Pierre de Fermat, né en 1607 ou 1608 près de Montauban dans le sud-ouest de la France et mort en 1665 à Castres, est un mathématicien français du XVIIe siècle. Il est connu pour ses nombreux théorèmes en arithmétique et sa participation à la fondation des probabilités et du calcul infinitésimal.

Fils d'un marchand, Pierre de Fermat grandit à Beaumont-de-Lomagne. Il suit des études de droit à l'université de Toulouse, et devient avocat avant d'entrer au parlement de cette ville. Là, bien qu'il se consacre avec effort à sa tâche, on le tient en piètre estime pour sa manière de discourir qu'on juge mauvaise ; néanmoins, Colbert dit de lui dans un rapport privé « personne très érudite, a commercé dans tous les domaines avec les sages, mais de manière assez intéressée. ».

Dès 1627, il s'initie aux mathématiques et fréquente les milieux scientifiques. C'est parallèlement à son métier qu'il étudie l'arithmétique. C'est pourquoi on le surnomme le « Prince des amateurs ». Les plus grands savants de son temps échangent des lettres avec lui : Marin Mersenne, Torricelli, Frénicle de Bessy, Roberval, Carcavi, John Wallis, Digby, Francis Bacon, René Descartes (avec qui il s'opposera dans plusieurs controverses)… Ce sont ces correspondances, dans lesquelles figurent ses fameux défis, qui le feront connaître.

A partir de 1654, il correspond avec Blaise Pascal avec qui il fondera la théorie des probabilités. Au début des années 1660, une autre polémique l'oppose à Descartes au sujet de la paternité des lois de l'optique. Il meurt le 12 janvier 1665. Il est enterré le 13 janvier. Charles Perrault publiera son éloge un mois plus tard dans Le Journal des Savants.

La contribution majeure de Fermat concerne l'arithmétique. En étudiant la résolution des équations diophantiennes1 et les nombres premiers, il participe à fonder la théorie moderne des nombres.

On peut citer : le Petit théorème de Fermat, le théorème des nombres polygonaux, le théorème des deux carrés et surtout le célèbre Grand Théorème de Fermat2. Malheureusement il ne livre pas ses démonstrations (sauf une), qu'il dit avoir trouvées et qualifie toujours d'admirables ou de merveilleuses, défiant ses correspondants de les prouver à leur tour34.

Fermat et Blaise Pascal élaborent les bases du calcul des probabilités, une mathématique du hasard, à partir du problème des partis du chevalier de Méré. Il s'agissait, dans un jeu de cartes basé sur les paris, de répartir les gains des joueurs quand la partie s'arrête en cours.

Fermat imagina la méthode de maxima et minima pour déterminer les tangentes à une courbe. Il s'agit de faire varier la fonction définissant la courbe de façon infiniment petite. On5 le considère dès lors comme un précurseur du calcul infinitésimal, qui allait quelques années après faire démarrer l'analyse.

En optique, Fermat énonce le principe de Fermat : la lumière se propage d'un point à un autre de manière à ce que la durée du parcours soit la plus petite possible. Ce principe lui permet de justifier la plupart des résultats de l'optique de Descartes, en particulier les lois de la réflexion (sur les miroirs) et les lois de la réfraction (dans un lentille ou à la surface de l'eau par exemple).

Fermat n'a publié qu'un seul livre, un traité de géométrie. À sa mort son œuvre (sa correspondance) est éparpillée à travers l'Europe. Certaines lettres ne seront jamais retrouvées.

En 1670, le fils de Pierre de Fermat, Samuel, publie une nouvelle édition de l'Arithmetica de Diophante, contenant la plupart de ses résultats arithmétiques, sous forme de 48 observations. D’après Samuel, ces observations, dont certaines sont très longues, son père les aurait écrites « dans les marges » d’une édition de 1621.

En 1679, Samuel publie aussi une série d'articles et une sélection de sa correspondance sous le nom de Varia opera mathematica.

Il faudra attendre le XXe siècle pour voir paraître les Œuvres Complètes de Fermat, qui nécessiteront cinq volumes.

La démonstration des conjectures de Fermat occupera la recherche mathématique pendant plus de trois siècles. La plupart d'entre elles sont démontrées au XVIIIe siècle : Leonhard Euler publie la démonstration du Théorème des deux carrés en 1725 et celle du Petit théorème de Fermat en 1741, Augustin Louis Cauchy celle du Théorème des nombres polygonaux en 1813.

En 1840, toutes ses conjectures sont devenues des théorèmes, à l'exception du “Grand Théorème” (qui reste donc toujours une conjecture). Les plus grands mathématiciens s'acharneront à la prouver : Carl Friedrich Gauss, Henri Poincaré, David Hilbert, André Weil, Jean-Pierre Serre… Il faudra attendre 1994, pour que le mathématicien britannique Andrew Wiles, après sept années d'efforts solitaires et dans le plus grand secret, parvienne, après une courte période de gros doute qui mit son moral à très rude épreuve, à trouver une preuve moderne, très complexe (150 pages dans la version définitive), que peu de mathématiciens au monde peuvent comprendre dans sa totalité. Les techniques très élaborées qu'il dut mettre au point, pour prouver la conjecture, ont déjà permis à ce jour des avancées considérables dans les mathématiques.

Pierre de Fermat est définitivement associé à son Grand Théorème et à la quête de 300 ans pour le démontrer. On peut citer :

On peut aussi citer les hommages suivants :

Le cratère Fermat sur la Lune

Plaque sur la tombe de Pierre de Fermat

Buste de Fermat dans la salle des illustres du Capitole de Toulouse

Monument à Fermat à Beaumont-de-Lomagne

Fermat et sa muse buste de Théophile Barrau