连分数

title: 例子.
content: 连分数常用于无理数的逼近,例如:  formula_4 由此得到formula_5的渐近分数formula_6、formula_7、formula_8、formula_9、...  formula_10 由此得到黄金分割的渐近分数formula_6、formula_12、formula_13、formula_14、formula_15、formula_16、......  formula_17 由此得到圆周率的渐近分数formula_18、formula_19(约率)、formula_20、formula_21(密率)、formula_22、......  数学上可以证明,由(狭义)连分数得到的渐近分数,在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中,其值是最接近精确值的近似值。
title: 动机.
content: 研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的表示。  多数人熟悉实数的小数表示:  这里的formula_2可以是任意整数,其它formula_25都是formula_26的一个元素。在这种表示中,例如数formula_27被表示为整数序列formula_28。  这种小数表示有些问题。例如,在这种情况下使用常数10是因为我们使用了10进制系统。我们还可以使用8进制或2进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如,数formula_29被表示为无限序列formula_30。  连分数表示法是避免了实数表示的这两个问题。让我们考虑如何描述一个数如formula_31,约为4.4624。近似为4,而实际上比4多一点,约为formula_32。但是在分母中的2是不准确的;更准确的分母是比2多一点,约为formula_33,所以formula_31近似为formula_35。但是在分母中的6是不准确的;更准确分母是比6多一点,实际是formula_36。所以formula_31实际上是formula_38。这样才准确。  去掉表达式formula_38中的冗余部分可得到简略记号formula_40。  实数的连分数表示可以用这种方式定义。它有一些可取的性质:  最后一个性质非常重要,且传统的小数点表示就不能如此。数的截断小数表示产生这个数的有理数逼近,但通常不是非常好的逼近。例如,截断formula_42在各种位置上产生逼近比,如formula_43、formula_44和formula_45。但是明显的最佳有理数逼近是「formula_46」自身。formula_27的截断小数表示产生逼近比,如formula_48和formula_49。formula_27的连分数表示开始于formula_51。截断这个表示产生极佳的有理数逼近3、formula_19、formula_20、formula_21、formula_55、...。formula_49和formula_20的分母相当接近,但近似值formula_49的误差是远高于formula_20的19倍。作为对formula_27的逼近,formula_61比3.1416精确100倍。
title: 连分数表示的算法.
content: 考虑实数formula_62。设formula_63是"formula_62"的整数部分,而formula_65是它的小数部分。则"r"的连分数表示是formula_66,这里的「...」是formula_67的连分数表示。习惯上用分号取代第一个逗号。  要计算实数"formula_62"的连分数表示,首先写下"formula_62"的整数部分(下取整),然后从"formula_62"减去这个整数部分。如果差为0则停止;否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止,当且仅当"formula_62"是有理数。 数3.245还可以表示为连分数展开formula_72;参见下面的有限连分数。  这个算法适合于实数,但如果用浮点数实现的话,可能导致数值灾难。作为替代,任何浮点数是一个精确的有理数(在现代计算机上分母通常是2的幂,在电子计算器上通常是10的幂),所以欧几里得算法的变体可以用来给出精确的结果。
title: 连分数的表示法.
content: 可以把连分数简写作:  或者,用Pringsheim的记法写作:  还有一个有关的记法:  有时使用尖括号,如:  在使用尖括号的时候,分号是可选的。  还可以定义无限简单连分数为极限:  对于正整数"a", "a", "a"...的任意选择,皆存在此一极限。  或者可以用高斯的记法
title: 有限连分数.
content: 所有有限连分数都表示一个有理数,而所有有理数都可以按两种不同的方式表示为有限连分数。这两种表示除了最终项之外都是一致的。在较长的连分数表示,其最终项是1;较短的表示去掉了最后的1,而向新的终项加1。在短表示中的最终项因此大于1,如果短表示至少有两项的话。其符号表示:  例如:
title: 连分数的倒数.
content: 有理数的连分数表示和它的倒数除了依据这个数小于或大于1而分别左移或右移一位以外是相同的。换句话说,formula_82和formula_83互为倒数。这是因为如果formula_84是整数,接着如果formula_85,则formula_86且formula_87,而且如果formula_88,则formula_89且formula_90带有最后的数生成对formula_91和它的倒数是同样的的连分数的余数。  例如:
title: 无限连分数.
content: 所有无限连分数都是无理数,而所有无理数可用一种精确的方式表示为无限连分数。  无理数的无限连分数表示是非常有用的,因为它的初始段提供了对这个数的优异的有理数逼近。这些有理数可以叫做这个连分数的收敛(convergent,也译为“渐进”)。所有偶数编号的收敛都小于最初的数,而奇数编号的收敛都大于它。  对于连分数formula_94,前四个收敛(编号formula_95到formula_96)是  用普通语言来说,第3个收敛的分子是借由第3个商(formula_98)乘上第2个收敛的分子,并加上第1个收敛的分子而成。分母的形成也很类似。  如果找到连续的收敛,带有分子formula_99和分母formula_100,则相关的递归关系是:  formula_101  连续的收敛由如下公式给出
title: 一些有用的定理.
content: 如果formula_103是正整数的无限序列,递归的定义序列formula_104和formula_105:
title: 定理1.
content: 对于任何正数formula_106
title: 定理2.
content: formula_108的收敛以  给出。
title: 定理3.
content: 如果对连分数的第"n"个收敛是formula_110,则  推论1:每个收敛都在它的最低的那些项中(如果formula_104和formula_105有不寻常的公约数,则它可除formula_114,这当然是不可能的)。  推论2:在连续的收敛之间的差是单位分数:  推论3:连分数等价于交替(alternating)项的级数:  推论4:矩阵 的行列式值为正1或负1,因此属于2x2 幺模矩阵formula_118的群。
title: 定理4.
content: 每个(第formula_119个)都比任何前面(第formula_62个)收敛更接近于后续的(第formula_121个)收敛。用符号来说,如果第"formula_121"个收敛是formula_123,则  对于所有<math>r。  推论1:奇数收敛(在第"formula_121"个之前)持续递增而总是小于formula_126。  推论2:偶数收敛(在第"formula_121"个之前)持续递减而总是大于"formula_126"。
title: 定理5.
content: 推论1:任何收敛都比其分母小于这个收敛的分母的任何其他分数更接近于这个连分数。  推论2:立即前导于一个大商的任何收敛都是对这个连分数的接近逼近。
title: 半收敛.
content: 如果formula_130和formula_131是连续的收敛,则如下形式的任何分数 这里的formula_133是非负整数,而分子和分母在formula_121和formula_135项(包含它们)之间,叫做“半收敛”、次收敛或中间分数。这个术语经常意味着排除了是收敛的可能性,而不是收敛是一种半收敛。  对实数formula_136的连分数展开的半收敛包括了所有比有更小分母的任何逼近都好的有理数逼近。另一个有用的性质是连续的半收敛formula_137和formula_138有着formula_139。
title: 最佳有理数逼近.
content: 连分数理论在丢番图逼近领域起基础性的作用,可以解决实数的最佳逼近问题,具体可参阅相应主页面。事实上,最初发展连分数理论的动机正是为了解决实数的最佳逼近问题。

Summary: 在数学中,连分数或繁分数即如下表达式:

Continued fraction: } In mathematics, a continued fraction is an expression obtained through an iterative process of representing a number as the sum of its integer part and the reciprocal of another number, then writing this other number as the sum of its integer part and another reciprocal, and so on. In a finite continued fraction (or terminated continued fraction), the iteration/recursion is terminated after finitely many steps by using an integer in lieu of another continued fraction. In contrast, an infinite continued fraction is an infinite expression. In either case, all integers in the sequence, other than the first, must be positive. The integers formula_3 are called the coefficients or terms of the continued fraction.