在二次方程中，一个或多个变量的高次数是2（x2{\displaystyle x^{2}}或y2{\displaystyle y^{2}}），没有更高的次数。这些方程表示是曲线，所以它们和直线的交点数量可以是0、1或2。本部分将教你如何求出0、1或2个交点。  用展开方程的括号，检查它是否是二次方程。例如，y=(x+3)(x){\displaystyle y=(x+3)(x)}是二次方程，因为它可以展开为y=x2+3x{\displaystyle y=x^{2}+3x}  圆或椭圆的方程都有x2{\displaystyle x^{2}}和y2{\displaystyle y^{2}}项。如果你在处理这些特殊情况时遇到困难，请参阅下面的“小技巧”部分。 如果有必要的话，把每个方程重写一下，使y单独在等式的一边。   例如：求出x2+2x−y=−1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1}和y=x+7{\displaystyle y=x+7}的交点。 用y表示二次方程：  y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}和y=x+7{\displaystyle y=x+7}。 本例中有一个二次方程和一个线性方程。两个二次方程的问题可以用类似的方法求解。 例如： y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}，y=x+7{\displaystyle y=x+7}  x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7} 使用标准的代数方法把所有的项都移到一边。这样问题就解决了，我们可以在下一步中解决这个问题。   例如： x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}  两边同时减去x： x2+x+1=7{\displaystyle x^{2}+x+1=7} 两边同时减去7： x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0} 。当你让等式一边等于0，有三种方法可以解一个二次方程。不同人会觉得不同方法会更简单。你可以阅读二次方程式，或者“给二次方程式配方”，或者按照这个 因式分解方法例子：   例如： x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}  因式分解的目的是找出两个因子相乘得到这个方程。从第一项开始，我们可以将x2{\displaystyle x^{2}}分为x乘以x。写成(x    )(x    ) = 0。 最后一项为-6。列出每一对相乘为- 6的因子：−6∗1{\displaystyle -6*1}、−3∗2{\displaystyle -3*2}、−2∗3{\displaystyle -2*3}和−1∗6{\displaystyle -1*6}。 中间项为x（你可以写成1x）。把每对因子相加，直到得到1为止。正确的因子对为−2∗3{\displaystyle -2*3}，因为−2+3=1{\displaystyle -2+3=1}。 用这对因子来填在空白处：(x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}。 如果你算得太快，你可能只找到了一个解，却没有意识到还有第二个解。下面是如何找到这两条线相交于两点的两个x值：   例如（因式分解）：我们得到方程(x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}。如果括号中的任意一个因式为0，则这个方程为真。一个解为x−2=0{\displaystyle x-2=0} → x=2{\displaystyle x=2}。另一个解为x+3=0{\displaystyle x+3=0} → x=−3{\displaystyle x=-3}。  例如（二次方程或完成平方）：如果你用这些方法来解方程，就会出现平方根。例如，这个方程变成x=(−1+25)/2{\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2}。记住，一个平方根可以简化成两个不同的解：25=5∗5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5}，以及 25=(−5)∗(−5){\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)}。写出两个方程，每个对应一种可能性，然后分别解出x。 两条几乎没有相交的线只有一个交点，而两条完全不相交的线则没有交点。以下是如何求出这些解：  1个解：方程分解成两个相同的因式((x-1)(x-1) = 0)。当代入二次方程时，平方根项是0{\displaystyle {\sqrt {0}}}。你只需要解一个方程。 无实数解：没有满足要求的因子（对中间项求和）。代入二次方程，得到根号下的负数（例如−2{\displaystyle {\sqrt {-2}}}）。答案为“无实数解”。 求出交点的x值后，把它代回开始时的方程。解出y，求出y值。如果有第二个x值，也重复这个操作。  例如：我们求出两个解，x=2{\displaystyle x=2}，x=−3{\displaystyle x=-3}。其中一条直线的方程为y=x+7{\displaystyle y=x+7}。带入x：y=2+7{\displaystyle y=2+7}，y=−3+7{\displaystyle y=-3+7}，然后解出每个方程，得到y=9{\displaystyle y=9}，y=4{\displaystyle y=4}。 现在把答案写成坐标形式，用交点的x值和y值表示。如果你有两个答案，确保匹配正确的x值和y值。  例如：当我们带入x=2{\displaystyle x=2}，可以得到y=9{\displaystyle y=9}，所以一个交点为(2, 9)。用同样的方法求出第二个解得出另一个交点为(-3, 4)。
识别二次方程。 把方程写成y的形式。 结合两个方程来消去y，两个方程左侧都为y时，你就知道两个方程的右侧是相等的。 把新方程整理一下，让一边等于0。 解二次方程 留意x的两个解。 求出一个或零个解。 把x值代回原方程。 写出交点坐标。
识别二次方程。 把方程写成y的形式。 结合两个方程来消去y，两个方程左侧都为y时，你就知道两个方程的右侧是相等的。 把新方程整理一下，让一边等于0。 解二次方程 留意x的两个解。 求出一个或零个解。 把x值代回原方程。 写出交点坐标。