爱因斯坦求和约定

title: 简介.
content: 爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成纯量:  通常会将这写为求和公式形式:  在基底变换之下,纯量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号:  采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程序都是线性,不超过变量的一次方。在方程序里,单独项目内的标号变量最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。
title: 向量的表示.
content: 在线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如,formula_15。给予一个formula_16维向量空间formula_17和其任意基底formula_18(可能不是标准正交基),那么,向量formula_19表示为  余向量的分量是用下标来标明,例如,formula_21。给予formula_17的对偶空间formula_23和其任意基底formula_24(可能不是标准正交基),那么,余向量formula_25表示为  采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从formula_27改变为formula_28,反变向量会变换为  其中,formula_30是改变基底后的向量的分量,formula_31是改变基底后的坐标,formula_32是原先的坐标,  下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从formula_33改变为formula_34,共变向量会会变换为
title: 一般运算.
content: 矩阵formula_36的第formula_37横排,第 formula_16竖排的元素,以前标记为formula_39;现在改标记为formula_40。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下:
title: 内积.
content: 给予向量formula_19和余向量formula_25,其向量和余向量的内积为纯量:
title: 向量乘以矩阵.
content: 给予矩阵formula_36和向量formula_19,它们的乘积是向量formula_46:  类似地,矩阵formula_36的转置矩阵formula_49,其与余向量formula_25的乘积是余向量formula_51:
title: 矩阵乘法.
content: 矩阵乘法表示为  这公式等价于较冗长的普通标记法:
title: 迹.
content: 给予一个方块矩阵formula_55,总和所有上标与下标相同的元素formula_56,可以得到这矩阵的迹formula_57:
title: 外积.
content: M维向量formula_19和N维余向量formula_25的外积是一个M×N矩阵formula_36:  采用爱因斯坦标记式,上述方程序可以表示为  由于formula_64和formula_65代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵formula_36的标号。
title: 向量的内积.
content: 一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量formula_67、formula_68及formula_69来描述三维空间的向量。  把直角坐标系的基底向量formula_67、formula_68及formula_69写成formula_74、formula_75及formula_76,所以一个向量可以写成:  根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:  由于基底是标准正交基,formula_79的每一个分量formula_80,所以,  两个向量formula_79与formula_83的内积是  由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:  其中,formula_86就是克罗内克函数。当formula_87时,则formula_88,否则formula_89。  逻辑上,在方程序内的任意项目,若遇到了克罗内克函数formula_86,就可以把方程序中的标号formula_64转为formula_65或者把标号formula_65转为formula_64。所以,
title: 向量的叉积.
content: 采用同样的标准正交基formula_74、formula_75及formula_76,两个向量formula_79与formula_83的叉积,以方程序表示为  注意到  其中,张量formula_104是列维-奇维塔符号,定义为 所以,  设定formula_106,那么,  所以,
title: 向量的共变分量和反变分量.
content: 在欧几里得空间formula_17里,共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量;对于所有向量formula_46,通过下述方程序,向量formula_19唯一地确定了余向量formula_25:  逆过来,通过上述方程序,每一个余向量formula_114唯一地确定了向量formula_19。由于这向量与余向量的相互辨认,我们可以提到向量的共变分量和反变分量;也就是说,它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。  给予formula_17的一个基底formula_117,则必存在一个唯一的对偶基底formula_118,满足  其中,张量formula_120是克罗内克函数。  以这两种基底,任意向量formula_19可以写为两种形式  其中,formula_123是向量formula_19对于基底formula_125的反变分量,formula_126是向量formula_83对于基底formula_125的共变分量,
title: 欧几里得空间.
content: 在欧几里得空间formula_129里,使用内积运算,能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底,其基底向量为formula_130、formula_131、formula_132,就可以计算其对偶基底的基底向量:  其中,formula_134是基底向量formula_130、formula_131、formula_132共同形成的平行六面体的体积。  反过来计算,  其中,formula_139是基底向量formula_140、formula_141、formula_142共同形成的平行六面体的体积。  虽然formula_143与formula_144并不相互标准正交,它们相互对偶:  虽然formula_146与formula_147并不相互标准正交,它们相互对偶:  这样,任意向量formula_19的反变分量为  类似地,共变分量为  这样,formula_19可以表示为 或者,  综合上述关系式,  向量formula_19的共变分量为  其中,formula_158是度规张量。  向量formula_19的反变分量为  其中,formula_161是共轭度规张量。  共变分量的标号是下标,反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变分量和反变分量,所有的标号都可以用下标来标记。
title: 抽象定义.
content: 思考维度为formula_16的向量空间formula_17。给予一个可能不是标准正交基的基底formula_164。那么,在formula_17内的向量formula_83,对于这基底,其分量为formula_167、formula_168、...formula_169。以方程序表示,  在这方程序右手边,标号formula_64在同一项目出现了两次,一次是上标,一次是下标,因此,从formula_64等于formula_173到formula_16,这项目的每一个可能值都必须总和在一起。  爱因斯坦约定的优点是,它可以应用于从formula_17用张量积和对偶性建立的向量空间。例如,formula_176,formula_17与自己的张量积,拥有由形式为formula_178的张量组成的基底。任意在formula_176内的张量formula_180可以写为  向量空间formula_17的对偶空间formula_23拥有基底formula_184,遵守规则  其中,formula_186是克罗内克函数。
title: 范例.
content: 为了更明确地解释爱因斯坦求和约定,在这里给出几个简单的例子。

Summary: 在数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定(英语:Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法(英语:Einstein notation),在处理关于坐标的方程序时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说:「这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。」

Einsteinsche Summenkonvention: Die einsteinsche Summenkonvention ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrücke innerhalb des "Ricci-Kalküls" und stellt eine Indexschreibweise dar. Dieser Kalkül wird in der Tensoranalysis, der Differentialgeometrie und insbesondere in der theoretischen Physik verwendet. Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein eingeführt. Mit ihr werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Übersicht einfach weggelassen und stattdessen wird über doppelt auftretende Indizes summiert.