奈奎斯特稳定判据

title: 基础概念.
content: 考虑一个线性系统(例如,一个控制器),它的开环传递函数(Open-loop Transfer Function)是 formula_1,当它与反馈 formula_2组成闭环系统时,系统的闭环传递函数(Closed-loop Transfer Function)则为 formula_3。当考察这个系统的稳定性时,一般可以考察其特征方程 formula_4 并求解这个方程的根,例如劳斯表就是基于这种方法,其缺点是比较繁琐。事实上,只通过考察这个系统的开环传递函数(英语:OLTF)formula_5,并应用波特图或奈奎斯特图就可以得出结论。  任何拉普拉斯域中的传递函数 formula_6 都可表示为两个多项式的比值:formula_7  formula_6 的零点是方程formula_9的根,formula_6的极点是“特征方程”formula_11的根。  formula_6的稳定性由它的极点来决定:只有当系统的每一个极点的实数部分都为负值,即极点都在左半平面时,系统才是稳定的。而对于一个具有单位负反馈的闭环系统,若其开环传递函数由formula_13给出,则闭环系统的稳定性由特征方程formula_14来决定,即等同于求解方程formula_15的根。
title: 柯西辐角原理.
content: 根据复分析理论特别是其中的辐角原理,可以知道对于复平面 formula_16 上的一条围道 formula_17,如果函数 formula_18 在围道上没有极点或零点,则围道可通过函数 formula_18 映射到另一平面(formula_18 平面)。映射后的围道 formula_21 将卷绕 formula_22 平面的原点 formula_23 次,而 formula_24。这里 formula_25 和 formula_26 分别是函数 formula_22 在围道 formula_17 内的零点数和极点数。注意这里在数 formula_22 平面内的卷绕数时是和围道 formula_17 的方向一致的,从而反向的卷绕会被计为负数。  奈奎斯特于1932年发表最初的论文时没有采用辐角原理,相比之下他所用的方法并不那么简洁优美。这里介绍的方法类似于Leroy MacColl(《伺服系统的基础理论》,1945年)和亨德里克·波特(《网络分析和反馈放大设计》,1945年)所用的方法,他们两人都在贝尔实验室工作过。同时这也是当代大多数有关控制理论的教科书上所介绍的方法。
title: 奈奎斯特判据.
content: 首先建立一条奈奎斯特围道,这条围道包围了复平面的右半部分:  奈奎斯特围道通过开环传递函数formula_22的映射即为函数formula_22的奈奎斯特图。根据辐角原理,顺时针为正的情况下卷绕原点的次数等于函数formula_22在右半平面中零点的个数减去右半平面中极点的个数。如果考察围道卷绕(-1, j0)这一点而非原点的次数,则可得知函数formula_40在右半平面中零点的数量与右半平面中极点的数量之差。由于方程formula_41的根就是闭环传递函数的极点,并注意到方程formula_41和方程formula_43具有相同的根的数量,可以得到奈奎斯特稳定判据:  对于给定的奈奎斯特围道formula_17,假设formula_26是开环传递函数formula_22在围道内部的极点数量,formula_25是特征方程formula_41在围道内部的根数量——因而formula_25也是对应的闭环传递函数formula_50在围道内部的极点数量,从而奈奎斯特围道在formula_22平面内的映射formula_21,即函数的奈奎斯特图将卷绕(-1, j0)formula_23次,其中formula_54。对于一个稳定系统,要求formula_55。也就是说,闭环传递函数在右半平面上的极点数必须为零,为此开环传递函数formula_22的奈奎斯特图逆时针卷绕(-1, j0)这一点的次数必须等于formula_22在右半平面上的极点数量。
title: 极点位于虚轴上的情形.
content: 上面的讨论都假定了开环传递函数formula_18在虚轴上没有任何极点(即没有任何极点具有形式formula_59)。这个假定来自于辐角原理中围道不能经过映射函数上任何一个极点的要求。但事实上某些传递函数的极点确实是位于虚轴上的,最常见的例子是积分器(极点在原点上)。  若要分析这类极点在虚轴上的系统,需要对奈奎斯特围道的路径进行修改,使其绕过极点formula_59。一种方法是在极点formula_59附近建立一个很小的半圆弧,其半径formula_62,起始于formula_63并经逆时针绕到formula_64。这一修改意味着在这一极点处,formula_18的相矢量在一段无限远为半径的圆弧上转了formula_66角度,其中formula_67是虚轴上这一极点的重数。

Summary: 在控制理论和稳定性理论中,奈奎斯特稳定判据(英语:Nyquist stability criterion)是贝尔实验室的瑞典裔美国电气工程师哈里·奈奎斯特于1932年发现,用于确定动态系统稳定性的一种图形方法。由于它只需检查对应开环系统的奈奎斯特图,可以不必准确计算闭环或开环系统的零极点就可以使运用(虽然必须已知右半平面每一种类型的奇点的数目)。因此,他可以用在由无理函数定义的系统,如时滞系统。与波德图相比,它可以处理右半平面有奇点的传递函数。此外,还可以很自然地推广到具有多个输入和多个输出的复杂系统,如飞机的控制系统。

Nyquist stability criterion: In control theory and stability theory, the Nyquist stability criterion or Strecker–Nyquist stability criterion, independently discovered by the German electrical engineer at Siemens in 1930 and the Swedish-American electrical engineer Harry Nyquist at Bell Telephone Laboratories in 1932, is a graphical technique for determining the stability of a dynamical system. Because it only looks at the Nyquist plot of the open loop systems, it can be applied without explicitly computing the poles and zeros of either the closed-loop or open-loop system (although the number of each type of right-half-plane singularities must be known). As a result, it can be applied to systems defined by non-rational functions, such as systems with delays. In contrast to Bode plots, it can handle transfer functions with right half-plane singularities. In addition, there is a natural generalization to more complex systems with multiple inputs and multiple outputs, such as control systems for airplanes.