帕塞瓦尔定理

title: 帕塞瓦尔定理的陈述.
content: 在一般的欧氏平面几何中,勾股定理说明直角三角形的两个直角边之长度的平方加起来等于斜边的平方。从另一种角度来看,若在平面上定义了一个直角坐标系xOy(单位向量分别是formula_1),那么一个向量和它在这两个坐标轴方向上的投影构成一个直角三角形,因此,向量的长度的平方等于它在两个坐标轴方向上的投影的长度的平方之和。  对于一个有限维的欧几里得空间formula_2 以及其中的标准规范正交基formula_3,空间中的一个向量formula_4 的长度的平方等于它在各个基向量上的投影的长度的平方之和:  在一般的希尔伯特空间之中,也有类似的等式。设formula_6 是一个装备了内积:formula_7 的希尔伯特空间。考虑formula_6 中的一组规范正交基:formula_9,那么formula_6 中的每一个向量的范数的平方都等于它在各个基向量上的投影的平方之和。 formula_11  假定"A"("x")和"B"("x")都是平方可积的(参照勒贝格测度)复变函数,且定义在R上周期为2π的区间上,分别写成傅里叶级数的形式:  和  然后  这里的"i"是虚数单位而上划线(horizontal bars)表示复共轭运算。  一般地, 给定一个交换的拓扑群 G 和它的Pontryagin对偶 G^, 帕塞瓦尔定理 says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.
title: 物理学和工程学上使用的记号.
content: 在 物理学 和 工程学 中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:  其中formula_16 为 "x"("t") 的连续傅立叶变换(以归一化酉形式),而"f"代表"x"的频率分量(非角频率) 帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形"x"("t")依时间域"t"累积的总能量与该波形的傅立叶变换"X"("f")在频率域"f"累积的总能量相等。 对于离散时间信号,该理论表达式变换为:  其中,"X"为"x"的离散时间傅立叶变换(DTFT),而formula_18为"x"的角频率(度每样本)。 此外,对于离散傅立叶变换 (DFT),表达式变换为:  其中,"X"["k"]为"x"["n"]的DFT变换,变换前后样本长度皆为"N"。
title: 证明.
title: 连续傅立叶变换(CTFT)的帕塞瓦尔定理.
content: formula_20  formula_21  formula_22  formula_23  formula_24  formula_25  其中,formula_26是formula_27的共轭复数。
title: 离散时间傅立叶变换(DTFT)的帕塞瓦尔定理.
content: formula_28  formula_29  formula_30  formula_31  formula_32  formula_33  其中,formula_34是formula_35的共轭复数。
title: 连续时间傅立叶级数(CTFS)的帕塞瓦尔定理.
content: 令x(t)是周期为formula_36的连续时间函数。  formula_37是其连续时间傅立叶级数。formula_38  formula_39  formula_40  formula_41  formula_42  formula_43  formula_44
title: 离散时间傅里叶级数(DTFS)的帕塞瓦尔定理.
content: x[n]是长度为N的离散时间信号,formula_45为其离散时间傅立叶级数,亦即formula_46。  其中formula_47是角基频,formula_48。  formula_49  formula_50  formula_51  formula_52  formula_53  formula_54
title: 离散傅立叶变换(DFT)的帕塞瓦尔定理.
content: 令formula_35为一长度是N点的离散时间信号,仅在0≤n≤N-1有值,formula_56 for formula_57 or formula_58。  其DFT为formula_59,亦为一长度是N点的离散时间信号,仅在0≤k≤N-1有值,formula_60 for formula_61 or formula_62。  设formula_63。  formula_64  formula_65  formula_66  formula_67  formula_68  formula_69

Summary: 在数学中,帕塞瓦尔定理(或称帕塞瓦尔等式),经常指“傅里叶转换是幺正算符”这一结论;简而言之,就是说函数平方的和(或积分)等于其傅里叶转换式平方之和(或者积分)。这个定理产生于在1799年所得到的一个有关级数的定理,该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式,以物理学家瑞利命名。

Satz von Parseval: Der Satz von Parseval ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Er besagt, dass die formula_1-Norm einer Fourier-Reihe mit der formula_2-Norm ihrer Fourier-Koeffizienten übereinstimmt. Die Aussage entstand 1799 aus einem Satz über mathematische Reihen von Marc-Antoine Parseval, der später auf die Fourier-Reihen ausgedehnt wurde. Parseval, der sich eigentlich nur auf reell-wertige Funktionen konzentrierte, veröffentlichte seinen Satz ohne Beweis, da er seine Richtigkeit für augenscheinlich hielt. Eine ähnliche Aussage für die Fourier-Transformation macht der Satz von Plancherel. Oftmals werden diese beiden Sätze nicht auseinandergehalten, sondern auch der Satz von Plancherel nach Parseval benannt.