基数 (数学)

title: 历史.
content: 康托尔在1874年-1884年引入最原始的集合论(现称朴素集合论)时,首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合formula_2和formula_3,它们并非"相同",但有"相同的基数"。骤眼看来,这是显而易见,但究竟何谓两个集合有相同数目的元素?  康托尔的答案,是透过所谓的一一对应,即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到,两个集合的基数自然相同。这答案,容易理解但却是革命性的,因为用相同的方法即可比较任意集合的大小,包括无穷集合。  最先被考虑的无穷集合是自然数集formula_4及其无限子集。他把所有与formula_5能一一对应的集为可数集。令康托尔意外的是,原来formula_5的所有无限子集都能与formula_5一一对应。他把formula_5的基数称为formula_9,是最小的艾礼富数。  康托尔发现,原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初,他尝试证明是否所有无限集合均是可数,其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证,而在他1891年的论文中,他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数,记作c,代表连续统。  接着康托尔构作一个比一个大的集合,得出一个比一个大的基数,而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论,需要一个新的语言描述,这就是康托尔发明集合论的主因。  康托尔随后提出连续统假设:c就是第二个超穷基数formula_10,即継formula_9之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的,即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。
title: 动机.
content: 在非正式使用中,基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于formula_12的自然数(就是formula_13)。计数可以形式化地定义为有限基数,而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。  更正式地,一个非零的数可以用于两个目的:描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有正好大小的集合,比如3描述了formula_14在序列formula_15中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合formula_16。但是在处理无限集合的时候,在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面会引申出序数的概念,而大小则被这里描述的基数所广义化。  在基数的形式定义背后的直观想法是,可以构造一个记号来指明集合的相对大小,而不需理会它有哪些种类的成员。对于有限集合这是容易的;只需简单的数算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小,得借助更加巧妙的概念。  一个集合formula_17至少等大小于(或称大于等于)一个集合formula_18,如果有从formula_18到formula_17的一个单射(一一映射)。一一映射对集合formula_18的每个元素确定了一个唯一的集合formula_17的元素。通过例子就最易理解了;假设有集合formula_23和formula_24,我们可以注意到有一个映射: 这是一对一的,使用上述的大小概念,我们因此总结出formula_17有大于等于formula_18的势。注意元素formula_30没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。  我们可以把这个概念扩展到一个类似于等式的关系。两个集合X和formula_17被称为有相同的'势',如果存在formula_18和formula_17之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理,这等价于有从formula_18到formula_17和从formula_17到formula_18的两个一一映射。我们接着记之为 formula_38。formula_18的基数自身经常被定义为有着 formula_40 的最小序数formula_41。这叫做冯·诺伊曼基数指派;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数一样的势;这个陈述就是良序原理。然而即使不给集合的势指派一个名字,讨论集合之间相对的势还是可以的。  一个经典例子是无限旅馆悖论,也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满,而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2,房间2的客人转移到房间3,以此类推,腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段: 在这种方式下我们可以看出集合formula_46和集合formula_47有相同的势,因为已知这两个集合之间存在双射。这便给"无限集合"提供了一个合适的定义,即是与自身某个真子集有着相同的势的任何集合;在上面的例子中formula_47是formula_46的真子集。  当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事实上是不一致的;通过考虑上面的例子,我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在,它必须跟起初的无限集合有一样的势。这时候可以使用另一种称为序数的形式概念,它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们会发现,势和序(ordinality)的概念对于无限的情况是有分歧的。  可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。透过对角论证法可以一目了然;跟势相关的经典问题(比如连续统假设)主要关注在某一对无限基数之间是否有别的基数。现时数学家已经在描述更大更大基数的性质。  因为基数是数学中如此常用的概念,有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
title: 定义.
content: 首先,给出集合formula_18和formula_17,我们称formula_18的势小于等于formula_17,记作 formula_54,当且仅当存在由formula_18到formula_17的单射;称formula_18的势与formula_17相等,记作 formula_38, 当且仅当存在由formula_18到formula_17的双射(即一一对应)。  康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果 formula_54 及 formula_63 则 formula_38。  假设选择公理,所有集合都可良序,且对于所有集合formula_18与formula_17,有 formula_54 或 formula_63。因此,我们可以定义序数,而 集合formula_18的基数则是与formula_18等势的最小序数formula_71。  (若不接受选择公理,我们也可对非良序集formula_18定义基数,就是所有与formula_18等势的集的阶中最小者。)
title: 有限集的基数.
content: 自然数的一种定义是formula_74。可以见到,与数formula_75等势的集必有formula_75个元素。如集合formula_77的基数为formula_78。  以下是有限集的三个等价定义:它与某自然数等势;它只有一个等势的序数,就是它的基数;它没有等势的真子集。
title: 无限集的基数.
content: 最小的无限集合是自然数集。formula_79与formula_80基数相同,因为可以让前一集合的formula_81与后一集合的formula_82一一对应。从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集有相同的基数。  以下是无限集的四个等价定义:它不与任何自然数等势;它有超过一个等势的序数;它有至少一个真子集和它等势;存在由自然数集到它的单射。
title: 基数算术.
content: 我们可在基数上定义若干算术运算,这是对自然数运算的推广。  给出集合formula_18与formula_17,定义 formula_85,则基数和是 若formula_18与formula_17不相交,则 formula_89。  基数积是 其中formula_91是formula_18和formula_17的笛卡儿积。  基数指数是 其中formula_95是所有由formula_17到formula_18的函数的集合。  在有限集时,这些运算与自然数无异。一般地,它们亦有普通算术运算的性质:  无穷集合的加法及乘法(假设选择公理)非常简单。若formula_18与formula_17皆非空而其中之一为无限集,则
title: 基数序列及连续统假设.
content: 对每一个基数,存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是formula_9,康托尔称下一个为formula_10,相类似的,还定义了如下一个序列:formula_111。  注意formula_112。连续统假设猜想,就是formula_113。  连续统假设是与一般集论公理(即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理)是独立的。  更一般的假设,即formula_114。  广义连续统假设,就是对所有无穷基数formula_115,都不存在介乎formula_116与formula_117之间的基数。

Summary: 在日常交流中,基数或量数是对应量词的数,例如「一颗苹果」中的「一」。与序数相对,序数是对应排列的数,例如「第一名」中的「一」及「二年级」中的「二」。