集合 (数学)

title: 导言.
title: 定义.
content: 简单来说,所谓的一个"集合",就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。  在数学交流当中为了方便,集合会有一些别名。比如:
title: 符号.
content: 元素通常用formula_4等小写字母来表示;而集合通常用formula_5等大写字母来表示。  当元素formula_6属于集合formula_7时,记作formula_8。  当元素formula_6不属于集合formula_7时,记作formula_11。  如果formula_12两个集合所包含的元素完全一样,则二者相等,写作formula_13
title: 集合的特性.
content: 无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。 互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。 确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。
title: 集合的表示.
content: 尽管两个集合有不同的表示,它们仍可能是相同的。比如:上述集合中,formula_22而formula_23,因为它们正好有相同的元素。  元素列出的顺序不同,或者元素列表中有重复,都没有关系。比如:这三个集合formula_24,formula_25和formula_26是相同的,同样因为它们有相同的元素。
title: 集合间的关系.
title: 子集与包含关系.
title: 定义.
content: 集合formula_2、formula_28,若formula_29,有formula_30。则称formula_2是formula_28的子集,亦称formula_2包含于formula_28,或formula_28包含formula_2,记作formula_37或formula_38,否则称formula_2不是formula_28的子集,记作formula_41或formula_42。  若formula_37,且formula_44,则称formula_2是formula_28的真子集,亦称formula_2真包含于formula_28,或formula_28真包含formula_2,记作formula_51或formula_52(有时也记作formula_53或formula_54)。
title: 集合的运算.
title: 并.
content: 两个集合可以相"加"。formula_2和formula_28的联集是将formula_2和formula_28的元素放到一起构成的新集合。
title: 定义.
content: 给定集合formula_2,formula_28,定义运算formula_84如下:formula_85或formula_86。formula_87称为formula_2和formula_28的联集。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,formula_84运算具有以下性质。
title: 交.
content: 一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。formula_2和formula_28的交集,写作formula_115,是既属于formula_2的、又属于formula_28的所有元素组成的集合。  若formula_118,则formula_2和formula_28称作不相交。
title: 定义.
content: 给定集合formula_2、formula_28,定义运算formula_123如下:formula_124且formula_86。formula_115称为formula_2和formula_28的交集。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,formula_123运算具有以下性质。  其它性质还有:
title: 差.
content: 两个集合也可以相"减"。formula_2在formula_28中的相对补集,国际上通常写作 formula_151,中文教材中有时也会写作formula_152。表示属于formula_28的、但不属于formula_2的所有元素组成的集合。  在特定情况下,所讨论的所有集合是一个给定的全集formula_155的子集。这样, formula_156称作formula_2的绝对补集,或简称补集(余集),写作formula_158或formula_159。  补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。
title: 定义.
content: 给定集合formula_2,formula_28,定义运算-如下:formula_162且formula_163。formula_164称为formula_28对于formula_2的差集,相对补集或相对余集。  在上下文确定了全集formula_155时,对于formula_155的某个子集formula_2,一般称formula_156为formula_2(对于formula_155)的补集或余集,通常记为formula_158或formula_174,也有记为formula_175, formula_158, formula_177,以及formula_178的。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,- 运算有如下基本性质:
title: 对称差.
title: 定义.
content: 给定集合formula_2,formula_28,定义对称差运算formula_202如下:formula_203。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,formula_202运算具有如下基本性质:
title: 运算性质.
content: 集合的运算除了以上情况之外,集合间还具有以下运算性质:
title: 集合的元素个数.
content: 上述每一个集合都有确定的元素个数;比如:集合 "A" 有三个元素、而集合 "B" 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种,不同作者及不同书本用不同的写法: formula_217。  集合可以没有元素。这样的集合叫做空集,用 formula_218 或符号formula_70表示。比如:在2004年,集合formula_2是所有住在月球上的人,它没有元素,则formula_221。在数学上,空集非常重要。更多资讯请参阅空集。  如果集合只含有限个元素,那么这个集合可以称为有限集合。  集合也可以有无穷多个元素,这样的集合称为无限集合。比如:自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。
title: 公理化集合论.
content: 若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”,会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论,数学家提出公理化集合论。在公理集合论中,集合是一个不加定义的概念。
title: 类.
content: 在更深层的公理化数学中,集合仅仅是一种特殊的类,是“良性类”,是能够成为其它类的元素的类。  类区分为两种:一种是可以顺利进行类运算的“良性类”,我们把这种“良性类”称为集合;另一种是要限制运算的“本性类”,对于本性类,类运算并不是都能进行的。  定义 类A如果满足条件“formula_222”,则称类A为一个集合(简称为集),记为formula_223。否则称为本性类。  这说明,一个集合可以作为其它类的元素,但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

Summary: 集合(英语:Set,或简称集)是基本的数学概念,它是集合论的研究对象,指具有某种特定性质的事物的总体,(在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义,集合就是“一堆东西”。)集合里的事物(“东西”),叫作元素。若然formula_1是集合formula_2的元素,记作formula_3。