連續性方程式

title: 概论.
title: 微分形式.
content: 一般的连续性方程序,其微分形式为  其中,formula_2 是某物理量 formula_3 的密度(物理量每单位体积),formula_4 是 formula_3 的流量密度(物理量每单位面积每单位时间)的向量函数(英语:vector function),formula_6 是 formula_3 的生成量每单位体积每单位时间。  假若 formula_8 则称 formula_6 为「源点」;假若 formula_10 则称 formula_6 为「汇点」。假设 formula_2 是守恒量,不能够生成或湮灭(例如,电荷),则 formula_13,连续性方程序变为  从简单的「能量连续性方程序」到复杂的纳维-斯托克斯方程序,这方程序可以用来表示任意连续性方程序。这方程序也是平流方程序(英语:advection equation)的推广。  其它物理学里的方程序,像电场的高斯定律或高斯重力定律(英语:Gauss' law for gravity),都具有类似连续性方程序的数学形式,但是通常不会称为连续性方程序,因为 formula_4 并不代表真实物理量的流动。
title: 积分形式.
content: 根据散度定理,连续性方程序可以写为等价的积分形式:  其中,formula_17 是包住体积 formula_18 的任意固定(不随时间改变)闭曲面,formula_19 是在体积 formula_18 内的 formula_3 总量,formula_22 是在积分体积 formula_18 内源点与汇点的总生成量每单位时间,formula_24 是微小面向量积分元素。  举一简例,假设 formula_18 是台北101大楼,formula_19 是在大楼内某时间的总人数,formula_17 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等,共同组成的曲面,则连续性方程序表明,当人们进入大楼时(代表穿过曲面的内向通量),或当大楼里面的孕妇生产时(代表源点的 formula_8 ),在大楼里面的总人数会增加;而当人们离开大楼时(代表穿过曲面的外向通量),在大楼里面的总人数会减少。
title: 电磁理论.
content: 在电磁理论里,连续性方程序可以视为一条经验定律,表达局域电荷守恒,或是从马克士威方程组推导出的结果。「电荷连续性方程序」表明,电荷密度 formula_29 的变率与电流密度 formula_30 的散度,两者的代数和等于零:
title: 马克士威-安培方程序满足局域电荷守恒的连续性方程序.
content: 马克士威-安培方程序为  其中,formula_33 是磁场,formula_34 是电场,formula_35 是磁常数,formula_36 是电常数。  取散度于方程序的两边,由于旋度的散度必是零,  高斯定律的方程序为  将这方程序代入,可以得到  电流是电荷的流量。连续性方程序可以这样论述:假若电荷从某微小体积元素移动出去(电流密度的散度是正值),则在那微小体积元素内的总电荷量会减少,电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉,连续性方程序就是电荷守恒。
title: 四维电流.
content: 四维电流密度定义为  其中,formula_41 标记哪一个时空坐标,formula_42 是光速。  电荷守恒可以简洁地表达为四维电流密度的散度,即连续性方程序  其中,formula_44 。
title: 流体力学.
content: 在流体力学里,连续性方程序表明,在任何稳定态过程中,质量进入物理系统的速率等于离开的速率。。连续性方程序类比于电路学的克希荷夫电流定律。「质量连续性方程序」的微分形式为  其中,formula_46 是流体质量密度,formula_47 是流速向量场,两者相乘后为质量通量。  假设流体是不可压缩流,则密度 formula_46 是常数,质量连续性方程序简化为体积连续性方程序:  这意味着,在所有位置,速度场的散度等于零;也就是说,局域的体积变率为零。  在另一方面,纳维-斯托克斯方程序是一个向量连续性方程序,描述动量守恒。
title: 能量.
content: 根据能量守恒,能量只能够传输,不能够生成或湮灭,这导致「能量连续性方程序」。这是在热力学定律(英语:Laws of thermodynamics)外,又一种关于能量守恒的数学论述。以方程序表达,  其中,formula_51 是能量密度(能量每单位体积),formula_3 是能量通量向量(数值大小为传输的能量每单位截面面积每单位时间,方向为截面的法向方向)。  根据傅立叶定律(英语:Fourier's law),对于均匀传导介质,  其中,formula_54 是热导率,formula_55 是温度函数。  能量连续性方程序又可写为
title: 量子力学.
content: 在量子力学里,从几率守恒可以得到「几率连续性方程序」。设定一个量子系统的波函数为 formula_57 。定义几率流 formula_30 为  其中,formula_60 是约化普朗克常数,formula_61 是质量,formula_62 是 formula_63 是共轭复数,formula_64 是取括号内项目的复值。
title: 连续方程序与几率保守定律.
content: 几率流满足量子力学的连续方程序:  其中,formula_66 是几率密度。  应用高斯公式,等价地以积分方程序表示,  其中,formula_18 是任意三维区域,formula_17 是 formula_18 的边界曲面。  这就是量子力学几率守恒定律的方程序。  方程序 (1) 左边第一个体积积分项目(不包括对于时间的偏微分),即是测量粒子位置时,粒子在 formula_18 内的几率。第二个曲面积分是几率流出 formula_18 的通量。总之,方程序 (1) 表明,粒子在三维区域 formula_18 内的几率对于时间的微分,加上几率流出三维区域 formula_18 的通量,两者的总和等于零。
title: 连续方程序导引.
content: 测量粒子在三维区域 formula_18 内的几率 formula_76 是  几率对于时间的导数是  假设 formula_79 的含时薛定谔方程序为  其中,formula_81 是位势。  将含时薛定谔方程序代入方程序 (2),可以得到  应用一则向量恒等式,可以得到  这方程序右手边第一个项目与第三个项目互相抵销,将抵销后的方程序代入,  将几率密度方程序与几率流定义式代入,  这相等式对于任意三维区域 formula_18 都成立,所以,被积项目在任何位置都必须等于零:

Summary: 在物理学里,连续性方程序(英语:continuity equation)乃是描述守恒量传输行为的偏微分方程序。由于在各自适当条件下,质量、能量、动量、电荷等等,都是守恒量,很多种传输行为都可以用连续性方程序来描述。

Kontinuitätsgleichung: Eine Kontinuitätsgleichung ist eine bestimmte partielle Differentialgleichung, die zu einer Erhaltungsgröße (s. u.) gehört. Sie verknüpft die zeitliche Änderung formula_1 der zu dieser Erhaltungsgröße gehörigen "Dichte" formula_2 mit der räumlichen Änderung ihrer Stromdichte formula_3: