矩陣範數

title: 定义.
content: 赋范向量空间是拓扑向量空间中的基本种类。通过赋予向量空间(线性空间)以范数,建立拓扑结构。考虑系数域formula_1(formula_1可以是实数域formula_3或复数域formula_4等)上的所有formula_5矩阵所构成的向量空间formula_6。这是一个有formula_7维的formula_1-向量空间。可以如同对其他的有限维formula_1-向量空间一样,为矩阵空间formula_6装备范数。这样的范数称为formula_6上的一个矩阵范数。  依照范数的定义,一个从formula_6映射到非负实数的函数formula_13满足以下的条件:  此外,某些定义在方块矩阵组成空间formula_23上的矩阵范数满足一个或多个以下与的条件:  一致性特性(英语:consistency property)也称为次可乘性(英语:sub-multiplicative property)。某些书籍中,矩阵范数特指满足一致性条件的范数。
title: 常见矩阵范数.
content: 满足以上设定的矩阵范数可以有多种。由于它们都是定义在formula_6这个有限维向量空间上的范数,所以实质上是等价的。常见的矩阵范数通常是在矩阵的应用中自然定义或诱导的范数。
title: 向量范数诱导的矩阵范数.
content: 考虑从向量空间formula_29映射到formula_30的所有线性映射的构成的空间:formula_31。设formula_32和formula_33中分别装备了两个向量范数formula_34和formula_35,则可以定义formula_31上的算子范数formula_37:  而给定了基底后,每个从formula_32映射到formula_33的线性映射都可以用一个formula_41的矩阵来表示,所以同样地可以定义formula_6上的非负映射formula_43:  可以验证,formula_43满足矩阵范数的定义,因此是一个矩阵范数。这个矩阵范数被称为是由向量空间范数诱导的矩阵范数,可以看作是算子范数在由有限维向量空间之间线性映射组成的空间上的特例。如果formula_46,所对应的矩阵空间就是formula_47阶方块矩阵空间formula_23。这时可以验证,诱导范数formula_43满足一致性条件。
title: p-范数诱导的矩阵范数.
content: 当formula_32和formula_33中装备的向量范数都是formula_52-范数的时候,诱导的矩阵范数也称为矩阵的诱导formula_52-范数。具体来说就是:  在formula_55和formula_56的情况下,其范数可以以下方式计算:  这些与矩阵的Schatten "p"-范数不同,也可以用formula_58。来表示。  当"p" = 2(欧几里德范数)时,诱导的矩阵范数就是谱范数。矩阵"A"的谱范数是"A"最大的奇异值或半正定矩阵"A""A"的最大特征值的平方根: 其中"A"代表"A"的共轭转置。  任何诱导的矩阵范数都满足此不等式 其中ρ("A")是"A"的谱半径。事实上,可以证明ρ("A")是"A"的所有诱导范数的下界。  此外,我们有
title: 矩阵元范数.
content: 这些向量范数将矩阵视为formula_41向量,并使用类似的向量范数。  举例说明,使用向量的"p"-范数,我们得到:  注:不要把矩阵元p-范数与诱导p-范数混淆。
title: 弗罗贝尼乌斯范数.
content: 对"p" = 2,这称为弗罗贝尼乌斯范数(Frobenius norm)或希尔伯特-施密特范数(Hilbert–Schmidt norm),不过后面这个术语通常只用于希尔伯特空间。这个范数可用不同的方式定义:  这里"A"表示"A"的共轭转置,"σ"是"A"的奇异值,并使用了迹函数。弗罗贝尼乌斯范数与"K"上欧几里得范数非常类似,来自所有矩阵的空间上一个内积。  弗罗贝尼乌斯范数是服从乘法的且在数值线性代数中非常有用。这个范数通常比诱导范数容易计算。
title: 极大值范数.
content: 极大值范数是"p"=∞的元素范数,
title: Schatten范数.
content: Schatten范数出现于当p-范数应用于一个矩阵的奇异值向量时。如果奇异值记做"σ",则Schatten "p"-范数定义为 这个范数与诱导、元素"p"-范数使用了同样的记号,但它们是不同的。  所有Schatten范数服从乘法。它们也都是酉不变的,这就是说||"A"|| = ||"UAV"|| 对所有矩阵"A"与所有酉矩阵"U"和"V"。  最常见的情形是"p" = 1, 2, ∞。"p" = 2得出弗罗贝尼乌斯范数,前面已经介绍过了。"p" = ∞得出谱范数,这是由向量2-范数诱导的矩阵范数(见下)。最后,"p" = 1得出迹范数(核范数),定义为
title: 一致范数.
content: 一个formula_68上矩阵范数formula_69称为与formula_70上向量范数formula_71以及formula_72上向量范数formula_73一致,如果 对所有formula_75。根据定义,所有诱导范数是一致范数。
title: 范数的等价.
content: 对任何两个向量范数||·|| and ||·||,我们有  对某个正数"r"与"s",formula_68中所有矩阵"A"成立。换句话说,它们是等价的范数;它们在formula_68上诱导了相同的拓扑。  此外,当formula_79,则对任何向量范数  一个矩阵范数||·||称为“极小的”,如果不存在其它矩阵范数||·||满足||·||≤||·||。
title: 范数等价的例子.
content: 对矩阵formula_80如下不等式成立:  这里,||·||表示由向量"p"-范数诱导的矩阵范数。  向量范数之间另一个有用的不等式是

Summary: 矩阵范数(英语:matrix norm)亦译矩阵模是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念,是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现,这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。

Matrixnorm: Eine Matrixnorm ist in der Mathematik eine Norm auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Matrizen. Neben den drei Normaxiomen Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität wird bei Matrixnormen teilweise die Submultiplikativität als vierte definierende Eigenschaft gefordert. Submultiplikative Matrixnormen besitzen einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer quadratischen Matrix, also der Betrag des betragsgrößten Eigenwerts, niemals größer als ihre Matrixnorm. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Matrixnormen zu definieren, unter anderem direkt über eine Vektornorm, als Operatornorm oder über die Singulärwerte der Matrix. Matrixnormen werden insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet.