同调

title: 同调群的构造.
content: 其过程如下:给定对象formula_1,首先定义"链复形",它包含了formula_1的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模formula_3的序列,群同态formula_4满足任何两个相连的同态的复合为0: formula_5对于所有"n"成立。这意味着第"n"+1个映射的像包含在第"n"个映射的核中,我们定义"X"的第"n"阶同调群为商群(商模)  链复形称为"正合"的,如果("n" + 1)阶映射的像总是等于"n"阶映射的核。因此formula_1的同调群是formula_1所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。
title: 非正式的例子.
content: 非正式地,拓扑空间"X"的同调是"X"的拓扑不变量的集合,用其"同调群"来表示  其中第k个同调群formula_10描绘了"X"中的"k"维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔,因此formula_11描绘了"X"中的路径连通分支。  一维球面 formula_12是一个圆。它有单个连通分支和一个一维洞,但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出  其中formula_14为整数群,formula_15为平凡群。群formula_16表示一个有限生成阿贝尔群,其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。  二维球面formula_17拥有1个连通分支,0个一维洞,1个二维洞,无更高维的洞。其对应的同调群为  一般地,对"n"维球面"S",其同调群为  二维球"B"是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支,但与圆不同的是,它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了formula_20以外均为平凡群。  环面被定义为两个圆formula_21的笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支,两个独立的一维洞(在图中以红圈和蓝圈分别标出),以及一个二维洞(环面的内部)。其对应的同调群为  两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元,表示为笛卡尔积群formula_23.
title: 例子.
content: 导致引入这个概念的例子是代数拓扑:单纯复形formula_1的单纯同调。formula_25在这里就是formula_1中的"n"维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为"边界映射",它将单纯形  映射为如下的和  如果我们将模取在一个域上,则formula_1的"n"阶同调的维数就是formula_1中"n"维的洞的个数。  仿照这个例子,可以定义任何拓扑空间formula_1的奇异同调。我们定义formula_1的上同调的链复形中的空间为formula_25为自由可换群(或者自由模),其生成元为所有从"n"为单纯形到formula_1的连续函数。同态formula_35从单纯形的边界映射得到。  抽象代数中,同调用于定义导出函子,例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子formula_36和某个模formula_1开始。formula_1的链复形定义如下:首先找到一个自由模formula_39和一个满同态formula_40。然后找到一个自由模formula_41和一个满同态formula_42。以该方式继续,得到一个自由模formula_43和同态formula_44的序列。将函子formula_36应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调formula_46仅依赖于formula_36和formula_1,并且按定义就是formula_36作用于formula_1的"n"阶导出函子。
title: 同调函子.
content: 链复形构成一个范畴:从链复形formula_51到链复形formula_52的态射是一个同态的序列formula_53,满足formula_54对于所有"n"成立。"n"阶同调 formula_46可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子。  若链复形以协变的方式依赖于对象formula_1(也就是任何态射formula_57诱导出一个从formula_1的链复形到formula_59的链复形的态射),则formula_46是从formula_1所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子。  同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以"逆变"方式依赖于formula_1,因此其同调群(在这个情况下称为"上同调群"并记为formula_63)构成从formula_1所属的范畴到可换群或者模的范畴的"逆变"函子。
title: 性质.
content: 若formula_51是链复形,满足出有限个formula_25外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义"欧拉示性数"  (可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数)。事实上在同调的层次上也可以计算:  并且,特别是在代数拓扑中,这提供了两个计算产生链复形的对象formula_1的重要的不变量formula_70.  每个链复形的短正合序列  导致一个同调群的长正合序列  所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出,除了映射formula_73之外。后者称为 "连接同态",有蛇引理给出。

Summary: 数学上(特别是代数拓扑和抽象代数),同调 (homology,在希腊语中"homos" = 同)是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者群)联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

Homologietheorie: Eine Homologie (, „ähnlich, gleich“, und, hier: „Verhältnis, Analogie, Proportion“) ist ein mathematisches Objekt. Sie ist eine Folge von mathematischen Objekten, den Homologiegruppen. Zu den wichtigsten Ausprägungen einer Homologie zählt die singuläre Homologie. Homologien wurden im Bereich der algebraischen Topologie entwickelt. Später wurden sie auch als rein algebraische Objekte betrachtet, woraus sich das Teilgebiet der homologischen Algebra entwickelte. Die ursprüngliche Motivation dafür, Homologiegruppen zu definieren, war die Beobachtung, dass sich Formen durch ihre Löcher unterscheiden lassen (beispielsweise in der Klassifikation der Flächen). Da Löcher aber „nicht da“ sind, ist es nicht offensichtlich, wie man Löcher mathematisch definieren kann. Die Homologie ist ein mathematischer Ansatz, die Existenz von Löchern zu formalisieren. Gewisse „sehr feine“ Löcher sind für die Homologie unsichtbar; hier kann u. U. auf die schwerer zu bestimmenden Homotopiegruppen zurückgegriffen werden.