WKB近似

title: 简略历史.
content: WKB近似以三位物理学家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年,他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年,数学家哈罗德·杰弗里斯就已经发展出二阶线性微分方程序的一般的近似法。薛定谔方程序也是一个二阶微分方程序。可是,薛定谔方程序的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时,似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时,常常会忽略了杰弗里斯所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似,在法国称为BWK近似,只有在英国称为JWKB近似。
title: 数学概念.
content: 一般而言,WKB近似专门计算一种特殊微分方程序的近似解。这种特殊微分方程序的最高阶导数项目的系数是一个微小参数formula_1。给予一个微分方程序,形式为  假设解答的形式可以展开为一个渐近级数:  将这拟设代入微分方程序。然后约去相同指数函数因子。又取formula_4的极限。这样,就可以从formula_5开始,一个一个的解析这渐近级数的每一个项目formula_6。  通常formula_7的渐近级数会发散。当formula_8大于某值后,一般项目formula_9会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差,约是最后包括项目的数量级。
title: 数学例子.
content: 设想一个二阶齐次线性微分方程序  其中,formula_11。  猜想解答的形式为  将猜想代入微分方程序,可以得到  取formula_4的极限,最重要的项目是  我们可以察觉,formula_16必须与formula_1成比例。设定formula_18,则formula_1的零次幂项目给出  我们立刻认出这是程函方程。解答为  检查formula_1的一次幂项目给出  这是一个一维传输方程序。解答为  其中,formula_25是任意常数。  我们现在有一对近似解(因为formula_26可以是正值或负值)。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合:  检查formula_1的更高幂项目(formula_29)可以给出:
title: 薛定谔方程序的近似解.
content: 解析一个量子系统的薛定谔方程序,WKB近似涉及以下步骤:  一维不含时薛定谔方程序为  其中,formula_32是约化普朗克常数,formula_33是质量,formula_34是坐标,formula_35是位势,formula_36是能量,formula_37是波函数。  稍加编排,重写为  假设波函数的形式为另外一个函数formula_39的指数(函数formula_39与作用量有很密切的关系):  代入方程序(1),  其中,formula_43表示formula_39随着formula_34的导数。  formula_43可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数formula_47与formula_48:  注意到波函数的波幅是formula_50,相位是formula_51。将formula_43的代表式代入方程序(2),分别匹配实值部分、虚值部分,可以得到两个方程序:
title: 半经典近似.
content: 将formula_47与formula_48展开为formula_32的幂级数:  将两个幂级数代入方程序(3)与(4)。formula_32的零次幂项目给出:  假若波幅变化地足够慢于相位(formula_63),那么,我们可以设定  只有当formula_66的时候,这方程序才成立。经典运动只会允许这种状况发生。  更精确一点,formula_32的一次幂项目给出:  所以,  波函数的波幅是 formula_72。  定义动量formula_73,则波函数的近似为  其中,formula_75和formula_76是常数,formula_77是一个任意参考点的坐标。  换到另一方面,假若相位变化地足够慢于波幅(formula_78),那么,我们可以设定  只有当formula_81的时候,这方程序才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里,才会发生这种状况,称为量子穿隧效应。类似地计算,可以求得波函数的近似为  其中,formula_83。
title: 连接公式.
content: 显而易见地,我们可以从分母观察出来,在经典转向点formula_84,这两个近似方程序(5)和(6)会发散,无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定formula_85是经典运动允许区域。在这区域内,formula_86,波函数呈振动形式。其它区域formula_87和formula_88是经典运动不允许区域,波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近,位势足够的光滑,可以近似为线性函数。更详细地说,在点formula_89附近,将 formula_90展开为一个幂级数:  其中,formula_92是常数值系数。  取至一阶,方程序(1)变为  这微分方程序称为艾里方程序,其解为著名的艾里函数:  匹配艾里函数和在formula_95的波函数,在formula_88的波函数,经过一番繁杂的计算,可以得到在formula_89附近的连接公式(英语:connection formula):  类似地,也可以得到在formula_99附近的连接公式:
title: 量子化规则.
content: 在经典运动允许区域formula_85内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量  那么,  立刻,我们可以认定formula_107。匹配相位,假若formula_108,那么,  所以,  假若formula_111,那么,  所以,  总结,量子系统必须满足量子化守则:
title: 范例.
content: 考虑一个量子谐振子系统,一个质量为formula_33的粒子,运动于谐振位势formula_116;其中,formula_117是角频率。求算其本征能级formula_118?  能量为formula_36的粒子,其运动的古典转向点formula_120为  所以,  粒子的动量为  将这些变量代入量子化守则:  经过一番运算,可以得到本征能量  借由以上之计算,发现近似解与精确解完全一样。

Summary: 在量子力学里,WKB近似是一种半经典计算方法,可以用来解析薛定谔方程序。乔治·伽莫夫使用这方法,首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数,重新打造为一个指数函数。然后,半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算,就会得到波函数的近似解。

WKB approximation: In mathematical physics, the WKB approximation or WKB method is a method for finding approximate solutions to linear differential equations with spatially varying coefficients. It is typically used for a semiclassical calculation in quantum mechanics in which the wavefunction is recast as an exponential function, semiclassically expanded, and then either the amplitude or the phase is taken to be changing slowly.