雷登變換

title: 简介.
content: 若函数formula_1表示一个未知的密度,对formula_1做雷登变换,相当于得到formula_1投影后的讯号,举例来说:formula_1相当于人体组织,断层扫描的输出讯号相当于经过雷登变换的formula_1。 因此,可以用雷登反变换从投影后的密度函数,重建原始的密度函数,它也是重建断层扫描的数学理论基础,另一个被广为人知名词的是三维重建。  雷登变换后的讯号称作"""正弦图"""(sinogram),因为一个偏离中心的点的雷登变换是一个正弦曲线(sinusoid)。所以对一些小点的雷登变换,会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。  雷登变换可以应用在:X射线电脑断层扫描、条码扫描器、macromolecular assemblies的电子显微镜例如:病毒、Reflection seismology、蛋白质复合体,而且也是双曲线 偏微分方程(hyperbolic partial differential equations)的解。
title: 定义.
content: 令密度函数formula_16是一个的定义域为 formula_17 的紧致台(compact support)。令formula_18为雷登变换的运算子(operator),则formula_19是一个定义在 formula_17空间中的直线formula_21,它的定义如下 可以把直线 formula_21改写成一个弧长formula_24的参数式 formula_26是直线formula_21和原点的距离,而formula_28是垂直于formula_21的法线和formula_30轴的夹角, 接下来,我们可以令formula_31当作formula_17平面上的新座标系统,把这个座标变换带入到雷登变换得到 更进一步,我们可以把formula_17推广到formula_35的欧几里得空间,对一个紧致台(compact support)的连续函数formula_1做雷登变换后的函数formula_2是定义在 formula_38的超平面上, 积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure),而formula_40是原本的formula_41的高维推广。可以观察到对formula_38里的任意元素, 都是某个轨迹方程序的解 而formula_28是一个单位向量且属于formula_45,formula_46,n维的雷登变换可以改写成定义在 formula_47上的函数 也可以借由其他方式将雷登变换推广,也就是对formula_35的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。 而这种推广雷登变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描,他的做法是对一条直线积分。
title: 与傅立叶变换的关系.
content: 主条目:Projection-slice theorem  雷登变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变量的傅立叶变换的定义是 而双变量formula_51的傅立叶变换是 把雷登变换的运算子的表记从formula_53 改成 formula_54。根据Projection-slice theorem学说, 因此一个初始函数沿着一条线倾角formula_28的二维的傅立叶变换,相当于对雷登变换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维
title: 对偶变换.
content: 对偶雷登变换是雷登变换的埃尔米特伴随。令在空间formula_38上的函数formula_59,而对偶雷登变换的运算子定义为formula_60。作用在formula_59上 积分的范围是所有和formula_63相交的超平面集合,而测度(measure)formula_64是集合formula_65特殊的几率测度(Probability measure), 当对着formula_66旋转时,formula_64的值不会改变  对于一个二维的雷登变换,其对偶变换是 在影像处理的文章中,对偶变换经常被称作反向传播算法(back propagation), 因为  交结性质  根据拉普拉斯算子formula_69在 formula_35的定义是 这是一个旋转不变性的二阶微分算子,在空间formula_38,半径的二阶倒数(second derivative) 也是旋转不变性。 而雷登变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator),是因为
title: 重建方法.
content: 重建处理是指从投影影像重建一个影像,或是一个函数formula_1。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。  雷登反变换公式  对于二维雷登变换,最常被使用的解析公式(analytical formula)formula_1,是Filtered Backprojection Formula或雷登反变换公式,反变换公式为 函数formula_78满足formula_79,卷积核 (convolution kernel) formula_78在一些文章中称作Ramp filter。  不适定问题 (ill-posedness)  直觉上,反变换公式应该和微分类似,formula_81。我们可以看的出来反变换公式 的行为类似微分。大致上来说,这个反变换公式把目标奇异化(singular);要如何量化雷登反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢?首先可以写出 formula_83即是前面定义的反变换运算子,且伴随着(adjoint to)雷登变换,因此formula_84,上式变成 复数指数函数formula_86,是formula_87的固有函数 (eigenfunction), 而特征值 (eigenvalue)为formula_88。formula_18的奇异值 (singular values) 是formula_90, 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0,所以formula_91是无界的(unbounded) 。
title: 反变换公式.
content: 外显(explicit)且计算效率好的雷登反变换公式,以及他的对偶是存在的。n维的反雷登变换可以由 其中 而formula_69是拉普拉斯算子(Laplacian),formula_95是伪微分算子(pseudodifferential operator) formula_97是傅立叶变换的运算子(operator)。

Summary: 数学上,雷登变换是一种积分变换,这个变换将二维平面函数formula_1变换成一个定义在二维空间上的一个线性函数formula_2(formula_2的意思是对formula_1做雷登变换),而formula_2的值为函数formula_1对该条线formula_2做积分的值。以右图为例,黄色区域即是formula_1,formula_9线则是代表formula_2。

Radon-Transformation: Die Radon-Transformation ist eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird das Linienintegral der Funktion formula_1 längs aller Geraden der formula_2-formula_3-Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radon-Transformierte formula_4 als eine Projektion der Funktion formula_1 auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen. Die Radon-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt und stellt in zwei Dimensionen eine Verallgemeinerung der Abel-Transformation und einen Spezialfall der Hough-Transformation dar. Die auf komplexe Zahlen erweitere Variante wird als Penrose-Transformation bezeichnet.