有限位勢壘

title: 定义.
content: 一维有限位势垒的垒宽为 formula_1,左边垒壁与右边垒壁的位置分别为 formula_2 与 formula_3 。垒外位势为 0 。在垒壁,位势突然升高为 formula_4 。垒内位势保持为 formula_4 。这一维的位势垒将整个一维空间分为三个区域:垒左边,垒内,与垒右边。在每一个区域内,对应着不同的位势,描述粒子的量子行为的波函数 formula_6 也不同,标记为:  这些波函数,都必须满足,一维不含时间的薛定谔方程:  其中,formula_13 是约化普朗克常数,formula_14 是粒子质量,formula_15 是粒子位置,formula_16 是位势,formula_17 是能量。
title: 导引.
content: 在位势垒分开的每一个区域内,位势都是常数,粒子是半自由粒子。薛定谔方程的解答可以写为往左与往右的波函数的叠加。假若,formula_18,猜这解答为  其中,formula_24 、formula_25 、formula_26 、formula_27 、formula_28 、formula_29 都是常数,下标 formula_30 与 formula_31 分别标记波函数往右或往左的方向。波数 formula_32,formula_33 与能量的关系,分别为  从波函数在 formula_2 与 formula_3 的边界条件,可以求得常数。波函数与其导数必须满足连续性:  将波函数的方程序 (2) 、(3) 、(4), 代入边界条件的四个方程序,则可得到  假若,粒子的能量小于位势,formula_46,则 formula_33 成为虚数,在垒内,波函数呈指数递减。  在这里,暂时不考虑,formula_48,粒子的能量等于位势的状况。稍后,会特别研讨这状况。  设定 formula_49(粒子从左边往位势垒移动的波函数的波幅度),formula_50(反射幅度),formula_51(没有粒子从右边往位势垒移动),formula_52(透射幅度)。将这些变量的值代入方程序 (7) 、(8) 、(9) 、(10),则可得到常数 formula_26 和 formula_27 的关系方程序:  将方程 (11), (12) 代入方程 (13),可求得反射幅度 formula_30 :  将方程 (11), (12), (14) 代入方程 (9),可求得透射幅度 formula_60 :  因为模型的对称性,假若计算粒子从右边往位势垒移动的反射幅度 formula_30 和透射幅度 formula_60,答案也会相同。
title: 解答分析.
title: formula_64.
content: 假若,粒子的能量小于位势,formula_46,则 formula_33 变为虚数。设定  透射常数 formula_60 的方程序为  粒子穿越位势垒的几率,称为透射系数,又称为透射几率,可以表达为  将方程序 (5),(6),(15) 代入,可以得到透射几率 formula_71 与 formula_72 的关系方程序:  虽然粒子的能量小于位势,formula_74,透射几率大于 0 。这个效应,称为量子穿隧效应,是无法从经典力学导引出来的。在垒外,透射几率以波数 formula_32 振动。隔着位势垒,透射几率随着位势垒垒宽而呈指数递减。衰变长度是 formula_76 。假若,位势垒的垒宽大大地超过衰变长度,量子穿隧效应就会受到显著地压抑。
title: formula_77.
content: 假若,粒子的能量大于位势垒垒高,formula_18,则透射几率 formula_71 与 formula_72 的关系方程序为:  令人惊讶的是,粒子的反射几率 formula_82 大于 0 :  在经典力学,这是绝对不可能发生的事!实际上,这反射几率 formula_82 随着 formula_85 振荡。只有在 formula_86 的极限,才会靠近经典力学的答案:formula_87,没有反射。  当 formula_85 是 formula_89 的整数倍的时候,粒子的透射几率等于 1 。粒子肯定地可以透射到位势垒的另外一边,就好像位势垒完全不存在一样。这现象可以在电子对于惰性气体的散射实验中观测得到,又称为冉绍耳-汤森德效应(英语:Ramsauer-Townsend effect)。
title: formula_90.
content: 假若,粒子的能量等于位势垒垒高,formula_48,则薛定谔方程在垒内的解答不再是指数函数,而是线性函数:  解析薛定谔方程的方法,与前面所述相同,就是匹配波函数,波函数的导数在 formula_2 与 formula_3 。常数的关系方程为:  设定 formula_49(粒子从左边往位势垒移动的波函数的波幅度),formula_50(反射幅度),formula_51(没有粒子从右边往位势垒移动),formula_52(透射幅度)。将这些常数代入上述四个方程序内,经过一番颇费工夫,但相当直接的运算后,可以得到透射系数 formula_71 与反射系数 formula_82 :
title: 应用.
content: 一维有限位势垒问题,是一个简单与抽象的理论问题。但是,它仍旧可以用来模拟许多实际的系统。例如,电导体的表面,时常会覆盖着一层薄薄的氧化物。在电导体的内部,传导电子可以自由的移动。可是,在两个电导体的界面之间,由于这一层氧化物的阻碍,使得传导电子的运动受到很大的影响。有限位势垒问题可以用来模拟传导电子从一个电导体穿越到另一个电导体的状况,因而更加了解电流经过两个电导体的物理内涵。  扫描隧道显微镜 (STM) 运作的物理原理是量子穿隧效应。在这里,位势垒是由 STM 的尖端与检验物体之间的间隔造成的。由于量子穿隧效应呈指数跟位势垒垒宽有关,这仪器可以非常灵敏地感应到,检验物体表面的高低不平的变化。  Delta 位势垒是另外一种很重要的位势垒,可以视为一种特别的有限位势垒。垒内位势为狄拉克 Delta 函数,formula_107,垒外位势为 0 的位势垒。所有在此条目导引出来的结果,都能够应用于 Delta 位势垒,只需要保持 formula_108 不变,而同时取极限 formula_109 。

Summary: 在量子力学里,有限位势垒是一种位势。在垒外,位势为 0,在垒内,位势为有限值 。有限位势垒问题专门研讨在这种位势的作用中,一个粒子的量子行为。如图右,最简单的有限位势垒是方形垒,垒高是一个常数。在这条目里,只研讨这种位势垒。

Potentialbarriere: Eine Potentialbarriere, auch Potentialschwelle oder Potentialwall, ist ein Raumbereich, in dem ein Potential ein lokales Maximum annimmt (Abbildung Bereich II). Als Potential wird dabei eine Funktion bezeichnet, die jedem Punkt im Raum oder jedem Zustand in einem Phasenraum eine potentielle Energie zuordnet. Raumbereiche, die sich zwischen Potentialbarrieren befinden und in denen das Potential ein lokales Minimum annimmt, werden als Potentialtöpfe bezeichnet. Ob ein System oder ein Teilchen eine Potentialbarriere überwinden kann (von Bereich I in Bereich III der Abbildung wechseln), hängt dabei von seiner Energie, der Höhe und der Form der Barriere ab.