可均群

title: 缘起.
content: 在formula_1上的勒贝格测度,存在不可测的有界子集。豪斯多夫研究能否在formula_1上定义新的测度,使之可以对所有有界子集都是可测的。他要求新的测度保留勒贝格测度的等距变换不变性,就是移动及反射一个有界子集,不会改变其测度。不过,新测度无需有勒贝格测度的σ可加性(可数无限可加性),就是可数无限个不相交子集的测度总和,等于其并集的测度。他只要求新测度满足较弱的有限可加性,就是有限个不相交子集的测度总和,等于其并集的测度。  但是,豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基后来的研究,发现了维度不小于3的formula_1中,任意两个有内点的有界子集,可以将其一分成有限块,再移动拼合成另一个,这就是著名的巴拿赫-塔斯基悖论。因此3维以上formula_1不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。  冯纽曼研究他们的证明,发现问题关键不是在formula_1的结构,而是在formula_1的旋转群上。3维以上的formula_1,其旋转群有子群是秩2的自由群;而2维时,旋转群没有这样的子群。  于是豪斯多夫原来的测度问题,可以把对象转到群上面。新的问题是:在一个群"G"上,是否存在有限可加的概率测度formula_8,是"G"-不变的,即是在"G"对其中的子集的群作用下不变:对任何formula_9和任何formula_10,formula_11。这样的概率测度称为不变平均。(函数以这测度积分,像是取加权平均。)由此产生了可均群的概念。因为有限可加测度不像σ可加测度有好的理论,便改为考虑与有限可加测度对应的连续线性泛函。
title: 外文名称.
content: 可均群的德文名称Mittelbare Gruppe,法文名称groupe moyennable,其中Mittel、moyenne分别为德文及法文中的平均一字,故此Mittelbare,moyennable两字意思就是可以有平均。英文名称amenable group,是英国数学家Mahlon M. Day所译,字面上与德文及法文不同,但这是藉谐音玩的文字游戏,因为amenable的英式读音,与"a mean able"相同(用美式读音就失去谐音效果),故此说出来其实也是「可以有一个平均」。
title: 定义.
content: 设"G"为局部紧群。"G"上存在左哈尔测度formula_8。考虑在测度空间formula_13上的复值本质有界函数空间formula_14。  线性泛函formula_15称为平均,如果formula_16的范数是1,并且是非负的:若实值函数formula_17适合formula_18,则formula_19。  如果formula_16是一个平均,则有formula_21,其中formula_22是"G"的特征函数。而且对任何实值函数formula_17, 其中ess sup和ess inf分别是函数的本质上确界和本质下确界。  一个平均是左不变的,如果对任何formula_25,formula_17,在左作用formula_27下,都有formula_28。  局部紧群"G"如果有一个左不变平均,就称为可均群。  可均群有很多等价定义。其中一个是Følner条件:  对任何formula_29,任何紧子集formula_30,都存在一个紧子集formula_31,formula_32,使得对所有formula_33都符合不等式 此处formula_35是对称差。  如果"G"是可数无限的离散群,Følner条件等价于: "G"中存在有限子集formula_36,使得对任何formula_37, 这样的formula_39称为Følner序列。
title: 性质.
content: 可均群的闭子群都是可均的。  若"H"是可均群"G"的闭正规子群,那么formula_40是可均群。  若"H"是局部紧群"G"的闭正规子群,而且"H"和formula_40都是可均群,那么"G"也是可均群。  设"G"是局部紧群,"I"是有向集合,formula_42是"G"的闭可均子群组成的网,对任何formula_43,有formula_44。那么formula_45是"G"的可均子群。
title: 例子.
content: 有限群是可均群。更一般地,紧群是可均群,其哈尔测度是一个不变平均。  整数群formula_46和实数群formula_47是可均群,一个在formula_48或formula_49中长度趋向无穷的有界区间序列是一个Følner序列。  局部紧的阿贝尔群是可均群。因此,局部紧的可解群是可均群:若"G"是局部紧的可解群,则有导出列 其中formula_51。每个formula_52都是阿贝尔群,所以是可均的,而平凡子群{1}也是可均群。从可均群的性质,得出"G"是可均群。  一个有限生成群"G"是次指数增长的,如果"G"中存在一个有限生成集合"S",有对称性formula_53,使得 次指数增长的有限生成群是可均群。  从定义知对每个formula_55,都存在formula_56使得 对每个formula_58,有formula_59。对任何formula_37都有formula_61。于是 每个formula_37都可写成formula_64。设formula_65, formula_66。用集合关系式formula_67,得出 因此 所以formula_70是一个Følner序列,故"G"是可均群。 设formula_71和formula_72是有限生成群,而formula_72是可均的。若formula_71拟等距同构于formula_72,那么formula_71也是可均群。  秩2的自由群formula_77不是可均群。 设"a","b"是formula_77的生成元。formula_77的元素都可以用"a","b"写成字。假设formula_77有不变平均"M"。考虑formula_77的一个子集"A","A"包含所有简约字以formula_82开首的元素。("n"是某个不等于0的整数。)那么"A", "bA", formula_83是formula_77的不相交子集,所以 另一方面,formula_86,所以 这两条不等式互相矛盾,故formula_77上不存在不变平均,即formula_77是非可均的。  所以一个群若包含formula_77为离散子群,则不是可均群。  如把"n"维空间formula_1的旋转群SO("n")看成离散群,则"n"不小于3时SO("n")包含formula_77为(离散)子群,因此是非可均群,但SO(2)是阿贝尔群,因此是可均群。这是巴拿赫-塔斯基悖论证明中的构造法在"n"不小于3时可行,在"n"等于2时不可行的原因。不过若用SO("n")原来的拓扑,则对所有"n",SO("n")都是紧群,所以都是可均群。  一个殆连通的局部紧群"G"是可均群,当且仅当"G"不包含formula_77为离散子群。(设formula_94是"G"的单位连通区。若formula_95紧致,则"G"称为殆连通群。)  冯纽曼猜想推测非可均群都有子群是秩2的自由群,但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他证明了塔斯基魔群是非可均的。"G"是一个塔斯基魔群,如果有一个固定的素数"p","G"中所有真子群除了平凡子群外,都是"p"阶循环群。所以塔斯基魔群没有子群是秩2的自由群。

Summary: 可均群是数学上一个特别的局部紧拓扑群"G",具备了一种为在"G"上的有界函数取平均的操作,而且"G"在函数上的群作用,不会改变所取得的平均。

Amenable group: In mathematics, an amenable group is a locally compact topological group "G" carrying a kind of averaging operation on bounded functions that is invariant under translation by group elements. The original definition, in terms of a finitely additive invariant measure (or mean) on subsets of "G", was introduced by John von Neumann in 1929 under the German name "messbar" ("measurable" in English) in response to the Banach–Tarski paradox. In 1949 Mahlon M. Day introduced the English translation "amenable", apparently as a pun on ""mean"".