最小相位

title: 逆系统.
content: 一系统formula_1可逆的条件是可以由其输出找到唯一对应的输入,也就是可以找到系统formula_2使得若将formula_1及formula_2二个系统连接,可以得到单位系统formula_5(可以参反矩阵)。  假设formula_7为系统formula_1的输入,其输出为formula_9  将formula_9作为逆系统的输入,可得:  因此可以用逆系统formula_2,找到输出formula_9对应的唯一输入formula_7。
title: 离散时间的例子.
content: 假设系统formula_1是离散时间的线性非时变系统(LTI),可以用冲激响应formula_17("n"为整数)表示。而且,假设系统formula_2的 冲激响应为formula_19。二个线性非时变系统的级联为卷积。上述的关系可以以下式表示:  其中formula_21为克罗内克函数或是离散时间下的单位矩阵。注意其逆系统formula_2不一定要是唯一的。
title: 最小相位系统.
content: 若系统再加上因果性且稳定性的条件时,其逆系统就是唯一的,而且系统formula_1和逆系统formula_2都是最小相位系统。离散系统下因果性及稳定性的条件如下(针对非时变系统,其中的h为系统的冲激响应):
title: 因果性.
content: 及
title: 稳定性.
content: 及  在有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。
title: 频域分析.
title: 离散时间系统的频域分析.
content: 将最小相位应用在离散时间系统中可以看出一些其中的特性,其时域方程序如下。  进行Z转换后可以得到以下的关系。  由于上述关系,可得  为了简单起见,只考虑有理传递函数 "H" ("z")。因果性及稳定性表示所有的"H" ("z")极点都需要严格的在单位圆内(参照有界输入有界输出稳定性)。假设  其中"A" ("z")及"D" ("z")是"z"的多项式。因果性及稳定性会使得"D" ("z")的零点(根)需要严格的在单位圆内(不能在边界上)。而  因此formula_34的因果性及稳定性也会使得为"A" ("z")的零点需要严格的在单位圆内,上述二个条件下,最小相位系统的零点及极点都需要在严格的在单位圆内。
title: 连续时间系统的频域分析.
content: 连续时间系统的分析和离散系统类似,不过会使用拉普拉斯变换,其时域的方程序如下。  其中formula_36为狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是连续时间下的恒等算子,因为其和任意信号"x" ("t")都会有筛选性质。  进行拉普拉斯变换可得到以下S平面的关系。  也可以得到下式  为简化起见,此处也只考虑有理传递函数"H"("s")。因果性及稳定性表示"H" ("s")的所有极点都要严格的在左半S平面(参考有界输入有界输出稳定性)。假设  其中"A" ("s")及"D" ("s")是"s"的多项式。formula_41的因果性及稳定性表示"D" ("s")的所有零点都在左半S平面内,而  formula_41的因果性及稳定性表示"A" ("s")的所有零点都在左半S平面内,因此最小相位系统的最有极点及零点都需要严格的在左半S平面内。
title: 增益响应及相位响应的关系.
content: 不论是连续时间或是离散时间的最小相位系统,都有一个常会用到的性质:增益频率响应的自然对数(增益的对数单位为奈培,和分贝成正比),和频率响应的相角(单位为弧度)有关,两者的关系是希尔伯特转换。在连续时间系统下,令  是系统"H"("s")的复数频率响应。在最小相位系统下,系统"H"("s")的相位响应和增益响应的关系为  以及  若用较精简的方式表示,令  其中formula_48和formula_49都是实数下的实函数,则  及  希尔伯特转换算子定义为  在离散时间系统中也有等效的对应关系。
title: 时域下的最小相位.
content: 针对所有有相同增益响应的因果稳定系统,最小相位系统的能量最集中在冲激响应的开始处,也就是说最小相位系统最小化了以下的函数(可以视为是冲激响应能量的延迟)。
title: 最小相位及最小群延迟.
content: 在所有增益响应相同的因果稳定系统中,最小相位系统的群延迟最小。以下证明可以说明为何该系统有最小的群延迟。  假设考虑传递函数formula_54中的一个零点 formula_55,先让零点formula_55在单位圆内(formula_57),看对群延迟的影响。  因为零点 formula_55 在传递函数中贡献了formula_60的因子,因此其对相位的贡献如下:  formula_66所贡献的相延迟如下。  若将零点formula_55移到单位圆外的对应点,也就是formula_70,上式的分母和formula_71都不会变化,而分子的formula_72大小增加,因此让formula_55在单位圆内可以让群延迟中formula_60的贡献最小化。可以将上述结果延伸到超过一个零点的情形,因为formula_75的相位是各项次相位相加的结果,因此,对于有formula_76个零点的传递函数,  一个所有零点都在单位圆内的最小相位系统可以让群延迟降到最小,因为每个零点对群延迟的贡献都降到最小。
title: 非最小相位系统.
content: 若系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定,原系统即为非最小相位系统(non-minimum-phase)。非最小相位系统和最小相位系统有相同的增益响应,但非最小相位系统的相位贡献会比最小相位系统要大。
title: 最大相位系统.
content: 最大相位系统(maximum-phase)是和最小相位系统有相反特性的系统,最大相位系统也是非最小相位系统(系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定),而且 也就是其逆系统所有的极点都不稳定。  此系统称为最大相位系统的原因是在所有有相同增益响应的系统中,最大相位系统有最大的群延迟。在等增益响应的系统的系统中,最大相位系统有最大的能量延迟。  例如以下是二个连续时间LTI系统的传递函数  这二个系统的增益响应相同,但第二个系统相位移的贡献较大,因此第二个系统是最大相位系统,而第一个系统为最小相位系统。
title: 混合相位系统.
content: 离散时间下的混合相位系统(mixed-phase)有些零点在单位圆内,有些零在单位圆外,其群延迟不是最小值,也不是最大值。连续时间下的混合相位系统则是有些零点在右半平面内,有些零点在右半平面。  例如连续时间系统 是因果稳定系统,但有零点在左半平面,也有零点在右半平面,因此是混合相位系统。
title: 线性相位.
content: 线性相位(linear-phase)系统的群延迟是定值。非平凡的线性相位系统或是接近线性相位系统都是混合相位系统。

Summary: 最小相位(minimum-phase)是控制理论及信号处理中有特殊性质的系统,对于线性时不变系统,若本身为因果系统且稳定,且其逆系统也是稳定的因果系统,此系统即为最小相位系统。

Minimalphasensystem: Das Minimalphasensystem ist ein mehrdeutiger Begriff aus der Systemtheorie sowie den verwandten Disziplinen der Nachrichtentechnik, der Regelungstechnik und der Elektrotechnik. In den verschiedenen Fachgebieten sind unterschiedliche, untereinander nicht konsistente Definitionen gebräuchlich. Beispielsweise kann ein Minimalphasensystem ein lineares zeitinvariantes System bezeichnen, dessen Systemfunktion nur Nullstellen im stabilen Bereich der komplexen Bildebene aufweist oder allgemein (auch für nichtlineare Systeme) dessen Nulldynamik stabil ist. Der Begriff des minimalphasigen Systems gilt sowohl für zeitkontinuierliche als auch zeitdiskrete Systeme. Lineare Systeme, die minimalphasig im Sinne der ursprünglichen Definition von Bode sind, besitzen die Eigenschaft, für einen gegebenen Amplitudenverlauf die kleinstmögliche Gruppenlaufzeit zu besitzen. Häufig wird ein „inverses Antwortverhalten“ der Sprungantwort eines Systems mit dem Begriff der Minimalphasigkeit verknüpft.