索伯列夫空间

title: 简介.
content: 对于数学函数的光滑性有很多种。最基本的要求可能就是函数要连续,更进一步的要求是可微(因为可微函数也是连续的),再强一些的概念是导数的连续性(这些函数称为formula_1 — 参看光滑函数)。可微函数在很多领域相当重要,特别是在微分方程中。在二十世纪,人们发现formula_1函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。  而索伯列夫空间正是formula_1空间的替代品,用于研究偏微分方程的解。
title: 技术性讨论.
content: 我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始,也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下,索伯列夫空间formula_4定义为"L"的子集,使得"f"和它的直到"k"阶的导数有一个有限的"L"范数,对于某个给定的"p" ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中,假设formula_5是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分(这可以排除康托函数这样的例子)就足够了。  按照这个定义,索伯列夫空间有一个自然的范数,  赋予了范数formula_7的formula_4是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了,也即,如下的范数  和上述范数等价。
title: 例子.
content: 有些索伯列夫空间有简单的表述。例如,在一维情况,formula_10就是绝对连续函数空间,而"W"是李普希兹函数空间。还有,formula_11可以自然地用其傅立叶级数的术语定义,也就是  其中formula_13是"f"的傅立叶级数。和前面一样,可以采用等价的范数  两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以"in"这个事实导出。这个特殊情况很重要,因此有一个特别的符号,formula_15:
title: 非整数"k"的索伯列夫空间.
content: 为避免混淆,在讨论不是整数的"k"的时候,我们通常用"s"来取代它,也即formula_17或者formula_18。
title: "p" = 2的情形.
content: "p" = 2的情形是最简单的情形,因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为  而索伯列夫空间formula_18为具有有限范数的函数的空间。
title: 分数阶微分.
content: 如果"p"不是2,就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立,但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法,并且可以推广到非整数阶。因此,可以定义一个分数阶微分的算子其阶为s,如下所示  换句话说,取傅立叶变换,乘以formula_22再取逆傅立叶变换(定义为傅立叶-乘法-逆傅立叶的算子称为乘子,这本身也是一个研究主题)。这使得我们可以定义formula_23的索伯列夫范数如下  而且,跟平常一样,索伯列夫空间是有有限索伯列夫范数的函数的空间。
title: 复插值.
content: 获取“分数索伯列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术:对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间"X"及"Y",且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中,我们可以创建“过渡空间”,记为["X","Y"]。(后面将会讨论到一个不同的方法,所谓的实插值方法,它对于迹的分类的索伯列夫理论有重要的意义)。 这样的空间"X"和"Y"称为插值对。  下面提一些关于复插值的有用的定理:  "定理 (插值): "[ ["X,Y"], ["X,Y"] ] = ["X,Y"].  "定理 (算子的插值): 若"{"X,Y"}"和"{"A,B"}"是插值对,并且若T是一个线性映射,定义与X"+"Y到A"+"B中,使得T在X到A和Y到B上连续,则T从"["X,Y"]"到"["A,B"]"上连续。并且有如下的插值不等式:"  formula_25  参看: Riesz-Thorin定理。  回到索伯列夫空间上来,我们要通过对几个formula_4的插值得到非整数"s"的formula_17。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果,而我们确实有  "定理: formula_28,如果n是一个整数使得n=tm。"  因此,复插值是一个得到一个空间formula_4之间的空间formula_17的一个连续统的一致的方法。而且,它给出了和分数阶微分同样的空间(但参看延拓算子中的一个变化)。
title: 多维情况.
content: 现在考虑在R及其子集上的索伯列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换,将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度,从定义就开始变化。formula_5是formula_32的积分这个条件无法一般化,而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。  由此可以得到一个形式化的定义。令"D"为R中开集。定义索伯列夫空间  为定义于"D"上的函数"f"的族,使得对于满足下式的每个多重索引formula_34  formula_36是一个函数,且  在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些"L"范数的和。它是完备的,因此是一个巴拿赫空间。  实际上,这个方法在一维也成立,并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。
title: 例子.
content: 在多维情况,有些结果不再成立,例如,formula_10只包含连续函数。例如,1/|"x"|属于formula_39,其中formula_40是三维的单位球。对于足够大的"k",formula_41将只包含连续函数,但是对于哪个"k"才够取决于"p"以及维数这二者。  但是,"W"和formula_11的表述在做了必要的修改之后还是成立的。
title: 索伯列夫嵌入.
content: 索伯列夫空间formula_43是formula_44的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的"L"空间包含formula_43?索伯列夫嵌入定理给出一个简单的表达(参看):  "定理:令formula_46且formula_47。则如下命题成立:"
title: 迹.
content: 令"s" > 1⁄2。若"X"为开集,使得其边界 "G""足够光滑",则我们可以定义映射"P"的"迹"(也即,"限制")如下  也即,"u"限制到边界"G"上。一个可能的光滑条件是一致formula_55, "m" ≥ "s"。 (但是注意,这个矩阵迹没有关系。)  这个迹映射"P"其定义域为formula_56,而其像正好是formula_57。如果要完全角式化,"P"首先定义在无穷可微函数上,并且通过连续性扩展到整个formula_56。注意取迹'失去了半个导数'。  确定formula_17的迹映射的像要困难很多,需要使用实插值这个工具,在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上,在formula_17空间的情形,我们不是失去半个导数,我们失去了1/"p"个导数。
title: 延拓算子.
content: 若"X"是开域,其边界不是太不良(例如,如果其边界为流形,或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”)则存在一个算子"A"将"X"的函数到R的函数,使得:  我们称算子"A"为"X"的延拓算子。  延拓算子是最自然的定义非整数"s"的formula_56方法(我们不能直接在"X"进行,因为取傅立叶变化是一个整体操作)。我们定义formula_56为:"u"属于formula_56当且仅当"Au"属于formula_66。等价的有,复插值产生同样的formula_56空间只要"X"存在一个延拓算子。如果"X"没有一个延拓算子,复插值是唯一取得formula_56空间的办法。  因此,插值不等式仍然成立。
title: 用零延拓.
content: 我们定义formula_69为无穷可微紧支撑函数的空间formula_70在formula_56中的闭包。给定一个迹的定义如上,我们可以给出如下命题  "定理:令X为一致C正规空间,m ≥ s并令P为线性映射,将formula_56中的u映射到"  "其中d/dn是垂直于G的导数,而k是最大的小于s的整数。则formula_74正好是P的核。"  若formula_75,我们可以一种自然的方式定义它的零延拓formula_76,也就是  "定理:令s>1⁄2。将u变为formula_80的映射是到formula_81中的连续映射,当且仅当s不是形为n+1⁄2(对于某个整数n)。"

Summary: 数学上,一个索伯列夫空间是一个由函数组成的赋范向量空间,对于某个给定的"p" ≥ 1,它对一个函数"f"和它的直到某个"k"阶导数加上有限"L"范数的这个条件。它以前苏联数学家舍盖·索伯列夫来命名。

Sobolev space: In mathematics, a Sobolev space is a vector space of functions equipped with a norm that is a combination of "L"-norms of the function together with its derivatives up to a given order. The derivatives are understood in a suitable weak sense to make the space complete, i.e. a Banach space. Intuitively, a Sobolev space is a space of functions possessing sufficiently many derivatives for some application domain, such as partial differential equations, and equipped with a norm that measures both the size and regularity of a function.