規矩數

title: 和尺规作图的关系.
content: 利用尺规作图可以将二线段的长度进行四则运算,也可以求出一线段长度的平方根。因此符合以下任一条件的均为规矩数。  如3, formula_8,formula_9,formula_10,formula_11 均为规矩数。而 formula_12,圆周率formula_13,e均不是规矩数。  因为两个规矩数在相加、减、乘或除之后依然是规矩数,即规矩数对这些算法是封闭的;换用抽象代数的术语,它是一个域。
title: 和整系数方程的关系.
content: 规矩数一定是代数数(为一整系数代数方程的解),且以此数为其解的最小多项式其次数为formula_7。  此条件为规矩数成立的必要条件。因此若一个数是超越数(非代数数),或一数对应的最小多项式为三次、五次,此数必定不是规矩数。
title: 与古希腊三大难题之关系.
content: 尺规作图三大难题提出后,有许多基于平面几何的论证和尝试,但在十九世纪以前,一直没有完整的解答,但开始怀疑其可能性的人之中,也没有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后,伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法,人们才认识到这三个问题的本质 。
title: 尺规可作性和规矩数.
content: 在研究各种尺规作图问题的时候,数学家们留意到,能否用尺规作出特定的图形或目标,本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后,又可以将长度解释为坐标。比如说,作出一个圆,实际上是作出圆心的位置(坐标)和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线,实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此,数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A,以OA为单位长度,射线OA为x轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系,平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示,整个平面可以等价于formula_15。  设formula_16是formula_15的一个非空子集。如果某直线formula_18经过formula_16中不同的两点,就说formula_18是formula_16-尺规可作的,简称formula_16-可作。同样地,如果某个圆formula_23的圆心和圆上的某个点是formula_16中的元素,就说formula_23是formula_16-可作的。进一步地说,如果formula_15里的某个点P是某两个formula_16-可作的直线或圆的交点(直线-直线、直线-圆以及圆-圆),就说点P是formula_16-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的,包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有formula_16-尺规可作的点的集合记作formula_31,那么当formula_16中包含超过两个点的时候,formula_16肯定是formula_31的真子集。从某个点集formula_35开始,经过一步能作出的点构成集合formula_36,经过两步能作出的点就是formula_37,......以此类推,经过formula_38步能作出的点集就是formula_39。而所有从formula_16能尺规作出的点集就是:  另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设formula_42是从集合formula_43开始,尺规可作点的集合:formula_44 那么规矩数定义为formula_42中的点的横坐标和纵坐标表示的数。  可以证明,有理数集formula_50是所有规矩数构成的集合的子集,而formula_51又是实数集formula_52的子集。另外,为了在复数集formula_53内讨论问题,也会将平面formula_15看作复平面formula_53,同时定义一个复数formula_56是(复)规矩数当且仅当点formula_48是formula_42中的一个点。所有复规矩数构成的集合formula_59也包含formula_50作为子集,并且是复数集formula_53的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数,尺规作图问题从几何问题转成了代数的问题。
title: 域的扩张与最小多项式.
content: 以集合的观念来说,formula_59与formula_50、formula_53之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说,可以证明是有理数域formula_50的扩域,是实数域formula_53的子域。记作formula_67。域是抽象代数中的概念,是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发,很容易得到任何有理数长度的线段,所以直线OA(也就是实数轴)上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点(对应复数formula_68),那么也能做出任意的点,甚至于任何形如:  的点(其中formula_70和formula_71是两个多项式)。有理数域formula_50和所有因为而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域,称为formula_50关于的扩张,记作formula_74。然而,formula_74中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说,如果有一个多项式formula_76使得formula_77,那么formula_74中的元素都可以写成formula_79的形式,其中formula_80是formula_76的阶数。这样的情况称为域formula_50的有限扩张,因为formula_74可以看成关于formula_50的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数,需要为它找一个基底,也就是一个线性无关的最小生成集。为此,寻找使得formula_85的多项式中阶数最小的,并称formula_86是formula_68最小多项式。在最小多项式确定后,便可确定formula_88是formula_74的一个基底,formula_74是一个formula_91维的formula_50-线性空间(formula_91是formula_86的阶数)。这时候也称formula_91是域扩张formula_96的阶数,记作:
title: 规矩扩张的阶数.
content: 对任何一个尺规可作点,都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的,而其中生成新点(也就是新坐标)的只有后三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻,已知的所有尺规可作点构成的域是,那么生成新点时的直线和圆的系数都在里面。 无论是两个(1)类方程,两个(2)类方程,还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解,得到的和值都会是形同 的数值。所以复规矩数=满足一个二次方程:  其中的formula_102、formula_103以及formula_104都是formula_59中的元素。这意味着,域扩张formula_106的阶数最多是2(最小多项式的阶数至多是2)。这又说明,从formula_59开始,经过一系列(formula_38次)基本步骤得到的尺规可作点,代表了formula_38次域扩张:  而每次域扩张的阶数:formula_111都不超过2。因此,如果从基本的有理数域出发的话,就能得到如下的定理:  其中的formula_112是某个小于formula_38的自然数(formula_38是已知所有有理数坐标点时,作出formula_68对应的点要经过的基本步骤数目)。

Summary: 规矩数(又称可造数)是指可用尺规作图方式作出的实数。在给定单位长度的情形下,若可以用尺规作图的方式作出长度为formula_1的线段,则formula_1就是规矩数。规矩数的「规」和「矩」分别表示圆规及直尺,两个尺规作图的重要元素。

Nombre constructible: Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle (non graduée) et au compas. Ainsi, est un nombre constructible, mais ni ni ne le sont.