布朗运动

title: 定义.
content: 自1860年以来,许多科学家都在研究此种现象,后来发现布朗运动有下列的主要特性:
title: 对于布朗运动之误解.
content: 值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。  一般而言,花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱,相较之下,水分子直径约0.3nm(非球形,故依部位而有些许差异。),略为花粉的十万分之一。因此,花粉难以产生不规则振动,事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中,「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味着「自花粉粒中迸出之微粒子」,而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时,时常受到误解,以为是「水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动」。积非成是之下,在大众一般观念中,此误会已然根深蒂固。 在日本,以鹤田宪次『物理学丛话』为滥觞,岩波书店『岩波理科辞典』、花轮重雄『物理学読本』、汤川秀树『素粒子』、坂田昌一『物理学原论(上)』、平凡社『理科辞典』、福冈伸一著『生物与无生物之间』,甚至日本的理科课本等等,皆呈现错误之叙述。  直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书『植物之SEX‐不为人知的性之世界』中,点出此误谬之前,鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影『回动粒子』(1970年)时,实际摄影漂浮在水中之花粉,却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月,以「外行人与专家之间」为题,解说有关布朗运动之误会。
title: 爱因斯坦的理论.
content: 在1905年,爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分:第一部分定义布朗粒子扩散方程序,其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关,而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式,爱因斯坦可决定原子的大小,一莫耳有多少原子,或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律,所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升,其中包含的原子的数目被称为「阿伏伽德罗常数」。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。  爱因斯坦论证的第一部分是,确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离,因为布朗粒子将会受到大量的撞击,每秒大约发生 10 次撞击。 因此,爱因斯坦将之简化,即讨论一个布朗粒子团的运动。  他把粒子在一个的空间中,把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值(formula_1 或者 "x,"并对其坐标进行变换,让原点成为粒子运动的初始位置)并给出概率密度函数 formula_2。另外,他假设粒子的数量有限,并扩大了密度(单位体积内粒子数量),展开成泰勒级数 。 第一行中的第二个等式是被 formula_4 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数,第二项和其他偶数项(即第一项和其他奇数项)由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系: 拉普拉斯算子之前的系数,是下一刻的随机位移量 formula_1,让 D 为质量扩散系数: 那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程: 假设在初始时刻t = 0时,所有的粒子从原点开始运动,扩散方程的解
title: 数学模型.
title: 定义.
content: 满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动  formula_10是一个布朗运动当且仅当formula_10为鞅,且formula_12也为鞅.
title: 其他定义.
content: 一维的定义  一维布朗运动formula_13是关于时间"t"的一个随机过程,他满足 :  等价定义  一维布朗运动formula_13是关于时间"t"的一个随机过程,他满足 :  高维定义  换句话说,"d"维布朗运动 取值于formula_29,而它在formula_30空间上的投影均为布朗运动。  Wiener测度的定义  设formula_31为从formula_32到formula_33的连续函数空间,formula_34为概率空间。布朗运动为映射 Wiener测度 (或称为布朗运动的分布)设为formula_37,是映射"B"关于formula_38的图测度。  换句话说, "W"是formula_31上的一个概率测度,满足对于任何formula_40,有  备忘
title: 布朗运动的数学构造.
title: 利用Kolmogorov一致性定理.
content: 设formula_59为formula_60空间中一列实值函数。设:  formula_61  这列函数满足:  formula_62,任意的formula_63,矩阵formula_64为对称半正定的。  利用Kolmogorov一致性定理,我们可以构造高斯过程formula_65,它的均值formula_66任意, 协方差为上面定义的formula_67。  当formula_68,formula_69为不依赖于t的常数,formula_70为formula_71上的示性函数。则:  formula_72  在这个情况下,矩阵formula_64是对称且正定的。  我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0,协方差为s。formula_74,当formula_75时, 称之为 标准的布朗运动.
title: 利用随机过程.
content: Donsker定理(1951)证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。 其中("U", "n" ≥ 1) 独立同分布, 均值为0,方差为"σ"的随机变量序列。
title: 利用傅立叶级数.
content: 设2列独立的正态formula_77随机变量序列formula_78和formula_79。定义formula_80: 为布朗运动。  https://web.archive.org/web/20171109201456/http://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion

Summary: 布朗运动(Brownian motion)是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

Brownsche Bewegung: Die brownsche Bewegung ist die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 unter dem Mikroskop entdeckte unregelmäßige und ruckartige Wärmebewegung kleiner Teilchen in Flüssigkeiten und Gasen. Der ebenfalls gebräuchliche Name brownsche Molekularbewegung rührt daher, dass das Wort "Molekül" damals noch generell zur Bezeichnung eines kleinen Körpers gebraucht wurde. Moleküle im heutigen Sinn sind aber noch um Vieles kleiner als die im Mikroskop sichtbaren Teilchen und bleiben hier vollständig unsichtbar. Die Moleküle der umgebenden Materie bringen aber die brownsche Bewegung hervor. Nach der 1905 von Albert Einstein und 1906 von Marian Smoluchowski gegebenen Erklärung wird die im Mikroskop sichtbare Verschiebung der Teilchen dadurch bewirkt, dass die Moleküle aufgrund ihrer ungeordneten Wärmebewegung ständig und aus allen Richtungen in großer Zahl gegen die Teilchen stoßen und dabei rein zufällig mal die eine Richtung, mal die andere Richtung stärker zum Tragen kommt. Diese Vorstellung wurde in den folgenden Jahren durch die Experimente und Messungen von Jean Baptiste Perrin quantitativ bestätigt. Die erfolgreiche Erklärung der brownschen Bewegung gilt als Meilenstein auf dem Weg zum wissenschaftlichen Nachweis der Existenz der Moleküle und damit der Atome.