拉格朗日量

title: 概念.
content: 拉格朗日量是动能formula_3与势能formula_4的差值:  通常,动能的参数为广义速度formula_10(符号上方的点号表示对于时间formula_11的全导数),而势能的参数为广义座标formula_12,所以,拉格朗日量的参数为formula_13。解析一个问题,最先要选择一个合适的广义坐标。然后,计算出其拉格朗日量。假定这些参数(广义座标、广义速度)都互相独立,就可以用拉格朗日方程序来求得系统的运动方程序。  假设一个物理系统的拉格朗日量为formula_2,则此物理系统的运动,以拉格朗日方程序表示为  其中,formula_11是时间,formula_17是广义坐标,formula_18是广义速度。
title: 拉格朗日量与作用量的关系.
content: 一个物理系统的作用量formula_19是一种泛函,以数学方程序定义为  其中,formula_21是系统的拉格朗日量,广义坐标formula_22是时间formula_11的函数,formula_24和formula_25分别为初始时间和终结时间。  假若,作用量的一次变分formula_26,作用量formula_19为平稳值,则formula_28正确地描述这物理系统的真实演化。从这变分运算,可以推导出拉格朗日方程序  详尽相关导引,请参阅拉格朗日方程序。
title: 能量守恒定律.
content: 思考拉格朗日量对于时间的全导数:  将拉格朗日方程序代入,可以得到  定义能量函数formula_31为  则能量函数与拉格朗日量有以下含时关系式:  假若拉格朗日量显性地与时间无关,formula_34,则能量函数是个常数:formula_35。称这常数formula_36为这物理系统的能量。因此,这物理系统的能量守恒。
title: 拉格朗日表述.
title: 重要性.
content: 拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性,不只是因为它可以广泛应用在经典力学;而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。虽然拉格朗日只是在寻找一种表述经典力学的方法,他用来推导拉格朗日方程序的平稳作用量原理,现在已被学术界公认为在量子力学也极具功用。
title: 可略坐标和守恒定律.
content: 拉格朗日量有一个优良的性质,那就是守恒定律可以很容易地从它的表达式读出来。例如,假设拉格朗日量formula_2跟某广义速度formula_38有关,而跟广义坐标formula_39无关,则对应的广义动量formula_40是一个守恒量。这种坐标称为「可略坐标」,或「循环坐标」。更详细地说,拉格朗日量的形式为  直接检视,就可以发觉formula_2跟formula_39无关,因此可以推断formula_40是一个守恒量。  以此类推,假设,时间formula_11不在formula_2的表达式里面,则哈密顿量守恒,即能量守恒。这种物理行为是诺特定理的一个特别案例。关于能量守恒问题,稍后会有更详细解说。
title: 经典力学实例.
content: 假设,在三维空间里,一个运动中的粒子的动能为formula_47,势能为formula_48,则拉格朗日量是  其中,formula_50是粒子质量,formula_51是位置向量,formula_52是粒子的速度。
title: 直角坐标系.
content: 采用直角坐标系。那么,拉格朗日方程序就是  其中,formula_54是位置向量formula_51的第formula_56个直角坐标分量。  那么,  这物理系统的运动方程序为  由于势能对于位置的负梯度是作用力:formula_60,所以,  这方程序与牛顿第二定律方程序完全相同。由此可以观察出,拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。  能量函数formula_62为  由于拉格朗日量显性地与时间无关,能量函数formula_62是个常数formula_36。
title: 球坐标系.
content: 假设选择球坐标系,则拉格朗日量是 其中,formula_67是径向距离,formula_68是天顶角,formula_69是方位角。  稍加运算,得到运动方程序为:  特别注意,formula_2跟formula_69无关。所以,formula_69是可略坐标,角动量的z-分量formula_76是常数。
title: 检验粒子的拉格朗日量.
content: 假定检验粒子的质量和电荷超小,其对于外在系统的影响可以忽略。检验粒子时常可以想像为简单的质点粒子,只拥有质量和电荷性质。像电子或上夸克一类的真实粒子具有更复杂的性质,它们的拉格朗日量含有更多项目。
title: 狭义相对论里的拉格朗日量.
content: 在狭义相对论的四维空间里,一个移动中的粒子的相对论性拉格朗日量可以写为  其中,formula_50是粒子的静质量,formula_79是光速,formula_52是粒子的速度。  其拉格朗日方程序为  其中,formula_82是劳仑兹因子。  注意到动量formula_83、作用力formula_84。将这些公式代入拉格朗日方程序,就可复制牛顿第二定律的方程序:  因此,这拉格朗日量被认定为正确无误。  这粒子的广义动量formula_86定义为
title: 电动力学里的相对论性拉格朗日量.
content: 一个移动于电磁场的带电粒子的相对论性拉格朗日量可以写为  其中,formula_94是带电粒子的电荷量,formula_95是电势,formula_96是磁向量势。  其拉格朗日方程序为  所以,  注意到作用力formula_99,电场formula_100,磁场formula_101。将这些公式代入上述方程序,经过一番运算,就可以得到劳仑兹力方程序:  这拉格朗日量可以复制出劳仑兹力方程序。因此,这拉格朗日量被认定为正确无误。
title: 协变的拉格朗日量.
content: 前面这些拉格朗日量都不具有协变形式,当变换坐标系时,拉格朗日量的形式可能会有所改变。为了确保这形式不会改变,必须将拉格朗日量写为协变形式。  对于自由粒子,作用量formula_103为  其中,formula_105和formula_106分别是初始时间和终结时间。  为了要使得拉格朗日量具有协变形式,必须引用张量来表达。采用爱因斯坦求和约定,注意到四维速度与自己的内积:  其中,formula_108是四维速度,是四维坐标formula_109对于固有时formula_110的导数(撇号表示对于固有时formula_110的导数)。  将积分元素从微小时间元素formula_112改变为微小固有时元素formula_113,由于formula_114,协变的作用量可以写为  协变的拉格朗日量formula_116变为  其中,formula_118是闵可夫斯基度规。  其拉格朗日方程序为  注意到约束formula_120,这粒子只能运动于四维速度空间内的特定的三维曲面。将这约束代入上述方程序,可以正确地复制自由粒子的运动方程序。
title: 电动力学里的相对论性拉格朗日量的协变表述.
content: 现在假设这粒子是移动于电磁场的带电粒子。电磁场的协变位势可以写为  其中,formula_123是电磁四维势。  协变的拉格朗日量formula_116是  其拉格朗日方程序为  经过一番运算,可以得到  其中,formula_128是电磁张量。  这正是劳仑兹力方程序的协变形式。总结,协变的拉格朗日方程序可以复制出协变的劳仑兹力方程序。
title: 场论例子.
title: 电磁学.
content: formula_129  formula_130  formula_131
title: 量子电动力学.
content: formula_132
title: 量子色动力学.
content: formula_133
title: 杨-米尔斯场论.
content: 包括QED、量子色动力学、等
title: 重力.
content: formula_134  formula_135  formula_136
title: 相对论.
content: formula_137  formula_138  formula_139  formula_140  formula_141  formula_142  formula_143

Summary: 在分析力学里,一个动力系统的拉格朗日量(英语:Lagrangian),又称拉格朗日函数,简称“拉氏量”,是描述整个物理系统的动力状态的函数,对于一般经典物理系统,通常定义为动能减去势能,以方程序表示为

Lagrange-Dichte: Die Lagrange-Dichte formula_1 (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion formula_2 in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen: