布朗运动

title: 定义.
content: 自1860年以来,许多科学家都在研究此种现象,后来发现布朗运动有下列的主要特性:
title: 对于布朗运动之误解.
content: 值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。  一般而言,花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱,相较之下,水分子直径约0.3nm(非球形,故依部位而有些许差异。),略为花粉的十万分之一。因此,花粉难以产生不规则振动,事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中,「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味着「自花粉粒中迸出之微粒子」,而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时,时常受到误解,以为是「水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动」。积非成是之下,在大众一般观念中,此误会已然根深蒂固。 在日本,以鹤田宪次『物理学丛话』为滥觞,岩波书店『岩波理科辞典』、花轮重雄『物理学読本』、汤川秀树『素粒子』、坂田昌一『物理学原论(上)』、平凡社『理科辞典』、福冈伸一著『生物与无生物之间』,甚至日本的理科课本等等,皆呈现错误之叙述。  直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书『植物之SEX‐不为人知的性之世界』中,点出此误谬之前,鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影『回动粒子』(1970年)时,实际摄影漂浮在水中之花粉,却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月,以「外行人与专家之间」为题,解说有关布朗运动之误会。
title: 爱因斯坦的理论.
content: 在1905年,爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分:第一部分定义布朗粒子扩散方程序,其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关,而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式,爱因斯坦可决定原子的大小,一莫耳有多少原子,或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律,所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升,其中包含的原子的数目被称为「阿伏伽德罗常数」。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。  爱因斯坦论证的第一部分是,确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离,因为布朗粒子将会受到大量的撞击,每秒大约发生 10 次撞击。 因此,爱因斯坦将之简化,即讨论一个布朗粒子团的运动。  他把粒子在一个的空间中,把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值(formula_1 或者 "x,"并对其坐标进行变换,让原点成为粒子运动的初始位置)并给出概率密度函数 formula_2。另外,他假设粒子的数量有限,并扩大了密度(单位体积内粒子数量),展开成泰勒级数 。 第一行中的第二个等式是被 formula_4 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数,第二项和其他偶数项(即第一项和其他奇数项)由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系: 拉普拉斯算子之前的系数,是下一刻的随机位移量 formula_1,让 D 为质量扩散系数: 那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程: 假设在初始时刻t = 0时,所有的粒子从原点开始运动,扩散方程的解
title: 数学模型.
title: 定义.
content: 满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动  formula_10是一个布朗运动当且仅当formula_10为鞅,且formula_12也为鞅.
title: 其他定义.
content: 一维的定义  一维布朗运动formula_13是关于时间"t"的一个随机过程,他满足 :  等价定义  一维布朗运动formula_13是关于时间"t"的一个随机过程,他满足 :  高维定义  换句话说,"d"维布朗运动 取值于formula_29,而它在formula_30空间上的投影均为布朗运动。  Wiener测度的定义  设formula_31为从formula_32到formula_33的连续函数空间,formula_34为概率空间。布朗运动为映射 Wiener测度 (或称为布朗运动的分布)设为formula_37,是映射"B"关于formula_38的图测度。  换句话说, "W"是formula_31上的一个概率测度,满足对于任何formula_40,有  备忘
title: 布朗运动的数学构造.
title: 利用Kolmogorov一致性定理.
content: 设formula_59为formula_60空间中一列实值函数。设:  formula_61  这列函数满足:  formula_62,任意的formula_63,矩阵formula_64为对称半正定的。  利用Kolmogorov一致性定理,我们可以构造高斯过程formula_65,它的均值formula_66任意, 协方差为上面定义的formula_67。  当formula_68,formula_69为不依赖于t的常数,formula_70为formula_71上的示性函数。则:  formula_72  在这个情况下,矩阵formula_64是对称且正定的。  我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0,协方差为s。formula_74,当formula_75时, 称之为 标准的布朗运动.
title: 利用随机过程.
content: Donsker定理(1951)证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。 其中("U", "n" ≥ 1) 独立同分布, 均值为0,方差为"σ"的随机变量序列。
title: 利用傅立叶级数.
content: 设2列独立的正态formula_77随机变量序列formula_78和formula_79。定义formula_80: 为布朗运动。  https://web.archive.org/web/20171109201456/http://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion

Summary: 布朗运动(Brownian motion)是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

Mouvement brownien: Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules à l'intérieur de grains de pollen de "Clarkia pulchella" (une espèce de fleur sauvage nord-américaine), puis de diverses autres plantes.