歐拉運動定律

title: 刚体.
title: 欧拉第一运动定律.
content: 欧拉第一定律表明,从某惯性参考系观测,施加于刚体的净外力,等于刚体质量与质心加速度的乘积。欧拉第一定律以方程序表达为  其中,formula_2 是刚体感受到的净外力,formula_3 、formula_4 分别是刚体的质量、质心加速度。  刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子,感受到同样的净外力,而呈现的运动。
title: 导引.
content: 思考由 formula_5 个粒子组成的多粒子系统,其质心位置 formula_6 为  其中,formula_8 、formula_9 分别为第 formula_10 个粒子的质量、位置,formula_11 是系统的质量。  质心速度 formula_12 为  其中,formula_14 是第 formula_10 个粒子的速度。  质心加速度 formula_16 为  其中,formula_18 是第 formula_10 个粒子的加速度。  第 formula_10 个粒子感受到的力 formula_21 为 其中,formula_23 是这粒子感受到的外力,formula_24 是第 formula_25 个粒子施加于第 formula_10 个粒子的内力。  系统感受到的净力 formula_27 是所有粒子感受到的力的向量和:  根据牛顿第三定律,内力与其反作用力的关系为  所以,所有粒子彼此施加于对方的内力的向量和为零,净力等于所有外力的向量和 (净外力 formula_2 ):  根据牛顿第二定律,第 formula_10 个粒子感受到的力 formula_21 与这粒子的加速度之间的关系为  总和所有粒子所感受到的力,  所以,净外力 formula_2 与质心加速度的关系为
title: 动量守恒定律.
content: 多粒子系统的动量 formula_38 是组成这系统的所有粒子的动量的向量和:  其中,formula_40 是第 formula_10 个粒子的动量。  欧拉第一定律又可以表达为  假设净外力为零,则系统的动量守恒。
title: 欧拉第二运动定律.
content: 欧拉第二定律表明,设定某惯性参考系的固定点O(例如,原点)为参考点,施加于刚体的净外力矩,等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程序表达为  其中,formula_44 是对于点O净外力矩,formula_45 是对于点O的角动量。
title: 导引.
content: 思考由 formula_5 个粒子组成的多粒子系统。对于点O,第 formula_10 个粒子的角动量 formula_48 为  formula_48 对于时间的导数为  根据牛顿第二定律,施加于第 formula_10 个粒子的力 formula_21 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以,formula_48 对于时间的导数为  第 formula_10 个粒子所感受到的净力矩 formula_57 为 formula_58 。所以,formula_57 与 formula_48 的关系为  总和所有粒子所感受到的净力矩,系统所感受到的净力矩 formula_62 与其角动量 formula_45 的关系为  第 formula_10 个粒子所感受到的净力 formula_66 为  第 formula_10 个粒子所感受到的净力矩 formula_57 为  物体感受到的净力矩 formula_62 为:  应用牛顿第三定律,  其中,formula_74 是从粒子 formula_75 到粒子 formula_9 的位移向量。  假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律,即粒子运动为经典运动,速度超小于光速,则formula_77 与 formula_24 同向,叉积为零。那么,物体感受到的净力矩是所有外力矩的向量和 formula_79 :  这样,可以得到欧拉第二定律方程序  假设施加于系统的净外力矩为零,则系统的角动量的时间变化率为零,系统的角动量守恒。
title: 相对于质心的欧拉第二运动定律.
content: 所有粒子所感受到的净力矩的向量和为  其中,formula_83 、formula_84 分别是第 formula_10 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。  注意到所有粒子的相对位移与相对加速度,其向量和分别为零,所以,  现在,假设将质心设定为参考点,则 formula_87,方程序变为  以质心为参考点,角动量 formula_89 为  所以,不论质心参考系是否为惯性参考系(即不论质心是否呈加速度运动),以质心为参考点,净外力矩等于角动量的时间变化率:
title: 可变形体.
content: 在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样,也就是说,其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常,牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动,但在连续介质力学里,被加以延伸后,可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成,每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律,则可以推导出欧拉运动定律。不论如何,欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理,与物体结构无关。  在塑性力学(plasticity theory)里,施加于一个连续物体B的力可以分类为两种:「长程力」与「短程力」。长程力作用于整个物体的每一部分,称为彻体力(英语:body force),而短程力只能作用于物体表面,称为接触力(英语:contact force)。这样,施加于连续物体的净力 formula_92 分为净彻体力 formula_93 、净接触力 formula_94 :  其中,formula_97 是彻体力场(量纲为力每单位质量),formula_98 是微小质量元素,formula_99 是质量密度,formula_100 是微小体元素,formula_101 是积分体区域,formula_102 是表面曳力(英语:surface traction)密度,formula_103 是微小面元素,formula_104 是积分曲面。  由于彻体力与接触力施加于物体,造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样,对于原点的净力矩 formula_105 分为净彻体力矩 formula_106 、净接触力矩 formula_107 :  其中,formula_110 是微小体元素或微小面元素的位置。  欧拉第一定律(「力平衡定律」)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的净外力等于净动量的时间变化率:  也就是说,  其中,formula_113 是微小体元素的速度。  欧拉第二定律(「角动量平衡定律」)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的净力矩等于净角动量的时间变化率:  也就是说,

Summary: 欧拉运动定律(英语:Euler's laws of motion)是牛顿运动定律的延伸,可以应用于多粒子系统运动或刚体运动,描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪,于1750年,莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。

Cauchy-eulersche Bewegungsgesetze: Die cauchy-eulerschen Bewegungsgesetze von Augustin-Louis Cauchy und Leonhard Euler sind die lokalen Formen der Impuls- und Drehimpulsbilanz in der Kontinuumsmechanik. Es sind Bewegungsgleichungen, die, wenn sie in jedem Punkt eines Körpers erfüllt sind, sicherstellen, dass die Bewegung des Körpers als Ganzes – inklusive Verformungen – der Impuls- bzw. Drehimpulsbilanz gehorcht.