拓扑空间

title: 定义.
content: 拓扑空间是一个集合 formula_1 和其上定义的拓扑结构formula_2组成的二元组formula_3。formula_1 的元素 formula_5 通常称为拓扑空间 formula_3的点。而拓扑结构formula_2一词涵盖了开集,闭集,邻域,开核,闭包,导集,滤子等若干概念。从这些概念出发,可以给拓扑空间formula_3作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。
title: 开集公理.
content: formula_1 的子集的集合族formula_10称为开集系(其中的元素称为开集),当且仅当其满足如下开集公理:  从开集出发定义其它各概念:
title: 闭集公理.
content: formula_1的子集的集合族formula_31称为闭集系(其中的元素称为闭集),当且仅当其满足如下闭集公理:  (显然,闭集是开集的对偶概念)。  从闭集出发定义其它各概念:
title: 邻域公理.
content: formula_1的映射formula_46(formula_47指formula_1的幂集的幂集)。这样formula_49将formula_1的每个点formula_5映射至formula_1的子集族formula_53。formula_53称为formula_5的邻域系(formula_53的元素称为formula_5的邻域),当且仅当对任意的formula_58,formula_53满足如下邻域公理:  从邻域出发定义其它概念:
title: 闭包公理.
content: formula_1的幂集formula_84上的一元运算formula_85(即将formula_1的子集A映射为formula_1的子集formula_88)称为闭包运算(像称为原像的闭包)。当且仅当运算formula_89满足下述的闭包公理:  集合formula_19的闭包通常记为formula_44。  从闭包出发定义其它概念:
title: 开核公理.
content: formula_1的幂集formula_84上的一元运算formula_108(即将formula_1的子集A映射为formula_1的子集formula_111)称为开核运算(像称为原像的开核或内部)。当且仅当运算formula_112满足如下开核公理:  集合formula_19的开核通常记为formula_28。 (显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。  从开核出发定义其它概念:
title: 导集公理.
content: formula_1的幂集formula_130上的一元运算formula_131(即将formula_1的子集formula_19映射为formula_1的子集formula_135)称为导集运算(像称为原像的导集),当且仅当formula_136满足以下导集公理:  从导集出发定义其它概念:
title: 拓扑之间的关系.
content: 同一个全集可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑formula_144的每一个开集都是拓扑formula_145的开集时,称拓扑formula_145比拓扑formula_144更细,或称拓扑formula_144比拓扑formula_145更粗。  仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。  最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。  在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
title: 连续映射与同胚.
content: 类似定义拓扑空间,连续映射也有基于开集,闭集,开核,闭包和邻域等概念的等价定义。  拓扑空间上的一个映射formula_150称为连续映射,当且仅当它满足以下条件之一:  同胚映射是一个连续的双射,并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射,则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲,同胚的空间是等同的。
title: 拓扑空间范畴.
content: 拓扑空间作为对象,连续映射作为态射,构成了拓扑空间范畴,它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论、同调论和K-理论。
title: 相关概念.
title: 基本概念.
content: 给定拓扑空间(X,τ),A是X的子集,有以下概念(继续使用上面的符号):
title: 网.
content: 网的目的在推广序列及极限,网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集formula_164。  空间formula_1上的一个网formula_166是从有向集合formula_19映至formula_1的映射。  若存在formula_58,使得对每个formula_5的邻域formula_22都存在formula_172,使得formula_173,则称网formula_166收敛至formula_5。  几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性,请参阅主条目网
title: 拓扑空间的例子.
title: 例子.
content: 3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类,具体如下:
title: 拓扑空间的分类.
content: 依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。  以下假设X为一个拓扑空间。
title: 分离公理.
content: 详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史。
title: 紧性.
content: (详细资料请参照紧集)
title: 可度量化.
content: 可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。
title: 拥有代数结构的拓扑空间.
content: 对于任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群formula_179乃是一个拓扑空间配上连续映射formula_180(群乘法)及formula_181(反元素),使之具备群结构。  同样地,可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。  结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域(一种拓扑域),伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。
title: 拥有序结构的拓扑空间.
content: 拓扑空间也可能拥有自然的序结构,例子包括:
title: 历史.
content: 参见拓扑学。
title: 外部链接.
content: n个元素的集上总拓扑数规律

Summary: 拓扑空间是一种数学结构,可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。