幂

title: 运算律.
content: 加法和乘法存在交换律,比如:formula_32,formula_33,但是幂的运算不存在交换律,formula_34,但是formula_35。  同样,加法和乘法存在结合律,比如:formula_36,formula_37,尽管formula_38,但是formula_39。
title: 整数指数幂.
content: 整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。
title: 正整数指数幂.
content: 表达式formula_40被称作formula_41的平方,因为边长为"formula_41"的正方形面积是formula_43。  表达式formula_44被称作"formula_41"的立方,因为边长为"formula_41"的正方体体积是formula_47。  所以formula_48读作"3的平方",formula_49读作"2的立方"。  指数表示的是底数反复相乘多少次。比如formula_50,指数是5,底数是3,表示3反复相乘5次。  或者,整数指数幂可以递归地定义成:
title: 指数是1或者0.
content: 注意formula_52表示仅仅1个3的乘积,就等于3。  注意formula_53,formula_54,formula_55,formula_56,  继续,得到formula_57,所以formula_58  另一个得到此结论的方法是:通过运算法则formula_59  当formula_60时,formula_61
title: 零的零次方 formula_62.
content: formula_62 其实还并未被数学家完整的定义,但部分看法是formula_64,在程序语言中(python) formula_65  英版wiki之零的零次方字条(Zero to the power of zero)  在这里给出这一种极限的看法  formula_66 于是,可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值,如图
title: 负数指数.
content: 我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。  对于非零formula_41定义  而formula_70时分母为 0 没有意义。  证法一:  根据定义formula_71,当formula_72时 得formula_74, 所以formula_75。  证法二:  通过运算法则formula_76  当formula_77时,可得formula_78  负数指数formula_79还可以表示成1连续除以formula_3个formula_41。比如:
title: 特殊数的幂.
title: 10的幂.
content: 在十进制的计数系统中,10的幂写成1后面跟着很多个0。例如:formula_83  因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如:299,792,458(真空中光速,单位是米每秒),可以写成 formula_84,近似值 formula_85 或 formula_86.  国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字,比如:词头“千”就是 formula_87,词头“毫”就是 formula_88
title: 1的幂.
content: 1的任何次幂都为1
title: 0的幂.
content: 0的正数幂都等于0。  0的负数幂没有定义。  任何非0之数的0次方都是1;而0的0次方是悬而未决的,某些领域下常用的惯例是约定为1。但某些教科书表示0的0次方为无意义。也有人主张定义为1。
title: 负1的幂.
content: -1的奇数幂等于-1  -1的偶数幂等于1
title: 指数非常大时的幂.
content: 一个大于1的数的幂趋于无穷大,一个小于-1的数的幂趋于负无穷大 一个绝对值小于1的数的幂趋于0 1的幂永远都是1  如果数"a"趋于1而它的幂趋于无穷,那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是: 参见e的幂  其他指数的极限参见幂的极限
title: 正实数的实数幂.
content: 一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。
title: N次方根.
content: 一个数formula_41的formula_3次方根是formula_105,"formula_105"使formula_107。  如果"formula_41"是一个正实数,"formula_3"是正整数,那么方程formula_107只有一个正实数根。 这个根被称为"formula_41"的"formula_3"次方根,记作:formula_113,其中formula_114叫做根号。或者,"formula_41"的"formula_3"次方根也可以写成formula_117. 例如formula_118  当指数是formula_119时根号上的2可以省略,如:formula_120
title: 有理数幂.
content: 有理数指数通常可以理解成
title: e的幂.
content: 这个重要的数学常数"e",有时叫做欧拉数,近似2.718,是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的:  指数函数的定义是:  可以很简单地证明"e"的正整数"k"次方formula_124是:
title: 实数指数幂.
content: 因为所有实数可以近似地表示为有理数,任意实数指数"x"可以定义成:  例如: 于是  实数指数幂通常使用对数来定义,而不是近似有理数。  自然对数formula_133是指数函数formula_134的反函数。 它的定义是:对于任意formula_135,满足 根据对数和指数运算的规则: 这就是实数指数幂的定义:  实数指数幂formula_139的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数,这种定义更加常用。
title: 负实数的实数幂.
content: 如果formula_41是负数且formula_3是偶数,那么formula_142是正数。 如果"formula_41"是负数且"formula_3"是奇数,那么formula_142是负数。  使用对数和有理数指数都不能将formula_146(其中"formula_41"是负实数,formula_148实数)定义成实数。在一些特殊情况下,给出一个定义是可行的:负指数的整数指数幂是实数,有理数指数幂对于formula_149(formula_3是奇数)可以使用"formula_3"次方根来计算,但是因为没有实数formula_105使formula_153,对于formula_149("formula_3"是偶数)时必须使用虚数单位formula_156。  使用对数的方法不能定义formula_157时的formula_146为实数。实际上,formula_134对于任何实数"formula_105"都是正的,所以formula_161对于负数没有意义。  使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数formula_41因为它依赖于连续性。函数formula_163对于任何正的有理数formula_41是连续的,但是对于负数"formula_41",函数formula_166在有些有理数formula_167上甚至不是连续的。  例如:当formula_168,它的奇数次根等于-1。所以如果"formula_3"是正奇数整数,formula_170当formula_21是奇数,formula_172当"formula_21"是偶数。虽然有理数formula_174使formula_175的集合是稠密集,但是有理数formula_174使formula_177的集合也是。所以函数formula_178在有理数域不是连续的。
title: 正实数的复数幂.
title: e的虚数次幂.
content: 复数运算的几何意义和"e"的幂可以帮助我们理解formula_179("formula_105"是实数),即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形formula_181(括号内是复数平面内三角形的三个顶点),对于足够大的formula_3,这个三角形可以看作一个扇形,这个扇形的中心角就等于formula_183弧度。对于所有formula_148,三角形formula_185互为相似三角形。所以当"formula_3"足够大时formula_187的极限是复数平面上的单位圆上formula_105弧度的点。这个点的极坐标是formula_189,直角坐标是formula_190。所以formula_191,而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式,它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。  等式formula_192的解是一个整数乘以formula_193:  更一般地,如果formula_195,那么formula_196的每一个解都可以通过将formula_193的整数倍加上formula_2得到:  这个复指数函数是一个有周期formula_193的周期函数。  更简单的:formula_201。
title: 三角函数.
content: 根据欧拉公式,三角函数余弦和正弦是:  历史上,在复数发明之前,余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程 使用了复数指数幂之后,很多三角学问题都能够使用代数方法解决。
title: e的复数指数幂.
content: formula_204可以分解成formula_205。其中formula_134是formula_204的模,formula_208决定了formula_204的方向
title: 正实数的复数幂.
content: 如果formula_41是一个正实数,formula_211是任何复数,formula_212定义成formula_213,其中formula_214是方程formula_215的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。  例如:
title: 复数的复数幂.
title: 虚数的纯虚数幂.
content: 让我们从一个简单的例子开始:计算formula_220。  formula_221  其中formula_222的得法参见上文正实数的复数幂
title: 虚数的虚数幂.
content: 类似地,在计算虚数的虚数幂时,我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算formula_223:  formula_224
title: 在函数中.
content: 当函数名后有上标的数(即函数的指数),一般指要重复它的运算。例如formula_225即formula_226。特别地,formula_227指formula_228的反函数。  但三角函数的情况有所不同,一个正指数应用于函数的名字时,指答案要进行乘方运算,而指数为-1时则表示其反函数。例如:formula_229表示formula_230。因此在三角函数时,使用formula_231来表示formula_232的反函数formula_233。
title: 计算自然数(正整数)"formula_3"的formula_235的算法.
content: 最快的方式计算formula_235,当formula_3是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的,和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。  伪代码:  在C/C++语言中,你可以写如下算法:  此算法的时间复杂度为formula_238,比普通算法快(a自乘100次,时间复杂度为formula_239),在formula_3较大的时候更为显著。  例如计算formula_241,普通算法需要算100次,上述算法则只需要算7次。若要计算formula_242可先以上述算法计算formula_243,再作倒数。

Summary: 幂运算(英语:Exponentiation),又称指数运算,是数学运算,表达式为formula_1,读作“formula_2的formula_3次方”或「formula_2的formula_3次幂」。其中,formula_2称为底数,而formula_3称为指数,通常指数写成上标,放在底数的右边。当不能用上标时,例如在编程语言或电子邮件中,formula_1通常写成b^n或b**n;也可视为超运算,记为b[3]n;亦可以用高德纳箭号表示法,写成b↑n。

Exponentiation: Exponentiation is a mathematical operation, written as, involving two numbers, the "base" and the "exponent" or "power". When is a positive integer, exponentiation corresponds to repeated multiplication of the base: that is, is the product of multiplying bases: