模糊集

title: 定义.
content: 给定一个论域formula_1,那么从formula_1到单位区间formula_3的一个映射 formula_4 称为formula_1上的一个模糊集,或formula_1的一个模糊子集,
title: 表示.
content: 模糊集可以记为formula_7。映射(函数)formula_8或简记为formula_9叫做模糊集formula_7的隶属函数。 对于每个formula_11, formula_12叫做元素formula_13对模糊集formula_7的隶属度。  模糊集的常用表示法有下述几种:
title: 和传统集合的关系.
content: 和传统的集合一样,模糊集也有它的元素,但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度,其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德(1965)所引进的,是经典集合论的一种推广。在经典的集合论中,所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合(因此模糊集不是集合);可以说,每个元素对每个集合的归属性(membership)都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数(membership function),其值允许取闭区间formula_3(单位区间)中的任何实数,用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集formula_7的归属函数为formula_20,而formula_21、formula_22、formula_23为三个元素;如果formula_24,formula_25,formula_26,则可以说 「formula_21完全属于formula_7」,「formula_22完全不属于formula_7」,「formula_23对formula_7的归属度为formula_33」(注意没有说「"formula_23"有一半属于"formula_7"」,因为尚未规定formula_33的归属度具有什么特殊含义)。作为特例,当归属函数的值只能取 0 或 1 时,就得到了传统集合论常用的指示函数(indicator function)。传统集合在模糊集理论中通常称作「明确集」(crisp set)。
title: 截集与截积.
content: 设 formula_7为 formula_1上的模糊集(记作 formula_39),任取 formula_40,则  称formula_42为formula_7的formula_44截集,而formula_44称为阈值或置信水平。将上式中的formula_46替换为formula_47,记为formula_48,称为强截集。  截集和强截集都是经典集合。此外,显然formula_49为formula_7的核,即formula_51;如果formula_52,则称formula_7为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。  截积是数与模糊集的积:<br> 设formula_54,formula_55,则formula_56,formula_44与formula_7的截积(或称为formula_44截集的数乘,记为formula_60)定义为:  根据定义,截积仍是formula_1上的模糊集合。
title: 分解定理与表现定理.
content: 分解定理:<br> 设formula_55,则<br>  即任一模糊集formula_7都可以表达为一族简单模糊集formula_66的并。也即,一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。  表现定理:<br> 设formula_67为formula_1上的任何一个集合套,则<br>  是formula_1上的一个模糊集,且formula_71,有<br> (1)formula_72<br> (2)formula_73<br> 即任一集合套都能拼成一个模糊集。
title: 模糊度.
content: 一个模糊集formula_7的模糊度衡量、反映了 "A" 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:  设映射formula_75满足下述5条性质:  则称formula_88是定义在formula_89上的模糊度函数,而formula_90为模糊集formula_7的模糊度。  可以证明符合上述定义的模糊度是存在的,一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是 formula_92 其中formula_93是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当formula_94的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当formula_95的时候称为 Euclid 模糊度。
title: 模糊测度(Fuzzy measures).
content: formula_96是舆集formula_97的一种。  用formula_98函数定义formula_96,包含下列3项特性称为模糊测度:  1formula_100  ---formula_98函数代0值,表示没有值为空值,用数学0来表示。formula_98函数代formula_103表示舆集全部带进去了塞满了,用1表示塞满。  2若formula_104和formula_105, 则formula_106.  ---formula_107是属于formula_96的一部分,formula_7在formula_110里面也可能跟formula_110一样大,则formula_106  3If formula_113∈formula_96, formula_49⊆formula_116⊆...,then formula_117  ---当formula_113属于formula_96同时formula_49包含于formula_121,则将formula_122代入formula_98函数趋小所得的值等同于先趋小formula_122再代入formula_98函数所求得的值。  formula_128  formula_129  formula_130  formula_131  formula_133  formula_135  formula_138  formula_140
title: 模糊集的运算.
title: 算子的性质.
content: 参见集合代数和布尔代数。  主要算子的性质对比表如下(codice_1表示不满足,codice_2表示未验证):  线性补偿是指: formula_141
title: 模糊集之间的距离.
title: 使用度量理论.
content: 可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集formula_89上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到formula_3区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:<br>
title: 贴近度.
content: 另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - "距离"(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。  除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

Summary: 模糊集是模糊数学上的一个基本概念,是数学上普通集合的扩展。

Fuzzy-Menge: Eine Fuzzy-Menge (auch unscharfe Menge, fuzzy set) ist eine Menge, deren Elemente nicht notwendig mit Gewissheit, sondern nur graduell zur Menge gehören.