譜序列

title: 动机.
content: 让·勒雷当初为了研究代数拓扑学,而引入层的概念,从而面临计算层上同调的问题。为此,勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法,它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。  人们很快就发现:勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题;更抽象地说,对合成函子取导函子也会得到谱序列,称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架,谱序列仍是最有效的计算工具。  由于谱序列包含大量的项,实际计算时往往会陷入带(至少)三重指标的群或模的迷阵。在许多实际状况中,谱序列最后会「塌陷」,此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷,则须靠一些窍门取得有用的资讯。
title: 形式定义.
content: 以下固定一个阿贝尔范畴 formula_1,常见例子是一个环上的模范畴。谱序列是一个非负整数 formula_2 及下述资料:  通常省去 formula_7 与 formula_8 的同构,而写成等式。  最基本的例子是链复形 formula_11,它带有一个微分 formula_12。取 formula_13,并令 formula_14,于是必有 formula_15;这个新链复形上的微分只有一个自然的选择,就是零映射。于是有 formula_16。综之,我们得到一个链复形范畴上的谱序列:  由于只有 formula_19 时微分映射才可能非零,此序列在第一步后就不含任何新资讯。  较常见的是双分次模(或层)范畴上的谱序列,表作 formula_20,此时的微分映射次数与 formula_21 有关:对于上同调谱序列,formula_5 的次数是 formula_23。对于同调谱序列,通常将各项写成 formula_4,微分映射 formula_25 的次数是 formula_26。  谱序列之间的态射 formula_27 定义为一族态射 formula_28,使之与同构 formula_29 交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。
title: 正合偶.
content: 交换代数中大部分的谱序列来自链复形,而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见,此时对于许多谱序列,正合偶是唯一已知的构造法。事实上,正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。  同样固定一个阿贝尔范畴(通常取一个环上的双分次模)formula_1,一个正合偶是:  使之满足下述正合条件:  将这组资料简记为 formula_35。正合偶通常以三角形表示。formula_36 对应到谱序列的 formula_37 项,而 formula_38 是一些辅助资料。  为了得到谱序列的后续项,以下将构造导出偶。令:  现在可以验证 formula_54 构成正合偶。formula_52 对应到谱序列的 formula_56 项。续行此法,可以得到一族正合偶 formula_57。相应的谱序列定义为 formula_58,formula_59。
title: 图解.
content: 一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯,不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 formula_60。对每个 formula_21,设想有一张方格纸,分别让 formula_62 对应于横、纵轴。每一个格子点 formula_63 对应到对象 formula_20。微分 formula_65 的次数为 formula_66,方向如图所示。
title: 收敛与退化.
content: 在第一个简单的例子中,谱序列在 formula_67 后的微分映射皆为零,故不再改变。这时可定义该谱序列的极限为 formula_68。对于一般的谱序列,也往往存在一个极限,极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。  定义:若谱序列 formula_20 对每个 formula_63 都存在 formula_71,使得当 formula_72 时,formula_73 及 formula_74 皆为零,则称 formula_20 之极限项为 formula_76(取充分大的 formula_21)。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列,此时极限项恒存在。  其中的指标 formula_78 指涉过滤结构。  若存在对象 formula_79、过滤结构 formula_80,及一族同构 formula_81,满足 formula_82(这种过滤称为「正则过滤」),则称 formula_20 收敛到 formula_79,通常表为下述符号:  习惯上,人们也常将左式写成 formula_86,因为谱序列中最重要的页往往是 formula_86。  最简单的收敛特例是退化:  定义:固定 formula_88,若对每个 formula_89,微分映射 formula_90 都是零,则称该谱序列在第 formula_21 页退化。  退化性保证了 formula_92,此时 formula_4 即其极限。如果一个双分次谱序列 formula_20 的非零项集中于某一条水平或垂直线上,则必在 formula_95 时退化。
title: 例子.
title: 过滤结构导出的谱序列.
content: 最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象,通常是链复形或上链复形。这是一个对象 formula_36 及微分映射 formula_97,使之满足 formula_98,以及  同调群上也有相应的过滤  对此,定义相应的分次对象  取微分映射为零,可视之为复形。  以下式定义谱序列:  此时有 formula_106,且谱序列收敛: 通常也写成 formula_108。  取 formula_1 为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 formula_36 是个上链复形 formula_111,formula_12 是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 formula_113,并可进一步化成下述形式:
title: 双复形的谱序列.
content: 以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形,即一组对象 formula_117,及两组微分映射 formula_118 及 formula_119,满足  对一个双复形,可定义其全复形 formula_122(也记为 formula_123 或 formula_124) 为  formula_36 上有两组过滤,分别是:  它们给出两个谱序列 formula_130 与 formula_131。首先计算 formula_132 项:  同理可计算 formula_136:  这两个谱序列通常是不同的,但随着 formula_21 增大,它们都收敛到 formula_141,由此可以得到一些有趣的比较定理。
title: 例子.
title: Tor函子的交换性.
content: 利用谱序列,可以迅速导出Tor函子的交换性,即一自然同构:  取定平坦分解 formula_143 及 formula_144。视之为集中于正项的复形,其微分映射分别记为 formula_145。考虑双复形 formula_146,其微分映射定义为 formula_147(以使微分映射满足反交换性)。取其谱序列,遂得到:  由于复形 formula_150 是平坦分解,其同调群只集中在零次项,此时其表示式为:  故 formula_153 只在 formula_154 上有非零项,而 formula_155 只在 formula_156 上有非零项,这保证了谱序列在第二页退化,由此导出同构:  当 formula_159 时,上述等式的右项同构(虽然其分次结构不同),由此得到 Tor 的交换性。
title: 示性数.
content: 运用谱序列时,通常会假设某些项为零,或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知,仍可从谱序列中萃取资讯,最简单的例子是示性数:固定一个阿贝尔范畴 formula_1 及一个交换群 formula_36,所谓示性数是一个函数 formula_162,满足: 例如:取 formula_1 为某个域 formula_166 上的有限维向量空间范畴,则 formula_167 是一个示性数。  对任一 formula_1 上的有限复形 formula_169,定义  容易证明 formula_171。考虑任一在 formula_1 上的收敛谱序列 formula_173,由于谱序列的每一页都是前一页的同调,遂得到 然而 于是得到

Summary: 在同调代数中,谱序列是一种借着逐步逼近以计算同调或上同调群的技术,由让·勒雷在1946年首创。其应用见诸代数拓扑、群上同调与同伦理论。

Spektralsequenz: Eine Spektralsequenz oder Spektralfolge ist ein Berechnungsverfahren im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Nach J. F. Adams sind Spektralsequenzen wie exakte Sequenzen, nur komplizierter. Wie für exakte Sequenzen gelte auch für Spektralsequenzen: sie bieten keine Erfolgsgarantie, sind aber trotzdem in den Händen der Fachleute häufig ein effektives Werkzeug.