同餘

title: 同余符号.
content: 两个整数formula_1,formula_2,若它们除以正整数formula_3所得的余数相等,则称formula_1,formula_2对于模formula_3同余  记作formula_7  读作formula_1同余于formula_2模formula_3,或读作formula_1与formula_2关于模formula_3同余。  比如formula_14。  同余于的符号是同余相等符号≡。统一码值为codice_1。
title: 同余类.
content: 如同任何同余关系,对于模formula_15同余是一种等价关系,整数formula_1的等价类是一个集合formula_17,标记为formula_18。由对于模formula_15同余的所有整数组成的这个集合称为同余类(英语:congruence class或英语:residue class);假若从上下文知道模formula_15,则也可标记为formula_21。  同余类中的每个元素都可以拿来代表该同余类,称为该同余类的代表数(英语:representative)。
title: 余数系统.
content: 余数系统(英语:residue system)亦即模formula_15同余类的代表数的集合,通常使用的代表数是最小非负整数,因为它是除法中的应当余数。要注意的是,对于同一个模数formula_15,不同的同余类不等价,亦即,属于不同同余类的整数不同余于模数formula_15,或者说,模formula_15余数系统中的任二元素不同余于模formula_15;而且,整数域中的每个整数只属于模数formula_15的一个同余类,因为模formula_15将整数域划分为互斥区块,每个区块是一个同余类。  一个完整余数系统(英语:complete residue system)指的是模formula_15的全部同余类的代表数的集合;因为余数系统中的任二元素不同余于模formula_15,所以它也称为非同余余数的完整系统(英语:complete system of incongruent residues)。例如,模formula_31有三个同余类formula_32,其完整余数系统可以是formula_33。如果该集合是由每个同余类的最小非负整数所组成,亦即formula_34,则称该集合为模formula_15的最小余数系统(英语:least residue system)。  模formula_15完整余数系统中,与模formula_15互质的代表数所构成的集合,称为模formula_15的简约余数系统(英语:reduced residue system),其元素个数记为formula_39,亦即欧拉函数。例如,模formula_40的简约余数系统为formula_41或formula_42。如果模formula_15是质数,那么它的最小简约余数系统是formula_44,只比最小余数系统少一个formula_45。
title: 性质.
title: 整除性.
content: formula_46 (即是说 a 和 b 之差是 m 的倍数)换句话说,formula_47  同余可以用来检验一个数是否可以整除另外一个数,见整除规则。
title: 传递性.
content: formula_48
title: 保持基本运算.
content: formula_49这性质更可进一步引申成为这样:formula_50
title: 放大缩小底数.
content: k为整数,n为正整数,formula_51
title: 放大缩小模数.
content: formula_52为正整数,formula_7,当且仅当formula_54
title: 除法原理一.
content: 若formula_55且formula_56互质,则formula_7
title: 除法原理二.
content: 每个正整数都可以分解为数个因子的乘积,称为整数分解。例如 formula_58,因子 formula_31 与 formula_60 都可以整除 formula_61,记为 formula_62 与 formula_63。如果 formula_61 可以整除某正整数 formula_1,亦即 formula_66,那么 formula_61 就是 formula_1 的因子:formula_69,其中 formula_2 为另一因子。formula_71,因此,formula_61 的因子也可以整除 formula_1:formula_74。  formula_7 等价于 formula_76,也就是 formula_77。亦即,如果 formula_77,那么它可以写成 formula_7,因此有以下除法原理:
title: 同余关系式.
title: 威尔逊定理.
content: formula_130
title: 费马小定理.
content: formula_131
title: 欧拉定理.
content: formula_132
title: 卡迈克尔函数.
content: formula_133
title: 阶乘幂.
content: formula_134
title: 卢卡斯定理.
content: formula_135
title: 组合数最小周期.
content: formula_136  设formula_137,则formula_138,其中formula_139
title: 相关概念.
title: 模反元素.
content: formula_140  可用辗转相除法、欧拉定理、卡迈克尔函数求解。
title: 原根.
content: 存在最小的正整数d使得formula_141成立,且formula_142。
title: 同余方程.
title: 线性同余方程.
content: formula_143  考虑最大公约数,有解时用辗转相除法等方法求解。
title: 线性同余方程组.
content: formula_144  先求解每一个线性同余方程,再用中国剩余定理解方程组。
title: 二次剩余.
content: formula_145  勒让德符号、雅可比符号、克罗内克符号、二次互反律用于判别d是否为模n的二次剩余。
title: 高次剩余.
content: formula_146
title: 应用.
content: 模数算术在数论、群论、环论、纽结理论、抽象代数、计算机代数、密码学、计算机科学、化学、视觉和音乐等学科中皆有应用。  它是数论的立基点之一,与其各个面向都相关。  模数算术经常被用于计算标识符中所使用的校验和,比如国际银行账户号码(IBANs)就用到了模97的算术,来捕获用户在输入银行账户号码时的错误。  于密码学中,模数算术是RSA与迪菲-赫尔曼密钥交换等公钥系统的基础,它同时也提供有限域,应用于 椭圆加密,且用于许多对称密钥加密中,包括高级加密标准、国际资料加密算法等。  于计算机科学, 同余被应用于位元运算或其他与固定宽度之循环资料结构相关的操作。  于化学中, CAS号(一个对各种化合物皆异之的识别码)的最后一码为校验码,将CAS号首二部分最后的数字乘上一,下一码乘上二,下一码乘上三以此类推,将所有积加起来再取模10。  在音乐领域,模12用于十二平均律系统。  星期的计算中取模7算术极重要。  更广泛而言,同余在法律、经济(见赛局理论)或其他社会科学领域中也有应用。
title: 范例.
content: 以下为快速展示小于63位元无号整数之模数乘法的C程序,且转换过程中不发生溢位。计算 a * b (mod m)之算法:  uint64_t mul_mod(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m)

Summary: 数学上,同余(英语:congruence modulo,符号:≡)是数论中的一种等价关系。当两个整数除以同一个正整数,若得相同余数,则二整数同余。同余是抽象代数中的同余关系的原型。最先引用同余的概念与「≡」符号者为德国数学家高斯。

Kongruenz (Zahlentheorie): Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen. Man nennt zwei ganze Zahlen formula_1 und formula_2 "kongruent modulo" formula_3 (= eine weitere Zahl), wenn sie bei der Division durch formula_3 beide denselben Rest haben. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von formula_3 unterscheiden. Stimmen die Reste hingegen nicht überein, so nennt man die Zahlen "inkongruent modulo" formula_3. Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen.