极限 (范畴论)

title: 定义.
content: 一范畴 "C" 中的极限及上极限可用 "C" 中的图示来定义。形式上,"C" 中类型 "J" 的图示是指一个由 "J" 映射至 "C" 的函子: 范畴 "J" 称之为「索引范畴」,图示 "F" 可想做是以 "J" 索引 "C" 内的物件及态射。"J" 实际的物件及态射为何并不重要,关键在于之间的互动。  通常,最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时,此类图示分别被称为「小图示」及「有限图示」。
title: 极限.
content: 设 "F" : "J" → "C" 为一个在范畴 "C" 中类型 "J" 的图示。一个对应于 "F" 的「锥体」是指 "C" 中的一物件 "N",具有可以 "J" 内之物件 "X" 索引的态射族 ψ : "N" → "F"("X"),使得对每个 "J" 内的态射 "f" : "X" → "Y",均有 "F"("f") o ψ = ψ。  图示 "F" : "J" → "C" 的极限是一个对应于 "F" 的锥体 ("L", φ),使得对所有其他对应于 "F" 之锥体 ("N", ψ),总存在一个「唯一的」态射 "u" : "N" → "L",使得对所有 "J" 中的 "X",φ o "u" = ψ。  可以说,锥体 ("N", ψ) 能被唯一的因子 "u" 分解成锥体 ("L", φ)。此一态射 "u" 有时称为「中介态射」。  极限亦称之为「泛锥体」,因为其所具有之泛性质(详见下文)。如同每个泛性质一般,上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态:极限物件 "L" 够一般,能让所有其他锥体分解;另一方面,"L" 也必须够特殊,每个锥体都只可能有「一个」因子。  极限也可视为是在对应于 "F" 的锥体范畴内的终对象。  图示可能不存在极限;但若一个图示存在极限,则此一极限一定是唯一的:在同构下是唯一的。
title: 上极限.
content: 极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转,以得到上极限及上锥体之定义,但下文仍将明确叙明之:  图示 "F" : "J" → "C" 的「上锥体是指 "C" 中的一物件 "N",具有可以每个 "J" 中的物件 "X" 索引的态射族 使得对每个 "J" 内的态射 "f" : "X" → "Y",均有 ψ o "F"("f")= ψ。  图示 "F" : "J" → "C" 的上极限是 "F" 的上锥体 ("L", formula_1),使得对所有其他对应于 "F" 的上锥体 ("N", ψ),总存在一个「唯一的」态射 "u" : "L" → "N",使得对所有 "J" 中的 "X","u" o formula_1 = ψ。  上极限也称为「泛上锥体」,也可视为是在对应于 "F" 的上锥体范畴内的始对象。  如同极限一般,若图示 "F" 存在上极限,则此上极限在同构下是唯一的。
title: 归纳系统与射影系统.
content: 以下固定一个范畴formula_3,并探讨其中的极限。为避免集合的悖论,我们将固定一个宇宙formula_4,并假定formula_3是formula_4-范畴,即:对任意两个对象formula_7,态射集formula_8同构于formula_4里的某个集合。formula_10表所有formula_4里的集合构成的范畴。  设formula_12为对formula_4的一个小范畴,所谓归纳系统(或称I-图)系指一个函子formula_14,射影系统则指一函子formula_15。  形象地说,归纳系统不外是给定formula_3中一族对象formula_17,对每个态射formula_18都有formula_3中对应的态射formula_20,且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向:formula_21。  固定一对象formula_22,对任意归纳系统α或射影系统β,可定义从formula_23到formula_10的函子  我们将遵循可表函子的哲学,从集合的射影极限出发。暂设formula_27,formula_10上的归纳系统不外是formula_12上的预层。给定一个归纳系统β,定义:  可手工验证下述自然同构:
title: 若干例子.
title: 始对象与终对象.
content: 令formula_12为空范畴,此时的归纳极限与射影极限(若存在)便分别满足泛性质  这不外就是formula_3里的始对象与终对象。
title: 纤维积与纤维余积.
content: 令formula_12为离散范畴(即:其间只有恒等态射),此时归纳及射影系统不外只是一族formula_3的对象formula_38,对应的归纳极限及射影极限称作余积(又称上积)与积。  令formula_12为范畴formula_40;设formula_14对应于formula_42。若其归纳极限存在,称之formula_43对formula_44的纤维余积,写作formula_45。  对偶地看,对于formula_46,对应于formula_47,若其射影极限存在,称之formula_48对formula_49的纤维积,写作formula_50。  纤维积与纤维余积可视为「相对」版本的积与余积。若存在终对象(或始对象),则积(或余积)可视为对该对象的纤维积(或纤维余积)。
title: 核与上核.
content: 核(kernel)与余核(cokernel,又译上核),有时也称等化子(equalizer)与余等化子(coequalizer)。考虑对应到 formula_51 的归纳或射影系统,此时的归纳极限formula_52称作上核,射影极限formula_53称作核。它们的泛性质图解如下:  在加法范畴中仅须考虑formula_54的状况,上述概念遂归结为同调代数所探讨的的核与余核。
title: 性质.
title: 极限之交换.
content: 设formula_55为小范畴,formula_56为归纳系统,则有自然同构 将箭头反向,对射影系统formula_58亦有自然同构  归纳极限与射影极限通常不交换,一个格外有用的结果是:若formula_12是滤通范畴,则formula_61与任意formula_62交换。
title: 完备性.
content: 若一个范畴内存在任意的(小)射影极限,则称之完备范畴;完备的充要条件是存在任意的积与核。  将箭头反向,遂得到上完备范畴的定义及其充要条件。
title: 正合函子.
content: 考虑一个函子formula_63。  在阿贝尔范畴中,上述定义回归到同调代数中的定义。  根据极限的泛性质,formula_71函子无论对哪个变量都是左正合的。  设formula_72是一对伴随函子。若formula_3存在任意有限归纳极限,则formula_65右正合;若存在任意有限射影极限,formula_75左正合。此法可建立许多函子的正合性。
title: 具体实例.
title: 拓扑空间.
content: 拓扑空间范畴formula_85也是完备且上完备的。各种极限构造与集合相同,惟须安上适合的商拓扑或子空间的诱导拓扑。  特别是可以构造一族无穷多个拓扑空间的极限及逆极限,此时相应的拓扑称作始拓扑或终拓扑。此类构造在泛函分析及同伦理论中特别有用。  一个拓扑空间formula_44满足豪斯多夫性质的充要条件是formula_87的核formula_88是闭浸入,将此性质推广到概形上,则得到分离概形。
title: 概形.
content: 概形范畴formula_89(或相对版本formula_90)有终对象formula_91(或formula_92),并存在有限的纤维积。
title: 抽象代数.
content: 阿贝尔群范畴formula_93或一个环formula_94上的模范畴formula_95都是完备且上完备的。函子的正合性对应到交换代数里的正合性概念。  射影极限的一个典型例子是p进整数:formula_96。

Summary: 在数学里的范畴论中,极限的概念融贯了多种构造,包括和、积等等;范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。

Limes (Kategorientheorie): In der Algebra oder allgemeiner der Kategorientheorie ist der projektive Limes (oder inverse Limes oder einfach Limes) eine Konstruktion, mit der man verschiedene in gewisser Weise zusammengehörende Strukturen verbinden kann. Das Ergebnis dieses Verbindungsvorgangs wird vor allem bestimmt von Abbildungen zwischen diesen Strukturen.