同构基本定理

title: 历史.
content: 同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊"数学分析"(Mathematische Annalen)发表的论文"Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern"中明确阐述。
title: 群同态基本定理.
content: 我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。
title: 群同构基本定理.
title: 群同构第一定理.
content: 给定一个群同态 formula_1,根据群同态第一基本定理,我们可以把formula_2除以formula_2的核,使formula_4 变成单射。  直观来讲,把一个群formula_2除以formula_2的子群formula_7相当于把formula_7里的元素看成0。把formula_4的核除掉后,我们使得formula_10只在 formula_11时才会成立,这是formula_4的单射性的等价叙述。  我们必须先确定商群具有群的结构,才可以对formula_13进行讨论。 定理: 给定formula_2和formula_15两个群,和formula_16群同态。则formula_17是一个formula_2的正规子群。 证明: 记 formula_19 为formula_2和formula_15的运算符号,记formula_22和formula_23他们的单位元,我们可以验证formula_17 在共轭运算下封闭,即对于所有formula_25、所有formula_26,有formula_27。  我们有formula_28。由于formula_29在formula_17里面,即formula_31,我们推论formula_32。因此,formula_33在formula_17里面,故formula_17是formula_2的正规子群。 formula_17是formula_2的正规子群的这个性质让我们可以在商群formula_39上定义一个与formula_2的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故,群同态formula_41诱导出群同构formula_42。  我们有以下的定理:  群同构第一定理 给定formula_2和formula_15两个群,formula_45群同态,则formula_4诱导出一个从formula_47打到formula_48的群同构。 证明: 记formula_7为formula_4的核。我们定义formula_51为formula_52.  这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合,以下为示意图
title: 群同构第二定理.
content: 群同构第二定理: 给定群 formula_2 、其正规子群 formula_79 、其子群 formula_7,则 formula_81 是 formula_7 的正规子群,且我们有群同构如下: formula_83  证明: 设 formula_88 和 formula_89 为 formula_84 中的两个元素。我们有 formula_91,其中 formula_92, formula_93 (因为 formula_79 在 formula_2 中正规) 且 formula_96,故 formula_97 在 formula_84 中,其证明了 formula_84 在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及反元素的封闭性。  此外,我们有 formula_100 的包含关系,并且 formula_79 在 formula_2 中正规,所以也在 formula_84 中正规。  取 formula_104单射群同态,定义为 formula_105,取标准满射 formula_106 (值域是个群,因为 formula_79 在 formula_2 中正规)。借由复合两个群同态,我们建构出一个新的群同态 formula_109 定义为 formula_110。  理由是,设 formula_112,其中 formula_113 且 formula_114 。由于 formula_115 在 formula_79 里面, formula_117,故formula_118。  理由是, formula_110 是 formula_87 的单位元,即 formula_79 当且仅当, formula_29 在 formula_79 里面。由于 formula_29 已经在 formula_7 里面,所以证明这个相当于证明 formula_29 在 formula_129 里面。  如果我们弱化前提,假设 formula_79 的正规化子包含 formula_7 (把相等改成包含)这个定理依然正确。
title: 群同构第三定理.
content: 群同构第三定理: 给定群 formula_2, formula_79 和 formula_137 为 formula_2 的正规子群,满足 formula_137 包含于 formula_79,则 formula_141 是 formula_142 的正规子群,且有如下的群同构: formula_143  证明: formula_144 为满射,其核为 formula_141  所以可由群同构第一定理得到 formula_143
title: 推广.
content: 在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。
title: 第一同构定理.
content: 设"A"和"B"是两个代数结构,"f"是"A"到"B"的态射,则"A"等价关系formula_148:"a~b"当且仅当"f(a)=f(b)" 是"A"上的一个同余类,并且"A/"formula_148同构于"f"的像("B"的子代数)。
title: 第二同构定理.
content: 设"B"是"A"的子代数,formula_148是"A"上的同余类。令[B]formula_148是所有包含"B"种元素的同余类的集合,它是"A/"formula_148的一个子集;formula_155是formula_148限制在 "B" × "B"上的部分。那么[B]formula_148是"A/"formula_148的子代数结构,formula_155是"B"上的同余类,并且[B]formula_148同构于"B/"formula_155。
title: 第三同构定理.
content: 设"A"是一个代数结构,formula_148和formula_163是"A"上的两个同余关系,formula_163包含于formula_148。则formula_148定义了"A/"formula_163上的一个同余类formula_168:"[a]~[b]"当且仅当"a"与"b"关于 formula_148同余("[a]"表示"a"所在的formula_163-等价类),并且"A/"formula_148同构于"(A/"formula_163")/"formula_168。

Summary: 同构基本定理或称同态基本定理,包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

Isomorphism theorems: In mathematics, specifically abstract algebra, the isomorphism theorems (also known as Noether's isomorphism theorems) are theorems that describe the relationship between quotients, homomorphisms, and subobjects. Versions of the theorems exist for groups, rings, vector spaces, modules, Lie algebras, and various other algebraic structures. In universal algebra, the isomorphism theorems can be generalized to the context of algebras and congruences.