同构基本定理

title: 历史.
content: 同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊"数学分析"(Mathematische Annalen)发表的论文"Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern"中明确阐述。
title: 群同态基本定理.
content: 我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。
title: 群同构基本定理.
title: 群同构第一定理.
content: 给定一个群同态 formula_1,根据群同态第一基本定理,我们可以把formula_2除以formula_2的核,使formula_4 变成单射。  直观来讲,把一个群formula_2除以formula_2的子群formula_7相当于把formula_7里的元素看成0。把formula_4的核除掉后,我们使得formula_10只在 formula_11时才会成立,这是formula_4的单射性的等价叙述。  我们必须先确定商群具有群的结构,才可以对formula_13进行讨论。 定理: 给定formula_2和formula_15两个群,和formula_16群同态。则formula_17是一个formula_2的正规子群。 证明: 记 formula_19 为formula_2和formula_15的运算符号,记formula_22和formula_23他们的单位元,我们可以验证formula_17 在共轭运算下封闭,即对于所有formula_25、所有formula_26,有formula_27。  我们有formula_28。由于formula_29在formula_17里面,即formula_31,我们推论formula_32。因此,formula_33在formula_17里面,故formula_17是formula_2的正规子群。 formula_17是formula_2的正规子群的这个性质让我们可以在商群formula_39上定义一个与formula_2的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故,群同态formula_41诱导出群同构formula_42。  我们有以下的定理:  群同构第一定理 给定formula_2和formula_15两个群,formula_45群同态,则formula_4诱导出一个从formula_47打到formula_48的群同构。 证明: 记formula_7为formula_4的核。我们定义formula_51为formula_52.  这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合,以下为示意图
title: 群同构第二定理.
content: 群同构第二定理: 给定群 formula_2 、其正规子群 formula_79 、其子群 formula_7,则 formula_81 是 formula_7 的正规子群,且我们有群同构如下: formula_83  证明: 设 formula_88 和 formula_89 为 formula_84 中的两个元素。我们有 formula_91,其中 formula_92, formula_93 (因为 formula_79 在 formula_2 中正规) 且 formula_96,故 formula_97 在 formula_84 中,其证明了 formula_84 在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及反元素的封闭性。  此外,我们有 formula_100 的包含关系,并且 formula_79 在 formula_2 中正规,所以也在 formula_84 中正规。  取 formula_104单射群同态,定义为 formula_105,取标准满射 formula_106 (值域是个群,因为 formula_79 在 formula_2 中正规)。借由复合两个群同态,我们建构出一个新的群同态 formula_109 定义为 formula_110。  理由是,设 formula_112,其中 formula_113 且 formula_114 。由于 formula_115 在 formula_79 里面, formula_117,故formula_118。  理由是, formula_110 是 formula_87 的单位元,即 formula_79 当且仅当, formula_29 在 formula_79 里面。由于 formula_29 已经在 formula_7 里面,所以证明这个相当于证明 formula_29 在 formula_129 里面。  如果我们弱化前提,假设 formula_79 的正规化子包含 formula_7 (把相等改成包含)这个定理依然正确。
title: 群同构第三定理.
content: 群同构第三定理: 给定群 formula_2, formula_79 和 formula_137 为 formula_2 的正规子群,满足 formula_137 包含于 formula_79,则 formula_141 是 formula_142 的正规子群,且有如下的群同构: formula_143  证明: formula_144 为满射,其核为 formula_141  所以可由群同构第一定理得到 formula_143
title: 推广.
content: 在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。
title: 第一同构定理.
content: 设"A"和"B"是两个代数结构,"f"是"A"到"B"的态射,则"A"等价关系formula_148:"a~b"当且仅当"f(a)=f(b)" 是"A"上的一个同余类,并且"A/"formula_148同构于"f"的像("B"的子代数)。
title: 第二同构定理.
content: 设"B"是"A"的子代数,formula_148是"A"上的同余类。令[B]formula_148是所有包含"B"种元素的同余类的集合,它是"A/"formula_148的一个子集;formula_155是formula_148限制在 "B" × "B"上的部分。那么[B]formula_148是"A/"formula_148的子代数结构,formula_155是"B"上的同余类,并且[B]formula_148同构于"B/"formula_155。
title: 第三同构定理.
content: 设"A"是一个代数结构,formula_148和formula_163是"A"上的两个同余关系,formula_163包含于formula_148。则formula_148定义了"A/"formula_163上的一个同余类formula_168:"[a]~[b]"当且仅当"a"与"b"关于 formula_148同余("[a]"表示"a"所在的formula_163-等价类),并且"A/"formula_148同构于"(A/"formula_163")/"formula_168。

Summary: 同构基本定理或称同态基本定理,包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

Théorèmes d'isomorphisme: En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.