正则变换

title: 定义.
content: 点变换(英语:point transformation)将广义坐标formula_2变换成广义坐标formula_3,点变换方程序的形式为  其中,formula_5是时间。  在哈密顿力学里,由于广义坐标与广义动量formula_6同样地都是自变量(英语:independent variable),点变换的定义可以加以延伸,使变换方程序成为  其中,formula_9是新的广义动量。  为了分辨这两种不同的点变换,称前一种点变换为位形空间点变换,而后一种为相空间点变换。  在哈密顿力学里,正则变换将一组正则坐标formula_10变换为一组新的正则坐标formula_11,而同时维持哈密顿方程序的形式(称为形式不变性)。原本的哈密顿方程序为  新的哈密顿方程序为  其中,formula_16、formula_17分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。
title: 实际用处.
content: 思考一个物理系统的哈密顿量  假设哈密顿量跟其中一个广义坐标formula_19无关,则称formula_19为可略坐标(英语:ignorable coordinate),或循环坐标(英语:cyclic coordinate):  在哈密顿方程序中,广义动量对于时间的导数是  所以,广义动量formula_23是常数formula_24。  假设一个系统里有formula_25个广义坐标是可略坐标。找出这formula_25个可略坐标,则可以使这系统减少formula_27个变量;使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。
title: 生成函数方法.
content: 采取一种间接的方法,称为生成函数方法,从formula_28变换到formula_29。为了要保证正则变换的正确性,第二组变量必须跟第一组变量一样地遵守哈密顿原理  那么,必须令  其中,formula_33是标度因子,formula_34是生成函数。  假若一个变换涉及标度因子,则称此变换为标度变换(英语:scale transformation)。一般而言,标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1,则称此正则变换为延伸正则变换(英语:extended canonical transformation);假若标度因子等于1,则称为正则变换。  任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个formula_35的延伸正则变换表示为  则可以设定另外一组变量与哈密顿量: formula_37、 formula_38、 formula_39、 formula_40;其中,formula_41是用来删除formula_33的常数,formula_43。经过一番运算,可以得到  显然地,这变换符合哈密顿方程序。所以,任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。  假若正则变换不显性含时间,则称为设限正则变换(英语:restricted canonical transformation)。  生成函数formula_34的参数,除了时间以外,一半是旧的正则坐标;另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变量而定,一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换,从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换formula_1保证是正则变换。
title: 第一型生成函数.
content: 第一型生成函数formula_49只跟旧广义坐标、新广义坐标有关,  代入方程序(1)。展开生成函数对于时间的全导数,  新广义坐标formula_52和旧广义坐标formula_53都是自变量,其对于时间的全导数formula_54和formula_55互相无关,所以,以下formula_56个方程序都必须成立:  这formula_56个方程序设定了变换formula_1,步骤如下:  第一组的formula_62个方程序(2),设定了formula_63的formula_62个函数方程序  在理想情况下,这些方程序可以逆算出formula_52的formula_62个函数方程序  第二组的formula_62个方程序(3),设定了formula_70的formula_62个函数方程序  代入函数方程序(5),可以算出formula_70的formula_62个函数方程序  从formula_76个函数方程序(5)、(6),可以逆算出formula_76个函数方程序  代入新哈密顿量formula_80的方程序(4),可以得到
title: 第二型生成函数.
content: 第二型生成函数formula_82的参数是旧广义坐标formula_53、新广义动量formula_70 与时间:  以下formula_56方程序设定了变换formula_1:
title: 第三型生成函数.
content: 第三型生成函数formula_91 的参数是旧广义动量formula_63、新广义坐标formula_52与时间:  以下formula_56方程序设定了变换formula_1:
title: 第四型生成函数.
content: 第四型生成函数formula_100的参数是旧广义动量formula_63、新广义动量formula_70与时间:  以下formula_56方程序设定了变换formula_1:
title: 实例1.
content: 第一型生成函数有一个特别简易案例:  生成函数的导数分别为  旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同:
title: 实例2.
content: 再擧一个比较复杂的例子。让  这里,formula_114是一组formula_62个函数。  答案是一个广义坐标的点变换,
title: 不变量.
content: 正则变换必须满足哈密顿方程序不变;哈密顿方程序为正则变换的一个不变式。另外,正则变换也有几个重要的不变量。
title: 辛条件.
content: 辛标记提供了一种既简单,又有效率的标记方法来展示方程序及数学运算。设定一个formula_117的竖矩阵formula_118 :  变量向量formula_118将formula_53与formula_63包装在一起。这样,哈密顿方程序可以简易的表示为  这里,formula_124是辛连结矩阵、formula_125是哈密顿量。  应用辛标记于正则变换,正则坐标会从旧正则坐标formula_118改变成新正则坐标formula_127,formula_128;哈密顿量也从旧的哈密顿量formula_125改变成新的哈密顿量formula_80,formula_131;但是,哈密顿方程序的形式仍旧维持不变:  这里,formula_133。  用第一型生成函数formula_134,则formula_135。  取formula_136关于时间formula_5的导数,  这里,formula_139是亚可比矩阵,formula_140。  代入哈密顿方程序,  假若限制正则变换为设限正则变换,也就是说,显性地不含时间,解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间,则仍旧能得到与下述同样的答案,这是一个很好的偏导数习题。现在,限制这正则变换为设限正则变换,则简化后的方程序为  而formula_143,所以,  代回前一个方程序,取formula_145的系数,则可以得到  经过一番运算, 可以求出辛条件:  在这里,得到了正则变换的辛条件:一个变换是正则变换,当且仅当辛条件成立。
title: 基本帕松括号不变量.
content: 在相空间里,两个函数formula_150关于正则坐标formula_151的帕松括号定义为  用辛标记,  立刻,可以得到下述关系:  定义基本帕松括号formula_156为一个方矩阵,其中,元素formula_157的值是formula_158。那么,  思考一个变换formula_160。新坐标的基本帕松括号为  这两个正则坐标的亚可比矩阵formula_162是  代入前一个方程序,则  假若这变换是正则变换,辛条件formula_149必须成立,  相反地,假若formula_166,则辛条件成立,这变换是正则变换。  所以,一个变换是正则变换,当且仅当基本帕松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本帕松括号时,我们可以忽略下标符号,直接表示为formula_156,而认定这基本帕松括号是关于正则坐标计算的值。
title: 帕松括号不变量.
content: 思考两个函数formula_169对于正则坐标formula_118的泊松括号  假若这变换是正则变换,辛条件formula_149必须成立,  所以,任何两个函数关于正则坐标的帕松括号,都是正则变换的不变量。当表示帕松括号时,可以忽略下标符号,直接表示为formula_174,而认定这帕松括号是关于正则坐标计算的值。

Summary: 在哈密顿力学里,正则变换(canonical transformation)是一种正则坐标的改变,formula_1,而同时维持哈密顿方程的形式,虽然哈密顿量可能会改变。正则变换是哈密顿-亚可比方程序与刘维尔定理的基础。

Canonical transformation: In Hamiltonian mechanics, a canonical transformation is a change of canonical coordinates that preserves the form of Hamilton's equations. This is sometimes known as form invariance. It need not preserve the form of the Hamiltonian itself. Canonical transformations are useful in their own right, and also form the basis for the Hamilton–Jacobi equations (a useful method for calculating conserved quantities) and Liouville's theorem (itself the basis for classical statistical mechanics).