Největší společný dělitel (NSD) lze využít pro zjednodušení racionálních rovnic a umožnění zjištění hodnoty jejich neznámých. Hledání NSD je dobrý nápad ve chvíli, kdy nelze racionální rovnici jednoduše přepsat do podoby s jedním (a právě jedním) zlomkem nebo racionálním výrazem na každé straně rovnítka. NSD se může hodit i při řešení racionálních rovnic se třemi a více výrazy. Při řešení racionálních rovnic s právě dvěma výrazy může nicméně být rychlejší metodou násobení křížem. Najděte nejmenší číslo, které lze beze zbytku vydělit každým ze jmenovatelů. Toto číslo je NSD vaší rovnice.   Někdy je největší společný jmenovatel – tedy číslo, které lze poskládat ze všech stávajících jmenovatelů – zřejmý. Například pokud máte výraz x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, není těžké zjistit, že nejmenším číslem, které se skládá z čísel 2,3 a 6, je skutečně číslo 6. Často však není NSD racionální rovnice okamžitě zřejmý. V takových případech vyzkoušejte násobky největšího jmenovatele, dokud nenajdete ten, který lze dělit i všemi menšími jmenovateli. Často pak je NSD násobkem dvou jmenovatelů. Například v rovnici x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 se NSD rovná 8*9 = 72. Pokud jeden nebo více jmenovatelů zlomků obsahuje neznámou, je tento proces složitější, nikoliv však nemožný. V takových případech nebude NSD jediné číslo, ale výraz (bude tedy obsahovat neznámou), který lze bezezbytku vydělit všemi jmenovateli. Například v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) je NSD 3x(x-1), protože tento výraz dělí bezezbytku každý ze jmenovatelů. Dělením NSD výrazem (x-1) dostaneme 3x, vydělením 3x výraz (x-1) a vydělením x nakonec 3(x-1). Násobení každého výrazu 1 může vypadat zbytečně, trik je však v tom, že 1 lze definovat jako jakékoliv číslo dělené samo sebou: například 2/2 a 3/3 jsou korektní zápisy čísla "1." Tato metoda využívá právě takovýchto alternativních zápisů. Každý zlomek racionální rovnice vynásobte 1 zapsanou takovým číslem nebo výrazem, aby násobek takovéto 1 dal ve jmenovateli výrazu přímo NSD.   V našem jednoduchém příkladu můžeme vynásobit x/3 číslem 2/2, abychom dostali 2x/6, a také 1/2 vynásobit 3/3, abychom dostali 3/6. Ve zlomku 3x +1/6 již číslo 6, tedy NSD, ve jmenovateli je. Můžeme jej proto vynásobit 1/1, nebo nenásobit ničím. V příkladu s neznámými ve jmenovatelích zlomků je tento proces o něco záludnější. Jelikož je NSD 3x(x-1), každý racionální výraz násobíme výrazem, jehož součinem dostaneme 3x(x-1) lomeno 3x(x-1). 5/(x-1) tedy násobíme (3x)/(3x), abychom dostali 5(3x)/(3x)(x-1). 1/x násobíme 3(x-1)/3(x-1) a dostaneme 3(x-1)/3x(x-1). Nakonec 2/(3x) vynásobíme (x-1)/(x-1), abychom dostali 2(x-1)/3x(x-1). Nyní, když má každý z výrazů racionální rovnice stejný jmenovatel, můžete jmenovatele z rovnice odstranit a spočítat čitatele. Jednoduše obě strany rovnice vynásobte jmenovatelem, aby vám zůstaly pouze čitatele. Poté využijte algebraických operací k osamostatnění x (nebo jakékoliv jiné neznámé) na jedné straně rovnice.  V našem jednoduchém příkladu po vynásobení každého výrazu alternativním zápisem 1 dostaneme 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Mají-li dva zlomky stejný jmenovatel, můžete je sčítat, takže lze rovnici zjednodušit do podoby (2x+3)/6 = (3x+1)/6, aniž by se její hodnota změnila. Obě strany rovnice vynásobíme číslem 6, čímž se zbavíme jmenovatele a zůstane nám 2x+3 = 3x+1. Od obou stran odečteme 1 a dostaneme 2x+2 = 3x. Poté od obou stran odečteme 2x a dostaneme 2 = x, což lze přepsat jako x = 2. V našem příkladu s neznámými ve jmenovateli po vynásobení všech výrazů "1" dostaneme 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Když každý z výrazů vynásobíme NSD, zbavíme se jmenovatelů a získáme 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). To nás dovede k 15x = 3x - 3 + 2x -2, což lze zjednodušit jako 15x = x - 5. Odečtením x od obou stran rovnice dostaneme 14x = -5, což nakonec zjednodušíme do formy x = -5/14.
Naučte se, kdy hledání největšího společného dělitele použít. Prozkoumejte jmenovatel každého zlomku. Každý zlomek v rovnici vynásobte číslem 1. Zjednodušte výrazy a získejte x.
Naučte se, kdy hledání největšího společného dělitele použít. Prozkoumejte jmenovatel každého zlomku. Každý zlomek v rovnici vynásobte číslem 1. Zjednodušte výrazy a získejte x.