体积形式

title: 定义.
content: 流形"M"上一个体积形式是处处非0的最高阶("n"-维流形上的"n"-形式)微分形式。  用线丛的语言来说,称最高阶外积formula_1为行列式线丛,"n"-形式是它的截面。  对不可定向流形,一个体积“伪”形式,也称为“奇”或“扭曲”的体积形式,可以定义为定向丛的一个处处非0截面;这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下,(非扭曲的)微分形式就是“偶” "n"-形式。除非特别地讨论扭曲形式时,我们总是略去形容词“偶”。  第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。
title: 定向.
content: 一个流形具有体积形式当且仅当它可定向,这也可以作为可定向的一个定义。  在G-结构的语言中,一个体积形式是一个SL-结构。因为formula_2是形变收缩(因为formula_3,这里正实数视为纯量矩阵),一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个formula_4-结构,即是一个定向。  在线丛的语言中,行列式丛formula_5的平凡性等价于可定向性,而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面,这样又得到,体积形式的存在性等价于可定向性。  对于伪体积形式,一个伪体积形式是一个formula_6-结构,因为formula_7 同伦等价(事实上是形变收缩),任何流形都有伪体积形式。类似地,定向丛总是平凡的,所以任何流形都有一个伪体积形式。
title: 和测度的关系.
content: 任何流形有一个伪体积形式,因为定向丛(作为线丛)是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω,密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。  任何伪体积形式ω(从而任何体积形式亦然)定义了一个波莱尔集合上一个测度:  注意区别,在于任何一个测度可以在(Borel)子集上积分,而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中,写成formula_9,将formula_10视为体积形式而不是测度,formula_11表明“在formula_12上沿着定向相反的反向积分”,有时记成formula_13。  进一步,一般的测度不必连续或光滑,他们不必由体积形式定义;或更形式地说,关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。
title: 例子.
title: 李群.
content: 任何李群,可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说,如果ω 是formula_14中一个元素,那么一个左不变形式可以定义为formula_15,这里"L"为左平移。作为一个推论,任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的,相应的测度称为哈尔测度。
title: 辛流形.
content: 任何辛流形(或更确切地为殆辛流形)有一个自然的体积形式。如果"M"是一个带有辛形式ω的2"n"-维流形,那么由辛形式非退化可知ω处处非零。作为一个推论,任何辛流形是可定向的(事实上,已经定向)。
title: 黎曼体积形式.
content: 任何黎曼流形(或伪黎曼流形)有一个自然的体积(或伪体积)形式。在局部坐标系下,能写成表达式:  这里流形为"n"-维,formula_17是流形上度量张量行列式的绝对值,formula_18为组成流形余切丛一组基的1形式。  这个体积形式有许多不同的记号,包括:  这里∗是霍奇对偶,从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。  尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式,但是这个记法很难通用,符号ω在微分几何中经常有其它意思(比如辛形式),所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。  一个流形如果既是辛的又是黎曼的,如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。
title: 曲面的体积形式.
content: 体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入"n"-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集formula_20,以及映射函数  定义了嵌入到formula_22中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为  指标"i"从1跑到"n","j"从1跑到2。"n"-维空间的欧几里得度量诱导了集合"U"上的一个度量,度量矩阵分量为:  度量的行列式由  给出,这里formula_26是楔积。对一个正则曲面,这个行列式不为0;等价地,雅可比矩阵的秩为2。  现在考虑"U"的一个坐标变换,由微分同胚  给出。从而坐标formula_28用formula_29形式表示是formula_30。坐标变换的雅可比矩阵为:  在新坐标系下,我们有:  从而度量变换为:  这里 formula_34是在"v"坐标系下的度量。行列式:  给出以上构造后,现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维,体积就是面积。子集formula_36的面积由积分:  给出。从而,在任一坐标系下,体积都有相同的表达式,即这个表达式在坐标变换下是不变的。  注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性,以上结论可以平凡地推广到任意维数。
title: 体积形式不变性.
content: 体积形式不是惟一的,它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。  给定"M"上一个处处函数"f",和一个体积形式formula_38,formula_39也是"M"上的体积形式。相反地,给定任何两个体积形式formula_40,他们的比是一个处处非0函数(如果定向相同为正,定向相反为负)。  在坐标系中,他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度,他们的比就是函数的比,这和坐标系的选取无关。本质上,这是formula_41关于formula_38的Radon–Nikodym导数。
title: 无局部结构.
content: 一个体积形式没有局部结构:任何两个体积形式(在相同维数的流形上)是局部同构的。  正式地说,这个结论意味着给定任何两个同维数的流形formula_43,分别具有体积形式formula_44,对任何点formula_45,存在一个映射formula_46(这里formula_47是formula_48的一个邻域而formula_49是formula_50的一个邻域),使得"N"(限制在邻域formula_49上)上的体积形式拉回到formula_52(限制在邻域formula_47)上的体积形式:formula_54。给定维数的可微流形是局部微分同胚的;增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。  在1维情形,可以这样证明:给定formula_55上一个体积形式formula_38,定义 那么标准勒贝格测度formula_10通过"f": formula_59拉回到formula_38,实际上,formula_61。  高维数时,给定任何一点formula_62,存在一个邻域局部同胚于formula_63,我们可以进行相同的步骤。
title: 整体机构:体积.
content: 连通流形"M"上一个体积形式有一个惟一的整体不变量,即总体积(记作formula_64),在保持体积形式的映射下不变;总体积可能是无穷,比如formula_22上的勒贝格测度。对于一个不连通流形,任何连通分支的体积是不变量。  用符号表示,如果formula_66是流形的同胚,将formula_67拉回到formula_68,那么 从而流形具有相同的体积。  体积形式也能在覆盖映射下拉回,在此情况下将体积乘以纤维的基数(形式地说,在纤维上积分)。在无穷重复盖(比如formula_70),有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。  反过来,于尔根·莫泽的一个定理指出,对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式formula_71和formula_72,存在一个流形的微分自同胚将formula_71拉回到formula_72,事实上存在由的流形成同痕。

Summary: 数学中,体积形式提供了函数在不同坐标系(比如球坐标和圆柱坐标)下对体积积分的一种工具。更一般地,一个体积元是流形上一个测度。

Volume form: In mathematics, a volume form on a differentiable manifold is a top-dimensional form (i.e., a differential form of top degree). Thus on a manifold formula_1 of dimension formula_2, a volume form is an formula_2-form, a section of the line bundle formula_4. A manifold admits a nowhere-vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a function yields another volume form. On non-orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density.