欧拉运动定律

title: 刚体.
title: 欧拉第一运动定律.
content: 欧拉第一定律表明,从某惯性参考系观测,施加于刚体的净外力,等于刚体质量与质心加速度的乘积。欧拉第一定律以方程序表达为  其中,formula_2 是刚体感受到的净外力,formula_3 、formula_4 分别是刚体的质量、质心加速度。  刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子,感受到同样的净外力,而呈现的运动。
title: 导引.
content: 思考由 formula_5 个粒子组成的多粒子系统,其质心位置 formula_6 为  其中,formula_8 、formula_9 分别为第 formula_10 个粒子的质量、位置,formula_11 是系统的质量。  质心速度 formula_12 为  其中,formula_14 是第 formula_10 个粒子的速度。  质心加速度 formula_16 为  其中,formula_18 是第 formula_10 个粒子的加速度。  第 formula_10 个粒子感受到的力 formula_21 为 其中,formula_23 是这粒子感受到的外力,formula_24 是第 formula_25 个粒子施加于第 formula_10 个粒子的内力。  系统感受到的净力 formula_27 是所有粒子感受到的力的向量和:  根据牛顿第三定律,内力与其反作用力的关系为  所以,所有粒子彼此施加于对方的内力的向量和为零,净力等于所有外力的向量和 (净外力 formula_2 ):  根据牛顿第二定律,第 formula_10 个粒子感受到的力 formula_21 与这粒子的加速度之间的关系为  总和所有粒子所感受到的力,  所以,净外力 formula_2 与质心加速度的关系为
title: 动量守恒定律.
content: 多粒子系统的动量 formula_38 是组成这系统的所有粒子的动量的向量和:  其中,formula_40 是第 formula_10 个粒子的动量。  欧拉第一定律又可以表达为  假设净外力为零,则系统的动量守恒。
title: 欧拉第二运动定律.
content: 欧拉第二定律表明,设定某惯性参考系的固定点O(例如,原点)为参考点,施加于刚体的净外力矩,等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程序表达为  其中,formula_44 是对于点O净外力矩,formula_45 是对于点O的角动量。
title: 导引.
content: 思考由 formula_5 个粒子组成的多粒子系统。对于点O,第 formula_10 个粒子的角动量 formula_48 为  formula_48 对于时间的导数为  根据牛顿第二定律,施加于第 formula_10 个粒子的力 formula_21 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以,formula_48 对于时间的导数为  第 formula_10 个粒子所感受到的净力矩 formula_57 为 formula_58 。所以,formula_57 与 formula_48 的关系为  总和所有粒子所感受到的净力矩,系统所感受到的净力矩 formula_62 与其角动量 formula_45 的关系为  第 formula_10 个粒子所感受到的净力 formula_66 为  第 formula_10 个粒子所感受到的净力矩 formula_57 为  物体感受到的净力矩 formula_62 为:  应用牛顿第三定律,  其中,formula_74 是从粒子 formula_75 到粒子 formula_9 的位移向量。  假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律,即粒子运动为经典运动,速度超小于光速,则formula_77 与 formula_24 同向,叉积为零。那么,物体感受到的净力矩是所有外力矩的向量和 formula_79 :  这样,可以得到欧拉第二定律方程序  假设施加于系统的净外力矩为零,则系统的角动量的时间变化率为零,系统的角动量守恒。
title: 相对于质心的欧拉第二运动定律.
content: 所有粒子所感受到的净力矩的向量和为  其中,formula_83 、formula_84 分别是第 formula_10 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。  注意到所有粒子的相对位移与相对加速度,其向量和分别为零,所以,  现在,假设将质心设定为参考点,则 formula_87,方程序变为  以质心为参考点,角动量 formula_89 为  所以,不论质心参考系是否为惯性参考系(即不论质心是否呈加速度运动),以质心为参考点,净外力矩等于角动量的时间变化率:
title: 可变形体.
content: 在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样,也就是说,其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常,牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动,但在连续介质力学里,被加以延伸后,可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成,每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律,则可以推导出欧拉运动定律。不论如何,欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理,与物体结构无关。  在塑性力学(plasticity theory)里,施加于一个连续物体B的力可以分类为两种:「长程力」与「短程力」。长程力作用于整个物体的每一部分,称为彻体力(英语:body force),而短程力只能作用于物体表面,称为接触力(英语:contact force)。这样,施加于连续物体的净力 formula_92 分为净彻体力 formula_93 、净接触力 formula_94 :  其中,formula_97 是彻体力场(量纲为力每单位质量),formula_98 是微小质量元素,formula_99 是质量密度,formula_100 是微小体元素,formula_101 是积分体区域,formula_102 是表面曳力(英语:surface traction)密度,formula_103 是微小面元素,formula_104 是积分曲面。  由于彻体力与接触力施加于物体,造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样,对于原点的净力矩 formula_105 分为净彻体力矩 formula_106 、净接触力矩 formula_107 :  其中,formula_110 是微小体元素或微小面元素的位置。  欧拉第一定律(「力平衡定律」)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的净外力等于净动量的时间变化率:  也就是说,  其中,formula_113 是微小体元素的速度。  欧拉第二定律(「角动量平衡定律」)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的净力矩等于净角动量的时间变化率:  也就是说,

Summary: 欧拉运动定律(英语:Euler's laws of motion)是牛顿运动定律的延伸,可以应用于多粒子系统运动或刚体运动,描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪,于1750年,莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。

Euler's laws of motion: In classical mechanics, Euler's laws of motion are equations of motion which extend Newton's laws of motion for point particle to rigid body motion. They were formulated by Leonhard Euler about 50 years after Isaac Newton formulated his laws.