卡西米尔不变量

title: 定义.
content: 最常用的卡西米尔元是二次的。其最易定义,因此先在下文给出。然而,也有更高次的卡西米尔不变量,其对应高次的对称齐次多项式,这些不变量在最后定义。
title: 二次卡西米尔元.
content: 设 formula_1 为一个 formula_2 维半单李代数。设 "B" 为 formula_1 上非奇异的二次型,并要求 "B" 在 formula_1 的伴随作用下不变,即对 formula_1 中的任意 "X,Y,Z," 都有 formula_6 (例如,可取 "B" 为基灵型。) 设 为 formula_1 的基,以及 为 formula_1 关于 "B" 的对偶基,则 "B" 的卡西米尔不变量 formula_11 是泛包络代数 formula_12 的元素  尽管上述定义取决于选取的基,可以证明所得的 "Ω" 与所选的基无关。另一方面,不同的二次型 "B" 可以给出不同的 "Ω". "B" 的不变性,说明卡西米尔元与李代数 formula_1 的任何元素都可交换,因此是泛包络代数 formula_12 的中心的元素。
title: 线性表示和光滑作用的卡西米尔元.
content: 给定 formula_1 在向量空间 "V" 上的李代数表示 "ρ" (允许无穷维),将 ρ(Ω) 称为 "ρ" 的卡西米尔不变量,其为 V 上的线性算子,且由下式给出:  此处假定了 "B" 为基灵型,否则必须指明 "B".  该构造的特定形式,在微分几何和大域分析中有重要作用。假设连通李群 "G" 的李代数 formula_1 作用在微分流形 "M" 上,则在 "M" 的连续函数空间上,有 "G" 相应的表示 "ρ". formula_1 的元素均由 "M" 上的一阶微分算子表示,于是,上式给出 "ρ" 的卡西米尔元,其为 "M" 上的二阶微分算子,且在 "G" 的作用下不变。  更进一步,若 "M" 有度量张量,使得 "G" 的元素作为 "M" 的保距变换,可递地作用在 "M" 上,且一点的稳定子 "G" 不可约地作用在切空间 "TM" 上,则 "ρ" 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。  也可定义更一般的卡西米尔不变量,其于弗雷德霍姆理论研究伪微分算子时用到。
title: 一般情况.
content: 每个卡西米尔算子,都对应伴随表示的对称代数 formula_20 的对称齐次多项式。换言之,任何一个卡西米尔算子都具有下列形式:  其中 是对称张量 formula_22 的阶,且 formula_23 组成 formula_1 的基。域 上的多项式环 formula_25 内,有 元对称齐次多项式  与该卡西米尔算子对应。庞卡莱–伯克霍夫–维特定理给出了泛包络代数的显式构造,由此可以证明上述的对应关系。  然而,"并非"每个对应张量(或对称齐次多项式)都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换,即对每个基向量 formula_23, 都满足  考虑结构常数 "f",其满足 于是对于满足上述条件的对称多项式,可得 此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。 由该交换关系,可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换,从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此,李代数表示能以其卡西米尔元的特征值来分类。  注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者,诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半单李代数的秩为 即其嘉当子代数的维数为 则其恰有 个卡西米尔元。
title: 性质.
title: 唯一性.
content: 一个单李代数中,每个不变二次型皆为基灵型的倍数,所以对应的卡西米尔元唯一(允许相差一个常数的意义下)。对于一般的半单李代数,考虑其不变二次型组成的空间。半单李代数是若干单李代数的直和,因此该二次型空间中,对应每个单分量,恰有一个基向量。故卡西米尔元组成的空间中,也对应每个单分量,恰有一个基向量。
title: 与 G 上拉普拉斯算子的关系.
content: 若 formula_31 为李群,且其李代数为 formula_1, 则 formula_1 上的不变二次型对应 formula_31 上的双不变黎曼度量。并且, formula_1 的泛包络代数等同于 formula_31 上的左不变微分算子空间。在此等同关系下,formula_1 上双线性型的卡西米尔元,对应 formula_31 关于双不变度量的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
title: 推广.
content: 卡西米尔算子是李代数的泛包络代数的中心的特殊二次元素。换言之,卡西米尔算子是一个微分算子,其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里,每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而,中心内可以有其他(非二次)的元素。  由拉卡定理,半单李代数的泛包络代数中心的维数,等于该李代数的秩。在任意的半单李群(即其李代数为半单李代数)上,可以利用卡西米尔元,定义群上的拉普拉斯算子。然而,按照上述关于秩的结论,当秩大于 1 时,无法类比地定义唯一的拉普拉斯算子。  根据定义,泛包络代数的中心内,任何元素都与整个代数的元素可交换。由舒尔引理,任何既约表示中,卡西米尔算子必为恒等映射的倍数。该比例常数适用于李代数表示的分类(也就适用于李群表示的分类)。物理上,质量和自旋均属该种常数,并且量子力学中许多量子数亦然。
title: 例:formula_39.
content: 考虑三维欧几里得空间的旋转群 SO(3). 其李代数 formula_39 的秩为 1, 因此仅得一个独立的卡西米尔元。旋转群的基灵型为克罗内克δ, 故相应的卡西米尔不变量正是李代数的生成元 formula_41 的平方和。换言之,卡西米尔元由等式  给出。 考虑 formula_39 的一个不可约表示。记其中 formula_44 的最大特征值为 formula_45, 则 formula_45 的可能取值为 formula_47 卡西米尔元的不变性可推出其为恒等算子 "I" 的倍数。该常数可以具体计算出,即:  在量子力学中,常数 formula_45 称为总角动量量子数。对于旋转群的有限维矩阵取值表示,formula_45 总为整数或半整数(奇数的一半)。倘为整数,则该表示称为玻色子表示(英语:bosonic representation),否则称为费米子表示(英语:fermionic representation)。  给定 formula_45, 得到的矩阵表示是 formula_52 维的。例如 formula_39 的三维表示对应于 formula_54, 由下列的生成元给出:  其中照物理学常用的约定加入了 formula_56 因子,使得诸生成元皆为自伴算子。  由此,可以手算二次卡西米尔元,结果为  当 formula_54时,formula_59, 故此例子与前段的一般结果一致。类似地,二维的表示以泡利矩阵作基,对应物理上自旋为 1/2 的粒子。
title: 特征值.
content: 由于卡西米尔元 formula_11 在泛包络代数的中心内,其在一个单模(该代数的直和分解的一个分量)上的作用是乘上一个常数。设 formula_61 为 formula_11 定义采用的对称非退化二次型。记 formula_63 为具有最高权 formula_64 的元素组成的有限维模(称为该表示的最高权模)。则卡西米尔元 formula_11 在 formula_63 的作用为乘常数 其中 formula_68 为所有正根之和之半。  若 formula_63 非平凡(即 formula_70), 则上述常数非零。原因是,由于 formula_64 是优控的(英语:dominant, 即与任意正根的内积皆非负),若 formula_70,则 formula_73, 且 formula_74, 故 formula_75. 此结果适用于魏尔完全可约性定理的证明。亦可不使用上述公式,而采用更抽象的嘉当判别法证明该常数非零。

Summary: 在数学里,卡西米尔不变量(又称卡西米尔元或卡希米尔算子)是李代数的泛包络代数中心的一个特别的元素。典型的例子是角动量算符的平方 "J", 一个三维旋转群的卡西米尔不变量。

Casimir element: In mathematics, a Casimir element (also known as a Casimir invariant or Casimir operator) is a distinguished element of the center of the universal enveloping algebra of a Lie algebra. A prototypical example is the squared angular momentum operator, which is a Casimir element of the three-dimensional rotation group.