圆锥曲线

title: 定义.
content: 设formula_5为定点,formula_6为定直线,formula_1为正常数,称满足formula_8的动点formula_9的轨迹为圆锥曲线。  其中formula_5为其焦点,formula_6为准线,formula_1为离心率。  由此可知,圆锥曲线的极坐标参数方程为formula_13或formula_14(正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起)。 其中formula_15为formula_16与极轴的夹角,formula_17为定直线formula_18,即准线到焦点的距离。  将参数方程转换成直角坐标方程易得,
title: 圆锥曲线的类型.
content: 椭圆,圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为近似椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。  抛物线:截面仅与圆锥面的一条母线平行,结果为抛物线。  双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。  在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。
title: 几何性质.
title: 椭圆(ellipse).
content: 椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。
title: 抛物线(Parabola).
content: 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
title: 双曲线(Hyperbola).
content: 双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长(2a)。
title: 离心率.
content: 对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是formula_23,这里的formula_24是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是formula_25。  在圆的情况下,formula_26且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。  圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。  对于一个给定的formula_24,formula_28越接近于1,半短轴就越小。
title: 笛卡尔坐标.
content: 在笛卡尔坐标系内,二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线,并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式
title: 矩阵表示.
content: 上述方程可以使用矩阵表示为  亦可以写作  这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标)  下文中记formula_36,记formula_37。
title: 类别.
content: 借由formula_38,我们可以判定圆锥曲线是否退化。  若圆锥曲线未发生退化,则  若圆锥曲线发生退化,则  在此处的表达中,formula_72和formula_73为多项式系数,而非半长轴formula_72和半短轴formula_73。
title: 不变量.
content: 矩阵formula_38、formula_77的行列式,以及formula_78(formula_77的迹)在任意的旋转和座标轴的交换中保持不变。 常数项formula_5以及formula_81仅在旋转中保持不变。
title: 离心率.
content: formula_40的离心率可被写作关于formula_40系数的函数。 若 formula_53,formula_40为 抛物线,其离心率为1。其它情况下,假设formula_40表达一个未退化的椭圆或双曲线,那么  此处若formula_88为负则formula_89;若formula_88为正则formula_91。  此外,离心率formula_1也是下述方程的一个正根  此处 formula_94 。对于椭圆或抛物线,该方程只有一个正根,即其离心率;对于双曲线,其有两个正根,其中的一个为其离心率。
title: 转换为标准方程.
content: 对于椭圆或双曲线,formula_40可用变换后的变量formula_96表示为如下所示的标准形式  或等价的  此处,formula_99和formula_100为formula_101的特征值,也即下述方程的两根:  同时,formula_103,formula_104。  通过座标变换,各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式:
title: 极坐标.
content: 圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为formula_105,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴formula_106,和半短轴formula_107,通过公式formula_108或formula_109。  在极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正"x"轴上,给出自方程  或者,  如上,对于formula_26得到一个圆,对于formula_2得到椭圆,对于formula_3得到抛物线,对于formula_4得到双曲线。
title: 齐次坐标.
content: 在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:  或表示为矩阵:  矩阵formula_118叫做“圆锥曲线矩阵”。  formula_119叫做圆锥曲线的行列式。如果formula_120则这个圆锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。。  例如,圆锥曲线formula_121退化为两相交直线:formula_122。  类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条): formula_123。  formula_124被称为圆锥曲线的判别式。如果formula_125则圆锥曲线是抛物线,如果formula_126则是双曲线,如果formula_127则是椭圆。如果formula_127且formula_129,圆锥曲线是圆;如果formula_126且formula_131,它是直角双曲线。可以证明在复射影平面formula_132中,两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑重根),所以永不多于4个交点并总有1个交点(可能性:4个不同的交点,2个单一交点和1个双重交点,2个双重交点,1单一交点和1个三重交点,1个四重交点)。如果存在至少一个重根formula_133的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。  进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是formula_134和formula_135,则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

Summary: 圆锥曲线(英语:conic section),又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线,是数学、几何学中通过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括圆,椭圆,抛物线,双曲线及一些退化类型。

Conic section: In mathematics, a conic section (or simply conic) is a curve obtained as the intersection of the surface of a cone with a plane. The three types of conic section are the hyperbola, the parabola, and the ellipse; the circle is a special case of the ellipse, though historically it was sometimes called a fourth type. The ancient Greek mathematicians studied conic sections, culminating around 200 BC with Apollonius of Perga's systematic work on their properties.