阿尔泽拉-阿斯科利定理

title: 定义.
content: 以下的定义在定理的叙述和证明中会不断使用到。
title: 等度连续.
content: 设 K 和 X 是两个度量空间,formula_1是搜集所有从 K 到 X 的连续映射的所形成的集合。如果 formula_1的一个子集 formula_3 满足对所有 formula_4和 formula_5,存在一个 x 的邻域 formula_6,使得对所有 formula_7 和 formula_8,都有 formula_9则称 formula_3是等度连续的。
title: 一致有界与逐点有界.
content: 设 K 是一个度量空间,formula_11是搜集所有 K 上的实连续函数。设 formula_3是 formula_11的一个子集  注意到一致有界可推得逐点有界,此外,如果已知 formula_3是等度连续且 K 是 (比如说紧致) 的,则一致有界当且仅当逐点有界。
title: 叙述.
title: 实数域上的情况.
content: 这是最简单的情况,此时阿尔泽拉-阿斯科利定理的可以叙述为
title: 例子.
content: 设 formula_23 是一个逐点有界、可微分,并且导数是一致有界的函数序列,即formula_31,则可以证明 formula_23也是等度连续的,因此满足阿尔泽拉-阿斯科利定理的条件。所以它拥有一个一致收敛的子序列。
title: 紧度量空间和紧豪斯多夫空间.
content: 对于一般的度量空间,阿尔泽拉-阿斯科利定理断言  这里,formula_35 表示从 formula_33射到 formula_34的连续函数的集合。而它的子集 formula_40 被称作完全有界当且仅当 formula_41,集合 formula_42都是 formula_34中相对紧致的子集。如果一个集合 "A" 在紧致开拓扑中是紧致的,那么 "A" 中的所有序列都拥有一个在 "A" 中一致收敛的子序列。  更广泛地,对于 "X" 是紧豪斯多夫空间的情况,定理一样成立:  阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上,连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说,函数的取值空间可以换为豪斯多夫的拓扑向量空间,这时仍然有基本相同的定理。
title: 证明.
content: 以下证明在实数域上的叙述。
title: 必要性.
content: 该定理的必要性比较显然,实用价值也比较小。事实上,由紧度量空间 "X" 到完备的度量空间 "Y" 的任何一列连续映射序列 {"f"} 如果在 "X" 上一致收敛,那么它收敛到一个连续映射 "f." 由紧度量空间上,连续映射 "f" 的一致连续性和收敛的一致性,可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质,可以推出该序列完全有界。  若集合 "F" 中的映射不一致有界,则由定义,对任意 "n"∈N, 存在 F 中的映射 "f",其范数大于"n", 于是 {"f"} 的任意一个子列都不是完全有界的,故任意子列都非一致收敛,与假设矛盾。若集合 "F" 中的映射不等度连续,则存在 ε>0,对任意的 "n"∈N,存在 "x" "x" 和集合中某个映射 "f",满足 "d"("x","x") < 1/n,但 d("f"("x"), "f"("x")) ≥ ε. 这样,{"f"} 的任意一个子列都不是等度连续的,从而任意子列都非一致收敛,同样与假设矛盾。
title: 充分性.
content: 充分性的证明用到了对角论证法。若紧度量空间 X 是个有限集,则充分性显然。因此,设 X 是个无穷集,由 X 的紧致性可知,存在在 X 中稠密的序列 formula_47。  考虑 formula_3中任意一个映射序列 formula_23。由于 "formula_3" 是逐点有界的,序列 formula_51 在 Y 中是有界的。根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理和 "Y" 的完备性,该序列拥有收敛的子列,记作formula_52。而序列formula_53又存在收敛的子列,记作 formula_54... 。如此重复,即得到了一系列的映射序列 formula_55。考虑其中对角线元素 formula_56所构成的序列formula_57。则对于序列 E 中任意一点 "formula_58",序列 formula_59是 formula_60的子序列,因此序列 formula_61收敛。  给定 formula_5,因为 "formula_3"是等度连续的,延用等度连续定义里的 formula_6,所以 formula_65是 formula_22 区间的一个开覆盖。由于 formula_22 区间是紧致的,存在有限集 formula_68使得 formula_69。因为 E 在 formula_22中是稠密的,所以 E 有一个子集 formula_71满足 formula_72。由 "formula_73" 在 E 中各点的收敛性可知,对每个 formula_74,存在 "formula_75",使得对任一对比 "formula_75"大的正整数对 m 和 n 都有 formula_77。定义 formula_78,则前一句话中的 formula_75可以改成 N。  对 X 中每个点 x,存在一个 formula_80使得 formula_81。而对于任何比 N 大的正整数对 m 和 n,都有 formula_77,此外由formula_83、formula_84、formula_85、formula_86可知 formula_87。  因此,formula_88是一个 formula_89上的柯西列,因为 formula_22是完备的可推得 formula_89也是,所以 formula_88是 formula_93的一致收敛子序列。

Summary: 在数学中,阿尔泽拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理,给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一个充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。

Arzelà–Ascoli theorem: The Arzelà–Ascoli theorem is a fundamental result of mathematical analysis giving necessary and sufficient conditions to decide whether every sequence of a given family of real-valued continuous functions defined on a closed and bounded interval has a uniformly convergent subsequence. The main condition is the equicontinuity of the family of functions. The theorem is the basis of many proofs in mathematics, including that of the Peano existence theorem in the theory of ordinary differential equations, Montel's theorem in complex analysis, and the Peter–Weyl theorem in harmonic analysis and various results concerning compactness of integral operators.