莫尔圆

title: 应力及莫尔圆.
content: 考虑一个会变形的物体(假设为连续体),若受到外力(可能是表面力或是物体力),物体的内部就会有力的分布。物体内部的力会依循欧拉运动定律,正如物体受力依循牛顿运动定律一様。物体内部力的强度可以用应力来表示。因为物体假设为连续体,其内部的力也是会均匀分布在其体积中。  在工程中(例如结构工程、机械工程或土力工程)会透过应力-应变分析来分析一物体中应力的的分布,例如隧道中岩石的应力,飞机机翼的应力,或是建筑物中梁柱的应力等。计算应力分布也就表示要知道物体中每一点的应力。据奥古斯丁·路易·柯西的理论,(假设为连续体的)物体中任何一点的应力(图2),可以完全由二阶张量种类的张量中的九个应力元素 formula_3完全决定,此二阶张量称为柯西应力张量, formula_4:  若确定了一物体在特定坐标系统formula_6下的应力分布,有可能需要知道特定一点formula_7相对另一个有旋转的坐标系统formula_8下的应力张量,也就是在需要关注的点,在特定角度下的的应力张量。而此坐标系统formula_8和原有的坐标系统formula_6之间有一个角度差(图3)。例如,一般会需要知道最大的正向应力以及最大的剪应力,也需要知道其对应的方向。因此,需要发展一种张量转换的方式,可以配合坐标系统的旋转得到新坐标系统的张量。依照张量的定义,柯西应力张量遵守张量转换定律。应力的莫尔圆是用图解方式来说明柯西应力张量转换定律的方式。
title: 二维张量下的莫尔圆.
content: 在二维下,一点formula_7相对于垂直方向的应力张量可以用三个应力向量完全表示。在垂直坐标系统formula_6下,其应力分量为:法向应力formula_13及formula_14,以及剪应力formula_15。由于角动量守恒,柯西应力张量会有对称性,也就是formula_16,因此柯西应力张量可以写成:  其目的是在另一个通过formula_7点,但存在角度差的坐标系统formula_8下,找到应力分量formula_1及formula_2(图4)。坐标系统formula_8和原坐标系统formula_6的角度差即为formula_24。
title: 莫尔圆的方程.
content: 要推导二维平面应力及平面应变的莫尔圆方程,先考虑一个位在位置formula_7的二维的无限小方形元素(图4),和formula_26-formula_27平面平行。  利用无限小元素上的力平衡,正向应力formula_1及剪应力formula_2的大小为:  上述二个方程也可以用柯西应力张量的张量变换定律来求得,这和在formula_1及formula_2方向用力平衡计算是等效的。  这二个方程是莫尔圆的参数式。在方程中,formula_34为参数,而formula_1和formula_2为坐标,因此表示若选择适当的坐标系统,使formula_1为横轴,formula_2纵轴,给定参数formula_24,会给定在莫尔圆上的一点。  若从参数式中消去参数formula_34,可以得到非参数式的莫尔圆方程。可以用重组formula_1及formula_2的方程来达到。先将第一式等号右侧的第一项移到等号左边,二式平方后相加,可得  其中  这就是圆(莫尔圆)的方程  在formula_46坐标系统中,其半径formula_47,圆心在坐标formula_48处。
title: 符号体系.
content: 在使用莫尔圆时,需考虑两组分别的符号体系,一个是针对实体空间下应力分量的符号体系,另一个是针对「莫尔圆空间」下应力分量的符号体系。此外,工程力学(结构工程及机械工程)文献用的体系和地质力学用的符号体系不同。没有所有系统都适用的标准符号体系,是否要使用特定的符号体系取决于计算及诠释特定问题的方便程度。  上述图4的莫尔圆推导都是使用工程力学的符号体系,以下也会继续使用工程力学的符号体系。
title: 实体空间符号体系.
content: 为了描述柯西应力张量的方便(图3及图4),应力分量的第一个下标表示应力分量作用的面,第二个下标表示应力分量的方向。因此formula_15是作用在以formula_50轴正向为其法向量的平面上,而方向是往formula_26轴的正方向。  在实体空间符号体系,正的正向应力是由作用平面往外(张力),负的正向应力是由作用平面往内(压缩力)(图5)。  在实体空间符号体系中,正剪应力在法向量为正的材料元素平面上,其作用方向会往轴的正方向,同样的,正剪力在法向量为负的材料元素平面上,其作用方向会往轴的负方向。例如作用在正向平面的剪应力formula_15和formula_53为正,因为这二个剪应力的作用方向往formula_26轴及formula_50轴的正方向(图3)。而相对应的作用在负向平面的剪应力formula_15和formula_53,其作用方向往formula_26轴及formula_50轴的负方向,因此这二个剪应力也为正。
title: 莫尔圆空间符号体系.
content: 在莫尔圆空间符号体系中,应力的符号体系和实体空间符号体系中的相同:正的正向应力是由作用平面往外(张力),负的正向应力是由作用平面往内(压缩力)  不过剪应力的符号体系和实体空间符号体系中的不同。在莫尔圆空间符号体系中,正的剪应力会使材料往逆时针方向旋转,而负的正的剪应力会使材料往顺时针方向旋转。因此在莫尔圆空间中,剪应力分量formula_15为正,而formula_53为负。这和实体空间符号体系中formula_15和formula_53符号相同的情形不同。  在绘制莫尔圆时,有二个作法可以绘制在数学上正确的莫尔圆:  将正的剪应力画在上方会让莫尔圆上的formula_34角为正值时,旋转方向是顺时针旋转,这和实体空间符号体系中的相反。因此有些作者会选择让正的剪应力画在下方,这会让莫尔圆上的formula_34角为正值时,旋转方向是逆时针旋转,类似实体空间符号体系的情形。  为了克服剪应力轴往下才是正向的问题,有另外一种「替代的」符号体系,其中正的剪应力假设为将材料将顺时针方向旋转,而负的剪应力假设为将材料将逆时针方向旋转(图5,符号体系#3)。在「替代」体系下,正的剪应力轴往上,而且在莫尔圆上formula_34为正值时,旋转方向为逆时针。此符号体系产生的莫尔圆和图5,符号体系#2中的相同,因为正的剪应力formula_64也是会逆时针旋转的剪应力,也画在下方。而负的剪应力formula_64也是会顺时针旋转的剪应力,也画在上方。  此条目在实体空间符号体系中,会依照工程力学的符号体系,而在莫尔圆空间中,会使用「替代的」符号体系(图5,符号体系#3)。
title: 绘制莫尔圆.
content: 假设已知待研究物体上的点formula_7的应力分量formula_13、formula_14及formula_15,如图4所示。以下方法可以绘制点formula_7的莫尔圆,以表示其应力状态。
title: 找主要正向应力.
content: 主要应力的大小是点formula_89和点formula_90(图6中圆和 formula_91轴的交点)中的横坐标。最大正向应力formula_92的大小恒为这二个横坐标中最大的那一个,而formula_93最小正向应力的大小的大小恒为这二个横坐标中最小的那一个。这二个点的纵坐标为0,对应在主要平面上的剪应力为零,主要应力的大小也可以表示为  其中平均正向应力formula_96的大小是圆心formula_86的横坐标,为  其半径的长度formula_99为
title: 找最大和最小剪应力.
content: 最大剪应力和最小剪应力对应圆上最大及最小的纵坐标。这二个点是圆和通过圆心formula_86的垂直线的交点。因此,最大和最小剪应力的大小为圆的半径formula_99
title: 找任意平面的应力分量.
content: 如前面所述,在二维应力分析后,可以知道在材料某一点formula_7上的应力分量formula_13、formula_14及 formula_15。这些应力分量作用在通过formula_7点的二垂直平面 formula_109 及 formula_82,如图5及图6所述。莫尔圆也可以计算在莫尔圆上formula_111的应力分量formula_1及formula_2,事实是作用在formula_111平面上,此平面也通过formula_7点,和formula_82平面有夹角formula_24,计算应力分量有二种方式:倍角法以及平面原点法(origin of planes)
title: 倍角法.
content: 如图6所示,若平面formula_111是平面formula_82再逆时针旋转角度formula_24后的平面,要找到在平面formula_111上的应力分量formula_122,可以在莫尔圆上从已知应力点 formula_80同样以逆时针旋转,但旋转角度 formula_34,旋转到点formula_125,也就是让formula_126线和formula_127线之间的夹角是formula_34。  倍角法的作法源自于通过formula_7点的二实际平面之间的夹角formula_24(图4),是其对应应力点 formula_122在莫尔圆上和圆心连线形成夹角的一半。  倍角关系是因为莫尔圆的参数式是formula_34的函数。也可以从在材料点 formula_7上的平面formula_81和formula_82夹角是90度,而在莫尔圆上其应力点夹角为180度看出(90度的两倍)。
title: 极点法(或平面原点法).
content: 第二种方式和要找到莫尔圆上的一个点,称为极点(pole)或是平面原点(origin of planes)。从极点画的任何直线都会和莫尔圆相交,交点表示在和直线相同角度的平面上的应力状态。因此若知道任何特定平面上的应力分量formula_136及formula_137,可以画一条线通过莫尔圆上的 formula_1和formula_2,且和平面平行,找到莫尔圆上这些线的交点,即为极点。例如,假设有应力状态如圆7所示,其分量是formula_140, formula_141及formula_142。首先先从formula_82点画一条线,平行formula_13的作用平面,或是从formula_81点画一条线,平行formula_14的作用平面,任一条线都会和莫尔圆交会,交会的点即为极点。在找到极点后,若要找到和垂直有formula_147夹角的平面上的应力,可以从极点画一条平行该平面的线(见图7)。可以根据直线和莫尔圆的交点找到平面上的正向应力以及剪应力。
title: 找主要平面的方向.
content: 最大主要应力及最小主要应力所在的平面方向也称为主要平面(principal planes),可以用莫尔圆中 的∠BOC及∠BOE判断,然后将二个角度都取一半。因此formula_148和formula_149之间的夹角是角∠BOC,是formula_150(主要平面和平面formula_82夹角)角度的二倍。  而formula_152和formula_153也可以用以下的方程取得  此方程的解会是二个角度,彼此相差formula_155。可以直接用圆的几何求解此方程,或是用圆的参数式,并且让formula_64等于零(主要平面上的剪应力为0)。
title: 一般三维应力下的莫尔圆.
content: 若要绘制三维应力下的莫尔图,需要先量测其主应力的大小formula_157以及方向formula_158。  考虑以主应力轴为坐标系统,而不是用formula_159, formula_160, formula_161坐标系统,并且假设formula_162,则在一法向量为 formula_163的平面,其应力向量formula_164的应力分量及剪力分量会满足下式  由于formula_167,可以用高斯消去法求解formula_168, formula_169, formula_170:  因为formula_162及formula_173都不是负值,因此其分子满足  方程序可以写成  是三个应力莫尔圆formula_184, formula_185和formula_186的方程,其半径分别是formula_187, formula_188及formula_189,而其圆心分别在formula_190, formula_191, formula_192。  有了上述三个应力莫尔圆的方程,所有可能的应力点formula_122都会在三个应力莫尔圆之间的阴影区域(见图10)。应力点formula_122 可能满足圆formula_184的方程,或是在圆formula_184的外面,可能满足圆formula_185的方程,或是在圆formula_185的里面,可能满足圆formula_186的方程,或是在圆formula_186的外面。

Summary: 莫尔圆(Mohr's circle)得名自德国土木工程师克里斯汀·奥图·莫尔,是一种用二维方式表示柯西应力张量转换关系的图。

Mohr's circle: Mohr's circle, invented by Christian Otto Mohr, is a two-dimensional graphical representation of the transformation law for the Cauchy stress tensor.