模糊集

title: 定义.
content: 给定一个论域formula_1,那么从formula_1到单位区间formula_3的一个映射 formula_4 称为formula_1上的一个模糊集,或formula_1的一个模糊子集,
title: 表示.
content: 模糊集可以记为formula_7。映射(函数)formula_8或简记为formula_9叫做模糊集formula_7的隶属函数。 对于每个formula_11, formula_12叫做元素formula_13对模糊集formula_7的隶属度。  模糊集的常用表示法有下述几种:
title: 和传统集合的关系.
content: 和传统的集合一样,模糊集也有它的元素,但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度,其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德(1965)所引进的,是经典集合论的一种推广。在经典的集合论中,所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合(因此模糊集不是集合);可以说,每个元素对每个集合的归属性(membership)都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数(membership function),其值允许取闭区间formula_3(单位区间)中的任何实数,用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集formula_7的归属函数为formula_20,而formula_21、formula_22、formula_23为三个元素;如果formula_24,formula_25,formula_26,则可以说 「formula_21完全属于formula_7」,「formula_22完全不属于formula_7」,「formula_23对formula_7的归属度为formula_33」(注意没有说「"formula_23"有一半属于"formula_7"」,因为尚未规定formula_33的归属度具有什么特殊含义)。作为特例,当归属函数的值只能取 0 或 1 时,就得到了传统集合论常用的指示函数(indicator function)。传统集合在模糊集理论中通常称作「明确集」(crisp set)。
title: 截集与截积.
content: 设 formula_7为 formula_1上的模糊集(记作 formula_39),任取 formula_40,则  称formula_42为formula_7的formula_44截集,而formula_44称为阈值或置信水平。将上式中的formula_46替换为formula_47,记为formula_48,称为强截集。  截集和强截集都是经典集合。此外,显然formula_49为formula_7的核,即formula_51;如果formula_52,则称formula_7为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。  截积是数与模糊集的积:<br> 设formula_54,formula_55,则formula_56,formula_44与formula_7的截积(或称为formula_44截集的数乘,记为formula_60)定义为:  根据定义,截积仍是formula_1上的模糊集合。
title: 分解定理与表现定理.
content: 分解定理:<br> 设formula_55,则<br>  即任一模糊集formula_7都可以表达为一族简单模糊集formula_66的并。也即,一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。  表现定理:<br> 设formula_67为formula_1上的任何一个集合套,则<br>  是formula_1上的一个模糊集,且formula_71,有<br> (1)formula_72<br> (2)formula_73<br> 即任一集合套都能拼成一个模糊集。
title: 模糊度.
content: 一个模糊集formula_7的模糊度衡量、反映了 "A" 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:  设映射formula_75满足下述5条性质:  则称formula_88是定义在formula_89上的模糊度函数,而formula_90为模糊集formula_7的模糊度。  可以证明符合上述定义的模糊度是存在的,一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是 formula_92 其中formula_93是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当formula_94的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当formula_95的时候称为 Euclid 模糊度。
title: 模糊测度(Fuzzy measures).
content: formula_96是舆集formula_97的一种。  用formula_98函数定义formula_96,包含下列3项特性称为模糊测度:  1formula_100  ---formula_98函数代0值,表示没有值为空值,用数学0来表示。formula_98函数代formula_103表示舆集全部带进去了塞满了,用1表示塞满。  2若formula_104和formula_105, 则formula_106.  ---formula_107是属于formula_96的一部分,formula_7在formula_110里面也可能跟formula_110一样大,则formula_106  3If formula_113∈formula_96, formula_49⊆formula_116⊆...,then formula_117  ---当formula_113属于formula_96同时formula_49包含于formula_121,则将formula_122代入formula_98函数趋小所得的值等同于先趋小formula_122再代入formula_98函数所求得的值。  formula_128  formula_129  formula_130  formula_131  formula_133  formula_135  formula_138  formula_140
title: 模糊集的运算.
title: 算子的性质.
content: 参见集合代数和布尔代数。  主要算子的性质对比表如下(codice_1表示不满足,codice_2表示未验证):  线性补偿是指: formula_141
title: 模糊集之间的距离.
title: 使用度量理论.
content: 可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集formula_89上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到formula_3区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:<br>
title: 贴近度.
content: 另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - "距离"(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。  除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

Summary: 模糊集是模糊数学上的一个基本概念,是数学上普通集合的扩展。

Fuzzy set: In mathematics, fuzzy sets (a.k.a. uncertain sets) are somewhat like sets whose elements have degrees of membership. Fuzzy sets were introduced independently by Lotfi A. Zadeh and in 1965 as an extension of the classical notion of set. At the same time, defined a more general kind of structure called an L-relation, which he studied in an abstract algebraic context. Fuzzy relations, which are used now in different areas, such as linguistics, decision-making, and clustering, are special cases of "L"-relations when "L" is the unit interval [0, 1].