最小相位

title: 逆系统.
content: 一系统formula_1可逆的条件是可以由其输出找到唯一对应的输入,也就是可以找到系统formula_2使得若将formula_1及formula_2二个系统连接,可以得到单位系统formula_5(可以参反矩阵)。  假设formula_7为系统formula_1的输入,其输出为formula_9  将formula_9作为逆系统的输入,可得:  因此可以用逆系统formula_2,找到输出formula_9对应的唯一输入formula_7。
title: 离散时间的例子.
content: 假设系统formula_1是离散时间的线性非时变系统(LTI),可以用冲激响应formula_17("n"为整数)表示。而且,假设系统formula_2的 冲激响应为formula_19。二个线性非时变系统的级联为卷积。上述的关系可以以下式表示:  其中formula_21为克罗内克函数或是离散时间下的单位矩阵。注意其逆系统formula_2不一定要是唯一的。
title: 最小相位系统.
content: 若系统再加上因果性且稳定性的条件时,其逆系统就是唯一的,而且系统formula_1和逆系统formula_2都是最小相位系统。离散系统下因果性及稳定性的条件如下(针对非时变系统,其中的h为系统的冲激响应):
title: 因果性.
content: 及
title: 稳定性.
content: 及  在有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。
title: 频域分析.
title: 离散时间系统的频域分析.
content: 将最小相位应用在离散时间系统中可以看出一些其中的特性,其时域方程序如下。  进行Z转换后可以得到以下的关系。  由于上述关系,可得  为了简单起见,只考虑有理传递函数 "H" ("z")。因果性及稳定性表示所有的"H" ("z")极点都需要严格的在单位圆内(参照有界输入有界输出稳定性)。假设  其中"A" ("z")及"D" ("z")是"z"的多项式。因果性及稳定性会使得"D" ("z")的零点(根)需要严格的在单位圆内(不能在边界上)。而  因此formula_34的因果性及稳定性也会使得为"A" ("z")的零点需要严格的在单位圆内,上述二个条件下,最小相位系统的零点及极点都需要在严格的在单位圆内。
title: 连续时间系统的频域分析.
content: 连续时间系统的分析和离散系统类似,不过会使用拉普拉斯变换,其时域的方程序如下。  其中formula_36为狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是连续时间下的恒等算子,因为其和任意信号"x" ("t")都会有筛选性质。  进行拉普拉斯变换可得到以下S平面的关系。  也可以得到下式  为简化起见,此处也只考虑有理传递函数"H"("s")。因果性及稳定性表示"H" ("s")的所有极点都要严格的在左半S平面(参考有界输入有界输出稳定性)。假设  其中"A" ("s")及"D" ("s")是"s"的多项式。formula_41的因果性及稳定性表示"D" ("s")的所有零点都在左半S平面内,而  formula_41的因果性及稳定性表示"A" ("s")的所有零点都在左半S平面内,因此最小相位系统的最有极点及零点都需要严格的在左半S平面内。
title: 增益响应及相位响应的关系.
content: 不论是连续时间或是离散时间的最小相位系统,都有一个常会用到的性质:增益频率响应的自然对数(增益的对数单位为奈培,和分贝成正比),和频率响应的相角(单位为弧度)有关,两者的关系是希尔伯特转换。在连续时间系统下,令  是系统"H"("s")的复数频率响应。在最小相位系统下,系统"H"("s")的相位响应和增益响应的关系为  以及  若用较精简的方式表示,令  其中formula_48和formula_49都是实数下的实函数,则  及  希尔伯特转换算子定义为  在离散时间系统中也有等效的对应关系。
title: 时域下的最小相位.
content: 针对所有有相同增益响应的因果稳定系统,最小相位系统的能量最集中在冲激响应的开始处,也就是说最小相位系统最小化了以下的函数(可以视为是冲激响应能量的延迟)。
title: 最小相位及最小群延迟.
content: 在所有增益响应相同的因果稳定系统中,最小相位系统的群延迟最小。以下证明可以说明为何该系统有最小的群延迟。  假设考虑传递函数formula_54中的一个零点 formula_55,先让零点formula_55在单位圆内(formula_57),看对群延迟的影响。  因为零点 formula_55 在传递函数中贡献了formula_60的因子,因此其对相位的贡献如下:  formula_66所贡献的相延迟如下。  若将零点formula_55移到单位圆外的对应点,也就是formula_70,上式的分母和formula_71都不会变化,而分子的formula_72大小增加,因此让formula_55在单位圆内可以让群延迟中formula_60的贡献最小化。可以将上述结果延伸到超过一个零点的情形,因为formula_75的相位是各项次相位相加的结果,因此,对于有formula_76个零点的传递函数,  一个所有零点都在单位圆内的最小相位系统可以让群延迟降到最小,因为每个零点对群延迟的贡献都降到最小。
title: 非最小相位系统.
content: 若系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定,原系统即为非最小相位系统(non-minimum-phase)。非最小相位系统和最小相位系统有相同的增益响应,但非最小相位系统的相位贡献会比最小相位系统要大。
title: 最大相位系统.
content: 最大相位系统(maximum-phase)是和最小相位系统有相反特性的系统,最大相位系统也是非最小相位系统(系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定),而且 也就是其逆系统所有的极点都不稳定。  此系统称为最大相位系统的原因是在所有有相同增益响应的系统中,最大相位系统有最大的群延迟。在等增益响应的系统的系统中,最大相位系统有最大的能量延迟。  例如以下是二个连续时间LTI系统的传递函数  这二个系统的增益响应相同,但第二个系统相位移的贡献较大,因此第二个系统是最大相位系统,而第一个系统为最小相位系统。
title: 混合相位系统.
content: 离散时间下的混合相位系统(mixed-phase)有些零点在单位圆内,有些零在单位圆外,其群延迟不是最小值,也不是最大值。连续时间下的混合相位系统则是有些零点在右半平面内,有些零点在右半平面。  例如连续时间系统 是因果稳定系统,但有零点在左半平面,也有零点在右半平面,因此是混合相位系统。
title: 线性相位.
content: 线性相位(linear-phase)系统的群延迟是定值。非平凡的线性相位系统或是接近线性相位系统都是混合相位系统。

Summary: 最小相位(minimum-phase)是控制理论及信号处理中有特殊性质的系统,对于线性时不变系统,若本身为因果系统且稳定,且其逆系统也是稳定的因果系统,此系统即为最小相位系统。

Minimum phase: In control theory and signal processing, a linear, time-invariant system is said to be minimum-phase if the system and its inverse are causal and stable.