黎曼球面

title: 作为复流形.
content: 作为一维复流形,黎曼曲面可以由两个图卡描述,每个的定义域都是复数平面formula_5.令formula_6和formula_7为formula_5上的复座标。将非零复数formula_6和非零复数formula_7用如下转移映射等同起来: 因为这些变换映射为全纯函数,他们定义了一个复流形,称为黎曼球面。  直观地来看,这些变换映射表示了如何将两个平面粘合成一个黎曼球面。两个面用一种"从里翻出来"的方式粘合,所以他们几乎处处重合,每个平面(用自己的原点)贡献对方平面上缺少的一点。换言之,(几乎)所有黎曼球面上的点既有formula_6值也有formula_7值,而两个值由formula_15关联。formula_16处的点应该具有formula_6值 "formula_18";从这个意义上讲,formula_7-图的原点是formula_6-图上的"formula_21"。对称地,formula_6-图的原点对应于formula_7-图上的formula_21.  拓扑上,最后的结果是从平面到球面的单点紧致化。但是,黎曼球面不单单是一个拓扑球面。它是具有复结构的拓扑球面,所以球面上的每个点都有一个领域可以通过双全纯函数和formula_5同胚。  另一方面,黎曼曲面分类的的中心结果单值化定理,断言唯一的单连通一维复流形为复平面、双曲平面、和黎曼球面。在这三者中,黎曼球面是唯一的闭曲面(无边界的紧致曲面)。因此二维球面只有唯一的复结构将它变为一维复流形。
title: 作为复射影线.
content: 黎曼球面也可以定义为复射影线。这也就是formula_26的子集,由所有非零复数对formula_27构成,模如下等价关系: 对于所有非零复数formula_29成立。复平面formula_5用座标formula_6,可以映射到复射影线: 另一个formula_5用座标formula_7也映射到复射影线 这两个复图覆盖整个射影线。对于非零formula_7,等同关系: 给出了变换映射formula_15和formula_39,同上文一致。  这个黎曼球面的定义和射影几何直接相关。例如任何复射影平面上的直线(或者光滑圆锥曲线)双全纯等价于复射影线。这个表达对于研究下文所述的球面的自同构也很方便。
title: 作为球面.
content: 黎曼球面可以显示为三维实空间formula_40中的单位球面formula_41.为此,考虑从单位球减去一点formula_42到(赤道)平面formula_43的球极投影,可以将该平面等同于复平面formula_44.在笛卡尔坐标系formula_45和球面坐标系formula_46中(其中formula_47为天顶角而formula_48为方位角),该投影为 类似的,从formula_50到formula_51平面的球极投影将另一份复平面formula_52等同于赤道平面,记为 (两份复平面和平面formula_51的对应方式不同。必须使用定向翻转来保证球面上定向的一致性,实际上复共轭使得变换映射成为全纯函数。)formula_6-座标和formula_7-座标之间的变换函数可以通过将其中一个映射和另一个的逆的复合得到。它们就是如上所述的formula_15和formula_39。因此单位球面和黎曼球面微分同胚。  在这个微分同胚下,formula_6-图中的单位圆,formula_7-图中的单位圆,以及单位球面的赤道可以等同起来。单位圆盘formula_61和南半球面formula_62,单位圆盘formula_63和北半球面formula_64分别等同。
title: 度量.
content: 黎曼曲面没有特定的黎曼度量。但是,黎曼曲面的复结构的确在共形等价下确定了唯一的度量。(两个度量称为共形等价,如果他们的区别只是一个正光滑函数的因子。)反过来,可定向曲面上的任意度量唯一的决定一个复结构,该结构在共形等价下依赖于该度量。因此可定向曲面的复结构和该曲面上的度量的共形类有一一对应。  给定共形类,可以用共形对称性找到一个有合适属性的代表度量。精确地讲,每个共形类总是有一个常曲率完备度量。  在黎曼球面的情况,高斯-博内定理表明常曲率度量必须有正的曲率"K"。因而该度量必须通过球极投影等度于formula_40中半径为formula_66的球面。对于黎曼球面上的formula_6-图,formula_68度量可以给出如下: 在实座标formula_70中,该公式为: 除了一个常数因子,该度量和复射影空间(黎曼球面就是一个特例)中的富比尼-施图迪度量一样。  反过来,令"S"代表(作为微分流形或者拓扑流形的)球面。按照单值化定理,存在唯一的"S"上的复结构。由此可见,"S"上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此"圆球"度量不是黎曼球面的内在度量,因为"圆形"并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是,如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量,圆形度量是一个很自然的选择。
title: 自同构.
content: 理解数学对象的自同构群有助于对该对象的研究,自同构也就是对象到自身保持其基本结构不变的映射。对于黎曼球面,自同构就是黎曼球面到自身的可逆双全纯映射。唯一可能的这样的映射只有莫比乌斯变换。这些变换有如下形式: 其中formula_73、formula_74、formula_75、和formula_76为复数,满足formula_77.莫比乌斯变换的例子包括膨胀,旋转,平移,和复倒数。事实上,所有莫比乌斯变换可以有这些特例的复合得到。  将莫比乌斯变换视作复射影线上的变换很有益。在射影座标下,变换formula_78可以写作 这样,莫比乌斯变换可以表述为行列式非零的formula_80复矩阵;两个矩阵产生同样的莫比乌斯变换当且仅当他们只差一个非零常数。这样莫比乌斯变换恰好对应于射影线性变换formula_81.  如果赋予黎曼球面富比尼-施图迪度量,则不是所有的莫比乌斯变换是等度的;例如膨胀和平移就不是。等度变换构成formula_81的一个子群,也即formula_83.该子群同构于旋转群formula_84,它是单位球在formula_40中的等度群。
title: 应用.
content: 复分析中,复平面(或者任何黎曼曲面)上的的亚纯函数是两个全纯函数formula_78和formula_87的比值formula_88.作为到复数的映射,任何formula_87为零的地方,它就没有定义。但是,它引出了一个全纯映射formula_90到复射影线,甚至在formula_91处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如,紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射,但是有很多到复射影线上的全纯映射。  黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中,复射影线上的点是光子极化态,自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中,弦的世界面是黎曼曲面,而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。

Summary: 数学上,黎曼球面是一种将复数平面加上一个无穷远点的扩张,使得下面这类公式至少在某种意义下有意义 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为

Riemann sphere: In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane, the complex plane plus a point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value ∞ for infinity. With the Riemann model, the point "∞" is near to very large numbers, just as the point "0" is near to very small numbers.