替代公理

title: 陈述.
content: 假定 "P" 是一个双变量谓词,对于任何集合 "x" 有一个唯一的集合 "y" 使 "P"("x","y") 成立。接着我们可以形成一个单变量的泛函谓词 "F",使得 "F"("x") = "y" 当且仅当 "P"("x","y")。  替代公理声称,给定一个集合 "A",我们可以找到一个集合 "B",它的成员完全是 "F" 在 "A" 的成员上的值。注意对于每个这样的谓词 "P" 都有一个相对应的公理;所以,这是一个公理模式。  在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理模式读做: 换句话说,  如果允许在公理模式中使用导出的泛函谓词,则这个公理模式可以写为: 对于每个导出的单变量的泛函谓词 "F"; 换句话说:  通过外延公理可知这个集合 "B" 是唯一的。我们称这个集合 "B" 为 "A" 在 "F" 下的像,并指示它为 "F"("A") 或(使用集合建构式符号形式){"F"("x"):"x"∈"A"}。  有时引用这个公理不带唯一性要求: 就是说,谓词 "P" 不被限制为泛函的:要应用它于一个集合 "A",只需存在至少一个元素 "y" 对应于 "A" 的每个元素 "x" 就可以了;"y" 对每个 "x" 是唯一的不是必需的。在这种情况下,被断言存在的像集合 "B" 将为 "A" 的每个 "x" 包含至少一个这样的 "y",不保证只包含唯一的一个。  有时陈述这个公理不对谓词加任何限制: 就是说,根本不要求 "P" 把集合 "A" 的一个元素映射到任何对象。但是如果对于 "A" 的一个元素 "x" 有至少一个 "y" 对应于它,则像集合 "B" 将包含至少一个这样的 "y"。  这个不对谓词作限制的公理,也叫做有界公理或搜集公理,看似比原先的替代公理更强,但是这两个版本都可以从替代公理推导出来。另一方面,任何泛函谓词都是谓词,所以有界公理也蕴涵替代公理,因此两个公理是等价的(在给定了其他 Zermelo-Fraenkel 公理的情况下)。
title: 应用例子.
content: 序数 ω·2 = ω + ω(使用冯·诺伊曼的现代定义)是第一个不使用替代公理就不能构造的序数。无穷公理断言无限序列 ω = {0, 1,2...} 的存在,也只断言了这个序列。我们希望定义 ω·2 为序列 {ω, ω + 1, ω + 2...},但是一般的序数的类不一定是集合(例如,所有序数的类不是集合)。替代公理允许你把在 ω 中每个有限数 "n" 替代为对应的 ω + "n",并保证替代所得的类是集合。注意你可以轻易地构造序同构于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理:取 ω 的两个复件的不交并,然后设第二个复件大于第一个便可。但这样所得的集合并不是一个序数,因为它在属于关系下不是一个全序。  显然,若要确保可以指派一个序数给任意的良序集合,也要用到替代公理。类似的,若要确保可以指派一个基数给任意集合(冯·诺伊曼基数指派),我们也需要替代公理,以及选择公理。  所有的可数的极限序数的构造也要求替代公理,就像 ω·2 的构造那样。较大的序数则不那么直接地依赖于替代公理。例如 ω 是第一个不可数序数,可以构造如下:由全体可数良序组成的集合,会是 ℘(N×N) 的一个子集,这点通过分离公理和幂集公理可知(在 "A" 上的关系是 "A"×"A" 的一个子集,因此是幂集 ℘("A"×"A") 的一个元素。关系的集合因此是 ℘("A"×"A") 的子集)。把每个良序集合替代为它的序数。这是可数序数 ω 的集合,它自身可以被证明是不可数的。这个构造使用了替代公理两次;第一次确保对每个良序集合的一个序数指派,第二次把良序集合替代为其对应的序数。这是 Hartogs 数的结果的特殊情况,而一般情况可以类似的证明。  不带替代公理的选择公理(ZC 集合论)不足以强到证明 博雷尔集是确定公理的;为此你需要替代公理。
title: 历史和哲学.
content: 多数可以应用替代公理的应用实际上不需要它。例如,假设 "f" 是从集合 "S" 到集合 "T" 的函数。接着我们可以构造一个泛函谓词 "F" 使得在 "x" 是 "S" 的成员的时候有 "F"("x") = "f"("x"),在其他时候随意设 "F"("x") 为某个对象(这里的指派方式不要紧)。然后,给定 "S" 的一个子集 "A",应用替代公理模式于 "F",构造子集 "A" 在函数 "f" 下的像 "f"("A") 为 formula_5(或表示为 "<nowiki>F</nowiki>"("A"))。但是这里实际上不需要替代公理,因为 "f"("A") 是 "T" 的子集,所以我们可以使用分类公理模式来构造这个像为集合 formula_6。一般的说,当 "F" 在 "A" 的成员上的值都属于某个预先构造的集合 "T" 时,使用分类公理就足够了;只在不能获得这样的 "T" 的时候,才需要替代公理,比如定义在真类的子集上的运算。  按某些哲学家的说法,在上述例子中最好应用分类公理于集合 "T",因为分类公理在逻辑上弱于替代公理。实际上,在普通数学中不需要替代公理,只是需要它作为特定公理化集合论的特征。例如,你需要替代公理来从 ω·2 向上构造冯·诺伊曼序数,而冯·诺伊曼序数对特定集合论的结果是必需的。在良序集合的理论就足够应用的情况下,你不需要用替代公理构造这些序数。对于某些钻研数学基础的数学家,特别是那些专注于类型论而非集合论的人,他们或认为这个公理在各种意义上都是不需要的,因此在其工作中不包括这个公理(以及其相对应的类型论版本)。通常在基于 拓扑斯 理论建造的基础理论上,都难以表达出替代公理,所以一般不包括它。然而,替代公理的争论不在于有人认为它的推论必然是假的(如选择公理的争论);只是有部分人认为它是没有必要的。  替代公理模式不是 恩斯特·策梅洛 在 1908年所公理化的集合论(Z)的一部分;它由 亚伯拉罕·弗兰克尔 在 1922 年引入,从而得到了现代的 Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF)。陶拉尔夫·斯科伦 在同一年晚些时候独立的发现了这个公理,实际上我们今天使用的公理列表是Skolem的最终版本 -- 通常不提及他的贡献是因为每个单独的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先发现的。从证明论的观点看,增加替代公理形成了很大的差异;把这个公理模式加进Zermelo 公理使系统在逻辑上更强,允许你证明更多的陈述。特别是,在ZF 中你可以通过构造冯·诺伊曼全集 V 为模型,证明 Z 的相容性。(当然,哥德尔第二不完备定理表明这两个理论都不能证明自身的相容性,如果它自身是相容的。)

Summary: 在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中,替代公理模式是 Zermelo-Fraenkel 集合论的一个公理模式,它本质上断言一个集合在一个映射(泛函谓词)下的像也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。

Axiom schema of replacement: In set theory, the axiom schema of replacement is a schema of axioms in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) that asserts that the image of any set under any definable mapping is also a set. It is necessary for the construction of certain infinite sets in ZF.