波函数

title: 历史.
content: 在1920年代与1930年代,理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛定谔等等,他们使用的数学工具是微积分,他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等,使用线性代数,他们建立了矩阵力学。后来,薛定谔证明这两种方法完全等价。  德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明,每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外,具有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性,应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程序,这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示,他因此开始寻找这波动方程序。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究,在其中隐藏了一个奥妙的发现,即在零波长极限,物理光学趋向于几何光学;也就是说,光波的轨道趋向于明确的路径,而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为,在零波长极限,波传播趋向于明确的运动,但他并没有给出一个具体方程序来描述这波动行为,而薛定谔给出了这方程序。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程序。他又用自己设计的方程序来计算氢原子的谱线,得到的答案与用波耳模型计算出的答案相同。他将这波动方程序与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文,1926年,正式发表于物理学界。从此,量子力学有了一个崭新的理论平台。  薛定谔给出的薛定谔方程序能够正确地描述波函数的量子行为。那时,物理学者尚未能解释波函数的涵义,薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度,但遭到失败。1926年,玻恩提出几率幅的概念,成功地解释了波函数的物理意义。可是,薛定谔本人不赞同这种统计或几率方法,和它所伴随的非连续性波函数塌缩,如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这意见。  1927年,道格拉斯·哈特里与弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出了第一步,他们发展出哈特里-福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出,后来福克将之加以改善,能够符合包立不相容原理的要求。  薛定谔方程序不具有劳仑兹不变性,无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程序,并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程序给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果,又会给出违背量子力学的负几率和怪异的负能量现象,他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁,先行发表前面提到的非相对论性部分。  1926年,奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登将电磁相对作用纳入考量,独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分,并且证明其具有劳仑兹不变性。这方程序后来称为克莱因-戈尔登方程序。  1928年,保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学,他推导出狄拉克方程序,适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程序的波函数是一个旋量,拥有自旋性质。
title: 概述.
title: 位置空间波函数.
content: 假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 formula_8 ;其中,formula_9 是位置,formula_3 是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的,而是几率性的。粒子的位置 formula_9 在区间 formula_12 (即 formula_13 )的几率formula_14为  其中,formula_3 是对于粒子位置做测量的时间。  换句话说,formula_17 是粒子在位置 formula_9 、时间 formula_3 的几率密度。  这导致归一化条件:在位置空间的任意位置找到粒子的几率为100%:
title: 动量空间波函数.
content: 在动量空间,粒子的波函数表示为 formula_21 ;其中,formula_22 是一维动量,值域从 formula_23 至 formula_24 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的,而是几率性的。粒子的动量 formula_22 在区间 formula_12 (即 formula_27 )的几率为  动量空间波函数的归一化条件也类似:
title: 两种波函数之间的关系.
content: 位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅立叶变换。他们各自拥有的信息相同,任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为
title: 薛定谔方程序.
content: 在一维空间里,运动于位势 formula_32 的单独粒子,其波函数满足含时薛定谔方程序  其中,formula_34 是质量,formula_35 是约化普朗克常数。  不含时薛定谔方程序与时间无关,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变量法,猜想 formula_36 的函数形式为  其中,formula_38 是分离常数,稍加推导可以论定 formula_38 就是能量,formula_40 是对应于 formula_38 的本征函数。  代入这猜想解,经过一番运算,可以推导出一维不含时薛定谔方程序:
title: 波函数的概率诠释.
content: 波函数 formula_1 是概率波。其模的平方 formula_44 代表粒子在该处出现的概率密度,并且具有归一性,全空间的积分  波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验。
title: 波函数的本征值和本征态.
content: 在量子力学中,可观察量 formula_46 以算符 formula_47 的形式出现。formula_47 代表对于波函数的一种运算。例如,在位置空间里,动量算符 formula_49 的形式为  可观察量 formula_46 的本征方程序为  对应的 formula_53 称为算符 formula_47 的本征值,formula_55 称为算符 formula_47 的本征态。假设对于 formula_47 的本征态 formula_55 再测量可观察量 formula_46,则得到的结果是本征值 formula_53 。
title: 态叠加原理.
content: 假设对于某量子系统测量可观察量 formula_46,而可观察量 formula_46 的本征态 formula_63 、formula_64 分别拥有本征值 formula_65 、formula_66,则根据薛定谔方程的线性关系,叠加态 formula_67 也可以是这量子系统的量子态:  其中, formula_69 、formula_70 分别为叠加态处于本征态 formula_63 、formula_64 的几率幅。  假设对这叠加态系统测量可观察量 formula_46,则测量获得数值是 formula_74 或 formula_75 的几率分别为 formula_76 、formula_77,期望值为
title: 定态.
content: 在量子力学中,一类基本的问题是哈密顿算符 formula_79 不含时间的情况。对于这问题,应用分离变量法,可以将波函数 formula_1 分离成一个只与位置有关的函数 formula_81 和一个只与时间有关的函数 formula_82 :  将这公式代入薛定谔方程,就会得到  而 formula_85 则满足本征能量薛定谔方程序:
title: 例子.
title: 自由粒子.
content: 3D空间中的自由粒子,其波矢 为, 角频率 为,其波函数为:
title: 无限深方形阱.
content: 粒子被限制在和之间的1D空间中,其波函数为:  其中,formula_89是能量本征值,formula_90是正整数,formula_34是质量。
title: 有限位势垒.
content: 在1D情况下,粒子处于如下势垒中:
title: 量子点.
content: 量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自组量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。

Summary: 在量子力学里,量子系统的量子态可以用波函数(英语:wave function)来描述。薛定谔方程序设定波函数如何随着时间流逝而演化。从数学角度来看,薛定谔方程序乃是一种波动方程序,因此,波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。

Wellenfunktion: Die Wellenfunktion formula_1 beziehungsweise formula_2 beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Orts- oder im Impulsraum. Grundlage der Beschreibung ist hierbei die Wellenmechanik von Erwin Schrödinger. Ihr Betragsquadrat bestimmt die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort beziehungsweise den Impuls des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.