庞特里亚金对偶性

title: 哈尔测度.
content: 一个拓扑群formula_1被称作局部紧的,当且仅当其单位元素e有个紧邻域。明白地说,这代表存在一个包含e的开集formula_2,使得它在formula_1里的闭包formula_4是紧的。局部紧群formula_1最值得注意的性质之一是它带有一个唯一的自然测度,称作哈尔测度,这使得我们可以一致地为formula_1中「够好」的子集测量大小;在此「够好」的明确意义是博雷尔集,即由紧集生成的σ-代数。更明确地说,局部紧群formula_1的一个右哈尔测度是指一个有限可加的博雷尔测度μ,并在formula_8的意义下满足「右不变性」;此测度尚须满足一些正则性(详见主条目哈尔测度)。任两个右不变哈尔测度至多差一个正的比例常数。准此要领,亦可定义左不变哈尔测度,当formula_1是阿贝尔群时两者符应。  此测度让我们得以定义formula_1上的复数值博雷尔函数的积分,特别是可以考虑相关的formula_11空间:  以下是局部紧阿贝尔群的若干例子:
title: 对偶群.
content: 若formula_1是局部紧致阿贝尔群,formula_1的特征标是一个从formula_1到圆群formula_16的连续群同态;特征标在逐点乘法下构成一个群,一个特征标的反元素是它的复共轭。可证明所有formula_1上的特征标在紧致开拓扑(即:以紧集上的一致收敛定义收歛性)下构成一个局部紧致阿贝尔群,称作对偶群,记为formula_23或formula_24。若formula_1可分,则formula_23可度量化,对一般的formula_1则不尽然。  这可用线性代数中的对偶空间来类比,就像一个布于formula_28的向量空间formula_2有对偶空间formula_30,对偶群可看成formula_31。更抽象的说,这两者都是可表函子,被formula_28及formula_16所表示。  定理:二次对偶formula_34与formula_1有个自然同构。  在此,「自然」或「典范」同构意谓一个「自然地」定义的映射formula_36,要点是它在范畴中满足函子性(详见条目范畴论)。举例明之:任何有限阿贝尔群都同构于其对偶群,但并不存在典范同构。  定理中的自然同构定义如下: 换言之,我们借着将一个元素formula_38在每个formula_1的特征上求值,得到一个formula_23上的特征。
title: 例子.
content: 在整数对加法形成的无穷循环群formula_41 (配上离散拓扑)上,设χ为一特征,则formula_42,因此χ决定于χ(1)的值;反之,给定一个formula_43,必存在特征χ使得χ(1)=α,由此得到群同构formula_44。此外也容易验证formula_45上的紧-开拓扑对应到formula_16诱导自formula_47的拓扑。  因此,formula_15的对偶群自然地同构于formula_16。  反之,formula_16上的特征皆形如formula_51,其中"n"是整数。由于formula_16是紧的,其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出,对应的不外是formula_41上的离散拓扑。因此formula_16的对偶群自然地同构于formula_41。  实数对加法构成的群formula_56同构于自身的对偶群;formula_14上的特征皆形如formula_58,其中"r"是实数。借着这些对偶性,下节描述的傅立叶变换将符应于formula_14上的古典版本。
title: 傅立叶变换.
content: 对于一个局部紧阿贝尔群formula_1,傅立叶变换的值域是其对偶群。设formula_61,则其傅立叶变换是下述formula_23上的函数:  其中μ是formula_1上的一个哈尔测度。可以证明formula_65是formula_23上的有界连续函数,且在无穷远处趋近零。同理可给出formula_67的傅立叶逆变换  其中ν是formula_23上的一个哈尔测度。
title: 群代数.
content: 局部紧阿贝尔群formula_1上的可积函数构成一个代数,其乘法由卷积给出:设formula_71,则卷积定义为  定理:巴拿赫空间formula_73在卷积下构成一个交换结合代数。  此代数称作formula_1的群代数。根据formula_73的完备性,它是个巴拿赫空间。巴拿赫代数formula_73一般没有乘法单位元,除非formula_1离散。但它有个近似单位元,这是个网,以一有向集formula_78为索引,写作formula_79并满足下述性质。  傅立叶变换将卷积映至逐点乘法,即:  特别是,对任意formula_1上的特征χ,可在群代数上定义一"积性线性泛函"  群代数的重要性质之一,在于这些线性泛函穷竭了群代数上所有非平凡(即:非恒零)的积性线性泛函。见文献中"Loomis"著作的第34节。
title: 普朗歇尔暨傅立叶反转定理.
content: 如前所述,一个局部紧阿贝尔群formula_1的对偶群依然是局部紧阿贝尔群,因而带有一族哈尔测度,彼此至多差一个比例常数。  定理:对偶群上存在一个哈尔测度,使得傅立叶变换在紧支集连续函数空间上的限制为等距同构。它可以唯一地延拓为一个么正算子。  其中formula_86是对偶群上既取的哈尔测度。  注意到:若formula_1非紧,formula_73并不包含formula_89,所以我们须诉诸一些技巧,例如限制于一个稠密子空间。  依循"Loomis"书中术语,我们称一对formula_1与其对偶群上的哈尔测度formula_91是"相系的",当且仅当傅立叶反转公式成立。傅立叶变换之么正性遂蕴含:对所有formula_1上的连续紧支集复数值函数formula_93都有  在平方可积函数空间上,我们考虑的傅立叶变换是透过上述么正延拓得到的算子。对偶群本身也有个傅立叶逆变换;它可以刻划为傅立叶变换之逆(或其伴随算子,因为傅立叶变换是么正的),这是以下傅立叶反转公式的内涵。  定理:取定一对相系哈尔测度formula_91;对于傅立叶变换在紧支集连续函数上的限制,其伴随算子是傅立叶逆变换:
title: 玻尔紧化.
content: 庞特里亚金对偶定理的重要应用之一是下述刻划:  定理:一个局部紧阿贝尔群formula_1为紧,当且仅当对偶群formula_23为离散。另一方面,formula_1为离散当且仅当formula_23为紧。  对任何拓扑群,无论局部紧或交换与否,皆可定义玻尔紧化。上述对偶性的用处之一是刻划局部紧阿贝尔群的玻尔紧化。对一个局部紧阿贝尔群formula_1,考虑拓扑群formula_111,其中formula_112就群结构而言是formula_23,但带离散拓扑。由于下述包含映射  是个连续同态,其对偶同态  是个映至一个紧群的同态;可以证明它满足定义玻尔紧化的泛性质,因而formula_111确为formula_1的玻尔紧化。
title: 范畴论观点.
content: 函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。  对偶群的构造formula_118给出一个对偶函子formula_119。其二次迭代formula_120遂给出函子formula_121。  定理:对偶函子是一个范畴等价。  定理:对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。  此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶(特别是实与复向量空间)。  庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若formula_122是一个环,而formula_1是个左formula_122-模,则从对偶性可推知离散左formula_122-模与紧右formula_122-模对偶。LCA里的自同态环formula_127依对偶性对应至其反环(即:环的乘法次序交换)。举例明之:取formula_128,则formula_129;前者满足formula_130,对后者亦然。
title: 非交换理论.
content: 对非交换群formula_1没有类似的理论,因为此时对偶的对象formula_23={formula_1的不可约表示之同构类}不只有一维表示,因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理;但它缺乏与调和分析的联系,因而无法处理关于formula_23上的普朗歇尔测度的问题。  某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。
title: 源流.
content: 庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的,并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen(1935年)与安德鲁·韦伊(1953年)改进为局部紧阿贝尔群。
title: 文献.
content: 下列书籍(可在大部分大学图书馆找到)都有局部紧阿贝尔群、对偶定理与傅立叶变换的相关章节。Dixmier的著作有非交换调和分析的材料,也有英译本。

Summary: 在数学上,特别是在调和分析与拓扑群的理论中,庞特里雅金对偶定理解释了傅立叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果,如:

Pontryagin duality: In mathematics, specifically in harmonic analysis and the theory of topological groups, Pontryagin duality explains the general properties of the Fourier transform on locally compact abelian groups, such as formula_1, the circle, or finite cyclic groups. The Pontryagin duality theorem itself states that locally compact abelian groups identify naturally with their bidual.