幻方

title: 幻方简史.
content: 《系辞》云:「河出图,洛出书,圣人则之。」在宋朝之前,洛书的记述只有文字。  九宫图实物最早发现于西汉,1977年中国考古学家在安徽阜阳县双古堆西汉古墓中发现汉文帝七年(前173年)的太乙九宫占盘,乃是中国汉代幻方的实物。东汉《数术记遗》也有记载。  后来陈抟以降认为河图洛书的洛书代表九宫图,为formula_13这formula_14个数,而formula_15行、formula_15列以及两对角线上各自的数之和均为15。
title: 杨辉纵横图.
content: 南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图,书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出,戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足”,比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。
title: 构造法.
content: 根据构造方法的不同,幻方可以分成三类:奇数阶幻方、formula_17阶幻方和formula_18阶幻方,其中formula_19为自然数,formula_20阶幻方不存在。幻方构造法主要有:连续摆数法、阶梯法(楼梯法)、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法(基方、根方合成法)、镶边法、相乘法、幻方模式等。
title: 奇数阶幻方构造法.
content: Siamese方法(Kraitchik 1942年,pp. 148-149)是构造奇数阶幻方的一种方法,说明如下: (由于幻方的对称性,也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位)  以下图formula_24阶幻方为例,formula_1填写在formula_26(第一行第三列)的位置上;formula_20应当填写在其右上方格即formula_28中,由于formula_28超出顶边界,所以从最底行进入,即formula_30;formula_15填写在formula_30的右上方格formula_33中;formula_34填写在formula_33的右上方格formula_36中,由于formula_36超出右边界,所以从最左列进入,即formula_38;formula_24填写在formula_38的右上方格formula_41中;formula_42应该填写的方格formula_26已经被formula_1所占据,因此填写在formula_41的正下方格formula_46中;按照上面的步骤直到所有数填入。  魔方阵不是唯一的,比如5阶魔方阵还可以是:
title: 偶数阶幻方构造法.
title: formula_17阶幻方构造法.
content: 对于formula_17阶幻方一般都用对调法,制作起来很容易。将它分割成formula_49个formula_50区块,再将其每一个区块的非主副对角线上的各个数关于中心对调即可。 如4阶幻方的排列法: formula_51 按如上图排列好,再将非主副对角线上的各个数关于中心对调,即成下图: formula_52 八阶幻方构造如下 formula_53 即: formula_54
title: formula_55阶幻方构造法.
title: 加边法.
content: 以formula_42阶为例子,先排出formula_34阶的幻方,如上图,再将图中每一个数都加上formula_58,有下图: formula_59 在外围加上一圈格子,把formula_60和formula_61这些数安排在外圈格子内,但要使相对两数之和等于formula_62。对于formula_63这些数是:formula_64;formula_65。结果如下: formula_66
title: LUX法.
content: 在(4M+2)×(4M+2)个方格的适当格点上,先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点,全部标上「L」;在第M+1行的中间格点标上「U」,其余格点标上「L」;在第M+2行的中间格点标上「L」,其余格点标上「U」;在余下的M-1行的格点全部标上「X」。将格点上的数乘以4再减4,再按下面的规则加上1至4其中一个数,填入对应的格上:  例子:
title: 四阶幻方全解搜索(C/C++).
title: 奇数阶幻方算法的Java语言实现.
content: 以下是本算法将n设置为11时得出的11阶幻方的构造结果:
title: formula_34阶幻方算法的Java语言实现.
content: 以下是本算法输出的结果:
title: 研究价值.
content: 知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹,它在数学中没有引起更普遍深刻的影响,不属于“好的数学”。  对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身,更接近数字游戏或文字游戏,缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵,如推动了试验设计研究的拉丁方阵和已有应用的阿达玛矩阵,还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群),可以作为抽象代数的入门教具,也是计算群论的研究案例之一,并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后,幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题,只要所需的数字规模不大,都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。

Summary: 幻方,有时又称魔术方阵(其简称“魔方”呼现一般指立方体的魔术方块)或纵横图,由一组排放在正方形中的整数组成,其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从formula_1到formula_2的连续整数组成,其中formula_3为正方形的行或列的数目。因此formula_3阶幻方有formula_3行formula_3列,并且所填充的数为从formula_1到formula_2。

Magický čtverec: Magický čtverec je pojem zejména z rekreační matematiky, kde označuje čtvercovou síť o rozměrech formula_1, která je vyplněna přirozenými čísly od jedné až do formula_2 tak, že součet čísel ve všech sloupcích i obou úhlopříčkách je stejný, rovný "„magické konstantě“" rovné formula_3. Takový magický čtverec se někdy nazývá normální magický čtverec, aby se odlišil od variant splňujících podmínku stejného součtu, ale obsahující jiné sady čísel. Normální magické čtverce existují pro všechna formula_4 s výjimkou formula_5. Hodnoty magických konstant pro čtverce řádu 3, 4, 5, 6, 7, 8,... jsou 15, 34, 65, 111, 175, 260,... (posloupnost v On-line encyklopedii celočíselných posloupností).