函数

title: 定义.
content: 从输入值集合formula_24到可能的输出值集合formula_25的函数formula_6(记作formula_27)是formula_24与formula_25的关系,满足如下条件:  定义域中任一formula_1在到达域中唯一对应的formula_18记为formula_8。  比上面定义更简明的表述如下:从formula_24映射到formula_25的函数formula_6是formula_24与formula_25的直积formula_52的子集。formula_24中任一formula_1都与formula_25中的formula_18唯一对应,且有序对formula_20属于formula_6。  formula_24与formula_25的关系若满足条件(1),则为多值函数。函数都是多值函数,但多值函数不都是函数。formula_24与formula_25的关系若满足条件(2),则为偏函数。函数都是偏函数,但偏函数不都是函数。除非特别指明,本条目中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。 考虑如下例子:
title: 函数的判别.
content: 除了利用函数的定义之外,还可以利用竖直判别法,即函数的图形与任何一条平行于 y 轴的直线不能有一个以上的交点。
title: 历史.
content: 函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的,用来描述跟曲线相关的一个量,如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数,数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数,此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系,是微积分学的基础。中文的“函数”一词由清朝数学家李善兰译出。其《代数学》书中解释:“凡此变量中函(包含)彼变量者,则此为彼之函数”。
title: 表示方法.
title: 分段函数.
content: 分段函数(),在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,这样的函数通常叫分段函数。分段实际上是一种表达函数的方式,而不是函数本身的一个特征,但是具有额外的限定,可以描述函数的本质。
title: 函数图形.
content: 函数formula_6在平面上的图形是点对formula_65的集合,其中formula_1取遍定义域上的所有成员。函数图形可以帮助理解证明一些定理。  注意函数图形可以有两个定义:一是三元组formula_67,其中formula_24是函数的定义域,formula_25是函数的到达域,formula_70是关系的图;二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数formula_6等于其图形。
title: 像和原像.
content: 元素formula_82在formula_6之下的像就是formula_8。  子集formula_85在formula_6之下的像,是以formula_87的元素的像所组成的集合,为formula_25的一个子集,即  注意formula_6的值域就是定义域formula_24的像formula_92。在#正式定义一节的最后例子中,formula_93在formula_6的像是formula_95,而formula_6的值域是formula_97。  根据此定义,formula_6可引申成为由formula_24的幂集(由formula_24的子集组成的集)到formula_25的幂集之函数,亦记作formula_6。  子集formula_103在formula_6的原像(或"逆像")是如下定义的formula_24的子集: 沿用同一例子,我们可以看到formula_107的原像是formula_108,即空集。  根据此定义,formula_109是由formula_25的幂集到formula_24的幂集之函数。  以下是formula_6及formula_113的一些特性:  这些特性适合定义域的任意子集formula_120及formula_121和到达域的任意子集formula_122及formula_123,甚至可推广到任意子集群的交集和并集。
title: 函数范例.
content: 常用的数学函数包括多项式函数、根式函数、幂函数、对数函数、有理函数、三角函数、反三角函数等。它们都是初等函数。非初等函数(或特殊函数)包括伽马函数和贝塞尔函数等。
title: 函数的分类.
content: 函数可分为
title: 复合函数.
content: 函数formula_131及formula_132的复合函数是  举例,飞机在formula_134时刻的高度是formula_135,而高度formula_1处的氧气浓度是formula_137,则在formula_134时刻飞机周围的氧气浓度是 formula_139  若formula_140则 formula_6可自我复合;此时复合函数可记作formula_142(不要与三角学的符号混淆)。函数的幂的定义是对自然数formula_124有
title: 反函数.
content: 对一个函数,若值域中任何一个元素的原象是唯一的,那么这个函数就被称为是双射的。对任意的到它的原象的映射,我们称之为的反函数,记为。  举一个反函数的例子,比如,它的反函数是。同样,的反函数是。反函数是一个函数,它能够“抵消”它的原函数,并具有和原函数相同的单调性。参见逆映射。
title: 函数的限制及扩张.
content: 给出formula_25的子集formula_24以及函数  则  称为formula_6在formula_24的限制。  反之,若给出函数  当一个定义在formula_25的函数formula_154有formula_155,formula_6就是formula_21的扩张。
title: 点态运算.
content: 设函数及有为共同的定义域及环为共同的到达域。我们可以定义“函数和”及“函数积”如下: 对于所有中的。  这样子我们得出一个函数组成的环。这是一个抽象性扩张的例子,由此我们从较简单的结构得出更复杂的。  若然用别的代数结构代替,得出的由到的函数集会类似地拥有和相同的代数结构。
title: 歧义函数.
content: 歧义函数,也称多值函数,指有输出值多于一个的情况。例如,4的平方根可以是2或者-2,而两者的平方皆是4。  严格来说,歧义函数不完全算是函数,因为数学函数的定义对于一个输入值只能有唯一一个输出值。实际上,这样的「函数」通常被称为关系式。复变函数理论采用黎曼面处理函数多值的困境。
title: 一元函数.
content: 设 D 是实数集 R 中的非空子集,称映射 f : D -> R 为定义在 D 上的一元函数。
title: 多元函数.
content: 多元函数("n"-元函数)是指输入值为"n"-元组的函数。或者说,若一函数的输入值域为"n"个集合的笛卡尔积的子集,这函数就是"n"-元函数。例如,距离函数"dist"((x,y))是一个二元函数,输入值是由两个点组成的序对。另外,多复变函数(即输入值为复数的多元组)是一个重要的数学课题。  在抽象代数中,算子其实都是函数,如乘法"*"是个二元函数:当我们写"x"*"y"时,其实是用上了*("x","y")的中缀表示法。  函数式程序设计是一个以函数概念为中心的重要理论范式,其中的运算对象为多元函数,基本语法基于λ演算,而函数的复合则采用代换来完成。特别地,通过一种称为柯里化的变换,可将多元函数变换为一元函数。
title: 可计算和不可计算函数.
content: 所有从整数到整数的可计算函数的个数是可数的,这是因为所有可能的算法个数是可数的。从整数到整数的函数个数要更多些-和实数个数一样多,也就是说是等势的。这说明有些从整数到整数的函数是不可计算的。关于不可计算函数,请参看停机问题和莱斯定理,OEIS中有一个经典的例子:。
title: 范畴论观点下的函数.
content: 在范畴论中,函数的槪念被推广为态射的槪念。  一个范畴包括一组物件与一组态射,每一个态射是个三元组("X", "Y", "f"),"X"称为源物件(定义域的类比),"Y"称为目标物件(到达域的类比),而源物件与目标物件是范畴内的物件。基于这种解释,可以把函数看作集合范畴里面的态射。

Summary: 函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系:输入值集合中的每项元素皆能对应 唯一一项输出值集合

Function (mathematics): In mathematics, a function is a binary relation over two sets that associates to every element of the first set "exactly" one element of the second set. Typical examples are functions from integers to integers or from the real numbers to real numbers.