替代公理

title: 陈述.
content: 假定 "P" 是一个双变量谓词,对于任何集合 "x" 有一个唯一的集合 "y" 使 "P"("x","y") 成立。接着我们可以形成一个单变量的泛函谓词 "F",使得 "F"("x") = "y" 当且仅当 "P"("x","y")。  替代公理声称,给定一个集合 "A",我们可以找到一个集合 "B",它的成员完全是 "F" 在 "A" 的成员上的值。注意对于每个这样的谓词 "P" 都有一个相对应的公理;所以,这是一个公理模式。  在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理模式读做: 换句话说,  如果允许在公理模式中使用导出的泛函谓词,则这个公理模式可以写为: 对于每个导出的单变量的泛函谓词 "F"; 换句话说:  通过外延公理可知这个集合 "B" 是唯一的。我们称这个集合 "B" 为 "A" 在 "F" 下的像,并指示它为 "F"("A") 或(使用集合建构式符号形式){"F"("x"):"x"∈"A"}。  有时引用这个公理不带唯一性要求: 就是说,谓词 "P" 不被限制为泛函的:要应用它于一个集合 "A",只需存在至少一个元素 "y" 对应于 "A" 的每个元素 "x" 就可以了;"y" 对每个 "x" 是唯一的不是必需的。在这种情况下,被断言存在的像集合 "B" 将为 "A" 的每个 "x" 包含至少一个这样的 "y",不保证只包含唯一的一个。  有时陈述这个公理不对谓词加任何限制: 就是说,根本不要求 "P" 把集合 "A" 的一个元素映射到任何对象。但是如果对于 "A" 的一个元素 "x" 有至少一个 "y" 对应于它,则像集合 "B" 将包含至少一个这样的 "y"。  这个不对谓词作限制的公理,也叫做有界公理或搜集公理,看似比原先的替代公理更强,但是这两个版本都可以从替代公理推导出来。另一方面,任何泛函谓词都是谓词,所以有界公理也蕴涵替代公理,因此两个公理是等价的(在给定了其他 Zermelo-Fraenkel 公理的情况下)。
title: 应用例子.
content: 序数 ω·2 = ω + ω(使用冯·诺伊曼的现代定义)是第一个不使用替代公理就不能构造的序数。无穷公理断言无限序列 ω = {0, 1,2...} 的存在,也只断言了这个序列。我们希望定义 ω·2 为序列 {ω, ω + 1, ω + 2...},但是一般的序数的类不一定是集合(例如,所有序数的类不是集合)。替代公理允许你把在 ω 中每个有限数 "n" 替代为对应的 ω + "n",并保证替代所得的类是集合。注意你可以轻易地构造序同构于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理:取 ω 的两个复件的不交并,然后设第二个复件大于第一个便可。但这样所得的集合并不是一个序数,因为它在属于关系下不是一个全序。  显然,若要确保可以指派一个序数给任意的良序集合,也要用到替代公理。类似的,若要确保可以指派一个基数给任意集合(冯·诺伊曼基数指派),我们也需要替代公理,以及选择公理。  所有的可数的极限序数的构造也要求替代公理,就像 ω·2 的构造那样。较大的序数则不那么直接地依赖于替代公理。例如 ω 是第一个不可数序数,可以构造如下:由全体可数良序组成的集合,会是 ℘(N×N) 的一个子集,这点通过分离公理和幂集公理可知(在 "A" 上的关系是 "A"×"A" 的一个子集,因此是幂集 ℘("A"×"A") 的一个元素。关系的集合因此是 ℘("A"×"A") 的子集)。把每个良序集合替代为它的序数。这是可数序数 ω 的集合,它自身可以被证明是不可数的。这个构造使用了替代公理两次;第一次确保对每个良序集合的一个序数指派,第二次把良序集合替代为其对应的序数。这是 Hartogs 数的结果的特殊情况,而一般情况可以类似的证明。  不带替代公理的选择公理(ZC 集合论)不足以强到证明 博雷尔集是确定公理的;为此你需要替代公理。
title: 历史和哲学.
content: 多数可以应用替代公理的应用实际上不需要它。例如,假设 "f" 是从集合 "S" 到集合 "T" 的函数。接着我们可以构造一个泛函谓词 "F" 使得在 "x" 是 "S" 的成员的时候有 "F"("x") = "f"("x"),在其他时候随意设 "F"("x") 为某个对象(这里的指派方式不要紧)。然后,给定 "S" 的一个子集 "A",应用替代公理模式于 "F",构造子集 "A" 在函数 "f" 下的像 "f"("A") 为 formula_5(或表示为 "<nowiki>F</nowiki>"("A"))。但是这里实际上不需要替代公理,因为 "f"("A") 是 "T" 的子集,所以我们可以使用分类公理模式来构造这个像为集合 formula_6。一般的说,当 "F" 在 "A" 的成员上的值都属于某个预先构造的集合 "T" 时,使用分类公理就足够了;只在不能获得这样的 "T" 的时候,才需要替代公理,比如定义在真类的子集上的运算。  按某些哲学家的说法,在上述例子中最好应用分类公理于集合 "T",因为分类公理在逻辑上弱于替代公理。实际上,在普通数学中不需要替代公理,只是需要它作为特定公理化集合论的特征。例如,你需要替代公理来从 ω·2 向上构造冯·诺伊曼序数,而冯·诺伊曼序数对特定集合论的结果是必需的。在良序集合的理论就足够应用的情况下,你不需要用替代公理构造这些序数。对于某些钻研数学基础的数学家,特别是那些专注于类型论而非集合论的人,他们或认为这个公理在各种意义上都是不需要的,因此在其工作中不包括这个公理(以及其相对应的类型论版本)。通常在基于 拓扑斯 理论建造的基础理论上,都难以表达出替代公理,所以一般不包括它。然而,替代公理的争论不在于有人认为它的推论必然是假的(如选择公理的争论);只是有部分人认为它是没有必要的。  替代公理模式不是 恩斯特·策梅洛 在 1908年所公理化的集合论(Z)的一部分;它由 亚伯拉罕·弗兰克尔 在 1922 年引入,从而得到了现代的 Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF)。陶拉尔夫·斯科伦 在同一年晚些时候独立的发现了这个公理,实际上我们今天使用的公理列表是Skolem的最终版本 -- 通常不提及他的贡献是因为每个单独的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先发现的。从证明论的观点看,增加替代公理形成了很大的差异;把这个公理模式加进Zermelo 公理使系统在逻辑上更强,允许你证明更多的陈述。特别是,在ZF 中你可以通过构造冯·诺伊曼全集 V 为模型,证明 Z 的相容性。(当然,哥德尔第二不完备定理表明这两个理论都不能证明自身的相容性,如果它自身是相容的。)

Summary: 在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中,替代公理模式是 Zermelo-Fraenkel 集合论的一个公理模式,它本质上断言一个集合在一个映射(泛函谓词)下的像也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。

Ersetzungsaxiom: Das Ersetzungsaxiom ist ein Axiom, das Abraham Fraenkel 1921 als Ergänzung zur Zermelo-Mengenlehre von 1907 vorschlug und später ein fester Bestandteil der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF wurde. Es besagt informell, dass die Bilder von Mengen ebenfalls Mengen sind. In der prädikatenlogischen Sprache wird das Ersetzungsaxiom präzisiert als Axiomenschema, das unendlich viele Axiome umfasst. Daher wird es heute auch oft als Ersetzungsschema bezeichnet.