调和级数

title: 历史.
content: 早在14世纪,尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散,但知道的人不多。17世纪时,、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。  调和序列历来很受建筑师重视;这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时,运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例,并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。
title: 佯谬.
content: 对刚接触这个级数的人而言,调和级数是违反直觉的——尽管随着formula_5不断增大,formula_6无限接近0,但它却是一个发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行,而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋,蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米,那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗?与直觉相反,答案是肯定的:formula_5分钟之后,蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为:  由于调和级数发散(证明见本条目“发散性”一节),即formula_5趋于无穷大时级数也趋于无穷大,所以这个比值也必定在某个时刻超过1;也就是说,蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而,在这个时刻的n的值极其之大,约为formula_10,超过10(1后面有40个零)。这也说明了,尽管调和级数确确实实是发散的,但它发散的速度非常慢。  另一个例子:假设你有一堆完全相同的骨牌,可以肯定的是,你可以把它们叠在一起,并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度,最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是,只要你的骨牌足够多,你就可以使最上层的骨牌与最底层骨牌水平距离无穷远。一个较简单的证明如下:  设每一块骨牌的长度为formula_11。再设一叠formula_5个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为formula_13;在只有1个骨牌时,质心就在骨牌的几何中心(假设骨牌密度均匀),即formula_14。对于一叠刚好平衡的骨牌(即对于任意一层骨牌,在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘),新骨牌不置于其上方(否则使得质心往右偏移而倒塌),而是垫在整叠骨牌之下,并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端(则原来的骨牌不会倒塌);设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为formula_15,则有:formula_16。根据质心的坐标系计算公式,可得到新的骨牌叠的质心为:  则formula_18,即formula_19。  也就是说,理想的摆法是:最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的formula_2,第二、三层间水平距离是骨牌长度的formula_4,第三、四层之间水平距离是骨牌长度的formula_22......依此类推。最终,最顶层和最底层骨牌的水平距离是:  因为调和级数发散,所以当骨牌数目formula_5趋于无穷大时,水平距离也趋于无穷大。
title: 发散性.
title: 比较审敛法.
content: 因此该级数发散。
title: 积分判别法.
content: 通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高formula_6个单位(换句话说,每个长方形的面积都是formula_6),所以所有长方形的总面积就是调和级数的和: 矩形面积和:formula_31 而曲线formula_32以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出: 曲线下面积:formula_33 由于这一部分面积真包含于(换言之,小于)长方形总面积,长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说,这证明了:  这个方法的拓展即积分判别法。
title: 反证法.
content: 假设调和级数收敛, 则:  formula_35  但与 formula_36 矛盾,故假设不真,即调和级数发散。
title: 发散率.
content: 调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说,调和序列前10项的和还不足100。这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地,  其中formula_38是欧拉-马歇罗尼常数,而formula_39约等于formula_40,并且随着formula_41趋于正无穷而趋于formula_42。这个结果由欧拉给出。  当然无论调和级数发散率再怎样低,其都不是发散率最慢的级数,仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。
title: 部分和.
content: 调和级数的第formula_5个"部分和"为:  也叫作第n个调和数。  第n个调和数与formula_5的自然对数的差值(即formula_46)收敛于欧拉-马歇罗尼常数。  两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。  除了formula_47时以外,没有任何一个调和数是整数。
title: 相关级数.
title: 交错调和级数.
content: 如下级数: 被称作交错调和级数。这个级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地,这个级数的和等于2的自然对数: 这个公式是墨卡托级数(自然对数的泰勒级数形式)的一个特例。  从反正切函数的泰勒展开式可以导出一个相关级数: 这个级数也被称作π的莱布尼茨公式。
title: 广义调和级数.
content: 广义调和级数是指有如下形式的级数:  其中formula_52且formula_53为实数。  由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。
title: formula_54-级数.
content: 调和级数广义化的其中一个结果是formula_54-级数,定义如下:  其中P是任意正实数。当formula_57,formula_54-级数即调和级数。由积分判别法或柯西稠密判定法可知formula_54-级数在formula_60时收敛(此时级数又叫过调和级数(over-harmonic series)),而在formula_61时发散。 当formula_60时,formula_54-级数的和即formula_64,也就是黎曼ζ函数在formula_54的值。
title: formula_66-级数.
content: 对一个凸实值函数formula_66,若满足以下条件: 则级数formula_69收敛。
title: 随机调和级数.
content: 随机调和级数定义如下:  其中formula_71是独立的、恒等分布的随机变量,取值范围为+1和-1,取这两个值的概率都是formula_2。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质,并发现这个级数收敛的概率为1,并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地,这个随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为,与formula_73只差了不到10。施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是formula_73。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分formula_75除以formula_76而给出的。
title: 贫化调和级数.
content: 贫化调和级数(肯普纳级数)是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的,其和的极限为80。实际上,将包含任意数字串的项从调和级数中去除后,所剩级数都收敛。
title: 拉马努金求和.
content: 调和级数是柯西发散的,而且很多常用的发散级数求和方法(如博雷尔求和法)对它也不适用。但是,调和级数的拉马努金求和存在,且为欧拉-马斯刻若尼常数。

Summary: 调和级数(英语:Harmonic series)是一个发散的无穷级数,表达式为:

Harmonische Reihe: Die harmonische Reihe ist in der Mathematik die Reihe, die durch Summation der Glieder formula_1 der harmonischen Folge entsteht. Ihre Partialsummen werden auch harmonische Zahlen genannt. Diese finden beispielsweise Anwendung in Fragestellungen der Kombinatorik und stehen in enger Beziehung zur Euler-Mascheroni-Konstante formula_2. Obwohl die harmonische Folge eine Nullfolge ist, ist die harmonische Reihe divergent.