基本群

title: 直观诠释:二维环面的情形.
content: 首先,让我们考虑二维环面(或者可以想象成甜甜圈的表面)的例子作为热身,固定其上一点formula_1。  从此点出发,则可以建构环路(即:从formula_1出发的并回到formula_1的闭曲线)。设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长,只要起点与终点仍是formula_1 且环路仍处在环面上即可。这种变形叫做同伦,若一环路可以从另一环路借此变形而得到,则称两者同伦等价。我们只探讨环路的同伦类。二维环面的基本群由环路的同伦类组成。  在上图中,formula_5与formula_6并非同伦等价:无法连续地从一者变换到另一者而不将环路「扯断」,它们代表基本群中的不同元素。借着增加环绕圈数,可以获得更多的同伦类。  顾名思义,基本群不只是一个集合,它带还有群结构:二元运算由环路的衔接给出,即先走完第一条环路,再走第二条环路,使得两段环路上的速率相同。基本群中的单位元素formula_7由静止在formula_1点的环路代表,逆元由环路的逆行代表之,即:若一元素由环路formula_9代表,则其逆元由formula_10代表,其中formula_11。
title: 形式定义.
content: 设formula_12为拓扑空间,formula_1为其中定点。一条连续道路是一个连续映射formula_14,而一个以formula_1为基点的环路是一条满足formula_16的连续道路。以下若不另外说明,则环路皆以formula_1为基点。  对两条环路formula_18,如果存在一个连续函数(保持基点的同伦)formula_19使得  则称两者同伦等价。不难验证此关系确为等价关系。因此我们可考虑环路对此关系的等价类,以formula_23表一环路formula_24隶属的等价类,亦称同伦类。  现在定两条环路formula_25的衔接为: formula_26  直观地说,此环路是先走formula_27再走formula_28,每一段都将速度加倍,以在单位时间内走完全程。可证明formula_29决定于formula_30,因此可在环路的同伦类上定义二元运算「*」。不难看出此运算满足结合律。  令单位元formula_7为环路formula_32(即静止于formula_1点的环路),并令环路formula_34之逆为formula_35(即formula_27逆行)。可证明formula_37在同伦类上有明确定义,且同伦类在此运算下成为一个群。  此群称为formula_12在基点formula_1的基本群,记为formula_40。
title: 例子.
content: 事实上,可以证明对任何群formula_56皆存在一个拓扑空间,使其基本群同构于formula_56(此空间可以用二维CW复形构造,当群为有限展示时则能以四维流形构造)。
title: 基本性质.
title: 对基点的独立性.
content: 以下设formula_12为道路连通空间。formula_59,则formula_40同构于formula_61。这是因为存在一条从formula_1到formula_63的道路formula_24,依之定义映射  此映射给出从formula_61至formula_40的同构,其逆则为  由此可谈论空间本身的基本群(顶多差一个同构),记为formula_69。基本广群理论也'可以简练地解释基本群对基点的独立性。
title: 对连续映射的函子性.
content: 设formula_27为空间formula_71的同伦等价,则formula_72为同构。  推论.同胚的空间有相同的基本群。
title: 积空间的基本群.
content: formula_73
title: 与第一个同调群的关系.
content: 道路连通空间的第一个同调群是基本群的交换化。这是Hurwitz定理的特例。
title: 计算方法与应用.
title: 范坎彭(van Kampen)定理.
content: 基本群一般不易计算,因为须证明某些环路非同伦等价。当空间可分割为较单纯的空间,而其基本群已知时,范坎彭定理(或塞弗特-范坎彭(Seifert-van Kampen)定理)可以将基本群表为一个归纳极限。
title: 锥定理与射影空间的基本群.
content: 对一个拓扑空间formula_12,定义其「锥」formula_75,其中formula_76表闭区间formula_77。当formula_78时,formula_79同胚于圆锥。  道路连通空间的锥是单连通的,我们也有自然包含映射formula_80。  设formula_81为连续映射,定义映射锥为  例子:设formula_27为formula_84到自身的映射formula_85,此时formula_86。  锥定理断言formula_87的基本群同构于formula_88对formula_89的正规化的商  应用:实射影空间之基本群同构于formula_90。
title: 基本群与覆叠空间.
content: 基本群的子群的共轭类一一对应于空间的覆叠的同构类,在此对应下,正规子群对应于伽罗瓦覆叠。  在覆叠空间理论中,业已证明了如果空间有单连通的覆叠空间(例如对局部单连通空间),则基本群同构于万有覆叠空间的自同构群。
title: 推广.
title: 基本广群.
content: 如果一个小范畴(即:对象与全体态射构成一集合)的所有态射皆可逆,则称之为一个广群。所有广群与其间的函子构成一个范畴。群是只有一个对象的广群。  设formula_56为一广群,对其对象定义下述等价关系: 得到的商集记作formula_98(或曰连通分支),这是从广群范畴到集合范畴的函子。  对每个拓扑空间,以下述方式函子地构造一广群formula_99:  设formula_12为拓扑空间,令formula_99的对象为formula_12的点,从点formula_103至formula_104的态射是从formula_103到formula_104的道路的同伦类。同伦等价关系相容于道路的头尾相接,故定义了一个广群formula_99,称为formula_12的基本广群。  Van Kampen定理在广群的框架下有简练的表述。  设formula_56为广群,而formula_103为其对象(也称作formula_56的点)。formula_112在态射合成下成为一个群,记之为formula_113。注:由于基点选取问题,formula_114并不能定义一个从广群范畴到群范畴的函子。  一个拓扑空间的基本群可以用基本广群定义为formula_115。
title: 高阶同伦群.
content: 基本群实则是第一个同伦群,这是符号formula_116中「1」的由来。
title: 代数几何中的基本群.
content: 基本群亦可抽象地定义为纤维函子的自同构群,此纤维函子对每个带基点的覆叠映射formula_117给出纤维formula_118。  此定义可以推广到代数几何,而之前给出的环路定义则不可。在此我们将拓扑空间的覆叠映射代为平展态射,拓扑空间的基点代为概形上的一个几何点formula_103,而纤维函子formula_120对一平展覆叠formula_121给出几何纤维formula_122。此推广源出格罗滕迪克与夏瓦雷。  这套理论可以解释函数域的伽罗瓦理论与黎曼曲面的覆叠理论之联系。

Summary: 在代数拓扑中,基本群(或称庞加莱群)是一个重要的同伦不变量。带点拓扑空间的基本群是所有从该点出发的环路的同伦等价类,群运算由环路的衔接给出。

Fundamental group: In the mathematical field of algebraic topology, the fundamental group of a topological space is the group of the equivalence classes under homotopy of the loops contained in the space. It records information about the basic shape, or holes, of the topological space. The fundamental group is the first and simplest homotopy group. The fundamental group is a homotopy invariant—topological spaces that are homotopy equivalent (or the stronger case of homeomorphic) have isomorphic fundamental groups.