复合函数

title: 性质.
content: 函数的复合总是可结合的—这个性质来自于复合关系。 也就是说,如果,, 适当选择定义域和到达域,就会有,其中括号表示优先进行复合。由于括号如何放置没有分别,因此可以不用括号,也不会引起任何歧义。  严格来说,只有当 的到达域等于 的定义域时,才可以构造复合 ;更宽泛地说,只要前者是后者的子集就足够了。 此外,通常很容易通过限制 的定义域,使得 产生的值都在n 的定义域内;例如,函数 定义为,函数 定义为 复合而成的,可以把定义域限制在区间 上。 当 时,我们会说 和 是可交换的。可交换性是一个特殊的性质,只有特定函数具有,而且通常是在特定的情况下满足。例如,仅当 时 。上图也是一个说明可交换性例子。  一一对应函数的复合函数总是一一对应的。同样,两个满射函数的复合也总是满射的。因此,两个双射的复合也还是双射。复合函数的反函数(假定函数可逆)具有性质 。  涉及到可导函数的复合函数的导数,可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。
title: 复合幺半群.
content: 假设我们有两个(或多个)函数,定义域与到达域相同;这些函数一般称作变换。于是,我们可以构造多个变换复合而成的链,比如 。这种链具有幺半群的代数结构,称作变换幺半群或者复合幺半群。通常,变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 的集合称作 上的全变换半群或对称半群。(我们其实可以定义两个半群,这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。) 如果变换是双射(也就可逆),则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群;可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凯莱定理从本质上表明,(在同构意义下)任何群都是某一置换群的子群。  所有双射函数 (称作置换)的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群,有时称作复合群。  在(所有变换的)对称半群中,我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换(称作伪逆),因为对称子群是一个正则半群。
title: 函数幂.
content: 如果,则 有可能可以与自身复合;这有时候记作 。即:  更一般地,对于 的自然数, 次函数幂可以归纳定义为. 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。  注意:若 在一个环内取值(特别是对于实值或复值),存在混淆的风险,因为 也可以表示 的 次乘积,比如. 对于三角函数,通常会使用后者的含义,至少对于正指数是这样。例如,在三角学中,使用三角函数 的时候,这个上标记号表示标准的指数运算。不过,对于负指数(特别是 −1),则通常指的是反函数,例如,.  在一些情况下,对于给定函数,方程 只有一个解 的时候,该函数可以定义为 的函数平方根,记作.  更一般地,当 只有唯一解时(自然数 ),可以定义为.  在额外的限制下,这个想法还可以推广,使得迭代函数可以是一个连续的参数;在此情形下,这样的系统称作流,由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。  为避免混淆,有些数学家把 的 "n" 次迭代写作.
title: 其他记法.
content: 许多数学家,特别是群论方面的数学家,省去复合符号,把 写作.  在20世纪中叶,一些数学家认为用“”来表示“首先施加,然后施加 ”太令人困惑,于是决定改变记法。他们用“”来代表“”,用“”来代表“”。 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中,当 为行向量, 和 表示矩阵,而复合是通过矩阵乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要,因为函数复合不一定是可交换的(比如矩阵乘法)。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。  使用后缀表示法的数学家可能会写“”,表示先施加 再施加,这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致,不过这就会让“”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 来表示 [1],这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来,在Z表示法(Z notation)中 ⨾ 字符用于左关系复合。 由于所有函数都是二元关系,在函数复合中也应该用[粗]分号(参见 关系复合条目了解此记法的详细内容)。
title: 复合算子.
content: 给定函数,复合算子 定义为使得  的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。
title: 多元函数.
content: 对于多元函数来说,部分复合是有可能的。当函数 的部分参数 由 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中,记作  当 是一个常数 时,复合退化为一个(部分)求值,其结果就会是限制或者辅因子。  通常,多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数,如原始递归函数的定义。给定,一个 元函数, 个 元函数, 与 的复合是 元函数  这有时称作 "f" 与 的广义复合。 在这个一般化的情形中,可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数,只保留一个参数函数,就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意,在这个一般化情形中, 可以看作是单个向量或元组值函数,这样理解的话,这就是复合函数的标准定义。  某些基本集 "X" 上的一些有限性运算称作克隆,它们需要包含所有射影,并且在广义复合下封闭。请注意,克隆通常包含各种元数(arity)的运算。 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广:如果元数 "n"的函数 "f" 是保持 "g" 的同态函数("g" 的元数为 "m"),则可以说 "f"与 "g" 是可交换的,反之亦然。例如:  一元运算总是与自己可交换,但二元(或者更多元)运算不一定如此。与自身可交换的二元(或更多元)运算称为medial或entropic。
title: 推广.
content: 复合可以推广到任意二元关系。若 与 是两个二元关系,则它们的复合 是定义为. 考虑二元关系的一个特殊情形(函数关系),复合函数满足关系复合的定义。  偏函数的复合可是用相同方式定义的定义,有一个类似凯莱定理(Cayley's theorem)的定理叫做Wagner-Preston定理。  具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴(prototypical category)。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质(和定义)启发。 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广,函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 中的反序复合,同样适用于使用逆关系的关系复合,因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。
title: 排版.
content: 复合算子 编码为。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中,写作codice_1。

Summary: 在数学中,复合函数(英语:function composition)是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果,所得到的第三个函数。例如,函数 和 可以复合,得到从 中的 映射到 中 的函数。直观来说,如果 是 的函数, 是 的函数,那么 是 的函数。得到的复合函数记作,定义为对 中的所有,。 直观地说,复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程,内函数的输出就是外函数的输入。

Function composition: In mathematics, function composition is an operation that takes two functions and and produces a function such that. In this operation, the function is applied to the result of applying the function to. That is, the functions and are composed to yield a function that maps in to in.