史上最難邏輯謎題

title: 历史.
content: Boolos 将发明此谜题的功劳归于雷德蒙·斯穆里安,而「不知 da, ja 为何义」的变奏则归功于程序语言 Lisp 的发明者及图灵奖得主约翰·麦卡锡。斯穆里安创作过许多著名的「武士与无赖谜题」(Knights and Knaves puzzles),譬如在一个虚构的岛上,岛民若非只说真话的武士,就是只说谎的无赖,而谜题的主旨,就是问访客如何靠询问一些只有「是/否」两种答案的问题,来获取所需情报。1986年电影《魔幻迷宫》(Labyrinth)也有此等情节:有两道门,各由一名门卫把守。一道门通向城堡,进入另一道则肯定引致死亡。门卫之中,一个说真话,一个只说谎。主角要靠问一条问题来找出通往城堡之路。最后主角问的是:「他(即另一名门卫)会否说这道门通往城堡?」  广义来说,「史上最难逻辑谜题」可视为这类「武士与无赖谜题」的伸延。从斯穆里安的著作中,亦可找到类似的谜题。例如在《What is the Name of This Book》第149-156页,他就描写一个海地岛屿,当中一半住民为只说谎话的丧尸,另一半住民为只说真话的人类。尽管全体居民都谙英语,但古老的禁忌禁止他们用土话以外的语言交流。若问他们一条只有「是/否」答案的问题时,他们会回答 Bal 或 Da — 其中有一个解「是」,另一个解「否」,但岛外人事前不知哪个才是「是」,哪个才是「否」。另一著作《The Riddle of Sheherazade》亦有其他相关谜题。
title: Boolos 的解答.
content: 此谜题有多个解答。Boolos 在原文中提出了其中之一(下一节将介绍另一个由 Rabern and Rabern (2008)设计,相当简洁易明的解答)。他的解答之中,第一条问题的目的,在于找出一位并非任性的神。这是最关键的一步。Boolos 在原文中详述了这步是如何设计出来,但此处不赘。他的问题,是问 A:  上述问题用了逻辑学的术语「当且仅当」,一般人可能难于理解。然而,运用真值表计算,可以证明以上问题等价于以下者:  之后两条问题的发问对象,取决于第一条问题的答案。若 A 回答 da,余下两条问题将向 C 发问;若 A 回答 ja,余下两条问题将向 B 发问。可以证明,以此计策选出来的发问对象,必然是真实之神或虚谎之神两者之一,而绝非任性之神。  第二条问题的目的,是在不明 da 及 ja 语义的情况之下,确认发问对象(已知为真实或虚谎两者之一)的身份。问题内容是:  或者等价而简单地问:  可以证明,不管 da, ja 两者哪个指「是」,哪个指「否」,只要对方回答 da,就表示祂是真实之神;若回答 ja,则为虚谎之神。  由于第二条问题的发问对象(视乎情况,是 B 或 C)的身份已经锁定,只要 A 的身份也能确知,余下一神的身份亦可推得。因此,此时我们所关心的命题为  暂且不理 X 的内涵,先视它为一般命题。第三条问题的重点,是面对真实(或虚谎)之神,如何在 da, ja 语义不明的情况之下,针对任意的命题 X,设计出一条可以套出 X 真伪的复合问题 Q(X)。Boolos 所用的,是如下的复合问题——  换成一般人也能理解的问法,就是:  那么: 将 X 换回具体内容「A 是任性」,第三条问题就是:  或者等价地:  因此:  既知第二、三两条问题的发问对象(视乎情况,是 B 或 C)与 A 的身份,余下一神的身份可用消去法得知。留意谜题并无要求找出 da 及 ja 的语义,而 Boolos 提供的解答亦不能保证可解释两者的意思。
title: Rabern and Rabern 的解答.
content: Rabern and Rabern (2008) 发现,只要利用一种特殊的复合问题,就可以将所谓「史上最难逻辑谜题」转化为一道极为显浅的谜题。  首先,对任何问题 Q,都可以定义如下的内嵌问题 (embedded question): Rabern and Rabern 证明了以下引理。 利用此引理,原来的谜题可以转化成以下的简单谜题: 这个简化版的谜题很容易解决。譬如设定三条问题如下—— 那么 A, B, C 的身份可以轻易用以下策略套出: <br>  现在要将以上策略转化回解决 Boolos 谜题的方案。首先,将「真实、虚谎、任性」三神随意标签为 Zephyr, Eurus, Aeolus 三者,例如 Zephyr=任性、 Eurus=真实、Aeolus=虚谎(实际上如何标签三位神祇,并不重要),于是 Q, Q, Q 变成 然后,从简化版谜题的发问流程中,将「是」换成 "ja",「否」换作 "da",并将每项问题 Q 置换成内嵌问题 E(Q),即可得出 Boolos 谜题的解: <br>  简化版谜题的任何其他解答,均可以如法炮制成解决 Boolos 谜题的方案。
title: 无法解答的问题和神祇爆掉的脑袋.
content: Rabern and Rabern 的解答中进一步设计了悖论式的问题,如,你会对这个问题用“否”在你的语言中对应的词来回答吗?  对于真实之神,这个问题是无法回答的,因为怎么回答都会造成矛盾。于是 Rabern and Rabern 说明了问一个神问题,实际上有三种可能性:回答 ja,回答 da,或者脑袋爆掉。在这样的设计下,Rabern and Rabern 给出了一个只需要问两个问题就能识别所有神的方案。

Summary: 史上最难逻辑谜题(意大利文:"L'indovinello più difficile del mondo";英文:"The Hardest Logic Puzzle Ever")乃美国哲学与逻辑学家 George Boolos 一篇文章的标题及其所载谜题的名称。该文章于1992年先刊登在意大利《共和报》上,到了1996年再在《哈佛哲学评论》刊登英语版。谜题乃改编自美国逻辑学家雷德蒙·斯穆里安的创作,其内容如下:

Das schwierigste Rätsel der Welt: Das schwierigste Rätsel der Welt ist ursprünglich ein logisches Rätsel Raymond Smullyans, das im Rahmen eines Artikels des US-amerikanischen Philosophen und Logikers George Boolos publiziert wurde. Zunächst 1992 veröffentlicht unter dem Titel L'indovinello più difficile del mondo in der italienischen Tageszeitung "La Repubblica", erschien es 1996 in "The Harvard Review of Philosophy" unter dem englischen Titel "The Hardest Logic Puzzle Ever" erneut. Das Rätsel handelt von drei Göttern, von denen einer stets die Wahrheit sagt, einer immerzu lügt und ein weiterer zufällig die Wahrheit sagt oder lügt. In ihrer eigenen Sprache antwortend, gilt es die drei Götter mithilfe von nur drei Ja/Nein-Fragen zu identifizieren.