無限深方形阱

title: 简介.
content: 在量子力学里,无限深方形阱问题是一个简单化的,理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱,阱内位势为 0,阱外位势为无限大。在阱内,粒子感受不到任何作用力,可以自由的移动于阱内。可是,阱壁是无限的高,粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简,先从一维问题开始,研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后,可推广至二维与三维空间。  这问题的薛定谔方程解答,明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合;可是,与经典力学的理论预测,有很大的冲突。特别令人注目地是,这量子行为是自然地从边界条件产生的,而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出,任何类似波的物理系统,自然地会产生量子行为;与平常的想法恰恰相反,量子行为不是像变魔术一般变出来的。  无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括:  不论这问题有多么地简单,由于能够完全地解析其薛定谔方程,这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上,这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如,一个导电电子在一根直的,极细的奈米金属丝内的量子行为。更详细内容,请参阅条目奈米线。
title: 一维阱.
content: 一个粒子束缚于一维无限深方形阱内,阱宽为 formula_1 。阱内位势为 0,阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向( formula_2 方向)。如图示,一维无限深方形阱的本征函数 formula_3 与本征值 formula_4 分别为  其中,formula_7 是正值的整数,formula_8 是普朗克常数,formula_9 是粒子质量。
title: 导引.
content: 一维不含时薛定谔方程可以表达为  其中,formula_12 是复值的、不含时间的波函数,formula_13 是跟位置有关的位势,formula_14 是正值的能量。 在阱内,位势 formula_15 。一维不含时薛定谔方程约化为  这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 formula_12 与本征值 formula_14 是  其中,formula_24 与 formula_25 是常数,可以是复值,formula_26 是实值的波数(因为 formula_14 是正值的,所以,formula_26 必须是实数。)。  为了求得一般解 formula_12 的常数 formula_24, formula_25,与波数 formula_26 的值,必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区,位势越高,找到粒子的几率 formula_33 越小。在 formula_34, formula_35 两个阱壁位置,位势无限的高,找到粒子的几率是微乎其微:formula_36 。所以,边界条件是  代入方程 (3a) 。在 formula_34,可以得到  在 formula_35,可以得到  方程 (6) 的一个简易解是 formula_42 。可是,这样,波函数是 formula_43 。这意味着一个不可能的物理答案:粒子不在阱内!所以,不能接受这简易解。设定 formula_44,则 formula_45 。那么,必须要求  其中,整数 formula_47 。  注意到 formula_48 状况必须被排除,因为,不能容许波函数是 formula_43 的物理答案:粒子不在阱内!  为了求得 formula_24 值,波函数需要归一化,一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方:  常数 formula_24 的值为  常数 formula_24 可以是任何复数,只要绝对值等于formula_55 ;可是,这些不同值的 formula_24 都对应于同样的物理状态。所以,为了方便计算,选择 formula_57 。 最后,将方程 (7),(8) 代入方程 (3a),(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值(能级)是
title: 启发导引.
content: 能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想,两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着,阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍:  其中,formula_62 是波长,formula_7 是正值的整数。  应用德布罗意假说,粒子的动量 formula_64 是  代入联系能量与动量的经典公式,则可以得到系统的能量本征值。
title: 二维阱.
content: 一个粒子束缚于二维无限深方形阱内,阱宽在 formula_2 与 formula_68 方向,分别为 formula_69,formula_70 。阱内位势为 0,阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向( formula_2 与 formula_68 方向)。二维无限深方形阱的本征函数 formula_73 与本征值 formula_74 分别为  其中,formula_77 与 formula_78 是正值的整数。
title: 导引.
content: 在这二维的问题里,粒子束缚于一个二维位势阱内,在阱内,二维的解答方程与方程 (2) 类似,是一个二阶偏微分方程:  应用分离变量法 。首先,假设 formula_80 是两个不相关的函数 formula_81 与 formula_82 的乘积,formula_81 只含有变量 formula_2,formula_82 只含有变量 formula_68 :  将 formula_80 的假设方程代入二维方程,则可得到  将这方程两边都除以 formula_90,则可得到  由于方程左边圆括号内的两个项目 formula_92 、formula_93 分别只跟 formula_2 、formula_68 有关,两个项目分别都必须等于常数:  其中,formula_98 与 formula_99 都是常数,formula_100 。  这样,可以得到两个约化的一维薛定谔方程:  前面,已经解析了同样形式的一维薛定谔方程(方程 (2) )。将那里的答案移接到这里,  其中,整数 formula_105,formula_106 。  将两个方程合并,可以得到解答:
title: 三维阱.
content: 同样地,应用分离变量法于三维阱问题,可以得到能量本征函数与能量本征值:  其中,formula_111 。  当两个以上的阱宽相等的时候,对应于同样的总能量,会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并,是由物理系统的对称性造成的。例如,假设 一个三维阱的 formula_112,则 formula_113,formula_114,formula_115 的波函数与 formula_116,formula_117,formula_115 的波函数,两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里,有两个阱宽相等,这物理系统对称于绕着 z-轴的 formula_119 旋转。

Summary: 在物理学里,无限深方形阱(infinite square potential),又称为无限深位势阱(infinite potential well),是一个阱内位势为 0,阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子,永远地束缚于无限深位势阱内,无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题,称为无限深方形阱问题,又称为无限深位势阱问题,盒中粒子问题(particle in a box problem),是一个理论问题。假若,阱内只有一个粒子,则称为单粒子无限深方形阱问题。假若,阱内有两个粒子,则称为双粒子无限深方形阱问题。假若,这两个粒子是完全相同的粒子,则问题又复杂许多,称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里,只讨论单粒子无限深方形阱问题。

Teilchen im Kasten: Das Teilchen im Kasten ist ein Modell in der Quantenmechanik, bei dem sich ein freies Teilchen in einem "Kastenpotential" befindet. Es handelt sich um einen Spezialfall des Potentialtopfes, bei dem das Potential in einem bestimmten Bereich gleich null und außerhalb davon unendlich ist. Das Modellsystem macht die Quantisierung der Energie verständlich. Als eindimensionales Modell lässt es sich vergleichsweise einfach berechnen.