直言三段论

title: 语气和格.
content: 三段论形式如下: 其中S代表结论的主词(Subject),P代表结论的谓词(Predicate),M代表中词(Middle)。  三段论的命题可分为全称(universal)、特称(particular),及肯定、否定,组合起来有以下四类语气(Mood):  三段论中,结论中的谓词称作大词(P,或称大项),包含大词在内的前提称作大前提;结论中的主词称作小词(S,或称小项),包含小词在内的前提称作小前提;没有出现在结论,却在两个前提重复出现的称作中词(M,或称中项)。大词、中词、小词依不同排列方式,可分成四种格(Figure):  将以上整合在一起,三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一,又可分为4格,故总共有256种三段论(若考虑大前提与小前提对调,便有512种,但逻辑上是相同的)。  三段论依语气与格的分类缩写,例如AAA-1代表「大前提为A型,小前提为A型,结论为A型,第1格」的三段论。  此外,三段论的四种格之间可相互转换:  E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置,但可以在前项确实有元素存在的前提下,转换成与弱于原命题的I命题。O命题不能对换前后两项的位置。
title: 有效性.
content: 考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。  还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。  作为文氏图方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。  本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。  最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用这些规则来检验有效性。  基本规则:  其他检查:
title: 三段论式列表.
content: 总共有19个有效的论式(算结论弱化的5个论式则为24个有效论式),为便于记忆,中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字,每个名字的元音即是对应的语气,例如Barbara代表AAA。
title: 经典三段论式.
content: 下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。  所有M是P. <br>
title: 第1格.
content: 所有S是M. <br> ∴所有S是P.  formula_1  没有M是P. <br> 所有S是M. <br> ∴没有S是P.  formula_2  所有M是P. <br> 有些S是M. <br> ∴有些S是P.  formula_3  没有M是P. <br> 有些S是M. <br> ∴有些S不是P.  formula_4  没有P是M. <br>
title: 第2格.
content: 所有S是M. <br> ∴没有S是P.  formula_5  所有P是M. <br> 没有S是M. <br> ∴没有S是P.  formula_6  没有P是M. <br> 有些S是M. <br> ∴某些S不是P.  formula_7  所有P是M. <br> 某些S不是M. <br> ∴某些S不是P.  formula_8  所有M是P. <br>
title: 第3格.
content: 所有M是S. <br> ∴有些S是P. <br> (这种形式需要假定某些M确实存在。)  formula_9  有些M是P. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S是P.  formula_10  所有M是P. <br> 有些M是S. <br> ∴有些S是P.  formula_11  没有M是P. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S不是P. <br> (这种形式需要假定某些M确实存在。)  formula_12  某些M不是P. <br> 所有M是S. <br> ∴某些S不是P.  formula_13  没有M是P. <br> 有些M是S. <br> ∴某些S不是P.  formula_14
title: 增补的论式.
content: 第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充。  所有P是M. <br>
title: 第4格.
content: 所有M是S. <br> ∴有些S是P.<br> (这种形式需要假定某些P确实存在)  formula_15  所有P是M. <br> 没有M是S. <br> ∴没有S是P.  formula_16  有些P是M. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S是P.  formula_17  没有P是M. <br> 所有M是S. <br> ∴有些S不是P.<br> (这种形式需要假定某些M确实存在)  formula_18  没有P是M. <br> 有些M是S. <br> ∴有些S不是P.  formula_19
title: 结论弱化的论式.
content: 在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可弱化论式中的结论A为I,结论E为O,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。它们是: AAI-1(弱化的AAA-1),EAO-1(弱化的EAE-1),EAO-2(弱化的EAE-2),AEO-2(弱化的AEE-2),AEO-4(弱化的AEE-4)。
title: 对附加的谓词演算公式的注解.
content: 按照布尔逻辑和集合代数的观点,三段论可以解释为:集合(类)S和集合M有某种二元关系,并且集合P和集合M有某种二元关系,从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:  将参与推理的命题分为两类:规则和事实,全称命题是规则,而特称命题只陈述事实:  两个规则可以推出一个新规则,一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实,两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作,因为推出的是两个否定的合取,不属于这四种命题之一。IE的组合都得出P不包含于S结论,不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。  首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上,所以是可直接推出结论。AA组合推出A,其中只有AAA-1是合理的,它推论出S包含于P的关系;第4格AA组合推论出P包含于S的关系,这不是四种命题之一,只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E,其中EAE-1和AEE-4是直接推出的,其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置,EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。  AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出 P不包含于S的结论,不属于四种命题之一。  其他论式都是一个全称命题作为规则,而另一个特称命题提出两个事实的合取,规则消去一个事实形成一个新事实,从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的,其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置,AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。OAO-3是直接推出的,它没有等价者。AOO-2没有等价者,这里对A命题采用了否定后件推理,历史上采用反证法,假定结论O命题不成立,它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果,所以结论成立。  历史上,对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4,如它们的拉丁语名字中的p所指示的,通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的(直言的意思就是无条件),这个问题被称为存在性引入问题。  最后,有全称结论的5个论式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化结论可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4,也可算入有效论式中。
title: 24论式图示.
content: 下表以文氏图展示24个有效直言三段论,不同栏表示不同的前提,不同外框颜色表示不同的结论,需要存在性默认的推理以虚线标示。

Summary: 直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。

Syllogismus: Die Syllogismen (von "syllogismós" „[das] Zusammenrechnen“, „logischer Schluss“) sind ein Katalog bestimmter Typen logischer Schlüsse. Sie bilden den Kern der im vierten Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung entstandenen antiken Logik des Aristoteles und der traditionellen Logik bis ins 19. Jahrhundert. Als Haupttechnik der Logik abgelöst wurde der syllogistische Ansatz erst durch die Integration der Logik in die Mathematik, im Gefolge der Arbeiten von George Boole und Gottlob Frege im 19. und frühen 20. Jahrhundert. Als Syllogistik wird allgemein die Lehre von den Syllogismen bezeichnet. Die klassische Logik untersuchte insbesondere, unter welchen Voraussetzungen Syllogismen gültig sind. Syllogismen sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), Obersatz und Untersatz genannt, führen zu einer Konklusion (Schlussfolgerung). Die Prämissen und die Konklusion sind Aussagen von einem bestimmten Typ, in denen jeweils einem Begriff, dem syllogistischen Subjekt, ein anderer Begriff, das syllogistische Prädikat (nicht gleichbedeutend mit Subjekt und Prädikat in der Grammatik), in bestimmter Weise zu- oder abgesprochen wird. In Abhängigkeit von der Stelle, an der sie im Syllogismus auftreten, werden die vorkommenden Begriffe Oberbegriff, Mittelbegriff und Unterbegriff genannt.