我们从3x3矩阵A开始，试着找出它的行列式|A|。下面是我们将使用的一般矩阵表示法，以及示例矩阵： M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}} 这将是引用行或列。不管你选哪一行或列，结果都是一样的。现在，只选择第一行。稍后，我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。 我们选择示例矩阵A的第一行，圈出1 5 3。一般来说，圈出11 a12 a13。 查看圈出的行或列，并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。  在本例中，引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵：   1  5 3 2  4 1 4  6 2 记住，这个矩阵(abcd){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}有展开式为ad - bc的行列式。你可以通过在2×2矩阵上画一个X来学习这种方法。将X中\连接的两个数字相乘，然后减去/连接的两个数字的乘积。用这个公式计算你刚找出的矩阵的行列式。  在本例中，矩阵的行列式为(4762){\displaystyle {\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}} = 4 * 2 - 7 * 6 = -34。 这个行列式叫做原始矩阵中所选的元素的余子式。在本例中，我们刚找出了a11的余子式。 记住，当你决定划去哪一行和哪一列时，是从引用行（或列）中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。 在本例中，我们选择了a11，值为1。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），得到1*-34 = -34。 接下来，将答案乘以1或-1来得到所选元素的代数余子式。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，哪个元素是负：   + - +- + -+ - + 由于我们选择了a11，用a +标记，将结果乘以1。（也就是说，不用管它）。答案还是-34。 或者，你可以用公式(-1)i+j来计算正负号，其中i和j是该元素的行数和列数。 返回到初始的3x3矩阵，包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程：   划掉这个元素所在的行和列。在本例中，选择元素a12（值为5）。划掉第一行（1 5 3）和第二列(546){\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}}。  将剩余元素当作一个2x2矩阵。在本例中，矩阵为(2742){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}   求出这个2x2矩阵的行列式。使用ad - bc公式。（2*2 - 7*4 = -24）  乘以3x3矩阵中选定的元素。 -24 * 5 = -120  确定是否乘以-1。使用正负号表或(-1)ij公式。我们选择了元素a12，在正负号表中为负。因此要将更改结果的正负号：(-1)*(-120) = 120。 你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中，下面是计算a13余子式的简要描述：  划掉第1行和第3列，得到(2446){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}  它的行列式为2*6 - 4*4 = -4。 乘以元素a13：-4 * 3 = -12。 元素a13在正负号表中为正，所以结果是-12。 这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式，每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来，你就得到了3x3矩阵的行列式。 在本例中，行列式为-34 + 120 + -12 = 74。
写出3×3矩阵。 选择单行或单列。 划掉第一个元素的行和列。 求出2x2矩阵的行列式。 将结果乘以你选择的元素。 确定答案的正负号。 对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。 对于三个元素重复这个操作。 将三个结果加起来。
写出3×3矩阵。 选择单行或单列。 划掉第一个元素的行和列。 求出2x2矩阵的行列式。 将结果乘以你选择的元素。 确定答案的正负号。 对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。 对于三个元素重复这个操作。 将三个结果加起来。