拉回 (微分几何)

title: 光滑函数与光滑映射.
content: 设 φ:"M"→ "N" 是光滑流形 "M" 与 "N" 之间的光滑映射,假设 "f":"N"→R 是 "N" 上一个光滑函数。则 "f" 通过 φ 的拉回是 "M" 上的光滑函数 φ"f",定义为 (φ"f")("x") = "f"(φ("x"))。类似地,如果 "f" 是 "N" 中开集 "U" 上的光滑函数,则相同的公式定义了 "M" 中开集 "φ"("U") 上一个光滑函数。用层的语言说,拉回定义了 "N" 上光滑函数层到 φ 的直接像(在 "M" 上光滑函数层中)的一个态射。  更一般地,如果 "f":"N"→"A" 是从 "N" 到任意其他流形 "A" 的的光滑映射,则φ"f"("x")="f"(φ("x")) 是从 "M" 到 "A" 的一个光滑映射。
title: 丛与截面.
content: 如果 "E" 是 "N" 上一个向量丛(或任意纤维丛),"φ":"M"→"N" 是光滑映射,那么拉回丛 "φ""E" 是 "M" 上一个向量丛(或更一般地纤维丛),其 "M" 中的点 "x" 处的纤维由 ("φ""E") = "E" 给出。  在此情形,前复合定义了 "E" 上截面的一个变换:如果 "s" 是 "N" 上 "E" 的一个截面,那么拉回截面 formula_1 是 "M" 上拉回丛 "φ""E" 的一个截面。
title: 多重线性形式.
content: 设 Φ:"V"→ "W" 是向量空间 "V" 与 "W" 之间的一个线性映射(即,Φ 是 "L"("V","W") 中的元素,也记成 Hom("V","W")),设  是 "W" 上一个多重线性形式(也称为 (0,"s") 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 "s" 是乘积中 "W" 的因子的个数)。则 "F" 由 Φ 的拉回 Φ"F" 是一个 "V" 上的多重线性形式,定义为 "F" 与 Φ 的前复合。准确地,给定 "V" 中向量 "v","v"...,"v", Φ"F" 由公式定义  这是 "V" 上一个多重线性形式。从而 Φ 是一个从 "W" 上的多重线性形式到 "V" 上的多重线性形式的(线性)算子。作为一个特例,注意到如果 "F" 是 "W" 上一个线性形式(或 (0,1) -张量),那么 "F" 是 "W" 的对偶空间 "W" 中一个元素,则 Φ"F" 是 "V" 中一个元素,所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射,作用的方向与线性映射 Φ 自己的方向相反:  从张量的观点来看,自然想把来回这种概念推广到任何阶,即 "W" 上取值于 "r" 个 "W" 的张量积 formula_5 的线性映射。但是,这种张量积不能自然的拉回:不过有从 formula_6 到 formula_5 的前推算子,定义为  然而,如果 Φ 可逆,拉回可以用逆函数 Φ 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起,得到了对任何 ("r","s") 阶张量一个拉回算子。
title: 余切向量与 1 形式.
content: 设 "φ" : "M" → "N" 是光滑流形间的光滑映射。那么 "φ" 的前推:"φ" = d"φ" (或 "Dφ"),是从 "M" 的切丛 "TM" 到拉回丛 "φ""TN" 的(在 "M" 上)向量丛同态。从而 "φ" 的转置是从 "φ""T""N" 到 "M" 的余切丛 "T""M" 的丛映射。  现在假设 "α" 是 "T""N" 的一个截面("N" 上一个 1-形式),将 "α" 与 "φ" 前复合得到 "φ""T""N" 的一个拉回截面。将上述(逐点)丛映射应用到截面导致 "α" 由 "φ" 的拉回,是 "M" 上一个 1-形式,定义为: 对 "x" 属于 "M" 与 "X" 属于 "T""M"。
title: (共变)张量场.
content: 对任何自然数 "s",上述构造马上可推广到 (0,"s") 阶张量丛上。流形 "N" 上 (0,"s") 张量场 是 "N" 上张量丛的一个截面,在 "N" 中 "y" 点的截面是多重线性 "s"-形式空间 取 Φ 等于从 "M" 到 "N" 的一个光滑映射的微分(逐点的),多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 "M" 上 (0,"s") 张量场的拉回。更确切地,如果 "S" 是 "N" 上一个 (0,"s")-张量场,那么 "S" 由 "φ" 的拉回 是 "M" 上 (0,"s")-张量场 "φ""S",定义为 对 "x" 属于 "M" 与 "X" 属于 "T""M"。
title: 微分形式.
content: 共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一个微分 "k"-形式,即 "TN"(逐点)反交换 "k"-形式组成的外丛 Λ"T"*"N" 的一个截面,则 α 的拉回是 "M" 上一个微分 "k"-形式,定义与上一节相同:  对 "x" 属于 "M" 与 "X" 属于 "T""M"。  微分形式的拉回有两个性质,使其非常有用。  1. 和楔积相容:假设同上,对 "N" 上的微分形式 α 与 β, 2. 和外导数 d 相容:如果 α 是 "N" 上一个微分形式,则
title: 由微分同胚拉回.
content: 当流形之间的映射 "φ" 是微分同胚,即有一个光滑逆函数,则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回,从而通过扩张,对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射  可逆,给出  一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 "TN" 与 "TN" 两部分,分别用 Φ 与 Φ 变换。当 "M" = "N" 时,则拉回和前推刻画了流形 "M" 上张量场的变换性质。用传统术语说,拉回描述了张量共变指标的变换性质;相对地,反变指标的变换性质由前推给出。
title: 由自同构拉回.
content: 上一节的构造有一个代表性特例,若 "φ" 是流形 "M" 到自己的微分同胚。在这种情况下,导数 d"φ" 是 "GL"("TM","φ""TM") 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 "GL"("m") ("m" = dim "M") 相配于 "M" 的标架丛 "GL"("M") 的任何丛的截面上导出了拉回作用。
title: 拉回与李导数.
content: 将上述想法应用到由向量场 "M" 定义的微分同胚单参数群,对参数求导,得到了任意丛上的李导数概念。
title: 联络(共变导数).
content: 如果 formula_17 是 "N" 上向量丛 "E" 的联络(或共变导数),"φ" 是从 "M" 到 "N" 的光滑映射,那么在 "M" 上的向量丛 "φ""E" 上有拉回联络 formula_18,由等式  惟一确定。

Summary: 在微分几何中,拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说,假设 "φ":"M"→ "N" 是从光滑流形 "M" 到 "N" 的光滑映射;那么伴随有一个从 "N" 上 1- 形式(余切丛的截面)到 "M" 上 1-形式的线性映射,这个映射称为由 "φ" 拉回,经常记作 "φ"。更一般地,任何 "N" 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 "φ" 拉回到 "M" 上。

Pullback (differential geometry): Suppose that is a smooth map between smooth manifolds "M" and "N". Then there is an associated linear map from the space of 1-forms on "N" (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1-forms on "M". This linear map is known as the pullback (by "φ"), and is frequently denoted by "φ". More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on "N" may be pulled back to "M" using "φ".