爱因斯坦求和约定

title: 简介.
content: 爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成纯量:  通常会将这写为求和公式形式:  在基底变换之下,纯量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号:  采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程序都是线性,不超过变量的一次方。在方程序里,单独项目内的标号变量最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。
title: 向量的表示.
content: 在线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如,formula_15。给予一个formula_16维向量空间formula_17和其任意基底formula_18(可能不是标准正交基),那么,向量formula_19表示为  余向量的分量是用下标来标明,例如,formula_21。给予formula_17的对偶空间formula_23和其任意基底formula_24(可能不是标准正交基),那么,余向量formula_25表示为  采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从formula_27改变为formula_28,反变向量会变换为  其中,formula_30是改变基底后的向量的分量,formula_31是改变基底后的坐标,formula_32是原先的坐标,  下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从formula_33改变为formula_34,共变向量会会变换为
title: 一般运算.
content: 矩阵formula_36的第formula_37横排,第 formula_16竖排的元素,以前标记为formula_39;现在改标记为formula_40。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下:
title: 内积.
content: 给予向量formula_19和余向量formula_25,其向量和余向量的内积为纯量:
title: 向量乘以矩阵.
content: 给予矩阵formula_36和向量formula_19,它们的乘积是向量formula_46:  类似地,矩阵formula_36的转置矩阵formula_49,其与余向量formula_25的乘积是余向量formula_51:
title: 矩阵乘法.
content: 矩阵乘法表示为  这公式等价于较冗长的普通标记法:
title: 迹.
content: 给予一个方块矩阵formula_55,总和所有上标与下标相同的元素formula_56,可以得到这矩阵的迹formula_57:
title: 外积.
content: M维向量formula_19和N维余向量formula_25的外积是一个M×N矩阵formula_36:  采用爱因斯坦标记式,上述方程序可以表示为  由于formula_64和formula_65代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵formula_36的标号。
title: 向量的内积.
content: 一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量formula_67、formula_68及formula_69来描述三维空间的向量。  把直角坐标系的基底向量formula_67、formula_68及formula_69写成formula_74、formula_75及formula_76,所以一个向量可以写成:  根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:  由于基底是标准正交基,formula_79的每一个分量formula_80,所以,  两个向量formula_79与formula_83的内积是  由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:  其中,formula_86就是克罗内克函数。当formula_87时,则formula_88,否则formula_89。  逻辑上,在方程序内的任意项目,若遇到了克罗内克函数formula_86,就可以把方程序中的标号formula_64转为formula_65或者把标号formula_65转为formula_64。所以,
title: 向量的叉积.
content: 采用同样的标准正交基formula_74、formula_75及formula_76,两个向量formula_79与formula_83的叉积,以方程序表示为  注意到  其中,张量formula_104是列维-奇维塔符号,定义为 所以,  设定formula_106,那么,  所以,
title: 向量的共变分量和反变分量.
content: 在欧几里得空间formula_17里,共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量;对于所有向量formula_46,通过下述方程序,向量formula_19唯一地确定了余向量formula_25:  逆过来,通过上述方程序,每一个余向量formula_114唯一地确定了向量formula_19。由于这向量与余向量的相互辨认,我们可以提到向量的共变分量和反变分量;也就是说,它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。  给予formula_17的一个基底formula_117,则必存在一个唯一的对偶基底formula_118,满足  其中,张量formula_120是克罗内克函数。  以这两种基底,任意向量formula_19可以写为两种形式  其中,formula_123是向量formula_19对于基底formula_125的反变分量,formula_126是向量formula_83对于基底formula_125的共变分量,
title: 欧几里得空间.
content: 在欧几里得空间formula_129里,使用内积运算,能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底,其基底向量为formula_130、formula_131、formula_132,就可以计算其对偶基底的基底向量:  其中,formula_134是基底向量formula_130、formula_131、formula_132共同形成的平行六面体的体积。  反过来计算,  其中,formula_139是基底向量formula_140、formula_141、formula_142共同形成的平行六面体的体积。  虽然formula_143与formula_144并不相互标准正交,它们相互对偶:  虽然formula_146与formula_147并不相互标准正交,它们相互对偶:  这样,任意向量formula_19的反变分量为  类似地,共变分量为  这样,formula_19可以表示为 或者,  综合上述关系式,  向量formula_19的共变分量为  其中,formula_158是度规张量。  向量formula_19的反变分量为  其中,formula_161是共轭度规张量。  共变分量的标号是下标,反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变分量和反变分量,所有的标号都可以用下标来标记。
title: 抽象定义.
content: 思考维度为formula_16的向量空间formula_17。给予一个可能不是标准正交基的基底formula_164。那么,在formula_17内的向量formula_83,对于这基底,其分量为formula_167、formula_168、...formula_169。以方程序表示,  在这方程序右手边,标号formula_64在同一项目出现了两次,一次是上标,一次是下标,因此,从formula_64等于formula_173到formula_16,这项目的每一个可能值都必须总和在一起。  爱因斯坦约定的优点是,它可以应用于从formula_17用张量积和对偶性建立的向量空间。例如,formula_176,formula_17与自己的张量积,拥有由形式为formula_178的张量组成的基底。任意在formula_176内的张量formula_180可以写为  向量空间formula_17的对偶空间formula_23拥有基底formula_184,遵守规则  其中,formula_186是克罗内克函数。
title: 范例.
content: 为了更明确地解释爱因斯坦求和约定,在这里给出几个简单的例子。

Summary: 在数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定(英语:Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法(英语:Einstein notation),在处理关于坐标的方程序时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说:「这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。」

Einstein notation: In mathematics, especially in applications of linear algebra to physics, the Einstein notation or Einstein summation convention is a notational convention that implies summation over a set of indexed terms in a formula, thus achieving notational brevity. As part of mathematics it is a notational subset of Ricci calculus; however, it is often used in applications in physics that do not distinguish between tangent and cotangent spaces. It was introduced to physics by Albert Einstein in 1916.