向量空间

title: 公理化定义.
content: 给定域,上的向量空间是一个集合,其上定义了两种二元运算:  中的元素称为向量,相对地,中的元素称为标量。  而集合公理才构成一个向量空间(对中的任意元素、以及中的任意元素、、都成立):  前四个公理说明装备了向量加法的是交换群,余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“”和标量之间的加法“”是不一样的,标量与向量之间的标量乘法和两个标量之间的乘法(域中自带的乘法)也是不一样的。  简而言之,向量空间是一个模。
title: 基本性质.
content: 以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质:
title: 例子.
content: 对一般域,记为-向量空间。若是实数域,则称为实数向量空间;若是复数域,则称为复数向量空间;若是有限域,则称为有限域向量空间。  最简单的-向量空间是自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当是实数域时,可以验证对任意实数、以及任意实数、、,都有:  更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面:平面上的每一点formula_1都有一个坐标formula_2,并对应着一个向量formula_3。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作R2,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组formula_3。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,R2满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是R2的推广。  同样地,高维的欧几里得空间R也是向量空间的例子。其中的向量表示为formula_5,其中的formula_6都是实数。定义向量的加法和标量乘法是: formula_7, formula_8 formula_9 可以验证这也是一个向量空间。  再考虑所有系数为实数的多项式的集合formula_10。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法,formula_10也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数的集合formula_12也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。
title: 方程组与向量空间.
content: 向量空间的另一种例子是齐次线性方程组(常数项都是0的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组: 如果formula_15和formula_16都是解,那么可以验证它们的“和”formula_17也是一组解,因为: 同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。  一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。  对于齐次线性微分方程,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程: 出于和上面类似的理由,方程的两个解formula_21和formula_22的和函数formula_23也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。
title: 子空间基底.
content: 如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V的线性子空间(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空间V自己,以及只包含0的子空间formula_24。  给出一个向量集合B,那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间,也称线性包络,记作span(B)。  给出一个向量集合B,若它的生成子空间就是向量空间V,则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称V是一个有限维空间。  可以生成一个向量空间V的线性独立子集,称为这个空间的基。若V={0},约定唯一的基是空集。对非零向量空间V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列:formula_25,那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现:  这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。  可以证明,一个向量空间的所有基都拥有相同基数,称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种实数向量空间:R0, R1, R2, R3,..., R,...中, R的维度就是"n"。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基formula_27,那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为: formula_28  那么v可以用数组formula_29来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为: formula_30 formula_31 formula_32 可以证明,存在从任意一个n维的formula_33-向量空间到空间formula_34的双射。这种关系称为同构。
title: 线性映射.
content: 给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换(或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f: formula_35 formula_36 所有线性变换的集合记为formula_37,这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后,formula_37中的线性变换可以通过矩阵来表示。  如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射,那么这个线性映射称为(线性)同构,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构,那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构formula_35,那么其逆映射formula_40也存在,并且对所有的formula_41,都有: formula_42
title: 概念化及额外结构.
content: 研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下:

Summary: 向量空间是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。

Vektorový prostor: Vektorový prostor (též lineární prostor, ') je ústředním objektem studia lineární algebry, v jehož rámci jsou definovány všechny ostatní důležité pojmy této disciplíny. V jistém smyslu můžeme vektorový prostor chápat jako zobecnění množiny reálných, potažmo komplexních, čísel. Podobně jako v těchto množinách je i ve vektorovém prostoru definována operace sčítání a násobení s jistými přirozenými omezeními jako asociativita apod. Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor"' (angl. "vector"). Na vektorovém prostoru je důležité, že má lineární matematickou strukturu, tzn. dva vektory lze sečíst, přičemž tento součet je opět prvkem vektorového prostoru, a totéž platí i pro násobek vektoru. S konceptem vektorového prostoru se lze setkat v nejrůznějších odvětvích matematiky i fyziky. Tvoří základ, v rámci něhož lze elegantně popisovat a řešit jak úlohy numerické matematiky, tak třeba i úlohy chování fyzikálních systémů v klasické či kvantové mechanice.