策梅洛-弗兰克尔集合论

title: 介绍.
content: ZFC构成自一个单一的基本本体论概念集合,和一个单一的本体论假定,就是在论域中所有的个体(就是所有数学对象)都是集合。有一个单一的基本二元关系集合成员关系;集合"a"是集合"b"的成员写为"a" formula_1 "b"(通常读做"a是b的元素")。ZFC是一阶理论,所以ZFC包括后台逻辑是一阶逻辑的公理。这些公理支配了集合的行为和交互。ZFC是标准形式的公理化集合论。使用ZFC的大量的正在进行中的普通数学推导请参见Metamath在线计划。  在1908年,恩斯特·策梅洛提议了第一个公理化集合论,策梅洛集合论。这个公理化理论不允许构造序数;而多数“普通数学”不使用序数就不能被开发,序数在多数集合论研究中是根本工具。此外,Zermelo的一个公理涉及“明确性”性质的概念,它的操作性意义是有歧义的。在1922年,亚伯拉罕·弗兰克尔和陶拉尔夫·斯科伦独立的提议了定义“明确性”性质为可以在一阶逻辑中公式化的任何性质,从他们的工作促成了替代公理。Zermelo集合论接受替代公理和正规公理,产生了被称呼为ZF的这个集合论。  向ZF增加选择公理产生了ZFC。在数学成果要求选择公理的时候,有时明显的这么声明。这么单提出AC的原因是AC天生的,是非构造性的;它确立一个集合(选择集合)的存在,而不规定如何构造这个集合。所以使用AC证明的结果涉及尽管可以证明其存在(如果你不忠于构造主义本体论的话),但可能永远都不能构造出来的集合。  ZFC有无穷多个公理,因为替代公理实际上是公理模式。已知ZFC和ZF集合论二者都不能用有限数目个公理来公式化,这最先由Richard Montague证实。在另一方面,冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论(Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG)可以有限的公理化。NBG的本体论同集合一样包括类;类是有成员但不是其他类的成员的实体。NBG和ZFC是等价的集合论,在关于集合(就是说不以任何方式提及类)的任何定理在一个理论中可以证明,就可以在另一个理论中证明。  依据哥德尔第二不完备定理,ZFC的一致性不能在ZFC自身之内证明。ZFC的广延等同于普通数学,所以ZFC的相容性不能在普通数学中证明。ZFC的相容性可从弱不可及基数的存在而得出,它是其存在不能在ZFC中证明的某种东西。但是几乎没有人怀疑ZFC有什么未被发觉的矛盾;如果ZFC是不自洽的,早就该被发掘出来。这是确定无疑的:ZFC免除了朴素集合论的三大悖论,罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论。  文献中讨论过的ZFC的缺陷包括:
title: 公理.
content: ZFC的公理有许多等价的公式。下列的公理集合是由丘嫩于1980年提出的。公理本身以一阶逻辑来叙述,之中的句子只是用来增加对逻辑描述的直觉概念。
title: 1.外延公理.
content: Axiom of extensionality  两个集合相等,若它们有相同的元素。 这个公理的逆叙述可以由等式的代替性中得到。若背景逻辑不包含等式「=」,"x"="y"可以定义为如下公式的缩写 如此一来,外延公理可写成: 若"x"和"y"有相同的元素,则它们属于同一个集合
title: 2.正规公理.
content: Axiom of regularity / Axiom of foundation  每个非空集合"x"都包含一个成员"y",使得"x"和"y"不相交。
title: 3.分类公理.
content: 设"z"为一个集合,且formula_6为任一个描述"z"内元素"x"的特征的性质,则存在"z"的子集"y",包含"z"内满足这个性质的"x"。这个「限制」可用来避免罗素悖论之类的悖论。更形式化地说,令formula_6为ZFC语言中的任一公式,具有formula_8等自由变量(即"y"在formula_6内不是自由的),则 这个公理是Z的一部分,但在ZF中就显得多余,因为它可以由替代公理和空集公理中导出。  由分类公理构成的集合通常使用集合建构式符号来标记。给定一集合"z"和具有一自由变量"x"的公式formula_11,则由所有在"z"内,满足formula_6的"x"所组成的集合,标记为  分类公理可以用来证明空集(标记为formula_14)的存在,只要至少已存在一个集合。通常的方法是找一个所有集合都没有的性质。例如,设"w"是一个已存在的集合,而空集可定义为 若背景逻辑包含等式,也可定义空集为 因此,空集公理可由此处的九个公理中导出。外延公理还可证明空集是唯一的(不依赖"w")。通常会以定义性扩展,将符号formula_14加至ZFC语言中。
title: 4.配对公理.
content: Axiom of pairing  若"x"和"y"是集合,则存在一个集合包含"x" 和"y"。 这个公理是Z的一部分,但在ZF中就显得多余,因为它可以由将替代公理应用至任意有两个成员的集合上导出。此类集合的存在性可由将无穷公理或幂集公理应用两次至空集上得到。
title: 5.联集公理.
content: Axiom of union  对任一个集合formula_19,总存在一个集合"A",包含每个为formula_19的某个成员的成员的集合。
title: 6.替代公理.
content: Axiom schema of replacement  令formula_22是ZFC语言内的任意公式,其自由变量有formula_23,但"B"在formula_22 则不是自由的。则:  较不形式地说,这个公理叙述:若一个可定义的函数"f"的定义域为一集合,且对定义域的任一"x","f"("x")也都是集合,则"f"的值域会是一个集合的子集。这个限制被需要用来避免一些悖论。
title: 7.无穷公理.
content: Axiom of infinity  令formula_26为formula_27,其中formula_28为某个集合,则存在一个集合"X",使得空集formula_14为"X"的成员,且当一个集合"y"为"X"的成员时,formula_30也会是"X"的成员。 较口语地说,存在一个有无限多成员的集合"X"。满足无穷公理的最小集合"X"为冯诺伊曼序数ω,这个序数也可想成是自然数的集合formula_32。
title: 8.幂集公理.
content: Axiom of power set  令formula_33为formula_34。对任一个集合"x",皆存在一个集合"y",为"x"的幂集的父集。"x" 的幂集为一个其成员为所有"x"的子集的类。
title: 9.良序定理.
content: Well-ordering theorem  对任一集合"X",总存在一个可良好排序"X"的二元关系"R"。这意指著,"R"是"X"上的全序关系,且"X"内每个非空子集在"R"下都有一个最小元素。  若给定前八个公理,就可以找到许多个和第九个公理等价的叙述,最著名的则为选择公理,其叙述如下:令"X"为一非空集合,则存在一从"X"映射至"X"内成员的联集的函数(称为「选择函数」),可使得对所有的"Y" ∈ "X"都会有"f"("Y") ∈ "Y"。因为当"X"为有限集合时,选择函数的存在性很容易由前八个公理中证出,所以选择公理只在无限集合中有意义。选择公理被认为是非结构的,因为它只声明一个选择集合的存在,但完全不讲这个选择集合是如何被「建构」出来的。

Summary: 策梅洛-弗兰克尔集合论(英语:Zermelo-Fraenkel Set Theory),含选择公理时常简写为ZFC,是在数学基础中最常用形式的公理化集合论,不含选择公理的则简写为ZF。它是二十世纪早期为了建构一个不会导致类似罗素悖论的矛盾的集合理论所提出的一个公理系统。

Zermelo–Fraenkel set theory: In set theory, Zermelo–Fraenkel set theory, named after mathematicians Ernst Zermelo and Abraham Fraenkel, is an axiomatic system that was proposed in the early twentieth century in order to formulate a theory of sets free of paradoxes such as Russell's paradox. Today, Zermelo–Fraenkel set theory, with the historically controversial axiom of choice (AC) included, is the standard form of axiomatic set theory and as such is the most common foundation of mathematics. Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice included is abbreviated ZFC, where C stands for "choice", and ZF refers to the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded.