熱傳導方程式

title: 物理机制.
content: 热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程序表达:  其中:  热方程是傅立叶冷却律的一个推论(详见条目热传导)。  如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程的唯一解,必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。  热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态(热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。  热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。  利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式 其中的formula_8是对空间变量的拉普拉斯算子。  热方程支配热传导及其它扩散过程,诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型,诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式(但时间参数为纯虚数),本质却不是扩散问题,解的定性行为也完全不同。  就技术上来说,热方程违背狭义相对论,因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计,但是若要为热传导推出一个合理的速度,则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
title: 以傅立叶级数解热方程.
content: 以下解法首先由约瑟夫·傅立叶在他于1822年出版的著作"Théorie analytique de la chaleur"(中译:解析热学)给出。先考虑只有一个空间变量的热方程,这可以当作棍子的热传导之模型。方程序如下:  其中"u" = "u"("t", "x")是"t"和"x"的双变量函数。  假设下述初始条件  其中函数"f"是给定的。再配合下述边界条件  让我们试着找一个非恒等于零的解,使之满足边界条件(3)并具备以下形式:  这套技术称作分离变量法。现在将"u"代回方程序(1),  由于等式右边只依赖"x",而左边只依赖"t",两边都等于某个常数− λ,于是:  以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解: 假设λ < 0,则存在实数"B"、"C"使得  从(3)得到  于是有"B" = 0 = "C",这蕴含"u"恒等于零。 假设λ = 0,则存在实数"B"、"C"使得  仿上述办法可从等式(3)推出"u"恒等于零。 因此必然有λ > 0,此时存在实数"A"、"B"、"C"使得  从等式(3)可知"C" = 0,因此存在正整数"n"使得  由此得到热方程形如(4)的解。  一般而言,满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出:  其中
title: 推广求解技巧.
content: 上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是:在适当的函数空间上,算子formula_24可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。  考虑线性算子Δ "u" = "u",以下函数序列  是Δ的特征向量。诚然:  此外,任何满足边界条件"f"(0)="f"("L")=0的Δ的特征向量都是某个"e"。令L(0, "L")表 [0, "L"]上全体平方可积函数的向量空间。这些函数"e"构成L(0, "L")的一组正交归一基。更明白地说:  最后,序列{"e"}张出L(0, "L")的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子Δ 对角化。
title: 非均匀不等向介质中的热传导.
content: 一般而言,热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式,因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。  因此单位时间内进入"V"的热流量也由以下的面积分给出  其中n(x)是在"x"点的向外单位法向量。  利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分  将以上所有等式合并,便获得支配热流的一般公式。  注记:
title: 粒子扩散.
title: 粒子扩散方程.
content: 在粒子扩散的模型中,我们考虑的方程涉及  不同情况下的方程序: 或者  "c"与"P"都是位置与时间的函数。"D"是扩散系数,它控制扩散速度,通常以米/秒为单位。  如果扩散系数"D"依赖于浓度"c"(或第二种情况下的几率密度"P"),则我们得到非线性扩散方程。  单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。  如果一个粒子在时间formula_40时置于formula_41,则相应的几率密度函数具有以下形式:  它与几率密度函数的各分量formula_43、formula_44和formula_45的关系是:  随机变量formula_47服从平均数为0、变异数为formula_48的正态分布。在三维的情形,随机向量formula_49服从平均数为formula_50、变异数为formula_51的正态分布。  在"t=0"时,上述formula_52的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件,其几率密度函数是在原点的狄拉克δ函数,记为formula_53(三维的推广是formula_54);扩散方程对此初始值的解也称作"格林函数"。
title: 扩散方程的历史源流.
content: 粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。
title: 以格林函数解扩散方程.
content: 格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解(数学家称之为扩散方程的基本解)。当粒子初始位置在原点formula_50时,相应的格林函数记作formula_56("t>0");根据扩散方程对平移的对称性,对一般的已知初始位置formula_57,相应的格林函数是formula_58。  对于一般的初始条件,扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。  举例来说,设"t=0"时有一大群粒子,根据浓度分布的初始值formula_59分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。  跟任何(广义)函数一样,浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加:  扩散方程是线性的,因此在之后的任一时刻"t",浓度分布变为:  在粒子扩散的情形,我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言,任何扩散过程的解都有这种表法,包括热传导或动量的扩散;后者关系到流体的黏性现象。
title: 一维格林函数解列表.
content: 以下以简写BC代表边界条件,IC代表初始条件。  (可能的问题:根据上解,u(0)=0)
title: 应用.
content: 热方程在许多现象的数学模型中出现,而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程,并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解,因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用Crank-Nicolson法有效地求数值解,此方法也可用于许多无解析解的模型(详见文献Wilmott,1995)。  热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一,由此也导向热方程在黎曼几何中有许多应用。

Summary: 热传导方程(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

Wärmeleitungsgleichung: Die Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Wärmeleitung. Sie ist das typische Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung, beschreibt den Zusammenhang zwischen der zeitlichen und der räumlichen Änderung der Temperatur an einem Ort in einem Körper und eignet sich zur Berechnung instationärer Temperaturfelder. Im eindimensionalen Fall (ohne Wärmequellen) besagt sie, dass die (zeitliche) Ableitung der Temperatur das Produkt aus der zweiten räumlichen Ableitung und der Temperaturleitfähigkeit ist. Dies hat eine anschauliche Bedeutung: Wenn die zweite räumliche Ableitung an einem Ort ungleich null ist, so unterscheiden sich die ersten Ableitungen kurz vor und hinter diesem Ort. Der Wärmestrom, der zu diesem Ort fließt, unterscheidet sich also nach dem Fourierschen Gesetz von dem, der von ihm weg fließt. Es muss sich also die Temperatur an diesem Ort mit der Zeit ändern. Mathematisch sind Wärmeleitungsgleichung und Diffusionsgleichung identisch, statt Temperatur und Temperaturleitfähigkeit treten hier Konzentration und Diffusionskoeffizient auf. Die Wärmeleitungsgleichung lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz und dem Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung herleiten. Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung wird Wärmeleitungskern genannt.