雷登变换

title: 简介.
content: 若函数formula_1表示一个未知的密度,对formula_1做雷登变换,相当于得到formula_1投影后的讯号,举例来说:formula_1相当于人体组织,断层扫描的输出讯号相当于经过雷登变换的formula_1。 因此,可以用雷登反变换从投影后的密度函数,重建原始的密度函数,它也是重建断层扫描的数学理论基础,另一个被广为人知名词的是三维重建。  雷登变换后的讯号称作"""正弦图"""(sinogram),因为一个偏离中心的点的雷登变换是一个正弦曲线(sinusoid)。所以对一些小点的雷登变换,会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。  雷登变换可以应用在:X射线电脑断层扫描、条码扫描器、macromolecular assemblies的电子显微镜例如:病毒、Reflection seismology、蛋白质复合体,而且也是双曲线 偏微分方程(hyperbolic partial differential equations)的解。
title: 定义.
content: 令密度函数formula_16是一个的定义域为 formula_17 的紧致台(compact support)。令formula_18为雷登变换的运算子(operator),则formula_19是一个定义在 formula_17空间中的直线formula_21,它的定义如下 可以把直线 formula_21改写成一个弧长formula_24的参数式 formula_26是直线formula_21和原点的距离,而formula_28是垂直于formula_21的法线和formula_30轴的夹角, 接下来,我们可以令formula_31当作formula_17平面上的新座标系统,把这个座标变换带入到雷登变换得到 更进一步,我们可以把formula_17推广到formula_35的欧几里得空间,对一个紧致台(compact support)的连续函数formula_1做雷登变换后的函数formula_2是定义在 formula_38的超平面上, 积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure),而formula_40是原本的formula_41的高维推广。可以观察到对formula_38里的任意元素, 都是某个轨迹方程序的解 而formula_28是一个单位向量且属于formula_45,formula_46,n维的雷登变换可以改写成定义在 formula_47上的函数 也可以借由其他方式将雷登变换推广,也就是对formula_35的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。 而这种推广雷登变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描,他的做法是对一条直线积分。
title: 与傅立叶变换的关系.
content: 主条目:Projection-slice theorem  雷登变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变量的傅立叶变换的定义是 而双变量formula_51的傅立叶变换是 把雷登变换的运算子的表记从formula_53 改成 formula_54。根据Projection-slice theorem学说, 因此一个初始函数沿着一条线倾角formula_28的二维的傅立叶变换,相当于对雷登变换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维
title: 对偶变换.
content: 对偶雷登变换是雷登变换的埃尔米特伴随。令在空间formula_38上的函数formula_59,而对偶雷登变换的运算子定义为formula_60。作用在formula_59上 积分的范围是所有和formula_63相交的超平面集合,而测度(measure)formula_64是集合formula_65特殊的几率测度(Probability measure), 当对着formula_66旋转时,formula_64的值不会改变  对于一个二维的雷登变换,其对偶变换是 在影像处理的文章中,对偶变换经常被称作反向传播算法(back propagation), 因为  交结性质  根据拉普拉斯算子formula_69在 formula_35的定义是 这是一个旋转不变性的二阶微分算子,在空间formula_38,半径的二阶倒数(second derivative) 也是旋转不变性。 而雷登变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator),是因为
title: 重建方法.
content: 重建处理是指从投影影像重建一个影像,或是一个函数formula_1。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。  雷登反变换公式  对于二维雷登变换,最常被使用的解析公式(analytical formula)formula_1,是Filtered Backprojection Formula或雷登反变换公式,反变换公式为 函数formula_78满足formula_79,卷积核 (convolution kernel) formula_78在一些文章中称作Ramp filter。  不适定问题 (ill-posedness)  直觉上,反变换公式应该和微分类似,formula_81。我们可以看的出来反变换公式 的行为类似微分。大致上来说,这个反变换公式把目标奇异化(singular);要如何量化雷登反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢?首先可以写出 formula_83即是前面定义的反变换运算子,且伴随着(adjoint to)雷登变换,因此formula_84,上式变成 复数指数函数formula_86,是formula_87的固有函数 (eigenfunction), 而特征值 (eigenvalue)为formula_88。formula_18的奇异值 (singular values) 是formula_90, 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0,所以formula_91是无界的(unbounded) 。
title: 反变换公式.
content: 外显(explicit)且计算效率好的雷登反变换公式,以及他的对偶是存在的。n维的反雷登变换可以由 其中 而formula_69是拉普拉斯算子(Laplacian),formula_95是伪微分算子(pseudodifferential operator) formula_97是傅立叶变换的运算子(operator)。

Summary: 数学上,雷登变换是一种积分变换,这个变换将二维平面函数formula_1变换成一个定义在二维空间上的一个线性函数formula_2(formula_2的意思是对formula_1做雷登变换),而formula_2的值为函数formula_1对该条线formula_2做积分的值。以右图为例,黄色区域即是formula_1,formula_9线则是代表formula_2。

Radon transform: In mathematics, the Radon transform is the integral transform which takes a function "f" defined on the plane to a function "Rf" defined on the (two-dimensional) space of lines in the plane, whose value at a particular line is equal to the line integral of the function over that line. The transform was introduced in 1917 by Johann Radon, who also provided a formula for the inverse transform. Radon further included formulas for the transform in three dimensions, in which the integral is taken over planes (integrating over lines is known as the X-ray transform). It was later generalized to higher-dimensional Euclidean spaces, and more broadly in the context of integral geometry. The complex analogue of the Radon transform is known as the Penrose transform. The Radon transform is widely applicable to tomography, the creation of an image from the projection data associated with cross-sectional scans of an object.