张量积

title: 两个张量的张量积.
content: 有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如,如果 "U" 和 "V" 是秩分别为 "n" 和 "m" 的两个协变张量,则它们的张量积的分量给出为  所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。  注意在张量积中,因子 "U" 消耗第一个 rank("U") 指标,而因子 "V" 消耗下一个 rank("V") 指标,所以
title: 例子.
content: 设 U 是类型 (1,1) 的张量,带有分量 "U";并设 V 是类型 (1,0) 的张量,带有分量 "V"。则 而  张量积继承它的因子的所有指标。
title: 两个矩阵的克罗内克积.
content: 对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积,用来明确结果有特定块结构在其上,其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 formula_7 和 formula_8:
title: 多重线性映射的张量积.
content: 给定多重线性映射 formula_10 和 formula_11 它们的张量积是多重线性函数
title: 向量空间的张量积.
content: 在域 formula_13 上的两个向量空间 "V" 和 "W" 的张量积 formula_14 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 formula_15 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 formula_16。通过构造,可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。  要构造 formula_14,采用在 formula_13 之上带有基 formula_19 的向量空间,并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系:  这里的 formula_23 是来自适当空间的向量,而 formula_24 来自底层域 formula_13。  我们可以推出恒等式  零在 formula_14 中。  结果的张量积 formula_14 自身是向量空间,它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 "V" 和 "W" 基 formula_29 和 formula_30,形如 formula_31 的张量形成 formula_14 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积;例如 formula_33 有维数 formula_34。
title: 张量积的泛性质.
content: 张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 "φ" 把笛卡尔积 "V" × "W" 嵌入到向量空间 "X" 的问题。张量积构造 "V" ⊗ "W" 与给出自  的自然嵌入映射 "φ" : "V" × "W" → "V" ⊗ "W" 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对("X", "ψ"),这里的 "X" 是向量空间,而 ψ 是双线性映射 "V" × "W" → "X",则存在一个唯一的线性映射  使得  假定这个泛性质,张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。  直接推论是从 "V" × "W" 到 "X" 的双线性映射  和线性映射  的同一性。它是 "ψ" 到 "T" 的自然同构映射。
title: 希尔伯特空间的张量积.
content: 两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间,其定义如下。
title: 定义.
content: 设 formula_40 和 formula_41 是两个希尔伯特空间,分别带有内积 formula_42 和 formula_43。构造 "H" 和"H" 的张量积formula_44如下:  考虑他们的作为线性空间的张量积formula_45。formula_40 和 formula_41上的内积自然地扩展到formula_48上:  由内积的双线性(Bilinearity),只需定义 其中 formula_50 和 formula_51 即可。  现在formula_48是一未必完备的内积空间。将formula_48完备化,得到希尔伯特空间formula_44,这就是 "H" 和 "H"作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中,formula_44具有如前所述的泛性质,即它是二者在该范畴内的乘积。
title: 性质.
content: 如果 "H" 和 "H" 分别有正交基 {φ} 和 {ψ},则 {φ ⊗ ψ} 是 "H" ⊗ "H" 的正交基。
title: 与对偶空间的关系.
content: 在泛性质的讨论中,替代 "X" 为 "V" 和 "W" 的底层标量域生成空间 formula_56(formula_14 的对偶空间,包含在那个空间上的所有线性泛函),它自然的同一于在 formula_19 上所有双线性函数的空间。换句或说,所有双线性泛函是在张量积上的泛函,反之亦然。  只要 formula_8 和 formula_60 是有限维的,在 formula_61 和 formula_62 之间有一个自然的同构,而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 formula_63。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法,把双线性泛函看做张量积自身。

Summary: 在数学中,张量积,记为 formula_1,可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。

Tenzorový součin: Tenzorový součin dvou vektorových prostorů formula_1 a formula_2 nad stejným číselným tělesem formula_3 je v matematice vektorový prostor formula_4 disponující takovým bilineárním zobrazením formula_5 z kartézského součinu formula_1 a formula_2 na formula_8 které je „nejuniverzálnější“ ze všech možných bilineárních zobrazení z formula_9 v tom smyslu, že každé jiné bilineární zobrazení jednoznačně lineárně faktorizuje nad formula_10. To znamená, že ke každému bilineárnímu zobrazení formula_11 na vektorový prostor formula_12 nad tělesem formula_3 existuje jednoznačně definované lineární zobrazení formula_14 tak, že formula_15, čili že pro libovolný pár vektorů formula_16 platí formula_17 Pokud takový vektorový prostor formula_4 existuje, je až na izomorfismus jednoznačný, tj. pro každý jiný formula_19 s univerzálním bilineárním zobrazením formula_20 existuje izomorfismus formula_21 tak, že formula_22 Prostor formula_4 se značí formula_24 a příslušné bilineární zobrazení se píše formula_25. Definici tenzorového součinu lze indukcí zobecnit na více vektorových prostorů: formula_26 atd.