榭赫伦实验

title: 背景.
content: 在对称的引力场中,摆在静止时会垂直向下。然而,如果附近有其他大质量的物体(例如一座山),那么它的吸引力就会把摆的铅锤,向它那边拉过去,这样摆就会稍微偏离垂直。而由某已知物体(例如恒星)所造成的铅垂线角度偏移,则可以通过在山两边的各组对点上,对摆进行仔细的测量得出。通过判定山的体积,及估算山石的平均密度,这样就能够独立地得出山的质量,再加上在那座山多处的偏角测量值,就能通过外推得出地球的平均密度,然后再使用平均密度来算出地球的质量。  艾萨克·牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中,曾考虑过这个效应,但却悲观地认为,地球上任何山所造成的偏角都太小,而难以测量。他写道,引力效应只能在行星的大小尺度下才看得到。然而牛顿的悲观是没有根据的:虽然他的计算指出,偏角会小于2角分(对象是一座三英哩高的理想山),但是这个角度,尽管很小,还是在当时仪器的理论测量范围之内。  任何一个测试牛顿万有引力定律的实验都有两个作用:一、为该定律提供证据;二、为地球的质量与密度提供近似值。而对于天文物体的质量,由于已知的只有各天体间的相对质量比,所以只要知道地球质量的大小,就能知道其他天体质量的合理数值,这些天体包括行星、它们的卫星,还有太阳。虽然这项实验的数据也能用于计算万有引力常数"G" 的大小,但是这不是当时实验者的目标;而"G" 最早的参考数值,则要再等几乎一百年,才出现在科学文献中。
title: 寻找合适山体.
title: 1738年,钦博拉索山.
content: 一对法国天文学家,皮埃尔·布格(Pierre Bouguer)和夏尔·玛丽·德·拉·孔达米纳(Charles Marie de La Contamine),是最早进行这项实验的人,而他们在1738年的实验地为厄瓜多尔的钦博拉索山,山高6,268米。当时他们的探险队,为了测量一度纬度内的子午线弧长,而在1738年离开了法国,前往赤道上的南美洲,但是他们却乘机进行了这项偏移实验。1738年12月,他们在非常困难的地形和气候下,于海拔4,680米和4,340米的地方,进行了两次测量。布格在1749年的一份论文上说他们量度到8角秒的偏移,但是他却低估了这次结果的重要性,还说这项实验应该在条件较好英国或法国进行。他还补充说,这次实验最少证明了,地球不可能是空壳。当时有思想家认为地球可能是空的,当中包括了爱德蒙·哈雷。
title: 1774年,榭赫伦山.
content: 当时的皇家天文学家内维尔·马斯基林于1772年向皇家学会提出,应该再多进行一次这项实验。他还说这实验会“为进行它的国家带来荣耀”,更提出两处适合的实验地:约克郡的浑塞德峰(Whernside),及坎伯兰的布伦卡思拉-斯克道(Blencathra-Skiddaw)古地块。为此,皇家学会组成了引力委员会,来考虑这件事,委员包括马斯基林、约瑟夫·班克斯和本杰明·富兰克林。为了找到一座适合实验的山,于是委员会派遣天文学家兼测量学家去进行调查。  经过1773年夏季的漫长搜寻后,梅森回报说最佳的候选地是榭赫伦山(Schiehallion,当时写法为Schehallien),它位处苏格兰高地的中央,在泰湖与兰洛湖(Loch Rannoch)之间,山高1,083米。山的耸立之处看起来像被其他山孤立,而且附近的山离它都不太近,这样它们对实验的引力影响会较低,加上榭赫伦山的山脊东西对称,这样会简化计算。还有它陡峭的南北山脊离山的重心很近,这样会使偏移最大化。  然而,梅森拒绝以每天一坚尼的工资,自己执行是次实验 。于是这个任务就落在马斯基林的手中,因此他被批准暂时卸下皇家天文学家的职务。为了执行这次任务,他有两名副手,数学家兼测量学家查理斯·赫顿(Charles Hutton),和任职于皇家格林尼治天文台的数学家鲁宾·巴罗(Reuben Burrow)。另外还雇有一队劳工,负责兴建天文学家的观测站,和协助勘测。科学队伍的配备齐全且精良:包括30厘米的黄铜象限仪,1769年库克船长出航观测金星凌日时就有带它;3米长的天顶仪,还有一座准确的摆钟,用于为天文观测所需的时间测定。为了勘测山体,他们还取得了经纬仪、甘特链和一对气压计,用于量度海拔。而且当时,皇家学会能够为实验提供丰厚的拨款,因为英皇将之前考察金星凌日的拨款余额,交付了给学会。
title: 测量.
title: 天文.
content: 为了这项实验,团队在山的南北麓各兴建了一所观测站,还兴建了一座简陋的小屋,作装备储藏及科学家住宿之用。而大部分劳工则住在用帆布搭建的帐篷中。最早进行的是马斯基林的天文测量。为了实验,他必须测定出铅垂的天顶距离,这个测量需要利用天上的一组星,而在量度时星必须通过正南线。由于起雾和下雨的关系,所以天气状况并不理想。然而,马斯基林还是在南观测站,成功向某方向的34颗星作了76次测量,还有向另一方向的39颗星作了93次。之后,他到了北观测站,再向一组32颗星作了68次测量,又向另一组37颗星作了100次。他在测量时把天顶仪的平面朝向东方,然后转往西方再测量,这样他成功地避开了仪器小口径化所带来的系统误差。  为了判定山所造成的偏移,有必要考虑地球表面的弯曲:当纬度不同时,当地的观测者会发现天顶的位置不同,其偏移角度与纬度变化的度数一致。另外观测时还会遇上各种不同的效应,例如进动、光行差和章动,在考虑过这些效应之后,马斯基林指出,榭赫伦山南与山北的可见天顶,两者间的偏角为54.6角秒。之后,勘测队伍交上了他们对南北观测站纬度差的结果,为42.94角秒,于是马斯基林把这个数值和他的天顶偏角值相减,再将数值按他的测量准确度整数化,他宣布南北两地的铅垂偏角和为11.6角秒。  马斯基林将他的初步结果发表于1775年的《自然科学会报》,当中他用了初测时的山形数据,以及用这组数据推算出的重心位置。根据这组数据,马斯基林认为,假如榭赫伦山的平均密度与地球一样,那么铅垂偏角应为20.9角秒。由于实验结果约为上述角度的一半,所以马斯基林能初步宣布,地球的平均密度约为榭赫伦山的两倍。更准确的结果,需要等到勘测过程完工后才会有。  此外,马斯基林还乘机指出,榭赫伦山表现出引力,因此所有山都有引力;而且牛顿的引力反平方定律也被确认了。皇家学会对马斯基林的研究表示欣赏,并将1775年的科普利奖章授予马斯基林;传记家亚历山大·查尔摩斯(Alexander Chalmers)写道:“如果还有任何对牛顿系统真实性的怀疑,那么它们现在全部都被移除了。”
title: 勘测.
content: 勘测队伍的工作进度,被持续恶劣的天气大幅延误,直至1776年才完成勘测。为找出山的体积,计算时需要把山分成一组垂直的柱体,然后计算每一个柱体的体积。三角测量的工作由赫顿负责,而这是一项工作量很大的测量:勘测员需要在山的周围,超过一千个点上,一共量出数以千计的方位角。此外,计算用柱体的顶点,并不一定会便利地落在勘测的高度上。为了理解全部数据,他决定使用内插法,在各测量值间放置一系列的线,线之间的高度差固定,线上的点都位于等高的位置。这样做的话,他不但可以简单地判定柱体的高度,而且能从线的回旋度立刻得知地形的形式。就是这样,赫顿首创了等高线,从那时起这项发明就广泛应用于地形图的绘制。  赫顿必须计算出众多格子上每一个柱体所造成的个别引力作用,而这项计算的工作量,跟勘测本身相差无几。在测量完成后,这项工作再花了他两年的时间,才能发表实验结果,最后他在1778年向皇家学会提交了一份一百页的报告论文。假设地球与榭赫伦山的平均密度一致,他发现地球对铅锤的吸引力,比在南北观测站所得的吸引力和,要大9,933倍。在考虑过纬度对地球引力的影响后,实际的摆偏角11.6"对应的比值为17,804:1,由于摆偏角的值为实验值,所以赫顿能够写下,地球的密度值为榭赫伦山的formula_1倍,或约formula_2倍。因此漫长的勘测过程,并没有太大地影响马斯基林的计算结果。赫顿取榭赫伦山的密度值为2,500 kg·m,并宣布地球的密度值为它的formula_2倍,即4,500 kg·m。对比现在所采纳的数值,5,515 kg·m,当时地球密度值的误差小于20%。  由于地球的平均密度,比表面的石块的密度要大得多,因此这很自然地意味着,地球的内部埋藏着密度更高的材质。赫顿正确地推测出,核心物质很有可能是金属,密度值为10,000 kg·m。他估算出这金属部分,大概占地球直径的65%。有了地球平均密度的数值,再加上杰罗姆·拉朗德的行星天文表,赫顿能够计算出太阳系内各天体的密度值(见右表),而在这之前,有的只是各天体密度间的相对比值。
title: 实验重新操作.
content: 在榭赫伦实验后的24年后,出现了一种更直接且更准确的方法,来量度地球的平均密度,亨利·卡文迪什于1798年用一个灵敏度极高的扭秤,来量度两个大铅球间的引力作用。卡文迪什得出的数值为5,448 ± 0.033 kg·m,跟现代数值的5,515 kg·m,只差1.2%,数值自卡文迪什后一直没有太大的改进,这个状况要到1895年才由查理斯·博伊斯(Charles Boys)改变。卡文迪什进行实验时的用心,与实验的准确度,使得他的名字一开始就跟这项实验联系了起来。  约翰·普莱费尔于1811年对榭赫伦山进行了第二次勘测:基于他对那儿石地层的新认知,于是他提出地球的密度值应在4,560至4,870 kg·m之间,但当时年迈的赫顿在1821年一份提交皇家学会的论文中,还坚决地为自己的原数值辩护 。而普雷费尔的计算,使密度值更接近现代的数值,但是仍然太低,而且还比十多年前卡文迪什的数值要差得多。  亨利·詹姆斯于1856年重做了榭赫伦实验,他是当时英国地形测量局的局长,而实验地则改在爱丁堡中央的亚瑟王宝座峰(Arthur's seat)。运用测量局的资源,詹姆斯把他的测量范围扩大至半径21公里,到达中洛锡安的边界。而他得出的地球密度数值为5,300 kg·m。  而2005年进行的一次实验,与1774年的实验有些许不同:该实验不再测量天顶的当地观测差,而测量摆在榭赫伦山上及山下时的周期差,实验能非常准确地测量到这一点。而摆的周期则是"g"的函数,"g"是当地的重力加速度。虽然摆在海拔高时速度会较慢,但是山的质量会使这个差减少。相以之下,这个实验的优点是,进行起来要比1774年的简单得多,但是还是能够得到所需的准确度,不过就需要把摆的周期量度至其一百万分之一 。而这项实验得到地球质量值为8.1 ± 2.4×10 kg,其对应平均密度值为7,500 ± 1,900 kg·m。  如果用现代方法来重新研究地球物理数据,就可以顾及到1774年实验队伍所未能考虑的因素。由于有了直径120公里的数字地面模型,所以对榭赫伦山的地质知识也被大幅改进,再加上电脑带来的好处,2007年的一份报告得出的地球平均密度值为5,480 ± 250 kg·m。当与现代值的5,515 kg·m比较,再比较2007年的数值,就可见当年马斯基林天文测量的准确度之高。
title: 数学步骤.
content: 榭赫伦实验的力图如右,其中偏角被大幅度夸大。分析时只考虑山一边的吸引力,这样分析会简单得多。设山的质量及密度分别为"M"及"ρ",其质心则为"P",一质量为"m"的铅锤,被置于离"P"点距离为"d"的地方。由于山的吸引力"F",铅锤轻微向"P"偏移,摆绳与垂直向地的重量"W"间的角度,为小偏角"θ"。"W"及"F"的向量和,构成摆绳中的张力"T"。又设地球的质量为"M",半径为"r"及密度为"ρ"。  作用于铅锤的两股引力,可由牛顿万有引力定律求得:  其中"G"为牛顿万有引力常数。取"F"及"W"间的比值,此时"G"及"m"会被除去:  其中"V"及"V"为山及地球的体积。在静力平衡下,摆绳张力的垂直及水平分量,可由引力及偏角"θ"表示:  代入"T",得:  其中已知"V"、"V"、"d" 和"r",而实验测量了"θ",于是代入各数值,可用下式计算出"ρ" : "ρ" 的值:  在1774年实验中,使用了南北观测站,其数学分析仍与上面的单边分析相近。在双边时,可将formula_9 的表达式写两次:一次为北站的formula_10,一次为南站的formula_11,两式相加后使用小角近似(formula_12),整理右方可得:  代入formula_14(地球半径当时是已知的),得  其中formula_16由勘测所得,附上引力常数的原因是当时并未有这个概念。

Summary: 榭赫伦实验(英语:Schiehallion Experiment)是十八世纪中,一次测量地球平均密度的实验。这次实验的资金由皇家学会提供,而主实验是在1774年夏季,于苏格兰珀斯郡(今珀斯-金罗斯)的榭赫伦山(Schiehallion)附近进行。这项实验的主要用具是摆,借由附近的山会对摆产生重力吸引的现象,于是当摆运动时,靠近山的一边会有微小的偏角,也正为实验所求。实验中摆角偏移的大小,取决于地球与山的相对密度和体积;因此,若可以确定榭赫伦山的密度,那么,其结果便能确定地球的密度。由于当时已经确定太阳系中各天体(行星、它们的卫星和太阳)的密度相对比值,所以只要知道地球的密度,科学家们就能估计出太阳系内各天体的密度近似值。于是,这项实验产生了第一组天体密度数值。

Schiehallion experiment: The Schiehallion experiment was an 18th-century experiment to determine the mean density of the Earth. Funded by a grant from the Royal Society, it was conducted in the summer of 1774 around the Scottish mountain of Schiehallion, Perthshire. The experiment involved measuring the tiny deflection of a pendulum due to the gravitational attraction of a nearby mountain. Schiehallion was considered the ideal location after a search for candidate mountains, thanks to its isolation and almost symmetrical shape. The experiment had previously been considered, but rejected, by Isaac Newton as a practical demonstration of his theory of gravitation; however, a team of scientists, notably Nevil Maskelyne, the Astronomer Royal, was convinced that the effect would be detectable and undertook to conduct the experiment. The deflection angle depended on the relative densities and volumes of the Earth and the mountain: if the density and volume of Schiehallion could be ascertained, then so could the density of the Earth. Once this was known, it would in turn yield approximate values for those of the other planets, their moons, and the Sun, previously known only in terms of their relative ratios. As an additional benefit, the concept of contour lines, devised to simplify the process of surveying the mountain, later became a standard technique in cartography.