三角形

title: 分类.
title: 以角度分类.
title: 锐角三角形.
content: 锐角三角形的所有内角均为锐角(即小于90°)。
title: 钝角三角形.
content: 钝角三角形是其中一角为钝角(大于90°)的三角形,其余两角均小于90°。
title: 直角三角形.
content: 有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」(cathetus),直角所对的边是「斜边」(hypotenuse);或最长的边称为「弦」,底部的一边称作「勾」(又作「句」),另一边称为「股」。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积(ch=ab)  直角三角形各边与角度的关系,可以三角比表示。详见三角函数。
title: 以边长分类.
title: 不等边三角形.
content: 三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。
title: 等边三角形.
content: 等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三个内角相等,均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 formula_4,则其面积公式为 formula_12 。  等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。
title: 等腰三角形.
content: 等腰三角形是三条边中有两条边相等(或是其中两只内角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」,而另一条边被称为「底边」,两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」,它们组成的角被称为「顶角」。  等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
title: 退化三角形.
content: 退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,这是由于它介乎于三角不等式之间,在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。
title: 勒洛三角形.
content: 勒洛三角形(英语:Reuleaux triangle),也译作莱洛三角形或弧三角形,又被称为划粉形[1]或曲边三角形,是除了圆形以外,最简单易懂的勒洛多边形,一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间,使之与这两平行线相切,则可以做到:无论这个曲线图如何运动,只要它还是在这两条平行线内,就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux(英语:Franz Reuleaux)命名。
title: 全等及相似.
title: 全等三角形.
content: 三角形具有稳定性,若二个三角形有以下的边角关系确定后,它的形状、大小就不会改变,二个三角形即为全等三角形。 注意,SSA(Side-Side-Angle、边、边、角)不能保证两个三角形全等,除非该角等于90°。
title: 特殊线段.
content: 三角形中有着一些特殊线段,是三角形研究的重要对象。 以上特殊线段,每个三角形均有三条,且三线共点。
title: 中线长度.
content: 设在formula_28中,若三边formula_4、formula_5、formula_31的中线分别为formula_32、formula_33、formula_34,则:
title: 高线长度.
content: 设在formula_28中,连接三个顶点formula_1、formula_2、formula_3上的高分别记作formula_42、formula_43、formula_44,则: 其中 formula_48 。
title: 角平分线长度.
content: 设在formula_28中,若三个角formula_1、formula_2、formula_3的角平分线分别为formula_53、formula_54、formula_55,则:
title: 三角形的心.
content: 三角形的内心、外心、垂心及形心称为三角形的四心,定义如下:  关于三角形的四心,有这样的一首诗:  垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能连成一线,且成比例1:2,称为欧拉线,与九点圆的圆心(红)四点共线,为垂心和形心线段的中点。  连同以下的旁心,合称为三角形的五心:
title: 外接圆和内切圆半径.
content: 设外接圆半径为formula_19, 内切圆半径为formula_60,则:  其中formula_63为三角形面积;formula_64为三角形半周长,formula_48
title: 面积.
title: 基本公式.
content: 三角形的面积 formula_1 是底边 formula_67 与高 formula_68 乘积的一半,即: 其中的高是指底边与对角的垂直距离。  从右图可知,将两个全等三角形相拼,可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补,正好能得到一个面积等于 formula_70 的长方形。因此原来的三角形面积为 证毕。
title: 已知两边及其夹角.
content: 设 formula_4 formula_5 为已知的两边, formula_9 为该两边的夹角,则三角形面积是:  观察右图,根据正弦的定义:  因此:  将此式代入基本公式,可得:  证毕。
title: 已知两角及其夹边.
content: formula_8 、 formula_9 为已知的两角, formula_4 为该两角的夹边,则三角形面积是:  从正弦定理可知:  代入 formula_84,得:  注意到formula_86,因此:  证毕。
title: 已知三边长.
content: 海伦公式,其表示形式为: 其中 formula_64 等于三角形的半周长,即:  秦九韶亦求过类似的公式,称为三斜求积法:  也有用幂和来表示的公式:  亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:  基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法。设 formula_94,三角形面积为:  设 formula_4 、 formula_5、formula_6为三角形三条边, formula_7 、 formula_8 、 formula_9 为相应边的对角。从余弦定理可知:  以毕氏三角恒等式可得:  将此式代入formula_75,得:  因式分解及简化后可得:  代入formula_48,即可证毕。
title: 已知坐标系中三顶点坐标.
content: 由 formula_108 、 formula_109 及 formula_110 三个顶点构成的三角形,其面积可用行列式的绝对值表示:  无论三角形的顶点位置如何,该三角形总可以用一个直角梯形(或矩形)和两个直角三角形面积的和差来表示,而在直角坐标系中,已知直角梯形(或矩形)和直角三角形的顶点的坐标,该三角形的面积容易求出,即用上述的行列式表示。 若三个顶点设在三维座标系上,即由 formula_112 、 formula_113 及 formula_114 三个顶点构成三角形,其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和,即:
title: 已知周界及内切圆或外接圆半径.
content: 设三角形三边边长分别为 formula_4 、 formula_5 及 formula_6,三角形半周长( formula_119 )为 formula_64,内切圆半径为 formula_60,则:  若设外接圆半径为 formula_19,则:  内切圆半径公式  根据右图,设 formula_125, formula_126, formula_127,则三角形面积可表示为:  外接圆半径公式  根据正弦定理:  因此:
title: 已知两边向量.
content: 设从一角出发,引出两边的向量为 formula_131 及 formula_132,三角形的面积为:  根据向量积定义,formula_134, 其中 formula_135 是两支向量的夹角。  因此:  证毕。
title: 半角定理.
content: 在三角形formula_137中,三个角的半角的正切和三边有如下关系: 以正弦及余弦之比表示正切:  因为  所以  而  所以  即  同理可得

Summary: 三角形,又称三边形,是由三条线段顺次首尾相连,或不共线的三点两两连接,所组成的一个闭合的平面图形,是最基本和最少边的多边形。

Dreieck: Ein Dreieck (veraltet auch Triangel, lateinisch: triangulum) ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als "Seiten". In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als "Eckpunkte" des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist möglich. In diesem Fall müssen die Begrenzungslinien Geodäten sein.