霍奇对偶

title: 维数与代数.
content: 霍奇星算子在 "k"-形式空间与 ("n" -"k")-形式空间建立了一个对应。一个 "k"-形式在这个对于下的像称为这个 "k"-形式的霍奇对偶。"k"-形式空间的维数是  后一个空间的维数是  又由二项式系数的对称性,这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构;但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向,给出了一个特定的同构,因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 "k"-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。  第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 "V"。在这种情形,帕斯卡三角形相关行是  霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构,一个是 "V" 自己,另一个是 "V" 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质,但霍奇对偶在所有维数都有效。
title: 扩张.
content: 由于一个向量空间上 "k" 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 "k"-向量空间的对偶,霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样,霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数(即流形上的微分形式)上,可用来从外导数构造余微分(英语:codifferential),以及拉普拉斯-德拉姆算子,它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。
title: "k"-向量的霍奇星号的正式定义.
content: 一个定向内积向量空间 "V" 上的霍奇星算子是 "V" 的外代数(formula_3)上的一个线性算子,是 "k"-向量子空间(formula_4) 与 ("n-k")-向量子空间(formula_5) 之间的线性映射,这里 formula_6。它具有如下性质,这些性质完全定义了霍奇星算子:给定一个定向正交基 formula_7 我们有  其中 formula_9 是 formula_10 的一个偶排列。  特别是我们有,
title: 星算子的指标记法.
content: 使用指标记法,霍奇对偶由缩并一个 "k"-形式与 "n"-维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (det "g"),这里 "g" 是一个内积(如果 "g" 不是正定的,比如洛伦兹流形的切空间,则取行列式的绝对值)。  从而有  这里 η 是任意一个反对称 "k" 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 "g" 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号,所得是反对称的,因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。
title: 例子.
content: 星算子一个常见例子是在 "n" = 3,可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中,例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说,对欧几里得空间 R,容易发现  和 以及  这里 d"x"、d"y" 与 d"z" 是 R 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。  当 "n" = 4 时,霍奇对偶作用在第二外幂(6 维)上是自同态。它是一个对合,从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间,在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。  另一个有用的例子是 "n" = 4 闵可夫斯基时空,具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 ("t,x,y,z"),对1-形式有  对2-形式有
title: "k"-向量的内积.
content: 霍奇对偶在 "k"-向量空间上诱导了一个内积,即在 "V" 的外代数上。给定两个 "k"-向量 formula_26 与 formula_27,有  这里 ω 是正规化的体积形式。可以证明 formula_29 是一个内积,它是半双线性的,并定义了一个范数。反之,如果在 formula_30 上给了一个内积,则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义。  本质上,"V" 的正交基元素的楔积组成了 "V" 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上,可以证明体积形式能写做  其中 formula_32 是流形的度量。
title: 对偶性.
content: 当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶,不考虑符号的话,所得结果是外代数上一个恒等式。给定 "n"-维空间 "V" 上一个 "k"-向量 formula_33,我们有  这里 "s" 与 "V" 上内积的符号有关。具体说,"s" 是内积张量行列式的符号。例如,如果 "n" = 4 时,若内积的符号是 (+,-,-,-) 或 (-,+,+,+) 则 "s" = -1。对普通的欧几里得空间,符号总是正的,所以 "s" = +1。在普通向量空间,这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时,上面的内积理解为对角形式的度量。
title: 流形上的霍奇星号.
content: 在一个 "n"-维定向黎曼或伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造,将得到 "k"-形式的霍奇对偶,是一个 "n- k" 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L-范数。对 formula_35 的空间截面 formula_26 与 formula_27,其内积可写做  (截面的集合通常记做 formula_39;里面的元素称为外 "k"-形式。)  更一般地,在非定向情形,我们可以定义 "k"-形式的霍奇星号维一个 ("n - k")-伪微分形式;即取值于典范线丛的一个微分形式。
title: 余微分.
content: 霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义余微分 δ。令  这里 "d" 是外导数。对黎曼流形 "s" = +1 。  而  相比于外导数,余微分不是外代数上的反导子。  余微分在是外微分的伴随:  这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 "d"ω = 0,从而  拉普拉斯–德拉姆算子由  给出,是霍奇理论的核心。它有对称性:  以及非负:  霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理的一个推论,德拉姆上同调自然同构于调和 "k"-形式空间,从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构 通过庞加莱对偶性,这给出了 "H"("M") 与它的对偶空间的一个典范等价。
title: 三维中的导数.
content: formula_49 算子与外导数 formula_50 的组合推广了三维经典算子 grad、curl 和 div。具体做法如下:formula_50 将一个 0-形式(函数)变成 1-形式,1-形式变成 2-形式,2-形式变成 3-形式(应用到 3-形式变成零)。  1. 对一个 0-形式(formula_52),第一种情形,写成分量与 formula_53 算子等价:  2. 第二种情形后面跟着 formula_49,是 1-形式(formula_56)上一个算子,其分量是 formula_57 算子:  使用霍奇星号给出: 3. 最后一种情形,前面与后面都有一个 formula_49,将一个 1-形式(formula_56)变成 0-形式(函数);写成分量是 formula_62 算子:  这些表达式的一个好处是恒等式 formula_66,任何情形都成立,将 统一起来了。特别地,麦克斯韦方程组用外导数与霍奇星号表示时,有一个特别简单和优美的形式: 这里 formula_69 是四维洛伦兹时空中某个 2-形式,formula_70 是电流 3-形式。

Summary: 数学中,霍奇星算子(英语:Hodge star operator)或霍奇对偶(英语:Hodge dual)由苏格兰数学家威廉·霍奇(英语:Hodge)引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。

Hodge star operator: In mathematics, the Hodge star operator or Hodge star is a linear map defined on the exterior algebra of a finite-dimensional oriented vector space endowed with a nondegenerate symmetric bilinear form. Applying the operator to an element of the algebra produces the Hodge dual of the element. This map was introduced by W. V. D. Hodge.