最大似然估计

title: 预备知识.
content: 下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义,如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。读者还须先熟悉连续实函数的基本技巧,比如使用微分来求一个函数的极值(即极大值或极小值)。 同时,读者须先拥有似然函数的背景知识,以了解最大似然估计的出发点及应用目的。
title: 最大似然估计的原理.
content: 给定一个概率分布formula_1,已知其概率密度函数(连续分布)或概率质量函数(离散分布)为formula_2,以及一个分布参数formula_3,我们可以从这个分布中抽出一个具有formula_4个值的采样formula_5,利用formula_2计算出其似然函数:  若formula_1是离散分布,formula_9即是在参数为formula_3时观测到这一采样的概率。若其是连续分布,formula_9则为formula_5联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得formula_5,我们就能求得一个关于formula_3的估计。最大似然估计会寻找关于formula_3的最可能的值(即,在所有可能的formula_3取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。从数学上来说,我们可以在formula_3的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的formula_18值即称为formula_3的最大似然估计。由定义,最大似然估计是样本的函数。
title: 例子.
title: 离散分布,离散有限参数空间.
content: 考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即,我们获取一个采样formula_22并把正面的次数记下来,正面记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为formula_23,抛出一个反面的概率记为formula_24(因此,这里的formula_23即相当于上边的formula_3)。假设我们抛出了49个正面,31个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为formula_27, formula_28, formula_29.这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计,基于二项分布中的概率质量函数公式,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个:  我们可以看到当formula_31时,似然函数取得最大值。 显然地,这硬币的公平性和那种抛出后正面的几率是2/3的硬币是最接近的。这就是formula_23的最大似然估计。
title: 离散分布,连续参数空间.
content: 现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币,对于formula_33中的任何一个formula_23, 都有一个抛出正面概率为formula_23的硬币对应,我们来求其似然函数的最大值:  其中formula_33. 我们可以使用微分法来求极值。方程两边同时对formula_23取微分,并使其为零。  其解为formula_40, formula_41,以及formula_42.使可能性最大的解显然是formula_42(因为formula_40和formula_41这两个解会使可能性为零)。因此我们说最大似然估计值为formula_46.  这个结果很容易一般化。只需要用一个字母formula_47代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据(即样本)的“成功”次数,用另一个字母formula_4代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:  对于任何成功次数为formula_47,试验总数为formula_4的伯努利试验。
title: 连续分布,连续参数空间.
content: 最常见的连续概率分布是正态分布,其概率密度函数如下:  现在有formula_4个正态随机变量的采样点,要求的是一个这样的正态分布,这些采样点分布到这个正态分布可能性最大(也就是概率密度积最大,每个点更靠近中心点),其formula_4个正态随机变量的采样的对应密度函数(假设其独立并服从同一分布)为:  或:  这个分布有两个参数:formula_57.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同,上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上,在两个参数上的求最大值的方法也差不多:只需要分别把可能性formula_58在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些,但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号,我们有formula_59.  最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凸函数。[注意:可能性函数(似然函数)的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算,比如在这个例子中可以看到:  这个方程的解是formula_61.这的确是这个函数的最大值,因为它是formula_62里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。  同理,我们对formula_63求导,并使其为零。  这个方程的解是formula_65.  因此,其关于formula_59的"最大似然估计"为:
title: 性质.
title: 泛函不变性(Functional invariance).
content: 如果formula_68是formula_3的一个最大似然估计,那么formula_70的最大似然估计是formula_71。函数"g"无需是一个双射。
title: 渐近线行为.
content: 最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差(其证明可见于Cramer-Rao lower bound)。当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。 对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布。
title: 偏差.
content: 最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子,标有"1"到"n"的"n"张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果"n"是未知的话,那么"n"的最大似然估计值就是抽出的票上标有的"n",尽管其期望值的只有formula_72.为了估计出最高的"n"值,我们能确定的只能是"n"值不小于抽出来的票上的值。
title: 历史.
content: 最大似然估计最早是由罗纳德·费雪在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。(虽然以前高斯、拉普拉斯、T. N. Thiele和F. Y. 埃奇沃思也使用过)。 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。  大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展,并被后来的作者简化。

Summary: 在统计学中,最大似然估计(英语:maximum likelihood estimation,缩写为MLE),也称极大似然估计、最大概似估计,是用来估计一个概率模型的参数的一种方法。

Maximum-Likelihood-Methode: Die Maximum-Likelihood-Methode, kurz ML-Methode, auch Maximum-Likelihood-Schätzung ("maximum likelihood" für "größte Plausibilität", daher auch "Methode der größten Plausibilität"), Methode der maximalen Mutmaßlichkeit, "Größte-Dichte-Methode" oder "Methode der größten Dichte" bezeichnet in der Statistik ein parametrisches Schätzverfahren. Dabei wird – vereinfacht ausgedrückt – derjenige Parameter als Schätzung ausgewählt, gemäß dessen Verteilung die Realisierung der beobachteten Daten am plausibelsten erscheint.