柯里化

title: 动机.
content: 柯里化是一种处理函数中附有多个参数的方法,并在只允许单一参数的框架中使用这些函数。例如,一些分析技术只能用于具有单一参数的函数。现实中的函数往往有更多的参数。弗雷格表明,为单一参数情况提供解决方案已经足够了,因为可以将具有多个参数的函数转换为一个单参数的函数链。这种转变是现在被称为“柯里化”的过程。  在数学分析或计算机编程中,所有可能遇到的“普通”函数都可以被使用。但是,有些类别不可能使用柯里化;确实允许柯里化的最普通的类别是闭合的monoidal类别。一些编程语言几乎总是使用curried函数来实现多个参数;值得注意的例子是 ML 和 Haskell,在这两种情况下,所有函数都只有一个参数。这个属性是从lambda演算继承而来的,其中多参数的函数通常以柯里形式表示。  柯里化与部分求值是相关的,但不完全相同。在实作中,闭包的编程技术可以用来执行部分求值和一种卷曲,通过将参数隐藏在使用柯里化函数的环境中。
title: 部分求值.
content: 柯里化有如倣效接受多个参数的函数评估过程,若以纸笔手工作业,要周密地写出评估过程中的所有步骤。  例如,给定某一函数 formula_4:  在纸上使用传统符号,上述过程通常是一次代入两个参数 formula_14的值就完成了。 而每个参数其实是依次序替换,在每一步替换的中介函数只能接受单一个参数。  以上范例有点缺陷,虽然应用上类似函数的部分求值。对柯里化的过程来说,但并非完全相同(见下文)。
title: 示例.
content: 柯里化(Currying)是产生一系列连锁函数的一种方法,其中每个函数只有一个参数。借由另一个柯里化之后的新函数,传回其它剩余参数的功能,将原本以多个参数应用的函数“隐藏”起来,如下所述。  给定带有 "x"和"y"两个参数的函数 "f",也就是,  然后可以构造一个与原来的 "f" 相关的新函数 "h"。这个函数的形式只有单一参数 "y",并给定该参数,则 "h" 返回 "f"("x","y")。也就是,  在这里应该了解 "h"上的下标 "x"是当成隐藏作用的符号设施,或者说把一个参数放在一边,使原函数变成只带一个参数。柯里化(Currying)提供了符号标记上的技巧,将函数因而抽象化。  这个技巧要利用map或函数构造子。符号 formula_17用于表示抽象化的实际行为。 例如以 formula_18 这样子来表示:某个函数将一个参数 "y"映射到结果 "z"。  然后考虑从 "h" 记号中删掉下标 "x",就得到了一个 柯里化表示的代表符 "h"; 而成为另一个给予 "x" 能把其“值”传回的不同函数 "h";它恰好是一个函数构造,其映射过程 可以用 formula_19 语句来表达,或者描述为一个将参数 "y"映射到结果 "z"的函数。也就是,  用不同代表符号(但意义相同)来看,  函数 "h" 本身现在可用 "h" 相似的表示,并写成  能够负责并处理对开头"涉及"的函数参数。鉴于上述情况,柯里化的行为可被理解为一函数,给予某些任意的 "f",即涉及相关的 "h"函数可以产生 "h"的所述功能;论及 "f"。也就是,  或相当于  这说明了柯里化的基本性质:它是参数重新定位的机制,将原函数中的每一个参数绑定到不同的新函数,而返回另一个相关的函数。也就是给定函数 "f"原本传回一个“值”,则柯里化“构造”了一个新函数 "h" 而传回的是涉及 "f"的函数。另一种理解柯里化的不同方式,则意识到它只是一个代数游戏,符号的句法重新排列。人们不会问这些符号的“含义”是什么; 一个人只同意他们的重新排列规则。 要看出这一点,注意原来的函数 "f"本身可能写成  与上面的函数 "h"互相比较,可以看出这两种形式都重新排列了括号,以及将逗号转换为箭头。回到前面的例子,  然后有,  作为上例柯里化的相等物。 添加一个参数到 "g" 然后给出  以及  剥除参数的方法或许更容易地理解,例如有四个参数的函数:  经过上述操作,导出为形式  这应用到三元组之上可得到  然后适当地写成柯里化形式  一直继续玩着重新安排符号的代数游戏,最终导出了完全的柯里化形式  对箭头运算符一般理解是右结合的,所以上面大部分的括号是多余的,在意义不变的情况下可以删除掉。因此,写成了很常见的  也就是函数 "f"完全的柯里化形式。
title: 定义.
content: 从非形式的一般定义开始,柯里化是最容易理解的,然后再塑造它以适应许多不同的领域。 首先说明一些符号的标记法。  formula_36 表示从 formula_37 映射到 formula_38 的函数formula_39。  formula_40 表示从 formula_37 到 formula_38 的所有函数。  这里,formula_37 和 formula_38 可以是集合、或者是类型,或者它们可以是其它型别的物件,如下所述。  令 formula_45表示有序对,即笛卡尔乘积。  给定类型为formula_46 的函数formula_39,柯里化即构造或创建一个新的函数:  formula_48  也就是说,formula_49取一个类型为 formula_37的参数,并返回一个类型为 formula_51的函数。Uncurrying则相反。
title: 集合论.
content: 数理领域的集合论中,符号 formula_52用于表示从 formula_37集合映射到 formula_38集合的函数。柯里化是指从 formula_55映射到 formula_56的 formula_57函数,和从 formula_58之中映射,由 formula_59到formula_56的 formula_61函数,这些组合的自然变换。事实上是这种自然变换关系,阐述了出现在集合论中的指数符号。在集合的范畴论中 formula_52被称为指数物件。
title: 函数空间.
content: 在函数空间理论中,如泛函分析或拓扑的同伦,人们通常对拓扑空间之间的连续函数感兴趣。从 formula_37到 formula_38 "所有的"函数集,写成 formula_65(Hom函子)并使用 formula_52 来表示连续函数的子集。在这里的 formula_67是一一对应的  而 uncurrying 是反向的映射。如果从 formula_37到 formula_38 的 formula_52集合为连续函数 给出了紧致开拓扑紧致开拓扑,而且如果 formula_38空间是局部豪斯多夫紧致的,那么 formula_67是一个连续函数,也是同胚。尽管可能有更多情况,当 formula_37,formula_38和 formula_52 是紧生成的时候,情况都是相同的。  这结果发展成了指数表示法  有时称为指数法则。 而有用的推论是,一个函数当且仅当其柯里化形式是连续时,它才是连续的。另一个重要的结果是应用程序映射(在这种情况通常称为“评估”)是连续的(注意codice_3在计算机科学中的概念与此严格不同)。也就是说,  formula_78  当 formula_52是紧致开放的,而且 formula_38局部紧致的豪斯多夫时,那上述式子是连续的。这两个结果对于确立同伦的连续性非常重要,亦即当 formula_37是单位区间 formula_82,所以 formula_83能想成 就是从 formula_38 到formula_85的两个函数的同伦,或者等价地,是 formula_86中的单个(连续)路径。
title: 域理论.
content: 在序理论对于偏序集合的格,当格是给定的 Scott拓扑时,则 formula_67会是一个连续函数。为了提供 lambda演算的语义学,要先研究 Scott连续函数(因为普通集合理论不适合这样做)。更一般地说,现在研究 Scott连续函数的域理论中,含括了计算机算法的指称语义学。  请注意,Scott拓扑结构与拓扑空间范畴中可能遇到的许多常见拓扑结构完全不同; Scott拓扑通常更为精巧,而不是很严审的。连续性的概念使它出现在同伦类型理论中,粗略地说,两个计算机程序可以被认为是同伦的,如果他们可以“连续”地从一个重构到另一个,即计算得出相同的结果。
title: 型别理论.
content: 在型别理论中,对于计算机科学型别系统的一般概念,被形式化为一个具体的代数类型。例如写为 formula_36时, 意指那个 formula_37和 formula_38是一种类型,而 formula_91 箭头符号代表是类型构造函数,特别是指函数类型或箭头类型。类似地,类型的笛卡尔积是由 formula_92构造函数,而建构出的复合结构类型。  型别理论方法可以用 ML编程语言表达,而受启发衍生出的语言有:CaML,Haskell和F#。
title: 逻辑.
content: 在Curry-Howard下,柯里化和对偶柯里化的存在相当于逻辑定理formula_93,因为多元组(型别积, product type)对应于逻辑中的且连接,而函数类型对应于蕴涵。
title: 历史.
content: 「科里化」一词由克里斯托弗·斯特雷奇创造,以逻辑学家哈斯凯尔·加里命名。另外一个名词 "Schönfinkelisation" 则以Moses Schönfinkel命名。在数学历史中,这个原理可以追溯到1893年戈特洛布·弗雷格的工作。

Summary: 在计算机科学中,柯里化(英语:Currying),又译为卡瑞化或加里化,是把接受多个参数的函数变换成接受一个单一参数(最初函数的第一个参数)的函数,并且返回接受余下的参数而且返回结果的新函数的技术。这个技术由克里斯托弗·斯特雷奇以逻辑学家哈斯凯尔·加里命名的,尽管它是Moses Schönfinkel和戈特洛布·弗雷格发明的。

Currying: Currying (vor allem in der Linguistik auch Schönfinkeln) ist die Umwandlung einer Funktion mit mehreren Argumenten in eine Sequenz von Funktionen mit jeweils einem Argument. Obwohl das Verfahren 1928 von Moses Schönfinkel erfunden und von Gottlob Frege um 1900 vorausgedacht wurde, wird es oft nach Haskell Brooks Curry benannt, der das Verfahren 1958 umfangreich theoretisch ausgearbeitet hat.