极限 (范畴论)

title: 定义.
content: 一范畴 "C" 中的极限及上极限可用 "C" 中的图示来定义。形式上,"C" 中类型 "J" 的图示是指一个由 "J" 映射至 "C" 的函子: 范畴 "J" 称之为「索引范畴」,图示 "F" 可想做是以 "J" 索引 "C" 内的物件及态射。"J" 实际的物件及态射为何并不重要,关键在于之间的互动。  通常,最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时,此类图示分别被称为「小图示」及「有限图示」。
title: 极限.
content: 设 "F" : "J" → "C" 为一个在范畴 "C" 中类型 "J" 的图示。一个对应于 "F" 的「锥体」是指 "C" 中的一物件 "N",具有可以 "J" 内之物件 "X" 索引的态射族 ψ : "N" → "F"("X"),使得对每个 "J" 内的态射 "f" : "X" → "Y",均有 "F"("f") o ψ = ψ。  图示 "F" : "J" → "C" 的极限是一个对应于 "F" 的锥体 ("L", φ),使得对所有其他对应于 "F" 之锥体 ("N", ψ),总存在一个「唯一的」态射 "u" : "N" → "L",使得对所有 "J" 中的 "X",φ o "u" = ψ。  可以说,锥体 ("N", ψ) 能被唯一的因子 "u" 分解成锥体 ("L", φ)。此一态射 "u" 有时称为「中介态射」。  极限亦称之为「泛锥体」,因为其所具有之泛性质(详见下文)。如同每个泛性质一般,上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态:极限物件 "L" 够一般,能让所有其他锥体分解;另一方面,"L" 也必须够特殊,每个锥体都只可能有「一个」因子。  极限也可视为是在对应于 "F" 的锥体范畴内的终对象。  图示可能不存在极限;但若一个图示存在极限,则此一极限一定是唯一的:在同构下是唯一的。
title: 上极限.
content: 极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转,以得到上极限及上锥体之定义,但下文仍将明确叙明之:  图示 "F" : "J" → "C" 的「上锥体是指 "C" 中的一物件 "N",具有可以每个 "J" 中的物件 "X" 索引的态射族 使得对每个 "J" 内的态射 "f" : "X" → "Y",均有 ψ o "F"("f")= ψ。  图示 "F" : "J" → "C" 的上极限是 "F" 的上锥体 ("L", formula_1),使得对所有其他对应于 "F" 的上锥体 ("N", ψ),总存在一个「唯一的」态射 "u" : "L" → "N",使得对所有 "J" 中的 "X","u" o formula_1 = ψ。  上极限也称为「泛上锥体」,也可视为是在对应于 "F" 的上锥体范畴内的始对象。  如同极限一般,若图示 "F" 存在上极限,则此上极限在同构下是唯一的。
title: 归纳系统与射影系统.
content: 以下固定一个范畴formula_3,并探讨其中的极限。为避免集合的悖论,我们将固定一个宇宙formula_4,并假定formula_3是formula_4-范畴,即:对任意两个对象formula_7,态射集formula_8同构于formula_4里的某个集合。formula_10表所有formula_4里的集合构成的范畴。  设formula_12为对formula_4的一个小范畴,所谓归纳系统(或称I-图)系指一个函子formula_14,射影系统则指一函子formula_15。  形象地说,归纳系统不外是给定formula_3中一族对象formula_17,对每个态射formula_18都有formula_3中对应的态射formula_20,且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向:formula_21。  固定一对象formula_22,对任意归纳系统α或射影系统β,可定义从formula_23到formula_10的函子  我们将遵循可表函子的哲学,从集合的射影极限出发。暂设formula_27,formula_10上的归纳系统不外是formula_12上的预层。给定一个归纳系统β,定义:  可手工验证下述自然同构:
title: 若干例子.
title: 始对象与终对象.
content: 令formula_12为空范畴,此时的归纳极限与射影极限(若存在)便分别满足泛性质  这不外就是formula_3里的始对象与终对象。
title: 纤维积与纤维余积.
content: 令formula_12为离散范畴(即:其间只有恒等态射),此时归纳及射影系统不外只是一族formula_3的对象formula_38,对应的归纳极限及射影极限称作余积(又称上积)与积。  令formula_12为范畴formula_40;设formula_14对应于formula_42。若其归纳极限存在,称之formula_43对formula_44的纤维余积,写作formula_45。  对偶地看,对于formula_46,对应于formula_47,若其射影极限存在,称之formula_48对formula_49的纤维积,写作formula_50。  纤维积与纤维余积可视为「相对」版本的积与余积。若存在终对象(或始对象),则积(或余积)可视为对该对象的纤维积(或纤维余积)。
title: 核与上核.
content: 核(kernel)与余核(cokernel,又译上核),有时也称等化子(equalizer)与余等化子(coequalizer)。考虑对应到 formula_51 的归纳或射影系统,此时的归纳极限formula_52称作上核,射影极限formula_53称作核。它们的泛性质图解如下:  在加法范畴中仅须考虑formula_54的状况,上述概念遂归结为同调代数所探讨的的核与余核。
title: 性质.
title: 极限之交换.
content: 设formula_55为小范畴,formula_56为归纳系统,则有自然同构 将箭头反向,对射影系统formula_58亦有自然同构  归纳极限与射影极限通常不交换,一个格外有用的结果是:若formula_12是滤通范畴,则formula_61与任意formula_62交换。
title: 完备性.
content: 若一个范畴内存在任意的(小)射影极限,则称之完备范畴;完备的充要条件是存在任意的积与核。  将箭头反向,遂得到上完备范畴的定义及其充要条件。
title: 正合函子.
content: 考虑一个函子formula_63。  在阿贝尔范畴中,上述定义回归到同调代数中的定义。  根据极限的泛性质,formula_71函子无论对哪个变量都是左正合的。  设formula_72是一对伴随函子。若formula_3存在任意有限归纳极限,则formula_65右正合;若存在任意有限射影极限,formula_75左正合。此法可建立许多函子的正合性。
title: 具体实例.
title: 拓扑空间.
content: 拓扑空间范畴formula_85也是完备且上完备的。各种极限构造与集合相同,惟须安上适合的商拓扑或子空间的诱导拓扑。  特别是可以构造一族无穷多个拓扑空间的极限及逆极限,此时相应的拓扑称作始拓扑或终拓扑。此类构造在泛函分析及同伦理论中特别有用。  一个拓扑空间formula_44满足豪斯多夫性质的充要条件是formula_87的核formula_88是闭浸入,将此性质推广到概形上,则得到分离概形。
title: 概形.
content: 概形范畴formula_89(或相对版本formula_90)有终对象formula_91(或formula_92),并存在有限的纤维积。
title: 抽象代数.
content: 阿贝尔群范畴formula_93或一个环formula_94上的模范畴formula_95都是完备且上完备的。函子的正合性对应到交换代数里的正合性概念。  射影极限的一个典型例子是p进整数:formula_96。

Summary: 在数学里的范畴论中,极限的概念融贯了多种构造,包括和、积等等;范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。

Limit (category theory): In category theory, a branch of mathematics, the abstract notion of a limit captures the essential properties of universal constructions such as products, pullbacks and inverse limits. The dual notion of a colimit generalizes constructions such as disjoint unions, direct sums, coproducts, pushouts and direct limits.