二面角

title: 立体几何.
content: 一条直线和两个半平面的并集组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。  由直线 formula_1 、半平面 formula_2 和半平面 formula_3 组成的二面角,记作:“二面角formula_4 ”,也可记作“formula_5”。  也可在直线 formula_1 外、半平面 formula_2 和半平面 formula_3 内,分别取点formula_9和点formula_10,将这个二面角记作“二面角formula_11”。  在 二面角formula_4 的棱 formula_1 上任取一点formula_14,以点formula_14为垂足,在半平面 formula_2 和 formula_3 内分别作射线 formula_18 和射线 formula_19 垂直于棱 formula_1,那么射线formula_18 和射线formula_19 所构成的 formula_23 叫做二面角的平面角。  在非解析几何方法中,常通过建立二面角的平面角,通过求出平面角的大小,来求出二面角的大小:  formula_24  formula_25 为formula_18在平面 formula_3 中的射影。  formula_28  formula_29 是二面角formula_4 的平面角。
title: 解析几何.
content: 若两个相交平面在笛卡尔坐标中的方程分别为 则它们之间的二面角 formula_33 为:  另一种方法是计算两个平面的法向量n和n之间的夹角:  其中n • n是两个向量的点积,|n| |n|是两个向量的模的乘积。 任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述;他们的叉积是平面的法向量。因此,二面角可以由三个向量b、b和b定义,形成两对非共线向量:  其中atan2是二个参数的反正切函数变体,一般而言,atan2(y, x) 等价于 atan(y/x)。
title: 立体化学.
content: 在化学中,扭转角(英语: torsion angle)被定义为二面角的特定例子,描述了通过化学键连接的分子的两个部分的几何关系。  在立体化学中,分子中的每三个(非共线)原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时,它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为"syn"(s,顺);在±90°和180°之间的为"anti"(a,反)。类似地,角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为"clinal"(c,错),而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为"periplanar"(p,叠)。  这两种术语可以组合起来,以定义四个角度范围:0°至±30°为顺叠(sp);30°至90°和-30°至-90°为顺错(sc);90°至150°和-90°至-150°为反错(ac);±150°至180°为反叠(ap)。顺叠构象也被称为顺式("syn"-或"cis"-)构象;反叠构象也被称为反式("anti"-或"trans"-)构象;顺错构象也被称为邻位交叉、间扭("gauche"或"skew")构象。  例如,对于正丁烷,可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头(上图)所示的"syn"-构象具有60°的二面角,比180°二面角的"anti"-构象更不稳定。  对于大分子使用,建议使用符号T,C,G,G,A和A分别表示ap,sp,+sc,-sc,+ac和-ac。
title: 蛋白质.
content: 拉氏图(也称为Ramachandran图或["φ","ψ"]图),由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发,是一种形象化蛋白质结构中能量(位阻)允许的氨基酸残基的二面角"ψ"与"φ"的关系的方式。右图展示了骨架二面角"φ"和"ψ"的定义(Ramachandran称为"φ"和"φ"')。  在蛋白质链中,三个二面角被定义为"φ"(phi),"ψ"(psi)和"ω"(omega),如图所示。肽键的平面性通常使得"ω"被限制为180°(典型"trans"情况)或0°(罕见"cis"情况)。"trans"和"cis"异构体的α-碳之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。"cis"异构体主要在Xaa-Pro肽键(其中Xaa是任何氨基酸)中观察到。  侧链二面角倾向于聚集在180°,60°和-60°附近,称为"trans","gauche"和"gauche"构象。某些侧链二面角的稳定性受到"φ"和"ψ"值的影响。例如,当"ψ"接近-60°时,"gauche"旋转异构体的侧链中的γ-碳和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻相互作用。
title: 从二面角转换为链中的笛卡尔坐标.
content: 在聚合物特别是蛋白质中,常常用内部坐标来描述主链,也即把二面角和键长按照顺序列表。但是,某些类型的计算化学反而使用笛卡尔坐标。在计算结构优化中,一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换,这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程,它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果,但它们的运算速度和数字精度不同。
title: 几何.
content: 每个多面体在每条边上都有一个二面角,用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为面角,其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的,而且两个面相互重叠,这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的,如在镶嵌中。在多面体的凹部,可以存在大于180°的面角,在基础数学二面角的取值范围上有争议目前认为取值为[0,180]。  边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体,4个星型正多面体,两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。  给定一个在共同顶点P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面,包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为:

Summary: 二面角(英语:dihedral angle)是两个相交平面之间的夹角。在立体几何中,它被定义为一条直线和两个半平面的并集,这条直线是两个半平面的公共边。在高维中,二面角表示两个超平面之间的夹角。

Diederwinkel: Der Dieder- oder Torsionswinkel beschreibt in der Geometrie den Winkel zwischen zwei durch jeweils drei ebene Punkte aufgespannten Flächen. Dies gilt insbesondere innerhalb der chiralen Struktur einer chemischen Verbindung für den Winkel zwischen zwei von Atomen aufgespannten ebenen Flächen. Dabei wird der Diederwinkel α an der Schnittlinie durch ein Paar von zwei Atomen auf dieser Schnittlinie und die Positionen von zwei weiteren Atomen zueinander definiert. Dies entspricht im Beispiel der organischen Verbindung Ethan dem Winkel, den die beiden an der Linie formula_1 schneidenden und durch formula_2 und formula_3 aufgespannten Ebenen zueinander einnehmen, wie in nachstehender Abbildung dargestellt (formula_4 und formula_4 sind die beiden verbundenen Kohlenstoffatome, formula_6 und formula_7 zwei der gebundenen Wasserstoffatome): Sind die beiden Kohlenstoffatome durch eine Einfachbindung (σ-Bindung) verbunden und nicht in einem cyclischen Molekül arretiert, kann der Diederwinkel kontinuierlich alle Werte von 0° bis 180° annehmen. Aufgrund von abstoßenden Wechselwirkungen der Substituenten formula_6 und formula_7 ist in der Regel ein Winkel von formula_10 ("trans", s. u.) am günstigsten.