谱定理

title: 有限维的情况.
title: 埃尔米特矩阵.
content: 从在具有标准埃尔米特内积的有限维实或者复内积空间formula_1上的埃尔米特矩阵formula_2开始;埃尔米特条件意味着  对于所有formula_1的元素formula_5成立。  一个等价的条件是formula_6,其中formula_7是formula_2的共轭转置。若"formula_2"为实矩阵,这等价于formula_10(也即,formula_2是对称矩阵)。埃尔米特矩阵的特征值是实数。  先回顾一下线性算子"A"的特征向量是(非零)向量formula_12使得formula_13对于某个标量formula_14成立。值formula_14是相应的特征值。  定理:当"formula_2"是埃尔米特矩阵, 存在标准正交基"formula_1",由"formula_2"的特征向量组成。且"formula_2"每个特征值都是实数。
title: 证明.
content: 这里给出复数情况的证明概要。  根据代数基本定理,任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值。若"formula_2"为埃尔米特矩阵,有特征向量formula_21,考虑子空间formula_22,也即formula_21的正交补空间。根据埃尔米特性,formula_24为"formula_2"的不变子空间。在"formula_24"上采用同样的论证表明"formula_2"有特征向量formula_28。通过有限归纳法可以完成证明。  谱定理对于 "n "维欧几里得空间上的对称矩阵也成立,但是特征向量的存在性更难一些。实对称矩阵有实特征值,因此特征向量有实项。  若取"formula_2"的特征向量为标准正交基,"formula_2"在这个基上的表示是对角的。等价地,"formula_2"可以写作互相正交的投影的线性组合,称为它的谱分解。令  为对应于特征值formula_14的特征空间。注意该定义不依赖于特定特征向量的选择。"formula_1"是空间formula_35的直积,其中下标取遍特征值。令formula_36为到formula_35上的正交投影,而formula_38为"formula_2"的特征值,谱分解可以写作:  谱分解是舒尔分解的特例。也是奇异值分解的特例。
title: 正规矩阵.
content: 谱定理可以推广到更为一般的矩阵。令"formula_2"为有限维内积空间上的算子。"formula_2"称为正规算子若formula_43。可以证明"formula_2"正规当且仅当它可以酉对角化:根据舒尔分解,formula_45,其中formula_46是酉矩阵而formula_47是上三角阵。 因为"formula_2"正规,formula_49,所以formula_47必定是对角的。反过来也是显然的。  换言之,formula_2正规当且仅当存在酉矩阵formula_46使得  其中formula_54是对角矩阵,其各项为"formula_2"的特征值。"formula_46"的列向量是"formula_2"的特征向量,而且他们是单位正交的。和埃尔米特的情况不同,"formula_2"的对角项未必为实数。
title: 紧自伴算子的谱定理.
content: 一般来讲,希尔伯特空间中的关于紧自伴算子的谱定理和有限维的基本一样。  定理:设"formula_2"为希尔伯特空间formula_1上的紧自伴算子。存在"formula_1"的标准正交基,由"formula_2"的特征向量构成。每个特征值都是实数。  对于埃尔米特矩阵,关键在于存在至少一个非零向量。要证明这一点,不能靠行列式来表明特征值的存在,而是要使用极大化论证,类似于特征值的变分表述。上述谱定理对于实或虚希尔伯特空间都成立。  如果紧性假设被取消,则未必每个自伴算子都有特征。
title: 有界自伴算子的谱定理.
content: 接下来的推广是希尔伯特空间"formula_1"上的有界自伴算子"formula_2"。这样的算子可能没有特征值:例如令"formula_2"为formula_66上乘以formula_67的算子,也即  定理:令"formula_2"为希尔伯特空间formula_70上有界自伴算子。则存在测度空间formula_71和formula_72上实值可测函数formula_73,以及酉算子formula_74使得  其中formula_47是乘法算子:  这是称为算子理论的泛函分析这个巨大的研究领域的起点。  对于希尔伯特空间上的有界正规算子也有一个类似的谱定理。结论中唯一的区别在于formula_73可能是复值的。  谱定理的另一个表述形式将算子formula_2表达为在算子谱上的坐标函数关于投影值测度的积分。当该正规算子是紧的,这个版本的谱定理退化为上面的有限维谱定理,只是算子表达为可能为无限多的投影的线性组合。
title: 一般自伴算子的谱定理.
content: 很多数学分析中的重要线性算子,例如微分算子,是无界的。对于这类情况的自伴算子也有一个谱定理。例如,任何常系数微分算子酉等价于乘法算子。事实上,实现这一等价的酉算子就是傅立叶变换;该乘法算子是一类傅立叶乘子。

Summary: 数学上,特别是线性代数和泛函分析中,谱定理是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲,谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件(也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示)。对角化的概念在有限维空间中比较直接,但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常,谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子,这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲,谱定理是关于交换C*-代数的命题。参看谱分析中的历史观点。

Spectral theorem: In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, a spectral theorem is a result about when a linear operator or matrix can be diagonalized (that is, represented as a diagonal matrix in some basis). This is extremely useful because computations involving a diagonalizable matrix can often be reduced to much simpler computations involving the corresponding diagonal matrix. The concept of diagonalization is relatively straightforward for operators on finite-dimensional vector spaces but requires some modification for operators on infinite-dimensional spaces. In general, the spectral theorem identifies a class of linear operators that can be modeled by multiplication operators, which are as simple as one can hope to find. In more abstract language, the spectral theorem is a statement about commutative C*-algebras. See also spectral theory for a historical perspective.