二项式定理

title: 历史.
content: 二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献,他在17世纪描述了这一现象。但早在他之前,就曾有数学家进行类似的研究。例如,古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况。公元前三世纪,印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力罗摩发现。在同一时期,波斯数学家卡拉吉(数学家)和数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪,中国数学家杨辉也得到了类似的结果。卡拉吉(数学家)用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数。
title: 定理的陈述.
content: 根据此定理,可以将formula_14的任意次幂展开成和的形式  其中每个formula_16 为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于formula_17。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作  后面的表达式只是将根据formula_19与formula_20的对称性得出的,通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换formula_20得到的,所以它只涉及一个变量。在这种形式中,公式写作  或者等价地
title: 几何释义.
content: 对于正值formula_6和formula_3,二项式定理,在formula_26时是在几何上的明显事实,边为formula_27的正方形,可以切割成1个边为formula_6的正方形,1个边为formula_3的正方形,和2个边为formula_6和formula_3的长方形。对于formula_32,定理陈述了边为formula_27的立方体,可以切割成1个边为formula_6的立方体,1个边为formula_3的立方体,3个formula_36长方体,和3个formula_37长方体。  在微积分中,此图解也给出导数formula_38的几何证明。设formula_39且formula_40,将formula_3解释为formula_6的无穷小量改变,则此图解将无穷小量改变,显示为formula_7维超立方体 formula_44:  其中(针对formula_46的)线性项的系数是formula_47,将公式代入采用差商的导数定义并取极限,意味着忽略高阶项formula_48和更高者,产生公式:formula_38。若再进行积分,这对应于应用微积分基本定理,则得到卡瓦列里求积公式:formula_50。
title: 证明.
title: 数学归纳法.
content: 当formula_51,  假设二项展开式在 formula_53 时成立。若formula_54,formula_55
title: 组合方法.
content: 考虑formula_56,共7个括号相乘,从7个括号选出其中的4个括号中的formula_6,再从剩余的3个括号中选出3个formula_3相乘,便得一组formula_59,而这样的选法共有formula_60种,故总共有formula_60个formula_59;其他各项同理。  同理,formula_63,共formula_7个括号相乘,从"formula_7"个括号选出其中的formula_66个括号中的formula_6,再从剩余的formula_68个括号中选出formula_68个formula_3相乘,便得一组formula_71,而这样的选法共有formula_72种,故总共有formula_72个formula_71;其他各项同理。
title: 不尽相异物排列方法.
content: 考虑formula_56,每一个括号可以出"formula_6"或出"formula_3",而最后要有4个"formula_6"、3个"formula_3"相乘,这形同formula_80的「不尽相异物排列」,其方法数为formula_81,恰好等于formula_60;其他各项同理。  同理,formula_63,每一个括号可以出"formula_6"或出"formula_3",而最后要有"formula_66"个"formula_6"、formula_68个"formula_3"相乘,这形同formula_90的「不尽相异物排列」,其方法数为formula_91,恰好等于formula_72;其他各项同理。
title: 一般形式的证明.
content: 通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式 设formula_93, formula_94。注意只有当formula_95时上述两个函数才收敛  formula_100  formula_101  因为  formula_102  于是  formula_103  因为 formula_104
title: 应用.
content: 牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分 。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。
title: 证明组合恒等式.
content: 二项式定理给出的系数可以视为组合数 formula_113 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。  可以考虑恒等式 formula_115。 展开等式左边得到: formula_116。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 formula_117。 比较两边幂次为 formula_118 的项的系数可以得到: formula_119。 令 formula_120,并注意到 formula_121 即可得到所要证明的结论。  因为formula_123  令formula_124,代入上式,得  formula_125
title: 多倍角恒等式.
content: 在复数中,二项式定理可以与棣莫弗公式结合,成为多倍角公式。根据棣莫弗公式: 通过使用二项式定理,右边的表达式可以扩展为 由棣莫弗公式,实部与虚部对应,能够得出 即二倍角公式。同样,因为 所以藉棣莫弗公式,能够得出 整体而言,多倍角恒等式可以写作 和
title: e级数.
content: 数学常数e的定义为下列极限值:  使用二项式定理能得出  第"k"项之总和为  因为"n" → ∞,右边的表达式趋近1。因此  这表明e可以表示为
title: 推广.
content: 该定理可以推广到对任意实数次幂的展开,即所谓的牛顿广义二项式定理:  formula_138。其中formula_139。
title: 多项式展开.
content: 对于多元形式的多项式展开,可以看做二项式定理的推广: formula_140.  证明: 数学归纳法。对元数n做归纳: 当formula_141时,原式为二项式定理,成立。 假设对formula_142元成立,则:

Summary: 二项式定理(英语:Binomial theorem)描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理,可以将两个数之和的整数次幂诸如formula_1展开为类似formula_2项之和的恒等式,其中formula_3、formula_4均为非负整数且formula_5。系数formula_6是依赖于formula_7和formula_3的正整数。当某项的指数为1时,通常略去不写。例如:

Binomial theorem: In elementary algebra, the binomial theorem (or binomial expansion) describes the algebraic expansion of powers of a binomial. According to the theorem, it is possible to expand the polynomial into a sum involving terms of the form, where the exponents and are nonnegative integers with, and the coefficient of each term is a specific positive integer depending on and. For example (for ),