欧几里得定理

title: 欧几里得的证明.
content: 欧几里得在他的著作《几何原本》(第九卷的定理20)提出了证明,大意如下:  对任何有限素数的集合formula_1。在这里将会证明最少存在一个集合中没有的额外素数。令formula_2及formula_3。那么formula_4是素数或者不是,二者必居其一:  这证明了:对于任何一个有限素数集,总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。  很多时候有人会错误地指出欧几里得是用了反证法,他们假设证明起初考虑的是所有自然数的集合,或是集合内含有formula_31个最小的素数,而不是任何任意的素数集合。欧几里得证明用的不是反证法,而是证明了一个有限集合中没有任何拥有特殊性质的元素。当中并没有反论的部分,但集合中的任何元素都不可以整除1。  文献中存在数个版本的欧几里得证明,包括以下的:  正整数formula_31的阶乘formula_33可被formula_34至formula_31的所有整数整除,这是由于它是这些数全部的乘积。因此formula_36并不能被formula_34至formula_31(包括formula_31)的任何自然数所整除(所得的余数皆为formula_24)。因此formula_36有两个可能性:是素数,或者能被大于formula_31所整除。在任一个案中,对所有正整数formula_31而言都存在最小一个比formula_31大的素数。所以结论就是共有无限个素数。
title: 欧拉的证明.
content: 另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明,则使用了算术基本定理:每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设formula_12为所有素数的集合,欧拉写下了:  第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点,可把乘积分配进和里面:  在这个结果中,每一个素数积都出现了正好一次,因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。  右边的和是发散的调和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积内每一个项都是有限的,所以其项数必须为无限;因此得出共有无限个素数。
title: 埃尔德什的证明.
content: 埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数formula_31都能被写成独一无二的  其中formula_50非平方数,或任何平方数的倍数(设formula_51为能整除formula_31的最大平方数,并使formula_53)。此时假设素数的数量为有限,且其数量为formula_54。由于每个素数只有一个非平方数的因子,所以根据算术基本定理,得出共有非平方数formula_55个。(见组合#在集合中取出k项元素及formula_56)  现在把一个正整数formula_57固定,并考虑1与formula_57之间的自然数。 这些数每一个都能被写成formula_49,其中formula_50为非平方数,formula_61为平方数,例如:  集合中共有formula_57个不同的数。每一个都是由非方数和比formula_57小的平方数组成。这样的平方数共有formula_65(见高斯符号的取底符号)。然后把这些小于formula_57的平方数乘积与其余所有的非平方数相乘。这样得出的数一共有formula_67个,各不相同,因此它们包括了所有我们集合里的数,甚至更多。因此,formula_68。  由于此不等式对足够大的formula_57并不成立,因此必须存在无限个素数。
title: 弗斯滕伯格的证明.
content: 哈里·弗斯滕伯格于1950年代提出了一个使用点集拓扑学的证明。(见弗斯滕伯格对素数无限性的证明)
title: 一些近期的证明.
title: 皮纳西科.
content: 胡安·帕布洛·皮纳西科(Juan Pablo Pinasco)写下了以下的证明。  设formula_70为最小的formula_57个素数。然后根据容斥原理可得,少于或等如formula_72又同时能被那些素数中其中一个整除的正整数的个数为  把全式除以formula_72,并且让formula_75,得  上式可被改写为  若除了formula_70以外不存在其他素数的话,则式(1)与 formula_79相等,而式(2)则等于formula_24,但很明显地式(3)并不等于formula_24。因此除了formula_70以外必须要存在其他素数。
title: 黄.
content: 俊浩·彼得·黄(Junho Peter Whang)于2010年发表了使用反证法的证明。设formula_54为任何正整数,formula_8为素数。根据勒让德定理,则可得:  其中  但若只存在有限个素数,则  (上式分子呈单指数增长,但斯特灵公式指出分母的增长速度比分子快),这样就违反了每一个formula_54的分子要比分母大的这一点。
title: 塞达克.
content: 菲利浦·塞达克(Filip Saidak)给出了以下的证明,当中没有用到归谬法 (而大部分欧几里得定理的证明都用了,包括欧几里得自己的证明),而同时不需要用到欧几里得引理,也就是若素数formula_8整除formula_91则也必能整除formula_92或formula_93。证明如下:  由于每个自然数(formula_94)最少拥有一个素因子,所以两个相邻数字formula_31和formula_96必定没有共同因子,而乘积formula_97则比数字formula_31本身拥有更多因子。因此普洛尼克数的链:<br>1×2 = 2 {2}, 2×3 = 6 {2, 3}, 6×7 = 42 {2,3, 7}, 42×43 = 1806 {2,3,7, 43}, 1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·<br>提供了一组素数集合无限增长的数列。
title: 使用的无理性的证明.
content: 以欧拉乘积来表示π的莱布尼茨公式可得  乘积的分子为奇数的素数,而每一个分母则是最接近分子的4的倍数。  若存在的素数是有限的话,上式所展示的就是是一个有理数,而分母是所有与素数多1或少1的4的倍数的乘积,而这点违反了实际上是无理数的这一点。
title: 使用信息论的证明.
content: 亚历山大·沈(音译,Alexander Shen)与其他人发表了利用不能压缩性方法的证明:  设只存在formula_54素数(formula_70)。由算术基本定理可得,任何正整数formula_31都能被写成:  其中非负自然数formula_104与素数的有限集合就足够重构任何数字。由于所有formula_105都遵守formula_106,因此可得所有\formula_107(其中formula_108代表底数为2的对数)。  由此可得formula_31的编码大小(使用大O符号):  (其中prime list size为素数集合的大小)这编码比直接用二进制代表formula_31要有效得多,二进制的话需要formula_112位元。无损数据压缩的一个已被确立的结果指出,一般不可能把formula_57位元的信息压缩到少于formula_57位元。由于formula_115,所以当formula_57足够大时,以上的这个表示不成立。  因此,素数的数量必不能为有限。

Summary: 欧几里得定理是数论中的基本定理,定理指出素数的个数是无限的。该定理有许多著名的证明。

Euclid's theorem: Euclid's theorem is a fundamental statement in number theory that asserts that there are infinitely many prime numbers. It was first proved by Euclid in his work "Elements". There are several proofs of the theorem.