谱 (泛函分析)

title: 有界算子的谱.
title: 定义.
content: 作用在巴拿赫空间formula_2上的formula_3是标量域formula_4上的有界线性算子,且formula_5是formula_2上的恒等算子。formula_3的谱是所有使得算子formula_8没有有界线性逆的formula_9的集合。  由于formula_8是一个线性算子,所以如果它的逆存在,则一定是线性的;并且,通过有界逆定理可知,它的逆是有界的。 因此,谱正好由那些使得formula_11不是双射的标量formula_12组成。  给定算子formula_3的谱通常记为formula_14,而它的补集,也即预解集,记为 formula_15。
title: 谱和特征值.
content: 如果formula_12是formula_3的特征值,则算子formula_18不是一一映射,因此其逆formula_19没有定义。但否命题是不对的:即使formula_12不是特征值,算子formula_21可能也没有逆。因此,算子的谱总是包含其所有特征值,但却不限于此。  例如考虑希尔伯特空间formula_22,它由所有双向无限实数序列 构成,这些序列须满足平方和formula_24有限。双向移位算子formula_3简单地将序列的每个元素移动一个位置;即如果formula_26则对所有整数formula_27有formula_28。特征值方程formula_29在该空间中无解,因为如果有解则意味着所有formula_30拥有相同的绝对值(如果 formula_31)或者是等比数列(如果 formula_32);无论哪种情形,它们的平方和都不可能有限。然而,算子formula_18在formula_34时不可逆。例如满足formula_35的序列formula_36属于formula_22 ;但是不存在formula_22中的序列formula_39使得formula_40(即对所有formula_27有formula_42)。
title: 基本性质.
content: 有界算子"T"的谱总是复平面的非空闭有界子集。  如果谱是空的,那么预解函数 在复杂平面上处处有定义且有界。但可以证明,预解函数"R"在其定义域是全纯的。通过向量值情形的刘维尔定理可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零,所以恒为零。产生矛盾。  谱的有界性由关于"λ"的诺伊曼级数展开得出;频谱"σ"("T")有界||"T"||。类似的,可以证出谱是闭集。  谱的界||"T"||可以稍作改进。"T"的谱半径"r"("T")是复平面上最小的包含谱σ("T")以原点为圆心的圆的半径,即 谱半径公式指出,对于巴拿赫代数的任何元素"T"有
title: 算子谱点分类.
content: 巴拿赫空间上的有界算子"T"可逆(即有有界逆),当且仅当"T"有正下界且值域稠密。 因此,T的谱可以分为以下部分: 注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交(但点谱和剩余谱不相交)。  以下小节提供了关于上述σ("T")分类的更多细节。
title: 点谱.
content: 如果一个算子不是单射(因此有某个非零的"x"满足"T"("x")=0),那它显然是不可逆的。 因此,如果λ是"T"的特征值,则必有λ∈σ("T")。"T"的特征值集合被称为"T"的点谱,记为σ("T")。
title: 近似点谱.
content: 更一般地,"T"如果没有正下界,则不可逆; 也就是说,不存在"c">0满足||"Tx"||≥"c"||"x"||对所有 "x" ∈ "X" 。因此,谱包括近似特征值集合,即使得 "T" -λ"I" 没有正下界的λ; 等价地,它是满足如下条件的λ的集合,存在单位向量"x", "x",...使得 近似特征值集合被称为近似点谱,记为σ("T")。  容易看出特征值属于近似点谱。  例子 考虑"l"(Z)上双向移位算子"T"定义如下 其中ˆ表示第零个位置。直接计算可知"T"没有特征值,但满足|λ|=1的每个λ都是近似特征值;令"x"表示向量 则对所有"n"有||"x"||=1,但 由于"T"是酉算子,所以它的谱位于单位圆上。 因此"T"的近似点谱是其整个谱。 这对于更一般的一类算子也是正确的。  酉算子是正规的。由谱定理可知,希尔伯特空间H上的有界算子是正规的,当且仅当其等价于(将H等价为L^2空间)乘法算子。 可以证出,有界乘法算子的谱与它的近似点谱相等。
title: 剩余谱.
content: 算子可以是单射甚至有正下界,但不可逆。"l" (N)上的单向移位算子就是一例。这个移位算子是一个等距同构,因此下界为1。但是它不可逆,因为它不是满射。满足λ"I"-"T"是单射但值域不稠密的λ的集合被称为剩余谱,记为σ("T")。
title: 连续谱.
content: 满足λ"I"-"T"是单射且值域稠密但不是满射的λ的集合,被称为"T"的连续谱,记为σ("T")。 因此,连续谱由那些不是特征值且不在剩余谱中的近似特征值构成。即
title: 边缘谱.
content: 算子的边缘谱是其谱中模等于其谱半径的点的集合。
title: 例子.
content: 氢原子提供了这种分解的例子。氢原子的哈密顿算子的特征函数被称为本征态,并被分为两类。 氢原子的束缚态对应于谱的离散部分(它们具有离散的特征值集合,可由里德伯公式计算得到),而电离过程的最终结果由连续部分描述(碰撞/电离的能量不是“量子化的”)。
title: 进一步结果.
content: 如果"T"是一个紧算子,则可以证明谱中任意非零λ是特征值。 换句话说,这种算子的谱,被定义为特征值概念的推广,在这种情形下仅包括通常的特征值和0(可能有)。  如果"X"是希尔伯特空间且"T"是正规算子,则有被称为谱定理的显着结果,给出了正规有限维算子的对角化定理的类比(例如埃尔米特矩阵)。
title: 无界算子的谱.
content: 可以推广谱的定义用于巴拿赫空间"X"上的无界算子,这些算子不再是巴拿赫代数"B"(X)中的元素。 推广类似于有界情形。 复数λ被称为在预解集中,即线性算子"T" 的谱的补集,如果算子 有有界逆,即如果存在有界算子 使得 如果该性质不满足,则复数λ在谱中。 可以以与有界情形完全相同的方式来对谱进行分类。  无界算子的谱通常是复平面的闭子集,可能为空集。  对于预解集中的"λ"(即不在谱中),与有界情形相同,λ"I"-"T" 必须是双射,因为它必须有双边逆。 如前所述,如果逆存在,则其线性直接可得,但一般来说,它可能无界,因此必须单独检验该条件。  然而如果引入了"T"是闭算子的附加假设,由闭图像定理可知,逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此,与有界情情形相同,复数"λ"位于闭算子"T"的谱中,当且仅当λ"I"-"T"不是双射。 注意到闭算子包括所有有界算子。  通过其谱测度,可以定义任何自伴算子的谱分解,有界或其他类型分解为绝对连续、纯点和奇异部分。
title: 有单位的巴拿赫代数的谱.
content: 令"B"为包含单位"e"的复巴拿赫代数。我们定义"B"的元素"x"的谱σ("x")(或更明确地σ("x"))为使λ"e"-"x"在"B"中不可逆的那些复数λ的集合。这推广了巴拿赫空间"X"上有界线性算子"B"("X")的谱的定义,因为"B"("X")是一个巴拿赫代数。

Summary: 在数学中,特别是在泛函分析中,有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说,对于有界线性算子"T",如果"T"-λ"I"不可逆,其中"I"是恒等算子,则复数λ会被认为属于"T"的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论,其具有许多应用,最值得注意的是量子力学的数学表述。

Spektrum (Operatortheorie): Das Spektrum eines linearen Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man Endomorphismen, die durch Matrizen dargestellt werden, und ihre Eigenwerte. Die Verallgemeinerung ins Unendlichdimensionale wird in der Funktionalanalysis betrachtet. Das Spektrum eines Operators kann man sich als Menge verallgemeinerter Eigenwerte vorstellen. Diese werden Spektralwerte genannt.