根系

title: 定义.
content: 设 formula_1 为有限维实向量空间,并赋予标准的内积 formula_2。formula_1 中的根系是有限个向量(称为根)构成的集合 formula_4,满足下述条件:  根据性质三,整性等价于:对任意 formula_19,formula_20 与 formula_15 仅差 formula_12 的整数倍。此外,注意到性质四定义的尖积 并非一个内积,它未必对称,而且只对第一个参数是线性的。  根系 formula_4 的秩定义为 formula_1 的维度。  给定两个根系 formula_26,可考虑其正交直和 formula_27,则 formula_28 自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合(当然,假设 formula_29),则称之为不可约的。  对两个根系 formula_30,若存在其间的线性同构,使得 formula_31 映至 formula_32,则称它们为同构的根系。  对于根系 formula_33,对根的反射生成一个群,称为该根系的外尔群。可证明此群在 formula_4 上忠实地作用,因此必为有限群。
title: 秩一与秩二的例子.
title: 秩为1的例子.
content: 在同构的意义下,秩一的根系仅有一种,由两个非零向量 formula_35 组成。此根系记作 formula_36。
title: 秩为2的例子.
content: 秩二的根系有四种可能,对应于formula_37,其中formula_38的情况。注意根系并不由它生成的格所决定:formula_39 和formula_40均生成正方形格,而 formula_41和formula_42 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 图解如下:  当 formula_4 是 formula_1 中的根系,而 formula_45 是 formula_46 在 formula_45 中生成的子空间,则 formula_48 是 formula_45 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系,例如:任意两根的交角仅可能是 formula_50 或 formula_51 度。
title: 正根与单根.
content: 对于根系 formula_4,可以取定满足下述条件的正根子集 formula_53:  正根的取法并不唯一。取定一组正根后,formula_60 的元素被称为负根。  正根的选取等价於单根的选取。单根集是 formula_4 中满足下述条件的子集 formula_62:  选定一组单根后,可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。
title: 以邓肯图分类根系.
content: 不可约根系与某类被称为邓肯图的图间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题,由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下:  给定一个不可约根系,选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根 formula_65 若不垂直,则有 formula_66 个边相连:若只有一个边,则不取定向,否则则取自长度 formula_67 长者(称为长根)指向短者(称为短根)的有向边。  一个根系可以取多种不同的单根。然而,由于外尔群在这些选取上的作用是传递的,邓肯图的构造与单根的选取无关,它是根系内在的不变量。反之,给定具有相同邓肯图的两个不可约根系,可以按图配对单根及其间的内积,从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一,但至多差一个正常数倍,因而得到的根系是同构的 。  借此,可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系,则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的;配上这个条件后,即可解决根系的分类。  邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数,亦即相应根系的秩。
title: 不可约根系的性质.
content: 不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系:formula_68,其下标分别取遍 formula_69 的正整数,称为典型根系;剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中, formula_70 表示短根的个数(若诸根同长,则皆视为长根),formula_71 表示其嘉当矩阵的行列式,而 formula_72 表示外尔群之阶。
title: 不可约根系的构造方法及描述.
title: A.
content: 取 formula_1 为 formula_74 中满足 formula_75 的点 formula_76 所成之子空间。令 formula_4 为 formula_1 中长度为 formula_79 的格子点。取 formula_74 的标准基 formula_81,则根具有 formula_82 的形式,共有 formula_83 个根。通常取单根为 formula_84。  对垂直于 formula_85 的超平面的镜射在 formula_4 上的作用是交换第 formula_87 个座标。因此 formula_88 的外尔群不外就是对称群 formula_89。  formula_88 是李代数 formula_91 的根系。
title: B.
content: 取 formula_92,并令 formula_4 为 formula_1 中长度为 formula_95 的格子点。共有 formula_96 个根。通常取单根为 formula_97 及 formula_98(短根)。  对短根 formula_99 的反射即 formula_100。  formula_101 跟 formula_36 仅差一个缩放,因此通常仅考虑 formula_103 的情形。formula_104 是李代数 formula_105 的根系。
title: C.
content: 取 formula_92,formula_4 为 formula_1 中所有长度 formula_79 的格子点与形如 formula_110的点,其中 formula_111 是长度为一的格子点。共有 formula_96 个根。通常取单根为 formula_113及 formula_114(长根)。  formula_115 与 formula_40 仅差一个缩放加上旋转 45 度,因此通常仅考虑 formula_117 的情形。formula_118 是李代数 formula_119 的根系。
title: D.
content: 取 formula_120,formula_4 为 formula_1 中长度 formula_79 的格子点。共有 formula_124 个根。通常取单根为 formula_125 及 formula_126。  formula_127 同构于 formula_128,故通常仅考虑 formula_129 的情形。formula_130 是李代数 formula_131 的根系。
title: E, E, E.
content: formula_132 是较为特殊的根系。首先定义 formula_133 中满足下述条件的点集 formula_134:  定义 formula_132 为 formula_134 中长度为 formula_79 的向量,即:  定义 formula_139 为 formula_132 与超平面 formula_141 之交, 其中 formula_142 是任取的根。同样步骤施于 formula_139,得到更小的根系 formula_144。根系 formula_145 分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤,则会得到典型根系 formula_146。  另一种等价的描述是取 formula_147 为:  formula_134 与 formula_147 同构。将任意偶数个座标乘以负一,便可在两者间转换。formula_134 称为 formula_132 的偶坐标系,formula_147 称为奇坐标系。  在偶坐标下,通常取单根为 在奇坐标下,通常取单根为 (在上述定义中,若改取 formula_159,将得到同构的结果。若改取 formula_160,将得到 formula_161 或 formula_162。至于 formula_163,其坐标和为零,而 formula_164 亦然,所以张出的向量空间维度不合所求。  删去 formula_165 可得到 formula_139 的一组单根;再删去 formula_167,可得 formula_144 的单根。  由于对 formula_165 垂直等价于前两个坐标相等,而对 formula_170 垂直等价于前三个座标相等,不难导出 formula_171 的明确定义:  E = (α ∈ Z ∪ (Z+1⁄2): ∑α + α = 2,∑α + α ∈ 2Z),  E = (α ∈ Z ∪ (Z+1⁄2): ∑α + 2α = 2,∑α + 2α ∈ 2Z)
title: F.
content: 对于 formula_172,取 formula_173,并令 formula_4 为满足下述条件的向量:  此根系有 formula_177 个根。通常取单根为 formula_178 的单根再加上 formula_179。
title: G.
content: formula_42 有 12 个根,构成一个六边形的顶点,详如秩二的例子一节所示。通常取单根为 在此沿用了之前的符号: formula_183。
title: 根系与李群、李代数.
content: 不可约根系的分类可用于研究下述对象:

Summary: 在数学中,根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要;而根系分类的主要工具──邓肯图,也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

Root system: In mathematics, a root system is a configuration of vectors in a Euclidean space satisfying certain geometrical properties. The concept is fundamental in the theory of Lie groups and Lie algebras, especially the classification and representation theory of semisimple Lie algebras. Since Lie groups (and some analogues such as algebraic groups) and Lie algebras have become important in many parts of mathematics during the twentieth century, the apparently special nature of root systems belies the number of areas in which they are applied. Further, the classification scheme for root systems, by Dynkin diagrams, occurs in parts of mathematics with no overt connection to Lie theory (such as singularity theory). Finally, root systems are important for their own sake, as in spectral graph theory.