短时距傅立叶变换

title: 与傅立叶转换在概念上的区别.
content: 将讯号做傅立叶变换后得到的结果,并不能给予关于信号频率随时间改变的任何资讯。以下的例子作为说明:  傅立叶变换后的频谱和短时距傅立叶转换后的结果如下: 由上图可发现,傅立叶转换只提供了有哪些频率成分的资讯,却没有提供时间资讯;而短时傅立叶转换则清楚的提供这两种资讯。这种时频分析的方法有利于频率会随着时间改变的信号,如音乐信号和语音信号等分析。
title: 定义.
title: 连续短时傅立叶转换.
content: 简单来说,在连续时间的例子,一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的窗函数再进行一维的傅立叶变换。再将这个窗函数沿着时间轴挪移,所得到一系列的傅立叶变换结果排开则成为二维表象。数学上,这样的操作可写为: 另外也可用角频率来表示: 其中formula_4是窗函数,窗函数种类有很多种,会在稍后再做仔细讨论。formula_5是待变换的讯号。formula_6是formula_7的傅立叶变换。 随着formula_8的改变,窗函数在时间轴上会有位移。经formula_7后,信号只留下了窗函数截取的部分做最后的傅立叶转换,所得到的结果为一复数函数,代表着信号随时间与频率变化的大小与相位。
title: 离散短时傅立叶转换.
content: 在离散时间的例子,资料会被切割成数个大量的帧,而每组帧通常会互相重叠,避免因切割方式造成边界的误差。而每组帧在各自进行傅立叶转换后所得的复数结果会再进行相加,可得到每个点时间与频率变化的大小与相位。数学上,这样的操作可写为:  formula_10  相同地,其中formula_11是窗函数,formula_12是待变换的讯号。在这个例子里,m是离散的且ω是连续的,但大部分实际的应用当中,短时距傅立叶转换在电脑中都是以快速傅立叶转换进行计算(见实现方法的快速傅立叶变换),而此时这两个参数都是离散且被量化的。
title: Sliding 离散傅立叶转换.
content: 当只想要得知特定少数的ω,或是短时距傅立叶转换每次窗函数移动m的值,则短时距傅立叶转换可以利用sliding DFT算法更有效地计算出来。
title: 反短时距傅立叶转换.
content: 短时距傅立叶转换是可逆的,也就是说原本的信号可以借由反短时距傅立叶转换将短时距傅立叶转换后的信号还原。  其中最广为接受的反短时距傅立叶转换方法是重叠-相加之折积法,此方法也促成了更多样的信号处理方法。  反短时距傅立叶转换,其数学类似傅立叶转换,但须消除窗函数的作用,首先必须先将窗函数的总面积规模化使得  而从上也可轻易地得出  和  连续傅立叶转换公式如下:  将formula_5进行上述的替换:  将积分顺序进行交换:  因此傅立叶转换可以视为某种将formula_5所有的短时距傅立叶转换的相位同调部分进行相加。  而反傅立叶转换公式如下:  因此 formula_5可以从formula_26被复原  formula_27  或  与上面所列的窗函数的式子进行比较,可得  对反傅立叶转换公式中的formula_26来说formula_31是不变的
title: 窗函数.
content: 窗函数通常满足下列特性:  常见的窗函数有:方形、三角形、高斯函数等,而短时距傅立叶转换也因窗函数的不同而有不同的名称。而加伯转换,即为窗函数是高斯函数的短时距傅立叶转换,通常没有特别说明的短时距傅立叶转换,即为加伯转换。
title: 非对称窗函数.
content: 当在特殊应用时,窗函数特性的第一点可以不满足,如下图的非对称窗函数formula_38,其中formula_39。左图为窗函数原本的图形,而在计算短时距傅立叶变换时,需将窗函数转到formula_31轴上得出formula_41,换言之,欲得到的短时距傅立叶变换的结果需在formula_42的时间点才能算出,因此若formula_43愈小,即可愈快得结果,此种非对称窗函数可应用在地震波、碰撞侦测...等,需要即时处理的应用。
title: 方形窗函数的短时距傅立叶转换.
title: 概念.
content: 右图即为方形窗函数的一个例子,其数学定义: formula_44  可以随要分析的信号,来调整B的大小(即调整方形窗函数的宽度)。至于B的选择,将会在下面探讨。  短时傅立叶转换可以简化为 反短时傅立叶转换可简化为
title: 特性.
content: 其大部分的特性都与傅立叶转换的特性相对应
title: 方形窗函数宽度formula_60的选取.
content: 结果如右图所示,B越大则在频率变化处(t = 10, 20)附近的频率越不准确,即可能会有多个频率成分出现。但同时,其他时间点的能量则较集中;没有如B较小时,频率散开或模糊的情形。  上述也是其中一个小波转换及多分辨率分析作为改进的方向,其中多分辨率分析能在高频时有较好的时间轴解析,而在低频时能有较好的频率轴解析,此种组合较契合许多实际的应用。  时间轴与频率轴的分辨率无法同时提升也与海森堡不确定性原理有关,即时间与频率的标准差乘积有所限制,而高斯函数恰好能符合不确定性原理的极值,也就是两者同时达到最好的分辨率,而应用高斯函数的时频分析方法即为加伯转换,而在经过修改及多分辨率分析后,成为了莫莱小波。
title: 瑞利频率.
content: 当Nyquist频率是能被有意义分析的频率最大值的限制,而瑞利频率则是能被有限带宽频的窗函数解析的频率最小值的限制。若给定一窗函数的长度是T秒,最低能被解析的频率即为1/T Hz。  瑞利频率在短时距傅立叶变化的应用中扮演重要的脚色,像是在分析神经信号时。
title: 频谱(Spectrogram).
content: Spectrogram即短时傅立叶转换后结果的绝对值平方,两者本质上是相同的,在文献上也常出现spectrogram这个名词。
title: 短时距傅立叶变换实现方法.
content: 从连续短时距傅立叶变化的定义出发  令 formula_78,则上述式子时域可从连续转为离散  formula_79  若当formula_80  上式可改写为
title: 直接运算.
title: 限制条件.
content: (1)要满足Nyquist criterion
title: 推导.
content: formula_83  转换到离散形式(formula_84)  formula_85  则 formula_86 for formula_87  formula_88
title: 时间复杂度.
content: formula_89
title: 使用快速傅立叶变换.
title: 限制条件.
content: (1)要满足Nyquist criterion  (2)formula_91  (3) formula_92
title: 推导.
content: formula_93  令formula_94  formula_95  其中 formula_96
title: 时间复杂度.
content: 利用FFT计算formula_97,其中每次FFT的时间复杂度为 formula_98  总时间复杂度为formula_99
title: 使用快速傅立叶变换加上递回关系式.
title: 限制条件.
content: (1)要满足Nyquist criterion  (2)formula_91  (3)formula_92  (4)需为方形窗函数的短时距傅立叶转换
title: 推导.
content: 当 formula_103  formula_104 (1)以FFT计算formula_105  (2)利用递回关系式计算算formula_107
title: 时间复杂度.
content: (1)FFT计算一次 formula_105  (2)利用递回关系,计算formula_110时的数值  总时间复杂度 formula_111
title: 使用Chirp-Z 转换.
title: 限制条件.
content: (1)要满足Nyquist criterion
title: 推导.
content: formula_113  formula_114  formula_115
title: 时间复杂度.
content: 当n为定值时  (1)formula_116 相乘时间复杂度为2Q+1  (2)formula_117 convolution时间复杂度为 formula_118  (3)formula_119相乘时间复杂度为 F  总时间复杂度为formula_120 虽然此实现方法和使用FFT计算的时间复杂度相同,但因为convolution相当于做三次FFT,因此实际操作时运算时间约为使用FFT计算的2~3倍
title: Unbalanced Sampling for STFT and WDF.
content: 将直接法和快速傅立叶转换方法做修正
title: 1.直接法.
content: formula_83  修正后 :formula_122  其中, formula_123  (假设formula_124 for formula_125), formula_126  注:formula_127(输入讯号的取样间隔)  formula_128(在t轴上的输出讯号的取样间隔)  然而,formula_129是整数会是比较好的。
title: 2.快速傅立叶转换.
title: 限制条件.
content: (1) formula_130  (3) formula_133,formula_134的带宽是 formula_135  i.e. formula_136,当 formula_137
title: 过程.
content: formula_138  令 formula_139  formula_140 for formula_141  formula_142 for formula_143  修正后:formula_144
title: Non-Uniform formula_128.
content: (1) 先用比较大的formula_128  (2) 如果发现formula_147 和 formula_148 之间有很大的差异,则在formula_149,formula_150 之间选用比较小的取样区间formula_151  再用Unbalanced Sampling for STFT and WDF 中修正后的快速傅立叶转换方法算出 formula_155,formula_156formula_157  (3) 以此类推,如果 formula_158的差距还是太大,则再选用更小的取样间隔formula_159

Summary: 短时距傅立叶变换是傅立叶变换的一种变形,也称作windowed Fourier transform或time-dependent Fourier transform,用于决定随时间变化的信号局部部分的正弦频率和相位。实际上,计算短时距傅立叶变换(STFT)的过程是将长时间信号分成数个较短的等长信号,然后再分别计算每个较短段的傅立叶转换。通常拿来描绘频域与时域上的变化,为时频分析中其中一个重要的工具。

Short-time Fourier transform: The Short-time Fourier transform (STFT), is a Fourier-related transform used to determine the sinusoidal frequency and phase content of local sections of a signal as it changes over time. In practice, the procedure for computing STFTs is to divide a longer time signal into shorter segments of equal length and then compute the Fourier transform separately on each shorter segment. This reveals the Fourier spectrum on each shorter segment. One then usually plots the changing spectra as a function of time, known as a spectrogram or waterfall plot.