平方根

title: 历史.
content: 耶鲁大学的巴比伦藏品是一块泥板,制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了formula_13的十六进制数字 1;24,51,10。十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。  莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。  古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。  古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个正数的比值表示的数(无法写作"m/n",其中"m"和"n"是整数)。  中国的《书》成书于汉朝(约前202年到前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。  古代未有划一的平方根符号时,人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。  拉丁语中的latus(正方形边)的首个字母“L”受不少中世纪的欧洲人采用;亨利·布里格斯在其著作"Arithmetica Logarithmica"则用横线当成latus的简写,在要被开方的数下画一线。  最有影响的是拉丁语的radix(平方根),1220年Leconardo在"Practica geometriae"使用大写R(R右下角的有一斜划,像P和x的合体);formula_14(没有上面的横划)是由克里斯多福·鲁登道夫在1525年的书"Coss"首次使用,据说是小写r的变型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“√ ̄”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。从而形成了现在人们熟知的开方运算符号formula_15。
title: 实数的平方根.
content: formula_1的平方根亦可用指数表示,如:  formula_1的绝对值可用formula_19的算数平方根表示:
title: 正数的平方根.
content: 若正整数formula_1是平方数,则其平方根是整数。若正整数formula_1不是平方数,则其平方根是无理数。  对于正数formula_1、formula_2,以下式成立:
title: 负数的平方根.
content: 负数的平方根在复数范围内同样有定义。  负数有两个平方根,它们为一对共轭的纯虚数。  以虚数单位formula_26可将负数formula_1的平方根表示为  例如-5的平方根有两个,它们分别为formula_30和formula_31。  对于负数formula_1、formula_2,以下式成立:
title: 负数与复数的平方根.
content: 正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有实数平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作formula_35(也可以记作formula_36,比如电学场景中formula_35一般表示电流),称之为虚数单位,定义即为formula_38,故formula_35是-1的平方根,而且formula_40,所以formula_41也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是formula_35,如果formula_1是任意非负实数,则formula_44的算术平方根就是:  之所以等式右侧(包括其对应的负值)是formula_44的算术平方根,是因为:  对于任何一个非零的复数formula_48都存在两个复数formula_49使得formula_50。
title: 虚数的算术平方根.
content: 虚数formula_35的算术平方根可以根据以下公式计算:  这个公式可以通过用代数方法推导,只需找到特定的实数formula_53和formula_54,满足  就可以得到方程组  的解:  其中,算术平方根即为  这个公式还可以通过棣莫弗公式得到,设  就可以推出
title: 复数的算术平方根.
content: 首先,我们将复数formula_61 看作是平面上的点,即笛卡尔坐标系中的formula_62点。这个点也可以写作极坐标的formula_63,其中formula_64,是该点到坐标原点的距离,formula_65则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(formula_1轴)的夹角。复分析中,通常把该点记作formula_67。如果  那么我们将formula_48的算术平方根定义为:  因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。formula_71的泰勒级数也适用于复数formula_72。  上面的公式还可以用三角函数的形式表达:
title: 代数公式.
content: 如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 "z",其算术平方根可以使用如下公式:  例子:求formula_77至6位有效数字。 因此formula_84.
title: 连分数.
content: 平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见连分数,其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为: formula_85 formula_86 formula_87 formula_88 formula_89 formula_90 formula_91 formula_92 formula_93 formula_94 formula_95 formula_96 formula_97 formula_98 formula_99 formula_100 formula_101 formula_102 formula_103 formula_104  连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。
title: 巴比伦方法.
content: 巴比伦求平方根的算法实际上很简单:(假设要求一个数N的平方根)
title: 重复的算术运算.
content: 这个方法是从佩尔方程演变过来的,它通过不断减去奇数来求得答案。
title: 尺规作图.
title: 问题.
content: 给定线段"AB"和1,求一条长为formula_111的线段。
title: 证明.
content: 将整个过程搬到直角座标上,已知"AC"=1,设  另也可参见射影定理。

Summary: 在数学中,一个数formula_1的平方根formula_2指的是满足formula_3的数,即平方结果等于formula_1的数。例如,4和-4都是16的平方根,因为formula_5。

Quadratwurzel: Die Quadratwurzel (umgangssprachlich "Wurzel;", kurz "sqrt") einer nichtnegativen Zahl formula_1 ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl formula_1 ist. Das Symbol für die Quadratwurzel ist das Wurzelzeichen formula_3, die Quadratwurzel der Zahl formula_1 wird also durch formula_5 dargestellt. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Term formula_1 unter der Wurzel formula_5 als "Radikand" bezeichnet. Weniger verbreitet ist die ausführlichere Schreibweise formula_8 Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken: formula_9 ist gleichwertig mit formula_10 Zum Beispiel ist wegen formula_11 und formula_12 die Quadratwurzel von formula_13 gleich formula_14.