品质因子

title: 说明.
content: Q因子较高的振子在共振时,在共振频率附近的振幅较大,但会产生的共振的频率范围比较小,此频率范围可以称为带宽。例如一台无线电接收器内的调谐电路Q因子较高,要调整接收器对准一特定频率会比较困难,但其选择性较好,在过滤频谱上邻近电台的讯号上也有较佳的效果。Q因子较高的振子会产生共振的频率范围较小,也比较稳定。  系统的Q因子可能会随着应用场合及需求的不同而有大幅的差异。强调阻尼特性的系统(例如防止门突然关闭的阻尼器)其Q因子为,而时钟、激光或是其他需要强烈共振或是要求频率稳定性的系统其Q因子也较高。音叉的Q因子大约为1000,原子钟、加速器中的超导射频或是光学共振腔的Q因子可以到10甚至更高。  Q因子的概念是来自电子工程中,评量一调谐电路或其他振子的「品质」。
title: 定义.
content: Q因子可定义为在一系统的共振频率下,当信号振幅不随时间变化时,系统储存能量和每个周期外界所提供能量的比例(此时系统储存能量也不随时间变化):  大部分的共振系统都可以用二阶的微分方程表示,Q因子中2"π"的系数,使Q因子可以表示成只和二阶微分方程系数有关的较简单型式。在电机系统中,能量会储存在理想无损失的电感及电容中,损失的能量则是每个周期由电阻损失能量的总和。力学系统储存的能量是该时间动能及位能的和,损失的能量则是因为摩擦力或阻力所消耗的能量。  针对高Q因子的系统,也可以用下式计算的Q因子,在数学上也是准确的:  其中"f"为共振频率,Δ"f"为带宽,"ω" = 2"πf"是以角频率表示的共振频率,Δ"ω"是以角频率表示的带宽  在像电感等储能元件的规格中,会用到和频率有关的Q因子,其定义如下:  其中"ω"是计算储存能量和功率损失时的角频率。若电路中只有一个储能元件(电感或是电容),也可用上式来定义Q因子,此时Q因子会等于无功功率相对实功功率的比例。
title: Q因子及阻尼.
content: Q因子可决定一个简单阻尼谐振子的量化特性(有关数学的细节及不同系统的行为,请参考谐振子及线性时不变系统理论等条目)。  在负回授系统中,闭回路系统的响应常常用二阶系统来表示。设定开回路系统的相位裕度可以决定闭回路系统的Q因子,当相位裕度减少时,对应的二阶闭回路系统振荡会变大,也就是Q因子提高。
title: Q因子的物理意涵.
content: 根据物理学,Q因子等于formula_7乘以系统储存的总能量,除以单一周期损失的能量,也可以表示为系统储存的总能量和单位弪度损失能量的比值。  Q因子是无因次的参数,是比较系统振幅衰减的时间常数和振荡周期后的结果。当Q因子数值较大时,Q因子可近似为系统从开始振荡起,一直到其能量剩下原来的 formula_8(约1/535或0.2%),中间历经的振荡次数。  共振的带宽可以用下式表示  其中formula_10为共振频率,formula_11为带宽,也就是能量超过峰值能量一半以上的频率范围。  Q因子、阻尼比ζ及衰减率α之间有以下的关系  因此Q因子可表示为  而指数衰减率可表示为  二阶低通滤波器的响应函数可以用下式来表示  若此系统的formula_16(欠阻尼系统),系统有二个共轭复数极点,其实部为formula_17。衰减参数formula_17表示其冲激响应指数衰减的速率。Q因子大表示其衰减率较慢,因此Q因子很大的系统可以持续振荡较长的时间。例如高Q因子的钟,用锤子敲击后,其输出近似纯音,且可以维持很长的时间。
title: 电子系统.
content: 对电子共振系统而言,Q因子表示电阻的影响,若针对机电共振系统(例如石英晶体谐振器),也包括摩擦力的影响。
title: RLC电路.
content: 理想串联RLC电路的Q因子为:  其中formula_20、formula_21及formula_22分别是电路的电阻、电感和电容,若电阻值越大,Q因子越小。  并联RLC电路的Q因子恰为对应串联电路Q因子的倒数:  若将电阻、电感和电容并联形成一电路,并联电阻值越小,其阻尼的效果越大,因此Q因子越小。  若是电感和电容并联的电路,而主要损失是电感内,和电感串联的电阻R,其Q因子和串联RLC电路相同,此时降低寄生电阻R可以提升Q因子,也使带宽缩小到需要的范围内。
title: 储存元件.
content: 个别储存元件的Q因子和对应信号频率有关,一般是电路的共振频率。电感器的Q因子为:  formula_24  其中: 电容器的Q因子为:  formula_29  其中:
title: 力学系统.
content: 对于一个有阻尼的质量-弹簧系统,可以用Q因子表示简化的黏滞阻尼或阻力对系统的影响,其中的阻尼力(或阻力)和速度成正比。此系统的Q因子可以用下式表示:  其中M是质量,k是弹簧常数,而D是阻力系数,可用下式来定义:  其中formula_36是阻力,formula_37是速度。
title: 激光系统.
content: 激光系统中,光学共振腔的Q因子可以用下式表示  其中formula_39为共振频率,formula_40为共振腔中储存的能量,formula_41为耗散的能量。光学共振腔的Q因子等于共振频率和共振腔带宽的比值。共振光子的平均寿命和Q因子成正比,若激光共振腔中的Q因子突然地调高,共振腔会输出激光脉冲,其强度远高于平常共振腔连结输出的强度,此技术称为为Q切换。

Summary: 品质因子或Q因子是物理及工程中的无因次参数,是表示振子阻尼性质的物理量,也可表示振子的共振频率相对于带宽的大小, 高Q因子表示振子能量损失的速率较慢,振动可持续较长的时间,例如一个单摆在空气中运动,其Q因子较高,而在油中运动的单摆Q因子较低。高Q因子的振子一般其阻尼也较小。

Q factor: In physics and engineering the quality factor or "Q" factor is a dimensionless parameter that describes how underdamped an oscillator or resonator is. It is defined as the ratio of the peak energy stored in the resonator in a cycle of oscillation to the energy lost per radian of the cycle. Q factor is alternatively defined as the ratio of a resonator's centre frequency to its bandwidth when subject to an oscillating driving force. These two definitions give numerically similar, but not identical, results. Higher "Q" indicates a lower rate of energy loss and the oscillations die out more slowly. A pendulum suspended from a high-quality bearing, oscillating in air, has a high "Q", while a pendulum immersed in oil has a low one. Resonators with high quality factors have low damping, so that they ring or vibrate longer.