特殊酉群

title: 性质.
content: 特殊酉群 SU("n") 是一个 "n"-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上,它是一个单李群(意为它的李代数是单的,见下)。SU("n") 的中心同构于循环群 Z。当 "n" ≥ 3,它的外自同构群是 Z,而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。  SU("n") 代数由 "n" 个算子生成,满足交换关系(对 "i", "j", "k", "l" = 1, 2,..., n):  另外,算子  满足  这意味着 SU("n") 独立的生成元个数是 "n"-1。
title: 生成元.
content: 一般地,SU("n") 的无穷小生成元(infinitesimal generator) "T",由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即  以及
title: 基本表示.
content: 在定义或基本表示中,由 formula_3 矩阵表示的生成元是: 从而  我们也有  作为一个正规化约定。
title: 伴随表示.
content: 在伴随表示中,生成元表示由 formula_28 矩阵表示,其元素由结构常数定义:
title: SU(2).
content: formula_30 一个一般矩阵元素形如  这里 formula_32 使得 formula_33。我们考虑如下映射 formula_34,(这里 formula_35 表示 2×2 复矩阵集合),定义为  考虑到 formula_37 微分同胚于 formula_38 和 formula_35 同胚于 formula_40,我们可看到 formula_41 是一个实线性单射,从而是一个嵌入。现在考虑 formula_41 限制在三维球面上,记作 formula_43,我们可发现这是三维球面到 formula_35 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 formula_45,作为一个流形微分同胚于 formula_30,使 formula_30 成为一个紧连通李群。  现在考虑李代数 formula_48,一个一般元素形如  这里 formula_50 以及 formula_51。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成  易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 formula_53 和 formula_54。从而交换子括号由  确定。上述生成元与泡利矩阵有关,formula_56, formula_57 及 formula_58。
title: SU(3).
content: SU(3) 的生成元 "T",在定义表示中为 这里 formula_60 为盖尔曼矩阵,是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比:  注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。  它们服从关系  "d" 的取值:
title: 李代数.
content: formula_68 对应的李代数记作 formula_69。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 formula_70 复矩阵组成,以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 formula_71,从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 formula_69 是 formula_73 上一个李代数。  例如,下列量子力学中使用的矩阵组成 formula_74 在 formula_73 上的一组基: (这里 formula_71 是虚数单位。)  这个表示经常用于量子力学(参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵)表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。  注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元,以及生成元反交换。与单位矩阵(乘以 formula_71)一起 它们也是 formula_74 的生成元。  当然这里它取决于我们最终处理的问题,比如在非相对论量子力学中为 2-旋量;或在相对论狄拉克理论中,我们需要到 4-旋量的一个扩张;或在数学中甚至是克利福德代数。  注:在矩阵乘法下(在此情形是反交换的),生成克利福德代数 formula_83,而在交换子括号下生成李代数 formula_74。  回到一般的 formula_68:  如果我们选择(任意)一个特定的基,则纯虚数无迹对角 formula_70 矩阵子空间组成一个 formula_87 维嘉当子代数。  将这个李代数复化,从而现在允许任何无迹 formula_70 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己,只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 formula_89 只是 formula_87 维,但为了化简计算,经常引入一个辅助元素,与所有元素交换的单位矩阵(它不能视为这个李代数的一个元素)。故我们有一个基,其中第 formula_71 个基向量是在第 formula_71 个对角元素为 formula_12 而在其它处为零的矩阵。则权由 formula_1 个坐标给出,而且在所有 formula_1 个坐标求和为零(因为单位矩阵只是辅助的)。  故 formula_68 的秩是 formula_87,它的邓肯图由 formula_98 给出,有 formula_87 个顶点的链。  它的根系由 formula_100 个根组成,生成一个 formula_87 欧几里得空间。这里,我们使用 formula_1 冗余坐标而不是 formula_87 坐标来强调根系的对称(formula_1 坐标之和为零)。换句话说,我们是将这个 formula_87 维向量空间嵌入 formula_1-维中。则根由所有 formula_100 置换 formula_108。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为  它的嘉当矩阵是  它的外尔群或考克斯特群是对称群 formula_113,formula_114-单形的对称群。
title: 广义特殊酉群.
content: 对一个域 "F","F" 上广义特殊酉群 SU("p","q";"F"),"F" 上一个秩为 "n"="p"+"q" 的向量空间上使得一个符号为 ("p","q") 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 "F" 上符号为 ("p","q") 的特殊酉群。域 "F" 可以换为一个交换环,在这种情形向量空间换为自由模。  特别地,固定 GL("n",R) 中一个符号为 ("p","q") 的埃尔米特矩阵,则所有  满足  经常可以见到记号 formula_118 略去环或域,在这种形式环或域是指 C,这给出一个典型李群。当 "F"=C 时,"A" 的标准选取是 对某些维数 "A" 可能有更好的选择,当限制为 C 的一个子环时有更好表现。
title: 例子.
content: 这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z["i"]),(射影地)作用在二度复双曲空间上,同样地 SL(2,Z) (射影地)作用在二维实双曲空间上。2003年,Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 formula_120 上作用的基本域,参见 。  另一个例子是 SU(1,1;C),同构于 SL(2,R)。
title: 重要子群.
content: 在物理学中,特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是,对 "p">1,"n"-"p">1: 为了完整性,还有正交与辛子群: 因为 SU("n") 的秩是 "n"-1,U(1) 是 1,一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU("n") 是多个其它李群的子群: 有同构 SU(4)=Spin(6),SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。  最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重复叠群,这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

Summary: 在数学中,formula_1 阶特殊酉群(英语:special unitary group),记作 formula_2,是行列式为 1 的 formula_3 酉矩阵组成的群(一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数)。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 formula_3 酉矩阵组成的酉群 formula_5 的一个子群,酉群又是一般线性群 formula_6) 的一个子群。

Spezielle unitäre Gruppe: Die spezielle unitäre Gruppe formula_1 besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension formula_2 insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.