代数曲线

title: 仿射曲线.
content: 定义在域formula_3上的仿射代数曲线可以看作是formula_4中由若干个formula_5-元多项式formula_6定义的公共零点,使得其维数为一。  利用结式,我们可以将变量消至两个,并化约到与之双有理等价的平面代数曲线formula_7,其中formula_8,因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。
title: 射影曲线.
content: 射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化,它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程formula_9(formula_10)中,我们作代换:  遂得到formula_12个齐次多项式,它们在射影空间formula_13中定义一条曲线,此射影曲线与开集formula_14的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括formula_15中的费马曲线formula_16,其上的有理点对应到费马方程formula_17的互素整数解。
title: 代数函数域.
content: 代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究,后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域formula_3上的函数域formula_19是超越次数为一的有限型域扩张,换言之:存在元素formula_20使得formula_21在formula_3上超越,而且formula_23是有限扩张。  以复数域formula_24为例,我们可以定义复系数有理函数域formula_25。变元formula_26对代数关系formula_27生成的域formula_28是一个椭圆函数域,代数曲线formula_29 给出它的一个几何模型。  若基域formula_3非代数封闭域,则函数域无法只由多项式的零点描述,因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域formula_31并考虑其上的代数曲线formula_32,此方程定义了一个formula_33的有限扩张,因而定义了一个函数域,然而  代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述,对于一般的基域或者环上的曲线论,概形论能提供较合适的框架。
title: 复代数曲线与黎曼曲面.
content: 复射影曲线可以嵌入formula_5维复射影空间formula_36。复射影曲线在拓扑上为二维的对象,当曲线光滑时,它是个紧黎曼曲面,即一维的紧复流形,因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格(直观说就是曲面有几个洞或把手)等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面,则可以采复分析手法加以研究。另一方面,黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。  于是我们有三个相互等价的范畴:复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与formula_24上的函数域。因此一维复分析(包括位势论)、代数几何与域论的方法此时能相互为用,这是高等数学里很常见的现象。  [(P=c) end if=0] [(P=c) end if=0]
title: 奇点.
content: N-1n+1=0
title: 判断方式.
content: 曲线在一点formula_38的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于formula_39中的曲线:设该曲线由formula_12个formula_41个变元的齐次多项式formula_42定义,若其雅可比矩阵formula_43在区线上一点formula_38满秩,则称它formula_38点光滑;反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式formula_42的选取无关,也与曲线的嵌入方式无关。  在平面射影曲线的例子,假设曲线formula_47由齐次方程序formula_48定义,则formula_47的奇点恰为formula_47上使得formula_51为零的点,即:  在特征非零的域上,一条代数曲线仅有有限个奇点;无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点;事实上,奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消,由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线;然而对代数封闭域上的射影曲线,其奇点总数则关系到曲线的几何亏格,后者是个双有理不变量。
title: 奇点分类.
content: 曲线的奇点包括多重点(这是曲线的自交点)及尖点(如仿射曲线formula_53之于原点formula_54,见右图)等等。一般来说,仿射平面曲线formula_7在一点formula_38的奇点性质可以透过下述方式理解:  透过平移,不妨假设formula_57。将多项式formula_58写成 其中formula_60是formula_5次齐次多项式。直观地想像,formula_7在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项,设之为formula_63。根据齐次性可以将之分解成 换言之,曲线在原点附近将近似于formula_65条(含重复)直线formula_66的联集。上式中相异的直线数formula_67称作分支数,正整数formula_65称作平面曲线在该点的重数,此外还有一个内在的不变量formula_69,其中formula_70是该曲线的正规化态射。资料[m, δ, r]能够被用来分类奇点。例如"一般尖点"对应到formula_71,"一般双重点"对应到formula_72,而"一般n重点"则对应到formula_73。  各奇点的不变量δ决定平面曲线formula_7的亏格:设formula_75,则有  对于在复数域上的平面曲线,John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ,称为Milnor数:同样假设formula_57,在原点附近够小的四维球formula_78内有formula_79,此时有连续映射 由于formula_81 同伦等价于三维球面formula_82,于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明:  事实上,formula_84在ε够小时是formula_85中的一个环圈,称作奇点环圈,它具有复杂的拓扑性质。例如:formula_53在尖点附近的奇点环圈是三叶结。
title: 曲线的例子.
title: 有理曲线.
content: 域formula_3上的有理曲线是双有理等价于射影直线formula_88的曲线,换言之,其函数域同构於单变元有理函数域formula_89。当formula_3代数封闭时,这也等价于该曲线之亏格为零,对一般的域则不然;实数域上由formula_91给出的函数域亏格为零,而非有理函数域。  具体地说,一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线,例子请见条目有理正规曲线。  任何formula_3上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下:过给定有理点formula_38而斜率为formula_94的直线交平面上一条二次曲线于两点,就x坐标来说,交点的x坐标是一个二次多项式的根,其中一个属于formula_3的根已知,即formula_38的x坐标;因此透过根与系数的关系得知另一根也属于formula_3,而且能表作formula_94在formula_3上的有理函数。y坐标的作法相同。  例。考虑斜椭圆formula_100,其中formula_101是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线formula_102,并带入E的等式,于是得到:  这就给出E的有理参数化,于是证明了E是有理曲线。  将此结果置于射影几何的框架下,则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点,得到射影曲线 以上参数化遂表为  若取formula_94为整数,对应的formula_108是不定方程formula_109的整数解;若将formula_110代以formula_111,则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理,借此能描述所有一角为 60°且边长均为整数的三角形,例如取formula_112,就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。
title: 椭圆曲线.
content: 椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线,它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点,这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式:  椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构,使得给定有理点为单位元素,且加法为代数簇的态射,因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形,三点和为零当且仅当它们共线。对于复数域上的椭圆曲线,此阿贝尔簇同构于formula_114,其中的formula_115由相应的椭圆函数给出。
title: 亏格大于一的曲线.
content: 对亏格大于一的曲线,其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据Faltings定理,定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点;若视为黎曼曲面,它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线、克莱因四次曲线与一开始提到的费马曲线在formula_116的情形。

Summary: 在代数几何中,一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面formula_1上由一个齐次多项式formula_2定义的零点。

Algebraic curve: In mathematics, an affine algebraic plane curve is the zero set of a polynomial in two variables. A projective algebraic plane curve is the zero set in a projective plane of a homogeneous polynomial in three variables. An affine algebraic plane curve can be completed in a projective algebraic plane curve by homogenizing its defining polynomial. Conversely, a projective algebraic plane curve of homogeneous equation can be restricted to the affine algebraic plane curve of equation. These two operations are each inverse to the other; therefore, the phrase algebraic plane curve is often used without specifying explicitly whether it is the affine or the projective case that is considered.