正交变换

title: 性质.
content: 1. 正交变换formula_25不会改变向量间的正交性,如果formula_1和formula_2正交,则formula_3和formula_4亦为正交。  formula_30  根据毕氏定理,正交变换后的向量会符合下式:  formula_31  因为正交变换属于线性转换:  formula_32  正交变换前后向量的长度相同:  formula_33  再根据毕氏定理,且和正交:  formula_34  再根据正交变换的性质,正交变换前后向量的长度相同:  formula_35  2. 如果formula_36和formula_37皆为正交矩阵,则formula_38亦为正交矩阵。  formula_30  令一正交变换为:  formula_40  正交变换后长度不变:  formula_41  3. 如果formula_36为正交矩阵,formula_36的反矩阵formula_44亦为正交矩阵。  formula_30  令一正交变换为:  formula_46  单位矩阵formula_47和formula_48相乘为formula_48自己,且矩阵和反矩阵相乘为单位矩阵:  formula_50  正交变换后长度不变:  formula_51  4. 正交变换容易做反运算  formula_30  令ㄧ正交矩阵formula_36,formula_36和formula_55相乘为一对角矩阵formula_56,其中上标formula_57表示Hermitain运算。  formula_58  将formula_56乘上自己的反矩阵formula_60可得一单为矩阵formula_47。  formula_62  又formula_56可分解为formula_36和formula_55  formula_66  根据上式,将两侧乘上formula_36的反矩阵formula_44即可得知的反矩阵知公式。  formula_69  计算formula_56的反矩阵formula_60比直接求反矩阵容易,只要相对角线之值做倒数即可。如果formula_72的每一行皆为单位向量,则:  formula_73  5. 对于正交变换formula_25,如果formula_1和formula_2可以做内积,formula_3和formula_4做内积之值等于formula_1和formula_2做内积之值。  formula_30  根据极化恒等式:  formula_82  将上式代入formula_3和formula_4:  formula_85  因为formula_25为线性转换,转换前做加减法和转换后做加减法之值应相同:  formula_87  正交变换前后向量的长度相同:  formula_88  再根代入formula_1和formula_2之据极化恒等式:  formula_91
title: 范例和应用.
content: 正交变换的种类非常的广,像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都属于正交变换。对矩阵做旋转或是镜射也属于正交变换。这里会举出一些简单的正交变换例子。  1. 对于formula_92以subspace formula_93为基准做镜射(formula_93 in formula_8),令formula_96为平行之向量,formula_97为正交之向量:  formula_98  因为formula_96和formula_97互为正交,可以根据毕氏定理做分解:  formula_101  2. 这里以DFT为例证明DFT矩阵为正交矩阵,对于formula_11点DFT,可得一个formula_103矩阵,且formula_104:  formula_105  formula_106为symmetric矩阵,令的formula_106每个列为:  formula_108  令任意二列做内积:  formula_109  上式可以化成pulse function,只有列和自己做内积才为formula_110,即:  formula_111  3. 正交变换可以参数计算变得容易,令formula_112为正交矩阵的列,列彼此互相正交,formula_113而为formula_112对应之参数,即给定下式中的formula_115和formula_112,参数formula_113之值可以很容易的计算出来。  formula_118  如果要求出formula_119,则将上式与formula_120做内积:  formula_121  因为在formula_122时,formula_112和formula_120做内积为0,可得下式:  formula_125  最后同除formula_126即可得到对应之参数:  formula_127  4. 在讯号压缩上,对于原始讯号:  formula_118  假设进行压缩,要压缩成:  formula_129  当formula_130时,formula_131越大,formula_132越小  5. 在通讯应用上,会利用正交基来和讯号做调变,正交的特性会使通道间不会互相干扰。
title: 参考文献.
content: 3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf  4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides] http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf  5. (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf

Summary: 在线性代数中,正交变换是线性变换的一种。如果对于任意向量formula_1和formula_2其内积等于正交转换后之向量formula_3和formula_4之内积,则称之为正交变换。

Orthogonale Abbildung: Eine orthogonale Abbildung oder orthogonale Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält. Orthogonale Abbildungen sind stets linear, injektiv, normerhaltend und abstandserhaltend. Im euklidischen Raum können orthogonale Abbildungen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden und beschreiben Kongruenzabbildungen, beispielsweise Drehungen oder Spiegelungen. Die bijektiven orthogonalen Abbildungen eines Skalarproduktraums in sich bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Untergruppe der Automorphismengruppe des Raums. Die Eigenwerte einer solchen Abbildung sind nicht notwendigerweise reell, sie besitzen jedoch alle den komplexen Betrag eins.