热传导方程序

title: 物理机制.
content: 热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程序表达:  其中:  热方程是傅立叶冷却律的一个推论(详见条目热传导)。  如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程的唯一解,必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。  热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态(热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。  热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。  利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式 其中的formula_8是对空间变量的拉普拉斯算子。  热方程支配热传导及其它扩散过程,诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型,诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式(但时间参数为纯虚数),本质却不是扩散问题,解的定性行为也完全不同。  就技术上来说,热方程违背狭义相对论,因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计,但是若要为热传导推出一个合理的速度,则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
title: 以傅立叶级数解热方程.
content: 以下解法首先由约瑟夫·傅立叶在他于1822年出版的著作"Théorie analytique de la chaleur"(中译:解析热学)给出。先考虑只有一个空间变量的热方程,这可以当作棍子的热传导之模型。方程序如下:  其中"u" = "u"("t", "x")是"t"和"x"的双变量函数。  假设下述初始条件  其中函数"f"是给定的。再配合下述边界条件  让我们试着找一个非恒等于零的解,使之满足边界条件(3)并具备以下形式:  这套技术称作分离变量法。现在将"u"代回方程序(1),  由于等式右边只依赖"x",而左边只依赖"t",两边都等于某个常数− λ,于是:  以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解: 假设λ < 0,则存在实数"B"、"C"使得  从(3)得到  于是有"B" = 0 = "C",这蕴含"u"恒等于零。 假设λ = 0,则存在实数"B"、"C"使得  仿上述办法可从等式(3)推出"u"恒等于零。 因此必然有λ > 0,此时存在实数"A"、"B"、"C"使得  从等式(3)可知"C" = 0,因此存在正整数"n"使得  由此得到热方程形如(4)的解。  一般而言,满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出:  其中
title: 推广求解技巧.
content: 上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是:在适当的函数空间上,算子formula_24可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。  考虑线性算子Δ "u" = "u",以下函数序列  是Δ的特征向量。诚然:  此外,任何满足边界条件"f"(0)="f"("L")=0的Δ的特征向量都是某个"e"。令L(0, "L")表 [0, "L"]上全体平方可积函数的向量空间。这些函数"e"构成L(0, "L")的一组正交归一基。更明白地说:  最后,序列{"e"}张出L(0, "L")的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子Δ 对角化。
title: 非均匀不等向介质中的热传导.
content: 一般而言,热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式,因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。  因此单位时间内进入"V"的热流量也由以下的面积分给出  其中n(x)是在"x"点的向外单位法向量。  利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分  将以上所有等式合并,便获得支配热流的一般公式。  注记:
title: 粒子扩散.
title: 粒子扩散方程.
content: 在粒子扩散的模型中,我们考虑的方程涉及  不同情况下的方程序: 或者  "c"与"P"都是位置与时间的函数。"D"是扩散系数,它控制扩散速度,通常以米/秒为单位。  如果扩散系数"D"依赖于浓度"c"(或第二种情况下的几率密度"P"),则我们得到非线性扩散方程。  单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。  如果一个粒子在时间formula_40时置于formula_41,则相应的几率密度函数具有以下形式:  它与几率密度函数的各分量formula_43、formula_44和formula_45的关系是:  随机变量formula_47服从平均数为0、变异数为formula_48的正态分布。在三维的情形,随机向量formula_49服从平均数为formula_50、变异数为formula_51的正态分布。  在"t=0"时,上述formula_52的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件,其几率密度函数是在原点的狄拉克δ函数,记为formula_53(三维的推广是formula_54);扩散方程对此初始值的解也称作"格林函数"。
title: 扩散方程的历史源流.
content: 粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。
title: 以格林函数解扩散方程.
content: 格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解(数学家称之为扩散方程的基本解)。当粒子初始位置在原点formula_50时,相应的格林函数记作formula_56("t>0");根据扩散方程对平移的对称性,对一般的已知初始位置formula_57,相应的格林函数是formula_58。  对于一般的初始条件,扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。  举例来说,设"t=0"时有一大群粒子,根据浓度分布的初始值formula_59分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。  跟任何(广义)函数一样,浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加:  扩散方程是线性的,因此在之后的任一时刻"t",浓度分布变为:  在粒子扩散的情形,我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言,任何扩散过程的解都有这种表法,包括热传导或动量的扩散;后者关系到流体的黏性现象。
title: 一维格林函数解列表.
content: 以下以简写BC代表边界条件,IC代表初始条件。  (可能的问题:根据上解,u(0)=0)
title: 应用.
content: 热方程在许多现象的数学模型中出现,而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程,并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解,因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用Crank-Nicolson法有效地求数值解,此方法也可用于许多无解析解的模型(详见文献Wilmott,1995)。  热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一,由此也导向热方程在黎曼几何中有许多应用。

Summary: 热传导方程(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

Heat equation: In physics and mathematics, the heat equation is a partial differential equation that describes how the distribution of some quantity (such as heat) evolves over time in a solid medium, as it spontaneously flows from places where it is higher towards places where it is lower. It is a special case of the diffusion equation.