线性微分方程

title: 简介.
content: 线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间,因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为: 其中的formula_2是一个线性的微分算子,也就是说,设有两个函数formula_5和formula_6以及两个常数formula_7和formula_8,那么: 如果是零函数,那么给定若干个方程(*)的解函数:formula_10以及同样多的常数系数:formula_11,线性组合formula_12仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间,称为方程的解空间。如果不是零函数,那么考虑相应的齐次线性微分方程: 设formula_14是方程(*)的一个解函数。formula_15方程(**)的任意一个解函数。则它们的和formula_16仍然是(*)的解函数。另一方面,给定方程(*)的两个解函数:formula_17和formula_18。则它们的差formula_19会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成formula_20的形式。其中是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间,并且formula_21。
title: 常系数齐次线性微分方程.
content: 一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的,他意识到这类方程的解都具有formula_22的形式,其中formula_23是某个复数。因此,对于以下方程:  我们设formula_25,可得:  两边除以"e",便得到了一个"n"次方程:  这个方程"F"("z") = 0称为特征方程。  一般地,把微分方程中以下的项  换成"z",便可得到特征方程。这个方程有"n"个解:"z",..., "z"。把任何一个解代入"e",便可以得到微分方程的一个解:"e"。由于齐次线性微分方程满足叠加原理,因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。  如果特征方程的根都不重复,我们便得到了微分方程的"n"个解。可以证明,这些解是线性独立的。于是,微分方程的通解就是"y" = "C""e" + "C""e" +...... + "C""e",其中"C"、"C"、......、"C"是常数。  以上讨论了"n"个根全不相同的情形。如果这"n"个根中有两个(或多个)相同,用上面的方法就无法得出"n"个线性独立的解。但是,可以验证,如果"z"是特征方程的 "m" 重根,那么,对于 formula_29,formula_30 就是微分方程的一个解。对每个特征根 "z",都能得到 "m" 个解,所有这些解的线性组合就是方程的通解。  一般地,如果微分方程的系数"A"都是实数,那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根,那么它一定是成对的,也就是说,如果"a" + "bi"是特征方程的根,那么"a" - "bi"也是一个根。于是,"y" = "e"和"y" = "e"都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解,我们可以把这两个解相加,再除以2,利用欧拉公式,便得到一个实数形式的解:"y" = "e"cos"bx"。如果把两个解相减,再除以2i,便得到另一个实数形式的解:"y" = "e"sin"bx"。于是,"y" = "C""e"cos"bx" + "C""e"sin"bx"就是微分方程的通解。
title: 例子.
content: 求微分方程formula_31的通解。特征方程是formula_32,它的根是2+"i"和2−"i"。于是,formula_33就是微分方程的通解。
title: 常系数非齐次线性微分方程.
content: 欲得到非齐次线性微分方程的通解,我们首先求出对应的齐次方程的通解,然后用待定系数法或求出非齐次方程本身的一个特解,把它们相加,就是非齐次方程的通解。
title: 待定系数法.
content: 考虑以下的微分方程:  对应的齐次方程是:  它的通解是:  由于非齐次的部分是(formula_37),我们猜测特解的形式是:  把这个函数以及它的导数代入微分方程中,我们可以解出"A":  因此,原微分方程的解是:
title: 常数变易法.
content: 假设有以下的微分方程:  我们首先求出对应的齐次方程的通解formula_46,其中"C"、"C"是常数,"y"、"y"是"x"的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解,方法是把齐次方程的通解中的常数"C"、"C"换成"x"的未知函数"u"、"u",也就是:  两边求导数,可得:  我们把函数"u"、"u"加上一条限制:  于是:  两边再求导数,可得:  把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中,可得:  整理,得:  由于"y"和"y"都是齐次方程的通解,因此formula_54和formula_55都变为零,故方程化为:  (2)和(5)联立起来,便得到了一个formula_57和formula_58的方程组,便可得到formula_57和formula_58的表达式;再积分,便可得到formula_61和formula_62的表达式。  这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地,有:  其中W表示朗斯基行列式。
title: 变系数线性微分方程.
content: "n"阶的变系数微分方程具有以下形式:  一个例子是柯西-欧拉方程:  变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解,但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程:  这个方程可以用积分因子求解,方法是把两边乘以formula_67:  用乘法定则,可以简化为:  两边积分,得:  也就是说,一阶线性微分方程formula_72的解是:  其中formula_74是积分常数,且
title: 例子.
content: 考虑以下一阶线性微分方程:  "p"("x") = b,"r"("x") = 1,因此微分方程的解为:
title: 拉普拉斯变换解微分方程.
content: 应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。  首先有以下关系:  有如下微分方程:  该方程可变换为:  则:  formula_83  其中 formula_84 是初始条件。  "f"("t") 通过拉普拉斯反变换 formula_85 求得。

Summary: 线性微分方程是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程:

Équation différentielle linéaire: Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions.