超现实数

title: 概述.
content: 康威使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对,记为 formula_1。这两个集合要求 formula_2 里的每个元素都严格小于每个 formula_3 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字:formula_4。
title: 整数及二进分数.
content: 让我们先来看几个简单的例子。  因此整数都是超现实数。(以上几行是定义而非等式。)  至此我们可以通过超现实数定义二进分数(分母为2的幂次的分数)。
title: 其他实数.
content: 为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合:formula_13,formula_14,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。
title: 无穷数.
content: 根据归纳法,我们可以构造出 formula_15,formula_16 等无穷大的数,formula_17 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。
title: 更多的数.
content: 我们定义 formula_18。  若 formula_19 且 formula_20,那么 formula_21,这在直观上等阶于“formula_22是在第formula_23天中出生的”。  那么我们可以观察发现:  我们将超现实数集合称作 formula_31。
title: 序关系.
content: 给定 formula_32,我们(递归地)定义 formula_33 当且仅当以下两命题同时成立:  那么可以自然地定义 formula_38。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系。  我们分别将 formula_39 称为 formula_22 负、 formula_22 正、 formula_22 非正、 formula_22 非负。  我们定义 formula_44 表示 formula_33 与 formula_46 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈章节出现。
title: 运算.
title: 加法.
content: 我们定义超现实数之间的加法为 formula_47,其中 formula_48。
title: 加法逆元.
content: 我们定义负号(加法逆元)为 formula_49,其中 formula_50。  可以验证这两个运算构成了(真类上的)阿贝尔群。
title: 乘法.
content: 我们定义乘法运算为formula_51,其中 formula_52。
title: 乘法逆元.
content: 我们定义(正数的)乘法逆元为formula_53,这样除法就是 formula_54。我们可以发现这个定义是递归的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取formula_55 那么 formula_56 会有一个 formula_57 作为左项,导致了formula_58 会是一个右项。这又意味着 formula_59 作为左项、formula_60 作为右项,以此类推,所以我们有formula_61 (考虑两边的序列在实数中分别收敛到 formula_62,因此是相容的)。  对于负数,我们定义 formula_63。
title: 子集对应.
content: 有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。
title: 有理数.
content: 所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。
title: 实数.
content: 在定义出了有理数之后,使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。  假设formula_64,其中 formula_65,那么立刻可知存在 formula_66 是 formula_22 的一个超现实数表示,其中 formula_68 是有理数到超现实数的域同态。
title: 序数.
content: 我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为formula_69,那么我们有:  这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如 formula_71 这一式子的值在序数中的结果是 formula_72,而在超现实数中则是 formula_73.
title: 博弈.
content: 如果去除超现实数定义中对所有 formula_74 的约定,那么这样(递归)定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以(一模一样的)定义加法、加法逆元以及比较。  显然,所有的超现实数都是游戏,但并非所有游戏都是超现实数,例如 formula_75 就不是,其满足 formula_76。  可以发现,所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏,其中左集合表示第一位玩家(下称左玩家)可以走到的局面,右集合则表示第二位玩家(下称右玩家)的选择,不能操作者负。  两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏,而每个玩家选择其中一个进行操作,不能操作者负。  我们可以发现,这个游戏的胜负取决于 formula_77 和 formula_78 的相对关系。  有以下这些特殊的游戏:  可以发现,关于他们有这么几个性质:  可以用于分析复杂的游戏。

Summary: 在数学上,超现实数系统(英语:Surreal Numbers)是一种连续统,其中含有实数以及无穷量,即无穷大(小)量,其绝对值大(小)于任何正实数。超现实数与实数有许多共同性质,包括其全序关系「≤」以及通常的算术运算(加减乘除);也因此,它们构成了有序域。在严格的集合论意义下,超现实数是可能出现的有序域中最大的;其他的有序域,如有理数域、实数域、有理函数域、列维-奇维塔域、上超实数域和超实数域等,全都是超现实数域的子域。超现实数域也包含可达到的、在集合论里构造过的所有超限序数。

Surreal number: In mathematics, the surreal number system is a totally ordered proper class containing the real numbers as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number. The surreals share many properties with the reals, including the usual arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division); as such, they form an ordered field. If formulated in von Neumann–Bernays–Gödel set theory, the surreal numbers are a universal ordered field in the sense that all other ordered fields, such as the rationals, the reals, the rational functions, the Levi-Civita field, the superreal numbers, and the hyperreal numbers, can be realized as subfields of the surreals. The surreals also contain all transfinite ordinal numbers; the arithmetic on them is given by the natural operations. It has also been shown (in von Neumann–Bernays–Gödel set theory) that the maximal class hyperreal field is isomorphic to the maximal class surreal field; in theories without the axiom of global choice, this need not be the case, and in such theories it is not necessarily true that the surreals are a universal ordered field.