En mathématiques, un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Différentes définitions équivalentes sont données ci-dessous. Les nombres premiers inférieurs à 20 sont :

mais la liste est sans fin. Les nombres premiers sont en quantité infinie.

Le produit de deux nombres A et B, c’est la multiplication A × B.

Un nombre premier est un entier naturel qu'on ne peut pas écrire comme le produit de deux autres entiers naturels plus petits. Par exemple, 23 est un nombre premier, mais 21 n'est pas un nombre premier car on peut l’écrire comme le produit de 7 par 3 (3 × 7 = 21), qui sont strictement inférieurs à 21.

Un nombre premier, c'est aussi un entier naturel qui admet 1 et lui-même comme seuls diviseurs. Les deux définitions sont équivalentes.

Exemples :

Les nombres premiers étaient connus depuis l'Antiquité, et probablement avant. Parmi les textes mathématiques de la Grèce antique qui ont survécu, les Éléments d'Euclide fournissent la première étude connue des nombres premiers dans la civilisation grecque. Dans ce traité, Euclide démontre les résultats suivants :

Mais la recherche sur les nombres premiers a réellement avancé à partir du XVIIe siècle. Il fallait attendre le développement de l'analyse pour en obtenir d'importantes applications (« théorie analytique des nombres »). L'une des plus importantes date du XIXe siècle : l'estimation du nombre de nombres premiers inférieurs à un entier suffisamment grand. Par « estimation », il ne faut pas comprendre un calcul exact (impossible pour l'heure) mais une étude de son comportement : on peut ainsi dire que, pour un nombre N très grand, le N-ième nombre premier sera à peu près aussi « grand » que N × ln N.

En parallèle, l'algèbre se développe au XIXe siècle en Europe et ses applications à l'étude des nombres donnent lieu à la « théorie algébrique des nombres ».

Malgré une recherche constante, les nombres premiers n'ont pas livré tous leurs secrets. Une suite arithmétique est une suite finie de nombres dont les différences successives sont égales. Par exemple, 3, 13 et 23 forment une suite arithmétique de nombres premiers. En 2004, Terence Tao démontra qu'il existe une infinité de suites arithmétiques dans la suite des nombres premiers. Il reçut la médaille Fields.

Les trois propriétés suivantes expliquent pourquoi les nombres premiers sont importants en arithmétique :

D’autres propriétés peuvent être intéressantes :

Chaque propriété énoncée ci-dessus a été démontrée.

Prenons un nombre, par exemple 23.

On liste tous les nombres premiers inférieurs à vingt-trois : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, et 23. Le produit de tous ces nombres est 223 092 870. (On obtient vite de grands nombres !) Le nombre obtenu est pair, comme on peut s'y attendre (puisque 2 est un facteur du produit). Il n'est donc pas premier.

Ajoutons 1 et regardons : 223 092 870 + 1 = 223 092 871. Soit ce nombre est premier (ce n’est pas le cas), soit il existe un nombre premier (que l’on note P) qui le divise. Imaginons que ce nombre premier P soit inférieur à 23 (le nombre dont on était parti) :

Par conséquent, il existe un nombre premier plus grand que 23 (dans notre exemple, il en existe même deux car 223 092 871 = 317 × 703 763, qui sont tous les deux premiers et plus grands que 23).

Et cette démonstration peut se répéter pour n’importe quel nombre : on peut toujours trouver un nombre premier plus grand que les autres, donc l’ensemble des nombres premiers est infini !

Il existe des propriétés des nombres premiers qui n'ont pas été démontrées. Ce sont des conjectures.
Par exemple, la conjecture de Goldbach :

La plupart des mathématiciens pensent que cette conjecture est vraie, mais personne n'est jamais parvenu à la démontrer. Il suffirait de trouver un seul contre-exemple pour prouver qu'elle est fausse.

Ils ont donné, par exemple, le nom de nombres jumeaux à deux nombres premiers dont la différence ne fait que deux. Parmi ces nombres premiers jumeaux, on trouve 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 107 et 109 ou encore 881 et 883.

Il existe également les nombres cousins qui sont, eux, deux nombres premiers dont la différence fait quatre (comme 3 et 7, ou 19 et 23).

Et pour deux nombres premiers pour lesquels la différence fait six, les mathématiciens ont trouvé le curieux nom de nombres sexy ! 5 et 11, 7 et 13 ou 11 et 17 en font donc partie ! Cet adjectif est en fait un jeu de mots avec le mot latin qui signifie six.