欧几里得定理

title: 欧几里得的证明.
content: 欧几里得在他的著作《几何原本》(第九卷的定理20)提出了证明,大意如下:  对任何有限素数的集合formula_1。在这里将会证明最少存在一个集合中没有的额外素数。令formula_2及formula_3。那么formula_4是素数或者不是,二者必居其一:  这证明了:对于任何一个有限素数集,总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。  很多时候有人会错误地指出欧几里得是用了反证法,他们假设证明起初考虑的是所有自然数的集合,或是集合内含有formula_31个最小的素数,而不是任何任意的素数集合。欧几里得证明用的不是反证法,而是证明了一个有限集合中没有任何拥有特殊性质的元素。当中并没有反论的部分,但集合中的任何元素都不可以整除1。  文献中存在数个版本的欧几里得证明,包括以下的:  正整数formula_31的阶乘formula_33可被formula_34至formula_31的所有整数整除,这是由于它是这些数全部的乘积。因此formula_36并不能被formula_34至formula_31(包括formula_31)的任何自然数所整除(所得的余数皆为formula_24)。因此formula_36有两个可能性:是素数,或者能被大于formula_31所整除。在任一个案中,对所有正整数formula_31而言都存在最小一个比formula_31大的素数。所以结论就是共有无限个素数。
title: 欧拉的证明.
content: 另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明,则使用了算术基本定理:每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设formula_12为所有素数的集合,欧拉写下了:  第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点,可把乘积分配进和里面:  在这个结果中,每一个素数积都出现了正好一次,因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。  右边的和是发散的调和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积内每一个项都是有限的,所以其项数必须为无限;因此得出共有无限个素数。
title: 埃尔德什的证明.
content: 埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数formula_31都能被写成独一无二的  其中formula_50非平方数,或任何平方数的倍数(设formula_51为能整除formula_31的最大平方数,并使formula_53)。此时假设素数的数量为有限,且其数量为formula_54。由于每个素数只有一个非平方数的因子,所以根据算术基本定理,得出共有非平方数formula_55个。(见组合#在集合中取出k项元素及formula_56)  现在把一个正整数formula_57固定,并考虑1与formula_57之间的自然数。 这些数每一个都能被写成formula_49,其中formula_50为非平方数,formula_61为平方数,例如:  集合中共有formula_57个不同的数。每一个都是由非方数和比formula_57小的平方数组成。这样的平方数共有formula_65(见高斯符号的取底符号)。然后把这些小于formula_57的平方数乘积与其余所有的非平方数相乘。这样得出的数一共有formula_67个,各不相同,因此它们包括了所有我们集合里的数,甚至更多。因此,formula_68。  由于此不等式对足够大的formula_57并不成立,因此必须存在无限个素数。
title: 弗斯滕伯格的证明.
content: 哈里·弗斯滕伯格于1950年代提出了一个使用点集拓扑学的证明。(见弗斯滕伯格对素数无限性的证明)
title: 一些近期的证明.
title: 皮纳西科.
content: 胡安·帕布洛·皮纳西科(Juan Pablo Pinasco)写下了以下的证明。  设formula_70为最小的formula_57个素数。然后根据容斥原理可得,少于或等如formula_72又同时能被那些素数中其中一个整除的正整数的个数为  把全式除以formula_72,并且让formula_75,得  上式可被改写为  若除了formula_70以外不存在其他素数的话,则式(1)与 formula_79相等,而式(2)则等于formula_24,但很明显地式(3)并不等于formula_24。因此除了formula_70以外必须要存在其他素数。
title: 黄.
content: 俊浩·彼得·黄(Junho Peter Whang)于2010年发表了使用反证法的证明。设formula_54为任何正整数,formula_8为素数。根据勒让德定理,则可得:  其中  但若只存在有限个素数,则  (上式分子呈单指数增长,但斯特灵公式指出分母的增长速度比分子快),这样就违反了每一个formula_54的分子要比分母大的这一点。
title: 塞达克.
content: 菲利浦·塞达克(Filip Saidak)给出了以下的证明,当中没有用到归谬法 (而大部分欧几里得定理的证明都用了,包括欧几里得自己的证明),而同时不需要用到欧几里得引理,也就是若素数formula_8整除formula_91则也必能整除formula_92或formula_93。证明如下:  由于每个自然数(formula_94)最少拥有一个素因子,所以两个相邻数字formula_31和formula_96必定没有共同因子,而乘积formula_97则比数字formula_31本身拥有更多因子。因此普洛尼克数的链:<br>1×2 = 2 {2}, 2×3 = 6 {2, 3}, 6×7 = 42 {2,3, 7}, 42×43 = 1806 {2,3,7, 43}, 1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·<br>提供了一组素数集合无限增长的数列。
title: 使用的无理性的证明.
content: 以欧拉乘积来表示π的莱布尼茨公式可得  乘积的分子为奇数的素数,而每一个分母则是最接近分子的4的倍数。  若存在的素数是有限的话,上式所展示的就是是一个有理数,而分母是所有与素数多1或少1的4的倍数的乘积,而这点违反了实际上是无理数的这一点。
title: 使用信息论的证明.
content: 亚历山大·沈(音译,Alexander Shen)与其他人发表了利用不能压缩性方法的证明:  设只存在formula_54素数(formula_70)。由算术基本定理可得,任何正整数formula_31都能被写成:  其中非负自然数formula_104与素数的有限集合就足够重构任何数字。由于所有formula_105都遵守formula_106,因此可得所有\formula_107(其中formula_108代表底数为2的对数)。  由此可得formula_31的编码大小(使用大O符号):  (其中prime list size为素数集合的大小)这编码比直接用二进制代表formula_31要有效得多,二进制的话需要formula_112位元。无损数据压缩的一个已被确立的结果指出,一般不可能把formula_57位元的信息压缩到少于formula_57位元。由于formula_115,所以当formula_57足够大时,以上的这个表示不成立。  因此,素数的数量必不能为有限。

Summary: 欧几里得定理是数论中的基本定理,定理指出素数的个数是无限的。该定理有许多著名的证明。

Théorème d'Euclide sur les nombres premiers: Ce résultat est énoncé et démontré dans les "Éléments" d'Euclide, c'est la proposition 20 du livre IX. Il y prend cependant une forme différente : « les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée », plus compatible avec la conception de l'infini de l'auteur.