模形式

title: 作为格的函数.
content: 一个模形式可视为从所有格formula_1(即:formula_2中的离散加法子群,使得其商群紧致)的集合映至formula_2的函数formula_4,使之满足下述条件:  当formula_15,条件二表明formula_8仅决定于formula_13在相似变换下的等价类。这是重要的特例,但是权为零的模形式必为常数函数。若去掉条件三,并容许函数有极点,则存在非常数的例子,称作模函数。  这个状况可以与射影空间formula_18作类比:对于射影空间,我们欲寻找向量空间formula_19上对座标的多项式函数formula_4,并满足formula_21;不幸的是,这种函数必为常数。一种办法是容许有分母(即考虑有理函数),则满足条件的是分子、分母为同次数齐次多项式的有理函数。另一种办法则是修改条件formula_21为formula_23,则满足此条件的函数为formula_10次齐次多项式,对每个固定的formula_10,这些函数构成有限维向量空间。借着考虑所有可能的formula_10,我们可以找出构造formula_18上的有理函数所需之分子与分母。  既然formula_10次齐次多项式在formula_18上并非真正的函数,该如何从几何上诠释?代数几何给出了一个答案:它们是formula_18上某个层formula_31的截面。模形式的情形也类似,但考虑的不是formula_18,而是某个模空间。
title: 作为椭圆曲线模空间上的函数.
content: 每个格formula_1都决定一条复椭圆曲线formula_34;两个格给出的椭圆曲线同构的充要条件是两个格之间差一个非零复数的倍数。因此模函数可以看作是复椭圆曲线的模空间上的函数。例如椭圆曲线的j-不变量就是模函数。模形式可视作模空间上某些线丛的截面。  每个格在乘上某个非零复数倍数后皆可表成formula_35。对一模形式formula_4,置formula_37。模形式的第二个条件可改写成函数方程:对所有formula_38且formula_39(即模群formula_40之定义),有  例如,取formula_42:  如果上述方程仅对formula_44内的某个有限指数子群formula_45成立,则称formula_4为对formula_45的模形式。最常见的例子是同余子群formula_48,以下将详述。
title: 广义定义.
content: 令formula_49为正整数,相应的同余子群formula_50定义为  令formula_10为正整数,权为formula_10的formula_49级(或级群为formula_50)模形式定义为一个上半平面上的全纯函数formula_56,对任何  及任何属于上半平面的formula_7,有  而且formula_56在尖点全纯。所谓尖点,是formula_61在formula_50作用下的轨道。例如当formula_63时,formula_64代表了唯一的尖点。模形式在尖点formula_65全纯,意谓formula_66时formula_56有界。当此尖点为formula_64时,这等价于formula_56有傅立叶展开式  其中formula_71。对于其它尖点,同样可藉座标变换得到傅立叶展开。  若对每个尖点都有formula_72,则称之为尖点形式(德文:Spitzenform)。使得formula_73的最小formula_74称作formula_56在该尖点的阶。以上定义的模形式有时也称为整模形式,以区分带极点的一般情形(如j-不变量)。  另一种的推广是考虑某类函数formula_76,并将函数方程改写为  上式所取的formula_78称为自守因子。若另取适当的formula_79,则在此框架下亦可探讨戴德金η函数,这是权等于1/2的模形式。例如:一个权等于formula_10、formula_49级、nebentypus为formula_82(formula_82是模formula_49的一个狄利克雷特征)是定义于上半平面,并具下述性质的全纯函数:对任意  及属于上半平面的formula_7,有函数方程  此外,formula_56必须在尖点全纯。
title: 例子.
title: 艾森斯坦级数.
content: 模形式最简单的例子是艾森斯坦级数:对每个偶数formula_89,定义  (条件formula_91用于确立收歛性)
title: θ函数.
content: 所谓formula_92中的偶单位模格formula_93,是指由一个行列式等于一的formula_74阶矩阵的行向量展成之格,并使得每个formula_93中的向量长度均为偶数。根据普瓦松求和公式,此时对应的Theta函数  是权formula_97的模形式。偶单位模格的构造并不容易,以下是方法之一:令formula_74为8的倍数,并考虑所有向量formula_99,使得formula_100的座标均为奇数或均为偶数,且formula_101的各座标总和为奇数。由此构成的格写作formula_102。当formula_103,此格由根系formula_104的根生成。虽然formula_105与formula_106并不相似,由于权formula_107的模形式只有一个(至多差一个常数倍),遂得到  约翰·米尔诺发现:formula_109对这两个格的商空间给出两个16维环面,彼此不相等距同构,但它们的拉普拉斯算子有相同的特征值(计入重数)。
title: 戴德金η函数.
content: 戴德金η函数定义为 模判别式formula_111是权formula_112的模形式。拉马努金有一个著名的猜想:在formula_113的傅立叶展开式中,对任一素数formula_65,formula_115的系数的绝对值恒formula_116。此猜想最后由德利涅证明。  上述诸例点出了模形式与若干古典数论问题的联系,例如以二次型表示整数以及整数分拆问题。赫克算子理论阐释了模形式与数论的关键联系,同时也联系了模形式与表示理论。
title: 其他模函数概念的推广.
content: 模函数的概念还能做一些推广。  例如,可以去掉全纯条件:马斯形式是上半平面的拉普拉斯算子的特征函数,但并非全纯函数。  此外,可以考虑formula_117以外的群。希尔伯特模形式是formula_74个变元的函数,每个变元都属于上半平面。其函数方程则由分布于某个全实域的二阶方阵来定义。若以较大的辛群取代formula_119,便得到西格尔模形式。模形式与椭圆曲线相关,而西格尔模形式则涉及更广义的阿贝尔簇。  自守形式的概念可用于一般的李群。

Summary: 在数学上,模形式(Modular form)是一种解析函数,这种函数的只接受来自复数平面内上半平面中的值,并且这种函数在一个在模型群的群运算之下,会变成某种类型的函数方程,并且通过函数计算出的值也会呈现出某个增长趋势。模形式理论属于数论的范畴。模形式也出现在其他领域,例如代数拓扑和弦理论。

Modular form: In mathematics, a modular form is a (complex) analytic function on the upper half-plane satisfying a certain kind of functional equation with respect to the group action of the modular group, and also satisfying a growth condition. The theory of modular forms therefore belongs to complex analysis but the main importance of the theory has traditionally been in its connections with number theory. Modular forms appear in other areas, such as algebraic topology, sphere packing, and string theory.