量子态

title: 概述.
title: 经典力学的状态.
content: 设想在某经典系统里,有一个粒子移动于一维空间,在时间formula_17,粒子的位置formula_18是formula_19,动量formula_20是formula_21。这些初始条件设定了这系统在时间formula_17的状态formula_23。经典力学具有决定性,若知道粒子的初始条件与作用于粒子的外力,则可决定粒子的运动行为。  在实验方面,制备经典系统在时间formula_17的状态formula_23。稍后,在时间formula_26,若想知道这系统的物理状态formula_27,可以测量这粒子的运动参数,即位置formula_28与动量formula_29。其它物理量,像加速度、动能等等,都是这两个物理量的函数。  在理论方面,假设经典系统在formula_17的状态是formula_23,则应用牛顿运动定律,即可计算出这系统在任何时间formula_26的可观察量数值。这些数值应该符合实验测量的结果。标记这些数值为formula_29与formula_28。例如,假设粒子以等速移动,则  其中,formula_37是粒子质量。
title: 量子力学的量子态.
content: 实验的过程可以按照先后顺序细分为制备与测量两个步骤。在统计实验(statistical experiment)里,虽然以同样的方法制备多个物理系统,然后以同样的方法进行测量,仍旧不能可靠地获得出同样的结果,但是,假若经过很多次重复地制备与测量,则会发觉,同样结果的出现频率会收敛至某固定值。量子力学也具有类似特性,虽然每一次测量能够很准确地获得粒子运动地数据,但不能准确预测对于可观察量做单次测量而获得的结果,只能够给出各种可能获得的结果与获得这结果的几率分布,这是因为制备步骤必须遵守不确定性原理。  在量子系统里,量子态可以从一系列制备程序来辨认,即这程序所制成的量子系统拥有这量子态。例如,使用z-轴方向的斯特恩-革拉赫实验仪器,可以将入射的银原子束,依照自旋的z-分量formula_5分裂成两道,一道的formula_5为上旋,量子态为formula_7或formula_8,另一道的formula_5为下旋,量子态为formula_10或formula_11。又例如,假若等待足够长久时间,就可以使得量子系统衰变至基态,前提是从激发态只能朝着无穷远发射出能量,永远不会反射回来。这样,就可以制备出基态。再照射适当频率的激光,则可制备出指定的激发态。  在实验方面,量子力学显露出一种内禀统计行为。同样的一个实验重复地做很多次,每次实验的测量结果通常不会一样,只有从很多次的实验结果计算出来的统计平均值,才是可复制的数值。假设,在每次实验里,在时间formula_17,量子系统的量子态为formula_46。稍后,在时间formula_26,测量这粒子在各个量子系统的可观察量formula_28或formula_29,则能获得在时间formula_26这些可观察量的统计平均值。特别注意,对于这两种可观察量并不是一起进行测量,而是独立分开进行测量。更详细地说,重复地做很多次同样的实验,测量可观察量formula_28。由于这可观察量是随机变量,所以无法可靠地复制同样结果。但是,假若重复次数足够多(概念而言,无穷多),则能获得在时间formula_26这可观察量formula_28的统计平均值。类似地,重复地做很多次同样的实验,测量可观察量formula_29,也能获得在时间formula_26这可观察量formula_29的统计平均值。  在理论方面,假设量子系统在formula_17的量子态是formula_46,应用埃伦费斯特定理,可以计算出可观察量在任何时间formula_26的期望值。这期望值应该完全符合实验获得的统计平均值。标记这些期望值为formula_60、formula_61。假设没有任何外力作用于自由移动的粒子,则  位置的期望值与动量的期望值表现出类似经典力学的运动行为。在量子力学里,量子态可以预测所有测量可观察量的实验统计结果。
title: 薛定谔绘景与海森堡绘景.
content: 量子系统的每一种可观察量都有其对应的量子算符。将这量子算符作用于量子态,可以诠释为测量其量子系统的可观察量。在前一节量子力学论述里,量子算符formula_28,formula_29被设定为与时间有关,而量子态则在初始时间formula_17就被固定为formula_46,与时间无关。这种理论方法称为海森堡绘景。另一种称为薛定谔绘景的理论方法设定量子算符与时间无关,又设定量子态与时间有关。在概念方面或在数学方面,这两种绘景等价,推导出的结果一样。大多数初级量子力学教科书采用的是薛定谔绘景,通过生动活泼的量子态,学生可以迅速地了解量子系统如何随着时间演变。海森堡绘景比较适用于研究一些像对称性或守恒定律的基础论题领域,例如量子场论,或者研究超大自由度系统的学术,例如统计力学。
title: 量子力学形式论.
content: 量子物理通常使用线性代数来做数学表述。每一种量子系统都有其对应的希尔伯特空间,其量子态都可以用对应的希尔伯特空间里的向量来表现,这向量称为态向量。假若,某态向量是另外一个态向量的纯量倍数,则这两个态向量都对应于同样的量子态。因此,态向量的范数不具有物理意义,只有方向具有物理意义。  假若将态向量归一化,所有态向量的范数都等于1,则所有态向量的集合是希尔伯特空间的单位球。假若,两个归一化态向量的唯一不同之处是它们的相位因子,则这两个态向量代表同样的量子态。
title: 狄拉克标记.
content: 在量子力学里,数学运算时常用到线性算符、内积、对偶空间与厄米共轭等概念。为了让运算更加简易、更加抽象,为了让使用者不需要选择表现空间,保罗·狄拉克发明了狄拉克标记。这种标记法能够精准地表示各种各样的量子态与其相关运算,简略表述如下:
title: 量子态的测量.
content: 量子理论只能从量子态计算出可观察量的几率分布,因此只能预测可观察量的几率分布,除了一些特别案例之外,不能准确预测(几率小于1)对可观察量做测量获得的数值,这反映出经典物理与量子物理之间的重要差异,在经典力学里,测量的结果本质上是决定性的,而不是几率性的。尽管如此,在量子力学里,对于任意可观察量,必定存在一组本征态。假设量子系统的量子态是其中任意本征态,则测量这量子系统的可观察量得到的数值必定等于其对应的本征值,量子力学可以准确预测这本征值  反过来说,假设给定了量子系统所有可观察量的几率分布,则可决定量子系统的量子态。但是,决定量子态,并不一定需要所有可观察量的几率分布;大多数时候,只需要给定某些可观察量的几率分布,就可以决定量子态,其它可观察量的几率分布,可以从量子态计算出来。  假设,某量子系统的可观察量标记为formula_78,其对应的量子算符formula_79,可能有很多不同的本征值formula_80与对应的本征态formula_81,这些本征态formula_82,形成了具有正交归一性的基底:  其中,formula_84是克罗内克函数。  描述这量子系统的量子态formula_85,可以用这基底表示为  其中,formula_87是复系数,是量子态formula_85处于量子态formula_89的几率幅。  重复地做很多次同样的实验,在每次实验里,量子系统的量子态都设定为formula_85,则对于每一个量子系统的可观察量formula_78做测量,可能得到的结果是各种本征态formula_81的本征值formula_80,获得这些不同结果的次数具有几率性,可以表达为几率分布,结果为formula_80的几率是formula_95。  假设测量的结果是本征值formula_80,则可以推断测量后的量子态是本征态formula_81。假若立刻再测量可观察量formula_78,由于量子态仍旧是本征态formula_81,所得到的测量值是本征值formula_80的几率为1,量子态formula_85是「确定态」。  设想另一种可观察量formula_102,其对应的算符formula_103与算符formula_79的对易关系为  称这两种可观察量为不相容可观察量。假若立刻再对本征态formula_81测量可观察量formula_102,则又会得到统计性的答案。
title: 单粒子系统的基底量子态.
title: 离散案例.
content: 假设,某量子系统的可观察量标记为formula_78,其对应的量子算符formula_79,可能有很多不同的本征值formula_80与对应的本征态formula_81,这些本征态formula_82,形成了具有正交归一性的基底。描述这量子系统的量子态formula_85,可以用这基底的本征态表示为  其中,formula_87是复系数,是量子态formula_85处于量子态formula_89的几率幅。  formula_118是formula_85与formula_120的内积:  因此,formula_85可以表示为  定义投影算符formula_124为  投影算符formula_124作用于量子态,投射出平行于formula_120的部分:  量子态formula_85是所有投影部分的总和:  由于量子态formula_85可以是任意量子态,因此,基底量子态具有闭包性,或完备性:  其中,在公式最右边的formula_133代表单位算符。  由于这基底满足正交归一性,
title: 连续案例.
content: 位置formula_135是一种连续的可观察量,具有连续的本征值谱:  其中,formula_137是对应于可观察量formula_135的算符,formula_139是本征值为formula_135的连续本征态。  对于这连续本征态formula_139所组成的基底,必须将前一节提到的离散和,加以修改为积分:  又必须将克罗内克函数改变为狄拉克δ函数:  由于量子态formula_85可以是任意量子态,因此,连续基底量子态具有闭包性,或完备性:  由于这基底满足正交归一性,  从这方程序,可以推论formula_147是粒子处于位置formula_135与formula_149之间的几率。  内积formula_150就是波动力学的波函数formula_151:
title: 态叠加原理.
content: 假设某量子系统的量子态可能是formula_153或formula_154这两个不同的归一化量子态,则这量子系统也可能处于它们线性叠加而成的量子态formula_155(可能尚未归一化)。假设formula_156为实数,则虽然量子态formula_157与formula_158对应于同样的量子态,他们并无法互相替换。例如,formula_159和formula_160是两个不同的量子态。但是,formula_159和formula_162对应于同一个量子态。因此可以这样说,整体的相位因子并不具有物理意义,但相对的相位因子具有重要的物理意义。  例如,在双缝实验里,光子的量子态是两个不同量子态的叠加。其中一个量子态是通过狭缝formula_163。另外一个量子态是通过狭缝formula_164。光子抵达侦测屏障的位置formula_165,这位置离开两条狭缝的距离之差值formula_166,与两个量子态的相对相位有关。由于这相对相位,在侦测屏障的某些位置,会造成相长干涉,在另外一些位置,会造成相消干涉。  再举一个例子,拉比振动,可以显示出相对相位在量子态叠加中的重要性。这是一个双态系统,两个本征态的本征能级不一样。那么,因为态叠加的相对相位随着时间而改变,叠加后的量子态会反复不停地振动于两个本征态。

Summary: 在量子力学里,量子态(英语:quantum state)指的是量子系统的状态。态向量可以用来抽象地表示量子态。采用狄拉克标记,态向量表示为右矢formula_1;其中,在符号内部的希腊字母formula_2可以是任何符号,字母,数字,或单字。例如,在计算氢原子能谱时,能级与主量子数formula_3有关,所以,每个量子态的态向量可以表示为formula_4。

Quantum state: In quantum physics, a quantum state is a mathematical entity that provides a probability distribution for the outcomes of each possible measurement on a system. Knowledge of the quantum state together with the rules for the system's evolution in time exhausts all that can be predicted about the system's behavior. A mixture of quantum states is again a quantum state. Quantum states that cannot be written as a mixture of other states are called pure quantum states, while all other states are called mixed quantum states. A pure quantum state can be represented by a ray in a Hilbert space over the complex numbers, while mixed states are represented by density matrices, which are positive semidefinite operators that act on Hilbert spaces.