超越數

title: 定义.
content: 超越数是代数数的相反,也即是说若formula_1是一个超越数,那么对于任何整数formula_2都符合:  (其中formula_4)
title: 例子.
content: 超越数的例子包括:  所有超越数构成的集是一个不可数集,也就是说,几乎所有的实数和复数都是超越数;尽管如此,现今发现的超越数极少,甚至连formula_27是不是超越数也不知道,因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。  超越数的证明,给数学带来了大的变革,解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题,即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现,这三大问题被证明为不可能。
title: 可能的超越数.
content: 以下数仍待证明为超越数或代数数:  猜想:
title: 简要地证明formula_47是超越数.
content: 第一个对 自然对数底 "e" 是超越数的证明可以追溯到 1873 年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:  为寻找矛盾,假设formula_47是代数数。那就存在一个有限的整系数集formula_49满足下列等式:  现在对于一个正整数formula_51,我们定义如下的多项式:  并在上述等式的两端乘上  于是我们得到等式:  该等式可以写成这种形式  其中  证明: "P" 的每一项都是整数乘以阶乘的和,这可以从以下的关系式得出  对于任何正整数 "j" 成立(考虑Γ函数)。  它是非零的,因为对于每一个满足 0< "a" ≤ "n" 的 "a", 中的被积函数均为 "e" 乘以一些项的和,在积分中用 "x" - "a" 替换 "x" 后, "x" 的最低幂次是 "k"+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和  其中 "k"+1 ≤ "j",而且它是一个能被 ("k"+1)! 整除的整数。在除以 "k!" 后,我们得到模 ("k"+1) 得 0 的数。不过,我们可以写成:  于是  通过选择 "k",使得 "k"+1 是大于 "n" 与 |"c"| 的质数,我们可以得出 formula_65 模 ("k"+1) 为非零,从而该数为非零整数。  引理 2. 对于充分大的 "k", formula_66 。  使用 formula_68 和 formula_69 在区间 [0,"n"] 的上限 G 和 H,我们可以推出 从而  于是有 这点足以完成对引理的证明。 注意可以选择满足两个引理的formula_51,从而我们能得出矛盾。进而得以证明formula_47的超越性。
title: 马勒的分类.
content: 在1932年把超越数分为3类,分别叫做S数、T数和U数。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。
title: 实数的无理性度量.
content: 一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数formula_1,可以使得一次多项式formula_76尽可能小但不精确地等于 0 。这里的formula_77, formula_78是满足formula_79, formula_80以正整数formula_81为界的整数。  令formula_82为这些多项式所取的最小非零绝对值,并且令:  formula_85常称为实数formula_1的无理性度量(measure of irrationality)。对于有理数formula_87,而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。
title: 复数的超越性度量.
content: 接下来考虑多项式对于复数formula_1的取值,这些多项式系数为整数,次数至多为formula_41,而且至多为formula_81,此处的formula_41, formula_81是正整数。  令formula_93为以formula_1为变量的上述多项式所取的最小非零值,并且令:  假如对于尽可能小的正整数formula_41,formula_98为无穷大,则这种情况下复数formula_1称为formula_41次的U数。  现在我们可以定义  formula_102常称为formula_1的超越性度量(measure of transcendence)。假如formula_98有界,则formula_102有限,formula_1称为S数。如果formula_98有限而无界,则formula_1称为T数。formula_1为代数数当且仅当formula_110。  显然刘维尔数是U数的子集。在1953年构造了任意次数的U数。刘维尔数是不可数集,从而U数也是。它们的测度为 0 。  T数组成的集合测度亦为 0 。人们花了 35 年时间证明它们存在。在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数。马勒证明了当formula_1为任意非零代数数时formula_112均为S数:这点揭示了formula_47是S数且给出了formula_28的超越性证明。对于formula_28我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。  两个数formula_1, formula_117称为代数相关,当存在 2 个变量的整系数非零多项式formula_118满足formula_119。一个有力的定理指出,属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的。这允许我们构造新形式的超越数,例如刘维尔数与formula_47或formula_28的和。  通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下来的两个字母。
title: Koksma 的等价分类.
content: 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类。  考虑用次数formula_122且高formula_123的代数数逼近复数formula_1。令formula_46为该有限集中满足formula_126取最小正值得代数数。定义formula_127和formula_128如下:  若对于最小的正整数formula_41,formula_128为无穷大,则称formula_1为formula_41次的U*数。  若formula_128有界且不收敛到 0,则则称formula_1为S*数,  一个数formula_1被称为 A*数,当formula_128收敛到 0 。  若所有的formula_128均为有限但无界,则称 "x" 为T*数,  Koksma和马勒的分类是等价的,因为它们将超越数以同样的方式分类。"A*数"就是代数数。
title: 勒维克的构造.
content: 令  可以证明formula_141(刘维尔数)的formula_41次方根是formula_41次的U数。  此构造可以改进以建立formula_41次U数的不可数个系列。令formula_145为上述formula_141的级数中 10 的幂次的集合。formula_145所有子集的集合是不可数的。在表示formula_141的级数中删去任意一个formula_145的子集,将产生不可数个显然的刘维尔数,它们每一个的formula_41次方根都是次数为formula_41的U数。
title: 类型.
content: 数列formula_152的上界称为类型(type)。几乎所有实数都是类型为 1 的S数,此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数,此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出,于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明。

Summary: 在数论中,超越数(transcendental number)是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根,它即是超越数。最著名的超越数是e以及π。