级数

title: 无穷级数的定义.
content: 设formula_9是一个无穷序列 :formula_10,其前n项的和称为formula_11的部分和:  formula_9部分和依次构成另一个无穷序列:formula_14  这两个序列合称为一个级数,记作formula_11或者formula_6。
title: 无穷级数的敛散性.
content: 对于级数formula_6,如果当formula_18趋于正无穷大时,formula_19趋向一个有限的极限:formula_20,那么这个无穷级数就叫做是收敛的,formula_21叫做级数formula_6的和。如果极限不存在,这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和"formula_21"。这时可以定义级数formula_11的余项和:formula_25。
title: 任意项级数.
content: 如果级数formula_6中的各项可以是正数,负数或零,则级数formula_6称为任意项级数。 将任意项级数各项formula_28取绝对值,得到正项级数。 formula_29
title: 绝对收敛.
content: 定理:如果任意项级数formula_6的各项的绝对值所组成的正项级数formula_31收敛,则级数formula_6收敛。  这两个级数的敛散性是一样的。
title: 无穷级数的研究历史.
content: 将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开,还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。  17世纪,詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数,并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年,布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。
title: 对审敛法的研究.
content: 14世纪时,马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则,后来他的学生将其推广。  然而在欧洲,审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数 的论文,提出了一些简单的收敛准则,并对余项和以及收敛半径进行了讨论。  柯西提出了严格的审敛法的重要性,他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的,同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。  1826年,阿贝尔在他的关于二项式级数 的论文中更正了柯西的若干个结论,并给出了二项式级数的严格的求和方法,指出了连续性在收敛问题中的重要性。  柯西提出的审敛法并不是普遍适用的,只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家,比如拉贝(Joseph Ludwig Raabe)的对数判别法,德·摩根的对数判别法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效),以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。  对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始,之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。
title: 对一致连续性的研究.
content: 1821年,柯西首先开始对一致连续性的研究,但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出,但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究,并得到了与斯托克斯一样的结论。然而,一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。
title: 类别.
title: 几何级数.
content: 几何级数(或等比级数)是指通项为等比数列的级数,比如:  一般来说,几何级数formula_56收敛当且仅当formula_57。
title: 调和级数.
content: 调和级数是指通项为formula_58的级数:  它是发散的。
title: formula_60-级数.
content: "formula_60"-级数是指通项为formula_62的级数:  对于实数值的"formula_60",当formula_65时收敛,当formula_66时发散。这可以由积分比较审敛法得出。  函数formula_67是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制,关于黎曼formula_68函数有著名的黎曼猜想。 特别地,当formula_69时,formula_60-级数即为调和级数。
title: 裂项级数.
content: 收敛当且仅当数列formula_72收敛到某个极限formula_73,并且这时级数的和是formula_74。
title: 泰勒级数.
content: 泰勒级数是关于一个光滑函数formula_75在一点formula_39附近取值的级数。泰勒函数由函数在点formula_39的各阶导数值构成,具体形式为: 这是一个幂级数。如果它在formula_39附近收敛,那么就称函数formula_75在点formula_39上是解析的。
title: 交错级数.
content: 具有以下形式的级数  其中所有的formula_83非负,被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。
title: 幂级数.
content: 形同formula_84的函数项无穷级数称为formula_85的幂级数。它的收敛与否和系数formula_83有关。
title: 傅里叶级数.
content: 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数,也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。  例如,周期为formula_87的周期函数formula_88可以表示为: 其中,formula_90,formula_91,特别的,formula_92
title: 常数项无穷级数审敛法.
title: 正项级数.
content: 若通项为实数的无穷级数formula_11每一项formula_28都大于等于零,则称formula_11是一正项级数。  如果无穷级数 formula_11 是正项级数,则部分和formula_97是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则:单调有界数列必有极限。因此,要么部分和数列"S"有界,这时formula_11收敛,formula_99,要么部分和数列趋于正无穷,这时级数发散。
title: 比较判别法.
content: 设formula_11 和 formula_101是正项级数。  比如,我们已知级数:formula_117收敛,则级数:formula_118也收敛,因为对任意的formula_18,formula_120。  比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说,我们可以选择比较简单的级数:formula_121作为“标准级数”,依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当formula_122时,formula_123发散,当formula_124时,formula_123收敛。
title: 达朗贝尔判别法.
content: 在比较判别法中,如果取几何级数为比较的标准级数,可得:  这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。
title: 柯西收敛准则.
content: 这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。
title: 交错级数.
content: 具有以下形式的级数  其中所有的formula_83非负,被称作交错级数。
title: 莱布尼茨判别法.
content: 在上述的级数formula_82中,如果当formula_18趋于无穷时, 数列formula_83的极限存在且等于 0,并且每个formula_83小于formula_148(即, 数列formula_83是单调递减的),那么级数收敛。
title: 任意项级数.
content: 对于通项为任意实数的无穷级数formula_11,将级数formula_151称为它的绝对值级数。可以证明,如果formula_151收敛,那么 formula_11也收敛,这时称 formula_11绝对收敛。如果formula_11收敛,但是formula_151发散,则称formula_11条件收敛。比如说,级数formula_158绝对收敛,因为前面已经证明 formula_159收敛。而级数formula_160是条件收敛的。它自身收敛到formula_161,但是它的绝对值级数formula_162是发散的。  黎曼级数定理说明,如果一个无穷级数formula_11条件收敛,那么对于任意的实数formula_164,存在一个正整数到正整数的双射formula_165,使得级数formula_166收敛到 formula_164。对于正负无穷大,上述双射也存在。
title: 函数项级数.
content: 设formula_168为定义在区间formula_169上的函数列,则表达式:formula_170称为函数项级数,简记为formula_171。对函数项级数的主要研究是:
title: 收敛域.
content: 对区间formula_169上的每个 formula_176,级数 formula_177是常数项级数。若 formula_177收敛,则称formula_176是formula_171的一个收敛点,formula_171全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 formula_177发散,则称formula_176是formula_171的一个发散点,formula_171全体发散点的集合称为它的发散域。formula_171在其收敛域的每一点上都有定义,因此定义了一个函数,称为formula_171的和函数,记为formula_188。按照定义,formula_189,其中formula_190为函数项级数在formula_176点上的部分和。
title: 一致收敛.
content: 函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义,但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说,当函数项级数formula_171中的每一项formula_193在收敛域上都是连续函数时,和函数未必会是连续函数。以下是一个例子:  然而,如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话,可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性,这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样,函数项级数formula_171在某个区间formula_169内(关于某个范数formula_212)一致收敛的定义是它的部分和函数formula_97 在区间formula_169上一致收敛到和函数formula_215,  可以证明: 进一步的,如果导函数级数的每一项都是formula_218函数(formula_60阶连续可微函数),并且各阶导函数级数formula_220在区间formula_169内都一致收敛,那么级数和函数formula_222 也是formula_218函数,并且:
title: 绝对收敛.
content: 函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间formula_169和范数formula_227,函数项级数formula_171在区间formula_169内绝对收敛,当且仅当常数级数formula_230收敛。  绝对收敛的(连续?)函数在每一点都收敛,并且在区间formula_169内一致收敛。
title: 幂级数.
content: 形同formula_84的函数项无穷级数称为formula_85的幂级数。一般只需讨论形同formula_234的幂级数。
title: 幂函数的收敛域.
content: 根据阿贝尔定理,它的收敛域是一个关于零对称的区间,即为formula_235(可开可闭)的形式。这个正数formula_236(可以是无穷大)叫做幂级数的收敛半径。并有定理:  设幂级数formula_234满足formula_238,则:
title: 幂级数的和函数.
content: 求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分(或求导)以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式,在求和后在对各项求导(或积分)。
title: 渐进级数.
content: 渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的,它的部分和趋于无穷大,因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是,渐进级数提供的逼近是相对的,即只是比值趋于一致,与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说,渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差,之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。
title: 发散级数的和.
content: 发散级数的部分和没有极限,但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义,比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。
title: 推广.
content: 级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义,常用的是在一个巴拿赫空间(比如实数或复数空间)中。

Summary: 在数学中,一个有穷或无穷的序列formula_1的和formula_2称为级数。如果序列是有穷序列,其和称为有穷级数;反之,称为无穷级数(一般简称为级数)。序列formula_3中的项称作级数的通项(或一般项)。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量,也可以是关于其他变量的函数,不一定是一个数。一般的,如果级数的通项是常量,则称之为常数项级数,如果级数的通项是函数,则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。

Series (mathematics): In mathematics, a series is, roughly speaking, a description of the operation of adding infinitely many quantities, one after the other, to a given starting quantity. The study of series is a major part of calculus and its generalization, mathematical analysis. Series are used in most areas of mathematics, even for studying finite structures (such as in combinatorics), through generating functions. In addition to their ubiquity in mathematics, infinite series are also widely used in other quantitative disciplines such as physics, computer science, statistics and finance.