正交群

title: 实数域上的正交群.
content: 实数域R上的正交群O("n",R)和特殊正交群SO("n",R)在不会引起误会时经常记为O("n")和SO("n")。他们是"n"("n"-1)/2 维实紧李群。O("n",R)有两个连通分支,SO("n",R)是单位分支,即包含单位矩阵的连通分支。  实正交群和特殊正交群有如下的解释:  O("n",R)是欧几里得群"E"("n")的子群,"E"("n")是R的等距群;O("n",R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 ("n" = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。  SO("n",R)是"E"("n")的子群,"E"("n")是“直接”等距,即保持定向的等距;SO("n",R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。  取合适的正交基,等距是  的形式。这里矩阵"R"...,"R"是2×2旋转矩阵。  圆的对称群是O(2,R),也称为Dih(S),这里S是模长1复数的乘法群。  SO(2,R) (作为李群)同构于圆S(圆群)。这个同构将复数exp(φ"i") = cos(φ) + "i" sin(φ)映到正交矩阵  群SO(3,R),视为3维空间的旋转,是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式  在代数拓扑方面,对"n" > 2,SO("n",R)的基本群是2阶循环,而自旋群Spin("n")是其万有覆叠。对"n" = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴(旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠)  李群O("n",R)和SO("n",R的李代数由斜对称实"n"×"n"矩阵组成,李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o("n",R)或so("n",R)。
title: 保持原点的3维同构.
content: 保持R原点不动的同构,组成群O("3",R),能分成如下几类:  特别地指出4阶和5阶正交群,在更宽泛的意义下6阶也是,称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。
title: 共形群.
content: 作为保持距离的同构,正交变换也保角,从而是共形变换,但是不是所有的共形变换都是正交变换。R的线性共形映射构成的群记作CO("n"),由正交群和收缩的乘积给出。如果"n"是奇数,两个子群不相交,他们是直积:formula_4;如果"n"是偶数,两个子群的交是formula_5,所以这不是直积,但这是和正收缩子群的直积:formula_6。  我们可以类似地定义CSO("n"),这时总有formula_7。
title: 复数域上正交群.
content: 复数域C上,O("n",C)和SO("n",C)是C上"n"("n"-1)/2维的李群,这意味着实维数是"n"("n"-1)。O("n",C)有两个连通分支,SO("n",C)是包含恒同矩阵的分支。当"n" ≥ 2时,这些群非紧。  和实情形一样,SO("n",C)不是单连通的,对"n" > 2 SO("n",C)的基本群是2阶循环群,而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。  O("n",C)和SO("n",C)的复李代数由斜对称复"n"×"n"矩阵组成,李括号由交换子给出。
title: 拓扑.
title: 低维数.
content: 低维实正交群是熟悉的空间:  由于三维旋转在工程中有重要应用,产生了很多SO(3)上的卡。
title: 同伦群.
content: 正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关,从而一般是很难计算的。  但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群(也称为有限正交群),定义为包含序列 的正向极限(因为包含都是闭包含,从而是上纤维化,也能理解成并)。  formula_10是formula_11的齐性空间,从而有如下纤维丛: 可以理解为:正交群formula_11 传递地作用于单位球面formula_10上,一点(看作一个单位向量)的稳定子群是其正交补的正交群,这是第一维的正交群。映射formula_15是自然包含。  从而包含formula_15是"(n-1)" -连通的,故同伦群稳定,对formula_17有formula_18,所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。  通过博特周期性定理,formula_19,从而"O"的同伦群以8为周期,即 formula_20,这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。
title: 和KO-理论的关系.
content: 通过,稳定空间"O"的同伦群和稳定球面上的向量丛等价(同构的意义下),提高一个维数:formula_22。  设formula_23(使得formula_24满足周期性),我们得到:
title: 同伦群的计算和解释.
title: 低维群.
content: 最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。  formula_28得出:
title: 李群.
content: 由李群一般性事实,formula_32总消失,formula_33是自由阿贝尔群。
title: 向量丛.
content: 从向量丛的观点来看,formula_34是formula_35上的向量丛,具有两个点。从而在每个点上,丛是平凡的,这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差,所以
title: 环路空间.
content: 利用博特周期性中环路空间具体的描述,我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用formula_24、"O",以及"O/U"有两个分支,formula_38和formula_39有formula_40个分支,其实是连通的。
title: 同伦群的解释.
content: 一小部分结论:  令formula_45,以及formula_46为射影线formula_47上的重复线丛,formula_48是其K-理论。注意到formula_49,这些得出相应球面上的向量丛,以及:
title: 有限群上的正交群.
content: 正交群也能定义在有限域formula_58上,这里formula_59是一个质数formula_60的幂。在这样的域上定义正交群,偶数维时有两类:formula_61和formula_62;奇数维有一类:formula_63。  如果formula_64是正交群formula_65作用的向量空间,它可以写成正交直和:  这里formula_67是双曲线而formula_68不包含奇异向量。如果formula_69,那么formula_65是正类型;若formula_71那么formula_65有偶维数;若formula_68有维数2,则formula_65是负类型。  在"n" = 1的特例,formula_75是阶为formula_76的二面体群。  当特征大于2时,记O("n","q") = { "A" ∈ GL("n","q") : "A"·"A"=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式  如果formula_78是formula_79中的平方元素
title: 迪克森不变量.
content: 对偶数维正交群,迪克森不变量是从正交群到"Z"/2"Z"的同态,是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价:行列式等于−1的迪克森不变量次幂。  在特征2的域上,行列式总为1,所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素,而不是行列式为1。  迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。
title: 特征2域上正交群.
content: 特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同:
title: 旋量模.
content: 旋量模是一个从域"F"上正交群到域"F"的乘法群模去平方元素  的同态,将关于模长为"n"向量的反射映到"F"/"F"中的"n"。  旋量模对实数域上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如实数域上不定二次型定义的正交群。
title: 伽罗瓦上同调和正交群.
content: 代数群的伽罗瓦上同调理论,引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值,特别是二次型理论的联系; 但就目前所发现的现象而言,大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式(张量)可以与伽罗瓦"H"等同起来。作为一个代数群,正交群一般不是连通或单连通的;第二个观点是引入自旋现象,但前一个和判别式相联系。  一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群(更准确地pin群)的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调(引入克利福德代数的术语)来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列: 这里μ是单位根的代数群;在一个特征非2的域上,粗略地看,和作用平凡的两元素群相同。  从"H"(就是取值于"F"中点的群"O"("F"))到"H"(μ)的连接同态本质上是spinor模,因为 "H"(μ)同构于域模去平方元素的乘法群。  正交群的"H"到自旋群覆叠的核的"H"也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的,所以,至少用普通定义,这是我们能走得最远的。
title: 重要子群.
content: 物理中,特别是在Kaluza-Klein紧化领域,找出正交群的子群非常重要。主要结论如下: 正交群O(n)也是一些李群的重要子群:  群O(10)在超弦理论中非常重要,因为它是10维时空的对称群。

Summary: 数学上,数域"F"上的"n"阶正交群,记作O("n","F"),是"F"上的"n"×"n" 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL("n","F")的子群,由

Orthogonal group: In mathematics, the orthogonal group in dimension, denoted, is the group of distance-preserving transformations of a Euclidean space of dimension that preserve a fixed point, where the group operation is given by composing transformations. The orthogonal group is sometimes called the general orthogonal group, by analogy with the general linear group. Equivalently, it is the group of orthogonal matrices, where the group operation is given by matrix multiplication; an orthogonal matrix is a real matrix whose inverse equals its transpose. The orthogonal group is an algebraic group and a Lie group. It is compact.