微分方程

title: 分类.
content: 微分方程可分为以下几类,而随着微分方程种类的不同,其相关研究的方式也会随之不同。
title: 线性及非线性.
content: 常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。  若微分方程中没有出现应变数及其微分项的乘积,此微分方程为线性微分方程,否则即为非线性微分方程。  齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类,微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。  若线性微分方程的系数均为常数,则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程,因此简化求解的过程。  针对非线性的微分方程,只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解,而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性,也可能会有混沌现象。有关非线性微分方程的一些基本问题,例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的适定性问题,以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题,甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中,其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性,都是探讨纳维-斯托克斯方程序其解的数学性质,截至2018年8月此问题仍尚未被证明。  线性微分方程常常用来近似非线性微分方程,不过只在特定的条件下才能近似。例如单摆的运动方程为非线性的微分方程,但在小角度时可以近似为线性的微分方程。
title: 举例.
content: 以下是常微分方程的一些例子,其中formula_4为未知的函数,自变量为formula_5,formula_6及formula_7均为常数。  以下是偏微分方程的一些例子,其中formula_4为未知的函数,自变量为formula_5及formula_16或者是formula_5及formula_18。
title: 性质.
title: 普遍性的数学描述.
content: 许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式。在生物学及经济学中,微分方程用来作为复杂系统的数学模型。微分方程的数学理论最早是和方程对应的科学领域一起出现,而微分方程的解就可以用在该领域中。不过有时二个截然不同的科学领域会形成相同的微分方程,此时微分方程对应的数学理论可以看到不同现象后面一致的原则。  例如考虑光和声音在空气中的传播,以及池塘水面上的波动,这些都可以用同一个二阶的偏微分方程来描述,此方程即为波动方程,因此可以将光和声音视为一种波,和水面上的水波有些类似之处。约瑟夫·傅立叶所发展的热传导理论,其统御方程是另一个二阶偏微分方程-热传导方程序,扩散作用看似和热传导不同,但也适用同一个统御方程,而经济学中的布莱克-休斯方程也和热传导方程有关。
title: 微分方程的解.
content: 微分方程的解通常是一个函数表达式formula_22(含一个或多个待定常数,由初始条件确定)。例如:  的解是  其中formula_25是待定常数;  例如,如果知道  则可推出  而可知 formula_28,
title: 简易微分方程的求解方法.
title: 一阶线性常微分方程.
content: 对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:  对于方程:formula_29  可知其通解:formula_30  然后将这个通解代回到原式中,即可求出formula_31的值
title: 二阶常系数齐次常微分方程.
content: 对于二阶常系数齐次常微分方程,常用方法是求出其特征方程的解  对于方程:formula_32  其特征方程:formula_33  根据其特征方程,判断根的分布情况,然后得到方程的通解: formula_34  一般的通解形式为  (在formula_35的情况下):formula_36  (在formula_37的情况下):formula_38  (在共轭复数根的情况下):formula_39
title: 约束条件.
content: 微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。  常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。  若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。  偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
title: 解的存在性及唯一性.
content: 存在性是指给定一微分方程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。  针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。  针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
title: 历史.
content: 微分方程的起源约在十七世纪末,为了解决物理及天文学问题而产生,大约和微积分的发展同时。惠更斯在1693年的《教师学报》中提到常微分方程,雅各布·白努利在1691年建立悬链线的微分方程,并求得其函数。微分方程在十八世纪中期成为一个独立的学科,而微分方程也带动许多当时的科学发展,例如海王星的发现就和微分方程的分析有关。  偏微分方程是由傅立叶开始的,他在1822年发表《热的解析理论》,提出热传导方程的偏微分方程,并且利用分离变量法求得级数解,并且开始有关傅立叶级数的研究。另外在十九世纪有关 拉普拉斯方程的研究也是偏微分方程的重要发展。拉普拉斯和泊松都有许多的贡献,后来乔治·格林提出了相关格林函数及格林公式等概念,并带动斯托克斯、麦克斯韦及后来电磁学相关的研究。而流体力学的纳维-斯托克斯方程及弹性介质的柯西方程也是在十九世纪提出的偏微分方程。。后来许多的理论都是以偏微分方程的形式出现,量子力学的基础方程序薛定谔方程也是偏微分方程,广义相对论中的爱因斯坦重力场方程序也有类似偏微分的协变导数。
title: 和差分方程的关系.
content: 微分方程的理论和差分方程的理论有密切的关系,后者的座标只允许离散值,许多计算微分方程数值解的方法或是对于微分方程性质的研究都需要将微分方程的解近似为对应差分方程的解。

Summary: 微分方程(英语:Differential equation,DE)是一种数学方程,用来描述某一类函数与其导数之间的关系。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程里,其解是常数值。

Differentialgleichung: Eine Differentialgleichung (auch "Differenzialgleichung", oft durch DGL, DG, DGl. oder Dgl. abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Viele Naturgesetze können mittels Differentialgleichungen formuliert werden. Differentialgleichungen sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung. Dabei beschreibt eine Differentialgleichung das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Differentialgleichungen sind ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Analysis, die deren Lösungstheorie untersucht. Nicht nur weil für viele Differentialgleichungen keine explizite Lösungsdarstellung möglich ist, spielt die näherungsweise Lösung mittels numerischer Verfahren eine wesentliche Rolle. Eine Differentialgleichung kann durch ein Richtungsfeld veranschaulicht werden.