四維矢量

title: 数学性质.
content: 在闵考斯基时空内的任何一点,都可以用四维向量(一组标准基底的四个坐标) formula_1 来表示;其中,上标 formula_2 标记时空的维数次序。称这四维向量为「坐标四维向量」,又称「四维坐标」,定义为  其中,formula_4 是光速,formula_5 是时间,formula_6 是位置的三维直角坐标。  为了确使每一个坐标的单位都是长度单位,定义 formula_7 。  「四维位移」定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里,四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时,位移就是位置。四维位移 formula_8 表示为  带有上标的四维向量 formula_10 称为反变矢量,其分量标记为  假若,标号是下标,则称四维向量 formula_12 为协变矢量。其分量标记为  在这里,闵考斯基度规 formula_14 被设定为  采用爱因斯坦求和约定,则四维向量的协变坐标和反变坐标之间的关系为  闵考斯基度规与它的「共轭度规张量」 formula_17 相等:
title: 劳仑兹变换.
content: 给予两个惯性参考系 formula_19、 formula_20 ;相对于参考系 formula_19,参考系 formula_20 以速度 formula_23 移动。对于这两个参考系,相关的「劳仑兹变换矩阵」 formula_24 是  其中,formula_26 是劳仑兹因子,formula_27是「贝塔因子」。  对于这两个参考系 formula_19、 formula_20,假设一个事件的四维坐标分别为 formula_30、 formula_31 。那么,这两个四维坐标之间的关系为  其中,formula_34 是 formula_35 的逆反,  将这两个四维坐标之间的关系式合并为一,则可得到  因此,可以找到劳仑兹变换矩阵的一个特性:  其中,formula_39 是克罗内克函数。  另外一个很有用的特性为  给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标,通过劳仑兹变换,就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时,所涉及的四维向量,最好都能够具有这有用的性质。这样,可以使得数学分析更加精致犀利。以方程序表示,对于两个参考系 formula_19、 formula_20,具有这种有用性质的四维向量 formula_10 、formula_44 满足  在计算这四维向量对于时间的导数时,若能选择固有时为时间变量,则求得的四维向量仍旧具有这有用的性质。因为,固有时乃是个不变量;改变惯性参考系不会改变不变量。  假设一个物体运动于闵考斯基时空。在「实验室参考系」里,物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻,选择与物体同样运动的惯性参考系,称为「瞬间共动参考系」(momentarily comoving reference frame)。在这瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,这参考系也是物体的「瞬间静止参考系」。随着物体不断地改变运动速度与方向,新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时,标记为 formula_47 。这就好像给物体挂戴一只手表,随着物体的运动,手表也会做同样的运动,而手表所纪录的时间就是固有时。  这物体的运动可以用一条世界线 formula_48 来描述。由于时间膨胀,发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 formula_49 与从别的惯性参考系 formula_19 所观测到的微小时间间隔 formula_51 的关系为  所以,固有时 formula_47 对于其它时间 formula_5 的导数为
title: 闵考斯基内积.
content: 在闵考斯基空间里,两个四维向量 formula_56 与 formula_57 的内积,称为闵考斯基内积,以方程序表示为:  由于这内积并不具正定性,即  可能会是负数;而欧几里得内积一定不是负数。  许多学者喜欢使用相反正负号的 formula_60:  这样,formula_56 与 formula_57 的内积改变为  其它相联的量值也会因而改变正负号,但这不会改变系统的物理性质。  从参考系 formula_19 改换至另一参考系 formula_66,formula_56 与 formula_57 的内积为  所以,在闵考斯基时空内,两个四维向量的内积是个不变量:  四维向量可以分类为类时,类空,或类光(零矢量):
title: 动力学实例.
title: 四维速度.
content: 设想一个物体运动于闵考斯基时空,则其世界线的任意事件 formula_74 的四维速度 formula_56 定义为  其中,formula_77 是三维速度,或经典速度矢量。  formula_56 的空间部分与经典速度 formula_79 的关系为  四维速度与自己的内积等于光速平方,是一个不变量:  在物体的瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,四维速度为  其方向与瞬间共动参考系的第零个基底向量 formula_83 同向;  其中,formula_84 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。
title: 四维加速度.
content: 四维加速度 formula_85 定义为  经过一番运算,可以得到劳仑兹因子对于时间的导数:  其中,formula_88 是经典加速度。  所以,四维加速度 formula_85 可以表示为  由于 formula_91 是个常数,四维加速度与四维速度相互正交;也就是说,四维速度与四维加速度的闵考斯基内积等于零:  对于每一条世界线,这计算结果都成立。  注意到在瞬间共动参考系里, formula_93 只有时间分量不等与零,所以, formula_85 为的时间分量为零:
title: 四维动量.
content: 一个静止质量为 formula_96 的粒子的四维动量 formula_97 定义为  经典动量 formula_99 定义为  其中,formula_101 是相对论性质量。  所以,formula_97 的空间部分等于经典动量 formula_99 :
title: 四维力.
content: 作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数:  提出四维动量内的静止质量因子,即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度:  因此,四维力可以表示为  经典力 formula_108 定义为  所以,formula_110的空间部分等于 formula_111 :
title: 物理内涵.
content: 在四维向量的表述里,存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系,可以显示出这表述的功能与精致。
title: 质能方程序.
content: 假设,在微小时间间隔 formula_113,一个运动于时空的粒子,感受到作用力 formula_108 的施加,而这粒子的微小位移为 formula_115 。那么,作用力 formula_108 对于这粒子所做的微小机械功 formula_117 为  因此,这粒子的动能的改变 formula_119 为  粒子的动能 formula_121 对于时间的导数为  将前面经典力和经典速度的公式带入,可以得到  这公式的反微分为  当粒子静止时,动能等于零。所以,  这公式的右手边第二个项目就是静止能量 formula_126 。动能 formula_121 加上静止能量 formula_128 等于总能量 formula_129 :  再加简化,以相对论性质量 formula_101 表示:  这方程序称为质能方程序。
title: 能量-动量关系式.
content: 使用质能方程序 formula_133,四维动量可以表示为  四维动量与自己的内积为  改以四维速度来计算内积:  所以,能量-动量关系式为
title: 电磁学实例.
title: 四维电流密度.
content: 在电磁学里,四维电流密度 formula_138 是一个四维向量,定义为  其中,formula_140 是电荷密度,formula_141 是三维电流密度。  在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度,称为固有电荷密度 formula_142 。四维电流密度与四维速度的关系为  电荷守恒定律能以三维矢量表示为  这定律也能以四维电流密度表示为  从这方程序,可以推论四维电流密度的四维散度等于零。
title: 电磁四维势.
content: 电磁四维势是由电势 formula_146 与矢量势 formula_147 共同形成的,定义为  黎曼-索末菲方程序表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系:  其中,formula_150 是磁常数,formula_151 是达朗贝尔算符,又称为四维拉普拉斯算符。
title: 四维频率和四维波矢量.
content: 一个平面电磁波的四维频率 formula_152 定义为  其中,formula_154 是电磁波的频率,formula_155 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。  四维频率与自己的内积永远等于零:  一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量 formula_157 来描述:  其中,formula_159 是三维波矢量。  四维波矢量与四维频率之间的关系为

Summary: 在相对论里,四维向量(英语:four-vector)是实值四维向量空间里的矢量。这四维向量空间称为闵考斯基时空。四维向量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵考斯基时空内的任何一点,都代表一个「事件」,可以用四维向量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维向量,通过劳仑兹变换,可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维向量。

Quadrivecteur: En physique, un quadrivecteur est un vecteur à quatre dimensions utilisé pour représenter un événement dans l'espace-temps. Dans la théorie de la relativité restreinte, un quadrivecteur est un vecteur de l'espace de Minkowski, où un changement de référentiel se fait par des transformations de Lorentz (par covariance des coordonnées).