user
Nọ́mbà gidi


assistant
Nínú Ìmọ̀ Ìṣirò nọ́mbà gidi (real number) ni a mọ̀ sí àwọn nọ́mbà tí a Ko lè gé, gẹ́gẹ́ bí nọ́mbà oníyemẹ́wàá (decimals) tí kò lópin. Fún àpẹẹrẹ 2.4871773339…. Àwọn nọ́mbà gidi jẹ́ nọ́mbà oníìpín, nọ́mbà bí 42 àti −23/129, àti nọ́mbà aláìníìpín, nọ́mbà gbòngbò alágbára-méjì]] 2 (square root) tí wọ́n sì ṣeé fihàn gẹ́gẹ́ bí ojúàmì (point) ní orí ìlà nọ́mbà tó gùn ní àìlópin.

A ń pe àwọn nọ́mbà gidi bẹ́ẹ̀ láti lè ṣèyàtọ̀ sí àwon nọ́mbà tósòro (complex number). Ní ayé àtijọ́ àwọn onímọ̀ ìṣirò mọ nọ́mbà tó rújú gẹ́gẹ́ bí nọ́mbà afòyemọ̀ (imaginary number).

Nọ́mbà gidi lè jẹ́ onípìín tàbí aláìnípìín; Ó lè jẹ́ nọ́mbà Ọ̀jíbírà tàbí nọ́mbà t tí kò ní ònkà (transcendental number); bẹ́ẹ̀ sì ni wọ́n lè jẹ́ nọ́mbà tódájú, ni odi tàbí kí wọ́n jẹ́ òdo.

A n fi nomba gidi se iwon awon opoiye to je wiwapapo (continuous). O se se ka fi won han gege bi nombamewa to ni itelentele (sequence) eyonomba (digit) ti ko lopin lapa otun ojuami nombamewa (decimal point); a le fi won han bayi 324.823211247…. Awon ami bintin meta to wa leyin nomba yi tumosi pe awon eyonomba miran si n bo leyin.

Bakanna, awon nomba gidi tun ni idamo meji ti papa elesese (ordered field) ni, be ni won si ni idamo ti a mo si ipari l'oke tokerejulo (least upper bound). Akoko so fun wa pe awon nomba gidi ni papa kan, pelu aropo, isodipupo ati isepinpin pelu awon nomba ti ki se odo ti won le je elesese lapapo ni ori ila nomba lona to ni ibamu po mo aropo ati isodipupo. Ekeji so fun wa pe ti akojopo nomba gidi ti ki se ofo (empty) ba ni ipari l'oke (upper bound), o gbudo ni ipari l'oke tokerejulo. Awon mejeji yi lapapo ni won se'tumo nomba gidi patapata. Lati inu won ni awon idamo nomba gidi yioku ti jade wa. Fun apere a le fihan pe gbogbo polynomial (alamipupo) alagbara nomba siseku pelu nomba ibamulo (coefficient) gidi yio ni gbongbo gidi; ati pe ti a ba s'aropo gbongbo alagbarameji idin okan (minus one) po mo nomba gidi lati fun wa ni nomba tosoro, esi yi ni a n so pe o je titi ninu aljebra.

A n se iwon ninu Imo Sayensi Alagbamu (physical science) gege bi won ba n sunmo nomba gidi to. Bo tile je pe awon nomba ti a n lo fun eyi je ida nombamewa (decimal fraction) ti won duro fun awon nomba oniipin, nipa kiko won sile gege bi nombamewa fihan pe won n sunmo nomba gidi kan.

A n so pe nomba gidi se sesiro ti igbese isiro ti a mo si Algorithm ba wa ti yio mu eyonomba re wa. Nitoripe bo tile wu ki awon algorithm re o po to, won niye pato (countable), sugbon awon nomba gidi ko niye (uncountable), nitori eyi opo ninu awon nomba gidi ni won ko se sesiro.

Ero onka Komputa le sunmo nomba gidi nikan. L'apapo won le s'oju fun awon inuakojopo (subset) awon nomba oniipin pato kan, nipa lilo nomba ojuami tonlefo (floating point) tabi nomba ojuami soso (fixed point), be sini awon nomba oniipin yi n je lilo lati sunmo awon iye gidi ti won sunmo won.

Awon onimo isiro n lo ami R (tabi 
�
{\displaystyle \mathbb {R} } tabi Unicode ℝ) lati se'duro fun akojopo gbogbo nomba gidi. Ami ikosile Rn n tokasi aaye elegbe-n pelu ipoidojuko (coordinate) gidi won. Fun apere awon iye R3 je nomba gidi meta ti won tokasi ipo kookan ninu aaye elegbe meta (3 dimension).

A lé mú nomba gidí wa gégé bí àkótán àwon nomba oniìpín ni ònà tó jé pé ìtèntèle nomba kan se fẹsíwájú pèlú nombámèwa tàbí nombáméjì (binary) báyí {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...} f'enuko sí nomba pàtò gidí kan.

E je ki R ki o duro fun akojopo gbogbo nomba gidi. Nitorie:

Akojopo R je papa kan. Eyi tumosi pe a le se aropo ati isodipupo ninu re.
Papa R je elesese. Eyi tumosi pe a ni apapo elesese ≥ to je pe, fun gbogbo nomba gidi x, y ati z:
ti x ≥ y nitorie x + z ≥ y + z;
ti x ≥ 0 ati y ≥ 0 nitorie xy ≥ 0.
Eseese yi je akotan Dedekind. Eyi tumosi pe gbogbo abeikojopo S (subset) ti ki se ofo, fun R pelu ipari l'oke ninu R ni ipari l'oke tokerejulo (least upper bound or supremum) kan ninu R.
Idamo to gbeyin yi lo seyato larin nomba gidi ati nomba oniipin. Fun apere akojopo awon nomba oniipin ti alagbarameji won din si 2 ni nomba oniipin ipari l'oke (apere 1.5) sugbon won ko ni nomba onipin ipari l'oke tokerejulo, nitoripe gbongbo alagbarameji 2 ko se pin.

Titan

Idi pataki ti a tun se seyato awon nomba gidi ni pe won ni gbogbo opin (limit). A le so pe won ""tan". Eyi tumosi bawonyi:

Itelentele kan (xn) nomba gidi ni a n pe ni ìtẹ̀léntẹ̀lé Cauchy to je pe fun ε > 0, nomba odidi N kan wa to je pe ijinnasi (distance) |xn − xm| kere ju ε eyun to ba je pe n ati m tobi ju N lo. Ni ede mi, itelentele je itelentele Cauchy ti awon afida (element) xn re ba sunmo ara won gbagba.

Itelentele (xn) foriko po si opin x to ba je pe fun ε > 0, nomba odidi N kan wa to je pe ijinnasi |xn − x| kere ju ε lo, to ba je pe n tobi ju N lo. Ni ede miran, itelentele kan ni opin x ti awon afida (element) re ba sunmo x gbagbagba.

A ri bayi pe gbogbo itelentele ti o n foriko si oju kanna ni itelentele Cauchy.

Gbogbo itelentele Cauchy fun nomba gidi je eyi to n foriko si oju kanna.
Bayi wipe awon nomba gidi "tan".

S'akiyesi pe awon nomba onipin ko lo tan o. Fun apere itelentele 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) je ti Cauchy sugbon won ko foriko si nomba oniipin. (Eyi yatosi nomba gidi ti won foriko si gbongbo alagbarameji 2).

Nitoripe awon opin wa fun awon itelentele Cauchy ni isiro Kalkulosi fi se e se, ti o si wulo. Ona kan ti a fi le sewadi boya itelentele kan ni opin ni ki a yewo boya o je itelentele Cauchy, nitoripe a ko le mo opin yi tele.


Eyi fihan pe itelentele Cauchy ni o je. A ti mo bayi pe itenlentele ohun foriko si opin kan bi a ko ba ti e le so opin ibi ti o foriko si.