RLC电路

title: RLC串联电路.
content: 在此电路中,三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程代入基尔霍夫电压定律(KVL)获得。由基尔霍夫电压定律:  其中formula_4分别为R、L、C两端的电压,formula_5为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到:  在电源电压为常数的情况下,对上式求导,并且除以L,得到以下二阶微分方程:  此方程可以写成更常用的形式:  formula_9称为“衰减量”,用于衡量当移除外部输入后,此电路的瞬态响应衰减的速率。formula_10为角共振频率。此二系数由下式给出: 阻尼系数formula_13是另一个常用的参数,定义为formula_9与formula_10的比值: 阻尼系数也可以由R、L、C求得:
title: 瞬态响应.
content: 根据不同的阻尼系数formula_13的值,该微分方程的解法有三种不同的情况,分别为:欠阻尼(formula_19),过阻尼(formula_20),以及临界阻尼(formula_21)。该微分方程的特征方程为:  该方程的根为:  该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加: 系数"A"以及 "A"由具体问题的边界条件给出。
title: 过阻尼响应.
content: 过阻尼响应(formula_20)为: 过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。
title: 欠阻尼响应.
content: 欠阻尼响应(formula_19)为:  通过三角恒等式,这两个三角函数可用一个有相位的正弦函数表达:  欠阻尼响应是一个频率为formula_31的衰减的振荡。振荡衰减的速率为formula_32。指数里的formula_32描述了振荡的包络函数。"B" 以及"B" (或第二种形式中的 "B" 以及相位差 formula_34)为任意常数,由边界条件确定。频率formula_31由下式给出:  这就是所谓的阻尼共振频率或阻尼固有频率。它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率。谐振频率formula_37是电路在有外部源驱动时的谐振频率,为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。
title: 临界阻尼响应.
content: 临界阻尼响应(formula_21)为:
title: 拉普拉斯域.
content: 可以利用拉普拉斯转换分析RLC串联电路的交流暂态及稳态行为。若上述电压源产生的波形,在拉普拉斯转换后为"V"("s")(其中"s"为复频率formula_40),则在拉普拉斯域中应用基尔霍夫电压定律:  其中"I"("s")为拉普拉斯转换后的电流,求解"I"("s"):  在重新整理后,可以得到下式:
title: 拉普拉斯导纳.
content: 求解拉普拉斯导纳"Y"("s"):  可以利用以上章节定义的参数α及ω来简化上式,可得:
title: 极点和零点.
content: "Y"("s") 的零点是使得formula_46 的"s":  "Y"("s") 的极点是使得formula_49 的"s",求解二次方程,可得:  "Y"("s")的极点即为前文中提到微分方程之特征方程的根formula_51及formula_52。
title: 正弦稳态.
content: 正弦稳态可通过令formula_53来表示,其中formula_54为虚数单位。  将此代入上面方程的幅值中:  以 "ω" 为变量的电流的函数为  有一个峰值formula_57。在此特殊情况下,这个峰值中的 "ω" 等于无阻尼固有谐振频率:
title: RLC并联电路.
content: RLC并联电路的特性可以利用电路的对偶性 (电路),将RLC并联电路视为RLC串联电路的对偶阻抗来处理,就可以用类似RLC串联电路的分析方式来分析RLC并联电路。  RLC并联电路的衰减量formula_9可以用下式求得:  而其阻尼系数为:  若不考虑formula_62的系数,RLC并联电路的阻尼系数恰好是RLC串联电路阻尼系数的倒数。
title: 频域.
content: 将并联各元件的导纳相加,即为此电路的导纳:  电容、电阻及电感并联后,在共振频率的阻抗为最大值,和电容、电阻及电感串联的情形恰好相反,RLC并联电路是抗共振电路(antiresonator)。  右图中可以看出若用定电压驱动时,电流的频率响应在共振频率formula_66处有最小值。若用定电流驱动,电压的频率响应在共振频率处有最大值,和RLC串联电路中,电流的频率响应图形类似。
title: 其他构造.
content: 如图7所示,电阻与电感串联的并联LC电路是有必要考虑到线圈卷线的电阻时经常遇到的一种拓扑结构。并联LC电路经常用于带通滤波中,而 "Q" 因子主要由此电阻决定。电路的谐振频率为,  这是电路的谐振频率,定义为导纳虚部为零时的频率。在特征方程的一般形式(此电路与之前的相同)中出现的频率  不是相同的频率。在这种情况下是固有的无阻尼谐振频率  阻抗幅值最大时的频率formula_70为, 其中formula_72是线圈的品质因数。这可以下式很好地近似  此外,精确的最大阻抗幅值由下式给出,  formula_75值比1大时,可以用下式很好地近似  同样,电阻与电容并联的串联LC电路可用于有耗介质的电容器。这种构造如图8所示。在这种情况下谐振频率(阻抗的虚部为零时的频率),由下式给出,  而阻抗幅值最大时的频率formula_70为 其中formula_80

Summary: RLC电路是一种由电阻(R)、电感(L)、电容(C)组成的电路结构。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路,电路中的电压或者电流是一个二阶微分方程的解,而其系数是由电路结构决定。

Obvod RLC: Obvod RLC je analogový oscilační elektrický obvod složený z rezistoru "R", cívky "L" a kondenzátoru "C" spojených paralelně, nebo sériově. Energie v obvodu se přeměňuje na napětí kapacity a proud indukce podle časové konstanty obvodu. Cívka je charakteristická svou indukčností a kondenzátor svou kapacitou. Při průchodu střídavého proudu v obvodu s cívkou se v ní opakovaně vytváří a zaniká magnetické pole. Kondenzátor se ve střídavém obvodu periodicky nabíjí a vybíjí. Jak prochází součástkami proud, dochází k fázovým posunům. Tyto posuny jsou způsobeny odpory vznikajícími v součástkách obvodu. U cívky jej nazýváme induktance a u kondenzátoru kapacitance. Obě tyto veličiny lze zapsat i v oboru komplexních čísel za pomoci komplexní jednotky, která se ve fyzice značí malým písmenem j, aby se nezaměnila s okamžitou hodnotou proudu i. Rezistor R většinou nebývá tvořen samostatnou součástkou, ale jedná se o symbolické vyjádření nedokonalosti použitých součástek (zejména cívky).