斯特林数

title: 第一类斯特林数.
title: 定义.
content: 可以定义为对应递降阶乘展开式的各项系数,即 formula_1 其中,formula_2(formula_3)即为第一类斯特林数。例如: 则 于是formula_6, formula_7, formula_8, formula_9。  由此可知,formula_2是代数数,或称为有符号(第一类)斯特林数(英语:signed Stirling numbers of the first kind)。  有符号斯特林数的绝对值formula_11可以看作(或直接定义为)把formula_12个元素排列成formula_13个非空圆圈(循环排列)的方法数目。所以formula_11是算术数,或称为无符号(第一类)斯特林数(英语:unsigned Stirling numbers of the first kind)。无符号斯特林数一般可以记为formula_15或formula_16。例如:把formula_17,formula_18,formula_19三个数排列成formula_20个非空圆圈,显然有零种方法;排列成formula_17个非空圆圈,有formula_22,formula_23两种方法;排列成formula_18个非空圆圈,有formula_25formula_26,formula_27formula_28和formula_29formula_30三种方法;排列成formula_19个非空圆圈,有formula_25formula_30formula_28一种方法,所以formula_35formula_36,formula_37,formula_38。可以看到这和前面有符号斯特林数formula_2在formula_40时的结果一致(只是符号差异)。  与有符号斯特林数类似,无符号斯特林数可以定义为对应递进阶乘展开式的各项系数,即 其中,formula_16(formula_3)即为无符号斯特林数。不过要注意,这里的记号formula_16有时候会用来表示高斯二项式系数。  有符号斯特林数和无符号斯特林数有如下关系:
title: 拓展示例.
content: 无符号斯特林数有更多的应用。例如,将formula_12个元素分成formula_13组,每组内的元素再进行排列的方法数目即可用无符号斯特林数formula_16求得。以formula_49为例:  或用有向图表示如下:
title: 递推关系式.
content: 无符号斯特林数有如下递推关系式: 其中,formula_51,且初始条件为 formula_52,formula_53(formula_54)。  有符号斯特林数有如下递推关系式:
title: 第一类斯特林数表.
content: 下表其实是一部分无符号斯特林数,要想获得有符号斯特林数,可以通过它们之间的关系式: 求得。
title: 简单性质.
content: 观察前面的“第一类斯特林数表”,我们可以得到一些简单的性质:  如果formula_60,我们有 或更一般地,如果formula_62,我们有  还有  注:这里记号formula_69表示组合数。
title: 第二类斯特林数.
title: 定义.
content: 与第一类斯特林数类似,可以用递降阶乘定义为 其中,formula_71即为第二类斯特林数,也可以记为formula_72。例如: 即 将递降阶乘展开并合并同类项,得 比较等式两边系数,得 解得  formula_77,formula_78,formula_79,formula_80。  第二类斯特林数计算的是将含有formula_12个元素的集合拆分为formula_13个非空子集的方法数目。例如:对于集合formula_83,若拆分为formula_20个非空子集,显然有零种方法;拆分为formula_17个非空子集,只有formula_83一种方法;拆分为formula_18个非空子集,有formula_88formula_89,formula_90formula_91,formula_92formula_93三种方法;拆分为formula_19个非空子集,有formula_88formula_92formula_91一种方法。于是formula_77,formula_78,formula_79,formula_80。  第二类斯特林数可以使用以下公式进行计算:  取formula_103进行验算,有 即 于是
title: 拓展示例.
content: 将formula_12个人分成formula_13组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人,若所有人分成formula_17组,只能所有人在同一组,因此formula_110;若所有人分成formula_111组,只能每人独立一组,因此formula_112;若分成formula_18组,可以是甲乙一组、丙丁一组,或甲丙一组、乙丁一组,或甲丁一组、乙丙一组,或其中三人同一组另一人独立一组,即:  因此formula_114。同理,可以得到formula_115。
title: 递推关系式.
content: 第二类斯特林数有与第一类斯特林数类似的递推关系式:  其中,formula_51,且初始条件为 formula_118,formula_119(formula_54)。
title: 第二类斯特林数表.
content: 下面为部分第二类斯特林数:
title: 简单性质.
content: 观察前面的“第二类斯特林数表”,我们可以得到一些简单的性质:  如果formula_60,我们有 或更一般地,如果formula_62,我们有  还有
title: 其他性质.
content: 贝尔数和第二类斯特林数有如下关系:
title: 两类之间的关系.
content: 第一类和第二类斯特林数可以看作互为逆矩阵的关系:  以及  其中,formula_138是克罗内克尔δ。
title: 拉赫数.
title: 定义.
content: 是由在1954年发现的,因为拉赫数与斯特林数关系密切,所以有时拉赫数也被称为第三类斯特林数。可以用递进阶乘和递降阶乘定义为  或  其中, formula_141即为拉赫数。例如:  即  等式两边展开并合并同类项,得  比较等式两边系数,得  解得 formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  或  即  等式两边展开并合并同类项,得  比较等式两边系数,得  解得 formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  以上定义的拉赫数是无符号拉赫数(英语: signed Lah numbers),有符号拉赫数(英语:signed Lah numbers)的定义如下:  或  无符号拉赫数计算的是将含有formula_12个元素的集合拆分为formula_13个非空线性有序子集的方法数目。例如:对于集合formula_83,若拆分为formula_20个非空线性有序子集,显然有零种方法;拆分为formula_17个非空线性有序子集,有formula_165,formula_166,formula_167,formula_168,formula_169,formula_170六种方法;拆分为formula_18个非空线性有序子集,有formula_172formula_173,formula_172formula_175,formula_176formula_177,formula_176formula_179,formula_180formula_181,formula_180formula_183六种方法;拆分为formula_19个非空线性有序子集,有formula_172,formula_176,formula_180一种方法。于是formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  无符号拉赫数可以使用以下公式进行计算:  有符号拉赫数可以使用以下公式进行计算:
title: 递推关系式.
content: 无符号拉赫数有如下递推关系:  或  其中,formula_196,formula_196,formula_198(formula_62),formula_200
title: 拉赫数表.
content: 下面为部分无符号拉赫数:
title: 简单性质.
content: 观察前面的“拉赫数表”,我们可以得到一些简单性质:  formula_201, formula_202(formula_54)  如果formula_204,有 formula_201,formula_206  还有
title: 其他性质.
content: 无符号拉赫数计算公式可以作进一步拓展:  无符号拉赫数与两类斯特林数都有关系,关系如下:  取formula_216进行验算,有  即  于是  由无符号拉赫数与两类斯特林数之间的关系,考虑到两类斯特林数之间的关系,有  其中,formula_138是克罗内克尔δ。
title: 三类之间的关系.
content: 三类斯特林数以及乘方、阶乘之间的关系可以用下图表示:

Summary: 在数学中,用于解决各种数学分析和组合数学问题,斯特林数是两组不同的数,均是18世纪由 引入并以其命名,以'和'的称呼区分。此外,有时候也将称为第三类斯特林数。

Stirling number: In mathematics, Stirling numbers arise in a variety of analytic and combinatorial problems. They are named after James Stirling, who introduced them in the 18th century. Two different sets of numbers bear this name: the Stirling numbers of the first kind and the Stirling numbers of the second kind. Additionally, Lah numbers are sometimes referred to as Stirling numbers of the third kind. Each kind is detailed in its respective article, this one serving as a description of relations between them.