投影

title: 定义.
content: 投影的严格定义是:一个从向量空间V射到它自身的线性变换 "P" 是投影,当且仅当formula_4。另外一个定义则较为直观:"P" 是投影,当且仅当存在V的一个子空间W,使得 "P" 将所有V中的元素都映射到W中,而且 "P" 在W上是恒等变换。用数学的语言描述,就是:
title: 简单例子.
content: 在现实生活中,阳光在地面上留下各种影子。这就是投影变换最直白的例子。可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向(比如说垂直于地面的角度)照射而来,大地是严格的平面,那么,对于任意一个物体(比如说一只正在飞行的鸟),它的位置可以用向量 ("x", "y", "z") 来表示,而这只鸟在阳光下对应着一个影子,也就是 ("x", "y", 0)。这样的一个变换就是一个投影变换。它将三维空间中的向量 ("x", "y", "z") 到映射到向量 ("x", "y", 0) 。这是在 "x"-"y" 平面上的投影。这个变换可以用矩阵表示为  因为对任意一个向量 ("x", "y", "z"),这个矩阵的作用是:  注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话(也就是说它的"z"分量等于0),那么经过变换 "P" 后不会有改变。也就是说这个变换在子空间 "x"-"y" 平面上是恒等变换,这证明了 "P" 的确是一个投影。  另外, 所以 "P" = "P",这也证明 "P" 的确是投影。
title: 基本性质.
content: 这里假定投影所在的向量空间W是有限维的(因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题)。假设子空间U与V分别为 "P" 的像空间与零空间(也叫做核)。那么按照定义,有如下的基本性质:  用抽象代数的术语来说,投影 "P" 是幂等的线性变换("P" = "P")。因此它的极小多项式是formula_22。因式分解后可以看到,这个多项式只有相异的单根(没有多重根),因此 "P" 是可对角化矩阵。极小多项式也显示出了投影的特性: 像空间与零空间分别是是对应于特征值1和0的特征空间,并给出了整个空间的一个直和分解。  正如日常生活中阳光沿着一定的方向将影子投射到地面上,一般的投影变换也可以称为是沿着W到U上的投影。由于向量空间分解成直和的方式一般不是唯一的(阳光可以顺着不同的方向照射),给定一个子空间 "V"(地面),一般的说有很多到"V" 的投影(沿不同的W)。
title: 正交投影.
content: 如果向量空间被赋予了内积,那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。在内积空间(赋予了内积的向量空间)中,有正交投影的概念。具体来说,正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。也就是说,任意formula_23,formula_24,它们的内积formula_25都等于0。 一个投影是正交投影,当且仅当它是自伴随的变换,这意味着正交投影的矩阵有特殊的性质。如果投影是在实向量空间中,那么它对应的矩阵是对称矩阵: formula_26。如果投影是在虚向量空间中,那么它的矩阵则是埃尔米特矩阵:formula_27。实际上,如果投影 formula_28 是自伴算子,那么 所以 formula_28 是正交投影。反过来如果 formula_28 是正交投影,那么 formula_36, 鉴于 formula_40 是任取的,必然有 formula_41。所以 formula_42 是一个自伴算子,因此 formula_28 也是自伴算子。
title: 例子.
content: 正交投影的最简单的情况是到(过原点)直线上的正交投影。如果 "u" 是这条直线的单位方向向量,则投影给出为 这个算子保留 "u" 不变(formula_45),并且它作用在所有正交于 "u" 的向量上都是0(如果formula_46,那么 formula_47),证明它的确是到包含 "u" 的直线上的正交投影。  这个公式可以推广至到在任意维的子空间上的正交投影。设 "u",..., "u" 是子空间 "U" 的一组正交基,并设 "A" 为一个"n"×"k" 的矩阵,它的列向量是 "u",..., "u"。那么投影:  也是正交的。矩阵 "A" 是在 "U" 的正交补变为零的偏等距同构,而 "A" 是把 "U" 嵌入底层向量空间的等距同构。"P" 的值域因此是 "A" 的“终空间”(final space)。"A""A" 是在 "U" 上的恒等算子也是明显的。  正交条件也可以去除。如果 "u",..., "u" 是(不必须正交)基,而 "A" 是有这些向量作为列的矩阵,则投影是  矩阵 "A" 仍把 "U" 嵌入到低层向量空间中但一般不再是等距的。矩阵 ("A""A") 是恢复规范的“规范化因子”。例如,秩-1 算子 "uu" 不是投影,如果 ||"u"|| ≠ 1。在除以 "u""u" = \|"u"\| 之后,我们得获得了到 "u" 所生成的子空间的投影 "u"("u""u")"u"。  所有这些公式对于复数内积空间也成立,假如用共轭转置替代转置。
title: 斜投影.
content: 术语斜投影有时用来提及非正交投影。这些投影也用来在二维绘图中表示空间图形(参见斜投影),尽管不如正交投影常用。  斜投影用它们的值域和零空间来定义。有给定值域和零空间的投影的矩阵表示的公式可如下这样找到。设向量 "u",..., "u" 形成了投影的值域的基,并把这些向量组合到 "n"×"k" 矩阵 "A" 中。值域和零空间是互补空间,所以零空间有维度 "n" − "k"。它推出零空间的正交补有维度 "k"。设 "v",..., "v" 形成这个投影的零空间的正交补的基,并把这些向量组合到矩阵 "B" 中。则投影定义为 这个表达式一般化上面给出的正交投影公式。
title: 在赋范向量空间上的投影.
content: 当底层向量空间 "X" 是(不必需有限维)赋范向量空间,需要考虑无关于有限维情况的分析问题,假定现在 "X" 是巴拿赫空间。  上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的 "X" 的直和分解成补子空间仍指定一个投影,反之亦然。如果 "X" 是直和 "X" = "U" ⊕ "V",则定义自 "P"("u" + "v") = "u" 的算子仍是有值域 "U" 和核 "V" 的投影。明显的也 "P" = "P"。反过来说,如果 "P" 是在 "X" 上的投影,就是说 "P" = "P",则很容易验证 ("I" − "P") = ("I" − "P")。换句话说,("I" − "P") 也是投影。关系 "I" = "P" + ("I" − "P") 蕴涵了 "X" 是直和 Ran("P") ⊕ Ran("I" − "P")。  但是相对于有限维情况,投影一般不必须是连续的。如果 "X" 的子空间 "U" 在规范拓扑下不闭合,则到 "U" 上的投影是不连续的。换句话说,连续投影 "P" 的值域一定是闭合子空间。进一步的,连续投影(事实上,一般的连续线性算子)的核是闭合的。所以连续投影 "P" 把 "X" 分解成两个互补的闭合子空间: "X" = Ran("P") ⊕ Ker("P") = Ran("P") ⊕ Ran("I" − "P")。  反命题在有额外假定条件下也成立。假设 "U" 是 "X" 的闭合子空间。如果存在一个闭合子空间 "V" 使得 "X" = "U" ⊕ "V",则有值域 "U" 和核 "V" 的投影 "P" 是连续的。这是从闭合图定理推出的。假定 "x" → "x" 而 "Px" → "y"。需要证明 "Px" = "y"。因为 "U" 是闭合的且 {"Px"} ⊂ "U", "y" 位于 "U" 中,就是说 "Py" = "y"。还有 "x" − "Px" = ("I" − "P")"x" → "x" − "y"。因为 "V" 是闭合的且 {("I" − "P")"x"} ⊂ "V",我们有了 "x" − "y" ∈ "V",就是说 "P"("x" − "y") = "Px" − "Py" = "Px" − "y" = 0,这证明了这个断言。  上述论证利用 "U" 和 "V" 都是闭合的假定。一般的说,给定一个闭合子空间 "U", 不需要存在一个互补的闭合子空间 "V",尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间,一维子空间总是有闭合的补子空间。这是 哈恩-巴拿赫定理的直接推论。设 "U" 是 "u" 的线性扩张。通过哈恩-巴拿赫定理,存在一个有界线性泛函 "φ",使得 "φ"("u") = 1。算子 "P"("x") = "φ"("x")"u" 满足 "P" = "P",就是说它是个投影。"φ" 的有界性蕴涵了 "P" 的连续性,因此 Ker("P") = Ran("I" − "P") 是 "U" 的闭合补子空间。
title: 应用.
content: 投影(正交与非正交投影)在算法领域和特定线性代数问题中有重要应用。

Summary: 在线性代数和泛函分析中,投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换formula_1,满足formula_2,也就是说,当formula_1两次作用于某个值,与作用一次得到的结果相同(幂等)。是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同现实中阳光将事物投影到地面上一样,投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间,并且在这个子空间中是恒等变换。