非线性系统

title: 定义.
content: 在数学上,一个线性函数(映射)formula_1 拥有以下两个性质:  在 "α" 是有理数的情况下,一个可叠加函数必定是齐次函数(在讨论线性与否时,齐次函数专指一次齐次函数);若 formula_1 是连续函数,则只要 "α" 是任意实数,就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数 "α" 时,叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说,在复数的世界里存在一种反线性映射,它满足叠加性,但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起,称之为叠加原理: 对于一个表示为 的方程,如果 formula_1 是一个线性映射,则称为线性方程,反之则称为非线性方程。另外,如果 formula_8,则称此方程齐次(齐次在函数和方程上的定义不同,齐次方程指方程内没有和 "x" 无关的项 "C",即任何项皆和 "x" 有关)。  这里 formula_9 的定义是很一般性的,formula_10 可为任何数字、向量、函数等,而 formula_1 可以指任意映射,例如有条件限制(给定初始值或边界值)的微分或积分运算。如果 formula_1 内含有对 formula_10 的微分运算,此方程即是一个微分方程。
title: 非线性代数方程.
content: 代数方程又称为多项式方程。令某多项式等于零可得一个多项式方程,例如:  利用勘根法可以找出某个代数方程的解;但若是代数方程组则较为复杂,有时候甚至很难确定一个代数方程组是否具有复数解(见希尔伯特零点定理)。即使如此,对于一些具有有限个复数解的多项式方程组而言,我们已经找到解的方法,并且也已充分了解这种系统的行为。代数方程组的研究是代数几何里重要的一环,而代数几何正是现代数学里的其中一个分枝。
title: 非线性递回关系.
content: 若将一个序列前项和后项之间的关系定义成某个非线性映射,则称为非线性递回关系,例如单峰映射和侯世达数列。由非线性递回关系构成的非线性离散模型,在实际应用中包括 NARMAX(Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs,外部输入非线性自回归移动平均)模型、非线性系统辨识和分析程序等。这些方法可以用来分析时域、频域和时空域(spatio-temporal domains)里复杂的非线性行为。
title: 非线性微分方程.
content: 若描述一个系统的微分方程是非线性的,则称此系统为非线性系统。含有非线性微分方程的问题,系统彼此间的表现差异极大,而每个问题的解法或是分析方法也都不一样。非线性微分方程的例子如流体力学的纳维-斯托克斯方程,以及生物学的洛特卡-沃尔泰拉方程。  解非线性问题最大的难处在于找出未知的解:一般来说,我们无法用已知的解来拼凑出其他满足微分方程的未知解;而在线性的系统里,却可以利用一组线性独立的解,透过叠加原理组合出此系统的通解。例如满足狄利克雷边界条件的一维热传导问题,其解(时间的函数)可以写成许多不同频率之正弦函数的线性组合,而这也让它的解很弹性、具有很大的变化空间。通常我们可以找到非线性微分方程的特解,但由于此时叠加原理并不适用,故无法利用这些特解来建构出其他新的解。
title: 常微分方程.
content: 一阶常微分方程常常可以利用分离变量法来解,特别是自守方程 例如 这个方程序的通解为 formula_17,特解为 "u" = 0(即通解在 "C" 趋近于无限大时的极限)。此方程是非线性的,因为它可以被改写为 而等号左边并不是 "u" 的线性映射。若把此式的 "u" 换成 "u",则会变成线性方程(指数衰减)。  二阶和高阶非线性常微分方程组的解几乎无法表示成解析解,反而较常表为隐函数或非初等函数积分的形式。  分析常微分方程常用的方法包括:
title: 偏微分方程.
content: 研究非线性偏微分方程最常见也最基础的方法就是变量变换,变换以后的方程会较简单,甚至有可能会变成线性方程。有时候,变量变换后的方程可能会变成一个或两个以上的常微分方程(如同用分离变量法解偏微分方程),不管这些常微分方程可不可解,都能帮助我们了解这个系统的行为。  另一个流体力学和热力学里常用的方法(但数学性较低),是利用尺度分析来简化一个较一般性的方程,使它仅适用在某个特定的边界条件上。例如,在描述一个圆管内一维层流的暂态时,我们可以把非线性的纳维-斯托克斯方程简化成一个线性偏微分方程;这时候尺度分析提供了两个特定的边界条件:一维和层流。  其他分析非线性偏微分方程的方法还有特征线法,以及上述分析常微分方程时常用的方法。
title: 单摆.
content: 非线性问题的一个典型的例子,就是重力作用之下单摆的运动。单摆的运动可由以下的方程来描述(用拉格朗日力学可以证明): 这是一个非线性且无因次的方程,formula_20 是单摆和它静止位置所夹的角度,如动画所示。此方程的一个解法是将 formula_21 视为积分因子,积分以后得 上述的解是隐解的形式,同时也包含了椭圆积分。这个解通常没有什么用,因为非初等函数积分(即使 formula_23 仍然是非初等函数)把解的各种特性隐藏了起来,使我们不易看出单摆系统的行为。  另一个解法是把这个非线性方程作线性近似:利用泰勒展开式将非线性的 sine 函数线性化,并在某些特定的点附近讨论解的情形。例如,若在 formula_24 的点附近作线性近似(又称小角度近似),formula_25 时,formula_26,故原方程可以改写为 近似后的方程变成了简谐振荡,因此当单摆运动到底部附近时,可以对应到一个简谐振子。而若在 formula_28(即当单摆运动到圆弧的最高点时)附近作线性近似,formula_29,故原方程可以改写为 这个方程的解含有双曲正弦函数,因此和小角度近似不同,这个近似是不稳定的,也就是说 formula_31 会无限制地增加(但此近似方程的解也可能是有界的)。当我们把解对应回单摆系统后,就可以了解为什么单摆在圆弧的最高点时不能达到稳定平衡,也就是说,单摆在最高点时是不稳定的状态。  另一个有趣的线性近似是在 formula_32 附近,此时 formula_33,故原方程可以改写为 这个近似后的方程可以对应到自由落体。  若把以上线性近似的结果合在一起看,就能大致了解单摆的运动情形。利用其他解非线性微分方程的方法,可以进一步帮助我们找到更精确的相图,或是估算单摆的周期。

Summary: 在物理科学中,如果描述某个系统的方程其输入(自变量)与输出(应变量)不成正比,则称为非线性系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的,因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于,非线性系统可能会导致混沌、不可预测,或是不直观的结果。

Nonlinear system: In mathematics and science, a nonlinear system is a system in which the change of the output is not proportional to the change of the input. Nonlinear problems are of interest to engineers, biologists, physicists, mathematicians, and many other scientists because most systems are inherently nonlinear in nature. Nonlinear dynamical systems, describing changes in variables over time, may appear chaotic, unpredictable, or counterintuitive, contrasting with much simpler linear systems.