筹算

title: 历史.
content: 筹算具体出现时间已然不可考,但根据典籍记录和考古发现,至少在战国初年筹算已然出现。它使用中国商代发明的十进位制计数,可以很方便地进行四则运算以及乘方,开方等较复杂运算,并可以对零、负数和分数作出表示与计算。  筹算在公元6世纪由中国传入朝鲜半岛和日本。七世纪的印度数学,分数中的分子在上,分母在下,与中国同,分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度数学绝大部分来自中国。。一直到被珠算完全取代之前,筹算是东亚古代进行日常计算的方法,算筹是东亚古代数学家研究数学时常用的计算器具,是东亚古代各种重要数学发明的基础,开创了中国以至东亚古代以计算为中心的机械化数学体系,与古希腊以逻辑推理为中心的数学体系有所不同;机械化的数学体系是一千多年世界数学的主流
title: 影响.
content: 筹算的乘除法传入印度,成为土盘算法。9世纪初至10世纪,又经印度传入阿拉伯,这时期的阿拉伯阐述印度数学的数学著作,诸如《印度算术原理》,其土盘算式虽然用阿拉伯数字表示,但其十进位制概念,分数的表示法,以及加、减、乘、除四则运算的计算方法,和中国的筹算雷同,有的还用空格“”表示“0”,和筹算一模一样。有学者认为,中国古代的筹算,通过丝绸之路传入印度、阿拉伯,促成印度-阿拉伯数字体系。
title: 数字表示.
content: 算筹数系是世界上唯一只用一个符号的方向和位置的组合,表示任何十进位数字或分数的系统。 单位数字:将筹棍竖排一根棍表示1,两根棍表示2,5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示,不是并排6至9根筹棍,而是采用同位五进制,即用一根筹棍代表数码5,横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含算盘雏形。上排是筹算中1至9的竖码,下排是相应数字的横码。 大于9的数字,则用十进制表示,在个位数的位置左边,放置一个筹数,代表这个筹数的十倍,在十位数值左的位置,代表百位数,如此类推。如图所示数二百三十一(231)的表示法,在个位放置一根筹码,表示1,在十位放置筹数3,代表30,在百位放置筹数2,代表200,总数即二百三十一(231)。《孙子算经》云: 筹算板一般是桌面或地面,通常没有格子。如果筹码2,3,1并排排列,有可能被误读为51或24;为了避免邻位误读,每隔一位交替使用竖码横码,即个位竖码,十位用横码,百位用竖码,千位用横码,如此类推,就可以完全避免误读了。
title: 零的表示.
content: 中国自有筹算起就有“0”,即以空位表示“0”。筹算中的零是位置零和运算结果的零,没有特定符号,这和阿拉伯数字专有一个符号0不同,
title: 正负数.
content: 宋代数学家用红色筹码代表正数,用黑色筹码代表负数,也有一律用黑色筹码,但在数字最后一位加一根斜棍标示为负数。
title: 小数.
content: 孙子算经的度量衡已有十进位制概念,如尺、寸、分、厘、毫、丝、忽。七丈一尺二寸三分四厘五毫六丝,用现代表示方法为71.23456尺,用算筹排为 其中为十位数,为个位数,为十分之一位等等。  南宋秦九韶在《数书九章》中将小数推广到非度量衡,如 表示为: 即在个位数1下记一“日”字。
title: 加法.
content: 算筹本身已经包含加法,因此用算筹进行加法运算十分方便快捷。筹算加法与阿拉伯数字加法最大的不同,在于算筹本身具有可加性,用算筹进行加法运算,只须机械地搬动筹棍,即可进行运算,不需要另外背诵加法表,这与阿拉伯数字不同,不可能将阿拉伯数字1和2机械地叠成3字,2和3叠成一个5字。  左图表示formula_1的运筹步骤:  上行被加数筹码,在运算过程中逐步变化;下行加数筹码,在运算过程中逐步消失。
title: 减法.
content: 不需向上一数量级借位的情况下,只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍,剩余的筹码就是答案。左图为计算54-23的演示步骤。 右图为计算4231-789的演示步骤,此情况即为需要向上一数量级借位:
title: 乘法.
content: 运用算筹进行乘除运算时必须先学会九九表:《夏侯阳算经》云:  《孙子算经》对筹算乘法有详细阐述。 左图即为筹算38×76的演示步骤:  P.S.:范例图片是一边乘一边加而不是像文字描述所说乘完后才加。
title: 除法.
content: 左图为计算formula_2的演示步骤:  孙子除法在9世纪初最早由花拉子米从印度介绍到阿拉伯国家,十世纪阿拉伯数学家阿尔乌几里德《印度的算术》叙述的早期除法和十一世纪波斯数学家伊本·拉班《印度算术原理》叙述的除法,也是不折不扣的孙子除法:
title: 分数.
content: 用筹算进行除法运算时,如留有余数,则必须保留除数和余数,形成一对筹码,一在上一在下。刘徽《九章算术注》中,在上的筹称“实”,为在下的筹称为“法”:《孙子算经》中,在上的筹称为“子”,(分子),而在下的称为“母”(分母)。如右图一对筹码一在上一在下,1是子,7是母,构成分数 formula_4。 这种筹算分数的表示法,在9世纪由花拉子米介绍到阿拉伯国家。
title: 分数加法.
content: formula_5
title: 分数减法.
content: formula_8
title: 分数乘法.
content: formula_11
title: 最大公约数.
content: 九章算术给出求两个数最大公约数的方法,即辗转相除,以至最后余数相等,即为最大公约数。  左图为求 formula_15 的最大公约数,并进行约分。  最大公约数为25,约分得formula_16。
title: 分数内插法.
content: 何承天发明名为调日法的分数内插法,反复将弱值分数与强值分数的分子分母相加已求得更佳的近似值。祖冲之用此法求的著名的圆周率 约率formula_17和密率formula_18
title: 开平方根.
content: 孙子算经卷中:“今有积,二十三万四千五百六十七步。问:为方几何?答曰:四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。  术曰:置积二十三万四千五百六十七步,为实,次借一算为下法,步之超一位至百而止。上商置四百于实之上,副置四万于实之下。下法之商,名为方法;命上商四百除实,除讫,倍方法,方法一退,下法再退,复置上商八十以次前商,副置八百于方法之下。下法之上,名为廉法;方廉各命上商八十以除实,除讫,倍廉法,从方法,方法一退,下法再退,复置上商四以次前,副置四于方法之下。下法之上,名曰隅法;方廉隅各命上商四以除实,除讫,倍隅法,从方法,上商得四百八十四,下法得九百六十八,不尽三百一十一,是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。  右图为筹算开方 formula_19。  算法如下:  十一世纪波斯数学家伊本·拉班的开平方术,与孙子基本上相同,唯最后分母加1,所以平方根的小数比真值略小,孙子算法所得,则比真值略大。
title: 开立方根.
content: 九章算术卷第四《少广》有数道开立方题,其开立方术为后世开立方术的基础。  〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何?  答曰:一百二十四尺、太半尺。 开立方术曰:置积为实。借一算步之,超二等。议所得,以再乘所借一算为法,而除之。除已,三之为定法。复除,折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之,中超一,下超二等。复置议,以一乘中,再乘下,皆副以加定法。以定法除。除已,倍下、并中从定法。复除,折下如前。开之不尽者,亦为不可开。若积有分者,通分内子为定实。定实乃开之,讫,开其母以报除。若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。  formula_21  北宋数学家贾宪发明增乘开立方法和递增三乘开四次方术。  右图为贾宪增乘开立方解九章算术第四卷少广〔一九〕  今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何?  答曰:一百二十三尺。  :formula_22
title: 联立方程.
content: 九章算术 卷第八 方程: 〔一〕今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何?  答曰:  上禾一秉,九斗、四分斗之一,  中禾一秉,四斗、四分斗之一,  下禾一秉,二斗、四分斗之三。  有三捆上等谷物,两捆中等谷物,一捆下等谷物,共39斗;有两捆上等,三捆中等,一捆下等,共34斗;有一捆上等,两捆中等,三捆下等,共26斗。分别找出上、中、下等谷物的数量。  方程术曰,置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,于右方。中、左禾列如右方。  以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。余如中禾秉数而一,即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一,即上禾之实。实皆如法,各得一斗。  一捆下等谷物的数量=formula_23斗  一捆上等谷物=formula_24斗  一捆中等谷物=formula_25斗
title: 行列式.
content: 日本数学家关孝和在《三部抄》的《解伏题之法》中,将线性方程组的系数纵横写成方阵的形式,发明了行列式。关孝和还提出了两种计算行列式的值的方法:逐式交乘法和交式斜乘法。
title: 高次方程.
content: 南宋数学家秦九韶将贾宪的增乘开方术推广,以求解高次方程。右图为秦九韶解下列四次方程序的程序。  程序:  得formula_27
title: 四元高次方程.
content: 筹算的应用在朱世杰《四元玉鉴》中的四元术到达高峰。 "今有股弦较除弦和与直积等。只云勾股较除弦较和与勾同。问弦几何?" :得到 今式formula_28  云式:formula_29  三元式:formula_30  三元式与云式相消,  人天易位 人弦-->天勾  得: 前式formula_31  及 后式 formula_32  相消得 formula_33  解之得 formula_34 天勾=5;  人天易位 天勾-->人弦  得弦=五步。  "今有股乘五较与弦幂加勾乘弦等。只云勾除五和与股幂减勾弦同。问黄方带勾股弦共几何?" 消元,物易天位 解之,  物易天位,得 十四步。

Summary: 筹算(英语:Rod calculus)是汉字文化圈古代使用算筹进行十进位制计算的程序。

Technique de la multiplication en Chine antique: La multiplication, en Chine antique, se pratiquait avec des bâtonnets. Multiplions par exemple 28 par 45, il faut d'abord décaler le nombre inférieur (en n'oubliant pas de changer l'écriture au besoin).