作用量

title: 历史.
content: 皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明:光传播的正确路径,所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性,现今,一个物理系统的运动拥有了展望与目标。  戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论:光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径;更精确地说,阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题,如果要符合实验的结果,玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍;但是,玻璃的密度大于空气,应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散;因此,光被约束在一个很窄的路径内。假若,河道变窄,水的流速会增加;同样地,光的路径变窄,所以光的速度变快了。  1744年,皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中,发表了最小作用量原理:光选择的传播路径,作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理,他证明了费马原理:光传播的正确路径,所需的时间是极值;他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年,莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中,应用这原理于碰撞,正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞;这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。  莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ;其中,他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律,而这物理量是formula_1。应用这理论,欧拉成功的计算出,当粒子受到连心力作用时,正确的抛射体运动。  在此以后,许多物理学家,包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理乍得·费曼等等,对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。
title: 概念.
content: 微分方程序时常被用来表述物理定律。微分方程序指定出,随着极小的时间、位置、或其他变量的变化,一个物理变量如何改变。总合这些极小的改变,再加上这物理变量在某些点的已知数值或已知导数值,就能求得物理变量在任何点的数值。  作用量方法是一种全然不同的方法,它能够描述物理系统的运动,而且只需要设定物理变量在两点的数值,称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算,可以得到,此变量在这两点之间任何点的数值。而且,作用量方法与微分方程序方法所得到的答案完全相同。 哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价:描述物理系统运动的微分方程序,也可以用一个等价的积分方程序来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或重力场,这描述都是正确的。更加地,哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。  用变分法数学语言来描述,求解一个物理系统作用量的平稳值(通常是最小值),可以得到这系统随时间的演化(就是说,系统怎样从一个状态演化到另外一个状态)。更广义地,系统的正确演化对于任何微扰必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程序。
title: 作用量形式.
content: 在经典物理里,作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
title: 作用量(泛函).
content: 最常见的作用量是一个泛函formula_2,输入是参数为时间与空间的函数,输出是一个纯量。在经典力学里,输入函数是物理系统在两个时间点formula_3,formula_4之间广义座标formula_5的演变。  作用量formula_2定义为,在两个时间点之间,系统的拉格朗日量formula_7对于时间的积分:  根据哈密顿原理,正确的演化formula_9要求平稳的作用量formula_2(最小值、最大值、鞍值)。经过运算,结果就是拉格朗日方程序。
title: 简略作用量(泛函).
content: 简略作用量也是一个泛函,通常标记为formula_11。这里,输入函数是物理系统移动的一条路径,完全不考虑时间参数。举例而言,一个行星轨道的路径是个椭圆,一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线;在这两种状况,路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量formula_11定义为广义动量formula_13延著路径的积分:  其中,formula_15是广义座标.根据莫佩尔蒂原理,正确路径的简略作用量formula_11是平稳的。
title: 哈密顿主函数.
content: 哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程序定义的。哈密顿-雅可比方程序是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数formula_17与泛涵formula_2有密切的关系。固定住初始时间formula_3和其对应的座标点formula_20;而准许时间上限formula_4和其对应的座标点formula_22的改变。取formula_4和formula_22为函数formula_17的参数。换句话说,作用量函数formula_17是拉格朗日量对于时间的不定积分:  更加地,可以证明formula_28是某常数向量formula_29。所以,
title: 哈密顿特征函数.
content: 假若,哈密顿量formula_31是守恒的;  其中,formula_33是常数。  设定哈密顿特征函数formula_34为  则哈密顿特征函数formula_34是一个作用量。  更加地,  对于时间积分:  这正是简略作用量的方程序。
title: 哈密顿-雅可比方程序解答.
content: 哈密顿-雅可比方程序是经典力学的一种表述。假若,哈密顿-雅可比方程序是完全可分的;则哈密顿主函数formula_39分出的每一个项目formula_40也称为"作用量"。
title: 作用量-角度座标.
content: 这变量formula_41称为广义座标formula_44的作用量;相应的正则座标是角度formula_45。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分向量;这里,只有一个纯量变量formula_44被用来积分。作用量formula_41等于,随着formula_44沿着闭路径,formula_49的改变。应用于几个有趣的物理系统,formula_41或者是常数,或者改变非常地慢。因此,formula_41时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。
title: 哈密顿流作用量.
content: 参阅重言1形式。
title: 数学导引.
content: 哈密顿原理阐明,如果一个物理系统在两个时间点formula_3、formula_4的运动是正确运动,则作用量泛函formula_2的一次变分formula_55为零。用数学方程序表示,定义作用量为  其中,formula_57是系统的拉格朗日函数,广义座标formula_58是时间的函数。  假若,formula_5乃系统的正确运动,则formula_60。  从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程序.假设formula_5是系统的正确运动,让formula_62成为一个微扰formula_63;微扰在轨道两个端点的值是零:  取至formula_62的一阶微扰,作用量泛函的一次变分为  这里,将拉格朗日量formula_7展开至formula_62的一阶微扰。  应用分部积分法于最右边项目,  边界条件formula_70使第一个项目归零。所以,  要求作用量泛函formula_2平稳。这意味着,对于正确运动的任意微扰formula_62,一次变分formula_74必须等于零:  请注意,还没有对广义座标formula_5做任何要求。现在,要求所有的广义座标都互相无关(完整限制)。这样,根据变分法基本引理,可以得到拉格朗日方程序:  在各个物理学领域,拉格朗日方程序都被认为是非常重要的方程序,能够用来精确地理论分析许多物理系统。  对应于广义座标formula_44的广义动量formula_79,又称为共轭动量,定义为  假设formula_7不显性地跟广义座标formula_44有关,  则广义动量formula_84是常数。在此种状况,座标formula_44称为循环座标。举例而言,如果用极座标系formula_86来描述一个粒子的平面运动,而formula_7与formula_88无关,则广义动量是守恒的角动量。

Summary: 在物理学里,作用量(英语:action)是一个很特别、很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程序方法大不相同,作用量也可以被用来分析物理系统的运动,所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态,初始状态与最终状态,然后,经过求解作用量的平稳值,就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。

Action (physique): En physique théorique, l’action est une grandeur physique, caractérisant globalement l'état d'un système et son évolution. C'est une grandeur fonctionnelle, qui prend en argument la trajectoire du système et la décrit globalement par un scalaire. L'évolution du système obéit au principe de moindre action, ce qui permet de déterminer en chaque point de la trajectoire l'équation du mouvement gouvernant le futur de ce système.