斐波那契数列

title: 源起.
content: 根据高德纳(Donald Ervin Knuth)的《计算机程序设计艺术》("The Art of Computer Programming"),1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时,首先描述这个数列。在西方,最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多(意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci),他描述兔子生长的数目时用上了这数列:  假设在n月有兔子总共a对,n+1月总共有b对。在n+2月必定总共有a+b对:因为在n+2月的时候,前一月(n+1月)的b对兔子可以存留至第n+2月(在当月属于新诞生的兔子尚不能生育)。而新生育出的兔子对数等于所有在n月就已存在的a对  斐波纳契数也是帕斯卡三角形的每一条红色对角线上数字的和。
title: 表达式.
content: 为求得斐波那契数列的一般表达式,可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。
title: 初等代数解法.
content: 已知
title: 首先构建等比数列.
content: 设formula_7化简得formula_8 比较系数可得: formula_9 不妨设formula_10 解得:  formula_11  又因为有formula_7, 即formula_13为等比数列。
title: 求出数列{formula_14}.
content: 由以上可得: formula_15  变形得: formula_16。 令formula_17
title: 求数列{formula_18}进而得到{formula_19}.
content: formula_20 设formula_21,解得formula_22。 故数列formula_23为等比数列 即formula_24。而formula_25, 故有formula_26 又有formula_11 和formula_17 可得formula_29  得出formula_30表达式  formula_29
title: 线性代数解法.
content: formula_32  formula_33
title: 构建一个矩阵方程.
content: 设J为第n个月有生育能力的兔子数量,A为这一月份的兔子数量。  上式表达了两个月之间,兔子数目之间的关系。而要求的是,A的表达式。
title: 求矩阵的特征值:formula_35.
content: 行列式:formula_36  当行列式的值为0,解得formula_37=formula_38或formula_39=formula_40
title: 特征向量.
content: 将两个特征值代入  求特征向量formula_42得  formula_43=formula_44  formula_45=formula_46
title: 分解首向量.
content: 第一个月的情况是兔子一对,新生0对。  将它分解为用特征向量表示。
title: 用数学归纳法证明.
content: 从  可得到
title: 化简矩阵方程.
content: 将(4) 代入 (5)  根据3
title: 求A的表达式.
content: 现在在6的基础上,可以很快求出A的表达式,将两个特征值代入6中  (7)即为A的表达式
title: 数论解法.
content: 实际上,如果将斐波那契数列的通项公式写成formula_57,即可利用解二阶线性齐次递回关系式的方法,写出其特征多项式formula_58(该式和表达斐波那契数列的矩阵的特征多项式一致),然后解出formula_37=formula_38,formula_39=formula_40,即有formula_63,其中formula_64为常数。我们知道formula_65,因此formula_66,解得formula_67。
title: 组合数解法.
content: formula_68
title: 用计算机求解.
content: 可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题,一种已知数列中的某一项,求序数。第二种是已知序数,求该项的值。  可通过递归递推的算法解决此两个问题。 事实上当n相当巨大的时候,O(n)的递推/递归非常慢......这时候要用到矩阵快速幂这一技巧,可以使递回加速到O(logn)。
title: 和黄金分割的关系.
content: 开普勒发现数列前、后两项之比1/2,2/3, 3/5,5/8,8/13,13/21,21/34...,也组成了一个数列,会趋近黄金分割:  斐波那契数亦可以用连分数来表示:  formula_72  formula_73  而黄金分割数亦可以用无限连分数表示: 而黄金分割数也可以用无限多重根号表示:
title: 与平方数的关系.
content: 斐波那契数列中,只有3个平方数:0、1、144。
title: 和自然的关系.
content: </math>
title: 恒等式.
content: 证明以下的恒等式有很多方法。以下会用组合论述来证明。 不失一般性,我们假设formula_79,formula_80是计算了将1和2加到n的方法的数目。若第一个被加数是1,有formula_76种方法来完成对formula_82的计算;若第一个被加数是2,有formula_83来完成对formula_84的计算。因此,共有formula_85种方法来计算n的值。 计算用多个1和多个2相加令其和等于formula_87的方法的数目,同时至少一个加数是2的情况。  如前所述,当formula_88,有formula_89种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用2,就即formula_90 (formula_87项),于是我们从formula_89减去1。  若该数式包含2为被加数,2的首次出现位置必然在第1和formula_87的被加数之间。2在不同位置的情况都考虑到后,得出formula_100为要求的数目。
title: 定理.
content: 特别地,当"m" = "n"时,
title: 相关的数列.
content: 费波那西数列是费波那西n步数列步数为2的特殊情况,也和卢卡斯数列有关。
title: 反费波那西数列.
content: 反费波那西数列的递归公式如下:  如果它以1,-1,之后的数是:1,-1,2,-3,5,-8,...  即是formula_113。  反费波那西数列两项之间的比会趋近formula_114。
title: 巴都万数列.
content: 费波那西数列可以用一个接一个的正方形来表现,巴都万数列则是用一个接一个的等边三角形来表现,它有formula_115的关系。
title: 佩尔数列.
content: 佩尔数列的递归公式为formula_116,前几项为0,1,2,5,12,29,70,169,408...
title: 应用.
content: 1970年,尤里·马季亚谢维奇指出了偶角标的斐波那契函数 正是满足Julia Robison假设的丢番图函数,因而证明了希尔伯特第十问题是不可解的。
title: 相关猜想.
content: 斐波那契数列中是否存在无穷多个质数?  在斐波那契数列中,有质数: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917...... 目前已知最大质数是第81839个斐波那契数,一共有17103位数。
title: 程序参考.
content: JavaScript迭代版 C语言通项公式版 c++通项公式版 using namespace std; int main() Python语言通项公式版  def fib(n): # write Fibonacci series up to n  def fib2(n): # return Fibonacci series up to n  Common Lisp Go  递回版,时间复杂度为 O(2^n): 通用版,时间复杂度为 O(n): Java语言通项公式版: Java语言快捷版:  C语言阵列版:  Python Lambda 递回版:

Summary: 斐波那契数列(意大利语:Successione di Fibonacci),又译为菲波拿契数列、菲波那西数列、斐氏数列、黄金分割数列。

Fibonacciho posloupnost: Jako Fibonacciho posloupnost je v matematice označována nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... (čísla nacházející se ve Fibonacciho posloupnosti jsou někdy nazývána Fibonacciho čísla), kde každé číslo je součtem dvou předchozích. Rekurzivní definice Fibonacciho posloupnosti tedy je: