外代数

title: 定义及运算律.
content: 外代数有很多种等价的定义,下面的定义是最简洁的一个。  定义: 设 formula_1是域 formula_39上的一个向量空间,让formula_40则定义 令 formula_27为 formula_1的张量代数的理想(即双边理想),该理想是由所有形如formula_44的张量生成的(其中formula_45任意),则将formula_1上的外代数formula_47定义为商代数formula_48,即  并且把formula_50的等价类 formula_51记为formula_52,其中 formula_53。设formula_54 称  为formula_1的formula_18-阶外幂(formula_18th exterior power of formula_1),称formula_60中的元素为formula_18-向量(formula_18-multivector)。  注:  运算律 将上面的注中的内容用formula_106写出,则分别给出  (1) formula_107, formula_108  证明如下: 作为等价类,我们从formula_109中任意挑选一个代表元formula_110,则formula_95而且formula_112。根据商代数的定义,  类似地,可以证明formula_114  (2) 根据注3.1中的内容,显然有formula_115.  (3) 根据注3.2中的内容,对任意formula_116成立着  注:即使formula_39的特征为2,这个公式也是对的,只不过此时有formula_119而已。  (4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质,运算formula_120满足结合律和分配律:  其中formula_124都是任意的。  以前两条性质为例,其证明如下:设张量formula_125分别是formula_126中的代表元,即formula_127, formula_128, formula_129, 则  (5) 根据上面的(3)和(4),用数学归纳法可以证明:formula_132 证明从略。
title: 基底和维数.
content: 若formula_1的维数是formula_135而formula_136是"formula_1"的基,则集合  是formula_18阶外幂formula_23的一个基。理由如下:给定任何如下形式的楔积  则每个向量formula_142可以记为基向量formula_143的一个线性组合;利用楔积的双线性性质,这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0;任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序,在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲,最后基formula_18-向量前的系数可以用通过积"formula_143"来描述"formula_142"的矩阵的子式来计算。  数一下基元素,我们可以看到formula_23的维数是"n" 取 "k"。特别的有, formula_148对于formula_149.  外代数是一个分级代数,是如下直和  其维数等于二项式系数之和,也就是formula_151.
title: 例子: 欧氏三维空间的外代数.
content: 考虑空间formula_152,其基为formula_153。一对向量 的楔积为  其中formula_157是三维空间formula_158的基底。  再加一个向量 这三个向量的楔积是  其中formula_161是一维空间formula_162的基底。  空间formula_163是formula_152, 而空间formula_165是formula_166。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间formula_167,这是八维向量空间  那么,给定一对8维向量formula_169和formula_170, 其中formula_169如上给出,而  formula_169和formula_170的楔积如下(用列向量表达),  容易验证8维楔积以向量formula_176为乘法幺元。也可以验证该formula_167代数的楔积是结合的(也是双线性的):  所以该代数是有单位且结合的。
title: 叉乘的实质,赝向量与赝标量.
content: 对三维欧几里得空间formula_179可以建立一个线性同构formula_180如下:任取formula_179的右手的标准正交基formula_182,formula_183,formula_184,规定formula_185把formula_186,formula_187,formula_188分别映射为formula_184,formula_182,formula_183,则formula_185的定义与右手的标准正交基如何选取无关。  不难看出,对任意向量formula_193和formula_194,这个线性同构把formula_195映射为formula_196。这就是叉乘(向量积)的实质。例如,formula_179中平行四边形formula_198的面积向量可以表示为formula_199,推广之后,高维黎曼流形formula_200中的紧的二维曲面formula_201的面积用  来计算(其中formula_203是度规张量场formula_204在formula_201上的诱导度规 formula_206 的坐标分量),由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。  物理学中经常要区分的向量(极向量)与赝向量(轴向量)这两个概念,现在就容易理解了:从根本上说,向量是formula_179中的元素,所以在空间反演变换下不会改变方向;而赝向量其实是formula_208中的元素,故在空间反演变换下会改变方向。  类似地,借助于右手的标准正交基,可以把formula_209中的元素formula_210映射为“标量"formula_211。但是,在空间反演变换下它就会原形毕露,所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的,而赝标量在空间反演下会改变符号。  把 2-向量formula_195映射为向量formula_196以及把 3-向量formula_210映射为一个实数formula_169的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。
title: 泛性质及构造.
content: 令formula_1为一个域formula_39(在多数应用中,也就是实数域)上的向量空间。formula_218是“最一般”的包含formula_1的并有一个交替乘法在"formula_1"上由单位的结合"formula_39"-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达:  要构造最一般的包含"formula_1"的代数,而且其乘法是在"formula_1"上交替的,很自然可以从包含"formula_1"的最一般的代数开始,也就是张量代数formula_225,然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取formula_225中由所有形为formula_227的元素生成的双边理想formula_27,其中formula_33属于"formula_1",并定义formula_218为商  (并且使用formula_5为formula_218中的乘法的代号)。然后可以直接证明formula_218包含"formula_1"并且满足上述泛性质。  如果不是先定义formula_218然后把外幂formula_23等同为特定的子空间,我们也可以先定义空间formula_23然后把它们合并成为一个代数formula_218。这个方法在微分集合中常常用到,并在下节中有描述。
title: 反对称算子和外幂.
content: 给定两个向量空间"formula_1"和formula_242,一个从formula_243到"formula_242"的"反对称算子"是一个多线性映射  使得只要formula_16是"formula_1"中线性相关的向量,则  最著名的例子是行列式值,从formula_249到formula_39的反对称线形算子。  映射  它关联"formula_1"中的formula_18个向量到他们的楔积,也就是它们相应的"formula_18"-向量,这也是反对称的。事实上,这个映射是定义在"formula_243"上的“最一般”的反对称算子:给定任何其它反对称算子formula_245,存在一个唯一的线性映射formula_257。这个泛性质表述了空间formula_23并且可以作为它的定义。  所有从"formula_243"到基域"formula_39"的反对称映射组成一个向量空间,因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若"formula_1"是有限维的,维数formula_135,则该空间可以认同为formula_263,其中formula_264表示"formula_1"的对偶空间。特别的有,从"formula_243"到"formula_39"的反对称映射的空间是formula_135取"formula_18"维的。  在这个等同关系下,若基域是formula_270或者formula_271,楔积有一个具体的形式:它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设formula_272和formula_273为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样,楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下:  其中多线性映射的交替formula_275定义为其变量的所有排列的带符号平均:  注意: 有一些书中楔积定义为
title: 指标记法.
content: 在主要由物理学家使用的指标记法中
title: 微分形式.
content: 令formula_279为一个微分流形。一个微分"k"-形式formula_280是formula_281(formula_279的余切丛的formula_18阶外幂)的一个截面。等价的有:formula_280是formula_279的光滑函数,对于formula_279的每个点formula_287给定一个formula_288的元素。大致来讲,微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具,其中,它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
title: 推广.
content: 给定一个交换环formula_270和一个"formula_270"-模"formula_279",我们可以定义和上文一样的外代数formula_292,它是张量代数formula_293适当的商。它会满足类似的泛性质。
title: 物理应用.
content: 格拉斯曼代数在物理中有重要应用,它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。  "参看":超空间,超代数,超群

Summary: 外代数(英语:Exterior algebra)也称为格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以纪念赫尔曼·格拉斯曼。

Graßmann-Algebra: Die Graßmann-Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums formula_1 ist eine assoziative, schiefsymmetrisch-graduierte Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten Tensoralgebra von formula_1 und wird durch formula_3 dargestellt. Die Multiplikation wird als äußeres Produkt, Keilprodukt, Dachprodukt oder Wedgeprodukt bezeichnet. Ein Spezialfall dieses Produkts ist mit dem Kreuzprodukt verwandt. Anwendung findet dieser Kalkül nicht nur in der elementaren linearen Algebra (zum Beispiel in der Theorie der Determinanten), sondern vor allem in der algebraischen Geometrie und der Differentialgeometrie als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden Differentialformen auf Élie Cartan zurück, der damit die bestehenden Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1846 von Hermann Graßmann betrachtet.