选择公理

title: 陈述.
content: 首先定义几个概念:  集族:指由非空集合组成的集合。  选择函数:它是一个集族上的函数。它规定:对于所有在集族formula_5中的集合formula_6,formula_7是"formula_6"的一个元素。  那么,选择公理表示:  上述可表示为: 或者:  该定理也可表达为:
title: 变体.
content: 第二个版本的选择公理声称:  第三个版本声称:  使用这个版本的作者通常谈及“在"formula_13"上的选择函数”,但要注意这里选择函数的概念是稍微不同的。它的定义域是"formula_13"的幂集(减去空集),因此对任何集合"formula_13"有意义;至于本文中其他地方用的定义,在“集合的搜集”上的选择函数的定义域是这个搜集,所以只对集合的集合有意义。透过这个变体的定义,选择公理也可以简洁的陈述为 它等价于  而选择公理的否定表达为:
title: 术语(AC,ZF,ZFC).
content: 以下列出了这篇条目中各种与“选择公理”相关的缩写:
title: 使用.
content: 直到19世纪晚期,选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如,建立了只包含非空集合的集合formula_5之后,当时的数学家可能会直接说"设对于"formula_5"中所有formula_6有formula_30是"formula_6"的成员之一"。一般来说,要是不用选择公理,是不可能证明formula_32的存在性的。这一点直到策梅洛之前似乎没有引起人们的注意。  不是所有的情况都需要选择公理。选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是,对于有限集合"formula_5",选择公理的有限版本可以通过其他集合论公理推导得出。在这种情况下,它等价于说我们有多个(有限数目的)盒子,每个包含至少一个物体,则我们可以从每个盒子恰好选择一个物体。显然我们可以这么做:从第一个盒子开始,选择其中的一个物体;到下一个盒子,选择一个物体;如此类推。因为盒子数量有限,所以我们的选择过程最后一定会结束。这里给出的选择函数是明确的:第一个盒子对应于第一个选择的物体,第二个盒子对应于第二个选择物体;如此类推——此法之所以可行,是因为序对公理的原因。可以通过数学归纳法做出对所有有限集合的形式证明。
title: 例子.
content: 对于特定的无限集合"formula_5",也可以避免使用选择公理。例如,假设"formula_5"的元素是自然数的集合。每个自然数的非空集合都有一个最小元,所以要指定我们的选择函数,我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元。这使得我们可以从每个集合明确地选择元素,以及写出一个明确的表达式,说明我们的选择函数如何取值。在能够指定一个明确选择方式的时候,选择公理都是没有必要的。  当缺乏从每个集合得到元素的直观选择方式时,困难就出现了。如果我们不能做明确的选择,我们如何知道我们的这个集合存在?例如,假设"X"是实数的所有非空子集的集合。首先我们也许想套用有限的情况去处理"formula_5"。如果我们尝试从每个集合选择一个元素,那么,因为实数集合是无限不可数,我们的选择过程永远不会结束。亦因如此,我们永远不能生成对"formula_5"的成员的选择函数。所以这种方法不能奏效。其次我们可以尝试给每个集合指定最小元素这种方式。但是某些实数的子集没有最小元素。例如,开区间formula_38没有最小元素:如果formula_39在formula_38中,则formula_41也在其中,而formula_41总是严格的小于formula_39。所以这种方法也不行。  我们之所以能够从自然数的非空子集选择最小元素,是因为自然数上有一个自然良序:所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。  因此,我们可以采取这样的思路,「即使实数的正常排序并非良序,也有可能找到一个排序使得实数是良序的。在这个排序下,总能够选择实数非空子集的最小元素。这样便得到了选择函数」。问题就变成如何构造这样的排序。而事实上,“存在一个排序使得所有集合可以是良序的”这一命题成立,当且仅当选择公理为真。  有必要用到选择公理的证明总是非构造性的:即使证明给出了一个对象,精确地说出那个对象却是不可能的。如果我们不能写出选择函数的定义,则我们的选择就不是非常明确的。这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。例如,构造主义者论断说所有涉及存在性的证明都应当是完全明确的;构造任何存在的对象应当是可能的。他们拒绝选择公理,因为它断言了不能具体描述是什么的对象的存在。
title: 构造性数学.
content: 像上面讨论的那样,在ZFC中,选择公理能为一个不能明确构造出的对象给出“非构造性证明”来证明其存在性。然而,ZFC依然是在经典逻辑下被形式化的。在构造性数学领域,选择公理仍被深入研究,而当中应用的是非古典逻辑。在构造性数学的不同版本中,选择公理的状况也有所差别。  在直觉类型论和高阶的Heyting算术中,选择公理的适当陈述(按照推导方式)可以是作为一个公理,又或者作为一个可证明的定理。埃里特‧毕夏普认为选择公理可被视作是构造性的: 但在构造性集合论中,迪亚科内斯库定理表明选择公理蕴涵了排中律(在直觉类型论中,选择公理不蕴涵排中律)。因此选择公理在构造性集合论中并非普遍被接受。在类型论中的选择公理与在构造性集合论中的选择公理的区别是,前者不具有外延性而后者具有。  一些构造性集合论的结果用到了可数选择公理或相依选择公理,这两个公理在构造性集合论内并不蕴涵排中律。尽管可数选择公理在构造性数学中的应用特别广泛,它的使用也受到质疑。
title: 强形式公理.
content: 可构造性公理与连续统假设都蕴涵了选择公理,更准确地说,两者都严格强于选择公理。在类理论中,如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和Morse–Kelley集合论,存在一个叫全局选择公理的公理,它比选择公理要强,因其同时也适用于真类。全局选择公理可由大小限制公理推出。
title: 结论.
content: 哥德尔证明了选择公理与ZF的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理独立于ZF。

Summary: 选择公理(英语:Axiom of Choice,缩写AC)是数学中的一条集合论公理。这条公理声明,对所有非空指标集族formula_1,总存在一个索引族formula_2,对每一个formula_3,均有formula_4。选择公理最早于1904年,由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。

Auswahlaxiom: Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, also eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“. Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.