正則變換

title: 定义.
content: 点变换(英语:point transformation)将广义坐标formula_2变换成广义坐标formula_3,点变换方程序的形式为  其中,formula_5是时间。  在哈密顿力学里,由于广义坐标与广义动量formula_6同样地都是自变量(英语:independent variable),点变换的定义可以加以延伸,使变换方程序成为  其中,formula_9是新的广义动量。  为了分辨这两种不同的点变换,称前一种点变换为位形空间点变换,而后一种为相空间点变换。  在哈密顿力学里,正则变换将一组正则坐标formula_10变换为一组新的正则坐标formula_11,而同时维持哈密顿方程序的形式(称为形式不变性)。原本的哈密顿方程序为  新的哈密顿方程序为  其中,formula_16、formula_17分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。
title: 实际用处.
content: 思考一个物理系统的哈密顿量  假设哈密顿量跟其中一个广义坐标formula_19无关,则称formula_19为可略坐标(英语:ignorable coordinate),或循环坐标(英语:cyclic coordinate):  在哈密顿方程序中,广义动量对于时间的导数是  所以,广义动量formula_23是常数formula_24。  假设一个系统里有formula_25个广义坐标是可略坐标。找出这formula_25个可略坐标,则可以使这系统减少formula_27个变量;使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。
title: 生成函数方法.
content: 采取一种间接的方法,称为生成函数方法,从formula_28变换到formula_29。为了要保证正则变换的正确性,第二组变量必须跟第一组变量一样地遵守哈密顿原理  那么,必须令  其中,formula_33是标度因子,formula_34是生成函数。  假若一个变换涉及标度因子,则称此变换为标度变换(英语:scale transformation)。一般而言,标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1,则称此正则变换为延伸正则变换(英语:extended canonical transformation);假若标度因子等于1,则称为正则变换。  任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个formula_35的延伸正则变换表示为  则可以设定另外一组变量与哈密顿量: formula_37、 formula_38、 formula_39、 formula_40;其中,formula_41是用来删除formula_33的常数,formula_43。经过一番运算,可以得到  显然地,这变换符合哈密顿方程序。所以,任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。  假若正则变换不显性含时间,则称为设限正则变换(英语:restricted canonical transformation)。  生成函数formula_34的参数,除了时间以外,一半是旧的正则坐标;另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变量而定,一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换,从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换formula_1保证是正则变换。
title: 第一型生成函数.
content: 第一型生成函数formula_49只跟旧广义坐标、新广义坐标有关,  代入方程序(1)。展开生成函数对于时间的全导数,  新广义坐标formula_52和旧广义坐标formula_53都是自变量,其对于时间的全导数formula_54和formula_55互相无关,所以,以下formula_56个方程序都必须成立:  这formula_56个方程序设定了变换formula_1,步骤如下:  第一组的formula_62个方程序(2),设定了formula_63的formula_62个函数方程序  在理想情况下,这些方程序可以逆算出formula_52的formula_62个函数方程序  第二组的formula_62个方程序(3),设定了formula_70的formula_62个函数方程序  代入函数方程序(5),可以算出formula_70的formula_62个函数方程序  从formula_76个函数方程序(5)、(6),可以逆算出formula_76个函数方程序  代入新哈密顿量formula_80的方程序(4),可以得到
title: 第二型生成函数.
content: 第二型生成函数formula_82的参数是旧广义坐标formula_53、新广义动量formula_70 与时间:  以下formula_56方程序设定了变换formula_1:
title: 第三型生成函数.
content: 第三型生成函数formula_91 的参数是旧广义动量formula_63、新广义坐标formula_52与时间:  以下formula_56方程序设定了变换formula_1:
title: 第四型生成函数.
content: 第四型生成函数formula_100的参数是旧广义动量formula_63、新广义动量formula_70与时间:  以下formula_56方程序设定了变换formula_1:
title: 实例1.
content: 第一型生成函数有一个特别简易案例:  生成函数的导数分别为  旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同:
title: 实例2.
content: 再擧一个比较复杂的例子。让  这里,formula_114是一组formula_62个函数。  答案是一个广义坐标的点变换,
title: 不变量.
content: 正则变换必须满足哈密顿方程序不变;哈密顿方程序为正则变换的一个不变式。另外,正则变换也有几个重要的不变量。
title: 辛条件.
content: 辛标记提供了一种既简单,又有效率的标记方法来展示方程序及数学运算。设定一个formula_117的竖矩阵formula_118 :  变量向量formula_118将formula_53与formula_63包装在一起。这样,哈密顿方程序可以简易的表示为  这里,formula_124是辛连结矩阵、formula_125是哈密顿量。  应用辛标记于正则变换,正则坐标会从旧正则坐标formula_118改变成新正则坐标formula_127,formula_128;哈密顿量也从旧的哈密顿量formula_125改变成新的哈密顿量formula_80,formula_131;但是,哈密顿方程序的形式仍旧维持不变:  这里,formula_133。  用第一型生成函数formula_134,则formula_135。  取formula_136关于时间formula_5的导数,  这里,formula_139是亚可比矩阵,formula_140。  代入哈密顿方程序,  假若限制正则变换为设限正则变换,也就是说,显性地不含时间,解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间,则仍旧能得到与下述同样的答案,这是一个很好的偏导数习题。现在,限制这正则变换为设限正则变换,则简化后的方程序为  而formula_143,所以,  代回前一个方程序,取formula_145的系数,则可以得到  经过一番运算, 可以求出辛条件:  在这里,得到了正则变换的辛条件:一个变换是正则变换,当且仅当辛条件成立。
title: 基本帕松括号不变量.
content: 在相空间里,两个函数formula_150关于正则坐标formula_151的帕松括号定义为  用辛标记,  立刻,可以得到下述关系:  定义基本帕松括号formula_156为一个方矩阵,其中,元素formula_157的值是formula_158。那么,  思考一个变换formula_160。新坐标的基本帕松括号为  这两个正则坐标的亚可比矩阵formula_162是  代入前一个方程序,则  假若这变换是正则变换,辛条件formula_149必须成立,  相反地,假若formula_166,则辛条件成立,这变换是正则变换。  所以,一个变换是正则变换,当且仅当基本帕松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本帕松括号时,我们可以忽略下标符号,直接表示为formula_156,而认定这基本帕松括号是关于正则坐标计算的值。
title: 帕松括号不变量.
content: 思考两个函数formula_169对于正则坐标formula_118的泊松括号  假若这变换是正则变换,辛条件formula_149必须成立,  所以,任何两个函数关于正则坐标的帕松括号,都是正则变换的不变量。当表示帕松括号时,可以忽略下标符号,直接表示为formula_174,而认定这帕松括号是关于正则坐标计算的值。

Summary: 在哈密顿力学里,正则变换(canonical transformation)是一种正则坐标的改变,formula_1,而同时维持哈密顿方程的形式,虽然哈密顿量可能会改变。正则变换是哈密顿-亚可比方程序与刘维尔定理的基础。

Transformation canonique: En mécanique hamiltonienne, une transformation canonique est un changement des coordonnées canoniques (q, p, "t") → (Q, P, "t") qui conserve la forme des équations de Hamilton, sans pour autant nécessairement conserver le Hamiltonien en lui-même. Les transformations canoniques sont utiles pour les équations de Hamilton-Jacobi (une technique utile pour calculer les quantités conservées) et le théorème de Liouville (à la base de la mécanique statistique classique).