群上同调

title: 起源.
content: 群论中的指导思想之一,是研究群 formula_1 及其表示的关系。群 formula_1 的表示是 formula_1-模的特例:一个 formula_1-模是一个阿贝尔群 formula_5 配上 formula_1 在 formula_5 上的群作用 formula_8。等价的说法是:formula_5 是群环 formula_10 上的模。通常将 formula_1 的作用写成乘法 formula_12。全体 formula_1-模自然地构成一个阿贝尔范畴。  对给定的 formula_1-模 formula_5,最重要的子群之一是其 formula_1-不变子群  若 formula_18 是一个 formula_1-子模(即:是 formula_5 的子群,且在 formula_1 的作用下不变),则 formula_22 上赋有自然的 formula_1-模结构,formula_24,但是未必有 formula_25。第一个群上同调群 formula_26 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言,可以定义一族函子 formula_27,其间关系可以由长正合序列表示。
title: 形式建构.
content: 以下假设 formula_1 为有限群,全体 formula_1-模构成阿贝尔范畴,其间的态射 formula_30 定义为满足 formula_31 的群同态 formula_32。由于此范畴等价于 formula_10-模范畴,故有充足的内射对象。  函子 formula_34 是从 formula_1-模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 formula_36 为其导函子。根据导函子的一般理论,可知:  在上述定义中,若固定一个域 formula_41,并以 formula_42 代替 formula_10,得到的上同调群依然同构。
title: 标准分解.
content: 导出函子的定义来自内射分解,不便于具体计算。然而注意到 formula_44,其中 formula_45 被赋予平凡的 formula_1 作用:formula_47,故群上同调可以用Ext函子表达为 另一方面,formula_1-模范畴中也有充足的射影对象,若取一 formula_45 的射影分解 formula_51,则有自然的同构 formula_52。最自然的分解是标准分解  而 formula_56 由 formula_57 给出。  定义 formula_58,其元素为形如 formula_59 的函数,并满足 formula_60,称之为齐次上链。根据 formula_1 在 formula_62 上的作用,这种 formula_63 由它在形如 formula_64 的元素上的取值确定。借此,可将上链复形 formula_65 描述为  其中的元素称为非齐次上链。  综上所述,得到 formula_69。
title: 例子.
content: 较常用的上同调是 formula_70 与 formula_71。从标准分解可导出以下的描述: 准此要领,亦有
title: 群同调.
content: 上述理论有一对偶版本:对于任一 formula_1-模 formula_5,定义 formula_76 为形如 formula_77 的元素生成之子模。考虑从 formula_1-模范畴映至阿贝尔群范畴的函子  这是一个右正合函子,其导出函子称为为群同调 formula_80。群同调可以藉Tor函子描述为  对于有限群,群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。
title: 非阿贝尔群上同调.
content: 将上述定义中的 formula_1-模 formula_5 改成一般的群 formula_84(未必交换),并带有 formula_1 的作用 formula_86(称之为 formula_1-群)。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调: 须留意 formula_90 并不是群,而是带有一个指定元素的集合(来自 formula_84 的单位元素),以下所谓的正合性,都应该在此意义下理解。  若 formula_92 是 formula_1-群的短正合序列,则有长正合序列 若 formula_84落在 formula_96 的中心,此序列右端可再加一项 formula_97。
title: 性质.
title: Res 与 Cor.
content: 若 formula_98 为群同态,则可将任一 formula_1-模透过 formula_63 视为 formula_101-模,此运算导出上同调之间的映射 此映射与群上同调的长正合序列相容。当 formula_101 是 formula_1 的子群而 formula_63 是包含映射,导出的映射称为限制映射,记为 Res。  由于我们假设 formula_1 为有限群,必有 formula_107,此时映射 导出一个上限制映射 formula_109。
title: 中心扩张.
content: 若 formula_5 是平凡的 formula_1 模(即 formula_113),则 formula_114 中的元素一一对应于 formula_1 对 formula_5 的中心扩张的等价类  中心扩张意谓:formula_118 是群扩张,而且 formula_5 落在 formula_120 的中心内。  具体描述方法是:任取一映射 formula_121。formula_122 不一定是群同态,但存在函数 formula_123 使得 formula_124。formula_122 及 formula_63 刻划了 formula_120 的群结构。不难验证 formula_128 满足 formula_129,而 formula_122 的选取对应于 formula_131,所以 formula_132 仅决定于唯一的一个中心扩张。反之,任一 formula_132 都来自于某个中心扩张,证毕。
title: 谱序列.
content: 若 formula_134 是 formula_1 的正规子群,则有下述谱序列  对于射影有限群,此式依然成立。

Summary: 在同调代数中,群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑,在代数数论上也有重要应用;它是现代类域论的基本构件之一。

Group cohomology: In mathematics (more specifically, in homological algebra), group cohomology is a set of mathematical tools used to study groups using cohomology theory, a technique from algebraic topology. Analogous to group representations, group cohomology looks at the group actions of a group "G" in an associated "G"-module "M" to elucidate the properties of the group. By treating the "G"-module as a kind of topological space with elements of formula_1 representing "n"-simplices, topological properties of the space may be computed, such as the set of cohomology groups formula_2. The cohomology groups in turn provide insight into the structure of the group "G" and "G"-module "M" themselves. Group cohomology plays a role in the investigation of fixed points of a group action in a module or space and the quotient module or space with respect to a group action. Group cohomology is used in the fields of abstract algebra, homological algebra, algebraic topology and algebraic number theory, as well as in applications to group theory proper. As in algebraic topology, there is a dual theory called "group homology". The techniques of group cohomology can also be extended to the case that instead of a "G"-module, "G" acts on a nonabelian "G"-group; in effect, a generalization of a module to non-Abelian coefficients.