可均群

title: 缘起.
content: 在formula_1上的勒贝格测度,存在不可测的有界子集。豪斯多夫研究能否在formula_1上定义新的测度,使之可以对所有有界子集都是可测的。他要求新的测度保留勒贝格测度的等距变换不变性,就是移动及反射一个有界子集,不会改变其测度。不过,新测度无需有勒贝格测度的σ可加性(可数无限可加性),就是可数无限个不相交子集的测度总和,等于其并集的测度。他只要求新测度满足较弱的有限可加性,就是有限个不相交子集的测度总和,等于其并集的测度。  但是,豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基后来的研究,发现了维度不小于3的formula_1中,任意两个有内点的有界子集,可以将其一分成有限块,再移动拼合成另一个,这就是著名的巴拿赫-塔斯基悖论。因此3维以上formula_1不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。  冯纽曼研究他们的证明,发现问题关键不是在formula_1的结构,而是在formula_1的旋转群上。3维以上的formula_1,其旋转群有子群是秩2的自由群;而2维时,旋转群没有这样的子群。  于是豪斯多夫原来的测度问题,可以把对象转到群上面。新的问题是:在一个群"G"上,是否存在有限可加的概率测度formula_8,是"G"-不变的,即是在"G"对其中的子集的群作用下不变:对任何formula_9和任何formula_10,formula_11。这样的概率测度称为不变平均。(函数以这测度积分,像是取加权平均。)由此产生了可均群的概念。因为有限可加测度不像σ可加测度有好的理论,便改为考虑与有限可加测度对应的连续线性泛函。
title: 外文名称.
content: 可均群的德文名称Mittelbare Gruppe,法文名称groupe moyennable,其中Mittel、moyenne分别为德文及法文中的平均一字,故此Mittelbare,moyennable两字意思就是可以有平均。英文名称amenable group,是英国数学家Mahlon M. Day所译,字面上与德文及法文不同,但这是藉谐音玩的文字游戏,因为amenable的英式读音,与"a mean able"相同(用美式读音就失去谐音效果),故此说出来其实也是「可以有一个平均」。
title: 定义.
content: 设"G"为局部紧群。"G"上存在左哈尔测度formula_8。考虑在测度空间formula_13上的复值本质有界函数空间formula_14。  线性泛函formula_15称为平均,如果formula_16的范数是1,并且是非负的:若实值函数formula_17适合formula_18,则formula_19。  如果formula_16是一个平均,则有formula_21,其中formula_22是"G"的特征函数。而且对任何实值函数formula_17, 其中ess sup和ess inf分别是函数的本质上确界和本质下确界。  一个平均是左不变的,如果对任何formula_25,formula_17,在左作用formula_27下,都有formula_28。  局部紧群"G"如果有一个左不变平均,就称为可均群。  可均群有很多等价定义。其中一个是Følner条件:  对任何formula_29,任何紧子集formula_30,都存在一个紧子集formula_31,formula_32,使得对所有formula_33都符合不等式 此处formula_35是对称差。  如果"G"是可数无限的离散群,Følner条件等价于: "G"中存在有限子集formula_36,使得对任何formula_37, 这样的formula_39称为Følner序列。
title: 性质.
content: 可均群的闭子群都是可均的。  若"H"是可均群"G"的闭正规子群,那么formula_40是可均群。  若"H"是局部紧群"G"的闭正规子群,而且"H"和formula_40都是可均群,那么"G"也是可均群。  设"G"是局部紧群,"I"是有向集合,formula_42是"G"的闭可均子群组成的网,对任何formula_43,有formula_44。那么formula_45是"G"的可均子群。
title: 例子.
content: 有限群是可均群。更一般地,紧群是可均群,其哈尔测度是一个不变平均。  整数群formula_46和实数群formula_47是可均群,一个在formula_48或formula_49中长度趋向无穷的有界区间序列是一个Følner序列。  局部紧的阿贝尔群是可均群。因此,局部紧的可解群是可均群:若"G"是局部紧的可解群,则有导出列 其中formula_51。每个formula_52都是阿贝尔群,所以是可均的,而平凡子群{1}也是可均群。从可均群的性质,得出"G"是可均群。  一个有限生成群"G"是次指数增长的,如果"G"中存在一个有限生成集合"S",有对称性formula_53,使得 次指数增长的有限生成群是可均群。  从定义知对每个formula_55,都存在formula_56使得 对每个formula_58,有formula_59。对任何formula_37都有formula_61。于是 每个formula_37都可写成formula_64。设formula_65, formula_66。用集合关系式formula_67,得出 因此 所以formula_70是一个Følner序列,故"G"是可均群。 设formula_71和formula_72是有限生成群,而formula_72是可均的。若formula_71拟等距同构于formula_72,那么formula_71也是可均群。  秩2的自由群formula_77不是可均群。 设"a","b"是formula_77的生成元。formula_77的元素都可以用"a","b"写成字。假设formula_77有不变平均"M"。考虑formula_77的一个子集"A","A"包含所有简约字以formula_82开首的元素。("n"是某个不等于0的整数。)那么"A", "bA", formula_83是formula_77的不相交子集,所以 另一方面,formula_86,所以 这两条不等式互相矛盾,故formula_77上不存在不变平均,即formula_77是非可均的。  所以一个群若包含formula_77为离散子群,则不是可均群。  如把"n"维空间formula_1的旋转群SO("n")看成离散群,则"n"不小于3时SO("n")包含formula_77为(离散)子群,因此是非可均群,但SO(2)是阿贝尔群,因此是可均群。这是巴拿赫-塔斯基悖论证明中的构造法在"n"不小于3时可行,在"n"等于2时不可行的原因。不过若用SO("n")原来的拓扑,则对所有"n",SO("n")都是紧群,所以都是可均群。  一个殆连通的局部紧群"G"是可均群,当且仅当"G"不包含formula_77为离散子群。(设formula_94是"G"的单位连通区。若formula_95紧致,则"G"称为殆连通群。)  冯纽曼猜想推测非可均群都有子群是秩2的自由群,但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他证明了塔斯基魔群是非可均的。"G"是一个塔斯基魔群,如果有一个固定的素数"p","G"中所有真子群除了平凡子群外,都是"p"阶循环群。所以塔斯基魔群没有子群是秩2的自由群。

Summary: 可均群是数学上一个特别的局部紧拓扑群"G",具备了一种为在"G"上的有界函数取平均的操作,而且"G"在函数上的群作用,不会改变所取得的平均。

Mittelbare Gruppe: Mittelbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der harmonischen Analyse. Es handelt sich dabei um lokalkompakte Gruppen, auf denen eine gewisse Mittelungsfunktion, ein sogenanntes Mittel, existiert.