倍立方

title: 背景简介.
title: 相关传说.
content: 传说中,这问题的来源,可追溯到公元前429年。一场瘟疫袭击了希腊提洛岛(Delos),造成四分之一的人口死亡。岛民们去神庙请示阿波罗的旨意,神谕说:要想遏止瘟疫,得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍,结果体积当然就变成了8倍,瘟疫依旧蔓延;接着人们又试著把体积改成原来的2倍,但形状却变为一个长方体......第罗斯岛人在万般无奈的情况下,只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图。  开始,柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验,觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形,使它的面积等于已知正方形的2倍,那么作一个正方体,使它的体积等于已知正方体体积的2倍,还会难吗?
title: 尺规作图法.
content: 在叙述倍立方问题前,首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题,将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定,研究的是能不能在若干个具体限制之下,在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中,直尺和圆规的定义是: 定义了直尺和圆规的特性后,所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤,称为作图公法: 尺规作图研究的,就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复,达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是:“给定某某条件,能否用尺规作出某某对象?”比如:“给定一个圆,能否用尺规作出这个圆的圆心?”,等等。
title: 问题叙述.
content: 倍立方问题的完整叙述是:  如果将给定线段的长度定为单位长度,则倍立方问题实质上就是要作出长度为单位长度的formula_1倍的线段。
title: 倍平方.
content: 与倍立方问题相比,倍平方问题要简单得多。给定一个单位长度的线段,只需做一个以它为边长的正方形,以正方形的对角线为边长的正方形,面积就是2. 也即是说,尺规作图可以作出长度为单位长度的formula_4倍的线段。然而,formula_1和formula_4虽然形状相近,却有本质性的区别。数学家们直到十九世纪后,才从群论和域论的工具中了解了这个区别。
title: 不可能性的证明.
content: \mathrm{E}_n.</math>  另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设是从集合={(0,0), (0,1)}开始,尺规可作点的集合:formula_7 那么规矩数定义为中的点的横坐标和纵坐标表示的数。  可以证明,有理数集formula_8是所有规矩数构成的集合的子集,而又是实数集formula_9的子集。另外,为了在复数集formula_10内讨论问题,也会将平面formula_11看作复平面formula_10,同时定义一个复数是(复)规矩数当且仅当点是中的一个点。所有复规矩数构成的集合也包含formula_8作为子集,并且是复数集formula_10的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数,尺规作图问题从几何问题转成了代数的问题。
title: 域的扩张与最小多项式.
content: 以集合的观念来说,与formula_8、formula_10之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说,可以证明是有理数域formula_8的扩域,是实数域formula_10的子域。记作formula_19。域是抽象代数中的概念,是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发,很容易得到任何有理数长度的线段,所以直线(也就是实数轴)上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点(对应复数),那么也能做出任意的点,甚至于任何形如: 的点(其中和是两个多项式)。有理数域formula_8和所有因为而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域,称为formula_8关于的扩张,记作formula_23。然而,formula_23中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说,如果有一个多项式使得=0,那么formula_23中的元素都可以写成的形式,其中是的阶数。这样的情况称为域formula_8的有限扩张,因为formula_23可以看成关于formula_8的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数,需要为它找一个基底,也就是一个线性无关的最小生成集。为此,寻找使得=0的多项式中阶数最小的,并称是最小多项式。在最小多项式确定后,便可确定是formula_23的一个基底,formula_23是一个维的formula_8-线性空间(是的阶数)。这时候也称是域扩张formula_32的阶数,记作:
title: 规矩扩张的阶数.
content: 对任何一个尺规可作点,都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的,而其中生成新点(也就是新坐标)的只有后三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻,已知的所有尺规可作点构成的域是,那么生成新点时的直线和圆的系数都在里面。 无论是两个(1)类方程,两个(2)类方程,还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解,得到的和值都会是形同 的数值。所以复规矩数=满足一个二次方程: 其中的、以及都是中的元素。这意味着,域扩张的阶数最多是2(最小多项式的阶数至多是2)。这又说明,从开始,经过一系列(次)基本步骤得到的尺规可作点,代表了次域扩张: 而每次域扩张的阶数:都不超过2。因此,如果从基本的有理数域出发的话,就能得到如下的定理:  其中的是某个小于的自然数(是已知所有有理数坐标点时,作出对应的点要经过的基本步骤数目)。
title: 倍立方不可能性的证明.
content: 证明使用反证法。倍立方问题是指已知单位长度1,要作出formula_1的长度。反设formula_1可以作出,说明它是一个规矩数。所以域扩张的阶数formula_41应该是2的幂次。然而,formula_42的最小多项式是: 这说明域扩张formula_44的阶数是3,不是2的幂次,这与先前的结论矛盾。所以,用尺规方法无法作出一个立方体,使得它的体积是已知立方体的两倍。
title: 倍立方的方法.
content: 如果使用有刻度的直尺(二刻尺),则倍立方是有可能的:
title: 证明.
content: 由 formula_46  得  又根据余弦定理  formula_48  现在设formula_49,则formula_50由孟氏定理  可得 两边平方后整理  此方程序有唯一正实根

Summary: 倍立方是古希腊数学里尺规作图领域当中的著名问题,和三等分角、化圆为方问题被并列为古希腊尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一,是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化,研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。倍立方问题的内容是:

Zdvojení krychle: Zdvojení krychle (také reduplikace krychle, duplikace krychle či délský problém) je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou kvadratura kruhu a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány "Tři klasické problémy antické matematiky"). Tyto úlohy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.