格林函數

title: 定义以及用法.
content: 给定流形formula_1上的微分算子 formula_2,其格林函数formula_3,为以下方程的解  其中 formula_5 为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程:  若formula_7的 零空间非平凡,则格林函数不唯一。不过,实际上因着对称性、边界条件或其他的因素,可以找到唯一的格林函数。一般来说,格林函数只是一个广义函数。  格林函数在凝聚态物理学中常被使用,因为格林函数允许扩散方程序有较高的精度。在量子力学中,哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程序和薛定谔方程有类似的数学结构,因此两者对应的格林函数也相当接近。
title: 动机.
content: 若可找到线性算符 formula_2 的格林函数 formula_9,则可将 (1) 式两侧同乘formula_10,再对变量 formula_11 积分,可得:  由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于 formula_13,因此:  由于算符 formula_2 为线式,且只对变量 formula_16 作用,不对被积分的变量 formula_11 作用),所以可以将等号右边的算符 formula_2 移到积分符号以外,可得:  而以下的式子也会成立:  因此,若知道 (1) 式的格林函数,及 (2) 式中的 "f(x)",由于 "L" 为线性算符,可以用上述的方式得到 "u(x)"。换句话说, (2) 式的解 "u(x)" 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 "G",就可以求出 "u(x)"。  并非所有的算符 "L" 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 "L" 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3) 式的积分也很难求解,因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。  格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 "G" 是算符 "L" 的格林函数,则方程序 "Lu" = "f" 的解 "u" 为  可以视为 "f" 依狄拉克δ函数的基底展开,再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程。
title: 非齐次边界值问题的求解.
content: 格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中,格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子,而「格林函数」一词也用来表示量子力学中的关联函数。
title: 研究框架.
content: 令 formula_22 为一个施图姆-刘维尔算子,是一个以以下形式表示的线性微分算子 而 "D" 是边界条件算子  令 formula_25 为在 formula_26 区间的连续函数,并假设以下问题 有正则特牲;即其齐次问题只存在寻常解。
title: 定理.
content: 则存在唯一解 formula_28 满足以下方程序  而其解的计算方式如下  而中 formula_31 即为格林函数,有以下的特性:
title: 寻找格林函数.
title: 特征向量展开.
content: 若一微分算子 "L" 有一组完备的特征向量 formula_41(也就是一组函数 formula_42 及纯量 formula_43 使得 formula_44 成立)则可以由特征向量及特征值产生格林函数。  先假设函数 formula_41 满足以下的完备性:  经由证明可得下式:  若在等号两侧加上微分算子 "L",则可以证明以上假设的完备性。  有关以上格林函数的进一步研究,及格林函数和特征向量所组成空间的关系,则为弗雷德霍姆理论所要探讨的内容。
title: 拉普拉斯算子的格林函数.
content: 先由格林定理开始:  假设线性算符 "L" 为拉普拉斯算子 formula_49,而 "G" 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义,可得下式:  令格林定理中的 formula_51,可得:  根据上式,可以解拉普拉斯方程 formula_53 或 泊松方程 formula_54,其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说,在以下任一个条件成立时,可以解一空间内任一位置的 formula_55:  若想解在区域内的 formula_55,由于狄拉克δ函数的特性,(4) 式等号左边的第一项 可化简为 formula_55,再将 (4) 式等号左边第二项 formula_61 用 formula_62 表示,(若为泊松方程,formula_63,若为拉普拉斯方程,formula_64),可得:  上式即为调和函数(harmonic function)的特性之一:若边界上的值或法向导数已知,则可以求出区域内每个位置的数值。  在静电学中,formula_55 为电位,formula_67 为电荷密度,而法向导数 formula_68 则为电场在法向的分量。  若目前的边界条件为狄利克雷边界条件,可以选择在 x 或 x' 在边界时,其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件,可以选择在 x 或 x' 在边界时,其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0,只剩下一项需计算。  在自由空间的情形下(此时可将边界条件视为:formula_69),拉普拉斯算子的格林函数为:  若 formula_71 为电荷密度,则可得到电荷密度和电位 formula_72 的公式:
title: 范例.
content: 针对以下微分方程  找出格林函数。  第 1 步  根据定理中,格林函数的特性 2,可得  在 "x < s" 时因特性 3 可知 (此时不需考虑 formula_78 的式子,因 formula_79)在 "x > s" 时因特性 3 可知 (此时不需考虑 formula_81 的式子,因 formula_82)整理上述的结果,可得以下的式子。  第 2 步  依格林函数的特性,找出 "a"("s")和"b"("s").  根据特性 1,可得 根据特性 4,可得  解上述二式,可以求出 "a"("s")和"b"("s")  因此格林函数为  对照此解和格林函数的特性 5,可知此解也满足特性 5 的要求。

Summary: 在数学中,格林函数(点源函数、影响函数)是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中,格林函数常常指各种关联函数,有时并不符合数学上的定义。

Greensche Funktion: Greensche Funktionen sind ein wichtiges Hilfsmittel zum Lösen inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen. Benannt sind sie nach dem Physiker und Mathematiker George Green. Mittels der Greenschen Formeln löste dieser ein spezielles Dirichlet-Problem. Eine besondere Lösung dieses partiellen Randwertproblems, die in diesem Verfahren auftritt und mit deren Hilfe man durch das Superpositionsprinzip weitere Lösungen bestimmen kann, trägt heute den Namen Greensche Funktion. Bis heute wurde diese von Green beschriebene Lösungsmethode auf eine größere Klasse von Differentialgleichungen beziehungsweise von Randwertproblemen ausgeweitet. Daher wurde auch der Begriff der Greenschen Funktion in einen deutlich allgemeineren Kontext gestellt. Laurent Schwartz übertrug die Greensche Funktion in den Kontext der von ihm entwickelten Distributiontheorie. Dort wird sie selbst als Distribution verstanden und wird oftmals als Fundamentallösung bezeichnet. Andere Autoren bezeichnen sie aber auch im Kontext der Distributionen als Greensche Funktion.