新基础集合论

title: 类型论TST.
content: 改进版本的类型论TST的基本谓词是等于和成员关系。TST有一个线性的类型层次:类型0由不加描述的个体组成。对于每个(元-)自然数"n",类型"n"+1的对象是类型"n"对象的集合;类型"n"的集合有类型为"n"-1的成员。用等号连接的对象必须有相同的类型。下列两个原子公式简洁的描述了定类型规则:formula_1和formula_2(符号仍可改进)。  TST的公理是:  这个类型论比于《数学原理》首次发表的类型论简单许多,因为它还得包括其参数不必然都有同样类型的关系类型。在1914年,诺伯特·维纳展示了如何把有序对编码为集合的集合。这使得以这里描述的集合层次的方式消除了关系类型。
title: 蒯因集合论.
title: 公理和层化.
content: 新基础(NF)是通过放弃TST的类型区别而获得的。NF的公理有:  通过约定,NF的概括模式使用层化公式的概念来陈述,而不直接提及类型。一个公式formula_8被称为是层化的,如果存在从语法片段到自然数的一个函数"f",使得对于任何formula_8的原子子公式formula_10有"f"("y") = "f"("x") + 1;而对于任何formula_8的原子子公式formula_12,有"f"("x") = "f"("y")。概括接着变成:  对于朴素集合论概括好像是不自洽的,但是在这里不是。例如,不可能的罗素类formula_15不是NF集合,因为formula_16不能被层化。
title: 有序对.
content: 关系和函数在TST(以及NF和NFU)中以通常的方式定义为有序对。首先由Kuratowski在1921年提议的有序对常用的定义对于NF和相关理论有个严重缺陷:结果的有序对必定有比它的参数(它的左和右投影)的类型高2的类型。所以为了决定分层,函数有比它的域的成员高3的类型。  如果能以其类型是同它的参数一样的类型的方式定义对(导致一个类型齐平有序对),则关系或函数有只比它的域的成员的类型高1的类型。所以NF和相关理论通常采用蒯因的有序对的集合论定义,这样得出的是类型的类型-齐平的有序对。Holmes(1998)把有序对与它的左和右投影定为原始概念。幸运的是,无论有序对是通过定义或通过假定(就是作为原始概念)而类型齐平,通常是不重要的。  类型齐平有序对的存在蕴涵了“无穷公理”,而NFU +“无穷公理”解释了NFU +“存在着类型齐平的有序对”(它们不是同样的理论,但是区别无关紧要)。反过来,NFU +“无穷公理”+“选择公理”证明了类型齐平有序对的存在。
title: 有用的大集合的可容纳性.
content: NF(以及NFU +“无穷公理”+“选择公理”,下面描述并已知是相容的)允许构造两种集合,它们都是ZFC和它的真扩展所不允许的,因为“太大”的缘故(某些集合论在真类的名义下接受这些实体):
title: NF(U)如何避免集合论悖论.
content: NF清除了三个周知的集合论悖论。NFU这个{相对}相容的理论也避免了这些悖论,增强了我们对这些理论的信心。  罗素悖论:formula_20不是层化公式,所以不会通过概括的任何推论得出formula_15的存在性。蒯因构造NF的时候大概最关注于这个悖论。  关于最大基数的康托尔悖论利用了康托尔定理对全集的应用。康托尔定理声称(假定ZFC)任何集合的formula_22的幂集formula_23大于formula_22(没有从formula_23到formula_22的单射函数)。但如果formula_27是全集的话,当然有从formula_28到formula_27的单射。为了解决这个问题,我们需要注意到formula_30在类型论中没有意义:formula_23的类型比formula_22的类型高1。正确的有类型版本(它是在类型论中的定理,成立的原因就像康托尔定理在ZF中成立那样)是formula_33,这里的formula_34是formula_22的单元素子集的集合。在这个定理中,使我们感兴趣的特殊实例是formula_36:单元素集合们少于集合们(因此一个元素的集合们少于全体对象,如果我们在NFU中的话)。从全集到这些单元素集合明显的双射formula_37不是一个集合;它不是集合是因为它的定义是非层化的。注意在所有已知的NFU的模型中formula_38都成立;“选择公理”允许我们不只证明有基本元素,而且在formula_39和formula_40之间有很多基数。  我们现在引入某些有用的概念。若集合formula_22满足formula_42,就被称为康托尔式的:康托尔式集合满足通常形式的康托尔定理。集合formula_22满足进一步条件formula_44,即单元素集合映射在"A"上的限制,则不只是康托尔式的而且是强康托尔式的。  下面是关于最大序数的布拉利-福尔蒂悖论。我们定义(跟从朴素集合论)序数是良序排序在相似性下的等价类。在序数上有一个明显的自然的良序排序;因为它是良序排序所以它属于一个序数formula_45。(通过超限归纳法)可直接证明在小于一个给定序数formula_46的序数们上的自然次序的序类型是formula_46自身。但是这意味着formula_45是小于formula_49的序数们的序类型,因此它严格小于所有序数的序类型 -- 但是通过定义,后者是formula_45自身!  在NF(U)中对这个悖论的解决开始于观察到在小于formula_46的序数们上的自然次序的序类型的类型比formula_46的类型高。因此类型齐平有序对的类型比它的参数的类型高1,而常规的Kuratowski有序对高3。对于任何序类型formula_46,我们可以定义比formula_46的类型高1的序类型:如果formula_55,则formula_56是次序formula_57的序类型。T运算的烦琐只是外观上的;可以轻易的证明T是在序数们上的严格的单调(序保持)运算。  我们可以用层化的方式重申关于序类型的引理:在小于formula_46的序数们上的自然次序的序类型是formula_59或formula_60,依赖于使用哪个有序对定义(我们在下文中假定类型齐平有序对)。从此我们可演绎出在小于formula_49的序数们上的序类型是formula_62,从它我们演绎出formula_63。因此T运算不是个函数;我们不能有从序数到序数的严格单调集合映射,它向下映射一个序数!因为T是单调的,我们有formula_64,在序数们中的“递减序列”不能是集合。  某些人已经断言这个结果证实了没有NF(U)的模型是“标准”的,因此在任何NFU的模型中序数们外在的不是不是良序的。我们不接受这种立场,而我们注意到还有一个NFU的定理,任何NFU的集合模型都有非良序的“序数”;NFU不结论出全集"V"是NFU的模型,尽管"V"是集合,因为成员关系不是集合关系。  关于数学在NFU中的进一步开发,和与在ZFC中相同的开发的比较,请参见数学的集合论实现()。  蒯因在1940年第一版的《数理逻辑》的集合论中,结合了von Neumann-Bernays-Gödel集合论的真类于NF,并为真类包括了一个无限制概括的公理模式。在1942年,J. Barkley Rosser证明了蒯因的集合论遭受Burali-Forti悖论。在1950年,Hao Wang展示了如何修正蒯因的公理来避免这个问题,蒯因在1951年第二和最终版本的《数理逻辑》中包括了结果的公理化。

Summary: 在数理逻辑中,新基础集合论(NF)是公理化集合论的一种,由蒯因构想出来作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年于《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF(此即其名称的由来)。请注意,此条目大多是在谈论NFU,这是Jensen于1969年所提出,并由Holmes于1998年阐述的一重要变体。

New Foundations: New Foundations (NF) ist der Name einer axiomatischen Mengenlehre von Willard Van Orman Quine, benannt nach dessen Aufsatz "New Foundations for Mathematical Logic" ("Neue Grundlagen der mathematischen Logik") von 1937. NF tendiert in mancher Hinsicht zur Typentheorie und benutzt zur Mengenbildung stratifizierte oder geschichtete Ausdrücke. NF enthält neben dem Extensionalitätsaxiom ein Komprehensionsschema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht und zur Mengenkonstruktion dient. Theodore Hailperin zeigte 1944, dass NF endlich axiomatisierbar ist, dass also das Komprehensionsschema durch endlich viele Einzelaxiome (9 Axiome) ersetzt werden kann. NF unterscheidet sich von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in vielen Punkten: Das Fundierungsaxiom gilt hier nicht, da es in NF Mengen gibt, die Element von sich selbst sind, etwa die Allmenge; das steht im Widerspruch zu Folgerungen aus dem Fundierungsaxiom. Auch das Auswahlaxiom kann nicht als Axiom zu NF hinzu genommen werden – Ernst Specker bewies 1949 dessen Unverträglichkeit mit den übrigen Axiomen von NF. Außerdem kann man die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen nicht beweisen. Der NF-Mengenbegriff weicht also stark vom eingebürgerten Mengenbegriff ab, so dass man NF eher als eine Theorie real existenter Klassen auffassen kann.