二项式系数

title: 历史及记号.
content: 虽然二项式系数在公元10世纪就已经被发现(见帕斯卡三角形),但表达式 formula_6却是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用。最早探讨二项式系数的论述是十世纪的 Halayudha写的印度教典籍《Pingala的计量圣典》(chandaḥśāstra)。约1150年,印度数学家Bhaskaracharya于其著作《Lilavati》 中给出一个简单的描述。  二项式系数亦有不同的符号表达方式,包括:formula_15、formula_16、formula_17、formula_18、formula_19,其中的 C 代表组合(combinations)或选择(choices)。很多计算机使用含有 C 的变种记号,使得算式只占一行的空间,相同理由也发生在置换数 formula_20,例如写作 P("n", "k")。
title: 定义及概念.
content: 对于非负整数formula_7和formula_8,二项式系数formula_6定义为formula_2的多项式展开式中,formula_3项的系数,即  事实上,若formula_27、formula_28为交换环上的元素,则  此数的另一出处在组合数学,表达了从"formula_7"物中,不计较次序取"formula_8"物有多少方式,亦即从一"formula_7"元素集合中所能组成"formula_8"元素子集的数量。此定义与上述定义相同,理由如下:若将幂formula_34的"formula_7"个因子逐一标记为formula_36(从1至"formula_7"),则任一"formula_8"元素子集则建构成展式中的一个formula_39项,故此该单项的系数等如此种子集的数量。亦因此,就任何自然数"formula_7"和"formula_8"而言,formula_6亦为自然数。此外,二项式系数亦见于很多组合问题的解答中,如由"formula_7"个位元(如数字0或1)组成的所有序列中,其和为"formula_8"的数目为formula_6,又如算式formula_46,其中每一formula_47均为非负整数,则有formula_48种写法。这些例子中,大部分可视作等同于点算"formula_8"个元素的组合的数量。
title: 计算二项式系数.
content: 除展开二项式或点算组合数量之外,尚有多种方式计算formula_6的值。
title: 递归公式.
content: 以下递归公式可计算二项式系数:  其中特别指定:  此公式可由计算formula_54中的"formula_39"项,或点算集合formula_56的"formula_8"个元素组合中包含"formula_7"与不包含"formula_7"的数量得出。  显然,如果formula_60,则formula_61。而且对所有"formula_7",formula_63,故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。
title: 乘数公式.
content: 个别二项式系数可用以下公式计算:  上式中第一个分数的分子是一阶乘幂。此公式可以二项式系数在计算组合数量的意义理解:分子为从"formula_7"个元素中取出"formula_8"个元素的序列之数量,当中包含同样的元素但不同排列次序的序列。分母则计算同样的"formula_8"个元素可有多少种排序方式。
title: 阶乘公式.
content: 二项式系数最简洁的表达式是阶乘:  其中「formula_69」是"formula_7"的阶乘,此公式从上述乘数公式中分子分母各乘以formula_71取得,所以此公式中的分子分母有众同共同因子。除非先行抵销两边中的共同因子,否则以此公式进行计算时较率欠佳,尤因阶乘的数值增长特快。惟此公式展示了二项式系数的对称特性:
title: 一般化形式及其与二项式级数的关系.
content: 若将"formula_7"换成任意数值(负数、实数或复数)formula_73,甚至是在任何能为正整数给出逆元素的交换环中的一元素,则二项式系数可籍乘数公式扩展:  此定义能使二项式公式一般化(其中一单项为1),故formula_75仍能相称地称作二项式系数:  此公式对任何复数"formula_73"及formula_77,formula_78时成立,故此亦可视作formula_77的幂级数的恒等式,即系数为常数1,任意幂之级数定义,且在此定义下,对于幂的恒等式成立,例如  若"formula_73"是一非负整数"formula_7",则所有formula_60的项为零,此无穷级数变成有限项的和,还原为二项式公式,但对于"formula_73"的其他值,包括负数和有理数,此级数为无穷级数。
title: 帕斯卡三角形 (杨辉三角).
content: 帕斯卡法则是一重要的递归等式:  此式可以用于数学归纳法,以证明formula_85对于所有"formula_7"和"formula_8"均为自然数(等同于证明formula_88为所有"formula_8"个连续整数之积的因子),此特性并不易从公式(1)中得出。  帕斯卡法则建构出帕斯卡三角形:  第"formula_7"横行列出formula_85的formula_92项,其建构方法为在外边填上1,然后将上一行中每两个相邻数相加的和填在其下,此方法可快速地计算二项式系数而不涉及乘法或分数,例如从第5横行可马上得出  在斜线上相邻项的差就是上一斜线上的数值,此乃上述递归等式()的延伸意义。
title: 组合数学和统计学.
content: 二项式系数是组合数学中的重要课题,因其可用于众多常见的点算问题中,例如
title: 以多项式表达二项式系数.
content: 就任就非负整数"formula_8",formula_109可表达为一多项式除以formula_88:  此为带有理数系数,变量是formula_112的多项式,可对任意实数或复数"formula_112"运算以得出二项式系数,此「广义二项式系数」见于牛顿广义二项式定理。  就任意"formula_8",多项式formula_115可看成是惟一的"formula_8"次多项式formula_117满足formula_118及formula_119.  其系数可以第一类斯特灵数表示,即: formula_115之导数可以对数微分计算:
title: 以二项式系数为多项式空间之基底.
content: 在任何包含Q的域中,最多formula_123阶的多项式有惟一的线性组合formula_124。系数formula_125是数列formula_126的第"k"差分,亦即:
title: 整数值多项式.
content: 每一多项式formula_115在整数参数时均是整数值(可在"formula_8"上,用帕斯卡法则以归纳法证明)。故此,二项式系数多项式的整数线性组合亦为整数值。反之,()表达了任何整数值的多项式均是二项式系数多项式的整数线性组合。一般而言,对于一个特征0域"formula_8"的任何子环formula_130,在formula_131内的多项式在整数参数时之值均在"formula_130"内当且仅当该多项式是一二项式系数多项式的"formula_130"-线性组合。  整数值多项式formula_134可表达作:  从formula_136时formula_137用帕斯卡矩阵的逆可算出:  这种二项式系数多项式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。
title: 有关二项式系数的恒等式.
title: 关系式.
content: 阶乘公式能联系相邻的二项式系数,例如在"formula_8"是正整数时,对任意"formula_7"有:  两个组合数相乘可作变换:

Summary: 在数学上,二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言,二项式系数由两个非负整数 "n" 和 "k" 为参数决定,写作 formula_1,定义为 formula_2的多项式展开式中,formula_3项的系数,因此一定是非负整数。如果将二项式系数 formula_4写成一行,再依照 formula_5顺序由上往下排列,则构成帕斯卡三角形。

Binomial coefficient: In mathematics, the binomial coefficients are the positive integers that occur as coefficients in the binomial theorem. Commonly, a binomial coefficient is indexed by a pair of integers and is written formula_1 It is the coefficient of the term in the polynomial expansion of the binomial power, and it is given by the formula