达朗贝尔原理

title: 导论.
content: 思考由一群粒子构成的一个物理系统。按照牛顿运动定律,  其中,formula_11是所有施加于粒子formula_3的作用力的合力(包括约束力)。  将方程序右边的加速度项目移至左边,  达朗贝尔建议将这加速度项目视为一种因为粒子的运动而产生的作用力,称为惯性力:  这样,施加于每一个粒子的作用力(包括惯性力)的向量和皆等于零:  采用达朗贝尔这绝顶聪明的建议,这系统内所有的作用力的向量和变为零,也就是说,这系统达到平衡状态。假若动力系统的动态平衡可以视为静力系统的静态平衡,则所有静力系统内有关于平衡状态的理论都可以适用于动力系统,而这动力系统的运动问题的一大部分也可以当作静力系统的平衡问题来解析。因此,当然也可以将静力学的虚功原理搬迁至动力学里。  对于每一个粒子,经过虚位移formula_9,其向量和所作的虚功等于零:  作用于每一个粒子的虚功的总和formula_18等于零:  将作用于每一个粒子上的合力formula_11,细分为外力formula_7与约束力formula_22:  假设,每一个约束力,因为虚位移,所做的虚功的总和是零。则约束力的项目可以从方程序内移去,达朗贝尔原理成立:  现在,总和内的每一个单独formula_25很可能不等于零。  定义有效力formula_26为外力加惯性力:  达朗贝尔原理又可表达为:对于任意物理系统,所有有效力,经过符合约束条件的虚位移,所作的虚功的总合等于零,  注意到这推论里的约束力假设。在这里,约束力就是牛顿第三定律的反作用力。因此,可以称此假设为反作用力的虚功假设:所有反作用力所做的符合约束条件的虚功,其总合是零。这是分析力学额外设立的假设,无法从牛顿运动定律推导出来。
title: 适用案例.
content: 在此特别列出几个案例,展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零:
title: 拉格朗日方程序的导引.
content: 拉格朗日力学是对经典力学的一种不同的表述。拉格朗日方程序是拉格朗日力学的基要方程序,可以用来描述物体的运动,特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程序的功能等价于牛顿力学中的牛顿第二定律。  从达朗贝尔原理,可以推导出拉格朗日方程序。设定粒子formula_3的位置formula_45为广义坐标formula_46与时间formula_47的函数:  转换为广义坐标的主要的目的,是要除去物体内粒子位置与粒子位置之间的相依性。这问题在后面会有更详细的说明。  虚位移可以表示为  粒子的速度formula_50是  取速度对于广义速度的偏微分:  思考方程序(1)的加速度项目,将方程序(2)代入,  应用乘积法则,  注意到formula_55的参数为formula_56,而速度formula_57的参数为formula_58,所以,  因此,以下关系式成立:  将方程序(3)与(4)代入,加速度项目成为  思考这个系统的动能formula_63,  加速度项目与动能的关系为  思考方程序(1)的外力项目,将方程序(2)代入,  这里,formula_67是广义力:  将方程序(5)与(6)代入方程序(1),会得到  假设所有的广义坐标都相互独立,则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚位移都是任意设定的,只有满足下述方程序,才能使方程序方程序(7)成立:  假设这系统是单演系统,也就是说,这系统的广义力与广义位势formula_71之间的关系式为  那么,  广义位势也是系统的势能。注意到拉格朗日量formula_74定义为系统的动能减去势能:  则可得到拉格朗日方程序:  假设这系统是保守系统,也就是说,这系统的广义力与位势formula_71之间的关系式为  则拉格朗日方程序也成立。
title: 达朗贝尔惯性力原理.
content: 根据对于刚体的牛顿第二定律,一个运动中的刚体,其运动方程序为  其中,formula_7是施加于刚体的外力,formula_82是刚体的质量,formula_83是刚体质心的加速度,formula_84是每一个外力formula_7对于刚体质心的力矩、formula_86是对于刚体质心的惯性张量,formula_87是刚体的角加速度。  达朗贝尔建议将加速度项目formula_88视为一种因为刚体的运动而产生的作用力,称为惯性力formula_89,又将角加速度项目formula_90视为一种因为刚体的运动而产生的力矩,称为惯性力矩formula_91:  那么,运动方程序变为  在工程力学里,达朗贝尔惯性力原理阐明:刚体的惯性力与所有作用于刚体的外力的合力等于零,刚体的惯性力矩与所有作用于刚体的力矩的合力矩等于零。。这原理可以帮助分析正在运动中的某连杆所感受到的作用力。  请注意,惯性力必须作用于质心;而惯性力矩是力偶矩,可以作用于物体的任何一位置。靠着达朗贝尔惯性力原理,动力系统可以变为像静力系统一样的解析。这方法的优点是,在等价的静力系统里,可以选择任何一点(不只是质心)来计算力矩。这时常会导至较简易的运算。因为,如果选择出正确的力矩作用点,在计算力矩时,可以忽略许多作用力(这些作用力与选择点同直线)。
title: 刚体二维平面运动实例.
content: 假设施加作用力或力矩于一个平面刚体,则此刚体会在xy-平面上呈平移运动或旋转运动,其惯性力formula_89与惯性力矩formula_91的方程序分别为  假设,除了作用于刚体的外力以外,将惯性力视为作用力,将惯性力矩视为力矩,这系统就等价于静力系统。因此,静力平衡方程序成立:  这方法的优点是,formula_103乃是对于任意点的力矩的总合;而直接应用牛顿运动定律的方法有一个额外的要求:旋转运动方程序只能选择在质心计算。

Summary: 达朗贝尔原理(英语:d'Alembert principle)是因其发现者法国物理学家与数学家让·达朗贝尔而命名。达朗贝尔原理阐明,对于任意物理系统,所有惯性力或施加的外力,经过符合约束条件的虚位移,所作的虚功的总和等于零: 其中,formula_2是粒子formula_3感受到的惯性力,formula_4和formula_5分别是粒子formula_3的质量和加速度,formula_7是施加于粒子formula_3的外力(不包括约束力)、formula_9是符合系统约束的虚位移。

D'Alembert's principle: D'Alembert's principle, also known as the Lagrange–d'Alembert principle, is a statement of the fundamental classical laws of motion. It is named after its discoverer, the French physicist and mathematician Jean le Rond d'Alembert. It is the dynamic analogue to the "principle of virtual work for applied forces" in a static system and in fact is more general than Hamilton's principle, avoiding restriction to holonomic systems. A holonomic constraint depends only on the coordinates and time. It does not depend on the velocities. If the negative terms in accelerations are recognized as "inertial forces", the statement of d'Alembert's principle becomes "The total virtual work of the impressed forces plus the inertial forces vanishes for reversible displacements". The principle does not apply for irreversible displacements, such as sliding friction, and more general specification of the irreversibility is required.