代数基本定理

title: 证明.
content: 所有的证明都包含了一些数学分析,至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数,甚至是解析函数。  定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式,这是因为,给定复系数多项式"p"("z"),以下的多项式 就是一个实系数多项式,如果"z"是"q"("z")的根,那么"z"或它的共轭复数就是"p"("z")的根。  许多非代数证明都用到了“增长引理”:当|"z"|足够大时,首系数为1的"n"次多项式函数"p"("z")的表现如同"z"。一个更确切的表述是:存在某个正实数"R",使得当|"z"| > "R"时,就有:
title: 复分析证明.
title: 证明一.
content: 寻找一个中心为原点,半径为"r"的闭圆盘"D",使得当|"z"| ≥ "r"时,就有|"p"("z")| > |"p"(0)|。因此,|"p"("z")|在"D"内的最小值(一定存在,因为"D"是紧致的),是在"D"的内部的某个点"z"取得,但不能在边界上取得。于是,根据最小模原理,"p"("z") = 0。也就是说,"z"是"p"("z")的一个零点(根)。
title: 证明二.
content: 由于在"D"之外,有|"p"("z")| > |"p"(0)|,因此在整个复平面上,|"p"("z")|的最小值在"z"取得。如果|"p"("z")| > 0,那么1/"p"在整个复平面上是有界的全纯函数,这是因为对于每一个复数"z",都有|1/"p"("z")| ≤ |1/"p"("z")|。利用刘维尔定理(有界的整函数一定是常数),可知1/"p"是常数,因此"p"是常数。于是得出矛盾,所以"p"("z") = 0。
title: 证明三.
content: 这个证明用到了辐角原理。设"R"为足够大的正实数,使得"p"("z")的每一个根的绝对值都小于"R";这个数一定存在,因为"n"次多项式函数最多有"n"个根。对于每一个"r" > "R",考虑以下的数:  其中"c"("r")是中心为0,半径为"r"的逆时针方向的圆;于是辐角原理表明,这个数是"p"("z")在中心为0、半径为"r"的开圆盘内的零点的数目"N",由于"r" > "R",所以它也是"p"("z")的零点的总数目。另一方面,"n"/"z"沿着"c"("r")的积分除以2π"i",等于"n"。但这两个数的差为:  被积分的有理表达式中的分子,次数最多是"n" − 1,而分母的次数是"n" + 1。因此,当"r"趋于+∞时,以上的数趋于0。但这个数也等于"N" − "n",因此有"N" = "n"。
title: 证明四.
content: 这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个"n" > 0次复系数多项式都有一个根,只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。  设"A"为大小"n" > 0的方块矩阵,并设"I"为相同大小的单位矩阵。假设"A"没有特征值。考虑预解函数  它在复平面上是亚纯函数,它的值位于矩阵的向量空间内。"A"的特征值正好是"R(z)"的极点。根据假设,"A"没有特征值,因此函数"R(z)"是整函数,根据柯西积分定理可知:  另一方面,把"R(z)"展开为几何级数,可得:  这个公式在半径为||"A"||的闭圆盘的外部("A"的算子范数)成立。设"r" > ||"A"||。那么:  (仅当"k" = 0时,积分才不等于零)。于是得出矛盾,因此"A"一定有一个特征值。
title: 拓扑学证明.
content: 设"z" ∈ C为使|"p"("z")|在"z"取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中,可以看到这样一个数一定存在。我们可以把"p"("z")写成"z" − "z"的多项式:存在某个自然数"k"和一些复数"c"、"c"、...、"c",使得"c" ≠ 0,以及:  可推出如果"a"是("p"("z")-"p"("z"))/"c"的一个"k"重根,且"t"是足够小的正数,那么|"p"("z" + "ta")| < |"p"("z")|,这是不可能的,因为|"p"("z")|是|"p"|在"D"内的最小值。  对于另外一个用到反证法的拓扑学证明,假设"p"("z")没有根。选择一个足够大的正数"R",使得对于|"z"| = "R","p"("z")的第一项"z"大于所有其它的项的和;也就是说,|"z"| > |"a""z" + ··· + "a"|。当"z"依逆时针方向绕过方程为|"z"| = "R"的圆一次时,"p"("z"),像"z"那样,依逆时针方向绕过零"n"次。在另外一个极端,|"z"| = 0时,“曲线” "p"("z")仅仅是一个(非零的)点"p"(0),它的卷绕数显然是0。如果"z"所经过的回路在这两个极端中被连续变形,那么"p"("z")的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为formula_10,其中"t"大于或等于0,而小于或等于1。如果我们把变量"t"视为时间,那么在时间为零时,曲线为"p(z)",时间为1时,曲线为"p(0)"。显然在每一个点"t",根据原先的假设"p(z)"都不能是零,因此在变形的过程中,曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而,由于绕数在一开始是"n",结束时是0,因此得出矛盾。所以,"p"("z")至少有一个根。
title: 代数证明.
content: 这个证明需要依赖实数集的如下事实:正实数在formula_11上有实平方根,以及任何奇次多项式在formula_11上有一个根(这可以用介值定理证明)。  首先formula_13。经过简单的计算可以证明formula_14在开平方运算下是封闭的(利用事实1)。结合formula_15。得出formula_14不存在二阶扩张。  由于formula_17,于是任何formula_11的扩张都是可分的,从而任何formula_11的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设formula_20、formula_21都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群formula_22的西罗2-子群"H"。那么formula_23是奇数。由本原元定理得出,"K"存在本原元formula_24,它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2,任何奇次数多项式在实数上有一个根,不存在奇数次且次数>1的不可分多项式。于是formula_25是2的幂次。  假设formula_26并且"r>0",再次利用西罗定理,"G"存在一个阶为"2"的子群"N"。这时formula_27。这和先前formula_14不存在二阶扩张矛盾。因此formula_14的任何代数扩张都是formula_14本身,代数基本定理得证。
title: 推论.
content: 由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭的,可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论,要么是关于实数域的,要么是关于实数域与复数域之间的关系的:
title: 韦达公式.
content: 韦达公式把多项式的系数formula_31与它的根formula_32的和与积联系起来。 这可以直接从以下等式的展开式推出: formula_33

Summary: 代数基本定理说明,任何一个一元复系数方程序都至少有一个复数根。也就是说,复数域是代数封闭的。

Fundamental theorem of algebra: The fundamental theorem of algebra states that every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root. This includes polynomials with real coefficients, since every real number is a complex number with its imaginary part equal to zero.