库塔-儒可夫斯基定理

title: 升力公式.
content: 此定理和在二维流场中的翼型(或是翼展无穷大的圆柱)有关,可以计算单位翼展下的升力。当环量formula_1已知,其升力formula_2除以翼展下的单位翼展升力(或表示为formula_3)可以表示为以下的方程序:  其中  上述环量是沿着一个封闭围道formula_8进行,此围道包覆着翼型或是圆柱,且沿着其正方向(逆时针)进行。其路径需在位流的范围内,不能在圆柱的边界层内。被积分式formula_9是局部流体速度沿着曲线formula_10切线方向的分量,且formula_11为曲线formula_10的无穷小面积。方程序是库塔-儒可夫斯基定理中的一个形式。  Kuethe和Schetzer用以下的话描述库塔-儒可夫斯基定理:  在使用库塔-儒可夫斯基定理时,需注意环量formula_15的计算。
title: 环量和库塔条件.
content: 一个产生升力的翼型或者具有弯度,或者是在均匀的流体中以一定攻角formula_16(机翼弦线和平移方向的角度)平移。而且翼型需要有一个锐利的后缘。上述条件类似鸟的翅膀,有锐利的后缘,有弯度,在天空中有一定的攻角。  实际的流体是有黏性的,流体速度在翼型边缘为零,因此若考虑黏性流体,且以翼型形状为围道计算环量,其环量也为零。甚至由翼形上方及下方的流体会在后缘相会,而黏滞耗散会使流体不旋转。这称为真实流场的库塔条件。普朗特发现若雷诺数formula_17够大,攻角够小,翼型够薄,则流场可以分为靠近机翼小区域的黏滞层(称为边界层),以及其他区域的非黏性流。  库塔和儒可夫斯基发现在计算雷诺数够大,攻角够小,厚度够薄的翼型之压力和升力时,若假定已考虑库塔条件,可以假设整个流场是非黏性流。这称为位流理论,在实务上结果相当接近。在非黏性流施加库塔条件相当于计算环量。  简单来说,类似鸟翅膀的机翼自然会产生升力,在飞行中的流场满足库塔条件。若使用位流理论(在计算压力及升力时假设是非黏性流及无旋转流,计算阻力时用普朗特边界层来近似),要求飞行时间符合库塔条件,会得到一个由=库塔-儒可夫斯基定理和环量产生的升力,和实际的升力非常接近。
title: 推导.
content: 以下有二种推导方式,第一个是基于物理的直觉,较启发式的推导,第二种是比较正式及技术式的推导,需要用到向量分析及复变分析的知识。
title: 启发式的推导.
content: 以较启发式的说法,考虑一个薄的机翼,其翼弦为formula_18,有无限长的翼展,在密度为formula_19的空气中移动。令翼和气流有一个攻角,使翼的一侧的气流速度为formula_20,另一侧的气流速度为formula_21,因此其环流为  机翼两侧的压力差formula_23可以由伯努利定律求得  因此单位翼展的浮力为  此理论的微分版本可应用在机翼中的每一个元素,也是薄翼理论(thin-airfoil theory)的基础。
title: 较复杂情形下的升力.
content: 库塔-儒可夫斯基定理预测的升力是以无粘性流的势流理论为基础,但若流场是稳定且无分离的,库塔-儒可夫斯基定理的结果很接近实际的黏性流。  在推导库塔-儒可夫斯基定理时,有假设流场是无旋转流,若在物体外有自由涡流,就像许多不稳定流的情形,此流场为旋转流,在推导升力时就需要一些更复杂的理论。

Summary: 库塔-儒可夫斯基定理(Kutta–Joukowski theorem)是空气动力学的基本定理,计算机翼或是二维物体(例如圆柱)在均匀流体中的升力,且此流场的速度够快,使物体的速度场是稳定及无分离的。定理显示出,机翼产生的升力与机翼通过流体的速度、流体密度以及环量有所关联。库塔-儒可夫斯基定理得名自德国科学家马丁·威廉·库塔及俄国科学家尼古拉·叶戈罗维奇·茹科夫斯基,他们在二十世纪初首次提出这様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考虑压力及升力的无粘性理论,不过在典型的空气动力学应用中,可以用来模拟实际的黏性流。

Kutta–Joukowski theorem: The Kutta–Joukowski theorem is a fundamental theorem in aerodynamics used for the calculation of lift of an airfoil and any two-dimensional bodies including circular cylinders translating in a uniform fluid at a constant speed large enough so that the flow seen in the body-fixed frame is steady and unseparated. The theorem relates the lift generated by an airfoil to the speed of the airfoil through the fluid, the density of the fluid and the circulation around the airfoil. The circulation is defined as the line integral around a closed loop enclosing the airfoil of the component of the velocity of the fluid tangent to the loop. It is named after Martin Kutta and Nikolai Zhukovsky (or Joukowski) who first developed its key ideas in the early 20th century. Kutta–Joukowski theorem is an inviscid theory, but it is a good approximation for real viscous flow in typical aerodynamic applications. Kutta–Joukowski theorem relates lift to circulation much like the Magnus effect relates side force (called Magnus force) to rotation. However, the circulation here is not induced by rotation of the airfoil. The fluid flow in the presence of the airfoil can be considered to be the superposition of a translational flow and a rotating flow. This rotating flow is induced by the effects of camber, angle of attack and the sharp trailing edge of the airfoil. It should not be confused with a vortex like a tornado encircling the airfoil. At a large distance from the airfoil, the rotating flow may be regarded as induced by a line vortex (with the rotating line perpendicular to the two-dimensional plane). In the derivation of the Kutta–Joukowski theorem the airfoil is usually mapped onto a circular cylinder. In many text books, the theorem is proved for a circular cylinder and the Joukowski airfoil, but it holds true for general airfoils.