : locale conservative (dérivée en temps normale), locale non conservative (la dérivée en temps suit la particule dans son mouvement), ou intégrale. Suivant les problèmes posés, c'est l'une ou l'autre de ces équations qui pourra être retenue, toutes étant équivalentes.