黎曼积分

title: 概念.
content: 让函数 formula_1 为定义在区间 的非负函数,我们想要计算 formula_2所代表的曲线与 formula_3坐标轴跟两条垂直线 formula_4 跟 formula_5 所夹图形的面积(既右图区域 的面积),可将区域 的面积以下面符号表示:  黎曼积分的基本概念就是对 "x"-轴的分割越来越细,则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 的面积(参考右方第二张图)。同时请注意,如函数为负函数, formula_7,则其面积亦为负值。
title: 定义.
title: 区间的分割.
content: 一个闭区间formula_8的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列formula_9。每个闭区间formula_10叫做一个子区间。定义formula_11为这些子区间长度的最大值:formula_12,其中formula_13。  再定义取样分割。一个闭区间formula_8的一个取样分割是指在进行分割formula_9后,于每一个子区间中formula_10取出一点formula_17。formula_11的定义同上。  精细化分割:设formula_19以及formula_20构成了闭区间formula_8的一个取样分割,formula_22和formula_23是另一个分割。如果对于任意formula_24,都存在formula_25使得formula_26,并存在formula_27使得formula_28,那么就把分割:formula_22、formula_23称作分割formula_19、formula_20的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。  于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。
title: 黎曼和.
content: 对一个在闭区间formula_8有定义的实值函数formula_1,formula_1关于取样分割formula_19、formula_20的黎曼和(积分和)定义为以下和式:  和式中的每一项是子区间长度formula_39与在formula_40处的函数值formula_41的乘积。直观地说,就是以标记点formula_40到X轴的距离为高,以分割的子区间为长的矩形的面积。
title: 黎曼积分.
content: 不太严格地来说,黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候,黎曼和趋向的极限。下面的证明中,会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。  要使得“越来越‘精细’”有效,需要把formula_11趋于0。如此formula_10中的函数值才会与formula_41接近,矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上,这就是黎曼积分定义的大概描述。  严格定义如下:formula_46是函数formula_1在闭区间formula_8上的黎曼积分,当且仅当对于任意的formula_49,都存在formula_50,使得对于任意的取样分割formula_19、formula_20,只要它的子区间长度最大值formula_53,就有:  也就是说,对于一个函数formula_1,如果在闭区间formula_8上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数formula_1的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么formula_1在闭区间formula_8上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数formula_1为黎曼可积的。  这个定义的缺陷是没有可操作性,因为要检验所有formula_53的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义,然后证明它们是等价的。  另一个定义: formula_46是函数formula_1在闭区间formula_8上的黎曼积分,当且仅当对于任意的formula_49,都存在一个取样分割formula_19、formula_20,使得对于任何比其“精细”的分割formula_22 and formula_23,都有:  这两个定义是等价的。如果有一个formula_46满足了其中一个定义,那么它也满足另一个。首先,如果有一个formula_46满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值formula_53的分割中任取一个。对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于formula_74,于是满足  其次证明满足第二个定义的formula_46也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念,第二个定义和达布积分的定义是等价的,具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割formula_19使得它的上达布和与下达布和都与formula_46相差不超过formula_79。令formula_80等于formula_81,其中formula_82和formula_83是formula_1在formula_85上的上确界和下确界。再令formula_74是formula_87和formula_88中的较小者。可以看出,当一个分割的子区间长度最大值小于formula_74时,formula_1关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差formula_79,所以和formula_46至多相差formula_93。  由于以上原因,黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义),因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。
title: 黎曼积分的性质.
content: 由于一个函数的黎曼积分是一个实数,因此在固定了一个区间formula_8后,将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射formula_101是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。  无论"a"、"b"、"c"之间的大小关系如何,以上关系式都成立。
title: 黎曼积分的推广.
content: 黎曼积分可推广到值属于formula_123维空间formula_124的函数。积分是线性定义的,即如果formula_125,则formula_126。特别地,由于复数是实数向量空间,故值为复数的函数也可定义积分。  黎曼积分只定义在有界区间上,扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分,即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令  不幸的是,这并不是很合适。平移不变性(如果把一个函数向左或向右平移,它的黎曼积分应该保持不变)丧失了。例如,令formula_128若formula_129,formula_130,formula_131若formula_132。则对所有formula_3  但如果我们将formula_2向右平移一个单位得到formula_136,则对所有formula_137,我们得到  由于这是不可接受的,我们可以尝试定义:  此时,如果尝试对上面的formula_1积分,我们得到formula_141,因为我们先使用了极限formula_142。如果使用相反的极限顺序,我们得到formula_143。  这同样也是不可接受的,我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足,依然不是我们想要的,因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如,令formula_144在formula_145上,其它域上等于0。对所有formula_123,formula_147。但formula_148一致收敛于0,因此formula_149的积分是0。因此formula_150。即使这是正确的值,可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。  一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见,但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的,并且当二者都有定义时积分值也是一致的。  事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。  扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子formula_151,粗略地说,这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

Summary: 在实分析中,由黎曼创立的黎曼积分(英语:Riemann integral)首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼-斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

Riemannsches Integral: Das riemannsche Integral (auch "Riemann-Integral") ist eine nach dem deutschen Bernhard Riemann benannte Methode zur Präzisierung der anschaulichen Vorstellung des Flächeninhaltes zwischen der formula_1-Achse und dem Graphen einer Funktion. Der riemannsche Integralbegriff gehört neben dem allgemeineren lebesgueschen zu den beiden klassischen der Analysis. In vielen Anwendungen werden nur Integrale von stetigen oder stückweise stetigen Funktionen benötigt. Dann genügt der etwas einfachere, aber weniger allgemeine Begriff des Integrals von Regelfunktionen.