冪

title: 运算律.
content: 加法和乘法存在交换律,比如:formula_32,formula_33,但是幂的运算不存在交换律,formula_34,但是formula_35。  同样,加法和乘法存在结合律,比如:formula_36,formula_37,尽管formula_38,但是formula_39。
title: 整数指数幂.
content: 整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。
title: 正整数指数幂.
content: 表达式formula_40被称作formula_41的平方,因为边长为"formula_41"的正方形面积是formula_43。  表达式formula_44被称作"formula_41"的立方,因为边长为"formula_41"的正方体体积是formula_47。  所以formula_48读作"3的平方",formula_49读作"2的立方"。  指数表示的是底数反复相乘多少次。比如formula_50,指数是5,底数是3,表示3反复相乘5次。  或者,整数指数幂可以递归地定义成:
title: 指数是1或者0.
content: 注意formula_52表示仅仅1个3的乘积,就等于3。  注意formula_53,formula_54,formula_55,formula_56,  继续,得到formula_57,所以formula_58  另一个得到此结论的方法是:通过运算法则formula_59  当formula_60时,formula_61
title: 零的零次方 formula_62.
content: formula_62 其实还并未被数学家完整的定义,但部分看法是formula_64,在程序语言中(python) formula_65  英版wiki之零的零次方字条(Zero to the power of zero)  在这里给出这一种极限的看法  formula_66 于是,可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值,如图
title: 负数指数.
content: 我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。  对于非零formula_41定义  而formula_70时分母为 0 没有意义。  证法一:  根据定义formula_71,当formula_72时 得formula_74, 所以formula_75。  证法二:  通过运算法则formula_76  当formula_77时,可得formula_78  负数指数formula_79还可以表示成1连续除以formula_3个formula_41。比如:
title: 特殊数的幂.
title: 10的幂.
content: 在十进制的计数系统中,10的幂写成1后面跟着很多个0。例如:formula_83  因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如:299,792,458(真空中光速,单位是米每秒),可以写成 formula_84,近似值 formula_85 或 formula_86.  国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字,比如:词头“千”就是 formula_87,词头“毫”就是 formula_88
title: 1的幂.
content: 1的任何次幂都为1
title: 0的幂.
content: 0的正数幂都等于0。  0的负数幂没有定义。  任何非0之数的0次方都是1;而0的0次方是悬而未决的,某些领域下常用的惯例是约定为1。但某些教科书表示0的0次方为无意义。也有人主张定义为1。
title: 负1的幂.
content: -1的奇数幂等于-1  -1的偶数幂等于1
title: 指数非常大时的幂.
content: 一个大于1的数的幂趋于无穷大,一个小于-1的数的幂趋于负无穷大 一个绝对值小于1的数的幂趋于0 1的幂永远都是1  如果数"a"趋于1而它的幂趋于无穷,那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是: 参见e的幂  其他指数的极限参见幂的极限
title: 正实数的实数幂.
content: 一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。
title: N次方根.
content: 一个数formula_41的formula_3次方根是formula_105,"formula_105"使formula_107。  如果"formula_41"是一个正实数,"formula_3"是正整数,那么方程formula_107只有一个正实数根。 这个根被称为"formula_41"的"formula_3"次方根,记作:formula_113,其中formula_114叫做根号。或者,"formula_41"的"formula_3"次方根也可以写成formula_117. 例如formula_118  当指数是formula_119时根号上的2可以省略,如:formula_120
title: 有理数幂.
content: 有理数指数通常可以理解成
title: e的幂.
content: 这个重要的数学常数"e",有时叫做欧拉数,近似2.718,是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的:  指数函数的定义是:  可以很简单地证明"e"的正整数"k"次方formula_124是:
title: 实数指数幂.
content: 因为所有实数可以近似地表示为有理数,任意实数指数"x"可以定义成:  例如: 于是  实数指数幂通常使用对数来定义,而不是近似有理数。  自然对数formula_133是指数函数formula_134的反函数。 它的定义是:对于任意formula_135,满足 根据对数和指数运算的规则: 这就是实数指数幂的定义:  实数指数幂formula_139的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数,这种定义更加常用。
title: 负实数的实数幂.
content: 如果formula_41是负数且formula_3是偶数,那么formula_142是正数。 如果"formula_41"是负数且"formula_3"是奇数,那么formula_142是负数。  使用对数和有理数指数都不能将formula_146(其中"formula_41"是负实数,formula_148实数)定义成实数。在一些特殊情况下,给出一个定义是可行的:负指数的整数指数幂是实数,有理数指数幂对于formula_149(formula_3是奇数)可以使用"formula_3"次方根来计算,但是因为没有实数formula_105使formula_153,对于formula_149("formula_3"是偶数)时必须使用虚数单位formula_156。  使用对数的方法不能定义formula_157时的formula_146为实数。实际上,formula_134对于任何实数"formula_105"都是正的,所以formula_161对于负数没有意义。  使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数formula_41因为它依赖于连续性。函数formula_163对于任何正的有理数formula_41是连续的,但是对于负数"formula_41",函数formula_166在有些有理数formula_167上甚至不是连续的。  例如:当formula_168,它的奇数次根等于-1。所以如果"formula_3"是正奇数整数,formula_170当formula_21是奇数,formula_172当"formula_21"是偶数。虽然有理数formula_174使formula_175的集合是稠密集,但是有理数formula_174使formula_177的集合也是。所以函数formula_178在有理数域不是连续的。
title: 正实数的复数幂.
title: e的虚数次幂.
content: 复数运算的几何意义和"e"的幂可以帮助我们理解formula_179("formula_105"是实数),即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形formula_181(括号内是复数平面内三角形的三个顶点),对于足够大的formula_3,这个三角形可以看作一个扇形,这个扇形的中心角就等于formula_183弧度。对于所有formula_148,三角形formula_185互为相似三角形。所以当"formula_3"足够大时formula_187的极限是复数平面上的单位圆上formula_105弧度的点。这个点的极坐标是formula_189,直角坐标是formula_190。所以formula_191,而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式,它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。  等式formula_192的解是一个整数乘以formula_193:  更一般地,如果formula_195,那么formula_196的每一个解都可以通过将formula_193的整数倍加上formula_2得到:  这个复指数函数是一个有周期formula_193的周期函数。  更简单的:formula_201。
title: 三角函数.
content: 根据欧拉公式,三角函数余弦和正弦是:  历史上,在复数发明之前,余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程 使用了复数指数幂之后,很多三角学问题都能够使用代数方法解决。
title: e的复数指数幂.
content: formula_204可以分解成formula_205。其中formula_134是formula_204的模,formula_208决定了formula_204的方向
title: 正实数的复数幂.
content: 如果formula_41是一个正实数,formula_211是任何复数,formula_212定义成formula_213,其中formula_214是方程formula_215的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。  例如:
title: 复数的复数幂.
title: 虚数的纯虚数幂.
content: 让我们从一个简单的例子开始:计算formula_220。  formula_221  其中formula_222的得法参见上文正实数的复数幂
title: 虚数的虚数幂.
content: 类似地,在计算虚数的虚数幂时,我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算formula_223:  formula_224
title: 在函数中.
content: 当函数名后有上标的数(即函数的指数),一般指要重复它的运算。例如formula_225即formula_226。特别地,formula_227指formula_228的反函数。  但三角函数的情况有所不同,一个正指数应用于函数的名字时,指答案要进行乘方运算,而指数为-1时则表示其反函数。例如:formula_229表示formula_230。因此在三角函数时,使用formula_231来表示formula_232的反函数formula_233。
title: 计算自然数(正整数)"formula_3"的formula_235的算法.
content: 最快的方式计算formula_235,当formula_3是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的,和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。  伪代码:  在C/C++语言中,你可以写如下算法:  此算法的时间复杂度为formula_238,比普通算法快(a自乘100次,时间复杂度为formula_239),在formula_3较大的时候更为显著。  例如计算formula_241,普通算法需要算100次,上述算法则只需要算7次。若要计算formula_242可先以上述算法计算formula_243,再作倒数。

Summary: 幂运算(英语:Exponentiation),又称指数运算,是数学运算,表达式为formula_1,读作“formula_2的formula_3次方”或「formula_2的formula_3次幂」。其中,formula_2称为底数,而formula_3称为指数,通常指数写成上标,放在底数的右边。当不能用上标时,例如在编程语言或电子邮件中,formula_1通常写成b^n或b**n;也可视为超运算,记为b[3]n;亦可以用高德纳箭号表示法,写成b↑n。

Potenz (Mathematik): Eine Potenz (von ) ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation ist. Wie beim "Multiplizieren" ein Summand wiederholt zu sich selbst "addiert" wird, so wird beim "Potenzieren" ein Faktor wiederholt mit sich selbst "multipliziert." Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben. Man schreibt: