选择公理

title: 陈述.
content: 首先定义几个概念:  集族:指由非空集合组成的集合。  选择函数:它是一个集族上的函数。它规定:对于所有在集族formula_5中的集合formula_6,formula_7是"formula_6"的一个元素。  那么,选择公理表示:  上述可表示为: 或者:  该定理也可表达为:
title: 变体.
content: 第二个版本的选择公理声称:  第三个版本声称:  使用这个版本的作者通常谈及“在"formula_13"上的选择函数”,但要注意这里选择函数的概念是稍微不同的。它的定义域是"formula_13"的幂集(减去空集),因此对任何集合"formula_13"有意义;至于本文中其他地方用的定义,在“集合的搜集”上的选择函数的定义域是这个搜集,所以只对集合的集合有意义。透过这个变体的定义,选择公理也可以简洁的陈述为 它等价于  而选择公理的否定表达为:
title: 术语(AC,ZF,ZFC).
content: 以下列出了这篇条目中各种与“选择公理”相关的缩写:
title: 使用.
content: 直到19世纪晚期,选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如,建立了只包含非空集合的集合formula_5之后,当时的数学家可能会直接说"设对于"formula_5"中所有formula_6有formula_30是"formula_6"的成员之一"。一般来说,要是不用选择公理,是不可能证明formula_32的存在性的。这一点直到策梅洛之前似乎没有引起人们的注意。  不是所有的情况都需要选择公理。选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是,对于有限集合"formula_5",选择公理的有限版本可以通过其他集合论公理推导得出。在这种情况下,它等价于说我们有多个(有限数目的)盒子,每个包含至少一个物体,则我们可以从每个盒子恰好选择一个物体。显然我们可以这么做:从第一个盒子开始,选择其中的一个物体;到下一个盒子,选择一个物体;如此类推。因为盒子数量有限,所以我们的选择过程最后一定会结束。这里给出的选择函数是明确的:第一个盒子对应于第一个选择的物体,第二个盒子对应于第二个选择物体;如此类推——此法之所以可行,是因为序对公理的原因。可以通过数学归纳法做出对所有有限集合的形式证明。
title: 例子.
content: 对于特定的无限集合"formula_5",也可以避免使用选择公理。例如,假设"formula_5"的元素是自然数的集合。每个自然数的非空集合都有一个最小元,所以要指定我们的选择函数,我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元。这使得我们可以从每个集合明确地选择元素,以及写出一个明确的表达式,说明我们的选择函数如何取值。在能够指定一个明确选择方式的时候,选择公理都是没有必要的。  当缺乏从每个集合得到元素的直观选择方式时,困难就出现了。如果我们不能做明确的选择,我们如何知道我们的这个集合存在?例如,假设"X"是实数的所有非空子集的集合。首先我们也许想套用有限的情况去处理"formula_5"。如果我们尝试从每个集合选择一个元素,那么,因为实数集合是无限不可数,我们的选择过程永远不会结束。亦因如此,我们永远不能生成对"formula_5"的成员的选择函数。所以这种方法不能奏效。其次我们可以尝试给每个集合指定最小元素这种方式。但是某些实数的子集没有最小元素。例如,开区间formula_38没有最小元素:如果formula_39在formula_38中,则formula_41也在其中,而formula_41总是严格的小于formula_39。所以这种方法也不行。  我们之所以能够从自然数的非空子集选择最小元素,是因为自然数上有一个自然良序:所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。  因此,我们可以采取这样的思路,「即使实数的正常排序并非良序,也有可能找到一个排序使得实数是良序的。在这个排序下,总能够选择实数非空子集的最小元素。这样便得到了选择函数」。问题就变成如何构造这样的排序。而事实上,“存在一个排序使得所有集合可以是良序的”这一命题成立,当且仅当选择公理为真。  有必要用到选择公理的证明总是非构造性的:即使证明给出了一个对象,精确地说出那个对象却是不可能的。如果我们不能写出选择函数的定义,则我们的选择就不是非常明确的。这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。例如,构造主义者论断说所有涉及存在性的证明都应当是完全明确的;构造任何存在的对象应当是可能的。他们拒绝选择公理,因为它断言了不能具体描述是什么的对象的存在。
title: 构造性数学.
content: 像上面讨论的那样,在ZFC中,选择公理能为一个不能明确构造出的对象给出“非构造性证明”来证明其存在性。然而,ZFC依然是在经典逻辑下被形式化的。在构造性数学领域,选择公理仍被深入研究,而当中应用的是非古典逻辑。在构造性数学的不同版本中,选择公理的状况也有所差别。  在直觉类型论和高阶的Heyting算术中,选择公理的适当陈述(按照推导方式)可以是作为一个公理,又或者作为一个可证明的定理。埃里特‧毕夏普认为选择公理可被视作是构造性的: 但在构造性集合论中,迪亚科内斯库定理表明选择公理蕴涵了排中律(在直觉类型论中,选择公理不蕴涵排中律)。因此选择公理在构造性集合论中并非普遍被接受。在类型论中的选择公理与在构造性集合论中的选择公理的区别是,前者不具有外延性而后者具有。  一些构造性集合论的结果用到了可数选择公理或相依选择公理,这两个公理在构造性集合论内并不蕴涵排中律。尽管可数选择公理在构造性数学中的应用特别广泛,它的使用也受到质疑。
title: 强形式公理.
content: 可构造性公理与连续统假设都蕴涵了选择公理,更准确地说,两者都严格强于选择公理。在类理论中,如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和Morse–Kelley集合论,存在一个叫全局选择公理的公理,它比选择公理要强,因其同时也适用于真类。全局选择公理可由大小限制公理推出。
title: 结论.
content: 哥德尔证明了选择公理与ZF的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理独立于ZF。

Summary: 选择公理(英语:Axiom of Choice,缩写AC)是数学中的一条集合论公理。这条公理声明,对所有非空指标集族formula_1,总存在一个索引族formula_2,对每一个formula_3,均有formula_4。选择公理最早于1904年,由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。

Axiom of choice: In mathematics, the axiom of choice, or AC, is an axiom of set theory equivalent to the statement that "a Cartesian product of a collection of non-empty sets is non-empty". Informally put, the axiom of choice says that given any collection of bins, each containing at least one object, it is possible to make a selection of exactly one object from each bin, even if the collection is infinite. Formally, it states that for every indexed family formula_1 of nonempty sets there exists an indexed family formula_2 of elements such that formula_3 for every formula_4. The axiom of choice was formulated in 1904 by Ernst Zermelo in order to formalize his proof of the well-ordering theorem.