Encyclopédie méthodique. Mathématiques
Bossut, Charles (1730-1814)
Alembert, D' (1717-1783)
Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat (1743-1794)
La Lande, Jérôme de (1732-1807)
Charles (17..-1791)

Tome 1
, 1784-1789








ENCYCLOPÉDIE■ ~ . ■ ■ " /Méthodique^ p V PAR ORDRE DE MATIERES:|AR Ú N E SOC I ÉTÉ D E G E N S: DE L E T T R E Sg■ ~ " DE SAVANS ET D’ARTISTES,^recède' d’un Vocabulaire uniyersel, servant de Table pour tout l’Ouvrage Sornée des Portraits de MM, DIDEROT &D3ALEMBERT, premiers Editeurs4e /'Encyclopédie,Au teur&-On n’a pu citer dans le Frontispice que les principaux Auteurs de ce Dictionnaire ; mais voici une
liste de tous ceux q ;ii y ont travaillé, ávcc le ; lettres par lesquelles ils font désignés à la fin de chacun
des articles qui leur appartiennent. Quelquefois on a écrit les noms en entier. M. de la Lande est
seul Auteur de toute la patrie astronomique. -M. d’Alembert ,S f O >.M. l’Abbé Bossut ,……….-. .'. -.. ( X. S. ).M. de la Lande….. ……. ( D. L.).M. le Marquis de Condorcet - (M. D.C.}*M. Caftillon, père … (J.D. C) ,M. Castillon, fils . ……………………..V…..V … ( F. D. C. ').M. Jean Bernoulli ( J. B.j.M. l’Abbé de la Chapelle… .„■ ( E %M. Dargenville. ; -. (K JLM. Diderot. -M. Rallier des Ourmes.s\j î v f i í 1 V* ìri j- 1 i i-í 'MÉTHODIQUE. ' m a thé m a t í q u es,Par MM. D’ALEMBERT yPAbbe BOSSVT, DE LA LANDE) le Marquis de CON D o R CET , ôcc.Tome premier. A PARIS, chez p a n e k o u c k E ; libraire, hôtel de thou, rue des poitevins ( A L I E G Èy chez pi o m t eux. imprimeur des etats. M. d c c. l x x x i v. vdVEC ÀP ÏRO BAT lOJJfET PRIVILÈGE X) V R 0 ï,~
Discours ' préliminaire^ PAR M, L’ABBÉ BOSSUT.
J-J-E NOM SEUL des Mathématiques, qui ,*dans son étymologie,
veut dire Instruction_, Science, peint d’une manière juste & précise
l’idée noble qu’on doit s’en former. En effet, elles ne font
qu’un enchaînement de principes ., de raisonriemens & de conclusions
, que la certitude & l’évidence accompagnent toujours : caractère
propre des comioissances scientifiques. -

■ On fait que les Mathématiques ont pour objet de mesurer, oii
plutôt, de comparer les grandeurs:-, par exemple, les distances, les
surfaces, les vitesses, &c. Elles se divisent en Mathématiques pures
& Mathématiques mixtes, autrement appellées Sciences PkyjïcoMatkématiques*

Les Mathématiques pures considèrent la grandeur d’une manière
simple, générale &' abstraite : & par-là elles ont le précieux avantage
d’être-fondées fur les notions primordiales de la quantité. Cette
classe comprend, i.° l’Arithmétique ou l ?Art de compter. 1° La
Géométrie, qui apprend à meíîirer retendue. 3. 0 L’analyse,.science
des grandeurs en. général. 4. 0 La Géométrie mixte, combinaison de
lâ Géométrie ordinaire & de í'Analyses

Les Mathématiques mixtes empruntent de la Physique une pu
plusieurs expériences incontestables, ou bien supposent dans lescorps
une qualité principale & nécessaire : ensuite, par des raisonnemens
méthodiques & démonstratifs, elles tirent du principe établi,
des conclusions évidentes & certaines, comme celles que les MathéTome
I. Mathématiques. aìj DISCOURS
matiques pures tirent immédiatement des^axiomes & des définitions.
A cette seconde classe appartiennent, i.° la Méchanique, science
de 1 équilibre & du mouvement des corps solides. z.Q L’Hydrodynamique,
qui considère 1 équilibre & le mouvement des corps fluides.
3. 0 L’Acoustique ou la Théorie du son. 4. 0 L’Optique ou la Théorie
du mouvement de la lumière. 5. 0 L’Astronomie, science du mouvement
des corps célestes.

J’ai rangé ici les différentes parties des Mathématiques dans
Tordre qui me paróît le plus propre à montrer d’un coup - d’oeiî
leur enchaînement réciproque dans l’état où elles se trouvent
aujourd’hui. Mais cet ordre n’est pas tout-à-fait conforme à leur
développement historique, parce que le hasard & des circonstances
particulières ayant souvent donné lieu à des découvertes, la filiation:
naturelle n’a pu être constamment observée.

II est vraisemblable que la première origine des Mathématiques
est presque aussi ancienne que celle des sociétés & des loix. Les
hommes s’étant rassemblés, & chacun étant obligé de pourvoir a
fa subsistance & à-sa conservation-,-sans pouvoir attenter à la possession
d’autrui, le besoin industrieux trouva sans doute bientôt les ;
pratiques, au moinswinformes, de quelques arts de première nécessité
, tels que ceux de bâtir des cabanes, de régler Tordre des
faisons, de mesurer les champs, ùc. Òr toutes ces connoissancesappartiennènt,
dans le fonds, à la Méchanique, à T Astronomie, s.
Ia Géométrie,, &c. Mais elles ne furent d’abord que le fruit de Tex^-
périence ou d’une routine, aveugle. Laffiduité que demandoient les
travaux de la campagne ne permettoit pas aux hommes de s’élever
à des idées générales & réfléchies. Le cercle de leurs besoins bornoit:
celui de leurs pensées. Insensiblement Tiriégalité des biens s’établit
parmi eux. Quelques-uns ayant acquis une eípèce de superflu, se
livrèrent à Toiíìveté, plus conforme à la foibleíìè- de notre nature,,
qu’un travail pénible & souvent destructeur. Alors le tourment de
Tennui, attaché à Tinaction , vint porter Te mouvement & Tinquié^
tude dans Tesprit humain, exciter sa. curiosité, aggrandir. la sphère:
de ses idées, & donner Timpulsion aux arts & aux. sciences. A ce ;-
puissant mobile, se joignit Taiguillori des honneurs &. des récompenses
accordés dans tous les pays aux hommes qui se distinguoient
par leurs talens. Le chant., aussi ancien que le monde, & une poésiegrossière
,.. presque de même date, prirent: une forme: plus variée.-
& moins barbare. 11 y eut des Orateurs, des Poètes,,des Peintres,,,
des Architectes & des Sculpteurs. On observa les phénomènes, de
la nature -, & on voulut en connoître les causes. La Géométrie-,
bornée d’abord àJa mesure des champs, recula ses limites ,&.s’étendit
P R ELI M IN A I R E. \ûj
a des usages fondés fur des théories moins élémentaires.' L’Âstronomie,
dont les Bergers de Çhaldée, au milieu de leurs paisibles
fonctions, avòient jette les ^bndemens, s’enrichît de nouvelles observations
&: d’instrumens propres à les rendre plus exactes. Toutes
îes parties des Mathématiques firent successivement des progrès.
Ils auroient été plus rapides, íì Tambition des hommes & tous les
fléaux de la guerre, qu’elle entraîne après elle, n’avoient souvent
obscurci le flambeau du génie, pendant une longue suite de siècles :
mais, comme un feu caché fous la cendre, il reprit son éclat dans les
tems plus heureux ; & Tédifice des Sciences s’est élevé par degrés.

Tous, les peuples un peu considérables de Tancien monde ont
aimé & cultivé les Mathématiques. Les plus distingués en ce,genre
font les Chaldéens , les Egyptiens, les Chinois, les Indiens, les
-Grecs, les Romains, les Arabes., &, dans les tems modernes, les
Nations occidentales de l’europe. -Quant aux Américains,ils n’avoientque
les Arts méchaniques les plus nécessaires à la vie, & nulle
théorie des Sciences,avant leur communication .avec -les Européens.
Leur penchant naturel’ne les porte point aux connoissances spéculatives,
Sc la servitude où ils ont été réduits les empêcherait de- !s’y
Evrer. '

On ne peut former que des conjectures fur Tétat des Sciences
avant le déluge. Immédiatement après ce grand événement, le
genre-humain ayant commencé à s’accroître, & à se diviser sur
ia surface de la terre, f observation du cours des astres -occupa
les Chaldéens dans TAsie, & les Egyptiens dans T Afrique. Les
premières connoissances de tous ces peuples ne se répandoient, &
ne passoient d’âge en âge, que par la simple voie de :1a tradition.
Aussi la plupart se perdirent, & il n’en est "resté que la renommée.

Les Chinois commencèrent à s’adonner aux Sciences presque
auflì-tôt qu’ils eurent formé un corps de peuple  ; & cette époque
temonte à la plus haute antiquité/ Leurs premiers Souverains établirent,
& ies autres ont conservé un tribunal destiné expressément
à Tenseignement des Mathématiques : cependant: ils n’y ont jamais
fait que des progrès assez bornés. Je citerai en exemple leur Astronomie,
aui, fous le ciel ie plus favorable aux observations ^ n est
©as plus avancée aujourd’hui, que Tétoit celle des Européens au
tems de Tycho-Brahé. Attachée superstitieusement à ses-anciennes
institutionsr-la nation chinoise : paraît dépourvue de cette activité
inquiète qui cherche la nouveauté , &. emi produit les découvertes..:.


II en est à-peu-près de même des Indiens : les sciences font fore
gneiennes chez eux-, ils ont connu, plusieurs iiècles avant Tèrechré-.
iy DISCOURS
tienne, les tems des révolutions du soleil & de la lune ; ils saroíënt
prédire les éclipses j quelques auteurs leur attribuent le système de
notre numération arithmétique ; on croit que Pythagore alla puiser
dans TInde le dogme de la Métempsycose : aujourd’hui ils sont beaucoup
moins instruits que les Chinois.

Dans ces- tems reculés , où les connoissances humaines commençoient
à s’augmenter, les prêtres ou mages de l’Egypte enetoient s
pour ainsi dire, les dépositaires universels. Le Commerce ayant ou^
vert des communications entre les peuples de l’Onent ,: on venoit
de toutes parts s’instruire-en Égypte. Ce motif y attira plusieurs Phi,-
losophes Grecs, entre auttes f Thaïes deMilet & Pythagore de Samos.
De retour en Grèce, Thaïes y répandit les principes de la Géométrie',
de la Physique & de TAstronomïe. Pythagore eut Tambition des Conq.uérans
: jaloux-d’étendre Tempire des Sciences, il alla fonder en
Italie une Ecole qui acquit en peu de temps une telle célébrité qu’il
eomptoit des princes &l des législateurs. parmi ses disciples.

L’Eeole d’Alexandrie, presque toute composée de Mathématiciens
Grecs, entretint, pendant plus de dix siècles, le goût & Tétude des
Sciences dans leur pays. Cet établissement fut Touvrage de PtoloméeLagus,
qui, dans le démembrement des États conquis par Alexandres
avoit eu le Royaume d’Egypte en partage. Ses Successeurs son-,
dèrent , à cet exemple , une immense bibliothèque , .où Ton
rassembloit,. à grands frais, tous les livres, que Ton pouvoit se
procurer.

La haute idée qu’on se fait ordinairement des Romains,, préoccupe
Timagination à tel point, qu’on nepeût songer, sans étonnement,,
à leur médiocrité dans les Mathématiques. Rivaux & queU ;
quefois vainqueurs des Grecs dans TéLoquence , la poésie & Thistoire,.ils
n’en font ici que les- disciples eu- les-commentateurs. Letalent
de parler & de remuer Timagination , menoit, cher eux, à
la gloire & aux dignités : ils estimoient peu les. connoissances abstraites
& spéculatives,.que le génie cultive en silence*, & qui ne
font pas destinées à exciter les applaudissement- de la multitude.

Une surprise d’un genre: opposé , est de voir les Arabes & les
Persans,. cent, cinquante ans après Mahomet,:se livrer aux Lettres,
aux Sciences, & produire en particulier de ,très-grands Astronomes »
Je joins ensemble ces deux, peuples, parce qu’en effet, quand ils
commencèrent à se.policer:, ils étoient. soumis à^la. même.'religion
&. aux. mêmes Souverains..

Enfin , à la renaissance des lettres & des arts en Europe, au tems
des Médicis, les.Mathématiques prennent, à leur tour:, ún mouvement
rapide j & les progrès, qu’elles 1 ont faits depuis cette épòquç
An..ST. J. C.An. av. J. C.
54°< ■An av. J. C.
320.P R É L I M I N A I R b. ■ v.
Jusqu’à nos jours, forment pour elles comme un nouvel âge : nousne
pouvons pas en -prédire la durée j mais quelques révolutions que
les Sciences puissent éprouver , il sera toujours regardé comme le
plus brillant de tous, par Timportance des découvertes qui s’y sonG
faites, & fur-tout pat celle "des calculs différentiel & intégral.

M. de Mohtucla a écrit Thistoire des Mathématiques depuis leur
origine, jusqu’au commencement de ce siècle, avec une sagacité &
une profondeur ; qui lui assurent Testime & la reconnoissance de tous
les Savans. II ne s’est pas borné à faire conïioître les travaux & la
vie des grands hommes dont il parle : il remonte à la source des
inventions • il en développe Tesprit & les progrès ; il instruit le lecteur,
en satisfaisant fa curiosité. " -. '

Mon objet est simplement d’indiquer ici les principales décou- 1
vertes qui se font faites. dans les Mathématiques. Je les rapporte à
quatre: périodes successives : la première s’étend depuis lëur origne
jusqu’au tems des Arabes ; la seconde, jusqu’au seizième siècle ; la
troisième, jusqu’à la naissance de Tanalyse mfiïiitésimale ; la quá-3trième
,. jusqu’à nos jours. Je suivrai, le plus qu’il me sera possible,
Tordre historique : évitant de trop morceler les différentes parties du
récit, '& donnant à chacune d’elles le corps & Tétendue que pourront
permettre la nature du sujet, & la íucceílìon chronologique
des-connoissances. „

P RE MI ERE P É R I O D E.-

DA^NS CE TABIEAU, T Arithmétique seprésenteen première ligne', '
par son antiquité òc ses usages. Rien n’est plus clair & plus élémentaire,
que Tidée de nombre •:aussi-tôt que Thomme ouvrit les yeux,
il put compter ses-doigts., les-arbres qui Tenvironnoient, les brebis
de ses troupeaux, &c. Ces calculs,.si on peut- leur donner ce nom ,
se fîreiit d’abord avec le simple secours de la mémoire : ensuite, pour
les faciliter & lesétendre davantage, on-employa des petites boules
enfilées par un cardon., comme les grains d’un chapelet: ces boules
repréfentoient par. leur nombre ,■ celui des objets qu’on vouloit
compter. L’invention de Técriture fit faire un nouveau pas à l’Arith- .
métique : on traçoit-fur des tables couvertes de poussière, les caractères
qu’on avoit destinés à représenter- les nombres ; & par-là ,= 011
pouvoit exécuter des calculs d’une certaine étendue. •

Toutes ses nations, ss on excepte les anciens Chinois,. & une
peuplade obscure dont Aristote fait mention, ont distribué les nombresen
périodes, composées chacune' de dix unités. Cet usage ne peùcguère,
s attribuer qu’à celui pu Ton eíl naturellement., dans Tenfaneé- ?s
AHITHMâiTIQUEf-vj D I S C O U R S
de compter par ses doigts, qui sont au -nombre de dix. Les anciens
se sont également accordés à.représenter les nombres par les lettres
de leur alphabet. On distinguoit les différentes périodes dedixaines,
par des accens dont on affectoit les lettres numérales, comme chez
les Grecs, ou par différentes combinaisons des lettres numérales,
comme chez les Romains. Toutes ces notations, & principalement
celle des Romains, étoient fort composées & fort incommodes
quand il s’agiffoit d’exprimer des nombres un peu considérables.
• Strabon raconte dans fa Géographie, qu’on attribuoit de son tems
Tinvention de Tarithmétique, comme celle de Técriture, aux Phéniciens.
Cette opinion a pu en effet trouver d’autant plus de facilité
à secablir, que les Phéniciens ayant été les plus anciens commerçans
de la terre, ont dû naturellement perfectionner une science dont
le commerce fait un usage continuel ; mais les premiers principes de
TArithmécique étoient connus depuis long - tems des Égyptiens*

On lit, dans plusieurs auteurs, que Pythagore avoit poussé fort
loin les combinaisons des nombres : jls ajoutent, cjue son imagination
vive & portée à Teíprit de système, attachoit des vertus
mystérieuses à certaines propriétés de ces combinaisons ; mais on
n’en parle que par conjecture : tout ce qu’il peut avoir écrit fur ce
sujet est perdu ; le tems n’a respecté que sa table de multiplication.

Comme TArithmétique étoit , dans son premier objet , une
seience bornée, les anciens ne Tont cultivée en général qu’à cause
de ses applications aux autres parties des Mathématiques. Ajoutons
que leur manière de représenter les nombres n’étoit pas avantageuse
pour faire des découvertes qui auraient, demandé des calculs
abstraits & compliqués.

L’Arithmétique ne prit une forme simple & commode qu’entre
les.mains des Arabes, comme nous le remarquerons plus expresse*,
ment sous la seconde période. .- ,
■GÉOMÉTWE.
ON DONNE différentes origines, plus ou moins .vraisemblables ;
à la Géométrie. La plupart des auteurs la sont naître en Egypte. 1
Tel est, par exemple, Hérodote, lé premier qui, parmi les anciens,'
ait écrit THistoire en prose : -car auparavant on n’écrivoit qu’est
vers ; tout étoit embelli &■ dénaturé par les fictions de la poésie.
Ecoutons ce qu’il en dit, d’après ce qu’il àvoit appris lui-même
dans íès voyages à Thèbes & à Memphis (r). On m’ajsura que
Séfofiris avoit partagé l’Egypte entre tous ses sujets ,^& qu’il

'( í) fíérpdpte, nVi jjf
P R EL I M IN A t RE. vijavoit donné a chacun une égale portion de 'terre en quarré3a la
charge d’en payerspar an3un tribut proportionné ; s la portion ,
de.quelqu’un étoit diminuée par la rivière , il alloit.trouver le Roi,
& lui èxposoit ce qui étoit1arrivé dans fa terre $ en même tems le
Roi envoyoit fur les lieux & saisoit mesurer l’héritage3afin de
savoir de combien il étoit diminué3ù de ne faire payer le tribut
que selon ce qui étoit reflé de terre. Je crois3 ajoure Hérodote y
que ce fut de-la que la Géométrie prit naijsance , ù -qu’elle pajja
chc\ les Grecs. Si, comme le supposent plusieurs chronologistes y
Sésostris est Je même -que le roi Sesac, qui fit la guerre à Roboam,
fils de Salomon, la naissance de la Géométrie ne précéderait,
. suivant Hérodote, que d’environ mille ans Tè're chrétienne. Cette
ancienneté n’est pas suffisante, pour rendre raison des progrès qu’il
paraît que T Astronomie avoit déjà faits avant le tems de Sésostris.
Car on n’a pu passer de la stérile contemplation des cieux à UIÍ
corps de. connoissances liées & suivies, que par le moyen de
TArithmétique & de.la.Géométrie.'

Les plus grands progrès de Tancienne géotnétrrre sont dûs âuxGrecs
& aux Mathématiciens de Técole d’Alexandrie. Je confonds
toujours ensemble les’ travaux des uns ôr des autres. Thaïes de
Milet montra le premier Tusage de la circonférence du cercle pour
la mesure des angles. II détermina la hauteur des pyramides de
TEgypte, par Tétendue de leur ombre, méthode fondée fur la
théorie des lignes proportionnelles ou des triangles semblables.
Pythagore est regardé comme Tinventeur de la belle propriété qu’a ;
le quarré de Thypoténuse, dans le triangle rectangle , d’être égal
en surface à la somme des quarrés des deux autres côtés. Quelques*
auteurs ont écrit que dans Tivresse de la joie que lui causa cette
découverte, il sacrifia.cent boeufs aux Muses pour les remercier de
savoir si bien inspiré ; mais on a de la peine à concilier ce fait avec
la fortune bornée du Philosophe , & plus encore avec ses: idéesreligieuses
fur la transmigration des âmes. /

II seroit difficile de .faire une énumération un .peu. exacte des*.
- anciens philosophes grecs qui ont accru le domaine de la Géométrie.
Contentons-nous d’observer en général qu’ils ont trauvé presque'
toutes les. proposition s qui composent ce qu’on appelle encoreaujourd’hui
les Elémens de cette science.- Elle fit, en deux siècles,-
de si grands progrès dans la Grèce,-qu’au tems de Platon-on jettales
fonclemens de la théorie des sections coniques.
. Platon lui-même est regardé comme le premier qui ait remarqué:
la formation de ces courbes. Quelques Géomètres de ion école,,
cels que Ajustée, E.udoxe,r Mnechme &-íowfrère Dinostrate:,: eom* ;
3S0.-vììj DIS CO U R S
mencèrent à découvrir leurs propriétés. On eut bientôt l’occasioiî
de les appliquer à deux problêmes célèbres dans Tantiquité.

L’un de ces problêmes avoit pour objet la duplication du cube,
ou la manière de faire un cube double d’un autre. C’étoit^ une
ancienne tradition dans. la Grèce, que les Athéniens.ayant irrite
Apollon, il avoit envoyé la peste dans leur pays, & que TOracIe
du temple de Délos, consulté sur les moyens de faire cesser ce
fléau, avoit répondu: doubleur autel d’Apollon. L’oracle désignoit
ainsi un petit autel d’or, de forme cubique , qu’Apollon avoit
dans Athènes, & dont fans doute il n etoit pas content. Le problême
est aussitôt proposé à tous les Géomètres de la Grèce. Au tems de
Platon, il fut agité avec la plus grande chaleur. On chercha pendant
long-tems à le résoudre, sans employer d’autres instrumens que la
règle & le compas :"car les opérations exécutées de cette manière
étoient les seules que Ton regardât alors comme géométriques ;
mais ce moyen ne réussit point & ne pouvoit réussir. En examinant '
la question sous toutes les faces , les Géomètres reconnurent que
si Ton pouvoit trouver deux moyennes proportionnelles entre le.
côté du cube donné-&. le double de ce côté, la première de ces
deux lignes seroit le côté du-cube cherché. Dès-lors ils dirigèrent
leurs méditations vers ce but. Platon détermina les deux moyennes
proportionnelles, à la saveur d’un instrument particulier de son invention
 ; mais cette méthode suppósoit la description d’une courbe du troisième
drdre , & n’avoit pas ce caractère de simplicité , si précieux en
géométrie, fur-tout chez les anciens. D’autres Géomètres poposèrerit
d’autres moyens sujets à de semblables inconvéniens. Enfin ,
Mnechme trouva que les deux moyennes proportionnelles pouvoient -
être considérées comme les ordonnées de deux sections coniques, .
qui étant construites suivant les conditions du problême, se coupoient
en deux points propres à le résoudre. La question ainsi '
réduite, donna la naissance à la célèbre théorie des lieux géométriques
, dont les anciens & les modernes ont fait tant d’applications:
II ne s’agissoit plus,- pour la mettre en-pratique, que d’imao-iner
des instrumens simples & commodes pour tracer les sections coniques,
ce qui n’a jamais été difficile. La solution de Mnechme fut bientôt
simplifiée: on s’apperçut qu’au lieu d’employer deux sections coniques,
on pouvoit se contenter de combiner un cercle avec une
seule section conique. Les Géomètres proposèrent encore successivement
plusieurs autres courbes pour le même objet_: telles que la
conchoide de Nicomède, la ciffóìde de Dioclès, &c.

L’autre problême, que nous avons indiqué , consistoit à diviser
wn angle en trois parties égales. Après avoir appris de-la géométrie

_ élémentaire
P R E LIMI N AIR E. íx
élémentaire à couper un angle en. deux parties égales ] òn devoit
naturellement chercher à le couper en trois parties, ou même dans
un rapport quelconque. On’trouva que le problême de la trisection
de Tangle dépendoit de principes analogues à ceux de la duplication
du cube, & qu’il^pouvoit se construire ou par Tintersectioii.de deux
sections coniques, ou par-Tinterfection d’un cercle avec une section
conique.

Euclide j géomètre de Técole (^'Alexandrie, conçut un projet
dont f exécution a été très-utile au. progrès de la science dont il
s’occupoit. II rassembla en un corps d’ouvrage les propositions de
géométrie élémentaire, auparavant isolées & éparses dans les écrits
des premiers inventeurs ; il y en ajouta un grand nombre d’autres,
& il forma, de Tensemble, ses fameux Elémens. De quinze livres
dont ils font composés, il n’y.en a que onze où Tauteur traite proprement
de la Géométrie :■'les autres contiennent une théorie
générale des proportions, & les principaux caractères des nombres,,
soit commensurables , soit incommensurables. '•*■■-.

En rendant toute la justice qui est dûë à cet excellent ouvrage i
on regrette quelquefois qu’Euclide ait employé trop de définitions
& de divisions fcholastiques , trop de scrupule à démontrer des
choses claires d’elles-mêmes. .11 semble que la. méthode'subtile &C
pointilleuse des sophistes grecs, avoit cherché à pénétrer dans les
sciences exactes. Peut-être faut-il attribuer à cette oause les difficultés
que Ptolomée-Philadelphe, Roi d’Egypte,. épròuvoit dans Tétude .
des mathématiques. Rebuté par ces ^ difficultés , il’ demanda un
jour à Euclide s’il ìie pouvoit pas les applanir en fa faveur. Le phir
losophe répondit ingénument : non 3 prince. 3 il n’y a point de
chemin particulier pour les rois.

Les propriétés du cercle forment une partie considérable de la
-géométrie élémentaire. Quand on fut quarrer les. figures rectilignes ,
on chercha auffi à quarrer le cercle, que Ton peut regarder comme
un polygone régulier d’une infinité de côtés : on reconnut bientôt
que la surface de cette courbe est égale à la moitié du produit de la ;
circonférence par le rayon ; & qu’ainsi, pour la transformer en un>
quarré, il falloît commencer par déterminer le rapport de la circonférence
au rayon ou au diamètre. Le géomètre Dinostrate avoit imaginé
une courbe qui aurait donné la solution de ce problême, si on eût
pu la construire d’une manière certaine & fans tâtonnement ;: on Ta
nommée, par cette raison, la quadratrice / mais elle est du nombre
des courbes méchanique s, & ne fournit réellement aucun secours
, pour Tobjet qu’elle regardoit. II est- démontré , dans les élémens
d’Euclide, que les circonférences de deux cercles font çpmme lesTomë
L Mathématique ;» b
Áti. av. J. e e
300.xD I S C O U R S
diamètres, & que leurs surfaces sont comme les quarrés des diamètres ;
mais Tauteur n’enseigne point à comparer la circonférence avec le
:. diamètre. Arehimède, le plus grand Géomètre de Tantiquice, &r
postérieur d’environ un demi-siècle à Euclide, découvrit le rapport
de ces deux lignes, sinon rigoureusement, au moins d’une manière
approchée ; & renfermée entre des limites -connues : la méthode quil
y employa est le premier exemple d’un problême résolu -..par
approximation : exemple íì utile & si souvent imité.,- En inscrivant:
& circonscrivant au cercle une suite de polygones réguliers , dont
le nombre des côtés alloit en progression double ,'•■& -poussant
le nombre des termes de cette progression jusqu’à quatre-vingt-seize,,
il fit voir que si Ton représente le diamètre par 7, Ja circonférence
est représentée par un nombre de très-peu de chose moindre que
zz. La quadrature exacte & rigoureuse du cercle est encore
aujourd’hui ..Técueil des Géomètres, ou plutôt de ceux qui font
presque étrangers à la géométrie ; car lorsque Ton connoît le vrai
point de la difficulté,. on n’est guères tenté de s’occuper de cette
recherche. .'■.-..

..' Sans citer en détail les nombreuses découvertes géométriques
d’Archimède, je dirai seulement que les plus importantes sont la .
proportion de la sphère avec le cylindre circonscrit, la quadraturede
là parabole, la construction de la spirale & la manière d’en
mener les tangentes. II attachoit le plus grand prix à la première :
car il ordonna que Ton plaçât, fur son tombeau, une sphère inscrite
dans un cylindre, avec les nombres qui. expriment les rapports de
de ces deux solides.

La théorie des sections coniques, quoique déjà avancée au tems
d’Euclide , n’entroit pas dans le plan de son ouvrage. Un autreGéomètre
de Técole- d’Alexandrie,. Appollonius , né à Pergée enPamphilie,.
fit, de cette théorie, la matière, d’un savant traité.. II y
développe toutes les propriétés, des sections coniques par. rapport à ;
leurs axes, à leurs diamètres & à leurs tangentes. II démontre ces
Théorèmes, aujourd’hui si connus &í alors íi remarquables, que dans.
l’ellipse ou l’hyperbole, le parallélogramme sait autour de deux,
diamètres conjugués efi égal au rectangle fait autour des deux
axes ; &c que la somme ou la différence des quarrés de deux
diamètres conjugués efl égale a. la somme ou. a ía différence des
quarrés dès deux axes. II résout plusieurs questions concernant les
plus grandes ou les plus petites lignes qu’on peut mener de certains
points aux circonférences des sections coniques, &c. Cet ouvrage
porte par-tout Tempreinte d’un génie inventeur ; aussi fit-il donner à
Tauteur,' de son vivant, même,. le surnom de Grand Géomètre
Ân. av. J. C,2J0.III
I
(Ào.av ; J. C.200.(• PRELIMINAIRE. xj
Appollonius étoit en effet supérieur à tous ses contemporains : s’il
n’enlève pas à-Archimède la première place parmi les anciens Géomètres,
la seconde lui est du moins assurée.
■ Dans les fréquentes applications que les anciens faisoient de la
géométrie à la pratique, ils sentirent bientôt le besoin, & ils cherchèrent
les moyens de connoître un triangle, par la relation de ses
côtés & de ses angles ; ce qui est Tobjet de la trigonométrie rec—
tiligne : aussi cette branche, de la géométrie pratique est-elle fort
ancienne. Comme elle est principalement utile à Tastronomie, elle
doit ses progrès à des Géomètres qui faisoient une étude particulière
de cette seience.
. Le Traité des Sphériques de Théodose est un morceau précieux
de Tancienne Géométrie. L’Auteur examine en général, dans.cet
ouvrage, les propriétés qu’ont les uns, par rapport aux autres, les
cercles que Ton forme en coupant une sphère'par des plans quelconques.
La plupart des propositions qu’il donne , paraissent aujourd’hui
évidentes au premier coup-d’ceil 3 mats elles n’en dévoient
pas moins trouver placé dans un Livre Élémentaire ; & d’ailleurs
on fait que les anciens Géomètres s’attachoient à to"ut démontrer
dans la plus grande rigueur. Cet ouvrage a été, dans son tems, une
excellente introduction à la Trigonométrie Sphérique.

Sur la fin du quatrième siècle, depuis Tère chrétienne ;, Pappús
d’Alexandrie donna ses collections mathématiques : ouyfage.recommandable
par le savoir qui y règne, & par Tanaíyse qu’on y trouve
d’un grand nombre de traités qui sont perdus aujourd’hui. II nous
représente à-peu-près Tétat de Tancienne Géométrie. On trouve
dans la Préface, Ténoncé d’un fameux Théorème que le Père Guldin,
Jésuite, a inventé depuis, avant que cet endroit de la Préface de
Pappus fut imprimé. Ce Théorème porte, que les figures ou les solides
produits par la circonvolution d’une ligne ou d’une surface _,
sont en raison composée de la ligne ou surface génératrice 3 ô des
circonférences décrites par leurs centres de gravité.

L’ancienne Géométrie á aussi quelques obligations à Proclus,
Chef de TEcole Platonicienne, établie à Athènes. II encouragea les
Savans par-son exemple & par ses instructions ; il a laissé fur le
premier Livre d’Euclide , un. commentaire qui contient plusieurs,
observations utiles, concernant Thistoire&r la métaphysique de la
Géométrie. II eut pour successeur, dans son École, Mannus } Auteur
d’une introduction aux données d’Euclide. Viennent ensuite
Isidore de Milet & Anthémius 3 tous deux habiles Géomètres &c
Méchaniciens : Eutocius 3 Commentateur d’Arehimède ; Dioclès 3

- ."'■'"'■■ *v ; ;
Au- av. J. C.
6 ».An, de J. G.
400.An- de J. C.45 »-xij DISC OURS
inventeur de la Cissoïde, &c. Je ne m’étends pas fur des fragmens
qui ne présentent aucune découverte remarquable.
ASTRONOMIE.
De tout tems , le spectacle des Cieux & du mouvement des
corps.semés dans cette immense étendue, ont attiré les regards des
hommes ; mais, comme nous lavons déjà observé-, T Astronomie ne
commença à devenir une véritable science , que lorsque Ton y appliqua
l’Árithmétique & la Géométrie : elle ne peut donc être, mise
qu’au troisième rang pour Tancieuneté.

•Les premiers, hommes régloiênt les tems fur les mouvemens du
soleil & de la lune. On s’étoit d’abord apperçu que dans le mouvement
journalier qui pároît emporter tous les astres d’orient en
occident, le soleil & la lune ehangeoient continuellement de place
par rapport aux étoiles, tandis que celles-ci demeuraient toujours
aux mêmes distances respectives les unes des autres. On avoit remarqué
aussi que le soleil & la lune partant d’un point. du Ciel, y.
revenoient après avoir, achevé íme révolution entière d’occident en
orient ; que ces mouvemens étoient d’ailleurs inégaux entr'eux, &c
que la lune faisoit un peu plus de douze tours, pendant, que le soleil
n’en faisoit qu’un seul. Dès - lors on divisa Tannée, ou le tems de
la révolution- solaire, en douze mois, qui cpmprenoient chacun une
révolution lunaire, à-peu-près. - > ,

• Si Ton s’en rapporte à ce que dit Joseph, dans ses antiquités,
Judaïques , les Patriarches dévoient être fort versés dans TAstronomie
 ; car ils avoient reconnu, selon lui, que le soleil 6r la lune
étant supposés répondre au même endroit du Ciel, pour une certaine
époque , dévoient y répondre de nouveau après un espace de
six cens ans. D’un autre côté , on lit dans XAlmagèfle ( i ) de
Ptolomée, que ceux qu’on appelloit les anciens Astronomes dès le
temps d’Hyparque, ayant trouvé par une longue fuite d’observa—
tions/d’éclipses lunaires, que le mouvement de là lune étoit inégal
tant en longitude qu’en latitude, & que Tapogée & le périgée parcouraient
successivement tous les signes du zodiaque, avoient cherché
à comprendre tous ces mouvemens dans des périodes formées d’un,
nombre égal de mois inégaux ; que Hyparque rectifia ces périodes
fur les .anciennes observations, lés plus exactes 3 & qu’enfin il parvint
à faire tomber , sous des époques fixes & déterminées, les
mouvemens du soleil & de.la lune, le-mouvement de Tapooée &
du périgée , & la'succession des éclipses lunaires en nombre égal. On
( í ) Mot dérivé de l’arabe, qui veut dire -grande composition,P RE L I MIN AI RE. xìij
voit que ces témoignages forit remonter bien haut Tantiquité de TAstronomie ;
mais il faut avouer que la période, citée par Joseph , &
même celle que Ptolomée attribue à Hyparque, paraissent appuyées
fur des fondemens peu solides. Elles supposent , dans des tems
obscurs, un trop grand nombre d’observations , & d’observations
très-exactes : aussi la plupart des Astronomes les regardent-ils Tune
& l’autre comme controuvées. ■"-■'..

Je ne me perdrai pas dans ces savantes ténèbres : la gloire de
les percer appartient au célèbre Historien de i'Astronomie ; je me
. borne aux faits les plus avérés & les plus remarquables.

On s’accorde assez généralement à regarder les Chaldéens-, •&
bientôt après les Égyptiens, comme les premiers inventeurs de I'Astronomie.
Des Auteurs modernes revendiquent cette^ gloire aux
Chinois, parce que les-anciens écrivains de la Chine-parlent de '
deux phénomènes Astronomiques, qu’on prétend en conséquence y
avoir été observés : le premier est une conjonction de cinq planètes,
qu’on place entre les années^ z 5 13 & 2.4373 le second, une éclipse
de soleil , arrivée en 2,15 5.. Je compte les années, en remontant
depuis Tère chrétienne. Examinons brièvement la force de ces
preuves. ' •

Le calcul Astronomique démontre. qu’il n’y a point eu de conjonction
de cinq planètes, dans Tintervalle de tems indiqué.'M.Kirc,
célèbre Astronome, a trouvé, à lá vérité ( 1 ) , que Tan 2449, le 28
Février, Saturne , Jupiter , Mari & Mercure ,-'s étoient rencontrés
d’un même côté du Ciel, entre le XI.me & le XVÍÏI.me degré des poissons ;
qu’en même tems, le soleil & la lune étoient en conjonction,
vêts le XVIILme degré du verseau, & que Vénus étoit vers le XV.me
degré du Capricorne: mais ee phénomène.ne peut pas être pris pour
une conjonction de cinq planètes , fans donner à ce mot un sens
fotcé & arbitraire ; on aimera mieux fans doute penser que les anciens
Auteurs Chinois ont parlé au hasard, d’une conjonction de cinq
planètes, & non d’après des observations.. Quant .à Téclipse de Tan
■z í 5 5 , les Missionnaires Mathématiciens ont trouvé que les Chinois,
ne ìavoient’ pas observée , mais quils Tavoient calculée lohgrtems
après.

Selon M. de Mairan &£ M. de Guignes, la plupart des loix & des
usages, le genre, d’écriture, les arts & les sciences des Chinois, sont
dûs à une Colonie d’Égypte, qui arriva chez eux quinze ou seize
cens ans avant 1 ère chrétienne ( 2. ).

( I ) Misceïïanea Berolinenfia, tome III, pag. 165.
{1 )  Lettres de M. de Mairan & du P, Parennin.
xiv DISC OURS
Tandis que les Savans perfectionnoient TAstronomie , le besoin ou
la cupidité, la faisoit servir à Textension du commerce. Les Phéniciens,
aussi -entreprenants ; qu’industrieux , commencèrent à employer
les observations célestes pour se conduire dans leurs voyages, & ils
en lurent retirer un tel secours, qu’il portèrent le commerce dans
des pays très-éloignés, se rendirent les maîtres de la mer ,. passèrent
íe détroit de Gibraltar, &■ fondèrent plusieurs Colonies fur les côtes
de la méditerranée & de 1 océan ( í ).

- Thaïes apporta de TEgypte &-de la Phénicie, dans la Grèce, la
science des Astres. II fit connoîtte à ses compatriotes la théorie
des.mouvemens du soleil &c de la lune ; il leur expliqua les raisons
de Tinégalité des jours & des nuits ; il leur apprit Tárt de prédire
les éclipses du soleil & de la lune, & lui-même mit cet art en pratique
sur une éclipse qui arriva peu de tems âpres. La renommée de
son.savoir & des choses extraordinaires qu’il enseignoit, Jui attira
un grand nombre de disciples, qui contribuèrent, à leur tour, à
perpétuer & a étendre la même doctrine. Un des plus illustres
élèves de Thaïes, fut le.philosophe Anaximandre,. à qui Ton doit
Tidée de représenter le ciel étoilé sur la surface d’un globe. On lui
attribue aussi le premier usage du gnomon ; on prétend qu’il s’en
servit à Lacédémone pour déterminer Tobliquité de Técliptique, les
solstices & les équinoxes. v

Lecole que Pythagore avoit fondée en Italie, s’adonna principalement
à Tétude .des mouvemens célestes. On rapporte que
ce Philosophe & ses premiers disciples voyant que les étoiles
xhangeoient de hauteur par rapport à un voyageur qui change sensiblement
de place fur la surface de la terre, en conclurent que
cette surface n’étoit pas un simple plan, comme on est d’abord
porté à le croire, mais quelle étoit courbe, & formoitl’enveloppe
d’une sphère. Pythagore eut une autre idée, tout àussi vraie & encore
plus singulière pour Ce tems-là : il jugea que le soleil étoit immobile
au centre de notre monde, &ç que la terre tournoit autour de
cet astre. Mais, comme cette idée choquoit ouvertement le témoignage
des yeux 8f les préjugés vulgaires, il"se: contentoit de Teníeiguer
en secret à ses disciples, soit que ne%pouvant rétablie sur
un nombre suffisant d’observations, il ne la regardât que comme
« ne simple conjecture, soit qu’il craignît, en la mettant au grand
jour, de sexposer à la dérision publique,, ou peut-être aux persécutions
de Tignorance & du fanatisme : car ces deux ennemis de

( í ) M, CaíEni, origine & progrès de TAstronomie, anc. Mémoires de V'Académie,
toffi. VIII,
PRÉLIMINAIRE. ' xv
ía raison Ont exercé leur despotisme dans tous les siècles. Il n’est pas
besoin de descendre aux tems modernes pour en trouver d’insignes
exemples : on- fait que le philosophe Anáxagore fut accusé .d’impiété,
& condamné au bannissement, pour avoir dit que le'soleil
étoit une masse de matière enflammée : quelques auteurs ajoutent
qu’il n’échappa au supplice que par le crédit de Periclès, son disciple
éí son ami.

Dès les premiers tems de T Astronomie, on avoit cherché à distinguer
les’ parties du ciel, en distribuant les étoiles par grouppes •
ou constellations. La connoissance de la petite ourses où se trouve
Tétoile polaire, est de toute ancienneté. Cétoit par elle que les
Phéniciens dirigeoient leurs courses. Lés Grecs étendirent & perfectionnèrent
la division du ciel étoilé, tantôt en augmentant le
nombre des constellations > tantôt en leur donnant des noms -qui
servoient à les reconnoît-re facilement. Ces noms étoient tirés de lamythologie,
ou de la ressemblance ., réelle- ou supposée, des constellations
avec certains animaux. Une imagination brillante & ingénieuse
égayoit Taustérité & la sécheresse du sujet. Par -exemple, les Pléyades
que Ton nomme ainsi, à cause de leur multitude, étoient les filles
d’Atlas & de la nymphe Pléyone : elles sont accompagnées de la
constellation d’Orion ,: brillante par fa grandeur & fâ lumière v
de-là,. on feignit qu ?Orion étoit un géant qui pourfuivóit ;les Pléyades ,,
& qui vouloit attenter à leut honneur. Tout le Cieh-des Grecs étoic
plein d’allusions à des événemens fabuleux ou historiques.

On a beaucoup disputé entre les Savans, fur Toriglne & la division
du zodiaque. L’opinion la plus accréditée , est que les GrecsOnt
établi Tordre & la nomenclature des constellations dont il est
composé, vers le tems dé Thaïes. •'■'..

Les cinq planètes, Saturne, Jupiter, Mars, Vénus &; Mercure ,.
ont .-été cohnues distinctivement , "à-peu-près vers le même tems y
mais on n’a commencé à les observer avec une certaine précision ^
qu’environ 3.00 .ans avant Jésus-Christ. Les anciens avoient ,aussi remarqué
plusieurs comètes ; mais comme elles ne faisoient que de
courtes apparitions-, & que souvent elles étoient accompagnées de:
ces longues queues, ou traînées de lumière.,, qui épouvantoient les:
yeux-'-& Timagination, on ne les regardoit pas comme des astres T
"mais comme de simples météores, signes de la colère, céleste row
précurseurs de quelque grand événement. L’Afàonomie des comètes
est une science toute moderne. Séneque a eu cependant le mérite desenti
r qu’elles pouvoient être des corps solides -, semblables aux
planètes , & qu’un jpur on parviendroit à conHoîtce -leurs mooe:
yeínensi.--' ~ - ■ - .'…' - " -
xvj DISCOURS’
Les premiers Astronomes Grecs cherchèrent avec ardeur, à dé ;
couvrir le rapport qui existe entre les mouvemens du soleil & de-la
luné, C’étoit en effet un problême de la plus grande importance.'
La division du tems, par les révolutions lunaires, étoit fort commode
pour régler les affaires civiles & religieuses ; mais elle n avoit
pas le même avantage pour Tordre des faisons, qui dépend du
cours du soleil, & auquel il falloit assujettir les semailles, premier
besoin, de la société.-
An.av." J. C
433- -
Meton & Euctemon, Astronomes Athéniens, conçurent, d âpres
les observations, Tidée d’enfermer le mouvement du soleil & de la
lune dans une période ou cycle de 19 ans, dont douze étoient composés
de dGuze lunaisons, & les sept autres, de treize lunaisons, ce
qui íormoit en tout deux cens 'trente-cinq lunaisons. Cette découverte,
qui parut alors réunir la simplicité à la plus grande exactitude
, eût un tel succès & un tel éclat dans la Grèce , qu’on fit
graver en lettres d’or fur des tables d’airain, Tordre de la période,
d’où lui est venu le nom de nombre d’or. Cependant elle avoit
réellement le défaut d’anticiper d’environ dix heures fur les
révolutions solaires, & d’environ sept heures .& demie fur les révolutions
lunaires ; ce qui produisit au bout de trois ou quatre cycles,
une erreur sensible pour le tems de la pleine lune. Callipe ,. qui
vivoit environ cent ans après Meton , essaya de corriger ee défaut,
en formant’ un nouveau cyclç de foixante-seize ans, dont il retranchûit
un’jour au bout de ce tems ; ainsi, cette période étoit composée
de quatre cycles Metoniens, ^ dont trois comprenoient 6940
jours, & le quatrième, seulement, 69 3 9 jours. Quoique plus exacte
que celle de Meton, elle anticipoit néanmoins encore de quelque
chose, fur les mouvemens du soleil & de la lune ; elle sut perfectionnée
par d’autres Astronomes : mais faute de connoître, avec
une précision suffisante, les mouvemens du soleil & de la lune, les
anciens n’ont jamais pu former qu’un calendrier assez imparfait.

A Texemple des Phéniciens, plusieurs autres peuples entreprirent
des navigations & des voyages dans les-pays éloignés. C’est ainsi
que les Grecs, instruits par leurs Astronomes, avoient osé depuislong-tems
se commettre en mer, & qu’ils avoient fondé, loin de
chez eux,"plusieurs célèbres colonies: comme celles de Marseille,
de Tarente, de Sicile, ôc. .

En favorisant le commerce, TAstronomie en retiroir , à son tour,
Favantage de se répandre de tous côtés. Nous avons le plaisir de
compter nos pères, les anciens Gaulois, au nombre des peuples qui
ont èu cette Science en vénération. Jules-César dit, dans ses Commentaires
3 que les Druides, parmi les instructions qu’ils donnoient

 ; 3. líl
:-v ; -. ■ y- -R, j ,£ 1 MI NArÌR:E.r ' :/\mj
â: íâf jetihehe, lui enféignoient particulièrement ce qui regarde le
..mouvement, des .astres, &L la grandeur du, ciel & de la terres c’est-à..dire, ;TAstronomie
& la Géographie. Si lès Gaulois-n’ont pas laiíîe
^observations i'óuíì le tems les a détruites, iiòus savons du moins
qu’ils étoient très-yersesdaris-lâ. navigation ; car, suivant M. Cassini (:í-) ,
ils avoient fondéVdes colonies ;fur' les côtes d’Espagne y.fur de-Pont—
•:Eúxin ;&en ;plufcurs autres endroits- - ; Í~~^ '■'-'.

■.,. Un célèbre Astronome:, natif de Marseille, ■ -Pytheas,:. y observa
|a hauteur méridienne du soleil au tems des sòlstscëSj par le moyen
-du ;:gnomon.' ; L’óbjet de cette observation étoit.':fimpfement de
4étermmer:la latitude de: Marseille ;': quelques Astronomes modernes
ont voulu la faire servir à prouver une .diminution dans ; Toblîqùké
:de Técliptique. :,-. 'V Í-"-:■ ::v:_ ^ '..- "-'- .-■•'-,.■-

: . Pytheas poussa ses ; voyages : fort loin vers le '--pôle arctique , par
4'oeéah occidental. À mesure qu’il avançoit vers lë"nord, -il remàrqúoife
, ;un progrès dans .ses, diminutions des-tiuits^áu solstice doté. ; Etant’
^.jDarvenu- à une île y ; quil appelîa-Tîle de Tkulé -3 ilvit :que le soleil
íc jèvoit prefquaûíïì— tôt qu’il étoit -couché"j cè ; qui arrive -dahs_
ì'Iflande :&; dans les pârties ? septeritrionaies de la Norvège : d’où Ton
^conclu que^Pytheas avoit pénétré dans ces pays. Les anciens^, qui
ies reeardoient comme inhabitables, traitèrent de fabuleusesîesrelàlions
de: Pytheas ;-mais les navigateurs modernes ont.'■jùssifie-ee-'P-hi-i'.
iosophe,-&.lui ônt assuré la: gloire d’avoir découvert des régions
auparavant inconnues, & d’avoir distingué les climats par la diffé#.
.-rente- longueur des jours & désinuks. ;•_■---■-" ;' •'.'■ •:■'■ j ■-,'

t.- Lé ; gqât d’Alexandre pour-les Sciences., êz fàr-tou:&Fehvië de faire
çonnoîtte à la .postérité les pays où il ; avoit porteuses conquêtes^
.Eiretìt:--très -=■- avantageux- à TAstronomie.- .Aristote écrivit plusieurs
ouvragesbpar ordre de ce- Prince. ;Dâms cëlui. qui apòùr titre de,
iOoelo.., il prouve la forme sphérique dé la' terre,-par-lâ frondeur dé
l’ombre: quelle jette-fur la" lune dans les éclipses ,& pair les chan’-.
gemens. ; qui .paroissent: arriver ^aux ; hauteurs des étoiles j à mesete
qu’on ; s’éloigne ou " qu’on s’approche des pôles. Le livre de Mundo-i
qu’on- attribue ; àu'même Philosophe, contient nnè--descriptíon assez
« xacte :de Tancien: mondey .que Tâuteuf'- divise ; en trois parti ês ," TEu- ;
•rôpe, ;TAsi.e: ;&; TAfrique-J-Mais le= plus grand ferviëe quATexândfé
rendit aux: Sciences:,, fut de faire mesurer les pays de fa domination
avec uneexactitude.dont il:n ?y avoit.. pas encore dîexemple.: II ne
Voulut :pas:quon ;,-fccontentât -Rétablir ses ; distances dès- lieux ìsûr
Fèstime ides -voyageurs ,í:eomme on Tavoit toujours ; pratiqué j rnàis
An. av. J. -.Q,3 8.0.An. ay. J. G.
. 33°. .'X-'i') Origine,-de: lAMroHòrnië.- '.'-Tome I. Mathématiques »xviij D I S C O U R S
qu’on ses mesurât chacune en particulier. II voulut de plus qu on
observât la position des objets terrestres à Tégard dès parties du ciel.
Callisthène étoit chargé de ce dernier travail. Etant arrivé à Babylone,
il y recueillit les observations astronomiques que les Chaldéens avoient
faites, suivant quelques Auteurs, pendant Tespace de 1903 ans.

Nous ne dissimulerons pas qu’il n’existe aucune preuve que les
observations des Chaldéens remontent si haut, ou du moins que
les plus anciennes aient été faites avec assez d’exactitude pour en
tirer des résultats certains. L’Astronomie chaldéenne ne date d’une
manière bien connue, que depuis Tère de Nabonaffar, premier
Roi de Babylone, qui commença à régner Tan 746 avant JesusChrist.


Les Sciences continuèrent de s accroître rapidement chez les
Grecs, dans les deux ou trois premiers siècles qui suivirent la mortd’Alexandre.
Les libéralités des nouveaux Rois d’Egypte  ; alloient
chercher dans tous les pays du monde les favans les plus illustres,
& les attiroient à Alexandrie. Conon y fit plusieurs observations,.
qui ne sont pas arrivées jusqu’à nous. Arístille & Tymocharis y déterminèrent
la déclinaison des étoiles fixes, & rendirent par-là un
service essentiel à la Géographie & à 4a Navigation. Le célèbre
Eratosthène fit élever dans le portique du musée d’Alexandrie, dont
il étoit bibliothécaire, ces Armilles si fameuses dans Tantiquité, &
dont les Astronomes d’Alexandrie se servirent pour faire une immensequantité
d’observations.

- II est le premier qui ait entrepris de calculer la circonférence d’un
grand cercle de la terre. Ayant observé qu’à Syene, dans-ssa haute
Egypte, le soleil à midi, au solstice d’été, .éclairoit -un ; puits dans
toute fa profondeur, & répOndoit par conséquent à son zénith, il
établit à Alexandrie,, qui est à-peu-près fur le même méridien que
Syene, un segment sphérique, évidé,. portant un .style vertical, dont
Je sommet répondoit au centre de courbure du segment ; & iL
trouva, avec cet instrument, qu’à midi, au solstice d’été, il s’en
fàlloit d’environ 7 degrés-^ que le soleil. n’atteignît le zénith^
d’Alexandrie. Ainsi, Tare compris entre Syene & Alexandrie étoit.
de cette quantité. D’un autre côté,, la distance de ees deux villes
avoit été trouvée de .5000. stades. D’après ces élémens, la circoiv
férence entière d’un grand cercle de la terre-devoit être d’environ:
4500.00 stades. Si Ton suppose, avec quelques auteurs modernes,. que
le stade. d’Erarosthène fut de 104 -^..toises\. cette valeur, seroit de
11403 Jieues , à raison de 2.2.8-1 toises par lieue. Selon Pline, la
circonférence de la terre est de 152.000. stades romains% ce qui, à
xaifon de 95 toises par stade rç-main., donneroit 1045.2. lieues. LèsAn.
av. J. C.An. av. J. C.3J6. ■PRELIMINAIRE. xîx
mesures de la terre, prises de notre tems, donnent environ 9©©o
lieues. Je n’ai pas besoin d’observer que la méthode, d’Eratosthèíie.
n’étoit pas susceptible d’une grande précision, & que les résultats
des modernes méritent la préférence.

Hyparque, né dans la ville de Nicée, en Bithinie, tient, parmi An
les anciens Astronomes, à-peù-près le mçme rang qu’Àrchimède
parmi les Géomètres. II commença par observer à Rhodes, &
ensuite il vint se fixer à Alexandrie. Un de ses premiers travaux fut
de rectifier la longueur de Tannée qu’on fupposoit, avant lui, de
365 jouts 6 heures. II la diminua d’environ 5 minutes ; diminution,
qui n’étoit pas suffisante, car on sait aujourd’hui que la longueur
de Tannée est d’environ 365 jours 5 heures 49 minutes ; mais
Hyparque, avec les données dont il étoit obligé de se servir, ne
pouvoit pas approcher davantage de la vérité : il a du moins fourni
aux modernes, un moyen de perfectionner cet élément essentiel
de TAstronomie.

Ses recherches fur le'mouvement du soleil le menèrent à une
autre connoissancë très-importante. II trouva que cet astre employoit
ptès de 9 jours de plus à parcourir la partie septentrionale de son
orbite que la partie méridionale ; d’où il conclut que lá terre n’étoit
pas placée au centte de Torbite solaire ; il détermina Texcentricité de
çette orbite & la position de la ligne des apsides, d’une manière
fort approchante de la vérité. 11 fit une remarque semblable sur
Torbite lunaire. II réduisit les mouvemens du soleil & de la lune
etxtables \ les premières que Ton eonnoîsse en ce genre. Son projet
étoit de dresser aùífi des tables pour les mouvemens des cinq autres
planètes ; mais , ne trouvant pas des bases suffisamment exactes dans
îes observations connues de son tems, il abandonna ce travail.

. II .sst encore une découverte, capable seule de Timmortaliser. Par la
comparaison de ses observations avec celles d’Aristille & de Thymocharis,
il reconnut que les étoiles avoient un mouvement lent
qui sembloit les emporter d’occident èn orient, d’environ un degré
en 70 ans ; de sorte que les points équinoxiaux dévoient faire,
dans’le sens opposé, une révolution entière ën 25x00 ans. Suivant
lès déterminations modernes, la préceífion moyenne des équinoxes
est de 50 secondes par an ;, ce qui répond à un degré en 71 ans.

Cet Astronome infatigable entreprit, a Toccàsion d’une nouvelle
étoilé qui parut de son teins, un des plus grands ouvrages que
les hommes aient jamais tenté : e'étoit le dénombrement & la configuration/
de toutes les étoiles, pour mettre la postérité en état
de reconnoître si le nombre des étoiles étoit fixe, & si elles conservoient
toujours entr'elles la même position. II poussa très - -loin
cijAn. av. J, C.xx DISCOURS
ce travail immense. Pline lé regarde comme un Dieu0 d’avoir ose
en former le projet : ainsi 3 s’écrie-t-il, Hyparque a laissé le ciel
en héritage a ceux qui se trouveront dignes de le pojjeaer. ^

La parallaxe du soleil, d’où dépend la mesure de la distance ou,
nous sommes de cet astre, n’a été connue que très-imparfaitemènr
des anciens Astronomes. Hyparque essaya de la déterminer : ii
y èmployoit les éclipses de lune , & d’autres élémens dont il auroit
fallu connoître la quantité avec une grande exactitude. Ne soyonsdonc
pas surpris, si, dans une question aussi délicate, les réiultatsde
ses calculs sont éloignés d’une précision, à laquelle les.modernes,
aidés des. meilleurs instrumens,. ne font arrivés que tres-*-
tard. •-.-'•'.

Les bornes de ce discours me forcent dé-passer sous ; silence d’au*-
tres ouvrages dHyparque, tels que ses recherches fur le Calendrier
& fur le Calcul trigonométrique.

II fut suivi de plusieurs Astronomes, qui,. fans égaler fón génie
& son savoir, travaillèrent utilement póut affermir les fondemensde
la Science, & même pour Tavancer. Les uns firent de nouvelles:
observations fur la position des étoiles ; les autres perfectionnèrent’,
la. théorie des planètes. Plusieurs écrivirent fur les différentes-branchesde
TAstronomië.
An- av. J. C.
60.
On cite avec éloge, dans ce nombre, Te philosophe Pòsidônius í-,
ee fameux Stoïcien, qui, dans une visite que Pompée lui rendit wRhodes
pour écouter Tune-de ses ; leçons, étant’saisi d’un-violentaccès
de goutte, laissa échapper involontairement ce cri- de la>
nature, étouffé, aussi-tôt par Torgueil philosophique ':- Douleur !*
tu ne me vaincras, point, jamais-je n’avoueraique tu fois-un mail

Jules-César mérite- d’êtres placé parmi lès ;Astronomes, parut*
savoir réel & par. le. service qu’il rendic au calendrier romain.- IIî
attira Sosigene d’Alexandrie à Rome, pour travailler- GonjointemenE'
avec lui à la, réforme. de ce calendrier , qui,. depuis Nurna Pom-f
pilius, som premier auteur, étoit tombé dans une telle confusion,.,
que les.mois.d’hiver répondoient à l’automne, ceux du printemsà
Thiyèrj.&c. Ils fixèrent la durée de Tannée à.3-65^. jours-6 heures ;.
&í, après avoir-suppose que-Tannée 7o8îde Rome seroit de 14 mois
pour rétablir Tordre- des faisons- ;, ils-réglèrent :qu’à Tavenir il y
auroit alternativement trois années de-36.5 jours, & une de $66
jours.par Tintercalation d’un jour entré le .6 & le 7 des calendes de
mars,..ou en. comptant deux, jours pourun-aux calendes, ce qui sic
donner le nom de biffextiles à ces sortes d’années.-Ce nouveau-,
calendrier avoit encore lui-même plusieurs défauts, que les Astros.Bomes..
mo.dernes onr. cherché à. corriger.. ,", : ;
P RE L I MI N A I R E: xxj
Sous le règne de Néron, fleurissoit. Menelaus-, qui fut tout-àía-fois
un grand Géomètre & un grand. Astronome. II avoit écrit
un Traité xdes Cordes , qui est perdu ; mais on a. son Traité des
triangles sphériques : ouvrage fort savant, où TAuteur explique la
formation de ces triangles, & la méthode trigonome'trique pour
les résoudre dans le plus grand nombre des cas nécessaires à. la pratique
de Tancienne Astronomie. ,..-••

■ Nous arrivons’ à' Ptolomée , homme d’un savoir immense.
Les uns le font naître àTeluse ; les autres à Ptolemais ; il vint de
bonne heure à" Alexandrie, & il y exécuta ses travaux. La postérité
lui doit de la reconnoissance, pour nous avoir transmis, daiìsson
Almageste ;, toutes les anciennes observations doù dépendoit
la théorie du mouvement des planètes. Ses prédécesseurs s’étoient
appliqués à déterminer Tàrrangement de notre monde planétaire/
On avóit íùr-tout cherché à connoítre la place que la terre tient
dans Tunivers, fi elle en occupe le centre, comme on- est porté
à le croire fur les apparences, ou ss.elle roule <lans les. espaces
célestes., comme Pythagore Tavoit pense ; jÀprès plusieurs, contesta-,
tions, on s’étoit ; aecordp: presque unanimement à regarder larterre
comme immobile au centre du monde, & à fairé.circuler autour,cTelle »
en cet ordre,. Mercure, ; Vénus, le Soleil,, Mars, Jupiter & Saturne.
Pt.olomée.ádopta ce système j &, par Tautorité qu’il avoit en Astronomie",
le "fit recevoir & passer à la postérité sous le nóm dé
Système de Ptolomée:-■ ;. autorité malheureusement trop imposanteen
cette rencontre, puisqu’elle a.servi à repousser ^pendant plusieurs
siècles,les raisons qui:démontroîent le vice de cet arrangementr
 ; Ptolomée confirma la- Théorie d-Hyparque fur. lesmouvemens ;
du soleil’ &í de la lune..II détermina., par de nouvelles observations,,
les excentricités des orbites de ces deux astres ; il remarqua déplus,.,
dans le mouvement de la lune', une autre inégalité, celle qui-dépenddes
différentes positions de oette planète.parrappprt au. soleil, &:'.
otú semble,, ppur ainfi. dire, dilater & contracter altetnativemencí
L’orbite. lunaire. ;_ ,è. ;.--,- -.',- " ■  ; ".

ìl fut moins heureux, lorsque, jugeant qu’Hyparque avoit attribue"
une trop grande vitesse à la-rétrogradation-dés points équinoxiaux,,,
il réduisit ce mouvement à. un degré en cent.ans. ; car. cette hypothèse
s’éloigne beaucoup plus, par'" défaut, du résultat des Astrp--
nomes modernes, que celle d’H.yparque ne.s’en éloigne par excès ?.
■ Les-planètes présentent, dans léurs courses, plusieurs.aspects ai
la. terre. Tantôt elles marchent dans Je. même sens que. nous: ;
tantôt ;'elles paroissent s’arrêter ;, &. ensuite rétrograder. Ptolomée ;
tâche d’expliquer tous ces mouvemens par írne multitude de.çerde&i
An. de J. ©
55.An. de- J. ©5.
■- 13 í •hcxij DIS C O U R S
concentriques ou excentriques, emboîtés les uns dans les autres,
& formant une telle confusion, qu’Alphonse X, Roi de Léon &
de Castille, surnommé TAstronome, persuadé de la vérité de ce
système, qu’il avoit peine à comprendre, ne put s’empêcher de dire
un jouir : fi Dieu m’avoit appelle h son conseil dans le tems de
la création, je lui aurois donné de bons avis fur le mouvement des
astres : mot plaisant que les observations modernes ont absous
d’impiété:, éc ont tourné contre le système qui Tavoit attaché à
i'impatiënce.

II y a encore un grand ouvrage de Ptolomée, sa Géographie.,
où Ton trouve Texécution du projet qu’Hyparque avoit donné de
fixer "la position des lieux terrestres par la latitude &c la longitude.
Cette idée heureuse', adoptée aujourd’hui généralement, lie la.
Géographie avec les observations célestes, & en formé une véritable
Science, Ptolomée a donné auíïi la première Théorie des projections
que Ton- emploie dans la construction des cartes géographiques ;
S’il a commis, d’ailleurs plusieurs fautes fur Ta situation dés villes &
des pays dont il parle, il faut se souvenir que la perfection de la,
Géographie est Touvrage du tems ; que, dans celui où Ptolomée a
vécu, On ne connoissoit qu’une petite-partie de Tàncien continent ;
& qu’aujourd’hui même où TAstrónomie est incomparablement plus
répandue, il reste dé Tincertitude fur la position d’une infinité de
lieux dans les deux hémisphères.
Aji. de j. c.400, ; De Ptolomée jusquaux Arabes, òii ne compte, parmi les Grecs,"
aucun Astronome d’un certain ordre , ! íì ce n’est peut-êtré Théon
d’Alexandrie, qui vjvoit fur la siii du quatrième siècle, & dont il
nous reste un commentaire sûr TAlmaeeste de Ptolomée. On
connoît la beauté, le savoir & la fin tragique de sa fille Hypathia.
ACOUSTIQUE.
LA QUATRIÈME PARTIE dës ;Mathématiques, pour le sang d’ancienneté
, est TAcoiistiqué : non pas la Théorie générale-des sons
(car cette seiehee appartient aux modernes’) -, mais la Mufique ,
qui en est une branche principale, & qui considère' les sons dans
leurs rappotts avec d’autres sons.

On fait que le son est produit, en général, par les ébranleinens
communiqués à Un corps élastique,^ transmis par ce corps à Tair
environnant qui les apporte à Toreille. Ainsi, par exemple, on
entend un son, quand on frappe une cloche avec un marteau,
quand on pince une corde de violon, quand on souffle dans un
tuyau de flûte, &c. Le son a d’autant plus de plénitude ou de force,
que le corps sonore est plus dur, plus élastique, & qu’il est plus
violemment agité.
P RE L I MIN A I R E. xxïïj
■ Lorsque les vibrations d’un corps sonore se succèdent inégalement
& sans,aucun ordre, il en résulte une suite de sons irréguliers
ou un simple bruit qui. ne peut être Tobjet d’aucune théorie. Les
sons que la musique combine doivent se suivre par des intervalles
égaux , & leur ensemble forme une harmonie qui flatte Toreille*
II n’importe pas, quant aux rapports qu’ils ont entre eux, que les
coups, dont Toreille^est frappée, soient forts ou foibles : la.seule
différence qui provient de cette inégalité, est que chaque son
individuel a plus ou moins d’intensité, fans changer d’ailleurs de
nature. …

Les sons graves & les sons aigus se distinguent les uns des autres’ r
par le nombre des vibrations du corps sonore, dans un tems donné.
Qu’on ait deux cordes* de violon également tendues, mais de longueurs
inégales, & telles que, dans un tems donné, Tune faííe
deux vibrations pendant’ que l’autre n’en fait qu’une : le son produit
par la première fera à Toctave du son produit par la seconde,
Les huit tons ou notes de la musique sont compris dans Tintervalle
de ces deux sons ; ce qui fait dire qu’ils font à Toctave l’un de
l’autre. -':"■''.- ■'""","

On regarde Pythagore comme celui qui, parmi les anciens, a
cherché le premier à déterminer les rapports numériques des sons
musicaux. Plusieurs écrivains racontent, que, passant un jour devant
un. attelier de forgerons qui ! fra'ppoient un morceau de fer fur une
enclume, il entendit av.ec surprise des sons qui s’accordoient aux
intervalles de quarte, de quinte & d’octave. En réfléchissant fur la
cause de ce phénomène, il jugea qu’elle dépendoit du poids des
marteaux ; il les fit. peser, & il trouva qu’en rapportant les sons
produits, par les marteaux à:un même son pris pour unité, les.poids,,
qui produisoient la quarte, la quinte & Toctave en haut, étoienc
entr'eux comme les fractions - , |,. j. De-là, ajoute-t-on, étant de
retour.chez lui, il voulut vérifier cette première expérience par
celle-ci : il attacha horizontalement à un point fixe, une corde
qu’il fit passer, fur un: chevalet’, & qu’il chargea de differens p.oidsj:
il la mit en vibration, & il troúvâ que lés poids, relatifs à la quarte,
9 la quinte & à Toctave, étoient entr'eux: comme ceux - des ..marteaux.
Pour-apprécier ! exactitude de ce récit, il faut se rappeller
qu’en général le nombre des vibrations que fait en un tems donné „
une corde de. grosseur, uniforme -& tendue par un poids, est proportionnel
à la racine: .quarré'e de. ce poids ,\,divifée par Ta. longueur
de la corde. Au anoyen derce Tfiéorémé, on:vo-it:que. lésdongueuTs ;
dê.tróis cordes,'de même grosseur ; uniforme-,.qui:,<tendues. par.un ;
méine poids, donnent la-quarte, :1a quinte..&.Toctave en haut .,.fo.ri£:
yxb DISCOURS
-cntr'ellës comme les trois fractions|, ■=-, | ; mais que^pour faire
rendre la quarte, la quinte & Toctave en "haut, à une même corde,
.en la chargeant de différens poids, il faudroit que ces poids fussent
entr'eux comme les nombres if, f, f H y.a donc erreur, ou dans
les rapports que Pythagore a trouvés pour les poids des marteaux,
ou dans la manière dont les Historiens exposent ses expériences.
On aura- cru fans doute "que les trois poids différens qui, tendant
une même corde, donnent !a quarte, la quinte Sc Toctave, étoient
-entr'eux comme les longueurs de trois cordes différentes également
tendues, qui donnent ces trois mêmes sons, ce qui n’est pas vrai ;
Mais il est certain que cès premières idées de Pythagore ont été
la véritable source de la théorie de la musique. Je n’entterai pas
dans.ún.plus grand détail fur ce sujet, parce que la musique proprement
dite n’emprunte ^me très-peu de secours.des mathématiques.
Mais:je reviendrai, dans la fuite, à la théorie géométrique
des cordes vibrantes & du mouvement de Tair dans un tuyau : théorie
qui est née dans ces derniers tems. ; -. ■•■-..-. :
ilÉCHANIÇU£.
: Si L’A.NTIO_UITÉ de la Méchanique datoit des usages qu’on a
faits nécessairement du levier, ou de quelques autres machines
simples., aussi-tôt qu’on a voulu construire des cabanes, des instrumens
propres au labourage, ôc, elle remonteroit peut-être plus
haut que celle d’aucune autre partie des mathématiques. Mais ces
usages, n’étoient: point fondés iur dés’ principes démontrés. La
théorie de la Méchanique n’a .commencé ; à être connue qu’a'ssez
tard.. Nous voyons , par quelques écrits d’Aristote, que ce Philosophe
, & à plus forte raison.tous ses prédécesseurs n’avoient que
des notions confuses ou même: fausses fur la nature de Téquilibre Si
du mouvement. •. ; . ;- ;- ,: ;-: ; L- ;
íjìtîtique.
Arehimède: est le premier qui ait établi lés vrais principes ; de
la Statique. II trouva la propriété générale du centre de gravité ;
& il fixa la position de ce point dans le triangle, ìa parabole, le
cône, &c. II fit voir que deux poids en équilibre aux extrémités
d’une balance à bras inégaux, ; étoient -réciproquement propor-,
tionnels à leurs distances au point d’appuis d’où ; résultoit. toute lâ.
théorie du levier,: On lui attribue encore la découverte de:plu^
sieurs autres machines simples ;-., telles que la poulie, le plan incliné
& la vis. On connóît la machine Hydraulique en spirale , qu’on
appelle ordinairement, la vis*,d’Arehimède: L/histoire nous apprend,
qu’il avoit inventé une multitude dé machines composées. : '

La Méchanique étoit alors tellement au.berceau, qu’Archimède
jetta dans da plus- gtande surprise Hieron, Roi de Sjracuse, son

parent  ?'
PRELIMINAIRE. >* ?..
parent, lorsqu’il lui dit qu’avec un levier & un point fixe dans le
ciel, il soulèverait le globe de la terre. Cette proposition n’est
cependant qu’une suite évidente de Téquilibre du levier, puisqu’en
augmentant l’un des bras du levier, & appliquant toujours le même
poids à son extrémité , le poids appliqué à l’autre bras qui ne
change point, doit augmenter en même rapport que le bras
.variable.

Si Arehimède n’eut été que le premier Géomètre de son siècle ;
il auroit pu, avec ce grand titre de gloire, vivre & mourir dans
Tobfcurité : il s’attira la plus haute considération par ses machines.
Ainsi juge le vulgaire. Peut-il en effet apprécier lés spéculations du
génie, & ne doit-il pas réserver son hommage pour celui qui étale
à ses sens & à son imagination les effets physiques les plus inouis &c
les plus imposans ? Arehimède étoit bien éloigné de penser de même.
On verra sans doute avec plaisir ce que Plutarque dit à çe sujet,
dans la vie de Marcellus. Áprès avoir raconté qu’au siège de Siracuse,
-un Ingénieur romain, nommé Appius 3 faisoit jouer plusieurs grosses
machines pour détruire les murs de la ville ; il sexprime ainsi,
suivant ia traduction d’Amiot : a Arehimède ne se soucioit pas de
55 tout cela, comme aussi.n’étoit-ce rien en comparaison des engins
55qu’il avoit inventés, non que lui en fît autrement cas ni compte,-
55 ni qu’il les eût faits comme des chefs-d’oeuvre pour montrer son
55 esprit : car c’étóient, pour la plupart, jeux de la Géométrie,
55 qu’il àvoit faits en s’ébattant par manière de passe-tems, à Tinf55
tance du Roi Hieron, lequel Tavoit prié de révoquer un peu la
55 Géométrie de la spéculation des choses intellectuelles à Taction
55des corporelles & sensibles, & faire que la raison démonstrative
55 fût un peu plus évidente & plus facile à comprendre au commun
55 du peuple, en la mettant par expérience matérielle à Futilité'
55 publique. 35 A la fuite de ce passage, Plutarque fait Thistoire du
long retardement que les machines d’Arehimède mirent à la prise
de Siracuse : a Et néanmoins, poursuit-il, Arehimède a eu le
55 coeur fi haut & Tentendement si profond, & où il y avoit un
55trésor caché de tant d’inventions géométriques, qu’il ne daigna
55 jamais laisser par écrit aucun oeuvre de dresser toutes les machines
55de ce genre, par lesquelles il acquit lors gloire &: renommée,
55non de science humaine, mais plutôt de divine sapience : ains
55féputant toute cette science d’inventer & composer machines, '&
55 généralement tout art qui apporte quelque utilité à le mettre en ,
55 usage, vile, basse, & mercenaire, if employa son esprit & son "
55 étude à écrire'seulement choses -dont laòeauté & la sublimité ne
v fût aucunement mêlée de nécessité. Car ce qu’il a écrit sont proTome
I. Mathématiques. dxxvj’ DISCOURS
55 positions géométriques qui ne reçoivent point de comparaisons a
55autres, quelles qu’elles soient, pour ce que le sujet qu’elles traitent
55 combat avec la démonstration : leur donnant le sujet, la beauté
55 & la gtandeur ; & la démonstration, la preuve si exquise qu’il n y
55 a que redire, avec une force & facilité merveilleuse : car on ne
55 sauroit trouver en toute la Géométrie de plus difficiles ni plus
55 profondes matières, écrites en plus simples & plus clairs termes,
55 & par plus faciles principes, que sont celles qu’il a inventées. 55

Le jugement d’Arehimède , fur Texcellence de la . Géométrie ;
doit s’étendre également à la Méchanique rationnelle & théorique ;
car les vérités qu’elle démontre font aussi certaines, apfli.intellectuelles,
& quelquefois .aussi, profondes que celles de la Géométrie
pure. Mais il n’est pas permis de placer fur la même digne la
Méchanique pratique , puisqu’un homme, qui étoit tout-à-da-fois
un grand Géomètre & un grand Machiniste, nous le défend dune
manière si positive : cependant elle demande souvent beaucoup
d’esprit & d’invention, & assurément un Machiniste du premier ordre
Temporte sor un Géomètre ordinaire.

Les anciens n’ont rien ajouté à la théorie qu Arehimède avoit
donnée de la statique ; mais ils en ont fait .Tapplication à un grand
nombre de machines très-ingénieuses, pour les différens besoins de
la société. Oh admire for-tout leurs machines militaires.'

À Tégard de la Science du mouvement, elle est entièrement due
aux modernes.
HYDRODYNAMIQUE.
LA MÉCHANIQUE des fluides ne seroit qu’une branche de celle
des solides, si Ton pouvoit déterminer là figure, le nombre & les
masses des atomes élémentaires qui composent un fluide, & soumettre
ensuite aux loix générales de la Méchanique les efforts que
ces atomes exercent les uns fur lés autres, en vertu de la pesanteur,
ou de la pression de quelqu’agent extérieur. Mais cette manière
de traiter la question nous est interdite, parce que nous n’avons
pas les données nécessaires, & que d’ailleurs la complication de
ces données conditionnelles meneroit à des calculs insurmontables
aux forces de Tanalyse. Ainsi, pour établir les- principes de THydrodynamique,
on est forcé d’appeller au secours de.la Méchanique,
la connoissance expérimentale de quelque propriété primitive des
fluides, d’où Ton puisse déduire ensuite toutes les autres. Cette nouvelle
difficulté est cause que les anciens ont seulement fait des
progrès dans THydrostatique, ou dans cette partie de THydrodynamique,
qui considère Téquilibre des fluides ; & c’est encore à
Arehimède qu’on en est redevable.
PRELIMINAIRE. xxvij
Dans son livre de humido infidentibus 3 il prend pour base que
-les particules d’un fluide étant supposées égales, également pesantes
.&.placées les unes à côté des autres, celle qui est le moins preííee
est chassée par les autres ; d’où il. résulte que, pour Téquilibre,
chaque molécule doit souffrir en tout sens une égale pression. íl
applique ce principe à Téquilibre d’un corps solide flottant sur un
fluide ; il fait voir que le volume de la partie plongée est au volume -
total du corps , comme la pesanteur spécifique de ce corps est à
celle du fluide ; il éclaircit cette théorie par divers exemples tirés
de Téquilibre d’un cône j ou d’un pataboloïde pose fut Teau. La
proposition VII du premier Livre de cet ouvrage peut servir facilement
à démontrer que deux corps égaux en volume, plus pesans
qu’un fluide dans lequel ils sont plongés, y perdent des parties égales
de leurs poids ; ou que réciproquement deux corps sont égaux en
volume, quand ils perdent, dans le fluide, des parties égales de
leuts poids. Je cite ceThéotême, parce que Topinion des Mathématiques
est qu Arehimède en fit usage pour découvrir la fraude
d’un Orfèvre de Syracuse, qui devoir fournir au Roi Hieron une
couronne d’or pur, & qui y avoit mêlé de Targent. On conjecture
avec beaucoup de.vraisemblance qu’il forma de cette manière deux
masses, Tune d’or., l’autre d’argent, égales chacune en volume à
la couronne, & qu’ayant ensuite trouvé qu’en plein air la couronne
pesoit moins que Uj masse dor, & plus que la masse d’argent, il
détermina la proportion du mélange par un calcul arithmétique
connu aujourd’hui de tout le monde. Quelques. Auteurs ajoutent
qu’il étoit aux bains quand Ces idées se présentèrent à lui, qu’il en
sortit ttanspòrté de joie, & que, sans songer à Tétat de nudité où
il étoit, il se mit à courir dans les rues de Syracuse, en criant :je
l’ai trouvé 3 je U ai trouvé.

Ctesibius & Héron , son disciple , Mathématiciens de TEcole
d’Alexandrie, inventèrent plusieurs machines Hydrauliques, dont le
jeu dépendoit du poids & du ressort ded’air : telles sont le Syphon
recourbé, les pompes, la fontaine de compression, qu’on appelle
encore aujourd’hui la fontaine de Héron, &c. Mais ils atttibuoient
les effets de ces machines à une prétendue horreur de la nature
pour levuíde. La Physique des anciens étoit remplie de ces qualités
occultes. On tranfportoit du monde moral au monde physique les
idées d’affection ou de haine : tout étoit sympathie ou antipathie
dans la nature, & on croyoit avoir expliqué un phénomène,
quand on pouvoit le rapporter à l’un ou à l’autre de ces prh>-
çipes. —..'-._■

Un.Géomètre romain, Sextus Julius Frontinus3 connu vul*
- ' " d ij
Hydrostatique.An av. j. C,130.Hydraulique,xxviij D I S C OURSAn. de J. C.200.OPTIQUE.An. av. J. C. ,i444.. i
, gairement sous le nom de Frontìn, a eu quelques notions théoriques
du mouvement des fluides. Sa qualité d’Inspecteur des fontaines
publiques à Rome, sous les Empereurs Nerva & Trajan,
nous a valusoh livre de Aquaduclibus urbis Romoe Commentarius 3
dont Tobjet est le mouvement des eaux qui coulent dans des canaux
ou qui s’échappent par des orifices , des vases où elles sont contenues.
II a vu que le •produit d’un ajutage donné est d’autant plus
grand, que cet.ajutage répond à une plus grande hauteur du fluide:
considération tfès-simplë '& cependant négligée encore par quelques
fontainiers modernes ; il a senti pareillement qu’un tuyau destiné à
dériver en partie l’eau d’un aqueduc, doit avoir, selon les circonstances
, une position plus ou moins oblique par rapport au cours
du fluide ; il fait plusieurs autres observations vraies fur cette .matière ;
mais on ne trouve d’ailleurs aucune précision géométrique dans ses
résultats ; il n’a point connu la vraie loi des vitesses, relativement aux ,
hauteurs des réservoirs.

On croit que la découverte des moulins à eau est de la fin du
VIe siècle ; mais on employoit au hasard Teffort de Teau, & on étoit
très-éloigné de pouvoir Tévaluer ayec une certaine exactitude.

IL FAROÎT que-Técole Platonicienne a connu lès premiers principes
de TOprique, c’est-à-dire, la propagation de la lumière enligne
droite, & légalité dés angles d’incidence & de réflexion. On
ne doit pas s’arrêter aux explications physiques que les anciens, &
Aristote en particulier, ont données des phénomènes de la vision :
on y trouveroit Tabus des qualités occultes porté à Texcès. -

La connoissance des verres ardens est même antérieure au tems .
que je viens d’indiquer. En voici la preuve tirée de la première
scène du second acte des Nuées d’Aristophane : c’est un dialogue
entre Socrate & Strepsiade, vieillard fort grossier & fort stupide,
qui a trouvé, dit-il, un moyen de ne point payer ses dettes :
STREP. As-tu vu che-{ les Droguistes cette belle pierre transparente
avec quoi on allume du feu ? S o C. N’est - ce pas du
verre que tu veux dire ? STREP, Justement. Soc. Eh- lien ■
qu’est-ce que tu en feras î STREP, Quand on me donnera une
assignation 3 je prendrai cette pierre-Va 3 &3 me mettant au soleils
/'e serai fondre de loin toute l’écriture de l’assignation. Cette écri- .
ture étoit tracée fur de la cire, qui couvroit une matière plus
solide. L’effet dont parle Strepsiade pouvoit être opéré par réfraction
ou par réflexion ; mais les principes de TOprique font voir
d’abord qu’un miroir concave, par refraction, & un miroir convexe,
par réflexion, n’ont pas ici la propriété convenable. En pré-
P R E L I M IN A I R E. xxix
sentant au soleil, un miroir concave._, par "réflexion, le Foyer eût été
placé en haut ; ce qui auroit exigé pour Tassignation une position fort
incommode, & dont il n’est pas à présumer que Strepsiade ait voulu
parler ; mais, si Ton suppose qu’on ait fait usage d’un miroir convexe,
par réfraction, le Foyer aura été en bas, &c Teffet annoncé par
Strepsiade s’explique d’une manière simple & naturelle.

On est surpris, après une preuve si formelle de Tantiquité des
verres ardens, que Deseártes & plusieurs modernes aient révoqué

. en doute Topinion généralement reçue, qu’Archimède s’en étoit
servi pour embraser la flotte des Romains, au siège, de Syracuse.
Leur incrédulité est venue de la préoccupation où ils étoient qu’Archimède
auroit employé des miroirs concaves , par réflexion :
moyen dont Tinfuffifance est démontrée. Én effet, pour qu’un miroir
de cette espèce formât un Foyer à la portée du trait, c’est-à-dire,

 ; -à la distance de 15c pieds, il faudroit que'le rayon de sphéricité
fût de 300 pieds: Or comment exécuter, avec une certaine précision
, des "verres d’une si petite courbure ? D’ailleurs, dans les

' miroirs d’un si long foyer, les rayons du soleil ne peuvent pas être
regardés comme parallèles ; & leur divergence détruit presque
totalement Teffet de la convergence produite, par le miroir. La.
combinaison de plusieurs miroirs concaves ne lève pas ces inconvéniens,
& ne fait qu’en présenter de nouveaux. Mais le problême
change entièrement de nature, si Ton suppose qu’Archimède ait
employé des miroirs dénués de toute courbure/ ou formant des
plans parfaits ; car alors on conçoit fans peine que plusieurs verres
plans., peuvent être disposes entr'eux- de telle manière qu’ils portent
les rayons du soleilsur un même point, & qu’ils y forment un
Foyer capable d’embraser le bois, ou même dé fondre les métaux.
Le fait des miroirs d’Arehimède est donc poflible : mais a-t-iî
existé ? Si on consulte les monuméns historiques, on trouvera que
plusieurs anciens Auteurs, comme Diodore de Sicile , Heróny
Pappus, &c, ont écrit qu’en effet Arehimède mit le feu à. la flotte
des Romains avec des verres ardens. II est vrai que les ouvrages où
ils en parloient sont aujourd’hui perdus ; mais ils existoient encore
au douzième siècle, puisque Zonaras & Tzetzès, Ecrivains de ce
terris-là j en citent des- passages relatifs à la question présente,
Anthemius, Mathématicien & Architecte de réputation ^ qui- vivoit
fous Justinien I, & dont M. Dupuy , de T Académie Royale des.

Belles - Lettres, nous a traduit les précieux restes, ne se contente

.' pas d’attester le même fait : il explique la théorie & le mécha^
nifmè de ces miroirs.. : ■

Envain objecteroit-on ici que Polybe & Titelive nè font aûeune
xxx ■ DISCOURS
mention des miroirs d’Archimède. Le silence de ces Historiens n’est
qu’une preuve purement négative, qui doit céder aux assertions
positives & contraires de ceux que nous avons nommes. ^

II me semble que les témoignages de Zonaras & de Tzetzès
doivent avoit ici à-peu-près le même poids qu’auroient ceux des
anciens Ecrivains fur .lesquels ils s’appuient. Après avoir raconte
qu’Archimède avoit embrasé la flotte des Romains, au moyën des
rayons solaires, rassemblés &: réfléchis par le poli d’un miroir,
Zonaras ajoute qu’à cet exemple, Proclus brûla, avec des miroirs
d’airain, la flotte^de Vitalien qui assiégeoit Constantinople, sous
l’Empire d’Anastase, Tan 514 de Jesus-Christ. Tzetzès entre dans
un plus grand détail fur les miroirs d’Archimède ; il en explique
ainsi la construction : cc Lorsque Marcellus eut éloigné ses vaisseaux
55à la portée du trait, Arehimède' fit jouer un miroir exagone
-55composé de plusieurs autres plus petits, qui avoient chacun z4
55angles, & qu’on pouvoit mouvoir, à Taide de leurs charnières
55 & de certaines lames de métal ; il plaça ce miroir de manière qu’il
55étoit coupé en son milieu par le méridien d’hiver & d’été, en
55sorte que les rayons du soleil, reçus par ce miroir, venant à se
'55 briser, allumèrent un grand feu qui réduisit en cendres les vais95
seaux des Romains, quoiqu’ils fussent éloignés de la portée du
55trait, 55 Ce passage indique, comme on voit, la manière dont
les parties du miroir tournoient pour prendre la position convenable
, Texposition directe où il étoit par rapport au soleil, & enfin
la distance à laquelle il portoit lè feu.

Le Père Kircher, Jésuite , dit, dans son ouvrage,-intitulé : Ars
magna lucis & umbroe3 qu’il avoit fait consttuire, d’après la description
de Tzetzès, un miroir composé de plusieurs verres plans qui, réfléchissant
tous la lumière du soleil en un même point, y produisirent
une chaleur considérable.

M. de Buffon a exécuté en grand cette expérience, & par-là
il a constaté les effets des^ miroirs d’Archimède. En 1747, il fit
construire, par M. Passemant, un miroir par réflexion, composé de
r.6% glaces planes, mobiles à charnières, & qu’on pouvoit faire
jouer toutes à-la-fois, ou seulement en patrie. Au moyen de cet
assemblage, il embrasa, au mois d’avril-, & par un soleil assez
foible, le bois à ijo pieds de distance ; il fondit le plomb à 140
pieds ; ce qui est plus que suffisant pour démontrer la réalité de la
découverte d’Archimède.

II y a, dans la succession des connoissances humaines, une fatalité
qui n’amène presque jamais les plus utiles que les dernières. Les
ariciens, qui saypient employer, avec tant de succès, la propriété
P R KL I MINA IRE. xxxj
que les verres ont de brûler, ignoroient Tufágebien plus important
qu’on en fait pour grossir les objets & aider la vue. L’invention des
besicles ou des lunettes à mettre fur le nez, est simplement de la
fin du XIIIe siècle. Celle des lunettes astronomiques, ou télescopes,
est encore plus récente d’environ 300 ans. Sénèque dit, dans son
premier Livre des Questions Naturelles, que de petites lettres vues
au travers d’une boule de verre 3 pleine d’eau 3 paroiffent plus
grosses. Mais les anciens, égarés par leur mauvaise physique fur la.
vision, n’ont pas réfléchi fur la nature de ce phénomène, & n’en
ont tiré aucune conséquence pour lâ construction des limettes. Les
verres propres à former ces instrumens doivent être, ou de trèsgrandes
sphères, dont Tufàge seroit très-incommode & presque
impossible, ou de très-petités portions de grandes sphères ; ce qui
est d’une pratique facile, & ce qu’on pratique en effet ; mais ce moyen
suppose Tart de tailler les verres : art inconnu aux anciens, qui
íàvoient simplement souffler le verre & en former des vases.

L’oPINION VULGAIRE est que les anciens n’avoient aucune notion
de TAnalyse, ou de cette Science qui enseigne à combiner ensemble
les grandeurs considérées dans un état d abstraction & 'de généralité.
II est certain que Talgorithme de TAnalyse, c’est-à-dire Tart
d’exécuter les calculs algébriques, & en particulier de résoudre les
équations, leur étoit inconnu. Mais, en les lisant ayee attention,
on apperçoit facilement qu’ils possédoient une. espèce d’Analyse
géométrique, semblable à celle des modernes. On en trouve des
traces darts les Ecrits de Platon : elle se montre d’une manière encore
plus marquée dans-ceux d’Archimède ; car, par exemple, quand
il se. propose, dans son Traité de Sph&ra & cylindro3 prop. VII3
de couper une sphère par un plan, de façon que les deux segmens
soient entr'eux dans un rapport donné, il raisonne fur les gran-^
deurs inconnues comme fur celles qui sont données ; & par une
fuite de, conséquences tirées des propriétés de la sphère, il parvient
à une proportion qui, étant traduite en calcul algébrique,
donneroit immédiatement f équation du troisième degré , d’où
dépend la solution du-problème. Mais il y a encore loin de-là jusqu’à
la partie technique du calcul algébrique, & aux différens usages dont
elle est susceptible.

: Diophante, Géomètre de TEcole d’Alexandrie,, doit être regardé,
en quelque sorte, comme Tlnventeut de TAlgèbre : du moins on
trouve, dans ses ouvrages, des calculs qu’il exécute d’une manière
analogue à la méthode qu’on emploie aujourd’hui pour résoudre
les équations du premier degré & même celles du second, II avoir
ANALTSE,An.ê J . ©r35°.xxxij DISCOURS
écrit treize livres d’Arithmétique , donr trois sont perdus :^ ceux
qui restent, contiennent des questions d’une espèce particulière &
alors absolument nouvelle. Pat exemple, Tauteur enseigne à partaget
un nombte quarré eh deux autres quarrés ; à trouver deux nombres
dont la somme soit à celle de leurs quarrés, dans un rapport
donné ; à trouver deux quarrés dont la différence soit égale à un
quarré donné, &c. L’Art qu’il met en usage pour lésoudre ces problêmes
est très-ingénieux & très-subtil : il a été étëridu &c perfectionné
par les modernes.
II.e PÉRIODE.

LES MATHÉMATIQUES sujettes, comme toutes les institutions
humaines, à des mouvemens périodiques d’élévation , de médiocrité
& de foiblesse, se soutenoient toujours dans TEgypte & dans
la Grèce , par la masse des vérités dont elles s’étoiént enrichies successivement
, & par le charme attaché à ce genre d’étude. Une
tempête s’éleva contre elles, dans ces climats, vers le milieu'-du
VII.e siècle. Les successeurs de Mahomet, pleins de Tenthousiasme
que leur inspiroit une nouvelle Religion toute guerrière, étendant
leúrs conquêtes, du fond de Torient à la partie méridionale de..
Teurope, ravagèrent TArabie, lá Perse, les Isles de Chypre, de
Rhodes, de Candie & de Sicile, TEgypte, la Lybie & le Royaume
des Efpagnes. Cette guerre sanglante porta aux exercices.du génie
le plus terrible coup, qu’ils aient jamais essuyé. Les artistes ■& les
fa vans, rassemblés de toutes parts au Musée d’Alexandrie, furent
chassés honteusement. Quelques-uns furent les victimes de la violence
des conquérans ; les autres allèrent traîner dans, les pays
éloignés les restes d’une vie malheureuse. On détruisit les lieux &
les instrumens qui avoient servi à faire tant de belles observations.
Enfin, ce précieux dépôt des connoissances humaines, la Bibliothèque
des Rois d’Egypte , qui avoit déjà souffert un incendie
sous Jules- César, fut entièrement livrée aux flammes par les Arabes.
Le Calife Omar ordonna qu’on brûlât tous ces livres, parce que 3
disoitril, s’ils sont-conformes a l’Alcoran 3- ils font inutiles $ &
s’ils y font contraires 3 ils doivent être abhorrés fj anéantis : raisonnemenr
bien digne d’un brigant fanatique.

II sembloit que lé sort des Sciences, attaquées & détruites dans le
centre de leur Empire, étoit absolument désespéré. Mais cette même
vicissitude, qui produit tant de malheurs & tant de crimes, amène aussi
quelquefois des révolutions avantageuses au genre humain. Tel fut le
changement qui se fit bientôt dans les moeurs des Arabes. Ces peuples,

, comme
An. de J. C.642.PRE L I MI N A I R E. . xxxiij
comme tous ceux de TOriènt, avoient eu autrefois quelques notions
des Sciences & principalement de T Astronomie. Si le fanatisme d’une
Religion sanguinaire étouffa d’abord ces germes précieux, il n’éteignit
point le principe d’où ils étoient émanés. Lorsque' ces différentes
Nations surent lasses de s’exterminer mutuellement, leur, férocité
s’adoucit, &c le loisir de la paixrappella T esprit actif des Arabes
à des objets plus réels & plus agréables-, que les disputes fur les
dogmes de Talcoran. Á peine s’étoit-il écoulé un siècle & demi depuis
la mort de Mahomet, qu’ils commencèrent à cultiver eux-mêmes
les Arts & les Sciences qu’ils avoient -voulu anéantir. Ils eurent bientôt
des Poètes, des Orateurs, des Mathématiciens, &c. On compte
dans ce nombre plusieurs Califes chez les Arabes, &■ ensuite plusieurs
Empereurs chez les Persans, lorsque ce dernier peuple se fut
séparé du premier.

Toutes les parties des Mathématiques attirèrent plus ou moins
leur attention. Le'système de notre numération Arithmétique, est
une découverte à jamais mémorable qui nous vient d’eux. Il a, fur
tous ceux des anciens Peuples, Tavantage de la clarté & de ,1a simplicité.
On fait qu’avec dix caractères, à qui Ton fait occuper différentes
places, on peut exprimer de la manière la plus commode, un
nombre immense par la multitude de ses unités. Quelques Ecrivains
prétendent que les Arabes tenoient cette idée des Indiens. Les raisons
qu’ils en donnent ne me paroissent pas fort convaincantes. Sans chercher
à les,réfuter, je me contenterai d’observer que nous devons
immédiatement aux Arabes TArithmétique, telle que nòus la pratiquons
aujourd’hui. Le célèbre Gerbert, qui fut dans la fuite Pape,
sous le nom de Sylvestre II, alla puiser cette Science en Espagne,
oùles Arabes dominoient .alors, & il la répandit dans le reste de
l’Europe, ver s-Tan 960. -

Les Arabes puisèrent dans une Etude assidue des Mathématiciens
Grecs, les principes des autres Sciences où ces derniers avoient excellé.
Munis de ces connoissances, ils devinrent les Emules de leurs
Maîtres, & se mirent en état de les commenter, ou même d’ajouter
à leurs découvertes. Euclide, Arehimède &c Apollonius furent leurs
principaux guides dans la Géométrie & lá Méchanique. On cite plusieurs
Géomètres Arabes. La Trigonométrie leur a des obligations
essentielles. Ce font eux qui ont donné au calcul Trigonométrique,
la forme qu’il a encore aujourd’hui, du moins quant aux principes.
Ils substituèrent Tusage dessinus à celui des cordes qu’on employoic
auparavant, & par-là, ils rendirent plus simples &C plus commodes
les opérations de la Géométrie pratique.

Cardan attribue à ce même peuple Tinvention de TAlgèbre proí
Tome I. Mathématiques. ' ç '
Science chez
les Arabes.xxxiv DISCOURS
prement dite. On a vu que Diophante avoit indiqué la méthode
pour résoudre les équations du premier & du second degré. Les
Arabes la développèrent, & on croit quìls étoient parvenus jusqu’à
résoudre les équations du troisième degré. II existe en eflet, dans la.
Bibliothèque de Leyde, un manuscrit arabe, où TAuteur donne, a
ce qu’on assure, T-Algèbre des équations cubiques, ou- la résolution
des problêmes solides.

'-■ L’Astronomie est la science que Jes Arabes ont’le plus cultivée ;
& où ils ont fait les plus nombreuses découvertes. Rien n’egale la
magnificence des observatoires & des instrumens qu’ils firent construire
peur les progrès de cette science.

Parmi ses différentes branches , la théorie du soleil les occupa

■ l’png-tems. Ils ne tardèrent pas- à reconnoître que Ptolomée avoit
trouvée ou supposée trop grande Tobliquité de Técliptique. Flaìtistéed
rapporte, dans son histoire céleste, la fuite de leurs travaux fur ce
sujet : on les voit continuellement approcher de la vérité ; & enfin-,
au bout d’environ 700 ans, ils parviennent à déterminer Tobliquité
de Técliptique avec la mè'me exactitude à-peu-près, que la. donnent

' lés meilleures observations modernes : résultat d’autant plus surprenant,
qu’il n’avoient pas, comme nous,: le secours des lunettes.

Nous ne- citerons ici que les principaux Astronomes Arabes ; &
parmi eux,.nous distinguerons les Califes qui Tont mérité, parceque
les exemples des Souverains qui • éclairent les-hommes., ont une
autorité que la justice & Tintérêt doivent célébrer.
Aïrnanfòr commence
à régner
en 754-,, meurt
en 77j..
On trouve, au nombre des premiers Astronomes Arabes, lé Calife
Abou-Giafar , surnommé Aïmanfor ou fc Victorieux.- C’étoitunt
Prince Philosophe & appliqué, qui donnoit à Tobservation des astres*,
tout le-tems. dent les. devoirs de la Royauté lui permettoient de
disposer ;

Peu de tems- après vivoit Alffagan-, " qui a-laissé une espèce do
comméntaire fur TAlmageste de Ptolomée.
B.alcliildto-mmencc
à.règner
en 78S, meurt
en ÎÒ$.
Le'Calìie Aaron-al-Ralehild eut le goût de la Mecnanique &: de
TAstronomie r dans une-célèbre ambassade qu’il envoya,.en 807:, à
Charlemagne-, iT lui fit présent d’une horloge dont le méchanisme
étoit très-ingénieux : elle-sohnoit les heures par le-moyen de cet-:
raines balles qui tomboient alternativement dans un vase d’airain j
douze'Cavaliers se présentoient à douze portes, & les sermoient
suivant: le nombre d’heures écoulées. Cette machine étonna TEurope,
où Ton ne soccupoit alors que de la guerre, & de.puérilités
grammaticales… - . .
Aimamon t-orrtmer.ee
 à
ri-gner en Ï13
Jncurx cn. E ;3.
bon iecpnd fils, Aimamon, qui régna après Ion frère, porta
plus loin, que ses prédécesseurs.Tinstruòìion-dans-les Sciences.. II y.
PRELIMINAIRE, .xxxv
avoit ete formé par un Médecin Chrétien ; il mit tout en usage
pour en inspirer le goût à ses Sujets. II observa-lui-même Tobliquité
de Técliptique, & son résultat est déjà plus exact que ceux des
anciens Astronomes. II fit mesurer dans la plaine de Sinjar, fur les
bords de la mère-róuge, la valeur d’un degré de la terre. Malheureusement
on ne connoît que d’une manière vague le rapport de
notre toise avec la mesure arabe qu’on y employa, & on ignore
jusqu’à quel point cette valeur s’accorde avec celle qui a été prise
dans ces derniers tems. Plein d’estime pour les ouvrages des Grecs,
Aimamon fit traduire tous ceux qu’il put se procurer. Quelques
Auteurs rapportent même que, dans un Traire de Paix où il imposa
des loix à Michel le Bègue, il exigea qu’on lui donneroit plusieurs
manuserits grecs que possédoient les Empereurs de Constantinople.
La ville de Bagdat, située à-peu-près au même endroit que
Tancienne Babylone, fut embellie & accrue par ses soins ; elle devint
le séjour ordinaire des Califes. II y avoit, dans cette ville, des
écoles pour toutes les Sciences, & une en particulier pour T Astronomie.
Aimamon emporta dans le tombeau la gloire d’avoir été le
Prince le plus humain’, le plus sage.& le plus savant qui eût encore
occupé Je Trône des Califes.

Un de ses Sujets, Tkebit-ebn Chora 3 se distingua dans TAnalyse
& dans TAstronomie. On -cite fur-tout ses recherches fur la
durée de Tannée. II imagina de rapporter le mouvement du soleil,
non pas aux points équinoxiaux, qui sont mobiles,máis aux étoiles
fixes ; & il parvint à déterminer la longueur de Tannée íydérale ,
à-peu-près telle qu’on la trouve aujourd’hui. Cette exactitude a pu
être Ycffet de T-art qu’il eut d’employer & de combiner ensemble
les meilleures observations : 'peut -être aussi faut - il Tattribuer en
partie à un hasard heureux ; car Ptolomée, dont les Arabes fuivoient
en général la doctrine, avoit un peu embrouillé les élémens de la
question". •

Albategniùs, Prince Arabe, rendit les plus importans services à
í'Astronomie. Les tables de la lune & du soleil, que Ptolomée avoit
construites, lui ayant paru défectueuses, il mit tous ses soins à les
corriger, & il en dressa de nouvelles, qui ont eu pendant longtems
une juste célébrité. II détermina d’une manière très - exacte
l’excentricité de Torbite solaire. S’il ne parvint pas à la même précision
dans son calcul de la longueur de Tannée, c’est qu’il eut trop
de confiance aux observations de Ptolomée, & qu’il négligea de
comparer immédiatement les siennes avec celles d’Hyparque. II a
reconnu le premier que Tapogée du soleil, regardé auparavant
pomme immobise, avoit un petit mouvement propre , selon Tordre
e ijAn de J. £, '
879.xxxvj DISC O U R S
des signes ; ce que les observations modernes ont confirme. Enfin
il sentit le défaut de la théorie de Ptolomée fur la précession des
équinoxes ; il trouva, comme Hyparque, que le mouvement’apparent
des étoiles fixes d’occident eri orient, étoit d’un degré en 70
ans. Òn fait qu’il étoit Gouverneur de Syrie, & qu’il fit ses observations
en partie à Antioche, en partie à Aracte, ville de la Mésopotamie.


Les Arabes portèrent le goût des Mathématiques dans tous les pays
soumis à leur puissance. Elles fleurirent pendant long-tems en Espagne.
On y trouve Arsachel , qui fit quelques corrections aux tables
d’Albateçmius. On lui attribue le Recueil, intitulé : TabuUToledan&.
c ? 1
Si, comme on le croit, il a découvert, dans le mouvement du
soleil , certaines inégalités dont les observations modernes & la
théorie Neutonienne ont depuis constaté Texistence, il doit passer
pour un Astronome très-exact & très-attentif.

Alhazen vivoit aussi en Espagne ; il a laissé un Traité d’Optique,
où Ton trouve le premier essai de théorie qu’on ait donné de la
réfraction & du crépuscule. On prétend qu’il n’a fait que traduire
ou. commenter un ouvrage que Ptolomée avoit écrit sur la, même
matière : ouvrage cité par d’autres Ecrivains Arabes, & aujourd’hui
perdu. Quoi qu il en soit, il est certain que les anciens & Ptolomée
lui-même n’avoient point égard à Teffet des réfractions dans les
observations astronomiques ; & du moins Alhazen a la gloire d’avoir
indiqué cet effet. ■ ' • -

Averroès, célèbre Médecin de Cordóue j abrégea & commenta
TAlmageste de Ptolomée. II étoit très-íàvant, pour son tems, dans •
la Physique, la Médecine & les Mathématiques.

Les Chrétiens, qui, dès íe X.e siècle ,"-avoient commencé à
chasser tes Arabes de quelques parties de l’Efpagne, ne dédaignèrent
pas de s’instruire parmi ces mêmes Maures dont ils abhorroient la
Religion. Quand Alphonse X, Roi de Castille, voulut établir dans
son Royaume une espèce dé Collège ou de Licée, pour Tavance-.
ment de T Astronomie y il fut obligé d’en confier la principale direction
à des Arabes. II observoit & calculoit lui-même avec eux : ce
travail commun produisit les fameuses Tables Alphonstnes 3 plus
exactes & plus complètes que toutes les précédentes. L’étudë de
TÁstrohomie se maintint pendant quelque tems dans la. Castille,
après la mort d’Alphonse.

Les intérêts de Tambition, à qui rien ne résiste, finirenr par
rompre toute communication entre les Chrétiens & les Maures, &
plongèrent l’Efpagne dans les plus profondes ténèbres. A mesure
que les victoires des premiers se mukiplioient, les Sciences alloient
Sciences en Espagne.An. de ]. C10S0.'An. de J. C.liCO.An. de J. C.
liEo.Alphonse commence
à régner
en 1252, meurt
cn 12S.J..PRE L I M I NA1IRE. xxxvíj.
en déclinant : elles périrent enfin , quand la domination des
Maures cessa en Espagne, par la perte de Grenade : événement
à jamais déplorable, si la Religion Chrétienne n’en eût profité, en
s’étendant fur les ruines du Mahométisme. -

Retournons en orient : nous y verrons les Persans, qui jufques-là
n’avoient formé qu’un même peuple avec les Arabes, secouer le
joug des Califes, vers le milieu du XI.e fiècle, fans abandonner
Tétude des Sciences. L’Astrono.nie fut fur-tout Tobjet de leu r curiosité.
Les anciens Perses, dès le règne de Darius O chus 3 comptoient
le tems par les révolutions solaires. Ils fuppúsoient Tannée un peu
trop longue. Quand ils reçurent la loi des Arabes, Tufage où étoient
les vainqueurs de compter par les révolutions lunaires, deyint aussi
celui des vaincus. Mais les Persans reprirent leur ancienne coutume,
lorsqu’ils, furent libres. Alors i'Astronome Omar- Cheyam 3 pour
rectifier le calendrier persan, introduisit un système d’intercalation
' qui revient au même que si Ton supposoit Tannée de 365 jours,
& que Ton insérât huit jours dans un espace de trente-trois ans :
système fondé sur des combinaisons très-ingénieuses, & fort approchant
de la vérité.

• Un Conquérant rapide, Holagu-ilecou - Kan 3 petit-'fils de
■Gengiskan, ayant subjugué la Perse, vers Tannée 12.54 , ne sembla
plus occupé que d’y ranimer se goût des Sciences , & principalement
celui dé l’Astronomie, dans laquelle, il étoit très-versé. U fit
construire, dans la ville de Maragha, voisine de Tauris,-un observatoire
où il rassembla un grand nombre d’Astronomes, & dont il
donna la présidence à Naffir-Eddin , le plus célèbre d’entre euxCette-société
étoit une espèce d’Académie, d’autant plus florissante
qu’elle recevoit toutes sortes d’encouragemens d’un Prince
magnifique. Nassir-Eddin composa plusieurs ouvrages, entr'autres
une Théorie des mouvemens célestes, un Traité de TAstrolabe ,
& ses Tables Astronomiques, qu’il nomma ilecaliques , pour laisser
un monument de fa reconnoissance envers son bienfaiteur. On
raconte que Holagu 3ie_sentant près de fa fin, se fît transporter
au milieu des savans, & qu’il voulut rendre les derniers soupirs entre
leurs bras, les regardant comme ses enfans & comme les véritables
.Hérauts de fa gloire.

Son exemple fut surpassé par un Prince de la même nation , le
fameux Vlug-Beigh3 petit-fils de Tamerlan. Non-seulement Ulug- '
Beigh encouragea les Sciences comme Souverain : il est compté
lui-même au nombre des plus savans hommes de son sièçíe. II éta„-
•hlit dans la ville de Samarcande, capitale de son Empire, une
-nombreuse Assemblée ou Académie d’Astronomes, & il fit contAn.de
J. C.
1492.'Sciences chez
les Persans.An. de J. C.
H54-.tcxxvìij DISCOURS
t-ruire, pour leur usage , les instrumens les plus grands & les plus
parfaits qu’on eût encore vus. II s’informoit de tous leurs travaux :
il observoit lui-même avec assiduité. Quelques Historiens rapportent
que, pour déterminer la latitude de Samarcande , il employa un
quart de cercle, dont le rayon égaloit la hauteur du Temple de
Sainte Sophie à Constantinople, laquelle est d’environ i8ó pieds,
romains ; mais la construction d’un si grand quart de cercle est
physiquement impossible : il y a toute apparence que les Historiens
dont il s’agit, peu au fait de TAstronomie, ont pris un simple gnomon
pour un quart de cercle.

Ulug-Beigh avoit composé plusieurs ouvrages. On cite principalement
son Catalogue d’étoiles, & ses Tables astronomiques,
si célèbres dans tout Torient. IL .est le premier qui ait déterminé
Tobliquité. de Técliptique avec une précision presqu’égale à celle que
donnent les instrumens & les observations modernes. Les talens &
les vertus de ce Prince méritoient les hommages de toute la
terre : il fut assassiné par son propre fils,,à Táge de 58 ans.

Les troubles qui commencèrent à désoler la Perse peu. de tems
après la mort d’Ulug - Beigh, & qui ne firent qu’augmenter dans
la fuite, éteignirent insensiblement le goût des Sciences dans ces
pays.. Elles s’y sont détériorées à tel point, qu’aujourd’hui TAstronomie
des Persans n’est plus, pour ainsi dire, qu’un amas de visions
d’astrologie judiciaire, .&: qu’à peine favent-ils calculer grossièrement
unie éclipse,

LA CHINE ne nous présente aucune découverte-remarquable ;
pendant la période que nous considérons. L’Arithmétique & la
Géométrie de cette nation demeurent toujours très-imparfaites •
nulle théorie nouvelle, nulle application intéressante des principes
de la Méchanique. Nous trouvons, à la vérité, que les Chinois
ont beaucoup observé les astres :. mais toutes leurs observations
roulent fur les objets les plus communs de TAsttonômie, comme les
éclipses, les positions des planètes, les hauteurs solstitiales du soleil >
les occultations d’étoiles par la lune , &c. On n’en vo.it sortir aucun
résultat 'important pour le progrès de la Science. Nous devons
seulement remarquer que TEmpereur Kobilai 3 le cinquième successeur
de Gengiskan à la Chine, & celui qui y fonda la Dynastie
des Iven en izyi , fut un trèsrgrand protecteur de TAstronomie.
II étoit frère de Holagu-ilecou-Kan , & il avoit à-peu-près les mêmes
goûts. II établit pour Chef du Tribunal des Mathématiques Co-cheonKing3
observateur laborieux, qui porta dans TAstronomie Chinoise
une précision à laquelle, on n’étoit pas encore arrivé. Mais cet éclat
pe fut que passager. L’Astronomie chinoise retomba dans fa pres
Ail. de J. CSciences chez
$ts Chinois.PRÉLIMINAIRE.xxxix
jnière langueur, &:. ne s’en releva un peu qu’environ un siècle
après, sous les Empereurs d’une nouvelle Dynastie , qui donnèrent
la direction du Tribunal des Mathématiques à des Astronomes

' Mahométans.

Nous serons encore plus courts fur THistoire des Sciences chez
les Indiens au même tems. Ils ne savoient, comme autrefois, que les
principes les plus simples & les plus élémentaires de TAstronomie. A
peine favent-ils aujourd’hui calculer les éclipses d’une manière un peu.
exacte.

Les savans, qui, à la destruction de TEcole d’Alexandrie, s’étoient’
réfugiés dans la Grèce, contribuèrent d’abord à y entretenir. Tétude
des Mathématiques. Mais, dans Tétat d’abandon où elles étoient
réduites, elles dévoient nécessairement pencher fans cesse vers leur
ruine. Cependant les Grecs montrèrent, dans ce tems de décadence,
quelques étincelles du génie qui avoit animé Arehimède, Apollonius,
Hyparque-, &c. Nous avons déjà cité Zonaras &" Tzetzès, à Toccaíîon
des miroirs-ardens d’Archimède. On doit citer encore, avec
plus de distinction, Moseopule, qui fit, un peu avant- le milieu du
XV/ siècle, Tirigénieuse découverte des Quarrés magiques..La
prise de Constantinople par Mahomet II, en 1453, fut Tépoquede:'
la ruine totale des Mathématiques dans la Grèce.

Quoique les Chrétiens occidentaux aient- d’abord montré en général,
pendant long-tems, un grand éloignement pour les Sciences,
'on rencontre néanmoins parmi eux,.. dans cette période, plusieurs
hommes qui méritent d’être remarqués, ou par Tétendtie de leurs
connoissances, relativement au tems « m ils ont vécu , ou par les
preuves de génie qu’ils ont. données , & dont la société auroit retiré
les plus grands avantages, si le faux zèle & la.seperstition , armés du
pouvoir, n’y avoient souvent mis obstacle,.

Je ne citerai pas au nombre des inventions" qui doivent faire
honneur aux. Européens,, celle cse la Boussole :pur effet du.hasard,
ou de quelque circonstance que Ton ignore. La propriété qu’a laimant,
d’attirer le fer , a été connue des anciens Grecs , dès le tems

. de Thaïes- : elle a' été connue aussi des Chinois, plus de'3.00 ans avant

-. Jésus-Christ ;- mais on ne: savoir pas, avant le commencement du
XII.e siècle, qu’une- pierre d’aimant suspendue , ou flottante-sur seau■■

: au> moyen d’un: liège,, se dirige toujours vers le nord párun même'
côté : on favoit encore-moins qu’une aiguille de fer aimantée a lamême
vertu. ìl-paroît, par lés ouvragés de Guy de Provins, Tonde
nos Poètes duXII.e siècle, que. les Mariniers françois sont les ^

: premiers, qui. aient employé la Boussole pour diriger la route desvaisseaux-,.d’où,
QU lui donna le nom de- Marinette.-L’u&gç àe-faí*-
Sciences cHeï
les Indiens,Sciences ches’les
 Grecs nwdernes.Sciences cKes’les
 Chrétiens.-BouflolSf-xl DISCOURS
pendre Taiguille aimantée sur un pivot, est très-ancien parmi nous.
Cependant les Italiens., les Allemands & les Anglois, nous disputent
la découverte de la Boussole. Ces prétentions réciproques
peuvent être soutenues, soit parce qu’il est possible qu’on trouve la
même chose en divers endroits, soit parce que la Boussole ayant
été perfectionnée successivement, les nations qui y ont contribué,
chacune pour son utilité particulière , ont cru pouvoir s’attribuer
la totalité de Tinvention. S’il est vrai, tomme plusieurs Historiens
le prétendent, que les Chinois aient fait servir, avant les Européens,
la. Boussole à la navigation , ils ont toujours été du moins bornés à
une pratique grossière ; car leur méthode constante de faire flotter
Taimant fur Teau, n’est pas comparable à lâ suspension sur un pivot.
Frédéric II
commence à
ègner en u:o,
meiuteniiso.
Dans leXIII. 6 siècle , TEmpereur Frédéric II, au milieu dune
vie très-agitée & des guerres continuelles qu’il eut à soutenir contre
les Papes , fonda Tuniversité de* Naples , cultiva lui-même les
Sciences & les beaux Arts, composa quelques ouvrages, & fit traduire
du grec en latin, ceux d’Aristote , & TAlmageste de Ptolomée.

Ce même siècle produisit plusieurs Savans dans nos climats. On
cite, entr'autres, Vitellion & le Cordelier Roger Bacon.
An. de J. C.
Le premier , ne en’ Pologne, etabu en Italie 3 a laine un Traite
d’Optique en dix-livres : cet ouvrage n’est, dans se fond, que celui
d’Alhazen, mais plus clair & plus méthodique.
- Roger Bacon conserve encore la célébrité qu’il eut de son tems.
II a écrit un grand nombre d’ouvrages qui ont été imprimés successivement
: ils montrent beaucoup de génie & d’invention. On
distingue, parmi ces ouvrages, son Traité d’Optique , qui contient
des remarques- vraies, & alors nouvelles , fur la réfraction astronomique
, fur les grandeurs apparentes des objets, fur la grosseur extraordinaire
du soleil & de la lune, vus à Thorizon, fur le lieu des foyers
sphériques, &c. Quelques Anglois, un peu trop, prévenus en faveur
de Bacon, leur compatriote, ont cru voir, dans ce Traité , que
l’Auteur avoit eu connoissance des besicles, & même du télescope ;
mais M. Smith, Anglois plus impartis & juge irréfragable, détruit cette
opinion, d’après la discussion exacte des passages qui y ont dònné lieu.
Onavoulu aussi attribuer à Bacon, la découverte dela poudre à canon:
en effet il y touchoit, car il étoit grand Chimiste pour.son tems, &
il-connoissoit-les effets du salpêtre ; mais elle lui est réellement postérieure
de quelques années. II fut persécuté par ses confrères,
accusé de magie, enfermé dans un cachot, & obligé , pour en
sortir, de prouver à ses Supérieurs &au Pape Nicolas IV, qu’il n’avoit
.jamais eu de commerce avec le diable. II étoit né en í z 14 ; il mourut
en IÌ94,

L’inventioni
P RË L I M I N AI R E. xïj
L’invention des besicles est des dernieres années du XIII.* siècle.
On la doit aux Italiens. II existe des preuves certaines que les premières
lunettes ont été construites par un frère Jacobin , nommé
Alexandre de Spina , mort à Pise en 1313.

Le XIV.e siècle fut, chez les Nations occidentales de TEurope ,
.4111 tems d’ignorance & de barbarie pour les Mathématiques. On y
voit paroître des Théologiens seholastiques,beaucoup d’Alchymistes,
quelques Littérateurs estimables : le Roi Charles V fonde la Biblio--
thèque des Rois de France ; il encourage les arts & les belles-lettres ;
mais les Mathématiques sont presque généralement oubliées ; elles
ne produisent qu’un petit nombre dîAstronomes, dont tout le mérite
est d’avoir fait quelques observations isolées. Ajoutons cepen^
dant que, vers le milieu de ce siécle, Jacques de Dondis 3 Vénitien,
dont la famille subsiste encore, se fit une grande réputation dans la
Méchanique & TAstronomie, par la construction d’une horloge qui
marquoit les heures, le cours du soleil, celui de la lune & des autres
planettes, les mois & les fêtes de Tannée.

Nous avançons vers des tems plus heureux. Le XV.e siècle est
fécond en Savans, & fur-tout, en Astronomes. II s’ouvre par-un
mouvement qui se fait dans TAlgèbre. Léonard de Pise voyage en
Arabie ; il y puise les principes de TAlgèbre, & vient les répandre en
Italie. II avoit écrit fur cette Science & fur la Géométrie des ouvrages
qui n’ont j’amais été. imprimés, mais qui furent très-utiles en leur
tems, La fin de ce même sièele en produisit de semblables. En 1494,
îin Franciscain, nommé Lucas de Burgo , qui, après avoir voyagé
long-tems en orient, étoit devenu Professeur, de Mathématiques à
Denise, fit imprimeries Elémens d’Euclide en italien, pour Tusage
dé ses Disciples ; ce qui contribua beaucoup à former des Géomètres.
Peu de tems après, il publia un Traité d’Algèbre, intitulé ;:
de Summa Arithmetica & Geometrica. On trouve, dans ce Traité,
-lés règles ordinaires de TArithmétique, & quelques, inventions dûes
aux Arabes, comme, paf exemple, les règles de fausses positions:
TAlgèbre y est portée jusqu’à la résolution des équations du second
degré ; oh prétend que Lucas de Burgo n’a pas été aussi loin que
les Arabes, ni même que Léonard de Pise, quoiqu’il lui soit postérieur.
•

Dans tous ces tems, TAstronomie.a été la Science la plus cultivée.
Elle eUt des obligations à Jean Gmûnden 3 qui la professoit en
TUnìversité de Vienne, vers Tannée 1406", & au fameux Pierre Dailli,
quipropola au Concile de Constance qUelques moyens de réformer
le calendrier, & de concilier le mouvement du soleil avec celui de
Îa-June. -
Tome L MathémâtiqueSi. %£.An. de J. Gv
1414.xUj D I S C O U RSAn. de J. C.H50.
 ; Le Cardinal de Cufa est célèbre parmi les savans, pour avoir
entrepris de faire revivre le système des Pythagoriciens fur le mouvement
'de la terre. Cette idée n’avoit pas encofe la maturité que
les observations dévoient lui donnet. Mais on doit trouver un peu
extraordinaire qu’un Cardinal soutienne dans ce tems là, fans que
personne en soit scandalisé, une opinion pour laquelle, zoo ans
après, Galilée fut enfermé dans les cachots de Tlnquisition.
Furbachìus ,
né en 142J ,
mort cn j4.i1.
" Purbachius & son Disciple Regiomontanus iont regaraes comme
les Restaurateurs ou les deux plus grands Promoteurs de TAstronomie
dans le XV.e siècle. Le premier, après avoir long-tems
Voyagé pour puiser dans le commerce des savans une ample Cónnoiíîance
de TAstronomie, dont il avoit appris les principes fous
Jean Gmunden, vint se fixer à Vienne, où les bienfaits de TEmpereur
Frédéric III Tattirèrent, & où il succéda à la place que Jean
Gmunden avoit occupée dans TUniversité. Dès-lors il entreprit Un
ouvrage utile & néceíîaire : c’étoit une bonne traduction de TA1mageste
de Ptolomée ; car toutes celles qu’on en avoit donne eii
latin fourmilloient de fautes, par Tignorance des traducteurs dans
TAstronomie. II ne íávoit ni le grec ni Tarabe ; mais la parfaite intelligence
du sujet lui servit à rectifier ces mauvaises traductions, &
à se procurer, du moins -quant au sens, le véritable ouvrage de
Ptolomée. Bientôt après il écrivit, en faveur de ses Disciples ; différens
Traités concernant TArithmétique, la Géométrie, les hauteurs
soistitiales du soleil, la description & Tusage des horloges portatives,
le calcul du degré de chaque parallèle, relativement au.
degré de Téquateur, &c. Comme il joignoit aux connoiflances
théoriques Tadresse de la main, il construisit lui-même des instrumens
.utiles à la gnomonique , & des globes célestes .fur lesquels
-étoit marqué le mouvement des étoiles en .longitude, depuis
Ptolomée jusqu’à Tannée 1450. II détermina, par ses propres observarions,
Tobliquité de Técliptique ; il fit diverses corrections à la théorie
du mouvement des planètes, que les anciennes Tables représentoient
d’une manière défectueuse ; enfin il introduisit quelques abbréviatiòns
dans le calcul trigonométrique. -' : . ,
Regiomontanus,
né en 1436,
mort en 1476.
Sa plus grande gloire est d’avoir forme Regiomontanus. Ils observèrent
ensemble à Vienne, pendant dix ans. Après la mort de Purbachius,
le second se rendit à Rome pour y chercher les moyens
d’apprendre.facilement le grec, & de pouvoir lire dans les originaux,
non-seulement Ptolomée, mais encore les autres Mathématiciens
Jgrecs, car il avoit un génie avide de tóutés les Sciences. Ses progrès
dans ce:genre d’étude furent si heureux,-qu’en très-pëu de tems il
traduisit du grec en latin les Coniques d’Appollonius, les Cy Un-
P R E L l M IN AIRE. . xliijdáques de Serenus, les ouvrages de Ptolomée, les Questions méchaniques
d’Aristote, les Pneumatiques de Héron, &c-. II corrigea fur
se téxte grée Tancienne version d’Archimède, faîte par Jacques de
Crémone. II ne se borna pas à traduire ; il fut lui-même Auteur
original de plusieurs excellens ouvrages. Son Traité de Trigonométrie
est remarquable en particulier, parce qu’on y trouve une
belle méthode, & la première qu’on ait donnée, pour résoudre, en
général, un triangle sphérique quelconque, lorsque l’on connoît
les trois angles ou les trois côtés ; ce qui étoit alors un grand effort
de génie & d’invention. La réputation de Regiomontanus détermina,
le Sénat de Nuremberg à T-appeller dans cette ville. ITs’y forma un
observatoire muni d’excellens instrumens qu’il avoit perfectionnés
ou inventés lui-même, & avec lesquels il fit des observations qui le
mirent en état de rectifier & d’étendre les anciennes Théories.. Plusieurs.
Astronomes* avoient attribué, d’après quelques observations
mal interprétées dont il donne le détail, un mouvement irrégulier aux
étoiles, tantôt dirigé vers Torient, tantôt dans le sens contraire:
Regiomontanus réfuta cette opinion. En 1472. ,-ile.ut occasion d’ob^
server une comète dont le mouvement, d’abord très-lent, s’aççé-*
léra bientôt tellement qu’elle parcourut vers son périgé plus de 30
degrés en 14 heures ; elle traînoit à fa fuite une queue de plus de
30 degrés de longueur.'

-.. Le Pape Sixte IV, vaulant faire travailler à la réforme" du calendrier,
invita Regiomontanus à se rendre à Rome pour cet objet ;
il lui fit des promesses magnifiques ; il le nomma même à'TEvêché de
Ratifbonne. Regiomontanus partit ; mais, après quelques mois de
séjour à Rome, il y mourut à Tâge de 40 ans. On répandit le bruit
que les enfans de Georges de Trebi\onde , l’un des traducteurs de
Ptolomée tic de Theon , Tavoient fait empoisonner, parce qu’il
avoit relevé publiquement plusieurs fautes dans Touvrage dé leur
père.

En quittant Nuremberg, Regiomontanus y laissa un élève bien
Capable de suivre ses vues & d’y en ajouter de nouyelles : c’étoit
Waltherus , riche Citoyen, qui fit construire tous les instrumens que
Regiomontanus avoit imaginés, & qui, depuis la mort de sonrnaître,
Continua d’observer le ciel pendant 40 ans. La fuite de ses observations,
qui présentent des phénomènes de toute espèce, est un trésor
précieux pour les Astronomes. Malheureusement TAstronomie pratique
n’avoit pas alors la perfection que lui ont procurée dans la
fuite les lunettes d’approche & la recherche la plus scrupuleuse dans
la construction des instrumens. On a .reproché à Waltherus d’avoir
. • ■ - '-■•'■■ s’lí -'■' -Waltherus, né
en 14J0, mort
en 1504.xliv : D I S COU R $été peu communicatif, & de s’être réservé exclusivement Tusàge dés
manuscrits de Regiomontanus, dont il étoit dépositaire.^ *

NaTígítion,. Depuis la découverte de la boussole, la navigation, toujours aidée
de TAstronomie, se perscctionnoit de jour en jour, & s’ouvroit un
champ plus étendu. Les anciens, qui n’avoient aucun moyen de
connoître à chaque instant la position du 'vaisseau: sûr le globe,,
osoient rarement perdre de vue les côtes de la mer. La boussole
leva cet obstacle ; & on put entreprendre , avec sûreté, de marcher
« travers les mers-comme à: travers les terres. En 142.0, le Prince
Henri, fils de Jean> I, Roi de Portugal, alla chercher fur Tocéan de
nouvelles régions ;il découvrit Tl-âe de Madère ; puis,.tournant vers
Torient & le midi, il parcourut une partie de la côte occidentale de
- .1-Afrique. II eut une foule d’imitateurs : on connoît les expéditions,
de Vasco deGama3 de Christophe Colomb3 à'Americ Vespuce3
& de plusieurs autres : ce n’est pas ici Te lieu d en parler.. Pour représenter
ìà route-que le vaisseau, dëvoit suivre,.& pour le diriger etr
effet suivant cette route, le Prince Henri imagina lés cartes marinesyconnues
fous le 110m de- cartes plates. L’usage des globes terrestres,
étoit très-ancien :• celui" des cartes, plus récent, avoit lapréférence ;,.
depuis que Ptolomée & les Arabes, avoient donné des méthodesgéométriques
pour projetter les cercles de la.terre fur une simplesurface
plane ; mais le prince Henri, qui vouloir marquer, par deslignes
droites, lés différens rhumbs’de vent d’un vaisseau, ne pouvoit
y employer ces cartes ,. &c il. fut obligé- d’imaginer une autre
construction.. 11 suppose que lés ; méridiens sont exprimés par-dès
lignes droites- parallèles , & les cercles parallèles à- Téquateur , par
d’autres-lignes droites parallèles ^perpendiculaires aux premières ; il-,
trace fur la carte la rose des vents ■ ; ensuite, pour marquer Ta route
d’un vaisseau qu’il suppose suivre un même rhumb de.vent:, il mène
du lieu de: départ au lieu d’arrivée une ligne: droite, &.il croit que
îa ligne des vents, parallèle à celle- là, remplit Tobjet proposéì
Mais ces cartes ne peuvent réellement, servir que poUr de petites -
étendues du globe ; Lorsque les espaces sont considérables j lès degrés
des cercles parallèles à.Téquateur ne peuvent pas être représentés,',
d ?un cercle à:l’autre-,- par des lignes égales, commel’auteur le íup^
pose ; car on fait que les circonférences de ces cercles diminuent:
continuellement de Téquateur aux- pôles. De-plus, là route^par un
même rhumb de vent, n’est ;pas, dans cette construction même, unesimple
ligne droite, si ce n’est-dans les deux hypothèses très-bornées où
lò vaisseau suivroit toujours le même méridien ou le même parallèle ;
On sentit bientôt ces ineon.véiiiens,. & on y apporta du.remèdçdans.
ies deux siècles. íuivans.- - •
e R ELI Ml N AI RE: xk
III.- PÉRIODE,  ! - '  ; ;

Les progrès que les nationsoccidentales de TÊurope ont faits dans ;
íes Sciences, depuis le XVI.e siècle jusqu’à nos jours, effacent tellement
ceux des autres peuples, que je ne m’occuperai plus que.des
premiers dans la fuite de, ce difcóurs. Que font en. effet les obier-"
varions astronomiques des Chinois ou des Indiens, en comparaison
de toutes Tes belles .recherches dont 'les Européens modernes ontenrichi
la Géométrie,-TAnalyse, la Méchaniquer &c ? Il y a . une
différence essentielle entre THistoire du monde politique & celle da
monde savant : dans le premier, chaque jour produit quelqu’événement
grand ou petit, qu’il faut écrire pour donner, un corps, à
la chronologie ; dans le second, où les événemenssont les nouvelles
vérités,. fi une découverte vient se lier à une théorie plus étendue'
&c plus importante, elle perd son existence individuelle,,, .&..pn*
peut Texclure fans scrupule du tablean général des.cpnnoiíiances’
humaines^ ….-•-. … - , -' -

Toutes les Sciences" se sont accrues dans Tintervalíe de tems qiss
nous occupe ici. L’Algèbre fit’en particulier, avant le milieu du:
XVI. 6 siècle, un pas OÙ- Ton est encore arrêté aujourd’hui. Elle eut’
un succès, d’un autre, genre : Tefprit- de ses opérations,, !, appliqué à
FArithmétique, fit découvrir ;, dans les nombres,,plusieurs.propriétésqu’on
n auroit jamais déduites,de leurformapiòn immédiate.. Je' vais
donc comprendre, sous le nom générique d’Analyse 3 les progrès -
"de-TAlgèbre-& ceux, de TArithmétique.- '. ,

DEPUIS que Tpuvrage.de Lucas de Burgo. avoit ; parti, ors ppssé^
. doit parfaitement la méthode- de -résoudre, les équations des deux
premiers degrés., MaisTe'passage aux degrés- supérieúrs-étpit difficile,
L’Italie eut la gloire de donner, à- cet égard ; une nouvelle extension
àl’Algèbre. '■'..--. J .:'.'-. >■:

• Cardan rapporte ; dans son livre5 intitulé : de Ane Magna, &
publié- en -1^545, que .Scipion- Ferrei ,r,Professeur de Mathématiques
à' ;Bologne-, ess le' premier] qui" ait donné'fbí.formule: pour résoudre
ses- équations- du.'troisième degré ; qu’environ ;.trente- ans après ;,.: un
..Vénitien-, nommé ; Floridovirinfiruit dé ;, c-ette ,décou ;Verté paf son --
Maître Ferrei., proposa.à-'J^iéeJ.as ;Tartaglia ;. célèbre ;MathématiçiendeBreseia
, ; divers problêmes dpnt la solution dépendoit de cette ;
formule: ; &:, que Tartaglia y en méiditant fur- çes-.problê.mesj -parvint
.à.la trouver:.:Dans un autre-endrpit, Cardan fa.it ;l’aveû que, ; fur, ses■instantes
'prières ;,.-Tartaglia,'. lui communiqua.çett-e-rmême. formulé-. ;»
AnalySíCardan, ni
en IJOÍ, moïïr
ea--is’je.-Tartaglia, -n í~'
en 1479, moir
enij ;7, -xy-z n D z s: au,u Rs „ -i
mais fans y ajouter la démonstration ; & qu’ayant trOuvé cette
démonstration, avec 4e secours-,de son Disciple, Louis Ferrari, jeune
homme d’une grande pénétration, il "avoit’cru devoir donner le
tout au public. Mais Tartaglia fut très-mécontent du procédé de
Cardan ; il prétendit être, seul inventeur de la formule ; il soutint
que Ploridp ne la connoissoit pas lui-même, & que Cardan étoit
coupable ,tout^à-la-fois d’infidélité & de plagiat, pour avoir publié
iïhé formule qu’on lui avoit confiée fous lé séëâù-du secret, & à
laquelle il n’avoit aucun droit.
~:La résolution des équations du quatrième-degré suivit de près
celle des équations du troisième.. Nous apprenons encore ; de Cardan
que Louis Ferrari fit Cette nouvelle découverte. Sa méthode, aujourd’hui
connue dé tous les Ânali'stès, consistoit à disposer les termes
de:cTéquation du ' quárrièrne. degré, dé tëlle maniéré qu’en ajoutant
à chaque membre une même quantité, ces deux membres pussent
ie résoudre par la méthode du second degré. En satisfaisant à cettë
condition, ori- 'est- mené à uneéquation du- troisième degré-: dé sorte
que la résolution Complète du quatrième-degré est liée avëè celle
du troisième, &c que les difficultés de celui-ci affectent également
TáUtfêT- '-'-• olirr. :<:■": ,.- ; '■ iz:.-.--_:■:. --..'■■ : ;'" r w' "r'] -_{' -■ ■- '..'
r Jè dis les difficultés : il y a effectivement, dans-le troisième degré:,
un cas qui est dévénu la torturé de-tous les Analistès, & que, par
cette--râifonv-ôTi-áppêlie cas-irréduclible:. Ce cas-embrasse", les équations
où les" trois’racines font-réelles, inégales -&-incommensurables
ént’rélìes. - Alors "les"for-mules, qui -ses représentent,' comprennent
dés parties imaginaires, -& oh feroít d’abord porté à croire que ces
expressions sont imaginaires, si un examen attentif: de leur nature:,
n’empêchoit dé précipiter son jugement. Tartaglia & Cardamnosèrent
rien prononcer à cê fûjet ; '■ Le dernier ~s’attacha feulement’ à résoudre
quelques équations particulières qui paroiísoiënt s’y rapporter, &
OÙ la difficulté s’évànòiusspit fortuitement ; :i '-"■■-■"- :.-■'

Raphaël Bombelli, Bolonois, un peu postérieur à Cardan , fit
Voir le premier, dans son ATgèbreirïipriméeen r 179, que les parties
de la formulé qui représente Wne: racine dans ie,cas irréductible-,
•formoient, "pàtíëur assemblage, un résultat réel. Cette proposition
étoit alors Un paradoxe initiais -ìe paradoxe disparut-,: quand on vif,
par lá 'démonstration dé Bombelíi'■-, que les quantités imaginaires,
comprises dans lès deux membres de-la .formule, dévoient nécessalr
remërtt se détruire par Topposition des signes dont elles étoient
affectées. On sent combien Une teliérémarqùeétoitlmportànte^OnTa
démontrée depuis de plusiëursrmânièresymais, quelques efforts qu’on
ait faits pour obtenir directement & en termes finis\ dans le cas
P R E L LMJN.A I R E. :xlvif
irréductible, lés racines sous une forìne débarrassée d’imaginaires, on
n’a pas encore pu y parvenir. Le. seul progrès qu’on ait fait dans
cette théorie, est de pouvoir représenter les racines par des formules
réelles rrès-approchéeá, ou par des lignes que la Géométrie enspigne
à déterminer. ■.

Il étoit naturel de penser que les /méthodes.pour le troisième '&
le quatrième degrés, dévoient s’étendre plus loin.., -ou faire naître du
moins de nouvelles vues fur les formes des racines dans les degrés
supérieurs au quatrième.. Mais, si Ton excepte les équations qui, par
des transformations de calcul, fe réduisent en.dernière analyse aux
quatre premiers degrés, Tart de réfoudre en rigueur les équations
n’a fait aucun progrès depuis les travaux des Italiens que nous venons
de citer. r :..- ..-

Maurolic., Abbé de Sainte-Marie-du-Port, en Sicile, profond
dans toutes les parties des Mathématiques, s’attacha à une autre
tranche du calcul analytique,,' alors p.resqu’incpnnue : c’étoit -la sommation
de plusieurs, fuir es de nombres, comme la fuite des nombres
naturels, celle de leurs quartes, celle des nOmbrés triangulaires, &íc.
IIdonna, fut-ce sujet, des Théorèmes 'remarquablespar la subtilité
de Tinvéntion &: la-simplicité,des résultars. - ■

On voit- que :nòus irehdons justice àveç ._pTaisir apx iavans
étrangers. La même équité:xlemande ;que ;Ton ; attribué à.Viete, l’un
de nos illustres compatriotes., la gloire, d’avoir généralisé TA-lgorithme
de TAlgèbre, & d’y.avoir. fait plusieurs .-découvertes importantes.
Avant lui, on ne réfoívoit que des équations du gênre de
celles qu’on appelle' équations numériques.-: on représen toitTin connue
par uir caractère particulier, ou paf une lettre de Talphabet ;,les
autres quantités étoient :des nombres absolus. II est vrai qu’ensuite
"la mérhode appliquée à. une équation pouvoit être .appliquée également
 ;à une autre, équation semblable. -Maïs il étoit à désirer que
toutes les grandeurs indistinctement fussent représentées par des
 ;caractères,généraux, & que toutes les équations particulières d’un
•même ordre ne fussent que de simples, traductions d’une -même
formule générale.'Viete procura cet avantage à TAlgèbre, en y
introduisant les lettres de- faiphabet ;p.our -représenter toutes .sortes
de grandeurs, connues ou inconnues : notation facile $2 commode,
tant parce que l’ufage des lettres nous est très-familier., que parce
qu’une lettre peut exprimer indifféremment un poids.,.une distance,
"une vitesse, &c. -Lui-même sst plusieurs usages très -rrheureu-x de ce
nouvet ? algorithme. Tels -soiit, par exemple ;; les ; moyens qu’il donne
'■de'transformer-uneéquation en une autré, dont les racines.soient
plus grandes ou plu'spetkés, d’une, quantité arbitraire ; de multiplier pu
Maurolic, nf
en 1494 3 "more
en 1575.Viete, né eu
1540, mort en
1603.xHijrb 1S’COU R s
de diviser les racines par un nombre quelconque > Src. Ces différentes
préparations le conduisent, à une méthode ingénieuse &: nouvelle
pour résoudre les équations du troisième &• du quatrième degré.
Enfin, au défaut-d’une résolution rigoureuse "des équations de tous
les degrés, il donne une résolution approchée f elle est fondée futce
principey qu’une équation quelconque, n’est qu’une puissance,
imparfaite de Tinconn’ue ; & Tauteur y emploie à-peu-près les mêmes
procédés, que pour trouver, par approximation, les racines des
. nombres qui ne sont pas des puissances: parfaites. Si nous possédons
aujourd’hui des moyens plus simples Sî.plus commodes pour arriver
au même but, néíi admirons pas moins ces premiers efforts du
génie. ■■■'"■-..'-• . . ;:
îSarìotjiié en
il 6c, j’uort en
Les Anglois firent., peu de tems âpres Viete, des découvertes
intéressantes dans TAlgèbre. Háriot ,'■: dans un ouvrage, intitulé :
Artis AnalyticA praxisr3 rassembla tout ce qui avoit été écrit dp
plus 1 important sor cette Science, & y ajouta plusieurs nouyéautés.
ïl simplifia les notations de Vietè, en substituant les lettres minuscules
a la plate des majuscules, & quelques nouveaux signes pour
abréger le discours ; il est Te premier qui ait imaginé de mettre d’un
même côté tous les termes d’une équation, &■ qui par-là. ait vu
distinctement, ce que ÎAnaliste françois n’a fait qu’indiquer d’une
manière confuse, qûeydans toute équariòii, le coefficient du.second
terme est la sommé -dés racines prises, avëc des signes: contraires’. ;
que le coefficient du-troisième est la somme desproduits des racines
prises deux à deux j’&cv Ôn lui doit, d avoir, observé que toutes les
équations qui passent le premier degré peuvent être regardées comme
produites par la 'multiplication déquations du premier, degré ; : de
forte que, substituant à la placé- de ; Tinconnue Tune des valeurs
données par ces équations composantes/la totalité des > termes, ; de
Téquation proposée devient égale à zéro. CesThéorêmesont facilité
la résolution-complette de plusieurs équations. :

L’Angleterre a produit une autre théorie analytique très-ringénieuse
& très-importante par se* usages :celledes logarithmes. Toutie monde
fait qu’il -y a, pour les calculs numériques, quatre règles.principales ;
ì'addiríon, la soustraction, la ;multiplication & la division. Les deux
premières sont toujours faciles à pratiquer, & il ne faut qu’une
médiocre attention pour exécuter facilement les calculs qu’elles prescrivent
11 n’en est pas ainsi des deux autres : elles exigent souvent
des opérations longues, fatigantes, & où il peut aisément se glisser
des erreurs. En observant là-correspondance réciproque dé,là progression
géométrique &c de la progression arithmétique, on s’apperçut
que, dans le passage d un terme à l’autre^ la progression géométrique

emploie
P R EL I M. IN A IR E. xlix
emploie ia multiplication ou la division de la même manière que
la progression arithmétique- emploie Taddition ou la soustraction.
De-là le Baron de Nepper, Ecossois, imagina de construire des
Tables.où des nombres se répondoient les uns aux autres, suivant les
loix de la progression géométrique & de la progression arithmétique
t par ce moyen, il réduisit tous les calculs à de simples additions
& soustractions : idée heureuse, qui rend àes services immortels
à toutes les parties des Sciences, & sur-tout à TAstronomie.
Les savans, qui ont pris la peine de calculer ces Tables, Nepper
lui-même, Henri Brigg, Ulacq, Gardiner, &c. ont droit à la reconnoissance
de la postérité.

Personne n’a plus contribué aux progrès de TAnalyse que notre
illustre Descartes. La nature lui avók donné Ie génie & Taudace e
nécessaires pour remuer toutes ses bornes des connoissances humaines.
II. apprit aux hommes, dans fa Méthode 3 Tart de chercher la vérité ;
il joignit Texemple au précepte dans ses ouvrages de Mathématiques.
La gloire que ces ouvrages lui ont acquise ne périra jamais, parce
que ses vérités qu’il a découvertes sont de tous les tems ; mais on
ne peut pas dissimuler que la plupart de ses systèmes philosophiques,
enfantés par Timagination, & contredits par la nature, ont déjà
disparu, & n’ont produit d’autre avantage que d’abolir la tyrannie
du Péripatétisme. L’Algèbre lui doit plusieurs découvertes
importantes. II introduisit dans les multiplications réitérées d’une
rnême lettre, la notation des puissances par les exposans , ce qui
simplifie le calcul, & ce qui a été le germe de lá Méthode pour
développer les quantité radicales en séries. Les Analystes, qui Tavoient
précédé, ne connoissoient point Tuíàge des racines négatives dans
ies équations, & ils les rejettoient comme inutiles : il fit voir qu’elles
font tout aussi réelles, tout aussi propres à résoudre une question
que les.racines positives, la distinction qu’on doit mettre entre les
unès & les autres n’ayant d autre fondement que la différente manière
d’envisager les quantités dont elles sont les. symboles ; il enseigna à
connoître-, dans une équation qui ne contient que des racines réelles ;,
le nombre des racines positives Sc celui des racines négatives, par
la combinaison des signes qui précèdent les termes de Téquation ; la
Méthode des indéterminées , entrevue par Viete , fut développée
par Defc.artes, qui en fit une application claire & distincte aux
équations du quatrième degré ; 11 feint que Téquation générale dece
degré .est se produit de deux équations du second, qu’il affecté'
de c.oëfficiens indéterminés $ &, par la comparaison des termes dé
ce produit avec ceux de Téquation propoíée , il parvient à ;une
équation réductible au troisième^ degré, laquelle donne les coë'ffiáens
Tome L Mathématiques. g
An, ifii4.Descartes, né
en is ?6, rríort
en 1650.Hudde, mort
très.- âgé en
1704.Pascal, né en
iszs , mort <n
16 62.Huguens, né ;
: en 1515 , mort 1
en i6pj.ïermat , « é '
en , 1590, mort
en 11S63. ;- il DISCOURS
inconnus. Cette méthode s’applique à une infinité de problèmes, ;
dans toutes les parties des Mathématiques.

Je ne ferai pas ici mention de plusieurs savans Algébristes qui y
peu de tems après la mort de Descartes, étendirent &: même perfectionnèrent
ses Méthodes. 11 y en a cependant un qui mérite uneattention
particulière : c’est le célèbre Hudde , Bourguemestre
.d’Amsterdam, qui publia en 1658, dansìe commentaire de Schooten
fur la Géométrie de Descartes, une méthode très - ingénieuse pour
reconnoìtre si une équation d’un degré quelconque contient plusieurs
racines égales, & pour déterminer ces racines.

Pascal se fraya, dans TAnalyse, une route nouvelle , par son
fameux Triangle arithmétique. C’est une espèce ; d’arbre généalogique,
où, par le moyen d’un nombre arbitraire, écrit à la pointe
du triangle, TAureur forme successivement, & de la manière la
plus générale, tous les nombres figurés, détermine les rapports
qu’ont entr'eux les nombres de deux cases quelconques ,'ô£ les différentes
sommes qui doivent résulter de Taddition des nombres
d’une même rangée prise d áns tel sens que Ton voudra. II fait ensuite
plusieurs applications intéreíìantes de ces principes. .Celle où il
détermine les partis qu’on doit établir entre, deux Joueurs qui
jouent en plusieurs parties, mérite principalement d’être remarquée,,
puisqu’elle a donné la naissance au calcul des probabilités, dans là
Théorie des jeux de hasard. Quelques Auteurs ont attribué les. Elémens
de ce calcul à Huguens, qui publia, en 1657, un excellent
Traité, intitulé : de Raciociniìs in Ludo ale& ;■ mais Huguens
avertit lui-même, avec une modestie digne d’un si grand homme,
que cette matière avoit déjà été agitée entre les plus grands Géomètres
de la France, & qu’il ne prétend rien à la gloire de -Tin-*
vention. En esset, on voit, par les lettres de Pascal & de Fermât, imprimées
dans les OEuvres de ce dernier, que les principes du Triangle
arithmétique étoient répandus.. en France , dès Tannée 1654,
quoique les ouvrages, où Pascal les explique en détail, n’aient paru,
par la voie de Timpression , qu’après la mort de TAuteur.

Dans le tems que Pascal approfondissoit à Paris la nature des
nombres figurés, Fermât, de son côté, en découvroit à Toulouse
plusieurs belles propriétés, ensuivant une autre méthode. Ces deux
grands hommes se rencontraient souvent dans lës-résultats de leurs
recherches. Loin qu’une pareille concurrence altérât Tamitié que la
conformité d’études avoit fait naître entr'eux , fans qu’ils se sussent
jamais vus, ils se rendoient mutuellement justice avec un abandon
:rue la médiocrité ne peut connoítre.
La prédilection de Fermât pour ses recherches numériques se
PRELIMINAIRE. Ij
porta sur-tout vers la Théorie des nombres premiers, qu’on n’avoit
pas encore examinée, & où il a fait de profondes découvertes. Oh
'fait que tout.nombre n’est qu’un rapport avec f unité de numération ;
mais il est souvent difficile de reconnaître si ce rapport est simple,
ou s’il est produit par- la multiplication de plusieurs autres. Fermât
établit des caractères généraux & distinctifs, propres à.faire discerner,
dans une infinité d’occasions, les nombres qui ont des diviseurs
d’avec ceux qui n’en ont pas. L’analyse de Diop hante "exerça égale--
ment son génie. Bachet de Meziriac, Editeur & Commentateur du
Géomètre grec, avoit déjà résolu plusieurs nouveaux problêmes dépen- ^
dans de la doctrine de son Auteur : Fermât porta plus loin la même
matière. Toutes ces recherches ont été étendues & perfectionnées
par de grands Géomètres modernes.

En 165 5, Wallis publia, en Angleterre,, son Arithmétique des
infinis y' ouvrage plein de génie , &. dont Tobjet, comme celui du l6_
Triangle arithmétique, étoit de sommer différentes suites dénombres.
Par cette Méthode, on- quarré ses. courbes, quand les ordonnées
sont exprimées par un seul terme ; on peut aussi-quarrer les courbes
à ordonnées complexes, en: développant ces ordonnées en séries,
dont, chaque .-terme est un. monôme. Nous parlerons ci-desspus de
la dispute que fauteur eut avec. Pascal au sujet de la Cycloïde.
\Vallis étoit un profond Analyste : c’est à.lui qu’on-doit la notation
des radicaux par des expofans fractionnaires, & celle des exposans
négatifs. Deseartes n’avoit employé les exposans que pour lés puissances
entières & positives. ..>..-.- -  ;

Le chemin de la vérité étant fans, cesse hérissé d’écueils pù la
foiblesse de Tefprit humain vient se briser, on ne sauroit trop multiplier
les moyens de les éviter, ou d’approcher du but, lorsqu’il
n’est pas possible d’y atteindre en rigueur. Tel est favantage que
procure la Théorie des fractions continues, quand une fraction
irréductible est exprimée par de trop grands nombres pour qu’on
puisse Tappliquer à la pratique -, fous fa forme immédiate. Elle
substitue à une expression compliquée , une expression simple &
à-peu-près équivalente. Cette Théorie, dont le Lord Brouncker
avoit donné les élémens, fut étendue & perfectionnée par Huguens: *
elle a été appliquée depuis à plusieurs-usages importans.

Toutes ces branches, particulières de l’analyse ne faisoient.pas perdre
de vue le 'problême de la .résolution générale-des équations. Neutòn,
jeune alors, la chercha long-tems : il ne la-trouva point ; mais.il
recula d’ailleurs considérablement les bornes de TAlgèbre. II donna
une Méthode pour décomposera, lorsque la chose est possible, une
équation en facteurs commenfurables : Méthode ; qui s’étend à tous
Meziriac, né
en r577 , mort
en 163S.Wallis, hé en.
161 S, mort eu
1703.Brouncîcer ,
né en i6zo ,
mort en 16Í4…lij DISCOURS
les degrés & dont la pratique est aussi simple qu’on puisse le désirer ;
il somma les puissances quelconques des racines d’une équation ; il
enseigna Tart d’extraire les racines des quantités en partie commeníúrables,
en partie incommensutables ; il apprit à former des suites infinies,
pour rrouver d’une manière approchée les racines des équations numé-

riques & littérales de tous les degrés, &c. La plupart de ces recherches
ont été éclaircies & commentées dans des ouvrages modernes.
Géométrie pure. Dès le commencement du XVI.e siècle , Tancienne Géométrie fut
cultivée en Europe, avec un succès qui alla toujours en augmentant.

• On prit pour guides les Géomètres grecs,, dont la plupart furent
traduits en latin ou en italien. L’étude des anciennes langues,alots
fort en vogue, multiplioit ses objets & lés moyens d’instruction.
Werner, ne
cn 146s, mort
on I5Î8.
On cite Werner comme un savant Géomètre. En-152,z, 1Tpublia
à Nuremberg quelques Traités, concernant presque tous lâ Théorie
des sections coniques.

Tartaglia & Maurolic^ dpnt nous avons déjà parlé, se rendirent
utiles à la Géométrie, non-seulement comme traducteurs de plusieurs
anciens ouvrages, mais encore comme Auteurs. Le premier
a composé un Traité italien, intitulé : de Numeri è Miscire, dans
lequel on trouve, pour la première fois, la détermination de Vaire .
d’un triangle, par le moyèn de ses trois côtés , & fans le secours de
la perpendiculaire abaissée de l’un de ses angles furie côté opposes
Le- second a écrit sur plusieurs sujets : son Traité des Sections
Coniques est remarquable par la.claFté & Télégance qui y règnent.
M. de la Hire n’a fait, dans la fuite, qu’amplifier & appliquer à de
nouveaux usages lá Méthode du Géomètre Sicilien.
Nonius , né
cn 1492-, mort
en 1577"
Nous ne devons pas oublier Nonius, né en Portugal, auteur de pl’usieurs^ouvrages
très-estimables, & à qui Ton doit en particulier la subdivision
des petites parties d’un instrument par des lignés transversales
, que Ton" appelle ordinairement Division de Nonius.
Commandai,
né en 1505 ,
mort en 1575.
Commandin, qu on ne peut placer qu’au rang des Commentateurs,
mérite du moins la louange qui n’est pas commune, d avoir ;
bien entendu les Auteurs qu’il a traduits, & d’en avoir éclaircisses
endroits difficiles, par des notes exactes & précises. II a publié ainsiy
en latin, Euclide, Arehimède, quelques ouvrages de Ptolomée, les
Pneumatiques de Héron,Ta Géodésie du Géomètre arabe ;Mehemet
de Bagdat, &c. :.' !-.
-Bjmus,néen
1102, mort cnLe célèbre Kamus n a îait aucune découverte dans les Mathé-'
matiques : ses élémens de Géométrie & d’Arithmétique font médiocres ;,
mais il a d ailleurs bien mérité des sciences, par le zèle qu’il mit à
les répandre,^ & par le sacrifice- qu’il leur fit de son repos, de fa
fortune & même de fa vie, ; . "i : ;.. …
PRELIMINAIRE.^ liij■ Je m abstiens de citer plusieurs autres Géomètres qui écrivirent des
ouvrages utiles pour ce tems-là, mais peu profonds ,.& aujourd’hui
prefqu’entîèrement oubliés. Je nommerai seulement Pierre Metius 3
Adrianus Romanus3 & Leudolphe-van-Ceulen, qui calculèrent d’une
manière beaucoup plus approchée qu’on ne Tavoit fait encore, le
rapport de la circonférence au diamètre. Celui de 355 à 113,
donné par Metius, approche singulièrement de la vérité, eu égard
au petit nombre de chiffres par lesquels il est exprimé.

On trouve, dans les ouvrages de Regiomontanus, de Tartaglia
& de Bombelli, quelques problêmes de Géométrie, résolus par le
moyen de TAlgèbre. Mais ces solutions isolées, & où Ton employoit,
dans chaque cas particulier, de simples nombres pour exprimer les
lignes connues, n’étoient pas fondées sor une méthode régulière &
générale d’appliquer TAlgèbre à la Géométrie. Viete est le premier
qui ait donné une telle méthode. Le secours mutuel que ces deux
Sciences se prêtent, fut pour notre auteur la source de plusieurs
importantes découvertes. Par exemple, il observa que toute équation
du troisième degré, contenant, en général, Ou une seule racine
réelle & deux imaginaires, ou trois racines réelles ; la racine réelle,
dans le premier cas, se trouvoit par la duplication du cube ; & les
ttois racines réelles, dans le second, par la trisection de Tangle. Ori
ne doit pas oublier néanmoins qu’il n’avoit qu’une idée, confuse des
racines négatives,& que "Descartes a'commencé à les faire connoître
distinctement. ' . .v

Les élémens de la doctrine des Sections angulaires3- sont encore"
une invention de Viete. On Tait que Tobjet de cette .théorie est
de trouver les expressions générales des cordes ou des sinus, pour
une fuite d’arcs multiples les uns des autres : Et réciproquement, les
expressions des arcs, quand on connoît les cordes Ou les,sinus. :. elle
a reçu des accroissemens entre les mains de Hermann, Jacques Bernoulli
& Euler…

On regarde ordinairement Deseartes comme. Tinventeur de Tapplication
de TAlgèbre à la Géométrie : on lui accorde à cet égard un
peu plus qu’il ne doit prétendre ; mais il a:fait réellement de cette
méthode un usage si heureux , si: originaT & .6. étendu ,, qu’on a pu
oublier les droits de ses prédécesseurs, & lui attribuer la découverte
toute, entière. II établit ; fur ce. sujet , les principes les plus
lumineux ; il commence par la solution d’uni problême.où tous Tes,
anciens Géomètres avoient échoué, & qu’on peut énoncer ainsi :
Etant données de pofiiion 3 ou trois lignes 3 ou quatre lignes 3 &CJ
trouver.un point, duquel on puiffe mener autant: d’autres lignes 9
telles.qu’elles fajsent avec les premières-de.yangles donnés±ù que le.
Géométrie
mixte.lïv DIS C O U R Srectangle formé sur deux de. ces lignes 'ainfi tirées d’un même
point3ait un rapport donné avec-le quarré de la troisième3s’il
n’y en a]que trois ; ou bien avec le rectangle des deux autres-3s’ily enaquatre, &c. Maisce qiii appartient absolument à Descartes,
& ce qui lui fera un honneur immortel, c’est d’avoir applique TAlgèbre
à la théorie des lignes courbes. II regarde une courbe comme
engendrée par les extrémités d’une fuite de lignes variables, qui
répond à d’autres lignes variables ; &, après avoir formé une équation
qui exprime la loi suivant laquelle ces deux suites de lignes
varient les unes par rapport aux autres, il construit la courbe ; u
fuit fa marche dans Tefpace ; il détermine ses tangentes, ses perpendiculaires
, & en général toutes les affections qui la catacteriscnt.
Cette méthode réunit sous un même point de vue la simplicité &
la généralité. Ainsi , par exemple, une même équation du second
degré, entre Tabeisse & Tordonnée combinées avec des quantités
constantes, peut représenter, en général, la nature des trois sections
coniques ; ensuite les valeurs & les rapports des quantités
constantes déterminent Téquation à exprimer, dans les cas particuliers,
une parabole, une ellipse òu une hyperbole.

On doit encore à Descartes la manière d’envisager & de construire
les courbes à double courbure , en les projettant fur deux plans
perpendiculaires entr'eux, où elles forment des courbes ordinaires,
qui ont une abfcissë & une ordonnée communes.

De tous les problêmes qu’il résout dans fa Géométrie, aucun ne
lui fit’autant de plaisir, comme il le dit lui-même, que fa méthode
pour menér les tangentes à une courbe. Cette méthode donne les
tangentes pat le moyen des perpendiculaires aux points de contingence.
L’Auteur feint que, d’un point quelconque, pris fur Taxe de la
courbe , on décrive un cercle lequel coupe la courbe au moins en
deux points ; il cherche Téquation qui exprime les lieux des intersections ;
il suppose ensuite que le rayon du cercle diminue jusqu’à
ce que deux intersections voisines viennent à coïncider : alors les
deux rayons correfpondans n’en forment qu’un seul qui est perpendiculaire
à la courbe ; & la question est réduite à former, d’après
ces élémens,(une équation qui contienne deux racines égales.- Dans
la fuite , Descartes proposa une autre méthode pour les tangentes :'.
il prend ici hors de la courbe, & fur le prolongement de son axe,
un point autour duquel il fait tourner une ligne droite qui coupe
la courbe au moins en deux points ; il fait coïncider les deux points
d’intersection, en assujettissant, comme tout-à-Theure, Téquation
des intersections à contenir deux racines égales. On voit que les.
deux méthodes sont fondées fur le même principe ;;elles sont Tunes
P RELIMIN AIR É. lv
& l’autre fort ingénieuses , quoique bien moins-simples & moins
directes que celle du calcul différentiel.

Fermât avoit trouvé, avant que la Géométrie de Descartes parut,
fa méthode pour déterminer les maxima & les minima dans les quanticés
qui croissent d’abord, puis décroissent ; ou qui commencent à
diminuer, puis viennent à augmenter. Elle porte fur cette remarque,
qu’en deçà & en delà du point de maximum "on de minimum, 11
y a deux grandeurs égales : -Fermât cherche les expressions de
ces grandeurs, il les égale entr'elles ; &,• supposant ensuite que Tintervalle
des. deux grandeurs est’infiniment petit, il trouve une
équation qui donne le maximum où le -minimum. On détermine
facilement, par ce moyen , lès-tangentes des courbes,en considérant
une tangente comme une sécante, & en faisáht évanouir Tintervalle
compris entre les deux ordonnées qui répondent aux deux
points d’intersections. Ce même principe est, comme on-voit, la'
base du calcul- différentiel’ que -Fermáí n’a' pas Cepëndant ;trouvé,
parce qu’ilfaìloit de plus soumettre la- méthode à' un algorithme
de calcul régulier &: débarrassé dé toutes les^ opérations superflues-.

Nous rapportons à la Géométrie mixte plusieurs ouvrages qui *
parurent dans le dernier siècle, avant la naissance des calculs différentiel
& intégral: non pas que les méthodes qu’on y emploie
soient toutes fondées fur le calcul algébrique, mais parce- qu’elles
font toujours au moins dirigées par Tëíprit de ce calcul. -

Un des plus originaux est la Géométrie des indivisibles de Cavalleri.
La méthode, des anciens pour .déterminer ses surfaces & les solidités
des corps, avoit f inconvénient d’exiger plusieurs détours : il
falloit inserire & circonscrire des polygones à une figure, & chercher
• la limite du rapport entre le dernier polygone inscrit & le. dernier
polygone circonscrit. Cavalleri- marche plus directement au but : 11
regardeÀes plans comme formés par dés sommes infinies de lignes,,
les solides, par des sommes infinies de-plans ; & il prend pour, principe
que les rapports de ces sommes infinies de lignes ou de plans
font les mêmes que ceux des plans ou des solides. Cette nouvelle
Théorie donne fans peine non-feulémént les problèmes de Tancienne
Géométrie, qui font de nature à y être soumis, mais encore plusieurs
autres d’un genre plus difficile. '..-..'

II paroít que la méthode des indivisibles, fur laquelle la Géo-~
métrie de Cavalleri est fondée, n’étoit pas inconnue en France,
quand cet ouvrage parut : car, un peu avant cette époque, Roberval
avoit employé une semblable méthode pour déterminer Taire de ía
cycloïde &r les solides qu’else engendre en tournant • soit: autour de
' fa base, soit autour du diamètre "de son cercle générateur »
Cavalleri, né
en is9i r more
en 1647.Kobervaî, r.c
en 1602 , rao-r-t
en 16/5.-lyj D I S C O U R S- Quelques années après, Toricelli donna ces Théorèmes concernant
la cycloïde, comme de son invention. Roberval voulut « le
faire passer pour plagiaire ; mais on juge, par le tour des démonstrations
de Toricelli, qu’il étoit parvenu , de son côté, aux mêmes
vérités que Roberval, dont vraisemblablement il ne connoissoit pas
Touvrage, - ;

Descartes & Fermât résolurent,'au sujet de la même courbe, un
autre problème alors très-difficile : ils enseignèrent à mener ses
tangentes,

. Un Gépmètre des Pays-bas, Grégoire de Saint-Vincent, se fit de
la réputation dans les Mathématiques, par un ouvrage où il- çherchpit
Ja quadrature du cercle, qu’il ne trouva point, mais rempli,
d’ailleurs de Théories exactes & profondes fur la mesure des onglets
de différens corps formés par la révolution des sections coniques.

Beaune, ami & commentateur de Deseartes , proposa un problême
qui a donné naissance à la célèbre méthode-inverse des
tangentes. Çe prpblême-consistoit à trouver une courbe telle que
Tordonnée fût à ia sous-tangente, comme une ligne donnée est à
la partie de Tprdonnée, comprise entre la courbe & une ligne qui,
coupantl’ordonnée, sait avec Taxé un angle connu. Deseartes indiqua
la construction & plusieurs propriétés de la courbé demandée. .

Wallis avoit, connu & indiqué le principe de la rectification des
courbés, majs fans en faire aucun usage. Un Géomètre, rempli de sa
doctrine ;, Guillaume Neil, développa ce principe,: & en fit Tapplicatipn
à la seconde parabole cubique, où le cube de Tordonnée
est proportionnel au quarré dç Tabícissê :, premier exemple d’une
courbe rectifiée, ' / -.-.-_-■■■.-.

. La cyçlo.ïde çommençoit à être ;un. peu oubliée des^Géomètres,
lorsque Pascal la ramena sur la scène en í 658., & proposa de nou7
veaux problèmes fur cette courbe, en promettant des prix à ceux
qui lès résoudroient. Ces problèmes consistoient à trouver la mesure
&c le centre de gravité d’un segment quelconque de cycloïde, les
dimensions & les centres de gravité des solides, quart de solides,
&c3 qu’un pareil segment produit en tournant autour de Tabscisse
pu de Tordonnnée. Huguens quarra le segment compris depuis le
sommet jusqu’au quart du diamètre du cercle générateur ; Sluze
mesura Taire de. la courbe par une méthode très-élégante ; Wrcn
détermina la longueur 8c le centre de gravité de Tare cycloïdal,
compris depuis le sommet jusqu’à Tordonnée ; & les surfaces des
solides de révolution que cet arc produit : Fermât & Roberval, fur
le simple énoncé des Théorèmes du Géomètre Anglois, en trouvèrent
le ; démonstrations. Mais tontçs ces recherches ne répondoient

pas-.
Toricelli, né :
en ìtìos, mort cn
 16*7.1Grégoire de
Saint - Vincent,
né en 15S4 ,
mort en 1667.Eejunc , né
cn J 601 , mort
en IÍJI.An. 165S.Sluze, né en
I6IJ , mort enWren, né en
J632', mort en
-  ?723-PRELIMINAIRE. . hij
pas, du moins entièrement, aux questions du Programme. Aussi ne
furent-elles pas envoyées au concours. Wallis & le P. Lallouere,
Jésuite, furent les seuls qui, ayant traité tous les problèmes proposes,
prétendirent aux prix. Mais Pascal leur démontra à l’un &
à l’autre,.qu’ils s’étoient trompés en plusieurs points. Lui seul donna
la solution véritable. 6c complette de ses problêmes ; il y en ajouta
plusieurs autres qui-ache-vèrent d’établit fa supériorité en Géométrie,
& de perfectionner la théorie de la Cycloïde. -

Barrow eut une idée heureuse -, & qu’on peut regarder comme
.un nouveau pas vers l’analyse infinitésimale, en formant son triangle
différentiel, pour mener les tangentes des courbes. On fait que ce
triangle a pour côtés 'Télément de la courbe, & ceux de Tabsciíse &
<le Tordonnée. La méthode de Barrow est celle dé Fermât, simplifiés
& généralisée à quelques égards ; elle donne facilement les
tangentes des courbes dont les ordonnées sont rationnelles ; mais
ce n’est pas encore le calcul différentiel.

-Une autre branche de la Géométrie occupa Sluze, qui la porta
au-plus haut degré d’élégance : cest la construction des équations
par les lieux Géométriques.

La Théorie des développées que Huguens publia, en 167.3 jdans
fon Traité de Horologio Oscillatorio , fera toujours regardée çomme
l’une des plus grandes découvertes de la Géométrie. Une courbe
étant donnée, on forme une autre courbe ,-en menant à la première,
une fuite de perpendiculaires qui touchent la seconde : ou
réciproquement, étant donnée unë courbe qui se forme- par une
fuite ; de lignes droites qui la touchent, on détermine la courbe qui
coupe perpendiculairement toutes ces tangentes. Par-là, Huguens
parvint à rectifier plusieurs courbes ; il trouva la belle propriété qu’a
la cycloïde de produire, en se développant, une cycloïde égale &
semblable, posée dans une situation renversée. Les usages de la
Ehé.orie des développées, dans toutes les parties des Mathématiques,
sont innombrables. - .. ;

Les Anglois continuoient d’enrichir la Géométrie de plusieurs nouveautés
remarquables. Brouncker donna ; une fuite infinie , pour représenter
Taire de Thyperbole ; Nicolas Mercator parvint, de son
côté, à la même découverte. Wallis avoit -enseigné, depuis longtems
, a quarrer lés courbes, dont les ordonnées font des monômes ;
fa méthode s’appliquoit également aux. courbes, qui ont pour ordonnées
des quantités complexes élevées à des puissances entières 8c
positives, en faisant le développement de--ces puissances, par les
principes ordinaires de la multiplication. II voulut étendre auíìi
cette théorie aux courbes qui ont dés ordonnées complexes & radit
Tome I, Mathématiques, h>Barrow 3 né
en 1630, mort
en 1S77.hìij D I S C O U R S
cales, en cherchant à interpoler, pour ce cas, de nouvelles fuites,
aux fuites de la première espèce ; mais il ne put y réussir. Neuton
surmonta la difficulté ; il fit plus, il résolut le problême d’une manière
directe & beaucoup plus simple, au moyen de la formule qu’il
trouva pour développer, en une fuite infinie, une puissance quelconque
d’un binome,, quelque soit Texpofant de la puissance, entier
ou rompu , positif ou négatif. La fuite infinie qui résulte de-là, pour
la quadrature du cercle, fut trouvée d’une autre manière par Jacques
Grégori. Ce même Géomètre forma plusieurs autres suites très-curieuses
r dans un Ouvrage qui est resté manuscrit, mais dònt on a
conservé le précis, il donnoit la tangente & la sécante par Tare ,'.-
& réciproquement Tare par la tangente ou la sécante : il formoit
deux fuites pour trouver immédiatement le logarithme de la tangente
ou de la sécante, quand Tare est donné ; & réciproquement
le logarithme de Tare, par celui de la tangente ou de la sécante:
enfin il appliquoit cette théorie des suites à la rectification de Tellipse
& de Thyperbole.

L usage des fuites,, dans la géométrie ,. fit auíli des progrès en
Allemagne. Léibnitz donna une méthode pour transformer une
surface curviligne en une aurre dont les parties, supposées égales à
celles de la première, eussent d’ailleurs une figure & une position y
telles qu’on pût appliquer à la quadrature de cette dernière courbe
les méthodes de Mercator & de Wallis.
Astronomie.. Nous trouvons, sous cette période , une foule d’Astronomes ;,
r parmi lesquels il y a des génies du premier ordre.
Copernic, né
en 1472, mort
Ce titre est du a Copernic ^ qui s’offre ici à nous des premiers.
Quoique né en 1472-, il ne put se livrer entièrement à son gout5
pour TAstronomie, que vers Tannée 15.07. L’explication des mouvemens
célestes, dans le système de Ptolomée, avoit d’abord choqué
fa raison. II y trouvoit urr-embarras & une obscurité qu’il ne. pouvoit
concilier avec la simplicité des loix ordinaires de la naturesInstruit
que les Pythagoriciens avoient transporté , du soleil à la terre,,
le mouvement de révolution dans Técliptique, & que d’autres Philofoph.es
anciens, en laissant la terre au centre de notre monde planétaire
, lui avoient attribué d’ailleurs un mouvement de rotation autour
de son axe, pour expliquer les "vicissitudes des jours & des,
nuits ; il combina ensemble ces deux idées, & il se convainquit,,
par une longue fuite dé méditations, que la terre avoit en esset ce
double-mouvement.. Alors les directions, les stations.,. & les rétrogradations
des planètes,, vinrent s’expliquer avec une facilité qui
Tétonna lui-même. U répondit,, d’une manière victorieuse , aux principales
objections qu’on pouvoit lui: opposer,: celles qui laiflòienE
PRELIMINAIRE. lìx
encore quelque nuage, furent levées, dans la fuite par les observations
même, comme il Tavoit prédit. Toute, fa doctrine est expliquée
dans son fameux Livre de revolutionibus coelejtibus 3 qui fut
composé vers Tan 1530, mais qui ne parut qu’en 1543 : Tauteur
mourut le jour même qu’il en reçut le premier exemplaire entièrenient
imprimé.

Le íyfíême de Copernic étoit si simple, si satisfaisant, si conforme
à toutes les loix de la Méchanique & de la Physique céleste, qu’il
auroit été d’abord adopté de tous les astronomes, si un zèle religieux,
mal entendu , n’avoit cru en trouver la condamnation dans
quelques passages de TEcriture Sainte : comme si les Ecrivains sacrés,
dans une question de pure philosophie, dévoient se conformer à la
vérité astronomique, qui ne peut être entendue que des Savans, &
non pas au langage vulgaire", qui est à la portée de tous les hommes !
Nous voyons avec peine, que Tycho-Brahé ait sacrifié ses lumières ,
& peut-être fa conviction intime à des considérations qui ne fembloient
pas faites pour Tébranler ; mais pardonnons-lui cette erreur,
ou cette foi blesse, en faveur des nombreuses òhser varions &£ découvertes
dont il a enrichi TAstronomie^ En rendant à la terre, fa prétendue
immobilité, il faisoit circuler.àu-tour d’elle, d’abord la lune,
ensuite le soleil, qui emportoit dans fa sphère de révolution , les
"autres planètes, Mercure, Vénus, Mars,,Jupiter & Saturne. II expliquoit
ainsi ,"d’une manière assez satisfaisante, lés apparences des
phénomènes célestes alors connus. Je dis alors connus, parce que
la Théorie de {'aberration de la lumière des étoiles fixés ne permet
plus aujourd’hui de douter que la terre autour du soleil. Mais
Tycho étoit trop éclairé d’ailleurs , pour ne pis reconnoître que
son fystême choquait, presque autant que celui de Ptolomée, lesloix
de la Méchanique. Sa vraie gloire est d’avoir été un excellent
observateur, & d’avoir jette les fondemens des nouvelles théories
astronomiques, ou par ses propres travaux, ou par ceux des disciples
& des coopérateurs qu’il s’étoit associés dans fa petite Ville
d’Uranibourg. II détermina , plus exactement qu’on n’avoit fait encore
-j- le mouvement des planètes : celui que Ton connoît à la lune,
sous le nom de variation ì est Tune de ses découvertes. L’Astronomie
des comètes, qui place ces^astres au nombre des planètes , & qui
cherche à calculer leurs orbites, a pris naissance entre ses mains.

Nous n’oublierons pas Guillaume IV , Landgrave de Hesse- Cassel,
Contemporain de Tycho. Ce Prince, fit bâtir, dans fa Capitale, un
observatoire qu’il garnit des meilleurs instrumens alors connus-' ; &
il y observa lui-même la position de plusieurs étoiles , & ses hauteurs
solstitiases du soleil en 15.85 & 1587.
' - \ ■ kij /■ '
fycho-Brahé,
né en 1*46 ,
mort en líoi.Guillaume IV,
né en rjji »
mort en 1592.7*. D I S C 0 U R SRéforme du
Calendrier, en
158:.
, Ce tems est encore célèbre par la réforme du calendrier. Le de1
sordre qui s’étoit introduit dans la manière de régler la fête de
Pâques, parmi les Chrétiens, demandoit qu’on y apportât enfin du
remède, & on s’en occupoit effectivement depuis près d’un siècle.
Cet ouvrage fut achevé, en 1581, sous le Pontificat de Grégoire
XIII. On sair que les Juifs célébroientleur Pâques le quatorzième jour
du premier mois , c’est-à-dire du mois où la pleine lune arrivoit
le jour même de Téquinoxe, ou le jour qui fuivoit immédiatement.
JDans la primitive Eglise , on avoit statué que la Pâques des Chretiens,
instituée en mémoire de la résurrection de Jésus-Christ, íeroic
célébrée le premier dimanche qui arrivoit après la Pjtques Juive ,
parce'que Jeíùs-Christ étoit reslusciré à pareil jour ; mais on étoit
souvent embarrassé à le fixer, & on le çhoisissoit ordinairement au
hasard. Lé Concile tenu à Nicée, en 3-15 , supposant que Téquinoxe
du printems arrivoit toujours le % 1 Mars , avoir ordonné d’ailleurs -,
qu’on régleroit le mois lunaire & Tâge de la lune, d’après le cycle
de Meton ; mais il y avoit, dans cette disposition, deux petites erreurs
astronomiques, dont les effets accumulés dans une fuite de siécles,
étoient devenus très-sensibles. Léquinoxe du printems qui, en 3Z5 ,
tomboit au zi\ Mars, tomboit au 11 Mars en 1581 ; & d’un autre
côté, Tâge de la lune ne quadroit point avec ses suppositions du
cycle'Métonien. Grégoire XIII , par une bulle donnée au mois de_
Mars í 5 8 % , retrancha tout d’un coup 10 jours au mois d’Octobre,
pour ramener Téquinoxe du printems, au 2.1 Mars de Tannée suivante ;
& il fixa les corrections qu’exigeoient pour "Tavenir, la préceffion
des équinoxes &c les inégalités du mouvement de la lune >
que Ton commençoit à mieux connoître. Le nouveau calendrier,
après avoir essuyé plusieurs contradictions, fur-tout de la part des
Protestans, est aujourd’hui en usage dans tous les pays Chrétiens ;.,
mais il est encore sujet à des imperfections. On ne peut pas nier
que fa. forme ne soit très-compliquée & très-incommode. II seroit à
désirer qu’on abandonnât’tout xet appareil des épactes & des lettres’
dominicales, quelque ingénieux qu’on le suppose, & qu’on déterminât
immédiatement, par le calcul astronomique ordinaire, la fête
de Pâques & les autres fêtes mobiles,- ce qui est exact & n’a aucune
difficulté.
Keplcr, né en
15711 mort en
1-631.
Keplet, doue d un profond génie, & guide par les observations
de Tycho, s’est immortalisé pout avoir substitué Tellipse au cercle ,
dans les mouvemens planétaires, & pour avoir découvert ces deux
loix célèbres qui sont la base de la Physique céleste moderne , &
en particulier, de la théorie Ncutoniene : i.° Que les planètes décrivent
autour du soleil, des aires proportionnelles au tems. i.° Que
PRELIMINAIRE. Ixj
les quarrés des tems des révolutions des planètes sont comme les
cubes de leurs moyennes distances au soleil.
L L’invention du Télescope, qui íe sit au commencement du'XVIIe
fiècle, & qu’on attribue le plus vrâiserhblablement à Jacques Metius,
père d’Adrien Metius, dont nous avons parlé, servit non-seulement
,à perfectionner Tancienne Astronomie, mais encore à découvrir ,
dans les espaces célestes, de nouveaux corps que la simple Vue ne
pouvoit distinguer. Muni de cet instrument, Galilée apperçut lë
premier, en rí-ro, les Satellites de Jupiter. II reconnut, par. le même
moyen, les phases de Vénus, qui sont à peu-près semblables à celles
de lá lune ; & il mit, dans plusieurs observations des planètes, une
précision que l’on ne corinoissoit pas. Tout le monde fait, qu’ayant
adopté le système de Copernic, avec un éclat peut - être indiscret
dans se pays qu’il habitoit, il fut cité au tribunal qui usurpe le nom
de Saint-Office, enfermé dans ses cachots, & obligé, pour recouvrer
fa liberté, de rétracter à'genoùx une opinion dont il étoit intérieurement
convaincu. La postérité n’a pas oublié cet outrage fait à la
raison ; & tôt ou tard , le tribunal de Tinquisition expiera ce crime ,
& tant d’autres qu’<un fanatisme absurde lui a fait commettre.

Si la découverte du Téleseope fut, comme on le croit,, TeíFet
du hasard, elle donna du moins la nahìance à des recherches fur
la réfraction de la lumière , qui firent de cette branche de Toptique ,
une science toute nouvelle. Antonio de Dominis , Archevêque de
Spalatro, Capitale de la Dalmatie, esquissa la théorie de Tarc-enciel,
perfectionnée depuis, & portée au dernier degré de précision
& d’évidence. Snélîius, Mathématicien Hollándois , découvrit -que
lorsqu’un rayon de lumière passe d’un milieu dans un autre, il change
de direction, de telle manière que, dans tous les cas,.ii existe
un rapport constant entre deux lignes qu’il assigne, &: qu’on trouve
proportionnelles au sinus de Tangle d’incidence, & au sinus de
Tangle rompu. L ouvrage, où il établissoit cette propriété remarquable
deTa réfraction, n’a jamais été imprimé. Descartes,a donné,
fous la forme que nous ,venons d’indiquer , le même Théorème,
fans citer Snellius ; d’où quelques François ont conclu qu’il en étoic
Tinventeur ; mais Huguens assure que Descartes avoit vu les manuscrits
de Snellius.

On est d’abord porté a. croire que la réfraction de la lumière
dépend, comme celle des corps solides, de la résistance des milieux ;'mais
cette idée, si naturelle en apparence, se trouve fausse.'^
Tin rayon lumineux qui passe d’un milieu dans un autre plus dense,
s’approche de la perpendiculaire à la surface qui sépare les deux
milieux, au lieu de s’en éloigner, comme il devroit íc faire, s’il
Télescope on
Lunette Astronomique.Galilée , né
en 1564, mort
en i6.) z.Progrès de là
Dioptrique.Antonio de
Dominis , né en
15S1 ,'mort en
,1625.Snellius , né
en 1571., mort
en 1626.îxij DISCOURS
étoit détourné de sa direction par la résistance du milieu, puisqu’une
plus grande densité doit produire une plus grande résistance. Deseartes
voulant assimiler la réfraction de la lumière à celle des corps solides,
expliquoit le premier phénomène d’une manière qui éprouva
les plus vives contradictions de la part de plusieurs Géomètres ses
Contemporains. Fermât, entrautres, la combattit par des raisons
qui, fans être absolument péremptoires , la rendoient au moins fort
douteuse. II essaya de résoudre lui-même la question par une autre
voie. Les anciens avoient supposé qu’un rayon mu toujours dans
un même milieu, va d’un point-à l’autre par le chemin le plus
court., d’où il réfultoit que dans le cas de la réflexion, Tangle de
réflexion devoir être égal à Tangle d’incidence. Fermât crut que
pour la réfraction, le rayon passant d’un milieu dans un autre, devoit
faire le chemin total par le tems le plus court ; & il concluoit en
.ester de-là, que, d’un milieu rare à un milieu dense, le rayon s’approcheroir
de la perpendiculaire. La même métaphysique conduisit
dans la fuite Leibnitz, à. envisager ce problême sous un autre point
de vue. 11 prétendit que le rayon de lumière devoit prendre, d’un
milieu à l’autre , le chemin le plus facile, estimant cette facilité par
le rapport inverse composé de la longueur du chemin & de la
densité du milieu. Mais toutes ces solutions, fondées fur les loix des
causes finales, sont fort hypothétiques & très-souvent illusoires. Un
examen appuyé fur la Géométrie. &c la Méchanique , a banni ces
explications sse la Physique, & a fait trouver , dans la théorie générale
de Tattraction , la véritable cause de la réfraction de la
lumière.
Microscope. A mesure qu’on approfondiíìbit Toptique , elle: fournissoit de
nouveaux instrumens utiles aux Sciences. De ce nombre est le
Microseqpe, qu’on employa bientôt pour faire une multitude d’observations
de Physique & d’histoire naturelle, où la vue a essentiellement
besoin d’être aidée par le secours de Tart.
Couronnes ,
píthélies, paraíélènes.
Un avoit expliqué avec iuccès les phénomènes de l’arc-en ciel :
on réussit également à expliquer ceux des couronnes, des parhélies
& des parafélènes. Je n’ai pas besoin de dire que les couronnes sont
des anneaux circulaires de lumière que Ton voit quelquefois pendant
se jour, autour du soleil, & pendant la nuit, autour de la
lune ; les parhélies, des faux soleils, ou des soleils apparents autour
du véritable3 & de. même, les parafélènes,"dé fausses lunes. Ces
phénomènes ont été apperçus dans tous les tems ; mais on a commencé
seulement, dans le siècle dernier, à les observer avec exactitude.
Car Aristote, & Cardan dix-huit siècles plus tard , avancent
qu’on ne voit jamais plus de deux parhélies ensemble, tandis que
P RE L t M I N A I R E. ïxiíj
ïéelîement, en y apportant Tattention nécessaire, on en remarque
souvent un plus grand nombre. Par exemple, on,vit cinq soleils à
Rome, le z 9 Mars 16x9 ; sept à Dantzick , le z o Février 1661, &cOr,
est-il probable, dit Huguens, qu’il ait paru, en un si petit
nombte d’années , six ou sept parhélies tout à-la-fois, & que le
même phénomène n’eut jamais paru dans les tems antérieurs ? Sans
douté on ne regardoit autrefois, comme de vrais parhélies, que les
deux parhélies ■ latéraux, qui sont en effet les plus considérables,
& On ne faisoit pas attention aux autres , comme plus foibles &
plus languissants. Deseartes entreprit d’expliquer toutes ces apparences
 ; mais son explication étoit un peu vague, &z même
fausse à certains égards. Huguens la rectifia , & soumit la matière à
une théorie lumineuse & convaincante. En général, personne n’a
plus contribué que lui à perfectionner les différentes parties de
TOprique.

L’Astronomie avahçoit toujours. En 163-1., Gassendi vit mercure
■ fur le soleil, & c’est la première observation de ce genre ; Horoccius
en fit une semblable pour venus, en 1 6.39. Morin indiqua la manière
de résoudre le fameux problême des longitudes, par. le moyen des
observations Astronomiques ; 8z pour faire ces observations avec
plus d’exactitude, il proposa d’appliquer une lunette au quart de
cercle, idée que -Ton a attribuée mal-à-propos à des Astronomes
postérieurs. Hévélius, outre un grand nombre d’observations fur les
taches du soleil & sur les éclipses, donna une excellente- description
de la figure de la lune ; il perfectionna de plus la théorie des
Comètes. Je pourrois citer plusieurs autres. Astronomes distingués,.
fi. je n’étois forcé d’abréger. -

On cherchoit depuis quarante ans, fi , à Texemple' de lá terre
& -de Jupiter, les autres planètes n’avoient pas des satellites. En<
1/355 ' Huguens en découvrit un à faturne, celui- qui est aujourd’hui
le quatrième dans Tordre de la distance à cette planète. Bientôt
après, il fit une découverte encore plus importante. Galilée
avoit reconnu, avec le secours du télescope-, les principales apparences
que produit cette espèce d’anneau-.dont faturne est, environné ;
mais il ne put ên assigner la véritable cause , ni en prédire
exactement les phases. D’autres Astronomes n’eurent pas un succès
plus heureux. Enfin 5 Huguens, aidé d’une excellente lunette qu’ilavoit
construite lui-même,. trouVa. que Tanneau de faturne étoit un’
corps solide, mince,, détaché: de cette planète,- & incliné sur le
plan de Técliptique. De-nouvelles obferv-arions luifournirent lemoyen
de développer davantage cette, théorie, & d’en établir la vérité avec ;
une pleine évidence,.
GásserráT, neen
iji/z , mort
en 1655.Horoccius,néen
1S19 , mort"
en r64i.Morin, né erc
1583, mort en1635.Hévélius s- né ;
en 1611, BIGIS
en 1688.Quatrième &teìlite
 de Sà*-
turne ;Anneau elc-Saturne.-An. ; ÎÍT’ÎS.-- ,.Ixiv D I S COU R S s
Pendant que les Sciences, appuyées fur la Géométrie &: 1 Ot>-« 
scrvation , marchoient si rapidement , la raison abandonnée a
elle-même, ou égarée par les subtilités de la Métaphysique> ne
secouoit qu’avec peine le joug de certaines opinions superstitieuses
& chimériques. Par exemple, onoroyoit, en ce tems - là , que
le nombre des planètes principales, & celui des planètes secondaires
dévoient être égaux. Huguens lui-même en étoit si persuade,
qu’après,avoir trouvé un satellite à Saturne, ce qui'établissoit légalité
dont nous venons de parler, il ne craignit pas d’avancer que le
.système planétaire étoit complet,. & qu’on ne.devoit plus espérer
de voir à Taveni.r de nouveaux satellites. Cependant le célèbre
Dominique Cassini découvrit encore successivement quatre satellites
à Saturne: savoir, le 3.", le 5.", Ie i-,et& le z. ? II s’étoit déjà fait la
réputation d’un grand Astronome , qu’il soutint & augmenta durant
fa longue carrière.

L’Açadémie des Sciences de Paris, établie en 1666, ne se borna
pas à les cultiver paisiblement dans d’enceinte de cette ville. Plusieurs
de ses membres entreprirent de longs voyages, dans Tintention
principalement dé perfectionner TAstronomie. On fit des observations
de toute espèce ; ' on. étudia la théorie des réfractions qui
altèrent continuellement la position des astres pour le spectateur ; 011
détermina les parallaxes des planètes, d’où dépendent ses dimensions
de leurs orbites. Malgré ses soins qu’on se donna, on ne put
alors fixer, avec une certaine précision, la parallaxe du soleil : 011
la trouvoit d’environ douze secondes ; ses observations faites de nos
jours ne la portent guères au-dessus de huit secondes.

L’Abbé Picard, Astronome distingué, par son exactitude .dans le
choix & Tissage des instrumens propres aux observations, s’occupa
de la mesure de la terre, objet essentiel à la Navigation & à la
Géographie. Tous les moyens que les Grecs, les Arabes, & même
plusieurs Astronomes modernes avoient employés pour cette mesure,
n’étoient. pas susceptibles d’une précision suffisante.. Le seul Fernel,
Médecin de Henri II, en suivant une méthode très - incertaine,
avoit néanmoins déterminé, par une espèce de hasard, à-peu-près la
valeur exacte d’un degré de la terre. Picard mit en pratique, dans
cette fecherche, des opérations conformes aux loix de TAstronomie
& de la Géométrie. II mesura Tare céleste, compris entre Sourdon,
en Picardie, 8c Malvoisine, dans ses confins du Gatinois & du
Hurepoix ; ensuite, par la comparaison de cette mesure, avec celle
de Tare terrestre, déterminée au moyen d’une suite de triangles qui
se lioient les uns aux autres, òc dont le premier étoit établi fur une
base çonnuç 3 il conclut que la longueur du degré terrestre étoit de

570<?$.
Dom. Caflînì,
né en 1625 ,
mort en 1712.Ficard.néeri
, . . . mort en
rSS2.Mesure d’un
degré (lu méridien.An, 1670.PRELIMINAIRE. hv
'57060 tojsès, & la circonférence entière d’un grand cercle de la
terre, dezo54i<Joo toises.

Oh attribuoit généralement à la terre la forme d’une sphère parfaite.
Mais cette hypothèse n’étoit pas vraie à la rigueur. Une expérience,
à jamais célèbre, que Richer fit à Cayenne, fut le germe d’une
nouvelle Théorie fur cé sujet, & de toutes ses grandes opérations
que Ion a faites dans ce siècle pour en comparer les résultats avee
ceux de la 'nature. Cet Astronome attentif trouva qu’il falloit diminuer
d’environ une ligné & un quart la longueur du pendule qui
battoitles secondes à Paris, afin de lui faire battre aussi les secondes
a Cayenne. Après plusieurs diseussions fur. la cause de ce phénomène,
on reconnut enfin qu’on ne pouvoit TexpTiquer que par une diminution
de la gravité, en allant des poses vers Téquateur. Mais cette
diminution de la pesanteur, comment Texpliquer elle-même ? Huguens
observa qu’en vertu du mouvement de rotation de la terre autour
dé son axe, la force centrifuge devoit diminuer la gravité, depuis
un pose'jusqu’à Téquateur ; que cet esset avoit eu lieu dans la formation
du globe rerrestre ; & que par conséquent ce globe avoit du.
prendre la forme d’un sphéroïde applati vers les poses. Neuton étoit
parvenu, de son coté, à la même conclusion. Ils différaient d’ailleurs
fur là figure du sphéroïde & fur la quantité de Tapplatiísement, parce
qu’ils avoient employé, pour les déterminer, des élémens qui n’étoient
pas tout-à-fait les mêmes. Toutes les mesures modernes ont constaté
Ie fond de cette Théorie, c’est-à-dire, Tabaissement de la terre
.vers les pôles. .

La découverte de la propagation successive de la lumière, est
à-peu-près de la même époque. Depuis que Ton connoissoit les ■
satellites de Jupiter, on s’étoit appliqué avec soin à déterminer leurs
mouvemens ; & Dominique Cassini étoit parvenu/ à construire des
Tables qui représentoient, avec beaucoup d’exactitude, leurs révolutions,
& leurs éclipses causées par Tombre de Jupiter. Cependant
Roemer , qui observoit assidûment le premier satellite, s’apperçut
que, dans les éclipses, il fortoit de Tombre, en certains tems quelques-
minutes plus tard, &' en d’autres quelques minutes plutôt qu il ■
nauroit dû faire. De plus, en comparant ces tems les uns’ avec les
autres, il reconnut que le satellite fortoit plus tard de Tombre,
lorsque la terre, par son mouvement annuel, s’éloignoit de Jupiter,
& plutôt quand elle s’en approchoit. De-là il forma cette conjecture
ingénieuse, bientôt convertie ert démonstration, que le mouvement
de la lumière n est pas instantanée, 81 qu’elle emploie un certain,
tems pour arriver du corps.lumineux à Tceil de l’Observateur. Suivant
ses premiers calculs, elle devok mettre environ onze minutes à
Tçme I. Mathématiques. ' ■ i "
Figure de li
terre.Richer, né eamort enIóSfi.An. 1Í72.. -Propagation
successive de lî
lumière.,E.oemer, né
en 1644 , mort
en 1710.An. 1676'iïxvj DISCOURS
parcourir le rayon de Torbite terrestre ; il trouva depuis que la vitesse
de ce fluide étoit un peu plus grande. Aucun phénomène n’est
plus remarquable que celui-ci dans la Physique céleste, ni plus
essentiel, comme élément, dans les théories Astronomiques ': il assure
Timmortalité au nom de Roemer.

A chaque pas que fait une Science, ses arts accessoires, fur-tout
ceux qui sont utiles à la société, prennent des accroissemens proportionnés.
La Navigation & la Gnomonique Ont ainsi éprouvé Tinfluençe
des progrès de TAstronemie,

Navigation. En bornahr toujours Tusage des cartes plates à représenter de
petites étendues de terrein, on pouvoit éviter Tinconvénient qu’elles
ont d’exprimer par des lignes égales les degrés des deux cercles parallèles
qui terminent la. carte nord & sud, & donner la proportion

An. i5jo. convenable aux expressions de ces degrés. Gérard Mercator, Geographe
des Pays-bas, en fit la remarque, qui est d’ailleurs fort simple
& fort élémentaire. Edouard Wright,, le même dont il reste des
observations astronomiques parmi celles de Horoccius, développa
Tidéë de Mercator, ou plutôt, envisagea la question sous un nouveau
point de vue. Ayant remarqué que le rayon d’un parallèle, en allant
de Téquateur au pôle, diminue en même raison qu’augmente la
sécante de la latitude , il proposa de construire des cartes d’après
ee principe. On ses appella cartes réduites. L’invention en est trèsingénieuse
: elles s’introduisirent dans la Marine, vers Tannée 1630.
On a calculé depuis des Tables pour en perfectionner la théorie &c.
la pratique. La Loxodromie ou la roure que fuit le vaisseau fur la
surface du globe, par un même rhumb de vent, est une courbe à
double courbure : sur la carte réduite, elle est une courbe ordinaire
dont la longueur est d’autant plus facile à calculer, que, dans la
pratique, le problême se simplifie encore. Jamais le vaisseau ne fuit
une même Loxodromie pendant une longue Navigation : car toutes ;
ses mets sont interrompues par des ifles ou par des continens ; &
d’ailleurs on change souvent de direction-, soit poUr chercher des
vents favorables, soit pour éviter des écueils, ôc. La route entière
du vaisseau est donc composée de plusieurs parties de Loxodromies
différentes ; & chacune de ces parties, considérée séparément, peut
se confondre dans la plupart des cas,~ fans- erreur sensible, avec la
fimple_ligne droite..

La Navigation tira un nouveau secours de TAstronomie, en s’appropriànt
Tusage de plusieurs instrumens pour diriger la route du
vaisseau d’après Tinspection des astres. Mais on sent qu’à cause de la
mobilité continuelle du vaisseau,Tes observations en mer. ont du.
être, pendant long-tems, fort imparfaites.
P RE Ll MIN AIR E. ïxvij
L’art de construire des cadrans est très-ancien. Rien n’étoit en
effet plus naturel & plus utile que de chercher à cónnoître la position
du soleil au-dessus de Thorizòn, pour un instant quelconque
de la journée ; & on ne fut pas long-tems à s’appercevoir qu’un
moyen 1 méchanique très-simple , pour y parvenir , étoit de marquer
la route de Tombre que jette fur un plan ou fur uné surface quelconque,
un corps opaque exposé au soleil. On fit aussi , d’après
cette même idée, des cadrans éclairés parla lune ou par les étoiles.
L’invention des cadrans solaires est d’Anaximandre, selon Diogène
de Laërçe ; & d’Anaximène, selon Plinei Vitruve, qui vivoit au
tems d’Auguste, fait une longue énumération de cadrans construits
par divers Philosophes ; mais iln’en explique point les principes
théoriques. On ne commence à trouver que dans les Ecri- ?
vains du seizième siècle, la Science de la Gnomonique. Ori croit
que Munster & Oronce-Finé sont Tes premiers qui en aient publié
dés Ttaités. Maurolic donna la Théorie géométrique &■ astronomique
de la construction des cadrans. Le Père Clavius, Jésuite,
publia, en 158 r, un Traité très^éstimable de Gnomonique. On a
depuis tant écrit de semblables ouvrages, que lé détail en seroit aussi
fastidieux qu’inutile.

On trouve aussi dans les Auteurs du seizième siécle la Perspective
réduite en art scientifique. La Perspective est fi essentielle a la Peinture,
que les anciens n’ont pu manquer d’en connoïtre au moins
la pratique. Vitruve entte, à ce sujet, dans des.détails qui prouvent
que les Grecs avoient porté cette pratique fort loin ; Mais il paroît
que Pietro-Delburgo 3 en Italie, & Albert Durer 3 jen Allemagne,
sont les premiers qui aient donné des règles précises & certaines
pour mettre les objets en perspective^ En 1 600, Guido Vbdldi
traita cet art d’une manière conforme aux principes de la Géométrie
& de TOprique. " ' . : :

La Méchanique statique né fit, quant à la Théorie, aucun progrès
depuis Arehimède, jusqu’au dix-septième siècle. Seulement on
imagina de tems en tems des machines très - ingénieuses, fondées
furies principes de cette Science. Stevin, Mathématicien Flamand,
paroît être le premier qui ait donné le véritable rapport du poids
à la puissance, pour un corps en équilibre fur un plan incliné. îl
a traité plusieurs autres questions de Statique. Les moyens qu’il
emploie pour déterminer les conditions dé Téquilibre éntre plusieurs
forces dont les directions concourent en un même points
reviennent, dans le fonds, au fameux principe du parallélogramme
des forces ; mais il ne paroît pas en avoir senti Timportance & la
fécondité.
sinoinoniquê.Munster , né
en 14.SS, mort
en r552.Oronce-Biné,
né en 1494-,
mort en 155$. .Claviu » , né
en 1537, mort
en iír2.PerspectivesAlb-ert Durer ;
né en 1471 ,
mort en 1528.Ubaldi, né en
1 ssì , mort e*
1617.Méchanîcnie,Stevin, né en
…. jtioit enIxvîij D I S CO U R S
En 1592^ Galilée composa un petit Traité de Statique, qu’il
réduit à ce principe : il faut toujours la même quantité absolue de
■puissance 3 pour élever un fardeau de deux livres a la hauteur d’un
pied 3 ou pouf élever un fardeau d’une livre a la hauteur de deux
pieds ; d’où il étoit aisé de conclure que, dans toutes les machines
en équilibre, les forces qui se combattent sont réciproquement pro^
portionnelles aux espacés quelles tendent à parcourir dans le mémo
tems. Deseartes employa, dans la fuite, ce même principe pour
déterminer de la manière la plus simple & la plus, claire les conditions
de Téquilibre, pour toutes les machines simples.

La Théorie du mouvement, inconnue aux anciens, doit son
origine à Galilée. Je ne parle pas du mouvement uniforme, car
les principes en sont si simples, si élémentaires, que la plus légère
attention suffit pour les comprendre. Mais la Science du mouvement
varié & celle des loix suivant lesquelles plusieurs corps agissent
les uns fur les autres,. par se choc, ou de toute autre manière ; étoient
totalement ignorées, lorsque Galilée ouvrit cette nouvelle carrière ì
& s’y couvrit d’une gloire qùi né le cède point à celle qu’il a méritée
par ses découvertes astronomiques. : ,

Én voyant tomber une pierre, on jugeoit fans peine que son
mouvement n’étoit pas uniforme, & qu’il s’accélère de plus emplus,
puisque la pierre, dont la masse demeure la même, frappe un coup
d autant plus fort qu’elle tombe de plus haut. Mais il falîoit trouver
la proportion, suivant, laquelle ce mouvement s’accélère. Galilée
pensa que chaque molécule dont un corps est composé étoit ellemême
un petit corps ; que tous ces petits corps élémentaires étant
supposés égaux, la pesanteur les affectok également ou leur imprimoit
des vitesses égales ; & qu enfin les coups de la pesanteur se
rénouvelloient continuellement en ; quantités égales, pendant les
parties égales & foccessives du tems. D’où il réfultoit que le mouvement
des corps gravés devoit être uniformément accéléré. Toutes ■
les expériences ont confirmé cette- idée, qui est devenue, une loi
fondamentak.de la Méchanique.. Heureusement Galilée ne s’étoit
préoccupèl-imagination d’aucun système sur la cause de la pesanreur:
car, s’il avoit cru, pair exemple, comme quelques-uns des Philosophes
ses successeurs, que ses corps sont poussés vers le centre
de la terre par-les coups d’une matière subtile ambiante,, il auroit
manqué la vérité, les coups dont il s’agit n’étant point égaux, ni
proportionnels aux masses.
Toricelli, né
« n 1608, mort
n 1647. ; Parmi les Philosophes qui saisirent & commentèrent la Théorie
de Galilée sur la chute,des graves, on doit distinguer Toricelli,
son Disciple, qui publia, en 1644, un ouvrage très-élégant, intitulé ;
De Motu 'gravium naturaliter accelerato.
PRELIMINAIRE. IxixLés Loix de la communication des mouvemens n’avoient pas
Encore été examinées. Deseartes les chercha ,& crut les avoir trouvées.
Ses principes métaphysiques Tavoient conduit à supposer qu’il
existe toujours la même quantité absolue de mouvement dans le
. -monde. Ainsi, selon lui, lorsque deux corps se choquent, la somme
 ;de leurs mouvemens, après le choc, est. égale à la somme de leurs
mouvemens- avant le choc. Mais la proposition n’est vraie que pour
le cas où lés deux, corps marchent dans le même sens avant le
.choc : elle est.fausse,quand les deux corps viennent à la rencontre
l’un de l’autre ; car alors la somme des mouvemens, après: le choc,
-est égale,, non pas à la somme, mais à Ta différence des mouvemens
avant le choc. Deseartes n’a donc rencontré la. vérité .que
pour les mouvemens dirigés dans le mêmé. sens ; il .s’est.trompé
pour les aurres.
En 1661 y Huguens, Wallis & Wren. découvrirent,. chacun de

leur côté, & fans s’être rien communiqués car les preuves en ont

•été bien établies ) , les véritables Loix du choc des’corps. La base

de leurs recherches, à ce sujet, est que,dans la percussion mutuelle

. ,de -plusieurs corps, la quantité absolue de mouvement du. centre

de gravité est la même áprès qu’avant se choc ;, ce qui comprend

la première proposition de. Descartes., & rectifie la seconde. De

plus, lorsque les corps sont élastiques, la vitesse respective est la

-même après qu’avant le choc. … ./ : : - - : • ;:::.. .

 ; Quelques tems après, la Méchanique fit un nouveau'pas pTusigrand

encore que celui dont nous venons de parler. Huguens, dans:'son

Traité de Horologio- Ofcillatorio3 étendit la théorie delà chute

des graves au mouvement curviligne, & résolut le célèbre problême
du centre d’oscillation du pendule compvsé, où^Deseartes l&.plu-fieurs

autres grands Géomètres dexe tems-là avoient.échoué. Dans

-Texamen particulier du .mouvement ides’ graves/le long, dunarci de

.cycloïde, il trouva cette proposition remarquable, qui fuffirolt seule

pour Timmorraliser :qu’un corps grave parcourant, un.arc de cycloïde

renversée arrive toujours à la verticale, en:tems égaux, de quelque

-point qu’il soit supposé .partir. Sa Théorie:des.centres.d’oscillation

,a été la source de cette, classe nombreuse & intéressante de problêmes

où il s’agit de déterminer lès mouvemens… que prennent-plusieurs

corps qui agissent les uns íur'íesautrespar des verges,.par des fils,

ou d’une manière équivalente. II y employa un principe très-vrai,

 ;.& néanmoins contesté parde savans Géomètres, parce que tel est en

général, le fort des vérités nouvelles, dont la:liaison--avec.les vérités

 ;déjà connues éss.dimcile'à saisir. Ce principe porte qne^_/z3 lorsque
lé centre, de gravité d’un, pendule composé est .descendu d’un pointLoixdumoo,veinent.An. 1673.Ixx DIS COURS •■'*■quelconque jusqu’à la ligné, verticale qui passe par le point de
suspension, tous les poids dont il est composé venoient^ à se détachersubitement,
& que chacun d’eux remontât alors verticalement
avec la vîtefje qu’il a en ce moment3le centre de gravité du système
remonteroit précisément a la hauteur d’oà lé centre de gravité dii
pendule-composé est descendu. Aìdevmt célèbre dans la fuite, fous
le nom de Principe de la Conservation-des forces vives. ;

Ce même ouvrage de.Huguens contient la:Théorié des développées
& celle des forces centrales dans le cercle. En.appliquant
ces deux Théories aux loix astronomiques de Kepler.., on en voit
-naître tout le système dé la gravitation universelle. Huguens a préparé
les matériaux : Neuton a élevé Tédifiee. : .. . - :

Hydrostatique. ON ARRIVE depuis Arehimède jusqu’à Stevin, sans rencontrer, petsonne
qui ait écrit fur la théorie de THydrostatique, ou qui ait-du
moins ajouté qûelqué vérité intéressante à cette théorie. Le Géomètre
Flamand détermine la pression des fluides contre les surfaces.
:qui les soutiennent : il’prouvé qu’elle est toujours comme: lé pro■duit
de la base par la hauteur ; mais, quoiqu’il ait connu & dé--
.montré, exactement les principales propositions de THydrostatique,.
íln’en ;a:pàs assez fait sentir la liaison réciproque. Le premier traité
méthodique & vraiment original que les modernes aient publié fur
THydrostatique ,. est celui de ^équilibre des liqueurs de Pascal.

~~ L’Auteur démontre , d une manière rigoureuse & uniforme, les propriétés:

de Téquilibre des fluides : il résout toutes ; les difficultés’que
certaines propositions pouvoient encore offrir -. telle étoit, .par
exemple alors, le fameux paradoxe, qui n’en est plus un aujourd’hui,
qu’un filet d’eau & une colonne cylindrique, pressant sous
même hauteur, un même fond ; exercent des pressions égales.
. La pesanteur de Tair , ignorée des anciens , Tétoit encore de
.Galilée, même long-tems après qu’il eut trouvé là théorie de Taccélération
des graves. II y a apparence que depuis TinVention des
pompes jusqu’à ce Philosophe , on n’avoit pas eu Tidée ou Toccasion
de placer le piston dans la pompe aspirante , à une hauteur qui
excédât celle de trente-deux pieds àu-dessus du réservoir : autrement
on auroit rencontré la difficulté qui fut proposée à Galilée.,
paries Fontainiers:de Cosme de Médicis, grand Duc de Florence.
Quoi qu’il en soit, on doit à une expérience tentée par ess ouvriers, la
découverte, ou plus exactement , une démonstration évidente de
la pesanteur de Tair. Ils avoient construit une pompe aspirante, où
il auroit fallu que Teaus’élevât, sous le piston, à plus de trente-deux
pieds de hauteur ; & voyant qu’elle refusoit de passer trente -xléux
pieds, ils en demandèrent, la raison à Galilée. L’honneur de la phi-
P R E L I MINA IR E. - íxxf
ïosophíe iie permettoit pas de différer là réponse. Les anciens attrW
buoient Taseeiision de Teau dans les pompes , à Thorreur de' la
nature pour le vuide : Galilée indiqua cette cause aux Fontairiiers,
ajoutant, par .rapport au cas présent, que Thorreur de la nature
pour Ie vuide, cessoif, quand Teau étoit parvenue à la hauteur de
trenre-deux pieds. Cette explication fut regardée comme un oracle,
& personne ne s’iavifâ de la contredire. Mais, en y réfléchissant de
plus près, Galilée soupçonna que cette horreur de la nature pour
le vuide, éc cette limite qu’il lui avoit donnée , n’étoient que des
chimères.Tl n’alla pas d’ailleurs plus loin ; & quoiqu’il.commençât à
çonnoîtré la pesanteur de Tair par des expériences d’un autre genre,
il n’eut pas Tidée d’employer ici cet agent. .'■ ,' "--"."' -'.
:. Tpricçll.i, som.disciple, pensa que le. poids de Teau pouvoit mettre^
quelque obstacle à son élévation dans les pompes : idée simple &
heureusej incompatible avec le fystême de Thorreur du vuide ; carpourquoi
le poids de Teau auroit-il borné la.sorce de.cette horreur ?
En conséquence, il fit avec un instrument,-.d’où le Baromètre ordinaire,a
tiré sa forme & son origine, une expérience analogue à celle ;
des pompes : il trouva que Te mercure, dont le poids est quatorze
fois aussi grand que celui, de Teau ,:se tenúit à, une hauteur quatorze
fois moindre. Alors, Toricelli conclut que les deux phénomènes
étoient produits par la même cause ; puis, faisant un nouveau pas ?
il affirma que cette cause étoit. la pesanteur de Tair. '
: "Les partisans invétérés du système de Thorreur du vuide. opposèrent
quelques doutes à d’explication de Toricelli ; mais ces doutés
furent entièrement dissipés par la célèbre expérience du Puy de
Dqmme, près de Clermont en Auvergne : expérience exécutée>par
Perièr, d’après le projet que Pascal, son beau-frère, en avoit donné,
& où l’on vit, pour la première fois,. le mercure baisser dans le
Baromètre, à mesure que Ton s’élevoit le long de la montagne,,
ou que la colonne d’air diminuoit de hauteur & de poids.

Nous devons encore à Toricelli les élémens de la Science Hydraulique-.
du mouvement des fluides. L’obsetvat.ion qu’un jet d’eau sortant
d’un .petit ajutage, s’élance verticasement presque à la hauteur du
réservoir, lui fit juger queTa. vitesse du fluide , au sortir de Tájutage,
étoit la même que çelle d’un corps grave tombant de cette hauteur ;
& que. par conséquent ses vîtesses ;des écoulemens, fous différentes
charges d’eau , fuivoient la raison fous-doublée des hauteurs,
abstraction faite de la résistance des .obstacles: L’expériënoe consirma_
cette idée qui fut accueillie de: tous les Savans, & qui sert encore
aujourd’hui de base à là théorie ,. pour.les écoulemens par de petits
orifices ; mais quand les orifices sont un peu grands, ie problême
Uxij DISCOURS
demande d’autres considérations. Le Théorème de Toricelli, & Ici
conséquences qu’il en tire font partie de son ouvrage, de motu gravium
îiaturaliter accelerato, que nous avons déja "cité.

Ce. Théorème donna se jour à plusieurs ouvrages fur cette matière..Dans
ce nombre, nous distinguons le Traité du mouvement
4es eaux de Mariette. ITcontient plusieurs expériences en grand
fur le mouvement desoaux^ & plusieurs vues qui ont contribué au'
progrès de Thydráulique pratique/
Physique
. céleste.
- Dahs le-.tèms ou ses découvertes de Calilee, lur le mouvement,
commençoient à diriger de ce côté ses études des Savans, Deseartes
conçut la.penséè ; d’expliquer , par les loix de la Méchanique, le
mouvement général qui entraîne les planètes d’Occident en’ Orient ;,
Les ;anciens regardoient léxieT planétaire, comme composé sorbes
solides & mobiles, dont chacun emportoit la. planète qui lui étoit
attachée. On sent d’horrible . confusion , ou plutôt l.'impossibilité absolue
de tous ces mouvemens, fur-tout dans le système de Ptolomée.'-
Descartes .transporta dans le Ciel le méchanifme ^infiniment plusíìmple
d’une barque flottant fur, une rivière , & emportée- par secourant
: il imagina ■„que ses .planètes nageoient dans un vaste tourbillon
qui tournoít d’Qccidenr en,Orient, de -telle manière néan- 1
moins que, dans, le tourbillon général, il’se frouvoit pour chaqueplanète
des courans particuliers ; qui coupoient Técliptique sous différentes
obliquités. Cétte idée vraisemblable & imposante ,'-séduisitplusieurs
illustres Philosophes qui, s’en ^déclarèrent publiquement ses
défenseurs. On étoit. alors trop, peu avancé dans la théorie du mou-'
vemerít des solides ; & des fluides j pour entreprendre* de la fou-'
mettre à un examen critique,- fondé fur cette théorie : elle s’est
même soutenue pendant, long-tems contre les plus fortes objections
 ; enfin ; elle a ..succombé sousdes Coups redoublés qui lui ont
été portés par TAstronomie ; '& la Méchanique ,- dont elle blesse
les lóix fondamentales ; :h ■:]■-'.-.

I V.e: P É R I O D E.

DE TouTEsles découvertes qui se 'sont jamais faites dans les
Sciences, il n’y en a point, d’aussi importante , ni d’aussi féconde en
applications, que celle de. l’analyse infinitésimale. A cette époque,
les Mathématiques changent de face ; des problêmes inaccessibles
aux anciennes méthodes, ou dont elles n-auroient pu même donner
Tidée, font facilement résolus ; toute la masse dès Sciences prénd
du mouvement- & de nouvelles forces tendent fans cëlîe à le perpétuer
&Í à Táugmenter. ;:

On
P RE L I M I N A IR E. Ixxlij■ On sait que l’analyse ordinaire Compare les grandeurs finies. Dans
l’analyse infinitésimale, certaines grandeurs sont supposées augmentes
ou diminuer de quantirés infiniment petites : & on se propose da
trouver, ou par la relation des grandeurs, celle de leurs’élémens,
ou par la relation des élémens , celle des grandeurs. On voit que
l’un de ces problêmes est Tinverse de L’autre. Le premier est Tobjet
du calcul différentiel ou'de la méthode directe des fluxions ; le
second, celui du calcul intégral ou de la méthode inverse des fluxions.
Une fonction quelconque étant donnée , on peut en trouver
l’élément ou la différentielle ; mais on ne peut pas toujours également
remonter dune différentielle à Tintégrale, soit par TimperfeÇr
tion.de .Tart, soit parce que certaines différentielles sont purement
fictives &: n’ont point d’intégrale. Ainsi, le calcul différentiel, considéré
en lui-même, & indépendamment des applications qu’on en
peut faire, 'est entièrement trouvé : le calcul intégral ne Test encore
qu’en partie, & tous les jours il reçoit de nouveaux accrpifsemens.


- Fermât , Deseartes , Paseal & Barrow , avoient préparé la naissance
de l’analyse^ infinitésimale. En 1684 , Léibnitz publia,-dans
les actes de Léjpsick, les principes, la notation, & Talgorithme de
çe nouveau genre de calcul ; .8z il en fit voir Tusage poúv résoudre
généralement les problèmes des tangentes , &í celui des maxima, &
minima, parmi les ordonnées des courbes: : problèmes auxquels les
méthodes connues ne s’appliquoient que dans un nombre de cas,
assez limité.

,- Trois ans après, Neuton donna -ses principes Mathématiques de
la Philosophie naturelle. Toutes les ^grandes questions de la Méchanique
éc de TAstronomie sont résolues ou entamées dans cet
ouvrage. L’Aúteur approfondit la nature & les propriétés du mouvement
dans les sections coniques. Ta théorie des forces centrales
de Huguens, généralisée & appliquée aux loix Astronomiques de
Kepler , apprit au Géomètre Anglois, qùe-.les planètes sont attirées
■versle soleil, avec une force .réciproquement proportionnelle aux
quarrés de leurs distances à cet astre , & que cette attraction mordifiée
ou altérée par la force centrifuge j produit leur: mouvement
elliptique. Mais comme dans ce système ; la gravitation doit être
universelle & réciproque entre toutes les planètes, Neuton essaya
encore sse déterminer les inégalités que le. mouvement elliptique
áe chacune d’elles doit subir en vertu des attractions qu’elle éprouve
de la part des autres. II a également ébauché, suivant les mêmes
principes, Texplication du phénomène des marées:, :& celle de la
précession des équinoxes. Dans toutes .ces sublimes recherches „
Tome L Mathématiques. k .
Léibnitz, si
en 1S4 fi , mort
en 171É.Hei:ton- ;néeti
16.5.2, mort au
1727.Ixxiv DISC OURS
Neuton semble avoir pris plaisir à cacher la méthode qui le dirige ;
il est extrêmement avare de paroles dans ses endroits où elles seroient
le plus nécessaires. Aussi son ouvrage resta-t-il- pendant longtems
dans une espèce d’obscurité. On ne commença à Tétudier &
à Tentendte qu’au commencement de ce siècle : alors on vit que
la clef'de Neuton étoit la nouvelle analyse, ou, comme disent les
Anglois, la méthode des fluxionsi ' • :^

Là manière ddtìt--Neuton emploie cette méthode, prouve qu’il
la tënoit de lui - même. Quand elle enc acquis, dans Te monde
""savant,T’éclat que son utilité dévoit lui donner, il s’en arrogea
Tinvention exclusive, fans- vouloir admettre Léibnitz au- partage ;
"J’examinerai lenrs droits réciproques ; mais,, pour suivre Tordre hi£
torique, il faut que jéxpose auparavant le progrès- des idées qua
Léibnitz avoit jettées dans les actes de Léipsick.

En itíSé, il-eut une dispute avec les Cartésiens^ fur" la mesûredes
forces., & fur les-avantages qu’ils attribuoient à Tanalyse ordinaire,
pour la résolution des problêmes de Géométrie. & de Mé*
ehanique ; Cette ' dispute dégénéra- bientôt en subtilités Métaphy-}
fiques.. Ne pouvarit forcer ses Adversaires dans de pareils ; retran-.
ehemens, Léibnitz leur proposa comme un défi & comme un moyen
de terminer la question , de trouver la combe: isochrone,, c’est à-dire>.
une courbe- telle ; qu’un< corps grave*, en Ta parcourant, Rapproche .
de Thorizon," de hauteurs-égales, en tems égaux.. Leur silence-con*
fondit la vanité de leurs prétentions*. Huguens-, étranger d’ailleurs à
Ta querelle, jugea le problême digne de son application^,il Ie réfolut,
& publia, en 1687, Tes propriétés de la courbé-cherchée, fans-'
en ajouter les démonstrations. Léibnitz, après avoir attendu long*-
tems la réponse des: Cartésiens,. donna, en 1689 ,-la solution &
Tanalyse de son problême ; & pour-léur offrir,-disoit-il, la revanche ,.
il leur proposa'de trouver,la courbé- isochrone paracentrique , oà-.
lés approches égales dévoient se faire. y non plus vers Thorizon.,,,
comme dans le. premier cas, mais. vers, un point fixe. La même
année, il appliqua {an calcul à des recherches- concernant le -mou^-
 ; vemenr des planètes-& la résistance des milieux ;- -
Jacques .B'êrrjoulli
,„ r.é en
1654 ,. mort en
17-=$.JeanBèrnouIli, .
né en 1Ô67 ,
mort cm 1748.
Ces premiers:rayons-- de 1 analyse de Léibnitz , frappèrent vivement
les yeux des deux illustres : frères Jacques & Jean Bernoullû
L’ainé (Jacques) déjà célèbre par différens ouvrages.de Géométrie-,.
de Méchanique & de Physique, avoit-iekié son frère aux mêmes
çonnoislancesi Tous-dëux-s’approprièrent tellement la-Géométrie des.
infiniment-p£tits ;,. ;& en firent un. si. grand-nombre d’applications
importaures.& difficiles, qu’elle leur est’ presque aussi.redevable ;qu’à -
Léibnitz:: même… TOUS. deux. ont. été. successivement, Professeurs,de.v
P R E L I M I N A l R. E. ■ ïxxv
Mathématiques à Basle, leur patrie ; & leur école peut être comparée
à celle d’Alexandrie, par le mérite des Elevés qu’ils ont formés.
■Ì A son début dans cette nouvelle carrière , Jacques Bernoulli.
donna une" solution’très-élégante du problème de la courbe isochrone
: il trouva, comme Léibnitz & Huguens ,-que cette courbe
étoit la seconde parabole cubique. H prit de - là occasion de proposer
à son tout aux Géomètres un problême que Galilée avoit
autrefois inutilement attaqué : c’étoit dé. trouver la courbe que
forme la chaînette , c’est-à-dire, un fil parfaitement flexible , attaché
par ses extrémités à deux points fixes.

- Pendant qu’on : s’en occupoit, il publia deux Mémoires dans
lesquels il -détermine les longueurs de deux courbes fameuses, la
spirale parabolique -, .& la spirale logarithmique ; ses espaces qu’elles
enferment ; & les solides qu’elles produisent, en tournant autour
d’une ligne donnéede position. De plus , comme la spirale logarithmique
, " &■ la loxodromie , ont la" propriété analogue de couper
sous des angles égaux , Tune , les rayons du cercle , l’autre , les
méridiens de ia terre ,1 Jacques Bernoulli examine à ce sujet plusieurs
questions curieuses , relatives aux longitudes & à la navigation. Ces
deux Mémoires contiennent les premiers essais de calcul-intégral ,
•un peu développés. Léibnitz: fit aussi dés remarques intéressantes
íhr la construction, les,usages, & la projection de la courbe loxodromique.


Le problème de ia chaînette fut résolu par Huguens, Léibnitz
Sc Jean Bernoulli. II fournit aux Géomètres un sujet de méditations
nouvelles & utiles fur Ia théorie & les usages des nouveaux
calculs. Jacques Bernoulli étendit la solution au cas où Tépaisseur
de la chaînette ne seroit pas confiante, mais yariablê seivarit une
loi donnée. '

La.considération de la chaînette donna lieu au même Jacques
Bernoulli, d’examiner plusieurs autres courbes que la nature place
continuellement sous nos yeux : telles sont , par : exemple ,' celle
que forme une voile enflée par le vent, celle d’un arc tendu , celle
d’une lame élastique, dont une extrémité seroit attachée solidement
à un plan, & l’autre extrémité porteroit un poids donné, ôc.
II sit voir que la voile-enflée par. un vent horizontal, se cour ber oit
en chaînette ; & que fi cette même voile étoit enflée par un .'fluide,
qui pesât sûr elle verticalement, elle formeroir la courbe élaflique.
La solution de ces problèmes, & principalement l’analyse de la courbe
élastique, sent d’une .profonde recherche. Jean Bernoulli chercha la
courbure de la voile dans Thypothèse du yent horizontal, &,parvin£.
au même résultat que son frère,
k ijAn. ifioa.An. iSe !'-Aa. ifisi.An. iSp.î ;ixxvj D í s c o u R s : ;
Viviani, Géomètre Italien, proposa, en’1691 , se problème der
la voûte hémisphérique quarrable :: il étoit question de percer un
dôme en plein cintre, de quatre fenêtres égales, telles que le reste
de la superficie du dôme fîìt absolument quarrable. Le jour ; mêmeque
Léibnitz & Jacques Bernoulli reçurent le programe de Viviani,
ils. répondirent à. fa question de plusieurs manières ; & fans doute
les Géomètres de la même école en auroknt fait autant, fi elle
étoit patvenue assez tôt à leur connoissance. Mais nous devons,
ajouter que la propre solution de Viviani, fondée -sur-la méthode
synthétique des anciens , est recommandable par fa simplicité. II:
démontre qu’on satisfait au problème, en élevant perpendiculairement,'à
la base de Thémifphère, quatre cylindres qui se toucheroient !
deux à deux, & dont les bases touchent, par leurs circonférences, ;
celle de la base de Thémifphère. • .- - • .> ■

La Géométrie des .infiniment petits s’aceroissoit tous les jours 'y
elle en étoit principalement redevable aux frères Bernoulli. Un pro- ;
blême que le cadet proposa, &c dont Tobjet étoit de trouver une:
courbe telle que toutes jès tangentes terminées à l’axe , fussent en
raison donnée avec les parties de l’axe comprises entre la courbe
& ces tangentes, contribua au progrès, de la méthode pour intégrer
les équations différentielles. 11 fut résolu par Huguens, Léibnitz ,:
Jacques Bernoulli, & le Marquis de THopital. Á cette occasion y.
Huguens rendit un témoignage d’autant plus honorable aux non-.-
veaux calculs, que ce grand homme ayant fait, plusieurs sublimes^.
découvertes, fans ces calculs , pouvoit être dispensé d’en célébrer
ses avantages : il avoua qu’il voyois 3 avec surprise ô avec admiration
3 l’étendue & la fécondité de cet -art ; que de quelque côté qu’il
tournât la vue 3 il en découvroit de nouveaux usages 3 & qu’enfin
il y concevoit un progrès fj une spéculation infinie.

La-courbe isochrone paracentrique 3 dònt Léibnitz avoit demandé
là nature, pâroissoit oubliée des Géomètres. Sans doute ils avoient
été arrêtés par la difficulté d’intégrer Téquation différentielle à laquelle
on est conduit , lorsque. Ton rapporte cette coutbe à des*
coordonnées perpendiculaites. entféUes. Enfin Jacques Bernoulli ;■
prenant pour abscisses des lignes qui partoient d’un point fixe, 8f
les ordonnées parallèles ; "entr elles , parvint à une équation où les. ■
indéterminées étoient séparées. Son frère , qui eut connoissance. de
cette solution, en trouva.'une autre un peu plus simple en apparence,
mais la même quant au fond » Léibnitz étoit atrivé depuis
long-tems à des résultats semblables ; mais il les tenoitcachés, pouc
laisser aux autres Géomètres le tems & le plaisir de les. trouver. -

On voit, par le commerce de lettres de Léibnitz •& de Jean.
Virìanì , né
cn 1622 , niort
cn 17C3,L’Hopital, né
en 1661 , mort
cn 17O.J..An. 1694.P R EL I Ml N AIR E, Ixxvij
Bernoulli ,.que, dès Tannée í 694, ces deux grands Géomètres avoient •
inventé,: chacun de leur côté , cette branche particulière de la nouvelle
analyse , qu’on appelle se calcul exponentiel. Léibnitz a la
priorité de date pour la découverte ; mais Bernoulli y est arrivé
par lui-même ; il publia, en 1(597, les règles & Tusage de cc genre
de calcul, & 011 croit otdinairement qu’il en est le premier inventeur.
•'..'.-•'.

Les principes du calcul différentiel, épars de tous côtés dans les
Journaux, furent rassemblés en corps d’ouvrage par le Marquis de
THopital, qui y ajouta plusieurs choses nouvelles. Cc Livre intitulé,
Analyse, des infiniment petits 3 pour l’intelligence des lignes
courbes, contient le calcul différentiel, & ses usages pour déterminer
les tangentes-des courbes, leurs plus grandes &• leurs moindres
ordonnées, les points’d’inflexion & de rebroufsement, les rayons
des développés,: & les propriétés de ces courbes connues en optique,
fous les noms de caustiques’, soit par réflexion, ou par réfraction.
II fut reçu avec un applaudissement universel, & T Auteur
se vit placer à-peu-près fur la même ligne que Léibnitz, Neuton&
les frères Bernoulli.

II jouirait encore de toute fa gloire, si la reconnoissance avoit
pu empêcher h vanité de revendiquer des droits incertains, ou du
moins exagérés. Jean Bernoulli étoit veau à Paris en 169 A, & Ie
Marquis de THopital Ta Voit emmené dans fa Terre d’Ourques, où
ils passèrent quatre mois- entiers à étudier ensemble la Géométrie
des infiniment petits. Bientôt le Marquis de THopital fut en état
de résoudre les grands problêmes que les Géomètres se propofoiëní ;
& on observe que Jean Bernoulli ne laifloit échapper aucune occasion
de lui prodiguer, dans les Journaux, les éloges les plus magnifiques.
A peine eût-il les yeux, fermés, que Jean Beínoulli réclama
en différens tems & par degrés, presque toute Tanalyse des infiniment
petits. L’envie , qui poursuit jusquau'x morts , applaudit à
cette espèce de flétrissure imprimée à k mémoire d’Un homme
célèbre : la morale condamna Jean Bernoulli qui obligé 5S.par desolides
raisons , à taire les services scientifiques qu’il pouvoit avoir
rendus au Marquis de THopital, se croyois maintenant quitte de
ses engagemens, & se perrriettoit de remuer Ia cendre d’un bienfaiteur
généreux, homme d’un profond savoir, & peut-être seulement
un peu trop- ambitieux des honneurs & de la réputation que
Ton n’acquiert jamais fans .honte & fans danger, que par ses propres
travaux. -

Hâtons-noùs de revenir à Jean Bernoulli y comme Géomètre. II
propose de trouyer la courbe Brachystochrone , c’est-à-dire., .la
An. rájS.An. 1C517.Ixxviij DISCOURS
courbe que doit décrire un corps-grave., pour arriver dans. lo.
moindre tems possible , d’un point à un autre , cès deux points
n’étant pas situés dans la même ligne verticale. Au premier coupd’ceil,
on est porté à croire que la ligne droire , comme Ie chemin
le plus court d’un point à l’autre, doit être.aussi le chemin de la
plus vîte descente ; mais on est arrêté par xette réflexion , que dans
une courbe décrite d’un point à l’autre , se mobile peut d’abord
descendre plus verticalement, &i par conséquent acquérir une plus
grande vitesse qu’il ne seroit le long du simple plan incliné , ce qui
produit une compensation capable de faire arriver le corps plus,
promptement suivant la ligne courbe, que suivant la ligne droite.
Le calcul seul doit décider la question. Or , en y appliquant la
méthode des infiniment petits, on trouva que, la ligne de la plus
Vite descente étoit un are de cycloïde : nouvelle propriété très- 1
singulière dé cette courbe , que les recherches de Pascal- & de
Huguens avoient déjà rendue si célèbre. Léibnitz résolut le problème,
le jour même qu’il en eut connoissance ; & le lendemain J
il envoya sa solution à Jean Bernoulli,-en le priant-de ne pas se
presser de la publier, non plus que la sienne propre, afin.de donner
aux autres Géomètres, le tems de s’exercer fur une si belle question.
Jean Bernoulli consentit à leur accorder un an pour cette recherche.
Dans cet intervalle , outre les solutions de Léibnitz &'de Jean
Bernoulli, il en parut trois autres, dont les Auteurs étoient Neutoïi, ;
le Marquis de THopital, & Jacques Bernoulli. Celle de Neuton parut
anonyme dàiis les transactions philosophiques de Londres ; mais
Jean Bernoulli connut la main d’où elle partoit, tanquam 3 dit-il,
ex ungue leonem. Le Marquis de THopital eut beaucoup de peine
à trouver la-siefme ; ce qui paroîtra d’autant plus surprenant, qu’on
peut résoudre facilement Je prpblême par une méthode qu’il emploie
Jui-mçme, lorsqu’il cherche ( í ) la rqute que doit suivre un yoyageut
pour arriver dans le moindre rems possible d’un- lieu à un autre ,
en traversant deux campagnes, où il éprouve des résistances qui
font varier les vitesses dans un rapport donné. ; car si Ton regarde
les deux campagnes, comme les deux, .élémens d’unp courbe ,.& si
Tpn suppose, conformément à la théorie de la chute des graves,,
que ses vitesses du mobile, le long d’une courbequplcenque, soient
comme les racines quarrées de ses distances, à Une ligne horizontale
fixe, on parviendra , en un instant, à Téquation différentielle
4e la cycloïde. Mais cette remarque ne prouve rien en faveur dp
la prétention de Jean Bernoulli fur le Livre des infiniment petits,
/ ?) Analyse des inf, pet. art. js>,PRELIMINAIRE. hxï*.
car íl "ne Ta pas faite ; & les deux solutions qu ?ila données successivement
de son problême, font fondées fur d’autres principes.
Jacques Bernoulli fut aussi quelque tems fans publier fa solution :
e'n la cherchant, il s’étoit élevé à des problêmes d’une spéculation
encore plus profonde, qu’il vouloir d’abord résoudre, & puis proposer
1 aux Géomètres. Son Frère hasarda quelques malifehes réfle^
xionS’ fur cette prétendue lenteur : il s’en seroit abstenu, fans doute,
s’il avoit prévu, qu’elle étoit employée à lui préparer dés chagrins
d’autant plus amers, qu’à un talent supérieur pour la Géométrie ,
il avoit là foiblesse de joindre un amour-propre excessif, qui n’ëst

pardonnable qu’à l’homme médiocre.- €\

-----II y. âvoit déjà lông-tems que là mésintelligence régnoit entre
les deux Frères. Le Cadet ayant-été nommé Professeur de Mathér
matiques à Groningue ^n- ì 69 5 , ils- ne conservèrent bientôt plus de
relations particulières ; ils ne se parloient. que dans les Journaux, &;.
c’étoit pour se proposer-les problèmes les plus difficiles. Léibnitz
tenant la balance entr'eux, ; étoit, pour ainsi dire:, Tame de lëurs
travaux : il les encóurageóit: fans’ cesse par des louanges privées &i
publiques ;i 1T paroissoit plus occupé de. leur gloire, que de la-sienne
propre. . ,

Enfin ils en vinrent à une rupture ouverte: L’un voúîort peutsêtre
trop conserver ce ton dé supériorité que lui avoit donné se
droit d’ainesse, & la qualité d’instituteur dé'son Frère en Mathématiques
:: celui-ci oublia les loix de la reconnoiílance-, &,même les
égards’qu’il devoit, nous ne dirons pas simplement aux'liens dufàng,
mais à un homme illustre & modéré, occupé -de la Science,.
& toujours prêt à répondre aux questions que Ton propofoit ;-
Jacques Bernoulli, qu’importunoient depuis long-tems les attaques&
les critiques de son ancien Elève, saisit. Toccasion de se venger ;
d’une manière'éclatante,màis en même-tems.utile à la Géométrie ,.
en proposant aux. Savans,, & nommément à son Frère r avec la promesse
d’un prix, le problème général des ifopérimètres.Tl demandoir
une courbé, telle que des puissances quelconques de ses ordonnées
ou de ses arcs, formassent fur Taxe des abscisses: un. plus grand espace,-,
que ne feroient de pareilles puissances des ordonnées, ou: des arcs de
toute autre courbe dégal contour., & constrrrite fur la même abscisìei
La propriété qu’a le cercle de comprendre, sous un contour donné,->
un maximum d’espace, ne doit être, comme on. voit,.qu’un, corollaire
très-particulier de la solution générale. . '

Aussi-tôt. que Jean, Bernoulli^ eut reçu ce programme:, ii se hâtai
dè faire imprimer,, dans les Journaux ;, se résultat d’une Tolutionv
qu’il assuroit y. satisfaire ,. s’applaudissant-d’ailleurs- lui-même- de=.
ikxx s D I S:C OURS - 1. '
n’avoir employé que deux ou trois minutes pour tenter 3 commencer
&■ achever d’approfondir tout le mystère , &: demandant haut-emënt
le prix que son Frère, avoit promis. Mais Jacques Bernoulli , qui
ne trouva pas ce résultat conforme au sien, fit imprimer, à son
tour , un avis, où ii soùtenojt que Ta méthode de son Frère étoit
défectueuse : il accordoit encore quelque tems aux Géomètres pour
chercher la véritable solution ; & si personne ne la donn-o.it, lil s’engageoit
à trois choses. i.° A deviner au juste l’analyse de son
frère, i." Quelle qu’elle fut, a y faire voir des paralogismes , fi
çn youloit la publier. 3.° À donner la véritable solution da problême
dans toutes fies parties : ajoutant que s’il se trouvoit quelqu’un qui
s’intéressât affe\ ai'avancement des Sciences 3 pour proposer quelque
prix pour chacun de ces trois articles,, il’ s’engageoit ,h perdre autant
3 s’il ne s’acquittoit pas du premier ; le double , s’il ne réuffiffoit
pas au second ; ô le triple , s’il manqvoit au trafic me.

Cette 'admonition fraternelle obligea. Jean Bernoulli de révoir
fa méthode, ; il reconnut qu’en effët il ..s’éroit trompé eri quelque
chose, & il attribupit fa méprise à une. trop grande: précipitation:
il envoya aux Journaux une. solution différente, à certains égards,
de la première, mais fans prendre un ton plus modeste. A son Ecrit,
Jacques Bernoulli répliqua laconiquement en ces termes : Avant
aue de publier ma réponse aux solutions de mon frère 3 je le prie
de repasser tout de nouveau sa dernière, d’en examiner attentive
ment tous les points ., &■ de nous dire ensuite fi tout.va bien:: lui
déclarant qu’après que j’aurai donné la mienne., les prétextes de
précipitation ne seront plus écoutés. Mais cet avertissement .& une
autre remarque semblable, un peu plus étendue, ne ssrent aucune .
impression fur Jean Bernoulli, qui soutint que fa secondé solutioâ
.étoit bonne dans tous les points. - . .. .'.

Presqu’eti même tems on imprima une lettre de Jacques Bernoulli
à Varignon , dans laquelle T Auteur, joignant la plaisanterie à la
discussion, expTiquoit une analyse défectueuse en elle-même, où
néanmoins des faussetés redressées par d’autres faussetés faisoient
arriver, en certains cas, à une conclusion vraie ; & trouvoitYau
moyen de cette analyse, les mêmes équations que son frète ; d’où
il conjecturoit que,- selon toutes ses apparences, elles en : étoient
émanées^ Cette imputation mit Jean Bernoulli hors de lui-même,
&í lui arracha, contre son frère, un torrent d’injures que je me garderai
bien de répéter.

La querelle ne pouvoit être terminée que par des Arbitres. Jean
Bernoulli en demandoit ; il étoit déjà sûr de Tapprobation de
Léibnitz, qui n’avoit pas fans doute examiné la matière avec toute

fattention
■P R EL I M I N AIR E. s Ixxxj
Tattention qu’elle méritoit De son côté, Jacques Bernouìli consentit

que Léibnitz, Neuton & se Marquis de THopital’hissent pris pour

Juges, pourvu qu’on lui donnât tout le tems de parler. Le procès

traîna en longueur. En 1701 , Jean Bernoulli envoya à TAcadémie

. des Sciences de Paris fa solution, sous une enveloppe qui ne devoit

être ouverte qu’après que son frère auroit publié fa Méthode.

Celui-ci donna, en 1704, Tanalyse & la solution complète de ses

problêmes : prodige de sagacité.& d’invention ; il mourut Tannée

suivante, à Tâge de cinquante ans. '

La Méthode de Jean Bernoulli parut dans les Mémoires de TAca.démie

pour Tannée 1706'. Elle étoit effectivement défectueuse,

comme Jacques Bernoulli Tavoit toujours soutenu ;& voici en quoi

çonsistoit Terreur.

Dans tous les problêmes du même genre que celui de la plus vite
descente 3 où il s’agit simplement de remplir la condition du minimum
ou du maximum 3 il suffit d’appliquer cette condition à deux
élémens consécutifs de la courbe, pour en trouver Téquation différentielle.
Mais, dans ceux où Ton est obligé de remplir tout-à-lafois
deux conditions, l’une qu’une certaine propriéré soir la même,
.l’autre qu’une seconde propriété soit un minimum ou un maximum 3
il faut employer trois élémens consécutifs de la courbe : ou, fi Ton
veut n’en employer que deux, il faut multiplier ses deux fonctions
proposées, par des coè'fficiens constans, ajoutetensemble les produits,
& alors la somme résultante se rapporte aux problêmes du premier
genre ( 1 ). C’est à quoi Jean EernoullT-ne prit pas garde, & ce qui
lui fit donner des solutions fausses, excepté dans les cas où une
courbe ne peut pas satisfaire à Tune des deux conditions proposées,
fans satisfaire en même-tems à l’autre. Jacques Bernoulli avoit considéré
trois élémens de'la courbe ; &c par-là il étoit parvenu à une
solution exacte 8c complète. -

La. force de la préoccupation empêcha long - tems Jean Bernoulli
de rëconnoître la vérité, & de lui rendre hommage. Enfin il reprit
cette matière en 1718 ; il convint qu’il s’étoit trompé ; &, abandon.nant
ses anciennes Méthodes ,41 en donna une autre où il emploie,
, comme son frère, trois élémens de la courbe, & d’où il tire, d’une,
manière fort simple, les véritables équations du problème.

H résulte de cet exposé, que Jacques Bernoulli eut, dáns la question
des îsopérimètres, un avantage marqué for son frère. Mais il
faut se souvenir que celui-ci, pendant sa longue carrière, n’a cessé

( 1 ) Voye\ l’ouvrage de M. Euler, intimlé •* Methodus inveniendi lineas çiirvas -maximì
fttinìmiveproprietategaudentes, '..
Tome /. Mathématiques. , l
Ixxxij DIS COUR S
d’enrichir les Mathématiques, & d’en reculer les limites. Tous deux
ont été des génies du premier ordre. Sans prétendre décider la
prééminence entr'eux, je crois que Jacques- avoit plus de profondeur
, Jean plus de flexibilité, 8c de cet esprit qui. se porte
indifféremment vers tous les objets. Le premier a donné plusieurs
ouvrages, tels que la Théorie des spirales, le Problême de la courbe
■élastique, celui des Isopérimètres, & se livre de Ane Conjeclandit
qui n’appartiennent qu’à lui seul, 8c où il a déployé un génie vraiment
original : le second embrassoit toutes les parties des Mathématiques ;
il avoit un ait particulier de proposer & de résoudre de
nouveaux problêmes : quelque sujet que Ton présentât à ses recherches,
il y entroit promptement, & il n’en a jamais traité aucun,
fans se montrer sous le jour' le plus lumineux, & fans y faire quelque
découverte importante. Je compare Jacques Bernoulli à Neuton, &
Jean Bernoulli à Léibnitz.

En proposant le problême des Isopérimètres, Jacques Bernoulli
y en avoit joint un autre : c’étoit de trouver , parmi toutes les
cycíoïdes d’une même origine, &■ construites fur une même base
horizontale, celle qu’un corps grave doit suivre pour arriver, dans
le moindre tems possible, à une ligne verticale donnée de position.
Jean Bernoulli le résolut sans peine ,..& il lui donna même plus de
généralité : à la simple ligne verticale, il substitua une courbe quelconque
, & il fit voir que la cycloïde de la moindre descente étoit
celle qui coupoit cette courbe à angles droits. Sasolution étoit fondée
fur ses propriétés de la courbe synchrone, dont la nature est de
couper une infinité de cycíoïdes, ou de co'urbes semblables, de manière
que les arcs soient parcourus en tems égaux. II restoit cependant
une difficulté. La courbe synchrone est facile à tracer par points j
mais "j pour cn rróuver Téquation différentielle, il falloir, soumettre
au calcul 8c à la loi de continuité le passage de Tune quelconque
des courbes coupées, à la courbe contiguë. Jean Bernoulli ne put y
parvenir : il s’en ouvrit par lettres à Léibnits, qui surmonta la difnV
culte ( í ) , & qui donna, en cette rencontre, une extension trèsimportante
à Tanalyse 'infinitésimale : j’entends la méthode de différentîer
de curva in curvam 3 en faisant varier le paramètre. La
réponse de Léibnitz.saisit de joie & d’admiration Jean Bernoulli,
qui aussi-tôt développa cette idée, & en fit plusieurs applications
intéressantes. Ils.con vinrent ensemble de tenir la méthode cachée
jusqu’à ce qu’ils s’en fussent servis pendant un tems suffisant. Léibnitz
ne Ta jamais publiée lui-même ; car il se bornoit souvent à ouvrir
(ij Y oyez Lcibmtii &'soan. Bernoulli commçrcium epistolicum } tome I.", page 319..P RE L I MINAI R E. Ixxoeiij
'de nouvelles routes, & il abandonnoit volontiers aux autres le plaisir
. de les érendre & de les perfectionner. II paroît , par les OEuvres
Posthumes de Jacques Bernoulli, qu’il avoit aússi trouvé, de son
côté, une méthode semblable , 8c qu’il Tavoit employée pour résoudre
les problêmes que son frère Tui proposoit , pendant la dispute sur
les isopérimètres : il se conrentoit de donner ses solutions sous des
lettres transposées, voulant éviter toute diversion, avant que f affaite
des isopérimètres fût terminée.

J’omets plusieurs autres problêmes moins importans par leur objet,
quoique très - difficiles en ce tems-là. Tel est, par exemple, celui
de la courbe Régale pression, qui fut proposé en 1700, par Jean
Bernoulli, & résolu par le Marquis de THopital. ' ..

Dans cette lice de combats scientifiques, qui durèrent pendant
plus de ttente ans, on ne vit point paroître Varignon , qu’on regar- en
doit néanmoins, en France, comme un grand Géomètre. Mais cn
avouons-le fans détour : quoique Lahire, Sauveur, Lagni, ôc, reconnussent
fa supériorité, il étoit loin d’égaler Léibnitz, Neuton, les frères
Bernoulli, .& même 1e Marquis de THopital. Cependant on ne peut
pas nier qu’il n’eût beaucoup de savoir 8c de facilité dans le travail.
Son projet d’une nouvelle Méchanique 3 8c la manière adroite dont
il applique le parallélogramme des forces aux loix de Téquilibre, lui
seront toujours honneur. II est un des premiers qui ait entendu 8c
commenté Je .Livre de Neuton. II possédoit singulièrement Tart de
généraliser les méthodes , & d’épuiser, pour ainsi dire , un sujet.
Par malheur ses solutions générales ne renfermoient presque jamais
d’autres difficultés , que celles des solutions particulières, données
par d’autres Géomètres : c’est ce qui faisoit dire assez plaisamment
à Jean Bernoulli, quand il avoit résolu quelque problème nouveau
& difficile ; M: Varignon nous généralisera cela.

Cette plaisanterie pourroit être souvent renouvellée, 8C peut être
même appliquée avec plus de justesse. Les moyens d augmenter nos
connoissances, 8c de les rapprocher les unes des autres, étant au-,
jourd’hui fort variés & fort étendus, rien n’est moins rare, parmi .
les Savans, que cette faculté de l’efprit, qui semble quefouesois imaginer,,
tandis qu’elle ne fait réellement qu’imiter & amplifier. Elle
est Tappanage de certains hommes studieux qui, dépourvus foncièrement
de génie, trouvent dans les écrits des inventeurs , quelques
idées accessoirés’& peu développées qu’ils s’approprient, & auxquelles
ils ont Tart de donner í'apparence de la nouveauté. La nature leur
"accorde ordinairement une opinion très-avantageuse d’cuxi-mêmes,
. & le secret de f inspirer en partie à la médiocrité ou à Tignorance.
Mais les justes appréciateurs du mérite corrigent cette erreur, mettent
l ijVarignon, nc
en 1654, niort
cn 1721.ìxxxìv DISCOURS
chacun à sa place, 8c regardent avec indifférence de vastes édifices
de calcul, bâtis fut les fonds:d’autrui, qui ne présentent qu’un amas
de formules insignifiantes, inutiles au progrès de TAnalyse , & destinées
seulement à couvrir les pages d’un livre malheureux.
Dispute entre
Léibnitz cíNeuton,
sur la découverte
de la
nouvelle Analyse.
II semble que la nouvelle Géométrie offroit un aliment suffisant
à la curiosité humaine, & qu’on auroit dû se contenter de cultiver
en paix ce champ inépuisable de recherches. Mais plus ces objets
étoient grands, plus Torgueil, toujours prêt à étendre son empire,
fut habile à susciter, entre Léibnitz 8c Neuton, une querelle sur
les droits à Tinvention de la méthode ; 8c il faut avouer que si les
mouvemens de cette passion pouvoient jamais être excusables , ils le
seroient ici, par Timportance de la découverte dont on vouloit con- ;
noître le véritable Auteur.

La première étincelle de la guerre fut excitée par Fatîo de Duiller ',
Genevois, retiré en Angleterre, le même qui, dans la fuite, donna
un’étrange spectacle de démence, en voulant ressusciter publiquement
un mort dans TEglise de S. Paul de Londres,- mais qui avoit,
alors la tête faine & même de la réputation parmi les Géomètres.
Poussé d’un côté par les Anglois, de l’autre, par un ressentiment
personnel contre Léibnitz dont il prétendoit avoir reçu de trop
foibles marques d’estime, il s’avisa de dire dans un petit Traité fur
la courbe de la plus vite descente 3 8c fur le solide de la moindre
résisiance , qui parut, en 1699, que Neuton étoit le premier inventeur
des nouveaux calculs ; qu’il parloit ainsi pour Thonneur de la
vérité & Tacquit de fa conscience ; & qu’il laissoit à d’autres se soin
de décider ce que Léibnitz, second inventeur , pouvoit avoir emprunté
du Géomètre Anglois. Léibnitz fit, à cette attaque imprévue,
une réponse modérée, & suffisante pour détruire une assertion li-azardée
8c dénuée de preuves.

Quelque tems après , Keil -renouvella Taccufation de Fatîo.'
Léibnitz répondit que Keil, qu’il appelloit d’ailleurs un homme"
Savant 3 étoit trop nouveau pour porter un jugement certain de
choses arrivées depuis un grand nombre d’années, & qu’il s’en rapportoit
là-dessus à Neuton même. Keil revint à la charge, & dans
une lettre adressée à Haníloane, Secrétaire de la Société Royale,
il ne se contenta plus de dire que Neuton étoit le premier inventeur
: il fit entendre assez clairement que Léibnitz , après avoir puisé
la méthode dans les écrits de Neuton , se Tétoit appropriée , en y
appliquant seulement une notation particulière , ce qui étoit, en
termes équivalens, le taxer de plagiat. Léibnitz indigné d’une pareille
inculpation, en porra de vives plaintes à la Société Royale , & demanda
hautement que Ton réprimât les clameurs d’un homme incoa^
P RE L I M IN AIR E. Ixxxv.
sidéré qui attaqnoit, sans raison & fans pudeur, fa réputation 8c fa
bonne foi. La Société Royale nomma des Commissaites pour examiner
tous les écrits qui regardoient ce sujet , & elle les publia,
en 1712., avec le rapport des Commissaires, sous ce titre : Commercium
Epifìolicum de Analyfi promota. Sans être absolument
affirmative, la conclusion du rapport est que Keil n’a pas calom-.
nié Léibnitz. J’observerois que Neuton étoit alors président de la
Société Royale, s’il avoit montré le désir, ou s’il avoit eu le pouvoir
de faire pencher la balance en fa faveur.

La Société Royale n’avoit ni le droit, ni Tintention de juger se
procès fans appel ; & puisqu’elle a fait imprimer les pièces qui y
sont relatives,,elle a laissé la liberté de les discuter & d’en dire son
avis. Je demande donc la permission de me livrer à cet examen :
j’y apporterai toute Timpartialité dont je fuis capable. Léibnitz 8c
Neuton me font indifférens : je n’ai reçu d’eux, si je puis employer
une expression de Tacite, ni bienfait, ni injure. La sublimité.de
leur génie exige "un profond hommage ; mais on doit encore plus
de respect à la vérité.

Neuton tenant de la nature une intelligence.supérieure , & né
dans un tems où Hariot, Wren, Wallis, 8c Barrow, avoient déjà
rendu les Mathématiques florissantes en Angleterre , eut de plus
Tavantage de recevoir, dans son enfance, les leçons de Barrow à
Tuniversité d’Oxford. Toutes les forces de son génie se portèrent
vers ce genre d’études : les succès qu’il y obtint furent prodigieux.
Fontenelle lui a appliqué ce quë-Lucain avoit dit du Nil : qui/
n’a pas été donné aux hommes de le voir faible ô naissant. Dès
Tâge de vingt-cinq ans, il avoit jette les fondemens des grandes
théories qui Tont rendu depuis si fameux. Léibnitz, plus jeune de
quatre ans, ne trouva en Allemagne que de médiocres secours pour
son instruction. II se forma , pour ainsi dire, tout seul. Son génie
actif & dévorant, secondé par une mémoire extraordinaire, em.
brassoit toutes les branches des connoissances humaines : littérature , -
histoire, poésie, droit des gens, sciences exactes> physique, ôc.
Cette multiplicité de goûts nuisit nécessairement à la rapidité de.
ses progrès dans chaque genre. II ne s’annonça donc, comme ua
grand Mathématicien, que sept ou huit ans après Neuton.

Ces deux grands hommes possédoient la nouvelle Analyse longtems
-avant que de là mettre au jour. Si la priorité de la publication
emportoit la priorité de Tinvention , Léibnitz auroit gain.de
cause : mais ce moyen n’est pas suffisant pour prononcer avec assurance ;
& il’faut remonter à des faits antérieurs, appuyés fur des
titres authentiques »
Ixxxv] D I S C O U, R S
Le cpmmërcium epiftolicum contient d’abord, à dater de Tannée
1669 , plusieurs belles découvertes Analytiques de Neuton. Dans la
pièce intitulée : de Analyfi per &quationes numéro terminorum infinitas
3 outre la méthode pour résoudre les équations par approximation,
dont il ne s’agit pas ici , Neuton enseigne à quarrer les
courbes qui ont , pour ordonnées, des expressions monômes , ou.
Taísemblage de plusieurs monômes ; 8c lorsque les ordonnées sont
des radicaux complexes, il ramène la question au premier cas, en
développant Tordonnée en une fuite infinie, de termes simples, au
moyen de-la formule du binome , ce que personne n’avoit fait encore.
Sluze 8c Grégori avoient trouvé , chacun de leur côté", unt
méthode pour les tangentes : Neuton, dans une lettre à Collins ,
en date du 10 Décembre 1672-, prouve qu’il Tavoit aussi trouvée :
il Tapplique à un exemple, fans y ajouter Ia démonstration : il dit
ensuite qu’elle n’est qu’un corollaire d’une autre méthode générale
qu’il a pour mener les tangentes, quarrer les courbes, trouver leurs,
longueurs & leurs centres dé gravité, &c , fans être arrêté par.les
quantités radicales, comme Hudde Test dans fa méthode pour les
maxima 8c les minima. Les Anglois voyent clairement la méthode
des fluxions dans ces deux écrits de Neuton ; mais les Géomètres
des autres Nations ne pensent pas tout-àfait de même. En convenant
que le développement des radicaux en séries est un pas considérable
que Neuton a fait, ils ne peuvent s’empêcher de recon—
noître d’ailleurs, que les méthodes de Fermât , de Wallis 8c de
Barrow, pouvoient servir à trouver les résultats concernant les quadratures
des courbes, que Neuton se contente de donner, fans
indiquer la marche qui l’y a conduit. Ils avouent que lés deux
pièces dont il s’agit, contiennent une indication vague de la méthode
des fluxions ; indication peut-être suffisante pour montrer que Neuton
possédoit alors les premiers principes de cette méthode, mais trop
obscure pour en donner Tintelligence au lecteur. Et ce qui rend
" cette conjecture très-vraisemblable, c’est qu’Oldenbourg, Secrétaire
de la Société Royale, envoyant ( 10 Juillet 1673 ) à Sluze, un exenv:
plaire de la méthode de celui-ci pour les tangentes qu’on avoit
imprimée à Londres , rapporte un fragment de lettre cse' Neuton ,
où après avoir dit que cette méthode appartient bien véritablement
à Sluze, Neuton poursuit ainsi : quant aux méthodes (il entend.celle
de Sluze 8c la sienne propre) , elles font les mêmes 3 quoique je
les croye-tirées de principes différens. Je ne'fais cependant fi les
principes de M..Slu-{e font auffiféconds que les miens 3 qui s’étendent
aux équations affectées de termes irrationnels 3 fans qu’il fait nécessaire-d’en
changer la farme. Auroit-il parlé avec tant de réserve „
PRELIMINAIRE. Ixxxvij
fe nauroit-il pas dit nettement-que la méthode de Sluze, & celle
des fluxions, étoient différentes, s’il avoit possédé la dernière dans
un degré aussi parfait qu’on Ta prétendu depuis ? La modestie peut-,
elle consister à capher la vérité > Quoi qu’il en soit, Léibnitz n’a pas
eu communication de ces deux écrits de Neuton , ou il n’en a tiré.
aucune lumière, avant que d’avoir trouvé son calcul différentiel :
c’est un point important que les défenseurs de Léibnitz, n’ont pas
assez discuté jusqu’ici, &c dont je donnerai bientôt la preuve dé'monstrative.
.

Léibnitz vint en France , en 167 Í , au sortir des universités d’Allemagne
, où il s’étoit principalement occupé du droit 8c de Thistoire
: il. étoit néanmoins déjà initié aux Mathématiques, puisqu’en
H-666 , il àvoit publié un petit Livre sur quelques propriétés des
nombres: II passa à Londres, au commencement de 1673 5 il y vit
Oldenbourg, & ils lièrent ensemble un commerce de lettres. Dans
une de ces lettres, écrite de Londres même à Oldenbourg, Léibnitz
expose qu’ayant trouvé une manière de sommer certaines suites par
le moyen de leurs différences, on lui avoit montrés cette méthode
déjà imprimée dans un Livre de Mouton, Chanoine de S. Paul de
Lyon, fur les diamètres du soleil 8c de la lune ; qu’alors iT imagina
une autre manière qu’il explique, dé former les différences,
& d’en conclure les sommes des suites : qu’il est en état de sommer
une fuite de fractions , dont les numérateurs sont Tunité, 8c dont
les dénominateurs font, ou les-termes de la fuite des nombres naturels,
ou ceux de la fuite des nombres triangulaires, &c. Touces ces
recherches font ingénieuses, & semblent avoir un rapport, au moins
éloigné , au calcul des différences.

Après quelques mois de séjour à Londres, Léibnitz revint-à Paris,
où il se lia d’amitié avec Huguens , qui lui ouvrit le sanctuaire de
la plus profonde Géométrie. II trouva bientôt la fuite, qui donne,
pour la quadrature du cercle, une expression analogue à celle que
Mercaror àvoit donnée pour la quadrature de Thypérbole. II la
communiqua à Huguens , qui en fit de grands éloges, & à Oldenbourg
, qui lui répondit que Neuton avoit déjà trouvé des ohoses
semblables, non-seulement pour le cercle, mais encore pour toutes
sortes de courbes, 8c qui en envoya des essais. En effet, la théorie
des suites étoit très-avancée dès ce tems-íà en Angleterre ; & quoique
Léibnitz y eut pénétré fort avant de son côté ,.il a toujours
néanmoins reconnu que. les Anglois , & principalement Neuton.,
Tavoient- précédé & surpassé dans cette branche, de Tanalyse : mais
elle n’est pas le calcul différentiel.,- 8c les Anglois ont morirré une
partialité trôp.évidente, en cherchant à lier ensemble ces deux objets.
íxxxvìij DISCOURS
Ecoutons & pesons Thistoire que Léibnitz fait de fa découverte
du calcul différentiel. II raconte que joignant ses anciennes remarques
fur les différences des nombres, à ses nouvelles méditations
de Géométrie, il trouva ce calcul vers Tannée i6j6 ;~qu’il en
fit de merveilleuses applications à la Géométrie ; qu’étant obligé,
en ce même tems, de retourner à Hanover,~il ne put suivre entièrement
le fil de ses méditations ; que cherchant néanmoins à. faire
valoir fa nouvelle découverte , il pafla par TAngleterre 8c par la
Hollande ; qu’il resta quelques jours à Londres , où il fit connoissance
avec Collins, qui lui montra plusieurs lettres de Gregori ,
de Neufòn, & d’autres Mathématiciens, lesquelles rouloient principalement
fur les Séries. D’après cet exposé , il semblero.it que
Léibnitz, voulant répandre fa nouvelle découverte, auroit dès-lors
fait connoître le calcul différentiel en Angleterre. Ajoutons que , dans
unejettre de Collins à Neuton, du 5 Mars 167^ , il est dit que
Léibnitz ayant passé une semaine à Londres, au mois d’Octobre
ï6y6, avoit remis a Collins quelques, écrits ( 1) , dont Neuton recevroit
incessamment des extraits ou des copies. Collins ne désigne
point la nature de ces écrits 3 & on n’en trouve aucun vestige dans
le commercium epistolicum. Mais si se récit de Léibnitz est fidèle,
ou si fa mémoire ne Ta pas trompé, quand U a dit qu’il possédoitle
calcul différentiel avant ce second voyage en Angleterre, il lui survint
sans doute alors quelque raison particulière de tenir encore fa
découverte cachée, contre le projet qu’il avoit formé d’abord de la
faire valoir ; car, dans cette même lettre, Collins. en rapporte
une autre de Léibnitz à Oldenbourg, écrite d’Amsterdam , le ^f Novembre
1676, où Léibnitz propose de construire des Tables de for-,
mules , tendantes à perfectionner la méthode de Sluze, au lieu d’expliquer
, ou, au moins, d’indiquer le calcul différentiel , commo
beaucoup plus expéditif 8c plus commode. Les Anglois ont donc eu
raison de dire qu’à son passage à Londres, en 1676, Léibnitz ne
lèur a pas appris le calcul différentiel ; mais ils dévoient reconnoître
que la même lettre prouve, avec la dernière évidence, qu’il n’a
non plus rien appris d’eux fur ce sujet. En effet, si, comme ils Tont
avancé depuis, on lui eût donné connoissance de la méthode des
fluxions, ne faudroit-il pas qu’il fût tombé en démence pour oser
proposer, un mois après, au Secrétaire de la Société Royale, les
moyens de perfectionner la méthode de Sluze en elle-même , fans
( 1 ) Ce passage & plusieurs autres grands morceaux de cette lettre ont été supprimés
dans le Commercium Epistolicum. Voyez-la en entier dans les (Euvres de Wallis t, III,page qqq, _ _ ~ " ' . ' *
parler" ;
P R E L I M IN.A IRE. . kxxix
parler, le moins du monde, -d’une'autre méthode beaucoup plus
simple qu’on venoit de lui enseigner en Angleterre ? Ainsi, de deux
choses Tune : ou Léibnitz ne'vit point, au mois d’Octobre 1676,
Touvrage de Analysi'per oequationes 3 8c la lettre de Neuton, du r©
Décembre r67z : ou s’il vit ces deux pièces, il n’en tira aucun secours,
non plus que les Géomètres Anglois, qui avoient eu tout le
tems de les méditer. Ses Adversaires n’ont jamais dit formellement
qu’il eût vu Touvrage de Analyfi per oequationes ; ils fe sont contentés
d’avancer qu’il avoit vu la lettre du 10 Décembre ^1672. ;
mais cette lettre est si vagué 8c si obscure, que leur assertion , sûtelle
vraie, ne prouve rien conrre Léibnitz.

II n’y a, dans toute cette affaire, que trois pièces véritablement
décisives : savoir , i.° une lertre de: Neuton à Oldenbourg, du.z4
Octobre 1676 ; lettre communiquée, Tannée seivante, à Léibnitz.
-z.° La réponse que Léibnitz fit à Oldenbourg, le n Juin 1677,
relativement à cette-lettre. 3. ?* Le Scholie qui accompagne la proposition
VII du Livre II, des principes Mathématiques de Neuton.
ouvragé publié en 1.6$6. . , .

La lettre de Neuton contient, indépendamment de différentes
•recherches fur les suites, qu’il faut ici mettre de côté, plusieurs Théorèmes
qui ont la méthode des fluxions pour base ; mais il en cache
les démonstrations ; il se contente de dire qu’il les a tirées de la sor
lution d’un problême général qu’il énonce énigmatiquement sous des
lettres transposées, 8c. dont le sens est : étant donnée une équation
qui contienne des quantités fluentes~3 trouver les fluxions 3 ô réciproquement.
II est évident, par cette lettre, que Neuton possédoit
alors la méthode, des fluxions, ou le calcul différentiel.
.'■ Léibnitz, dans fa réponse, commence par dire qu’il avoit reconnu,,
comme Neuton, que la méthode de Sluze pour les tangentes étoit
. imparfaite. Ensuite il explique celle du calcul différentiel, assurant
que depuis long-tems, il s’en étoit servi pour mener les tangentes
des courbes. II donne ainsi ouvertement la solution du problême que
Neuton avoit proposé en énigme.

Le Scholie, cité du Livre des principes, porte : dan ? un commerce
de lettres que j’entretenois 3 il y a dix ans ( 1 } 3 avec le
très-favant Géomètre M. Léibnii^, ayant viande que'je possédois
une méthode pour déterminer les maxima & les minima, mener les
tangentes 3 ù faire autres choses semblables 3 laquelle réuffiffoit éga.-
lement dans les quantités rationnelles & 'dans les quantités radicales
y 0 ayant caché cette méthode faus des lettres transposées

( 1 ) Par lentremise d’Oldenbourg. -- .
Tome I. Mathématiques. m*xc DISCOURSqui fignifioient : étant donnée une équation qui contienne un.
nombre quelconque de quantités fluentes, trouver les fluxions, 8c
réciproquement : cet homme célèbre répondit qu’il avoit trouve une
méthode semblable 3 & il me communiqua sa méthode qui ne dijséroit
de la mienne, que dans Vénoncé & la notation. L’êdition de
1714 ajoute, & dans l’idée de la génération des quantités.

îl est constant, par ces trois pièces, que Neuton semble avoir
trouvé le premier la méthode des fluxions , mais que Léibnitz fa
trouvée également de son côté, fans rien emprunter de Neuton.
Cés deux grands hommes sont arrivés, parla force de leurs génies,
au même, but, par des chemins différens : l’un , en regardant ses.
fluxions comme de simples rapports de quantités qui naissent ou
s’évanouissent au même instant ; l’autre, en considérant que dans
une fuite de quantités qui croissent ou décroissent, la .différence
'entre deux termes consécutifs peut devenir infiniment petite, c’està-dire,
plus petite que toute grandeur finie déterminable.
' Cette opinion , aujourd’hui reçue: universellement, excepté en
Angleterre, a été celle de Neuton même, dans un tems où là vérité
étoit encore proche de fa source, 8c où les passions ne Tavoient pas
altérée. Envahi, entraîné dans la fuite par la flatterie de ses disciples,
a-t-il changé désengage : envain a-t-il prétendu que la gloire
d’une découverre appartenoit toute entière au premier inventeur,
& que les seconds inventeurs n’y avoient aucune part ; la proposition
a besoin d’être modifiée : deux hommes-, qui font chacun-une
même découverte importante , ont un droit égal à Tadmirátîon :
celui qui la publie le premier , a le premier droit à la reconnoiffance
publique.

Le projet de dépouiller Léibnitz, 8c de le faire regarder comme
plagiaire, fut porté si loin -en Angleterre, qu on osa dire, 8c Neuton.
lui-même n’eut pas honte d’appuyer Tobjectton , que le calcul différentiel
de Léibnitz n’étoit autre chose que la méthode de. Barrow.
A quoi pensez-vous, répondit Léibnitz, de me faire un pareil reproche
 ? Vous voulez , tout à-la-fois, que le calcul différentiel soit
la méthode de Barrow, & que M. Neuton en soit Tinventeur. Faut-il
que la passion vous aveugle au point de ne pas sentir cette contradiction
manifeste ì Si le calcul différentiel étoit réellement la méthode
de Barrow, (& vous savez très-bien qu’il ne Test pas) , qui
mériteroit plus justement d’être appelle plagiaire, ou de M. Neuton
qui a été le disciple, Tami de Barrow, qui a été à portée de puiser
dans la conversation des vues que Barrow n’a pas mises dans ses
livres : ou de moi, qui n’ai pu connoître que les livres, & qui n’ai
jamais eu-de relations ayec T Auteur ?
P R E L I M I N AI R E. -xc) 
Jean Bernoulli, qui avoit appris conjointement avec son Frère,
TAnalyse infinitésimale dans les écrits de Léibnitz , opposa au commerciumepistolicum,
une lettre où il mir en avant, que Neuton
n’avoit pas d’abord songé à son calcul des fluxions , ou qu’il ne
Tavoit réduit à des opérations analytiques générales en forme d’algorithme
, qu’après que le calcul distérentiel étoit déjà répandu dans

' tous les Journaux de Hollande 8c d’Allemagne. Les raisons qu’il en
donne sont, i.° que dans Ie commercium epistolicum 3 on ne voit
pas que Neuton ait jamais employé les lettres pointées, pour désigner
les fluxions. z.° Que dans le Livre des principes , où T Auteur
avoit si souvent occasion d’employés cë calcul , 8c d’en donner
l’algorithme, il ne Ta point fait ; qu’il procède par-tout’par ses lignes
& les figures, fans aucune analyse déterminée, & seulement à Ta
manière de Huguens, Roberval, Cavalleri, 8cc. 3.° Que ses lettres
pointées n’ont commencé à paroître que dans le troisième volume
des oeuvres de Wallis, plusieurs années après que le calcul différentiel
étoit connu par-tout. 4. 0 Que la vraie méthode, de différentier
les différences, ou de prendre les fluxions des fluxions, étoit ignorée
de Neuton, puisque dans son Traité des quadratures des courbes 3
publié en 1705, il"donne, pour trouver les différentielles de tous
les-ordres, une règle qui est fausse, excepté dans le seul cas dés
premières différences.

A cètte lettre , 011 répondit que la notation ne constituoit pas
la méthode ; que les principes du calcul des fluxions étoient con.

ténus dans les lettres & dans le grand ouvrage de Neuton ; que la
règle du Traité des quadratures , pour trouver les fluxions de tous
les ordres, étoit vraie en supprimant les dénominateurs, 8c donnoic
par conséquent des quantités proportionnelles aux véritables fluxions..
Les partisans de. Léibnitz répliquèrent que ses avantages d’une méthode
analytique tiennent en grande partie a la simplicité de .l’algorithme
 ; que la caractéristique de Léibnitz avoit déjà fait faire des
progrès considérables à la nouvelle Analyse \ dans un temps où
presque personne n’entendoit le Livre de Neuton ; 8c qu’enfin la
règle donnée par Neuton , pour trouver les fluxions de tous les
ordres, prouve qu’il ne possédoit pas, même en 1706,1a nouvelle
Analyse ,. avec autant d’évidence & de sûteté, que les Géomètres
de TEcole de Léibnitz.

La question étoit ainsi dégénérée en disputes ,^ qui ne faisoient
que Témbrouiller &: Tòbscurcir. Elle parut terminée par la mort de
Léibnitz, qui arriva en 1716. Les Anglois poursuivant Tombre de
ç.e grand Homme, publièrent en 1716 une édition du Livre des
principes, où Ton supprima le scholie qui concernoit^LéibnitzS
• ' " m ij
xcìj DISCOURS
"C’étoit avouer sa découverte d’une manière bien authentique & bien
mal-adroite. Ne devoient-ils pas sentir que Ton attribueroit a une
prévention nationale, ou peut-être à un sentiment encore plus injuste
, le deflèin chimérique d’anéantir Thommage qu’une noble émulation
avoit autrefois rendu à la vérité ?.

II s’est trouvé dJlns les tems postérieurs , des Géomètres qui j
fans prendre un parti décisif entre Neuton &: Léibnitz, ont objecté
au dernier que la métaphysique de sa méthode étoit obscure ou
même défectueuse ; qu’il n’y a point de quantités infiniment petites,
& qu’il reste des doutes fur Texactitude d’une méthode où ces quantités
sont introduites. Mais Léibnitz- peut répondre : je n’ai proposé
Texistence des. quantités infiniment petites, que comme une simple
hypothèse qui sert à abréger lé calcul 8c les raifonnemens fur lequel
il est fondé ; je n’ai pas besoin qu’il y ait des quantités infiniment.,
petites à la rigueur ; il me suffit, comme je Tai imprimé dans ph>
fieurs ouvrages 3 que mes différences soient moindres que toute
quantité finie que vous, voudrez assigner, 8c que par conséquent
Terreur qui peut résulter de ma supposition, soit au-dessous de-toute
erreur détermînablë, c’est-à-dire, absolument nulle. La manière dont
Arehimède trouve la proportion de la sphère au cylindre ,. a pour
base des principes semblables. M. de Fontenelle, qui' étoit d’ailleurs,
bien intentionné pour moi, a eu tort, de se.contenter de dire, à la
tête de fa Géométrie de T infini , qu’après avoir admis d’abord lesirifiniment
petits, je m’étois relâché dans Ta fuite, jusques au point
de réduire les. infiniment petits de différens ordres, à n’être que des
incomparables, dans se sens qu’un grain de fable seroit incomparable
au globe de la terre : il devoir ajouter que cette comparaison
fie me sert qu’à présenter une idée sensible & grossière de mes différences
à. Timagination de-certains lecteurs ,& que, dans le- Mémoire
( í ) auquel’ il fait allusion , je finis par remarquer expressément
, qu’au lieu de Tilifini ou de Tinsiniment petit, il faut prendre
des quantités, aussi grandes ou aussi petites qu’il, est nécessaire -, pour
que Terreur soit moindre que toute erreur donnée. La- métaphysique
de mon calcul est donc entièrement conforme à celle de la.
méthode dexhauflion des anciens, dont jamais personne n’a révoqué
la certitude en doute. Et, quoiqu’on ait voulu dire., mon rival:
n’a réellement, à cet, égard ,. aucun, avantage- sur moi ;.

Enfin on a dit que Neuton avoit poussé plus loin que Léibnitz ,,
les applications de la nouvelle Analyse à de grands objets, & que
cet avantage, forme un préjugé pour faire regarder le premier- comme:

(j) Yoyez.Lciliiiiii o£emx tome III, pag. 37CU.
P R E L I MI N Al R E. xàij
íe véritable inventeur. Ce raisonnement demande une explication.
II n’a peut-être pas existé d’homme plus doué que Neuton , de
cette intelligence & de cette vigueur de tête, capables de soutenir
une longue méditation, de concevoir & d’exécuter un vaste plan.
La preuve en est dans son Livre des principes , l’un des plus beaux
monumens de Tesprit humain, par la variétés Tenchaînement &
Timportance des matières qui y font traitées. Léibnitz n’a point
donné de Livre semblable. Trop emporté par la vivacité de son

. génie, &..par la multitude de ses occupations, de ses voyages 8c de
ses correspondances avec la plupart des Savans de son tems , ii
ne pouvoit s’astreindre à creuser long-tems un même sujet , ni à
poursuivre en détail toutes les conséquences d’un grand principe.
Mais le recueil de ses ouvrages, & son commerce épiflolaire avec
Jean Bernoulli , porrent le plus haut caractère de Tinvention. II
sefne par-tout des idées neuves 8c des germes de Théories, dont le
développement produiroit quelquefois des traités entiers. S’il n’a pas
égalé Neuton du côté de la profondeur, il paroît le surpasser par
cette pénétration rapide & cette pointe d’esprit, qui vont saisir dans
une matière , les questions les plus subtiles--& les plus piquantes.
L’un a laisse une .plus grande masse des vérités Géométriques j
l’autre" a plus accéléré, en son tems, les progrès de Ia Science, par
la notation simple & commode de son calcul, les applications nombreuses,
qu’il en fit lui-même, ou qu’il mit les Savans à-portée d’éa
faire, les eneouragemens qu’il leur donnoit, & les routes nouvelles,
•ou'il ouvroit continuellement à leurs méditations..

La dispute dont je viens de rendre compte ne fut pas bornée an

-seul genre polémique : elle alluma heureusement entre les Anglois:
'& les Partisans de Léibnitz, une guerre de problêmes, dont la Géo^
métrie retira plusieurs avantages considérables. On en étoit venu à
s’aecuser de part & d’autre de ne pas bien entendre la nouvelle
analyse. Léibnitz, pour tâter le pouls aux Anglois3 comme il disoit,.
leur fit proposer, peu de tems’avant fa mort, le fameux problême
des trajectoires orthogonales, ou la recherche des courbes qui
coupent sous un angle donné une fuite de courbes de la même
espèce, comme toutes les hyperboles d’un même sommet 81 d-ua
même centre. Cet exemple des hyperboles étoit indiqué pour fixer

-clairement Tétat de la question ; car il n’étoit pas d’ailleurs bien
difficile à résoudre ; & le jeune Nicolas Bernoulli, fils de Jean, en
donna une solution sort élégante. Mais Léibnitz exigeoit une méthode
générale, d’òù Ton pû-t tirer, dans chaque, cas particulier, k construction
de la trajectoire, du moins en supposant la quadrature des
courbes. Neuton ayant yif. cet énoncé % indiqua, tout dé- ímta tsma
As » VJT-ÇTxciv DISCOURS
solution sondée sur ces principes : que la nature des courbes coupeeS
donnoit les tangentes aux points d’intersection ; que les angles d’intersection
donnoient les perpendiculaires ; que les perpendiculaires
donnoient le centre de courbure, ou le rayon osculateur, d’ou Ion
pouvoit toujours arriver à Téquation différentielle de la trajectoire ;
Quant à Tinrégratiori de cette équation , il la renvoyois au calcul
intégral, prétendant qu’elle ne faisoit plus partie du problême.^Mais
Jean Bernoulli, chargé de la cause de Léibnitz qui. venoit de
mourit, se moqua hautement de ce projet de solution : il soutint
que rien n’étoit plus facile que de parvenir à Téquation de la tra- ;
jectoire ; qu’on avoit même traité depuis long - tems avec forces
plusieurs cas particuliers de ce problème ; que la grande difficulté
étoit d’assigner, en général, les cas où Téquation de la trajectoire
étoit intégrale, & de réduire Tintégration à la quadrature des courbes,'
La dispute s’échauffant de plus en plus, eut de longues suites. Ori ;
voyoit, d’un côté, les Disciples de Neuton.,.( car il ne paroissoit plus
dans la lice) ,&: de l’autre, Jean Bernoullrìeur faisant tête, & soutenant:
seul sur un ponr, còmme Horatius Codes, touc Teffort do ;
Tarméè angloisc,fuivànr Tingénieuse comparaison de Fontenelle.

Du problême des trajectoires orthogonales, on passa à celui des
trajectoires réciproques ou des courbes qui se coupent mutuellement
sous un angle donné. Toutes ces recherches tenoient à des principes
semblables. Elles demandoient une Géométrie très - délicate
& très-profonde. Je^n Bernoulli y déploya toutes les ressources de
Tart 8c du génie. 11 avoit entre les mains un instrument qu’il manioit
avec dextérité : la méthode de différentier de curva in curvam.

Parmi les combattans Anglois, on distingua principalement Taylor,'
qui résolut la plu part des problêmes de Tennui commun. Avant ce
tems-là, il avoit publié un ouvrage célèbre, intitulé : Methodus
incrementorum dirtcla & inversa. C’est-là qu’on trouve les premiers
essais de la nouvelle analyse appliquée aux différences finies : essais
présentés dune manière très-obscure, & que Nicole eut le mérite
de développer clairement, & de pousser plus loin ( í ). Taylor
a donné, dans ce même Ouvrage , la.première solution du problême
des cordes vibrantes, en supposant que tous les points de
la corde arrivent en même tems à Taxe. Nous verrons ce qu’on a
ajouté depuis à cette Théorie,

Keil ne fut pas aussi heureux. II osa, pour fa propre honte, provoquer
Jean Bernoulli fur un autre sujet. Neuton avoit déterminé,:
dans le livre des Principes 3 la courbe que décrit un projectile dans.
• ~ .1 í….. . i—

(í) Mérn. de l’A<:acl. 1717,1723, 1714^1717. ,
An. 1715.An.1717, I^IS.
An, 1721.Taylor , né
en 1690, mort
cn 1734.Nicole, né en
1Í83 , mort en
I7í2.An, 1717.P RE L I M IN AI R E: xcv
tin milieu résistant comme la simple vitesse ; mais il navóit pas touché
au cas, beaucoup plus difficile, où le milieu résiste comme le quarré
de la vitesse. Keil proposa ce cas à Jean Bernoulli, qui non-seulement
le résolut en très-peu de tems, mais qui. étendit la solution
à f hypothèse générale où la. résistance du milieu seroit comme une
puissance quelconque de la vitesse du mobile. Quand cette Théorie
fut trouvée, TAuteur ossrit, à différentes reprises, de'Tenvoyer à
-un homme de confiance à Londres, sous la condition que Keil
remettroit aussi fa solution. Mais Keil, vainement interpellé, garda
un profond silence : la raison en étoit facile à deviner ; il n’avoit
pas résolu son problême : en le proposant, il s’étoit attendu que
personne ne trouveroit ce qui avoit échappé à la sagacité de Neuton.
II se trompa dans fa conjecture ; 8c son défi , plus qu’indiseret, lui
attira de la part du Géomètre de Balle, une réprimande d’autant
plus humiliante, que le seul moyen solide d’y répondre étoit de
résoudre le problème , 8c que Keil ne put trouver ce moyen, ni
dans ses propres forces, ni dans les secours de ses amis. Le triomphe
de Jean Bernoulli fut complet, Dans Tivresse de fa victoire , i.l se
permit, contre ses rivaux, des sarcasmes &c des plaisanteries qui
n’étoient pas de bon goût, mais pardonnables fans doute au caractère
franc 8c loyal d’un homme attaqué insidieusement, ayant à venger
Tes propres outrages 8c c.eux d’un illustre ami dont il pleuroit encore
la perte.

Toutes ces discussions scientifiques, malgré Taigreur qu’y mêloient
les passions humaines, échaussoient les esprits, 8c formoient de tous
côtés des ptofélytes à la Géométrie. L’Ecole de Basie avoit déjà
produit, sous Jacques Bernoulli, plusieurs hommes célèbres dans les
Sciences, entr'autres Herman, Auteur d’un excellent Traité de
Phoronomie3 & Nicolas Bernoulli, neveu, profond dans Tanalyse
des jeux de hasard, & le premier qui ait donné la fameuse équation
de condition, d’où dépend la réalité de Téquation aux différences
partielles entre trois grandeurs variables. De nouveaux Elèves, excités
par les leçons de Jean Bernoulli, 8C fur-tout par le spectacle de ses
combats avec les Anglois., se montrèrent dignes d’un tel maître.
Son fils aîné, Nicolas, s elevoit rapidement aux régions supérieures
de la Géométrie, quand la mort vint le frapper à Yâge de z 7 ans.
ITeut, dans son frère Daniel Bernoulli, 8c dans Euler leur compatriote,
des rivaux, qui, nés avec un génie égal au sien, mais ayant
vécu plus long-tems,ont fait aussi de plus grands pas dans la même
carrière. En Italie, GabrieTManfredi avoit publié, dès Tannée 1707,
un savant ouvrage sur Tanalyse des courbes 8c des équations différentielles
: ouvrage où, pair la seule conformité dps esprits & de la
Hermí », né
en 1680, mort
en 1^34.Nicolas Bernoulli,
né cn
168z• / mort en
1760,Nicolas Eernoulii
, né en
16S9, mort en
17^6.• D. Bernoullr ,
né en 1700 ,
inert en 17SZ.Euler, né en
1707 , mort en
1783. _>Gabriel Manfredi
, né en
itfsi, mort eu
1761.xcvj DISCOURS
doctrine, f Auteur s’étoit rencontré' avec Jean Bernoulli dans lá ?
Théorie générale des équations différentielles homogènes.

Rien n’a plus contribué à augmenter le nombre & Témulation
des savans, que Tétablissement des Académies dans les principales
villes de TEurope. On connoît les riches collections de Mémoires
publiés par ces illustres Compagnies : souvent pneore leurs membres
ont donné séparément des ouvrages considérables. La nouvelle
Géométrie a été appliquée à toutes les autres parties des^Mathématiques,
8c toutes Tont forcée de se perfectionner elle-même, en
offrant fans cesse des problêmes qui finissent par se réduire à de pures
questions d’Analyse.

Nous trouvons*d’abord, dans la Méchanique, une preuve sensible
de cette dépendance mutuelle. II n’y a point de Science à qui
le secours dune profonde Géométrie soit plus nécessaire qu’à la
Théorie générale de Téquilibre 8c des mouvemens variés. On en
avoit déjà vu plusieurs exemples ; 8c cette sourcevétoit loin de tarir.

Emportés par le plaisir de résoudre de nouveaux problêmes, les
Géomètres s’étoient peu attachés à examiner si les principes de la
Méchanique avoient Tévidençe nécessaire pour servir de base à un
système de connoissances véritablement scientifiques. M. Daniel
Bernoulli entreprit cet examen : il éclaircit quelques propositions ; il
en démontra rigoureusement d’autres qui en avoient besoin : telle est,
.en particulier, celle de la composition 8c décomposition des forces
qui vont concourir en un point. Quand il eut ainsi assuré íâ marche,
il voulut, à son tour, résoudre des problêmes de Méchanique.
Je citerai d’abord celui des chaînettes3 considéré généralement,
c’est-à-dire, en supposant le fil soumis à faction de puissances quelconques ;
& celui de la courbure que doit prendre une lame élastique,
en ayant égard à sa pesanteur que Ton n’avoit pas encore fait
entrer dans le calcul. M. Euler, qui traita de son côté les mêmes
questions, parvint à des résultats semblables.

La découverte que Huguens avoit faite du tautochronifme de la
cycloïde, dans Thypothèse du vuide & de la gravité ordinaire, excita
la curiosité des Géomètres à chercher les courbes tautochrones
pour d’autres hypothèses. Neuton fit voir que la cycloïde est encore
la courbe tautochrone , lorsque le corps toujours pesant à Tordinaire,
éprouve de la part du milieu où il se meut, une résistance
proportionnelle à fa'simple vitesse : résultat curieux & remarquable.
Mais on desiroit envahi depuis long-tems de connoítre la tautochrone
pour un milieu résistant comme le quarré de la vitesse. M. Euler
& M. Jean Bernoulli résolurent ce problême à-peu-près dans le
mime tems. En 1734, M. Fontaine donna, fut çe sujet, une IIQUvelse

Méchanique.An. 1726.
An. 172 !.An. ifi ?S.An. 1729..Fontaine , né
en 170 ; , mort
Cn J771.P RE L I MINAI R E. xcvijx Veíle méthode plus générale, & d’un tour vraiment original : où
faisant varier les lignes de deux manières, l’une relative à la différence
entre deux arcs finis consécutifs, l’autre au mouvement le
long de l’un de ces arcs, il parvient à'une équation d’où Ton tire
íâns peine tous les cas connus, tandis qu’auparavant chacun d’eux
exigeoit une solution particulière. II trouva de plus que la tautochrone
est la même quand le milieu résiste comme le quarré de la
vitesse, & quand il résiste comme le quarré de la vitesse plus le
ptoduit de. la vitesse pat un coefficient constant í Théorème non
moins singulier que celui de Neuton.

Dans tous les mouvemens de rotation, on avoit toujours regardé
Taxe comme fixe. M. Daniel Bernoulli étendit les loix de la Méchanique
à des problêmes où Taxe lui-même est mobile : tel est celui
des oscillations d’une chaîne suspendue verticalement, qu’il résolut,
en considérant cette chaîne comme Tassemblage d’une infinité de
petits poids mobiles à charnière, 8c en supposant qu’ayant été d’abord
un peu détournée de la ligne verticale, puis abandonnée à ellemême
, tous ses points arrivent à la verticale dans le même tems.
M. Euler, invité par M. Bernoulli à chercher aussi la solution de ce
ptoblême., la ttouva également. Ces deux grands Géomètres se
communiquosent volontiets & fans mystère les Objets de Ieúrs méditations,
& souvent ils ont traité les -mêmes sujets. L’étroite amitié
qu’ils avoient liée ensemble, dans leur jeunesse, ne fut jamais altérée
par le tems, ni ; par de fréquentes discussions scientifiques où ils
n’étoient pas de même avis.

Le problème de la percussion excentrique les occupa l’un & Tautte.
II çonsistoit, en général, â déterminer le mouvement que doit
prendre un corps frappé ou poussé suivant une direction quelconque.
Les solutions qu’ils en donnèrent étoient un supplément nécessvire à
la Théorie du choc des corps, où Ton avoit toujours supposé auparavant
que les corps se frappoient suivant des lignes qui passoienc
par leurs centres de gravité. Mais elles supposoient elles-mêmes-que
le corps choqué, quelle que soit fa figure, ne prend , outre le mouvement
de translation, qu’un mouvement de rotation autour d’un
seul axe qui conserve son parallélisme : on a déterminé, à Toccafion
d’un autre- problême dont nous parlerons plus loin, le mouvement
pour un "nombre quelconque d’axes, quand le cas a lieu.

Pendant que les deux plus illustres Elèves de' Jean Bernoulli marchoient
d’un si grand pas dans la carrière qu’il leur avoit ouverte:
lui-même, nonobstant son âge avancé, çonservoit tòut son-goût &
toute son activité pour les Sciences. II étoit infatigable à proposer
jgc à résoudre de nouveaux problêmes. On admire, comme un<s
Tome I. Mathématiques. nAn. i75í*.
Ân. ij%f.xcviìj DISCOURS
recherche alors très-délicate, fa méthode pour trouver le centre spontanée
de rotation d’un corps qui se meut librement en vertu d’une
percussion excentrique.

A la mort de Pascal 8c de Fermât, la France avoit un peu perdu,
dans les Sciences, Téquilibre avec.les Nations voisines ; màis elle a
su Ie reprendre 8c le conserver, à-peu-pr.ès depuis Tépoquedu problème
des tautochrones dans les milieux résultans, où elle remporta
un avantage marqué. Bientôt après, M. Clairaut & M. d’Alembert
se distinguèrent par de profondés recherches de Dynamique. On
fait que ses problêmes de cette classe ont pour objet les mouvemens-de
plusieurs corps qui agissent les uns fur les antres d’une
manière quelconque. Pourles résoudre, les Géomètres se formoient ,
suivant les loix de la Méchanique, certaines règles qu’ils combinoient,
au besoin, avec les propriétés du mouvement, déjà connues..
C’est ainsi que Jean Bernoulli employoit le principe des tensions ;
M. Euler , celui des pressions ; M. Daniel Bernoulli, la. puissance
virtuelle qu’a un système de corps de se rétablir dans son premier état,
quand il en a été dérangé, &c.T’adresse étoit ensuite d’y ramener
chaque p'roblême particulier, & d’intégrer les, équations auxquelles
on étoit conduit. M. d’Alembert, remontant aux notions primordiales
de Téquilibre 8c du mouvement, a imaginé un principe général,
dont tous les autres he sont que des corollaires. II regarde se mouvement
qu’a chacun des corps du système, en un instant quelconque,
comme formé du mouvement quil avoit dâns Tinstant précédent,.
& d’un autre mouvement qu’il a perdu ; ensuite, observant que Ia
connoissance des mouvemens perdus doit mener nécessairement àcelle
des mouvemens conservés, il exprime lés conditions dé Téquilibre
entre les premiers ; & par-là il réduit toujours la question à. un
fimple problème dé statique.

. Ce.même homme, qui réuiiissoit dans se plus haut degré la
Science de TAnalyse à celle de la Méchanique j généralisa le problême
des cordes vibrantes, que Taylor & ensuite d’autres Géomètres
n’avoient résolu que dans la seule hypothèse où tous- les
points de la corde arrivent en même teins à Taxe, soit parce que
cette hypothèse avoit paru suffisante pour rendre raison des principaux
phénomènes des sons musicaux,'.soit parce qu’on n’avoit pu réussir
à surmonter les difficultés de calcul que Ton rencontre, lorsqu’on s’en
écarte. Un Théorème de M. Euler fur les fonctions aux différences
partielles, & de nouvelles considérations analytiques dont M. d’Alembert
ne fut redevable qu’à son propre génie,Te conduisirent à une
équation de la courbe vibrante, pù il entroit deux fonctions variables
indéterminées, .comme il entre des constantes indéterminées"
Clairaut, né
en 1713, mort
en 1765.D’Alembert,
né en 1717 ,
mort en 1783,'fin. 3747.P RE L IMI N A I R E. xdx
dans les intégrations ordinaires. Il-ne s’agisseit plus que de subordonner
ces fonctions à Tétat initial de la corde ; 8c, dans cette généralité
, la solution fondée fur Thypothèse de Taylor "étoit comprise
comme un cas très-particulier. M. Euler fut frappé de ce nouveau
genre d’Analyse : il donna une solution qui ressembloit à celle de
M. d’Alembert , dans plusieurs points essentiels. M. d’Alembert,
craignant fans doute de partager avec un autre la gloire dune si
belle découverte, ne vit dans la solution de M. 1 Euler que les traits
de ressemblance avec la sienne, 8c ne voulut pas reconnoître le
mérite qu’elle avoit d’être un peu plus directe, plus analytique 8c
plus facilement applicable à toutes les questions de cêtte espèce.
M- Daniel Bernoulli avoua que tous ces calculs étoient ce que
TAnalyse avoit encoreproduit de plus abstrait 8c de plus épineux ;
mais en*même tems il entreprit de faire voir que la corde vibrante
forme toujours, ou une trochoïdë simple, telle que -la Théorie de
Taylor la donne, ou un assemblage de ces trochoïdes ; 8c que toutes
les courbes déterminées par MM. d’Alembert 8c Euler ne pouvoient
être admises, 8c n’étoient réellement applicables à la nature, qu’autant
qu’elles étoient réductibles à une pareille forme. Cette discussion
lui donna Tieu d’approfondir la formation physique du son,
que Ton ne connoissoit encore que très-imparfaitement ; il explique,
par exemple, avec toute la netteté possible , comment une corde
mise en vibration, ou en général un corps sonore quelconque, peut
rendre à-la-fois plusieurs sons différens., formant un même système.
Mais, en admirant son adresse àr simplifier le sujet, 8c à prêter Tappui
de Texpérience à ses raisonnemens, les Géomètres conviennent que
fa solution est moins générale 8c moins parfaite que celles de
MM. d’Alembert & Euler. "''.'•

Malgré la conformité qui se trouvoit entre ses principaux résultats
de ces deux derniers, ils eurent ensemble une longue dispute
sur Tétendue qu’on pouvoit donner aux fonctions arbitraires qui
entrent dans Téquation dé la corde vibrante. M. d’Alembert vouloit
que la courbure initiale de la corde fût assujettie à la loi de continuité
: M ! Euíet la croyoit absolument arbitraire, 8c introduisoit
dans se calculles fonctions discontinues. D’autres Géomètres ont
cru que cette difcontinuité des fonctions pouvoit être admise, mais
qu’elle devoit être assujettie à une loi, 8c qu’il falloir que trois points
consécutifs de'la courbe initiale appartinssent toujours à une courbe
continue. Mais jusqu’ici il ne paroît pas que personne ait donné des
preuves entièrement démonstratives de-son opinion: &: il.ne faut
pas s’en étonner. Cefte question tient à des idées métaphysiques ;/
■•& les problêmes de-Méchanique, ou de pure Analyse, auxquels on
n ijc D i-.se O U R s
a appliqué ce nouveau genre de calcul, n’ont encore fourni aucun
moyen de discerner celle de ces opinions, qui donnoit des résultats
conformes ou contraires à des vérités, déjà reconnues 8c avouées
universellement.

Au problême des cordes vibrantes succéda bientôt une autre
question de même genre : celle du mouvement oscillatoire & réciproque
d’une masse d’air que Ton a tirée de Tétat de repos. M. Euler
traita ce nouveau sujet avec la même généralité que le premier ; 8c,
pour vaincre les difficultés de calcul qui y font attachées, il déploya
toutes les forces, toutes les restources du génie analytique. M. Daniel
Bernoulli trouva le moyen d’éluder la plupart de ces difficultés, ense
bornant à discuter, avec sa pénétration 8c son adresse ordinaires, les
hypothèses les. plus conformes à Texpérience : il parvint ainsi à éta-:
blir une très-belle Théorie Physique &: Mathématique des fpns produits
par ses tuyaux d’orgue. Si je ne m’étois impose silence fur ses,
découvertes des hommes vivans, j’aurois. commencé par citer, au
sujet du problême de la propagation du son, un Géomètre dont
TItalie & l’AUemagne s’honorenr , Tune pour lui avoir donné la
naissance, l’autre parce qu’il est à la tête defa plus célèbre Académie.

Les progrès de THydrodynamique ont été plus lents que ceux de
la Méchanique des solides. Avant M. Daniel Bernoulli, on né favoit
déterminer avec exactitude Técoulement des. fluides par des’orifices,,
que dans le Teul cas où ces orifices pouvoient être regardés comme,
infiniment petits : car jé ne crois pas. devoir parler de lá Théorie
générale qpe Neuton entreprit de donner fur ce sujet, parce qu’il
y emploie des suppositions précaires 8c même incompatibles ayec
les loix de THydrostatique. M. Bernoulli. s’appuie fur. inexpérience :
il suppose simplement que la surface d’un fluide qui sort d’un vase
par un orifice de grandeur quelconque, demeure toujours de niveau,
& que tous les points d’une même tranche s’abaissent, verticalement
avec des vitesses égales : il applique à cette hypothèse le. principe
de la, conservation des forces vives, & parvient à dés formules
remarquables par Télégance du calcul 8c la simplicité des. résultats.
Jamais Tesprit d’invention, la Géométrie. &c la Physique n’ont été
réunis plus avantageusement. •

.MM. Maclaurin &-Jean Bernoulli traitèrent ses mêmes questions i
au moins les principales, mais en employant d’autrès méthodes. Le
choix de ces méthodes étoit fondé fur des motifs’ bien différens.
Maclaurin plaçoit le principe de la conservation des forces vives au
nombre des vérités secondaires, 8c neeroyoit pas qu’on pût le prendre,
pour base d’une solution : au contraire, Jean Bernoulli Tavoit toujours
regardé comme une loi fondamentale de la Méchanique, &
Hydrodynamique.AB. I7JS.
An. 1742.PRELIMINAIRE. .gù s’en étoit servi pour résoudre un grand nombre de problèmes ; mais,
devenu un peu jaloux dé son fils depuis que f Académie des Sciences
avoit partagé entr'eux le prix de Tannée 1734, il prétendit que
ce principe étoit indirect dans la question du ^mouvement des fluides.

Celui de M. d’Alembert ne craignoit aucun reproche ; 8c T Auteur,
après lavoir appliqué aux plus difficiles problêmes de Dynamique,
en montra également Tusage pour déterminer se mouvement
des fluides. II fait les mêmes suppositions que M. Daniel Bernoulli j
& il parvient aux mêmes résultats, de la manière la plus simple 8c
la plus directe. Sa méthode a f avantage d’embrasser tous les cas,
au lieu que là loi de la conservation des forces vives souffre une
restriction, lorsque la vitesse change brusquement d’un instant à
l’autre, ou quand il y a une percussion de corps durs.

Les calculs de tous ces grands Géomètres étant sondés fur Thypothèse
du parallélisme des tranches, laissoient encore un petit scrupule
sur la parfaite exactitude des résultats, parce que cette hypothèse
n’a pas lieu en rigueur, & qu’elle ne peut même être admise
en certains cas. M. d’Alembert. donna ; une nouvelle solution, où il
ne supposoit autre chose,.sinon que ses particules demeurent toujours
contiguës ses unës aux autres ,'&. qu’une petite masse élémentaire,
de figure quelconque, en passant d’un endroit à l’autre, conserve
le même volume. lorsque le fluide est incompressible , on
change de volume suivant une loi donnée lorsque le fluide est élastique.
D’après ce principe conforme à la nature des fluides,-les
nouvelles équations de M. d’Alembert font plus: générales 8c plus ;
rigoureuses que les premières ; mais il n’a fait, pbur:ainsi dire, que
les indiquer, fans pousser TAnalyse aussi loin qu’il étoit nécessaire
pour former des résultats précis & satisfàssans. M.- Euler a traité la
matière sous le même point de vue,, maishavec-plus declarté 8c
d’étendue. Lé recueil des Mémoires, qu’il :a- donnés ;fur ce sujet,,
formeroit le Traité Théorique le plus .complet qui:.ait encore- paru,
de Téquilibre & du mouvement des fluides.

Ceux qui desiroient qu’on rendk THydrodynamique-utife à Tá
société, & qui sentoient Timpossibilite : d’appliquer à cette fin tfn
système dé formules compliquées,, invitoient ;depuisJlong^téms^les
Géomètres à faire une fuite d’expériences: en grand for lë^mouve--
rnent des fluides, à discuter soigneusement ces expériences 1 f &'à'lës:
comparer avec la Théorie. Ce: travail long 8c pénible, a été entrepris
: on me dispensera, don parler.

. II semble que Texpérience de Richer. à Cayenne ;, 8zìes raisonne^
mens théoriques de Huguens & Neúron ne permettoient plus de
douter que la terre: fût un -sphéroïde áppláti vers Tes pôles* ÇepenAn.
1751^
An. tjîj.Figure de- k.
terre par lesobíervations. ;cij D I S COUR S
dant. les mesures que MM. Cassini avoient prises, en divers tems,
des degrés du méridien dans toute Tétendue de la France, avoient
rendu la question comme problématique : car, selon ces mesurés,
la longueur du degré terrestre augmentoit en allant du nord de la
France au midi, ce qui supposeroit que la terre, au lieu d’être Un
sphéroïde applati, seroit au contraire un sphéroïde allonge. A ce
résultat, les Géomètres convaincus de Tapplatissement de la terre,
opposoient que les opérations de MM. Cassini n’étoient pas suffisantes
pour résoudre le problême, que ces opérations avoient été
faites en des lieux trop voisins les uns des autres, 8c qu’il n’étoit
pas possible de connoître les quantités précises des petites différences
qui se ttouvoient entre les degrés mesurés, ni même le sens dans
lequel elles avoient lieu. On ne pouvoit donc sortir dé cette incertitude
, qu’en mesurant les degrés du méridien en des endroits dont
ses latitudes fussent très-différentes. La France envoya, pour cet effet,
des Académiciens en Lapponie 8c au Pérou : la première troupe
étoit composée de MM. de.Màupertuis, Clairaut, Camus, 8c le
Monnier, auxquels se joignirent M. l’Abbé Ourhier-, Chanoine de
Bayeux, &..M. Celsius,. Professeur d’Astronomie à Upsal ; la secondé,
de M M. Godin, Bouguer , 8c la Coildamine, accompagnés de
M- de Juffiéu, Botaniste, & de deux Officiers Espagnols, Dom
Antonio. de Ulloa 3 8c Dom’ Georges Juan. On trouva que
la longueur d’un degré du : méridien, au cercle polaire , étoit de
57438 toises,. 8Ç que cëlle du premier degré de latitude étoit de
56753" toises. Ainsi, voilà unë différence très-sensible entre deux
degrés terrestres du méridien, mesurés à de très-grandeS distances
l’un de l’autre. II résulte de cette différence que lés degrés terrestres
du méridien .vont en diminuant du pose à Téquateur, & que par
conséquent la. terre est un sphéroïde applati vers lés pôles. Cette
conséquence se trouve également par la comparaison de chacun des
degrés mesurés au nord >& au midi avec le degré moyen déterminé
par MM. Picard 8c Cassini. C’est ainsi que la France a eu successivement
la gloire d’indiquer d’abord, & puis de démontrer-fans
réplique Tapplatissement de la terre..

Mais il ne suffifoit pas : de savoir, que la terre est applatie : il falloit
encore trouver, son axe, &: le diamètre de Téquateur : M. de Maupertuis
détermina ces deuxTignes par le moyen sses longueurs de
deux degrés du méridien, en considérant la terre comme-un sphéroïde
elliptique.

De tous les Académiciens :qui ont, eu part aux expéditions du
nord & du Pérou, il n’en teste.qu’un seul : célèbre par d’excellens
ouvrages, cher à fa famille ,& à ses:amis’par de solides vertus.
Àn. i/ssMàupertuis,
îié em 169S ,
mort en 175s.Camus , né
cn 1699, mort
en 17 <5S.Goilin ,néen
1704., mort cn
1760.Bouguer, né
en 1698, mort
611 1758.La Condaniine
j né -en
1701  ; mort en
J77*.Jm, 1737..PRE L I M IN A I.R E. tiij ;
La recherche de la figure de la terre, par. la voie de là théorie,
présentoit des difficultés, soit pour le choix des vrais, élémens de la
question, soit pout la manière de les employer. Huguens étoit parti
de ce principe, que la gravité primitive, supposée constante 8c dirigée
au centre, étant modifiée par faction de la force ; .centrifuge, il en
doit, résulter une pesanteur actuelle dirigée perpendiculairement à
tousses points de la surface de la terre : Neuton, dé célui-ci, que.,
la gravite primitive, considérée comme formée de toutes ses attractions
des parties de matière dont le sphéroïde terrestre est composé,
doit se combiner avec Ia force centrifuge, de.telle manière que le
poids d’une colonne centrale .équatorienn.e,-&: celui d’une, colonne,
centrale polaire, soient égaux.entr'eux, fans ;.■ s’embarrasser d’ailleurs
si la direction de la pesanteur actuelle est perpendiculaire^ou non à
la surface de la terre., 8c sans rien prononcer sur la figure précise du
méridien. M. de Màupertuis & M. Bouguer, voulant savoir si les
deux principes de Huguens & de Neuton donnoient la même courbe
pour le méridien., trouvèrent ^que dans .plusieurs .-.hypothèses de
pesanteur, cette identité n’avoit pas Heu ; 8c ils conclurent que tous:
deux dévoient être observés en- même teins, pòur Téquilibre de la.
terre àJa surface 8c dans d’intérieur. Mais ces hypothèses n’étoient
pas celles de la nature : il falloit trouver directement là figure de
la terre, suivant la théorie de Tattraction réciproquement proportionnelle:
au quarré des distances ; 8c:prouver. Téquilibre , par cettê
loi fondamentale de THydrostatique, qu’un fluide ne fauroit demeurer
en repos, à moins que chacune de ses parties ne.soit également
preíseè en toutes sortes dé sens. La solution de Neuton étoit insuffisante,
en ce qu’il n’avoit pas donné Téquation du sphéroïde terrestre,
8c qu’il s’étoit contenté de lë regarder tacitement pomme,
elliptique. M. Maclaurin est’le premier qui ait démontré en.rigueur:
ce beau Théorème : que toutes les particules de la terre regardée
comme fluide, étant supposées soumises à Tattraction’Neutonienne
& à.faction d’une force centrifuge, elle fera en équilibre, si elle a
la forme d’une sphéroïde elliptique homogène, quelque: soit d’aiU
leurs le-rapport des axes. II étendit cette proposition au-ças ; où lés ;
particules de la terre spnt.d’e plus, attirées parle soleil.& par la lune:
il apprit à déterminer Tattraction d’un sphéroïde elliptique homogène
fur un point placé en un endroit quelconque du prolongement de ;
son aie, pu du prolongement.d’un diamètre.de Téquateur, Tous cesproblémes
étoient alors .de la plus grande, difficulté ; T’Auteur lesrésout
par.Ia méthode synthétique(des ançiens,.âvec ;uiie:,adresse:^
une élégance admirées des Géomètres. ' : ..-. ; : .'

Sa théorie ; n’auroit rien laissé à. désirer, û elle.eut donné p oúílé
Figure dé la
terre par l’Hydrostatique.Air,.. 1734.-Maclatirîrí £
né ,en 1698' r
mort en 174* ;.
An. i-74ffvàv DISCOURS
rapport de Taxe de la terre au diamètre de Téquateur une fraction
sensiblement égale à celle que donnoient ses mesures immédiates.
Mais les termes de la première fraction étoient lés nombres 130 &
131 ; ceux de la- seconde, ses nombres 177 8c 178. On voit que
Ia différence méritoit quelquattention. Ne fallok-il pas, pour Tcxpliquer,.
abandonner Thypothèse de Thomogéiìéité dé la terre ?
M. Clairaut, intéresse personnellement à Texamen de cette question,
eòmme ayant eu part à la mesure du nord, entreprit de la traiter
de nouveau en détail suivant les principes de THydrostàrique. II nc
se borne pas à regarder la terre comme homogène ; il la suppose
composée de différentes couches fluides ou solides ; il cherche la loi
des densités de ces couches, 8c les. erreurs qu ilTiàudroit attribuer
aux observations, afin que les dimensions du sphéroïde terrestre
soient à-peu-près telles que la comparaison des mesures le demande.
Dans tous ses calculs de Tattraction des parties de la terre, il regarde
se sphéroïde terrestre comme elliptique. M. d’Alembert a depuis
généralisé davantage la question, en déterminant, ce que personne
n’avoit fait encore, Tattraction pour un sphéroïde dont Téquation
comprend la suite des puissances du sinus de la latitude d’un point
quelconque. II a tiré de çet important problême plusieurs conséquences
relatives à la figure de ia terre ; &, par une fuite de
réflexions, il a proposé, 'en différens tems, un grand nombre de
remarques nouvelles 8ç utiles fur les lpix générases de Téquilibre des
fluides. --.'---''"

- Larchitecture navale 8c la manoeuvre des vaisseaux ressentirent les
progrès de THydrodynamique. On savoir depuis long - tems qu’afiii
qu’un corps solide, flottant for un fluide, demeure en équilibre, il
faut que se centre de gravité de ce corps-, & celui de fa partie submergée,
considérée comme homogène, soient placées dans une même,
ligne verticale. M. Daniel Bernoulli fit voir de plus qu’eu égard aux
diverses siruations respectives de ces deux points fur la ligne verticale,
il existe diverses situations d’équilibre, qui ont plus ou moins
de consistance ; que Téquilibre est toujours ferme 3 ou que se corps,
dérangé de cet état, y revient en vertu de fa pesanteur & de la
poussée verticale de Teau, lorsque son centre de gravité est placé
au-dessons de celui de la partie submergée ; que la fermeté de Téquilibre
diminue, à mesure que le premier centre s’élève, 8c qu enfiti,
lorsqu’il est arrivé à une certaine limite au-dessus, du second., Tétat
d’équilibre devient versatile. II paroît que M. Euler avoit trouvé,
dé son côté, dàns le même tems, de semblables résultats : ils font
expliqués fort au long dans son ouvrage, intitulé : Scientia Navalis.
Le Mémoire de M. Daniel Bernoulli , fur ce sujet, étoit publie

depuis
An. 17.4.3.
An. 1754Applicationde l’Hydrody.namique
 à la
Navigation.Àn, 173Í.Aa. 1749,P RE L ÌMINAÍRE. CV
depuis quelques années, lorsque M: Bouguer, traitant de lSconstruction-
8c des mouvemens du navire, donna cette même théorie
de Téquilibre des corps flottans, d’une manière nouvelle & très-^
simple : il fit connoître, sous se nom de Métacentte, la limite audessous
de laquelle il faut qu’un vaisseau ait son centre de gravité,
pour n’être pas exposé à verser, quand Timpulsion du vent &Tagitation
des .lames vienneiit à Tincliner.- . . ■*

Les problèmes relatifs aux mouvemens du vaisseau sont plus, compliqués
8c plus difficiles. MM/Jean Bernoulli, Bouguer & Euler en
ont résolu un grand nombre. Mais seurs_trayauxfur cet objet n’ont
été que d’un médiocre secours à la Navigation, parce que dans Ia
. plupart de ces problêmes, on est obligé d’avoir égard à Timpulsion
du Vent contre les voiles, 8c à la résistance que le Navire éprouve
en divisant Teau, 8c que les méthodes connues & employées pour
déterminer-ces efforts, font fondées for des principes contraires à
Texpérience, en plusieurs points essentiels. -

: On seroit étonné des progrès que TAstronomiea faits depuis cent
ans, si Ton ne songeoit aux secours qu’elle a tirés de la Méchanique,
de la Physique 8c de la Géométrie, soit pour la construction des
instrumens, soit pour se calcul des observations. Tout a concouru
à perfectionner les différentes- parties de cette Science. Un des travaux
ses plus nécessaires .& ses plus pénibles qu’on ait entrepris,'eft
le Catalogue des étoiles visibles dans nos climats, auquel Flamsteed
a donné plus de trente ans. En 1703 , Halley se rendit à Tisie
Sainte-Hélène, poûr dresser un semblable catalogue ss.es étoiles-
australes. De notre tems, M. l’Abbé de la Caille a fait, dans la même
vue, se voyage du Cap de Bonne-Espérance ; il vouloit de plus vérifier
plusieurs élémens de TAstronomie,-tels que les parallaxes des
planètes, Tobliquité Técliptique, ôc, au moyen d’observations correspondantes
à celles qu’on étoit convenu de faire en quelques villes
de TEurope. En général, 011 á porté dans toutes ses théories Astronomiques
une recherche, une précision, auparavant inconnues’, 8c
fans lesquelles néanmoins il étoit impossible de fixer exactement à
chaque instant la position d’un astre dans le ciel. Je m’arrêterai un
moment aux deux plus grandes découvertes de TAstronomie moderne.


: Parmi les raisons qu’on opposa dans le tems contre se système
de Copernic, on dit que, si la terre tourne en effet autour du soleil,.
ìes étoiles fixes dévoient paroître en. des lieux différens pour un
observateur placé successivement aux deux extrémités d’un 'diamètre
deTorbite terrestre :-différence que Ton n’avoit pas encore 'remarquée.
L’objection étoit solide, 8c les Astronomes, persuadés de
Tome I. Mathématiques. -.' 0
An. i74<>>Astronomie,flamsteed, né
en 1746, mort
en 171 ..Halley, né en
1656, mort en '
1742.La Caille, ne
en 1713 , mort
en 1762.Théorie de
l’aberration des
étoiles.cy} D I SCO U RS
Texistence de cette parallaxe, n’.avoient cessé depuis Copernic de
chercher à. la déterminer ; mais trouvant constamment qu’elle étoic
insensible, 8c ne voulant pas abandonner le système de Copernic, si
bien prouvé d’ailleurs , ils avoient fini par conclure qu’il falloit
compter pour rien la distance de la terre au soleil, en comparaison
de la distance de la terre aux étoiles fixes. Cependant on observoit
qwelques changemens sensibles dans les positions des étoiles ; mais
ils étoient contraires à ceux qu’auroit dû produire la parallaxe du
grand orbe : on n’en connoissoit point la cause, & on les désignoit
sous se nom général d’aberration apparente des étoiles fixes. En
1715, M. Melyneux & M. Bradley s’appliquèrent à observer ces
mouvemens avec plus de fuite 8c plus de précision, qu’on n’avoit
fait encore ,y mais toujours fans pouvoir en troUver Texplicatiòn..
An. 1727,
Enfin M. Bradley, d’après de nouvelles observations qu’il fit avec
un excellent Secteur de Graham, conçur Tidée ingénieuse & vraie,
que Taberration apparente des étoiles étoit produite par la combinaison
du mouvement progressif de la lumière avec le mouvement
de la terre dans son orbite. II y fut conduit par ce raisonnement:
la Théorie de Roemer m’àpprend que la vitesse de la lumière n’est
pas instannée, 8c qu’elle a un rapport fini, celui de 10000 à 1, à
la vitesse de la terre dans son orbite ; donc^un rayon de lumière,
parti d’une étoile, & apportant Timpreflîon de cette étoile à mon
oeil, n’arrive qu’après que la terre a changé sensiblement de placé
depuis Tinstant où il est parti : ainsi, quand mon oeil reçoit se coup,
jl doit rapporter Tétoile à un endroit différent de celui où il Tau--
roit rapportée, si j’avois toujours conservé la même place. Rien de
plus clair & de plus conséquent. Aussi, avec cette clef, tous les
phénomènes de Taberration s’expliquent d’une manière simple , .
exacte 8c précise. ITen, est résuité en même tems la démonstration
physique la plus complète du mouvement de la terre, & de la propagation
successive de la lumière.
Nutation de
Taxe de la terre.
M. Bradley observa encore, dans les étoiles fixes, un nètit mouvement
apparenr, dont il rendit raison avec se même succès , en
attribuant, conformément aux principes de la gravitation universselle,
un balancement ou une natation à Taxe de la terre par rapport
au plan de Técliptique. La quantité moyenne de. la nutation
est d’environ neuf secondes, & fa période s’achève en 18 ans. Cette
découverte n’est pas moins importante que celle de Taberration ; &
toutes deux placent M. Bradley au rang des Astronomes du premier
ordre.
Physique,
céleste.
Si 1 Angleterre a jette les sondemens de la véritable Physique
céleste, en découvrant le principe 8c la loi de la gravitation univer-
PRETAI MI N AIRE, cvij
-'selle, TAllemagne & la France ont,' en grande partie, élevé Tédifice.
La tendance d’une planète vers le soleil étant supposée proportionnelle
au quarré inverse de lâ distance, la planète décrit une ellipse,
■dont le soleil occupe le foyer ; 8c son mouvement doit se conformer
exactement aux loix astronomiques de Kepler. Mais les observations
faites avec une grande précision apprennent que le mouvement
elliptique 8c les conséquences qui en résultent, n’ont pas lieu en
rigueur. Chaque"planète, principale ou secondaire, éprouve nonfeulement
Tattraction du soleil, ou de la planète principale, mais
encore les attractions de toutes les autres planètes. Or ces dernières
forces, moins considérables, à la vérité, que la première , peuvent
néanmoins en altérer Teffet d’une manière sensible ;&,'pour connoître
la vraie courbe que décrit une planète principale ou un satellite
, il faut avoir égard à toutes les forces dont cet astre est animé,
en se permettant seulement de négliger, púur la simplicité du calcul,
celles dont Tinfluence est comme infiniment petite. Neuton a donné
quelques essais for les effets de Tattraction, considérés avec cette
généralité ; mais TAnalyse n’avoit pas fait, de son tems, d’assez grands
progrès pour traites ces problêmes avec là précision que les Géo-
mètres de nos jours y ont apportée.

La première question qu’ils aient ainsi approfondie, suivant les
principes de Tattraction neutonienne, est celle du flux & reflux de
la mer, que TAcadémie des Sciences proposa pour sujet du prix de
Tannée 1740. MM Daniel Bernouhi, Maclaurin & Euler partagèrent
ce prix. Leurs pièces, excellentes à divers égards, contiennent une
explication complète des marées comme produites par les attractions
dela lune & du soleil.

Hen est de Tatmosphère comme de la mer : les attractions du
soleil & de la lune, qui produisent le flux 8c reflux des eaux, doivent
exciter de semblables mouvemens dans la masse de Tair. L’examen
de ces derniers mouvemens est Tobjet d’une pièce de M. d’Alembert
fur la cause générale des vents. Cet ouvrage est remarquable par .
la solution de plusieurs nouveaux problêmes, & fur-tout parce quon y
"trouve les premiers germes dii. calcul, intégral aux différences partielles.
• ' •-..-.

C’est encore aux foins dé TAcadémie des Sciences qu’on doit Ia
Théorie générale du mouvement des planètes, en faisant entrer
dans le calcul tous les élémens du problême. Elle proposa pour
sujet du prix de Tannée 1748 la recherche des mouvemens de
Jupiter 8c de Saturne. M. Euler remporta ce prix. Sa pièce contient
.j&ne profonde, analyse 8c plusieurs féries d’une espèce absolument
' ' y ' 0 íjAn. 174s.
An. 1745.cviij D I S C O U R S
nouvelle. .11 perfectionna encore ses Méthodes dans une pièce qui
remporta le prix de Tannée 175-2,.., fur le même sujet.

Pendant qu’on s’oceupoit de-cette question, le même M. Euler,.
M. Clairaut & M. d’Alembert examinoient Ie mouvement de la lune.
Tous trois reconnurent que Tattraction Neutonienne rendoit raison
des principaux mouvemens de cette planète : cependant" une difficulté
ses arrêta quelque tems. Un- premier calcul approché, ne donnoit
pour le mouvement de Tapogée de la lune, qu’environ la
moitié" de ce qu’il est en effet. Cette différence entre la Théorie &
Tobservation fit beaucoup de bruit. On crut d’abord, 8c les.Cartesiens
en triomphaient déjà, que le fystêíne de Tattraction Nëuto'-
tonienne alloit être renversé. M. Clairaut, partisan de ce système,
mais plus amateur,encore de la vérité, annonça dans une.assemblée
publique de TAcadémie des Sciences que la loi du ; quarré inverse
des distances lui paroissoit insuffisante pour rendre une entière" raison
des inégalités de la luné. Mais un examen, plus attentif de ses calculs,
lui fit appercevoir qu’il n’avoit pas poussé assezdoin Tapproximation
dela férie qui représentoit le mouvement de Tapogée : ayant i-nis dans,
cette opération Texactitude nécessaire, il- trouva l’autre moitié du
mouvement de Tapogée. M. d’Alembert 8c M. Euler firent,.chacun
de leur côté,'la. même remarque. Alors Tattraction Neutonienne
fut rétablie avec honneur dans les espaces célestes, doù les Cartésiens
avoient espéré de la voir bannir. .

M. Mayer dressa, en partie sur la Théorie de M. Euler, en partie
sur les observations, de nouvelses Tables de la lune, plus exactes
que toutes les précédentes. M Clairaut ën construisit aussi de trèsbonnes
, for fa propre Théorie.

On a fournis par' degrés aux-loix-. de Tattraction Neutonienne Ie
mouvement de toutes les planètes principales, 8c celui des satellites.
M. Euler a porté, à différentes reprises, la Théorie de la lune à un
point de perfection que Ton ne passera guères, à moins qu’il n’arrive
dans TAnalyse quelque révolution qui. en recule considérablement
les limites. • ■ ■ <**

Les mêmes principes ont été appliqués au mouvement des comètes.
On fait que ces astres décrivent autour du soleil des orbites trèsexcentriques.
Quand ils.passent dans lé voisinage d’une planète considérable,
leur mouvement est altéré par Tattraction qu’elle exerce
fur eux. C’est ainsi que ses attractions, de Jupiter & de Saturne ont
troublé le mouvement de la comète de 17 5 9.. M. Clairaut avoit
prédit, par fa Théorie, le moment du passage de cette comère au
périhélie ; & son calcul s’est trouvé,, à-moins d’un mois près,, d’accord
An. 1747..Mayer, né en
17:0, mort en
J7*i.P RE L I MI N A I R E. Káx
avec 'Inobservation : résultat qu’on peut regarder comme fort juste,
eu égard à Tincertitude de plusieurs élémens du problême. M. d’Alembert
8c M. Euler ont ausïipublié de très-belles recherches for le mou^
vement des comètes. '.

On doit à M. d’Alembert la solution d’un autre problême alors
très-difficile : c’est çelúi de la précession des. équinoxes, 8z de la
nutation de Taxe de la,terre dans le fystême Neutonien. U falloir
que T Auteur, après avoir soumis la question aux loix de Téquilibre,
au moyen de. son principe de Dynamique, trouvât encore çés loix
pour des forces de quantités & de directions quelconques : car,
avant lui, pn n’avoit guères considéré Téquilibre que pour des forces
dirigées Alans un même plan. Les recherches de M. d’Alembert fur
cette matière ont produit une révolution dans la Méchanique : elles,
ont été successivement perfectionnées 8c généralisées, soit par luimême,
soit pat d’autres Géomètres. M. Eulêr est celui qur a le plus
étendu cette branche de la Méchanique. II a- donné en général ses
équations du mouvement d’un corps sollicité par des puissances quelconques ;
il a exécuté des intégrations très-difficiles, & il en a tiré une
foule de Théorèmes remarquables.

I Çommë un rayon de lumière,.en se réfléchifíànt, fait toujours
i'ang-se: de réflexion égál à- celui- d’incidence , on fuit facilement fa
marche dans Tefpace, quelque soit le nombre de réflexions. La confr ,
truction des miroirs par réflexion, simples ou composés, n’a donc
aucune difficulté. II n’en est pas ainsi des verres par réfraction ; Lorsqu’un-
rayon passe d’un milieu dans un autre, il change de route,
de. telle manière que les sinus- de réfraction- 8c. d’incidence sont toujours
entr'eux. dans un. rapport constant pour tous les angles relatifs
à-ces deux milieux, ; mais ce rapport n’est pas le, même pour deux
autres milieux, 8c il doit être déterminé, dans chaque cas, paria
voie de Texpérience. De plus,. Neuton a fait voir que la lumière
n’est-'pas homogène: ; qu’il ; existe sept espèces, principales- de rayons- ;
8c que tous ces rayons, à raison d’une différence dans les masses ou
dans les vitesses,, ne. font pas le même angle de réfraction pour le
même angle d’incidence ; Dedà. résulte un inconvénient :_tous les
rayons ne voiít pas se réunir en un même point ; ils forment un foyer
d’une certaine étendue que-Ton appelle aberration de.réfrangihilité.

II y: a encore une aberration : celle de sphéricité, occasionnée par
Ja. forme sphérique des objectifs ; ce qui.oblige à.leur donner peu
-d’ouverture. •" - ,

Ces obstacles à la perfection des lunettes dioptriq-ues avoient tourné
Jçs. vues, des, fayans y ers. les, miroirs parréáexion.j. SLonétoic.parv-èiuìií
An. I74#.*Optique.
An. 170*.D I S C O URSex
à leur conférer à-peu près tous ses avantages dont ils font susceptibles.
Mais on ne fut pas long-tems á remarquer qu’il se perd plus
de rayons par la réflexion du miroir de métal, le plus poli, que
pat la réfraction des verres dioptriques ; & qu ainsi ces verres seròient
préférables aux miroirs par réflexion, si Ton pouvoit donner une
plus grande ouverture aux objectifs, &: détruire en même temsles
couleurs produites par la diverse réfrangibilité des rayons.
. Neuton proposa de corrigerTaberrarion de sphéricité, en composant
Tobjectif, de deux verres entre lesquels il y auroit de Teau.
II pensoit aussi à détruire Taberration de réfrangibilité, par un moyen
semblable ; mais la proportion qu’il trouva, par" Texpérience, entre 7
ses différentes réfrangibilités pour différens milieux, lui fiVcpnclure
que cette destruction étoit impossible.

Malgré une autorité si imposante, M. Euler se persuada fortement
que Taberration de réfrangibilité pouvoit être anéantie par la combinaison
de plusieurs matières diaphanes : il cicoit en exemple Toeil
humain, où les rayons, après avoir traverse les différentes humeurs
dont il est composé, vont se réunir en un même foyer. II éleva des
doutes fur Texactitude de Thypothèse que Neuton avoit adoptée,
d’après ses expériences, fur la proportion des réfrangibilités des
rayons pour différens milieux :.il en proposa une autre, plus plausible
en apparence, mais dénuée elle-même de preuves suffisantes,
8c sujette à Tinconvénient de donner une trop grande courbure auxlentilles.
M. Dollond, célèbre Opticien anglois, aussi savant dans la
théorie que dans la pratique de son art, attaqua le sentiment de
M. Euler, auquel il opposoit le nom 8c les expériences de Neuton,
avec de nouveaux raisonnemens appuyés fur ces mêmes expériences.
La question demeuroit à ces termes, .lorsque M. Klingenstierna- fit
voir, par des raisons métaphysiques 8c géométriques, Tincerfitude,
pour ne pas dire la fausseté absolue , de Thypothèse de Neuton.
Alors M. Dollond reconnut la nécessité de faire de nouvelles expériences ;
il en fit-, & il trouva que.Neuton s’étoit trompé en ester.
Sans adopter certaines formules de M. Euler, qui lui paroissoient trop
hypothétiques, il convint que le fond de son projet étoit vrai, ô ?
pouvoit se réaliser. Mais, au lieu de combiner ensemble du verre
8c de Teau dans la construction des lunettes, ce qui avoit plusieurs
inconvéniens, il employa deux espèces différentes de verres connus
en Angleterre sousles noms defintgl-affëc crownglaff ; 8c il parvint
à construire des lunettes achromatiques 3 dont Teffet étoit très-fupé »
rieur-à celui des lunettes ordinaires. . .

Les expériences de M. Dollond donnèrent lieu à MM. Eulçr ?<
AH. 17JÍ.PRELIMINAIRE. cxj
Clairaut, d’Alembert, ùc, dé chercher, par la Théorie, les dimensions
des objectifs qu’il avoit employés. Leurs méthodes s’étendent
à un nombre quelconque de verres. Toutes ces recherches, demàndoient
beaucoup de'fagacité, & d’adresse à manier le calcul. M. Euler
a rassemblé ses principales idées en un corps d’ouvrage ; & c’est le
Traité de Dioptrique le plus clair, le plus profond & le plus complet
qui ait encore paru. On doit à ce grand homme la révolution
que les lunettes achromatiques ont opérée dans TOprique.

-L’Algèbr.è n’a pas encore pu résoudre, en général, les équations
qui paflènt le quatrième degré. En T683., Tsehirnhaus proposa fur
cet objet « une méthode qui consistoìt à faire disparoître tous les
termes intermédiaires au premier & au dernier. Sans remplir les vues
générales de TAuteur, èlle donne en esset la résolution de plusieurs
équations dé tous les degrés : 011 Ta développée 8c petsectionnée de
norre tems. .Tsehirnhaus s’est principalement rendu célèbre par la
découverte des caustiques par réflexion & par réfraction. '

Cotes a trouvé, dans les propriétés du cercle ,K un moyen trèsingénieux
de décomposer en facteurs un binome dont les termes
font des puissances semblables de deux quantités. Cette Théorie a
été étendue par M. de Moivre à des formules plus générales : il
décompose en facteurs, ou il abaisse à un degré inférieur les équations
ou les polynômes de tousses degrés, lorsque les termes
également éloignés des extrêmes sont affectés des mêmes coë'fficiens.

La Théorie des fuites ne lui a pas moins d’obligations. II a observé
le premier la nature 8c Ia formation des suites récurrentes : il y fut
conduit par des problêmes relatifs à TAnalyse des jeux de hasard.
M. Daniel Bernoulli, M. Euler, ùc, ont fait diverses autres applications
très-belles dé ces suites.

■ L’art d’éliminer les inconnues, ou de réduire les équations d’un
problême au plus petit nombre possible, est une partie essentielle
de TAnalyse. Plusieurs Géomètres s’en sont occupés. M. Cramer
l’avoit déjà fort simplifiée. M. Bezout en a fait Tobjet d’un savant
Traité, où il a porté la matière beaucoup plus loin qu’elle né Tàvoit
été encore. .

Cest principalement dans la Géométrie mixte qu’on reconnoît
Tusage 8c la fécondité des Théories analytiques, ici je fuis forcé plus
que jamais de me contenir : car il me faudíoit un espace très-étendu,
si je voulois rapporter avec quelque détail les découvertes .qu’on a
faites en ce genre. Je ne citerai donc pas .Ténumération des lignes
du troisième ordre par Neuton, ni ses, méthodes ingénieuses de.
stirlingpour les interpolations des féries & pour les quadratures des
.Analyse.Tsehirnhaus,
né en 1651^
mort en 1708'.Cotes ,né én
I6JO, moit-ên
I7:z.Moivre j né en
1667 , mort en
1754damer, né
« n 1704, mort
en 1752.Bez.out ,né en
i ;?o, mort eu
1785.An. 1730.cxi/ DIS COUR S
courbes, ni TAnalyse des courbés algébriques de M. Cramer, ni un
semblable ouvrage de M. Euler, &c. Je passerai sous silence , dans
un autre genre, les méthodes de MM. Jean Bernoulli, Màupertuis
Nicole, pour trouver des courbes rectifiables fur la surface de Ia
sphère , Textension que M. Euler a. donnée à ce problême, les
recherches du même Auteur fur les trajectoires réciproques, fur la
courbure des surfaces, & fur une infinité d’autres objets dont il a
enrichi les actes de Leipsick, les Mémoires des Académies dé Beflin
& de Péterfbourg, ùc. Mais je dois un peu plus d’attention.à quelques
Théories générales, qui, par leur usage ou leur difficulté, forment
des points remarquables dans la'chaîne dès vérités « Mathémathiques.

De ce genre est le calcul des sinus & des cosinus, inventé pat
M.. Éuler. La simplicité de ce caleub& TAlgorithme commode
auquel TAuteur Ta soumis, facilitent ia solution de certains pro-^
blêmes que Ton seroit quelquefois obligé d’ahàndonner, si on vouloir
employer les sinus 8c les cosinus sous leur forme ordinaire, ou
même fous la forme exponentielle.

La Méthode que le même Géomètre a donnée pour résoudre 1c
problême dés isopérimètres dans- se sens se'plus étendu, est un effort
de génie, aussi admirable pat ie fond des principes, que par Tadresse
8c la. sagacité avec lesquelles TAuteur attaque &r surmonte les difficultés
d’Analyse. II manquoit cependant encore à. çette Méthode
un degré de perfection, qu’un autre Géomètre y a donné : M. Euler
a reconnu., en grand Homme, les avantages de la. nouvelle solution,
& lui-même s’est appliquée la présenter dans fón ;plusbeau
jour.

Le Comte de.Fagnani, Géomètre Italien, s’est illustré par une
découverte que Jean Bernoulli .& Léibnitz regardoient, sinon comme
impossible, au moins comme supérieure à TAnalyse de leur tems : iT détermine,
avec un art très-ingénieux & trèsradroit, des arcs d’ellipse ou
d’hyperbole, dont la différence est’'égale à une quantité algébrique.
M. Euler a depuis fort enrichi cette nouvelle branche de la Géométrie.
…

Toutes les parties du calcul intégral ont faj.t, de notre tems,'
des progrés qui érpnnëroient ses premiers inventeurs, s’ils pouvoient
en être ses témoins, II n’y a pas de Géomètre d’un certain nom,
cnù n’y ait contribué. M. d’Alembert a donné ses Elémens du calcul
intégral aux différences, partielle ? : car ce/re nouvelle Analyse porte
essentiellement fur la nécessité &'…-. manière, qu’il a expliquées,
4'introd.ui.re des fonctions arbitraires dans les intégrations des formules.

' - aux
An, 1754 !P RE L 1 MI N A I RE. cxii}
aux différences partielles. M. Euler a présenté cette Théorie sous
Une forme si claire & si commode"pour ses calculs analytiques, que
plusieurs Géomètres lui attribuent- toute la gloire de Tinvention.
Leut zèle pour lùrya un peu trop loin , & ne respecte pas assez
les droits de M. d’Alembert. Mais ses hommes justes & indifférens
reconnoissent d’ailleurs que M. Euler a porté en général la Science
de TAnalyse proprement dite à un si haut degré, que personne ne
peut lui disputer la prééminence, dans cette partie.

On le rencontre fans cesse , soit comme Inventeur, soit comme
Promoteur de toutes ses Théories Mathématiques. Ainsi, dans TAnalyse
dont il est ici question, on distingue ses recherches fur ses intégrales
qui doivent répondre à des points, déterminés. On cite également
Textension qu’il a donnée au calcul intégral aux différences
finies , dont Taylor & Nicole n’avoient fait qu’indiquer & exposer les
élémens, & qui depuis ce tems - là paroissoit entièrement oublié. C’est
une nouvelle branche derTAnalyse, importante par fa difficulté 8c
par ses applications à la Théorie des suites & à celle des probabilités.
Elle a fort occupé & elle occupe encore plusieurs Géomètres vivans,
parmi lesquels il s’en trouve un qui, à des taléns du premier ordre
poûr les Sciences, joint celui d’écrire comme Tacite & Voltaire.'

S’il est des problêmes qui demandent une profonde méditation
& toute la Science du calcul, il en est d’autres qui, tenant à la'
finesse de Tefprit 8c à" une.Métaphysique subtile , font quelquefois
aussi.difficiles â résoudre que les premiers, lorsqu’on veur employer
tous ses Elémens essentiels à la question, & apprécier exactement
Tinfluence que chacun d’eux peut avoir fur le réfulrat. On en trouve
des exemples dans plusieurs questions de Géométrie ou de Méchanique
: c’est aux différentes manières d’envisager lé problême des
cordes vibrantes, qu’il faut attribuer les disputes qu’il a excitées
entre MM. Daniel Bernoulli, Euler & d’Alembert. La même diver- ;
fité dans les principes a conduit M. Daniel Bernoulli & M. d’Alembert
à donner souvent des solutions très-opposées de problêmes qui
appartiennent à la Théorie des jeux dé hasard 8c à celle de Tinoculation
de la petite vérole. : mais , de quelques suppositions qu’ils soient
partis, on admire toujours leur marche.

TEE EST LE TABLEAU très-abrégé des progrès que les Mathématiques
ont faits pour arriver à Tétat où elles se trouvent aujourd’hui.
Les grands.Hommes,, doiit nous avons exposé les principales
découvertes, ont laissé plusieurs dignes successeurs qui, réunissant
Tome L-Mathématiques. ^ pCONCLUSION..CXIVD I S C O U R S,&c.le génie", le goût de Térude 8c Tainour de la gloire ; ajouteront
encore de nouvelles, connoislànces au dépôt qu’ils ont reçu. Pourroient !-.
ils en esset repousser les succès & les honneurs qui les
attendent ? Si la carrière devient tous ses jours plus difficile, 8c si,
à mesure qu’on avance, Tempreinte des pas est moins sensible aux
yeux du vulgaire : les vrais Juges savent mesurer Teffort à la résif
tance, & distribuer avec.impartialité les biens de Topinion, entre
les morts qui ne font plus à craindre, & ses vivans dont ils ne
redoutent pas davantage la vanité ou les prétentions, parce que
la justice est toujours courageuse ,, 8c qu’elle doit compte de ses
arrêts à. la postérité.
FIN. ERRA TA.-M lieu de miroir, ljfn verre, page 28, lig. 40-, & pag. z9:, ligi 4.
ABATTEMENT ,'■
A b a " a b a abaissement, t« . \,Aig.)  cm■ appuieabaissement d’une équation, la réduction de cette
■équation à la forme la plus simple, dont elle est
susceptible. Par exemple, l’équation x* <-(- nxl -fpx
= oj qui paroît être du 4e -degré, s’-abâisse au
3e & devient xl -f- "** +f = ° > en divisant tout
par x== o ; De même l’équation x5 -j-ax* ~5a*xaaï^zo,
se décompose ( Voye{ DIVISEUR COMMENSURABLE) 
en ces deux - ci : x — ia=o i
xz 4- 3 ax 4- ax c= b ,• & par conséquent elle s’abaisse
réellement au premier degré, ou au second.Delà, abaijser une équation , & réduire une équation
h sa forme la plus Jiniple , sont des expressions
synonymes.En géométrie, ont dit abáìJserMriÉ perpendiculaire
d un point placé hors d’une ligne, fur cette
ligne ; & alors le mot abaisser -veut dire mener.AEAISSEMEST de l’horizon visible, est la
quantité dont l’horizon visible est abaissé au-dessous
du plan-horizontal qui touche la terre. Pour faire
entendre en quoi coníiste cet abaissement, "soit T
le centre de la terre (Fig. zy , ^dfimnom.)  & BSC
le cercle ou globe de la terre. Ayant tiré d’un
point quelconque O élevé au- dessus de la surface ,
du globe, les tangentes OB, OC &. la ligne OT,
il est évident qu’an spectateur, dorit l’oeil seroit
placé au pokit O, verroit toute la portion BSC
de la terre terminée par les points touchans B &
C ; de forte que le plan qui pafle par BC est proprement
l’horizon du spectateur placé en O. Voyei
HORIZON. V '■"-■' -'■Ce plan .est abaissé de la quantité SG ', au-dessous
du plan -horizontal qui touche iâ terre en S, &,
si la distance SÒ est trés-petite -par rapport au
rayon de la terre, la ligne OS m presque égale
.à la ligne SG. Doue, fi l’on a la dislancé SO, ou
Féléyation de l’oeil du .spectateur,évaluée en pies,
çn, trouvera facilement’ le sinus verse S G de Tare
B S. Par exemple, soit S 0=5 pies,-'îe sinus
verse S G de i'arc inséra donc de 5 pies, le
sinus total ou rayon.de la terre étant de 19000000
pies en nombre ronds : ainsi, on {rouvera que
î-'arc B S est d’environ 4eux minutes & demie ; par
conséquent i'arc BSC sera de cinq minutes : &,
-comme un degré de la terre est de 25 lieues, il
s’enfuit que, íi la terre étòit parfaitement ronde
&unie.sans aucune éminence, unJiomme détaille
ordinaire .devroit découvrir à la distance d’environ
une lieue à la ronde, car la courbure de la
terre pour 2400 toises, est de .5 pies 3 pouces ; à
la hauteur de 20 pies, l’oeil devroit découvrir à 2
lieues à la ronde -, à la hauteur de 50 pies ,3 lieues,
pu plus exactement 7382 toises ; pour voir à un
degré de dislance ou 57069 toises, il faudroit être
^levé de 2988 pies. ' ;--■■... Les montagnes font quelquefois que l’on découvre.Mafhémciti^ues, Tomel}I« * Partie,plus loîn ou plus près que les distances précé^
fientes. Par exemple, une montagne placée entre
O & le point B , empêcheroit le speólateúf O de
voir la partie B ; & au contraire, une montagne
placée au-delà de B > seroit que ce même spectateur
pourroit voir les objets terrestres situés au-¬
delà de B, ; & placés, fur cette montagne, au-dessus »
du rayon visuel OB.■ABAISSEMENT- des planètes, par Veffet de Is,
parallaxe, ( Àflron. ) c’est la quantité dont nous les
voyons nécessairement plus basses que si nous étions
placés au centre de ía terre, où il faudroit être
pour voir les mouyemens célestes plus uniformes.
Cet abaissement est de plus d’un degré pour la lune
dans certains cás 5 oïi ne peut fairé usage d’aucune
observation qu’on ne la corrige par TefFet de cet
ubaissement. Voyei PARALLAXE.
- -ABAISSEMENT des signaux , ( Astronomie. )  Lorsque
, pour'mesurer la grandeur de la terre,-les
astronomes ont été Obligés de former de grands
triangles, & de placer des marques ou signaux, à
dé très *- grandes dislancés, pour y appuyer leurs
triangles, ïabaisfement de ces signaux au - dessous
de l’horizon rátïoneìj, rendoit l’observation des,
angles plus difficile, ■& le -calcul beaucoup plus
long'-: On doit même y faire attention dans iarpentage
& en levant des cartes topographiques. On
trouvera cette matière savamment discutée dans les.
ouvrages qu’ont donnés, fur la mesure de la terre,
Bouguer, la Condamine, & M. Boscovich. ( M. DE
ZA-LANDE.)  ■ •■•'.''■ABAISSEMENT du cercle crépusculaire, (Astronomie.
) c’est ïa quantité dont le soleil est abaissé
au-dessous de l’horizon, lorsque le crépuscule dusoir
est totalement fini, ou lorsque l’aurore commence ;
c’esl-à-dire, quand on commence à voir
lêsplus petites étoiles le soir après le coucher du
soleil, ou qu’on cesse de.les voir le matin. Suivant
l’opinion commune, cét abaissement est de dix-hui£
degrés-, ou de la vingtième partie du tour du ciel :
mais çés dix-huit degrés doivent se mesurer •perpendiculairement
sous l’horizon, le long d’un cercle
vertical, qui passe par le zénit & le nadir, -&par
le centre du soleil : il ne doit pas se mesurer le
long du cours oblique du soleil. Le tems que le
soleil emploie-à descendre de.dix-huit degrés, ou
à parvenir à ïabaisfement du cercle crépusculaire,
est au moins d’une heure douze minutes ; mais il
est-plus long pour un observateur qui n’est pas "
placé fous la ligne équinoxiale, & dans tous leí
cas où le soleil n’est pas précisément dans i'équateur.
Voy. CRÉPUSCULE. ( M. DE ZA LANDE.) U abaissement d’une étoile sous l’hojvpn est mesuré
par I'arc d’un cercle vertical, qui se trouve audessous
de l’horizon, entre cette étoile & l’horizon,
Voy ci ÉTOILE-, YERJICAU ■a- aba a b eABAISSEMENT du Pôle. Autantonfait de chemin
en degrés de latitude, en ajlant du pôle vers l’équateur,
autant est grand le nombre de degrés dont le
pôle s’abaisse, parce qu’il devient continuellement
plus proche de l’horizon*. V. HAUTEUR du Pôle.ABAQUE , f. f. [Arìth. & Géom. ) table fur
laquelle les premiers mathématiciens faisoient leurs
calculs, ou traçoient leurs figures ; c’étoit originairement
une planche bien unie que l’on couvroit
de poussière, & qui par-là étoit propre à
recevoir toutes fortes d’empreintes : témoins Marcius
Capella & ce passage de Perse, Sat. i. v. 131 :
J3ec qui abaco numéros ~, & se8o in pulvere metas
Scit rifijse vafer.On employa ensuite, pour les comptes & les
calculs, une espèce de quadre long & divisé par
plusieurs cordes d’airajn, parallèles entr'elles, qui
enfilpient chacune une même quantité de petites
boules d’yvoire ou de bois, mobiles comme des
grains de chapelets : ces petites boules, par Tarrangement
qu on leur donnoit, & par la correspondance
des inférieures avec les. supérieures,
représentoient tous les nombres , & scrvoient à
faire toutes sortes de calculs. Cette manière de
calculer, usitée parmi les Grecs, fut austi connue
& employée parmi les Romains. Peu à peu ellefut
abandonnée, & on trouva plus cpurt de compter
avec des j estons. A la Chine , & dans quelques
cantons de l’Asie, les négocians comptent encore
avec de petites boules d’yvoire ou d’ébène, enfilées
dans, un fil de laiton, qu’ils portent accroché
à leur ceinture." L1abaque de Pyihagore, est cë qu’on appelle
aujourd’hui la table de multiplication. Voyei MULTIPLICATION.AB ATRE du bois au triârac, c’est étaler beaucoup
de dames de dessus le premier tas, pour faire
plus facilementdes cases dans le courant du jeu.
Voye7L(2ASB.ABÉ, f. f. ouverture pratiquée à la baie d’un
moulin , par laquelle l’eau tombe, fur la grande
roue & fait moudre. Cette ouverture s’ouvre & se
ferme avec des pales ou lamoirs.
. ABEILLE, ( Astronomie. ) constellation méridionale
: on l’appelle auffi mouche indienne ; en
latin Musca ou Apis ; on ne la voit point en Europe.
Elle ne renferme que quatre étoile ? remarquables
, dont trois font de la quatrième grandeur ;
les autres font plus petites, La principale étoile
est marquée dans le Catalogue d’étoiles de l’abbé
de la Caille, pour 1750, à 185 ° 38' 44" d’ascension
droite, & à 67 ° 45 ' 15" de déclinaison
australe. Voyei CONSTELLATION. ( M. DE LA
LAKDE. ) ABENEZRA, c’est un des noms de la belle
étoile du taureau. Voyei ALDEBARAN.ABERRATION, ( Astronomie. )  changement
apparent dans la simation des étoiles, par lequel
elles paroissent éloignées , quelquefois ' de 20secondes, de leur véritable situation, par un efFet
du mouvement annuel de la terre combiné avec
le mouvement de la lumière. La découverte de
ïaberratión étant une des plus singulières que l’on
ait faites en astronomie, & la plus intéressante de
ce siècle-ci, il importe à l’histoire des progrès de
l’efprit humain de faire voir comment Bradley a
dû y parvenir. On étoit persuadé, avant les observations
de Picard, faites en 1672, que les étoilés
ne changeoient point de position pendant le cours
d’une année. Tycho-Brahé & Riccioli croyoient
s’en être assurés par leurs observations ; ils en con-r
cluoient que la terre ne tournoit point autour du
soleil, puisqu’il n’y avoit point de parallaxe annuelle
dans les étoiles. Voyei PARALLAXE an-r
-nuelle. Picard, dans la reíation de son voyage
d’Uranibourg, fait en 1672, dit que l’étoile polaire
, en divers tems de Tannée, a des varia-r
rions de quelques secondes, qu’il observoit depuis
environ dix ans. Les favans, qui étoienr déjà convaincus
du mouvement de la terre , étoient portés
à. en conclure que ces variations étoient Teffet
de la parallaxe annuelle ou parallaxe du grand orbe.
Flamsteed crut ,- d’après ses observations &
celles que le docteur Hook avoit publiées, qu’il y
avoit réellement une parallaxe annuelle dans lesétoiles,
Cassmi & Manfredi soutinrent qu’il n’y en
avoit point ; mais il étoit impossible de démêler
la nature & les causes des variations annuelles
qu’on appercevoit dans la position des étoiles ,. à
moins qu’on n’en déterminât les circonstances par
des observations très-exactes & très-múltipliées.
C’est ce qu’entreprit, en 1725 , un riche particulier
d’Angleterre, nommé Samuel Molyneux, ama-^
teur des sciences ; il fut heureusement secondé par
Graham, cet horloger célèbre dans les arts &
même dansles sciences, qui fit construire un secteur,
de vingt-quatre pies de rayon, avec lequel une
seule seconde étoit sensible. Cet instrument fuî
placé à Kew ; on y observa Tétoile v du dragon, &
l’on rie tarda pas à reconnoîtré que les variations
de cette étoile étoient tout-à-fait opposées à celles
que produiroit la paiallaxe annuelle.Suivant les loix de cette parallaxe, une étoile
située au pôle de l’écliptique, paroitroît décrire,
dans une année, un petit cercle parallèle à l’orbite
de là terre, mais dont elle paroîtroit toujours occuper
la partie opposée à celle où se trouve la terre ;
ce phénomène étoit tout différent dans les nouvelles
observations. Bradley, qui avoit observé
avec Molyneux , se trouva fort embarrassé pour
assigner une cause à ce nouveau phénomène. Sa
première idée fut d’examiner si cela ne prouvoit
point quelque nutation dans Taxe de la terre, produite
par 1 action du soleil ou de la lime, à cause
deTaplatissemeiitdelaterre, ainsi que cela devoir
avoir lieu par Tattraction. Voyei PRÉCESSION &
& NUTATION. Mais, d’autres étoiles, observées en
même tems, ne permettoient pas d’adopter cette
hypothèse. Une petite étoile , qui áoit à mêmeAbe abe »- distance du pôle, & opposée en ascension-dróíte
íj.<^ du dragon, auroit dû avoir, par Teffet de
cette nutation, le même changement en déclinaison ;
cependant elle n en avoit eu environ que la
moitié,commè cela parut en comparant jour par
jour les variations de l’une & de l’autre, observées
en même tems ; c’étoit la trente-cinquième
étoile de la giraffe daris le catalogue britannique.
Bradley remarquoit que les chahgemens de déclinaison
de cette étoilé, par rapport à son lieu moyen,
étoient Comme les sinus des-distances du soleil au
solstice ; cela sembloit indiquer un rapport avec
le mouvement de la terre. Mais il falloit des observations
fur un plus grand nombre d’étoiles, pour
savoir fi cette règle étoit constante. Bradley fit donc
faire un autre secteur en 1727 ; il observa beaucoup'
d’étoiles, & il reconnut que la règle précédente
n’avoit lieu que pour les étoiles qui répondoient
au solstice ; mais une règle générale, qui ne pouvoit
guère lui échapper, étoit que chaque étoile
'paroissoit stationnaire, ou dans son plus grand
éloignement, vers le nord ou vers le sud, lorsqu’elle
pafloit au zénit vers fix heures du soir ou du
matin ; que toutes les étoiles avançoient d’un jour
à l’autre vers le sud, lorsqu’elles passoient le matin,,
& vers le nord, lorsqu’elles passoient le soir, & que le
plus grand écart étoit à-peu-près comme le sinus de
la latitude de chacune. Enfin ,-lorfqu’au bout d’une
année, il eut vu toutes les étoiles reparoître, chacune
au même lieu où elle avoit d’abord paru,
Bradley, muni d’un assez bon nombre d’observatîons,
s’occupa à trouver la cause de ces variations.
II avoit réconnu que le plus grand effet du nord
au sud étoit comme le sinus de la latitude de
chaque étoile ; que, lorsqu’une étoile passoit au
méridien à six heures , elle paroissoit ou lé plus
haut, ou le plus bas ; elle étoit alors à 90 ° de
J’endroit où elle auroit dû être, suivant les loix
de la parallaxe annuelle. Delà il étoit naturel de
conclure que Tétoile én opposition seroit la plus
órientale^áu lieu d’être la plus méridionale, comme
rauroit exigé la parallaxe..- Soit ABC Torbite de la terre (fig. 132. d’astronomie.)  ;
EG, le rayon vrai de tétoile ; B.E, un' rayon incliné de 20 s vers Torient, pour marquer
le lieu apparent de Tétoile : car Bradley avoit déjà
reconnu que la plus grande aberration étoit d’énviron
20". On favoit, par la découverte de Roëmer,
que la lumière employoit environ un demi-quartd’hèúre
à parcourir un espace ÉG, égal au rayon
de Torbite terrestre. Voyei PROPAGATION de la
lumière. Or un arc B G de 20", sur Torbite terrestre,
exige aussi environ un demi-quart-d’heure ;
ainsi , il étoit clair que la vitesse £ G de la lumière,
& la vitesse B G de la terre formoient les deux
côtés d’unparallélogramme, dont le rayon visuel
B E étoit la diagonale, & faisoit un angle de 20 ".
Bradley dut donc-penser qu’il y avoit quelque
rapport entre le mouvement de' la terre & le mouvement
de la lumière,nui pouvoit faire paraîtreles étoiles daris Tendroit où Ton devroít les voir
un quart-d’heure plutôt. Enfin íl eut Tidée heureuse
de combiner le mouvement de la lumière
avec celui de la terre , suivant les loix de la décomposition
des forces ; il essaya cette hypothèse, & ,
voyant qu’elle s’acçordoit parfaitement avec toutes
les observations, il rendit compte de fa découverteau
mois de décembre 1728, dans une lettre au
docteur Halley, philosophical transadions. n." 406}
il essaya son hypothèse sur un grand nombre
d’étoiles ; il les trouva d’accord dans tous les tems
de Tannée, presque toujours dans la même seconde
que Tobsefvation.NOUS ajlons expliquer comment cétte aberration
est produite par le mouvement de la terre. Soit
E une étoile, fig. 133, placée aune distance prodigieuse
, CB le chemin que fait le rayon de Tétoile
en un quart-d’heure de tems, AB le chemin que
la terre fait en même tems fur son orbite, qui est
1313 fois moindre, en sorte que Tangle B CA
soit de 20 secondes : le corpuscule de lumière B
vient frapper notre oeil avec la vitesse C B ; mais $ '
puisque l’oeil en même tems va de A én B avec là
vitesse AB , il viènt aussi frapper le rayon, en forte
qu’il y a un double choc tout à-la-fois ; celui de la
lumière qui vient contré Toeiì avéc la vitesse CB ;
celui dé Toeilqui vâ contre là lumière avec la vitesse
A B. A la place de ce dernier choc, on peut
imaginer, fans rien changer à í'effet qui én. résultera,
que le corpuscule soit venu de F en B frapper
l’oeil avéc unè vitesse F B, égale à AB ; ainsi,
l’oeil reçoit une impression suivant CB -, & unè
suivant F B. De ces deux impressions faites suivant
les côtés C B-, & FB du parallélogramme CF, i !
résulté une impression unique & composée, qui
se fait sentir iuivant la diagonale D B ; donc-Ton
appercevra Tétoile daris la direction B D, ou dans
lâ direction A C, qui lui est parallèle, & non dans
la direction B CE du véritable rayon.M. Bradley , M. d’AIembert & M. Clairaut
présentent, chacun à leur manière, cette composition
des forces ; on les verra" toutes dans mon
Astronomie y & celle que je viens d’expliquer me
paroît la plus facile à concevoir : mais des exemples
familiers feront peut-être encore mieux comprendre
le mécanisme de ces impressions composées. Soit
un vaisseau G CE A, fig. 134, qui va de droite
à gauche ; que, d’un angle C de ce vaisseau, on
ait jeté une pierre à l’autre angleyá,& que, dans
le tems où elle a parcouru CA, le vaisseau ait
avancé de la quantité CD ou A B ; celui qui est
dans le vaisseau en A, se trouvera alors parvenu
au point B., & sera frappé de la même manière
que si le vaisseau n’avoit eu aucun mouvements
la pierre lui paraîtra venir de Tangle D, suivant
DB, comme elle lui auroit paru venir de C ,suivant
 CA, si le vaisseau eût été immobile. L’impresljon
sera la même, puisque la relation du point
C au -point À , leur situation, leur distance, ne
dépendent en aucune façon du mouvement duÀ ij4 abe abevaisseau* Ge mouvement est commun à la pierre"
& au vaisseau, & il est nul par rapport au choc :
néanmoins, dans Teípace ablblu, cette pierre est
venue de C en B ; ainsi, elle a fait le même chemin
réel qu’auroit fait une pierre qui, du rivageiì,
eût été jetée directement suivant RCB. Voilà
donc deux pierres ; Tune qni vient du rivage R,:
& qui a parcouru la ligne CB ; l’autre qui est
partie du point C du vaisseau-, & qui a. de même
parcouru CB ,.k cause du mouvement, du vaisseau :
or celle-ci s’est fait sentir suivant la direction D B ;
■donc celle qui aura été jetée du rivage il, se seroit
lait sentir aussi suivant la direction DB, à celui qui,
étant dans Tangle du vaisseau, sescroit trouvé transporté
de A en B, tandis que la pierre venoit de C
en B- Voyei COMPOSITION des forces:Un fait dont lés voyageurs- font Texpérierice -,>
pourra servir à ceux pour qui les notions de
mécanique ne sont pas familières. Je suppose que,
dans un tems calme, la pluie tombe perpendiculairement
, & qu’on soit .dans une voiture ouverte
- fur le devant :. si la voiture est en repos,. on ne
reçoit pas la moindre goutte de: pluie ::fi la voiture
avance- avec rapidité, la pluie entre sensiblement,
comme si elle avoit pris une direction oblique:
c’est une chose que chacun peut éprouver ,.& dont
la raison est évidente ; le mouvement par lequel
nous allons contre la pluie, fait que neus recevons
celle qui est en Tair, avant quelle soit tombée ; &
cela revient au même que fi là pluie avoitpris une
direction oblique, en suivant la diagonale dfun
parallélogramme dont les côtés seroient la vitesse
de la pluie de haut en bas, & la vitesse de la voiture
horizontalement ou en- avant.  ! ■On trouve dans la plupart des Cabinets de physique
, fur - tout à Á mflerdam , une machine de
Steiz, qui rend visible cette décomposition du mouvement.
Un petit chariot mobile , par un ressort,
rou-le fur le parquet d’une salle ; une balle placée
au fond d’une cuvette est au-dessus d’un ressort ;
« ne détente fait partir le ressort, & jette la balle
en Tair, pendant que le chariot avance avec rapidité ;
la balle s’élève & retombe ensuite ;&, quoique
le chariot ait avancé, elle retombe dans la même
cuvette ou coquille, comme si cette coquille fût
restée à la même place. ; on distingue très-bien que
la balle, au lieu de s’élever perpendiculairement,
& de descendre verticalement, a décrit deux lignes
obliques, ou deux-branches d’une parabole, une
cn s’élevant, & l’autre en retombant fur le chariot,
& qu’elle Ta accompagné dans fa course.- .Ainsi, le mouvement de la balle est évidemment
composé de deux mouvemens, celui'que lé chariot
avoit communiqué horizontalement à là balle, &
celui que le ressort lui a donné de bas en’ haut ;
Ja balle décrit la diagonale de ces deux directions,
& cette diagonale est’courbe, parce qu’une des
deux vitesses est retardée, & ensuite accélérée, !
tandis que l’autre est uniforme, & qu’on a par'con’ •séquentune fuite de diagonales qui sont 'différemment
inclinées, parce que le rapport des côtés var*-continuellement.On
 doit être convaincu, par les démonstrations
précédentes , qu’une étoile nous paroít toujours
plus avancée du-côté où nous marchons, & cela de
la quantité de Tangle BCA (fig. 233)  ; la valeurde
cet angle dépend du rapport de la vitesse AB
de la terre, à la vitesse CB de la lumière : ce
rapport .est celui de 1 à 105-1-3 ; ce qui donne unangle
de 20", dans le cas où CB est perpendiculaire
à AB ; ainsi,. ïaberration fera toujours de
20*, quand la route de l’oeil fera perpendiculaire
au rayon de Tétoile ; mais, lorsque le rayon de
lumière MF (fig. v3z ) ■„ est-incliné sur la route
FL de l’oeil, alors-Tangle d’aberration F ML.
deviens moindre ; il est alors mesuré par LN-, au
lieu ,d’être mesuré par le mouvement entier FL
de la terre ; & parce FL est à L N comme le sinus
de Tangle N est au sinus de Tangle F,il fuit que
ïaberration est comme le. sinus de Tinclinaifon du
rayon MF fur la' route de l’oeil, c’est-à-dire, qu’il
est égal à .20", multipliées par le sinus de Tangle
que ; fait la route de Toeil avec le rayon de lumière ;
enfin,', fi là ligne FL s’inclirioit jusqu’à se confondre
"avec la ligne MF, 1 angle M s’évanouirait v
& il n’y auroit, plus â'aberration , comme cela
arrive quand la terre est en.C : cela- est évident,
puisqu’alors le rayon de lumière arrive toujours
sous la même direction-que siTa terre n’avoit point
de mouvement.Supposons maintenant que Toeil,au.lieud’avancér
de B en G, aille de D en-.Á ; en forte que
le rayon arrive en R en même tems que Toeil ;
on verra , par Je même raisonnement, que.Tétoile
paraîtra plus â droite, au lieu de paraître plus à
gauche ; toujours ïaberration porte une étoile du
côté où ya la terre.. Quand la terre est au point
G de son orbite G CI^, & ensuite au point D ,
elle paroít. aller en deux sens opposés ; dans le premier
cas, Tétoile est en opposition,. &Í paroít à
gauche du lieu moyen E ; dans Je second cas, la .
terre allant de S en H, Tétoile est en conjonction
avec le soleil, & paroít de 20 secondes à droite,
c’est-à-dire, à Toccident du point E..Quand nous avons supposé Tétoile au point .E,
nous n’avons pas prétendu dire que les étoiles
n’étoient pas plus éloignées de nous que le soleil ;
élles Je sont deux cents mille fois plus : la lumière
emploie peut-être trois-ans à venir des étoiles jusqu’à
nou6 ; mais, comme l’effetest toujours le même,,
nous’ne pouvons nous en appercevoir ; nous ne
pouvons juger que du tems qu’elle emploie à parcourir
ÉG, parce que Teffet dé cette partie étant
successivement en plus & en moins, il devient
sensible par cela même ; tout le reste ne peut s’apr
percevoir. …•■■D’après les principes établis ci-dessus, on peut
calculer Teffet de ïaberration~fur la longitude &
la latitude de différentes ;étoiles » L’aberration d’une
ABE, ..
rÂ B E *
étoile qui seroit située au pôle même de Técliptiqìie,
est le plus simple de tous, & nous commencerons
par celui-là, en faisant voir que Tétoile
paraîtra décrire un cercle de 40* de diamètre autour
de son vrai lieu, c’est-à-dire, autour du pôle de
Técliptique. Le cercle ABCD (fig. 13Z)  représentantTécliptique
ou Torbite de la terre, que Ton
suppose circulaire, parce que la différence dé ses
diamètres est ici négligeable , concevons que le
point P exprime, le pôle de cette orbite ; il faut
le concevoir élevé perpendiculairement au-dessus
du plan de la figure ; autour du pôle P, Ton décrira
un petit cercle, dont le diamètre est de 40" ; lorsque
la terre est en A, & va de A vers B, Tétoile
située au pôle de Técliptique, paraîtra 20" plus
avancée du même côté, c’est-à-dire en a ; quand
la terre sera en B , Tétoile paraîtra en b, delà en
c, d, & elle aura parcouru, dans l’espace d’un
an, le petit cercle abcd, décrit autour du pôle de
Técliptique, toujours plus avancée de 90 degrés
dans Ion petit cercle, que la terre ne Test dans le
sien, & ayant toujours 20" de moins en latitude,
qu’elle n auroit dans, son vrai lieu, puisqu’elle est
toujours éloignée de 20" du pôle de Técliptique.Pour les étoiles qui sont dans le plan même
de Técliptique, comme Tétoile E , le point G est
celui où se trouve la terre quand Tétoile est en
opposition, D le point où est la terre quand Tétoile
est en conjonction avec le soleil ; dans Topposition,
la terre allant de B en. G, ou d’occident vers
Torient, Tétoile paraîtra plus avancée de 20" vers
l’onent, c’est-à-dire, que fa longitude fera augmentée
dé 20" ; mais, dans la conjonction de la terre,
allant dàns un sens contraire, par rapporta Tétoile,
C’est-à-dire, de D vers H, la longitude de Tétoile
fera diminué de 20°. Dans les quadratures, laterre
étant eri A & en C, ïaberration sera nulle,
parce que le rayon qui se dirige à Tétoile, & qui
est parallèle à G E, à cause de la grande dislance
des étoiles, devient la tangente de Torbite, & la
route,de Toeií se confondant avec cette tangente, il
n’y a plus Saberràtion.Pour trouver ïaberration en longitude hors des
conjonctions ou des oppositions, c’est-à-dire, dans
les situations intermédiaires, soit FL le petit espace
de 20", parcouru en 8' de tems par la terre, en
un point de son orbite, qui est éloigné du point
G de supposition de la quantité GL, soit MF
le chemin de la lumière pendant le même sems,
F ML Tatfgle à'aberration ; le rayon MF de Tétoile
étant parallèle à la ligne È G, Tangle ML F ou
l’angle LFN ( car on peut- prendre ici l’un pour
l’autre, puisqu’ils ne diffèrent pas de 20" ) , ont
pour mesure Tare C F ; ainsi, l’angle. cY aberration
estégal à 20" sin. F, ou 20" fin. CF, ou 20" cos.
F G. Donc ïaberration en longitude est proportionnelle
au sinus dé la distance à la quadrature,
ou de la distance air point où elle est nulle ou
proportionnelle au cosinus de la cLislance.au pointoù elle est la plus grande, distance que nous appelions
ïargument d’aberration.Ce que nous avons démontré pour ïaberration en
longitude d’une étoile située, dans le plaff de Técliptique
, a. lieu pour une étoile située au-dessus ou
au-dessous de Técliptique, à quelque latimde que
ce soit. En effet, que Ton conçoive le point M
du triangle d’abeiration MFL , élevé au-dessus du
plan de la figure, & dirigé en haut vers une étoile,
la base LZv demeurant toujours dans le plan de
la figure, alors le mouvement de la terre, dans
le sens de LN, ou vers la gauche, étant toujours
le même, ïaberration, dans le sens de la longitude
, he changera pas ; mais, pour le réduire à
Técliptique, il faudra le diviser par le cosinus de
la latitude. Voyei RÉDUCTION à un grand cercle.U aberration’en latitude peut se déduire des
mêmes principes ;■ car, en concevant le point M,
relevé au - dessus du plan de la figure, le mouvement
de la terre, dans la direction FN, produira
ïaberratipnperpendiculairement à Técliptique, c’està-dire
, ïaberration en latitude ; &, comme F N est
proportionnelle au sinus de Tare G F, ou de la distance
à la conjonction, cette aberration en latitude
ira en augmentant jusqu’à la quadrature, où elle sera
la plus grande. Le rayon visuel est incliné sur le
plan-de Técliptique ; le mouvement de la terre ,
dans le sens perpendiculaire à ce rayon,. devient
plus petit à proportion du sinus de Tangle ou du
sinus de la latitude ; ainsi, la plus grande aberration
en latitude est égale à 20", multipliées par
le sinus de la latitude de Tétoile , & elle augmente
depuis les fyzygiès jusqu’aux quadratures, dans le
même rapport que le sinus de Tare parcouru par
la terre,-où le sinus de la distance du soleil à
Tétoile. Toutes ces règles font expliquées beaucoup
plus en détail dans mon Astronomie.
, M. Bradley avoit joint lui-même à fa théorie
des formules, pour calculer ïaberration des fixes
en longitude, latimde, ascension droite & déclic
naison : ces formules ont été démontrées en deux
•différentes manières ,• & réduites à- un usagé fort
simple'' par M. Clairaut, dans les Mémoires de
VAcadémie pour 1737. Elles ont aussi été démontrées
par Simpson, de la Société royale de Londres,.
Jans un Recueil de différens opuscules ■ Mathématiques,
imprimé en Anglois k Londres- 2-740. Enfin
■M. Fontaine des Crûtes a publié, fur lé même
sujet, un traité à Paris en-1744. ; On ne peut en
placer ici que le réíultat. Chaque étoile paroít
décrire dans lé cours d’une année , par Teffet de
'ïaberration, une ellipse, dont le-grand axe est dé
40", & dont le petit axe perpendiculaire à Técliptique.,
est de 40", multipliées par le sinus de la
latitude de Tétoile. L’extrémité orientale du grand’
axe marqué le liëú apparent de Tétoile, ,1e joûr
de Topposition ;. & Textrèmité du petit axe , qui
est ia plus éloignée de Técliptique, marque fy
sihiation trois mois après, comme on le voit pour  ;
Arcturus & pouí Sinus, dans les fig. 13$ & *3.6>è abe abeoù j’ai tracé les ellipses d’aberration > & marqué
la place de Tétoile, pour le premier jour de chaque
mois, au 'dehors de chaque ellipse.La plus grande aberration eû égale à 20", divisées
par le cosinus de la latitude ; elle est la plus
grande quand la longitude du soleil est égale à la
longitude de Tétoile.La plus grande aberration en latimde est égale
à 20', multipliées par le sinus de la latitude ; elle
est la plus grande soustractive quand la longitude
du soleil surpasse de trois signes celle de Tétoile ;
ainsi, la latitude en fera diminuée avant Topposition,
ou vers la première quadrature, & augmentée
après Topposition, soit dans les étoiles
boréales , soit dans celles dont la latitude est
australe.Pour trouver ïaberration en déclinaison, il faut
commencer par calculer l’angle de position , ou
l’angle du cercle de latitude & du cercle de déclinaison
, qui passent par Tétoile ; alors le sinus de
la latitude de Tétoile est au raj’on, comme la tangente
de Tangle de position est à lajangeute d’un
arc,• qui est la dislance entre le lieu du soleil, au
tems de la conjonction, c’est-à-dire le lieu même
de Tétoile, & le lieu du soleil quand ïaberration
en déclinaison est nulle. Ce lieu du soleil, augmenté
de trois signes, est celui qui a lieu quand ïaberration
en déclinaison est ia plus grande. Pour avoir
la quantité de cette plus grande aberration, on
dira ; le cosinus de i'élongation de Tétoile au temsde la plus grande aberration en déclinaison, est au
sinus de Tangle de position, comme 20* sont à la
plus grande aberration en déclinaison.Pour ïaberration en ascension droite, on dira
d’abord : le sinus de la latitude de Tétoile est au
rayon, comme la cotangente de l’angle de position
est à la tangente de la différence entre la longitude
de Tétoile &.celle du soleil, au tems où l’aberration
eu ascension droite est nulle. Quand le lieu
du soleil est plus avancé de trois signes, l’aberration
en ascension droite est la plus grande.Le sinus de la différence trouvée est au cosinus
de Tangle de position, comme 20" sont à la plus
grande aberration en ascension droite.Vaberration actuelle, dans les quatre cas que
nous venons de parcourir, est égale à la plus grande
aberration multipliée par le cosinus de la différence
entre la longitude du soleil au tems où elle étoit
la plus grande, & la longitude actuelle du soleil,
pour le tems donné, que Ton retranche'de la
première.On trouve des tables détaillées de toutes ces
aberrations en ascension droite & en déclinaison,
dont les astronomes font un usage continuel, dans
la Connaissance des Tems de 17Ç0, & des années
suivantes ; on les a réunies dans le volume de
1781, & M. Mezger en a donné, un recueil plus
complet à. Mauheim, en 177S , fous ce titre.:
Tabula aberrationis. Voici les principaux articles
pour dix étoiles principales, vers 1750.■■i , ' ! I II ■ ^ >Lieu du ^ au tems <La plus grande aber* Lieu du &$ au tems La plus grande aber- :Noms des étoiles. de la plus gr. aberr. ration , en ascension de la plus gr.aberr. ration en déclinaienascension droite, droite. en déclinaison. son.Étoile polaire.. . os u0 38' 8' 38% 4 3' 8° 48' 19% 9Aldebaran 2 7 10 o 20, 6 I 6 46 3, 8La Chèvre 2 15 43 28, 5 51 3Ó 8, 1Sirius . 3 7 48 20, S 6 3 45 12, 8Regulus 4 16 28 19, 3 10 25 3 6, 8 .L’épi de là Vierge. 6 19 30 18, 6 6 25 14 7, 6Arcturus 7 33 15 20, 1 5 ° 55 I2> 4 -Antarès 8 Ç 4 21, 8 8 29 40 3, 9 . ,La Lyre 9 6 33 15, 5 051 17, 6L’Aigle …… 9 22 48 19, 9 06 37 10, 3 ,Pòur qu’on puisse voir dans les ellipses,/^. 13s
& 13G, les changemens d’ascensions droites & de
déclinaisons, je les ai disposées fur un parallèle
à Téquateur, représenté par AB , on voit qu’au
mois de juillet Arcturus paroít à gauche, & Sirius
à droite ou à Toccident, fur son ellipse d’aberration ;
ainsi, leur différence d’ascension droite augmente
en été ; mais leur différence de déclinaison varie
peu, parce qu’elles sont à-peu-près vues dans les
mêmes tems aux parties supérieures ou inférieures
de leurs ellipses.Nous n’avons, eu égard, dans tout ce qui précède, qu’au mouvement annuel de la terre, & nonÎioint au mouvement diurne, parce qu’il est trop
ent pour qu’il puisse avoir un effet sensible. En
effet, la vitesse du mouvement diurne est à celle
du mouvement annuel, en raison inverse des
tems, & en raison diverse des distances ; elle n’est
donc que ^ de la vitesse du mouvement annuel :
ce qui ferait une aberration de deux tiers de seconde
dans Teípace de douze hçures, quantité absolument
insensible.
que dans les étoiles fixes 5 mais elle est plus facile
U aberration a ljeu dans les planètes, auffi-bienA b e a b e "fà calculer, quana on connoit leur mouvement &
leur distance. L’aberration d’une planète est toujours
égale à son mouvement vu de la terre, pendant
le tems que la lumière emploie à venir de
la planète jusqu’à la terre. Par exemple, la lumière
emploie 8 ' 8 " a venir du soleil jusqu’à nous ; le
mouvement du soleil pendant ces 8' est de 20":
d’OÙ il fuit que le soleil à 20" K-aberration en
longitude en tout tems ; &, còmmé ïaberration fait
paraître la planète du côté où va la terre, opposé
à celui où la planète paraît aller, il s’ensuit que,
fi la longitude est croissante, ïaberration la diminue,
& il faudra Tôter de la longitude calculée,
pour avoir la longitude apparente. II en sera de
même de la latitude, de Tafcenston droite, dé la
déclinaison, pourvu qu’on prenne lé mouvement
géocentrique en latimde, en ascension droite, en
déclinaison, pendant le tems que la lumière en>
ploie à venir de la planète jusqu’à nous. On peut
voir des formules & des méthodes particulières de
M. Clairaut, à ce sujet, dans les Mém. de l’Acad,
1-746 ; & celles de JVÍ. Euler, dans les Mém. de
Berlin, 1746, tome 11 ; & j’ai donné de nouvelles
taWes d’aberration pour toutes les planètes, calculées
avec foin par M. de Lambre^ daris le 8e volume
des Ephémérides de Paris, publié en 1783^
on y voit que ïaberration peut aller jusqu’à une
minute ou éo* pour Mercure, 44" pour Vénus,
38" pour Mars, 29" pour Jupiter,& 16"pour
Saturne. ~ '^aberration dépend toujours du rapport entre
la vitesse de la lumière & celle de Tobfervateur ;
d’après ce principe, M. Boscovich m’écrivòit, eii
1766, qu’il avoit imaginé un mòyen de voir si la
vitesse de la lumière est plus grande dans Teau que
dans Tair, en se procurant deux mesures différentes
de ïaberration. II suppose, sur un même instrument,
une lunette ordinaire & une lunette dont le tube
seroit plein d’eau dépuis Tobjectif jusqu’au réticule ;
celui-ci seroit formé par une plaque de verre, Ton
y tracerait les lignes nécessaires pour observer la distance
d’une étoile au zénit. La vitesse de la lumière
dans la lunette d’eau étant augmentée, son rapport
avec lá vitesse de la terre deviendrait plus
grand ; il faudroit par conséquent une moindre
inclinaison dans cette lunette d’eau, pour que lé
rayon de Tétoile parvînt à la ligne du réticule ^
donc ïaberration, dans la lunette d’eau, seroit
moindre ; donc elle donneroit la vraie distance au
zénit plus ou moins cette nouvelle aberration ,■ &,
en retournant Tinslrument, on auroit le double de,
cette distance plus ou moins le double de F aberration ;
donc on observerait la double distance dans
une des lunettes plus grande que dans l’autre du
double de la quantité dont ïaberration de la lunette
ordinaire surpasseroit ïaberration de la lunette
d’eau.On a objecté, contre cette idée, que íerayon,
en sortant de la lunette d’eau, devrait perdre Tau^
gmeutation de vitesse qu’il avoit acquise en y entrantjmais on réponrt que le rayon arrivé une fois ait
trait du micromètre intérieur, la direction de Tétoile
est déterminée par-là même ; le rayon intercepté ne
sort plus, & il n’importe plus que les rayons, en
sortant de la lunette , changent de direction &
de vitesse ; ainsi, Tinclinaison de la lunette sera
toujours différente.)  II paroít par les rapports dé réfraction de Tair dans
Teau, que les vitesses de la lumière y sont comme 3
à 4 ; ainsi, le cercle d’aberration des étoiles ayant
40° par la vitesse de la lumière dans Tair, il auroit
30" seulement par la vitesse de la lumière dans
J’eau ; il y auroit donc 10" de différence dans Tobservation,
si, comme on le croit, la vitesse du
rayon augmente dans Teau. ( DE IA LANDE. ) ABERRATION,( Optique.)  dispersion des rayons
de lumière, qui, partant d’un objet & traversant
un verre de lunette, au lieu d’aller se réunir en
un même point ou foyer, se répandent sur une
petite étendue, & forment en conséquence une
image, un peu confuse de Tobjet.II y a deux causes à !aberration ; la première
cause est lá sphéricité des verres ou des miroirs ;
la seconde est la diverse réfrangibilité dès rayons.
U'aberration de sphéricité vient de ce qu’un verre
de figure exactement circulaire, tel qu’on les travaille
dans les bassins pour faire les lunettes d’approche,
ne peut pas rassembler en un seul point
tous les rayons dé lumière qui, partant de Tobjet,
traversent les différens points du verre ; cette aberration
est d’autant plus grande que le verre a une
plus grande ouverture : il faut voir à ce sujet le
Traité d’Optique de Smith, imprimé à Cambridge
en 1738 , en deux volumes in-40,. traduit par le
P. Pezenas, à Avignon, 1767 ; & par M. Duval
le Roi, à Brest, 1767. Ces’deux dernières éditions
renferment beaucoup d’augmentations nouvelles,
fur-tout par rapport aux lunettes achromatiques,U aberration de réfrangibilité vient de la décomposition
d’un faisceau de rayons, qui, en traversant
un milieu diaphane tel qu’un verre de lunette,
se divise en différentes couleurs, dont les plus
remarquables sont les sept couleurs suivantes,
violet,indigo,bleu,verd, jaune, orangé, rouge.
Dans une lunette de 27 pieds, les rayons rouges
se réunissent dans un foyer qui diffère de près d un
pied du foyer des rayons violets. II faudroit cependant
que tous ces rayons se. rassemblastènt au
même point,. pour que Timage d’un objet fut
tranchée, nette & distincte ; c’est pour remédier à
cette ^aberration de réfrangibilité & de sphéricité,
que M. Euler chercha le moyen défaire des verres
de. lunettes, composés de différentes substances ;
& c’est ce qui a donné naissance à la nouvelleinvention
des lunettes achromatiques , qui diminuent
eri effet considérablement les deux espèces
d’aberrations dont nous venons de .parler. Voyei
ACHROMATIQUE.. ( M. DE LA LANDE.) ABONDANT, adj. (Arithn. )  Nombre abondant
est un nombre dont les par fies aliquotes.s
A B Ò'

A B S
prises ensemble, forment un bout plus grand que
le nombre. Par exemple, 1 i a pour parties aliquotes
1,2,3,4, 6 , dont la somme 16 surpasse
12. Le nombre abondant est Opposé au nombre
dcfcdis, qui est plus grand que la somme de ses
parties aliquotes, còmme 14 dont les parties aliquotes
sont 1, 2 , 7 ; & au nombre parfait qui est
égal à Ja somme de ses parties aliquotes, comme
6 dont les parties aliquotes sont 1, 2, 3. Voyei
NOMBRE & ALIQUOTE.ABOUTIR, en Hydraulique, c’est raccorder un
gros tuyau-fur un petit. S’il est de fer, de grès,
ou de bois, ce fera par le moyen d’un colet de
plomb, qui viendra en diminuant du grps au petit.
Quand le tuyau est de plomb, Tppération est encore
plus aisée : mais, quand il s’agit de raccorder une
conduite de six pouces fur une de tróis, il faut
un tambour de plomb fait en cône, en prenant
une table de plomb dont on forme un tuyau .que
Ton soude pardessus. ( K.) ABRACHALEUS, (Astr. )  c’est un des noms de
la seconde étoile des Gémeaux, marqué /2, & qu’on
.appelle aussi Pollux.ABSCISSE, f.s. ( Géom.)  du mot latin abscindere,
partie quelconque de Taxe ou du diamètre
d’une courbe, comprise depuis un point fixe où
toutes les abscisses prennent leur origine, jusqu’à
une autre ligne nommée ordonnée , qui se termine
à ia courbeV Ainsi, (seâ. Con. fig. 37. ) A étant un
point fixe, AP est une abscisse de la courbe QMM’,
P M est Tordonnée correspondante ; dé mêmé'^P'
est une autre abscisse, P'ilí' Tordonnée correspondante.U abscisse & Tordonnée correspondante, considérées
ensemble, se .nomment les coordonnées de h
courbe.ABSENT. ( Calcul des probabilités. )  Lorsque
M. Nicolas Bernoulli, neveu des célèbres Jacques
& Jean Bernoulli, soutint à Baie, en 1709, sa
thèse de docteur en droit ; comme' il étoit grand
géomètre, aussi-bien que jurisconsulte, il ne put
s’empêcjier de choisir' une matière qui admît de
la Géométrie. 11 prit donc pour sujet de ía thèse,
de usu artis conjeSandi in Jure ; c’est - à - dire , de
Vapplication du calcul des probabilités aux matières
de' Jurisprudence, & le troisième chapitre de cette
thèse traite, du tems où un absent doit être réputé
pour mort. Selon lui, il doit être censé tel,, lorsqu’il
y à deux fois plus à parier qu’il est mort que
vivant. Supposons donc un homme parti de Ion’
pays à Tâge de vingt ans, & voyons, suivant la
Théorie de M. Bernoulli, en quel tems il peut
être censé mort. ' ' ' ' 'Suivant les Tables données par M. Deparcieux,
de TAcadémie Royale des Sciences, de 814 personnes
vivantes à Tâge de 20 ans, il n’en reste ,
à Tâge de 72 ans, que 271 , qui sont à-peu-près
le tiers de S14 ; donc il en est mort lès deux tiers
.depuis 20 jusqu’à 72, c’est-à-dire, èn 52 ans ; donc,
au bout de .52 ans, il y a deux fois plus à-parierpour îa mort que poiir la vie d’un homme <ntí
s’absente & qui disparaît à 20 ans. J’ai choisi ici
la Table de M. Deparcieux, & je Tai préférée à
cejle dont M, Bernoulli paraît s’être servi, nie
contentant d’y appliquer son raisonnement ; mais
je crois notre calcul trop fort en cette occasion,
à un certain égard, & trop foible à un autre ; car,
i.° d’un côté, la Table de M. Deparcieux a été
faite fur des rentiers de tontines, qui, comme il le
remarque lui-même, vivent ordinairement plus que
les autres, parce que Ton ne met ordinairement
à la tontine que quand on est assez bien consumé,"
p.our se flatter d’une longue vie. Au contraire, il
y a à parier qu’un homme qui est absent, & qui
"depuis long-tems n’a donné de ses nouvelles à fa
famille, est au moins dans le malheur ou dans
Tindigence, qui, joints à la fatigue des voyages,
ne peuvent guère manquer d’abréger les jours.
2,° D’un autre côté , je ne' 'vois pas qu’il suffise
ppur qu’un homme soit censé mort, qu’il y"' ait’seulement
 deux contre un à parier qu’il Test, surtout
dans le cas dont il s’agit. -Car, lorsqu’il est
question de disposer des biens d’un homme, & de
ie dépouiller fans autre motif que fa longue absence,
la loi doit toujours supposer sa mort certaine. Ce
principe me paraît si évident & si juste, que, sr
la Table de M. Deparcieux n’étoit pas faite fur des
gens qui vivent ordinairement plus long-tems que
les autres, je croirois que ïabsent né doit êfre
censé mort que dans le tems où il ne reste plus
aucune des 814 personnes âgées de 20 ans,cestà-dir'e",
à 93 aps. Mais , comme la Table de
Al. Dépáicieux seroit, dans ce cas, trop favorable
aux absens, òn pourra, ce me sethble, faire une
compensation, en prenant Tannée où il nè. reste
que le quàrt des 814 personnes, c’est-à-dire, environ
75 ans. Cette question seroit plus facile â décider,
si on avoit des Tables de mortalité des voyageurs
 ; mais ces Tables noús manquent encore,
parce quelles sont très-difficiles & peut-être impossibles
djiris Texècution. "'M. de Buffon a donné, à la fin du troisième
volume de son Histoire Naturelle, des Tables de
là durée de la vie, plus exactes & plus commodes,
que cèfle de M. Deparcieux, pour résoudre le
problème dont il s’agit, parce qu elles ont été faites
pour tous les hommes fans distinction, & non pour
les rentiers seulement. Ces Tables seraient peuÍT
être encore un peu trop favorables aux voyageurs,
qui dpiv.ent généralement vivre moins que les
autres.hommes. Mais, comme elles le sont moins
que les autres’, au lieu d ?y prendre les trois quarts,
comménous àvons fait dans les Tables de M. Deparcieux,
il seroit bon de ne prendre que les \
ou peut-être les \. Le calcul en est aisé à faire ; il
nous suffit d’avoir indiqué la méthode. ( Ó. ) D’ailleurs la solution de ce problême suppose
une autre théorie fur la prohabilité morale des
événemens que celle qu’on a suivie jusqu’à présent.
Cette théorie nouvelle est de M. de Buffon, & npus
Á B S

A" B § Ì ?
'allons mettre le lecteur en état de se satisfaire luimême
fur la question présente des abstens réputés
pour morts , en lui indiquant les principes qu’il
pourrait suivre. II est constant que, quand il s’agit
de décider par une supposition du bien-être d’un
homme, qui n’a contre lui que son absence, il faut
avoir 4a plus grande certitude possible que la supposition
est vraie. Mais comment avoir cette plus
grande certitude morale possible ? Où prendre ce
maximum ? Comment le déterminer ? Voici comment
M. de Buffon veut qu’on s’y prenne, & Ton
ne peut douter que son idée ne soit très - ingénieuse
, & ne donné la solution d’un grand nombre
de questions embarrassantes, telles que celles du
problème fur la somme que doit parier à croix ou
pile un joueur A contre un joueur B qui lui donnerait
un écu, si -lui B amenoit pile du premier
coup ; deux écus, si lui B amenoit encore pile au
second coup ; quatre écus, si lui B amenoit encore
pile au troisième , & ainsi de fuite ; car il est évident
que la mise de A doit être déterminée fur
la plus grande Certitude morale possible que Ton
puiffe avoir, que B ne passera pas un certain
nombre de coups ; ce qui fait rentrer la question
dans le fini, & lui donne,des limites. Mais on aura,
dans le-cas de l’absent., la plus grande certitude
morale possible de fa-mort, où d’un événement
en générai, par celui où un nombre d’hommes,
seroit assez grand pour qu’aucun ne craignît le plus
grand malheur, qui devroit cependant arriver infailliblement
à lin d’entre eux. Exemple : prenons dix
mille hommes de même âge, de même santé, &c.
parmi lesquels il en doit certainement mourir un
aujourd’hui : fi ce. nombre n’est pas encore assez
grand pour délivrer entièrement de la. crainte de
la mort chacun d’eux, prenons-en vingt. Dans cette
dernière supposition, le cas’ où Ton auroit la plus
grande icertitude morale possible qu’un  ; homme
seroit mort, ce seroit celui où de ces vingt mille
hommes vivans, quand il s’est absenté, il n’en" resteroi't
plus qu’un.Voilà la route qu’on doit suivre ici & dans toutes
autres conjonctures pareilles, où Thumanité semble
exiger la supposition la plus favorable. Cette Addition
est de M. DIDEROT.Nous avons cru devoir ajouter à cet article, tiré
de la première édition de TEncyclopédie, les réflexions
suivantes:I. La nouvelle Théorie que AI. de Buffon, a
proposée,. ne nous paraît point pouvoir être
admise.
i.° Elle est inexacte en elle-même, puisqu’elle
tend à confondre deux choses de nature différente,
la probabilité & la certitude.
, 1." Elle ne peut servir qu’à simplifier le calcul,
dans le cas où le résultat, auquel cette hypothèse
conduirait, ne différerait que d’une manière insensible
des résultats rigoureux : ainsi, ellè ne doit
p2s être employée à résoudre aucune, des difficultésMathématiques. TomeT) If" Partic) qui peuvent s’élever fur les principes thème du
calcul.
« 3.° On ne se permet, dans le calcul, d’employer
comme absolue une détermination approchée, que
pour une quantité dont on connoît une valeur
très-peu différente de la réelle, & dont la valeur
réelle est incertaine ; or ici la valeur de la certitude
est déterminée & égale à Tunité. Ainsi, il n’y
a aucune raison pour supposer dans le calcul, ni
aucune probabilité égale à Tunité, ni la certitude
égale à une fraction peu différente de Tunité.4.° Lorsqu’on se permet de négliger une quantité,
c’est toujours par la raison qu’on la regarde
comme nulle, par rapport à celle que Ton veut
connoître, & c’est ce qui ne peut avoir lieu ici.
Toutes les fois que la probabilité, d’un événement
est très-peu différente de Tunité , la probabilité de
Tévénement contraire est une très-petite quantité.
Ainsi, je puis bien regarder comme étant également
probables les événemens dont les probabiIOOOOIOOOIlités 10 -r & 10 —1 sont très - peuIOOOO IOOOIIO IO .:..'"différentes.Mais il n’en est pas de même des événemens■ ' ■-..-■.:■.-. ; ' iïcontraires , - dont les. probabilités  ;: .10000,10 .10001 sont dans le rapport d’un à dix.10■ ■ . - '" . " : ..5.° Un maximum de probabilité est une expression
qui ne peut s’entendre en mathématiques ; le
maximum de la probabilité seroit 1, & elle ne peut
y atteindre. Mais on peut fixer un minimum de
probabilité, c’est-à-dire, une probabilité au-dessous
de laquelle, par exemple, il ne peut être,permis
ni de condamner un homme, ni de le dépouiller
de son bien, ni de le réputer mort. Cette idée est
absolument Topposée de celle que propose M. de
Buffon, & c’est la seule que Ton doive admettre.II. Dans les questions relatives aux biens des
abstens, il faut examiner séparément íeS trois hypothèses
suivantes : ' "Celle où ïabsentreviendrait au bout d’un certain
tems, celle où ïabsent ne reviendra jamais, mais
où Tépoque de fa mort est connue, & celle où Ton
ignore cétte époque à perpétuité.Cela posé, nous demanderons d’abord d’aprèî
quel principe on doitrégler Tadministration desbiens
d’un absent, pour que, dans le cas où il revien- ;
droit, il n’eût éprouvé aucune injustice.II est clair qu’à son retour , il reprendrait ses
droits fur tous ses biens, & qu’il s’agit donc seule »
ment de déterminer à quelle époque on peut cesser
de" les laisser en séquestre, & permettre à ses hiiUB
ÏO A B &
A b stiers de les partager, & d’en disposer, en donnant,
pour leur sûreté," les cautions convenables, & au
bout de quel tenïs on peut même les dispenser
formalités.Four le i." cas, on voit’ que, du moment où
la vie d’un homme est incettaine, on lui fait une
injustice, dans le cas où il vivroit, en permettant
à ses héritiers de disposer de son bien , & que, s’il
est mort, on en fait une à ses héritiers en les privant
de ia succession. Soit donc a la probabilité du
risque auquel vous exposeriez un absent, en perme'ttant
 de distribuer son bien b au bout d’un nombre n
d’années d’absence ; la valeur de la perte à laquelle
il seroit exposé sera exprimée par ab , & ,-si « est
la probabilité qu’il est vivant, son risque s’exprimera
par u ab■ Maintenant, quelle est la perte de Thermes,iî
on refuse de le mettre en jouistánce ? Le bien estici toujours b : soit i—r , la probabilité qu’il en
jouira toujours, fans être obligé de -le rendre
c’esi-à-dire, la probabilité que ïabsent ne reviendra
pas ; ï — r • b est le tort fait à Théririer.Mais ce tort n’est pas irréparable, puisque,, fi
Ton lui rend b , augmenté de Tintérêt, Tannée
d’après il n’aura rien perdu : soit donc .:/ là.píobabilitéqu’il ne mourra pas dans Tannée ; r—u'•ï—r # 6, exprimera le risqué qu’on lui fait
courir, en ne lui remettant pas la disposition au
commencement de cette même année ; ainsi , pour
livrer le bien de ï absent aux héritiers même,en exigeant une caution , il faut que I — r •J •—u • ^>ua. Le cas où l’on peut cèssér d’exiigér
les formalités de'cautions, se réfolvera de
même, à cela près que a doit être alors plus
grand. On peut, fans beaucoup d’erretir, fuppo^
fer ï — r~ ï — u -f. i .u. en effet ï - r est la probabilité
que ï absent ne reviendra jamais ; mais la
probabilité qu’il est mort est I —u , & on peut
supposer que, s’il est vivant, il y a autant à parier
qu’il reviendra , qu’à parier qu’il ne reviendra
pas.Cette i."e condition ne suffit pas ; il faut encore
que, dans le cas où Ton saurait un jour Tépoque
fixe de la mort de ï absent, il ne résultât des dispositions
feites de fbs biens , aucune injustice à
í'égard de lès héritiers.U est clair que les biens doivent être partagés
définitivement, comme íi la succession étoitouverte
du jour-de fa mort. Ainsi, supposons que-b est,
à une époque donnée, ht. portion du bien que
demande un héritier A, & que, par la mort de
A , cette portion passerait à B, le tort fait h-A
est ici comme ci - dessus ï —r - ï ■—u' b • Pour
évaluer le tort fait à B, on trouvera :i-.° Que a peut exprimer le danger auquel on2.* Que ce danger n’a lieu qu autant <jue A
mourrait avant ï absent ; donc, íì u exprime la
probabilité que A meure avant ï absent, on aura
u a b pour le risque auquel B est exposé, si on
donne une partie de Théritage à A. Ainsi , il faudra,
pour laisser à A la disposition de sa portion,que I — r I -— u ' ^> u"a. *Cette condition doit être remplie dans toutes les
combinaisons qui peuvent avoir lieu dans Tordre
de niortalité des différens héritiers.Supposons ensin qu’il soit question de régler lè
partagé des biens, en ayant également égard à la
justice, dans la supposition que ï absent ne revienne
jamais , & qu’on doive ignorer Tépoque de^ famort.
Nous connoissons, i.° Tépoque où Ton
peut, fins injustice, faire le partage de ses biens.
Soit J le bien ; puisqu’il ,y a i-u à parier qu’il est
mort, il faudra d’abord prendre une partie i-ub.2." Si, depuis Tincertitude de son sort jusqu’à
çettè époque, il y a pour une ou-deux autres
époques A-B- des variations dans Tordre de lasuccession, il faudra, si ï — u •'x, r—'u-x-{-X
représentent Ja probabilité de la mort à ces époques
, partager ï— u * x'b , comme",■ à Tépoque ;A ; ï~u i • b',, com’mè à'Tépoque B. ;-í —u •■
ï —-1— x *b ; comme à Tépoque de la distribu-í
tíón.,Le reste peut être ■distribué provisoirerhent,
rnais toujours à la condition que, s’il survient un
changement dans Tordre de la succession , une
partie de Cé reste proporrionnelle à-la probabilité
que la mort n’êstpàs-arrivée avant cé changement j
sera" 'distribuée 'comme elle Tauroit été-, ift on eût
appriss que-fa mort est-arrivée après ce.changement.
Enfin , lorsque- la probabilité de la mort de
ï absent aura surpassé ce minimum de 'Certitude morale
dont nous avons parlé ci-dessus, il faudra
distribuer définitivement tous les biens,: suivant la
même règle (*)  : d’òù il résulte que. c’est la seule
époque a laquelle l’es~ formalités de cautions, &c.
doivent être supprimées ; '' "Ces principes suffisent pour résoudre toutes ses
questions qui peuvent .se présenter fur -cet objét ; .
ils se bornent à cette règle très-4ìmple, de supposer
proportionnel à la-probabilité de la vie & de la
mort de ï absent, le tort qui résuite pour lui ou
pour Ton héritier, de la supposition qu’il est mort
ou.vivant à -chaque époque que l’on considère,
& d’attendre , pour toure" décision irrévocable ,
que la. probabilité de là mort, soit .au-delà du
minimum de probabilité , pour lequel il peut
Être permis de priver un homme de ses ' droits.
( . Voyei .Fart. PROBABILITÉ.) Lès ques■*Voyt\, sur le principe général de diitribner les’
sommes proportionnellement à la probabilité du droit,
Y art, FROIA-ÍII.1TÍ. . ' 'A b s a c c ," r.t.fions -relatives à la distribution dès successions
qui peuvent échoir à un absent, aux droits de 'ses
•créanciers fur ces biens, &c doivent se résoudre
par les mêmes principes. _Nous nous sommes bornés ici à des principes
généraux, parce que leur application à la pratique,
dépend des loix de chaque pays fur les cautions,
fur la prescription, sur Tordre de succession, sur
le plus pu moins de liberté des dispositions testamentaires.
Ainsi, dans chaque nation., pouf faire,
fur cet objet, une loi conforme à la raison & à
la justice, il.faudroit, après avoir résolu, dans
tous les cas, les questions qui peuvent se présenter,
chercher à déduire de tous les résultats qu on auroit
obtenus par le calcul, quelques règles générales &
simples, qui n’exposeraient à commettre des injustices
, que dans des cas presque impossibles à supposer.
( M. D. C. ).
, ABSIDES. Voyei APSIDES.ABSOLU : nombre absolu, en Algèbre, est la
•quantité ou le nombre connu, qui fait un des
ternies d’une équation. %q EQUATION &
RACINE.Ainsi, dans Téquation xx -}- i6x= $6 , le
nombre absolu est 36, qui égale x multiplié par
lui-même, ajouté à 16 fois x.C’est ce que Viete appelle homogeneum compaTaùonis.
Voiei HOMOGÈNE de comparaison.ABSTRAIT, adj. (Arith.)  nombre abstrait ,
■collection d’unités considérées én elles-mêmes, &
■qui ne désignent point de choses particulières &
déterminées. Par exemple, 3 est un nombre abstrait ;
•3 f ois est auffr un nombre abstrait : mais, quand
■on dit 3 hommes ,-3 écus, le nombre '3 est concret.
Voyei CONCRET.On appelle mathématiques abstraites> ou mathétnathiques
pures , la classe des mathématiques qui
•considèrent la grandeur en elle-même , & d’une
manière générale. Voyei MATHÉMATIQUES.ABSURDE. ( Géom. ) En Géométrie, on démontre
presque toutes les converses, en les réduisant
à ï absurde , c’esivà-dire, en prouvant que, fi la
« onverse n’étoit pas -vraie, une proposition , déjà
démontrée, seroit fausse. Or il est contraire au sens
•commun , il est absurde qu’une proposition démontrée
ne soit pas vraie. (J. D. C.) ABUTER, v. á. Aux quilles, avant que de commencer
le jeu, chaque joueur en prend une, &.
la jette vers la boule-placée à une distance convenue
entre les joueurs ; voilà ce qu’on appelle
abutcr. Celui qui abute le mieux, c’est-à-dire, dont
ía quille est la plus proche de la boule, gagne
/avantage de jouer le premier.A c a ,..'..'ACADÉMIE. Voyei ASTRONOMIE.
ACARNAR, Voyei ACHARNAR, -: Á'CAMPTE, adj. (Opt.)  mot employé par
Léibnitz , ( Op. Leib. tom. 1II, p. Z03. ) pour
désigner une figure qui, étant opaque & polie, &
par conséquent douée des propriétés nécessaires pour
réfléchir la lumière, n’en réflécliit point. Voyei,
dans l’cndroit cité des OEuvres de Léibniti, Vexplication
de ce. paradoxe.ACCÉLÉRATION, dans le moyen mouvefnent
de la lune , & dans celui de Jupiter. Voyei
ÉQUATION séculaire.ACCÉLÉRATION diurne des étoiles, (Astronomie.) 
c’est.la quantité dont leurs levers & leurs couchers
avancent chaque jour, ainsi que leurs passages au
méridien ; elle est de 3' 56". Cette accélération,.
dont les astronomes font unnsage continuel, vient
du retardement effectif du soleil ; son mouvement
propre vers Torient, qui est de 50' 8" de degré
tous les jours, fait que 'Tétoile , qui passok au '
méridien hier en même tems que le soleil-, est plus
occidentale aujourd’hui de 59' 8*, ce qui exige
3' 56"' de. tems ; elle passera donc plutôt, de la
même quantité. 'Pour calculer rigoureusement la quantité de cette
accélération, il faut faire la proportion fuivante360°
59' 8' 204, font à 14'' o' o", comme 36b°o'
sont à 23 H 56" 4" 098 ; c’est la durée moyenne de
la révolution diurne des étoiles fixes, qui diffère
de 24 heures solaires moyennes de 3' 55" 902.II y a eu des astronomes célèbres qui se sont mépris
 à cet égard, & qui faisoient ï accélération
de 3' 56" 55 ; ils commençoient la proportion
par 360°, & dès-lors ils fupposoient implicitement
que' ï accélération étoit comptée en heures du premier
mobile ou des étoiles fixes, au: lieu que fous
les tems doivent se compter en heures solaires
moyennes ; ou bien ils fupposoient que ï accélération
íe corriptoit fur Thorloge du temps moyen ;
mais au moment où le soleil passe par le méridien,
au lieu- de la compter au moment du passage de
Tétoile, c’est le retardement du soleil qu’ils pre-« 
noient, au lieu dé ï accélération des étoiles.Le vrai passage d’une étoile au méridien, n’avance
pas tous les jours de 3' 56"', ni tous les jourségalement,
par rapport au soleil vrai qui règle
nos cadrans, mais seulement par rapport à un soleil
moyen supposé uniforme, que les astronomes imaginent
pour construire leurs tables & pour régler
leurs horloges :1e tems moyen diffère d’un quart-'''
d’heure,du tems vrai en certain tems de Tannée.
Voyei ÉQUATION du tems ; & il s’en faut de la
níêrne quantité que les accélérations diurnes des
étoiles rie fassent des sommes toujours égales.
U accélération n’est que de 3 •' 55" le io de septembre,
& cette accélération va jusqu’à 4' 27" le
21 de décembre. U accélération diurne sert àrégler
des pendules ; si je vois une étoile fixe se coucher
derrière une montagne ou un clocher,.Iorfque,ma
pendulemarquoit yk 4' o", & que le lendemain,
mon oeil étant fixé à la même place, Tétoile disparaisse
à 7h o'' 4% j’en conclus que lapenduîeii a c c KCC
est bien réglée quant à son mouvement, ou à sa
marche d’un jour à l’autre ; mais, pour la mettre
à Theure, il faut savoir le tems vrai par des 
hauteurs
correspondantes, par une méridienne ou'par
quelque autre moyen. ( M. DE ZA LANDE. ) "• ACCÉLÉRATION , f. f. ( Méchanique ). augmentation
de vitesse que reçoit un corps en mouvement.
Ce mot est opposé à retardatìon , qui signifie
diminution de vitesse. Par exemple, un corps qui
tombe librement par fa pesanteur, reçoit continuellement
une accélération de vitesse ; car, si la
vitesse demeurait toujours la même, le choc de
ce corps contre un obstacle seroit toujours le
même,-de quelque hauteur que le corps tombât ;
ce qui est contraire à Texpérience, qui nous apprend
qu’à une plus grande hauteur de chute répond
un plus grand choc. Voyei ACCÉLÉRÉ. AU contraire
, un projectile qui se meut dans un espace
ou milieu rélistant, par exemple, un boulet de
canon, éprouve une retardation de vitesse, qui
dénature la courbe qu’il décriroit en vertu de la
force d’impulsion initiale, & de la pesanteur.
Voyei PROJECTILE.ACCÉLÉRATRICE, Force(Méch.). Onappelle'
ainsi, en Méchanique, la force ou cause qui accélère
le mouvement d’un corps. Lorsqu’on examine
les effets produits par de telles causes, & qu’on
ne connoît point ces causes en elles-mêmes, les
effets doivent toujours être donnés indépendam’ment de la connoissance de la cause, puisqu’ils ne
peuvent en être déduits ;~c’est ainsi que, fans connoître
la cause de la pesanteur, nous apprenons,
par Texpérience, que les espaces décrits par un
corps qui tombe , sont entr'eux comme les quarrées
des tems. En général, dans les mouvemens
variés, dont les causes sont inconnues, il est
évident que Teftet produit par la cause, soit dans
un tems fini, soit dans un instant, doit toujours
être donné par l’équation entre les tems & les
espaces ; cet effet une fois connu, & le principe
de la force d’inertie supposé, on n’ajplus besoin
que de la Géométrie feule & du calcul3 pour
découvrir les propriétés de ces sortes de mouvemens.
II est donc inutile d’avoir recours à Ce principe,
dont tout le monde fait usage aujourdhui,
que la force accélératrice ou retardatrice est proportionnel
à sa cause. Nous n’examinerons point
fi ce principe est de vérité nécessaire ; nous avouerons
seulement que les preuves qu’on en a données
jusqu’ici, ne nous paraissent pas fort convaincantes
: nous ne Tadopterons pas non plus,
avec quelques Géomètres, comme de vérité purement
contingente ; ce qui ruinerait la certitude de
la_ Méchanique, & la réduiroit à n’être plus qu’une
science expérimentale. 'Nous nous contenterons
d’observer que, vrai ou douteux, clair ou obscur,
il est inutile à la Méchanique, & que par conséquent
il doit en être banni. (O).
. ACCELERE, adj. (Méch.)  mouvement accéf ;>'j
mouvement qui reçoit continuellement denouveau* accròissemens de vitesse, &, par oppofl* !
tion, mouvement.retardé, mouvement qui perd
continuellement des parties de fa vitesse. On désigne,,
en général, ces sortes de mouvemens sous le nom.
commun de mouvemens variés. Voyei AIOUVEMENT:Lorsque les accròissemens ou les décroissemens
de vitesse sont égaux en tems égaux, le mouvement
est dit accéléré ou retardé uniformément.Nous allons donner ici brièvement la théorie du ;
mouvement uniformément accéléré : elle s’appliquera
, dans un ordre renversé, au mouvement uni »
formément retardé.I. Tout corps en repos ou en mouvement persévère
dans cet état, jusqu’à ce qu’une cause extérieure
l’en retire. ( Voyei INERTIE & MOUVEMENT.
) Ainsi, 1.° un corps ne peut pas de luimême
accélérer son mouvement ; il à besoin, pour
cela, d’être poussé par une force accélératrice.
2. 0 Pour que Taccélération soit continue, il faut
que la force accélératrice agisse continuellement.
5. 0 La force accélératrice, en se répétant continuellement,
doit donner, en des instans égaux,,
des coups égaux au mobile, afin que les degrés de
vitesse, produits par ces coups, soient égaux, &
que le mouvement soit uniformément accéléré y
conformément à Thypothèse.II. On voit par-là que la vitesse finale d’un
. corps qui se meut d’un mouvement uniformémenîaccéléré ( j’entends la vitesse qu’a le mobile, au
bout d’un certain tems, en vertu des coups successifs
& égaux de la force accélératrice) est toujours
proportionnelle au tems écoulé depuis le
moment où la force accélératrice a commencé d’agir.
Car le mobile reçoit continueîlement, pendant .les.
instans égaux & successifs du tems, des degrés
égaux de vitesse, en vertude la force accélératrice ;
& - il conserve ces degrés de vitesse, en vertu de
son inertie. D’où il résulte que la vitesse finale,
qui n’est autre chose que la íomme des degrés de
vitesse acquis &.consei>és, est proportionnelle à
leur nombre , ou au nombre des instans du tems,
ou enfin au tems même.Nous lùppoíbns, comme on voit,, qu’au premier
instant où la force accélératrice commence 1'
d’agir, la vitesse est zéro, ou que le mobile n a
aucune vîte/îe primitivement acquise : la même
supposition aura lieu dans la comparaison que nous
allons faire de deux mouvemens uniformément
accélérés.III. Loisquc deux corps se meuvent avec des
mouvemens uniformément accélérés, les espaces qu’ils
parcourent font entr'eux comme les produits des tans '
par les vitesses finales.En effet, représentons le tems du mouvement
de l’un des corps, par le côté AB du triangle
rectangle ABC (Méch. fig. c) , & fa vitesse finale
par l’autre côté BC. Ayant partagé le tems én une
infinité d’instans AD, DF,&c. menons parailè- .
lemer.t k<BC les ordonnées DF} FG : ces lignesA c c , á c c . *%« yprîmerontles vitesses correspondantes à la fin des
tems AD, AF, de même que BC exprimé la
vitesse correspondante à la fin du tems AB , puisque
les vitesses finales sont entr'elles comme les tems,
par Tarticle précédent, & qu’à cause des triangles
semblables ÂDE, AFG, ABC, ( V. TRIANGLE ) ,
les droites DE , FG , BC■', sont entr'elles comme
les droites AD, AF, AB. Considérons les deux
TÍtesses LM, NO, qui répondent Tune au commencement,
l’autre à la fin d’un instant quelconque
LN, & menons Mm parallèle à AB : il est clair
que les deux vitesses LM, NO, qui ne diffèrent
lune de l’autre que de la quantité m O infiniment
petite par rapport à chacune d’elles, peuvent être
regardées comme égales, ou que- le mouvement
peut être censé uniforme pendant Tinstant LN. Or,
dans le mouvement uniforme , Tefpace parcouru
est comme le . produit du tems par la vitesse.
( Voyei UNIFORME, ) Ainsi, je petit efpaceparcouru
pendant Tinstant LN, est proportionnel au
ptoduit LNXLM ; c’est-à-dire, au rectangle
LMmN, ou au trapèze LMON, qui en diffère
infiniment peu, & qui est un des élémens du triangle
ABC. D’où il résulte que Tefpace total, parcouru
pendant le sems AB , est proportionnel à Taire du
triangle ABC.Semblablement, íì Ton représente le tems du
mouvement de l’autre corps, par le côté ab du
triangle rectangle abc (Méch fig. G, n.° z) , &fa
vitesse finale par bc , on trouvera que Tefpace total,
parcouru pendant le tems ab, est proportionnel à
Taire du triangle abc.Donc, en nommant- respectivement E & e iesespaces
parcourus par les deux corps-, T & t les
tems des mouvemens, V&. v les vitesses finales,
on aura E\e\\^>^-\\ TV'.tv.
Cette proportion donne la formule ( A ) 
Ètv=eTKï V. Les produits des forces accélératrices , qui
Miment les deux mobiles , par les tems de leurs applications
, font entr'eux comme les produits des masses
par les vitesses finales.Car la force accélératrice, qui anime l’un ou
l’autre corps, lui donne autant de coups égaux,
qu’if y a d’inslans égaux dans, la durée du mouvement
de ce corps ; & la somme de tous ces coups
est la cause de la quantité finale de mouvement,
ou du produit de la masse par la vitesse finale.
Donc fi Ton nomme P & n _ses forces accélératrices
des deux mobiles, M & m leurs masses,
V & v leurs vitesses finales, T & f les tems des
mouvemens, on aura PX^nt" MV\ mv.De-là fuit la formule ( B ) P Tmv—ïitMV.■ V. Les forces accélératrices, multipliées par les
quatres des tems , font comme les produits des masses
far les espaces parcourus.jCaí.fi Ton divise membre à membre ,. la formule(B)  par la formule (A) , on aura-J^ = ^5
d’où.Ton tire PTT\ ntt °.\ME\me. 'De-là suit la formule (C) , PTTme=^ttME.V I. Les forces accélératrices , multipliées par
les espaces parcourus, font comme les produits des
masses par les-quarrés des vitesses finales-.Car, en divisant les deux membres de la formule
(B) , par ceux de la formule (A) , pris encroix, on aura ^f = ^Z ; d’où Ton tire PE l:TLc\\MVV\mw. '" ■ ' .
De-là fuit la formule ( D ) PEmvv =neMVV.VIL Les quatre formules (A) , (B) , (C) :
( D ) , renferment toute la théorie du mouvement
uniformément accéléré ; c’est-à-dire, toutes lés relâ-<
tions possibles entre les forces accélératrices, lésinasses,,
les tems, les espaces & les vitesses finales ^
pour deux corps dont les mouvemens sont uniformément
accélérés ; de manière que, connoissant
tout ce qui est relatif à l’un de ces mouvemens ,
on connoîtrâ aussi tout ce qui est relatif à l’autre »
Nous allons appliquer ces formules aux mouvemens
des corps qui tombent librement par la pesanteur,
ou qui glissent fur des plans inclinés : donnons
auparavant, fur cesojet, deux propositions générales
de la plus grande utilité.VIII. Si un corps, après s’être mû d’un mou*
vement uniformément accéléré, pendant un ceitaitt
tems, vient à Je mouvoir d’un mouvement uniforme ,
pendant le même tems, avec une vitesse égale h
celle qu’il a au dernier instant du mouvement uniformément
accéléré, il parcourra un espace double
de celui qu’il a parcouru par le même mouvement*En effet, nous ayons vu (III)  qu’en représentant
le tems d’un mouvement uniformément
accélère 'par le côté AB du triangle rectangle ABC ?
la vitesse finale du mobile par-le côté AB : Tefpace
parcouru est représenté par Taire du triangle ABC.
Or, si durant le même tems AB, le mobile se
meut d’un mouvement uniforme, avec une vitesse
égale à BC, Tefpace qu’il parcourrasera représentépar
Taire du rectangle ABCV, double du triangle
ABC , puisque, dans ce dernier mouvement, à ;
chaque élément du tems, répond constamment une
vitesse égale à BC, & que, dans le mouvement
uniforme, Tefpace parcouru est comme le produit
de la vitesse par lé tems. Donc, &c.Cette proposition sert à comparer le mouvement
uniformément accéléré, avec le mouvement uniforme,
'. IX. Si un corps, lancé avee une certaine vitesse S
éprouve Faâion d’une force retardatrice constante S
il perdra entièrement cette vitesse dans le mime tems
qu’il auroit employé a F acquérir,, en vertu d’une
force aceélératrice confiante égale h la force, retardatrice
 ; &. les espaces’parcourus, dans’les deux cas ■,
seront égaux.Cela est évident par soi-même, puisque les deux
forces étant égales,mais contraires, doiventpro-ìl k C ÛA c cduire des effets égaux & contraires. C’est ainsi que
les corps -çraves peuvent remonter à la hauteur
d’où ils sont descendus ; que les jets d’eau s’élèvent
à la hauteur des réservoirs , &c. En effet, on va
démontrer que le mouvement des graves se rapporte
à la théorie précédente.X. Le mouvement des. corps qui tombent par
la pesanteur, est accéléré ; Galilée est le premier
qui ait découvert Ja loi de cette accélération ; il
supposa qu’elle se faisoit par des degrés égaux, ou
que le mouvement des corps graves étoit uniformément
accéléré ; & Texpérience ayant confirmé cette
hypothèse, elle est devenue une vérité & une loi
fondamentale dans la théorie de la chute des
graves. . 'On doit observer cependant que le mouvement
des graves n’est uniformément accéléré, ou, ce qui'
cn eíl la cause, que la pesanteur n’est úne force accélératrice
constante, que pour des chûtes d’une
médiocre hauteur : car, à la rigueur, la pesanteur
est variable, & proportionnelle au quarté inverse
de la dislance au centre de la terre ( V. ATTK ACTION.
)  ;mais, lorsque la hauteur, dont un corps
tombe, est peu sensible par rapport au rayon de
la terre, on peut supposer que la pesanteur est
constante ; & cest ce que nous supposons ici avec
Galilée.XI. Quelle que soit lacáuse de la pesanteur,
cette force pénètre toute la masse, des" corps ; elle
agit également fur toutes les molécules égales de
matière ; & le poids total d’un corps est proportionnel
au nombre de molécules qui composent sa
masse totale. Car, suivant Texpérience, deux corps
de masses très - inégales, par exe'mple, une balle
de plomb & une plume tombent également vîte
dans un espace vuide, ou très-peu résistant, tel. qu’est le récipient de la machine pneumatique,
après qu’on en a pompé Tair. D’où il fuit que les
poids des corps, c’est-à-dire, les forces accélératrices
qui les font descendre, suivent la raison des
masses. En effet, il est évident*que, pour mouvoir,
avec la même vitesse, deux masses qui font
exprimées, par exemple, par les nombres ico & r,
il faut que la première force soit centuple de la
seconde, puisque la masse 100 peut être décom- .
posée en’ 100 masses, qui sont chacune I, & qui
demandent chacune, pour ên’è mue, une force r.XII. II fuit de-là que, si Ton a. deux corps M
&. m, dont les poids soient P & n , on aura
P * n H As ; m ; ce qui donnePm=nM Ainsi,
en appliquant aux mouvemens de deux corps qui
tombent librement par leurs pesanteurs, les formules
générales des mouvemens uniformément
accélérés, on voit que les trois formules (B) , (C) ,
( D ) , se simplifieront, puisque, dans chacune
d’elles, les deux membres peuvent être divisés par
les quantités égales Pm & nm, Noús aurons donc,
au lieu de ces trois formules, les trois suivantes,
(H) Tv=tV ; (I) TTe=ttE ;(K) Evv = eVV,
dont la première nous apprend que les vitesses
finales de deux corps qui tombent, font comme ïei
tems ; la seconde, que les espaces parcourus font
comme les quarrés des tems ; la troisième, qui est
une suite des deux autres, que les espaces parcourus
font comme les quarrés des vitesses finales.Quant à la formule (A) , elle subsiste toujours ;
mais elle est inutile à considérer ici, comme trop
générale ; elle ne demande point que, pour deux
corps, les vitesses finales soient comme les tems,
ou, ce qui-revient au même, que les forces accélératrices
soient proportionnelles aux masses. La
supposition de cette proportionnalité est un cas particulier
auquel se rapporte le mouvement des corps
graves ; & les trois formules (H) , (I) ,-( K) ,
suffisent pour toúte la théorie de ce mouvement.XIII. On voit, parla formule (í) , que, lorsqu’on
connoîtra Tefpace qu’un corps grave parcourt
pendant un tems donné, on connoîtra auffi TeC-'
pace que ce corps, ou tout autre corps grave parcourt
pendant un tems auffi donné. Or Texpérience
apprend que tout corps grave parcourt, à très-peu
près, 15 pieds pendant la première seconde de sa
chute. Si donc on veut connoître, par exemple,
combien de pieds un corps grave parcourra pendant
7 secondes, on fera cette proportion (i'Yl(7") %'.'. 15 Pieds'. * = 735 PiedsXIV.II fuit de la même formule , que, si Ton
partage le tems de la chute d’un grave en’parties
égales, les espaces parcourus, pendant chacune de
ces parties séparément, seront entr'eux comme la.:
suite des nombres impairs I, 3,5, 7/9, €r.
Car, en représentant la fuite des tems, à compter
toujours depuis zéro, par la fuite des nombres naturels
1,2,3,4,5, &c-\ k fuife des eiPacès parcourus
, à compter aussi depuis zéro , est représentée
par la fuite des quarrés 1, 4, 9 , 25, &c.
Ainsi, 1 est Tefpace parcouru pendant la première
partie dû tems ; 4 est-Tefpace parcouru pendant
les deux premières parties du tems ; 9 est’Tefpace
parcouru pendant les trois. premières parties du
tems, &c. Donc, pour avoir Tefpace parcouru
pendant la seconde partie du tems feule, il faut
retrancher 1 de 4, ce qui donne 3 pour cet espace ;
pour avoir Tefpace parcouru pendant la troisième
partie du rems, feule, il faut retrancher 4 de 9,
ce qui donne 5 pour cet espace, &c. D’où Ton voit
que les espaces parcourus, pendant chacun des
intervalles égaux du tems", en particulier , font
représentés par les termes de la fuite, 1, 3,5,
7 , &c. Ainsi , par exemple, fi on veut connoître
Tefpace parcouru pendant la septième seconde seule,
on fera cette proportion, 1 ; 13. ; \ 15 pieds [ x =
195 pieds.X V. On a souvent besoin, dans la Méchanique
, du problême suivant : Un corps parcourt
uniformément un espace E, pendant le tems t : déterminer
la hauteur H. dont il devroit tomber, par fa
pesanteur, pour acquérir la vitesse avec laquelle il
se meut. Or, pour résoudre ce problême, je nomme
a la hauteur connut dont tombe un corps graveA c c a c c r t■pendant le tems connu e ; & j’observe qu’en vertu
de la formule (K ) , la vitesse finale de ce corps
sera représentée par y a, & que, s’il tomboit de la
hauteur h, fa vitesse finale seroit représentée par
\/h. D’un autre côté, on voit, par 1 article VIII,
que, fi le même corps vient à se mouvoir uniformément,
pendant le tems 6, avec la vitesse \/a, ■
il parcourra un espace _= 22 ; & comme, • par ;
hypothèse, le mobile du problême parcourt, uniformément
Tefpace E, pendant le tems t, avec
une vitesse qui doit être représentée par ]/h> &
que-,'dans les mouvemens uniformes, les espacesÍiarcourus sont comme les produits des vitesses par
es tems, il s’enfuit-qu’on aura la proportion 2<z*E\\ í\/a: i\Vh: d’où Ton tire h=~XjîSoient,paf,exemple, £=100 pieds, (==3
secondes, & supposons a ;= 15 pieds,-& par conséquent
6=1 seconde, on trouvera h ==i8~.
pieds. Ainsi, pour qu’un corps acquière, -par ía
- pesanteur, une vitesse capable de lui faire parcourir
uniformément 100 pieds en 3 secondes, il
faut qu’il tombe de 18 ■— pieds de-hauteur.On trouve, par la même méthode, la hauteur
à laquelle remontera un corps grave, lancé verticalement
avec une vitesse capable de lui faire parcourir
uniformément un espace donné dans un
tems donné. Car il remontera {'IX)  à lá hauteur
d’où il auroit dû tomber pour acquérir cetre
vitesse.XVI. Je passe aux mouvemens des corps qui
glissent fur des plans inclinés ; ( Voyei cé qu’on
. entend par plan incliné, au mot PLAN INCLINÉ.) 
Soit un corps A f Méch. fig. 7 ) qui descende íe
long d’un plan incliné BD ; représentons son poids
par lá verticale AN, & décomposons cette force
én deux autres AM, AO, Tune perpendiculaire,
l’autre parallèle au plan incliné ; il est clair que
la première est détruite, & que la seconde est la
feule qui fasse glisser le corps ; nous faisons abstrac:
tiòn du frottement & de toute autre résistance.. En
:rioriimánt p le poids absolu d ».corps, ou la force
AN, F la pesanteur relative ou la force qui pousse'
le ' corps parallèlement ïB D i on ,aura F^±' ACÌíXjxw.Or, à cause des triangles semblables
A ONyB CD, ou à ^g= |£ ; donc P=- H C . ' -pK',vn- Par-où Ton voit .que le mouvement ducorps A- est de -mêrne nature que celui des corps
qui tombent librement par la pesanteur , c’est--à-dire,
 uniformément accéléré , puisque la force
"accélératrice F, est à la pesanteur absolue p,. dans
le rapport constant, de la hauteur B C du plan
incliné à fa longueur BD. Ainsi, on peut appliquer
aux mouvemens de deux corps qui glissent
fur des plans inclinés-, lesîformules générales (A) ,
(B) , (C) , (D) des moùvemeris uniformément
accélérés. '•■'■• - . ,-. : ■ .., r ,i<..: ■. XVII. Soient donc deux plans inclinés comme
on vcudra, parcourus par deux mobiles, & nommons
respectivement :.-Les longueurs des plans inclinés, ou les espacesparcourus E & e ,'Les hauteurs de ces plans II & h ,• Les tems des mouvemens T& t,Les masses des<corps M & m,Leurs pesanteurs relatives F & f,Leurs vitesses finales V & v.Cela posé, i.° Ja formule (A)  a lieu ici, sans
aucune simplification.í". Les forces accélératrices , que nous avons
nommés P.& n ( J V) , sont ici F & /. Déplus,èn nommants &'"« ■ les pesanteurs absolues de nos. yrcorps, on a, par Tarticle précédent, F=.^-rr— . Substituons pour P & n ces valeurs dans lesformules (B.) , (C)., (D ) :, nous aurons pHTmve =ahtMVE
 ; pHT’ímce == &httMEE ; pllmvv=3
« zhMVV. Or on a (XII) , pï">Z°. Ml m, ou
bienpm==^M ; donc, en divisant ces trois for-'
mules par les quantités égales pm & vM, on aura
(L) HTev = htEV ; \M) HTTee == httEE ;
(N) Hw==hVV. '-'".-Les. formules-^) , (L) , (M) , (N)  représentent
de la manière ia plus générale -toutes les
propriétés relatives des mouvemens dé deux corps
qui glissent fur deux plans inclinés. Nous nous contenterons
d’en faire une application.Trouver le rapport des tems employés à parcourir
les cordes d’un cercle vertical, menées des extrémités
d’un diamètre vertical ?.. Soit BRle diamètre vertical du cercle proposé
(Méch. fig. 8 )  -, & -soient B D , Blí deux cordes
quelconques-menées de Textrémité B- de ce diamètre
■> DQy KP les ordonnées correspondantes : il
est clair qu’on peut regarder B D & BK comme
deux-plans inclinés, dont J3( ? & BP sont les hauteurs.
Or, par la propriété du cercle, on a BD* "i
B Jí ? : : BQ_. I BP, c’est-à-dire, EE ,' ce l ; H ; h ;.
donç EEht==eeH.■ . Divisant les deux membres dé la formules As) 
par ces quantités égales, on aura -TT= tt, T == t.
Ainsi, lès tems.employés à parcourir les cordes
BD, B K sont égaux 'entr'eux.On trouverait de même que le tems employé
à-parcourir la corde quelconque NR, menée de
Textrémité inférieure du diamètre B R, est égal’ au
tems’employé à,parcourir toutê autre corde BD-. ou BK.' Ainsi , on doit conclure que toutes les
cordes d’un cerclé vertical, tirées des extrémités
d’un’diaínêtre vertical, font parcourues èn tems
égaux. Je n’ai pas besoin d’ajouter que le diamètre
-vertical est compté lui-même au nombre des çordej
qui partent de ses -extrémités. (L..B.) 
- . 'J^jqlaThéoriegénërale des’moúyeinens variés
au'mot MOUVEMENT-. ..■'■'--'', " '.A'CCÏDENTELj’adj. (PerspéSive.) Onnotnmèrè À C H.
A c hpoint accidentel, en perspective, le point de la ligne
horizontale, où se rencontrent les projections de
deux lignes, qui font parallèles Tune à l’autre, dans
Tobjet qu’on veut mettre en perspective, & qui ne
sont pas perpendiculaires au tableau. On appelle ce
point accidentel, pour le distinguer du point principal,
qui est le point où tombe la perpendiculaire
menée de Toeil au tableau, & où se rencontrent
les projections de toutes les lignes perpendiculaires
au tableau. Voyei LIGNE HORIZONTALE.
( O:) . . >ACCOUPLER. On dit au trictrac accoupler ses
dames : c’est proprement les disposer deux à deux
. snr une flèche. Voyei DAMES.ACCROISSEMENT, s. m. (Algèbre.)  On appelle
accroissement Taugmentation qu’une quantité
variable, dans un calcul, est fuppolée recevoir par
rapport à d’autres quantités constantes ou variables :
augmentation qui peut être finie ou infiniment
pentes. Voyei DIFFÉRENCE..ACHARNAR, (Astron.)  nom arabe de la belle
/étoile de première grandeur, qui esta Textrémité
de Téridan, que les astronomes désignent par la
Jettre <*. Qn Tappelle'austi acharnahar , acharfíarim
, énar ; en grec s^oret ™ montftS, (Almag.
p. 196.)  la dernière du fleuve. (D. L.) ACHLUSCHEMALI, nom de la constellation
appellée couronne boréale. ■ , .ACHROMATIQUE, terme d’Optique ; c’est le
nom que j’ai cru devoir donner dans mon Astronomie
, a des lunettes de nouvelle invention,
destinées à corriger les aberrations &les couleurs,
par le moyen de plusieurs substances différentes.
Je fais dériver cet adjectif du mot grec zt’i't,-<L,
couleur, précédé d’un a. privatif. Là première trace
de cette idée ingénieuse, se trouve dans un M.é-^
moire du célèbre M. Euler. .( Acad. de Berlin 3
7747 , tom, III.)  « Voici ce qu’il en diíbit en
331747 : II est reconnu parmi les astronomes, que
■>■> les verres objectifs dont on se sert ordinairement
îj dans les lunettes, ont ce défaut, qu’ils produisent
*3une infinité de foyers, selon les différens degrés
55 de réfrangibilité des rayons. Les rayons rouges
-ïsfouffrans la plus petite réfraction en passant par
5 ; le verre, forment leurs foyers à une phjs grande
95distance du verre, que les rayons violets dont
55 la réfraction est la plus grande ; de ?là vient que,
35si la lumière, qui passe par le verre objectif,
55est composée de plusieurs sortes de rayons, cé
« n’est plus dans un point que les rayons rompus
 ?ssc rassemblent, comme on le.suppose commu53
nément, dans TOptique. Mais le foyer sera étendu
« fur un espace qui sera d’autant plus considérable
 » ? que le foyer sera plus éloigné du verre objectif… ;,
JJ Newton a déjà soupçonné que de$ objectifs,
 ?3 composés de deux verres dont Tefpace interméJîdiaire
seroit rempli d’eau, pourraient servir à
 ?jperfectionner les lunettes, par rapport à TaberJ3
ration des rayons qu’ils souffrent à cause de la
p figure sphérique des verres. Mais il ne "paraît pas"qu’il cùt Tidée que, par ce même moyen, ìt
J3 seroit possible de rétrécir Tefpace par lequel les’
J3foyers .de divers rayons se trouvent dispersés,
33 Or il m’a paru d’abord très-probable qu’une cer33
taine combinaison de différens corps transparens,
33pourroit être capable-de remédier à cet incon »3vénient,
& je fuis persuadé que, dans nos yeux,
) )les différentes hume ws s’y trouvent arrangées, en
53forte qu’il n’en résulte aucune diffusion du foyer.
35 C’est, à mon avis, un,sujet tout nouveau d’ad53mirer
la structure de Toeil ; car, s’il n’avoit été
33 question que de représenter les images des objets,
33 un seul corps transparent y auroit été suffisant,
 » pourvu qu’il eût eu la figure convenable ; mais,
33pour rendre cet organe accompli, il falloit eni'
>3 ployer plusieurs différens corps’transparens, leur
33donner la juste figure, & les joindre selon les
 »3 règles de la plus sublime Géométrie, pour que
M la diverse réfrangibilité des rayons ne troublât
J5 point les représentations. 33 C’est ainsi que la
considération de ce qui se passe dans nos yeux,
conduisoit M. Euler à chercher un moyen d’imiter
la nature, & lui faisoit espérer d’y parvenir par
des combinaisons de fluides entre deux verres.En conséquence, 2\L Euler chercha les diriiensions
des objectifs formés de verre & d’eau , de
manière à poirvoir imiter la combinaison qui se
fait naturellement dans Toeil ; mais toutes les ressources
de la plus’profonde géométrie ne pouvoienc
compenser ce qui manquoit alors à nos connoiffances,
par rapport à Teffet des différentes substances
pour la dispersion des rayons colorés. Les lunettes
qui furent .exécutées à Paris fur ce principe, ne
réussirent qu’imparfaitement. ,Dès que se Mémoire de M. Euler parut, feu Jean
Dollond le père, célèbre opticien de Londres, ,
(mort en 1761) , voulut én tirer parti ; mais il
crut recpnnoître que cette théorie ne s’accordoit
point avee celle de Newton, ni avec ses-expériences,
& cela suffisoit en Angleterre pour arrêter
le progrès de ces recherches. On disputa quelque,
tems fur cette-matière ; mais, en 1755 , M. Klingenslierna
fit remetfrç à Dollond un écrit qui le força
de douter de Texpérience de Newton, qu’il avoit
long-tems opposée à M. Euler. Dans cet écrit", qui
fut communiqué, en I76i,.à M. Clairaut par
M. Ferner, collègue de M. Klingenstierna, Texpérience
de Newton n’est attaquée que par la mé^thaphyfique
 & la géonié'trie ; mais c’est en suivant
une route qui montre, au premier coup-d’oeil, la
légitimité du doute que l’auteur élevait. ( Mém, dp
F Acad. Z ?Í7 ,_p, sz4,) La proposition expérimentale de Newton, que
Ton trouve dans son Optique , p. 14 ; de F édition
francoise , w-4. 0, est énoncée ainsi ; c< Toutes les
 ?3 fois que leç rayons de lumière traversent deux
33milieux de, densité différente, de manière que la
33réfraction de Tun détruise celle de l’autre, &
33 que par conséquent les rayons émergens soient
« parallèles aux incidens, la lumière sort toujours ?j blanche. »'A c h a c h17*) Hanche, » Cette proposition, que Ton soutenoit
en Angleterre, n’est point vraie exactement & dans
tous les cas. ' ■ .Dollond voulant .reconnoître la vérité ou la
fausseté de cette proposition, en fit Tépreuve de la
manière que Newton indique lui-même. Dans unÍirifme d’eau renfermé entre deux plaques de verre,
e tranchant tourné en bas, il plaça un prisme de
verre, dont le tranchant étoit en haut ; &, comme
il avoit disposé les plaques de verre de manière
que leur inclinaison pût être changée à volonté,
il parvint facilement à leur en donner ,une, telle
que les objets, regardés au travers de ce doubleÎ>rifme, parussent à même hauteur que lorsqu’on
es regarde à la vue simple ; ce qui apprenois  !
.que les deux réfractions s’étoient mutuellement
détruites ; alors les objets.se trouvoient teints des !
couleurs de Tiris, comme on fait que le sont tous les
objets qu’on regarde au travers des prismes. Dollond
fit ensuite mouvoir de nouveau les plaques du prisme
d’eau, jusqu’à ce qu’il leur trouvât une inclinaison
cellè que les objets regardés au travers des deux
prismes, panifient fans iris, & alors leur hauteur
apparente n’étoit plus la vraie ; ce qui montrait
que les réfractions ne s’étoient point redressées
mumellement, quoique les différences de réfrangibilité
des rayons colorés, se fussent corrigées les
wnes par les autres.Dollond sachant qu’il y avoit deux fortes de
verres .bien plus propres l’un que l’autre à lá netteté
des images, conjectura que cette différence
de qualité venoit de celle de leurs vertus réfringentes
ou dispersives, relativement aux rayons
colorés. II pensa que tel verre pourrait rendre la
différence de réfrangibilité du rouge au violet,
•beaucoup plus sensible que tel autre, & causer, par
ce moyen, des iris beaucoup pluslétendues, quoique
la réfraction moyenne ne fut pas fort différente ;
il en conçut Tefpérance de réussir mieux dans son
objet, en combinant des lentilles de verres de différentes
qualités, qu’en emplo) T !nt du verre & de
í'eau, parce que Teau & le verre, relativement à
leurs réfractions moyennes, ne produisoient pas
des différence.s assez sensibles dans les réfrangibilitès
des couleurs. Un verre très-blanc & fort transparent,
appelle communément flintglass, en France ,
■crystal d’Angleterre, est celui qui, suivant Dollond,
donne les iris les plus remarquables, & par conséquent
celui dans lequel la réfraction du rouge
diffère le plus de Celle du violet. Un verre verdâtre
, connu en Angleterre fous le norn crown.
glajs, & qui ressemble beaucoup , en qualité, à
notre verre comfnun, est au contraire celui qui
-donne .'a moindre différence darts la réfrangibilité :
Ce sont les deux matières dont Dollond imagina
de se servir en 1758, après avoir mesuré leurs qualités
réfringentes ; ce qu’il fit d’une manière analogue
à celle qu’il avoit employée pour le verre
& Teau. II trouva que le rapport des différentes
dispersions étoit celui de trois à deux, en forte
Mathématique. Tome l, I.ere Partie,que le spectre coloré, qui, avec un prisme de
crownglass, auroit deux pouces de longueur, en a
trois avec un prisme de flintglass on de crystal d’Angleterre.
( Mém. Acad. 1756, pag. 386. Philosophical
TransaBions 1758, p. 740.) Les premières lunettes qui furent exécutées par
Dollond, eurent un très-grand succès. Les géomètres
s’exercèrent bientôt à chercher les courbures
les plus propres à corriger les aberrations de réfrangibilité
, & en même tems de sphéricité : on peut
voir sur la théorie de ces lunettes achromatiques,
M. Clairaut ;{.Mím. Acad. 175G,pag. 380 ; 1757 »
pag. 5Z4 ; ijGz, pag. 578.)  M. Euler, dans ses
trois volumes de diopfrique, Mém. Acad. 176s,
p. 555 ; Mém. de Berlin, tome XXII, p. 119 ;
M. d’Alembert, Opuscules math, d’abord dans le
tome III, publié en 1764, & ensuite dans les
tomes IV&suivans, juíquen 1780, & dans les
Mémoires de TAcadémie pour 1764 ; M. Klingenstierna,
dans une pièce qui a remporté le prix
de TAcadémie de Péteríbourg en 1762 ; M. Rochon,
dans ses Opuscules publiées en 1768 , & ses Mémoires
publiés en 1783 , î'rc-8" ; le père Bofcovich ,
dans les cinq Dissertations latines qu’il a publiées
à Vienne en L767, in-40, & dans.Touvrage intitulé
Mémorìe sulli Cannochiali. 1781 ; le père Pézenas,
dans fa traduction de ï Optique de Smith, Avignon,
1767 ; M. Duval le Roi, dans.celle qu’il donna
la même année à Brest. Nous nous contenterons
de rapporter ici les dimensions.de deux lunettes
excellentes, d’environ quarante-trois pouces de
foyer,faites paf le fils rie Dollond vers 17Ó5, &
qui surpassent tout ce qu’on avoit fait dans ce genre ;
ellës sont très-supérieures aux télescopes de même
longueur, parce que de tels télescopes ne porteraient
pas une plus grande ouverture, n’augmenteroienf
pas davantage Tobjet, & auraient d’ailleurs moins
de champ & beaucoup moins de clarté..
_. L’objectif est composé de trois verres, dont un
est dé flintglass, concave dès deux côtés, placé entre
deux lentilles bi-convexes, de verre, commun. Les
six rayons des courbures, à commencer par celui
de la surface extérieure , sont, dâns une de ces
lunettes, de 315 , 450, 235, 315, 320 & 320
lignes. Dans la seconde lunette, les íix rayons fontde
315, 400, 23S, 290, 316, 316 lignes : cette
dernière â 43 pouces 5 lignes de foyer, &,3 pouces
.4 lignes d’ouverture. Cës lunettes grossissent depuis
cent jusqu’à deux cénts fois, suivant les différens
équipages qu’on y applique, & surpassent par conséquent
les anciennes lunettes de yingt-cinq à trente
pieds. Ces lunettes deviendront encore meilleures,
lorsqu’on y emploiera trois espèces différentes de
verres ?, au lieu de deux, qui, à la rigueur, ne
réunissent que deux sortes de rayons. ( le père
Bofcovich, Dissertation II, page zvi.) Voyeç
LUNETTES. ( M. DZ ZA LANDE. ) AÇHRONXQUE, (Astronomie.) Voyei ACRONIQUE.TAÇLASTE,-adj. (Optique. )  Léib'nits donneC
■r 8 A C O A C R
ce nom ( Yoyëz Léib. Op. Tome III, page Z03. ) 
aux figures -qui ont les propriétés requises pour rompre
les rayons de lumière, & qui cependant les
laissent paner fans aucune réfraction.ACOUSTIQUE, f. f. est la doctrineou la diéone
des sons. V SON.LAcoustique est proprement la partie théorique de
la Musique : c’est elle qui donne les raisons plus ou
moins satisfaisantes du plaisir que nous fait Tharmonie,
qui détermine les affections ou propriétés des
cordes vibrantes, &c Voyei SON, HARMONIE,
CORDÉS.L’Acoustique estla même science qu’on aautrement
appelléePhonique. Voyei PHONIQUE. " "Onappelleinslrumens acoustiques, les instrumens
par lesquels ceux qui ont Touie dure, remédient à
ce défaut. Voyei CORNET , PORTE-VOIX,Le Docteur Hook prétend qu’il n’est pas impossible
d’entendre à la distance d’une stade, le plus
petit bruit qu’une personne puisse faire en parlant,
& qu’il sait un moyen d’entendre quelqif un à travers
une muraille de pierre, épaisse de trois pieds. Voyei
ÉCKÓ, CABINETS SECRETS & PORTE-VOIX.ACQUIT," f. m. (terme de jeu )  au billard ; c’est le
coup que celui qui ale devant, donne à jouer fur
fa bille, à celui qui est le dernier.ACRE, mesure de superficie. Ce mot est commun
à plusieurs Langues ; en Arabe, c’est Acar, en Grec,
AW or ; en Celte & en Teuton, Acker ; en Saxon,
Acer ; en Latin, Ager. II signisioit originairement
une terre' labourable ; Saumaise le fait venir d’Acra,
qui a été dit pour Akena, qui signisioit, chez les
. Anciens, nne mesure de dix pieds ; mais ce mot se
prend aujourd’hui pour une mesure de terre, différenteselonles
différens pays. EnNormandie, l’Acre
est de 160 perches carrées.' U Acre d’Angleterre contient 43560. pieds anglois
carrés, qui valent 1135 toises carrées de superficie,
mesure de Paris ; Tarpent de Paris est de 900 toises
-carrées, & .celui des Eaux & Forêts est de 1344J '
dans toute la France , suivant Tord.onnance des
Eaux & Forêts. Voici une table de subdivision.de
ïacre d’Angleterre , en mesures angloises..Ainsi, ïacre contient 4roods, le rood 40 potes,
& 1210 yards ou brasses, chacune de trois pieds.
Le pied d’Angleterre, suivant les dernières vérification ;,
que M. Maskeline^astronomeroyaLd’Angleterre, en à faites fur Jes toises que je lui avois
envoyées, est de 11 pouces 3 lignes,.& 1154 dix
millièmes de lignes, du pied de Paris, pris fur la
toise de TAcadémie, qui sert actuellement dérègle
dans le royaume, ( DE Z A LANDE. ) ACRONYQUE, adj.. m. (Astronomie. )  se dit du
lever d’une étoile au-dessus de l’horizon ou de son
coucher, lorsque le soleil se couche. Voyei LEVER
. £■ COUCHER.La plupart écrivent achroriique, faisant venir ce
mot de * privatif & ^póTOç, tems , cn quoi ils se
trompent ; car c’est un mot francisé du Grec
àxíovó^o ;, composé de àxpov, extrémité, & « if, nuit :
ideo acronychum. quòd circa &x.pm T »Î IÙ-^TCS ; aufli
"quelques auteurs écrivent-ils même acronyBal au
lieu d’acronychus ; & cette façon de Técrire est en,
effet très-conforme à Tètymoìogie, mais contraire
à Tufage. ' ■ •Lever ou coucher acronyque est opposé à lever
ou coucher cosmique qui a lieu quand le soleil se
lève ; l’un est le lever ou le coucher du matin,
l’autre le lever ou le coucher du soir. K LEVER.ACTION, s. f. ( méchanique )  : mot dont on se
sert quelquefois pour désignes l’effort que fait-un
corps ou une puissance contre Un autre corps ou
Une autre puissance, quelquefois ; Teffet même qui
résulte de cet effort. .-.. ;..-C’est pour nous conformer au langage commun
des méchariieiens & des physiciens, que. nous donnons
cette doublé définition. Car fi on nous demandé
ce qu’on doit entendre par aBion, en n’attachant à
ce terme que des idées claires, nops répondrons que
c’est le mouvement qu’un corps produit réellement,
ou qu’il tend.à produire dans un-autre, c’est-à-dire,
qu’il y produirait, si rien ne Tempêchoit. Voyei
MOUVEMENT. , »>En effet, toure puissance n’est autre chose qu’un
corps qui est actuellement’en mouvement, ou qui .
tend à se mouvoir ; c’est-à-dire, qui se mouvrait si
rien ne l’en empêchoit. Voyei PUISSANCE. Or dans
un corps, ou actuellement mu, ou qui tend’ à se
mouvoir," nous ne voyons clairement que le mouvement
qu’il a ou-qu’il auroit s’il n’y avoit point
d’obstacle ;• donc F aBion d’Un corps ne se manifeste
à nous que par cé mouvement : donc nous ne devons
pas attacher une autre idée au mot d’aBion, que
celle d’un mouvement actuel ou de simple tendance ;
"& c’est embrouiller cette idée, que d’y joindre celle
de je nesaisquel êtremétaphysique, qu’on imagine
résider dans le corps, & dbntpersonne*e sauroit
• avoir de notion claire & distincte. C’est à ce même.
•mal-entendu ,qu’on doit la fameuse question des
forces vives, qui, selon les apparences, n’auroit
jamais été un objet de dispute, si on avoit bien
-voulu observer que la seule notion précise & distincle,
qu’on puisse donner.au mot. de force, le
réduit à/ón effet ; c’est-à-dire, au mouvement qu’elle
produit, ou tendà produire. Voyei FORCE.Quantité d’aBion, est le nom que donne M. de
Maupertuis,. dans les Mémoires de TAcadémie:A c t a c t19des Sciences de Paris, 1744, & dans ceux de TA.cadémie
de Berlin, 1746, au produit de la masse
d’un corps, par Tefpace qu’il parcourt, & par fa
víteste. M. de Maupertuis a découvert cette loi générale,
que dans les changeniens qui se font dans
l’étai d’un corps, la quantité d’action néccsiaire pour
produire ce changement, est la moindre qu’il estÎiossible. II a appliqué heureusement ce principe à
a recherche des loix de la réfraction, des loix du
choc, des loix de Téquilibre, &c. ; il s’est même élevé
à des conséquences plus sublimes fur Texistence d’un
premier être. Les deux Ouvrages de M. de Maupertuis
que nous venons de citer, méritent toute Tattention
des Philosophes ; & nçus les exhortons à cette
.lecture.- ils y verront que T Auteur a su allier la
métaphysique des causes finales ( Voyei CAUSES
■FINALES ) avec les vérités fondamentales de la
.Méchanique ; fairedépeUdre d’une même loi le choc
des.corps élastiques, &;celui des corps durs, qui
jusqu’ici avoient eu des loix séparées, & réduire à
.un même principe les loix du mouvement, & celles
de J’équilibre.Le premier Mémoire où "M. de Maupertuis a
donné Tidée de son principe, est du 15 Avril 1744 ;
& à la fin de la même année-, M. le Professeur Euler
puhlia son excellent Livre : Methodus inveniendi
lineas. curvas maximi vel minimi preprietate gau'dentés.
Dans lé supplément qui y est joint,_cet
illustre Géomètre démontre que dans les trajectoires
que des corps décrivent par des forces .centrales, la
vitesse multipliée par Télément de la courbe, fait
toujours un minimum. Ce Théorème est une belle
application du principe de la moindre action, au
mouvement des planètes.Par le Mémoire du 15 Avril 1744, que nous
venons de citer, on voit que lès réflexions de M- de
•Maupertuis, fur les loix de la réfraction , Tont
conduit au Théorème dont il s’agit. On fait le principe
que M. de Fermât, & après lui, M. .Léibnitz,
ont employé pour expliquer les loix de la réfraction.
Çes grands Géomètres ont prétendu qu’un corpuscule
de lumière, qui va d’un point à un autre, en
traversant deux milieux différens, dans chacun des.queis
11 a une vitesse différert te, doit y aller dans
- le tems le plus courtqn 'il est possible: &, d’après ce
principe, ils ont démontré géométriquement, que
ce corpuí'cule ne doit pas -aller d’un point à l’autre
en ligne droite/.mais qu’étant arrivé fur la surface
,qui sépare les deux milieux, il doit changer de direction",
de manière que le sinus de son incidence,
soit au sinus de la réfraction, comme fa vitesse dans
Je premier milieu, est à fa vitesse dans le second ;
''d’on ils ont déduit la loi si connue du rapport confiant
des sinus. J^ÍÇ SINUS, RÉFRACTION,, &C.
-Cette explication, quoique fort ingénieuse, est’
sujette à une grande difficulté, c’est qu’il faudroit
que le corpuscule s’approchât de la perpendiculaire,
dans les milieux où fa vitesse est moindre, & qui
par conséquent lui résistent davantage ; ce qui paroít
coaíraireà toutes les explications méchaniques qu’ona données jusqu’à présent de la réfraction des corps,
& en particulier de la réfraction de la lumière.L’explication, entr'autres, qu’à imaginée M. Neu.tori,
la plus satisfaisante de touteJ. celles qui ont
été données jusqu’ici, rend parfaitement raison du
rapport constant des sinus, en attribuant la réfraction
des rayons, à la force attraérive des milieux ; _
d’où il s’enfuit que les milieux plus denses, 'dont
1 attraction est plus forte, doivent approcher le
rayon de la perpendiculaire, ce qui est en-effet
confirmé par.Texpérience. Or Tattraction du milieu
ne saurait approcher le rayon de la perpendiculaire,
sans augmenter-fa vitesse, comme--on peut le démontrer
aisément : ainsi, suivant M. Neuton, la.
réfraction doit se faire en s’approchant de la perpendiculaire
, .lorsque la vitesse augmente ; ce qui
est contraire à la loi de MM. Fermât & Léibnitz.
Jyí. de Maupertuis a cherché à concilier Texplicatiòn
de M.. Neuton, avec les principes métaphysiques 7:
au lieu dé supposer avec MM. de Fermât & Léibnitz,
qu’un corpuscule de. lumière va d-Un point à un
autre dans le plus court tems possible, il suppose
qu’un corpuscule de lumière va d’un point à un
áútre, de manière que la quantité d’aBion soit la
moindre qu’il soir possible. Cette quantité d’aBion ,
dit-il, est la vraie dépense que la nature ménage-:
"par ce principe philosophique il trouve que nonseulemcnt
les sinus sont en raison-constante, mais
qu’ils sont en raison inverse des vitesses, (ce qui
s’accorde avec Texplicatiòn de M. Neuwton) , &
non-pas en’raison directe, comme le prétendent
MM. de Fermât & Léibnitz.II est singulier que tant de philosophes, qui ontécrit
fur- lá réfraction , n’aient pas imaginé une
manière si simple de concilier la Métaphysique avec
'la Mécanique ; il ne falloit, pour cela\.que faire
'un assez léger changement au calcul -fondé fur le
principe de M. de Fermât. En effet, suivant ce
principe , le tems,_ c’est - à - dire , Tefpace divisé
par la vitesse, doit être un minimum : dé'sorte
que, si Ton "appelle E Tefpace parcouru dans le
premier milieu avec, la vitesse V, & e Tefpace
parcouru dans lì second milieu avec la vitesse v >
" " ■ ' -E' , 't ■ … ,' „ , ,.on aura -p--\— = a un minimum, c est-à-dire ••/íï* 1■y. -f- ——o. Or il.est facile de voir que les sinusd’incidence .& de réfraction sont entr'eux comme
dE à - de ; d’où il s’enfuit que ces sinus sont en
raison directe des vitesses V,v ; & c’est ce que prétend
"M. Fcrmat. Mais, pour que ces sinus fussent
èn raison inverse de vitesses, il n’y. avoit au'à
supposer VdE-fvde=zó, ce qui donne Ey^V-\-e\và
un minimum ; & c’est le principe de M. de Maupertuis.
Voyei MINIMUM.On peut voir dans les Mémoires de TAcadémie
de Berlin ,_ que nous avons déjà cités ;, toutes les
autres applications qu’il a faites de ce même principe,
qu’on .doit regarder comme un des" plus <*érìéraux.'de
la"Mécanique.'.-'.••■■"'■ ' CiiKo a c u a d dQuelque partie qu’on prenne sur la métaphysique
qui lui sert de base, ainsi que sur la notion que
M. de Maupertuis a donnée de lá quantité d’aâion, il
n’en sera pas moins vrai que le produit de Tefpace
par la vitesse, est un minimum dans les loix les plus
générales de la nature. Cette vérité géométrique,
due à M. de Maupertuis, subsistera toujours, & on
pourra, si Ton veut, ne prendre le mot de quantité
d’aBion, que pour une manière abrégée, d’exprimer
le produit de Tefpace par la vitesse (O).ACUTANGLE , adj. Un triangle acutangle est
celui dont les trois angles font aigus. On appelle
austi cette espèce de, triangle, Triangle oxigone.
Voyei TRIANGLE.ÀCUTANGULAIRE. SeBion acutangulaired’un
cône , est la section d’un cône, par un plan qui fait
un angle avec Taxe du cône.Les premiers Géomètres qui considérèrent les
sections coniques, ne firent attention qu’au cône
droit, tel que le cône défini par Euclide. (Dés. z 8.
livre Xi. )  ; & ils s’attachèrent uniquement aux sections
formées par un plan perpendiculaire à un des
côtés du cône. II, est manifeste qu’une pareille section
est une ellipse, si le cône est acutangle ; une
parabole, s’il est rectangle ; & une hyperbole, s’il
est obtusangle, parce que, dans le premier cas, le
plan coupant rencontre le côté opposé du cône  ;,
dans le second cas, le plan est parallèle au côté
opposé ; & dans le troisième cas, le plan rencontre
le cône opposé par le sommet au cône coupé. Auffi
Archimède ne parle que de la section du cône acutangle
, de celle du cône reclangle, & de celle du
cône ohtusangle. Les noms d’ellipse, de parabole
& d’hyperpbole se trouvent pour la première fois dans
Appollonius, qui fut probablement le premier à
considérer le cône scalène & les sections obtufangles.
Voyei Wallis Oper. tome I,page 293. (J. D. C. ) AEROMETRIE. Voyei AIROMÉTRIE.A d dADDITION, f. f. (Arithmétique) , opération
par laquelle on trouve un nombre égal à plusieurs
autres pris ensemble. Le nombre trouvé s’appelle
somme des nombres ajoutés.Tout nombre qui n’est exprimé que par un seul
chiffre, s’ajoute à un autre nombre quelconque,
par les premiers principes de la numération. Par
exemple, si, au nombre 15, on veut ajouter le
nombre 8, on observera que chacune des unités
de 8 étant jointe successivement au nombre 15,
il en résulte le nombre 23. De même, s’il faut
ajouter 7 au nombre 349, on verra que Je nombre
349 étant augmenté de 7 unités, dònne le nombre
356. Gn apprendra en très-peu de tems à ajouter
tout d’un coup, & avec le seul secours de la mémoire,
chacun des nombres simples 1,2,3,4,
5, 6, 7, 8, 9,-avec un autre nombre exprimé
par tant de chissres qu’on voudra. Cette première
connoissance est la base de ï addition’ pour toutes
sortes de nombres, comme on le va voir.PROBLÊME I. Ajouter ensemble plusieurs nombr ?s
incomplexes ( Voyei ce mot) exprimés chacun par
tant de chiffres qu’on voudra ?Ecrivez tous ces nombres les uns fous’ les autres,
en observant de placer dans la même colonne verticale,
les unités du même ordre, c’esl-à-dire, les
unités simples sous les unités simples, les dixaines’
fous-les’dixaines, les centaines sous les centaines,
&c. Les nombres étant ainsi disposés, tirez audessous
une barre horizontale : ajoutez ensemble
successivement tous les chissres d’une même colonne
verticale, en commençant par la colonne qui contient
les unités du plus "bas ordre, & passant successivement
aux autres colonnes de la gauche. Si
la somme des nombres d’une mêmé colonne peut
s’exprimer par un seul chiffre , vous le placerez
dans cette colonne au-dessous de là barre ; si la
somme est exprimée par plus d’un chiffre, >ous
placerez celui de la droite dans la colonne proposée
, comme étant du même ordre qu’elle, &
vous,retiendrez les autres pour les, joindre avec la
somme des nombres de la colonne voisine à gauche.
Mêmes opérations successivement pour toutes lescolonnes.
11 est clair que le nombre total écrit audessous
de la barre, & résultant de toutes les opérations
qu’on vient d’indiquer, est la somme demandée,
puisqu’il est Tassemblagedes unités,des dixaines,
des centaines, &c., qui composent les nombres
qu’on devoit ajouter.EXEMPLE I. Ajouter ensemble les nombres 5049 ;
7898-3459 ?Ces nombres étant écrits comme on 5049
le voit ici : premièrement, j’ajoute en- 789S
semble les unités, en disant 9 & 8 font - 45917, & 9 font 26 ; j’écris le chiffre 6 fousla colonne des unités, & je retiens le 13406
chiffre 2, qui exprime des dixaines, pour Tájouter
avec la colonne des dixaines. Passant à cette colonne
, je dis 2 de retenus & 4 sont 6, & 9 font
15, & 5 font 20 ; j’écris o fous la colonne des
dixaines, & je retiens 2 centaines pour les joindre
à la troisième colonne. A çettë colonne, je'dis 2
de retenus, & o font toujours 2, & 8 sont 10,
& 4 font 14 ; j’écris 4 í'oUs la colonne des centaines
, & je retiens 1 mille pour la colonne des
rilille. Je continue & je dis, 1 de retenu & 5 font
6, & 7 font i 3, que j écris-, en mettant le chiffre
3 sous les mille, & le chiffre I an rang des dixaines
de mille. Les opérations sont ainsi finies, & on a
13406 pour la somme des trois nombres qu’il falloát
ajouter ensemble. "EXEMPLE II. Ajouter les nombres 458 ; 98475 ;
24^94002 ?J’écris les quatre nombres qu’il faut 458ajouter ensemble, comme on le voit ici ; 98475
puis j’ajoute ensemble les chiffres qui  ; 24
composent chaque colonne, en commen- 54002
çant par celle des unités, & passant suc- .— . —
cessivcment aux dixaines, aux centaines, I92959
aux mille, &c. Ces additions particulières se fort*A d d a d d -attemme dans Texeriiple précédent ; & on trouve
jque la somme des quatre nombres en question est
J92959.Tous ces nombres peuvent être on de fimples
nombres abstraits ( Voyei ABSTRAIT ) ,- ou des
nombres concrets ( Voyei CONCRET ) , comme
des livres, ou des roises, &c.■Remarque. Lorsque les nombres , qu’il faut
ajouter ensemble, contiennent des parties décimales
( Voyei N u ME RATION) , on écrit les
dixièmes sous les dixièmes, les Centièmes sous les
centièmes, les millièmes sous les millièmes, &c.
Puis ï addition se fait en commençant par la colonne
des parties décimales du plus bas ordre, & passant
successivement aux colonnes supérieures, jusqu’à
ce qu’on les ait toutes épuisées. II peut se
trouver dans les ordres supérieurs , des unités
simples, des dixaines, des centaines, &c.EXEMPLE I. Ajouter les nombres 478 ; 489,745 ;
8,03 ; 0,029 ?Ayant disposé ces nombres, comme 478
on le voit ici, on les additionnera à Tor- ' 489,745
dinaire, en commençant par la colonne. 8,03
des millièmes, qui sont les unités du plus 0,029bas ordre,. & venant ensuite aux autres — —colonnes à gauche. Ori trouvera pour 975,804
somme, 975,804. ■Comme on ne change point ( Voyei NUMÉRATEUR.
) la valeur d’un nombre, en écri- 478,000
vant à sa droite, après la virgule, tant 489,745
_de zéros qu’on voudra, on auroit pu 8,030
donner le même nombre de places déci- 0,029maies aux nombres proposés, en les — —écrivant fous la forme qu’on voit ici. 975,804'
Et On auroit toujours trouvé la même somme. Par
cé moyen, les unités du plus bas Ordre se trouvent
de la même espèce, ce qui est plus clair & marqué
mieux la distinction .des places. —EXEMPLE 11. Ajouter ensemble les nombres
45,0484 ; 9462 ; 425,079 ; 4,7926 ?J’écns ces nombres, comme on le 45,0484
voit ici, & je trouve pour somme, 0462,0000
9936,9200. On peut supprimer, dans 425,0790
ce nombre, les deux zéros de la fin, 4,792-6fans en changer la" valeur ( Voyei Nu- —■MÉRATiONj ;ce qui donne 9936,92 9936,9200
pour notre somme.PROBLÊME 11. Ajouter ensemble plusieurs nombres
complexes ? ( Voyei COMPLEXE).U addition de ces sortes fe fait comme celle des
.nombres incomplexes. On écrit tous les nombres
proposés les uns sous les autres, de manière que
ceux de même espèce soient dans une même colonne,
& on commence par ajouter les nombres
de la" plus basse espèce. On retient autant d’unités
qu’ils en peuvent fournir, pour les, porter avec
celles de Tefpèce immédiatement supérieure. Lé '
résultat de toutes ces additions forme la somme
totale.
.EXEMPLE l. Additionner ensemble, ks troisnombril Complexes qu’on voit ici, & gui font composés
de livres , fols & denieis ?Je commence par ajouter 345tt & 9^
ensemble les deniers ; &, 542 12 u
-comme les dixaines de de- 2453 10 6niers ne sont pas des unités ~— 'particulières , & qu’il faut. 3341°= 12/ 2^12
 deniers pour faire un sol, on ajoutera à-iafois
les dixaines de deniers avec les unités, pour
ne former du tout qu’une même somme. Ainsi ,
je dirai 9 deniers & 11 deniers font 20 deniers,
& 6 deniers font 26 deniers. Dans ces 26 deniers,
il y a 2 sols & 2 deniers. J’écris les deux deniers
sous la colonne des deniers, & je retiens 2 fols
pour les ajouter avec les sols.
". Passant à ïaddition des sols, & observant que
2 dixaines de sols font une livre, j’additionnerai
successivement ; les^unités & les dixaines de sols.
Je dirai donc 2s de retenus de la colonne des
'deniers, & 8s font_ios, & 2s font I2s ; j’écris 2s
sous les unités de sols, & je reriens 1 dixaine de
sols pour la joindre aux dixaines de sols. Je pour1
fuis, & je dis, r dixaine'dé sols de retenue, &
rdixaine,font 2 dixaines, & 1 font trois dixaines,
qui donnent 1 dixaine de sols & itt. J’écris la
dixaine de sols, & je retiens itt popr la joindre
à la somme dès livres. .<:■:.-.- Cette somme se trouve comme nous lavons vu
pour les nombres incomplexes.Ainsi, la somme totale des trois nombres pro^-
posés est 334itt xxs 2^
Remarque. II est clair que, dans les nombres
de ce genre, qu’on propose d’ajouter ensemble,
il ne peut pas entrer au rang des sols plus de 19 sols,
ni au rang des deniers plus de 11 deniers ; autrement,
il en résulteroit des~livres & des sols, qui
seraient censés faire partie des livres & des sols,
& qu’il faudroit y rapporter. De même, s’il étoit
question d ajouter ensemble des nombres composés
de jours, d’heures, de minutes, on ne pourrait
pas mettre plus de 23 heures au rang des heures,
ni plus de 59 minutes au rang des minutés. Ainsi
des autres espèces de nombres complexes.EXEMPLE. II. Ajouter ensemble les. trois
nombres suivants , qui font composés de toises, pieds }
pouces ?La*somme des pouces est 345' 5P %t
29,-qui donnent 5 pouces 98 3 11
& 2 pieds. Jécris les 5 1249 4 10pouces, & je retiens les 2—— ■- —•■.pieds pour les joindre aux 1694' . 2P - y\
pieds. ,La somme des pieds, en y comprenant les -a
dont on vient de parler, est 14, qui donnent 2
pieds & 2 toises ; j’écris les 2 pieds, '& je retiens
les deux toises. ' .-- -' ■ _•Ces deux toises, jointes à la sommé de toutes
les autres toises, forment la somme 1694 toises.m a d d a d dAinsi, la somme totale des trois nombres qu’il
s’agislbit d’ajouter, est 1694' 2P y°-(L.B.).ADDITION (Algèbre)  : opération par laquelle
on ajoute ensemble plusieurs quantités algébriques
( Voyei QUANTITÉ ).Les quantités qu’on propose d’ajouter ensemble ,
peinent être positives ou négatives ( Voyei ces
mots). On distingue les unes des autres, en écrivant
au-devant des premières lc signe -(- qui.
signifie plus ; & au - devant des secondes le
signe — qui veut dire moins’. Sur quoi il faut observer
que, lorsqu’une quantité n’est précédée d’aucun
signe, elle est censée être précédée du signe -f- , &
par conséquent du genre des quantités positives.Cela poíé, ajouter ensemble plusieurs quantités,
c’est les joindre, les prendre à-la-fois avec les signes
qu’elles ont. Ainsi, a jouter ensemble plusieurs biens,
■c’est former un bien plus grand ; ajouter ensemble
plusieurs dettes, c’est former une dette plus grande ;
ajouter un bien avec une dette, c’est former un
résultat qui est Texcès du bien fur la dette, ou de- la dette fur le bien, selon que le bien est plus grand
que la dette, ou que la dette est plus grande que
le bien. . " _i11 est clair par-là qu’en Algèbre, ajouter ne
signifie pas toujours augmenter. Quand j’ajoute un
bien avec un bien, j’augmente le bien ; de même
quand j’ajoute unè dette avec une dette, j’augmente
la dette. Mais quand je joins un bien avec une dette,- je diminue réellement Tune ou l’autre quantité.PROBLÊME I. Ajouter ensemble plusieurs monômes ?
( Voyei MONÔME. ) .: Ecrivez tous ces monômes les uns à la fuite des
autres, avec les signes -J- & — qu’ils ont. Si dans
le résultat, la somme des quantités positives Temponefur
la somme des quantités négatives, c’est une
marque qu’il y a plus de biens que de dettes ;. au
.contraire, il y auroit plus de detres que de biens,
.si la somme des quantités négatives Temportoit fur
la somme des quantités positives. Par exemple, qu’il
s’agissed’ajouter ensemble les quatre monômes -\-.a ,
-fy.fc ,,— c, 4- d ? On écrira -f- a -j- b — c 4 J, ou
bien a 4b,—c -j- d, en sous-entendant le signe -\-
rmi commence lá phrase.PROBLÊME II. Ajouter des monômes avec des
polynômes , ou des polynômes avec des polynômes ?
{ Voyei POLYNÔME j.II est clair qu’un tout étant égal à la somme de
toutes ses parties prises ensemble,.on aura la somme
demandée, en joignant ensemble tous les termes des
grandeurs qu’il faut ajouter, & en les affectant des
lignes qu’ils ont.EXEMPLE 1. Ajouter ensemble les trois polynômes:
a + b — c,
g—h —k,
m -j- n — p ?Bpmme a + b — c + g— h — k -f m 4. n,—p.EXEMPLE II, Ajouter ensemble les quatre polyno^.
mes :a 4- b -f c — d,
b-f+g + a, /
c -j- e — b -\-g,
/z-fc-fn — d ?
■ Somme a-\-b 4- c — d -j- b — /-|- g -\-a -^
c-j-e — b -f- g -j- h -f- c -j- n — d.Remarque. Lorsque, dans la somme, il se trouve
des termes semblables , c’est-à-dire, des termes qui
contiennent la même lettre, s’ils n’ont qu’une dimension
 ; ou les mêmes lettres écrites le même nomhie
de fois, s’ils ont plus d’une dimension : alors au
lieu d’écrire plusieurs fois le même terme, on nè
Técrit qu’une feule fois, mais on met au-devant un
chiffre qui marque Combien de fois ce terme doit
être répété. Cela s’appelle faire laréduBion. Ainsi,
dans l’exemple précédent, au lieu de a 4- à ',
j’écris la ; au lieu de -f- b 4- b — b , j’écris simplement
4- b , parce que l’un des biens -f- b , est
détruit par la dette — b, & que par conséquent
le résultat du tout -) - b -f. b — b est simplement
-j- b ; au lieu de -j-c-j-c-fc, j’écris -j- 3 c ; au
lieu de — d — d, j’écris — 2 d ; enfin, aulieií de
+ ë~\- Si j’écris ^zg. Par toutes ces réductions,
notre somme devient ta -j- b -j- 3 c — z d—fj\-
zg-\-e.-j-h-\-n.Le chiffre qu’on place ainsi au-devant d une quantité,
pour riiarquer combien de fois elle doit être
répétée positivement ou négativement, s’appellç'
coefficient. '•'.-" 'Lorsqu’une quantité n’a point de coefficient, elle
est censée avoir Tunité pour coefficient. Ainsi a est la
même chose que I a ;ab eíl la même chose que l ab.Voici encore deux exemples d’additions de polynômes
, avec les réductions.EXEMPLE I. Ajouter ensemble les polynômes :
3« -—26-L-4C — Sd,— 8*4-7 J — 5044^,- 3a —4&-f6h ?Somme— la-\-b-— c — ; 4 d -f- 6 h.
EXEMPLE II. Ajouter ensemble les polynômes í
6aa — 5 fc c -f. $k\V de ,
-—~Jaa-\-\bc—lk\/ de,-' ■'
imn—fy-inp+ff—gh ?Somme—aa—zbc-j-k\/dc-{-zmn—f\/mnp-\r
ff-gh. (L.B.).ADDITIONNEL, adj. ( Tuyaux additionnels. ) 
C’est ainsi que-j’appelle, dans mon HydrodynamiT
que, des tuyaux cylindriques de 2 à 3 pouces de■ longueur, que j’adapte à un réservoir qui a de minces
parois, afin que Teau suive la direction de ces cyr
lindres, & forte à gucule-bée, par Torisice exté-î
A D I A F F ■•*,.■
rieur. En effet, Texpérience m’a appris qu’en supposant
ces orifices égaux, & les charges d’eau égales,
il n’est pas indifférent que Teau forte par un orifice
percé dans une mince paroi, ( j’appelle ici ces
sortes d’orifices, orifices simples, pour abréger ) , ou
par un tuyau additionnel ; car Teau, au sortir de
lorifice fimple, éprouve une contraction de la première
espèce ( Voyei CONTRACTION ) , qui diminue
dans le rapport de 8 à 5 , ou de 16 à 10, le
produit que Torifice devroít "donner suivant la théorie,
au lieu que Teau, au sortir d’un tuyau additionnel,
éprouve une contraction de la seconde
espèce, qui diminue seulement, dans le.rapport de
16 à 13 , le produit théorique ; de sorte que pour
des orifices égaux, & des charges d’eau égales, le
produit par un orifice fimple, est au produit par un
tuyau additionnel, comme 10 est à 13 , du moins à
 peu de chose près. Voyez mon Hydrodynamique ,
tome II, page 47 &suiv. (L.B.).'ADIGEGE ou ADEG1GE, ( astron. )  Nom que
les Arabes donnent à la constellation du cygne, &
qui signifie, rose odoriférante.
: ADJACENT, adj. ( Géom. ) ce qui est immédiatement
a côté d’un autre. On dit qu’un angle est
adjacent à Un autre angle, quand l’un est immédiatement
contigu à l’autre ; de forte que les deux
angles ont un.côté commun. On se sert même plus
particulièrement de ce mot, lorsque les deux angles
ont non-seulement un côté commun, mais encore
lorsque les deux autres côtés forment une même
ligne droite. Voyei ANGLE &' CÔTÉ.Ce mot est composé de ad, à, &jacere, être situé.ADOUBLER, v. a. (terme de Jeu. ) se dit au jeu
de trictrac, aux dames, aux échecs, pour faire connoître
qu’on ne touche une pièce que pour Tarranger
en fa.place, & non pas pour la jouer.JEGOCEROS OU JEGOCERUS, ( astron.)  nom
que quelques Auteurs donnent à'la constellation du
capricorne, & qui vient du mot Grec, A' ;? chèvre ;
il y en a qui donnent’ce nom à la constellation du
bélier, mais il appartient- au capricorne, comme ou
le voit dans Lucain, L. IX,. vers 537 & L. X,
vers 213.Varii mutator circulus anniJEgocerqn, cancràmque t’enet .-C’est-à-dire-, le zodiaque qui s’étend depuis le
tropique du capricorne, jusqu’à celui du cancer..
Voyei CAPRICORNE. Les Poètes disent que Pan
mis par les Dieux au rang des astres, se métamor- ■
phosa lui-même en chèvre, ce qui le fit surnommer
^Egoceros. ( D.L. ) EQUATEUR. Voyei ÉQUATEUR.AERIENNE, (PERSPECTIVE ) Optique. Illusion
d’optique qui change Tapparence des couleurs,
des jours & des ombres dans les objets, suivant les
différens degrés de leur éloignement. Voici comment
la décrit le Comte Algarottij grand connoisseur,
parlant des objets vus dans la chambre obscure.
( Saggio sopra la. Pittura-3 nel tom. II. délie sueopère, page *S3> iS4ï e'dit. de Livourne 17G4.) 
<■<■ Le tableau que nous offre la chambre obscure,
« différencie à merveille les figures qui sont plus
J ? près ou plus loin du fpectateur.'*Non-sculement
55 la grandeur des objets y dihiinue à mesure qu’ils
ÌI s’éloignent de Toeil, mais auffi leurs couleurs. &
. » leur lumière s’affoiblissent, & leurs parties se conJ ?
fondent. Plus Téloignement est considérable ,
55 moins les objets sont colorés, moins on dislingue
33leurs contours ; &, le jour étant plusfoible 011
jj plus éloigné, les ombres font moins fortes. Au
J>contraire, lorsque les objets sont plus près de
55 Toeil, & plus grands, les contours sont plus préjjcisy
les ombres plus vives, & les couleurs plus
13 éclatantes. C’est èn cela que consiste la perspective
35 qu’on nomme aérienne.y> La perspective linéaire
consiste dans le changement du contour. Voyei
PERSPECTIVE. (J.D.C.).AFFECTÉ. Equation affeBée, en Algèbre, estune
équation dans laquelle la quantité inconnue
monte à.deux ou plusieurs degrés différens. Telle
est, par exemple, l’équation x"'—p xx -j- çx — c1 b ,
dans laquelle il y a trois différentes puislances de x ;
savoir xì, x\ & x1 ou x. Voyei ÉQUATION.
.. AffcBc ïe dit auffi quelquefois en Algèbre, en
parlant des quantités qui ont des coëfficiens : par
exemple, dans la quantité 2 a, a est affeBé du
. coefficient 2. V. COEPFICIÉNT.On dit aussi qu’une quantité algébrique est affedée■ du signe -) - ou du signe — ;, ou d’un signe radical ,--. pòur dire qu’elle a le signe -f ; ou le signe —, ouqu’ellerenferme un signe radical. Voyei RADICAL ,&c. (O). .AFFECTION", terme qu’on employeit autrefois,
en Géométrie, pour désigner une propriété de
quelque courbe. Cette courbe a telle affeBion, est la'
même chose que cettecourbe a telle propriété. Voyei
COURBE. (O).- AFFIRMATIF, IVE, adj. II y a en Algèbre des:
qUaritités affirmatives ou positives. Ces deux mots",
reviennent au même. Voyei QUANTITÉ &~Po-SITIF.Le signe 011 le caractère affirmatif est -}-■( O ).AGE de la Lune, (en Astron. ) ïe dit du nombre"
de jours écoulés depuis la nouvelle Lune. Ainsi r
trouver ï âge de lg.Lune} c’est trouver le nombre
de jours écoulés depuis ía nouvelle Lune. Voyei,
LUNE (O).AGENT, f. rh. ( Méch. ) ,Puissance ou force quiproduit
ou tend à produire du mouvement.AGIR, se dit en Méchanique & en PJiyfique-t
pour produire -tel ou tel effet. On dit- auffi qu’un"
corps agitím un.âutré,,lorsqu’il le pousse,,oU tend’,
à le pousser.. AIGLE,(Astron:)  constellationËoréalé. Aquilay
Jovis nutiix, Jovis. Armiger, raptrix Ganymedis-y
servans Antinoum, Promcthei Aquila, Vulturvolans,.
tortor Promcthei. Les poètes disent que ï aigle appòrtoit
du- nectar à Jupiter,. lorsqu’il étoit- caché-
dans uiìc antre de Crète, son père roulant le faire
périr : ï aigle contribua à fà victoire contre les géans,
en lui apportant des armes ; il contribua à ses plaisirs
, en enlevant Ganymede, pour.le servir à table.
C’est pourquoi ï aigle étoit consacré à Jupiter ; il
fut placé dans le ciel. D’autres prétendent que c’est
ï aigle engendré par Typhon, qui dévorait le coeur
de Prométhée, & qui fut tué par Hercule. M. DuÍmiscroit que ï aigle fut placé dans le ciel, comme
e symbole de la'plus grande élévation du soleil,
& qu’il marquoit le solstice d’été par son coucher
héliaque, dans le premier établissement des constellations.
Voye'iïon Mémoire dans le IV. volume
de mon Astronomie.La constellation de" Taigle réunie avec celle d’Antinous,
renferme 71 étoiles dans le Catalogue britannique
 ; & dans ce nombre est une belle étoile
qui approche de la première grandeur, & dont on
verra la position au mot ETOILE.AIGU, adj. ( Géom.)  On appelle angle aigu y
celui qui est plus petit qu’un angle droit. Voyei
ANGLE.AIGUILLE, ( Hydrodynamique. ) est une pièce
de bois arrondie, assez menue, & longue de sixÍlieds, retenue en tête par la brise, & portant par
e pied fur le seuil d’un pertuis. Cette pièce sert,
en la fermant, à faire hausser Teau. ( K. ) AILE, f. f. ( Hydr. )  On appelle ailes ou ailerons
des planches rectangulaires, qu’on place à des distances
égales, fur la circonférence d’une roue hydraulique,
pour recevoir lé choc de Teau. C’est
par cette raison, qu’on appelle ces sortes de roues,
roues à ailes. Voyei ROUES.On appelle auffi ailes, dans les machines à vent,
îes châssis garnis de toile, qui reçoivent Timpulfion
du vent, & qui par-là font marcher le moulin.AILES, terme de rivière, sont deux planches
- formant arrondissement, de trois pouces d’épaisseur,
que Ton met au bout des semelles d’un bateau
fpncet, en avant & en arriére. Voyei FONCET.AIR, f. m. ( Hydr. )  : assemblage de molécules,
très-subtiles, élastiques,,& parfaitement mobiles,
qui forment cette masse fluide & invisible, qu’on
appelle atmosphère, dans laquelle nous vivons, nous
nous mouvons, que nous inspirons & expirons alternativement.II ne s’agit point ici d’examinenla nafurephyfique
de l’air, ni Tanalogie & les différences quil a avec
Jcs fluides que Ton appelle du nom générique de ?ai, du mot hollandois Ghoafl, qui signifie esprit.
íous renvoyons tous ces’objets au DiBiónnaire
de Physique. Ici nous ne considérons que les propriétés
méchaniques de l’air, ou,les effets qui résultent
de sa fluidité, de sa pesanteur, de son élasticité,
de íà mobilité, &c.I. L’air est fluide. En effet, il cède sans peine au
toucher, au mouvement des corps qui le traversent ;
il transmet avec facilité & promptitude, les sons,
les odeurs, &en général, toutes les émanations qui
Réchappent des corps : il se meutlui-m,êrne ayee unegrande vitesse, aussi-tôt qu’il trouve un espace dant,
lequel il puisse se répandre ; en un mot, il a tous
les caractères de la fluidité.II. L’air est un fluide pesant. Car la pesanteur '
est une force universelle, répandue dans la nature,
& il n’y a point de corps qui ne. lui soit soumis.
Cependant, les anciens, loin de soupçonner que
Tair est un fluide pesant, le regardoient comme un
corps léger, c’est-à-dire, comme un corps qui,>par
fa nature, tend à s’élever. Galilée est le premier qui
ait connu la peíànteur de l’air ; son disciple Toricelli
lá démontra en-1643, par une expérience que nos
Baromètres ordinaires nous mettent fans cesse fous
les yeux.Tout le monde fait que le Baromètre est un tuyau
de verre, fermé hermétiquement par en-haut, ouvert
par en bas, dans lequel une colonne de mercure
demeure suspendue à une certaine hauteur au-dessus
du mercure contenu dans une cuvette, où Textrémité
inférieure du tube est plongée. La cause qui soutient
le mercure du tube au dessus du mercure de la cuvette,
est la pression de l’air extérieur fur la surface
de la cuvette, pression qui h'a pas lieu fur la colonne
de mercure, puisque le bout supérieur du tube étant
fermé, rie permet pas "à l’air d’y entrer. Car , si
Ton ourré ce bout, la colonne de mercure tomba
aussi-tôt, & se répand dans la Cuvette.U faut faire à çe sujet deux remarques : l.° la
hauteur du mercure dans le tube du Baromètre est
différente, & plus ou moins grande, selon que"les
lieux sont moins ou plus élevés par rapport à un
même niveau, tel, par exemple, que celui de la
mer. La première expérience de ce genre, est celle
que Pascal fit exécuter sur la montagne du Puy de
Dpmme, voisine de Clermont en Auvergne. Du
pied au sommet de cette montagne, qui est élevée
d’environ 500 toises au dessus de Clermont, le mercure
baissa dans le tube de trois pouces une ligne
& demie ; 2. 0 dans un même lieu, la hauteur du
mercure dans le tube n’est pas constante: elle varie
à raison des changemens qui arrivent dans le poids
où le ressort de 1 atmosphère, par la pluie, parles
vents, &c. L’explication de ces phénomènes n’appartient
pas à notre sujet.III. COROLLAIRE I. II est facile de trouver, du
moins pour un instant donné, le poids de toute la
masse d’air qui environne le globe terrestre. Car
soient R le rayon du globe terrestre, r la hauteur
donnée du filet de mercure, auquel la pression de
Tatmosphère fait équilibre ; n se rapport de.la circonférence
au diamètre, & la pesanteur spécifique
du mercure. On cherchera les solides de deux
sphères, dont Tune a pour rayon H-f r, l’autre
R ; & on retranchera le second "solide du premier 5ce qui donnera -iH±l+llL _ *nRî. -ou,/ 5 34 n ( E1 r -f- r* It 4- -p^-) pour reste. Onmul- ■
tipliera ce reste par c, &, observant que les. termes,
qui contiennent r* & r1 , peuvent être négligésfansA 3 & a ï r ií^ariscraindre d’èrfeur sensible ,òn áiira 4 '** n R1 r
pour Texpreffiòn générale & très - approchée du
joids’demandé._ Par exemple, foiêUt r=28 pouces ; lepoidsd’un
pied cube dé merciíre ==960 livres. Supposons de
plus, suivant les observations, que chaque degré
d’un grand cercle de la terre, est de 57000 toises.
£) n trouvera, en effectuant tous les calculs indiqués
jiar la formulé précédente, que le poids total de
ì'atmofphère, est de 11028854877090909091 livres
tnviron.IV. COROLLAIRE II. Deux colonnes, Tune de
mercure, l’autre d’eau, qui se font mutuellement équilibre,
ont des hauteurs réciproquement proportionnelles
à leurs pesanteurs spécifiques. V. PRESSION ;
desorté que fi la colonne de mercure a 28 pouces de
hauteur, celle d’eau doit avoir environ 3 2 pieds dé
îiauteUr. Or la pression de I'atmofphère contrebalance
la première de ces deux colonnes, comme
ïious Venons de le voir ; donc elle contrebalancera
auffi la seconde. Ainsi, dans le vuide, la pression
de Tatmosphère doit soutenir une colonne d’eau
d’environ 32 pieds de hauteur.V. COROLLAIRE III. Soit^j5iïO ( Hyd.fig. 1) 
« n syphon recourbé & composé de deux branches
d’inégale longueur ; qu’on plonge la plus courte B A
dans la liqueur CN d’un tonneau ~CD ; & qu’on
été Tair contenu dans Tintéríeurdu syphon, en le
íuçànt par le bout O: alors la liqueur du tonneau
montera dans le syphon, & sortira par le bout O,
pourvu que ce bout soit au dessous de la surface M N
de.la liqueur du tonneau.Ce phénomène est le même que celui du Baromètre.
En effet, imaginons que le bout*O du fyÍihon
est plongé dans un vase E F, qui contient de
á liqueur. On voit que chacune des parties AB,
O H du fyphori, peut être regardée comme un tube
particulier, pareil à celui de Toricelli. Ainsi, en
représentant la pression de Tatmosphère, par K X,
le poids de la colonne fluide A B par K V, celui
« le lá colonne HO, par KZ, il est clair que VX
exprime la force qui soulève le fluide dans le myau
■AB, & qUe ZXexprime la force qui tend à soulever
le fluide dâns le tuyau O H. Or, comme ces
deux dernieres forces sont contraires, la plus foible
est détruite ; & Z Vèû la force restante, qui produit
l’écoulement dans le sens ABHO.
'■" Onvoitpar-là, i.óqvLeûKV=KZ, ilnepeut
pas y avoir d’écoulement ; 1° que fi le poids de lâ
plus course branché, est plus grand que celui de
Ì'atmofphère, 11 n’y aura pas d écoulerhent, parce
qu’alors la pression de Tatmosphère n’a pas lá force
íuffifante pour soulever la liqueur jusqu’en B. Ainsi,Îiar exemple, fi la liqueur est de Teau, il faut que
à hauteur dé la .plus courte branche AB soit de
moins de 32 pieds-, pour le mercure, À B doit être
irioins dé 28 pouces, &c. ■.'■'■'■■''■
'■ VI. L’air est Un fluide élastique. Qu’on prenne
« ne vessie, & qu’on la gonfle, en y introduisant
de Tair: on aura tm’ballon qiúi se comprime lorsMathématiaues.
Tome ï} J,« « Partie.qu’on le presse, & qui se dilate, lorsqu’on cesse dé
le presser. Donc, -6c. .VII. La force élastique de l’air comprime, est égalt
à celle qui produit la compression. La fontaine de Héron
en fournit la preuve. Cette machine ( Hyd. fig. 2) 
qu’on fait ordinairement avec du fer-blanc, est com*
posée d’une caisse ABCD, fermée de tous côtés,
pleine d’eau jusqu’en EF,~uh peu au dessous dé
AB ; d’une autre caisseGHKI, aussi serinée dé
tous côtés, égale à la première, & pleine d’air ;
d’un tuyau O T, soudé exactement ávec lès platines
A B, DC, G H, lequel communique au dehors
par le bout O, & avec la caisse inférieure par le
bout T qui est très-près du fond Ils ; d’un tuyau
XY, -soudé aux deux Caisses, & dont le bout supérieur
jeii près du fondai B ; d’un tuyau Q_Pt
dont le bout inférieur P est proche le fond D C3
& le boUt supérieur Q , soudé avéc le fond AB ,
est garni d’un ajutage. Cela posé, fermez Tajutage Q) .
avec le doigt, & versez un peu d’eau par le bout O
du tuyau OT: elle descendra jusqu’en IK, & montera
, par exemple, én VS. Alors il n’y aura plus
aucune communication de l’air extérieurávec celui
qui reste dans les deux caisses. Continuez à verser
de Teau ; Tair contenu dâns les espaces GHS V*
AB FE, XY ïe condensera peu-à-pèti, jusqu’à
ce que sa force élastique soit en équilibre avéc là
preísion dé í'eau versée par O T. Si la surface de
Teau dans la Caisse G H Kï est MN, Tair dont on
vient de-parler, pressera-perpendiculairenientchaque
partie de la surface qui Tehvirónrie, avec une
force égale aU poids d’une colonne d’eau, qui auroit
pour base la partie pressée, & OL pour hauteur.
Ainsi, la surface EF de Teau contenue dans la caisse
supérieure, est poussée de haut en bas par ce riiême
air, & tend à s’élever par léíuyáU P Q ; de sorte
que si Ton ôte le doigt de dessus Tajutage, il sortira
un jet d’eau qui s’élèvera à la hauteur il Z égale à
O L. On voít donc que le ressort de Tair produit
le même jet queproduiroitlë.poids de Teau, par
lequal il á été comprimé.On péut remarquer qu’en faisant rentrer par Q ^
Teau qui tombe du jet, cette eau passe dans la caisse
inférieure, & que par conséquent le jet durera jusqu’à
ce que toutè Teau comprise depuis le point P.
jusqu’en E F, soit sortie en jaillissant.VIII, L’air se comprime lui-même par son propre
poids. Car Tair étant un fluide pesant, si Ton conçoit
Tatmosphère partagée eri une infinité de tranches,
ou plutôt de couches perpendiculaires à la direction
de la pesanteur ; il est évident que les couches inférieures
seront chárgëés. du poids des supérieures ;
d’où résultera nécessairement une compression qui
sera plus grande, toutes choses d’ailleurs égales, à
mesure que la couche comprimée sera placée plus’
bas dans Tatmosphère. Je dis toutes choses d’ailleurs
égales, car il y à d’autres causes, comme lè froid
& le chaud, qui concourent à comprimer & à dilater
Tair. Lá densité de ce fluide est extrêmement
"variable ; elle est environ huit ou rieúf cent foi*
1 D '±6
A I R

A I R
moindre que- celle de Teau ordinaire. Le rapport
moyen de ces densités, dans nos climats, peut s’expriir.er
sensiblement par la fraction çjô.IX. COROLLAIRE. De-là & de Tarticle VII, il
fuit que si Tair, après s’être comprimé lui-même
par Ion propre poids, vient à agir par son seul
ressort, il produira le même effet qu’il produisoit
par son poids ; cela est confirmé par Texpérience
que voici.• Prenez une bouteille de verre A BCD (Fig. 3) 
de figure cylindrique -r versez-y du mercure AEFD ;
faites-y entrer un petit tuyau de verre If de 29 ou
30 pouces de hauteur, ouvert par les deux bouts,
&. dont .celui d’en bas trempe de quelques lignes
dans le mercure -, scellez ce myau exactement au
"cou de la bouteille, de manière que Tair contenu
dans Tefpace E B CF n’ait aucune communication
■ avec Tair extérieur ; mettez ensuite cette bouteille
& son tuyau sous le récipient LIHMde la machiné
pneumatique, pompez, autant qu’il sera possible,
l’air contenu dans ce récipient : alors le mercure'
s’abaissera en NO, & il s’élèvera dans le tuyau au
dessus de NO, à-peu-près à la même hauteur qu’il
se soutient dans le Baromètre, dans Tendrait où l’on
fait Texpérience.La raison’en est évidente ;.car avant
que de commencer à faire le vuide dans lá machine
pneumatique, Tair contenu dans TefpaceEBCF,
est dans le même état que Tair extérieur ; lorsqu’ensuite
on vient à faire le vuide sous le récipient, le
même air EB CF déployé son ressort, force, en
conséquence le mercure à s’abaissèr en NO, & à
monter dans le tuyau vuide ; & cette aseenfion est
à-peu-près ëgaleà celle,qui est produite dans le
"Baromètre, par le poids de Tair. Je dis à-peu-près,
parce qu’il n’est jamais possibk de vuider parfaitement
d air, le récipient de la. machine pneumatique..X. Si l’on comprime une même massé ou quantité
d’air, 6' qu’on la réduise a occuper différens espaces
ou, volumes , ces volumes seront entr'eux , én raison
inverse des forces comprimantes. Cette proposition
se prouve par Texpérience suivante, qui est trèsconnue
des Physiciens ,:& que M. Mariotte a saule
premier. Soit A B C ( Fig. 4 ) , un tuyau de
verre recourbé, fermé hermétiquement par le bout
C, & ouvert par le bout A. Les deux branches DA,
E C font verticales ; mais la branche D E de jonction,
est horizontale. On donne ordinairement trois
oil quatre lignes de diamètre intérieur à ce myau.
La petite tranche EC doit être parfaitement cylindrique,
pour pouvoir comparer exactement entr'eux
'les différens volumes de la masse d’air qu’on y condense.
Nous supposons qu’elle ait 12 pouces de
hauteur ; l’autre DA est beaucoupplus haute. Versez
légèrement dans le tube un peu de mercure pour
remplir la branche horizontale, & faires en sorte
que les deux surfaces DV, IE de ce sluide,dans
les deux branches verticales, soient de niveau,.afin
que Tair enfermé dans Tefpace E C, soit dans le'
m£me érat que Tair extérieur ;.car il est évident que
fi le ressort de Tair intérieur E C, étoit plus oumoins tendu que celui de Tair extérieur, -les surfaces
IE , D V îeroìent inégalement pressées, &
que par conséquent elles ne pourraient pas être
de niveau. Continuez ensuite à verser du mercure
dans la branche D A , & vous verrez qu’à mesure
qu’il s élèvera en H, la surface EI s’élèvera en F.
En supposant que la pression de Tatmosphère soit
équivalente au poids d’une colonne de mercure,
de 28 ponces de hauteur, vous trouverez'jque si,
ayant jnené Thorizontale F G, la hauteur GH=z 14
pouces, la hauteur FC de Tefpace occupé par Tair
sera = 8 pouces ; si GH= 28 pouces, FC sera
= 6 pouces, &c. Or il fuit de-là, que les différens
volumes de Tair enfermé d’abord dans E C, suivent
la raison inverse des poids comprimans ; car au
premier instant où cet air ne supporte que la pression
dç Tatmosphère, il peut être regardé comme chargé
du poids d’une" colonne de mercure, haute de 28
pouces ; lorsqu’on met ensuite dans la branche DA
du mercure, à la hauteur dé 14 pouces au dessus de
la ligne de niveau F G, la pression que souffre notre
masse d’air, est égale au-.poids d’une colonne de
mercure, qùi a 28 pouces -j- 14 pouces, ou 42
pouces de hauteur ; lorsque la hauteur du mercure
dans la branche D A, au dessus de F G = 28 pou »,
ces, la pression de la thème masse d’air est égale au
poids d’une colonne de mercure, qui a 28 pouces 414
pouces -j- 14pouces, ou en tout 56 pouces de
hauteur, &c. D’où Ton voit que les poids compris
mans étant représentés par les nombres 28, 42, 56,,
les volumes de la masse d’air sont exprimés par les
nombres 12, 8, 6. Or, on a ces différentes "proportions,
12: s : : 42:28 ; 12:6 : -.56:28,.& '. 6 l r 56 '. 42. Donc les volumes suivent la raison
renversée des poids comprimans.On fera dès raisonnemens analogues pour des.
hauteurs de mercure qui suivraient tout autre rapport
dans les deux branches dU tube, ; & ces raisonnemens
fondés fur Texpérience, ; aboutiront à la
même conclusion finale ;. . '.Toutes ces expériences doivent être faites-, de
manière que Tair enfermé en FC, ait la même température
que Tair extérieur, & que par conséquent
son volume ne varie qu’à, raisondes poids comprimans.
Sans cette précaution-, le chaud & le froid
n’agissant pas de même fur les deux airs, changeraient
les résultats, & il seroit difficile de séparer,
par une méthode sûre & non hypothétique, íeurs
effets avec ceux des poids comprimans..
 ! XI. COROLLAIRE I. Puisque, la force élastique
de l’air est égale à la force qui le. comprime (VII) ,
il s’ensuit que les différentes forces élastiques d’une
même masse d’air , à qui Tonfait occuper différens
volumes,: sont en raison inverse de ces volumes.
_ XILCOROLLAIRE II. Sous mèmemaffe, les den*
tités sonten raison inverse des volumes’(. V- DENSITÉ
). Donc les densités d’une même masse d’airi,.
comprimée par différens poids, font directement
proportionnelles à ces poids, ou (VII ) aux forces
élastiques qu’elle R. dans ces différens états* 'iAir
AIR %7
XIII. COROLLAIRE III. Les densités des-difféfens
points d’une colonne verticale dé Tatmosphère,
forment, à température égale, une progression géométrique,
décroissante à Tinfini, cette suite étant
supposée commencer a un même niveau, par exemple,
à celui de la mér, & se continuer lui van t la
hauteur de Tatmosphère ; car fi Ton imagine que la
colonne dont il s’agit, est composée d’une infinité
de tranches horizontales, de même masse, la densité
de chacune de ces tranches est proportionnelle au
poids dont elle est chargée, c’est-à-dire, à la somme
faite de son propre poids, & de. la somme des poids
des tranches supérieures, ou à la somme faite de
la densité dûe à son propre poids, & de la somme
des derifités des tranches supérieures. Or, -si Ton a
une progression géométrique, rra'.b'.c’d’,e \f\ &c.
décroissante à Tinfini, & que Ton nomme s la somme
entière de ses termes, s la somme depuis b inclusivement,
Í''la'somme depuis e inclusivement, &C ;
on aura ces proportions ( Voyei PROGRESSION ) 
a\b\\s\s — a ;b''.c\\s \ s —b ; c’,d\ ;s" ;s"—c ;&c.
Ainsi, les densités de nos tranches suivent entr'elles
la même loi que les termes d’une progression géofnétrique,
décroissante à Tinfini, & forment par
conséquent urié telle progression.XIV. Remarque. Toutes, les expériences qu’on
â faites fur la comprefsibilité de Tair, prouvenr
qu unemêmérnassë dé ce fluide se comprime suivant
là proportion des poids dont elle est chargée ; mais
on doit observer qUe ces expériences ont pour, objet
des condensations moyennes ; car il paraît que dans
les cas extrêmes, la "règle -ne saurait être exacte.
En effet, imaginons d’abord que là'compression
augmente à Tinfini : il faudroit que la condensation
àugineútât de même, & qu’énfin Tair h'occupatplus
qu uri-espacé infiniment petit. Or_, quelque figure
qu’on attribue aux mpléçujes aériennes ; il est clair'que lorsque leurs ressorts ont étéeomprimés jusqu’à
ce que toutes leufs parties se touchent, Timpénétrabilité
mutuelle de ces parties nè permet plus de
compression. Ajoutez que Tair peut être mêlé Je
parties durés,: dénuées de ressorts où douées d’un
ressort, très-imparfait.. Sf.au  ;çohtrairç:.on suppose1 que la compression diminue â Tinfini, on ne peut
pas’ supposer 1 de même queî'airse.dilate à Tinfini ;
car le ressort parfait OU imparfait des molécules
aériennes, ne peut avoir .qu’une extenfióri" déterminée,
a§c il est impossible de .concevoir qu’une masse
finie ; vienne, à: occuper un espace infini. -II nêst
dpric pas.yraii en rigueur. ; que ; les condensations de
Tair,frayent., généralement Je.rapport des poids
comprímáns."lVíaïs commê lés forcés coiriprimantés
que nous pouvons employer, dans nos- expériences ;
ne passent- jamais certaines limites ; la proposition
deTarficle Xjieuí alors être regardée coîíimê vraie
fans restriction. … … ', , … ,,, , :, ;.Xy., jSçkplie. Les principes préçédens--servent
éricore' â expliquer Taícenfion de Teau.dans, les
pompes’.- Voyei POMPES^' Nóus0airons’d&íùirë ici
$çs mêmes -principes ; unethéprié ;;dii i mouvementde Tair, laquelle est nécessaire & suffisante pour
Texplicatiòn d’un grand nombre de phénomènes
physiques. On trouvera au mot SON , la théorie
des ébranlemens de Tair, qui produisent le "son.XVI. Soit ABC D (fig. íjun cylindre fermé
de tous côtés , contenant un air homogène &
également dense dans toute son étendue. Cet air est
dans un état de compression, & si-tôt qu’on lui
donne quelque issue, ou qu’on lui facilite le moyen
de s’étendre ou de se dilater, il se dilateen effet,
& sa force élastique diminue. Daris chaque état de
compression, la force élastique est toujours égale à
la force qui a produit cette compression (X). Ainsi ,
par exemple, si Tair ABCD est pareil à celui que
nous respirons, &. que par conséquent il ait été comprimé,
ou parla pression même de Tatmosphère,.
ou par une force équivalente, il soutiendra par son~
ressort le poids d’aune colonne d’eau de 32 pieds
 ; de hauteur ; c’est-à-dire, qu’en regardant le fond
: supérieur AD du.cylindre, comme un couvercle
librement mobile le long des parois, & imaginant
que ce couvercle est chargé dans toute fa surface,
d’une colonne d’eau de 32.pieds de hauteur, il y
aura équilibre entre la force élastique de Tair, &
le poids de la colonne d’eau ; & le couvercle A D -
' ne pourra ni monter, 'ni descendre. Je suppose que
la chaleur ; de Tais AB CD demeure toujours la
: même ;;'.car-si elle venois à augmenter ou à dimi-■•■
: nuer, la forcé élastique augmenterait ou diminue.
roit. Pareillement je supposerai dans la fuite, que
le.dégré de chaleur est le même pour tous les airs
dont je chercherai à mesurer & à. comparer les
 ; forcés élastiques, '"' : . ; ;XVH- L’èxpérience fait’ ; voir ( X & XI ) ,
i que si une même masse d’air, qui conserve toujours
- le même degré dè'températúfe, est réduite à occuper
soCcessivemént différens volumes ; les-forces qui
la compriment, & par.conséquent auffi ses’ différentes
forces élastiques, suivent la raison inverse
dés volumes, oularaison directe des densités. Or,
j réduire Une '.même malle d’air.à occuper différens
1 vôlutnés, c’est, la ;même chose que faite entrer dans
un même volume différentes quantités d’air, dont
ses. densités ; "soient "les • riiêmès, respectivement que
celles de la masse proposée dans ses différens états.
Concluons donc de cette expérience, que si différentes
masses d’air occupent successivement un même
volume, elles ontd.es forces élastiques qui leur sont
' proportionnelles ;oú, ce qui revient au même,,
qui font proportionnelles à'-leurs densités , puisque
la densité ;n’est autre chose qUe.la quantité de matière
comprise'sousi un. mêmevoluiíie donné.XVUL P'&OSVÊMEÌ.'Deierminerla vitesse aveclaquelle l’air sort, h chaque instant du vase ABCD,par le petit orifice £ , en.supposanrqu’íl s’échappedans lé vuide , ou qu’il n’éprouve aucune résistancea fa/ortie ? '■'>"■ <■• :: ; _ :'-■■"■' ■/-• ■'■--'■SoientT-pó.urlë premier instant du riiouvement,: P. Ia,.poid_s. auquel la"force .élastique de ;i-W peut: faire équilibre, Q'lá densité dé: ce fluide, V fa"'.''•" D ijil air air,vitesse ; & nommons q la densité qu’il a an bout
d’un certain tems r, u fa vitesse à la fin de ce
même tems. De plus, nommons M & m les masses
d’air qui sortent en tems égaux dans les deux cas.
~On voit, par Tarticle précédent, que la forceélastique de Tair, après le tems t, fera —7 ?- ; &comme les forces motrices sont proportionnelles
aux quantités de mouvement qu’elles produisentdans le même tems, on aura P * -yp- '.\MV\mu. Mais les masses M &. m sont comme les produits
de leurs volumes par leurs densités, & leurs
volumes font comme les produits de Torifke par
les vitesses. Ainsi, Torifice étant le même dans les
deux cas, on aura M’.m’.l Q V\ q u. Donc ? I^-1.' Q V V'.qu u. D’où l’on tire u = V.Ainsi, l’air. fort continuellement avec la même
vitesse, qui est la vitesse initiale V.XIX.' COROLLAIRE. Supposons qu’au premier
instant l’air contenu dans le vase soit de l’air
naturel, ou que le poids P soit égal au poids d’une
colonne d’eau, de 32 pieds de hauteur. Comme
Y-air- est environ 850 fois moins dense que Teau,
il est évident que T écoulement de l’air par Toriíke
C ; est le même que si cet air étoit poussé par !
la pression d’une colonne d’air, de pareille dèn-,
site uniforme,. & de 850 fois 3 2 pieds "de hauteur,
ou de 27200. pieds de hauteur. Ainsi, la vitesse .
■ Veíl dûe à cette chute. Or un corps grave, qui
tombe de 15 pieds de hauteur, acquiert une vitesse
capable de lui faire parcourir uniformément 30
pieds en .une. seconde. Par conséquent on aura la
vitesse P7", pour une seconde, en faisant cette proportion,
t/f 15 ' \/ 27-200 * ; 30 pieds ; V=i 277
pieds. U air doit doneparcourir, en vertu dé son
ressort dans Tétat ordinaire de Tatmosphère, environ
3277 pieds en 1 seconde, dans le vuide. 'XX. PROBLÈME II. Déterminer en général y
Jans 'Phypothèse, du problême précédent, le tems’ t•que
l’air emploie à passer de la densité Q à la
densité } ?.>.'- . .. .■ Soient íf la hauteur dûe à lá vitesse constante'F"
de l’air au passage C ; a la hauteur donnée qu’un
corps grave parcourt en tombant pendant le tems
donné 6 ; C Taire de Torifice ; A le volume du
cylindre ABCD* Il sortira, pendant Tinstant dt ;un petit volume d’air, exprimé par'Ì~íi^LíSí{. Voyei ECOULEMENT ) : Or la masse étant comme
le produit du volume par la densité (FT MASSE,
VOLUME, DENSITÉ) , il.s’ensuit qUil sort, pendant
Tinstant dt, une petite masse d’air expriméei.CqdtVaH . ',,par g ; mais, Q un autre côté, il estévident que, durant le tems t, il est.sorti du
cylindre une masse exprimée par A Q—A q. Ón
aura donc -i£i-4pJL= à(AQ^Aq) ±-AJq ;ce qui donne dt == , }-T X —' ~r" > ^onf ; Tintégrale est ( en faisant t==ò, lorsque ç=Ç) ,£= * ST^1" ?- ( V°yel IlíTÉGRA1E) -:On voit, par cette expression du sems, que le ;
vase ne se viderait entièrement qu’au bout d’un
tems infini ; mais il ne faut pas oublier ici que,
suivant la remarque de Tarticle XIV, Thypothèse
sur laquelle' cette formule est fondée, cesse d’êtte
exacte , loríque la densité q ■ devient très-petite.XXI. PROBLÊME III. L’air ayant été condensedans
le vase ABCD,. on demande la vitesse avec
laquelle il sortira par le petit orifice C, en suppo--
sant qu’il se répande dans un air environnant plus1
rare que lui, & d’une ^étendue infinie telle qu’onpeut
toujours P attribuer à I'atmofphère par rapport,
au vase ABCDlNommons D la densité de l’air extérieur ;' F fy
force élastique ; Q la densité initiale.de l’air,inté-r
rieur, ou de l’air contenu dans le vase, & par conséquent-^—faforce élastique initiales q la densité
de l’air intérieur , après un certain tems t ,-
& par 'conséquent —-. sk force élastique cofres:pondante ; M la petite masse" initiale d’air qui sort
par Torifice ; V sa vitesse ; m la petite masse d’air ; qui fort après le teins t ; u "fa, vitesse. Vain
extérieur opposant constamment lá résistance F à ;■ la sortie de l’air intérieur, il est évident que la, force^ expulsive initiale de l’air intérieur est ; -%—,r~F>,QU. ~1) V ^F: , & que la force e »r: pulfive, après, le tems t,, est -U-^J^T^".•' Or
les forces- expulfives font comme lés quantités de
mouvement qu’elles produisent daris le même tems ;
ainsi, on a (g^-ÇlL. , Jj~ÉJ£->'MV'•i m u. Mais les masses. M & m sons comme les pro~
i duits de leurs densités par leurs volumes, >& ces ;
volumes sont comme:les produits de Torifice parles: vitesses ;■ dònc -L£-~£iZ -AlïÉM^'OV 1'■':■■■■■■ ',:■'[£) ," r ; Z) ..-.,■•) • >i ■: ;•'.' q u* ; ce qui' donne a s=. VX i/-SJj~.D).. •. On voit qu’on aura'u=o, ou que Taircessera
-de couler, lorsqu’on aura q = D. Je n’ai pas besoin’
j de faire observer que,si..on avoit .J5=^i, il n’y
J auroit point du.tout de mouvement, puisqu alorsia
ì force expulsive initiale -Ìê^_l£. étant nuíle, la
j vitesse initiale F seroit auffi nulle, r - .XXIÍ. COROLLAIRE. Supposons, paf exemple ;
 ! Ç = ioD, q=.ç,D ; & que la pression de'fat !
mosphère, ou la force élastique F, soit équivai
lente au poids d’une colonne d’eau dé'32 pieds
j de, hauteur. La.:force expulsiye initiale'. (Q"ûPi£ ;
, de. T« 'r-équivaudra au poids’diìrie: colonne d’eatí.Air aït \*
 ?e 51X ) í pieds, ou de 288 pieds de hauteur : &,
comme ï air j que cette force fait sortir par Torifice,
test 85 fois moins dense que Teáu, il s’enfuit que
l’écoulement initial est le même que si l’air étoit
alors chafl’é par la pression d’une colonne d’air, partout
de même densité que lui, & de 85 fois 288
pieds, ou de 24480 pieds de hauteur ; & que par
conséquent la vitesse V ëû dûe à cette hauteur.
Donc la vitesse V, pour une seconde, fera de 30

pieds X -^T^-v.& la vitesse u,, auffi pour
une seconde , sera de 30 pieds X ^-^—Y-^.

Ainsi, on aura, à-peu-près, V= 1212 pieds,
B = 1204 pieds.

. On peut se faire par-là une idée- de la vitesse
avec laquelle une balle est chassée de ces fusils. ..
qu’on appelle arquebuses à vent, & dont la des ?
cfiptíon’sè trouve dans’ tous les Livres de Physique »
•■■ ■ .
XXIII. PROBLÊME IV. Trouver le terni t que
l’air emploie à passer de là densité Q à la densité .
q ', dans l’hypothèse du 'problême précédent ?. ■ i En représentant par H la hauteur dûe à la vitesse
initiale. íT, & considérant.(~Voyei ACCÉLÉRÉ) 
que les, hauteurs dúes aux : vitesses V & u font
comme les quarrés de ces vitesses  ; On verra quelá' hamèuf dûe à la vitesse u sera HX ■é'nZ-vi'
^insi^ la petite, masse d’air qui sort pendant Tinstant. „ íCqdt ^/aHOÍq-D)  ,, .i.t,, est *■■■-■■£--■■-:■ y :■ ( g.fjX) - Mais cette
masse a pour autre expression d (A ( ? — A q). Par
conséquent on aura rft= —^&f X xfA) >
dont Tintégrale est ( en -faisant toujours t= o ,

lorsque  ?=Ç) , t = -\^- |/7^V

Nous avons vu que ïair cesse de couler,.lorsque
q^zD. Faisant -donc q=D , on auia, pour le

tems que dure l’écoulement, t p —^y ( jjj-x 1X
|_"/ Q-íD+V(<¥-*>■Q)  V ^û ''

XXIV,,PB.OBLÊME V. Le vase ABCD. étant
supposé contenir ùn air plus rare, que celui de. F atmosphère
, ■. on démande la vitesse- avec laquelle ce
dernier entrera dans le vase', par le petit orifice C ?
En nommant D la densité ;Cónstante de Tizirexté- j
rieur ; F fa force élastique ; Q la densité initiale de j
ì'air contenu- dans le cylindre, & par conséquent !O F~^fj— là force élastique initiale j q, la densité de ,' ■ - ' • F
cet air-,-âpres ïe- tems t, & par conséquent-^-' ;

fa forcé, élastique après-ce inêmétems. ;, pHavítesse,
mitíale "avec laqûéllé' i'<î ?r extérieur Jehtre" dans le .

cj’lindre ; u fa vitesse-après le.tems t.: én voir
que la force impulsive initiale de Tair, dans le

cylindre, est-F—2^ ou 1*^21*- ,
& qu’après le tems t la force impulsive est—~^—\
On aura donc, (:P-Q-lg- ; -LS^ÚZ. -
D V- . ; Du 1 ; & par conséquent u =s V%,
y D—Q '

Si, au premier instant, le cylindre étoit vuide ^

on auroit Q == o ;. & alors u =• VX y —jj- 2.

On voit, dans l’un & l’autre cas, que ïair cesse:
d’entrer dans le- cylindre, lorsque q = D, ou
-forsque la densité de Tair est la même en dedans
quen dehors. -'■' .-'---

XXJV. PROBLÊME VI. Trouver F équationentre
le tems t & la densité q , dans l’hypothèse
générale du problème précédent ?

Soit H la hauteur dûe à la vitesse V, & gar--
dons • les autres dénominations. La petite masse
d’air, qui entre dans le cylindre ABCD, pendant
Tinstant dt ', est exprimée par 2 C • D d t *.'

•1/ ■ a • * 7s-g— '■> &, comme elle a pour secondé ~

valeur d (Aq) , on a*ni ^tà^^J^——
X~ ;dÁ-r,- dont Tintégrale est •/ en faisant í=o*

lorsque- q = D ) t = -: ^TTir X

^(D-.Ç) -^ (D-q) y
. X XVI. PROBLÊME VII. Les:, deux cylindres
ABCD, FCHGf fig. 6 ) , fermés de
tous’ côtés, & contenant des airs différemment condensés
: on- demande la vitesse avec laquelle Pair
passera d’un cylindre dans l’autre-, par le petit
orifice Cî

H est d abord-évident que l’air lé plus dense coulera
dans le plus rare. Supposons que cet écoulement
se fasse du vase ABCD dans: se vase FCHG,
Nommons D la densité de Tair de Tatmosphère, ;
F sa force élastique ; Q la densité initiale de ïair,
ABCD} & par conséquent -^jr- sa force élastique
initiale ;■ q sa. densité après le ..tems. t,-. & par. conséquent-ífy-
& force élastique après cernêrne teins 5,
R la densité initiale de ; Tair FCHG, &"par conffe-.
quent -4j— íà force élastique initiale ; r fa densité

après Ietemsi, & par conséquent ~--fà force
.ólasliquesaprè5 ce même tèms ; V la vitesse initialede.
Taïr ABCD ; u là :vîtesse après le tems t. IÍ
est clair que la force expulsive de Tair AB CD est ?
fí.F RE.-vr- ! ;:.. -.n ^ p'- q F . -r-Fyg-'r ?-$r'S au premier instant5 & -^ -y^
*<* air air-après le teins f. Ainsi, on aura ——^ = .
:, iF—rF .. ç p- j/" ; ça u ;, ce qui donne u =L’écoulement cesl’era, quand on aura r—q.Comme la masse totale d’air, contenue dans lés
deux cylindres, demeure constamment la même ; si
l’on nomme A la capacité ou le volume du cylindre
A B CD, B celui du cylindre FCHG, on
aura cette seconde équation A-Q-r-B'B==A•{-}-
B -r, parce que les masses sont comme les produits
des volumes par les densités, Cette équation '
donne r=-^i^-—^-+- ? • R-, Substituant cette
valeur de r daHS la valeur de u , oh aura u=zgui donne la vitesse u correspondante à chaque
densité q.XXVII. PROBLÊME VIII. Trouver l’équation
entre le tems t & la densité q , dans l’hypothèse du
problème précédent ?■ Supposons, pour abréger un peu le calcul,AQ + BR=f, AQ+BQ=K ;BQ-BR =m : on trouvera, en raisonnant toujours de même ,NOUS ne nous arrêterons pas à développer en
détail toutes les conséquences qui résultent de ces
formules : le lecteur y suppléra facilement. (L. B.).AIRE, f. si ( Géométrie )  : surface d’une figure
rectiligne, curviligne, ou mixtiligne, c’est-à-dire,
J’espace que cette figure renferme. Voyei SURFACE,PlGURE, &c.' - Si une aire, par exemple un champ, a la figure
d’un quarré, dont le côté soit de 40 pieds, cette
aire aura ïóoo pieds quarrés, ou contiendra iíoo
petits quarrés, dont le côté sera d’un pied. Voyei
QUARRÉ, MESURE. • ■ " ■> Ainsi, trouver l’aire ou la surface d’un triangle",
d’-un qjia'rré, d’un parallélogramme, d’un rectangle,
d’un trapèze, d’un rhombe, d’un polygone, d’un
cercle, ou d’une autre-figure, c’est trouver combien
cette ai ;<r confient de pieds, de pouces & de lignes
cpiarrés. Quant à la manière de faire cette réductiond’une surface en surfaces partielles quarrées. Voyéf.
TRIANGLE. , "Pour mesurer un champ, un jardin, un heu entouré
de murs, fermé de haies, ou terminé par des
lignes, il faurprendre les angles qui se trouvent
dans le contour de cé lieu, les porter fur le papier,
& réduire ainsi l’aire comprise entre ces angles &
leurs côtés en arpens, &c., en suivant les méthodes
prescrites pour la mesure des figures planes en général.'
Voy ci FAIRE OX LEVER' UN PLAN.Si du centré du soleil, on conçoit une ligne tirée
au centre d’une planète, cette ligne engendrera autour
du soleil des aires elliptiques proportionnelles
au tems..Telle est la loi que suivent les planètes dans
leur mouvement autour du soleil ; ainsi le soleil étant,
supposé en S, & une planète en A, ( PI. Aflronom.
figure 86' ) si cette planète parvient en B, dans
un tems quelconque donné ; le rayon vecteur A S
aura formé dâns ce mouvement l’aire A SB : soit
ensuite la même planète parvenue en P , & soit
pris le point F, tel que l’aire P SF, soit égale à
ïaire.ASB ; il est certain par la proposition pré-,
cédente, quelle aura parcouru les arcs P F&.AB ,
dans des tems égaux. Voyei PLANÈTE.& ELLIPSE.Le célèbre Neuton a démontré que fout corps:
qui dans son mouvement autour d’un autre, fuit la .
loi- dont nous venons de parler, c’est-à-dire quetout
corps qui décrit autour d’un autre corps, des
aires proportiorinelles au tems, gravite ou tend vers
ce corps. Voyei GRAVIVATION & PHÏLPSOPHH5:
NEUTONNIENE (O) ,AIRE de pont ; c’est le dessus d’un pont fur lequel
on marche, pavé ou non pavé.AIRE d’un bassin ; c’est un massif d’environ, un.
pied d’épaisseur, fait de chaUx &. de ciment avec
des cailloux 5 ou un corroi de glaise pavé par-dessusy
ce qui fait le fond du bassin. Cette aire se conserva
long-tems, pourvu que la superficie de Teau s’écoule
aisément ; quand le tuyau de décharge est trop
 menu, Teau superflue regorgeant sur les bords ,:-
délaye le terrein fur lequel est affis le bassin, & le
faitpérir.( K ). '.-'.• !..AIRES proportionnelles au tems, ( Astron. )  c’estune
des loix de Kepler, qui ont lieu dans les mouvemens
des planètes, & que ce grand homme dé- v
couvrit en même temps que la figure elliptique d %
leurs orbites ; elle consiste en ce que Ie rayon ménedu
çenfre du soleil, au çentrp de la planète qui
tourne autour de lui, parcourt des secteurs égàUx,
en tems égaux :'■■ fi la plànere est deux fois’plusléloignée
du soleil, elle va deux fois plus lentement ;
cri forte que le tfíatìgïe ou le secteur par-:
couru, étant deux fois plus étroit, quoique deux
fois plus long, la surface est toujours la même. ^
Kepser démontre d’abord à la page 165 de fa
nouvelle Physique céleste:, cque le mouvement des,
" planètes dans les’apsides’, est proportionnes à lèùr
dislance au soleil ,. même dans l’hypothèse de,
Ptolomée ; c’est-à-dire, qu’en prenanf un arc
•de Texcentriquè , vers’ Tàphelíe , 6V un" autre ;^ air- aï r ilarc de même longueur vers Ie périhélie, la pla- I
nete est plus long-tems dans Tare aphélie, à proportion
que la distance aphélie est plus grande.
Soit E (Astron. fig. -8 z.)  le point autour duquel le
mouvement est supposé uniforme ; S le centre du
soleil à même distancé du centre C que le point £ ,
ayant tiré deux lignes M E O, NE P, I'arc MN,
& Tare O P font parcourus dans le même temps,
suivant Cette hypothèse ; puisque les angles en E
font égaux. Si du point S on tire les lignes S O,5 P, & les lignes S N, S M, elles formeront des
secteurs égaux OSP, N S.M: en effet, à cause des
triangles^ semblables NE M, OEP , on a cette
proportion M N \ O P \\ER\E Ç ; donc MNEQ=OP-ERÏ=OP.SQ= MN-SR ; donc
le secteur SNMeû égal au secteur OSP '. donc dans
l’hypothèse même d’un cerclé excentrique, si Ton
prend deux arcs M N & O P décrits par une
planète dans des temps égaux, on aura au point
j5\des aires égales.
Lorîque Keplerpaslè à la considération des orbes elliptiques,
 il transporte à Tellipse cette propriété
qu’il n’avoit prouvée que pour le cerclé excentrique
, 6k cela sans y employer de nouvelles démonstrations.
II n’avoit d’abord considéré que le câs de
Taphelie & du périhélie ; mais la régie se trouva
vérifiée d’ailleurs par un accord général entré lés observations
& les calculs.Ce ftit Neuton qui, dans son fameux livre des
principes, fit voir que cette loi étoit une fuite nécessaire
du mouvement des planètes autour du soleil6 de la force centrale, dirigée constamment vers
le soleil.
Considérons une plariete tournatìt autoUr du soleil
S fig. 8z. en un point quelconque Q de son orbite,
venant de parcourir Tinstant d’auparavant uhe trèspet’ite
portion P Q de cette orbite, que l’on suppose
une très-petite ligne droite ; la planète parvenue
de P en Q & le rayon de foh orbite ayant passé
de S P en S Q , á décrit l’aire S P Q en une minute
de temps ; je dis que dans la minute suivante, il
décrira une aire S Q R , égale àl’aireSPQ ; ou
un triangle égal en surface à S P Ç, en forte que
l’aire décrite: par le rayon , sera égale en tems égal.
En effet, si la planète livrée à elle-même, eût continué
à se mouvoir de Q en F, en vertu de la loi
générale du mouvement, elle auroit décrit une aire
QSF égale k l’aire P S Q,-parce que Ces deux
triangles sont égaux, ayant des bases égales P Q
&.ÇF, & pour hauteur commune la perpendiculaire
abaissée du -point S fur la direction FQP
prolongée au dehors ; mais à.cause de la forcé
centrale, qui attire la planète, vers le soleil, àvèe
une force exprimée par Q G., elle décrira la diagonale
QR d’un parallélogramme FQGR, & ce sera
une aire Q S R ( k la place de l’aire Q S F)  qui
sera décrite parla planète : orles triangles Q S R,
QSF sont encore égaux, parce qu’ils ont la même
base OS , '.& sont compris entre les mêmes paralJeles
FR.&. QJi.àoncMre Q -S R essauffi éga% ■à l’aire P S Q: ainsi il est démontré que lá petite'
aire décrite dans la première minute est égale à la
petite aire décrite dans la minute suivante ; procédant
ensuite de minute en minute dans toute la
durée de la révolution, on démontrerait aveè la
même facilité, que la même planète, décrira éternellement
la même aire dans le même. tèms, ' à"
quelque dislance du soleil qu’elle parvienne, tant,
qu’il ne surviendra pas une force-étrangère, qui
puisse troubler Tégalité entre Q F & P Q , c’est-àdire
, entre la ligne qu’une planète vient: de parcourir,
& celle qu’elle tend à parcourir dans la
minute suivante.Ainsi la loi des aires proportionnelles aux tems ,'
est prouvée non-feulement par Tobservation , c’està-dire,
parl’accord général" des calculs fondés fur
cette loi avec les observations, máis encore par la"
nature riiême des deux forces qui animent les pla- ;
netes. Voyei Loix DE KEPLER. PLANÈTES.
(M. DE LA LANDE.) '. "''",'"AIROMETR1E, í. f. Science des propriétés de
Tair. Voyei AIR.AIS, terme de'Páumier ; c’est tuie planche ma- ;'
çorinée dans le mur à Textrérnité d’un tripot ou
jeu de paume, qu’on appelle quarré. U ais est placé
précisément dans Tangle du jeu de paume, qtti
touche à la galerie j & daris la partie du tripot,
où est placé le ferveur. Les tripots ou jeux de
paUine qu’on appelle des dedans, n’ont point d’ais],
Quand la balle va frapper de volée dans l’ais’, ce
qui se connoît par le son de la planche, le joueur,
qui Ta poussée, gagné Un quinze. Voyei JEU DE
PAUME. 'AISSIEU'•', '( Astron. ) ' Vòyèi Ax E. '
AISSIEU-, (Méch. ) Voyei ESSIEU.'AIXOLEN1A,
 ( Astron:) : c’est un des noms
de lá constellation de la chèvre.
- AJUTAGE ,ou AJUTOIR, ï. m. ( Hyd. ) Î.
orifice par lequel un fluide fort d’un réservoir óu.
d’un vase quelconque. On.donne ordinairement ce
riòm à des tronçons dé cylindre ou de cônes, de
cuivre, de fer-blanc, de ploirib, xpj’on adapte à
un réservoir, OU à lasouche duntUyau dé conduite,:
pour procurer Técoulement d’un fluide, oupóur
former Un jet d’eau. La quantité d’eau que donne"
urt ajutage, est. proportionnelle au produit de
fa~ surface, par la racine quarrée de la hauteur ;
de Teau an dessus de cet ajutage' On peut prendre
pour cette hauteur, la distancé du centre 1
de gravité de ía surface de ïajutage au plan "bór ;
rizontal, qui-rase la'fuíface du fluide daris. }é
réservoir', parce qnofdiriairement ie diamètre de
ïajutage eû très-petit en comparaifo.n dé'lá hauteur
proposée ; autremeftt il faudroit déterminer la quantité
d’ean.écoulée, par la méthode qu’on expliquera
au mot’ÉCOULEMENT. '■'.:'. , '.''. ;_Voyei au mot JET D’EAU lá meilleure formé
des ajutages, pour produiíè-.îa plus grande'élévation
de Teau. ( L. B.). ' •-■■ ■
 ; ' ÀLAMAC ;, ALA-MAK pu AMAK', ( Asiron:'%,ï a l g a l gJ-—rjom que les Arabes ont donné à une étoile de la
seconde « randeur, qui est dans le pied austral d Andromède
3 ; elle est appelléo- dans les cartes célestes
de Bayer & de Flamsieed-, ainsi que dans nos catalogues
d’étoiles. ( M. DE LA LANDE. ) ALBEGALA, ( Asti: )  : c est un des noms de lalyre.ALBIREO, ( Astr. ) '. c’est un des noms de
Tétoile C du <:ygne.' ALCYONE, ( Astr. ) : c’est le nom d’une des
pléiades, la plus brillante de toutes, marquée y dans
nos catalogues.ALDEBARAN, ( Astr, )  : nom que les Auteurs
Arabes ont donné, & que nous donnons encore à
Tétoile de la première grandeur, qui est dans les
hyades, appellée auffi oeil dutaureak ; le nom Arabe
signifie étoile principale ou dominante : on Tappelle
en Grec, Ai/*<a-tt<T’ì« f & ùn-í^foc, en Latin, palilicium
ou parilicium, subrusa ; en Arabe, abenèiya ,
Atin, Eltaur ; mais son noìn le plus ordinaire, est
Aldebaran. On croît que c’est le Tasehter des Indiens,
le génie qui prësidoit à Téquinoxe du printemps.
Voyez M Bailly , Histoire de F Astronomie ; on peut
facilement la reconnoitre, en la voyant dansée méridien,
a neuf heures du soir, le 8 Janvier à 570
de hauteur à Paris : nous verrons à Tarticle CONSTELLATION
, d’autres manières de reconnoitre cette
étoile , de même que toutes celles qui sont un peu
remarquables. Aldebaran est souvent éclipsée par la
lune, & ces éclipses sont fort utiles pour trouver
les longitudes des lieux ; elle est sujette à de petites
inégalités, qui annoncent un déplacement réel, Voy,
ÉTOILE. (A L-) ALÉSÉ, adj. ( Hydràul. )  > se dit des parois ou
côtés d’un uryau qui sont bien limés, ç'est-à-dire,
dont-on a abbatu tout le rude (K).'ALFONSLNES, V°yel ALPHONSINES ;ALGEBÀR ou ALGEBARO, nom Arabe de la
constellation d ?Orion,ALGÈBRE, C’f. Science du calcul des grandeurs
considérées généralement. On a choisi, pour représenter
les grandeurs ou les quantités, les lettres de
Talphabet, comme étant d’un usage plus facise ik
plus commode qu’aucune autre sorte de signes.Ménage dérive ce mot de T Arabe Algiabarat, qui
signifie le rétablissement d’une chose rompue ; supposant
faussement que la principale partie de TAlgèbre
consiste dans la considération des nombres rompus^
Quelques-uns pensent contre M. d’Herbelot, que
l’Algèbre prend son nom de Geber, philosophe
Chimiste & Mathématicien célèbre, que les Arabes
fíppellént Giabert, & que Ton croit avoir été Tinyenteur
de cette science ; d’autres prétendent que
ce nom vient de gefr, espèce de parchemin, fait
île la peau d’un chameau, sur lequel Ali & Giafur
Sadek écrivirent en caractères mystiques la destinée
Bu Mahométisme, &.les grands événemens qui dévoient
arriver jusqu’à la fin du monde ; d’autresle
dérivent du mot gebff, dont avec la'parácule al. ona formé le mot Algèbre, qui est purement arabe ;
& signifie proprement la réduBion des nombres rompus
en nombres entiers ; étymologie qui ne vaut gueres
mieux que celle de Ménage. Au reste, il faut observer
que les Arabes ne se servent jamais du mot
Algèbre seul, pour exprimer ce que nous entendons
aujourd’hui par ce mot ; mais ils y ajoutent toujours
le mot macabelah, qui signifie opposition & comparaison
 ; ainsi Algebra-Almacabelah est ce que nous
appelions proprement Algèbre.Quelques Auteurs définissent l’Algèbre, Tari de
résoudre les 'problêmes mathématiques : mais c’est-ià
Tidée de TAnalyse ou de Tart analytique plutôt que
de ïAlgèbre. Voyei ANALYSE.En effet ÏAlgèbre a proprement deux parties :
i.° la méthode de calculer.les grandeurs, en les
représentant par les lettres de Talphabet ; 2. 0 la
manière de se servir de ce calcul pour: la solution
des problêmes. Comme cette dernière partie est lá
plus étendue & la principase, on lui donne souvent
le nom d’Algèbre tout court, & c’est principalement
dans ce sens que nous Tenvisagerons dans la fuite
de cet article.Les Arabes Tappellent Fart de re{liiuúon & dt
comparaison, pu F art de résolution & d’équation. Les
anciens Auteurs Italiens lui donnent le nom de
régula rei & census, c’est-à-dire, .la règle de la
racine & du quarré : chez eux,' lâ racine s’appelle
res ; & le quarté, census. Voyei RACINE, QUARRÉ.
D’autres la nomment Arithmétique spécieuse , Arith*
méfique universelle , &c.V Algèbre est proprement la méthode de calculer
les quantités indétèrrhinéçs ; c’est une sorte d’Arithi
métique, parle moyen de laquelle on calcule les
quantités inconnues, comme si elles étoient connues*
Dans les calculs algébriques, on regarde la gran-<
deur cherchée, nombre, ligne, ou toute autre
quantité, comme si elle étoit donnée ; & par le
moyen d’urte .ou de plusieurs quantités données,
on marche de conséquence en conséquence, jusqu’à
ce que la quantité que Ton a supposée d’abord in*
connue, ou au moins quelqu’une de ses puissances,
devienne égale à quelques quantités connues ; ce
qui fait connoître cette quantité elle-même. Voyei
QUANTITÉ. & ARITHMÉTIQUE,On péut distinguer deux espèces d’Algèbre ; la
numérale & la littérale.
_ L !Algèbre numérale ou vulgaire, est cellè des an*
ciens Algébristes, qui n’avoit lieu que dans la résolution
des questions arithmétiques. La quantité
cherchée y est représentée par quelque lettre ou
caractère : mais foutes les quanutés donriéés sont
exprimées en nombre. Voyei NOMBRE.L’Algèbre littérale ou spécieuse, ou la nouvelle
Algèbre , est celle où les quantités données ou con.
nues, de même que les inconnues, sont exprimées
ou représentées généralement par les lettrés de Talphabeth,
Voyei SPÉCIEUSE.Elle soulage la mémoire & Timagination, eri
j diminuant beaucoup les efforts .qu’elles sefoiçrìiobligéesA l g al g 55oViigées de faire, pour rétenir les différenfe ; choses
nécessaires à la découverte dé la vérité fur laquelle
on tsavaille, & que Ton veut conserver présentes
á Tesprit : c’est pourquoi quelques Auteurs appellent
cette science Géométrie métaphysique.L’Algèbre spécieuse n’est pas bornée comme la
numérale, à une certaine espèce de problêmes :
mais elle sert universellement à la recherche ou
à Tinvention des théorèmes, comme à la résolution
& à la démonstration de toutes sortes de problèmes,
tant arithmétiques que géométriques. Voyei THÉORÈME
, &c.Les lettres dont on fait usage en Algèbre, représentent
chacune séparérnent des lignes ou des nombres,
félon que le problême est arithmétique ou
géométrique ; & mises ensemble ,-elles représentent
des produits, des plans -, des solides" & des puissances
plus élevées, 'si les lettres sont én plus grand
nombre : par exemple ; en Géométrie, s’il y a deux
lettres, comme ab , elles représentent un rectangle
dont deux côtés sont exprimés, l’un par la lettre a ,
& l’autre par b ; de sorte qu’en se multipliant réciÍìroquement,elles produisent le plan a &:-si la même
eftre est répétée deuxfois, comme â a , elle signifie
un quarré : trois lettres a b-c, représentent Un solide
ou un parallélipipedé rectangle, dontlès trois diínenfions
sont exprimées par les trois lettres a, b, c ;
la longueur par a, la largeur par b, la profondeur
ou Tépaisseur par c ; en sorte que par leur multiplication
mutuelle, elles produisent le solide ab c.Comme dans" les quarrés, cubes, 4." puissances,
&e. la multiplication des dimensions ou degrés est
exprimée par la multiplication des lettrés,- & que
le nombre de ces lettres peut croître jusqu’à devenir
trop incomrhode, on se contente d’écrirè laracine
une seule fois, & de marquer à la droite Texposant
de la puissance, c’est-à-dire le nombre des lettres
dont est composée la puissance ou le degré qu’il s’agit
-d’exprimer, comme a%, a 3, a 4, a5 : cette dernière
expression af veut dire la même chose que a élevé à
la cinquième puisiànce ; & ainsi du reste. Voyei
-PUISSANCE, RACINE, EXPOSANT, &CQuant aux symboles, caractères, &ç. dont on fait
usage en Algèbre , avec leur application, &c. Voyei
les articles, CARACTÈRE, QUANTITÉ, &c.PoUí la méthode défaire les différentes opéra- .
rions de ÏAlgèbre, voyei ADDITION , SOUSTRACTION,
MULTIPLICATION, &C
■ Quant à Torigine de cet art, nous n’avons rien
•de fort clair là-dessus : on en attribué ordinairement
Tinvention à Diophante, Auteur grec, qui en écrivit
treize livres, quoiqu’il n’en reste que fix. Xyiander
lés publia pour la première fois en 1575 ; & depuis
ils ont été commentés & perfectionnés par* Gaspard
Bachet, sieur deMeziriac, de TAcadémie Françoise,
& ensuite par M. de Fermât.Néanmoins il semble que l’Algèbre n’a pas été
totalement inconnue aux anciens Mathématiciens, ■
qui exisloient bien avant le siècle de Diophante :
on en voit les traces en plusieurs endroits de leursMathématiques.Tome I, lj**_ Partie,ouvrages’, quoiqu’ils paroissent avoir eu le dessein
d’en faire un mystère. On en apperçoít quelque
chose' dans Euclide, .ou au moins dans Theon,
qui a travaillé fur Euclidè. Ce Commentateur prétend
que Platon avoit commencé, le premier à enseigner
cette science. II y er> a encore d’autres exemples
dans Pappus, &• beaucoup plus dans Archirnede
& Apollonius. - - .Mais la vérité est que f analyse dont ces Auteurs
ontfaitufage, est plutôt géométrique qu’algébrique,
comme cela paroít par les exemples que Ton en
trouve dans leurs ouvrages ; en sorte que Ton peut
dire que Diophante est le premier & le seul Auteur
parmi les Grecs, qui ait traité de ÏAlgèbre. On
Croit que cet art a été fort cultivé par les Arabes :
on dit même que les Arabes Tavoient reçu des
Perses, & les Perses des Indiens. On ajoute que
les Arabes Tapportèrent en Espagne ; d’où, suivant
Tppinion de quelques-uns, il passa en Angleterre
avant que DiopTiante y fût connu.Luc Paciolo, ou Lucas à Burgo, Cordelier, est
lé premier dans TEurope , qui ait écrit fur ce sujet :
son livre, écrit en Italien, fut imprimé à Venise
en 145) 4. I' étóit, dit-on-, disciple d’un Léonard
de Pise, & de quelques autres dont il avoit appris
cette fnérhode : mais nous ri'avOns .aucun, de leurs
écrits. Selon Paciolo, l’Algèbrevient originairement
des Arabes : il ne fait aucune mention de Diophante
 ; ce qui seroit croire que cet Auteur n’étoit
pas encore connu en Europe. Son Algèbre ne vá
pas plus loin que lès équations simples & quarrées ;
encore son travail fur ces dernières observations ést-ií
fort imparfait, comme on peut îe voir par le détail
que donne fur ce sujet M. TAbbé du Gua, dans
un excellent Aíémoire imprimé parmi ceux de TAcadémie
des Sciences de Paris 1741. V. QUARRRÉ
ou QUADRATIQUE, ÉQUATIONS, RACINE, &CAprès Paciolo parut Stifelius, Auteur qui n’est
pas fans mérite : mais il ne fit faire aucun progré3~
remarquable à ÏAlgèbre. Vinrent ensuite Scipion
Feíreí, Tartagliâ, Cardan & quelques autres, qui
.poussèrent cet art jusqu’à la résolution de quelques
équations cubiques : Bombelli les suivit. On peut
vpir dans la dissertation de M. i'Abbé du Gua que
nous venons de citer, Thistoire très-curieuse & trèsexacte
des progrès plus ou moins grands que chacun
de ces Auteurs fit dans la science dont nous parlons :
tout ce que nous allons dire dans la fuite de cet
article fur Thistoire de l’Algèbre, est tiré de cètte
dissertation. Elle esttrap honorable à notre nation,
pour n’en pas insérer ici la plus grande partie.« .Tel étoit l’état de l’Algèbre ^Sc de T Analyse,'
}} lorsque la France vit naître dans son sein François
"55 Viete, çe grand Géomètre, qui lui fit seul aufarit
J5 d’honneur que tous les Auteurs dont nous venons
55de sabre mention, en avoient fait eriíèmble à
/Jîl’Italie. -53 Ce que nous pourrions dire ici à son éloge, sejîrôit
certainement au-dessous de ce qu’en ont dit
jjáéjàdep-uislohg-tems les Auteurs les plus illustres,,
'24 A L G
A l g« même parmi les Anglois, dans la bouche desquels
ces louanges doiveht être moins suspectes de gar« 
tialité, que dans celle d’un compatriote. Voyeçce
« qu’en dit M. Halley, Tians. philos, n." 290. arts..3 3 Ce témoignage, quelque avantageux ,quil-soit
« pour Viete," est à peine égal .à .celui qu’Harriot,
autre Algcbrisse Anglôis, rend au même Auteur
dans la préfacé du livre qui porte póur titre, Artis
anzlytiae praxis.33 Les éloges qu’il lui donne, sont d’autant plus
« remarquables, qu’on les lit à la tête de ce même
53 ouvrage d’Harriot, où Wallis a prétendu apper« 
cevoir les découvertes les plus importantes qui
« se soient laites dans Tanalyse, quoiqu’il lui eût
été facile de les trouver presque toutes dansViete,
à qui elles appartiennent en effet pour la plupart,
comme on le va voir. - '33 On peut entr'autres eri Compter- sept de ce
« genre.>3 La première, c’est d’avoir introduit dans les
« calculs les lettres de Talphabeth, pour désigner
même les.quantités connues. Wallis convient de
cet article, & il explique au chàp. xiv.--de ion
traité d’Algèbre , Tutilité de cette pratique.j 3 La seconde, c’est d’avoir imaginé presque toùtés
« les tranformarions des équations, auffi bien que
les différens usages qu’on en peut faire, pour
rendre-plus simples les équations proposées. On
peut consulter là-dessus fpn : traité de recognitione
Aìquaúonum, à la page 91 & suivantes,,: édition
de 1646, auffi bien. que le commencement du
traité ie emendationeJEquàtionum , page 117&
suivantes. , ■■ < ■.33 La troisième , c’est la méthode qu’il a donnée,
« pour recorinoître, par la comparaison dé deux
équations, qui ne différaient que par les signes,
33 quel rapport il y a entre chacun des coêfficiens
« qui leur sont communs, & les racines de Tune
& de l’autre. II appelle cette méthodefyncrisis,
53 & il Texplique dans lé traité de recognitione,-pâge
3)  104 & suivantes.33 La quatrième, c’est f usage qu’il fait des décou« 
vertes précédentes, pour résoudre généralement
« les équations du quatrième degré, & même celles
33 du troisième. Voyei le traité de emcndatióne ,
« pages 140 & 147.3i i_a cinquième, c’est la formation des équations
f> composées par leurs racines simples, lorsqu’elles
35sont foutes positives, ou la détermination de
'« toutes les parties de chacun des coêfficiens de
.53ces équations, ce qui termine le livre de tmen« 
âatione , page 158.. .33 La sixième & la plus considérable, c’est la ré« 
solution numérique des équations, à Timiratíon.53des extractions de racines numériques, matière
« qui fait elle feule Tobjet d’un livre tout entier.
Enfin on peut prendre pour une septième dé« 

couverte, ce que Viete a enseigné de la méthode
' « pour construire géométriquement les équations,
 ! « & qu’on trouve expliquées pages 22.9 &suiv.
33 Quoiqu’un fi grand nombre d’inventions pre33prés
à \iete dans la seule Analyse, Taient fait
33-regarder, avec raison, comme le père de cette
33 Science, nous sommes néanmoins obligés d’a..
« vouer qu’il ne s’étoit attaché à reconnoitre com33
bien il pouvoit y avoir dans les "équations de
33racines de chaque espèce, qu’autant que cette
33 recherche entroit dans le dessein qu’il s’étoit pro33
posé, d’assigner en nombre les valeurs ou exactes,
« ou approchées de ces racines. II ne.considéra
33donc point les racines réelles négatives, nori
33 plus que les racines impossibles, que Bombelli
33 avoit introduites dâns le calcul ; & ce né fut que
>3par des voies ;indirectes-, qu’il vint•■ à bout de
33déterminer, lorsqu’il èn eut besoin-, le nombre
33 des racines réelles positives. L’illustre M. Halley
33 lui fait même.avec fondement, quelques reproches
33 fur les règles qu’il donne pour cela.
33 Ce que Vieteavoit omis de faire au sujet du
33 nombre des racines ,. Harriot qui vint bientôt
33après, le tenta inutilement dans son 
1 »les quatre racines ne devant pas être tout-à-larfoi »
Artis ana33
lyticoe praxis. L’idée que l’on doit se former de
33 cet ouvrage, est p'récisémentcelle qu’en donne sa
33 préface ; car pòur celle qu’on pourrait en prendre
33 par la lecture du traité d’Algèbre de Wallis, elle ■
33 ne seroit point du tout juste. Non-seulement ca
33 Uvre ne comprend point, comme Wallis vouloit
33 Tinsinuer, tout ce qui avóit été découvert de plus
33 intéressant dàns Tanalyse, lorsque Wallis a écrit ;
33 on peut mê'me dire quil mérite à peine d’être
3> regardé comme Un ouvrage d’invention. Les abréí
33 gés  ;qUe. Harriot a imaginés, dans l’Algèbre , se
s J réduisent à marquer les produits de différentes
33 lettres, en écrivant ces lettres immédiatement les
, 33 unes après’les autîes: (car nous ne nous arrête »
>3ions point à obseiver avec Wallis,.qu’il a em33plo3'é
dans les calculs les lettres minuscules au :
 33 lieu des majuscules ). 11 n’a point simplifié les
: 33 expressions où une même, lettre se trouvoit plu:
35 sieurs -fois, c’est-à-dire les.éxpreffions des puissjsances,
en écrivant Texposant à côté. On verra
33 bientôt que c’est àDescartes qu’on doit cet abrégé,
33 ainsi que les premiers élémens du calcul des puil33
fances ; découverte qui en a.été la fuite naUirelle,
33 & qui a été depuis d’un fi grand usage. . .
. ;• '33 Quant à Tanalyse, le seul pas qu’Harriot pa« 
roisse proprement y. avoir fait, .c’est d’avoir em33
ployé dans la formation des équations du 3.c &
33 du 4.' degré , les racines négatives, & même des
33 produits-de deux racines impossibles ; ce que n’a-'
33 voit ppint fait Viete dans son dernier chapitre
>:de emendatioiie: encore trouve-t-oriici une faute ;
33 c’est que l’Auteur forme les équations du 4.* desi
gré, dónt les quatre racines doivent être tout-à-la^3
fois impossibles, par le produit de fce-{-a a =0,
33 & df-^- aa==o, ce qui n’est pas assez général,A l g a l g vyfj supposées des imaginaires pures, mais tout au plus
deux imaginaires pures, & deux mixtes iihaginaires. »>
Mé TAbbé du Gua fait encore à Harriot plusieurs
autres reproches qu’on peut lire dans son mémoire.
• et II n’est presque aucune Science qui n’ait dû
« au grand Descartes quelque degré de perfection:
mais l’Algèbre & l’Analyse lui sont encore plus
redevables que tous lès autres. Vraisemblablement
il ifavoit point lu cé que Viete avoit découvert
dans ces deux sciences., & il les pousta beaucoup
93 plus loin. Non-feulement îl marque, ainsi que
Í3Harriot, le produit de deux lettres, en les écri« 
vanta la fuite Tune de l’autre ; il ajoute à cela
« Texpreffion du produit de deUx polynômes, èn
se servant du signe dé la multiplication, &.en
tirant une ligne sur chacun de ces polynômes en
particulier, ce qui-soulage beaucoup l’iriiaginá« 
tíon._ C’est lui qui a introduit daris {'Algèbre les
« expo-fans, ce qui a.donné les principes élémerÌT
taires de leurs calculs : c’est lui. qui, à imaginé le
premier des racines au x "équations J,,dári.s les cas
mêmes où ces racines- sont impossibles ; ; de façon
que les imaginaires & lès réelles refnplislèrit le
nombre des dimensions, dé la proposée : c’est lui
qui a donné, le premier des moyens derrOUvér
les limites dés racines’ 'dès équations , qu’on ne« 
peut résoudre exactement ; enfin ; il : a beaucoup
« ajouté aux affections géométriques 'de ïAlgèbre
que Viete nous a.laissées. en déterminant ce "que
c’est que les lignes négatives ; c’est-à-dire celles
qui répondent atix racines des équations qu’il
'« nomme fausses ; & en enseignant à multiplier &
à diviser les lignes les Unes par lés autres. V.te
commencement de fa Géométrie. II forme, Comme
Harriot, les équations paflàmultíplicafióri d’eleufs
racines simples, & ses découvertes dàns Tanalyse
pure se réduisent principalement à deux. L’âpire« mière,
d’avoir enseigné combien il se troUye de
« racines positives ou négatives dans les équatiòtìs
qui n’ont point de racines imaginaires. Voyei
RACINE. La seconde, c’est Temploi qu’il fait de
deux' équations du second degré à coêfficiens in« 
déterminés, pour former par léur multiplication,
« une équation ; qui puisse être Comparée terme à
terme avec unè proposée quelconque du quatrième
degrés afin queces.comparaisons différentes four« nissent
la détermination de toutes les’détermínées
« qu’il avóit prises d’abord, & que ía proposée se
trouve ainsi décomposée ; én deux équations du •
second degré, faciles à ; résoudre par lés-méthodes ;
-* » qu’on -avoit déjà pour cet fiffet. Voyei fa Geo- ',
M métrie, page 83 , édit. d’Amst. ~Arì.' 1649. Cet :
« usage des índétejrniinés, est si adroit & fi élégant,:
qu’il a fait regarder Descartes.coriimeTinventeur
de la méthode des indéterminés ; car c’est cette
méthode qu’on a depuis appellée & qu’on homme
encore áujourd’huj proprement ï Analyse de Des- ■
 ?i cartes ; quoiqu’il faille avoues que Ferrei, Tar- !
« raglia, Bombelli, Viete surcoût, & après lui:
í »;H,aráptí en eussent eu çpnnoiflknce. : ; , ..-■..Pour TAnalyse, mixte, ç'est-à-direfapplication
« de TAnalyféa lá  Géométrie,,, elle appartient.pres.33
que entièrefrient à Defcàrtes, puisque c’est à íui
.« qu’on doitiricontéftablementJes deux,découvertes
 base ; Je paríéidelâ déter« 
minationde l’anature.des courbes par lês.équations
J3 à deux variables, ( ; &.de la construction
>3générale des.équations du j.'&Ju  degré,
  On peut y ajouter l’idèë de déter>3
miner la nature des courbes à double courbure
« par'.deux équations variables ;, ( ; la
33 niéthpdè'des’tangéntes, 'qui est comme le premier
« pas. qùi.se'íbit’.fait vers les infiniirient. petits",
 ; ladétermination des courbes propres
35 à réfléchir pu à' réunir "par réfraction , en ' un
« féal ^pint,,'les rayons de lumière ; enfin fap>
plication dé TAnïlyfe, & .de la,Géométrie.a' lk
.« 'Physique',", dón.t pri'payoit""point VU Júsquâlpfi
\.33quienfontcomme:lapage2G) 4,c"(page9s).page 74) 'ìì(pagé 4e) "d’áuffi grand exemple., "Si. On-réunit ^tputës.-jçe's
J ; différentes productions,quelleidéénêfëfotrriéfa"3s,t-onpás
 du grand 
hòmíriede.:quî elles 'nous yíen« 
rient ! & que sera-çé én comparaison de-tout Cela
« que le peu qui restera à Harriot, lorsque:dei
33 découvertes que Wallis lui avoit .attribuées saris
 ;33 fondèriiênt. dans le chapitre 53 de -son Algèbre
ìffiifloriqué. & pratique, -y òn aíira'oté-,'-çpínrnèonlé
« doit, C&-:qui'"appartient-à Viete Ou à Defcàrtes",
jsfuivant Ténumération que fíoús éììávons faife ?':■'
 J3 Outre: lá'détenninationi du nombre des racines
« vraies- ou îfaussès, c’est-à-dire, positives ou riéga-« 
rives, dans -les équations rie tous les: degrés qui
:« n’orit pointde racines imaginaires,: Defcàrtes a
-35:mieux déterminé qu’on n’avoit fait :jusqu’álors>,
'« le sombre ■'& Tefpèce - des racines :.des équations
-3}quelconques du 'Z.c<Síàú::^.e[ .degrés foit au
-« -moyen fdes-reiharques qu’ibia 'faites jsur :Ies: forÍ35mulèsfal|ébriquési,
soitjeri.ïmployarità cet usage
« différentes:observátions fur ses constructions géo« 
33métriques".":""' -■' "'■:::.'. " ■'. ■: '> 33 Ce dernier ouvrage qu’il avoit néanmoins.laissé
■fì imparfait ,-a ;été "perfectionné" dépuis peu4à-pèu
33 par différens Auteurs -, Debaune," par exemple^
« jusqu’à céque l’illnstreM. Halley y ait mls^ipour
ainsi dire là dernière main,- dans un beau mé.33
 moiré inséré dans les TranfaBionsphilosophiques-.,
lin." 190. art. 2. an. 26S7 ,-& qui-porte le titre
.« suivant: De numéro radicum in oequationibusso~
Udis de biquadraticis , five tertioe ac quartee po*
ìytestátìs ,'eorumque limitibusí, traBatulus.
-'■-' 33 Quoique Nevton fût né dans untems où.Taria33
lyse paroissoit déjà presque parfaite, cependantrm
33 st grand "génie ne poUvoit manquer de trouvera y
33 ajouter-encore. -11 a .donné efreffet succeffivement
" « dans son Arithmétique universelle, i." une règle
-33 très-éléganté & très-belle pour' connoître les cás
j} où les équations peuvent ;avpir des diviseurs ra^
33tionèls, & poUr.dëtermin.er dans ces cas, quels
-.« polynômes peuvent être ces diviseurs ; z° une
 ?3 autre règle pour reconrioître dans un grand nombre
« d’ocçafions, coinbien il doit se trouver de racinesY* à l g al g« imaginaires dans urie équation quelcontfùè : une
■ 33 troisième , pour déterminer, d’une manière noussvelle,
lès limites deséquations ; enfin une qua« 
triènie qui est peu connue, niais qui'n’en est pas
'33 moins belle ,pour découvrir en queTtas ïeséqua'« 
 rions des degrés" pairs peuvent se résoudre èn
33 d’antres degrés inférieurs , dontles coêfficiens ne
« contiennent que de simples radicaux du premier
•« degré. -- ;: ','--, -'" - .,''"'"',■ '.'' ;' '.) :''''"' ["^.' "j.
" 33 A cela il faut joindre Tapplicafjori des fractions
>jau calcul des’exposais ; Texpr'effionën fuites in« 
finies des. puissances entières ou fractionnaires",
33 positives où négatives d’un binôme quelconque" ;
« ('excellente règle connue sous le nom’de ..Régie
33 du parallélogramme , & au moyen de laquelle
« Neuton. assigne en fuites infinies, 'toutes lês’ ràr
Vscines d’une équation qu.elcôrique ; éníìn la'belíë
« méthode que cet Auteur a donnée.ppur interpoler
'« les "féries, „ò ; qu’il appélse meihodus differenáalìs. '
, « Quanta l’appliçatioride Tanalyse à la Géomér
.« trie, Neuton a fait, voir combien il y étoit versé,
non-seulement par les solutions élégantes de dif« 
férens problèmes qu’on tiiouveou dansson Arithjsmétique.
universelle , ou dans sesprincipes de la
.« Philosophie naturelle ;, mais ,principalèmentpar
somexcellent traité des ^Lignes du troisième ordre.
FojeïÇou ;RBE.:« , ,_.,,. ; ''.. .. ; -^ ; ;-.,'. "..f-,s,V -..•• ;'
 ; Voilà tous ce quénous díronssur lepr.ogrès de
l’Algèbre : les’ élémens de- cet art furent compilés &
publiés.par:Kerfey én 1671 ■ ;'. l’Aritlimétique spécieuse
, & la naturedes équations y'font amplement
^expliquées i& éclaircies par un grand nombred’exem.ples
différens : :ón:y .trouve, tòute la substance'de
'Diophante. :On y a ajòuté ;plHsieufs * ?b.pses..qui -r£r
gardent la composition:. & larèsolutiorima.t]lémati-,
-que, tirée de Ghetaldus.ii La :mêriiê- çhosoa été■exécutée depuis par Presier en 1.694 ,'&parOzaham
en 1703. Mais ces Auteurs ne parlent point, óu ne
parlent que fort brièvement de Tapplicátion de
:YAlgèbre .a la Géoiiiétrié ;: Guifoééy .a suppléé dans
nm traité écrit en françòis ; qu’il a composé exprès :
sUr ce sujet, &,qui ;à"été publié èh ,1.70.5.: auffibien
que le Marquis de THopital-^idans son fraise' analytiqúe
des sections coniques:,'• ,i<}07. II existe une
multitude d’ouvrages où Ton peut, s’instruire de
■l’Algèbre. Telsfont/e traité de la Grandeur, du P.
Lamy ; ï Analyse démontrée , du P. ReJfneaU ; là
Science du calcul, du même Auteur ; les élémens ■
d’Algèbre, de Saunderson, de Maclaurin, de CJai- ;
raut ; & dans ces derniers tems, ÏAlgèbre de
M. TAbbé Bossut ; celle de M. Bezout ; celle deM.L’Abbë
de la Caille, augmentée par.M. TAbbé
Marie, &c.On á appliqué aussi ÏAlgèbre à la considération
& au calcul des infinis ; ce qui a donné naissance
:Yune nouvelle branche sort étendue du calcul al- [
gébrique : c’est ce que Ton appelle la doBrine des ;
fluxions, ou le calcul différentiel. Voyei FLUXIONS :
& Dii'íÉREKTiEL. On peut voir à ï article ANALYSE,les principaux Auteurs qui ont écrit fus ce
sujet. ' ; ;Je me. suis contenté dans cet article, de donner
Tidéë gènénle'â'e ;ïAlgèbre, telle à-peu-près ou'onlà'donne
comihutìément ; & j’y ai joint, d’après’
M. fAbbé du Gua,Thistoire de ses progrès. Les
íàvans trouveront à ï article ARITHMÉTIQUE
UNIVERSELLE ; des- réflexions plus profondés fur
Cette Science ; & ià, l’articlè' APPXICATION , des
observations sor -ïapplication -dé l’Algèbre à la
Géométrie ('O). -.'ALGEBRIQUE, adj. ce qm. appartient à l’Algèbre.
Voyèl ALGÈBRE. . : '■ :
: Ainsi l’on dit caraBères on symboles algébriques,
courbes algébriques., solutions algébriques. Voyei,
CARACTÈRE , &c. L''Courbe algébnque , c’est unecourbe dáns laquelle
lé rapport des/abcifses aux :ordonriées, peut être
déterminé párune équation algébrique. V. COURBE.
On les àppêlïe'auffi #g/zeí ou courbes géométriques.
Voyei GÉOMÉTRIQUE. ' . ■' .Les courbes algébriques sont opposées aux courbes *
méchaniques ;ou transcendantes. VoyeiMÉCHANlQVÈ
& TRANSCENDANT^ O).
'.' ALGËBRISITE, -ï. m. fe dit d’une personne versee,
dans-TAlgèbrèL’J^yeç ALGÈBRE ( O). ; ;
'.: ALGjEDF, rioin de Tétoile y du Capricorne. .
…ALGENEB . du,"'ALGENIB, (Astr. ) ' ; c’est
le nom d’une étoile dé la seconde grandeur, située
dans la constellation de Pégase, & que les astronomes
inarquent par la lestre y ; dîautres donnent
ce ; nom.à,Ja ceinture de Persée.
.,.f A£GQL. OU tête de. Méduse , étoile fixe de la
seconde'grandeur, dans.lá constellation de Perfée.
. Voyei ■■P.ERsÉE'. . _L^ . ' ■ ' ' ,, . ;".-"Ori ;avoit rerriarqué,daris- le dernier siécle, que
cette étoile charigeoif de grandeur & de lumière ;
mais, en 1783, M. Goodricke, gentilhomme
d’Yorck, a reconnu que cette étoile, qui est ordinairement
de seconde grandeur, n’est plus’que de
la 4e j) éndant quelques heures ; & cela tous les trois
jours ; la période de ces variations est de 69 heures ;
elle emploie,trois"hëúres & demie à diminuer, &.
autant à recouvrer fa lumière. Lé 3 maí'1785 , à.0 heuresdu soir, elle étoit la plusfoiblé, & tous
les 23 jours cette phase doit ; revenir vers la même
heure ; ce sera,donc à minuit, le'r." février 1784,
le 24, &ç ; Cette ; étoile ne'reslé.à Paris, fous l’horizon
, que .pendant" une heure ' & ' '27 rnînutes.
On peut expliquer ces variations par la figure applatie^
de Cette étoilé, comme Maupertuis, paf
quelque grande tache à fa surface, comme Riccioli,
ou par Tinterpofition de quelque grande planète
qui tournerait autour de cette belle étoile : c’est1 opinion de M. Goodricke. ( DE LA LANDE). ''ALGOMEIZA , nom de Tétoile Procyon.
ALGORAB, nom de Tétoile y du Corbeau. !
ALGORITHME, f. m. terme Arabe, employé ;
par quelques auteurs, & singulièrement par lesA l h a l l 'î7•Espagnols, pour signifier la pratique de FAlgèbre.
Voyei ALGÈBRE.- îl se prend auffi quelquefois pour ï Arithmétique
par chiffres. Voyei ARITHMÉTIQUE.L*algorithme , felón la force du mot, signifie
proprement ïan de supputer avec justesse & facilité:
il comprend les règles de TArithmétique vulgaire.
Ainsi, Ton dit ï algorithme des entiers, ï algorithme
des fractions, ï algorithme des nombres sourds, &c.Le même mot se prend, en général, pour désigner
la méthode & la notation de toute espèce de calcul.
Èn ce sens, on dit ï algorithme du calcul intégral,
ï algorithme du calcul exponentiel, ï algorithme du
calcul des sinus , &c.ALHABOR , nom de Tétoile Sirius.ÀLHAIOTH,nom Arabe de la belle étoile de
la Chèvre.ALHATOD, autre nom. de la belle étoile de
la Chèvre.ALIATH, (Astr.)  c’est le nom que les Arabes
donnoienî à la première étoile de la queue de la
grande ourse , que noUs marquons par la lettre
grecque * ; elle est aussi appelléé quelquefois Ris
Alioth, Allioth , Mirach , Micar, ou M^ar, suivant
Bayer, dans son Uranométrie. ( M. Î>E LA
LANDE ) •ALIDADE ou ALHIDADE, règle qui se
■ meut sur le centre d’un quart de cercle, & qui
porte une lunette pour mesurer les angles. Voyei
MURAL ( D. L.). 'ALIDADE, f. f. (Géom.). On Tappelle ainsi
Tindex ou la règle mobile, qui, partant du centre
d’un instrument astronomique ou géométrique,
peut en parcourir tout le limbe pour montrer les
degrés qui marquent les angles, avec lesquels on
détermine les distances, les hauteurs, &c. _ Ce
mot vient de Tatabe, où il a la même signification.
En grec & en latin, on Tappelle souvent iïooelfx ,
■dioptra, & encore linea fiducies , ligne de foi.Cette pièce porte deux pinnules élevées perpendiculairementà
chaque extrémité. Voy. PINNULE,
DEMI-CERCLE ,- &cALIEMINÍ , nom de la belle étoile du Grandehien.
V. SIRIUS.ALIQUANTE, adj.. f. ( Arìth ) , du mot latin
aliquantus.Les parties aliquantes d’un nombre-, ou,
en général,- d’un tout, sont celles qui ne font pas
'contenues un certain nombre de fois", juste, dans
ce tout. Par exemple, 5 est une partie aliquante
de 12 , parce que 5 est contenu plus de deux fois,
& moins de trois fois, dans 12.ALIQUOTE, adj. f. (AritL) , du mot latin
aliquotus. Partie aliqûote d’un fout, partie qui est
contenue un certain nombre de fois juste dans ce
tout. Par exemple, 3 est une partie.aliqûote de
ii',- parce que 3 est contenu juste quatre fois
daris 11. -.'ALKAMELUZ, nom de Tétoile Arcturus.
,■ ALLIAGE, f. m.. (Arìth. ). On appelle, en
général, alliage, un mélange que Ton fait d’uncertain-nombre de choses de différentes valeurs,
pour former un tout d’un même nombre de parties ,
égales entr'elles, & d’une valeur moyenne. La
règle d’alliage, en Arithmétique, sert à trouver ,
ou cette valeur moyenne de f une des parties du
mélange, quand on connoít la valeur & le nombre
des choses dont il est composé ; ou le nombre des
parties dés choses qui doivent être alliées, quand
on connoít la valeur de clïacune de ces parties ,
& celle du mélange. Le premier de ces problèmes
est déterminé dans tous les cas ; le second est susceptible
de plusieurs solutions, lorsqu’il entre plus
de deux espèces de choses dans le mélange, comme
on le vérra ci-dêffous.QUESTION I." Trouver la valeur de Funité du
mélange, lorsque l’on connoít le nombre & la valeur
des choses dont il doit être composé ?Multipliez le nombre des choses de chaque
•espèce, par la valeur de Tunité de chaque chose ;
additionnez ensemble tous ces produits, & divisez
la somme par le nombre total des choses alliées,
le quotient vous donnera la Valeur de Tunité du
mélange. Par exemple, si on propose de mêler
ensemble 300 bouteilles de vin , à 25 sols la bouteille ;
200 bouteilles à 20 sols ; 150 bouteilles à
15 fols, & de trouver la. valeur d’une bouteille
du mélange, il.faudra multiplier 25 sols par 300,.
& le produit 7500 sels fera la valeur de toutes
les bouteilles de la première espèce ; de même, en
multipliant .20 sols par 200 , le produit 4000 sols,
fera la" valeur de toutes lés bouteilles de la seconde
espèce. ; & en multipliant 15 sols par 150, le produit
2250 fols fera la valeur de toutes les bouteilles
de la troisième espèce. Donc,.si Ton’ajoute,
ensemble ces trois produits, la somme. 13750 fols
est le prix de toutes les bouteilles, ou du mélange
qui en résulte. Donc, en divisant cette somme par
650., nombre total des bouteilles , le quotient 21
sols <£j sera évidemment le prix de la bouteille du.
mélange.QUESTION 11. Deux quantités de différentes
valeurs étant données, déterminer ce qu’il faut prendre
de chacune pour former une quantité moyenne dont
la valeur est donnée ? . - > '…-.Je prends, pour .exemple, le problême de la
couronne deHieron, Roi de Syracuse. Ce Prince,
soupçonnant que sa couronne n’étoit pas d’or pur,
, & qu’elle étoit formée d’un mélange d’or & d’argent,
propose à-Archimède de déterminer les
quantités de ces deux matières, qui peuvent entrer
dans le mélange. Archimède , instruit par les loix
de ï hydrostatique (voyei ce mot) , que les corps
"d’un même volume ( voyei ce rnot ) 3 étant plongés
dans Teau, y perdent des parties égaies de leurs
poids, parvient à former une masse d’òr pur, une
masse d’argent pur,'qui ont chacune le même"
volume que la couronne ; & pesant ensuite hors
-de Teau la masse d’or , la-masse d’argent, & .
la. couronne, il juge, par la comparaison des
poids, fi la" couronne est d’or pur, ou d’ar-ï*. a l l a l lgent pur, ou enfin un mélange d’or ÍÍ d’argent.
Supposons ce dernier cas. Supposons de plus que
les poids de .la masse d’or, de celle d’argent, &
de la couronne, soient entr'eux en nombres ronds,
comme les nombres 19, 10, 15. Laquesiion se
réduit donc à former, avec les parties de deux
corps égaux en volume, qui pèsent 19 & 10, un
troisième corps, de même volume, qui pèse 15.
Pour y parvenir, imaginons que les trois volumes
égaux "de nos trois corps sont partagés chacun en
un même nombre de parties égales. Cela posé,
- Texcès du poids r o , fur le poids 15 , étant 4,
tandis que Texcès du poids 15 , fur le poids 10,
est 5, il est clair que, si Ton mettoit, dans le
mélange, pareil nombre de parties du volume d’or
& du volume d’argent, les premières y produiraient
une. augmentation de poids, exprimée par
4, tandis que les secondes y produiroient une diminution
de poids, exprimée par 5. Or, pour que'\ l’augmentation & la diminution se compensent
mutuellement, on doit prendre sur les volumes
composants plus ou moins de parties, selon que
ces partie.s sont moins ou plus pesantes. Donc, si
vous prenez en tout o parties fur les deux volumescomposants,
vous en devez prendre 4 sor celui
d’argent, & 5 fur celui d’or. Donc, en représentant
chacun de nos. trois volumes égaux par r , ou
par la fraction f^.le volume | du mélange, óu
de la couronne., sera composé des J du volume
d’argent, & des \ du volume d’or, -En raisonnant de la même manière, dans tous' les cas pareils, on formera cette règle générale
pour résoudre ces sortes de problêmes. Faites- deux
fractions qui aient pour dénominateur commun
Texcès de la plus haute valeur fur la plus petite,
& dont la -première ait pour numérateur Texcès
de la plus haute valeur fur la moyenne, & l’autre,
pour numérateur, Texcès de la valeur moyenne
fur lá plus petite. La première fraction sera la partie
qu’il faut prendre de la plus petite quantité ; &"la
féconde, la partie qu’il faut prendre de la plus
grande quantité. -Cette règle peut se démontrer ainsi,en générais
par le calcul algébrique. Soient A & B les poids
des deux corps composants ; Asie poids du corps
mixte ; G le volume commun aux trois corps ; x
& y les parties qu’il faut prendre des volumes des
corps composants, poUr former le corps mixte. 11
est clair ^d’abord qu’on aura x -f- y = G. ' D’unautre côté, le poids de x fera —TÍ—, comme étàntle quatrième d’une proportion ( Voyei PROPORTION) ,
dont les trois premiers sont G, x>A ;
& par une raison semblable, le poids de y sera.*■,y-■ • Or la somme des deux poids —4^—" .-4r~ doit être M A^ > °n aura -éjíé^J^,
Í=ZM. Mettons dsns cette équation, pour y, fa
valeur G ?-x, que donne la première, nous aurpnsA_x -f BG — Bx = G M ; ce qui donne * = Gx-.í-fc !-) '' & (à cause de y = G-*) >y = GX ( -^~g ) ' On voit que ces valeurs dex & y sont celles que prescrit la règle proposée.Remarque. Si, dans ces sortes de questioris, Ie
mélange devoit être composé de plus de deux espèces
de choses, il y auroit plusieurs manières de prendre
ces choses pour former le mélange. Ainsi, dans
le problême de la couronne du Roi Hieron, fi Ton
ne favoit pas, ou Ton ne supposoit pas^ que la
couronne ne contient que de Tor & de Targent ;
& fi,.outre ces deux métaux, elle contenoit, par
exemple, du cuivré, alors les pefariteurs de Tor,de
 Targent & du cuivre étant à-peu-près comme les
nombres 19, 10, 8, il est clair qu’on pourra-former
successivement avec Targent & le cuivre, une
infinité de corps mixtes, chacun de même volume
que chacune des trois matières proposées, & combiner
ensuitechacun de ces mixtes avec for,pour
former, des trois métaux, un mixte qui pèse If
livres. On pourrait auffi former d’abord, de plufieursTnanières,
un mixte d’or & d’argent, pourvu
que ce mixte pesât plus de 15 livres, puis le cpmbiner
avec le cuivre. , .Dans ces sortes de cas, où le problème admet
j) lusieurs solutions, il est indéterminé. Sur quoi,
Voyei PROBLÊME (L.B-) -ALLONGÉ, adj. se dit généralement, en Geo- ;
métrie, de ce qui est plus long que large. C’est éá
ce sens qu’on dit, un exagone , un -eptagone, un
oBogone , &c. allongé, un ovale fort allongé.Sphéroïde allongé, se dit d’un sphéroïde dont
l’axe seroit plus grand que le diamètre du cercle
perpendiculaire à cet axe, & également éloigné de
ses extrémités.Ainsi, on peut donner Ie nom de sphéroïde allongé
à un sphéroïde qui est formé par la révolution d’une
demi-ellipse autour de son grand axe. Voyei SPHÉROÏDE.
Si le sphéroïde est formé par la révolution
d’une demi-ellipse autour de son petit axe, ou, en
général, si son axe est plus petit que le diamètre
du cercle dont le plan est perpendiculaire au milieu
de cet axe, il s’appelle alorsjphéroïde applati. Cette
dernière figure est â-peu-près celle de la terre que
nous habitons, & peut-être de toutes les planètes,,
dans la plupart desquelles on observe que Taxe
est plus petit que lé diamètre de Téquateur. Voyei
TERRE, Le mot allongé s’emploie aussi quelque- ?
sois en parlant des cycloïdes & des épicycloïdes,
dont la base est plus grande que la circonférence
du cercle générateur, Voyei CYCLOÏDE & EPI- ?CYCLOÏDE (O).ALLUCHON, f. m. ( Méch. )  ; on appelle aUu4
chons les dents d ?une roue, lorsque ces dents ne
forment pas corps avec elle,- & sont chacune d’une
pièce particulière appliquée ou fixée solidement àAl m a l m wla roue, ce qui a lieu dans les grandes machines,
comme, par exemple, dans les roués de moulins.
Voyei DENT & ROUE.ALMAGESTE, nom du plus ancien livre d’Astronomie
qui nous soit resté, & qui fut composé
par Ptolomée, vers Tan 140 ; son nom vient de
ÍAiyiain, qui signifie très-grand. Çe livre est intitulé
en grec, Meváx » Zvna.i,it, grande composition ; il
jfut traduit du grec en arabe, vers Tan 827, par
Tordre du calife Almamonr, qui règnoit à Bagdad.
L’Empereur prédéric II le fit traduire en latin
vers lan 1230= 11 fut imprimé, pour la première
fois, à Venise en ,1515., mais le texte grec ne fut,-imprimé qu’en 1538, à Baie. Georges de Trebizonde
sit une traduction latine dèïalmageste, qui
fut.lmprimée à Venise en 1537, à Bâle en 154.1
& eh 1551. Ce livre contient un Recueil précieux
d’ànciennês observations ; ce font les seules, qui
rioùs soient parvenues. ; mais toutes les conclusions
que TauteUr en -avoit tirées sont défectueuses, &
ont été rectifiées par les modernes, comme on le
peut voir fur-tout-dans les Elémens d’Astronomie
publiés par Mì Cáffini, en Ì740, & dans les Mémoires
que j’ai donnés fur la Théorie de Mercure
dans le volume de TAcadémie des Sciences, pour
1766. Riccioli a donné auffi un grand ouvrage
^Astronomie intitulé, Almagestum novufn, en 2
-volumes in-folio, à Bologne, 1651, qui est une
collection immense & précieuse de toute TAstronomie
historique & théorique , & dont les astro.Iiomes
font un usage continuel , ainsi que de ïalmageste
de Ptolomée. (D. L.) 
' ALMANACH, f. nii (Astron. ) calendrier óu
table ,,0Ù font marqués les jours de fêtes de Tán-née, Ie cours.dé la Luné pour chaque mois, &c.
Voyei CALENDRIER, ANNÉE , JOUR-, Mois,LUNE,
 &cLes - grammairiens ne font point d’accord fur
l’origine de ce mot : les uns le font venir de la
particule arabe al, & de m’anah, compte : d’autres
, du nombre desquels est Scaliger, le dérivent
de cette même préposition al, & du mot grec
ftáï« »o5, le cours des mois. Golius ri'est pas de ce
sentiment : voici quel est le sien. C’est, dit-il ,
l’usage, dans tóut TGrienf, que lés sujets fassent. des présens à leurs princes au commencement de
l’anriée : or le présent que font les astronomes,
font des’ éphémérides pour Tannée commençante ;
& c’est dé-là que Ces éphémérides ont été'nommées
aimanha, qui signifie étrennes ou présens de la nouvelle
année. Voyei.EPHÉMÉR'ÌDE. Enfin Verstegan
écrit, almòn-ac , & le fait:venir du saxon. Nos
ancêtres, dit-il, traçòiënt le cours des lunes pour
toute Tannée, fur un bâton ou morceau de bois
quarré, qu’ils appelioient al mòhaght,. par: contraction
, pour a/- mopn - held, qui signifie eri vieil
anglois ou en vieux saxon, contenant toutes les
lunes. ' .'-'■'■ -■'Nos almanàchs modernes, répondent à ce que lesanciens Romains appelioient fastes.Le lecteur peut s’instruire de ce qu’il faussaire
pour construire un almanach, à1'article CALEN:DRIER.' Le roi de France Henri III, par tine ordonnance
de Tan 1579 , défendit et à tous faiseurs
11 à'almanàchs d’avoir la témérité de faire des pré33dictions
fur les affaires civiles ou de Tétas, ou
33des particuliers, soit en termes exprès, ou en
33 termes couverts. 33 Voyei ASTROLOGIE. Notre
siécle est trop éclairé pour qu’une pareille défense
soit nécessaire ; & quoique nous voyons encore plusieurs
almanàchs remplis dé ces sortes de prédictions,
à peine le plus bas peuple y ajoute-t-il quelque
foi. /La plupart de nos almanàchs d’aujourd’hui con »
-tiennent non-feulement les jours.& les fêtes de
Tannée, mais encore un très-grand nombre d’autres
choses. ;.- Un des plus connus en France, est T’Almanach
Royal,-vol. in-S ?. Dans son origine, qui remonte
à Tannée 1679, cet almanach ou calendrier, avec
quelques prédictions, ajoutées aux phases de la
lune , renfermoit feulement le départ des couriers,
le journal des fêtes du Palais, un..extrait des principales
foires du royaume, & les villes où Ton bat
inonnoie. Les premières lettres de privilège sont
.datées du ló mars 1679 ; il a subsisté à-peu-près
dans lá" même formé jusqu’en 1697. Louis XIV
ayant eu la curiosité de le voir cette année, Laurent
d’Houry eut fhonneur de le lui présenter,
& peu de tems après, il obtint un renouvellement
de privilège, sous le titre d’Almanach Royal, le
29 janvier 1699. Le but de Tauteur,. dès ceî
instant, fut d’y ajouter peu-à-peu les naissances des
Princes & ses noms’de toutes les personnes importantes
dans le Clergé, TEpée, la Robe, & la
Finance ; ce qu’il a exécuté en très-grande partie
jusqu’à fa mort, arrivée en 1725. Depuis ce temsa
cet ouvrage a été continué, tant par la veuve
d’Houry que par Le Breton , petit - fils d’Houry.
Cet almanach a aujourd’hui 683 pages ; les calculs
. en sont tirés de mes Ephémérides.L’almanach de Paris, qui sert de base à tous
les autres pour les calculs div calendrier, est la
connoiffance des tems, que TAcadémie des Sciences
publie chaque année depuis 1679 ; ce fut M. Picard ,
célèbre astronome du dernier siécle, qui en fut le
premier auteur ; eíle a eté ;cóntinuée succeffivement
par M. Lefebvre,'M. Lieutaud, M.. Godin ,
M. Maraldi, ensuite par moi, actuellement par
M. Jeaurar ; elle s’imprime chaque année à Tlmprt.
merie Royale à Paris. Mais le plus utile de fpUs "
les almanàchs de ce genre -, est celui qu’on a publié
en Angleterre sous le nom de Nautiçal Almanac.
Voyei EPHËMÉRIPE.. ;. '.-…'.. -JJêpuis 1750 ou environ j Tissage des almanàchs
s’est prodigieusement multiplié : en France ;'on a
vu fur-tout àvec plailif ïalmanach des Beaux Arts,
aujourd’hui la France Littéraire, celui des Spectacles,
celui des Curiosités d’e Paris, ï almanac^4oA l m a l pde Gotha, rempli de faits intéressans pour la Physique
& THistoire ; il y a des almanàchs Géographiques,
Militaires, des almanàchs Cbantans^, &c.
Toutes les connoissanc.es utiles & les choses d’agré.*ment
ont été mises en almanàchs, & je crois que.
cet usage a connibué à répandre le goût de la
littérature. (D. L.). • ■ ■-ALMERZAMONNAGIED , nom de Tétoile
qui est à Tépaule orientale d’Orion.ALMICANTARAT S ou ALMUCANTARATH.S
, - ( Astron. )  : ce sont de petits cercles parallèles
à í'horizqn ; c’est-à-diré, dont tous les points
sont à la même hauteur au dessus de l’horizon : on
les appelle aussi cercles de hauteur, parallèles de
hauteur. Quand un astre a, par exemple, vingt
degrés de hauteur, tous les points qui font à cette
même hauteur, en faisant le tour du Ciel, parallèlement
à l’horizon , forment ï Almicantarat de
ì'astre dont ils’agit ; ce mot est venu, par corruption,
du Grec & de TArabe ; car du mot Grec,
xívTfor, centre. Les Arabes ont fait Mokenter, suivant
la manière de former/les participes, & au
pluriel Mokenterat, ce qui désigne des cercles dont
les centres sont fur une même ligne verticale.
{Coflard, Hiftory ofAflronomy. 1767,page iS).Les passages de deux étoiles connues par un même
Almicantarat, peuvent faire connoître Theure qu’il
est : si Ton a ces passages par deux Almicantarats,
pn peut trouver la hauteur du pôle, &"la déclinaison
de deux étoiles. F. C. Mayèr à résolu ce
problême dans les mémoires de Pétersbourg , &
Maupertuis, dans son Astronomie nautique, de même
que plusieurs antres questions de cette espèce, mais
qui ne sont d’aucun usage dans Tastronomie. (D.L.) ALMUCANTARAT. Voyei ALMICANTARAT.ALMUCÉDIE ou ALMURED1N, nom de Tétoile',
E à Taile précédente de la vierge.ALPHERAZ, nom Arabe de la belle étoile à
Taile de Pégase, marquée * & qu’on appelle auffi
■Markab.ALPHETA , terme d’Astronomie :, c’est le nom
d’une étoile fixe de la cpuronne septentrionale,
qu’on appelle autrement lucìda coronoe ou luisante
de la couronne. Voyei Farticle COURONNE ( O ).
- ALPHONSINES, (Astron.) : on appelle Tables
Alphonfincs, des tables astronomiques, rédigées
sous lés ordres d’Alphonse X, Roi de Castille,
surnommé le Sage ; il sot le premier qui voulut
corriger les tables de Ptolomée : dès Tannée 1240,
& du vivant même de son père, il avoit attiré à
Tolède les Astronomes les plus habiles da son tems,
Chrétiens, Maures ou Juifs, dont les travaux procurèrent
enfin les Tables Alphonsines, Tan 1252,
la première année de son règne. On prétend qu’il
employa fur-tout Isaac Hazan,. ( Riccioli Almag.
"T, 1. page 444)  ; mais c’étoit une bien grande entreprise,
& les connoissances de ce tems-là étoient
insuffisantes ; cependant ces tables ont été long-tems
employées comme les-meilleures que Ton eut, &
\a durée de Tannée "n’y est que de 28 " trop forte, ■.Alphonse mourut èn 12S4 ; ses tables furent imJprimées,
pour la première fois, en 1483, à Venise,
par Radtoìt, qui excelloit dans TImprimerie vers ce
tems-là: cette édition comprend 24 feuillets ; elle
est extrêmement rare ; il y a d’autres éditions de
1492, 1521, 1545, &c., ( Weidler, Hist. Astron.
page. zSo). (M. DE ZA.LANDE.) ÀLRAMECH óu ARAMECH , nom de la belle
étoile du bouvier ArBurus.ALRUCCABAH , nom de Tétoile polaire.ALTAIR, ATA1R, ou ALCAIR, nom de la
belle étoile de Taigle.ALTERNAT10N, f. f. se dit quelquefois pour '
exprimer le changement d’ordre qu’on peut donner
à plusieurs choses" ou à plusieurs personnes, en les’
plaçant successivement les unes auprès dés autres,
ou les unes après les autres. Ainsi trois lettres à, b, e.,
peuvent subir une alternation en ; six façons différentes ;
abc, acb, bac, bcà, eba, cab.L’alternation est une des différentes espèces de
combinaisons. Voyei COMBINA'ISON. En voici la
-règle : pour trouver toutes les alternations possibles
d’un nombre de choses donné, par exemple, de
cinq choses, ( comme de cinq lettres, de cinq per-r
sonnes, &c. )  prenez tous les nombres depuis Tunité
jusqu’à cinq, & multipliez-les successivement les
uns par les autres, 1 par 2, puis par 3, puis par^f
puis par 5 ; le produit 120 fera le nombre à'alternations
cherché. .La raison de cette prátique-eft.bien simple. Prenons,
par exemple, deux lettres a & b, il est évident ,
qu’il n’y a" que deux alternations possibles, ab ; b a ;
prenons une troisième lettre c, il est évident-que
cette troisième lettre peut être disposée de' trois
manières différentes dâns chacune des deux àltcr-.
nations précédentes ; savoir, ou à la tête, ou au
-milieu, ou à la fin. Voilà donc pour trois lettres
deux sois trois alternations.pu six. Prenons une
quatrième lettre ;,, elle pourra -de même occuper
quatre places- différentes dans chacune dès six alternations,
de trois lettres, ce qui fait six fois4ou
24 ; de même cinq lettres feront 24 fois 5'ou.iZO,
& ainsi de fuite ( O ) ,■ 'ALTERNE, adj.(Ge'om.). Lorsquedeux droitesparallèles
A B, E F, ( géom. fig. 9 ).. sont’coupées
par une droite quelconque K L, cette seconde
forme, avec les parallèles , des’ angles intérieurs &
extérieurs, que Ton appelle alternes., quand on les
-prend , en sens contraire, deux à deux au dedans
des parallèles,, ou deux à deux, au dehors des parallèles.
Ainsi ses deux angles B D H, E H D se
nomment alternes internes^ ;- de.iriême les deux an*
gles A D H, FHD sont alternes internes. Les deux
angles ADL , EHK sont alternes externes ; & de
même les deux angles B D L , FHK sont alternes
externes. Voyei PARALLÈLE. …Si 1 on a une proportion géométrique quelconque,"A\iB'.\C l D , & qu’on faste Changer de placeaux deux termes moyens, on aura la proportion' - A\C\\B\p\A\ C \ \ B \ D , qu on appelle proportion alterne ,
relativement à la première. Voyei PROPORTION.ALÍLMETRIE , s. f. (Géorn.) :^ art de mesurer
les hauteurs accessibles ou inaccessibles ; c’est une
partie de la Géométrie pratique, ou de la Trigonométrie.AMASSER, v. act. en Hydraulique. Pour.amasser
des eaux, il faut examiner fi la source est découverte
& peu profonde, si elle n’est point apparente^
ou si elle est enfoncée dans les terres : on agira
différemment suivant Ces trois cas.Lorsque la source est découverte ; vous creusez
seulement pourTamaj7èr, un trou quarré,' dont vous
tirez lès terres doucement, que vous soutiendrez
par des pierres sèches. Daris Tendrait de Técouíeinent,
vous creusez une rigole dans les terres, Ou
une pierréè bâtie de blocailles ou pierres sèches,
que vous couvrez de terre, à mesure que vous
marchez. Si la source n’est pas apparente, on fera
plusieurs puits éloignés de trente à quarante pas,
& joints par des tranchées, qui ramasseront toutes
les eaux. Dans le cas où la source est enfoncée plus
avant dans la terre, vous creuserez jusqu’à Teau un
pásiâge, en forme de voûte par-dessous les terres,
que vous retiendrez avec des planches & des étrefsillons.
Lorsque vous aurez construit, plufieurs de
ces voûtes & des pierrëes de communication, votis
les conduirez dans une grande tranchée de recherché
, dont les berges seront coupées en talus dés
deux Côtés, en pratiquant des rameaux à droite &
à gauche, en forme de pattes d’oie, pour ramasser
ìe plus d’eau que vous pourrez. Toutes ces pierrées,
■tranchées & rameaux se rendront par une petite
pente douce, dans une feule & grande pierrée,
qui portera Teau dans lé regard de prise, ou dans
le réservoir. -On "pratique depuis ce regard de 50 toises en
$0 toises, des puisarts ou puits maçonnés, pour
examiner fi Teau y coule, & en connoître la quan-tité.
On marque le chemin de Teau par des bornes,
afin d’empêcher les plantations d’arbres dont les
racines perceroient les tranchées, & feroient perdre
les eaux (K).AMBEZAS, se dit au trìârac de deux as qu’on
_amène en jouant les dés. Voyei As, RAFLE &
TRICTRACAMBIGÈNE, adj. (Géom.) : c’est le nom qu’on
donne à une efpècè d’hyperbole , qui a une de ses
branches infiniesinscrite, l’autre circonscrite.à son
asymptote. Telle est ( PI. analy. fig. 38 )  la courbe
B CE D, dont une branche CB est inscrite à Tasymtote
A.G, c’est-à-dire, tombe au-dedans ; &
l’autre branche CE D > est circonscrite à Tasymptote
A F, c’est-à-dire, tombe au dehors de cette asymptote.
Newton paroít être, le premier qui se soit servi
de ce terme, pour désigner certaines courbes hyperboliques
du troisième ordre. ( O ).AMBLYGQNE, adj. ( Géom. )  : on appelle
triangle amblygone , ou plus "ordinairement triangleMathématiques. Tome I, Z.cr« Paitie,-■■ .oltusangle , un triangle qui a un angle obtus. Voyei
TRIANGLE &' ANGLE.AMIABLES , (Arìth.)  : on entend par nombres
amiables, ceux qui font réciproquement égaux à la
somme totale des parties aliquotes l’un de l’autre :
tels sont les nombres 284 & 220 ; car les parties
aliquotes du premier sont 1, 2, 4, '71, 142, dont
la sommé est 220 ; & les parties aliquotes du second
sont-1,2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, « ,-no,
dont la somme est 284. Voyei NOMBRE (O).
. AMIS & ENNEMIS, terme d’Astrologie , par
lequel on exprimoit autrefois la correspondance des
arcs qui indiquoient du bonheur ou du malheur :
les signes amis, par exemple, étoient ceux qui employoient
le même tems à s’élever dans le mouvement
diurne de la sphère ; mais ceux qui sont dans
la partie d’été, commandent à ceux qui sont dans
la partie d’ihver ; ceux qui sont éloignés de-33
degrés ou de 150 sont ennemis. Voyei le livre de
judiciis , attribué à Ptolomée. (D. L. ]AMPHISCIENS, teime d’Astronomie ou de Géogtaphie,
par lequel on exprime-les peuples qui
voyent leurs ombres à midi, quelquefois vers un des
pôles, & quelquefois vers l’autre. Lucain observe
avec raison , que dans la Zone tempérée boréale,
on a toujours Tombre à droite ou au nord, en
regardant lecouchant: au lieu qu’on a dans certains
tems les ombres vers le midi, c’est-à-dire à gauche, en
 regardant le couchant, dès qu’on est dans la
Zone Toride. --^.jTgnotum vobis , Arabes, venistis in orbem*
Umbras mirati nemorum non ire fihistras..  ; Pharf. III. 247.
Il nous apprend auffi qu’à Syene, ville d’Egypte,
située sous le Tropique, Tombre du soleil disparoissoit
à midi le-jour du solstice, & ne s’étendoit ni
à droite, ni à gauche.Umbras nujquàm flecíente Syene, I. 587.
Les diverses situations des ombres à midi, ont produit
une subdivision géographique des habitàns de la
terre en Hétérofciens, Perifciens, Amphifeiens ou
Afeièns. Les Hétérofciens font ceux dont les ombres
méridiennes sont toujours tournées ducôtédumême
pôle ; tels sont les hàbitans des Zones tempérées :
ainsi,dans nos régions, Totnbre verticale se dirige
toujours à midi vers le nord, parce qu’elle est toujours
opposée au soleil qui est du côté du midi. Les
Perifciens sont ceux dont les ombres tournent en
.24 heures, vers tous les points de Thorizon : cè
sont les habitàns des Zonés froides, pour qui le
soleil ne se couché pas pendant un certain tems de
Tannée ; lorsqu’il est du côté dk midi, les.ombres
vont vers le nord ; & lorsqu’il est du côté du nord,
au-dessous du pôle, il rejette Tombre vers.le midi.
Les Amphifeiens font ceux dont leV ombres méridiennes
sont tantôt au nord, S ; tantôt au sud ; tels
font les habitâUs delà Zorie Torride : mais afin que
cette définition comprît auffi ceux qui hàbitoient
sous les Tropiques même,, Varenius y fubstime dans
fa Géographie., le mot Àfciens-, célá veut dire teuçF■AÏ A M P
1mpro'-vr qui Tombre devient totalement nulle â un ou
deux jours de Tannée ,1e soleil étant alors au Zcnit:
On di\isoles Alciens en deux parues : les AscicnsAmpMsciens
, pour qui Tombre s’étend quelquefois
vers le nord, & quelquefois vers le mi,di, & disparaît
deux fois Tannée : les Asciens-Hétérosciens, dont
les ombres sont toujours du même côté, & disparoissoientseulement
une fois, c’est-à-dire lè jour où
ïe soleil arrive dans le Tropique , sous lequel ces
peuples sont situés ; ces différens mots sont formés
de s* !*, umbra , avéc les prépositions relatives à
chaque signification, comme A« Ì., ex utraque parte.
(D.L.) AMPHORA , (Aflronom. )  : ce nom qui est latin,
se donne quelquefois à la constellation du Verseau.
Voyei VERSEAU (O).AMPLIFICATION 5> en optique, signifie Taugmentarîon
du diamètre d’un objet vu dans un télescope,
ou dans une lunette. L’amplisication linéaire
dans une lunette astronomique fimple à deux verres,
est égale au nombre de fois que le foyer' de L’objectif
contient le foyer de Toculaire ; par exemple, un
objectif de six pieds de foyer, combiné avec un
oculaire de z pouces, grossira la largeur d’un objet
36 fois, parce que 2 pouces sont contenus 36 fois
dans 6 pieds.Les lunettes dont les Astronomes se servent actuellement
plus souvent, grossissent 100 ou 150 sois
au plus. Short avoit fait un télescope de 12 pieds
qu’il prétendoit grossir 1000 fois ; mais personne
n’étpit parvenu au point de les faire grossir 6000fois,
comme M. Herschel, qui donne ce résultat dans
les transactions philosophiques de 1782 ; 1 usagé
d’un pareil télescope est infiniment difficile: un
astre n’emploie que trois secondes de tems à traverser
le champ de télescope ; & il faut une adresse
singulière, pour pouvoir se servis d’une semblable
machine.Pour mesurer le grossissement dune lunette ordinaire,
on regarde un objet des deux yeux à-3a
fois, ayant un oeil au télescope,, tandis que l’autre
eeil voit Tobjet directement & simplement : alors
les images qu’apperçoivent les deux yeux, sont différentes
 ; & comme orì les voit Tune à côté de l’autre,
il est aisé de voir combien la petite image est contenue
dans la grande. On rend cette opération plus
facile , en traçant des lignes fur un objet éloigné,
pour examiner combien l’un des intervalles vu dans
ïe. télescope, couvre d’intervalles vus à Toeil nud.L’amplisication se dit aussi de Taugmentation que
ïes corps lumineux paraissent avoir, quand ils sont
comparés à des corps obíCurs ; ainsi la lune, deux
©u trois jours avant ou après fa conjonction, se
voit à la vérité toute entière, mais la.partie qui est
ídairée par le soleil, paraît excéder & déborder
Ie reste de la circonférence, qui n’est éclairée que
par la réflexion de la lumière de la terre. Voyei
LUMIÈRE CENDRÉE.LGS Astronomes soupçonnent que lè soleil, même
.dais les mçill.eures lunettes, est sujet à urçç espèced amplification de quelques secondes, ou environné
d’une couronne d’aberration, qui augmente son véritable
disque : il m’a paru que cette quantité devoit
être de 6 ou 7 secondes fur le diamètre du soleil,
vu dans une lunette de 18 pieds, à en juger par
les passages de Vénus fur le soleil, où cet efíët doit
disparaître. ( M. DE LA LANDE ) ■
_ AMPLITUDE, (Astron. ).- c’est I'arc de l’horizon
, compté depuis le vrai point d’orient ou
d’occident, jusqu’à celui où un astre paroít se lever
ou se coucher : les navigateurs s’en fervent pour
trouver la'déclinaison dé Taíguiile aimantée, ou la
variation du compas. Pour cet effet, on a publié
long-tems dans le livre de la connoiffance des tems,
des tables où ï amplitude est marquée pour chaque
degré de la terre, & pour les différens degrés de la
déclinaison que les astres peuvent avoir:, ón y voit,,
par exemple, qu’à 50° de latitude géographique,,
un astre qui auroit 6° de déclinaison septentrionale,,
se leveroit à io° d’amplitude ; si le navigateur, au
même instant, voit Taíguiile de fa boussole à 80° du
soleil levant, il fera sûr qu’elle est véritablement
dirigée vers le nord, ou qu’elle n’à point de variation
ou de déclinaison ; mais si Taiguille n’est
qu’à 700 degrés du soleil levant, c’est une preuve
qu’elle est à 8o° du vrai point d’orient, au lieu d’être
à 90 degrés, comme le vrai- point du nord ; c’est-àdire
qu’elle varie de dix degrés à Tòri'ent : ï amplitude
magnétique est alors de 20 degrés du' point de
Test, marqué par la boussole. Voyei AMPLITUDE.
dans le diBionnaiie de marine.Les navigateurs cherchent quelquefois ï amplitude
par une fimple opération géographique ; mais les
Astronomes qui veulent tenir compte de la réfraction
, se servent du triangle PZS, ( Astr. fig.40. ) 
dans lequel on connoít trois côtés ; savoir, P Z,
qui est le complément de la latitude, Pi qui est
fa somme ou la différence de 90 degrés, & de ladéclinaison
vraie de Tastre au moment donné ; Z S
qui est de 90 degrés & 3.3 m à cause de la réfractbn
moins la parallaxe du soleil. ; & Ton.cherche Tangle
Z ou PZS de ce même triangle. La différence
entre cet angle Z & 90 degrés,. fera ï amplitude
cherchée.'L’amplitude diffère de Tazimut, premièrement,
parce que Tazimut se compte depuis le point du
midi ; c’est le supplément de Tangle P Z S, qui est
compté depuis le nord :ainfi. Tazimut d’un astre qui
se lève,'est la somme ou la différence de 90 degrés
& de ï amplitude. Secondement, le mot d’amplitude
s applique seulement à Tastre qui.est dansf horizon,
au lieu que Tazimut se dit également d’un astre qui
est élevé , & qu’on rapporte à l’horizon par le moyen
d un arc de cercle vertical, passant par le zenit de.
1 observateur, & par Tastre dont il s’áek ( M.ni
LA LANDE ). ■ "-AMPLITUDE, f. f. ( Géom. )  : on appelle am*
plitude d un arc de parabole, la ligne horizontale-,
comprise entre Ie ppint d’où Ton suppose qu’un
arc ou poruon de parabole commence, &lèyoîn|*ù cette portion se termine. Ce terme est principalement
en usage dans le jet des bombes $ & ï amplitude
de la parabole s’appelle alors amplitude du
jet. Voyei PARABOLE & PROJECTILE.AN, voyei ANNÉE. On dit Tan de grâce, pour
dire Tannée de Jésus-Christ ou de TEre vulgaire ;
l’an de Ronjg, &c. ; mais le mot d’année est plus
usité.Jour de l’an. Chez les Romains, le premier &
' le dernier jour de ïan étoient consacrés à Janus ;
&-c’est par cette raison qu’on le présentoit avec
deux visages.C’est de ce peuple que vient la cérémonie de
souhaiter la bonne année ; cérémonie qui paroít
très-ancienne. Non-seulement les Romains lè rendoient
des visites, & se faisoient réciproquement
des complimens avant la fin du premier jour : mais
ils se présentoient auffi des étrennes, strenoe , &
offraient aux Dieux des voeux pour la conservation
les uns des autres. Lucien en pârle comme d’une
■coutume très-ancienne, même de son tems, & il
en rapporte Torigine à Numa.Ovide fait allusion á la même cérémonie au comjmencement
de ses fastes.• Postera lux oritur, linguisque animisque favete ;
Nunc dicenda bono sunt bona verba die.Et Pline dit plus expressément, L. XXVIII. c. v.
primum anni incipientis diem loeús precationibus invicem
faustum ominantur.- ■ ANABIBAZON, f. m. terme d’Astronomie ; c’est
le nom qu’on donne à la queue du dragon, ou au
noeud méridional de la lune ; c’est-à-dire, â Tendrait
où elle coupe Técliptique , pour passer de la
latitude septentrionale à la méridionale. C’est le
noeud descendant opposé au noeud ascendant de
la luné. Voyei NOEUD. ;ANACAMPTIQUE, adj. m. ( Acoustique ) ,
signifie la même chose que réfléchissant, & se dit
singulièrement des échos qu’on,dit être des sons
réfléchis. Voyei RÉFLEXION , ÉCHO , SON. 'Et par analogie, quelques-uns appellent aussi
anacamptique, la science qui a pour objet les rayons
réfléchis, & qu’on appelle autrement catoptrique.
Voyei CATOPTRIQUE & PHONIQUE.ANACLASTIQUE,s.m.( Opt.) , est là partie
de Toptique qui a pour'objet les réfractioris : c’est
la même chose que ce qu’on appelle autrement
dioptrìque. Car le mot d’anaclastique s’emploie rarement.
Voyei DIOPTRÌQUE. .Ce mot se prend auffi adjectivement : point anaclaflique,
est le point où un rayon de lumière se
r-ompt ; c’est-à-dire, le point où il rencontre la surface
rompante. Voyei RÉFRACTION. Ce mot est
formé des mots Grecs, kií, de rechef, &- xxà£à,
frango , je romps.Courbes anaclafliques, est le nom que M. de
Mairan a donné aux courbes apparentes que forme
Le fond d’on vase plein (Teau, pour un oeil placé
dans Tair ; ou le plafond drmé chambre, pour un
« eil placé dans un bassin plein d’eau., au milieu, decette chambre ; ou la voûte du Ciel, vue pai ; réfraction,
à travers Tatmosphère. M. de Mairan détermine
ces courbes d’après un principe d’optique
adopté par plusieurs Auteurs, & rejette par d’autres,
mais qu’on peut ne prendre, dans son mémoire ,
que pour un principe purement géométrique, auquel
cas ses recherches conserveront tout le mérite
qu’elles ont à cet égard. Barrow à la fin de son
Optique, détermine .ces mêmes courbes par un
autre principe. Voyei ce que c’est que le principe
de M. de Mairan, & celui de Barow, aï article
APPARENT. Mém. ac. 1740. (O). -ANALEMMATIQUE, voyei CADRAN.•ANALEMME, ( Asifom ) : L’analemme est un
planisphère ou' une projection orthographique de
la sphère sur le plan du méridien, l’oeil étant suppose
à une distance infinie, &. dans’ le point orientât
ou occidental de l’horizon, comme dans la ; figure
23 , où Téquateur & l’horizon sont représentés par
dès lignes droites ; fi cette projection est-faite sor
Técolure des solstices, Técliptique y sera auffi une
ligne droite: c’est ainsi que ï analemme est exprimé
dans Ozanam, Bion, &c. V. PLANISPHÈRE ,- PRO-<
JECTION » Analemme, vient du verbe grec hh.ty.^it t
qui signifie hauteur, parce qu’il sert à trouver quelle
est la hauteur du soleil, à une heurè quelconque,
par une opération graphique. L’analemme donne
auffi,le tems du lever & du coucher du soleils
pour un jour & pour une latitude quelconque,
& Theure du jour quand on connoít ía hauteun,
En effet, soit P le pôle, fig. astron. 18G, Q Vl’équateur,
Q H un arc égal a la déclinaison du soleil
H G le rayon du parallèle diurne du soleil HDE ;
IA égal au sinus de la hauteur du soleil ; la perpendiculaire
AD íriârquerá sur le point D du
parallèle, un arc D H égal à Tangle horaire du
soleil, ou sa distance au méridien ; & cette distance
étant convertie en tems, fera connoître Theure
qu’il est. Voyei PBOJECTION, ASTROLARE.L’instrument appelle Trigone des signes, sappelle
auffi quelquefois analemme, Voyei TRIGONE DES
SIGNES , CADRAN.ANALYSE, f. f, est proprement la méthode
de résoudre les problèmes mathématiques, en les
réduisant 3 des équations. Voyei PROBLÊME &
ÉQUATION. • - - . .. L’analyse, pour résoudre tous les problêmes ,emploie
 Ie secours de Talgèbre, ou le calcul des
grandeurs -en général : auffi ces deux mots, ana<
lyse, algèbre , sont souvent regardés çommè syno<
nymes.L’analyse est l’instrument ou le moyen général
par lequel on a fait depuis près de deux siécles,
dans les Mathématiques, de si belles’découvertes.
Elle fournit les exemples les plus parfaits de la
manière dont on doit employer i'art du raisonnement,
donne à' Tesprit une merveilleuse promptitude
pour découvrir des choses inconnues, au
moyen d’un petit nombre de données ; & en ém-ployant
 des sisnes abrégés & faciles pour exprimer.
f ij "
Ana anaICÍ idées -, clic présente à Tentendemcnt des choses,
qui autrement sembleraient être hors de la sphère.
Par ce moyen, les démonstrations géométriques
peuvent être singulièrement abrégées : une longue
fuite d’argument, où l’esprit ne pourrait, sans le
dernier effort d’attention, découvrir la liaison des
idées, est convertie, en des signes sensibles, & les
diverses opérations qui y sont requises, sont effectuées
par la combinaison. de ces signes. Mais ce
qui est encore plus extraordinaire, c’est que,.par
le moyen de cet art,'Un grand nombre dé vérités
font souvent exprimées par une seule ligne ; au lieu
que, si on fuivoit la manière ordinaire d’expliquer
& de démontrer , ces vérités rempliraient des
volumes entiers. Ainsi, par la feule étude d’une
ligne de calcul, on peut appreridre en peu de tems
des sciences entières, qui autrement pourraient à
peine être apprises en plusieurs années. Voy. MATHÉMATIQUE,
THÉORÈME, ALGÈBRE , &c.L’analyse est divisée, par rapport à son objet,
en analyse des quantités finies, & analyse des quantités
infinies.Analyse des quantités finies, est ce que nous appelions
autrement Arithmétique spécieuse ou Algèbre.
Voyei ALGÈBRE.Analyse des quantités infinies ou des infinis ,. appellée
auffi la nouvelle Analyse, est celle qui calcule
les rapports des quantités qu’on prend pour infinies,
ou infiniment petites. Une de ses principales branches
est la méthode des fluxions ou le calcul différentiel.
V. FLUXION., INFINIMENT PETIT , &
DIFFÉRENTIEL.Le grand avantage dés mathématiciens modernes
fur les anciens , vient principalement de Tusage
qu’ils font de ïanalyse.Les anciens auteurs d’analyse sont nommés par
Pappus, dans la préfacé de son septième livre des
Collections Mathématiques ; savoir, Euclide, en
ses Data & Porismata ; Apollonius, ae SeBione
Rationis, & dans ses Coniques ; Aristoeus, de Locis
solidis ; & Erâtosthenes, ae Mediis proportionalibus.
Mais ies anciens auteurs d’Analyse étoient trèsdifférens
dès modernes. Voyei ARITHMÉTIQUE.
L’algèbre appartient principalement à ceux-ci :
on en peut voir Thistoire , avec ses divers auteurs,
sous l’article ALGÈBRE.Les principaux auteurs fur ï Analyse des infinis,
sont Walis, dans son Arithmétique des infinis ;
Neuton, dans son Analyjis per quantitatum féries,
Jluxiones & differentias , & daiïs son excellent traité,
qui a pour titre, de Quadraturá curvarum : Léibnitz,
aB. cruditor. an. 1684. le fnarquis de THôpital,
en son Analyse des infiniment petits ; 1696.
Carré, en fa méthode pour la mesure des surfaces,
la dimension des solides , &c. par F application du
calcul intégral, 17CO. G. Manfredi, dans son ouvrage
de construBione equationum differentialium
primi gradûs, 1707. Nie. Mercator, dans fa Logarithmotechnia,
1668. Cheyne, dans Ïa-Methodus
fluxicnuni inversa, 1703. Craig, Mcthodus. figurarumlintìs reciis & curvis comprehenfarum , quadràtaras
determinandi, 1685, & de quadraturis sigu-i
rarum cur/ilincarum & locis, &c. 1693. Dav- Gregory,
dans son Exercitatio geometrica-, de dimensione
figurarum , 1684, & Nieuwentijt, dans "ses
Considerationes circà analyseos ad quantitates insiniti
parvas applicutoe , principia , 1695. ÇUVAnalyse démontrée du P. Reynau de TOratoire,
imprimée, pour la première fois, à Paris
en 1708, en 2 volumes in-4. 0 est un livre auquel
ceux qui veulent étudier cette science, ne peuvent
se dispenser d’avoir recours. Quoiqu’il s’y^soit glissé
quelques erreurs, c’est cependant jusqu’à présent
un des ouvrages les plus complets que nous ayons
fur ï Analyse. II seroit à souhaiter que quelque
habile Géomètre nous donnât- fur cette matière un
traité encore plus exact & plus étendu à certains
égards. & moins étendu à d’autres, que celui du
P. Re) TÍau. On pourrait abréger le premier volume,
qui contient, fur la théorie, des équations beaucoup
de choses assez inutiles, & augmenter ce qui
concerne Ie calcul intégral, en se servant pour
cela des différeris ouvrages qui en ont été publiés,
& des morceaux répandus dans les riiéinoires des
Académies dès ScienCes de Paris, de Berlin, de ■
Londres & de Péteríbourg , dans les actes de
Lèipsick, dans les ouvrages de MM. Bernoulli,
Euler, Maclaurin, &c. Voyei CALCUL INTÉGRAL.Cet article analyse est destiné au commun des
lecteurs, & c’est poiir cela que nous Tavons fait
assez court : on trouvera à l’article ARITHMÉTIQUE
UNIVERSELLE, un détail plus approfondi 5
& à l’article APPLICATION, on traitera de celle
de ï Analyse à" la Géométrie. L’article ALGÈBRE
contient Thistoire de ï Analyse (O).§ ANALYSE, (Mathématiques). Le judicieux
& profond écrivain, qui a composé l’article
ANALYSE qui précède, s’est borné
au sens que les modernes donnent à ce mot ; &,
dans ce sens, il a traité ce sujet d’une manière
digne de lui dans Tarticle cité, & dans les autres
auxquels il renvoie. Cependant je ne crois pas inutile
de dire quelque chosede la méthode des
anciens,L’analyse , dit Pappus dáns la préface du septième
livre de ses ColleBions mathématiques , est la 'méthode
de parvenir, par des conséquences nécessaires
depuis ce qu’on cherche ,& qu’on regarde comme
déjà trouvé, à une conclusion qui fournisse la
réponse à la question proposée, c’esl-à-dire, à une
proposition connue, & mise au nombre des principes.Le but de ïanalyse est ou de découvrir la vérité, •
ou de trouver lê moyen d’exécuter ce qu’on s’est
proposé. Considérée sous le premier point de vue,
1 analyse s’appelle théorétique ; elle suppose certaine
la proposition douteuse, & en tire des conséquences
jufqu à ce qu’elle parvienne à une conclusion manifestement
vraie ou. manifestement fausse. Dans(e premier cas, îa proposition prise pour vraie,
Test réellement, & dans le second câs, -elle est
fausse. Sous la seconde face, ïanalyse se nomme
problématique ; elle régarde comme fait ce qu’on
doit faire,' & tire de cette supposition des conséquences
jusqu’à ce qu elle parvienne à une conclufion
évidemment possible & exécutable, ou certainement
impossible ; dans le premier cas , le
problême est possible-, dans le second , il est impossible ;
toujours il est résolu,.comme il est manifeste.
■Je me fuis servi du mot exécutable pour rendre
le armai des Grecs, parce que les anciens distinguoient,
pour ce qui concerne les problêmes, ce
que nous savons & pouvons, exécuter de ce qui
est possible en soi, mais que npus ne pouvons pas
détenriiner. Ainsi, la trisection de Tangle est possible
en elle-même ; elle est possible géométriquement
, c’est-à-dire, par la ligne droite & le cercle :
la" quadrature indéfinie du cercle est possible en
elle-même ; mais nous ne la conn.oissons pas. Les’
anciens ne regardoient pas comme pleinement &
géométriquement résolu un problème qui étoit
amené à. la trisection de Tangle ou à la quadrature
du cercle.J’ai dit que la quadrature indéfinie du cercle
est possible ; j’ai voulu dire que Timppffibilité de
trouver un espace terminé par des droites, & égal
à la surface d’un segment de cercle quelconque ,
n’est pas démontrée. Au reste, je fais qu’il est
démontré qu’on ne peut pas exprimer par nombres
Ja vraie raison du diamètre à là circonférence.
Ainsi, je regarde comme impossible la quadrature
arithmétique du cercle, mais je crois très-poffible
îa quadrature géométrique ; /nous en avons un
exemple dans les Lunules d’Hippocrate. Revenons.Les anciens n avoient rien qui ressemblât à notre
calcul : ilspratiqnoient leur analyse à force de tête.
Pour en diminuer la difficulté, ils avoient composé
des livres qui contenoient la solution détaillée
de quelques problêmes généraux , auxquels ils
tâchoient de, ramener les autres. La npte de ces
livres se trouve dans la première partie du présent
article. Ainsi, Ton regardoit comme résolu
un problème qui étoit réduit à celui de faire passer
un cercle par deux points donnés, en forte qu’il
touchât une droite donnée de position, parce que
ce dernier problême étoit résolu dans le traité de
Tadionbus à Appollonius.II ne nous reste des écrits analytiques des antiens,
que les Data d’Euclide., & letraité déseaione
rationis d’Apollonius. Nous devons ce dernier à
Tétonnantè patience & à la merveilleuse .sagacité
du célèbre Edmond Halley, qui le traduisit de
TArabe- qu il ignorait. Feu M. Símson, professeur
à Edimbourg, a fort bien restitué ces lieux plans
d’Apollonius. Quelques antres traités ont été rétablis
par d’autres auteurs, qui tous se sont servis
de i'algèbre, & ont fourni une tâche qui, de cette
^manière, n’étoit.pas fort, difficile. « Mais, dit » Halley, antre chose est résoudre en quelque.facon
J5 Uri problème , ce qu’ordinairement on peutexéf
55 cuter de plusieurs manières différentes ; autre
55 chose est le résoudre par la méthode la plus élé55
gante, en faisant usage de ïanalyse la plus courte
55 & là plus claire, & de Ia synthèse ou construction
la plus convenable & la plus facile. 5} C’est ce
que les anciens ont fait, &c.(Verumperpenâum est,
aliud esse problema alïqualiter rcsolutum dare , quod
modis variis plerumque fieri potefi, ' aliud methods
elegantiffimâ idipfum csficere., anílyfi brevisstmá &
fimul perspicuá, .synthefi.concinná.& minime operosd.
Hoc veteresproestitiffe, argumenta est Apollonii liber ,
quem in proesentarìum tibi fistimus. Halley, proef,
ad Apoll. de seB. rat. circa finem ). _
. Si nous en croyons cet homme illustre, qui certainement
poflëdoit les calculs des modernes, la
méthode des anciens dispute à I'algèbre Tavantage
de la facilité, & Temporte de beaucoup sur elle
par Tévidence & Télégance de ses démonstrations
(methodus hoec cum algebra fpeciosa facilitate contenant,
evidentia verò & demonstrationum elegahtiâ /
eam longesuperare videtur. Halley, foc. cit. p. 4).
Je ne vais pas si loin. A mon avis, les découvertes
étonnantes que les modernes ont faites dans la phy sique
 & dans les mathématiques, sont uniquement
dûés à leurs calculs. Pour s’élever au - dessus des
çonnoissances ordinaires, les anciens dévoient péniblement
entasser raisonneirient fur raisonnement,
comme les géans entassèrent montagne fur montagne
pour escalader les cieux. Les modernes ,
corniste Dédale , se sont fait des ailes, avec lesquelles
ils montenf aisément aux plus sublimes
régions auxquelles puiffe s’élever Tentendement
humain. Ceux qui ont perfectionné les calculs,
& qui les perfectionnent journellement avec tant
de peine & avec tant de sagacité, méritent toute
notre admiration & toute notre reconnoissance.Les calculs ont deux avantages fur la méthode
des anciens. Ils soulagent infiniment Tattention par
les symboles qu’ils emploient ; & ils ne demandent que
 la connoissance d’un petit nombre de théorèmes
pour résoudre les problêmes les plus difficiles.
Ils sont pour "les sciences, Ce que les métaux
font pour le commerce ; il représentent fans embarras,
& procurent fans peine les vraies richesses.
II me semble cependant qu’on tirerait encore plus
de parti des calculs, fi Ton faisoir plus d’usage de
quelques théorèmes que les anciens nous ont laissés.
Tels sont fur-tout, à mon avis, ceux qui sont contenus
dans le livre des Data d’Euclide. II ne renferme
que quatre - vingt & quinze théorèmes 3
(Pappus, dans fa préface, n’en compte que quatrevingt-dix).
De ces théorèmes, au moins quarante
sont connus au moindre géomètre. II suffirait de
charger fa fnémoire de quarante ou quarante-cinq
propositions de plus. Pour en voir futilité, considérons
rapidement la nanire de ces Data. Je
tâcherai de me mettre à la portée de ceux même
qui ne sont._.pas géomètre ». . .
#
Ana anaQuand on commande, par exemple, une table
■à un menuisier, ce n’est pas assez de dire qu’on veut
une table ; il faut fixer la matière, la figure, les
^dimensions. Quand on propose un problême à un
géomètre, il faut déterminer certaines choses. II
ne suffit pas de dire qu’on veut un triangle ; il faut
déterminer ou la longueur de chaque côté de ce
triangle, ou celle de deux côtés,, & la grandeur de
l’angle que ces deux côtés forment, ou la longueurd’un
côté, & la grandeur des deux angles qui sont
fur Ce côté, 6'c.Dans cet exemple, les côtés &Jes angles, en
général toutes les choses qui sont déterminées par
celui qui propose le problême, s’appellent des données
ou des d-ata, d’un mot latin que les géomètres
François ont adopté. Je les appellerai des données
par convention, Car chaque chose qui est donnée de
cette manière, est nécessairement accompagnée d’autres,-données,
qu’on ne découvre qu’avec quelque
attention ; par exemple, les trpis côtés d’un triangle
étant donnés de lòrigueur, les angles, la surface du
triangle, la perpendiculaire tirée du sommet d’un
angle sur le côté opposé, &c. font auffi donnés.
C’est ainsi qu’ayant prescrit au mpnuifier la sorte
de bois & les dimensions de ma table, je lui ai auffi ■
prescrit lè poids. J’appelle données en conséquence
les données de la seconde sorte, pour les distinguer
de celle de la première.Euclide réduisit, sous certains chefs, tout ce qui
peut être donné par convention en Géométrie, & fit
voir les données en conséquence, qui nécessairement
accompagnent chaque donnée par convention. C’est
ce que contient son livre des Data. Les propositions
qu’on y trouve, fervent d’abord à faire voir quelles
"conditions d’un problême sont superflues, parce
qu’elles sont nécefláirement renfermées dans ses
autres. En second heu, les inêmès propositions sont
utiles à résoudre plusieurs problêmes géométriques
fans peine & fans calcul, & à simplifier le calcul
nécessaire à la solution de nombre d ?autres.Cet article n’est fait que pour les coininençans ;
c’est pourquoi je donnerai mi exemple simple &'
facile de la seconde utilité dès Data d’Euclide,
en résolvant, par une seule proposition de ce livre,
îes problêmes 4. Ç, 6. -7. o. 9. 10. de ï Arithmétique-universelle
dû Neuton. Quand je là com7
mentai, je ne vis pas cette solution. Je n’avois
pas assez préscns à. Tefprit les data que je n’avois
íus que fort tard. Mon exemple doit engager les
jeunes gens, qui se destinent aux mathématiques,
à étudier ce liyre de bpnne heure 5 & à se se rendre
familier.La proposition dont je fais usage, est la 67 de
ce traité. L’auteur la démontre en quatre manières
différentes. Voici la troisième avec un léger change:
ment, nécessaire pour faciliter la construction des
problèmes. La proposition d’Euclide est:
■ Si un triangle a un angle donné, Fexcèsjdu quarré
de lajomme des deux côtés qui forment Panée donrié }fur le quarré1de ta base , est au trìangXe èn ralsoh
donnée.Dâns le triangle AB C (Géom. fig. 10G, IÓ ;,108) ,
 soit donné Tangle ABC ; prolongez le
côté AB, que pour épargner la multiplicité dés
cas & des figures , je suppose Ie plus grand dés
deux côtés.qui sonnent Tangle donné ; & prenez
B D égale k BC ; donc la droite A D est égale
aux deux CB , B A ensemble. Du point C tirez
sur la droite AD la perpendiculaire CE.Avant d’entamer la démonstration, je remaii.
querai : ' . "*.-.'r.° Que, pour cette proposition, j’ai fait trois
figures : la première pour Tangle B aigu ; la seconde
pour Tangle B obtus ; la troisième pour le même
angle droit, afin de-démontrer tous les cas de cette
proposition importante. ■ .2. 0 Que, comme cette proposition se démontre
par Ia comparaison des rectangles & des quarrés,
je me'fers des signes algébriques. Dans ces cas,
le raisonnement des anciens ne diffère du calcul
des modernes, qu’en ce que Ie second s’êxprirae
d’une manière beaucoup plus eourte que le premier.
Les principales’ opérations de I'algèbre sont
démontrées dans le second livre d’Euclide ; & tout
ce qu’on prouvé par çe second livre, est prouvé
algébriquement, auífi bien quand on se sert des
mots, quç quand on se sert, des signes,Démonstration.On fait que A D =L~AB%J(- zABXBD -p.BD%^AB +ZABXBC + B~C , pareeque
Ton a fait B D égale a B C. On fait auíiì queA B +B~C=z ~CA±iABXBE (où il faut
prendre ie signe rf pour la fig. 106 , dans laquelle
Tangle ABC est aigu ; & se signe — pour la
fig. 107> dans laquelle Tangle ABC est obtus)  ;

donc Zlf ~C~A+ zAB (D B ±3 E) , 011
bien, DA — A'C- zABXE D ,-mais 2 ABX
ED\zABXF,C~=DE \ EC & zARX
EC est égal à quatre fois la surface du triangle
ABC: donc Texcès du quarré de la somme des
deux côtés d’un triangle fur le quarté du troisième
côté (D~~A ■— AC = (A B +B C)  1 —
A Cf est à la surface du triangle ABC, comme
DE à la quatrième partie de E C.
Cette raison est donnée lorsque lWle ABCest donné, parce que, dans ce cas, l’angle A D C,- qui en est la moitié, est auffi donné ; c’est pourquoie triangle rectangle C E D en donné d’espèce, &l.a raison de.D E kEC est donnée. C. Q. F. D.J’ajoute qu’aussi Pcxcès du quarré de la base furle quarré de la différence des côtés qui forment F angeaonne, est au triangle en raison donnée ■■'•-••', .Prenc ?; la,'partie B F égale, au côté BC, &.joignez la CF ; donc A F est la différence -desAna • a n a %%côtés AB, BC. D’abord A F' -f zABXB F=
AB -f B F_= A B +B~C = C~A±izABX
B B ; donc CA — AF'~z AB (FBzpBE) 
=izABXFF ; mais zABX EF.' zAB'X
EC=FE:EC ; &.. Tangle B F C, moitié de
Tangle donné CB D , est donné ; donc le triangle
FE C, rectangle en E, est donné d’espèce ; S: Ia
raison de FE à E C est donné, auffi-bien que celle
de FE, au quart de E C ; & la dernière est la
même que cëlle de Texcès du quarré de la base
du triangle fur le quarré de' la différence des deux
côtés qui forment Tangle. donné, de ( CAY~^-
(AB—B Cf- à la surface ;du triangle ; donc cètte
raison est donnée.Cette démonstration s’applique fans peine à la
fig. 108.En termes trigonométriques, Ia première raison
est celle de la cotangente de la moitié de Tangle
donné au quart du rayon, & la seconde est celle
de la tangente de la moitié de Tangle donné au
quart du rayon. Parce que, û CE représente le■ rayon, E D représente la cotangente de Tangle
C D E , moitié de Tangle donné C B A ; mais
FE représente . la cotangente de Tangle E F C,
moitié de CB D , supplément de Tangle donné.Observez que Tangle D ÇF est droit, puisque les
angles CD F, D FC ensemble font un droit, étant
la moitié des angles ABC, C B D qui ensemble
valent deux droits. Ou bien parce que le demicercle
décrit du centre B & de Tintervalle BD,
passe par les points C & F, puisque les droites
BD, BC, B F sont égales, donc DE '. EC =
CE'EF.Nous avons vu que le premier excès est au quadruple
de la surface du triangle, comme DE à EC ;
que le second excès est au quadruple de la même
surface, comme FE k E C ; & que DE est k EC
comme CE à E F. II en résulte que le quadruple
de la surface d’un triangle est moyen proportionel
entre Texcès du quarré de la-somme de deux côtés
fur le quarré du troisième côté , & Texcès du quarré
du troisième côté sor le quarré de la différence des
deux autres côtés. Nous montrerons-dans-la fuite■ que ce corollaire renferme une proposition trigonométrique
importante, que. les modernes démontrent
d’une manière fort embarrassée.De cette proposition résulte auffi que, si la raison
de Texcès du quarré de la somme de-deux ; côtés
d’un triangle sor le quarré du troisième côté au
triangle, ou celle de Texcès du quarré du troisième
côté fur le quarré de la différence de deux côtés
au même.triangle est’donnée, Tangle ED C, ou
EF C, '& par conséquent Tangle ARC est
donné.C’est par cette proposition qu’on résout fans peine
les problêmes de Neuton rendus généraux. Ils íèí
réduisent à décrire un triangle, étant- donnés ;ki.° Un angle, Ie périmètre, & Ia perpendiculairetirée de Tangle donné fur le côté opposé. C’est le
probl. IV de ï Arithmétique universelle.2. 0 Un angle -, le côté opposé à Tangle donné,'
& la somme dès deux côtés qui forment Tangle
donné & de la perpendiculaire tirée de Tangle-'
donné fur le côté opposé & donné. C’est le pro« 
blême V. '. ■ '3. 0 Un angle, la somme des côtés qui le forment,"
& la perpendiculaire tirée de Tangle donné fur le
côté opposé. C’est le probl. VI.4. 0 Un angle , la somme des côtés qui le forment
, & la somme de la base & de la perpendi-t
culaire tirée de Tangle do'nbé fur le côté opposé »
C’est le probl.' VII. '5. 0 Un angle, lá surface & lé périmètre. C’est la
problême VIII. .6." La base, la perpendiculaire-élevée sur
la base , & la somme des deux côtés.' C’est le
probl. IX.7. 0 Un angle, la somme des côtés qui le formenî
& le côté opposé. C’est le probl. X.i.° Soit donc AB + B C-\- CA=za ; CE=^b ;_
A B ='x ; donc B C -\-CA==a — x, ( jusqu’icr
comme Neuton)  ; (BC-\- CAf=.d ?- — zax-\-x'1' ;(B C-4- CA y — BA^—aJ. ~lax ; &.ABX
BC==bx.Mais, par la proposition précédente, la raison
de az — 2 a x à 26 x est donnée. Soit donc á1—-
Zàx l Z b x =e '. b ; donc a* — zax=.Zex }a1 irlîi 4- zax ; & ——r = 3V2.° Soit A C-\-CB -f CE -a. ; AB - b ; CE=x ;
par conséquent A C-\-CB=a — x , comme dans
Neuton. Mais ( A C -f- CB) a = aI — 2 ax -f* 1 ;(AC+CB.)  1 -TÂB'—a'— zax+x1—^ ;
A B X C E =6 x ; & par la proposition précédente
, a^ •— 2 a x -j- xr — 63 ; 2. b x■==,_€ l b ■ ;
donc az —- Z a x -f xz — 2 V- =. 2 e x ; & a ? —i
&î = 2 ax -j- 2 ex — x'.Ces deux conclusions s’accordent avec’celles de.
Neuton,.qui fait droit Tangle donné. Car, dans çs
cas, la tangente de la moitié de Tangle droit est=è
dàns Ces deux problêmes »3.° Soit AC+ CB==a ; CEb ; AB^.x,
comme Neuton dans la seconde solutioni Ici(AC+CB) *=2a* ; (AC-\-CBf—~B'-=^
a ? — xí, ;AB X CEt=bx ; &dí — xi {lbx=.
c *b ,' par conséquent a2 —-*a■==,% ex, comme
J\Teuton. 1 ■.■■■:■■■■4." Soif A C -f CÉ =2 a ; AB -f CÉ = b,A 3 =íy.- Donc (A C^CBf -A B^t a* — y ;
C £ -= b —y ;. CEXAB — b y-r-y\ Mais
a 1' — y* l 2 b y — i y * £3 e " *• b ( : donc d* —y* == 'ley^ —ì—'< ":.. . , -'Cette équation, quand sangle est droit, & -parconséquent-£
sa f>, è.evie$t ^-ib y-jf* n éguatk>ii
mie Neuton auroit trouvé, si, au lieu d’exterminer
y , il avoit exterminé x.c ° Soit^Tangle donné, & AB-r-CB-r-CA=a ;
ABYCE=zb* ; BC=y ; donc BA+AC—a-^y ;
(BA + AC) --=a* -2.ay.fy1,- ( BA+ACfB
C~- = a1 — 2 a y ; & a1 — 2 ay \ 4&J= e.b ;
donc a1 — 2 ay== 46 e.6." Soit CE-a ;AB-zb ; BC+CA^Ze ;
BC—CA=zi ; donc (BC+C A)  1 — AB* —4c 2 ~4Í> 2. La surface du triangle = — =ab ;ABí—(BC—CAy-=4.b1— 4.7K Mais par le
théorème, 4e1—4Ò 2 ;4aò:=4flZ> I 4È2'—4i% ;-donc -~~~ =s**-l’i & î1 = b" -
•r r., comme Neuton.7. 0 Enfin soit C Tangle donné ; ./f-C-f- CB = 26 ;
AB-a ; CE=y ;(AC-T-CBy-AB=4.b*-a* ;
ABX CE=ay ; mais 4b-— a2 J 2áy=/I a ;
donc 4 62 —a 2 ='2/y.Si, dans ce dernier problême, ori avoit, comme
Neuton , cherché la différence des Côtés, on
auroit trouvé la même équation que Tauteur. Car
soit B Tangle donné ; C E la perpendiculaire fur
AB ; BD^=BC ;&.CA = a ;AB+BC=zb ;
AR — BC—zx. II est clair que (AB + BCf -"0=462 —a 2 ; e\CÂ—(AB—BC) -í~
a* — 4x 2.Or 4 b-- a1 est à quatre fois la surface du triangle
en raison donnée de D E k EC. Soit D E', E C=
m’, n ; donc quatre fois la surface du triangle est à
a- — 4.x 1 = comme m k n ; donc 4b' n — a2 n *m
a> —4x » = m : n ; & Jt !l£^l’L = « ■ » _ 4 x> •par conséquent x2 = _í !Ì2Ì±^r*Ìlií_.Newton a fait C5 : BE = d’, e ; Scilatrouvé » ^d—zb^(d-e) ■Ld^rzc.Cette équation & la précédente sont les mêmes.
Car, suivant notre auteur, CB l B E=^dl e ;doncC~B\ BË^d1'é1 ; &.~CB — B~Ë\CEf.BEZ= d*—c* ; e\8tauÛÎCB+BE(DE)  :EB=d-\- e '.e ; &BE l E D=j ? I (^-fe) 2 ;donc « a-quo, CE \ E D’ = dl -e 2 l(d+ esc
d—e^-fe.Nous avons fait CE ' E D = n l m, c’est-à-dire,1 1CE l E D l = n* l m2 ; c’est pourquoi d= e l
à -f- e = n2 I m2 ; & componendo, zd\ d -\- e =-ì 1 _,, • m2 ÍJ—-« n2 o • 2 dn+m. -r- : ou —rr— = -T—, &-TJ— =m’ + « '
'""""m 1 • -.','.'-■^-^.^^sèment l’équation de Neuton.J’ai un peu étenduxes solutions en faveur des
commençans, à qui cet article est destiné. CepetK
dant je ne m’arrêterai pas à réfoudre les mêmes
problèmes, en Jupposant données les différences
au lieu des sommes, &c. Je finirai^en montrant,.
comme je Tai promis, que le théorème fondamental
de cet article renferme celui qu’on donne pour
trouver la surface d’un triangle par les côtés ; voici,
la règle. Prenez la moitié du périmètre du triangle,
ce sera la première quantité.. De cette moitié de
périmètre ,. ôtez successivement les trois côtés du
triangle, vous aurez trois autres quantités qui, avec
la première, feront quatre quantités ; tirez la racine
quárrée du produit de ces^quatre quantités, vous
aurez la surface du triangle. Nous avons rnontré
que quatre fois la surface d’un triangse est moyenne
proportionnelle entre Texcès du quarré dé la somme
de deux côtés fur le quarré dé la base ; & entre
Texcès du quarré de la base sor le quarré de la
différence des côtés. Mais, par la cinquième proposition
du II livre d’Euclide, la différence de
deux quarrés est égale à un rectangle, dont un
côté est la somme, & l’autre est ladiffémee des
côtés des quarrés : donc les deux côtés du premierexcès
sont l’un, le périmètre du triangle, & l’autre
Texcès de Ia somme des deux côtés fur la base ;
& les deux côtés de l’autre sont l’un la somme de
la base & de la différence des deux côtés, & l’autre
Texcès de la base fur la même différence, & prenant
le quart dés rectangles, ou la moitié de chacun ,
des quatre facteurs, &c. ( J. D. C. ) ANALYSTE, f. m. en Mathématique, se dit
d’une personne versée dans ïanalyse mathématique.
Voyei ANALYSE.ANALYTIQUE, adj. ( Math. ) , qui appartient
à ïanalyse , ou qui est de la naturelle ïanalyse,
ou qui se fait par la voie de ïanalyse. V. ANALYSE.
Ainsi Ion dit.-équation analytique , démonstration
analytique, recherches analytiques, table analytique,
calcul analytique , &c. Voyei MÉTHODE. -La méthode analytique est opposée à lasynthétique.
Dans Ia Philosophie naturelle, aussi bien que
dans les Mathématiques, il faut commencer à ap-^
planir les difficultés par la méthode analytique,
avant que d’en venir à la méthode synthétique. Or
cette analyse consiste,à faire des expériences & des
observations, à en tirer des conséquences générales
par la voie de Tinduction, & ne point admettre
d’objections contre ces conséquences, que celles
qui naissent des expériences ou d’autres vérités
constantes. Et quand même les raisonnemens qu’on
fait sor les expériences par la voie de Tinduction,
ne seraient pas des démonstrations des conséquences
générales qu’on a tirées, c’est du moins la meilleure
méthode de raisonner- sur cesLortes d’objets- ; lerailbnneme^l
raisonnement serad autant plus fort, que Tinduction
fera plus générale. S’il ne "se présente point de
phénomènes, qui fournissent d’exception, on peut
tirer la conséquence générale. Par cette voie analytique,
on peut procéder des substances composées
à leurs élémens, des mouvemens aux forces qui
les produisent, & en général des effets à leurs
causes, & des causes particulières à de plus générales
, jusqu’à ce que l’on soit parvenu à celle qui
est la plus grande de toutes. Voilà ce que c’est
que la méthode analytique , dit M. Neuton.
Laméthode synthétique consiste à prendre commeÎirincipes, les causes déjà connues & constatées ; à
es faire íervir'à Texplicatiòn des phénomènes qui
en proviennent, 6k à justifier cette explication par
des preuves. Voyei SYNTHÈSE.Méthode analytique , en Géométrie, est Ia méthode
de résoudre les problèmes, & de démontrer
les théorèmes de Géométrie, en y employant Tanalyse
pu I'algèbre. Voyei ALGÈBRE , ANALYSE
& APPLICATION.Cette méthode est opposée à la méthode appellée
synthétique, qui démontre les théorèmes, & résout
les problèmes, en se servant des lignes mêmes qui
composent les figures, fans représenter ces lignes
par des noms algébriques. La méthode synthétique
étoit celle des anciens ; ï analytique est dûe aux
modernes. Voyei les articles cités ci-deffus ; voyei
auffi- SYNTHÈSE (O).. ANAMORPHOSE, f. f. en peispeBive & en
peinture , se dit d’une projection monstrueuse, ou
d’une représentation défigurée . de quelque image,
qui est faite sur un plan ou sur une surface courbe,
.& qui néanmoins, à Un certain point de vue, paroít
régulière & faite avec de justes proportions. Voyei
PROJECTION.Pour faire une anamorphose, ou une projection
monstrueuse sur un plan, tracez le quarré ABCD,
{pi. de perspeBive , fig. 19 , n." 1. )  d’une grandeur
à volonté , & subdivisez-le en aréoles ou en petits
-quarrés. Dans ce quarré ou cette espèce de réseau
que Ton appelle prototype craticulaire, tracez au
naturel Timage dont Tapparence doit être monstrueuse
: tirez ensuite la ligne a b, (fig. 19, n." 2. ) 
égale à A B, & divisez-la dans le même npmb*e
. de parties égales que le côté du prototype AD: au
point du mflieu E, élevez la perpendiculaire E V,
& menez VS perpendiculaire à E V, en faisant la
'ligne E V doutant plus longue, & la ligne VS d’autant
plus courte, que vous avez dessein d’avoir une
image plus difforme. De chaque point de division,
tirez au point V des lignes droites, & joignez les
points b, S, par la ligne.droite b, S. Par les
points c, e, f, g, &c., tirez des lignes droites
parallèles k ab: alors abc d sera Tefpace où Ton
doit tracer Ia projection monstrueuse ; & c’est ce
que l’on appelle l’eâypt craticulaire.Enfin dans chaque aréole ou pfctít trapèze de
.Tefpace ab c d, destinez ce que vous voyez tracé
daris Taréole correspondante du quarréABCD ;Mathématiques. Teme I, I.es« Partie.par ce moyen vous aurez une image "difforme, qui
paroîtra néanmoins dans ses justes proportions, íì
l’oeil est placé de manière qu’il en soit éloigné de
la longueur E V, & élevé au dessus, à la hauteur
-de VS.Le spectacle sera beaucoup plus agréable , si Timage
défigurée ne représente pas un pur chaos, mais
quelqu’autre apparence: ainsi, Ton a vu une rivière
avec des soldats, des chariots, &c., marchant sor
Tune de ses rives, représentée avec un tel artifice,
que quand.elle étoit regardée au point i", il sembloit
que ce fût le visage d’un satyre : mais on ne
peut donner facilement des règles pour cette partie,
qui dépend principalement de Tindustrie & de Tadresse
de Tartiste.On peut auffi faire méchaniquement une anamorphose
de la manière suivante : on percera de
part en part le prototype à coups d’aiguille, dans
son contour & dans plusieurs autres points ; ensuite
on Texposera à la lumière d’une bougie ou d’une
lampe, &on marquera bien exactement lés endroits
ou tombent fur un plan, ou fur une sorsace courbe,
les rayons qui passent à travers ces petits trous ;
car ils donneront les points correspondans de limage
difforme, par le moyeu desquels on peut
achever la déformation*Faire une anamorphose fur la surface convexe d’un
cône. II paroit assez par le problême précédent,
qu’il ne s’agit que de faire un ectype craticulaire
fur la surface d’un cône qui paroisse égal au prototype
craticulaire, Toeil étant placé à úrie distance
convenable, au dessus du sommet du cône.Cest pourquoi, soit la base ABCD du cône,
( fig. zo. )  divisée par des diamètres en un nombre
quelconque de parties égales ; ou, ce qui revient
au même, soit divisée la circonférence de cette
base, en tel nombre qu’on voudra de parties égales,
& soient tirées par les points de division des lignes
droites au centre. Soit auffi divisé Un rayon en
quelques parties égales ; par chaque point de dir
vision , décrivez des cercles concentriques ; par ce
moyen vous aurez tracé le prototype craticulaire A.
Avec le double du diamètre AB, comme rayon,,
décrivez le quart de cercle E G (fig. a-z.) , afin que
Tare E G soit égal à la circonférence entière, &
pliez ce quart de cercle, de manière qu’il forme
la surface d’un cône, dont la base soit le cercle
A B CD ; divisez Tare E G dans le même nombre
de parties égales que le prototype craticulaire est
divise, & tirez des rayons.de chacun des points
de division ; prolongez G F en I, jusqu’à ce que
FI==FG : du centre I, & du rayon IF-, décrivez-le
quart de cercle FKH, & du point fau
point D , tirez la droite IE ; divisez Tare K F
dans le même nombre de parties égales que le
rayon du prototype craticulaire ; & du centre I
par chaque point de division, tirez des rayons qui .
rencontrent EF aux points 1, z, 3 ,&c. ; enfin
du centre F, & des rayons Fi, F z, F 3 ; décrivez
des arcs concentriques : de cette manièreG
,6 ANA
Anavous aurez Tectype craticulaire, dont les aréoles
paraîtront égales entr'elles.Ainsi, en transportant dans les aréoles de Tectype
craticulaire, ce qui est dessiné dans chaque aréole
du prototvpe craticulaire, vous aurez une image
monstrueuse, qui paraîtra néanmoins dans ses justes
proportions, si Toeil est élevé au dessus du sommet
du cône, d’une quantité égale à la distance de ce
sommet à la base.Si Ton tire dans le prototype craticulaire, les
cordes des quarts de cercle, & dans Tectype craticulaire,
lés cordes de chacun de ses quarts, toutes
-choses d’ailleurs restant les mêmes, on aura Tectype
craticulaire dans une pyramide quadrangulaire.II sera donc aise de dessiner Une image monstrueuse
sur route pyramide, dont la base est un
polygone régulier quelconque.Comme Tilluíìon est plus parfaite, quand on ne
peut pas juger, par les objets contigus, de la distance
des parties de Timage monstrueuse, il est
mieux de ne regarder ces sortes d’images, que par
un petit trou.On voit à Paris, dans le cloître "des Minimes
de la Place Royale, deux anamorphoses tracées fur
deux des côtés du cloître ;- Tune rqjréscnte la
Magdelène, l’autre, S. Jean écrivant son évangile.
Elles sont telles, que quand on les regarde directement
, on ne voit qu’une espèce de paysage , &
quand on les regarde d’un certain point de vue,
elles représentent des figures humaines très-distihctes.
Ces deux figures sont Touvrage du P. Niceron,
Minime, qui a faîtsur ce même sujet un traité latin ,
■ intitulé: Thaúmaturgus opticus , Optique miraculeuse,
dans lequel il traite de plusieurs phénomènes
curieux d’optique, & donne fort au long les méthodes
de tracer ces fortes d’anamorphoses- fur des
surfaces quelconques- Le P- Emmanuel Maîgnan ,
Minime, a auffi traité cette même matière , dans un
ouvrage latin, întitulé::Peï/pe2iva horaria, imprimé
• à-Rome en 1Ó4S. Voyei la proposition 77 de la catoptrique
horaire de ce dernier ouvrage, page 438.Comme les miroirs cylindriques, coniques &
pyramidaux, ont Ia propriété dé rendre difformes
îes objets qu’on leur expose, & que par conséquent
ils peuvent faire paraître namrels des objets difformes
 ; on donne aussi dans Toptique,des moyens
de tracer fur le papier des objets difformes,. qui
étant vus par ces sortes de miroirs, paraissent de
kur figure naturelle.Par exemple, si on veut tracer une image dis- '
forme, qui paroisse de fa figure naturelle, étant
vue dans un miroir cylindrique ; on commencera,
{fig. 14 , perfpeB. )  par. décrire un cercle H B C,
égal à la base du cylindre ; ensuite supposant que
O soit lê point où tombe la perpendiculaire menée
de Toeil ; on tirera les tangentes O C &. O B ,.. on
joindra les points d’attouchement C & B par Ja
droite CB ; on divisera cette ligne C B- en tant
de parties égales qu’on voudr-a, & par les points
« te division,, cn tirera des lignes au point O/.onsupposera que les rayons OH, 01 k réfléchifîênt
en F & en G , ensuite (fig. 15, perfpeB. )  fur une
droite indéfinie M Q, on élèvera la perpendiculaire
M P égale à la hauteur de Toeil ; on sera M Q égale
à OH~de lafig. 14, & au point Q, on éseverala
perpendiculaire Q R égale k CB , & divisée en
autant de parties que CB ; par les points de division
, on tirera des lignes au point P , qui étant
prolongées jusqu’à la ligne MN, donneront lei
points ï, III, &c. & les distances QI, III,
IIIII, &c. qu’il faudra transporter dans ïafig. 14
de I en I, de-1 en II, de Hen III, &c.
de cette manière, les points F, G de lafig. 24,
répondront au point N on IV de lafig. i$- Par
ces points F G, & par le point IC, tel que R H
= ÎG, on tracera un arc de cercle^ jusqu’en S &
■ en T, c’est-â-dire , jusqu’à la rencontre dès tangentes,
OS, O T, & on fera de même pour les
points III, II, 6c. erisuite on dessinera une
figure quelconque dans un quarré dont les côtés
soient égaux à CB óu Q R , & soient divises ea
autant dé parties qu’on a divisé ces lignes, en sorte:
que le quarré dont il s’agit, soit partagé lui-même
en autant de petits quarrés. On dessinera après cela
dans la figure SFGT, une image difforme,, dont
les parties soient situées, dans les parties de cette
figure correspondante aux parties du quarré. Cette
image étant approchée d’un miroir cylindrique,
dont H B C soit la base, & Toeil étant- élevé au
dessus du point O, k une. hauteur égale à M.P ,
on verra dans le miroir cylindrique , là figure naturelle
qui avoit été tracée dans le petit quarré.
On a auffi des méthodes assez semblables à îa
précédente, pour tracer des. images difformes,. qur
soient rétablies dans leur figure naturelle ^ par des
miroirs coniques ou pyramidaux* Onpeutvoir une
idée de ces méthodes dans la Catoptrique de M..Wolf„
Nous rious bornerons ici à ce quî regarde nos
miroirs cylindriques, comme étant les. plus communs.
On trouve dans les actes de Lélpsick de
1712, la description d’une machine anamorphotique
de M. Jacques Léopold, par le moyen de
laquelle on peut décrire méchaniquement & assez
exactement- des images difformes qui soient rétablies
dans leur état naturel par des miroirs cyliri^
driques ou coniques.On fait auffi dans là diòptri'que dès anamorphoses-.
Elles consistent en des figures difformes.,
qui sont tracées fur un: papier, & qui paraissent:
dans leur état namrel y lorsqu’on les regarde k\
travers un verre polyèdre, c’est-à-dire,.à plusieurs,
faces. Et voici de'quelle manière elles se font.Sur une table horizontale ABCD , on élève
sangles droits (fig.. ir , Peisp.)  une planchers
F E D ; on pratique dans chacune de ces deux:
planches ou tables,.deuxcoulisses,telles queTappni'
BHC puisse, se mouvoir entre, les coulisses de Ia.
table horizontale, & qu’on puisse faire couler un*
papier entre les coulisses, de Ia planche-verticale: ;,
on adapte à: l’àppui BHC un tuyau Ï\K, #um
A n c and’ írni î d’un verre polyèdre, plan convexe, composé
de 24 plans triangulaires, disposés à-peu-près suivant
la courbure d’une parabole. Le tuyau est
percé en K d’un petit trou, qui doit être un peu
au-delà du foyer du verre ; on éloigne Tappui BHC
de la planche verticale, & on l’en éloigne, d’autant
plus que Timage difforme doit être plus
grande.On met au-devant dustrou K une lampe ; on.
marque avec du crayon les aréoles ou points lumineux
que fa lumière forme fur la planche ADEF ;
& pour ne point se tromper en les marquant, il
faut avoir soin de regarder par le trou fi en effet
ces aréoles ne forment qu’une feule image.On tracera ensuite dans chacune de ces aréoles
des parties d’un objet, qui, étant vue par le trou
K , ne paraîtront former qu’un seul tout ; & on
aura soin de regarder par le trou K, en faisant
cette opération, pour voir fi toutes ces parties
forment en effet une feule image. A Tégard des
espaces intermédiaires, on les remplira de tout ce
qu’on voudra ; & pour rendre le phénomène plus
curieux, on aura foin même d’y tracer des choses
toutes différentes dé celles qu’on doit voir par le
trou: ; alors regardant par le trou K, on ne verra
qu’une image distincte, fort différente de celle qui
paroissoit fur le papier à la vue simple.On voit à Paris, dans la bibliothèque des Minimes
de ia place Royale, deux anamorphoses de
• cette espèce , elles sont Touvrag.e du P. Niceron,
dont nous avons déjà parlé : & on trouve aussi,
dans le tome IV des Mémoires de P Académie Impériale
de P'éterjbourg,-la description d’une anamorphofesemblable,
faite par M. Lutman, membre
de cette Académie, en fhonneur de Pierre ÏI,
empereur de Ruffie : cet auteur expose la méthode
qu’il a suivie pour cela, & fait des remarques
utiles fur cette matière. Voyei, fur cet article , la
CATOPTRIQUE & la DTOPTRÌQUE de M. Wblf,
déjà citées (O).ANCIENNE -GEOMETRIE peut" s’entendre
de deux manières ; ou de la Géométrie des anciens,
jusqu’à Defcàrtes, dans laquelle on ne faisoit aucun
usage du calcul analytique'', ou de la Géométrie
depuis Descartes jusqu’il Tinvention des calculs
différentiel & intégral. Voyei ALGÈBRE, DIFFÉRENTIEL
, INTÉGRAL , &c. Voyei auffi GÉOMÉTRIE
( 0)..ANDROIDE, f. m. ( Méchan. ) , automate
ayant figure humaine, & qui, par le moyen de
' certains ressorts , &c. bien disposés, agit & fait
d’autres fonctions extérieurement semblables à celles
de ï homme. Voyei AUTOMATE. Ce mot est composé
du grec àï »p., génitif foïfU, homme, &.' de
■tuTur, forme. -Albert le Grand avoit, dit-on, fait un androïde.
NOUS en avons vu un à Paris en 1738, dans le
Flûteur automate de M. Vaucanson, de TAcadéPÙe
Royale des Sciences.L’auteur publia cette année Ï7j8j un Mémoireapprouvé* avec éloge par la mêmé Académie : il y
fait la description de son Flûteur, que tout Paris a
été voir en foule. Nous insérerons ici la plus grande
partie de ce Mémoire, qui nous a paru digne d’être
conservé. -La figure est de cinq pieds & demi de hauteur
environ, assise fur un bout de rocher, placée fur
un piédestal quarré, de quatre pieds & demi de
haut fur trois pieds & demi de large.A la face antérieure du piédestal ( le panneau
étant ouvert) ,'on voit à la droite un mouvement,
qui, à.la faveur de plusieurs roues, fait tournes
en-dessous un axe d’acier de deux pieds six pouces
de long, coudé en six endroits dans fa longueur
par égale distance, mais en sens différens.' A chaque
coude sont attachés des cordons qui aboutissent à
Textrémité des panneaux supérieurs de six soufflets
de deux pieds & demi de long fur six pouces de
large, rangés dans le fond du piédestal, où leur
panneau inférieur est attaché à demeure ; de sorte
que, Taxe tournant, les six soufflets se haussent
& s’abaissent successivement les uns après les
autres.A la face postérieure, au-dessus de chaque soufA
fiet, est uUe double poulie, dont les diamètres sont
inégaux ; savoir, l’un de trois pouces, & l’autre
d’un puucé & demi ; & cela pour donner plus da
levée aux soufflets, parce que les cordons, qui y
font attachés, vont se rouler sur le plus grand
diamètre de la poulie, & ceux qui sont attachés
à -Taxe qui les tire, se roulent fur Ie petit."Sur le grand diamètre de trois de ces poulies
du côté droit, se roulent auffi trois cordons, qui,
par le moyen de plusieurs petites poulies, aboutissent
aux panneaux supérieurs de trois soufflets
placés íur le haut du bâti, à la face antérieure &
supérieure.La tension qui se fait à chaque cordon, lorsqu’il
commence à tirer le panneau du soufflet où il est
attaché, fait mouvoir un levier placé au-dessus,
entre Taxe & les doubles poulies, dans la région
moyenne & inférieure du bâti. Ce levier, par
différens renvois, aboutit à la soupape, qui se
trouve au-dessous du panneau inférieur de chaque
soufflet, & la soutient levée , afin que Tair y entre
sans aucune résistance, tandis que le panneau supérieur,
en s ?élevant, en augmente la capacité. Pat
ce moyen , outre la force que Ton gagne , on
évite le bruit que fait ordinairement cette soupape
, causé parle tremblement que Tair occasionne
en entrant dans le soufflet : ainsi, les neuf soufflets
sont mus fans secousse, fans bruit, & avec peu
de force.Ces neuf soufflets communiquent leur vent dans
trois tuyaux différens & séparés. Chaque t lyau,
reçoit celui de trois soufflets ; les trois qui sont
dans le bas du bâti à droite par la face antérieure,
communiquent leur vent à un tuyau qui règne en
devant fur le montant du bâti du même côté, &
ces trois-là sont chargés d’un poids de quatre livresj
.G ij
Andks trois qui sont à gauche dans le même rang,
donnent leur vent dans un semblable tuyau, qui
règne pareillement sur le montant du bâti du
même côté, & ne sont chargés chacun que d’un
poids dedeux livres : les trois qui sont fur la partie
supérieure du bâti, donnent auffi leur vent à un
tuyau qui règne horizontalement sous eux &-en
devant ; ceux-ci ne sont chargés que du poids de
leur simple panneau. -Ces tuyaux, par différens coudes, aboutissent à 'trois
 petits réservoirs placés^ dans la poitrine dé
la figure. Là,par leur réunion, ils en forment un
seul, qui, montant par le gosier, vient par son
élargissement former dans la bouche une cavité,
terminée par deux espèces de petites lèvres qui
posent sur le trou de la flûte ; ces lèvres donnent
plus ou moins d’ouverture, & ont un fnouvement
particulier pour s’avancer & se reculer. En-dedans
de cettè cavité, est une petite languette mobile ,
qui, par son jeu, peut ouvrir & fermer au vent
le passage que lui laissent les lèvres de la figure.Voilà par quel moyen le vent a été conduit
jusqu’à la flûte. Voici ceux qui ont servi à le
modifier.A la face antérieure du bâti à gauche, est un
autre mouvement qui, à la faveur de son rouage,
fait tourner un cylindre de deux pieds & demi de
long fur soixante-quatre pouces de circonférence.
Çe cylindre est divisé en quinze parties égales
d’un pouce & demi de distance. A la face postérieure
& supérieure du bâti, est un clavier traînant
sur ce cylindre, composé de quinze leviers
très-mobiles, dontlesextrémités.du côté du dedans 7
sont armées d’un petit bec, d’acier , qui répond à
chaque division du cylindre. A l’autre extrémité
de ces leviers, sont attachés, des fils & chaînes
d’acier, qui répondent aux différens réservoirs de
vent, aux doigts, aux lèvres & à laiangue de la ■
ligure. Ceux qui répondent aux différens réservoirs
de vent, sont au nombre de trois, & leurs chaînes
montent perpendiculairement derrière le dos de Ia
figure jusque dans la poitrine, où ils sont placés,
& aboutissent à une soupape particulière à chaque
réservoir : cette soupape étant ouverte., laisse passer
le vent dans le myau de communication qui monte,
comme on Ta déjà dit, parle gosier dans la bouche.
Les leviers qui répondent aux doigts sont au
nombre de sept, & leurs chaînes montent auffi
perpendiculairement jusqu’aux épaules, & là íè
coudent pour s’inférer dans Tavant-bras jusqu’au
coude, où elles se plient encore pour aller le long du
bras jusqu’au poignet ; elles y sont terminées chacune
par une charnière qui se joint à un tenon
que forme le bout du levier contenu dans la main,
imitanr Tos que les anatomistes appellent Tos du
wjtacarpe , & qui, comme lui, forme une charnière
avec Tos de la première phalange, de façon
que, la chaîne étant tirée, le doigt puisse se lever.
Quatre de ces chaînes s’insèrent dans le bras droit,
pour faire mouvoir les quatre doigts de cette main.& trois dans Ie bras gauche pour trois doigts, n y
ayant que trois trous qui répondent à cette main.
Chaque bout de doigt est garni de'peau, pour
imiter la molesse du doigt naturel, afin de pouvoir
boucher Ie trou exactement. Les leviers du clavier
' qui répondent au mouvement de la bouche, sont
au nombre de quatre : les fils d’acier qui y font
attachés forment des renvois, pour parvenir dans
le milieu du rocher en dedans ; & là ils tiennent
à des chaînes qui montent perpendiculairement &
parallèlement à' Tépine du dos dans le corps de la
figure ; & qui, passant par le cou, viçnnenr dans
la bouche s’attacher aux parties, qui font faire
quatre différens mouvemens aUx lèvres intérieures :
1 un fait ouvrir ces lèvres pour donner une plus
grande issue au vent ; l’autre la diminue en les
rapprochant ; le troisième les fait retirer en arrière,
& le quatrième les fait avancer fur le bord du
trou.II ne reste plus fur Ie clavier qu’un levier, où
est pareillefnent attachée une chaîne qui monte ■
ainsi que les autres, & vient aboutir à la languette
qui fe trouve dans la cavité de la bouche derrière
les lèvres, pour en boucher le trou, comme on
Ta dit ci-dessus.Ces quinze leviers répondent aux.quinze divisions
du cylindre par les bouts où sont attachés
les becs d’acier, & à un pouce & demi de distance
les uns des autres. Le cylindre venant à tourner,
les lames de cuivre placées fur ses lignes divisées,
rencontrent les,becs d’acier, & . les soutiennent
levés plus ou moins long-tems, suivant que les
lames sont plus ou moins longues : &, commé
Textrémité de tous ces becs forme entr'eux une
ligne droite, parallèle à Taxe du cylindre, coupant
à angle droit toutes les lignes de division,
toutes les fois qu’on placera à chaque ligne une
lame, & que toutes leurs extrémités formeront
entr'elles une ligne également droite, & parallèle
à celle que forment Tes becs des leviers, chaque
extrémité de lame (le cylindre.retournant ) touchera
& soulèvera dans Ie même instant chaque
bout de levier ; & l’autre extrémité des lames formant
également une ligne droite , chacune laissera
échapper son levier dans le même tems. On con*
çoit aisément par-là comment tous les leviers peuvent
agir & concourir tous à-la-foio à une même
opération, s’il est nécessaire. Quand il n’est besoin
de faire agir que quelques leviers, on ne place des
lames qu’aux divisions où répondent ceux qu’on
veut faire mouvoir : on en détermine même le
temsj en les plaçant plus ou moins éloignées de
la ligne que forment les becs : on fait cesser aussi
leur action plutôt ou plus tard, en les mettant
plus ou moins longues.L’extrémiré de Taxe du cylindre du côté droit,
est terminée par une vis fans fin à simples filets,
dislans entr'eux d’une ligne & demie, & au nombre
de douze, ce qui comprend én tout• Teípace d’unAnd and sjpouce & demi de longueur, égal à celui des divisions
du cylindre.Au-dessus de cette vis, est une pièce de cuivre
immobile, solidement attachée au bâti, à laquelle
tient un pivot d’acier d’une ligne environ de diamètre
, qui tombe dans une canelure de la vis, &
lui sert d’écrou, de façon que le cylindre est obligé,
en tournant, de suivre la même direction que les
filets de la vis, contenus par le pivot d’acier, qui
est fixe. Ainsi, chaque point du cylindre décrira
continuellement en tournant une ligne spirale, &
sera par conséquent un mouvement progressif de
droite à gauche. 'C’est par. ce moyen que chaque division du
cylindre, déterminée d’abord sous chaque bout de
, levier , changera de point à chaque tour qu’il
fera, puisqu’il s’en éloignera d’une ligne & demie,
qui est la distance qu’ont les filets de la vis entre
eux. ; Les bouts des leviers attaché: au clavier restant
donc immobiles, & les points du cylindre auxquels
ils répondent d’abord, s’éfoignant à chaque instant
de la perpendiculaire, en formant une ligne spirale,
qui, par le mouvement progressif du cylindre, est
toujours dirigée au même point, c’est-à-dire, à
chaque bout de levier, il s’enfuit que chaque bout
de levier trouve, à chaque instant des points nouveaux
fur les lames du cylindre, qui ne se répètent
jamais, puisqu’elles forment entr'elles des lignes
spirales qui forment douze tours fur le cylindre,
ayant que le premier point de division vienne sous
un autre levier, que celui fous lequel il a été déterminé
en premier lieu.. C’est dans cet espace d’un pouce & demi qu’on
place toutes les lames, qui forment elles-mêmes les
lignes spirales, pour faire agir le levier sous qui
elles doivent toujours passer pendant les douze
. tours que fait le cylindre. A mesure qu’une ligne
change pour son levier , toutes les autres changentpour
le leur ; ainsi, chaque levier a- douze lignes
' de lames, de 64 pouces de diamètre, qui passent
sous lui, & qui font entr'elles une ligne de 768
pouces de long. C’est fur cette ligne que font placées
toutes les lames suffisantes pour Taction du
levier durant tout le jeu.U ne reste plus qu’à faire voir comment tous ces
différens mouvemens ont servi à produire Teffet
■qu’on s’ést proposé dans cet automate, en les comparant
avec ceux d’une personne vivante.
- Ësl-il question de lui faire tirer du son de sa
flûte, & de:former le premier ^ton , qui est le ré
d’en bas ? On commence d’abord à disposer Tembouchure
 ; pour cet effet, on place fur le cylindre
une lame dessous le levier qui répond aux parties
de la bouche, servant à augríienter Touverture que
font les lèvres. Secondement, on place une lame
sous le levier, qui sert à faire reculer ces mêmes
lèvres. Troisièmement, on pkee une lame sous le
levier", qui ouvre la soupape du réservoir du vent
qui vient. des petits soufflets qui ne sont point.chargés. On place, en dernier lieu , une lame-fous
le levier, qui fait mouvoir la languette pour donner
le coup de langue ; de façon que, ces lames venant
à- toucher dans le même tems les quatre leviers
qui servent à produire les susdites opérations, la
flûte sonnera le ré d’en bas.Par Taction du levier qui sert à augmenter Touverture
des lèvres, on imite Taction de Thomme
vivant, qui est obligé de Taugmenter dans les tons bas.
 Par le levier, qui sert à faire reculer les
lèvres, on imite Taction de Thomme, qui les
-éloigne du trou de la flûte, en la tournant en
dehors. Par le levier qui donne le vent- provenant
des soufflets qui ne sont chargés que de leur fimple
panneau, on imite le vent foible que Thomme
donne alors, vent qui n’est pareillement poussé
hors de son réservoir, que par une légère compression
des muscles de la poitrine. Par le levier
qui sert à faire mouvoir la languette, en débouchant
le Irou que forment les lèvres pour laisser
passer le vent, on imite le mouvement que fait
""auffi la langue de Thomme, en se retirant du trou
pour donner passage au vent, & par. ce moyen
.lui faire articuler une telle note. II résultera donc
de ces quatre opérations différentes, qu’en donnant
un vent foible, & le faisant passer par une
issue large dans toute la grandeur du trou de la
flûté, son retour produira des vibrations lentes,
qui seront obligées de se continuer dans toutes
les particules du corps de la flûte, puisque tóus
les trous se trouveront bouchés, & par conséquent
la flûte donnera un ton bas ; c’est ce qui se trouve
confirmé par Texpérience.Veut-on lui faire donner le ton au-dessus , savoir,
le mi ? aux quatre premières opérations pour le
ré, on en ajoute une cinquième ; on place la lame
sous le levier , qui fait lever le troisième, doigt de
la main droite, pour déboucher le troisième trou
de flûte, & on fait approcher tant-soit-peu les
lèvres du trou de la flûte, en baissant un peu Ia
lame du cylindre qui tenoit le levier élevé pour
la première note, savoir, le ré : ainsi, donnant
plutôt aux vibrations une issue en débouchant le
premier trou du bout., la flûte doit sonner un
ton au-dessus ; ce qui est aussi confirmé par Texpérience.Toutes ces opérations se continuent â-peu-près
lès mêmes dans lès tons de la première octave,
où le même vent suffit pour les former tous ; c’est
la différente ouverture des trous, par la levée des
doigts, qui les caractérise : on est seulement obligé
de placer fur le cylindre des lames sous les leviers,
qui doivent lever les doigts pour former tel ou
telton.Pour avoir les tons de la seconde octave, il faut
changer Tembouchure de situation, c’esl-à-dire,
placer une lame dessous le levier, qui contribue à
faire avancer les lèvres au-delà du diamètre du teau
de la flûte, & imiter par-là Taction de Thomme
vivant, qui, en pareil cas, tourne la flûte un peu
,4 AND
Anden-dedans. Secondement  ? il faut placer une lame
fous le levier, qui, en faisant rapprocher les deux
lèvres, diminue leur ouverture : opération que fait
pareillement Thomme quand il serre les lèvres pour
donner une moindre issue au vent. Troisièmement,
il faut placer une lame sous le levier qui fait
ouvrir la soupape du réservoir , qui contient le
vent provenant des soufflets chargés du poids de
deux livres : vent qui se trouve poussé avec plus
de force, & semblable à celui que Thomme vivant
pousse par une plus forte Compression des musclés
pectoraux. De plus, on place des lames sous les
leviers nécessaires, pour faire lever les doigts qu’il
faut. II s’ensuivra de toutes ces différentes opéiations,
qu’un vent envoyé avec plus de force, &
passant par une issue plus petite, redoublera de
vitesse &. produira par conséquent les vibrations
doubles ; &■ ce sera ïoBave.A mesure qu’on monte dans les tons supérieurs de
cette seconde octave, il faut de plus en plus serrer
les lèvres, pour que le vent, dans un même teriis,
augmente de vitesse.Dans les tons de la troisième octave, les mêmes
leviers, qui vont à la bouche, agissent comme dans
ceux de la.seconde, avec cette différence que les
lames sont un peu plus élevées, ce qui fait que les
lèvres vont mut-à-fait fur le bord du trou de la
flûte, & que Ie trou qu’elles ferment devient
extrêmement petit. On ajoute seulement une lame
sous le levier qui fait ouvrir la soupape, pour
donner le vent qui vient des soufflets les plus
chargés, savoir ,. du poids de quatre livres ; par
conséquent le vent pouffé avec une plus forte compression.,
& trouvant une issue encore plus petite,
augmentera de vitesse en raison triple ; on aura donc
la triple oBave,II se trouve des tons dans toutes ces différentes
octaves plus difficiles à rendre les uns que les
autres ; on est pour lors obligé de les ajuster, en
plaçant les lèvres sor une plus grande ou plus
petite corde du trou de la flûte, en donnant un
vent plus ou moins fort,' ce que fait Thomme
dans les mêmes tons où il est obligé de ménager
son vent, & de tourner la flûte plus ou moins
en-dedans ou en-dehors.On conçoit facilement que toutes les lames placées
fur se cylindre, sont plus ou moins longues,
suivant le tems que doit avoir chaque note, &
suivant la différente situation où doivent se trouver
les doigts pour les former ; ce qu’on ne détaillera
point ici, pour ne point donner à cèt article trop
d’étendue. On fera remarquer feulement que, dans
les enslemens de son, il a fallu , pendant le tems
de la même note, substituer imperceptiblement un
vent foible a .un’ vent fort, & à un plus fort un
plus foible, & varier conjointement les mouvemens
des lèvres, c’esl-à-.dire , les mettre dans leur
situation propre pour chaque vent.Lorsqu’il a fallu faire le doux, c’est - à - dire ,
imiter un écho, on a été obligé de faire avancerles lèvres fur le bord du trou de fa flûte, « 
envoyer un vent suffisant pour former un tel ton,
mais dont le retour, par une issue aussi petite
qu’est celle de son entrée dans la flûte, ne peut
frapper qu’une petite quantité d’air extérieur ;caqui
produit, comme on Ta dit èi-dessus, ce qu’on
appelle écho.Les différens airs de lenteur & de mouvement
ont été mesurés fur le cylindre, par le moyen d’un
levier , dont une extrémité, armée d’une pointe,
pouvoit, lorsqu’on frappoit dessus, marquer ce. même cylindre. A l’autre bras du levier, étoit un
ressort qui faisoit promptement relever la pointe.
On Iâchoit le mouvement qui faisoit tourner Ie
cylindre avec une vitesse déterminée pour tous les
airs : dans le même tems, une personne jouoit
sur la. flûte Tair qu’on vouloit mesurer ; un autre
battoit la mesure sur le bout du levier, qui pointoit
le cylindre, & la dislance qui se trouvoit entre
les points étoit la vraie mesure des airs qu’on
vouloit noter ; on fubdivisoit ensuite les intervalles
en autant de parties que la mesure avoit de tems.
(O).* Combien de finesse dans tout ce détail ! Que
de délicatesse dans toutes les parties de ce méchaniímei
Si cet article, au lieu d’être Texposition
d’une machine exécutée, étoit le projet d’une
machine à faire, combien de gens ne le traiteroient-ils
pas de chimère ? Quant â moi , ïl me
semble qu il faut avoir bien de la pénétration &
un grand fonds de méchanique, pour concevoir
lá possibilité du mouvement des lèvres de Tautomate,
de la ponéluation du cylindre, & d’une
infinité d’autres particularités de cette description.
Si quelqu’un nous propose donc jamais une machine
moins compliquée, telle que seroit celle d’un barmonomètre,
ou d’un cylindre divisé par des lignes
droites &.des cercles dont les intervalles marqueraient
les mesures, & percé fur ces intervalles de
petits trous, dans lesquels on pourron insérer des
pointes mobiles, qui, s’appliquant à discrétion sur
telles touches d’un clavier que Ton voudrait, exécuterait
telle pièce de Musique qu’on désirerait à
une ou plusieurs parties ; alors gardons^nous bien
d’accuser cette machine tTêtre impossible, & celui
qui la propose d’ignorer la Musique ; nous risquerions
de nous tromper lourdement fur Tun & fur
l’autre cas. ( M. DIDEXO T ).ANDR OMEDE  ? ( Astr. )  constellation boréale ,'
située au nord des poissons & du bélier ; on Tappelle
quelquefois en latin , Persea, mulier cate ?
nata, virgo devota : les Arabes peignent à fa place
un phoca, ou veau marin, enchaîné avec Tun des
poissons. On rapporte cette constellation â1 Thistoire
d’Andromède, que son père Cephée fut obligé de ■
sacrifier à un monstre marin , pour garantir son
royaume de la peste, & qui fut délivrée par Persée.
Cette constellation contient 63 étoises dans le grand
catalogue Britannique : voici les plus remarquablesJ ? à la tête à'Andromède ; cette étoile est communeAne a n g j’íaussi à la constellation de Pégase, elle est appellée
umbilicus Pegafi. La seconde est Tétoile 0 à la ceinture
d’Andromède , appellée mifach ou miiar ; Ia
troisième y est sur le pied austral d’Andromède :
elle s’appelle alamack , quelquefois- alhamec. Le
coucher d’Andromède , lorsque Ie soleil est dans
le signe du Bélier, a donné lieu au cf travail
d’Hercule, contre les Amazones ( Astr. IV, 490 ).
ANELAR ou ANHELAR, nom de Tétoile « 
des Gémeaux, tête de Castor. (M. DE LA LANDE ) •■ ANÉMOMÈTRE, f. m. ( Hyd. )  : machine qui
sert à estimer la force du vent. Voyei VENT. II
y a des anémomètres de différentes façons.On trouve dans les TransaBions philosophiques
la description d’un anémomètre, qui consiste en
une plaque mobile fur le limbe gradué d’un quart
de cercle. Le vent est suppose souffler perpendiculairement
contre cette plaque mobile, /& sa force
est indiquée par le nombre de degrés qu’il lui fait
parcourir.M. Wolf donne dans son cours de Mathématiques
la construction d’un autre anémomètre, qui
se meut par le moyen des ailes A, B, C, D ,.
( Pneumat. fig. 27 ). Ces’ailes sont assez ressemblantes
à celles d’un moulin à vent. En tournant,
elles font mouvoir le rayon KM,, de sorte que
le corps L, placé dans une rainure qu’on a pratiquée
dans ce rayon , s’éloigne de plus en plus
du centre du mouvement, & conséquemment agit
à chaque instant sur ce- rayon , & par son moyen
sur Taxe auquel il est attaché, avec une force qui
'va toujours en croissant ; car le bas du levier,
auquel ce corps est appliqué, s ?alonge jusqu’à ce
que le mouvement des ailes soit arrêté : alors le
poids fait équilibre avec Ia force du vent ; & cette
/orce est marquée par une'ai'guille M N, fixée fur
Taxe, & faisant Un angle droit avec le rayon KM,
laquelle tourne, par son extrémité N, sur un quart
de cercle divisé en parties égales. La force est d’autant
plus grande ou plus petite, que Taíguiile
marque un plus grand ou un plus petit nombre de
ces parties égaies , soit en descendant, soit en
montant. Cette machine ne paraît pas fort exacte.M. d’Onsenbray a donné la description d’un
Anémomètre dé son invention, qa'il prétend marquer
de lui-même sur un papier, non-seulement
les vents différens qui ont soufflé vingt-quatre
îieures, avec les heures auxquelles ils ont commencé
& cessé de régner, niais encore les forces
ou vitesses de ces vents. Voyei -Mémoires de V'Académie
des Sciences, ann. 1-734, -p. lS9- Voyeiun
plus long détail k l’article VENT (0).ANÉMOSCOPÉ, f. m. ( 'Hyd. )  : machine qui
sert à prédire les changemens du vent. •On a prétendu que des hygroscopes faits des
loyaux d’un chat, &c. ïe trouvoient en effet trèsíons
anémoscopes"çour annoncer d’avance les variations
du vent : mais ce fait mériteroit d’être vérifié.L’anémoscopé en usage parmi les anciens, paraît,
suivant la description qu’en donne Vitruve , avoir
plus servi à montrer de quèl côté venoit le vent ,
qu’à faire prévoir d’où il viendrait.Otto de Guerícke donne Ie nom ' d’anémoscopé
à une machine de son invention , pour indiquer
d’avance les changemens de tems. Voyei TEMS.C’étoit un petit homme de bois , qui s’élevoit
& retomboit dans’ un tube de verre, selon que
Tatmosphère étoit plus ou moins pesante.M. Lomiers a montré que cet anémoscopé n’étoit
qu’une application du Baromètre ordinaire. Voyei
BAROMÈTRE. Voyei aussi Mère. Gai. zGSj.AB,
Erud. 1G84, page 2G. ( O). -ANES , f. m. pi. (Astr.)  sont deux étoiles de
Ia constellation du cancer ou de Técreviffe, marquées
par les lettres y & cT dans les catalogues,
& qui sont de quatrième & cinquième grandeur ;
on voit entre ces deux étoiles un amas appelle
ï étable (proes’epe ) , & que Ton nomme plus communément
la nébuleuse du cancer. Ces deux ânes
représentent, suivant les poètes, ceux qui, dans
la guerre de Jupiter contre les géans, contribuèrent
à fa victoire, ou par leurs cris, ou parce qu’ils
servirent à Vulcain & aux satyres qui venoient au
secours’de Jupiter. Quoi qu’il en soit, ce nom
est ancien, car il se froUve dans ïalmageste de
Ptolemée. (As. De LA LANDE).ANGLE, f. m. ( Géom, ). On appelle angle
Touverturë formée par deux lignes qui se rencon »
trertt: tel est ( Géom .fig. 2,3, 4) ï angle BAC,
formé par les. deux lignes B A , CA , qui-se rencontrent
au point A. ' …'_'On défigne ordinairement un angle par la simple
lettré'placée à fa pointe_ ou sommet A > ou par
trois lettres, & -alors celle du milieu répond au
sommet.Un angle est appelle reSilìgne, lorsque ses côtés '
ou jambes B A, C A font des lignes droites
(fig. 2-)  ; curviligne, lorsque ses jambes sont des
lignes courbes (fig. .y)  ; mixtiligne, lorsqu’une j.ambe
est droite, & l’autre courbe ( fig. 4 ) -.On doit bien prendre garde qu’un angle n’est
pas Tefpace compris entre ses côtés, mais uniquement
Tinclinaifon que ces côtés ont, Tua par rapport
à l’autre, à leur intersections. Ainsi , la
grandeur d’un angle ne dépend point de la longueur
de ses côtés ; én forte" que, si, par exemple^
on prolonge les côtés AB , A Cde l’angle rectrligne
BAC (fig. 2) , vers D &.£.,.ces côtés,,
quoique devenus plus longs, conserveront toujours,
l’un à Tègard de l’autre, la même situation
ou inclinaison , 'pu formeront toujours le même:
angle. II en-est de niême pour les angles: curvilignes
ou mixtilignes : car, par exemple,. l’angle curvLligne
B A C (fig.. 3 ) , est Ia même.chose que ïanglerrectiligne
MAN, formé par les’deux" droitesMA,
N A, qui touchent les courbes BA, CAr
au sommet A, & qui ont par conséquent, les:
, mêmes directions que ces courbes, à Jeur. origine ;x<s A N G

A N G
A ' ; il demeure donc toujours constant, quelles
que soient les longueurs de ses côtés BA, CA.
On voit en même tems par-là que la mesure des
angles curvilignes oiì mixtilignes se réduit à celle
des angles recìilignes , puisque la question, dans
tous les cas, est de mesurer l’angle que forment
deux lignes’droites, qui se rencontrent en un
point A.Deux plans, ou, en général, deux surfaces qui
se rencontrent, forment un angle qui se réduit
pareillement à un angle -rectiligne. Voyei PLAN.On appelle, dans un sens un peu impropre ,
angle solide Tefpace formé autour d’un point par
plusieurs plans qui passent tous par ce point.Tout angle rêBiligne MCN (fig-i) , peut être
mesuré par Parc de cercle M N, décrit du sommet
C, pour centre, avec un rayon arbitraire, entreses côtés CM, CN.
En effet, nous pouvons concevoir" que l’angle
M CN est produit par la rotation du côté CN,'
qui tourne autour du point C, tandis que le côté
C M demeure immobile. Supposons donc qu’au
premier instant le côté C N étoit couché fur le
côté CM, & que le point N étoit confondu avéc
le point M : on voit qu’à mesure que le point
N chemine , & décrit Tare MN, il se forme
successivement autant de petits angles M Cm,
m Cm,&<:- qu’il y a de parties élémentaires Mm,
mm, &c, .lans Tare M N. Or la somme de tous
ces petits angles , n’est autre chose que l’angle proposé
MCN ; donc ce même angle est proportionnel
au nombre de parties de Tare M N, ou
peut être mesuré par cet arc.Nous avons pris à volonté le rayon CM, parce
qu’il, y a dans Tare M N le même nombre de
parties, relativement à la circonférence entière pour
ce rayon , qu’il y en auroiï'sdans Tare M’ N’,
décrit àvec le rayon CM’, fcgtivement k la circonférence
jentière pour ce rayon. Ainsi, les angles
égaux ont pour mesures des arcs .égaux en nombre
de parties des circonférences auxquelles ces arcs
appartiennent. Si les rayons sont égaux, non-seulement
les arcs seront égaux en nombre de parties
des circonférences, mais ces parties elles-mêmes
seront égales en longueur. ..II y a, en général trois sortes d’angles, l’angle
droit, l’angle aigu & l’angle obtus.L’angle droit est celui qui est formé- par deux
lignes perpendiculaires entr'elles ( Voyei PERPENDICULAIRE
). Ainsi , lorsqu’une droite D E
(fig. G)  tombe sur une autre AB , sans pencher
d’aucun côté, les angles ACD, B C D , ACE,
B CE sont droits. II est évident que tous les angles
droits sont égaux entr'eux, & que tout angle droit
a pour mesure un quart de circonférence.L’angle aigu est moindre que l’angle droit, &,
au contraire ï angle obtus est plus grand que l’angle
droit. Dans la figure 7 , B C Oeil un angle aigu,
& A C 0 est un angle obtus. L’arc qui mesure
l’angle aigu est moindre qu’un quart de circonférence,& Tare qui mesure l’angle obtus est plus
grand qu’un quart de circonférence.Les deux angles BCO, O CA, formés d’un
même côté de la droite AB, s’appellent angles
de fuite. Us valent ensemble deux, angles droits,
puisque leur somme est évidemment égale à celle
des deux angles droits B CD, DCA. On les
appelle supplémens Tun de l’autre.On voit pareillement que la somme d’un nombre
quelconques d’angles BCO, OC F, FCH,
HCA, formés d’un même côté de la droites B,
( fig. 8 )  , vaut deux angles droits ; & que la somme
d’un nombre quelconque d’angles BCO, O CF,FCH, HCA, ACR, RCK,-KCB, formés
autour du point Ç, vaut quatre angles droits.
Deux angles BCO, O CD (fig. 7 ) , qui, pris
ensemble, valent un angle droit, s’appellent complémens
Tun de l’autre.Deux angles B CD , ACQ (fig. zo) , formés
par deux droites B A, D Q , qui se rencontrent
en C ( & qu’on appelle angles opposés par le sommet) 
, sont égaux entr'eux , puisque le premier
joint à l’angle DCA, váut deux angles droits,
& que le second joint au même angle D CA,
vaut aussi deux angles droits.Le sommet d’un angle peut être placé ailleurs
qu’au centre d’un cercle ; & ori a souvent besoin
de mesurer l’angle par des arcs de la circonférence
de ce cercle. C’est à quoi on parviendra par le
moyen des propositions suivantes.Un angle qui a son sommet à la circonférence
d’un cercle , & qui est formé par deux cordes , a
pour mesure la moitié de Parc compris entre ses
côtés.En effet, nous venons de voir qu’un angle , qui
a son sommet au centre du cercle, a pour mesure
Tare compris entre ses côtés : il sera donc démonué
qu’un angle , qui a son sommet à la circonférence ,
a pour mesure la moitié de Tare.compris entre
ses côtés, fi Ton démontre que cet arc est la moitié
de celui que comprendraient les côtés de l’angle ,
s’il avoit son sommet au centre. Or il pèut
arriver trois cas : ou Tun des côtés de l’angle ,
proposé B AD (fig. n , 12, 13 ) , passe par le
centre C (fig. i'i.)  ; ou le centre est placé au-dedans
de ï angle (fig. z 2)  ; ou le centre est placé hors de
l’angle (fig. 13).I." CAS. (fig. 11 ). Menez le diamètre M N
parallèle à la corde AB: les deux angles B AD ,
N CD sont égaux ( J^ye^ PARALLÈLE)  ; donc
Tare N D-, qui est la mesure de l’angle N CD,
dont le sommet est au centre C du cercle , est
aussi la mesure de l’angle B AD. Or Tare IV D
est la moitié de Tare D B, ou, ce qui revient au
même, Tare N D == Tare N B ; car les deux angles
N CD, M CA, opposés par le sommet-, étant
égaux , les arcs N D, MA , qui en font les
mesures, sont égaux ; mais Tare MA=ïarc N B ,
puisque , si Ton mène le diamètre K H perpendiculaire
aux deux parallèles AB, MN, & queIonA n. g ■a n g%7.l’onconçoive que le demi-cercle RAM H tournant
autour deKH, vienne s’appliquer sor le demicercle
K B NU, le point A tdmb.era fur le point
B , le point M fur le point N, c\ Tare A M Car
I'arc B N ; donc Tare B N = Tare N D.•II.C & III.£ CAS (fig. 12 & 13 ) ■ Menez
par le sommet A de-l’angle proposé B AD , le
diamètre A 0 : chacun des deux angles B A 0,
D A 0 a pour mesure lá moitié de Tare compris
entré ses côtés ( cas a ) *, & par conséquent ï angle
BAD, qui est la ■somme ou la différence de ces
deux angles, a pour mesure la moitié de Tare
B 0-, plus ou moins la moitié de Tare B O , c’eslâ-pîre,
la moitié de Tare B O.- II fuit de-là qu’un angle est droit, lorsqu’ayant
- son sommet à la circonférence, -il s’appuie fur Undiamètre , ou qu’il comprend entre ses côtés une demi-circonférence
 ; & qu’il est aigu ou obtuS,
félon que Tare compris est moins ou plus grand
qu’une' deini-circonférènc’e. ;..Uri angle BAF(fig, 14) , formé par une corde
AìB & par une droite A F, extérieure au cercle,
a po'iir mesure la moitié de Parc AEBysousfniendu
par là corde A B, plus la moitié de Parc
AGD, sousr-entendu par la corde AD,prolongement
de FA. V .■■'…■Car la somme des deux angles de fuite BAD,
B A F, étant égale à la somme de deux angles
droits, a pour mesure la demi-circonférence. Or
l’angle BAD , formé par les deux "eprdes AB,
AD, a pour mesure la moitié de Tare B O D.
■" Donc l’angle B A F a pour mesure la moitié de
la partie restante B EAG D, ou la. moitié dé
J.'àr'c BEA, plus la moitié.de Tare A G D.
•■■' Un angle B A D ( fig. 15) ,'qui à son sommet
en un point quelconque , au-dedans du cercle , a
pour mesure la moitié de Parc BOL>, compris entre
ses côtés, plus la moitié de Parc bod compris entre
les prolongemens Ab , Ad de ses .côtés,- Menez, par le point b ,. la corde b f parallèle à
xLDx ï angle B A D sera égal k ï angle Bbf
( Voy. PARALLÈLE )  ; &.' par conséquent ces deux
angles- auront la même mesore. Or ï angle B b f
a pour mesure la moitié de Tare B.os, ou, ce
qui revient au même, la moitié de Tare BOD,
plus la moitié de Tare D f. Et comme les ' arcs
D f, d b sont égaux, à cause des cordes parallèles
b f, d D, nous pouvons dire que l’angle Bbf
a pour mesure la moitié de Tare B O.D, plus la
moitié de Tare bod. Donc aussi l’angle B A D a
la même mesure. • ;Un angle BAD (fig. iG ) , qui a son sommet
hors du cercle , a pour mesure la moitié de tare
concave B D , compris entre ses côtés, moins la
moitié de Parc convexe H K, compris auffi entre
ses côtés. . ■ ,• Menez, par le point K, la corde XO parallèle
A AB, les deux, angles B A D, Q. R. D sont
.égaux, & par conséquent ils auront la même mesure.
.Or l’angle Q.KD a pour mesure la moitié de I'arc
Mathématiques, Tome I} I."'Paráet '•' "Q D’ ; -ou,--ce qui revient au mètrie,- là moitié de
Tare B D , moins ia moitié, dé Tare B Q. Et
comme Tare B Q = Tare H K, à cause des parallèles
AB, K Q, il s’enfuit que la mesuré de
l’angle Q K D est la moitié de Tare B D, moins.
Ia moitié de Tare H K. Donc ï angle B Â D a.
cette même mesure.Si on veut f dire un angle qui soit égal h un angle
donné A C B (fig- *7 ) , ou qui ensoit multiplié uii
certain nombre,': de f ois. ■.. ,i.°: ;Du sommet C, avec lè rayon arbitraire CA',
on décrira Tare A MB , & on tirera la corde AB ;
du point c pour Centre (fig. 18 ) , avec le rayon
ca=CA ,011 décrira Tare ombde ; du point a pour
centre, avec un rayon a b égal à la corde AB,
pn décrira un arc de cercle qui coupe Tare ambd
au point b ; on tirera la droite cb ; & par Vlà
ï angle ac b .= l’angle proposé A C B.
: z." On sera de mêine chacun’.des ;angles b çd,
dee égal â ï angle A C B. D’où. Ton voit que.
l’angle ac d sera double de Tangle A C B ; que
ï angle ac e en sera triple, ainsi de fuite.Si on veut partager un angle A C B (fie- 19 ) en
deux parties égales : du point C, pour centre, avec
un rayon arbitraire C-A, on décûxal’arcAmB ;
ensuite des. points A & B'.,-. pour 1 centres,, on
décrira, avéc un même rayon, deux arcs de cercle
qui se coupent au point x ; on menerâ Ia droite *'
C x , & par-là ï angle proposé A CB sera partagé
en deux angles égaux A Cm, m CB ., parce que la
droite Çx est perpendiculaire sur le milieu de- la
corde AB, & partage Tare A m B én deux parties
égales. (V. PERPENDICULAIRE ).
- En opérant de la même manière, on peut partager
chacun des angles A Cm , m C B , en deux
parties égales ; de mérite chacun des angles résultans
peut être partagé en deux parties égales ; chacun
de ceux-ci en deux parties égales, ainsi de fuite.
D’où Ton voit que ï angle primitif A CB peut
être partagé successivement en un nombre de par-.
tiês égales, exprimé par les termes de cette, progression
géométrique -^. 1:4:8 : 16 : 52 ; ; 64 ; &ç.Pour couper un angle en trois parties égales „'
voyei le mot TRISECTION (L. B.).L’arf de prendre la valeur des angles: est une
opération d’un grand usage & d’une grande étendue
dans Tarpentage , la Navigation , la Géogra ?
phie, l’Áûrònomie, &c. Voyei HAUTEUR,, ARPENTAGE,Les instruméns qui ferventprincipalement à cette
opération , sontles quarts de cercle ;, les théodolites
ouplanchettes rondes, les graphpmètres, &c. Voyei
CERCLE ; D’ARPENTEUR , PLANCHETTE, GRAPHOMÈTRE,
&c. ,Les angles dont il faut déterminer la mesure ou
la quantité, sont sur le papier ou sur le terreinl
i.° Quand ils sont sur.le papier, il n’y a-qiv'à
appliquer le centre d’un rapporteur'sur le sommet
• de ï angle O ( Table d’Arpent, fig. 29) , de manière
que Iç rayon- O B soit couché sur i undès eéiéí' .- ■'■ ' ■ ' '  ; H "'5* à n g a n gde cet angle ; alors Ie~degré que Coupera l’autre
côté.'O P sor I'arc du rapporteur, donnera la
quantité de l’angle proposé. Vcyei RAPPORTEUR ;
On peut auffi déterminer 1 a: grandeur d’un angle
par le moyen de la ligne des cordesi Voyei
CORDE 6' CostPAí DE PROPORT-IÒN.2.° Quand il s’agit de prendre des angles sor le
tèrrcin , il fàut’:plácer un . graphomètre ou " un
defni-cerck (.fig. zff.) , de telle forte que le rayon
C G de Tinstrument réponde :bien exactement
à -l’un- des 'côtés -de l’angle ; & que lè centré C
soit verticalement au-deíîùs du sommet :-'on- parvient
à la première de cès opérations,'en observant
,par les pinnules F, G, quelque objet remarquable,
placé à Textrémité ou fur l’un des. points
du côrc de l’angle ; & à la seconde , en laissant
tomber un’plomb du centre de Tinstrument. Ensuite
on sait aller & venir Talidade jusqu’à ce que l’pri
apperçoive, par ses pinnules, quelque marque
placée fur Tun des points de l’autre côté de. l’angle':
&.. alors Ie degré que Talidade coupe fur le limbe
de Tinstrument, fait connoître la quantité de l’angle
quél’on se proposoit de mesurer. V. DEMI-CERCLE.L’on peut voir aux articles CERCLE D’ARPENTEUR,
PLANCHETTE, BOUSSOLE,-fi-r., comment
Ton prend des angles avéc ces instrumens.
. Que Ton consulte aussi les articles LEVER UN.
PLAN & RAPPORTER, pour savoir.la manière'de
tracer un angle sur le papier quand sa grandeur est’,
donnée. Voyei aux mots SPHÉRIQUE , EXTÉRIEUR,
INTÉRIEUR, ALTERNES, &C, cé qu’on 1
entend par un angle sphérique., un’angle extérieur,
un angle intérieur, des angles alternes, &c.ANGLE ( Astr, ) , se dit dans plusieurs circonstances
différentes. Les angles ou les arcs dont ils sont
la mesure, se prennent les uns pour les autres, &
l’angle sous lequel nous voyons la dislance de deux
astres, est la même chose que Tare qui les sépare.ANGLE a"'élongation, est la différence vue de
la terre entre Ia longitude d’une planète & celle
du soleil. . v . \ANGLE horaire., est un angle sphérique formé
au pôle du monde, où Tare de Téquateur, compris
entre le méridien & le cercle horaire ou cercle
de déclinaison qui passe par un astre ; c’est la distance
au méridien ; elle marque Theure qu’il est
quand il s’agit du soleil ; & c’est la mesure directe '
du temsvrai, ainsi, lorsque le soleil est à 15°
du méridien, il est toujours une heure, fi' c’est à
Toccident, ou ìih du matin, si c’est à Torient,
dans le triangle P Z S (fig,40) , dans lequel F
représente Ie pôle, Z le zénit, & S le soleil ou
un astre quelconque ; l’angle ou pôle, ou l’angle
hora>re P sert à trouver la distancé au zénit Z S,
& par conséquent la hauteur de Tastre. Voyei
' ANGLE horaire, dans le DiBionnaire de Marine ,
ou M. Biorideau explique la manière de le calculer,
par le moyen de la hauteur observée en mer.ANGLE aûmutal. Voyei AZIMUT. " .
 ANGLE d’a^mut (Astr.)  ; dans le calcul deséclipses’ de foleif, est quelquefois l’angle formé aft
.centre du'soleil par Ie vertical & par la ligne qui
joint lés centres du soleil & de la lune ; cet angle.
dépend en esièt de la différence d’azimut entre lès
deux astres, & s’évanppit avec elle.ANGLE ae commutation , c’est la différence entre
la longitude d’une planète vue du soleil, &la longitude
de la terre vue du même point-, Tune &
l’autre comptées sor Técliptique , en.partant de
Tastre qui a Ie moins de mouvement pour aller à '
celui qui en a le plus. Copernic appelloit commu* ^
tatión ce qu’on appelle, aujourd’huis parallaxe"
annuelle'ou-parallaxe du grand orbe-, c’esl-à-dire,
la différence entre la longitude vue du soleil &
la longitude vue de la terre, comptée dans Técliptique.
"' 4- ■ -- ' - .,-■' ■- "■> ■"" ; ;•ANGLE -de conjonBion, dans Ie: calcul des éclipses, ,
est l’angle formé par .'le cercle de latitude & Tare
qui j.oi'nt les cehtrèê'.du soleil & de la lune ; cet.
angle dépend en effet-de la distance^ à'la ; conjonction,
& il est nul dans Ia conjonction mèine,
la ligne des centres coïncidant avec le cercle de
latitude." ÁNGtaparallaBique, dans Tufage de Tastronpmie,'
se dit de l’angle formé par Ie vertical & par un
cercle ou de déclinaison ou de latitude ; ainsi, Ton
en dislingue de deux sortes 'Sangle pàrallactique du
cercle de latitude sert à trouver les parallaxes de
longitude & de latitude ,■ & par conséquent à calculer
les éclipses ; cette méthode est celle que j’âî
adoptée de préférence, comme la plus exacte & la
plus courte, & que j’ai expliquée.fortau long dans
"lè Xe livre de mon Astronomie.ANGLE déposition, dans TAstronomîe modernes
est l’angle formé au centre du soleil ou d’une étoile
par le cercle de déclinaison & le cercle de latitude :
cet angle dépend en effet de la position de Tastre,
par rapport aux pôles de Técliptique & de Téquateur.
La manière de le calculer pour, le soleil,consiste
 à- dire : le rayon est à la tangente de Tobliquité
de Técliptique 23° 28', comme Ie cosinus
de la longitude-du soleil est à la tangente de l’angle
de position. Pour les étoiles, ilfaut-dire : le cosinus
de la làtitude.de Tétoile est au cosinus de Tascension
droite, comme le sinus xle Tobliqúité de Técliptique
est au sinusde l’angle de position. J’ai donné,
dans la Connaissance des mouvemens, célestes pour
1766, une table générale de ï angle de position ,
& dans le IV' livre de mori Astonomie, une tablé
particulière pour 157 étoiles principales y avec le
. changement pour dix ans. ;'-. ; ' '.'■' ANGLE oriental, en Astrologie,.se dit de.lTioroscope.
' - sANGLE d’occident, est Ia septième maison.
ANGLES du ciel ou maisons angulaires, en Astrologie,
sont les maisons 1, 4, 7, 10.ANGLE au soleil, ïe disoit autrefois de Tanomalie
vraie.• ANGLE a"e la tare, èn Astrologie, est la quatrième
maison, dans le plus bas du ciel. ■."■•' ;, 'ANGLE" horaire, dans la Gnomonique , se dit
.-quelquefois de ï angle formé au .centre du cadran
.par Une ligne horaire avec la méridienne. ( M. DEIA LANDE). '■ . -, , ■ANGUINEE, adj.^f. terme de Géométrie ; c’est le
nom que M. Neuton donne dans son énumération
des lignes du troisième ordre , aux hyperboles de
cet ordre, qui, ayant des points d’inflexion, coupent
leùr asymptote, & s’étendent Vers des côtés
opposés. Voyei ASYMPTOTE , INFLEXION. Telle
est la courbe DHGAFIC ( fig. 40. Anal, n." '2 )  ,
qui coupe son asymptote D A B en A, & qui,
ayant en H & en I des points d’inflexion , s’étend
vers des côtés opposés ; savoir, à la gauche de
A D eu en-haut, & à la droite - de A B en enbas.
- ' . ''" . Cette courbe s’appelle anguinée du mot anguis ,
-serpent, parce qu’elle paroít serpenter autour de
son asymptote. Voyei SERPENTEMENT.ANGULAIRE, adj. m. (Géom.)  se dit de tout ce
qui a des angles, ou ce qui a rapport aux angles.
Voyei. ANGLE.La distance fait disparaître les angles des-polygones ;
Toeil appercevant le corps de Tobjet, lorsqu’il
n’àppercevoit plus les inégalités que les angles
faisoient sor fa surface, on croit que cette surface
est unie, & le corps de Tobjet paraît rond. Voyei
VISION. …Mouvement angulaire. C’est le mouvement d’un
corps qui décrit uri angle, ou qui se meut çirculairement
autour d’un point. Ainsi, les planètes ont
uri mouvement angulaire autour du soleil. Le 7710avement
angulaire d’un corps est d’autant plus grand,
que ce corps décrit, dans un tems donné, un plus
grand angle. Deux points mobiles\A , F (Méch.
fig. s) , dont Tun décrit Tare A B, & l’autre
Tare F G , dans le même tems, ont le même mouvement
angulaire , quoique lé mouvement réel du
point A soit beaucoup plus grand que le mouvement
réel du point F ; car Tefpace AB est beaucoup
plus grand que F G.Le mouvement angulaire se dit auffi d’une espèce
de mouvement composé d’un mouyement rectiiîgne,
& d’un mouvement circulaire, &c.Tel est le mouvement d’une roue de carrosse, ou
d’une autre voiture. Voyei ROUE D’ARISTOTE
(O). .-v.:- - a inj n •. ANNEAU de saturne (Astron.)  ; c’est une bande
circulaire large & mince, qui environne, à une
certaine distance, le globe de saturne, & qui parOit
être située dans le plan de son équateur.- Elle
accompagne saturne dans fa révolution, & reste
toujours parallèle-à elle-même. Ce cercle/vu
obliquement, paraît sous une forme ovale ou
elliptique (. fig. 1 Go d’Astron. )  & disparaît totále_ment,
quand il ne nous présenfe que son épaisseur.L’anneau'de saturne est une des enoses les plus
- singulières qu’on ait découvertes par le moyen
des lunettes d’approche. Gaiilée-écrivoit, en 1612,
qu’il avoit vu saturne composé de trois parties ,
satúrnum triformem ; mais, comme cela paroissoit.
fort extraordinaire, & qu’il le vit ensuite d’une
forme tout-à-fait ronde, il ne suivit point cetterecherche.
Gassendi, en 1643, disoit que saturne
lui paroissoit accompagné de deux globes de même
blancheur que saturne lui-même ; Hévélius, dans
fa Sélénographie , publiée en .1647 , disoit formellement
qu’il ne comprenois rien à ces deux
bras de saturne. En 1656, dans fa Dissertation
desaturni facïe, il diífinguoit six phases différentes
de saturne ; il Tappelloit monosphoerìcum , trisphoericumr,
spherìco - cuspidatum , spheûco - ansdtum ,
elliptico-ansatum. dímimiturn, élliptico-aksatum plénum.
Mais la seconde & même ía troisième phase
étoient des illusions optiques provenant du.défaut
de ses lunettes. Personne avant Eriygens ne comprit.
& n’expliqua la cause de ces apparences de
saturne. Les uns crurent, que c’étoit la figure particulière
de la planète, vue plus ou moins obliquement ;"
les autres deux gros satellites ( Veidler
historia Astronomie, p. 500 )..Máis depuis Texplicatiòn
de Huygens, dans son Syflema saturnium ,
1659, il n’y a plus eu àìicuri doute. L’anneau est
concentrique à saturne, également éloigné de sa
surface dans tous ses points ; il est soutenu par Ia
pesanteur naturelle & simultanée de toutes ses
parties, tout ainsi qu’un pont, qui seroit affez vaste
pour environner toute la terre, se soutiendroit
sans piliers. La partie de ï anneau qui est la plus
voisine de saturne, est un peu plus" limiineuse que
les parties éloignées. Domin. Caffini observa que
la .largeur de ï anneau étoit divisée, en deux par- »
ties égales, par un trait obscur dont la courbure
étoit la même que celle de ï anneau, ; mais Short,
avec son grand télescope de douze pieds, m’assura-,
en 1763 , qu’il y avoit distingué plusieurs lignes
noires concentriques à la circonférence de ï anneau
, & qui donnent lieu de croire qu’il y- 3
comme plusieurs couches ou plusieurs anneaux
placés dans un même plan ; mais Hadley n’en
voyoit qu’un avec son télescope de 5 \ pieds de
foyer (Phïl. trarìs. n." 378 , abrégé VI, 222).
Les lignes noires, représentées dans la figure 1G0 ,
mais qui s’apperçoívent difficilement dans le ciel,
distinguent les couches de ï anneau ; elles se rapprochent
& se confondent vers le milieu, en C &
en E , parce que ï anneau y est trop étroit, à
raison de Tobliquité de Toeil. II y a - auffi une bande
obscure que Ton voit sur le "disque de saturne ,
qui paroít être Tombre de ï anneau. On voit encore
quelquefois le bord de Tombre dé saturne, projette
sur la partie de Vanneau qui est au-delà de
saturne.- '  ; vLe diamètre de ï anneau est à celui du globe de
satiirne -comme 7 est "à- .3 suivant les mesures de
Pound ; le v\de'A F qui est entre lè globe &. IW
-Híj _'.--

<To
An n a n n■ « eau , est à-peu-près égal à la largeur A B de
Yanncau, ainsi la largeur de la couronne est un
tiers du diamètre de saturne. Le rayon" de saturne
danslès moyennes distances, étant de 9" ; lediamètre.
intérieur de ï anneau sera de 15 '* & le diamètre
extérieur 21°, le vide étant de 6", & la largeur
de la couronne également de 6". Á Tégard de la
grandeur absolue, le diamètre de saturne étant de
2S601 lieues, cèlui deïanneau est de 66737 lieues.■ Voyei la table, à Tarticle planète , ainsi la lar.geur
est de 9534 lieues.Vanneau de saturne paroít être comme Téquateur
de cette planète, incliné sur son orbite de 300
& toujours parallèle à lui -même pendant la révolution
de saturne. Ce parallélismeproduitfès diverses
apparences dans la durée d’une révolution, comme
celui de Taxe de la -terre produit la diversité ries
faisons. L’anneau disparaît quelquefois, comme on
Ta observé en 1655, 1671, 1714, 1760 & 1775,
& comme on Tobservera encore en 1789, 1803 ,
1819, 1832, 1848, 1862, 1878 & 1S91. 11.y a
trois causés qui peuvent occasionner cette phase
ronde. - • . 'Lorsque saturne est dans le 20.° degré de la vierge
ou dés poissons, le plan de son anneau qui est
constamment dirigé vers ces "points de Técliptique,
{ considérée dans la région des étoiles à une distance
infinie) , se trouve en même-tems dirigé vers -le ;
soleil : il ne reçoit de lumière que sur son épaisseur, "
<jùi n’est pas astèz considérable pour être apperçue
-de si loin ; saturne alors paroít rond & fans armeau.
Huygens le vit ainsi en 1655 ; (syflemasaturnium).
5VI. Maraldi observa fur-tout avec grand soin cette
phase ronde , depuis le 13 octobre 1714, jusqu’au
JO février 1715. .(Mém. Acad. 1715, pag. 12 ;
2 7 1 G, pag. 17 2 ). Enfin nous lavons observé depuis
le 5 octobre 1773, jusqu’au 11 janvier 1774, &
depuis le 3 avril jusqu’au premier juillet: il suffit
que le soleil soit élevé sur le plan de ïanneau d’un
angle de trois minutes, pour qu’il paroisse éclairé ;
suísi cet anneau ne difparoît faute de lumière que
pendant trois ou quatre jours avant le passage de
ïkturne par les noeuds dé ïanneau.(Mém.. 1774,
pag. 91).Voici à -peu - près les tems où íàturne se trouvant
à 5S 20°vou. lls 20 ° , ïanneau doit être dirigé.,
vers le soleil, suivant les calculs de M. .Heinsius.
Le 21 décembre 1671, 6 juin 1701, 31 janvier
2715, 20novembre 1730, 15 juillet 1744, 5 mai
3760, 30 décembre 1773, 20 octobre 1780, 17
juin 1803 , 6 avril 1819, &c. ;; mais au lieu du
30 décembre 1773 , j ai trouvé par observation le
II janvier 1774. Voyez les circonstances des autres
disparitions jusqu’en 1891 dans Touvrage de M.
du Séjour, intitulé : essai sur les phénomènes relatifs
aux disparitions périodiques de Panneau de saturne ,
\lj76, in-S." , pag. 124— 180.Le lieu du noeud de 
dernier siècle, suivant Huygens, de mtmç que le
ïanneau fur Torbite de
saturne, étoit à 5* 20° 30' vers le milieu dunoeud des quatre premiers satellites de Utturne. rar
les observations de 1685 , le noeud de l’anneau
parût à 5 s 19 ° 55 ', compté fur Torbite de saturne.
M. Cassini dans ses élémens d’Astronomie, le place
à 5 - 2 2 ° ; M. Maraldi à 5 s 19 ° 48 ', par les observations
de 1715 ; cette position fut observée &
discutée avec le plus grand soin ; enfin j’ai trouvé
pour 1774, .5 s 200 38-' ou 5 s 170 5' fur Técliptique,
ce qui ne diffère de M. Maraldi qu’à raison
de la préceffion des équinoxes en 59 ans. Ainsi,
le noeud de ïanneau paraît être sensibleriient immobile.On auroit pu croire cependant que les attractions
du soleil, de Jupiter & des satellites de saturne fur
uri équateur auffi mince, dévoient causer un dépla*
cernent pareil à celui que la terre éprouve & qui fait
la-préceffion des équinoxes ;c’esl’ce qui me détermina
en 1773 àrappeller Tattention des astronomes fur
cé phénomène par des avertiffemens réitérés dans
les papiers publics^Ces avis n’ont point été inutiles,
ces observations furent faites en divers endroits,
& elles réussirent très-bien". Je me transportai moimême
à Béziers au mois d’octobre 1773 , pour observer
sous le plus beau ciel de la France, la première
disparition ; & j’en ai rendu compte, ainsi
que de toutes les autres observations qui nous font
parvenues daris les Mémoires de 1774.M. Meffierapubliéauffi beaucoup d’observations
dans les Mémoires de Berlin pour 1776.L’a/zrceau disparaît lorsque son plan passe par notre
oeil 3 étant dirigé vers la terre ; nous ne voyons alors '
que son épaisseur, qui est trop petite pour qu’onpuisse
Tappercevoir..Heinsius dans fa dissertation, publiée à Leîpzick
en 1745 , croyois qu’ilfalloit que la terre fût élevée
au moins 
de longitude, le soleil éclaire la surface inéri-
d ?un demi -degré fur le plan de ïanneau,
pour qu’onpût Tappercevoir avec uneboimelnnette
de 15 jpieds, ce qui faisoit dans certains cas plus
de huit jours avant ou après le passage ; mais par
les observations de 1774, j’ai reconnu que l’anneau
ne difparoît que le jour même où là terre passé '
par le plan de ïanneau. (Mém. de-FA'c. 1774*
pag. 91 ). Le mouvement de la terre fait que ce
passage est plus rapide que celuí du soleil-par lë
plan de ïanneau, & qu’il est plus aisé d’observer
la disparition qui vient du passage -de laterre, que
céïïe qui vient du passage du soleil. ; d’ailleurs on
peut avoir pour celui de la terre deux phases
correspondantes qui rendent la détermìnatiouíplus
exacte ; voila pourquoi j’expliquerai bientôt la '
manière de. trouver-le noeud de ï anneau.par les '
dernières observations. M. du Séjourcroir.que ïanneau
n’a disparu que lorlque la serre avoit déjà une
petite dépression d’une ou deux minutes, (p..369.) 
' II y a une troisième: cause qui:.peut faire disparaître
pour nous ïanneau de saturne ; elle a lieu
lorsque son plan- passe entre nous & le soleil ; car
alors fa surface éclairée n’est point tournée vers
nous Mant que saturne est entre 11S 20 ° & 5 s 20°A n n a n n et'dìonale de Vanneau ; si la terre est alors élevée sur
la surface septentrionale, elle ne peut voir la lumière
de ïanneau, & ce sera un des tems de la
phase ronde ; ainsi, Ton peut voir disparaître lés
■anses deux fois dans la même année, & les voir
reparoître deux fois, comme on Ta véritablement
Observé ( Mém. Acad. 171G, 1774) 
• Ces disparitions étant bien observées, font conjioître
les positions du noeud de ïanneau. Soit
L MA ( Planches d’Astronomie, Figure 1G3) , le
globe de saturne", sor lequel on imagine trois
cercles pour représenter Técliptique, 1 orbite de
saturne, & le cercle de ïanneau. La ligne N M
représente Torbite-que le soleibparcîr "décrjjre "en
trente ans autour de saturne ; cet orbite est exactement
dans le même plan,- & décrite avec les
mêmes vitesses que Torbite de saturne vue du
soleil. Le cercle AT O S L représente la trace
du plan de ïanneau sur la surface de samrne ;.
enfin, le cercle N O 1 représente un plan qui
passe par le centre de saturne, parallèlement à
Técliptique ou au plan de Torbite terrestre : ce plan
N 0 I prolongé dans Timmensité de la sphère céleste,
passe sur les mêmes étoiles & marque dans
le ciel Ia même trace & les mêmes "points que le
plan de Torbe terrestre également prolongé. L’arc
N 0 I appartient donc à un plan que Ton conçoit
parallèle au plan de Técliptique, faisant en N un
angle de 2° 30' 20" qui est Tinclinaison de Torbite
de Saturne, à 3S 21° 31' de longitude pour 1750.
Supposons le noeud S de ïanneau & de Torbite de
saturne, à 5* 200 8' pour Tannée 1744 , avec
Heinsius, & le noeud N de saturne à 3* 21" 55',
la distance S Niera de 58013' ; Ton córmoît Tangle
N&. Tangle S, inclinaison de ïanneau sor Toi bise
de saturne, que les observations donnerit de 30°,on
pourra résoudre le triangle N S O. L’on trouvera
JV.0=54o- 41' 30" ce qui, ajouté à la longitude du
-noeud N, donnera pour la longitude du noeud £ ?.,
'5 ! • 1.70 3 e' 30" ; c’est ce que :MM. Maraldi &
Heinsius appellent la longitude du noeud de Panneau
■fur F écliptique. Mais quoique le cercle N 0 J représente
Técliptique, il ne saut pas imaginer que la
terre ou le soleil décrive ce cercle réellement, c’est
seulement un cercle parallèle dont les pôles étant
prolongés daris Timmensité de la sphère étoilée, répondent
aux "mêmes points que les pô.'es de Técliptique
, ou de Torbite. de Ia terre. Mais cela
n’empêche pas que. ccíte -écliptique ne serve à calculer
les observations..Par exemple , la terre étant
supposée en T, jaÇec. une latitude TE vue de
saturne, égale à eeli4.de samrne vue de "la ;terre,
•• Ie point E étant éloigné de. six signes de-la longitude
géocentrique. de samrne réduite à Técliptique,
telle quón Tobserve de la terre, Tare TE
.'&" -Tangle T O E nous feront trouver O E , &
par conséquent la longitude du noeud O sur Técliptique.
Dans, la disparition de ïanneau', observée
au mois d’octobre 1714,1e lieu dé saturne dans
Técliptique, opposé au point E j étoit de 5* 19°15'vu de la terre, suivant M. Maraldi. Lá latitude
septentrionale £ Tdeh. terre,égaleàcelledesaturne,
étoit i° 51', & Tangle O de 31° 20'-, d’où Ton
conclut le côté F 0 = 3° 3' & la longitude du
noeud O sur Técliptique 5' 160 12' ; je f ai trouvé
en 1774 5S 170 5. Ces.déterminations donnent
aussi un moyen de trouver le noeud S de ïanneau
û\r Torbite de saturne ; car dans le triangle SON*
supposant Tangle S & Tangle N connus., de même
que la distance O N du noeud N de Torbite au
noeud O de ïanneau fur Técliptique, on trouve5 N qui, ajouté à la longitude du noeud N de
Torbite de saturne, donne celle du noeud S de
ïanneau fur Torbite de saturne, que j’ai trouvé en
1774, 5S zo° j8'. M. du Séjour -dans un mémoire
analytique lu à TAcadémie en 1773 '^ur cette ma" "
tiere, faisoit voir que dans un espace de 59 ans,
il y avòit quatre disparitions de ïanneau, deux
consécutives qui sont doubles, mais dont il peut
arriver qu’une soit invisible, & les deux autres qui
sont simples, c’est -à-dire, où ïanneau ne difparoît- qu’unefois, mais il a beaucoup plus approfondi cette
matière dans Touvrage que j’ai cité, & il fait voir
(p. 186') , que cette période né fait, pas une régie
constante. En 1714 & en -1773 5 on a observé des- phénomènes correípondans & semblables, presque
dans les mêmes jours du mois. Le 13 octobre 1714,6 le 5 octobre 1773 5 *a terre approchant du plan
de ïanneau, oricessa de le distinguer. Le 10 février
Î715 .& le 11 Janvier 1774, Ie soleil ayant passé
au nord de ïanneau, 011 recommença de le voir.
Le-23 mars 1715 & le 3 avril 1774, la terre
revenant vers le plan de ïanneau , il disparut pourla
seconde fois. Le 12 Juillet 1715 & Te premier'
Juillet 1774, la terre dépassa de nouveau le plan,
de ïanneau & on le revit piour la seconde fois.
(Mém. Acad. 1715., 1716 , 17-74). En I7%9 > il
y aura auffi deux disparitions & deux réapparitions,
les 5 mai, 24 août, 16 octobre, & 30 Janvier 1790,
(M. du Séjour, p. 164) , en 1832 & 183-3,'Ton.
observera presque .la même chose, (pag. 171 ').Les différences des lunettes, & les inégalités de
Tatmosphère en divers climats, mettent quelques
jours d’incertitude dans ces sortes dobfervations,
mais avecjeslunettes achromatiques, dontla plupart
des astronomes se servent actuellement, & qui íbntà-peu~près
égales, on â été d’accord à un ou deux
jours près dans les observations de 1774 ; il n y a
que la disparition du mois d’octobre 1773 fus
laquelle on a différé de.quelques jours, parce que
le tems étoit peu serein & saturne fort près de Thorizon.
 Dès le 5 octobre presque tous les astronomes
1 avoient perdu de vue, quoique ce ne dût
être que le 9 suivant le calcul déduit des autres
phases. 'Dans la détermination du noeud de ïanneau, Ton
suppose connueson inclinaison, parce qu’une petite
incertitude sur Tinclinaison n’empêcheroitpas qu’on
ne déterminât fort bien le. lieu du noeud. Paslbns
actuellement’', à la recherche, de cette inçliraisorii-Gx. a n n a nnLoisque samrne est le plus éloigné du noeud de
ïanneau, & que la terre est la plus élevée au-dessus
du plan de ïanneau , il nous paroít sous la forme
d’une ellipse, dont le petit axe est la moitié du grand,
du moins eu réduisant les observations au centre
du soleil ; ainsi, én supposant ïanneau absolument
' circulaire, il faut que son’inclinaison soit de 300 sur
] e plan de Torbite de samrne, pour paroître sous cette
forme ; par-là il est aisé de calculer quelle doit être
Tinclinaison de cet anneau sor le plan de Técliptique ;
car daus le triangle N O S on connoít Tangle N,
la distance N S des noeuds, & Tangle S de 30° ;
on aura facilement Tangle O rpii est de 31° 20' ;
mais nous n’observons jamais ïanneau d’une si
grande ouverture, à cause de la latitude de saturne.11 est aisé de déduire de ces principes la figure
de ïanneau pour un tems donné, car elle ne dépend
que de Télévation de la terre fur le plan de cet
anne-au. Soit B le lieu de la terre opposé à la
longitude géoceutrique de saturne, B Fia latitude
de la terre vue de saturne, égale à la latitude de
samrne vue de la terre, mais de dénomination contraire
, O F la différence entre la longitude de la
terre vue de samrne,. & celle du noeud de ïanneau
fur Técliptique ; dans le.triangle F B O, Ton cherchera
B O , & Tangle O, la somme'ou la différence
de B .0 F & de Tangle S O F, inclinaison
de ïanneau sur TécliptiqUe, 31 ° 20 ', donnera Tangle
SO B ou G OB ; dans le "triangle B QG , Ton
connoít Thypothenuse OB, & Tangle B Ò S, Ton
cherchera B G qui est la latimde de la terre, par
rapport -à ïanneau, vue de saturne, ou Télévation
de la terre au-dessus, de ïanneau.Par le moyen de Télévation de notre oeil fur le
plan de ïanneau ,-on tróuve~ia' figure de ïanneau,
ou le rapport des axes de son ellipse apparente pour
un tems quelconque ; car le grand axe est toujours,
au petit, comme le rayon est au finus de Télévation
ou de Tobliquité de Toeil. .L’élévation du soleil au-dessus du plan de ïanneau
en plus aisée à calculer. Supposons le soleil en
C sur Torbite qu’il paroít décrire autour de saturne,
Tare CD perpendiculaire sur ï anneau L S A, CD
est la latimde du soleil, par rapport à ïanneau qui
se trouve par le simple triangle CSD dans lequel on
connoít la distance héliocenrrique C S defaairne au
noeud S de ïanneau, mesurée sor Torbite de saturne
MCSN,.-& Tangle S 30°, cet arc CD est Tinclinaison
du ra}-on solaire sur le plan de ïanneau.,
ou Télévation du soleil, par rapport à ce plan.
De-là on pourrait conclure les tems où Tangle de
cette inclinaison est assez petit, pour que le soleil
ne puisse plus éclairer sensiblement une des surfaces
de ïanneau, & nous le rendre visible. On peut auffi
par les mêmes principes réduire les observations
qu on en fait fur la terre à celles qui auroient lieu
pour, un observateur situé dans le soleil.
. J’ai dit que ïanneau est comme un plan ou un
corps très-mince ; en effet, dès qu’il est dirigé vers
nous & que son plan passe par notre oeil, nous nedistinguons rien ; nous le perdons dé vue, parce
qu’il n’y a pour lors que son épaisseur qui se présente
à nous, & elle est trop petite pour être distinguée ;
il est vrai qu’alors on voit Tombre de ïanneau fur
le disque de saturne, parce que le'soleil, Téclairc
obliquement & qu’il y a par conséquent une ombre
plus large que celle de Tépaisseur de ïanneau.
Quand ïanneau est dirigé vers le soleil & que son
épaisseur seule est éclairée, il disparoi t également ;
ce qui prouve que cette épaisseur est fort petite,
c’est-à-dire, insensible pour nous ; car elle pourroit
être encore assez grande, fans que nous pussions
la distinguer, le diamètre réel de ïanneau étant
de 6Í737 lieues , & un quart de seconde étant
insensible sor une planète auffi peu éclairée.Vanneau est si mince que les anses disparaissent,
le jourmême quela terre est dans le plan de Vanneau,
& reparaissent dès que la terre a dépassé le plan.
M. Maraldi s’en étoit assuré en 1715 ; & j’ai trouvé
le même résultat par la disparition du 3 avril 1774
& la réapparition du premier Juillet. Én effej, le
3 avril la latitude géoceritrique de saturne, ou celle
de la terre E T, étoit de z° 27' 5" si Ton divise
la tangente de cet arc par celle de Tinclinaison de
ïanneau sur Técliptique, ou de Tangle E O T 31°
20' Ton a lesinus de la dislance E O de la terre au
noeud,fur Técliptique ; = 4° 1' 20" & cette distance '
retranchée du lieu de la terre ou de samrne, en £.,
ns 21° 7' 38" donne ìe lieu du noeud O fur
Técliptique 11s 170 6' 18".Dans la réapparition du premier juillet, la latitude
2 °- 12 ' 23 " donne pour la distance au noeud
3 ° 37^ 16" & comme la longitude de saturne étoit
ns 20 ° 41' 41" le lieu du noeud se.trouve 11s
17 ° 4' 25". La différence 1' 53" entre ces deux
résultats ne dépend que ; de quelques heures de
différence dans les observations ; ainsi, il est évident
que c’est le jour même du passage-de Ta terre dans
le plan de ïanneau que no'us le voyons disparaître
ou reparaître. Le segment A B, fig. r6o, de 88 °
50' qui est entièrement illuminé, & dont la corde
entière a 29" 4, paroít 12 heures après le paflàge
de la terre dans le plan de ïanneau comme.fi il
avoit 36 lieues ; ainsi, l’épaisseur de ïanneau peut
n’être que de cette quantité, ou seulement-de 18
lieues fi Ton voit les anses détachées doUze heures
avant que nous soyons dans le plan de ï anneau.
(Mém. 1774, pag. 93 ) ■Vanneau de samrne paroít n’être pas exactement
plan, car Maraldi observa qu’une des anses disoaroissoit
avant l’autre, & Heinsius assure que le 29
novembre 1743 , Tanse orientale éroit plus courte
que l’autre ; çe qui semble annoncer qu’il y a un
peu de courbure dans ïanneau.Le 9 octobre 1714, les anses étoient de moitié
plus courtes qu’à Tordinaire ; ( Mém. 1715, p. 12. ).
la partie orientale paroissoit plus large que Tocci-,
dentale. Le 12 octobre saturne parut avec une seule
anse du côté de Toccident, cela pourroit donner
heu de croire que depuis le 9 jusqu’au 12, la rota-A n n â n n *îtîón de satùrnë avoit pU faire passer de Torient à
To'ccident cette partie de ïanneau qui étoit la plus
visible, la moins inclinée ou lá moins approchante
de notre rayon visuel.Le 6 octobre 1773,/ on ne voyoit à Cadix que
Tanse occidentale. Le 11 janvier 1774, M. Meslier
voyoit les anses détachées, & Tanse orientale,plus
longue. Le premier juillet, il remarqua fur ïanneau
qui étoit encore extrêmement minCe, des points
lumineux plus gros: que le filet de lumière qui
formoit les anses. Ces observations faites sor des
objets imperceptibles, né sont ni faciles à faire,
ni d’une certitude absolument satisfaisante ; mais
èlles" indiquent cependant qu’il y a un peu de
courbure dans le plan de ïanneau ; car s’il étoit
dans un seul plan, ses parties droites &,gauches
disparaîtraient en même-teriis, & le segment extérieur
qui est d’une lumière pleine ne disparaîtrait
pas le premier, comme' cela arrive quelquefois.On trouve des conjectures & des réflexions ingénieuses
fur la cause & là formation de ïanneau de
samrne', dans Maupertuis ; Discours fur les figures
des astres, imprimé en 173 2, & en 1742.ANNEAu/óZaire pu horaire , est,unè espèce de
petit cadran porratif , qui consiste en un anneau
ou cercle de cuivre d’environ deux pouces de diamètre,
& d’un tiers de pouce de largeur. .
' Dans ùn endroit du contour de ïanneau, il y
a un trou par lequel on fait passer un rayon du
soleil, qui fait une petite marque lumineuse à la
circonférence concave du demi-cercle opposé ; &
le point- sur lequel, tombe cette petite marque,
donne Theure du jour que Ton cherche.Mais un instrument ainsi dispose n’est bon que
dans leitems des équinoxes ; pour qu’il puisse servir
tout .le long de Tannée, il faut que le trou puisse
changer de place , & que les lignes du zodiaque
ouïes jours du mois soient marqués fur la convexité
de ïanneau ; au moyen de quoi le cadran
pèut donner Theure pour tel jour de Tannée qu’on
veut., •' ' '-'"-'■ ":'- Pour s’en servir, il ne faut que mettre le trou
sur le jour du oiois ou fur le degré du zodiaque
que le soleil occupe ce jour-là, ensuite suspendre
lè cadran à Tordiriaire vis-à-vis du soleil ; le rayon
qui passera par le trou, marquera Theure sor le
point opposé òù il tombera.
■' ANNEAU astronomique ou universel, est un instrument
composé dé "deux ou trois cercles, qui sert
à trouver Theure du jour en quelqu’endroit que
•ce soit de la terre, au lieu qu ? ïanneau solaire
dont nous venons de parler est borné à une certaine
latitude. Vanneau astronomique est représenté '
dans les planches d’Astronomie , fig. 248. dans fa
construction la plus fimple. C’est unê espèce de
cadran équinoxial portatif, & qui s’oriênte à-peuprès
de la façon que nous Texpliquerons en indidiquant
la construction du cadran équinoxial.
Voyei CADRAN: , ; ■ . ' '• Vanneau astronomique est une imitation desarmilles d’Eratosthène, qui étoient à Alexandrie
250 ans avant J. C. & les armilles portatives ont-été.
employées très - anciennement. Gemma-Frison,
dans son usage de ïanneau astronomique, imprimé
en 1544, dit que ce n’est pas du tout son invention,
mais qu’il en a rendu' Tulàge plus étendu.
. On fait des anneaux astronomiques depuis deux
pouces de diamètre jusqu’à six : il consiste en deux
anneaux ou cercles minces, qui sont larges & épais
à proportion de Ia grandeur de Tinstrument. Le
cercle extérieur A' représente le méridien du lieu
où Ton est ; il contient deux divisions de ooá chacune,
diamétralement opposées, & qui servent, Tune
pour Thémiíphère boréal, l’autre pour Thémiíphère
austral. Vanneau intérieur représente- Téquateur,
& tourne exactement en dedans du premier par
le-moyen de deux pivots qui sent en F & en F
dans chaque cercle. Au dedans des deux cercles
est une petite règle" A P , ou lamé mince , qui
tourne auffi sor deux pivots avec un curseur marqué
C, qui peut glisser le long du milieu de la
règle. Dans ce curseur est un petit trou pour laisser
passer les rayons du soleil. .On regarde Taxe de la règle A P comme Taxe
du monde, & ses extrémités comme les deux pôles.
On y marque d’un côté les signes du zodiaque, de
l’autre les jours du mois: fur le méridien est une
pièce, de suspension qui peut glisser sur la circon.
férence, & à laquelle on attache un petit pendant
G, qui porte une boucle' H pour tenir Tinstrument
suspendu.Usage de cet instrument. Mettez le milieu dupendant,:
au degré dé latitude ou de hauteur du
pôle du lieu où vous êtes, fur la circonférence
AMP , par exemple, à 48d 50' pour Paris ;
mettez le trou du curseur au degré dufigner, ou au
jour du mois fur la règle D D ; ouvrez ensuite Tins-r
trament, de sorte queJes deux anneaux fassent un
angle droit entr'eux ,&sufpendez-lepar la boucleiî,
de manière que Taxe de la règle qui représente
celui de Tinstrument puisse être: parallèle à Taxe'
du monde ; ensuite tournez le côté plat de lá règle
vers le soleil, jusqu’à çe que le rayon qui passera
par le petit trou tombe exactement sur là ligne circulaire
qui eft tracée au milieu de la circonférence
concave D B de ïanneau intérieur :1e rayon solaire
marquera Theure qu’il est sur cette circonférence
concave. En effet on éloigne Talidade de Téquateur,
par exemple,'dé 230 5 fi c’est au solstice, dans
cet état lé soleil passant par Talidade rasera Téquateur.
dès que cet équateur est bien placé, puisqu’on
a fait d’avance Tangle égal à Celui du rayon solaire
sor leplaridel’équateUr , & qu’une ligne détermine
un "plan quand Tinclinaison de ce plan est donnée.Pour diviser'la règle 1 D D suivant les signés ou
les jours, on met dans le milieu N les équinoxes
21 de mars & 21 de septembre, & fur un rayon F N
on forme des angles égàux aux déclinaisons du
soleil, au commencement de chaque signe, ou au
commencement chaque mois -, ensorte que lés por-."€£ A N N

A N N
tions de la règle, à partir du milieu, suivent Ie
progrès des tangentes des déclinaisons du soleil. _11 saut remarquer que Theure de 12 ou de midi
n’est point donnée par le cadran, par là raison
que le, cercle extérieur étant dans le plan du méridien,
il empêche les rayons du soleil de tomber
sor le cercle intérieur. D’ail leurs le soleil changeant
peu de hauteur aux environs du midi, la situation
de ïanneau est mal déterminée. Vanneau, tel que
nous venons de le décrire , ne donnera point non
plus Theure quand le soleil sera dans Téquateur,
parce qu’alors ses rayons seront parallèles au plan
du cercle intérieur ; mais on y remédie par une
autre construction.En effet, il y a encore une espèce d’anneau astronomique
, auquel on ajoute un cercle horaire tour■nant
autour.des pôles A P , & portant une alidade
: ainsi, an lieu de deux cercles, il en a trois ;
mais il faut que Tinstrument soit plus grand, celui-ci
marque loiique le soleil est dans Téquateur, "& il
çsl beaucoup plus juste. On ne se sert plus guère
de ces instrumens, Tissage,des montres ayant rendu
inutiles tous ces cadrans qui ne donnent pas Theure
avec une certaine justesse, rnais ïanneau astronor.omiquc
est excellent pour porter dans les campagnes
où Ton n’a point de méridiens & de cadrans
solaires.On fâit des anneaux astronomiques de six pouces
qui coûtent cent écus’, voyì fig. 249 , où Ton distingue
facilement toutes les minutes d’heures ; la
hauteur du polè de deux en deux minutes, & les
minutes de la déclinaisons du soleil par le moyen
d’un vernier qui occupe 6ò° sur le cercle horaire.L’équateur y est maintenu perpendiculairement
au méridien par une rainure dans laquelle entre
pne pointe fixée dans le cerclé horairç qui tourne
autour des pôles.La pièce de suspension est formée comme la
lampe de Cardan, afin que Tinstrument prenne son
à-plomb dans fous les îèns , & on Tarrête avec
une vis fur la hauteur du pose du lieu où Ton
observe. - 'L’alidade, qui se meut fur le plan du cercle horaire,
a un verre objectif au lieu d’un trou de
pinule , & Timage du soleil qui se peint fur la
pinule opposée, lèrt à prendre des hauteurs correspondantes
, qu’on peut avoir facilement à 2" près,
comme Ta éprouvé M. le cardinal de Luynes.
- Dans les’anneaux où il y a un cercle horairç
portant Talidade des déclinaisons, le rayon solaire
ne peut enfiler Talida.de que quand le cercle horaire
est dirigé à la distance actuelle du soleil au
méridien ; ainsi, il y a deqx tatonemens à faire
pour avoir le rayon solaire dans Talidade.On le sentira mieux dans le cas le plus fimple
qui est celui de Téquinoxe ; je suppose que le soleil
est dans Téquateur ,& que je veux diriger vers le
soleil Talidade qui tourne dans le plan de Téquateur
de ïanneau , il ne suffira pas de tourner ce
£>Jan vers le soleil, il faudra ençpre fourner l’alidadeà la hauteur du soleil, ou à Ia distance di »
méridien.Anneau astronomique en terme de marine, estwn
instrument fort simple dont on se sert en mer pour
prendre simplement la hauteur du soleil : c’est un
cercle de métal où il y a un trou éloigné de 41'
degrés de la suspension, & à la partie opposée du
cercle, des divisions qui marquent les hauteurs du
soleil de degré en degré, lorsque le rayon solaire
paslant par Je petit trou tombe sur les divisions
opposées. ( D. L. ) ANNE AU {.Me/are de bois ) , c’est un cercle de
fer qui a six pies & demi dé circonférence , que
Ton nomme auffi moule, & dont le patron prototype.est
à Thôtel-de-ville. C’est.fur ce patron
que tous ceux dont on se sert sont étalonnés &
marqués aux armes de' la ville. Trois moules ou
anneaux remplis, plus douze bûches, doivent faire
la charge d’une charrette. Le tout fait ordinairement
depuis cinquante-deux jusqu’à soixante-deux
bûches, qui sont nommées par cette rasson bois
de compte. Toutes les bûches qui font au-dessous
de dix-sept à dix-huit pouces de grosseur, doivent
être rejetées’ du moule & renvoyées au bois de
corde : mais il y a encore tânt d’inégalité entre les
plus grasses, que souvent ce nombre ne se trouve
•pas complet. II y en a quelquefois de si grosses,
fur-tout dans le bois qui vient de Montargis,que• les quarante-sept ou quarante-huit bûches remplissent
les trois anneaux, & font la voie. Voyei. VOIE. ■''.-.-Lé .bois qui vient par la rivière d’A'ndeliè, &1 qui en porte le nom, n’ayant que deux p$ás & demi
de longueur, quand il s’en rencontre d’assez gros
pour être de moule ou de compte , on. en dp'nhe'
quatre' anneaux & seize bûches pour la voie.ANNÉE,-• f. f. ( Astron, ) esl.letems que-ksoleil
efnploièà faire le tour du zodiaque pour ramener
les faisons , fa véritable.duré ? est de 565 jours,
5 heures, 48 minutes, 48 secondes ; mais le nom
d’année: a été donné à toutes -sortes de périodes,
 ; servant à mesurer. le tems, anrze'e solaire, armée
lunaire , année de saturne , de jupifer , &c. Voyei
RÉVOLUTION & PÉRIODE.11 paroít queles jours furent d’abord.Iâ feule
manière de compter ; du moins pri explique d’une
manière satisfaisante les 4^0 mille années dont se
vantoient les babyloniens suivant Cicéron & Dio-,
dore ; cela s’accorde avec les années, dont parlait
Calisthènes suivant Simplicius. Voyer M.Êailly s
hist.de F Astron. p. 373. f ' . ' -Le mois lunaire étant très-remarquable pourtous les yeux, fut la première période ou la pre- • ; mière année chez presque tous les peuples duj monde. Voyei Diodore', l.z,p,3o, édition 1745 ;Varron , suivant LaBance, infl. I. 2 , c.13 ; Pline ,l. vij, ch. 49 ; Plutarque daris la vie de Numa,p. 72,édit. 2 G24 ; Eudoxesuivant Platon dansson Timée,i P<3i dfPéditionde }6o2i StobéeEclogoephys.p,2i,(dit,A -n n a: n n r>e'dit. de 1609 ; Geminus,p. 3 4, édition du P..P e tau,
-7 G30 ; Suidas au moi HÍJK, tom. II, p. 54 , édition
de Cambridge, 1 Go s.Dans la fuite, on vit .qu’il y avoit douze mois
lunaires ou douze changemens des phases de la
lune d’un hiver à l’autre , & ón forma ï année
lunaire. Ces variétés du cours de la lune étant plus
fréquentes & par conséquent mieux connues aux
hommes que celles déroutes les autres planètes,
les romains réglèrent leurs années par la luné jusques
au tems de Jules César. Voy. CALENDRIER,
LUNE.Les juifs avoient auffi leur mois lunaire. Quelques
rabins disent que le mois lunaire ne commençoit
pas au premier moment où la lune paroissoit,
mais qu’il y avoit une loi qui obligeóit
la première personne qui Ia verrait paroitre d’en
aller avertir le sanhédrin : fur quoi Je président du
sanhédrin prononçoit solemnellement que le mois
étoit commencé, & on en donnoit avis au peuple
par des feux qu’on allufnoit au haut des mpnîagnes ;
les arabes ne comptent encore leur armée
jque quand ils ont vu paraître la lune. .
, Ori distingua aussi les tems par faisons, & voilà
.pourquoi Ton trouve dés années de ; trois mois.,
-de quatre móis, de six mois ; Diodore , ibid. Pline' ;
ibid. Censorìnus ,ch. 19 ; S. Augustin y de civitate.Dei,
■l. 12, c. 10 : ïtnais il réfute ceUx qui prétendent "que
la division de-quatre mois étoit fur-tout, naturelle
' ien Egypte, oùTinondation faisoit abandonner les
ïerrés pendant quatre mois, où il y avoit quatre moisde
fécondation & quatre mois fans culture. Le P.
Kirchef prétend même qu’outre Vannée solaire, quelques
provinces d’Egypte avoient: des années-, lunaires
, & que dans les annéesAès plus reculées,
quelques-Uris des.peuples de- ces-provinces, prênoient
une .seule révolution de :1a lune pour une
Année ; que d’autres trouvant cet intervalle trop
court ^ faisoient ï année de deux mois, d’autres de ;
•trois, &c. (Edip.Egypt. tòm.II' ;,-p.-2£2. :JJnauteur :de cès derniers reins assure.que Varron •
3 attribuée íoutesUes hâtions :.ce gue noUs y'enons :
d’attribuer, aux 'égyptiens ;, &. il ajoute ; que Lac- j
lance le relève* à ce sujet. ' -, y  ; '. i y. ■ ■"■'..: •'. !
. Nous ne savons pas fur quels endroits de Yàrron ;
-& de Lactance cet auteur se fonde j’-jtout ce que :
nous pouvons assurer, c’est que Lactance, divin,
ìnflit. lib.TI. cap. xiij. en parlant de. ; Topinion de
Varron suppose' -qu’il’, parle seuleriiérit des égyp- ,
tiens. -'' '■.,:'■ .'■■.'-,' ;■> ly ] : r.-- ;-.•.--•• ;-- -■■ '.
■ Au rené Skint-Âuguûiríj de civit.Dei,lib. XV,
cap. ' xiv, fáit voir, que les, années dés>patriarches  ;
rapportées daris TEcrituré:, sont les rnêmcs que lès
nôtres ; & qu’il n’est pas vrai, comme beaucoup
de gens se le sont imaginés, que dix de ces années
c’en valoient qu’une d^-préíènt.
r Les habitàns dej’île dé .Taïti, découverte depuis
■jjuelques années., compte.rit.'-parluriesrde 29 jours,
-& 13. lunesifont xmë.anìié.e ;. ilsdéfignerif chaque
tuois par. uri nompropre, & les.13. mois par un
' Mathématiques. TômeJt I,'" Partie,nom collectif3 mais dont ils rie-sc servent qu’en
parlant des mystères de leur religion. Le jour est
divisé en ; 12 parties,-dont six pour la nuit, ce
qui est une fuite ? naturelle des : 12 lunes qui se
trouvent dans,-une année solaire ; cependant ils
comptent par ro dans Tissage de la numération
ordinaire'. Hydrographie de la mer du sud, par
M. de Freville., 1774, tom. 1 , pag. 451.Indépendamment de la variété- des faisons qui
fuiv'oient ia période: du soleil, les peuples Pasteurs
virent bientôt que les étoiles se Ievoient.&
se còuchoient deux heures plutôt à chaque mois,
& qu’ami bout d’environ 12 mois, elles paroissoiênt
& disoaroissoient à la même heure ; ils comprirent
alors que le soleil tournoit en douze lunes
oii en • douze mois , & parcourait tout le ciel.
Alors on ; examina les étoiles ,": dont il s’approchoit
fucceffivemerif ; Ton en forma douze grandes divisions,
qui formèrent les douze signes du zodiaque.
Cette invention parut une découverte admirable ,■
& orila chanta.avéc enthousiasme. ! On en fit.les
douze travaux du dieu Hercule, les voyages de
Bacchûs, tels qu’ils font dans.le poëme des Dj-onisiaques
, de Nonnus, & une quantité d’autres
fables, ainsi que Ta fait voir M. Dupuis , professeur
de rhétorique enr TUniverfité ;dé Paris ,
dans, le Journal des Savans de:vj-jy., &dans un
mémoire qui fáit partie du quatrième volume de
mon’ Astronomie. :Chaque signe se partageoit en
•trois parties, qu’on appellok Decans, parce qu’elles
contenoient environ dix .jours ; les dix doigts de
la main déterminèrent de toute ancienneté la division
par dix ," ;"& voilà peut-être, pourquoi Ton
fit d’abord les années de 360 jours. :
 ;.': II est constant, par le témoignage des anciens.,'
.qûé les années: comptées en Egypte, depuis Torí.giné
de.la monarchie, n’étoient pas de 12 mois ;
mais que Vannée fut augmentée par plusieurs rois. '
. Voyei^Diodofe de Sic. liv. 1 , pag. 2.2.. editi Hanov.
■'_ i Go4J Pline ;l. 7, c. 48 ; Plut, in Numa. Censorìnus , '
'■corrigépar-Saumaise ; in Solin, S.Augufl. de civ.Dei,
~l…i ;2:,lc ;iz-.'y&- l. 1 $. , ç.-- 12, Riçcioli chron. réf.P:Ì'- ■■'■ ;■ ''■'"'- ; ■ ,11 'y a des auteurs qui pensent que du tems^dt
Moyíed’année n’avoit encore que 360 jours ;. ils
 ;íè fondent sor le calcul que donne la Genèse de
■.la durée du déluge, où il paroít que Vannée dont
■ Thístorien fa'it usage , est de douze mois, chacun
..de ; 30 jours. ; il--ne dit-rien qui puisse fairesop..iprimer-qu’on.Connut
alors, la nécessité d’ajouter
.quelques.jours aux .360 que donnent douze mois
de:30 jours chacun pour égaler Ia durée de Vannéecivile
à la révolution du soleil. En effet, dit
M. 'Gogu'et j on voit, Gen. ch. 7 ,v. n & 24,. &
çh. 8 , V. 3 & 4 , félon P'hébreu , que le déluge
commença le 17e jour du second mois, Tan 600
de Noé ; que les eaux s’accrurent & se soutinrent
ensuite-au même degré d’élévation pendant I5q
jous ;çonsécutifs, jusqu’au dix-septième du septième
mois. Ainsi les cinq mois dé I année valoient 15e66Ânna  n n.jours: ces mois étoient donc de 30 jours chacun, V
Ikïannée entière de 360 jours. :On ajoute à cela le témoignage des auteurs,
qui disent que la plupart des: nations de Tantiquité
, même les plus éclairées -, n’ont connu
pendant bien des siècles d’autre année que celle de
360 jours. Voyei la dissert. de M. Allin, insérée
dans la théorie de la terre de Wislon, /. 2 , p. 2 44 ì
édit, de Londres,1737.On croit sor-tout que Tannée des égyptiens étoit
autrefois de 360 jours : on peut voir à ce sujet ,
Phitarque de Ifide , Diodore de Sicile, Scaliger,
Kircher, Goliussur Alfragan , Mi Goguet-. origine
des loix, des arts & des sciences , tom. z, p. 220,
s.30 ,t.2,p.254,in-4.". L’enceinte de Babylone avoit 360 stades ; elle
avoit été bâtie en un an, un stade chaque jour.
Les prêtres astronomes de Memphis étoient au
nombre de 360, &.chacun observoit un -jour de
Vannée : enfin la division du cercle en 3600, en
fournit une indication bien ancienne ; mais ne
pourroit-on pas dire que les 360 jours sormoient
douze mois, & que.les cinq derniers jours additionels
ou épagomènes, étant hors de rang, on n’en
renoit pas compte dans certaines circonstances,
.quoiqu’on les : connût très-bien. Ne voit-on pas
que même du tems de Ptolemée , cent ans après
Tère vulgaire ,'on comptoit tous les mois de 50
jours, quoique Tannée, en eût. 365 ? J’ai peine à
concevoir qu’on ait été lòng-tems à le tromper Je
cinq jours"fur la durée de Vannée , auffi-tôt qu’on
eut observé les levers héliaques des différentes
étoiles, du : moins les égyptiens faifoient monter
jusqu’à une antiquité fabuleuse Torigine de Vannée
,de 365 jours ; c’étoit mercure qui avoit joué aux
•dez avec lá- lune ; Plutarqûe -,t.>2 ,p: 355 , édition
de Paris , 1G24 ; Diodòre , l. z y p. 27 sédition '
de Z745.Le Syncelle (p. 123 , édit, de Paris , z.Gz2)  ,
dit qu’un roi d’Egypte, nommé Aseth, avoit réglé
Tannée égyptienne à 365 jours, & qu’avant lui
"elle n’avoit eu que 360 jours ; mais on" ne peut
savoir en quel tems vivoit Aseth.Neuton, dans fa chronologie, prétend que
Tannée de 365 jours fut établie en Egypte sous le
règne d’Amenophis ,884 ans avant la naissance de
J. C., 72 ans après la mort de Sesoslris ; que
c’étoit en mémoire de cet établissement que 1 on
avoit placé dans le Memnonium un cercle d’or de
365 coudées de tour, dont chacune répondoit à
un jóur de Vannée, & pour tous les jours étoient
marqués les levers des étoiles, suivant Diodóre,
de Sicile, /. 2 ,p. 30.Mais Freret, qui a si bien résoté le système
chronologique de Neuton, soutient que Osimandès
ou.'Osiitóndias, roi de Thèbes, dont le tombeau
étoit environné par le cercle dont il s’agit, étoit
plus ancien que Sesoslris. (Défense de la chronologie
, pag. 387 )  11 fait Sesoslris contemporain de
Moysc 1550 ans avant J. C. ( Ib. p. .247. ) M. Goguet (t. 2, p. 25 s ) ■, estime qu’Osimanrlèj
vivoit vers le tems de la guerre de Troye, 1284
ans avant J. C. II y a donc apparence qu’à cette
époque on avoit déjà fait Vannée de 365 jours ;
mais on fut ensuite bien long-tems avant de penser
à y ajouter un quart de jour, & avant de reconnoitre
Terreur de six heures : c’est ce que je vais
discuter en faisant voir que plusieurs auteurs se.
sont trompés sur Tépoque de cette découverte.Le Syncelle,nous dit que Tancienne chronique
égyptienne comptoit 36525 ans depuis le règne du
soleil jusqu’à celui d’Alexandre. Les égyptiens
attribuoient à mercure 36525 traités, & il est sûr
qu’ils attachoient quelques significations cachées à
ce nombre. ( Freret, p. 230 )  M. Dupuis pense
que cela signisioit 365 & un quart, exprimés en
décimales, & cela supposerait la connoissance du
quart de jour ; mais on ne rieut pas savoir à
quelle époque remontoir la fable des 36525 ans.
Le Syncelle dit que ce nombre marqupit • les
années de la révolution des .étoiles par rapport
aux équinoxes ; mais, comme cet auteur étoit fort
ignorant en Astronomie, il n’est pas étonnant qu’il
se soit trompé fur cet article ; quoi qu’il en soit,
ce nombre mystérieux ne prouve pas qu’on connût
le quart de jour , ou le cycle caniculaire, feulement
600 àns avant J, C.Le cycle caniculaire de 1460 ans,-ou Ta période.
Sothiaque, quL ramenoit les levers d’étoiles,
aux mêmes faisons de Vannée , indique bien la
- connoissance du quart de jour ; mais ce cycle ne me
paraît pas avoir été connu dans la haute antiquité.
: M. de la Nauze,- qui a donné une histoire du
-calendrier égyptien dans les mémoires de TAca.démie
royale des inscriptions & belles r lettres
-( tom. xiv , pag. 334 ) , fixe i cette découverte à
Tannée 1322,: qui est cellê où lelever-de Sirius
con courait avec le premier jour dumoisthot,&
qui fur la première année du cycle caniculaire ou
de la période Sothiaque , dont les {années.ïont employées
par Censorinus ; mais il: a déjà été résoté
par M. Dupuy, de TAcadémiejdes ; inscriptions,
dans le tome xxix de la même. Académie. >M. Freret ( défense de la chronologie '■, p. 400 ).,
est du mêmè avis que M, de la Nauze. H va même
plus loin ; & trouvant des indices du cycle précédent
qui avoit dû commencer 2782 ans avant
J. C.,il pense que le cycle s qui avoit commencé
l’an 1322 n étoit pas le plus - ancieri ', ni celui au
commencement duquel on avoit établi Tufage de
Vannée vágùe de 365 jours. ; Mais ; dé ce' que Manethon
, Censorinus ,::Clement d’Alexandrie se
seivènt de ce cycle, il ne s’enfuit pas qu’on le
connût déjà 1322 ans avant J.'C ; & quant aux <
inductions que M. Freret tire'des livres deMoyfe,
elles prouveraient tout au plus que Tufage de
Tarznee de 365 jours avoit Heu-au tems deMoyfe,
né selon lui Tan 1589: Les juifs avoient une
annec civile ancienne , qui commençoit en automne
comme celle des égyptiens, & une annétÂnn a n. n *ï,religieuse áepuis lexode ; celle-ci commençoit à Ia
nouvelle lune, qui précédoit î'équinoxe d’u printems.
Mais les équinoxes, les solstices, le lever
de sirius, étoient-des choses assez faciles à observer
pour qu’on en ait fait des époques. Cela ne
prouve pas qu’on connût déjà la durée de ï année
à quelques heures près , & qu’on connût la différence
de ïannée vague de 365 jours & de ïannée
sydérale de 365 jours & un quart.Vannée vagué étoit Vannée religieuse qui servoit
à régler les fêtes & les sacrifices. Vannée civile
régloit la culture des terres & le paiement des
impôts. ( Vettius valéns Anthol. liv. z, )  Le commencement
en étoit marqué par le lever héliaque
de sothis ou sirius. ( Porphirìus de antro nympharum,
Bainbrìgius de anno caniculari, ch. 4, pag. 2G,
M. Freret, pag. 393. )  Mais on ignore à quelle
époque la différence de ces deux années a été
connue. Les auteurs , d’après lesquels on fait remonter
auffi haut la découverte du cycle caniculaire
, sont des auteurs de deux ou trois cens ans
avant Jefus-Christ, qui s’en servoient dans leurs
calculs , qui ne disent point qu’on s’en fût
servi à-Tépoque à laquelle ils remontent par
le calcul. Suivant M. Dupuy dans les mémoires
de TAcadémie des inscriptions, tom. xxix ,p, 114,
il est douteux que même au tems d’Hérodote,
450 ans avant J. Ç., on connût d’autre année que
celle de 365 jours, & qu’on sût en Egypte la
différence de Vannée fixe-à Vannée vague, qui est
d’environ fix heures. On voit dans Hérodote, l. z -,
queSolon donnoit 30 jours à chaque mois, & qu’icroyoit
qu’en intercalant un mois tous les deux
ans, on affignoit des limites au retour des faisons.
Cependantíl y avoitneuf jours & trois quart de trop
dans cette méthode , connue sous le nom de Trieteride.
On voit auffi dans Hérodote qu’il ignorait
le quart de jour, dont Vannée surpasse ïannée vague.
(l.2,p. 57, édit. Henr. St. 1570). Ce n’est que Geminus
qui vivoit du tems de Cicéron, & Censorinus
Tan 238, qui parlent du cycle caniculaire
de 1461 ' années vagues. Les égyptiens croyoient
qu’elles fkisoient 1460 années ; tant tropiques que
sydérales, '& que cette période devoit ramener le
Commencement de leur année civile au lever de la
canicule", où ils avoient fixé le commencement de
leur année tropique, suivant Censorinus ; mais il
y avoit- mie erreur de 36 ans ou de 47 pour cette
•grande année sothiaque ; 36 ans pour les levers
des étoiles, 47 pour les faisons. Vannée tropique
avoit environ 20 jours d’avance fur" Tannée íydéraie
à la fin de leur prétendue période caniculaire
de 1461 années égyptiennes, civiles ou vagues ;
car en divisent 365 jours paf 5h 48' 48"..& par 6h
Ç)  10", pn trouve 1506,9 & 1423,7 pour.les deux
.. périodes ; c est-à-dire, 47 aris de plus pour Time,
& 36 de moins pour TaUrre: ainsi,dans le tems même
où l’on faisoit-usage du cycle caniculaire, on en
connoissoit fort mal la duré'e, ce qui n’annonce pas
une haute antiquité pour la découverte du quart dejour. Geminus (p. 19) , cite Eratosthène comme
ayant donné raison du cycle de Í460 ans: on connoissoit
donc alors le quart de jour ; ainsi, c’est vers
le teins de Platon, 80 ans après Hérodote , ou
370 ans avant J. C. qu’on a été certain de cette
différence. M. Freret dans fa défense de la chronologie
, p. 247 & 400 , entreprend de prouver que
27S0 ans avant Tère vulgaire , les égyptiens con- "
noissoientdéjàlapériodelothiaquè.M. Bailly, dans
son Histoire de T Astronomie, dit aussi que Manéthon
donne lieu de croire que la période sothiaque remontoit-A
2782 ans, & il regarde Tobservation da
quart de jour comme prouvant dans les observations
Ja plus haute antiquité ; mais c’est parce que Manéthon
, 280 ans avant J. C. s’en étoit servi pour
calculer son histoire d’Egypte ; c’est comme si Ton
vouloit prouver que Jules César avoit reformé le
calendrier il y a 6000. ans, parce que nous comptoné
les années de la création du monde fur le calendrier
Julien. II n’y a pour le quart de jour
aucune autorité, puisque les auteurs les plus anciens
& les plus instruits, comme Platon & Hérodote ,
n en .parlent point. .-"'"'Ainsi, du tems même de Platon, on nê connoissoit
ni le quart du jour, ni la période caniculaire.
Avant le tems d’Hippárque , il étoit
très-- difficile de déterminer la durée de Tannée,
parce qu’on n’observoit point les équinoxes, mais
seulement les solstices qui sont très- difficiles à
observer exactement. Pour le prouver, je remarque
r." que Ptolemée ne put trouver d’équinoxes plus
anciens que ceux d’Hippárque pour les comparer
avec les siens. 2.° Que Hipparque, dans Un passage
cité par Ptolemée, se sert d’un solstice' plus ancien. 3.
 0 Que Ptolemée lui-même se sert d’un solstice.
4. 0 Que Tufage des gnomons étoit beaucoup plus
ancien que celui des armilles, parce qu’il étoit
plus naturel & plus fimple: or, les gnomons donnoient
facilement & directement les. solstices ;
ainsi il est évident qu’on a. dû se borner long-tems
à Tobservation des solstices, mais ils n’étoientpas
susceptibles de précision. . —Voilà pourquoi Ton ignora jusqu’au tems d’Hippárque
, la diminution de quelques minutes qu’il y avoit
à faire aU quart de jour. II paroít donc quenyiron
300 ans avant Tère chrétienne, on" croyoit ïannée
de 365 jours & un quart. Meton la crut même-.
un peu plus grande ; nous ignorons sor quel fondement.
Ce furent les observations faites à Alexan•
drie qui commencèrent à donner le goût de la
précision, & Hipparque vers Tan 130 avant Tère
vulgaire, s’apperçut qu’il y avoit quelque chose
à ôtér du quart de jour ; ainsi, la plus ancienne
détermination que Ton ait de la durée de l’annie
est celle d’Hippárque, rapportée dans Talmagèste
de Ptolemée. (Lib. 3 , c. 2) : Dans un livre"fait
exprès fur'la grandeur de Tannée, Hipparque'comparaît
un solstice observé par Aristarque 280 ans
avant Tère vulgaire avec celui qu’il avoit observé
lui-même après une intervalle de 145 ans, & ilrss à n n à n n\rouva qu’il étoir arrivé douze heures plutôt que
ne Tavoit exigé le quart de jour. Dans un autre
livre fur les mois & les jours intercalaires , il
parloir de la durée de ïannée qui étoit, suivant
Meton & Euctemon , de 365 * jours & quelques
choses de plus, & il disoit: ccnousavons trouvé le
55même nombre qu’eux pour les mois solaires,'
JJ contenus daris 19 ans : mais nous avons trouvé
33 que Tannée anticipoit de la trois - centièmépartie
35 d’un jour. Suivant Meton, il manque cinq jours
33 en 300 ans ; suivant Calippus c’est un jrwscu35
lement. J’ai écrit ( ajoute Hipparque ) soû'-.i durée
3j de ïannée , un livre où je démontre que ïannée
« solaire, c’est-à- dire le tems dans lequel le soleil
33 revient au solstice ou à Téquinoxe, ne contient
35 pas 365 jours & un quart , comme Testiment
33 les mathématiciens, mais qu’il s’en faut la trois33
centième partie d’un jour. 3j Ptolemée ajoute ;
íî nous partageons un jour en 300 parties, nous
trouverons 12 parties sexagésimales secondes, qui
étant ôtées de 365 jours,. & 15 parties premières,
il restera pour la durée de Tannée 365. 14. 48.Cette même quantité réduite en heures, minutes,
secondes, suivant notre manière de compter, fait
365 jours 5h 55' 12" ; ainsi, Hipparque diminua
Tannée de 4'48", mais il. y avoit encore 6'24"
d’eireurdans fa détermination. Cependant Ptolemée
dit que c’est auffi à très -peu-près ce qu’il a trouvé
par beaucoup d’observations ; mais il paroít que
Ptolemée se servoit des observations d’Hippárque
& de ses résultats, en sorte que la détermination,
précédente tire toute fa valeur de Tautorité d’Hippárque.
On voit. qne la raison pour laquelle
Ptolemée admit la durée de Tannée d’après Hipparque
, est qu’elle, étoit commenfurable avec le
cycle lunaire de Meton ; mais, comme celui - ci
étoit trop long , Tannée se trouva aussi trop longue
de six minutes. Ptolemée rempli de respect & d admiration
pour Hipparque, & se défiant de luimême,
comme le dit Boulliáud, ( Astron. philol.,
p. 73 ). ne crut pas pouvoir mieux faire que de
s’en tenir aux déterminations d’Hippárque : mais
pourquoi faire semblant de les avoir trouvées par
ses’ propres observations ; c’est un reproche qu’on
lui fera dans tous les teins, comme d’avoir changé
les tems des observations pour les faire accorder
: avec ses hypothèses.On ne connut pendant plusieurs siècles d’autre
Astronomie que celle de Ptolemée, nrd’autre détermination
de Vannée que celle dont nous venons
de parler. Mais enfin les Arabes furent à portée
de reconnoitre Terreur, lorsqu’ils comparèrent leurs
'observations avec celles.d’Hippárque ; auffi dans
/.lhategnius, qui vivoiten 880 , on ne trouve plus
que 365 jours 5^ 46' 24" ; & dans les tables alphoníines5) l
49' 16", ce qui approche beaucoup
de ce que nous trouvons actuellement ; c’est celle-ci
qui sot adoptée par Copernic & par les réformateurs
du calendrier sons Grégroire XJII, en 1582.
( Voy ci Clavius, Romani calcnda: ii cxplicatio,p. G5,édit. > G12, in -folio). Mais, comme il n’y a pas
une demi-minute de trop , le calendrier grégorien
n’en n’est pas moins très-exact relativement aux
usages de la société, c’esl-à-dire propre à ramener
les faisons aux mêmes jours des mois..Dans le livre de Copernic qui parut en 1543,
la durée moyenne de Tannée est de 365 i 5 h 49' 16 ".Tyche, dans ses progymnasmes, p. 53', 365 »5 h 48 ' 45 " f,Kepler dans ses Tables rudolphi'nes, 365 > 5 h48 ? 57"fBoulliáud,dans son Astronomie philolaïque ;365) 5h 49'4" f- - •Riccioli, dans son Almageste, tom. z, p. 139 ,365' 5h 48' 40". dans son Astronomie réformée
, .'■ 48 VFlamsteed & Neuton ont supposé la longueur
de ïannée 365i 5 h 48 ' 57 " ■{.M., le Monnier,'Institut. Astronom. p. 469,
365) 5■\48v 57". . \M. Halley, dans ses Tables astronomiques,
365 i 5 " 48' 54", 8. ■-M. Caffini, dans ses tables, 365 > 5 h 48' 52" 4- ;M. Mayer, ( Mem. de Gottingen , tom. III )  ;
365 i 5^48' 51".M. de la Caille, dans ses tables {Mém, Acad.2757 , P~t4°'ï, 365 ' 51' 4S’ 49 "• . ■" •Enfin dans un grand Mémoire qui a remporté
Ie prix de TAcadémie de Copenhague en 1781,6 qui sera imprimé dans les. Mémoires de.TAca« 
: r'émie des Sciences, j’ai discuté avec le plus grand.oin .les neuf équinoxes observés par Hipparque,
qui ìn’ont donné 48 " ; les 22 équinoxes observés
par Tycho-Brahé qui m’ont donné 46 " ; enfin 50
observations de Flamsteed, faites en 1689, 1690
& 1691, 56 observations de Mayer, & 56 observations
faites par M. Dagelet à Téeole militaire
en 17S0, elles m’ont donné 50" ; ainsi, le milieu
est encore 48", ce qui prouve incontestablement
que la durée de Tannée solaire est réellement de
365 i 5 >• 48"48". _. .Ainsi, les observations d’Hippárque faites il y a
près de derix nulle ans , celles de Tycho-Brahé
faites il y a deux cens ans, & celles du dernier
siècle s’accordent également fur la' durée de ïannée
solaire. 11 n’y a que les observations de Ptolemée
qui s’en écartent, mais il est prouvé qu’elles font
défectueuses ou supposées , & qu’il faut ses rejetrer.Dans le tems ou Ton admettoi't les observations
de Ptolemée, on étoit tenté de croire que la durée
de ïannée étoit devenue plus petite, e est-à-dîre,
que la terre accélérait son mouvement autour du
soleil ; M. Euler, dans ses tables du soleil, admettoit.
cette diminution de. Tannée. Cette accélération
de la terredonnoit déjà lieu aune funeste
conséquence pour Thumanité, en nous annonçant
presque & le tems & la manière dont elle
doit finir: en effet, si la terre accélère ainsi son
mouvement , c’est uhe preuve certaine qu’elle ■
éprouve une résistance dé la part de Téther ou'A n-n: a n nÉ03e Ia matière siibtiîe qui remplit Tunivers, ne
- fût-ce que celle de la lumière. L’idée la plus naturelle
que Ton puisse se former de cette résistance,
c’est qu’elle diminue Ia vitesse de projection ; or
lasorce cehtripète dans une orbite donnée'esl comme
le.quarré de la vitesse ; donc si Ia vitesse-diminué,
la force centrale prévaudra ; la planète se rappro"
' estera du centre ; son orbite deviendra moindre ;
elle sera donc parcourue dans un tems plus court,
parce que les durées des révolutions diminuent
: comme les racines quárrées des cubes des distances,
ainsi on observera une accélération continuelle dans
son mouvement.Cette cause ayant commencé d’agir une fois,
elle agirait toujours ; la'distance de la terreau
soleil ne cesserait de diminuer, parce que la vitesse
éprouvercit toujours une nouvelle résistance, Teffet
deviendroit même de plus, en plus considérable,
à mesure que la terre approcherait du centre,
parce que la densité de la lumière & la force
centrale augmentent Tune & l’autre, comme Je
quarré de la dislance diminue. C’est ainsi que la
terre descendrait par dégrés jusqu’au soleil pour
y être absorbée & détruire. II. seroit peut-être
même possible de calculer Ie tems de ce grand
événement : aussitôt que Ton reconnoîtroit par les
observations le retardement qu’a éprouvé la terre
,• depuis environ deux mille ans ; & Ton verroit un
jour les planètes inférieures, mercure & venus,
disparaître successivement à nos yeux, se perdre
dans le soleil & nous marquer le tems de notre
fin ; mais j’écartai bientôt de si tristes présages en
faisant, voir qu’il falloit réjetter les observations de
Ptolemée, & qu’il n’y avoit aucune preuve d’accélération
dans le mouvement de la terre. (Mém,
de l’Ac. Z7S7 , p. 4Z3). ■ .Vannée solaire dont nous venons de voir la durée
exacte parles observations astronomiques est ïannée
tropique oti le tems qui s’écoule entre deux équinoxes
de printems ou d’automne ; on la nomme
année tropique , parce qu’il faut que cet intervalle
detems s’écoule pour que chaque saison se rétablisse
dans le même ordre qu’auparavant : cette année,
est de 365 jours 5 heures 48 minutes 48 secondes.Vaméesydérale est Tefpace de tems que le soleil
rr.et à faire sa révolution apparente autour de la
terre, & à revenir à la même étoile, ou plutôt,
c’est le teins, que la terre met à revenir au même
point du ciel: Ce tems est de 365' jours 6 heures
9 minutes 11 secondes & demi. La raison de la différence
entre Vannée solaire tropique & ïannée
sydéralc y vient de ce que Téquinoxe, ou la section
de Técliptique & de Téquateur rétrograde de 50
secondes & un quart par an, le soleil, après qu’il est
parti d’un équinoxe, doit paraître rencontrer ce
même équinoxe Vannée suivante dans un point un
peu en-deça dé celui où il Ta quitté ; & par conséquent
le soleil n’aura pas encore achevé fa révolution
entière lorsqu’il sera de retour aux mêmes
points des Équinoxes. -ANNÉE civile est celle que Ton compose d’un
nombre de jours à-peu-près égal à celui de Tan-*
née solaire ; elle est chez nous de 365 jours, &
quelquefois de 566.Vannée civile des Egyptiens étoit de 365 jours,
comme nous Tavons expliqué ; c’étoit une année
vague divisée en 12 mois, dont voici lesnoms ;
thoth , phaophi, athyr, kiak, tybi, mechir, pha~
menoth, pharmouthi, pakon, payni, epiphi , mesori ,
& cinq jours épagomènes. Ptolemée, dans son
Almageste , compte des années égyptiennes depuis
Tere de Nabonassar, qui se rapporte au 26 février
746 avant J. C., suivant la méthode des Astronomes,
ou 747, suivant la méthode des Chronologisles
 ; én sorte que le premier du mois thoth
avânçoit d’un jour tous les 4 áns, & ïannée 748
de Nabonassar tombe au 23 août de Tannée zéro
de notre- ère, ou de celle qui sépare les années
avant J. C* des aUnées après J. C.Lorsque les Egyptiens forent subjugués par les
Romains, ils reçurent Vannée Julienne , dont nous
parlerons bientôt, mais avec quelqu’altération ; car
ils retinrent’leurs anciens.noms dé mois avec les
cinq jours épago'mènes, & ils^ placèrent le jour
intercalé tous les quatre ans , entré le 28 & le
29 d’août.Le commencement de leur année répondoit au
29 août de Vannée Julienne. Leur année réformée
de cette manière, s’appelloit annus ABiacùs, à
cause qu’elle^ avoit été instituée après ia bataille
d’Actium ,31 ans avant J. C. ' -'.Vannée Ethiopique est une année solaire qui
s’accorde'parfaitement avec TActiaque, excepté
dans les noms des mois. Son commencement répond
à celui de Vannée Egyptienne, c’est-à-dire,
suivant quelques Auteurs, au 29 d’avril de Vannée
Julienne ; mais je crois que c’est plutôt au 29 d’aoûtLes mois de cette année sont, l°. mascaram>
Z." tykympl, 3. 0 hydar, 4. 0 tyshas, 5.° tyr, 6."
jacatil, 7.° magabit, 8.° mijaria , o.° giribal y
10. 0 fy ne, 11° hamle, 12.° hahase, & il’y a
de plus cinq jours intercalaires.VAnnée Grecque étoit lunaire, & composée de
douze mois , qui étoient d’abord tous de 30
jours, & qui furent ensuite alternativement de 30
& de 29 jours ; les mois commençoient avec la
première apparence de la nouvelle lune, &-à
chaque 3e, 5% 8% 11% 14% 16e, & 17= année du
cycle de 19 ans, on ajoutoit un mois embolismique
de trente jours, afin que les nouvelles &
pleines .lun-es revinssent aux mêmes termes ou
saisons de Vannée. Voyei CYCLE LUNAIRE.Vannée Grecque commençoit à la première pleine
lune d’après le solstice d’été. L’ordre de teurs mois
étoit, l.° hecatomboeon, de 29• jours ,■ 2.° metagitnion,
de 30 jours ; ■$." boëdromion, de 29 jours j
4. 0 mamaBerìon, de 30 jours ;- 5.° pyanepfion,
de 2-9 jours ; 6." pofideon , de -30 jours ; 7. 0 ga.-
melion , de 29 jours ; 8.° anthesterion, de 30 jours ;
9.° daphebolion , de zçr jours ; 10,° munichion, de7o a n n a n n30 jours ; II.S thargclion, de 29 jours ; ri.6/« -
rophorion, de 30 jours.Cette année étoit particulièrement nommée 1 année
Attique ; & le mois intercalaire ou embolifmique
se plaçoit après pofideon , ou le sixième
mois il étoitappellépofideon 2, ousecondpofideon.
Les Macédoniens avoient donné d’autres noms
à leurs mois, ainsi que lés Syro-Macédoniens,
les Smymiens, les Tyriens, les peuples de Chypre
, les Paphiens, les Bithiniens, &c.L’ancienne année Macédonienne étoit une année
lunaire, qui ne différois de la Grecque que par
le nom & Tordre des mois. Le premier mois Macédonien
répondoit au mois masmactérion , ou
quatrième mois attique : voici Tordre, la durée
& les noms de ces mòis Macédoniens : 1°. panemiis,
de 29 jours ; 2°. Lous de 50 jours,- .3 °.gorpioeus,
de 29 jours ; 4°. hyperberetceus, de 30
jours ; 50. dius, de-ZQ jours ; 6°. apelloeusàe 30
jours ; 7". auàynoeus , de 29 jours ; 8°. perìáus,
de 30jours ; çs.dyfirus, de 29 jours ; 100. xant’icus,
de 30 jours ; II°. artemifius, de 29 jours ;
12°. doestus , de 30 jours.La nouvelle anne'e Macédonienne est une année
solaire, dont le commencement est fixé au >prémier
de Janvier de Tannée Julienne, avec laquelle
elle s’accorde parfaitement.-L’anne'e des Juifs étoit une année lunaire cortlposée
ordinairement de 12 mois alternativement
de 30 & de 29 jours. On la faisoit répondre à
Tannée solaire, en ajoutant à la fin 11 & quelfois
12 jours, ou en insérant un mois embolssroique.Voici les noms & la durée de ces mois : i.°nifan ou abib , 30 jours ; 2.° jiar ou nus , 29 ;3. 0 siban onfivan, 30 ; 4. 0 thamul ou tamui, 29 ;5. 0 ab, 30 ; 6.° elul, 29 ; 7. 0 tisri ou ethanim,30 ; 8." marchesvan ou bul, 29 ; 9. 0 cifleu , 30 ;J’0.° thébeth, 29 ; II." s’abat ou schebeth , 30 ;12.° adar, dans les annics embólifmiques, 30'jours ; adar dans les années communes étoit de2Í>' .Vannée Juive moderne est pareillement une année
lunaire de 12 rnois dans les années communes,
& de 13 dans les années embolssmiques, lesquelles
font la 3e, la 6e, 8e, 11% 14e, 17e & 19e du cycle
de 19 ans. Le commencement de cette année
civile des Juifs est fixé à la nouvelle lune la plus
voisine de Téquinoxe d’automne. En 1779, elle a
commencé-le 11 septembre ; en 1780 le 7 septembre.
.Les noms des mois & leur durée sont, i.° tisri,
30 jours ; 2. 0 marchesvan, 29 ; 3.° cifleu ,30 ; 4. 0
Tcbeth, 29 ; 50. schebeth, 30 ; 6°. aáar, 29 ;
7°, veadar, dans les années embólifmiques, 30 ;
8°. nifan, 30 ; 90. jiar, 29 ; io°. fivan , 29 ;
II". thamui, 29 ; I2°.a6,30 ; 13°. elul, 29,Selon les Juifs, Vannée de la création du monde
est la 959e de la période julienne, commençant
au 7e d’octobre ; & comme Tannée de la naissancede J. C. est la 4714e de la .période julienne, il
s’enfuit que J. C. est né Tan 3761 de lere des
Juifs ; c’est pourquoi si on ajoute 3761 à une année
quelconque de Tere chrétienne, on aura Vannée
Juive correspondante qui doit comniencer en automne ;
bien entendu qu’on regarde Vannée Juive
comme une annee solaire : & elle peut être regardée
comme telle en effet, à cause des années em*
bòlifmiques, qui remettent à-peu-près de trois en
trois ans le commencement de Vannée Juive avec
celui de Tannée solaire.Vannée Sabbatique , chez les anciens Juifs, se
■disoit de chaque septième anne'e. Durant cette an.-:
née, les Juifs laissoient toujours reposer. leurs
terres. ,ChaqueTeptième année Sabbatique., c’est-à-dire
chaque 49e année , étoit appellée ïannée du Jubilé
, & étoit célébrée avec une grande solemnité.ANNÉE des anciens Romains. Le .Calendrierromain
, qui est Torigine du nôtre, remonte à Bomulus.Ce
législateur, plus verse, dans. la guerre
que dans les matières astronomiques, ne divisa
ïannée qu’en dix rriois , qui étoient alternativement
de trente-uri & de trente jours : elle commençoit
le premier de Mars,- ainsi, les Romains fupposoient
qu’au moyen de cette distribution, Tánne'e
recommençoit touj ours au printems, s’imaginant que
le soleil parcouroit toutes les faisons dans Tefpace
de trois cens quatre jours ; il s’en falloit soixanteun
jours que cette année ne s’accordât avec la vraie
anne'e solaire, Macrobe , fatum. I. z ; Solinus, memorab.,
 page 2.Le premier mois, celui de mars, contenoit 31
jours ; le second, celui d’avril, 30 ; 3. 0 Mai, 31 ;
4." juin, 30 ; 5. 0 quintilis ou juillet, 31 ; 6." fex« 
tiiis ( août ) , 30 ; 7. 0 septembre, 30 ; 8.° octobre,
31 ; 9. 0 novembre, 39 ; io.°. décembre, 3o:le
tout faisant 304 jours. Ainsi, cette anne'e se trou »
voit moindre de-50 jours que Vannée-lunaire réelle,
& de 6ì que Vannée solaire.De-là il réfultoit que le commencement de ïannée
de Romûlus étoit vague, & ne répondoit à
aucune saison fixe. Lorsquon appercevoit Tinconvénient
d’une telle variation, Ton ajoufoit à ïannée
le nombre de jours nécessaires, pour que le
premier mois répondît à-peu-près~au même état
du ciel : mais ces jours ajoutés n’étoient point
partagés en mois. Macrobe , lib, ,t ., cap. 12.Le calendrier de Romulus futréformé par Numa. •
Voici de quelle manière Dom Clément, savant
Bénédictin, auteur dé la derniere édition de TArt •
de vérifier lés dates, explique cette réformation
dans un manuscrit qu’il a bien voulu me confier.
Numa voulant mettre ïannée Romaine dans un prdre
plus conforme aux révolutions des astres,pritpour
 modelé Tannée dont se servoientla plupart
des peuples de la Grèce, cependant il n’en
íuívit pas exactement les proportions. ■Pour la distribuer en douze mois comme celle
dçs Grecs, il ôta un jour de chacun des íixmoisfsirs de Vannée de Romulus, & les joignant aux
cinquante - un jours qu’il avoit à ajouter, il les
divisa en deux nouveaux mois : janvier composé
de 29 jours, & février de 28. Par cette distribution
, non-seulement ïannée , mais tous ses mois
furent impairs, ce qu’on croyoit d’un présage heureux
 ; fi oh excepte le mois de février, qui étant
destiné à'des cérémonies lugubres, avoit un jour
de moins, & contenoit le nombre funeste. ( Censorìn.i\.'c.
20 ; Marob., liv. 2 , c. z2 ; Plut.in Numa,
p. 72 ; Ovid., liv. z Faft., v. 43).
■■■ Le mois de janvier fut le premier mois del’année,
& ce mois a conservé la place que Numa
•lui assigna ; mais le mois de février destiné aux
purifications, & consacré aux Dieux Manès, avoit
été renvoyé par Numa à la fin des autres, &
terminoit ïannée.Mais quelque conformité qu’eût cëtte année avec
' les révolutions de la lune, elle ne pouvoit suivre le
cours du soleil & Tordre des faisons. Les Grecs
avoient remédié avec justesse à cet inconvénient ;
& comme leur année réduite à 354 jours, étoit de
onze jours six heures plus courte que la révolution
tropique du soleil, & qu’à cause de la fraction
de six heures, il n’étoit pas possible de faire
chaque année une juste intercalation ; ils avoient
établi que tous les huit ans on ajouterait les 90
jours résultans des onze jours six heures qui
manquoient à chacune de ces huit années lunaires.ÍMacrob., c. ìx, Solin., c. z) , & leur- année
unaire par les mois, devenoit solaire par Tembolisme
 ; c’est le nom qu’ils donnoient à Tintercalation.• Nufna sentit auffi Ia nécessité d’intercaler avec
précision & avec ordre ; mais oubliant que, par
préjugé pour le nombre pair, il avoit formé son
ànnée d’un jour, de plus que celle des Grecs, il
•donna à ses intercalations le même nombre.de
jours que ce peuple leur avoit assigné, & elles ne
diffèrent de Tembolifme que par l’arrangemenr.
II régla que.Tintercalation se seroit tous les deux
ans. Lá première année de son calendrier fut une
annee commune de 355 jours ; la deuxième une
année intercalaire fimple de 377 jours ; la troisième
une anne'e commune de 355 jours ; la quatrième
une anne'e intercalaire double de 378 jours, &
ainsi successivement. Par ce moyen, ïannée Romaine
moyenne étoit d’un jour plus longue que
Vannée solaire. ( Macrob., ibid. Censorin. , c. 20.
Plutar.in Numa ,p. 72). IIfuit de cettepremiere
institution de Numa que chaque année Romaine
avançant d’un jóur fur ïannée astronomique , elle
: devoir enfin s’écarter de Tordre des faisons, & faire
 ; successivement passer à Tété & à TaUtomne les
t mois affectés dans le principe au printems. & à
'■ Thivér. .'-'-. ;ì Nous venons de dire que les années Romaines
| ; ' étoient alternativement commîmes & intercalaires :
Vannée commune étoit composée de douze mois,v
■ ! & contenoit 355 jours, qui faisoient en quelquesorte la constitution fixe. Vannée intercalaire simple
contenoit 22 jours de plus, & ïannée intercalaire
double 23 jours de plus ; par conséquent
elle avoir un treizième mois nommé intercalarius
par les Latins, & merkedonius par Plutarque.Enfin, Tendrait que Numa désigna pour mettre
Tintercalation sot entre le 23 & le 24 de février,
c’est-à-dire après la fête des terminales & avant le
régifuge ; & quand on intercaloit, on ôtoit au
mois de février les cinq derniers jours, & on les
ajoutoit au mois intercalaire. (Varo , de L. Lat. ,
lib. 5 , p. 32. Macrob. , c. 12). C’est dans ce sens
que le Jurisconsulte Celj’us ( in leg. 98, §. 2. de
verb. signif. ) , dit que le mois intercalaire étoit
composé de 28 jours : il les contenoit en-effeE
quand Tintercalation étoit double.
. On trouve dans Tite-Live (liv. 1 , chap 19) ,
que Numa, dès les premiers jours de son règne,
se hâta de faire ses institutions politiques & religieuses
, & que la première de toutes fut la réformation
du Calendrier. Plutarque ( Quoest. Rom. ,
p. 2G8 ) & Ovide ( liv. z , fi v.160) , disent que
Numa, en réformant le calendrier , mit le commencement
de Tannée au solstice d’hiver, & comme
les anciens plaçoient les points cardinaux au 8e
degré des signes, & que le soleil au tems de Numa
entrait dans Ie capricorne du 29 au 30 décembre,
en remontant suivant le calendrier julien ;il suit
de-làjjUe la'ire année du calendrier de Numa doit
être rapportée au 6 janvier julien de Tan 41 de
Rome avant J.C. 715 ; mais elle s’en sépara bientôt,
par la raison que ïannée romaine moyenne
avaUçoit d’un jour sur ïannée tropique, & elle
s’éloignoit toujours dusolstice jusqu’au moment que
ce prince Tarrêta par les nouvelles mesures dont
nous allons parler.. Numa s’étant apperçu de ce vice & de Ia progression
successive de son année sur le cours du
soleil, voulut y.remédier: pour cet effet,il divisa
les tems en périodes de 24 années, il ordonna ,
(Macrob. ; lib. z.Saturn., c. 13) , que dans les
huit dernières années de chaque période, au lieu
d’intercaler 90 jours’, on n’en intercalerait que
66, & il crut par ce moyen remédier au défaut
de son calendrier.L’époque de ce changement dans Tordre des
intercalations est de Tan 76 de Rome, avant J. C.
678, 37e du règne de Numa ; cette année auroit
dû recevoir une intercalation de 23 jours, mais
elle n’en eut qu’une de 22 ; & l’an .80, qui devoir
également avoir une intercalation de 23 jours,
n’en eut point. Ainsi il ne supprima, dans Tefpace
de 40 ans qu’il y éut depuis rétablissement
de .son calendrier jusqu’à la fin de Tan 80 de
Rome, que 24 jours, au lieu qu’il auroit.dû.en
supprimer 40, attendu que Vannéeromaine moyenne,
coirime nous Tavons déjà remarqué, avançoír d’un
jour chaque année furie cours du soleil ; par conséquent
il laissa seize jours de ritrop, puisque Tan
81 de Rome, le Ier janvier romain concourut7% a n n a n navec le 11 janvier julien, au lieu de concourir
avec le 6 de ce mois ; & cètte année Si est la
première d’un cycle ; mais comme on trouve en
remontant que Tan 57 de Rome, avant J. C. 697 ,
a commencé auffi Ie 22 janvier julien, c’est cette
année 57 ?ôù nous plaçons le premier cycle, &
qui ess-le point fixe d’où partit chaque nouveau
cycle, & où Vannée revint à la fin de chaque révolution
de 24 années.D’après cette dernière dssposition du calendrier
de Numa , à commencer de Tan 57 de Rome, qui est
celle où commence la première armée du I." cycle,
les 2% 6% 10% 14% 18% 20e & 22e années dévoient
recevoir une intercalation de 22 jours ; & Tintercalation
de 23 jours devoit s’ajouter à la 4e, 8e,
rac & 16e années de chaque cycle. Par cetteméthode
Numa parvint à remettre tous les 24 ans
son année au point où elle étoit quand la période
avoit commencé ; & fans qu’il parût rétracter ses
principes, ni renverser totalement le premier ordre,
il eut Tart de le corriger.Le calendrier étant destiné à réglçr les jours de
fêtes & dé sacrifices, on le regarda comme fassant
partie du culte, & Ton en confia la garde aux
pontifes. Ils étoient chargés dé le rédiger, & ils
le firent servir à. Taccroissement de leur pouvoir ;
le calendrier étoit caché avec le plus grand soin- ;
& aucun citoyen ne sachant quel jour la religion’
permettoit de plaider, & même de tenir les comices
, il devoit recourir, pour toutes ses affaires,
aux ministres de la religion, & attendre qu’il leur
plût de Téçlairer & de régler ses démarches. Lès
pontifes suivirent les principes établis par Numa
pour les intercalations, jusqu’au commencement
de Ia république ; mais, dans la fuite, ils dérogèrent
aux règles établies par ce prince, & s arrogèrent
le pouvoir de supprimer ou d’ajouter
í'intercalation à leur volonté : ce qu’ils firent,
pour la première fois, Tan de Rome 257, avant
J. C. 497 ; & cette manière arbitraire de placer
les intercalations, est la vraie cause de la confusion
qui se trouve dáns Tancien calendrier romain.
Çar ce désordre étoit parvenu dans les derniers
rems de'la république à tel point, que les mois
destinés à concourir avec Thiver, arrivoient dans
Tautomne, &c, ce que les pontises auroient évité,
s’ils eussent suivi exactement la dernière méthode
prescrite par Tétablissement des Cycles, puisqu’on
n’auroit eu qu’à retrancher 12 jours de Vannée
romaine , pour la remettrp au point d’où JulesCésar
vouloit la faire commencer Tan 47 avant J. C.
comme on le verra ci-après,Les mois de Numa étoient, 1,° janvier, 29
jours ; 2. 0 mars, 31 ; 3. 0 avril, 29 ;4.° maj, 31 ;
Ç.° juin, 29 ; 6.° quintilis, 31 ; 7. 0 scxtilis, 29 ;
8.° septembre, 29 ; o." Octobre, 31 ; io.° novembre,
29 ; 11,° décembre, 29 ; & íz." féyripr,
%%. Cette disposition des- mpi's ne subsista ■qu’enyiron
trois siècles ; Tan 304 de Rome , avant
v J, Ç. 450, lés Décemvirs déplacèrent le moisde février', qu’ils mirent immédiatement après U
mois de janvier de Tannée suivante 305. Ainsi ,
ce mois, qui, dans Tordre établi par Numa, étoit
le dernier de Tannée, devint le second. Suivant
Tuditanus, cité par Macrobe (/. z , ch. 23 ) , les
Décemvirs, dans la deuxième année de leur magsstramre,
donnèrent une loi fur les intercalations ;
& il y a lieu de croire qu’en dérangeant Ie mois
de février, ils furent obligés de régler, par une
loi, que les intercalations, qui dévoient être mises
par les loix de Numa à la fin de Vannée, conti.
nueroient d’être attachées à ce mois, quoiqu’il
cessât d’être le dernier de Vannée romaine. Par cette
innovation, les Décemvirs prolongeoient leur magistrature
: ayant été installés suivant Denis d’Halicarnasse
& Tite-Live aux Ides de Mai, le-mois
de février de Tannée de leur installation ( 304 ) 
se trouvoit de droit dans ïannée dé leurdécemvirat.
Mais, employant le mois de février Vannée
suivante ( 305 ) plutôt qu’il ìi'etoic d’usage, & lui
faisant quitter la dernière place qu’il occupoit dans
Tannée , pour le mettre à la fuite du mois de janvier
, ils donnoient à leur administration une année
de 14 mois ( compris Tintercalaire ) , faisant 406
jours, & se ménagëoient plus de tems pour faire
réussir leurs, projets. II n’y a que cet intérêt des
Décemvirs qui ait pu les porter,à déplacer ce,
mois. Cette confusion du calendrier romain ne'
fut levée que du tems de'Jules-César ; noUs parlerons,
ci-après du calendrier julien. ' .Vannée syrienne est une année solaire, dont Ie
Commencement est fixé au commencement du mois
d’octobre de Vannée julienne , & qui ne diffère
d’ailleurs de Vannée julienne que par le nom dei
mois , la durée étant la même. Les noms de ses
mois sont ,1." tishrin répondant au mois d’octobre
& contenant 51 jours, z."le second •tishrin, contenant
ainsi que novembre 30 jours ,3." çanun 31,
4. 0 se second canun 31,5." shabat 28 , 6." adar 31,
7.° nifan 30, 8.° acaar 31, 9.° haûram 30, 10,° tamui^l,
11. 0 ab 31 ,12.c elul-$o.Vannée persienne est une année solaire de 365
jours, & composée de douze mois de 30 jours
chacun, avec cinq jours intercalaires ajoutés à la ■■■.
-fin. Voici Ie nom des mois de cette année, i.° atrudiamech
, z." ardihafehlmeh , 3, 0 cardimeh ,
4° thirrneh , 5. 0 merdedmeh , 6." schabarirmeh,
j." meharmeh , .8.° abènmeh , 9. 0 adarmeh ,
10.° dimeh, ir.° bekenmeh , iz.° asfirermeh. Cette
année est appellée année je^degerdique. Cette anné(
des perses est donc la même que ïannée égyptienne
ou année de Nabonassar, & elle fut employée depuis I
la mort de Jezdegerde, le dernier de rois de Perse, '
lequel fut tué par les sarrasins’ ; ïannèeperfienne étoit j
alors de 365 jours, fans qu’on se souciât d’y ad- í
mettre aucune intercalation ; & il paroít que plus t
anciennement, après i2p années écoulées, le premier î
jóur de l’an, qui avoit rétrogradé' très-sensiblement, î
étoit remis au même lieu qu’auparavant, en ajoutant i
un mois de plus à Vannée, qui devenoit pour lors í
' ■■ '■ ' x . de ; tA n n à n n 75dé 13 mois. Mais Vannée dont tous les auteurs qui
ont écrit en Arabe ou en Persan, ont fait usage dans
teurs tables astronomiques, est semblable aux années
égyptiennes, lesquelles sont toutes égales ,- étant de
365 jours fans intercalation. Inst. astr. de M. le
Monnier.Golius, dans ses riotes fur Alfergan, pag. 2.7 &
suiv. est entré dans un grand détail fur la forme ancienne
& nouvelle de Tannée persienne , laquelle a
été suivie de la plupart des auteurs orientaux. II nous
apprend que sous le sultan Gelaluddaulé Melicxa,
ou Gelalèddan , vers le milieu du onzième siècle ,
on entreprit de corriger la grandeur de Vannée , &
d’établir une nouvelle époque ; il sot donc réglé que
de quatre ans en quatre ans, on ajouterait un jour
à Vannée commune , laquelle seroit par conséquent
de 366 jours. Mais parce qu’on avoit reconnu que
Vannée solaire n’étoit pas exactement de 365 jours
6 heures ,'■ il sot décidé qu’alternativement ( après 7
ou 8 intercalations ) on intercalerait lá cinquième,
& non pas.la quatrième année ; d’où il paroít que ces
peuples Connoissoient déjà fort exactement Ia grandeur
"de Vannée, puisque selon cette forme, Vannée
persienne seroit de 365 jours 5 heures 49 minutes
31 secondes, ce qui diffère peu de T’amiéegrégorienne ,
que lés européens ou occidentaux n’ont employée
dans leur calendrier que plus de 500 ans après les
asiatiques ou orientaux. -: Ainsi, le calendrier gélaléen est une correction du
calendrier persan jezdegerdique. Le cofnmetìcementt
de Tère gélaléenne fut fixé à Tentrée du soleil dans
le bélier, la 467e année de Thégire, & dé J. C. 1075.
Vannée arabique 467, commença au 27 août 1074.
Mémoires de l’Académie des Inscriptions, tom. z,
pag. 17.■ Vannée arabe ou turque est une année lunaire, composée
 de 12 mois, qui sont alternativement de
30 & de 29 jours ; quelquefois auffi elle contient 13
mois. Voici.les noms de ces mois. I".° muharram
de 30 jours, z.°saphar 29, 5. 0 ra&ia 30, 4° second
rabia 29 , 5. 0 jomada 30, 6."second jomadazo,,
J." rajab 30, 8," shaaban 29 , Ç).° samadan 30,
ìo.° shawal 29 , l’l.° dulkaadah "30 , 12. 0 dulheggia
-29, & de 30 dans les années hyperhémè-res-ou embo'lismiques.
On ajoute un jour intercalaire à chaque
■2.c 5.e 7/ io.£ I3.c 15.° f 8-.c 2l.e 24.' 26.c29.e année
d’un cycle de 30 ans, &les années sont, embólifmiques
ou de 355 jours ; les autres communes, ou de
•35^ jours.L’ère des mahométans commence au vendredi
6 juillet de Tan 622 de J. C. qui est la première
année de Thégiré ; d’où il s’enfuit 'que si d’une année
quelconque de Tère chrétienne on ôte 621, le reste
fera le nombre des anne'esde J,: C. écoulées depuis lé
commencement de Tère rnahoffiétane. Or Tannée
julienne est de 365 jours 6 heures, & les années de
Thégire , qui sont des années lunaires, sont de 3 54
jours 8 heures 48' ; d’où il s’enfuit que chaque année
de Thégire anticipe fur ïannée julienne de 10 jours
a. 1 -heUres 1 z ; & par conséquent enj 3 ans, de 3 59,Mathématiay.es. Tapie1}I.."í Partie-.jours 3 heures 36' , c’esl-à-dire d’une année, plu »
4 jours 18 heures’48' : donc fi on divise par 33 le
nombre trouvé des années juliennes écoulées depuis
Tère mahométane ; & qu’on ajoute le quotient à ce
nombre d’années , pn aura le nombre des années
mahométanes : on n’a point d’égard au reste de la
division. Ce calcul ne nous apprend pas quel jour
ïannée a commencé ; mais ce détail seroit trop long.
Voyei Gravius Epochoe célebrìores , x 650.11 faut remarquer que le surplus des 4 jours 18
heures 48', doit former auffi une année au bout de
plusieurs siècles, c’est-à-dire au bout d’environ 72
fois 3 3 ans. Mais les mahométans ne se piquent pas
d’une si grande exactitude ; ils ne.sont pas même bien
d’accord entr'eux fur le commencement deV année.11 y a dans Gravius une table des armées de Thégire
rapportées ànotre calendrier ; il y en a une dans
F Art de vérifier les dates, qui fait commencer les
années de Thégire un jour plus tard. M. Cardonem’a
fait voir un calendrier turc d’accord avec la première
table, & suivant des lettres de M. Fonton,
premier interprête du roi à ' Constantinople. ïannée
1195 de Thégire a commencé le 28 décembre 1780,
ce qui s’accorde avec la seconde table. Peut-être
que la table de Gravius est dreffée suivant Tufage des
astronomes arabes, qui comptent depuis le coucher
du soleil qui a précédé le jour civil , tandis que
l’autre est dreffée sor Tufage civil. II y en a même qui '
font commencer Vannée encore un jour plutôt, par
exemple, le 26 décembre 1780. Au contraire, il y
a des parties de TArabie où Ton ne commence Vannée
que quand on a vu la lune ; ce qui retarde souvent de
deux jours. Voyej Niebuhr, description de T Arabie,
tom. i , 1774,pag, 104.Vannée lunaire est composée de douze mois lunaires
: mais il y a deux espèces de mois ou de révolutions
lunaires ; savoir, la révolution périodique  ;
qui est de 27 jours 7 heures 43 minutes 4 secondes ;
c’est à-peu-près le tems que la lune emploie à faire
fa révolution autour de la terre par rapport aux
points équinoxiaux : z." le mois fynodique, qui est
le tems que cette planète emploie à retourner vers
le soleil à chaque conjonction ; ce tems, qui est Tintervalle
de deux nouvelles lunes , est de 29 jours12 heures 44 minutes 3 secondes. Voyei SYNODÍQUE,
LUNE. Ce mois fynodique, marqué par
les phases de la lune, est le seul dont on se serve
póur mesurer les années lunaires : or comme ce mois
est d’environ 29 jours & demi, on a été obligé de
supposer lés mois lunaires civils de 29 jours &de 30
alternativement  ;:ainfi-, le mois’fynodique étant de
deux espèces, astronomique & civil, if a fallu distinguer
àuffi deux espèces d’années’ lunaires, Tune
astronomique, l’autre civile. -''•'.- :-..:■Vannée astronomique lunaire est composée de
douze mois fynodíques lunaires, & contient par
conséquent 354 jours 8 heures 48 minutes 35
secondes. ,--:'-■- VannJfíunaire civile',- est ou commune ou eittr
boliímique, > ;.:.cf ', .-,. ■:.-.- y. .. . ;.-■ ;. \, … .- -_■K74 a n n a n n 'Vannée lunaire commune est de douze mois lunaires
civils, c’esl-à-dire, de 354 jours.Vannée embolisinique ou intercalaire est de treize
mois lunaires civils, & de 3S4 jours.Années juliennes, ce sont celles dont on s’est
servi dans toute TEurope depuis le tems de JulesCésar.
NOUS avons dit-que les pontifes auxquels
Numa avoit confié le soin du calendrier, avoient
mis un grand déíbrdredans la constitution de ïannée :
Jules-César, en qualité de souverain pontife & de
dictateur voulut y remédier. Dans cette vue, il
s’adressa à Sofigènes, habile astronome : celui-ci
chercha le moyen de rendre la distribution du tems
dans le calendrier telle , que les mêmes faisons revinssent
au même jour du mois ; & comme le cours
annuel du soleil s’achève en 365 jours 6 heures, il
fit Tannée de ce même nombre de jours, & il en
ajouta un tous les quatre ans. Vannée de cette correction
du calendrier fut une anne'e de confusion ;
car on sot obligé, afin d’ôter une erreur de 67 jours,
dons le commencement de ïannée s’étoit écarté du
solstice d’hiver, d’ajouter deux mois outre Tintercalation
de 23 jours, qui se trouvoit avoir lieu cette
même année dans Tancien calendrier ; de manière
que cette année fut composée de quinze mois, faisant
445 jours ( ou suivant d’autres 443 ). Cette réformation
se fit Tan de Rome. 707 , quarante-sept ans
avant J. C. Mais on ne compte ordinairement que
de Tan 444 ; Téquinoxe arriva le 25 septembre.
Voyei Scaliger & Petrus, liv. 4 , ch. z ,& liv. z 0 ,
ckap. Gz.Ce calendrier romain, que Ton appelle aussi calendrier
julien, du nom de Jules-César, étoit donc
disposé par périodes de quatre années. Les trois premières
années , qu’on appelle années communes, ont
365 jours ; & la quatrième, nommée bissextile , en
a 366, à Cause des six heures qui, dans Tefpace de
quatre ans, composent un jour. Ón plaça le jour
entier, formé par ces quatre fractions, après le vingtquatrième
de février, qui étoit le sixième des calendes
de mars.Or comme ce jour ainsi répété étoit appelle en
conséquence bissexto calendas, ïannée où ce jour
étoit ajouté , sot aussi appelle bis sextus , d’où est
Venu bissextile.
Le jour intercalaire n’est plus aujourd’hui regardé
comme la répétition du 24 février, fi ce n’est pour
les fêtes de Téglife ; mais il est ajouté à la fin de ce
mois, & en est le vingt-neuvième.Les mois de ïannée julienne étoient disposés
ainsi : i.° janvier 51 jours, 2. 0 février 28 , 3.° mars
31,4.° avril30,5.°mai3i, 6.° juin 30, j." juillet
31,8.° août 31,9.° septembre 30 , io.° octobre
31,11." novembre 30, 12. 0 décembre 31 ; & dans
toutes les années b'iffextiles le mois de février avoit
comme à présent 29 jours : on trouvera les mois
romains plus en détail au mot CALENDRIER.Cette alternative de mois de 30 & de.31 jours
-ne suffit pas pour que les 12 signes du zodiaque
soient d’accord avec les douze mois. ; car pour quele soleil employât un mois à parcourir chaque
signe, il faudroit que les trois premiers mois & les
trois derniers sossent de 30 jours, '& les autres de
31 ; dans les années communes on en ôterait un
du mois de janvier ou de décembre , qui sont les
plus voisins du périgée du soleil, où sa vitesse est
la plus grande.Vannée julienne sopposoit ïannée astronomique
de 365 jours 6 heures ; & elle sorpassoit par conséquent
la vraie année solaire d’environ 11 minutes,
ce qui a occasionné la correction grégorienne.Vannée grégorienne n’est autre que ïannée julienne,
corrigée par la suppression de trois bissextiles
en quatre siècles.La raison de cette correction , fut que ïannée
julienne avoit été supposée de 365 jours 6 heures,
au lieu que la véritable année solaire est de 365
jours 5 heures 48' 48", ce qui produisoit une anticipation
de près d’un jour tous les cent ans, 011
du moins de trois quarts de jour.Or quoique cette erreur de 11 minutes qui se
trouve dans ïannée julienne soit fort petite, cependant
elle étoit devenue si considérable en s’accumulant
depuis le tems de-Jules-César, qu’elle avoit
monté à 10 jours, ce qui avoit considérablement
dérangé Téquinoxe. Car du tems du concile de
Nicée , lorsqu’il fut question de fixer les tems
auquel on doit célébrer la Pâque, Téquinoxe du
printems se trouvoit au 21 de mars. Mais cet
équinoxe ayant continuellement anticipé, on s’est
apperçu Tan 1582 , lorsqu’on proposa de réformer
le calendrier de Jules-César, que le soleil entroit
déjà dans Téquateur dès le 11 mars ;_c’est-à-dire,
10 jours plutôt que du tems du concile de Nicée.
Pour remédier à cet inconvénient, qui devoit aller
ensuite encore plus loin, le pape Grégoire XIII.
fit venir les plus habiles astronomes de son tems,
& concerta avec eux la correction qu’il falloir faire , s ;
afin que Téquinoxe tombât au même jour que dans
Ie tems du concile de Nicée ; & comme il s’étoit
glissé une erreur de dix jours depuis ce tems-là,
on retrancha ces dix jours de ïannée 1582, dans
laquelle on fit cette correction ; & au lieu du 5
d’octobre de cette année , on compta tout de fuite
le 15. ( 1La France , TEsoagne, les pays catholiques
d’Allemagne, & Tltalie, en un mot tous les pays
qui sont sous Tpbéissance de Téglife, reçurent cette
réforme dès son origine : mais les proteslans la rejettèrent
d’abord.En Tan 1700 Terreur des dix jours avoit augmenté
encore & étoit devenue- de onze ; c’est ce
qui détermina les proteftans d’Allemagne à accepter
la réformation grégorienne & à compter fur le
nouveau style, aussi-bien que les danois & les hollandois.
En Angleterre même on Ta adopté au
mois de septembre 1752. Lès Russes sont les seuls
qui aient conservé le calendrier julien, ou le vieux
style, & comptent onze jours de plus. Les annee*
1700,1800,1900, sont communes ; ïannée 2000A n n a n n 7>sera bissextile, de même que 2400, 2800, & ainsi
de suite en ajoutant toujours 4 ; ainsi, il n’y a que
les années séculaires dont le nombre du siècle est
divisible par 4 qui soient bissextiles ; comme dans
le cours d’un siècle il n’y a que les années divisibles
par4qui soient bissextiles,-1784,1788, 1792, &c.Suivant cette règle, on supprime trois bissextiles
fur quatre siècles, ou en 36 siècles 27 bissextiles ;
il seroit plus exact d’en supprimer 28 , pour s’accorder
avec la vraie durée de ïannée solaire ; mais
la différence est insensible.Commencement de F année. Le jour de Tan, ou
Ie jour auquel ïannée commencé, a toujours été
très-différent chez les différentes nations.Les françois, sous les rois de la race mérovingienne
, commençoient Tannée du. jour de la revue
des troupes, qui étoit le premier de mars ; sous
~ les rois CarloVingiens , ils commencèrent ïannée
le jour de 'Noël ; & sous les Capétiens, le jour
"de Pâques ; de forte que le commencement de
Vannée varioit alors depuis le 22 mars jusqu’au 25
avril. Vannée ecclésiastique ën France commence
au premier dimanche de TA vent.Quant à Tannée civile, Charles IX. ordonna en
1564, qu’on la seroit commencer à Tavenir au premier
de janvier.A Rome , il y a deux manières de compter les
années ; Tune commence à Ia Nativité de NotreSeigneur
 ; & c’est celle que les Notaires suivent,
datant à Nativitate ; l’autre còmmence'au 25 mars,
jour de TIncarnation, & c’est de cette façon que
font datées les bulles, anno Incarnationis.En 1746 , ïannée civile, à Pise, commençoit
encore au 25 mars ; TEmpereur ordonna le changement
par un édit, dont Textrait est gravé fur
un marbre en lettres d’or, sor la rive gauche de
Tarno. Cet usage remontoit aux Etrusques, de qui
les Romains Tavoient emprunté.Vannée civile ou légale , en Angleterre, comtnence
le jóur. de T Annonciation, c’est-à-dire Ie
25 mars ; quoique Vannée chronologique commence
le jour de la Circoncision, c’est-à-dire le premier
jour de janvier, ainsi que Vannée dés autres nations
de TEurope. Guillaume le Conquérant ayant été
Couronné Ie premier de janvier, donna occasion
aux Anglois de commencer à compter Vannée de
ce jóur-là pour Thistoire ; mais, pour certaines
affaires civiles, ils ont encore retenu leur ancienne
manière, qui'étoit de-commencer Vannée le 25
mars.Dans la partie de 
du régne du Roi.
Vannée qui est entre ces deux
. termes, on met ordinairement les deux dates à-lafoís,
les deux derniers chiffres étant écrits Tun fur
l’autre à la manière des fractions ; par exemple, 172s
est la date pour lé tems entre le premier janvier
1725 & le 25 mars de la même année. Depuis Guillaume
lé Conquérant, les patentes des Rois, les
chartres, &c. sont ordinairement datées de VannéeL’église d’Angleterre commenceTannee aupremier
dimanche de TAvent.Les Juifs, ainsi que la plupart des autres nations
de TOrient, ont une année civile qui commence
avec la nouvelle lune de Septembre, & une anne'e
ecclésiastique qui commence avec là nouvelle lune
de Mars. ' -Les Grecs commencent Vannée le premier septembre
, & datent du commencement du monde.'Les Mahométans commencent ï année au moment
où le soleil entre dans le bélier.Les Persans, dans le mois qui répond à notre
mois de juin.Les Chinois, à la nouvelle lune, après que le
soleil est entré dans les poissons. La plupart des
Indiens commencent leur anne'e avec la première
lune du mois de mars. Les Brames avec la nouvelle
lune d’Avril, auquel jour ils célèbrent une fête
appellée Samwat saradi pauduga , c’est-à-dire, la
fête du nouvel an.Les Mexicains, suivant d.'Acosta, commençoient
ïannée le 23 de février ; tems où la verdure commençoit
à paraître. Leur -année étoit composée de
dix-huit mois de vingt jours chacun, & ils’employoient
les cinq jours qui restoient après ces
dix-huit mois, aux plaisirs, fans qu’il fût permis
de vaquer à aucune affaire, pas même au service
des temples. Alvarez rapporte la même chose des
Abyssins, qui commençoient ïannée le 26 d’août,
& avoient cinq jours oisifs à la fin de ïannée, qui
étoient nommés pagomen ; mais cela n’est point
exact ; on peut voir dans Ludolf ce qui regarde
les Abyssins. :Grande année ; année platonique est une expression à
 laquelle on a -attaché différentes significations.
C’étoit une opinion" générale qu’il y avoit une grande
année qui renfermoit en elle le principe & la fin
de tous les êtres-, leur changement & leur renouvellement
: cette idée physique, morale ou superstitieuse
fut mêlée avec des idées astronomiques,
& forma cette grande année appellée platonique ;
mais Platon ne parle qu’en général de la période
inconnue qui ramènerait les astres dans les mêmes
circonstances ; c’est ce qu’on doit appeller la grande
-année platonique. Voici ce qu’il en dit dans son
Timée.Est’ tamen intelledu facile, quodperfeâus numerus
temporis perfeBum. tum demum ^ompleat annum.
cum 0B0 ambitus confeBìs fuis curfibus , quos ofbis
ille semper idem fimiliterque proçedens’ metitur, ai
idem se caput retulerunt.Cette grande année platonique a lieu, suivant
Cicéron ,-de nat. deor. I. 2. lorsque le soleil, la lune
& les cinq planètes reviennent à la même situation.
Quelques - uns disoient que tout ce qui arrive dans
le riionde recommencerait dans le mêmé ordre. ;
( Clavíus insph. c. z ) , on croit que c’est celle dont
parle Virrle, Egl, 4. v. 5 & 3 G.Magnus ib integro f&elarum nafiitur orio, v. £.Aupa iterum ad Tjojam magnus mittetur Aekilkti v. 3Í).
Kij
7'í à n n a n n■ D’autres pensent que magnus signifie seulement
illustre, & que la fuite n’est qu’une manière de dire
que le siècle d’or renaîtrait après la paix qui venoit
d’être conclue à Pouzol, 40 ans avant Jeíus-Chrisl,
entre Octave & le sils de Pompée. Mais il seroit
^possible que Virgile, d’après les traditions anciennes
, eût voulu dire que les événemens fa-buleux
recommenceraient dans le même ordre,
.puisque ces événemens, tels que le siècle d’Or,
Jes voyages des .Agonautes, les travaux d’Hercule,
&.c., neíent que des allégories tirées des situations
des étoiles, & doivent par conséquent recommencer
quand ces situations le trouvant les mêmes, p.ro-duirontles
mêmes phénomènes au bout de 25750
ans, ainsi que M. Dupuis Ta fait voir assez au long
dans un Mémoire sor Torigine des constellations
& de la fable, inféré dans le quatrième volume
:de mon Astronomie.Mais ce mot de grande année a été pris en différens
'sens. Les uns Tont entendu de la période de 600
ans qui ramène la lune & k soleil au même point
du ciel ; c’est la période lunisolaire dont M. Caffini
cri-parlé dans son-Traité de.Torigine de T Astronomie,
& dans ses Règles de TAstronomie indienne. M. de
:Mairan a donné une dissertation à ce sujet à Ta fuite
ide"ses. lettres au P.Parennin ; il est vrai que 7421
mois lunaires & 600 années tropiques font preíque
le meme intervalle, cependant les 100années font
ì8| heures de moins.-On a auffi appelle la grande année la période
caniculaire de. 1460 ans, dans laquelle les années
jégyptiennes revenoient avec les années solaires ;
mais du moins on se trompe en citant Platon à ce
.sujet,il ne connut jamais cétte période, ni même celle
.de la prècelsion des équinoxes, qui est dé 2575Ó
ans suivant mes derniers calculs. D’autres ont fait
,3a grande année de neuf mille ans,' de 12, de 15,
-de 24, de 36, de 49, de 100, de 300, de 470
inilleans, &mêmede 1753 mille & de 6 570000
ans. Voy ci Joseph Scaliger canon, iíàgog. p. 252.
'Ricciolichronol.réform.jp. S.Heveliiprodromus,
p. 8G. Et M. dé la Nauze, Mémoires de TAcadémie
des inscriptions. Tom. XXIII..Laduréede4 320000311 s que leslndiensdonneiit
à la durée du monde, n’est qu’un nombre allégorique,
exprimant les douze signes par douze mille,
répétés 360 fois, cequiformelarevolution.de
l’année ; & la fable de la vache aux quatre jambes
-vient du taureau qui étoit le premier signe du
■ printems. M. DUPUIS. Mercure du 14 juin z.783.
( M. Di ÌA LANDE ). '.■■'■'ANNUEL (Astron. )  fedit de tout ce qui revient
chaque année ou qui dure une année. On appelle
mouvement annuel de la terre , celui par lequel
elle décrit son orbite autour du soleil, comme nous
le prouverons au mot Système de Copernic.Le mouvement annuel -d’une planète signifie sonmouvement en .365 jours , queíquefois aussi sonmouvement proprcoiideiévolutionautourdusoleil.Vargument-annuel dans les tables de la lune , estla 'dislance du soleil à Tapogée de Ia 'lune','ainsi
appellée, parce que Tinégalité qui en dépend est
liée avec le mouvement annuel du-soleil.Equations annuelles de la lune, de son r.-pogée &
de son noeud ; ce sont les inégalités queTattraction
du soleil produit à raison de Texcentricité de son
orbite ou du changement de ses dislances : l’équation
annuelle de la lune fut indiquée par Tycho-Brahé,
déterminée plus exactement par Horoccius, d’après
les observations ; enfin Neuton reconnut qu’elle
étoit une fuite de la Théorie de Tattraction, & il
conclut qu’il y avoit une équation semblable pour
Tapogée & une pour le noeud , dont le soleil augmente
le mouvement, lorfqu’étànt plus près de laterre,
il agit sor la lune avec plus de force. L’acíion
du soleil, en dilarant Torbite de la lune, retarde
son mouvement, & c’est ce qui produit l’équation
annuelle. La plus grande équation annuelle de Ia
lune est, dans Neuton, dé n’ 51 " pour la lune,
20' o" pour Tapogée 8: o' 30" seulement pour
le noeud dont le. mouvement est plus lent que celui
de Tapogée ; elles soiit dans les nouvelles tables
de Mayer de 11 ' 16 ", 23 ' 12 * & S ' ' 50 ". Vòye(
LUNE. (D. L.)  : ■ '-" Parallaxe annuelle. Voyei PARALLAXE.
~\ ANNUITÉ, f. f. ( Alg).'fe dit d’une rente qui
n’est payée que pendant un certain riòmbre d années: •
de forte qu’au bout de - ce tems, le débiteur se
trouve avoir acquitté son emprunt avecles intérêts,
en donnant tous les ans une même somme.Les annuités sont extrêmement avantageisses au
commerce dans les pays où elles sorit en usage ;
le débiteur trouve dans cette manière d’emprunter,
la facilité de s’acquitter insensiblement & sans íè
gêner, si le créancier a des dettes à payer avant
Téchéance des annuités , & il s’en sert comme
de Targent en déduisant les intérêts à proportion
du 'tems qu’il y a à attendre jusqu’à" Téchéance.Les annuités sont fort en usage en Angleterre,
& Tétat s’en sert très-.avantageusement, lorsqu’il
a des emprunts considérables à faire : peut-être
un jour nous en servirons-nous en France. Les
coupons de la lotterie royale de 1744 étoient
des’ annuités, dont chaque coupon perdant après
le tirage de la lotterie, doit produire 65 liv. par
an, pendant dix ans, au Jxxif desquels le billet
sera remboursé. ' • :M. de Parcieux, des Académies ^.Royales des
sciences’ de Paiis & de Berlin, a inféré à la fin
dç son estai fur les probabilités’ de' la durée de la
vie humaine , imprimé à Paris en 1746, une table
sort utile par laquelle on voit la .somme que Ton
doit prêter pour recevoir 100 livres à la fin de
chaque année, de manière qu’on soit remboursé
entièrement au bout de tel nombre d’années qu’on
voudra jusqu’à cent ans c’esl-à-dire , la valeur des,
annuités qui rapporteraient 100 livres pendant un
certain ; nombre d’années. Voici une partie de cette
table, qui peut être très - commode dans le calcul
des annuités.A "k n a n n 77TAÍ'IEdes sommes qu’on.doit prêter póut recevoir
lóo hv. a la fin de chaque année, de manière
qu’on soit remboursé entièrement au bout de tel
nombre d’années qu’on voudra jusqu’à cent ans.
LES INTÉRÊTS comptés fur le pied du den. ;o.Ans. . Liv, S. D.i 95 4 ?.2 I85. l ! IO '3 272 6 64 354 11 115 4Î1 lí O6 507 II s7 578 II. 9.
8 646 . 6 5•î 71O IJ S10 772 3 511 830 12 9
. I2J .886 6 s13 939 7 I • ■14 989 17 215 1057 19 316 10S3 15 517 1127 8 q
IS 1168 iS ' o
I9e 12O8 IO 620 1246 4321 1I2S2 2 I -22 1316 5 IO I23 1348 16 II24 _ 13.79 17 O25 I4O9 7 8 '26 1437 10 I27 1464 5928 .1489 Ij 1129 1514 ' j 10
3° 1537 4V 6-'31 15 59 5- 3.32 I58Ò j o33 1600 ,4 8 '34 1619" 5 S35 1537 7 II ;3"S 1654 13,-3.'37 í671 2 I3 8 I6S6 15 . 4 '39 " 1710 13 j
4.0 : H.-Jií. 17 841 1729 8 242 1742 î^lo43 "7S4.H 344 1766 5- o45" . '777 .76
46 • 1787 'I ? 647- .1798.'. I 5 '48 1807 13 849 - 1816 16 ÌO --50 1825 11 2Jusy, Liv. S. D.si- -1833 17 -352 1841 15 6. 'S3v .IS49. 6 f54. I856 9 755 I863 6 356 1869" 16'' 457 1876 o .4
5 8 IS 8 I I8 4■ 59 ISS7 10 960 1P92 17 1061 1Í97 19 962 1902 16 IO: -63 1907 9 4 ;64 19II 17 465 ipiû 1 466 1920 I 367 1923 17 4"68 1937 9 969 1930 19 87019-4. 4 6■■ ;71 .1937. T I72 1940 6:. ,973 1943 -3 674 194s. 17 775 I948 9 ÏI76 '95° 18 I.
.77. I ?53.' 4.1078 1955 S"*- 79 1957 IÏ' 8 '"•I -"80 I8-59 12 o"8.1 I96I 1° 582 1963' 7083 I96S III84 1966 i-5 x
8J 1968 6 986 1969 16 IO. .87 1971 S.- 688 1972 12,IO89 1973 18 IO
90. . 1975 ":' 3 791 I97s 7 " i.92 1977 '9 S93 I97s I1 I94 1979 II 5
9-5 1980 I o . 10…- 9.í'. I976 : S ;457 1982. 6 Ii.98 I9 ?3 "3 .899 1983 19 s100 1984 14 ro
Si Ton veuf savoir la méthode fur laquelle-cette
tablé est formée, la voici. Supposons qu’on emprunte
une somme, que j’appelle' a.,'..&,que, les
intérêts étant comptés sor le ;,pied du denier 2.0_,Î

ou.,'en général, du denier ;-^, on"réride chaque

Sîínée úne fomrr.e^ , & voyons ce gui. en arrivera.

• En premier lieu, puisque les intérêts sont comptés

sor le pied du denier —,'il s’enfuit que celui qui

a emprunté la somme 12, devra, à la fin de la

première année, cette somme, plus le denier ■—
a de certe foriime-, c’est-à-dire, qu’il devra a -j■^
-a. ou a ~X (•: t -4 ) •: Or, ,par la supposition,

il rend , à la fin de la première anriéè,sla somme,
b ; donc , au commencement de la seconde année,
il n’emprunte'plus réellement que la fomme: a.

il faut encore retrancher -b-, -pour - savoir-ce-qUiL
emprunte réellement aU Coirimencemént de la quatrièmeannée.
- "'. , -'.y, —, - - ..-. -

En continuant à raisonner toujouridelamêirië
manière, on voit qu’à la fin de la n.e.année,.ou
, au commencement" de Tarinée suivante, il doit

 ; .Dîoù il s’enfuit que, si le paiement dqitie,faire

en un nombre n d’années, il n’y- a. qu’à faire ia

quantité précédente égale à zéro ; puifqu’aú bout

de cé tems, par la supposition^ le débiteur-se sera

entièrement acquitté, & qu’ainsi sa dette sera nulle,
'. ou.zéro ,' ;à la fin de la ,.rue .arinée. •_■-■_

i Or, dans cetté" dernière quantité, tous les ternies

i qui sont multipliés par b, forment une progression
73 a n n a n ni.° La somme a, qu’il fout prêter pour recevoir
la somme b chaque année, pendant un nombre
d’années « , les intérêts étant comptés sor le pied
du denier —, c’est-à-dire, qu’on trouvera a , enmsupposant que b , n , .-V, soient donnés.2.° On trouvera de même b , en supposant que
c ; n, —-, soient données.. m’• 5. 0 Si a, b, n, sorit données, ón peut trouver— ; mais le calcul est plus difficile , parce que,dans les deux cas précédens , l’équation n’étoit
que du premier degré, au lieu que, dans celui-ci,
1 équation qu’il faut résoudre , est d’un degré d’autant
plus élevé que n est plus grarid. V. EQUATION.4. 0 Enfin, fi a.,b, & — sont ^données, ori peuttrouver n., par ïe moyen des logarithmes. PourLQUATION-, INTÉRÊT.M. deParciéux, dans f ouvrage que nous venons
de citer, donne une table beaucoup plus étendue,
& Tàpplique au calcul de la loterie royale de 1744.
: Nous joindrons à .cet- article la cable fui vante,
qui y a r »pport, & qui est encò ;-é tirée de AI. de
Farcieux. . .-"' -■ - ;Dis T s 1 s u T 10 s djun emprunt de Goooooo:'livres, divisé en z2,f-Jo aBions ou billets de
' goó liv. chacun, pq^r acquitter intérêts & capital
' en dix ans, enyjayaslt tous les ans la même
somme ou a^'íu-VrtS-> tant pour les intérêts ,'
_Que pour h remboursementd’une partie desaBions
'ou biif^r'.IA. Voyeii - I , , '. I Prix desf UCTIONS Intérêts ACTÎONS „. nr
I ■ .n i/^i » actions'.existantes dus a la qu on au>Gn TOTALì}îs. pendant fin de tembour- _J, dechaquechaque chaque setousles setouslej ÍWnée.annee. année. ans.
| | . ' ■ ans. 'On compte les intérêts fur le pied du denier vingt.
Livres. Livres.. —^—^ —■ ^—^—— r— ■— ■ '1 J2000 3OOPPP 954 477POO 777OOO2 IIO46 276I5O - 1001 5OIOOO 7771503 10044 251100 1052 y26ooo 7771004 í992 2248OO 1104 552000 7768005 7888 1972OO II60 J80000 7772OO6 6728 1682OO 1218 6.O9000 77720O
7- 5510 1377Í° "79 639500 77725O8 4231 10577s 1342 671000 7767759 288j> 72225 14.10 7O5POP 77722$
IO 1479 36975 1479 739SPO 776475Voici Texplicatiòn & Tufage de cette table ; Supposons
 qu’une compagnie de négocians,ou
 fi Ton veut, Tétat, veuille emprunter 6000000'
livres en iz.000 actions de 500 lives chacune,
dont on paie Tintérêtau denier vingt,, cette compagnie
rendra donc 300000 livres chaque année ;
savoir *5 livres pour chaque billet. Supposons
outre cela que cette compagnie se propose de rembourser
chaque année une partie des billets, il est
évident qu’elle devra donner chaque année plus
de 300000 livres. Supposons enfin quelle veuille
donner chaque année à-peu-près la même somme,
tant pour les intérêts que pour le remboursement
d’une partie des billets, en sorte que tout soit
remboursé au bout de dix ans ; on demande
combien il faudra rembourser de billets par ; an.
On trouve d’abord, par la première table cidessus
, que si Ton veut rembourser 6000000 livres
èn dix ans, en dix paiemens égaux fur le pié du
denier vingt, il faut 777000 livres par an: ainsi
comme les intérêts de 6000000 livres au bout d’un
an font 300000 livres, il s’enfuit qu’il reste 477000
livres qui servent à rembourser 054 billets. Le
débiteur ne doit donc plus que 11046 billets dont
les intérêts dûs à la firi de la seconde année sont
2.76150 livres, qui.étant ótéès des" 777000 livres
que le débiteur paie à la fin de chaque année,
reste 1500850 livres qui fournissent presque de quoi
rembourser 1002 billets, &c. Pour les rembourser
exactement, il faut 777150 livres, au lieu de 777000.
Par ce moyen on peut faire Temprunt par
classes. La prerriière sera dé 954 billets remboursables
à la firi de la première année, le débiteur
payant- 777000 livres ; 1 ooi à 1 afin de la seconde,"
le débiteur payant 777150 livres ; Í052 pour être
remboursés à la fin de la troisième année, le débiteur
payant 777100 livres, &c., ainsi' dé fuite.
Cette sorte d’emprunt pourroit être commode
& avantageuse en certaines occasions, tânt pour « 
le débiteur que pouf le créancier. Voyei Touvrage
cité , -pag. 32 & suivantes. •M. d’Alèmbert ajoute les réflexions suivantes,'
qui tendent à éclaircir la ,Théorie des 'annuités.
Soit a une somme prêtée, n le denier auquel
est prêtée cèpe somme, ml’annuité ou la somme
constante qu’on rend chaque année, k le nombre
des années au bout desquelles la dette est acquittée,
il est clair,i°. Que la première année étant échue & payée,'
la dette nést plus que. a(i| ») — m :z." Qu’à la fin de "la seconde année, la dette
est à(l4-n) z — m(i-\-n)  — m:3.° Qu à la fin de la troisième année, la dette est '
a( i+n) ï — m(i -f'n) 1—m( I+ n ) —m ; &
ainsi de suite.D’où il s’ensuit qu’à la fin de la 4 ? année, la ;
dette est’ à (1 -<- k)  »—m’( 1 -j-- jt )  »-■ — m.
(.ï ■+'Jc) "'í. "" m ;.or cette quantité doit être/
= 0, donc m:=asr^njfc divisé par (r-f n) -' .
•••'■• •'• 4- 1 =ja ( r -j- n ) k' divisé par la somtwA n kf a n n 79d’une progression géométrique, dont i est le premier
terme, k le nombre des ternies, & i -\- n
le second terme , ce qui donne a ( i -j- n ) k',. … ( i-ì-n) fc-i aníi +n) kdivise ,par - = -j-J—^ _Le dénominateur de cette fraction est kn-\-
0 »i*=i*2 -j- £ X(k- k— i • k—z .) &c.&.z 2.5« n • i kn "- . z.knl -lorsque k est tres-petit, k n — —- -f- — — bc.
Donc alors la fraction précédente ou la valeur dean( i +rc) km devient k (, i — n -+ rO -ùc) - ( en supposant k-o) ,ï 3ÍS. — oo ; ce qui donne une très-fausse valeur dem, puisqu’il est évident que, lorsque iso, on
a m = ô.La solution de cette difficulté, c’est que,
lorsque fc est une fraction , la formule des annuités
a(i 4rn) k — m( i-f-n) k~J • • • • —m, n’est
plus la même que lorsque k est un nombre, entier,
& devient même très-fautive.Si on fait le paiement par dèmi-années , onan(i+n’) -aurâm= j '',-&■ fi £==2, on auram = £5Í-I±^ = a ( i: -f n ) , qui est la sommequ’on doit payer au bout d’un an ; mais on remarquera
que deux fois’ la valeur de m, c’est-à-dire,■ , -k-2 <zn( i-f-n) --— 1—— » n’est pas = (en-faisant fc= i ) à la.Ìi+njî-isomme a(i -f- n).ANNULAIRE , adj. éclipse annulaire ( Astron. ).
On appelle ainsi une éclipse de soleil dans laquelle
la luné paraissant plus petite que le soleil,
n’en couvre que le milieu , en sorte que la lumière
du soleil déborde tout-autour de la lune ; telle a
été Téclipse du premier avril 1764, qu’on a observée
en Espagne, en France, en Angleterre,
comme on Ie voyoit sur la grande carte de cette
éclipse publiée par madame le Paute. Le diamètre
de la lune est de zç>' 25" dans son apogée,
&. de 33' 37" dans son périgée ; le diamètre'du
soleil est de 3.1' JI" dans son apogée, & de 32'
36" dans son périgée : d’où il est aue de conclure
qu’il,doit y avoir un grand nombre d’éclipsesoù
le diamètre de la lune ne suffira pas pour couvrir
celui du soleil. Dans la table des 59 éclipses de
soleil visibles à Paris, que M. du Vaucel a donnée,
& qui s’étend depuis 1760 jusqu’en 1900 ; il n’y
en a aucune de totale pour Paris ; mais il y en a
une annulaire , annoncée pour le 8 octobre T-847.
Mém. présentés a Vacadémie des Sciences , tome V,
page j7f. Les éclipses de 1737 & 1748 ont été
annulaires en Ecosse, & M. le Monnier s’y transporta
pour observer celle de 1748, & pour pouvoirmesurer Ie diamètre de la lune, lorsqu’il paroîtróit
en entier sur le soleil. . Indépendamment
des phénomènes optiques auxquels ces observations
donnent lieu , & qu’on peut voir dans VAvertis.
sèment de M. Deliste sor Téclipse de 1748 ; cette
éclipse a servi à prouver, ainsi que celle de 1764,
que le diamètre de la lune ríe paroít pas sensiblement
plus petit lorsqu’il est sur le soleil, que lorsque
la lune est pleine & lumineuse,.quoique M. de
la Hire le prétendît. Mais M. du Séjour, qui a
fait sor les observations de 1764 une mulutude
immense de calculs & de recherches, en a déduit
une inflexion de 3 à -4 secondes, qui équivaut-,
pour la durée d’une éclipse à une diminution de
6 ou 8 secondes dans le diamètre de la lune (Mém.
de Facad.i7G7. )  II trouve aussi que la plus grande
durée possible d’une éclipse annulaire est de '12'
24" (Mém. de F acad. z 777 ) , quoique,la plus
grande durée d’une éclipse totale ne. puisse pas
aller au-delà de 7' 58", parce ie diamètre apparent
de la lune est. plus "souvent: au dessous qu’au
dessus de la valeur du diamètre solaire. ( M. D s
XA LANDE).ANNULAIRES (voûtes ) , ( Méch. ). Ce sont
celles dont ja figure imite les anneaux en foUt ou
en partie ; telles font les voûtes fur noyau, & dont
se plan est circulaire ou elliptique. Voyei VOÛTE.On doit considérer ces voûtes’comme des voûtes
cylindriques dont Taxe seroit courbé circulairement
: les joints- de lits des claveaux étant prolongés,
doivent passer par Taxe, & les joints sont
des portions de surfaces coniques. Les joints
de tête doivent être perpendiculaires à Taxe ,• 5c
en liaison entr'eux, comme doivent Têtre cèux. de
toute bonne espèce de maçonnerie. V. LIAISON.'"■ . .-ano.", ;ANOMALIE ( Astron. ). C’est la dislance d’une
planète à son apside ou aa sommet du grand axe~
de son orbite. Ce mot nous vient du mot grec
A'vátittxcç, inoequalis, parce que la distance dune
planète à son apside est en effet ce qui.régie son
inégalité , & ce qui sert à la calculer dans les différens
points de son orbite. Pour le soleil & la
lune, Vanomalie est la distance par rapport à Tapogée ;
dans les cinq planètes principales, c’est la
distance à Taphélie : on distingue trois sortes d’ano~
malies.Vanomalie vraie est Tangle formé au foyer de
Télipse par le rayon recteur, qui va du soleil à la
planète, & par la ligne des apsides ôu Ie grand
axe de Tellipse. Soit île soleil (fig. d.Aflronom.83 ) 
M le lieu de la planète dans son orbite AMP,
A Taphélie, P le périhélie, Vanomalie vraie eli
Tangle ASM.Vanomalie excentrique est Tangle A CN formé
au centre C de Tellipse par le grand axe & par.
le rayon C N d’un cercle circonscrit, mené à 1 ex »
So
A n o "a n ôtrémité de Tordonnée R M N, gui passe par le
lieu vrai ils de la planète. ■Vanomalie moyenne est une distance à Taphélie
supposée uniforme & proportionrielle au téms ;
c’est celle qui augmente Uniformément & également
depuis Taphélie jusqu’au périhélie : ainsi Une planette
qui emploiroit six mois à aller de Taphélie
au périhélie, auroit à la íi'u du premier mois 30
degrés d’anomalie moyenne, 60 degrés à la. fin du
second mois, & ainsi des autres. ■ : :'Kepler ayant trouvé qUe les planètes décrivoient
4es ellipses- avec des aires: proportionnelles au
tems (Voyei AIRES) , sentis bien que pour déterminer
le vrai lieu d’une planète pour un tems
donné, il falloit trouver Vanomalie vraie par le
moyen de ï anomalie moyenne, c’est ce qu’on appelle'Problême
 de Kepler. Lorsqu’on connoít ia
durée de la révolution dé la planette, par exemple,
celle de mercure, qui est de 86 jours ; &• qu’on
-demande-le lièú de iriercure au bout dé deUx jours,
c’est-à-dire, au bout de.la 43e partie de fa révo- ■
lution , on fait dès-lors que l’aire du secteur compris
entre Taphélie & le rayon vecteur , est la 43e
partie de là sur-face de Tellipse : cette portion du
tems ou cette portion de Tellipse est proprement
T anomalie mòyenrie, queTon peut exprimer aussi
en degrés, en prenant la 43 ? partie de 360 degrés
ou du xercle entier ; car nous pouvons appellér
indifféremment anomalie moj’eUne une portion
du tems, une portion de Tellipse, une portion
de la circonférence du cercle. C est toujours une
fraction qui est donnée , quand on cherche Je lieu
d’une planète ; mais, c’est en degrés que nous-pre*
nons les anomalies pour suivre la forme usitée dans
les tables astronomiques, où toutes les anomalies
& toutes les équations s’expriment en degréSy minutes
& secondes. On peut imaginer une planète
qui décrive le cercle A NP dans le même tems,
&. le point .X"QÙ elle se trouvera marquera ï anomalie
moyenne AX. Ainsi Ton connoít pour un
rems quelconque Vanomalie AX, ou la surface
A M S d’un secteur elliptique , &il s’agitde trouver
ï anomalie vraie ou 1 angle de ce secteur. Kepler
sentit bien la difficulté de ce .problême, qui est
égale dans le cercle & dans Tellipse ; il se contenta
d’inviter les géomètres à eri chercher la'solution,
fans espérer qu’on la pût troueer d’une
manière directe, parce qu’elle suppose connu le
rapport entre les arcs & leurs finus, qui n’est donné
que par approximation. Ce fameux problêmea toujours
été appelle depuis Problème de Kepler, parce
qu’en effet il le proposa le premier, & en donna
même une solution approchée dans son bel ouvrage
de Stella martìs.On a des solutions du problème de Kepler données
par Wallis & Neuton, par le moyen’de la
cycloïde alongée ; Mais elles sont inutiles dans la
pratique. La Hire en a donné une dans les Mémoires
de P académie de s sciences en 1710. Keill '
dans les Trars.philosophiques Ae 1713.5 M,.Cassinidans les Mémoires de 1719 ; Herman dans le
premier volume des’Mémoires de Pétersbourgy Machin
dans les TransiiSicns de 1737 ; S.implondatis
ses Essays on fcveral curions and usuful s^bjeSs,
Londres 1740, page 41 ; iTy en a une solution
analytique dans le XXIe livre de mon AstronomieMais la solution inverse, qui consiste à trouver Tanomalie
moyenne par le moyen des’anomalie vraie,
étant beaucoup plus simple & pouvant suffire dans
tousses cas, nous nous contenterons de la démontrer.Dans une ellipse A MF k laquelle on a circonscrit
un cercle A N P , CX étant la ligne de
ï anomalie moyenne, Asie vrai lieu de la planète,
R M N Tordonnée qui passe par -le lieu de la planète
 ; le secteur circulaire AN S A est toujours
. égal au secteur circulaire A C X de l’anomalie
moyenne. En effet, soit T le teins entier de la révolution
entière de la planète, île tems qu’elle
a employé à aller de A en M, on aura par la
-règle des aires proportionnelles 'au tems, t est à
-T comme le secteur A M S est à la surface de
Tellipse ; de même' puisque A C X est l’anomalie
moyenne, 011 aura Í est à T, comme A C X ed
à la surface du cercle ; dpnc AMS est à ACXcomne
la surface de. Tellipse, ! està -Ia surface du cercle
Mais par la propriété de Tellipse ~AMS est" à
A N S’, comme la surface de Tellipse est à la surface
du cercle." Nous ■ avbus 'donc deux proportions
qui ont trois termes communs ; savoir A-MS^lì
surface de Tellipse & la surface du cercle' ; le terine
qui paroít- différent est donc nécessairement le
même ; donc^á CX & A NSïont égaux entr'eux.
'•- La racine carrée de la dislance périhélie, est
à la racine carrée de la dislance aphélie, comme
la tangente de la moitié de l’anomalie vraie, est à
la tangente de-la moitié de l’anomalie excentrique,
En effet, c’est une" propriété des triangles rectaih
gles comme RSM, que la tangente de la moitié
de Tangle RSM, en égal au côté opposé R M’,
divisé par la somme des deux autres côtés S R,5 M ; ainsi, dans les triangles rectangles MSB.6 NCR , on a cette proportion ; tang. \ MSR 'tw^NCR''Yê^yrit^^^met à la place du rapport R M à RN, celui de
CD k CA, qui lui est égal par la propriété de
Tellipse, & à la place dé S R -f- S M sa valeurÇ Â . ■ ' 1PR " CA> tirée auíîi dçs Propriétés de Tellipse,& enfin P R k la. place de C R Jr CN, ofpcíiangerala. proportiori en celle-ci ; tang. ì M’S’È.',taw i N C R ' ' C D ' CA • C^ • • rh * c 4.
tan^. 1 ìv <, ÌC . . pKrSA ,p^_.. CD,. SA ;& nommant a le demi-axe CA de Tellipse,' & i
Texcentriçité-Cí, on aura T. ~ MSR'[ tang.ìNCR : :. CD : SA : : y^ZTe > + f ;on divisera les deux derniers termes parl/a+c
& Ton aura tang. \]tfSR\ tang. | NCR '. \\/__a-iAno. â no
8c
Va— e : l/a + c- ; : yPS\ \/SA : donc Ia
tangente de la moitié de VanomaPie vraie ASM,
tst à la tangente de la moitié de Vanomalie excentrique
A CN, comme la racine carrée de la distance
périhélie P S est à celle de la distance
aphélie A S. Cette proportion suffit pour trouver
l’anomalie excentrique AN, au moyen de Vanomalie
vraie A S M ; la suivante fera trouver ï'anomalie,
moyenne par le moyen dé Téxcentrique.L’viissérence entre l’anomalie excentrique & l’anomaùe
moyenne est égale - au produit de Texcentricité
, par le sinus de l’anomalie excentrique.
En effet, puisque, le secteur circulaires N SA
est égal au secteur de l’anomalie moyenne A C X ;
si Ton ôte de tous deux la partie communes C N,
on aura le secteur _N"CX"égaI au triangle C N S.
La surface du secteur circulaire N C X én égale
au produit de C N par la moitié de Tare N X ;
la surface du triangle C N S est égal au produit
de CN par la moitié de la hauteur ST, qui est
une perpendiculaire abaissée du foyer S sur la base
NC prolongée au-delà du centre C. Ainsi, les deux
surfaces étant égales, & ayant un des pròduifans
CN qui est commun à toutes deux, les autres pròduifans
sont auffi égaux ; donc Tare N Xeûègal
à la liçne droite S T ; mais daris le triangle S TC,
rectangle en T, Ton a ST= CSûn. T CS,uar
les règles de la Trigonométrie rectiligne ;" donc
auffi NX^= CS sin. TC S = CSûn. ACN ;
donc.la différence N Xentre l’anomalie excentrique
AN & l’anomalie moyenne ^4 X est égale au
produit de Texceritricité C Syar le sinus de ï anomalie
excentrique A CN ; CQ_.F-D.Cesl èn minutes & secondes qu’on a coutume
d’exprimer toutes les anomalies des planètes ; ainsi,
pour trouver là différence en secondes enne ï anomalie
moyenne & l’anomalie excentrique, il faut
que Texcentricitésoit auffi exprimée en secondes.
Si cette excentricité est exprimée eU parties de même
espèce que la distance moyenne , on dira la. distance
moyenne est à Texcentricíté, comme le nombre
de secondes arucontiènt le rayon d’un cercle,
206264 5 S , on environ ' 57 ° . est au nombre
de secondes que Texcentricíté contient. '-LE RATON VECTEUR OU la distance d’une
planète au soleil est facile à calculer , lorsqu’on
connoít l’anomalie vraie & l’anomalie excentrique ;
il suffit de faire cette proportion :1e sinus de Tatiomalie
vraie est auslnus de l’anomalie excentrique,
comme la moitié du petit axe est au rayon vecteur.
Car ayant tiré la ligne IV Q (fig. 83)  parallèle au
rayon vecteur M S, on a parles triangles semblables
cette proportion S M ', Ç>N ', RM\RN\\
CD l CK ou CN ; donc S M’. CD H QNlCN:: sin. QCN ; ÍW.CQN:: ÛV. RCN\
fin.,RSM ; donc sin- AS M-\ fin. N CR \\
CD’.SM, ; Pour donner âuffi une idée de la manière de
Jésoudre directement par approximation le problème
Mathématiques. Tome ï, Lert Partie,de Kepler, je choisirai la méthode de M. Camni
(Elémens d Astronomie). Dans le cercle A N B
figure 84 , circonscrit à Vorhite'A M B d’une"
planète, on a vu que Tare A X étânt pris pour
anomalie moyenne, la différence N Xentre l’anomalie
moyenne & l’anomalie excentrique A CN
est égale à îa perpendiculaire ST: si du point X
on tire une ligne H Fparaílèle à N C T ou perpendiculaire
sor S T , la petite liçne S F fera la
différence entre Tare NXégal k_ST, tk. YT, qiû
est égal au sinus de cet arc XiV. Cette différence
entre Tare & le sinus n’excède pas une demi :•'seconde
, lorsque Tare NXne va pas au-delà d’un
degré & demi ; on peut alors la négliger entièrement
& considérer les lignes N C, XS, comme parallèles
entr'elles. Dans ce cas, Tangle CXS est égal
à Tangle N CX ; dans le triangle S CX,onconnoí
t deux côtés & Tangle compris ; savoir,- Texcentricíté
SC, le rayon du cercle, c’est-à-dire ' C’X-y
égal à la distance moyenne ou au demi-a-xte de
Tellipse, & Tangle compris S-C X, qui est le supplément
de l’anomalie moyenne donnée A CX ;
on trouvera donc Tànglé CXS égal à ÎV CX, qui
retranché de ï anomalie moyenne A C X, donnera ,
l’anomalie excentrique A C N, dont le supplémentest
NCS ; dans le triangle N C S , on connoít encore
les deux côtés í C, £ N, & Tangle compris’..
NCS on trouvera -donc,Tangle N S P. On cherchera
auffi S N pour.parvenir à trouver la" distance
 ; enfin Ton dira suivant la propriété de Tellipse
, P N en k P M, ou le grand axe est au.
petit axe comme la tangente de ce dernier angle
NS P esta la tangente des anomalie vraie MSP.
On pourroit auffi à la place des deux dernières
opérations, employer Ia règle que nous avons démontrée
ci-dessus pour ï anomalie excentrique. \Si Tangle C XS ou Tare N X, qui en diffère
très-peu, est assez grand pour que ion sirius étral
à T Yïoit sensiblement moindre que Tare ou que
N X ; c’est-à-dire, si cet angle passe, i." 50' on
prendra la différence de Tare au sinus, en décimales du
rayon CA , & M. Caffini en a fait une table ; ainsi,
on aura S Y : alors on cherchera aussi le côté de
S Xdú triangle CSX': dans le triangle Y S X
rectangle en-Y, on connoîtra SX &--S Yen parties
du rayon CA , qui est toujours pris pour Tunité,
on trouvera Tangle S XY, qui retranché de
S XC, donnera YXC égal à Tangle N CX, dont
ôn avoit besoin dans, le calcul précédent, pour le
retrancher de ïanonialie moyenne ; le reste du calcul
sera le même.: La distancé de la planète au soleil est aisée à
trouver .en .même. tems. que. l’anomalie. vraie ; car
dans les triangles P SN, P S M, en prenant S P
pour rayon, les côtés SN & S Tisseront comme
les’ sécantes dés. angles P S N, P S-M, ou ce qui
revient au même,- en raison inverse des cosinus
doric le cosinus de Vanomalie vraie est au cosinus
de Tangle P S N comme le côté S N trouvé cidevant
est au rayon, vecteur ;S M,hS* a n o ansANOMALIE de commutation, suivant Kepler, étoit
l’angle formé entre les.rayons menés à rtne planète"
&. à la terre, & panaris du centre d égalité
ou du centre du mouvement moyen de la planète.
De siellá martis , page 128. _- Les anciens appelioient anomalia orbis la distance
d’unepìanèteaùfommet de sonépicycle ; c’étoit dans
Copernic anomalia commutations , anomalia secondée
inoequalitatis ; mais anomalia excentrici étoit
le mouvement du centre de Tépicycle compté depuis
Tapogée de Texcentrique ; & comme la lune
avoit d’autres inégalités, il" y avoit d’autres anomalies
qui, suivant Kepler, s’appelloient soluta ,
menftrua temporanea, menstrua perpétua ; c’étoient les
argumens des trois grandes inégalités de la lune.ANOMALIE égalée, suivant quelques auteurs,
est Tangle formé au centre dé Tellipse par Ie grand
axe de Torbite & la ligne menée au vrai lieu de la.
planète. Ozanam.ANOMALIE complette de F orbe , suivant quelques
auteurs, est pour la lune ce que nous avons
appelle anomalie vraie.ANOMALIE del’obliquité du ipdiaque, anomalie des
équinoxes, dans Tancienne Astronomie étóiënt les
inégalités qu’on admettoit dans ces deux élémens.
On les appelloit auffi Zi&raírón prem/'erf , & libration
seconde , & trépidation. (D. L.) ANOMALISTIQUE, adj. ( Astron. ) ïe dit
de la révolution d’une planète, par rapporta son
apside, soit apogée,soit aphélie, ou du retour au
même point de son ellipse. Si les orbites des
planètes étoient fixes, & qu’elles répondissent toujours
aux mêmes étoiles, la révolution anomalistique
seroit égale à la révolution fydérale ; mais
toutes les planètes ont un mouvement progressif
dans leurs apsides ; ainsi, il faut plus de tems pour
atteindre Taphélie'qui s’est avancé dans Tintervalle
que pour revenir à la même étoile. Par exemple
la révolution tropique du soleil, par rapport aux
équinoxes est de 365Ì 5h 48'48" Tannée fydérale,
ou le retour aux étoiles est de 365 J 6 h 9 ' ïo"\ ;
enfin la révolution anomalistique est de 3 64) 6h
15' 22° , parce que Tapogée du soleil avance chaque
année de 65 " ì par rapport aux équinoxes,
& le soleil ne peut atteindre son apogée qu’après
avoir parcouru les 65 " -| de plus que la révolu-,
tion de Tannée qui le ramène aux équinoxes. Póur
trouver la durée d’une révolution anomalistique ,
cm peut faire cette proportion, le mouvement total
d’une planète,pendant un siècle, moins le mouvement
de son aphélie, est àla durée d’un siécle, ou
3,155,760,000" comme 3600 sont à la durée de la
révolution anomalistique. ( M. DE ZA LAXDE ).AnsANSE depannier, f. f. ( Géom. )  : c’est une courbe
AFDHB (pi. Géom.fig. 3z ) , composée de plusieurs
arcs de cercle qui sont tous concaves d’un
même côté, & qui pris ensemble, valent 1S0
dégrés ; elle ressemble à une demi-ellipse qui s’appuyefur son grand ou fur son petit axe, selon
qu’elle est surbaissée ou surmontée. Dans Ia pratique
de TArchitecture , on substitue souvent ïanse
de pannier à Tellipse pour former des ceintres de
berceaux, parce qu’il est toujours plus facile de
tracer des arcs de cercle que des arcs de Tellipse.
( Voyei ELLIPSE. ) Le nombre des arcs qui composent une anse
depannier est toujours impair, & celui FDH du
milieu est coupé en deux parties égales par la
riiontée CD.■ Ordinairement ïanse de pannier est formée avec
trois arcs de cercle ; cependant si elle devoit être
fort surbaissée, par exemple j fila montée CD’
devoit être moindre que le quart du diamètre AB ,
il faudroit la composer de cinq arcs de cercle, 011
de sept, ou de neuf, &c, en augmentant toujours
ainsi Ie nombre des arcs de cercle à mesure quelle
serait plus surbaissée. En effet, si dans ces sortes
de cas on employoit seulement trois arcs de cercle,
les arcs extrêmes A F, B H auroient des courbures
trop différentes de Tare du milieu » & Vanse seroit
d’une figure désagréable.  ;Nous allons traiter d’abord des. anses de pannier
k trois arcs, ou , comme ori dit, a trois centres ;
puis nous parierons des anses de pannier à cinq centres
, & ce que nous en dirons s’appliquera facilement
aux cas où il y auroit un plus grand nombre
décentres.Des anses de pannier à' trois -centres,
I. Soient (fig. 3z ) AB le diamètre d’une anse
de pannier, & C D perpendiculaire fur le milieu
de AB , fa montée. Nous supposons que la courbe
est surbaissée ; si elle étoit surmontée', on résoudrait
le problême en regardant CD comme le demidiamètre,
& AC comme la montée. Soient les arcs
 égaux AF & B H 1 es arcs extrêmes, F D H
I'arc moyen. Les centres K &. M des arcs extrêrnes
doivent être placés sor le diamètre AB ,
afin que la courbe tombe perpendiculairement fur
ce diamètre, comme Tellipse, & le centre E de Tare
moyen doit être placé fur "Ia montée D C prolongée
, afin que la courbe soit perpendiculaire
en D fur la montée, de même que Tellipse coupe
perpendiculairement son petit axe. De plus , Ie
centre E , le centre K, le point F de raccordement
des deux arcs AF, F D H, doivent être en
ligne droite, ainsi que Ie centre E , le.centre M,
le point H de raccordement des deux arcs B H,
F H D ., afin que les trois arcs qui forment lacourbe
se touchent simplement en se raccordant,
& ne se coupent point. Cela pose, nommons
AC, a ; CD, b ; AK, x ; ED’, y. On aura
CK = a—x ;EC=zy — b ; EK=y — x. Or,
par la nature de la courbe, on doit avoir ED=
, EF=EH, líF=KAz=MH=MB. Donc
(à cause du triangle rectangle ECK ) on aura(jr—xy=z(a — xy--f(y — by ,-doù ionure Zá. x -f- 2 by-i Xy = a a -f b b : équation entre les
quanntés données, & les deux rayons * & y yÂ n-s a n.s • 83
par laquelle on voit que connoissant Tun de ces '
rayons, on connoîtra aussi l’autre, & le nombre
de dégrés des trois arcs A F, B H, F D H.

I L La meilleure forme de ïanse de pannier est
telle où la courbure des arcs A F, D F if est la
moins inégale qu’il est possible. II faut donc faire
en sorte que le rapport géométrique de la différence
des deux rayons y & a: à Tun d’eux, c’està-dire
, X—ï. ou — —, soit un minimum. Or
x .' y
cette condition donne xdy-^-y dx = o. Mettant,
dans cette équation, à la place de y & de dy,

leurs valeurs que donne l’équation y = —— }

résultante de Tarticle précédent , on trouvera
— zadx (b x — xx)  — (b d x — zx dx) Y.
(a a-\-bb — zax) ==o ; d’où Ton tire d’abord
c -, aa+bb-l-(a — b) \/l.aa + bb) 
facilement *= ———— ■ za -1—r-',puis

(en mettant pour x cette valeur dans Texpreflion
, » aa + bb-u{ a~b) y/(aa+bb) ^ y) ,y = ■ .■ ti  ! •
On voit qu’à cause, du double signe dí, les
rayons x & y ont chacun deux valeurs ; ce qui
fait deux cas.

III. CAS. I. Ayant tiré par les points A &
•P {fig- 3* )  » la droite indéfinie AD T, portés
CD en CX, & faites D T=AX: ensuite fur
le milieu Z de Ia droite A T, élevez la perpendiculaire
indéfinie Z K F, qui déterminera, fur
le diamètre AB, le centre K de Tare extrême
qui doit passer par le point A, & fur la montée
ou son prolongement, le centre E de Tare moyen ;
en sorte que , fi, après avoir pris BM—AK,
vous menez les droites indéfinies KEF, MEH,
& que du point E pour centre, avec le rayon
ED, vôus décriviez Tare F D H, ,& que des
points K & M pour centres, avec les rayons
KF, M H, vous décriviez les arcs FVA,HNB :
la courbe entière AVFDHNB fera celle qui
satisfait aux deux premières valeurs dejc_ & y ;
c’est - à - dire , qu’on aura A K ou B M =

II est visible que, la courbe que nous venons
de tracer ne peut pas être ïanse de pannier demandée
, puisqu’elle ne ressemble pas à une demiellipse
, & que ses arcs dont elle est composée se
raccordent au-dessous du diamètre. Mais cette
courbe satisfait au problême où Ton demanderoit
de_tracer une courbe avec trois arcs de cercle,
qui passent par les points A , B ', D , qui se touchent,
& dont la courbure soit la moins inégale
qu’il est possible, fans imposer d’ailleurs la condition
que tous les arcs soient concaves d’un mêma
côté du diamètre.

IV. CAS. II. Menez , comme ci-dessus, la
droite AD (fig. 33 ) , & faites CX—CD ; mais,
au lieu de porter AXÍur le prolongement de AD , -
portez AXÍur la droite DA même, de D en T.
Sur le milieu Z de AT, élevez la perpendiculaire
indéfinie ZKE, qui déterminera sor le diamètre
AB le centre K de Tare extrême A F,,
& fur le prolongement de la montée le centre E
de Tare moyen F D H. Prenez BM=AK ;ik
ayant tiré par les points E & M la droite indéfinie
E M H, du point E pour ceritre, avec le rayon
ED, décrivez Tare F D H ; du point K: pour
centre, avec le rayon K F, décrivez Tare FA ;
& du point As pour Centre, avec le rayon M H.r
décrivez Tare HB : la courbe entière AFDEB
sera l’anse de pannier demandée.

La conltrucnon géométrique de 1 anse de.pannier
que nous venons de donner , est fort simple &
très-facilé à exécuter dans la pratique. Mais si on
vouloit déterminer par le calcul les rayons AK,
ED, & les angles AKF, FEE, la chose seroit
fort aisée. En ^Fet, dans le triangle rectangle ACD ,
AC & CD étant donnés, Thypothenufe AD eA
auffi donnée ; donc A Test connue ; & comme AZ
est la moitié de ATyh similitude des deux triangles
rectangles A£D, AZK fera connoître AK.
Retranchant A K de AC, on aura la droite CK.
par le moyen de laquelle & des deux triangles
rectangles, semblables ACD , K CE , on con-,
noîtra CE : ajoutant CD à CE , on aura E D:
ainsi les rayons AK, ED feront connus. D©
plus, on pourra détenriiner les angles AKF -,
FEU par les règles de la Trigonométrie ( voyeice
mot) , puisque dans le triangle KE Mon connoít
les trois côtés.

L ij
ga ans a -n tDes aises de pannier à cinq centres.'I. Soient (fig-34) AB le diamètre, & CD
perpendiculaire sur Ie milieu de A B , la montée ;
supposons que l’anse de pannier soit construite &
composée de cinq arcs des cercles A F, F G ,
CD H, HI ,T B. II faut, i.° que les centres5 & T des arcs extrêmes é ?aux A F, B I/soient
placés sor le diamètre AB, afin que ces arcs
tombent perpendiculairement fur ce diamètre ;
z.° que le centre O de Tare moyen G D H soit
placé fur le prolongement de la montée 3 afin que
cet arc coupe perpendiculairement Ia montée ;
3.° que la montée CD divise Tare moyen GDÉ
en deux arcs égaux D G , DE, ce qui rend
égaux les arcs GF, HI, puisque les arcs AF,
BI ont éfésopposés égaux ; 4.°que lescentres S, K
des deux arcs consécutifs A F, F G., & leur
point F de raccordement, soient placés fur une
même ligne droite, afin que ces arcs, en se raccordant,
ne fassent que se toucher fans se couper ;
5. 0 par la même raison, les centres T, L & le
point I de raccordement des arcs B I, IH doivent
être placés fur une même ligne droite ;
6".° & 7. 0 de même, les trois points O, K, G doivent
■ être placés fur une même ligne droite, & les trois
points O , L, E sor une même ligne droite.II. Cela pose, on voi.t facilement que le diamètre
AB & la montée CD étant donnés, on
peut satisfaire aux conditions précédentes d’une
infinité de manières. Le problême reste même indéterminé
, en se donnant ( outre le diamètre &
:là montée ) les centres S & T des arcs extrêmes6 les angles A S F, B TI ; car les centres K&.L
peuvent occuper plusieurs places soi" les droites.données S M, TM, ce qui fait varier en mêmetems
la position du point O. Mais fi, par exemÍle,connoistànt toujours AB , CD, AS, &
angle ASF, on connoissoit déplus la position
du point K , c’est-à-dire , la perpendiculaire K N
fur AB, 011 la partie C N, ou quelqu’àutre ligne
relative à celles-là ( on doit entendre la même
-chose pòur l’autre moïtiè de l’anse de pannier ) .alors
 le problême seroit déterminé, & on trouverait
ainsi le rayon moyen O D.III. Soient AC — a ;CD=zb ; A S = c ;
3'angle A'SF=*-, pour se rayon 1 ; K F ou
KG = p ; Tinconnue O G ou OD-=q. On
aura d’abord K N = K S lin ■ e = (p — c ) fin.i ;
SN—(p — c) Cof-* ;KZ ou C N= a —
*—( P — c) Cos.(i ; OZ = OC—KN =
q — b — (p-7c)  sin-8- OK=OG—KG~
ç —p. Ensuite lc triangle rectangle OZK donne
(OKY=(KZf + (Z Os , c’esl-à-dire, en termes
■analytiques, ( q -p ) z = ( a - c - (p - c) Cos. 6 y .
-f (q-b-(p-c)  sin-6) 1 ; d’où Ton tire (A) q =
îcc-j--pc-ca-bb-zcc+z ( a-c ) (p-c)  Cos.È—ib(p-c ) fin,6' -{ ?—{ ? — <:)  im.6) —2i "IV. Dans la pratique, on suppose ordinairement
que les quantités a, b, c étant données,Tangle A'SFÏok de 60 degrés, & que les dent
-angses F KG , GOD soient chacun de 15. dégrés.Alors onaCo/.î = l ; sin- e = ^~. L’équation
(yí) a toujours lieu, &, dans le cas présent,
il faudra y mettre pour Cos% & fin J leurs valeurs ;
mais les deux rayons p & q sont inconnus. Pour
former entr'eux une seconde équation, on observera
que chacun des angles O KM, KO M étant
de 15 degrés, le triangle M K O est isoscèlè.
De plus, on a SN=^=p—-ìMS = iCSi
KM=zKZ^z(a-.c) —(p-^c) =Za-c-p ;
Maintenant le triangle obtufangie M K O donne
ÔsK 1 — ÔM.+ KM’ -j- IMÒ'XMZ, c’està-dire
, ici Ôl ? = KM’ X ( 2- -f- V 3 ) , ou
bien O K = K M ■ y ( z + |/ 3 ). Ainsi , en
termes analytiques , on aura Téquation (B) ,q'—"p= (za-c-p)  X y i -\-V 3- Encombi.
nant cette équation avec l’équation (A) , on
déterminera les deux inconnues p & q. .V. Si, connoissant les quantités a, b, c ; t-,
on vouloit déterminer les rayons p & q par la
condition que la courbure des arcs FG, GDE
fût la moins inégale qu’il est possible, il faudroitfaire q~S- ou ^-^ — minimum ; ce qui donnePì '■ . . ■roit p d q — qdp — o. Ensuite on mettrait danscette équation , pour q & d q , leurs valeurs résultantes
de l’équation (A)  ; ce qui donnerait une
équation d’où Ton tirerait la valeur de p. Connoissant
p, l’on connoîtroit q par Téqúátion (A).Je me contente d’indiquer ces calculs, qui n’ont
de difficulté qu’un peu dé longueur. ( L. B. ).ANSES, f. pi. f. en Astronomie ; ce sont les
parties sensiblement éminentes de Tanneau de samrne,
qu’on apperçoit lorsque cet anneau coriimence
à s’ouvrir , c’est-à-dirè, lorsque sa partie
antérieure & sa partie postérieure commencent â
se distinguer ; à la vue elles ont ' la forme de
deux anses attachées à cette planète. Voy q ANNEAU.
(O) ANTARCTIQUE, adj. m. -_( Astr'onom. ). Fole
antarctique ,.ou pôle méridional, est Textrémité méridionale
de Taxe de la terre, & Tun des points
autour desquels la terre tourne. ï^oyrç FOLE, &ri Ce
 mot est composé de la préposition *nì, contra",
vis-à-vis , & de Sfims, Ursa , ourse. Voyei l’article
OURSE.Les étoiles_ voisines du pôle aniar.Bìque ne paroisient
jamais sor notre horizon. Ainsi à Paris’,
dont la latitude est de 48 degrés 50 minutes., on
ne voit jamais, aucune des étoiles gui.sont éloi'gnéesdu
 pôle antarBiquede moins, de-48 degrés
50 minutes ; car ces étoiles demeurent toujoursA nt a nt §î. ïu-dessous de l’horizon de Faris. Voyei ETOILE ,
HORIZON, &CCercle antarBique, ou cercle polaire antarctique
 ; c’est un- des petits cercles de la sphère ; il
.est parallèle à Téquateur , & éloigné du pôle
méridional de 23 degrés 28 minutes. Voy. CERCLE.L épithète d’antarBique lui vient de son opposition
à un autre cercle, qni est aussi parallèle à
Téquateur & à la distance de 23 degrés 28 minutes
du pôle septentrional. On Tappelle cercle
arBiqúe polaire. Voyei ARCTIQUE. La partie de
la surface du globe terrestre, comprise entre le
pôle antarBique & le cercle polaire antarBique , est
appellée lone glacée méridionale. Voyei ZONE. (O) ANTARÈS ( Astron. )  ; nom d’une étoile de la
première grandeur, située vers le coeur du scorpion ;
en grec t>.'rtírr,ç. On la vois dans le mér
ridien au commencement de juillet à oh \ du soir,
& vers 150 de hauteur à Paris ; fa longitude, en
1750, étoit de 8s 6° 16' 28", & fa latitude 4°
32 12" australe. (D.L.) 
.. ANTECANIS. V. PROCYON.ANTECEDENT, f. m. ( Analyse )  ; c’est, le
110m qu’on-donne au premier des deux termes
qui composent un rapport. Voyei RAÏFORT.
Voyei aussi CONSÉQUENT. Ainsi,-en général,
dans le rapport de a k b, a est Vantécédent.ANTECEDENTIA, terme. d’Astronomie. On
dit en Astronomie qu’une planète se meut in antecedentia
ou precedentia lorsqu’elle' paroít aller
vers Toccident contre Tordre des signes , comme
du taureau dans le bélier. Voyei PLANÈTE,
SIGNE , 8c. Au contraire , .lorsqu’elle se meut
du côté de Torient, en suivant Tordre des signes,
comme du bélier dans le taureau , on dit qu’elle
se meut in consequentia. ( O ) ANTICHTONES ( Astron. ) , peuples qui habitent
dâns les hémisphères opposés de la terre,
mais à des latitudes égales ; l’un a Tété tandis que
l’autre a Thiver. Ce mot vient de « *« contra, &
isifo terra. C’est pourquoi Macrobe appelle auffi
antichtones les habitàns qu’il suppose dans la lune
comme étant une terre opposée -à la nôtre. Ce
nom a été quelquefois donné aux antipodes,quelquefois"
aux antisciens ; mais il est peu usité, &
la signification n’en est pas assez déterminée. (D. L. ) 
■ ANTILOGAR1THME, f. m. (Analyse ) ,ïe
dit quelquefois du complément du logarithme d’un
finus dune tangente j" d’une sécante: c’est-à-dire,
de la différence de ce logarithme à celni duMinus
total. Voyei LOGARITHME 6- COMPLÉMENT’ ;
ANTINOUS, constellation boréale qu’on réunit
ordinairement avec Taigle -, Pçpìemée n’en fait
point une constellation, il dit seulement, les étoiles
informes autour de P aigle, darislesquelles est Antinous
-Proclus ', auteur du cinquième siècle n’en parle pas ■
non plus. Voyei M. Bailly , tom. z , p. 199. Cette,
constellation est appellée dans les auteurs puer
Adrìanoetisòu Bithynicus, novus JEgypti D eus ,
puer Tm.icus , Phrygius , puer Aquiloe} Jovis cynoedusoU Catamitus [Favori) Pincerna ou Pocillator,
Ganymedes. C’étoit, selon Topinion commune,
un jeune-homme d’une très-grande beauté,
né à Claudiopolis en Eithynie, qui se noya dans
le Nil Tan ix 1 ( Spart. Dion. liv. Ixix j ; d’autres
disent qu’il sacrifia sa vie pour sauver celle d’Adrien
: cet empereur pleura sa perte amèrement,
& honora sa mémoire au point de lui faire élever
des autels comme à une nouvelle divinité. Goltzius, dans
 son Trésor des antiquités, rapporte une inscription
grecque troíivée à Rome daris le champ
de Mars, où étoit le temple d’Ifis : Antinoo cumderTt
cum ■ diis JEgyptiis tronum- occupanti. Ce fut à
Thonneur d’Antinous que Tempereur Adrien fit
frapper des monnoies, & bâtir en Egypte une ville
sous Ie nom d’Antinoïa, qui fut ensuite appellée
Adrìanopolis : il étoit également adoré en Arcadie.
Gn peut voir au sujet du culte d’Antinous Pausanias,
Dion ,Spartianus, Athanase, Théophile,
Eusebe, Athenagore, Tertulien, & le Dictionnaire
de Bayle. M. Bailly, hist. de F Astr on. II. 19, reproche
vivement à Ptolemée d’avoir nommé Antinous
par une lâche flatterie. On a prétendu cependant
que ï Antinous céleste étoit un des amans
de Pénélope, dont Properçe fait mention.
Penelopem quoque negleâo clamore mariû
Nubere lascivo cogeret Antinoo. L. iv. eleg. 5.Enfin d’autres ont cru que ï Antinous céleste étoit
se même que Gariymede, fils de Tros, roi des
troyens, qui fut aimé par Jupiter ; cé qui Ta fait
surnommer puer Troicus ; mais il y a plus d’apparence
que c’est au verscau que cette dernière fable
a rapport. Au réste Ptolemée nomme Antinous ,
mais il n’en fait pas une constellation, & ce sont
les étoiles », G, , 5 a} x de la constellation de Taigle ,
qui sont représentées dans nos cartes célestes comme
placées fur la figure d’Antinous. (D.L.) ANTIPARALLÈLES ( Lignes ). ( Géom. ).
Soient deux lignes droites tirées comme on voudra
dans le jnéme plan, & que nous appellerons A
& B ; soient deux autres lignes qui coupent les
lignes. A & B , & que nous appellerons C & D :
si Tangle de la ligne C avec la ligne A ou la
ligne B est égal à Tangle de la ligne D avec la
ligne B ou la ligne A, les lignes C & D sont
appeliées antiparallèles ; elles seraient parallèles fi:
l’angle de C avec A ou B étoit égal à l’angle
de D avec A ou B.La section d’un cône oblique, faite par un plan
antiparaUelc à la base, est un "cercle. Voy". CÔNE,
(O).ANTIPODES ( Astr. géogr. ) , lieux de la terre,
qui sont diamétralement opposés. Ce mot vient du
grec ; il est composé "*>•-contra , & de « w, W-ís^
pied. Ceux qui sont fur ; des parallèles à -Téqua-..
reUr, également éloignés de ce. cercle, les uns du
côté du midi, les autres du côté du nord, qui
ont le même méridien, & qui sont, fou s ce méridien
à la distance les uns des autres de 180 degrés,oô a n t a n tou de la moitié de ce méridien, sont antipodes,
c’est-à-dire , ont les pieds diamétralement opposés.
Les antipodes ont à-peu-près le. même degré de
chaud & de froid ; ils ont les jours & les nuits
également longs, mais dans des tems opposés ; il
est midi pour Tes uns quand il est minuit pour les
autres ; & lorsque les uns ont les jours les plus
longs, les autres ont les jours les plus courts,Platon passe pour avoir imaginé le premier Ia
possibilité des jintïpodes, & pour être Tinventeur
de ce nom ; niais les premiers philosophes qui ont
considéré que la terre étoit ronde, ont dû sentir
la nécessité des antipodes : .au conuaire, ceux qui
ont eu la présomption de raisonner sur ce qu’ils
n’entendoient pas, ont nié Texislence des antipodes.
Par exemple , Lactance disserte fort au
long pour prouver qu’il ne peut pas y avoir des
antipodes , parce ^qu’ils auroient la tête en bas,
Jnstitutionum divinarum , l. 3 , cap. 24. 11 traite de
folie & d’impiété Tidée de la rondeur de la.terre,
& dit que le contraire est assez prouvé par les
physiciens & par les écrivains sacrés. On a peine
à concevoir une-pareille ignorance dans le précepteur
du fils de Constantin ; &, une" évêque,
nommé Virgilius , fut déposé pour avoir soutenu
les antipodes.On trouve_ encore de tems en tems même dans
Ia bonne compagnie, des personnes qui ne peuvent
se familiariser avec 1 idée de cés habitàns,
dont les pieds sont tournés vers les nôtres ; il
semble au premier abord que les uns ou les autres
doiventavoir la tête en bas , c’est-à-dire, être placés
dans une situation renversée & contre Tétat naturel.
Mais, pour rectifier ses idées là-dessus, on
n’a qu’à examiner pourquoi nous sommes debout
fur la surface du globe, nos pieds tournés vers
la terre & la tête élevée vers le ciel ; pourquoi
nous retombons fans cesse à cette première situation,
dès qu’un effort ou- un mouvement étranger
tiqus en a détournés. Cette force avec laquelle
tous les corps descendent vers la terre, soit qu’on
Tappelle pesanteur , gravité ou attraction, quoique
sa cause nous soit inconnue , se manifeste dans tous
les points de notre globe ; par-tom les corps
graves tendent vers le centre de la terre, par un
effort constant & inaltérable ; par-tout on dit que
ce qui tombe vers la terre descend, & qu’on monte
en s’en éloignant. Ainsi le corps A ( planch. d’Astr.
fig- 35 ) > attiré par le centre C du globe terrestre
suivant la ligne ABC, ou le corps E, attiré
dans un sens contraire, suivant la ligne E D C,
tombent & descendent tous deux vers la terre,
parce que leur tendance ou leur direction naturelle
est de s’approcher du centre C, Un habitant placé
en B verra_tomber la pluie vers lui de A en B,
& celui qui est aux antipodes en D , verra venir
la pluie fur la terre de E en D ; ce sont à la
vérité des directions différentes, mais elles sont
également naturelles, parce que le centre C de la
terre est le terme commun, le point de réunion& de tendance de la pluie & de tous les autrç
corps graves. .J’ai oui des commençans demander pourquoi fi
le corps A descend de A en B l’autre ne descend
pas pareillement de D en E ; ils ne s’étoient pas
encore accoutumés à observer que le corps A ne
descend vers B que parce qu’il est forcé de se
rapprocher de la terre C, au lieu que Ie corps E
■ n’a plus rien du côté de F qui puisse le déterminer
à se mouvoir, aucune force, aucune loi,
aucun objet, aucune cause "de mouvement ; il n’a
de rapport qu’avec la terre : c’est-là qu’est sa propension
naturelle, la Cause & le terme de son
mouvement ; & en allant de E vers D , il obéit
à la même force, à la même cause ; il se meut
de la même manière, par la même raison , & il
suit la-même loi que le corps A en "descendant
vers B : ainsi, Ton peut dire que deux corps tombent
Tun & l’autre, quoiqu’ils aillent en deux sens
opposés ; enfin c’est tomber que de se rapprocher
de la terre.Les voyageurs qui ont fait le tour du monde,"
& ils sont en grand nombre , ont été souvent à
nos antipodes. Ceux de Paris sont dans la mer du
sud, près de la nouvelle Zelande, dont le capitaine
Cook nous a donné la description. Les antipodes
de TEspagne sont sur Tîlemême où M. Marion
sot tué en 1772 ; & dans le planisphère austral
fait par M. le duc de Croy & M. Robert de Vaugondy
( à Paris chei Fortin , z 773 ) , on trouve
marqués les antipodes des principaux lieux de
TEurope. ( DE ZA LANDE ).ANTITHÈSE , f. f. ( Algèbre ). Quelques
auteurs appellent antithèse Topération par laquelle
on transpose d’un membre à l’autre d’une équation
uU terme de cette équation ; ce qui se fait
en effaçant ce terme dans le membre où il se
trouve, & le plaçant dans l’autre membre avec
un ligne contraire à celui qu’il avoit. Ainsi, de
l’équation x -j- b = a, on tiré par antithèsex~a'— b.
A o uAOUT, f. m. ( Astron. )  sixième mois de Tannée
de Romulus, le huitième de celle dé Numa &
de notre année moderne. II étoit appelle sextilis,
à cause du rang qu’il occupoit dans Tannée de
Romulus ; & ce nom lui avoit été conservé daní
Tannée de Numa. Voyei année. Auguste lui donna
son nom , Augustus , qu’il conserve encore, & d’où
les François ont fait Août par corruption. Ce mois,
& celui dé juillet, dont le nom vient de,Jules
César, sont les deux soûls qui aient conservé les
noms que les Empeteurs leur ónt donnés : le mois
d’avril s’étoit appelle, pendant quelque tems Nf 0"
neus, le mois de mai, Claudius, &c. 'Le soleil pendant ce mois parcourt ou paroít
parcourir la plus grande partie du signe du zodiaque,
appelle le lion ; &vers le 23 de ce mois'a p h a p h vil entre au signe de la vierge : mais,.à proprement
parler, c’est Ia terre qui parcourt réellement le
signe du verseau, opposé à celui du Lion. Les
mois d’août & de juillet sont ordinairement les
'plus chauds de Tannée, quoique le soleil commencé
à s’éloigner de notre zénit dès le il juin, parce
que la terre, échauffée plus long tems, conserve
plus de chaleur. ■ -• Les Anglois appellent le premier jour d’août,
qui est la fête de S. Pierre ès liens, Lammas-day,
comme qui diroit fête à P agneau ; cela paraît venir
d’une coutume qui s’observoit autrefois dans la
province d’Yorck : tous ceux qui tenoient quelque
terre de Téglife cathédrale, étoient obligés ce jour-là
d’amener dans Téglife à la grand-messe un agneau
vivant pour offrande. ( O ).
. APHÉLIE," f. m. C’est , enAstronomie, le point
de Torbite de la terre ou d’une planète , où la
dislance de cette planète au soleil est la plus grande
qu’il est possible. Voyei ORBITE.Aphélie est composé de âwò, longé , & de Sx/ter,
fol ; ainsi, Iorsquune planète est en A , Planch.
d’Astron. fig 8s- comme la distance au soleil S est
alors la plus grande qu’il est possible, on dit qu’elle
esta son aphélie. Voyei PLANÈTE, SOLEIL, 8C.Dans le système dé Ptolemée, ou dans la supposition
que le soleil se meut autour de la terre,
Vaphélie devient Vapogée: Voyei APOGÉE. Vaphélie
est le point diamétralement opposé au périhélie.
Voyei PÉRIHÉLIE. Les aphélies des planètes ne
sont point en repos ; Car Taction mutuelle qu’elles
exercent les unes fur les autres, fait que ces points
de leurs orbes sont dans un mouvement continuel,
lequel est plus ou moiris sensible. Ce mouvement
se fait in consequentia , ou selon Tordre dés signes ;
& èn supposant qu’il soit produit par Taction d’une
planète fort éloignée, comme Jupiter ou saturne,
sorplufieurs planètes inférieures, il est selon Neuton
en raison sesquipHquée des distances de ces planètes
au soleil, c’est-à-dire comme les racines carrées
des cubes de ces distances. Princip. l.IIl, px. z^.
Suivant cette régie, ï aphélie de mars étant supposé
se mouvoir de 35' relativement aux étoiles fixes,
dans Tefpace de ioó ans ; les aphélies de Ia terre,
de Vénus & de mercure, feroient dansv le même
sens & dans le même intervalle de tems, 18 minutes
36 secondes, 11 minutes 27fecondes &4 minutes
20 secondes. Mais, pour calculer ces mouvemens
avec une certaine précision, il faudroit calculer
Taction de chaque planète fur toutes les autres,
car il est prouvé que tousses aphélies ont un mouvement
causé par Tattraction des autres planètes,
ainsi que Tapogée de la lune a un mouvement Causé
par TattracKon du soleil : on peut voir lé calcul
de ce mouvement de ïaphélie , produit par les
attractions étrangères, dans le XXIP livre de mon
Astronomie, & dans les pièces de M. Euler, fur
les inégalités de saturne, de Jupiter & de la terre,
dans la pièce de Clairaut fur les inégalités de la
luné, & dans les recherches de M. d’Alembert.Ce qu’il y a de plus nécessaire á expliquer ici
au sujet de ï aphélie des planètes, est la manière
d’en déterminer la position & le mouvement, par
des observations astronorniques. La méthode la
plus simple est celle que .Kepler tirait de la nature
du mouvement elliptique, ( Destella Mariis,p. 208.) 
Le point de ïaphélie A ( Astr. fig. 86 )  est celui où
 laplanète a la plus petite vitesse, & le périphélie
P est le point delaplus grande vitesse ; le grand
axe A P de Tellipse sépare deux portions de Torbite
qui sont égales , semblables’, & parcourues en
tems égaux,. & âvec les mêmes dégrés de vitesse ;
mais si Ton tire, par le foyer de Tellipse, une
autre ligne comme D S E qui ne passe point en A
&.en P, elle partagera Tellipse en deux parties.
D A E, D B F E , qui ne seront ni égales, ni
parcoùmes en tems égaux. La partie D AE, où.
se trouveï aphélie, exigera plus de tems que l’autre,
ou plus de la moitié de la révolution ; ainsi, » Ton
peut choisir deux observations d’une planète, où
les longitudes observées réduites au soleil aient été
diamétralement Opposées entr'elles ; & si les -sems
de ces observations sont éloignés auffi d’uneMemirévolution
de la planète, orífaurâ, par-là même,
qu’elles ont été faites dans les apsides ; plus Tint.ervalle
approchera de la demi-révolution juste,
plus les positions observées approcheront d’être
celles des absides, ou de l’aphélie & du périhélie.
Cette méthode réussit très-bien póur trouver Tapogée
du soleil. (Mém. de l’Acad. z7 57,pag. z41.) 
Pour les planètes dont les oppositions sont rares,
il est difficile d’avoir deux longitudes vues du soleil
diamétralement opposées ; on est obligé de supposer
connues Texcentricité & la plus grande équation
, & Ton trouve la situation de ïaphélie par une
autre considération. L’on prend deux observations
faites aux environs du point A, & du poifat F qui
est vers les moyennes distances, on a le mouvement
vrai , ou Tangle ASí-, mais par la durée .
connue de la révolution, on fait toujours quel éíì.
lê mouvement moyen pour Un intervalle de tems
donné ; la différence du mouvèrnent vrai au mou.
veinent moyen doit être d’accord âvec l’équation
de Torbite calculée, en supposant qu’on connoisse
bien Ie lieu A de T Aphélie ; mais si Ton se trompe
fur le lieu de T-Aphélie , il y aura une erreur dans
l’équation calculée vers le point A, ou l’équation
change rapidement ; il n’y en aura, presque point
 ; vers la moyenne dislance F, où l’équation né varie
pas sensiblémeut, étant à' son maximum" ; ainsi, lé
mouvement total calculé de A en F, ne pourra
être conformé au mouvement observé, que quand
on aura employé dans le calcul un lieu deïaphélie
A exactement connu ; alors on changera d’hypo'
thèse jusqu’à ce que Ton ait accordé le calcul avec
Tobservation, & Ton reconnohra ainsi la vraie
situation de Vaphélie.La troisième méthode pour déterminer Taphélieest celle que j’ai employée pour mercure, & qui ; m’3 très- bien réussi ; elle consiste à obier ver.lâ plus88 . a p h a p ògrande digrestion de la planète vers ses mo) -ennes
distances. Supposons que la terre T yoit la planète
F par un rayon visuel TF qui touche Torbise
en F & qui marque la plus grande digression
•STF,-pour peu que vous changiez la situation
A P de la ligne des apsides, le rayon S F changera
de simation & sortira de Tangle S TF du
côté du point G, en sorte que Tangle d’élongation
augmentera & deviendra STG , le calcul ne
^'"accordera plus avec Tobservation que je suppose
faite sur la ligne TF ; ainsi, Télongation observée
nous apprend quelle simation il faut donner au
point A de ïaphélie pour que le calcul s’accorde
avec Tobservation ; donc en faisant différentes hypothèses
, on trouvera quel est le vrai lieu de
V aphélie. ( Mém. de F Acad. Z7GG, pag. 498.) Enfin il y a une quatrième méthode plus générale
pour déterminer ïaphélie d’une planète ; elle
consiste à employer trois observations 1 apportées
au soleil, pour déterminer à-la-fois les trois principaux
élémens d’une orbite, c’est-à-dire, ïaphélie,
Texcentricíté & Tépoque du moyen mouvement ;
pourvu que ces observations soient réparties vers
les apsides & les moyennes distances ; j’en ai donné
le calcul appliqué à un exemple dans les Mémoires
de P Académie pour 17 g 5 ; les principessont d’ailleurs
les mêmes que ceux dont je viens de faire usage :
il s’agit de convertir les anomalies vraies eri ano- '
malies moyennes, dans différentes Ivypothèses d’à-.
phélies&_ d’excentricités, jusqu’à ce qu’on ait trouvé
deux différences d’anomalies moyennes, exactement
d’accord avec les intervalles des observations.On trouvera au mot planète le résultat des
calculs que j’ai faits fur toutes les planètes,- en
construisant mes tables, pour avoir le lieu de
ïaphélie en 1750-, avec Taugmentation pour cent
ans ; ce changement ne seroit que de 1 * 23 ' 45 *
comme celui de la précession des équinoxes, fi les
aphélies étoient aussi fixes que les étoiles, & qu’ils
n’eussent d’autre changement en longitude que
celui qui vient de la rétrogradation du point
équinoxial, d’pù Ton compte ces longitudes ; ainsi,
Texcès de ces monvemens fur celui de la précesfion,
est le déplacement réel des aphélies , "en un
siècle , où le mouvement absolu, que. j ?ai mis
dans la dernière colonne, Au reste ces quantités
sont peu sensibles, & par conséquent n’ont pu
être déterminées avec une bien grande exactitude,
(M. DE ZA LANDE) ,APHELLAN , -nom de la belle étoile des gémeaux
, marquée « .APIS, taureau sacré des Egyptiens’, emblème
du taureau céleste ou équinoxial, qui étoit consacré daiislesrdigions
 de tous les peuples anciens comme
1 emblème du renouvellement de \a nature, au
pnmrems, ■ "APIS , constellation ; Voyei ABEILLE.. APOCATASTASIS, (
r°/q GRANDE ANNÉE. . " '
Astron.)  signifierévolut’Pn3APOGEE, (Astron.)  vient de deux mots grecs
Z™, longe, ■) ", terra-, & signifie le point dans
lequel une planète est la plus éloignée de la terre.
Le soleil & la lune ont fur- tout un apogée qui
est le sommet du grand axe des orbites, qu’ils décrivent
ou paraissent décrire autour de la terre,
car, quoique la terrerouine réellement autour du
soleil, on dit souvent, pour se conformer à Tancien
usage, que le soleil est apogée lorsque ia terre est
aphélie, & les apparences sont absolument les
mêmes quant au mouvement annuel ; Ia manière
de déterminer le lieu de Vapogée d’une planète,
est exactement la même que pour déterminer le
• lieu de Taphélie pour le soleil & les planètes supérieures.
Voici APHÉLIE. Le lieu de Vapogée du
soleil, au commencement de' 1750, étoit à 5s 8 °
38' 4" suivant les tables de la Caille, &'son mouvement,
par rapport aux équinoxes, est de I ° 49'
10 * par siècle. La cause de ce mouvement est 1 attraction
des planètes, sor-tout de venus & dé
Jupiter, comme ou le peut voir dans la pièce de
M. Euler fur les inégalités de la terre, qui a remporte
le prix de TAcadémie des Sciences, en 1756 ;
elle est dans le huitième volume des pièces couronnées,
imprimé en 1771. On peut voir aussi les
recherches de M. d’Alembert fur différens points
importans du-fyslêrne du monde ; le Mémoire de
M. Çlairaut sor Torbite apparente du soleil qui
est dans les Mémoires de TAcadémie, pour 1754,
& la seconde édition de mon Astronomie.L’apogée de la lune, en 1750, étòit à '5 *-. 21 '•
2' 32" ; & son mouvement dans Tefpace d’une
année commune est de Is 10 ° 39 ' 50 " ; suivant
la. table de Mayer, la révolution dé l’apogée, par
rapport aux étoiles .fixes, est de 8 ans 311 jours
ou 3231 jours 8 h 34 ' 57 "* i." Outre le mouvement
progressif de l’apogée de la lune , les astronomes
ont considéré long tems Torbite de la lune comme
étant sujette à un balancement dans son apogée ,
joint à une variation dans Texcentricíté. Horoccius
fùt Je premier auteur de cette hypothèse ingénieuse
que Neuton adopta dans son fameux livre
des Principes, & fur laquelle sont fondées les tables
de la lune de Halley & celles de Flamsteed, que
M. le Monnier a données dans ses institutions ■
astronomiques. M. Euler est le premier qui ait
substitué à cette hyporhèse une équation beaucoup
plus commode, & que Ton appelle évection :fa
quantité est de i°'2o 34 ". Pour rendre raison de
Thypothèse d’Horoccius dans les principes de l’attraction
, il faut Considérer que le mouvement de
ï apogée de la lune vient de ce que la force centrale
de la lune vers là terre est diminuée', & le
mouvement doit être le plus grand quand la ligne
des fyzigies concourt avec .la ligne des apsides,
ou lorsque le soleil répond à l’apogée ou au périgée
de la lune. Quand il est dans’les quadratures,
le mouvement de l’apogée est au contraire le plus
lent, parce que la diminution totale de la force
centrale est la plus petite ; quand le soleil est à
45*
A p o a p ô o9^5 • îles apsides, le mouvement vrai de l’apogée
iést égal au mouvement moyen ; mais son vrai lieu
est alors Ie plus différent du ,'liéu moyen , &
l’équation est la plus forte parce qu’elle est le résultat
de tous les dégrés, de vitesse que l’apogée a
reçus jusques-là : cette équation dàns les tables de
Halley. montoit à 12 ° 18'.ïl y a aussi une inégalité dans le lieu de l’apogée
•qúi provient des distances du soleil à la teire &
-qui est de 23 ' 12 " additive quand le soleil esta
3 signes d’anomalie, c’est une équation annuelle.
Le mouvement de l’apogée de la lune est difficile
à calculer par la théorie de Tâttraction. Clairaut,
en 1747, avoit cru que la théorie ne donnoit que
la moitié du mouvement qui s’observe ; il annonça
solemnellementce résultat dans Taffemblée publique
de TAcadémie, du 15 novembre 1747, & il fit
imprimer son Mémoire dans le volume de 1745,
pag. 33G ; mais le volume n’étoit pas encore achevé
d’imprimer qu’il lut à TAcadémie, le 17 mai 1749,
une espèce de rétractation qui se trouve dans le même
volume, pag. s57 > & plus en détail dans les
Mémoires de 1748 , pag. 433. La première théorie
détaillée óù Ton ait vu que Ia loi de Tâttraction
fatisfaisoit exactement au mouvement de Vapogée,
est la pièce de Clairaut, qui remporta le prix de
de TAcadémie de Pétersoourg proposé en 1750.
M.Euler, qui en étoit juge, m a raconté qu’il avoit
trouvé la chose si extraordinaire, qu’il n’avoit pu
en être persuadé quequarid il sot parvenu au même
résultat par une méthode qui lui étoit particulière ;
il vit alors que des termes que tous les géomètres
avoient cru absolument négligeables dans la théorie
de la lune, instuoieut beaucoup fur ï apogée, Clairaut
-lui-même n’y étoit parvenu qu’en cherchant par
« n calcul très-rigoureux la valeur d’un terme qu’il
falloit ajouter, suivant lui ', à Texpreffion générale
de Tâttraction neutonienne pour trouver une autre
loi d’attraction, propre' â représenter le mouvement
de ï apogée. Cette question ne sait aujourd’hui
aucune difficulté, & M. d’Alembert a démontré
de son côté que Tâttraction du soleil en raison inverse
du carré-de la distance explique parfaitement
la révolution de Vapogée de lá lune, telle qu’elle
se trouve par les observations. ( DE Z A. LANDE).
APOJOVE, (Astron.)  nom que quelquesastro-'
nomes ont donné à Tapfíde supérieure-de Torbite
du quatrième satellite de Jupiter, ou au point de
son plus, grand éloignement, quoique ce terme
soit composé d’un mot grec & d’un mot latin.
APOLLONIEN, adjim. Ondéfignequelquefois
l’hyperbole & la parabole ordinaire, par les noms
d’hyperbole & deparabolesApolloniennes , ou d’Apollonius
, pour les distinguer dé quelques autres courbes
d’un genre pliis élevé, &auxquelles on a auffi donné
' le nom d’hyperbole & de parabole. Ainsi a x=.yy
désigne la parabole apollonienne ;a^a = xy désigne
■l’hyperbole apollonienne : mais a ax^y 5 désigne
une parabole du 3e degré, ; a>-==.xyy désigne
une hyperbole du même degré. Voyei PARABOLE
.. Mathématiques, Tome I, I,ai fariie,8 HYPERBOLE. On appelle la parabole & l’hyperbole
ordinaires, parabole 8 hyperbole d’Apollonius ,
parce que nous avons de cet ancien géomètre un
traité des sections coniques fort étendu. Ce mathématicien
qu’on appelle Apollonius Pergoeus, parce
qu’il étoit de Perge en Pamphilie, vivoit environ
2CQ ans avant Jésus-Christ. II ramassa sor les.
sections coniques, tout ce qu’avoient fait avant lui
Arislée, Eudoxe dé Cnide , Menoechme, Euclide,
Conon , Trafidée, Nicotele : ce fut lui qui donna
aux trois sections coniques les noms de parabole ,
d’ellipse & d’hyperbole, qui non-seulement les distinguent,
mais encore les carastérisent. Voyei leurs
articles. II avoit fait huit livres qui parvinrent
entiers jusqu’au tems de Pappus d’Alexandrie,
qui vivoit sous Théodose ; on ne put retrouver quer,
les quatre premiers livres, jufquen 1658, que le
fameux Borelli trouva dans la bibliothèque de>
Florence un manuscrit arabe qui contenoit, outre
ces quatre premiers , les trois soivans : aidé d’un
professeur-d’arabe, qui ne favoit point de Géofnétrie,
il traduisit ces livres, & les donna au pub lie.
Voy eil’ éloge de M, Vivian}., par M. de Fontenelles:
Eist. acad, z703,II semble que le huitième livre d’Apollonius ait
été retrouvé depuis, car " on lit dans Téloge de
M. Halley , par M. de Mairan (Eist. acad. 1742).
que M. Halley donna en 1717 une traduction la-"
tine des huit livres d’Apollonius. Mais ce huitième
livre d’Apollonius, qui se trouve dans Té litiort
donnée par M. Halley, n’est point de cet ancien '
géomètre comme les sept autres ; il a été rétabli par .
T^diteur sor les indications de Pappus. Voyei VÉiflj
des Mathem. de Montucla. Tom. I, pag. zóz. (O) 
APOMECOMÉTRIE, f. f. ( Géom. )  est Tair ois
la manière de mesurer la dislance des objets éloignésFO3'£JPISTANC-E.
Ce mot vient des mots grecs aVíf
JMX.OÎ, longueur, &. fííiçín, mesurer, ( O) APORONoKAPORISME,sigfiifieçhe.zquelquef
anciens géomètres un problème difficile à résoudre,
mais dont il n’est pas certain que la solution soit
impossible. Voyei "PROBLÈME.Ce mot vient du grec àsppw 7, qúi signifie quelquechose de très - dificile, & même d’impraticable ; il.- est’formé d’à privatif, .& dé mf« , passage.Hel estie problème de la quadrature du cercle. Voye^QUADRATURE , 8c.Lorsque Ton proposoit une question à quelque
philosophe Grec, sur-tout de la secte des acadé^
miciens , s’il n’en pouvoit donner la -solution , fa
réponse étoit *■&<$'= », j e ne la conçois pas , je nsfuis
pas capable de P éclaircir. / O ).APOTELESMA, (Astron.)  signifie prédiction j
dans Sextus Empirions , il signifie effeBio , ce qui
a été fëìt, achevé, décidé. ( M. DE IA LANDE).
APOTHEME , f. m. dans la Géométrie éle'mcrf.
taire , est la perpendiculaire menée du centre d’un
polygone régulier sor un de ses côtés,
j ' . Ce nioî vient du grec « J », ab, de, & 'íny-hsiof'■'..'■ U - . "oo a p o. - a p ppono, je pose ; apparemment comme qui diroit
ligne tirée depuis le centre jusques fur le côté. ( O) APOTOME, s. m. mot employé par quelques
auteurs, pour désigner Ia différence de deux quantités
incommensurables. Tel- est Texcès de la racine
quarrée de 2 fur í. Voyei INCOMMENSURABLE.Ce mot est dérivé du verbe grec ÌÛ.-OT£/« !O, abscindo,
îe retranche : un apotome en Géométrie, est Texcès
d’une ligne donnée sor une autre ligne qui lui est
incommensurable. Tel est Texcès de la diagonale
d’un quarré sor le côté. (O) A p pAPPAREIL, f. m. ( Eydrod. )  : quelquefois on
appelle ainsi le piston d une pompe.APPARENCE, f. f.XperspeBive ] : représentation
ou projection d’une figure, d un corps ou
d’un objet quelconque, fur Je plan du tableau.
Voyei PERSPECTIVE & PROJECTION.On se sert du terme, d’apparence direBc ,- pour
■marquer la vue d’un objet par des rayons directs,
c’est-à-dire, par des rayons qui viennent de Tobjet
fans avoir été ni réfléchis ni rompus. Voy. DIRECT
& RAYON ; Voyei auffi OPTIQUE & VISION ;APPARENT , adj. ( persp. )  : lieu apparent, Le
lieu apparent d’un objet, en Optique, est celui
où on le voit. Comme la distance apparente d’un
objet est souvent fort différente de sa distance
réelle, le lieu apparent est souvent fort différent
du lieu vrai. Le lieu apparent se dit principalement
du lieu où Ton voit un objet, en Tobservant
à-travers un ou plusieurs verres, ou par le moyen
d’un ou plusieurs miroirs. Voyei DIOPTRÌQUE ,
JÍIROIR , 8c.■ Nous disons que le lieu apparent est différent
du lieu vrai ; car lorsque la réfraction que souffrent
i-travers un verre les principaux raj’ons que
chaque point d’un objet fort proche envoie à nos
yeux, a rendu ces rayons moins divergens ; ou
lorsque par un effet contraire, les rayons qui viennent
d’un objet fort éloigné font rendus par la
réfraction auffi divergens que s’ils venoient d’un
plus proche ; alors il est nécessaire que Tobjet paroisse
à Toeil avoir changé de lieu : or le lieu que
Tobjet paroít occuper, après ce changement"produit
par la divergence ou la convergence des rayons,
est ce qu’on appelle son lieu apparent: II en est de
même dans des miroirs. Voyei VISION.Les Opticiens sont fort partagés sor Ie lieu
apparent d’un objet, vu par un miroir,, ou par un
verre. La plupart avoient cru, jusqu’à ces derniers
lems, que Tobjet paroissoit dans le point où le
rayon réfléchi ou rompu passant par le centre de
Toeil , rencontrait la perpendiculaire menée de
Tobjet fur la surface du miroir óû%ti verre. C’est
le principe que le père Tacquet a employé dans
fa Catoptrique, pour expliquer les phénomènes
des miroirs convexes & concaves ; c’est aussi celui, dont M. de Mairan s’est servi .pour trouver la courbí
apparente du fond d’un bassin^plein d’eau, dans un
Mémoire imprimé parmi ceux de Tacadémiede 1740.
Mais le père Tacquet convient lui-même, à la fin
de fa Catoptrique, que. le principe dont il s’est
servi n’est pas général, & qu’il est contredit par
Texpérience. A Tégard de M. de Mairan, il paroít
donner.ee principe comme un principe de Géométrie
plutôt que d’Optique ; & il convient que
Neutçn, Barrow, & les plus célèbres auteurs ne
Tont pas entièrement admis. Ceux-ci, pour déterminer
le lieu apparent de Tobjet, imaginent d’abord
que Tobjet envoie fur Ia surface du verre ou du
miroir, deux rayons fort proches l’un de l’autre,lesquels
 après avoir souffert une ouplufienrs réfractions
ou réflexions, entrent dans Toeil. Ces rayons
rompus ou réfléchis,étant prolongés, concourent
en un point, & ils entrent par conséquent dans
Toeil comme s’ils venoient de ce point ; d’où il
s’enfuit, selon Neuton & Barrow, que le lieu
apparent de Tobjet est au point de. concours des
rayons rompus ou réfléchis qui entrent dans l’oeil j
& ce point est aisé à déterminer par la Géométrie.
Voyez ï optique de Neuton, & les leçons optiques
de Barrow. Ce dernier auteur rapporte même une
expérience qui paroít fans réplique , & par laquelle
■,il est démontré que Timage apparente d’un fil à
plomb enfoncé dans Teau, est courbe ; d’où il résulte
que le lieu apparent d’un objet vû par réfraction
n’est point dans J’endroit où le rayon rompu coupe
la perpendiculaire menée de Tobjer fur la surface
rompante. Mais il faut avouer auffi que Barrow,
à la fin de ces leçons d’optique , fait mention d’une
expérience qui paraît contraire à son principe fur
le lieu apparent de Timage i il ajoute que cette expérience
est auffi contraire à Topínion du père Tacquet,
qu’à la sienne : malgré cela Barrow n’en est pas
moins attaché à son principe sor le lieu apparent de
Tobjet, qui lui paroít évident & très-simple ; &ií
croit que, dans se cas particulier où ce _principe
semble ne pas avoir lieu , on n’en doiuaasjjjjtla
cause qu’au peu de lumières que s£fi§PaviOTW(Pk
vision directe. A Tégard de M. Neuton, quoiqu’il
suive le principe dejîèrow fur le lieu apparent de
Timage, il parqifc^prder la solution de ce problême
comme jBKTÏfes plus difficiles de Toptique :
PunBi illius, dit - il, accurata determinatio problema
solutu difficillimum proebcbit , ríifi hypothefi alicui
saltem verisimili, si non accuratè veroe, nitatur asfer'tio.
Lee. opt. schol. Prop. VIII. pag. 80. Voyei
MIROIR 8 DIOPTRÌQUE.Quoi qu’il en soit, voici des principes dont tous
les Opticiens Conviennent. .Si un objet est placé à une distance d’un verre
convexe, moindre que celle de son sojer , on
pourra déterminer son lieu apparent : s’il est placé
au foyer, son lieu apparent ne pourra être déterminé
 ; on le verra seulement dans ce dernier cas
extrêmement éloigné, ou plutôt on le verra trèsconfusément,A p p a pp/ *tle heu apparent ne pourra point encore se déterminer,
fi Tobjet est placé au-delà du foyer d’un
verre convexe : cependant fi Tobjet est plus éloigné
du verre convexe que le foyer, & que Toeil soit
placé au-delà de la base distincte, son lieu appâtent
fera dans Ia base diffincte. On appelle base
distinBe un plan qui passe par le point de concours
des rayons rompus. Voyei LENTILLE.De même fi un objet est placé à une distance d’un
miroir concave, moindre que celle de son foyer,
on peut déterminer son lieu apparent : s’il est placé
au foyer, il paraîtra infiniment éloigné,.ou plutôt
il paraîtra consosément, son lieu apparent ne
pouvant être déterminé.Si Tobjet est plus éloigné du miroir que le foyer,
&quel’oeilsoit placé au-delà de la base distincte,
le lien apparent fera dans la base distincte. Voyei
MIROIR, CONCAVE 8 CATOPTRIQUE.On peut toujours déterminer le lieu apparent de
Tobjet dans un miroir convexe. (O).APPARENT , apparens , adj. m. en Astronomie
hauteur apparente , est celle qu’on observe , & qui
est astêctée par Ia réfraBion & le parallaxe.ConjonBion apparente. II y a conjonBion apparente
de deux planètes lorsque leurs longitudes
apparentes, vues de la surface de la. terre, sont
les mêmes. La conjonBion apparente est distinguée
de la conjonBion vraie , où le centre de la terre
est dans un même plan perpendiculaire à Técliptique
avec les centres des deux planètes, Voyei
i CONJONCTION. - ■ ■, Eorìipn apparent ousenfible ; c’est le grand cercle
qui termine notre vue, ou celui qui est formé par
la rencontre apparente du ciel & de la terre.Cet horizon sépare la partie visible ou supérieure
du ; ciel d’avec la partie inférieure qui nous
est invisible, à cause de la rondeur de la .terre.
Vhoriipn apparent diffère -de ïhoriipn rationel qui
lui est parallèle, mais qui passe par le centre de
la terre, Voyei HORIZON. On peut concevoir
un cône dont .le sommet seroit dans notre oeil, &
dont la base seroit le plan circulaire qui termine
notre vue : ce plan est Vhorìipn apparent ou sensible.
Voyei ABAISSEMENT. 4
. ■ Le diamètre apparent du soleil, de la lime ou
d’une planète, est la quantité de. Tangle sous lequel
un observateur placé fur la surface de la terre,
apperçoit ce diamètre: on le distingue du diamètre
réel qui se compte en lieues ou en toises.Les diamètres apparens des corps célestes ne
font pas toujours les mêmes. Le diamètre apparent
du soleil n’est jamais plus petit que 31' 31"
au commencement de juillet, & jamais plus grand
• que quand il est dans son périgée au commencement
de janvier 2^1 est alors de 32' 36" : on trouvera
Jes autres diamètres au mot PLANÈTE.Quand les objets sont fort éloignés de Toeil,
leurs diamètres apparens , c’est-à-dire, les grandeurs
dont’ òn les Voit, font proportionnels aux
angles sous lesquels ils sont vus ; ainsi, quoiqueIe soleil & la lune soient fort différens Tun de
l’autre pour la grandeur réelle, cependant leur
diamètre apparent est à-peu-près le même, parce
qu’on les voit à-peu-près-sous Ie même angle. La
raison de cela est que quand deux corps sont fort
éloignés, quelque différence qu’il y ait entre leurs
dislances réelles, cette différence n’est point ap~
perçueparnos y.eux,& nous les jugeons Tun &
l’autre à la même dislance apparente ; d’où il
s ensuit que Ia grandeur dont on les voit est alors
proportionnelle à Tangle optique ou visuel. Par
conséquent si deux objets -font fort éloignés, &
que leurs grandeurs réelles soient comme leurs distances
réelles, ces objets paraîtront de la même
grandeur, parce qu’ils seront vus sous des angle »
égaux. .II y a une différence très-sensible entre les
grandeurs apparentes ou diamètres apparens du
soleil & de la lune vers l’horizon, & leurs diamètres
apparens lorsqu’ils sont fort élevés au mé-:
ridien. Ce phénomène a beaucoup exercé les philosophes
 ; le P. Malebranche est celui qui paraît
Tavoir expliqué de la manière Ia plus vraisemblable
, & nous donnerons son explication au mot
• DIAMÈTRE. - -La différence est encore plus singulière quand on
regarde dans une lunette ; souvent une personne y
juge la planète grande comme une assiette, &
l’autre comme une pièce de six sous ; il ne peut
en effêt y avoir de règle, parce qu’il n’y a point
de terme de comparaison, & Ton estime la grandeur
apparente au hazard, suivant le rapport qui
s’établit involontairement entre Timpression qu’on
éprouve alors dans Toeil, & celle qu’on a coutume
d’éprouver en regardant des objets familiers.La grandeur apparente peut donc changer ~
quoique Tangle du diamètre apparent ne change
pas ; ainsi , quoique Tangle optique soit la mesure
de la grandeur apparente , suivant les auteurs d’Op-i
tique 3 d’autres opticiens prétendent avec beaucoup
de fondement que la grandeur apparente d’un objéf.
ou plutôt le jugement que nous en portons, no
dépend pas seulement • de Tangle fous lequel il
est vu ; & pour le prouver, ils disent qu’un géant
de six pies vu à six pies de distance, & un: nain
d’un pié vu à un pié de distance, sont vus Tun
& l’autre sous le même angle, & que cependant
le géant paroít beaucoup plus grand ; d’où ils concluent
que tout se reste étant d’ailleurs égal, la
grandeur apparente d’un objet dépend beaucoup
de fa distance apparente , c’est-à-dire, de Téloigner
ment auquel il nous paroít être. Voyei ANGLE,
DIAMÈTRE,Ainsi, quand on dit que Tangle optique est la
mesure de la grandeur apparente, on doit restreindre
cette proposition aux cas où la distance
apparente est supposée la même ; ou bien Ton doit
entendre par le mot 'de grandeur apparente de
£objei., non pas. la grandeur sous laquelle il paraît
' ' H Û
9£ a p p "a p pvéritablement, màis la grandeur de Timage quil
forme au fond de Toeil. Cette image est en effet
proportionnelle à Tangle sous lequel on voit
■ Tobjet ; & en ce sens on peut dire que la grandeur
apparente d’un objet est d’autant de degrés
que Tangle optique fous lequel on voit cet objet
en contient. Voyei VISION.Distance apparente est celle que Ton observe en
degrés , minutes & secondes entre deux astres,
avant qu’on Tait dégagée de la réfraction qui -la
fait paraître trop petite , & de la parallaxe qui
change auffi ces 'dislances, c’est-à-dire, ces arcs
apparens compris entre deux astres que Ton observe.
Voyei LONGITUDE.- Tems apparent est la même chose que tems vrai ;
il diffère du tems moyen à raison de l’équation
du ternie ( M. DE ZA LANDE. ) APPLÀTI, adj. m. On appelle sphéroïde applati
un sphéroïde dont Taxe est plus petit que le diamètre
de Téquateur. Voyei SPHÉROÏDE.APPLICATION , c’est Taction d’appliquer une
chose à une autre, en les approchant, ou en les
mettant Tune auprès de l’autre.On définit le mouvement ,.ï application successive
d’un corps aux différentes parties de Tefpace. Voy.
MOUVEMENT.On entend quelquefois en Géométrie par application
, ce que nous appelions en Arithmétique
division. Ce mot est plus d’usage en latin qu’en
françois: applicare G ad 3 , est la même chose que
diviser G par 3. Voyei DIVISION.Application, se dit encore de Taction déposer
ou d’appliquer Tune sur l’autre deux figures planes
égales ou inégales,Cest par ï application ou superposition qu’on
démontre plusieurs propositions fondamentales de
la Géométrie élémentaire ; par exemple, que deux
triangles qui ont une même base & les mêmes
angles à la base, sont égaux en tout ; que le diamètre
d’un cercle le divise en deux parties parfaitement
égales ; qu’un quarré est partagé par fa
diagonale en deux triangles égaux & semblables, 8cr
Voyei SUPERPOSITION.APPLICATION d’une science à une autre, en
général se dit de Tufage qu’on fait des principes
& des vérités qui appartiennent à Tune pour perfectionner
& augmenter l’autre.En général, il n’est point de science ou d’art
■qui ne tienne en partie à quelqu’autre. Le discours
préliminaire qui est à la tête de TEncyclopédie, &
une multitude d’articles de ce Dictionnaire en
fournissent la preuve.APPLICATION de l’Algèbre ou de P Analyse a
la. Géométrie.- L’Algèbre étant , comme nous
Pavons dit à son article, le calcul des grandeurs
en général, & TAnalysc Tufage de l’Algèbre pour
découvrir les quantités inconnues ; il étoit naturel
qu’après avoir découvert l’Algèbre & TAnalysc
« n longeât à appliquer ces deux sciences à la
£éométrK,puisque les lignes, les surfaces & lessolides dont la Géométrie s’occupe, sont dés gran ;
deurs mesurables & comparables entr'elles , &
dont on peut par conséquent assigner les rapports.
Vóyei ARITHMÉTIQUE UNIVERSELLE. Cependant
jusqu’à M. Descartes ,• personne n’y avoit
pensé, quoique l’Algèbre eût déjà fait d’assez grands
progrès, sor-tout entre les mains de Viete. Voyc{
ALGÈBRE. C’est dans Ia Géométrie _ de M. Descartes
que Ton trouve pour la 'première fois l’ap*
plication de l’Algèbre à la Géométrie, ainsi que
des méthodes excellentes pour perfectionner l’Algèbre
même : ce grand génie a_ rendu par-là un
service immortel aux Mathématiques, & a donné
la clé des plus grandes des découvertes qu’on pût
espérer de faire dans cette.science.11 a le premier appris à exprimer par des équations
la nature des courbes , à résoudre par le
secours de ces mêmes courbes ,. les problèmes de
■Géométrie ; enfin à démontrer souvent les théorèmes
de Géométrie par le secours du calcul algébrique,
lorsqu’il seroit trop pénible de les démontrer
autrement en se servant des méthodes
ordinaires. On verra aux articles CONSTRUCTION,
EQUATION, COURBE, en quoi consiste cetteap~
plication de l’Algèbre à la Géométrie. Nous ignorons
si les anciens avoient quelque secours semblable
dans leurs recherches : s’ils n’en ont pas eu
on ne peut que les admirer d’avoir été si loin fans
ce secours. Nous avons le traité d’Archimede fur
les spirales, & ses propres démonstrations ; il estdifficile
de savoir si ces démonstrations exposentprécisérnent
la méthode par laquelle il est parvenu
à découvrir les propriétés des spirales ; oU
fi, après avoir trouvé ces propriétés par quelque "
méthode particulière, il a eu dessein de cacher
cette méthode par des démonstrations embarrassées.
Mais s’il n’a point en effet suivi d’autre, méthode
que celle qui est contenue dans ces.démonstrations
mêmes, il est étonnant qu’ils ne se soit pas
égaré ; &. on ne peut donner une plus grande
preuve de la profondeur & de l’étendue de son
génie : car Bouillaud avoue qu’il n’a pas entendu
les démonstrations d’Archimede , & Viete les a
injustement accusées de paralogisme.Quoi qu’il’en soit, ces mêmes démonstrationsqui
ont coûté tant de peine à Bouillaud & à
Viete, & peut-être tant à Archimède, peuvent
aujourd’hui être extrêmement facilitées par l’ap--
plication de l’Algèbre à la Géométrie. On en peut
dire autant de tons les ouvrages géométriques des
anciens, que presque personne ne lit, par la facilité
que donne IAlgèbre de réduire leurs démonstrations
à quelque lignes de calcul.Cependant M. Neuton, qui connoiffoit mieuï
qu’un autre tous les avantages de TAnalysc dans
la Géométrie, se plaint en plusieurs endroits de
ses ouvrages, de ce que la lecture des anciens
géomètres -est abandonnée.En effet, on regarde communément la méthode
dont les anciens sf sont servis dans leurs livres

- ■ ;' . A P P

A P P
93Se Géométrie, commê.plus rigoureuse que celle
de TAnalysc ; & c’est principalement fur cela que
font fondées les plaintes de M. Neuton, qui
craignoit que par Tufage trop fréquent de TAnalyfe
, la Géométrie ne perdît cette rigueur qui
caractérise ses démonstrations. Oh ne peut nier
que ce grand homme~ne fut fondé, au moins enÍiartie , à recommander jusqu’à un certain point
a lecture des anciens géomètres. Leurs démonstrations
étant plus difficiles, exercent davantage
l’esprit , Taccoumment à unè application plus
grande-, lui donnent plus d’étendue , & le forment
à la .patience & à Topiniâtreté, si nécessaires
pour les découvertes. Mais il ne faut rien
outrer ; & si on s’en tenoit à la seulè méthode
des anciens, il n’y a pas d’apparence que, même
avec le plus grand génie, on pût faire dans la
Géométrie de grandes découvertes, ou du moins
en auffi grand nombre qu’avec le secours de TAnalysc.
A Tégard de Tavantage qu’on veut donner
- aux démonstrations faites à la manière des anciens
d’être plus rigoureuses que les démonstrations analytiques
, je doute que cette prétention soit bien
fondée. J’ouvre les principes de Neuton ; je vois
que tout y est démontré à la manière des anciens ;"
mais en même tems" je vois clairement que Neuton
a trouvé ses théorèmes par une autre méthode
crue celle par laquelle il les démontre , & que
les démonstrations ne sont proprement que des
calculs analytiques qu’il a traduits , & déguisés
en substituant le nom des. lignes à leur valeur
algébrique. Si on prétend que les démonstrations
de Neuton sont rigoureuses , ce qui est vrai ;
pourquoi les traductions de ces démonstrations
• -en langage algébrique-, ne seroient-elles pas. ri- :
goureuses auffi î Que j’appelle une ligne, A B ,
ou que je la désigne par Texpreffion algébrique a,
quelle différence en peut-ii résulter pour la certitude
de la démonstration ? A la vérité Ia dernière
dénomination a cela de particulier que quand
-j’aurai désigné toutes les lignes par des caractères
algébriques , je pourrai faire fur ces caractères
beaucoup d’opérations, fans songer aux lignes ni
a la figure ; mais cela même est un avantage ;
l’esprit est soulagé, il n’a pas trop de toutes ses
forces pour résoudre certains problèmes , &
ì'Analyse les épargne autant qu’il est possible. II
suffit de savoir que les-principes du calcul sont
certains ; la main calcule en toute sûreté, &
arrive presque machinalement à un résultat qUi
donne le théorème ou le problême que Ton cherchoit,
& auquel sans cela Ton ne seroit point
parvenu, ou Ton ne seroit arrivé qu’avec beaucoup
de peine. II ne tiendra. qu’à Tanalyste de
donner à là démonstration ou à sa solution la
rigueur prétendue qu’on croît lui manquer ; il
lui suffira pour cela de traduire la démonstration
dans le langage des anciens, comme Neuton a
fait les siennes. Qu’on se contente donc de dire
que Tufage trop fréquent & trop facile de YAnalysepeut rendre l’esprit paresseux, & on aura
raison, pourvu que Ton convienne en même tems
de la nécessité absolue de TAnalysc pour un grand
nombre de recherches ; mais je doute fort que^
cet usage rende les démonstrations mathématiques
moins rigoureuses. On peut regarder la méthode des
anciens comme une route difficile, tortueuse", embarrassée
, dans laquelle le géomètre guide ses lecteurs
: Tanalyste plácé à un point dé vue plus
élevé, voit, ppur ainsi dire, certe route d’un
coup-d’oeil ; il ne rient qu’à lui d’en parcourir
tous les sentiers, d’y conduire les autres, &rle
les y arrêter auffi long-tems qu’il Ie veut.Au reste, il y a des cas où Tufage de TAnalysc,"
loin d’abréger les- démonstrations, les rendrait au
contraire plus embarrassées. De ce nombre sont
enrr'autres plusieurs problèmes ou rhéorèmes, où
il s’agit de comparer des angles entr'eux. Ces
angles ne sont exprimables .analyriquement que
par leurs ûnus , & Texpreffion des sinus des
angles est souvent compliquée ; ce qui rend leî
constructions & les démonstrations difficiles en se
servant de TAnalysc. Au reste , c’est aux grands
géomètres à savoir quand ils doivent faire usage
de la méthode des anciens, ou lui préférer TAnalysc.
11 seroit difficile de donner fur cela des
règses exactes & générales.APPLICATION de la Géométrie a. FAlgèbre.-
Quoiqu’il soit beaucoup plus ordinaire & plus
commode d’appliquer 1 Algèbre à la Géométrie,
que' la Géométrie à l’Algèbre , cependant cette
dernière application a lieu en certains cas. Comme
on représente les lignes géométriques par des
lettres, on peut quelquefois représenter par des
lignes les grandeurs numériques que des lettres
expriment, & il peut même dans quelques occasions
en résulter plus de facilité pour la démonstration
de certains théorèmes -, ou la résolution
de certains problèmes. Pour en donner un exemple
simple, je suppose que je veuille prendre le quarré
de a -J- b ; je puis par le calcul algébrique démontrer
que ce quarré contient le quarré de a,
plus celui de b , plus deux fois Ie produit de a
par b. Mais j& puis auffi démontrer cette proposition
en me' servant de la Géométrie. Pour cela,
"je n’ai qu’à faire un quarré, dont je partagerai la
hase & la hauteur chacune en deux parties, dont
j’appellerai Tune a & l’autre b ; ensuite tirant par
les. points de division les lignes parallèles aux
côtés du quarré, je diviserai ce quarré en quatre
surfaces, dont on verra au premier coup-d’oeil.
que Tune sera le quarré de a , une autre celui de b , .
& les deux autres feront chacune un-rectangle
formé de a & de b ; d’où il s’enfuit que le quarré
du binôme a -\- b contient le quarré de chacune
des deux parties, plus deux fois le produit de
la première par la seconde.. Cet exemple , trèssimple
& à la portée de tout Ie monde, peut
servir à faire voir comment on applique la. Géométrie
à l’Algèbre} c’est-à-dire, comment on peut94 - a p p ' a p pse servir quelquefois de la Géométrie pour démontrer
les théorèmes d’Algèbie.Au reste, ï application de la Géométrie à TA1çèbre
n’est pas si nécessaire dans Texemple que
ïious venons de rapporter, que dans plusieurs
autres, trop compliqués pour que nous en fassions
ici une énumération, fort étendue. Nous nous
Contenterons de dire que la considération, par
exemple , des courbes de genre parabolique , &
du cours de ces courbes par rapport à leur axe,
est souvent utile pour démontra" aisément plusieurs
théorèmes fur les équations & fur leurs racines.
Voyei èntr'autres Tufage que M. Tabbé de
Gua a fait de ces sortes de courbes, Mém. acad.
Z741 , pour démontrer la.fameuse règle de
Descartes sor le nombre des racines des équations.
Voyei PARABOLIQUE , CONSTRUCTION,
8c.On peut même quelquefois appliquer la Géofnétrie
à l’Arithmétique, c’esl-à-dire, se servir de
la Géométrie pour démontrer plus aisément fans
Analyse & d’une manière générale certains théorèmes
d’Arithmétique ; paf exemple, que la fuite
des nombres impairs. 1, 3 , 5,7,0, 8c. ajoutés
successivement, donne la fuite des quarrés 1,4,
9, 16, 25,6-0,"Pour cela, faites un triangle rectangle ABE
(-Médian, fig. G s )  dont un côté soit horizontal
& l’autre vertical ( je les désigne par horìiontal
& vertical, pour fixer Tjmagination ) : divisez le
côté vertical A B en tant de parties égales que
vous youdrez , & par les points de division
1,, 2,3,4, ^'c- menez les parallèles if, zg, 8c.
à B E , vous aurez d’abord le petit triangle A if,
ensuite le trapèze ifg 2 , qui vaudra trois fois çe '
triangle ; puis un troisième trapèze zghj, qui
vaudra cinq fois ce triangle : de forte que les espaces
terminés par les parallèles if, z g, &c:
seront représentés par les nombres soivans ,1,3,
Ç , 7, 8c. en commençant par le triangle A 1 f.,
& désignant, ce triangle par r.Or les sommes de ces espaces seront.les triangles
A 1 /, A z g ,"A 3 h , 8c. qui sont comme
les quarrés des côtés A 1, Az , Âi. , c’est-à-dire ,
comme 1,4, 9 , 8c. Donc la somme des nombres
impairs donne la fuite des nombres quarrés. On
peut fans doute démontrer cette proposition algébriquement
 ; mais la démonstration précédente
peut satisfaire ceUx qu: ignorent l’Algèbre, Voy.
ACCÉLÉRATION.APPLICATION de la Géométrie 8 de l’Algèbre
a la Méchanique. Elle est fondée sor les mêmes
principes que ï application de l’Algèbre à la Géométrie.
Elle consiste principalement à représenter
par des équations les courbes que décrivent les
corps dans leur mouvement, à déterminer l’équation
entre les espaces que les corps décrivent
( lorsqu’ils sont animés par des forces quelconques
) , & le tems qu’ils emploient à parcourûtes
espaces } fyc. Qn .ne peut à la vérité con>parer ensemble deux choses d’une nature différente
, telles que Tefpace & le tems ; mais on
peut comparer le rapport des parties du tems
avec celui des parties de.Tefpace parcouru. Le
tems par fa nature coule uniformément, & la méchanique
suppose cette uniformité. Du reste, sans
connoître le tems en lui-même, &• fans en avoir
de mesure précise, nous rie pouvous représenter
plus clairement le rapport de ses parties, que
par celui des parties d’une ligne droite indéfinie.
Or, Tanalogie qu’il y a entre le rapport des parties
d’une telle"" ligne, & celui des parties de Tefpace
parcouru par un corps qui se meut d’une manière
quelconque , peut toujours être exprimé : par une
équation. On peut donc imaginer une ,courbe,
dont les abscisses représentent les portions du
tems écoulé depuis le commencement du mou-.
yement ; les ordonnées correspondantes’ désignant
les espaces parcourus durant ces portions de tems.
L’équation de cette courbe exprimera , non le
rapport des tems aux espaces , mais, si on peut
parler ainsi, le rapport du rapport que les parties .
de tèms ont à leur unité, à celui que les parties
de Tefpace parcouru ont à la leur ; car Téquation
d’une courbe peut être considérée ou comme ex-=
primant le rapport des ordonnées aux abscisses,
ou comme Téquation entre le rapport que les ordonnées
ont à leur unité, & celui que les abscisses
correspondantes ont à la leur.II est donc évident que, par Vapplication feulé
de la Géométrie & du calcul, on peut, fans lé
secours d’aucun autre principe , trouver les propriétés
générales du mouvement varié suivant
une loi quelconque. On peut voir à l’article
ACCÉLÉRÉ , un exemple de ï application 3e la
Géométrie à la Méchanique ; les tems de la des.
cente d’un corps pesant y. sont représentés paf
les àbscistes d’un triangle, les vitesses par les ordonnées^
voyei ABSCISSE 8 ORDONNÉE ) , 8ç
les espaces parcourus par Taire des parties du
triangle. Voyei TRAJECTOIRE, MOUVEMENT-,
TEMS, 8C.APPLICATION de la Méchanique a la Géo->
métrie. Elle consiste principalement dans Tufage
qu’on fait quelquefois du centre de gravité des
figures pour déterininer les solides qu’elles forment.
Voyei CENTRE DE GRAVITÉ. , .APPLICATION de la Géométrie & de PAflm-ínomie
à la Géographie. Elle consiste en trois
choses. 1:° A déterminer par les opérations géométriques
& astronomiques la figure du globe
que nous habitons. Voy. FIGURE DE LA TERREJ
DEGRÉ, 8C. Z.° A trouver par Tobservation des
longitudes & des latitudes la position des lieux.
Voyei LONGITUDE 8 LATITUDE. 3. 0 A déterminer
par des opérations géométriques la position
des lieux peu éloignés l’un de l’autre. Voy.
CARTE.IJ Astronomie & \a Géç-mérie sont aussi d’u »Ana à n a95&and usage dans la navigation. Voyei NAVIGATION,
8c. -APPLICATION de la Géométrie 8 de F Analyse
k la Physique. C’est à M. Neuton qu’on la doit
comme on doit à M. Defcàrtes l’âpplication de
l’Algèbre à la Géométrie. Elle est fondée fur les
mêmes principes que l’âpplication de l’Algèbre à
la Gêométrte. La plupart des propriétés des
corps ont entr'elles des rapports plus ou moins
marqués que nous pouvons comparer , & c’est à
quoi nous parvenons par la Géométrie & par
TAnalyse ou Algèbre. C’est fur cette application
que sont fondées toutes les sciences physicomathématiques.
Une seule observation ou expérience
donne souvent toute une science. Supposez,
comme on le sait par Texpérience , que les rayons
de lumière se réfléchissent en faisant Tangle d’incidence
égal à Tangle de réflexion, vous aurez
toute la Catoptrique. Voy. CATOPTRIQUE. Cette
expérience une fois admise, la Catoptrique devient
une science purement géométrique, puisqu’elle se
réduit à comparer des angles & des lignés données
de position, il en est de même d’une infinité
d’autres. En général, c’est par le secours de la
Géométrie & de TAnalyse que Ton parvient à
déterminer la quantité d’un effet qui dépend d’un
autre esset mieux connu. Donc certe science nóus
est presque toujours nécessaire dans la comparaison
& Texamen des faits que Texpérience nous
découvre. II faut avouer cependant que les différens
sujets de Physique ne sont pas également
susceptibles de l’âpplication de la Géométrie. Plusieurs
expériences, telles que celles de Taimánt,
'de Télectricité, & une infinité d’autres, ne donnent
aucune prise au calcul ; en ce cas il faut
s abstenir de l’y appliquer ! Les géomètres tombent
quelquefois dans ce défaut, en substituant des
Hypothèses aux expériences, & calculant en conséquence
 ; mais ces calculs ne doivent avoir de
force qu’autant que lés hypothèses ' fur lesquelles
ils sont appuyés, font conformes à là nature, &
il faut pour cela que les observations les confirment,
ce qui par malheur n’arríve pas toujours.
D’ailleurs quand les hypothèses seraient vraies ,
elles ne sont pas toujours suffisantes. S’il y a dans
dans un effet un grand nombre de circonstances
-dûes à plusieurs causes qui agissent à-la-fois, &
qu’on se contente de considérer quelquês-unes de
ces causes, parce qu’étant plus simples, leur
effet peut être calculé plus aisément: on pourra
bien par cette méthode avoir Teffet partiel de
ces causes ; mais cet effet sera fort différent de
l’effet total qui résulte de la réunion de routes
les causes.APPLICATION 
nature être soumises à aucun calcul, on a abusé
de la. Méthode géométrique à la
Métaphysique. On a quelquefois abuse de la Géoriiétrie
dans Ja Physique, en appliquant le calcul
des propriétés des corps à des hypothèses, arbitraires.
Dans les sciences qui ne peuvent par leurdé la méthode des géomètres , parce qu’on ne
pouvoit abuser que de la méthode. Plusieurs
ouvrages métaphysiques, qui ne contiennent souvent
rien moins que des vérités certaines ; ont été
exécutés à la manière des géomètres ; & on y voit
à toutes les pages les grands mots d’axiome , de
théorème , dé corollaire , &c.Les auteurs de ces ouvrages se sont apparemment
imaginés que de tels mots faiíbient par quelque vertu
scerette Teffence d’une démonstration, & qu’en écrivant
à la fin d’une proposition, ce qu’il falloit dé- .
montrer, ils rendraient démontré ce qui ne l’étoit
pas. Mais* ce n’est point à cette méthode que Ia
Géométrie doit fa certitude, c’est à Tévidence &
à la simplicité de son objet ; & Comme un livre de
Géométrie pourroit être très - bon en s’écartant
de la forme ordinaire, un livre de Métaphysique
ou de Murale peut souvent être mauvais en suivant
la méthode des Géomètres. II faut même fedéfier
de ces sortes d’ouvrages ; car la plupart des prétendue
démonstrations n’y sont fondées que sor Tabus
des mots. Ceux qui ont réfléchi fur cette ma->
fière, savent combien Tabus des mots est facile &
ordinaire, fur-tout dans les matières méthaphysiques.
C’est en quoi on peut dire que les Scolastiques
ont excellé. On ne fauroit trop regretter qu’ils,
n’aient pas fait de leur sagacité un meilleur usage.APPLICATION de la Métaphysique a la Géo^
métrìe. On abuse quelquefois de la Métaphysique
en Géométrie, comme on abuse de la méthode des
Géomètres en Métaphysique. Ce n’est pas que la
Géométrie n’ait,.comme toutes les autres sciences
une métaphysique qui lui est propre ; cette iriétaphysique
est même certaine & incontestable,
puisque les propositions géométriques qui en résultent
, sont d’une évidence à laquelle on ne fauroit
se refuser. Mais, comme la certitude des Mathématiques
vient de la simplicité de son objet, la
métbaphysique n’en fauroit être trop fimple & trop
lumineuse : elle doit toujours se réduire à des notions
claires, précises & fans aucune obscurité. En effet,
comment les conséquences pourroient-elles être
certaines & évidentes, si les principes rie Tétoïent •
pas ? Cependant quelques auteurs ont cru pouvoir introduire
dans la Géométrie une métaphysique souvent
assez obscure, &' qui pis est, démontrer par cette
métaphysique des vérités dont on étoit déjà certain
par d’autrès principes. C’étoit le moyen de rendre
ces vérités douteuses, fi elles avoient pu le devenir.
La Géométrie nouvelle a principalerhent donné
occasion à cette mauvaise méthode. On a cru que
les infiniment petits qu’elle considère étoient des
quantités réelles ; on a-voulu admettre des infinis
plus grands les uns que les autres^ on a reconnu
des infiniment petits de différens ordres, en regardant
tout cela comme des réalités ; au lieu dé
chercher à réduire ces suppositions & ces calculs
à des notions simples. Voyei DIFFÉRENTIEL , '
INPINI, 8 INFINIMENT PETIT.
Un autre abus de. la Métaphysique-en Géo-
\ê- app a p pmétrie, consiste à vouloir se borner dans eértams
cas à la Métaphysique pour des démonstrations
géométriques. En supposant même que les principes
métaphysiques dont on part soient certains & évidens,
il n y a guère de propositions géométriques
qu’on puisse démontrer rigoureusement avec ce seul
secours ; presque toutes demandent, pour ainsi dire,
la toise & le calcul. Cette manière de démontrer
est bien matérielle, fi Ton veut: mais enfin c’est presque
toujours la seule qui soit sûre ; c’est la plume
à la main , & non pas avec des raisonnemens métaphysiques,
qu’on peut faire des combinaisons & des
calculs exacts.Au reste, cette dernière métaphysique dont nous
parlons, est bonne jusqu’à un certain point, pourvu
qu’on ne.s’y borne pas : elle -fait entrevoir'les principes
des découvertes ; elle nous fournit-d.es vues ;
elle nous met dans le chemin : mais nous ne sommes
bien sûrs d’y être, si on peut s’exprimer de la forte,
qu’après nous être aidés du bâton du calcul, pour
connoître les objets que nous n’entrevoyons auparavant
que confusément.II semble que les grands Géomètres devroient
être toujours excellens Métaphysiciens,. au moins
fur les objets de leur science: cela riest pourtant
pas toujours. Quelques Géomètres ressemblent à
des personnes qui auroient le sens de la vue contraire
à ceîui du toucher ; mais cela ne prouve que mieus
"combien Ie calcul est nécessaire pour les vérités
géométriques. Au reste, jecrois qu’onpeutdu moins
assurer qu’un Géomètre, qui est mauvais Métaphy^
ficien fur les objets dont il s’occupe, fera à coup
sûr Métaphj’sicien détestable sor lé reste. Ainsi, la
Géométrie, qui mesure les corps, peut servir en
certains cas à mesurer les esprits même.APPLICATION d’une chose k une autre, en général
se dit, en matière de Science ou d’Art, pour
désigner Tufage dont la première est pour connoître
ou perfectionner la seconde. Ainsi , l’âpplication de
îa cycloïde aux pendules, signifie Tufage qu’on
a fait de la cycloïde pour perfectionner les pendules.
Voyei PENDULE , CYCLOÏDE , 8ç,, & ainsi
d’une infinité d’autres exemples. (O).APPLICATION , terme d’Astrologie, qui exprimoit
le rapport d’un degré précédent à un degré suivant,
quant aux influences. Ptol. de judiciis, l. z in
fine. (D.L). ' 'APPLIQUÉE, f.s. en Géométrie, c’est en général
une ligne'droite terminée par un courbe dont
cl le coupe le diamètre ; ou, en général, c’est une
ligne droite qui se Termine par une de ses extré^
mités à une courbe, & par qui l’autre extrémité se
termine encore à la - courbe même , ou" à une
ligne droite tracée fur le plan de cette courbe.
Ainsi, (SeB. con. fig. ZG) EM, MM, sont des
appliquées à la courbe M A M. Voyei COURBE,
DIAMÈTRE , 8c,Le terme appliquée est synonyme à ordonnée. V.
ORDONNÉE (O).APPLIQUER. signifie, en Mathématiques, transporterune ligne donnée, soit daris un cercle, soft
dans une autre figure curviligne ou rectiligne, en
sorte que les deux" extrémités de cette ligne soient
dans le périmètre de la figure.Appliquer signifie auffi diviser, fur-tout dans les
Auteurs Latins. Ils ont accoutumé de dire duc AB
in CD, mcnei- A B sur CD ; pour multipliei A B
par CD , ou faites un pallélogramme rectangle dé
ces deux lignes ; & applica AB ai CD , applique\
AB a CD, pour divisei A B par CD , ce qu’onexprime ainsi -^, On entend encore par appliquer,tracer -Tune sor l’autre des figures différentes ; mais
dont les aires sont égalés.APPOLLON ( Astronom. ) , nom que quelque*
Auteurs ont donné à Tétoile des gémeaux., appellée
àuffi castor, c’est la précédente & là plus belle de ?
deux ; elle est marquée * (D. L).APPROCHE, f. f. ( Médian. ). La courbe
aux approches égales, accejfus oequabilis, demandée
aux-Géomètres par M. Léibnitz, est fameuse
par la difficulté qu’ils eurent à en trouver Téquation.
Voici la question.Trouver une courbe le long de laquelle un corps
descendant par Taction seule de la pesanteur, approche
également de l’horizon en des tems égaux ,'
c’est-à-dire, trouver la courbe A MP (Méch.
fig. 41 ) , qui soit telle que si uri corps pefantse meut
le long de la concavité A MP de cette courbé, Sç
^ou'ontíre à volonté les lignes horizontales Ç M,
RN, S O, TP, &c. également dislantes Tune dé v.
l’autre, il parcourt en teins égaux les arcs MNy
NO, O P ', &c, terminés par ces lignes.MM. Bernoulli, Varignpn & d’autres ont trouvé
que c’étoit la seconde parabole cubique , placée de
manière que son sommet A fût sa partie supérieure.
On doit de plus remarquer que le corps qui la doit
décrire, poUr s’approcher également de l’horizon en
tems égaux, ne peut pas la décrire dès le commen*
cément de fa chute. II faut qu’il tombe d’abqrd en
ligne droite d’une certaine hauteur VA, que lanature
de cette parabole détermine ; & çe n’ést qu’avec la
vitesse acquise par cette chute qu’il peut commencer •
à s’approcher également de l’horizon en tems égaux.M, Varignpn a généralisé la question à son ordinaire,
en cherchant la courbe qu’un corps doit décrire
dans le vuide pour s ?approcher également du point
donné en tems égaux , la .loi de la pesanteur étant
supposée quelconque.M. de Maupertuis a aussi résolu le même problème
3 pour le cas ou le corps se mouvrait dans un
milieu résistant comme Ie quarré de la vitesse, ce
quirendlaquestion beaucoup plus difficile que dans
le ças_ où Ton suppose que le corps se meuve daris
le vuide. Vpyei Eist. acad. royale des Sciences,
ann, z G99 , pag, '82 ', & an. z 730 , pag. z 29 , Mém.
P- 333- Voyeiaufst DESCENTÊ. (O) ,APPROXIMATION, f.f. ( Alg. )  opération par
{'• laquelle on trouve d’uncruanière approchée la va,A p p a p p 97leiir d5une quantité qu’on ne peut pas trouver rigoureusement.Cette opération est d’usage pour les racines des
nombres qui ne sont pas des puissances parfaites ;
pour trouver la valeur approchée deí'inconnue dans
une équation qu’on ne peut pas’ résoudre exactement,
8c. Entrons dans quelques détails.I. Tous lés Traités d’Arithmétique enseignent à
trouver par approximation les racines quarrée & cube
des nombres qui ne sont pas des quarrés parfaits
ou des cubes parfaits. On peut parvenir facilement
au même but, pour une racine quelconque , au• moyen de I'algèbre, comme je vais Texpliquer.Soit
 d’abord à tirer la racine quarrée approchée
d’un nombre qui n’est pas un quarré parfait.
Je commence par observer qu’un -pareirriombrê
(il s’àgif toujours de nombres entiers ) est’còmpris
entre deux quarrés consécutifs, c’est-à-dire, entre
deux quarrés dont les racines ne diffèrent que de
l’unité. D’où il soit que tout nombre non quarré. peut être représenté par la 'formule mr ±n ; mr
étant le quarré supérieur ou inférieur à ce nombre,
nia partie qu’il faut ajouter à m ?, ou en soustraire,
pour former le nombre en question. Cela, posé,
je considéré que \s ( mr±n)  est Ta mérite que
{ m2±n) f (voyei EXPOSANT )  ; & je développe
(m*±.n) k en série, par le moyen de la foririûle
du binôme ( voyei BINOME-)  ; ce qui hie dóri'ne
1/(m*±n)  =.mrh-2— î !l_-í-_ii-__-&c.On voit que m & n étant supposes -des -norhbrês
entiers, cette férie convergera toujours, ; pourvu que- rie surpasse pas Tunité. "…Par exemple, soit le nombre 150, qui n’est pas
un: qUarré parfait, &- 'dont on demande la racine
approchée: je.commence par chercher, par les
règles dé Tarithmétique, la racine du pilns grand
- quarré contenu dans. 150 ; cette racine est -12, &
le. quarré 144 ; d’où ; je vois que-150 est compris
entre le quarré de .12-, c’est-à-dire. 144, & celui
.de -13 , c’est-à-dire 169 ; mais, comme ie nombre
.150 est plus voisin de 144 que de 169, jê le
rapporte à la formulé mr -4- n, en prenant m1— 144,n = 6. Alors la formule devient IÌ 4-'-
 _ - *■ "" 3 6 -X. í%— ;—-^_'_- &c. - ce qui forme :J, vl 71Î ' t6- Z 4 8 8 ^|í, . -, u ,, ,Une férie très-convergente., II suffifa.de prendre
jsestfois premiers termes-pour avoir la valeur ap- -'
.prochée de toute la fuite, oú de lá racine quarrée de  ;
150. Or les deux premiers terínes/quiontlesigne-^",
étant, ajoutés ensemble, donnent i2'-J-^,-'.~doritíretranchant la fraction ■. 3—ou ■-7-, on aura ,pour résultat des trois ternies en question-, 12 -f- '
•Oí.yQii ( én réduisant "la partie 'f^ en parties
décimales, voyçi ce mot) , 12.3" 247395, qur diffère
à peine de la vraie racine dé ■100'000.- -^,1^ ;
\ 6oit,ipbur le fécond exemple, lé npiife^|^|j:js
Mathématigues, Tome I} I.*TÏ Pcfú^y^^-^'i <.qui n’est pas un quarté parfait. On trouve d’abord
que la racine du plus grand quarré, contenu dans
ce nombre, est 35 , & que le quarré est 1225.
Le quarré immédiatement supérieur, c’est-à-dire, .
celui de 36 est 1296. Par conséquent le nombre
proposé est compris entre les deux quarrés consécutifs
1225 & 1296, mais plus approchant du
second que du premier. Je le rapporte donc à la
formule m~ ■— n, en prenant m1 = 1296 , n== 7.Alors la férié devient x 6 —— - -^- ? 8c.. doritJ- ' 71 %• ^116^6-prenant feulement les trois premiers termes, on a
3 5, 902644 pour la racine quarrée approchée de
'1289. .Le procédé est le même pour la racine cube.,,
la racine quatrième -, 8c. far exemple, un nombre
qui n’est pas un cube parfait, peut être représenté
par mî±n, m> étant le cube supérieur ou inférieur.,-,
n la partie additive ou souslracTive , - quicomplète 1 nombre proposé. Alors on a l/(m3drn) —-TT — 8c L’âpplication aux nombres n’á aucune
difficulté. ' V, _.-■ IL- L’art de résoudre par. approxipiatipn Inéquations
qu’on ne peut pas résoudre en rigueur, est
fondé fur ;'quelques principes généraux que je vâis
.expliquer. Je comnience parles équations numériques,
c’est-à-dire par les équations où il 11'y a point
a áu'tre 'r quantité littérale que" TiriconnUe.-, ,'•*:• ! .III. THÉORÈME. Si, én substituant dans imt
équation quelconque deux \ nombres différens à la
place de F inconnue, on obtient des résultats designes
contraires ; l’une des valeurs de P inconnue fera comprise
entre les deux nombres substitués.Soit, par exemple, Téquationx*-\-nx%-\-px^-fqx■4rr=o ; supposons que ses quatre racines soient
x:=ia.,x=szb:,'x = C:_, x=^d, & qu’on ait <z^>è. »
■by>c, c^> d. -Nous aurons (2--—a) . (x-^-b) ■'■-.
\x—c.).(x-—d) -=so ; & en-fubstituant succès,
siyementg- & h à la place de:x, nous formerons
les deux produits:  ; :-•'•,■ .Cela posé,-1.- 0 soient^>a,- A<a.&A>3:
1 il ;, est clair'que tous les faóleurs du:produit( A) 
 ; -sont positifs, que le premier: facteur ;du.produit
- ■ ;( B ) est négatif & lesíautres positifs ; donc le produit
(A).est rjositif, le produit ( B ) négatif, &
la racine a est comprise entre g & h. '
-. í.° Soient g>>b ,. ■ &;#<> ; h < b & h >>c :
'■■ "le premier "facteur de (À) est négatif, Tes’ auti-es
-positifs : les deUx premiers íactem’s de (B ) sorit
négatifs, les autres positifs ; donc le. produit (A ) 
est négatif, le: produit-(B) positif -, & la racine
s b comprise entre g '&. í,--.y.. -y,.:■- ;-. ■:■ ,.. ; .
9 8 a p p a p p3.°, Soient^>c, tkg<ib ; « <c & « _]>d:
les deux premiers facteurs de ( A ) sont négatifs , &
les deux autres positifs ; les trois premiers facteurs
de (B) sont négatifs, le quatrième positif ; donc
le produit ( A ) est positif, le produit ( B ) négatif,
& la racine c est comprise entre g & h.4. 0 Enfin, soient g^>d & g<^c ; h~>d : les,
trois premiers facteurs de (A) sont négatifs, le
quatrième positif ; les quatre facteurs de (B ) sont
négatifs ; donc le produit (A) est négatif, le produit
(B) positif, & la racine d est comprise entre g & h.On appliquera facilement la même démonstration
à une équation de tout autre degré.IV. COROLLAIRE I. II suit delà que si les deux
•nombres g & h né diffèrent entr'eux que de Tunité,
la valeur qu’on obtiendra pour x , en mettant g ou
A à la place de cette inconnues ne différera pas
d’une unité de la vraie"valeur de x.V. COROLLAIRE II. Toute équation dont" le
dernier terme est négatif J le premier étant positif,
a nécessairement au moins une racine positive.
Car soit Téquation générale x>» -f- p x m" 1 -f- q x m-2… _
:—t=o.Si Ton fait as=o, on aura lé-résultat
négatif-— k: ; & si Ton fait .T '==' oc (a)  , on aura Ie
résultat positif -J- co. Ainsi, on a icig== o, A== 00.
•Donc Tune des valeurs de x est Comprise entre
'Ó&LÓC ; elle est par conséquent l’un des nombres
réels positifs compris entre ces deux limites." VI. COROLLAIRE . IIL-Toute équation d’un
degré impair a,, au moins, une racine réelle, laquelle
sera positive ou négative , selon que le dernier
"terme dé l’équation sera négatif ou positif,
le prëiriier étànt tOUjòurs supposé positif. Èn
effet ,"'■ on vôit d’abord que le premier cas -est
■compris dans Tarticle précédent. Pour démontrer
le second , on observera que le núfnbrè dés termes
d’une équation d’un degré impair étant pair, si
l’on change les signes de ces termes pris de deux
en deux à compter depuis le second inclusivement
jusqu’au dernier, lès racines positives deviendront
négatives, & les négatives, positives ( Voyei RACINE
). Or, par Cé changement de signes, le dernier
terme de Téquation devient négatif. Donc la
nouvelle équation a, au moins, une racine positive,
& par conséquent Téquation primitive a, au moins, ;
■ sine racine négative correspondante. - :VII.COROLLAIRE IV-Une équation d’un degré |
pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins ;
deux racines réelles, Tune positive , l’autre riéga- !
íive. Car d’abord elle a une racine réelle positive ,
{V ). Ensuite si Ton- changé les signes dé ses \
íermes pris de deux en deux, à compter depuis :
Je second jusqu’au dernier,.pour changer les ra"
cines positives en négatives, & les négatives en
positives ; on aura uné équation dont le dernier i
terme demeurera le même en tout que  ;celui de iIâ proposée. Donc cette nouvelle équation aurâ
au moins une racine réelle positive ; & par conse- .
quent là racine correspondante de Téquation proposée
sera réelle & négative.VIII. REMARQUE. II peut se faire qu’une équation
né donne jamais de résultats de signes contraires
, quelques nombres qu’on substitue à la place
de Tinconnue. Cela arrive,, i.° lorsque Téquation
contient seulement des racines égales deux à deux,
quatre à quatre, 8c. Ainsi, par exemple, Téquation
(x—.a) z X (* -6) *-.. = o, conservera évidemment
toujours le même signe, quelque valeur
qu’on attribue à x.z." Lorsque Téquation contient seulement des
racines imaginaires. Telle est Téquation ( x -\- a -\-b \V—i).(x -j-.a —b l/ — 1 ). (a:—c -f
d y — I ) . (x — c — d [/ ■— I ) …. c=: o, qui
aura toujours le mêmè signe, quelque valeur qu’on
donne à x. Sur quoi il faut se rappeller que les
imaginaires vont toujours deux à deux, & que
les deux racines qui composent une même paire,
ne diffèrent jamais que par le signe de la .partie
imaginaire.
5. 0 Lorsque Téquation contient tout-à-Ia-fois des
racines égales deux à -deux, quatre à quatre, 8c.,
& des racines imaginaires. Telle est Téquation,
(x^ar(x-b) *(x + c:+dlf-l) {x-k
c—dy^- .1 ) = q, . . '
Concluons, de-là que toute équation qui donne
des résultats de signes contraires, en mettant a la
.place de .Tinconnue des nombres réels-, différens, ne
 tombe dans aucun des trois : èas précédens.IX. PROBLÊME. Résoudre une équation quelconque
,sinon rigoureusement, au moins par approximation.'
.'■'.'■"•" ..•'". :
 Je commence par examiner G cette équation ne
cóntientpas des racines égales ; ces racines,, lorsqu’il:
y en a, se trouvent, comme on Texpliquera au'
mot racine ; & on parvient à une équation d’un degré
inférieur qui ne contient plus déracines égales.
J’examine encore si Téquation réduite n’á pas de
diviseurs commensurablesr d’une dimension ; ces diviseurs
se'trouvent par la ;méthode qu’on expliquera
au mot diviseur commerisurabléiíAu moyen 1 de ces
recherches préliminaires , on n’aura plus à résoudre
que des équations qui contiennent des racines réelles
inégalés & incommensurables,'ou des.racines imaginaires
, ou des racines en partie 'réelles inégales &
íncornfnenfurables, én partie imaginaires. Je suppose
donc que'les équations qu’il faut íçi résoudre par approximation
,íont de cette nature 1: on versa par les
exemples fuivàns comment ilfaut opérer en général.
Ces différens exemples ont chacun leur difficulté
.particulière & se rapportent à différentes
sortes d’équations. '.,-,..j EXEMPLE L Résoudre par une première approxïmotion,
l’équation X 3i-f- ç-x -f- 7:= O ?' ,Comme cette équation, est d un degré impair, &
que son.dernier terme est positif,,je fuis assuré: (:VÍ) ■*— ■ :—- (o)  Ce caractère 00. sert en général ^ì désigner une
grandeur infinie quelconque. /A p pa  p p99,
qu’elle a au moins une racine réelle négatives &
que paf conséquent je ne puis pas manquer d’obtenir
des résultats designes contraires, en substituant
pour a: deux nombres négatifsdifférens. Je fais donc
d’abord x = o, OU'Ï = :—o, ce qui donne le résultat
positif -f- 7 ; je fais x = — í , ce qui donne
encore un résultat positif-j-2 ; je fais-z — — 2,
ce qui donne le résultat négatif—-n. D’où je
conclus que Tune des racines de Téquation est comprise
entre— 1 &—z. Les deux autres racines sont
imaginaires ; mais, si elles étoient réelles, on
déterminerait semblablement leurs limites. .Nous apprendrons bientôt à trouver des limites
plus étroites pour la racine réelle., EXEMPLE II. Résoudre par. une première approximation
P équation x+— ióx 1 -J-7X-J- 37^=0 ?Supposons succeffivement *=O,:E = I,3:=2,
ar=3, 8cjypuisx——O, x'=—i,a ;= —2 ;
x=—48c: nous aurons la table qu’on voit ici:Suppositions. Résultats. Suppositions. Résultats. ? = cr. , -f-37 x = — O -f 37x==i_-\-_x9x = ~i +15'x== ;z . +3 x = — z ■—25"*.— 3 -  ; —5 *=-r-3- —47.x — 4 +"5 x== — 4 -\- 9*=') +197D’où rious devons conclure que Tune des valeurs
dex est comprise entre i & 3 ; une secondé, entre
3 & 4 ; une troisième, entré'— 1 ,& —-z ; enfin la
quatrième entre — 3 &- — 4.EXEMPLE III. Résoudre, par une première approximation
, l’équation x4'— 15 x1 -|- y x -Jj7
= o ? - .En faisant succeffivement x = o, x=i, x=z,
•a: = .3 , x.*=4, x=5 , .&ç., on trouvera toujours
des résultats positifs ; mais on ne doit pas se hâter d’en
çoncluf e que Téquation n’a pas de racines positives :
car il peut se faire que les valeurs supposées pour x,
marchent par de trop grands sauts. Le plus court
moyen de s’en assurer, est de changer Téquation
en une autre dont les racines soient plus grandes,
par exemple, dix fois plus grandes, & d’examiner
si en: augmentant successivement d’une unité la nouvelle
inconnue, on ne parviendra pas à desrésoltaltsde signes contraires. Jë fais donc * = —j{ je ferais x = —, fi je voulois avoir une équation
dont les racines" fussent m fois plus grandes ).
La supposition x = — change Téquation proposéeen celle-ci : y* —1500^ -L^oooy-j- 370000=0.
Ensuite je suppose successivement y =0, y = z_,
y==z , J —3, …… y=io , y==ïi-,■y'=ï 12, …… y == 20, y= 21, y = 22, &C’ ?& je trouve que les deux suppositions y ■= 24 ,'
y-~ 25 , donnent des résultats de signës:c"ontraires.
Ainsi Tune-des -valeurs de y est entre 24 & 25 ;
&', par conséquent, la valeur correspondante de x
est entre 2,4 & 2,5. Même procédé, s’il est nécessaire
, pour les autres racines de Téquation proposée.
- - • '.'■■■EXEMPLE IV. Trouver dans F équation x1 -f-'
3 x -J- 7 = o, dont les racines font imaginaires , les
expressions ' approchées de ces racines ?Je feins que Téquation proposée provient de
celle-ci : "( x +p -f 'iV— 1 ) X ( * rf'P —ï V'~-x ) — °5 ou *.a + i'P * +PP + í ? = 0,
p & q étant des quantités réelles, qu’il faut déterminer,
du moins à-pêu-près. Or 1 équation proposée
& Téquation feinte dèvantrêtre identiques,
on aura zp = 3 , p p -f- q ç=7.NoUs connoissons
d’abordp, puisque fa valeur est|-ou 1, 5 ;. substituons
cette valeur dans Téquation p p -\-'qq = 7 nous
 aurons qq — j — | = ^, ou ç * —-^ =: o.
Cette équation a ( Vil)  deux racines réelles, Tune
positive, Tautrenégative ; &enfaisantsucceffivement
Ç=O,Î==I, §=2,2=3, &c.,puis ?=— "i,
q = — 2, &c., on trouve que la racine.positive est
entre 2 & 3 , & la négative entre — 2. &.— 2.  ;Cet exemple est fort simple ; mais on opérera de
même dans les cas analogues plus composés. Quel
que soit le degré d’une équation qui contient des
racines imaginaires, cès racinesTont toujours deux
à deux, & peuvent être regardées comme produites
par des équations du second degré : elles sont donc
toujours réductibles à la sonne qu’ori a attribuée
aux racines de Téquation précédente. Ainsi,, én
feignant qu’une équation dont les racines sont imaginaires
estle produit depilufieurs paires dé racines
imaginaires , semblables à celles" de í'exemp'le précédent
, .& comparant terme à terme Téquation
proposée avec Téquation feinte, on aura plusieurs
équations qui serviront à éliminer tousses coefficients
inconnus des racines feintes, à Texception d’un seul
qui.sc trouvera daris une équation finale, laquelle
àura, au moins, une racine réelle. On prendra
cette racine póur la valeur du coefficient dont on
vient de parler ; ensuite en remontant aux autres
équations der coefficients, on parviendra à les déterminer
tous, à-peu-près. II est clair que leurs
valeurs feront des quantités réelles, & que ses
racines de Téquation ne sont imaginaires que parce
que les coefficients dès équations feintes, sont en
partie multipliés’pair J/—-I. -X.SCHOLIE I. La transformation employée dans
TExemple III, a non-feulement. Tayantage de lever
. facilement là "difficulté qui se rencontre dans les
questions de cette nature ; mais elle sert encore à
trouver, d’une manière plus approchée, lesracines
d’une équation^ & en la répétant plusieurs fois, on
pouffera Tapproximation aussi ioin qu’on voudra.
Pour rendre ceci clair, reprenons Téquation x * -}jx-f
 7=0 (Exemple I). Je la change en un autre
dont les racines soient dix fois plus grandes, èftNij
IOO À P P
A p pfaisant a-=-í-j ce qui me donné y3 + 5oqy
4-7000=0 ; je détermine deux nombres qui ne
diffèrent que de 1, & entre lesquels soit comprise
la valeur de y : & comme j’ai déjà trouvé que la
valeur de .T est entre — 1 & — 2 , jé vois tout de
fuite que celle de y est entre — 10 & — 20. Resserrons:
cet intervalle.-. La supposition y =— ïo,
donne- pour Téquation en y , .un résultat -positif ;,
& la supposition y =■— 20 donne un résultat négatif.
Faisons -.y =—■ 15 ; nous’ aurons un résultat
négatif ; donc la valeur dey est entre—10 & —15.
£oìty=— 12 ; on aura encore un résultat négatif ;
dónc la valeur dey est entrée— 10 &— 12. Soit y
=— 11 ; on aura un résultat positif ; donc la valeur
de 3' est entre — 11 "& — 12 ; & celle de x est
enfre—-1,1 &—1,2. -,.-_. . -■_.:-.
- Pourpousser Tapproximation plus loin, je change
Pèquatiori-eri y en une autre dont les racines soient
dix .fois "plus grandes que Jes valeurs de y > ou
cent fois plus grandes que celles de x. Je fais doncy = — ; & Téquation en y se change en celle-ci :l~> 4- 50000 1 -f- 7000000=0. Et comme la
valeur de y est entre — 11 & 12, celle de 1 será
entre—110 & — 120. La supposition 1 = —
110 donne pour Téquation en 1, un résultat positif,
& la supposition 5 ; = — 120 donne un résultat
négatif. Faisons 1=— 115: nous aurons un résultat
négatif ; donc la valeur de ? est entre —110
&—115. Soitij =•— 112 : nous aurons un résultat
négatif ; donc la valeur.de 1 est entre•—110 &
-r-iiz. Soit Ï=—in ; le résultat est positif ;"
donc la valeur.de ï.est entre-—i.n &-^- 112 ;
celle dey entre-^- 11,1 & — 11,2, & celle de x
entre—1,11 &— 1,12. On connoít donc-x à
moins de —z,- près ; & en continuant à opérer toujoUrs
de la même manière, on pourra trouver une
valeur qui diffère d’aussi peu qu’on’voudra de
celle de x.Je ferai observer, en passant, que la transformation
d’une équation en une autre dont les racines
soient 10 fois , 100 fois, 1000 fois, &c, plus
grandes, sert à changer une équation qui contient
des parties décimales en un autre qui n en contient
pas. Par exemple, soit Téquation xì +5, 745
x1 -f- 6,7847x4-9,7428=0:16 coefficient du.
second terme contenant trois figures décimales,. je
change Téquation en une aune dont les racines
soienf cent fois plus grandes ; je fais donc a ; =~~-c.e quim-edonney' 4- 5745 y1 4-6784709y + 9742800000 = o , équation où il n’y a point
de parties décimales.XI. SCHOLIE II. Quand on a trouvé, à moins de—
près, Tune des racines d’une équation ,1a méthode
suivante, dûe à Neuton, donne par un calcul rrèsexpéditif
la valeur de cette racine, approchée auffi
3>rès qu’on voudra. Par exemple, soit encore riotre
équation x\ 4-5i4-7= ;o, dans laquelle La valeurde x est, à moins de -h près, —1,1, ainsi que hoi »
Tavons trouvé ; , »••Qu’on prenne x =— 1,1 + ?, létant ce quii
faudroit ] oindre à — 1,1 , pour avoir exactement
x. Qu’au moyen dé cette valeur, on élimine
x de Téquation proposée x5 +5^+7 =°í
on aura la transformée 1ì — 1 * 4" 8 ■> ^3 V + ° r
169== o. Or, comme la quantité 1 est au-dessous
de-/-, & que paf conséquent son quarré est
au - dessous de -rhi , son cube au - dessous de 75V ?;.
il-est clair que les deux termes ; qui contiennent
l s  ? 1 2 , sont beaucoup plus petits que les autres,
& qu’ils peuvent être négligés. Nous aurons en
conséquence 8,63 ,ï + o, 169 =0 ; ce qui donne, — _ Siií ? ^~ — -Líi- = — 0,019 , à-peu-près.
l—…..t,G3 — 8630 ' -" K l .Donc x = — r,i -f- í = —1,1193 aTpeu-près. JJapproximation
 peut être poussée beaucoup plus
loin par divers "moyens qui dépendent tousse là
même méthode. D’abord nous pouvons écrire Téquation
générale en 1, sous cette forme: 5= ;•• ••—°'169 Substituant daris le dénominateur,
71— Î^Í-HXÎS- …à la place de 1, fa première valeur approchee-0,019,
& à la place de f fa valeur pareillement approchée0,000361, on aura, Í = -^^ Ì —0,0194,à-peu-priès. Donc x = — 1,1194, àjpeu"de choseprès. ,-.-::: ' -. | . -. .La même équation générale én 1 peu't être résolue,
sans négliger d’autrê terme que^ 3. Paf-là, on a
Téquation du second degré, .--7- 3 , l^s.-\- 8,^63 i'-\-
0,169 == °5 laquelle donne 1 s—o,01,95, à-peu »
près.-.Donc a-=—.ì ;ì 1-95 ,, à-peu-près.  ;.Enfin, de la même manière qu !ori s’est servi de
la première valeur — i,i, approchée de x, pour
trouver la seconde valeur—-1,119 <¥& e^ P'us
exacte ; nous pouvons nous servir de celle-ci pour
eh trouver une.troisième encore plus exacte. Supposons
donc x=— 1, nç) -\-u ; & mettons cette
valeur dans Téquatiori proposée -r 5 4- 5 a: -j- 7 = 0i
Et comme les termes qui contiendront u1 & u1
peuvent être rejettes fans scrupule, dispensonsnous
d’écrire ces termes, pour nous épargner des
calculs inutiles. La transformée en u sera donc simplement,
8,756483 u 4-0,003831852 = 0. D’où
l’on tire à-peu-près u=.—0,00044. Donc ar=—
1,11944, à-peu-près. > , " • ' '.-II est clair que par le moyen de cette troisième
valeur approchée de x, on ■ peut en trouver une
quatrième -encore plus approchée, ainsi' de fuite.Je passe à la résolution approchée des équations
littérales, cesl-à-dire, des équations qui, outre
Tinconnue., contiennent encore d’autres lettres
quelconques.XII. Les méthodes d’approximation pour les
équations numériques,' s’appliquent également aux
équations littérales homogènes qui contiennent simplement
deux lettres, c’est-à-dire Tinconnue, & une
aUtreJettre connue. Par exemple, si on prope-se1 p p à p p roi■ ï'équationx* - ^SÎ' -|- 7 a3 * 4- IÏ ^4 ~ò, qui
ne contient que Tinconnue x, & Ia quantité connue
e ; on supposera c= 1, & par-là on aura Téquation
numérique**-5 z1 4-7*4-11=0. Quand on
aura trouvé les racines de cette équation, on les
multipliera par a, & on aura celles de la proposée.
II n’est donc pas question ici de ces sortes
« équations.On doit observer que si une équation où il ne
paroít que deux lettres, n’étoit pas homogène, elle
seroit censée-contenir trois lettres, parce que les
termes où les dimensions sont les moindres, doivent
être censés multipliés par les puissances d’une lettre
que Ton a regardée comme 1 unité & qui est sousentendue.
De même, une équation où il ne paroít
que trois lettres, & qui n’est pas homogène, doit
être censée contenir quatre lettres, ainsi de fuite.
XIII. PROBLÊME I. Trouver, au moyen d’une suite
bifinie convergente ,. la valeur approchée de l’une des. racines, d’une équation qui contient plus de deux
lettres ?Soit, par exemple,-Téquation homogène & à trois
lettres xì 4- azx-^-a bx — za~' — è3 =ò. Les
deux quantités données a &. b doivent êire regardées
còmme inégales ; car si on avoita = 6, Tune
ou l’autre de ces lettres pourroit être chassée de Téquation
 qui ne contiendrait alors que deux
lettrés.I. Cas :a^>b. Je feins qu’on ait x = A-\-Bb
'■Î-Cb^ + Dbì+ &ç. ; A,B, C, D, &c. étant
des coefficients inconnus qu’il s’agit de déterminer.Au
 moyen de cette valeur de x, Téquation proposée
x3 ■\-az.x-\-.abx—2f3— i> 3 =0, donne, en
ordonnant le second membre par rapport k b: .Et comme on a x% -\- a* x -\- ab x — z a ! —
í 5"=o, il s’ensuit que la somme de toutes les fuites
qui composent le second membre de Texpreffion
précédente, doit être auffi égale à z'eró. Donc ehàque'
terme particulier de cette somme doit être zero.
En effet, la valeur de b peut erre auffi petite qu’on j
voudra ; & fi on Ia suppose infiniment petite, on
verra, en comparant entr'eux les termes du second
membre, que le premier doit être regardé comme
infini par rapport au second, le second comme
infini par rapport au troisième, le troisième comme'
infini par rapport au quatrième ; ainsi de suite.
D’où il résulte qu’aucun terme ne peut être
.détruit ni par' ceux qui le précédent, ni par
ceux qui le suivent, & que par conséquent ]la totalité dés ternies ne seroirpas zero', si chacun
d’eux en particulier n’étoit pas zero. On aura
donc, pour déterminer A, B , C, D, &c. les équations
particulières, A''-j-azA—233=o ; (^-B-}-aïB+ a.A) b = o ; ( 3 A B2+ iA"- C -j- az C-faB) bzz=zo ;(Bi^5Az-D-\r6AB
C+azD +
dC— 1) b1 = o, &c. La première donne A-a ; la
seconde donne ( en divisant tout par 6 , & mettant
pour A sa valeur ) , 3 ar B 4- ar B 4- dr = o, & par
conséquent B=—\. La troisième donne (en chassant
b\A, B) , ± ;a+4arC— - = o,& par
conséquent C = —. La quatrième donne semblablement
D =-ï22_ &c. Substituons ces valeurs
de A, B, C, D, &c. dans la fuite feinte ; &
nous aurons x=a— - -I- f- ~-5'-, 4- &c.4 ' 64 a ' sizí *qui est la fuite cherchée dans le premier cas. On
voit que cette fuite est convergente.II est à propos de remarquer qu’on a déterminé
le premier coefficient A par la résolution de Téquation
K1 -\-az A — 2a5'— o ; résolution qui a été
facile, parce' que cette équation est décomposable
en diviseurs rationnels. Mais fi, en pareil cas, Téquation
n’étoit pas décomposable en diviseurs rationnels
, on détermineroit au moins A par approximation
( XII ) , puisque Téquation est homogène,
& ne contient que deux lettres.II. Cas : a<^b'. Je feins-qu’on ait-z=yá. 4-'
B a-{-B az-\-D-al 4-&c. Donc, en ordonnant
le second membre par rapport à a, on aura: . .Donc, à cause de xi-srâíx-\-abx—zal—b'—o le
 second membre de Texpreffion précédente sera
auffi zero. De plus, chacun des termes en particulier
de cette expression sera zéro. Ainsi, on aura les équations,
A^-bì =0 ; ( ïA%B-r-Ab)  a=o ;( xAB:L-LìAzC-T-A+Bb) az=o ;
(Bi+iA'D+6ABC.ÌB-x-Cb—2) 
a"'=zO, &c, lesquelles donnent A=b*B~-r\,C=—^, D = -jíi--, &c. Donc,eri mettant pour A, B, C, D, &c., leurs valeurs,la fuite feinte deviendra, x=b — L-ii^-&c. ; '-.■-, : :""•nbz' , . ….XIV. CoROLLAiB.-E._La:. valeur trouvée pour x
étant l’une desrrpis racines de Téquation proposée
x* -{-a% x-^-abxTrí c3 -r-t3= ;0 ;sil’on nomme
io*. 'A P-P
& V £íí cette racine ,'& qu’on divise 1 équation par*—
As=o on obtiendra une équation d’un degré plus
bas, dont on connoîtra, à peu de choses près,
les coëfiicients & le dernier terme, & dont on déterminera
les racines par un procédé semblable au
précédent, supposé que ces racines soient réelles.
II en sera de même pour les équations des-degrés
plus élevés.'XV. SCHOLIE. Les équations qui contiennent
plus de trois lettres, peuvent se traiter, à-peu-près,
de la même manière. Toute la difficulté qu’on
éprouve à sonner les suites qui doivent exprimer
les valeurs de Tinconnue, consiste à choisir, parmi
les termes de Téquation, ceux qui sont plus grands
"que les autres, & qui déterminent en conséquence
}a loi suivant laquelle la série doit descendre.
Neuton a donné, pour cela, une régie fort commode,
qu’on appelle ordinairement le parallélogramme
de Neuton, Elle est expliquée de la manière
la plus claire & la plus détaillée dans un excellent
Ouvrage de M. Cramer, qui a pour titre -..Intro*
duâion al’Analyse des Lignes courbes Algébriques ,
$en. 1750.'(Z. B.)  ■'-"'■-■-• -.-■-.*Nous allons ajouter uné aritre Méthode d’avoir
la valeur . approchée de toutes les racines d’une
équation numérale déterminée. Cette Méthode est
de M. de la Grange, qui Ta donnée dans les
■volumes XXIII &. XXI V'des Mémoires de ■
Berlin,'-• Le premier objet ; que sc propose M. de la
Grange, est de trouver toutes les racines réelles,
positives & inégales d’une équation ; mais, pour,
cela, il faut commencer par connoître le nombre
de" çe's racines, Soit donc lâ proposée x --- a.
x-^- b .x — c .,-.. = 0 , il est aisé de voir que si
jè mets à la place de x un nombre positif quelconque
, les x -r— a ,. sc — b , x -~ c., &c, resteront
toujours positifs, si a, b, c , sont des nombres
négatifs ; que s’ils sont imaginaires,le-produit
de chaque-paire d’imaginaires fera auffi toujours
positif 3 & il en sera de même de chaque, paire de
racines égales quel que soit leur signe : donc sion
divise ; une équation proposee en deux facteurs
A &-B, dont Tun A renferme les racines imaginaires
, les racines négatives, ou enfin les paires
des racines égales, & B les racines réelles, positives
& inégales, la valeur du facteur A ne changera
point de signe, quelque nombre positif qu’on mette
à la place de i, & restera toujours positive. Je
considère donc seulement le facteur B , que je suppose
égal à xrrr-a' r x-r-b'c’.xr—c’. • • les’d, b', c,
étant des nombres positifs, & d <" b' < c <^-, &c.
dans ce cas si je mets pour x un nombre plus
petit que a', tous les facteurs seront négatifs ; &
si je mets pour x un nombre ^> d & < V, ils
seront encore tous négatifs hors le facteur x-r- d,
qui sera positif ; donc le produit B changera
de signe ; il en changera encore lorsque Ton
mettra pour x uri nombre > b' < c , & ençorçlorsqu’on mettra poiir x Un nombre ;> e', &plnì
petit que la racine suivante, & ainsi de suite,en
sorte que si on met pour x, o, A, 2A, 3A,&c.oùla
différence A soit plus’petite que la plus petite différence
entre deux racines consécutives, il y aura
autant de racines réelles positives inégales que la
valeur de la quantité égalée à zpro charigera de
signe ; il faut donc connoître maintenant, i.° un
nombre tel qu’en mettant pour ' x. un noinbre .
quelconque plus grand , B ne change point de
signe, afin de ne pas être obligé d’étendre-à Tinfini
la substitution des O,A 2 *, 3 A, &c. p0-ur
x ; z.° un nombre A , tel qu’il soit plus petit que
la plus petite différence entre deux racines con »
sécùtivès,-ou en généras entre deux racines.Pour le premier point, comme çètte valeur ""
de x doit rendre B positif, le signe du premier
terme Tétant auffi, il est clair que prenant un
nombre égal au coefficient le plus grand des
termes négatifs augmenté de Tunité, B né deviendra
pas négatif , en mettant pour,* ce nombre ou
un nombre plus grand ; car prenant le cas le plusn ' - B-I n-2défavorable, celui où Ton auroit x'=zax rj-bx- • :
4-y, a, b, ' ••■•"• q étant positifs,oritrouveraquev—■ n n-l -—n-z ———-—miPj^i= p.p-\-1 4-p.p-L.i ,..>íZp4-i4. ;
■ ndz ' .-b P + 1 ' * * puisque a ,b •"• q par l’hypothèse
ne peuvent être plus grands que p, - ..Pour se second point , on prendra d’abord
Téquation entre les différences des racines de
la proposée, & pour cela on remarquera que
soit "a cette différence, & mettant au lieu de-x,
x 4- " dans la proposée , on aura une équá--'
tion qui devra avoirs lieu en même tems que
la proposée, & éliminant x -,- il ! restera une
équation en u, qui sera Téquation cherchée,
Cette équation ne contieridra que des puis ?
sançes paires de- K-, parce.-que soient 4 &..b,
deux racines delà proposée", il est clair' que Téqua-T
tion pour les différences r aura également pour
racines a — b <k i> —- a , & que par conséquentu- — a-^bz sera ún.'des diviseurs. De plus, elle
fera autant de fois divisible par u 1, quilyaura
de racines égales entr'elles. Puis donc que nous
cherchons un nombre plus petit que cette différence
entre des racines inégales, mettant au lieu de ur laquantité-, on aura une équation en 1, & eonnoif »sant une valeurplus grande que la plus grande racine
positive de cette équation, Tunité divisée parla racine
quarrée de cette valeur sera plus petite que la plus
petite différence entre les racines ; & Ton trouvera
cette valeur par la même méthode, que ia limite,
des racines positives de la proposée trouvée ci,'deffus,
 Cela pose, si on substitue à la place de a
les nombres o , A, Z A 3 A ? , , . A ? étant -7 .
jusqu’au nombre p 4- 1 , qui surpasse la pli »A L t ' a m ï -rd5grande racine positive, on aura autant de racines
positives qu’il y aura "de changemens de signes ;
mettant ensuite au lieu de x une quantité—x,
& faisant les mêmes opérations, il y aura autant
de racines négatives inégales que de changement
de signes.Quant aux racines égales, soit X-o la proposée,t^ = o aura lieu en même tems, s il y a desdx ' Jracines égales. Mais de plus soit á— ~x-\-a.x~rl-x+c &c. X=sx-\-a • x -f- b • • • dx 4- N- -
ÏXÏ-.x + b.x + c ^~sx 4- b . x -jc
"• dx -\-N. Soit maintenant X auffi divisible
par x 4- a, il faut qu’en mettant — a pour x
dans cette intégrale, elle devienne zero ; doncN=o ; donc X est divisible par x -\- d1  ; donctoute racine commune entre X & —,— = o ,dx3donne une égalité de racines entre celles de X==o ;prenant donc le commun diviseur de X & j— 3il "est clair qu’il contient & ne contient que les
racines égales de X, élevées à des puissances moindres
d’une unité que dans X ; donc , traitant le
commun diviseur conime Ia proposée, on trouvera
que la proposée a autant de racines réelles positives
ou négatives égales en nombre pair, que le
commun diviseur a de racines inégales. Ensuite, si
j’appelle X le commun diviseur, & que j’aie celui deX'&de-r—7, j’aurai autant déracines égales, troisà trois, ou en nombre impair au-dessus de trois '
que le diviseur commun a de racines inégales, &
ainsi de fuite. Soit, par exemple , m le degré de
Téquation & n<^ m le nombre des racines inégales
, déterminé par la méthode ci-dessus, & où
les racines égales en nombre impair font comptées pour
 une racine, p celui des racínes’mégales du
premier commun diviseur , r celui des mêmes racines
pour le second diviseur commun, & s four
le troisième, & qu’il n’y én ait point au-delà, la
proposée aura n — r 4- 'i.p—. zs-\-o) r-\-4s…
racines réelles, n — r, inégales,p — s égales deux
à deux, r égales trois à trois, & s-égales quatre
à quatre, & les r racines .égales trois à trois auront
été_ déterminées parmi les n racines que la méthode
ci-dessus trouvé par Téquation X=^o3 de
même^que les s parmi celles du commun diviseur
de X & de dX égale k zéró."
. Le" nombre.dé racines imaginaires est égal au
Saombre total’dès racines moins celui des réelles:
donc on aura lê nombre des racines ; & quant à
la distinction de celles qui sont égales, on les
trouvera comme ci-dessus, .en connoissant le nombre
de racines imaginaires des diviseurs communs.
… -Maintenant ifi on yérit avoir UneLyaleur approthée
d’une des racines réelles 'positives & inégales
de la proposée, òn prendra une série.,: o ,,'A, 2. A.,.3 A ; &c. où A est à-la-fois plus petit que Tunité,
& plus petit que la plus petite différence-entre
deux racines ; on mettra successivement dans la
proposée pour x les différens termes de cette férie,
& 1 on observera le.point où en mettant Tune après
l’autre deux valeurs consécutives, le résultat changera
de signe ; alors la plus petite de ces valeurs
ne différera de la plus petite des racines positives
que d’une quantité moindre que A. Appellant pcette valeur, je ferai ï=f-f-, & j’aurai uneéquation en 1, que je traiterai comme la proposée ;appellant q sa première valeur, j’aurai x-p-\ î—n.& une équation en u ; appellant ria première valeur
de u, trouvée toujours par Ia même méthode, j’auraix =p 4 -, valeur qui approche contkiuelr+r.. lement de la vraie, puisque, par l’hypothèse, q-, r,"
&c. sont des quantités plus grandes que Tunité. •Si A est plus petit que I, faisant A = _ s a. & b
sont des entiers, on n’aura qu’à mettre , au lieu
de x, une autre quantité |, & on aura pour Téquation
en ;[,A = íz, & par conséquenr A sera un
entier & pourra être supposé 1, & on aura, i.° les
quantités p, q, r, &c. égales à des nombres
entiers , ce qui simplifie la fraction continue -y
z." on aura une valeur exacte de la racine toutes
les fois qu’elle y en a une rationnelle ( voyei ^a
fin de Tarticle) , pourvu que tous les coêfficiens
de Téquation en q soient entiers, ce qu’il est toujours
possible de faire.On pourra trouver, par cette méthode , succeffivement
une valeur approchée de toutes les
racines positives de la proposée ; pour trouver
celles de ces racines qui pourraient en avoir
d’autres égales, appellant X~ o , la proposée ,
prenant le commun diviseur de X & dX, c&
commun, diviseur contiendra les racines de 'ht
proposée , qui en ont d’autres qui leur font
égales , & elles feront toutes inégales entr'elles
dans ce diviseur. Substituant donc dans çe diviseur
la même série o, A, 2,. A, &C, OU 0,1,
2, 5,4… que dans la proposée,, on trouvera
s’il y en a une ou plusieurs, "des racines trouvées par
approximation, qui soient âuffi racines approchées dii
diviseur, & toutes celles qui sont dans-le cas indiquent
que, dans la proposée , elles sont égales art
moins deux à deux ; on trouvera de même cellesqui
sont égales trois à trois, en cherchant lé commundiviseur de X,—-r— 3 -jp , & ainsi dé soíte »Après avoir ainsi trouvé toutes les racines positives
, faisant z = — ar , on aura une équation
en x, dont "on cherchera les racines positives1 ;,
& les prenant avec le signe — , on auraj.es racines
négatives cherchéesrto4 Á P P AP ?
■ Quant aux imaginaires, qui sont de Ta plus grande
importance pourra solution approchée des équations
différentielles ( voy ei ci-defous à l’article
-EQUATION SÉCULAIRE) , on ferax=a-\-b\/_—i,
& prenant la partie réelle & la partie imaginaire de
ce que devient la proposée après cette substitution,
les égalant chacune à zero,éliminant a , on parviendra
d’abord à avoir a = -^, A & B étant desfonctions rationnelles & entières de b , de plus on
aura une équation en b. Cela pose, il est clair que
chaque valeur réelle de b donnera une valeur réelle
de a , à moins que A , B, ne soient nuls en même
tems que la proposée. Si donc cela n’apoint lieu, on
prendra dans Téquation en b ie.s valeurs approchées
des racines réelles positives à chacune desquelles
répondra une racine négative de la même valeur,On aura a'en mettant dans -g- au lieu de b cettevaleur approchée, & par conséquent on connoîtra
une valeur approchée des deux racines imaginaires
a-}-b\V — i,a — b\/ — i. Mais si Téquation
cn b a lieu en même tems que A=^o&B =o,
on prendra Ie commun diviseur de ces trois équations,
ensuite on divisera parce commun diviseur
l’équation en b , & chaque racine de Téquation
ainsi divisée donnera une valeur de b ; ensuite
prenant le diviseur commun &-une équation du
second degrç trouvée en éliminant a & dé la forme
Maz 4- N a 4- P = o, on observera si le commun
diviseur, M, N & P , peuvent être en même
tems égaux à zero. Si cela ne peut arriver, on
prendra les racines de ce commun diviseur à chacune
desquelles répondent les deux racines de
Téquation en a ; st M, N, P , .peuvent-.devenir
nuls en même tems que le commun diviseur on
prendra de nouveau .je çonimun :diviseur de
ces quatre fonctions ,'& une équation du troisième
degré trouvée en éliminant a , & qui fera de la
forme M’ a} -f- N’ az -J- P' a + Q =o , & on
opérera comme ci-dessus, & ainsi de fuite ;Toutes les sois que, dans la recherche des racines
approchées, on aura substitué dans Chaque approximation
la série 0,1,2, 3 .,… à la place de la
racine^, on sera sûr de trouver la valeur exacte
lorsqu’elle scra.rationnelle ; en effet, cette valeur
exacte est nécessairement entre p, première valeur
trouvée, &p 4- 1, entre p 4- - &p 4- r-i_ •5 étant un entier, entre u-}-- -&p-|-:-l^-'- + ■ î.-p_r ' ' ■ î-r" T 2.
r r 4 ? i6 ainsi de suite. Or soit-^ la quantité plus petite
que 1 à ajouter à p pour avoir la vraie valeur,
q sera égal au quotient de n par m, plus un reste,"S.sn’">m ;. "k n,êmeí r sÇfa égal au quotient de'
Fparn’unrcste-^,^',-: étànt phis petit que ri ;
donc, en suivant toujours, on parviendra a ui
reste nul ou égal à*-^-, & par conséquent à 1 »
valeur exacte. Voyei FRACTIONS CONTINUES.La méthode dont je viens de rendre compte,
est générale pour toutes les équations numérales,
& elle donne pour tous les cas d’une manière certaine
une valeur auffi approchée qu’on veut de
chacune des racines. Elle a de plus Tavantage
qu’il est inutile de connoître d’ailleurs lá valeur
approchée des racines, comme cela,étoit nécessaire
dans la méthode de Neuton.Méthode d’avoir les valeurs approchées des racines
d’une équation algébrique déterminée.II faudroit, pour que cette méthode fût générale,
pouvoir trouver autant .d’expressions de Tinconnue
en séries convergentes que la proposée a de racines
réelles. - ; ■…Commençons par chercher un moyen général,
de réduire îa valeur de a: en férie: pour cela, je
remarque que quelle. que soit une fonction de ar
qui soit égale à y, je puis supposer que j’aie l’&>
quation y — :r4-4'a:=0,ou ;r = y -\-9x ; donc
si je cherche à avoir en y 4: * * la valeur d’une
fonction de x, j’aurai, par le théorème de Tàylor,,
démontré à l’article SÉRIE,fanant donc « x = $ y -j- B, dans Ia seconde formule-,
& ordonnant par " rapport aux puissances
de'*-y:,-. il-iest aisé i de voir que B doit être une,
 ; férie, dont le premier terme sera du second degré,,
égalant à-zero le terme qui, après fa sobslifutìohj
est de ce degré ; & prenant la valeur qu’il donne
pour B, j’aurai celle du premier, terme de la vraievaleur de B, elle est Í^I $ y, je ferai ensiiîte1 ■ ; d y s *B.'~ -jy *y -f- C, ou C est une série , doit lepremier terme-.est du troisième degré ; &, conti*
nuant ainsi, je trouverailunmtuant ces valeurs dans Texpreffion de * *,
Tor donnant par rapport aux puissances de 'T y &
*y, & réduisant chaque rang de termes, j’aurai
nnalement, ':',-. -[ ,…. sene, dont la loi esttrès-facilçàsaifir,'. ' -" Il est aisé de voir que, si * x contenoit encore y, '
onauroit également la valeur de Yareny,quandmême
fx contiendrait àiiffi y, en observant alors dans lamanière de prendre les différences, que —~ ou
—- , sont alors égaux à ce que deyient —s-^-.dy - ' ° x dx ?——} fi, après la différenciation, on met y pouf x,ou ce qui revient au même, il faut différencier en regardant
comme constans les y qui se trouvent dans x.
& * i. On voit de-là comment, si Ton a *' x, y~ o,
on aura ( par une férie ) x en y , & de même en une
fonction quelconque de i & y. Si Ton veut appliquer
cette manière d’avoir en y la valeur de a:, lorfori'on
a x par une équation en x & eny à lasolution des
■équations déterminées, on observera : i.° que si on
Tapplique immédiatement, on n’aUra que des expressions
réelles & rationnelles pour la valeur de x :
z." que pouvant prendre pour y telle quantité qu’on
voudra, on aura une infinité de valeurs de x :
3.° que parmi toutes Ces valeurs, il n’y en aura de
réellement différentes, qu’autànt que la proposée
peut avoir des racines : 4° qu’il y en aura un nombre
de convergentes différentes entr'elles, égal au
nombre de racines réelles-: 5. 0 que si on prend un
nombre m moindre que n degré de Téquation,.qu’onmfasse a t rífcaî" =0, & qu’on substitué, au lieu dear,
fa valeur en t, on aura une nouvelle équation, d’où
tirant les valeurs d & t en férie, on aura autant de vaîeursimaginaires
données par chaque férie que Téquamrion x ± 1 =0 a de racines imaginaires, & la pro.
posée aura autant des racines imaginaires, fi une
de ces séries est convergente.Ces. principes posés, on voit qu’il s’agit d’abord
de savoir distinguer entre une infinité de séries celles
' qu’on "peut prendre pour des. racines différentes ; soit
. ' ' '■ . ' ndonclaproposéea+^-f'^1—"-\-Px-°\il est aisé de voir que, íi on fait *z=o, il y a une
•racinequi s’évanouira, deux qui s’évanouiront, fi on
fait à-la-fois a & 6=0, trois, fi on fait a, b, c,=o,
&. ainsi de fuite. Par conséquent, fi on fait d’abordnb=o,onaurad^-cx'í——'YPX =0,Téquation
aura deux racines égales à zéro, en faisant
c = o, & par conséquent deux racines infiniment
:petites & égales aux deux racines de a -\- c x1 =0
lorsque a est infiniment petit. II.est aisé èn effet de
voir quea étant infiniment petit, & b manquant, la
proposée a deux racines infiniment petites, que
dans le cas de deux racines infiniment petites, esc
réduit à être le produit de toutes les autres racines,
puisque les autres termes qui entrent dans c disparpiffent
devant celui-là ; & qu’ainsi a, qui est le
produit de toutes les racines, étant divisé par c,
devient le-produit des deux racines infiniment petites
3 qui soptpar conséquent égales aux racines de
Mathématiques. Tome I} Ì.ere Partie.Téquation a 4- c xz = o. De même si on fait b & c
égaux à zero, & a infiniment petit, trois des racines
de Téquation deviendront égales à celles de Téquation
a 4- c x 3 = o, & ainsi de fuite.Si donc on a différentes séries qui représentent
la valeur dea:, on pourra distinguer par-là celles
qui sont réellement différentes ,c’est-à-dire, quiappartiennrnt
à des racines différentes.La méthode proposée ci-dessus donne une valeur
de x en quantités connues toutes les fois que x est
donné par une équation déterminée, soit qu’il y
ait, soit qu’il n’y ait pas de transcendantes. Mais
on n’est pas sûr d’avoir cette valeur par une série
 ; qui soit toujours convergente. C’est par cette raison
que je vais indiquer ici une méthode élémentaire
& très-simple, par laquelle on parviendra toujours '
à toutes les valeurs approchées de a-.i.° Si la fonction X=0 a plusieurs valeurs , on
les prendra succeffivement,' ainsi, Xscra considéré
daris la fuite comme une fonction qui n’a qu’une
valeur répondante à chaque-valeur de x.z."-On cherchera d’abord les valeurs de .rpositives
qui tendent X=z o, & on commencera par
déterminer pour a: une quantité telle qu’en Taugmentant,
x ne puisse plus changer de signe, ni
devenir zero, ce qui sera toujours possible toutes
les foîsque .X=on aura pas une infinité.de racines.
Ce dernier cas se. rappellerait aux autres en mettant
au lieu de x, x = sin x /par exemple, en effet
alors au lieu de ar, omauroit un angle dont le
sinus est a:, & au lieu d’un seul Jà examiner,
on en mettrait une infinité répondans. à Tangle dont
le sinus est a ; 4- m n 9 m étant un entier quelconque,
- "3. 0 Connòiflant les limites de x, on prendrax 4- qu’on substituera dans la proposée, &oriaura X' ==0, alors— représentera lès différeucesqu’il y a entre x 6k la. valeur- de la racine de
Téquation X=zo,_ 4.°-Substituant dans X -o les valeurs successives
en nombres entiers de x /depuis x t= o jusqu’à sa
limite, & cherchant pour chacurte les limites dey,
j’aurai y = < A , A étant cette limite, donc il n’y
á point de racines de X=z o entre cette valeur de x5, 0 Prenant ensuite toutes les Valeurs x 4- ~ ?entre o & la limite de x, on fera la même, opération
, & par ce móyen 011 parviendra à approcher
des valeurs.de x.6/ Pour trouver les valeurs négatives, on fêra
dans la proposée a ;=—a:, &"on cherchera les
valeurs-positives dear. -" ; y.° Pour trouver s’il y a des racines égales, ond Xégalera à zéro la quantité -^— , ensuite on cher-''■'■
O '
lotf A P P A P P
cherales racines positivés ou négatives, & on vefrà
si les -racines ne diffèrent de celles de X=oque
d’une petite quantité, & si, cn répétant les approximations,
cette différence diminue continuellement.
La méthode de M. de la Grange fournit un moyen ■
d’avoir en férie la valeur d’une quantité quelconque
y en x : lorsque y est donnée par une équation en a ;
&y, & que cette équation est différentielle, on parviendra
également à avoir une telle série : soit en .
effet une équation différentielle en y & x , on fera
« n sorte qu elle ne contienne plus que d x ; cela
posé, fi Téquation mise sous une sonne rationnelle
& entière, ayant tous ses rangs, & la plus haute
différence se trouvant dans le premier, elle n’a.'•/*.
point de terme constant, on fera y = A e -\-f'xfxzfx fyfx 2fxBe +Ce Ì-A'e -f B' e -\-C’e' &c.&, i.°on aura A, B, C, &c. arbitraires ; & fi n est
Tordre de Téquation, /fera donné par une équation
du degré n, f parla même équation, 8c. en sorte
que /, f f" sont les différentes racines de cette, . ' ■ 'f'- ÎW7*équation : -2." la substitution de A e -j-B &c.dans le premier rarig donnera des termes égauxfx fx
chacun à chacun à ceux que Ae -\-Be &c. produit
dansìe second ; donc A, B', &c. seront donnés
en A, B, & ainsi de fuite : 3.° fi Téquation en fa
deux racines égales, soit / cette racine, il faudra
Ce qui a heu toutes les fois que 1 équation en /a deux
racines égales. On prouvera de même que, fi cettëéquation en atrois,Hfaudra{airey=Axz-j-Bx-j-C,fx fx* -Y De , &c. & ainsi de fuite, pour quatre, cinq ,. ' - ifx f+fx&c racines égales : 4/ au lieu de Ae -\-B'e -\-.. zj’-xCe &c. on voit que, dans le cas de deux racines

Par la même raison que,-dans le cas des racines

égales, il faut prendre, dans le 1." rang de la valeur
■.'"/*
de y, un terme Axe pour chaque racine égale,deux à deux, & ainsi de fuite : de même, si Ton a/&/' étant deux racines, Ia somme de ces deux racineschacune multipliée par un nombre entier positif,égale à une de ces racines, ou à une autre des racinesde Téquation en /, il est clair que , soit n & mces nombres , & qu’on ait n f 4- m f = /" , lenf+mf'xterme A e disparaîtra du 1." rang deTéquation en y, on ne pourra donc point, en dé-'terminante, faire disparaître les termes e ' ,qui se trouveront dans les rangs supérieurs, & il
faudra supposer,.pour y parvenir dans la valeurnf-i-'nf ' x
de y, un terme A x -\- B e - .La même
chose a lieu pour la somme de trois racines, &c.
On en peut tirer cette règle générale, que toutes
les fois que Téquation en / a des racines positives
& négatives commenfurables, la valeur de y contiendra
x. La même chose a lieu lorsqu’il y a une
valeur de / égale à zéro. Cette remarque a lieu-,
-tjuelque méthode que Ton.einploie, pour intégrer
1 équation en y. .

Si la proposée avoit eu un terme constant, &
qu’elle eût contenu y au premier rang, on auroit
fait
fx fx zfx f+f'xy=A + Be -f Ce &.c.+Are -f-B'e . ,
&tìy avoit été dans les rangs supérieurs, onaurok
trouvé les B ; C, &c: toujours arbitraires, &/-par
une équation d’un degré dépendant du rang de la
valeur hypothétique, où Ton se sera.arrêté:si y
manque dans les rangs supérieur de la proposée,
alors / est encore donnée ici par une équation du
degré n.Si la proposée ne contient pas y au premier rangV
& qu’elle ait un terme constant, il faudra prendre/* /'* f''y=Ax+ Be -\-Ce&c.A'x1+B'xe &c
& procéder, comme ci-deffus. Au reste, le cas.où
il y a un terme Constant se peut rappeller aisément
à celui où il manque, il suffit de différencier•
Téquation proposée.La forme de y n’est pas Ia même dans ces deux
méthodes : dans là première Ia valeur des f &
leur nombre changent à mesure qu’on prend un
plus grand nombre de termes de la férie. Dansla
seconde x entre nécessairement dans la valeur
de y." Cette méthode d’avoir en férie la valeur dey ;
lorsqu on a une équation différentielle en y & en x ;
s applique au cas, où ayant m équations en m + I
variables 1, u , y … ,x, on cherche â exprimer
l > u > y 1 ■ • .. par une fonction en x.
A P P A P P i-o »-
On peut mème l’étendre aux équations, aux différences
finies, où A x est supposé constant, la solution
sera la même absolument, à cela près qu e les arbitraires
A, B , C, &c. seront dans ce cas égales à desax ' <jAxfonctions de e ; a étant tel que^e = r , &
ces fonctions telles quelles ne changent pas de
valeur,- lorsque a: devient x -\r< A x.Cette même méthode s’appliquera encore aux
équations aux différences partielles ; soit en effet
une de ces équations qui ne contienne que i, & ses
différences,fans contenir de x dey, ni de terme consfx+gyf'x+g'ytant, fi jefais i = Ae -\- B e &c. -Jzfx+ïgyzfx+g+g'yAe. r^-B'e -{- &c. j aurai, lesA, B, arbitraires, une équation en f&.g, en forte
que/fera tout ce qu’on voudra, & g donné en s,fx+gy
& que le terme A e &c. fera la somme, detous ces nombres dont le terme est infini.
S’il yaun nombre constant, & que i soit dans le. "' /. ' fx+eypremier rang, on fera i -=A -\-b e &c, &alors, selon le rang où Ton s’arrêtera, Téquation
en /& g fera d’un ordre plus élevé.Le moyen pour déterminer les arbitraires, sera
le même que dans les équations linéaires. ( Voyei
l’article EQUATIONS LINÉAIRES ).■ La méthode exposée jusqu’ici sert à donner y
en x, lorsqu’on sait que y est très-petit, & qu’on’
n’en peut négliger une certaine puissance. Voici une
autre méthode qui peut servir à avoir y en x ,
quand x est très-petit, loifque Téquation est du
premier ordre.Elíe est fondée fur Cette remarque, que, fi Adx-\-
B dy est une équation qui a tous ses termes ,AtkBA'•étant rationels, & que le facteur -jp- Ces fonctionsétant du degré m, rendê différentielle exacte une
équation peu différente dé A dx -\- B dy = p,on pourra, en prenant ^±| pour facteurs dçA dx 4- B dy, faire Z & Z' d’un degré tel que,
négligeant les secondes dimensions des coêfficiens
de Z & Z', & des petits coêfficiens àeAdx-\- Bdy,
dans là condition d’intégrabilité, on pourra faire en forte
 que le nombre des coêfficiens indéterminés surpasse,
celui des équations de comparaison ; donc on
aura en férie Tintégrale deAdx-\-Bdy, toutes,Ies
fois que Ton aura celle d’une équation peu différente ;
donc on Taura toutes ses fois que Ton pourra
regarder x comme une quantité très-petite.On peut étendre cette méthode aux ordres plus
élevés.On peut auffi employer , pouf les. équations
différentielles, la méthode suivante : ,Soit, i.p dy~®(x) dx} 4.la valeur de j, -lorsque x 523 a. La valeur de y, lorsque x==za 4SI ;ÌÎ
étant très-petit, pourra être supposée, engénérale, égale à A + * (a)  A X+ ,^°j°). * x 1.Nous nous arrêterons au second terme ;. on voit
qu’on pou voit-également ne s’arrêter qu’au 3/ au
4s &c. Par la même raison, pour x = a -\-
2 A x, on aura,& ainfi de suite jusqu’à m A X = x. On aura, donc,
par ce moyen, une valeur approchée de y, &
d’autant plus approchée, quon aura pu prendre
m plus grand à AX plus pe£itm2.° Soit une équation d*y = í-ii », nous supposerons
d’abord qu’on connoisse des valeurs de
y répondantes k x =sa , x~a-j-Ax,x=ka-{-
lii, x-a-\-i,Ax…. noussopposerons ensuite
A x étant regardé comme très-petit,sont pns en diffërentiant $ èn a: & y , regardant les
y, JL … comme des fonctions de x , & mettantà la place de —r-• fa valeur $,
dx„Cela posé,les *'••• $'n feront de même que tdes fonctions de x, y, -£'… d y . . '"-7-, & Ton
dx
jáura par conséquent n équation aux différences
finies entre les n -^ i indéterminées x y . . *ÎJ-I ■
íf y
—-^ &,par eoriséquent, après avoir éliminé une1 équation finale- entre x y } A y *-zy , . , ,Oij
toS APP ' - APP
A ~ . D’où il résulte qu ayant une valeuryde y donnée pour x = a , a -\- & x a -fl
n-n+ i _I\AX) 0Tl aura une valeur appro-.' , . n • « 4-"[ A Nchée de y, répondante à x = a 4 , ~ *• »-& successivement de la même manière que ci-dessus,
pour x — a 4-- f '"•"+' — 1 JAar-j-mAa:.II suffit pour Tobjet de cet ouvrage d’indiquer
ici les principes généraux de cette méthode, &
nous n’entrerons point dans le détail, ni des
moyens de la simplifier, ni de ceux de T appliquer
au cas où les valeurs de y connues, ne répondraient
pas à des valeurs de x en proportion arithmétique.Après avoir donné le moyen d’avoir y en a: par
une férie lorsque y est donné par une équation
différentielle, supposons que y soit très-petit,
qu’on puisse en négliger une certaine puissance,
& voyons ce qui doit arriver.I." La férie, par laquelle y est exprimé, peut
ou ne pas contenir x, ou le contenir.2. 0 Si elle ne contient pas a:, & que toutes les
racines / soient ou réelles" négatives , 011 imaginaires
avec une partie réelle négative, il .est
évident que la férie , en conservant les mêmes
coêfficiens , pourra être convergente depuis une
certaine valeur donnée de .r jusqu’à a-=|.3." Si elle ne contient que des racines positives
réelles ou imaginaires avec la partie réelle positive
, la férie ne fera convergente avec les mêmes
■coêfficiens’, que -depuis une certaine valeur négative
de x jusqu’à x =—£. "4. 0 Si la férie contenant x, cette variable ne
monte qu’à une puissance finie & déterminée, quelque
loin que Ton pousse la sérié , alors si les séries
particulières qui multiplient les puissances de x font
convergentes pour toute Tétendue des valeurs de x ,
ìa férie."pourra être censée représenter yàtrès-peu
près pour toutes ces valeurs. ; ■5. 0 Si x est introduit dans la férie parce qu’il
•y a dans Téquation en / des racines égales, & que
les coefficients de Téquation en y ne soient conuus
qu’à-peu-près, on ne pourra prononcer que x ne
doit pas entrer dans la férie, excepté quand ses
racines seront très-inégales, & on ne sera jamais
iûr que x doive y entrer.6." II en fera de même si x est introduit dans la
férie, parce qu’il y a des racines telles que ku'rs
sommes multipliées par des nombres entiers positifs,
soient égales à uneracine de la même équation. Mais
on doit en excepter le cas où cette propriété des racines
a lieu , parce qu’il manqué à Téquation certains  ;
termes qui doivent manquer par la nature même j
du problême .propófé,- Voyei ÉQUATION SÉCU^
ÌAIRE. ;', 7. 0 Toutes les fois que Téquation n’aura que deracines imaginaires pures, c’est-à-dire ; que la férie
sera composée de -sinus & de cosinus multipliés
de a-, cette férie contiendra nécessairement a: au
2.c rang. En .effet, soient deux racines imaginaires.■\-b\/ — 1, — by — 1, nous aurons au 3/ rang »(z b v — 1 — b \/— 1) x b\s—\x
e =e , terme ;qui satisfait, par l’hypothèse, à Téquation du terme
linéaire en y. Voyei EQUATION "SÉCULAIRE.8.° Toutes les fois que la férie ne donne Ia
valeur de y convergente que pour une certaine
étendue des valeurs de a-, on fera obligé à prendre
de nouvelles valeurs de y avec de nouveaux coëfficierits
arbitraires qu’on déterminera d’après les
valeurs de y, données par une des séries précédentes
dans des points où cette férie étoit encore convergente.
(M.D.C.) APPUI ou POINT D’APPUI alun levier, est je '
point fixe autour duquel le poids & la puissance
sont eri équilibre dans un levier ; ainsi, dans une
balance ordinaire le point du milieu par lequel on
suspend la balance, est le point d’appui. Le point
d’appui d’un levier, lorsque la puissance & les poids
ont-des directions parallèles, est toujours chargé'
d’une quantité égale à la somme de la puissance
& du poids. Ainsi, dans une balance ordinaire à
bras égaux, la-charge du.point d’appui est égale à
là somme des poids qui-sont dans les plats de la
balance , c’est-à-dire,. au double d’un de ces poidsOn
voit auffi par cette raison, que ï appui est moins
chargé dans la balancé appellée romaine où peson,
que dans la balance ordinaire ; car pour peser, par
exemple, un poids de six livres avec la balance
ordinaire, il faut de l’autre côté un poids de 'fìx.
livres, & la charge de ï appui est de douze livres,
au lieu qu’en se servant du peson, on peut peser
le poids de six livres avec un poids d’une livre,
& la charge de ï appui n’est alors que sept livres.
Voyei PESON , ROMAINE, 8C. ( O ) . ;.-•■APPULSE, ( Astron. )  exprime la proximité de
la lune à une étoile, lois qu’il y ait éclipse, soit
que lé bord de la lune passe seulement à quelques
minutes de Tétoile, de manière à être observée dans’
le même champ de la lunette. On observe les
appulses avec soin pour déterminer lés lieux de la
lune, les erreurs des tables & les longitudes des
lieux. On se sert, pour ces observations, d un micromètre,
avec lequel on observe les ' différences
d’ascensions droites & de déclinaisons entré Tétoile
&_le bord de la lune, ou bien d’un héliomètre ou
micromètre "objectif, pour mesurer lés distances
entre 1 étoile & Ie bord de la lune avant & après
le moment de la plus courte distance. On calcule
les appulses en rapportant la lune à fa place fur unè
figure ou-zodiaque', comme- cèlui de Senexou
de d Heulland, fait sous les yeux de M. le Monnier,
% cda  ; est suffisant pour ses prédire -dans les
tphemendes :TO dans la Connaissance des- temu
L^' L„l.' ■ : . .^ ._>APPUYÉ,adj.m.on dit, enferme de Géométrie '
que les angles dont le sommet est dans la circonfé-,
rence de quelque segment de cercle, s’appuyent
où sont posés sor Tare de l’autre segment de:
dessous. Ainsi" (Géomét.fig. r z)  Tangle B AD, dont
le sommet est dans-la circonférence du segment
B GARD, est dit appuyé sur l’autre segment BOD
.Voyei SEGMENT-.A p r' ÂPRETÉ , s. f. ( Méch. \ se dit de Tinégalité & '
de la rudesse de la surface d’un corps, par laquelle
quelques-unes de ses parties s’élèvent tellement
au dessus du reste, qu’elles empêchent de passer.
la main dessus. avec aisance & liberté. Voyei
PAETICULE.Vâpreté ou la rudesse est opposée à la douceur,
k Tégalité,à ce qui est uni óu poli, 8c. Le frottement
des surfaces contiguës vient de leur âpreté.
Voyei SURFACE 8 FROTTEMENT.Vâpreté plus ou moins grande des surfaces des
corps, est une chose purement relative. Les corps
qui nous paraissent avoir la surface la plus unie,
étant vus au microscope , ne sont plus qu’un tissu
de rugosités & d’inégalités.Suivant ce que M. Boyle rapporte de Vermosen
, aveuglé très-fameux par la délicatesse &
Ia finesse de son toucher, avec lequel il dislinguoit
les couleurs, il paroi trait que chaque couleur a
son degré ou son espèce particulière d’âpreté. Le
noir paroít être la plus rude, de même qu’il est
la plus .obscure des couleurs ; mais les autres ne
sont pas plus douces à proportion quelles sont
plus éclatantes ; c’est-à-dire, que la plus rude n est
pas toujours celle qui réfléchit le moins de lumière:
car le jaune est plus rude que le bleu ; & le verd,
qui est la couleur moyenne , est plus rude que
1 une &' l’autre. Voyei COULEUR 8 LUMIÈRE.
(O) . APSIDES, auges, apsides , (Astron.) se mot
exprime les deux sommets d’une orbite elliptique ;
il vient deA"4ic courbure ou tortue, parce que ce
sont les points où Torbite se courbe, se replie &
change de direction. Vapside supérieure, la grande
apside, summa apfis,' s’appelle apogée, quand il
s’agit du soleil & de la lune ; aphélie quand on
parle des planètes principales ; & quelquefois
apojove, quand il s’agit des satellises de Jupiter ;
' la petite apside, infima apfis , est le périgée ou le
•périhélie. ..-■•'La droite qui passe par le centre de Torbite de
la planète, & qui joint ces-deux points, s’appelle
la ligne des apsides de la planète. C’est- le grand
axe d’urie orbite elliptique ; telle est la ligne AP,
Planches d’Astronomie , fig. 8j 8 suiv., tirée de"
Taphélie A y au périhélie P. Voyei. ORBITE 8.
PLANÈTE.
■ On compte Texcentricíté fur laligne des apsides ;car c’est lá distance dp centie C de Torbite de la
planète au foyer S de Torbite. Voyei EXCENTRICITÉ.■ Neuton a donné dans son livre des Principes,
une très-belle méthode pour déterminer le mouvement
des apsides d’une planète causé par Tâttraction
d’une autre, en supposant que Torbite décrite '
par la planète soit peu différente d’un cercle ; il a
fait voir que si le soleil étoit immobile, & que
toutes les planètes pesassent vers lui ert raison
inverse du carré de leurs distances, le mouvement
des apsides seroit nul, c’est-à-dire que la
ligne de la plUs grande distance & la ligne de la
plus petite dislance, seraient éloignées de 180 degrés
Tune de l’autre , & ne formeraient qu’une feule
ligne droite. Ce qui fait donc que les deux points
des apsides ne sont pas toujours exactement en ligne
droite avec le soleil,. c’est que par Ia tendence
mutuelle des planètes les unes vers les autres, leur'
gravitation vers Ie soleil n’est pas précisément en
raison inverse du carré de la distance. Neuton
donne une méthode très-élégante pour déterminer
le mouvement des apsides , en supposant qu’on
connoisse la force qui est ajoutée à la gravitationde
la planète Vers le soleil, & que cette force-.
ajoutée ait toujours fa direction vers le soleil.Cependant quelque'belle que fût cette méthodes
elle ne pouvoit suffire, comme Tobserve M. d’Alambert,parce
que dans toutes les planètes, tant"
premières que secondaires, la force ajoutée à la'
gravitation vers le foyer de Torbite, n’a presque
jamais fa direction vers ce foyer : auffi M. Neuton
ne s’en servit point pouf déterminer ie mouvement
des apsides de Torbite lunaire ; S: M. Clairaut fit
voir que le calcul rigoureux de Tâttraction du soleil
sor la lune, étoit nécessaire pour trouver le mouvement
de Tapogée de la lune conforme à Tobservation.
La manière de déterminer par observation
la situation des apsides, a été expliquée au mot
AMÉLIE. (D, L.)  .'..•• ÁPUS" ou APÒUS , _( Astron. ) c’est-à-dire ,"
pedibús caréns ; quelquefois aussi par corruption
Apis ;' mais ce nom est réservé à T Abeille ou à la:
mouche. Apus est le nom d’une constellation méridionale,
appellée en françois ïoifeau de paradis,
avis.indíca, manucodiata, ou p aradise a, c’eûle nom
que lui donne M. Linné. Cette constellation, dans
les cartes dé Bayer, a douze- étoiles : il y en a
un plus grand nombre dans lé catalogue de
M. Tabbé de la Caille. Voyez Coelum australe flelliferum,
& les Mémoires de t académie royale^desSciences
de Paris de 1752., pag. $6'3. La principale
étoile de cette constellation est de la cinquième ;
grandeur y elle avoit en 1750 2140 32' 45" d’ascension
droite,.& 770 57' 6" de déclinaison australe ri
airisi èlîe passe au méridien 370 au-destbus deThorizon
de Paris. (D. L.) ',.AQUARIUS, Voyei VERSEAU,
'no a q u a q uAQUEDUC, s. m. ( Hid. ) bâtiment de pierre ,
fait dans un terrein inégal, pour conserverie niveau
de Teau, & la conduire d’un lieu dans un autre.
Ce mot’ est sonné: Saqua-, eau, & de dudus,conduit. „On en distingue de deux, sortes, d apparens &
de souterrains. Les apparens font construits à-travers
les vallées & les fondrières, & composés de tremeaux
& d’arcades : tels sont ceux d’Arcueil, de
Marli, & de Bucq, près de Versailles. Lessouterrains
sont percés à -travers les montagnes, conduits audessous
de la superficie de la terre, bâtis de pierre
de raille & de moilons, & couverts en-dessus de
voûtes ou de pierres plates, qu’on appelle dalles:
ces dalles mettent Teau à Tabri du soleil ; tels sont
ceux de Roquencourt, de Belleville, & du Pré
S. Génois.On distribue encore les aqueducs en doubles ou
triples, c’esl-à-dire, portés fur deux ou trois rangs
d’arcades : tel est celui du Pont-du-Gard en Languedoc,
& celui qui fournit de Teau à Conslan-.
tinople ; auxquels on peut ajouter ï aqueduc qué.
Procope dit avoir été construit par Cofroës, roi
de Perse, pour la ville de Petra en Mingrelie ; il
avoit trois conduits fur une même ligne, les uns
élevés au-dessus des autres.Souvent les aqueducs sont pavés ; quelquefois
Teau roule sor un lit de ciment fait avec art, ou
fur un lit naturel de glaise : ordinairement elle
passe dans des cuvettes de plomb, ou des aUges
de pierre de taille, auxquelles on donne une pente
imperceptible pour faciliter son mouvement ; aux
côtés de ces cuvettes sont ménagés deux petits
sentiers où Ton peut marcher au besoin. Les
aqueducs, les pierriers, les tranchées, 8c. amènent
les eaux dans un réservoir ; mais ne les éleyent
point. Pour deveriir jaillissantes, il faut qu’elles
íbient resserrées dans des tuyaux. (K) * Les aqueducs de toute espèce étoient jadis une
des. merveilles de Rome : la grande quantité qu’il
y en avoit ; les frais immenses employés à faire
venir des eaux d’endroits éloignés de trente, quarante
, soixante, & même cent mille sur des
• arcades, ou continuées ou suppléées par d’autres
travaux, comme des montagnes coupées ou des
roches percées ; tout cela doit surprendre : on
n’entreprend rien de semblable aujourd’hui,- pn
n’oseroit même penser à acheter st chèrement la
commodité publique. On voit encore en divers
endroits de la campagne de Rome de grands restes
de ces aqueducs ; des arcs continués dans un long
espace, au-dessus desquels étoient les canaux qui
portoient Teau à la ville ; ces arcs sont quelquefois
bas, quelquefois d’une grande hauteur, selon les
inégalités du terrein. II y en a à deux arcades
Tune sor l’autre ; & cela de crainte que la trop
grande hauteur d’une feule arcade, ne rèndít la
structure moins solide : ils sont communément de
briques, si bien cimentées, qii'on a peine à en
d_étacher des morceaux. Quand Télévation du terreinétoît énorme, on recourait aux aqueducstouterrainsî
ces aqueducs portoient les eaux à ceux qu’on avoit
élevés fur terre, dans les fonds & les pentes des
montagnes. Si Teau ne pouvoit avoir de la pente
qu’en passant au-travers d’une roche, on la perçoit
à la hauteur de ï aqueduc supérieur : on en voit uri
semblable au-dessus de Tivoli, & au lieu nommé.
Vicovàro. Lecanal qui formoit la fuite de ï aqueduc,
est coupé dans la roche vive Tefpace de plus d’un
mille, fur environ cinq pieds de haut & quatre de
large.• Une chose digne de remarque, c’est que ces
aqueducs qu’on pouvoit conduire en droite ligne
à la ville , n’y parvenoient que par des sinuosités
fréquentes. Les uns ont dit qu’on avoit suivi ces ; obliquités, pour éviter lès frais d’arcades d’une
hauteur extraordinaiae : d’aUtres, qu’on s’étoit proposé
de rompre la trop grande impétuosité de Teau,- qui, coulant en ligne droite par un espace immense,
auroit toujours augmenté de vitesse, endommagé
les canaux, & donné une boisson peu nette &
mal-laine., Mais on demande pourquoi y. ayant unè
si grande pente de la cascade de Tivoli à Rome,
on est allé preridre Teau de la même rivière à vingt
milles & davantage plus haut ; que dis-je vingt
milles, à plus de trente, en y comptant les détours
d’un pays plein de montagnes. On répond que la
raison d’avoir des eaux meilleures &-plus pures,
fuffisoit aux Romains pour croire leurs travaux,
nécessaires & leurs dépenses justifiées ; & si Ton
considère d’ailleurs que Teau du Teveron est chargée
de parties minérales, & n’est pas faine, on fera
content de cette réponse.Si Ton jette les yeux fur la planche 128 du
IV. volume des Antiquités du P. Montfaucon, on
verra avec quels soins ces immences ouvrages étoient
construits. On y laissoit d’espace en espace des
soupiraux ; afin que si Teau venoit à être arrêtée
par quelque accident, elle put se dégorger jusqu’à
ce qu’on eût dégagé son passage. II y avoit encore
dans le canal même de ï aqueduc des puits ou Teau
se jettoît,se reposoit & déchargeoit son limon,
& des piscines où elle s’étendoit & se purifioit ;
.'Vaqueduc de ÏAqua^Marcia a Tare de seize
pieds d’ouverture : le tout est composé de trois
différentes sortes de pierres ; Tune rougeâtre, l’autre
brune & Taupe de couleur de terre. On voit en
haut deux canaux, dont le plus élevé étoit de Teau
nouvelle du Teveron, & celui de dessous étoit. de Teau appellée Claudienne ; Tédifice entier a
soixante & dix pieds romains de hauteur.A côté de cet aqueduc, on a , dans lé P. Montfaucon
, la coupe d’un autre à trois canaux ; Ie
supérieur est d’eau Julia, celui du milieu, d’eau
lepula, &1 inférieur, d’eau Marcia. 'Lare de ï aqueduc d’eau Claudienne est de très*belle pierre de taille ; celui de ï aqueduc d’eauNeromenne est de brique • ils ont Tun & l’autresoixante-douze pieds romains de hauteur.Le canal de Vaqueduc qu’on appelloit Aqua-
A Q U

ARA iït
-Appia mente bien que nous en fassions mention,
pat une singularité qu’on y remarque ; c’est de n’être
pas. uni commé les autres , d’aller comme par
degrés, en sorte qu’il est beaucoup plus étroit
en bas qu’en haut.Le consul Frontin, qui avoit la direction des
aqueducs sous Tempereur Nerva , parle de neuf
aputducs qui avoient 13504 tuyaux d’un pouce
de diamètre. Vigerus observe que, dans Tefpace
■de vingt-quatre heures, Rome recevoit 500000
muids d’eau.J\Tous pourrions encore faire mention de ïaqucduc
de Drufus & de celui de Rîmini : mais nous
nous contenterons d’observer ici qu’Auguste fit
réparer tous les aqueducs ; & nous passerons ensuite
à d’autres monumens dans le même genre, &plus
importans encore , de la magnificence romaine.
Un de ces monumens est 1 aqueduc de Metz,
dont il reste encore aujourd’hui un grand nombre
d’arcades ; ces arcades traversoient la Moselle,
rivière grande & large en cet endroit. Les sources
abondantes de Gorze fournissoient Teau à la
Naumachie ; ces eaux s’assembloient dans un réservoir
 ; de-là elles étoient conduites par des
canaux souterrains faits de pierre de taille, & si
spacieux qu’un homme pouvoit y marcher droit-:
elles passoient la Moselle sur.ces hautes & superbes
arcades qu’on Voit encore à deux lieues de Metz,
si bien maçonnées & si bien cimentées, qu’excepté
la partie du milieu, que les glaces ont emportée,
elles ont résisté & résistent aux injures les plus
violentes des faisons. De ces arcades , d’autres
aqueducs conduisoient les eaux aux bains & au
lieu de la Naumachie.Si Ton en croit Colmenarès, ï aqueduc de Ségovié
peut être comparé aux plus beaux ouvrages
de Tantiquité. II en reste cent cinquante-neuf arcades,
toutes de grandes pierres fans ciment. Ces
arcades avec le reste de Tédifice ont Cent deux
pieds de haut ; il y "á deux rangs d’arcades, l’un fur
l’autre ; ï aqueduc traverse Ia ville & passe par-dessus
la plus grande partie des maisons qui sont dans le
fond.Après ces énormes édifices, on peut parler de
l’aqueduc que Louis XIV. a fait bâtir proche Maintenon
, pour porter les eaux de la rivière de Bucq
à Versailles ; c’est peut-être le.plus grand aqueduc
qui soit à présent dans. Tunivers ; il est de 7000
brasses de long fur 2560 de haut, & a 242
• arcades.Les cloaques de Rome , ou ses aqueducs souterrains,
étoient aussi comptés parmi ses merveilles ;
ils s’étendoient sous toute la ville, & se íubdivifoient
en plusieurs brandies qui se déchargeoient.
dans la rivière : c’étoient de grandes & hautes
voûtes bâties solidement, sous lesquelles on alloit
en bateau ; ce qui faisoit dire à Pline que la ville
étoit suspendue èn l’air, & qu’on navigeoit sous
îes maisons ; c’est ce qu’il appelle le plus grand
ouvrage qu’on ait jamais entrepris. II y ayoit fousces voûtés des endroits où des charrettes chargées
de foin pouvoient passer ; ces voûtes foutenoient
le pavé des rues. II y avoit d’espace en espace des
trous où les immondices de la ville étoient précipitées
dans les cloaques. La quantité incroyable
d eau que les aqueducs apportoient à Rome y étoit
aussi déchargée. On y avoit encore détourné des
ruisseaux, d’où il arrivoit que la ville étoit toujours
nette, & que les’ ordures ne séjournoient point
dans les cloaques, & étoient promptement rejettées
■ dans la rivière.Ces édifices sont capables de frapper de Tadmiration
la plus forte : mais ce seroit avoir la vue bien
courte que de ne pas la porter au-delà, & que de
n’être pas tenté de remonter aux causes de la grandeur
& de la décadence du peuple qui les a construits.
Cela n’est point de notre objet ; mais le
lecteur peut consulter la-deSus les Considérations
de M. le Président de Montesquieu, & celles de
M. TAbbé de Mably ; il verra dans ces ouvrages ■-
que les édifices ont toujours été & seront toujours
comme leshommes, ^excepté peut-être à Sparte,
ou 1 on trouvoit de grands hornmes dans des
maisons petites & chétives : mais cet exemple est
trop singulier pour tirer à conséquence,
ARA . ■■ ■
ARAIGNÉE ( Aflron. )  : on donne quelquefois
ce nom à Tun des cercles d’un astrolabe, qui est
percé à jour & porte différens bras , dont les extrémités’-'marquent
la. pofition des étoiles, planch.
<PAstronomie ? fig. 230. Varaignée tourne sor un
planisphère où sont tracés les différens cercles
"auxquels on rapporte la position des étoiles-pòur
trouver leur lever & leur coucher , &c. Voyei
ASTROLABE. (D.L.)  . vARAMECH, voyei ARCTURUS. -.ARBALÈTE, f. f. ( Astron. navig. ) , instrument
avec lequel on observoit autrefois sor mer
la hauteur du soleil, & qui est fait comme une
espèce de croix. On Tappelle auffi arbalestrìlh 3
flèche , rayon astronomique , radiomètre , croix géométrique
, verge d’or, autrefois bâton de jacob 3
en anglois jacob staff, crosf-staff ( bâton à croix ) 
fore-staff( bâton de devant) ,parce que Ton observe
pardevant, ou en se tournant du côté du soleil 5
tandis qu’avec le quartier anglois on rourne Ie dos
au soleil pour en mesurer la hauteur.Cet instrument dérive des règles parallactiques
de Ptolemée ( planches d’Astronomie, fig. 2.35 )  ; car
si Ton suppose que la règle O D soit toujours fixée
perpendiculairement au bâton A G , on aura une
arbalète. On en trouvera la figure dans le Dictionnaire
de Marine ; mais nous avons à parler
ici de Thistoire & des progrès de ce genre d’observations.
-Jean "Werner, né à Nuremberg en
14Ó8 , est le premier qui décrivît Varbalète en
1514, & il la recommandoit auxmarins pour ob-.ni ara ■'"araserver les longitudes en mer par les distances de
la lune aux étoiles ( ìVales aflronomicalobjcnations,
 ? ■}■) ■} , introd. p. xxiv ). Je crois que ce sont les
observations de Werner qui sorent imprimées en
1514 ; mais son livre de motu oâavoesphxrce, est
de 1522 ( Wçidler, pag. 33j ). Appian, en 1524,
&. Gemma-l’risius en I530,en recommandoient aussi
Tufage. . : ■ ■ ■""Le P. ïournier, dans son Hydrographie, p. 495,
dit que cc que les caldéens appelioient bâton de Jacob,
& les astronomes rayon astronomique, est nommé
arbalète ou flèche par Martin Cortez & Michel
Coignet, en leurs ouvrages, & généralement-par
tous les matelots. Les flamands, dit-il, Tappellent
graé'tbogç ; i n écrit .graart boogh en hollandois.
Les espagnols Tappellent baleflilla. Le P. Dechalles
Tappelle crux geometrica.
■ Le bâton , la flèche, ou la verge  ; de Tinstru"nient,
a 3 ou 4 pieds de longueur ; elle porte
une pièce appellée par les anciens traversaire, &
curseur, parce qu’elle se met de travers & én
croix fur la verge ou flèche : 011 la fait courir le
long de cette • flèche ; nos matelots Tappellent
marteau ; on -a des marteaux' de trois grandeurs
différentes : c’est-à-dire, de -iï pouces, de '6:'&
de 1 j ( Fournier, pag. 49 G. ). Dans Te Dictionnaire
de Marine d’Aubin, if y a curseur & marteau.
Ozanam, dans son Dictionnaire ,pag. 256,
dit que lé trávèrfier ou marteau se meut le long
de la flèche, & qu’on appelle cet instrument verge
d’orpar- excellence ,' parce qu’il est leplus commode
de tous les instrum’eris. - ' : c 3Ozanam, dans Ia table,, met flèche d’arbalète ;
ce qui prouve,qu’il adopte le nom d’arbaleflé de
préférence. Mîlí. Bouguef.'& la" Caille ,.pag. 181,
*dit. de 1769 > irk8.", Tappellent arbalefirille. ''Gemma-Frifius (principia Aftronomioe Comosgraphìoe,.1530
) ', est" lè premier qui ait parlé derrois
marteaux dans l’arbaleste ; \l en est parlé auffi
dans Michel Coignet d’Anvers : instruction nouvelle
des points plus êxcellens & nécessaires
touchant Tart de naviguer ; & dans Waeghêner ,
hollandois, qui fut si célèbre par ses cartes marines
, que les matelots anglois appellent encore
un Wacghener un volume de cartes pour la navigation,
' "Thomas Digges, en 1573, parle des transversales
qui étoient dans son arbalète , comme étant
imaginées depuis long-tems par Richard Chanceler.
•Pierre Massé, dans son histoire des Indes, dit
que Martin de Bohême, disciple de Regiomon-rtanus,
recommandoit Taflrolabe ; c’est-à-dire, un
cercle divisé en degrés, & suspendu à une boucle
- pour prendre hauteur en mer ; mais Ton ne voit
pas que Ton s’en servît alors. Werner, qui décrit
Varbalète, en recommande Tufage , ainsi que
Appian dans fa Comographie , écrite vers 1524
( Wales y pag. xxiij ) ,On faisoit auffi une denn-arbalete , où il ny
avoit qu’un dcmi-martcau, & les degrés y étoient
une fois plus grand que fur les flèches ordinaires^
Vers la fin du 16e siécle, on subslima un arc de
cercle à la place des marteaux. John Davis, celui
qui donna son nom au- détroit de Davis , par
lequel on alla dans la baie de Bassins, sous Je
cercle polaire, vers 1583 , publia en 1594 un
livre, intitulé : S e aman’s secrets , où il décrit, le
hack-staff ; il est décrit dans Metius, Astronomica
institutio , 1605 ; de Arte navigandi, 1624 ; Doctrìna-
Sphoerìca, 1630: d’abord il n’y avoit qu’un
arc où gliffoit le marteau de Toeil ; celui qui
sonne Tombre étoit fixé à une règle droite emmortaisée
à Textrémité du rayon de Tinstrument,
.& il’ étoit plus loin du centre ou du marteau de
.l’horizon, que Tare même de Tinstrumeut. On
,1'appélse back-flaff,. bâton de derrière., parce qu’on
tourne- le dos au soleil, par opposition à ï arbalète
, appellée' fore -staff'. ( Robertson ). Dans le
Lexicon Tcchnicum de Marris, il est décrit au mot
back-ftaff, & il Tappelle auffi back-quadrant,
-Davis’s quadrant. L’ancienne arbalète est décrite
au mot Cross-staff, ■ quoique-. Tauteur dise, qu’on
Tappelle communétiient fore-staff ; il dit, voyei
CRÒSS-STAFF. ' -.- .'Le quartier de Davis avoit un arc tle 60 degrés,
& sor un des rayons un marteau ou pinule qui
couloit & portoit une ouverture ; hiais il ne garda
pas long-tems cêtte forme : car. vers 1 óoo, ou àpéu-près,
On étendit Tare jusqu’à oo" partie aúdeffous
du rayon '& du marteau d’ombre qui y
étoit fixé, jusqu’au" degré qui parût Ie plus convenable
 ; & dans cet état , il fut généralement
"connu*sous le nom dé bow (arc) arbalète. Peu
d’années après, il reçut une autre perfection, &
prit la forme qu’il a actuellement, Le marteau
d’ombre étant jusqu’alors placé à une graride distance
du centre, Tombre étoit trpp mal terminée
fuir le marteau d’horizon ; &" fi le teins n’étoit
pas très-clair, on ne la dislinguoit pas du tout ;
il fallut donc diminuer le rayon de cette partie
où est la pinule d’ombre: Ton ne fait pas aujour^
d’hui à qui Ton doit ces perfections ;' quelquesn
uns pensent que ce sot Tauteur lui-même, mais
cela est dpureux. On trouvera dans le Diction^
naire de Marine la figuré du quartier de Davis.Ces trois instrumens, Tastrolahe , T arbalète &
le quart de Davis, prirent différentes formes ; le
premier produisit le demiTcercle ,sea-rings ( anneau
marin ) se a-quadrant (quartier marin )  ; se second
produisit la demi-arbalète, le bâton de Hpod,
Hood’s staff, &c, & le dernier produisit leplougk
( charrue ) , ainsi nommé à cause de fa forme-, ,
•parce que Tare plus petit , & le marteau plus
grand lui donnoientpreíque la forme d’une charrue ;
il y eut encore le quartier d’Elton ( Elton’s quadrant.) 
, qui différait un peu des deux précédens,
M, Wfdes, pag. xxix,'MBouguefAra
'.ARC irj
"M. Bottguef appelle Tinstrument dans fa forme
actuelle quartier anglois, ou quart de nonante ; il
dit que lare de"do 0 a 8 ou 9 pouces de rayon,
l’autre 30° & 18 à 20 pouces ; il appelle les vane
des anglois des espèces de pinules ou de petits
marteaux, & se sert indifféremment de ces deux
mots pinule ou marteau.M. Bourde, dans son Manuel des Marins, 1773 >
ne se sert que des mots quart de nonante & de
marteau. Aubin, dans son Dictionnaire de Marine
, 1702 , Tappelle auffi quart de nonante.
Robertson , dans’ ses Elémens de Navigation,
tom. z, pag. 293 , édit, de 1772, décrit seulement
celui qu’il appelle Davis’s quadrant, & que les
étrangers appellent, dit-il, english quadrant. Suivant,
cet auteur, il y a un arc de 650 d’un plus
petit rayon, sor lequel glisse la pinule de Tombre,
shade vane,"ou glass-vane st Ton y met un verre
ou une lentille. II y a auffi un arc de 25° d’un
rayon trois fois plus long, fur lequel glisse la
pinule de l’oeil sight vane ; Toeil se place au petit
trou de cette pinule, & regardéT’horizon par la
fente de îa pinule du centre , appellée horìipn
vane ,- sor laquelle tombe auffi le bord supérieur
de Tombre de la première pinule.Flamsteed & Halley y substituèrent une lentille
sur le marteau d’ombre, pour que l’on distinguât
mieux Timage du soleil. Mais tous ces inslrumens
ont fait place pour Tufage de la navigation au
quartier de réflexion ; & tous les navigateurs qui
ont des connoisl’ances, ou qui aiment l’exactitude
se servent de ce dernier. Voyei QUARTIER DE
■RÉFLEXION. (D.L.) ArcARC, s. m. ( Géom. )  ; c’est une portion de
courbe, par exemple, d’un cercle, d’une ellipse ou
d’une autre courbe. Voyei COURBE.Arc de cercle, est une portion de circonférence
, moindre que la circonférence entière
du cercle. Tel est AEB, ( Géom. fig. 20).
Voyei CERCLE 8 CIRCONFÉRENCE. La droite
AB, qui joint les extrémités d’un arc, s’appelle
corde ; & la perpendiculaire DE tirée fur se
milieu de la corde, s’appelle flèche. Voy. CORDE ,
FLÈCHE. Tous les angles font mesurés par des
arcs. Pour avoir la -valeur d’un angle, pn décrit
un arc de cercle, dont le centre soit au sommet
de Tangle. Voyei ANGLE. Tout cercle est supposé
divisé en 260''. Un *zrc est "plus ou moins
grand, selon qu il contient un plus grand pu un
plus petit nombre de ces degrés. Ainsi , Ton dit
un arc de 30, de 80, de iood. Voyei DEGRÉ.
La mesure des angles parles arcs de cercle, est’
fondée fur ce que la courbure du cercle est uniforme.
Les arcs d’une autre courbe ne pourraient
y seryir. ' rArcs concentriques, sont ceux qui ont le même
centre : ainsi , dans la figure 2-1 , les arcs b H,iáathimaáqiics. Tome1, Irc"Partiç.e'K, sont des arcs concentriques. Voyei CONCENTRIQUE.Arcs égàux, cesont ceux qui contiennent le même
nombre de degrés d’un même cercle ou de cercles
égaux. Dans le même cercle ou dans des cercles,
égaux, les cordés égales soutiennent des arcs égaux.
Un rayon CE (fig. zo )  qui coupe en deux parties
égales en D une corde A B , coupe auffi en E I'arc
AEB en deux parties égales, & est-perpendiculaire
à la corde, & vice versa. Le problême de couper un
arc en deux parties égales sera donc résolu, en
tirant une ligne C E perpendiculaire sur le milieu
D de la corde.Arcs semblables, ce sont ceux qui contiennent le
même nombre de degrés de cercles inégaux. Tels
Vont les arcs AXB & D HE , figure zz. Si deax
rayons partent du centre dé deux cercles concentriques
, les arcs compris entre ces deux rayons
ont le même rapport à leurs circonférences entières
 ; & les deux secteurs, le même rapport à
lá surface entière de leurs cercles.AÌLC semi-diurne ( Astron, )  , c’est Varç du pa^
rallèle diurne d’un astre qui est compris entre lè
méridien & l’horizon ; il règle le tems qui s’écoule
depuis le lever jusqu’au passage par le méridien
3 & depuis ce passage jufqu au coucher j
ainsi, le calcul du lever ou du coucher d’un,
astre, se réduit à celui des arcssemi-diumes, qui
changent à raison de la hauteur du pôle du lieu ,
& de la déclinaison de Tastre. On en trouve- une
table, fort détaillée dans la plupart des anciens
volumes de la Connoiffance des tems, ouvrage
que TAcadémie publie chaque année, pour Tufage
des astronomes & des navigateurs. Voy. LEVER', ;
COUCHER. "ARC d’émersion ou axe de vision ( Astron. )  est
la quantité dont il faut que le soleil soit abaissé
verticalement aurdesspus de l’horizon pour qu’un,
autre astre soit visible à la vue simple ; on estime
ordinairement Varç d’émersion de dix-huit degrés
pour les plus petites étoiles, de quatorze, degrés
póur Jes .étoiles de troisième grandeur, de onze
à ,dou£e degrés ppur les étoiles de première grandeur
, comme pòur mars & saturne, de djx degrés
ppur mercure &.Jupiter, & de cinq degrés pour
venus ; mais ce dernier varie beaucoup, & il se
réduit même à rien, puisque Ton voit quelquefois
venus en plein jour, le soleil étant très-élevé sor. Thorizón, Voyei CRÉPUSCULE. --Varc de rétrogradation est un arc de Téeiip-:
tique qu’une planète semble décrire, en se mou-,
vant contre Tordre des signes. Voyei RÉTRQ.GRADATION.ARC de position, angle déposition (terme d’Astrol.\
ï arc de Téquateur compris entre le méridien &
le cercle horaire ou cercle de déclinaison qui
passe par le pôle & par, Tastre dont on s’occupe ;
c’est la même chose que ce que nous appelions
aujourd’hui angle horaire.-Qn Tappelloit arc dt
" ' "■ : t " T"
ii4 ARC
Arcposition parce qu’il marquoit la dislance du cercle
de position au méridien, ou I'arc de Téquateur
qui doit passer depuis le moment où Tastre est
dans le cercle de position jusqu’à celui où il passera
au méridien. (D. L.).
■ ARC-EN-CIEL, iris, s. m. (Opt.)  météore
en f o mie d’arc de diverses couleurs , qui paroít
lorsque le tems est pluvieux, dans une partie du
ciel opposée au soleil, & qui est formé par la
réfraction des rayons de cet astre, au travers des
gouttes sphériques d’eau dont Tair est alors rempli.
"Voyei MÉTÉORE , PLUIE 6- RÉFRACTION.On voit pour Tordinaire un second arc-en-ciel
qui entouré le premier à une certaine distance.
Ce second are-en-ciel s’appelle arc-en-ciel extérieur,
pour le distinguer de celui qu’il renferme, &
qu’on nomme arc-en-ciel intérieur. L’arc intérieur
a les plus vives couleurs, & s’appelle pour cela
l’arc principal. Les couleurs de l’arc extérieur
font plus foibles, & de-là vient qu’il porte le
nom de second arc. S’il paroít un troisième arc,
ce qui arrive fort rarement, ses couleurs sont
encore moins vives que les précédentes. Les couleurs
sont renversées dans les deux arcs ; celles
de l’arc principal".font dans Tordre suivant, à
compter du dedans en dehors : violet, indigo ,
bleu, verd , jaune, orange, rouge ; elles sont arrangées
au contraire dans le second arc en cet
-ordre : rouge, orangé, jaune, verd , bleu,Indigo,
violet : ce sont les mêmes couleurs que l’on voit ) 
dans les rayons .'du soleil qui traversent-un prisme j
de verre. Voyei PRISME. .Les physiciens font
auffi mention d’un arc-en-ciel lunaire & d’un arc’en-ciel
marin , dont nous parlerons plus bas.Varc-en-ciel, comme 1 observe M. Neuton, ne
paraît jamais que dans les endroits où il pleut
& où le soleil luit en même tems ; Ton peut le
former par art en tournant le dos au soleil &
 ;en faisant jaillir de Teau, qui poussée en Tair &
dispersée en gouttes, vienne tomber en forme de
pluie ; car le soleil donnant fur ces gouttes,fait
voir un arc-en-ciel k tout spectateur qui se trouve
dans une juste position à Tégard^de cette pluie
& du soleil, sur - tout fi Ton met un corps noir
derrière les gouttes d’eau.Antoine de Dominis montre dans son livre ,
de radio visûs 8 lucis , imprihié à Venise ert IÓII ,
' que l’arc-en-cicl est produit dans des gouttes rondes '
de pluie, par deux réfractions de la lumière so,
laire, & une réflexion entre deux ; & il confirme
cette explication par des expériences qu’il a faites
avec une phiole & des houles de verre pleines
d’eau exposées au soleil. II faut cependant reconnoître
que quelques anciens avoient avancé , antérieurement
à Antoine de Dominis , que l’arc- '■
cn-cicl étoit sonné par la réfraction des rayons
du soleil dans des gouttes d’eau. Kepler avoit eu
la même pensée , comme on le voit par les lettres
qu’il écrivit à Berenger en 1605, & à Harriot en
<éoó. Descartes, qui a suivi dans ses météores |Texplicatiòn d’Antoine de Dominis, a eorngé
celle de l’arc extérieur. Mais, comme ces favans
hommes ne connoissoient point la véritable origine
des couleurs, Texplicatiòn qu’ils ont donnée
de ce météore est défectueuse à quelques égards.
Antoine de Dominis a cru que l’arc-en-ciel
extérieur étoit formé par les rayons qui rasoient
les extrémités des gouttes de pluie , & qui venoient
à Toeil après deux réfractions & une réflexion.
Or on trouve, par le calcul, que ces rayons ,
dans leur seconde réfraction, doivent faire un
angle beaucoup plus petit avéc le rayon du soleil
qui passe par Toeil, que Tangle sous lequel on
voit T arc-en-ciel intérieur ; & cependant Tangle
sous lequel on voit l’arc-en-cicl extérieur, est beaucoup
plus grand que celui sous lequel on voit Varcen-ciel
intérieur : de plus, les rayons qui tombent
fort obliquement fur une goutte d’eau, ne font
point de couleurs sensibles dans leur seconde réfraction
, comme on le verrá aisément par ce que
nous dirons dans la fuite. A Tégard de M. Descartes
, qui a le premier expliqué Varc-en-ciel extérieur
par deUx réflexions & deux réfractions ,
il. n’a pas remarqué que les rayons extrêmes qui
'font le rouge., ont leur réfraction beaucoup
moindre que scion la proportion de 3 à 4, & que
ceux qui font le violet l’ont beaucoup plus grande :
de plus, il s’est contenté dé dire qu’il venoir plus
de lumière à Toeil sous les angles de 41 & de
42d, que sous les autres angles , fans _ prouver
que. cette lumière doit être colorée ; & ainsi il n’a
"pas suffisamment démontré'd’où vient qu’il paroít
des couleurs sous un angle d’environ 42' 1, &
qu’il n’en paroít point sous ceux qui sont audessous
de 40d , & au-dessus de 44 dans Varc-enciel
intérieur. Ce célèbre auteur n’a donc pas suffisamment
expliqué Varc-en-ciel, quoiqu’il ait fort
avancé cette explication. "Neuton Ta achevée par
le moyen de sa doctrine des couleurs.'Théorie de P arc-en-ciel. -'Pour-'concevoir Torigine
de Tarc-en-ciel, examinons d’abord ce qui
arrive lorsqu’un rayon de lumière qui vient d’un
corps éloigné, tel que k soleil tombe sur une
goutte, d’eau sphérique, comme sont celles de Ia
pluie. Soit donc une goutte d’eau AD K N
( Tab. Opt. fig. 45 ) , & lés lignes ET, B A,
des rayons lumineux qui partent du .centre.du
soleil, & que noUs pouvons concevoir comme
parallèles entr'eux à Causc de Téloignement immense
de cet astre. Le rayon B A étant le seul
qui tombe perpendiculairement fur la surface de
l.eau, & tous les autres étant obliques, il est aisé
de concevoir que tous ceux-ci souffriront une
réfraction & -s approcheront de la perpendiculaire ;
c’esl-à-dire, que le rayon EF, par exemple,
au lieu de continuer son chemin suivant
FG, lè rompra au point F ; & s’approchera de
la ligne HFÎ perpendiculaire à la goutte en F,
pour prendre le chemin F K. II en’est de même
de tous les autres rayons proches du rayon E F'tArc arc
TI*
lesquels se détourneront de F vers K, où il y
en aura vraisemblablement quelques-uns qui s’échapperont
dans Tair, tandis que les autres se
réfléchiront suivant la ligne K N, pour faire des
angles d’incidence & de réflexion égaux entr'eux.
Voyei RÉFLEXION.• De phis, comme le rayon K N & ceux qui
le suivent, tombent obliquement sur la surface
de ce globule, ils ne peuvent repasser dans Tair
íâns se rompre de nouveau & s’éloigner de la
perpendiculaire M N L ; de sorte qu’ils ne peuvent
aller directement vers T", & sont obligés
de se détourner vers P. II faut encore observer
ici que quelques-uns des rayons, après qu’ils sorit
arrivés en N, ne passent point dans Tair, mais
se réfléchissent de nouveau vers Q , où souffrant
une réfraction comme tous les autres , ils ne
vont point en droite ligne vers P , mais vers R,
en s’é-'oignant de la perpendiculaire T V. Mais,
comme on ne doit avoir égard ici qu’aux rayons
qui peuvent affecter Toeil, que nous supposons
placé un peu au-deflbus de la goutte, au point
Z , par exemple, nous laissons ceux qui se réfléchissent
de' N vers Q comme inutiles, à cause
qu’ils ne parviennent jamais à Toeil du spectateur.
Cependant il faut observer qu’il y a d’autres
rayons, comme 2,3, qui se rompant de:3 vers
4, de-là se réfléchissant vers 5., & de 5 vers’^tS,
puis se rompant suivant 6, 7, peuvent enfin
arriver à Toeil qui est placé au dessous de la
goutte.Çe que Ton a dit jusqu’ici est très-évident :
mais, pour déterminer précisément les degrés de
réfraction de chaque rayon.de lumière, il- faut
recourir à un calcul,par:lequel il paroít que les
rayúnsmii tombent sor Je quart de cercle AD\,
continuent leur chemin suivant les lignes que Ton
voit tirées dans la goutte A D-K N , où il y a
trois choses extrêmement importantes à observer,
En premier lieu, les deux réfractions-des rayons
à leur entrée & à leur sortie sont telles, que la
plupart des rayons qui étoient entrés parallèles
fur la surface A F, sortent divergens, c’esl-àdire,
s’écartent les uns des autres, & n’arrivent
point jusqu’à Toeil. En second lieu", du• faisceau de rayons ^parallèles qui tombent sor la
partie AD de la goutte, il y en a une petite
partie.qui , ayant été rompus par la goutte,
viennent se réunir au fond deTa goutte dans le
même point, & qui étant réfléchis de cê point,
sortent- de là goutte parallèles entr'eux comme
ils y étoient entrés. Comme ces rayons sontpra-ches les uns des autres, ils peuvent agir avec
force fur Toeil en Cas qu’ils puissent y entrer, &
c’est pour cela qu’on lès a nommés rayons ejfi--
cacesi ; au lieu que les autres s’écartent trop pour
produire un effet sensible, ou du moins produire
tles couleurs auffi vives que Varc-en-^ciel. En troisième
lieu, le rayon N P a uné ombre ou obsfurifé
soiis lúí j car puisqu’il ne sort aucun rayonde la surface N4 ; c’est la, riième chose que si
cette partie étoit couverte d’un corps - opaque. Ori
peut ajouter à ce que Ton vient de dire, que le
même rayon N P a de Tombre àu-deffus de Toeil,
puisque les rayons qui sons dans cet endroit,
n’ont pas plus d’effet que s’ils n existoient point
du tout.De-là il s’enfuit que, pour trouver les rayons
efficaces, il faut trouver les rayons qui ont le
même point de réflexion , c’est-à-dire, qu’il faut
trouver quels font -les rayons parallèles &.contigus,
qui, après la réfraction , se rencontrent
dans le même point de la circonférence 4e la
goutte, & se réflécliiflent de-là vers Toeil.Or supposons que NP soit le rayon efficace,
& que E F soit le rayon incident qui correspond
à'NP , c’est-à-dire,.que F soit le point où íi
tombe un petit faisceau de rayons parallèles, qui
après s’être rompus , viennent se réunir en K ,
pour se réfléchir de-là en N, & sortir suivant
N P ; & nous trouverons par le calcul que Tangle
O NP , compris entré le rayon NP SL la ligne0 N tirée du centre du soleil, est de 4id 30'..
On enseignera ci-après la méthode de le déterminer.
' ••'■"':"Mais" comme , outre Tes rayons qui viennenf
du centre du soleil à Ta .goutte d’eau, il ên part
Une infinité. ;d’autres ;'dés 1 différens points de fa
surface, il rióus f este à. examiner plusieurs autres
rayons ' efficaces, fur-tout céux qui partent dé "là
partie supérieure & de Ta partie inférieure de'son
disque. . . - ..■:..Le diamètre apparent du soleil étant d’envirórt
32', il s’ensuit- que si''Té rayon E F passe paf le
centre du soleil , un rayon efficace qui partira
de la ,partie-supérieure du soleil, tombera plus
haut que le rayon E F de 16', cesl-à-dire, fera
avec ce rayon EF un angle d’environ 16". C’est
"ce que fait Te rayon. G H (figé 46 )  qui fouffraiít
la même réfraction " que E F , se détourne vers1 & de-là vers X, jusqu’à cè que sortant avec Iâ
même réfraction que N’P f il párviènné-- en’Af
pour former un angle de 4.1a 14' avéc la ligneON- : . ^ " ^V,,"7,J’: ;;'^ '
■' De même le rayon Q R qui paf f dé Ta cpartiê
inférieure"du soleil, fombesurTè point-.RV.r6''
plus bas, c’est-à-dire" fait Un angle de 16'. en
dessous avec le rayon E F, & souffrant une réfraction
, il se détourne vers S & dé-là Vers T,
où passant dans Tair il parvient, jusqu’à Vsdet ■
sorte que la ligné T V & le rayon 0 .Tfùnnèrit
Un angle de 4"ia '46'- ;'■'■-. '. . - ; " ,'■ ;;A- Tégard des rayons-àrii-vieiinenf à Toeilapfès
deux réflexions & deux réfractions/on  ;dbit regarder
comme efficaces ceux qui, après ces deux
réflexions & ces deux réfractions , sortent de la
-goutte parallèles entr'eux. - ! Stipputant donc les réflexions des rayons oui viennent,
 comme 13 (.fig, 45 ) ,' du centre du
soleil, &• qui,-pénétrant dans la partie infé »
-ílé
Arc a r Crieure de la goutte ', souffrent, ainsi que nous
Pavons supposé , deux réflexions & deux réfractions
, & entrent dans Toeil par des lignes pareilles
à celle qui est marquée par 67 (fig. 47 ) ,
nous trouvons que les rayons que Ton peut regarder
comme efficaces, par exemple 67, sonnent
avec la ligne 86 tirée du centre du soleil, un
angle 867 d’environ 52° : d’où il s’enfuit que le
rayon efficace qui part de la partie la plus élevée
du soleil, fait avec la même ligne 86 un angle
moindre de 16' ; & celui qui vient de Ia partie
inférieure un angle plus grand de 16'.
: Imaginons donc que A B CD EF soit la route
du rayon efficace depuis la partie la plus élevée
du soleil jusqu’à Toeil F ; Tangle 86F sera d’environ
51e 1 44. De même, si GUI KLM est
la route d’un rayon efficace qui part de la partie
inférieure du soleil &. aboutit à Toeil, Tangle 86 M
approche de 52d 16'.Comme il y a plusieurs rayons efficaces outre
ceux qui partent du centre du soleil , ce que
nous avons dit de Tombre souffre quelque exteption
 ; car , des trois ; rayons qui font tracés
X fis- 45 8 4G) , il n’y a que les deux extrêmes
qui áient de Tombre à leur côté extérieur.
.,'-. A Tégard de Ia quantité de lumière-, c’est^à-dire
jàn faisceau de rayons qui se réunissent dans un
.certain point, par exemple , dans le point de réflexion
des rayons efficaces, on peut le regarder
comme un corps lumineux terminé par Tombre.
.Au ; reste, il faut remarquer que jusqu’ici nous
.av.oiís supposé que . tous les rayons de lumière
.se rompoient également ;" ce qui nous a fait trouver
îles angles de 4id 30' & de,52d.- Mais les différens
crayons qui. parviennent ainsi jusqu’à Toeil, sont
jde diverses couleurs, c’est-à-dire, propres à exciter~eh
nous Tidée de différentes couleurs ; & par conXéquent
ces rayons font différemment rompus de
^Teau dans Tair, quoiqu’ils tombent de la même
-imanière fur une surface réfrangible : car on sart
"que les rayons rouges, par exemple, souffrent
moins de "réfraction que les rayons jaunes, ceux-ci
moins que Tes bleus , les bleus moins que les
■violets 3 & ainsi des autres. Voyei COULEUR.II fuit de ce qu’on vient de dire, que les rayons
.différens ou hétérogènes se séparent les uns des
autres & prennent différentes routes, & que ceux
qui- font homogènes se réunissent & abputiflènt
au même endroit. Les angles de 4id 30' & de
52d, ne sont que pour les rayons d’une moyenne
réfrangibilité, c’est-à-dire, qui, en se rompant,
s’approchent de la perpendiculaire plus que Tes
rouges, maís moins que les rayons violets : &
de-là vient que se point lumineux de la goutte
où se fait la réfraction , paroít bordé de différentescouleurs
 , c’est-à-dire , que le rouge le
verd & le bleu, naissent de différens rayons
rouges, verds &. bleus du soleil, que les différentesgouttes transmettent à Toeil"', comnie îï
arrive, lorsqu’on regarde des objets éclairés à travers
un prisme. Voyei PRISME.Telles sont les couleurs qu’un seul globule de
pluie doit représenter à Toeil : d’où il s’enfuit
q nui grand nombre de ces petits globules venant
à se répandre dans Tair, y fera appercevoir différentes
couleurs, pourvu, qu’ils soient tellement
disposés, que les rayons efficaces puissent asseefer
Toeil ; car ces rayons ainíi disposes, formeront
un arc-en-ciel.
., Pour dérerrniner maintenant quelle doit être
cette disposition , supposons mie ligne droite tirée
du centre du soleil à Toeil du spectateur, telle
que VX (fig. 4G )  , que nous appellerons ligne
d’afpeéi: comme elle part d’un point extrêmement
éloigné, on peut la soppofer parallèle aux autres
lignes tirées du même point ; or on fait qu’une
ligne droite qui coupe deux parallèles , forme
des angles alternes égaux. Voyei ALTERNE.Imaginons donc un nombre'indéfini de. lignes
tirées de Toeil du spectateur à Tendrait opposé au
soleil où sont des gouttes de pluie, lelquelles
forment différens angles avec la ligne d’aspect,
égaux.aux angles de réfraction des différens rayons
rêfrangibles, par exemple , des angles de 41d 46',.
-de 4id 30', & de.4id 40. Ces lignes tombant
fur des gouttes de pluie éclairées du soleil, formeront
des angles de même grandeur avec les
ra3:ons tirés du centre du soleil aux mêmes, gouttes. ;
de sorte que les lignes, ainsi tirées de Toeil, représenteront
les rayons qui occasionnent la sensation
de différentes couleurs.Celse , par exemple , qui forme un angle de
4id 46', représentera les rayons les moins rêfrangibles
ou rouges des différentes gouttes ; & celle,
dé 4id 40' les rayons violets qui sont les plus
réfrartgibles. On trouvera les couleurs intermédiaires
& leurs réfrangibilitós dans Tefpace intermédiaire.
Voyei ROUGE.On fait que Toeil étant placé au sommet (Tun
cône, voit les objets fur fa surface comme s’ils
étoient dans un . cercle , au moins lorsque ces.
objets sont assez éloignés de lui.: car quand difrférens
objets sont à une distance assez considérablede
Toeil, ils paraissent être à la même -distance ;
Nous en avons donné la raison dans l’article AE.
PARENT ; d’où il s’enfuit qu’un grand nombre
d’objets ainsi disposés , paraîtront rangés dans
un cercle fur la surface du cône. Or Toeil de
notre spectateur est ici au sommet commun de
plusieurs cônes formés par les différentes espèces
de rayons efficaces & la ligne d’aspect- Sur la
surface de celui dont Tangle au sommet est le
plus grand, & qui contient tous les autres, sont
ces gouttes ou parties de gouttes qui paraissent
rouges ; les gouttes de couleur de pourpre sont
fur la superficie du cône qui forme le plus petit
angle à son sommet ; & le bleu, le verd , "&CÌ,
sont dans les cônes intermédiaires » U s’enfuit dontArc arc1 1-7 ;
que les diltérentes elpèces de gouttes, doivent par
roître Comme si elles étoient disposées dans autant
de bandes ou arcs colorés, comme on le voit
dans Varc-en-ciel..M. Neuton explique cela d’une manière plus
scientifique, & donne aux angles des valeurs un
peu différentes. Supposons, dit-il, que O (fig. 48) 
soit -Toeil du spectateur , & O P une ligne parallèle
aux rayons du soleil ; & soient POE,
P 0 F des angles de 46* 17', de 42d z , que
Ton.suppose tourner autour de leur côté commun
DPJ ils décriront par les extrémités E, F, de
leurs autres côtés OE & OF, les bords de
T arc-en-ciel.• Car si F , F sont des gouttes placées en quelque
endroit que ce soit des surfaces coniques décrires
par O E , O F ,& quelles soient éclairés par les
rayons du soleil SE , SF ; comme Tangle SE O
est égal à Tangle P ÓE qui est de 4od 17', ce
fera Te plus grand angle qui puisse être fait par
la ligne S E ; & par les rayons les plus réfrangibies
qui sont rompus vers Toeil après une seule
réflexion ; & par conséquent toutes les gouttes qui
se trouvent íúr la ligne O E , enverront à'Toeil,
dans la plus grande abondance possible, les rayons
les plus réfrangibies, & par ce mo}'en feront sentir
le violet le plus foncé vers Ia région où elles sont
placées. 'De même Tangle SFO étant égal à Tangle
P. O F qui est de 42d 2', sera le plus grand angle
selon lequel les rayons les moins réfrangibies
puissent sortir des gouttes après urie seule réflexion
 ; & par conséquent ces rayons seront envoyés
à Toeil dans la plus grande quantiré possible
par les gouttes <pì se trouvent fur la ligne
.0 F, & qui produiront Ia sensation du rouge lc
plus foncé en cet endroit.Par la même raison , les rayons qui ont des
degrés intermédiaires de' réfrangibilité viendront
dans la plus grande abondance possible des gouttes
■placées entré E & F, & feront sentir les couleurs
intermédiaires-dans Tordre qu’exigent leurs
degrés de réfrangibilité, c’est-à-dire, en avançant
de E en F, ou de la partie intérieure de l’arc à
Textérieure dans cet ordre, le violet, Tindigo, le
bleu, le verd , le jaune, Torangé & le rouge :
mris le violet étant mêlé avec lumière blanche
des nues, ce mélange le fera pàroître foible, &
tirant fur le-pourpre.Connue les lignes 
autres couleurs dans les cercles décrits par les
OE , O F peuvent - être
situées indifféremment dans tout-autre endroit
des surfaces coniques dont nous avons parlé cidessus
, ce que Ton a dit des gouttes & des couleurs
placées dans ces lignes,-doit s’entendre des
gouttes & des couleurs distribuées en tout autre
endroit de cés surfaces ; par conséquent le violet
fera Tépandn dans tout le cercle décrit par Textrémité
E du rayon OE autour de O P ; le'
rouge dans tout Ie cercle décrit par F, & lespoints qúi sont entre F & F. Voilà quelle est la
manière dont se formel’arc-en-ciel intérieur-.Arc-en-ciel extérieur. Quant au second àrc-enciel.
qui entoure ordinairement ie premier , en
assignant les gouttes qui doivent pàroître colorées,
nous excluons celles qui partant de Toeil,
font des angles un peu au-dessous de AZÌ 2', mais
non pas Celles qui en font de plus grands.Car si Ton tire de Toeil du spectateur une infinité
de pareilles lignes , dont quelques - unes
fassent des angles de 50d 57' avec la ligne d’aspect,
par-exemple OG ; d’autres des angles de
54d T, par exemple O H, il faut de toute nécessité
que les gouttes sor lesquelles tomberont
ces lignes, fassent voir des couleurs , sor-tout
celles qui forment Tangle dé 50d 57'.Par exemple, la goutte G paroîtra rouge, Ia
ligne G O érantla même qu’un rayon - efficace,
qui, après deux réflexions & deux réfractions j
donne le rouge ; de même lés gouttes sor les*
quelles tombent les lignes qui font avec O P
des angles de 54d 7', par exemple, la goutte If
paroîtra couleur de pourpré ; la ligne 0 H étant
ia même qu’un rayon efficace, qui, après deux
réflexions & deux réfractions, donne la couleur
de pourpre.Or s’il y a un nombre suffisant de ces gouttes,
& que la lumière du soleil soit affez forte pour
n’être point affoiblie par deux réflexions & réfractions
consécutives , il est évident que ces
gouttes doivent sonner un second arc semblable
au premier. Dans les rayons les moins réfrangibies,
le moindre angle fous lequel une goutte,
peut envoyer des rayons efficaces après deux.réflexions
~a été trouvé, par le Calcul, dé 50d 57'-,
& dans les plus réfrangibies, de 54d 7'.Supposons Toeil placé au point 0 , comriie cídèvant,
 ;& que P 0 G , P O H soient des angles
de 50d 57', & de 54d 7' : fi ces angles tournent
autour de leur côté commun O P , avec leurs
autres côtés O G, OH, ils décriront les bords
de ï arc-en-ciel C H D G , qu’il faut imaginer „
non pas dans le même plan que la ligne O P ,
ainsi que la figure le présente , mais dans uri plan
perpendiculaire à cetteligne.Car si G O sont des gouttes placées en quelque
endroit que ce soit des surfaces coniques décrites
par O Gy O H, & qu’elles soient éclairées par
les rayons du soleil ; comme Tangle S G 0 estégal
à Tangle P OjG de 5òd 57', cé sera le plus
■petit angle qui puisse être fait par les rayons les
moins réfrangibies après deux réflexions ; & par
conséquent toutes les gouttes qui -se trouvent sor
la ligne O G , enverront à Toeil dans Ta plus
grande abondance poffible, les rayons les moins
réfrangibies, & feront sentir par ce moyen Te
rouge le plus foncé vers la région où. elles sont
placées.De même Tangle S H 0 étant égal à Tangle
POU)  qui est de 54a 7', sera, le plus petiî
ti8 ARC

A R C
angle sous lequel les rayons les plus réfrangibies
piussent sortir des gouttes après deux réflexions ;
& par conséquent ces rayons seront envoyés à
Toeil dans la plus grande quantité qu’il soit possible
par les gouttes qui sont placées dans la ligne
G H, & produiront la sensation du violet le plus
foncé dans cet endroit. >Par la même raison, les rayons qui ont des
degrés intermédiaires de réfrangibilité viendront
dans la plus grande abondance possible des gouttes
entre G & H , & feront senûr les couleurs intermédiaires
dans Tordre qu’exigent leurs degrés
de réfrangibilité, c’est-à-dire, en avançant de G
en H, ou de la partie intérieure de l’arc à Textérieure
, dans cet ordre ,1e rouge, Toràngé,
le jaune, le verd , le bleu, Tindigo, & le.
violet.Et comme les lignes O G, O H peuvent être
situées indifféremment en quelqu’endroit que ce
soit des surfaces coniques, ce qui vient d’être dit
des gouttes & des couleurs qui sont fur ces lignes
doit être appliqué aux gouttes & aux couleurs qui
sont en tout autre endroit de ces surfaces.C’est ainsi que seront formés deux arcs colorés
 ; Tun intérieur, & composé de couleurs plus
 vives par une seule réflexion ; & l’autre extérieur
, & composé de couleurs plus foibles par
deux réflexions.Les couleurs de ces deux arcs seront dans un
ordre opposé Tune à Tégard de l’autre ; le premier
ayant le rouge en dedans & le pourpre en
dehors ; & le second le pourpre en dehors & le
rouge en dedans, & ainsi du reste.Arc-en-ciel artificiel. Cette explication- de l’arcen-cicl
est confirmée par une expérience facile :
elle confiste à- suspendre une boule - de verre
-pleine d’eau ,en quelqu’endroit pù elle soit exposée
au soleil,, & d’y jetter les yeux, en se plaçant
de telle manière que les rayons qui viennent
de la boule à Toeil puissent faire avec les rayons
du soleil un angle de 42 ou de 5od ; car si
Tangle est d’envirón 42 ou 43d, le spectateur
( supposé en O )  verra un rouge fort vif sur le
côté de la boule opposé au soleil, comme en F ;
& fi cet angle devient plus -petit, comme il arrivera
en faisant descendre la boule jusqu’en E ,
d’autres couleurs paraîtront succeffivement sur le
même côté de la boule, savoir, le jaune, le verd
& le bleu.Mais si Ton fait Tangle d’environ’ 50d , en
haussant la boule jusqu’en G, il paroîtra du
rouge sur le côté de la boule qui est vers le
soleil, quoiqu’un peu foible ; & si Ton fait Tangle
encore plus grand, en haussant ia boule jusqu’en
H, le rouge íè changera successivement en d’autres
couleurs en jaune, verd & bleu. On observe la
■même chose lorsque, sans faire changer de place
à la boule, on hausse ou Ton baisse Toeil pour
donner à Tangle une grandeur convenable.On produit encore, comme nous Pavons ditun arc~tn-cìel artificiel, en tournant Ie dos kil
soleil, & jettant en haut de Teau dont on aura
rempli sa bouche ; car on verra dans cette eau
des couleurs de ïarc-en-ciel , pourvu que les
gouttes soient poussées assez haut pour que les
rayons tirés de ces gouttes à Toeil du spectateur,
fassent des angles de plus de 41d avec le rayon
OP.Dimension de V'arc-en-ciel. Descartes a le premier
déterminé son diamètre par une méthode
indirecte, avançant que fa grandeur dépend du
degré de réfraction du fluide, & que le sinus
d’incidence est à celui de réfraction dans Teau,
commè 250 à 187. Voyei RÉFRACTION,M. Halley a depuis donné, dans les Transaâions
philosophiques , une ihéthode -simple & directe
de déterminer le diamètre de ïarc-en-ciel,
en supposant donné le degré de réfraction- du
fluide, ou réciproquement de déterminer la réfraélion
du fluide par la connoissance que Ton a
du diamètre de ïarc-en-ciel. Voici en quoi consiste
fa méthode. i.° Le rapport dela réfraction,
c’est-à-dire, des sinus d’incidence & de réfraction
étant connu, il cherohe les angles d’incidence &
de réfraction d’un rayon , qu’on suppose devenir
efficace après un nombre déterminé de réflexions,
c’est-à-dire, il cherche les angles d’incidence &
de réfraction d’un faisceau de rayons infiniment
proches, qui, tombant parallèles fur la goutte,
sortent parallèles après avoir souffert -au-dedans,
de la goutte un certain nombre de réflexions déterminé.
Voici la règle qu’il donne pour cela.
Soit une ligne donnée A C ( Opt. fig. 49 ) on
la divisera en D , en sorte que D C soit à AC
en raison du sinus de réfraction au sinus d’incidence ;
ensuite on la divisera de nouveau en E, en sorte que
A Cïoit AE comme le nombre donné de réflexions
augmenté de Tunité est à cette même unité: on
décrira après cela fur le diamètre ^4 F le demicercle
ABE ; puis du centre CSç du rayon CD
on tracera un arc D B , qui coupe le demi-rcercle
au point B : on mènera les lignes AB, CB ;
ABC, ou son complément à deux droits , scia
Tangle d’incidence, & CAB Tangle de réfraction
qu’o'n demande._ 2. 0 Le rapport de Ta réfraction & Tangle d’in-.
cidence étant donnés, on trouvera ainsi Tangle
qu’un rayon de lumière qui sort d’une bpule après
un nombre donné de réflexions fait avec la ligne
d’aspect, & par conséquent la hauteur & la largeur
de ïarc-èn-ciel. L’angle d’incidence & le
rapport de réfractions étant donnés, Tangle de
réfraction Test auffi. Or, íi Ton multiplie ce
dernier par le double du nombre des réflexions
augmenté de 2, & qu’on retranche du produit
le double de Tangle d’ineidence , Tangle restant
sera celui que Ton cherche.Supposons avec M. Neuton que le rapport de.
réfraction soit comme 108 à 81 pour les rayons
rouges, comme 109 à 81 pour les bleus, Çr,ìe
ARC ARC 11 Q
problème précédent donnera les angles sous lesquels
on voit les couleurs.ÍLe spectateur ayant
le_ dos tourné au soleil
, parce que les
rayons qui viennent à
l’oeil du spectateur,
après une ou deux réflexions.,
font du même
côté de la goutte
que les rayons HÏCIdens.Si Ton demande Tangle formé par un rayon
après trois ou quatre réflexions, & par conséquent
la hauteur à laquelle on devroit appercevoir
le troisième & Je quatrième arc-en-ciel, qui sont
très-rarement & très-peu sensibles, à cause de la
diminution que souffrent les rayons par tant de
réflexions réitérées, ori aura !Le spectateur ayant
le visage tourné vers
le soleil, parce que
les rayons qui viennent
a l’oeil du spectateur,
après trois ou
quatre réflexions, foirent
de la goutte d’un
côté opposé à celui
par où ils y font en■
. t trés , & conséquemir.Arc-in-chl.
/ronee43d.î3 ; ment sont par rap.
\v10let49 d. 53. port au soleil, d un
, , ' autre côté dela goutteque les rayons inciVdens.II. est aisé sor ce principe de trouver la Iareeur
de ïarc-en-ciel ; car le plus grand demi-diamètre
du premier arc-en-ciel, c’est-à-dire de fa partie
extérieure, étant de 42 d 11 ' , & le moindre,
savoir, de la partie intérieure, de 40 d 16', Ja .
largeur de la bande mesurée du rouge au violet
sera de id 55',- & le plus grand diamètre du
second arc étant de 44d çs , & le moindre de 50 d
58', la largeur de la bande sera de 3 d 11 ' , & la
distance èntre les deux arcs-en-ciel de 8d 47 '.On regarde dans ces mesures le soleil comme
un point ; c’est pourquoi, comme son diamètre est
d’enriron 30', & qu’on a pris jusqu’ici les rayons
qui passent par le centre du soleil, on doit ajouter
ees 30' à la largeur de chaque bande ou arc .
de rougé ou violet ; savoir, 15' en dessous au
violet à l’arc intérieur, & 15' en dessus au rouge dans
le même arc ; & peur ïarc-en-ciel extérieur, 15'
en dessus au violet, & 15/ en dessous au rouge ;' & il faudra retrancher 30' dela dislance qui est
'entre les deux arcs.La largeur de ïarc-en-ciel iritérieur fera donc,
•de 2d 25', & celle du second de 3d 41 ' & leur
distance.de 8d 17'. .Ce sont là les dimensions de
' ïarc-en-ciel, & elles sont conformes à très-peu-près.à celle que Ton trouve en mesurant un arc-en-ciel
avec des inslrumens,Phénomènes particuliers de F arc-en-ciel. 11 est
aisé de déduire de cette théorie tous les phénomènes
particuliers de ïarc-en-ciel :■ i.° par exemple,
pourquoi ïarc-en-ciel est toujours de même largeur ?
c’est parce que les degrés de réfrangibilité des rayons
rouges & violets qui forment ses couleurs extrêmes,
sont toujours les mêmes.z." Pourquoi on voit quelquefois les jambes de
ïar-en-ciel contigues à la surface de la terre, &
pourquoi d’autres fois ces jambes ne viennent pas
jusqu’à terre ? c’est parce qu’on ne voit Varc-en-ciel
que dans les endroits où il pleut: or si la phiieest
assez étendue pour occuper un espace plus grand .
que la portion visible du cercle que décrit le point
E, on verra un arc-en-ciel qui ira jusqu’à terre,
sinon Ton ne verra d’arc-en-ciel que dans la paf*-*tie
 du cercle occupée par la pluie.
. 2° Pourquoi ï arc-en-ciel change de situation à
mesure que Toeil en change ; pourquo^, pour parler
comme le vulgaire, il fuit ceux qui.le suivent,
.& suit ceux qui le fuient ? c’est que les gouttes
colorées sont disposées sous un certain angle autour
de la ligne d’aspect, qui varie à mesure qu’on
change de place. De-là vient auffi que chaque spectateur
voit un arc-en-ciel différent.Au reste, ce changement de ïarc-en-cielpour
chaque spectateur, n’est vrai que rigoureusement
parlant ; car les rayons du soleil étant censés parallèles,
deux spectateurs voisins Tun de. l’autre
ont assez sensiblement le même arc-cn-ciel.4° D’où vient que l’arc-en-cicl forme une portion
du cercle, tantôt plus grande & tantôt plus
petite ? c’est que fa grandeur dépend du plus ou
moins d’étendue de la partie de la superficie conique,
qui estau-dessus de la surface de la terre dans le tems’
qu’il paraît ; & cette partie est plus grande ou plus
petite, suivant que la ligne d’aspect est plus iriclinée
ou oblique à la surface de la terre, cette
obliquité augmentant à proportion que le.soleil est",
plus élevé , ce qui fait que ï arc-en-ciel diminue à
proportion que le soleil s’élève.5. 0 Pourquoi Varc-en-ciel ne paroít jamais lorsque
le soleil est élevé d’une certaine hauteur ? c’est
que Ia surface conique sur laquelle il doit pàroître
est cachée sous’ terre lorsque le soleil est élevé de
plus de 42 d ; car alors la ligne O P, parallèle aux
rayons du soleil, fait avec l’horizon en dessous un
angle de plus de 4-2d, & par .conséquent la ligne
OE, qui doit faire un angle de 42d avec O P,
est au dessous de l’horizon , dé forte, que le rayon
F O rencontre la surface de ia terre, & ne fauroit
arriver à Toeil. On vpit auffi que fi lé soleil est
' plus élevé de 42 d , mais "moins que 54, on verra
Varc-en-ciel extérieur, saris Varc-en-ciel intérieur.6° Pourquoi Varc-en-ciél ne paroít jamais plus
grand qu’un demi-cercle ? le soleiln’est jamais visible
au-dessous de l’horizon , & le centre de Varctn-cid
est toujours dans la ligne d’aspect j or dans
tî.o ARC
A r cle cas où le soleil est à l’horizon , cette lígnerasc
ia terre ; donc elle ne s’élève jamais au dessus de
la surface de la terre.' Mais si le spectateur est placé fur une éminence
considérable, & que le soleil soit dans ou sous
-l’horizon, alors la ligue d’aspect dans laquelle est
le centre de l’arc-en-ciel, sera considérablement
élevée au dessus de l’horizon, & ïarc-en-ciel pour
lors fera plus d’un demi-cercle ; & même si le lieu
est extraordinairement élevé, & que là pluie soit
proche du spectateur, il peut arriver que ïarcen-ciel
sonne un cercle entier.7. 0 Comment Varc-en-cielpeut paroítreinterrompu
& tronqué à sa partie supérieure ? rien n’est plus
simple à expliquer. 11 ne faut pour cela qu’un nuagé
qui intercepte les rayons, & les empêche de venir
de la partie supérieure de Tízrc à Toeil du spectateur
 ; car dans ce cas, n’y ayant que Ia partie
inférieure qui soit vue-, ïarc-cn-ciel paroîtra tronqué
à fa partie supérieure. II peut encore arriver
qu’on ne voie que les deux jambes de ïarc-en-ciel,
parce qu’il ne pleut point à Tendrait où devrait
pàroître la partie supérieure de ïarc-en-ciel.8." Par quelle raison ïarc-en-ciel peut pàroître
quelquefois renversé ? si le soleil étant élevé de 4id
46" ses rayons tombent fur la surface de quelque làc
spacieux , dans le milieu duquel le spectateur soit
placé, & qu’en même tems il pleuve, les rayons
venant à se réfléchir dans les gouttes de pluie ,Froduiront le même effet que file soleil étoit sous
horizon, & que les rayons vinssent de bas en haut ;
ainsi, Ia lurface du cône fur laquelle les gouttes
colorées doivent être placées, sera tout-à-fait au
dessus de la surface de la terre. Or, dans ce cas,
íì la partie supérieure est couverte par-des nuages,
& qu’il n’y ait que fa partie inférieure fur laquelle
les gouttes de pluie tombent, l’arc sera renversé.
9. 0 Pourquoi l’arc-en-cicl ne paraît pas toujours
exactement rond, & qu’il est quelquefois incliné ?
c’est que la rondeur exacte de ïarc-en-ciel dépend
de son éloignement, qui nous empêche d’en juger:
or , si la pluie qui le forme est près de nous, on
appei cevra ses irrégularités ; & íì lèvent chaste la
pluie, en forte que fa partie supérieure soit plus
sensiblement éloignée de Toeil que Tinférieur, l’arc
paraîtra incliné ; en ce cas l’arç-en-ciel pourra
paraître ovale,comme le paroít un cercle incliné
vu d’assez loin.10/' Pourquoi lçs jambes de ïarc-en-ciel paraissent
quelquefois inégalement éloignées ? si la pluie
se termine du côté du spectateur dans un plan
tellement incliné à la ligne d’aspect, que Ie plan
de la pluie forme avec cette ligne un angle-aigu
du côté .du spectateur, & un angle obtus de l’autre
côté, la surface du cône sur lequel sont placées les
goutres qui doivent faire pàroître ïarc-en-ciel, sera
tellement disposée, que la partie de cet arc qui sera
du côté gauche , paroîtra plus proche de Toeil que
Ceilé du côté droit.
C’est un phénomène fort rare de voir cn mêmetems trois arcs-cn-cicl ; les rayons colores au troisième
sont toujours fort foibles, à cause de leurs
triples réflexions :/auffi ne peut-on jamais voir m »
troisième arc-en-ciel, à moins que Tair ne soit entièrement
noir pardevant, & fort clair parderrière.M. Halley a vu, en 160S , à Chesler trois arcsen-ciel
en même tems, dont deux étoient les mêmes
que ïarc-en-ciel intérieur & Textérieur qui paroislent
ordinairement. Le troisième étoit presqu’auífî
'vif que le second, & ses couleurs étoient arrangées
comme celles du premier arc -en-ciel ; ses
deux jambes reposoient à terre aU même endroit
Où reposoient celles du premier arc - cn H ciel,
& il coupoit en haut le second arc -en- ciel,
divisant à peu - près cet arc en trois parties
égales. D’abord on ne voyoit pas la partie de cet
arc qui étoit à gauche ; mais elle parut ensuite
fort éclatante: les points où cet arc coupoit l’arc
extérieur. parurent ensuite se rapprocher , & bientôt
la partie supérieure du troisième arc - cn ■ ciel
se confondit avec l’arc - en - ciel extérieur. Alors
l’arc-en-cicl extérieur perdit fa couleur en cet
endroit, comme cela arrive lorsque les couleur »
se confondent & tombent les unes fur les autres ;
mais aux endroits où les deux couleurs rouges tombèrent
Tune sor l’autre eu se coupant, là couleur
rouge parut avec plus d’éclat que celle dir
premier arc -en- ciel. M. Senguerd a vu en 1685
un phénomène semblable, dont il fait mention
dans fa Physique. M. Halley faisant attention à la
manière dont le soleil luisoit, & à la position du
terrein qui recevoit ses rayons, croit que ce troisième
arc-în-ciel étoit cauíë par la réflexion des
rayons du soleil qui tomboient sur la rivière Dée
qui passe à Chester.M. Celsius a observé à Dalécarlie, province de
Suède, très-coupée de lacs & de rivières, un phénomène
à peu-près semblable, -lé 8 Août 1743,
vers les 6 à 7 heures du-soir, Te soleil étant à
nd 30' de hauteur ; & le premier qui en ait observé
de pareils, a été M. Etienne, Chanoine de
Chartres le io Août 1Ó65. Voyei le Journ. dcsSav.
8 les tranfaâ. phil. de 1666, 8 FHist. acad. des
Scienc. an. 1742.Vitellion dit avoir vu à Padoue quatre arcs-ttf
ciel en même tems ; ce qui peut fort bien arriver,
quoique Vicomercatus soutienne le contraire.M. Langwith a vu en Angleterre un arc-tn-átl
solaire avec ses couleurs ordinaires ; & fous ce
premier arc-rcn-ciel on en voyoit un autre, dans
lequel il y avoit tant de verd, qu’on ne pouvoir
distinguer ni le jaune ni le bleu. Dans un autre
tems, il parut encore un arcr-.en-rciel avec ses couleurs
ordinaires, au dessus duquel on remarquoit
un arc bleu-d’un jaune clair en haut, & d’un verd
foncé en bas. On voyoit de tems en teins au dessous
deux arcs de pourpre rouge, & deux de pourpre
verd. Le plus bas de tous ces arcs étoit de couleur
dé pourpre,, mais fort foible ; & il paroissoit &
disparojssoit à diverses reprises. M, MusschenbroekexpliqueA & g
■A-R" G'
t ifÉXpliqueces ; dmérerites apparences par Tés observations
de M, Neutonsur là lumière. * VbyeiPEssai
de Phys. de cetauteur, art.- iGn.:'.•" ■- :.ARC - EN - CIEL lunaire. La lune forme aussi
quelquefois un arc -en- ciel par Ia réfraction que
souffrent ses rayons dans les gouttes de- pluie qui
tombent - la nuit. Voyei LUNE. Arióste dit qu’on
ne Tavoit point. remarqué àVant lui ,&: qu’on ne
Tapperç'oit .qu’à Ta pleine lune. Sá'-lumière dans
d’autres tems est trop foible pour frapper la vue
après deux réfractions & ■ une réflexion.Ce Philosophe nous apprend qu’on vit pàroître
de son-tems un arc-en-cicl lunaire, dont les couleurs
étoient blanches. Gemma Frifius dit aussi qu’il
en a vu Un coloré ; ce qui est encore confirmé par
M.Vérdriers, & par Dan Sennert, qui en a observé
Un semblable en 1590.: Snellius dit en avoir
vu deux ert dëuxans de tems, & R. Plot en a
reinarqué un en 1675. En 17115 ^ en parut Un
dans’ la Province de Darbyshire en Angleterre.Varc-en-ciel lunaire a toutes les mêmes couleurs
que lé solaire, excepté qu’elles sont presque toujours
plus foibles",: tant à cause de. la différerifè
intensité des rayons, qu’à cause.de la différente
.disposition du milieu. M. Toresby, qui a donné
la description d’unarc-en-ciellunaire dans lèsTrans.
phil. .n. ? 332 ", dit qtie cet. arc étoit admirable'par
îa beauté & Téclat dé ses couleurs ; il dura environ
dix minutes, après quoi un nuage en.déroba
la vue. _•M. "Weidler a vu en 1719 un arc^en-ciellunaire,
lorsque Ialune étoit à demi-pleirie , ;dans’.un tems
calme, & où il pleuvoit un peu ; mais à peine
put-ilreconnóítrelescotileurs ;lessupérieures étoient
un peu plus distinctes que les inférieures": l’arc
disparut lorsque la pluie vint à cesser. M. Musschenbroek
dit en avoir observé Un le premier" octobre
1729, vers les 10 heures du soir ; il pleuvoit
très-fort à Tendrait où 11 voyoit ï arc-en-çiel,
mais il ne put distinguer aucune couleur, quoique ;
-la luné eût alors beaucoup d’éclat. : Le même auteur
rapporte que le 27 août 17.36 , à.la: même
heure, on vit à Yffelstein un arc-en-çiellunaire fort
gtand, fort éclatant ; mais’ cet arc- en-ciel n’étoit
par-tout que de ,coule.ur jaune.ARC-EN-CÌEL marin. Vare-en-ciel marin est un
phénomène qui paroít iquelquefois lorfquè la mer
.est . ;éxtrêmement tourmentée ,. & que le .vent
agitant la superficie "des vagues, fait que lesrayoris
du soleil,- qui tombent dessus, s’y rompent &■ y
peignent les’ ; mêmes, couleurs que dans lès gouttes
de,pluie ordinaires ; M. Bo-vvrzesv.Observe-dans-T’es
TransaSions philosophiques, .que les couleurs de
Varc-en-ciel marin sont moins vives, moins distinctes,
& de moindre durée.que pelles de l’ancen-cieZ.ordinaire
 ; & qu’on y-distingué: à peine plus
de deux couleurs ;: savoir du jaune du côté du soleil,
& un Verd pâle du côté opposé. !," :Mais ces arcs font plus" nombreux -,'■ car on én
Voit.souvent 20 ou 30 à-la-fois ; r ils paraissent àMathématiques, Tome J, I,ere Partie..midi-,'&-dans une:position coútraive kl’arc-en-ciel,
c’:est-à-dire-renverses ; ce-qui » est. une fuite nécessaire
de ce que nous avons dit en expliquant les
phénomènes de ïarc-en-ciel solaire. 'On peut ericore rapporter à cette classe une espèce
d arc-en-cielhlanc , -que Ménzelius, & d’autres
disent avoir observé àl’heUf e ■deinidi.- M..Mariote, -_
dans son Estai de. physiques dit que ces : arcs-encie/fans
Couleurs v ;sofofm.eiitdansTes brouillards,
commèlés autres fofímt ; daris lai pluie ;' ;& il assure
en avoir ; vu.à ïfois -'différentes ■fois’y.tânt le
matin après lé lever du soleil, que la nuit à la
clarté de la Tune. • "" :''Le jour qu’il vit le premier, il avoit fait un grand
brouillard au lever du soleil’ ; une heure après le
brouiIIard.se sépara par intervalles. Un yéut qui
venoit du ; -levant ayant poussé, un de ' ces .-brouiljlards-séparésLà
deux où trois cens.pas de l’ob■servateuf,
& le soleil dardant ses rayons dessus ,
il parut un arc-cn-ciel semblable , pour la figure,
la grandeur & la fitUatiori, à T arc-en-ciel ordinaire,
Tl étoit toutblanc,-hors un peu d’obscurité qui
letérminoit à Textérieur, ; Ta blancheur du niilieu
itoit.ïrèfeéclatànte, &surpassoit de beaucoup celle
-qui.paroissdit sur: le reste du brouillard : l’arc n’avoit
: qu’environ un. degré &■: deirii de largeur. Un
autre brouillard ;ayant été poussé de même, Tobservateur
vit un autre arc-en-ciel semblable au premier.
Ces brouillards étoient fi épais qu’il ne voyoit
rien au-delà..-.. Il attribue ce: défaut de couleurs à ;Ia petitesse
:dës vapeurs imperceptibles qui composent les brouillards
: d’autres croient plutôt qu’il vient dela ténuité
excessive des petites vésicules de la vapeurx,
qui n’étant en effet que de petites pellicules’aqueuses
remplies d’air-, ne rompent point assez les
rayons de lumière.-, outre qu’elles sont trop petites
pour séparer les différens rayons colorés.- De-là
-vient- qu elles réfléchissent les rayons àuffi. composés
quelles les: ont reçus ,-c’eff à-dire .blancs. : : ;Rohault.parle d’un arc-en-ciel qui se forme dans
les prairies :par.Iaréfraction^desrayons du soleil
dans les gouttes :de rosée.- Traité de Physique.
• Nous ne nous arrêterons pas ici à exposer les
sentiiriens ridicules des anciens philosophes fur ïarc-<
en-cïel. Pline.& Plutarque.rapportent que les prêtés
dans leurs offfandésT’eservoiént par préférence
-du bois- sor lequel ïarc-en-cielavpitrepofé, & qui
eri ávoit été mouillé, parce qurls .s’imaginpient, on
né fait pourquoi, que ce bois rêndoit une odeur
bien plus agréable que Tes autres. 'Voyei l’Esfay de
Physique de Musscli. d’où nous aVons tiré une partie
de cet article. V. aussi le Traité des météores de
.Defcàrtes, T Optique de Neuton, les Lediones op,ticoe
de Barow, ;&Te quatrième volume des (Eu->
■vres de Jean Bernoulli, imprimées à Lausanne,
-1743-. On trouve dansçês différens ouvrages & dans
plusieurs autres,Ta théorie de ïarc-en-ciel.■Finissons cèt article par une réflexion, philosophique.
On-ne fait pas-pourquoi une pierre tombe^ria ar ;ca:  r g& on sait la cause des couleurs de l’arc-én r ciel, "i
quoique ce phénomène soit beaucoup plus furprè-  ;
nant que le premier pour- la multitude. II -semble
que í'érude de la nature soit propre à nous enor- ,
gueillir d’une part, & à nous humilier de Tautre.(O). >'''Pourfairç aisément concevoir les phénomènes
de l’arc-en-cicl, Mussolieribroëk-jaiimaginé .une
machine,, par- Te 'mp_y.enVde Jaquélle-on les re- i
présente' tous: àisériient,Ti&; d’rune ; irianière-très- •
claire. (AAAA y ~fig.[,so:s’en jme-tablé à qua- ;
trépieds’., ouverte à son milieu ,.<afin’qu’on.puisse
faire monter & descendre à travers cette table un
corps conique. B C est la moitié d’un cône, dont  ;
îe sommet est en D.. Cc sommet est appuyé sor
un axe transversal sur lequel tourne -le .cône B C
.& sor lequel il .-s’élève au.dessus de Ta table, ou
fur lequel il s’abaisse au dessous :.,à Textrémité:du
même sommet est adapté un oeil de la. grandeur
ordinaire de Toeil d’un hòmfrie, & .qui sert are'
présenter Toeil du spectateur :.outrecela, une verge
de fer longue de trois piés !est adaptée au cône &
■k Taxe, Textrémité de cette verge: se. termine par
•par un manche M: un globe doré S est enfilé fur j
cette verge, & cegloberepréfente le.foseiL ;.la'base ;
du cône S est entourée d’une !large b'arideTè'mi- •
circulaire, sor laquelle òn peint.Tes sept-Couleurs ,
"de Tiris: le côté du cônesormeavec .Taxe un angle,
de 4od 17' : la largeur de la bande peinte fur la
-jbafë du cône, est de près de deux degrés, conformément
à la largeur ordinaire d’une iris principale.
E ,'E ; sont deux plans triangulaires mobiles,  ;
dont le centre du mouvement est plácé au dessus’
du sommet-du Cône ; ces deux plans" sont conslam- •
-ment appliqués à chaque côté du.cône": ils servent
"à cacher Téchàncrure ; faite ; à là table, & repré- :
•sentent en même tempsThorizon. On versa dans
Ia figure z comment ils sont constamment appliqués
aux deux côtés du cône. Cela posé, lorsque,
la tige de fer, ainsi que lè:soleil i^est-pa- .
rallèle à f horizon, la moitié du cône est 'au desius
'de la table-, &T’oeil du spectateur qui est en D,
-voit la bande colorée semi-çirculaire.placée à la base'
du cône :máis, lorsque la-main de Tobsefvateur ■
saisit le manche de la tige de fer & élève le soleil
S ,lè cône s’abaisse, ainsi que le limbe qui est adhérent
à la base du cône, qui alors devient moindre
qu’un demi-cercle. Si on élève encore Te soleil S,
on abaisse toujours dans-la même .proponion.le :
cône, & conséquemment l’arc qui. représente Tiris :
diminue auffi ; ce qui a lieu jusqu’à ce que le soleil
S soit élevé à 42d 1' ; ;car alors tout Tarcr-'en:
ciel se trouve au dessus de Thorizon, & Tes plans
E, E couvrent entièrement le cône. Ce limbe co'
loré appliqué à la base du cône, représente la pluie
qui tombe au devant & au.loin du spectateur ì
dans le tems qu’on observe dans le ciel un ample arc- 1
en-ciel. Mais, comme il arrive quelquefois queTW- ]
*n-ciel paroít plus petit, lorsque, la pluie qui tombe ]
"n’est pas éloignée du spectateur , îl y a fur cette •
• machine un autre 'arc plan i, fur lequel on peintTes sept 'couleurs- de Tiris., qui est placé à Une
plus proche, distance d\\ sommet du cône, & dont
îa largeur est proportionnée,, dé façon que cet arc
forme un demi-cercle.fur Thorizon, lorsque le soleil
esta Thorizon-, & qu’ilest.tout-à-fait caché par
les plans E , E , lorsque le soleil est élevé à 42' 1 2'
au deslbus.idé l’horizon:011 représente doUc àisér
ment, à Taide de :: cette -machine, comment il arrive,
que Tare - cn - ciel paroisse ; quelquefois trèsample
, '.& quelquefois très-petit. .11 y a outre ,cela fur.cette machine un autre
limbe N, placé au dessus du premier, limbe F ;
ce limbe TVrepréscnte la seconde iris , & les cour
leurs de cette dernière y sont peintes dans un ordre
renversé. On a donné à. ce dernier limbe une largeur
fuinsante ,,pour que Cétte iris paroisse à Toeil
du spectateur placé en D,de 3d 8' de largeur., Ce'
limbe représente un demi-cercle au dessus de. la
table,:lorsque le soleil S est placé dans le,plan
de cette table, ou se trouve à Thorizon. Mais
lorsque le soleil i1 est élevé à 54d 7' au dessus
-de Thorizon, ce limbe descend au -dessous de
d’horizon , & se dérobe à Toeil , du spectateur.
L-es: bords 'intérieurs des plans E., È , ceux
qui sont contigus, .& qui touchent les Côtés du
'cône, sont auffi peints des mêmes couleurs que
-Tiris’ ;-ils ont les mêmes .dimensions que Tiris ellemême
dans Tendrait où ils touchent le limbe de
la .base B :. mais leur largeur va toujours en diminuant,
& ils se terminent en un point auprès du
soirimet du cône. Ces bords colorés représentent
les jambes "de Tiris,: celles qu’on ; remarque ,à la
.campagne' dans Une iris naturelle , lorsqu’une nuée
:qui lance lâ . pluie passe sur la tête du spectateur-,
& fait tombes des gouttes de pluie .qui s’attachent
-àl’herbe. La figure 51 représente la même machine,
mais vue par derrière : on y voit même le limbe
coloré qui est adhérent à la base du cône. Les plans
triangulaires’ E, E , sont tirés par les cordes H, H,
qui passent sor la circonférence de deux poulies
-horizontales K , K, pour, venir embrasser les gorges
de deux autres poulies verticales -R, R: on
attache aux extrémités de ces cordes deux poids
P , P , par le moyen desquels les deux plans font
constamment tirés & appliqués contre les côtés du
cône ; &par ce moyenTéchancrure faite à Ja table
est continuellement cachée, & les plans F, E représentent
Thorizon. On peut consulter sur cela, &
sor ce qui y ar rapport, les .Transaâions philosophiques
cP Angleterre , n. 240, 267,275 ; lesNotes
deCIarek, fus la Physique de Rohaut., part. III,
chap.. z y ; les Ouvrages de Jean Bernoulli ,vo/. IV,
Paë-19 ?  ; ï Optique de Neuton, &scs Leçonsd’optique
 ; Smith compleatsyflem os Optiks ,'Boolí. Z,
-c-t o ;; Martin, dans fa Philosoph.Britann. , vol.IL
■Le célèbre.Nocétus’ a, décrit Tiris- d’ans ses vers,
dune manière, fort éJëgantè (-f). . . . > _
 ARCHITECTURE hydraulique , f.s. Application
des principes de i'Hydrodynamique à la construction
de. tous les ouvrages méchaniques où Tac-Arc
ARE ' itz
tíon d’un fluide quelconque, eau, air, vapeur de
- Teau, 8c., est employée, soit comme puissance
motrice,- soit comme résistance à combattre ou à
vaincre, soit de toutes ces manières à-là-fois. '-On voit par-là qu’en général toutes les machines
hydrauliques, les moulins, les pompes, les
chapelets, la construction des digues, des batardeaux,
des épis, de canaux de navigation, 8c.,
se rapportent à ïarchiteâure hydraulique. ' _L’ouvragé de M. Belidor sur cette matière, quoique
défectueux en plusieurs endroits, du côté de
la théorie , renferme une multitude de détails trèsUtiles
dans la pratique.M. Fabre, Ingénieur hydraulique du pays de
Provence, & correspondant de TAcadémie royale
des Sciences, 8c., a publié en 1783, un ouvrage
sur■ laymanière de construire les machines hydrauliques
, & énparticulier les moulins h bled : ouvrage
excellent, plein dè"recherehes nouvelles,■ & où
la théorie & Texpérience sont très-utilement combinées
ensemble. (L.B.) - ARCTIQUE ;, adj. c’est, en Astronomie , une
épithète qu’on a donné au pôle septentrional, ou
aupolequi s’élève sur notre horizon. Voyei PÓL33.:Le pôle septentrional a été appellépo/e arâique ,.
du mot grec ip-'ÏK, qui signifie ourse ; d’où Ton a
fait le terme arâique., épithète qu’on á donnée au
pôle septentrional ; parce que Ta dernière étoile
limée dans la queue de la petite ourse, en est iresvoisine.
Voyei OUE.SE.. Le cercle. polaire arâique est un petit cercle de
îa sohere parallèle à Téquateur, & éloigné du pose
arâique de 23d 28'. C’est de ce pôle qu’il prend
le nom d’aréique.Ce cercle & le cercle polaire'àntarâique.son
opposé, font déterminés par lespoles de Técliptique.
On peut les concevoir décrits par le mouvement
des pôles de Técliptique autour des pôles de Téquateur
ou du, monde. Depuis encercle jusqu’au
pôle arâique ; est comprise lâ partie de Ta terre
appellée\one froide septentrionale. Les observations:
faites en 1736 par les astronomes de TAcadémie :
des.-Sçiences pour déterminer la figure deTarèrre,ont
 été-faites sous le cercle polaire arâique. Voyei
FIGURE DE LA TERRE.. .Proclus & les anciens Grecs appelioient cercle
arâique, celui qui est tout entier fur l’horizon,
tel ; .seroit à, Paris le cercle éloigné, de/41 ° 10' 'de
Téquateur.. -,-, .. - -■ ' . .—. ■/' ..■'-_■,. ARCTOPEYLAX,. terme d. Astronomie -, nom,
d’une constellation .qu’on appelle ordinairement ;
le Bouvier, Arâophylax signifie gardien de F ourse :
il est dérivé des deux mots grecs « pclat, ourse, &
qvr.í&r'iie, je garde. La constellation du Bouvier est
ainsi appellée, parce qu’elle seitrouve,près.de la
graride & ;de là petite ourse. (0) y - . ,'ARCTUR-US, (Astron.) en grec’« f « «f os dérivé
d’âfiiTss, ourse,-'8í de ifi'yqueue. ; c’est une étoile
íace de première'grandeur, située dans la constel’lation du'bouviér, vers laquelle se dirige Ta queue
de la graride ourse. Voyei BOUVIER. Voyei aussi
OURSE '8 -CONSTELLATION ; On Tappelle en
Arabe Arameck- '■ ' ■■ - • '■''■■'Cette étoile a été fort célèbre chez les anciens l
comme on le yoif pas ce vers de Virgile :Arâumm,pluviasque Hyadas ,geminosque Trionei.II en est áufsi parlé dans l’Ecriture en plusieursendroits , comme on’.le voit par ces passades:Qiiifecit drâúrum 8 orìóna 8 hyadas , 8 interiora.auftrì , Job, c. ix. v. o, & c. xxxviij. v. 31. Numquidconjungere - valebis micántes stellas pleiadas, aútgyrum arâurì poteris distîpare ? Mais il est douteux, fi le mot hébrpu convient en effet àxette étoile.Ce qu’il y a de pliis remarquable dans cetté ; étoile est le mouvement propre qu’on y observe,: de quatre minutes par siècle, quantité-'dont cette: étoilé avance-vers le midi & diminue dé "latitude, ! ce qui paraît. Vénir d’un déplacement physique decette étoile ; il n’y ' en ; à aucune où il soit plus■ sensible ; suivant les observations de Flamsteed,: la laàtudesl’arâurus en 1600 étoit de 30°' 57' o" ;-solvant la Càlile, en 1750 elle n étoit que de 30*5.4' 31 " cé"quifait’une diminution de z''zç>" pouf: 60 ans ó'u "de 4'8" par siècle, &' comme cette iati !tude devròfc diminuer de 15" par la câilse générale,: il reste .3' 53* pour sechangeraent particulier propreà cette étoilé & qui annonce un déplacement. J’âifait voir que le soleil avec tout notre íystêmê,'éprouve un semblable déplacement. Voyei SOLEIL.-(d.xgr:. :: :■'/■-■. : : Ji'A&CTVS, %feïsub. m._sAstronomie) , c’est le
 ! nom que les Grecs:órit donné a deux constellationsde Théinisphere septentrional*, que nous appelionsla petite ourse :& la grande ourse. Voyei OURSE ;, "..":'.'" ' - "a r e ; ARÉOMÈTRE, f. m.s-Byd, )  : instrument qui
i sert à mefurerla densitécou la pesanteur des fluides.
| Voyei FLUIDE.., GRAVITÉ,, PESANTEUR &•
 ! DENSITÉ. ., , ! ' V aréomètre- - or dinairernerit ' est '-'dé verre ; il\ consisté en Un globeyrond & creux., qui se termine ! en un tube long, cylindrique & petit ; on ferme ; ce'tube hermétiquement,"- après avoir fait entrer ! dans lé globe' auïánt de mercure qu’il en faut pourJ fixer lè tube-dans" une position verticale, lorsque1 Tiristrumenf est -plongé dans Teau. On divise céj tube'eri degrés" ;; commeT on voit (Hyd. figure20)  ; & Ton estime"la pesanteur d’un fluide,paf le plus ou le moins de profondeur- à laquelle ; le elobe descend’ ; en forte queTe fluide dans lequelil descend Té moins "bas ^st.le plus -pesant ; &celui dans lequel il descend le plus bas, est leplus léger," > •' :-  ;- ~ ''■ '■ -".- ''"En effet, c’est une loi générale, qu’un corps
pesant s’enfonce dam-' un fluide, jusqu’à ce qu’ilQ y
Ïi4 ARE
Areoccupe dans ce-fluide la place d’un vòluíne qui
lui soit égal en pesanteur :"' de -là il s’ensuit que
plus un fluide éìl dense, c’est r-à r dire, plus il est
pesant, plus la partie du fluide qui-sera égalé en
poids à Varc’ometre ; sera "d’un petit volume, &
par conséquent le volume de fluide que ï aréomètre
doit déplacer sera auffi d’autant plus petit, que
. lè fluide est plus pesant :*airifi , plus le fluide est
pesant,- moins ï aréomètre doit s’y enfoncer. II doit
donc s’enfoncer moins dans Teau que dans le vin,,
moins dans’le vin que dans.Teau-de-vie, &c."
coniiíié il .arrive en effet. :II y a un autre aréomètre de Tinvention de
M. Iíombert : on en trouve la description suivante,
dans les Transaâ. philos, n." zGz. A, fig. 11 , est
une. boUtéille de verre ou marras",. dont le col
CB'efí. si étroit, qu’une goutte d’eau'y.'occupe cinq
òu six lignes : à côté de ce cpl est’un périt tube
capillaire D de la long'u'eur.tìe six pouces, ^.parallèle
au col CB. Poùr" remplis çe vaisseau,'', oií
verse la liqueur par Torifice B', clans lequel- ori
peut mettre un petit entonnoir ; on versera jusqu’à
ce qu’on voie sortir la liqueur'par Torifice D ,
c’est-à.rdire, jusqu’à ce .qu’elle soit dans, le col
CB, àìahauteur C ;par cé mÔ3rèn,'op aura .toujours.'
Ie même volume ou la mèmè .quantité de.íiqùeuí ;-,
S: conséquemment ,'on pourra trouves, par le"
moyen dUn’eT) áIance qu’elle est,, parmi Tés" différentes
liqueurs^ dont on aura .rempli èetaréomètre ,}.
célíe dont la pesanteur absolue est la plus grande,
ou qúi' pèse le plus.' '." ""','"".11 faiit avoir quelqUe égard àla saison dé Tannée,
& au degré de chaleur ou de. frqid qui règne" daris
Tair ;; car il y a'des liqueurs que làchaleur raréfie,
& que le froid cóndenscbeaùcóupplus que d’autres,"
& qui occupe plus ou moins: d’espace, selon qu’il
fait plus ou moins chaud ou froid. -Voyei PESANTEUR
SPÉCIFIQUE,..RARÉFACTION, 8c.A Taide de cet instrument-, son savant auteur
a construit la rable suivante , qui montre, tant
pour'TétéquepoUrl’hiver, lesdiffërêirres "pesanteurs
spécifiques des : fluides , dont Tufage ■ est le plusri
ordinaire en Chymie.-- '. : :'■■ :■- ; .\. r . -…-:-■A R É 0 M E T R E | PESÉ ■ EN ÉTÉ |, EN ~HïyER." "plein de Onc.DragJyr.Onc.DragGr.Vif-argent. , . . . íì oo 06 " íì : oo 32
Huile de tartre. … 01 0.3 -' ;. .08 »-.<pi ,\ox x{
Esprit d’urine. . . . 01 - 00 i.z, 01 ,:oo, ; 43,.
Huile de vitriol. .,. -.pi- 03 58 :,oi -'04 ; ■ 03 ;.
Esprit de nitre. . . or." 10 40', 01 \içj. nQ.
Sel. . …… . 01: 00. 39 or. 00 47.Eau-forre. 01 01 '38 or _oi "cç."Esprit -de-vin . ; - eo 06 47 00 '06' '61
Eau de rivière. . . co 07 53 00 07' 57
Eau distillée. . …'80, 07 50 -, 00 pjA r AL’inslrument vuide pesoit une draeme vinet-'
imit grains. .-.' . '.■'. ■ '.'•"■ ,L-ne autre méthode pour, connoître le "degré de.pesanteur d’un fluide, estde suspendre unémasse
de verre maslif'&jde figure ronde à un crin de
cheval, que Ton attache au-dessous d’un petit plat:
cette maflè ainsifufpendue ..dans Tair à une balance
bien juste,- demeure en équilibre, avec un poids
fait eu forme de bassin , & suspendu à l’autre bras
de la balance ; on plonge ensuite le corps de verre
dans la liqueur dont on veut examiner la pesanteur,
: & sur-le-champ l’autre bras de. la balance s’élève
& devjent plus léger, parce que. le corps de verre
a. perdu dans là liqueur une partie de son poids :
on. met ensuite sur lé petit plat auquel le crin de
.cheval est attaché, autant de poids quil en faut
pour que Téquilibre soit rétabli ; 81 ces poids ajoutés
indiquent ce que la masse -de verre a perdu de
|son poids dans la liqueur : or se,poids que ce
corps a perdu est égal au poids d’un pareil volume
de la liqueiir ; .donc on connoít par-là ce que pèse,'
un volume'.de la liqueur égal ;à celui du petit
i corps de. verre. .-.-.". . '…..-'
' M. Muflchenbroëk paroít préférer cette dernière
méthode.à toutes les autres qu’on a imaginées pour
peser ses liqueurs. II prétend que la méthode de
 ;M. Homberg en particulier a ses inconvéniens, '
i parce .qu’é ""Ia vertu attractive du tuyau étroit, fait
i que Ta liqueur y monte .plus haut que dans le
j col’ large ; & comme les liqueurs onr une vertu
 ! attractive'différente,. il devra y avoir auffi une
'grande différence entré les hauteurs dansle col
: large, lorsqu’elles seront élevées jusqu’à Torifice
,du tu) -au étroit.Si, au' haut de la tige -de ï aréomètre, on met
q'uélqué petite lame de métal, 8c. il s’enfonce plus
 ;avarit, quoique dans la même liqueur. En efser,.
Ta partie plongée de T aréomètre soulevé autant de
liqueur qu’il en faut, pour faire équilibre à Tinstruriienf
entier. S’il.pesé une .once, par exemple,
il soulevé moins d’eau que de vin, quant au volume
, parce qu’il faut plus de vin que d’eau pour
Te poids, d’une once ;. & comme il ne fait’ monter'
Tàliqueur qu’en s’enfonçant’, il doit donc plonger 1
jplùs avant daris celle qui est la plusTégèré." Si'
T’ori augmentele poids de V aréomètre par addition
de quelque lame de métal ou autrement, il s’enfonce-'
plus avant, quoique dans la même- liqueur ; parce
■qu’alors il en ..faut une 'plus grande quantité'pour
. lui faire équilibre. ( M. FoRMEy )..
 ; Cela feft à expliquer divers faits. Si. tous les
i corps quiJ flottent , ' s’enfoncent plus’ou moins,.
suivant la densité du fluide, une barque chargée
I en mer aura donc moins de parties "hors de Teau,
j fi elle Vient à reínontér une rivière ; car Teau salée
 ; pèse plus que la douce, & les nageurs affurentqu’ils.
' en sentent bien la différence. On doit donc avoir
: égard à cet effet, & ne pas rendre la charge aussi
j grande qu’else-pOurroit Têtre , si-Ton prévois qu’on ;
: doive passer par une eau moins, chargée de sel:,
 ; que celle où 1 on s’embarque.. On a vu quelquefois
^ des- îles flottantes, c’est-à-dire, des portions déterre
assez considérables, qui se .détachent du con- »;Are arg astîncnt, & se trouvant moins pesantes que Teau,
se soutiennent à la surface, & flottent au gré des
vents. L’eau mine peu-à-peu certains terrains,
. qui sont plus propres que d’autres à se dissoudre :
ces fortes d’excavations s’augmentent avec le tems,
& s’étendent au loin: le dessus demeure lié par
les racines des plantes & des arbres, & le sol
n’est ordinairement qu’une terre bitumineuse fort
légère ; de sorte que cette espèce de croûte est
moins pesante que le volume d’eau sur lequel
elle est reçue, quand un accident quelconque vient
à la détacher de là terre ferme, & à la mettre à
flot. L’exemple de ï aréomètre fait voir encore qu’il
n’est pas besoin, pour surnager , que le corps
flottant soit d’une manière plus légère que Teau.
Car cet instrument ne-se soutient point en vertu
du verre ou du mercure, dont il est fait, mais
seulement parce qu’il a, aveç péU de solidité , un
volume considérable qui répond à une quantité
d’eau plus pesante.. Ainsi, Ton pourroit faire des
barques de plomb , ou de tout autre métal, qui
ne s’enfonceraient pas. Et en effet, les chariots
d’artillerie portent souvent à la suite des armées
des gondoles de cuivre, qui servent à établir des
ponts pour, le passage des troupes. ( M. FORME Y ).
II faut apporter diverses précautions dans la
construction & Tufage de cet instrument. i.° II
faut que les liqueurs dans lesquelles on plonge
ï aréomètre , soient exactement au même degré de
chaleur ou. de froid , afin qu’on puisse être sûr
que leur différence de densité ne vient point de
Tune de ces deux causes, & que le volume de
ï aréomètre même n’en a reçu aucun changement.• 2.° Que le col de Tinstrument fur lequel font
marquées les gradations , soit par-tout d’une
grosseur égale ; car s’il est d’une forme irrégulière,
les degrés marqués à égales dislances ne.mefureront
pas des volumes de liqueurs semblables en se
plongeant ; il sera plus sûr & plus facile de graduer
cette échelle relativement à la forme du col, èn
chargeant succeffivement Tinstrument de plusieurs
petits poids bien égaux, dont-chacunproduira Tenfoncement
d’un degré.' 3. 0 On doit avoir soin que Timmerfion se fasse
bien perpendiculairement à la surface de la liqueur,
sans quoi Tobliquité empêcherait de compter avec
justesse le degré d’enfoncement.  ; ."4, 0 Comme Tufage dé cet instrument est borné
à des liqueurs qui diffèrent peu dé pesanteur
entre elles, on doit bien prendre garde que la
partie qui surnage ne se charge de quelque vapeur
ou saleté 3 qui occasionnerait un mécompte dans
une estimation où il s’agit de différences peu considérables.
Et lorsque Varéomètre passe d’une liqueur
à l’autre,, on doit avoir soin que sa surface né
porte aucun enduit, qui empêche que la liqueur
où-il entre rie s’appliqUe exactement contre cette
surface. ' , -' \ ■.5.° Enfin, malgré toutes ces précautions , il,[' reste encore la difficulté de bien juger le degré
d’enfoncement, parce que certaines liqueurs s’ap<
pliquent mieux que d’autres au verre ; & quil7 ; en a beaucoup qui, lorsqu’elles le touchent,'
s élèvent plus ou-moins au-dessus de leur- niveau ;
Quand on se sert de ï aréomètre que nous avons
décrit, il faut le plonger d’abord dans la liqueur
la moins pesante, & remarqmer à quelle graduation
se rencontre sa surface : eníuité il faut le rapporter
dans la plus dense, & charger Te haut de la tige,
ou du col, de poids connus, jusqu’à ce que le
degré d’enfoncement soit égal au premier. La
somme des poids qu’on aura ajoutés, pour rendre
cette immersion égale à la première, sera la différence
des pesanteurs spécifiques éntre les deux
liqueurs. Nous devons ces remarques à M. Formey,
qiú les a tirés de M. Tabbé Nollet, Leâ. Phit( O). ■ " -. …: ARGO, le navire argo ou le vaisseau des argo*
nautes , sob. m. C’est le nom d’une constellation *
de Thémiíphère méridional, appellée plus communément
le NAVIRE.ARGUMENT '( Astron. )  , en général c’est. Ia
quantité de laquelle dépend une équation , une
inégalité, une circonstance quelconque du mouvement
d’une planète. Ainsi, V argument de latitude
est la distance d’une planète à son noeud , parce "
que la latitude en dépend. L’anomalie ou Ia distance
à Tapogée- ou à Taphélie, est Vargument de
Téquation du centre ou de Téquation de Torbite,
puisque cette équation se calcule dans, un orbite
elliptique pour- chaque degré d’anomalie , &
quelle ne varie qu’à raison, du changement de ;
Tânoinalié. II faut avoir quatorze argumens pour
calculer Je lieu de la lune p2r nos nouvelles
tables 3 parce qu’il y a quatorze illégalités dans
, son-mouvement, & quatorze équations dans Te
calcul ; la .première est de 11' 16", multipliées
par le sinus de l’anomalie moyenne-du soleil,
parce que cette équation ,- qui n’est de 11' i&r.
que quànd le soleil est à oo 11 de son apogée, diminue
comme le sinus de la distance à cetapogée,
ou de l’anomalie du soleil ; ainsi, cène
anomalie, est ï argument de la première équation
 ; il en est ainsi des autres.Vargument annuel est la distance du soleil à
Tapogée de la Tune,Vargument de la parallaxe est Yeíïet qtíeíle
produit dans Tobservation , & qui sert à trouver la
 véritable quantité de là parallaxe "horizontale 5
ainsi, quand M. de la Caille & moi observions
Ia lune, au même instant , l’un au cap de
Bonne-Espérancê, & l’autre à Berlin,nous trou »
vions dans fa ' déclinaison 80' de différence ^
i c’étoit ï argument ou Tindication d’une parallaxe
\ horizontale d’un degré,7plus óu moins. (D. L.}- ÂRGYROCQME,'adj. est Ie nom que certains
auteurs donnent à une' .comète'de couleur argen>Iïí a r i a r itine, qui diffère très-peu de l’hétíocomete, sinon
quelle est d’une couleur plus brillante, & quelle
jette assez d’éclat pour éblouir les yeux de ceux
qui la regardent. Ce mot est formé du grec
fipviiftf, argent, & du mot latin coma, chevelure.V »yci HÉLIOCOMÈTE (O).A r iARIADNE, (Astron.) Voyt\ COURONNE.ARIDED, {Astron.)  nom de Tétoile qui est à
la queue du cygne, marquée par la lettre &" ARIES, (Astron.) V. BÉLIER.ARION, (Astron.) V. ORION.ARISTÉE, ( Astron. ) V. OPHIUCUS.ARITHMÉTICIEN, f. m. se dit en général
d’une personne qui sait l’Arithmétique, & plus
communément d’une personne qui l’enseigne.
Voyei ARITHMÉTIQUE. II y a des experts jurés
écrivains arithméticiens. Vdyc\ EXPERT’, JURÉ ,
&c.(E).ARITHMÉTIQUE, f. f. Ce mot vient du grec
vfûpls 3 nombre. C’est l’art de démontrer, ou cette
partie des Mathématiques qui considère les propriétés
des nombres. On y apprend à calculer
exactement, facilement, promptement. L’arithmétique
est la base de toutes les Sciences mathématiques  ;
car les rapports de toutes les espèces de quantités
se réduisent finalement en nombres. V. NOMBRE,
JIATHÉMATIQUES , CALCUL.Quelques auteurs définissent l’Arithmétique , la
science de la quantité discrette. Vbyei DISCRET
& QUANTITÉ. . .Les quatre grandes règles ou opérations, appellées
Vaddition , la soustraBion , la multiplication
& la division , composent propremeut toute l’Arithrnétique.
Voyc[ ADDITION , &c.II est vrai que pour faciliter & expédier rapidement
des calculs de- commerce, des calculs
astronomiques , &c. on a inventé d’autres règles
fort utiles , telles que les règles de proportion,
d’alliage, de fausse position , de compagnie, d’extraction
de racines , de progression, de change,
de troc, d’escompte, de réduction ou de rabais
, &c. mais en faisant de ces règles, on s’apperçoit
que ce font seulement différentes applications
des quatre règles principales. Voy. RÈGLE.
Voyei ausst PROPORTION , ALLIAGE , &c.Nous n’avons rien de bien certain fur l’origine
&. Finvention de Y Arithmétique : mais ce n’est
pas_ trop risquer que de l’attribuer à la première
société quia eu lieu parmi les hommes, quoique
1 histoire n’en fixe ni l’auteur ni le tems., On
conçoit clairement qu’il a fallu s’appliquer à l’art
de compter dès que l’on a été nécessité à faire
des partages y & à les combiner de mille différentesmanières. Ainsi, comme les syriens paíìetit
pour être les premiers commerçans de tous les
peuples anciens, plusieurs auteurs croient qu’on
doit {'Arithmétique à cette nation. Voye\ COMMERCE.Joíèphe assure que par le moyen d’Abraham ;.
Y Arithmétique passa d’Asie en Egypte , où elle,
fut extrêmement cultivée & perfectionnée ; d’autant
plus que la Philosophie & la Théologie des
égyptiens rouloient entièrement fur les nombres.
C’est de-là que, nous viennent toutes ces merveilles
qu’ils nous rapportent de l’unité, du nombre
trois -, des nombre quatre, sept , dix. Fóyej
UNITÉ, &C.En 'effet,. Kircher fait voir, dans son (Ëdip.
JEgypt. tom. II, pag. z , que les égyptiens ex-,
pliquoient tout par des nombres. Pythagore luimême
assure que la nature des nombres est ré- ;.
pandue dans tout l’univers , & que la connoissance
des nombres conduit à celle de la'divinité,
& n’en est presque pas différente. .La science des nombres passa de l’Egyptcdans
la Grèce ; d’où, après avoir reçu de nouveaux
degrés de perfection par les astronomes de ce
pays, elle fut connue des romains, & de-là est
enfin venue jusqu’à nous.Cependant l’anciennë Arithmétique n’étoit pas,"
à beaucoup près,- aussi parfaite que la moderne:
il paroît qu’alors elle ne fervoit guèré qu’à considérer
les différentes divisions des .nombres : on
peut s’en convaincre en lisant les traités de Nico« 
maque, écrits ou composés dans le troisième
siècle depuis la fondation de Rome & celui de
Boëce , qui existent encore aujourd’hui. En 155e,
Xylander publia en latin un abrégé de l’anciennë
Arithmétique, écrite en grec par Psellus.
Jordanus composa ou publia, dans le douzième
siècle, un ouvrage beaucoup plus ample de la.
même espèce-, que Faber Stapulensis donna eá
1480, avec un commentaire.VArithmétique , telle qu’elle est aujourd’hui,se
, divise en différentes espèces, comme théorique) 
pratique, instrumentale , logarithmique , numérale ,
spécieuse , décimale , tétraâique , duodécimale >
sexagésimale , &c.VArithmétique théorique est la science des propriétés
& des rapports des nombres abstraits,
avec les raisons. & les démonstrations des différentes
règles. Vòyei NOMBRE.On trouve une Arithmétique théorique dans les’
septième, huitième, neuvième livres d’Euclide.
Le moine Barlaam a aussi donné une théorie des :
opérations ordinaires, tant en entiers qu’en frac--'
rions, dans un livre de fa composition, intitulé :
[ Logisiica,8i publié en latin par Jean Chambers,
anglois, l’an 1600. On peut y ajouter l’ouvrage
1 italien de Lucas deBurgo , mis au jour erì 15Z5 :
cet auteur y a donné les différentes divisions de
nombres de Nicomaque & leurs propriétés, conformément
à la. doctrine d’Euclide, avec le calculÀ ri a r ïr 17íes entiers & des fractions, & des extractions de
racines, &c.V Arithmétique pratique est l’art de nombrer
« m de calculerjCest-à-dire, l’art de trouver des
nombres par le mo3ren de certains" nombres
donnés, dont la relation aux premiers est connue ;
comme si l’on demandoit, par exemple, de déterminer
le nombre égal aux deux nombres
donnés, 6,8.Le premier corps complet d’Arithmétique pratique
nous a été donné en 1556 par Tartaglia ,
vénitien : il consiste en deux livres ; le premier
contient l’application de T’Ariilimétiquc aux usages
de la vie civile -, & le second, les fondemens ou
les principes ' de TAlgèbre. Avant Tartaglia,
Stifelius avoit donné quelque chose sur cette matière
en 1544: on. y trouve différentes méthodes
& remarques fur les irrationels, &cNous íupprimons une infinité d’autres auteurs
de pure pratique qui font venus depuis , tels
que Gemma Frisius., Metius , Clavius , Ra^
mus, &c.Maurolicus, dans ses Opuscula mathématica deTannée
1577, a joint la théorie à la pratique de
¥ Arithmétique , il l’a même perfectionnée à-plusieurs
égards: Henefchius a fait lá mêroê chose
dans son Arithmetica perfeâa de Tannée 1609-,
où il a réduit toutes les démonstrations en forme
dé syllogisme, ainsi que Tacquet dans fa theoria ■
& praxis Arithmetiçes de Tannée 1704. (E) Les ouvrages fur Y Arithmétique font si communs
parmi nous, qu’il seroit inutile d’en faire
le dénombrement.U Arithmétique instrumentale est celle où les
■règles communes s’exécutent par Je moyén d’inítrumens
imaginés pour calculer avec facilité &
promptitude : comme les bâtons de Neper. ( Voy.
NEPER ) , Tinstrument de M. Sam. Moreland,
qui en a publié lui-même la description en 1666 ;
celui de M. Léíbnitz, décrit dans les Miscellan.
■Berolin. Ia machine arithmétique de M. Pascal,
dont on donnera-la description plus bas, &c.
-' L’Arithmétique logarithmique, est celle qui s’exécute
par les tables des logarithmes. Voyez LOGARITHME.
Ce qu’il y a de meilleur là-dessus est
l’Arithmetica logaritkmica de Hen. Brigg, publiée
1624. ' -"On ne doit pas oublier lés tables arithmétiques
"vniverselles de Trostapharèíe j pubîiées en- lóió
■par Herwart, moyennant lesquelles lá multiplication
se fait aisément & exactement 'par Taddi- ,
•don, & la division par la soustraction.Les chinois ne se servent guère de règles dans '
leurs-calculs ; aulieu°dé cela, ils font usage d’un
instrument qui consiste en une petite lame longue
d’un pié & demi, traversée de dix oú douze fils
de fer, où sont enfilées de petites boules rondes :
en les tirant ensemble, & les" plaçant enfuité Tuh
après l’autre, suivant cêrtâínés conditions & conventions
j ils calculent à-peu-près comme nousfaisons avec des jettons, mais avec tant de facilité
& de promptitude, qu’ils peuvent suivre une
personne qui lit un livre de compte, avec quelque
rapidité quelle aille -, & à la fin Topération se
trouve faite : ils ont aussi leurs méthodes de la
prouver. Voyez le P. le Comte. Les indiens calculent
à-peu-près de mème avec des cordes chargées
de noeuds.. ■L Arithmétique numérale est celle qui enseigne
Je calcul dés nombres ou des quantités abstraites
-désignées \par des : chiffres : on en fait les opérations
avec des chiffres ordinaires ou arabes. Voy.
CARACTÈRE & ARABE.U Arithmétique spécieuse est celle qui enseigne
le calcul des quantités désignées par les lettres
de Talphabet. Voyez SPÉCIEUSE. Cette Arithmétique
est ce que l’on appelle ordinairement Y Algèbre
où Arithmétique littérale. Voyez ALGÈBRE.Wailis a joint le calcul numérique à Talgé^
brique, &. démontré par ce moyen les règles des
fractions, des proportions -, de^ extractions de
racines, &c.' Wels en a donné un abrégé fous le titre de"
Elementa arithmeticoe , en r 65) 8.
' U Arithmétique décimale s’exécute par une fuite
de dix caractères, de manière que la progression
va de dix en dix. Telle est notre Arithmétique ,
-où nous faisons usage des dix caractères arabes,
o, 1, z, 3,4, 5, 6, 7, 8,9-, après quoi nous
recommençons 10, 11,12, &c. -.-. . .Cette méthode de calculer n’est pas fort ancienne
 ; elle étoit totalement inconnue aux grecs
& aux romains. Gerbert, qui devint pape dans
la-fuite fous le nom-de Silvestre IÎ,:Tinrroduifit
en Europe, après lavoir reçue des maures
d’Espagne. II est fort vraisemblable que cette progression
a pris son origine des dix doigts de la
main, dont on faisoit usage dans les calculs.avant
que Ton eut réduit Y Arithmétique en art.Les missionnaires de TOrient nous assurent
qu’aujourd’hui même les .indiens sont très-experts
à calculer par leurs doigts , fans se servir de
plume ni d’encre. Voyez les letttes édif. & curieus
Ajoutez à cela que les naturels du Pérou, qui
font tous leurs calculs par le différent arrangement
des grains de maïs, Temportent beaucoup,.
tant par la justesse que par la célérité de leurs
comptes, fur quelque européen que ce soit avec
toutes ses règles. ■:''.'L’'Arithmétique binaire est celle, où Ton n’emploie
uniquement,que deux figures, Tunité ou i
'& le o. Voyez BINAIRE.M. Dagincourt nous a donné dans les Mlsctïï,
Berol.tom. í, iin long mémoire fur cette Arithmétique
binaire ; il y-fait voir qu’il est plus aisé
de découvrir par ce moyen les loix des .progressions
,: qifen se servant -de '.toute aùtre ' méthode
où Ton fêróit usage d’un plus grand nombre
-de-caractères. :  ;T_ - -'. -":: ; U Arithmétique tétrâéìiqnè est eellé' ; où - YonÍ2.SA ri a r in’emploie que les figures ï , z,3 &■ °- Jrhaid
\Vei|el nous a donné un traité de cette Arithmétique ;
mais la binaire & la tétractique ne íont
■-"uère que de curiosité, relativement a la pratique,
puisque Ton peut exprimer les n0,n*r^
d’une -manière beaucoup plus abrégée par 1 Arithmétique
décimale. "■U Arithmétique .vulgaire roule fur les entiers &
les fractions. Voyez ENTIER &■ FRACTION.VArithmétique sexagésimale est} celle qui procède
par soixantaines, ou bien c’est la doctrine
des fractions sexagésimales. Voyez SEXAGÉSIMAL.
Sam. Reyher a inv.enté une espèce de baguettes
sexagénales, à Timitarion des bâtons de Neper,
par le moyen desquelles on fait avec facilité
toutes les. opérations de Y Arithmétique sexagésimale.
-. ■U Arithmétique des infinis est .la méthode de
trouver la somme : d’une fuite de nombres dont
les termes font infinis, ou d’en déterminer les
rapports. Voyez INFINI, SUITE OU SÉRIE , &cM. AYallis est le premier qui ait traité à fond
de cette méthode, ainsi qu’il paroîtparses Opéra
mathématica , où il en fait voir Tusage en Géométrie
pour déterminer Taire des surfaces & la
solidité des corps, ainsi que leurs rapports -, mais
' la méthode des fluxions, .qui est Y Arithmétique
universelle des infinis, exécute tout cela d’une
manière beaucoup plus prompte & plus com-mode,
 indépendamment d’une infinité d’autres
choies auxquelles la première ne fauroit atteindre,
:Voyez_ FLUXIONS, CALCUL , &c.Sur Y Arithmétique des .'incommensurables, ou
irrationeís, voyez INÇOMMEN SURABLE , IRRÁTIONEL,,€'Ç,Jean de Sacrobosco ou Halifax composa , en
',X 23 2, selon Vossms, un traité A'Arithmétique ;
mais ce traité a toujours resté manuscrit ;& selon
M. Tabbé de Gua, Paciolo, qui a donné le premier
livre d’Algèbre , est auífi le-premier auteur
A'Arithmétique qui ait été imprimé. Voyez ALCÈBRE,
(E) '^Jusqu’ici nous nous sommes contentés d’exposer
en abrégé çe que Ton. trouve à-peu-près dans la
.plupart des ouvrages mathématiques lùr la science
des nombr.es, $L nous n’avons guère fait que
traduire l’articlg Arithmétique tel qu’il se trouve
dans. l’Encyçlopédie angloise : tâchons présentement
d’entrer davantage dans les priricipes
de cette science, &. d’en-donner une idée plus
précise.Nous remarquerons d’abord que tout npmbre,
suivant la définition de M. Neuton , n ;est proprement
qu’un rapport. Pour entendre ceci, il faut
remarquer que toute grandeur qu’on compare à une
autre, est ou pluspetite, ou plus grande, ou égale ;
qu’ainsi toute grandeur a un certain rappprt’avec
une autre à laquelle pn la compare, c’est-àrdire ,
qu’elle y est contenue ou la contient d’une cerr
tajne manière. Ce rapport pu çette manière decontenir ou d’être contenu, est ce qu’on appelle
nombre ; ainsi, le nombre 3 exprime le rapport
d’une grandeur à une autre plus petite, que Ton
prend pour Tuuité, & que la plus grande conrient
 trois fois ; au contraire , la fraction - exprime
le rapport d’une certaine grandeur à une
plus grande, que Ton prend pour Tunité, & qui
est contenue trois fois .dans cette plus grande.
Tòut cela fera exposé plus en détail aux articles
NOMBRE , FRACTION , &C.Les nombres étant des rapports apperçus par
Tesprit & distingués par des signes particuliers,
{'Arithmétique, qui est la science des nombres,
est donc l’art de combiner entr'eux ces rapports,
en se servant pour faire cette Combinaison des signes
mêmes qui les distinguent. De-là les quatre principales
règles de {'Arithmétique ; car les différentes
combinaisons qu’on peut faire des rapports, se
réduisent ou à examiner Texcès des uns fur lesautres,
ou la manière dont ils se contiennent. ^
L’addition & la soustraction ont le premier objet,
puisqu’il ne s’agit que d’y ajouter ou d’y soustraire
des rapports ; le second objet est celui de
la multiplication & de la division , puisqu’on y
détermine de quelle manière un rapport en contient
un autre. Tout cela, sera expliqué plus-en
détail aux articles MULTIPLICATION & DIVISION,U y a, comme Ton fait, deux sortes de rapports
,. Tarithmérique & le géométrique. Voyez
RAPPORT. Les nombres ne sont proprement que
des rapports géométriques ; mais il semble que
dans les deux premières règles de Y Arithmétique
on considère arithniçtiquement ces rapports, &
que dans les deux autres on les considère géométriquement.
Dans l’addition de deux nombres
( car routé addition se réduit proprement à celle
de deux nombres) , l’un des deirx nombres représente
Texcès de la somme fur l’autre nombre. •
Dans la multiplication, l’un des deux nombres
est le rapport géométrique : du rapport" 4 l’autre :
nombre. Voyez SOMME , PRPDUIT.A Tégard du détail des opérations particulières
de Y Arithmétique , il dépend de la forme & de
l’instimtion- .des signes par lesquels on 'désigne
les nombres. Npne Arithmétique, qui n’a que dix
chiffres, seroit fort différente si elk en avoit plus
ou moins ;& ses romains: qui.avoient,d<?s.-chiffres
différens de ceux dont nous servons-,'dévoient
aussi av.oir .des règles ë Arithmétique toutes ;difTé- •'
rentes des -nôtres, Mais toute [Arithmétique se
réduira toujours aux quatre règles dont nous par^
sons, parpe^ que de quelque manière qu’on désigne,
ou qupn écriye les rapports, on ne peut
jamais les combiner que de quatre façons, SL
même, à proprement parler, de deux manièresíeulement,
dont chacune peut être envisagée fous
deux.faces différentes. ' " .'.'/..A%P-°Iurr ?'tdireenc°i-e que toutes les règle ?
de XAmhmttiQut se réduisent pu à former un 'tout ;~~ a rti a r it±-fffeút par la_ réunion de différentes fartîéS,comirlè
dans l’addition & la multiplication , ou à résoudre
un tout.en différentes parties, ce qui s’exécute
par la soustraction & la division.' En effet,
Ja multiplication n’est qu’une addition répétée,
& la division n’est aussi qu’une soustraction répétée.
D’où il s’ensnit encore que les règles primitives
de Y Arithmétique peuvent à la rigueur se
réduire à l’addition & à la'soustraction. La multiplication
& la division ne sont proprement que
des manières abrégées de faire l’addition .d’un
même nombre plusieurs fois à lui-même, ou de
soustraire plusieurs fois un même nombre d’un
autre : auííi M. Neuton appelle-t-il les règles de
Y Arithmétique , compofitio 6" resqlutio arithmetica ,
c’est-à-dire , compofition & resolution des nombres.ARITHMÉTIQUE, universelle ; c’est ainsi que
M. Neuton appelle TAlgèbre ou calcul, des grandeurs
en général : & ce n’est pas fans raison que
- cette dénomination lui a été donnée par ce grand
liomme, dont le génie également lumineux &
profond pároît avoir remonté dans toutes les
sciences à leurs vrais jrincipes métaphysiques.
En effet, dans {'Arithmétique ordinaire' on peut
remarquer deux espèces de principes ; les premiers"
sont des règles générales, indépendantes
des signes particuliers par lesquels on exprime
les nombres ; les autres sont des règles dépendantes
de ces mêmes lignes, & ce sont celles
qu’on appelle plus particulièrement règles del’Anikmétique.
Mais les premiers principes ne font
autre chose que des propriétés générales des rapports,
qui ont lieu de quelque manière que ces
rapports soient désignés : telles font, par exemple,
ces règles ; si on ôte un nombre d’un autre, cet
.autre nombre joint avec le reste, doit rendre le
premier nombre ; fi on divise une grandeur par
■une autre, le quotient’multiplié par le diviseur
doit rendre le dividende ; fi on multiplie la somme
de' plusieurs nombres par la somme de plùlìeurs
autres, le produit est égal à la Tomme des
yroduits de chaque partie partoutes les autres, &c.De-là il s’enfuit d’abord qu’en désignant les nomIres
par des expressions générales, c’est-à-dire qui
sic désignent pas. plus un nombre qu’un autre, on
•pourra former certaines règles relatives aux opérations
qu’on peut faire fur les nombres ainsi désignés.
Ces règles se réduisent à représenter de la manière
la plus simple qu’il "est possible, le résultat d’une
« m de plusieurs opérations qu’on peut faire furies
nombres exprimés d’une manière' générale ; & ce
ïésultâtainsi exprimé, ne sera proprement qu’une
. opération arithmétique indiquée ; opération qui vaïiera
selon qu’on donnera différentes valeurs arithmétiques
aux quantités qui, dans le résultat dont
il s’agit, représentent des nombres.Pour mieux faire entendre cette notion que nous
(donnons de T Algèbre, parcourons-en les quatre
iégles ordinaires, & commençons par l’addition.
tEUe consiste, comme nous Tavons vu dans {'articleMatíúimtiaucs. Tome I, L"* f 'artit, '.ÂDDITIOW, à ajouter ensemble avec íeufs signes,
fans aucune autre opération, les quantités dissemblables
, & à ajouter les coëfficiens des quantités
semblables : par exemple, si j’ai à ajouter ensemble
les deux grandeurs dissemblables a, b , j’écrirai
simplement a-\-b ; cerésultat n’estautre chose qu’une
manièred’indiquer que si on désigne a par quelque
nombre, 8LI> parun autre, ilsaudra ajouter ensemble
ces deux nombres ; ainsi, a-\-b n’est que Tindication
d’uneaddítionarisÁm£Ì/jwe,dontlerésultatsera dis-'
férent, félonies valeurs numériques qu’on assignera
à a & à b. Je suppose'présentement qu’on me propose
d’ajouter 5 a avec 3 a , je pourrois écrire 5<z-f3a,
& TopèrationuriíAme'tiçacseroitindiquéeconimc
ci-dessus ; mais, en examinant 5 a & 3 a, je vois que
cettê opération petit être indiquée d’une manière
.plus simple : car quelque nombre que a représente ,
il est évident que ce nombre pris 5 fois, plus -ce
même nombre pris 3 fois, est égal au même nombre
pris 8 fois ; ainsi je vois qu’au lieu de ^a-\-^a -,
je puis écrire 8 a, qui est Texprestîon abrégée,
. & qui m’indique une opération arithmétique-'plus
simple que ne mel’indique Texprestîon 5 a-f-3 a.C’est là-dessus -qu’est fondée la règle générale de
l’addition algébrique, d’ajouter les grandeurs fem- ■
biables en ajourant leurs coefficients numériques,
&■ écrivant "ensuite la partie littérale une fois. ..Oh voit donc que Taddirion algébrique se réduit
à exprimer de la manière la plus íimplé la somme
ou-le résultat de plusieurs nombres exprimés généralement,
& à ne laisser, pour ainsi dire, à Tarithméticien
que le moins de travail à faire qu’il
■ est possible. 11 en est de même de la soustraction
algébrique. Si je veux retrancher b de a, j’écris
simplement a—b, parce que je ne peux.pas représenter
cela d’une manière plus simple ; mais si
j’ai à retrancher 3 a de 5 a, je n’écrirai point
5 a—3 a , parce que cela me donneroit plusieurs
opérations arithmétiques à faire, en cas que je voulusse
donner à a une valeur numérique ; j’écrirai simplement
2 â,-expreffion plussimple & p lus commode
pour le calcul arithmétique. V. SOUSTRACTION.J’en dis autant de la multiplication &."de"Ta
division. Si je veux multiplier a^-b par c-\-d, je
- puis écrire indifféremment (a-j-b)  X {ç -f-'á) ,
ou a c-\-b c-\-a d-\-b d ; & souvent même je préférerai
la première expression à la seconde, parce
qu’elle semble demander moins d’opérations arithmétiques:
car il ne faut que deux additions &
une multiplication pour la première , & pour la '
seconde il faut trois additions & quatre .multiplications.
Mais si j’ai à multiplier 5 a par 3\ a, j’écrirai
15 a a au lieu de 5 2X3 a j parce "que dans
ce dernier cas j’aurois trois Opérations arithmétiques
à faire, & que dans le premier je n’en ai que
deux ; une pour, trouver aa , & l’autre pour multiplier
a.a par 15. De même íi j’ai a-\-b à multiplier
par a —b^, j’écrirai aa-^-bb , parce que ce réfultaî
sera souvent.plus commode que l’autre pour'les
"calculs aritlvmétigues, & qued’ailleurs.j’en.tire un.
ÍÎO A R I A R ï
théorème, savoir que le produit de la somme des"
deux nombres, par la différence de ces deux nombres,
est égal à la différence des quanés de ces
deux nombres. C’est ainsi qu’on a trouvé que le
produit de a-\b par a+b , c’est-à-dire le quarré
de a-j-b , étoit aa-\-2 ab-j-bb , & qu’il çontenoit
par conséquent le quarré des" deux parties, plus
deux fois le produit de Tune par l’autre- ; ce'qui
sert à extraire la racine quarrée des nombres Voy.
QUARRÉ & RACINE QUARRÉE.Dans la division, au lieu d’écrire -—r-, j’écriraisimplement 42 ; au lieu d’écrire -JT^J j’écrirai
a - x : mais, si j’ai à diviser b e par h d, j’écrirai
~ , ne pouvant trouver une expression plus simple.' On voit donc par-là que M. Neuton a eu raison
d’appellerTAlgèbreyín’cZ-mc’í/jue universelle , puisque
les règles de cette science-ne consistent qu’à
extraire, pour ainsi dire, ce qu’il y a de général
& de commun dans toutes les Arithmétiques particulières
qui se feroient avec plus ou moins ou
autant de chiffres que la nôtre , & à présenter sous
la forme la plus simple & la plus abrégée, ces opérations
arithmétiques indiquées.Mais, dira-t-on , à quoi bon tout cet échaffaudage
 ? Dans toutes les questions que Ton peut se
jposer sur les nombres, chaque nombre est désigné.&
 énoncé. Quelle utilité y a-t-il de donner à ce
nombre une valeur littérale dont il semble qu’on
peut se passer ? Voici í'avantage de cette dénomination.Toutes les questions qu’on peut proposer fur les
nombres, ne sont pas aussi simples que celles d’ajouter
un nombre donné à un autre ou de l’en soustraire ;
de les multiplier ou de les diviser l’un par
l’autre. 11 est des questions beaucoup plus compliquées,
&pour la solution desquelles on est obligé
de faire des combinaisons dans lesquelles le nombre
ou les nombres que Ton cherche doivent entrer.
II faut donc avoir un art de faire ces combinaisons
fans connoítre les nombres que Ton cherche, &
pour cela il faut exprimer ces nombres par des
caractères différens des’ caractères numériques ,
parce qu’il y auroit un très-grand inconvénient
à exprimer un nombre inconnu par un caractère
numérique qui ne pourroit lui convenir que par
iin très-grand hasard. Pour rendre cela plus sensible
par un exemple, je suppose que Ton cherche
deux nombres dont la somme soit ico, &
la différence 60. Je vois d’abord qu’en désignant
les deux nombres inconnus par des caractères numériques
à volonté, par exemple l’un par 25 ', &
l’autre par 50 , je leur donnerois’ une expression
très-fausse, puisque 25 & 60 ne satisfont point
aux conditions de la question. 11 en seroit de même
d’une infinité d’autres dénominations numériques,
four éviter cet inconvénient, j’appellele plus grandde ces nombres x, & le plus petity ; & j’ai par cetUI
dénomination algébrique les deux conditions ainsi
exprimées : .T plus y est égal à 100, & * moins est
égal à 60 ; ou en caractères algébriques:Puisque x -f- y est égal à 100, & x-y égal à fo,'
je vois que 100, joint avec 60, doit être égal à
x -j- y, joint à x — y. Or, pour ajouter x -f- y
à x—y , il faut, suivant les règles de l’addition
algébrique écrire ix ; je vois, donc que ix est égal
à Ì60, c’est-à-dire que 160 est le double du plus
grand nombre cherché ; donc ce'nombre est la
moitié de i'6b, c’esl-à-dire 80 : d’où il est facilede
trouver l’autre qui est y : car puisque .-r-f y est
égal à 100, & que x est égal à 80, donc 80plus
y est égal à 100 ; donc y est égal à 100 dont on
a* retranché 80 , c’est - à - dire 20 ; donc les deux
nombres cherchés sont 80 & 20 : en effet lèur
nombre est 100, & leur différence est 60.Au reste, je ne prétends pas faire voir par cet
article la nécessité de TAlgèbre, car elle ne seroit
encore guère nécessaire, si on ne proposoit pas
des questions plus compliquées que celle-là : j’ai
voulu seulement faire voir par cet .exemple trèsslmple,
& à la portée de tout le monde, comment
par le secours de TAlgèbre on parvient à trouver
les nombres inconnus.Lexpression algébrique d’une question n’est antre
chose, comme Ta fort bien remarqué M. Neuton,
que la traduction.de cette même question en caractères
algébriques ; traduction qui a cela de commode
& d essentiel, qu’elle se réduit à ce qu’ily
a d’absolument nécessaire dans la question, & que
les conditions superflues en sont bannies. Nous al.-.
Ions en donner , d’après M. Neuton , Texemple
suivant.Question énoncée par te
langage ordinaire.On demande trois
nombres avec ces conditions.Qu’ils soient èn proportion
géométrique continue.
Que leur somme soit
20.Et que la somme de
leurs quartés soit 140.La même question traduits
algébriquement.Ainsi la question se réduit à trouver les trois inconnues
x , y , z, par les trois équations xz =yy, ■
x+y + l~ ao, xx +yy 4. K= i4o, H ne resttAri art Mrfîûs qu’à tirer de ces trois équations la valeur de
chacune des inconnues.On voit donc qu’il y a dans {'Arithmétique universelle
deux parties à distinguer.La première est celle qui apprend à faire les
combinaisons & lé calcul des quantités représentées
par des signes plus universels que les nombres ; de
manière que les quantités inconnues, c’est-à-dire
dont on ignore la valeur numérique, puissent être
combinées avec la même facilité que les quantités
connues, c’est-à-dire auxquelles on peut assigner
des valeurs numériques. Ces opérations ne supposent
que les propriétés générales de la quantité,
c’est-à-dire qu’on y envisage la quantité simplement
comme quamité, & non comme^représentée
& fixée par telle ou telle expression particulière.La seconde partie de {'Arithmétique universelle
consiste à savoir faire usage de la méthode générale
de calculer les quantités, pour découvrir les quantités
qu’on cherche par le moyen des quantités
qu’on connoîr. Pour cela il faut, l.° représenter
de la manière la plus simple. & la plus commode
la loi du rapport qu’il doit y avoir entre les quantités
connues & les inconnues. Cette loi de rapport
est ce qu’on nomme équation ; ainsi, le premier
pas à faire lorsqu’on a un problème à résoudre
, est de réduire d abord le problème à Téquatipn
iá plus simple. r . ;Ensuite il faut tirer de cette équation la valeur
ou les différentes valeurs que doit avoir Tinconnue
qu’on cherche ; c’est ce qu’on appelle résoudre l’équation.
Voyez l’article EQUATION, où vous
trouverez là-dessus un plus long détail, auquel nóus
renvoyons, ayant du nous borner dans cet article
à donner une -idée générale de Y Arithmétique universelle
, pour en détailler les règles dans les
articles particuliers. Voyez aussi PROBLÈME,
RACINE, 6'C.La première partie de Y Arithmétique universelle
í appelle proprement Algèbre , ou science du calcul
des grandeurs en général ; la seconde s’appelle
-proprement Analyse : mais ces deux noms s’emploient
assez souvent l’un pour l’autre. V. ALGÈBRE
& ANALYSE.Nous ignorons si les anciens ont connu cette
science ; il y a pourtant bien de Tappârence qu’ils
avoient quelque moyên semblable pòur résoudre
au fnôins les questions numériques ; par .exemple, les
questions quionrétéappellées^ue/ëons deDiophante.
FóyfíDioPHANTE ; voyez aussi APPLICATION de
VAnalyse a la Géométrie.
- Selon M. T Abbé' de Gua,. dans son excellente
Mistoire de VAlgèbre , dont on trouve la plus grande
partie à Y art. ALGÈBRE de ce Dictionnaire, Théon
paroît avoir cru que Platon est Tinventeur del’Analyfe
 ; & Pappus nous apprend que Diophanfe
& d’autres auteurs anciens s’y étoient principalement
appliqués, comme Euclíde, Appollonius,
Aristée, Eratostène, & Pappus lui-même. Mais
Bous ignorons en quoi conûíloit précisément leurAnalyse, & en quoi elle poûvoit différer de la
nôtre ou lui ressembler. M. de Malezieu, dans ses
Elémens de Géométrie , prétend qu’il est moralement
impossible qu’Archimède íoit arrivé à la plupart
de ses belles découvertes géométriques, fans
le secours de quelque chose d’équivalent à notre
Analyse: mais tout cela n’est qu’une conjecture-,
& il seroit bien singulier qu’il n’en restât pas au
moins quelque vestige dans quelqu’un des ouvrages
des anciens géomètres. M. de THopital, ou plutôt
M. de Fontenelle, .qui est Tauteur de la préface
des infiniment petits , observe qu’il y a apparence
que M. Pascal est arrivé" à force de tête &
sans Analyse, aux belles découvertes qui composent
son Traité de la- roulette , imprimé sous le nom
à'Etonville. Pourquoi 'n’en scroit-il pas -de même
d’Archimède & des anciens ?Nous n’avons encore parlé que dé Tusage de T Algèbre
pour la résolution des questions numériques :
mais ce que nous venons de dire de TAnalyse des
anciens, nous conduit naturellement à parler de
Tusage de TAlgèbre dans la Géométrie : cet usage
consiste principalement à résoudre les problèmes
géométriques par TAlgèbre, comme on résout les
problèmes numériques, c’est-à-dire à donner, des
noms algébriques aux lignes connues & inconnues ;
& après avoir énoncé la question algébriquement,
à calculer de la. même manière que si on résolvoit
un problème numérique. Ce qu’on appelle en Algèbre
équation d’une courbe , n’est qu’un problême
géométrique indéterminé, dont tous les points de
la courbe' donnent la solution ; & ainsi du reste.
Dans Tapplication de TAlgèbre à la Géométrie,
les lignes connues ou données font représentées par .
des lettres de Talphabet, comnîe les nombres connus
ou donnés dans les questions numériques :
mais il faut observer que les lettres qui représentent
des lignes dans la solution d’un problème géométrique
, ne pourroient pas toujours être exprimées
par des nombres. Je suppose, par exemple, que
dans la solution d’un’problème de Géométrie , on
ait deux lignes connues, dont Tune que j’appellerai
a soit le côté d’un quarré, & l’autre que
je nommerai b soit la diagonale de ce même quarré ;
je dis que si on assigne une valeur numérique à a,
il sera impossible d’assigner une valeur numérique
à b, parce que la diagonale d’un quarré & son côté
sont incommensurables. V, INCOMMENSURABLE,
DIAGONALE,KYPOTHENUSE, &C. Ainsi,lescalculs
algébriques appliqués à la Géométrie ont un
avantage, en ce que" les caractères qui expriment
les lignes données peuvent marquer des quantités
commenfurables ou incommensurables ; au lieu que
dans les problèmes numériques, les caractères qui
représentent les nombres donnés ne peuvent représenter
que des "nombres commenfurables. H est
vrai aue le nombre inconnu qu’on cherche, peut
être représenté par une. expression algébrique
qui désigne un incommensurable: mais alors c’est
une marqué que ce nombre inconnu & cherché'
IJÌ A R I
A r ín’existe point, que la question ne peut être résolue
qu’à-peu-près, & non exactement ; au lieu que
dans Tapplication de TAlgèbre à la Géométrie, on
peut toujours assigner par une construction géométrique
la grandeur exacte de la ligne inconnue ,
quand même Texpreffion qui désigne cette ligne seroit
incommensurable. On peut même souvent
assigner la valeur de certe ligne, quoiqu’on ne
puisse pas en donner Texprêssion algébrique , soit
commensurable, soit incommensurable: c’est ce qui
arrive dans le cas irréductible du troisième degré.
. Voyez IRRÉDUCTIBLE.Un des plus grands avantages qu’on a tirés de
l’application de TAlgèbre à la Géométrie , est le
calcul différentiel ; on en trouvera Tidée au mot
DIFFÉRENTIEL , avec une notion exacte de la nature
de ce calcul. Le calcul différentiel a produit
l’intégral. Voyez CALCUL & INTÉGRAL.11 n’y a point de géomètre tant soit peu habile, qui
neconnoifîèaujourd’hui plus oumoins Tusage infini
de ces deux calculs dans la Géométrie transcendante.M. Neuton nous a donné fur TAlgèbre un excellent
ouvrage, qu’il a intimlé -.Arithmetica universalis.ïly
traite des règles de cette science, & de
son application à la Géométrie. 11 y donne plusieurs
méthodes nouvelles, qui ont été commentées
pour la plupart par M. s’Gravesande dans un
petit ouvrage très-utile aux commençans., intitulé :
Elcmenta algcbroe , & par M. Clairaut dans ses Elémens
d’Algèbre.VoyezhV article kx.Q'kí.'KìL les noms
de plusieurs auteurs qui ont traité de cette science.Sur la manière d’appliquer TAlgèbre à la Géométrie,
c’est-à-dire de réduire en équation les questions
géométriques, nous ne connoissons rien de
meilleur ni'de plus lumineux que les règles données
par M. ^Neuton, p. 8z&suiv.deson Arithmétique
universelle , édition de Leyde 1732 , jusqu’à
la page g e ; elles sont trop précieuses pour
être abrégées & trop longues pour être insérées
îcidans leur entier ; ainsi, nous y renvoyons nos
lecteurs tnous dirons seulement quelles peuvent se
réduire à ces deux règles.Première règle. Un problême géométrique étant
■propose (& on pounoit en dire autant d’un proMéme
numérique ) comparez ensemble les quantités
connues & inconnues que renferme ce problème,
& fans distinguer les connues d’avec les
inconnues, examinez comment toutes ces quantités
dépendentles unes des autres ; & quelles sont
celles qui étant connues, feroient cannoîfre les
autres en procédant paruneméthode synthétique..Seconde règle.. Parmi ces quantités qui feroient
•connoítre les autres, & que je nomme pour cette
rmícrnsynthétiqucs, cherchez celle qui feroient conTioîrre
les autres le plus facilement, & qui pour■
roient être trouvées le plus difficilement, fi on ne
.les supposoient pointeonnues ; & regardez ces quan•íiiéscommccelles
que veusdevez traiter de connues.C’est là-dessus qu’est fondée la règle des Géoxietres,
qui disent, quepour résoudre un problèmegéométrique algébriquement, il faut le supposer."
résolu : en effet, pour résoudre ce problème, il ■
saut se représenter toutes les lignes, tant connues
qu’inconnues, comme des quantités qu ;on a devant
les yeux, & qui dépendent toutes les unes
des autres, en sorte que les connues & les incon-'
nues puissent réciproquement & à leur tour être
traitées, si Ton veut, d’inconnues & de connues.Mais
 en voilà assez fur cette matière, dans unouvrage
où Ton ne doit en-exposer que lesprin-'
cipes généraux. Voyez APPLICATION (O). ■* ARITHMÉTIQUE politique ; c’est celle dont les
opérations ont pour but des recherches utiles à.
l’art de gouverner les peuples, telles que celles du 1
nombre des hommes qui habitent un pays ; de la'
quantité de nourriture qu’ils doivent consommer^
du travail qu’ils peuvent faire ; du tems qu’ils ontà
vivre ; de la fertilité des terres ; de la fréquence'
des naufrages, &c. On conçoit aisément que ces
découvertes & beaucoup d’autres de la même nature
, étant acquises par des calculs fondés fur quelques
expériences bien constatées, un ministre habile
en tireroít une foule de conséquences pour la
perfection de Tagriculture, pour le commerce tant
intérieur qu’extérieur, pour les colonies, pour le
cours & Temploi de Targent, &c. Mais souvent les
ministres (je n’ai garde de parler fans exception]
croient n’avoir pas besoin de passer par des combinaisons
& des fuites d’opérations arithmétiques:
plusieurs s’imaginent être doués d’un grand génienaturel
qui les dispense d’une marche si lente & si
pénible, fans compter que lá nature des affairés
ne permet ni ne demande presque jamais la précision
géométrique.. CependanLÍi la nature des affaires
lademandoit & la permettoit, je ne doute
point qu’on ne parvînt à se convaincre que lemonde
politique, aussi bien que le mondé physique,
peut se régler à beaucoup d’égards-par poids,,
nombre & mesure.Le Chevalier Petty, Anglois, est le premier quî>
ait publié des essais fous ce titre. Le premier est fur
la multiplication du geiire humain ;: fur Taccroifsèment
de'la ville de Londres , ses. degrés, ses
périodes, ses causes & ses suites. Le second, fur les
maisons, les habitans, les morts & les naissances de
la ville de Dublin. Le troisième est une comparaison
de la ville de Londres & de la ville de Paris ; ■
le chevalier Petty s’efforce de prouver que 1 a capitale,
de T Angleterre Temporte fur celle de la France par
tous ces côtés. M. Auzout.a.attaqué cet essai par plusieurs
objections, auxquelles M- le chevalier Petty
a fait des réponsesi Le quatrième tend à faire voir
qu’il meurt à THôtel-Dieú de Paris environ trois,
mille malades par an , par mauvaise administration..
Le cinquième est divisé en cinq, parties :1a i"efl
cn réponse à M. Auzout ; la zc contient la comparaison
dt Londres & de Paris/ur plusieurs points ;.
I3- troisième évalue se nombre des paroissiens des
134 paroisses de Londres à &ç) 6 mille ; la quatrième,
est une recherche, fur ks. habitans de. Londres.  ?.A r i a ri "ï-î-í.He ; saris, à Amsterdam, de Venise,- de Rome ,'de
 Dublin, de Bristol, & de Rouen ; la cinquième
a le même objet, mais relativement à
x h Hollande & au reste des Provinces-Unies. Lep
sixième embrasse Tétendue & le prix des terres,
les peuples, les maisons, Tindustrie, Téconomie,
les manufacTures , le commerce , la pêche, les
artisans, les marins ou gens de mer, les troupes
de terre, les revenus publics, les intérêts,
les taxes, le lucre-, les banques , les compagnies,
. le prix des hommes} Taccroiffement de la marine
& des troupes ; les habitations , lesìieux, les constructions
de vaisseaux, les forces de mer , &c. relativement
à tout pays en général, mais particulièrement
à TAngleterre, la Hollande, la Zéelande, &
la France. Cet essai est adressé au Roi ; è'est presque
dire que les résultats en sont favorables à la nation :
anglpife. C’est le plus important de tous les estais
du chevalier Petty ; cependant il est írès-court,
si on le compare à la multitude & à la complication
des objets. Le chevalier Petty prétend
avoir démontré dans environ une centaine de .
petites pages in-n , gros caractère : i.° Qu’une
petite contrée avec un. petit noiribre d’habirans
peut équivaloir par fa situation, son commerce
& fa police ; à un grand pays & à un peuple
nombreux , soit qu’on les compare par la force
ou par la richesse, & qu’il n’y a rien qui tende
plus efficacement à établir cette égalité que la
marine & le commerce maritime. 2." Que toutes
sortes d’impôts & de taxes publiques tendent
plutôt à augmenter qu’à affoiblir la société &; le,
bien public. 3. 0 Qu’il y a des empêchernens naturels
& durables à jamais, à ce que la France
devienne plus puissante fur mer que TAngleterre
ou la Hollande : nos françois ne porteront pas
un jugement favorable des calculs du chevalier
Petty fur cette proposition, &. je crois qu’ils
auront raison. 4. 0 Que par son fonds & son
produit naturels, le peuple & le territoire de
- î'Angleterre sont à-peu-près égaux en richesse t%
en force au peuple & au territoire de France.
5. 0 Que les obstacles qui s’oppcferit à la grandeur
de TAngleterre, ne sont que contingens &
amovibles. 6." Que depuis quarante ans la puissance
& la richesse de TAngleterre se sont .fort
accrues. 7.° Que la dixième partie de route la
dépense des sujets du roi fuffiroit pour entretenir
çem rnille. hommes d’infanterie  ? trente mille
hommes de cavalerie, quarante rnille hommes de
.mer ; & pour acquitter tontes les autres charges
de Tétat, ordinaires & extraordinaires, dans la
lèule supposition que cette dixième partie íèroit
lien imposée, bien perçue & bien employée.
S.° Qu’il y a plus de sujets fans emploi qu’il n’en
faudrok pom" procurer à la nation deux millions,
par ah, s ils étoient convenablement occupés, &
que ces occupations font toutes prêtes, & n’attendent
que des ouvriers. 9." Que la nation a
allez d’argent pour faire, aller son .commerce. }10.*. Enfin ' que la- nation a tout autant de ressources
qu’il lui en faut pour embrasser*tout se,
commerce de Tunivers, de quelque nature qu’il soit.
. Voilà comme on voit des: prétentions bien excessives
: mais quelles qu’elles soient , le lecteur
fera bien d’examiner dans Touvrage du- chevalier
Petty les raisonnemens & les expériences fur lesquels
il s’appuie : dans cet examen , il ne-faudra
pas oublier qu’il arrive des révolutions, soit en.
bien, soit en mal, qui changent en un moment
lâ face des états, & qui modifient & même anéantissent
les suppositions ; & que les calculs 8Lleurs,
résultats ne íont pas moins variables, que les’événemens.
L’ouvrage du chevalier Petty fut composé
avant 1695. Selon cet auteur, quoique lâ
Hollande & la Zéelande ne contiennent pas plus
de r ,000,000 d’arpens de terre, & que la France
en contienne au moins 8,000,000, cependant.ee
premier pays a presque un tiers de. la richesse &
de la force de ce dernier. Les rentes des ' terres »
en Hollande sont à proportion de celles de France y
comme de 7 ou 8 à 1. ( Observez qu’il est question
ici de Tétai de TEurope en 1605 » ; & c’est à
cette année que se rapportent: tous les calculs dti
chevalier Petty, bons au mauvais ). Les habitant
d’Amsterdam font f de ceux.de Paris ou de Londres
 ; & la différence entre ces deux dernières.
villes n’est, selon le même auteur-:, que. d environune
vingtième partie. Le port de tous les vaisseaux-appartenans
à TEurope,- se montent à environ
deux millions de tonneaux, dont lès anglois
ont 500,000, les Hollandois 900,000 , ks François-,
100,000, les Hambourgeois, Danois,. Suédois, &
les habitans de Dantzick 250,000: ;. TEspagne, .-le
Portugal, Tltalie, &c. à-peu-près autant. La.' valeur
des, marchandises qui sortent annuellement,
de la France, pour Tusage de différens pays, se
monte en tout, à environ 5,000,000 livres- sterlin y
ç'efl-à-dire-, quatre fois autant qu’il en entroir
dans TAngleterre seule. Les- marchandises qu’on:
fait sortir de la Hollande pour TAngleterre valent
300,000 livres sterlin ; & ce qui fort de-là pour
être répandu par tout le reste du monde, vaut
18,000,000 livres sterlin. L’argent que le. roi de.
France levé annuellement en rems de paix fait
environ 6 \ millions sterlin. Les sommes- levéesen
Hollande &Zéelande font autour de 2,100,0001.
sterlin ;" & celles provenantes de toutes les Provinces-unies
font ensemble environ 3,000,000 liv »
sterlin. Les habitans d’Angleterre sont à-peu-prèsau
nombre de 6,000,000 ; & leurs dépenses, k
raison de 7 "lkres sterlin par an ,. pour chacun:
d^eux, font 42,000,00a Hv. sterlin, ou 80000 Iiv.'
sterlin par semaine. La rente des terres en Angleterre
est d’environ 8,000,000 sterlin ; & les intérêts
& profits des biens propres-à-peu-près autant,
Latente des maisons- en Angleterre 4,000,000 L.
sterlin. Le profit, du ; travail de tous les habitansfe
monte à 26,000,000 livrés sterlin par an.: Les ;
habitans-d’írlande soflt.au sombre de' ijioòpoc*.'
T34 ÀRI
A r iLe bled consommé annuellement en Angleterre,
comptant le froment à 5 schelings_ le boisseau, &
Torge à 2 -j, se monte à dix millions sterlin. La
manne dAngleterre avoit besoin en 1699, c’està-dire
, du tems du chevalier Petty, ou à la fin
du dernier siècle, de 36,000 hommes pour les
vaisseaux de guerre, & 48,000 pour les vaisseaux
marchands & autres ; & il ne falloit pour toute
la marine de France que 15,000 hommes. H y a.
en France environ treize millions & demi d’âmes ;
& en Angleterre , Ecosse & Irlande, environ
neuf millions & demi. Dans les trois royaumes
d’Angleterre, d’Ecosse & d’Irlande , il y a environ
20,000 ecclésiastiques ; & en France, il y
en a plus de 270,000. Le royaume d’Angleterre
a plus de 40,000 matelots, & la France n’en a
pas plus de 10,000. II y avoit pour lors en Angleterre,
en Ecosse, en Irlande, & dans les pays
qui en dépendent, des vaisseaux dont le port se
montoit environ à 60,000 tonneaux, ce qui vaut
à-peu-près quatre millions & dèmi de livres
sterlin. La ligne marine autour de TAngleterre, de
TEcosse, de Tlrlande, & des îles adjacentes, est
d’envir. 3,800,000 mille. II y a dans le monde entier
environ 30o,ooo,oood’amés, dont il n’y a qu’environ
80,000,000 avec lesquels les anglois & les hollandais
soient en commerce. La valeur de tous
les effets de commerce ne passe pas 45,000,000 sterl.
Les manufactures d’Angleterre qu’on fait sortir du
royaume se montent annuellement à environ
5,000,0001. sterl. Leplomb, le fer-blanc & le charbon,à
500,000 l.sterl. par an. La valeur desmarchandises
de France qui entre en Angleterre , ne passe pas
1,200,000 livres sterlin par an. Enfin il y a en
Angleterre environ 6,000,000 sterlin d’esoèces monnoyées.
Tous ces calculs, comine nous lavons dit,
font relatifs à Tannée 1699, & ont dû fans doute
bien changer depuis.M. Davenant, autre auteur à'arithmétique politique
, prouve qu’il ne faut pas compter absolument
fur plusieurs des calculs du chevalier Petty:
il en donne d’autres qu’il a faits lui-même, & qui
se trouvent fondés fur les observations de M, King.
En voici quelques-uns.L’Angleterre contient, dit-il, 39,000,000 d’arpens
déterre. Les habitans, selon son calcul,
íònt à-peu-près au nombre de 5,545,000 âmes-, &
ce nombre augmente tous les ans d’environ 9000,
déduction faite de ceux qui peuvent périr par
les pestes, les maladies, les guerres, la marine, &c.
& de ceux qui vont dans les colonies.'II compte
530,000 habitans dans la ville de Londres ; dans
les. autres villes & bourgs d’Angleterre 870,000,
&_dans les villages & hameaux 4,100,000." 11
estime la rente annuelle des terres à 10,000,000
sterlin ; celle des maisons & des bâtimens à
2,000,000 par an ; le produit de toutes sortes de
grains , dans une année passablement abondante,a
 9,075,000 liv. sterlin ; la rente annuelle des terres
en bled à 2,000,000, & leur produit net 'au-dessusde 9,000,000 sterlin ; la rente des pâturages, desprairies
, des bois des forêts,- des dunes, &c. à !
7,000,000sterlin ; le produit annuel des bestiaux enbeurre,
fromage & lait, peut monter, scion lui,à
environ 2 - millions sterlin. II estime la valeur de ;
la laine tondue annuellement à environ 2,000,000
sterlin ; celle des chevaux , qu’on élève tous les
ans à environ 250,000 liv. sterlin ; la consommation
annuelle de viande pour nourriture , à
environ 3,350,000 liv. sterlin ; celle du suif &
des cuirs environ 600,000 liv. sterlin 5 celle du
foin pour ía nourriture annuelle des. chevaux,•
environ 1 300,000 liv. sterlin ; & pour celle des’
autres bestiaux, 1,000,000sterlin ; Je bois de bâti.'
ment coupé annuellement 500,000 liv. sterlin. Les
bois à brûler, &c. environ 500,0c » livres sterlin.
Si toutes les terres d’Angleterre étoient également
distribuées parmi tous les habitans, chacun auroit
pour fa párt environ 7 \ arpens.' La valeur du
froment, du seigle & de Torge, nécessaire pour
la subsistance de TAngleterre, se monte au moins
à 6,000,000 sterlin par an. La valeur des manufactures
de laines travaillées en Angleterre, est
d’environ 8,000,000 par au ; & toutes les marchandises
de laine qui sortent -annuellement de,
TAngleterre, passent la valeur de 2,000,000 sterl. 1
Le revenu annuel de TAngleterre , sur quoi tout
les habitans se nourrissent & s’entretiennent, &
payent tous les impôts & taxes, se monte,selon’
lui,-à environ 43,000,000 : celui de la France à
81,000,000, & celui de la Hollande 1 18,250,000
livres sterlin. ; . -  !Le major Grant, dans íes observations fur'les
listes mortuaires , compte qu’il y a èn Angleterre'
39,000 quarrés de terre ; qu’il y a en Angleterre
& dans la principauté de Galles 4,600,000 âmes ;'
que les habitans de la ville de Londres sont
à-peu-près au nombre de 640,000 ; c’ést-à-dire, la
quatorzième partie de tous les. habitans de TAngleterre
 ; quil y a en Angleterre & dans le pays
de Galles, environ 10,000 paroisses ; qu’il y a
25,000,000 d’arpens de terre en Angleterre & dans
le pays de Galles, c’est-à-dire , environ 4 arpens
pour chaque habitant ; que de 100 enfans qui
naissent, il n’y én a que 64 qui atteignent Tâge
de 6 ans ; que dans 100, il n’en reste que 40 çn
vie au bout de 16 ans ; que dans ipo, il n’y en
a que 25 qui passent Tâge de 26 ans ; que 16 qui
vivent 36 ans accomplis , & 10 seulement dans
ico vivent jusqu’à la lin de leur 46e année ; &
dans le même nombre, qu’il n’y en a que 6 qui
aillent à 56 ans accomplis ; que 3 dans icó
qui atteignent la fin "de 66 ans ;.& que dans 100
il n’y en a qu’un qui soit en vie au bout de 76 ans,
& que les habitans de la ville de Londres sont
changés deux fois dans le cours d’environ 64 ans.
Voyez VIE , &c. MM ; de' Moivre, Bernoulli,
de Montmort & de Parcieux, se sont exercésfur
des sujets relatifs à {'Arithmétique politique :
on peut consulter la dçdrine des hasards t dçA r i A-R:l\ 735M. de Moivre. ; Y art de conjecturer, de M. Bernoulli
 ; Y analyse des jeux de hasard , de M. de
Monunort ; Touvrage_/#r les rentes viagères & les ,
tontines , &c. de M. de Parçieux , & quelques
mémoires de M. Halley, répandus dans les Transaâions
philosophiques, avec.les articles de notre
Dictionnaire, HASARD , JEU , PROBABILITÉ ,
COMBINAISON , ABSENT , VIE , MORT , NAISSANCE,
ANNUITÉ , RENTE, TONTINE , &c
( M. DÍPEKO T ). .■."''* U Arithmétique politique est , dans ùn sens plus
étendu, Tapplication du calcul, aux sciences
politiques. Cette branche des Mathématiques a
trois objets principaux, comme toutes celles qui
ont pour but Tapplication dû calcul à la connoiffance
de la nature : ainsi, on peut la diviser
en trois parties ; la première est.Tart de se pro"
curer des faits précis & tels" que le calcul puisse
s’y appliquer, & de réduire les faits particuliers
qui ont été observés à des résultats plus ou inoins
généraux ; la seconde a pour objet de tirer de
.-ces faits les conséquences auxquels ils conduisent
 ; la troisième enfin doit enseigner à déterminer
.la probabilité de ces faits & de ces conséquences.Dans la plupart des sciences physiques on. néglige
presque absolument cette 3e partie, parce
que les faits fur lesquels on s’appuie , -& par
conséquent les conséquences qu’on en déduit, ont
une probabilité très-approchante de la certitudes
que d’ailleurs les faits font presque toujours susceptibles
d’être connus avec une très-grande précision
, ce qui dispense de rechercher avec quel
degré de probabilité on peut se répondre que
les erreurs ne seront pas au-delà de certaines
limites 5 & qu’enfin toutes les fois que ces faits
,ou leurs conséquences ne doivent pas servir de
base à notre conduite, il est en générai peu important
de déterminer avec exactitude leur degré
de probabilité. 'Ainsi , par exemple, íi on a découvert une
nouvelle planète, on chercjie d’abord à s’en procurer
des observations exactes ;.on déduit ensuite
de ces observations les élémens de son orbite:
mais personne ne songe à déterminer quel est le
degré de probabilité quon ne s’est pas écarté
de la vérité d’une quantité plus ou moins grande,
soit parce qu’on sait d’avance que cette probalilité
diffère peu de la certitude, soit parce que
la connoissançe exacte de cette probabilité seroit
absolument inutile ; & qu’ilsuffit de savoir qu’elle
est ou fort grande ou très-petite.Au contraire, si on appliquoit le calcul à des
questions de médecine pratique , comme il faudroit
régler fa conduite d’après, les résultats dé ce
calcul, il seroit indispensable de s’assurer de leur
degré de probabilité.La plupart des questions A'Arithmétique politique
sont dans ce dernier cas.Par exemple, supposons qu’on veuille calculer
le taux-d’une rente viagère, il ne suffit pas desc. prpCUrer des -tables de mortalité exactes & ap.plícabiesà
 la question qu’on se propose de résoudre,
& d’en déduire par le calcul le taux de
cette rente, il faut de plus déterminer la j>roba:
bilité que, par Tévénement, le taux réel ne s’écartera
pas de celui que donne le calcul au-delà
de certaines limites. -'U Arithmétique politique n’a commencé à être
uné science que vers la. fin: du siècle dernier ,&
il paroît que c’est ' en-, Angleterre qu’elle a pris
naissance: il y a lieu de croire que les anciens
n’en ont-eu aucune idée. Les loix. romaines assujettissoient
les successions testamentaires a un droit
envers le Fisc ;- & comme pour éluder la loi on
se bòrnoit à léguer un simple usufruit, on imagina
d’assujettir cet usufruit à une partie du droit*
La • "proportion qu’il ' convient '■ d’établir entre ; le
droit payé pour la propriété & -celui qu’il faut
payer pour Tufufruit, est une question à'Arithmétique
politique assez compliquée ; mais on a lieu
de croire que les romains ne savoienr pas même
que cette question pût exister, & qu’ils fixèrent
cette proportion au hasard.Les recherches que Ton a faites fur cette
science depuis le commencement de ce siècle, se
bornent à des tables en général très-peu précises
des productions" de différens pa}'s , de Tétendue
de leur commerce, du profit annuel qui en résulte,
à Texamen de quelques -questions de droit.
( Voyez la thèse de Nicolas Bernoulli, citée à Tarticle
ABSENT ) au calcul des annuités & des difr
férentes espèces d’intérêts -, à celui des rentes viagères
, des tontines & des autres emprunts de cë
genre, au calcul des différentes formes de loterie ,
à la manière de former les’ tables de mortalité,
& d’en déduire,des conséquences qui intéressent
à-la-fois la politique & Thictoire naturelle de
l’homme.On ne- peut regarder ces recherches que comme
une rrès-perite partie d’une des sciences les plus
étendues & les plus utiles. En général, les géomètres
se sont plus occupés des méthodes de
calcul que de Texamén des principes d’après
lesquels chaque question devoit être résolue ;
ils n’ont presque traité que celles pour lesquelles
la nécessité & la possibilité d’y appliquer le caleul
se faisoit sentir au premier coup-d’oeil, & ils. ont
rarement cherché à y soumettre les objets qui
paroiffoient devoir s y refuser ; enfin ils n’ont
point étendu Tes principes & les méthodes de
calcul qu’ils ont employés aux différentes questions
auxquelles ces principes & ces calculs peuvent
s’appliquer : leur but principal étoit le progrès de
Tanalyse mathématique plutôt que celui des sciences
politiques.Nous chercherons dans plusieurs articles de ceDictionnaire à faire sentir toute Timportance &'' toute Tétendue d’une science qu’on doit regarder, encore-comme presque nouvelle, & qui ne peut1 faire de grands progrès qu’autant quelle.iera culsra a r i a ririvée par des hommes qui joindront à une connoisl’ance
approfondie des sciences politiques,, destálens
ponr la Géométrie. Fôyc{ les articles EVE- .
-NEMENS , PROBABILITÉ DES DÉCISIONS, PREU7E
, PRODUIT , PRIX , POPULATION , SALUÎRITÉ,
OPINIONS, &C. (M. D. C.) ARITHMÉTIQUE , pris adjectivement, se dit de
íout ce qui a rapport aux nombres, ou à la science '
des nombres, ou qui s’exécute par le moyen" des
nombres. On dit opération arithmétique, de toute
opération fur les nombres.MOYEN arithmé-\ /MOYEN.. tique. …-■' J ., - , I .PROGRESSION I I PROGRESSION.. arithmétique. \ XT J ..',:'.■ï R o p OR T ï o N j -v°yei \ PROPORTION. jarithmétique. I - jJIAPPORT arithme-1 f RAPPORT. ■< -tique. ' . - V.' -.. !.■'■• Triangle arithmétique. Voyez TRIANGLE.
Echelles arithmétiques , est le nom que donne
JVÍ. de Buffon ( Mém. Acad. 1742 )  aux différentes
progressions de -nombres ; suivant lesquelles {'Arithmétique
auroit pu être formée. Pour entendre
ceci, il faut observer que notre Arithmétique or- :
■dinàire s’exécute par le moyen dé dix chiffres,
& qu’elle a par conséquent pour base la pro■greffîon
arithmétique décuple ou dénaire, 0,1,2,
-3,4, f, 6,7, 8 , 9, voyez PROGRESSION , &c
11 est vraisemblable, comme nous lavons remarqué
plus haut, que cette progression doit son origine
■au-nombre des doigts des.deux mains, -par léf.<mels
on a dû naturellement commencer à compter :
mais il est visible aussi que cette progression en ellemême
est arbitraire, & qu’au lieu dé prendre dix caractères
pour exprimer tous les nombres possibles,
on auroit pu en prendre moins ou plus de dix.
Supposons, par exemple, qu’on en* eût pris cinq
seulement, o, í , 2 , 5 , 4 5 en cé cas tous nombre
passé cinq, auroit eu plus d’un chiffre, & cinq
auroit été exprimé par 10 ; car 1 dans là seconde
place, qui dans la progression ordinaire -vaut dix
fois plus qu’à la première place , ne vaudrait
dans la progression quintuple que cinq fois plus.
De même" 11 auroit représenté 6 ; 25 auroit été
représenté par 100, & tout nombre au-dessus de
■25, auroit eu trois chiffres pu davantage. Au
contraire si on prenoit vingt chiffres ou caractères
pour représenter ses nombres, tout nombre
au-dessous de 20 n’auroit qu’un chiffre ; tout
nombre au - dessous de 400 n’en . auroit que
deux, &c,'La progression la plus courte dont on puisse
se servir pour exprimer les nombres, est celse qui
est composée de deux chiffres seulement, 0,1,
& c’est ce que M. Leibnitz a nommé Asthme ?
tique binaire. Voyez BINAIRE. Cette Arithmétique
auroit Tinconvénient d’employer un trop grand
nombre de chiffres, pour exprimer des .nornbres '1 assez petits, & il est évident que cet inconvê*',
nient aura d’autant plus lieu, que la progression
qui servira de base'à .{'Arithmétique , .aura moins
de chiffres. D’un autre côté, si on employoir un
trop grand nombre de chiffres pour YArithmé*
tique, par exemple vingt ou trente chiffres au
lieu de six,Tes opérations fur les nombres deviendraient
trop difficiles ; je n’en veux pour
exemple que Taddition. 11 y a donc un milieu à
garder ici, & la progression décuple,^outre son
origine qui est assez naturelle , paroît tenir ce
milieu : cepbndartt il ne faut pas croire que Tinconvénient
fût fort grand, fi on avoit pris neuf
pu douze chiffres au lieu de dix. Voy^z CHIFFRE6" NOMERE. . ' _ ,M, de Buffon, dans le mémoire que nous avons
cité,' donne une méthode fort simple & fort
abrégée pour trouver tout d’un coup la maniéré
d’écrire un nombre donné dans une échelle arithmétique
quelconque, c’est-à-dire , en supposant
qu’on se serve d’un nombre quelconque de
chiffres pour exprimer les nombres. Voyez BINAIRE.
(O) * ATLITKMÉTIQVE ( machine )  ; c’est un assemblage'
ou système de roues & d’autres pièces, à
Taide desquelles des chiffres Ou imprimés ou graveuse
meuvent, & exécutent dans leur mouvement
les principales règles de {'Arithmétique.La première machine arithmétique qui ait paru,'
est de Biaise Pascal, né à Clerniont en Auvergne
le 19 juin 1623 ; il Tinvehta à Tâge de dix-neuf
ans. On en a fait quelques autres depuis- qui, au
jugement même de MM. de TAcadémié des
Sciences, paraissent avoir fur celle de Pascal des
avantages dans la pratique : mais cellè de Pascal
est la plus ancienne ; elle a pu servir de modèle
à toutes les autres ; c’est pourquoi nous Tavons
préférée.Cette machine n’est pas extrêmement compliquées
mais entre, ses pièces il y en a une fur-tout qu’on
nomme le sautoir, qui se trouve chargée ;d’un fl
grand nombre de fonctions, que le reste de^ là
machine en devient très - difficile à expliquer ; Pouf
se convaincre de cette difficulté, le lecteur n’a qu’à
jetter les yeux fur les figures du recueil des rnaì
chines approuvées par TÁcadémie, & fur le discours
qui a rapport à çes figures 8ç à la machine de
Pascal: je fuis sûr quil lui paroítra , comme à
nous, presqu’aussi difficile d’entendre la machine
de-Pascal -, avec ce qui en est dit dans Touvrage
que nous, venons de citer, que dtmaginér une
■a.utTçmachinearithmétique.Nàus allons faire en sorte
qu’on .ne puisté pas porter le même jugement de
notre article, fans toutefois nous engager à exposer
le méchanisme de la machine de Pascal d’une
manière si cjaire , qu’on n’ait besoin d’aucune
contension d’esprit pour le saisir. Au reste, cel
endroit de notre Dictionnaire ressembl era àbpaucoup
d’autres, qui ne sont destinés qu’à ceux qui on|
çuelque habitude dç s’appliquer,' LejA ri / . ' a r i m’7. Les parties de la machine arithmétique se ressemblant
presque, toutes par leur figure, leur disposition
& leur jeu, nous avons cru qu’il étoit
inutile de représenter la machine entière :1a portion
qu’on en voit PI. II. d’arithmétique , íùflìra pour
en donner une juste idée. N Ô P R, fig. z, est
une plaque de cuivre qui forme la surface supérieure
de la machine. On voit à la partie inférieure
de cette plaque, une rangée NO de cercles Q ,
Q_ >'Q , &c. tous mobiles, autour de leurs centres
Ç. Le premier à la droite a douze dents ; le
second, en allant de. droite à gauche, en a vingt ;
. & tous les autres en ont dix. Les pièces qu’on apperçoit
en S, S,S’, &c, & qui s’avancent furies
disques des cercles mobiles R, R, R, &c.,sont
des étochios ou arrêts qu’on appelle potences. Ces
étochios sont fixes & immobiles ; ils ne posent
point sur les cercles qui se peuvent mouvoir li,
irement sous leurs pointes ; ils ne servent qu’à
arrêter un stylet, qu’un appelle direaeur, qu’on
rient à la main, & dont on place la pointe entre
les dents des cercles mobiles Q , Q_ , Q , &c.
pour les faire tourner dans la direction 6, 5,4,3,
£Y. quand on se sert de la machine. .__.11 est évident par le nombre des dents des
cercles mobiles Q , Q , Q, &c. que le premier
à droite marque les deniers ; le second en allant
de droite à gauche, les sous ; le troisième , les
unités de livres ; le quatrième, les dixaines ; le
cinquième,-les centaines ; le sixième, les mille ;
le septième,' les dixaines de mille ; le huitième,
les centaines de mille : & quoiqu’il n’y en ait que
huit, on auroit pu, en aggrandissantla machine,
pousser plus loin le nombre de ces cercles.La ligne Y Z estune rangée de trous, à-travers
lesquels on apperçoit des chiffres. Les chiffres
apperçus ici sont 46,309 1. 15 f. 10 d. mais on
verra par la fuite qu’ort en peut faire paroître
d’autres à discrétion par les mêmes ouvertures.La bande P il est "mobile de bas en haut ; on
peut en la prenant par ses extrémités R., P, la faire
descendre sur la rangée des ouvertures 46,309 1.
15 f. 10 d. qu’elle couvriroit : mais alors on appercevroit
une autre rangée parallèle de chiffres
a-travers des trous placés directement au - dessus
des premiers.La même bande P R 'porte des petites routes
gravées de plusieurs chiffres, toutes avec une
aiguille au centre, à laquelle la petite roue sert
de cadran : chacune de ces roues portent autant
de chiffres que les cercles mobiles Q , Q , Q, &c.
auxquelles elles correspondent perpendiculairement.
Ainsi , Vi porte douze chiffres , ou plutôt a
douze divisions ; V z en a vingt ; V 3 en a dix ;
V 4 dix, & ainsi de fuite.AB CD, fig. z. est une tranche verticale de
la machine, faite selon une des lignes ponctuées
mx , m x , tri x , &c. de la figure 2. n’importe
laquelle ; car chacune de ces tranchées, comprise
entre deux parallèles m x, m x, contient toutes
Mathematiaues. Tome. I3 I/TS Partie. -les parties de la fig. z : outre quelques autres dont
nous ferons mention dans la fuite. 1 ( ? 2 représente
un des cercles mobiles Q de {-ífig.n. ce cercle
entraîne par son axe Q 3 , la roue à chevilles 4, 5.
Les chevilles de la roue 4, 5 , font mouvoir la
roue 6, 7, la roue 8, 9, & la roue 10, 11,
qui sont toutes fixées fur un même axe. Les chevilles
de la roue 10, 11, éngrennent dans la roue
12,13, &la font mouvoir, & avec elle le barillet
H, 15Surle barillet 14, 15, même fig. z, (oient
tracées Tune au-dessus de l’autre, deux rangées
de chiffres de la manière qu’on va dire. Si
Ton suppose que ce barillet soit celui de la
tranche des deniers , soient tracée » les deux
rangées:o, u, 10, 9, 8,-7, 6, 5, 4, 3, 2, r.
11, o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.Si le barillet 14, 15 , est celui de la tranche des
feus, soient tracées les deux rangées :o, 19, 18,17,16, 15, 14, 13, 12,11, 10,
19, o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,9, 8, 7,. 6, 5, 4, 3, 2, 1.
10,11,12,13, 14, 15,16, 17,18.Si le barillet 14, 15, est celui de la tranche des
unités, de livres, soient tracées les deux rangées:°, S>, 8 5 7, 6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1.
9,>o, 1, z, ^, ^, ^, 6,j, %.II est évident, ï.° que c’est de la rangée inférieure
des chiffres tracés fur les barillets, que quelquesuns
paroissent à-travers les ouvertures de la ligne
XZ, & que. ceux qui paroítroient à-travers les
ouvertures couvertes de la bandé mobile P P.,
sont de la rangée supérieure, z." Qu’en tournant, fig.
 z, le cercle mobile Ç_ , on arrêtera sous une
des ouvertutes de la ligne Y Z, tel. chiffre que
Ton voudra ; & que le chiffre retranché de ~i 1
fur le barillet des deniers, donnera celui qui lui
correspond dans la rangée supérieure des deniers ;
retranché de 29 fur le barillet des.sous, il donnera
celui qui lui correspond dans la rangée supérieure
des sous ; retranché de 9 fur le barillet des unités
délivres, il donnera celui qui lui correspond-dans
la rangée supérieure des unités de livres, & ainsi de
fuite. 3. 0 Que pareillement celui de, la bande sii=.
périeuredu barillet des deniers, retranché de. 11,
donnera celui qui. lui correspond dans la rangée
inférieure, &c.La pièce abc desg h i kl, qu’on entrevois '
mêm. fig- z. est cellè qu’on appelle le sautoir, II
est important d’en iieri considérer la figure, la
pofition & le jeu ; car fans une connoissance trèsexacte
de ces trois choses, il ne faut pas esoérer
d’avoir une idée précise de la machine : aussi avonsnous
repété cette pièce en trois figures différentes,
' • §. - '■"i38A ri a r iab cd efgh ì k l, fig. z , est le sautoir, comme
nous venons d’en avertir : I 23467 lyTj »,
Test aussi ,fig. 3- & 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Test encore,fie- 4- 'Le sautoir, fig. z, z deux anneaux ou portionsde douilles,. dans lesquelles passe la portion / k& g l de Taxe de la roue à chevilles 8 9 ; il estmobile fur cetie partie d’axe. Le sautoir fig. 3.a une concavité ou partie échancrée 3,4,5 ; uncoude 7, 8, 9, pratiqués pour laisser passer leschevilles de la roue S, 9 ; deux anneaux dont onvoit un en 9 , l’autre est couvert par une portionde la roue 6,7, à la partie inférieure de Téchancrure3,4,5 ; en 2, une espèce de coulisse, danslaquelle le cliquet 1 est suspendu par le tenon 2,& pressé par un ressort entre les chevilles de laroue 8, 9. Pour qu’on apperçût ce ressort & son■effet, on a rompu , fig 3, un des côtés de la■coulisse en x, y ; 12 est le cliquet ; 2 le tenonqui le tient suspendu ; & Z v le ressort qui appuiefur son talon, & pousse son extrémité entre leschevilles de la roue 8,9..Ce qui précède bien entendu, nous pouvonspasser au jeu de la machine. Soit figure z, le cerclemobile iÇi, mû dans la direction 1 Q 2, la roueà chevilles 4, 5 , sera mue, & la roue à chevillesd, 7 ; & fig. 3. la roue VIII, IX ; car c’est lamême que la roue 8, 9 de {a~figure z. Cette roueVIII, IX, sera mue dans la direction VIII, VIII,IX, IX. La première de ses deux chevilles r, s,
entrera dans Téchancrure du sautoir ; le siutoi r continuera
d’être élevé, à Taide de la seconde cheville
R S. Danscemouvement, Textréinité I du cliquet
sera entraînée ; & se trouvant à la hauteur de
Tentre-deux de deux chevilles immédiatement
supérieur à celui ou elle étoit, elle y sera poussée
par le ressort. Mais la' machine est construite de"
manière que ce premier échappement n’est pas
plutôt fait, qu’il s’en fait une autre, celui de la
seconde cheville il S de dessous la partie 3 , 4,
du sautoir : ce second échappement laisse le sautoir
abandonné à lui - même ; le poids de fa partie
4-5 678 9, fait agir Textrémité 1 du cliquet contre
la cheville de la roue 8, 7, fur laquelle elle vient
de s’appuyer par le premier échappement ; fait
tourner la roue 8,9, dans le sens 8, 8 ,9, 9,
& par conséquent austi dans le même sens la roue
10,11, 11, & la roue 12, 13 , en sens connaire,
ou dans la direction 13,13 , 12 ; & dans le même
sens que la roue 12, 13 , le barillet .14> 15. Mais
telle est encore la construction de la machine que,
quand par le second échappement, celui de la
cheville R S de dessous la partie 3 , 4, du sautoir,
ce sautoir se trouve abandonné à lui-même,, il ne
peut descendre & entraîner la roue 8 , 9, que d’une
certaine quantité déterminée. Quand il est descendu
de cette quínthé , la partie T, fig. z. de la coulissé
rencontre Tétochio r qui Tarrête.Maintenant fi Ton suppose i.° que la roue VIII,
IX, a douze chevilles, la roue X, XI autant,,& la roue'XIT., JOTi autant encore : 2.' que îa
roue 8, 9 a vingt chevilles, la roue 10, 11 vingt,
& la roue 12 , 13 , autant : 3. 0 que Textrémité T
du sautoir, figure 3, rencontre Tétochio r précisément
quand la roue 8, 9 , fig. 4, a tourné d’une
vingtième partie, il s’ensuivra évidemment que le
barillet XIV, XV, fera un tour sur lui-même,,
tandis que le barillet 14, 15 ne tournera fur luimême
que de fa vingtième partie. •Si Ton suppose 2. 0 que la roue VIII) IX a
vingt chevilles, la roueX, XIautant, & la roue
XII, XIII autant : 2. 0 que la roue 8, 9, ait dix •
chevilles, la roue 10, 11 autant ,& la roue 12, IJ
autant: 3. ° que Textrémité TM sautoir soit arrêtée,
figure 3 , par Téthochio r, que quand la roue 8,9,
figure 4, a tourné d’une dixième partie, il s’ensuivra
évidemment que le barillet XIV, .XTfera un tour
entier sur lui-même , tandis que le barillet 14,15
ne tournera fur lui-même que de fa dixième partie.Si Ton suppose, 3. 0 que la roue VIII, IX zìy
dix chevilles, la roue X, XI autantr & la roue
XII, XIIIautant : z.° que la roue 8, 9 ait pareillement
dix chevilles, îa roue 10, 11 autant>
& la roue 12, 13 autant aussi : J.° que Textrémité
T du sautoir fig. 3, ne soit arrêtée par Téthochio r,
que quand la roue 8,9, fig. 4…aura tourné d’un
dixième, il s’ensuivra évidemment que le barillet
XIV, XV fera un tour entier sur lui-même,
tandis que le barillet 14, 15 ne(tonrnera fur luimême
que d’un dixième.. On peut donc, en général, établir tel rapport
qu’on voudra entre un tour, entier du barillqt
XIV, XV, & la partie dont le barillet 14,"15
tournera dans le même rems.Donc, fi Ton écrit fur le barillet XIV, XV
les deux rangées de nombre suivantes, Tune audeffus’
de.l’autre, comme on le voit,o, n, 10,9, 8,7, 6, 5,4, 3, 2, 1.
ÏI, o, r, 2, 3,4, 5, 6,7, 8,9, 10.
& fur le barillet 14, 15, les deux rangées suivantes,
comme on le voit,o,19,i§> I7>16,iÇî H> *l> I2> ">I0>
19, o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ?. 9y
í>, S, 7: 6, 5, 4, 3, 2, Iv
10, 11, 12,-15, lA, i55I(5, 17, 18.
& que les zeros des deux rangées inférieures des
barillets correspondent exactement aux intervalles.
A, B, il est clair qu’au bout d’une révolution
du barillet XIV, XV, le zero correspondra
encore à Tintervalle B : mais que ce fera le chiffre
7" dû barillet 14 , 15, qui correspondra dans le
même rems à Tintervalle A.Donc, si l’on écrit fur le barillet XIV, XVles deux rangées suivantes, comme on les voit,o, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, i2, n, 10,.19, o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, %9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1..10,11, 12, 13, 14,15, 16*17, r8..A nt a n tr39& sur le barillet 14, 15, ses deux rangées suivantes
, comme on les voit,o, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.9, o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.& que les zeros des deux rangées inférieures des
barilllets correspondent en même tems aux intervalles
A, B, il est clair que dans ce cas, de
même que dans le premier, lorsque, le zero du
.barillet XIV, .XT^correspondra, après avoir fait
un tour, à Tintervalle B, le barillet 14, is présentera
à Touverture ou espace A, le chiffre 1.II en sera toujours ainsi , quelles que soient
les rangées-de chiffres que l’on trace fur le barillet
XIV, XV, & fur le barillet 14, 15: dans
le premier cas , le barillet XIV, XV tournera
fur lui-même, & présentera les douze caractères
à Tintervalle 5, quand le barillet 14, 15, n’ayant
tourné que d’un vingtième, présentera à Tintervalle
A , le chiffre r. Dans le second cas , le
barillet XIV, XV tournera fur lui-même , &
présentera ses vingt caractères à Tpuvermre ou
intervalle B , pendant que le barillet 14, 15,
n’ayant tourné que d’un dixième, présentera à Touverture
ou intervalle A, le chiffre í.Dans le troisième
cas’, le barillet XIV, XFtournera fur luimême
, & aura présenté ses dix caractères à Touverture
B, quand le barillet 14, 15, n’ayant
tourné que d’un dixième, présentera à Touverture
ou intervalle A , le chiffre 1.Mais au lieu de faire toutes ces suppositions fur
deux barillets, je peux les faire fur un grand
nombre de barillets, tous assemblés les uns avec
iés autres, comme on voit ceux de la fig. 4.
Rien n’empêche de supposer à côté du barillet
14, 15 un autre barillet placé par rapport à lui,
comme il est placé par rapport au barillet XIV,
XV, avec les mêmes roues, -un sautoir & tout le ,
reste de Tassemblage. Rien n’empêche que je ne
puisse supposer.douze chevilles à la roue VIII,
IX Scies deux rangées o, 11,10, 9, &c. tracées11, o, 1, 2, &c.
fur le bar'ûletXIV, XV, vingt chevilles à la roue
8,9, &lesdeux rangées o, 19,18,17,16,15, &c.19, o, 1, 2, 3, 4,&c.
tracées fur le barillet 14, 15 ; dix chevilles à la
première, pareille à la roue 8 ; 9, & les deux
rangées o, 9, 8,7, 6, &c. fur le troisième ba ?>°> 1,2, 3> &crîllet
 ; dix chevilles à la seconde pareille de 8,9,
& les deux rangées o, 9,s8, 7, 6, &c. fur le9, o, 1, 2, 3,,6c
quatrième barillet ; dix chevilles à la troisième pareille
de 8,9, & les deux rangées o, 9, 8,7, 6, &c.9,0,1,2,3,6c.
fur le cinquième barillet, & ainsi de fuite.
Rien n’empêche non plus de supposer que tandisque 4e premier barillet présentera ses douze
chiffres à son ouverture ; le second ne présentera
plus que le chiffre 1 à la sienne ; que tandis que le
second barillet présentera ses vingt chiffres à son
ouverture, ou intervalle, le troisième ne présentera
que le chiffre 1 ; que tandis que le troisième
barillet présentera ses dix caractères à" son ouverture,
le quatrième n’y présentera que le chiffre 1 ;
que tandis que le quatrième barillet présentera ses
dix caractères à son ouverture, le cinquième barillet
ne présentera à la sienne que le chiffre 1, & ainsi *
de suite.D’où il s’ensuivra, i.° qu’il n’y aura aucun nombre
qu’on ne puisse écrire avec ces barillets ; car
1 après les deux échappements, chaque équipage de
barillet demeure isolé, est indépendant de celui qui
le précède du côté de la droite, peut tourner fur
lui-même tant qu’on voudra dans la direction VIII,
VIII, IX, IX, & par conséquent offrira son
ouverture celui des chiffres de fa rangée inférieure
qu’on jugera à propos : mais les intervalles A ,By
sont aux cylindres nuds XIV, XV, 14, 15, ce
que leur sont lesouvertures dela ligne Y, X,fig. z ,
quand ils sont couverts de la plaque N O RP.z.° Que le premier barillet marquera des deniers,
le second des fous, le troisième des unités de livres ,
le quatrième des dixaines, le cinquième des centaines,,
&c.2° Qu’il faut un tour du premier barillet, pour
un vingtième du second ; un tour du.second, pour
un dixième du troisième ; un tour du troisième ,
pour un dixième du quatrième ; & que par conséquent
les barillets suivent entre leurs mouvemens
la proportion qui règne entre les chiffres de T Arithmétique,
quand ils expriment des nombres ; que là
proportion des chiffres est toujours gardée dans
les mouvemens des barillets, quelleque soit la quantités
des tours qu’on fasse faire au premier^ 'ou au
second on au troisième, & que par conséquent de
même qu’on fait les opérations de {'Arithmétique
avec des chiffres, on peur les faire avec les barillets
& les rangées de chiffres qu’ils ont.4.° Que, pòur cet effet, il faut commencer par
mettre tous les barillets de manière que les zéros
de leur rangée inférieure correspondent én même
tems aux ouvertures de la bande YZ, & de la
plaque NO RP ; car fi tandis que le premier barillet,
par exemple, présente o à son ouverture,
le second présente 4 à la sienne, il est à présumer
que le premier barillet a déjà sait quatre tours ; ce
qui n’est pas vrai. ,5. 0 Qu’il effaffez indifférent de faire tourner les
barillets dans la direction VIII, VIII, IX ; que ce
mouvement ne dérange rien àl’effet de la machine ;
mais qu’il ne faut pas qu’ils aient la liberté derétrograder
 ; & c’est aussi la fonction du cliquet
supérieur C de la leur ôter.H permet, comme on voit, aux roues de tourner
dans-le sens VÎII, VIII > IX : mais il leî
empêché de tourner dans le Tens contraire »S ij .140
A R I
Ari6.° Que le ? roues ne pouvant tourner que dans
la direction VIII, VIII, IXi c’est de la ligne
ou rangée de chiffres inférieure des barillets qu il
faut se'servir pour écrire un nombre ; par conséquent
pour faire l’addition ; par conséquent encore
pour faire la multiplication ; & que comme
les chiffres des rangées sont dans un ordre renversé,
la soustraction se doit faire sur la rangée supérieure,
& par conséquent aussi la division.Mais tous ces corollaires s’éclairciront davantage
par Tusage de la machine, & la manière de faire les
opérations. 'Mais, avant que de passer aux opérations, nous
ferons observer encore une fois que chaque roue 6,
7, fig. 4 , a fa correspondance 4, 5 , fig. z ; &
chaque roue, 4, 5 , son cercle mobile Q ; que
chaque roue 8 , 9 , a son cliquet supérieur & son
cliquet inférieur ; que ces deux cliquets ont une
de leurs fonctions communes : c’est d empêcher les
roues VIII, IX, 8,9, &c. de rétrograder ; enfin
que le talon I , pratiqué au cliquet inférieur, lui
est essentiel.• Usage de la machine arithmétique pour l’addition.
Commencez par couvrir de la bande P il, la rangée
supérieure d’ouvertures , en sorte que cette
bande soit dansl’état où vous la voyez fig. ?,- mettez
ensuite toutes les roues de la bande inférieure ou
rangée à zero ; & soient les sommes à ajouter:584 15 6 .,''/ 341 ll 9Prenez le conducteur ; portez fa pointe dans la
huitième denture du cercle Q , le plus à la droite ;
faites tourner ce cercle jusqu’à ce que Tarrêt ou
la potence S vous empêche d’avancer.Passez à la roue des sous, ou au cercle Q qui
fuit immédiatement celui fur lequel vous avez opéré
en allant de Ja droite à la gauche ; portez la pointe
du conducteur dans la septième denture, à compter
depuis la potence ; faites tourner ce cercle
jusqu’à ce que la potence S vous arrête ; passez
aux livres, aux dixaines, & faites la même opération
fur leur cercle Q.En vous y prenant ainsi, votre première somme
sera évidemment écrite: opérez fur la seconde précisément
comme vous avez fait fur la première, fans
vous embarrasser des chiffres qui se présentent aux
ouvertures, puis fur la troisième. Après votre troisième
opération, remarquez les chiffres qui paraîtront
auxouvetures de la ligne YZ, ils marqueront
la somme totale de vos trois sommes partielles.'Démonstration. II est évident que si vous faites
tourner le cercle Q des deniers de huit parties,
vous aurez 8 à Touverture correspondante à ce
cercle : 11 est encore évident que si vous faites tourner
le même cercle de six autres parties comme
il est divisé en douze , c’est la même choie que fi
.vous laviez fait tourner de douze parties plus 2mais en -le faisant tourner de douze, vous auriez
remis à zero le barillet des deniers correspondant
à ce cercle des deniers, puisqu’il eût sait un tour
exact sur luirir.ême : mais il n’a pu faire un tour
fur lui-même, que le second barillet, ou celui des
sous n’ait tourné d’un vingtième, &. par conséquent
mis le chiffre ï à Touverture des sous. Mais le
chiffre des deniers n’a pu rester à zero ; car ce
n’est pas seulement de douze parties que vous lavez
fait tourner, mais de douze parties plus deux.
Vous avez donc fait en fus comme si le barillet des
deniers étant à zero, celui des sous à I , vous eussiez
fait tourner le cercle Q des deniers de deux
dentures : mais en faisant tourner le cercle Q des
deniers de deux dentures, pn met le barillet des
deniers à 2, ou ce barillet présente 2 à son ouverture.
Donc le barillet des deniers offrira 2 à
son ouverture , & celui des fous 1 , mais 8 deniers
& 6 deniers font, 14 deniers, ou un fou, plus
2 deniers ; ce qu’il falloit en effet ajouter ; & ce
que la machine a donné. La démonstration sera
la même pour tout le reste de Topération.Exemple de la soufiradion. Commencez par baisser
la bande P R sur la ligne XY d’ouverturesinférieures
 ; écrivez la plus grande somme fur les
ouvertures de la ligne supérieure, comme nous Tàyens
prescrit pour l’addition par le moyen du
conducteur ; faites l’addition de la somme à soustraire
, ou de la plus petite avec la plus grande,
comme nous Tarons prescrit à Texemple de l’addition
: cetteaddition faite , la soustraction le sera aussi.
Les chiffres qui paroîtront aux ouvermres marqueront
la différence des deux sommes , ou Texcès,
de la grande fur la petite, ce que Ton cherchoit.Soit 9121 9 2dont il faut soustraire 8989 16 11Si vous exécutez ce que nous vous avons prescrit,
vous trouverez aux ouvertures 131 9 3.Démonstration. Quand j’écris le nombre 9.121 1.
9 s. 2 d. pour faireparoître2 à Touverture des deniers
, je fuis obligé de faire passer avec le directeur
, onze dentures du cercle Q.des deniers ; car
il y a à la rangée supérieure du barillet des deniers
onze termes depuis o jusqu’à 2 : si à ce deux j’ajoute
encore 11, je tomberai sur 3 : car il faut encore
que je fasse faire onze dentures aux cercles Q:
or comptant 11, depuis 2, on tombe sor 3. La
démonstration, est la même pour le reste. Mais remarquez
que le barillet des deniers n’a pu tourner
de 22, fans que Te barillet des sous n’ait tourné
d’un vingtième ou de douze deniers. Mais comme
à la rangée d’en haut, les cliiffres vont en rétrogradant
dans le sens queles barillets tournent ; à
chaque tour du barillet des deniers, les chiffres
du barillet des fous diminuent d’une unité ; c’est-àdire
que Temprunt que Ton fait pour un barillet est
acquitté fur 1 autre, ou que la soustraction s’exécute
comme à Tordinaire.A r t a r i ì4tExempU de multiplication. Revenez aux ouver- ■
tures inférieures ; faites remonter la bande Pilsur
les ouvertures supérieures ; mettez toutes les roues
à zero ; par le moyen du conducteur, comme
nous Tavons dit plus haut. Ou le multiplicateur
n a qu’un caractère, ou il eri a plusieurs ; s’il n’a
qu’un caractère, on écrit, comme pour l’addition,
autant de fois le miiltiplcande qu’il y a d’unité dans
ce-chiffrè du multiplicateur : ainsi, la somme 1245
étant à multiplier par 3, j’écris ou pose trois fois
cette somme à Taide de mes roues & des cercles
Q ; après la dernière fois, il paroît aux ouvertures
3735, qui est en effet le produit de 1245 Par 3Si
lé multiplicateur a plusieurs caractères, il
faut multiplier tous les chiffres du multiplicande
par chacun de ceux du multiplicateur, les écrire
de la même manière que pour l’addition : mais il
faut observer au second vmulriplicateur de prendre
pour première roue celle des dixaines.La multiplication n’étant qu’une espèce d’addition
, & cette règle se faisant évidemment ici par
voie d’addition, Topération n’a pas besoin de démonstration.:Exemple de division. Pour faire la division, il
faut se servir, des ouvertures supérieures ; faites
donc descendre la bande P Pi sur les inférieures  ;
mettez à zero toutes les roues fixéesfur cette bande,
& qu’on appelle roues de quotient ; faites paroitre
aux ouvertures votre nombre à diviser, & opérez
comme nous allons dire.Soit la sommes à diviser par cinq ; vous dites,
ënlîx, cinq y est ; & vòus ferez tourner votre roue
comme si vous vouliez additionner 5 & 6 ; cela"
fait, les Chiffres des roues supérieures allant tou■
jours en rétrogradant, il est évident qu’il ne paraîtra
plus que ià Touverture où il paroissoit 6 ;
car dans 0,9,8,7,6, 5, 4 , 3, 2, 1 ; 1 est le
cinquième terme après 6.Mais le diviseur 5 n’est plus dans I, marquezdonc
1 fur la roué des quotiens, qui répond àTouverture
des dixaines ;- passez ensuite à Touverture
des unités , ôtez-en 5 autant de fois qu’il sera
possible, en ajoutant 5 au caractère qui paroît à
travers cette ouverture, jusqu’à ce qu’il vienne à
cette ouverture ou zero, ou un nombre plus petit
que cinq, & qu’il n’y - ait que des zeros aux ouvertures
qui précèdent : à chaque addition faites
passer Taiguille de la roue dès quotiens qui est
au dessous de'Touverture des unités, du chiffre 1 seule
chiffre 2 , fur le chiffré 3 ; en un mot ;, fur un
chiffre qui ait autant d’unités que vous ferezde soustractions
: ici, après avoir ôté trois fois 5 du chiffre
qui paroissoit à Touverture des unités, il est venu
zero ; donc 5 est 13 fois enÓ5^ .II faut observer ici qu’en ôtantune fois 5 du chiffre
qui paroît aux unités, il vient tout de fuite zero
à cette ouverture ; mais que pour cela Topération
n’est pas achevée , parce .qu’il reste une unité à
Touverture des dixaines, qui fait, avec le zero
qui fuit, ió, qu’il faut .épuiser j or'il est évident ,que 5 óté deux fois de 10, il ne restera plus rien ;
c’esl-à-dire que pour exhaustion totale, 'ou que pouravoir
zero à toutes les ouvertures, il faut encore
soustraire 5 deux sois.11 ne faut pas oublier que la soustraction se fait
exactement comme, l’addition, & que la seule" différence
qu’il y ait, c’est que Tune se fait, fur les.
nombres d’en bas, & l’autre furies nombres d’eil
haut. - . 'Mais si le diviseur a plusieurs caractères, voici
comment on opérera : soit 9989 à diviser pari 24,
on ôtera 1 de- 9, chiffré qui paroît à Touverture
des mille ; 2 du chiffre qui paroît à Touverture
des centaines ; 5 du chiffre qui paroît à Touverture
des. dixaines, & Ton mettra Taiguille des cercles
du quotient, qui répond à. Touverture des
dixaines, fur le chiffre 1. Si le diviseur 124 peut
s’ôtër encore" une fois de ce qui paraîtra , après la
première soustraction, aux ouvertures des mille,
des centaines & des dixaines , on Tôtera & on tournera
 Taiguille du même cercle du quotient fur
2, & on continuera jusqu’à Thexhauftion la plus
complette qu’il fera possible ; pour Cet effet, il
faudra réitérer ici la soustraction huit fois fur les
trois mêmes ouvertures ; Taiguille du cercle du
quotient qui répond aux dixaines, sera donc fur
8, & il ne. se trouvera plus aux ouvertures que
69, qui ne peut plusse diviser par 124 ; on mettra
donc Taiguille du cercle du quotient, qui répond
à Touverture des unités, fur 9 , ce qui marquera
que 124 ôté 80 fois de 9989, il reste ensuite 6<) ^ :
Manière de réduire les Uvres ensous & les fous
en deniers. Réduire les livres en fous, c’est multiplier
par 20 les livres’■■ données ; jk_ réduireíles
sous en deniers, c’est multiplier par douze. Voyez
MULTIPLICATION.Convertir les fous en livres & les deniers ensous,
c’est diviser dans le premier cas par 20, & dans
le second par douze. Voyez DIVISION.Convenir les.deniers en livres ,..c’est diviser par
240. Voyez DIVISION.Il-parut- en 1725 une autre machiné aritkmér
tique', d’une compositionplus simple que celle de
M. Pascal, & que celle qu’on avoit déjà faites
à Timitation ; elle est de'M- de TÉpine ; & l’Académie
a jugé qu’elle contenoit plusieurs choses
nouvelles & ingénieusement pensées. On la trouvera
dans le recueil des machines : on y en verra
encore une autre de M. Boitiffendeaujdont TAça*
démie fait aussi. Téloge. Le principe - de ces machines
une fois connu, il ; .y a pende mérite à
les varier : mais il fàlloit trouver ce principe ; il
falloit appercevoir que fi Ton fait tourner verticalement
de droite à gauche un barillet chargé de
deux fuites dénombres placées Tune au dessus de
l’autre, en cette forte ,0,9, 8,7, 6 &c. ;:". ;. ' ' 9,O,*,'Í ;;3~ &•--:":
l’addition se faisoit sur la: rangée supérieure  ?ckî^
ï-41- à r m a r r.soustraction/urTinférieure, précisément de Ia niéme
manière. (As. DIDEROT).A r mARMILLAIRE, adj. cn Agronomie ; c’est ainsi
que Ton appelle nue sphère artificielle•■, composée
de plusieurs cercles de métal Ou de bois, qui représentent
différens cercles de la sphère du monde,
ihi's ensemble dans leur ordre naturel. Ce mot armìllaire
est formé à'armilla, qui veut dire un bracelet.
La sphère armillaire sert à aider Timaginarion
pour concevoir T arrangement des cieux & le mouvement
des corps célestes.On en voit la représentation dans Ia première
planche d’Astronomie ; elle sera expliquée au mot
sphère. II y a cette différence entre le globe & la
sphère armillaire, que la sphère est.à jour, & ne
contient, précisément que les principaux cercles ; au
lieu que le globe est entièrement solide^ & que les
cercles y sont simplement tracés. Outré la sphère
- annillaìre, qui représente lesdifférens cercles qu’on
imagine fur le globe terrestre ou céleste, il y a
d’autres sphères armillaires, qui représentent les
orbites ou les cercles que décrivent les planètes
dans les différens systèmes. Ainsi, il y a la sphère
ermillaire de Ptolemée, celle de Copernic, celle
de Tycho : ces différentes sphères représentent.les
différens arrangemens des’planètes, suivant ces as-'
tronomes. Mais quoique le système de Copernic soit
le véritable, la sphère de Ptolemée est la plus usitée,^
suffit pour les notions élémentaires, comme
étant la plus simple. -ARMILLES, f ; m. pi. ( Astronomie.Tnstr-um.)  '
Les arm’illes d’Alexandrie sont célèbres dans TAstronomie,par
les observations de Tymocharès &
d’Eratosthene. La plus ancienne observation faite
à Alexandrie sous le règne des Ptolemées, environ
294 ans avant J. C., fur la déclinaison de
l’épi de la Vierge, fut faite avec ces armilles ;
& ces observations servirent à Hipparque pour découvrir
le changement de situation des étoiles fixes
óu la précessioh des équinoxes. Ces armilles consistoient
probablement en deux cercles de cuivre,
fixes dans le plan de Téquateur & du méridien,
& peut-être un troisième cercle mobile, à-peu-près
comme Tastrolabe que Ptolemée décrit dans 1 Aïmagesle.
Ces armilles avoient une demi-aune de
diamètre, suivant Proclus ; & comme Taune des
anciens étoit, suivant quelques auteurs, la longueur
des bras étendus, Flamsteed pense que ces
armilles pouvoient avoir trois pieds de diamètre.
Historia coelestis ;prolegomena,p. zg , zi , 30 ; & il
croit qu’on pouvoit observer à,cinq minutes près
avec ces armilles. Ptolemée s’en servit aussi pour
observer les équinoxes, depuis Tan 13 2 de J, C.
jusqu’à Tac 147, à Texemple d’Hipparque, dont
Ptoleméerapporte de semblables observations ; mais
celles de Ptolemée sont tout-à-fait défectueuses.Tycho -Brahé avoit aussi des armilles ou descercles mobiles les uns dans les autres, pour observer
les positions des astres. Voyez PLANCHES
D’ASTRONOMIE,^-, zzg, où ces armilles équatoriennes
sont représentées. Le cercle extérieur
NZH représente le méridien, & il est supposé
en effet placé dans le plan du méridien ; en forte
que le point N regarde directement le midi, &
que le point H soit au nord : ce cercle étoit de
cuivre poli, & divisé de minute en minuté. Les
autres cercles étoient feulement couverts de lames
de cuivre. Autour de Taxe PA , tournent les deux
cercles FI & Q N ; le cercle FI n’est point divisé,
parce qu’il ne sert qu’à soutenir & porter
Téquateur N MR qui est mobile. L’axe P A est
de cuivre, & porte un cylindre D au centre de
cette sphère. Les pinnules R & N qui sont fur
Téquateur, sont de cuivre ; elles servent à mesurer
les distances des astres au méridien ou les angles
horaires, & les différences d’ascension droite. On
a mêíné cet avantage avec un équateur mobile,
c’est que lorsqu’on met un astre sur le degré d’ascensipn.
droite qui fui convient, on voit dans -le
méridien même l’ascension droite du milieu du
ciel, dont les astronomes’ont souvent besoin ; d’où
Ton conclut Theure qu’il est quànd on sait l’ascension
droite du soleil.Le cercle intérieur V Q C est un cercle horaire
, un cercle dç' déclinaison , ou un méridien
qui tourne autour de. Taxe P A, & dont le plan
est toujours perpendiculaire à celui de Téquateur
R M N. On dirige ce méridien mobile vers Tastre
dont on veut mesurer la déclinaison ; & au moyen
dés pinnules mobiles Q ou C, & du cylindre i) 
qui est au centré de Tinstrument porté fur Taxe
même, on s’aligne vers Tétoile dont la déclinaison
se trouve marquée par la pinnule.Toute cette machine étoit placée fur un pied
de cuivre très-solide, qu’il faut concevoir au-defscus
de T. ( D. L. ) A r pARPENTAGE, f. m. ( Géométrie, )  C’est proprement
l’art ou Taction de mesurer les terreins,
c’est-à-dire, de prendre les dimensions de quelques
portions de terre, de les décrire ou de les tracer
fur une carte, & d’en trouver Taire. Voy. MESURE
& CARTE, &CV'arpentage est un art très - ancien : on croit
même que c’est lui qui a donné naissance à la
Géométrie. Voyez GÉOMÉTRIE.1 !arpentage a trois parties ; la première consiste
à prendre les mesures & à fane les observations
nécessaires fur'le terrein même ; la seconde, !
mertre' fur le papier ces mesures & ces obscrvar
fions ; la troíième, à trouver Taire du terrein.La première partie est proprement ce qu’on appelle
{'arpentage ; la seconde est l’art de lever ou
de faire un plan ; la troisième est le calcul du
toisé. - . •■ a r  ;P £ r p UîDe plus, la première se divise en deux parties,
qui consistent à faire les observations dés angles
& à prendre lés mesures des distances. On fait les
observations des angles avec quelqu’un des instrumens
fuivans: le graphomètre, le demi-cercle, la
planchette, la boussole, &c. On peut voir la description
& la manière de faire usage *de ces instrumens,
aux articles GRAPHOMÈTRE , PLANCHETTE
, BOUSSOLE , CERCLE d’Arpenteur, &c.On mesure les distances avec la chaîne ou Todomètre.
Voyez la description & la manière d’appliquer
ces instrumens, aux articles CHAÎNE & ODOMETREou COMPTE-PAS.La seconde partie de {'arpentage s’exécute par le
tnoyen du rapporteur & de Téchelle d’arpenteur.
Voyez-en les usages aux articles RAPPORTEUR,
ECHELLE , &c. Voy. aussi CARTE.
La troisième partie de {'arpentage se fait en réduisant
les différentes divisions, les différens enclos
, &c. en triangles, en quarrés, en parallélogrammes,
en trapèses, &c. mais principalement en
triangles ; après quoi Ton détermine Taire ou la
surface de- ces différentes figures, suivant les règles
exposées aux articles AIRE, TRIANGLE,.QUARRÉ,
 &c.La croix S arpentage ou le bâton d’arpenteur est
un instrument peu connu & encore moins usité
en Angleterre, quoiqu’en Trance, &c. Ton s’en
serve au lieu de graphomètre ou de quelqu’autre
instrument semblable. II est composé d’un cercle
de cuivre, ou plutôt d’un limbe circulaire gradué,
& de plus divisé en quarté parties égales par deux
lignes droites qui se coupent au centre à angles
droits ; à chacune des quatre extrémités de ces
lignes & au centre sont attachées deux pinules ou
des visières, & le tout est monté fur un bâton.• Voyez BA'TON. ( E ) \ * II s’est élevé depuis quelque temps unequestion
Telative à la pratique de {arpentage. II s’agit de
savoir, si, dans la mesure d’un terrein incliné , on
doit prendre ou sa superficie réelle ou celle de sa
base horizontalesNOUS remarquerons d’abord que cette question• n’est pas directement du ressort de la Géométrie. En
'effet, quelque manière qu’on prenne, il faudra nécessairement
déterminer les limites du terrein qu’on
mesure &son inclinaison fur Thorizon, & après cela,
soit qu’on mesure fa base horizontale, soit qu’on
mesure sa superficie, on voit que le résultat final
détermine également le même terrein.Mais- Y arpentage est encore plus Tart de reconnoître,
de partager & d’évaluer un champ, que
celui d’en marquer la position, de le mesurer &
.de le diviser ; & c’est dans cette partie civile &
économique de Tart, qu’il peut seulement y avoir
quelques difficultés qu’on résoudra facilement dans
tous les cas, à Taide des principes fuivans.i." On peut proposer de mesurer un tel nombre
d’arpens de terre, pris dans un champ dont la position
est donnée. Dans ce cas ^ il faut examinerd’abord si cette quantité à prendre n’a pas été déterminée
par un arpentage antérieur ; & si cela estf
& qu’on çonnpisse la méthode qu’on a suivie, il
faut encore la suivre. Si c’est le premier arpentage
, nous remarquerons que le seul but qu’on
puisseavoir, est de prendre la méthode qui donne
en général un produit de culture proportionnel âla
mesuré ; ainsi, si lé produit d’un plan incliné étoit
à celui de sa base horizontale comme la superficie
de ces deux plans, ce seroit Ia superficie du terrein
incliné qu’il faudrait mesurer : mais c’est.ce
qu’on ne peut assurer. Car si la difficulté de i ?
culture, lés ravines, la dégradation des terreins
est plus que compensée par la facilité de placer les
plantes à des distances horizontales moins grandes,
il est aisé de voir que cet avantage n’est pas, à
beaucoup près, dans la proportion dont je viens
de parler : en effet, il faudroit pour cela qu’une
supercifie inclinée à 60 degrés, par exemple, produisît
autant que la mêmê superficie horizontale ; ce
que personne ne s’avisera de soutenir. Ainsi, il sera
en général plus commode de mesurer seulement-la
base horizontale, & de se conduire, par rapporr
à Tâvantage des terreins inclinés, comme fi dans
le même champ on avoir des terreins de différentes
valeurs. ' y2.° Si on a un champ à diviser en raison donnée,
il faut encore préférer la méthode de mesurer
la base horizontale, & on auroit alors à partager
un champ horizontal, mais dont les différentes
parties sont inégales quant au produit. Ainsi..
pouf que lé partage soit égal -, il faut, au lieu dele
diviser en. parties égales, le diviser en parties
qui soient entr'elles en raison inverse de leur produit.3. 0 S’il est question d’évaluer un champ par la.
quantité de sa superficie, on voit que pour uner
évaluation exacte, il faut ou mesurer sa base ho^
rizontale, & avoir égard aux avanrages de Tinclinaison,
ou mesurer la superficie inclinée, & avoir égard
 à son désavantage sur une superficie égale
& horizontale. Or, puisque dans-aucun des deux ;
cas une simple mesure ne suffit, c’est la méthode
de mesurer la base horizontale qu’il faut préférer.Elle est, dans toûs les cas, aussi exacte pour le
but civil, qui est le rapport des produits plutôf
que celui des surfaces, & l’autre ne peut être pratiquée
avec exactitude fur des terreins de courburessouvent
irrégulières, fans des attentions & des précautions
qu’on ne doit pas attendre des arpenteurs,Lorsquil est question de lever des. plans & de
désigner les terreins mesurés par leurs limites, bx
manière de prendre, pour leur superficie,- celle du
plan incliné, rend la construction & Tusage de ces
plans presqu impratíquable,.& c’est une raison pour
faire préférer l’autre méthode toutes les fois qu’un
arpentage fait antérieurement, & qui doit servir derègle
,'n’oblige pas à prendre la première : je crois
méine qu’il seroit utile de faire une règle géni—a uA .& -s áriraie qui astreignit à suivre-la ; .méthode qu’on ,vient
devoir être"la" meilleure ; & dans les cas où l’autre
auroit- été emp !o3-ée d’avance, on déterminerait
aisément qu’elle seroit, dans la méthode demesurer
la basé horizontale, la mesure des terreins auxquels
on auroit assigné une mesuré par l’autre méthode.La méthode qui ne mesure que les bases s’appelle
, par les gens de Tart, méthode de cultcllation,
&L celle qui mesure le plan incliné, méthode de
développement ; les arpenteurs préféreront longtemps
cette dernière, quoique très-fautive entre
leurs mains, parce que, de la manière dont ils
Temploient, elle est beaucoup plus aisée dans la
pratique, & que fur des terreins peu inclinés &
peu étendus, les inconvéniens-sont assez bornés.
\ M.D.C.)  • ..ARPENTER, v. act. & neut ( Gcbm. ) c’est
l’action de mesurer un terrein, c’est-à-dire, de
Tévaluer en arpens. Voyez ARPENT & ARPENTAGE.ARPENTEUR, f. m. ( Géom. )  On appelle ainsi
celui qui mesure, ou dont Toffice est de mesurer
les terreins, c’est-à-dire, de les évaluer en arpens
ou en toute autre mesure convenue dans le pays
où se fait Tarpentage. Voyez ARPENTAGE. .11 faut
qu’un arpenteur sache bien TAritbmétique & la
Géométrie pratiques ; on ne devroit même jamais
en recevoir à moins qu’ils ne fussent instruits de
la théorie de leur art. Celui qui ne fait que la
pratique est -i'esclave de ses règles ; si la mémoire
lui manque, ou s’il se présente quelque cifconsrance
imprévue j son art Tabandonne, òu il s’expose
à commettre de très-grandes erreurs.: mais
quand .on est muni d’une bonne théorie, c’est-àdire
, quand on est bien rempli des raisons & des
principes de son art , on trouve alors des ressources
 ; on voit toujpurs clairement si la nouvelle
route que Ton va suivre conduit droit au
but, ou jusqu’à que ! point elle peut en ^carter, (E) AirARRÉRAGES s. m. ( calcul des probabilités ) 
se dit des. paiemens d’une rente ou redevance annuelle
, pour raison desquels- Je débiteur est en
retard. On ne peut pas demander au-delà de 29
années d’arrérages d’une rente foncière, ni plus
de cinq d’une rente constituée. Tous les arrêt
rages échus antérieurement aux 29 années ou
aux cinq, sont prescrits par le laps de tems, à
nioins que la prescription n’en ais été inrerrompue
par des commandem.ens ou demandes judiciaires.
Voyez RENTE , INTÉRÊT , &c, (H) t Toute rente peut être régardée comme le denier
d’une certaine somme prêtée ;' soit donç a la
somme prêtée, '& m le denier, c’esl-à-dire , la
fraction qui désigne la partie de la sommé qu’on
doit payer pour la rente: si Tintérêt est simple,
la somme dûe au bout d’un nornbre d’années qpour les arrérages fera amq ; c’eff-à-dire, Tintérêt
dû à la fin-de chaque année, multiplié par
le nombre des années: & si Tintérêt est composé,
la somme dûe au bout de çe tems fera a (1 -f-m) i- a,
c’est-à-dire ,,Ia somme totale dûe à la fin du
nombre d’années exprimé par q ; de laquelle
somme il faut retrancher le principal.Pour avoir Texpression arithmétique de
a (i-f-m) * -a, supposons que la somme prêtée ou
le principal soit i,oco,coo liv. que le nombre
des années soit 10, & que le denier soit 20, il
faudra'chercher une fraction qui soit égale à \{-
multiplié par lui-même 10 fois moins une,c’està-dire,
9 fois ; ce qu’on peut trouver aisément
par le secours des logarithmes ( Voyez LOGARITHME
) , & cette fraction étant diminuée de
Tunité & multipliée par 1,000,000, donnera la
somme cherchée..Ceux de nos lecteurs qui sont un peu algébristes,
verront aisément sus quoi ces deux formules
sont fondées. Les autres en trouveront la
raison à {'article INTÉRÊT , avec beaucoup d’autres
remarques importantes fur cette matière.On pourroit au reste se proposer ici une difficulté.
Dans le cas où Tintérêt est simple, ce qui
dépend de la'convention entre le débiteur & le
créancier, le débiteur ne doit en tout à la fin
d’un nombre d’années q , que la somme totale
a-j-a mq , composée du principal a, §L du denier
a m répété autant de fois qu’il y a d’années :
ainsi,,retranchant de la somme totale qui est dûe
le principal a , il ne reste que amq d’arrérages
à payer en argent comptant. -Mais dans le cas où
Tintérêt est composé, Tintérêt joint/au principal
devient chaque année un nouveau principal :
ainsi, à la fin de la q — Ie année, ou ce qui revient
au même, au commencement de la q' année,
le débiteur est dans le même cas que s’il recevoit
.du créancier la somme a (1 -\-m) i' 1 àe principal.
Ç.ette somme travaillant pendant Tannée, le débiteur
doit g la fin de cette année la somme
totale a ( I -f- m ) s, d’où retranchant le principal
a ( 1 4- m ) s-' qui est censé prêté-à la fin de
Tannée, précédente, il s’enfuit, ou il paroît s’ensuivre
que le débiteur à la fin de la q ? année
doit payer au créancier en argent comptant la
somme a (.1 -) - m )  « -« ( 1 -f-' m ) 2- 1, & non pas
a ( 1 -f- m ) i - a. Pour rendre cette difficulté plus
sensible , examinons en quoi consiste proprement
le paiement d’une rente. Un particulier prête
une somme à un autre ; au bout de Tannéeìe débiteur
doit la somme totale a J^-am, tant pour
le principal que pour Tintérêt ; de cette somme
totale il ne paie que la partie am ; ainsi, il reste
débiteur de la partie a comme au commencement
de la première ;année: donc le débiteur qui paie
exactement sa rente est dans le même cas que" f\
chaque année il ^ rendoit au créancier la somme
a ~\r am, & qu’en même tems lè créancier lui
repretât la somme a ; donç tout ce que le débiteurrie rendA r r a'r r wBé rend point au créancier est censé au commencement
de chaque année former un nouveau principal
dont il doit à la fin de Tannée les intérêts
en argent comptant. Ainsi , à Ja fin de la q—Ie
année le débiteur est censé recevoir a ( i-f-m) *- 1 de
principal ; donc, à la fin de Tannée suivante, il
doit payer a ( i -|- m) i —a ( i -j- m)  f1 d’argent
comptant, par la même raison que s’il recevoit b
en argent comptant il devroit payer à la fin de
Tannée b ( i -4- m ) —b.La réponse à cette difficulté , est que la quantité
d’argent que le débiteur doit payer dépend
absolument de la convention qu’il fera avec le
créancier, & que d’une manière ou d’une autre
le créancier n’est nullement lésé ; car fi' le débiteur
paie à la fin de la qc année la somme
a ( I -j- m ) i - a , il ne devra donc plus au créancier
au commencement de Tannée suivante que
la somme a ; il se retrouvera dans le même cas
où il étoit avant le tems où il a ceffé de payer,
& à la fin de Tannée q -j- i, il ne devra au créancier
que la somme a m. Mais si le débiteur ne
Íiaie que la somme a ( i -J- m ) ' - a ( I -f- m J Î_I,.
aquelle est moindre que a( I -{- m) t-a-, toutes
les fois que q est plus grand que i, comme on
le suppose ici ; alors le débiteur au commencement
de la q -f- Ie année se trouvera redevable
d’une somme plus grande que a ; & s’il veut en
faire la rente annuelle, il devra payer a ( I -f- m ) « 
X m d’intérêt chaque année en argent comptant ; Ainsi,
 le créancier recevra une somme moindre
•ou plus grande dans les années qui suivront celle
du paiement des arrérages , selon que le débiteur
aura donné pour le paiement de ces arrérages une
somme plus ou moins grande. 11 n’est donc lésé
ni dans l’un ni dans l’autre, cas, & tout dépend
de la convention qu’il voudra faire avec le débiteur.Autre question qu’on peut faire fur les arrérages
dans le cas d’intérêt composé. Nous avons
vu que le débiteur au commencement de la qe
"année doit la somme totale a ( i -\-m)  s-' ; supposons
qu’il veuille s’acquitter au milieu de Tannée
suivante, & non pas à la fin, que doit-il payer
pour les arrérages ? 11 est visible que pour résoudre
cette question il faut d’abord savoir ce que
le débiteur doit au milieu de la qe année. En
premier lieu , le principal ou somme totale
a ( -j- m )  î"r étant multiplié par i -J- m’, doit
donner la somme qui sera dûe à la fin de la qe
année, savoir a(i -\-m)  ?, pu , ce qui revient au
même, le débiteur dèvra à la fin de cette année
a ( i -f- m )  Î" 1 , plus Tintérêt de cette Tomme,"c’està-dire
, a ( i -f m ) i- 1 X m. Dans le cours de Tannée
, il doit d’abord a ( i -J- m )  « -' qui est le principal ;
il doit de plus une portion de ce principal
pour Tintérêt qui court depuis le commencement
de Tannée: cette portion doit certainement être
moindre que a ( I -j- m) t- 1 X m , qui est Tintérêt
dû à la iìn de Tannée ; mais quelle doit-elle
Mathématiques. Tomel, I.^ 1 Partie,être ? Bien des gens s’imaginent que pour Tintérêt
de la demi-année il faut prendre la moitié
de Tintérêt de Tannée, c’est-à-dire, a (-1 -f- m ) t-' ■X — j le tiers de Tintérêt pour le tiers de Tannée
, & ainsi du reste : mais ils sont dans Terreur.
En effet , qu’arrive-t-il dans le cas de Tintérêt
composé ? c’est que les sommes dûes au bout de
chaque année font en progression géométrique,
comme il est aisé de le voir. Or pourquoi cette loi
n’auroit-elle pas lieu aussi pour les portions d’années,
comme pour les années entières ? J’avoue que je ne
vois point quelle en pourrait être la raison. Lasomme
dûe à la fin de la q-i* année est A (i-f-m) *-*, celle
qui est dûe à la fin de. lá qe année est a ( -f- m)  2,
celle qui seroit dûe à la fin de la q -f- i* seroitfl(i-f-m)  ; & ces trois sommes sont dans
une proportion géométrique continue. Donc la
somme dûe au milieu de la qe année doit être
moyenne proportionnelle géométrique entre les
deux sommes dûes au commencement & à la finq—Lde cette année ; c’est-à-dire, entre a (i-\-m) & a ( 1 -f- m ) q ; donc cette somme fera & -
(l+mf * =a(l+mf X(i+mf.
q—lOr cette somme est moindre que a ( 1 -f- m )  y-j-a ( 1 -j-m) *" 1 X~j qui seroit dûe suivant "*'Thypothèfe que nous combattons. .De même, s’il est question de ce qui est dû'
au bout du tiers de la qe année, on trouvera que
la somme cherchée est la première dé deux
moyennes proportionnelles géométriques entre a.î— 1 - • ?(i-f-m) , & a ( 1 '-f- m)  , c’est-à-dire, « ■5 — i
(i-f-m)  ;&en général k étant un nombrequelconque d’années entier, rompu, ou en partie
entier , & : en. partie fractionnaire , on àura
a ( 1 _|_ m ) i- pouf la somme dûe à la fin de ,'ç.^ .
nombre d’années. ' '-.Dans Thypothèfe que nous combattons", òn
suppose que Tintérêt est regardé comme composé
d’une année à l’autre, mais que, dans le cours
d’un feule & unique année, il est traité comme
intérêtstmple ; supposition bizarre, qui ne peut être
admise que dans le cas d’une convention formelle
entre le créancier & le débiteur. En effet, dans cette
supposition, le débiteur paierait plus qu’il ne doit
réellement paj’er, comme nous -Tavons vu tout-àTheure.
Nous traiterons cette "matière plus à fond
à Y article INTÉRÊT, & nous espérons la mettre ■
dans tout son jour', & y joindre plusieurs autres
remarques curieuses. Mais comme Tobservation
précédente peut être utile, & est assez peu connue,
nous avons cru devoir la placer cVavance dans cet
article,v±6 A R R
AsaSoit donc" !-" Ia portion d’année écoulée, il estvisible, par ce que nous venons de dire, que le
créancier doit, au bout de cette portion, la sommetorale a(i-fm) r ; &, pour avoir lesarrérages , il faudra retrancher de cette somme ou
le principal a , ou le principal a ( i -J- m )  Î" 1 ; ce
qui dépend , comme nous lavons observé , de la
convention mutuelle du débiteur & du créancier.On peut proposer une aùtre question dans le
cas. de Tintérêt simple. Dans ce cas, il y a cette
convention, du moins tacite, entre.le créancier
& le débiteur, que le principal seul, touché par
le débiteur , & prêté par le créancier, produit
chaque année a m d’intérêt, & que Tintérêt ( non
payé chaque année ) est un argent mort,~ ou un
principal qui ne produit point d’intérêt ; ainsi,
dans le cas où cette convention tacite seroit sans
restriction, la somme totale dûe à la fin de la 5^
année seroit a -\- a m q , & les arrérages feroient
amq. Mais si la convention entre le débiteur &
le créancier étoit., par exemple, que le débiteur
payât tous les cinq ans Tintérêt simple 5 a m, &
que le débiteur fût quinze ans fans, payer, alors
la somme a -j- 5 a m dûe à la fin .de la cinquième
année, est regardée comme un nouveau principal
fur le paiement .&. les intérêts duquel le créancier
peut faire au débiteur telles conditions qu’il- lùi
plaît. Supposons, par exemple, que, par leur, conr
vention,il doive.porter intérêt simple durant cinq
ans : en ce cas, au bout des cinq années qui suivent
les cinq premières , la somme totale dûe
par le débiteur sera a-f 5 a m -j- c m -j- 2<j a m m. ;
& à la lin de cinq années suivantes, c’est-à-dire,
au bout des quinze années révolues, la somme dûe
fera a -j- 5 a m -j- 5 am-f-25 a m m -f- 5 a m -^
25 a mm -j- 25 a m m -f- 125 a m> ■==. a -\- 15.a m
-f- 75 a m m -J- 125 a mK Voyez INTÉRÊT , ÀNN.UITÉ,
RENTE, TONTINE, &C. (Q) .ARRIÈRE-MAIN, terme de Paumier ; prendre
une balle à'arrière-main’, c’est la preridrê .à fa
gauche. Pour cela, il faut avoir -,le bras plié, &
retendre en la chassant.■ ÁR\OVtt(Astr.) , nom de la belle étoile, à la
queue du cygne. - . . ; ARTEMON , f. m. (Mccham )  : troisième moufle
qui est au tas du polyspate ou plutôt du trispaste ;
<Vcyez POLYSPATON.. ARTITICIEL, se dit en Astronomie du globe
par lequel on représente la concavité du ciel, ou .
la convexité de la terre. On appelle aussi sphère
artificielle la sphère armillaire.Vhoriion artificiel, est Thorizon rarionel ou mathématique
, distingué de Thorizon sensible de chaque
observateur, qui varie suivantle plus ou moins
de hauteur.Le jour artificiel est la durée du temps que lé
soleil reste sur Thorizon. Clavius, dans son Cciw
mentainsur la sphère de Sacro Bosco. (D.L.) ARTIFICIEL. On appelle en Géométrie lignes artificielles-àes
lignes tracées fur un compas de proportion
ou une échelle quelconque, lesquelles représentent
les logarithmes des sinus & des tangentes
, & peuvent servir, avec la ligne des nombres
, à résoudre assez exactemen* tous les problêmei
de trigonométrie, de navigation, &c. Les nombres
artificiels sont les sécantes, les sinus & les.tangentes.
V. SÉCANTE, SINUS.6-TANGENTE. Voye{aujJì:
LOGARITHME. (E).As .AS, au jeu 2e TriSrac , se dit du seul point’
qui est maraué sur une des faces du dezquel’on
joue ; au jeu de cartes, de celles qui n’ont qu’uneseule
figure placée dans le milieu. Las vaut aux tartes
ou un, dix, ou même onze, selon le jeu qu’on’
joue.ASANGUE ( Astr. )  nom de la lyre.ASCENDANT (Astron.) , le dit dans plusieurs circonstances
 pour indiquer le mouvement qui ; se'
fait en montant. Lé noeuds ascendant d’une planète
est le point où elle traverse Técliptique en passant
du midi au nord , comme le noeud descendant est
celui par lequel elle passe du nord au midi. Le
noeud ascendant de là lune s’appelloit aussi tête de
dragon ; il se représente ainsi Q, ; le noeud descendant
est celui qui lui est opposé r(SLesJignes afeendans sont les trois premiers &:
les trois derniers de Técliptique, c’est-à-dire, le
bélier, le taureau, les gémeaux, le capricorne,'
le verseau & les poissons ; ils ont été appelles ainsi,
parce que le soleil, en parcourant ces signes, s’élève:
de jour à autre au-dessus de Thorizon dans
nos régions septentrionales, & semble monter vers
notre zénit. -Malgré Tétymologie du mot de signes
afeendans, le nom est resté affecté aux signesque
nous venons de nommer, même pour le pays
où le soleil, ne monte pas lorsqu’il est dans cessignes-là ;
mais lorsqu’il arrive qu’un Astronome
parle des signes afeendans uniquement à raison de
ce que le soleil s’élève^ en sorte que pour d’autres
pays, ces signes soient sujets à changer, il doit cn
avertir. ; les six autres signes sont appelles defeendans
par::une raison ! contraire, parce que le soleil, en
les décrivant, paroît descendre & s’éloigner de no- .
tre zénit.-- On appelle quelquefois ascendant le point de
Técliptique, situé dans Thorizon oriental, c’est-àdire
le point qui se lève ; les astronomes en font '
le calcul pour trouver la simation de Técliptique
dans les éclipses de soleil, & en conclure les-parallaxes.
Voyez No N ÂGÉ si ME.. Les astrologues
appelloient le même point horoscope , & le calculoient
pour dresser le thème d’une nativité ; La ■A s c a s c147division du ciel en douze maisons commençoif dans
ce point ; & Ton disoit qu’une planète dominoit
à {'ascendant, lorsqu’elle répondoit á ce point de
Técliptique situé dans Thorizon. C’est de-là peutêtre
qu’est venue Texpreffion. avoir de {'ascendant
.fur quelqu’un , par comparaison avec Tinfluence
considérable que Ton supposoit dans ['horoscope
fur Ia conduite les inclinations & le sort des
.hommes. (D.L.) AscASCENDANTE ( PROGRESSION) , Géométrie.Quelques géomètres nomment progression ascendante,
celle dont les termes vont en croisant : telle
est la progression arithmétique des nombres naturels
1, 2, 3, &c. (J.D.C.) ASCENSION, f. f. est proprement une élévation
ou un mouvement en haut. Voyez ELÉVATION.C’est dans cesens qu’on dit Yascension des liqueurs
dans les pompes, dans les tuyaux capillaires. V.
POMPE, TUYAUX CAPILLAIRES (O).ASCENSION , en Astronomie , est Tare compris
entre le point équinoxial & le point de Téquateur
qui se lèveavec uneétoíle ; elleèft droite ou oblique ;
{'ascension droite dufoleil ou d’une étoile est Tare de
Téquateur compris entre le.degrédel’équareur quise
lève avec le soleil ou avec Tétoile dans la sphère
droite, & le point équinoxial ou le commencement
d’Ariès. V. SPHÈRE^ C’est le degré & la minute
de Téquateur, à compter depuis .le commencement
d’Ariès, qui passe par. 1c méridien avec le soleil,
une étoile ou quelqu’autre point du ciel. Voyez
SOLEIL , ETOILE.On rapporte Y ascension droite au méridien, parce
qu’il fait toujours un angle droit avec Téquinoxial,
au lieu qu’il n’en est ainsi de Thorizon que dans la
sphère droite.Deux étoiles fixes qui ont la même ascension
droite, c’est-à-dire qui sont à la même distance du
premier degré d’Ariès, ou, ce qui revient au même,
qui font dans ;un même méridien, ou cercle de
déclinaison, se lèvent en même tems dans la sphère
droite, c’est-à-dire pour les peuples qui habitent Téquateur.
Si elles ne sont pas dans le même méridien,
Tintervalle qúi découle entre leurs passages au méridien
, est la différence de leurs ascensions droites.
Dans la sphère oblique, où Thorizon .coupe tous
les méridiens obliquement, différens points d’un
méridien ne se lèvent ni ne se couchent jamais en
même tems : ainsi, deux étoiles qui sont dans un
même méridien, ne se lèvent ni ne se couchent
jamais en même tems pour ceux qui ont la sphère
oblique, c’est-à-dire qui habitent entre Téquateur
& le pôle ,• & plus la sphère est oblique, c’est-àdire
plus on est près du pôle, plus Tintervalle de
tèms qúi est entre leur, lever & leur coucher est
■grand. Yoyti LEVER,.COUCHER , &c. .Ainsi, Tare de Y ascension droite d’une étoile est
la portion de Téquateur, comprise entre le commencement
d’Ariès & le point de Téquateur qui
passe au méridien avec elle.L’ASCENSION oblique est un arc de Téquateur,
compris entre le premier point d’Ariès & le point
de Téquateur , qui se lève en même tems quel’astre,
dans la sphère oblique. V. SPHÈRE.L ascension oblique se prend d’occident en orient,
& elle est plus ou moins grande, selon" la différente
obliquité de la sphère.La différence entre {'ascension droite & {'ascension
oblique , s’appelle différence asccnfionelle.Pour trouver par la trigonométrie ou par le
globe Y ascension oblique du soleil, voyez ASCEN-_
sroNNEL.La détermination de {'ascension droite du soleil &
de celle d’une étoile fixe est la base de toute Tâstronomie
 ; aussi M. de la Caille a-t-il intitulé Astronomie
sundamenta , le livre dans lequel il a donné
toutes les observations qu’il avoit faites à ce sujet ;
& comme Y ascension droite d’une seule étoile fixe
donne facilement celle de toutes les antres, la prin-cipale
difficulté consiste à s’assurer d’une étoile pour
servir de terme de comparaison. -On ne peut déterminer {'ascension droite d’une
étoile que par celle du soleil ; car, comme c’est le
soleil qui parcourt & qui masque Técliptique, de
. même que le point équinoxial quand il traverse
Téquateur, on -ne peut reconnoître les distances â
. ce point équinoxial que par le soleil qui en fournit
Tindication..D’un autre côté, Ton ne peut.déterminer' {'ascension
droite du soleil que par le moyen de sa
■ déclinaison, & celle-ci se conclut de la hauteur
méridienne ; ainsi , la hauteur du soleil à midi est
le point d’où il faut partir. Supposons qu’on ait
observé à Paris la hauteur du soleil, & qu’après
Tavoir corrigée par la réfraélion & la parallaxe, on
ait trouvé cette hauteur à midi de 510 10', on
fait que la hauteur de Téquateur n’est que de^i"
10' à Paris, on retranchera Tune de l’autre, & Ton
aura iòd pour la déclinaison du soleil, ou la quantité
dont il est éloigné de Téquateur. Alors dans
le triangle formé par Técliptique, Téquateur & le
cercle de déclinaison, on connoît le petit côté qui
est la déclinaison du soleil, & Tangle opposé qui
est Tobliquité de Técliptique 230 28', il est aisé
de trouver l’autre côté qui est 1 ascension droite du:
soleil, & Thypothénuse qui est la longitude comptée
sur Técliptique.Mais cette méthode dépend de la réfraction , de
la parallaxe, de la hauteur "de Téquateur & de
Tobliquité de Técliptique, car chacune des erreurs
que Ton commettrait dans un de ces élémens, in/Iuéroit
& en produirait une deux ou trois fois
plus grande fur {'ascension droite ; pour y remédier,
il n’y a qu’à faire la même opération deux fois
én six mois, à la même-hauteur dufoleil ,.avanî
- T-y ;

A S C
&. après le solstice ; Terreur qui augmentoit. Y ascension
droite avant le solstice la diminue nécessairement
après, & en prenant le milieu des deux
résultats, on á la véritable ascension droite du soleil.
C’est à cela que revient la méthode la plus
parfaite, & celle qurest adoptée actuellement par
les meilleurs astronomes, pour observer Y ascension
droite du soleil ; elle consiste à le comparer deux
fois Tannée avec la même étoile, lorsqu’il se trouve
dans son parallèle avant & après le solstice ; nous
allons expliquer cette méthode qui a servi, soit
à M. le Monnier pour son zodiaque, soit à M. de
la Caille pour construire le nombreux catalogue
d’étoiles que nous avons de lui. V. FLAMESTEED ,
Historia coelestis , in-fol. Histoire céleste , par M. le
Monnier, 1741, in-4. 0 ; Leçons d’Astronomie , par
M. de la Caille , 1761 , in-8.°,pag. 175.Soit E K QE, planches d’Astr. , fig. 42, Téquateur
EHQRE Técliptique,^ une étoile & S le
soleil , lorsqu’il passe dans le même parallèle que
Tétoile A, c’est-à-dire, quand fa déclinaison D S
est égale à la déclinaison A C de Tétoile. Supposons
que cé jour-là on ait observé la différence d’ascension
droite D C entre le soleil & Tétoile A ; le
soleil ayant’ passé ensuite par le solstice H, reviendra
quelques mois après au point G de Técliptique,
& il aura encore la même déclinaison G B que
Tétoile ; fa dislance flÇ à Téquinoxe d’automne
fera pour lors égale à la distance E D , où il se
trouvoit dans la première observation par rapport
à Téquinoxe du printems ; je suppose que ce jour
Ta on observe encore Ia différence T B d’ascension
droite entre le soleil & la même étoile, on ajoutera
ensemble les deux différences observées, DC
& CB, Ton aura D B , qui est le mouvement
total en ascension droite qu’a eu le soleil dans Tinrervalle
des deux observations ; Ia moitié D K ou
B K de ce mouvement, sera la dislance au colure
des solstices, parce que le soleil étoit chaquefois
à une égale distance, soit des équinoxes, soit des
solstices ; enfin le complément de DK sera ED ,
ascension droite du soleil dans la première observation
 ; d’où Ton conclura {'ascension droite E C
de Tétoile ;. en sorte que par cette observation Ton
aura les ascensions droites du soleil & de Tétoile.L’ufage de' cette méthode exige dans la pratique
de TAstronoinie quelques attentions & quelques
corrections que Ton peut voir, ainsi queTexemple
détaillé dans le quatrième livre de mon Astronomie.C’est en appliquant cette méthode à des centaines
d’observations, que la Caille a trouvé {'ascension
droite de Sifius, le I janvier 1750 de 98° 32'
2', & celle de la Lyre 277° 7' 4" : ces positions
fondamentales ne diffèrent que de quelques secondes
de celles que Bradley, Mayer & M. le
Monnier ont assignées par des observations & des
méthodes très-différentes : cela suffit pour montrer
quel degré de certitude il y a dans la méthode
& dans Tobservation des ascensions droiteSiJ’ai dit qu’une seule ascension droite donnoitaisément tontes les autres ; il ne faut qu’observer
la ■ différence des passages au méridien , ou par
des hauteurs correspondantes, ou par une lunette
méridienne, & convertir eu degrés la différence
des tems, on aura celle des ascensions droites des
deux astres observés. On choisit pour terme de
comparaison les étoiles les plus brillantes, telles
Sirius & la Lyre, afin que Ton puiffe les voir
de jour & en tout tems de Tannée pour y comparer
toutes ses étoiles observées dans une même
nuit, & dont on veut avoir {'ascension droite. On
trouvera au mot étoile un catalogue des ascensions
droites des principales étoiles.L’ascension droite du milieu du ciel, estime chose
dont les astronomes se servent très-souvent, sur-'
tout pour calculer les éclipses par le moyen du
nonagésime ; c’est {'ascension droite du point de
Téquateur qui se trouve dans le méridien ; elle est
égale à la somme de {'ascension droite du soleil
. & de Tangle horaire ou du temslrai réduit en
degrés, ou à la somme de la longitude moyenne
du soleil & du tems moyen. (D. L.) ASCENSIONNEL, adj. différence ascensionnelle,
terme dAstr. La différence ascensionnelle est la différence
entre Tascension oblique & Tascension droite
d’un même point de la surface de la sphère. Voyez
ASCENSION. .Ainsi, de27d 54' qui est Tascension droite da
premier degré du taureau, ôtant I4d 24' qui est
Tascension oblique du même degré sur Thorizon
de Paris, le reste I3d 30' en est la différence
ascensionnelle. Si on réduit en heures & minutes,
les degrés & minutes de la différence ascensionnelle ;
on connoît de combien les jours de Tannée auxquels
èlle répond, diffèrent du jour de Téquinoxe : car
ajoutant le double du tems de certe différence
ascensionnelle aux 12 heures du jour de Téquinoxe
on a la durée des longs jours,: le soleil parcourant
la moitié de Técliptique,. qui est du côté du pôle
apparent ;• & fi Ton ôté ce même tems de 12
heures, on aura la longueur des petits jours, qui
arrivent quand le soleil parcourt la moitié de
Técliptique , qui est du côté du pôle invisible.Ainsi, le double de 13d 30' est 27d, lesquek
réduits en tems , à raison de 4' d’heure pour
chaque degré, on aura une heure & 48' ; ce qui
fait connoître que le soleil étant le 20 Avril au
premier degré du taureau, le jour est de 13 heures
48' fur Thorizon de Paris, ensuite dequoi Ton
connoît facilement Theure du lever & du coucher
du soleil, en négligeant la réfraction.. Dans les
signes septentrionaux, les ascensions droites des
degrés de Técliptique sont plus grandes que leurs
ascensions obliques ; mais au contraire aux signes
méridionaux, les ascensions droites des degrés de
la même écliptique sont plus petites que leurs
ascensions obliques^Pour avoir là-différence ascensionnelle, la latitude
du lieu & la déclinaison du soleil étant données,
on fait cette proportion : le rayon est á la tan-À s p a s p i49gente de la latitude, comme la tangente de la
■déclinaison du soleil est au sinus de la différence
ascensionnelle. Si le soleil est dans un des signes
septentrionaux , & qu’on ôte la différence ascensionnelle
de Tascension droite, le reste sera Tascension
oblique. Si le soleil est dans un des signes
méridionaux , il faudra ajouter la différence ascensionnelle
à Tascension droite, & la somme sera Tascension
oblique. C’est ainsi qu’on a Construit des
tables d’ascensions obliques pour les différens
degrés de Técliptique, fous différentes élévations
du pôle. Mais on y supplée aujourd’hui par les
tables des arcs scmidiûrnes.ASCHEMIE, (Astron.)  nom du petit chien
Procyon.ASCHÉRE, (Astron.)  nom du grand chien Sirius.ASCIENS, ( Astron. )  nom des peuples quiétant entre les tropiques, ont quelquefois le soleil' au zénit, & n’ont point d’ombre à midi ce jourlà, ce mot est composé de « ""*, ombre, avec un* privatif. VoyeZ AMPHISCIENS.ASCONE, nom que les Italiens ont quelquefois
donné aux comètes. ..A s pASPECT, f. m. aspeâus , en Astronomie , se dit
de la situation, des étoiles ou des planètes, les unes
par rapport aux autres ; ou bien c’est une certaine
configuration ou relation mumelle entre les pla"nètés-,
qui vient de leurs situations dans le zodiaque,
en vertu desquelles les astrologues croient
que leur puissance ou leurs forces croissent ou diminuent
, selon que leurs qualités actives ou passives
se conviennent ou se contrarient. Voyez PLANÈTE ,
ASTROLOGIE. . .Quoique ces configurations puissent être variées
& combinées de mille manières, néanmoins on
s’en considère qu’un petit nombre ; c’est pourquoi
on définit plus exactement Y aspect, ■ la_ rencontre
. ou Tangle des rayons lumineux qui viennent de
deux planètes à la terre. Voyez RAYON & ANGLE.La doctrine des aspeâs a été introduite par les
astrologues comme le fondement de leurs prédictions.
Ainsi, Kepler définit Y aspeâ, un angle formé
par des rayons, qui partant de deux planètes,
viennent se rencontrer sur la terre, 6k qui ont
la propriété de produire quelque influence naturelle.
Quoique toutes ces opinions soient des chimères,
nous allons les rapporter ici en peu de
mots.Les anciens comptoient cinq aspeâs, à savoir,la
 conjonction marquée parle caractère cs, Topposition
par <p~, YaspeB, trine par A , Yafped.
quadrat par Q', c\.Y aspeâ sextile par ^ La conjonction
& Toppofition sont les deux*■■aspects extrêmes
, le premier étant se: moindre de tous, &
le second le plus grand ou le dernier. Voyez
- CONJONCTION & OPPOSITION. -.  ;UaspeB trigone ou triné est la troisième partie
d’un cercle, ou Tangle mesuré par {'arcA B. Tab.
Astron. fig. z85.L’aspeS tétragone ou quadrat est la quatrième
partie d’un cercle, ou Tangle mesuré par le quart
de cercle A D : Y aspeâ sextile, qui est la sixième
partie d’un cercle ou d’un angle , est mesuré par
le sextant A G. Voyez TRIGONE , TÉTRAGONE,
QUADRAT & SEXTILE. 'Par rapport aux influences qu’on suppose aux ;
aspeâs, on les divise en bénins , malins & indifférens.L’fl/peaquadrat&Toppositionsont réputés malins
ou mal-faisans ; le trine & le sextile bénins ou
propices ; & la conjonction,un aspect indiffèrent.
Voyez le livre de judiciis , attribué à- Ptolemée ;Aux cinq aspeâs des anciens, les modernes en
ont ajouté beaucoup d’autres, comme le décile
qui contient la dixième partie d’un cercle ; le
tridécile , qui en contient trois dixièmes ; & le
biquintile, qui en contient quatre dixièmes ou
deux cinquièmes. Kepler en ajoute d’autres, qu’il
dit avoir reconnu efficaces par des observations
météorologiques, tel que 1 le demi-sextile , - qui
contient la douzième partie d’un cercle, & Je'
'quìncunce , qui en contient cinq douzièmes. Enfin
nous sommes redevables aux médecins astrologues
d’un aspeâoâïle, contenant un huitième de cercle,
& d’un aspeâ trioâile, qui en confient les trois
huitièmes. Quelques médecins y ont encore nìis
Y aspeâ quintile i, contenant un cinquième du cercle,
& Y aspeâ biquintile , qui, comme on a déjà dit,
en 'contient les deux cinquièmes. 'Caractères des aspeâs.d Conjonction.
S S Semi-sextile.
4f Sextile.
Q Quintile.T d Tridécile.
A Trine.
B q Biquintile,
V c Quinconce ;.Q Quadrat ou Quartile. <P OppositionL’angleintercepté . entre deux planètes dans
Y aspeâ'de la conjonction est ==0 ; "dans YaspeB
semi-sextile, il contient 300 ; dans le décile 36°,
dans Toériíe 450 ; dans le sextile 60° ; dans se
quintile 720 ; dans le quartile 900 ; dans le tridécise
1080 ; dans le trine 120" ; dans letrioctile^ 0 ;
dans le biquintile 1440 ; dans le quìncunce 150e" ;
danfr Topposition 1800.,Ces angles ou intervalles se comptent par les
degrés de longitude des. planètes,, tellement que
les aspeâs sont censés les mêmes , soit qu’une
planète Te trouve dans. Técliptique , ou qu’elle fok
hors de ce cercle. _ i  ; ,On divise ordinairement les aspeâs en partïleg:& platiqucs. Les aspeâs partiles ont lieu quand les. planètes sont distantes les unes des autres d’autantde degrés précisément qu’en condent quelqu’une ;
A S S A S S
* > -des divisions précédentes. II n’y á que ceux - là
qui soient proprement des aspeâs. Les aspeâs j
platiques arrivent quand les planètes ne sont pas
les unes par rapport aux autres précisément dans
quelqu’une des divisions dont nous venons de
parler. (O) ASPIRANT, adj. m. en. Hydraulique : on appelle
un tuyau aspirant, celui dont pn se sert
dans une pompe pour élever Teau à une certaine
hauteur. 11 doit être d’un plomb moulé bien épais
& reforgé, de crainte des soufflules qui empêcheraient
í'eau de monter. (K) ASPIRATION, f. f. est la même chose, enHydraulique
, qu’ascension. L’eau dans les pompes
ne peut guère être aspirée qu’à 25 ou 16 pieds
de haut, quoique Ton puisse la pousser, suivant
les règles, jusqu’à 32 pieds, pourvu que Tanextérieur
comprime la surface de Teau du puits
ou de la rivière dans laquelle trempe le tuyau de
{'aspiration ; alors la colonne d’eau fait équilibre
avec la colonne d’air. Voyez POMPE.Si on n’aspire Teau qu’à 20 ou z6 pieds de
haut, c’est afin que le piston ait plus de vivacité
& plus de force pour tirer Teau. Voyez AIR ,
POMPE. (K) 
A S S
ASSURANCES (maritimes). Nous nous bornerons
dans cet article à donner, comme dans
Tarticle absens, les principes généraux d’après Tefquels
on peut appliquer le calcul aux différentes
questions qui peuvent se présenter. : .I. Le traité d’assurance consiste en général dela
part du commerçant à payer à Tassureur une certaine
partie de la valeur d’un bâtiment ou d’une
cargaison, à condition que fi la cargaison ou le
bâtiment viennent à périr, Tassureur lui en paiera
le prix total.De quelque manière que les traités ^assurance
soient formés, ils se réduisent nécessairement à
des combinaisons de ce traité simple que nous venons
de définir, & ils doivent être calculés d’après
les mêmes principes.Le motif qui lait former un de ces traités est
de Ia part de chacun des contractans Topinon que
' ce rraité lui est avantageux. Nous examinerons donc
dans quel sens un traité d’assurance peut être re- •
gardé comme étant avantageux à - la - sois à f assureur
& au commerçant.Nous avertirons d’abord ici que dans toute là
fuite de ce 1" article nous ferons abstraction dé Tintérêt
de Targent considéré indépendamment du risque
des entreprises, & par conséquent que nous '
supposerons les paiemens ou' les recettes de part
& d’autre réduits au même tems.Supposons maintenant qu’un négociant risque,
dans différentes entreprises, une somme a, en
forte que fa mise dans n , enneprises soit na ; sup- .
jposons que Tespérance de réussir dans chaque entre-,prise soit g, que Ia probabilité qu’il perdra scí
fonds soit p , & qu’on ait g -f p == 1 -les termesn n— 1 s n \ " — } Ìde la férie, g+ngp+\zjg p +/n\ n —3 3 s _n \ n — m n\ 3 s g P ' ' • • + \ »' J S P •••'•n n f _n_-\ étant n, " — 1 a — Í »+i+ P =g + P V'") - .<■-"■ ^ ~exprimeront les probabilités de réussir dans n,ji — 1 • • • • • m 1,0 entreprises , & deperdre dans o, 1 • ■ ■ ■ m ••••n—i, n autres
entreprises. - 'Soit maintenant b la somme qu’il gagnera dans
chaque entreprise heureuse, & qui est ici Ia feula
partie du profit, destinée à compenser le risque,( n_\ n~m mil est clair que, pour le terme \ m J g p }il perdra ma, & gagnera n ■— m b. II sera donc
en gain tant que n — mb^> ma, & il commencera
à être en perte lorsque ma^>n^— m b.Un homme raisonnable ne doit se livrer au corn-,
merce que dans le cas où il trouve une probabilité
assez grande qu’il retirera ses fonds, avec Tintérêt
commun & le prix de son travail.11 lui faudroitfans doute une probabilité à peine
différente de la certitude de ne pas perdre la totalité
de ses fonds, & même d’en conserver la partie
qui est nécessaire à fa subsistance & à celle dé
fa famille ; &' une probabilité encore très-grande de
ne pas les diminuer jusqu’à un certain, point.Mais nous ne considérons d’abord ici que la première
condition, cellé d’avoir une espérance assez
grande de retirer, avec ses avancés^ leur intérêt
& le salaire de son travail.II y a trois cas à considérer, celui où — =■
 -■■ -a ■ g ■>celui où — > 'I- , celui où- <-L , si JL — L..il est clair que Ton aura du profit tant n — mp>mg.Cela posé, faisons g =z ~r~—r, & p = -i-Ç—7., - ■£'■+ ? . * +p *p & g- étant des ; nombres entiers, & soit n =P" + g n. ' - ;. .  ;;II est clair, 1.° que, si— =±:-|- == -5-/5lorsqueni=p'n’ & n —m •=. g n , on aura n—m b = ma,
& qu’il n’aura pas de gain. Le gain cessera doncau terme C-^ì "**' »'■. ?' »' n. .- ' s, ,
\ p n I g jp . Or si g->.p Iasommé .de :tOus lés fermes, jusqu’à celuiíà inclusivement,
tend toujours à s’approcher de lâ valeur'
f,.après Tavóir d’abord surpassées Ainsi, plus le
Négociant continuera íòn commerce, plus il ap~.X.s’.ss- as s , s 5 rpròcherá d’avoir tine probabilité ' de gagner égaie'
a celle de perdre. . ■ /- ." "Lá nfê-me chpfe:wá• ìiëuj’û:'p^>g, excepté,
que ía: probabilité'"de perdre fera d’abord plus"
grande, & se rapprochera ensuite de Tégalité,Supposons maintenant.— ^> -£-. pu —,, & égal à ;'s’- - ; ■ -- . ■ . . . k ■ 1 ' £> ' , …£7—^ : par exemple, il est clair ;que. le gain dug ■'■ "' ' -■ -'''i i- '■'"■:■" ,'■"'•:■":' ! .i/ !: „ V:
commerçant, s’étendra jusqu’au ternie, s —^—-A
 ; ; •. ' "■^■':- ; ■•:""' ' ;; -, !;,:: 7:,\if'+' »y ■
írf'+ii) '.f' + t »'.-:  !'■■:■ r .
g P. ■..•-■' ".' V" 'Or, dans ce cas , soit que g soit plus grand, soit
qu’il 1 soit plus petit- 1 que p., là somme de tous- ces
ternies,' qui exprime la probabilité du gain pour
le Négociant, croîtra continuellement, jusqu’à- se 1
rapprocher indéfiniment- de Tunité :, ,à-mesure ;que->
n’ croîtra. Mais fi g-^S-p" elle, pourra aller en"
décroissant, jusqu’à un. certain térmé.Oïl trouvera la conclusion précisément contraire,dans le cas où—<: ^.-ou —/ - j’. 'é ■ . .*. ;.> g' . '.£'-. : ■■ :: " : . - ; Dans ce second cas-,' ûg<<p{à probabilité pourra.
a'-ler-d’abord en croisant & ensuite en décroissant.-'II'suit de ce que nous venons de dire que pòur
qu’un négociant puisse avoir de Tavantage en continuant
un commerce exposé à des risques, il faut
que le rapport du' profit à la mise soit, plus grand"
que' 'celui du" risque au succès. " ' ' ■' - ' " "■.Onpeut auffi vpjr par cette formule que la règle
défaire ces deux rapports -égaux n’a pu ê.tre établie
que parce que "c’est le íeul’cas où, lés, limités de la:
■probabilité de la \ perte pu du gain sont également
\. Ces deux probabilités étant, Tune croissante, l’autre
décroissante, à mesure que le nombre de risques
courus augmente, félon que ; la probabilité du risque
est Tnferiéuré où supérieure à célle du gain. .II, suit de ;çe qu’on vient ^d’exposer j que,. .pourvu.que'—■ _^> — ,. on "peut 1 avoir" une 'probabilité touvjotìrs de'plus en plus grande de"gagner  ;( que", "fi"
oh suppose cette probabilité'donnée, c’est-à-diré,
qu’on fixe un minimum de probabilité en - deçà duquel
 on regarder oit "comme imprudent de s’ex^póferau-risque ;' plus—- fêta., grand-, moins, il faudra
répéter de fois la même entreprise pourobtenjr'
cette .probabilité:, L& srócipróqùement•'.> que ?plus, ìe~'Jiombre.
 des entreprises sera petit, plus il- faudra 'que - soif grand. - •*• ;'" . ' " '.'.'"■'-Supposons ici, pour plus de simplicité, quecesì •
entreprisessefassent àsla-soisj’ fi'.le bien d’un to"m^ ■
merçant^est na,il:ne pourra faire tjUe-n: ëàtrW-' 1
prises & il faudra queìbh profit soiti>,-'inàïs nTe'bien’*
d’mn autre .commerçant J5est ; nmasm’ étant .%t:nombre'entier, il pourra faire m n entreprises, & par
 ! conséquent il pourra avoir la même probabilité de
gagner, en se"contentant d’un profit b' plus petit que
b. Mais puisque b'<^b la concurrence entre les
négocians fera tomber le profit au - dessous de b
dont le négociant A ne pourra faire le commerce
avec, assez, d’avantage.11- est vrai que st A partage-bit ' la somme n a en
m n parties j il poUrroit se contenter du inêrne prò- '
fit que B , & quainsi il peut-réparer-son désa-'
vantage, pourvu qu’il" divise ses risques’en jilus
petites parties ; mais cela n’est pas toujours possible
dans la pratique'-•& dans le cas, le Négociant
peut être intéressé à trouver un moyen de se
mettre à Tabri du danger de.perdre.
' Lés assurances-font ce moyen. '■-'-
Le risquedesâssureursserépandantfurUïì nombre^
 ; d objets beaucoup plus grands que celui dû né-'
I gociánt ; ils peuvent, eh. conservant une très’:
grande probabilité de gagner,' se contenter d’un ;
profit beaucoup plus petit.Le taux de {'assurance se détermine donc pour
chaque espèce de risque par un certain milieuque
la concurrence établit "éntre la pârtié du ;
profit que le négociant peut abandonner- -, &
celle qui est nécessaire à Tassureur pour avoir
une très-grande probabilité, de gagner ; & plus il
y aura de concurrence entre les négocians & les
assureurs, plus ce prix mpyen approchera de ce
dernier terme,-& plus Je prix des denrées baissera
pour les acheteurs.Nous allons chercher à "déterminer les- deux■-.
limites du taux ti assurance l Soit a la miíèpremière
'd’un: négociant dont il attend le retour au boutf --, : ':, !..,.- , . ■ , 1 - - … ^de. deux ansj ;, par exemple ; a •- ! "-j- c est ce quil.doit recevoir au bout de deux ans, c étant ledenier. d’intérêt- pour les entreprises, où il n’y a.pas de risque, soit de plus c’ le profit qu’il doittir.er-dè-cette ;entrêprise,çommesalairede son tems -& de'Teé' peines, & b le profit qui résulterait duTiìccès, jl est -clairque b — f-ic.-f cl -fr.csa est ;ce.jquil. peut- donner pour, assurer cette somme au- bòiit de deux '.années.. Soit n le nombre de ses 'entreprises’, g la probabilité du succès, p celle de
. , . ;. …. ' ' " . :' -
fia perte, & soit pris g-fr p , développé suivant
tous ses fermes. ''" :'La perte du négociant pourchaque vaisseau qwi)  périra  ?, fera exprimée .par a \ .1 -fr- ç -\- c )  ; son
: gain,t. pour 1 chaque ^vaisseau qui" arrivera," ferab —z c-frc1-frc’a. . , ; ; .. . -: 1■ - s n \ .. n- —.D ? m, .,Ainsi.",-.prenons -un ferme \smj.lg"_'_ ',',.,• P
Ippur le".dernier qù le. négociant, feroit^en/gain,Ipuisqu’il perd m fois, sa perte sera m-a-{i-fr-c-frc)  ,F7ii:4q ì€ ;-u,2^J^W -r-'V -■"-^■•- . ; y ' -. -.
'.&lrif0« .--g'ain n ^-m i\:f—-ï c -j- e. 1 ^- c. a ) 3 il '
♦« t ■ A S S AS S
commencera donc à perdre lorsque -—— •>'ÇT+c + S) Si donc Ton connoît b, on aura ( connoissantm pour le dernier terme, où —^r~ est plus petitque l’autre membre) la probabilité que le négociant
ne sera pas en perte ; & si on appelle P la
probabilité nécessaire pour entreprendre le com-merce
 avec prudence, en prenant la valeur de m
qui y répond , on aura la valeur de b pour laquelle
le négociant commence à avoir de Tavantage à faire
assurer.Soit maintenant n le nombre de vaisseaux qu’un
assureur doit assurer, il faudra qu’au bout de
deux années, il perde a-fr b pour chaque bâtiment
qui aura péri, & qu’il touche b' pour çhaçun
des y ai fléaux.Soit donc g Ia probabilité qu’un vaisseau se
sauvera, & p la probabilité qu’il périra,-nous. ri ri y n’—l s ri_ \,prendrons g -fr-p ~g -fr ri g p -fr l i Jri— 2,
g p--,….Si maintenant on appelle P' la probabilité que
Tastùreur doit avoir de ne point perdre fur les
n’ vaisseaux , on poussera cette férie jusqu’au terme
où la somme est égale ou plus grande que P',(ri \ ri — m’ m’
~m’ J g p ce terme , il -est clair queTassureur perdrait alors m (a-frb).-fre, t représentant
ici lé salaire de sa peine ; mais il lui doitêtre payé n V : donc on aura b'E== ^(a-frb) -fr.
•— ;.-Supposons ensuite que b'== b-rr* zcrj-cz-fr-c a,
nous aurons b = f' ~> -fr zc-fr- ç* -^-.c J ^A—, a'-f- -r-^—, , & ce sera la phi ? petite valeur possiblede b, où la concurrence pùissé faire tomber le
commerce, en supposant qu’il reste ençorg avahT
lageux. ' , ' ■U est bon d’expliquer ici ce que nous entendons
par le profit de Tassureur & p^r celui du
négociant.Le profit du négociant est la somme qu’il doit
gagner chaque année pour avoir un motif suffir
sant de faire cet emploi de ses fonds , & de ne pas
préférer un autre emploi qui demande mpins de
peine.Le profit de Tassureur doit être, outre les dépenses
de bureau & de correspondance dont il
doit être remboursé , une somme suffisante pour
lui faire préférer' cette manière de faire valoir
ses fonds.'II arrive souvent qu’un négociant n’ayant point ;
fait assurer,parce que le risque étoit rr.ès.-petit ?fe :trouve exposé à de nouveaux risques par des éVf-i
' nemens imprévus. ,Cette circonstance change absolument son état.
Supposons en effet qu’il ait mis, fur quatre vaisseaux
toute fa fortune , & que le danger soit de
trois contre ùn , il’àùfa "le danger £% de tout
perdre , le danger —^ de perdre trois vaisseaux ;
& comme soit à cause des marchandises déjà
emmagasinées, >soit’ à cause de  ;la diminution de
consommation, Taugmentation du prix est bien
loin d’être dans lés premiers momens proportionnelle
à celle du risque ; il est évident .qu’il sera
exposé à un très-grand danger dej perdre fa fortune
, du moins en grande partie. '..L’état de Tassureur n’est pas changé par cet événement ;
il en résulte seulement que pétant dimi- ,
nué, & p augmenté, il fauti, pour parvenir à une
probabilité égale, que Tassureur exige une plusgrande différence entre - ', ,- & P'.■P a^-b .Ce "sera donc alors, avec ce qu’exige nécessairement
Tassureur, qu’il faut comparer Tétat du
négociant ; pour cela, soit a sa mise avec les intérêts
a rfr- b ce qu’il la vendra, b' le prix auquel
Tassureur assure a -fr b, le négociant touchera
a -j- b —=- b' ; il se trouvera donc en perte toutes
les fois que b' ^> b.Jusqu’ici npus avpns supposé que le négociant
cherchqit à mettre absolument hors de risque,
soit’ la totalité de ses fonds & de ses profits de
commerce, soit dans le pas d’un risque extraordinaire,
toute la partie de ses fonds, que,les Circonstances
lui. pérrnetteht de mettre èn sûreté.'
Nous’ avons supposé également’ que Tassureur
voulojt obtenir un certainv degré de probabilité
dé né riënperdré , ■'&' rTêtre remboursé ;de ses '
dépenses : niais cette supposition n’est pas rigou-*
reuse ; '_ ■ ■ ■ ',' ' .Supposons en effet.qu’un négociant risque une
somme a, il fera possible qu’il se contente duneprobabilité P de ire tirer avd’une probabilité plus’*
grande P' de ne perdre: que la partie dé son
profit, destinée à.Ie dédommager de ses peines, ! d’une probabilité ' plus "grande encore" P'""de nè
perdre que les intérêts de ses fonds,- : & qu’il ne ■■ cherche, que la certitude de .ne pas. entamer sesfpnds aurdelà d’un certain terme, •De même dans se cas où des dangers imprévusexposeraient le négociant,à .perdre tout, & óù\Y assurance ne lui sauvera qu’une partìè de sa mise,
il peut arriver qu’il so contente de Ta certitude de ■•me^ point perdre au-delà d’un certain terme ;, &
qu’il préfère de risquer plus pour conserver Tespérance
de quelque profit:: II parviendra à ce but, en ne faisant assurer
qu’une partie de ses marchandises, soit en faisant
assurer en entier seulement une partie des navires,
soit en ne faisant assurer fur chacun qu’une partie ; de leur valeur. Dans l’un & l’autre cas, son état
n’est pas le même, Supposons, en effet, que rusoif-- á s è : a s s r ciïo'îfle nornbre totaì des vaisseaux, n celui qu’il
faudrait ne pas assurer, pour que n > vaisseaux
non assurés, équivalussent à.une valeur .á non
assurée fur m vaisseaux ; ce qui, a étant la valeurd’un vaisseau , donne a' = —' rLe terme où le négociant commencera à perdre(rn. V r* ;i—m r m s n \rmjg p dans un cas", ck\HìJn— TÏÍ m 'g j> dans un autre. Cela posé, le rapport
de la perte au profit peut être ici plus grand ouplus petit que— ; si ce rapport est plus grand, lenégociant trouvera du désavantage à répandre son
risque sur un plus grand nombre de vaisseaux ; st
au contraire il est plus petit, il y trouvera de
Tavantage : mais cependant -cet avantage pourra,
même dans ce cas , ne commencer à avoir lieu que
lorsque le nombre des vaisseaux fera très-grand.Quant à Tassureur, on trouvera d’une manière
semblable , que plus il assurera de bâtimens, plus
il aura de probabilité de ne pas perdre au-delà
du terme pour lequel il a voulu acquérir une
grande probabilité ; niais que s’il baisse le rapport
du taux d’assurance à Ta somme assurée au-dessous
du rapport de la probabilité de la perte du bâtiment
à celle du nombre des bâtimens assurés ,
plus il assurera de bâtimens, moins il aura de
probabilité de gagner , en sorte qu’il ne doit
tomber au-defsous de ce taux que dans des -cas
rares, & où il ne s’agit que d’assurer un petit
nombre de vaisseaux. 'Nous avons supposé jusqu’ici que Ton connoissoit,
i.° la probabilité de la perte de chaque
bâtiment qu’on se propose d’assurer ; 2.° le degré
de probabilité qu’un négociant ou un assureur
doit avoir de_ ne point perdre pour qu’il puisse
s’exposer à un risque, sans mériter qu’on Taccuse
d’imprudence.II faut donc chercher à connoître cês deux
données.II. La probabilité du risque que court un
vaisseau he peut être connue que par Tobseryation
du sort qu’ont éprouvé des vaisseaux dans des
circonstances qu’on peut regarder comme semblables.On trouvera, article événemens la méthode de
déduire de la connoiffance des’événemens passés
la probabilité des événemens futurs qu’on suppose
assujettis aux mêmes loix.II en résulte, i.° que pour avoir quelque prohabilité
sur la loi des événemens futurs, il faut
que le nombre í des événemens passés soit trèsgrand
, &. surpasse de beaucoup celui des événemens
futurs dont ; on calcule la probabilité.2. 0 Que, dans ce cas, si W est le nombre des
vaisseaux perdus, "par exemple, & M celui des
.Taisteàuxqui n’ont point.péri, on pourra fans uneMathématiques. Tomt I, L’" Par^e,grande effêúf, supposer pour le nombre n de
vaisseaux à assurer g = *+„ + i -, P ="M^V-ÎV—r—> pourvu que n soit beaucoup pluspetit que M-fr N.3. 0 Que cette détermination de g & p n’est pas
constante, mais doit varier pour chaque genre de
commerce, à mesure qu’on est instruit d’événemerts
nouveaux ; ainsi , lorsque Ton saura que, sur les
n vaisseaux, M’ ont été sauvés, & N’ ont péri f
il faudra, si on veut calculer de nouveau les assurances
.pour n nouveaux vaisseaux , fáire g =3
M+M’+i JV-t-y-t-iM+N + M’+N’+z> ^'M+N+M’+N’ + i'4. 0 Que, fi on a As> .W-la- valeur de g-,M.~^\ est trop grande, & celle dé p troppetite, & que fi au contraire N^>M, la valeur 1
de g ci-dessus est trop petite, & celle de p trop
grande.Mais lorsque M -fr- N est beaucoup plus grande
que n, cette différence est très-petite ; & dans les
différens cas particuliers, on pourra en assigner
les limites, & avoir une valeur de g §L ■ dé p ,
qui représentera ces. quantités assez exactement
pour la pratique. Voyez Tarticle ÉVÉNEMENS.III. Nous avons supposé qu’il y avoit dans,
différentes circonstances un degré de probabilité
de ne pas perdre, au-delà duquel un négociant
ou un assureur ne doit pas s’exposer à risquer du
moins une partie considérable de fa fortune.On pourroit, d’après des principes généraux,
chercher à déterminer ce degré pour les différens
cas que peuvent se présenter dans la conduite de'
la vie. Voyez Tarticle P-ROBABILITÉ. Mais il peut
être aussi très-utile de savoir comment dans la pratique
les hommes qui passent púur sages, & dont
les projets ont réussi, ont résolu le même problême ;
par exemple, quelle a été la probabilité
de ne.pas perdre que les assureurs ont su se procurer
dans les différens bureaux £ assurances .qui"
ont pu continuer le commerce avec avantage. -La solution de cette question peut être envisagée '
de deux manières. Supposons, par exemple, que
Ton ait des tables pour différens taux & assurance.
qui contiennent le nombre des vaisseaux assurés,'.
le nombre des vaisseaux qui-ont péri, Cèluí des
vaisseaux qui n’ont point éprouvé d’accidens, on,'
aura par conséquent g- tkp par Tarticle précédent,
& le taux cY assurance étant connu, on chercheran ri — m m"dans g + p le terme g p , tel que pourn — m — 1 m + 1g PÌ Tassureur seroit en perte, &- n n —1 1 /n. n—m mpar conséquent g -fr- n g _p …. -fr \j^,g p,
exprimera la probabilité qu’il avoit de ne pa »
perdre. .'-'■■ -Y:A s s a st .Certe méthode auroit quelque inexactitude ; en
effet, on détermine ici la probabilité que court
chaque vaisseau, d’après ce qui est arrivé, après
{'assurance , au lieu que c’est_ ce qui s’est passé
avant le contrat d’assurance qui a décidé Topinion
de Tassureur : ainsi, il seroit plus exact de prendre
le moyen suivant. On déterminera g & p d’après
les événemens d’un commerce semblable, antérieurs
à Tépoque qu’on voudrait considérer ; on chercherait
ensuite pour cette époque la probabilité
• que Tassureur a eu de ne pas perdre ; le taux
d’assurance , étant celui que Tassureur a fixé à
cette même époque. Mais il faut recommencer le
calcul pour chaque époque, parce que Tassureur
étant instruit des événemens arrivés aux bâtimens *
assurés peut former un jugement différent de celui
qu’il avoit formé avant de les connoître.On sent enfin qu’on ne peut employer pour
- élémens dans cette détermination que des taux
d’assurance , choisis parmi ceux où le négociant
faisant assurer avant que ses bâtimens soient ex-'
posés au risque , ce taux d’assurance est réglé entre
Tassureur &. lui au-dessous du terme où le négociant
perdrait, en faisant assurer, & au-defliïs de
celui où Tassureur s’exposerait trop à perdre en
assurant. En effet, il est aisé de voir que dans le
cas où le négociant est obligé de faire assurer
pour sauver une partie de sa fortune, que des
événemens imprévus ont exposée, il doit arriver
souvent que çetfe , circonstance Toblige à faire
assurer à un taux trop fort.On a étendu les assurances à beaucoup d’autres
risques que ceux des entreprises maritimes. .Nous nous bornerons à ,parler des’ assurances
des édifices contre les incendies ; il est facile d’y
appliquer les principes généraux que nous venons
d’exposer ; & même comme ici les risques pendant
un long-tems, sont absolument semblables, & le
taux des assurances constant, on pourroit, si Ton
avoit un relevé exact des registres d’une chambred’assurances
pour cet objet, en tirer avec plus de
facilité & d exactitude, que dans toute autre circonstance
, le degré de probabilité de. ne" point
perdre, d’après lequel ce taux a été réglé par les
assureurs.A la vérité, cette détermination ne pourroit
point s’appliquer rigoureusement aux autres cas,
aux ajjurances maritimes, par exemple ; en effet,
-comme ici lé taux est très-foible ,"& la perte des
-assureurs très-gra-nde pour chaque événement contraire,
il est évident qu’ils doivent se procurer
une très-grande probabilité de ne pas perdre :
d’ailleurs, comme en ce genre il y. a peu de con- '
currence entre les assureurs, & que Tintérêt d’assurer
sa maison est très - grand pour chaque particulier
 ; il est très-vraisemblable que le taux de
ces assurances est", dans les pays où elles ont lieu,
beaucoup plus sort qu’il ne devroit être ; mais ,
ces tables donneraient du moins pour la probabilité
de ne point perdre, qu’exige la prudence,.une limite exacte, au-dessous de laquelle cette pfo- »
habilité ne doit descendre beaucoup dans aucun cas.Nous avons supposé toujours ici le paiement
de la chose assurée, lorsqu’elle périt, comme se
faisant à une époque fixe, ainsi que le paiement
de la prime a-asfurance. Lorsqu’au contraire le
terme ou Tassureur doit payer dépend du moment
où Taccident arrive, ou il a connoiffance de la
perte, le problême devient plus compliqué, par
exemple, É un homme s’assujettit à donner chaque
année ioo liv. pendant io ans pour assurer une
maison de 100,000 liv., à condition que Tassureur
lui pafera cette somme un mois après que
la maison aura été détruite par un incendie. On
voit que la probabilité de Tincendíe' & Ia somme
donnée , qu’on doit regarder comme produisant
un intérêt variant continuellement ; & que si les
principes pour résoudre cette question sont les
mêmes que ci-dessus, leur application peut exiger
des recherches de calcul très-difficiles.Nous né nous arrêterons pas plus long-tems
fur cet objet. II nous suffit d’avoir exposé les
principes généraux fur lesquels le calcul doit s’appuyer.
L’applîcation à la pratique demanderoit
des recherches trop étendues, & il seroit peutêtre
même assez difficile de se procurer les données
nécessaires pour rendre cette application
assez exaéfe pour pouvoir être utile. II s’est formé à,
Londres un établissement, lous le titre de Société,
pour Tëquifable assurance des vies & survivances.
Nous en parlerons en détail, arr. SOCIÉTÉ ! (M. D. C.) ASSURER ,. v. a. en Méchanique, signifie rendre
ferme.' . a s tASTACUS, Voyez CANCER.'  ;ÀSTAROTH, ,nom de la planète de venus.
_. ASTEREOMETRE, ( Astron. )  Instrument des- ,
tiné à calculer le lever & le coucher des astres,
dont on connoît la déclinaison & Theure du passage.au
méridien. M. Jeaurat en a donné la description
& la figure dans les Mémoires de l’Académie
pour 1779. Un plateau circulaire mobile,
divisé en 24 heures & en minutes, tourne autour
de son centre ; une règle mobile-entre deux coulisses
se meut parallèlement à elle-même, de
manière à intercepter fur la circonférence du cercle,
un arc égal à la durée du jour. Les coulisses entre
lesquelles se meut la régie, sont divisées, suivant
les degrés de déclinaison, par le moyen de la
table des arcs sémidiurnes, de manière qu en plaçant
la règle fur Ia déclinaisonx elle intercepte furie
cercle une quantité double de Tare sémidiurne:
alors mettant à la partie supérieure de Tinstrument
le nombre qui marque le passage d’un astre au
méridien, la règle marque sur le cercle d’un côté
le lever, de l’autre le coucher deT’aslre. (D.L.) ASTERIO Voyez CHIENS BE CHASSE.ASTERISME, aflerismus, f. m. signifie en Astronomie
la même chose que constellation. VoyeiA st a st
*5Î
CONSTELLATION. Ce mot vient du grec « ?* »>.,
stella, étoile. Voyez ETOILE. (O) ASTEROPE, ( Astron. )  Tune des filles-'d’Atlas,
■& Tune des sept étoiles principales qui composent
les Pléiades. Ovide, Fast. IV, 270. (D. L.) ASTRAL ; ce mot vient du latin astrum, qui
lui-même vient du mot grec .à ?™f, étoile. II est
peu en usage : mais on s’en sert quelquefois pour
signifier ce qui a rapport aux étoiles, ou qui
dépend des étoiles & des astres- Voyez ETOILE.Année astrale ou sidérale, c’est le tems que la
terre emploie à faire fa révolution autour du^
soleil ; c’est-à-dire, à revenir d’un point de son
orbite au même point. Elle est différente de Tannée
tropique, qui est le tems qui s’écoule entre deux
équinoxes de printems ou d’automne ; & cette
année est plus courte de 20' 24" ; que Tannée sidérale
qui est de 365) 6h 9' 11° & -^, tandis que
Tannée tropique est de 365 > 5 h 48' 48".ASTRE , astrum , f. m. est un mot général qui
s’applique aux étoiles, tant fixes qu’errantes ; c’està-dire
aux étoile ? proprement dites, aux planètes
& aux comètes.. Voyez ETOILE, PLANÈTE, &C.ASTRÉE. Voyez VIERGE.ASTROCYNOLOGIE , astrocinologia , mot
composé du grec átrTpov, astre, '*ú »v, chien, &
Jiíyof, discours , traité. C’est le nom d’un ouvrage
de Fiorentini sur les jours caniculaires, cité dans
les actes de Leipsick, aâa eruditorum ijoz. Dec.
514. Voy e z CANICULAIRE.ASTROKYON ; nom de la belle étoile appellée
aussi SIRIUS.ASTROLABE, f. m. ( Astronomie )  ; instrument
d’Astronomie dont les anciens se fervoient pour
ìes observations ;il y en a eu de plusieurs espèces.,
ou plutôt le même nom a été donné à plusieurs
espèces d’instrumens rrès-différens. Celui de Ptolemée,
décrit dans son Almageste ( liv. v , cL’i ,
L vij , c. 4. Àç-fMífios J 3 avoit deux cercles exactement
tournés, placés l’un dans l’autre à angles
droits ; l’un représcntoit Técliptique., & l’autre
le colure des solstices, fur lequel on marquoit
les pôles de Téquateur. Un troisième cercle tournois
autour des pôles de Técliptique fur deux
cylindres qui y étoient fixés : il scrvoit à marquer
les longitudes. Un quatrième cercle au-dedans
des trois autres portoit deux pinules où deux
trous qui fervoient à viser à la lune, ou a un
autre astre, pour mesurer leur longitude & leur
latitude. L’astrolabe dont parle Copernic, étóit
composé de six cercles , tant fixes que mobiles
.( l.ij, Ci 14 ) , à-peu-près dans le goût des
Armilles, fig. zi.9. V. EQUATORIAL.Mais ce que Ton a appelle astrolabe dans les
siécles postérieurs, n’est proprement que le planisphère
de Ptolemée , fur lequel il y avoit
seulement une règle avec deux pinules pour
mesurer la hauteur d’un « astre : c’est celui quia été décrit dans Uné foule de livres du 16e siècle.
On appella aussi météoroscopí cet astrolabe planisphère
 ; le Torquetum imaginé par les arabes,
& qu’on a même attribué aux anciens Caldéens,
avoit aussi des surfaces planes au lieu d’armilles,
suivant Tycho ( Astronomioe instaurâtes mecanica,
p. 39 ). Enfin on a appelle astrolabe de mer un
simple cercle avec une alidade pour prendre hauteur
en mer : c’est ainsi que ce mot est employé
dans Bion, Traité de la conflruâion des instrumens
de Mathématiques, -Ï752, p. i.G8.Uastrolabe planisphère , sur lequel on â fait
tant d’ouvrages, est une projection des cercles
de la sphère sur un plan , par le moyen de laquelle
on résout les problêmes de la sphère,
comme de trouver les ascensions droites, lés-déclinaisons,
les amplitudes, les hauteurs, les levers
■'& les couchers d’étoiles, même les maisons célestes
 ; car quand {'astrolabe étoit à la mode,-on
faisoit beaucoup d’usage de TAstrologie judiciaire,
& par conséquent des douze maisons." Dans {'astrolabe de Ptolemée, Toeil étoit supposé
au pôle ; Téquateur étoit le plan de: projection,
& tous les méridiens étoient des lignes
droites.Dans {'astrolabe de Gemma Frisius, Toeil est
supposé au point d’orient ou d’occident, en même
tems que le point équinoxial ; ainsi, Téquateur &
Técliptique y sont représentés par des lignes droites,
ainsi que le colure des équinoxes & le cercle,
horaire de six heures ; mais ces lignes droites sont
divisées inégalement, les degrés font plus petits
vers le centre que vers les bords, comme dans
la projection stéréographique. Le plan de projection
est un méridien, & Toeil est supposé au
point d’orient ou au pôle du méridien.Dans {'astrolabe de Roias, auteur espagnol, Toeil
est supposé à une distance infinie cómme dans la
projection ortographique, & les degrés sont beaucoup
plus petits fur les. bords & plus grands vers
le centre ; cet astrolabe peut s’appeller aussi analemme.
Messealla donna assez bien la construction
& Tusage de {'astrolabe planisphère ; mais il s’étendit
peu fur la théorie. Celle de Ptolemée,
dans son Planisphère, est pleine de calculs fafiguans
, & peu propre à instruire ; ce que les grecs
Nicephore & Proclus en ont donnée est fi obscur
& si incomplet, que Ton pourroit croire qu’ils
n’ont pas entendu cette théorie, du moins ils rt’ont
pas Tu la rendre intelligible. Jordanus fut.le premier
qui rendit cette théorie d’une manière satisfaisante.
Stoffler expliqua trèi-bien ensuite la construction
& Tusage de {'astrolabe ; & Maurolycus
dans sés opuscules, publiés en 1575 , en donna
une théorie lumineuse-fondée fur les sections coniques
d’Apollonius.Dans les grands astrolabes en cuivre qui ont un
pié de diamètre, qu’on-exécutait, fur-tout en
Flandre vers 1565, on trouve celui que Gemma
Friíìus nommoit universel, Planisphoeriunï caihoVij'J.<4 a s t astTicum,'■ AJirclabìum catholicurn, & dé l’autre côté,
{'astrolabe de Ptolemée, Planispkoerium particulare.
On peut voir pour la théorie & les usages de celui-ci
Clavius ( Opcrum, t. 3 ) , & pour Y astrolabe, universel
, 1ouvrage d’Adrien Metius ( Primum mobile
, Amflcrd. 1633.)  : celui-ci étoit professeur de
mathématiques en Frise , & il a fait graver les
figmes de {'astrolabe de Ptolemée & de celui de
Gemma. Voyez aussi Rion, usage des astrolabes,
I702. La pièce la plus apparente de {'astrolabe universel
, ou planisphère, est ce qu’on appelle {'araignée.
Planches d’Astronomie, fig. Z30. On Tappelle
aussi reseau , rete ; c’est un châssis évidé où il y a
des crochets qui marquent par leurs pointes les
positions des principales étoiles ; A pour Taigle ,
B pour acturus, C pour la couronne, S pour sinus,
p pour le pied d orion.Ce châssis porte une écliptique, & tourne fur
une autre plaque fixe où sont marqués Téquateur,
les tropiques, Thorizon HH & ses parallèles, les
verticaux , suivant {'astrolabe de Ptolemée , pour
trouver les situations des astres par rapport à tous
ces cercles, & résoudre ainsi la plupart des problêmes
de la sphère. La plaque du fond se retourne
& se change pour présenter les horizons
de différens pays, & résoudre différens problêmes.
.L’alidade, qui tourne fur le tout, marque les
déclinaisons & les durées du jour : nous l’avons
représenté séparément à côté de {'astrolabe.Lé pôle est supposé au centre de Taraignée ;le
Cercle extérieur de la plaque située au-dessous,
représente le tropique du capricorne projette sur
Téquateur ; le petit cercle intérieur est le tropique
du cancer ; celui du milieu E Q est Téquateur
: on y met aussi Técliptique.Une alidade mobile autour du centre , divisée
cn dégrés de déclinaisons, se place fur les dégrés
d’ascension droite marqués autour du limbe, &
sert à indiquer sur {'astrolabe la position des étoiles.
Les plus brillantes sont chacune désignées par
. une des pointes du châssis mobile. Ce sont ces
différens bras qui donnent à ce plan une figure
d’araignée.L’horizon est aussi tracé sous Taraignée avec
les verticaux. Quand on amène fur Thorizon
oriental une étoile, & qu’on place l’alidade fur
cette étoile , elle marque fur la circonférence la
différence ascensionnelle. L’alidade étant menée
ensuite sur le lieu dufoleil pour ce jour-là, on
a la différence des heures fur le bord du cercle,
& c’est Theure du lever de Tétoile.On trace encore fur {'astrolabe des verticaux
des cercles de hauteur, & Ton s’en sert pour
trouver la hauteur du soleil à une heure quelconque.
On place l’alidade fur Theure ; on tourne
Taraignée, jusqu’à ce que se point du zodiaque
où est le soleil vienne sous l’alidade ; & ce point
marque, parmi les cercles de hauteur, le degré
de hauteur du soleil, en même tems qu’il marque ;■ entré les cercles verticaux , Tazimut cfa
soleil.La partie postérieure de {'astrolabe , qu’on appelle
spécialement le planisphère universel, contient
un grand nombre de cercles, comme les méridiens
d’une mappemonde, & les parallèles à Téquateur
 ; en conséquence, nous n’en avons pas donné
ici de figure particulière. Ces cercles y font tracés
suivant les règles de la projection stéréographique,
Toeil étant supposé à la partie de Ia circonférence
directement opposée au centre du planisphère. On
y voit des heures le long de Téquateur, des étoiles
- marquées suivant leurs ascensions, droites & leurs
déclinaisons, & une ligne droite passant par lé
centre pour représenter Técliptique.- Ces mêmes
•cercles représentent aussi, quand on le .veut, les
cercles de latitude & les parallèles à Técliptique,
ou bien les verticaux & les almicantarats, suivant
que les deux points dé concours de ces
cercles íè prennent pour les pôles de Téquateur,
de Técliptique ou de Thorizon. Sur un cercle d’un
pié de diamètre, il y a- autant de méridiens que
de degrés, du moins jusqu’à ce qu’on soit assez
près des pôles pour être forcé à'ne les tirer que
de 2 en 2, de 10 en" 10, & même de 30 en 30
dans le dernier degré.La règle qui tourne autour du centre de ce
planisphère , s appelle la ligne horizontale , parce
qu’en effet elle représente communément Thorizon
 ; mais on y marque aussi le degré de Técliptique
, & toujours par des divisions inégales
plus grandes, à mesure qu’on s’éloigne du centre,
comme dans la projeéìion stéréographique. Avee
cette alidade on trouve fur le planisphère Tascension
droite & la déclinaison d’un astre dont
on connoît la longitude & la latitude, & Toii
résout tous les autres problêmes de la sphère
comme avec un globe, & même avec plus de
commodité, parce qu’un planisphère est moins
embarrassant, & plus d’exactitude , parce qu’un
globe n’est jamais bien rond.Lorsque l’alidade qui tourne sur ce plan représente
Thorizon ; si on la place à 490 dupoíe,
elle coupera le tropique du cancer sur le méridien
de 8 heures ; ce qui fait voir que le soleil se
couche à 8 heures le jour du solstice d’été, &
ainsi des autres cas.Si Ton veut connoître Tascension & la déclinaison
d’un astre, comme d’Arcturus , dont on
connoît la longitude 6c 21°, & la latitude 316,
on considère les cercles convergens comme des
cercles de latitude , & les petits cercles comme des
parallèles à Técliptique ; Ton y marque la position
de Tétoile, & on y fait venir le bras ou Tindex,
ou une équerre qui puisse être fixée à la règle.
On fait mouvoir la règle jusqu’à 230 \ de Técliptique
, & la pointe du même index montre
31° pour les cercles convergens , 8c 20 \ pour
le parallèle, c’est-à-dire, que Tétoile est à 31° du^poìnt équinoxial, ou à 211° d’asccnsiori droite ,
.& à 20 j de déclinaison.On demande la hauteur & Tazimut du soleil à
deux heurçs pour Paris, lorsqu’il a 15° de déclinaison
boréale : à Tendrait où le cercle de 30
degrés coupe le parallèle de 15°, on marque la
place du soleil ; on met la règle à 490 du pôle,
& Tindex sur la place du soleil ; on ramène
ensuite la règíe sur Téquateur, & la considérant
comme horizon, Tindex marque sur les parallèles
celui de 480 , qui est la hauteur du Toleil, &
fur les cercles convergens celui de 46 degrés, à
compter du cercle extérieur, & ce fera Tazimut
du soleil, à compter du méridien.Cette opération est fondée sur ce que dans la
projection stéréographique tous les cercles qui
passent par le centre sont des lignes droites , divisées
de la même manière , & que les cercles qui
leur sont perpendiculaires ou parallèles ont la
même configuration. Ainsi, dés que Técliptique,
par exemple', & Téquateur font placés entr'eux
convenablement, une étoile rapportée à Téquateur
par Tindex est égaleihent bien rapportée à Técliptique
, & il ne s’agit, pour en compter les degrés
de longitude & de -latitude, que' de transporter
la règle avec. Tindex fur le cercle qui est tout
divisé avec ses parallèles & ses cercles perpendiculaires
convergens.11 seroit bien inutile de s’étendre fur les usages
de cet astrolabe dont on ne fait plus d’usagé ; mais
il falloir en dire quelque chose, parce qu’on en
trouve encore fréquemment chez ses ouvriers
d’instrumens, quoique ia plupart aient été fondus
comme mitraille, pour en employer le cuivre à
d’autres choses.Dans les trois~ espèces d’astrolabes dont nous
avons parlé, il y avoit un défaut commun, celui
d’altérer tellement les figures des constellations,
qu’elles n’étoienr pas faciles à comparer avec le ciel,
& d’avoir en quelques endroits des degrés fi serrés,
qu’ils ne laissoient pas d’espace suffisant pour les
opérations. Comme ces deux défauts ont le meme
principe, la Hire voulut y remédier en même
tems, en trouvant une position de Toeil d’où
les divisions des cercles projettes fussent moins
inégales dans toute Tétendue de Tinstnrment. Les.
deux premiers astrolabes plaçoient Toeil au pôle
du cercle & du plan de projection, le troisième
à une distance infinie, èk ils rendoient les divisions
inégales dans un ordre contraire. La Hire trouva
un point moyen-, d’où elles sont suffisamment
égales. II prend pour son point de projection
celui d’un méridien, & par conséquent fait un
astrolabe universel ; & il place, Toeil sur Taxe de
ce méridien prolongé de la valeur du sinus de 45
degrés ; ,c’est-à-dire que si le diamètre du méridien
est supposé de 200 parties, il le faut prolonger
de 70 à-peu-près. De ce point ou Toeil est
placé, une ligne tirée au milieu du quart de cercle,
passe précisément par le milieu du rayon qui luirépond ; &. pnìsque de cette manière les deux
moitiés égales du quart _de cercle répondent aux
deux moitiés égales du rayon, il n’est pas possible
que les autres parties égales du quart de cercle
répondent à des parties du rayon qui soient son
inégales. La Hire fit exécuter par cette méthode
des planisphères ou des astrolabes plus commodes ;
mais comme il n’étoit pas absolument démontré
que le point de vue d’où les divisions de la moitié'
du quart de cercle & de la moitié du rayon font
égales, fût celui d’où les autres divisions sont les
plus égales qu’il se puisse, Parent chercha en général
quel étoit ce point, & s’il n’y en avoit pas
quelquun d’où les divisions des autres parties
fussent moins inégales -, quoique celles des moitiés
. ne soient pas. égales. En se servant donc de la
géométrie des infiniment petits, Paient détermina
le point d’où un diamètre étant divisés les
inégalités ou différences de toutes ses parties
prises ensemble font la moindre quantité qu’il se
puisse ; mais il-seroit encore à désirer que la démonstration
s’étendît à prouver que cette somme
d’inégalités , la moindre de toutes, est distribuée
entre toutes les parties dont, elle résulte, le plus
également qu’il se puisse : car ce n’est précisément
que cette condition qui rend les parties les plus
égales entr'elles qu’elles puissent Têtre ; & il seroit
possible que des grandeurs dont la somme des
différences seroit moindre , feroient plus inégales
, parce que cette somme totale seroit répandue
plus inégalement. Parent chercha aussi le
point où doit être placé Toeil pour vóir les zones
égales d’un hémisphère .les plus égales qu’il se
puisse, par exemple, les zones d’un hémisphère
de la terre partagé de 10 en 10 dégrés. Ce point
est à Textrémité d’un diamètre de 200 parties,
qui est Taxe des zones prolongé de 110 \. Voyez
l’hist. de l’Acad. des Sciences , 1-701 , pag. 100 ?
& 1702, pag. 70. Mais alors on comfnençoit à
abandonner Tusage des astrolabes, en sorte qu’on
en a exécuté fort peu dans les nouvelles constructions.
Ceux que Ton trouve encore de tems
en tems font des astrolabes de Gemma Frifius.
Au reste, comme on résont les mêmes problèmes
par le moyen du globe ^_on ne fait plus usage
des astrolabes. ( D. L. ) ASTROLOGIE, mot dérivé de « rpíi, étoile,
& de >>í>'« , discours : ainsi" {Astrologie seroit, en
suivant le sens de ce terme, la connoiffance du
ciel & des astres, & c’est aussi ce qu’il exprimoÎE
dans son origine ; mais la signification de ce mot
a changé, & nous appelions maintenant Astronomie
ce que. les anciens appelloknt Astrologie.UAstrologie judiciaire est Tart de prédire les événemens
soturs par les aspects, les positions & les
influences des corps célestes.U Astrologie passe pour avoir pris naissance dans
la Chaldée, d’où elle pénétra en Egypte, en Grèce
& en Italie. II y a des auteurs qui la font Egyptienne
d’origine, &, qui en attribuent /invention kM8 a s t a stCham : quant à nous, c’est des Arabes que nous
la tenons. Le peuple Romain en fut tellement infatué,
que les astrologues ou les mathématiciens,
car c’est ainsi qu’on les appelloit alors, se soutinrent
dans Rome malgré les édits des empereurs
qui les en bannissoient.L’Astrologie, érant aussi analogue à la superstition
& à la crédulité des peuples qu’elle étoit favorable
au crédit de ceux qui favoient Temployer, fut aussi
de tout temps cultivée, autant & plus que TAstronomie
: celle-ci eut même les plus grandes obligations
à {'Astrologie. ( M. Go guet, I, zij , III,
21s  ; Kepler, Tab. Rud. proef. pag. 4.)  Aujourd’hui
les livres d’Astrologie sont aussi méprises qu’ils
sont méprisables... Les règles de {'Astrologie, que Ton prétendoit
tirer de la nature des choses, étoient dans le fond
absolument arbitraires : ainsi, Ia partie du ciel qui.
étoit à Torient ou qui se levoit, formoit la maison
de nativité ou la maison de vie, & celle qui alloit
se coucher étoit la maison de la mort. Voyez
MAISON.Les influences des .planètes étoient également
arbitraires. Saturne, étant très-éloigné, étoit supposé
une planète de nature froide. Jupiter, Vénus
& la Lune étoient des planètes tempérées & bienfaisantes
 ; Saturne & Mars des planètes dangereuses.
Le Soleil & Mercure participoient aux propriétés
des unes & des autres, suivant les circonstances.
( Ptolemcus dejudicis. )  Chaque planète avoit parmi
les signes du Zodiaque une maison d’exaltation á
où elle étoit censée exercer son pouvoir ; mais les
règles de {'Astrologie n’étoient pas par-tout les
mêmes, & Ton a beaucoup varié dans les principes
comme dans les applications.Actuellement ce n’.efì que dans les pays d’ignorance
, en Asie, au Japon ,■ dans les iflés Maldives ,-
où {'Astrologie est recherchée. Nous ne pouvons
lire les anciens livres des astrologues Européens,
fans déplorer Tignorance & Taveuglement du vulgaire
, qui s’est laissé si long-temps abuser par de
si sottes prédictions, & de faire observer combien
il étoit utile pour le genre humain de pénétrer &
d’2pprofondir les sciences qui ont su enfin guérir
les hommes d’une si misérable imbécillité & d’une
stupidité fi flétrissante.Ce n’est pas fans’peine qu’enfin Tesprit philosophique
a dissipé ces erreurs ; on venoit encore
quelquefois, au commencement de ce siècle, consulter,
fur Tavenir, des astronomes de TAcadémie,
& cn 1705, M, Lieutaud crut devoir mettre à la
tête de la Connoiffance des Temps : a On ne trou3 ?vera
ici aucune prédiction, parce que TAcadé>3
mie n’a jamais reconnu de solidité dans les rèT
 ?5gses que les anciens ont données pour prévoir
 » Tavenir par les configurations des astres. « 
En lisant dans le Mercure (1763 , Janvier, n
vol. pag. 95) , une lettre où je racontois la curiosité
que le Grand - Seigneur eut, en 1762 , de
rpeevoir toas les ouvrages publiés par ses astronomesde TAcadémie, on remarquera qu’il *de->,
mandoit fur-tout ses prédictions qui se faisoient,
fur Tavenir paf la science des astres. Peut-être Sa
Hautesse ne désirait nos livres d’Astronomie, que
dans Tefpérance d’y voir le sort des puissances qui
fembloient alors acharnées à se détruire.,Voy. MAISONS, THÊME, HOROSCOPE, DIREC-,
TION, PROMISSEUR, SIGNIFICATEUR. (D.L.) ASTROMETRE. Voy. HÉLIOMÈTRE.ASTRONOMIE, Astronomia, science.des mouvemens
célestes, des phénomènes qu’on observe
dans le ciel, & de tout ce qui a rapport aux astres ;
C’est une partie des Mathématiques mixtes, dans
laquelle on apprend à connoître les grandeurs, les
mouvemens & les dislances des étoiles, des planètes
& des comètes , autant que Tindustrie humaine,
aidée de Tobservation & du calcul, peut
nous y faire pénétrer. Le mot d’Astronomie vient
des mots grecs A'f"P, astre, w<>t »s,. loi. Les grecs
appelloient cette science Astrologie' ; mais ce
dernier terme est réservé aujourd’hui à la science
conjecturale dont nous avons parlé au mot
ASTROLOGIE.L’Astronomie est de toutes les sciences, celle
qui nous présente le tableau le plus grand, lé
plus sublime , le plus digne d’occuper Tefpùt
humain , par la noblesse & Timmenfité de ses
objets. Aussi les plus grands philosophes de Tantiquité
parlèrent de {'Astronomie avec admiration.
Laërce raconte qu’on demandoit à Anaxagorë
pour quel objet il étoit né ; il répondit que c’étoit
pour contempler les astres. S’il y-à dans cetté
réponse de Texagération en faveur de YAstro'
nomie, on y voit au moins Tenthoufiasme avéé
lequel un homme de génie contempioif le spectacle
du ciel.Pythagore disoit que les hommes ne devroient
avoir que deux études , celle de la nature pour
éclairer Tesprit, celle de la vertu pour régler le
coeur. On regarde avec raison Tétude de la morale
comme la plus nécessaire & la plus digne
de l’homme. The proper ftudy os mankind.is man,
dit Pope ; mais on se tromperait en croyant qu’on
peut être véritablement philosophe fans Tétude
des sciences naturelles .-pour être sage, non par
foiblesse, mais par principe ; il faut savoir,réfléchir
& penser fortement, il faut, à force d’étude
, s’être affranchi des préjugés qui trompent
Ia raison, & qui s’opposent au développement de
Tesprit. Voilà pourquoi Pythagore ne vouloir point
recevoir de disciple qui n’eût étudié les Mathématiques,Platon faisoit aussi le plus grand cas de {'Astronomie.
Voyez ce qu’il en dit dans son 35'' livre,
intitulé Epinomis vel philosophus, que MarcileFicin
appelle le Trésor de Platon. Nolite ignorare
Afironomiam sapientijjìmum quiddam este. 11 vajufqu’à
dire dans un autre endroit que les yeux ontA s t a s t
*) 9
été donnés à Thomme à cause de {'Astronomie :
c étoit peut-être Tidée d’Ovide lorsqu’il disoit :Finxit in effigiefa moderantum cunâa deorum ,
Pronaque cumspeâent animalia caetera terram ,
Os homini sublime dédit coelumque tueri
suffit j & ereâos ad sidéra tollere vultus.Mé.tam. I. 83.Peut-on envisager sans un mouvement de compassion
& de honte , la stupidité des peuples
qui croyoient autrefois qu’en faisant un grand
bruit dans une éclipse de lune, on apportoit du
remède aux souffrances de cette déesse, ou que
ces éclipses étoient produites par des enchanterriens
îCum frustra résonant oera auxiliaria luné.Met. iv. 333.
Cantus & è curra lunam deducere tentât,
Etsaceret,si non oera repuisasonent.'Tib. 1. 8.Indépendamment de ces terreurs qui dégradent
le peuple , -on trouve dans Thistoire plusieurs
traits qui montrent le désavantage que Tignorance
de {'Astronomie donna à des généraux , à des
nations entières. Nicias, général des athéniens,
avoit résolu de quitter la Sicile avec son armée ;
une éclipse de lune dont il fut frappé lui fit
perdre le moment favorable, & fut cause de la
mort du général & de la ruine de son armée,
suivant Plutarque ; perte si funeste aux athéniens,
qu’elle fut Tépoque de la décadence de leur
patrie. Alexandre même , avant la bataille d’Arbelle,
sot obligé de faire rassurer son armée
effrayée par une éclipse de lune ; il fit venir des
astronomes égyptiens, & ordonna des sacrifices.
Paul Emile, ía veille de la bataillé contre Pérsee,
fit aussi des sacrifices à la lune & à la terre,
comme aux divinités qui causoient les éclipses.On voit au contraire d’autres généraux, à qui
leurs connoissances en Astronomie ne furent pas
inutiles. Périclès çonduiíbit la flotte des Athéniens,
il arriva une éclipse de soleil qui causa une épouvante
générale ; lé pilote même trembloit. Périclès
le rassura par une comparaison familière : il prit
le bout de son manteau, & lui en couvrant les
yeux, il lui dit : crois-tu que ce que je fais-là soit
tinsigne.de malheur ? non, fans doute, dit le
Pilote ; cependant c’est aussi une éclipse pour toi,
& elle ne diffère de celle que tu as vûé-, qu’en
ce que la lune étant plus grande que mon manteau
, elle cache le soleil à un plus grand nombre
de personnes.Agatòcles, Roi de Syracuse, dans une guerre
d’Afrique vit aussi, dans un jour décisif', la terreur
se répandre dans son armée, à la vue d’une éclipse ;
il se présenta devant ses soldats, leur en expliqua
les causes & dissipa leurs craintes. Tacite parle
d’une éclipse dont Drusus se servit pour appaiser
une sédition. On raconte des choses de cette espèce
à Toccasion de Sulpitius Gallus, lieutenant
de Paul Emile dans la guerre contre Persée 1, '& ■
de Dion, Roi de Sicile.NOUS lisons un fait également honorable à {'Astronomie
, dans Tépitre que Roias adresse à CharìesQuint,
en lui dédiant ses commentaires fur le
planisphère. .Christophe Colomb, en commandant Tannée
que Ferdinand , Roi d’Espagne, avoit envoyée à la
Jamaïque, dans les premiers tems de la-découverte
de cette île, se trouva dans une disette de
vivres si générale , qu’il ne lui restoit aucune
espérance de sauver son armée, & il alloit être'
à la discrétion des Sauvages : Tapproçhe d’une '
éclipse de lune fournit à cet habile homme un
moyen de sortir d’embarras. II fit dire aux chefs des
Sauvages que si dans quelques heures on ne luT
envoyoit pas toutes les choses qu’il demandoif, il
alloit les livrer aux derniers malheurs, & qu’il
commencerait par priver la. lune de fa lumière. ,
Les Sauvages méprisèrent d’abord ses menaces ;
mais aussitôt qu’ils virent que la lune cOmmençoit
en effet à disparoitre, ils furent frappés de terreur ;
ils apportèrent tout ce qu’ils avoient, aux pieds
du Général, & vinrent eux-mêmes demander grâce.Combien les hommes ne doivent-ils pas s’applaudir
d’avoir perfectionné {'Astronomie asiez pour
s’affranchir de cette misérable imbécillité , -dont
ils furent si long-tems dupes ; Taveriture de Tannée
1186 dut couvrir de honte les astrologues de' toute
TEurope. Chrétiens, Juifs ou Arabes, ils s’étoient
tous réunis pour annoncer sept ans auparavant,
par des lettres qui furent publiées par toute TEurope,
une conjonction de toutes les planetfes, qui
devoit être accompagnée de si terribles ravages,,
qu’il y avoit à craindre un bouleversement universel."
On s’attendoit à voir la fin du inonde ; cette
année. se passa néanmoins comme à Tordinaire ,
mais cent autres mensonges aussi bien avérés n’aurpient
pas suffi pour détacher.des hommes ignorants
& crédules des préjugés de leur enfance ; il a falluqu’un
esprit de. philosophie & de recherche se
répandit parmi les hommes, leur développa Tétendue
& les bornes de la nature, & les accou« 
tumàt à ne plus s’effrayer fans examen & fans
preuve.Les comètes -furent fur-tout, comme on le fait,,
un de ces grands objets de terreur quel’astronomie
a enfin dissipés, même parmi le peuple. On est
fâché de trouver encore des préjugés aussi étrangers
dans le plus beau poëme du seizième siècle.Quai con le chiome sanguinose orrende
Splender cometa fuol per l’aria adufla
Ch'i regni muta ei fieri morti ádduce
E a ; purpura tiranni in faufla luce.Géras, liber, vu. 52.\6QA s t a stLes charmes de la poésie sont actuellement
employés d’une manière bien plus philosophique
& plus utiles. Témoin ce beau passage de Voltaire
Bu sujet des comètes, dans son épitre à la Marquise
du Châtelet.Comètes que Fon craint à Vcgal du tonnerre ,
Cessez d’épouvanter les peuples de la terre ;
Dans une ellipse immense achevez votre cours ,
Remontez descendez près de l’astre du jour ;
Lancez vos feux , volez & revenant fans ceffe ,
Des mondes épuisés ranimez la vieillesse.C’est ainsi que Tétude approfondie & les progrès
de la véritable astronomie ont dissipé des préjugés
absurdes & rétabli notre raison dans tous ses droits.
Mais ce n’est point à cela seul que se réduit l’utilité
de cette science, elle contribue au bien général
de, plus d’une manière.On fait assez que Ia Cosmographie & la Géographie
ne peuvent se passer de {'Astronomie. Les
observations de la hauteur du pôle, apprirent aux
hommes que la terre étoit ronde ; les éclipses de
îunescrvirent àconnoître les longinides des différens
pays de la terre, ou leurs distances mutuelles
d’occident en orient. La découverte des satellites
de Jupiter a donné une plus grande perfection à
nos cartes géographiques & marines, que n’auroient
pu faire mille ans de navigations & de voyages,
& quandTeur,théorie sera encore mieux connue,
la méthode des longitudes sera encore plus exacte
8Í plus facile. L’étendue de La méditerannée étoit
presque inconnue vers Tan 1600 ; on la croyoit de
53 degrés, au lieu de 35 qu’il y a réellement,
on connoît aujourd’hui cette étendue aussi exactement
que celle de FranCe.C’est à {'Astronomie qu’on fut redevable dés
premières navigations des Phéniciens, & c’est encore
à elle que nous devons la découverte du nouveau
inonde. Christophe Colomb avoit une connoiffance
intime de la sphère, peut-être plus que personne
de son tems, puisqu’elle lui donna cette certitude.
Q. lui inspira cette confiance avec laquelle il dirigea
sa route vers Toccident, certain de rejoindre par
Tprient se continent de TAfie, ou d’en trouver
tjn nouveau.S’il reste actuellement quelque chose à désirer
pour la perfection & la sûreté de Ia navigation ;
c’est de trouver aisément les longitudes en mer ;
on les a quand pn veut par le moyen de la lune,
comme on le fera ypir au mot Longitude, & si les
navigateurs étoient un peu astronomes, leur estime
ne ses tromperait jamajs de dix lieues, tandis
qu’ils son t à deux cents lieues d’incertitude dans des
voyages ordinaires. L’usege que Ton fait de {'Astronomie
pour le Calendrier, pour la Chronologie,
pour la Gnomonique , sont des objets fur lesquels
. aous aurons occasion de nous étendre dans d’autres
i »rrkles de cet ouvrage. Enfin’ M. Pupujs a faitvoir que toute la Mythologie de Tantiqtute se
réduit à des symboles & dès allégories astronomiques
 ; il est évident qu’il faut connoitre trèsbien
le ciel pour pouvoir les entendre ; c’est par-là
que M. Dupuis est parvenu à cette singulière découverte
dont j’ai rendu compte dans le quatrième
volume de mon Astronomie.La Météorologie, c’est-à-dire, la connoiffance
des changemens de Tair, des vents , des pluies,
des sécheresses, des mouvemens du thermomètre
& du baromètre , . a certainement un rapport
bien essentiel & bien immédiat avec la santé du
corps humain ; il est probable que {'Astronomie
seroit d’une utilité sensible, fi Ton étoit parvenu,
à force d’observations, à trouver les influences
physiques du soleil & de la lune sur Tatmosphère
& les révolutions qui en résultent. M. Toaldo a ..
cru reconnoître que la période de 19 ans de la
lune ramène les années pluvieuses ; Délia vera
influenza degli aflri, délie stagion si mutaijonì di .
tempo, saggio amteorologico in Padova 1781, in-40.
&lesaros météorologique Í781. Sur là Météorologie
appliquée à la médecine, Voyez la dissertation
de M. Retz, Amiens 1780, in-8.° Gallièn avertit
les médecins d’avoir égard au cours des astres ; jc
ne doute pas qu’il ne voulut parler des principes
de TAstrologie judiciaire & des influences qu’on
imaginoit alors, d’après une ignorante superífition.
Mais en réduisant tout à sa juste valeur, il paroît
que les attractions qui soulèvent deux fois le jour
les eaux de Tocéan, peuvent bien influer fur Tétat
de Tatmosphère. On peut consulter, à ce sujet,
Hoffmann, Méad & autres qui en ont parlé assez
au long ; il faudrait que les médecins consultassent
au moins Texpérience à cet égard , & qu’ils
examinassent si ces cercrises & les paroxismeS des
maladies n’ont pas quelque Correspondance avec
les situations de la lune, par rapport à Téquateur,
aux fyzygies &. aux apsides ; plusieurs médecins
habiles m’en ont persuadé.Cés ' différens avantages qùi se rassemblent en
faveur de Y Astronomie , Tont fait rechercher de
tous les tems & chez tous les peuples du monde.
Josephe dans ses antiquités judaïques, fait remonter
jusqu’à AdamT’étude de {Astronomie & les découvertes
qu’on y fit. II nous dit que les defeendans
de Seth y firent des progrès considérables, & que
voulant en conserver la mémoire , ils gravèrent
fur des colonnes de pierre & de brique leurs
observations astronomiques. Josephe attribue a
Abraham les premières connoissances des Egyptiens.On voit plusieurs passages dans le livre de Job,
où Dieu même, parle d’Astronomie : numquid conjungereyalebis
micantesstellaspleyadas, autgyrum
arâuri poteris dissipai e ? numquid producis luciferumin
temporesuo & vesperum super fiíios terrée
-confurgere facis ?On attribue aussi à Moïse des connoissances de
même espèce ; du moins S, Etienne dit de luidan »A s t "as..tì-tftr« ans les actes des Apôtres, qu’il étoit versé in
ernni sapientia Egyptiorum ; ce qu’on doit entendre
^principalement de la connoiffance.des astres, .qui
avoit rendu ses Egyptiens si célébrés. .C’est ce qui a fait dire à quelques, favans, que
lés Patriarches avoient été les premiers inventeurs
de {'Astronomie ; M. Tabbé Renaudot, dans son
Mémoire fur Torigine de la sphère, Acad. des
inscript. T. i , semble incliner pour cette opinion ;
il en apporte plusieurs raisons, mais nous osons
croire avec Balnage qu’elles ne méritent pas d’être
réfutées. II en seroit peut - être de même de Torigine
mythologique, rapportée par les Grecs, si
îa célébrité des noms que la fable nous a conservés,
. ne méritoit du moins des citations. En lisant les
Auteurs qui ont parlé de Torigine de Y Astronomie,
on.trouve une discordance & une obscurité dont
on ne pourroit se tirer, si Ton ne dhiinguoit exactement
les époques, ainsi que les différentes parties
de Y Astronomie , & les degrés des connoissances
dont on prétend parler ; nous distinguerons dónc
' avec soin la. Mythologie., qui remonte tout au plus
à 2400 ans avant Tére chrétienne, tems auquel on
a accoutumé de supposer' le déluge : les observations
Caldéennes, qui ne vont guère qu’à 720
ans avant Jésus- Christ, & les recherches dé détails
qui ne commencent que 400 ans avant Tére chrétienne.
■''■■_M. Bailly,.dàns son Histoire de Y Astronomie,
■remonte, encore plus haut, & jusqu’à un peuple
antédiluvien -, dont la mémoire s’est perdue ;
M. Dupuis fait aussi remonter Y Astronomie des
Egyptiens , à plusieurs milliers d’années • avant
Tépoque ordinaire du déluge. On peut voir le
Mémoire que j’ai- cité.Quoi qu’il èn soif, on voit assez que cette Astronomie
ancienne ne comprenoit autre chose que la
connoiffance dû mouvement diurne, celle des révolutions
apparentes de la lune & du soleil, 'la
situation &ses noms .des étoiles & des constellations
les plus remarquables, & les tems de Tannée où
elles étoient cachées par le soleil. K HÉLIAQTJE ;
Les Caldéens y ajoutèrent des observations plus
exactes fur les éclipses de la lune, avec une légère
connoiffance des planètes ; mais ce ne:fut enfin
que 400 ans avant Jefus-Christ ^ qu’on rechercha
les inégalités de la lune & des autres planètes,
Ia durée de leurs révolutions, la situation de leurs
orbites, la grandeur de la terre & la formé du
système planétaire , & qu’on entreprit de prédire
les éclipsés.Pline le naturaliste se plaint vivement de la négligence
des anciens à écrire Thistoire de Y Astronomie
: c’est une ingratitude, dit-il,- & une dépra-.
yation de Tesprit ; on aime à .remplir ses annales
de guerres & de carnages pour faire connoître les
crimes des humains, tandis qu’on leur laisse ignorer
la structure de Tunivers^ & les bienfaits de ceux
qui les ont éclairés. Liv. z , c. 9. Diodore de
Sicile parlant des Atlantes, raconte assez au long
Matiiématiques. Tome I, I.m Partie.ce qu’ils difoient de la'naissance des Dieux, &
il ajoute que leur sentiment n’est pas en cela fort
éloigné de celui des Grecs ; ainsi, nous le rapporterons
comme une des sources de la Mythologie
grecque. Les Atlantes étoient le peuple le
plus policé de T Afrique : leur pays étoit riche &
rempli de grandes villes. Ils prétendoient que les
Dieux avoient pris naissance fur les côtes maritimes
de leur pays, & cela s’accorde affez, ajoute
Diodore, avèc ce que les Grecs en racontent. Leur
premier Roi fut Uramisí Ce" Prince rassembla dans
les villes des hommes qui, avant lui j étoient-répandus
dans les campagnes ; il- régla leurs usages
& les retira de la vie grossière qu’ils menoient.
Comme il étoit soigneux observateur des astres ,
il détermina plusieurs, circonstances de leurs révolutions
 ; il mesura: Tannée par le cours du soleil,
& les mois par celui- dé la lune, & il désigna
le commencement & la. fin dés faisons. Ces peuples
qui nefavoientpas encore combien le mouvement
des astres est égal.& constant, étonnés de la -justesse
de ses prédictions, crurent qu’il étoit d’une
nature plus qu’humaine, & après fa mort ils lui
rendirent des honneurs divins à cause de son
habilité dans {'Astronomie, & des bienfaits qu’ils
avoient.reçus de lui. .Diodore X, ÍIT., T z>
pag. 444 deTa,trad ;.françoise de Terrasson.,Parmi les fils d’Uránus, les",deux plus- célèbres
furent Atlas &..Saturne, qui se partagèrent le
royaume d’Uránus. Atlas eut .en partage les côtes
maritimes ;, on dit qu’il excelloit dans Y Astronomie,
& que ce fut lui qui représenta Tunivers par une
sphère. C’est, pour cette, raison ; qu’on a ; prétendu
qu’Atlas porfoit le monde" sûr ses ; épaules. Diod.
pag. 453. Mais" probablement’la constellation du
bouvier, dont la tête étoit autrefois près du pôle
& de Taxe du monde, a donné, lieu à cette fable
d’Atlas.Cicéron Texpliquoit de la même manière que
Diodere : nec verò Atlas coelumsuflinere traderetui,
nifi coeleshum diviria cognitio nomen eorum ad errorem
fabulé traduxiffet.-TutáA.Yív. 5 , c. 8. Presque
tous les auteurs attribuent à Atlas Tinvention de
la sphère & les premières connoissances des mouvemens
célestes. Voyez, au sujet d’Atlas-, Homère
dans TOdiffée , liv. 1 , v. 5z. yitruve liv. 6 ; c. 1 q.
Virgile, Mnéid 1 , 745. Diodore, liv. 4, tom. 2.,
pag. Gz'-.de sédition françoise..~PY\n, liv. z, c. 8.
Weidler, hist, astrphomioe, pag, 3 & n. Atlas
donna son nom aux peuples qui habitoient les
côtes, & à Tune des. plus grandes chaînes de
montagnes, qu’il y ait en Afrique.Diodore de Sicile ajoute, qu’Atlas fit part de
ses lumières à Hercule, pour reconnoitre le service
que ce héros lui avoit rendu, en délivrant ses
filles qui avoient été enlevées par des voleurs.
Hercule transmit aux Grecs ces corinoiffances qu’il
avoit reçues d’Atlas, & passa dans la fuite pour
Tinventeur de {'Astronomie, Sophocles in palamedCt
Vojfius de natura artium. .
ríi
A st a s tLe P. Pdtau estime qu’Atlas a vécu vers Tan
1638 avant Jésus-Christ, & Hercule 400*1™ plus
tard. Ceux qui rapportent-le siécle d’Atlas à 24có
ans a\ ant Jesus-Chrisl, le placent au tems où vécut
Noé, suivant les commentateurs de TEcriture ; c’est
aussi'le siécle d’Yao, suivant_les Chinois, & c’est
lá plus haute antiquité qu’on ait coutume de donner
aux élémens de la plus, simple Astronomie,__ en admettant
même la tradition des Grecs fur Tancienneté
d’Atlas.Aux fabies d’Uránus, d’Atlas & d’Hercule, on
doit ajouter celle de tous les hommes.illustres qui
s’étoienf distingués dans {'Astronomie & qui passèrent
pour inventeurs ; Lucien dans son petit ouvrage fur
l’Astrologie, expliqua par-là lés fables d’Orphée,
Tirésias,"Atrée, Thiefte, BeîlerOphon, Phrixus,
Doedale, Pasiphaê, Endimion, Phaëton : tous, au
jugement même des anciens, durent leur célérité
à leurs connoissances dans {'Astronomie: leshommes
étonnés, ádmiroient avec un saint respect ceux qui
leur avoient appris des -choses auffi sublimes.
Cicéron-, Titscul. quoest. liv. 5 ; c. « ; .Pline Z. 9.Enfin Ton fait assez que la My fhologiáfctes Grecs &
Thistoirede ses héros est mêlée avec les noms des
signes, dès constellations & des planètes, on en
péut voir les détails dans Afatus, Hyginus, Manilius,
Lucien. Voyez aussi Jôf Scaliger dans ses
ilotes sûr Màriilius. Riccioli dans son Almageste,
tom. 2 ,pag. 398 & Blaew ouPhil. Caeíiùs, aoeluni
aftronomico poeticum., 1 GGz. Enfin le mémoire de
M. Dupuis, qui expliqué la Mythologie par les
levers & les aspects des constellations, & il cite
ch témoignage Porphyre, Synefius, Jamblique,
Athénagore, &c-.: '- "Jusqu’ici ce n’est- qu’une tradition obscure. &
fabuleuse ; mais vers se tenís de Texpédition. des
argonautes, i-300 o'ii-' 1400 ans avant Jefus-Christ,
{'Astronomie fit quelques progrès. Le centaure
Chiron , Thessalien , que d’autres ont dit être fils
de Saturne , apprit le premier aux hommes-la
justice & le culte des dieux, & lés figures du
ciel, suivant fauteur de la'.Titahomachie , cité par.
Clément d’Alexandrie, Strom. liv. 1 , ch. z3-,-il
en est aussi parlé dans Áusone, E'dyllium j -, v.zó,
comme ayant été élevé & instruit par Achille. Mém.
. Acad. des Inscriptions & Belles - Lettres, tome xiv.
■362. xvij. 46. 'L’expédition des argonautes paroît liée avec
rétablissement dés constellations dáns la Grèce,
suivant Neuton dans fa- chronologie,' & Fréret
dans fa défense de la chronologie , publiée en
1758. Cela semble prouverquê ees nonisfurent
donnés par les grées aux constellations, peu après
le voyage des argonautes. C’est aussi ce que pensoif
Sénèque quand il disoit, il n’y a pas encore
i 'joo ans que la grèce a compté & nommé les
étoiles Nat. quoest. liv. 7. 2.5. Sénèque écrivoit
vers Tan 65 ; ainsi, il fuppofoit que tes noms
étoient plus anciens de 1400' ans tout au plus
ouc nptre ère vulgaire. •ASTRONOMIE caldéenne. Les habitans des:vasie »
plaines de Sennáar, où fut bâtie la ville de JB^bjlone,-sont
les plus anciens astronomes, &lespremiers
de tous les observateurs dont les observations
nous soient parvenues. Tout concouroitàporter leur
attention vers le ciel ; la garde des troupeaux faisoit
leur principale occupation : mais la chaleur du
jour leur faisoit choisir le tems de la nuit pour
leurs travaux, leurs-exercices & leurs voyages ;
en sorte que le spectacle des astres les devoit occuper,
pour ainsi dire, malgré eux. Ajoutons à
cela, que dans ces plaines-, dont quélques-unès
étoient couvertes souvent d’un sable léger que le
vent dispersoit facilement , les astres dévoient .
servir à reconnoitre les chemins ( Voyages des
Indes orientales, Carré, chap. 2 , pag. Z30 ) , &
à se conduire dans les voyages ; enfin la-Curiosité,
la superstition , & peut-être le goût.de l’Astror
logie, ajoutés dans la fuite à des motifs plus
raisonnables, achevèrent de porter les caldéens
vers {'Astronomie. Ils furent, peut-être, les premiers
à y faire des progrès distingués. Les égyptiens
devraient peut-être les précéder dans Thistoire
de {'Astronomie., & quelques auteurs ont
donné Ia préférence aux égyptiens, fur-tout Lucien
& Marsham ; l’un parmi les anciens ; l’autre parmi
les modernes, & enfin M. Dupuis, qui trouve
les noms de tous les signes du zodiaque , d’accord
avec le calendrier rural des égyptiens.L’Astrologie des babyloniens est citée dansdivers
endroits de Técriture. Plusieurs auteurs ont
regardé Abraham comme un astronome caldéen
qui avoit appris TArithmétique: & {'Astronomie
aux égyptiens, Philo de hobilitate, pag. 70Z,
édit, de Cologne, 1613 ; Josephe, Alexandre Polyhistor
& Àrtapanus, cités par Eûsebè^rafp. ev.
liv. ix,ch. 26, 17 & 28 ; Vossius, ch. 30, §. G,
il est. parlé de plusieurs constellations dans le livre
de Job, çh. 9 , & Job étoit arabe de nation, c’est-àdire,
voisin de la Babylonie. On trouve dès le
tems^d’Achaz, 750 ans avant Jefus-Chrisl , Tusage
des cadrans solaires à Jérusalem, & il paroît
qu’on les avoit reçus des babyloniens ,. à qui
Hérodote en attribue Tinvention ( II. 109 )  ; d’ailleurs,
on voit que-ce prince avoit des liaisons
avec Teglath-Phalafar, roi d’Assyrie, Reg.iv,
z'G ,v.8. Les babyloniens envoyèrent à Ezëcliias,
pour s’informer de ce qui étoit arrivé au -cadran
d’Achaz, dons ils avoient entendu parler. Paralípl.z
, c. 3Z. /.'..•11 y a dans la Babylonie , dit Strâbon-, des
philosophes ttès-occupés de l’Astrologie, & qu’on
appelle caldéens. Quelques-uns, ajoute-t-il, croient
pouvoir annoncer aux hommes, dès leur nais*
fance, ce qui doit leur.arriver ; mais ils sont
désavoués par-les autres. La nation des caldéens,
& la Babylonie qu’ils habitent % est voisine de
f Arabie & de la mer - qu’on appelle Persique.
Strabon, /. 26, p. 733*, édit, de Paris, 1620:
íl dit-ailleurs que les grecs avoient appris -cett$A s t a s t■r'£ ?science dés’ égyptiens & des caldéens, W. 17 , }
p. 80G. íCicéron raconte aussi que les assyriens, qui Jiabi- ;
-tôient de vastes plaines, où rien ne pouvoir borner ìa :
vue, & empêcher la contemplation du ciel
avoient doriné tout "leur soin à la connoiffance ,
des astres, de Divinàtione , l. 1 , h.os z & 93. ■
Diodore de Sicile ,. quoique prévenu en faveur !
des égyptiens ; dit - précisément  ;qué lés ; caldéens
font les plus habiles ' astrologues qu’il y ait au i
monde, comme ayant cultivé la science des astres i
avec plus de foin qu’aucune autre nation , l. z , ) 
t. t, p. z8o. Virruve en parle "à-peu-près ■ de ;
même, l. 9 > c 7. " 'Platon les joint aux égyptiens soús le'nom des !
syriens.-Epin.. pag. Gzz.,■ édit, de 'ij.48 , cómiiie \
nous le dirons bientôt ; ils sont également cités
comme inventeurs de l’Astrologie dans Aristote, ;
de ccelo ( íl. 12 )  , & dans Ion commentateur :
Simplicius ,fol. 77 , verso, édit. lat. de Venise, :
1540 ; dans Pline, vij.56 ; dans la vie de l^fhagore,.par
Jambliquc ~ c.zg , seâ, 158 ; dans Je
commentaire grec, de .T.héon fur Aratùs , pag. 80, .
édit, -de Paris’, 1559 ; dans Achille Tâtius, au
çommencementxleson Isagqge, Petayii úrânalogion ,
pag. 73 i édit.aAnvers., 1705 ; dans Solinus Afià,
cap. G5, p. 1G.8 ; dans Martianus Capella, /. G,
de Babyl. p. zz$., édit, de 1599. S. Clément
d’Alexandrie , après avoir dit que les égyptiens
furent les premiers qui apprirent .aux hommes
l’Astrologie, ajoute aussi-tôt, & de même aussi
les caldéens, Stromatum, l. 1 , art. iG, p. 3G1 ..de
Tédition grecque & latine faite a Oxfort en ,1.715.
&illes cite toujours ensemble, (pag. 3 $4,, &c.) Parmi les^modernes, Voffius a été fur-tout persuadé,que
les babyloniens avoient été les prémiersinyenteurs
.deTAstronomie , dénaturaartium , l. III,
cap. 30, p. 105. Voyez aussi. M. Goguet., de
Torigine des loix, des .arts ..& des-sciences-, t. ï,
p. xi 5- , in-4 ?'",' & ,M. Tabbé .'Renaudot dans le ;
premier volume, des Mémoires de l’-Académie des \
Inscriptions. -.-.' Les caldéens prétendoient avoir des observations
de 470 -mille ans ; mais il y a Heu :de !
croire que - c étoient des’jours. Voyez ANNÉE.
Ptolemée, dans son~ Atmageste-, le plus.'ancien ■
ouvrage d’Astronomie que ayons , emploie: trois ;
éclipses de Ia lune, dont Ta première avoit’été
observée i -Babylone , 720 ans avant J. C. ; il ;
paroît donc que c’est vers-cettedate qu’il faut placer
les plus anciennes observations qui -eussent mérité
d’être -conservées. Touf.ce qui avoit précédé
n’ètoit qu’un commencement grossier de connoissances
astronomiques ; il se réduisoit à ivobfer- ".
yation-dú zodiaque, des 'tems du lever & du  ;
coucher hélíaqué des Constellations, du retour
des phases de:lá lune. íl n y a point,d’apparence
que la'pêriode ;des 1,8 ans & 10 jours, qui ramène • ;
jí-peu-près Tes -éclipses dans le même--ordre a -ait ,éfé-îcopnuë décès premiers caldéens 1, quoiqu’on.
Tait, ajîpellée période: caldàìque.Le temple de Jupiter Bélus ■, que Sémiramis
avoit fait bâtir à Tsabylone , renfermoit une tour
immense, qui, suivant Hérodote, /. z , n.° 181 ,
avoit ;un stade de hauteur, environ 100 toises, &
autant de largeur, bâtie avec des briques & de
líifphalte , aù-dessus de'laquelle if y avoir encore
sept grandes fours les unes furies antres ; elles
sobsisloient même du tems d’Hérodote, 440 ans
.ayant Jefus-Christ. Diodore de Sicile dit qu’onconvient
que ce temple -étoit d’une -hauteur excessive,
& que les caldéens y avoient. parfaitement
observé les levers & les couchers des astres.L. il j í, .2 ,p. Z33. .- .'. ". ..Z .i 1 Diodore dé .Sicile nous apprend aussi que les
caldéens n’avoient^ qu’une théorie' -imparfaite des
éclipses ; qu’ils ' n’oíbient lés s déterminer , ni en
prédire-le tems. L. II, t. t :., p..z79. llscónnoissoient
bien les planètes, mercure , - venus ,
mars,_ Jupiter & saturne ; mais -il paroît qu’ils
connoistoient mal la durée de leurs révolutions ,
puisque Ptosemée , long-tems après, ne se -flat-foif
pas encore de les .connoître hien" ; ils faisoíent
leur année, de 365 jours, & il ne paroît pas
quais connussent encore Terreur de -six heures.Hérodote nous dit expressément que les grecs
avoient appris des babyloniens Tusage du pôle,
du gnomon & de la division du jour/en douze
parties ; le pôle étoit un instrument fait pour
montrer Theure du. jour ; le gnomon- servoit à
montrer les longueurs de Tombre en différentes faisons.,
 &par conséquent la longueur de Tannée.
-Pherecydes-, vers Tan 540, fit’ un cadran solaire
dans Tîle de Scyros, Tune: des Cyclades, commeìnous
Tápprend)  Diogène Laërce ; mais Anaximandre,
mort Tan 547, en avoit Tais un à Lacédémone
 , & Thorloge d’Achaz paroît devoir faire
remonter cette découverte au moins 'jusqu’à Tan
727. 11 ne '.ferait pas étonnant qu’elle eût passée
des :babyloniens aux syriens ,'& de Tramas à Ia
Judée. II n’y eut à Rome de cadran solaire que
•Tan 306 -avant Jefus-Christ ; cë fut Papirius
Curfor ;qui le fit faire. 'Cenfor. ch. 2.3 ; Pline
vij. Go. .--•-■■Geminus parle beaucoup des observations des
:caldéens ; mais il nedistingue pas celles qui avoient
,été faites Tous les rois -de Babylone, ;& sous les
princes Médopersans : on ne fait pas-s’il y en eut
rbeaucoup-depuis la prise de 'Bab) ione par Cyrus
jusqu’à la conquête d’Alexandre. Celles dont parle
Ptolemée se terminent à Tan 492 avant J. C. à
lâ réserve de deux éclipses de lune des années
384-& 383 , & de quelques ^observations de mercure
, que je crois avoir été faites à BabyloneTes
rois de Perse 11'y résidant point , négligèrent
probablement d’y encoui-ager ies sciences. La
révolte arrivée vers Tan-5-10, •ayoit-'déj.V préj^aré
:1a décadence dé cette ville. La' réputation des
-caldéens’ èn Astronomie "occasionna -encore IonsXij16*4A s t â s ttems après les impostures des avanturiers â qùî, s
fous le nom de caldéens, alloient prédire Tavenir
à la crédule populace*.Caldoeis sed major erit fiducià.Juven. 6. 553..mais alors Ia superbe Babylone étoit en ruines
& ne ressembloit plus qu’à un désert ; les sciences
avoient passé en Grèce & en Eg) pte.Les égyptiens s’attribuèrent Tinvention de Y Astronomie
 ; ils sont cités conjointement avec les caldéens,
dans le plus grand nombredes auteurs grecs.
.Hérodote attribue fur-tout aux égyptiens ia plus
grande partie des connoissances des grecs : Aristote,
Pline,-Maerobe(Somn.scip. zz) , attribuent
la première invention de {'Astronomie aux égyptiens
& aux caldéens, conjointement, Vofìius, de
naturâ artium ,. I. III, c. 30 ,.§. 23 ,p. 10G.Marsham étoit persuadé que Y Astronomie ' avoit
pris naissance en Egypte, & non pas en Caldée.
Canon chronieus, p. 243 , 47 5 , 482 , édit, de 2 G9G ;
•mais il accorde aux babyloniens le rétablissement
des sciences eii Egypte ,: après lá destruction de
J’empire de Perse ; car, dit-il, pendant le tems où
TEgypte fut gouvernée par les perses , les arts y
furent négligés, & passèrent k Babylone, (p. 47s.
$05 )  Marsham parle des deux mercures, dont
l’un surnommé Thoth, fut regardé comme Tin•yenteur
de Y Astronomie , peu de tems après le déluge,
&; le second surnommé Trismégiste, vécut
peu après Moyse, 1500 ans avant Jefus-Christ
(p. 34 & 7.42 ) , II cite Syncelle , Eusebe &
Jamblique. Les égyptiens se vantoierit d’avoir
envoyé des colonies par toute la terre : selon eux,
fiéius en avoit conduit une dans la Babylonie ;
il y avoit institué les prêtres caldéens, qui s’adon.
nèrent à Tétude des astres , à Timitation des
prêtres, des namralisles & des astrologues égyptiens.
Diod. Sic. I. 1 , pag. fG & 273.. Paiisanias
dit aussi que Babylone tiroit son nom de Belus,
égyptien.Cependant la manière mystérieuse & énigmatique
dont s’expliquoient les prêtres égyptiens, en
enveloppant leurs connoissances fous des hyérogliphes
& des emblèmes , fait qu’on n’ajien su
de positif fur la date & Torigine de leur première
Astronomie ; elle étoit peut-être* plus ancienne,
mais plus bornée.Diodore de Sicile,. quoique très-favorable aux
prétentions des égyptiens , dit peu de chose de
leurs connoissances en ce genre,. si ce n’est qu’ils
marquoient au juste les révolutions des planètes
.& leurs mouvemens directs, stationnaires & rétrogrades.
Diod. t. 2 , p. 27Z.Diodore,.en parlant des habitans dé Thèbes
ou Dioí'polis, ville de la haute Egypte a qui Te
prétendoient les plus anciens habitans de la terre,
& les premiers inventeurs de Y Astronomie , dit
feulement, il paroît qu’ils avoient observé soigneusementlés éclipses y & qu’ils faisoìent de*
prédictions à ce sujet ; mais Diodore 11e dit pas
précisément &- clairement, "comme- M. Terraffon
le lui fait dire, qu’ils prédisoient des éclipses,
l. 1 , t. 2 , p.. 229.Diogène Laërçe * dit aussi que depuis le tems
de Nilus, 1200. ans avant J. C. jusqu’à celui
d’Alexandre, les égyptiens avoient observé 373.
éclipses du soleil , & 832 de îa lune ; mais il ne
dit point óù & comment 011 avoit fait ces observations.
,-'.,. •■• ;…, '-'..:…Une paroît pas qu’Hipparque  ;ait fait aucun
usage des éclipíçs observées en Egypte , dont
probablement le tems & la mesure n’avpient pas
été assez bien- déterminés ; il ne se servit, que
de celles de Babylone ;On est incertain si les ; égyptiens ont-connu
plus de 400 ans avant J…Ç. Terreur d’environ
six heures qu’il y -a dans les années communes
de 365 jours ; il semble qu’ils Tignoroient alors,
comme, le croient M. Goguet &-M. Dupuy.
Mém, de. l’Acad. des Inscript, tom. zg , pag. 116.
Voyez ANN"ÉE. ; Hérodote n’en parle pas ; rhais Platon & Eu-í
doxé ,. 80 ans après Hérodote , apprirent des
égyptiens, comme úne chose mystérieuse & se« 
erette, la circonstance des fix heures. Strabon,
/. Z7 , p. 8óG ; ce qui semble prouver que la.découverte
étoit récente en Egypte. Goguét, t. 3 ,
pag.gS. ' ." ." .'"C’est alors probablement qu’on distingua Tannée
astronomique & Tannée civile ; celle-ci continua
cependant à être de 365 jours. ( Geminus, c. G.) 
Voyez TJiistoire du calendrier égyptien’,,par M. de
la Nauze, dans les Mém: de l’Acad. des Inscript..
t. 14, p. 334. M. Dupuy, r. Z9-. M. dés Vignoles,,
Miseell. Berolin. t. 4, p. 2. Théod. Gaza, de
mensibus , apud Petav. in. Vranol. Cenfor. c. 18 yP-93-:'■.''.''■'Diogène Laërce attribue beaucoup de connoissances
aux égyptiens ; mais il paroît, par ce que
nous venons de dire, que c’est environ à Tan 400
avant J. C. qu’il faut rapporter ce qu’il en dit ;.
Suivant cet auteur , on favoit en Egypte que les.
étoiles étoient des feux ; que le monde étoit rond
comme une boule ; que la lune s’éclipsoit en entrant
dans l’ombre de la terre, & que le mouvement
des planètes étoit fort inégal. ( inproemio ,.
p. 3.) Diodore de Sicile dit àrpeu-près la même,
chose, liv. J", tom..-2 ,pag. 249 , édit, française…II en est probablement’de même dé ce que rapporte
Macrobe ( Somn.scip. I. t , c. ig) , quand, il,dit:
les égyptiens ont découvert que le cercle décrit
-par le soleil est environné par. un cercle extérieur
que mercure décrit, & que le cercle de
venus renferme encore celui, de mercure,. de manière
que ces deux astres sont au-delà du soleil
lorsqu’ils sont à la partie, supérieure de leurs, .
orbites. Vitruvc, /. 9 , c. 4, en parle assez au,
long , comme nous le dirons à Toccaffon du fys-
A S T A S T ìcTç
íême.de Copernic, qui étendit cette belle idée à
Routes ks.autres planètes ; ils eurent la.prenìière
idée de la pluralité' des mondes, & Orphée la
répandit parmi les grecs. Voyez PLURALITÉ. . .La période bu semaine de sept jours , dont
.chaciin est consacré à une des -sept planètes, soi.vant
Hérodote, l. II, c. 8z, & Dion Cassius,
liv. 37 , fut un établissement des égyptiens , adopté
ensuite parles grecs & par les romains.Le lever. & le Coucher des étoiles en diyers
 ;tems de Tannée a dû être un des premiers objets
de Tattention des peuples observateurs ; aussi les
égyptiens en avoient dressé des tables, comme ilparoît
par un passage de Diodore de Sicile, l. 2 ,
p. 4G ìde Védit. de 1 Go4, où il s’agit du tombeau
d’Ofymandias, roi d’Hèliopolis. On y voyoit un
cercle d’or de 365 coudées ( chacune répond
à 20 \ pouces ). On voyoit un jour de Tannée
à chaque Coudée, avec le lever & le coucher des
étoiles, qui répondoient à chaque jour, & les
propriétés qu’on leur attribuoit. Ce cercle fut
enlevé sous le règne de Cambyse, roi de Perse,
lors de la conquête de TEgypte , 524 ans avant
J. C.Le lever héliaque de sirius ou de la canicule , |
fut fur-tout observé soigneusement én Egypte. Ce
genre d’observations avoit précédé, selon ses ap.
parences, tous les autres , & remonte peut-être
à 4 mille ans avant J. C., ou même beaucoup
plus haut, suivant quelques auteurs.Strabon, qui voyagea en Egypte vers le tems
d’Auguste, ne trouva presque plus de vestiges de
ces sciences parmi les prêtres d’Egypte , et les
égyptiens n’avoient brillé long-tems’ auparavant
qu’à raison de Tignorance des grecs ; mais au
tems de Strabon, leurs sciences -& leur célébrité
avoient passé aux habitans de la Grèce, comme
la plupart des grands établissemens de la Grèce
avoient été formés par des colonies venues d’Egypte-' , , .Les grecs instruits à 1 école des égyptiens, les
ont regardé comme les inventeurs de toutes les
sciences, & leurs écrivains en ont parlé fur ce
ton ; de forte qu’il devient très-difficile pour nous
de démêler le mérite des autres nations, fur-tout
des caldéens. Nous "croyons cependant que les
caldéens étoient presque aussi ignorans en Astronomie
-Soo ans avant. J. C. ; que les péruviens &
les mexicains Te font trouvés Têtre dans le 15e
siècle. ■'-"'-ASTRONOMIE des Grecs. Platon attribue aux
cathares, c’est-à-dire, aux étrangers, toute la philosophie
des grecs , comme Tobserve S. Clément
"d’Alexandrie. Stromatum, l. 2 , c. 15 , ,p.~3ss- H
remarque encore que Pythagore étoit tyrrenien ;
Antisthènes, pbrigien ; Thaïes, phénicien ;. qu’Orphée
étoit de Thrace ; & Homère , égyptien  ;
suivant le plus grand nombre. Tout annonce
Tantériorité des africains & des asiatiques fur les
grecs. ' -"J
Thaïes de Miles, que plusieurs ont dit erre
phénicien, parut dans un teins où les grecs n’avoient
encore, aucune 
Astronomie planétaire ,
environ 600 ans avant J. C. Diogène Laërce
{ /. 2 , p. G , édit, de i S94 ) , d’après Eudeme, qui
avoit fait Thisloire de Y Astronomie , nous apprend
que Thaïes fut le premier des grecs qui détermina
le cours du soleil d’un solstice à l’autre, & qui
régla la division de Tannée. II voyagea en Egypte
étant-.déjà avancé en âge: Thaïes fut le premier
qui apprit aux grecs la cause des éclipses, de
Placit. pkil. L II, ch. Z4 ; il connoissoit Ia rondeur
de lâ terre , & Ia divisoit en zones par le
moyen des tropiques & des cercles polaires ;' il
, parloit du cercle oblique du zodiaque, du méridien
, qui coupe tous les cercles en s’étendant du
nord au sud, & de la grandeur du diamètre apparent
du soleil. -Hérodote, Z. 2 ; n." 74 ; Cicéron, de divin. 2 ;
Pline, II. u, assurent que Thaïes avoit prédit
aux joniens une éclipse totale de soleil, qui
arriva pendant la guerre des lydiens & des mèdes.
Riccioîi & Neuton croient que cetre éclipse fut
celle du mois de niai, 585 ans avant J. C.
Suivant Bayer dans les. mémoires de Péterfbourgy
& M. Costard dans les Transactions philosophiques
de -1753 ? ^e fut celle qui arriva le 18 mai
603 , à huit heures du matin : M. Chasseboeuf la .met’à.éai.
 Au reste, la manière dont Hérodote
-raconre cette prédicíion est si vague , qu’on a "
peine à croire qu’elle ait réellement été faite.3
mais s’il étoit vrai que Thaïes eût prédit une éclipse/
de soleil, ce ne pourroit être que par le moyen
de la période générale de 18 ans &.11 jours,
dont il auroit eu connoiffance par les égyptiens
ou caldéens" ; car on n’étoit pas encore au poinr
de pouvoir prédire les éclipses par un calcul
exact des mouvemens de la lune.L’année ' des grecs, aussi bien que celle des
égyptiens, avoit été originairement de 354 jours j
elle étoit encore de 360 au tems, de Solon.
( Marsham, pag. 360. ) A Tégard des planètes ,. venus est la seule dons
il soit parlé dans Hésiode & dans Homère s
comme dans TEcritufe.. Démocrite fòupçonnoit
qu’il y avoit plusieurs étoiles errantes ; mais il
n’avoir pas ose en déterminer le nombre. Sen. •
auoest. nat. I. 7, cap. 3, & les grecs ne connoifsoient
point encore ses mouvemens des cinq planè-res
, lorsque Eúdoxe en apporta d’Egypte la
première connoiffance, 380 ans avant J. C. Les
grecs en voyant venus briller, tantôt le soir &
tantôt le matin, en avoient fait deux planètes
différentes, espéras & eosphoros. On prétend
que Pythagore fut le premier qui fit connoître
aux grecs que ces deux astres n’en faifoient qu’un.
Stobée , Ed. phys- L '2 , p. 55 ; Plin. liv. II,
cap. 8 ; Diog. Laërce, l. 8 ,seâ. 14..Anaximandre , né 610 ans avant Jesos-Chrrst ;
ensuite Anaximène, Anaxagore, Démocrite, Phi-Ï6CA st a s tlolaus de Crotone, sont célébrés par les auteurs
-grecs comme ayant contribué aux progrès de Y As-.
tronomie. Eudoxe naquit 421 ans avant J. C.
Cicéron dit qu’on peut le regarder comme le
prince des astronomes ; & cela au jugement des
hommes les plus favans, de Divinaí II. 87.
Sextus Empiricus cite Eudoxe avec Hipparque,
c’est-à-dire , avec le plus grand astronome de la
■grèce. Advers Mathem. lib. 5. initia. Cependant
eii voyant combien la sphère d’Eudoxe, ou la
situation des cercles de la sphère par rapport aux
•étoiles, cra'on lui attribue, est différente de celle
qui devoit avoir lieu de son -tems, on a sujet
de croire qu’Eudoxe n’observa presque point luiinême,
& -n’écrivit que d’après les égyptiens,
jdiez lesquels il avoit été pour -apprendre. YAstro•nomie
, comme le-racontent- Cicéron-, Strabon ;;
Diogène Laërce. Sénèque dit aussi qu’Eudoxe
rapporta le premier de TEgyptè la cconnoiffance
des -mouvemens planétaires. Ouast. nat. 7. 3 ;Vitruve lui attribue Tinvention de Taraignée,
espèce de cadran solaire. Arachnen Eudcxus astrologus,
non nulli dicunt Appollonium. ( IX. 9. initio. ) 
•Hipparque, Tundes plus grands astronomes dont
lès observations nous soient parvenues, cite quelquefois
Eudoxe'avec éloge. Ôn peut encore citer
Pytheas parmi les astronomes -grecs ; cependant
leurs progrès furent lents & médiocres jusqu’au
têms-où Ptolemée Fhiladephe ranima les sciences
à Alexandrie, en se déclarant le protecteur dés
favans, vers Tan 280 avant J. C. Les observations
de Timocharès , d’Aristylle , d’Eratosthène &
d’Hipparque, donnèrent à Y Astronomie une nouvelle
face. Ces observations firent connoître la
grandeur de la terre , la précession des équinoxes
, la durée & les inégalités des mouvemens
planétaires ; maïs les connoissances que Ton eut
fur cette partie étoient encore bien imparfaites":
aussi Ptolemée fait-il cette remarque à Toccasion
d’Hipparque : le teins depuis lequel, nous avons
des observations des planètes rédigées par écrit.,
est si court en comparaison de la grandeur d’une
telle entreprise, qnon ne peut être assuré des. prédictions qu’on en seroit pour un long espacede tems Ainsi je pense qu Hipparque ,amateur du vrai, entreprit à la vérité ce travail
pour les mouvemens du soleil & dé la lune, en
démontrant, autant qu’il étoit possible, que ces
-mouvemens -étoient réellement circulaires ; mais il
-ne Tentreprit pas .pour les autres cinq planètes, du
moins autant qu’il paroît par les ouvrages que
nous avons pu avoir de lui. Almageste, liv, ix,
eliap. 2.- Poíìdonius doit être aussi compté au nombre
des astronomes grecs ; c’est lui dont Pline a
adopté les opinions fur les distances des planètes,
& elles étoient fort -exactes : il vivoit 80 ans avant
J. C.Pour avoir fur les astronomes "grecs tous les, détails possibles de la plus vaste érudition ; ilfinit consulter Fàbricius, Biblioth.groecè >Ì.ti.Ók
a Thisloire de {'Astronomie deWeidler , qui a faittrèsgrandusage
du livre deFabricius : on peut aussi consulter
Scaliger dans ses prolégomènes fur Manilius,
Vossius, de Sci. mat. le P. Pétau , Umnahgìon ,
& fur-tout Thisloire de Y Astronomie par M. Bailly.Les romains, occupés de Tart militaire, cultivèrent
peu les sciences. Le jSenatus - Consulte ,
de Tan 52 de J. C.,-par lequel les mathématiciens
furent chassés d’Italie, renouvelle par Domitien s en
83, dut éloigner encore le goût des Mathématiques.
Nous ny voyons d’aùtre astronome connu que
Menelaûs, qui vivoit à Rome au commencement
du régne de Trájan, Tan de Jefus-Christ 98.
{ Petau, l. xj , cap. Z3 ). II détermina les longitudes
de plusieurs étoiles, par le moyen des
conjonctions de la lime : il en est parlé dans
'Ptolemée, vij. 3.Ptolemée est le seul de tous les anciens astronomes
dont il nous soit resté un ouvrage important
: c’est à lui que nous sommes obligés d’avoir
recours pourTíhistoire de cette science ; on en peut
voir la notice dans Weidler, pag-. 284, zoz, &
ci-devant au mot ALMAGESTE. ,.:Théon d’Alexandrie est le-seul successeur de.
Ptolemée dont il nous resté un-livre utile, qui
est un commentaire fur ¥ Almageste de Ptolemée ;
il y a une éclipse de soleil observée à Alexandrie
Tan 365.11 eut une fille nommée Hypatia, dont
les connoissances en Astronomie excitèrent une fi
grande jalousie parmi ses concitoyens, qu’elle fut.
assassinée", déchirée & traînée dans les -rues par
la populace d’Alexandrie. Boulliaud, Astron. phil.
p. 15. 11 cite Suidas & Hesychius, in vitis Phil.L’éclipse observée par Théon, avec celle que
Thïns observa Tari 500 à Athènes, sont presque
les feules" observations qui aient été faites dans la
Grèce depuis Ptolemée ; fi cependant Ton cherchoit
avec soin dans-les manuscrits des grandes
bibliothèques, il seroit possible qu’il s’en trouvât
encore quelques-unes.On ne voit pas précisément dans quel tems les
sciences s’éteignirent dans la Grèce ; nous savons
seulement que dans la division de TEmpire, TEgyptè
resta aux Empereurs d’Orient jusqu’à Tan
úT4qu’-elle sut ôtée à TEmpereur Héraclius par les
'Perles, sous la conduite de Cofroës ( Abutfaragius,
Hist. Dynast. )  ; sous Omar, second Calife
ou second successeur -de Mahomet -, Alexandrie fut
prise par Amrou Ebno'1-Aas, & la fameuse bibliothèque
fut brûlée Tan 641. Ce fut - là le terme
du progrès des Sciences en Egypte & en jGrèce ;
car les Arabes n’eurent d’abord ni le goût ni le
loisir de s’en occuper.ASTRONOMIE des Arabes. II se passa prè,s de
200 ans de guerres & de révolutions avant que
ses Arabes nssent rien pour les sciences ; Mais enfin,
les Califes de Babylone ayant étendu leur domination
jusqu’aux Indes, -le loisir les dirigea veri
Tétude ; le second Calife de k famille des Abbaffides-A st a s t167fút Almansc-r ou Almansour, Prince rempli de
connoissances , & qui commença de répandre
dans son EmpireTe goût de Tétude. Historiacompendiosa
Dìneftiarum , autore Georgio Abulpharajio
, &c., 1763 , 2 vol in-4., pag. léo. Voyez
uusfile Diâiormaire de B ay le, au mot ABULPHAR'AGE.
. -.'. Almamon, fils de Harun Al-Rashid, & petit-fils
d’AImansor, parvint à TEmpire en 814 ; ayant
ëté élevé avec soin & dans Tamour des sciences,
il s’àppliqua à les cultiver & à les faire fleurir
dans ses états ; il demanda aux Empereurs Grecs
les livres de Philosophie qu’il y avoit chez eux.
Si c’est à Michel le Bègue, qu’il avoit vaincu plusieurs
fois, cet Empereur, qui ne favoit ni lire
ni écrire, ne dut passe rendre fort difficile à cet
égard ; Almamon rassembla dés interprètes habiles
tels que Mefué son Médecin,, pour en faire des
traductions ;11 encourageoit ses sujets à les étudier ;
il fféquentoit les favans & affistoit à leurs exercices
( Abulpharage, page 2 Go ). II fit traduire TAlmagesle
 ; il détermina Tobliquité de Técliptique ;
il fit mesurer un degré de la terre sor les bords
de la nier rouge, comme on le voit dans les Elémens
d’Astronomie d’Alffagan, qui,vivoit dans le
même tems, c’est-à-dire vers Tan 830. -r Albategnius, Prince Arabe, qui vivoit Tan 912,
fit aussi des observations à Aracte en Mésopotamie,
c£ à Antioche ; II rectifia les tables de Ptolemée,
& ses observations servirent encore dans la
fuite pour les tables. Alphonsines. Nous avons aussi.
des observations de Tabeth & de Ibn-Iounis.. . OnTrouve dans les transactions philosophiques
de la Société royale de Londres un Mémoire d’Edouard-Bernard
, où il est parlé d’un très-grànd
nombre d’Astronomes Arabes, dont les ouvrages
« 'existent qu’en manuscrits : une seule bibliothèque
d’Oxford en renferme plus de quarante qui contiennent
des traités ou des observations astronomiques
 ; il y en a plusieurs dans la bibliothèque
du Roi à Paris, & dans la bibliothèque deTEscurialj
dont on a publié le catalogue il y a queliques
années. II seroit bien à souhaiter que nos
íavans Interprètes voulussent tourner leurs vues fur
ces objets, qui feroient plus utiles que les romans
qu’ils ont traduits, & qui illustreraient la Littérature
orientale dont ils s’occupent.
" Lés Arabes,dans le VTIi" fiècle, s’emparèrent
de TEfpagne ; ils y portèrent leur Astronomie & lâ
Philosophie pèripateticiene, & il y'eut plusieurs
hommes célèbres qui firent long-tems la. réputation
de TEfpa.gne. Parmi les Astronomes on compte
fur-tout Arzachel & Alhazen. -Lès sciences pénétrèrent avec le Mufulmanisine" jusques dans la Perse, & de-là dans la Tarrarie
&dans les Indes. II nous en reste un monument
précieux dans ses ouvrages d’Ulng-Beg ou UlugdBeigh,
qui étoit petit-fils du grand Tamerlan, &
•qui,' vers Tan 1430, rëgnoir dans la Baclriane :
Ja capitale .de son Empire étoit Samarkande ,située à 39 degrés 37' 23° de latitude, & 6 degrés
à Torient de ìa mer Caspienne. La dominafionde
ce Prince s’étendoit fur les deux rives du fleuve
Oxus ou Gihon, qu’on appelle aussi Gilhus. Nous
avons de lui un catalogue célèbre des longitudes
& des. latitudes des étoiles. Ulug - Beg composa
aussi des tables astronomiques pour le méridien de
Samarkande, tant fur ses observations que fur celles
de Salaheddin Al-Roumi, qui en avoit formé Tentreprise.
On dit que ces tables• étoient si exactes,
qu’elles différaient peu de celles de Tycho-Brahé.
D’Herbelot, page 935.ASTRONOMIE des Chinois. Quoique {'Astronomie
ait été cultivée très-ánciennement à la Chine, elle
y avoit fait peu de progrès, & il semble que Ton
voie les Chinois suivre pas à pas les autres nations
dans leurs progrès. Le Pi Gaubil. a composts
une histoire de YAstronomie chinoise, publiée par
le P. Soucier en 1729 & 1732", dans laquelle on,.■:■
trouve d’assez grands détails historiques ; mais on fï
n’y trouve , pour ainsi dire , qu’une seule observation
de Tan 1278, dont les Astronomes aient profité.
- Dans les premiers siècles de THistoire de la Chine
il n’est fait mention que d’une seule éclipse, que
les uns rapportent à Tannée 1-948 ay. J. C. d’autres à
2159 ; le P. Gaubil la fixe au 12 Octobre 2155^
. tome II, pag. 115 , en comptant à la manière des
chronologistesordinaires. M. Fréret, étayé des calculs
de M. Cassini, la place au 23-Septembre 2007e
( Acàd. des Inscrip. XVIII, zò2 )  ; mais ces différences
prouvent quel’éclipfe est très-doutêuse.Dans les siècles postérieurs, jusqu’à Tan 721, il
"n’y a demême qu’une seule éclipse dont il Toit ia.it
mention ; elle arriva le 6 septembre 776 avant J. C.
(II.Ï54)  ; la suite des 32 éclipses rapportées par
-Confucius dans, le Tchun-Tíieou, ne commence
qu’à Tan 721, & va jufqu’àTan’480 ; mais les Caldéens
observoient alors avec assiduité & avec précision ,
en sorte qu’on seroit tenté" de croire que les Chinois
avoient emprunté des Caldéens les observations
dont ils ont enrichi leur histoire ; on y trouve d’ailleurs
de fausses éclipses, suivant le P. Couplet.
( M. Cassini , Bsegles de VAstronomie indienne ).Vers Tan 66 avant J. C.,Lieou-Hin écrivit un
cours entier dAjhonomie.il supposoit Tobliquité
de Técliptique de 24 degrés chinois, ou. 23°, 39
minutes 18 secondes. II ignorait le mouvement
propre des étoiles, aussi-bien que toutes les
équations & les inégalités de la lune, du soleil
& des planètes. 11 rapportoit à Téquateur la situation
de tous les astres. Ainsi , Ton voit que YAstronomie
étoit moins avancée à la Chine qu’à Alexan- "
drië, où Hipparque venoit de découvrir lâ précesíìon
des équinoxes.L’an 206 de J. C. ,'Lieou-Hong & Tfay-Yong
parlèrent les premiers des inégalités de la lune qu’ils
fkisoient de cinq degrés chinois ; ils "reconnurent
que ia longueur.de Tannée n’éioit pas tout-à-fait
de-. 3 65 jours six heures, mais Y Astronomie de Ptolemée
étoit alors conjiue dans toux Torient} & il
A S T

A S T v
n’est pas possible qu’on n’en eut connoiffance à la
Chine. 1Les observations de Co-Cheou-King faites à
Pékin avec un gnomon de 40 pies de hauteur , Tan
1278, forit de beaucoup postérieures à celles que
les Arabes avoient faites au tems d’Almamon &
d’Albategnius. Enfin Y Astronomie étoit extrêmement
négligée, lorsque les Missionnaires Jésuites y j>ortèrent
celle des Européens, qui fut bientôt adoptée
par ordre des Empereurs.- Renouvellement de VAstronomie. Depuis Tan 800
jusqu’à Tannée 1300, TEurope étant plongée dans
la plus profonde ignorance, il n’y eut de bons
ouvrages & de gens habiles que parmi les Arabes.
L’Empereur Frédéric II, vers Tan 1230, prépara
le renouvellement des sciences, en se déclarant
protecteur des favans. II rétablit TUniversité de
Naples ; il sonda celle de Vienne en Autriche en
1237 ; il donnà une nouvelle vigueur aux écoles de
Bologne & de Païenne ; il fit traduire de Tafabe
plusieurs anciens livres de Médecine & de Philosophie,
en particulier TAlmageste de Ptolemée qui
fit la première époque du renouvellement de Y Astronomie
en Europe.Sacro-Bosco, mort en 1256, fut un des premiers
qui acquirent de la réputation dans Y Astronomie :
Alphonse, Roi de Castille, fit construire des tables
nommées Alphonsines, -en 1252. Purbachius publia
eii 1460 ses Théoriques, fur lesquelles il y a eu plusieurs
commentaires ; il mourut en 1461. Gassendi
a composé la vie de Purbachius, toine'V, aussi
bjen que Melchior Adam vitoe germ. philojbp. Hcidelbergce,
16T5 , inr8°, Tannstetter , dans la préface
qu’il a mise dans les tables des éclipses de cet auteur
, & "Weidlér , page 301, ont donn.é le catalogue
de tous ses ouvrages. Quoiqu’il fût très-peu
observateur, Ton trouve cependant quelques observations
de lui, avec celles de Regiomontanus &
de Waltherus, publiées par Schoner,Mais c’est à Regiomontanus que commence la
liste des véritables observateurs, & le renouvellement
de Y Astronomie. Sës observations & celles de
son disciple WaltherusTont encore aujourd’hui d’un ,
très-grand secours aux astronomes…Copernic commença vers Tan 1507 à méditer
fur Y Astronomie , a faire de nouvelles recherches
& de nouvelles tables des mouvemens Célestes, &
il finit en 1543 son fameux livre de revolutionibùs
orbium coelestium , qui fait époque dans Thisloire de
VAstronomie. V. SYSTÈME DE COPERNIC.Pierre Apian publia en 1540 son Astronomicum
Coesareum ; Erasme Reinhold composa en 1551 des
tables astronomiques, dédiées à Albert de Brandebourg,
Duc de Prusse, qui étoit son bienfaiteur, &
intitulées par cette raison: Tabuloe prutenicoe ; elles
étoient-faites fur les observations de Copernic&
& de Ptolemée ; mais elles étoient plus exactes
que celles de Copernic, parce que celui-ci, à qui
les longueurs des calculs déplaisoient, avoit mis
peu de soin dans la construction de Tes tables astronomiques ; souvent même elles ne représentent
pas exactement les observations fur lesquelles l’auteur
les avoit établies. Les tables de Remhold sont
pour le méridien de Koenigsberg, capitale du royaume
de Prïissefur la mer baltique. Reinhpld publia
encore plusieurs ouvrages, &il en prëparoit beaucoup
d’autres, lorfquil mourut en 1553.' OronceFíné, Gemma Frisius, Leovitius, Jean
FerneT, Pierre Cardan, Rheticus, Nonius, Stadius,
Moestlinus se distinguèrent aussi dans le XVIe
siècle, les uns par des éphémérides, les autres par
des tables, des traités ou des inventions d’Astronomie,
Le Landgrave de Hestè-Caffel, Guillaume IY, fut le
Souverain qui contribua le plus par fa protection, ses
dépenses & ses travaux personnels au rétablissement
de Y Astronomie depuis 1561 jusqu’en 1592 : il s’appliqua
lui-même aux observations astronomiques ;
il s’attacha Rothmann & Birgiùs, le: premier qui
étoit grand astronome, & le second qui excelloit
à faire les instrumens connus de son tems ; ses
observations sont les meilleures qui aient été faites
avant Tycho : la plupart ont été publiées à Leyde
en 16T8 ; on les trouve encore avec le catalogue
des étoiles tiré des observations de ce Prince dans
THistoire céleste de Tycho ; publiée en 1666 ; les
autres sont en manuscrits ; il y en a une copie
dans-la bibliothèque de TAcadémie des Sciences
de Paris. _ - ''-.'*Enfin parut TYCHO - BRAHÉ , le plus grand
observateur qu’il y ait eu ; il fut le premier qui,
par Texactitude & le nombre de ses observations,
donna lieu à la perfection de {Astronomie ; toutes
les théories ; les tables & les découvertes de Kepler
sont fondées fur ses observations, & leurs noms,
à la fuite d’Hipparque & de Ptolemée, doivent
aller à Timmortalité.Depuis Tan 1582 jusqu’en 1597, Tycho fit à
Uranibourg une fi grande quantité d’observations
fur toutes les parties de {'Astronomie, que nonseulement
il perfectionna toutes ses théories & tous
Tes calculs dont on faisoit usage avant lui, mais
il donna lieu à Kepier de découvrir ses fameuses
loix des mouvemens planétaires qui ont conduit
Neuton à la découverte de Tattraction, & qui par
conséquent ont amené {'Astronomie au degré" de
perfection où nous la possédons actuellement. Ty-r.
cho mourut se 24 octobre 1601.KEPLER,né en 1571,mort en 1631, donna,en
1626, les meilleures tables qu’on eût eu jusqu’alors
sous le nom de Tables rudolphines ; il.découvrit les
véritables loix des mouvemens planétaires ,& à cet
égard on peut le regarder comme le premier dç
tous les astronomes qui aient jamais paru.Voici maintenant les astronomes du XVIIe siècle
qui ont précédé l’établissement des Académies. Jean Bayer
 publia en 1603 des cartes célestes p.ù toutes
les étoiles étoient marquées par des lettres grecques
dont on se sert encore aujourd’hui. Le P. Çlavius,
Jésuite, donna un vaste traité du calendrier ; Pi-r
tisons publia des tables dç sinus beaucoup plpsétenduej• a s t•■A S T ' ieTfétendues quon ne les avoit avant lui. Fabrîcius
découvrit la changeante de la Baleine : Magini calcula
 d’amples épbémérides, ainsi que David Origan.
Simon ÍMarius découvrit ia nébuleuse d’Andromède,
& disputa à Galilée la découverte des satellites
de Jupiter. Snellius publia une mesure de
la terre en 1617. Nicolas Muier donna, en 161 r,
de bonnes tables astronomiques, intitulées : tabulai
frisicoe.Nëper, baron écossois, mérite d’être célébré dans
Thisloire de Y Astronomie , pour Tinvention des lofarithmesqu’il publia à'Edimbourg,en 16T4. V.
.OGARITHMES.Lansberg ou Lansbergius, né à Gand en 1^60,
donna en 1632 des tables astronomiques dont on
s’est servi long-tems, quoique peu exactes ; il y a
plusieurs ouvrages de lui, qu’on a imprimés, en
1663 , à Midelbourg en un vol. in-fol. II mourut
en 1Ó32 en Zëlande où il étoit ministre de la religion
protestante.Henri Briggs, professeur de Géométrie à Oxford,
commença le calcul des grandes tables de
logarithmes dont nous nous servons encore. II
mourut le z6 janvier 1630, à Tâge de 74 ans.Juftus Byrgius, né en Suisse én 1552, travailloit
aux observations & aux instrumens mathématiques
à Cassel, comme nous Tavons dit en parlant
du Landgrave de Hesse. II avoit beaucoup de
talent : on dit qu’il eût avant Néper Tidée des
logarithmes, & avant Huygens, celle du pendule
dans les horioges. II mourût en 1633.Laurent Eichstadius composoit ses éphémérides
"à Dantzick en 1^34 ;íl donna, en 1644, ses tables
astronomiques. On a de lui-quelques observations.
Jérémie Horroccius ou Hprrpckes s’occupoit d’Astronomie
en Angleterre dès 1635 ; il mourut se 3
janvier 1641- à Tâge de 22 ou 23 ans. Le recueil
de ses ouvrages a été imprimé à Londres en 1678 ,
4n-4-° , avec des additions de Flamsteed.Guillaume Crabtrée, drapier de Broughton ,
près de Manchester dans la provincede Lancastre,
observaiepassage de venus en 1639 ; il fitbeaucoup
d’observations astronomiques, comme on levoitpar
celles que Wallis fit imprimer avec les oeuvres
d’Horro.ccius. Crabtrée mourut, comme son ami
Horroccius, en 1641. Voyez Sherburn dans son
Manilius, où il y a une chronologie des astronomes.Galilée, né à Florence en 1564, mort en 1642,
est célèbre par la découverte des satellites de juN
piter, des loix d’accélération, de la libration de
la-lune, de taches du soleil ; il fut un des premiers
restaurateur de la Physique & de Y Astronomie.
II fit le premier des lunettes d’approche, &
s’ouvrit par-là un nouveau ciel ; il mit hors de
doute le fystême de Copernic. Voyezson Eloge par
le P. Frisi.Longomontanus -, ou Christian Severini, fils d’un
laboureur de Danemarck, naquit en 1562 ; il vécut
pendant huit arts chez Tycho ; íl soi sefvoit
. MçLtkùnaúquei,. Tome. 11 L^J Partis*beaucoup pour fes observations & ses Calculs. 1.1
mourut à Copenhague en 1647. Nous avons dé
lui des tables, & YAstronomia danica , qui est un
très-bon’ ouvrage. Voyez Bartíiolïnus de Scriptis
Danorum ; le Diâìonnaire de B ay le , au inotLoA'GOMOÍITANVS
 ; M. Lenoble , au tome II d’Uranie
ou des Tableaux des Philosophes. Longomontanus est
appelle mal-à-propos Christophe dans Voffius, dáns
Moreri, dans le Catalogue d’Oxfort, & dans hs
Diarium de Witte. "Christophe Scheiner, jésuite, né dans Ia Souabc
en 1575, mort à Neiss en 1650 ; nous" en par-,
serons à Toccasion des. taches du soleil, qu’il dé-,
couvrit, ou du moins qu’il observa le -prèmieg
d’une manière complette.Denis Petau, jésuite, un des plus habiles chro*
nologisles qu’il y ait eu, & l’un des plus grandi
calculateurs en matière d’Astronomie ancienne ; il
étoit encore historien, poëte, orateur, & critique
plein de sagacité: il naquit à, Orléans en. 1583 ,
&-mourut à Paris en 1652.'Son grand ouvrage
de Doârina temporum , & fur-tout le troisième.
- volume, intitulé Uranologiùn , renferme beaucoup
de choses importantes en Astronomie.Pierre Gassendi, né en 1592 près de Digne,
mourut à Paris en 1655. Voyez le Mémoire de
M. Tabbé Goujet-sur le Collège royal, tom. 12 ,
pag. 157 , in-iz. Dans le recueil de ses ouvragée
en cinq volumes in-folio, il y a beaucoup d’observations
& de dissertations astronomiques.Jean-Baptiste Morin , né à Villefranche err
Beaujoíois, le 23 février 1583 , fut professeur de
Mathématique au Collège royal de France ; il
devint célèbre par son livre fur la science ' des.
longitudes, dont la première partie parut en 1634.
Nous avons de lui beaucoup de bons ouvrages ; il
mourut én 1656. Voyez le Mém. historique fur
le Collège royal, par M. Tabbé Goujet, tom. II t.
p. 237 , édit, in-iz.Thomas Street, publia en i'6"6T à Londres, des
tables .carolines , dont les astronomes ont fait
long-tems usage, & qui ont été réimprimées en
1705 & en 1710 ; ce fut Hâlley lui-même qui prit:
soin de Tédition de 1710. -Cornélius, marquis de Malvafia , composa ses
éphémérides à Bologne en 1672. Domirï. Cassini
observoit avec lui, & il fut un des plus illustrés
amateurs de cette science ; il étoit sénateur de
"Bologne , & général des troupes du duc de-Modène.
_ ■Adrien Auzout observoit à Paris en 1666 &
1668. Ses observations sont dans Thisloire céleste
de M. le Monnier" ; il est regardé comme l’in•venteur
du,Micromètre à curseur ou à fil mobile,
& il a partagé avec M. Picard le mérite d’avoir
su appliquer les lunettes au quart de. cercle, invention
que M. de TWe attribue à Rpberval:
Auzout mourut en 1691.■Stanislas Lubienietzki, gentilhomme po !onpis,fut
rôutou: du-§rand.ouvrslg ?jin.tîtulé: Theatrum ÇofiytIjo a s t a s t.ti:um, en deux volumes in-folio. Amst. 1667 ',
réimprimé à Leyde en 16S1 , & il fut empoisonné
en 1675. Voyez le Dictionnaire de'Bayle.Gabriel Mouton," né à Lyon , étoit docteur en
Théologie, & maître de choeur à Téglise collégiale
de Saint-Paul de la même ville ; il publia
en 1670 un ouvrage, intitulé : Observationes dia-,
mctrorum., où il y "a des observations, des tables,
des remarques très-intéressantes. L’auteur avoit
beaucoup de talent pour Y Astronomie ; ce sot lui
qui calcula les logarithmes des sinus & des tangentes
, de secondes en secondes, avec onze
chiffres pour les quatre premiers degrés : le manuscrit
est à Ia bibliothèque de TAcadémie ;
M. .Maraldi & M. Guerin en ont des copies : le
P. Pezenas, à qui je Tavois communiqué, Ta fait
imprimer, du moins les huit premiers chiffres
dans son édition des logarithmes, à Avignon.
Mouton proposa le premier Tusage d’une mesure
fixe, & Tusage des interpolations astronomiques
par les secondes & troisièmes différences. Vctyez
INTERPOLATION.Jean-Baptiste.Riccioli, jésuite, étoit né à Ferrare
en 1598 :nous citerons souvent son Almageste,
son Astronomie réformée , sa Géographie réformée ,
qui sont les ouvrages les plus utiles aux astronomes
, non-feulement comme de vastes collections
, mais comme des traités complets pour leur
tçms ;. il mourut en 1671 : le P. Grimaldi tra.vailloit
avec lui, & il le cite souvent dans ses
ouvrages.Nicolas Mercator étoit né dans le Holstein3
province de Danemarck ; il donna une cosmographie,
en 1651 , des institutions astronomiques
en 1676 : fa logarithmotechnie en 1678 , &
quelques pièces dans les Tranfaâions philosophi- .
ques, n." 13 & 57. Voyez le nouveau Dictionnaire
historique & critique pour servir de supplément
ou de continuation au Dictionnaire de
JBayle , par Jacques-George de Chaufepied, à
Amsterdam, 1750,1756, quatre vol. in-folio.Jean Hévélius (Heveike) , naquit à Dantzick se
28 janvier iéii ; il mourut le 28 janvier 1687.
Ses observations, faites depuis 1641 jusqu’à 1678,
sont un immense trésor pour Y Astronomie, d’après
lequel on calcule encore ses mouvemens des planètes
: mais ce ne fut pas le seul mérite d’Hévélius
 ; il perfectionna Tart des instrumens d’Astronomie
, & il fit pour ses progrès des dépenses si
considérables , qu’elles étoient dignes d’exciter
Témulation des souverains.L’Académie des Sciences de Paris, établie en
1666, forme une des époques les plus mémorables
dans Thisloire de Y Astronomie, comme dans
celle des- autres sciences qu’elle embrasse. Toute
les parties de Y Astronomie ont été découvertes ou
perfectionnées dans le sein de cette compagnie ,
'■ comme òn peut le voir -dans le recueil des mémoires
faits avant 1699, en onze volumes, dansThisloire de TAcadémie, par Duhamel, & Thiftoire
céleste, par M. le Monnier, publiée en 1741.
ce dernier ouvrage est un recueil des anciennes
observations de TAcadémie. Voyez aussi Thisloire
de Y Astronomie , par Weidler , pag. si8 & suiv.
Parmi les découvertes essentielles de Y Astronomie ,
qui y ont été faites, nous devons compter les satellites
de faturne, la grandeur & la figure de Ia
terre, Tapplication du pendule aux horloges,
celle des lunettes aux quarts de cercle, faite en
1668, & celle des micromètres aux lunettes, Ia
propagation successive de la lumière , &c. Les
principaux points de Y Astronomie y furent tous
discutés & établis, spécialement la théorie du
soleil & de la lune, leurs inégalités , leurs diamètres
, leurs parallaxes, les réfractions, Tobliquité
de Técliptique,les inégalités des satellites de Jupiter.La société royale de Londres fut formée vers le
même tems, & comme TAcadémie des sciences, par
des assemblées de curieux & de favans, qui se réunirent
à Oxford & à Londres. Lês plus célèbres
étoient Boylc , Ward , "Wallis, Willáns, Petty,
Willis, Goddard , Mathieu Wfen , Christophe
Wren. Wallis fait remonter Tétablisseriient de cette '
société à Tan 1645 , dans la .préface de Peter
Langloft’s chronicle, édition de Thomas Hearne.
M. Birch dit que Théodore Haak, qui étoit du
Palatinat, donna le premier Tidée de ces assemblées
philosophiques. Voyez Thisloire de la société
royale, par Thomas Sprat , in-S.°, édition
françoise de 1669, page 7 z, & sor-tout le grand
ouvrage, intitulé : The history os the royalsociety
os Londoh , for improying óf natural knowledge,
fromitsfirst rife ; By Thomas Birch , D.D.secretary
to the -royal society , 175Ó & 1757, 4 vol. z'n-4. 0
Cette histoire ne va que jusqu’en 1687 , & il
n’y a point de table de. matières ; mais on y
trouve beaucoup d’anecdotes curieuses pour Thistoire
des sciences, & un détail jour par jour de
tout ce qui se passa dans les assemblées de la société
royale, depuis le 28 novembre 1660, tems
où Ton convint de tenir des séances réglées au
collège de Gresham, dans Tappartement de Rooke,
& dé former un corps d’académie, according to
the manner in other countries , comme on le faisoit
dans d’autres pays ; en effet, Tétablissement des
académies en France, qui datoit de 1323,époque
des jeux floraux, de Toulouse , avoit eu lieu à
Paris même, pour les sciences, & le chancelier
Bacon parle de ces assemblées d’une manière brillante
, dans un passage remarquable , dont j’ai
donné la traduction dans le mercure de janvier
1759. L’ouvrage est intitulé : Fmncifci Baconi de
Verulamio , scripta in naturali & universali philosophia.
Amflel. 2^53 , p. 318.Les astronomes de" Paris étoient Gassendi ,
Auzout , Roberval ; ceux d’Angleterre étoient
Rook , Hooke, Wren, Ward : mais TAcadémie
des sciences fit bientôt Tacquisition de Picard.,À s t a s t 171Caíuni', Huygens ; & la Société royale eut bientôt
Flamsteed & Neuton.Christian Huygens, de Zuylichem en Hollande,
fils d’un conseiller du prince d’Orange,
naquit en 1619 ; le premier ouvrage par lequel il
acquit de la célébrité, fut le Systema Saturnium ,
1659, où il exphqua les apparences singulières de
Tanneau de faturne, fur lesquelles Galilée & Hévélius
s’étoient totalement abusés ; il annonça
dans le même ouvrage la découverte d’un satellite
de faturne, qu’il avoit découvert en 1655.L’application du pendule aux horloges, qu’il
avoit annoncée dès Tannée 1658 , fut détaillée
en 1673 dans Touvrage, intitulé : Horlogium oscillatorium.
II mourut en Hollande le 8 juilletl69ïJean-Dominique
Cassini", naquit à Perinaldo,dans le comté de Nice, le 8 juin 1625. II Tut
tin de ces hommes rares , qui semblent formés
par la nature pour donner aux sciences une nouvelle
face : Y Astronomie , accrue & perfectionnée
dans toutes ses parties par les découvertes de
Cassini , éprouva entre ses mains une des plus
étonnantes révolutions. A Tâge de 25.8ns, il fut
fait professeuride Mathématiques à Bologne ; il
traça la méridienne'de S. Pétrone, qui devint le
plus grand &le meilleur instrument d’Astronomie ;
il observa les comètes de 1664 & 1665 , fur lesquelles
il composa des ouvrages ; il observa la ro-,
tation de Jupiter & celle dé mars ; il donna des
tables des satellites de Jupiter en 1666 : il fut
appelle à Paris en 1669 ; là il détermina la parallaxe
du soleil ; il observa la comète de 1680,
sur laquelle il composa un traité ; il découvrit
la lumière zodiacale en 1683 , & quatre satellites
de faturne en 1684: le roi fit frapper une
médaille à cette occasion. En 1700 , il continua
de tracer dans les provinces méridionales de la
France la grande méridienne, qui avoit été commencée
par Picard ; il observa la libration de la
lune ; enfin, après ùn grand nombre d’autres ouvrages
, devenu aveugle, ainsi que Galilée , il
mourut comblé de gloire le 14 Septembre 1712,
laissant pour successeur Jean-Jacques Cassini son
fils , que TAcadémie a perdu en 175e, mais
dont le fils & petit-fils continuent à enrichir
{'Astronomie par leurs travaux.Jean Picard, né à Ia Flèche en Anjou, l’un
des plus anciens & des plus célèbres astronomes
qu’ait eu TAcadémie des sciences dans le tems de
son établissement, obscrvoit déjà à Paris dès 1645
avec Gassendi. II entreprit en 1669 la mesure de
la terre ; il fut envoyé en 1671 à Uraníbourg,
où. avoit observé Tycho-Brahé, pour en déterminer
plus exactement la longitude & la latitude ,
afin de-pouvoir comparer Tans aucune erreur les
observations de Paris avec celles de Tîle d’Huenne.. Picard employa le premier des lunettes fur lesquarts de cercle : Morin.avoit eu cette idée dès.IÍÍ4Ò ; iL s ?établit en 1673 '•* l’obscrvatoire royal,Le roi y étant venu le premier mai 16132, fut
charmé de Tactivité , du zèle & des progrès des
astronomes qui y observoient. 11 envoya ses
ordres pour ia continuation de la méridienne ~ de
France ; mais Picard, qui devoit y travailloit,
mourut le 12 octobre 1682.Jean Flamsteed a été le plus célèbre observateur
d’Angleterre. L’histoire céleste qu’il nous a
laissée en trois volumes in-folio , contient uri
recueil prodigieux d’observations faites pendant
3 5 ans , avec un catalogue fameux de près de
troismille étoiles. II naquit à Derby lè i^aoút 1646V
Dès Tan 1670, on voit de lui des calculs astronomiques
dans les Transactions philosophiques. Dans les
oeuvres’d’Horoccius, publiées en 1672, on trouve
des observations & des tables du soleil qu’il avoit
faites. En 1676, il entra en possession de l’obscrvatoire
royal , que Charles II, par les soins
du chevalier Moor, venoit de faire construire à
Greenwich, près de Londres : c’est-là qu’il exécuta
le grand Catalogue dont no .s avons parlé, ou- "
vrage immortel, que les astronomes ont entre les
mains, & que je viens de faire réimprimer dans
mon huitième volume des éphémérides : c’est fur
les observations de Flamsteed que sont fondées
les tables de Halley. Flamsteed mourut.le 31 octobre
1719.Isaac Neuton, naquit le 25 décembre 1642:1e
nom seul de ce génie étonnant tie nt lieu d’éloges.
La découverte de Tattraction suffit pour le
-rendre immortel dans 'Thisloire de {'Astronomie.
II mourut le 10 mars 1727 : son éloge est dans
l’histoire de TAcadémie pour la même année.Nous aliéns rappeller aussi en abrégé les astronomes
, qui, ayant eu moins de célébrité, ont
cependant contribué sensiblement aux progrès de
{'Astronomie. Le recueil des Transaâions philosopliiques
de la société royale de Londres, composé
des mémoires de cette illustre Académie, ne
commença qu’en 166j., comme se journal des
favans de Paris, qui parut le 5 janvier 1665 5 &
dont Tauteur étoit M. de Sallo , conseiller au
Parlement. Voyez se Journal des Savans de
janvier 1764. On rendit compte des Transactions
philosophiques dans le journal du 30 mars. Ces
deux ouvrages se ressembloient un peu, & formèrent
dès-lors un commerce, réciproque des
savans de Paris & de Londres avec ceux, du reste
de TEurope. -Laurent Hpok, premier professeur d’Astronomie,
& ensuite de Géométrie au collège de Gresham
à Londres, fut un des premiers qui observèrent
exactement les immersions & les émersions des
satellites de Jupiter ; il contribua beancoup à
Tétablissement de îa.Société royale de Londres,
& mourut le 27 juin 1661 à Tâge de 40 ans.
.Son épitaphe, .faite par Tévêque Seffi-Ward,est
imprimée dans se catalogue de Sherburn à la tète
de son Manilius: anglois.
Iiítoçl Bpulliaud, né à Loudun en 1605 j ^ïY u '
i7i
A st . a s tbeaucoup d’observations astronomiques : le ma- '
misait est dans la, bibliothèque du roi ; il y en
a une copie au dépôt de la marine. Son Astronomie
philoldìque est un des’ meilleurs-divres que
Ton ait fait pour déterminer les orbites de toutes
les planètes : on y trouve de bonnes tables astronomiques.
Boulliaud mourut à Paris en 1694.Parmi les observations de Boulliaud , on en
trouve d’un jardinier de Vizille en Dauphine,
nommé Feronce : cela rappelle les noms de plusieurs
paysans qui se sont fait remarquer dans
{'Astronomie.- Pierre Anich", dont le P. Hell a parlé dans
ses éphémérides pour 1767. Chrét. Gartner, marchand
de fer à Dolkewitz , qui découvrit les
petites comètes de Tautomne 1757 & de Tété 175^Jean-George
 Palitzsch , paysan à Prohlis,.. entre
Dresde & Pirna, qui découvrit le premier la fameuse
comète de 1759 ; il est trè$-instruit , &
cependant il ne néglige pointson métier. Bernoullï,
Nouv. litt. s- á1RobertHooke, né en 1635 ,'fut un des plus
savans hommes de TAngleterre ; il fut, pour ainsi
dire, Toccasion de la découverte de. Táttraction
& de celle de Taberration ; il découvrit une tache
dans Jupiter en 16.64.. Philos, trans. n.°- 1. H fit
beaucoup d’ouvrages astronomiques ; il mourut à
Londres le 3 mars 1702.- David Gregori, étoit neveu de Jacques Gre■"igori,
mathématicien célèbre ; il sot fait, en 1691,
professeur d’Astronomie à Oxford. En 1702 , il
publia ses Elémens d’Astronomie , in-folio , qui ont
eu de la réputation, & qu’on a réimprimés à.
.Genève en 1726, M-4. 0 L’âuteur étoit mort dès
Tan 1708. 'Guillaume Whiston publia fa Théorie de la Terre
« n 1606, ses Leçons d’Astronomie à Cambridge èn
1707, & quelques autres ouvrages très-bien faits
■où il y a. des dissertations intéressantes.Matthieu de Chazelles, né à Lyon le 25 Juillet
1657, fit à Marseille & dans ses voyages du Levant,
beaucoup d’observations importantes. U mourut
le 16 Janvier 1710. Son éloge est dans l’histoire
■ de TAcadémie des Sciences pour.la même année.
La collection de ses observations est dans- les 111a■îiuscrits’de
M. de TMe, de même, que celles du
P. Feuiïlée, minime , qui fit plusieurs-Voyages pour \
la Géographie, celles du. P. Sigalloux, qui lui suc- !
céda, & celles du P. Laval, jésuite,.faites à Marseille,
à Toulon, & dans des: voyages semblables
à ceux de M. de Chazelles. 'Godefroi Iíirch, né en 1:640 ,-a Guben dans la
,basse Luseee, avoir demeuré chez Hévélius. 11'publia
des Ephémérides en 1681.TI s’établit à Berlin
en 1700 ; il y fit un grand nombre d’obscr-vations,
& il mourut le 25 Juillet 1710, à Tâge de 71 ans.
Ses observations sont rassemblées dans les manuscrits
de M.: de TJsle, de même que celles de
MM. Wagner, Hossman, Eimmarr, Wurtzelbau
..Rofi.,.Zumbach de Koesseld,-&c„- , ''Olaus Rohier, ou Roemer, né en 16*44 èn Da"
nemarck , vint en France en 1672, avec Picard:
ce sot lui qui découvris la propagation successive
de.la lumière en 1675. II retourna, en 1681, à
Copenhague, où il fit diverses observations. 11
mourut le 19 Septembre 1710. L’incendie du 20
Octobre 1728 , qui arriva à Copenhague, a consumé
ce qui resloit de ses manuscrits. M. Horrebo-w
a publié une partie de ses observations.Philippe de la Hire, né à Paris se 18 Mars 1640,"
publia ses premières Tables Astronomiques en 1687 ;
il fit un très-grand nombre d’observations, de tables,
de recherches astronomiques. 11 y a eu deux de ses
fils dans TAcadémie des Sciences. 11 mourus à Paris
le 21' Avril-I718. Voy. son éloge dans l’histoire de
TAcadémie. Ses observations depuis 1685 jusqu’en
• 1718 , sont dans les manuscrits de M. de TJsle,,
qui avoit eu communication de tous-ses papiers.François Bîánchini, né à Vérone" le 13 Décembre
16.62, mort à Rome se 2 Mars 1729,'fit
beaucoup d’observations,, principalement fur la rotation
de Vénus,, hesperi £,& pìiojphori novapheenomena,
1728. 11 est.appelle Bîanchìnus-dans tousses
ouvrages Latins^mais enltálién’,Ton-ditBìanchinh
Ses observations ont paru à Vé^e en’ 1737,
in-folio. ■ 'Jacques-Philippe Mafaldi, né à Périhaldo dans
le Comté de Nice, le 21 .Août 1665, est mort à
Paris le premier Décembre 1729 ; il avoit attiré:
auprès de lui, en 1728 , M. Jean-Dominique Ma<raldi
 son neveu-, aujourd’hui de TAcadémie des
Sciences, retiré à Perinaldo'. Histoire de l’Acad..
1729.. Ils ont perfectionné l’un & l’autre ,1a théorie,,
des satellites de J.upiter,.& plusieurs autres branches
de T AstronomieEugène
de Louville,' né le 14 Juillet 1671,,
observoit à Paris dès Tannée 1704 ; il mourut à
Carré près d’Orléans, le 10 Octobre 1732. II y a
une copie de toutes ses observations dans les manuscrits
de M. de Ylûé air dépôt de la Marine. II travailla
prihcipalementfur Tobliquité" de Técliptique..
Ce sot lui qui-le premier appliqua le micromètre'au
 quart de cercle, invention très-utile.,Eustache Manfredi ,• né à Bologne le 20 Septembre
1674" ;. mort, le 15 Février 1739. (Voyez:
l’Histoire de VAcadémie',( 1739. ). .Christfried Kirch., né en 1694,8 fait de trèsbonnes
observations à Dantzick, & ensuite à Berlin
où il vivoit ,:& calculoit des éphémérides avec
ses trois soeurs ;.il pnbiia, en 1740, des observar.- '
rions choisies. 11. mourut le 9. Mars L74Q. Voyez
Mifcellanea Bèrolinenfia.-..Parmi les astronomes morts depuis quelques an— •
néës ;, &-qui' ont contribué aux progrès de TAstronomie
, on compte sor-tout Hàlley, & Bradley
célèbre par ■ la découverte de Taberration & de la.
nutation ;la Caille, qui.a travaillé lui'seul autant:
que tous les autres astronomes de son-temps prisensemble
 ; Joseph-Nicolas de Tlsle, frère du célèbregéographe,
de. ce noin ; Bouguer,. connu.par.un »As t a s t t7x*rès-beau traité dé la figure de la terre ;'enfin Tobïe
Mayer, mort, en 1762, à Tâge dé 39 ans, à quinpus ',
■ devons les meilleures tables dé la lune que Ton ait
faites.Apres avoir f ait en abrégé l’histoire de V Astronomie
, je vais indiquer V ordre que l’on doit suivre pour
Vétudier, en observant de mettre en lettres CAPI■.ÍTALES les mots qu’il faudra chercher dans ce Dictionnaire
, pour suivre une .méthode régulière & facile.
…. ' .' LA MÉTHODE la plus naturelle pour traiter de
T’Astronomie & pour Tétudier, consiste à suivre,
Tordre des phénomènes * qu’on observe , & des
•conséquences que Ton peut en tirer. Le premier
de tous les phénomènes célestes, le plus simple
de tous, le_pTus frappant & le plus facile à'observer,
est le MOUVEMENT.DIURNE, c’est-à-dire, ,
celui que paroît avoir tout le ciel ; -il s’achève '
dans Tespace. d’environ -24 'V-Nous y oyons chaque \
•jour le soleil se lever & se- coucher : si nous faisons
attention aux astres qui ne paraissent que la
nuit, nous lesçverrons de-même,.pour la plupart,
se lever & se coucher tous les jours , c’est-à-dis-e,
■paròître fur Thorizon- du côté de Torient, &Te
cacher fous .Thorizon du côté de Toccid.ent. ■ . .,■ En considérant d’une ' manière plus attentive & .
-plus suivie ce mouvement général, des, astres., pen- :dant Tespace d’une nuit ou de plusieurs, on re- ;-marque "bientôt que chaque étoile décritùn cerclé \
dans Tespace d’environ 24 h. Les étoiles qui sont
plus au nord décrivent déplus petits cerclés que  ;Tes autres ; & Ton voit, tous ces cercles’décrits par ;différentes étoiles, diminuer de plus en plus, aller '..enfin se.perdre & se confondre en un point élevé ■■de la rondeur du ciel, que nous appelions le PÔÌE. ■■ du monde. Celui que nous voyons-en Europe est
•le pôle boréal, septentrional ou .arctique. Ainsi.,v pòur se former une idée de {'Astronomie, il faut
d’abord apprendre à connoître le pôle du monde,.•c’est-à-dire j. Tendrait du ciel étoilé vers lequel
il se trouve placé ; On remarque dans lé ciel une
étoile qui en est’foi t proche, & qu’on nomme
pour cette raison YÉ.TOIIÉ POLAIRE. On recon- ■: noît cette étoilepar le moyen.de la constellation de la
grande ourse appellée communément le chariot de
David ( planches d’Astron. fig. z. ) , dont- les deux
dernières étoiles indiquent une direction qui tend
à Tétoile polaire, & cette feule constellation peut■ nous faire ; connoître toutes-.ses autres,. Foj.ÇaNsÍE-LLATION.-.. -':..-,'Lorsqu’on a reconnu: le pôle du monde autour
duquel se fait le mouvement- diurne, il est namrel ;
 ; de concevoir lé pôle qui lui est-opposé, c’est-à-dire, :
lie pôle austral & antarctique y, & TÉQUATEUR-qui
■'est un cerclé placé à égales distances des deux pôles. .
: ©n rapporte- à Téquateur- lès situations des diffé.
rentes étoiles, .par ASCENSIONS- DROITES- & par
- à3ÉcEiNAisoN:S ;,1 ;& Ton ;a uíi nouveau, moyen de
distinguer & de. reconnoitre en tout temps les différentes,
constellations,. … \ . . .  ;'c , ,Parmi les astres dont on avoit observé le mouvement
diurne , on appefçut bientôt qu’il y en avoit
dont la situation n’étoit pas toujours la même, &
qui changeoient de place par rapport aux autres ;
on les appella PIAN ET ES , & cest Tôbservation
de leurs mouvemens , comme de ceux- du soleil &
de la lune, qui a fait se premier pbjet de: curio~
■ site & de difficulté dans {'Astronomie.-.Le plus finiple & le. plus ; sensible de tous ces
Lmouvemens.propres, celui qui dût frapper le plus
• tous les yeux, fut le mouvement de la lune qui
s’achève en un. mois.- .:,•■.- ■ -'.i.Après le mouvement,propre de la lune, le plíis
remarquable est le MOUVEMENT ANNUEL du so^
. leil : si Ton remarque le soir du côté de Toccidenr.
: quelgue étoile fixe après le coucher du soleil, &
qu’on Ta considère attentivement plusieurs, jours
de-soite à hrmême heure, on-lâ verra de jour
en jour plus. près, du soleils en sòrte.qu’elle disparaîtra
&-'scfa. effacée par les rayons du-soleil
dont elle étoit •.■assez… soin..quelques- jours-âupara-vaìit.
 II sera aisé en même-temps de reconnoitre
que c’est lé soleil !qui s’est approché de Tétoile,,
& que ce n’est pas Tétoile qui s’est approchée dusoleil.
En effet, on verra que toûs les ; jours les
étoiles se lèvent & se couchent aux mêmespoints
de Thorizon vis-à-vis des mêmes.objets terrestres",
. qu’elles.sont toujours aux-in èmes distances les. ynes
des autres ,. tandis que le soleil chángs contihuel »lement
 les points de Ton lever & de son coucher",,.
& fa distance aux étoiles : ph verra d’ailleurs chaque
étoile se lever tous les jours environ 4 minutesplutôt
que le jour précédent relativement au soleilsen
ne doutera pas que le soleil se'uT n’ait-: change'
. de place par rapport à Tétoile, & ne se Toit rapproché
d’elle..Cette observation peut se faire én 1
:. tout temps ; mais il faut prendre gardé à-né pas.
confondre une. étoile fixe avec une planète ; nous’
. apprendrons ci-apr.ès à les distinguer. ; . . -:
: Le premier phénomène que présente lé mouve- ;
ment: propre du soleil,, est donc eêluffci. Le soleil
,-sa rapproche de jour en jour- des- étoilés quf sont’
plus orientales que lui,, c’est-à-dire ,qu’il ^'avanceehaque
jour- ver-s Torient ; ainsi ;, rie mouvement
 ;. propre du-soleilsefait.d’occident, én orient,:tous
. les jours il est d’environ un degré, ; & au-beut de ;
365 jours y on revoit Tétoile vers le couchant-à-:
la même heure & au même.endroitoù elleparoií-soit
 Tannée-précédente, à pareil jour,c’est-à-dire.,,
que ie soleil est venu se placer au mêmé point-par
-, rapport à Tétoile" ; ainsi , le soleil afàifrune-rëyolu-'
 tion : c’est ce que nous apjiëliòns le mptivemenfan-nuel.
 En Tobservan’t-pendantî plusieurs .années y on=
a reconnu', que Ta durée déjchaçunrde-.cesretpur-s
: du soleil, par rapport à une étoilé,.ëtoitde 3.65
jours, 6h 9'. I-L’' ;. cLest-ce qu’on- an^elle-Yannét*sydérale.- . "< - . ; ..
Après-avoir considéré attentivement les-,étoiles3,pn reconnut bientôt-qu’ily avoit" cinq astres pref--…qv.e semblables, avis étoiles,, mais quhchangeQieas ;;:
A s t a s tde position par rapport aux autres, & ce sont les
PLANÈTES. On.en remarqua une dont le changement
est très-lent, & qui, pour faire se tour du
ciel & répondre successivement aux différentes•'étoiles fixes, emploie 29 ans 177 jours ; c’est faturne
: une autre qui faisoit la même révolution
dans Tespace d’environ 12 ans, c’est Jupiter ; une
troisième qui parcourait toute la circonférence du
ciel en un an & 3 22 jours , c’estmars. La quatrième,
qui paroissoit la plus brillante de toutes, & que
nous appelions venus , accompagne le soleil qu’elle
précède quelquefois le matin , ou qu’elle fuit après• son coucher ; elle revient à-peu-près à la même
position dans Tespace de 5S4 jours. Cette circonstance
peut la faire reconnoitre au défaut de sa révolution,
qu’on ne peut suivre, par rapport aux
étoiles fixes, comme celles des trois précédentes :
enfin la cinquième planète, & la plus difficile à
voir, parce qu’elle fuit toujours le soléifde très-piès,
est mercure, que nous voyons revenir à la même
position par rapport au soleil, dans Tespace de
116 jours.Après avoir ainsi reconnu les planètes, on vit
que la trace de leur mouvement s’écartoit peu de
celle du soleil, & Ton voulut rapporter tout àí celle-ci qu’on appella TÉCLIPTIQUE , & dont To^hliquité,par rapport à Téquateur , est de 23 d 28 '. ; On rapporte à • Técliptique les positions des astres-parieriïoyen des LONGITUDES & des LATITUDES ;. celles-ci s’observent par le moyen des ascensions
& des déclinaisons qui supposent la détermination
des équinoxes & Tobservation de la HAUTEUR DUPOLE.La nécessité de rapporter les astres à Téquateur ,
à'lécliptique, à Thorizon & au méridien, a fait'imaginer la trigonométrie sphérique, parle moyen
de laquelle-on assigne les mouvements & les po-strions des astres dans tous les sens, lorsqu’on en
a déterminé les circonstances dans deux directions
différentes.Les révolutions des planètes étant inégales, on
a cherché à reconnoitre leurs ÉQUATIONS OU inégalités,
leurs EXCENTRICITÉS, seutS APHÉLIES.
Les plans des orbites étant tous différens les uns
des autres, il a été nécessaire de déterminer leurs
INCLINAISONS & leurs NOEUDS.LesToix de Kepler
ont fait connoître les rapports des révolutions
avec les distances & la règle des principales inéga^
lités des planètes, des satellites & des comètes ; elles
ont conduit à la découverte de TATTRAÇTION,
& celle-ci a fait trouver les petites inégalités qui
avoient échappé à Tobservation,Les dislances absolues des planètes, par rapport
à nous, étoient une dés plus grandes difficultés de
T Astronomie: on est parvenu à les découvrir par
Te moyen -des PARALLAXES, & celles-ci ont fait
connoître plus exactement les circonstances des
ÉCLIPSES de soleilqui étoient les plus difficiles à
calculer. Indépendamment des révolutions des planètes
, on çbserve aussi leurs ROTATIONS & lafigure de leurs taches ou de leurs bandes, qui
conduisent à la détermination de leurs équateurs
ou de leurs axes de rotation.Les observations qui ont servi à toutes ces découvertes,
se font par le moyen d’un grand nombre
d’instruments , tels sont les LUNETTES ,QUARTS DE CERCLES, MICROMETRES, HÉLIOMÈTRES
, LUNETTES MÉRIDIENNES , LUNETTESPARALLATIQUES, HORLOGES à pendules, &c. Les
observations se font principalement par le moyen '
des HAUTEURS , des distances entre différens astres
, de léurs PASSAGES au méridien, de leurs
conjonctions, de leurs OPPOSITIONS. Les observations
exigentdes corrections à raison de la RÉFRACTION
qui change les hauteurs, les levers & les
couchers des astres, de même que la parallaxe. <Enfin les usages & les applications de cette science
se trouvent dans la 'prédiction des éclipses, dans
Tobservation des LONGITUDES EN MER, dans la
Géographie^ la chronologie,le calendrier,Ta gnomonique
 ; c’est en consultant tous les articles que
nous venons d’indiquer, qu’on parviendra à trouver
dans ce Diâionnaire , malgré les inconvéniens
de Tordre alphabétique, un cours complet d’Astronomie.Nous ne pouvons mieux terminer cet article
que par un catalogue des meilleurs livres d’Astronomie.
■ ■ :On en trouvera ùn recueil immense dans TouVrage
qui a pour titre : Joannis Friderici Weidlerì
■ Bibliographia aftronomica , temporis , quo librì vtl
compositi vel editi sunt ordine servato. Wittenbergx
*155 >} z6pag. in-8. Cette bibliographie est comme
la fuite d’un excellent ouvrage du même auteur,
intitulé : Joannis Friderici Weidlerì Historia Astronomioe,
five deortu & progrèsfu Astronomie, Wit■tembergoe
2742 , GZÌL pages in-4. 0, dans laquelle on
trouvera de très-grands détails sor tous les astronomes
connus par quelqu’ouvrage que ce puisse
être, Nous ne mettrons dans notre catalogue que
les livres modernes que tout le monde peut avoir
à Paris. Les ouvrages de Ptolemée, de Tycho, de
Kepler, d’HéVélius, de Riccioli, Boulliaud 6-c,
devroienr être à la tête du catalogue ; mais ils font
si rares, qu’il seroit inutile de les indiquer à ceux
qui veulent actuellement se former une bibliothèque ;
d’ailleurs nous aurons occasion de les citer presque
tous.Je commencerai par avertir ici que la collection
des Mémoires de í'Académie des Sciences dé Paris
renferme le plus riche trésor que nous ayons en
Astronomie : toutes les parties de cette vaste seienee
y sont traitées dans le plus grand détail& de la
manière la plus complette, 11 y en a actuellement.
81 volumes in-.^..° depuis 1699 inclusivement,jusqu’au
volume de 1779 , publié en 1782, 11'y-a
aussi onze volumes de Mémoires faits avant 1699,
neuf volumes de pièces qui ont remporté les prix
proposés par TAcadémie, & neuf des Mémoires
présentés par des favans étrangers. Les Jhzn/ízcJ’Ofí*A s t a s t
*7f
philosophiques de la société royale de -Londres, depuis
1665 jusqu’à présent, renferment aussi une
riche collection de Mémoires d’Astronomie. Les
Mémoires de VAcadémie de Berlin , depuis 1747,
contiennent encore beaucoup d’excellentes choses
fur {'Astronomie physique ; lés Mémoires de Pétersbourg,
de Bologne , & de plusieurs autres Académies
, méritent aussi d’être cités avec éloge. .
II y.a quelques ouvrages élémentaires d’Astronomie
en Angleterre, qui sont très-bons, tels que
ceux de Street, Mercator, Whiston , Keill, Long,
Ferguson , Leadbetter , Dunthorn , Hodgson ,• Costard, &c. Nous n’en dirons rien, parce que
nous écrivons fur-tout pour les lecteurs françois,
& parce qu’ils ne contiennent guère autre chose
que ce qui est contenu dans ceux qui sont imprimés
à Paris. Nous ne citerons les livres étrangers
que lorsqu’ils feront absolument nécessaires à un
astronome , tels que les ouvrages de Flamsteed &
{'optique de Smith, dont il y a deux éditions françoises
imprimées à Avignon &à Brest en T767,
avec les tables des logarithmes de Gardiner.. Traités -généraux d’Astronomie.Histoire de P Astronomie , par M. Bailly 177 5—
0782 , 4 vol. zn-4. 0 , chez les frères de Bure.
r Gregori Astronomioe Elementa, 2 vol. z'n-4. 0. Wolfii
Elementa matheseos. Elémens d’Astronomie , par
M. Cassini, avec les tables astronomiques du même
auteur. Paris, 1740 , 2 vo'ï z'n-4. 0 de Timprimerie
royale : ce livre contient fur-tout lá détermination
des orbites planétaires.Institutions astronomiques, par M. le Monnier,
ín-4.° 1746, chez la veuve Defaint, rue du Foin.
C’est une traduction du livre de Keill, augmentée
"Considérablement ; 011 y trouve les tables de la
lune de Flamsteed.Leçons élémentaires d’Astronomie géométrique &
Physique , par M. de la Caille, 1780, in - 8.°,
chez la Teuve Defaint. Cest un excellent abrégé
de toute {'Astronomie.Tables astronomiques de M. Halley pour le soleil,
la lune les planètes Ù les comètes, augmentées de
plusieurs tables nouvelles pour les satellites , les
étoiles fixes , Chappe & de la Lande-1759, in-8.°.
chez Bailly , rue Saint-Honóré.Astronomie, divisée en vingt-quatré livres, de la
Lande, 2 voL.in-4. 0, 1764, seconde édition en
3 vol. , 1771 ; lé quatrième a paru en 178I ,
chez la veuve Defaint , rue du Foin. Cet ouvrage
renferme un abrégé de.tout ce qu’on a fait jusqu’ici
dans la théorie & la pratique de {'Astronomie
, la connoiffance des mouvemens du soleil,
de la lune, des planètes, des comètes , des satellites
& des étoiles fixes ; la description dé ; tous
les instrumens ; la manière de les vérifier & des’en
servir ; l’histoire des astronomes célèbres ,
celle de lèurs ouvrages & de leurs découvertes,
iuivant Tordre naturel qui les a dû produire  ; le
calcul intégral appliqué aux attractions célestes ;
la manière de connoître les constellations ; un
recueil d’observations choisies ; des tables nouvelles
pour le soleil, Ia lune, les planètes & lés
satellites ; enfin tout ce qui est nécessaire pour bien
connoîtie {'Astronomie, & Tindication constante de
toutes les sources où Ton peut trouver de. plus
amples détails sor chaque branche de cette science.
On n’a rien oublié pour rendre ce livre le plus
complet qu’il puisse êtrt, dans Tétat actuel de Y As-,
trvnomie.Historia coe/e/fo, Flamsteed , 1725, 3 vol. in-fol.
Ce grand ouvrage comprend une collection prodigieuse
d’observations astronomiques, avec le grandcatalogue
d’étoiles du même'auteur, que nous ci-,
terons plus d’une fois.. Tables os logarithms. London, 1742, in-4. 0, par.
Gardiner. Lé P. Pezenas les fit réimprimer à Avignon
en 1770, avec une augmentation des quatre
premiers degrés en secondes, & M. Jofnbert est occupé
à en faire une seconde édition Z'TZ-8.° ; ces tables
sont les plus étendues & les plus commodes qu’on
puisse trouver actuellement, celles d’Ulacq étant devenues
très-rares.On trouve à Paris chez la veuve Defaint, de
petites tables abrégées extrêmement commodes pour
de moindres opérations ; mais dans les grands calculs
astronomiques, il est indispensable d’avoir des
logarithmes de sinus de 10 en 10 f., & ceux des
nombres jusqu’à cent mille tels qu’on les trouve
dans’ les tables d’Ula.cq, Trigonome-tria artificialis ,
&c. Goudas, 2 G33 , ou dans les tables que nous
venons de citer. .A Compleat System os opticks by Robert Smith,
1738, Cambridge, 2 vol. in - 4. 0 Cet excellent
ouvrage contient toutes lés théories de Toptique
une ample description-des instrumens cYAstronomie
& d’optique. II en a paru deux traductions françoises
en 1767 -, avec des augmentations, Tune
du P. Pezenas, l’autre de M. le Roy.Traités particuliers d’Astronomie.: La Figure de la terre, par M. Bouguer, 1749,
ia-4. 0, 374pages, chez Jombert, rue Dauphine.
Ce livre renferme les meilleures recherches pour
la pratique & la théorie des observations délicates.Mesure des trois premiers degrés du méridien , par
M. de la Condamine 1751 , irc-4. 0, de Timprimerie.
róyûe.Joumal du voyage ; &c. avec plusieurs
sopplémens. Cet ouvrage est très - méthodique ,
très-clair, très-bien écrit, également curieux pour
la partie "historique, & pour la partie astronomique.
- -■La Méridienne de Taris vérifiée , &c. par M.'Caffini
de Thuri, 1744, in-4. 0 On y trouve tine multitude
d’observations faites par M. de Thury &
M. dç la Caille pour la figure de la. terre.De litteraria expeditione , &c. PP. Bpscoyich
& Maire, in-4. 0 à Rome j traduit en françois &A s timprimé à Paris en 1770 : ce livre est de même
nature que celui de M. Bouguer.■Histoire céleste ou recueil d’observations faites dans
le dernier sude ; par M, Picard, la Hire , &c.
avec un discours préliminaire, par M. le Monnier
1741, in-4. 0Observations astronomiques de M. le Monnier,
in-folio , 175-1-1771, de Timprimerie royale,
H y-a déja quatre livres d’imprimés d’environ 60
pages chacun : M. Maskelyne a donné en Angleterre
un semblable recueil.
■ La figure de la terre, déterminée par les observations
faites au cercle polaire , 6c par M. de
Maupertuis, 173 S, in-8.° - '  ;Degré du méridien entre Paris 6" Amiens, déterminé
par ia mesure de M. Picard, & par les obr
Tervations de MM. de Maupertuis ', Clairaut,
Camus, le Monnier, 1740, in-8.°Dimenfio graduum meridiani Viennensis & Hungarici
, à lof. Liesganig. Vindobonoe 1770. ..
, Connaissance des tems ou connoiffance des mou- "
vçmcns célestes, depuis 1760 jusqu’en 1784. -Chez
Moutard, rue des Mathurins. On trouve dans ce
livre, grand .nombre d’observations & de tables
couvelles pour Tusage des astronomes,Ephémérides .de la Caille, depuis 1745 jusqu’en
1774, 6 vol. inr4.° chez Hérissant, rue de la
Parchemjnerie. Tous ces volumes-, fur-tout le dernier
, sont enrichis de mémoires intéressans fur
VAstronomie. : le septième & le huitième volume
Tont de moi. . :II y a de semblables éphéméridespubliées à
Bologne, par M. Zanotti.Ephémérides astronomicoe, par Hell, depuis 1757
jusqu’à 1783. Viennce, in-8." Tous ces volumes
renferment aussi beaucoup de tables & d’observations
intéressantes, de même que les éphémérides
de Berlin ( en allemand ) , & de Milan en latin.On a commencé à.publier à Londres, .en 1767,
un ouvrage encore plus considérable, intitulé: The
NauticalAlmanac, dont’il a déjà paru 20 volumes :
ils cqntiennent un détail " prodigieux- fur les distances
& les mouvemens dé la lune , relativement
•a la manière-de trouver les longitudes en mer.
•Guide du navigateur par M. Lëvêque, à Nantes.jLivre.s d’Astronomie physique, sondés fur les calçfils
de Tattraâion. ;- Théorie delasiguredelaterre,vatM.Chátaui,
£743, in-8." ;• " ■jRecherches fur la précesiion des équinoxes, par
•M. d’Alembert, 1749, in-4. 0 chez Eafbou, rue
Jtíathurins. < ■■■•..•Theoria motus lunoe, L. Euler, 177.2 in-4. 0 ^
^fétersbourg.fhsorit fil} mQuyemw des comités, par M. Çlífcîfaut ;
1760 in- 8.° chez Panckpucke , me deî
Poitevins- . ' . . .Recherches fur différens points importans du fys
téme du monde, par M. d’Alembert, 1754&soiv,
3 vol. in-4. 0 cnez David.Opuscules mathématiques, 8 vol. in-4. 0 ^Z^SJSA
chez Barbou.Pièce fur la théorie de la lune, par M. Clairaut,'
avec de nouvelles tables de Ia lune , seconde édition
, 176,, chez Defaint & Saillant.Pièce furies inégalités de Saturne, qui a remporté
le prix de TAcadémie en 1748, par M. Euler,
Cette pièce est la première où Ton ait traité le
problème des trois ; corps par une méthode analytique
& nouvelle. T. Simpson a donné, en 1740,
1743 & 1757j, trois volumes de différens. mémoires
ou opuscules en anglois, parmi lesquels on en
trouve plusieurs fur {'astronomie physique, faits dé
main de maître : Tauteur est mort en 1760. Connoiffance
des mouvemens célestes pour 1767. On
trouvera Tindicatioh de tous les livres nouveaux
d’Astronomie dans {e.Recueil pour, les astronomes « 
& les nouvelles littéraires de M. Jean Bernoulli,
à Berlin 1771 &Tuiv. On les trouve à Paris chez '
la veuve Defaint.Sur les cartes célestes qui représentent les diffé-,
rentes constellations. Voyez CARTES CÉLESTES.ASTRONOMIE sphérique, c’est celle qui traite
de la situation & des rapports des cercles de la
sphère èntr'eux, du mouvement diurne j &-. desapf
parënces des mouvemens "planétaires.ASTRONOMIE théorique, c’est celle qui considère
les mouvemens réels, inégalités, distances & grandeurs
des astres. , .„.■"-ASTRONOMIE physique ;'elle a- pour objet lei
causes de ces mouvemens, telles que Tattraction,
dont les calculs ont éclairé cette science au point
de lui donner une nouvelle face. . .ASTRONOMIE nautique ; elle enseigne à trouver
Theure en mer, Ia longitude & la latitude d’un
vaisseau, fa route & les autres circonstances utiles
à la navigation. Elle a été traitée spécialement pat
Maupertuis, Bouguer, la Caille, Pezenas,M. lc
Monnier, M. l’Evêque.ASTRONOMIE comparée,.est celìe où l’on examine '
les phénomènes qúi .ont lieu pour les habitans des
autres planètes, s’il y en a ; Kepler en a traité
dans son Astrotiomia lunarìs, & 1 on eh trouvera
'un exemple au mot JUPITER. ( D. L. ) ASTRONOMIQUE, adj. aftronomicus, on entend
par cë mot tout ce qui a rapport à TAstro.nomie.
Voyez ASTRONOMIE.Calendrier astronomique. ' Voyez -CALENDRIER.'Heures astronomiques. Voyez HEURE.Observations astronomiques. Voyez OBSERVA*
..TIONS CÉLESTES. , ;Fraâions Astronomiques, nom que quelques auteurs
ont donné aux. fractions sexagésimales, 4A s y a st í%y« áufe de Tusage qu’on en fait dans lés calculs astronomiques.
Voyez SEXAGÉSIMAL, CALCUL.- Tables astronomiques. Voyez TABLES.
Théologie astronomique, c’est le titre d’un ouvragede. M. Derham , chanoine de Windsor , de la
Société royale de Londres, dans lequel fauteur
se propose de démontrer Texislence de Dieu par
les phénomènes admirables des corps célestes.
Voyez THÉOLOGIE.' (O) ASTROPHANOMETRE, nón’que M. Jeaurat
avoit donné à Tinstfument appelle ci-dessus astéréometre.\ ASTROSTATE. Voyez HÉLIOSTATE.- ÀSUGIA, nom de la constellation d’Orion,A st- ;ASYMÉTRIE, f. f.compósé.de « privatif, deI
:f »j avec, & de f« Tfor} mesure , c’est-àrdire,_/az !î \
mesure. On entend par ce mot un défaut de proportion
ou de correspondance entre les parties
d’une chose. Voyez SYMMÉTRIE.
, ; Ce mot désigne en Mathématique ., ce qu’on
entend plus ordinairement par. incommensurabilité'.
II y a incommensurabilité entre deux quantités,
lorsqu’elles n’ont aucune mesure : tels sont le côté
du quarré-& fa diagonale: ën nombres les racines
sourdes comme [/ z,&C sont auffi incommensurables
aux nombres rationels. Voyez INCOMMENSURABLE,
SOURD, QUARRÉ,&c. (E) ASYMPTOTE, f. f. asymptotus , terme de
Géométrie. Quelques auteurs définissent {'asymptote
une ligne indéfiniment prolongée, qui va ën Rapprochant
de plus en plus d’une autre ligne qu’elle
né rencontrera jamais. Voyez LIGNÉ: Mais cette
définition générale de {'asymptote n’est pas exacte,
car elle peut être appliquée à des lignes qui ne font
pas des asymptotes. En effet, soit Çfig. zo y n." z,
seâ.con.)  Thyperbole KSL ; son axe S M ; son
axe conjugué AB. On Tait que. si du centre C,
on mene les droites indéfinies CD, CE, parallèles
aux lignes B S, AS, tirées du sommet S
-de Thyperbole,"aux extrémités de son axe conjugué
: ces lignes CD t CE , seront les asymptotes "
de Thyperbole KSL.Maintenant, soient tirées les parallèles^-, hi, &c.
à {'asymptote CD : il est évident que ces parallèles
indéfiniment- prolongées  ? vont en s’approchant
continuellement de Thyperbole qu’elles ne rencontreront
jamais.' La définition précédente de
{'asymptote convient donç à. ces lignes ; elle n’est
donc pas exáctè.Qu’est-ce-donc qu’une..asymptote en général ?
■-Cest une ligne,qui étant indéfiniment prolongée,
s’approche continuellement d’une autre ligne aussi
indéfiniment prolongée , de manière que fa distance
à cétte ligne ne devient jamais zéro absolu,
mais peut-toujours être trouvée plus petite qu’aucune
grandeur donnée.
"Mathématiques. Tome If l.at. Partis.,Soit tirée la ligne Nop q perpendiculairement
à {'asymptote CD, & à ses parallèles f g, hi, &c : '
il est évident que {'asymptote C D peut approcher
de Thyperbole plus près que d’aucune grandeur
donnée ; car la propriété de Yasymptote CD consiste
en ce que le produit de Cp par p q. est toujours
constant ; d’où il,s’enfuit que Cp augmentants
à Tinfini, p q diminue aussi à- Tiníùii.: mais
la distance des parallèlesf g, h i, à cette courbe
-sera toujours au moins de Np, de op., ,tsc ; & par
conséquent ne fera pas plus.petite qu’aucune ! grandeur
donnée. Voyez HIPERBOLE.Le mot asymptote est. composé de « privatif, ds
o-ìi 3 avec , & de « <« ■ , je tombe , c’est-à-dirë ,
qui n’est pas co-incideht, ou qui ne rencontre point.
Quelques auteurs latins ont nommé les asympto tes.,
lineie intaâoe. :-..'..-Certains géomètres-distinguent plusieurs espèces
d’asymptotes ; il y èn-á, selon ces, auteurs ,.de
-droites, de courtes, &c. lis distribuent l.çs courbes
en concaves , convexes , &c, & ils proposent un
instrument póur les tracer toutes : le mot d’asymptoté
tout court ne désigne qu’une asmyptote
droite,L’asymptote se définit encore plus exactement
"une ligne droite ^ qui'étant indéfiniment .prolongée,
s approche continuellement d’une courbe ou
d’une portion-dé >courbe aussi prolongée indéfiniment,
de manière que fa distance à.cette courbe
ou portion de courbe ne devient jàmai.s zéro absolu,
mais peut toujours être trouvée plus. petite
qu’aucune grandeur donnée.Je dis, i.° d’une courbe ou-d’une portion de
courbe, afin que-la définition convienne, tant
aux courbes serpentantes qu’aux autres.Car là ligne f h ( fig. zo , n.° 3 )  ne peut êtr*
considérée comme {'asymptote de la courbe serpentante
m n o p r s, que quand.cette courbe a pria
un cours réglé relativement à elle, c’est-à-dirë.,
un cours par lequel" elle a été toujours en s’en
approchant. ._ -■.■■,Je dis, 2. 0 que Ia distance de {'asymptote à la
courbe peut toujours être trouvée moindre qu’aucune
grandeur donnée ; car rfans, cette condition, Ia
définition conviendroit à Y asymptote & à ses pa-.
rallèles. Or une définition ne doit convenir qu’à,
la chose définie. _ - • . ■On dit quelquefois que deux courbes sont’
asymptotes Tune à l’autre , lorsqu’indéfiniment prolongées
elles vont en s’approchant continuellement,
fans pouvoir jamais se rencontrer. Ainsi ,
deux paraboles de même paramètre  ; qui ont pour
axe une même ligne droite, sorit asymptotes Tune
à l’autre.Entre les courbes du second degré,c’est-à-dire,
entre les sections coiuques, il n’y a que Thyper.
bolé qui ait des asymptotes./ 'Toutes les courbes du troisième ordre ont toujours
quelques branches infinies, niais ces branches
infinies n’ont pas. toujours desjisympto.tes ; témoins
. - ~ Zi7*
A S Y

A S Y
les piroles cubiques, & celles de M. Neuton a
■nommées paraboles divergentes du troisième ordre.
Quant aux courbes du quatrième, il y en a une
infinité, qui non-seulement n’ont pas quatre asymptotes’,
mais qui n’en ont point du tour, & qui
n’ont pas même de branches infinies, comme Tellipse
de M. Cassini. Voyez COURBE, BRANCHE,
ELLIPSE ,-6'C : ÍLa conchoïde, la- cislbïde ,- & la logarithmique
qu’on ne met point au nombre des courbes géoméfriq'ies
, ont : chacune une asymptote. Voyez
COURBE. < ■ .'■-L’asymptote de la conchoïde est très-propre pour ;
-donner des notions claires dé la nature des asymptotes
en général. Soit ( Planche de VAnalyse, fig. i ) 
M MA M une portion.de conchoïde, C le pôle j
de cette courbe, & B Dune ligne, droite au-delà j
de laquelle les parties QM,:EA, QM,.tkc.\
des droites tirées du pose C,- sont toutes égalés ;
entr'elles. Cela posé , la droite-B D sera\'asymp- j
: tote de la courbe.. Car . la perpendiculaire ilf-I i
étant plus courte que MO ,,-& MR plus courte ;
que M Q , &c ; ,.il s’enfuit que la droite B D va
en s’approchant continuellement de la courbe ;
■MMA M ; de forte que'la" distance MR' va rou-1
-jours en diminuant, & péut être auslj:petite qu’on ,
voudra, fans cependant être jamais absolument ;
nullè. iFóyfï-DivisiBiLiTÊi, INFINI , &ç, Voyez !
aussi' CONCHOÏDE. : ■'. ;.•:On trace de la manière suivante les asymptotes '
de Thjpefbole. Soit ( Planche desseâ. coniq.-fig. zo)  ,
une droite D E tirée ; par. le, sommet A de Thy-  ;
■ perbose",' parallèle ;aux ordonnées {Mm., & égale ;
à Taxe conjugué d:e ;èn sorte que la partie A,E i
soit égale à la moitié de cet axe j-& l’autre partie '<
D A égale à l’autre,moitié. Les deux lignes tirées
du centre C de Thyperbole par les points Z) :
•SL’E , savoir CF'■■& C G, seront -les asymptotes
de cette courbe. : ■II résulte de tout.ce que nous, avphs dit,jusqu’ici
, qu’une courbe peut avoir dans certains cas
-pouf asymptote une droite, '&. -dans, d’autres cas
une courbe. Toutes les courbes qui ont des branches
infinies, ont toujours Tune ou l’autre de
■ces asymptotes’ ; & quelquefois toutes les deux ;
Vasymptote est droite , quand la-branche infinie
•est hyperbolique ; Yasymptote est.courbe, lorsque
la branché infinie est parabolique, & alors Yasymptote
courbe est une parabole d’un degré plus ou
moins élevé. Ainsi, la théorie des asymptotes des
courbes dépend de celle de leurs branches infinies.
Voyez BRANCHE.Une courbe géométrique ne peut avoir plus d’asymptotcs
droites, qu’il n’y a d’unirés daní Texposant
de son ordre. : Voyez Stifling, E'num. lin. 3.
crd.prop. vj. cor. 7, &TLntroduâion à ï'analyse
des lignes courbes , par M. Cramer, page 344,
art. 247. Ce dernier ouvrage contient une excellente
théorie des asymptotes des courbes géométriques
& de leurs branches, chap. viij.Si Thyperbole G MR ( fig. iz)  est une des
courbes, dont la nature exprimée par Téqnarion aux
asymptotes, soit renfermée dans Téquation générale
xm y" ■= am4-n ; tirez la droite P M, par-tout
où vous voudrez, parallèle à Yasymptote CS ;
achevez le .parallélogramme P C O M. Ce parallélogramme
fera à Tespace hyperbolique P MGB,
. terminé par la ligne P M, -par Thyperbole indéfiniment
continué vers G, & par la partie P B
de Yasymptote indéfiniment prolongée du mème
côté , comme m — n est à n. Ainsi , lorsque m
sera plus grand que n, Tespace hyperholique sera
quarrable. Si m = n, comme dans Thyperbole ordinaire
, le parallélogramme P C O M sera à Tes-.
paCe hyperbolique comme zéro est à 1 , c’est-àdire,
que cet espace sera infini relativement au
parallélogramme , & pair conséquent non quarrable.
Enfin fi m est moindre que n , le parallélogramme
sera à Tespace hyperbolique còmme un
nombre négatif à un nombre positif, Tespace P MGB
-sera infini , & Tespace M P CE sera quarrable.
VoyeZ la- fin du cinquième livre des seâions coniques
de M. le'marquis de THopital. Voy. aujjì
un mémoire'de M. Varignon jimprùné.en 1705 ,■ parmi ceux de TAcadémie royale des-Sciences, &
, qùi a pour : titre Réflexions fur- .les’ espaces plus■ qu’infinis de M.: Wallis. Ce dernier géomètre pré•teridoit
que Tespace P MGB ; étant au parallé-lògramme
còmme un: nombre positif à un nombre
• négatif , Tespace P M G B étoit plus qu’infini.M. Varignon censure cette expression, qui n’est pas
Tans doute tróp exacte. Ce qu’on peut assurer avec
certitude, c’est, que TefpaceP MGB est un espace
.plus grand qu’aucun espace fini,,. &'par conséquent
•.qu’il est infini, . ,' ;, : ,,:',. . .,…., … -Pour le prouver, &poiir rendre la démonstration
plus simple , faisons a—1, & nous aurons Téquation-. ■. • ■ : ■ - ■. : … m … .. ■ ;zmy«  __ j ou y __ x— -^ r Voyez EXPOSANT ).- - - . ; - v a1 ' 'Donc y dx'j élément de Taire P MGB —x T dx,'.'.''' _5 +- 1'':.'_.-''■ .-•_.. x n- .. ■'dont Tintégrale (voyez INTÉGRAL) est m > j. »', . n . '■pour, compléter cette intégrale', il faut qu’elle soit
■—o, lorsque x=ò ; d’où il s’ensuit que Tintégrale, — ra ,— m■ ' "n -ft , n -fr 1complète est SL , -\-x ■ .Donc’,
.-=+* : ^+1, '-.■■
n ' - n '1/ si m-<n, on a I -^- égal à une quantité•m■ ' I —.— •positive. Ainsi, Tintégrale se réduit -à'>£_i._L: qui■ ;'''-'.. : . ■ ; .1 - ■ ■ - m’. \. -m .v'. t stA s y ' a t t
 »?9 .

représente Tespace E CY M ; d’pù Ton. voit que
cet espace est fini tant que x est fini ,.& que quand
x devient infini, Tespace devient infini aussi. Donc
Tespace total renfermé par la courbe. &',ses deux
asymptotes , est infini ; & comme Tespace É CP M
est fini, il s’ensuit que Tespace restant P MGB est
infini. ., y ..'^ . ,

II n’y a que Thyperbole ordinaire où les espaces
P MGB',.E CP M, soient tous deux .infinis ;
dans toutes les autres hyperboles l’un des,espaces
est infini, &-l’autre fini ; Tespace infiniest PÌÍG.B
dans le cas de m <^ n ,■ & dans lé cas de m^>rì.
c’est P MCE. Mais il faut observer de plus que
dans le,, cas de m <~ n, Tespace ínfini.P MGB
est plus grand en quelque,maniéré, que celui.de
Thyperbole ordinaire , quoique l’un, & l’autre .espaces
soient tous, deux ^infinis ; c’est-làfans doute
ce qui a  ; donné lieu au terme filus \qu’instni de
M. Wallis. Pour éclaircir cette question,, fup.
posons CP== i.-&' P M= i , & imaginons par
le point Asune hyperbole équilatere entre -les deux
asymptotes CBj CE, que j e suppose faire ici un angle
droit ; ensuite par, le rnême point M décrivons une
hyperbole,, dons Téquation soit xm-y" == j ,,m étant
<V ;',iî est ^visible que dans,Thyperbole ordinaire
y=x , &qùe, dans celle-ci,.y ==ar —} d’où

Ton voit que a: étant plus grand que 1, c’est-à-dire j
que CP.,. Tordonnée correspondante de Thyperbole
ordinaire sera plus petit que celle de Tantre hyperbole.
En effet, fi x, est plus grand que 1, & que
: m - , …. . ,.
— soit <^ i3 il fuit que x"*~ »■'fera ^>, *.'.'" ,.puisque
' m étant <[ n , ón a x0 ^> x" 1  ; lorsque x est plus
-.--■•-' : - ■. . - ■ ' :. -m. '.--■:- \ '.grand que i. D’où il s’enfuit que x^> x n & -'où
j m y. .
* >-—í— ou x--„' Donc Tespace P M G B
m …: ■:■ *■"' ' '■' 'y^'J.:.':r\-.'. -V  ;: -, .'[
de Thyperbole représentée par. xm y " == 1 , rènfermera
Tespace dé Thyperbole ordinaire repré-r
Tentée par Téquation xyy=y ;i  ; & ayant,lâ même
ordonnée P M. Ainsi, quoique ce dernier espace
soit infini, .on peut di.re.que Tautre,,qui est infini
à plus forte raison, est en quelque manière un
infini plus grand. Voy. al’iartìçh IÍÍTTNÍ. ; la notion
claire & nette que Ton doit se/ former de ces pré^
cendus infinis plus grands que dlautresi ;
.'. Soit M S (fig.: 33 ;) - une ■logarithmique, !P R
•son asymptote y P Tria soutangente, tk fi M une
de ses ordonnées. L’espace indéterminé RP MS
Tera égal à P M X :P T ; . &: le solide. engendré
par la révolution de hr courbe àutqur de son
asymptote. P V> sera égal à la moitié du cylindre,
-qui auroit po.ur hauteur une ligne .égale àla soûitangente,.&
ppúr .demi-diamètré de -sa basë>.:une
 ;ligne égale ;à Tordonnée-Ç: F,,-Fpy£j LOGARITHilIQUE,
(O)  - ;;.:-r 'r V- : : .■■ \': y r y.tâYMFTOTlQJJE.,asymptoti:wyad).ni,esp.aceasymplotìqiie, est Tespace renfenné entre une hyperbole
& son asymptote, ou. en général entre
une courbe & son asymptote ; cet espacé est quelquefois
fini, & quelquefois infini. Voyez ASYMV
TOTE. (O)  :■'.:'■"…. . ATA' ■■'- ■■■■"'■ ■ :'[-.■'■ . ., . , ..'.:.>': i'j . ,, .1
ATAIR, nom dela belle étoile^deTaiglé.
: ATAUR,- nom de ;Ia,constellation ;du tâure'au ;. ;:.
ATIN, ATIR ou ATYR, hom de Tétóilë áppellée
aussi aldebaran. - -'-..:.-''..

A TLAS, nòm qiie doit avoir eu la' confie ! îation
dû bouvier., suivant."' M. tìuptús ',' qui explique, par
cétte çonsteilàtiòn, to'u't’es ;'lès fables d’Arias:' '- :
- ÁTLANTIE>ES , fiom des- pléiades dans Qyide.-
l_ 'ATMOSPHERE, í.'f-:(Hydr).nomqu’pndpnné:
à Tair qui envirpnne la terre. Voy.ci-desfus íe mot ;
AîR, & le Diâionnairé de Physique.

Sur. Tatmosphère de la lune & des planètes,
voy. les mots LUN/È j PLANÈTE. ;
--■ At-TELIER-DU ScupTÊUR-, ( Astron.)  ;nom
d-iine'còn’stèllatiori méfidionaleintraduite par Tabbé
de la Caillé, dàns son Planisphère des étoiles australes
1 ; iPTappëllë Apparatússculptóris. Èílë ; est.
située fur le colure dés solstices’, "au-déssus de- la
grue & du phénix/La plus belle étoile- de -"cette
constellation est de la cinquième, grandeur ; son
ascension droite au commencement de 1750^ étoit’
de 1 ia j-8" ; 5-8'.,' &Ta déclinaison %&' 43^ 3'" australe.
Voy.' LoelumAùfiraiéstelliferum. 17G3.(D.L.Y
\ ATTCVyiÇHEMEÍ^,Tm^^
touchement, quon.âppellë aussi point déconíaâóude
contingence , est- le point danslequëTunè ligne
droite touche une ligne courbe, où dans lequel deux
courbes se touchent. Voyêz CÓNTÏN’GENCÌ,
. On dit ordinairement-en Gépmétriê, que le point
d’aísoucnementyaufdeúxppipfsd’ihtérie&
que la tangente peut être^rega"rdéëxpmme"uhe_-séí
-cante.qui coupe la còúrbë én déùx poïnts^infiniment
p'rócriës".Eh éffef-, djsénílës géòmètresy concevons,
par ëxëmple,ùne ligne dfoítë indë'finiê !qssistòupe-uh
cercle en deux points ; imaginons ensuite "que cette
ligne droite se meuve parallèlement à elle-même
vérslë sommet du .cercle ; les deux points d’intersection
se rapproçnerorit’ínsensiblëmènfÇ &'ëhfift
se confondront ; où ,'néTéró'nt plus qu’un points
lorsque par çe moUY6 ?? !?1 ?? la séçante_ ser.a>,devenue
tangente, c’est-à-dire:ne,\fera plus. que. toucher ,1e
cercle. ; - . r Vj\rA y- . : fr ;,' ;"'. ;.'. - ■ - -■"'- '

Còmme il n’y a ppinf réellement-de quantités
infiniment petites, &-que par conséquent ion ne
sauroif cpnceypir deux pRintS/ínsinimentrproclies
( wy.,ÍNFtNi ;!&]ÍNfi« fivEE-N,T BETIT’) , -il^^^ est^trèsimpqrtaht
deTefoirncï-UBêiidééfnette de cette façon
d e. parler, que Je points ^attouchement vaut deux
points d’intérseâion infiniment proches. Elle signifie
seulement que le point çYattoúchement est la limite'
-.i8o att 4 attpu le terme de tous les doubles points d’intersecrion
des sécantes parallèles à la tangente, c’est-àdire
que si on mène parallèlement à là tangente
une ligne qui coupe en deux points la courbe, par
exemple le cercle , _on peut toujours imaginer cette
ligne à une telle distancé" deTa tangente, que la
distance des deux points d’intersection soit aussi petite
qu’on voudra. ; mais.que cette distance ne deviendra
pourtant jamais absolument nulle, à moins
que la sécante ne sé confonde absolument avëc.la
tangente. ; -jEette idée des lindtes est très-utile pour
réduire îa Géométrie des infiniment petits à des
notions claires. Voyez LIMITE , &c.
..Au reste, il n’est question jusqu’ici que du point
à'attouchement simple ; car il y á dès points cY attouchement
qui équivalent à] tróis points d’intérseclión,
comme dans Y attouchement au- point d’inflexion ;
d’autres équivalent à quatre-points d’intersection,
comme dans {'attouchement au. point de serpehtement
infiniment périt, &. ainsi à Tinfihi ; voy, INELEXION
, SERPENTEMÉNT .-.ce qui, en ;réduisant
la chose à des’notions claires, signifie simplement
. que lá valeur -de) la- Téeantej devenue touchante,
a dans ce cas. trois ûu ;quatre,:6 ;c, racines
égales ; dans Téquation’ deTa cpurbe ;; jefdis de la.
Jècante.devènuer}t.ouckante.,,-çiiT il ; ; y a ; des ; cas. où
un« L sécante a :plusieiirs racines, égalés ; fans être
louchante, Comme dans’ses-points doubles & dans
les ppints Conjugués. Ce qui distingue tes points des
points, d’attouchement, c’eff ;,,que. ff(ypus donnez
une aùjré direction.à,la ;Tigne, qui étoit’tangente,
en lacfaifant toujours, paflèr-- par. Iç ppint 'fVattoutouckenient,
alors, elle iie^còupe .plus la .courbe
tfuefi Jutf'point,'"t&Ufëqùatitìn-,J- 'qui représente son
ihterséctítíh^J/effeidàvoif' dés’íaciné's’ égales ; au
lieu ! que , dárisr'les 'points multiples & conjugués,
ia sécante a toujours plusieurs racines égalesyquelque
position qu’on lui donne,- pourvu qu’elle passe
tÓujòùrsparTe point riiultiplé ou ; Conjugué. 'Voy.-R-ÀCINE^, ;'lNTEÌSÏCTÍtìíí  ;, ;:'PÒINT: MULTIPLE'
PoINT].CÒNUUtîUÉ'i ;'á ;c ; (O).''"' -:: ;-.- 'J '."i.'. <:.:.j.-)  !;rii.fi-cjiirc !j / ;.--•• n ? òci7':'_•'.' id : ;■ ■ , ' ,.,-, ;. '., AT^MAÇTIEr, adj. nif ;,se ;;djt, ;dè çe qùija Té
pouvoir, ?ûu la ; propriétéjd’attirer,:Voy: ATTILAC^
TiON J&C. Ainsi, pn dit force attractive,'-, vis attractiva ;,,.-&ç,".) :M’^Ï' A: ;.-,^-j ;,- ■'.'.'. >".'.'. ;'-. E ?; •Nertú,fl.ttr.aâiye^ de Jaimant, se, communique
au fçr:i en.rfaisant^tptiÊheiíjle-fer à .Taiinant. Voy\
le.rDiâwnnaire. dt, Physique,.^ D])  ;^-:, ; y "., ..',' ''.. ;,': -ATTRACTION, si î.^ltraâió-ou'traâio ; comi
posé de:-aá&xde'íraAo/-jëttirei fignifie^-'en Asc’i
. chamque , 1 action dune force motrice, par laquelle
un môbiíe-eft.tirë'ou rapproché de la puissance qui
le meut.- Voyez ?UISSANCE-& MOUVEMENT:'GoinméTà réaction Jëst tôùjoùfs>;éóaIe:i& contraire
à' T-action’y« sënWt^ydmytoutë attraction
, le moteur - ;est’-'atâre' Vef^lè-fnobile autant
que-le mobiliers’lè'-mòïëuf. Vqy'èí ACTION &.RÉACTION, yy-y-- :-\vi« .:, ?-,l :vyyA. ,.,,."., ,,Dans Tusage ^fdinaifé^h' dit qu’un corps Aest attiré vers un autre corps B, lorsque^ est
, lié ou attaché avec B par le moyen d’une corde,
d’une courroie ou d’un bâton : c’est de cette manière
qu’un cheval tire Un chariot ou une barque ; ~
' & en général ; on dit qu’un corps en attire un autre,
 ; lorsqu’il communique du mouvement à cet autre
par le moyen de. quelque corps placé enrr'eux, &■
que le corps moteur précède celui qui est mû.De plus, lorsqu’on voit deux corps libres éloignés
Tùh de l’autre s’approcher mutuellement fans*
que Ton âpp'érçoive de cause, on donne encore à>
ce phénomène le -nom d’attraâipn ; & c’est princi-'
paiement dans" cè dernier sens qu’il a été employé'
parlés philosophes anciens & modernes. Ll attraction
prise.Jdàns le'premier sens , se nomme plus• ;
coinmunéinent íraSión. J^ôye^. TRACTION.- ,  ;
] , Attraction ou forcé àttraâive', dans Tançienne"
 ; Physique, .signifie ùri'è- force naturelle qu’on-fup- !
pose inhérente à ceftaihs corps ,'&: en: vertu de
 ; laquelle ils agissent fur d’autres corps éloignés, &'
les tirent à eux.' Voyez FORCE.  ;' ■' ;.:: -■•■ - -Le mouvement 1 que ces prétendues forces pro■.
dùiseiitì est appèllë, "par lès péripatéticiens,'mow'
: .vcmerìt’d’attraâíon:i'& en phssieursloÇcafiòhs, ;-/ttr« 
, titi'n ; 8^-íls, rapportent différens-exemples où y se|
Ion ;,euxj.ee mouvement se remarque.: ainsi, nous
j respirons Tair, difèrit-ils,'par atïrdâióh ôusuâioh ji
dé niéme ; riods "suçons par' aitfaâion nné pipe'de
i tabac : c’est encofëpar attrdâion qu’un enfant tètteì
| c’est par attraâion-qúe lesang.mònte dans les veni
j fóùses,- que il’èáù 'sélève-dans-' les -pompes y & -la ;
I fiimée dans les cheminées, les vapeurs & les
ëxhalaisons’sonf Wrirées paf -le 'soleils:se"fer par
, Taiinant^ .les’pailles. éV'la. poussière-par, Tambre &
i les autres-corps électriques. Voyez SUCTION.'"-Si cës philosophes avoient fait Ain -plus grand
. nombre d’expériences, ils auraient bientôt reconnu
que ces différens phénomènes venoie.nt de Títnpul »
siond’un fluide invisible. Ainsi, la plupart des effets
que les anciens attribuoient à Yattraâion, sont
aujourd’hui" à'ttrïbuëis’íà:- des causes plus naturelles
& plùs ;sensibles ^principalement: à la pression de
Taif.'Roly^-AlR'-'&iP-RÍESSION/ . ;  !::' ■ '■ ,■ !■ 'C’est la' !pféssion-'dë' Tair, par exemple, qui pro« 
duit les phénomènes de Tinspiration des ventouses^
délasuclioh des pompes, des vapeurs,des exhalâtsonsìr&C. Fôy.'-R'ESPIRATÌON, SUCTION.,: PpMPE j-'VÈINTÔUS’E'^VAPEUR'- ÍUMÉE, EXHALAISON
&c.r(Diâion,''dé':phys.')  -I ri„i: :r'í •' ! -i >;■■<> ■_■
J- Suf: les phénomènes’ de'Yúttraâio'n électrique &>
iha^nëtique 1, -voyez: "MÌÀGNÉTÌSME- '&'.ELÉ,CTRIWClfÉ.JstiaV '■ •' 3- t - : •-.:::■.•',' .-..Il y <, ^ ;: ,''-,-. ,La puissance Opposée à {'attraction, esl.appellée
répulsion ; & on observé qUelâ répulsion adieu dans
•quelques effets naturels’. FDJ.''RÉPULSIONÌ1 ;''.:-'^
.■■Attraâion.oUpuisjancë aVtrdâivt’, se'ditplns pap'-riculièfemént,
daris[íâ'philosophie" Neutorucrmex,
•d’une- puissance 'bu-pjincïpé''s-en’i vertu: duquel
toutes les parties, soit d’un même-Corps ,.:foit/i'decofps
différens, tendenV'se's unes’v'òfs’íès autres ;A t t att
i8t
•u pour parler plus exactement, Yattraâion est
l’effet d’une puissance par laquelle chaque particule
de matière tend vers une autre particule.
Voyez"MATIÈRE & PARTICULE. Les lois & les
phénomènes de Yattraâion font un des points principaux
de la philosophie Neutonienne. Voy. PHILOSOPHIE
 NEUTONIENNE.Quoique ce grand philosophe se serve du mot
à'attraâion, comme les philosophes de Técole,
cependant, selon la plupart de ses disciples, il y
attache une idée-bien différente. Nous diíonsselon
la plupart de ses disciples, car nous ne faisons que
détailler ici ce qui a été dit fur Yattraâion, noas
réservant à exposer à la fin de cet article notrè
sentiment particulier.L’attraâion dáhs la Philosophie ancienne étoit,
selon eux, une espèce de qualité inhérente à certains
corps, & qui réful toit de leurs formes particulières
& spécifiques ; & Tidée que les anciens
philosophes atiachoient à ce mot de sonne, étoit
fort obscure.' L’attraâion ,neutonienne , au contraire,-'est un
principe indéfini, c’est -à-dire ? par lequel on ne
veut désigner ni aucune espicé ou mánièrë d’action
particulière, ni aucune cause physique d’une
pareille action, mais "seulement une tendance eri
général, un cónatus acccdendi ou effort pour s’approcher,
quelle qu’en soit la cause physique ou
métaphysique ; c’est-à-dire,, soit que la puissance
qui le produit soit inhérente aux corps même,
soit qu’elle consiste dans Timpulfion d’un agent
extérieur. ,Aussi Neuton dit-il expressément dans ses principes,
qu’il se.serf indifféremment des mots d’afc
traâion, d’impulsion & de propension, & avertit se
lecteur de ne pas croire que par le mot d’attraction
il veuille désigner une manière d’action ou
sa cause efficiente,-&isupposer qu’il y.a réelle-mènt
 une force attractive'dans dès centres qui ne
sont que des pòïnts mathématiques, tiv. I,pag,.s, \
Et, dans.un autre endroit,il dit qu’il" considère !
les .forces centripètes comme des attraâiofis, quoi- -í
que peut-être elles ne soient, physiquement par- ;
lantj que de véritables impulsions, ib. pag. 247. \
ÏT.'dit aussi dans soii Optique., pag. 3ZZ , que ce  ;
qu’il appelle attraction, est.peut-être l’effet,de"g.ùel- j
que jimpulfion qui.àgitsuiyaht’leslòîsáifférënre.sdé i
Timpulfion ;Òrm^âi^^U:'peut-être" "aussi l’effet de ■
.quelque .cause qui .bous eíft iiìçonffue. ' ' J… ;.',, -….,Si on considère Yattraâion-, cpmiriuéntfles-neutoniens,
comme une  ; qualité qui résulte dès formes
particulières de "certains corps, on doit la proscrire
avec les sympathies, antipathies "^.qualités occultes.
Mais, quand on,a une sois écarté cette idëe,pii reinaj ;qúe ;dans
la nature un grand-nombre de phénomènes, ;
(Chtrerautres la pesanteur des corps ou leur tendance ;
/y-ersun centre,- qui semblent r/être point Teífet d’une
.impulsion, ou dans lesquels au moins Timpùlsien '
c’est pas sensible ; de plus, ajoutent-ils-^ cette aç-.tiori paroît différer à quelques égards de Timpulfion
que nous connoissons ; car Timpulfion est
toujours proportionnelle à Ia surface des corps,
au lieu que la gravité agit sor les parties solides&
intérieures, & est toujours proportionnelle à
la masse, & par conséquent doit être l’effet d’une
cause qui pénètre toute leur substance.D’ailleurs les observations nous ont appris qu’il
y a divers ^cas où les corps s’approchent les uns ;
des autres, quoiqu’on ne puisse découvris en aucune
manière qu il y ait quelque cause extérieure
qui agisse pour les mettre en mouvement. Quiconque
attribue ce mouvement à une impulsion
extérieure, suppose donc un peu trop légèrement
cette cause. Ainsi, quand on yoit que deux corps
éloignés s’approchent l’un de l’autre, on ne doit
pas se presser de conclure que ces • corps sont
poussés l’un vers l’autre par Tactipn d’un fluide
ou d’un autre corps invisible, jusqu’à ce que {'expérience
Yak démontré, comme-il est arrivé dans
les phénomènes que les anciens attribûoient à
Thorreur du vuide, & qu’on a reconnus être l’effet
de la.preffion de Tair. Encore moins doit-on
attribuer ces phénomènes à Timpulfion, lorsqu’il
paroît impossible i ou au moins très-difficile, de
les expliquer par ce principe, comme il est prouvé
à Tégàrd de la pesanteur. Mussch. Essai de Physique.Le principe inconnu de Yattraâion, ç'est-à'dire,"
inconnu par la cause (Car les effets sont sous.les
yeux de tout le monde ) est ce que Ton appelle
attraâion ; &', sous ce nom général, on comprend
toutes les tendances mutuelles dans lesquelles Timpulfion
he se manifeste pas, & qui par conséquent
né peuvent s’expliquer par le secours d’aucunes
lois connues de la nature.C’est de-là que font venues les différentes sortes
d’attraâions ; savoir la pesanteur, Tascension des
liqueurs dans les tuyaux capillaires, la fondeur
des gouttes -de fluide, &c., qui sont l’effet d autant
de différens principes agiffáns par des. Ipix difféiéntes
 ; attractions qui n’ont rien de commun, sinon
qu’elles ne sent. peut-être point l’effet d une cause
physique , & qu’elles paroilseht résulter dune force
inhérente aux corps, par laquelle ils agissent fur
des corps éloignés", quoiquenorreraifoiiaitbeaucouó ■
dé difficulté à admettre une pareille force. …
, ; L’attraâion peut se 'diviser ;, eu égard aux lois
qu’elle observe:, en deux ■ .espècésL La ^première
s’étend à une distance sensible : telles sont Yattraâion
de la pesanteur qui s’observe dans tous les corps,
.& {'.attraâion’dw tnagnétisnie^ de Télectricité,,&cf
qui n’a lieu que dans certains corps particuliers.
- Voyez les’ loix de .chacune de. ces attraâioris ;-àux
mots GRAVITÉ, ; MAGNÉTISME ," &c. . ■ ■■.--■'.
 L’attraâion de la gravité, ;-que les mathématiciens
appellent wfii,force centripète, est undêsplus
grands principes & des jffus universels dé la nature.
.Nous. ;la ;vpypps’,.& nous la,sentons dans les corps
-qui sûnt.jprpches/de la surface de la terre, ( ¥oye\ISÌAtt attPESANTEUR") Ì& nous tíouvons par observation,
que la même force ( c’esl-à-dire, cette force qui
est toujours proportionnelle à la quantité de-ma-tière,
 & qui agit en raison inverse .du quairé de
la dislance) , que cette force, dis-jc, s’étend jusqu’à
la lune & jusqu’aux autres planètes premières &
secondaires, aussi-bien que jusqu’aux comètes, &
que c’est 'par elle que 1 les corps célestes sont retenus
dans kurs orbites. Os comme nous trouvons la
pesanteur dans tous les corps qui font le sujet de.,
nos observations, nous Tommes en droit d’en conclure'
par une des réglés reçues en Philosophie,
qu’elle se trouve aùssi dans tous les autres : de plus j
comine nòus remarquons qu’elle est proportionelle
à la quantité de matière de chaque corps, elle doit
exister dans chacune de léurs parties ; & c’est par
conséquent une"loi de la nature, que chaque particule
de matière tende vers chaque aútrë particule.
Voyez la preuve plus étendue de cet té vérité, &
Tapplication de cë principe aux mouvemens des
corps célestes, sous les articles PHILOSOPHIE NEUTONIENNE
, SOLEIL , LUNE , PLANÈTE -, COMÈTE
^-SATELLITE-,* CENTRIPÈTE , CENTRIFUGE.C’est donc de Yattraâion, suivant M. Neuton,
que proviennent la plupart des mouvemens, &
j>ar conséquent des changemens qui se font dans
I'univers : c’est par elle que les corps pësans descendent,
&quelescòrps légers montent ; c’est par
par elle que les projectiles sont dirigés dans leur
course, que lèS ; vapeurs montent, & que la pluie
tombe ; c’est par elle que les fleuves coulent, que
Tair presse, que Tpcéan a un flux & reflux. Voyez
MOUVEMENT , DESCENTE , ASCENSION , PROJECTILE",
VAPEUR , PLUIE , FLEUVE, FLUX
& REFLUX., AIR, ATMOSPHÈRE, &C Les mouvemens
qui résultent de ce prince, sont Tobjét de
cétte partie si étendue des Mathématiques, qu’on
appelle Méchánique ou Statique, comme auíli de
{'Hydrostatique , de {'Hydraulique , &c. &c. qui en
sont cOíiime les branches & la fuite, &c. Voyez
MÈCH'ANIQ-UE , STATIQUE , HYDROSTATIQUE ,
PNEUMATIQUE ; voyez auIst MATHÉMATIQUE ,
PHILOSOPHIE , &c"La seconde espèce d’attraâion est celle qui rie
s’étend qu’à des dislances insensibles. Tèlle est Taftrdâion
munielle qu’on remarque, dans les petites
parties dont les corps sont composés ; car ces
parties s’àttirent les unes les autres .au point de
« intact, ou extrêmement près de ce point, avéc
-une force très-supérieure à celle de la pesanteur,
■mais qúi décroît ensuite à une très-petite distance,
jusqu’à devenir beaucoup moindre que là pesanteur.
Un auteur moderne a appelle cette force
attraâion de cohésion, supposant que c’est elle qui
unit lès particules élémentaires des corps pour
en faire des masses sensibles. . -…
" Toutes les parties des fluides s’attirent-mutuellement,
comme il paroît par ia ténacité & pari là rondeur de leurs gouttes, si oh en excepte laîrî
 ! le feu & la lumière, qu’on n’a jamais vus sous la
 ; forme de gouttes. Ces mêmes fluides se forment
 ! en gouttes dans le vuide comme dans Tair, ils
atfirentles corps solides, & en sont réciproquement
attirés ; d’où il paroît que la vertu attractive se
i trouve répandue par-tout. Qu’on mette Tune fur
| l’autre deux glaces de miroir bien .unies, bien
nettes & bien sèches, on trouvera' alors qu’elles
tiennent ensemble avec beaucoup de force, de forte
qu’on ne peut les séparer Tune de l’autre qu’avec
peine. La même chose arrive dans le vuide, lorsqu’on
retranche une petite portion de deux balles
de plomb, ensorte que leurs surfaces deviennent
unies à Tendrait de la section, & qu’on les presse
ensuite Tune contre l’autre avec la main, en leur
faisant faire en même, tems la quatrième partie d un
tour ; on remarque.que ces balles tiennent ensemble
avec uneforce de 40 ou 5olivres.En général, tous
les coips dont les surfaces font unies, sèches &
nettes., principalement les métaux, se collent.&
s’attachent mutuellement l’un à l’autre quand on
les approche ; de forte qu’il faut quelque force pour
les séparer. Mussch. estai de. Phys., , ''..'. ;Les corps s’attirent réciproquement, non-sculem’ëtìf
lorsqu’ils se touchent, mais aussi lorsqu’ils
sont àúne certaine distance les uns des autres :car
mettez entre les deux glaces de miroir dont nous
venons, de parler, un fil de soie fort fin , alors
ces deux glaces ne pourront pas so-touchef, puisqu’elles
seront éloignées Tune de l’autre de toute
Tépaisseùr du fil ; cependant on ne laissera pas dé
voir que ces deux glaces s’attirent mutuellement,
quoiqu’avec moins de force que lorsqu’il n’y avoit
rien entr'èlles. Mettez entre les glaces deux fils
que vous aurez tordus ensemble, ensuite trois fils
, tors de même, & vous verrez que Yattraâion diminuera
à mesure que les glaces s’éloigneront l’une
de l’autre. Mussch. ibid. .Ori peut encore faire voir d’une manière bien
sensible cettê vertu attractive par une expérience
curieuse. Prenez un corps solide & opaque, qui
finisse eii pointe,- soir de métal, soit de pierres
ou même de verre ; fi des rayons de lumière parallèles
passent tout près de la pointe òu du tranchant
de ce corps dans une chambre obscure, alors le
 rayon qui se trouvera tout près de la pointe,
Tefa attiré àvéc beaucoup de force vers le corps ;
&, après s’être détourné de son chemin, il en prendra
un autre, étàhf brisé jlar Yattraâion que ce corps
■exercé fur lui. Lé rayon un peu plus éloigné de la
pointe est aUfsi attiré, mais moins que le précédent,
& ainsi il sera moins rompu, & s’écartera moins
de son chemin. Le rayon suivant qui est encore
-plus éloigné, sera aussi moins attiré & moins détourné
de fa première 'routëi' Enfin,' à urie certaine
distance^ fort petite, il y aùrá un rayon qui ne fera
plus attiré du tout, ou'du moins sensiblement, qui
conservera sans se rompre fa direction primitive »
1 Musch. ibid. l. \:
A t t att 1s5C’est à M. Neuton que nous devons la découverte  !
dé cette dernière espèce d’attraâion, qui ; n’agit qu’à
de très-petites dislances ; comme c’est à lui que nous
devons là connoiffance plus parfaite de l’autre,
qúi agit à des distances considérables. En effet,
les -loix du mouvement & de la percussion des
corps sensibles dans les différentes circonstances où
nous pouvons les supposer, ne paraissent pas suffisantes
pour expliquer les, mouvemens intestins des
particules des corps, d’où dépendent lés différens
changefnens qu’ils subissent dans leurs contextures, '
leurs couleurs, lëurs propriétés ; ainsi, notrè philosophie
seroit nécessairement en défaut, fi elle
étoit fondée sur le principe seul de la gravitation,
porté même aussi loin qu’il est possible. Voyez
.LUMIÈRE, COULEUR, ; 6r., ■Mais outre les loix ordinaires du mouvement \
daris les corps sensibles, les particules dont ces I
corps sont composés, en observent d’autres, qu’on
n’a commencé à remarquer- que depuis peu de tems,
& dont on n’-à encore qu’une connoiffance fort
imparfaite. M. Neuton, à la pénétration duquel’,
nous en- devons la première idée, s’est presque
contenté d’en établir Texistençe ; &, après aypir
prouvé qu’il y a des mouvemens dans ses petites
parties du corps", il-ajoute que ces mouvemens’
proviennent de certaines puissances ou forces, qui
paroissent différentes de toutes les forces que. nous
connpissons. « C’est en vertu de ces forces, selon
55lui, que les petites particules des corps agissent^
 »5 les unes sor les. autres, même à une certaine dif>s
tance, & produisent par-là plusieurs phénomènes
15 de la nature. Les corps sensibles, comme nòus
95avons déjà remarqué, agissent mutuellement les
55 uns fur les ■ autres ; '& comme la nature agit d’une
Jjmanière toujours, constante & uniforme, il est
>j fort vraisemblable qu’il y a beaucoup-de forcés
>rde la même espèce ycelles dont nous venons, de
w parler s’étendent à de9 distances affez sensibles,
J> pour pouvoir' être- remarquées par des yeux :
>s vulgaires : mais il peut y en avoir.d’autres qui
,S3 agissent à des dislances trop petites, pour qu’on ;
j ;ait pu les observer jusqu’ici ; & Télectficitér.par '
jjëxemple, agit peut-être à de telles 'dislances.,
s ; même fans, être excitée par le frottement, J ?Cet illustre auteur confirme cette opinion par un
grand nombre de phénomènes. & d’expériences,
qui, prouvent, clairement,,selon lui,, qu’ii y a une :
'puissance & une action attractive entre les, particules, '
par ; exemple, du. sel &'de Teau ; entre celles du '-.
vitriol & de Teau, dufe'r ,.&de Teau forte, de
Tesprit de vitriol & du salpêtre.. II ajoute que .cette ;
puissance n’estpas, d’une égale force, clans .tous-les
corps ; qu’elle .est plus,forte,,par: exemple, entre ; 1
les particules du Tel.de ; tartre & celles de Teau-,
forte, qu’entre les particules du sel de tertre,.&
celles dé Targent : .entre Teau forte ,& ,1a pierre 1
çalaminaire., qu’entre Teau-forte ■&. le fer, : entre ;
Teau forte cYlefer, qu’enírç-Teau forteií&,-Ie'-cuivre ; ]
encore, moindre- entre Teau forte,& Targent, ou :entre 1,'eau-forte & le mercure. De même Tesprit
de vitriol agit sur Teau,-niais il agit encore davantage
fur le fer & sor le-cuivre. .,-,-..II est facile d’expliquer par Yattraâion mutuelle
la rondeur que les gouttes d’eau affectent ; .car
comme,ces parties doivent s’attirer toutes également
&-en tout sens, elles doivent tendre à former un
corps, dont tous les points de la surface soient _à
distances égales de'son centre'. Ce corps seroit parfaitement
sphérique, si les parties qui les composent
étoient sans pesanteur : mais cette force qui ses fait
descendre en embas, oblige la goutte de sfalonger
un peu ; & c’est ppur .cette raison , que les.gputtes
de fluide attachées àla surface inférieure des corps,
■ dont le grand axe est vertical,prennent .urie.sigure
un peu ovale. On remarque'aussi cette même,figure
dans les gouttes d’eau qui sont placées fur lasurface
■supérieufe dun plan horizontal ; mâis alors, le petit
axe.de cette figure est vertical, -& sa.'Túrfaçe-jn- "
férieure, c’est-à-dire celle qui touche le plan, est plane ;
 ce qui vient,tant de la pesanteur, des,particules
de seau, que de Yattraâion du corps Tuf
lequel elles font placées, & qui altère l’effet de leur
attraâien mutuelle. Aussi , moins la surface Tuf
laquelle ia goutte est placée, a de force pour attirer
Tes parties 3 plus -la goutte teste ronde : c’est pour
cette raison, que les gouttes d’eau qu’on voit-fur
quelques feuilles de plantes, font parfaitement
rondes, au lieu que celles qui íe-trouvent furdu
verre, fur des métaux,ou sor des pierres, nê sont
""qu’à demi-rondes , ou quelquefois encore moins.
"H en estde-, même du mercure, qui separtage fur
le papier en petites boules parfaitement rondes >
au, lieu qu’il prend une figure applatie lorsqu’il est
mis fur du-verre pu-fur quelqu’autre métal. Plus
les .gouttes sont petites, moins elíes, ont de pesanteur. ;
& par conséquent lorsqu’elles viendront à
s’attirer, elles fornîerpnturi globule beauçoup-plus
rondque celui quifera formé,par les grosses gouttes, "
comme on pourroit le démontrer plus aii long, &
.comme Tex.périence.le-cpnfirme. Il- est à re-marqùer
que tous eës phénomènes s’observent également
dans Tair & dans le -Vuide. Mussch. -s- .:. ;.'■'. ;■■
. On peut s’aísurer encore dela force aveç laquelle
les particules d’eau s’àttirent, en prenant unephiole
dont le cou soit,fort,étroit, & n’ait, pas plus de.
deux ; lignes de diamètre, & en. renversant cewe
-phiolê , .après Tavoir. rempli.d eau : car.on remarquera
alors qu’il n’en son pas une feulé goutte.Comme dans une goutte d’eau, : íes parties qui.à'attirent
réciproquement ne- restent .pas eri-repos"
avant que d’avpir formé une petite boule, .de -même
aussi deux gouttes d’eau situées l’une proche: de
l’autre, & légèrement •attirées par la. surface fur
.laquelle elles se trouvent, íe précipiteront Time
vers,l’autre par,leur attraâion mutuelle ; & dans
T’instant ;même de, leur premier, contact , elles Te
réuniront &, ;fprirjerpnt. une.■-boule, comme: on
.Tobserve en effet ; TaNrnéme chose arrive à deux
gouttes de mercure. .'._■-.'-■. 'Att attLorsqu’on verse ensemble les parties de divers
liquides, elles s’attirent mutuellement ; celles qui
se touchent alors, tiennent l’une à Tautre par la
force avec laquelle elles agissent ; c’est pourquoi
les liquides pourront en ce cas se changer en un
corps solide, qui sera d’autant plus dur, que {'attraction
aura été plus forte ; .ainsi ces liquides se
coaguleront. Mussch.Lorsqu’on a fait dissoudre des parties de sel dans
une grande quaiítité d’eau, elles font attirées par
Teau avëc plus de force qu’elles ne peuvent s’attirer
mutuellement, & elles restent séparées assez' loin
les unes des autres : mais lorsqu’on fait évaporer
une "grande quantité de cette même eau, soit par
la chaleur du soleil, soit paf celle du feu, soit
par lë moyen du vent, il s’élève fur la surface
de Teau une pellicule fort mince, formée par les
particules de sel qui se tiennent en haut, & dont
Teau s’est évaporée. Cette pellicule, qui n’est composée
que des parties de sel, peut alors attirer &
séparer de Teau qui est au-dessous, différentes particules
salines, avec plus de force que ne pouvoit
fáire auparavant cette même eau.déjà diminuée
de volume ^ car, par Tévaporation d’une grande
quantité d’eau, les parties salines se rapprochent
davantage, & s’unislènt beaucoup plus qu’auparavant ;
& Teau se trouvant en moindre quantité,"
elle a aussi moins de force pour pouvoir agir sor
les parties salines qui sont alors attirées en-haut
vers la pellicule de sel à laquelle elles se joignent.
Cette petite peau devient par conséquentplus épaisse
& plus pesante que le liquide qui est au-dessous,
puisque la pesanteur spécifique des parties salines
est beaucoup plus grande que celle de Teau ; ainsi,
dès que cette peau est devenue fort pesante, elle
se brise en pièces ; ces morceaux tombent au fond, ,
& continuent d’attirer d’autres parties salines ; d’où
il arrive-qu’augmentant encor.e de volume, ils se
forment en grosses masses de différentes grandeurs
appellées crystaux. Mussch.L’air, quoiqu’il doive surnager tous les liquides
que nous.connoissons, & qui sont beaucoup moins
pefans que lui, ne laisse pas d’en être attiré, &
de se mêler- avec eux ; & M. Petit a fait voir par
plusieurs expériences, de quelle manière il est adhérent
aux corps fluides, & se colle, pour ainsi
fiire, aux corps solides. Mém. Acad. 2732.Les effervescences qui arrivent lorsqu’on mêle
ensemble différens liquides, nous donnent un
exemple remarquable de ces sortes d’attraâions
entre les petites parties des corps fluides ; on en
verra ci-dessous une explication un peu plus détaillée.II n est pas non plus fort difficile de prouver que
les liquides sont attirés par les corps solides. En
effet, qu’on verse de Teau dans un veire bien net,
on remarquera qu’elle est attirée fur les côtés cpntre
lesquels elle monte & auxquels elle s’attache, de
forte que la surface de la liqueur est plus basse au
oújieu que çelle qui touche les parois’du-verre, & %qui devient concave : au contraire, lorfqu on verse,
du mercure dans un verre, fa surface devient convexe,
étant plus haute au milieu que proche les
parois du verre ; ce qui vient de ce que les parties
du mercure s’attirent réciproquement avec plus de
force, qu’elles ne font attirées par le verre.Si on prend un corps solide bien net, & qui ne
soit pas gras, & qu’on le-plonge dans un liquide,
& qu’ensuite on le levé fort doucement & qu’on
l’en retire, la liqueur y restera, attachée, même
quelquefois à une hauteur assez considérable ;
en sorte qu’il reste entre le corps & la surface du
liquide, une petite colonne qui y demeure suspendue
: cette colonne se détache & retombe lorsqu’on
a élevé le corps assez haut, pour que lá
pesanteur de la colonne Temporte sur la force attraârve.
Mussch.La force avec laquelle le verre attire lès fluides,
se manifeste principalement dans" les expériences
furies tuyaux capillaires. Voyez TUYAUX CAPILLAIRES.
'II y a une infinité d’autres expériences qui
constatent Texislence de ce principe d’attraâion
entre les particules des corps.Toutes ces actions en vertu desquels les particules
des corps tendent les unes vers les autres,
sont appellées en général par Neuton du nom indéfini
d’attraâion,. qui est également applicable à
toutes les actions pa'r lesquels les corps sensibles
agissent les uns furies autres, soit par impulsion,
ou par quelqu’aurre force moins connue : & par-là
cet auteur explique une infinité de phénomènes,
qui feroient inexplicables par se seul principe de
la gravjté : tels sont la cohésion, la dissolution-,
Ja coagulation, la crystallisation, Tascension des
fluides dans les tuyaux capillaires, les sécrétions
animales*, la fluidité, Ia fixité, la fermentation, &c.
Voyez dans les Dïâtonnaires de Physique & de
Chimie, les articles COHÉSION , DISSOLUTION,
COAGULATION,CRISTALLISATION,ASCENSION,
SÉCRÉTION, FERMENTATION, &C.(c En admettant ce principe, ajoute cet illustre
33auteur, on trouvera que là nature est par-tout
JJ conforme à elle-même, & très-simple dans ses
J3 opérations ; qu’elle produit tous les grands mouJ3
vemens des corps célestes par Yattraâion de la
33 gravité qui agit fur les corps, & presque tous
33les petits mouvemens de leurs parties, parlé
33moyen.de quelquautre puissance attractive rè33
pandue dans ces parties. Sans ce principe il n’y
33auroit point de mouvement dans le monde ; &33
 fans la continuation de Taction d’une pareille
33 cause, le mouvement périroit peu-à-peu, puisqu’il
33dçvroit continuellement décroître & diminuer,
33 fi ces puissances actives- n’en reproduisoient
 ?3 fans cesse de nouveaux. 33 Optique , page 373.11 est facile de juger après cela combien sont
injustes ceux des philosophes modernes qui se déclarent
hautement contre se principe de Yattraâion,
sans en apporter d’autre raison , sinon qu’ils nc,çonçoivcaiA t t a t t :r*í.conçoivent pas Comment un corps peut agirTuf un
autre qui en est éloigné. 11 est’certain que, dans un
grand nombre de phénomènes, les philosophes ne
reconnoissent point d’autre action, que celle qui
est produite par Timpulfion &le contact immédiat:
mais nous yo3'ons dans la nature plusieurs effets,
Tans y remarquer d’impulsion : souvent même nous’
sommes en état de prouver, que toutes les explications
qu’on peut donner, de ces effets, par le
moyen des loix connues de Timpulfion, sont chimériques
& contraires aux principes de la méchanique
la plus simple. Rien ifest donc plus sage &
plus conforme à la vraie Philosophie, que de suspendre
notre jugement sur la nature de la force qui
produit ces effets. Par-tout où il y a Un effet, nous
pouvons conclure qu’il y a une cause, soit que nous
îa voyions oti que nous ne la voyions pas. Mais
quand la cause est inconnue, nous pouvons considérer
simplement l’effet, fans avoir égard à la
cause, & c’est même à quoi il semble qu’un philosophe
doit se borner en pareil cas : car, d’un côté,
ce seroit laisser un grand vuide dans Thisloire de
la nature, que de nous dispenser d’examiner, un ,
grand nombre dé phénomènes sous prétexte que
nous en ignorons la cause ; & de l’autre, ce seroit
.nous exposer à faire un roman, que de vouloir
- raisonner fur des causes qui nous sont inconnues.
Les phénomènes de Yattraâion sont donc la.yna.tière
des recherches physiques ; & en cette qualité
ils doivent faire partie d’un système de physique:
mais Ia cause de ces phénomènes" n’ést du ressort
du physicien, que quand elle est sensible, c’est-àdire
, quand elle paroît elle-même être l’effet de
quelque cause plus relevée ( caria cause immédiate
d’un effet ne paroît elle-même qu’un effet, la prejnière
cause étant invisible ). Ainsi, nous pouvons "
supposer autant de causes cYattraâion qu’il nous
plaira,Tans que cela puisse nuire aux effets. L’illustre ,
Neuton semble même être indécis sor la, nature de
ces causes : car il paroît quelquefois regarder la
.gravité, comme l’effet d’une cause immatérielle
(Optiq. page 343 , &c.)  ; & quelquefois il paroît la '
regarder comme l’effet d’une cause matérielle.
.Ibid. page 3Z5.Dans la philosophie neutonienne, la recherche
de la cause est le dernier objet qu’on a en vue :
jamais on ne pense à la trouver que quand les
-loix de l’effet & les phénomènes sont bien’établis,
parce que c’est par les effets -seuls qu’on peut remonter
jusqu’à la cause : les aclipns mêmes, les
plus palpables & les plus sensibles, n’ont point une
cause entièrement connue: les plus profonds philosophes
ne sauraient concevoir comment Timpulfion
produit le mouvement, c’esl-à-dire, com"
nient lé mouvement d’un corps passe dans un
.autre par le choc: cependant la communication
du mouvement par 1 impulsion est un principe
admis, non-seulement en Philosophie, mais encore
en Mathématique ; & même une grande partie
de la Méchanique élémeniaire, a pour objet lesMacàcmaiiauesi 'TomeI}I."J Pa ;tk..loix.Si les effets de cette communication. Voyez
PERCUSSION & COMMUNICATION de mouvement.
' ;>
Concluons donc que quand les phénomènes sont
suffisamment établis, les autres espèces d’effets, où
on ne remarque point d’impulsion , ont le même
droit de passer de la Physique dans les Mathématiques
, fans qu’on s’embarrasse d’en approfondir
les causes qui sont p eut-être, au-dessus de
notre portée: il est permis de ses regarder comme
causes occultes ( car toutes les causes le senti,. à parler exaclëment ) , & de s’en tenir aux effets,
qui sont la feule chose immédiatement à notre
portée.Neuton. a donc, éloigné avec raison de sa philosophie
cette discussion étrangère & métaphysique
 ; & malgré tous les. reproches qu’on a cherché
à lui faire là-deffus, il a la gloire d’avoir _dér
couvert dans la méchanique un nouveau principe,
qui étant bien approfondi, doit être infiniment’"plus étendu que ceux de la méchanique ordinaire:
c’est de ce principe seulement que nous pouvons
artendre Texplication d’un grand nombre de chan-,
gemens qui arrivent dans les. corps, cónime productions
, générations, corruptions , &c. én un
mot, de toutes les opérations surprenantes de la ■
Chimie^ Voyez GÉNÉRATION , CORRUPTION,
OPÉRATION, CHIMIE, &C. ( Diâ. de Phys. £'-'
de-Ch.)  v , .Quelques philosophes anglois ont approfondi
les principes dé l’attraâion. M. Keil en. particulier
a tâché de déterminer quelques-unes des loix de
cette nouvelle cause ,'& d’expliquer par ce moyen
plusieurs phénomènes généraux de la nature,
comme la cohésion, la fluidité, Télasticitë, la fermentation
, la mollesse, la coagulation. M. Freind,
marchant fur ces traces, a encore fait une application
plus étendue de ces mêmes principes" aux
phénomènes de la Chymie. Aussi quelques philosophes
ont. été, tentés de regarder cette nouvelle
méchanique comme une science compíette, & de
penser qu’il n’y a presqu’aucun effet physique dont
la force attraâive ne fournisse une explication
immédiate.Cependant en tirant cette conséquence,' il y
. y auroit lieu de craindre qu’on ne se hâtât un peu
trop : un principe si seconda besoin, d’être examiné
, encore pìus à fond ; & il semble qu’avant d’en faire
Tapplication générale à tous les phénomènes, il
faudrait examiner plus exactement Tes loix & íbi
limites. L’attraâion en général est un-principe íï
complexe, qu’on peut par son moyen expliquer
une infinité de..'phénomènes différens les uns des
autres : mais, jusqu’à ce que nous en connoiffions
: mieux.les propriétés, il seroit peut-être bon de
-Tapplîquer-à moins dVffets, .& de-Tapprofondir
-davantage. 11 se peut faire que toutes les attraâions
ne se ressemblent pas, & que.quelques-unes dépendent
de certaines causes particulières, dont nous
n’avons, pu nous former jusqu’à présent..aucun*
-■"''"'" A a
iScT
Att a t tidée, parce que nous n’àvons pas assez d’observations
exactes, ou parce que les phénomènes sont
si peu sensibles qu’ils échappent à nos sens. Ceux
qui viendront après nous, découvriront peut-être
ces diverses sortes de phénomènes : c’est pourquoi
nous devons rencontrer un grand nombre de phénomènes
qu’il nous est impossible de bien expliquer,
ou de démontrer avant que ces causes ayent été
découvertes. Quafit au mot d’attraâion, on peut
se servir de ce terme jusqu’à ce que la cause soit
mieux connue.Pour donner un essai du principe d’attraâion,
& de la manière dont quelques philosophes Tont
appliqué, nous joindrons ici les principales loix
qui ont été données par M. Neuton , M. Keil,
M. Freihd, &c.THÉOR. I. Outre la force attraâive qui retient
lês planètes & les comètes dans leurs orbites, il y
en a une autre par laquelle les différentes parties
dont les corps font composés , s’attirent mutuellement
les unes les autres ; & cette force décroît
plus qu’en raison inverse du quarré de la distance ;Cethéoreme,commenousTavons déjà remarqué,
peut se démontrer par un grand nombre de phénomènes.
Nous ne rappellerons ici que les plus
simples. & les plus, communs : par exemple , la
ligure sphérique que les gouttes d’eau prennent, ne
peut provenir que d’une pareille force : c’est par la
même raison que deux boules de mercure s’unissent
& s’incorporent en une seule dès qu’elles viennent
à se toucher, ou qu’elles sont fort près Tune de
l’autre : c’est encore en vertu de cette force que
Teau s’élëve dans les -tuyaux capillaires, &c.A Tégard de Ia lói précise de cette attraâion,
on ne Ta point encore déterminée : tout ce que
Ton fait certainement, c’est qu’en s’éloignant du
point de contact, elle décroît plus que dans la
raison inverse du quarré de la distance, & que
par conséquent elle suit une autre loi que la gravité.
En esset, si cette force suivoit la loi de la raison
inverse du quarré de la distance, elle ne seroitguere
plus grande au point de contact que fort
proche de ce point ; car'M. Neuton a démontré
dans ses Principes mathématiques, que si l’attraâion .
d’un corps est en raison inverse du quarré de la
distance, cette attraâioneíl finieau point de contact,
& qu’ainsi elle n’est guere plus grande au point de
contact, qu’à une petite dislance de ce point ; au
contraire, lorsque Yattraâion décroît plus qu’en
raison inverse duquarré de la dislance, par exemple,
en raison inverse du cube, ou d’une autre puissance
plus grande que le quarré ; alors, selon les démonstrations
de M. Neuton,, Y attraâion en infinie
au point de contact, & finie à une très-petite distance
de ce point. Ainsi, Yattraâion au point de
contact est beaucoup plus grande, qu’elle n’est à
une très-petite distance de ce même peint. Or il
est certain par toutes les expériences, que Yattraâionqúi est très-grande au point de contact, devient
presque insensible à une très-petite distancé de CQ
point. D’où il s’enfuit que Yattraâion dont il s’agit,
décroît en raison inverse d’une puissance plus grande
que le quarré de la dislance : mais Texpérience ne
nous a point encore appris, si la diminution de
cette force fuit la raison inverse du cube, ou d’une
autrè puissance plus élevée.II. La quantité de Yattraâion dans tous les corps
tfès-petits, est proportionnelle, toutes choses d’ailleurs
égales, à Ia quantité de matière du corps attirant,
parce qu’elle est en effet, ou du moins à trèspeu-près
, Ia somme ou le résultat des attraâions de
toutes les parties dont le corps est composé ; ou ,
ce qui revient au même, Yattraâion dans tous les
corps fort petits, est comme leurs solidités, toutes
choses d’ailleurs égales.Donc ,■ i." à dislances égales, les attraâions dé
deux corps très-petits seront comme leurs masses,.
quelque différence qu’il y ait d’aillèurs entre leur
figure & leur volume,2." À quelque distance que'ce soit, l’attraâion
d’un corps très-petit est comme fa masse divisée
par le quarré de Ia distance.11 faut observer que cette loi, prise rigoureusement
, n’a lieu qu’à Tégard des atomes, ou des plus
petites parties composantes des corps , que quelques-uns
appellent particules de la dernière composition
, & non pas à Tégard des corpuscules faits
de cès atomes.Car lorsqu’un corps est d’une grandeur finie,
Yattraâion qu’il exerce fur un point placé à une
certaine distance, n’est autre chose que le résultat
des attraâions, que toutes les parties du corps attirant
exercent fur ce point, & qui, en se combinant
toutes ensemble, produisent sur ce point une
force ou une tendance unique dans une certaine
direction. Or, comme toutes les particules dontle
corps- attirant est composé, sont différemment
situées par rapport au point qu’elles attirent, toutes
les forces que ces particules exercent ont chacune
une valeur -& une direction différente ; & ce n’est
que par le calcul qu’on peut savoir si la force unique
qui en résulte est comme la masse totale du
corps attirant divisée par le quarré de la dislance.
Aussi cette propriété n’a-t-ellë lieu que dans un
très-petit nombre de corps, par exemple dans les
sphères, de quelque grandeur qu’elles puissent erre.
M. Neuton a démontré que Yattraâion qu’elles
exercent fur un point placé à Une dislance quels
conque, est la même que si toute la matière étoit
concentrée & réunie au centre de Ia sphère ; d’où
il s’ensuit que l’attraâion d’une sphère est en général
comme sa masse divisée par le quarré de Ia
dislance qu’il y a du point attiré au centre de la
sphère ; Lorsque le corps attirant est fort petit,
toutes ses parties sont censées être à la même distance
du point attiré, & sont censées agir à-peuprès
dans le même sens ; c’est pour cela que dans
les petits corps,{'attraâion est censée proportionnelle
à la masse divisée par le. quarré de la distance.Au reste, c’est toujours à la masse, etnon à la
grosseur ou au volume, que Yattraâion est proportionnelle
 ; car Yattraâion totale est la somme
des attraâions particulières des atomes dont un
corps est composé. Or ces atomes peuvent être
tellement unis ensemble, que les corpuscules les
plus solides forment les particules les plus légères
, c’est-à-dire, que leurs surfaces n’étapt.point
propres pour se toucher intimement, ellés seront
séparées par de st grands interstices, que la grosseur
ne sera point proportionnelle, à la quantité
de matière. -■III. Si un corps est composé de particules, dont
chacune ait une force attmâive décroissante en raison
triplée ôu plus que triplée dés distances , la
force avec laquelle une particule de matière sera .
attirée' par ce corps au point de contact , ferá infiniment
plus "grande que fi cétte particule étoit
placée à une distance donnée du corps. M. Neuton
a démontré cette proposition dans ses principes ,
comme nous Tavons déja remarqué. Voyez Princ.
math.seâ. xiij. liv. L, proposition première.IV. Dans la même supposition, si la force attractive
qui agit à une distance assignable, â un rapport
fini avec la gravité, la force attraâive au point de
contact, ou infiniment près de ce point, fera infiniment
plus grande que la force de la gravité.- V. Mais si, dans le .point de contact, la force
attmâive a un rapport fini à fa gravité, la force
à une distance assignable sera infiniment moindre
que la force de la gravité, & par conséquent sera
nulle.VI. La force attraâive de- chaque -particule de
matière au point de contact, surpasse presque, infiniment
la force de la gravité, mais cependant
n’est pas infiniment plus grande. De ce théorème
& du précédent, il s’enfuit que la forée attraâive
qui agit à une distance donnée quelconque, fera
presque égale à zéro.Par conséquent cette force attraâive'des corps
terrestres ne s’étend que dans un espace extrêmement
petit, & s’évanouit à une grande distance.
C’est ce qui fait qu’elle"he peut rien déranger dans
le mouvement des corps célestes qui en fortt fort
éloignés, & que toutes les planètes continuent sensiblement
leur cours, comme s’il-n’y avoit point de
force attraâive dans ks eprps terrestres.Où la force attraâive. cesse, la force répulsive
commence, scion M. Neuton, ou plutôt la force
attraâive se change en force répulsive. Voy. RÉPULSION.VIL-Supposons un corpuscule qui touche un
corps : la force par laquelle le corpuscule est
poussé, c’esl-à-dire, la force avec laquelle il est
adhérent au corps qu’il touche, sera proportionnelleà la quantité du contact ; car les.parties un
peu éloignées du point de contact ne contribuent
en rien a la cohésion.II y a donç différens, degrés de cohésion, selon
la différence qui peut se trouver dans le contacl
des particules ; la force de la cohésion est la plus
grande qu’il est possible, lorsque la surface touchante
est plane : en cé cas, toutes choses d’ailleurs
égales , .la force par laquelle le corpuscule
est adhérent, féra cómmé les parties des surfaces
touchantes. , ' "-C’est pour cette raison que deux marbres parfaitement
polis, qui se touchent par leurs surfaçëí
planes, sons fi difficiles à séparer, & ne peuvent
Têtre que par un poids fort supérieur a celui de
Tair qui les presse." "'•'■-''■'-'■ "" ' .'..yIII. La force de l’attraâion croît dans les
petites particules à, mesure ; que le poids & la
grosseur de ces particules diminue, ou, pour
s’expîiquer plus clairement, la force de Y attraction
décroît moins à'proportion que la masse,
toutes choses d’ailleurs égales.Car, comme la force attv^zSVe n’agit qu’au point
de contact ; où fort près de ce point, le moment de
cette force doit être comme la quantité de contact,
c’est-à-dire, comme la .densité des parties & la grandeur
dé leurs surfaces : or les surfaces des corps
croissent ou décroissent comme les quatres des diamètres
, & les solidités comme ses cubes de ces
mêmes diamètres ; par conséguent, les plus petites
. particules ,-áyant plus de surface à proportion de
lëur solidité , sont capables d’un contact plus
fort, &c. Les corpuscules dont le contact est le
plus petit, & lé moins étendu qu’il est possible,- comme les sphères infiniment petites, sont cèux
qu’on peut séparer l.e plus aisément l’un de l’autre.On pèut tirer de ce principe la cause de la fluidité ;-car,
regardant" les parties des fluides comme
de petites sphères ou globules très-poli-s, oh voit
que leur attraâion & cohésion mutuelle doit être
très-peu considérable j ^qu’elles doivent être fort
faciles à séparer & à glisser les unes- sor- les au-,
tres ; ce qui constitue la fluidité.IX. La force par laquelleun corpuscule est attiré
par un autre corps qui en est proche , ne
reçoit àucun changement dans fa quantité, soit- que la matière du corps attirant croisse ou diminué,
pourvu que le corps attirant, conserve toujours
la même densité, .& que le corpuscule de^
meure toujours à la méme distance.Car, puisque la puiffahee attractive n’est répan-.
due que dans un sort petit espace, il s’ensuit que
les corpuscules qui sont éloignés d’un. autre, no
contribuent en rien pour attirer celui-ci ; par conséquent
le corpuscule sera attiré vers celùi qui en
est proche, avec la même force, soirque les autres
corpuscules y soient ou n’y soient pas , & par
conséquent aussi, soit qu’on en ajouté d’âutres 011
qon.' . - ■
Aaij

xS8 ATT

ATT.
Donc les particules auront différentes forces
suractives, selon la différence de leur structure :
par exemple, une particule percée dans fa longueur
n’attirera pas si fort qu’une particule qui
seroit entière ; de même auffi la différence dans
3a figure en produira tine dans la force attractive.
Ainsi une sphère attirera plus qu’un cône, qu’un
cylindre, &c.X. Supposons que la conrextufe d’un corps soit
telle, que les dernières particules élémentaires dont
il est composé soient un peu éloignées de leur premier
contact par faction de quelque force extérieure
, comme par le poids ou Timpulfion d’un
autre corps, mais fans acquérir en vertu de cette
force un nouveau contact ; dès que faction de cette
force aura cessé, ces particules tendantles.unes vers
les autres par leur forcé attractive, retourneront
aussi-tôt à leur premier contact. Or, quand les
parties d’un corps, après avoir été déplacées, retournent
dans leur première situation, la figure
du corps, qui avoit été changée-par lé dérangement
des parties, se rétablit aussi dans son premier
état : donc les corps qui ont perdu leur
figure primitive, peuvent la recouvrer par Yattraâion.- Par-là on peut expliquer la cause de Télasticìté ;
car quand les particules d’un corps ont été un peu
dérangées de leur situation par Taclion de quelque
force extérieure, si-tôt que cette force.ceslë d’agir,
les parties séparées doivent retourner à leur première
place, & pair conséquent le corps doit reprendre
fa figuré, &c.XI. Mais si Ia contexfure d’un corps est telle
que ses parties, lorsqu’elles perdent leur contact
par Taction de quelque cause extérieure, en reçoivent
un autre du même degré de force ce
corps ne pomra reprendre fa première figure.Par-là on peut expliquer en quòi consiste Ta
mollesse des corps.XII. Un corps plus pesant que Teau peut diminuer,
de grosseur à un tel point, que ce corps
demeure sospendu dans Teau fans descendre,
comme il le devroit faire par sa propre pesanteur.
• -..-."'. Par-là on peut expliquer pourquoi les particules
salines, métalliques, & les autres petits corps semblables,
demeurent suspendus dans les fluides qui
les dissolvent. x ; XIII.'Les grands corps s’approchent l’un de
1-autre avec’ moins de vîtesle que les petits corps
En effet, la force avec laquelle deux corps AB
surirent (fig. 3z, méch. n." z.) , réside feulement
dans les particules de ces corps les plus proches •
car les parties plus éloignées n’y contribuent en
rien : par conséquent la force qui tend à mouvoir
les corps A & B, n est pas plus grande que'celle
qui tendron à mouvoir les seules particules c & d
Or les vîtestes des différens corps mus par une'même force sont en raison inverse des masses de
ces corps ; car plus la massé à mouvoir estgrande,
moins cette force doit.lui imprimer de vîteste : donc
la vitesse avec laquelle le corps A tend à s’approcher
de B, est à la vitesse avec laquelle la particule
t" tendroit à se mouvoir vers B , fi elle étoit
détachée du corps A, comme la particule c est
au corps A ; donc la vîteste du corps A est beaucoup
moindre que celle -qu auroit la particule c,'
fi elle étoit détachée'du Corps A.C’est pour cela que la vitesse avec laquelle deux
petits corpuscules tendent à s’approcher l’un de
l’autre, est en raison inverse de leurs masses ; c’est
aussi pour cette même raison que le mouvement
des grands ;corps est naturellement si lent, que le'
fluide environnant & les autres corps adjacens le
: retardent & le diminuent considérablement ; au
lieu que les petits corps sont capables d’un mouvement
beaucoup plus grand, & sont en état par
ce moyen de produire un très-grand nombre d’effets,
tant il est vrai que la force ou.Ténergie de
laítmâion est beaucoup plus considérable dans les
petits corps que dans les grands. On peut aussi,
déduire du même principe la raison de cet axiome
de Chimie : Les sels n’agissent que quand ils sont,
disfous.XIV". Si un corpuscule placé dans un fluide est
également attiré en tout sens par les particules environnantes
, il ne doit recevoir-aucun mouvement-,
mais s’il: est attiré par quelques particules plus fortement
que par d’autres, il doit se mouvoir vers
le côté où Yattraâion est là plus grande, & le mouvement
qu’il aura sera proportionné à Tinégalité
à'attraâion, c’est-à-dire » que plus cette inégalité
fera grande, plus auffi le mouvement sera grand :
& au contraire.XV- Si des ;corpuscules nagent dans un fluide,
& qu’ils s’attirent les uns les autres avec plus de
force qu’ils n’attirent les particules intermédiaires
du fluide, & qu’ils n’en sont attirés, ces corpuscules
doivent s’ouvrir un passage à travers les particules
du fluide, & s’approcher les uns des autres’
avec une force égale à Texcès de leur force attractive
fur celle des parties du fluide ;XVI. Si un corps est plongé dans un fluide dont
les particules soient attirées plus fortement par les
parties du corps, que les parties de ce corps ne
s’attirent mutuellement, & qu’il y ait dans ce corps
un nombre considérable de pores ou d’interstices,
à travers lesquels les particules du fluide puissent
passer, le fluide traversera ces pores. De plus, si
la cohésion des parties du corps n’est pas aslèz
forte pour résister à Teffort que le fluide sera pour
les séparer, ce corps Te dissoudra.Dore pour qu’un menstrue soit capable de dissoudre
un corps donné, il faut trois conditions ;
l.° que les parties du corps attirent ses particules
du menstrue plus fortement qu’elles ne s’attirent
elles-mêmes-les unes les autres ; z.° que les pores
du Corps soient perméables aux particules du'mehs- ■'
true ; 5.° que la cohésion des parties du corps ne
soit pas assez forte pour résister à Teffort &'àT’irruption.'des
particules du menstrue,XVII. Les sels ont une grande force attractive,
même lorsqu’ils sont séparés par beaucoup d’interstices
qui laissent un libre passage à Teau : par conséquent
Tes particules de Teau sont fortement attirées
par les particules salines ; de sorte qu’elles se
précipitent dans les pores des parties salines, séparent
ces parties & dissolvent le sel.XVIII. Si les corpuscules font plus attirés par
les parties du fluide qu’elles ne s’attirent les unes
les autres, ces corpuscules doivent s’éloigner les
uns des autres, & se répandre çà & là dans le
fluide.Par exemple, fi on dissout un peu de sel dans
une grande quantité d’eau , les particules du sel,
quoique d’une pesanteur spécifique plus grandeque
cellè de Teau, se répandront & se disperseront
dans toute la masse de Teau ,"de manière que Teau
fera aussi Talée au fond qu’à fa-partie supérieure.
Cela ne prouve-t-il pas que les parties du sel ont
uné force centrifuge ou répulsive, par laquelle
elles tendent à s’éloigner ks unes des autres, ou
plutôt qu’elles sont attirées par Teau plus forte-,
ment qu’elles ne s’attirent les unes des autres ? En
- effet, comme tout corps monte dans Teau lorsqu’il
est moins attiré par fa gravité terrestre que
les parties de Teau, de même toutes .les parties
de sel qui flottent dans Teau , & qui sont moins’
£1 tirées par une partie quelconque de sel que les
parties de. Teau ne le sons, toutes ces parties,
dis-je, doivent s’éloigner de la partie de sel dont
il s’agit, & laisser-leur placé à Teau qui en est
pins attirée. Neuton, Opt. p. 3G3.XIX. Si des corpuscules qui nagent dans un '
fluide tendent les-uns vers les autres, & que ces
corpuscules soient élastiques , ils doivent, après
s’être rencontrés, s’éloigner de nouveau, jusqu’à
ce qu’ils rencontrent’ d’autres corpuscules qui les
réfléchissent ; ce qui doit, produire une grande
quantité d’impulsions, de répercussions,, & pour
ainsi dire de conflits entré ces corpuscules. Or,
en-vertu de la-force attractive, la vitesse de ces
corps augmentera " continuellement _ ; de manière
que le mouvement intestin des particules deviendra
enfin sensible aux yeux. _ :De plus, ces mouvemens seront différens,.&
feront plus ou moins sensibles &. plus ou moins
prompts, scion que les corpuscules s’attireront l’un
l’autre avec plus ou moins de force, & que leur
élasticité scra plus ou moins grande.XX. Si les corpuscules qui s’attirent l’un l’autre
viennent à se toucher mutuellement, ils n’auront
phis.de.mouvement, parce qu’ils, ne peuvent s’approeber
de plus près. S’ils font placés à une trèspetite
distance l’un de l’autre, ils se mouvront ; jmàis fi on les place à une distance plus grande j,
de manière que la force avec laquelle ils s’attirent
l’un l’autre, ne surpasse point la force avec laquelle
ils attirent les particules intermédiaires du
fluide ; alors ils n’auront plus de mouvement.De ce principe dépend Texplication de tous les
phénomènes de la fermentation & de Tébullition.■ Voyez FERMENTATION & EBULLITION.- ( Diâ.
de Phys. & de Ch. ) •Ainsi, .0:1 peut expliquer par-là pourquoi Thuile
de vitriol fermente & s’échauffe quand on verse
un peu d’eau dessus ; car les particules salines qiíì
se toueboient sont un peu désunies par Teffusiou
de Teau : or, comme ces particules s attirent Tune,
l’autre plus fortement qu’elles n’attirentles particules
de Teau, & qu’elles ne font pas égalemeit
attirées en tout sens, elles doivent néceflàirement
. se mouvoir & fermenter ; Vbyéz VITRIOL. ( Diâ.
de Ch.) ■ . ■C’est aussi pour cette raison qu’il se sait une fi
violente ébullition, lorsqu’on ajoute à ce mélange
de la limaille d’acier ; car les particules de Tacier
sont fort élastiques, & par-conséquent sont réfléchies,
avec beaucoup de force.On voit aussi pourquoi certains menstrues agissent
plus fortement, & dissolvent plus promptement
ie corps, lorsque ces menstrues ont été mêlés avec
Teau. Cela s observe lorsqu’on verse sur le plomb
ou sur quelques autres métaux de Thuile de. vitriol,
de Teau-forte, de Tefprit-de-nitre rectifiés ; car cesmétaux
ne se dissoudront qu’après qu’on y aura versé
de Teau..XXL "Si les corpuscules qui s’attirent mutuellement
l’un l’autre n ont point de force élastique, ils
ne seront point réfléchis ; 'mais ils se joindront en
petites niasses, d’où naîtra la coagulation.Si la pesanteur des particules ainsi réunies surpasse
la pesanteur du fluide, lá précipitation s’ea
suivra. Voyez PRÉCIPITATION. ( Diâ. de Ch.) XXII. Si des corpuscules nageant dans un fluide
saturent mutuellement, & si la figure de ces corpuscules
est telle, que quelques-unes de leurs parties
aient plus de force attraâive que les autres,
& que le contact soit aussi plus fort dans certaines
parties que dans d’autres, ces corpuscules  ; s’uni-=
icnt en prenant de certaines figures ; ce qui pro->duira
 la crystallifation. Voy. CRYSTALLÍSATION,
(Ibid.) 
Des corpuscules qui sont plongés dans un fluide
dont les parties ont un mouvement progressif égal.
& uniforme, s’attirent mutuellement de la même
manière que fi le fluide étoit en repos - ; mais si.
toutes les parties dû fluide ne se meuvent point
également, Yattraâion des corpuscules, n’.-sera plus
la même. - .■ C’est pour cette raison que les sels ne cristallisent
point ; à moins que Teau où on les ìnet ne
soit froide.
í5 ?ô ATT
AttXXIII. Si entre deux particules de fluide se
trouve placé un corpuscule dont les deux côtés
Opposés aient une grande force attraâive, ce^corpuscule
forcera les particules du fluide de s’unir
& de se conglutiner avec lui ; & s’il y a plusieurs
corpuscules de cette sorte répandus dans le fluide,
ils fixeront toutes les particules du fluide, & en
feront un corps solide, & le fluide sera gelé ou
changé en glace.XXIV. Si un corps envoie hors de lui une
grande quantité de corpuscules dont l’attraâion soittrès-forte,
ces corpuscules,lorsqu’ils approcheront
d’un corps fort léger, surmonteront par leur attraâion
la pesanteur de ce corps, & Patfireront à
eux ; & comme les corpuscules sont en plus grande
abondance à de petites distances du corps qu’à de
plus grandes, le corps léger sera continuellement '
tiré vers Tendrait où Témanation esl la plus dense",
jusqu’à ce qu’enfin il vienne s’attacher au corps
même d’où les émanations partent.Par-là on peut expliquer plusieurs phénomènes
de Télectricité. Voyez ELECTRICITÉ. (Diâ. dePhs-)  . …
Nous avons cm devoir rapporter ici ces différens
théorèmes fur l’attraâion , pour faire voir
comment on a taché d’expliquer, à Taide de ce
principe, plusieurs phénomènes de Chimie : nous
ne prétendons point cependant garantir aucune de
ces explications ; & nous avouerons même que la
plupart d’entr'elles ne paraissent point avoir cette
précision & cette clarté qui est nécessaire dans Texposition
des causes des phénomènes de la nature. 11 est
pourtant permis de croire que Yattraâion peut avoir
beaucoup de part aux effets dont il s’agit ; & la manière
dont on croit qu’elle peut y satisfaire, est en-core
 moins vague que celle dont on prétend les expliquer
dans d’autres systèmes. Quoi qu’il en soit,
le parti íe plus sage est fans doute de suspendre
■encore son jugement sur ces choses de détail, jusqu’à
ce que nous ayons une connoiffance plus parfaite
des corps & de leurs propriétés.Voici donc, pour satisfaire a ce que nous avons
promis au commencement de cet article, çê qu’il
nous semble qu’on doit penser fur Yattraâion.Tous les philosophes conviennent qu’il y a une
force qui fait tendre les planètes premières vers le
soleil, & les planètes secondaires vers leurs planètes
principales. Comme il ne faut, point multiplier
les principes fans nécessité, & que Timpulfion
est le principe le plus connu & le moins
contesté du mouvement des corps, il esl clair que
la première idée d’un philosophe doit être .d’attribuer
cette force à Timpulfion d’un fluide. C’est àcette
idée que les tourbillons de Descartes doivent
leur naiffínce ; & elle paroissoit d’autant plus heureuse,
qu’elle expliquoit à-la-fois le mouvement
de translation des planètes par le mouvement circulaire
de la matière du tourbillon, & leur tendance
vçrs le soleil par la force centrifuge decette matière. Mais ce n’est pas assez pour tme
hypothèse de satisfaire aux phénomènes en gros,
pour ainsi dire , & d’une manière vague ; les détails
en sont la pierre de touche, & ces détaiís,
ont été la raine du système cartésien. Voy. PESANTEUR,
TOURBILLON, &c.II faut donc renoncer aux rourbillons, quelque
agréable que le spectacle en paroisse. II y a plus ;
on est presque forcé de convenir que les planètes
ne se meuvent point en vertu de faction d’un
fluide : car de quelque manière qu’on suppose que
ce fluide agisse, on se trouve exposé de tous côtés
à des difficultés insurmontables : le seul moyen de
s’en tirer, seroit de supposer un fluide qui fut
capable de pousser dans un sens, & qui ne résistât
pas dans un autre : mais le remède, comme on
voit, seroit pire que le mal. On esl donc réduit
à dire, que la force qui fait tendre les planètes,
vers le soleil’vient d’un principe inconnu, & si Ton
veut, d’une qualité occulte ; pourvu qu’on n’attache
point à ce mot d’autre idée que celle qu’il présente
naturellement, c’esl-à-dire d’une cause qui nons
esl cachée. C’est vraisemblablement le sens qu’Aristote
y attachoit, en quoi il a été plus sage que
ses sectateurs , & que bien des philosophes modernes.Nous ne dirons donc point, fi Ton veut, que
Yattraâion est une propriété primordiale dela matière,
maisnous nous garderons bien aussi d’aífirmer,
que Timpulfion soit le principe nécessaire des mouvemens
des planètes. Nous avouons même que si
nous étions forcés de prendre un parti, nous pancherions
bien plutôt pour le premier que pour le
second ; puisqu’il n’a pas encore été possible d’expliquer
par le principe de Timpulfion, les phénomènes
célestes ; & que Timponibilité même de les
expliquer par ce principe , est appuyée fur des
preuves très-fortes, pour ne pas dire fur des démonstrations.
Si M. Neuton paroît indécis, en
quelques endroits de ses ouvrages, fur la nature
de la force attraâive ; s’il ayouemême quelle peut
venir d ?une impulsion, il y a lieu de croire que
c’étoit une efpece de tribut qu’il vouloit bien
payer au préjugé, ou, si Ton veut, à Topinion
générale de son siécle ; & on peut croire qu’il
avoit pour l’autre sentiment une forte de prédilection ;
puisqu’il a souffert que M. Côtes son disciple
adoptât çe sentiment fans aucune réserve,^
dans la préface qu’il a mise à la tête de la secondé
édition des Principes ; préface faite sous les yeux
de fauteur, & qu’il paroît avoir approuvée. D’ailleurs
M. Neuton admet entre , les corps, célestes
une attraâion réciproque ; & cette opinion semble
supposer -que Yattraâion est une" vertu inhérente
aux corps. Quoi qu’il en soit, la force attraâive ,
selon’M. Neuton, décroît en raison inverse des
quarrés des distances : ce grand philosophe a expliqué
par ce seul principe une grande partie des phénomènes
célestes ; & tous ceux qu’on a tenté d’expliquer
depuis par çe même principe, Tpnt étéAtt a t t
r<5ï
avec uîie facilité & une exactitude qui tiennent du
prodige. Le seul mouvement des apfides.de Ia
lune a paru durant quelque tems se refuser à ce
système, : mais ce point a été enfin décidé, &
le système Neutonien én est sorti à son honneur.
Fôyq ;-L u N E. Toutes les autres inégalités
du mouvement de la lune, qui, comme Ton
fait, sont très-confidérables & en grand nombre,
s’expliquent très-heureusement dans le système dé ;
Yattraâion. Je m’en fuis aussi assuré par le calcul, '
& j’ai publié mon travail.Tous les phénomènes nóus démontrent donc
qu’il y a une force qui fait tendre les planètes les
unes vers les autres. Ainsi , nous ne pouvons nous
dispenser de Tadmettre ; & quand nous serions
forcés de la reconnoitre comme primordiale &
inhérente à la matière, j’ose dire que la difficulté
de concevoir une pareille causeseroit un argument
bien foible "contre son existence. Perfonne ne doute
qu’un corps qui en rencontre, un autre ne lui
communique du mouvement : mais avons-nous une
idée de la vertu par laquelle se fait cette communication ?
Les philosophes ont avec le vulgaire
-bien plus de ressemblance- qu’ils ne s’imaginent.
^ Le peuple ne s’étonne point de voir une pierre
tomber, parce qu’il Ta toujours vu ; de même les
philosophes, parce qu’ils ont vu dès Tenfance les
, effets de Timpulfion, n’ont aucune inquiétude soûla
cause qui les produit. Cependant fi tous les
corps qui en rencontrent une autre s’arrêtoient fans
leur communiquer du mouvements un philosophe
qui verroit, pour la première fois , un corps en
pousser un autre, seroit aussi surpris qu’un liomme
qui verroit un corps pefantïe soutenir en.Tairsans
.retomber. Quand nous saurions en quoi consiste
Timpénétrabilité des corps, nous n’en serions peutétre
guere plus éclairés fur la nature de la force
-impulsive. Nous voyons seulement, qu’en conséquence
de cette impénétrabilité, le choc d’un corps
-contre un autre doit être suivi de quelque changement,
ou dans Tétat des deux corps , _ou dans
Tétat de l’un des deux : mais nous ignorons, &
"apparemment nous ignorerons toujours, par quelle
. verni ce changement s’exécute, & pourquoi," par
exemple, un corps qui en choque une autre ne
reste pas’toujours en repos après se ;choc, fans
.communiquer une partie de son mouvement au
corps choqué. Nous croyons que Yattraâion répugne
à Tidée que nous avons de la matière:mais
•approfondissons cette idée, nous serons effrayés
-de voir combien peu elle est distincte, & combien
nous devons être réservés dans les conséquences
que nous en tirons. L’univers est caché"pour nous
.derrière une espèce de voile, à-travêrs_ lequel nous
entrevoyons confusément "quelques points. Si ce
voile se déchiroit tout-à-coup, peut-être scrions-nous-bien
surpris dece qui se passe derrière. D ailleurs
la prétendue incomptabilité de Yattraâion
avec la matière,"n’a plus lieu dès qu’on admet un
être intelligent & ordonnateur de tout, à qui il aété auffi libre de vouloir qae les corps agissent
les uns fur les autres à distance, que dans le
contact. -Mais autant que nous devons être portés à croire
Texistence de la force d’attraâion dans les corps
célestes, autant, ce me semble, nous "devons être _
réservés à aller plus avant. i.° Nous ne dirons
point que Yattraâion est une propriété essentielle
de la matière, c’est beaucoup de la regarder comme
une propriété primordiale ; & il y a une grande
différence entre une propriété primordiale & une
propriété essentielle. L’impénétrabilité, la divifibilité,
la mobilité, sont du premier genre ; la vertu
impulsive est du second. Dès que nous concevons
un corps, nous le concevons nécessairement"di'
visible, étendu, impénétrable : mais nous ne concevons
pas nécessairement qu’il mette eh mouvement
un autre corps. z.° Si on croit que Yattraâion soit
une propriété inhérente à la matière, on pourroit
en conclure que la lói du quarré s’observe dans
toutes ses parties. Péut-être néanmoins seroit-il
plus sage-de n’admettre Yattraâion qu’entre les
parties des planètes, fans prendre nôtre parti fur
la nature ni fur la cause de cette force, jusqu’à
ce que de nouveaux phénomènes nous éclairent
fur cé sujet. Mais du moins faut-ií bien nóus garderd ?assurer
que quelques parties de la rhatière s’attirent
suivant d’autres loix que celles du quarté. Cette
proposition ne paroît pointsuífjsammentdémontréé.
Les faits font Tunique boussole qui doit nous guider
ici, & je ne crois pas que nous en ayons encore
un assez grand nombre pòur nous élever à une
assertion si hardie : on jieut én juger par les différens
thérofnènes que nous venons de rapporter.
, d’après M. Keil & d’autres philosophes. Le fystêmé
du monde est en droit de nous faire soupçonner que
 les mouvemens des corps n’ont peut-être pas
Timpulfion feule pour cause ; que ce soupçon nousrende
sages, & ne -nous -pressons pas de conclure
que Yattraâion soit un principe universel, jusqu’à '
ce que nous y soyons forcés par les phénomènes.
Nous aimons, il.est vrai, à généraliser nos.découvertes
 ; Tanalpgie nous plaît, parce quelle flatte
nótre vanité & soulage notre paresse : mais -la nature
n’est pas obligée de se conformer à nos idées, Noás
.- voyons si peu avant dans ses ouvrages, & nous ìês
voyons par de si petites parties, que les principaux
ressorts nous en échappent. Tâchons de bien apperceyoir
çe qui- est autour de nous ; & si nous
voulons nous élever plus haut, que-ce-soit avec
beaucoup de circonspection : autrement nous n’en
verrions -que plus-mal, en croyant voir plus loin ;
les. objets éloignés feroient toujours confus, &
ceux qui étoient à nos pieds nous échapperaient.
Après ces réflexions, je crois qu’on pourroit se
dispenser de prendre aucun parti sur la dispute
qui a partagé deux académiciens célèbres,- savoir
fi la loi d’attraâion doit nécessairement être comme
une puissance de Ta distance-, ou. si elle-peut ê-tr-e
en général comme "-une" fonction de cette -mêine
J.}Ì ATT
Attdistance ; ( Voyez PUISSANCE & FOIÍCTION ) 
question purement métaphysique, & sor laquelle.il
est peut-être bien hardi de prononcer, après ce
qne nous venons de dire ; ausli n’avons-nous pas
cette prétention, fur-tout dans un ouvrage de la
nature de celui-ci. Nous-croyons cependant que si
on regarde Yattradion comme une propriété de Ia
matière, ou une loi primitive de là nature, il est
assez nanirel de ne faire dépendre cettë attraâion
que de la seule distance ; & en ce cas, fa loi ne
pourra être représentée, que. par une puissance ; car
route autre fonction contiendrait u:^ paramètre ou
quantité constante qui ne dépendroit point de la
distance, & qui paraîtrait se trouver là fans aucune
raison sofnlà-nte. 11 est du moins certain qu’uneloi
exprimée par une telle fonction, seroit moins.simplequ
une loi exprimée par une seule puissance. .Nous ne voyons pas d’ailleurs quel avantage il
y auroit à exprimer Yattraâion par une fonction.
On prétend qu’on pourroit expliquer par-là',
•comment Yattraâion à de grandes distances est en
raison inverse du quarré , & fuit une autre loi à
de petites distance ? : mais il n’est pas encore bien
certain que cetteloi d’attraâion à de petites distances,
soit aussi générale qu’on veut le supposer. D’ailleurs,
fi on veut faire de cette fonction une loi générale
qui devienne sort différente du quarré à de trèspetites
dislances, & qui puisse servir à rendre raison
des attraâions qu’on observe ou qu’on suppose dans
les corps terrestres ; il nous paroît difficile d expliquer
dans cette hypothèse comment la.pesanteur
des corps qui sont immédiatement cortigus à la
terre, esl à la pesanteur de la lune à-peu-près en
raison inverse du quarré de la dislance. Ajoutons
qu’on devroit être fort circonspect à changer la
loi du quarré des distances, quand même, ce qui
n’est pas encore arrivé,, on trouvercit quelque
phénomène céleste, pouf Texplication duquel cetîe
loi du quarré ne suffirait pas. Les différens points
du système du monde, au moins ceux que nous
. avons examinés jusqu’ici, s’accordent avec la loi
. du quarré des distances : cependant comme cet
accord n’est qu’un à-peu-près, il esl clair qu’ils
s accorderaient de même avec une. loi qui seroit
un peu différente de celle du quarté des distances:
, mais on sent bien qu’il seroit ridicule d’admettre
une pareille loi par ce seul motif.Reste donc à (avoir si un seul phénomène qui
ne s’accorderoit point avec la loi du quarré, seroit
une raison suffisante pour rous obliger à changer
cette loi dans tons les autres ; & s’il ne seroit pas
plus sage d’attribuer ce phénomène à quelque cause
ou loi particulière. M. Neuton a reconnu lui-même
d’autres forces que celles-là, puisqu’il paroît supposer
que k force magnétique de la .-terre agit sor
îa lune, & on sait combien cette force esl différente
de la force générale d’attraâion, tant par
son intensité, que par les loix suivant lesquelles
e'ie agit. , ' .M, de Maupertuis, un des plus célèbres partisansdu Neutoniànisme, a donné dans son discours fur
les figures des astres, une idée du système de
Yattraâion, & des réflexions fur ce système, auxquelles
nous croyons.devoir renvoyer nos lecteurs,
comme au meilleur précis que nous connoiffions
de tout ce qu’on peut dire fur cette matière. Le
même auteur observe dans les Mém. acad. 2J34,
que M. de Roberval, de Fermât & Pascal ont cru
long-tems avant M. Neuton, que la pesanteur étoit
une verni attractive & inhérente aux.corps, en
quoi on voit qu’ils se. sont expliqués d’une manière
bien plus choquante pour les Cartésiens, que
M. Neuton’ ne Ta fait. Nous ajouterons que
M. Kook' avoit eu la. même idée, & avoit prédit
qu’on expliquerait un jour très-heureusement par
ce principe., les • mouvemens des planètes. Ces
réflexions, en augmentant le nombre des partisans
de M. Neuton, ne diminue rien de fa gloire,
puifqu’étant le premier qui ait fait voir Tusage du
principe , il cn est proprement Tauteur .& le
-créateur. (O) .ATTRACTION. Histoire de la découverte de h
loi de l’attraâion. Quoique Yattraâion universelle
se manifeste dans toute la nature, & qu’elle influe
dans tous les phénomènes de la Pfryfique ; c’est
fur-tout dans le ciel qu’elle est évidente & essentielle.La loi de Yattraâion a été découverte p.ir
Neuton ; mais Tidée de cette force générale est
très-ancienne.Anaxagore,, Démocrite , Epicure , admettaient
déjà cette tendance de la matière vers les
centres communs , soit.fur la terre , soit ailleurs ;
Plutarque en parle d’une manière bien claire dans
Touvrage fur la cessation des oracles ( pag. 47 r -,
■édition de Francfort, 1600 )  ; il y explique comment
chaque monde a son centre particulier,Te »
terres, ses mers, & la force nécessaire pour aslernbler
les corps, & les retenir autour du centre.
'■ Copernic avoit la même idée de Tattraction générale
 ; car il attribuoit la rondeur des corps
célestes à la- tendance qu’ont leurs différentes
parties à se réunir ( de Révolution, ç. g ) : d’où il
luivoit que certe tendance avoit lieu dans chaque
planète ausli bi »n que sur la terre. Tycho luimême
admettait .une force centrale dans le soleil
pour retenir les planètes dans leurs orbites autour
de lui, quoique cette attraction fût difficile à concilier
avec son système. Kepler, génie plus vaste
&. plus hardi que tous ceux qui Tavoient précédé,
perta lès idées plus loin ; il sentit que Tattraction
é:oit générale & réciproque, & que Tattraction
du soleil devoit s’étendre auffi à, la terre
(di Stella Martis , 1609, épi t. Astron. Cop. lólS,
■Pig- 5S5 , hifi. des Math, par M. Mont-ucla, 175ÌÌ,
■tom. II, pag. Z13 , Sz7 , 53s ). Dans la préface
de ce livre fameux, où Kepler démontra le premier
que les orbites des planètes n’etoient point:
circulaire ; , il dit précisément que, si la lune &'
la terre n’étoicntpas en mouvement, elles s’ap/
' . pi oehuoienr
brocheroient lune de 1 autre, & se réuniraient à
leur centre de gravité commun ; il dit ailleurs que
faction du soleil produit les inégalités de la lune ,
que l’action de Ta lune produit se flux & reflux
de'la mer, que le soleil attire les planètes, & cn
est -attiré par une espèce de magnétisme.Le Traité de Taimant, publié par Gilbert, lui
faisoit comparer à cette force de 1 aimant celle des
planètes entr'elles.Galiléey Bacon, Fermât, Roberval & le docteur
Hook, en parlèrent d’une manière assez positive ;
cëlui-ci, disoit sur-tout, ces paroles remar.
quablës : cc que les forces attractives sont d’autant
-« plus puissantes dans leurs opérations, que le
5 ? corps sor lequel elles agissent est plus près de
3) leur centre. Pour ce qui est de la proportion ,
3 >.suivant laquelle ces forces diminuent à mesure
• 35que la distance augmente, j’avoue, que je ne Tai33 pas encore vérifiée Je donne cette ouversstureà ceux qui ont assez de loisir &■ de conjjnoissançes
pour cette recherche. 35 Cette loi,
qu’il propesoit de trouver, fut précisément celle
.que chercha Neuton. Pemberton nous raconte que
.les premières -idées de Neuton fur cette matière
-lui vinrent en 1666 ; il se promenoit seul dans
un jardin, méditant fur la pesanteur & sur ses
propriétés : cette force , disoit-il, ne diminue pas
sensiblement, quoiqu’on s’élève au sommet des plus
hautes montagnes ; il est donc naturel d’en conclure
que cette puissance doit s’étendre glus loin.
Pourquoi ne s’étendroit-elle pas jusqu’à la lune ?
Mais fi cela est, il faut que cette pesanteur influe
Tur le mouvement de la lune ; peut-être sert-elle
à retenir la lune dans son orbite ? & quoique la
-force de la gravité ne soit pas sensiblement affoiblie
par un petit changement de distance, tel que nous
pouvons Téprouver ici-bas, il est très-possible que
dans Téloignement où íe trouve la lune cette force
Toit fort diminuée. Pour parvenir à estimer quelle
pouvoit être la quantité de cette' diminution,
Neuton songea que si la lune étoit retenue dans
son orbite par Ia force de la gravité, il n’y avoit
pas de doute que les planètes principales ne tournassent
autour du soleil , en vertu de la même
puissance. En comparant les périodes des différentes
planètes avec leur distance au soleil, il
trouva que si une puissance semblable à Ia gra.vité
les retenoit dans leurs orbites, fa force devoit
diminuer en raison inverse du carré de la distance
: nous en donnerons le calcul ci-après. II
supposa donc que le pouvoir de la gravité s’étendoit
jusqu’à la lune, & diminuoit dans le même
rapport, & il calcula si cette force seroit suffisante
pour retenir la lune dans son orbite ; il
faisoit ces calculs dans un temps où il n’avoit
point sous la mai'n les livres qui lui auroient été
nécessaires, & il sopposoir, suivant Testime commune
employée par les géographes & les marins
avant la mesure faite par Picard, que 6e milles
d’Angleterre faisoient un degré de latitude fur laMathématiques. Tome I, !."'« Partie.terre ; mais comme cette supposition étoit tièsdéfeélueuse
( puisque chaque degré doit contenir
60 Ì milles ) , le calcul ne répondit point à son
attente ; il crut alors qu’il y avoit au moins quelque
autre chose jointe à la pesanteur , qui agit sor
la lune, & il abandonna lès recherches fur cette
matière. Quelques années après , une lettre du
docteur Hook lui fit rechercher quelle est la vraie
courbe décrite par un corps grave qui tombe, &
qui est entraîné par le mouvement de la terre fur
son axe ; ce fut une occasion pour Neuton de
reprendre ses premières idées fur la pesanteur de
la lune. Picard vénoit de mesurer en France Te
degré de la terre ; & en se servant de ces mesures
Neuton vit que la - lune étoit retenue dans son
orbite par le seul pouvoir de la gravité ; d’où il
suivoit que cette gravité diminuoit en s’éloignant
du rentre de la terre, de la même manière que
notre auteur Tavoit d’abord conjecturé. D’après ce
principe, Neuton trouva que la ligne décrite par
la chute d’un" corps étoit une ellipse, dont le centre
de la terre occupoit un foyer : or. les planètes
principales décrivent aussi des ellipses autour du
soleil ; il eut donc la satisfaction-de voir que cette
solution, qu’il avoit entreprise d’abord par pure curiosité
, pourroit s’appliquer aux plus grandes recherches.
En conséquence , il composa 'une douzaine
de propositions, relatives au mouvement des planètes
principales autour du soleil. Plusieurs années
après, le docteur Halley étant allé voir Neuton
à Cambridge , Tengagea dans la conversation à
reprendre ses méditations à ce sujet, & fut Toccafion
du grand ouvrage des Principes qui parut
en 1687, & dont la dernière édition a paru en
IJZÓ ( a View os sir Isaac Newton’s philosophy ,
London , 1728 , w-4. 0 Préface. ) La loi de Kepler, suivant laquelle lês carrés des
tems sont,.comme les cubes, des dislances, fuffisoit
pour reconnoitre que Yattraâion du soleils
qui retenoit des planètes sous cette loi, étòit en
raison inverse du carré de la distance. Soient deux
orbites circulaires & concentriques P B, TV
(fig. Astron. Z7z) ,dans lesquelles’ tournent deux
planètes, dont les tems périodiques sont dans Tune
í, & dans l’autre Tunité ; par exemple, faturne
& la terre ; supposons les arcs P B & T V infiniment
petits & semblables, c’est-à-dire, compris
entre les rayons ST P, SVB ; ces arcs P B
& TV feroient parcourus en tems égaux, si les
révolutions des deux planètes étoient égales ; mais
la planète supérieure Payant une révolution plus
lente que la terre, ne décrira qu’un arc P-E, tandis
que la terre décrira Tare T V, alors P D fera
l’effet, Ia mesure & Texpression de la force centrale,
que le soleil exerce sur cette planète, tandis -,
que TR esl Tefset de la force centrale qu’il exerce
fur la terre T ; & nous n’aurons à chercher que
le. rapport des petits sinus verses P D & TR.
Suivant la propriété connue des petits arcs, on
a cette proportion P D '. P C ; ■' PE-- \ p £%-B hT$>4Att attm ?is la planète supérieure auroit parcouru P B .,si
 la durée de sa révolution, que j’appelle t, étoit
éçale â Tunité ou à la durée de la révolution de
la terre ; donc P E \ P B '/. I .' t : ainsi, P D ]P CY. i .'f-idonc P D-^f. OrPClTRi ;P S .* TS-l : r : i, puisque les arcs P B & T Vsont semblables ; donc P C=:r • TR ; & puisque' PC /r r. n rTR , PDp D = —r 3 on a auffi P D = -p- ; donc ^=
-i. Mais suivant la loi Kepler £- ; I ','. r\', i ;
ou r> = i1  ; donc ^ ( = -p. J sera égale à -^ou-V ; donc P P .' Tit M i ,'.r ,■ c’esl-à-dire ,r- 'que l’effet de la force centrale esl en raison inverse
. du -carré de la distance.II étoit donc facile à Neuton de reconnoitre
cette loi de Yattraâion , par le moyen de la loi
de Kepler.Mais il né s’en tint pas à cette belle découverte
 ; il en fit des applications immenses au moyen
de la Géométrie des infiniment petits , qu’il venoit
lui-même de découvrir ; les inégalités de la lune,
' le flux & le reflux de la mer, Ia figure de la terre,.
Ia précession des équinoxes  ? se mouvement des
apsides , &c. tout fut soumis au calcul dans son
livre des Principes ; les applications qu’en ont fait
successivement les plus grands géomètres, se trouvent
dans les ouvrages dont nous avons donné le
catalogue au mot ASTRONOMIE. (D.L.) ATTRACTION des montagnes. U est certain,
d’après le principe de Yattraâion mutuelle de toutes
les parties de la terre , qu’il peut .y avoir des
montagnes dont la masse soit assez considérable
pour que leur attraâion soit sensible.-En effet
supposons pour un moment que la terre soit un.
globe d’une densité uniforme, & dont le rayon
ait 1500 lieues, & imaginons fur quelqu’endroit
de la surface du globe une montagne de la même
^densité que le globe, laquelle soit faite en demi""
sphère & ait une lieue de hauteur ; il esl aisé de
prouver qu’un poids placé au bas de cette montagne
sera attiré dans le sens horizontal par la
montagne , avec une soree qui sera la 3ococ partie
de la pesanteur , de manière qu’un pendule 011 fil
à plomb placé au bas de cette montagne , doit
s’écarter d’environ une minute de la situation
verticale ; le calcul n’en esl pas difficile à faire.11 peut donc arriver que quand on observe la
hauteur d’un astre au pié d’une fort grosse montagne
, le fil à plomb , dont la direction sert à
raire connoître la hauteur de Taslre,ne soit point
vertical. Mais comment s’assurer qu’un fil aplomb
n’est pas exactement vertical , puisque la direction
même de-ce fil, est le seul moyen qu’onpuisse employer pouf déterminer ia iituauon vei*
ticale ? V oici le moyen de résoudre cette difficulté.Imaginons une étoile au nord de la montagne,
& que Tobscrvateur soit placé au sud. Si Yattractìon
de la montagne agit sensiblement sur le fil à
plomb, il sera écarté oe la situation verticale vers
le nord, & par conséquent le zénit apparent reculera
, pour ainsi dire ', d’autant vers le sud :
ainsi, Ia distance de Tétoile observée au zénit,
doit être plus grande que s’il n’y avoit point à'at- .
traâion.Donc, si après avoir observé au pied de la montagne
la distance de cette étoile au zénit, on se
transporte loin de la montagne sur le même parallèle,-&
sans changer de latitude, à Test ou à
Touest, en sorte que Yattraâion ne puisse plus
avoir d’effet, la distance de Tétoile observée dans
cette nouvelle station doit être moindre que la
-première , au.cas que Yattraâion de la montagne
produise un effet sensible. Mais fi le fil à plomb
au sud de la montagne est écarté vers le nord,
ce même fil à plomb au nord de la montagne sera
écarté vers le sud ; ainsi le zénit ,• qui dans le premier
cas étoit pour ainsi dire reculé en arrière
vers le sud, sera, dans le second cas, rapproché
en avant vers le nord ; donc dans le second cas
la distance de Tétoile au zénit sera moindre que
s’il n’y avoit point d’attraâion , au lieu que dans
le premier cas elle étoit plus grande. Prenant
donc la différence de ces deux dislances & la divisant
par Ia moitié, on aura la quantité dont le
' pendule est écarté de la situation verticale par Yatt
traâion de la montagne.On peut voir toute cette théorie fort clairement
exposée avec plusieurs remarques- qui y ont rapport
, dans un éxcelsent mémoire de Bouguer,
imprimé én 1749 , à la fin de -son livre de Ia
figure, de la terre. II donne dans ce mémoire le
détail des observations qu’il fit, conjointement
avec la Còndaminé , au sud & au nord , d’une
grosse montagne du Pérou appellée Chimboraço ;
Tl résulte de ces observations , que Yattraâion de
cette grosse montagne écarte le fil à plomb d’environ
7" & demie de la fituation verticale.Au reste, M. Bouguer fait à cette occasion une
remarque judicieuse , que la plus grosse montagne
pourroit avoir très-peu de densité par rapport au
globe terrefoe , tant par la nature de la matière
qu’elle peut contenir 5 que par les vuides qui peuvent
s’y rencontrer, &c. qu’ainsi cent observations
où on ne trouverait point d’attraâion sensible , ne
prouveraient rien contre le système neutonien ; au
lieu qu’une seule, qui lui est favorable, comme
celle de Chimboraço , mérite de la part des philosophes
la plus grande attention. (O) Depuis les observations de Bouguer, on a reconnu
dans plusieurs endroits cet effet de {'attraction
des montagnes ; il se remarque fur-tout dans
les opérations par lesquelles on détermine la gran:Att a v a rndeur des degrés de la terre, parce qu’on y fait
usage du fil-à-plomb , pour mesurer avec une
grande précision la distance des étoiles au zénit.
Le P. Boscovich ayant trouvé le degré du méridien
en Italie de 56975) toises , tandis qu’il auroit
dû être de 57110, en le réglant fur ceux du nord
& du Pérou, a pensé que les termes de Ia mesure
étant placés l’un au nord & l’autre au midi delà
grande chaîne des montagnes de TAppennin ,
les observations faites par le moyen du sil-à-plomb
avoient pu être troublées par Yattraâion de cette
masse de montagnes, & donner un moindre nombre
de toises pour chaque degré.
"" L’abbé de la Caille 'penfoit aussi qu’à Perpignan,
lors des. observations faites pour la méridienne de
France j le-voisinage des Pyrénées avoir pu faire
dévier le fil-à-plòmb vers le sud, faire paraître
le zénit plus au nord qu’il ne Test réellement, &
rendre plus petits les arcs compris entre Perpignan
& les autres villes de là France ; aussi
yoyons-nous qu’il abandonne, pour ainsi dire,
les observations faites à Perpignan , pour conclure
la longueur, du degré,-dont le milieu passe à'450
de laritade 57018 toises. Mém. Acad. - 2758 ,
page Z44. . - - - - ■ •Le P. Beccaria a trouvé en Piémont une différence
encore plus grande ; entre Turin & And ra,
Tare mesuré s’est trouvé de zó" plus petit qu’en
France sor une égale longueur , & le degré qu’on
en auroit voulu conclure auroit été trop grand de_
900 toises ; mais Andra est situé fur le penclíant
de Monte - Barone, qui va toujours en s’élevant
fur une longueur de plus., de sept lieues jusqu’au
sommet de Monte-Rosa, qui-a 2330' de hauteur
& qui est par conséquent une des plus hautesmontagnes
de TEurope. Gradus Taurinenfis, 1774.En Angleterre , M. Cavendish croit que le
degré qui a été mesuré" dans T Amérique septentrionale,
pourroit bien avoir été diminué de éo
ou ico toises par le défaut d’attraâion.du Côté de
la.m.ër ; & íl pense que les degrés mesurés cií
Italie & au cap de Bonne-Espérance pourroient
bien être sensiblement affectés de la 'même cause.
Philos Trans. 17G8 , pag. 3Z8. Le P. Boscovich
estime qu’on pourroit s’en assurer en, faisant des
opérations à S. Malo, lorsque la mer est trèsbaffe ;
& lorsqu’ensuite s’élevant de:45… pieds par
l’effet des grandes marées, son attraâion devient
considérablement-plus forte/ "^ . ,Enfin nous ; avons eu depuis quelques^ années
une confirmation bien positive de cette, attraâiprides
montagnes. ; M. Maskelyne, astronome royal
d’Angleterre , étant allé exprès en Ecosse pour
faire des observations au nord- & au socl de la
montagne de Schehallien dans là province de
Penh, & íl trouva une déviation de près de six
secondes. P hilosophical Translatons , ,1775 ; Journal"
de Physique, mai ' 177 6. ( D. L. ).
- ATTRAÇTI0NNA.1RE\, adj.. pris fubft,, estle nom que Ton donne aux partisans de Tattraction.
Voyez ATTRACTION. (O).ATTRITION, f. f. Ce mot vient du verbe
atterere , frotter, user, & se forme de la préposition
ad, à, unie au verbe tero , j’use. II signifie
un frottement réciproque de deux corps , au
moyen duquel se détachent les particules brisées,
de leurs surfaces. Voyez MOUVEMENT & FROTTEMENT.C’est par ce mouvement que Ton aiguise &
que Ton polit. Voyez aux articles CHALEU,R-,
LUMIÈRE , FEU , ELECTRICITÉ , les effets de
Yattrition.M. Gray a trouvé qu’une plunie frottée avec
les- doigts, acquit par cela Teul un tel degré d’électricité
, qu’un doigt, auprès duquel on la tenoit,
devenoit pour elle un aimant ; qu’un cheveu-qu’il
avoit trois fois ou quatre fois ainsi frotté , voioit à
ses doigts, n’en étant éloigné que d’un demirpouce ;,
qu’un poil & des fils de soie étoient par ce même
ìiioyen rendus électriques. L’expérience fait voir
la même chose fur des rubans de diverses cou-:
leurs & de quelques pieds de long, la main les,
attire quand ils sont frottés : imprégnés de Tair.
humide, ils perdent leur électricité ; mais le" feu-,
la leur redonne.Le même philosophe dit que les étoffes de
laine, Te papier, le cuir, les coupeaux, le par--,
chemin, sont rendus électriques par Yattrition.II y a même qùelques-uns de ces corps que"
Yattrition - feule rend lumineux. Voyez PHOS^
PHORE. (Diâ. de Phys. ) ÁTTRITION se prend auffi- quelquefois pour le
frottement de deux corps qui, fans user leurs surfaces
, ne fait que mettre en mouvement les fluides
qu’ils contiennent: ainsi, on dit que lés sensations
de la faim, de la douleur, du plaisir,-sont eau*
fées par Yattrition des "organes ; qúi ; sont formés-pour
 ces effets. { O ) A v aAVANT ;-MAIN, terme de Paumier ; prendre
une balle d’avant-main , c’est la-"chasser devant sot
avec la raquette, après T avoir prise du côté de la.
main dont pn tient la raquette. En prenant une
balle d’avant-main, il faut avoir le bras tendu- & leraccourcir
un peu en chassant la balle.AVANTAGE, f. m, enfermes- de jeu: pn dit
qu’un joueur a de Y avantage, lorsqu’il y a. plus à:
parier pour son gain que pour, fa, perte,, c’est-à-¬
dire , lorsque son espérance surpasse samise. Pour
éclâircir cette définition par un exemple très,-,
simple, je suppose qu’un joueurs- parie contre un
autre B,- d’amener deux du premier coup avec un
dez, & que la mise de chaque joueur soit d’un
écu: il est évident que le joueur B.-a un grand
avantage dans ce pari ; car le.dez ayant six faces
•'■'-• -' " BbijW a u b á u ëpeut amener fix chiffres différens, dont ìlny en
a qu’un qui salie gagner le -joueur A : ainsi, la
mise totale étant deux écus ; il y a cinq contre un
à parier que le joueur B gagnera. Donc Tefpéranec
de ce joueur est égale à { de Ia mise totale,
c’est-à-dire, à ^f d’écu, puisque la mise totale est
deux écu ?. Or, ^ d’écu valent un écu & deux,
tiers d^écu : donc, puisque la mise du joueur B
est un écu, son avantage , c’est-à-dire, .Texcès de
ce qu’il espère gagner sur la somme qu’il met au
jeu, est \ d’écu ; de façon que si le joueur A ,
après avoir fait le.pari, vouloit renoncer au jeu,
■& n’osoit tenter la .fortune , il fau droit qu’il
rendît au joueur B son écu, & outre cela deux
livres, c’esl-à-dire, ~ d’écu. Voyez PARI , JEU ,
DEZ , PROBABILITÉ , &c. (O) -',AVANTAGE , en termes de jeu , se dit encore
d’un moyen d’égaliser la partie entre deux joueurs
de force inégale. On donne la main au piquet,
le pion & le trait aux échecs, le dez au trictrac, &c.Le même terme se prend dans un autre sens à
la Paume. Lorsque les deux joueurs ont trente
tous les deux, au lieu de dire de celui qui gagné
le quinze suivant, qu’il a quarante - cinq , on dit
qu’il a {'avantage.. AUBE , s. f. ( Hydr. )  veut dire la même chose
qu’aile ou aileron.Voycz AILE. Le mot aube étant
íe plus usité, j’ai renvoyé içi ce que j’avois à dire
fur ce sujet. . .- I. Soit (pL Hydr. fig. 7.) AHLK une roue
plongée dans 1 un fluide XYTZ en mouvement,
& garnie d’aubes AB , DE, KS, &c., que le
fluide frappe successivement. II est clair que le
fluide, en frappant la partie VE d’une aube quelconque
DE, perd une partie de fa vitesse, & que
s’il avoit la liberté de s’échapper par les côtés, il,
-H ;atteindroit pas la partie A O de Y aube antécédente
 ; mais étant retenu par le fluide environnant,
il a encore de la vitesse dans Tespace VAOE.
Je suppose que cette vitesse soit la même, du moins
à-peu-près, que celle" avec, laquelle le plan A O
rend à presser le fluide antécédent : par-là Timpulfion
du fluide contre VE ne se fait point sentir
contre Ia partie analogue A O de l’aubè antécédente ;
ce qui simplifie la question, & ee qui.ne
peut pas s’écarter beaucoup de la vérité dans la.
pratique.II. La roue, en tournant, communique le mouvement,
ou à des meules de moulins, ou- à des pistons
de pompes, &c. Je représente en général la
résistance qu’elle est obligée de combattre ainsi
continuellement, par un poids Q attaché" à l’ëxtrémité
d’une corde Q g h f qui passe-fur la poulie
de renvoi g, & qui s’enveloppe autour du cylindre
ou tambour sb d. Dans lës premiers inslans du
choc de Teau , le mouvement du poids- Q s’accélère
 ; mais, après trois ou quatre tours, il parvient’
à Tunisormité, &. demeure énsojtp tonjours-çn çetétat. Alors Timpulfion du fluide est à chaque ih£'
tant en équilibre avec le poids Q & avec la réfislance
du frottement. On voit- donc que la vitesse
uniforme du poids Q étant représentée par v, le
produit Qv représente l’effet réel de la machine,
déduction faite des résistances étrangères qui absorbent
continuellement une partie de la force
mouvante.III. On a agité long-tems la queffion si un&
aube a plus de force pour tourner quand elle est
frappée perpendiculairement, que quand elle est
frappée obliquement. Pour savoir à quoi nous en
tenir fur ce point, supposons que Y aube AB fòit
placée dans la'verticale, &.que par conséquent
i'aube suivante D E soit inclinée au courant,
Ayant pris fur AB les deux points infiniment
Voisins R, r, soient-menées les horizontales R M,,
r m qui déterminent sof D E Téiément Mm cor-%
refpondant à Rr. Comparons entr'eux le moment
de Timpulfion que recevroit Télément il r s’il étoir
frappé librement, ou que I'aube D E par laquelle
il esl couvert fût anéantie ,.& le moment dé Timpulfion
qui résulte perpendiculairement contre Téiément
Mm. Lé choc contre chaque point de il r
esl plus grand que le choc contre çhaqúe pointde
Mm. Mais, d’un autre côté, R r < M m, & le
bras de levier C R, de R r> est plus petit que le:
bras de levier CM, de M.m. L’évaluatíon exacte
des deux momens dont il s’agit, peut seule décider
lequel des deux est le plus grand.IV. Supposons que Mx- représente Tespace par »"
couru en un instant par le fluide, & que Rt, My
représentent les espaces parcourus durant le même
instant, par les points R & M des aubes AB, DE..
En prenant CM pour sinus total, & nommant V
la vitesse Mx du fluide, u la vitesse il f du point
R, Timpulfion contre-il r sera représentée ( Voy etau
mot PERCUSSION la Théorie de la Percussiondes,Fluides ) nar R.rX'( V—u^X CM,'.&1^'
moment dé cetté impulsion, relativement au centre.
C de la roue, sera représenté par il r X ('V-ufX C Á2"X C R. Pour connoître le moment deTimpulfion
contre Mm, je décompose la vitesse
Mx' du.fluide en deux autres My, Mz, dont
la première esl la même que celle du point M,
& ne produit par conséquent aucun effet sorl’élé- ;
ment Mm, la seconde est la seule à laquelle il
faille avoir égard. En vertu de cette dernière
vitesse ,.il r-ésulte perpendiculairement contre jiímuneimpulsion représentée par Mm X M~lX (silV
DMzs, & dont le moment,_ par rapport aucentre C, est par conséquent Mm X'MzX ( »"■
D MlY'X CM. Or, puisque M y est perpendiculaire
à CM, & que 'xznefí parallèle à-My:,
il est clair que le triangle M n x esl rectangle enn,
& semblable au triangle MR C. On a donc
est toujours plus grand que le second. Le même raisonnement
ayant lieu pour tous les autres, élémens
correlpondans dont les parties finies A O, VE ■
des aubes AB, DE sont composées,. on doit
conclure.que le moment.dé Timpulfion de.Teau
contre Y aube verticale est" plus grand que le moment
de Timpulfion contre I'aube inclinée auccúrant,
& que par conséquent la première aube est
à cet égard plus avantageuse que. la seconde.V- Lorsque les aubes sont em repos au moment
qu’elles sonrcboqnées par le fluide, on a « -=p ;
& le moment de Timpulfion contre chaque élément
R r devient égal au moment de Timpulfion j
çontte chaque' élément- correspondant- As m. II est"  ;
donc al ors. indifférent que le fluide frappe la. par- j
fie A O de Y aube verticale ou la partie correspondante.,
de. I'aube inclinée. .Mais cornmë la partie |OB de Y aube: verticale est .encore frappée'p !ar le
fluide, íl s’enfuit queiríême en ce cas il est plus,
avantageux que I'aube. choquée soit posée .verrica-lement,
 que d’être inclinée au courant.VI. Des auteurs ont établi en général Tavantage
de" {'aube verticale- fur Yaube inclinée j d’une
manière erronée. Voici leur raisonnement. íl :est. certain , difent-ils , que si Yaube D È trempe dansl’eatr,:
tandis que Yaube AB eA encore-dan’s ! la
verticale, la partie VE de là première couvrira
-la seconde fur toute lâ hauteur A O qui ne sera
point frappée, & qu’ainsi Yaube A B sera seulement
frappée-dans la partie O B. II est vrai, pourfliivent-ils,
que cette diminution de choc Tembìé
réparée par Timpulfion que-Vëçòit la partie VE'ì
qiu est : plus 'grande "que la .partie A O ; mais -la:
. compensation -tí-èsl -páscompíéíte : car la pereufr
sion directe contre A O ou Vl’eÛ k h pefcufr
fion qui résulte perpendiculairement contre VE.,
comme VI X .(.fin. tot.y., est à VE ', X (soi.VE J) y, ou comme VÌ X ~VE)  ess à VEX FT, pu enfin:comme VE est à VT. De-là.^,
concluënt-ils, ii ; faut que Textrémité Is.de Y aube
DE (fig. 8 ). ne fasse que rencontrer'la.Turfacë
X Y du fluide, au moment que Yaube AB "cesse
d’être verticale. Alors il est facile de déterminer
le nombre des aubes dont une roue doit être garnie ; ;
car dans le triangle rectangle E A C, on connoítle
côté CA qui est se rayon deJa roue A H Lit
& Thypothénuse CE , puisque la hauteur DE À'é■ Yaube est donnée :-ainsi,, on connoîtral arc D AL
' Divisant la circonférence entière par ; la valeur déTarç D A', le quotient exprimera le nombre, des
, aubes de la roue. Les auteurs dont il s’agit,"ont
ainsi. calculéTaborieusement.des tables dunombre}
des aubes d’une roue,. relativement, au. rayon de.
cette roue & à" la hauteur des aubes.. -VII. Tout cet echaffaudage-.de calcul tombe y.
i.° parce qu’on n’y tient pas compte.des ;,différens ;'bras de levier de I'aube verticale .& àe. Yaube inclinée ;
2,° parce que, si darfs le cas de la.fig. 8 ,
le moment de. Timpulfion de Tëau contre Yaube.
verticale A B est le plus grand qu’il est possible ç
d un autre côté, lorsque Yaube DÉ a pris une ;
position tellè que Tangle E C B est divisé en deux"
parties égales.par"la verticale,.le moment de Timpulfion
est-moindre alors qu’il ne seroit, fi la roué
avoit un plus grand nombre d’aubes,- & qu’on est
incertain st 4e moment’ moyen ne fera pas plus,
grand •dans"Té second cas que dans le premier..
VTIL Le même paralogisme a. déja été relevé'
. dans un.ffiémòitëTuf les machines hydrauliquesx.■ imprimé il y, a quelques années. Mais-Tauteiir de
] ce mémoire à Tui-mêrbe employé un faux principe,,
i d’aprèsllequel if conclut que se moment de Tim ;
pulsion contre la partie VE.de Yaube inclinée D E'.(.fig-7) ,é(i toujours"égal au moment de Timpul—
íipn contré la partie correspondante A Q de Y.àube:I9'S
A U B

A U B
verticr'e soit que la roue soit en repos, ou qu’elle
tourne dója à Tinstant du choc. La choie iiest vraie
que pour le premier cas (IV & V ). La mamere dont
cet ?utcur mesure Ia percuslion d un sluide contre
un pìân mobile, est fautive. 11 décompose la vîteste
du ohm en deuxaurrcs, Tune parallèle, Tautreperpendieulaire-à
la direction du fluide ;, & il affirme
que le fluide n’agit fur le plan qu’en ;vertu,de Texcès.
de fa propre yîtestfesurlapremièredes deux vitesses
dont on. vient de parler., Or il est évident -qu’enyerru.
de la vitesse que le plan a perpendiculaire-,
ment à la direction du fluide, ce plan est repoussé
par Teau de la. même manière que s’il étoit en. repos,
& que Teaitvînt le. frapper avec cette-même vîteste ;.
d’òù résulte un.é nouvelle impulsion qùi se combine
avec:,la première„&que l’auteur-a négjigée malà'Jpropos.
Son mémoire contient d’ailleurs plusieufs
choses vraies & utiles.IX..Piúlque dans le caç où. la roue esl en repos
lorsqu’elle est frappée par le fluide, le,moment de
Timpulfion contre la partie VE deA'aube inclinée,
esl é^al au. moment de Timpulfion contre la partie
■A cf. de ; Yaube verticale ( V )  ; iTslensu.it qu’alors
plus on multipliera le nombre dès- aubes ; .plus, le
fluide'imprimera de force à la'ròue-: car en.augmentant
le nombre, des aubes , on fait diminuer
î'ansle E C B. compris entre deux aubes voisines",
& on augmente par conséquent le moment de
Timpulfion que reçoit la roue lorsque les aubes se
trouvent", relativement au choc , dans la position la
plus défavorable, position qui arrive quand Tangle,
compris entre deux, aubes coritiguës est divisé en
deux parties égales par la verticale. Gomme la loi
de continuité s’observe constamment dans les différens
états d’accroissement ou de décroissement que
peuvent subir les quantités de même èfpèce, concluons
encore de-là que si une roue tourne avec
une vitesse fort lente par rapport à celle du fluide,
on augmentera fa force en lui donnant un. grand
nombre d’aubes.X.-.TI se présente à,ce sujet une difficulté, qùi
pourroit embarrasser quelques secteurs., & qu’il est
à propos d’éclaircir-. Én supposant la roue immobile
à Tinslant du choc, il esl clair que dans la
rigueur géométrique, le nombre le plus avantageux
à'.aubcs doit être infini. Or, dira-t-on , si le nombre
des aubes devient infini,, leurs extrémités formeront
une circonférence dere.r.cle F.B. GO (fig. g )  ;:
'& Timpulfion qui résultera perpendiculairement
contre chaque élément K N de Ya'rcFB. G, étant
dirigée au centre, ne tendra à produire aucun mouvement
de rotation ;.d’où il paroît s’ensuivre que,
bien loin que la roue reçoive alors le plus grand
moment possible d’impulsion , elle, n’en recevra
point du tout. Mais il faut remarquer que dans
norre calcnl, les aubes sont regardées comme une
fuite de plans difléremment inclinés,'tous dirigés
au centre, & frappés par le fluide sou » différentes
obliquités ; que si'par-conséquent on détruiteettehypothèse, On, détruit nécessairement les conséquences
qui en résultent. Or la supposition que
F B G est un arc de cercle, continu. & composé
d ;élémens K N qui, loin d’être dirigés au centre
C-, sont perpendiculaires aux rayons C K, est entièrement
contraire à la précédente. II n’est donc
pas surprenant qu’on arrive à des résultats trèsdifFérens
dans les deux cas. ■ , . .
" Concluons cependant deTà que, comme les filets
d’eâu font composés de molécules physiques, ou qui
ont des .grosseurs finies, & que de plus ces filets se
gênent les uns les autres dans leurs mouvemens,
les extrémités des aubes doivent toujours laisser
entr'elles un certain intervalle qui permette aufluide
d’exercer son action autant qu’il est possible.
Le.nombre, d’aubes qu’il convient de donner.
à ; une roue en repos, & à plus forte raison à une
roue en mouvement, pour se procurer la plus grande
force qu’il est possible de la part du sluide, est donctoujours
fini & limité : à quoi on peut ajouter qu’en
multipliant le nombre des aubes, on. rend la roue
plus pesante, òc par-là sujette à un plus grand
frottement.XI. Lorsque le mouvement de la roue est devenu
uniforme & permanent, sa vitesse est ordinairement
très-comparable à Celle dû fluide ; èlle
en est la moitié, ou le tiers , ou le quart, &c.
Alors il est difficile de déterminer en général, pour
un instant quelconque, le moment de Timpulfion
de Teau contre toutes íes aubes, à-Ja-fois, & d’en,
conclure, la combinaison la plus’'avantageuse des
éiémens de la question. J’ai donné la solution gé« 
nérale dé ce problème,- dans le tome II de mon
Hydrodynamique , &"dans les Mémoires de TAcadémie
Royale des Sciences, pour Tannée 1769.
On me permettra d’y renvoj’er le lecteur.XIL Ici je me bornera la solution-d’un pro »
blême très - utije dans la pratique. U consiste à
déterminer la vitesse qut la roue doit prendre par rap*
port a celle du jluide , pour que l’effet de la ma*
chine soit un maximum..Ce problême fait partie de celui que je. viens
d’indiquer ; mais pour parvenir ici à des résultats
simples & facilement applicables à la pratique, je
supposerai, suivant Tusage ordinaire, qu’à la place
des aubes plongées dans Teau, on substitue une
surface plane & verticale qui soit frappée perperi- '
diculairement parle fluide, & qui avant ce choc
áit déjà une vitesse uniforme & permanente. Nommons
A cette surface, a la vitesse primitive & uniforme
de son centre d’impression, b la distance de
ce centre à çelui de la roue, Fia vitesse du fluide,
Q le fardeau élevé, v fa vitesse, c son bras de
levier ; & de plus , supposons que Timpulfion
perpendiculaire du fluide contre une surface
-S’en repos, soit égale à un poids connu F.
L impulsion reçue par la surface A sera représentée
par .F X ^i^-^1-, ponc , à cause
de Téquilibre qu’il y a à chaque instant entre
cettë impulsion & faction que la pesanteur exercesur le poids O, on aura F X ^Z*'^-"^
^ - "^ B x V1X ^ = 2 X c. Multipliant le second membre par
v, & le premier par -^- quantité qui est égale
à v, on trouvera Ç y ^FxAxJ^) *Xa.
Or le produit ~Ç) v, qui représente l’effet de la
machine, doit être un maximum. Par conséquentFx Ax'V— u) % x « r M- o. -^—=r—^ ^— en sera aussi un ; &,B x Fx i - ' ',comme le facteur -g-—p^r est constant Sídónné,il est clair que- ——-—* ■ ,, J sera un ma- .
. ^ BxV 1 -tàriium,Torique ( V— u)  1 X u en fera un.La méthode ordinaire de maximis & minimis,V .
donne u =z —., Ainsi, pour que l’effet de la ma- '.chinesoit un maximum, il faut que la vitesse du '.
centre d’impression de chaque aube, soit le-tiers de
la vitesse du fluide.XIII. Pour connoître la valeur absolue du
maximum , il faut subffituer dans Téquation Ç> v=FxAxiV—uyx u • . . ■ , - ■ .—• ■ — -—:—— » a la place de u la valeurBx V—que nous venons de trouver. Alors on aura
ÇVE 4 _' ' — , ou, ( en faisant la surface
donnée B = A ) , Q v == -±I-'JLm Soient H la ; 27 -hauteur dûë à la vitesse Y du fluide^, F^n-A-H.,
n étant un coefficient donné : on aura Q v .==
+n.A.fI y,ys : ■"."'•Pour les roues plongées dans des fluides indéfinis
, comme les roues qui trempent dans des
rivières, on a sensiblement n =i ; &, pour les
roues qui tournent dans des coursiers étroits, on a
sensiblement n = z. Ainsi, dans le premier cas, Te
plus grand essor de la machine esl d’imprimer à~ ' 'À 7íun poids d’eau représenté par -4-^-j— la vitesse V
du courant, ou à un poids deau exprimé par A-Hles-í-dela vîteste du, fluide ;&, dâns le second*7 '.--,.., "■'..cas, le plus grand, effet deía hiacKîneest double
du "précédent, , ,',-.-:.
On trouvera aux articles moulin., roue, la théoriedes aises "des moulins à vent’&-celle des roues
horizontales. , .. ;.-,-XIV. Nous avons supposé 5 dans tout ce qui
précède, que les aubes étoient dirigée) au centre
de la roue ; mais Texpérience a fait connoître qu’il
étoit avantageux de les incliner un peu par rapport
a la direction du courant. Voyi'mon Hydrodynamique,
tom. II, pag. 383 &suiv. ;(.L. B.) AVELLAN ou AVELLAR, nom.-dè l’étoile
appellée aussi pollux. ' "■'"-'■■'■-AUGE, en Hydraulique & jardinage. On appelle
ainsi la rigole de pierre ou de plomb fur
laquelle coule Teau d’un aqueduc oûd’une source,
pour se rendre dâhs un regard de" prise òù dans
un réservoir. ( K ) ■ :-•'.•AUGES ,' s.Tn. ( Astron. ) V. ARSIÈ-ES , APIÍ-ÉLIE
, ÀPOG-EE. "..'-■ ;"AUGMENTj vieux mot qui veut dire -la même
chose qu accroissement, augmentation.AURIGA- Voyez COCHER.AVRIL, T. in. quatrième mois de Tannée ■ ;
suivant notre calendrier. C’était le second mois
de Tanciennë année romaine, c’est-à-dire de Tannée
de R.omulus, qui commençoit par: le mois de
mars, & qui avoit dix mois. Numa ajouta à cette
année les deux mois de janvier & février, & le
mois àíavril se trouva alors le quatrième. Voyez
. Mois."-- Ce mot vient du' latin aprilis , & celui-çi
■ d’aperio, j’ouvre, à cause que dans, ce mois la
terre commence a ouvrir son sein-pour la production
des végétaux, ■ ; T - - ;..-Dans ce mois le, soleil parcourt le signe du taurau,
ou, pòur parler plus exactement, le soleil
entre au signe du taureau vers, le zo d’avril,' &
paroît parcourir ce signe jusqu’au 21 de mai ; c’està-dire
que lá terre parcourt alors réellement le
signe du scorpion, opposé à celui du taureau". (O) AURORE ;T. "f..(Astron. pkysiy.)  eïTle crépuscule
du matin, cette lumière foiblë qui commence
à paroître quand le" soleil est à 18 degrés
de Thorizon, & qui continue en augmenfantj’usqu’aù
lever du soleil. Voyez CRÉPUSCULE.
-- Nicod fait venir ce mot-du verbe aaresco ,
dérivé d’aurum , quia ab oriente sole aer aurescit ;
"parce que le soleil levant dore, pour ainsi dire-,
"Tatmosphère. - ' …-.', AUSTRAL, austràlis , méridional,çe mot yient
d’aufter, vent du midi. ,,-■"', - : :■ ;,Les, signes austraux (ont -les six derniers du zodiaque
 ; on les nomme ainsi , parce qu’ils sont au
midi de la ligne équinoxiale. Voyez SIGNE.On dit de mëme pôle austral, hémisphère austral,pour pôle méridional, hémisphère méridional, &c.-…. AUTEL (Astron.') a7-a,eoHsteTiationméridionale,appellée aussi altare, thymele , ( qui signifie autel ) .yesta, à cause de la déesse du feu, pharus, ( c’est-
'2-òo "A U I
A txt: à-dire élévation ) sacrarìum , templum^ .puteus ,
socus, lar, thuribulum , acerra ;( -vase à mettre
de Tencens ) prunarum ■ conceptaculum ; igmtabulum,
batillus , ( Rechaud ) ara thymiamatis , .( autel de
Tencens) ara ccntauri. Les Dieux, disent les poètes,< étant en guerre contre les Titans, firent construire-par Vulcain un autel fur lequel ils se lièrent par
unscrment.mutuel, &,cet autel.fut placé parmi.les constellations : on a dit -aussi que cet aiitelétoit celui fur lequel " ChiroU sacrifia un ; loup.La-principale étoile delVíí/estde 3".igrandeur,'elle avoit, èn 1750, 2<jS° 8." 15 " d’ascension droite,
& 40 ° 3$' 31" de déclinaison aussiale. (D.L.) 1 AUTOMATE, sub. m. ( Méchaniq. ) engin qui
se meut de lui-même, ou machine qui porte en
.elle.-le principe de -son mouvement. ■ -Ce mot est orec.*'"' »/**"6 »! &. composé àeàwro ;,
ipse, &. ■tfív^jcsuis e xcité ou prêt, ou. bien de
jxírm , facilement, d’où vient ÒITÍ/OLJCC, spontanée.,
volontaire. Tel ."étoit" le pigeon volant "d’Architas",
dont Aulugclle fait mention au-ûV, X,ch. « /des
nuits attiques.- ; supposé que ce pigeon volant ne
■soit point une fable. .- ; : -..-.  ;-s ; "• ■ ;-.. -Quelquesauteurs mettent au rang 'des.automates '•
■les instrumens de méchanique, mis en mouvement '
 ;par. des:ressorts:, des poids internes,' &c , comme :
■les horloges-, les montres, &c. Voycz_Joan..Bapt.\
Porta niag. nat. chap. xjx. Scaliger..subtil.'3ZG..Le Auteur automate de M. de Vaucansoh ,
.'membré de Tacadémie royale des Sciences , le'
xanard, quelques autres macliines du même auteur,
font .au nombre des plus célèbres: ouvrages qu’on ;
ait vus en ce genre depuis fort long-tems.
-.'• Voyez a' P article' ANDROIDÉ ce qUè c’est- que
lefiûteur.-: '■''■■■■ ■■■'., ■-"' ]'":'\L’auteur encouragé par le succès, exposa, en
1741, d’autres automates, qui ne fusent pas ;moïns
 ;bie'n reçus. C’était: .… -i.°- Un canard , dans . lequel il représente le
jméchanisme des viscères destinés aux fonctions du
,-hpire,, du manger & -de la digestion ; se jeu de
toutes les parties nécessaires a ces fonctions y. est
exactement imité : il alonge son cou pour aller
prendre du grain dans la main, il Tavale, le digère,
& lé rend par les voies ordinaires tout digéré.,
tousses gestes d’un canard qui avale avec,précipitation
, & qui redouble de vitesse dans le mouvement
de son gofier, pour faire passer son manger
jusque dans Tèstoma'c, y sont copiés d’après nature :
Taliment y. est digéré cpmmedans lès vrais animaux,
par dissolution,-&non par trituration ; la matière
digérée dans Teslomac est conduite par des tuyaux,
comme dans Tanimal parses boyaux, jusqu’à Tanus,
où il y a un sphincter qui en permet la sortie:
L’auteur ne donne pas cette digestion pour une
- digestion parfaite, capable défaire du sang & des
sucs nourriciers pour Tentretien de Tanimal ; on
-auroit mauvaise grâce de lui faire ce reproche.II ne-prétend qu’imiter , la méchanique de ceffô
action en trois choses j,qui sont : i.° d’avaler le
grain. ; z." ,de le macérer, cuire ou dissoudre ;
3.° de le fairè sortir'dàris lin •changement sensible.
II a cependant fallu des moyens pour les trois
actions, & ces moyens mériteront pcut-êtrequelquc
attention de la part de ceux qui demanderaient'davarttage: II a faillie employer différens éxpédiéiìs
pour faire prendre le grain au canard artificiel,,le lui faire aspirer jusque dans son estomac,- & là
dans un petit espace, construire un laboratoire
chimique, pour en décomposer les principales
parties intégrantes, & le faire sortir à volonté',
par des circonvolutions de tuyaux., aune extrémité
de son corps toute opposée. . '.'■"'On ne croit pas que les. anatomistes aient rien
à-désirer fur la- construction de fes’aîlès. On a
imité os par os, toutes les éminences qu’ils appellent
apophyses.^'Elles y sont régulièrement .observées-,
comme les diffërehfés^Charnieres, les cavités,: les
courbes. Les trois os qui, composent Taîle, y sont
très-distincts : le premier qui est Y humérus , a son
mouvement de rotation en tout sens, avec Tos
qui fait, f office d’omoplate ; le second qui est le'cubitus de Taîle, a son mouvement âvec {'humérus .
par une charnière,,' que ses, anatomistes appellentpar gynglime ; le troisième qui est le radius, tourne
dans une cavité de Y humérus , & est attaché par
ses autres bouts aux. petits os du bout de Taîle,
de'même que dans Tanimal. -Pour faífe connoître que les mouvemens de ces.aîles ne ressemblent, point r,à ceux que Ton voit
dàhs’lè's grands" chef-d’oeuvres-du coq de Thorloge
de Lyon & de Strasbourg, toute la méchanique-ducanard artificiel à:iéfë-vùè-à découvert, le
deslèin de l’auteur étant plutôt de démontrer, que
de montrer simplement une machine. '-..-On crois que les personnes attentives sentiront Ia
difficultë'qu’il..y.a eu de.faire faire.à cet-automate
tant de mouvemens différens ; comme lorsqu’il s’élève.fur íes pattes, & qu’il porte son cou à•■ droite &
à-gauche. Ils connoîtront fous les changemens des
différens points d’appui : ils verront même- que ce
qui servoit de point d’appui à nnë 'partie mobile,
devient à son tour mobile fur cette partie, qui
devient fixe à son tour ; enfin ils découvriront
une infinité de combinaisons méehaníques.Toute cette machiift joue fans qu’on y touche,
quand on Ta montée une fois. -On oublioit de dire que Tanimal boit, barbote
dans Teàu, erpasse comme le canard naturel. Enfin
l’auteur a tâché delui fairè faire-tous les gestes '
d’après ceux de Tanimal vivant, qu’il a considéré
avec, attention. " ' . .2.. 0 Le second automate est le joueur de tambourin,
planté tout droit sur son piédestal, habillé
en berger'danseur, qui joue une vingtaine d’airs,
menuets , rigodons ou contre-danses.
: On’ croirait ; d abord, que les: difficultés ont étéinoindíeîA ut au v101moindres qu au flúteur automate : mais saris" vouloir
élever l’un pour rabaisser l’autre, il faussaire réflexion
qu’il s’agit de Tinstrument le plus ingrat,
& le plus faux par lui-même ; qu’il a fallu faire
articuler une flûte à trois trous, où tous les tons
dépendent du pins ou moins dé force de vent, & .
de trous bouchés à moitié ; qu’il a fallu donner
tous les vents différens, avec une vitesse que Toreille
a de la peine à suivre ; donner des coups
de langue-à chaque note, jusque dans les doubles
croches, parce que cet instrument n’est point
agréable autrement. L’automate surpasse en cela
tous nos joueurs ' de tambourin, qui ne peuvent
remuer Ia langue avec assez de légèreté, pour faire
■une mesure entière de doubles croches toutes ;
articulées ; ils en coulent la moitié : &ce tambourin
automate joue, un air entier avec des coups de
langue à chaque note.- Quelle combinaison de vents n’a-t-ilpas fallu
trouver pour cet effet ï L’auteur a fait auffi des •
découvertes dont on né se seroit jamais douté ;
áuroit-on cru que cette petite flûte est un des
instrumens à vent qui fatigue le plus la poitrine
des joueurs ?Les muscles" de leur poitrine font un effort équîvalenrà.un
poids de 5e livres, puisqu’il faut cette
même forcé de vent, c’est-à-dire, un vent pousséÍsar cette:force ou cette pesanteur, pour former
e si d’en-haut, qui est la dernière note ou cet
instrument puisse s’étendre. Une once feule fait
parler la première note,_ qui est Te mi : que Tonjuge
quelle division.de vent il a fallu faire pour
parcourir, toute Tétendue du flageolet provençal.Ayant si peu de positions de doigts différentes,
on eroiroit peut-être qu’il n’a fallu de différens
vents, qu’autant qu’il y a de différenres notes: point
du ; tout.. Le Vent qui fait parler, par exemple, se
ré à la fuite de Yut, le manque absolument quand
le même ré est à la fuite du mi au-deffus,. & ainsi
des autres notes. Qu’on calcule, on verra qu’il a
fallu, le double de différens vents, fans compter
les. dièses pour lesquels il faut toujours un vent
particulier. L’auteur a été lui-même étonné de voir
cet instrument avoir besoin d’une combinaison si
.variée, & il a été plus d’une fois prêt, à désespérer
de la réussite: mais le courage & la patience Tont
enfin emporté. - "'" .Ce n’est pas tout : ce flageolet n’occupe qu’une
main ; Yautomate tient de l’autre une baguette, avec
laquelle il bat du tariibpur de Marseille ; íl donne
des coups’simples. & doubles ; -fait des roulemens
variés i tous les airs ; & accompagne en mesure
íes mêmes airs qu’il joue avec son flageolet de
l’autre -main. Ce mouvement n’est pas un des plus
aisés de la machine. 11 est question de frapper
tàntô't plus fort, tantôt plus vîte, & de donner
toujours un coup sec , pour tirer du son du
tambour. Cette méchanique consiste dans une comhinaison
infinie de leviers & de ressorts différens,
fous mus avec assez de justesse pour suivre Tais}Mathématiques. TpmeI}I.'" Partie.ce qui seroit trop long à détailler. Enfin cette
machine a quelque ressemblance avec celle du
flûtëur ; mais elle a été construite par des moyens bien
 différens. Voyez Obser. sur les écrits mod,
i74i-(0)  -■■.' ;.AUTOMNE, C m. (Astron.)  troisième saison,
de Tannée , tems de la récolte des fruits de
Tété. ■•.""-■'"■Quelques-uns lé font venir â'augeo, j’accrois ^
quod ánnúmfrugibus augeat. ' -'Vautomne commence le 23 septembre ; la hauteur
méridienne du soleil íe trouve moyenne entre la
plus grande & Ta plus petite. La fin de Y automne
íe rencontre avec le commencement de Thiver
le Zl Décembre. Durant {'automne les jours vont
en décroissant, & font toujours plus courts que
- lès nuits , excepté le premier jour d’automne vqui.
esl le jour de 1 équinoxe, ou le lendemain à cause
de la réfraction. -Diverses nations ont compté lêsi années paf les
automnes , comme lés Anglo-saxons par les hivers.
Tacite nous dit que les anciens Germains connoissoient
toutes les Taisons de Tannée, excepté
{'automne , dont ils n’avoient nulle idée.On a toujours pensé que Y automne étoit une.
saison-mal Taine.-Tertulien Tappelle, tentator valetudinum.
Horace dit auffi, gravis autumnus ; awtumnus
libitinoe questus accrboe.Equinoxe d’automne , esl Ie tems où le soleil
entre dans la balance vers le 2.3 septembre. Voy CT.
' AUTOMNAL. '( 0 )  -- -- -' -. AUVERGNE, {jeu de Phomme-d’ )  : ce jeu a un
grand rapport à celui de la'triomphe ; on peut y,
jouer depuis deux jusqu’à six. Le jeu de. cartes en
i contient jusqu’à trente-deux : mais si Ton ne joue
que deux pu trois, il ne sera que de-vingt-huit,
parce qu’on lèvera ses sept. Les cartes conservent
leur valeur ordinaire : après que Ton a vu a qui
sera, celui qui est à mêler fait couper le joueur
de fa gauche, & donne à chacun cinq cartes par" deux ou trois, & en prend autant pour lui ; il
tourne .la carte qui est dessus le talon , & qui
sert deítriomphe ; alors chacun voit s’il peut jouer
avec son jeu , sinon il passe, comme à la bête.
Si personne n’a assez beau jeu pour jouer dans la
couleur retournée, on se réjouit en ce cas, èk
jusqu’à trois fois, si les deux premières cartes retournées
n’ont pu accommoder les joueurs. II
faut faire trois mains pour gagner, & deux premières,
quand elles sont partagées entre les joueurs.
Lorsque le jeu de carte est reconnu faux, on refait_ & les coups précédents sont bons, & même celui
où on’ Tauroit reconnu tel, s’il étoit fini.. Celui
qui donne mal perd un jeu & remèle : fi en mêlant
il Te trouve quelque carte retournée , on refait.
Celui qui retourné un roi pour rriomphe, gagne
un jeu pour ce roi, & autant pour tous ceux'qu’il
a dans la main ; tous les joueurs ont le même avantage.
Celui qui joue avant son tour pefd un.jéu.
Cc
íot axe ail’au profit du jeu: celui qui renonce perd k partie ;
le sens de ce terme, en ce cas, est qu’il n’y peut
plus prétendre. Celui qui fait jouer & perd, démarque
un jeu au profit de celui qui gagne: celui
qui a en main le roi de la couleur retournée en
réjouissance, à le même droit que celui qui Ta
de la première tourne, & marque un jeu pour ce
roi, & un jeu pour chaque autre qu’il auroit encore,
pourvu néanmoins qu’il n’eût pas eu dans son jeu
lè roi de Ia triomphe précédente dans Ie même
coup, pour lequel il auroit déjà marqué.Sil arrive que l’un des joueurs, après s’être
réjoui, vienne à perdre en jouant le roi de la
première triomphe, soit que' Ton lui coupât ou
autrement, celui qui seroit cette" levée gagnerait
une marque sor celui qui Tauroit jette, & ainsi
des autres rois pour lesquels on gagne des jeux.AxeAXE, f. m. ( Méchanique ). Un axe ou essieu
-est proprement une ligne ou un long morceau de
fer ou de bois qui passe par le centre d’un corps,
& qui sert à le faire tourner fur lui-même. Voyez
ESSIEU.Cest en ce sens que nous disons Y axe d’une sphère
•ou d’un globe , Yaxe ou Y essieu d’une roue. Voyez
GLOBE ,ÌIOUE, &C.U axe d’une balance est une ligne droite sur
laquelle elle se tourne & se meut. Voyez BALANCE.
'L’axe d’oscillation d’un pendule est • une ligne
droite parallèle à Thorizon, qui passe par le centre
autour duquel un pendule fait ses vibrations.
.Voyez OSCILLATION & PENDULE.Axe en Géométrie. L’axe de rotation ou de circonvolution
est une ligne droite autour de laquelle
òn imagine qu’une figure plane se meut, pour engendrer
dans ce mouvement un solide, ou qu’une
ligne se meut pour engendrer une surface. Voyez
SOLIDE , GÉNÉRATION , &cAinsi, pour engendrer une sphère, on imagine
qu’un demi-cercle tourne sur ion diamètre. Pour
avoir un cône droit, on imagine qu’un triangle
rectangle tourne sur un des côtés qui forment
Tangle droit, comme fur un axe.L’axe d’un cercle ou d’une sphère est une ligne
droite qui passe par le centre du cercle ou de lâ
sphère, & qui le termine par Tune & l’autre de
ses extrémités à la circonférence du cercle , ou à
la surface de la sphère. Voy c ? .CERCLE', SPHÈRE.
L’axe du cercle s’appelle autrement son diamètre.
Voyez DIAMÈTRE. Un cercle a donc une
infinité d’axes.On entend encore plus généralement par axe ,
une ligne droite tirée du sommet d’une fiouré seule
milieu de fa base. Voyez FLGURE , SOMMET
BASE , &c 'L’axe d’un cylindre droit ou rectangle, est’pfoprëment
cette ligne immobile autour de laquelle
tourne le parallélogramme rectangle, qui dans ce
mouvement engendre le dylindre droit. Voyez CYLINDRE.En général, la ligne droite qui passe par le centre
des baies opposées des cylindres, en est Yaxe, soit
que ces cylindres soient droits ou qu’ils soient.
obliques.L’axe d’un cône droit est la ligne droite, ouïe
côté fur lequel on a fait mouvoir le triangle rectangle
qui a engendré le cône. Voyez CÔNE.II fuit de-là qu’il n’y a proprement que le cône
droit qui ait un axe ; car il n’y a point de manière
d’engendrer le cône oblique , en faisant, mouvoir
triangle autour d’un de ses côtés immobiles. Mais par
analogie, tous les auteurs qui ont traité des cônes,
ont dit que la ligne tirée du sommet du cône oblique
au centre de sa base, en étoit Yaxe.L’axe d’une section conique est une ligne droite
qui passe par le milieu de la figure, & qui coupe
à angles droits & en deux parties égales toutes les’
ordonnées.Ainsi ( Seâ. coniques, fig. 31 ) , fi A P est perpendiculaire
à F E, passant par le centre C , &
qu’elle divise la section en deux parties • égales,
semblables & semblablement situées par rapport à
cette ligne A P, elle fera Yaxe de cette section.
Voyez CONIQUE.^ L’axe transverse ou Ie grand axe d’une ellipse  ;
c’est la même chose : on Tappelle ainsi pour le
distinguer de son conjugué, ou du petit axe. Voy.
TRANSVERSE.Dans Tellipse, Yaxe transverse est íe plus long ;
& dans Thyperbole, il coupe cettë courbe aux
points A & P (fig. 3z.) Axe conjugué, ou second axe de Tellipse, c’est,
(fig- 31 )  la ligne FE qui passe par le centre C
de la figure , parallèlement à Tordonnée M N ,
& perpendiculairement à Yaxe transverse A P ,
& qui se termine par Tune & l’autre de ses extrémités
à la combe. Voyez ELLIPSE & CONJUGUÉ.
- 'L’axe conjugué est le plus court dans Tellipse :
cette courbe n’est -pas la seule où Yaxe transverse
ait son conjugué ; cela lui est commun avec Thyperbole.L’axe conjugué, ou le second axe d’une hyperbole,
est une droite E F (fig. 3z )  qui passe par
le centre parallèlement aux ordonnées MN, MN, •
& perpendiculairement à Yaxe tranverse A P.
Voyez HYPERBOLE.L’axe de la parabole est d’une longueur indéterminée,
c’esl-à-dire, indéfinie. L’aare de Tellipseesl^
d’une longueur déterminée. La parabole n’a
qu’un axe. ; Tellipse & Thyperbole en ont deux.
Voyez COURBE.Axe axe2.03Suivant les. définitions précédentes, Taare d’une
courbe est en général une ligne tirée dans le plan
de cette courbe, & qui divise la courbe en deux
parties égales, semblables & semblablement posées
de part & d’autre de cette ligne. Ainsi, il y a un
 ;grand nombre de courbes qui n’ont point d’axe
possible : cependant pour la facilité des dénominations,
on est convenu d’appeller généralement
axe d’une courbe, une ligne quelconque tirée où
Ton voudra dans le plan de cette courbe , lùr
laquelle on prend les abscisses, & à laquelle les
ordonnées de la courbe sont perpendiculaires. Ainsi,
toute courbe en. ce sens peut avoir un axe plâcé où
Ton voudra. Si les ordonnées ne sont pas përpen.
diculaires, Yaxe s’appelle diamètre. Voyez ABSCISSE
, DIAMÈTRE , ORDONNÉE.Une courbe ne rencontre son axe que dans les
points où Tordonnée est égale à-zéro.En général, Ton appelle la ligne des abscisses axe
des abscisses , ou simplement axe ; & la ligne des
ordonnées, axe des ordonnées ; ( toujours avec
cette condition que les deux axes soient perpendiculaires
l’un à l’autre, sinon ce sont deux diamètres
). Cependant plusieurs auteurs, entr'autres
M. Cramer, nomment ces deux lignes axes , quelqu’angle
qu’elles fassent entr elles.Pour savoir les points où la courbe coupe Yaxe
des abscisses, il n’y a qu’à fairey = o dans Téquation
de la courbe ; Téquation restante ne contiendra
plus que x , & la courbe coupera Yaxe des abscisses
en autant de points que cette équation aura de
racines.Au contraire , pour trouver les points où la
-courbe coupe Yaxe des Ordonnées, il faut faire
•a: = o. Voyez Vintroduâion à Vanalyse des lignes,
courbes de M. Cramer, Genève , 2750.Axe ; en Optique. L’axe optique Pu visuel, est
■un rayon qui passe par le centre de Toeil ; ou c’est
le rayon qui, passant par le milieu.du cône lumineux,
tombe perpendiculairement sur le crystallin,
& conséquemment passe aussi par le centre
■de Toeil. Voyez OPTIQUE , RAYON, CÔNE,
VISION , " &c.L’axe moyen ou commun est une droite tirée du
point de concours des deux nerfs optiques, fur le
milieu de la ligne droite qui joint les extrémités des
mêmes nerfs. Voyez NERP OPTIQUE.L’axe d’une lentille ou d’un verre, est une ligne
droite qui -fairpartie de Yaxe du solide dont la
lentille est un segment. Voyez LENTILLE Çr
VERRE, 'Ainsi , une lentille sphérique convexe étant un
segment de sphère , Yaxe de cette lentille fera
l’axe même de la sphère, ou une ligne droite qui
•passe parle centre de ; lasphère. Voyez CONVEXE.On peut encore définir Taare d’un verre une ligne
•droite qui joint lespoints de milieude deux surfaces
de ce verre. Voyez VERRE.L’axe d’incidence, en Dioptrique, est une ligne
droite qui passe jar le point d’incidence, perpên^diculairement à la surface rompante. Voyez INCIDENCE.L’axe de réfraction est une ligne droite tirée
du point d’incidence ou de réfraction, perpendiculairement
à Ia surface rompante. Voyez RÉFRACTION.L’axe de Taimant, ou Yaxe magnétique, estime
ligne droite dont les extrémités sont des pôles de
1 aimant. Voyez MAGNÉTISME.Axe dans le tambour, ou essieu dans le tour,
axis in peritrochio ;' c’est une des cinq machinés
simples inventées pour élever des poids. Voy. MÉCHANIQUE
, PUISSANCE, &C.Cette machine est composée d’une espèce de .
tambour représenté par A B ( Méch. fig. 44 )  mobile
aVec un cylindre qui lui est Concentrique,
autour de Taie E F. Ce cylindre s’appelle l’axe
ou {'essieu ; & le tambour se nomme tour. Les leviers
adaptés au cylindre , fans quelquefois qu’il
y ait de tambour , portent le nom -de rayons.
Voyez TOUR.Dans le mouvement du tour, tine corde se roule
furie cylindre, & fait monter le poids.On rapporte à Tessieu dans le tour, toutes les
machines òù Ton peut concevoir que Teffort se
fait par le moyen d’une circonférence ou tambour
fixé sor un cylindre , dont la base est dans le
même plan que cette circonférence ; comme dans
les grues, les moulins, les cabestans, &c. Voy.
ROUE. ,Propositions fur Vessieu dans le tour , l.° Si lá
puissance appliquée à Tessieu dans se tour suivant
la'direction A L ( fig. zo) est perpendiculaire.au
rayon , & fi cette puissance est au poids ( ?t>
comme le rayon CE de Yaxe ou du cylindre est
au rayon C’A du tour ; la puissance suffira poù'r
soutenir le poids, ou la puissance & le poids seront
en équilibre.z." Si la puissance appliquée en F agit selon Ia
direction F D , oblique au rayon du tour, mais
parallèle à AL, cette puissance fera à .une.puis.
Tance qùi lui seroit équilibre, & qui agiroitsuivant
AL, comme le sinus total est au sinus de
Tangle de la direction CFD.3. 0 Les puissances appliquées au íour en différens
points F, K., &c. félonies directions FD -, Kl, &c,
parallèles à la direction perpendiculaire AL, &
faisant équilibre avec le mêmè poids G , sont entr
elles réciproquement comine "les distances au
centre du mouvement C D, CI, &c. Voyez
LEyiÉR,Ainsi', à mesure que la distance au centre du
mouvement augmente , la puissance diminue en
même proportion, & vice versasD’où il s’ensuit encore que puisque le rayon A C
.est la plus grande dislance possible , & que la puissance
qui agit dans la dirçérion. A L lui esl toute
perpendiculaire, cette puissance perpendiculaireC C ij204A x i ayusem la plus petite de toutes celles qui seront capables
de faire équilibre avec le poids G.Á." Si unepuissancc qui agit dans la direction perpendiculaire
A L , fait monter le poids G ; Tespace
parcouni par Ia puissance sera à Tespace parcouru
en màme-tems par le poids , commè Ie poids à Ia
puissance.Car à chaque révolution du tour, la puissance
aura parcouru la circonférence entière du tour,&
le poids aura monté dans le"même tems d’une quantiié
égale à la circonférence du cylindre ; dónc Tespace
parcouru par la puissance esl à Tespace parcouru
par le poids, comme la circonférence du
tour est à la circonférence dé Yaxe^ : mais la puissance
est au poids, comme Ie rayon de Yaxe esta
celui du tour ; donc, &c.•i-.° Une puissance A & un poids. G .étant donnés,
voici la manière de construire un essieu dans
le tour.pù la puiflànce soit en équilibre avec le
poids.Soit le rayon de Yaxe ou essieu tel, que le
poids puisse être soutenu, fans que cet axe ou
.essieu rompe ; faites ensuite, conime la puissance
est au poids ,• ainsi le rayon de Yaxe au rayon du
tour. ' : "'..',.'. ,Lors donc que Ia puissance fera sort petite relativement
au poids, il faudra que Ie rayon du tour soit
extrêmement grand : soif par exemple le poids. =
f ooo. & la puissance 50 ; le rayon du tour doit être
à celui deTa« , pour qu’il.y ait équilibre, comme
éo estai. , .On remédie à cet inconvénient en augmentant le
nombre des roues & des essieux, & en les faisant
tourner les uns fur les autres par le moyen des-dents
& des pignons. Voyez ROUE & PIGNON, (O) .. AXE d’un cadran, c’est le style qui marque Theure.
Voyez CADRAN.A'x r ' ' -.. 'AXIFUGE, adj. on appelle, en Méchanique:, ■
force axifuge, la forceavec laquefse un corps qui
tourne auto*ir d’un axe ,. tend à s’éloigner de cet
axe ;. c’est proprement une force centrifuge, dons
le centre est dans cet axe. Voyez CENTRIFUGE.Quand une toupie tourne sor elle-même , tous
les points de cette toupie , qui' sont hors de là
ligne ou axe qui passe par son milieu, ont’ une force
axifuge. (O) AXIOME, f. m. En Mathématique ? On appelle  ;
axiomes des propositions évidentes par elles-mêmes
& qui n’ont pas besoin de démonstrations. Telles
sont les propositions suivantes -Je tout est plus grand
que fa partie ; fi a de grandeurs égales cm ajoute
des grandeurs égales , les sommes seront égales ; si
deux figures étant appliquées l’une fur l’autre se "
couvrait parfaitement, ces <kux figures font égales
en tout. - ' IÁ.YUK, nom de Tétoile appelìée communément
Ta chèvre-, dans la constellation du cocher.AZELPHAGE, nom de Tétoile qui est à ía
queue du cygne.AZIMECH, nom que les Arabes donnetìt à Tépi
de la vierge ; Bayer rapplique aussi à Arcturus.AZIMUT, (Astron.)  Tare de Thorizon compris
entre le méridien & un vertical quelconque, dans
lequel se trouve Ie soleil ou une étoise. M. Çoslard '
croit que ce nom vient par corruption du mot
arabe affempt, qui signifie proprement un point
ou une marque.L’azimut, quand Tastre se lève on se couche- ;
est le complément, de TamplitUde orientale ou occidentale,
ou ce quí lui manque pour faire un quart
de la circonférence. Voyez AMPLITUDE.Pour calculer Y azimut d’un astre à une Heure
donnée, quand pn connoît sa déclinaison & fa
dislance au méridien, on résout lé triangle PIS
(fig- 39 d’Astron. )  forme au pôle, au zénit & à
Tastre, dont on connoît deux côtés P Z, P S &
Tangle compris j & Ton cherche Tangle Z, qui a'
"pour mesure Tare C O de Thorizon. Ce même
triangle sert à calculer la hauteur d’un astre à un©
heure donnée.Pour connoître par observation Y azimut, d’une'
étoile,. on tirera fur le plan de Thorizon une ligné
méridienne, au-dessus de laquelle òn suspendraun
fil perpendiculaire ou vertical, en ,y attachant
un poids. On suspendra eníùite un autre fil, en y
attachant de même un poids & leplaçant-de manière
que Tétoile puisse être apperçue derrière les"
deux fils & désigner ainsi, le vertical dé Tétoile,
l’on mesurera Tangle de la méridienne & de la lignedes
deux 'fils-, & ce fera Y azimut de Tastre, ( Inst.
Astronome de M. k Monnier.). Mais la méthode la.
plus exacte est d’avoir un quart de cercle azi'mutai,
à la manière de Tycho-Brahé & d’Hévélius.
Voyez Toptique de Smith,. édition du P. Pezenas..
On trouve dans la connoiffance des tems de 1762.
& de 1782. des tables de hauteur & d’azimut pour
Paris. -.■'„ ;AZIMUT magnétique , est un arc de Thorizon
compris entre le cercle azimutal du soleil & fe.
méridien magnétique ; c’est la distance apparente
du soleil au point du nord ou du midi, marqué'
par la boussole.' Voyez MAGNÉTIQTJE".On trouve Y azimut magnétique en observant le
soleil avec un compas azimutal, lorsqu’il esl élevé
sur Thorizon à Ia hauteur de 10 ou de 15 degrés.,
soit avant’midi soit après. Voyez íe dictionnaire
de marine. ■■-."•Cadran azimutal ; c’est un cadran solaire dont
le style ou gnomon est perpendiculaire au plan de.
Thorizon. Pcj-q'CADRAN.
La carmpiss ;ánee de l’azimut sert quelquefois ; à
B a c b a ï
20 ?
tfâcef la méridienne, qui est fort utile dans - la
géométrie pratique, & nécessaire dans lâ gnomonique
& dans la navigation. Auffi nous, expliquerons. dáhs la gnomonique divers moyens de trouver
l’azimut. ..,-'•'On appelle quelquefois azimuts’{es cercles verticaux.
Voyez VER.TICAL AZIMUTAL ; cercle !
azimutal est un cercle, horizontal qu’on applique ;
à un quart de cercle astronomique' pour y marquer'l’azpnut ; on le voir en h fig. 288 des planches
- d’Astronomie.'( D. L.)  ■-' '" b a :c _,.._'■■ ■ .■:-:BACULAMETRÍE , f. f. ( G'e'om.)  c’est Tart"
, de mesurer avec des bâtons ou. des verges les
lignes tant accessibles qu’inaccessiblesi Voyez AcdEssiBLE
, ARPENTAGE , MESURE, LEVER■ UN PLAN, &c. '"'-'..BAGUETTE divine pu divinatoire, f. f. ( Méch. ) 
òn appelle ainsi tm rarneau fourchu ou une baguette
courbée en arc, que certains charlatans font tourner
fur lès doigts des deux inains-, & qui tourne
(diseritrils ou veusent-ils persuader aux spectateurs
crédules ) en vertu dés émanations, d’une eau
"souterraine,' dune pièce d’or ou d’afgènt:Cachée,
d’une mine, &c. II n’est fait aucune ^mention de
cette baguette dans les auteurs qui orit’vécu avant
le onzième siècle. Lés premiers qui Totìt employée
prenoient pour cela un rameau fourchu de coudrier,
d’âune, "de hêtre ôU de pommier/ Les charlatans
de ces derniers,, tems se, sont apperçu qu’une baguette
de matière quelconque courbée én arc,
produisoit le même mouvement. En effet on va
voir que ce mouvement estpurement méchanique,'
& que les indications" de la baguette divinatoire
ne sont que des tours de passe-passe que tout le
monde peut exécuter, en éloignant & rapprochant
alternativement les points d’appui delabaguétte,
ou { pour mieux tromper les yeux ) en posant
d’abord la baguette sur deux doigts de chaque
main à même hauteur, puis levant & baissant alternativement
les deux doigts d’une même main,
ou des deux mains, ce qui peut se faire avec un
peu d’usage , d’une manière presque imperceptible.
Voici à quoi Te réduit la question , considérée
méchaniquemenr. -Soient ( pi. Méch. fig. 2 2.) A OB un arc de
cercle, situé d’abord dans une position horizontale ;
C, son centre de figure ; G, son centre de
gravité ;-^ B ,Ta cordé ; 0 i 7, fa flèche. A Teffort
dés.mains qui soutiennent réellement la baguette
par les points K & H placés ' Tymmétriquem’ênt,
sobstituons un axe horizontal qui passe hors du
point G, & qui. enfile Tare aux points K & H,
de telle manière que cet arc ne puisse avoir aucun
mouvement de glissement, & que nous n’ayons à
considères que Ia simple-rotation. Cela posé, il est
clair, i.° que la pesanteur de Tare, agissant suivant
la verticale qui passe par le .point G} Tare tour- |' fiera autour de Taxe K H, dans lésons de 0 vers C
z.° Si Taxe K H demeuroit immobile, il est
: évident que le point 0 étant, arrivé au zénith j
• passeroit de l’autre côté, en vertu du mouvement
. acquis ; puis reviendrait sor ses pas ; puis se
mouvroit dans le premier sens ; ainsi de fuite : ce
qui se rapporte au mouvement d’oscillation des
•pendules, ordinaires. Mais si lorsque le point O
a passé le zénith , ou a reçu le mouvement nécessaire
cour passer le zénith, on conçoit que Taxe
" K H est transporté parallèlement à lui-même en
K' H', alors le point 0 continuera à se mouvoir
dans íe' premier sens : ce même mouvement sb
. perpétuera, si le point O étant arrivé à Thorizon,
I axe revient en K H\ puis en K' H' ; ainsi de fuite.
Or certe transposition mentale de Taxe produit le
mêmè effet que produit réellement lé charlatan,
" en élevant.& baissant les doigts d’une main Ou
des deux mains, & faisant ainsi changer de place
aux-points d’appui K & if. - :On voit que la baguette tournera à volonté du
dedans au dehors, ou du dehors au dedans. Cela
dépendra de la position initiale dupoint T^ou Ví
par rapport au centre de gravité G. ( L. B. ).B a j ■"■ ;;.'BAJOYERS ou JOUILLIERES , f. f. pi.(
 Hydraul. )  sont les ailes de maçonnerie qui revétissentT’efp ?xe
ou la chambre d’une, écluse-ferméê
aux deux bouts, par des portes ou des vannés que
Ton levé à Taide de cables qui filent fur un. treuil,
que plusieurs, hommes manoeuvrent.Òn pratique le long des bajeyers, des contreforts,
des enclaves" pour logër'les portes quándon
les ouvre, & des permis pour communiquer Teau
d’une écluse des deux côtés, fans être obligé
d’ouvrir ses portes. (K) 
'■■'■* On donne auffi, sor les rivières-, le nom de
j bajoyers aux bords d’une rivière, près les culées
d’un pont.BAISEMENT, f. m. ( Géom.) Voyez Oseu-LATION."…BAISER, terme de Géométrie. On dit que deuxcourbes,
ou deux branches de courbes se baisent,
lorsqu’elles se touchent en tournant leurs concavités
vers se même côté ; c’est-à-dire demartière quela
concavité dé Tune regarde la convexité de l’autre ;
• mais si Tune tourne fa -concavité d’un côte, &
: l’autre d’un autre côté, ou ce qui revient au même,
si les’ deux convexités se regardent, alors on dit
simplement qu’elles se touchent. Ainsi lé point
 ; baisant & le point touchant sont différens.On emploie plus particulièrement le terme de
baiser ', pour exprimer le contact de deux courbes- qui ont la même courbure au point de contact ,
c’est-à-dire le même rayon de développée. ; Le- b aisément s’appelle encore alors oscillation. Voye\ .io6
B A L
BalOSCULATION, DÉVELOPPÉE,COURBURE, &c.
(O). ;BALANCE, f. f. (Méch.)  C’est une machine
qui se rapporte au levier, & dont Tusage est de faire
connoîrre Tégalité ou la différence de poids de
deux corps pesants.11 y a plusieurs sortes de balances : les principales
sont la balance ordinaire ou moderne ,~ la romaine ,
& le péson suédois ou danois.I. La balance ordinaire ( Mech. fig. 2z.)  "est composée
d’un levier droit A B ( Voyez LEVIER) ,
nommé ici fléau , aux extrémités duquel sont fus-) 
pendus, avec des cordons, deux bassins C ■&. D,
qui reçoivent les marchandises qu’on veut peser.
Le fléau porte dans son milieu un axe xy, qui
leur est perpendiculaire & dont les extrémités
entrent &. tournent librement dans des yeux pratiqués
aux deux branches montantes d’une chasteE
M qui soutient la machine. Ces extrémités
de l’ansc n’ont pas la forme cylindrique ; elles sont’
taillées en couteaux, plus ou moins émoussés, '
suivant que la balance est destinée à peser des marchandises
plus ou moins pesantes ; le fléau s’appuie
par les tranchants de ces couteaux dans les yeux
. de la chasse, avec .une entière liberté de s’incliner
' de part ou d’autre ; il porte une aiguille f g qui
est dans la chasse quand il y a équilibre & que
le fléau est horizontal, -& qui, en s’écartant à droite
-ou à gauche de la chasse par fa partie fupé:
rieure , fait connoître non - seulement en quel :
■ sens, le fléau s’est incliné , mais encore les plus,
,. petites inclinaisons dont il peut être affecté, ce
qui sert à peser les marchandises avec toute Texac-timde possible. ■Avant que de fairèusage dela : balance, il faut i
commencer par le mettre en équilibre, c’est-à-dire '■
par faire en sorte que le fléau soit bien horizontal.
Les deux bras E A, E B, doivent être exactement ;
. égaux. Si cette condition étant remplie j & les deux
 ; bras étant garnis de leurs bassins, un des côtés
Temporte fur l’autre, on mettra- du côté le plus :
foible de petits-poids en quantité suffisante pour'
établir Téquilibre, & maintenir le fléau dans la :
position horizontale. Ces petits poids doivent être- regardés commefaifant partie de la'balance même, '
& comme étrangers à céux qu’on veut contrepeser.Lorsque les deux bras A E , B E ne sont pas
égaux, le plus long favorise le poids placé de
son côté ; car supposons que le fléau AB étant
en équilibre & dans la' position horizontale, on
mette dans lebaffin Cun poidsP, & d ans le bassin
D une marchandise Q , de manière qull y áit
équilibre ; ces deux poids P & Q se faisant équilibre,
on aura,( Voyez LEVIER ) P \ Q\\B E \ AE.
Donc, si par exemple B E > A' E , oV aura
P >■ Q. Les deux poids étant donc supposés égaux,
l’un d’eux cependant Temporterâ sor l’autre & pa-roítra
 plus pesant. On appelle ces.sor.tes de balances,
balances fausses. Elles peuvent servir .néanmoins,-de la manière suivante, à déterminer exactement
le poids d’une marchandise.Sans vous embarrasser quel est le plus long bras
d’une balance que vous’Toupçonnez être fausse,
mettez 1.° dans l’un des bassins, par exemple dans .
le bassin D,Ta marchandise Q que vous voulez
peser ; & observer le poids P qui lui fait équilibre.
z.° Transposez la marchandise Q, mettez-la dans
l’autre bassin C ; & observez le nouveau poids P'
qui lui fait équilibre. Cela:posé, ;multipliez P
par P', & tirez la racine quarrée du. produit ; elle
sera la valeur exacte, de, Q. Car, par le principe
de Téquilibre du levier, on a ces deux équations,
PXA.E= eX BFi. F X BE^QXAE,
lesquelles étant d’abord rnultipliéès ensemble, puis
divisées par le facteur commun A EX B E^.
"donnent P'XP' =='Qi f & Q =^ V (P X ?' ).On s’épargne la peine de transposer les poids,
. ;&. fur-tout la longueur-d’une extraction de racine
quarrée , en faisant d’abord , & avant tout usage,
les deux bras de la balance exactement égaux
entr'eux. Nous observerons, cependant encore, au
sujet de Textractipn de la racine quarrée, que,ïì
les deux poids P & P' différoient peu l’un de
l’autre,'on pourroit supposer, fans craindre d’erreur
sensible', Q = í-±— ; car soit P'==P-frp,
p étant une quantité très-sobite par rapport kP,
on aura Q =. |/ ( P* -J- P p)  = P -f L ; scnsibll' P -í- Vment ; ou bien Q = ^-^—.Une chose à laquelle on doit faire Ia plus grande
attention, est de mettre, autant qu’il est possible,
dans une même ligne horizontale, le tranchant
du couteau qui sert d’axe, & les deux points A, B
d’où pendent les bassins ;.car si le point d’appui
E (fig- 23 & z4) "esl au-deflpus ou au-dessus
de Thorizontale A B, pour peu que cette ligne
soit inclinée à Thorizon, elle fera divisée eh
deux parties inégales par la verticale E M menée
par Tappui, & conséquemment les poids qui (e
. seront équilibre ne seront pas égaux. Dans le premier
cas [fig- 13) , la balance est trop mobile furie
point E, & elle est nommée folle ; daris le second
(fig. 14) , elle.trébuche tfQp difficilement,
.& elle est nommée sourde.II. La romaine -, ainsi nommée à cause du grand
usage qu’on en faisoit chez les romains, serti
peser des marchandises de différentes pesanteurs’,
par Te moyen d’un seul & même poids qu’on
éloigné, plus ou moins du point d’appui.. Cette
machine (fig. 25 )  est composée d’un fléau A B,,
suspendu par une anse E K qui le divise en deux
bras EA,EB sort inégaux. Le bras le plus
court porte un bassin C, ou un crochet destiné à .
soutenir les marchandises qu’on veut peser ; & on
 ;-fait couler j’au moyen .d’un, .anneau, ..le long duBf A L

B A L

2.07
liras Ë B, le poids constant P qui doit leur faire :
équilibre. ' .II faut commencer par mettre Ia romaine en
équilibre, ou le fléau dans la position horizontale,
indépendamment de la marchandise & du
poids qui doit la contre-balâncèr. Ensuite on étaillira
Téquilibre de la marchandise & du, poids,
en vertu de Téquation P X E a= Q-X E A.,
daiis laquelle Q représente Ta marchandise, P lepoids
prépondérant, E A & E a les. brande levier
de ces deux poids. Cette même équation sert à déterminer
la graduation du bras E B. On voit, par
exemple, que fi lé poids Q = 10 livres & le poids
P = 1 livre, il faudra que la partie Ea = ioEA,
ainsi des autres.Cette.balance a cela d’avantageux, qu’avec un
seul & même poids on peut contre-pafler d’autres
poids très-considérables. De plus, elle, fatigue
moins les yeux de la chiffe que la balance ordinaire
: car fi , par exemple, on veut contre-peser
avec celle-ci Un poids 4 P, les deux bassins portent
chacun un poids pareil, & la pression fur
les yeux de la chasse est 4 P + 4 P, ou 8 P
{voy. FORCES PARALLÈLES )  ; au lieu que dans
la romaine, où le poids. P, appliqué à la quatrième
division du bras E B , contre-balance le
poids 4 P mis dans le bassin C, la pression fur
les yeux de la chasse est simplement 4 P-f- P, ou
5 P. Mais, d’un autrè côté, le bras E B de la
romaine est exposé à se plier quand il est un peu
long ; çe qui est un inconvénient auquel la balance
ordinaire est moins sujette..III. Le peson danois ousuédois, qui est fort usité
en Danemarck & en Suéde, est une longue pièce
A B (fig. 2 G ) de fer ou de bois, portant à Tune
de ses extrémités une lourde masse A, & à l’autre
un bassin ou un crochet C pour soutenir les marchandises
qu’on veut peser ; elle est traversée par
un anneau £ qui la soutient, & qu’on fait glisser
suivant saJóngueur, jusqu’à ce qu’il y ait équilibre
■ de part & d’autre du point E. Voici le principe
de cet équilibre & de là graduation du peson.Considérons le système de la masse A, de la
verge AB, & du bassin ou crochet C, comme
ne faisant qu’un seul & même poids P réuni à son
centre de gravité if ; nommons Q le poids de la
marchandise - qu’on veuf peser : pour qu’il y ait
équilibre . on doit avoir Téquation P X E H=
QX B E, ou bien.P X(BH—BE)  = ?g XB E, ; 'ce qui donne B E = p.Q • -D’où Tonvoit que, connòissant P & B H, il sera facile
de graduer la verge B H, relativement aux différens
poids Q qu’on veut peser. (L. B.) * On appelle balance de róberval, une sorte de
levier où des poids égaux sont en équilibre, quoiqu’ils
paraissent situés,à des extrémités de bras de
levier inégaux. Voyez LEVIER.Comme là balance est -un vrai levier, fa propriétéest la même que celle du levier ; savoir,
que les poids qui y sont suspendus doivent être
en raison inverse de leurs distances à Tappui,pour
.être'.en équilibre. Mais cette propriété du levier, .
que Texpérience nous manifeste, n’est peut - être
pas une chose facile à démontrer en toute rigueur.
II en est à-peu-près de ce principe comme de
celui de Téquilibre ; on ne voit Téquilibre de deux
corps avec toute la clarté possible que lorsque les
deux corps sont égaux , & qu’ils fendent à se
mouvoir en sens contraire avec des vitesses égales,
Car alors il n’y a point de raison pour que l’un
se meuve plutôt que l’autre ; & fi Ton veut démontrer
rigoureusement Téquilibre lorsque les deux
corps sont inégaux, & tendent à fe mouvoir en
sens contraire avec des vitesses qui soient en raison
inverse de leurs masses, on est obligé de rappeller
ce cas au premier, où les masses & les vitesses
sont égales. De même on ne voit bien clairement
Téquilibre dans la balance, que quand les bras
en sont égaux & chargés de poids égaux. La meilleure
manière de démontrer Téquilibfe dans ses
autres cas, est peut-être de les ramener à ce premier,
simple & évident,par lui-même : c’est ce
qu’a fait M. Neuton dans Te premier livre de se ?"
Principes , seâion première.Soient, dit-il ( Méch. fig. f) ),OK , OL, des
bras de levier inégaux, auxquels soient suspendus
les poids.^îP,- soit fait Ó.D=à O L , le plus grand
des bras, la difficulté se réduit à démontrer que les
poids A P, attachés au levier L O D, sont en équilibre.
II faut pour cela que le poids P soit égal à la.
partie du poids A qui agit suivant la ligne D C perpendiculaire
à O D ; car les bras O L, O D, étant
égaux, il faut que les forces qui tendent à les mouvoir
soient égales, pour qu’il y ait équilibre. Or
Taction du poids A, suivant D C, est au poids A ,
comme D C à DA, c’est-à-dire, comme O K à
CD. Donc la force du poids A suivant D C=- n _—. Et comme cette force est égale au poids"A x o K.
P, & que OL== O D, òn aura—QJ ■ -P,c’est-à-dire, que les poids A , P, doivent être en
raison des braí de levier O L, O K, pour être enr
équilibre.Mais en démontrant ainsi les propriété du levier,'
on tombe dans un inconvénient : c’est qu’on est
obligé alors de changer le levier droit en un levier
recourbé & brisé en son point d’appui, comme on.
le peut voir dans la démonstration précédente ; de
sorte qu’on ne démontre les propriétés du levier
droit à bras inégaux que par celles du levier courbej
çe qui né paroît pas être dans Tanalogie naturelle.
Cependant il faut avouer que cette manière de dé*
montrer les propriétés du levier est peut-êtrëla plus
exacte & la plus rigoureuse de toutes celles qu’on a
jamais données. . ^Quoi qu’il eíi soit, c’est une chose assez singulièreB a u bal 1que les propriétés du levier courbe, c’est-à-dire dont
les bras ne font pas en ligne droite, soient plus faciles
à démontrer rigoureusement que celles du levier
droit. L’auteur du traité de Dynamique, imprimé
à Paris en 1745 » a ré<^uit Téquilibre dans
le levier courbe à. Téquilibre de deux puissances
égales & directement opposées ; mais comme ces
puissances égales & opposées s’évanouissent dans
le cas du levier droit, la démonstration pour ce
dernier cas ne peut être tirée qu’indirectement du
cas général.On pourroit démontrer les propriétés du levier ,
droit dont les puissances sont parallèles, enimagi-"
nant toutes ces puissances réduites à une feule, dont
la direction passe par le point d’appui. C’est ainsi
que M. Varignon en a usé dans fa Méchanique.,
Certe méthpdp, entre plusieurs avantages, a celui
de Télégance & de Tuniformité ; mais n’a-t-elle
pas ausli, comme les autres, le défaut d’être indirecte,
& de n’être pas tirée des vrais principes
de Téquilibre ? II faut imaginer que les directions
des puissances prolongées concourent à Tinfini ;
lès réduire ensuite.a une seule par la décompo-  ;
fition , & démontrer que la direction de cette'
dernière passe par le point d’appui. Doit-on s’y'
prendre de cette manière pour prouver Téqui-libre
 de deux puissances égales appliquées suivant
des directions parallèles à des bras égaux de levier
 ? II semble que cet équilibre est aussi simple
& aussi facile à concevoir que celui de deux puissances
opposées en ligne droite, & que nous
n’avons aucun moyen direct de réduire l’un à
l’autre. Or , si la méthode de M. Varignon, pour
démontrer ('équilibre du levier, est indirecte dans
un cas, elle doit auffi Têtre nécessairement dans
Tapplication au cas général. (O) BALANCE HYDROSTATIQUE ,. est une espècede. balance qu’on a imaginée , pour trouver la.pesanteur spécifique des corps liquides & solides,- Voyez GRAVITÉ OU PESANTEUR SPÉCIFIQUE.'Cet instrument est d’un usage considérable pour
connoître les degrés d’alliages des corps de toute
espèce, la qualité & Ia richesses des métaux ,
mines, minéraux 3j &c. les proportions de quelque
mélange que ce - soit, &c. la pesanteur spécifique
étant le seul moyen de juger parfaitement de toutes
çes choses.L’usage de la balance hydrostatique est fondé sur
ce Théorème à'Archimcde , qu’un corps plus pesant
que Teau, pesé moins dans Teau que dans Tair,
du poids d’une masse d’eau de même volume que
lui. D’où il fuit que si Ton retranche le poids du
corps dans Teau de son poids dans Tair, la différence
donnera le poids d’une masse d’eau égale
. à celle du solide proposé.Cet instrument ( Hydrod.sig. tz. ) n’a pas besoin
d une description fort ample. On pesé d’abord
dans 1 air le poids E, qui n’est autre chose qu’un
plateau garni ou couvert de différens poids. &le poids qu’on veut mesurer, lequel est suspendu .
à Textrémité du bras F ; ensuite on met ce dernier
poids dans un fluide, & 011 voit par Ia quantité
de poids qu’il faut ôter de^ dessus le plateau E ,
combien le poids dont il s’agit a perdu, _ & par
conséquent combien pèse un volume de fluide égal
à celui du corps. -'■■ 'Pour peser un corps dans Teau, òn Ie met ■
quelquefois dans le petit seau de verre IrK.', &
alors on ne doit pas oublier découler leplateauR
fur le petit plateau quarré E, afin que lé poids
de ce plateau, qui est censé égal à celui du volume
d’eau dont le Teau occupe la place^ puisse.rétablir
Téquilibre.A Tégard des gravités spécifiques des fluides, ,
on se.sert pour cela d’une petite boule de verre
G, de la marnère suivante. . ■ : ..Pò'ur. trouver la pesanteur spécifique d’un fluide^
suspendez à Textrémité d’un des bras F un périt
bassin , & mettez dedans la boule G ; remplisse*
ensuite les deux tiers d’un vaisseau cylindrique
O V, avec de Teau commune : lorsque vous aurez
mis la boule dedans, il faudra mettre fur le plateau
E de petits poids/jusqu’à ce que lés bras E, F,
demeurent dans une position horizontale. ■ 'Ainsi, Texcès du poids de la boulé fur celui
id’un égal volume d’eau, se trouvera contrebalancé
par ses poids ajoutés au plateau E , ce qui la fera
"demeurer en équilibre au milieu de Teau. Or concevons
à présent .cette boule ainsi en équilibre,
comme si elle .étoit réellement une quantité d’eau
■congelée dans la.même forme : si à la place de
Teau qui environne cette partie congelée, nous
substituons quelqu’autre liqueur de différente pesanteur,
Téquilibre ne doit plus subsister ; il faudra
donc pour le rétablir, mettre des poids fur cêlui
des plateaux E , F, de la balance , qui sera le plus
foible.Ces poids qu’il aurafallu ajouter dans la balance ,
feront la différence en gravité de deux quantités,
Tune d’eau, l’autre de la liqueur qu’on a voulu
examiner, & dont le volume est égal à celui de
la boule de verre, Supposons donc que le poids
du volume d’eau dont lâ boule occupe la place,
soit de 803 grains ; si nous ajoutons à ce nombre
celui des grains qu’il aura fallu ajouter fur le
plateau auquella boule est. attachée, ou si nous
ôtons de 805 grains le nonfbre de ceux qu’il auroit
fallu mettre sor le plateau opposé, le, reste sera
le poids du volume du fluide égal à celui de la
boule, & la gravité spécifique de Teau sera à
celle de ce fluide comme 803 est à ce reste ; enfin
si on divise ce même reste par S03 , le quotient
exprimera là gravité spécifique du' sluide, Tunité
exprimant celle de Teau.Pour rendre ceci plus sensible par un exemple,
supposons qu’on veuille savoir la gravité du lait:
plongeant dans cette liqueur la boule telle qu’elle
esl attachée à la balance, on trouve qu’il faudra
mettre z8 grains fur le plateau auquel elle est suspendue
g
BAL BAL 10%
p'endue, pour rétablir Téquilibre : ajoutant donc
28 grains à 803, la somme fera 831 ; & ainfila
gravité spécifique du lait sera à celle de Teau,
comme 803 à 831. On peut donc, par le moyen
de la balance hj’drostatiquè, i.° connoître la pesanteur
spécifique d’une liqueur : z." comparer les
pesanteurs spécifiques de deux liqueurs : 3.° comT
parer les gravités spécifiques de "deux corps solides
 ; car fi les deux corps solides pèsent autant
l’un que l’autre dans Tair, celui qui a le plus de
pesanteur spécifique pèsera davantage dans Teau :
4, 0 comparer la gravité spécifique d’un corps solide
avec celle d’une liqueur ; car la gravité spécifique
du corps est à celle de la liqueur comme le poids
du corps dans Tair est à ce qu’il perd de son
poids dansTa liqueur. Voyez aussi ARÉOMÈTRE.
Le docteur Hook a imaginé une balance hydrostatique
qui peut être d’une grande utilité pour
examiner la pureté de Teau, &c. Elle consiste en
un ballon de verre d’environ trois pouces de
diamètre, lequel a^un- col étroit d’une demi-ligne
de diamètre : on charge ce ballon de minium,
asm de le rendre tant Toit peu plus pesant qu’un
pareil volume d’eau. ; 011 lé' trempe ensuite dans
Teau après Tavoir attaché au bras d’une exacte
balance , qui a un contrepoids à Tautre bras. Cela
fait, on ne fauroit ajouter à Teau la plus petite
quantité de sel, que lé col du ballon ne s élevé
au-dessus de Teau d’un demi-pouce plus qu’il n’étoit
d’abord. En effet, Teau devenant plus pesante par
l’addition du sel, le ballob qui y étoit auparavant
en équilibre ,. doit s’élever. Transaâ. philosoph,n. i97- -Plusieurs savans se sont donnés la peine de rédiger,
en table les pesanteurs d’un grand nombre ; de'matières tant solides que fluides. : on doit assurément
leuf savoir gré de ce travail, & Ton
en sent toute la difficulté, quand ón pense aux
attentions scrupuleuses & au tems qu’on est obligé
de donner à ces sortes de recherches : mais leurs
expériences, quelques exactes quelles aient été,
ne peuvent nous servir de régie que comme des, à-peu-près ; car les individus de chaque espèce
yarient entr'eiix quant à la densité, & Ton ne peut
pas dire que' deux diamans, - deux morceaux de
cuivre,rdeux gouttes de pluie, soient parfaitement
semblables. Ainsi, quand il est question desavoir
au juste la pesanteur spécifique de quelque corps,
íl fáut Te mettre lui-même "a Tépreuve ; c’est le
seul moyen d’en bien juger. Au reste, on fera fans
doute bien aise de trouver ici une table dressée fur
des expériences fort exactes. II suffit de dire qu’elles
sont de M. Mustchembroëk. Les pesanteurs spécifiques
de toutes les matières-énoncées en cette
table, sont comparées à celle de Teau commune,
& on prend pouf eau commune celle de la pluie
dans une température moyenne ; ainsi, quand on
Voit dans la table, eau de pluie 1, 000 ; or de
coupelle 10., 640 ; air 1, coi \, c’est-à-dire que
la pesanteur spécifique de Tor le ,plus lin est à
Mathématiques. Tome l’fi" 1 Partie.celle de Teau, comme 19 ~ à-peu-près’à 1, &
que la pesanteur de Tair n’esl presque que la
millième partie de celle de Teau.Table alphabétique des matières les plus connues ,
tant solides que fluides , dont on a éprouvé la
pesanteur spécifique..Acier flexible & non trempé…… 75 738.Acier trempé 7} 704.Agate d’Angleterre z , 5 12.Kir • • • •. ■ 0,001 ~.Albâtre. . .. r , ;872 ».Alun…………. ……:. 1,714.Ambre - 1, 040.Amiante z, 013.Antimoine d’Allemagne. r…….. 4, 000.Antimoine d’Hongrie. ……. 4, 700.Ardoise bleue.-..'….' 3 , 500.Argent de coupelle… …… ^ 11, 051.Bismuth.- ï , 700. "'Bois de Brésil,…….:……… 1, 030.cèdre 0,015.orme o , 6oo.gayac ……….. -I, 337.ébene.- I , 177.érable ….. 0,755..frêne…. …….. o, 845.boûis ………….. 1, 030.Borax….. t 1, 720.Caillou 2, 542.Camphre ò, 5105.Charbon de terre……….. …-•• T, 240. -Cinabre naturel,.:……. — …. 7, 300*.artificiel …………… 8, 200.Cire jaune. 0,095,roùge … T 2, 680.blanche…'.." .2, 50p. .Corne de Boeuf. 1, 840.cerf 1, S75.Crystal de roche……. ; 2, 650.
d’Islande. x, 720.
Cuivre de. Suéde. 8, 784.-• jette en moule ….. ; S, 000. ■Diamant. 2 . 400.Écailles d’huître… …' 2, 002.Encens…………………… 1,071.Eau commune ou. de pluie 1, coo.. - distillée….. ……r,… 0,993.de rivière. 1,009.Esprit de vin rectifié…. 1……….. o, S66.' 'de thérébenthine., …….. o, 874.Étain pur…… *………. ;…. ' 7, 320.allié d’Angleterre,..,,..,.." 7, 471.Fer……-..•.■■•."…..- …..7,645.Gomme arabique……-. '•s."í> 375Grenatde Bohême……………' 4, 36b.de-Suede..'.. t……..--..-., '3, 978. 'D d
ÌIO B-A L
Bal
Huilé de lin °> 5>3*-
■ d’olive • o, 913.de vitriol 1, 700>Karabé ou ambre jaune 1, 065.Lait de v.-.che…..'… 1, 030.Litarge d’or 6, coo.d’argent 6, 040.Magnese ', 3, 53°-Marbre noir d’Italie…. ■ 2, 704.blanc d’Italie t 2, 707.Mercure ;….. 13, 593.Noix de galle ». I, C34,Çf d’esssi ou découpé 19, 640.de Guinée . 18, 888.
OS de boeuf 1, 65e.
Pierre sanguine …………. 4, 360.calaminaire ………. 5 , 000.à sosil, opaque 2, 542.transparente ; . . . . 2, 641.Poix .•'.'.. J3 150.Sang humain …. 1, 040.Sapin . o, 550.Sel de Glauber ………… 2,"246.ammoniac . I, 453.gemme . 2, 143.Polycreste 2, 14sSoufrecommun 1, 800.Talc de Venise ..'. . 2, 780.Tartre . . . . . 1, 849.Turquoise .2, 508.Verd-de-grís 1, 714.Verre blanc..' "… 3 , 150.Verre commun …………. -2, 6zo.Vin de Bourgogne ………… o, 953.Vinaigre de vin I, 011.Vitriol d’Angleterre ………. 1, S80.Ivoire ………. .^. …. . 1, 825.-(M. FOXMZY).BALANCE, (Astron.)  septième signe duzodíaque,
ít constellation du même nom ; elle est appejlée
dans Cicéron, jugum ; dans Ampelius mochos ;
dans Virgile & Ptolemée, les serres du-scorpion:
cette balance indique^ suivant quelques auteurs,
Téquilibre de la namre, Tégalité des jours & des
nuits, la température de 1 automne. ! Les anciens
y ajontoient la figure d’un homme, peut-être celle'
• de Mochos, inventeur des poids & des balances ;
d’aut.^ mertoient cette balance dans la main de" la
vierge. Virgile feint que c étoit la justice d’Auguste
consacrée par le nom d’une nouvelle constellation ;
peut-être, comme Tobserve Scaliger, parce que la
naissance d’Auguste tomboit au commencement du
signe de la balance. Mais M. Dupuis fait voir que
la balance existoit dans le zodiaque bien plus anciennement,
&il croit qu’elle avoit dû être, dans
Torigine, placée à Téquinoxe du printems. ( Autonomie
T. IV, p..373). Virgile lui-même semblereconnoitre une autre étymologie à ce norti.delibra.Libra die somnique pares ubi fecerit horas
Et-mcdiùm luci atque umbris-jam dividet orbeni^
Exerccte, viri, tauros. Géorg.' I. 208.Les Perses fixoienr autrefois au lever héliaque
de cette constellation, Ia fin de Tâge d or, & Tentrée
du mal dans Tunivers ; ou comme Texplique
M."Dupuis, le retour de Thiyef, la dévastation
périodique de la nature végétative & le commen »
cernent’'du règne du mauvais principe.11 y a 51 émises de la balance dans lò catalogue
britannique. (D. L.)  'BALANCEMENT, Voye'z OSCILLATION.BALANCIER, f. m. ( Méchan).Ce nom’ esf
donné communément à toute partie d’une machine
qui a un mouvement d’oscillation, & qùi sert ou
à ralentir ou à régler le mouvement des autres
parties.BALANCIER de pompe, (Hydrod.). C’est le plus
souvent une pièce de bois, ou une bâfre de fer
posée horizontalement fur un point d’appui, qui
en fait un levier de la première espèce. Á une de
ses extrémités répond un ou plusieurs pistons, & à
í'autre est une bille.bandante, ou quelqu’autre pièce
répondante à une manivelle , qui donne le mouvement
au balancier qui fait alors hausser le piston:
On nomme aussi balanciers les pièces de bois qui
servent à entretenir les barres de fer qui composent
les chaînes de la machine de Marly, c’est-à-dire,
les chaînes qui donnent le mouvement aux pompes
du premier & du second puisard. ( t ) BALEINE, constellation méridionale qui contient
97 étoiles, suivant le catalogue de Flamsteed ;
elle est appellée auffi cetus , cete , draco, leo , urfiis
marinus, canis tritonis , ou chien de mer rpiflris ou
priflis, espèce d’hydre ou de serpent i en arabe,
kaitos ou èlketos. Bayer,, dans son Uranométriej
a peint un dragon au lieu d’une baleine ; il trquvoit
que la situation des étoiles sembloit Texiger:
d’ailleurs il y a eu des sphères anciennes-où-Ton
avoit peint un dragon. Cependant le. nom de
baleine a universellement prévalu ; les poètes disent
que Neptune , dont Tamour pour Andromède
s’étoit tourné en fureur, envoya une baleine pour
la. dévorer : ce monstre fut tué par Perfée, &
Neptune Ie plaça dans le ciel. Selon" d’autres,
Laomédon, roi des troyens, ayant été obligé d’immoler
Hésione fa fille, pour appaiser Neptune,
elle fut délivrée par Hercule ; & le monstre marin
qui étoit Tinstrument de la colère de Neptune,
fut changé en cette constellation, appellée baleine.
. II y a dans cette constellation une .étoile changeante
fort singulière ! Voyez ÉTOILE. (D. L,).BALISTIQUE, f. f. Science du mouvement des
corps peí'ans & jettes en Tair suivant une direction
quelconque, gB a l ban
irf
On trouvera à.Varticle PROJECTILE les loix
de la Balistique. La théorie du jet des bombes esl
"une partie considérable de cette science, & c’est principalement
cette théorie qu’on y traite. Nous avons
là-dessùs plusieurs ouvrages", Tart de setter les
bombes, de M. Blondel, de TAcadémie des Sciences
, un des premiers qui aient paru fur cette
matière ; le Bombardier françois, par M. Belidor, &c.
Mais personne n’a traité cette science d’une manière
plus élégante & plus courte que M ; de
Maupertuis, dans un Mémoire imprimé parmi
ceux de TAcadémie des Sciences de Paris, de
1732 ; ce mémoire est intitulé Balistique arithmétique
, & òn peut dire qu’il contient en deux
pages plus de choses que plusieurs traités que
nous avons fur cètte matière. M. de Maupertuis
cherche d’abord Téquation analytique de la courbe
A M B [Méch. fig. 47 ) , que décrit un projectile
A jette suivant une direction .quelconque A R ;
il trouve Téquation de cette courbe entreles deux
co-ordonnées A T, x, & T M, y ; & il n’a pas
de peine à faire voir que cette équation est celle'
d’une parabole. En faisant y = o, dans cette équation
, la valeur correspondante dé x lui donne la
partie A B du jet ; pour avoir le cas où la portée
-A B est la plus grande qu’il est possible, il prend
la différence de la valeur de AB, en ne faisant
varier que la tangente de Tangle de projection
RAB ; & il fait ensuite jçetfe différence =.0,
suivant la règle de maximis & minimis ; ce qui lui
donne la valeur de ia tangente de Tanglç de projection,
pour que AB soit la plus grande qu’il
est possible^ & íl trouve que cette tangente doit
être égaie au rayon , c’est-à-dire, que Tangle BAR
doit être de 45 degrés. Pour avoir la hauteur tm
du jetj il n’y a qu’à faire la différence dey = o,
parce que tm est la plus grande dé toutes les
ordonnées. Pour frapper ~un point donné n avec
une charge donnée de poudre , il substitue dans
Téquation de la parabole, à la place de a:, la
donnée AI, & à la place dey, la donnée In ,
& il a une équation dans laquelle il n’y a d’inconnue
que la tangente de Tangle de projection
RAB, qu’il détermine par cette équation, &ç.
& ainsi des autres.- Au reste, la plupart des auteurs qui ont traité
juqu’à présent de {a Balistique , ou ce qui est
presque la même chose , du jet de bombes, ne
Tons fait que dans Ia supposition que les corps se
meuvent dans un milieu non résistant ; supposition
qui esl affez éloignée du vrai. M. Neuton a démontré
dans ses principes, que la courbe décrite
par un projectile dans un milieu fort résistant,
s’éloigne beaucoup de la parabole ; & là résistance
de Tair est affez grande pour que la différence dé
la courbe de projection des graves avec une parabole
he. soit pas insensible. M. Robins, de la
Société royale'de Londres, a donné en anglois
de nouveaux principes d’Artillerie, où il traite,
du jet des bombes t & en général du mouvementdes projectiles, en ayant égard à la résistance de
Tair qu’il détermine ert joignant les expériences
à la théorie. M. Euler'a fait. d’excellentes remarques
fur cet ouvragé ; & le tout a été traduir &
publié en françois, cette année 1783 , par M. Lombard
, Professeur Royal de Mathématiques aux
Ecoles d’Artillerie d’Auxonne. (O).
BAN ~
BANDES de Jupiter, en Astronomie, sont desbandes
qu’on -remarque fur le disque de Jupiter-,
& qui ressemblent à des ceintures. Voyez la figure
162 des planches d’Astronomie. *Les bandes de Jupiter sont plus brillantes que
le reste de son disque, & terminées par des lignes
parallèles. Elles ne sont pas toujours de la même
grandeur, & en même nombre.Elles ne sont pas non plus toujours à la même
distance : il semble qu’elles augmentent & diminuent
alternativement. Tantôt elles sont fort
éloignées Tune de l’autre ; tantôt elles paraissent
se rapprocher: mais c’est toujours avec quelque
nouveau changement. Elles sont sujettes à s’altérer
de même que les taches du soleil : une.tache
très-considérableque M. Cassini avoit apperçue fur
Jupiter en 1665 , ne s’y conserva que près de deux
années. Elle parut pendant tout ce* tems immobile
au même endroit de' la surface. On en détermina
pour lors la figure auísi-bien que la situation
par rapport aux bandes. EÍle disparut enfin
en 1667, & ne reparut que vers Tan x6yz,- où
Ton continua de Tappercevoir pendant trois années
consécutives. Enfin elle s’est montrée & cachée
alternativement ; de manière qu’en 1708 , on
comptoit depuis 1665 huit apparitions complettes
de cette tache. Voyez les anciens mémoires de
TAcadémie des Sciences, 1692, Mém. 1699 r
1708 ,1714- C’est par ses révolutions, observées
un grand -nombre de fois , qu’on a découvert le
tems de la rotation de Jupiter autour de son axe,
d’environ 9h 56" ; il faut voir dans les Transactions
philosophiques de -1781, les figurés des
bandes observées en différens tems par M. Herseîiel.11 est vraisemblable que la terre que nous habitons
est dans un état plus tranquille & biea
différent de celui de Jupiter ; puisque Ton observe
dans Ia surface de cette planète des çhangemens,
tels qu’il en arriveroit fur notre globe, si TOcéan ,
■par exemple, changeant de lieu venoit à se répandre
indifféremment sur toutes les terres, en
forte qu’il s’y formât de nouvelles mers, de nouvelles
îles-, & de nouveaux continens. Infl. astron.
de M. le Monnier ; mais Hersehel croit que ce
font des nuages. Trans Phil. 178r. Huygens apperçut
ausli une espèce dé bande fur le disque de
mars : mais elle n’est pas régulière, & on la voit
difficilement, -BANQUE, f. f. c’est ainsi qu’on nomme à certains
jeux, comme à celui du commerce, lesc-artegD d ri.ut bar barqui restent après qu’on en a donné à tous ses
joueurs le nombre qu’exige le jeu. La banque s’appelle
à d’amres jeux, talon ou fond. Voyez TALON
& FOND. . -BANQUETTE ( en Hydraulique )  est un sentier
construit des deux côtés de la cuvette ou rigole d’un
aqueduc pour y pòuvoirmarçher & examiner si Teau
s’arrête ou se perd en quelqu’endroit : on donne ordinairement
18 pouces de large à ces sortes de
banquettes. (O) : BANQUIER ( terme de Jeu ) , c’est celui qui
faille au pharaon , à la bastette, &c. & qui "dans
ces jeux a toujours de Tavantage : les autres joueurs
s’appellent pontes Voyez PHARAON, BASSETTE,
PONTE. (O) 
• BAR
BARBE d’une comèpc ( Astron. ) , c’est le nom
qu’on donne à ces espèces de rayons qu’envoie une
comète, vers la partie du ciel ou son mouvement
paroît la porter. Voyez COMÈTE.C’est en quoi la barbe' de la comète est distinguée
de fa queue , qui est formée des rayons
poussés vers la partie d’où il semble que'son mouvement
fëloigne. En un mot la barbe de la comète
est une espèce de chevelure lumineuse & rayonTiante
qui la précède, & la queue est une chevelure
lumineuse & rayonnante qui la suit. Voyez
sur ce sujet les conjectures des philosophes, au
mot COMÈTE. ( O) BAROMÈTRE, f. m. ( Hyd. ) , instrument qui
sert à mesurer la pesanteur ou T élasticité de Tatmosphère
& ses variations. Voyez le Diâionnaire
de Physique.BAROSCOPE, f- m. ( Hydr. ) , signifiela même
choie que baromètre.' BARRE, f. f. (Méch.) , pièce de bois ou de"'
fer qu’on emploie pour soulever un corps, ou
pour faire tourner une machine'. Voyez LEVIER.BARRE ( Hydrol. )  : on appelle ainsi une espèce
de banc de sable ou de gravier qui se forme toujours
d’une manière -plus ou moins sensible à
Tembouchure d’une rivière dans la mer, où même
à la jonction de deux rivières.11 est démontré par la théorie & par Texpérience,
que la pente des rivières diminue-à mesure
qu’elles s’approchent de la mer. Ainsi, aux
environs de Tembouchure , le courant devenu horizontal,
ou sensiblement tel, s’écoule par tous •
les endroits qui lui en offrent la facilité ; il s’étend
en superficie, & diminue en profondeur. De-là
résulte, à la jonction de la rivière avec la mer,
la formation d’un attérissement ou d’une espèce
de barre, au-dessus de laquelle Teau a peu de hauteur.
Lorsque la mer esl sujette au flux & reflux ; dans
le tems du flux, l’eau de là mer qui entre dans
le lit de la rivière, tend à transporter en amont
la terre qui forme la barre ; mais dans le tems
du. reflux, Teau de la rivière reprend son cours.- ! naturel, ramèçe la terre , & tend à rétablir les
j choses dans leur premier état. Au bout d’un certain
tems, ces deux courants contraires, en se combattant
fans cesse, font prendre au fond de la rivière
une forme permanente, & propre à-établir
une espèce d’équilibre entre les effets réciproques
qu’ils produisent. Dans la figure 12 ,'pl.Hydrod.) 
qui est un p'rofil de la rivière & de la mer, pris
suivant la longueur de la rivière, la courbe DEF
représentante le fond de la rivière AB E D & de
la mer CBEF ; le point E esl le sommet de.la
barre. On peut considérer B E comme un permis
par lequel passent tour-à-tour les deux courans
dont nous venons de parler. II prend la profondeur
requise pour modifier leurs forces & pour établir
enrr'elses la proportion convenable. II a pour élémens
principaux de ses dimensions, la quantité
d’eau de la rivière, fa vitesse & Télévation de la
haute mer,Òn crois ordinairement que les barres sont formées
paf les dépôts des 1 matières que Teau charie
avec elle, & qui tombent au fond de la rivière à
mesure que son lit s’approche de Thorizontale',
& que par conséquent la vitesse du courant diminue.
Mais, quand même les eaux feroient parfaitement
pures, il se formeroit toujours à 1 embouchure
une barre plus ou moins-sensible. Car ;
en verni de la force que Teau a pour corroder le
-fond, elle tend à le rendre & le rend en effet
à-pêu-près horizontal dans le voisinage de Tembouchure.
La profondeur de Teau doit donc,- par
cette seûìe raison, devenir alors fort petite. Ensuite
- faction du flux & reflux (fi la mer y est sujette) ,
la modifie , Taugmente ou la diminue, conformément
aux loix de Téquilibre dont nous avons
déjà parlé. Les dépôts des matières çhariées par
Teau produisent des changemens dans la figure &
dans les dimensions de la barre ; mais ils n’en sont
■ pas la cause primordiale. Elle peut souffrir auffi
des variétés par les fables que les vents transportent,
& qui, en formant à, Tembouchure, des
dunes ou des attérissemens, font quelquefois changer
de cours à Teau. 'II y a au-dessus de Bayonne une fameuse barre
à Tembouchure de la rivière d’adour dans la mer.
Pour la détruire ou la diminuer , on a changé plusieurs
 fois le cours de Tadour en cet endroit.
Après avoir construit en divers tems des épis qui
n’avoient eu que des effets passagers, on se détermina
en 1729, d’après leprojet de M, de Touros,
directeur des fortifications, à enfermer Tadour
depuis un village appelle le Boucau jusqu’à la mer,
entre deux longues digues de maçonnerie qui furent
dès-lors commencées, qui ne sont pas encore
achevées, & qui doivent se prolongera une certaine
distance dans la mer. La passe des vaisseaux
sot dirigée ouest nord-ouest, suivant la délibération
d’un conseil composé d’officiers de la marine
& du corps de Génie. Les ouvrages pour la conf'
traction des digues ont été souvent interrompus
BAR.

B A R

A 13
& repris ; On est -parvenu à -procurer 7 à 8:pièds
de hauteur :.d eau au-dessus de la barre en baffe
mer.Comme la mer. monte de n à 12 pieds , la
hauteur de Teau esl .d’environ 18 pieds en haute
mer. Si cette profondeur étoit bien franche, elle
: seroit suffisante,, pour Tentrée d’assez grands vaisseaux ;
maïs à cause de Tagitation des vagues, il
faut ën rabattre 3 ou 4 pieds ; & de plus, comme
on : ne doit pas attendre ie moment précis dé la
haute met pour entrer en rivière, il íaut encore
retrancher environ 2 pieds de la hauteur. Ainsi j
pour Tordinaire, on ne doit guères compter en
haute mer qu’environ 12 pieds de profondeur d’eau
pour Tentrée des vaisseaux, profondeur qui n’est
pas.fufnTante & qu’on travaille à augmenter. II est
certain que le meilleur moyen d’y parvenir, est
de resserrer Tadour ëntre deux digues, dont la
direction & la hauteur' aient d’áilleurs, autant
qu’il est possible, Tavantage de faciliter TentréeTes
vaisseaux & d’empêcher les enfablemens occasionnés
par les vents. En diminuant ainsi la largeur
de Tadour & en prolongeant les digues- un peu
avant dans la mer, on augmente la vitesse deTa
rivière ; else combat avec plus d’avantage le courant
contraire de la mer ; le fond prend la forme D He,
& le sommet de la barre est porté en e, point
auquel répond une profondeur Ce plus grande
que B F. Je dis que le-sommet de la barre est
"en e ; car il faut remarquer qu’en la détruisant
dans un endroit, òn Ta fait renaître, au bout d’un
certain tems, en un autreá & que jamais on ne
parviendra à Tanéantir totalement. "En effet, les
inêmes cames quiprqduisoient la barre avant {'existence
des digues, doivent évidemment en produire
une autre après leur construction. Mais, comme
elle-fera portée'plus avant dans* la mer , elle
pourra laisser au-dessus d’elle, pendant un long
intervalle de tems, la hauteur d’eau dont on a
besoin. U conviendra de diminuer, le plus qu’il
est possible , Tespace compris entre les digues,
relativement au volume d’eau de la rivière', &
fans, qu’il en résulte aucune gêne póùr la navigation
 ; de nëTeur pas faire faire des coudes, car
ces coudes font très-nuisibles au mouvement de
Teau, & ils occasionnent: pour Tordinaire des attérineméns
ou des enfablemens dans leurs environs.
II faudroit de plus qu’en descendant vers la mer,
la largeur du canal diminuât, afin que dans le teins
du reflux," le courant de la rivière resserrée- dé
plus en plus, augméntâtde plus en plus de vîteste
&de profondeur, & qu’au contraire dans le tems
du flux, la vitesse de la mer, ëntre les digues, diminuât
de plus en plus par Télargisseinent du canal.
Je crois que, par tous Ces moyens, on se procurerait’
une "navigation commode & ■• sûre au-dessu5
de la barré. Mais’ u'nê précaution essentielle dans
la construction d e$-ouvrages, est depìes mener de '
front, ■ ou.: ■à'ètahik- un.e -espèce í d’équilibre entre i
ïçurs p.arries. correspondantes, FauteAobfevér cet ;;équilibre, les ouvrages qu’on fait d’un côté de la
rivière jettent Teau vers le côté opposé, y oçca-'.
sionnent des gorges & des attérissemens. Ces dommages,
qu’il faut réparer, augmentent la dépense,
& mettent dans Tachevemeritdes digues une lenteur
très-préjudiciable. -.■'"' ' ; Les même.s remarques s’appliquent, proportion
gardée, à Tembouchure de deux rivières qui sont
sujettes à croître & à décroître en des tems différens,
comme cela est assez ordinaire.. II se forme à leur.
1 embouchure une espèce de flux & reflux, quípro*.
duit à-peu-près les .mêmes effets que celui de la
mer. 'Le mot de barre Te prend encore quelquefois
l p'ô'ur signifier, cette espèce de rernons auquel les
: rivières qui Te jettent dans la mer sont sujettes
ì pendant que la mer monte. Tel est,-par exemple,.
 ! Ie rernons qui se fait sor la Terne, pendant la durée
du" flux, depuis Tembouchure de cette rivière k
Honfleur, jusques au- pont de Tarche à plusieurs
lieues au-dessus de Rouen. On -voit Teâu de la
mer remonter avéc rapidité & glisser fur celles de
làTeine, à-peu-près comme elle seroit fur un terrein
uni, fur-tout dans le voisinage de Tembouchure
& dans les endroits où le lit de la rivière est resserré.
On observe la même chose-, proportion gardée,.
à Tembouchure de deux rivières qui se jettent Tunedans
l’autre ; quand Tune de ces ;rivières croît fans
que l’autre croisse en même tems ou en mêinç
proportion. ( L. B. ) BARRES., (jeu)  est le nom que les jeunes
gens donnent à un, jeu qui consiste à se séparer en
deux troupes, à venir se provoquer réciproquement,
à courir les uns contre les autres entre des’
limites marquées ; en sorte que si quelqu’un de l’un
ou de l’autre parti est pris par ses adversaires, il
demeuré prisonnier jusqu’à çe que quelqu’un dé
son parti le délivre en Temmenant malgré les
poursuites du parti'contraire. (G.) ■ BARRÍLLET, f. m. ( Hydraulique)  est un corps
de bois arrondi en-dedans & en-dehors, avec un.
clapet posé fur Je dessus. Ce corps loge dans une
pompe à bras qui n’a point.de' corps de pompe,
& sert de fond au jeu de piston, qui fait lever
le clapet du barillet, & ensuite le fait refermer ;
& au moyen de la silasse dont il est garni, Teau
me peut, retomber dans lé puits quand la soupape
■eû .fermée. "On appelle encore quelquefois barillet, le piston
jd !une pompe à bras qui n’a point de corps de'
ippmpe, mais .qui joue dans un tuyau de plomb.,
j& qui tire Teaujpar aspiration d’un puits ou d’une
citerne. .. ' . •"Ces sortes de barillets sons attachés à une anse
de fer , » suspendue à une verge aussi de "fer ; & ils
■ont fur le dessus:un clapet qui s’ouvre & fëferme
ià chaque coup de piston, Voye\ Po}iPE, PISTOS,
CLAPET^"- ■.. _ - ;'.. ; ■ .':'-.'■.'-.'. J2I4BASBasBAS DU CIEL , on donne quelquefois ce nom
à la partie inférieure du méridien.BASCULE, f. f. ( Mécanique. )  est une pièce
de bois qui monte, descend, se hausse & se baisse
par le moyen d’un essieu qui la traverse dans fa'
longueur pour être plus ou moins en équilibre.
Ce peut être encore le contre-poids d’un pont
levis ou d’un moulin à vent, pour en abattre le
frein : elle a son axe oU oeil par òù passe un
boulon qui la soutient sur un bâti de charpente.
En général, bascule est proprement un levier de
lá première espèce, où le point d’appui se trouve
entre la puissance & la résistance. (K) BASE. La base d’une figure , en Géométrie, est
proprement, & en général, la plus baffe partie de
ion circuit. Voyez FIGURE.La base, dans ce sens, est opposée ausommet,
comme à la partie la plus élevée.On appelle base d’un triangle un côté quelconque
de cette figure, quoiqu’à proprement parler, le
mot base convienne au côté le plus bas, sor lequel
le triangle est comme appuyé : ainsi, la ligne
A B est la base du triangle AB C (planch. Géom.
fig. zi) , quoi qu’en d’autres occasions les lignes
A C ou B C en puissent être Ia base. Dans ùn
triangle rectangle', la base esl ordinairement le côté
opposé à Tangle droit, c esl-à-dire , Yhypofíiénuse.
Voy. HYPOTHÉNUSE.'La base d’un triangle isoscèse
esl de même le côté inégal aux deux autres,
La base d’un solide est-la surface inférieure, ou
celle sur laquelle toute la figure est appuyée, ou
peut éu_e censée appuyée. Vëy. SOLIDE ;La base d’une seòlion conique est une ligne droite
qui se forme dans Thyperbole & la parabole par là
commune section du plan coupant & de la base du
çone. Voy. CÔNE & CONIQUE. .BASE, (Astronomie,)  esl une distance de deux
qu trois lieues que Ton mesure avec la plus grande
exactitude entre deux clochers, QU autres sennes
fixe pour établir les triangles qui servent à mesurer
Tétendue d’un degré, & par conséquent la gran^
deur de la terre. La plus célèbre base astronomique
est celle de 5717 toises, mesurée entre les centres
des deux.pyramides de Ville-Juive & detluvisy,
fur le chemin de Paris à Fontainebleau- Cette base
a été mesurée plusieurs fois, comme on le voit
dans le livre de la Méridienne vérifiée, & dans les
Mémoires de ï académie royale des sciences de Paris
27s4, pag. 28r, On a mesuré des bases semblables
dans tous les pa) 's où Ton a voulu'avoir la longueur
d’un degré. Voyez DEGRÉ & FIGURE DE
LA TERRE. (D.L.) Les astronomes mesurent aussi des bases pour
avoir ja valeur des parties de leurs micromètres,
(D. L.) BASJL1SCUS, ( Astronomie.)  en grec p&c-ìrjniít '.nom de la belle étoile qui est au coeur du lion, appellée
aussi regulus, stèlla regia, en arabe kalbeleceá
(D.L.).BASSETTE, f. f. sorte de jeu de carte quPa
été autrefois fort à la mode ên France ; mais il a
été défendu depuis, & il n’est plus en usage aujourd’hui.
En voici les principales’règles. .A ce jeu„ comme à celui du pharaon ( voye^
PHARAON ) , le banquier tient un jeu entier composé
de 52 cartes. íl les mêle, & chacun des autres
joueurs qu’on nomme pontes , met une certaine
somme fur une carte prise à volonté. Le banquier
retourne ensuite le jeu, mettant le dessus dessous ;
en sorte qu’il voit la carte de dessous : enfùite il
tire toutes ces cartes deux à deux jusqu’à la fin
du jeu. . • ■ ' ,Dans chaque couple ou taille de cartes, la première
est pour le banquier, la seconde pour le.
ponte ; c’est-à-dire, que file ponté a mis, par
exemple, fur un roi, & que la première carte
d’une paire soit un roi,.le banquier gagne tout
cê que le ponte a mis d’argent fur son roi : mais
si le roi vient à la seconde carte, le ponte gagne,,
& Ie banquier est obligé de donner au ponre autant
d’argent que le ponte en a mis fur fa carte. •La première carte, celle que lé banquier voie
en retournant le jeu, est pour le banquier,comme
on vient de le dire : niais il ne prend pas alors
tout Targent du ponte, il n’en prend que les \\
cela s’appelle facer. ;La dgraièrç carte, qui devroit être pour le ponte,'
estnulle, ' ' • \ .. .Quand le ponte veut prendre une carte dans Ia
cours du jeu, il faut que le banquier baisse le jeu,
en sorte qu’on voie la première carte à découvert:
alors si le ponte prend une carte ( qui doit être
"différente de cette première ) , la première'carte
qsie tirera le banquier sera nulle pour ce ponte ;
si elle vient la seconde, elle sera facëe pour le.
banquier ; si elle vient dans la fuite, elle fera en
pur gain ou en pure perte pour le banquier,
-í'elón qu’elle fera la première ou Ta seconde d’une
taille.,M, Sauveur a donné dans le Journal des Savans
'S79 > six tables, par lesquelles on peut voir Tavantage
du banquier à ce jeu, M. Jacques Bernoulli a
donné dans son Ars conjeâandi Tanalysc de ces ta-,
blés, qu’il prouve n’être pas entièrement exactes.*
M. de Montmort, dans son Essai d’analysç sur les
jeux de hasard, a aussi calculé Tavantage du banquier
à ce jeu. On peut donç s’instruire à fond ■
sor cettç ; matière dans les ouvrages que nous ve-:
nons de citer : mais, pour donner làVdeflùs queh-■
rme teinture à nos lecteurs, nous allons calcules
1 avantage du banquier dans un cas fort simple.Supposons que le banquier ait six cartes dai »
les mains, & que le ponte en prenne* une qui soit
une fois dans çes six cartes, c esl-à-dire, dans lei
tanq cartes couvertes : on demande quel est Tavantage
du banquier.," II est visible ( voyez ALTERNATION & COMBINAISON
) que les cinq cartes étant désignées par
à , b , c, d, e , peuvent^être combinées enizo
façons différentes, c’est-à-dire, en 5 sois 24 façons.
Imaginons donc que ces 120 arrangemens
ïoient rangés fur cinq colonnes de 24 chacune,
de manière que dans la première de ces colonnes
a se trouve à la première place, que dans lá seconde
ce soit b qui occupe la première place, c
dans la troisième, 6c . .Supposons que a soit la carte du ponte, la colonne
où ìa lettre" a occupe la première place, est
nulle pour le banquier & pour les pontes. .""''
• Dans chacune des quatre autres colonnes, la
lettre a se trouve six fois à la seconde place, six
fois à la troisième, six f ois à la quatrième, & six
fois à la cinquième, c’est-à-dire, qu’en supposant
A la mise du ponte, il y a 24 arrangemens quifont gagner —- au banquier, 24'qui lefont perdre,•c’est-à-dire, qui lui donnent — Ay 24''qui le font
- gagner, c’est-à-dire, qui lui donnent A, & 24 enfin
qui sont nuls. Cela s’enfuit des règles du jeu expliquées
plus haut. .Or, pour avoir Tavantage d’un joueur dans un
jeu quelconque, il faut, 1.° prendre toutes les combinaisons
qui peuvent le faire gagner ou perdre',
ou qui sont nuises, & dont Ie nombre est ici 120.
1* II faut multiplier ce qu’il doit gagner (en
regardants les pertes comme des gains négatifs ) 
par le nombre des cas qui Ie lui feront gagner ;
ajouter ensemble ces produits, & diviser le tout
par le nombre total des combinaisons. Voy. JEU ,
PARI. Donc Tavantage du banquier est ici,120 '"'" ' I5 ,'c’est-'à-dire que, fi le ponte a mis, par exemple
, un écu sor fa carte, Tavantage du banquier
est de Yi d’écu ou de huit sols.M. de Montmortcalcule un peu différemment
Tavarifage du banquier ; mais son calcul, quoique
plus long que le précédent, revient au même dans
le fond. Il remarque que la mise du banquier étant
è^ale à celle du ponte, Targent total qui est.fur
Te jeu avant que le fort en ait décidé,- est 2 A :
dans les cas nuls, le banquier ne fait que retirer
son enjeu- & le ponte le sien ; ainsi le banquier
gagne A : dans le cas où il perd, son gain esl o ;
dans les cas faces ,'il retire A -fr f A : dans les
cas qui sont pur gain, il retire 2 A ; ainsi, lé sort
total du banquier, ou ce qu’il peut espérer de retirer
de la somme 2 A, est >
'■' 14XA+ 24 X-r d -h I'IXQA+HX iA-frHXA
120 *£= ;
 A -f- ^ Aj & cornme il a mis au jm.A, il s’enfuitque -fz A est ce qu’il peut espérer de gagner,
ou son avantage. .M. de Montmort examine ensuite Tavantage du
banquier lorsque la carte du ponte íè trouve deux,
ou trois, ou.quatre fois, &c. dans les cartes qu’il
tient ; mais c’est un détail qu’il faut voir dans son.
livre même. Cette matière est ausli traitée avec
beaucoup d’exactitude dans Touvrage de M. Bérnoulli
que nous avons cité.A ce jeu, dit M. de Montmort, Comme à celui
du pharaon, le plus,grand avantage du banquier
'est quand le ponte prend une carte qui n’a point
passé', & son moindre avantage quand le ponte
en prend une qui a passé deux fois. Voy. PHARAON.
Son avantage" est ausli plus grand lorsque
la carte du ponte a passé trois fois, que lorsqu’elle
a passé seulement une fois. -M: de Montmort trouve encore que Tavantage
du banquier, à.ce jeu, est mo'indr.e qu’au pharaon ;
il ajoute que si les cartes facées ne payoient que
la moitié de la mise du ponte, alors Tavantage du
banquier seroit fort peu considérable ; & il dit
avoir trouvé que le banquier auroit du désavantage,
files cartes facées ne payoient que le riers. (O) BASSIN, f. m. (Hydrâd. )  On appelle ainsi én
générai un vase ; destiné à recevoir de Teau ou une
liqueur quelconque " ;-mais on désigne plus particulièrement
par ce mot affecté aU même usage,
une caisse de pierre, de bois, de plomb, de tôle,
•ou un espace" creusé dans la terre & revêtu de
maçonnerie ou de gazon. ^Lés bassins des fontaines sont ordinairement formés
en pierre où en marbre,- enrichis de sculptures
, & placés à une certaine hauteur au-dessusdu
sol d’un édifice ou d’une place publique.Bassin de décharge se dit d’une pièce d’eau où
se rendent les eaux des fontaines d’un jardin ou
d’un édifice.Bassin ou point de partage , bassin de distribu*
tion,íe dit d’un bassin-placé, dans un canal artificiel
, à Tendrait se plus élevé : c’est-là qiie se
rendent les eaux qui doivent alimenter le canal.
Ainsi, par exemple, dans le canal de Languedoc,
le bassin ou le point de panage est placé entfe
Toulouse & Bëziers, & distant de … lieues de ,
la première de ces villes, & de . . . lieues, de la
seconde.  ; ■.Voyez, pour Ia construction & pour une plus
grande nomenclature , le Diâionnaire d’Architecture.
, -BASSIN ( Optique ).-Les miroitiers-lunetfiers se
servent de divers bassins de cuivre, de fer ou rie
métal composé, les uns grands, les autres, plus
petits, ceux-ci plus profonds, ceux-là moins,
suivant le foyer des- verres qu’ils veulent travailler.
.'C’est dans ces bassiû$ que se font les verres
convexes. Les sphères, qu’on nomme autrement
des boules} fervent pour les verres concaves ; &Bas basle rondeau, pour les verres dont la superficie doit
être plane & unie. •On travaille les verres au bassin de deux manières
: pour Tune Ton attache le bassin à. Tarbre
d’un tour, & Ton y*use la piece qui tient avec
• du ciment à une molette de bois, en la présentant
& la tenant ferme de la main droite dans la
cavité du bassin, tandis qu’on lui donne avec le
pied un mouvement convenable ; pour l’autre, on
aftèfmit le bassin fur un billot ou sor un établi,
n’y ayant que la molette garnie dé son, verre qui
soit mobile. Les bassins pour le tour sont petits,
& ne passent guères six à sept pouces de diamètre:
les autres sont très-grands, & ont plus de deux
pieds de diamètre.Pour dégrossir les verres qu’on n-availse 'au
bassin , on le sert des grés de gros éméri ; on les
adoucit avec les mêmes matières, mais plus fines
& tamisées : Ie-tripoli &- la'potée servent.à les
polir : enfin on en achève le poliment au papier,
c’est-à-dire, fur un papier qu’on colle au fond du
bassin. Quelques - uns appellent ces bassins des
moules, mais improprement. .'■''- 'La matière la plus convenable pour faire ces ;
bassins, est le fer & lè laiton, l’un & l’autre le
plus doux qu’on puisse trouver ;. car -còmme ils •
doivent être formés fur le tour, la .matière en
doit être traitable & douce., mais pourtant aflbz ,
sonne pour bien retenir fa forme dans se travail
des verres. Ces deux sortes de matières sont excellentes
& préférables à toutes les autres. ; le fer
néanmoins est sujet à la rouille, & le laiton ou
cuivré jaune à se piquer & verdir par les liqueurs
acres & salées : c’est pourquoi ces deux matières
demandent que les instrumens qui' en font faits
-soient proprement tenus, bien.nettoyés & essuyés
.après qu’on s’en est servi. L’étain pLlr & fans alliage
est inoins propre pour le premier travail de
verre qui est le plus rude, à cáuse que fa forme
s’altère aisément : on peut cependant Tem’ployer
utilement après Tavoir allié avec la moitié d’étain
de glace. Le métal allié, qu’on ne peut former au,
tour à cause de fa' trop grande dureté, comme '
celui des cloches qui est composé d’étam & de
cuivre-, ne vaut rien pour les formes dont nous
parlons.On peut préparer ces deux matières à recevoir
la forme de deux manières, suivant qu’elles font
malléables ou fusibles : elles demandent toutes
deux des modèles fur lesquels elles puissent être.
formées, au moins grossièrement d’abord , pour
quon puisse ensuite les perfectionn’er au tour. La '
matière malléable demande pour modèle des arcs:
de cercle, faits de matière solide sor les diamètres
des sphères desquelles on les veut- former. Celle
qui est fusible demande des .modèles entiers de
matières aisées à former au, tour, comme de bois,
d’étain, &c. pour en tirer des moules dans lesquels
on puisse la jetter, pour lui donner la forme
la plus approchante de çelle qu’on désire ; car ilesl ensuite sort aisé de la rendre régulière & dé
la perfectionner au tour.Quoiqu’on puisse forger les formes de laiton
ou cuivre jaune à froid au marteau, je conseille
cependant de les mouler en fonte, & de leur
donner même une épaisseur convenable à la grandeur
de la sphère dont on veut les former, ausli.
bien qu’à la largeur de la superficie qu’on veut
leur donner : premièrement, à cause qu’étant forgées
& écrouées à froid, elles feroient .aisément
ressort -fur leur largeur , & qu’elles altéreraient j
par ce moyen leur forme dans Tagitation du travail
 ; en second lieu, pour empêcher, par cette
épaisseur convenable, que ce métal, s’échauffant
fur le tour, he se raidisse contre Toutil, comme
il fait pour Tordinaire, se rejettent dehors avec
violence jusqu’à s’applanif, ou même devenir convexe
de concave qu’il étoit, s’il n’a pas une épaisseur
suffisante pour-résister a son effort.Pouf faire les modèles qui doivent servir à
faire les moules de ces platines, on. ne íauroit
employer de meilleure matière que Tètain, à cause
qu’on peut le fondre avec peu de feu, & le tourner
nettement fans altérer fa forine. Le bois-néanmoins
qui est plein, comme le poirier ou le chêne,
qui est gras & moins liant, étant bien sec, y peut
servir assez commodément : pour l’empêcher même
de s’envoler, & de se déjetter à Thumidité de la
terre o », du fable qui servent à les mouler, aussibien
que dans les changemens de tems, il convient
dé Tenduire & imbiber d’huile de noix, de
lin, où d’olive au défaut de ces deux premières,
laissant doucement sécher ces modèles d’euxmêmes
dans Un lieu tempéré & hors du grand
air. .' : ■,.', ;.La meilleure manière de mouler ces modèles
est celle où.Ton emploie le fable. Tout cuivre"
n’est pas propre pour faire ces formes ; on dou
choisir celui qui est jaune & qu’on nomme laiton
doux. On peut auffi se servir d’étainpur d’Angleterre,
ou de celui d’AIlëmagne, allié avec moitié d’étain
de glace. Le fer doux est aussi fort propre pour
faire les bassins à travailler les verres.M.Gouslier a trouvé une méthode de donner
aux bassins & aux moules dans lesquels il fond
les miroirs de télescope, telle coùtbure qu’il
peut souhaiter, soit parabolique', elliptique, hyperbolique,
ou autre dont Téquation-est donnée.
Cette méthode sera expliquée dans un ouvrage
particulier qu’il- doit donner au public, fur Tait
de íàire- de grands télescopes de réflexion,, d’en
mouler lés miroirs, de manière qu’ils sortent du
moule presque tout.achevés. J^oye^ LUNETTES..BASSINET, si m. en Hydraulique ,'est un petit
retranchement cintré que Ton ménage fur les bords
intérieurs rf,une cuvette ,• pour y faire eriirer. la
quantité d’eau distribuée aux particuliers par" Une
ou plusieurs auges de différens diamètres ; ce qui
s’appelle jauger. Í.: : > ■. , ;':\ <'.- -| , ..J
Òn appçlle
Bat bel’■LIJOn appelle encore de ce nom un "bassin trop
petit pour le lieu. (K) BASSINS , nom des deux principales étoiles
dç la balance, bassin austral & bassin boréal.BatBATADEUR , f. m. au jeu de Revertier, font
les daines qui font surcase sur la même flèche où
il y en a.déjà d’accouplées. Elles Tons: nommées
batadeur, parce qu’elles fervent à battre les dames
découvertes, fans qu’on soit obligé à se découvrir
soi-même.BATARDEAU, s. m. terme de rivière & de
mer: c’est une espèce de digue faite d’un doublé
rang de pieux joints par des planches, & dont
Tintervalle est rempli de terre ; on s’en sert pour
détourner Teau d’une rivière. ' ■■ On donne ausli le nom de batardeau à une
espèce, d’échafaud fait de quelques planches qu’on
élève fur le bord d’un vaisseau pour empêcher
Teau d’entrer fur le pont, lorsqu’on couche »le
vaisseau sur le côté pour le radouber. (Z) '->-•BATEN-KAITOS, nom de Tétoile ? de Ia
baleine, lâ plus septentrionale des trois, étoiles qui
font fur le milieu du corps. •' BATON DE JACOB. On donne quelquefois
ce nom aux trois étoiles du baudrier d’Orion,
qui sont en ligne droite , fig. 3 des planches d’Astronomie.
' -BÂTON d’arpenteur. Voyez EQUERRE .d’arpenteur,
instrument dont on se sert en mer pour
inesorer la hauteur des astres : on Tappelle autrement
arbalète, arbalestrille. Voyez ARBALÈTE.BATONNET , jeu d’enfant : il se joue avec
deux bâtons ; l’un long, affez gros, rond, & long
d’une aulne ou environ ; l’autre plus petit, rond,
aiguisé par les deux bouts, & long de quatre à
cinq pouces. On tient à la main le gros bâton ;
on frappe fur une des extrémités pointues du petit
qu’on appelle bâtonnet ; le bâton s’élève en 1 air ;
& Tadresse du jeu'.consiste à le frapper tandis
qu’il est en Tair, & à Tenvoyer bien loin. Si on
ne Tatteint pas, ou fi on ne Tenvoie pas , en
Tatteignant, à une certaine distance, on cède le
bâtonnet à Ton adversaire, & Ton se succède ainsi
alternativement.BATTRE une dame au jeu du revertier: c’est
mettre une dame sur la même flèche ou étoit placée
celle de son adversaire. Quand toutes les dames
sons battues hors du "jeu , on ne peut plus jouer,
à moins qu’on ne les ait toutes rentrées.* BATTRE au triârac : c’est en comptant de
la droite à la gauche les points .. amenés par
les dés, tomber de la flèche la plus voisine d’une
ses dames, for une flèche de son adversaire où il
n’y ait qu’une dame ; cette damé découverte eflMathématiques. Tome I, I. 1"Partie,battue > si Ie dernier point d’un des dés ou de tous
les deux tombe fur elle.On peut battre de trois façons ; d’un dé, de
l’autre, & des deux ensemble.On bat par doublets , lorsqu’on a amené le
même point des deux dés, comme deux quatre,
deux cinq, &c.On bat à faux, lorsqu’en comptant les points
amenés par les deux dés, lé dernier point de l’un
& de l’autre des dés tombe fur une flèche de
. Tadverfaire couverte de deux dames.  ; -On gagne fur une dame, battue simplement .&
d’une façon, dans le grand jan, deux points ; de
deux façons, quatre ; de trois façons, six.On gagne fur une dame battue par doublets
dans le grand jan, quatre points ; six daiis le
petit jan.Quand on bat à faux, on perd ce qu’on eût ■
gagné en battant bien.On bat le coin comme une dame, quand on a
le sien & que Tadverfaire ne Ta pas.On bat les deux coins quand on n’a que deux
dames abattues, & que les points amenés par" l’un
& l’autre dés, tombent tous les deux fur le coin.On gagne quatre points quand on bat le coin
ou les deux coins simplement ; six quand on les
bat par doublets. :On en perd autant si on bat le coin à faux ;
ce qui arrive quand on n’a que deux dames abattues,
& que Tadverfaire a son coin.II y a encore d’autres manières dé battre. Voye^
TRICTRAC,-• 'DÁMÏ", FLÈCHE, &c- --:'- ;./ ,b:é lBELIER, (Astron ). ncm d’une constellation qui
a doriné son nom à l’un des douze signes du zodiaque.
Le bélier étoit du tems d’Homère &
-d’Hésiode la première constellation du zodiaque,
& le premier des douze signes s’appelle' encore
le bélier. 11 est appelle princeps zodiaci, duxorgis ,
vervex, vernUs portitor, ovisa-urea, chrysomállus,
c’est-à-dire,toison d’or, JupiterÁmmon, jovisfidus,
minervoe sidus, Kp<« ou aries, &c. Voyez CJESIUS,
Coelum astronomico poeticum, pag. 21. Suivant la plupart
des auteurs, le bélier céleste est celui dont la
toison occasionna le voyage des argonautes. Suivant
M. Dupuis, c’estfur ce bélier, dont le lever hélìaque
annonçoit autrefois le primtems, lorsque Téquinoxe
étoit au taureau que fut faite la fable astronomique
de la conquête de la toison d’or. Le serpentaire,
appelle en Astronomie jason, fixoit par son lever,
les premières étoiles du vaisseau par leur coucher
du soir, Tarrivée du soleil dans le taureau ; le lendemain
le bélier céleste dégagé des rayons solaires
annonçoit le jour & le passage du soleil vers nos
régions. C !est fur ce fondement que fut établie la
fable de Jason subjuguant un taureau qui vomissoit
des flammes, & emportant la toison précieuse d’un
bélier ; gardée parun dragon. Ce dragon est la
Ee

ai&B £ tb  e t .baleine céleste, appellée souvent draeo , & peinte
sous la figure d’un monstre qui est placé sous lé
bélier ; elfe étoit alors absorbée en partie dans les
feux solaires, le jour de Téquinoxe ; c’est peut-être
aussi le dragon des hesoérides, dont le mauvais
principe enìpruntoit la forme pendant Thiver &
qui étoit tué par le bon principe au printems. II y
en a qui prétendent que c’étoit le nom ou le pavillon
du vaisseau fur lequel Phrixus & fa soeur
Hellé prirent Ia fuite, pour éviter d’être sacrifiés
par leur père Athamas. Sous le nom du bélier, il
y en a qui ont entendu auffi le gouverneur de
Phrixus,'fils’d’Athamas, qui sot si célèbre par fa
science, que les habitans de la Colchide ne pou-voient
 se résoudre à le perdre, & que les grecs
allèrent en force se délivrer de cet exil. D’autres,
comme Suidas, ont entendu sous le nom de toison
d’or, un livre en parchemin qui enseignoit le secret
de la pierre philosophale, ou Tart de faire dé Tor.
Suivant Plutarque, une mine d’or ; suivant Justin,
les paillettes dor qu’on retiroit des fleuves avec
des peaux de brebis, ou les trésors que Phrixus
avoit emportés dans la Colchide. Voyez DIODORE ,
liy. IV, & XÈNOPHON, liv. VI. Le combat
d’Hercule contre les Amazones esl Tentrée du soleil
dans le bélier. Voyez ASTRONOMIE , t. IV, p. 4go.
11 est parlé de la constellation du bélier dans
Ovide, sous le nom de la brebis d’Hellé, au septième
des calendes de mai ou au 25 avril.Et frustra pecudem queeres athamantidos helles
. Signaque dant imbres, exoriturque canisíFast. IV. 903.Le bélierétoìt consacré en Egypte à Jupiter Ammon
qui présidoit à Téquinoxe du printems. Jablonski
Panthéon agyptiorum, 1. 163. M. Dupuis trouve
qu’il étoit Temblême des pâturages où Ton conduisoit
les troupeaux à la fin du débordement
(Astron. IV, 3e ? ). .Le caractère qui exprime ce signe est T.
Cette constellation contient 66 étoiles dans le
catalogue britannique.Le soleil entre dans le signe du bélier vers le
20 mars, mais.le signe du bélier est différent de
la constellation du bélier. (D. L.) BELLATRIX, nom de la belle étoile à Tépaule
occidentale d Orion.BELLEROPHON, nom de la constellation depégase.- BENETHNASH nom de la dernière étoile de
la queue de la grande ourse.Ni ?fRENIC:E"V°ynCH:EVEL^ DE BEREBÊ TBÉTE, jeu de la bête ou de t homme, ( Jeu)  H
se joue a trois, quatre, cinq, fix & mÊnie sc ;pt.mais, dans’ ce dernier cas, il taut que le jeu loit
composé de trente-six cartes, & que la tourne soit
la dernière du jeu de celui qui mêle : mais le mieux
c’est de la jouer à cinq & à trois. Le jeu de cartes,
quand on n’est que cinq , ne doit contenir que
trente-deux cartes : & à quatre & à trois on ôte
les sept. Le roi esl la principale carte du jeu de
la bête ; la dame le soir & emporte le valet, qui
levé Tas’, celui-ci le dix, & ainsi des autres. Celui
a qui il échoit de mêler les cartes, les fait couper
à Tordinaire au premier de fa gauche, & en distribue
cinq à chaque joueur, en tel nombre à-lafois
qu’il lui plaît. II y a de Tavantage à jouer
en premier. Quand les cartes sont ainsi données,
Ton tourne la première du talon que Ton y laisse
réfournée, parce qu’elle est la triomphe pendant
tout le couprEn commençant, chaque joueur met devant soi
une fiche & deux jetions, l’un pour le jeu, &
l’autre pour le roi de triomphe, quoique celui qui
Ta ne joue pas ; suffisant pour cela que le coup se
joue ; & celui qui mêle y en ajoute un troisième,
qniTe fait reconnoitre pour avoir mêlé les .cartes.
Celui qui gagne tire les jetfons & une,fiche, &
ainsi des autres à tous les coups, jusqu’à ce que
tontes les fiches soient gagnées ; après quoi chacun
en remet un autre, & Ton recommence comme
auparavant. Celui qui fait joues, & a toutes les
mains,.gagne tous les jettons, tout.ee qui est fur
jeu, fût-ce des b êtes qui n’y auroient pas été mises
pour le coup, & même les fiches ; & outre cela
chaque joueur est encore obligé de lui payer un
jetton : s’il ne fait pas toutes les mains, iln a pour
í'avoir entrepris, que la peine & le chagrin de
ne les avoir pas faites. Mais lorsque celui.qui fait
jouer ne levé pas trois mains, ou les deux premières,
lorsqu’elles sont partagées entre les joueurs,
il fait la bête , c’est-à-dife, qu’il met autant de
jettons qu’il en juiroit tiré s’il eût gagné. Ainsi ,
fi le coup étoit simple, c’est-à-dire qu’il n’y eût
pas fur le jeu des bêtes faites précédemment, & fí
l’on étoit cinq, celui qui seroit Ia bête ne la feroic
que de 11 jettons, parce que la fiche & le jetton
que chacun met devant soi ën fait dix, & celui
qui mêle met le onzième. Cependant il peut avoir
été réglé entre les joueurs de mettre moins devant
soi ; alors la bête seroit proportionnée au nombre
de jettons fixé.L’on voit que, dans les onze jettons dont nous
venons de parler plus haut, nous ne comprenons
pas celui qui est destiné pour le roi de triomphe,
qu’il laisseroit cependant, si faisanr jouer il perdoit
le coup : mais quand le roi le tire , chaque joueur
en met de nouveaux pour le coup suivant. Toute
bête simple doit aller sur le coup où elle a été
faite ; & s’il y en avoit plusieurs simples faite d’un
même coup, elles iroient toutes ensemble. Mais
les bêtes doubles doivent aller les unes après les
autres dans les coups fuivans, & toujours les plus
grosses les première:.B e t b e v2.1$Lorsqu’il y a une bête sur le jeu , les autres
joueurs rie mettent poinf de jettons, excepté celui
qui mêle', qui donne le sien à Tordinaire. Celui
qui gagne lorsqu’il y a une bête double au jeu,
levé outre la bête une fiche, & tous les jettons
qui sont au jeu ; & faitla&ere proportionnellement
au gain,-lorsqu’il perd. Quànd nous avons dit
que pour gagner il falloit au moins faire les deux
"premières mains, c’est bien entendu qu’aucun des
joueurs n’en fait trois ; puisqu’alors on perd comme
si on les eût faites le dernier.II arrive assez souvent dans ce jeu que deux
joueurs se disputent le gain du coup, parce que
- celui qui a fait jouer d’abord, n’empêche point
de jouer auffi quiconque se trouve un assez beau jeu
pour Temporter sur lui & sur tous les joueurs qui
se liguent contre lui en faveur du premier joueur ;
parce que. le second risque de perdre le double de
ce qui est au jeu : ce qui fait voir qu’on ne dit
point contre ;, fans un très-beau jeu. On n est plus
reçu à le dire, quand une fois la première carte
estjjettée. Toute Thabiletë des joueurs consiste à
forcer celui qui fait jouer à surcouper, ou à se
défaire de leurs bonnes cartes à propos, pour
donner plus de force à ceux qui sont en état de
le faire perdre ; ce qui cependant n’est de loi que
dans le cas où il n’y a point de. vole à craindre.
On doit au contraire garder tout ce qui peut Tempêcher,
lorsqu’on en est menacé. On doit encore
fournir de la couleur jouée ; couper si Ton n’en
a point ; & si quel qu autre avoit déjà coupé, il
faudroit le faire d’une triomphe plus haute que la
première, fi Ton pouvoit.Lorsque tous les joueurs ont vu leur jeu &
passé, chacun peut aller en curieuse, en mettant un
jetton au jeu. V. CURIEUSE. La curieuse est également
avantageuse pour tous les joueurs ,'& n’est pas
tm moindre agrément du jeu de bête : mais on doit
se contenter d’en avoir une. Nous avons déjà dit,
que celui qui avoit le roi de triomphe rétifoit les
jettons qui lui sont destinés ; celui qui retourne
ce roi a le même privilège, pourvu toutefois,
en l’un & l’autre cas, que le jeu se joue : celui qui
fait la dévole, "double tout ce qui est au jeu ; fait
autant de bêtes qu’il auroit pu en gagner, & donne
un jetton à chaque joueur.Pour faire jouer au jeu , il faut avoir en main
un jeu dont’on puisse faire trois mains, ou deux
tout au moins, que Ton doit se hâter de faire le
premier pour gagner. L’expéri.ence apprendra
bientôt quels font les jeux qu’on peut jouer.Celui qui renonce fait la bête ; celui qui donne
"mal en est quitte pour un jetton à chacun, & refait :
lorsque le jeu de cartes est faux, le coup où il
est trouvé tel est nul ; mais les précédens sont
bons. …BÊTE , ( au jeu de )  La bête désigne la perte
que fait un joueur qui ne fait pas trois mainsou les deux- premières, quand un autre joueur en
fait trois.BÊTE simple ; c’est une bête faite en premier lieu,
simplement sur'Tenjeu de chaque joueur.BÊTE double ; se dit d’une bête faite sur une
autre bête , non-seulement de Tenjeu de chaque
joueur, mais encore de la bête qui étoit au jeu,
& qu’on se proposoit de tirer.BÊTE de renonce ; c’est le double paiement qu ouest
obligé de faire de tout ce qui s’enlève du jeu
dans un coup ordinaire, pour n’avoir pas fourni
de ia couleur qu’on demandoit.BETEIGEUSE ou- BETELGEUSE, nom de
la belle étoile à Tépaule orientale d’orion.BEVAU ou BIVEAU ou BEUVEAU, T. m ?
( Géom. )  On appelle ainst du mot latin biviumj
(chemin fourchu) Tangle que forment entr'elles
deux faces consignes d’un corps, ou Tinstrument
destiné à prendre cet angle. Voyez SAUTERELLE.
On rencontre souvent dans la pratique de la
coupe des pierres, des angles solides formés paîtrais
plans qui se coupent ; &on a besoin de savoir
déterminer Tangle que deux quelconques de ces
plans font ensemble. Cela s’appelle en termes d’ouvrier,
trouver lé beuveau de deux panneaux. ( Voyez
PANNEAU ). La question réduite à la Géométrie
se résout de la manière suivante.Soient les trois plans A SB., AS C, E SDD
(fig. 3 s) > étendus d’abord fur un même plan,
qui est celui de la planche, & qu’on peut regarder
comme horizontal polir fixer les idées. Je suppose
que le plan A S B demeurant immobile,' les deux
autres se relèvent & tournent, l’un A S C autour
de A S comme charnière ; l’autre E S B D autour
de SB comme charnière, jusqu’à ce que les deux
lignes .S C, S E., supposées égales, viennent se
confondre & former une seule & même arête.
II naîtra de ce double mouvement un angle solide
autour du point S ; & la question, est par exemple,
de déterminer Tangle que les deux plans AS B j.
A S C feront alors ensemble.Cet angle est le" même que Tangle rectíligne
formé par deux perpendiculaires, tirées dans les
deux plans., à un même point de leur section commune.
( Voyez PLAN ). Pour parvenir à trouver
celui-ci, du point C, je mène C- O perpendiculaire
à la section commune AS, prolongée, des deux
plans A SB , AS C ; & du point E, je mène
E G, perpendiculaire à B £ Cela posé, j’observe
que pendant la rotation simultanée des deux plans
AS C,E SB D, autour des lignes SA, SB ,
íes droites C O, E G, demeurent toujours perpendiculaires
aux lignes AS O, B S G ; & que
lorsque les points C’tk E viendraient à se confondre ,
ils seront placés à Textrémité supérieure d’une
ligne verticale dont Textrémité inférieure est représentée,
par le point H, intersection des droites
C O, E G, fur le plan horizontal. De plus, j’observe
 ;que -Textrémité supérieure de la même vertiçak
"est distante du point O, de- la quantité CÒ,Eçij
aio B I D
B i npuisque le point C décrit un arc de cercle, dont
O C est le rayon. Donc, si Ton mène H I perpendiculaire
sur C O, & que du point O, comme
centre avec le rayon OC, on dérive un arc de
cercle, qui coupe HI, au point I ; qu’ensuite
on imagine que le triangle rectangle O HI tourne
sur O Hcomme charnière, jusqu’à devenir vertical :
le point I se confondra avec les points C & E.
De plus, en regardant la droite C O comme située
dans le plan horizontal, c’est-à-dire, dans le plan
AS B ; il est évident que Tangle I O C est le
même que celui que le plan AS C relevé, fait
avec le~prolongement A Sb, du plan A SB,
puisque cet angle I O C en formé par deux perpendiculaires
, 10, C O, menées dans les deux
plans ASC, A Sb, au même point O de leur
section commune. Donc, pour avoir Tangle que
ie plan ASC fait avec le plan A SB, il"faut
faire un angle , qui joint à 1 angle, I O C, vaille
deux droits ; ou, ce qui en est la fuite , faire un
angle qui soit composé d’un angle droit & d’un
angle aigu , égal à Tangle O I H. Or cela peut
s’exécuter ainsi très-commodément , à Taide des
lignes qui sont déjà tirées dans la figure : du point
H, comme centre , avec le rayon O C ou O I, '
décrivez un arc de cercle qui coupe S A au point
M ; vous aurez le-triangle rectangle M O H parfaitement
égal au triangle rectangle IHO. Donc,
fi par le point M, on mène M N perpendiculaire
à S A, Tangle HMN fera Tangle demandé,
puisque cet angle est égal à la somme des deux
angles S MN, O MH, dont le premier est droit,
& dont le second est égal à Tangle 01H.On déterminera, par la même méthode , les\
angles que les plans A S B , ASC font chacun
avec le plan E S B D.Ce problême est d’un fréquent usage dans les
constructions de ces routes qu’on appelle trompes.
Voyez ce mot. (L. B.) BEZET, au jeu detriârac , est la même chose
que deux as.B i dBIDET, ou charger le bidet ( aa triârac ) se dit '
de faction par laquelle un joueur met un grand
nombre de dames fur une même flèche. Ce tenue,
autrefois aflëz usité, n’est plus d’usage à présent.BIEZ, s. m. ( Ans méchaniq. & hydraul). est un canal
 élevé & un peu biaisé, qui conduit les eaux
pour les faire tomber fur la roue d’un moulin ; fa
figure qui approche d’une bière, fait croire que
son nom en est tiré.On appelle arrière-bièz, les canaux 'qui sont
au-delà en remontant. (K) BILBOQUET , (jeu )  petit bâton tourné, avec
une cavité à chacun de ses bouts ; on-jette en Tair
une petite boule attachée à un fil qui tient au
milieu du bilboquet, & Ton tâche de la faire retomber
& rester dans une des deux cavités.BILLION, f. m. (Arithmét.)  On donne ce nom
en Arithmétique au chiffre qui occupe la dixième
place d une fuite horizontale de chiffres, en commençant
de la droite vers la gauche, ainsi qu’on
en est convenu dans la numération. Voyez NUMÉRATION.
■ "BIMÉDIAL , adj. ( Géom. )  Quand deux lignes
commenfurables seulement en puissance , sont
jointes ensemble, la toute esl irrationnelle par rapport
à Tune de ces deux lignes ; & onl’appelle ligne
première bimédiale: Euclide, liv. X, propos 38.
Voyez CoMMENSURABLE , IRRATIONNELLE.,PUISSANCE. (E) BINAIRE. L’ARITHMÉTIQUE binaire esl une
nouvelle sorte d’Arithmétique que M. Leibnitz
fondoit fur la progression la plus courte & laplus
simple : c’est celle qui se termine à deux chiffres.
Le fondement de toute notre Arithmétique ordinaire
étant purement arbitraire, il est permis de
prendre une autre progression qui. nous, donne une
autre Arithmétique. On a voulu que la fuite première
&. fondamentale des nombres allât jusqu’à
dix, & que la fuite infinie des nombres fût une
fuite infinie de dixaines ; mais il est visible que
d’avoir étendu la fuite fondamentale des nombres
jusqu’à dix , ou de ne savoir pas érendu plus loin,
c’est une institution qui eût pu être différente ; &
même il paroît qu’elle a été faite assez au hazard
par les peuples, & que les mathématiciens n’ont
pas été consultés , car ils auraient pu aisément
établir quelque chose de plus commode. Par exemple,
fi Ton eût poussé la fuite des nombres jusqu’à
douze , on y eût trouvé fans fraction des tiers &
des quarts, qui ne sont pas dans dix. Les nombres
ont deux sortes de propriétés, les unes essentielles,
les autres dépendantes d’une institution arbitraire,
• & de la manière de les exprimer. Que les nombres
impairs toujours ajoutés de fuite , donnent la fuite
-naturelle des quanés ; c’est une propriété essentielle
à la fuite infinie des nombres, de quelque manière
qu’on Texprime. Mais que, dans tous les multiples
de 9, les caractères qui les expriment additionnés
ensemble, rendent toujours 9 , ou un multiple de
0, moindre que celui qui a été proposé, c’est une
propriété qui n’est nullement essentielle au nombre
9, & qu’il n’a que parce qu’il est le pénultième .
nombre de la progression décuple qu’il nous a plu
de choisir. Si Ton eût pris la progreslìon dedouze,
le nombre 11 auroit eu la même propriété..
-.Ainsi, dans toute Y arithmétique binaire, il n’y. auroit
que deux caractères, 1 &o. Le zero auroit la puissance
de multiplier tout par deux, comme dans T Arithmétique
ordinaire íl multiplie tout par dix: 1 seroit
un ; 10, deux ; II ,. trois ; -IOO , quatre ; IOI ,
cinq ; 110, six ; III, sept ; IOCO, huit ; IOOI ,
neuf ; 1010, dix, &c. ce qui esl entièrement fondé
sur les mêmes principes que les expressions de l’Arithmétique
commune. II est vrai que celle-ci seroitB i n b-i n utffès-ìncoìnmode par lá grande quantité de caràc- 1
tères dont elle auroit besoin, mêmê pour de trèspetits
nombres: U luisant, par exemple, quatre
caractères pour exprimer huit, que nous exprimons
par un seul. Ausli M. Leibnitz ne vouloit-il pas
faite passer Ton Arithmétique-dans un usage populaire-,
il. prëtendoit seulement que dàns les recherches
difficiles elle auroit des - avantagés ; que
l’autre n’a pas,- & qufclle conduirait à des spéculations
plus élevées ; Le P. Bouvet, jésuite, célèbre
miffionraírede la Chine, à qui M. Leibnitz avoit
écrit Tidée de son Arithmétique binaire, lui manda
qu’il étoit très-persuadé que c’étoit-Ià le véritable
sens d’une -ancienne énigme chinoise laissée il y a
,plus de 4000 ans parT’Empereur Fohi, fondateur
des Sciences à Ta Chine, aussi-bien que de Tempire,.
entendue apparemment dans son siècle, &
plusieurs fiècses âpres liS, mais dont il étoit certain
quel’intelligence -s’étoir perdue depuis plus- de
1000ans, malgré les essores" & les recherches des
plus savans lettrés, qui n’avoient vu dans ce
tnonument que des allégories puériles & chimériques.
Cette énigme consiste dans les différentes
combinaisons d’une ligne entière & d’une ligne
brisée, répétées’ un certain nombre de fois, soit
l’une, sóit l’autre. Ën supposant que la ligne entière
signifie 1, &'la brisée o, on-trouve les mêmes
expressions des nombres que dónne T’Arithmétique
binaire. La conformité' des combinaisons des deux
lignes de Fohi, & des deux uniques caractères
de T Arithmétique de 'M.' Leibnitz , frappa le
í. Bouvet, & lui fit croire que Fohi & M. Leibnitz
avoient eu la même pensée.
. Nous devons cet article à M. Formey, qui Ta
tiré de Thisloire de-Tacadémie des Sciences de
Paris, année 1702. Voyez ECHELLES ARITHMÉTIQUES.Çetíe Arithmétique seroit, comme on vient de
le dire, peu commode ; il faudroit trop de caractères
pour exprimer d’assez petits nombres : cependant
file lecteur est curieux d’avoir une méthode
pour trouver dans cette Arithmétique lá
valeur d’un nombre donné, ou pour exprimer un
nombre quelconque, la vOiçi en peu de mots.On commencera par faire une table des différentes
puissances de 2" ; -savoir 2" ou 1, 2, 4, 8,
16, 32, 64, 128, &c. que Ton poussera le plus
loin qu’il fera possible. Cela pose:  ;Soit donné, par exemple, le nombre iio'ior,"
dont on veut savoir la valeur ; comme cé nombre
a fix chiffres, jë prends la sixième puissance de 2,
qui est 32, & attisera représenté par le chiffré 1,
qui esl ie plus à gauche : le chiffre suivant '1 indiquera
la 5 e puissance 16 ; le chiffre suivant p ne
donnera rien ; le chiffre suivant ; 1. indiquera la.
■ ;* puissance, c’esoS-dire.^le chiffré suivant o
hë donnera rien ; .efífin"lë dernier chiffre i donnera
1 : ainsi, le nombre proposé équivaut à la somme
des nombres.32, 16, 4,1, c’est-à-dire 53, &
jinfftdes-,íuatres_. -.-::: .-■ .•'< ],<  ;' ' ;• -..-, _■■■-  ; ,-'Présentement je suppose qu’on, veuille exprimer
le nombre - 230 par 'T’Arithmétique.binaire ; je
cherche d’abord là: plus’grande puissance"-de 2
contenue dans’ 250., ■■ c’est" 128 ; & comme 128
est la 8 e puissance de 2, je vois que le nombre
230 exprimé comme on le désire, aura huit chiffres.
Je mets donc. -, .1 pour le premier chiffre à gauche:j’ôte 128 de 230, il me reste ic2 ;'& comme 64,
qui est la puissance de 2 qui.-fuit immédiatement
128, se trouve dans 102,-"cela me fait voir que je
dois encore mettre .'•■.--.-..■-1 à la seconde place-à gauche ;je retranche 64 de 102, ilme'rëste 38. ; or 32,
qui est la puissance de "2 après 64, est encore dans
38 ; ainsi je mets -'.'- ;.'…■í à la 3 e place à gauche'-:
je retranche 32 de 38, il me reste 6 ; or 16, qui
esl la puissance après 3 2, n’est point dans 6 : je
mets donc .o à la 4e place: .je retranche 8'de 6 ; & commeril n’y est pas , je
mets encore '…"" . ". . : _ : ; ■" -' o à la 5e place: .  ; ]je retranche 4. de 6, ce qui me donne- . - ï à la 6e place : " 'enfin il me reste 2, qui s’exprimera par ■---.-/'■
 ' . -' 1 à la 7e place":&çòmme""il ne reste rien, on aura :
o à la 8e place: . .1.. :
donc 230 ferá exprimé par - - '■•-- - IIIOOIIOII est vifible qu’àT’imitátion de cette Arithmétique
, on peut. ,en. imaginer une infinité d’autres
où les "nofnbres’seront exprimés par- plus ou moins
de chiffres. Voyez ARITHMÉTIQUE £-ECHELLES
ÌRITHMÉTÌQUES.'' " '"'- " ":'".Soit en général n le nombre de'caractères d’une
Arithmétique quelconque, en forte que o, 1, 2,' 1 n-^l soient ces caractères ; & soitproposé de trouver la valeur d’un nombre quelconque,
par exemple, b c d e f, exprimé avec
les caractères de cette Arithmétique :'. '.ón.:ÁuraJ>.cr.
d ef=b X ^ -f c X n » -fr dX a » + e X V+f>
& .ainsi des autres.- -- '". ..-.' ;.Si òn veut exprimer'un nombre quelconque. A
par cette même. Arithmétique, soit nT la plus grande
puissance de n contenue dans A ; soit divisé AP - '…-par
 n ; soit a le quotient & le reste r ; soit ensuite.. ;- - - P-t "■ • " " -'divisé r par n , b le quotient & le reste s ; soit—zensuite divisé s par n , le^quotient c } &le reste. »t • b i n _• b. t nq • & ainsi de suite ; jusqu’à cè quon arrive a uh
reste K', qui soit ou o, ou moindre que n.: on aura
A=abc . . . . K,&i le nombre des chiffres sera
pi. ! a &c. Voyez Mém. Acad. 1741, une méthode
de M. 'de Buffon pour faire ce calcul par les logar
rithmes. (O) ■ BINOCLE, ou TÉLESCOPE binoculaire, c’est
un télescope par lequel on peut voiries.objets avec
ses deux yeux en même-tems. Voyez TÉLESCOPE.
lied composé de deux tuyaux qui contiennent chacun
des verres de même force. On a cru qu’il représentoit
les objets plusxlairs & plus grands que
le télescope monoculaire ; & cette raison a engagé
plusieurs auteurs à enrtraiter assez au long, entre
autres le P. Antoine-Marie de Reita, capucin, dans
son oculus Enoch & Elioe, & après lui le P. Chérubin
d’Orléans, aussi capucin, dans Ie tome z de
fa Dioptrique oculaire, qui a pour titre de la Vision
parfaite ■ ; mais ort a reconnu que ces sortes de .
télescopes étoient plus embarrassans qu’utiles : ausli
la plupart des meilleurs auteurs qui ont traité de la
dioptrique, n’en ont fait aucune mention.On fait ausli des microscopes binocles ; mais comme
ils ont les mêmes inconvéniens que les télescopes
dé cet espèce, ils sont très-peu en usage. (O. Tí) ',-J’ai vu à la Haye, chez M.. Hemstruv s, des binocles
de différentes espèces, qui réussissoient très-bien.
Tri. de Lisle s’en scrvoit ausli pour de très-grandes,
lunettes, parce qu’on n’autoit pas pu, fans cela,
réunir le grossissement avec Tétendue du champ.
(D.L.) - - ■ • ." '■ .BINOME, f. m. (Algèbre. )  C’est une quantité
composée de deux parties ou de deux ■ termes liés
par les signes -fr ou — ( voyez MONÔME")  ; ainsi,
a -f- e & 5 — 3 font des binômes.Si une quantité algébrique a trois parties, comme
a -fr b rfr c, on Tappelle trinôme ; si elle en a
quatre, on la nonvne quadrinpme, &ç. ; & engénérâl ,
multinome. -,M, Neuton a donné une méthode pour élever en
général un binôme a -fr b k une puissance quelconque
m, dont Texpofant soit un nombre entier ou rompu,
positif ou négatif.Voici en quoi cette formule consiste ;La seule inspection des termes en fait voir la loi
mieux qu’un long discours.11 est visible que lorsque m est un nombre entier,
cette suite se réduit à un nombre fini de termes ; car
soit par exemple m == 2, donc m .^ 2 = o', donc
tous les termes qui suivront les trois premiers seront
=0, puisqu’ils seront multipliés chacun par m— 2.
^M^ » marquis de THôpital, dans son traité des •
jmíons coniques, livre 2 o , a démontré cette formule
(pour le cas où m est un nombre entier. M.. Tabbé de IMolieres a fait la même chófe dans ses clément dtMathématiques. ' ',M. Clairaut, dans ses Elémcns d’Algèbre, a ; démontré en général la formule du .binome par\ les combinaisons ; M. Tabbé 'Boffut Ta ausli- dé ;montrée dans les siens.Lorsque m est un nombre négatif ou une frac:
tion, la suite est infinie,:& pour lors’elle ne re■
présente la valeur de (a-fr-b) ™ que dansle cas où
: elle est, convergente, c’est-à-dire, où chaque terme
 ! est plus grand que le suivant. Voyez SÉRIE OU
' SUITE.Soit, par exemple, un quarré imparfait a a -fr- b,
dont il faille extraite la racine quarrée : il n’y aura
qu’à élever aa-frbala puissance f ; car tirer la racine
quarrée om élever à -la puissance |, c’est la
 ; même .chose. Voy. EXPOSANT, Ainsi, on auraformule ou suite infinie qui approchera de plus
en plus de la racine cherchée.De même, si on veut extraire la racine cube de
a> -fr- b , il faudra élever cette quantité, à Texpofant
-j- ; & on trouvera,& ainsi des autres. Mais ces séries infinies ne sont
bonnes qu autant qu’elles sont convergentes, . "
Soit n se rang qu’occupe un terme quelconque
dans la fuite du binome a-fr b élevé à la puissancç
quelconque m, on trouvera que ce terme est ausuivant comme 1 est à'■=- X "'~ ' » d’où íls’ensuit que, pour que la série soit convergente,
c’est-à-dire, que ses termes aillent tpujours en
diminuant, il faut que b X (m.-*- n *\-\)  soit
toujours plus petit que' n a.Ainsi, pour pouvoir trouver la racine approchée
de a a -j- b paf la formule précédente , il saur que
í'X (i--— n -fr 1 ) , pris "positivement, soit plus petit
que naa, n étant un nombre entier quelconque.De même pour extraire par cette formule la ra*
cine de a* -f b, il faut que b X (j— n-fr 1 ) , pris
positivement, soit toujours plus petit que n a 5. ( 0 ) "* Nous allons ajouter ici une démonstration de
la. formule du. binôme, Texpofant étant quelconque…Soit 1 -fr.x le binome qu’il faut élever à lapuissance.' n ' .• la question se réduit à tro .verune fonction ordonnée paf rapport aux puissances" , -ude x, qui soit égale à I 4- i ■.* '-• ■'•'--■- t •' . - i ' nDéfinissons d’abord J’.exprefsion ï rfr x : CestB in bin a »
urìe fonction de x & de n,: telle que,'mettant T
n-fr I à la place de n, on aitiine nouvelle fonc- I
lion égaie à Ta première , multipliée par i -fr x ;
avec cette condition -que , lorsque n == o, ëllé
soit I, ou, si Ton veut, i -fr x , lorsque n == I.

- On pourroit satisfaire-encore à ces équations^
th ajoutant un ferme arbitraire & indépendant
de n aux A, B ,Ç, &c. Mais il est évident que ces
termes doivent tous être 6 , puisque lorsque n = o }
" ' . - _m~.'î- ; :■'.
i…. & généralement (n)  sera du degrá
: " - 777, . : ?-■•■..'■*.,"•-m~ i, & (n)  du degré m. : •
- - 771
On aura donc sûrement (n)  ; mais, en obser-

Or il esl évident qu On faussait a cette équation,
en faisant p =: o, q' == ô, ^ == a, & qu’on satisfera
ainsi à ces équations, en supposant P & Qi
égales à des fractions rationnelles du premier ordre ;

Cette démohítrátion eíi rigoùreuíe-:& "puremeBS
izi B.îK b-'o tanalytique ; elle ne demande que deux supposi ;■. " - _ ' ■' :, " ./.-.: m -C J- ■m’-*--ilion ;. Tune de Téquation P (n)  -= Q/n") j
supposition à laquelle on est conduit par lë calcul
des premiers termes ; la seconde' est celle de P &
de Ç linéaires ; qui est encore indiquée par le
même calcul, & qui,, de soutes, esl la plus simple.
(M.b.-ù) y^- '■' -"•■ '" ' ; r : ;,--'--:. ;-'--: BÏQÙADRÀTIQUE,adj. (Algèbre.)  OhdÔrínè
ce nom à la puissance qui est immédiatement audessus
du cube, c’est-à-dire., asi quarré-qùafré-ùù
à la quatrième puissance. Voy. PUISSANCE , RACISTE,
QUARK-É-QUARR-'É ,:&ç ? ( E )  :. • r -BI-QUINTILE, ad}.'(Astron.)  c’est un aspect
de deux planètes quand-elles sont-'â 144" 1 degrés
de distance Tune de l’autre. Voy: ASPECT. .On appelle cet aspect" bi-qhirjtih■, parce que les
planètes sont alors éloignées l’une de l’autre de deux
lois la cinquième partie de 560 degrés, c’est-à-dire,
de deux fois 72 degrés, ou 144. (O)  " ■ ; •-'BISSECTION, f. f. en Géométrie, eíi {a division
d’une étendue quelconque, comme un angle, unè
ligne, &c. en deux parties égales. ; c’est ce qu’on
nomme autrement bipartition. Voyez "Division,&c. (E). -\: -•. ;-:… - " •-' -.- ;. 's -BIRIBI, f. m. (Jeu)."C’est un jeu,de hazard
qui a été long-temsen vogue,. & qui_.se joue encore
quelquefois à Paris. Il nous est venu d’Italie,
íiinsi que le'cavagnol^ & les Italiens le .nomment
"biribisso ; mais alors.'il diffèroit., -quant- aux chifrfres,
du biribi 'que Ton joue actuellement. On
place fur uné_grande, tablé'Un_tableau-divisé ; en
soixante" &-dix-'c’àzes’- ; dans chacune de ces Cazes
se .voient une figure & un-nombre, depuis un jusqu’à
soixante & "dix, '& les pontes mettent cè-qu’ils
.veulent fur chaque nombre. On a un sac fermant
à clef-,.dansi-lequel sont égalementToixante '& dix
olives ;-dans, çh.acuné est ; un Ijillet .peint fur vélin. ;
qui porte :une figure & pn nombre correspondant à
ï'un de. ceux- du grandc tableau ; Le banquier fait
sortir. les ; - olives unè J>..une , paf k'moyen ,d ;uh
ressort qui est i-.Ia-tétë. du sac ;;si le billet-qui. eh
sort se trouvé répondre à .une caze chargée , le
banquier paye Toixante-quatre-fois la mise, qui
s’y trouve. La couche appartient aussi toujours au
banquier ;-en forte^q'ù'il, a -un:-avantage de séptsor
soixante & dite. Le biribi est au cavagnol ce que
îe pharaon est au lansquenet ;'-car ié pharaon &
ie biribi sont avantageux jau banquier-qui'tient
constamment ; mais au lansquenet & au cavagnol,
íous les joueurs sont banquiers à leur tour, lorsque
cela-léur.conyienf, c’est ^à-,dire, tiennent-lâ
main ou le sac qui: renferme je_ jj0ujes. je cava_
■gnol est^méme. d’une parfaite égalité, & se ban<_uier"hy
"á" áùciinë efpècé d’avantage. ' • " -■' ""Le biribi se joue encore aux côtes, c’est4'-dire
au pair ; en sorte que le banquier ne donne" que
-ce qm se trouve sor Ja çaze- ;- mais il a toujourspour-rlui trois, càzes d exception, qui font perdre
le-ponté quoiqueToii: côté arrive. ■■■ < -'.-Lie biribi se iijp'uer encore à la raie dfoifè ; òn
met ce que Ton veut à la tête du tableau où il n’y
a que sept chiffres, dont un produit Tavantage,
au choix du ponte, & Ton emploie des jettons
qui. diffèrent) , pu parx la'Couleur, ou paf le deffín,
pour qu’on "puisse reconnoitre ce qu’ils valent
8çA qui ils^appartiennent : le prix ordinaire qu’on
leur attribue est dé quatre fols moins un liard,
(sept sols '&" demi, quinze sols, & ainsi, de fuite
èrï doublant toujours. { D. ï. ) '.-'" ; … BO r ;-.-" "B'ÓÍ'S","' résistance des bois , '(' Méch. )  Plusieurs
auteurs, entr'autres M. de Buffon & Mi.Duhamel,
ont cherché à déterminer * par lá voie dé Texpérience ;.
la-résistance, qu’une pièçe de bois oppose,
à Teffórt d’un poids ou "d’une force quelconque
qui- tend à la rompre : question de la plus grande '
importance "pour larchitëcture & pòur lâ havígTtioii.
Voy. les Mémoires de l’Académie Royale.dcs
Sciences pour Vannée 17*4 i, ' & le traité dé M. Diihamel
fur, la résistance des bois., Ici je me borne
à donner sor cette matière une' théorie faciieineni
applicablerà la pratique.:  ;. ; r.v. ■•-.. y -y \> ' '.I. Soit le rectangle' AB DC (fig. 1.8 ) le profil
d’une piéce'dë bois équarrie en paràllélipipède rectangle
, soutenue horizontalement par les deux.appuis
A & B ; que cette pièce, considérée comme
-non ! pesante (l) j soit chargée, en úh endroit quelconque
N, drm poids Q qui fasse équilibre à" la
résistance quelle oppose-,â_ sa rupture : on demande
la valeur de Q ?Imaginons que la pièce soit composée d’une insiriité
de fibres où de "filets’ parallèles à A B & à
CD. Dans Tinstant où elle est prête à se rompre,
les fibres s’alongent d’une certaine quantité dans
la,section verticale. jV^,,Scies petits .alongemens
forment un espace triangulaire FNÎ,\ dont le
somrnèt est en N & la base FI fur AB. De plus,
ULéíéínensHK, P M, FI, &c. du triangle FNÍ,
sont proportionnels aux forces avec lesquelles-les
fibres sont tendues en ces endroits, puisqu’ils ex-priment
 les quantités dont les fibres font tirées’di
leur, état naturel pour résister à Teffçrt. du poids
Q qui tend "à .rompreìa pièce. - •'-.--•■Les résistances ( que j’appelle A .& B )  des appuis
étant" "des forces qui sont censées’agir dans
les Tens. AS, BV, il est clair qu’on peut considérer
CN.T-tk D NT comme deux ; leviers" angulaires
dont Tappui est en N. Dans le premier,
lelifas OTeíf poussé par la force A, tandis que
le'bras N T eû tiré par la somme des tensions■> ( 1 ) Si on vouloit avoir égard au poids de la' pièce,
ilíaudioit considérer Q comme la rcsiiîranre de "ce-poids,
& du poids t’rr'apger dont elle est chargée , lecjuel seroit
álçjrs pisté aille-ms qu’£n"W.' ■'■'des brasB 0 ;i bo-i ìzt« es ;bras.HJí , P M., FI, ,&c ; tk pareillement
dans le second, Srie. bras, N D est pouffé par , la
force B , tand^s^que íe,bras, N.T*est tiré par la
sommé des tensions des fibres HK>P M, FI, &c.
Ainsi, il y aura équilibre, si lës momens des forces
A & B, par rapport au point N ; ,■ sont chacun
égaux séparément à la somme des moméns dés
tensions des -fibresíííí y PM, F Is&c., par
rapport au même pdint N.- -.'(AB ou C D. ……….. ..=='« •■'■ CM.: …v ;…….:. :. .-.-'=6 J:ND '. . ; — a— bLa hauteur ouépaisseuriy T …..'_. J de la pièce …..=,kJ »oient< Sa largeur ou dimension hori-- . … "
 ; j zòntale perpendiculaire à . .- i',\I la longueur. .. =='k-,. í\I N-R…………………. .. ;=*-,-V. Le filet inférieur FI….. .=//'"La lettre/,, qui exprime le dernier filet FI,
peut représenter'eri mêmë tems fa tension, les .
tensions des filets du triangle de rupture NFI étant
proportionnelles à "ces filets ; . . ,On aura les deux équations AX. ° 'z=\^~~hr~ '">$ X'( a ■+ ? b :) z=J,fkf^x 3 ' dans lesquelles oh• doit faire x= adaptés les intégrations ; ce quidonne Ab=t±f-, B(a—b) =f^.T>otícAXB=f-^-A-f-~ri maísj d’un autre côté,. ■}■. - 3i J i{a-b ;). .-■ . ;. ' _ _ yy . y y -ricri,a A +[B — Qy^dofiç Q == -^jf— -fXiíl
= faJílt^ Telle est Texprefuon géBérale
de O. - r'II. Lorlqueíe^ointl^est.lemilieu delâ pièce,
©n ab == |a, & Ç == ±£MI.- D’où Ton voitqu’à cause de/ donnée.& constante, U résistance
(toujours’mesurée-paf ,lë poids Q.) qu’une pièce
de bois équarrie, oppose .a être rompue dans son -
milieu y est comme le produit âe la largeur par le
quarré dé la hauteur ou épaisseur , ' divisé rpar la Ion-. ;
sueur de làpièce. i< :r ' i. . . >' - i : ;p -■'-'- ^ '■
-III. En 1 géhéral,-'lès dimensions" de' í a- píèee ;; j
&-la situation du "pòint’-N^ètárrc données,von<:ón-: !nò'îtra
 Q , lorsque-Ton’êonnoîtrá/. ; Or, fuivans !
ia ;septième Table dé M. de Buffó'n ( Mém\:]dë. \
VAcad.- ï741 , pag.'334) ,-'une--pièce -de-bois de
chêne de 5 pouces d’équarrislage :, fur 7 pies.- òù
184 pouces de longueur, se ronipt sous la' élìargë ! |
de 11525- livrés y, on a •dònc’alòrs 11525 livres~^X ;X !^ • d’oufoi tlré/= 5Soo^lìyres ;;s
Mathématiques, Tome I, I,'" Partie.valeur qu’on substituera dans Texpreslion générale
de Q. •- I V± On 1 voit,- par cette mêmë expression Q =3■(a b-h ï\ ) '^^toutTe^aat 5 d’ailleurs Te même,'le poids Q devient un minimum , lorsque le point
JVse trouve.à égales distancés dès ppinEJd’âppuís
A & P ; car alors le dénominateur àb — b.b
devient-Un maximum. Aiiífí^ Te.point de la moindre
résistance de la' pièce l ouTe point óù eìíé est le
plus.exposée -à Te. rompre y sous, une chargé donnée,
1 est son milieu j ce qui est évident par soimême.
-—…:'V. On voit ausli (cequi est également évident}
qu’il est avantageux de ; poser de champ únë pièce
de. bois í. par, toutes choses "d’ailleurs ; égales, la
résistance est: comme 'M fc >. lorsque h .marque- Tépaiffeur ; de lapièce., &-fc-Ia largeur ;. & lá
" réfislance de lá pièce est comme h k}.', lorsque itnwrqiie Tépaiffeur, & h îa largeur. Ori en supposant
- h >> k, il est visible que h * k. est plus, grand
que h k 1, dans le rapport de.h à h : -.VI. II y a plus : une-tnêmc pièce--de bois de>
fórme origiriairement cylindrique,-peut être équarrie
de pliisièur^maníères ;;&; parmrces manières,
il faut trouver celle qui rendra un maximum la
résistance- de:la- pièce poséë.:_de.:champi" -Os,- pouìr
résoudre ce problême, soit le cercle As A Ks:
(fig. i9) -{a coupe d’une pièce de'éôzV, il sJaghd’équarrir cette pièce en paraílélipipède rectangle. 1 -' ' "Í (- . - ——1A B DÇs ; de- telle ;forte que'le> produit AC-XAB
"( qui, pour un-poifít-'-dorinéj^fëpfésente la rèsis-ítancé
"de la-pièce) yioit-nú-inaximûnïT’ •'-■'■. '■'■
-, Soiéhf lé diamètre B'&^aZ'a ; }AB^=x ; &par conséquent. A,Cy=z -j^sas/i'—-.'-'x x.'Ainsi ;,
x (.4 ai —- x x J == maximúwí' ; 'cé'qui dônrie , par
b,méthodeofdmaife"dë'm3M772Íî(.-î/.i ;^4^^x = ^'. & 4f= ?.z-~$.. JDçne^B^ £{ %í \ |/"-i,. -' D’bíu Të'd- yoit-qidi'-a/pr^jteé Ui pièce soit
capable}de id ;:phis’ ;:grándè- "-résistance ;■■ possible. ;' la
largeur'AB 'éotÌ-'-êWe-a-3épaiffeur"A C ;^cô:mfiíe-íe
côté d’un qúariêrest^àsz''diagqna.leìy y-yo r.'.- ':. ": V II. ExaminonV-maintçnaht lá, féfistànce d’une
pièce de "iôut.jC^in’d^ique. JeìimRose^dbnc.'qué
ABTsC. (/$7S£^) -ff%êsenf/^
Çorizqntál^eriiëntjsu'î ; Ips ^e^&pâís A'&^B'soi
chargée jdfùn^'gíds "^R.':. ;j.qîi^^T^Psoit^'cómme- cÌ-de\'ant,->--.T-éç^tement jdjîjs. {a ^partieTnférieu'rë ,
à, Tinstant d’e'laíupffiïè.^íënqnY
& couponsysùTvantjcëtté'lign
diculairement a fa "longueur f ce" qui do'nne, ■ pour
section, ; _ le. cercle ;. N.L TL. .:~ '.y ' -'"Par'"áq'|oirítr'qlidtón’^ .dan^íe'cerBè^ìa cV6uhlëJÔfdonnee-£/ ; Hsest aisif.
de voir, par Tarticle I, qu’en supposant’-JïPoiiCD^^^^^sNIm^sFI^ifs
- ■ • ' r f

■> rît B O Ò B ;ÒÛ
j$y—x. on aura ces deux équations A X'" =s/^±x^\ÍT’~"x)  ; B XI ™.-r n )  ; =jfx--dx\/(zrx-xx) ^dans les(ïllelles on doittaire x= z r, après Tes intégrations. Donc ( en
nommant rj lé .rapport’de.'la circonférence au diamètre
) , A X n ='l2£± V B. X ( W^ï =exprelfion générale de la résistance d’une pièce de
bois, de forme cylindrique.•-■ V 111. Plusieurs praticiens, m’ont demandé:
quelle étoit, à màrses-égales & en parité de circonstances
, celle de deux -pièces,- Tune cylindrique ;'
l’autre, équarrie en parallélîpipède de la manière
la plus avantageuse, qui Oppolbit lè plus dé résistance
à sa rupture.'La réponse à cette question se
. tire facilement des formules précédentes. En effet,
íl ne faut, pour cela, que comparer Texprestion ■
de R àveé: celle qui a été trouvée pour Ç ( art. 2 ) ,
en faisant m = a ; n = b ; ensuite k:àl== tt -r 1 ' ;
,& ( V í ) « '-'= i I/2 ;' ce qùi donne h>'~^-rlì/'x,' i = r 1/ n ;• J/ 2.'■ i Alors on trouvera P * Q ; V
15 • syn’.yri:: ;: 15^:.16,:8Ó, à-peú-près.
D’où Ton voit .que, pouf des Hongueurs & des
masses-.égaies’,.& sousdes.-c-hargesï semblablement
p'óséesj,' larfésistáncejde.iíajpièce,.cylindrique est
un peu moindre^ qué^laírésistànce de la piècè
équarrie. Mais il. faut^considèrer-yidlunautrexòté,
que cette dernière pièce devant être tirée d’un
arbre originairement "cylindrique, on a (en nommant
X le rayom de cet arbre) , Xz sa'."-.'.-' =:'" | A^tnV^-i. Soj !c:Xìj:^.ÌlyTiy:j. •
.8 '. v i■'■ ;,- ;S-, à-pëu-prèsi Ainsi ;pojir, une même
30nguëiir^, ;la-fflásle-,dii-Cylindre dont on tire la
pièceidenbois équarfiëj estiplùs grande que la masse
de la pièce cylindrique , ;dansTe rapport d’environ
13 à. 8.. 11 y a donc une .perte de bois assez considérable
pour former' ìa'piéçe':éqùarrìe ; cò qui
dorme , 'à. ;cetr'-|égard’, 'de^Tàvàn’tagë.-à lá ; pièce
.cylindrique. Reflê aTayojr fi^ïanVdéík^afbfes^de
mêmë. nature ,-.inéganx:Lën gfoffeui1ír: ;Jslé^- !tên’âéités
ou résistances dès’fibr^éselénicnfairësispíç'tîès hïêrheèï
C’est fur quôíil’faut interroger Texp'ëriencér. '-' ;. :-
11 y" auroit plusieurs-.àutfes’pfÓfilêmêí'àTéfóudré
fur ce sojet ; mais ilTuffif' d^en :a,vóir établi lés
principes. (L.B.) '  ; " ;': '••//. "./•'"' ■" .'-'"' ; :'■
. .Eois-, au jeu de triâraç.,.sç~,ditJ,én’^génùaf\3ès
damés .avec lesquelles. on j,one-' yoyìt" ti/úfíE &TnícjRAc. ; ,„■ ;,. ; '..'/{^.^'y^^  ;;.:'n !:i) '. ECÒTES ; (Astron.) Vóyc^mvviiìxl: ■ ■■ C’:'' 'BORÉAL {Astron.)  se dit de tout ce qui' ;eftdu côté du nord ou du.septentrion. ' ."- -. ■'BOUC , (Astron. )  est le noní que ; quelques aur-teurs ont donné à la, constellation du'capricorne ;d’autres à la belle étoile de la chèvre, qùi ; estdans la constellation du cocher. (D. L.) ■ '"'' -Botrç : ordonne ce nom , dans les. machineshydrauliques, à une espèce de'poulie garnie.dacornes de fer qui font inontér & descendre tméchaînp-sans fin. C’est par -le. moyen d’un boucque ìés eaux ' "sont élevées’ du puits salé deMpyenyic.BOUFFÉES, en termes d’Hydraulique, estsynonyme'
à secousses.Lorsque les jets sont engorgés par les vents,
ils ne sortent que" par bouffées ; c’est-à-dire, par
secousses. (-K) ■'- ■■ '-■■ ;- -'•■..'■■ :BOULER dû jeu de quillesy c’est un morceau
de ; bois "parfaitement fond, & percé d’un trou
pour mettre le pouce, & d’une espèce de mortaise
pour les. autres doigts* de la main. Elle sert
à" abattre les quilles, y ■. .' !.'•-'".■BOULE, (jeu deS)  exercice fort connu., On Te
joue à un, deux ,-frais contré trois, ou plus même,
avec ; chacun -'• deux boules pour Tordinaire : :'. les
joueurs fixent le nombre des, points à prendre
dans:la partie à: leur-choix. C’est itou jours çeusç
qui approchent le plus près des buts qui comptent
autant de points qu’ils y. onf.de boules. Ces buts" •
sont placés aux deux bòuts d’une espèce d’allée
très-unie, rebordëe d’une'petite-berge de chaque
côté, & terminée à chacune de ses extrémités par
un petit fossé'áppellé'rzoyra. Voy. NOYÓ'N. 'Quàn’d.
on jojiè, fi quelque jç-iieur ou autre.arrête la boule.,
Ie coup se recommencé. 11 n’est pas permis de taper
des pieds pour faire rouler Ta boule davantage x nì
de la pousser en aucune façon ;,sous peine de perdre
la partie. Une boule qui est entrée dans le noyons
& a.encore assez de force pour revenir au but,
ne" compte point : un joueur qúi joue devant son
' tour, recompience fi Ton s’en,appercoit ;.celui qui',,
a passé son tour,'perd son coup. II est libre de
changer de rang dâns lá partie,, à moins qu’on he
soit convenu autrement. Qui change déboule n’est
obligé qu’à reprendre la sienne , ■'&. rejouer Ton
coup si personne n’a encore joué après lui ; mais
si.quelqu’un a ; joué,ilremet la boule, à', la place
de celle qu’il a jouée, fi l’autre .veùt ; jouer avec ;
sa^ío^/^.L’adreffe ; d’un, joueur çonfistei-à: donner
a,sa.bpyjeje'.degré de sofce-,néçestaire.ip9urrarriveir.
aù: ;l !Ùt ;; pçur pela,.il faut qu’il faffe:,attention à sa,
pesanteur, i& qu’il tourne toujours le-sort vers
Tendroit du j eu le plus, rabotteux, çe qui varie,
cependant selon la disposition ; du terrein & la
qualité, de la boule.,', . ; _-■•■■-' '•■y BOULE-, avoir là-boulé ;, c’est, au jeu de ce noni,
avoir droit de jouer le premier. Ce droit s’acquiert
én jettaht une quille vers la boule ;. celui dont laÊ o u b. m M- 'ëttqmrleest testée Te plussprès de la îoute > jbuè íë '
premier, & est dit avoir la boule. ;.'.' ; 1-BOULE j aujízz <se mai/,est unepièce-de buis ;
ou d’autre bois très-dur bien tourné, que Ton
chasse avec la masse ou mail. Voyez MAIL. Ces "
boules doivent être d’un poids proportionné à celui
■ du mail, c’est-à-dire, environ de moitié. Si le mail
dont on se sert pèse dix onces, il faut que labouleenpèse
cinq, & ainsi des autres. Les meilleures
de ces.boules viennent des pays-chauds.Boules qui ne s’éventent pas au jeu de mail,
sont des boules qui ne sautent point, & qui ne se
détournent point dé leur chemin naturel.BOUSSOLE. Voye'i MAGNÉTISME ; & pour
Tusage de la boussole dans la levée des plans,
voyez PLAN. ',',.."BOUSSOLE, ( Astron.,)  constellation .méridionale,
établie par M. de la Caille, dans son Planisphère
austral: il Tappelle en latin Piaris nautica ; elle
est située fur la proue de Tancienne constellation
. du vaisseau. La principale étoile de cette constellation
est de cinquième grandeur ; son ascension
droite, en 1750, étoit de 1280 23' 59% & fa déclinaison
 ;i° .18' -10" australe ;.en sorte qu’elle
s’élève de 9 degrés à Paris. '(. D. X. ) 
- BOUSSOLE, instrument d’Astronomie ; il ïera
décrit" dans le Dictionnaire de Physique, II nous
suffit de dire ici que la déclinaison de la boussole
à Paris est, en 1783, d’environ 21 degrés à Tóuest.Voyez DÉCLINAISON’. '"BOUVIER., (Astron.) Bootes, cpnstellationboréâle
qui á 5 ; étoiles s-. suivant Flamsteed. :.:
• On ;Tappelle auffi Bootis, Bubulus , Bubulcus,
'Tardi-bubukus, Pastor, Custos boum, Clamator>,
Vociferàtor, Plaustri custos , Custos Erimantidos ,
Vrsoe , Arâurus , Arâurus minòr, Septentrio , PhilomeluS’(fi\s
de Çérès) , Icarus, Lycaon, Orion,
Areas , Lanceátor, Venator TJrfie ; Arâophytax. La
ielle étoile de cette constellation est appëlléé aujourd’hui
généralement Arâurus ; chéz les Arabes,
Aramech. Homère dit- que cette étoile est d’un
présage funeste. Pline Tappelle aussi Sidus HorriÀum.
'■■.'..'■On a appelle cëtte constellation Atlas ; & Ton
disoit qu’il portok Taxe du monde, parce" que,
autrefois, sa tête étoit fort près du pôle. Voyez
le Mémoire de M. Dupuis, Astron. p. '410 & 4Z3.
II épouse Hesperis, & il en naît sept filles ; parce
que quand cêfte constellation se couche , les
Pléiades se lèvent : en effet, les sept- étoilés, des
pléiades sont appellées Atlahádes Ou filles d’Atlas.Gërmaniçus César dit que ce 
chien .qui lui. étoit resté fidèle : elle se tua de désespoir
bouvier ou ce
pasteur, qu’on a placé dans le ciel, étoit Icare,
père d’Erigone, dont nous parlerons -à Tarticle
de la vierge ; Bacchùs lui avoit appris Tart de
fairê Ie vin pour Tenseigner aux hommes : il fut
lapidé par des bergers qui étoient ivres. Sa fille
découvrit le corps de son père par le moyen d’un
 ; & èllë fut placée) dans. Ië tíel avëcson
père & son.chien. Voilà 'pourquoi Pfoperce appelle

boeufs d’Icàre< les sept’étoilés de la grande
ourse. , . ' '■ ' ■'■'•'.Fleâant Icarii sidéra tarda boves.D’àutres prétendent que le bouvier est Arcas’j’
fils de Jupiter & de-Callisto, qui enseigna aux:
hommes la manière de faîre du pain, après Tâvoir apprise
 de Triptólème, & fut déifié par la reconnoissancè
des hommes.Suivant M. Dupuis, il étoit naturel de placer .
un moissonneur pour marquer Tentrée "du soleil. ■
dans le signe de la vierge, qui est une moissonneuse.
11 y trouve auffi le fondement de la fable
du ròi GEnopion ^ dont il est parlé à Toccasion
d’Orion : c’est le prince Boivin qui fait allusion a '
Icare,'à qui Bacchus-découvrit Tart de cultiver
la vigne. II est détrôné par Cronë ou pétrifié.par
Perfée, parce qu’au lever de Pérfée il se cachoit
derrière les montagnes. ( Astr. ÍV:, 4Z3.) En effet, la constellation du bouvier, quoique-fort septentrionale, descend sous Thorizon & Tecouche pour hôus, çòfhme le'remarque Ovide: -' sTingiiur oceano custos erimanthidos wste , '
 i , r ■ ■ . Mquoreasquésuòsidère turbat áquas. .Trisl.1,4, HLe coucher comique du bouvier, c’est-à-dire,
le tems où il Té couche au soleil levant, est annoncé
, par -Ovide, pour Té cinquième de mars.Sive est arâophilax'-,sive est piger ille bootes’ '.-Mergetur^vifus ejstigietque tuos. '-•-'..' Fasl. HT, 405.'| Htttarque donne le hóm de janus à une des
étoilés de cette constellation, & M. Dupuis obTervequ’effectivement cette constellation, du tems
de Numa, marquoit Ie minuit du solstice- d’hiver
& le commencement de Tannée des Romains. Ce
génie à quatre visages portoit les clefs du tems ,
avoit douze autels a fes piec^s P 0" 1" représenterdés dquze mois, & le nombre- de 365 dans les
mains : il semble donc que ce n étoit autre chose
que la constellation qui fixoit le,départ de Tannée
& des sphères, & ouvroit la m&rche du tems.(D.L.) ••■_■: -- ;■••■ _. ; ' \B raBRACHYSTOCHRONE ; T. f. ( Méchanique ) 
est lë nom que Jean Eernoulli, alors professeur
de Mathématique à Groningue, adonné à une
courbe A C B f pl.Méchan.fig. z'i ) dontla propriété
est selle qu’un corps qui tombe du point A,
en vertu de fa pesanteur, le long de Ia concavité
de cette courbe, arrive de A en B en moins de:
tems qu’il n’y arriverait, s’il descendoit le long
de toute autré courbe AD B , passant par ICÎ
i-i8'
B.ei
-• ÎB R Â '
mêmes points *45 P, ; oU.mêmes’iT’defcendoitlè
long de la droite-/í-P. H proposa aux : géomètres,
en 1607, de déterminer quelle étoit cette courbé.
JLc problème fut résolu" par Jacques Bernoullison
frère , professeur de. Mathématique, à Bâle , par
Leibnitz , par ïe marquis de THopiral & par
Ifeuton. Jean Bprnpulli avpit averti les géomètres,
dans son programme, que la ligne ;droifë
A* B , passant: par ies deux points AB, quoi^qu’elle
 fut lapins, courte de toutes celles qu’on
pouvoit faire passer par ces points, n’étoit jias
néanmoins celle qu’un corps-pesant., 'tombant,de
A, devoit parcourir en moins de tems ; & en
effet, on trouva que cétoit.une çycloïdé , ou
plutôt un arc de cycloïde passant par lés points
A, B., & dont le point A. étoit Torigine.' Voyez
CYCLOÏDE. - ,- ; ••..-■ .■■■'.II n’est pas impossible de, faire sentir à .ceux'
même qui sont peu versés -dans’ la Méchanique
transcendante, comment il peut-se faire que-lá
. ligne droite Á B ne soit pas la ligne de la plus
courte descente. Car iriiaginons la ligne horizontale
EC qui partage la courbe 1 A >c B en deux
parties A C, -C B , telles que la.-•■partie A C Sait
plus courte que A E, & la partie CB plus longue
que £ B ; il est certain’que 'se corps’"yí arrivera
en C plutôt qu’il n’arriyeroiten- E -, puisqu’il
aura moins’ de chemin à faire. II est vrai qu’il emploiera
ensuite plus de tems à.parcourir CB,qu’il
n’en mettra à parcourir E B ; mais il faut rémarquer
que les tems employés à parcourir les lignes
A E, A'C’i CB , E'B , né' font point entr eux
comme cés lignes,. parce qiie le corps rie, ses décrit
pas d’un mouvement-uniforme : ainsi, il nedoit
pas paroître impossible que Texcès du tems
par A E sor le tems par A C, soit -plus grand
que Texcès du tems par C B fur le sems par E B.
Ainsi, de ce que la ligne droite AB est plus
courte que la ligne courbe A CB , il ne s’enfuir
nullement-que la ligne droite A B doive être
descendue en moins de tems que la ligne courbe
A CB. L’espèce de raisonnement métaphysique
que nous venons de fairè, peut bien Tenir à faire
soupçonner que la ligne de la plus vite descente
peut être une courbe : mais ce raisonnement ne
"Tauroit jamais être une démonstration. C’est par le
calcul seul qu’on peut s’assurer si ce qu’on a soupçonné
est vrai, & le calcul démontre en effet
qu’on a soupçonné juste. Voici à-peu-près comment
on s’y prend pour déterminer la courbé de la
 plus vite descente. Soit A C B cetté courbe
&. ayant pris un arc infiniment petit Çc, soit imaginé
un arc quelconque infiniment petit COc,
terminé aux points C,c ;i\ esl évident que le corps
pesant arrivé en C, doit parcourir Tare Cc en
moins de tems que Tare C O c : car s’il étoit
moins de tems à parcourir Tare COc, alors ce
seroit ACOcB, & non ACB qui seroit la
courbe, de la plus vite descente, ce' qui esl contre
Thypothèfe. Ainsi, la propriété de la courbe dontif s’agit est telle qu’un de ses arcs "quelconque ?
infiniment petit Cc, est parcouru en-.moins de
tems que tout autre arc infiniment petit COc,
■ passant par les mêmes points C, c. _ ■ _Maintenant,-soient imaginés les points infiniment
proches C,c ;tk soit cherchée sor la ligne
horizontale. QLsfig. zz)  la position du point K, tel
que C K c soitparcouru en inoins de tems que tout
autre chemin Ci ?c passant par C.&.-c- on trouvera
( voyez RÉFRACTION ) en menant les lignesK
R, c r, perpendiculaires à Q L , que le sinus
de Tangle C K R doit être au sinus ; de Kc’r,
comme~la vitesse le long de CK à la vitesse le:
long de Kc ; d’où il s’enfuit que la courbe cherchée ;
doit être telle que le sinus de Tangle qu’urr
He Tés côtés quelconques infiniment petit.CK fait
avec la verticale K R, soit. proportionnel à là
vitesse eh K , laquelle vitesse est comnié là racine
quarrée de la hauteur d’où le corps est parti. Or
en achevant le calcul, on trouve que cette propriété
convient à la cycloïde. Voy. CYCLOÏDE.Si Ton sopposoit qu’un corpuscule ' de lumière
traversât Tatmqfphèfe ;, de rmanièrè qu’il arrivât
d’un point à- un’ aùtre dans le plus court teins
possible",-la courbe qu’il décrirait seroit. une brachystochrone
 ;'pourvu que Ton-fît certaine hypothèse ;
sor la densité du milieu. Voyez RÉFB.AC-TION,
 ACTION, CAUSÉS PINAI.ES. -' '■* '■'Voyez dans les Mémoires de VAcadémie de ij 28,
deux solutions du problème de la brachystochrone ,.
données par Jean. Bernoulli, & toutes deux fort
simples. Gâliíéë a cru faussement que la brachystochrone
'étoit un 'arc de cercle. Ta Géométrie,,
de son tems, n’étoit pas encore assez avancée pour
résoudre ce problême. On trouve'dans le secondvolume
de la -Mécanique de M. Euler, imprimé,
à Pétersbourg en 1736, ùne.solution très-élégante
de ces problêmes, & des théorèmes fort simples:
& fort généraux fur les propriétés de la brachystochrone.
La solution du problème devient beau- .
coup plus difficile lorsqu’on suppose que le corps
se meut, dans un milieu résistant, parce qu’alors
la vitesse ne dépend pas de la hauteur feule.
M. Euler a donné aussi la brachystochrone pour cecas-là,
cë que personne navoít encore fait avant
lui. (O) BRACON, s. m. ( Machine hydraulique ) ' r oir
appelle bracpn d’un vanteau , d’une porte d’écluse » •
la console, la potence, ou Tappuí qui sourient cette
porte. (K)  .-.-'-•BRANCHE de courbe, terme de Géométrie. Paar
entendre ce que c’est que branche de courbe y
imaginez une courbe géométrique , dont on a
Téquation en x & en y, x représentant lès abscisses,
& y les ordonnées. Voyez COURBE , ABSCISSE
, ORDONNÉE , 'Ere. II esl évident:i.° Qu’en prenant x positive, y aura un certain
nombre de valeurs correspondances àìa meme
valeur de ai , .
B R A

B R A
3*2-9MA Qu’en prenant x négative i y aura.de mèrhe
.on certain nombre de valeurs correspondantes à la
inême x.Or la courbe à autant de branches que y a de valeurs,
répondantes aux x tant positives que négatives.
Voyez a Varticle COURBE , pourquoi les ordonnées
•positives se prennent du "même côté de Tabscifse , &
les négatives du côté opposé.Au.reste, il est bon d’observer que les géomètres
n’ont pas encore bien fixé la signification du mot
branche. Par exemple, soit une courbe qui ait pouréquation y=z— -frx-fr-^a,on regarde d’ordinairecette courbe comme n’ayant qu’une seule branche ,
parce que y n’a qu’une seule valeur. Cependant cette
branche est quelquefois comptée pour deux, parce
qu’elle s’étend à Tinfini-du côté des x positives , 6k
du Côté des x négatives. Introduâ. à Vanalyse des
lignes courbes par M. Cramer.On appelle branche infinie une branche'de courbe
qui s’étend à Tinfini.L’hyperbole & la parabole ont des branches infinies.
Mais le cercle & Tellipse n’en ont point ; ce
sont deux cousbes qui rentrent en elles-mêmes. .Les branches infinies d’une courbe sont ou paraboliques
ou hyperboliques.•■. Les branches paraboliques font: celles qui peuvent
avoir pour asymptote une parabole d’un degré plus
ou< moins élevé. Par exemple, la courbe dontTéquation seroit y == — -J 3 àuróit ùne brancheinfinie parabolique, qui auroit, pour asymptote,
une parabole ordinaire, dont Téquation seroit yt= —. En effet, x étantinfinie, Téquation se réduit
à j= — qui est celle de la parabole ordinaire.
J) e même , fi Téquation étoit y = -^ -fr- ^ , oh
trouveroit que la branche infinie auroit pour asymptote
une parabole du troisième degré y =-r.'Les branches hyperboliques sont -celles qui ont,
pour asymptote, une ligne droite ; elles peuvent
auffi avoir, pour asymptote, une hyperbole d’un
degré plus ou moins élevé. Par exemple, la, courbey=. — -J- i^ dont nous venons de parler, se réduit
à y = ¥- , lorsque x = o ; elle a pour asymptote
Tordonnée infinie qui passe par Torigine, &
elle peut avoir ausli pour asymptote Thyperbole
ordinaire.De mêmè la courbe y, = -j- - -f -pr a pourasymptote Tordonnée infinie, qui passe par le point
où x==o ; & elle a auffi pour asymptote une hyperbole
cubique. . v l. '' ■ . U est visible que toutes les branches infinies sont
ou hyperboliques ou paraboliques. Car soit dans Téquation
d’une courbe y exprimée en * par une férie
dont fous les termes soient réels ; il est évident que
quand * fera insinie ou infiniment petite, tòute cette
équation Te réduit ày ■= x™-, tous les autres termes
étant alors regardés comme mus. Or la branche fera
parabolique, fi m est positif & plus grand que I , &
hyperbolique, si m est négatif, ou o,ouï. Voyc£SÉRIE.Au reste., il ne faut pas croire que cette équation
y = a™ qui détermine si une branche est hyperbolique
ou parabolique, -soit suffisante pour connoître
le nombre & la position des branches. Par exemple,
Toity~:=| -fr\í,ax ; en faisant x infinie,■ on a y := — y & Ton- voit que la branche est parabolique:
De plus, on est tenté de croire que cette
courbe aura , comme la parabole , deux branches
infinies , Tune du côté des x positives, l’autre du
côté des x négatives. Mais oh seroit dans Terreur,
fi on lepensoit ; car x étant négative, Tordonnéey ==z-j’-fr {/ a x sera" imaginaire. On peut bien
négliger \/ ax vis-à-vis de^- } lorsque j/ a x -
& -j- sont tous deux réels : mais,lorsque j/aidevient imaginais e, alors ce terme }/ ax rend
imaginaire —, & on ne saurait conserver l’un° a J 'sans l’autre. Je fuis Ie premier qui ait fait- cette
remarque. Voy. les Mémoires de l’Acad. Royale
des Sciences de Prusse, année I746. Voyez aussi
REBUOUSSEMENT. ,On trouvera une théorie très-completre des bran-.,
ches irrfini.es des courbes dans le viij. chapitre de l’introduâion
à l’analyse, de s ligne s courbes, par M. Cramer.
U y donne la méthode de déterminer les différentes
branches rfune courbe, & leurs asymptotes
droites ou courbes. Comme cette théorie nous conduirait
trop loin, nous renvoyons là-dessus à son
ouvrage. On trouve auffi d’excellentes choses sor ce
sujet dans les usages de l’analyje de jDescartes, par
M.TabbédeGua.(0) -BRASSARD, f, m. instrument de bois dont on
fescrt pour jouer au ballon: c’est une douille de bois
de chêneassez mince, delalongueuf.deTavant-bras"
qu’on y fait entrer à force avec des mouchoirs, serviettes
, ou autres linges. On peut avec lecbras ainsi
armé, recevoir le ballon & Te frapper si fort que Ton
veut fans se blesser. Lasorface du brassard:eí\tìíi]lèe en
 grosses dents, afin que le coup ne glisse pas fur le
• ballon. ..- - - . - - .Les anciens à qui le jeu de ballon n’étoít pas
inconnu , ont eu auffi leurs brassards : mais ils n’é- '
toíënt- pas de bois 5 c étoient des courroies d’unB recuir fort, dont ils faiíoient plusieurs tours sor
leurs bra !'.
B R E
BREDOUILLE, f. f. terme de Triârac : on
appelle ainsi le jetton qui sert à marquer que les
points qu’on a, on les a pris fans interruption: ainsi,
je sraçne quane points, je marque ces quatre points
avec un jetton accompagné de celui dé labredouille:
j’en gagne encore deux, qui avec quatre que j’avois
font six, je marque ces six points avec un jetton,
toujours accompagné de celui dela bredouille. Mon
adversahe joue , il gagne deux points ; alors jé
perds la bredouille , & c’est lui qui la gagne, &
qui la conservera jusqu’à ce que je la lui ôte en lui
gagnant quelques points avant qu’il en ait pris
douze : alors nous ne Taurons ni l’un ni l’autre ;
car nous nous serons interrompus tous les deux
en prenant alternativement des points. Si Ton
gagne douze points fans interruption, ou, comme
on dit au jeu , douze points bredouille , on marque
deux trous ; s’ils ne sont pas bredouille ,on nemarque
qu’un trou.S’il y a des trous bredouille , il y a auffi des parties
bredouille. La partie du trictrac est de douze
trous ; on la gagne bredouille quand on prend ces
douze trous iout de fuite & fans interruption. II
3' a des joueurs qui la font payer double. .Pour que lé trou & la partie soient bredouille , il
n’est pas nécessaire que votre adversaire ne prenne
point de trous ni de points ; il suffit que vous fassiez
yos douze points ou vos douze trous tout de fuite ;
> que votre adversaire ëût des points ou'des trous
avant que vous en primez-., cela esl indifférent.BRELAND , f..m. (jeu de cartes)  ; il se joue à
tant de personnes que Ton veut : mais il n’est beau,
c’est-à-dire,très-ruineux, qu’à trois ou cinq. L’ordre
des carres est as, roi, dame, valet , dix, neuf,
huit, sept, six : Tas vaut onze points ; le roi, la
dame, le vaset & le dix, en valent dix ; les autres
cartes comptent autant de points qu’elles en portent ;
on laisse rarement les six dans le jeu.On donne trois cartes,ou par uné, ou par deux
& une, ou par úne & deux, mais non par trois. Si
un joueur a dans ses trois cartes, Tas ,1e roi & Ia
dame d’une même couleur , il compte trente-un ;
s’il a Tas & le dix, il compte vingt-un:Vil a le
dix, le neuf & le sept ; il compte vingt-six _, & ainsi
des autres cartes ou jeux qui peuvent lui venir.S’il a dans ses trois cartes, ou trois* as, ou trois
rois, <m trois valets ,-&c, il a breland. Un breland
est supérieur à quelque.nombre de points que ce
soit ; & entre les brelands , celui d’as est supérieur
à celui de rois ; celui de rois à celui de dames, &
ainsi de fuite.Les as,ou plus généralement les cartes qui se
trouvent dans la main des joueurs , emportent
toutes les cartes inférieures de la même couleur
qui se trouvent aussi sor le jeu ; ainsi , si un joueur
g trois coeurs par k valet, & qu’un autre jouçurait ou Tas, bula dame, ou Ie roi de coeur seul
ou accompagné, il ne reste rien au premier, &
Ie second a quatre coeurs au moins. II n’y a d’exception
à cette règle que le cas du breland ; les as
mêmes n’emportent point les cartes qui sont breland
dans la main d’un joueur.Celui qui donne met seul au jeu ; cet enjeu
s’appelle passe, & la passe est si forte ou si foiblc
quon veut. II y a primauté entre les joueurs.- Celui
qui est le plus à droite du donneur, prime sor
celui qui le soit ; célui-ci fur le troisième ,& ainsi
de suite. Le donneur est le dernier en carte. A
égalitéde points entre plusieurs joueurs, le premier
en carte a gagné.On n’est jamais forcé de jouer ; si Ton a mauvais
jeu , on’passe : si tout le monde passe, la
main va à celui qùi étoit le premier en carte ; il
joint son enjeu au précédent, '& il y a dempasses : \
le nombre des enjeux, ou passes augmente jusqu’à
ce que quelqu’un joue. Mais fi un joueur dit,Je
joue , n eût-il point de concurrent, il tire toutes
les passes qui font sor jeu, fans même être obligé
de montrer son jeu, - - •Si un joueur dit ,jc joue , il met autant d’argent
fur jeu qu’il y a de passes ; fi un autre joueur dit
aussi , je joue , il en fait autant , .& ainsi de tous
ceux qui joueront : puis ils abattent leurs cartes.
Ils s’enlèvent les uns aux autres les cartes de même
couleur, inférieures à celles qu’ils ont ; & celui
qui compte le plus de points dans les cartes d’une
seule couleur, a gagné : ou s’il y a des brelands,
celui qui a Je breland le plus haut ; ou celui qui
a un breland, s’il n’y en a qu’un, tire tout Targent
qui est sor le jeu.U faut observer que la carte retournée, esl du
nombre de celles qui peuvent être enlevées ou
par celui qui a dans fa main la carte la plus
. haute de la même couleur, ou de préférence par
celui qui a trois autres- cartes, nôn de la même
couleur, mais de la même espèce: ainsi, dans le
cas où îa carte retournée seroit un dix, le,joueur
qui auroit trois dix en main, auroit de droit le
quatrième ; ce qui lui formerait le jeu qu’on appelle
tricon. Le.tricon ésl le jeu le plus fort qu’on
puisse avoir ; cependant ce jeu n’est pas sûr.Si le breland est un jeu commode, en ce qu’on '
ne joue que quand on veut, c’est un jeu <ruel,
en ce qu’on n’est guère libre de ne jouer que cé
qu’on veut. Tel lé met au jeu avec la résolution
de perdre ou de gagner un louis dans la soirée,
qui en perd 50 en un coup. C’est votre tour à
parler, vous croyez avoir jeu de risquer la valeur
de la passe ; je suppose quelle soit d’un écu, vous
ditès, je joue , & vous mettez au jeu un écu.
Celui qui vous fuit , croira pouvoir auffi risquer
un écu, & dira ,je joue, & mettra son écu: maisle
troisième croira son jeu meilleur qu’un écu :il
dira , je joue aussi, voilà Vécu de la poste , mais
j’en mets vingt,. trente , quarante en fus ; Le qnapiyme
joueur, ou passe, ou- tient, ou-enchéritlB re •b r ixyiS’il passe ,-il met ses cartes au talon: s’il tient,
il met,cM’écu-de passe, & Tenchère du troisième
joueur ; s’il enchérit, il met & Téçu de passe, &
Tenchère du troisième joueur, & son enchère particulière.
Le cinquième joueur choisit ausli de
passer, de tenir ou de pousser. S’il tient ; il met
la passe, Tenchère du troisième, & celle du quatrième ;
s’il pousse ou enchérit, il ajoute encore
son enchère. Le jeu se continue de cette manière,
jusqu’à ce que le tour de parler revienne à celui
qui a joué le premier ; il peut ou passer, en ce
cas il perd ce qu’il a déjà mis fur jeu ; ou tenir ,
èn ce cas il ajoute à fa mise la somme nécessaire
pour que cette mise & son addition fassent une
somme égale à la mise totale du dernier enchérisseur,
où il pousse & enchérit lui-même ; & en
ce cas ,il ajoute encore à cette somme totale son
enchère. Les enchères ou tenues së continuent,
& vont auffi loin que Tacharnement des joueurs
les entraîne, à moins qu’elles ne soient arrêtées
tout court par une dernière tenue faite dans un
moment où celui qui tient, ajoutant à fa mise ce
qui manque pour qu’elle fasse avec son addition
une somme totase égale à la dernière enchère,
tous les joueurs se trouvent avoir sor le jeu la
même somme d’argenf, excepté celui quia fait,
à qui il en coûte toujours la passe de plus qu’aux
autres. En général, tout joueur qui" a moins d’argent
fur jeu qu’un autre joueur peut enchérir, &
lès enchères se poussent nécessairement jusqu’à ce
qu’il arrive une tenue au moment où la mise de
tous, ceux qui ont suivi les enchères, est absolument
égale. ! U fàut savoir qu’on n’est point obligé de suivre
les enchères, & qu’on les abandonne quand on
.veut ; mais auffi qu’on perd en quitrant, tout ce
qu’on a mis d’argent sor le jeu :iï'ny a que ceux
qui suivent les enchères jusqu’au bout, qui puissent
gagner.. '.'■■"Lorsque tous les joueurs qui ont suivi les enchères,
font réduits à Tégalité de mise & arrêtés
par quelque tenue, ils abattent leurs cartes, ils
se distribuent celles qui leur appartiennent par le
droit dé supériorité de celles qu’ils ont, s il n’y
á point de breland ; & celui qui forme 1c point le
plus" -haut dans les cartes d’une même couleur,
gagne tout. S’il y a un breland, celui qui Ta, tire ;
s’il-y en a plusleurs, tout Targent appartient au
plus ion breland, à moins qu’il n’y ait un tricon:
lè tricon a. barre:sor tout. 11 n’y a de ressource
contre le tricon , que d’avoir plus d’argent que
lui , & qùê de le forcer à quitter par une enchère
qu’il 4i ésl pas ' èn état de suivre. C’est par
cette raison que nous avons dit que le tricon étoit le
plus beau jeújjue Ton pût avoir, fans toutefois
être un jeu sûr.Tel est le jeu qu’on appelle breland*. il n’y a
peut-être aucun jeu:de hazard plus terrible & plus
attrayant: II est difficile d’y jouer fans en prendre
lá-fureur : & quand on. en ect possédé, ori ne. peutplus supporter d’autres jeux' ; ce qu’il faut, je
crois, attribuer à íes révolutions, & à Tefpérance
qu’on a de pousser le gain tant qu’on veut, & de
recouvrer en un coup la perte.de dix séances,
•malheureuses ; espérances extravagantes, car 11 y
a démonstration morale qUe le gain ne peut aller
que jusqu’à un certain point ; & il est d’expérience
que le grand gain rend les joueurs plus
resserrés & plus timides, & que la grande perte
les rend plus avides & plus téméraires. La police,
n’a pas tardé à sentir les tristes suites de ce jeuj
& il a été jsroscrit sous les peines les plus sévères r
cependant il se joue toujours, & je'sois convaincu
que les hommes n’y renonceront que quand iis
en auront inventé un autre qui soit aussi égal
& plus orageux ; deux conditions difficiles à remplir
, car il faut convenir que le breland est un
jeu très-égal , quand Tenchère la plus forte est
bornée.BRICOLE, f. m. (Méch).On dit au jeu de
billard qu’une.billë en frappe une autre par bricole,
lorsqu’au . lieu d’être poussée directement contre
elle , elle ne vient la rencontrer qu après avoir
frappé la bande du billard, & avoir été renvoyée par
cette bande. . "Soit F une des billes, & A l’autre, (Méch.
fig. Z3 ) ,H G la bande du billard ; si on pousse la
bille F suivant F E y Sa que renvo3ée suivant E A
par le point E de la bande, elle vienne choquer
la bille A, cela s’appelle choquer de bricole. Pour
trouver Ie point E de la bande auquel il faut
pousser la bille ■ F pour choquer la bille A. de
bricole , menez de la -bille A Ta perpendiculaire
A G à la bande G H, & prolongez-la de manière
que G B soit égal à A G: ensuite visez de F en B,
& poussez la bille F suivant F B ; ie poinr -E où
F B coupera G H, fera le point de bricole : car
tirant F E & A E, il est aisé de démontrer que
Tangle F E H esl égal à Tangle AE G. Donc ,
suivant les loix de la réflexion des corps, (Voyez
. RÉPLEXION) , la bille poussée suivant FE., rejaillira
suivant F A.Aurestelesbons joueurs, par la feule liabitude,
trouvent ce point E fans préparation, & les mal,
adroits le manquent avec cet échafaudage.On peut donner auffi des régies "géométriques
pour toucher une bille par deux bricoles ou davantage
 ; mais elles feroient plus curieuses dans
. la théorie , qu’utiles dans la pratique. Voyez tarticle
MIROIR, OÙ Ton traite affez au long de la
réflexion simple ou multiple des rayons ; réflexion
qin représente parfaitement les bricoles simples ou
multiples d’une bille de billard. (O) BRINEK, (Astronomie) , nom que les Arabes
donnent, à la belle » étoile de la Lyre.BRISE, f. f. ( Architeâ. HydrauTlq )  c’est une
poutre en bascule, posée sur la tête d’un gros pieu ,
laquelle sert à appuyer par le haut les aiguilles
d’un permis. (K) í^íBru bruBRUSQUEMBILLE , (jeu de la). On peut
jouer à la brusquembile deux, trois, quatre ou cinq ;
niais il est bon d’observer qii'à deux & à quatre
ón ne joue qu’avec trente-deux cartes, qui font
les mêmes que celles avec lesquelles òn joue au
piquet ; & lorsque l’on joue trois ou cinq, il faut
que le jeu soit composé de trente cartes seulement ;
c’est-à-dire qu’on enlèvera deux sept, n’importe
lesquels. Lorsqu’on joué à quatre, l’on est deux
contre deux ; & Ton se merensemble, afin de
pouvoir se communiquer le jeu.Les brusquembilles sont les as & les dix : elles
enlèvent les autres cartes de la même couleur,
mais elles sont enlevées par les triomphes : le reste
des cartes conservé le rang & la supériorité ordinaires.. Lorsque Ion joue en pârtiê, c’est-à-dire un contre
un , deux contre detix, on convient d’abord de ce
qu’on jouera ; & si Ton joue trois ou cinq, on
prend ùn certain nombre de jettons que Ton fait
valoir ce qu’on veut ; celui qui mêle,- donné à
couper à Ta gauche, & distribue ensuite à chaque
joueur trois cartes, une à une ou toutes ensemble,
en prend autant pour lui, & en retourne une dessus
le talon, qui est celle-qui fait la triomphe, &
qu’il met retournée à moitié sous le talon, de
manière qu’on puisse la Voir. Celui qui est premier,
jette la carte qu’il veut de son jeu ; le second joue
ensuite sur cette carte celle de son jeu qu’il juge
à-propos, & ainsi des autres:, chacun à son tour.
Celui qui gagne lâ main, prend une carte au talon,chacun
 des autres joueurs en fait autant, eri allant
de droite à gauche : Ton recommence à jouer comme
au premier coup, & Ton continue jusqu’à ce que
toutes les cartes du talon soient prises, chaque
joueur yen prenant une pòur remplacer celle de
son jeu qu’il jette à. chaque coup ; & celui qui
prend la dernière carte, prend la triomphe qui
retourne.J’ai dit que le second à jouer .jettoit la carte
• que bon lui semblok, parce qu’on n’est point obligé
de fournir à ce jeu de la couleur de là carte jouée,
encore qu’on en ait : il n’y a point de renonce :
on peut couper une carte à laquelle on auroit pu
fournir ; voilà ia manière de jouer le jeu. On recommence
à chaque tour de la même façon, jusqu’à
ce que Ton ait joué les coups dont on est convenu,
íl y a quelques personnes qui prétendent qu’on ne
peur renoncer, lorsqu’une fois toutes les cartes du
talon sont levées, & qu’il faut couper absolument
si Ton n’a pas de la couleur jouée ; mais je crois
que cela dépend de la volonté des joueurs. Passons
aux droits qui se paient à ce jeu.Celui qui joue hbrusquembille de Tas detriomphe,
reçoit deux jettons de chacun. II retire également
deux jettons de chaque, joueur, pour tous les as
qu’il jouera après, pourvu qu’il fasse la levée ; car
s’il ne la faisoit, au lieu de gagner deux jettons
de chaque joueur, il est obligé "de leur en payer
deux à chacun. II en est de même des dix, quivalent de chaque joueur un jetton chacun ; mais
s’il ne lere pas la main, il est obligé d’en donnerun
á chaque joueur. Celui qui a plus de points
dans les"levées qu’il a faites, gagne ënsin la partiç.
Voici Ia manière de compter ces points. Après
.que toutes les cartes du talon ont été prises, &
que Ton a joué toutes les cartes que Ton avoit enmain,
chacun voit les levées qu’il a, & comme
onzepoints pouf chaque as, dix pour chaque dix,
quatre pour chaque roi, trois pour chaque dame,
deux pour chaque váset, & les autres ne sont
comptées pour rien. Celui qui, en comptant ainsi,
se trouve avoir plus de points, gagne la partie:
Ton doit par conséquent tâcher de faire des levées
où il y ait beaucoup de points, des as,.des rois,
des dames, des dix & des valets, afin de pouvoir
gagner le jeu. L’ufage & le bon sens apprendront
mieux à jouer ce jeu, que toút ce que nous pourrions
en dire, la situation du jeu demandant dé
jouer un même coup tantôt d’une façon ,'■ tantôt
d’une autre. II est quelquefois bon d’avoir la main,
d’autrefois de Tabandonner à son adversaire. En
général, pour bien jouer la brusquembille , il faut
une grande attention pour voir, non-seulement les
triomphes qui sont déjà sorties, mais encore les
brusquembilles qui sont passées & celles qui sont
ençoré dans le jeu, afin d’en faire son avantage
eh jouant. ,Voici quelques règles qui pourront rendre plue
complette la connoiffance qu’on a déjà de ce jeu,
sor ce que nous en avons dit. Celui qui mêle &
trouve une ou plusieurs cartes retournées, ou en
retourne lui-même i refait, fans autre peine. Si lé
jeu de carte est faux par une carte de moins, tout
ce qui a été payé dans le coup est bien payé ; máis
on ne peut gagner la partie, & Ton cesse de jouer
pour deux cartes qui manqueraient, auffi-tót qu’on
s’en apperçoit ; si le coup est fini., il est bon. Celui
qui joue avant son rang, ne peut reprendre fa
carte. Celuivqui a jette fa carte, ne fauroit y revenir
fous quelque prétexte que ce soit. Celui qui
prendrait avant son tour une carte du talon, s’il
a joint à son jeu la carte prise au talon, paie í
celui à qui elle auroit été de droit, là moitié de^
ce qui esl au jeu, & il la lui rend ; & s’il ne Tavoit’
pas jointe à son jeu, mais vue seulement, il donnerait
deux jettons à chaque joueur, & la laisserait
aller à qui doit la prendre de droit. Ceiui qui en
tirant fa carte du talon en voit unç seconde, paic( •
deux jettons à chaque joueur. Lorsque Ton joueen ;
partie deux contre deux,-fi l’un ;dés joueurs,,
en prenant fa carte du talon, voit celle qúi doit
aller à son adversaire, il leur est libre de recommencer
la partie ; & si la carte vue revient à lut
ou. à son compagnon, le jeu se continue. II n’y à
point de renonce, & l’on n’est point.forcé à mettre
plus haut fur une cafte jouée ; Celui qui ayants
accusé avoir un certain nombre.de pouns^ en auroit ;
davantage, & ne les aëcusetok qitapçès que les j
cartes seraient brouillées, hé'pourroit’y revenir',& perdroitG--a b". (€ -a B :nï-& perdroit là partie 1, si un aùtrë'joueur avoit. plus
de points dans- ses levées qu’il n’en auroit accusé.
Celui qui quitterait le jeu avant la partie sinie,.
la perdroit.BRUSQUEMBILLE, au jeu de ce nom., esl le nom
qu’on .donne aux as & aux dix, qui sont les premières
cartes .du.jeu ; les, as. enlèvent cependant ;
les dix. Voyez l’article précédent. . '.BURIN. (Astron. ) -Constellation niéridionale .'.établie par M. de la .Caille dans son planisphère jaustral. ÎH'appelle en latin coelumsçalptorium ; ejle | !est placée entre Téridan, la colombe & la dorade.  ;La principale étoile de cette constellation esl de \\cinquième grandeur ; Elle avoit en 1750,68° 8' 21 " ". !
d’ascension droite, & 42° 21' tí""'de déçiìBíuson
australe ; ainsi ;, on peut la voir dans’ses p-rovinèes
méridionales de la France. (D.L.) '■■■..' ' . - C A b ; ICABESTAN, f, m. ( Méch. )  c’est une machine
de bois, reliée de fer j faite en forme de cylindre
ou de cône tronquée, posée perpendiculairement
sor le pont’d’un vaisseau , que des. barres passées en
 travers par le haut de TeffieU font tourner en
rond. Ces barres étant, conduites à force de bras,
font toumer autour du cylindre un cable, au bout
duquel font attachés les gros fardeaux qu’on veut
élever. -> ■: C’est encore en virant le cabestan , qu’on remonte
les bateaux, & qu’on tire sor terre les vaisseaux
pour les calfater, qu’on-les décharge des plus
grosses marchandises-, qu’on levé les vergues &
les voiles, auffi-bien que les ancres. ,..•'..
• II y a deux cabestans fur les vaisseaux, qu’on •
•distingue par grand-&. petit cabestan■:. le grand
cabestan est placé derrière le grand mât fur le
premier pont, & s’élève jusqu’à quatre ou cinq
pieds de hauteur au-dessus du deuxième. On Tappelle
auffi cabestan double , à cause qu’il Tert à
deux étages pour'lever les ancres", & qu’on peut
doublerTa force en mettant dés-gens fur-lès deux
ponts pour le fairë tourner.
•■ Le petit cabestan est posé sur lë second pont,
entre le grand- mât & le mât de misène. II sert
principalement à hisser les mâts de hune & les
grandes voiles, & dans les occasions où il sauf
moins de force que pour lever les ancres.Ilest visible par la description de cette machine,
que le cabestan n’est autre chose qu’un treuil, dòntTaxe
au lieu d’être horizontal, est vertical. Voyez
à l’article AXE íes loix par lesquelles on détermine
la force du treuil, appelle en latin axis in peritrpchio
, axe dans le tambour , ou. aiffieu dans lé
four. Dans le cabestan le tambour , pcritrochium ,
est le cylindre, & Taxe ou Tessieu íònr les leviers
qu’on adapte aux cylindres, & par le moyen desquels
on fait tourner le cabestan.Le cabestan n’est donc proprement qu’un levier-,Mathématiques.
 Togie I, I.ere Partie. ;ouim ; assemblage de T.eviéís .auxquels, 5 j^iisieufs
puistàncës sont appliquées/ .ÍJ.'ónc, suivant, les loix
du levier,' & abstraction farte'du frottement, -là
puissance est au poids comme le rayon du cylindre
est à la longueur du levier auquel la puissance est
attachée ; & le chemin’dela puissance est à celui
du poids comme le levier est au rayon du cylindre.
Moins il faut de force pour .élever le poids,-plus
íl faut faire.de chemin : 11 ne faut donc point
faire de leviers troplorigs, afin que la puissance
ne fasse pas trop ;de chemin ; ni trop courts, afin
qu’elle'.né soit pas obligée de faire -trop" d’effort ;
car, dans Tun& l’autre cas, elle.seroit trop fatiguée.
On appelle encore en général du nom de cabestan
tout treuil dont Taxe est -prisé, verticalement : tels
font ceux dont on se sert fur les- ports à Paris ;
pour attirer" à terre lés fardeaux qui: se ;trouvent
sor les gros …bateaux, .comme pierres, ' &c. '. :.
 ; Un dés grands inconvéniens du cabestan, c’est
que -la corde qui Te roule dessus descendant de sa
grosseur à chaque tour, il arrive que, quand elle
esl parvenue tout-à-fait au" bas du cylindre, le
cabestan ne'"peut plus virer, & Ton est-obligé-de
choquer, çest-à-dire de prendre des bosses , de
dëyirer îe cabestan, de hausser le cordage,: &cç
manoeuvre qui fait, perdre un terns considérable.
C’est pour y remédier que TAcadémie des Sciences
de Paris proposa, pour le sujet du prix, de 173.5 »,
de trouver un cabestan qui fût exempt de ces inconVéniens.
Elle remit ce prix à 1741 ; & Ton a imprimé
, ën 1745 , les quatre pièces qu’elle crut
devoir couronner , avec trois accessit. L’Açadémie
dit, dans son avertissement, qu’elle h'a .trouvé
aucun des cabestans ^proposés- exempt rd’inconvéniens.
Cela n’empêché pas néanmoins, comme
TAcadémie Tòbserve , que ces pièces, sor-tout les
quatre pièces couronnées, & parmi lës. accessit,
celle de M. Tábbé Fenel, ne contiennent d’excellentes
choses, principalement par rapport à la
Théorie. Nous y renvoyons nos lecteurs. (O ) ÇA-p ,CADMUS, nóih:de la constellation du serpentaire.
•
t ' CADRAN SOLAIRE, (Astronom., C-mmoniq. ) 
est un instrument propre à montrer Theure qu’il
est ; ou une surface' sur laquelle sont tracées des
lignes- qui indiquent Theure par Tombre d’un style,
ou par un rayon solaire.On fait auffi des. cadrans pour trouver Theure
par les -étoiles ;-'La science des cadràtïs s’appelle
Gnomonique',  ;noús en donnerons Thisloife au mot
Gnomonique : nous allons décrire ici lës différentes
espèces’de cadrans , avec les, principes, les démonstrations
,& les règles- de pratique nécessaires
pour ses bien ; entendre & les exécuter. ". ;: I. Cadran équinoxial: le premier objet de toùt
Cadran solaire n’effàutre chose que Tart de diviser
én 24 heures égales’ ie mouvement du soleil ; ainsi-,G gC ad c a dle premier ec le plus simple de ses moyens doit ;
être de placer uncercle divisé en 24 parties égales,
de manière que le soleil en parcoure la circonférence,
& réponde cu 24 h à ses 2A parties. Pour
cela il ne faut que se placer parallèlement à Té-.,
quateur, & c’est-là le cadran équinoxial. 'Le cas le plus simple du cadran équinoxial est
celui où le soleil est dans Téquateur ; & Tobscrvateur
placé sous la ligne équinoxiale : il fautalors
que le plan du cercle ou" du. cadran soit vertical ;
& fi on le dirige le matin vers le soleil levant, 011 ,
est sûr que le soleil le suivra jusqu’à son,coucher, :
L’axe où le style qu’on aura placé perpendiculai- ;
rement au cercle, & dans ; le centre, jettera son 1
ombre fur les 12 parties égales pendant les 12 ,
heures du jour. v. ,Si Tomëtòit sous le polë, ce.seroit un cerclé ;
horizontal qui formerait en put f ems une division
du mouvement diurne en 24 parties égales. Si ■■
Tobservateur s’avance vers un-dés pôles, Téquateur  ;
s’abaissera d’autant, & le cercle qui doit servir de
cadran devra être incliné de même ;: par exemple-,
à Paris de 41 degrés.Nous prendrons donc ici un cercle divise en 24
parties, nous Tinclinerons à Thorizon - de 41d,
ce-quise peut faire avec un triangle de bois, dont
un côté Toit à l’autre coinmesept à huit, le plus
grand côté étant placé horizontalement ; nous dirigerons
le cercle jrer s le-soleil le niatin, le jour
de Téquinoxe, sans changer cette inclinaison, &
nous serons sûrs que le soleil suivra le cercle pendant
toute la journée, parce qu’ils iont l’un & l’autre
.dansTéquateur-. :: .'■' , ;Si Ton ignorait lâ"hauteur dé l’équafëûr ,.ori
pourroit encore y suppléer ; on difigeroitTesmatin .
le cercle vers le soleil, & marquant la ligne de ce
plan qui auroit été dirigée vers le soleil, on tiendrait
cette ligne immobile, & vers le tems de midi,.on
seroit tourner ce cercle autour de cette ligne fixe
pour Ie diriger encore vers le soleil ; & comme
deux lignes déterminent un plan, le cercle se trouverait
encore par-là-dans le-plan de Téquateur.On seroit la même chose en élevant le plan du
cercle vers le midi, à la hauteur du soleil lorsqu’il
cesse de monter sensiblement, ,& sans changer cette
hauteur du plan, on le tourneroit le soir à droite
ou à gauche pour le diriger vers le soleil.Dans le cas ou le soleil n’est pas dans Téquateur,
mais où il a une déclinaison, il’faut élever au
centre du cercle un style, qui >.sur le rayon du
cercle soûtende un angle égal,"à"cette déclinaison
au-dessus ou au-dessous du plarí ; alors les cercles
horaires passant tous par les 12 rayons & par le
style, Tombre du slyle répondra fur les 12 lignes
horaires. En effet, les cercles horaires qui'passent
tous paf les pôles, marqueur nécessairement les
heures ; quand le soleil est à 1<j degrés du méridien
©u dans un cercle horaire quj fait avec le méridien
un angle de 15 degrés ; if est nécessairementune heure de tems vrai, quelle que soit la déclinaison
du soleil., Foyf{ ANGLE HORAIRE.Si la'déclinaison n’est pas connue exaclement,
il faut mettre le slyle égal aux quantités suivantes
que j’àicalculéesen centièmes du rayon ; cèleront
■des lignes du pied de roi, en supposant le rayon
du cercle de S pouces: & un tiers.Table de la longueur du style nécessaire pour former
& placer un cadran équinoxial.Décìi- Jours de Vannée où le soleil a cette„utuniiaism,déclinaison. iufyh.z" 15 mars 25.mars 17 sept. 27 sept. 3 \4 ìo ; 30 - .- .12 3 ocf. 7"6 5 mas s 4 avril 7 8 \o\8 27fév. 10 ,1 sept. 13 .1410 22 15 25 août 19 1812 iri ,21 21 -H 2-114 21 27 avril 15 30061.' 2516 ■ 4 fév. 4 mai 8 •. 6 nov. 2018 28janv. 11 ,- 1 août 13 52Ì20 2DJanv. 20 : 23 juillet 21 nov. 3622 9 jariv. 31 Mai 12 juillet 2 déc. 40. 23 ? 21 juin 21 déc. 43ÍSiTon manquoit même de cette fable, on seroit
varier le slyle & Tangle du plan jusqu’à ce qu’on
eût Ie matin & le soir deux ombres égales ; alors
le cadran seroit orienté, quelque fut la longueur
du slyle. •'_ . Enfin, si Ton ignorait entièrement la déclinaison ,
il faudroit d’abord orienter le cadran par deux
ombres égales le matin & le soir, & le lendemain
Téléver aux environs de midi jusqu’à ce que
Tombre fût encore égale à celles du matin & du'
soir. ■ -r iAinsi ; Ton peut faire un çadsan équinoxial avec
Ia première planche qui se trouve,Tans connoître
ni la latitude du lieu, -ni la déclinaison du soleil,
pourvu que Tombre du style soit de la même longueur
pendant quelques heures avant & après midi ;
si Tombre est plus grande ie matin que Ie soir, c’est
une preuve que le cadran regardoit trop se couchant ;
si elle est plus, grande à midi & que ce soit dans
la face supérieure du cadran, c’est une preuve que
le. cadran est trop relevé, & on Tabaisie pour la
rendre égale.Si- Ton fait la déclinaison du soleil & que Ton
fasse le style-égal à la tangente de cette déclinaison,
& Tinclinaison du plan égale à la hauteur de Téquateur,
le cadran sera placé dès le premier moment
où Ton aura vu le soleil ; & plus Ton sera près de
six heures, plus la position sera exacte. II suffira
que Tombre du style vienne sur la circojjférence
du cercle.C a d c a d
2- 5 -ï
: Quand mème il he seroit pas élevé convenablement,
s’il.esl bien orienté & que la ligne de
six heures Toit, horizontale, il marquera très-juste
aux environs de six heures & de midi : il n’y aura
que les heures intermédiaires qui pourront être
défectueuses.- Comme Tombre de la pointe d’un -style est mal
terminée , - on peut se servir d’un style au bout
duquel il y ait un petit bouton, ou mieux encore
un petit trou qui soit de Torient à Toccident, &
qu’on puiffe tourner pour Tobservation du midi.
Je néglige le changement de déclinaison dans Tespace
de quelques heures ; Terreur qui en résulte
, se corrigeroit facilement dans la saison opposée
ou le changement se seroit en sens" contraire, mais
elle esl indifférente dans Tusage ordinaire.Le cadran équinoxial doit avoir deux faces, une
au nord pour les tems ou le soleil a une déclinaison
boréale,- une au midi pour les déclinaisons
australes , à moins qu’il ne soit transparent ou
évidé. Le style passe au travers & marque sor les
deux faces. Si Ton veut qu’il marque le jour même
de Téquinoxe, il faut qu’il y ait un rebord ou un
anneau fur une partie de Ta circonférence, pour
recevoir Tombre du style. . . . - .On. trouve presque par-tout de - petits ' cadrans
à boussole dans de petites boîtes carrées d’y voire,
appellées vulgairement cadrans de Dieppe ; le dessus
de Ia boîte sert de cadran équinoxial, en plaçant
au centre un style pu une épingle , & Tinçlinant
póurla latitude du lieu par le moyen d’un petit
support qui' est placé dessous.
. On volt dans la figure Z46 des planches dAstronomie,
un cercle divisé eh pafties égales, ,avéc
les heures marquées fout au tour, comme elles
doivent Têtre fur le cadran équinoxial. La figure
247 représente un cadran équinoxial, monté à la
hauteur du pôle par le moyen d’un quart de cercle
A E avec son style B D, la boussole G qui sort
ái'orientër ; cet instrument n’a pas besoin" d’explication.
Un des avantages du cadran que nous venons
d’expliquer, c’est qu’on peutso tromper sensiblement
fur la position du cerclé, sans qu’il en résulte une
erreur sensible pour les heures marquées fur lé
cadran.■ II. L’anneau astronomique est une espèce de cadran
équinoxial portatif,-&_ qui s’oriente de lui-même
à-peu-près de la façon que nous avons expliquée
en indiquant la construction du cadran équinoxial ;
nous en avons donné la description au mot Anneau.III. Le cadran sphérique esl auffi naturel & auffi
simple que le cadran équinoxial ; il est donné immédiatement
par la nature & la direction du riioùvement
diurne, Jë suppose qu’on ait un globe isolé,
commèon en^vpit^dansles jardins exposés au.soleil
& qu’on ait’un style-qui: puisse s’appliquer.perpendiculairement
à lâ surface du globe dans tous
ses-points -par Ie moyen, de trois pieds.Sj le style est creux de manière qu’un rayonsplaire: puisse passer au travers dans- foute fa longueur
, on, marquera une fuite de ppjnts pendant
quelques ; heures, & çe sera le parallèle diurne du
soleil pour ce jour-là. íl n’en faut pas davantage
pour tracer tout le cadran & tous les cercles de
la sphère du monde avec la plus grande facilité,.Ayant cherché les points du globe qui sont k
égales distances de tous les points du-cercle qu’on
a décrit, on aura les.pôles de Téquateur. Le cercle
qui sera dans íe milieu à la même distance des
deux po) es fera Téquateur. .-•. ;."'Le point le plus élevé de Téquateur fera le point
He midi. --Les deux points qui seront situés horizontalement
à la hauteur du centre, seront les points de six
heures. Les autres, heures seront dans les points
intermédiaires de 15 en 15 degrés. ; 'On fera mouvoir autour des deux.pôles un demicercle
horaire, que Ton tourneravers le soleil quand
on voudra savoir Theure qu’il est, jusqu’à ce qu’il
couvre son ombre exactement, il fera dès-lors dirigé
vers Je soleil.Comme if y a toujours la moitié de ce globe,
& -Ia moitié de son équateur éclairée-par. Ie soleil,
la séparation de la lumière & de Tombre suffiroit
pour indiquer Theure qu’il est ; car a midi cette
limite doit tomber sur les points de íix heures, &
à six heures fur ceux de midi & de minuit : mais
cette ombre étant mal terminée & la séparation
difficile à distinguer, il vaut mieux se servir d’Un
demi-cercle mobile.Si Ton faisoit les mêmes opérations au printems
& én automne , on -trouverait deux équateurs différant"
de douze minutes, à cause du changement
de déclinaison du soleil, & Ton prendrait le milieu ;
mais Cette différence n est d’aucune importance pour
les heures du cadran ; elle est même absolument insensible
sur un globe d’un pied de diamètre, &
c’est à-:peu-près la grandeur qu’on peut donner à
de pareils cadrans.IV. C ADR AU horizontal. Le cadran le plus commun
& le plus facile dans Tusage ordinaire, est
le cadran horizontal qu’on place fur une fenêtre,
sur un pilier dans un jardin,, & qu’on transporte
à volonté ; ainsi, nous Texpliquerons avec tout le
détail nécessaire, & par foutes les méthodes qu’on
peut y. employer.La théorie commence' à ; être ici un peu plus
compliquée que pour Te cadran équinoxial ; mais
on peut se passer, dans la pratique, de cette théorie::
cependant, comme les principes doivent être
établis & démontrés dans cet ouvrage, nous al-^
Ions tâcher de les fendre clairs, en nous servant
du cadran équinoxial pour trouyer la construction '
du cadran, horizontal..Commençons par donner .une idée de la projection
gnomonique pu de Tintersection des cercles
horaires, avec le .plan d’un cadran. Imaginons
une petite sphère semblable à la terre, qui aura
son ; horizon parallèle au nôtre, son axe élevé &
Gg-ij
il~6 CAD .

C AD
parallèle à celui de la terre, son équateur placé
dans le même sens que Te cercle équinoxial du
monde, ses cercles horaires situés de la même
manière. ": Le soleil étant à Thorizon de Paris, fera auffi
dans Thorizon de ce globe, car ils font parallèles ;
& la dislance du soleil esl si grande, que la différence
est insensible entre le centre de la-terre
& le'centre-d’un globe situé à la surface de la
terre. - - -■ '. ..Quand le soleil sera dans le méridien du lieu,
il sera dans le méridien du globe, &c.A six heures, le soleil est dans un cercle horaire
perpendiculaire au méridien : il voit donc
Taxe de côté & perpendiculairement ; tous ses
rayons visuels sont -perpendiculaires à Taxe, au
méridien & à la méridienne, & -parallèles à Thorizon
 ; àinfi, Tombre de cet axe sera perpendiculaire
à Tombre méridienne. D’aillèurs le soleil
& Taxe sont dans le plan du cercle dé six heures,
qui coupe Thorizon à Y est & à Youest ; ainsi, Tombre
ne peut sortir de ce plan, & coupera Thorizon
sur la ligne qui va de Torient à Toccident..
■ . Si la terre devenoit transparente, & que nous
Vissions. notre axe former une ombré sor Thori-'
55on, à six heures nous la verrions perpendiculaire
à la ligne de midi. Ainsi, la ligne dé six heures
esl la section de Thorizon & du cercle horaire
de oo° ou de six heures, soit dans Tintérieur de
 !á terre, soit sor un autre globe quelconque qui
auroit, comme la" terre, son horizon, son axe,
fou cercle de six heures.Cette section fur Thorizon esl le premier article
fondamental qu’il faut avoir bien conçu Tivant
d’aller plus loin. Le soleil, à six heures, est toujours
à 90° du méridien, plus ou moins près du
pôle ou de Téquateur', plus ou moins élevé fur
Thorizon, mais toujours dans le cercle horaire
de six heures. Le Toléil, Taxe, Tombre de cet
axe, & par conséquent la ligne d’ombre ou la
ligne horaire du cadran, sont dans ce plan. Sur
quelque plan que vous receviez cette ombre, vous
y aurez une ligne'hòraire de fix heures, & cette
ligne fera toujours la commune section du cercle
de fix heures & du plan où vous recevez.Tombre
: car la commune section, de deux plans ou
de deux cercles.est la rencontre de ces cercles ou"
plansy prolóng'és où' non prolongés ; c’est la ligne
qu’un de ces: plans vous cache fur Tâutrèjîlan
quànd vous bornoyez dans le premier ; c’est le
tracé de toutes les ligues du premier à leur rencontre
furie second. .Ainsi , toute ligne qui sera , dans le cercle de six
heures, jlacée en quelque sens que ce soit, aura
toujours son ombre fur la commune section de ce
cercle & du plan où vous la recevrez. :■
• Si l’on choisit Taxe, c’est parce que Taxe-appartient
non-feulement à cette heure /mais à toutes
les autres & à tous les cercles horaires.
- Ce que j’ai dit du cercle de six heures a lieupouf fous les autres cercles horaires 'dont il ; faut
avoir Tes intersections fur Thorizon’, & ce seront’
les lignes horaires du cadran horizontal.Ainsi', pour faire un cadran horizontal, il nefaut
que placer un axe parallèle à Taxe du inonde,
concevoir les cercles de 1, 2, 3,4, 5 heures à
15, 3.0, 45, 60, 75 degrés du méridien, & marquer
sor le plan horizontal leur trace où leur section.
' ' ' ■ '<Pour.cela,' il suffis d’avoir un point de chacune
de ces lignes horaires, car Taxe marque un point
commun à toutes les lignes, & nous Tàppellerons
le centre du cadran,-x'est le point ou Taxe, le style,
Taiguille du cadran, coupe se plan de ce même
cadran. Pour avoir un point de section de la ligne
d’une heure furie plan du cadran, oh concevfa
YaxeCA, figure 250 relevé au-deffus du plan, &
incliné de 490, si c’est pour Paris ; une ligne A E
qui lui sera perpendiculaire, & qui représentera
un rayon de Téquateur qui est nécessairement perpendiculaire
à Taxe du monde. Par cette ligne A E ,
l’on concevra un plan perpendiculaire à Taxe A C,
& ce sera le plan de Téquateur ; il coupera la méridienne
CP D & le plan horizontal du cadran
sur ,1a ligne EH, qui • sera la commune section
de Téquateur èVdu plan, ou la ligne équinoxiale
du cadran.Transportons le rayon A E de Téquateur fur
E D, & du centre D décrivons le cercle È Q.
Prenons un arc £ F de 45% &- tirons le rayon
D F G, je dis que le point G de Téquinoxiále
esl le point -cherché, où le Cercle de 450 ou de
neuf heures du matin.coupe Téquinoxiále, en forte
que la ligne CG fera-la ligne de neuf heures.En effet, le point A étant le centre rte Téquateur
relevé au-dessus du plan ,"&. le plan de Téquateur
passant en E, la ligne B E H esl tangente à
Téquateur, ainsi qu’au cercle E Q. Si Ton prend
450 de Téquateur à la droite du point E , & qu’on
tire par le centre A un rayon à ce point de 45%
il ira rencontrer la tangente EII au point G ; le plan
passant par la ligné. C A & par le point G, fera
un angle de 450 avec le plan du méridien CAE ;
car cet angle fera mesuré par les 45° de Téquateur,
les angles des plans étant toujours mesurés par
Tangle de deux lignes perpendiculaires à la commune
section : ainsi , la ligne A E & la ligné qu’on,
suppose aller de A en G étant, dans lé'plan de
Téquateur, perpendiculaire à Taxe C A qui est Ifeur
commune section, elles mesurent.Tangle des deux
plans’du méridien & du cercle horaire ; mais l’un
passe én E, donc l’autre passe eii G\, le point C
étant commun.., ; Ce que,j’ai-fait avec ^ pour.trois ih.euresi de
distance au méridien , se feraiavec 3P°:pourrdeux>
henres, avec 15 " pour une heure ; & ainsi de fuite ;
les lignes de la gauche sont pareilles-à celles de la ;
droite. On voit dans {a figure zjo , un- cadran ho-:
rizontal tracé pour la latitude de Taris., . .. ;■: Nous -pouvons chercher une expression géomé- I
trique de Tangle que nous venons de trouver ;
nous prendrons C E pour unité ou pour rayon ;
AE sera le sinus de la hauteur du pose, par
exemple, de 49° pour Paris ; E D fera auffi le
sinus de 49e ; ,& comme £ G est la tangente de
450 pour le rayon E D , elle sera en parties du
rayon CE, égale à sin. 490 tang. 45" : mais
jB G est la tangente de Tangle de trois heures for
le cadran, ou de Tangle E C G pour le rayon
même que nous avons choist ; d’où il fuit que
Tangle cherché ou Tangle du cadran pour trois
heures est’tel que fa tangente, est égale au produit
du sinus de la latitude par la tangente de Tangle
horaire.Voici uné table des angles des lignes horaires
dans un cadran horizontal pour 4S 0 50' de latitude
à chaque demi-heure.' II. y a des tables pareilles pour différentes latitudes
dans la Gnomonique de M. de Parcieux, &c.Matin. Deg. Min. Soir.XII 00,5 39
XI 11 2.5 r17 18
X 23 20 II30 1 .
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IV 12.7 19 VIIIL’expreslîon que je viens de démontrer pour
les angles d’un .cadran horizontal, -fournit une
construction ; qui est plus commode, à certains
égards., que celle dont nous avons fait usage, en
suivant la position de Téquateur, & considérant
les intersections naturelles des lignes horaires fur,
Téquinoxiále., On prendra un arc P Z, fig. 25 z , égal au complément
de la hauteur du pôle, th. Z'O égal à
Tangle de 150 fi c’est pour une heure, &c., ainsi—
que Tare G i7,- ayant tiré les lignes F D & O B
perpendiculaires fur C Z , & D £ perpendiculaire
fur C P, on prendra B A. égale à C E , & la
ligne C A fera la ligne d’une heure, C Z ..étant
prise peur, la méridienne.En effet,-par la construction C’D = fm. 15%
CE = sin. lat. sin. i,° — BA ; C5=cos. 15%
donc 1^. ==tang. B CA= ^p_ sin. íat. =3'tang. 150 sin. lat. ce qui est l’expreffion de Tangle
d’une heure sur le cadran, comme nous Tavons
déjà démontré.
. Oirévite, par cette construction, de se servir des
tangentes qui, en approchant de 900, sont trop
longues, & exigeraient une jrop grande figure.
-II y a plusieurs autres méthodes pour tracer un
cadran horizontal ; Lambert & M. Castillon en
ont donné dans les fupplémens de TEncyclopédie..
On peut y employer une ellipse, suivant M. Ferguíson
 ; mais de si longs détails ne sont pas du
ressort de cet ouvrage. """".Le calcul trigonométrique donne encore la
même expression pour les lignes du cadran horizontal.
Soit P'X, fig. 40 d’Astronomie, le cercle
horaire d’une heure, qui -fait avec le- méridien
P Z E H un angle de.150, & qui coupe eu X
Thorizon HO ; le point X est celui où se dirige
nécessairement ia ligne d’une heure dans le cadran
horizontal, puisque cette ligne esl la."section du.
cercle d’une heure avec Thorizon. II ne s’agk
donc que de trouver Tare H X ou Tarrc XÚ'
Dans le triangle P OXrectangle en O, on a, par
les règles de la Trigonométrie sphérique,-cette proportion.
Le rayon est au sinus du côté P O ou de
la hauteur du pôle, comme la tangente de Tangle
P est à la tangente du côté opposé XO ; ainsi ,'
la tangente de cet arc ou la tangente de Ton supplément
, qui est Tangle d’une heure sur le cadran
horizontal, est égale à la tangente de 150, multipliée
par le sinus de la latimde.On a cherché à éviter ce calcul par des échelles
gnomoniques, semblables aux différentes lignes des
compas de proportion ; & M. Castillon a .donné
de grands détails à ce sujet dans les fupplémens
de TEncyclopédie.Les étuis de Mathématiques qui nous viennent
d’Angleterre, contiennent en effet deux échelles
par lesquelles on construit les cadrans solaires avec autant
 d’exactitude que de facilité, pour quelque
hauteur du pôle que "ce soit : elles devraient se
trouver dans tous les compas de proportion ; cependant
elles sont peu connues en France. Clavîus
en -parla dans ses QÉuvres mathématiques imprimées
en 1612, & Van - Schooren en donna la
démonstration dans ses Exercices mathématiques ,
. liv. v, seâ. zg , pag. 520 &suiv. ( édition de J.
Élzevir, 1657.) Van-Schooten en attribue Tinvenrion à Samuel
Forsler, professeur d’Astronomie dans le collège
: de Gresham à Londres, qui, en 1638 , publia à
ce sujet un traité, intitulé: The art os dialing, by
a nev ; easy and moft speedit way. Jean Collin
décrit au long cette méthode dans un livre, intitulé'.The
description and uses os a great univerfalC a d c a dquadrar.t, imprimé à Londres’en 1658 : cet auteur
en attribue Tinvcntion à Jean Ferrera, Espagnol,
fíarris en parle dans son Lcxicon technicum,
article Diaìling-lincs. Krafft én à donné une démonstration
algébrique dans le treizième tome des
Mémoires de Pétcrsbourgpour les,années 1741—43,
pas- zss &suiv. Enfin M. Lambert, de Tacadémie
royale des sciences & belles-lettres de Berlin,
dans ses Remarques pour étendre Tusage des Mathématiques
pratiques, tom. 3 , imprimé en allemand
à Berlin 1772, sous le titre de propriété
particulière des tangentes , se propose la chose
comme un problème qu’il résout par le calcul
d’une manière plus simple que n’avoit fait Krafft.
5a méthode est expliquée fort au long dans les
sopplémens de TEncyclopédie, au mot cadran :
mais ces calculs sont trop longs & trop abstraits
pour devoir trouver place dans.une Encyclopédie
 ; ils feroient bons tout au plus dans un grand
traité de Gnomonique.Lorsque le cadran est tracé, il faut y placer le
slyle ou Taxe, c’est-à-dire, une ligne qui fasse
avec Ie cadran un angle égal à la hauteur du pôle,
ou une plaque de métal dont les côtés fassent le
même angle.Si le cadran est un peu grand, la plaque devant
être épaisse, c’est le bord occidental du style qui
doit marquer le matin, & le bord oriental pour
le soir-: dans ce cas, il faut tracer deux méridiennes
parallèles entr'elles & séparées d’une quantité
égale à Tépaisiëur du style, & Ton a comme
deux moitiés de cadran éloignées de cette quantité.
On le voit ainsi dans la figure 2.74.Lorsqu’un cadran solaire est tracé sur une pièce
de cuivre , sur une ardoise, sur une pierre ou sur
une planche bien dressée, & qu’on y a fixé Ie
slyle, il s’agit de le placer dans Ia direction de
la méridienne, ou de Torienter ; il faut d’abord qu’il
soit bien horizontal : on se sert pour cela d’un
niveau, ou bien on se contente d’y "verser un peu
d’eau pour voir fi elle ne coule d’aucun côté.L’orientation du cadran se peut faire par le
moyen de la boussole ; mais il faut bien avoir égard
à la déclinaison de Taiguille, qui esl aóluellement
de 2i° à Paris , & qui esl différente suivant les
tems & les lieux. Les boussoles sont-sujettes à
nous tromper ; une barre de fer qu’on ne voit pas
peut défanger Taiguille.11 vaut dónC mieux tracer une ligne méridienne
par les méthodes que nous indiquerons au mot
MÉRIDIENNE , comme par des hauteurs correspondantes
, par des cercles concentriques, ou par
se moyen de Tétoile polaire, en prenant le moment
où Tétoile de la racine de la grande ourse
passe au-dessous de Tétoile polaire, 'On peut encore se servir d’une seule hauteur en
cherchant l’azimut par la figure de Tanalêmme,
expliquée au mot PBOJECTION. En effet, si Ton
a observé à un certain moment la loneueur de
I'ombre TQ , fig. zSz , d’un slyle B T,\ qu’onfasse un triangle B TQ , on’ aura Ia hauteur H B
du soleil : ayant décrit le demi-cercle H B O, on
prendra P O égal à la hauteur du pose ; on tirera la
ligne P Q pour représenter Taxe du múnde ; &
une perpendiculaire EÇ> pour faire le demi-diamètre
de 1 équateur, tandis que H Q O fera le diamètre
de Thorizon. On prendra Tare E M égal à Ja déclinaison
du soleil, & la perpendiculaire MA _
sera le rayon du parallèle du soleil pour lë jour
donné. Du point B qui marque la hauteur du
soleil paf Tobservation , Ton mènera la ligne horizontale
B C, qui marquera le diamètre de Talmicantarat
du" soleil ; elle coupera la ligne MA
au point S, qui sera la projection du lieu du
soleil, & la ligne verticale Z Q au point G, qui
sera le centre de Talmicantarat : donc Tintervalle
G S sera le sinus de Tazimut sor le petit cercle,
ou le sinus de la distance au vrai point d’orient
ou d’occident. Ainsi, en portant le double de G S
fur la ligne des cordes d’un compas de proportion,
ouvert pour le rayon B G , qui est la corde de
60°," Ton aura un nombre de' degrés, dónt Ia
moitié fera la distance du soleil au point d’orient
ou d’occident. Le complément sera son azimut
ou sa dislance horizontale au vrai point de midi ;
ce qui suffira pour tracer une méridienne , ou pour
orienter le cadran, en faisant avec la ligne de
Tombre un angle égal à celui de la méridienne
avec la ligne d’ombre qu’on a marquée.Cet azimut du soleil peut se trouVer également
par le calcul trigonométrique ; mais Topération
graphique dont je viens de parler est bien suffisante
dans la pratique.Avec un seul point d’ombre pris sor un plan
horizontal, on peut trouver le centre du cadran,
& par conséquent avoir la méridienne. Soit S
(fig. zs3 d’Astr. )  la pointe d’un slyle élevé sur un
plân horizontal, òu une plaque percée d’un trou, &
dons le rayon tombe en R , P le pied du style ou
le point qui répond perpendiculairement au-dessous
de S ,&. C le centre que Ton cherche. La longueur
de la ligne S C. est facile à connoître ; car
c’est Thypothénuse d’un triangle dont S P est le
côté, & Tangle SCP égal à la hauteur du pôle :
ainsi S C esl égal à. SB divisé par le sinus de
la hauteur du pôle, & on peut la trouver avec
le compas en faisant un triangle. On mesure la
longueur S R du rayon solaire ; on connoît aussi
Tangle C S R, qui est le complément de la déclinaison
du soleil ; on peut calculer R C, ou la
trouver graphiquement en faisant un triangle,
drint les deux côtés & Tangle connu soient ceux
du triangle C S R: quand on aura la longueur JR. C,
on décrira avec ce rayon un arc de cercle dont
R soit Ie centre. On prendra sur cet arc un point
qui soit éloigné de la pointe du style S de la
quantité S C qui a été trouvée , & ce point sera
le centre .du cadran , ou le point par lequel on
peut mener la-méridienne., P C. >L’inégalité des intervalles entre les lignes ho*C a d c a d2-3 9raires d’un cadran horizontal fournit encore un
.moyen fort simple pour orienter un cadran , si
Ton a une montre qui ne varie pas dans Tespace
de quelques heures ; car ayant mis le cadran à-peuprès
dans la ■ situation qu’on estime qu’il doit
avoir , ou mettra la montre d’accord avec le
cadran à midi ou une heure ; si elle esl encore
égalemenf d’accord à 5 ou 6 heures, c’est une preuve
que le cadran est bien orienté.íl y a un autre moyen pour orienter un cadran
horizontal, quand il est un peu grand : on fera
une équerre ou un triangle rectangle CSB ,
(fig. zs3 )  dont les côtés C’S & C B puissent
s’ajuster exactement fur Taxe du cadran, & for
une ligne horaire comme celle de six heures : Textrémité
i ? marquera le point de Téquinoxe ; & si
Ton fait au sommet S du style un angle B S R,
égal à la-déclinaison du soleil pour Un jour quelconque,
le point .R marquera le point’ où doit
passer Tombre ce jour-là for la ligne de six heures.
Ce point R tombera en dedans du triangle CSB,
si la déclinaison du soleil est australe: alors il ne
s’agira que de tourner le cadran horizontalement,
de manière que Tombre du point i1 vienne for le
point R qu’on a marqué, & y vienne quand cette
ombre sera for la ligne de 6 heures : le tâtonne-s
ment n’est pas difficile.Si Ton veut attendre le jour de Téquinoxe pour
orienter un cadran, la ligne équinoxiale -qùi a
servi à le tracer, servira auffi à le placer ; car si
J’ombre du sommet du style tombe sur Téquinoxiále
j un peu loin du midi, Ton est sûr que le
cadran est bien placé.Enfin on peut orienter un cadran horizontal en
plaçant for la. même plaque un cadran azimutal,
dont nous donnerons ci-après la description,
comme dans la figure' Z74. Aufsi-tôt que les deux
cadrans marqueront la même heure, on sera sûr
qu’ils sont tous deux bien orientés.Un cadran horizontal fait pour Paris avec son
style fixe, peut servir à toutes les latitudes, en
l’inclinant de la quantité dont on a changé de
latitude ; par exemple, à 51° de latitude , il suffit
'd’incliner le cadran de 2° vers le. midi. Sous Téquateur
, on élèvera le plan du cadran de 490 ;
son style deviendra parallèle à Thorizon, & marquera
for le plan du cadran incliné les mêmes
heures qu’il marquoif quand le cadran étoit horizontal,
& le style incliné ou élevé "de 490 comme
le pôle. C’est for ce principe qu’étoit fondé le
cadran universel & à méridienne , décrit par Julien
le Roi, horloger célèbre de Paris , & père de
' quatre fils qui se sont distingués dans différentes
carrières. On trouve de tems en tems de ces cadrans
, où il y a une platine à charnière qui peut
s’incliner à différentes latitudes fur la platine horizontale
qui porte la boussole. ■V.,CADRAN méridional, estun cadran vertical qui
est tourné directement vers le midi, ou celui queTon décrit sor la surface du premier vertical, qui
regarde le midi.Le soleil éclaire le plan du premier vertical
qui regarde le midi', lorsque dans fa course il
passe de ce vertical au méridien, ou qu’il va du
méridien au premier vertical ; il emploie) fix heures
avant midi & six heures après, le jour de Téquinoxe
, & environ quatre heures & demie avant
midi, & quatre heures & demie après, le jour du
solstice d’été ; en hiver, le soleil ne paroît sur Thorizon
qu’après six heures : d’où il s’enfuit qu’un
cadran méridional ne peut marquer les heures que
depuis fix heures du matin jusqu’à six heures du
soir.La manière de tracer ce cadran est la même que
pour le cadran horizontal ( fig. Z50 )  ; fur le vertical
qui regarde le midi, tracez une ligne verticale
pour servir dé méridienne CE D ; faites un angle
A CE^ égaí à Télévation-de Téquateur, ou au comT
plément de la hauteur du pose ; tirez une ligne
drojte AE qui fasse un angle droit CAÉ, &
qui rencontre la perpendiculaire en E , par le
point E tirez la ligne droite B H qui coupé la
méridienne CE D à angles droits. Prenez E D égal
à E A, & avec ce rayon décrivez un quart "de
cercle E Q. Le. reste se fait comme dans le cadran
horizontal, excepté que les heures d’après midi '
doivent être écrites à main droite, & celles d’avantmidi
à main gauche, au contraire d’u cadran horizontal
de la figure 250. Enfin au point A Axez
un style oblique, qui fasse un angle égal à Télévation
de Téquateur ; ou bien, élevez en P un
style perpendiculaire au plan, & égal à P A ; ou
enfin élevez sor C P un triangle A CP , qui
soit perpendiculaire au plan du cadran.L’ombre du style C A couvrira les différentes
lignes horaires aux heures qui répondent à ces
lignes. ' '.- ■
' . Le cadran septentrional , ou le cadran^ vertical
direâement septentrional ', se trace sor la surface
opposée dupremier vertical, qui regarde le nord ;
la manière de Je décrire est la même, fi ce n’est
que le centre est en bas, parce que le style est
toujours dirigé vers le pôle élevé, ou parallèle à
-Taxe du monde.Le soleil n’éclaire cette surface que quand il
avance de Torient au premier vertical, ou qu’il
vient de ce même vertical au couchant: de plus
le soleil est dans le premier vertical à six heures
du matin & à fix heures du soir le jour de Téquinoxe
 ; le jour du solstice d’été il Te levé sur
1 horizon de Paris à quatre heures, & arrive au
premier vertical vers les sept heures & demie ; &
en hiver le soleil n’éclaire,point du tout ce plan
septentrional r d’où il est évident que le cadran
septentrional ne peut marquer que les heures d’avant
■lept heures & demie du matin, & celles d’après
sept heures & demie du soir. C’est pourquoi comme
dans Tautpmne & dâns Thiver le "soleil ne se levé
, pas avant fix heures, & qu’il se couche avant sixC a d c a dheures du soir, on Voit que pendant toutes ces '
deux faisons, le cadran septentrional n’est d’aucun
usase : mais en le joignant au cadran méridional,
il supplée ce qui manque à celni-ci.  ; _ -Vi.Le cadran oriental, ou le cadran droit direâement
oriental , est celui que Ton trace sur le
côté du méridien qui regarde Torient. Comme le
soleil n’éclaire le plan du méridien qui regarde
Torient qu’avant midi ; un cadran oriental ne peut
marquer les heures que jusqu’à midi. On tire une
ligne droite AB (fig. 254) parallèle à Thorizon,
& une ligne A K, qui fasse avec elle un angle
K AB , égal à Télévation de Téquateur. D’un
point D avec un rayon D E pris à volonté , on
décrit un cercle ; & par le centre D , on tire
E D C perpendiculaire à A K ; le cercle est divisé
cn quatre quarts : on subdivise chacun de ces quarts
en six parties égales ; & du centre D , par les
différentes divisions, Ton tire les lignes droites
D 4, D 5, D6, D 7, 6c & par les points de
rencontre de ces rayons & de la tangente E G,
parallèle à A D , on tire les lignes horaires qui
sont toutes parallèles à £ C. Enfin en í, Ton
élève un slyle égal au rayon D E perpendiculairement
au plan, où-fur deux pieds fixés perpendiculairement
en £ , C, & égaux au même rayon
D E, Ton attache un axe ou un style parallèle au
plan du cadran, & répondant perpendiculairement
fur la ligne £ C: c’est le style du cadran. Par ce
moyen, le bout de Y inde x, ou le style entier aux différentes
heures, jettera son ombre sor les lignes
respectives 44, 55 , 66 , &c. Le style est toujours
dirigé vers le pôle ; le cercle CK E étant conçu,
relevé perpendiculairement au plan du cadran,
représentera -Téquateur, & les lignes £ 7, E 8 ,
sons les tangentes de 150 , de 300, 'en partant
du cercle de six heures.Le cadran occidental, ou le cadran droit directement
occidental, se traCe fur le côté occidental
du méridien , par un procédé tout semblable.Comme le soleil n’éclaire qu’après midi le côté
du plan du méridien , qui regarde Toécident, on
voit qu’un cadran occidental ne peut marquer les
heures que depuis midi jusqu’au soleil couchant.Ainsi, en joignant le cadran occidental avec .
Y oriental, ces deux cadrans marqueront toutes les
heures du jour.Pour tracer un cadran occidental, la construction
est précisément la même que celle du cadran
oriental, excepté que les heures vont en croissant
de bas en haut, depuis une heure jusqu’à huit.VII. Le cadran polaire est celui qu’on trace sus un
plan incliné, qui passe par les pôles du monde,
& par les points de Torient & de Toccident sor
Thorizon. 11 y en a de deux espèces ;' s’ils regar-,
dent le zénit, on les appelle polaires supérieurs ;
s’ils regardent le nadir, ils sont appelles polaires
inférieurs.Ainsi, le cadran polaire esl incliné à Thorizon
avec lequel il fait un angle égal à Télévation dupôle : il forme le plan du cercle de six heures ;
il y a un quart de Téquateur, & de chacun des
parallèles à Téquateur, intercepté entre ce plan
& le méridien : donc la surface supérieure est
éclairée par le soleil depuis fix heures du matin
jusqu’à six heures du soir ; & la surface inférieure
depuis le lever du soleil jusqu’à six heures du
matin, & depuis six heures du soir jusqu’au coucher
du soleil.
C’est pourquoi le cadran polaire inférieur masque
les heures du matin depuis le lever du soleil jusqu’à
six heures, & celles du soir depuis six heures
jusqu’à son coucher ; & le cadran polaire supérieur
marque les heures depuis six houres du matin
jusqu’à six heures du soir.Pour tracer un cadran polaire supérieur, tirez
une ligne droite A B {fig. zs$ )  parallèle à Thorizon
 ; & ayant choisi CE pour la ligne .méridienne,
divisez CE en deux parties ; égales, &
par C tirez une ligne droite F G ; parallèle a AB ;
ensuite d’un centre £> avec Tintervalle D E, décrivez
un quart de cercle, & divisez-le en fix
parties égales: du centre D , par les différens points
de division, tirez les lignes droites D 1 , D z,
D 3, D 4, D 5.f jusqu’à la tangente EB ; portez
les mêmes intervalles à gauche ou à Toccident
pour le matin , & des points 5 , 4,3 , z, 1 ,&c.
élevez des perpendiculaires qui rencontrent la
ligne F G aux points correspondans, ce seront les
lignes horaires.. Enfin élevez en D un style perpendiculaire
égal à D E ; ou for deux .styles égaux
à cette mêmë ligne DE, placez une règle horizontale,
parallèle à £ C ; son ombre marquera
les heures en tombant fur les lignes marquées i,2,3,
 qui sont les lignes horaires ; leurs intervalles
sont les tangentes des angles horaires i<;°,
300, &c. Si Ton conçoit le quart de cercle £ G
relevé perpendiculairement au plan du cadran, de
manière que le centre D réponde perpendiculairement
furie point E , ce cercle représentera Téquateur
, & Ton concevra facilement que le soleil
décrivant Téquateur, les rayons D 1 , D 2, seront
dirigés vers le soleil, à une heure , à deux heures,
& ainsi des autres.Un cadran polaire supérieur ne diffère des cadrans
orientaux & occidentaux que" par fa situation, ;&
que par la manière d’écrire les heures ; çe qui faitla
ligne du midi pour un cadran polaire , est la ligne,
de 6 heures pour les cadrans’orientaux ou occidentaux.On a un cadran polaire inférieur en supprimant
les heures d’avant midi , 9 , 10, &c. & celles d’après
 midi ,1,2, &c. & en ne laissant que îes
heures 7 & 8 du" matin, & 4 & 5 du soir , qui
deviendront alors les heures 7 & 8 du soir, & 4
& <j du matin , en retournant k cadran,On trouve fur les petits cadrans d’ivoire , qùi
font communs par-tout, un cadran polaire tracé,
avec des courbes , qui marquent les arcs des
signes. Pour s’en servir, il-faut orienter la boitédu cadran >Hu cadran ., élever le couvercle vers Ie pôle du '
inonde, & planter au centre une épingle ou un
• style, dont la longueur soit égale k D E ou D G,
c’est-à-dire, à la distance qu’il y a sor le cadran
entre la ligne de midi & celle de trois heures.CADRAN vertical déclinant. Tous les cadrans
dont nous venons de parler, font des cas particuliers
de la Gnomonique : nous passons .à des
méthodes plus générales.Le cadran vertical déclinant est celùi que Ton
pratique le plus for les murailles.' Nous expliquerons
huit méthodes différentes pour le faire,
ou du moins pour en détenniner la partie fondamentale.- Mais il est nécessaire d’avertir que la plupart
des murailles ont une inclinaison qu’il faut corriger
par une couche de plâtre bien verticale &
bien plane, si Ton veut employer exaéîement les
méthodes queje vais décrire.
- ' Là" première méthode suppose un cadran équinoxial
, qui est le premier & le plus simple de
tous les cadrans , déjà fait & placé devant le mur '
fur lequel, on veut tracer Un cadranvertical ; le
style du cadran équinoxial prolongé jusqu’à la
muraille, marquera la place , la direction & la
situation du style ; car c’est toujours parallèlement
à Taie du monde que le style doit être placé, dans
l’un comme dans l’autre.Les lignes du cadran équinoxial, prolongées en
droiture jusques, à la muraille, y marqueront chacune
un point par où doit passer la ligne correspondante
du cadran vertical. Le centre du
cadran est un « autre point commun à toutes ces
lignes: ainsi,l’on pourra tirer les lignes horaires
fur íe plan vertical déclinant. .En effet y les 1 ignés horaires étant les intersections
des cercles horaires fur le plan du cadran , dès
qu’il y a un point commun aux plans "des deux
cadrans par où páffe une ligne horaire de l’un des
çadréhs, elle marque nécessairement fur l’autre un
point du même cercle, du même plan, & par conr
iequent de laTîgne horaire.On pourroit sor-tout réussir facilement à tracer
ainsi un cadran déclinant, fi Ton avoit pour cadran
ëquinoxial*un équatórial, instrument qui s’oriente
■ de lui-même ; j’en ai vu un dessiné par M. Mignon,
i Lonray, près d’Alençon, d’une manière très-commode
pour ces opération ;, Le cenrre.de Téquateur
■est traversé par un tube, dans lequel on s’aligne
pour marquer le centre, du cadran ; Téquateur
porte une alidade que Ton dirige for les différentesheures
, & par laquelle on bornoye pour
marquer fur la muraille la trace de la. ligne équinoxiale,
& les points horaires de cette ligne.La seconde méthode que Ton peut indiquerEour tracer- un cadran vertical, suppose un cadran
orizpntal bien orienté, par une des méthodes
que j’ai expliquées affez au" long. On prolongera
le style & lës lignes* horaires jusqu’à la rencontre
île la-muraille, ainsi que je viens de le dire pour
MathématiqueSjjTomt I > ífri Parue,le cadran équinoxial-, & l’on aura dé même la
position du style & des lignes horaires fur le cadran
vertical. . -On seroit la même chose avec un cadran vertical
méridional., qui seroit portatif, & qu’on
orienterait devant le mur. II pourroit être tracé
sur une glace ; & alors mettant 'une lumière pendant
la nuit à la pointe du style , Tombre des
lignes iroit marquer for le mur la direction de
foutes les lignes horaires.Au défaut d’une glace,, il suffirait de quelques
trous faits for les lignes horaires du cadran ver--
tical méridional.Si le mus approchoit trop d’être exposé à Torient
ou à Toccident, en sorte que le style prolongé rie
pût le rencontrer que fort loin, il faudrait faire
le cadran sans centre. Pour avoir une ligne horaire
du cadran vertical, on tendrais un fil depuis
Ta ligne horaire du cadran horizontal par divers
points du slyle ; ce fil iroit marquer autant de
points.fur le plan vertical: ce qui déterminerait
la ligne horaire cherchée.La troisième méthode que Ton emploie pour
tracer un 
boussole G.
cadran vertical déclinant, consiste dans
une opération graphique, dont jé vais donner lesrègles
& les démonstrations ; mais elle suppose
quon connoiffe la déclinaison du plan ou 1 angle
du méridien, soit par une méridienne déjà tracée
au moyen des méthodes que nous avons expliquées,
soit par le moyen du déclínateur représenté
dans la figure 2 f6 , qui porte une règle
mobile F G fur un demi-cercle AED & uneSoit la méridienne verticale CLM{fig. zg7) 
Thorizon taie LP , on fera Tangle ML D égal
à la déclinaison du plan ; on élèvera en un point
D à-volonté^ la verticale DP, & ia perpendiculaire
L P : le point P sera le pied du style ;
car si Ton imagine Ia ligne L D relevée en Tair,
& Ie triangle perpendiculaire au plan de la figure
& du cadran, le style passant en D , la perpendiculaire
.D P fera le style droit, & P le" pied,
du style. -Ayant pris L H égale à D L , & fait Tangle
LH C égal à la hauteur du poIe,*Tinterscction Ç
fera le centre du cadran, & la ligne CP B fera
la soustylaire, c est -à -dire -, la ligne du cadran '
fur laquelle répondra perpendiculairement le fiyle
dueatíra7z. Eri*effet, H étant conçu relevé, ainsi
que le point D perpendiculairement for le point P ,
ou dans une position horizontale & dans ta direction
LD de la méridienne, la ligne HCfera Ia
style du cadran.Sur la ligne P £ perpendiculaire à la soustylaire
, on prendra P S égal à P D ,. qui est lo
style droit, & CSX marquera le style du cadran ;
òn lui tirera une perpendiculaire SB, & par le
point B on tirera une ligne B M, perpendiculaire
à la soustylaire , & ce sera Téquinoxiále ; car S
étant regardé comme le centre de Téquateur, dontl4iC a d c adle plan est perpendiculaire au style ou à Taxe du
monde, Tintersection de Téquateur avec lê plan
du cadran sera Téquinoxiále: or cette ligne est une
perpendiculaire tirée sur la soustylaire ; en effet,
toiites les fois que deux plans sont perpendiculaires
sor un troisième, leur commune section est
perpendiculaire aux deux autres sections, qu’ils
font sor le-troisième plan. Il suffit.de mettre un
'livre entrouvert, debout sur une table pour sentir
l’évidence de cette proposition, mieux que par
lin appareil de démonstration. Or Téquateur_ &
le plan du cadran sont tous deux perpendiculaires
au cercle horaire, qui est le.méridien du plan:
ainsi leur commune section, qui est Téquinoxiále
■fera perpendiculaire sur -les deux sections, dont
Tune est le rayon de Téquateur, "& l’autre là.
■ soustylaire. " >Le point d’intersection R de Téquinoxiále avec
l’horizqntale HLP R-, fera le point de 6 heures ;
car le rayon de 6 heures dans Téquinoxe est perpendiculaire
au style, & horizontal, comme la
ligne S P , qui est perpendiculaire, au plan : donc
il doit être à la même hauteur que lé point P ;
donc il est placé à la rencontre de l’horizontale P R
& de Téquinoxiále B R. -.-'■_ ''■.."Ayant pris sor la soustylaire B A égale a B S,
ce sera le ra3"on de Téquinoxial^ supposé couché
sur le plan du cadran, le point A sera le centre
diviseur de Téquinoxiále,- le point M étant le
point du midi ; Tangle H^Mscra droit : on divisera,
le quart de cercle K 0 en 6 heures ; &
tirant’des rayons par les points de divisions, ils
rencontreront Téquinoxiále aux points par lesquels doivent
 passer les lignes horaires menées du centre
C. Ainsi,ayant pris, par exemple, un arc K N
de 15 degrés, & tiré une ligne A N:Q jusqu’à
Téquinoxiále , on aUra le point Q, par lequel doit
passerla digne d’une heure CÇ. ^ 'En prenant de même' 300  ? Ton trouvera la ligue
de deux heur es ; & ainsi des autreï ;Quatrième méthode. La déclinaison du mur for
lequel on veuf tracer un cadran étant la chose la
plus difficile ou la.plus embarrassante, on a cherché
divers moyens de s’en, passer ,■ & fur-tout-par lés
points d’ombre^ & le moyen le plus simple consiste
à trouver la soustylaire du cadran, par le
moyen de deux ombres égales. Cette méthode
ressemble à celle qu’on emploie pour tracer une
méridienne par des cercles concentriques. Gnomoiiique
de la Hire, 1698 , pag. 35.Je suppose qu’on ait planté dans le mur un faux
style, soit une pointe pour en marquer.Tombre,
soit un trou pour laisser passer un rayon ou une
image du soleil. -M. de' Parcieux faisoit ses faux
ilyles de .deux pièces, comme on le voit,j%.: Z58.
Lorsque le soleil arrive dans le cercle horaire,
qui esl perpendiculaire au plan du cadran, ou dans
le méridien du plan, il répond perpendiculairement
fur la soustylaire , &. Tombre est la . plus
courte qui soit possible. Avant &" après il la voit ,obliquement, & les ombres font plus Iongiies’í
Tobliquité est la même une heure avant & une
heure après ; car le soleil faisant 15 " par heure d’un
cercle horaire à l’autre, il est 150 au-dessous de
la méridienne du plan dans le premier cas, & 15 ?
au-dessus dans le second cas ; il est dans les deux
cas à des situations parfaitement semblables aiir
dessus & au-dessous : ainsi les ombres doivent être
égales dans lës deux cas. .Ainsi , ayant masqué le pied du slyle ou le point
du mur , où répond perpendiculairement la pointe
du style, ou le trou de lumière, on décrira decè
pied comme centre des cercles concentriques ; on
marquera for chaque circonférence le point d’ombre
avant & après le. passage du soleil par la méri-.
dienne du plan ; òn partagera en deux les arcs interceptés
fur chaque circonférence ; le milieu sera
un des points de la ligne cherchée, qui doit auffi
pasl’eí*par le pied du style. ;.On peut faire cette opération à plusieurs inter\
valses différens , & Ton aura plusieurs points .
I -d’ombre , qui tous appartiendront à la fously-r
laire. •Lorsqu’on a la soustylaire, il/est facile de décrire
le,reste du cadran comme dans la méthode
précédente. ."',..La difficulté d’avoir. de ces faux styles percés
d’un trou pour les points devlumière, á fait dire
"à M. de la Prise qu’on pourroit y suppléer par un
solide -S de 9 à 10 pouces, J ?^. 2.55 , & de deux
pouces & demi d’équarrissage , avec deux traverses
qui- affleurent Te dessous du solide, & en
forment comme une quadruple équerre qui assure
la situation perpendiculaire du solide for le plan.
L’ombre Q de Tangle i1 du solide, se.détermine
avec assez.de précision ; en tirant des lignes
O A, OB qui rasent- légèrement l’ombre des côtés
C’& D delà base supérieure du prisme ;Te point
de concours de ces deux lignes donne le point
d’ombre cherché. Méthode nouvelle .pour trattf ies<
cadrans, par M- de. la Prisé, à.Caën, 1781.Cinquième méthode.'Vn seul point d’ombre peut .
donner le céhtrë d’un, cadran vertical, de la manière
que nous avons employée pour {e cadran
horizontal. Car quand pn connoît la lííngueur. du
rayon solaire SO , fig. 260 , la longueur du style5 C qui esl égale au style droit divisé par le cosinus
de la latitude-, & Tangle C S Ò qui est ég\tl á 90°
plus ou moins la déclinaison du soleil, on peut
résoudre le triangle, soit par le. calcul, soit par
une opération graphique, & trouver le côté Q O ;
•alors du point O, comme centre avec le rayon OC,
Ton décrira un arc de cercle ; du centre S avec une
longueur égale à S C, on décrira, urr autre arc,6 Tinterscctipn commune fera le centre_C du
cadran. ' ■ - ,, Quand le faux slyle est une plaque percée d’un
trou pour laisser passer le rayon solaire, il faut le
boucher avec une pièce de bois bien ronde, & dont
le centre, puisse servir aux opérations précédentes*C ajd •'. cad in■ Sixième méthode. On pèut auffi trouver la position
de Taxe du cadran par deux points d’ombres
qui ne supposent point des ombres égales ; mais
qu’on prend les plus éloignés .qu’il soit possible.On tendra deux fils comme S’O du sommet du
ffyle i1 aux deux points d’ombre, & un troisième
S C qui faste avec les deux autres un angle égal
au complément de la déclinaison du soleil ; celui-ci
•marquera la position de Taxe ou du slyle î C.
'■ Deux triangles de carton C.S O découpés de manière
qu’un de leurs 'angles iToit le-"complément
de la déclinaison du soleil, & dont .un côté.seroit
dans la direction du peint d’ombre , étant réunis
par leurs côtés supérieurs, marqueraient auffi la
direction de Taxe..On pourroit encore se contenter d’un seul point
d’ombre , & faire un des triangles de carton, de
manière que son côté vertical fît avec l’autre un
angle égal au complément de la hauteur, dupple,.
(à Paris 41 ° ) & quand un de fes’çótés, réuni,
avec celui de l’autre triangle s’appliqueroit contre
le mur, il y marquerait le centre du cadran, &
lé côté obliqué marqueroit la position du style.
- Septième méthode. Lorsqu’on a un style comme
AB, fig. zGi ,■ dont la pointe B a donné fróis '
points d’ombre C, D , F, il’ne s’agit que d’avoir
un cercle O D H qui touche les trois rayons B C,
B D, B F & Taxe IB qui, traversant perpendiculairement
le cerclé, passera en B au.bout du
style, indiquera Taxe du cadran.
r ■ C’est le premier fondement de la Manière - universelle
de M. pesargues pour poser l’esfieu aux
cadrans, publiée en 1643. Elle est en effet tfèsffmple
dans la Théorie & affez commode dans la
pratique. La figure fait voir comment on assemble
la pointe du style avec les trois points d’ombre
au moyen de trois règles ou de trois fils, fur lesquels
■on ajuste le destous de Taxe IB, ou la partie qui
passe exactement par le' centre de la, platine oú
dû cercle. D H destiné à représenter le parallèlp
diurne du soleil pour-ce jour-là. Les principes
établis ci-deffus feront affez comprendre que les
trois rayons solaires BC, B D ; BF faisant le même
angle avec Taxe B I tk avec le cercle D HG,
le style B I du cadran est. nécessairement parallèle
à Taxe du monde ; les angles que les rayons font
1 avêc Taxe B I feroient des angles droits le jour
de Téquinoxe, alors le cercle seroit parallèle aux
trois rayons ou aux trois fils".
' La huitième méthode que Ton peut employer
pouf les cadrans verticaux déclinans, est celle de
la hauteur & de Tazimut du soleil, calculés par
ta point’d’ombre, à la manière de M: deParçieux
qui a composé un volume presqu’entier pour f explication
de cette méthode, en détaillant tous lés
cas, tous les calculs, toutes les précautions, tous
les exemples avec beaucoup de clarté  ; mais avec
une éfpèce de prolixité. Nouveaux traités de Trigométrie
& Gnomonique ,. Paris 1741, in-4°. . "Ayant planté un faux style í, fig. zêz, marquele pied du style P & un point d’ombre O, Ton
tire ûne horizontale P H & une verticale H O,
on en mesure exactement.les longueurs, & Ton
s’en sert pour trouver par la Trigonométrie la
hauteur du soleil & la différence de son azimut
à celui du plan. ' . - . 'La hauteur du soleil sert à trouver son azimut
vrai, & la différence trouvée précédemment donne'
celui du plân ou fa déclinaison.-Quand on connoît la déclinaison du plan, Ton
peut trouver les lignes horaires’soit par Topération
graphique de la troisième méthode, soit par la
Trigonométrie sphérique , ■ comme nous "1 expliquerons
dans -la neuvième méthode.Si Ton conçoit le style S rélevé perpendiculairement
au-dessus de P & réuni avecte point H
par unë ligne horizontale S H, on aura un trianglerectangle
en P, situé-horizontalement, dont on
aura mesuré exactement les’ côtés S P, P H, &
dont on pourra" calculer & même mesurer Thypó*
thénusë S H. On calculera auffi Tangle H qui sera
la différence entré Tazimut du soleil. & céíui du
plan, puisque c’est un angle formé dans un plan
horizontal entre la ligne P H du plan ,& la ligne
■ifs qui est dans le vertical du soleil. L’h3pothé-.
nuse S H formera avec la verticale H O un triangle
rectangle en-ET, dans se plan du vertical dufoleil ;
çonnoissant les deux côtés SH &.HO de ce triangle
& même S O que Ton peut mesurer, on calculera
Tangle O, qui est la distance du soleil au zénit,
au moment où Ton a mesuré se point d’ombre »
. Dans le triangle P Z S, fig. 39, connoiffant la.'
distance Z S du soleil au zénit, fa distance au pôle
P S , & la distance du pôle au zénith PZ,
on Calculera Tangle Z qui. est Tazimut du soleil.
Ainsi, Ton connóîtra Tangle que fait le vertical
dufoleil avec le méridien., & comme Ion connoît
par Topération précédente, Tangle que fait le vertical
du soleil avec le plan du cadran, la somme
Ou la différence de ces deux angles donnera Tandis
du méridien& du cadran ; ainsi, l’on "connóîtra par
un seul point d’ombre la position du mur fur lequel
on se propose de tracer un cadran, après quoi
Ton exécutera Topération graphique dont nous
avons donné le détail & la démonstration dans lâ
troisième méthode, où Ton y appliquera le calcul trigònPmétrique.
 " -La neuvième méthode pour tracer les cadrans
'verticaux est celle de la Trigonométrie sphérique,
en supposant la déclinaison du plan connue par
Un des. moyens que nous avons’indiqués. Soit Z,
fig. 40, le zénit, P, le pôle, ZDRB le vertical
qui est dans le plan du Cadran.P Z D angle da plan Z B du cadran avec le
méridien Z R O.. --. ; - * .P R un arc perpendiculaire fur ZB , qui-est le
méridien du plàn, le cercle de la soustylaire ; Tare
P. R est Tangle de Taxe-avec Ta soustylaire.
■ P D un cercle horaire ; par exemple, celui d’une
Hhij
■ÏAA C A D
C a dlieurc qui sait avec Ie méridien un angle Z P D6L’arc ZE est éral à Tangle de la soustylaire
avec Ia verticale ou la méridienne.L’arc D E est Tangle de la soustylaire avec Ia
b'gnc horaire qui passe en D-' ' -Dans le triangle Z P R on connoît P Z &■
l’ansle Z du plan avec le méridien, Ton cherchera
Z X, & Z P X, par les analogies suivantes.
R ; cof: Z : : tan. P Z : targ. Z R.
R ; sin. P Z ou cof. latit. : ; sin. Z '. sin P R
angle de Taxe avec la soustylaire.R I cof. P Z ou sin lat. .*: tang. Z .' cos. ZPR
angle du méridier) avec le cercle P E. ou méridien
du plan ; cet angle s’appelle quelquefois différence
des longitudes.Oh ôtera Tangle horaire Z P Z) de Tangle ZPR
ou on les ajoutera, pour avoir Tangle D P R,
& Ton sera cette proportion ; R' sin. P R " tang.
DPR', "tang.. J ?' il, angle de la ligne horaire avec
Ia soustylaire , mesuré dans le plan du cadran.
M. de Clapiès a donné dans ses Mémoires de
TAcadémie pour 1707, le calcul des angles des
Tignes horaires pour les cadrans solaires, verticaux
ou inclinés, démontrées par les triangles rectilignes.
M. de Parcieux a donné lui-même des tables des
angles horaires dans les cadrans verticaux à Paris,
pour différentes déclinaisons ;'& Mr'Garnier en "a
donné même pour différentes latitudes en Europe,
Gnomonique mise à la portée de tout le monde ;
Marseille 1773, in-8°. .-Lorsqu’en connoît par le calcul les angles des
lignes horaires, on peut ses tracer fur la muraille,en
 calculant en pieds-, pouces Stlignes, ou en
parties égales d’une échelle quelconque les dislances
de ces lignes à la méridienne ou à la soustylaire.
Soit S P ,fig. Z63 , la hauteur du style droit, X
le centre du cadran , P X la soustylaire. On mesure
d’abord le style droit ou la distance perpendiculaire
á1 P du faux style ou de la pointe du
style au plan du cadran ; dans le triangle S P X
dont onconnoîf un côté S P & Tangle SXP du
style avec la soustylaire, on trouvera Ja dislance
P X du centre du cadran au pied du style", &la
distance SX ; dans le triangle S XE rectangle.en
S, on trouvera XE distance du centre X à Téquinoxiále
E Q. . ' 1'Pour tirer une ligne horaire comme XK TL R
dont on connoît Tangle avec la soustylaire, conroissant
XE & Tangle £ XL, on trouvera E £
en parties de la même échelle quela hauteur du
du style droit SP , on prendra donc EL de la.
quantité trouvée , & l’on tirera du centre X ía
ligne horaire par le point L.Pour .s’assurer de Texactitúde de ces mesuresavant que de peindre les lignes , on prendra sorune bonne montre Tespace d une heure, & Tonverra fi l’ombre a parcouru exactement Tintervalle- des deux lignes horaires dans Tespace d’une heure,Si Ton-veut tirer les lignes horaires parle
moyen de la méridienne verticale XFM, on se
servira des angles que font ces mêmes lignes commeXE ;
dans Íe triangle XE M, on connoît A"£
& Tangle. MXE que fait la méridienne avec la
soustylaire ; on cherchera la longueur de la ligné
XAf ou la méridienne depuis le centre X jusqu’à
Téquinoxiále M.bans le triangle M XR rectangle en M, coi>
noissant XM& Tangle'M XE- de la méridienne
avec la ligne horaire, on cherchera MR, & par ;
le'point R, on tirera du centre X la ligne horaire
XE. . •
- CADRAN fans centre. Lorsqu’un cadran vertical
décline beaucoug vers Torient ou vers Toccident,
le centre est si loin.,-qu’il seroit difficile-, souvent
impossible de le marquer, à moins de faire le cadran
très-petit : on y supplée par deux équinoxiales
ou deux horizontales, en calculant deux fois la:
hauteur du style droit, ou deux fois le rayon de
Téquateur pour des points de Taxe éloignés d’une
certaine quantité. -On choisira lës deux horizontales quand la déclinaison
du plan sera petite , & que cependant
Ton .ne pourra pas avoir de centre. On préférera
les deux équinoxiales quand -la déclinaison sera
fort grande, parce que les deux horizontales feroient
trop près, si Ton vouloir, s’en servir pour
trouver les lignes horaires éloignées de la méridienne.Si -Ie point E ', fig. ZS3 ', est Tinterscction de
Téquinoxiále avec la soustylaire , on prendra la
dislance í E de la pointe du style au point E,
on la portera de £ ën C, on décrira le cercle
A E qui représente Téquateur : le rayon’ C A M,
meneau point de midi, déterminera le point À
duquel il faut partir poUr diviser le cercle AÊ
de 15 en 15 degrés ; Tare A O étant supposé de
15", on tirera C O L, ce qui donnera sur l’équinoxiale
M E Je point £ où doit passer la ligne
horaire comme XL pour une heure après-midi.'On tirera une autre ligne FD parallèle à Téquinoxiále
M E ; & ayant pris for Yaxe'SVB un
autre point B dont la distance à Téquinoxiále soit
Une ligne B D perpendiculaire au style en D, on
portera cette distance fur la soustylaire de D en
G. On décrira un autre cercle H £• qui représentera
enCoré Téquateur ; & en partant du rayon
G H F qui passe par la méridienne F, on-prendra
des arcs de 15° comme HN : 011 tirera par chaque
point N des rayons G N K qui, prolongés jusqu’à
la tangente FDV, donneront sur cette seconde
équinoxiale les points horaires 1C correfpondans
à ceux de la première équinoxiale Af £>
& on -tirera les lignes horaires comme EX, par
les points correfpondans K & L des deux, lignes
équinoxiales.Si l’on a employé le calcul comme dans Ia méthode
précédente, on saura quel angle doit faire
chaque Jigne Jioraire KL avèc la méridienne F MiC á d c a^d
2,45 -
.& combien k centre Xdoit être éloigné de Téquinoxiále
As ; ainsi, dans le triangle XMR connoiffant
le côté As & Tangle X, on trouvera la
valeur de MR. On prendra un point F deux ou
trois pieds plus liàut ; & résolvant le triangle
XFT, on trouvera la valeur.de la perpendiculaire
FT, ce qui déterminera la ligne horaire
TR , Tans employer le centre X. "rOn connoît auffi Tangle ,SXP du style avec
la soustylaire, on connoît S P , on calcule des
perpendiculaires comme V D & Q E pour des
distances XE, Xi ? prises à volonté, & Ton place
' le style VQ au-dessus de la soustylaire D E ; en.
mettant une triple ëquerre, fig. Z64, à un bout
du style, & une double équerre à l’autre bout
pour le-soutenir en place, jusqu’à ce que les supports
VDQE soient scellés.IX. CADRANS inclinés & déclinaris. On choisit
rarement, pour tracer des cadrans ; les surfaces
qui ne sont ni verticales, ni horizontales ; cependant
M. de la Hire,, considérant que les murailles
lés plus solides ne sont jamais exactement verticales
, a regardé tous les cadrans comme pouvant
avoir un certain degré_ d’inclinaison , & if a cherché
des méthodes générales qui pussent servir pour
des cadrans inclinés : nous en traiterons à son
exemple, mais beaucoup plus en abrégé, parce
qu’il nous a paru qu’il y avoit dans ces méthodes
plus d’élégance & de savoir, que d’utilité pour la
pratique. -- "On appelle quelquefois reclinans ces cadrens,
inclinés quand ils ne paffent pas par le pôle, &
déinclinés lorsqu’ils he regardent pas les points
cardinaux,.ou qu’ils sont à-Ia-fois inclinés & déclinans.
' . - - -Je commencerai par indiquer un moyen mécanique
, màis facile de tracer ces cadrans fur toutes
sortes de plans ; en y employant un cadran équinoxial
ou un cadran horizontal bien orienté. La
méthode est la même que celle qu’on a vue pour
les cadrans verticaux dans la première & seconde
méthode.Je paffe donc à la méthode indiquée par Ta
plupart des auteurs, & qui" suppose qu’on connoiíse
la déclinaison & Tinclinaifon du plan. On
connoît la première par le moyèn du déçlinaleur,
fig. Z56,- & la féconde par Ie moyen d’un
demi-cercle décrit sur tine planche carrée A B
CD, fig. Z65, & garni d’un à-plomb F G R
qu’on applique sur le plan incliné IB CL ; en
observant de le placer sur une ligne perpendiculaire
aux lignes horizontales du plan ; la distanceE
G entre le fil-à-plomb & la ligne du milieu
FE , forme un arc égal à celui, qui'mesureroit
Tangle L, inclinaison du plan IL sur la ligne
horizontale KL.. - Supposons un plan qui décline du midi à l’oríeht :
de 35 degrés, c’est-à-dire, qui regarde le midi&
lorient sous un angle de }5°"& incliné âfe 250,
supérieur.Tirez íes deux lignes A E, G D à angles droits,
le point drntersection £ étant supposé le lieu ou
le pied du style ; prenez sur la ligne horizontale
une quantité E F égale à la longueur du ùyíe $
de Textrémité F,-comme centre, soit décrit un arc
HI, coupant Thorizontale G D au point G ; prenez
Tare -G H égal à í'inclinaison qui est de 25%
& GJ égal à son cemplément 6<j°, la ligne ima-,
ginée de F en i sera horizontale ,^& de F en H"
verticale. Par Ie point I tirez Thorizontale MI
LN’, & par le point H la ligne FZÍTïqui cou- .
pera la ligne O E au point ÍC.Prenez la distance FL, &'portez-la de X en
O ; du point O , comme centre, décrivez Tare
P L Q , du point L prenez Tare L Q égal à ladéclinaison
du plan 35°, à droite du point L, û.
le cadran décline vers Torient ; ou s’il décline du
septentrion à Toccident, prenez Tare L P égal au
complément de la déclinaison ; la ligne' Ò Q Ks
marquera au point N le point du midi ; car puisque
F L égale O L , fi l’on imaginé le'point F'.
& le point 0-relevés horizontalement à lâ hauteur
du point X, ayant pris Tare L Q égal à la
déclinaison du plan, la ligne hofizontase O QFs
sera dans le méridien : mais la ligne F K est
verticale, & la ligne menée de F .à N est une
méridienne horizontale ; le point K est donc dans
le méridien, donc-la ligne Nií est la méridienne ;
du cadran, & la ligne perpendiculaire O P M
marquera en M lé point de six heures.Ayant-tiré là méridienne par le point N & le'
point K pour avoir le centre C, on abaissera du.
point M une perpendiculaire MB R sor. la méridienne
 ; on portera l’espace N O depuis le point
'^N jusqu’en R sor cette perpendiculaire, ou bien
{'espace K F depuis K ; car Je point.F & le point
R sont un même point ; pour faire une intersection:
en R,& Ton tirera Ia ligne oculte N R : du point
R òn décrira Tare VS X, on prendra S V de
490, qui est la hauteur du pôle pour Faris, &"
la ligne VR C ira marquer en C, fur ía méridienne,
le centre du cadran.En effet, pour trouver le centre du cadran C,
íl faut avoir une ligne N R qui soit placée, par
rapport à Ta méridienne du'plan & dans le plan,
comme la méridienne horizontale O N Tétoit
dans le méridien, c’est-à--dire, qui faste avec làméridienne
du plan le même angle que faisoit la
méridienne horizontale ; pour cela, il ne s’agit que
de faire tourner la ligne 0 W autour du point 2vV
fans changer ni fa longueur, ni Ta distance perpendiculaire
à" Ia méridienne :2V C, & Tamener
en N R. Pour cela, je conçois un pian perpendiculaire
au méridien, passant par la-ligne horizontale
O As qui est perpendiculaire au méridien,,
& je" le fais tourner jusqu’à ce qu’il soit perpendiculaire
à la méridienne'N C de mon plan ;alors
Ja ligne tirée du point As & Ia ligne tirée du.
point O seront éguíement perpendiculaires en B'
í fur la méridienne 5 puisqu’elles font -toutes detuc
X&6C a d c a d .dans un plan perpendiculaire à la méridienne en
B : la ligne BR fera la hauteur perpendiculaire du
point Ô ou du point R au-dessus de la-méridienne
 ; & en renversant sur le plan le triangle
K B R, nous aurons le même angle K N R,.
puisque Thypothénuse & le côté B R sont les
mêmes, & il importe peu que B R soit perpendidculaire
à la méridienne N B-, ou dans le plan
ou au-dessus du plan. Prenons donc au-dessus
de la méridienne horizontale N R un arc i1 V
de 49°, la ligne RV ira au pôle & au centre
du cadran, la ligne E X dans Téquateur & dans
Ie méridien ; donc Téquinoxiále passera par. le
point Z de 'la méridienne. ■ . _ ' - • .,' On fera auffi SX égal au complément de la
hauteur du pôle ; la ligne ou se rayon EX coupera
la méridienne, en Z, & par ce point on
tirera Téquinoxiále M Z. La soustylaire CE est
perpendiculaire à Téquinoxiále en T ; car elle est
formée par Tassemblage des perpendiculaires abaissées
de Taxe du cadran fur le plan, & par Ta
commune section de deux cercles qui sont perpendiculaires
l’un ,à Tautre, le plan & le méridien
du plan : mais Téquateur esl auffi perpendiculaire
au méridien du plan ; donc il fera sor le
plan une commune section qùi sera perpendiculaire-,.
à celle du méridien ou du cercle horaire du plan.
En effet, quand deux plans sont perpendiculaires
l’un à' l’autre,-un autre plan auffi perpendiculaire
à l’un ne -peut faire qu’une section parallèle à
celle du premier ; íe slyle passe par C & par le
bout F du slyle droit EF.'Póur tracer les heures,'
on peut porter sor Te cercle PI Q les ares des
heures pris for un Cadran horizontal dont la méridienne
soit fur O Q N ; on prolongera les rayons
jusqu’à la tangente horizontale MN, & Ton aura
les points où passent les lignes horaires, ou bien
Ton cherchera le centre ^diviseur de Téquinoxiále
MTZ, en portant la distance TFentre Íe point
T & le bout du style fur Ia soustylaire CT. On
décrira sor ce rayon un cercle dont Téquinoxiále' -,
soit tangente, pn le divisera de 15 en 15 degrés,
en commençant au point Z où la. méridiennev':
coupe Téquinoxiále, ou au point As de 6 heures ;
les rayons tirés de 15 en 15 degrés, marqueront
fur Téquinoxiále les points par lesquels il fauttirer
les lignes horaires qui partent du centre C
du cadran.- ■C’est fur ce principe que .Ton trace des cadrans
fur différentes faces d’un polyèdre ou d’un solide
à plusieurs pans, comme on en voit souvent dans
les jardins. ' ■ - ; .■'•."Les opérations que nous venons d’exécuter avec’
la règle & le compas, se peuvent remplacer par .
la Trigonométrie sphérique, si Ton avoit à construire
un très-vaste cadran.Soit TBB, fig. ZG7,la*moitié de Thorizon, Z le
zénit, P le pose, A R le grand cercle dans le plan
duquel est le cadran incliné,& déclinant. L’ar'c -Z V,
perpendiculaire au plan , est le complément del’ihclih'auoh, & Tangle A Z Vie complément de
la déclinaison E E du cadran. L’arc F Y, perpendiculaire
sur le plan, est Tangle du slyle avecla
soustylaire. •Dans le triangle A ZV, on cherchera YarcAZ
qui, ajouté avec’ P-Z, donnera A P ; Ton cherchera
auffi Tançle A. • . - - ' :"Dans le triangle A P Y, connoissan.t ,A P &
Tangle A', on trouvera A Y, angle'de la soustylaire
avec la méridienne, S Télévation du stylé
sor le plan égale,à P-Y, & Tangle AP Y que
le méridien du lieu fait avec le cercle horaire"
perpendiculaire au cadran , ou avec le méridien
du plan.Pour trouver les lignes horaires, on supposera
un cercle horaire P O, faisant avec le méridien
un angle P de 1 150 pùur une heure, &c. ; on
Tôfera de Tangle A P Y pour avoir O P Y qúi,
avec Tare P Y, fera trouver .0 Y : c’est la mesure
de Tangle que fait dans le plan du cadran la
ligne d’une heure avec la soustylaire. '•'Si Ton veut rapporter les lignes. horaires à
Thorizontale du plan , on résoudra ,lé triangle
ARI dans lequel pn connoît l’incliri'âlson E &
la déclinaison TE par "r'àppòrt au méridien ; on
trouvera A R qui mesure Tangle-de la méridienne
'avec Thorizontale du cadran. "'•"■Ce problême général a été résolu analytiquement
dans un mémoire qui fait partie du volume,
intitulé : Recherches fur la Gnomonique , ks Rétrogradations
& les Eclipses 27S2 , dont les auteurs
étoient M. du Séjour & M. Goudin. Celui-ci en
a donné une solution dans TEncyclopédie d’Yverdon
au mot Gnomonique -, & dans ! les TupplémeHS
de Paris au mot Cadran,Jusqu’ici j’ai supposé qu’on connût Tinclinâison
& la déclinaison du plan sur lequelon veuf tracer
un cadran ; mais’ òri peut y suppléer avec des
points d’ombre j comme dans les cadrans verticaux. ;
•'■:■' ' ^
- Quand on Connoît la hauteur du pôle & la déclinaison
du soleil, il suffit d’un seul point d’ômbrè
pòiif trouver la soustylaire- sur ùh plan quelconque.
(La Hire, p. 44, ) ■Soit S la pointe du style (fig. zG8 )  , ,qui a
donné le poinf A ; P le pied du style, ouïe point
sur lequel tombé Ja" perpendiculaire, abaissée du
style S sur le plan ; H h une ligne horizontale qui
réponde ou soit dé niveau à la hauteur du'stylé
S ; P Z parallèle à H h, & égale au stylé droit
P S ; B P H perpendiculaire sur Thorizontale H h ;
òn tirera HZ, & Z B perpendiculaire à Z H..On sera séparément un angle p s a ( fig. zGs) 
égal à la distance du soleil au polé, & Yang{epsb
égal au complément de la hauteur du pôle, pour
que p.s d .représentant^ Taxe, du cadran , la ligne
■s b Toit verticale ; & ayant pris un point d àf volonté,
on fera s b égale à Z B , & Í a égaie au
rayon solaire, mesuré dé S en A ; on joindra les
lignes ad & b d, . 'Cad " / c ;á d ; :±4fOn tirera îa ligne AB ;. du point B comme centre', ;
avec ;un demi-diamètre égal a b-d, on décrira un
arc ./X:. du point A avec un rayon égal à ad.,
on décrira un arc gL ; du point L , on mènera'
Ia ligné X O perpendiculaire sur A R • cette ligne
sera le rayon d’nn cercle for lequel doit être le
point de laxe que Ton cherche, représenté parle
point d. ' .Du point O comme centre avec un rayon OL,
on décrira un arc de cercle D Le ; du point P ,
on mènera P G.K perpendiculaire à OL, Pu parallèle
à B A ; du point P , comme centre avec
un rayon égal à ds , on fera une intersection I
sur la ligne. O'L. Alors GI fera égale au rayon
de la base d’un cône, dont Taxe est égal a P G,
&le côtéégal àPI. .Òn fera G K égale à la hauteur du style P S
-du point K avec un rayon égal à. G T ;- on décrira
un arc RD , qui coupera le cercle DL
én D., ce point étant conçu relevé au-dessus de
la ligne X G IO , est celui où doit passer le style
en forte que D Q perpendiculaire fur L O ^ mar- '
quera le point de la soustylaire v qui répond perpendiculairement
sous le point d du style.Enefset, si Ton conçoit.le cône dont lesommeí
est au point S , relevé au-dessus de P., le centre
de la base au point K relevé au-déffus de G , &
le côté P J égalà ds ; la circonférence de Ta base
renfermera tous les. points où peut répondre le
pointa" de Taxe. Mais le cercle LD renfermera
auffi tous les points qui-sont éloignés, de A &.
de E autant que le'point a* : donc c’est à la rencontre
des deux arcs qUe doit être le point d
de Taxe ; donc la perpendiculaire D Q marquera
le point de la soustylaire , correspondant au
point íf de Taxe.Ayant un point Q de la soustylaire, on tirera
la ligné P Q par le pied du style, & ce serâ la
soustylaire, au moyen de laquelle on décrira le
cadran par la méthode indiquée ci-devant. ' .Dans la Gnomonique de AL de la' Hire, il.y
a dix méthodes semblables pour trouver par deux
où trois points d’ombre, ou la soustylaire, ou Ie
centre d’un cadran incliné, fans connoître même
la déclinaison dufoleil, ni la hauteur du pôle ;
Ja plupart de ces méthodes, sont assez compliquées
pour les démonstrations, & il me semble quelles
v ne font pas fort utiles pour la pratique.X. Cadran fans style par la hauteur du soleil.
Dans tous les, cadrans dont noùs avons parlé jusqu’ici,
il y a un style parallèle à Taxe du monde ;
maison peut auffi trouver Theùfe qu’il est par
la hauteur du soleil ou par son azimut, ; de plusieurs
manières différentes ; &- c’est ce que noús
allons expliquer. ■■.■/- .:L’astrolabe ou planisphère, doiit les astronomes
depuis Ptolemée ont fait un usage continuel, s’apphquoit
à tous les problèmes de la sphère & de
la Trigonométrie sphérique. On dut naturellement
Tappliquer à- trouver Theure par le .moyende la hauteur du soleil ; ée qui produisit les
cadrans òù Theure est marquée par ie -fil même
qui sert à mesures la hauteur du'soleil.Auffi voyons-nous ces cadrans décrits dans les .
plus anciens auteurs de Gnomonique. Sebastien
Munster en décrit un-, dont il dit quadrans juxta.
veterum usum, & il cite Regiomontanus comnii
en ayant fait un- d’une espèce particulière, différent
de ceux 'dès anciens.-Dans.celui.de Munster ^
les. lignes horaires font dés courbes tracées par
la table des hauteurs du soleil à différentes heures
du jour &. en différens tems de Tannée ; & c’est
celui que. nous allons décrire. Munster se servoit
de Tastrolabe pour trouver les hauteurs du soleil
à toute heure ; mais il y a des tables des hauteurs
qui sont propres à construire, de pareils cadrans,
elles se trouvent dans la Connaissance des tems , de
1782 , .pòu'r Paris, & pour d’autres "latitudes dans
la Gnomonique de Dom Bedos, & dans les
Tables du Nonàgéfiine, imprimées à Avignon en."
1776': celles-ci ont été calculées, par M. Trébucher ;
d’Auxerre.On y peuf suppléer par la résolution du triangle
P Z S , que nous avons expliqué au mot HAUTE.fj-R.,
& qui sert également à trouver Theure
qu’il est quand, on a observé la hauteur du soleil,
où la hauteur pour une heure donpée.Mais,pour un cadran., il suffirait de Topération
graphique de Tanalemme. ( K PROJECTION". ) Soit
HO {'horizon, fig:ZÍz, P le pôle, E Q Téquateur'.,
M SAle parallèle diurne dufoleil pour une déclinaison
E-JÁ, HB la hauteur observée du soleil, .
B C une ligne parallèle à. A 0 ; ayant ouvert un
Compas de proportion fur le rayon’Ás^á du parallèle,
on’cherchera quel est Tare dont le doubje
de S A est la corde, on en prendra le supplément
ài8o°, & prenant une heure pour 300. zh pour
60°, &c. on aura l’heure qui répond à la hauteur
B H observée, ou à ía position du point S sur .
le parallèle diurne du soleil.
. Connoiffant la hauteur du soleil à différentes
heures, nous allons tracer ses lignes horaires fur
le Cadran. . 1Soient P cViC (fig. 2.70 ) les deux pinules que
Ton dirige vers le soleil pour mesurer sa hauteur ;
AB, ED deux" arcs de cercles décrits du
centre C, dont l’un serve pour Je solstice d’hiver,
l’autre pour le Tolsliee d’été, on .pourra en décrire
tant qu’on voudra, dans Tintervalle AE pour
les différens mois de Tannée.- "
• Si je veux marquer. 9 heures du matin pourle
21 décembre , je cherche la hauteur du soleils
qui est 70 \ ; je prends un arc A F de cette quantité,
& le .point-F est un des points de la ligne
de 9 heures.' 1. •Si je fáis la même opération" avec - la. hauteur
"du soleil le-21 juin, qui est 46 f-, il faudra ;
prendre ■ ce nombre de-degrés for le cercle d’en
haut ; on aura Tare £ G > & le.point G fers ;
l’autre extrémité de la ligne de- 9 'heures, . .C a d c à t>• Pour trouver le point qui répond au i" avril,
ie me sers d’un cercle décrit par le point H, &
le nombre de degrés que le soleil a ce jour-là de
hauteur tombant en.A, me donne un troisième
point de la ligne horaire cherchée : quand on. a
ainsi un grand nombre de points -, on trace la
-ligne à la main.Le fil à plomb, qui pend librement du centre £>
porte un coulant, une perle, un grain, d’émail,
que Ton peut changer de place ; on amène-le filfur
la ligne CA, Ton met Ia perle à la dis- "
cance CH,fi c’est le premier avril, on dirige les
pinules vers le soleil, & le fil à-plomb se trouvant
tomber dans la direction CK à neuf heures, la
perle manquera en K fur la ligne de- 9 heures,
& Ton’ sera sûr qu’il esl en effet 9 heures du
matin.On a donné dans les fupplémeus in-folio de
TEncyclopédie, la description d’un semblable
cadran, par M. Lambert, disposé tout différemment,
mais qui n’a pas plus d’avantage. Dans lés
mêmes fupplémens au mot AzrMUT, on trouve
la deseription d’un instrument semblable pour
trouver Taziniut du soleil par le moyen de sa hauteur ;
 il est de Tinvenfion de M. Lambert,
ainsi qu’un double secteur qui sert aU même usage ;
mais Tarticle étant très-lorig, &_ne me paraissant
pouvoir être que peu d’usage, il nia semblé ne
devoir pas entrer dans ce Dictionnaire.L’anneau solaire est un cadran de même espèce,
-c’est-à-dire, où Ton marque Theufë par les hauteurs
du soleil , dans la. concavité-d’un petit
anneau eù les lignes horaires font tracées, B ion,$a-g- 37SXI.CADRAN universel par les hauteurs du soleil.
Ce cadran, qui est appelle quelquefois le capucinÍfig. 271 ) à cause de la forme pointue de fa partie
ùpérieure, se trouve dáns Sebastien Munster,
fous le'nom de Quadrangulum Horoscopium., ou
Horologium quadrangulum generale : il est auffi dans .
-O ronce Finé', ce qui me fait penser que l’inTention
en est plus ancienne que les ouvrages de
ces deux auteurs, publiés en 1531. II est décrit
dans Clavius, pag. $37 ì mais aucun de ces auteurs
n’en a donné la démonstration: je vais tâcher d’y
suppléer. '-Construâwn. D’un point A pris’ pour centre
{fig. Z72 ) , on décrit un arc de cerclé E F ; on
prend de chaque côté de la ligne du milieu A D
des arcs de. 23° 28' pour y marquer, les déclinaisons
du soleil au premier degré, au 10e &
.au 20e de chaque signe, ou pour le 1 , le 10 &
le 20 de chaque mois ; à droite, les déclinaisons
australes, à gauche les déclinaisons boréales. Pour
cet esset, on peut décrire fur la corde E E un
cercle divisé en degrés ; on y marquera lés longitudes
du soleil ; on tirera par chaque longitude
iine perpendiculaire sur E F ; elle coupera Tare
EDF au point de la déclinaison cherchée.
Ayant pris O L pour la largeur du cadran} ondécrira tin quart de cercle O M, fur lequel or
-prendra les latitudes terrestres ; on en marquera
ses tangentes fur le bord extérieur O V, & par
ces différens points on tirera des perpendiculaires
dans le trigone AE F : ainsi AM, AG seront
égales aux tangentes de 45° de 6o°, & les lignes
passant par les points M~& G parallèlement à EF,.
(ont celles où Tindex devra être placé fous les
latitudes de 45 & de 6o° respectivement, & ainsi
des autres.A Textrémité í de Ia ligne O AL, on sens
encore un trigone des.signes CAB , en y transportant
les divisions de la ligne MX, qui passe
à 45°, & dont Ia dislance AM est égale à AL,
On mettra en haut les déclinaisons boréales de
L en C, en bas _Ies déclinaisons australes de L
enfl. ■Pour tracer les lignes horaires’, on continuer »
le cercle décrit sor O A ; on divisera Ia partie
O NL de 15 en 15 degrés ; on tirera des perpendiculaires
à -O A, & ce feront les lignes horaires
CH, A N’, O.P , en commençant par CH,
"qui sera la ligne de midi, mais qui ne peut servir
réellement, parce que la hauteur du soleil varie
trop peu aux environs du midi. - ' ■ ' 'Usage. On suspend un fil à-plomb sur le point
du trigone A E F, qui répond à Ia hauteur du
pôle du lieu où Ton est, & à la déclinaison ou
au lieu du soleil le jour de Tobservation. Le fil
à-plomb a une perle ou un noeud mobile qu’on
amène furie point de la ligne EX,C,qui répond
encore au lieu du soleil sur le petit trigone. Dans
cet état, Ie grain est à la dislance convenable de
la suspension pour marquer Theure sur les lignes
horaires lorsque le bord supérieur E F sera dirigé
vers le soleil, ou élevé de la quantité de la hauteur
du soleil par le moyen des.pinules qui sont
au .bord supérieur, de la plaque du cadran.Je-suppose, par exemple, qu’on soit à 6o°de
latitude, & que le- soleil soit au solstice d’été, on
suspendra Ie fil à-plomb au" point E ; on fera
couler la perle jusqu’en C, & la longueur du fil
£ C rendu libre marquera Theure sur les lignesCH,AN,OP.
Pour varier aisément la suspension du fil âElpmb, on se sert d’un petit bras recourbé &
risé, mobile à frottement, dont on amène Textrémité
sur le point d’interTection île la ligne de
déclinaison & de la ligne de latitude..Démonstration. Pour plus de facilité, je commencerai-par
le cas le.plus simple. ; si Tobserva"teur
 est sous la ligne équinoxiale, & le soleil
dans Téquateur, le point de suspension est en A,
& la perle du fil à-plomb partant du point £4
midi quand le soleil est au zénit arrive en Nqnand
le soleil, se couche, & que la ligne £ F est dirigée
vers Thorizon ; elle parcourt des arcs égaux
en tems égaux, ou ,15 degrés à chaque heure fur
la .circonférence LN ; ainsi, les lignes horairesquiC a d c a d m 9qùi sont tirées de 15 en 15 degrés, satisfont dans
çë ;cas-là.■ Si le soleil est dans le tropique, le fil à-plomb
à midi tombe à Textrémité-E du petit zodiaque,
ou il fait un angle, de 66° avéc la ligne AN ;
c’est la hauteur méridienne ce jouflà pour un observateur
situé sous la ligne. A mesure que la
ligne s’abaisse, Tangle BAN diminue comme la
hauteur du soleil ;les intervalles des lignes horaires,
comprises entre X H & A N, sont les cosinus des
angles horaires par la construction, puisqu’on a
pris ces angles horaires for Tare L N ; ainsi , les
sinus des angles du fil à-plomb avec la ligne AN
diminuent comme les cosinus des angles horaires.
Or il-est facile de voir que c’est auffi la marche
dès hauteurs du soleil dans ce cas-là. En effet, soit
E V(fig. 33 ) , le diamètre de" Téquateur , HO
Thorizon , TP le rayon du tropique , décrit par
lé, soleil ; suivant la propriété de la projection de
l’analcmme, le soleil à 4 heures répond en M
dans la projection, en forte que le cosinus TM
de Tangle horaire est la moitié du rayon TP du
parallèle ; mais MTe.fcauffi le sinus de lá hauteur
du soleil : donc le sinus de la hauteur du
soleil ' est còmme le cosinus de Tangle horaire,
donc le cadran répond à ce qui se passe dans la
phère pour ce câs-là.Supposons maintenant pour Tobscrvateur une
latitude quelconque égale k P O (fig. zjz) , E~Q
Téquateur, MA F le parallèle du soleil, Éle
lieu du soleil dans la projection analemmatique,
KL le sinus de la hauteur du soleil, KAAc
cosinus de Tangle horaire ; on voit que la ligne
KL fera toute la journée proportionnelle à IiF,
qui esl la somme du cosinus de Tangle horaire
actuel, &-áu cosinus A F de Tangle horaire au
lever ou au coucher du soleil.Or sise point de suspension dans le cadran est
en E'(fig. Z72) , & que la perle, décrive Tare
KQC depuis, le lever du soleil, qu’elle sera en K
jusqu’à midi qu’elle sera en C, le sinus," comme
Q R de Tare Q K, qu’else aura décrit à ••sept
heures du matin -, sera la somme de Q S & de SB.,
c’esl-à-dire, du cosinus de Tangle horaire à sept
heures, & du cosinus de Tangle horaire au point
K vers 2* P', qui est le lever du soleil dans çe
cas-là : donc elle marquera les heures & les hauteurs
comme nous avons vu quelles sont dans
Tanalemme. ■-…-J’ai dit que la perle étoit en C à midi ; il est
-aisé de voir qu’en effet 'Tangle- CE K est égal à.
la hauteur mérjdiennë du soleil ; car le triangle
ÉACeû semblable, au triangle G AL ( dont
l’angle G esl égal à la hauteur de l’équateur ,
puisque A G est la tangente de la latitude ) , les
côtés A E & A C étant plus grands que A G &
A L dans le rapport de .la sécante de 23d \ au
rayon ; ainsi, la ligne £ C gl plus inclinée que
GX.de 25d ì par rapport z-Ç A pn E K ; donc
elfc est inclinée d une quantité égale à la sommeMathématiques. Tome I, I."' Partie. 'de la hauteur de Téquateur & la déclinaison du
soleil, c’est-à-dire-, égale à'la liauteur méridienne.On trouve le lever •& le coucher du soleil sur
ce cadran en plaçant le fil à-plomb parallèlement
à la ligne VOP, & regardant à quelle ligne
horaire il répond. - 'On peut auffi mesurer la hauteur du soleil à
une heure quelconque, en suspendant le fil en A
au centre du demi-cercle LNO qu’on peut diviser
en degrés, & que les lignes horaires partagent
en quarts d’heure, qui font chacun ""3 d{ de
la circonférence. . . 'Dans les fupplémens de TEncyclopédie au mot
H.EUB.E , on a donné la .description & la figure .
de ce cadran, d ;après un journal anglois, en y
ajoutant un quart de cercle mobile, avec une
alidade & deux règles qui Te meuvent ~par des
coulisses pour placer le centre du quart de cercle
for un point quelconque. Mai-sT’ancienne méthode- ;
que j’ai suivie ici est auffi commode & moins
dispendieuse ; & j’ai cru qu’il falloit préférer ici
Texplication des cadrans , que Ton a le plus souvent
exécutés, & que l’on rencontre le plus fréquemment.
"On trouve auffi dans les" fupplémens de TEncyclopédie
au mot CADRAN , la description d’un
instrument , qui donne également Theure par le
moyen de la hauteur en faisant mouvoir une règle
pour différentes latitudes, & une alidade pour
les différentes déclinaisons : cet instrument est de
M. Lambert.XII. Cadran analemmatique ou azimutal, fig. Z74..
II fut donné en 1644, par Vaulezard, dans un
ouvrage françois, intitulé.. ; Traité de Vorigine , de-- '
monstration, construâion & usage du quadrant analem--
matique, & il fit le principal objet d’un livre de :
Forsler, jmblié , en 1654, à Londres sous le nom
de Elliptical Horologiógraphy. Ce cadran a été
-copié depuis par tous les auteurs, de Gnomoni.
que, toujours fans démonstration ; ce qui fit que
j^en donnai une dans les Mémoires de VAcadémie ,
année 1757 ; mais en voici-une autre bien plus
simple, déduite du principe de la projeélich orthographique.
. de Tellipse. . , …
Construâion. Soit AB D (fig. Z7Z )  une ellipse
décrite sur un plan horizontal, dont Ie petit axe
soit au grand, Comme le .sinus de la latitude est
au" rayon ( à Paris bomme 75 3 est à 1000 )  ; du
centre C, Ton prendra sor la méridienne"du côté
du nord, quand le soleil décliuera au nord ùné distance
CAT égale au produit du- cosinus de la latitude
par la tangente de la déclinaison du soleil
( à Paris 286 au solstice ) , on élèvera en M un
slyle vertical. On divisera Tellipse AB D en heures
par des perpendiculaires comme E F abaissées de
15 en 15 degrés du cercle circonscrit AE D,
& le slyle marquera Theure for la circonférence ;*ro c a d c a d■V Démonstration. Soit HO (fig. Z73 ) , Ilionzpn
vu de profil, ou projeté sur le méridien , O.E Q
la projection de Téquateur ou d’un caaran équinoxial,
dont le style esl B E S. Concevons que
le cadran équinoxial soit projeté sor Thonzon par
des perpendiculaires , fa circonférence formera
une ellipse, dont le petit axe H O sera le sinus
de Tangle Q égal à la latitude du lieu. Le style
E S, qui est égal à la tangente de la déclinaison,
aura pour projection MC ou SA plus petite que
SE dans le rapport du sinus de Tangle SE A ,
ou du cosinus de la latitude au rayon.Au moment où le sommet du style S marque
Theure sur un point horaire de la circonférence
du cadran équinoxial , on peut considérer le
rayon solaire , qui va du sommet du style au point
horaire, comme projeté, ainsi que le sommet S,
la projection de ce rayon solaire ira du point
M au point où se projeté le point horaire ;
ainsi, on peut ne considérer que la projection,
& Ton sentira que le point M doit faire
ombre sur le point de Tellipse , qui répond au
même point du cercle , ou qui en est la projection.
■- _ .On peut auffi concevoir un cercle vertical passant
par Ie soleil & par le sommet du style S,
Tombre du point S fera nécessairement dans ce
vertical, ainsi que le point horaire du cadran, &
fa projection ; donc le point M & Tombre toute
entière du style vertical S M,Te trouveront dáns
le plan du même cercle vertical ; donc Tombre du
point S & du point M tombera furie point de
Tellipse où tombe le point horaire du cercle ou
du cadran équinoxial. ; .Pour éviter le calcul de Ia quantité CAf, on
peut employer la construction suivante. Ayant pris
nn arc P O (fig. Z73 )  égal à la hauteur du pôle,
& D O égal à la déclinaison , on tirera EP ,ED & Ia perpendiculaire P G,- le segment GK
sera la quantité dont le slyle devra être éloigné dir
centre, sur ùn cadran dont le rayon £ O seroit
le demi-grand axe. En effet, G K = £ G, sang,
déclin. = cof. latit. tang. déclin, expression qui
rerient au même que celle de la' démonstration
précédente.On peut auffi trouver le point As en cherchant
le.foyer E de Tellipse, & faisant Tangle' CEAs
égal à la déclinaison dufoleil ; car la distance B F
du foyer au petit axe est égale au rayon A C ;
ainsi CF est le cosinus de là latitude : donc CAf
= cof. lat. táng. déclin.On trouve dans Ia plupart des auteurs une construction
fort compliquée, & que je ne rapporterai
point ici par cette raison, mais elle revient au
même que celle-ci.On lit auffi dans les fupplémens de TEncyclopédie
in-folio une théorie générale, mais trèslongue
de ce cadran, & une construction géométrique
de M. Lambert ; mais je crois Tarticle précédent
très-foffifant pour le cadran azimutal.11 est inutile de parler ici de la manière de
tracer une ellipse ; on peut le faire ou avec ùn
cordon égal au grand axe, fixé sur les deux foyers,.
ou avec un compas à ellipse, ou enfin avec deux
cercles concentriques divisés en 24 heures, de Ia
manière que nous expliquerons en parlant des
éclipses. . ■Voici une table des principales mesures nécessaires
à la construction de ces cadrans pour différentes
hauteurs du pôle.La moitié du grand axe étant divisée en rooa
parties égales, on voit dans cette table combien:
de ces parties doit avoir la distance qu’il faut
mettre ëntre le centre du cadran. & le style, le
21 de chaque mois, ou à Tentrée du soleil dans,
chaque signé. . -  ;D is TANCES wriii zi ciifrii^r zs STYZEydánsun Cadran analemmatique.Hauteurs du pôle (Février, Avril, f Janvier, Mai. í Juin, Moitié du petitou latitudes. \ Août, Oâobre. \ Juillet, Novembre. \ Décembre* axe.30d 176 '318 176 ■ 50035 i&5'. 501 356 57440 i<j6 282 3.33 64345 ^44 ióo 307 7075° H1 * 236 ' 279 76655 IJ7 2.10 2^.9. 81.9 !.. — - ■Ce cadran azimutal a Tavantage dé n’être pas
sujet à Tinégalîté des réfractions.
M. Lambert a remarqué dans les éphéméridesde Berlin , pour 1777, qu’on peut substituer ài
Tellipse un cercle horizontal divisé en parties
égales, pourvu que Te style soit incliné vers- leC a d c a d iyipoint qui tient "le milieu entre le zénit & le pôle, &
que sa distance au centre soit égale au produit de la
tangente de la moitié de la hauteur del équateur par.
celle de la déclinaison -, jé n’en donnerai pas ici la
démonstration5 c’est un objet de pure curiosité.XIII. CADÌCAN cylindrique par les -hauteurs.
On fait souvent Me petites colonnes portatives
qui 3 présentées au soleil, y marquent rheure qu’il
eft, au mòyen-d’un style horizontal perpendiculaire
à Taxe du cadran. On voit dans la figure 275
le développement du papier dont on environne
le cylindre -, ia ligne B A qui est égale à la circonférence
du cylindre, est divisée en six parties
égales pour répondre à six mois de Tannée, parce
que les six autres se répètent sur les mêmes divisions.
Sur chacune de ces divisions, on tire une
ligne verticale comme CD , fur laquelle on cherche
les-points de chacune des lignes horaires, par
le moyen de la table des hauteurs du soleil à
différentes heures du jour. Poúr cet effet, ayant
pris une longueur S T égale â la saillie du stylé
qui doit -faire ombre, on tire une ligne TE qui
fasse un angle T égal à la hauteur du soleil pour
le jour & l’heure donnés , par exemple , à
deux heures pour le 20 de mai ou de juillet,
& Ton porte la longueur SE de C en F fur la
ligne du 20 mai ou du 20 juillet, le-point F
marque l’endróit où doit passer la ligne de deux
jheures : car lorsque le style sera toiu-né sur le
point C, & exposé directement au soleil de manière
que son ombre couvre la ligne CD, la
pointe T du style jettera son ombre au point F
& y masquera deux "heures , puisque la ligne
ÇFffeí la ligne de 2 heures. On trouvera
de plus grands détails fur cette espèce de cadran ,
dans la Gnomonique de Dom Bedos 1774 ; mais
ce que je viens de dire suffit pouf en faire comprendre'le
principe, & peut-être même pour la
plupart de ceux qui voudroient en construire.XIV. CADRAN qui se voit h Paris sur la colonne
de l’hótel de Soijsons ou de la halle au hie'
L’hôtei de Soissons fut bâti en 1573 par Catherine
de Médïcis, fur remplacement de l’ancieri hôtel de
Nesle ; il prit le nom d’hôtel de Soissons en 1604,
ayant été acheté par Charles de Bourbon, comte
de Soissons : le prince de Carignan, mort en
1741, ayant laissé des dettes , les créanciers le.
firent démolir, la ville de Paris açhetá le terrein,
& l’on y a bâti la halle au blé.Catherine de Médias y àvoit fait faire une colonnè
de 80 pieds de haut, par Jean Bulland :
M. de Each'aumont Cacheta pour empêcher qu’elle^
ne fût démolie, & en 17e4jM.de Yiarmes, prévôt
des marchands, engagea M. Pingre à y faire
un cadran solaire, il n’y en avoit aucun parmi
ceux qui avoient été décrits jusqu’alors qui pût
convenir à cette colonne, & M Pingre a imaginé
celui dont je vais donner la description d’après
Touvrage qu’il publia en 1764 : Mémoire fur la
fofpwie de la halle aux bits ; à Paris, chez Barrois,J y ajouterai les résultats des calctíls qu’il n’avoit
point publiés, -& une figure-exacte du cadran, avec
la partie de la colonne fur laquelle il est tracé.On a choisi à 5.0 pieds de hauteur au-dessus
du pavé un espace de 9 pieds, qu’on a rendu
cylindrique en remplissant les cannelures, de la
colonne, & qui s’est trouvé avoir 29 pieds 9
pouces 9 lignes & \ de circonférence, & le rayon
en lignes 683,35. Une ligne verticale tirée fur la
face méridionale de ce tambour, exprime la section
du méridien & de la colonne ; les intersections
-des cercles horaires font des ellipses qu’on
y a tracées, & qui forment fur le tambour les
lignes horaires du cadran.Un cercle horizontal qui fait le tour de ía
partie supérieure, porte 15 stylés horizontaux cuis
ont 4 pieds 5 pouces 2 lignes de faillie, & dont
chacun couvre par son ombre une des ellipses
horaires à l’heure qu’elle marque.Toutes ces lignes horaires se réunissent en nu.
point qui exprime le pôle austral ou lmtersection
de Taxe du monde & du cadran ; il est aii-dessous
de l’horizontale de 5 pieds 5 pouces 2 lignes -^5-,
qui est la tangente de la latitude du lieu 41" 8' 10%
pour un rayon de 4 pieds 8 pouc. 11 lign. 35.Pour trouver la place des styles fur le cercle
supérieur, ou l’intenection des lignes horaires avec
l’horizon, il suffit d’avoir le point de i'horizon
où passent les cercles Tioraires d’une heurè, de deux
heures, &c. Soit H P O le méridien , fig. 40 , P
le pôle, PXle cercle horaire d’une heure, qui
fait avec le méridien un angle P de 150, dans
le triangle P O X rectangle en <3, dont on connoít
P O qui est la latitude du lieu, 480 51' 50"',
& l’angle P, l’on trouvera HX, n° 24' 34" : ainsi ,
le premier style est implanté à 11° 24' 34" de la
méridienne fur le cercle horizontal du cadran.
Cet angle est le même que celui de la ligne d’une
heure íùr un cadran horizontal ; j’en ai donné lg.
table ci-dessus : mais voici les còmplémens des angles
X, ou les inclinaisons des cercles horaires par
rapport aux verticaux, pour servir à tracer les
lignes horaires fur le cadran, telles qu’on les voit
dans la figure 27 ss.HEURES. Inçlinison des cercles"~- .--- horaires.Soir. Matin.…T.., ..frr 9°-. .,..48'. ..…2…. …W… …19, 12…..^… …9 Ì…2.7 43---…4. 8…. …34 44-• •….5…. …/ ;…. ….39'f..v.|7-.« …6 6 .41. 8….…7… .-..Ç…… …39 i7---« :>..S -…4 …34…,..44…,_—— = -—~ ..,,.. 'I iîja^i c a d c a d' Pour tracer les combes horaires fur le tambour,
il falloir en chercher plusieurs points. Je suppose
qu’on veuille savoir a quelle distance de la méridienne
passe la ligne d’une heure prise un pied
au-dessous de la ligne horizontale, je supposé
que H soit le pied du style d’une heure ou de
orize heures, H V une ligne verticale tirée fur
la surface de la colonne, O le point cherché sur
la surface de la colonne, O V une ligne horizontale
tirée du point O au-dedans de la colonne
perpendiculairement fur le plan du vertical
, dont H V est l’intersection , on a trouvé cidessus
l’angle formé en H entre le vertical & le
plan du cercle horaire dans lequel est la ligne
horaire H O ; on cherchera la longueur de la
perpendiculaire QV, enlisant : Le sinus total est àun pied ou 144 lignes, comme :la tangente' de
9-48' 10" ì à la perpendiculaire OV, 24SL Si*
Cette perpendiculaire forme un triangle horizontal
avec 1c rayon de la colonne qui passe en O ; &
pour avoir l’angle au centre, il suffira de dire. ;
Le rayon de la colonne 683,3 5 e^ ^ O f'comme
le sinus total est au sinus d’un angle qu’on trouvera
2° 5' 12" ; c’est la distance horizontale entre
le vertical du point O & celui du'point H : or
-le vertical du point H, suivant le calcul précédent,
est éloigné de 11° 24' 34" de la méridienne j
donc le point O en sera éloigné de 90 19' -22".
M. Pingre a calculé ainsi de pied en pied pour
la hauteur , la situation horizontale de chaque
ligne horaire ,■ & il a fait passer ses courbes par
tous les points ainsi -marqués.-t - : — ; Distance:à la j ^ .^ .^ ly/ V. V L VILméridienne.' Stul’horì[ontale, II" 25 230 30 36° 59 520 3*70° 25 90°….0.' IO90 …35' un pie plus bas. 9 19 lt). .. ..17 30 3844- 8. 60…..26 79…..24 99 3,6, 2 piés y..:… 1415 4. 24… ..Il 35. 32 50…..7. 68..'. .-.24 89. 17•3 • 5 8. 10…..47 17 .35 16 3239 4. <j6…. ,29 7.8.,.. .144 3……1. 6 26 10 42 16…. .4626. -. ..r2'9 42…. .35 ."………. ..5 • o .55 1 58 3 ..22 5 '..36 10 18 23 2. .. ; :6 1 13* 37 4-•••••39 ■'••7 3 2I7- 2-4 13 49 ••• •• ••• -.S Vi ……5 31 12 27 25 22 . .,*.. S>-~--- 7……43 17…..51 48. ….i7\……. ….i….' .—: ' _ ■'"••'■/ ■'• ■ - -_—^-'• On voit fur cette colonne d’autres courbes qui
sont dorées, & qui -marquent les arcs des signes :
ils font représentés dans la figure -, mais il seroit trop
îong d’en donner ici la démonstration & le calcul.
-. XV. CADRAN aux .étoiles■ ; on l’appelle quelquefois
noSurnal de Munster. 11 est compose de
trois pièces principales ; 1.° une platine CD, fig.
u.yy ,' percée au .centre G pour appercevoir l’étoile
polaire au travers , 2.° un - cadran mobile divisé
en 24 heures, 3. 0 une alidade G H mobile
autour du cercle, & dont urre partie déborde la
circonférence. On suppose que l’on regarde l’étoile
polaire par le trou du centre, le manche B étant
en bas dans le plan d’un vertical, le plan de
l’inslrument incliné comme l’équateur. On regarde
en même-tems uhe autre ét>oiie,circompolaire, &
l’on place l’alidade fur cette étoile. La figure est
faite pour la claire de la petite ourse qui est la
précédente, ou supérieure des deux gardes ou des
deux belles étoiles de la petite ourse,. marquée $ ;
eiJe a" 14^ 51' d’ascension droite -, ainsi, elle passe
au méridien à midi le 7 novembre. Le cadran des
heures essmobile fur la platine,, de manière que
l’heure du passage au méridien ( de l’étoile pouflaquelle il est fait ) fort toujours a- la partie fa-i
périeurey & le passage inférieur au bas de la platine.
Par exemple, la claire'de la petite ourse
passe au méridien inférieur à minuit le 7 novembre
j. fi l’on amène donc le nombre 12 en bas
où est le 7 novembre, marqué'd’une fleur de
lys dans la figure y le^-eercle des’ heures est disposé
comme un cadran équinoxial fait pour le soleil ;
le midi est en haut, parce que l’étoile passe à midi •,
le 5 décembre elle passe à dix heures •,-il faut donc
que les ioh du cadran -soient en bas ce jour -là ;
pourcelaon avance à droite de 300 l’index, la fleur
de lys ou les I2h, ou on les met au 5 de décembre.
II y a 200ans’que l’on comptoit 1I jours de moins
à pareille situation du soleil : aussi l’on trouve de
ces cadrans où il y a le 27 octobre , cette différence
vient du vieux style fur lequel on comptoit
11 jours de moins.Voye\ CALENDRIER. La pré-,
cession de l’étoile est peu considérable. On se fer-,
voit assez souvent des deux ■ dernières étoiles de
la grande oiufe-, on mettoit alors en bas le 29
août,- c’étoit à-peu-près cela dans le dernier siècle.
Actuellement c’est le 3 septembre 5 car ce j,our-là
.on a io 1" 48 ou 50' pour l’ascension droite duso »C a d c a d mlîéîl, égale à celle de ces deux étoilés ; Les ; heures
'.vont vers la gauche en haut, parce qu’en reoarr
,dant le nord, les étoiles qui avancent vers le couchant
vont à gauche.Les jours du mois vont aussi à gauche ou du
.même sens , puisque plus le soleil avance dans
l’écliptique, & plus l’étoile avance en passantplutôt
.au méridien ; il faut donc qu’on ait dnns le mé ;ridien
un moindre nombre .d’heures, & pour cela
on doit tourner le cadran vers la gauche.On ne fait plus guère de ces sortes d’instrumens
j ils ne sauf oient avoir de la précision à
cause de leur petitesse, & à raison de la différence
qu’il y a entre l’étoile polaire & le vrai
pôle du monde auquel on ne peut pas diriger Je
.centre de l’instrument.On peut trouver l’heure exactement par le pas-sage
des étoiles au-dessous de la polaire, je- Tai
.expliqué en détail dans le premier volume de mon
Astronomie, où j’ai donné la table de çe qu’il faut
•ajouter à la dislance de Téquinoxe au soleil, pour
•avoir exactement l’heure qu’il est quand une étoile
passe dans le vertical ou dans l’à-plomb de l’étoile
polaire. Voye[ ETOILE.XVI. Le cadran a lá lune ou le cadran lunaire
« st celui qui montre l’heure pendant la nuit, par
Je moyen de la lumière de la lune, ou de sombre
d’un style que la lune éclaire. On peut faire des
■cadrans où les intersections des lignes horaires
avec les lignes qui marquent le quantième à la
lune, indiquent l’heure •, mais on peut se servir
aussi d’un cadran solaire , comme si c’étoit un cadran
lunaire. , c’est-à-dire, trouver l’heure-à la
luné par le moyen d’un 'cadran solaire. On observera
l’heure que Tombre du style montre à la
lumière de la lune , on trouvera l’âge de la -lune
dans-le .calendrier, & ofl multipliera le nombre
des jours par trois quarts ; le produit fera le
nombre d’heures qu’il faut ajouter à l’heure marquée
par Tombre, afin d’avoir l’heure qu’on demande.
La raison de cette pratique, est, que la
lune passé tous les jours au méridien, ou à quelque
cercle horaire que ce soit, trois quarts d’heure
plus tard que le jour précédent : or le jour de
la nouvelle & de la, pleine lune, elle passe au
méridien en même-tems que le soleil ; d’où il
î'ensuit, par exemple, oue le troisième jour après
la nouvelle luné, elle doit passer deux fois trois
quarts d’heure ou une heure & demie plus tard
au méridien ; le 16 de la'lime il y adouze heures,
& ainsi des autres.Si le nombre des jours multipliés par | & ajoutés
au nombre des heures excède 12, il faudra en ôter
douze..Les arcs des signes que l’on voit souvent sur les
grands cadrans & même fur les petits, font des
Courbes hyperboliques décrites par Tombre de la■pointe
du style en divers tems de l’année.*, on
n’en trace jamais que six, trois au-dessus de Téquinoxial,
& trois au^dessousj comme on les voitfur 'le cadran vertical, fig. 278 , la' ligne équinoxiale
T ^ tenant lieu de. ía courbe qui répond
aux équinoxes.Pour tracer ces courbes on en cherche un point
fur chaque ligne horaire au moyen du Trigone ;
fig- 27.9. C’est un instrument composé d’une règle
D A & d’un: secteur .de cercle qui a 23° f- de
chaque côté de la ligne du milieu, perpendiculaire
à D A ;, les’ points <- & d font éloignés de 11*
-29' du milieu ; & les points & &/-de 20" 10'.'
Ce font les déclinaisons du soleil à un. signe & à
deux signes de distance aux équinoxes. La !i ?ne
DA représentant Taxe du monde ou le style d’un
Cadran, les rayons Da, D’b, &c. représentent
les rayons solaires-au commencement de chaque
■signe, -Gn dispose l’instrument en sorte que le bout de
règle A D soit le long de Taxe du cadran, fig, 280,
le point D à l’éxtrémité du style, & le plan de
Tinstrumènt dans le plan du cercle horaire, fui
lequel on veut opérer ; c’est dans la figure le plan
même du méridien. On prend ensuite le fil D F
par Textrémité F, &.on l’étend, en sorte qu’il
pastè par-dessus une division deTinstrumènt ; on
fait une marque / à Tendroit où le fil rencontre
 »a ligne horaire du cadran ; & cètte marque est un
des points par où passera l’arc du signe auquel la
division dont on s’est servi se rapporte : c’est dans
notre figure aux signes du Q,, .& des H j de même
aux autres divisions.. Après avoir ainsi trouvé dans, un cercle horaire
les íept rencontres ou extrémités des sept lignes
de l’instrument prolongées,.on le changera déposition
, en forte que son plan coinçide avec le plan
d’un antre cercle horaire, dans lequel on trouveia
de même les extrémités du prolongement des lignes
de l’instrument ; on ne les a marqué fur la figure
280 que fur la ligne méridienne. Ayant ainsi dans
chaque" ligne horaire les points que le fil aura
marqué pour chaque-signe, il ne reste plus qu’à
les joindre les uns aux autres ; savoir -tous les T
ensemble, tous lès V , &c. & son aura, les arcs
des signes tracés,' ainsi qu’ils-soiìt- dans la fig. 278
& d’autant plus exactement, que le nombre des
lignes horaires fera plus grand.
-■ On. doit remarquer que tous les Y" font en ligne
droire ; c’est qu’ils représentent lmtèrsection de
l’équateur & du plan du cadran , qui est une ligne
droite ; les autres font des sections coniques, parce
quelles représentent,^intersection du- plan du
cadran’, & des surfaces coniques que décrivent les
rayons. Cès courbes ont un axe commun, qui est
la foustilaire. .Ce moyen de trouver les arcs des signes, en
se servant de l’instrument, n’est pas très-exact si
le cadran est fort grand, on peut bien avec un
petit instrument prendre des angles,- dont les côtés
sont très-grands, maislerreur se multiplie. Voici
une autre méthode fondée sur la même théorie.11 faut tracer en grand sur un mur ou sur leM4 • c a d c a dplancher, la figure du trigone telle qu’elle est représentée,
fig. 281 , sur la ligne T D , élever la
perpendiculaire DA, égale à la longueur de Taxe
du cadran ; prendre ensuite sur la ligne D T l’iniervalle
D o , égal à la distance du sommet du
■st y le à l’équinoxiale du cadran sur une ligne horaire,
jiiener ensuite la ligne A M, elle sera coupée par
les lignes du trigone aux points abcbdfg ; qu’il
faut ensuite rapporter sur la ligne horaire à laquelle
•appartient la distance D o dont on s’est servi ;, procéder
ainsi sur chaque ligne horaire, & joindre ,
ensuite ensemble tous les points correípondans au .
même signe comme dans la première méthode.Pour trouver les mêmes points par le calcul,
il faut connoître l’angle du style avec la ligne horaire
, dont la mesure est l’arc P O, fig. 267 du
cercle horaire compris entre le pôle & le plan du
cadran ; il faut connoître auslì la dislance SX,
~fig. 263, entre le sommet.du style & le centre du
cadran, en pieds, pouces & lignes, ce qui est facile ;
dès qu’on a la hauteur du style droit S P & l’angle
SXP du style & de la foustyldire, dont la meíùre
est P Y., fig. 267. Alors dans le triangle
AD f, fig. z8p}, connoissant l’angle A X>/distance
du soleil au pôle, qui est la sommé ou la différence
de 90° & de la déclinaison du soleil avec l’angle DAf
•& le côté AD , on trouvera la longueur de A f. ■La méridienne du teins moyen est une des choses
•qui méritent le plus d’être tracées fur de grands
Cadrans , parce, que le tems moyen & uniforme
est celui que l’on devroit toujours employer dans
f usage de lâ vie comme dans les observations &
les tables astronomiques. Cependant la première •
ligne de cette espèce a été celle de M. de Fouchy
chez le comte de Clermont. On en trouve la des- ,
cription détaillée dans les Gnomoniques faites par
de Parcieux & D. Bedos.La méridienne, fig. 284., est supposée horizon- ■
taie ; elle est environnée d’une courbe qui commence
en haut le 21 juin 76" à droite, & finit ;
en bas le 21 décembre 78"'à gauche de la méridienne
du tems vrai,Pour tracer cette courbe, ií faut tracer les arcs
des signes de cinq en cinq degrés, diviser un quart
d’heure avant & ■ après midi en minutes & en
secondes, prendre dans une table de l’équation du
tems la différence entre le midi vrai & lé midi
moyen, & la prendre fur l’arc du signe qui répond
au jour donné ; & l’on a ainsi une fuite de points
par lesquels on fait passer une courbe.On traçait autrefois fur de grands cadrans les
heures italiques,-babyIoniques & judaïques, ainsi,
nous devons en donner ici une petite explication.Les heures italiques qui commencent au coucher
du soleili, & les’ heures babyloniennes qui ;
commencent au lever, doivent commencer à la
ligne horizontale H Q , fig. 2S2 , qui est la ligne
de 24 heures italiques si le cadran regarde le
couchant, ou de 24 heures babyloniques s’il regarde
l’onent, / _ ■ '■'■'■-ì >Le point de l’équinoxiale E Q marqué 5 b du
soir pour un cadran occidental , appartient à la
ligne de 23h italiques ou de^ iih babyloniques v
puisque le soleil étant dans Téquateur se couche
à 6 heures, donc à cinq heures du soir il est 23
heures d’Italie ; mais alors il se levé à 6 heures
du matin, donc il est iïh de Babylone.Le même point marqué II h du matin pour un
cadran oriental, appartient à 13 ll italiques &à une
heure babylonique.Pour avoir un autre point de chacune des lignes
dont nous venons de parler, il faut décrire un
parallèle diurne A B CD F G, c’est-à-dire un des
arcs des signes que nous venons d’expliquer. Je
choisis pour exemple celui que le soleil décrit
quand il se levé à 8 heures du matin, & qu’il fa
couche à 4 heures du soir ; le point C qui précède
d’une heure 1c coucher fur' un. cadran occidental
, appartient à la ligne de 23 heures italiques
& à la ligne de 7 heures babyloniques.Le point C fur un cadran oriental, fuit d’une
heure Je lever du soleil ; ainsi, il appartient à la
ligne d’une heure babylonique, & à-la ligne de
17 heures italiques. -Quand on aura bien compris cet exemple, on
pourra tracer toutes les lignes dont il s’agit ; je
n’entrerai pas dans un plus grand détail, puisque
l’on ne fait plus aucun usagé des lignes horaires
babyloniques, & très-peu des italiques. Vòye{
M. DE LA HIRE , page 153.Les heures júda'iques, appellées austi les heures
antiques ou planétaires, commençòient au lever
du soleil, divisoient le jour & la nuit séparément
en 12 heures ; ainsi, pour les tracer fur un cadran-,
il faut diviser les arcs sémidiurnes fur les parallèles
ou arcs des signes en six parties égales depuis l’horizontale
jusqu’à la méridienne ; par les points de
division on tirera des lignes courbes qui seront les
lignes horaires fur lesquelles la pointe du style
marquera les heures judaïques.Par exemple le parallèle A O , fig. 283-, pour
le solstice d’hiver depuis la méridienne en A jusqu’à
la ligne l’horizontale en Ò, renferme 4 heures qui
répondent à la partie E Q de l’équinoxiale, cest
cette partie qu’il faut diviser en six également.Du point C centre-diviseur de l’équinoxiale, on
décrira un arc de cercle D F, pn tirera des rayons
aux pojnts £ & Q de Téquinoxiale , '& l’on divisera
eh six parties égales l’arc E Q_, qui dans ce
cas est de 60". On conduira des lignes CG, CH,
ÇI, Ç K , CL, jusqu’à l’équinoxiale : par ces
points de l’équinoxiale , on tirera des lignes qui se.
dirigent vers le centre, s’il y en a un dans le cadran
proposé ; ces lignes G g, H h , &c. diviseront Tare
sémidiurne '..A O èn six parties égales.Les autres parallèles étant divisés de même, on
marquera d’abord les autres points de division de
chacun, à partir de l’horizontale ou de la méridienne,
& la courbe qui passera par tous ces points
fera une. des -lignes horaires antiques. ' V ■ "

L’horizontale'
Cal
CAL i<y1/horizontale
"& la méridienne sont les feules
qui soient des lignes droites, & celle-ci est toujours
lasixièmeheure, il y en a 12 depuis le lever jusqu’au-coucher
du sokil, & la première se compte
une heure après le lever, la sixième à midi, la
douzième au coucher du soleil j après quoi l’on
compte'les heures de nuit comme on avoit compté
les 12 heures de jour.En suivant cette méthode, nous aurions à Paris
des heures de jour qui'seroient doubles de celles
de la nuit èn été, & qui n’en séroient que la moitié •
en hiver ; àuffi cette méthode abandonnée depuis
•long-tems, n’est plus pour la Gnomonique qu’un
-objet d’érudition & de pure curiosité.-II én -est de même des autres" lignes que l’on a
mis quelquefois fur les cadrans ; comme les maisons
célestes, de. mais on n’en fait plus usage.
- M. Bizot,', Conseiller au Présidial de Besançon,
a:fait aufauxbourg de Taragnóz un cadran vertical
déclinant d’une éspèçe singulière, qui ne paroît •
que lorsque le soleil luit. II a fait peindre un ange
gardien sor UK mur ; il a mis au-dessus un avanttoit
formé par trois plaques de íole, .on a tracé
les lignes horaires fur ces îrois plaques & on les
a-ouvert avec la lime, auffi-bien que les chiffres ;
les demi^henres sont indiquées par une fuite de
trous faits avec le forêt, le soleil passant au travers
de cesòuvertures, représente un cadran lumineux,
tel que '■l’heure. -actuelle se trouve à f extrémité
du dois index- de l’ange. Mercure de février 1758.Cal. CALCUL ASTRONOMIQUE, assemblage des
règles & des méthodes, par lesquelles on calcule
les’mouvemens des astres, & fur-tout les éclipses,
aveç les fractions sexagésimales, les logarithmes,
les règles de'ia trigonométrie^ de. Comme nous
n’avons rien dit à ce sujet au mot ARITHMÉTIQUE,
il est bon de donner ici une idée- des premiers
élémens du calcul astronomique. ■
.Les astronomes divisent le ciel en- 12 signes,
chaque^ signe en 30 dégrés , le degré en 60 minutes,
la minute, en 60 secondes ; c°est-là ce qu’on
appelle les fractions sexagésimales ; Tâddition s’en
fait comme celle des nombres ordinaires, en observant
de retenir 60 secondes pour en former une
minute ; 60 minutes pour en former un degré ;
30 dégrés pour en former un signe, & de rejetter
1.2 signes ," lorsque la somme va au-delà. Exemple
póur additionner', les deux .quantités suivantes:4SI5a< 5§' 45"8
 - 14 30 " 16. 1 00' 29 01'-■ , 1.Mathématiques. Tome J, IfriPartie. >.On observe dans les secondes que 6 dixainés
doivent former la minute : on remarque pour les _
minutes que de 8 dixainés, il n’en faut mettre que'
2 sous les minutes & retenir les 6 autres qui
sonnent un degré : à legard des dégrés, comme'
il s’en trouve 30, on en compose un signe entier,
de mém« que s’il y avoit 24. heures, on en composeroit
un jour: enfin de 13 signes qu’il devroit’
y avoir dans la somme, on en retranche 12: en’
effet le cercle entier étant passé, on se trouve au
même point que s’il my eût pas été ; il est donc’
inutile d’y avoir égard. Un astre qui auroit parcouru
13 signes, & celui qui n’en auroit parcouru '
qu’un, s’ils étoient partis du même point, s’y re-'.
trouveroîent tout de même , fans àucúne différence"
dans leurs situations. •La soustraction des fractions sexagésimales suppose
la même règle ; il -faut emprunter une minute
pour en former 60 secondes, ou un degré
pour en former 60 riiinutes, un signe pour en '
former 30 degrés, & Un cercle entier pour en
former douze signés, si la quantité que Ton veut:
soustraire est la plus grande. Exemple : 'de 4 ! 6i 25' 30"il faut ôter 5 8 35 40—'■—■ *il reste : 10 27' 49 50II est clair que si de 4 signes, on en ôte 5, íí
doit en rester orize ; car un astre qui auroit 4 signes
de longitude & que l’on feroit rétrograder de <j signes,
 se. trouveroít avoir repassé le point équinoxial,
d’un signe touL entier, & auroit par conséquent
11 signes de longitude.II est rare que Ton fasse des multiplications ou
des divisions avéc des fractions sexagésimales ;
mais’ dans les cas où l’on auroit à faire une régie
de trois, on pourroit réduire en minutes ou en
secondes les trois premiers termes de la proposition,
& opérer comme fur les nombres ordinaires..On trouve dans tous les anciens livres d’Astronomie,
comme dans les Epkémérides d’ArgoIi, de.
une table qui a pour titre Tabulasexagenaria, qui
servoit à ces sortes dé parties" proportionnelles ; .
elle renferme 60 nombres du haut en bas,, depuis
1 jusqu’à 6a-, chacune des colonnes suivantes a
en tête la fuite des nombres naturels,- ou, des
nombres 1., 2, 3, 4, 5,6, ou 2, 4,6, de.
quand il y en - a plus de 60, on met une minute
& Te surplus en secondes : ainsi , dans la colonne
de 10 & vis-à-vis de 15, c’est-à-dire dans la 15e
ligne horizontale de cette colonne , on trouve
IL 30" ; c’est le quatrième terme d’une proportion
qui. commenceroít par '60 minutes & 'dont les
termes suivans seroient 10 & 15. Cette table sexagénaire
peut servir également à la division des
fractions sexagésimales ; ón préfère aujourd’hui
l’ufage des logarithmes logistiques ; mais on. a'
publié en Angleterre, en 1780, dés tables íexa-,''■•
Kk-"'Z$SCal c a cgéiìmales de M. Taylor, qui font fort utiles pour
ceux qui ont beaucoup de calculs à faire. 11 y a aussi
une table scxcentenairc publiée à Londres en 1779,
par M. Bernoulli, pour les cas où le premier
terme de la proportion est 10' o* ; ces tables
donnent jusqu’aux dixièmes de seconde.
■ On a proposé b.ien des fois de substituer les
décimales à la méthode actuelle du calcul astronomique.
Mercator publia en Ì676 des Institutions .
astronomiques , dans lesquelles les Tables rudolphincs
étoient réduites à ce principe, & où le cercle
éioit divisé cn décimales ; mais le changement considérable
que cette méthode auroit exigé dans toutes
lés méthodes & dans toutes les tables connues,
a empêché que les astronomes n’aient adopté Ta
méthode.Le calcul astronomique est fondé austi fur les
logarithmes ; la trigonométrie sphérique ; mais ces
différentes parties seront expliquées à leurs( places. '
respectives. (D. L.) CALCUL j f. m. ( Mathém. pures. ) supputation de
plusieurs sommes ajoutées, soustraites, multipliées,
ou divisées. Voye\ ARITHMÉTIQUE.L’art de calculer en général, est proprement l’art
de trouver l’expreflion d’un rapport unique, qui
résulte de la combinaison de plusieurs rapports.
Les différentes espèces de combinaisons donnent
les différentes règles de calcul. Cela est expliqué
plus au long à ìarticle ARITHMÉTIQUE.Voyei les distérentes espèces de calcul aux articles
ALGÈBRE , DIFFÉRENTIEL , EXPONENTIEL,
INTÉGRAL, ADDITION, de.Plusieurs peuples de l’Amérique, de l’Afrique &
de l’Asie calculent avec des cordes, auxquelles
ils font des noeuds. - " sLe calcul aux jettons se fait aisément, en représentant
les unités par les jettons, les dixainés par
'd’autres jettons, les centaines par d’autres. Par
"exemple, si je veux exprimer 315 avec des jettons,
je mets 3 jettons pour marquer les centaines,
1 pour les dixainés, 5 pour les unités.. Voye[
DIXAINE , de. y . , - .Le mot calcul vient du latin caleùlus, qui signifie
une pierre, parce que les anciens se servoient de
-petits cailloux plats pour faire leur supputations,
soit des sommes multipliées ou divisées dans les
comptes., soit en Astronomie & en Géométrie.
De-là vient que nous avons donné le nom de calcul
aux Sciences des nombres, à l’Arithmétique , à
l’Algèbre. Les Romains s’en servoient encore pour '
donner les suffrages dans les assemblées & dans les
jugemens ; ils marquoient aussi les jours heureuxr
avecune pierre blanche, dies albo no tanda lapillo „
dit Horace, & les jours malheureux par une pierre
noire. Us avoient emprunté la première de ces
coutumes des Grecs, qui nommoient ces espèces
de jettons naturels 4 »<f*f ; c’étoient d’abord des
coquilles de mer, remplacées depuis par des pièces
.d’airain de la même figure, appellées Jpondyles.
Peux choses dístinguoient les calculs ; la forme & (la couleur.'Ceuxqui por'toient condamnation étoient
noirs & percés par le milieu, les autres étoient
entiers & blancs: M. l’abbé .de Canaye, ( Mém.
de l’Acad. des Belles-Lettres, Tom. I d VII. ) 
dit qu’on pourroit regarder la précaution de percer
les noirs comme une preuve'que les Aréopagites,
qui s’en servoient, jugeoient pendant la nuit ; car
à quoi bon percer les calculs noirs, fi l’on eût
pu voir les uns & les autres, .& appercevoir, par
le secours de la lumière , la différence de leur
couleur ; au lieu qu’en jugeant dans les ténèbresil
est clair qu’on avoit besoin d’une différence autre
que celle de la couleur & relative au tact,. pour
démêler les calculs de condamnation d’avejf ceux
qui marquoient rabsolution. On compto'jt ces
calculs, & le nombre des uns & des autres déeidoit
pour ou contre Taccusé. IlOn se servoit austi de calculs ou bulletin* pour
tirer les athlètes au sort dans les jeux publics, &
les apparier. Voici comme la chose se pratiquoit
aux jeux olympiques , au rapport de Lucien dans
son dialogue, intitulé : Hermotime ou des Seâes.
et On place, dit-il, devant-les juges, une urne
Jj d’argent consacrée au dieu en Thonneur de qui
jjse célèbrent les jeux. On met dans cette urne
« des ballottes de la grosseur d’une fève, & dont
33'le nombre répond à celui des combatfans. Sí
33 çe nombre est pair, on écrit fur deux de ces
jjballotes la lettre A, fur deux autres la lettre B,
33 fur deux autres la lettre T, & ainsi dp reste.
33 Si le nombre est impair , il y a de nécessité une
33 des lettres employées qui ne se trouve inscrite
i3 que sur ujne seule baílote ; ensuite les athlètes
33 s’approchent l’un après l’autre, & ayant invoqué
33 Jupiter, chacun met la main dans l’urné &"én
33 tire une baílote. Mais un des mastigophores ou
ssportevergês lui retenant la main, J’empêche de
33 regarder la lettre marquée fur cette baílote jusqu’à
33,ce que tous les autres ayent tiré ìa leur. Alors
33 un dés juges faisant la ronde examine les ballotes
33de chacun, & apparie ceux qui ont les lettres
33 semblables. Si le nombre des athlètes est impair,
J3celùi qui a tiré la lettre unique est mis en ré »3
serve pour se battre contre le vainqueûr.,33 (O) CALCULER, v. act. c’est en général appliquer
les règles ou de l’Arithmétique ou de l’Algèbre,
ou les unes & les autres, à la détermination de
quelque quantité. Voye[ CALCUL.CALENDES, chez les Romains ètoit le nom
du premier jour du mois.CALENDRIER,,f. m.(Astron.)  c’est une distribution
de tems disposée pour les usages de la
vie ; ou bien c’est une table ou un almanach qui
contient Tordre des jours, des semaines, des mois,
des fêtes, de, qui arrivent pendant le cours de
1 année. Voyei TEMS, ANNÉE, MOIS & FÊTE.
 ; II a été appelle calendrier, du mot calendoe, que
1 on écrivoit anciennement en gros caractères au
commencement dechaque mois. Voye{CALENDES.La première chose à remarquer dans le calendrierCal c a l m 9est Iordre des années, nous avons parlé de la !
durée & de la forme des années chez tous les Peuples
du monde au mot ANNÉE, mais nous devons développer
ici le calendrier des Romains, & celui
dont on se sert actuellement dans toute TEurope,
qui est le calendrier Grégorien.. ; Le calendrier des Romains, tel qu’il fut .établi
par César, contient les 12 mois comme celui de
Nunîa, les uns de 30 jours les autres de 31 ; mais
au lieu dé compter comme nous lé premier du mois,
le 2.,- le 3-, de. le premier jour s’appelloit jour
des calendes, le suivant étôit le quatrième óu le
sixième avant les nones, on le verra suffisamment
dans la table suivante qui contient un calendrier
romain, que des savatis ont recueilli d’après divers
jnonumens, & que M. Feliceá dónrié dans l’Encyclopédie
d’Vverdon en 1771, & qu’on a inséré
dans les supplémens de TEncyclopédie de Paris
An-folio, il paroîttiré des antiquités romaines de
Rosin & de Demster pour la partie des fêtes romaines
, avec plusieurs additions, & M. l’abbé
Bfotier y a fait diverses corrections. Je ne fais
où la partie astronomique a été prise, elle est dis- .
férente dans d’autrés calendriers , il y en a un
dé Geminus, deux qui portent le nom de Ptolémée,
un du P. Petau dans son uranologium, celui-ci est
le plus complet, parce qu’il y cite Ovide, Pline,
Columelle. ; s>;,.Dans ce calendrier de Jules-César, on voit le
même ordre & la même suite de mois que dans
celui de Numa ; janvier, mars, mar, quintil ou
juillet, sextil ou août, octobre & décembre-, ont
chacun 31 jours ; & les quatre mois, avril, juin,
septembre & novembre, seulement 30. Février,dans
 les années communes, n’a que 28 jours, &" 29 dans les années intercalaires ou bissextiles. Lafuite
des huit lettres nundinales, est" placée fans
interruption depuis le premier jusqu’au dernier
jour de Tannée, pour qu’il y ait toujours à chaque
année une lettre qui marque les jours des assemblées
, appellées nundinoe par les romains, & qui- revenoient tous lés neuf jours : les citoyens de
la campagne se rendoient à la ville ces jours-là,
pour y apprendre ce qui concernoit Ja discipline,
la religion ou le gouvernement. C’est pourquoi si
le jour nundinal de la première année étoit sous
la lettre A, qui est au premier^ au neuvième,
au dix-septième, au vingt-cinquième de janvier
, de. la lettre du jour nundinal de Tannée
suivante étoit D , qui est au quatrième , au
douzième, au vingtième du même mois, de. Car
la lettre A se trouvant aussi au vingt-septième de
décembre, si de ce jour on compte huit lettres,
outre les quatre B > Cy. D , E , qui' restent
après A dâns le mois de décembre, il-en faudra
prendre quatre: autres’au commencement de janvier
de Tannée suivante ; savoir j A, B , C, D ,
afin que la lettre P,-qúi se trouve la première' 4<}ns’ l.e nipj-s de. janvier 5 soit la,neuvième :aprèsle dernier A dû mois de décembre précédent, &
qu’elle soit par conséquent la lettre nundinale,
ou qui marque les jours de ces assemblées, auxquelles
on peut jiussi donner le nom de foires ou
marchés publics .Ainsi, par le nTême calcul, la lettre
nundinale de la troisième année sera G ; celle delà
quatrième B , & ainsi des autres, à moins
qu’il n’arrive du changement par Tintercalàtion.Pour entendre les lettres marquées dans la seconde
colonne pour la qualité de chaque jour,
il faut savoir que Ton ne pouvoit plaider & juger
qu’à certains jours. On appelloit fastos , én françois
fastes , les jours auxquels on pouvoit rendre
la justice, quibus sas effet jure agere ; &nefastos ;
ceux auxquels cela n’étoit pas permis, quibusnés
as effet, comme nous Tapprenons dans ces
deux vers d’Ovide:Ille nefastus eritper qúem tria verbafilentur ; _Fastus-eritperquemjure licebit agi.C’est-à-dire, que le jour est néfaste, dans lequel*
le prêteur ne prononce point les trois mots fòlemnels,ou
la formule de droit, do , dico , addico
, comme on diroit chez nous qu’il est fête
ou vacance au palais ; il y. avoit aussi de certains
jours qu’on appelloit comitiaux ', marqués paf íin
C, dans lesquels le peuple s’assembloit au champ
de Mars, pour élire les magistrats, ou pour y
traiter des affaires de la république, ces assemblées,
du peuple étoient appellées comitia , comices.
í,e prêtre ou sacrificateur, - qui étoit appelle
Rex, se trouvoit quelquefois dans ces comices
 ; énfin il y avoit un jour de Tannée où
Tort avoit coutume " de nettoyer le temple de
Vesta, & d’en transporter le fumíér ; ce qui se
faisoit avec taht de'cérémonie, "qu’il n’étoit "pas.
permis de plaider pendant ce tems-là.Ces remarques suffisent pour entendre Ies.lettfes
de Ta seconde colonne , i.° la lettre N. signifie
nefastus dies t ou jour néfaste , cela, signifie qu’on
ne peut pas rendre la justice eri"ce jour. 2. 0 F,
ou fastus, veut dire qu’on peut rendre la justice.
3. 0 F P , ou fastus prima parte diei , signifieqû'on-peut
la: rendre* dans la première partie du
jour. 4. 0 N P, ou nefastus prima parte diei , quon
he peut pas la rendre dàns la première partie du
jour. 5. 0 EN, ou endotercisus ou intercifus, c’està-dire,
entrecoupé  ; qu’on le peut dans certaines
heures, & qu’on ne le peut pas dans d’autres.
6." C, ou comitialis, veut dire que Ton rient en
ce jour-là les. assemblées qu’on appelle comices.
7° Quand il y a ces lettres Q , rex C, F, ou
quando rex commitavit, sas , qu’on le peut lorsque
' le sacrificateur, appelle le roi, a 'assisté aux comices.
8." Énfin ces lettres Q ,, ST’, D, F,
signifie quando fiercus delatum , sas , qu’on le peut
auffi-tôt que le fumier a été transporté hors du
temple de'la déesse Veíïa. " • •-Kkij











2-7:Cal cal- 5. 0 La troisième colonne est pour les dix-neuf
caractères de ; nombres du cycle lunaire , ou
nomlve d’or, pour marquer les nouvelles lunes dans
toute Tannée, suivant Tordre auquel elles arri-.
voient du tems de Jules-César,, du moins plusieurs
savans ont pense qu’on avoit compté ainli dès le
tems’ de César, & qu’on avoit.pris pour la première
année du cycle lunaire Tan 45 avant J. C.
ou Tannée de la réforme julienne ; il est vrai que
la nouvelle - lune- cètte année-là, fut le premier
janvier : mais Scaliger & Petau pensent que ces
nombres n’ont été "mis dans le calendrier julien
que depuis le concile de Nicée.Quoi qu’il en soit, cette colonne est tirée de
Gauricus, & le P. Petau, 1. e , c. 24 , en. a donné
Texplication détaillée. Dans la première année
du cycle de 19 ans , la nouvelle lune arrivoit
-le 1 "janvier & le 31, le 1 mars & le- 31, le 29
avril, 6T. en sorte qu’on trouve le nombre 1
vis-à-vis de tous ces jours-là. Le nombre II se
trouve vis-à-vis de tous les jours de Tannée, où
arrivoit la nouvelle lune dans la seconde année
de chaque cycle de 19 ans, comme au 20 de'
janvier, au "18 février, de. qui étoient des jours
de nouvelle lune*, Tan 44 avant J. C. òu 45 -,
suivant la manière de compter des astronomes.
Cela íuffiroit pour trouver les nouvelles lunes
d’une ânnée quelconque dans Thistoire romaine ;
car tous les 19 ans elles revenoient au premier
janvier. Voye\ CYCLE LUNAIRE.6.° La quatrième colonne marque la fuite des
jours des mois, suivant notre usage ; on les a mis
pour montrer le rapport qu’il y a entre la manière
de nommer & de compter les jours des
romains & la nôtre, & faire .voir quels font,
selon notre façon de compter, les jours auxquels
les fêtes romaines peuvent répondre.-'7. 0 La cinquième colonne contient la division
des mois en caléídes, nones S: ides, qui- étoient
en usage parmi les romains. Elle n’est point en
parties égales, comme les calendes des grecs,
mais en portions fort différentes, do'nt on peut voir
les raisons dans le P. Petau, Doâr. temp. liv. 2 -,
eh. 74. Les variétés eri sont renfermées dans ces
vers latins :Sex majus nonas , oBober, julius d mars ;
Quatuor at reliqui. Dabit idus quilìbtt o3o.
Cest-à-dire, que les mois de mars , mai, juillet
& octobre , ont six jours de nónes’, & qUe-ípus
les autres n’en ont que quatre ; mais, qu’il y a
pans tous huit -jours d’ides ; ce qu’il faut entendre"
ainsi, savoir: que le premier jour de chaque
mois s’appelle toujours calendoe ou kalendoe.,
les calendes ; qu’aux quatre mois, mars, mai,
juillet & octobre, le septième du mois s’appelle
nonoe , les nones, & le'treizième idus , les ides.
Les autres jours se comptent.à rebours du mois
suivant, comme Te 28 ,1e 29, de. avant.les’calendes
du mois suivant. Les jours qui font depuis
les calendes jusqu’aux nones, prennent le nom denones du mois courant : les autres jours qui sont
entre les nones & les ides, prennent aussi le nom
des ides du même mois. Mais tous les autres
jours depuis les ides jusqu’à la fin, prennent le
nom des calendes^ du mois suivant. On voit au
reste que les tables des fastes, fur lesquelles les
romains plaçoient leurs mois & leurs jours par année,
 prirent dans la fuite le nom de calendrier,
parce que ce nom de calendes étoit écrit en gros
caractères à la tête de chaque mois.8." Enfin la dernière colonne comprend les
choses qui appartiennent principalement à la religion
des romains, comme sont les fêtes, les sacrifices
, les jeux, les cérémonies, les jours heureux
ou malheureux ; austi bien que les commencemens
des signes, les quatre points cardinaux de
Tannée, qui font les quatre faisons, le lever &
le-coucher des étoiles, voyei LEVER HÉLIAQUE
, de. Cela étoit d’un grand usage parmi
les anciens, qui s’en sont Iong-tems servi pour
marquer la différence des faisons, au lieu àecalendrier,
au moins jusqu’à ce qu’il eût été rédigé
dans une forme plus régulière par la correction
de Jules-César. Nous voyons dans la plupart des
livres anciens, que l’on se gouvernoit entièrement
par Tobservation du lever. & du coucher des
étoiles, dans la Navigation , dans l’Agriculture,
dans la Médecine & dans la plus .grande partie
des affaires publiques & particulières, parce que
les apparitions d’étoiles étoient .plus faciles à bien
distinguer que les limites des faisons & Tinégàlité
des joiirs. "J’aurois augmenté cette partie du calendrier ;
mais les auteurs anciens sont si peu d’accord entr'eux
,-que j’ai cru le travail trop peu utile.CALENDRIER grégorien, est celui dont nous,
nous servons depuis 1582, & qui fut rédigé à Rome
sous le pape Grégoire XIII. II y avoit long-tems
qu’ons’occupoitdece projet de réformation,comme
on peut le voir dans Thistoire ecclésiastique du .
P. Alexandre. Pierre d’Ailly, chancelier de TUniversité
de Paris, en 1414, le cardinal Cufa, Regio
Montanus, fous le règne de" Sixte IV , s’en occupèrent
' ; Touvrage fut ensin terminé sous Grégoire
XIII.. Le point -fixe, d’où Ton partit dans la réformation
du calendrier, fut la règle qu’on attribue
aux pères du concile de Nicée tenu en 325.
Suivant cette règle , Téquinoxe doit être le 21 de
mars, & la fête de Pâque le dimanche après le _,
xivc de la lune du premier mois, c’ést-à-dire,
de la lune, dont lé 14e arrive oû le jour mênie,
ou après le jour de Téquinoxe.On croyois, au tems du concile de Nicée, que
Tannée étoit à-peu-près de 365 > 51, 55', suivant
le sentiment de Ptoleníée. On supposa donc que
Téquinoxe, qui arrivoit alors le 21 de mars,airiveroit
toujours de même, ou qu’on y remédieroit
dans la fuite. Mais comme il y a six minutes de
moins dans la véritable durée de Tannée solaire,
- ~ Téquinoxe1 équinoxe arrivoit chaque année six minutes plutôt i
qu’on-ne croyois, & du tems de Grégoire X11I,
en 1577, il se trouvoit arriver le 11 de mars ; il
auroit fallu omettre trois jours de Tannée tous |
les 400 ans,pour que le 21 de mars fût toujours
près du véritable équinoxe.
. Ce fur le 24 février 1581 que parut le bref
par lequel Grégoire XIII ordonna Tobservation
des trois articles qui dévoient remplir pour toujours
l’intention attribuée aux PP. du concile de
Píicée: les voici en abrégé.r.° II est dit qu’après"le 4 octobre 1582 j on
retrancha 10 jours du mois, en sorte que le jour
qui suivra 1a fête de S. François, qu’on a coutume
de célébrer le 4 octobre, fera appelle non
le 5, mais le 15 d’octobre, & que la lettre dominicale
G sera changée en C.2." Pour qu’à Tavenir Téquinoxe du printems
BÇ puisse pas s’éloigner du 21 de mars, les années
iiflextíles qui avoient lieu de quatre en quatre
ans, n’auront pas lieu dans les années séculaires
170Q, 1800 , 19DO, mais seulement Tán 20C0 ,
& ainsi dans la fuite à perpétuité ; de sorte que
trois années séculaires soient toujours communes,
& la quatrième bissextile. Le troisième article de
la réformation, a poúr objet les nouvelles, lunes,
■& nous en parlerons ci-après.Voici la table des années séculaires bissextiles
ou communes, dans laquelle on voít que les
nombres séculaires 16,-20, 24, de. divisibles paf
4 fans reste , sont les seuls qui expriment des
.années bissextiles , corr.fne dans le cours d’un
siècle les nombres divisibles par 4 expriment auffi
des années bissextiles.I6CXD bissextile. 2000 b. 2400 b.1706 commune. 2100 c. 25CO c.1800 commune. 2200 c. Xêco c.19CO commune. 2300 c. 2700 cEn continuant ainsi , Ton verra que Tannée
<2.oo doit erre bissextile, parce que 52 est divisible
par 4 ; mais, pour plus grande exactitude, il
faudroit faire cette année de 365 jours seulement,
en sorte que depuis 4800 jusqu’à 5600, il n’y
eût point de bissextile ; car Tannée étant réelìement-^le
365' 5h 48'48', les 11' 12" qu’il y a
de moins font uó "jour en 128 ans, ou 28 jours
en 5600 ans ; ainsi, il faudroit retrancher 28
bissextiles séculaires fur 36 siècles, au lieu que la
règle précédente n’en retranche que 27.
. II y auroit encore une correction à faire dans
ia forme des années civiles, si Ton pouvoir changer
ainsi les usages clés nations pour la commodité
des .calculs j ce forcit la distribution des mois,M. Carouge considérant la durée du tems que
lù soleil emploie à parcourir chaque signe, observeMathématiques, -Tomt I, j.0-*Partie,que si Tort avoit placé le commencement de Tannée
au solstice d’hiver en faisant les trois premiers
mois & les trois derniers de 30 jours, le soleil
entreroit dans chaque signe presque toujours le
premier du mois , & chaque saison occuperait
précisément trois mois ; & comme le mois de janvier
répond au signe où le soleil est le moins de
tems, ce seróit celui qu’on feroit de 29 jour>
dans les années communes. ( Journal des Savans r
aoút 1776, janvier 1779. ) Tous les Etats catholiques adoptèrent le calendrier
de Grégoire XIII, & les dix jours que Ton
retrancha de Tannée en 1582, furent cause d’une
différence qui a subsisté long-tefns en Europe d ?.nî
la manière de compter lés jours ; toutes les fois ,
par exemple, que l’on coínptoit en Angleterre le
2 janvier, on comptoit le 12 en France, c’est-àdire,
10 jours de plus ; les personnes qui craígnoient
Tèquivoque dátóient ainsi , fj- jànvíèr,
c’est-à-dire, le deux vieux style, ou style julien,
& le 12 nouveau style ou stylé grégorien. Lorsqu’en
1700 on eut supprimé une bissextile, suivant
le calendrier grégorien, la différence- sè
trouva de 11 jerars, parce que dans le calendrier
julien on avoit fait Tannée Í70Ô plus longue d’un
j our ; ce qui faisoit compter enfui te ûn jour de moins.
Cétte différence du vieux & du nouveau style
a subsisté long-tems entre les pays prorestans &
les pays catholiques : les prorestans d’Allemagne
ont reçu en 1700 lé nouveau calendrier. Oh voit
dans les Trdhfkdionsphilosophiques , n." 203 , de.
ce que Ton penfoit en Angleterre de lá réforma- fion
 ; mais elle y à été adoptée enfin, & le nouveau
style a commencé eri Angleterre au meis dé
septembre 1752. On a retranché alors íi jours,
& l’on s’est trouvé d’accord avec le calendrier
grégorien : Tunisormité a lieu actuellement dans
toits les États dé TEurope ; la Russie est le sení
pays où Ton compte -encore 11 jours de moics
que dans le ; autres pays de TEurope.Ta réfonnation du calendrier avoit encore un
antre objet dans les raes de Téglise ; c’étoit dererriettre
les nouvelles lunes, & sur-tout le quatorzième
de la lune pafchale, au niéme état où
elles aveient été én 32^, au tems du concile de
Nicée, & dont elles étoient éloignées dé plus de
quatre jours. Denis Je Petit assure que, suivant
l’intention du concile, on doit célébrer là fête
dé Pape le premier dimanche après- le 14 ? de la
lune, si ce 14' arrive le 21 de inars ou après le
21 de inars : ainsi, la fête de Pâque ne doit jamais
arriver plutôt que le 22 de mars ; car la
règle dit que ce sera le premier dimanche áprès
le quatorzième. De même elie ne doit jamais ar- river
 plus tard que le 25 avril’: car si la pleine"
Tune tombe au 20 mars, cë rie sera pas la pleine
lune pafchale ; on attendra celle qui fuir le 21
mars ou celle du 18 avril ; & si le 18 avril se trouve
un’dimanche, ce ne sera encore que le dimanche
sûivarit. 2} avril j qui sçra ie joar de Fâque.M m" - -2-4 C A L -
CalLc P. Alexandre fait voir combien Téglise a
pris de foin , depuis le concile de Nicée, pour
cmj-ècher qu’il ne se glissât quelques erreurs dans
la célébration de.la Pâque : on s’en est occupé
dans divers .siècles ; & l’un des premiers qui s’en
occupèrent, fut S. Hyppolitc, évêque ;& martyr,
qui vivoit Tan 228. Enfui Grégoire XIII rassembla
à Rome des íàvans de divers pays dès Tannée
1576. Un médecin de Calabre, nommé Luìgi Liliò,
011 Aloisius Lilius , lui présenta pour lors un projet
de calendrier , intitulé : Compendium nova ratiorús
restituendi calendarii, que le pape adressa, en 1577,
à tous les princes chrétiens & à, toutes les universités
célèbres pour le faire examiner, - & qui fut
adopté dans le ;bref de la'réformation. •L’épaéle, dans-son principe, est ce qu’il faut
ajouter à Tannée lunaire pour former Tannée solaire.
La fuite des épactes "est la fuite des différences
qui.se trouvent entre ces deux sortes d’années.
II y à des épactes astronomiques destinées
à trouver,exactement les fyzygies astronomiques
. moyennes en heures, minutes & secondes. Voye^
ET-ACTE. Mais celles du calendrier sont destinées
feulement à trouver, suivant Tintenrion de Téglise
& la règle établie en 1582, les jours des nouvelles
lunes ecclésiastiques : je dis suivant l’intention & la
règle de Téglise, parce que les nouvelles lunes ecclésiastiques
ne sont pas tout-à-fait d’accord avec les
K. L. moyennes de TActronomie.L’épacte qu’on afiigne à chaque année dans le
calendrier, est le nombre qui indique Tâge de la
lune au commencement de cette année, suivant
le calendrier ecclésiastique : de-là il suit que si la
nouvelle lune arrive le 1 janvier, l’épacte est zéro
pour cette année-là ; mais, Tannée suivante, elle
iéra de 11, parce que Tannée lunaire n’est que de
354 jours, & Tannée solaire de 365, ou 11 jours
de plus ; ce qui fait que la" nouvelle lune étant
tombée au 20 décembre, la lune aura 11 jours
le 1 janvier de Tannée suivante. De même Tannée
d’après, l’épacte est de 22 ; la troisième année
elle scroit de 33, si Ton en ôtoit 30 pour former
un mois complet : elle se réduit donc à 3. Par ce
moyen les épactes d’années suivent Tordre, naturel
des multiples de onze, en retranchant toujours
30 ; savoir, 11, 22, 3, 14, 25,6, 17, 28,9,
20, 1, 12, 25 , 4, 15,' 2ó, 7, 18 , 29. Tel est
Tordre naturel & primitif des épactes, quand on
suppose les mois lunaires de 29 & de 30 jours,
les années civiles de 365 jours, avec un bissextile
ious les quatre ans.Cet ordre primitif & régulier est celui qu’on
suppose à Tépoque du concile de Nicée ; mais en
s’en éloignant, on observe deux défauts dans cette
règle,-ou deux interruptions : on les appelle équation
lunaire & équation solaire ; la première vient
de ce que le cycle lunaire de 19 ans est défectueux
d’environ ih \, les .235 lunaisons ne faisant pas
tout-à-fait 19 ans ; de forte qu’au bout de 312 ans,
le-: nouvelles lunes arrivent un- jour plutôt, &Ton est obligé de prendre l’épacte plus forte dune
unité. La seconde équation a lieu à cause du'retranchement
de trois bissextiles fur Tespace de
4C0 ans, qui fait que la nouvelle lune arrive plus
tard, & qu’il faut diminuer Tépacìe. De cette
double inégalité, il résulte que chaque siècle exige
un nouvel ordre d’épacte ; il y en a 30 suites différentes
qui forment ce qu’on appelle la table étendue
des épaacs, &. que Ton trouvera ci-après.Ces 30 fuites tiennent lieu de 30 calendriers
qu’il auroit fallu avoir ; elles composent un total
 ;yjssi parfait que les règles de Téglise & de la
société civile pouvoient Texiger.'.
•* •- Ces 30 lignes font désignées par 30 lettres da
.Talphabet qui descendent dans un ordre rétrograde,
mais dans lesquelles on a seulement évité d’employer
certaines lettres qui pouvoient occasionner
de la confusion dans les caractères. En tête de la
table, on trouve les 19 nombres du cycle lunaire,
en commençant par-31, qui, au tems du
concile, de Nicée, se plaçoit vis-à-vis lè 1 janvier.
La première ligne horizontale de la table, marquée
P,'n’est autre chose que la fuite des nombres
que nous avons indiqués ci-dessus.yen commençant
par o, ou*, fans autre interruption que
celle d’un jour de plus, quand le nombre d’or
devient I , parce qu’alors la dernière lunaison
n’est que de 29 jours au lieu de 30 ; ce qui fait
avancer les nouvelles lunes d’un jour. Cette dernière
lunaison est une des sept intercalaires qu’il ;
y a en 19 ans ; mais elle est exceptée de la règle.
Voyei CYCLE LUNAIRE. La seconde ligne marquée
N a une unité de moins, & ainsi des autres.La première ligne de la table des épactes, marquée
P, fut attribuée, dans la réformation du
calendrier, au sixième siècle : on supposa que les
nombres d’or indiquoient exactement,' pottr ce
siècle-là, les nouvelles lunes.. L’on prit pour
époque du calendrier Tannée 550, tems postérieur
à celui du concile, parce qu’on voulut que les
nouvelles lunes du calendrier fussent en retard fur
les nouvelles lunes astronomiques moyennes, de
peur que la fête de Pâque ne vint à être célébrée
avant le XIV de la lune pafchale, contre Tinten- '
tion de Téglise. Or les nouvelles lunes moyennes
arrivent quelquefois un peu avant la nouvelle luné .
vraie, fur laquelle les Juifs se régloienr : Téglise
a donc voulu avoir dans son calendrier des nouvelles
lunes moyennes qui ne pussent jamais devancer
les vraies, mais qui les suivissent toujours. '
On a donc pris pour racine' Tannée 550, fous
le règne de Tempereur Justinien ; alors les nombres
d’or indiquoient les nouvelles lunes environ 16
heures plus tard qu’au tems du concile de Nicée,:
comme on le voit par les râbles astronomiques,
& -il n’y avoit plus ' de danger qu’elles pussent
être indiquées plutôt que les nouvelles lunes vraies.'
L’on attribue à Tannée 500, & au sixième siècle ■
entier la première ligne de la table générale des
épactes, qui est marquée P dans la table étendue'
que nous expliquons ici : mais comme an bout
de 300 ans, c’est-à-dire Tan Sco, il y a une équation
lunaire, & que la lune anticipe d’un jour
dans le calendrier, les nouvelles lunes arrivant un
jour plutôt, c’est le nombre précédent qui indique
les nouvelles lunes ; il faut prendre Ja dernière
ligne a, dont les épactes. sont plus fortes d’un
jour. Après un autre intervalle de 300 ans, c’està
- dire Tan 1 ico, il y a encore une équation
lunaire ; la lune anticipe encore d’un jour :
il faut donc, pour le douzième siècle, remonter ]
d’une ligne, & Ton’ aura la ligne b qui commence
par II, XIII, &c. ; de même en 1400,'
on aura la ligne c, qui commence par l’épacte 111.
En 1582, Ton retrancha 10 jours de Tannée
: les nouvelles lunes arrivèrent donc 10 jours
plus tard ; ainsi , il faut descendre de dix lignes
dans la'table générale, & venir à D pour 1583:
je dis que cela s’appelle descendre , parce que de
la ligne, c à la ligne a , on descend d’abord de
deux lignes ; & si Ton diminue encore Tépacte de
Tunité, on trouve les nombres de la première
ligne P qui est censée descendre encore davantage
 ; car la table générale des épactes est comme
un cercle dans lequel on recommence dans le
même ordre & fans interruption, lorsqu’on Ta
parcouru tout entier.En 1600, il n’y a eu ni équation lunaire, ni
équation solaire, puisque la première avoit été
emplo3'ée en -1400, & que la seconde ne devoit
arriver qu’en 1700, i8co & 19c© ; ainsi, Ton a
conservé la ligne D qui commence par XXIII.
En 1700, il y a eu une équation solaire, parce
qu’on a omis une bissextile, & que Tannée a été
plus courte d’un jour : les nouvelles lunes ont dû
arriver, par cette raison , un jour plus -tard ; &
pour lesdndiqúer. un jour plus tard , il faut avoir
l’épacte plus petite d’une unité : ainsi, .en 1700,
il a fallu descendre d’une ligne dans la^table, &
prendre la fuite des épactes qui répond à la lettre
C, & qui commence par XXII. Cela doit arriver
ainsi toutes les fois que Ton omet un jour ou
qu’on passe une bissextile ; ce que nous appelions
équation solaire. II auroit dû y avoir une équation
lunaire en 1700 ; mais elle fut remise à i8co.
iQuoique Téquation lunaire eût été employée
pour Tannée 1400, la lune anticipe, d’un jour fur"
le, cycle lunaire, non pas en 300 ans, mais seulement
en 312 \ ans. Ces 12 f ans avoient été
omis quatre fois depuis Tan 500 ; savoir, en Sco,
iico, 1400, 1700 : ainsi, il y avoit 50 ans dont
ori avoit anticipé Téquation lunaire. D’ailleurs, en
partant de Tannée 550, c’étoit en 850, 1150,
1450, 1750 qu’on devoit employer Téquation lunaire ;
ainsi, ajoutant encore à 1750 les 50 ans dont
on étoit resté encore en retard, on trouvé qu’en
1800, il faudra employer Téquation lunaire : on
retarde ainsi tous les 25 siècles. Cette équation
feroit une augmentation dans Tépacte deiSoo :
niais cette année »là-, il y aura un jour intercalaireomis, de même qu’en 1700 ; & par conséquent
on devroit de même retrancher un de
Tordre des épactes, & descendre d’une ligne dans
la table générale. Ces deux effets se détruiront ;
les nouvelles lunes ne monteront ni ne descendront ;
elles demeureront aux mêmes jours ; lá même
ligne C dans la table générale servira pour tout
le 19e siècle qui commence en 1800, comme elle
avoit servi pour le siècle précédent.En 19CO, on omettra encore un jour intercalaire
 ; les nouvelles lunes descendront d’un jour" ;
il faudra descendre à la ligne B de la table générale.
L’année 20c » ne changera point de ligne,
parce qu’il n’y a cette année - là ni intercalaire
- omise, ni équation lunaire. En 2ico, on omet
un intercalaire, &T011 emploie Téquation lunaire,
parce qu’il y a 300 ans. d’écoulés depuis 1800,
où Ton a fait la dernière équation : ainsi, le 22e
siècle, qui commence à 2100, conservera la même
lettre B que le siècle précédent, de même que je
Tai remarqué pour Tannée 1800.En 2200, on omettra une intercalairéT, & il n’y
aura point d’équation lunaire : ainsi, on descendra
à la ligne A de la table générale ; & parla même
raison, en 2300, on descendra à la ligne u. ..
En 2400, on aura eu, 300 ans depuis la dernière
équation lunaire de 2100 : il y aura donc
'une équation lunaire ; mais. il n’y aura point
d’équation solaire : ainsi , les - nouvelles lunes
monteront d’un jour, & on reviendra à la ligne A.
2500, équation sol. on descendra à la ligne u.
2600, équation sol. on descendra à la ligne t.
2700, équat. sol. & lun. on conservera la ligne t.
2800, aucune équation , on conservera la ligne t.
Ainsi , dans les principes de Lilius, il est aisé
de continuer à Tinfini la table de {'équation des
épaâes , si Ton a égard à Tiníercalaire qu’on doit
retrancher trois fois en 4c » ans, & à Téquation
lunaire qûi doit arriver tous les 300 ans, d’abord
sept fois de fuite, & après cela au bout de 400
ans feulement, à cause des 12 ans & dènii qu’on
néglige tous les 300 ans, & qui se trouv.erit avoir
produit 100 ans au bout de 8 fois 300 ans ou de
2400 ans : il faut renvoyer alors Téquation lunaire
& Tannée séculaire qui suivra comme nous Tavons
indiqué, lorsque parvenus à 1700 ans nous avons
rejette Téquation luriaire à 1800. II arrivera donc
toujours que Téquarionlunaire sera différée au bout
de 24Coans, à compter de 1800 , c’est-à-dire , dans
les années 4300, 68cxy, 9300, 11800, & ainsi de
fuite, en allant toujours par 2500 ; alors", au lieu,
d’être employée au bout de 300 ans, elle ne le
sera qu’au bout de 400 ans pour cette fois-là:
par ce moyen, la lune ne remonte dans le calendrier
que de 8 jours en 2500 ans, au lieu qu’elle
remonteroit de 8 jours en 2400 ans. On a marqué
ces années de retard d’un double caractère (£ (£ dans,
la table dèl’équation des épactes qu’on trouvera plus
bas, & où Ton voit quelle ligne ón doit prendre pour
chaque'íiècle dans la table étendue des épactes.-M m ijTable étendue des épactes,
Contenant les trente suites d’Epa&es qui peuvent avoir lieu dans
différens siècles, suivant k Calendrier Grégorien. Article i-S75>
Page 3°3- .,'■■..'■■■■'"'.
'RzMARQir-xs. Les Nombres cVOr font dans la première ligne de la Table , en-tête de
chaque colonne. La9eligne marquée C , est celle qui a lieu depuis 1700 jusqu’à 1900,
d qui recommence tous les 19 ans: Par exemple , l’Epaâe est XXII en lyGg, 17.88 *2807 ,, de.-, — ,.. 1 m ….. .i , ■ , . i—1. ——_
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Table etendue des épactes,Contenant les trente suites d’Epa&es qui peuvent avoir. ;lieu, dansdifférens siécles, suivant le Calendrier Grégorien. Article 1575 ,page 303. _„ ':■. ;■, ■ !| . :. .'.-":
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chaque colonne. La'3e-ligne marquée C, est celle qui a lieu' depuis z7:0o jusqu’à 1900 ,
d qui recommence tous les 1$ ans. Par exempte ,.í'Epaâe est XXII enrtjGff, 1788,1807, de -:'.'-"■■'■,…■■ - [ : .. -II I - " • - I -.--— - m l13 H ■ i-5 ..-'■-. lá U. J8 19 1 2P XX T - XII -XXIII IV - XV XXVI VIII XIXNXIX:. * XI -_XXII 151 XIV. 2s VII XVIII
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8ico dans les règles précédentes, &_:un autre au
bout de 481 436 ans, mais 011 les a négligés, on.
cn peut voir le détail dans Clavius.Ensuivant ces règles, on trouverqit le retour
des mèmes lettres & dans le même ordre au bout
de 3C0 mille ans ; c’est-là le grand cycle du calendrier
, mais comme les données ne comportent
pas une si grande précision , nous ue nous arriérons
pas à ce détail.Quand on a trouvé par la table étendue des
cpacles, quelle est celle des 30 lignes que Ton doit
employer, dans le siècle où Ton se trouve ; le
nombre d’or qui est à la têre de chaque colonne
vous apprend quelle est Tépacte de Tannée ; ainsi,
en 1782 le nombre d’or étant 16, on trouve audessous
de 16, dans la neuvième ligne marquée C,
.que Tépacte est XV ; en 178Ó elle sera * qui veut
dire 30 ou zero.Connoissant Tépacte de Tannée, on peut trouver
toutes les nouvelles lunes & les jours de la semaine
dans le calendrier perpétuel des épactes, ou
calendrier de Grégoire XIII que Ton trouvera
ci-après, où font marquées les épactes *, xxix,
xxviij, de. & les lettres A,-B, C, D -, E,F, G,
en commençant par le premier jour de janvier ;
dans ce calendrier tous les jours auxquels répond
l’épacte de Tannée font ceux .des nouvelles lunes
ëette année -là, mais il y a trois observations àfaire fur trois articles particuliers de ce calendrier
perpétuel.Au lieu du nombre 30 , on met une étoile *
qui tient lieu de 30 & de zero ; en effet, dans lès
années où il y a une nouvelle lune Je premier
décembre & le 31, Tépacte qui marque Tâge de
lalune quand Tannée finit, devroit être 30, parce
que la lune a 30 jours quand Tannée finit-, mais elle
devroit être zero si Ton considéroit la nouvelle
lune du 31 décembre ; ainsi , Ton met un signe
ambigu qui tienr lieu de Tune & de l’autre, &
qui s’applique également à ces deux circonstances.Dans le calendrier perpétuel on a pratiqué six
interruptions, où Ton a mis ensemble les épactes
XXIV & XXV, fans cela les 12fuites des épactes
qui font de 30 chacune, formeroient 360 jours,
au lieu de 354 qu’elles doivent former pour s’accorder
avec 1 année lunaire qui a i 1 jours de moins
que Tannée solaire. Cette suppression de 6 jours a
été repartie fur la seconde trentaine, sur la 4%
la 6% la 8e , la 10e & la 12e ; & les jours où elle
tombe font le 5 février, le 5 avril, le 3 juin,
le 1 août, le 20 septembre & le 27 novembre.
Ces six jours qui, par la disposition précédente,
devroient avoir "XXV d’épacte, ont tout-à-lasoisXXy
& XXIV. Par-là on gagne un\nombre
à chaque fois, & il se trouve qu’à la íin de décembre
on a gagné.6. jours, qui', ajoutés aux,5
jours qu’il y a de moins dans les 360 jours d’épacte,
que dans Tannée, font 11 jours, comme cela doit
être puisque Tannée lunaire n’a que 354. jours, ;. càlehdrierpekpétuel’deséipactes, -
S U I V A IM T G R É GlO I RE' ;X I II,
Pour servir a trouver toutes les nouvellesLunes}les jours de la semainey& les Fêtes mobiles pour une àrinee quelconque. ;

JANVIER. FÉVRIER. :M A R S. .AVRIL, « ; .MAL. I , JU,IN. ,. .
,. L ■—— r—- - =■:— ;:■ —- ■ ;■ -..' — ;du Epactes. . ' . |
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Pour servira trouver toutes les nouvelles Lunes, les fours de lasemaint,
&. les Fáes--mobiles pour une année quelconque,
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27 * E ■ XXVIII A XXVII D XXVI F iXXV.XXIV B XXIV D

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ÍC> XXVIII G i XXVI C XXV. XXIV F XXIV A XXII D XXII F
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7J 2^xxvi rJ>Ì xxiv E ! ….. lixxii ci ip.xx U
Lçs 11
CAL 1 G A L iSï:
Les 12 lunaisons de chaque année sont,-alternativement
de 30 & de 29 jours ; auiíi Ton met
alternativement 30 épactes & 29, d’abord les 30
dans le mois de janvier, ensuite 29 seulement,
en en réunissant deux au même jour, puis 30 &
ainsi de fuite. L’épacte XXIV dans février & toutes
celles qui la suivent , se trouve remontée d’un
rang au-dessus de fa place namrelle vers le commencement
du mois , à cause des deux épactes
XXV & XXIV qui font réunies au 5 février :
ainsi, les lunaisons qui commencent par les 30
épactes qui précèdent les deux épactes accumulées
au Ç de février ; c’est-à-dire, par les épactes .
XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, *,
I,IL, &c. jusqu’à Tépacte XXIV inclusivement, con’tiennent seulement 29 jours •, il faut dire la mêine
chose des lunaisons qui répondent aux 30 épactes
semblables, qui précèdent dans cinq autres endroits :
du calendrier la réunion de XXIV & XXV.
Dans les mois qui ont deux épactes au même' jourXXV&XXIV, on pourroit craindre qu’il n’y
jeûtdeux nouvelles lunes indiquées au même jour
dans Tespace de 19 ans, savoir, Tune quand Tépacle
'de Tannée séroit XXVj & l’autre quand elle seroit
XXIV ; or il ne peut pas y avoir deux nouvelles
lunes dans les 19 ans qui tombent au même jour ,
du mois, puisqu’ils n’y reviennent qu’après les 19
ans révolus. Pour obvier à cet inconvénient dans
la disposition des épactes de la table étendue, on
a mis 35 en chiffre arabe au lieu de XXV dans
Joutes les fuites d’épactes, ou dans toutes les
lignes où les deux nombres 24 & 25 se trouvent ensemble
& peuvent revenir dans Tespace de 19 ans, :
xe nombre 25. est mis dans le calendrier à,côté de
XXVI, parce que dans ces mêmes lignes d’épactes
jes nombres 25 & XXVI he peuvent pas se trouver
.ensemble dans Tespace de 19 ans..
. Dans les mois qui ont 25 & XXVI d’épacte
au. même rang ou au même jour, ilne "peut pas
arriver non plus que la nouvelle lune soit indiquée
•deux fois au même jour en 19 ans, parce que 25, ne se trouve point, dans les huit fuites d’épactes
qui contiennent vingt-cinq & vingt-six, on n’a mis
dans celle-ci que le nombre romain XXV, qui,
dans le calendrier, est à côté de XXIV ; mais
XXV & XXIV ne font point ensemble dans ces
 ;hiút fuites-là-, ainsi , Ton a toujours eu foin de
faire en forte que les deux figures qui font ensemble
dans le calendrier à un même jour , ne_ fussent
ipas dans une même fuite d’épactes ; il est bien vrai
que les mêmes nombres y font, mais l’un est
en chiffres romains & en petites capitales, Tautre, en chiffres arabes, & cette différence de forme
les distingue assez. ; quelquefois on met le 25 en
.rouge comme dans les bréviaires ou dans les livres
imprimés en deux couleurs.Toutes les fois que dans les cycles de 19 ans,Tépacte XXV concourt avec un nombre d’or plusgrand que onze, c’est-à-dire, avec les nombresdor, 12, 13, 14, 15, ió", 17, 18, 19/il yMathématiques, Tome I, í.€sePartie.a toujours dans ce même cycle une épacte XXiV .
mais si pour lors on prend.Tépacte 25 .qui est
d’un caractère ou d’une couleur différente, qui dans
six endroits du calendrier est placée à côté de Tépacte
XXVI, il ne pourra jamais y avoir deux
nouvelles lunes au même jour, parce que cetté
épacte 2.5, marquée d’un caractère & d’une autre
couleur, répond par-tout à un jour différent de
celui qui. a Tépacte XXIV.Mais lorsque dans un cycle de 19 ans, Tépacte
XXV se rencontre avec un nombre d’or plus petit
que 1-2, óu avec les nombres d’or. 1,2,3,4,
5 5 6, 7, 8 , 9, 10 & 11, il ne peur pas arriver
que dans le même cycle Tépacte XXIV se trouve
employée avec Tépacte XXV, pourlors on prend
Tépacte XXV qui, dans six endroits, est marquée
au même jour que Tépacte XXIV, & puisque
Tépacte XXIV n’aura pas lieu dans ce cycle-là,
on ne risque point de trouver dans le même cycle
deux nouvelles lunes au. même jour..De même, quoique Tépacte 25 qui est différente
en caractère ou en couleur -, se trouve dans six
jours de Tannée à côté de Tépacte XXVI, on ne
craindra pas cependant de trouver deux nouvelles
lunes au mème jourdàns les 19.ans, parce que
, quand Tépacte XXV se rrouve avec un nombre
d’or plus graíid que 11, ( & ce sont les seuls cas
où Ton se serve du caractère 25, ) Tépacte XXVI
.n’a jamais lieu dans íe même cycle pour indiquer
les nouvelles lunes.En effet, dans la table étendue des épactes, on
voit aux 8 lignes-marquées-JV, E , B , r, n, k,
: e, b, qui chacune répondent à un cycle lunaire
"entier de 19 ans ; Tépacte 25 distinguée par les
chiffres arabes sous les .8 nombres d’or, 12 , 13,.
T4, 15, 16, 17, 18, 19, Tépacte XXIV sous les
onze autres & jamais Tépacte XXVI ; mais dans
les 22 -autres lignes horizontales de la table, où
Tépacte XXV se trouve fous les 11 petits nombres
d’or depuis 1 jusqu’à 12, on trouve quelquefois
Tépacte"XXVI, mais on n’y trouve pas XXIV.
Si donc on prend tantôt Tépacte XXV qui est
dans le calendrier à côté de XXIV ; & tantôt Tépacte
25 qui est d’un autre caractère ou d’une
autre couleur, & placée dans le calendrier k côté
de XXVI, ayant égard aux nombre d’or petits ou
grands avec lesquels elle concourt ; il n’arrivera
jamais que, dans le même cycle de 19 ans, il y
ait deux nouvelles lunes au même quantième du
mois, quoique dans les six endroits ;ci-dessus marqués,
il y ait au même jour XXV avec XXIV,
& XXVI avec Tépacte 25 d’un caractère différent.Ainsi Tépacte XXIV ne peut pas avoir lieu
quand Tépacte* XXV concourt avec un des onze
premiers nombres d’or,'mais seulement quand elle
concourt avec un nombre d’or plus grand que -11,
& Tépacte XXVI n’a jamais lieu lorsque Tépacte
25 de.caractère différent concourt avec un nombre
d’or plus grand que 11.
' ' Na

aSi
Cal calCerte épacte 25 relevée d’un jour, fait que la
Ie lune de Tannée a 29 jours’ & non pas 30,
& répond mieux au moyen mouvement de la lune
que Tépacte XXV qui est un peu en retard.On -a choisi les épactes XXV & XXIV pour
Je ; accumuler ensemble, quoiqu on eût pu choisir
deux autres épactes quelconques ; mais c’étoit
à-peu-près vers ces mêmes jours que Ton employoit
Téquation de la lune dans Tancien calendrier
des nombres d’or du Concile de Nicée, &
Ton a cherché à s’en rapprocher le plus qu’il étoit
possible dans la disposition du nouveau calendrier.Ces nombres XXV & XXIV que Ton met
ensemble , ont même été choisis d’ailleurs avec
dessein, pour faire en forte que presque toutes les
lunaisons paschales fuífcnt de 29 jours, comme le  ;
rouloient les pères du concile de Nicée, & qu’elles j
commençassent toujours entre le 8 de mars & le
'5 avril. II n’y- a dans le nouveau calendrier que
deux exceptions à la première règle, c’est lorsqu on
a pour épacte 25 ou XXlV, & que 25 concourt
avec un nombre d’or plus grand que 11, ce qui
arrive bien rarement ; il n’y a que ces deux lunés
paschales qui soient de 30 jours. Lorsque les
•PP. de Nicée- assignèrent un espace dé 29 jours .
pour les nouvelles lunes paschales, depuis le 8
de mars jusqu’au 5 avril, il étoit facile d’y arranger
19 nombres d’or, de façon que tous donnassent
des lunaisons de 29 jours ;-mais comme
il y a 30 épactes, on ne sauroit les arranger toutes :
dans 29 jours, à moins qu’on n’en mette deux
à-la-so.is au même jour, comme cela arrive "au 5
p.vril, c’est cé qui fait que la lunaison de Tépacte
XXlV a 30 jours, & par conséquent auffi celle
de Tépacte 25 , placée au-defl’us de XXIV.
( Clavius, page 103.) L’équation de la lune se place au 5 avril par
une raison semblable pour se rapprocher de Tancien
usage de Téglise,- mais il seroit trop long
d’entrer ici dans ces détails.Le troisième artifice employé dans la disposition
des épactes du calendrier■perpétuel, consiste à avoir
mis à la fin de décembre à côté de Tépacte XX
une épacte extraordinaire 19 , qui est austi diffé- '
rente ou par le caractère ou par la couleur. Celle-ci
sert uniquement à marquer la nouvelle lune le
« krnier de décembre, lorsque Tépaéle XIX concourt
avec les nombres d’or 19, ce qui n’arrivera
plus jusqu’après Tan 82CO, & lorsque de 30 cycles
de la table étendue, celui qui á la lettre D, fera en
usage comme il Ta été depuis la correction grégorienne
jusqu’à Tannée i7roexchrâvement, c’est dans
cette ligne D seulement que Tépacte XIX se trouve
sous le nombre d or 19 ; Tépacte 19 placée au 31 de
décembre , doit alors indiquer une^nouvelle lune
comme cela est arrivé en 1595, 1614, 1633, r^52
• 1671, 1690 ; en effet, des que le nombre d’or est 19'
on doit ajouter 12 à Tépacte de Tannée pour former
celle de Tannée suivante, au lieu qu’on n’ajouteroit
que n dans IÎS autres cas. Ainsi, à Tépacte XIXlorsqu’elle a lieu avec le nombre d’or 19, íl faut
ajouter 12 & Ton a 1 d’épacte pour Tannée suivante,
mais Tufage de Tépacte 1 ne se trouve dans
le calendrier qu’au 30 de janvier ; donc fi Tépacte
19 n’étoit pas placée dans le calendrier au 31
de décembre pour indiquer une nouvelle lune,
la lunaison de décembre ne contenant alors que
29 jours, il n’y auroit point de. lunaison indiquée
dans le calendrier depuis le 2 décembre jusqu’au
29 de janvier, car, dans le mois de décembre, il
n’y a pas d’autre épacte XIX que celle du 2 de
décembre,: & dans lé mois de janvier il n’y a pas
"d’épacte 1 avant lé 30. Cependant il y a dans le
■cas dont il s’agit úne lune de 29 jours qui commence
le 2 décembre ; le calcul prouve même
qu’il y a en effet une nouvelle lune moyenne ce
jour4à, quand le nombre d’or 19'concourt avec
Tépacte XIX. ( Clavius, page ,104. ) ._ " _Mais Texception dont il s’agit,'ou Tadditionde
Tépacte 15) , extraordinairement cumulée avec Tépacte
XX au 31 décembre, ne fait dans le calendrier
aucune confusion, parce qu’elle est à côté
de Tépacte XX qui n’a jamais lieu dans le cycle •
où Tépacte XIX concourt avec le nombre d’or 19':
en effet, oh peut voir dans la table étendue des
épactes, que la ligne P qui a lieu dans le cas
prévu ne renferme pas- Tépacte XX. Ce nombrb
ne se trouve point dans les 15) épactes de ce cycle,
il ne peut donc pas y avoir double emploi, ni
deux nouvelles lunes indiquées au même jour dans’
Tespace de 19 ans, quoiqu’il y ait deux épactes
"au même jour, c’est-à-dire 19 & XX.Les épactes ne peuvent indiquer que les nouvelles
lunes moyennes, c’est-à-dire , les nouvelles
lunes qui aùroient lieu, si la lune & le soleil alloient
toujours d’un mouvement uniforme, & que leur longitude
moyenne fût toujours égale à leur longitude
vraie. Ceferoit assez pour Tufage du calendrier civil ; .
car Ton est toujours sûr de ne pas se 'tromper de
plus d’un jour même en fè restreignant aux moyens
mouvemens ; mais nous devons observer encore,
quenon-senlemehtles nouvelles lunes désignées daris
le calendrier parles épactes ne sont point les nouvelles
lunes astronomiques vraies qu’on observe & qu’on
trouve dans nos éphémérides, mais ëlles ne font
pas même exactement d’accord avec les nouvelles
lunes moyennes. II y a souvent des différences
qui deviennent sensibles ; par. exemple, en 1700
la pleine lune moyenne arriva le samedi, 3 avril,
v.ersles nh du soir à Rome ; Pâque devoit donc
se célébrer le-lendemain, suivant la règle ; mais
dans le calendrier la pleine lune étoit indiquée
pour le 4 avril, la fête se trouva renvoyée.au 11
du même mois. ( Voye[ l’Hist. de l’Acad. 1701.) 
Lors de la correction grégorienne on voulut remettre
les nouvelles lunes aux mêmes lieux où elles
étoient du tems du concile de Nicée , par le
moyen du cycle des 19 ans. Mais comme en 625 ans
le cycle ramena la nouvelle lune deux jours plutôt,
il y avoit alors quatre j-ours de différence entre-les nouvelles lunes astronomiques & celles du cycle.
Dans Texécution , on n’a tenu compte que de 3
jours au lieu de 4 ; de-là vient que la pleine
lune astronomique moyenne vient souvent un jour
avant la pleine lune pafchale, & que le calendrier
n’a point à cet égard la justesse qu’on avoit
eu intention - de lui donner ; de-là vient ausiì la
contradiction apparente que Ton trouvera quelquefois
entre les calculs rigoureux de l’Astronotnie,
& les calculs du comput ecclésiastique.Ainsi, dans Texécution du projet de la réformation
, Ton rta pas exactement suivi l’intention
de la bulle de Grégoire XIII ; il auroit dû y
avoir une équation lunaire en 1700. Depuis 1700,
Tépacte répondant au nombre d’or 1 , auroit dû
être 1, au lieu qu’on ne lui attribue que o
ou *, en sorte qu’on n’a augmenté que de 3 jours
les épactes lunaires, depuis le concile jusqu’à présent,
au lieu de 4 jours. Cette erreur d’un jour
a fait tomber'la fête de Pâque, en 1704,, au 23
mars, au lieu qu’elle auroit dû être le 20 avril,
parce que la pleine lune dans cette année-là,
,/devoit être marquée au 20 mars, & qu’elle ne
le fut qu’au 21 : or le 20 mars n’est point du thois
pasehal-, mais le 21 en est. ( Hist. Acad. 1701. ) 
( Jo. Bemoulli opéra , Lausanne, 1743 5 tòm.iv.) 
La raison de ce défaut, est que Tobjet des réformateurs
étoit de demeurer plutôt au-dessous
qu’au-dessus des véritables nouvelles lunes, pour
empêcher que les épactes n’indiquassent la nouvelle
lune plutôt qu’elle" n’arrive réellement. ;
& que la fête de Pâque ne fût célébrée le XIVe de
la lune, ou même plutôt, c’est-à-dire, en même
tenis, que chez les juifs. ou chez les hérétiques,
quarto decimans ( Flettry , 'Hist. eccles ann. 196. ) 
Pour cet effet, on a eu plus d’égard à la pleine
lune qu’à la nouvelle lune ; on n’â pas craint qu’il
arrivât que la fête dé Pâque fût célébrée plus
tard que le x.xic de la lune ; mais on redoutoit la
célébration qui auroit pu .tomber le xivc de la
lune, quand il se trouve uri dimanche, parce
que c’est le jour que crióisiffent les juifs pourimmoler
Tagneau pafchaLCette remarque avoit déjà été faite par Clavius,
qui observe que-c’étoit Tancien usage de Téglise,
pag. £5 d 352. Cela auroit dû prévenir le reproche
astronomique fait par Caffini w. calendrier
grégorien, si cë n’est que Çassmi ne tròuvà pas
cette raison suffisante pour avoir'fait méttrë ënrre
le' calendrier & TAstrôìiomie Une semblable différence.
Elle nuit à Texactitude du calendrier, relativement
à Tufage qu’on en-peut faire pour trouver
les nouvelles lunes véritables.Pour trouver l’épacte & les fêtes mobiles dans
une ánnée quelconque, on commencera par chercher
le nombre d’or. Ce nombre , pris au ' haut
de la table étendue des épactes, marquera laiCOlonné
dans laquelle doit se trouver Tépacte.Pour savoir dans quelle ligne de la table, &
vis-à-vis de -quelle lettre il faut chercher Tépacte,Ion prendra dans la table de l’équati'on des épaScs,.
la lettre qui convient au siècle où Ton se trouve,
& ce sera dans cette ligne qu’il faudra prendre
Tépacte répondante au .nombre d’or.Pour avoir uné règle particulière dans ce
.siècle-ci & le suivant, où Ton emploie la ligné
C, on part de Tépacte XVIII, qui a lieu la dernière
année de chaque cycle lunaire, on ajoute 1 r
pour chaque année & un de plus, parce quelá
première année du cycle Tépacte augmente de 11,
& Ton ôté 30 autant de fois qu’on lê peut. Ainsi,
on multipliera par 11 le nombre d’or de Tannée
courante : on ajoutera 19 ; on divisera cette somme
par 30, & Ton aura pour reste Tépacte de Tannée.
On peut aussi multiplier par ir le nombre d’or
j diminué d’une unité , & diviser le produit par 30:
le reste de la division est Tépacte cherchée.
- Ainsi,.pour avoir Tépacte de 1762, on multiplie
le nombre d’or 15 par u on a i6yy -on y ajoute
19 , ce qui fait 184 ; Ton divise cette somme par
'30 ; le quotient est ■6',-mais il reste 4, qui forme
Tépacte cherchée. On peut la trouver encore autrement
 ; on multiplie. par nie nombre 61 de
Tannée ; On ajoute çj au produit ( c’est Tépacte
de 1700 )  ; Sc de plus 5 autant d’unitps que le
nombre d’or 1 est revenu de fois depuis 1700 ;
cs qui est arrivé en 1710, 1729 & 1748, parce
que dans ces années-là Taugmentation est plus
forte d’une unité ; la somme 694 étant divisée par
30, le quotient est 2.3 , & le reste 4 est Tépacte
de 1762 : cette règle ne sert que pour le rS=
siècle. ' "'L’épacte de Tannée indique tous les jours de
pleine "lune dáns le calendrier- perpétuel : ainsi,
pour avoir la nouvelle lune pafchale, qui ne peut
arriver qu’après le 7 de mars, il faut voir à quel
jour répond Tépacte de Tannée, à compter du 8
de. mars inclusivement, & ce fera celui de la nouvelle
lune pafchale ; le quatorzième jour, à compter
de la nouvelle lune inclusivement, sera le jour
de la pleine lune pafchale -, & Je premier dimanche
après çette pleine lune exclusivement, c’est-à-dire ,
le premier jour où Ton trouvera Ja lettre domi-r
nicale de Tannée, fera le jour de Pâque.
 ; Les limites paschales, font le 22 mars, le 25
àvrií ; ainsi, en 1598, .1693 & 1761 , la fête de
Pâque est arrivée Je 22 mars ; elle s’y trouvera
encore.en 1818, 2285, 2437, 2505, &.A11
I contraire,'çette fête n’est tombée qu’au 25 avril,
■ én 1546, en 1666 & en 1734, & cela arrivera
i encore,en iS8/5, 1943, 2038, 2Í50, &c’
í La fepiuagéfíme est toujours neuf semaines avant
i Pâque, ou le 64e jour, y compris celui de Pâque ;
Í le mercredi des cendres le 47e avant le jour de
^ Pâque, en comptant l’un & l’autre.On trouve la fêté de TAscenfion, en comptant: 40-jours après Pâque" ; la Pentecôte,en comptant ! 50 ;Ta Trinité 57 jours, & la fête Dieu 61\ jôtirs après Pâque ; celle-ci arrive toujours le mêmeauanrième du mois que le samedi saint.. ■ … ' KnijCalLe calendrier réforme ou comge , elt celui òu
fans s’embarrasser de tout Tappareil _ des nombres
d’or , des épactes’, des lettres dominicales, on détermine
la pleine lune de Pâque & les fêtes mobiles
qui cn dépendent, par lés calculs aslrononáques,
suivant les tables du soleil & de la lune,
appellées tables rudalphines , ou tables de lícpler.Ce calendrier fut introduit dans les érats proresians
d’Allemagne en 1700 ; Ton retrancha toutd’un-conp
onze jours du mois de février, de manière
qu’en 1700, février n’eut que dix-huit jours ;
par ce moyen, le style corrigé revint à celui du
calendrier grégorien. ' Les protestans d’Allemagfte
ont ainsi reçu, du moins pour un certain tems,
la forme de Tannée grégorienne, jusqu’à* ce que
la quantité réelle de Tannée tropique étant déterminée
par observation d’une manière encore plus
exacte , les catholiques romains puissent convenir
avec eux d’une forme d’année exacte &
commode.-CALENDRIER perpétuel. On appelle ainsi une
fuite de calendriers relatifs aux dinèrens jours où
la fête de Pâque peut tomber ; & comme cette
fête n’arrive jamais plus tard que le 25 avril, ni
plutôt que le 22 mars, le calendrier perpétuel est
-composé d’autant de calendriers particuliers qu’il
Y a de jours depuis le 22 mars inclusivement,
jusqu’au 25 avril inclusivement ; ce qui fait 35
calendriers.On trouve un calendrier perpétuel fort utile &
fort bien entendu , dans Texcellent ouvrage de
l’art de vérifier les. dates j par. des Eénédictins de
la congrégation de S. Maur , Dom "Clément &
Dom Durand.La seconde'édition, en 1770, à été donnée par
Dom Clément, & la troisième en 1783 ; dans
celles-ci, il a trouvé le moyen de réduire les 35
calendriers à sept.CALENDRIER ou almanach, est une table des
:I2 mois ou des 365 jours de Tannée. ; L’on y
marque les jours de la semaine, les fêtes mobiles
ou fixes, les noms des saints, dont on fait Torfice
ít chaque jour dans Téglise ; il y en a une table
dans le martyrologe romain, & une dans le livre
que nous venons de citer. - .On y met le lever & Te coucher du soleil &
de la lune, & les phases de la lune, Teritréê du
soleil dans les signes des équinoxes & des solstices
& les éclipses. - 'Quelquefois on y ajoute les longitudes, latitudes
& déclinaisons du soleil, de la lune & des
autres planètes ; le commencement & la sin du
crépuscule , les phénomènes remarquables qui
arrivent dans le ciel, comme conjonctions, oppositions’,
éclipses d’étoiles ou de satellites. VoyezÉPHÉMÉRIDE , CoNNOISSANCE DES TJEMS.CALENDRIER rustique, est le nom qu’on donne
z un calendrier propre pour les gens de la campagne,danslequel ils apprennent les rèms ou il
faut semer, planter, tailler la vigne, de. Ces
sortes de calendriers sont ordinairement remplis de
beaucoup de règles" fausses & de prédictions hasardées
fur la pluie & les faisons fondées fur les
influences prétendues, & fur les aspects de la luné
-& de planètes. Mais les gens instruits distinguent
avec soin les règles qui font fondées fur des expériences
exactes & réitérées, d’après celles qui
ne-sont fondées que fur le préjugé & Tignorance.(txi.)  ;.- ■ -On se sert austi du mot calendrier pour désigner
le catalogue ou les fastes que Ton gard’oit anciennement
dans chaque église, & où étoient les saints
que Ton y honoroit en général ou ën particulier,
avec les évêques de cette église,-les martyrs, de.II ne faut pas confondre les calendriers avec les
martyrologes ; car chaque église avoit son calendrier
particulier, au lieu que les martyrologes regardent
toute Téglise en général : ils contiennent
les martyrs & les confesseurs de toutes les églises.
De tous les difterens calendriers, on en a formé
un seul martyrologe, en sorte que les martyrologes
sont postérieurs aux calendriers..11 y a encore quelques-uns de ces calendriers
qui existent , particulièrement un’ de Téglise de
Rome fort ancien , qui fut fait vers le milieu du
quatrième siècle ; il cpntenoit les fêtes des payens
comme celles des chrétiens : ces derniers étoient
alors en assez petit nombre. Le père Mabilloh a
fait imprimer aussi le calendrier de Téglise de Carthage,
qui fut fait vers Tan 483. Le calendrier
de Téglise d’Ethiopie, & celui des Cophtes, pu-.bliés
 par Ludolphê, paroissenf avoir été faits après
Tannée 760. Le calendrier des syriens, imprimé
par Genebrard , est fort imparfait ; celui des moscovites
, publié par le père Papebrock, convient
pour la plus grande partie avec celui des grecs,
publié par Genebrard. Le calendrier mis au jour
par Doín Dàchèry, sous le titre d’année solaire ,
né diffère en riendu calendrier de Téglise d’Arras.
Le calendrier que Beckius publia à Augsboûre en
1687, est, selon^toute apparence, celui de 1 ancienne
église d’Aùgsbourg ., ou plutôt dé Strasbourg,
qui fut écrit vers la fin du dixième siècle.
Le calendrier mosarabique , dont on fait encore ,
usage dans ,les. cinq églises de .Tolède ; le calendrier
ambrofien de. Milan , & ceux d’Angleterre,
avant la réformation , iie contiennent rien que
Ton ne trouve dans ceux des autres églises occidentales,
c’est-à-dire,'lés saints que Ton honore
dans toutes ces églises en général , & les saints
particuliers aux églises qui faisoient usage de ces
calendriers. ( CHAMBEKS. ) CALER un quart de cercle ( Astron. ) , c’est
mettre son plan dans une situation exactement verticale
par le moyai du fil à-plomb qui doit raser
le-limbe, fans appuyer, •& fans être trop en f air,
& qui doit battre légèrement fur le milieu du'can
CAN ÌSÏ -
point de h. division , auquel on veut qu’il réponde.
C’est ordinairement par lé moyen des vis
du pied , que Ton cale un quart de cercle, &
pour que ce mouvement ne le faffe pas charier,
on fait porter chacune des quatre vis fur une
coquille dont la surface inférieure a des aspérités
qui se gripent fur le pavé. Quelquefois aussi
Ton se sert du niveau à bulle d’air pour caler les
quarts de cercles, tels font ceux qu’a fait long.
tems le célèbre Bird en Angleterre, dans lesquels
" la lunette tourne autour du centre, le sil vertical
.restant toujours-fur le premier poinr de la division
 ; mais la chaleur du soleil faisant varier le
niveau, peut occasionner des erreurs. ( D. L. ) CALIPPIQUE, nom d’une période de j6 ans,
propre à corriger Terreur du cycle lunaire.CALISTO ( Astr. ) Voyei OURSE.CAMELEON ou CHAMELEON ( Astron. ) ,
Tune des douze constellations méridionales, figurées
dans les anciennes cartes de Bayer ; elle est
fur lé colure des équinoxes & au-dedans du cercle
polaire antarctique ; elle n’est composée que de
neuf étoiles dans Bayer : ' mais il y en a un beaucoup
plus grand, nombre dans le catalogue de
la Caille ; celle qu’il a marquée *, & qu’il a observée
avec foin, avoit au commencement de 1750,
I2Ó' 1 8' 38" d’ascension droite, & -]6i 7' 12" de
déclinaison australe. ( -D. L. ) CAMELEOPARD ( Astron. ) Voy. GIRAFPE.CAMMARUS {Astron.) Voyei CANCER….'C anCANCER , écrevijfe ; quatrième signe du zodiaque
: c’est aussi le nóm d’une constellation.Le cancer a été appelle cammarus , qui en grec
signifie écrevisse ; astacus du mot grec ara-tos,
{ cancer marinus. ) II paroît que ec nom est venu
de ce que le soleil arrivé à sa plus grande déclinaison
, sembloit retourner sur ses pas quand
il étoit dans ce signe. Suivant les" poètes, Técrevìssê
fut placée dans le ciel par Jupiter, pour
avoir servi ses amours, en retardant par fa piqûre la
fuite d’une nymphe, fille de Garamanthe. Ampelius
dit que cette écrevisse -fut placée dans le- ciel par
Junon, après qu’elle eut été écraíée par Hercule
en voulant Tincommoder dans le combat contre
íhydre de lerne. On fait que Junon, toujours
ennemie- d’Hercule, pourfuivoit par-tout ce héros,
& sufeitoit des "obstacles .à toutes ses entreprises.M. Dupuis a expliqué ingénieusement cette
fable, én faisant voir que Je lever héliaque des
premières étoiles de Thydre étoit accompagné de
celui du cancer, avant que la queue de Thydre
eût achevé de difparoître, ou avant que le second
travail d’Hercule fût consommé. Mais 1« travaild’Hercule, qûî répond à la constellation du cancer,
est son -voyage en Hefperic pour enlever des pom-.
mes d’or ou des brebis àjoiíbn d’or ; il s’explique
par le coucher de la constellation d’Hercule.Les deux ânes, qui sont deux étoiles de la cons- '
tellation du cancer, marquées y & « f dans nos
catalogues, représentent, suivant les poètes, ceux
qui, dans la guerre de Jupiter contre les géans,
contribuèrent à fa victoire, ou parTeurs cris, ou
parce qu’ils servoient de monture à Vulcain, &
aux satyres qui venoient au secours de Jupiter. On
voit entre ces deux étoiles- un. amas d’étoiles appelle
F étable , prasepe , à cause des deux ânes,
qui en sont tout proches : c’est ce que nous appelions
la nébuleuse du cancer ; mais ce n’est pas
une véritable nébuleuse dans le sens qu’on y
attache aujourd’hui.Les étoiles de cette constellation sont au nombre
de 83 dans le catalogue britannique ;mais elles sont
peu remarquables :1a plus belle'marquée £, n’est
que- de 3e à 4e grandeur.-. On représente le cancer par deux figures placéesT
une auprès de l’autre, & assez semblables à
celles dont on se sert pour exprimer soixante-neuf
en Arithmétique 69. - -~Tropique du cancer, est un des petits cercles de
la sphère, parallèle à Téquateur, & qui passe par
le commencement du signe du cancer. Ce tropique
est dans Thémisplìère septentrional, & est éloigné
de Téquateur de 23d 28': c’est-celui que le soleil
paroît décrire le joùr du solstice d’été.CANICULAIRES : jours caniculaires , marquent
proprement un certain nombre de jours qui
précèdent, & qui suivent celui où la canicule "se
levoit autrefois le matin avec le soleil , c’est-àdire
, les jours de la plus grande chaleur. Lés
égyptiens & les édiiopiens commençoient leur
année aux jours caniculaires. Dans nos almanachs
de provinces , on les compte ordinairement depuis
le 22 juillet jusqu’au 23 août : c’est le tems que
le soleil emploie à parcourir le signe du lion.Maïs il y en a qui comptent les jours caniculaires
jusqu’à la fin d’août. Varénius, pag. 275 ,
. édit. 1712. -CANICULE, f. f. ( Astron.) ''c’est le nom de
la belle étoile du grand chien, qu’on appelle austi
simplement l’étoile du chien ; les grecs la nommoient
íré'pw, fìrius. Voye%_ SIRIUS. "Pline & Galien donnent aussi à la canicule le
nom de procyon , quoiqu’en effet procyon soit le
nom d’une autre étoilé dans le petit chien. Voyi\
PROCYON.Quelques auteurs anciens nous disent, après
. Hippocrate &'Pline, lib. 2, c- 40., que le jour
où la canicule se levé la mer bouillonne, le vin
tourne, les chiens entrent en rage, la bile s’aûgmente"&
s’irrite, & tous les animaux tombent en
langueur & dans Tabattement ; que les maladies.t6Cap c a, rqu’elle cause le plus ordinairement sont les fièvres
ardentes & continues, les dyssentêries & les phrérïéiìes.
Òn sent bien que ce sont les effets de la
chaleur. qu’on attribuoit à Taslre qui annonçoit
les chaleurs.' C’est actuellement le 20 août qu’arrive le lever
heliaque de slrius ; & cependant alors ce qu’on
appelle les jours caniculaires , sont près de
iinir. . 'Les romains étoient fi persuadés de la malignité
de la canicule, que pour en écarter les influences
ils lui íàcrifioient tous Jes ans un chien roux ; le
chien avoit-eu la préférence dans le choix des victimes,
à cause de la conformité des noms. Ce n’est
pas la seule occasion où cette conformité ait donné
naissance à des branches de superstition : la canicule
passoit ou pour lâ chienne d’Erigone , ou pour le
chien que Jupiter donna à Minos, que Minos donna
à Procris, & que Procris donna à Cephale.CANON, en Géométrie d en Algèbre, signifie
une règle générale pour la solution dé plusieurs
questions d’un même genre : ce mot est aujourd’hui
peu usité. On le sert plus communément
des tenues méthode & formule. Voyei MÉTHODE
d FORMULE.CANON naturel des triangles ; c’est une table qui
contient tout ensemble les sinus, les tangentes &
Tes sécantes des angles ; on la nomme de la forte,
parce qu’elle sert principalement à la résolution
des triangles. Voye[ TRIANGLE.CANON artificiel.de S triangles ; c’est une table
où se trouvent les logarithmes îles sinus & des tangentes,
de. Voyei SINUS, TANGENTE , LOGARITHME.CANOPUS ( Astron. )  étoile de la première
grandeur , située dans Thérnifphère austral, à Textrémiré
la plus australe de la constellation appellée
argo, ou le navire. On Tappelle aussi canobus,
xí-.u-fizs 3 Ptolemoeon, Suel (/Bayer)  ; mais Pline
dit canopus. Ce nom est celui du pilote dé Menclas,
roi de Troye. Selon M. Castard, il vient
du mot x&P , qui en langue cophte signifie de Tor,
.& le çophte dérive du grec.C’est, après firius, la plus belle étoile du ciel:
on Ja voit de Tìle de Rodes raser Thorizon ; elle
annonçoit aux .égyptiens J’entrée du soleil clans
le verseau ; de-là vint ce qu’on appelloit Regnum
çanopicum. Voye\ mon Astronomie, t. 4, p. 44.3,
(D.L.) CapCAPABLE, ( Géom. )  on dit qu’un segment de
cercle est capable d’un angle, lorsque ce segment
est tel qu’on y peut inscrire cet angle ; en .sorte
que les deux côtés de Tangle se terminent aux exnémités
du segment, & que le 'sommet de Tangle
soit sur la circonférence du scgmenr. On sait que
tous les angles inscrits dans un même segment
sont égaux ; ainsi, le segment E F D { pi, Géom,fig. 21) , est capable de Tangle E FD, 611 de son’
égal- E H. D. On a plusieurs méthodes pour décrire
un segment capable d’un angle donné : en
voici une assez slmplé. Faites un triangle ifofcèlé,
dont Tangle au sommet Ë FD soit égal à Tangle
donné ; ou, ce qui est la même choie, faites les
angles FE D , F D E , égaux chacun à la moitié
de 1S0 degrés moins la moitié de Tangle dorme ;
&'par les points F, D-, décrivez Tare de cercle
EFD. Voyei CERCLE. (O) CAPOT, terme de jeu de Piquet. On dit de
celui qui ne fait aucune levée ou main, qu’il est
capot. ' 'Le capot- vaut quarante points. Voyei PIQUET ;
Celui qui gagne seulement les cartes, n’en compte
que dix.CAPRICORNE ( Astron. ) caper, dixième signe
du zodiaque ; on Tappelle austi le bouc , la' chèvre
amalthée, le signe de Vhiver, la porte du soleil ;
car on regardoit les deux tropiques comme les
deux portes du ciel. Par Tune , le soleil montoit
dans les régions supérieures ; par l’autre, il redescendoit
à la région la plus basse du ciel. Quelques
poètes disent que cette constellation représente Ja "
chèvre amalthée, dont le lait servit aux nymphes qui
prirenfsoin de Jupiter fur le mont Ida , & que Jupiter
par recònnoîssance plaçaensuiteparmi les astres :
■mais c’est úne confusion ; la chèvre amalthée est
celle qui est entre le bras du cocher. V. CHÈVRE.
D’autres expliquent la forme bizarre du capricorne
, qui est moitié bouc & moitié poisson , en
forme d’égipan , par le moyén d’une autre fable.
Les dieux étant à table dans un endroit de
TEgypte, Typhon, le plus terrible des géans,
parut subitement, & causa une si grande frayeur,
que tous les dieux cherchèrent leur sûreté dans
la fuite, & se changèrent eh différentes, formes. '
Pan, le dieu des chasseurs, des pasteurs & de
toute la nature, se plongea dans le Nil jusqu’à
moitié du corps ', prit la forme d’un poisson par
derrière,& celle d’une chèvre par fa partie antérieure
, & Jupiter voulut conserver la mémoire
decet événement, en plaçant dans le ciel cet
animal monstrueux : c:es origines sont si absurdes 'y
qu’on ose à peine les rapporter. Mais M. Dupuis
fait voir que ce .signe indiquoit Télévation du ;
soleilaprès la saison des pluies ; il croit que dans
Torigine le capricorne fut. placé au solstice d’été:
on y réunisson autrefois un capricorne & un poissons
parce-que le. débordement du Nil commençoít
sous ce signe, & ses indiens Tappellent encore
poijson. Astron. t. "iv, p, 363.II y a 51 étoiles du capricorne dans le catalogue
britannique ; mais il y c-n a beaucoup plus dans
ceux de Mayer & la Caille. {-.D.L.) C k KCARACTERE , f. m. signe dont on se sert
dans les Mathématiques pour abréger le .discours
& pour sinipliíier les calculs.'Car car lífLes caractères numéraux sont ceux qu’on emploie
pour exprimer les "nombres ; ce sont des
lettres ou des figures , que Ton appelle autrement
chiffres. Les espèces de caraâères qui sont principalement
en usage aujourd’hui, sont le commun
& le romain : on peut y joindre le grec, & un
autre nommé le caraâère français , ainsi que les
lettres des autres alphabets, dont on s’est servi
pour exprimer les nombres.Le caraâère commun est celui que Ton appelle
ordinairement le caraâère arabe , parce que Ton
suppose qu’il a été inventé par les astronomes
arabes, quoique les Arabes eux-mêmes Tappellent
Je caraâère indien, comme s’ils Tavoient emprunté
des peuples de Tlnde.II y a dix caraâères arabes ; savoir, 1,2, 3 ,
4,5,6,7, 8,9, o, dont le dernier s’appelle en
latin cyphra. En France, on donne en général le
nom de chiffre à tout caraâère qui sert à exprimer
les nombres.On se sert du caraâère arabe presque dans toute
TEurope, & presque dans toutes les circonstances
ou,il peut avoir lieu, en fait de commerce, de
mesure, de calculs astronomiques, de.Le caraâère romain est composé de lettres majuscules
de Talphabet romain, d’où probablement
lui est venu son nom ; ou peut-être de ce que les
anciens Romains en faisoient usage fur leurs monnoies,
& dans les inscriptions de leurs monumens
publics, érigés en Thonneur de leurs divinités &
de leurs hommes illustres, de même que fur leurs
tombeaux, de.Les lettres numérales qui composent le caraâère
romain, sont au nombre de sept ; savoir, I, V,
X, L, C, D, M:Le caraâère I signifie un ; V, cinq ; X, dix ;
L, cinquante ; Ç} un cent ; D, cinq cens ; & M,
un mille.Le I j répété deux fois, fait deux, II ; trois
fois, trois, III ; quatre s’exprime ainsi, IV. I,
mis devant V ou X, retranche une unité du
Kombre exprimé par chacune de ces lettres.
-Peur exprimer six, on ajoute I kV,VI ; pour
scpt, on y en ajoute deux, VII ; & pour huit,
trois, VIII: on exprime neuf, en mettant I devant
X, IX, conformément à la remarque précédente.' On peut faire la même remarque par rapport
à áTdevant L ou C ; ce X indique alors qu’il faut
retrancher dix unités du nombre suivant : ainsi,
XL signifie quarante , & XC, quatre-vingt-dix ;
une i suivie d’un X, signifie soixante LX, &c. On
 a désigné quelquefois quatre cens .par CD ,
niais cela est rare.Outre la lettre D , qui exprime cinq cent, on
peut encore exprimer ce nombre par un J devant
un C renversé de cette manière Ij ; de même au
lieu de M, qui signifié un mille, onTe sert quelquefois
de J entre deux C, l’un droit & l’autre
renversé en cette sorte CIj: suivant cette convention,on peut exprimer six cent par IjC, &
sept cent par IjCC, &c.L’addition de (s & C devant & après , augmente
CIj en raison décuple ; ainsi, CCljj signifie IOCOOJCCCIDDD>
iococo, &c.Ceci est la. manière commune de marquer les
nombres, anciennement usitée par les Romain ;,
qui exprimoient aussi tout nombre de mille par
une ligne tirée fur un nombre quelconque moindreque mille. Par exemple, V signifie 5CC0 ; LX,60000 ; pareillement M est icoccco ; MM est
2000000, de.Outre cela, 1.° certaines libertés ou variations
ont été admises, au moins dans quelques écrivains
modernes ; par exemple, IIX signifie S ; IICIX,
89 : 2. 0 certains caraâères -ont été en usage, qui
semblent avoir du rapport aux lettres ; par exemple
M, par lequel on exprime mille , 1000, a été
formé de CXj ou CIj , dont la moitié, c’est-àdire
Ij , 'étoit prise- pour 500 ; de même, afin
d’avoir peut-être plus de commodité pour écrire,
Ij semble avoir été changé en D. Nous ignorons
au reste comment les Romains faisoient leurs calculs
par le moyen de ces nombres."Ils avoient
fans doute une arithmétique comme nous, & peutêtre
ne feroit-il pas impossible de la retrouver ;
mais ce íèroit une recherche de pure curiosité.
Le- caraâère arabe , qui a prévalu par-tout, nous
en exempte.Chiffres grres. Les Grecs avoient trois manières
d’exprimer les nombres. i.° La plus simple étoit
ponr chaque lettre en particulier, suivant sa place
dans. Talphabet, asm d’exprimer un nombre depuis
a. 1 jusqu’à a 24 ; c’est "de cette manière que
sont distingués les livres de THiade d’Homère.
2. 0 II y avoit une autre manière qui se faisoit par
une division de Talphabet en huit unités : * 1, € 2,
de. 8 dixainés * : ' 10, * 20, de. 8 centaines, p 100,
c- 200, de. N. B. ils exprimoient mille par un
point où un accent sous une lettre : par exemple,
« 1000, £ 2000, de. 3. 0 Les Grecs-avoient une .
troisième manière qui lé faisoit par six lettres capitales
, en cette manière, 1 [ U pour pia. ] I, nC srh-fí í 5 , A [ ítna ] IO, H [ïz*« vj IOO, X'f^&jsJ1000, M [ ij.ífisi ] 10000 ; & quand la lettre n en •
renfermoit quelques-unes, excepté I , cela montroit
que la lettre renfermée étoit le quintuple de
fa propre valeur, comme\Z\ 50, |H| 500, |x| 5000, |M| 500SSC.
Chiffres hébraïques. L’alphabet hébreu étoit divisé
en neuf unités, ft 1,22-, de. ; en neuf dixai- .
nés, 1 10, 3 20, de. ; en neuf centaines, p 100,
-, 2C0, de. ; -j 500 , Q 600,, | 700, ^ 800, y 900.
-Les mille s’exprimoient quelquefois par les unités
que Ton mettoit avant les cent, "\1~\^, 1534, &
de même devant les dixainés, yií, 1070. Mais eii
général, on exprimoit raille par le mot nVfcï, & 2000
 par rzZÏBTÁ '-, £ZLri£7tf ■> précédé des autres
Ì83 CAR
Carlettres numérales, scrvoir à déterminer le nombre
de mille : par exemple, CD’^ìO , 3000, 6T.Le caraâère français, ainsi appelle à cause que
les François Tout inventé, & en font principalement
usage, est plus ordinairement nommé chiffre
di compte ou de finance.Ce n’est proprement qu’un chiffre romain en
lettres non majuscules ; ainsi , au lieu d’exprimer
c<5 par LVI, en chiffre romain, on Texprime en
pitis petits caraâères, par Ivj, & ainsi des autres
, de. -On en fait principalement usage dans les chambres
des comptes, dans les comptes que rendent
les trésoriers, les receveurs, de., & autres personnes
employées dans Tadminístration des revenus.
■En Algèbre, les premières lettres de Talphabet
a, b , c, d, de., sont les Jìgnes ou les caraâères
qui expriment les quantités-í/owie'cs ,■ & les dernières
lettres 1, y , x , de. , sont les caraâères
des quantités cherchées. Voye\ QUANTITÉ ; voyeiaussi Vanicle ARITHMÉTIQUE UNIVERSELLE ,où nous avons expliqué pourquoi l’Algèbre se
sert de lettres pour désigner les quantités, soit
connues, soit inconnues.Observez que les quantités égales se marquent
par le même caraâère. Les lettres m, n, r, f, t,
de., sont les caraâères des exposons indéterminés
des rapports & des puissances ; ainsi, xm, y", £, de.
désignent les puissances indéterminées de différentes
espèces ; m x, ny, r z,, les différens multiples ou
sous-multiples des quantités x, y,l, selon que
m, n, r représentent des nombres entiers ou
rompus.4- Est le signe de ce qui existe réellement j &
pn Tappelle signe affirmatif ou positif ; il fait comprendre
que les quantités qui en sont précédées,
ont une existence réelle & positive. Voy. POSITIF.
C’est auflï le signe de Taddition ; & en listmt,
pn prononce plus : ainsi, 9 4- 3 se prononce/neuf
plus trois, c’est-à-dire, 9 ajouté à 3, ou la somme
de 9 & 3 ; ce qui fait 12. Voyei ADDITION,Quand le signe — précède une quantité simple,
il exprime une négation ou bien une existence
négative ; il fait voir, pour ainsi dire., que la
quantité qui en est précédée, est moindre que rien.
Car on peut dire, par exemple, d’un homme qui
a 20000 livres de dettes „ & qui n’a rien d’ailleurs,
que fa fortune est au-dessous de r|en de la valeur
de 20000 livres, puisque fr on lui donnoit 20O00
livres, il seròit obligé de payer ses dettes, & il
ne lui resteroit rien ; ce qu’on peut exprimer
ainsi, la fortune de cet homme est — 200CO livres.
Au reste, nous donnerons plus au long & plus
exactement Tidée des quanti tés négatives à tartiele
NÉGATIF.Si on’met cs signe entré'des quantités, c’est le
signe de la soustraction ; & en le lisant,"on prononce
moins : ainsi, 14.—2 se lit 14 moins 2,
pu diminué de 2, c’est-à-dire, le reste de 14,après que Ton en a soustrait 2 ; ce qui fait 12 ;
Voyc[ SOUSTRACTION.= Est le signe de Tégalité ; ainsi ,9 + 3 =14—2,
signifie que 9 plus 3 sont égaux à 14 moins 2.Hariot est le premier qui a introduit ce caractère.
En sa place, Descartes se sert de x. Avant
Hariot, il n’y avoit aucun signe d’égalité. Wolf
& quelques autres auteurs se servent du même
caraâère = pour exprimer Tidentité des.rappprts-,
ou pour marquer les’ termes qui sont en proportion
géométrique, ce que plusieurs auteurs indiquent
autrement. .Le signe X eff la marque de la multiplication
 ; il fait voir que les quantités qui sont de
l’un & de l’autre côté de ce signe, doivent être
multipliées les unes par les autres : ainsi ,4X6
se lit 4 multiplié par 6,-ou bien le produit de
4 & 6 = 24, PU le rectangle de 4 & de 6. Cependant
, dans l’Algèbre,- pn omet assez souvent
ce signe, & Ton met simplement les deux quantités
ensemble : ainsi, b d exprime le produit des
deux nombres marqués par b & d, leíquels étant
posés valoir 2 & 4, leur produit est 8 signifié par W.Wolf & d’aùtres auteurs prennent pour signede multiplication un point (. ) placé entre deux• multiplicateurs ; ainsi 6. 2 signifie le produit de6 & 2, c’est-à-dire 12. Voyei MULTIPLICATION.Quand un des facteurs ou tous les deux sont
composés de plusieurs termes, on les distingue par
une ligne que Ton tiré dessus ; ainsi, le produitde a 4- b — c par d s’écrit d X 1 -f- b — c.Guido Grandi, & après lui Leibnirz, Wolf &
d’autres, pour éviter Tembarras des lignes, au lieu
de ce moyen, distinguent- les multiplicateurs composés
en les renfermant- dâns une parenthèse de la
manière suivante (a-\-'b'—c) d. .Le signe-f exprimoit autrefois la division ; ainsi,'
a ~ b défignpit que la quantité a est divisée par
la quantité b. -Mais aujpurd’hui, en Algèbre, pn
exprime le quotient sous la forme d’une fraction’,ainsi, - signifie le quotient de a divisé par b..Wolf & d’autres prennent pour indiquer la division,
le signe (:)  ; ainsi 8 : 4 signifie le quotient
de 8 divisé par 4,= 2.Si le diviseur ouïe dividende, où bien tous
les deux sont composés de plusieurs lettres ; par
exemple, a -j- b divisé par c, au lieu d’écrire Je
quotient sous la forme d’une fraction de cette manière
—— , Wolf renferme dans une parenthèse lesquantités composées, comme ( a -f b )  : c. Voye\
DIVISION. ;> est le signe de majorité ou de Te'xcès d’une
quantité fur une autre. Quelques-uns se servent ducaraâère \ ou de celui-ci -1.< est le ligne de minorité. Hariot introduisit
le premier ces deux caraâères, dont tous les auteurs
mpdernes ont fait-usage depuis.D’autrcîCar c.a r' 189D’autres auteurs emplpieiw d’autres signes ; quelques-uns
se servent de celui-ci | ; mais aùjpurd’hui
on n’en fait aucun usage.c/3 est le signe de similitude, recommandé dans
les miscellanea berolinensia , & dpnt Leibnitz,
Wolf & d’autres ont fait usage, quoiqu’en général
les auteurs s’en servent rarement. Voyez_ SIMILITUDE:D’autres auteurs emploient ce même caraâère,
pour marquer la différence entre deux quantités,
lorsque Ton ignore laquelle est la plus grande.
Voye{ 'DIFFÉRENCE.Le signe \/ est le caraâère de radicalité ; il fait
voir que la racine de la quantité qui en est précédée
, est extraite ou doit être extraite : ainsi,y" 25 ou \/ 25 signifie la racine quarrée de 25 ,c’est-à-dire 5 ; & y 25 indique la racine cubique
de 25. Voye[ RACINE, RADICAL.Ce caraâère renferme quelquefois plusieurs quantités ;
ce que Ton distingue en tirant une ligne
dessus : ainsi, \/ b -f- d signifie la racine quarrée
de la somme des quantités b & d.Wolf, au lieu de ce signe, renferme dans une
parenthèse les quantités composées, & affecte le
toút de Texposant de la racine : ainsi , ppur désigner
la racine quarrée de a -j- b ■— c, il écrit (a-f-i-rjì.
Voyei EXPOSANT.Le signe * est le caraâère de la proportion arithmétique ;
ainsi, 7. 3 l 13-9. fait voir que trois est surpassé
par 7 autant que 9 Test par 13 , c’est-à-dire
de 4. Voyez PROPORTION.Le fi ?ne H est le caraâère de la proportion
géométrique ; ainsi,, 8. 4 '.', 30. 15, PU 8 ', 4 ','.
30 \ 15. montre que le rapport de 30 à 15 est le
même que celui de 8 à 4, ou que les quatre termes
font en proportion géométrique, c’est-à-dire, que
8 est à 4 comme 30 est à 15. Voy. PROPORTION.Au lieu de ce caraâère, Wolf se sert du signe
d’égalité = qu’il préfère au premier, comme plus
scientifique & plus expressif. D’autres désignent ainsi la
 proportion géométrique, a \ b JJ c J d. Tout cela
est indifférent.. Le signe *f[- est le caraâère de la proportion géométrique
continue', il montre que le rapport est
toujours le même fans interruption : ainsi, -^ 2.
.4. 8. 16. 32. sont dans la même proportion continues
car 2 est à 4 comme 4 est à S , comme 8
est à 16, de Voye\ PROPORTION d PROGRESÍION.En Géométrie ,\\ est le caraâère du parallélisme,
qui montre que deux lignes ou deux plans dpiyent
être à égale distance l’un de l’autre. Voye.\ PARALLÈLE.A est le caraâère d’un triangle. Voy. TRIANGLE.D est le signe d’un quarré-, j marque Tégalité descôtés d’une figure. - .Mathérhatiquts. TomeJ}IflJ Penh.n~_| signifie un reâangle ; < est le signe d’un
angle.O caractérise un cercle ; \ marque un angle
droit.2_ exprime Y égalité des angles ; | est le signe
d’une perpendiculaire.° exprime un degré ; ainsi, 75° signifie soixante
d quin[c degrés.' est le signe d’une minute pu d’une prime ; ainsi,
50' dénote cinquante minutes. ", "', "", &c., sont
les caraâères dessecondes, des tierces, des quartes,
&c., de',degrés ; ainsi, 5", 0"", 18"", 20"'", signifient
5 secondes , 6 tiercés, 18 quartes , 20 quintes. Les
quartes & les quintes s’expriment auffi par ïv &
par v.Au reste, plusieurs des ca>raâères de Géométrie,
dont npus venons de parler, sont peu usités aujourd’hui.Dans les calculs différentiel & intégral, la lettre
d, placée au-devant d’une quantité variable x, veut
dire la différence de cette quantité. Ainsi, dx signifie
la différence de x, ou la. différentielle de x : ceíl la
nptatipn ordinaire. Les Anglois désignent la même
chose par la lettre x surmontée d un ppint, encette sorte x ; & ils appellent fluxion ce que les
autres natipns appellent différence d’après Leibnitz.
Le signe/, placée au-devant d’une différentielle,
signifie T’intégrale de cette différentielle. Ainsi ;sdx
veut dire T’intégrale de d x. Les Anglois désignentla même chose par Fl. x, qui veut dire la flutntò
de la fluxion x.Voy. DIFFÉRENTIEL, INTÉGRAL, FLUXION, 1
FLUENTE. 'CARACTÉRISTIQUE, f. f. Lz caraâéristique
d’un logarithme est son exposant, c’est-à-díre, le
nombre entier qu’il renferme ; ainsi, dans ce logarithme,
1, 000 000, 1 est Texposant : de méme
2 est Texposant dans celui-ci, 2, 4523, de.En général, onappelle en Mathématiques, caraâériftique,
une marque ou caractère par lequel on désigne
quelque chose. V. CARACTÈRE.'Ainsi, d est
.la caraâérijtíque des quantités différentielles, suivant
M. Leibnitz ; & suivant M. Neuton, la caraâéristique
des fluxipns est un peint. V. FLUXION,
DIFFÉRENTIEL.Dans la haute Géométrie, 'on appelle triangle
caraâéristique d’une courbe, un triangle rectiligne
rectangle, dont Thypothénufe fait une partie de
la courbe, qui ne diffère pas sensiblement d’une
ligne droite, parce que cette portion de courbe
est’supposée infiniment petite. Ce triangle a été
appelle caraâéristique , à cause qu’il sert ordinairement
à distinguer les lignes courbes. Voyei
COURBE.Supposons, par exemple, la demi-ordonnée p m
(pi. a"Anal. fig. 18)  infiniment proche d’une autre
demi-ordonnée P M: alprs P p sera la différence
de Tabsciffe^ & abaissant une perpendiculaire MROQ2.0©Car car= Pp, Rnï fera la différence de la demi-ordonnée.
Tirant donc’une tangente TM, en ce^ cas
Tare infiniment petit Mm ne différera pas d’une
liçne droite ; par conséquent Mm R est un triangle
rectiligne recìangle, & constitue le triangle caractéristique
de cette courbe, autrement appelle triangle
différentiel. En effet, Téquation différentielle qui
est entre les petits côtés de ce triangle, est Téquation
qui désigne & caractérise la courbe. Voyez.
TRIANGLE DIFFÉRENTIEL. ( O) CARDINAUX (signes ) , adj. pi. (Astronomie. ) 
Peints cardinaux de Thprizon, sont Torient, Toccident,
le septentrien & le midi ; ceux du zodiaque
sont les premiers degrés des lignes où le soleil
est censé entrer au . commencement de chaque
saison ; savoir , le bélier, le cancer, la balance &
le capricorne.CARNABONS (- Agronomie ) , nom que Ton
donne quelquefois à la constellation du serpentaire.CARRE ( Astronomie ) , se dit de trois constellations
qui se font remarquer par quatre étoiles principales
 disposées en quadrilatère. On dit le
carré de la grande ourse, le carré de Pégase &
le carré d’Orion. ( D. L.)  :CARREAU ("Franc-) ,'forte'de jeu dont M. de
Buffon a donné'le calcul en 173 3, avant que d’être
de T Académie des Sciences. Voici Texrrait qu’on
trouve de son mémoire fur ce sujet, dans le volume
dé T Académie pour cette année-là.Dans une chambre carrelée de carreaux égaux
& supposés réguliers, on jette en-Taîr un louis
ou un écu, & on demande combien il y a à parier
que la pièce ne tombera que fur un seul carreau
ou franchement. .Supposons que Te' carreau donné soit qUarré ;
dans ce- quarré inscrivons-en un autre qui en soit
distant par-tout de la longueur du demi-diamètre
de la pièce ; il est évident que toutes les fois que
le centre de la pièce tombera fur le petit quarré
ou fur-fa circonférence , la pièce tombera franchement ;
& qu’au contraire,elle ne tombera pas
"franchement, si le centre de la pièce tombe hors
du quarré inscrit : donc la probabilité que la pièce
tombera franchement, est à la-'probabilité contraire
, comme Taire du, petit quarré est à la différence
de Taire des deux quarrés.Donc pour jouer à jeu égal, il faut que le grand
quarré soit double du petit, c’est-à-dire, que le
diamètre de la pièce étant 1, & x le côté du grand
quarré, on aura x* l (x—i )  2 ; ; 2 ' 1 ; d’où
1 on tire facilement la valeur de x, qúi sera incommensurable
avec le diamètre de la pièce.Si la pièce, au lien d’être ronde, étoit quarrée,
&, par_ exemple, égale au quarré inscrit dans la
pièce circulaire dont nous venons de parler, il
laute aux yeux que la probabilité de tomber franchement
deviendroit plus grande : car il pourroit
arriver que la pièce tombât franchement hors dju
petit quarré: le-problíine devient alors un peuplus difficile, à cause des différentes positions que
la pièce peut prendre ; ce qui n’a point lieu quanti
la pièce est circulaire, car toutes les positions font
alors indifférentes. Voici dans un problême simple
une idée qu’on peut lè former dé.ces différentes
positions.Sur un seul plancher formé de planches égales
& parallèles, on jette une baguette d’une certaine
longueur, & supposée sans largeur r on demande
la probabilité qu’elle tombera franchement fur une
feule planche. Que Ton cpnçpive le point du milieu
de la baguette à une distance quelcpnque du
berd de la planche, & que>de ce point, comme
centre, on décrive un demi-cercle dont le diamètre
soit perpendiculaire aux côtés de la planche ;la
 probabilité que la baguette tombera franchement
,-fera à la probabilité contraire, comme le
secteur circulaire renfermé au-dedans de la planché
est au reste de Taire du demi-cercle ; d ?où il est
aisé de tirer la solution cherchée. Car nommant x
la distance du centre de la baguette à l’un des
côtés de la planche, Xle secteur correspondant,
dont il est toujours facile de trouver la valeur en
x , & A Taire du demi-cercle ; la probabilité cherchée
sera á la probabilité contraire, commefXd x
est à sdx ( A—X ). Voy. JEU , PARI. ( O ) CARTE, f. f. ( Astronomie géographique. )  figuré
plane qui représente la figure de la terre, ou une
de ses parties, suivant les loix de la perspective.
Une carte est donc une projection de la surface
du globe ou. d’une de ses parties, qui représente
les figures & les dimensions, ou au moins les
situations des villes , des rivières, des montagnes
, de Voyei PROJECTION.Cartes universelles , sont celles qui repréfentenf
toute la surface de la terre, ou les hémisphères.
On les appelle ordinairement mappemonde. Voye^
MAPPEMONDE.Cartes particulières ,. sont celles qui représentent
quelques pays particuliers, ou quelques- portions
de pays.Ces deux espèces de cartes sont nommées souvent
cartes géographiques , ou cartes terrestres, pour les
distinguer des hydrographiques ou marines , qui
ne représentent que la mer, ses îles , & ses côtes.Les cPnditipns requises pour une bonne carte , ■
sont i.° que tous les lieux y soient marqués dans
leur juste situation, eu égard aux principaux cercles^
de la terre, comme Téquateur, les parallèles, les
méridiens, de. 2.° que les grandeurs de dissérens
pays aient entre elles les mêmes proportions fur
la carte , qu’elles ont fur la surface de la terre :
3. 0 que les dissérens lieux soient respectivement
sur la carte aux mêmes dislances-les uns des autres,
& dans la même situation que fur la terre ellemême.Pour les principes de la construction des cartes,
& les loix de projection, voye[ PERSPECTIVE &
PROJECTION de la sphère. 'Voici l’application de
ces principes à la construction des cartes*Car c a r'2.91ConsirucTion d’une carte , l’oeil étant supposé placé
dans l’axe. Supposons, par exemple, qu’il saille
représenter Thémisphère bpréal tel qu’il dpit paraître
à un oeil situé dans un des points de Taxe,
comme dans le pôlè.austral, & en prenant le plan
de Téquateur pour celui où la'représentation doit
se faire : trous imaginerons pour cela des-lignes
tirées de chaque point de Thémisphère boréal à
Toeil, & qui coupent le plan en autant de points.
Tous ces derniers points joints ensemble, formeront
par leur assemblage la carte requise.Ici Téquateur sera la limite de la projection ;
le pôle de la terre se présentera ou se projettera
au centre ; les méridiens de la.terre seront représentés
par des lignes droites qui iront du centre
de Téquateur PU du pôle de la carte, à tous les
points de Téquateur ; les parallèles de latitude formeront
de petits cercles, dpnt les centres feront
le centre même de Téquateur PU de la projection.La meilleure manière de concevoir la projection
d’un cercle fur un plan, c’est d’imaginer un cône
dont le sommet placé à Tendroit où nous supposons
Toeil, soit radieux ou envoie des rayons 5
dont la base soit le, cercle qu’il faut représenter,
& dont les côtés soient autant de raypns lancés
par le point lumineux : la représentation du cercle
ne sera alors autre chose-que la section de ce cône,,
par le plan fur lequel elle doit se faire ; & il est
clair que, sclpn les différentes positions du cône ;,,
la représentation sera une figure différente.Voici maintenant Tapplication de cette théorie
à la pratique. Prenez ppur pôle le milieu P
'( PI. de géog.fig. 2. )  de la feuille dé laquelle vous
voulez faire votre carte ; & de ce point comme
centre, décrivez, ppur représenter Téquateur, un
cercle de h grandeur que vous vpulez dpnner à
vptre carte, Ces deux çhpses peuvent fé faire à
volonté ; & c’est d’elles que dépend la déterminar
fiôn de tous les autres points ou cercles. Divisez
votre équateur en 560 parties, & tirez des droites
du centre à chaque commencement de degré :ces
.droites seront les méridiens de votre carte, &-vt©us
prendrez pour premier méridien celle qui passera
par le commencement du premier degré ou par
zero. Voyei MÉRIDIEN." Construâions des parallèles fur la carte. Marquez
par les lettres A B, BC, CD, DA, les quatre
quarts de Téquateur, compris, le premjer depuis
zero jusqu’à rjo ; le seconds depuis 90 jusqu’à 18e ;
le troisième,' depuis 180' jusqu’à 270 ; & le quatrième,
depuis 270 jusqu’à zero ; & de tous les
degrés d’un de ces quarts de cercle B C, comme
aussi des points qùi marquent 23 d 30 'à 66d 30 ,
tirez des droites occultes au point D, qui marquent
celui pù ces lignes coupent le deiíïi-diamètre AP C:
enfin du peint P comme centre, décrivez dissérens
arcs qui passent par les dissérens points de P C ; ces
.arcs seront les parallèles de latitude ; lé parallèle
£3 d .30' fera le tropique .du cancer ; & celui, de66' 50' sera le cercle polaire arctique. Voyez,
- PARALLÈLE 6- TROPIQUE.•Les méridiens & les parallèles ayant été ainsi
décrits, on écrira les dissérens lieux au moyen
d’une table dé longitude & de latitude, comptant
la longitude du lieu fur Téquateur, à commencer
du premier méridien, & continuant vers le méridien
du lieu ; & pour la longitude du lieu, on
la prendra fur le parallèle de la même latitude.
II est évident que le point d’intersection de ce
méridien & de ce parallèle représentera le lieu fur
la carte, & Ton s’y prendra de même pour y
représenter tous les autres lieux.Quant à la moitié de Técliptique qui passe dans
cet hémisphère, ce.grand cercle doit se rejjrésentér
par un arc de cercle ; de façon qu’il ne s’agit plus
que de trpuver fur la carte trois points de cet
arç ; Le premier point, c’est-à-dire, celui óù Téclip*
tique coupe Téquateur, est le même que celui où
le premier méridien coupe Téquateur , & il se
distingue par cette raison par le signe d’aries. Le
dernier point de cet arc de cercle, ou l’autre intersection
de Téquateur & de Técliptique, c’est-¬
à-dire, la fin de virgo, sera dans leur point opppsé
de Téquateur à 180 degrés. Le milieu de Tare
est le ppint pù lè méridien de 90 degrés epupe
le trppique du cancer. Ainsi, nous avons trois
ppints de cet arc, qui dpnneròht-Tarc entier. Voyez
CERCLE d CORDE.Les. cartes de çette première projection ont la
première des qualités requises ci-dessus : mais elles
.- manquent de la seconde & de la troisième, car les
degrés égaux des méridiens sont représentés furces
cartes par des portions de ligne droite inégales.On peut par cette méthode représenter dans
une carte presque toute la terré , en plaçant l’oeil ,
par exemple,". dans le pôle antaròrjque, & prenant
pour plan de projection celui de quelque cercle
voisin, par exemple, celui du cercle antarctique,
II ne faut ici, de plus qu’à la première projection,
que continuer les méridiens, tirer des parallèles
du côté de Téquateur, & achever Técliptique 2
-maisees cartesTerpient trop embrouillées & trpp
difformes poùr qu’on pût. en Taire usagé, . .On Te contente pour Tordináire de tracer les
deux hémisphères séparément, ce qui rend Ja carte
beaucoup plus nette & plus cpmmode. Si Ton veuf
avoir par le moyen de çette carte la distance de
deux lieux A, B, (fig. 3 , n.° 2, géog.)  sittiés
sous Te même méridien P B , on décrira les arcs
de cercle A E , B D ; en verra cpmbien la partie
E D contient de divisipns PU de degrés , & ott
aura le npmbré de degrés depuis E jiifqur'en D, .
Or, çpmmeun degré de îa terre contient 25 lieues,,
•il faudra prendre 25 fois ce nombre de degrés
pour avoir la distance de A en B,
' M. de.Maùp'ïrtuis. a démontré dans son discours
fur la parallaxe de la lune , que l.eslòxodrpmiquess
 ! dans cette projection , devenoient des spirales loj
garithmiques. J^oyfj LOXODROMIQUE d SPIRALE
" ' ■ O o ij ,
i9i CAR
CarXOGARITHMIQUE. Supposons donc que A G
(fig. 3. n.° 4, géog. )  ioit une portion de spirale
logarithmique, on projection de laloxodromique,
Sfqu’on veuille savoir la dislance A G des deuxlieux
placés fur le même rhumb ; il est certain
que A G sera AB en raison constante, c’esl-à-dire,
dans le rapport du sinus total au cosinus de Tangle
du rhumb, ou de Tangle de la loxodromique avec
le méridien : donc, connoissant A B ;par la méthode' précédc-nre, & sachant de plus, comme 011 le suppose
, Tangle du rhumb, on connoîtra A G, ;
c’est-à-dire, on connoítra de combien de lieues sont
éloignés l’un de l’autre les deux endroits dent-les
poinrs A, G , sont la projection.Cette projection est la plus aisée de toutes :
mais on préfère pour Tufage celle où Toeil est'placé dans Téquateur. C’est en esset dé cette dernière
sorte qu’on fait ordinairement les cartes. Au
reste, comme la situation de Técliptique, par rapport
à chaque lieu de la terre, change continuellement,
ce cercle ne doit point avoir lieu, à proprement
parler, fur la surface de la terre : mais on
s’en sert pour représenter, conformément à sa situation
, quelques momens marqués ; par exemple ,
celui où le commencement d’arics & de libra seroit
dans Tinterfectien du premier méridien & de Téquateur.
•Construâion des cartes, supposant l’oeil placé dans
le plan de Téquateur. Cette méthode de projection,
quoique plus difficile, est cependant plus juste,
plus naturelle , & plus commode que la première.
Pour la concevoir, nous supposerons que la surface
de la terre soit coupée en deux hémisphères
par la circonférence entière 'du premier méridien ;
nous proposant de représenter chacun de ces hémisphères
dans une carte particulière, Toeil fera
placé dans un point de 1 équateur, éloigné de
90 degrés du premier méridien , & nous prendrons
pour plan transparent où la représentatipn dpit se
laire, celui du premier méridien. Dans cette prejectipn
, Téquateur devient une droite, aussi bien
que le méridien éloigné de 90 degrés du premier:
mais les autres méridiens, ou parallèles aux équateurs,
deviennent des arcs de cercle ainsi que Técliptique.
Voye[ PROJECTION STÈRÈOGRAPHIÇUEDE LA SPHÈRE.Voki la méthode pour les construire. Du point
E comme ;'centre, (fig. 3. )  décrivez un cercle de
la grandeur que vous voulez donner à vôtre-carte ;
il représentera le premier méridien, qui est austi
Je même que celui de 180 degrés, car tirant le
diamètre B D , il partagera le méridien en deux
demi-cercles, dont le premier B AD conviendra
"à zero, & Fautre B CD à 180 degrés. Ce diamètre
B D représentera le méridien de 50 degrés ;
ainsi, le point B sera le pôle arctique, & le point
D , Je pôle antarctique. Le diamètre A C perpendiculaire
à B D, sera Téquateur. Divisez Jes
quarts de cercle AB, B C, CD , D A, en 90
degrés chacun ; & pour trouver les arcs des méridiens&des parallèles, vous vous y prendrez
de cette forte. U faudra, par la méthode donnée
ci-dessus, & "démontrée à Tarticle PROJECTIONSTÉRÉOGRAPHIQUE DELA SPHERE, diviser Téquateuren ses degrés, saveir en iSo, parce que
celui de la carte ne représente eh effet que la
 ; moitié de Téquateur. Par ces différentes divisions
& par les deux pôles, vous décrirez des arcs de
cercles B 10 D , B 20 D, & ces arcs représenteront
les méridiens^Pour décrire les parallèles, il faudra diviser de
la même sorte le méridien B D en 1S0 degrés,
& par chacune de ces trois divisions, & les divisions
correspondantes dès quarts de cercles AB,
B C, décrire les arcs de cercles ; 011 aura de cette
manière les parallèles de tous les degrés, avec les
tropiques, les polaires & les méridiens.L’écliprique peut se marquer de deux façons ;
car fa situation fur la terre peut’être telle que ses
intersections avec Téquateur répondent perpendiculairement
au point T: en ce cas, la projection
de ce demi-cWcle, depuis le premier degré du
cancer jusqu’au premier du capricorne, sera une
droire qu’on déterminera en coriiptant un arc de
23d 30' de A vers B, & tirant par TextrémitéF
de cet arc un diamètre. Ce diamètre représentera
Técliptique pour la situation dont nous parlons ;
& Ton pourra, comme ci-deffus, le diviser en
degrés, & y marquer les nombres, signes, de.
Mais si Técliptique est placée de façon que son
intersection avec Téquateur réponde au point A ,
sa projection sera en ce cas un arc de cercle qui
passera par les points d’intersection A & C de Técliptique
& de Téquateur, pris fur la droite qûi
marque la projection de Téquateur ; & par celui
qui marque Tinterfection du tropique du cancer,
& du méridien de 90 degrés pris fur la droite,
qui sert de projection à ce méridien. Ces points
suffisent pour décrire cet arc de cercle.II ne reste plus, pour rendre la carte parfaite,
qu’à prendre dans les tables les longitudes & les
latitudes des dissérens lieux, &à placer ces lieux
conformément fur la carte ; ce qu’on fera selon
qu’on Ta enseigné dans la construction des cartes
de la première espèce. On poùrroit, dans cette
projection , représenter sur une seule carte presque
tout le globe de la terre ; il ne faudrait pour cela
que prendre pour plan de projectipn, au lieu du
plan du premier méridien, le plan de quelqu’autr'e
petit cercle parallèle à ce premier méridien, &
fort proche de Toeil ; car par ce moyen on pourra
décrire tous les méridiens & les parallèles à Téquateur
en entier, fans qu’ils sortent des limites
de la carte. Mais comme cela rendroit la carte
confuse & embrouillée, on ne lésait que rarement ;
&il paroît plus à propps dfe représenter les deux
hémisphères en entier fur deux canes différentes.
Un des avantages de cette projection est, qu’elle
représente d’une manière un peu plus vraie que
fà précédente, les longitudes & les latitudes desCar
CAR . Í,9'J
. Kéux ; leurs distances de Téquateur & du premier
méridien. Ses inconvénients sont : í." qu’elle rend
les-degrés de Téquateur inégaux, ces degrés devenant
d’autant plus grands qu’ils sont plus près
de D AB ou de son ppppfé B CD : ce qui fait
que des espaces inégaux fur la terre font représentés
comme égaux fur la carte, & réciproque.
nient ; défaut qu’en n’éviteroit que par d’autres,
pept-être plus grands. 3: 0 Que les distances des
lieux, & leurs situations mutuelles ne peuvent
pas se bien déterminer dans les cartes de cette
projection.Constmâion des cartes fur le plan de l’horizpn,
ou dont un lieu donné quelconque à volonté doive
être le centre ou le milieu. Supposons, par exemple,
qu’on veuille décrire la carte dont le centre soit
la ville de. Paris, nous supposerons fa latitude de
48d 50' 10" ; Toeil fera placé dans le nadir ; la
carte transparente sera le plan de l’horizpn, pu
quelqu’autre plan parallèle à celui-Jà, en.suppesant
qu’on veuille représenter dans la carte plus qu’un
hémisphère : prenez le ppint E , fig. 4, pour Paris,
& de ce ppint comme centre, décrivez Je cercle
A B CD pour représenter l’horizpn que VPUS
diviserez en quatre quarts de cercle, & chacun
d’eux en 90 degrés Que le diamètre B D soit le
méridien ; E, celui du nord ; D, celui du sud ;
Ja ligne tirée de Test de Téquinoxe, à Touest de
Téquinoxe, marquera le premier vertical ; A, le
côté de Test ; C, celui de Touest, c’esl-à-dire deux
points du premier vertical, éloignés de part &
d’autre de 9 degrés du zénith. TPUS les verticaux
font représentés par des droites tirées du centre E ,
aux dissérens degrés de Thorizcui. Divisez B D
en 180 degrés par les méthodes précédentes, &
le point de E B qui représentera 48d 50' 10",
à compter depuis B , fera la projection du pôle
boréal, que nous marquerons parla lettre P. Le
point de B D qui représentera 48d 50' jo" de
Tare D C, en allant de C vers J ?, sera Tintessection’
de Téquateur avec le méridien de Paris,
que vous marquerez par la lettre Q. De ce point
Ç, en allant vers P , VPUS écrirezJes-nombresi,
2, 3 , de comme auffi en allant de -Q vers D ,
& en allant de B vers P , il faudra marquer les
degrés de' cette'sorte, 48, 47, 46, de.Vous prendrez ensuite les points eprrespondans
des degrés égaux ; & de leur distance prise pour
diamètre, vous décrirez des cercles qui représenteront
les parallèles ou cercles, de latitude avec
Téquateur, les tropiques & le cercle polaire. Ppur
les méridiens, vous décrirez par les points A, P, C
un cercle qui représentera le méridien de 90 degrés
de Paris, & dont le centre sera le point M,
& P N le. diamètre ; & ajant divisé K L en degrés
par les méthodes précédentes, vous décrirez
par les points P, N, & par les points de division
de Ta ligne K L, des.cercles dpnt les pertipns
renfermées dans le cercle B AD Ç représenteront
les méridiens.Les cartes reâilignes sont celles où les méridiens
& les parallèles sont tout-à-la-fois représentés par
des droites ; ce qui est réellement impossible par
les loix de la perspective, parce qu’on ne peut
point assigner de position pour Toeil & le plan de
projeólipn, telle que les cercles de lpngitude &
de latitude deviennent tout - à - la - fois des lignes
droites. Dans la première méthode que nous avons
donnée ci-deffus, les méridiens étoient des droites.,
mais les parallèles étoient des cercles. Dans la
plupart des autres espèces de projections, les méridiens
& les parallèles sont des courbes. II y a
une espèce de projections où les méridiens sont
des droites, & les parallèles des hyperboles." c’est
lorsque Toeil seroit supposé placé dans le centre
de la terre, & que la projection se seroit fur une
parallèle au méridien ; mais cette projeétien est
plutôt de pure curiosité que d’usage.Construâion des cartes particulières. Les cartes
particulières de grandes étendues de pays, comme
les cartes d’Europe , se projettent de la même manière
que les cartes générales, observant seulement
qu’il est à prepps de faire choix de différentes
méthodes pour différentes pratiques : par exemple ,
T Afrique & TÀmérique par où passe Téquateur,
ne se prejetteraient pas convenablement par la
première méthode, mais par Ja seconde ; TEu-"rope,
 J’Asie se projetteroient mieux par la troisième
 ; & les pays voisins des pôles, & qu’on
nomme les zones froides, par la première.Ainsi, pour cemmencer, tirez fur vptre plan
ou papier une droite, que vous prendrez pour le
méridien du lieu fur lequel Toeil est imaginé placé,
& divisez-la comme ci-dessus en degrés, qui seront
les degrés de latitude ' ; prenez ensuite dans les tablés
la latitude des deux parallèles qui en terminent
les deux extrémités : il fatìdra marquer dans
le méridien ces degrés de latitude, & tirer par
ces ' mêmes degrés des perpendiculaire qui serviront
à la carte de limite nord & sud. Cela fait,
il faudra tirer des parallèles dans les dissérens degrés
des méridiens, & placer les lieux jusqu’à ce
^ue4a-ctfrteToit_£omplète.Des cartes particulières de moindre étendue. Les
géographes suivent une autre méthode dans la
construction des cartes qui doivent représenter úne
plus petite portion de la tarre. Premièrement on
,..sire une droite au bas du plan, qui puisse représenter
la longitude, & qui serve de borne à la
partie méridionale du pays, qu’on veut décrire.
On prend dans cette ligise autant de parties égales
que le pays comprend" de degrés de longitude ;
au milieu de cette ligne, on lui élève une perpendiculaire
dans laquelle pn prend autant de
parties que le pays contient de degrés de latitude.
On détermine de quelle grandeur ces parties dpivent
Être par la proportion d’un -degré de grand
cercle aux. degrés des parallèles qui terminent’ lé
pays dont on fait lit carte. Par Texfrémité de cette
perpendiculaire, on tira une autie droite perpen-i oA CAR
Cardiculaire ou parallèle à celle d’en-bas, fur laquelle
les degrés de longitude doivent se représenter
comme dans la ligne d’en-bas, c’est-à-dire, presque
égaux les uns aux autres, à moins que les
latitudes des deux extrémités ne soient fort différentes
Tune de l’autre : car si la parallèle la plus
basse est située à une distance considérable du
cercle équinoxial, ou que la latitude de la limite
boréale soit beaucoup plus grande que celle de
Taustrale, les parties ou degrés de la ligne supé-*
rieure ne seront plus égaux aux parties ou degrés
de Tinférieure ; mais ils seront moindres, suivant
la proportion du degré de la partie septentrionale,
au degré de la partie méridionale. Après
qu’on aura ainsi déterminé, soit fur la ligne supérieure,
soit sur Tinférieure, les parties qu’on
doit prendre pour les degrés de longitude, on tirera,
par les points de division des parallèles, des droites
qui représenteront les méridiens ; & par les dissérens
degrés de la perpendiculaire élevée au milieu
de la première ligne transversale, on tirera
des lignes parallèles à cette première ligne transversale
, lesquelles représenteront les parallèles de
latitude. Enfin , on placera les lieux suivant la
méthode qui a été déjà enseignée , aux points
dans lesquels les méridiens ou cercles de longitude
concourront aveç ses parallèles ou cercles de
latitude.Pour les cartes de province ou de pays de peu
d’étendue, comme de paroiflès, de terres, de,,
on se sert d’une autre méthode plus sûre & plus
exacte qu’aucune des précédentes. Les angles de
position ou ceux sur lesquels doivent tomber les
lieux, y sont déterminés par des instrumens propres
à" cet esset, & rapportés ensuite sur le papier.
Cela fait un art à part, qu’on appellç arpen-s
(âge. Voyez LEVÉE DES PLANS,Les Jìgurcs 10 d z z de la Géographie représentent
des cartes particulières de quelque portion de
la terre ; la figure z o est la représentation d’une
portion assez cpnsidérable, où les méridiens, çommç
on le voit, sont des lignes convergentes. La fig. z i
est Ja représentation d’une portion peu étendue,
où Jes méridiens & les parallèles sont des lignes
droites sensiblement parallèles. L, K , I, sont
trois lieux placés fur la carte, Si Ton connoît les
lieux K, I, & leur distance au lieu L, on çon-r
noîtra sûrement la position du lieu L ; car il n’y
n qu’à décrire des centres K, I, &.des distances
LE-, LI, qu’on suppose données, deux arcs de
cercle qui sc couperont au point cherché L.L’usage des cartes se déduit facilement de leur
construction. Les degrés des méridiens & des par
rallèles marquent les longitudes & les latitudes
des lieux ; & Téchelle des lieues qui y est jointe, la
dislance des uns aux autres. La situation des lieux,
les uns par rapport aux autres, comme austi par
r2pport aux points cardinaux, paroît à la seule
inspection de la carte, puisque le haut en estI toujours tourné vers le nord, le bas vers le furj) 
la droite vers Test &, la gauche vers Touest, à
moins que la boussole qu’on met assez souvent sur
la carte , ne marque le contraire.CARTE marine, est la projection de quelques
parties de la mer fur un plan, ppur Tufage des
navigateurs. Voyez_ PROJECTION.Le P. Fpurnier rappprte l’inventìen des cartes
marines à Henri, fils de Jean, roi de Portugal ;
elles diffèrent beauceup des cartes géographiques
terrestres, qui ne sont d’aucun usage dans la navh
gation. Toutes les cartes marines ne sont pas non
plus de la même espèce ; car ii y en a qu’on
nomme cartes planes ; d’autres, réduites ; d’autres,
Cartes de Mercator ; d’autres, cartes du globe, &c,Les cartes planes sont celles où les méridiens
& les parallèles sont représentés par des droites
parallèles les unes aux autres.Ptolemée les rejette dans fa Géographie, à cause
des erreurs auxquelles elles sont sujettes, quoiqu’elles
puissent être utiles dans des voyages courts.
Leurs défauts sont, i.° que puisque tous les mé- ?
ridiens se rencontrent en effet dans les pôles, ii
est absurdç de les représenter , fur - tout dans de
grandes canes , paf des droites parallèles ; 2.'
que les cartes planes représentent les degrés des
dissérens parallèles égaux à ceux de Téquateur,
& par conséquent les distances des lieux de Test
à Touest, plus grandes qu’elles ne sont ; 3, 0 que
dans une carte plane , le vaisseau paroît, tant
qu’on garde le même rhumb de vent, faire voile
dans un grand cercle du globe ; ce qui est pour- ?
tant très-faux.Malgré ces défauts des cartes planes , elles font
cependant assez exactes, lorsqu’elles ne représen*
tent qu’une petite portion de la mer òu de lá
terre ; & elles peuvent être eh çe cas d’un usage
fort simple & commode,Construâion d’une cane plane. i.° Tirez une droite
comme AB (pi. de navigation , fig. 9. ) , & divi-:
sezJa en autant de parties égales qu’il y a de de-^
grés de latitude dans la portion de mer qu’il faut
rçpréscnter •, 2. 0 joignez^y en une autre B C à
angles droits, & divisez-là en autant de parties
égales les unes aux autres & à la première, qu’il
y -a de degrés de longitude dans la portion dç
mer que vous voulez représenter ; 3. 0 achevez le • '
parallélogramme AB CD., & partagez son aire
en petits quarrés : les droites parallèles à AB, •
CD , seront les méridiens ; & les parallèles à A D \
& B C, les cercles parallèles. 4. 0 vpus y placerez,
au mpyen d’une table de longitudes & de latitudes, ;
' les côtes, les îles, les baies, les bancs de fable, les i
rpchers, de la manière qui a été prescrite ci-dessus i
ppur les canes particulières.II s’enfuit de-là i.° que la latitude & la longin !
tude du lieu pù est un vaisseau, étant données, on . ;
pourra aisément représenter sç.n lieu dans la carte ; t
2. 0 qu’étant dpnnés dans la cane les lieux F &■ G ;
d’pù le vaisseau part & pù il va, Ha ligne FG> {-car car « çtirée de l’unsà l’autre, fait avec le méridien AB
un angle AFG égal à Tinclinaison du rhumb ; &
puisque les portipns F 1, 12, 2 G, entre des parallèles
équsdistans sont égales, & que Tinclinaison
de la droite F G à tous les méridiens ou à toutes
les droites parallèles à A B est la même, la droite
F G représente donc le rhumb. On peut prouver
de la même manière, que cette carte représente
véritablement les milles de longitudeïII s’enfuit de-là qu’on peut se servir utilement
des cartes planes peur diriger un vaisseau dans un
voyage qui ne soit pas de long cours, PU même
dans un voyage assez long, pourvu qu’on ait soin
qu’il ne se glisse point d’erreur dans la dislance
des lieux F & G ; ce qu’on cerrigera de la manière
suivante.Construâion d’une échelle pour corriger les erreurs
des distances dans les cartes planes, x." Transpertez
cinq degrés de la carte à la dreite A B , fig. 10 ,
& divisez-les en 300 parties égales PU milles géegraphiques ;
2. 0 décrivez fur cette droite un petit
cercle A CB ', qu’il faudra diviser en 90 parties
égales : si Ton veut favpir en conséquence cprribien
cinq degrés font de milles dans le parallèle
,de cinquante, qu pn prenne au compas Tintervalle
A C égal à cinquante, & qu’on le transporte au
diamètre AB-, sur lequel.il marquera le.nombre
de milles qu’on veut favpir. -II s’enfuit de-là que si un vaisseau fait vpile fur
un rhumb à Test ou à Tpuest hors de Téquateur,
les milles correfpondans aux degrés de longitude
se trouvent comme dans íarticle précédent ; s’il
fait veile fur un rhumb cpllatéral, alors on peut
supposer toujours la course de Test à Touest dans
un parallèle moyen entre le parallèle du lieu d’où
le vaisseau vient & de celui où il va.II est vrai que Cette réductipn par une parallèle
moyenne arithmétique n’est pas exacte ; cependant
cn s’en sert souvent dans la pratique, parce que c’est
une méthpde .commode pour Tufage de Ja plupart
des marins. En effet, elle ne produira point d’erreur
considérable, si toute la course est divisée en parties
dont chacune ne passe pas un degré_ ;._celqui_ fait
 qu’il est convenable de né pas prendre le dia'
mètre du demi-cercle A CB de plus d’un degré,
& de le diviser au plus en milles géographiques.
k Pour ['application des cartes planes a la navigation,-
voyez_ NAVIGATION..Carte réduite pu carte de réduâion : c’est celle
dans laquelle les méridiens sont représentés par
des droites convergentes vers les pôles, & les parallèles
paf des droites parallèles les unes aux
autres, mais inégales. II paroît dpnc, par leur
construction, qu’elles dpivent cprriger les erreurs
des cartes planes.Mais puisque les parallèles y devroíent couper
les méridiens à angles droits, il s’enfuit aussi que
■ ces cartes sont défectueuses à cet égard, puisqu’elles
représentent les parallèles comme inclinées aux ,
méridiens ; c’est ce qui a fait imaginer une autre \espèce de cartes réduites, dans lesquelles les méridiens
sont parallèles, mais Tes degrés inégaux ; or*
les appelle cartes de Mercator.Carte de Mercator : c’est celle dans laquelle les
méridiens & ses parallèles sont représentés par ces
droites parallèles, mais où les degrés des méridiens
sont inégaux, & croissent toujpurs à mesure qu’ils
s’approchent du pôle dans la même saison que ceux
des parallèles décroissent fur le globe ; au mpyen
de quoi ils cpnscrvent entr'eux la même proportion
que fur le globe.Cette carte tue son nom de celui de Tauteur
qui Ta proposée le premier, & qui a fait la première
carte de cette construction ; savoir, de Mercator
: mais il n’est ni le premier qui en ait eu
Tidée / car Ptolomée y avoit pensé, quinze cens
ans auparavant ) , ni celui à qui Ton en doit la
perfection, M. Whright étant le premier qui Tait
démontrée, & qui ait enseigné, une manière aisée
de la cpnstruíre, en étendant la ligne méridienne
par Tadditien continuelle des sécantes.Construâion de la carte de Mercator. l.° Tirez
une droite, & divisez-laen parties égales qui représentent
les degrés de longitude, soit dans Téquateur,
soit dans les parallèles qùi doivent terminer
la carte ; élevez de ces dissérens points de division
des perpendiculaires qui représentent les dissérens
méridiens, de façon que des droites puissent les couper
toutes sous un même angle, & par conséquent
représenter les rhumbs ; & vous ferez le reste comme
dans la carte plane, avec cette condition de plus ,
que pour que les degrés des méridens soient dans
lá proportion convenable avec ceux des parallèles,
il faut augmenter les premiers ; car les derniers
restent les mêmes, à cause du parallélisme des
méridiens. Voyez_ DEGRÉ.Décrivez donc dans Téquateur CD & de Tintervalle
d’un degré ( pi. navig. fig. 2 z. ) , le quart
de cercle D LE , & élevez en D la perpendiculaire
D G ; faites Tare D L égal à Ja latitude ,
& par le point L tirez CG ; cette droite C G sera
le degré du méridien propre à être tranfpprté fur
As. rnéridjen_de la carte  ; le reste se fera comme
dans les cartes planes. "Supposons qu’on demande
dans la pratique de construire une carte plane de
Mercator, depuis le quarantième jusqu’au cinquantième
degré de latitude boréale, & depuis le sixième
jusqu’au dix-huitième' degré de longitude ; tirez
d’abord une droite quireprésente se quarantième parallèle
de Téquateur, & divisez-la en douze parties
égalés, ppur les dpuze degrés de .longitude que la
carte dpit cpntenir : prenez ensuite une ligne des
parties égales, fur T échelle de laquelle ces parties
sont- égales à chacun des degrés de lpngitude ; &
à chacune de ses extrémités" élevez des perpendiculaires
pour représenter deux- méridiens, parallèles
, qu il faut diviser au moyen- dé Tad-dition
continuelle des sécantes, lesquelles on démontre
croître dans la même proportion que les degrés
de longitude décroissent. Voyei SÉGANÏÍVZ9cíCar carAinsi , poùr la dislance de 40, degrés cie tatituue
à 41 dcrés, prenez 131 & demi parties égales de
I échelle", qui sont la sécante de 40 deg. 30' ; pour
la dislance de 41 deg. à"42 deg., prenez 133 &
demi partie:, égales de Téchelle, qui font la sécante
de 41 deg. 30' , & ainsi de suite jusqu’au
dernier deeré de votre carte, qui contiendra 154
de ces parties égales, lesquelles font la sécante de
49 deg. 30', & doivent donner par conséquent la
dislance de 49 degrés de latitude à 50. Par cette
méthode, les degrés de latitude se trouveronr évidemment
augmentés dans la proportion suivant
laquelle les degrés de longitude décroissent fur Je
globe.Le méridien étant divisé, il faudra y ajouter la
boussole ou le compas de mer: choisissant pour
cela quelque endroit convenable dans le milieu,
on tirera par cet endroit une parallèle au méridien
divisé, laquelle sera le rhumb du nord ; &
au moyen de celle-ci, on aura ks 31 autres points
de compas : enfin, on rapportera les villes , les
ports, les côtes, les îles, de., au moyen d’une
table de latitude & de longitude, & la carte sera
-finie."Dans la carte de Mercator, Téchelle change à
proportion des latitudes : si par conséquent un
vaisseau fait voile entre le 40cmc & _se jo"""
degrés de latitude, les degrés des méridiens entre
ces deux parallèles devront servir d’échelle pour
mesurer le chemin du vaisseau ; d’où il s’ensuit
que, quoique les degrés de lpngitude soient égaux
en lpngueur fur la cane , ils doivent néanmoins
contenir un nombre inégal de milles"ou de lieues,
& qu’ils décroîtront à mesure qu’ils approcheront
plus près du pôle, parce qu’ils font en raison inverse
d’une quantité qui croît continuellement.Cette carte est très-bonne, quoique fausse en
apparence : on trouve par expérience qu’elle est
fort exacte, & qu’il est en même-tems fort aisé
d’en- faire usage. En effet, elle a toutes les qualités
requises pour Tufage de la navigation. La
plupart des marins, dit Chambers, paroissent cependant
éloignés de s’en servir , & aiment mieux
s’en tenir à leur vieille carte plane, qui est,
comme on Ta vu, très-fautive.Pour Tufage de la carte plane de Mercator dans
la navigation, voyez NAVIGATION.Carte du globe. C’est une projection qu’on nomme
de la sorte à cause de la conformité quelle a avec
le globe même, & qui a été propoíëe daus ces
derniers teins par MM. Senex, Wilfon & Harris :
les méridiens y sont inclinés, les parallèles à égales
distances les uns des autres & courbes, &' les rhumbs
réels sont en spirales comme fur la surface du globe.
Cette projection est encore peu connue ; nous n’en
pouvons dire que peu de chose, jusqu’à ce que sa
construction & ses Usages aient une plus grande
publicité.Cartes^ composées par rhumbs d distances. Ce sont
pelles QÙ il n’y a ni méridiens ni parallèles, maisqui ne montrent la situation des lieux que par
rhumbs & par Téchelle des milles.On s’en sert principalement en France, & surtout
dans la Méditerranée.On les trace fans beaucoup d’art, & il seroit
par conséquent inutile de vouloir rendre un compte
exact de la manière de les construire ; on ne s en
sert que dans de courts voyages. (O) * Les cartes géographiques les plus estimées font
celles de Guillaume de 111e, premier géographe
du roi de France , mort en 1726, de M. d’Anvillé,
de M. Buache, de M. Robert de Vaugondy,
de M. Bellin, celles de Homann à Nuremberg,
les cartes gravées à la calcpgraphie de Rome, les
cartes marines de Hollande, eelles de M. Bonne, &c.CARTE hydrographique, L’inventiort des cartes
hydrographiques est l’ouvrage du prince don ;Henrt
de Portugal. II y avoit long-tems que celles de
géographie étoient connues ; mais des cartes conf« 
truites suivant le même principe eussent été inutiles
dans la navigation. Le prince dont nous parlons
& ses mathématiciens préférèrent, par les raisons
qu’on verra bientôt, de développer la surface
du globe terrestre, en étendant les méridiens en
lignes droites & parallèles entr'elles. Pour prendre
une idée claire de ce développement, qu’on imagine
que les parallèles dq globe terrestre soient
en même-tems flexibles & extensibles, & les méridiens
seulement flexibles ; qu’on déploie ensuite
toute la surface de ce globe, èn étendant les méridiens
en Jignes droites & parallèles, on aura la
surface terrestre développée en un rectangle, dont
la longueur sera la circonférence de Téquateur,
& la largeur celle d’un demi-méridien. Ce sont-lí
les premières cartes qu’employèrent les navigateurs
, & qu’on nomme plates, parce qu’elles font
en quelque forte formées de la surface du globe
applatië.Le motif pour lequel on s’est astreint à désigner
les méridiens par les lignes drojtes & parallèles ,est
 celui-ci : c’étoit afin que la trace qu vaisseau
qui auroit parcouru un certain rhumb de vent,
pût se marquer dans la carte par une ligne droite ;
car s’ils eussent été inclinés les uns ses autres, ou
des lignes courbes comme dans les canes ordinaires
de géographie, cette trace n’auroit "pu êtrç
qu’une ligne courbe : ce qui n’auroit point répondu
à l’intention du navigateur.Mais il y a dans ces sortes de cartes deux inconvéniens
 ; l’un consiste en ce que la proportion
des degrés des prallèles & de ceux des méridiens
n’y est point conservée.Vils y sont représentés comme
égaux, quoiqu’ils soient réellement d’autant plus
inégaux, qu’on approche davantage du pôle.C’est-íà Je défaut que Ptolomée roprochoit dans
fa Géographie , aux cartes de Marin de Tyr, qui
étoient précisément comme celles qu’on vient de
décrire, De - là naît une erreur fur J’estime du
chemin, qui paroît plus grand qu’il n’est réellement
dans tous les rhumbs obliques. & dans ceuxd’efl
-CAR r .
Car
2-97,
d’est & d’ouest. A lá vérité, les "navigateurs ont
des mëthpdes pour prévenir cette erreur ; mais
les réductions qu’ils pratiquent, à mpins qu’il n’-y
ait pas une grande différence en latitude, sont ou
peu exactes ou fort laborieuses.
- Le second & le plus essentiel défaut des cartes
plates, est que le rhumb qu’elles indiquent, en tirant
une ligne d’un lieu à un autre, n’est point
le véritable, excepté lorsque ces lieux sont sous le
même méridien PU le même parallèle. Je m’étenne
•■que cette erreur ait échappé à la plupart des auteurs
de navigation ; car sorsqu’ils veulent enseigner
le rhumb de vent cenvenable pour aller
d’un lieu à un autre, ils ordonnent de les joindre
par une ligue droite, & d’examiner à quel rhumb
de-la rose des vents cette ligne est parallèle, ou
quel angle elle fait avec les méridiens. 11 est cependant
facile de se convaincre que cet angle n’est
point celui du véritable rhumb. 11 sustìt pour cela
de faire attention que le rapport des degrés du
méridien & des parallèles n’étant point conservé,
les deux côtés du triangle rectangle qui déterminent
Tangle du rhumb, ne sont ppint dans leur
•vrai rappprt ; ainsi, Tangle qu’on trouve par ce
moyen ne fauroit être le véritable. On peut encore
le montrer par un exemple fort simple: nous supposerons
deux lieux, l’un sous Téquateur & le
premier méridien, l’autre à la latitude de 89 degrés,-avec
une longitude de 90 degrésr II est vi•
iìble que le véritable rhumb pour aller de l’un à
l’autre, différeroit à peine du méridien ; cependant
, si l’en cherclipit ce rhumb suivant la méthode
précédente, en trouveroir.un angle presque
demi-droit. L’angle qu’indiquent les cartes plates
est donc faux. Heureusement les navigateurs ne
cherchent jamais à faire des courses aussi considérables
en suivant un seul rhumb. Les divers obstacles
qu’ils rencontrent en mer, comme les côtes,
les endroits dangereux par les bancs ou les écueils,
les obligent de partager leur route en une multitude
de petites portiohs. C’est par cette raison que
Terreur -que "nous venons de relever leur a échappé ;
car elle est d’autant moindre, que la distance est
moins considérable ; & il leur est d’ailleurs familier
d’attribuer aux courans, à la dérive, de., la plupart
de celles qu’ils commettent dans leur estime,
•quoiqu’il y en ait "parmi elles, qui 'sont, comme
celle-ci, des erreurs de théorie.On remarqupit, dès le milieu du seizième siècle,
-le premier des défauts dont je viens de parler, &
Ton sentoit dès-lors la nécessité de chercher quelque
autre manière de représenter la surface du
.globe terrestre qui en fût exempte. Mercator, fameux
géographe des Pays-Bas, en donna la première
idée, en remarquant qu’il faudroit étendre
les degrés des méridiens ,■ d’autant plus qu’on
s’éloignerait davantage de Téquateur ; mais il s’en
•tint là, & il ne. paroît pas avoir connu la soi de
cette augmentation. Edpuard Wrigth la dévpila le
premier, & il .montra qu’en supposant le méridienMathématiques. Tome I, LcrsPartie:divisé en petites parties, far exemple, de dix en
dix minutes, il falloit que ces petites parties fussent
de plus en plus grandes en s’éloignanr de
Téquateur dans le même rapport que les sécantes
de_ leur latitude. Ceci mérite d’être développé:
voici le raisonnement par -lequel on a découvert
ce rapport.Puisque le degré des parallèles qui décroît réellement
est toujours représenté par la même ligne,
si Ton veut conserver le • rapport du degré du
méridien avec celui du parallèle adjacent, il faut
augmenter celui du méridien en même raison que
Taurre décroît. Mais on fait que le degré du parallèle
décroît comme le epsinus de la latitude,.
c’èst-à-dire, qu’un degré d’un parallèle quelcpnque
est à celui du méridien PU de Téquateur, cpmmé
le'cpsinus de la latitude au sinus total. D’un autre
'côté, le cosinus d’un arc’est au sinus total, comme
celui-ci à la sécante : il faudroit donc que chaque
petite partie du méridien, comprise entre deux
parallèles très-voisins, soit à la partie semblable
de Téquateur, comme la sécante de la latitude au
sinus total ; &.par exemple, le degré compris
entre les parallèles qui passent par les 30 & 31
degrés de latitude, sera au-degré de Téquateur,
comme la somme des sécantes des’ petites parties
dans lesquelles on aura divisé ce- degré, à autant
de fois le rayon. Si donc on additionne continuellement
lés sécantes de minute en minute , par
exemple, jusqu’à un certain parallèle, cette sommades
sécantes représentera la distance de ce parallèle
à Téquateur, dans les cartes réduites, fans erreur,
sensible. Wrigth' publia cette invention en 1599,
dans un livre imprimé à Londres. Dans cet ouvrage
, Wrigth calcule Taccròissement dès parties
du méridien par Tadditipn cpntinuelle des sécantes
de dix en dix.minutes.' Cela est à-peu-près suffisant
dans la pratique de la navigation ; mais les
-géomètres qui ne se contentent pas d’approximations
, quand ils peuvent atteindre à Texactitude
-rigoureuse, ont depuis recherché le rapport précis
de cet accroissement. Pour cela, ils ont supposé,
en suivant les traces du raisonnement de Wrigth,
que le méridien fût divisé en parties infiniment petites
 ; & ils ont démontré que certe somme des
sécantes infinies en nombre, cemprises entre Téquateur
& un parallèle quelconque, fuit le rapport
du logarithme de la tangente du demi-çom- '
plément de la latitude de ce parallèle. On a dressé
fur ce principe dés tables plus exactes de Taccròissement
des parties du méridien, pour guider
les- constructeurs des cartes hydrographiques. On
trouve ces cartes dans divers traités modernes de
navigation, comme ceux de M. Bouguer,'-de
M. Robertson, de.
■ Cette sorte de cartes remplit parfaitement tputeg
les vues des navigateurs. A la vérité,.les parties
de la terre y sont représentées toujours en croissant
du côté des pôles, & d’une manière tout-àfait
difforme ; mais cela importe peu, pourvuPP '*2-oSCar
I CAR
quelles fournissent un moyen facile &. fur de se
-guider dans fa route. Or c’est Tavantage propre
aux cartes dont nous parlons. Les rhumbs de
vent y font représentés comme dans les premières
par des li ?nes droites, & ces lignes indiquent,
par Tangle"qu’elles forment avec le méridien, le
véritable ançle du rhumb. On a enfin fur ces
lignes la vraie distance des lieux'ou la longueur
du chemin parcouru, pourvu que pour les mesurer,
en se serve de-Tare du méridien compris
enrre les mêmes parallèles, comme, d échelle. ; ce
qui donne une solution en même-tems aisée &
exacte de tous les problèmes de navigation. On
nomme ces cartes, cartes réduites, ou par latitude
croissante. Elles commencèrent à s’introduire chez les
navigateurs vers Tan 1630 ; & Ce furent, suivant
le P7Fourrier, des pilptes Dieppois qui en firent
usage les premiers. Quoi qu’il en soit, ce font, ;
fans contredit, les ^meilleures ; nous dirons plus, ,
les seules bonnes pour des navigations de long
cours ; & il seroit à désirer que ce. fussent les
seules qu’on vît entre les mains des navigateurs,
(-f) CARTE itinéraire. (Géogr.)  L’étendue des conquêtes
des Romains , & la distance où' étpient
de Tltaíie les pays dans lesquels en enyoyoit des
armées, dont les marches dévoient être réglées
d’avance , firent sentir la nécessité d’avoir des
cartes itinéraires, fur lesquelles les stations. des
troupes & la distance d’une station à l’autre, pussent
être marquées distinctement. Nous voyons par
plusieurs passages de Pline, que fur les cartes itinéraires
d’A grippa, on marquoit les distancés avec
une précision assez grande pour rendre sensible
la différence, de quelques milles, qui se trouvoit
entre la mesure d’un pays donnée par les géographes
Grecs, & celle qu’en donnoient ces canes.
Soas les empereurs,-on dislribuoit de-semblables
cartes aux généraux que Ton envoyoit en expédition,
aux magistrats chargés dé régler la marche"
•des troupes, & même à céux qui avoient Tinfjpeclion
des voitures publiques.Les copies des ces cartes,- distribuées aux géaéraux
& ' aux magistrats, ne-.contenoient qu’un
pays particulier ; & Tufage que Ton faisoit de ces '
copies obligeant à les renouveller continuellement,
il est visible que Ton en devoit conserver
des prototypes ou des originaux. M. Fréret croît
•que la géographie de Tanonyme des Ravennes,
écrite après la destruction de Tempire d’occident '■
a été manife0ement composée sur une semblable
carte itinéraire , de laquelle ■ fauteur avoit copié
les routes , mais en omettant les distances. On
doit conclure de-là, selon M- Fréret, qu’il s’étoit
conservé quelques copies de ces cartes itinéraires
. dans les bibliothèques, même après la destruction
de Tempire d’occident ; cependant il n’est fait aucune
mention de ces cartes itinéraires dans les
écrivains du moyen âge. ( -J- ) 
CARTES célestes ( Astron. )  sont celles dans les- Iquelles on représente les constellations, & lès étoilesqui
les composent. Le plus bel ouvrage que 1 otr
ait en ce genre, est T’Atlas coelesiis ; gravé à Londres
, en 1729, en 28 feuilles,. d’après le grand ;
Catalogue britannique de Flamfieed. Ce font ces
•figures que les astronomes suivent toujours, ex'
cepté pour lès constellations australes de Tábbé de •
la Caille ; elles coûtent à Londres deux guinées..
On en trouve une réduction i/fcvfV à Paris chez:
Fortin, qui est très-suffisante pour Tufage ; &
M. Bode en a donné une à Berlin,..qui est faite
avec beaucoup de soin en 1782 ;.
• On suppléé aussi à ce grand ouvrage par le
moyen des planisphères publiés à Parisien 1764,,
par M.-Robert de Vaugondy , de ceux du P. Chrysologue
de Gy, capucin,- ou des deux planisphères
gravés à Londres par Senex ; ils sont en’
deux feuilles chacun. L’on y trouve aussi .toutesles
constellations & toutes les étoiles du Catalogue
britannique , placées,. dans l’un, suivant les
longitudes & les latitudes ; dans l’autre, suivant !
les ascensions droites & les déclinaisons. Les planisphères
de Senex ceûtent trois schillings, c’est-àdire
trois livres dix sols la feuille, à Londres ; il:
suffit d’avoir PU les deux feuilles pfejettées sur
Téquateur, eu les deux feuillés prejettées fur Técliptique.
Celuide M..de Vaugendy a Tavantage de:
-renfermer les censtellatiens npuvelles du pôle
austral ;mais il est gravé à centre-sens des autres,,
& représente là cenvexité du glpbe céleste, auHeu.de
fa concavité. Celui du P. Chryfolpgue renferme
austi une partie des neuvelles censtellafions..Parmi les ouvrages plus anciens,,. dont on peut. '
aussi tirer avantage pour connoître les constellations,
il y a, 1 ;? ÏUranométrie de Bayer, dont
nous avons deux éditions ; la première parut en’
1603 ,. à Aufbourg, en 15 feuilles ; 2. 0 les cartesdu
P. Pardies, jésuite, en six feuilles, publiées en1673 ;
3-° ies quatre cartes du ciel,.d’Augustin•'
Royer, imprimées en 1679 ; 4. 0 celles d’Hévélius,
contenues dans un ouvrage assez rare, quii
parut à Dantzick en 1690, intitulé :Firmamentumr
Sobiefcianum, en 54 feuilles. -De toutes les cartes célestes , celle dont.les
astronomes font le plus .d’usage., est la carte qui ;
représente le zodiaque, & dans laquelle on voit
toute Ja zone céleste qui environne Técliptique,,
avec 8 degrés de chaque côté de Técliptique. Noús
avons deux fort bons zodiaques ; celui qui fut
dessiné & gravé par Jean Senex, de la société
-royale de Londres, fur la fin du siècle dernier,,
en deux grandes feuilles, fous les yeux de Halley ;
-& celui qui a été gravé en France par Dheullandj
& publié vers Tan 1755 '■> celui-ci avoit été entrepris
dès Tannée 1741 par M. le Monnier, & '
exécuté par d’Heulland, graveur ; il est accompagné
d’un catalogue gravé en 30 pages, de toutes
les étoiles zodiacales, dont Flamsteed avpit dpnné
les-longitudes’.pour 1:690 ; cesTongitudes pnt été
réduites à 1755. Ce zodiaque se trouve ch« z
'c a r' c a rÍV) lfTJezauche," géographe de la Marine ; rue des
ï\Toyers, ". Ce zodiaque français n’est qu’en une feuille,
farce qu’on Ta gravé fur une plus petite échelle
& fur une plus grande planche que celui de Senex,
■cela'n’empêche pas qu’il në .soit aussi commode
que le z°^-a1ue anglais. ; il a même Tavantage de
représenter les ëtPîles qui sont jusqu’à 10 degrés
de latitude au nprd &. au sud de Técliptique, au
lieu que -celui de Senex ne renfetmóit que 8
degrés de latitude. ' ' " \Au défaut des cartes célestes, on peut se servir i
$es globes, pour reconnoitre les constellations.On- trouve une différence remarquable entre
les cartes de dissérens auteurs. Hévélius reproché
■à Bayer d’avpir représenté sur ses cartes, le. ciel :
tel que npus le voypns, étant places comme nous '
le sommes au-dedans.de la sphère, au-lieu que ,
les anciens le représentoient commé eìí le. voit
par dehors fur la convexité des. globes, célestes,
ou comme si Ton étoit .au-dessus de la sphère
étoilée. Hévélius. se plaint de ce que, par ce changement
de disposition , Bayer a fait que les étoiles
qui sont à notre droite quand on regarde le globe,
'sont à notre gauche en regardant les cartes celestes
de Bayer , Hevelii Firmaméntum. Sóbìesc.
Mais les astronomes n’ont ppint adppté à: cet
égard le sentiment d’Hévélius ;.ils aiment mieux,
■ce me semble, les cartes célestes fur lesquelles pn
voit la concavité du ciel, que ces glpbes où Ton
ne voit que la convexité, & pour lesquels il
faut se retourner en idée autrement que quand on
regarde le'ciel ; cela me paroît beaucoup plus
.commode pour le spectateur : cependant il y en
a qui-veulent encore reptésenter les constellations
à Tenvers, & mettre Toccident à la droite,
-entr'autres, M. Robert de Vaugpn’dy , dans le
Planisphère qu’il a publié .en -í 764.II se trouve encore -úne différence entre les
■tartes célestes de divers auteurs. Schikardus ( in
Astroscopio , pag. 39 , ) reprocha le premier à
Bayer, que la plupart de ses figures étoient retournées
de droite à gauche, par rapport aux
anciens catalogues, ce qui prpduisoit une différence
entre les dénpminatipns anciennes des parties
droites PU gauches, & celles de Bayer ; -Flamsteed a"
.eu raison, ce semble , de cprriger Bayer en cela',
comme il Ta fait, du mpins pour certaines constellations
 ; car il a laissé Orion tel que Bayer
Tavoit’mis. - .II en est de même d’Hévélius, qui a voulu s’en \
tenir aux anciens. La constellatipn d’Oripn qui:, :
dans les cartes de Bayer & de Flamsteed, est
tournée vers le ciel ou-vers le haut,de la sphère,
regarde au cpntraife le centre du gsobe dansçelles
' d’Hévélius ; Tépaule orientale « est dans Bayer &
Flamsteed Tépaule gauche ; dans Hévélius, comme
dans les anciens, c’est Tépaule droite ;T’ètoile / ?,
ou rigel, qui est fur le pied droit dans Bayer, est
ïur ie pied gauche dans Hévélius, dans l’un, cegéant paroît à genoux, & élevant le pied droit -}
dans 1 autre, il semble monter en levant le pied
gauche ; dans Bayer, il tient fa massue élevée â
Torieht de la main gauche ;dans Hévélius , il la
tient de la main droite ; toutes ces différences font
voir la nécessité des lettres par lesquelles on est
convenu de. désigner les étoiles, & [inconvénient
qu’il y auroit à se servir dans les catalogues
des mots de droite & de gauche ; il vaut beaucoup:
mieux se servir des, mots, oriental & occidental.
En effet’, quoique Flamsteed ait suivi en
général les cartes de Bayer, il y a cependant encore
des différences ; "par exemple, Ôrion , dans
les cartes- de Bayer, a la tête tournée à gauche ;
dans .celle de Flamsteed, il Ta tournée du côté
droit, en sorte 'que les étoiles * & <p, qui ; sont à
la tempe .gauche dans Bayer j sont-fur la tempe
drpitedans. Flamsteed. Voye( Texplicatipn de mou
globe céleste, à Paris chez Lattre: ( ; D. L.) 
: - CARTE 'MILITAIRE:, (' Géagraph. ) ■ est ìa
carte particulière d’un pays" ou d’une portion des ,
pays,-ou d’une frontière, ou des environs d’un©
place, d’un poste, fur laquelle sont exprimés tousses
objets-qu’il est essentiel de cpnnpître pour
former & exécuter un projet de campagne. On y
ypit leSi marches, qu’une armée peut faire , les"
lieux pu.elle:peut camper, les divers ppstes quelle ;
doit pccuper ; les défilés & leur lpngueur ; les rivières,
les ruisseaux, leur largeur, leur profondeur,
les gués, la nature du fonds, la hauteur des bords,
les ponts, les passages, les moulins, les canaux,
les étangs ; les villages, les hameaux, les châteaux, .
les métairies. & autres lieux qui sont bons à occuper
 ; les montagnes, leur hauteur, leur pente,
leurs èfcarpemens ; les vallons, lés ravins, leur
largeur, leur profondeur ; les fossés, les champs
clos, les bois les marais ; la nature des plaines,
les cantons de fourrages ; la distance d’un lieu à un
autre, le nombre des maisons & écuries de chaque
-lieu, les dissérens. chemins, leur qualité, de. Si
la carte représente quelque partie de mer, on y
distingue la nature de la côte, les laisses de haute
& de basse mer, de morte-eau comme de viveeau
 ; les sondes des anses, des, baies, des fades ;
les dangers, de toute espèce, les différentes batteries
établies pour la défense des mouillages, des
passes ; les. retranchemens, les épaulemens pratiqués
dans les parties où Tennemi peut tenter
une descente ; les camp's, lès.ppstes qui doivent
couvrir, les principaux établiffemens & Tintérieur
du pays, de. TPUS ces détails peuvent être cpmpris
dans • une carie militaire, & à J’aide d’une
légende pu d’un mémoire, se faire sentir aisément ;
mais.il y a très-peu de gens capables d’un tel travail :
il n’y en a pourtant pas de plus important pour
pouvoir régler & conduire les opérations d’une
campagne. On ne fauroit donc former trop d »
sujets pour une partie si profoude & fi essentielle.
C’est aussi dans cette vue que notre ministère 'n’a
pas discontinué depuis la paix d’employer de*
P pij

C A R

C’A' R ^
officiers de Tétat-major de Tannée, avec des in£énieurs- ?éosraphes,
■ fur les frontières & fur les
côtes du royaume. ' ..L’usa^e des cartes militaires étoií connu des
anciens ; Yégece ne nous laisse aucun doute à cet
égard. « Un général, dit cet auteur, doit avoir
des tables dressées avec exactitude, qui lui marquent
non-seulement la dislance des lieux par le
nombre de pas , mais la qualité des chemins ,
les routes qui abrègent, les logemens qui s’y
trouvent, les montagnes & les rivières. On assure
que les plus habiles généraux,- non contens de ces
simples mémoires, ont fait lever les plans du
théâtre de la guerre, afin de déterminer plus sûrement
leur marche fur le tableau même des
lieux. >5 On ne fait si ces plans étoient aussi parfaits
que nos cartes topographiques, mais au moins
devoient-ils donner beaucoup dé facilités aux généraux
pour leùrs opérations. ;Nous avons aujourd’hui un grand nombre de
cartes qui, quoiqu’elles ne contiennent pas, à
beaucoup près, tous les détails nécessaires, ne
laissent pas de pouvoir être très-utiles à un officier
qui seroit chargé de recpnnpître un pays, PU qui
1 entreprendroit pour son instruction : telles sont
celles de la France, dressées par MM. de l’Àcadémie
royale des Sciences ; celles des pays-bas,
par Fricx ; celles du théâtre de la guerre dernière
en Hesse.& pays circonvoisins, par M. de la Rosière ;
copiées à Paris par les géographes Beaurain,
.& Julien ; celles des campagnes de M. le prince
Ferdinand de Brunswick, en Westphalie, par le
^Colonel Bawr , maséchal - général des logis de
Tannée Hanovrienne ; celles de" la Bavière, par
.Finck ; celles de la Bohème, par le major Muller,
& quantité d’autres cartes particulières de dissérens
pays de TAllemagne , publiées à Nuremberg, à
Ausgbourg , à Berlin ; celles du théâtre dé la
guerre en Italie, par les ingénieurs du prince
Eugène ; celles de la Savoie & du Piémont, puîiiiées
par Jaillot, de.La plupart des cartes qu’on vient d’indiquer,
ayant été levées géométriquement,, peuvent .servir
à construire des cartes militaires. ; en faisant d’avance
des extraits des campagnes qui auront été
faites dans les pays qu’elles représentent, en dessinant
fur une plus grande échelle les parties des
pays qu’on devra reconnoître, en cherchant les
lieux élevés pour mieux découvrir Je terrain, en
questionnant les gens de la campagne, .en par-'
courant le pays de tout.sens, & en voyant par
soi-mèaie tous ks objets qui méritent attention.Lorsqu’on n’a points de cartes particulières,
qu’on n’a pas le tems d’en lever, ou que Toccaston
ne permet pas d’opérer, on a recours aux
cartes générales. On y prend les positions qui
paroissent le mieux déterminées ; on- les trace à
grand point fur des feuilles séparées, & on fait une'
carte à vue qu’on accompagne d’un mémoire. II n’y
a point d’oífcier d’état-major qui ne doive sevrvircette méthode, qui est on ne peut ' pas plus nécessaire
, fur-tout en campagne. (M.D.L.R.) * CARTE MILITAIRE, Reconnoiffacne militaire.
La connpissance généralisée d’un pays suffit pour
calculer les avantages des principales positjons
qu’il.offre à une armée, & pour déterminer d’avance
celles qui répondent le mieux aux projetsqu’elle
peut méditer ; mais quand il esl questipn des
opérations successives des troupes, de Touverture des’
marches,- de Templacement des camps, de la sûreté
des communications & de tous les objets quelconques
subordonnés à la nature du "terrein, c’est
par des cartes militaires que Ton parvient à
éclairer ses mouvemens. Ces cartes sont levées
dans un plus ou moins grand dérail, suivant que ;
le tems a pu le permettre, & que les circonf-:
tances Tont exigé. Lorsque, pendant la paix, on
levé le plan d une frontière ou d’une partie de
côte,' a Teffet de rechercher quels moyens de
défense la nature particulière" du lpcal peut présenter
pour pouvoir en faire Tapplication au besoin ^
il est évident que ce travail peut & doit être
exécuté dans le plus grand détail & avec Texactitude
la plus scrupuleuse ; mais lorsque dans le
tumulte de la guerre, feus les yeux même de l’ennemi,
il s’agit, de rendre compte d’un pays pù iì
faut’tout de fuite faire mpuvpir, marcher, manoeuvrer
une npmbreuse armée, Tétablir dans un
camp PU dans des quartiers ; c’est par le moyen
d’une carte figurée à vue avee la plus grande célérité,
& d’un mémoire qui instruise des: choses
que le dessin seul ne peut rendre intelligibles,
qu’on parvient à remplir cet objet important. C’est
àce genre d’ouvrage qu’on donne particulièrement
-le nom de reconnaissance militaire. A la manière
dont il est exécuté, on distingue Tintelligence
& la sagacité de Tofficier qui en est chargé ;, s’il
est dpué du talent Se bien discerner .quels éclaircístemens
particuliers exige le besoin du moment,
il se gardera de s’appesantir sur des détails dont
Ja connoissance est inutile pour concourir au but
qu’e. Ton se 'propose, & d’employer à cela un tems
d’autant plus précieux qu’il est alors limité. Une
-expérience plus ou moins éclairée- Tinstruit à
pénétrer dans les vues du général, & son travail
ne porte que fur des objets qu’il, est absolument
nécessaire de savoir.U résulte de ce que Ton vient d’avancer qu’il
y a deux espèces de cartes militaires, savoir celles
qui sont levées géométriquement & à. Taide des
instrumens usités pour cela, & celles qui font
simplement faites à vue, auxquelles appartient
proprement le nom dé reconnoiffhnce. Entre ces
deux espèces , on peut cependant en considérer
une troisième, qui se rapproche plus ou moins
de Tune ou de l’autre ; telle seroit une carte dont
les principaux points feroient calculés PU arrêtés
à Ja planchette, d après une base exactement
mesurée, & dont tout le détail auroit été rempli
à vue. Ces différents genres de plans topograíCar car
$ orphiques
ont cela de commun, qu’ils exigent de la
part des personnes qui s’en pccupent, une grande
facilité défigurer le terrein , laquelle ne s’acquiert
que par 1-usage.L’article levée desplans topographiques dans lequel
on considère l’art de lever des plarts d’une manière
générale & applicable à tpute sorte d’pbjers,
indique les procédés les plus simples & les plus
expéditifs pour dresser des cartes de toutes les
différentes espèces dont on vient de faire mention ;.
on y renvoie le lecteur. Mais comme Tufage le
plus répété que Ton fasse aujourd’liui de cet art,
est fans contredit pour le service des armées ,
fur-tout depuis que la défense des frontières est
moins appuyée fur Ja multiplicité desplaces fortes,
que fur les ressources d’une tactique habile &
approfondie ; on va rechercher dans cet article
quelles sont les connoissances qu’un officier doit
joindre à Tait de figurer les terreins, & examiner
de quelle nature il faut que soient les comptes
détaillés qui dpivent accempagner une carte PU
une reconnaissance.11 y a encere des éclairçiffemens accessoires,
lesquels n’ent ppint un rappprt immédiat avec la
guerre, & qu’on ppurroit rassembler d’ans un mémoire
particulier, Jprfque Tpn est chargé en tems
de paix de lever une carte militaire ; pn terminera
cet article paf en faire une exposition suçante.Teut pfficier qui se destine à ce genre de trayail,
doit réunir aux études particulières qu’il exige,
une théorie assez étendue fur la guerre, pour
donner à ses talens leur juste application, & les
élever à leur vrai, point d’utilité. Plus il est en
état de pénétrer dans les motifs d’un général, plus
ses opérations deviennent essentielles aux entreprises
que Ton se proppse. II ajoute à ses figurés
plus pu moins rápîdes ,. des observations lumineuses
qui développent tout ce qu’il n’a pu exprimer,
& ses renseignemens de vive voix complettent
l’instruction qu’on a droit d’attendre de lui.Celui qui ne fait que réprésenter un terrein,
est un ouvrier méchanique dont on ne peut interroger
.que les plans ; celui qui n’a que l’art de
composer, un mémoire, n’offre que des détails
isolés, qui donnent difficilement une idée claire
de Tensemble ; il faut nécessairement la réunion
de l’un & l’autre moyén pour remplir avec succès
Tobjet d’une reconnoiffançe militaire.L’habitude de juger le terrein militairement,
est le fruit de réflexions plus cemppfées que Tpn
ne pense : il faut le vpir en 'géomètre pour en
évaluer Tétendue ; - il faut le voir en tacticien ,
pour y appliquer les mouvemens d’une armée,
en raison des formes qu’il préfente ; il faut le
voir, en méchanicièn, ppur y découvrir à propos
la possibilité de créer ou d’anéantir des pbstacles.La Théorie des fortifications, la science de
Tartillerie , Texamen des. dissérens ordres -fur
lesquels se forment les années , Tanajyfe deleurs" rapports avec Tattaque & la défense, Ja combinaison
des armes, des manoeuvres & des circonstances
 ; voilà les sources où Tpn. dpit puiser,
ppur apprendre à évaluer d’une manière aussi
prompte que sûre, tout le parti que l’on peut
tirer d’un terrein.Les écrits dés Xénophon , des Políbe, des
César, des Vegece, des Saxe, des Puisegur, des
Felard, des Feuquières & des auteurs medernes
qui marchent fur leurs traces, présentent d’abpndantes
lumières à ceux qui veulent acquérir des
connoissances militaires. L’mdustrie de Thomme ,
ríiise én action par les intérêts les plus grands,
y fait voir "& Torigine & les effets de ces res’
sources ingénieuses qu’elle fait joindre à la nature
pour en multiplier les forces. La raison s’yfrouve
guidée par Texpérience de tous les tems, & elle
s’approprie fans effort des vérités que la pratiqué
ne déceuvre jamais ou quelle achette par des
erreurs fans nombre. ' .IL ne fuit point de-là que l’art de rendre compte
d’un pays exige que Ton s’appesantisse minutieusement
sur les détails de toutes les parties de la
guerre ; on ne dpit les approfondir que d’une
manière relative au besoin que Ton en peut
avoir ? on les généralise & Ton en extrait, pour
ainsi dire, Tesprit essentiel qui appartient à la carrière
que Tpn embrasse.Ce n’est point du simple exercice des armes, PU
du talent de rompre de petits corps de troupes
dans tous les sens ppstibles que Tpn s’pccupera
principalement ; c’est de la grande tactique ; c’est
de Tart de disposer une armée & de la faire manoeuvrer
de la manière la. plus favorable à Teffet
que Ton veut produire. On évitera avec foin Tadpptipn
exclusive de ces systèmes , qui plient tous
les terreins à leurs méthpdes & à leurs prganifatipns
particulières ; pn appréciera chaque ordre
d’après ses avantages & ses incpnvéniens absolus
.& relatifs, & l’on parviendra à se convaincre que
leur' degré de supéripríté dépend du moment,
du socal & d’une infinité d’autres .dpnnées, que
l’habitude de juger fait feule saisir avec justesse.
II est nécessaire de bien cpnnpître les différentes
manières de former & de déployer les cplpnnes,
ainsi que la çomppfitipn actuelle des régimens,
bataillpns, escadrons, de., 6k l’étendue de ces
cprps en bataille. C’est en s’exerçant à représenter
sor le papier les mouvemens combinés de ces
différentes masses, que Ton s’accoutume à tracer
des rableaux exacts & intelligens des ppérations
des armées.Soit que Ton travaille, à la guerre ou pendant
la paix, à faire des reconnoijfinces militaires,
ce sont toujours les mêmes vues q:i doivent diriger
dans les mémoires instructifs qrje Ton y jpint ;pn
 supppse en tems de paix ce qo existe quand les
armées sont rassemblées, & î'pn raisonne en epnséquence
de ces supppsirions, pour bien faire connoître-toutes
les ressources dont chaque lieu est50 !C’a r car'susceptible. Les détails dans lesquels nous allons
entrer, appartiennent donc à tous les mpmens, &
Tpn y 'trouvera ce que chaque circonstance particulière
peut exiger.Les eaux & les montagnes font les objets toujours
subsistants que la nature .epposc_ à Tattaque pour
favoriser la défense ; l’art qui agit plus ou moins
fur ces deux obstacles, dispose absolument de tous
lès autres.Les moyens que présentent les alpes & les pyrénées
pouf s’y maintenir, sont fort dissérens de
ceux que fournissent les vastes plaines de la Flandre. •
Là des chaînes entièrement escarpées forment des
murs impénén-ables, dont les points accessibles
sont toujours disputés au moyen de très-peu de
troupes ; ici les rivières & les canaux sont les
principales barrières qu’une armée puisse Ppppser
á Tennemi. II faut pour en empêcher le passage
qu’elle calcule fa position & ses mouvemens fur
1 étendue du front à défendre, fur la profondeur
du lir, la largeur & Tescarpement de ses bords,
fur Tépaisseur des haies & des bois adjacens, &
enfin fur les stratagèmes que Ton peut employer
pour lui faire prendre le change.
. Ces deux manières de faire la guerre sont entièrement
différentes j mais elles tiennent aux mêmes
principes, '& .elles se réunissent plus ou moins l’un
. & l’autre à l’art des fortifications pour la défense
de tous les pays.Cest donc de la connoissance la plus exacte des
- lieux où Ton dpit opérer, que dépend Texécution
d’un système quelconque de mouvemens. 11 faut
que celui qui est chargé de reconnoître., joigne, à
fa carre un mémoire local qui fasse menrion de
tout ce qui peut concerner les montagnes, les
plaines, les-rivières, les ruisseaux, les chemins,
les villes, les châteaux, les moulins, de., & qui
indique les dissérens moyens dont on pourroit se
servir pour augmenter leur degré d’avantages, ou
pour affoiblir leurs inconvénients.On divise un mémoire en autant de chapitres
qu’il y a d’espèce'd’objets à" parcourir ; on expose
ensuite quels sont les camps que pourraient occuper
les années, en faisant voir avec soin leurs
ressources en tout genre, & Ton finit par un état
.des subsistances & des autres secours que peut
fournir le pays dont on fait la description.Comme lés terreins que l’on a à recennpître
militairement en tems dé paix sont toujours fur
les côtes ou fur les frontières en première & seconde
ligne, on peut, à la fuite d’un mémoire
local, supposer de la part de Tennemi des entreprises
fur les points qui sont les plus exposés
à ses attaques. Orì fait valoir alors tout cë que
le pays peut présenter d’obstacles, & on fuit Tennemi
dans ses succès pour lui opposer à chaque
pas de nouvelles difficultés. Cette manière de
mettre en mouvement toutes les parties de son
tableau, fait sentir la valeur des détails & récapitulede la façon la plus instructive ce que Tort
a dit en traitant de tous les objets en particulier,,'. Des Montagnes.Lorsque Ton parlera de la nature des hautes
montagnes,'on distinguera les chaînes principales
qui servent d’enceinte à un pays , des dissérens
rameaux qui en défendent Pu qui en favprisent
les issues ; oii fera connoître les hauteurs relatives
de toutes leurs parties, les rochers, les bois, les
vallons que Ton.y rencontre, & comme c’est à la
naissance des vallons que se trouvent ces cols ou
pprts qui facilitent les moyens de ses franchir ;
pn s’attachera à en exprimer. parfaitement les
détails, & à mettre sous les yëúxtout ce qui peut
concourir à les protéger.Si la fuite de montagnes que Ton a à décrire est
assez étendue pour que Ton s’occupe d’un plan de
défense, pn dira comment une armée pourroit
s’y établir, quelles seroient ses communications, où
 elle seroit des abattis , fur quels points elle
placeroit des redoutes, quels chemins elle auroit
à détruire, & Ton exposeroit généralement toutes
les ressources dont elleferPit à même' de disposer
peur se retrancher avec sûreté..Le choix des positions dans les montagnes demande
le coup d’oeil le plus militaire ; la moindre
faute peut devenir irréparable quand "on a à faire
à un ennemi éclairé ; il faut lui ôter toute possibilité
de veus tpurner, de VPUS forcer PU de vous
renfermer ; les obstacles sont fortement marqués,
on doit seulement les saisir avec intelligence,'-&
joindre Tart à la nature pour les fortifier particulièrement
, & les lier à la ligne totale de défense.
•II sera fort essentiel enepre, en imaginant le
pays au ppuvpir de Tennemi, de faire connoître
cemment pn pourroit parvenir à le traverser. A« 
sein des montagnes les plus escarpées, on découvre
toujours quelques routes praticables, qui, au moyen
d’attaques simulées fur d’autres points, peuvent
servir au passage des troupes. Les guides’ ne remplacent
jamais à cet égard les -cartes & les mé- •
moires ; leur ignorance, leur imposture & leur
manière de voir tout-à-fait étrangère aux rapports
militaires, exposent à une infinité de dangers,
dont lé moindre est toujours de voir échouer ses
projets.. "Les-montagnes qui "ne sont que des. plaines
élevées, exigent des comptes aussi exacts & des
observatipns peut-être plus judicieuses. Dans les
premières, tout est caraclérisé, la nature bien développée
indique elle-même les inoyens de défense ;
dans celle-ci, les traits beaucoup moins prononcés
laissent bien plus à l’arbitraire, & la manière d’en
profiter varie comme les degrés d’expériejj£e. L’efsentiel
est d’exposer avec clarté teut ce qui est
centenu dans les différentes masses entpurrées par
des rivières, des ruisseaux pu d’autres obstacles^C a k caît ï° ?tìedécnre les vallons qu’elles forment, les plaines
qu’elles renferment ; & de bien faire connoître
"les rapports qui les lient les unes aux autres, &
tous les défilés qui leur servent d’iffues. Les avantages
de chaque portion de terrein, outre fa forceabsolue,-dépendent
beaucoup de tout ce qui Tavoisine,
& c’est dans le système supposé des-mouvemens
de Tennemi ; que Ton fait encore mieux
sentir toutes ces relatiens.Des Eaux.La largeur des rivières & des ruisseaux, leur
rapidité, leur profondeur, leur fond vaseux ou
couvert de graviers, les différentes hauteurs de
leurs rives, les tems de leurs crues & les chan’gemens
de toutes ces données dans Tétendue de
leur cours : voilà les premiers objets de Tarticle
des eaux. On y détaillera avec soin les endroits
eù elles sont guéables, la quantité de bateaux que
Ton peut y trouver, la solidité des ponts qui les
traversent, les parties où Ton pourroit en jetter
de nouveaux, & le genre de travaux que Ton
, pourroit faire pour conserver ces communications.
Les villes, les villages, les châteaux, Tes moulins,
lès écluses, les bois, les liaies, de. qui appartiennent
aune rivière PU à sesbprds, dpivent être décrits
avec la plus grande exactitude, PU récapitulés
avec des renvpis aux articles dans lesquels il en
est fait mention. La nature des lacs &. des terreins
marécageux, les mpyens de les dessécher, s’ils èn
font susceptibles-- ; la manière d’arrêter des inpndations,
ou de les pccafipnner, Tprdre des écluses
dont pn se sert ppur naviguer sur les canaux,
tous ces détails- méritent, ainsi que beauepup
d’autres, la plus grande attentien,, & c’est à celui
quirecpnnpît à réunir tpus les renseignemens utiles
qui appartiennent à son travail..Une carte bien levée & un mémoire qui calcule
avec précisien le fort & le fpible de tout ce qui
concerne une rivière, mettent à même de juger
de ce qu’il faut faire pour en empêcher le passage ;on
 sera le maître cependant de supposer, des entreprises
fur leurs ppints les plus intéreffans, &
de s’exercer à déplpyer tous les efforts & toutes
les ruses qu’un ennemi peut tenter contre un corps
de troupes destiné à les défendre. Cette méthode
d’analyser ainsi tous les obstacles en les menaçant
tous également, & en mettant en oeuvre fous les
moyens capables de les forcer,, pblige de planer
fur leur ensemble, ■& aceputume à voir les objets '
de la manière la plus militaire ».Des Villes-.On a environné les villes de murs pour se
soustraire à des tentatives imprévues ; on a élevé
des remparts pour se créer des asyles contre les
entreprises soutenues d’un ennemi ; Texpérience a
disposé leurs contours en. parties saillantes & ,.
rentrantes, pour qu’ellessc défendent mutuellement,
& le besoin de s’opposer à de nouvelles armes a
développé les ressources’d’un art qui n’a de bornes
que celles du génie. Le mérite d’une simple enceinte
, quand la ville est bien située., est de servir
de poste & de retarder quelque tems les efforts
des assaillans, pour dpnner le moyen de lui préparer
de nouveaux obstacles. La destination dune
"place de guerre est toujpurs la résistance d’un petit
nembre d’hommes contre les attaques d’un plus
grand nombre & de couvrir par fa situation une
étendue déterminée de pays. C’est à celui-qui faitun
mémoire local & militaire à examiner ce que
Ton doit attendre de chaque ville en particulier ;,.
& fi elle, répond aux vues qui pnt dirigé son emplacement
, & la construction des ouvrages qui
la défendent. Une juste évaluation dé la bonté
primitive de ses parties, ainsi que Texppsition détaillée
de lèur état actuel , mettent à même de:
juger de son degré de force réelle, & des changemens
PU rèparatipns qu’il y auroit à faire ppur
en augmenter la défense. On se rappellera dans
ces examens, que lè vrai but des fortificatiehseff
de. cpmpenser ce qui manque à la quantité debras
, & Ton ne présentera point de ces projetsqui
supposent des armées entières pour défendre ;
une ville de guerre. II est inutile de se renfermer
si Ton est en état de tenir.Ja campagne, &i'ar£í
des savantes manoeuvres , du choix des positions,,
Temporte de beauepup fur Tart de hérisser la terre ;
de bastiens, & d’enchaîner des- armées peur lesrendre
absolument passives.Des Villages.Après avoir traité des villes & dpnné leur dèf=criptipn,
 fans la surcharger de ces détails qui sonp
nécessairement cpnnus , lprfqu’elles npus appar—
tiennent, on fera voir tout ee que les villages 3,
les haies qui les couvrent, les murs qui entourent-:
leurs jardins, '&" les grandes fermes qui s’y ren-cpntrent
 peuvent présenter d’intéressant. Spuventi
un seul cimetière devient, par fa pesitipn, par"
son enceinte & par le scepurs de Tart, un puvrage ;
de sortificatipn PÙ Ton peut se défendre avec
beauepup d’avantage. Chaque lecal particulier as
des moyens de. défense, qui lui appartiennent, &;
qu’il saut avoir Tart dappercevoir & le soiri d’indiquer.
Des charipts placés à propps, des abattisde
bois bien disposés servent quelquefois à disputer
long-rems un terrein qui eût été. emporté^
tout de fuite.'Á cet article on ajoutera un détail complet deschâteaux
forts & des maisons isolées -, environnées
de fossés & de murs, qui fpnt répandus dans lacampagne,,
& Tpn mettra à portée de juger de ;
la valeur de tous les pestes en. ce genre que peut:
pffrir un pays.Des Chemins.-U ne fusât pas de présenter- les difficultés de
 ?D4 .CAR
Cartoute espèce dom chaque lieu peut être susceptible
, la connoissance exacte des communications
& du tems que Ton emploie à les parcourir,
est indispensable à un général pour combiner les
mouvemens des troupes. On donnera donc un état
circonslancié de toutes les chaussées que Ton aura
reconnues, des chemins intermédiaires qui p'oùrroient
être intéreffans par les points essentiels oû
ils conduisent, & des chemins en corniches ou en
tourniquets qui se trouvent dans les montagnes.
Les fuites de hauteurs qui bordent une route,
ont des relations avec elle qu’il est nécessaire d’exposer
 ; il faut savoir "si elle est commandée parTa campagne ou si elle la commande elle-même ;
enfin la largeur, les encaissement, les pas dangereux,
les réparations à faire aux ponts pousse
transport de Tarrillerie, sont autant de détails qu’il
ne faut point omettre.Pour faire marcher une armée d’un lieu à un
autre, il n’y a souvent qu’un seul chemin, &
l’on est obligé alors de reconnoître & d’ouvrir
des passages aux différentes colonnes. Cet inconvénient
doit être prévu, & d’après les suppositions
de marche qui seront dictées-par le local luimême
, on indiquera la trace des colpnnes fur■ lesquelles Tannée ppurroit se porter.Lorsqu’il sera question sur la frontière PU sur
la côte de pratiquer quelque neuvelle reute, en
examinera quelle doit être sa direction pour qu’elle
réponde aux vues du commerce fans présenter des
issues trop favorables à Tennemi, ou les moyens
d’intercepter nos communications ; on cherchera à
la rendre lá plus militaire possible, en la plaçant
du côté où il seroit aisé de lui en ôter la disposition,
& où Ton-pourroit se Tapproprjer soi'même avec le plus d’avantage.Des Bois d des Haies’.Les forêts, les bois & les haies qui couvrent
' la campagne sont des obstacles trop conséquents
pour ne pas en détailler la nature. Des haies telles
' que celles de Bretagne & de Normandie sont seules
autant de parapets d’un excellent profil , qui
peuvent servir à disputer le terrein pied-à-pied,
& à ralentir singulièrement ou mêmé rendre impossible
la marche d’un ennemi ; elles offrent en
beaucoup d’endroits une fuite de postes que Ton
peut défendre avec très-peu de monde, car celui
qui voudroit les forcer ne pouvant juger de Ja
quantité d’hommes en état de lui résister, ne
marche & n’attaque qu’avec incertitude, il redoute
à chaque instant des surprises & la crainte de se
voir couper la retraite Toblige de se retirer ; ou
donne le tems aux troupes d’arriver & de tomber
'- sor lui avec avantage. C’est fur-tout fur les côtes
que Ion peut employer avec succès de semblables
retranchemens. De simples paysans conduits avec
intelligence, peuvent arrêter assez long-tems Teffort
fi. un ennemi pour rendre son attaque inutile, luifaire manquer son entreprise, ou tout au moins
laisser le loisir de rassembler contre lui des forces
plus puiflàntes.II faut faire savoir si les bois font fourrés ou
s’ils sont clairs, quelle est Tespèce des arbres qui
les composent, & dans quel tens on-peut les traverser.
Leur position, leur étendue & leur différente
épaisseur décident ensemble la manière d’en
faire usage. Ici ils offrent une barrière impénétrable
en* ceuvrant des ruisseaux & des valsons ;
là ils.servent à appuyer les ailes d’un camp & à
en étendre le front ; ailleurs leur proximité met
à pprtëe d’en empleyer les arbres à faire des abattis
& des pallissades pour augmenter la force d’un '
retranchement ; par-tcut ils fournissent à de petites
troupes les mpyens de se ppster avantageusement
ppur attaquer àl’improviste, PU ppur se défendre
avec avantage contre des forces supérieures.'Des Côtes.La description des côtes renferme une infinité
d’objets, tous plus essentiels les uns que les autres ;
tantôt elles sont hérissées de rochers plats qui
rendent leur abord plus PU' moins dangereux ;
tantôt elles sont bordées de falaises qui en interdisent
absolument Taccès. -Quelques-unes de leurs
parties, entièrement développées & découvertes,
présentent la plus grande facilité pour la descente ;
d’autres, par leurs formes rentrantes, pffrent des
anses & des ports pour .mettre les vaisseaux à
Tabri des grands vents. L’art a profité des caps &
des pointes pour y établir des forts ou de simples
batteries qui flanquent les endroits accessibles.
Les îles adjacentes sont devenues~ des ouvrages
avancés qui servent de barrières aux tentatives
de Tennemi ; tout présente dans une étendue un
peu considérable de côtes, une variété'd’accidens
qui demande Tordre le plus suivi & les notions
ies plus exactes, d’après ses propres pbservations
& lès rappprts des marins éclairés. La nature des
vents qui font nécessaires pour Tentrée & la sortie
des ports, ainsi que tous les avantages & inconvéniens
de chacun d’eux doivent être spécifiés.
On expose tout ce qui caractérise les endroits accessibles
'& les tems de marée qui sont plus,ou
moins favorables à leur approche. On rend compte
de Tétat actuel de tous lès forts qui protègent la
côte, des batteries, des eprps de garde & de toutes
les pièces d’artillerie qui peuvent s ?y trouver ; on
indique quels sont les lieux où Ton pourroit
faire de nouvelles constructions d’une position plus
ressortissante aux parties qui sont à défendre ; on
recueille avec soin-' les dissérens projets qui ont
été faits pour améliorer tel pu tel pert, relativement
à la guerre & au cpmmerce, & pour le
mettre à Tabri de tpute insulte, soit du côté de
la mer, soit du côté des terres. On en donne une
analyse, & Ton conclut soi-même par Texposé
de ce que Ton çroit le plus propre à remplir cesdifférentesC a r c. a r 3° ?« ifférentesvues ; .on calcule le » forces que peuvent
fournir dans un moment de surprise les canonniers
gardes-côtes, en attendant que ses troupes réglées
se soient portées, s’il en est besoin, sur les points
attaqués. Les effets que produisent les marées fur
les rivières qui ont leur embouchure dans la mer,
Tordre & le tems des dissérens changemens qu’elles
leur font éprouver, & Tinfluence qu’elles ont fur
leur passage á exigent que l’on en rende un compte
exact. Enfin mille autres détails qu’une rade, un
chenal, un mouillage, de, peuvent présenter a
une vue exercée, & qu’une instruction aussi générale
que la nôtre ne nous permet pas de parcourir,
fervent à compléter cet article, & à fonder
d’une manière sûre le vrai fystême de défense,
qui appartient à une partie de côtes ■ quelconque.Des Camps.- Dans un mémoire relatif à.une carte militaire,
H ne sera point question en traitant des camps,
de faire mention de tous les emplacemens que
peut occuper une armée. On n’aura pour objet
que de réunir le plus de lumières, ppffibles fur ces
positions essentielles que Ton peut: prendre dans
un. pays, lorsqu’pn s’y prpppse quelque entreprise,
ou sur .celles qui serviroient à en défendre Tentrée,
en couvrant à-la-fois tous les endroits par où Ton■ tenteroit d’y pénétrer. Ce n’est donc que de ces
deux sortes de camps que Tpn aura à parler.
Dans les premiers, tout doit être relatif aux points
qu’il faut attaquer. On s’y établit pour observer
les mouvemens de Tennemi, on lui donne de la
jalousie, fur toutes les parties environnantes , &
l’on profite de ses moindres fautes pour fe .porter
en avant & opérer Texécution de ses .projets.
Dans sessecpnds, tput se rapporte aux points qu’il
faut défendre -, pn cherche, pour en protéger 1 ensemble,
à n’avoir que des, cordes à parcourir,
tandis que Tennemi est obligé de décrire des arcs ;
on augmente les obstacles du front & des flancs
par des batardeaux & des retranchements, & Ton
le ménagé une retraite assurée fur Tes derrières,
en cas que l’on fût près d’être tourné. II est nécessaire
dans les uns & dans les autres, de bien
développer les moyens d’établir ses subsistances. &
d’empêcher qu’elles ne soient interceptées. On emploie,
autant qu’il est possible, les ruisseaux pour
couvrir le front des camps-, & les marais pu les
bois :impraticables ppur en appuyer les ailes. La
deferiptipn la plus exacte dpit par .cpnséquent ex.pliquertout ce qui concerne ces différentes barrières,
afin de mettre une armée à Tabri de toute
surprise. If faut faire savoir qu’elle est la profondeur
d’un camp, quel est son champ de bataille, si les
eauxdont on peut disppsersont d’une benne qualité,
& si elles ne sont ppint de nature à tarir.
Aucune, pbscurité ne dpit régner sûr les notionstue Ton donne, car c’est des -bonnes positions &
e Tart d’en tirer parti, que dépend le succès des
Mathématiques. Tome I, I,eu Partie,campagnes,: toute erreur, à cet égard, est capable
d’entraîner Jes plus ; grands désordres, & l’on ne
sauroit mettre -trop d’exactitude dans Jes, recennoifsances
que Ton en fait, & dans les comptes que
Ton en rend.Des produâions du Pays. - .,- Toutes Jes .ressources qu’un pays peut offrir en
grains, en-vins,- en bestiaux, en bois-, en fourrages
, de., doivent être comprises dans un- ; état
clair & précis que Ton puisse consulter avéc confiance
 ; on y joindra,le nombre d’habitans dont
Jes Jjras _ peuvent, être appliqués aux travaux de
force, ainsi que la quantité de voitures & de.bêtes
de charge dont on" seroit à même de disposer,. &
cet article terminera Ja partie locale du .-mémoire.
C’est à Tintelligence. à créer le reste de l’ouvrâge,
elle appellera à son secours foutes les con-<
noiffances qui peuvent donner plus d’essor à fa
marche ; elle- n’opposera point un ennemi foible
& ignorant à un général éclairé, qui profitèroit à chaque
 moment de ses- fautes ; il en est des fup. »
positions fur le papier comme des exercices d’un
íçarrip, de manoeuvres. Ori ne présente de vrais
images de la guerre, qu’autant que les forces opposées
combinent tousseurs mouvemens d’aprèsi
les formes du terrein. L’ennemi. n’aura de succèsi
qu’en raison de sa supériprité, & ses avantages
serviront à déyelppper Tart qu’une résistance éclairés
fait emplpyer à transformer chaque objet en,
obstacles. '-.'-■■'.'- Des Quartiers d’idver.1 Les dissérens mémoires qui accompagnent, unff
fuite de portions de tartes:, sont les études d’un
tableau général , que l’en pourra tracer ensuite,
pour former un fystême complet de défense,
sur toute Tétendue d’une côte ou d’une frontière.
C’est, dans ce tableau-quentrera naturellement,
si Ton s’en .occupe, T-examen ; de-tout çe qui peut
regarder Tétábliffement des ;quartiers d’hiver. On
Te rappellera, en exposant Tes moyens,: qu’il doit
y avoir des communications assurées entre tous
les quartiers d’-une armée,-qu’ils ne doivent pas
couvrir une trop grande étendue de pays, pour
que les troupes soient à portée de- se secourir réciproquement,
&dese rassembler,-s’il est possible
fur un champ, de bataille, ayant que Tennemi pût
tenter de les enlever séparément. II faut déterminer
les villes où Ton .ppurrpit ; établir ses magasins
, & les fortifications gu'elles demanderpient
ppur éviter les surprises-, &■ tenir âvec sûreté
pendant un certain npmfcre de jours contre les
attaques les plus vives. Enfin- on y donnera un
état circonstanciè des pravaux à faire -dans chaque
quartier, &de tous les forts & autres ouvrages
nécessaires à construire fur les rivières, les marais
& -autres pbstacles qui intercepteroient ses coinmunications.
JOÓ

C A R
Car. L’utilité qui résulte des travaux faits’cn teins de
paix estcertainementréellesouslërappoftdësnotions
en tout oenrc que peuvent en recueillir les généraux^
mais leurvraipointdevue doit être déformer
des sujets qui connoisscnt eux-mêmes tous les détails
d’un pays, & qui acquièrent l’habitude de voir tous
les terreins d’une -manière militaire & avec la plus
■grande célérité possible.r." La lenteur à la guerre est incompatible avec ; ce
■que Ton attend d’un officier chargé de recpranoîtré.
11 ne s’agit pas de plaire pàrdes dessins finis &d’es
mémoires bien écrits, il est question d’éclairer par
des croquis rapides, & par-des notes aussi^fimples
que judicieuses. H est donc essentiel de s’exercer
souvent en ce genre de travail peur en contracter
J’Iiabitude, fans négliger cependant la perfection ;
du dessin" qui est la base desbonne.s esquisses ,'commè [
« elle des Ouvrages achevés.: -. ' ;■' ;■ ; .. ; .Dès Langues.Les langues étrangères, & fur-tout Tallemarid ',
devroieni i air e paf rie de la masse des connoissances '
que Ton se propose: d’acquérir en entrant dans ; çette i
carrière. Les yeux ne saisissent,'ppur ainsi dire jqtífe I
la surface, & qu’un seul instant des Objets ; ináís í
-ces objets peuvent changer d’un moment à l’autre. ■
•C’est des gens du pays qu’on parvient à connoître
■ces successions. Eh ! comment les consulter & eh
tirer habilement ce que leur propre intérêt les engage
souvent à cacher, si l’on ne peut le faire que ,
-par le secpurs d’un interprète ? .-'■_•Tel est le cercle que la théprie & la'pratique '
déivent tracer-autour-de chaque.élève. L’étendue i
du rayon dépend de son application & de sen.ap- •
■tirudê. Nous n’àvóns considéré ses talens quèiéja- |
tivement aux fonctions militaires qui appartiennent 1
à son état ;.mais il ne fuit point de-là que nous vou- i
.lions fixer'des bornes àJ’essor dont ils sont-suscep- :
-tibles en /'tout autre sens. Nous nous permettrons :
même , avant de-terminer cet article-,-' de jetterun
"coup - d ;oeil '• survies •recherches. aussi agréables
qu’ùíiles, aux'qucJles/il pourroit se-livréren-riièttarit
-ìt profit lesrmomehs dónt il joùirdit.- ■ "''-Des Travaux accessoires. ■Rien ne l’empècheroit’-, en tems dé paix', de
' joindre,à scs: travaux ordinaires., des mémoires par- :
ricuHers’sur.tòutce'quèlè^ommerce^ápplitique',  !
les arts", la 'nature & Jès’mpnu'mèns.áncièns pour- ,
roienrlui offrir d’intéressant dáns.Jès\pays’où il ■-
seroit employé. La nécessité de parcourir successi-  ;
veinent tous Tes-points d’une surface, lui faitappervo-irune
infinité d’objets qui Boivent échapper aux
recherches rapides du voyageur & aux yeux rare^
ment éclairés de Thabitanr. " - ■>.:•:■.■
•. Le commerce soumettroit. à ses-observations lé
projet d’un canal de navigation, le choix de Ton
emplacement, la direction d’une chaussée, Tétablili'ement
d’une manufacture, Texploitation d unemirìe,- Tamëlioratiou de lá culture , le dessèchement
dès marais, lé défrichement des landes, & tous les
mo3'énsgénéralemènt quelconques qui peuventeoncourif
à augmenter son énergie.La politique ossriroit à ses jugemens les dissérens
objets d’éehangés que les puissances voisines feroientdans
le cas de se proposer sur les frontières.
Il- 1 détermineròit leur valeur absolue & les relations
èiícdré'plus conséquentes qui-les liênt à la guerre
r& au'commerce , ■&' ses’remarques mettreiént à
' rnêméde compenser avantageusement par des accessoires
essentiels des  ;pertes apparentes quiscmbleroient
n’appartenir qu’à une négligence de yérifii
-• cation. ■" ' ;'Les arts lui'apprendraient tout ce que peut Tindùstrie
appliquée'aux besoins de Thorrimë ;:& ils
s’accoutumeroit à bien analyser Torganisation d’une
« machine utile, & à calculer si ses effets répondent à
Templpi des forces & .du tems.Quelle 'Tarière'- d’aspects lui présenté la nature,
& pour le récréer & pour Tinstruire ! II parcourt
foiír-à-tour les différentes espèces de métaux, de
fossiles  ; de pierres, de terres, lès propriétés pâriiculières’
dés "eaux,- les. productions rases en tout
genres lès insçfiptioní respectées par les tems’ ; &
féri'Consignant toutes ses découvertes dans son ouvrage
 ; il ehTonne unè collection de matériaux
précieux où le, naturaliste & Thistorien peuvent
puiser à Tehvi des lumières. Qui mieux que lui '
rencontrera- ces premières empreintes de la nature,
qu’elle Te plaît ; à recéler, au milieu des rochers
J& dés hautes montagnes que Ja main des hommes
ri'a-pû défigurer ; son’ oeil" exercé lés’ehèrche &
Jès4áifit ;,- &'il sempresse d^eh enrichir la somme
des. móriumëns que .les observateurs ont déjà rassemblés.
.' -Non-seulement tous ses pas sont Utiles, mais
son jugement se perfectionne, &T’habitu'de de voir
les pbjets sous tous leurs rapports ppffibles, donne
éneprë plus d’esspr à ses difpefitiòns militaires.
La guerre, qui est ùn métier 1 'peur .les’' uns & un
art’ pòur les’autres.^, devient là'plus vaste science
quand le génie préside à ses opérations ; Teus les
"tálens, toutes les connoissances humaines font les
instrumens qu’elle emploie pour préparer. & pour
assurer 'ses .succès.-'( iPar M…J oz r_, IngénieuvGéog.
Milit. ). "''','■.,'■ ■'■'-'' ; GARTÈSÍ' Problême 'fur les cartes.' (Arithmét.) 
Pierre tiens huit cartes dâhs’ses maiiìs qui/font ;
un as, "un dëùx , un trois, un quatre,: un cinq 1,
"uri six, un sept '& un huit," qu’il a mêlées: : ' Paul
parie que les’tirant Turíë aprè'sT’autre, il les devinera
à mesure qu’il les stirerera. .L’on demande combien Pierre doit parier contre
un que Paul ne réussira pas. dans son entreprise ?
. Par Ténoncé dé la question, oh.suppo.se que
Paul parie de tirer'toùte's’Tes ''cartes J’unë.après  !
l’autre, fans Jes remettre'dans le "jeu après les
a'yoir tirées, & fans manquer une feule fois à der ■ \
viner juste la carte qu’il tirera. ."-''' '.,Ca s
CAS 307Dans
ce .cas, en suivant les règles ordinaires
des probabilités, Tespérance de Paul au premier
coup est | ; au second ì ; d’où il s’ensuit, que son
espérance pour les deux premiers cpups est \ X - ;
& en effet, il est aisé de vpjr que le premier cpup
ayant huit cas ppssibles, & le second sept, la
combinaison des deux aura 8X7 ceups, dpntil
n’y en a.qu’un seul qui fasse gagner Pierre,'celui
où il devinera juste deux fois de fuite.- Par la
même raison, Tespérance de Paul peur trpis cpups
feras x ÌX ». pouf qiiatrej . X i X Î-X f ; &
pour sept, (car il n’y en peut avpir huit, attendu
qu’après sept tirages il ne reste plus de cartes à tirer,
& il n’y a plus de jeu) , elle fera l X j • • • X k ;
donc Tenjeu de Pierre fera à celui de Paul comme
8 X-7 X • ■ ■ • 2- — t est à 1, c’est-à-dire, comme
56 X72-°— 1 est à 1 ; pu cpmme 40310 est à I.
Si Paul paripit d’amener PU de deviner justeà un des sept ceups seulement, son espéranceseroit f -f- ì -f-…. j, & par censéquent l’en jeu. de Pierre à celui de Paul , comme f -f- y ,…Nil T t I IT !,aI — * .ï'"\— »"Si Paul paripit d amener juste dans les deux
-premiers çpups feulement, son espérance seroit
£ -f- f, ' & le rapport des enjeux celui de §■ -f f
à 1— } — fS il parioit d’amener juste dans deux coups
quelconques , son espérance seroit \ X j + i
X ff • • • • Tï'Xï_j-jXf ••'■• T "7 X î » • • •Autre Problême.On demande cembien il y a à parier çpntre
un que tirant cinq cartes dans un jeu de piquet,.
composé de trente-deux, Ton ne tirera pas une
quinte majeure indéterminée, fans nommer eh
quelle couleur, soit en coeur , soit en carreau ,
en pique eu en trèfle ?Pour"résoudre la question proposée, il faut
d’abord chercher en combien de façons trentedeux
cartes peuvent être prises cinq à cinq, &
on trouvera par les règles connues des cpmbinaisons,
que ce nombre de fois est-le produit
des cinq.nombres 28, 29, 30, 31,- 32 ; ce produit
étant divisé par le produit dé cinq autres nombres
î," 2 , 3, 4, 5, ou par 120 : c’est-à-dire, que le
nombre de fois cherché est le produit des nombres
28,29, 31, 8, PU 201376. Maintenant, comme
il.y a quatre, quintes majeures, il faut ôter ce
nombre 4 de 201376 ;, ce qui donnera 201372,
& il y aura à "parier 4: contre 201372, ou 1
contre 50343-, qu’on ne tirera pas une quinte.
1 majeure à volonté. . . .  ;_ ;S’il s’agissoit d’une quinte quelconque, comme
il y a en tout seize quintes, savoir, quatre de
chaque couleur , le pari seroit 16 contre 201376
moins 16, ou de ïó contre 201360, ou de I
contre 12585, (O) * CARTES , f. f. ( Jeux )  petits feuillets de carton
« blongs, ordinairement blancs d’un coté, peintsde Jíautre de figureshumaines eu'autres, & dont
on se sert à plusieurs jeux, qu’on appelle par
cette rúíon jeux de canes. Voyc[ LANSQUENET,
BRELAND, PHARAON, OMBRE , PIQUET, BAS~SETTE
 , de. Entre ces jeux il y en a qui sont
purement de hazard, & d’autres qui sont de bazard
& de combinaison. On peut compter le lansquenet,
le breland , le pharaon, au nombre des premiers ;
Tombre, lë piquet, le médiateur, au nombre dés-,
seconds. 11 y en a où Tégalité est très-exactement •
conservée êntre les joueurs, par une juste corn- ;
pensation des avantages & des désavantages ; il y*
en a d’autres où il y a évidemment de Tavantage
pour quelques joueurs, & du desavantagepour
d’autres : il n’y en a presqu’aucun dont Tinvention
ne montre quelqu’esprit ; & il y en a
plusieurs qu’en ne jpue point supérieurement, faus
en avoir beaucoup, du mpins de Tesprit du jeu.Le père Ménestrier, jésuite, dans fa biblio-^
thèque curieuse d inftruâive, neus dpnne une petite
hisleire de Tprigine du jeu de cartes. Après
avpir remarqué que les jeux sont utiles, soit pour
délasser, soit même pour instruire ; que. la création:
du monde a été pour l’Etre suprême une espèce de
jeu ; qtie ceux qui montroient chez les romains
les premiers élémens, s’appelloient ludi magìstri ; -
que Jésus-Christ même n’a pas dédaigné de'
parler des. jeux des enfans : il distribue les
jeux en jeux de hazard, comme les dés ; ( Voyezi
DÉS ) en jeux d’esprit, comme les écliecs ; ( Voyei
ECHECS ) & en jeux d’Iiazard & d’esprit, comme
les cartes. Mais il y á des jeux de cartes , ainsi
que nous lavons remarqué, qui sont de pur
hazard.Selon lëmême auteur, il ne paroît aucun vestige
de cartes à jouer avant l’année 1392,* que
Charles VI. tomba en phrénéfie. Le jeu de cartes
a dû être peu commun’ avant Jinvention de la
gravure en bois, à cause de la dépense que la
peinture des cartes eût occasionnée. Le P. Ménestrier
ajoute que les allemands, qui eurent les
premiers des gravures eh bois, gravèrent aussi .les
premiers des moules de cartes, qu’ils chargèrent
defi<uires extravagantes : d’âiitrès prétendent encore
que Timpreffion des cartes est un des premierspas
qu’on ait fait vers Tinipressipn en caractères
<*ravés fur des planches de bois , & citent à ce
sujet les premiers essais d’imprimerie faits àHarlem,
& ceux qu’on voit"dans la bibliothèque Podleyane.
Ils pensent que Ton se seroit plutôt apperçu de
cëttë'áncienne origine de'Timprimerie, si Ton eût
considéré que les grandes lettres, de nps manuscrits
de 900 ans paroisseiit avoir été faites par des
enlumineurs. . - ' . "On a voulu par le jeu de cartes, dit le P. Ménestrier,
donner une image de la vie paisible', ainsi
que par le jeu des échecs, beaucoup plus ancien,
pn en a vpulu dpnner une de la guerre. On trouve
dans le jeu-íé cartxs les quatres états de la vie ;■3oS C’A S C AS
le caur représente les gens d’église ou de choeur,
espèce de rébus ; le pique, les gens de guerre' ;
le trèfle, les laboureurs ; & les carreaux , les
bourgeois dont les maisons sont ordinairement carrelées.
Voilà une origine & des allusions bien
ridicules. On lit dans le P. Méneslrier que les
Espagnols pnt représenté les ; mêmes chpscs par
d’autres nems. Les quatre rois, David, Alexandre,
César, Charlemagne, sent des emblèmes des quatre
grandes monarchies, Juive, Grecque, Romaine,
& Allemande. Les quatre damesì Rachel, Judith,
îallas & Argine , anagramme de regina, (car il"
n’y a jamais eu de reine appellée Argine )  expriment
les quatre manières de régner, parla beauté, par
la piété, par la sagesse, & par le dreit de la: ;
naissance. Enfin les valets repréfentoieht ses servans j
d’armes. Le nom de valet qui s’est avili depuis, ;
ne se donnoit alors qu’à des vassaux de grands
seigneurs, ou à déjeunes gentilshommes qui n’é- i
tpient pas encorechevaliers. Les Italiens ont reçu
le jeu de cartes Jes derniers. Ce qui pourroit faire
soupçonner que ce jeu a pris naissance en France,ce
 sont les fleurs-de-lis qu’on a toujours remarquées
fur les habits de toutes les figures en
carte. Lahire , nom qu’on voit au bas du valet
de coeur, pourroit avoir été Tinventeur des cartes,
&- s’être fait compagnon d’Hector & d’Osier le
danois, qui sont les valets de carreau & de pique,
comme il semble que le cartier se soit réservé le
ralet "de tresle pour lui donner son nom. Voyez_
T article JEU, Belliot. av. d instit. , page'z 68.CAS. IRRÉDUCTIBLE du troisième degré , ou •
simplement CAS IRRÉDUCTIBLE ,- en Analyse ,
c’est celui où une équation du troisième degré a'
ses trois racines réelles, inégales & incommensurables.
Dans ce casí,'st on résout Téquation par
la méthode ordinaire, la racine quoique réelle, '
se préseête sous une forme qui renferme des quantités
imaginaires, & Ton n’a pu jusqu’à présent
réduire cette expression à une fôfme réelle, en
•chassant les imaginaires qu’elle contient. Voyez
RÉEL, IMAGINAIRE , de. Entrons fur ce sujet
dans quelque détail. '- ' ■ ,- ^ Soit x "> -j- q x -f- r r== o une équation du troi- '
flème degré, dans laquelle le second terme est" :
évanoui. Voyez EVANOUISSEMENT, EQUATION
Í^TRANÍA-ORMATION, de. Pour la résoudre, je
fais x~y -fï, & j’ai xì-=y.i-\-$ yyz +3iyy 4- Ï3 =:r + 3 y\* + v ; donc 1 ! —
3 y ix- — y% — o. Cette équation étant comparée
terme à terme avec '*' -f q x -j- r ==o, 'Cette équation, qu’on ramène au second degré,
( en faisant y '=.(, ) érant résolue à la. manière
ordinaire '{ Vcyei EQUATION ,) donne y'='de -la valeur de x. Cela ppsé.,I.° U est évident que si q est ppfitif, r étant
pesitif PU négatif, cette forme est réelle, puisqu’elle
ne contient que des quantités réelles. Or dans ce
cas, cómme on le verra à Varticle EQUATION,
deux des racines sont imaginaires. Ainsi, la seule
racine réelle se trouve exprimée par une formule
qui ne contient- que des quantités. ;réelles. Ce cas
ne tombe donc’ point dans le cas irréduâïble , & '
n’a aucune, difficulté.r1'fl ?• 2. 0 Si g ; est négatif, & que —- = — - alorsTéquation. a deux racines égales, & il n’y a encore
aucune difficulté.3. 0 <Si q est négatif &— ~> ~ ^ il y a deurracines imaginaires, & la racine réelle se trouve
représentée par une formule route réelle ; ce qui
n’a1 point de difficulté non plus.r2 ÍJÎ. 4.° Maisïj^si-j est négatif, & que- .<fi-, alors
— — -f. — est une quantité négative, & parconséquent y" (' — ^ -f • — ) en imaginaire.'Ainsi, Texprestion de x renferme alpr's des imaginaires.
- - ,Cependant pn démpntre en Algèbre, que dans
ce cas les trois racines sont réelles & inégales.
On peut en vpir la preuve à la sin de cet article.'
Comment donc peut-ilTe faire que la.racine x
se présente sous .une forme qui contienne des
imaginaires ?  ;  !M. Nicole a le premier ' résolu cette difficulté
(Mém aeadém. .1738. ) .11 a fait voir que Texprçs- .
sion de x, quoiqu’elle contienne des’ imaginaires,
est en effet’ réelle. Pour íe prouver , soitsagit de montrer que xétt’e-expression, quoiqu’elle .
renferme des imaginaires., représente une quantitë
réelle. Pour cela, soit formée, suivant le » règles
dennées’ à Y article BINÔME ', une férie qui exprime 'la valeurde, \/-a-{-b y —Í.,1, Ou a,-\-b y" - 1-J& celle de ( a. — b JA -- 1 T) -, on . trouvera ,'après avoir ajouté ensemble ; ces deux séries, que
tous les termes imaginaires se détruiront, & qu’il
ne restera qu’une fuite infinie de termes composés
de quantités toutes réelles. Ainsi, la valeur-de x'
est en effet réelle. La difficulté est de sommer
cette série ; c’est à quoi on n’a pu parvenir jusqu’à
présent.' Cependant M. Nicole Ta sommée dans
quelques cas particuliers, qu’il a par conséquent
soustraits,' pour ainsi dire, au cas irréduâible.
Voyez lesMém académ. 1738, d-suiv.Lorsque Tune des trois racines réelles &, inégales est commensorable, alprs Téquatien n’estplus dans le cas irréduâible, parce que l’un desdiviseurs du dernier terme denne lá racine cómmensurable,Voyei DIVISEUR d RACINE.Mais quand la racine est incommensurable, il
faiit, pour trouver Texpreffion réelle de la racine,
ou sommer la série susdite, ou dégager de quelqu’aufre
manière Texpreffion trouvée de la formule
imaginaire qui la défiguré pour ainsi dire. C’est
à qupi pn travaille inutilement depuis deux cens
ans.' Cette racine du cas irréduâible , si difficile à
trouver par l’Algèbre, se trouve aisément par la
Géométrie. Voyez_ CONSTRUCTION. Mais qupiqú'pn
ait la valeur linnéaire, on n’en est pas plus avancé
pour son expression algébrique. Voyez_ INCOMMENSURABLE.Cet inconvénient du cas irréduâible vient de la
méthode qu’on a employée jusqu’ici ppur résoudre
les équations du troisième degré ; méthpde imparfaite,
mais la seule qu’pn ait pu trouver jusqu’à
présent. Vpici en qupi cpnsisle Timperfection de
cette méthpde. On supppse x—y.-\-z> y & 1
étant deux quantités indéterminées ; ensuite -pn a
ÍOUt-à-lâ-fois x1 — 3 y £ a: —y 5 = O , &.'a: 3 -fqx -}- r = o. On cpmpáre ces équations terme à
terme, & cette cpmparáison terme h terme enferme
une supposition tacite, çpii amène tine forme irréductible
sous laquelle x est expriihée ; à la rigueur
on a q x -j- r :=—. 3 y { x —- y ' — 1i ; voilà la
feule conséquence rigoureuse qu’on puisse tirer de
la comparaison des deux équations ; mais outre
cela, en veut ericpre supppser que la première
partie de q x -}- r^c’est-à-dire qx soit égale à
~~3y.lx preniière partie dùfecpnd membre. Cette
supposiripn n’est ppint absolue ni rigoureusement
Jiécessaire, on ne Ta fait que pour parvenir plus
aisément à trouver -la -valeur de y & de^ %, qu’on
ne peurroit pas trouver fans cela ; d’ailleurs comme
y'&. \ sont Tune & Tautré indéterminées, pnpeut
supppser -— 3 y z_ x =q x & •—yl- —  ?3 = r.
Mais cette supppsitipn même fait que les deux quantités
y & Î, au.lieu d’être réelles comme elles
devreient, se trouvent chacune imaginaires. II est :
vrai qu’en les ajoutant ensemble, leur sommé est
jréelle ; mais Timaginaire qui s’y trouve toujours,
& qu’pn ne peut en chasser ^ rend inutile Texpreffion
de x qui s’en tire.
En un mot Téquation x ~-.y -f- z ne dpnne'g larigueur que cette équatipn qx -f-rt=*~- 3 z.xy— y->— liJ óuqy + qi + r=— j y y z_~- ìyzX.— y1 —V & tPittes les fois que l’en vpudra de
• cette équatipn en faire deux autres particulières,on fera une supposition tacite qui pourra entraîner
des inconvéniens impossibles à éviter, comme il
arrive ici, où y & [ se trouvent imaginaires.II faudroit voir fi, par quelque moyerì, on ne
pourroit pas couper Téquation susdite en deux
autres-, qui donnassent à y & à 7 une forme réelle
& facile à trouver : mais cette opération paroît
devoir être fort difficile , si elle n’est pas impossible.
- ' 'J’ai fait voir dans les Mémoires de VAcadémie
des Sciences de Prusse de 1746, que Ton pouvpit
tpujours trouver par la trisection d’un arc de cercle,
une quantité c -f e [/ — 1, égale à la racine
cube de a -f- b y" — 1 ; & que si c -f- e \f — r=.y a -\-b \f —- 1, ohzy a.— b\/ —1 = c— e \f—,1. Voy. IMAGINAIRE. D’où il s’enfuit
que dans les cas où un arc de cercle peut être :
divisé géométriquement-, c’est-à-diré par la règle
.& le compas, én trois parties égales, onepeut as-' -.signer la valeur algébrique de c & de e, ce qui
pourroit fournir dés vites pour résoudre en quelques
occasions des équations du troisième degré
qui tomberoient dans Te cas irréduâible. Voyéz le
Mémoire que j’ai cité. 'Qupi qu’il en soit, la racine étant incpmmenfurable
dans le cas irréduâible, Texpreffion réelle
de cette racine, quand on Ja trouveroit, n’empécheroit
pas de recourir aux approximations.
On a donné kl’árticle APPROXIMATION la me%
thpde générale ■ ppur approcher de la racine d’une '
•équation , & nous y arons indiqué les auteursqui
ont dpnnè des méthodes particulières d’approximation
ppur le cas irréduâible. Voyez austi CASCADE.Puisque npus en sommes fur cette matière des
équatipns du troisième degré, npus croyons qu’pn
ne npus saura pas mauvais^gré de faire ici quelques
remarques ripuvelles qui y.ont rapport, & dont
nps lecteurs pourront tirer de futilité. .On fait que toute équation du troisième degré
a trpis racines. II faudroit denc, ppur résoudre
d’une manière cpmplète, unë équatien du troisième
degré, trouver une méthpde qui fît trouver à-lafois
les trcis.racines, comme on trouve à-la-fois
les deux racines d’une équation du second’degré.
: Jusqu’à ce qupn^ait-trouvé cette méthode, il y. a
bien de Tapparënce que la théorie des équations
du troisième degré restera imparfaite: mais la trou-,
vera-t-on, cette méthode ? c’est ce que nous ribforis
ni nier ni prédire. ..'.'…… ……' Examinons présentement de plus près la méthode
dpnt pn se sert pour prouver les racines d’une
équation" du troisième degré." On a d’abord Tme
équatipn du sixième degréyff,, de., telle qu’on Ta
Vue cï-deffus, & qui a par conséquent fil racines^
 ;io CAS CAS.
qu’on peut aisément prouver être toutes inégales :
on a ensuite une équation du troisième degré
•^3 ——yi — r ; & comme y3 a deux valeurs différentes
à cause de Téquation y6 4- r y 3, dc.==o,
& que z est élevé au troisième degré, il s’ensuit
que cette équation doit donner aussi six valeurs
différentes de z, trois pour chaque valeur dey' ;
or chacune des six valeurs de z étant combinée
avec chacune des six valeurs de y, on aura trentesix
valeurs différentes ppur z. + J 5 òpnc x paroît
avoir trente-'-six valeurs différentes. Cependant Téquation
étant du troisième degré, x ne doit avoir
que trois valeurs : comment accorder tout cela ? .
• Je réponds d’abord que les trente-six valeurs
prétendues dey -\-z doivent se réduire à dix-huit. :
En effet, il rie faut pas combiner indifféremment
chaque valeur de z avec toutes les valeurs de y,
mais seulement à toutes les valeurs de y qui correspondent
à la valeur qu’on a supposée à y'.Par exemple , on a y 3 == •— ■— ± !radical aans la valeur cie y> , reponn au ligne
'—qui précède le signe radical dans la valeur de
í 3, & le signe — au signe -f ; ce qui est évident,
puisque z% ='— r '—y 5 • donc pour chacune des
trois valeurs de y qui répondent au signe -j- placé
devant le signe radical, il y a trois valeurs de z
qui répondent au signe — placé devant le signe
radical : ce qui fait neuf valeurs de y -j- z ; & en
y ajoutant les neuf autres valeurs pour le cas du
signe —, placé avant le signe radical dans Texpreffion
dey 3, cela fait 18 au lieu de 36 qu’on auroit
en combinant indifféremment les lignes. Mais ce
n’est pas tout.Quoique chacune des valeurs de y & de z, employées
& combinées comme pn vient de le prescrire,
paroisse donner une valeur de y -f- 7, il
faut encore rejetter celìes dans lesquelles le produitly ne sera pas égál à — - ; car c’est une des conditions
de la solution, comme oh Ta vu plus haut,
que — 3 z y = q ; il est vrai que les dix-huit valeurs
de y & z satisfont à la condition que —
, 27yî tî = g 3. Mais cette condition ^27 y3 ï3 = 23
est beaucoup plus étendue que la condition —
3 îy= ?.> quoique d’abord elle paroisse la même.
Par exemple, u = 6 ne donne qu’une valeur de u:
mais U3=:&Î donne, trois valeurs de u. Pour le
prouver, soit u3 . — b"* ; == o',. & divisons par u — b,
il viendra u u -}- b u: 4- b b = 0., ce qui donne. dix-huit valeurs de y -j- z , on ait -27y 3 z1 --ç3*
il ne faut prendre que celles où 3 yî=='—j’
Cela ppsé.Soient ces quatre équations :-Racines de la troisième.
Sent les mêmes que 'de la seconde »Racines. de la quatrième. :
Sont les mêmes que de la première.Dpnc, 1.° la ccmbinaison des racines de la
troisième équation avec celles de la quatrième,
dpnnera le même résultat que celle des racines
des deux premières.2.° II ne faudra combiner'ensemble que les
valeurs dey & de z, & dent le produit fera =3£.°--Qu’il faudra combiner la racine marquéCas ^ cas ii t^ ï ) avec la racine marquée ( 4 ) , ce qui dennera '
ys=za. - - -4. 0 Qu’il faudra cpmbiner la racine marquée
( 2 ) avec la racine marquée ( 6 ) , ce qui donnera .5. 0 Qu’il faudra combiner la racine marquée
( 3 ) avec la racine marquée ( 5 ) , ce qui donnera
•r-'àby 3. 'Voilà les trois racines de Téquation, & il est
visible par les règles que nous avons établies, que
toutes les autres valeurs de y -\- z. donneraient des
expressions fauffes.de la racine x, & que toutes
les trois racines sont ici réelles.On peut trouver aisément par la même méthpde
les trois valeurs de x dans tour autre cas que le
tas irréduâible. Par exemple, si ç est positif, our2si q est négatif &<;PU s —, alors il faudra supposertrouvera en ce cas une racine réelle & deux imaginaires
, ou une racine réelle 6k deux autresréelles,
égales entr'elles. C’est ce qu’il est inutile d’expliquer j
plus en détail’il ne faut pour s’en convaincre,
que faire un calcul semblable à celui que nous
avons fait pour trouver les trois racines dans le
cas irréduâible. ( O ) CASCADE, Méthode, des cascades (Algèbre. ) 
est le nom que M. Rolle, géomètre de T Académie
des  ;Seiehces, a dpnné autrefois à ùnë méthode
qu’il avoit imaginée pour résoudre les équations.
II la publia en 1695) dans son traité d’Algèbre.
Par cette méthode on approche toujours de Ja
valeur de Tinconnue, pardes équàtiens successives
qui vont toujours en baissant ou en tombant d’un
degré, & de-là estvenuleriom de cascades. Voyei •
EQUATION. : -Ou trouve dans Y Analyse démontrée du P. Rey-~
naud, liv. VI. une méthode par laquelle on approche
des racines d’une équation , en résolvant
des équations qui vont toujours en baissant d’un
degré ; & cette méthode paroît avoir beaucoup de
rappert à celle de M. Rplle.JIn voici Tidée. Soit,
par exemple ,:, une équation- du troisième degré
x'1—px* -\- q x -\- r==o dont les. trois racines,
soient réelles & positives a, b, c , a étant la plus ;
petite, & c la plus-grande ; soit multipliée cette
équation par les termes d’une progression arithmétique
3, 2, í , o ; elle deviendra Téquation du
second degré 3 x*— xpx +<?.= o , dont les
deux racines sont réelles, & sont telles que la
r plus petite est entre a & b , & la plus grande
entre b & c: ainsi, clierchant les deux racines de
çette équation du second degré, on aura-les limites
entre lesquelles b est renfermé ; & on "pourra
trouver ensuite cette racine b par approximation ;la racine b étant trouvée, pn connpîtra les autres
a, c.Ppur démontrer cette méthode, soit ár 3 —p x*
-{■ q x -\- r=y, Téquation d’une cpurbe de genre
parabolique. Voyez ce mot. L’équatipU j Î ! —■
Xpx -j- ç-= o , sera f équatipn des penits qui dpn^
neront les maxima de y. Voyez MAXIMUM.. Et
ces peints, comme il est aisé de le voir, seront
situés de manière qu ils seront l’un d’un côté, l’autre
de l’autre côté du point qui dpnnera la- racine
mpyenne de Téquatipn xi — pxz 4/- q x 4/- r=o,
c’est-à-dire du second point PÙ- la cpurbe ceupera
son axe. Voyez RACINE ; voyez aussi dans les
Mém. acacL. 1741. deux Mémoires de M. Tabbé
de Gua fur le nombre des racines, où il fait usage
des courbes de genre parabolique. - 'En voilà assez pour faire sentir cpmment Pn
parvient à trouver au-mpins par approximation les
racines d’une équation, en changeant cette équation
en une autre d’un degré inférieur. On trouve
dans le livre VI. du P. Reyneau, tout le détail
de cette méthode , qui est extrêmement pénible ,
peu commode, & très-imparfaite dans la pratique ,
íur-tóut lorsqu’il y a des racines imaginaires. Vóyí
LIMITES. (O) ' : 'CASE, f. f. ( jeu de - Triâac )  , se dit de deux
dames posées fur la même ligne oirstêehé où Ton"
jpue. S’il n’y a qu’une' dame fur la flèche, elle
fait la demi-case. •On appelle .case du diable celle de la secpnde
flêclie du grand-jan : en ne lui donne guère ce
nom que lprsque c’est la seule qui soir à faire,
parce qu’il ne reste -alors dans le petit-jan que
cinq dames, & que tous les còups que Tpn joue
fans remplir, avancent ces daines, les font même
passer, & mettent dans le cas, pu de ne point
faire son plein, ou de ne pas tenir long-tems.
Voyez TRICTRACCASER , v. n. au Triârac, c’est accoupler deux
dames, .ou les placer surla même-flèche. "._,CASSINÓÌDE ( Astron. ) , nom que l’on a
, dprmè quelquefois à une courbe proposée par
Caffmi pour" représenter le mouvement du soleil.
Cette courbe est telle, que le preduit des deux
lignes tirées des foyers à la çircpnférence est
cpnstant ; auJieu que dans ïellipse c’est la somme
qui est constante. Voye\ les Elemem d’Astronomie
de M. Cassini le ;sils, pag. 149,L’analpgie entre ces deux courbesTait que Tpn
appelle quelquefois la cassinp'ide, ellipse cdjsínienne y
quoiqu elles ne soient pas du même genre.
• CASSIOPÉE {Astron.) , constellation boréalej
composée de: 54 étoiles principales dans Je catalogue
de Flamsteed.- Suivant.les grecs, une reine d’Ethiopie,femme
de Cephée, donna son nom à cette cpnslellationj
elle y est représentée comme dans un trône,
tenant une palme à la main. On a appelle quel-,
quefois cette conslellatipn cathedra mollis, siU-
 ?n C A T

C A T
cuastrum,soUum, muliersedis, mulicr habenspalmam
delibutam ; elle est. aussi appellée ccn>a , cants:
car les arabes ne peignent qu’un chien PU une
biche à la place d’une reine, & les syriens un
sanglier.M. Dupuis creit que c est pour cela que le troisième
travail d’Hercule, eu rentrée du soleil dans
la balance , est marqué par la défaite du sanglier
d’Erimanthe : c’étoit Temblême du coucher de
caffiopée au lever du soleil.II parut en 1572 une neuvelle éteile dans cette
constellation, qui surpassait d’abord Jupiter en
éclat & en grandeur ; mais elle diminua peu-à-peu,
& disparut entièrement au bout de dix-huit mois.
Ce phénomène extraordinaire exerça tous les astronomes
de ce tems-là , & fut Ja matière de plusieurs
ouvrages ; les uns prétendirent que c’étoit
une comète, d’autres ajoutpient de plus que c’éteit
la mêms que celle qui avoit paru à la naissance
de Jesus-Christ, & qu’elle annonçoit son second
avènement. Tycho les réfuta, & composa sur cette
fameuse étoile un grand ouvrage De nova stella
anni 2572. Voye[, ÉTOILES NOUVELLES,
{D.L.) CASTOR, en Astronomie , est le nom. d’une
des deux belles étoiles de la constellatien des gémeaux.
Voyez GÉMEAUX,
C A T
CATABIBAZON, en Astronomie , est le noeud
descendant de la lune, celui qu’on appelloit aussi
anabibazon & queue du dragon. Voyez LUNE. (O) CATACAUSTIQUÉ, f. f. (Opt.)  est la cauftique
formée par des ra) ons réfléchis ; on la nomme
iainsi pour la distinguer de la diacaustiqueT Voyez
CAUSTIQUE, DIAÇAUSTIQUE, RÉFLEXION, CA=
TOPTRIQUE, de. (O) CATACOUSTIQUE, f. f. qu’on appelle aussi• çataphonique ,. est la science qui a poiir objet ses
sons réfléchis ; PU cette partie de 1 acoustique qui
.considère les propriétés des éclios, ou erï général
les sons qui ne viennenr pas direclcment du corps
sonore à Toreille, mais qui ne la frappent qu’après
quils y ont été renvoyés par quelqu’auîre corps.
Ce mot catacoustique est analogue au mot catoptrique
, quí signifie la science qui a pour objet les
rayons de lumière réfléchis, d leurs propriétés ;
ainsi, la catacoustique est à Tacoustique proprement
dite, ce que la catoptrique est à 1 optique, Voyei
ACOUSTIQUE, ECHO & SON.CATADIOPTRIQUE, adj..( Optique.)  On• donne ce nom à ce qui appartient à-la-fois à la
catoptrique & à la dioptrique, c’est.- à- dire, à ce
qui appartient à la théorie de lá lumière réflé-r
çhie & de la lumière rompue. Voyez - CATPPÏRIQUE
Ó-'DIOPTRIQUE. Par exemple, un insi
miment ou lunette qui réfléchit & rompt en mêmerems
les rayons, est appelle télescope catoptrique,
Vpyei TÉLESCOPE. (Q} ' + •CATÀDUPES ( Hydrod. ) , nom que les àrií
ciens donnoient à ce que nous appelions aujourd’hui
cataraâes. Voyez. CATARACTE.CATALOGUE d’étoiles ( Astron. )  est la table
des positions des différentes étoiles par longitudes
& latitudes, ascensions droites & déclinaisons pour
une certaine époque : on en trouvera un abrégé
au mot ETOILE. 1 -Le plus ancien catalogue est celui qui neusa"
été censervé par Ptplemée dans son Almagefle, &
qui renferme 1022 étoiles, dpnt les positions sont
à-peu-près pour Tannée 63 de Tere chrétienne:
quoiqu’il les ait appliquées à Tannée 137 ; on ne
croit pas que Ptolemée en fût Tauteur. U est plus
probable qu’il ne fit que réduire -à Tannée 137
de J. C. celui d’Hipparque, qui étoit pour Tannée
130 avant J. C. en retranchant zò 40'. de toutes
les longitudes ; Ahnàg. VIII. 2. Copernic se
contenta de même de réduire à son tems le catalogue
de Ptolemée, fans faire, à ce sujet, de
nouvelles observations.Parmi les arabes, Albategnius &. UIug-Beg ;
parmi les européens , Tycho-Brahé & Hévélius
firent des catalogues plus exacts & plus amples.
Mais le plus grand & le plus fameux de tous, est
le catalogue britannique de Flamsteed, qui parut
à Londres en 1712, dans son Historia Calestis,
publiée d’abord en un seul volume in-folio, &
en trois volumes en 1725, & je Taì fait réimprimer
en 1783 dans le huitième volume des
éphémérides. C’est fans comparaison le catalogue.
le plus parfait & le plus ample qu’pn ait fait :
pn y trouve les longitudes, latitudes, ascensions
droites, & les déclinaisons de 2910 étoiles,pour
le commencement de" 1690, déterminés par dcsobfervatipns
exactes & assidues , que Flamsteed,
astronome royal i Greenwich , avoit faites depuis
1676 jusqu’à 1705 ., ayec un arc mural placé dans
le méridien.Dans le recueil ; de Tables astronomiques, puhlij
sous la direction de T Académie de.Berlin , en 1776,
il y a un catalogue dé 45 3 5 étoiles, au lieu de 2919
que confient le catalçgue britannique ; mais ón a
ajouté les autres d’après les catalogues d’Hévé*
lius ,■ de la Caille 8c de Bradley,Ce fut la première fois que Jes astrenpmes pm
rent çpmpter sor des positions d’étoiles, au point
de s’en servir sans examen , ppur en conclurç
celles des planètes. Ce catalogue a été la base de
tpus’les calculs & de toutes les théories des astronomes
jusqu’au tems pù M. le Monnier & Tabbé
de la Caille entreprirent de dresser de nouveaux
■ catalogues ppur Tannée 175a, comme neus allons
le dire.On nt ? pourroit guère compter aujourd’liuisur
les positions d’étoiles tirées du catalogue britannique
,, si ce n’est à une ou deux minutes près, parce
que bien des étoiles ont des mouvemens propres,
qui sont encore inconnus, en sorte qu’il y en a
,, plusieurs qui s’écartent un peu du mouvementçornrnu.8C a t cat ,I3commun & de la loi générale : c’est: ce, qui a
déterminé les astronpmes à en former de npuveaux.
•.,'..-.': .Le premier catalogue d’étoiles de la Caille j fùt
publié en 1757, dans un livre fort rare actuellement,
quia pouf titre, Astronpmice fundamenta:
j’ai inféré ce catalogue dans mon Astronomie ; il
est composé de. 397 étoiles principales , dont ii
avoit déterminé les positions avec une exactitude
inconnue jusqu’alors. II donne dans le même livreles
observations qui avoient servi à dresser ce ca^
talogue- ; savoir, les hauteurs correspondantes de
toutes ces étoiles prises au nombre de dix à dpuze
peur chaque éteile, et les distances au zénit, mesurées
austi à plusieurs reprises avec deux ínstrumens
de six pieds de raypn : ces 397 étoiles ..lui
coûtèrent plus de tems & de peine, que n’au-.
roient fait 4000 , en suivant la méthede de
Flamsteed ; aussi M. de la Caille y avoit travaillé
pendant dix ans, & tous les astronomes ont regardé
ces positipns d’étoiles comme le vrai fondement
acluel-de T Astronomie, & comme un prodige
dé travail.Ce premier catalogue a. été suivi: de celui de
1942 éteiles australes ; elles éteient choisies sor
Je nembre d’environ dix mille , que M. de la Caille
observa au-cap de BenneTlspérance & aux îles de
France & de Bpurbpri, depuis 1751 jusqu’en 1754,
"en les cemparant aux étoiles primitives du catalogue
précédent. On n’a ppint êncpre csé entreprendre
de calculer les 8000 étoiles restantes. Ce
• seoend catalogue est imprimé dans les Mémoiresde
l’Académie pour .1752, pag. 539 ,&- dans-le
Recueil des observations des-dix mille étoiles australes,
intitulé : Ccelum australe, que M. Maraldi
nous a procuré en 1763. U se trouve à Paris
chez Desaint, prix 15 livres ; il y en a peu d’exemplaires.
 ; •-'"-.Le troisième catalogue de M. .de la Caille, est
celui des étoiles zodiacales, au nombre d’environ
600, qu’il observa à Paris pendant Thiver de 1762,
avec une lunette méridienne. Çe dernier ouvrage,
qui lui ceûtala vie, est resté imparfait ; cependant
la plus grande partie est achevée, & M. Baîlly
en ayant fini les calculs, il Ta publié à la tête du
volume des Ephémérides , que M. de la Caille
avoit calculées pour les années 1765, - 1774 ;
niais les calculs n’ayant été faits qu’une fois, il.
s’y trouve diverses impeffectipns.Dans le même tems, M. le Mpnnier s’pccuppit
aussi du prpjet d’établir lesTondemens de TAstronemie
par un nouveau Catalogue d’étoiles ; il en a
publié les principaux résultats dans les trois premiers
livres de ses Observations, imprimées au
Leuvre, in-folio.M. Mayer, qui faisoit à Gpttingue de semblables
observatipns, a laissé un catalogue de 998 étoiles,,
fort exact, qui est imprimé dans ses (E uvre s posthumes
, & dans la - Connaissance des tems, de Í778.
 -.
Mathématiques, Tome L, I.ere Partie. ' •II nous reste à désirer un catalogué des étoiles
boréales plus récent que le catalogue britannique ,
& aussi détaillé que celui que M. de la Caille a
fait peur les étoiles australes. Cét astronpme infatigable,
songepit à Téntreprendre & à s’établir
ppur quelque tems dans une des villes mérídienales
.de France, où l’on jouit d’un plus beati
ciel qu’à Londres & à Pans ; une mort prématurée
a privé T Astronomie de cet important 01*vrage.
 M. D,agelet, professeur à TEcole Militaire,
a eu:le courage de Téntreprendre, & il en est
occupé aétuellemcnt. (Août 1783 ;') 
x On a-publié en Angleterre,- en 1771, dans le
nautieal Almanac de ; 1773 , un catalogue précieux
de 387 étoiles, dont les ascensions droites, les
déclinaisons, les lpngitudes & les latitudes pnt
été calculées d’après les pbservâtipns du célèbre
docteur. iBradley., mort - en 176'2 , & réduites à
1760. C’est une.partie intéressante des observations
faites pendant un grand nombre d’années à J observatoire
royal de Greémvich avec •d’excèllëns
instrumens, mais qui sont- encore entre Jes mains
des héritiers de l’auteur. Ce catalogue a été imprimé
par: Fortin, dans son édition de Y Atlas de
Flamsteed: on en trouve J’errata dans Je huitième
volume des Ephémérides. (D. L.) CATAR ACTE, f. f. ( Hydrod.)  chute ou précipice,
dans lé canal ou lit d’une rivière, qui a
peur caiise des rochers i pu d’autres obstacles qui
arrêtent le courant, & font tomber Teau avec
beaucoup de bruit & une grande impétuosité.M- de Maupertuis, dans la relation de son
voyage au nord pour la mesure de la terre, parle
des cataraâes .du fleuve de Tornéó, & de la manière
dont lés gens:du pays les franchissent dans
des nacelles fort minces. Ón peut voir aussi dans
le.tpme I de Y Histoire ancienne de M. RplJin, la
descriptipn abrégée des cataraâes du Nil, & de
l’intrépidíté avec laquelle lés peuples du pays s’y
exppsent. '  ;Strabpn appelle aussi cataraâes ce qu’pn appelle
aujpurd’hui cascade ; & ce que neus appellpns
présentement cataraâe, les anciens Tappellpient ;
catadupes.-Dâns presque tpus les fleuyes, dit M. dé Buffon,
la pente va "en diminuant jusqu’à leur embouchure,
d’une manière assez insensible ; mais il y en a dont
la pente est très - brusque dans certains endroits,
ce qui forme ce qu’on appelle une cataraâe , qui
n’est aútre chose qu’une chute d’eau plus vive que
le courant ordinaire du fleuve ; Le Rhin, par
exemple, a deux cataraâes ; Tune à Bilefeld, &
l’autre auprès de Schafhouse. Le Nil en a' plusieurs
, & entr'autres deux qui sont très-violentes ,
& qui tombent de fort haut entre deux montagnes
: la rivière VoJogda, en Moscovie, a auffi
deux cataraâes auprès de Ladoga : le Zaïre, fleuve
de Congo, cotnmence par une forte cataraâe qui
tombe du haut d’une mpntagne. Mais la plus fameuse
cataraâe est cellé de la rivière de Niasanij,
': ' R r314 ci t. c a ten Canada ; elle tombe.de cent cinquante-six pieds
de hauteur perpendiculaire , comme un _torrent
prodigieux, & elle a plus d’un quart de-lieue de
largeur .- la munie ou le brouillard que -l’eau fait
en tombant, se Yoit de cinq lieues, & s’élève jusqu’aux
nues ; il s’y forme un très-bel arc-en-ciel
lorsque le soleil dónnè dessus. Au-dessousde cette
cataraâe, il y a des tournoiemens d’eau si terribles,
qu’en ne peut y naviguer jusqu’à six milles
de distance ; & aú-dessus de la cataraâe, la rivière
-est beauepup plus étroite qu’elle ne Test ; dans les
-terres supérieures. V. Transaâ.-philos-abr. voU vj ;
part. ij>, pag. z  ?s.( Voici la description qu’en
■donne le P. Charlevoix : cc Mon premier soin fut
5J de visiter la plus belle cascade qui soir peut-être
•53 dans la nature ; mais je recpnnus d’abprd que le
:3j baron de la Hpntan s’étoit trompé fur fa hausjteur
& fur fa figure, de manière à faire juger
53 qu’il ne Tavpit ppint vue. .33II est certain que si Ton mesure sa hauteur par
53 les rrois montagnes qu’il faut franchir d’abord,
33 il n’y a pas beaucoup à rabattre des six cens
53pieds que lui donne la carte de M. deTIfle,
33 qui fans doute n’a avancé ce paradoxe que fur
55 la foi du baron de la Hontan & du P. Hen33nepin
: mais après que je. fus arrivé au sommet
33 de Ja troisième montagne , ;j’òbservai que dàns
33 Tespace de trois lieues que je fis ensuite jusqu’à
33 cette chute d’eau j quoiqu’il faille quelquefois
•33monter, il faut encore plus descendre-, & c’est
■Jsà quoi ces voyageurs parbissent n’avóir pas fait
33 assez d’attention. Comme on ne peut approcher
.33la cascade que de côté, ni la voir que de pro33
fil, il n’est pas aisé d’en mesurer la hauteur avec
Psles inslrumens : oh a voulu le faire avec une
33 longue corde attachée à une longue perche ; &
33 après avoir souvent réitéré cette manoeuvre j on
33 n’a trouvé que cent quinze ou cent vingt pieds
33 de profondeur. Mais il n’est pas possible de
93 s’assurer si la perche n’a pas été arrêtée par
33 quelque recher qui avançoit ; car qupiqu on Teùt
53toujours retirée mouillée, aussi-bien qu’un bout
33de la corde à quoi elle étoit attachée, cela ne
35 prouve rien, puisque Teau qui se précipite de
3,3la montagne rejaillit.fort haut en écumant. Pòur
3 ; moi, après Tavoir considérée de tous les endroits
'33 d’où on peut Texaminer à son aise , j’estime
3j qu’on ne làuroit lui donner moins de centquassrante
ou cent cinquante pieds.3}Quant à la figure, elle est.en fer à cheval,
55 & elle a environ quatre cens pas de circonfé3 ;rence ;
mais précisément dans son milieu, elle
35 est partagée en deux par une île fort étroite &
■sîrì'un demi-quart de lieue de long qui y aboutir.
3 311 est vrai que ces deux parties ne tardent pas
35 à se rejoindre ; celle qui étoit de mon côté, &
33 qu’on ne voyoit que de profil, a plusieurs pointes
33 quijivancem : mais celle que je découvrois en
33facé"me parut fort unie. Le baron de la Hon-,
33 tan y ajoute un torrent qui vient de J’ouesl : ilj> faut.que' dàns la fonte des neigés lés eaux laujsvages
viennent .se décharger là par quclque-rá3jvine,
de. 33 Pag. 332 , de., tom. iij.
: : II y a j continue M. de Buffon, une .cataraâe à
trois lieues d’Albanie, dans la nouvellei.Yprck,
qui a environ cinquante pieds de hauteur ; & de
cette chute d’eau , il s’élève aussi un brouillard
dans lequel on apperçoit un léger arc-en-ciel, qui
change de place à mesure qu’on s’en éloigne ou
qu’on, s’en approche. Voyez,- Transita, philos, abr.
vol. vj , pag'.-129. ■ '■•-:. .:::>■ !En • général,: dans tous les pays où le noinbre
d’hpmmes n’est pas assez considérable pourfònner
des sociétés policées, les terreins sont plus irréguliers
& le lit des fleuves plus étendu, moins
égal& rempli de cataraâes. 11 a fallu des siècles
pour rendre le Rhône & la Loire, navigables ;
c’est en contenant les eaux, en: les ;dirigeant
& en nettoyant le fond des fleuves, qu’en leur
dpnne un cPurs assuré. Dans tentes les’terres où
il y a peu d-habitans, la'nature est brute & quelquefois
difforme. Hist. nat. de MM. de Buffon &
Daubentpn, iom.j,II est dit dans la Genèse, à Teccasipn du déluge
, que les cataraâes du ciel furent ouvertes. 11
y a apparence que lé met de-cataraâes en cet
endroit, signifie ùn grand réservoir d’eau.- .M.' Neutort a dpnné le nom de cataraâe à.Ia
cpurbe que décrivent, selen lui, les particules
d’un fluide -qui s’échappe d’un vase par un trou
horizontal. Voyez HYDRODYNAMIQUE.(0) oCATHETÈ, en Géométrie, se. prend généralement
pour désigner une ligne qui tombe perpendiculairement
sur une autre ligne ou sur une sur- face.
 Voyèz PERPENDICUÌÏAIRE. '■ '■>" Les, deux petits côtés d’un triangle rectangle
font-deux cathètes. Voyez RECTANGLE: ■Ce mot est principalement en usage dans la catoptrique,
ou dans la partie de Toprique qui considère
les propriétés des rayons de lumière réfléchis.
- ■ .:.:■:■CATOPTRIQUE, f. f. science de la vision réflécliie,
ou la partie de Toptique qui'enseigne les
loix que fuit la lumière réfléchie parles miroirs.
Voyez MIBOIR d RÉFLEXION ; voyez, -auffí VISION,
LUMIÈRE & OPTIQUE. Vous trouverez à
ces articles les principes & les soix de la catoptrique.
Ce mot vient du grec xkmajf sv, spéculum ;
-formé de « ,s.ik & ìmopai, video', je vois. :
■ La catoptrique traite non - feulement de la réflexipn
des rayons de lumière & des -loix que fuit
cette réflexípn ; elle traité aussi des phénomènes
qui en résultent par rapport à la vision, & cette
partie est extrêmement curieuse. Cependant les
principes n’en sont pas encore bien développés,
fur-tout par rapport à ce qui concerne le lieu de
J’image & fa grandeur apparenté. Sur quoi voyez.
Varticle APPARENT.: 'Les-principaux auteurs qui ont traité de la catoptrique
, sont parmi Jes anciens, Euçlide avant-Ga tjc  a u
315.
-J. C., Alhazèii & Vitellion dans les onze & deuxième
siècles ; & parmi les mpdernes, le P. Tacquet
, le P. Fabri, dans son livre, intitulé : Synopsis
optiea ; Jacques Grégery, dans son Optica pro*-
mota , & fur-tout le célèbre"Isaac Barrow dans
ses Leçons joptigues. Ce dernier ouvrage est fans
contredit le meilleur ; Tauteur semble y aypir dénípntré
les soix de ia catoptrique par des principes
plus exactes & plus,lumineux que les auteurs
qui Tpnt précédé ; cependant il ne traite que
des propriétés des miroirs sphériques, soitcpncaves,"soit
eenvexès, & il ne dit rien des miroirs
plans. Les propriétés de ces derniers miroirs sont
démontrées fort au. long dans le premier livre de
lá .Catoptrique du P. Tacquet, imprimé dans ( le
recueil de ses oeuvres, in -folio. M. Smith, dans
son Optique, a austi traité avec beauepup d’étendue
des leîx de la catoptrique.Catoptrique se prend aussi adjectivement ppur
ce qui. á f áppprt à la catoptrique., óu ce qui s’exëçu'fe
par des ràypns réfléchis. Ainsi-, On dit.cadran
catoptrique , télescope^ catoptrique , ,&c. Voye\-
CADRAN , TÉLESCOPE, de. ( 0)  '.. - ..'- c á u 'CAÛDÀ LUCIDA, ( Astron.)  la queue  ;du
Jien, est une étoile de la première bu secpnde
grandeur. Sa longitude yen 1750, étoit "'de, i.6%á 9.,
là latitude de-12 d 17'.' ' Voyei 'LÏ.ON. / J.CAUSES finales ( JMéch. ).. Lé" principe des
eaûfes finales "consiste a chercher les’ causes des
effets de la nature par lá fin que son auteur a dû
se préposer en produisant Ces effets. On peut dire
plus généralement, .que le principe des causes
finales ephsiste à.trouver les Jpix dés phénorhèries
par des: principes métaphysiquëss’ ' -/ '■' : "''• Ce -níot a été fort en usage ! dans la philtífòpíïiè
ancienne j où Ton rêndoit raison: de .plusieurs
phénomènes,: tant bien que mal, par les’principes
' métaphysiques , tant bons que mauvais.
Par exemple j Ton disoit : L’eàu monte dans les
pompes, parce que la nature a horreur du vuide ;
vóílà'Iè principe métaphysique' absurde ;par lequel
pn ëxpliquoit ce phénomène. Auffi lé chancelier
Bâcòff, cé .'génie sublime', ne pafeît pas’ faire
grand 1 'cas de Tufage des causes 'finales darts la
physique. Càusarum finalium , dit - il , investigatio
flerilis est, d tanqúam virgo Deo cónfecrata,' nil
parit. De augm.scient, lib. iij ycap. 5.-Quand ce
grand génie parloir ainsi,' il avoit fans doute én
vue Te principe des causes finales’, emplpyé même
d’une -manière,'plus raisonnable que- ne - Templ’oyòiéntlésfchpiastiquesyçar
Thorreur duvuidè,
par exemple, est un-principe plus que stérile,'
puisqu’il est absurde. ' Bacon avoit bien senti que
hous voyons la nature trop en petit pour ppuvpir
npus mettre à la place de son auteur ; que nous
' në voyons pas ■ quelques ■ effets qui tiennent à
d’autres , & dont -nous n’appercevons que lachaîne ; que la fin du Créateur doit presque toujours
nous échapper, & que c’est s’exposer à bien
des erreurs que devousoiria démêler, &Tur-tput
expliquer par-là lesphénpmènes. Dëscartes a suivi
la même route que Bacon, & fa philosophie a
proscritles causes -finales■ avec la seJiolastique.'Cependant
ún grand philosophe rnpderne, M. Leibnitz,.
a essaj’é de ressusciter les causes finales , dans un
écrit imprimé Aâ. erud. 1682 , sous le titre de
Untcum opticoe , catòptricce, d dioptricoe principium.
-Dans cet ouvrage, M.- Leibnitz se déclare hautement
ppur cette manière de philosopher, & if en
donne un essai, en déterminant les loix que fuit
la lumière. - - ' :|i- ■La nature, dif-il, agit toujours paf Jes -voies’
les plus -simples & les plus courtes ; ' c’est pour
cela qu’un rayon de lumière dans un mémemi-.
.lieu va toujours en ligne droite tant qu’il-ne rencontre
jíoint d’obstacle : s’il rencontré unë surface
solide,'il doit Te réfléchir • de manière queTesangles
d’incidence & dé réflexion foient égaux,
pàrce-qUe se raypn pbligé de se réfléchir, va dans
ce cas -d’un ppint’ à -un autre" paf-le' chemin la
plus ceurt qu’il est possible. Cela se trouve démontré
par-tout. Fôyc^'MiRpiR d RÊrB-AcïioN’,
Enfin fi le globule ìumineux rencontré utte fur- »
face transparente, il-doit fe rompre-dé-mànièrè
que les sinus- d’incidence &'- de-réfraction soient
ën raison’-directe'dès vitesses dans les deux mi^.
lieux y parce que dans ce cas ,jil ira d ?ùn ppint
à un autre, dans Je terris le plus ceurt’qu’il est.
possible.M. de Fermât, avant M.' Leibnitz, s’éteitservi
de ce même :principe: ppur déterminer les leix de
la réfraction- ; & il- ne faudrait’peut-être que ce
que npus’vênens-de dire, ppurdémpntrer cpmbien
Túfáge. des causesfinales -est dangereux.. •"-■.'•En
 effet y il ; est vrai que dans’ la réflexion fur
les’miroirs plané & :cònvêxes, le chemin duráyOn
est le plus court qu’il est- possible : mais il n’en
est pas de même dans les miroirs cpncaves ;"& il
est aise dë'démpntrerque souvent ce chemin, au
lieu d’être le "plus court,-est le plùslpng. Javoué
que Té père Tacquet, qui a adopté dans fa Catoptrique
ce principedu "plus court chemin pour
expliquer la réflexion, n’est -pas embarrassé de la
difficulté des miroirs concaves. Lorsque la nature,
dit-il-, në peut pas prendre le chemin le plus
court, elle prend le plus long, parce que le chemin
le plus- Jprig est unique déterminé, comme le
chemin le plus court. On pëut bien.appliquer ici
ce'mot de Cicéron-: Nihil tara absurdum excogitari
potest, quod’ diâumàon fit ah aliqdó:philoso~
phorurrï.  ! - ; _." :"'„'' - -L 'Voilà' dend le prificipe des causes finales en
défaut fur la réflexion." C’est bien pis fur la "réfraction-,
car en premier lieu, pourquoi dans lc
cas de réflexion ,Ta .nature Tuit-elle tout ■ à-la-fois
Je plus court chemin & le plus epurt tems ; au
lieu que dans la- réfraction, elle -he prend’que lèRrij3i<íC a u c a u ) plus court rems, & laisse le.plus court chemin ?
On dira qu’il a fallu clipisir, parce que dans le
cas de la réfraciien, le plus cpurt teins & le plus
court chemin ne peuvent s’accorder ensemble. A
la bonne heure ; nuis pourquoi préférer le tenís
au chemin ? En second lieu, suivant MM. Fermât
& Leibnitz, les sinus sont en raison directe des
vitesses, au lieu qu’ils doivent être en raison inverse.
Voyez RÉFRACTION 6' ACTIPN. Recenripissons
dpnc Tabus des causes finales par le phénomène
même que leurs partisans se prpppsent d’ex- ;
pliquer à Taide de ce principe.Mais s’il est dangereux.de fe fenir des causes
finales à priori pour trouver les loix des phéno- ;
mènes, il peut.être utile, & il est :au moins curieux :
de faire voir comment le principe des causes finales
s accorde avec les loix des phénomènes, pourvu
qu’on ait commencé paf déterminer ces lpix d’après
des principes de méchanique clairs & incenrestables.
C’est ce que M. de Maupertuis s’est propOsc .
de faire à Tégard de la réfractipn en particulier,
dans un Mémoire imprimé'parmi ceux de l’Acadé- j
mie des Sciences, 1744. N°us enavpns parlé au.mot
ACTION. U fait à la fin & au cpmmencement de
ce mémoire, des réflexions très - judicieuses &
rrès-philophiques fur les causes finales. 11 a depuis
étendu ces réflexions, & perte plus loin leur.usage
dans les Mémoires de VAcadémie de Berlin, 1746,
& dans fa Cosmologie, 11 ,montre dans ces ouvrages
Tabus qu’pn a'fait du principe des causes finales, ;
pour donner des preuves de J’existence de Dieu
par les effets les moins importans de la,-nature,
au lieu de chercher en grand des preuves de cette
vérité si incPntestable. Voy, Varticle CPSMPLPGIE.
Ce qui.appartient ; à la, sagesse du. Créateur y dit
M. de Fontenelle,, semble être encore plus audessus,
de notre foible portée, que ce qui appartient
à fa puissance. Éloge de M Leibnitz. Voyez
aussi des réflexions tiès-fages de M., Mairan furie
principe des causes finales, dans les Mém. acad.
1723.(0) ' • ■ .CAUSE, f. f. (Mc’ch.)  se dit de tout ce qui
produit du changement dans Tétat d’uncerps, c’eff ?
à-dire, qui le met en mouvement ou quiTarrête,
ou qui altère son mouvement. ' . .C’est une 'loi générale de la nature, que tout
corps persiste dans son état de repos ou de mouvement
, jusqu’à ce cm’il survienne quelque cause
qui change cet état.Nous ne connoissons que deux fortes de causes
tapables de produire pu d’altérer le mouvement
dans les cerps ; les unes viennent de'Taction mutuelle
que les corps exercent les uns fur les autres,
à raison de leur impénétrabilité : telles sont Timpulsion
& les actions qui • en dérivent, comme la"
traction. Voyez ces deux mots. En effet, lorsqu’un
torps en pousse un autre, cela vient de ce que
l’un & l’autre corps sont impénétrables : il en est
de même lorsqu’un cprps en rire un autre ; car la
traction, comme celle d’un cheval attaché k. un’e.  ;J veitufe, n’est proprement qu’une impulsion. Le
cheval ppusse la courroie attachée à son poitrail ;
& cette courroie étant attachée au char, le char
doit fuivrèíOn peút donc regarder Timpénétrabil.ité des Corps
comme une des causes principales des effets que
nous observpns dans la nature ; mais il est d’autres
effets dont nous ne voyons pas aussi clairement
que Impénétrabilité soit la cause , parce que neus
ne pouvons démontrer par quelle impulsion méchanique
ces effets Tont produits, & que toutes
les explications qu’on en a données par Timpulsion,
sont contraires aux loix de la méchanique,
ou dénienties par les phénomènes. Telles sont la
pesanteur des çorpsy la force^qui retient Jes planètes
dàns leurs orbites, de. Voyez PESANTEUR,
GRAVITATION S ATTRACTION , de.C’est pourquoi, si Tpn ne veut pas décider absolument
que ces phénomènes aient une autre cause
que Timpulsion, il faut au moins se garder de croire
& de soutenir qu’ils aient TimpulsiPn ppur cause:
'il est denc -nécessaire de reconrtoître une classé
d’effets, & par conséquent ' de causes dans lesquelles
Timpulsion pu n agit ppint, PU ne se manifeste
pas.Les causes de la première espèce, savoir, celles
qui viennent de Timpulsion, pnt des lpix trèscpnhues
 ; &■ c’est fur ces IPÌX que sont, fondées
Celles de Iâ p'ercujjion , celles de la dynamique , &ç.
Voyez, ces mots. ,II n’en est pas de même des causes’de la seconde
espèce. Npus ne les cennpissons pas ; nous ne savons,
donc ce qu’elles font que par leurs effets:
leur effet seul nous est connu, & la loi de cet
effet ne peur être donnée que par Texpérience^
puisqu’elle ne sauroit Têtre à priori , -la cause étant
inconnue. JSÎous voyons Teffet ; nous concluons
qúil & une. cause .- mais veilà jufqu’pú il nous est
permis d’aller. C’est ainsi qu’on a découvert, par
î'expérience, la loi que suivent-les corps pesans
dans leur chute, fans connoître la cause de la pesanteur.
■: .C’est un principe communément reçu en méchanique,
"& tr.èj-usité, que les effets font propor-i
tionnels à leurs.causes. Ce.principe cependant n’est
guère plus.utile & plus féçend que les axiomes.
Voyez AXIOME.En effet, je vouclrois bien savoir
de quel avantage il peut être.í. 0 S’il s’agit des causes de la sceende espèce,
qui ne sont connues que. par leurs effets, il ne
peut jamais servir, de nèm Car si Ton ne cennoît
pas Teffet, en ne cpnnpîtra rien du tcut ; & fi
Ton connoî.t. l’esset, on n’a plus Isesoin du principe
, puisejue deux effets dissérens étant donnés,
on n’a qu’à les comparer immédiatement, fans
s’embarrasser s’ils sont prppprtipnnés PU non à
leurs causes.■ 2. 0 S’il’s agit des causes de la première espèce,
c’esl-à-dire, des causes qui viennent de Timpul-
fion, ces causés ne peuvent jamais être autre chose
qu’un corpsr'qui est en mouvement , & qui en
pousse un autre. Or, non-feulement on a des loix
de Timpulsion- & de la percussion, indépendamment
de ce principe, mais il seroit même possible,
fi Ton s’en scrvoit,de tomber dans Terreur.
Je Tai fait voir, article tig de mon Traité de
dynamique, & je vais Je répéter ici en peu de
mots. , ■Soit un corps M qui choque avec la vitesse u
un autre corps en repos m, il est démontré, voyez
PERCUSSION , que la vitesse commune, aux deuxcorps
après le choc fera '-^A—• Voilà, si l’on veut,Teffet ; la cause .est dans la masse M, animée de
la vitesse u. Mais ; quelle fpncricn de M & de u
prendra-t-pn pour "exprimer cette cause ? sera-ce
Mu, eu M uu, pu Mi u, ou M uì, &c., &
ainsi à.Tinsini ? D’ailleurs, laquelle de ces fonctions
qu’on prenne pour exprimer lá cause, la vitesse
produite dans le corps m variera à mesure que m
variera, & ne fera point par conséquent propor"
tionnelle à la cause , puisque M & u restant constans-,
la càuse relie la même. On dira peut-être
que je ne prends ici qu’une partie de Teffet, savoir
, la vitesse produite dans le cprps m , & que« rr I n M M u . M m u , /, . -,. ,1 effet total est^r\ f-Trn—5 cesl-a-dire, lasomme des deux quantités de meuvement, laquelle
est égase.&-proportionnelle à lz'cause Mu. A la
bonne heure : mais Teffet total dont il s’agit, est.
composé de deux quantités de mouvement qu’il’
faut que je connoiste séparément ; & comment les
çonnoîtrai-je avec ce principe , que Xeffet est proportionnel
a sa cause ? II faudroit donc diviser la
cause.çn deux parties pour chacun des deux effets
partiels : comment se tirer de cet embarras ?Jl seroit à souhaités que les méchaniciens reconnussent
enfin bien dislinctemeht cpae nous ne
connoìssons rien dans le mouvement que le mouvement
même, c’est-à-direy Tespace parcouru &
le tems employé à le parcourir, & que les causes
métaphysiques npus sont incpnnues ; que ce que
nous appelions causes, même de-la première espèce,
n’est tel qu’improprement ; ce sont des effets
desquels il résulte d’âutre$: effets. Un corps en
pousse-un autre, c’est-à-dire, ce cprps est en
mouvement, il en rencpntre un autre , il dpit
nécessairement arriver du changement à cette occasion
dans Tétat des deux corps,-à cáuse-de leur
impénétrabilité ; pn détermine les lpix de ce changement
par des principes certains, & Ton regarde
en conséquence le cprps choquant comme la cause
du .mouvement du cprps choqué. Mais cette façon
de parler est impropre. La' cause métaphysique ,
îa vraie cause npus est incprinué. Voyez IMPULSION.D’ailleurs quand pri dit que les effets sont proportionnels
a leurs causes , PU Ton n’a point d’idée
claire de ce qu’on dit, où Ton veut dire que cesdeux causes j par exemple, sont entr'elles comme
leurs effets. Or, si ce.font deux causes métaphysiques
dont 011 veut parler, comment peut-on
avancer une pareille assertion ? Les effets peuvent.
se cemparer , parce qu’pn peut trouver qu’un espace
est dpuble eu rriple, de. , d’un autre parepuru
dans le. même - rems ; mais peut-pn dire
quune cause méthaphysique , c’est-à-dire, qui n’est
pas elle-même un effet matériel, & peur ainsi,
dire palpable, soit dpuble d’une autre cause métaphysique
 ? C’est comme si Ton disoit qu’une sensation
est double d’une autre ; que le blanc est
deuble du rouge, de. Je veis deux objets, ; dont l’un
 est double de l’autre : peut-on dire que mes
deux sensations font proportionnelles à leurs objets
 ?^ Un autre inconvénient du principe dont il s’agit ^
cest le grand nombre de paralogifmes dans lesquels
il peut entraîner, lorsqu’on sait mal démêler
les causes qui se compliquent quelquefois plusieurs
ensemble, pour produire un effet qui paroît unique.
Rien n’est si communique cette mauvaise manière
de raisonner. Concluons donc que le principe
dont nous parlons est inutile, & même dangereux.
11 y a beaucoup d’apparence que si Ton
ne s’étoit jamais avisé de dire que les effets font
propprripnnels à leurs causes, pn n’eût jamais disputé
fur les forces vives. Voyei FORCE. Càr tous
le monde convient des effets. Que n’en restoit-on
l.à ? Mais on a vpùlu subtiliser, & on a tout brouillé,
au lieu d’éclaircir tout. (O ) CAUSTIQUE, f. f. dans la Géométrie transcendante
, est le nom que Tpn donne à la courbe
que touchent les rayons réfléchis ou réfractés par
quelque "autre courbe. Voyez COURBE. Si une
infinité de rayons de lumière infiniment proches
tombent fur tpute Téten.due d’une.furface, & que
ces rayens soient supposés réfléchis ou rompus
suivant les lpix de la réflexion & de la réfraction ,
la fuite des points de concours des rayons réfléchis
ou rompus, infiniment proches, formera un polygone
d’une. infinité de côtés ou une cpurbe qu’pn
appelle caustique ; cette cpurbe est teuchée par les
rayons réfléchis cu rompus., puifqúe ces rayons
ne font que le prplpngement des petits côtés de
Ja caustique. . '. : •Chaque cpurbe a ses deux caustiques, ce qui fait
diviser les caustiques en catacaustiques & diacaufliques ;
les premières sont formées par réflexion, &
les autres par réfraction. _ . -On attribue ordinairement Tinvention des caustiques
à M. Tfehirnhauscn ; il. les proppsa à TAcadémie
des Sciences en Tannée 1682 ; elles pnt
cette propriété remarquable, quelprfque les epurbes
qui lès produisent sont géemétriques, elles sont .toujours
rectifiables. ..-._- -Ainsi, la caustique sonnée des rayons réfléchis
par. un quart de cercle, est égale aux \ du diamètre.
Cette rectification des caustiques a été antérieure au
calcul de Tinfini, qui nous a.fourni pelle de plu-.3i3C’a u ceg"sieurs autres courbes. V. RECTIFICATION. L Académie
nomma un comité pour examiner ces nouvelles
courbes ; il étoit composé de MM. Castini,
Mariorte & de la Hire, qui révoquèrent en doute
la description ou génération que M. Tschirnhauscn
avoit donnée de la caustique par réflexion du quart
de cercle : fauteur refusa de leur découvrir sa méthode,
& M. de la Hire persista à soutenir qu’on
pouvoit eu seupçpnner la génératipn de fausseté.
Quei qu’il en soit, M. Tschirnhausen la proppsoit
avec tant de cenfiance, qu’il J’.enveya aux
actes de Leipsick , mais fans démonstration. M. de
la Hire a fait voir depuis dans (on traité des Epicycloides,
que M. Tschirnhausen s’étoit effectivement
trompé dans la description de cette caustique.
On trouve dans Y Analyse des infiniment petits de
M. le marquis de VHôpital, une méthode pour
déterminer les caustiques de réflexion & de réfraction
d’une courbe quelconque, avec les propriétés
générales de ces sortes de courbes, que le calcul
des infiniment petits rend très-aifées à découvrir
& à entendre.Le mot caustique vient du grec ^ù" > je brûle ,
parce les rayons étant ramassés fur la caustique en
plus grande quantité qu’ailleurs, peuvent y brûler,
si la caustique est d’une fort petite étendue. Dans
les miroirrs paraboliques, la caustique des rayPns
parallèles à Taxe est un point qu’en nomme le
foyer de la parabole.Dans les miroirs sphériques d’une étendue de
20 à 30 degrés, la caustique des rayons parallèles
à Taxe est d’une très-petite étendue, ce qui rend
les miroirs sphériques & paraboliques capables dé
brûler.Si plusieurs rayons partent d’un point & tombent
fur une surface plane, les rayons réfléchis
prolongés se réuniront en un point ; & pour
trouver ce point, il n’y a qu’à mener du point
d’où les ra3'ons partent une perpendiculaire à la
surface plane, prolonger cette perpendiculaire jusqu’à
ce que la partie prolongée lui soit égale, &
le point cherché sera à Textrémité de cette partie
prolongée. Voye[ MIROIR.Cette proposition peut faire naître sur les caustiques
une difficulté capable d’arrêter les commençans,
& qu’il est bon de lever ici. On fait que
dans la Géométrie des infiniment petits, une portion
de courbé infiniment petite est regardée comme
une ligne droite .dont la tangente est le prolongement.
Supposons donc un petit côté de courbe
prolpnge en tangente, & imaginens deux raypns
infiniment proches qui tembent sor ce petit côté ;
il semble, d’après ce que nous venons’ de dire,
que pour trouver le point de concours des rayons
réfléchis, il suffise de mener du point d’pù les
raypns partent une perpendiculaire à.cette tangente,
& deprelpnger cette perpendiculaire d’une
quantité égale. Cependant le calcul & la méthpde
de M. de THepital font vpir que Textrémité de
cette perpendiculaire n’est pas un point de la caustique.
Comment donc accorder tout cela ? Le voici.
En considérant la petite portion de courbe comme
une ligne droite, il faudroit que les perpendiculaires
à la courbe, tirées aux deux extrémités du
petit côté, sossent exactement parallèles, comme
elles lescroient si Ja surface totale au lieu d’être
courbe étoit droite : or cela n’est pas ; les perpendiculaires
concourent à une certaine distance, & forment
par leur cenepurs ce qu’pn appelle le rayon
de la développée. Voyez DÉVELOPPÉE. Ainsi, il
faut aveir égard à la position de ces perpendicu- .
laires concourantes pour déterminer la position
des rayons réfléchis, & par conséquent leur point
de concours, qui est tout autre que si la surface
étoit droite. En considérant une cou »be comine
un polygone, les perpendiculaires à la courbe ne
doivent pas être les perpendiculaires aux côtés de
la courbe ; ce sont les lignes qui divisent en deux
également Tangle infiniment pbtus que forment
ses petits côtés ; autrement , au point de convCPursde deux petits côtés, il y aureit deux perpendiculaires
, une peur chaque côté. Or cela ne
se peut, puisqu’à chaque ppint d’une courbe il
n’y a qu’une perpendiculaire possible. Les rayons
incidens & réfléchis doivent faire avec la perpendiculaire
' des angles égaux. D’après çette remarque
fur les-perpendiculaires, on peut déterminer• les caustiques en regardant les courbes comme polygones ;
& on ne trouvera plus aucune absurdité
ni contradiction apparente entre les principes dé
la Géométrie de 1 infini. Voye\ DirrÉRENCiÉL j
INFINI, de. (O) '. .'CAZIMI, ( Astron. ) ce mot arabe est employé
par les astronomes de ce pays pour marquer le
disque du soleil ; lorsqu’ils disent qu’une telle
planète est en eaûmi, cest comme s’ils vòuloient
dire quelle ne paroît point éloignée de \6 minutes
du centredusoJeil, Je demi-diamètre de cet astre
étant de 16- minutes.C e gCEGINUS, f. m. ( Astr. ) est une étoile de la
troisième grandeur, dans Tépaule gauche du bouvier
marquée y ; 'la latitude est 4911 3 3 ' ~, fa
lpngitude en 1750,' 6 signes 14° 9'. ( O ) CELERITE, f. f. ( Méchanique )  est proprement
la vitesse d’un corps en mouvement, ou
cetté affection du cerps en meuvément, par laquelle
il est mis en état de parceurir un certain
espace dans un certain tems. Voy. VITESSE , ESPACE
 ; voyez aujfi MOUVEMENT ; 'Ce mot s’enìploie presque teujpurs dans un fe'n’s  ;
figuré. On íè sert rarement du mpt de célérité \
pour exprimer la vitesse d’un corps en mouve- .
ment : mais on s’en sert souvent dans Tufage or- j
dinaire ; lorsqu’on dit, par exemple, qu’une telle (
i affaire, demande expédition & célérité, -&c Ce \C £ n c e n31 S »mot. vient du latin celeritas , qui signifie la même .'
chose. ( O )  ,
ÇÉLIDOGRAPHIE ( Astron. )  nom que Bianchini
a donné à sa description des taches de venus,
ce mot vient de KHXÎÍ, KHTHMV, macula. Voyez son
ouvrage intitulé, hesperi d phosphori nova phenomena.
~ .C e nCENTAURE, (Astron.)  constellation méridionale,
centaurus, semivir, pclcnor, Chiron ; Phillyrides,
pélethronius , pholos, minotaàrus , acris venator ;
chez les Arabes albeze : ils peignent un ours
fur un cheval. Les centaures étoient un peuple de
nomades ou de pán-es, errants aux environs du
mont esta y qu’on disoit avoir inventé Tart de
dompter les chevaux ; de-là vient la fable qui
les faisoit demi-hommes & demi - chevaux. Les
anciens crurent qu’il exisloit véritablement une
race d’hommes de cette forme, &Ton en montrait
un à Rome-conservé dans le miel. (Pline, VIII,
3, Fréret, Dés. de la chron., pag. 243. )  On appella
aussi centaures les gardes de Saturne, &en
général ceux qui passèrent pour inventeurs de Tart
d’exercer les chevaux, ou de garderies troupeaux
à cause des mots Kirr-pi, éperon, & vûfK, taureaui
De-là vient que Ton attribue à plusieurs héros de
la fable la constellation du centaure : d’autres ont
dit que c’étoit le centaure Chiron , représenté
moitié homme & mpirié cheval, parce qu’il avpit
sû rendre Tart de la médecine utile aux hommes
& aux chevaux ; enfin d’autres prétendent que- c’est
le symbole de la volupté qui rend Thomme semblable
aux animaux ; mais nous ignorons totalement
la première origine de l’allégorie qui a fait placer
un centaure dans les constellatipns. On lui nlettoit
dans les mains une outre pleine de vin ,.syrnbole
des vendanges , qui arrivpient tant que le soleil
étoit près de cette constellation, comme Tobserve
M. Dupuis. (Astron. T. IV. pag. 484 & 48g.) 
On en a fait le septième travail d’Hercule, ou son
triomphe sur un taureau furieux, parce que le
soleil dans le signe du verfau faisoit disparaître ce
monstre minptaure ou cette constellation.Le centaure- ne renferme que -cinq étoiles dans
le catalogue britannique, mais il y en a un grand
nombre dans le catalogue de la Caille, une entre
 ; autres de la première grandeur, qui avoit en 1750
215" 42' .29" d’ascension .droitey & 59 ° 47' 8"
de déclinaison australe, en sorte quelle passe à près■ ^e I2 degrés au-dessous de notre, horizon. (D.L.) CENTIEME, adj. ( Arith. ) , partie d’un tout
supposé divisé en cent parties égales.
'■ CENTRAL, ad j. ( Méchanique )  se dit de ce
 ; qui a rapport à un centre.: Voyez\ CENTRE.
 ; C’est ainsi que npus disons éclipse centrale, feu■ central, force centrale , règle centrale } &C. Voyez
\ in articles FEU, ÉCLIPSE , de. ■-■ ■ 'Forces centrales, sont des forces ou puissances
par lesquelles un corps mû tend vers un centre
de mouvement, ou s’en éloigne.C’est une loi générale de la nature j que tout
corps tend à s’émouvpir en ligne droite ; par cpnféquent,
un cerps qui se meut fur une ligne cpurbe,
tend parfaitement à s’échapper par la tangente de
cette.cpurbe : ainsi, ppur Tempêcher de s’échapper
suivant cette tangente, il faut nécessairement une
force qui l’en détourne & qui le retienne sur la
courbe. Or, c’est cette force qu’on appelle force
centrale. Par exemple un corps A ( Méchan.fig. 24) 
qui se meut fur le cercle BEA, fend à se mou:
voir au ppint A suivant la tangente A G', & il se
mouvrait effectivement suivant cette tangente, s’il
n’avoit pas une force centrale, qui le pouffe vers
- le point C, & qui lui seroit parcourir la ligne A
 M dans le même tems qu’il parcourrait AD ;
de sorte qu’il décrit la petire portipn de cpurbe.^ E.Remarquez qu’iln’estpas nécessaire que lá force
centrale [oh toujours dirigée vers un même point:
elle peut changer de directien à chaque instant,
il foffit que fa direction soit différente de celle de
la tangente, pour qu’elle oblige le corps à dé- '
crire une courbe. Voyez CENTRE DE MOUVEMENT
 ; voyez aussi FORCE.-Les forces centales se divisent en deux espèces,
eu égard aux distérentes manières dont elles sont
dirigées par rapport au centre, savoir en centripètes
& en centrifuges. Voye[ ces mots.Loix des forces centrales^ Le célèbre M. Huygens
est le premier qui ait découvert ces loix. Mais
outre qu’il les a données fans démonstration,"il
ne s’est appliqué qu’à déterminer les lpix des
forces centrales dans le cas pù le cprps décrit un
cercle. Plusieurs auteurs pnt démpntré depuis les
loix dpnnées par M. Huygens, & le. célèbre
M. Neuten a étendu la théprie des forces centrales
à tentes les ccurbes ppffibles.Parmi les auteurs qui ont démpntré les 'proppsitipns
de M. Huygens, personne ne Ta faitplus
clairement & d’une manière plus simple,:que
le marquis de THopital dans les Mémoires de
VAcadémie de 1701. i." II commence par enseigner
la manière de comparer la force, centrale avec la
pesanteur ; &il donne là-dessus la règle générale
suivante, qui renferme toute la théorie des forces
centrales.Supposons qu’un corps d’un poids déterminé se
meuve uniformément autour d’un cenrre avec une
certaine vitesse, il faudra trouver de quelle hauteur
il devroit être tombé pour acquérir cette vitesse ;
après quoi on fera cette proportion : comme le
rayon du cercle que le corps décrit est au dpuble
de cette hauteur, ainsi son poids est à fa force
centrifogê. 11 est visible que par cette proportion
on peut toujours trouver le "rapport de la force
centrale d’un corps à son.poids ; & que par conséquent
on pourra facilement comparer les forces
centrales entr'cíks. Mais’fi on veut se contenter.C e n c e nde cpmparer les forces centrales entr'elles fans les
cpmparer avec la pesanteur ; pn peut se servir de
ce théorème , que les forces centrales de deux cprps
sont entr'elles comme les produits de leurs masses
multipliées par les quarrés de leurs vitesses, divisés
par rayens pu par les diamètres des cercles
qu’ils décrivent. On peut démontrer cette proposition
fans calcul, d’après M. Neuton, de la manière
suivante. Imaginons les cercles que ces corps
décrivent comme des polygpnes réguliers _ semblables,
d’une infinité de côtés ; il est certain que
les forces avec lesquelles chacun des corps frappe
un des angles de ces polygones, font comme des
produits de leurs "masses par leurs vitesses. Or,
dans un même tems, ils rencontrent d’autant plus
d’angles qu’ils vont plus vite, & que le cercle est
d’un rayon plus petit : donc le nombre des coups
dans un même tems, est comme la vitesse divisée
par le rayon , donc le produit du nombre des coups
par un seul coup, c’est-à-dire la force centrale,
fera comme le produit de la masse multipliée par
le quarré de la vitesse, divise par le rayon.Donc, si deux corps M, m, décrivent les circonférences
C, c, de deux cercles avec des vitesses V, v,
pendant les tems T, t, & que les forces centrales
de ces corps soient F, f, 8c Jes rayons des cerclesqu’ils décrivent .R ;, r, pn aura F] fil —R"- »
—, de plus pn a V\ v "y ;/: ; T’f p dpnc- T-> . f. • - MR. mron aura enepre FI f 11 fyl ^,2.°U est aisé decenclure de-là, que si deux çprps
de poids égal décrivent des circPnférences de
cercles inégaux dans des tems égaux, leurs forces
centrales seront comme les diamètres A B &. H L
( Plane. Méchan. fig. 24.)  ; car si m = M. &
t = T, on aura FlfH R', r ; & par conséquent
si les forces centrales de deux corps qui décrivent
des circonférences de deux cercles inégaux, sont
comme leurs diamètres, ces corps feront leurs rér
volutions dans des tems égaux. '3.° La force centrale d’un corps qui se meut
dans une circonférence de cercle, est çpmme le
quarré de Tare infiniment petit A E , divisé par le
diamètre AB ; car cet arc infiniment petit décrit
dans un instant, peut représenter la vitesse, puisqu’ils
lui est proportipnnel. Ainsi .puisqu’un çprps
décrit dans des tems égaux, par un mouvement
uniforme, des arcs égaux A E , la force centrale
par laquelle le corps est poussé dans la circonférence
du cercle, doit être constamment la même,4.° Si deux corps décrivent par un mouvement
umfprme différentes circenférences, leurs forces
centrales seront cn raison composée de la doublée
de leur vitesse, & de la réciproque'de' leur dia.
mètre ; d’où il s’ensuit quç si les vitesses font égales,
Jes forces centrales seront réciproquement comme
les diamètres ; & si les diamètres A B & HLÍont.égaux, c’est-à-dire si les mobiles se meuvent dans
la même circonférence , mais avec des vitesses
inégales, les forces centrales seront en raison doublée
des vitesses.Si les forces centrales de deux corps qui se
meuvent dans des circonférences différentes, font
égales, les diamètres A B & H L feront en raison
doublée des vitesses.5.° Si deux cerps qui se meuvent dans des circenférences
inégales sont animés par des forces,
centrales égales, le téms emplpyé à parcourir la
plus grande circonférence sera au tems employé
à parcourir la plus petite, en raison soûdoublée
du plus grand diamètre A B , au moindre HL:
c’est pourquoi. 011 aura T* l t1 H D * d ; c’està-dire
que les diamètres des cercles dans les circonférences
desquels ces corps sont emportés par
une même force centrale, sont en raison doublée
des tems.II s’enfuit aussi de-là, que le tems que des
çprps poussés par des forcés centrales égales emploient
à parcourir des circenférences inégales,
sont prppprtipnnels à leurs vitesses.Les forces centrales sont en raison composée de
la directe des diamètres & de la réciproque des
quarrés des tems employés à parcourir les circonférences
entières.6.° Si les tems dans’ lesquels -les corps parcourent
les circonférences entières ou'des arcs
semblables, sont comme les diamètres des cercles,
lés forces centrales seront alors réciproquement
çpmme ces mêmes diamètres.7." Si un çprps se meut uniformément dans la
circonférence d’un cercle avec lá vitesse qu’il acquiert
en tombant de la hauteur FA> nous avons
dit que la force centrale sera à la gravité comme
le double de la hauteur F A est au rayon CA ;
& par copféquent, si on nomme G la gravité ducorps, la force centrifuge fera 2 c A—, Par-làpn cpnnpítra quelle doit être la force centrifuge
&t la vitesse d’un corps attaché à un fil, pour qu il
ne rompe poinf ce fil en circulant horizontalement .car,
 supposons qu’un poids de trois livres, par
exemple, rompe le fil, & que le poids du corps
soit de deux livres, on aura G égal à deux livres,& %- CÂ" devra être plus petit que trois"livres,d’où Ton tire FA<^^^ ; ainfiy la vitesse quele cprps dpit avoir pour rie point renipre le fil,
dpit être plus petite que celle qu’il acquerroit en
tpmbant d’une hauteur égale aux % du rayon, Si
Je cerps çirculpit verticalement, il faudrpit que
zAFxG . ■-, . -—CA- -f- G rut <; trois livres.8." Si un cprps grave se meut uniformément
dans la çhçpnférençe d’un cerçlef & avec la vîteffequ’il"c e n • ; c e n - « nqu’il peut acquérir en tombant d’une hauteur égale
à la moitié du rayon: la force centrale sera alors
égale à la gravité ; réciproquement si Ìa/orce centrale
est égale à la gravité, le corps se mouvra dans la
circonférence du cercle avec ía même vitesse qu’il
auroit acquise en tombant d’une hauteur égale à
ia meitié du raypn., Ç).° Si h force centrale est égale' à la gravité, le
tems qu’elle emplpiera à faire parcpurir la circonférence
entière  ? fera au tems dans lequel un cerps
grave tomberait de la-moitié'du rayon, comme
la circonférence est au rayon.io.° Si deux corps se\ meuvent dans des circonférences
inégales & avec des vitesses inégales,
de forte que les vitesses soient entr'elles en raison
■réciproque -de la soudoublée des diamètres, les
forces" centrales feront en raison réciproque de la
doublée-des distances au centre des forces.II.° Si deux'èorps se meuvent dans des c’ircpnférences
inégales avec des vitesses qui soient
entr'elles réciproquement comme les diamètres, les
forces centrales seront en raison inverse des cubesgs
de leurs distances au centre des sorces. ; .I2.° Si les vitesses de deux cprps qui se meuvent
Sans des circpnférences inégales," sont"en raison
Inverse de la spudpúblëe des diamètres , les
tems qu’ils emploieront à faire leur révolution
entière ou à parcourir des arcs semblables, scrònt '
en raison inverse de la triplée des distances du
■ centre des forces : c’est pourquoi si les forces centrales
sont en raison inverse de la doublée des
dislances du centre, les tems que les corps èmplpyeront
à faire leur révplutipn entière ou à
parcourir des arcs semblables ,-" seroht en raison
inverse 8e la triplée des distances.13. 0 Ces différentes loix sont aisées à.déduire
de la formule que nous avons donnée dans farticle
1. pour la comparaison des forces centrales
entr'elles. Or, pour comparer les forces centrales
fur des courbes, autres que des cercles,- il faut
prendre au lieu des raypns des cercles, les raypns
de la développée de ces oeurbes, qùi changent à
"chaque ppint, & qu’pn trouve par des méthodes
géométriques : d’où Ton voit que quand un corps
décrit une courbe, autre qu’un cercle, la valeurde
la force centrale change à chaque instant ;' au lieu
quelle est toujours la même quand le corps décrit
un cercle. II faudra de plus diviser lá quantité
trouvée par Te rapport du sinus total au cosinus
de Tangle que la direction de la force centrale fait
avec la tangente. .' 14.° Si un corps tend à se mouvoir suivant A D
(fig. 2 s.)  & qu’il soit en même tems sollicité par
-une force centripète vers un point fixe C, placé
dans le même plan, ii décrira alors une courbe
dont la concavité fera tournée vers C, & dont les
•différentes aires comprises entre deux rayons quelMathématiques.
Tome I, L"s Partie.conques A C-8-: CB , feront proportionnels aux
tems emplpyés à parcpuri'r ces aires, c’est-à-dire
à parvenir de Textrémité d’un de'ces raypns á Textrémité
de l’autre. Car fans la force centrale qui
ppusse suivant B-F, le corps parcourrait dans des
tems égaux B D = A B : mais à cause de la force
centrale, il décrira la diagonale B E du parallélogramme
F B DE dans le même tems qu’il a
décrit AB. Or le triangle CBA=CBD, à
cause de B.D = AB ; & à cause des parallèles
DE ,FB ,ona C B E=C B D. Donc C B E
— CAB. Donc, de.15. ? Quelque différentes que soient des farces
centrales’dans des cercles, on pourra toujours les
comparer ensemble : car elles seront tpujpurs en
raison cpmpofée de celle des quantités de matière
que cpntiennent les rnpbiles, de celles de leur "
dislance au centre, & enfin de Tinverfe de la
dpublée des tems périediques. ' Si Tpn multiplie
donc la quantité de matière de chaque mobile
par fa distance du centre, & qu’on divise le
produit par le quarré du tems périodique, les’
quotiens qui résulteront de ces ppératipns feront
entr'eux dans la raison des forces centrales : c’est
une fuite de J’article r.16° Si les quantités de matières font égales, il
faudra diviser les distances par les quarrés des tems"
périodiques, pour déterminer le rapport des forces
centrales. • - • '■, 17. 0 Lorsque la ' force par laquelle un corps
est sollicité vers un point, n’est pas par-tout la
même, mais qu’elle augmente ou diminue à proportion
de la distance du centre ; cette nouvelle
condition fait décrire alors au mobile différentes
courbes plus ou moins composées. Si la force décroît
en raison inverse des quarrés des distances à ce
ppint, le mpbile décrira alOrs une ellipse, qui
est une cpurbe ovale, dans laquelle se trouvent
deux poinrs qu’on nomme foyers , dont l’un est
alors occupé par le point C,-vers lequel se dirige
la force dont nous parlons. ; de façon qu’à chaque '
révolution le corps s’approche"une fois de çe point,
& s’en éloigne une fois. Le cercle appartient aulìi
à cette espèce de courbe, de sorte que dans ce'
cas le mobile peut auffi décrire un cercle. Le mobile
peut aussi, en lui sopppsantiine plus grande vitesse,
décrire les deux autres sectiens çpniques, la parabple
& Thyperbóle ; lesquelles ne retournent
ppint fur elles-mêmes. Si la force'croît en même
tems que la distance, & en raison de, la distance
même, lê#corps décrira encPre une ellipse : mais
le ppint vers lequel se dirigera la force fera alprs
le centre de Tèllipse, & lé mpbile à chaque révplutipn
s’approchera deux fois & s’élpignera deux
fois de çe peint. II peut arriver encore" en ce cas
que le corps se meuve dans un cercle. Voyéi
ORBITE , PLANÈTE", TRAJECTOIRE 6- PRO-'
• JECTILE. 'Voyez aussi les principes mathém. de
Ss
3*a c e n • c e nM. Neuton, liv. I. d les clémens de mechan. de
Vols.
Les courbes peuvent être cpnsidérées, PU comme
courbes rigoureuses, ou comme polygones infinis ;
or Texpreffion de la force centrale est différente
- dans les deux cas : ce paradoxe singulier fera expliqué
à \'article COURBE.Règle centrale ; c’est une règle ou une méthode
qui a été déceuverte par Thomas Baker, géomètre
an°lois ; au moyen de laquelle on trouve le centré
&Te rayon du cercle-qui peut couper une parabole
donnée dans des points, dont les al/cisses
représentent les racines réelles du troisième. ou
du quatrième degré, qu’on se propose de construire.
Voy ci CONSTRUCTION.La règle centrale est sur-tout fondée sur cette
propriété de la parabole ; que si on tire dans cette
courbe une perpendiculaire à un diamètre quelr
conque', le rectangle formé des segmens de cette
liane, est égal au rectangle fait de Ja portion corrdppndante
du diamètre , & du paramètre de
Taxe.La règle centrale est préférable , selon Baker,
à la méthode de Descartès pouf construire les
■équations, en ce que, dans cette dernière, on a
besoin de préparer Téquation, en lui ôtant le second
terme ; au Jieuque dans celle de Baker on n’a point
cet embarras, puisqu’elle dorme le moyen de construire
,' par Tinterscction d’un, cercle & d’une parabole
, toute équation qui ne passe pas le quatrième
degré, fans en faire évanouir ni changer
aucun terme. Voyez tranfaâions poilqfophiq. n.° 1^7.
Mais il est très-facile, en suivant Tesprit de la
méthode de Descartes, de construire par le moyen
du cercle & de la parabole, toutes les équations du
troisième & du quatrième degré, fans en fairè éva'
uouir le second terme. Voyez la solution de ce problème
dans Varticle 3 8.6 dcsfeâions coniques de M. de
THôpital. (O) CENTRE, s. m. (Géométrie.)  dans un sens général
marque un point également éloigné des extrémités
d’une ligne , d’une figure,: d’un corps, ou
le milieu d’une ligne, eu un plan *par lequel un
corps est divisé en deux parties égales.CENTRE d’un cercle : c’est le point du milieudu cercle, situé de façon que toutes les lignesmenées de-là à la circonférence , sont égales.Euclidc démontre que Tangle au centre est doublede celui de la circonférence, c’est-à-dire quel’angle qui est fait de deux lignes .qui sont .tiréesdes "deux extrémités d un arc de cercle au centre,. est double de Tangle que font deux lignes tiréesdes extrúnircs d’un même arc, & qui"aboutissentà la circonférence. Voyez CIRCONIÉRENCE fiANGLE.(E.) - CEKTRE d’une seaion conique : c’est le.ppint eùconcourent tous les diamètres. Voyez DIAMÈTRE• voyez aufstSECTIONS CONIQUES. Ce-point est dansTellipsc en-dedans de la figure, & dans lJryperJjoleau - dehors. Voyez ELLIPSE d HYPERBOLE.CENTRE d’une combe d’un genre plus élevé: c’est
le ppint où deux diamètres concourent.' Voyei
DIAMÈTRE.• Lorsque tous les diamètres concourent en un
même point, M. Neuton appelle ce point centre
général. Voyçí COURBE. M. Tabbé de Gua, dans.
Jes usages de Vanalyse de Descartes, a donné une
méthode pour trouver les centres généraux des
epurbes, & des remarques impétrantes fur la définitipn
des centres généraux dpnnée par M. Neuton’..M. Tabbé de Gua appelle centre général d’une
courbe un point de son plan, tel que toutes les
droites qui y passent aient de part & d’autre de
ce point des portions égales terminées,à la courbe ;
& il observe, í." que cettè définition convient assez
-à Tacception ordinaire du mot centre. 2.° Que la
définition de M. Neuton est comprise dans la sienne. .
z. 9 Que ce n’est qu’en se servant-de fa définition,
qu’on peut parvenir aux conditions que M. Neuton
a assignées pour les çpurbes, quipnt, selon ce
■v grand géomètre , un centre général ; d’pù il paraît
s’ensuivre qiie M. Neuten a eu en vue plutôtla
dêsinitîpn de M. Tabbé de Gua , que la sienne
propre, sorfqu’il a déterminé ces centres. Voyez
Vouvrage cité de M. Tanbé de Gua., pages 17.,d
suivantes.M. Cramer, dans son introduâion à Vanalyse
des lignes courbes, dpnne une méthpde très-exacte
ppur déterminer les centres généraux. Dans Textrait
que le journal des favans de 1740 a dpnné de TPUvrage
de M. Tabbé de Gua, pn trouve à la fin
une remarque assez importante fur Ja méthpde
de cet habile géemètre ppur trouver les centres
généraux.(O) ■ y.CENTRE de gravités ( Méchanique )  : ppint situé'
dans Tintérieuf d’un cprps, de telle manière que
tout plan qui y passe, partage le corps en deux
segmens qui se font équilibre ; c’est-à-dire dont
Tun- ne peut pas fane mouvoir l’autre.D’où il s’enfuit que si on empêche la descente
du centre de gravité, c’est-à-dire fi' ojn suspend
un corps par son centre de gravité, il restera en
repos. ' . * * - "La gravité totale d’un corps peut être Conçueréunie
à son centre de gravité. Les droites .qui
passent par le centre de gravité s’avnellent.diamètres
de gravité ; -ainsi., Tinterléction de deux-diamètrés de
gravité détermine \e centre. Voyez DIAMÈTRE. -Tóutplan qui passe par le centre de gravité, ou
ce qui est la même chose, dans lequel ce centre se
trouve, s’appelle plan de gravité ; '& ainsi Tintersection
commune de deux plans de gravité-, est
un diamètre de gravité.Dans les corps homogènes qui peuvent se. diviser
cn parties égales & semblables, Je centre de
gravité est la même choíë que le centre de. figure
ou le point du milieu du cprps ; c’est pourquoi,.
C E N

CEN . ' '513 ■
fi on cpu'pe une droite en deux parties égales,, le
point de section sera le centre de'gravite. :
-' Centre commun de gravité de deux corps, c’est
un ppint situé dans la ligne droite qui jpint les
centres de gravité de ces deux cerps, de manière
que s’il étpit soutenu, le fystême des deux cprps
resteroit en repos, & la gravité de l’un de ces
deux corps ne pourroit prévaloir fur celle de l’autre ;
ainsi le point de suspension dans la balance ordinaire
PÙ dans la romaine, c’est-à-dire le point
•fur lequel les deux ppids font équilibre, est le
centre commun de gravité des deux peids.• LOIXBV CENTRE DE GRAVITÉ .-.T." Si onjoint( PI. Méchaniq. fig. 2G. ) les centres ' de gravité de
deux corps A d B, par une droite AB, les distances
B C 6' Ç A du centre commun de gravité C
eux centres 'particuliers de gravité B & A ,. seront
entr'elles en raison réciproque des poids. VoyezBALANCE
d LEVIER.■ Dpnc si les ppids A tk B sont égaux, le centre
commun de gravité C sera dans le milieu de la
droite AB. De plus puisque A eu k B comme
B C est à A C, il s’ensuit que AX AC —B X
B C, ce qui fait voir que les forces des corps en
équilibre, dpivent être estimées par le produit de
la masse &. de la distance du centre de gravité,
ce qu’pn appelle.prdinairement moment des corps.
Voyez MOMENT.• De plus, puisque A * B H B C’ * A C, pn en
peut conclure que A -f B '. A'.l B C-f A Cl B C ;
ce qui fait voir que pour trouver le centre commun
de gravité C de deux corps, il n’y aura qu’à prendre
le produit de l’un de ces deux poids par là'distance
A B des centres particuliers de gravité A B ,' tk le
diviser par la somme des poids A tk B. Supposons ;
par exemple, A = n, B—4 ;'A B = 14, onaura donc B C=—— — = 18 : si le ppids Aest dpnné ; ainsi que la dislance AB -des centresparticuliers de gravité , & le centre commun deA. wJÍ C
gravité C, pn aura le ppids de B == -—jj-g— ,c’est-à-dire, qu’on le trouvera, en divisant le moment
du poids donné par la distance du poids
qu’on cherche, au centre commun de gravité : supposons
A = 12, B C = 18, A£=. 6, & pn auraB 6X12 jx
-.3 ——ïï-—T.— 4- ^
2.° Ppur déterminer le centre commun de gravité
de plusieurs corps donnés a, h, c, d, (même figure ) 
-ireuvez dans la ligne A B le ,centre commun de
gravité des deux premiers corps a tkb que je sop.poserai
en F ; concevez ensuite un poids a -j- b
appliqué en F, tk trouvez dans la ligne F E le
centre commun de gravité des deux ppids a -f-'fc ,
& c que je sopppscrai en G ; ensin sopppsez un
poids a -f b -\-c appliqué en G , égal aux deux
poids a -j- b & c, & trouvez le centre commun de
gravité de çe ppids a -j- & -f- c & de d, lequel jesupposerai en H, & ce peint 'H- fera le centre
commun de gravité de teut le système des eprp ;a
 -j- b -}- c 4, d ; & on peut trouver de la même
manière le centre de gravité d’un plus grand nombre
de corps tels qu’on vpudrà..3. 0 Deux poids D d E (fig. 2.7.) étant suspendus
par une ligne' C O qui ne .passe point par
leur centre commun de gravité, trouver- lequel des
deux corps doit emporter l’autre !?II faudra ppur cela multiplier chaque poids par
fa distance du centre de fufpensipn, celui du côté
duquel se treuvera le plus grand produit, sera lé
préppndérant, & la différence entre les deux sera
la quantité dent il Tempertéra fur l’autre.Les mpniens des ppids D & E, suspendus par
une ligne qui ne passe ppint par le. centre de gravité
, étant en raison cpmppsée des peids D & E ,'
&des dislances du ppint de suspension, il s’ensuit
encore que le moment d’un poids suspendu précisément
au point C, n’aura-aucun effet par.rapport
aux autres ppids. D tk E.4. 0 Soient plusieurs corps, a, b, c , d, (fig. 28 ) 
suspendus en C par une droite C O qui ne poste,
point par leur centre de gravité : on propose de déterminer
de quel cótésera la prépondérance, d qu’elle
en sera', la quantité.On multipliera ppur cela les ppids c &. i par
leur distance CE & CB du point "de suspension,
& la somme sera.le momenr.de leur poids ou
leur moment vers la droite : on multipliera ensuite
lés poids a & b par leurs distances A C & C D ;
tk la somme sera le_rrioment vers la gauche ; pn
foustraira l’un de- cês memens de J’aurre y & le
reste dpnnera la prépondérance, cherchée.5. 0 Un nombre quelconque de-poids a, b, c, d,"
étant suspendus en C par une ligne C O qui ne passe
point par leur centre commun de gravité, d_ la prépondérance
étant vers la droite : déterminer un point F,
ou la somme de tous les poids étant suspendue, la
prépondérance continueroit à être la. même que dans
la première fituation.Trouvez le moment des ppids c &. d, c’esl-àdire
eX.CE & d X C B ; & puisque le mement
des ppids suspendus en F dpit être précisément le
même, le mement trouvé des poids c & d fera
donc le produit de C F par la somme des poids ;
& ainsi ce moment étant divisé par la somme des
poids, le quotient dpnnera la. distance CF., à
laquelle la somme des peids doit être suspendue,
pour que la prépondérance continue à être la même
■ qu’auparavant, ' j* 6° Trouver le centre de gravité d’un parallélogramme
d d’un parallélipipède. .Tirez les diagonales A D & E G (fig. 2$) ainsi
que CB & HF ; & puisque chacune des diagonales
AD tk C3 divisent le parallélogramme
A CD B en deux parties égales & semblables,
chacune d’elles passe denc par le centre de gravité ;S fij324- CEN - C E N -
donc le point d’intersection J est le centre de gravité
d i parallélogramme. _De même puisque les plans CB F H tkADGE
divisent le paiallélipipède en deux parties égalés
&. femblabjes, ils passent" l’un & l’autre par son
centre de gravité ; &■ ainsi leur intersection IK
est le diamètre de gravité , & le milieu en. est le
centre. .' On pourra trouver de la-même manière le centre
de gravité dans les prismes & les cylindres:, en
prenant le milieu de la droite qui joint leurs bases …
opposées.Dans les polygones réguliers, le centre de gravité
est le même que celui du cercle circonscrit
ou inscrit à ces ppfygon’es.7. 0 Trouvt le centre de gravité d’un cône d d’une
pyranude. Le-rentre de gravité d’un cône est dans
son axe AC (fig. 30)  ; si Ton fait donc AC = a,
CD =r> p la circonférence dont le rayon est r,
AP^=x, P p = dx, le poids de Télément du cônefera F rx , . & son moment fera p— x , * ; &par conséquent Tintégrale des momens sera ' 1 ".laquelle, divisée-par Tintégrale des poids p-^r }
donne la distance du centre de gravité de la portion
A M N au sommet A ,= „ ",  ;' ' % = í xo 0. p r x > . ^■== | A P ; d’où il s’enfuit que le centre de gravité
du cône entier est éloigné du sommet dès ^ de
A C ; & on trouve de la même manière la dislance
du centre de gravité dé la pyramide au sommet de
cette pyramide =_l A C. .8.° Déterminer le centre de gravité d’un triangle
B AC (fig. 31. )  Tirezla- droite A D au point
milieu D de B C ; & puisque le triangle D A B est
égal au'triangle BAC, on pourra donc, diviser
chacun de ces triangles en un même nombre de petits
 poids, appliqués de la même manière à Taxe "
commun A D , de façon que le centre de gravité du
triangle B AC sera situé dansai ?. Pour déterminer
ce point précis, soit AD —a, B C=.b, AP-x,
M N = y, Á on aura AP', MN 11 AD’. BC,*: y ii *:■ bce qui donnera y=.— ," d’où il s’enfuit que le—.1 . l> xz d x c, s. ■ 1 b.xlmoment y xdx — ,&Ayi d x— %intégrale qui, étant divisée par Taire A M N du
triangle, c’est-à-dire, par ~ donne la distancedu centre de gravité au sommet — * a h T -îr&ainsi sul) stituant a pour x, la dislance du centre
total de gravité au sommet sera = l a.f).° Trouver le centre de gravité de la portion de
parabole S AH, (fig. 32 . )  sa distance du. sommetA se trouve être = f A E par les méthodes précédentes.10.° Le centre de gravité d’un arc de cerclé, estéloigné
du centre de cet arc , d’une droite qui est
troisième prepertipnnelle à cet arc, k, fa.corde,
& au rayon. La distance du centre de gravité d’un
secteur de cercle au centre de ce cercle, est à la
dislance du centre de gravité de Tare au même
centre, comme 2 est à 3.Les centres de gravité des segmens descono'ides,
des parabplpïdes, des sphéroïdes, des cpnes tronqués
, de., demandent des calculs un peu plus
compliqués, mais se trouvent d’ailleurs de Ja même
manière. Voyez le cours de M. Vols.II. 0 Déterminer michaniquement le centre de gravitéd’un
corps. Placez le cprps dpnné HI (fig. 33 ) 
fur une eprde tendue PU fur le berd d’un prisme
triangulaire F G, & avancez-le plus eu moins,
jusqu’à ce que les parties des deux côtés soient en .
équilibre ; le plan vertical passant par KL, passera
par Je centre de gravité : changez la situation du corps
& avancez-le encore plus ou moins fur la corde
ou fur le bord du prisme, jusqu’à ce qu’il reste
en équilibre sor quelques lignes MN ; &Tinrerfectipn
des deux lignes MN’tkKL déterminera
fur la base du cerps le point O correspondant au
centre de gravité.' - • .On peut faire la même chose en plaçant Je corps
fur une table horizontale, & le faisant déborder
hors de la table le plus qu’il sera possible fans
qu’il tombe, & cela dans deux positions différentes
en longueur & en largeur : la cpmmune intersection
des lignes, qui dans les deux situations corref'
pondront au bord de la table, déterminerale centre
de gravité ; on peut austi en venir à bout, en
plaçant le corps fur Ja pointe d’un style, jusqu’à
cé qu’il reste en équilibre. On a "trouvé dans le 1
cprps humain que le centre de gravité est situé entre
les fesses & le pubis, de façpn que la gravité du
cprps est ramassée en .entier dans Tendroit où lanature
a placé les parties de la génération ; d’où
M. Wolf prend occasion d’admirer la sagesse du
Créateur, qui a placé le membre viril dans Tendroit
qui est le plus propre de tous à la copulation ;
réflexion aussi fausse qu’indécente, puisque cette
loi n’a point lieu dans la plupart des animaux.12." Toute figure superficielle ou solide, pro- •
duite par le mouvement d’une ligne ou d’une surface,
est égale au produit de la quantité qui Terfgendre,'par
la ligne que décrit son centre de gravité. '
Voyez Varticle CENTR.OEARIQUE.Ce théorème est regardé comme-une des plus .
belles découvertes qu’on ait faites dans les derniers ,
tems, & il est le fondement de la méthode centrobanque
 ; Pappus en eut, à la vérité"la première
idéè : mais c est le P. Guldin, Jésuite, qui Ta pertée
à sa perfectien. Leibnitz a prouvé que cettè proposition
a encore lieu, si Taxe ou le centre changeoient
continuellement durant le mouvement. On
en tire trop de corollaires, ppur qu’il soit ppffibleCe n • r.V- m . " ■ *i<de lcs^ rapporter tous ici en détail. Voyez ,dans
les*mémoircs de l’Académie de 1714, un écrit de
M. Varignon/« r ce sujet. (.CHAMBERS.) * ( Mouvement du centre de 'gravité. ) Lorsque
plusieurs corps se meuvent semblablement en ligne
droite, soit dans un même plan, soit dans des
plans dissérens : leur centre de gravité commun se
meut aussi de la même manière, ou demeure en
repos.Je vais démpntrer cette prpppsitipn d’une manière
générale, & fans décpmppser, comme on
fait erdinaireinent, les meuvemens en d’autres qui
soient parallèles à des lignes dennées de ppsitipn.
Commençons par quelques définitions.I. On dit que deux corps M tk N (fig. 34.) 
décrivent semblablement les droites MQ, NS,
lorsque ces lignes & leurs parties correspondants
font parcourues en tems proportipnnels ; c’est-à-dire,
fi J’en aMQlNSl’.MPl N. R'. IPQIRS,
& que les tems employés à parepurir les -lignes
entières M Q, iV S lòient entr'eux comme les tems
employés á parepurir les parties eprresppndantes
M P & NR, PU P Q tk RS, des deux mêmes
lignes. ' '.Par où Ton voit que si les tems employés à
parcourir les lignes entières M Q tk NS sont
éçaux, les tems employés à parcourir leurs parties
correspondantes M P tkN R, P Ç &-RS, seront
aussi égaux.II est clair que fous les mouvemens uniformes
font semblables ; car en désignant le tems emplpyé
à parcourir une ligne par la lettre initiale T mise
án-devant de cette ligne, on a dans ces .mouvemens,
MQ.-1 MF l : T. M Q ' T. MP ;tkNSl N R l ;
T. NS’. T. NR. Donc, si on a As Q l’MP y.
NS ; NR, on aura T. M Q °„ T. MF H T. N S '.
T. N R. D’òù il suit que les droites entières M Q ,
NS, tk lëurs parties homplogues MF, NR,
feront parcourues .de la même manière. Mais dans
ce qui fuit, npus envisagepns les’mouvemens semblables
sous un ppint de vue plus général : ces
mouvemens peuvent être uniformes PU variés suivant
une' loi quelconque, pourvu qu’ils soient astreints
à la condition énoncée ci-deffus, laquelle est le caractère
de leur similitude. Ensuite pn fixera dans
chaque cas particulier la signification des rnotsycmblablement
ou mouvemens semblable s ~, par- rapport à
fespèce particulière de mpuvemens qu’pn aura
én vue. ,J avertis qu’en parlant des espaces parepurus par
des cprps y je supposerai, pour abréger le discours,
ou que chaque corps est assez petit ppur pouvoir
étre censé cpneentré en un seul & même peint,
qu’il est par conséquent permis de prendre ppur
son centre de gravité ; PU que ces espaces sont
réellement ceux que parcourent les centres de graviré
des corps, quelle que soit la grandeur de ces
corps.II. LEMME. Si dans un quadrilatère quelconque
A B C.D (Fig. 55 "tk 36 ) , dont les ■ quatre côtéspeuvent être situés ou nonsitués dans un même plan,
on divise les côtés opposés, ou les’ deux diagonales
d deux côtés opposés, de manière que l’on ait les
deux proportions 'quelconques ,A f : f b ;: d h : h.c,AE: ED :: BG ;,GC ;qu’ensuite on tire les droites F H, E G : ce s ligne ?
se couperont en un point O, d on aura ces deux
suites de proportionnelles,E o : o G :: A F : F B :: D H : H c, 'F o : o H-':: A.E : ED ;;EG:GC.I.° Menez & prolpngez indéfiniment les droites
B D,FE , G H. Les deux droites B D-, F Éfont
situées dans le même plan A B D , & par cpnséqueut
elles se rencentrerent en un ppint ; de même les
deux droites B D, G Hie rencpntreront, comme
étant situées dans le même plan CB D.Par le- peint D, menez parallèlement à AB ?
la droite D I, qui rencentre FE au point I ; tk
parallèlement k B C, la droite D L, qui rencontre
G H au ppint L. Les triangles semblables A E F3D E L donnentAE l E D 11 AFl D1= ^£~JDe même, à cause des triangles semblables CHG ,DHL, onaDI = ^~-. DoncDI.-Dl::AFxED CGX.DTÌ .. AFxCH .CGx AE ^ ■
~~~AË ' • CH " D B. • ED • °°
F B ' BG, parce qu’en vertu de Thypothèse,FBLdffîZ^BCk* ^j-^.-d’où iifuit, par les principes de la Géométrie, "que les
trois lignes B D, FI, GL iront cpneourir enun
même point K ; & cela , quand même les
droites AD > B C ne feroient pas dans un même
plan., Donc ses quatre lignes FK, G K, EGA
F H íor.t dans un même plan ; & par .conséquent
les deux lignés EG> F Hie coupent en quelque
point O.x.° Ayant tiré la drpite indéfinie F G M, menez CM
 parallèle à A B ; tk du ppint if, tirez aux
ppints I, M, les droites HI,HMqui sont dansun
même plan, lequel cpntient la droite CD,
tk les parallèles CM, D I. Les triangles semblables
CGM, BGF, Thypothèse.& les triangles
semblables D El, AE'F, donnent cette fuite
de rapports égaux , CM l B F 11 C G '. G.B \ t
D E ' AEi: DIIAF. Ainsi , CM l’BFH
DI l’-A F, PU altemando CM \ D I'/. B F l
A F11 C H l H D. Dpnc les deuxtriangles CHMy
DHl’tont semblables, puisque les angles CtkD
sont é^aux comme formés par des côtés parallèles
chacun à chacun, & que ces, angles sont comprisentre
côtés proportipnnels. Dpnc les trois points.
,i<í C EN .-

C E N
M, H, I, (ont placés sor uneJeulç & même
ligne droite.^Les triangles semblables CGM,BGF, Thypothèse
c<. les triangles semblables D E I, AE F
donnent cette fuire de 'rapports égaux, G M l,GF:: CGI GBIIDE-IAE^IEIIËF.
D’où il résulte, par "la Géométrie, que les droites
I M, E G sont parallèles.Maintenant, les parallèles EG, IM, lestriangles semblables D III, C H M, tk Thypothèsedonnent E O l O G ; „' IH '. H M l \ D H'i H C l '„' AFl F B. Ainsi  ; on aura E O l 0 G H A F lF B:\DHIHC ;.° On aura par des considérations semblables,
F O'I O Hl’.FElEIllAEi ED H B G l
G-C.■ III THÉORÈME. Si deux corps A d B, ( Fig.
■\J & 38 ) décrivent semblablement d en même
tems les droites AD, B C, fituées ou non situées
dans un même plan, d que le centre de gravité de
leur fystême se meuve ; ce centre aura un mouvement
semblable à ceux des corps A & B.Ayaîit mené les droites AB, CD , divisez ces
lignes aux points F, H, de manière que Ton ait
BIAUAFIFB HDHIHC’ : le point F"
fera le centre de gravité du fystême des deux cerps
au nipment qu’ils commencent à parepurir les deux
droites AD ; B C ; tk le point H sera le centre
de gravité du fystême, au moment où ils. achèveront
de parcourir les mêmes lignes. Ainsi, il
faut démontrer que si Ton tire la droite F H,
le centre de gravité du fystême sera continuellement
fur cette ligne, & qu’il la décrira avec un mouvement’semblable
à ceux des corps A & B. -■Divisez les droites A D ,B C, aiix points indé-.
terminés E tk G, de manière qu’on zìtAE°. E D ". *
B G \ G C ; & menez la droite E G. Les deux corps
 ayant des mouvemens semblables yarriveront
en même tems aux deux points E & G. Or, à cause
des deux proportions A-Fl FB-H D H l H C,
&LAE\E D-:i BGIG C-, les droites FH,
E G fe -coupent au point O , & on a les deux
suites de proportionnelles, E O l<0 G*° AF '
FB II D Hl H CH B : A ; FO ; OH'n A.E\
E D 11 B G l G C. D’où il fuit que le centre de
gravité du fystême arrive en O, lorsque les corps
arrivent eri Ë & G ; & que ce centre se meut d’un
mouvement semblable à ceux des 'mêmes corps.
. IV. COROLLAIRE L En regardant les deux
cprps A & B comme réunis au centre de gravité
de leur lysiênie', & ne sormanr qu’un seul & même
corps qui décrit, la droite F H ; si Tpn combine
ce corps avec un autre qui.se meuve de la.même
• manière, on verra , par ìa démonstration précédente
, que le centre de gravité du- nouveau système
se mouvra d’un mouvement semblable à ceux
des cerps dont lè fystême est composé. La même
chosefe démontrera, en allant de pro^heen proche,
pour un fystême composé de quatre cprps, de cinqcprps, S en général d un nombre quelconque de
cprps. . *■•Ainsi, pn peut dire en général que si dans un
fystême composé d’un nombre quelconque de corps,
tous les corps se meuvent semblablement & ën
même tems, le centre de gravité de tput le fystême
se mpuvra de Ja même manière.V. COROLLAIRE II. Si les droites A D.., BC
décrites par les deux cerps A & B, sont dans un
même plan, la droite F H décrite par le centre
de gravité de leur fystême,-sera austi dans ce même
plan ; & si Ton a un troisième corps qui se-meuve
comme les deux premiers & dans le même plan
qu’eux, le centre de gravité du fystême des trois
corps se mouvra austi semblablement, & dans le
même plan. Ainsi de suite, pour un fystême composé
d’un nombre quelconque de corps qui se
moùvroient tpus semblablement, en même tems,
& dans un même plan.VI. CORPLLAIEE III. Supppsons que les droites
AD, B C, (fig. -39 d 40 )  décrites par les deux'
cprps proposés AtkB , soient parallèles, & par
conséquent dans un’même plan. Les droites B A,
C D, qui sont situées dans ce plan, étant prolongées
s’il est nécessaire, se rencontreront en un point .J ;
& puisqu’on aBlAH A F l’F B l’.DH°. HC,
on aura componendo AF'.AF-\-FB,ou AB '.'.
DH'.DH + HC,ou DC ;& altcrnando, AP\ ,
D HII AB '.D C. Or, à cause des parallèles
A D,B C, pn a AB ". D C US AIS D H SB ',5 C. DoncAFl DH'.l SA l S D '.'.SB '. SC ;
tk par conséquent les droites AD , B C, FH
sont parallèles.11 en fera de même en général ppur un nombre
quelccnque de cprps. Si tpus ces cprps décrivent
semblablement & en même tems des droites parallèles
, qui peuvent d’ailleurs être PU n’être pas
toutes dans un même plan, Je centre de gravité
de leur fystême décrira semblablement & en même
tems une droite parallèle aux chemins parcourus
par tous les corps.VII. COROLLAIRE IV. Soient deuxcórps^&5
(fig. 4z.d 42)  qui décrivent semblablement &
en même tems les côtés homplpgues & parallèles
chacun à chacun , de deux polygones semblables
ADEP_, B CGM. II(est clair, par ceqni précède
, que le centre de gravité F de leur fystême
décrira semblablement & en même tems les côtés
F H, HN, NO ; d’un polygone, lesquels seront
parallèles respectivement aux droites AD & B C,
DEtkCG, EP &GM. Or , ' puisque les àmx
polygones AD EP, B C G M sont semblables,6 qu’on a par- conséquent A D '. B C '.', D E *
C G '.I E P l G M ;- il s’ensuit que tputes les lignes
A B , D C, E G , P M iront concourir en un
même point S. Donc les trois polygones À'DEP,
B C G M, FHN’O sont composés d’un même
.nombre de triangles semblables S A D, SBC,
SFHi.tkc, Donc ces trois polygones font sem:C e n c e n317.blables. Ainsi, le centre de gravité du système décrit
le cpntpur d’un pplygpne semblable à ceux que
décrivent les cnrps A tk B. ' -Qu’un troisième cprps J décrive le cpntpur
d’un pplygpne 1R V T semblable à ceux dpnt prt
vient de parler : il est clair, tpujours par les mêmes
principes, que le centre de gravité du fystême dés
trois corps A , B , I, décrira le contpur d’un
polygone semblable aux précédents. Ainsi de fuite
pour un nombre quelconque de corps.VIII. COROLLAIRE V. Si Ton imagine que les
côtés des polygones de J’article précédent deviennent
infiniment petits, mais que leur nombre
augmente à Tinfini ; alors tous, ces polygones deviendront
des courbes semblables, dont* ses parties
infiniment petites & correspondantes seront parallèles
chacune à chacune. Ainsi, lorsque plusieurs
corps parcourent semblablement & en même tems
les contours des courbes semblables & composées
delémens correspondants, parallèle chacun à cha'cun, le centre de gravité du système décrit de là
même manière une courbe semblable aux précédentes
, & qui leur est parallèle élément à élément.IX. REMARQUE. On a fait attention fans doute,
daris Ténoncé 'du Théorème de Tarticle III, à
CÍS paroles : d que le centre de gravité de leur fystême
se meuve. Cette restriction a été mise, parce
qu’il peut se faire que lë centre -de gravité demeure
immobile.-. En effet, supposons deux corps A tkB (fig. 43 ) 
qui décrivent semblablement, en même tems &
en sens contraires, les droites A D, B C, qui leur
soient réciproquement proportionnelles, en sorte
qu’on ait Al B I', B Cl A D ; le centre de gravité
demeurera en repps. Car û Tpn tire les droites
AB, CD qui' se coupent en F., & que par le
point F on mène la droite E F K , qui rencontre
AB & B C aux points E & K , on attra cette fuite
de proportionnelles, A l BU BC '.-A D\l B FI
AF'.lCFl’DFll BKIAE H.IÍC’. ED.
D’où il fuit que le point F est le centre de gravité
du fystême au commencement & à la fin du mouvement
, ■& lorsque les deux corps sont arrivés
aux points correspondants E & K de leurs Chemins.
- Donc le-centre de gravité ne change pas de place.
-En regardant maintenant le corps A comme le
fystême de plusieurs corps qui vont dans un sens,
& le corps B comme le fystême de plusieurs corps
qui vont dans un sens opposé ; nous jsouvons conclure
en général que, si ùn fystême'est composé
d’un nombre quelconque de cprps qui vpnt en
partie dans un sens,- en partie dans le sens ppppsé,
& que les centres de gravité des deux parties du
fystéfhe décrivent semblablement & en même tems.
des droites parallèles, réciproquement proportionnelles
aux sommes de corps qui composent ces
deux parties, le centi-e de gravité ■ du fystême gé- .
nèral demeurera en repos..11 résulte dpnc, de tout ce qui précède, que
lorsque plusieurs corps se meuvent serjíblahiement,& en mème íems ; PU le centre degravítide leur
fystême se meut, & alers il se meut d e la même manière
quetous les cprps ; pu bien il demeure en repps.X. M. d’Alembert a démpntré, dans son traité
de Dynamique, queJa même proposition a lieu,
dans le cas où les cprps d’un fystême agissent les
uns "fur les autres dune manière quelconque.
Voyez^ ce Traité. (L. B.) -■* CENTE.E de mouvement : ppint autour duquel
tpurnent, ou peuvent être censés tpurner plusieurs
cprps qui cpmposent un même système.* CENTRE d’oscillation. On appelle pendule corn.ppsé
Tassemblage de plusieurs cprps liés solidement
entr'eux, & qui oscillent autour d’un même axe
fixe ; S:, centre d’oscillation le point de ce pendule
où .il faudroit placer un petit corps, de masse
insensible (qu’on appelle pendule simple) , pour que.
ce dernier-pendule, oscillant seul & librement,
fit ses oscillations dans le mème rems que le pendule
composé. Voyez les Loix des Oscillations des
pendules simples, au mot PENDULE.PROBLÈME. Déterminer la longueurLQ ( fig. 44 j
d’un pendule- simple qui faste ses oscillations dans
le même' tems qu’un pendule composé, c’est-à-dire,
qu’un fystême de corps A, B , C ( fig. 45 ) , liés
entr'eux par des verges inflexibles fans pesanteur ,
ou attaché s solidement a un plan -matériel sans pesanteur
d sans inertie, qui oscille autour du point fixe O i- Considérons d’abord chacun des corps A, B,
C, comme s’il étoit seul ; & décpmppfons fa pesan-.
teur en deux forces, Tune dirigée suivant la verge à
 laquelle il est appliqué, l’autre perpendiculaire
à la même verge. 11 est clair que les forces de la
première espèce font détruites par la résistance du
point O ; & que celles de la seconde , que je
représente par A a,Bb , Ce, font les seules qui
feroient osciller les corps. Je mène la verticale
O K, & je nomme g la .gravité,-c’est - à - dire ,
Tespace oue la pesanteur seroit- parepurir en un
instant à un corps tombant librement ; -í, Je sinusfp'al
 ; m, le sinus de Tangle A O K ;-n, le sinus
de Tangle B O K ; q, le sinus de Tangle.C O IL
Les forces A a, B b, Gc étant sopppsées de-mêmenature que la. gravité g, on aùra A a =g X ■ ~■ = gm ; Bb=gn ; Cc=gq.
- Maintenant, comme les cprps A, B, C, forment
un même fystême, & qu’ainsi atìcun-d’eux ne. peut
se mpuvoir fans agir fur les autres, soit pour accélérer
, foit ppur retarder leurs mouvemens, il y a
nécessairement équilibre entre les mouvemens per- .
dus d’une part, & les mouvemens gagnés, d’autre
part. Jc suppose que le corps A., qui auroit parcouru
A a, s’il avoit été seul, parcoure- simplement
A g, à cause de Ja réaction des autres corps j
que le corps B, au lieu de parepurir Bb, parepure
B h. ; que fe cprps C, au lieu de" parepurir
Cc, parcpure Ci.. On.vcit que A X ê'a ^ laquantité
de mouvement perdue par ìe corps A ; .'
crue B X fc £'èst la quantité "de mouvement gagnée32x c en c-t ; npar B ; que CX« esl la quantité de mouvement gagnée
par C. Or ces quantités de mouvement dpivent
être regardéfs comme des forces qui se font équilibre,
en agissant aux extrémités des bras de levier
O A, OB, O C. Par conséquent ou a Téquation
(M) , A-XS^-X O'A — B X b k X O S + C
X^'XOC. ; ■ ;Les corps A, B, C, conservant "toujours entr eux
la mème position, les arcs Ag, B h , Ci sont évidemment
semblables ; donc, si Ton suppose OA-a,
OB = b, OC=c,Ag = f ;on aura B h =fT’->Ci —f-j ;ga—gm—f ;bh=s-£—gn ;c i = — —gq. Substituant pour ga, bh, ci, OA>
OB, OC, leurs valeurs dans Téquation ( M) 
elle deviendra A (gm—/) a=iB ( — — gn J b -fCI
Ll —- gq ) c ; d’où Ton tire /=(r.(mAa'1-+ nBab-^-gCac) 
A a- -}-B i1 ■+. Cc- 'Soit H le centre de gravité du fystême ; & des
points A, B, C, H, menpns perpendiculairement
a O K les droites AV, BE,CR,HD : pu aura
par la"propriété du centre de gravité, A X A P-fBXBE
+ CX CK = (A + B + C) X HD.Mzis
A V-ma, BEzznb, C K = qc, H D = r h, en nommant
h la droite O H, r le sinus de Tangle HO K ;
de'nc Ama+B'n b-\-Cqc = (A + B 4- C) r h , &
r, , . ■ ahi.A + 3 + C) ', Paroensé<FÉ" /'= B r X Aa*+Bb* + Cc*>
NPUS voyons, par cette expression de la force
accélératrice simple / du corps A, que, si Ton fait
Tangle Q E M du pendule simple (fig. 44) , égal
à Tangle H O K du pendule composé ( fig. 4$ )  ;
nous voyons, dis-je, qu’en décomposant les arcs
semblables décrits par les points Ç & A, en un
même npmbre d’élémens correfpondans chacun à. chacun’, deux éléfnens correfpondans-seront parcourus
en tems égaux, & par cpnsequènt les arcs
entiers seront aussi parcourus en tems égaux , si la
force accélératrcie simple du point Q, quï ?èÛ gr,
& celle du pointa, qui eílf, font entr'elles comme
les arcs, ou comme les rayons Ë Q, O A. La durée
égale de mouvemens, ou le synchronisme du pen-duje
 simple & du pendule composé, est donc fondé
sur la proportion, gr ' f"*,(^+B + C) .. £_ .■*■*■ > B • Aa-+B b^Jt-Cc* '•ÀJV.'•j 7-,-. AoïA-TSl* 4-Cc 1a ; ce qui donne E Q = Tr r_T_ !L_.- -{A + B+C) h •Ainsi, pour avoir l’expression de la longueur du
pendule simple qui fait ses oscillations dans le même
tems que le pendule- composé , il faut multiplier
chaque corps du pendule composé par le quarré de
fa distance à l’axe de rotation ; ajouter ensemble
tous ces produits , d diviser la somme par le produit
de la somme de tous les corps multipliée par ■
la distance du centre d.e gravité du fystême à l’axe
(Jf rofation.On observera que les deux angles l^HMi
HO K, doivent être fort petits, si Ton veut que'
non-seulement les oscillatipns cprresppndantes, PU
de même .amplitude, des deux pendules , soient
de même durée, mais encpre que les pfcillations
soient, au moins sensiblement, de même durée,
quoique les amplitudes soient différentes.Nous observerons encore que, si les’ verges ou
les liens qui retiennent les corps du fystême avoient
de la pesanteur ou de Tinertie, on pourroit les
décomposer en une infinité de petits corps, qu’on
regarderait comme formant un même fystême auquel
on appliquerait la règle précédente, qui est absolument
générale , quel que soit le nombre de corps
élémentaires du pendule cpmppfe.CPROLLAIRE. Si Tpn pprte la longueur E Q
(fig. 44) , de O en t ( fig. 4s ) , le point t sera
ce qu’on appelle le centre d’oscillation du pendule
composé. Ce point peut être regardé comme chargé
de tpus les cprps qui composent le fystême, & il
sait ses oscillations de. la mêmê manière & dans
le même tems que le pendule simple dont IsQ
ou O t est la longueur. "On doit remarquer que le point t est différent
du centre de gravité H, & que O t-> O H, ce
qu’pn démpntrera, en cpmparant Texpreffion de
O t avec celle de O H.Appliquons cette théprie à quelques exemples.Trouver le centre d’oscillation d’une ligne droite
A B ( fig. 46 ) , qui oscille autour de son extrémité
A ? -Spient A B = a, A F = x , P p == d x ; &
nommons S la somme des produits des élémens
P p par les’ quarrés de leurs distances au point A.
On aura S=sxz d x, intégration où ( après lavoir
effectuée ) , il faudra faire * = a ; ce qui donne S=.~. Divisant cette quantité par le produit de laligne A B, multipliée par la distance de son centrede gravité au point A, c’est-à-dire, par a X ~.on aura- a pour la distance du centre d’oscillation
au point A. ■•Trouver le centre 'd’oscillation d’un triangle ifofcèlt
A B.C ( fig.-47 ) , qui oscille autour d’un axeMX,
pajsantpar le sommet A, perpendiculaire à' la hauteur
A H, & situé' dans le plan du triangle ? 'Soient AH^=a, B C=.c, AP-x ,Pp-dx ;
tk nommons S la somme des produits des élémens
N N’ ri par les, quarrés de leurs distances à J’axeMX. On aura 2<TN’=zb- ?  ;NN’ n’ n-*~- }a ' • aS = I -~~, intégration où (après lavoir effectuée) ,
il faussaire x = a. Ainsi, £=—. Divisant
cette quantité par le produit dé Taire du triangle,
multipliée par la distance de son centre de gravitéau sommet A} c’est-à-dire par — X - a> on auraC e m . ' cen " v-9\ a. pour la dislance du centre dpsciiïàtipn du4 / 'triangle à 1 axé MX. '.* Trouver le centre d’oscillation d’un triangle isocelle
ABC (fig. 48) , qui oscille autour d’un axe
MX, passant par le sommet A, d perpendiculaire
tout a-lafois a là hauteur AH, d au plan du
triangle ?■ Ce cas est fort différent du précédent, & quelques
auteurs s’y sont trompés.
' Spient^iï=fl,- B C=b ; AP=.x ;P p-dx.
Prenens fur F N la partie indéterminée P Q = ?,
& Ç ? =dz- II faut d’abprd chercher la somme
des produits des élémens Q q par 'les quarrés de
leurs distànces-à Taxe MX. Or, en npmmant Z ' ■
cette somme, on a Z .=sd 1 ( x x -\- z z) , intégration
dans laquelle il n’y a que z de variable,
& pù ( après Tavpir effectuée ) , il faut faire z =
—,puis doubler Z, pouraypir lasomme des prpduitsdes élémens de la ligne NN’var les quarrés. de leurs ,
distances à Taxe MX ; d’eù il fuit que cette dernière
somme est — -i ~. í. a ' iza> ■ . ■ -„Maintenant, npmmpns S la somme des’produits
des élémens N N’n n par les quarrés de léursdiflances à Taxe MX, on aura S = f dx l ——j•^5
1, où il faudra faire x=a, après avoir
effectué Tintégration. Ainsi S = — ^ —.Divisant cette quántité':par le produit de Taire
du triangle multipliée par la distance de son centre
de- gravité à Taxe M X, c’est - à - dire , par— X' - 1, pn aura - a-\——. ppur la distance■2. v 3 4 ' i6a rdu centre d’pscillatipn du triangle à Taxe MX. '
 Le procédé est le même ppur les autres figures
k ppur les solides. (L. B.) * CENTRE de percussion. On appelle centre de
percussion un point dans lequel la masse d’un fystême
de corps A , B, C (fig. 49) , ( qu’il faut
regarder comme attachés solidement, à "des distances
invariables les’uns des autres, fur un plan
matériel , fans pesanteur & sans inertie, mobile
autour de Taxe O ) , étant supposée réunie & agissant
perpendiculairement à 1 extrémité d’un levier
égal à la distance de ce point à Taxe O, donneroit
le plus grand coup ppssible à un pbstacle qu’pn
lui ppppseroit.PROBLÊME. Déterminer le centre de percussion
d’un fystême de. corps liés entr'eux par des verges
inflexibles fans pesanteur, qui oscille autour d’un
axe fixe. . . . 'II est d’abprd évident que le centre de percussion
est placé dans- la directipn de la résultante des
mouvemens de rotation de tous les corps A, B, C.
Ainsi, il s’agit de trouver la position & la quantité
ie cette résultante.Mathématiques. Tome, 1, 141 PartiesLes corps A , B, Cy étant forcés de se mouvoir
tous à - la - fois, par une cause quelconque,
prennent des vitesses proportionnelles à leurs distances
A O, B O, C O , à Taxe de rotation. Par
cpnséquent leurs quantités de mpuvemens, PU les
forces qui les animent, peuvent être exprimées
respectivement par les produits A X A O, B X
B O , C X C O ; & ces forces agissent suivant les
droites AN, B N, CW , perpendiculaires aux:
dislances O A', OB , OC. Soit N le point de
cpncpurs de A N tk de B N ; je mène la droite
ON, fur laquelle, comme diamètre, je décris
une demi-circonférence de cerclequi passera par
les points A tk B, puisque Tes angles O A N,
O B N font droits. Le point N étant nécessairement
un de ceux par PÙ passe la directien de la
résultante des deux forces AX A O, B XB O ,
je. fuppefe que Z N soit cette direction ; du point
Z où elle coupe la demi-circonférence O A B N*
au point O, je mène la droite Z O qui rencontre
en H la droite A B qui joint les deux cprps A
tk B. Cela pose, pn fait, par la- Méchanique,
que^ les deux' forces AX-AO , B XB O sont
entr'elles comme les sinus des angles B NZ,
A N Z , ou des angles B O Z , A O Z : pn aura
dpnc, A X A O l B X B O .1' fin. B O Z ;
sin. A O Z. Or, si des points Â & B on abaisse
fur O Z les perpendiculaires A R, B S, & qu’ennomme 1 le sinus tptal, pn a fin. B O Z = TÏQ .AR. - 'sin. A O Z == f^-. ; dpnc pn aura A X A O \B X B.O 11 -gy : -JQ , Ou bien (à cause des triangles
semblables B H S, AH R) , AXA O'.
' B X-5 O .": gg : ^f ; ce qui dpnne A X AH=B X BU, & fait vpir que le ppint .H" est le centre
de gravité des deux cprps A tk B. La résultante
des deux forces A X A O, B X B O, est donc per-:
pendiculaire à la droite O HZ menée par le point
O , & par le centre de gravité du fystême particulier
des deux corps A & B. De plus, en nommant
Z cette résultante, on a, par la méchanique, Z *
B X B O 11 sin. A N B l sin. A N Z '. I sin. A OB '.
sin. A O Z, Ou bien ( en abaissant des points B
tk H les perpendiculaires B X, H V sor O Aprolongée) " ^Q : ;jg, ou bien, (à cause destriangles semblables B AX, HA V) 11 ^Q'.JJQÍou bien (à cause que le point H est le centre degravité des deux cprps A tkB) H —575- : (jg jd’pù Ton tire , en cpneluant du premier rapport
. au dernier, Z = (A-f B) X OH. ConnpissantZ,
pn trouvera Ò Z, en observanf que, si Ton considère
'les momens par rapport au'point Ç, Je
moment de la résultante Z doit être égal à la
■ somme des momens de" ses deux forces cpinpoTt3îo « n ' c e nfamesAXA0,BXBO ; ce qui donne (A+B) 
X O II X Q Z = (A X A 0) X A O +
( B X B 0) XB 0 ; tk par conséquent 0 Z ==
^xMO) v + Bx(BOr donc d>ator.d( ^4 + JJ) X if O
la fonnule pour déterminer le centre Z de percussion
du "fystême des deux corps A Si B.Soit N’ le point de concours de la force Z ,
& de la force C X C O du corps Cy ce ppint est
nécessairement placé dans la directicn de la résultante
de ces deux forces, directien que je sopppsc
être Z' ÌV". Je mène la droite O N sor laquelle,
comnie diamètre, je décris une demi-circenférence
de cercle qui passera par les ppints Z
& C, puisque les angles O Z N, OC N’ sont
droits. Avant tiré la droite CH, du ppint Z' PÙ
Z' N’ rencontre la demi-circenférence O Z. CN’ ;
je mène au point O la droite Z' O qui rencontre
CH en’H'. Cela pose', pn aura, Z : C X C’O H
sin. CN’ Z' l sin. Z N Z' '.I fin. CO Z' '. fin.
Z O Z', pu bien ( en abaissant des ppints C tk
Hies perpendiculaires C S’, H R', sor O Z')  **
CS’ HR' CH' J/fl> . ,CO '• ÔH::Cô '• ÛH>Ce1lUd0nne>enCon"cluant du premier rappprt au dernier, —-^-„= CX CJÎ', pu/^-ffljX.íttf'^CXCfí',
. & ce-qui fait voir que le point H' est le centre
■de gravité du fystême des trois corps A, B, C.
Ainsi, la résultante des deux forces Z tkCXCO,
ou des trois forces AX.AO, B X BO, CX.CO,
« st perpendiculaire à la droite O Z' menée parle
point O, & par le centre de gravité H' du fystême
ides trois corps A, B, C. Soit nommée Z' cette
infime résultante : pn aura Z' '. C X C O ', l sin.
Z N Cl sin. Z N’ Z' :: sin. Z OC. sin. ZOZ',
ou bien (en abaissant’des peints C tk H' les perpendiculaires
CX', H' V, fur OZ prplpngée) ,CX.' H' V . 'V. -QT)  : -Q-jp, ou bien ( à cause des triangles semblables
HCX, H H' F)  ::|£ : ~, pubien{ à cause que le ppirtt H' est le centre de gravité
du fystême des treis cprps A, B, C\ 11A + B + C . C , , ,
£c7 • ò"p ; dpnc, en cpncluant du premier
rappprt au dernier, Z'= O H' X (A -f- B -f- C).
Connoissant Z', pn connoîtra O Z', par la considération
que le moment de la résultante Z',
relativement au point O, doit être égal à la somme
des mpmens des trois forces cemppsantes^ X AO,
BX.B O, CXCO, relativement au même point ;
considération qui donne (A4-B-1-C) X OH'XZ'O
-=(A XA 0) XAO + (BXBÓ) XBO +
(CXCO) XCO ; & par conséquent Z' oZ
AX (AOY + Bx(BOy+Cx(CÔ) *
' : (A-ì-B+C) x OB' *II est clair que la même méthode est applicable
i un système composé de tant de corps qu’onvpudra, & qu’pn trouvera toujours des^ résultais
analogues aux précédens ; en sorte qu’on peut,
conclure en général, i.°, que le centre, de percussion
d’un fystême quelconque de corps est placé sur
la droite menée par le centre de rotation , d par le
centre de gravité du fystême. 2.° Que la distance du
centre de percussion au centre de rotation, est égale
au quotient qui résulte en divisant la somme des
produits des corps multipliés- chacun par le quant
de fa distance a l’axe de rotation , par la somme de
tous les corps multipliée par la distance du centre
de gravité du fystême à l’axe de rotation.' On voit que le centre de percujfion & le centre
d’oscillation se confondent, puisqu’ils sont placés
à la même distance de Taxe de rotation. On auroit ■
pu les déterminer par la même méthode ; mais,.
pour varier les usages des principes de la Méchanique,
j ai cru devoir les chercher chacun par des
méthodes particulières. (L. B.) * CENTRE de conversion: c’est ainsi que plusieurs
auteurs appellent le point autour duquel un corps,
libre d’ailleurs, tourne ou tend à tourner, lorsqu’il
est poussé inégalement dans ses dissérens points j,
ou par une puissance dont la direction ne passe
pas par son centre de gravité.Jean Bernoulli ( voyez ses oeuvres ,~ tom. iv y
pag. 265) , appelle ce même point centre spontané
de rotation , .comme qui diroit centre volontaire'di
rotation, pour le dissinguer du centre de rotation
forcé. La méthode pour trouver le centre spontané
de rotation est très-simple,, au\ moyen du
théorème suivant.LEMUÍE. Lorsqu’un corps est pouffé suivant une
direâion qui ne poste pas par son centre de gravité,
I- 0 ce .centre est mu de la-même manière que s’il se
trouvoit sur la direâion de la force imprimée ; 1° le
corps tourne, du moins au premier instant, commesi
le centre de gravité étoit fixe, autour d’un axe
mené par ce centre , perpendiculairement au planpostant
par ce même point d par la direâion de laforce..Soit un corps de figure quelconque (fig. 50) 
poussé par une force F dont la direction F K paflb:
hors de son centre de gravité G. Par ce point &
par la droite F i£" ; soit mené le plan MR D quii
divise le corps en deux parties, & soit tiré .Taxe
G V perpendiculaire à ce plan.. Je prends FA pour
représenter la force J^,- & ayant divisé cette ligne
F A en deux également au point B , fur F B
comme diagonale, je construis le parallélogramme
FNB O dont le côté F N passe par le centre de
gravité G, tk dont le côté F O en perpendiculaire
k F B. La moitié F B de la force FA peut
se décomposer en deux autres forces F N, F 0..
Soit prolongée F G de manière que GT==FG>
& soit prise TQ=FN. Imaginons que la force
F N est appliquée au point T de fa direction, &
qu’elle est représentée par TQ ; ensuite soit décomposée
cette force en deux autres TP, TZ,C e n ce jst . .sutuneperpendiculaire, l’autre parallèle à KG S.Cela ppsé, il est clair que le cprps est mu de
îa -même manière que si au lieu d’être animé de
la force primitive FA, il étpit animé des quatre
forces B A, F O, TP, TZ. Or, i.° les deux
forces B A , TP étant parallèles, égales, & passant
à égales distances du centre de gravité, comme
il est évident, elles pnt ppur résultante une
force GE qui passe par le centre de gravité G, qui
leur est parallèle & qui est égale à leur somme,
puisqu elles agissent dans le même sens. De plus,
puisque BA-\- TH=FA, on aura aussi GE =
FA : d’pù il suit que le centre de gravité G est
mu exactement de la même manière que s’il se
ireuvoit fur la directieU de la force propesée
FA.i.° Les deux forces F O, T Z sont évidemment
égales, parallèles, & passent à égales distances
du centre de gravité G, suivant des directions
opposées ; donc elles ne peuvent faire avancer
ce centre ni suivant G if , ni suivant G S, ni fui^
>ant aucune autre direcfipn ; dpnc, en vertu de
ces deux forces, le centre-de gravité G dpit demeurer
immpbile. Mais, d’un autre côté, ces deux
mêmes forces ne se .détruisent pas, puisqu’elles ne
font pas directement ppppfées ; dpnc tput Teffet
qu’elles peuvent produire est de faire tourner, au
moins au premier instant, le cprps dans le même
sens autpur de Taxe G V, en agissant perpendiculairement
aux extrémités des bras de levier Gif,
GI ; dpnc si du ppint G comme centre , avec le
rayen G H ou GI, on décrit un cercle, pn-ppurra
imaginer, relativement au mpuvement de rotatipn,
que la force TZ, au lieu d’agir suivant ITZ,
à Textrémité du raypn GI, agit suivant HFO,
à Textrémité du rayen G H. Alprs le mpment de
la force qui fait tpurner le cprps dans le sens H hJ i en (F O-\-TZ) X G H, oui F OXFK,
ou 2. B N X F K. Or, à cause des triangles semblablesF K G, FBN, pn a BNX FK = FBXGK,SL parcpnféqíient z B NX FK= zFB
XG K = FAXGK, qui est Texpressipn du
mpment de la force proppfée FA par rappprt à
Taxe GV : dpnc le cprps tendra à tpurner autour
de cet axe, de la même manière que si le centre
de gravité'étpit fixe.' REMARQVE. Soit que le plan MR D partage PU
nen le cerps en deux parties égalés & semblables,
le mpuvement du-centre de gravité est tpujours le
mêmë.Mais le mpuvement de rotatipn instantanée
autour de Taxe G V ne se perpétue que dans le
premier cas ; car lorsque les deux: parties du corps
ne sont pas égales & semblables, les forces centrifuges
en vertu desquelles les molécules du corps
tendent à s’écarter de Taxe -G V, ne Te font pas
équilibre ; l’axe GVs’incline d ?un côté ou d’autre,
&4e cerps pirouette en dissérens sens autour de
son centre de gravité. TPUS ces mpuvemens peuvent
être.soumis au calcul par les-principes précédens
 ; mais je suppose ici que le plan perpendiculaireà Taxe de re ration partage le corps eu
deux parties égales & semblables, & alors le mpuvement
de rotatipn demeure tpujpurs le même,
cemrne le mouvement de translatipn du centre de
gravité ; PU si cette cpnditipn n’a pas lieu, je ne
censidère le mpuvement de rotatipn autpur de Taxe
proppfé, que ppur le premier instant.PROBLÊME. Déterminer le centre spontané de rotation
d’un corps quelconque ?Représentons le cerps -par la baguette A B
-- (fig- í 0 que je suppose poussée perpendiculairement
par une force F dont la direcrion Fis ne passe
pas par son milieu ou centre de gravité C. On
voit par le lemme précédent, que le centre de gravité
C se recouvra de C en îï, perpendiculairement
à A B , de la même manière que si la,force
F passoit par C, & que la baguette fût transportée
parallèlement à elle-même de A B en ab.
Ainsi, en. nommant M la masse du corps, V la
vitesse C H, pn aura V= -J-.1° Imaginpns’ que le peint H est fixe, tk que
pendant que le point C parvient de C en H, la'
baguette a b tourne autour du point H & prend
la position N n. -Du point H pour centre, avec
le raypn dpnné HR, soit décrit Tare Rr, &avec
le rayen variable HT, Tare T t. En nemmant
R le raypn dpnné HR, a la vitesse angulaire R r
du peint R, z le raypn variable HT: la vitesse
angulaire Tt du ppint X ses a représentée par-TÎT-. Multiplipns cette vitesse par la melécule dematière placée en X {'molécule que j’appelle m) í,npus aurons ^é~ pour la quantité de mpuvementangulaire de m, tk "^ " peur le mpment ; decette quantité de mouvement , par rapport au
centre H de rotation. Donc le moment de la
quantité de mouvement angulaire imprimé à toutela masse du corps sera exprimé par J m * " -expression dans laquelle la fraction '-£- est unequantité constante pour tous les points du corps.
Nommons S la quantité sm z *, prise dans toute
Tétendue du cprps ; c la distance CK de la direction
de la force Fau centre de gravité C ; tk
çpnsidérons que la force F agissant, à Textrémité
du bras du levier C K, produit le mouvement
angulaire ; npus aurons cettê seconde équationFc=:— 3 PU bien u =--r-.Maintenant, íuppesons que la baguette parvenuedans
la pesitipn N n couve en z la droite A B
qui est fa ppsition initiale : alors le point z sera
le centre spontané de rotation. Supposons que le
rayon R qui est donné, mais arbitraire, devienn*
= HZ ,tk que les espaces C H, Z z soient infiniment
petits^ il est clair qu’en vertu du. mou*Ttii
vcmcnt de translation, le point z de AB parcourt
Z Z = CH- V, & qu’en vertu du mouvement de
"rotation, ii est ramené de Z en ? par Tespace
Z  ; = u. La position du point z sera dpnc déterKiinJe
par la condition qu’on ait F=a, c’csl-à-dire,-L = iìl !Li d’où Ton tire -R =#5 ou C’zAl ò ' -í' 2 Cs1— -—^-r--, expression de la distance ducenùc spontané
de rotation au centre de gravité du corps.Onvpit que la force F n’entre point dans cette
valeur, & que par conséquent la position du centre
sponrané de rotation sera toujours la même, quelle
que soit la quantité de la force F, pourvu seulenu-nt
que la direction de cette force passe à la
iiHtne distance C Ii du centre de gravité.Òn doit remarquer qu’en général le -centre spontané
de rotation change à chaque instant : car ce
point doit se trouver, I.° sor une droite perpendiculaire
à F K. z." A la distance Cz du centre
de gravité C, de sorte qu’il est placé successivement
sur tous les points de la circonférence d’un cercle
décrit du centre C, avec le rayen C z. Mais, il
peut se faire que le centre fppntané de rotatipn '
demeure toujours le même. Qu’ónait, par exemple,
une ligne droite chargée de deux masses inégales,
& qu’on imprime en sens contraire à ces masses,
des wtesses qui leur soient réciproquement proportionnelles ;
le fystême tournera auteur du centre
de gravité qui demeurera immobile y & le centre
spontané de rotation se confondra avec le centre
de gravité. .On remarquera aussi -que le centre spontané de
rotation peut se trouver placé hors du corps : caron voit par Texpreffion C i = Ja x cK queS & Mdemeurant les mêmes, on peut faire augmenter
C z tant qu’on voudra, en diminuant la distance
Clíde la direction de la puissance au centre de
gravité. (L.B.) * CENTRE des corpspefans, est dans notre globe
âe mème que le centre de la terre, vers lequel tous
lés corps graves, ont une espèce de tendance. If est
cependant bon de remarquer que les corps graves ne
tendraient véritablement vers un centre , que dans
le cas où la terre seroit parfaitement sphérique ;
mais comme elle est un sphéroïque applati vers
les pôles, ainsi que la théorie & les observations
k démontrent, les corps pefans ne sauraient tendre
vers un même point à la rigueur : il n’y a donc
point à la rigpeur de centre des corps pefans. Cependant,
comme la terre diffère peu de la figure
sphérique, il s’en faut peu que les corps pefans
.ne ter/dent tous vers un même point ; & pn prend
dans le discours ordinaire le centre de la. terre
ppur le centre commun de tendance des graves.CENTRE 
point tel que si le fystême étoit suspendu ou soutenu
d’équilibre, dans un fystême de corps,
,fsl le point autour duquel ces corps lèrojent en
cqnilibre , ou , ce. qui est la même chose, unpar ce seul point , il réitérois en équilibre.
Le point d’appui d’un levier est son centre d’équilibre.
Voyei APPUI & LEVIER.A cette occafipn npus croyons devoir indiquer
ici un principe d’équilibre trouvé par M. le marquis
de Courtivron, de T Académie des Sciences,
tk dont la démonstration a été hie à T Académie
le 13 juin 1750. Voici ce principe. De toutes les
situations que prend successivement un fystême de
corps animés par des forces quelconques, &; liés
les uns aux autres par des fils, des leviers,'011
par tel autre moyen qu’on-voudra supposer, la
situation où le fystême a la plus grande somme
de produits des niasses par le quarré des vitesses,
est la mème que celle où il auroit fallu d’abord
le placer pour qu’il restât en équilibre. En effet,
une quantité variable devient la plus grande j lorsque
son accroissement, & par conséquent la cause
de son accroissements o: or un fystême de corps
dont la force augmente continuellement , parce
que le résultat des pressions agissantes fait accélération
, aura atteint son maximum de forces lorsque
la somme des pressions sera nulle ; & c’est ce qui
arrive lorsqu’il a pris la situation que demande
Téquilibre. .L’auteiir ne s’est pas borné à cette démonstration,
qui, quoique vraie & exacte, est un peu métaphysique,
& pourroit être chicanée par les adversaires
des forces vives. Voyez FORCE. II en
donne une autre plus géométrique & absolument
rigoureuse : mais il faut renvoyer ce détail impor"tant
à son mémoire même,.qui nous paroît digne
de J’attention des géomètres. (O) CENTRER, (Astron.)  On appelle centrer une
lunette , faire en sorte que Taxe optique passe par
le centre de Tobjectif, de manière que toutes les
parties du champ soient semblables & semblablement
situées par rapport à Taxe de la lunette.
Le moyen le plus simple est de couvrir Tobjectif
avec un diaphragme que Ton fait promener fur fa
surface en la présentant au soleil de manière que
la lumière réfléchie par la partie convexe , fasse
un cercle concentrique & parallèle à celui de
limage fournie par la surface concave. (D. L.) CENTRIFUGE, adj. ( Méchan.) Force centrifuge,
c’est celle par laquelle un corps .qui tourne
autour d’un centré, fait effort pour s’éloigner de
ce centre.C’est une des loix constante de la nature, que
tout mpuvement est par lui-même rectiligne (voyez
MPUVEMENT) , & qu’un mobile ne-s’éloignera
jamais de .la direction rectiligne de son
premier mouvement, tant qu’il n’y fera pas obligé
par. quelque nouvelle force imprimée dans une
direction différente : après cette nouvelle impulsipn
, Je mouvement devient composé ;, niais il
continue toujours en ligne droite, quoique ^.direction
de-la ligne ait changé. Voyez COMPOSITION.Pour qu’un corps se meuve dans une courbe, ilC e n ce n .$3jfautqu il reçoive à chaque moment une nouvelle
impulsion, & dans une direction différente de ía
sienne, parce qu’une courbe ne peut se réduire à
des lignes droites., à moins qu’elles ne'soient infiniment
petites ; par conséquent si un corps attiré
çpntinuellement vers uri centre , est lancé putre
cela dans une directipn qui ne passe point par ce
centre, il décrira alprs une cpurbe, dans chaque
point A de laquelle (planch. Méch. fig. 24. )  il
tâchera de s’ésoigner de la courbe, & de continuer.son
mouvement dans la tangente AD ; ce
qu’il seroit en effet si rien ne l’en empêchoit : en
forte que dans le même tems qu’il décrit Tare A E,
il s’éleignereit, par fa force centrifuge, de la songueur
de la ' ligne D Ë perpendiculaire à A D ;
ainsi, en fupppfant Tare AÊ infiniment petit, la
force centrifuge est prcpprtipnnelle à la ligne D E
perpendiculaire à la ligne AD.Un cerps pbligé à décrire un cercle, le décrit
le plus grand qu’il peut, un plus- grand cercle
étant en quelque sorte mpins circulaire, mpins
courbe PU mpins différent de la dreite qu’un plus
petit. Voyez, COURBURE. Un cprps souffre dpnc
plus d’altératipn dans son mpuvement, &-exerce
plus vivement fa force centrifuge lprfqu’il décrit
un petit cercle, que lprfqu’il en décrit un grand,
c’est-à-dire, que la force centrifuge est teujpurs
. proportipnnelle, toutes chpfes d’ailleurs égales,, à
la courbure clu cercle dans’ laquelle le corps est
emporté. ' -lien est des autres courbes comme des,cercles ;"
car une courbe, quelle quelle puisse, être,.peut
être regardée comme formée d’une infinité d arcs
de cercle infiniment petits, décrits de différens
rayons, de façon que les endroits- où la courbe
est le plus courbe, sont ceux PÙ la force centri- '■_
fuge est plus grande, tout le reste d’ailleurs égal ;
& ainsi, dans une même cpurbe, la force centrifuge
du cerps qui la décrit, varie suivant les dissérens
peints PÙ il se trouve.On peut vpir les leix & la tbéprie des forces
centrifuges exppsées plus en détail d-ans Tarficte dès ■FORCES CENTRALES, au mot CENTRAL. (.0) 
r CENTRIPETE-, adj.'( Méch. ) Force centripète,
c’est cëlle par laquelle un mpbile ppuffé dans une
droite A G ( fig. 24 ) , est -çpntinuellement détourné
de fpn mouvement rectiligne,. & sollicité
à se mouvoir dans une courbe.Ainsi, en supposant l’arc AE infiniment petit,
h force centripète est proportionnelle à la droite .
P E perpendiculaire à A D~ ; à'cù il s’ensuit que
la force centripète pu centrale & la force centrifuge
sont égales. Voyc^ F article CENTRAL. (O) 
CENTF.OEARIQUE , .méthode ' centrobarique
(m Méchanique) -.. c’est une méthode pour mesurer ,
ou déterminer Ja quantité d’une surface ou d’un :
solide, en les considérant comme formés par le
jpouveinert d’une lif.ue ou d’une surface, &'multipliant
la ligne, ou "la. surface génératrice par le
'iìheqjisl parcouru par son centre de gravité.-Cetteméthode est renfermée dans, le théorème suivant
& ses corollaires.
| Toute surface plane ou courbe., ou tout solide
produit par le mouvement ou d’une ligne ou d’une
surface , est égal au produit de cette ligne ou sur*
face par le chemin du centre de gravité, c’est-à-díre ,
par la ligne que ce centre de gravité décrit. Voye\.
CENTRE DE GRAVITÉ. Voici la démpnslratipn
générale que certains auteurs pnt cru ppuvpir : \
donner de ce théorème.Supposons le poids de la ligne ou surface génératrice
ramassé dans son centre de gravité ; Je
peids total produit par son mpuvement sera égal
au', produit du poids mu par le chemin du centre
de gravité : mais lorsque les lignes & les figures
sont regardées comme des cprps pefans homo- ■
gènes, leurs poids sont alors entr'eûx comme leur
volume, & par conséquent Je' poids mu devient’
alprs la ; ligne PU figure génératrice y & Te ppids
■ produit"est la. grandeur engendrée ; la figure- engendrée
est dpnc égale au preduit de la ligne PU
de Ja figure qui l’engendre,. par le chîmin de son
centre de gravité. 11 ne faut pas être bien difficile
à satisfaire en démonslratipri,. pour se payer
d’une preuve si insuffisante & si vague, qu’on"
trouve néanmoins dans M. Wolf, d-où Ghambersa
tiré une partie de cet article.Ppur mettre nòs lecteurs à portée d’en trouver
Une meilleure preuve, considérons un levier chargé'
de deux poids, & iniaginons un point fixe dans ~
ce levier prolongé ou non : on fait ( voy. CENTRÉ:
d LEVIER ) que la sommé des produits faits dechaque
poids par fa distance à ce point,.est égale
au produit de la somme des ppids par la dislance ,1
de leur centre de gravité à ce ppint ; dpnc si pn
fait tourner le levier autour de ce point fixe, íl
s’enfuit que les circonférences étant proportion- .
nelles aux rayons, la somme des produits de cha-^
que ppids par Jè chemin PU circonférence qu’il
décrit, est égale au preduit de la somme des poids
par la circonférence décrite par le centre dé gravité.
Cette démpnslratipn faire par deux poids,
s’applique également & facilement à tel"'" nombrequ’on
voudra. J -,Corollaire I. Puisqu’un parallélogramme A'BGD
(pi. Méch.-fig. 52). peut être regardé comme produit
par le mouvement de la droite CD mue tou-.jours
 parallèlement à elle-même_ le long d’une
autre droite C A tk dans Ja direction de celle-ci,
& que dàns ce mouvement le chemin du centre.
de gravité est égal à la droite E F perpendiculaire
à CD, c’est-à-diré, à la hauteur du parallélogramme ;
son aire est donc égale au produit
de la base CD , ou de la ligne qui décrit le parallélogramme
par la hauteur E F. Voyiz PARALLÉLOGRAMME.
. ■ t.Ce corollaire pourroit faire naître quelque soupçon
fur la vérité & la généralité de la règle précédente
 ; car on pourroit dire que la ligne CD
se -mouvant le- lpng de CA, le ceîitre de .gravité
'334 C E N C-E N ' .. ■
de cette ligne, qui est son point de milieu, décrit
une ligne égale & parallèle à CA , &.'qu’ainsi
Taire du parallélogramme A CD B en le produit
de CD par A C ; ce qui seroit faux'. Mais on peut
répondre que C A n’est point proprement la di^
rectrice de C D , quoique CD îe meuve le lòng
de CA ; que cette directrice est proprement la
ligne EF, qui mesure la distance de AB à CD ;
& que le chemin du centre de gravité par lequel
il faut multiplier Ja ligne décrivante CD, n’est
point le chemin absolu de ce centre, mais son chemin
effimé dans le sens de la directrice ou le chefnin
qu’il fait dans un sens perpendiculaire à laligne
décrivante. Cette remarque est nécessairepour
prévenir les paralogisines dans lesquels on pour-^
roir tomber , en appliquant fans précautien la
règle précédente à la mesure des surfaces & des
solides.Coroll. II. On prouvera de la même manière
que la solidité de teut cprps décrit par un plan
qui descend teujpurs-parallèlement à lui-même le
leng de la droite AC, tk suivant la directipn de
cette droite,-deit se trouver en multipliant le
plan décrivant par sa hauteur. Voyez PRISME d
CYLINDRE. , ■Coroll. III. Puisque le cercle se décrit par la
révelutipn du raypn C L ( fig. 53 )  autour du
centre C, & que le centre de gravité du rayon
C L est dans son milieu F, le chemin du centre
de gravité est donc ici une circonférence d’un
cercle X décrit par un rayon soudouble, & par
conséquent Taire du cercle est égale au produit
du rayon CL, par la circonférence que décrirait
un rayon soudouble de CL ; ce qu’on sait d’âilleùrs.
Voyez CERCLE.Coroll. IV. Si ún rectangle A B CD(planch.
Méch. fig. 54)  tourne autour de son axe AD , le
rectangle décrira par ce mouvement un cylindre,
& le côté B C la surface de ce cylindre : mais le
centre de gravité de la droite B C est dans son
milieu F, & le centre de gravité du jlan qui
engendre le cylindre, est dans le milieu G de la
droite E F. Ainsi, le chemin de ce dernier centre
de gravité est la circonférence d’un cercle décrit
du rayon E G, & celui du premier la circonférence
d’un cercle décrit du rayon E F ; donc la
surface du cylindre est le produit de la hauteur
B C par la circonférence d’un cercle décrit du
rayon EF, tk la solidité du cylindre est le produit
du rectangle AB CD qui sert à sa génération
, par la circonférence d’un cercle décrit du
rayon E G soudouble de EF, demi-diamètre du
cylindre. Supposons, par exemple, la hauteur du
plan qui engendre le cylindre, par conséquent
celle du cylindre B C=a, le diamètre de la
base D Cx=,r, on-aura donc E G^=\ r ; & supposant
que le demi - diamètre soit à la circonférence
comme 1 est à m, la circonférence décrite
par le rayon \ r sera = | mr ; d’où il s’ensuit que
multipliant \ m r par Taire du rectangle A C~ Ja r, on aura la solidité du cylindre = v marr  ;
mais | m 2 ;•"-=■£ r XmrX a ■" or 7 m r r =2 Taire
du cercle décrite par le rayon E G. II est donc
évident que le cylindre est égal au produit de fa
base par fa hauteur, ce qu’on fait d ailleurs.
' De même puisque le centre de gravité deja droite
A B ( Fl. Méch. fig. 30. )  est dans son milieu .W, &
qu’on décrit la surface du cône droit en faisant
mouvoir le triangle A B C autour d’un de ses côtés
AB pris pour axe, on en peut conclure que si
" P M—^\B C ? la surface du cône sera égale au
produit de son côté A B par la cirçpnférence du
cercle décrit du raypn P M, c’est-à-dire d’un rayon
soudouble du demi-diamètre de la base B Ç.Supposons, par exemple,B C = r, AB-=.a,
le rayon étant à la circonférence, comme 1 est
km ; on auradònc F iks= \r , & la circonférence
décrite de ce rayon =: \ m r ; tk ainsi multipliant
-*- m r par le côté A B du cône, le produit qui sera
\amr devra représenter la surface du cône : mais
| a m r est le produit de { à par mr ; donc là
surface du cône droit est le produit de la circonférence
de fa base -par la moitié de son côté,
ce qu’on fait d’ailleurs.Coroll. V. Si le triangle A CB (PI. Méchan.
fig- 55- )  tourné autour d’un axe, il décrit un cône .mais,
 si on coupe CB en deux également au point
D , qu’on tire la droite A D, & que A O, =-|
A D , il est démontré que le centre de gravité sera
alers situé en O ; dpnc la solidité du çpne est égale
au produit du triangle. CA B par la çircenférence .
du cercledécrit du rayon P O. Or A D eftkAO,
comme B P est à G P: D’ailleurs A 0=jA D,
tkDB=={CB ; denc OP-\DB-\C B. Supposons
, par exemple, CB = r ; AB —'a, & la
raison du rayon à la circonférence celle de 1 à m f
on aurá donc Ó F= j r, la circonférence décrite
de ce rayon = \m r, le triangle A CB = { a r,
& par conséquent la solidité du cone=-jrX
a X f tnr=z^a mrz ; mais-J amr% = -f rX mr
X \a, ou Je produit de la base du cpnepar le
tiers de fa hauteur, ce qu’en fait d’ailleurs. •Ce théprème si général & fi beau sor le centre
de gravité, peut être mis au nembre des plus
curieuses déceuvertes qu’pn ait faites en Gépmétrie.
II avpit été apperçu il y a lpng-tems par Pappus :
mais le P. Guldin, jésuite, est le premier qui Tait
mis dans teut son j pur, & qui en ait montré
. Tufage dàns un grand npmbre d’exemples.Plusieurs autres gépmètres’ s’en sont servi auffi
après Pappus & Guldin, ppur mesurer les solides
& les surfaces produites par une rotatipn autour
d’un axe-fixe, fùr-tput avant qu’on eût les secours
que le calcul intégral a fournis pour cela ; & on
peut Temployer encore à présent dans certains cas
où-le calcul intégral seroit plus difficile. 'M. Leibniz a observé que cette méthode seroit
encore bonne , quand mème Taxe ou le centre
changerait çpntinuellement durant le mpuvcmsni.
(O).
CEP C E R IÍÏ
M. Yangnon a donné dans le volume de TAcadémie
de 1714, un Mémoire qui a pour titre,
Réflexion sur Vusage que la Mécanique peut avoir
en Géométrie. 11 y démontre la propriété du centre
de gravité, dont nous avons parlé dans cet article,
& plusieurs autres propriétés encore plus générales
& aussi.curieuses. On peut se servir utilement de
ces propriétés ppur résoudre avec plus de facilité
certains problêmes de Méchanique. Par exemple,
fi nn demande quelle figure dpit avpir une
courbe G A H ( fig. 5S.)  pour qu’en tournant
autour de Taxe G H elle produise une surface
courbe plus grande que celle que produirait en
tournant auteur de G H tpute autre ligne ceurbe
qui passeroit par les mêmes ppints G, H, & qui
seroit de la même'Tonguëur que la courbe qu’en
cherche ; on trpuveroit fans aucun calcul, en sc
servant. du théprème précédent, que la courbe
G AH qu’on demande doit être celle que prendroit
une chaîne chargée d’une infinité de petits poids,
& qu’on attacherait aux ppints G & H : car une
chaîne qui est ainsi attachée, dpit se difppscr de
manière que le centre de gravité des peids qui la
composent," c’est-à-dire le centre de gravité de la courbe
 même, descende le plus bas qu’il est possible ;
d’où il s’ensuit que la cpurbe formée par
cette chaîne aura son centre de gravité plus élpigné
de Therizpntale G H que toute autre ligne courbe
de la même longueur, & passant par les mêmes
points : par conséquent le cercle décrit par le centre
de gravité de la courbe formée par la chaîne,
lorsque cette cpurbe tpurne autour de G H, est
plus grand que le cercle décrit par le centre de
gravité de teute autre cpurbe.de même lpngueur,
âpipassant par les mêmes ppints G, H ; dpnc la
íurface du solide produit par la première cpurbe,
est plus grande que toute autre. On veit dpnc que
le preblème se réduit à trouver'la courbe formée
par la chaîne ; courbe connue par les gépmètres
fous le npm de chaînette, tk dpnt ils pnt dpnné
feconstfuctiphil y a long-tems. Voye\ CHAÎNETTE..Le met centrobarique est formé des mots aív-rpoy,
lentrum, centre, & £« p« , poids , pesanteur. ( 0 ) CEPHÉE, (Astron.)  constellation boréale ap- .
pellée aussi virregius, regulus , jasides , (fils de
Jafus, j nereus, senex aquoreus , jiívenis oequoreus.
Céphée étoit roi d’Ethippie pii^de Tlnde, ( Pline,
Uv. V, chap. 13 , 31. )  car les premiers grecs appellèrent
de ce npm d’inde toutes Jes terres situées
au de-là de mer méditerannée. Céphée étoit père
d’Andromède, & les peètes disent que Persee pbtint
de Jupiter que Céphée, avec fa femme Cassippée
& fa fille Andromède, fut placé parmi les astres.
Ovid.IV, 670. ( Voyez ANDROMÈDE.) II y a
des favans qui croyent aussi que le centaure Chiron
formant les consteilatipns 1350 ans avant J. C.
leur donna les noms des héros de son siècle ou
des princes dont ils descendoient ; voilà peut-être
en effet pourqupï Tpn y trouve Callisto, Oripn,
Céphée j Perlée, Andromède, Caificpe, Hercule,le vaisseau des Argpnautes. ( M. Fréret, défense
de la Chrenplpgie, pag. 20 tk 501.) Les étoiles de Céphée ne sont pas très-remarquables
 ; il y en a 34 dans le catalpgue britannique.
(D. L.) 
C E R
CERATIAS, {.m. (Astràn.)  selon certains
auteurs , est une comète cornue, qui paroît souvent
barbue & quelquefois avec uné queue. Ils prétendent
que quelques-unes de ces comètes ref- ,
semblent à la figure de la nouvelle lune : celles
qui ont des queues, les pnt crochues & receurbées
PU vers le haut eu vers le bas ; d’autres-pnt des
queues d’une égale largeur, pu épaisseur, &c.
Hevelii cometographia. Harris.CERBERE , (Astron.)  cpnsleliatipn beréale,
intrpduite par Hévélius , ppur renfermer quatre
étoiles, qui sont fur la main d’Hercule, PU aux
environs. Flamsteed Ta adpptáe dans son cataloguebritannique,
tk èlle est figurée dans son Atlas céleste.Le tripmphe d’Hercule fur cerbère s’explique
suivant M. Dupuis, par le cpucher du petit chien^
pn lé peint en effet avec les attributs du serpent
PU de Thydre qui se levé au-deffus de fa tctej "
Hercule approche alprs de Therizpn, ce qui a fait
imaginer fa .descente. aux enfers. Voyez mon ASTRONOMIE
, T. IV, pag. 404. (D. L.) CERCLE de réflexion, ( Astron. )  est un inf~
trument circulaire propre à pbserver les distances
& les hauteurs en mer. Voye{ LE-DICTIONNAIREDEMARINE.CERCLE du haut solstice , c’est le nom que Tort,
a dpnné quelquefois au trppique du cancer.CERCLE, sob. m._( en Géométrie )  figure plane y
renfermée par" une feule ligne qui retourne fur
elle-même , & au milieu de laquelle est un point
fituë de manière que les lignes qu’pn en peut
tirer à la circpnférence font toutes égales^ Jroyef
CENTRE.A proprement parler, le cercle est Tespace ren~
fermé par la eircpnférence, quoique dans l’ufage
vulgaire pn entende par ce mpt la circpnférence ;
feule. Voyez, CIRCONPÉRENCE,Tput cercle est supposé divisé en 360 degrés y
que l’en marque ainsi 3600 ; chaque degré se divise
en 60 minutes ainsi marquées ', chaque minute
en 60 sccpndes marquées par ", chaque seconde
en 60 tiers ainsi marquées '". On a divisé
le cercle en 360 parties, à cause du grand nombre ;
de diviseurs dont le nombre 360 est susceptible,
Voyei DEGRÉ, MINUTE, de. DIVISEUR.On trouve Taire d’un cercle en multipliant la
circpnférence paf le quárt du diamètre , PU la.
mpitié de la circonférence par la moitié du dia.mètre.
 On peut avoir Taire, à-peu-près, en trou*-
*' ?;* C E R .

C E R
vant une quatrième proportionnelle à roco, â 7S5 ,
& au quarré du diamètre.Les cercles tk lès figures semblables qu’on peut
y inscrire, sont toujours entr'elles comme les
quatres des diamètres ; ou , comme les Géomètres
s’expriment, les cercles sont entr'eux en raison
doublée des diamètres, & par conséquent aussi des
rayons,. '"Le cercle est égal à un triangle dont la base est
la circonférence", & la hauteur Je rayon. Les
cercles sont donc en raison composée de celles des
circonférences & de celles des rayons.Trouver la proportion du diamètre du cercle à
fa circonférence. Trouvez en coupant continuellement
les arcs en deux, les côtés des polygones inf.
crits, jusqu’à ce que vous arriviez à un côté qui
soutende un arc si petit que vous voudrez choisir.
Ce côté étant trouvé, cherchez le côté du polygone
circenfcrit semblable ; multipliez ensuite chacun de
ces polygones par le nombre de ses côtés, ce qui
vous donnera le périmètre de chacun d’eux : la
raison du diamètre à la circonférence du Cercle
sera plus grande que celle du diamètre à la circpnférence
du pplygpne circpnfcrit, mais moindre
que celle du diamètre au pelygone inscrit.La différence des deux étant connue, on aura
aisément en nombres très-approcliés, mais cependant
non exacts, la raison du diamètre à la circonférence.Ainsi, Welf la trouve la même que celle de
ïoe 000 oc » 000 000 00 à-3 141 591653 6897932.
Archimède a donné pour raison approchée celle
de 7 à 22 ; Ludolphe de Ceulen a porté cette recherche
à une plus grande exactitude, & il trouve
qu’en prenant l’unité pour diamètre, la circonférence
doit être plus grande que 3. 141 592 653
589 793 238 461642, 383 879 50, mais moindre
que ne deviendrait ce même nombre si l’en cliangepit
seulement le zéro qui Je termine en l’unité.Merius nous a donné la proportipn la meilleure
de tputes celles qui ent j) aru jusqu’à présent exprimées
en petits npmbres. II sopppse le diamètre
de 113 ■ parties, & la circpnférence doit être à
moins d’une unité près 355, suivant son calcul.Circonscrire un cercle à un polygone régulier donné.
Coupez deux des angles du polygone E & D
(planch. Géom: fig. 23 ) en deux également : du
point de concours F des lignes £ F, D F, pris
pour centre, & du rayon EF décrivez un cercle ;
ce fera celui que vous cherchez,Inscrire un polygone régulier donné dans un-cercle:
Divisez d’abord 360 par le nombre des côtés,
pour parvenir par-là à connoître la quantité de
l’angle EFD ; cela étant fait, appliquez la corde
E D de cet angle à la circonférence autant de fois
que vous le pourrez, & vous aurez par-là inscrit
le pplygpne dans le cercle.Par trois points donnés A, B, C, qui ne font
point en ligne droite (fig. 24) décrire un cercle.
Des points A &, C,tk d’un même ijitejvalle
pris à volonté , décrivez deux" arcs de cercle, qut
se coupent en D d E ; & pareillement des points
C & B, décrivez-en deux autres qui se coupent
en G & H ; tirez ensuite les droites DE, GH-.
le point dé leur intersection I sera le centre du
cercle: par-là on peut venir à bout, en prenant
trois points dans la circonférence d’un cercle ou
d’un arc donné, de trouver le'centre de ce cercle
ou de cet arc, & de continuer l’arc si ce n’est pas
un cercle entier. . .Donc si trois points d’une circonférence conviennent
PU cp-incident avec treis ppints d’une
autre circpnférence, les deux circpnférences coïncideront
en entier, & les cercles feront égaux.Dpnc aussi tout triangle peut être inscrit dans
' un cercle. Veyei TRIANGLE.On démpntré en Optique qu’un cercle , s’il est
fort éloigné de Toeil, ne peut jamais paroître véritablement
cercle , à mpins que le raypn visuel
ne lui soit perpendiculaire & ne.passe par son’
centre. Dans tous les autres cas, le cercle paroît
eblpng ; & ppur qu’il paroisse au cpntraire véritablement
circulaire , il fáut qu’il soit en effet
eblpng.- Voye\ PERSPECTIVE.Les cercles parallèles pu concentriques sont ceux
qui sont également élplgnés les uns des autres dans
tputes leurs parties, pu qui sont décrits d’un même
centre ; & par ppppsitipn, ceux qui sont décrits
de centres dissérens sont dits excentriques , l’un
par rappprt à l’autre, Voye\ CONCENTRIQUE t
EXCENTRIQUE, de. . r.La quadrature du cercle ; pu la manière de faire
un quarré dpnt la surface ft}it parfaitement & géométriquement
égale à celle" d’un cercle , est « 1
problème qui a occupé les mathématiciens de tow
les siècles, Voyez QUADRATURE.Plusieurs soutiennent qu’elle est impossible ; elle
est du moins, d’une difficulté qui Ta fait passer
pour telle jusqu’à présent. Archimède est celui
des anciens géomètres qui a approché le plus de
la quadrature du cercle. (CHAMBERS) ^Cercles des degréssupérieurs ; ce sont des courbesm 772 .dans lesquelles A P : P N : ; PN> P B, ou-m m , n n \AP :PN : ;PN :PB ( Planche d’Analyse ,
fis- .9- ) Au reste , ce n’est que fort improprement que
ces ceurbes pnt été ; appellées cercles ; car pn est
cpnvenu d’appeller cercle , la feule- figure dpnt l’éguatiqn
est A P XPB==PN~". mais pn peut
imaginer des cercles de plusieurs degrés comme
des paraboles de plusieurs degrés, quoique le nom
de parabole ne Gonvienne. rigoureusement qu’à la
parabole d’Apollpnius, Voyez, PARABOLE.Coroll. I. Supposons A P ==x,P N==y, ÂB
= a , & npus aurons B P. ==: a — x , & par con-.m mféquçnt x : y : : y : a — x > ce qui npus dpnne uneéquaticpC h a c ha \uíguatìôn qui détermine les cercles des degr&siir.-, T" -}- I 771 -}- Ipéneurs à l’infini ; favpir, y =M" x& pn ppurrpit avpir d’une manière à-peu-près sem.771-J-1 72 777.biable cette autre équatipn y =(a—x) x .Coroll. II. Si m =z T, nous aurons y1 .= a x
— xx> & par conséquent il n’y aura que le cercle
ordinaire ôu celui du premier degré qui soit alors
compris sous l’équatipn.Si m = z, on aura y"> =axz —■. x1 , équatipn
qui appartient au cercle du sccpnd degré PU du
second ordre.• . * COUPE-CERCLE , instrument de Mathém. C’est
une des pointes d’un cpmpas : elle est tranchante,
& divise circulairement le papier PU lé carton sor
lequel pn l’appuie. On donne le même npm en
Menuiserie à un villebroquin qui est armé à son
extrémité d’une couronne tranchante, au centre
de laquelle il y a une pointe qui fixe le villebrpquin,
& qui perce un trou tandis que la CPUrpnne
emporte uue pièce circulaire. F ! TRÉPAN.CÉRES, ('Astron. )  nòm de la cpnstellatipn de
la vierge.CERVA, (Astr.)  nem de la censtellatipn dé
Çaffippée.Ch aCHAINE, dans VArpentage, signifie une mesure
Éompesée de plusieurs pièces de gros fiUde-fer PU
de laiton recpurbées par les deux bputs : chacune
de ces pièces a un pied de lpng, y cpmpris les’
Jjetits anneaux qui les jpignent ensemble.Les chaînes se font prdinairement de la Ipngueur
de la perche du lieu pù Tpn veut s’en servir, pu
•hien de quatre à cinq roises de song, & même plus
longues, si Tpn a des grandes statipns à mesurer,
comme de huit ou dix toises. On les distingue
quelquefois, par un plus grand anneau, de toise en
çn toise : ces sortes de chaînes sont fort cemmpdes,
en ce qu’elles ne se npûent ppint comme celles
qui sont faites-- de petites mailles de fer. Voye[
ks /zrticsesPERCHE, VERGE, deEn i6"68,'pn plaça un"npuvel étalpn pu mpdèle
de la toise fort juste, au bas de Tesealier du grand
châtelet "de Paris, ppur y avoir reepurs en cas de
iesòin. .La chaîne sert à prendre les dimensipns des
terreins. C’est ce que le P. Merfenne appelle Yarvipendìum
des anciens. Voyez] ACJCE.On emplpie aussi au lieu de chaînes des eprdes ;
mais elles sont sujettes à beauepup d’incpmvéniens,
qui proviennent soit des dissérens, degrés d’humidité,
soit de la force qui Jes tend.Sclnventurus, dans fa Géométrie pratique, npusdit qu’il a vu une-eprde dé.seize pieds de long,réduite en une heure de tems à -quinze, par lafeule chute d’une gelée blanche, Ppur prévenir' Maiìiémattques, Tome T yI.er^Partie,ces ihéonvéniens, Wolf conseille de tortiller en
sens contraire les petits cordons dont la corde est ;
comppsée, de tremper la cerde dans de J’huile
bpnillante, & quand elle sera féche, de la faire
passer à-travers de la cire fondue, afin qu’tîje s’en
imbibe : une eprde ainsi préparée ne se ralongera ■
ni ne se raccourcira ppint-du-tput, quand même
çn la garderait un jour entier sous Teau.Usage de la chaîne dans Varpentage. La manière
d’appliquer la chaîne à la mesure des lpngueurs est.
trop connue, pour avoir besoin d’être décrite.Lprsqu’on
 enregistre les dimensipns prises par la
chaîne, il faut séparer la chaîne & les chaînpns par
des virgules ; ainsi, une ligne Ipngue de soixantetrois
chaînes tk cinquante-cinq chaînpns , s’écrit
en cette sorte, 63, 55. .Si le nembre des chaînpns
n’est exprimé que' par un seul caractère, pn met <■■
asors. un zero au-devant : ainsi dix chaînes, huit
chaînons, s’écrivent en cette sorte, 10, 08.Pour trouver Taire d’un champ dont les dimensions
sont données en chaînes & chaînons, voyeç
AIRE , TRIANGLE , QUARRÉ.Pour prendre avec la chaîne un angle D A E t
(PI. d’Arpent, fig. 1.)  vous mesurerez en partant du
sommet A, une petite distance jusqu’en d.tk en c  ;
ensuite vous mesurerez la. distance de. Pour tracer
cela sur le papier, vous prendrez à/volonté la ligns
A E, & vous y rapporterez, au moyen de verre
échelle, la dislance mesurée sur. le côté qu’elle,
représente. Voye^ ECHELLE. .'"Ensuite prenant avec vetre compas la Ipngueur
mesurée sur l’autre côté, du sommet A, comme
centre, décrivez un arc de ; & du point ç, comme
centre, avec la distance mesurée c d, décrivez un
autre arc a b : par le point où cet arc coupe le
premier, tirez la ligne A D : par ce moyen 1 angle est
 rapporté sur le papier ; & Ton pourra, fi Ton
veut, en prendre la quantité sur une ligne des cordes.
Voyei CORDE d COMPAS DE PROPORTION.Ppur lever le plan, PU ppur faire le dessein d’un
lieu, comme AB CD E , (fig.ji.)  en se servant
de la chaîne, on en ferwd’abord une esquisse grosfière ;
& mesurant les dissérens côtés AB, B C, .
CD, DE, on. écrira la longueur de cliaque côté
le long de son côté correspondant dans Tesquisse ;
ensuite si on levé le plan en ^dedans du lieu pro-".
posé, au lieu de mesurer les angles comme cidessus,
on mesurera les diagpnales AD, B D, tk
l.a figure se trouvera de. la sorte réduite en trois" ;
triangles, dont tous les côtés seront connus, comme .
dans’le premier cas, & pourront être rapportés
fur le papier suivant la méthode ci-dessus.Si on levéTe plan en- dehors du lieu proposéy
il ! faudra prendre en ce cas les angles de la manière
suivante. Pour prendre, par exemple, l’angle
B CD, pnprplpngera les lignes B C, CD, k des
distances égales en a, b (par exempledela Ipngueur
dé cinq chaînes) , & pn mesurera la distance ab ;
pn aura par-là un triangle isocelle cab, dans
, lequel Tangle a b c = B C D son ppppsé, est•V v338 C H A C H A
connu : ainsi, Ton connoîtra Tangle B CD, &
l’on pourra le tracer comme ci-dessus.Trouver avec la chaîne la distance entre deux
objets inacccffiblcsV'un parrapport a l’autre , de quelque
point, comme C, (fig. 3. ) dont la distance à chaque
objet A d B, soit accessible en ligne droite. Mesurez
Jadislance CA, que je supposé de cinquante chaînes,
& prolongez-là jusqu’en D, c’esl-à-dire, cinquante
chaînes encore plus loin ; mesurez de même B C,
que je suppose de trente chaînes, & prolongez-la
jusqu’en E, trente chaînes encore plus lpin : VPUS
formerez de la sorte le triangle CD E , semblable
&■ égal au triangle ABC ; & ainsi mesurant la
distance i ?£,'voùs aurez la dislance inaccessible
cherchée.Trouver la distance d’un objet inacccjjìble , comme
la largeur d’une rivière, par le moyèn de la chaîne.
Sur Tune des rives plantez bien perpendiculairement
une perche haute de quatre ou cinq pieds,
òù il y ait dans une sente pratiquée en haut, une
petite pièce de fil-de-fer, ou d’autre matière semblable,
bien droite ; & lpngue de deux eu trois
ppuces ; VPUS ferez ensuite glisser cette petite pièce
en haut PU en bas, jusqu’à ce que vptre oeil ap•
perçoive PU rencontre l’autre rive, en regardant
le long de ce fil-de-fer : vous tournerez ensuite
la perche, en laissant toujours le fil-de-fer dans la
même direction ; & regardant le long de ce fil,
comme d-deslùs, remarquez fur le terrein où vous
pouvez opérer , Tendroit 'où aboutit votre raj’on
visuel : enfin mesurez la dislance qu’il y a de votre
perche à ce dernier point ;.ce sera la largeur de
la rivière proposée. Voyez ARPENTAGE, RAPPORTEUR
, de. (E ) CHAINETTE, dansla Géométrie transcendante,
ligne courbe dent une chaîne pu une courbe prend
la figure par son propre poids, lorsqu’elle est suspendue
librement par ses deux extrémités ; soit
que ces^ deux extrémités soient de niveau dans une
même ligne horizontale, ou qu’elles soient placées
dans une ligne oblique à J’horizon.Pour concevoir la nature de cette courbe, supposons
une ligne pesante & flexiblet (PI- Méch.
fig. 56.)  dont les extrémirés soient fixées aux points
G, H ; elle se fléchira par son propre poids en
une courbe G A H, qu’on nomme la chaînette ou
catenaria.' Le P. Reyneau, dans son Analyse démontrée ,
trouve ainsi Téquation de cette courbe. Soit A le
sommet de la courbe, ou son point le plus bas ;
que B D & b d soi en r parallèles à Thorizon ; f B
perpendiculaire à B D ; B D, perpendiculaire à
A B ; tk soient les points B-, b, & les lignes B D ,
í. d, infiniment près l’un de l’autre: les loix de la
•méchanique nous apprennent que trois puissances
qui se font mutuellement équilibre, sont entr'elles
comme des parallèles aux lignes de leurs directions,
terminées par leur concours mutuel ; par conséquent’
les lignes D f & d f feront entr'elles comme les
forces verticales & horizontales, qui tendent àmettre la particule D d dans la situation D d: or
la première de ces forces est le poids de la portion
AD de la chaîne, & elle est représentée par
A D. L’autre force est une force constante, n’étant
aune chose que la résistance du point A : nommant
"donc AB, x, B D, y, Tare A D ou son poids,
s, tk la force constante a , on aura dx . d y '. •s.a,tkdy=,a-^. Donc£ ^—-^-f-^-^ yII semble que cette solution, quoiqu’assez simple,
laisse encore de Tobscurité dans l’esprit ; mais ce
même problème a été résolu de différentes manières
: lès plus élégantes sont celles que l’en trouve
dans l’essai de M. Jean Bernpulli fur la manoeuvre "
des vaisseaux, imprimé à Bàle, 17.14 ; & dans un
écrit de M. Daniel Bernpulli son fils, tome III
des Mémoires de VAcadémie de Pctersbourg. '-'Ppur parvenir à Téquatipn de la chaînette, il
faut d’abprd décomposer tputes les: puissances qui
agissent fur un ppint quelconque 3 èn deux autres,,-,
dent Tune soit parallèle à, Taxe ; & l’autre perpendiculaire
à cet axe ; ce qui est tpùjpurs possible,
puisqu’il n’y a peint ' de puistànce qui ne puisse
se réduire à deux autres dé ppfitipn donnée ;
ensuite pn regardera la chaînette comme un polygpne
d’une infinité de côtés ; & foppplànt chaque
puistànce appliquée au peint de cpnepurs des deux
côtés, en décpmppsera, ce qui est tpùjpurs possible,
chaque puissance en deux autres qui soient
dans la direction de deux côtés contigus : de cette
manière on trouvera que chaque côté de la courbe'
est tiré à chacune de ses extrémités en sens contraires
, par deux puissances qui agissent suivant la
direction de ce côté. Or pour qu’il y ait équilibre,
il faut que les deux puissances soient égales : égalant
donc cès deux puissances ensemble, on aura Téquatipn
de la chaînette. Vpyez un plus long détail
dans les ouvragés cités. Jl npus suffit ici d’avoir
exposé 1e principe. SÌ une courbe est prefl’ée en
chaque point par une puissance qui soit perpendiculaire
à la courbe, oh trouvera par ce principe
que ppur qu’il y air équilibre, ii faut que chaque
puissance soit ,en raison inverse du raypn né ìa
dévelpppée de la cpurbe, au ppint pù la puissanceagit- ".Plusieurs auteurs pnt trouvé qu’une voûte,-pour
êtrçen équilibre, deveit avoir la même figure que
la chaînette. En ester, imaginens cette veûte en
équilibre, cpmme cpmppíée de petites sphères
solides.qui.se touchent, & jpignpns les centres de
ces sphères pa.' des lignes droites ; imaginpns ensuite
que la directipn de. la pesanteur de ces sphères
change tout-à-cpup, & se fasse en sens cpntraire ;
& que les sphères soient liées ensemble par des
fils PU autrement, de manière qu’elles ne puissent
pas ebéir à Timpulsion verticale de la pesanteur t
il est visible que Téquilibre.ne sera point troublé,
puisque dés puissances qui sont »n équilibre con« 
tìntient d’y ètfeylorsquesans changer ces puistànce ;,
on ne fait que leur dpnner à tputes des’directipns
cpntràires. II est visible de plus que 'clans ce cas
la veûte deviendra une chaînette dont les pieds
droits de la voûte seront les peints fixes, & qu’il
n’y aura d’autre différence que dans le renversement
de la figure : donc la courbe de Ja chaînette est
la même que celle de la voûte. Voyez VOÛTE. (O) 
'" CHAISE marine, (Aflron.)  c’est le npm d’une
machine proppsée en- Angleterre vers 1760 , par
M. Irwin , pour suspendre un observateur dans
un vaisseau par le mpyen de deux axes , comme
la lampe de Cardan ; on ppuvpir, par ce meyen,
observer en mer des éclipses de satellites. Cette
machine avpit été proppsée en France par Besspn,
dan* son CÓSMOLABE.CHAMBRE obscure PU chambre close, enfermes
d’Optique , est une chambré fermée avec soin de
(tputes parts, &"dans laquelle les raypns des pbjets
extérieurs étant reçus à travers un \erre cpnvexe,
cés pbjets sont représentés distinctement, & avec
Jeurs cpuleurs naturelles, fur une surfc-.ce blanche
placée en-dédans de la chambre, au foyer du verre.
Outre ces expérierces que Tpn peut faire dans
ïine chambre ainsi feanée, prisait des chambres
obscures , pu machines portatives, dans lesquellles
on reçoit limage des objets extérieurs par le
moyen d’un ^e:'re.-La premiète invention dé la chambre obscure est
attribuée à Jean-Baptiste Porta.La chambre obscure sert à beaucoup d’usages dissérens.
Elle jette de grandes lumières fur la nature
de la vision’ ; elle fournit un spectacle fort amusant,
en ce qu’elle présente des images parfaitement semblables
aux objets ; qu’elle en imite tentes les
çeuleurs & même les mouvemens, ce qu’aucune
autre forte de représentátipn ne peut faire. Par le
meyen de cet instrument, fur-tput s’il est cpnstruit
conformément à la dernière des trois manières
de le construire dpnt pn parlera plus bas,
quelqu’un "qui ne fait pas le dessin, ppurra néanmpins
dessiner les pbjets avec la derrière justesse
& la dernière exactitude ; & celui qui fait dessiner
ou même peindre, ppurra encore par ce même
jnpyen se perfectipnner dans son art.La théorie de la chambre obscure est contenue
dans les propplîfipns suivantes tirées de l’Optique
de Welf.Si un pbjet AB ( pi. d’Opt.fig. ze)  envpie
des’rayons’à travers la petite ouverture C, fur
« ne muraille blanche ppppfée à cet pbjet, & que
la place PÙ les rayons-vont aboutir, derrière • ! ouverture
C, soit sombre ; Timage de Tobjet Te
peindra en a b sur la muraille de haut en-bas.Car Touverture C étant fort petite , les rayons
qui viennent du point B, tomberont.fur b ; ceux
qui viennent des points A tk D, tomberont fur a
& d ; c’est pourquoi,'comme les rayons qui partent
des dissérens ppints,de Tpbjet, ne sont ppint
confondus lorsque la muraille íes""r^é£fnt, ils
V « ,v..
prrr'tfiront arec eu- les traits de l’pbjet qu’ils représenteront
fur la muraille. Mais comme les rayens
A C & B C se ccupent l’un l’autre à Touverture,
& que les raypns qui partent des ppints d’en-bas
vont abputir en-haut , il faudra nécessairement
que Tpbjèt soit représenté dans une figure renversée.Ainsi, comme les angles en D & en d sont
droits, & que les angles en C sont égaux ; B & í\,
A tk a seront aussi égaux ; cpnséquemment si la
muraille sur laquelle Tobjet est représenté est parallèle
à Tobjet, ab'.AB 11 dC: CD ^c’est-àdire,
que la hauteur de Timage sera à la hauteur de
Tobjet, comme la distance de Timage à Touverture
est à la distance de Tobjet à cette même ouverture.
11 est évident par cette démonstration
qu’on peut faire une chambre obscure, en se contentant
de faire en Cun trou fort petit , sans y
mettre de verre. Mais Timage fera beauepup plusdistincte,
si en place un. verre convexe en C ;
car lorsqu’il n’y a en C qu’un simple trou", les
peints A, B , D, de. de Tobjet ne peuvent se
représenter en a , b , d, que par de simples rayons
Ab, D d, B a ; au lieu que fi on place un verre
"en C, tous les rayons qui viennent du point A
par ex. & qui tombent sor ce verre, sont réunis
au foyer , de sorte que le point a est beaucoup
plus "vif & plus distinctv& la réunion sera d’au-r
tant plus exacte & plus perfaite au foyer , que
le verre fera portion d’une plus grande sphère ;
ainsi, moins le verre sera convexe, plus Timage
sera distincte. Jl- est vrai aussi que le foyer sera
d’autant plus éloigné, que le verre sera moins
convexe, ce qui.fait un inconvénient. C’est pourqupi
il faut prendre le verre d’une convexité
moyenne,Construâion d’une chambre obscure, dans laquelle
les objets de dehors seront représentés distinâement
d avec leurs couleurs naturelles , ou de haut enbas
, ou dans leur vraie situation. l.° Bouchez
tous les" jours d’une chambre dont Jes fenêtres
donnent des vues sor un certain nombre d’objets
variés, & laissez seulement une petite ouverture
"à une des fenêtres. z.° Adaptez á cette ouverture
un verre lenticulaire , plan , convexe,
ou convexe des deux côtés , qui forme une
portion de surface d’une assez grande sphère.
.3.° Tendez à quelque distance, laquelle sera déterminée
par Texpérience mème , un papier blanC
ou quelques étoffes blanches., à mpins que la muraille
même ne soit -blanche ; au moyen de quoi
vous verrez les Objets peints fur la muraille de
liant en-bas. 4.° Si vous les voulez voir représentés
dans leur fituatipn-naturelle, VPUS n’avez
qu’à placer un verre lenticulaire entre Je centre &
le foyer du premier, pu recevpir les images des
pbjets fur un miroir plan incliné à Thprizpn sous
un angle de 45 degrés, -pu enfermer deux verres
lenticulaires, au lieu d’un dans un myau de lunette.
Si l’puverture est très-petite, lés ebjets ppurYvijC h a c h aront se peindre, même sans qu’il soit besoin de
verre lenticulaire.Pour que les images des objets soient bien visibles
& bien distinctes, il faut que le soleil donne
sur les objets : on les verra encore beaucoup
mieux, si l’on a soin de se tenir auparavant un
quart-d’heure dans T obscurité. 11 faut aussi avoir
grand soin qu’il n’entre de la lumière par aucune
fente , & que la muraille ne soif point trop
éclairée.Construâion d’une chambre obscure portative.
i.° Ayez une cassette ou boîte de bois sec ( pi.
d’Opt.fig. Z7 ) de la figure d’un parallélépipède,
large d’environ dix pouces , & longue de deux
pieds ou davantage , à proportion du diamètre
que vous voudrez donner au verre lenticulaire.
2." Dans le plan CA O ajustez un tuyau à lunette-£
F, avec deux verres lenticulaires ; ou bien
mettez Timage à une petite distance du tuyau avec
trois verres lenticulaires convexes des deux côtés,
dont les deux de dehors ou de devant auront de
diamètre -^ de pied, & celui de dedans -f^. En
dedans de la boîte , à une distance raisonnable du
tuyau, mettez un papier huHé G H dans une situation
perpendiculaire, en sorte qu’on puisse voir à
travers, les images qui viendront s’y peindre.
Enfin en I faites un trou rond par où une personne
puisse regarder commodément.Alors si le tuyau est tourné vers Tobjet, les
verres étant arrêtés à une distance convenable, qui
.fera déterminée par Texpérience, Tobjet sera peint
fur le papier G H dans fa situation naturelle.On peut encore faire une chambre obscure portative
de cette manière. i.° Au milieu d’une cassette
ou boîte de même forme (pi. d’Opt.fig. 28) ,
mettez une petite tourette ronde ou quarrée HI,
ouverte du côté de Tobjet AB. i." Derrière Touverture
placez un petit miroir ab I k une inclinaison
de 45 degrés , pour réfléchir les rayons
A a tk B b , fur le verre convexe des deux côtés
G, enfermé dans le tuyau G L. 3.° A la distance
de son foyer mettez une planche couverte d’un
papier blanc EF, pour recevoir Timage ab:
enfin faites en N M une ouverture oblongue pour
regarder dans la boîte. (O) CHAMÉLEON. Voyez CAMÉLÉON.. CHAMMA , nom que les astronomes arabes
donnent au soleil..- CHAMP d’une lunette, est Tétendue des objets
qu’on y peut voir à-la-fois ;' le champ est déterminé
par la largeur de Toculaire ou du diaphragme,
que Ton met au foyer de Tobjectif ; car
la longueur du foyer est au diamètre de cet anneau
comme le rayon est au sinus de l’angle qui mesure
le champ de la lunette ; on le détermine par observation
en^ comptant le nombre de minutes & de
secondes qu’un astre met à le traverser. ( D.L.) 
*On voit donc que le champ d’une limette est Tespace
que cette lunette embrasse, c’est-à-dire çe quel’on sent enregardant dans la lunette. C’est une per »
sectien dans une lunette d’embrasser beauepup de
champ ; mais cette perfcclien nuit souvent à une
autre , c’est la netteté des. pbjets : car les raypns
qui tpmbent fur les bprds du verre objectif, &
d’pù dépend le champ de la lunette, sont rompus
plus inégalement que les autres , ce qui produit
des ceuleurs & de la cpnsofipn. On remédie à cet
incpnvénient par un diaphragme placé au-dedans
de la lunette , qui en interceptant ces rayons, diminue
le champ ; mais rend la vision plus distincte.
(O) CHANCE, (jeux de hazard)  est encore employé-dans
plusieurs jeux de cette espèce, mais
particulièrement dans la taupe & 'tingue. Voye[
Varticle TAUPE d TlNGUE.CHANGEANTES, (Astron.)  On désigne fous
ce nom certaines étoiles qui font sujettes à des
diminutions & à des augmentations alternatives de
lumière. II y a plusieurs étoiles dans lesquelles on
soupçonne de semblables variations ; mais il n’y
en a que deux où elles aient été discutées & observées
avec assez de soin y pour qu’on puisse Jes
prédire : Tune est la changeante- de la baleine ;
l’autre est la changeante du'cygne.La changeante de la baleine  ; appellée 0 dans
Bayer, sotápperçue le 13 août 155) 6 ,par David
Fabricius. Boulliaud, dans un traité imprimé a
Paris en 1667, dit que cette étoilé revient à fa
plus grande clarté au bout de 333 jours ; mais
Cassini en compte 534, Elém. d’Astron., page G8.
Elle paroît de la seconde grandeur plus belle que.
t & Me la baleine pendant Tespace de 15 jours’,
& diminue ensuite jusqu’à disparoître quelquefois
totalement. Hévélius rapporte quelle sot quatre
années entières fans paroître ; savoir, depuis le
mois d’octobre 1671, jusqu’au mois de décembre
167e. Elle n’emploie pas toujours un tems égal,
depuis le commencement de son apparition jusqu’à
sa disparition ; mais tantôt elle augmente plus vite
qu’elle ne diminue & tantôt elle s’accroît plus lentement.
Cassini la trouva dans son plus grand éclat
au commencement d’août 1703 , & elle paroissoit
alors de troisième grandeur comme Fabricius l’avoit
jugée le 13 août 1596. Elle avoit eu, dans cet
espace de 30080 jours, 117 révolutipns, ce qui
dpnne la péripde mpyenne de ses variatipns de 334
jours ; mais il pein y avoir dans ces déterminations
deux ou trois jpurs d’incertitude. Voyez Cassini,
EU'mens d’Astron. , page G8. Maraldi, Mém. de
VAcadémie 1719. Philos, transaâions n." 134 &
34e. M. Herschel Ta trouvée dans son plus grand
éclat les 10 PU 15 npvembre 1779 ; elle étoit invisible
le 7 février 1780. Philos, tranfaâ. 1780.
On a pbservé dans le cygne trois étoiles changeantes
: Ja plus remarquable des treis est celle qui
est appellée x dans Bayer, & dent on observé'
encore les phases. Kirch fut Je premier qui remarqua
en i686« ces variations de lumière ; le 11 juillet
il navoii^liu/appercevoir cette étoilé, mais le 19Ch a c h a u »fc’ctobre, elle lui parut de cinquième grandeur. Au
mois de février 1687, elle avoit encore disparu,
On ne la vpypif pas même avec une lunette. Dans
là fuite Maraldi & Cassini ayant observé plusieurs
fois ses variations, trouvèrent la période de 405
jours. M. Acad. 1719.M. le Gentil a trouvé, par
de nouvelles observatipns 405 jpurs & à- ; vpici
le tems de son plus grand éclat tels qu’il les a
annoncés. Le 24 mai 1784, 4 juillet 1785, 13
août 1786, 22septembre 1787, I npvembre 1788,
10 décembre 1789 ; 30'janvier 1791 , 10 mars
1792, 19 avril 1793 , de. La table de M. le Gentil
cpnfinue jusqu’à la fin du siècle, Mém. Acad. 1759,
pag. 247. On dpit pbserver que ces retours sont
aussi sujets à des inégalités physiques ; car cette
étoile fut presqu’invisible pendant les années 1699,
1700, 1701, même dans les tems où par les obr
servations des années précédentes & suivantes, elle
devoit être dans fa plus grande clarté. Cassini,
page 72. (Nous devons encore dire quelques mots de deux
autres changeantes du cygne, Tune est située proche
Tétoiler, qui est dans la poitrine ; elle fut déceuverte
par Kepler en 1600 ; en ne la trouve peint
dans le catalogue de Tychp, quoiqu’il ait marqué
plusieurs étoiles qui sont près de cette changeante ,
& qui paroissent même plus petites : Bayer &
. Jansoh J’pnt regardée comme npuvelle. Pendant
19 ans qu’elle fut observée par Kepler, elle parut
toujours de la même grandeur, n’étant pas toutà-fait
si grande que y à la poitrine du cygne, mais
plus grande que celle qui est dans le bec. Elle paroissoit
encore au témoignage de Liceti en i6ii-,~
mais elle disparut ensuite. Cassini Tobserva de nouveau
en 1655 ; elle augmenta pendant cinq années
jusqu’à égaler les étoiles de la troisième grandeur :
en 1677, 16S2 & 1715 , elle ri étoit encore que
comme une étoile de la sixième grandeur. Cassini,
Elémens £ Astron., pag 69. Maraldi, Mém. Acad,
1719. On trouve diverses Observations d’Hévélius
fur les changeantes de la baleine & du Cygne dans
les tranfaâions Philosophiques, n." 134. 'La troisième étoile changeante du cygne ne paroît
plus actuellement ; elle fut découverte le 20 juin
ï'670, par le P. Anthelme, chartreux, près de la
tête du cygne, du côté de la flèche ; elle éroìt
alors de troisième grandeur ; mais,le ioaoûi,elle
n’éîoit plus que de cinquième grandeur, & elle se
perdit bientôt entièrement : fa lpngitude éroit à
ÏJ 55' du verfeau,elle avoit47d 28' de latitude
boréales elle pastôit par le méridien 27" avant Ja
luisante de J’aigle ; son ascensien droite éteit de
193i 33 5 &  ?a déclinaison’26d 33 '. Le P. Anthelme
la revit le 17 Mars 1671, & la jugea de
quatrième grandeur. Caffiniy rémarqua cette annéeJà
plusieurs variations. Elle fut deux fois-dans son
plus grand éclat ; d’abprd le 4 avril, ensuite au
commencement deniai ; ce qu’on n’a vu arriver à
aucune autre étoile. Par la comparaison des observations
de ces deux années, il paroisspit d’abprdqu’elle emplpyoit environ 10 mpis â revenir à la
même phase ; de sorte qu’pn auroit dû la vpir au
mpis de février 1672 ; cependant pn ne put l’appercevpir
au rapport d’Hévélius, que le 29 mars :
elle n’étoit encore que de sixième grandeur & elle
n’a pas reparu depuis 1672. Cassini, Elém. d’Astr.,
pag. 7 z. Voyci mon Astronomie liv. III, page 3 z 7 t
où il y a enepre plusieurs exemples de variatipnî
pbfervées ou soupçpnnées dans différentes étoiles,
& où je rappprte Thypothèse de Maupermis fur la
cause de ces variations. On auroit trouvé probablement
beauepup d’étoiles changeantes, si l’en eût
pbservé souvent & avec soin les plus petites étoiles.
Cette année même 1783 ,- on a découvert les diminutions
de lumière de l’étoile Algol à la tête
de Méduse, £ de Persée ; elle est ordinairement de
seconde grandeur & devient de quatrième toutes
les 60 heures, & cela dure quelques heures.
Montanari avoit remarqué ces variations dans le
dernier siécle, Maraldi les avoit aussi observées à
Paris, comme on le voit darts Thistoire de TAcadémie
à Tannée 1695 ; il ne put à la vérité observer,
aucune variation, en 1692 & 1693, mais en
1694 Tétpile augmenta & diminua, elle parut de
secpnde & quatrième grandeur, peut-être que dans
les années précédentes Maraldi n’y avpit pas regardé
dans les jpurs & les Jieures pù elle deveit
avpir son moindre degré de lumière. Suivant une
lettre de M. Herschel, la période de lumière
de l’étoile algol paroistbit de 25 jours 20 heures 47
minutes j la première fois qu’il Ta vue dans fa
plus petite lumière-, c’étoit le 3 mai 1783 à huit
'.heures. 57 ; minutes’, .jusqu’à 10 heures 10 minutes,
à -Windsor ;'sa"'Tûmière ne sorpàísoit que très-peu
celle de Ro de Persée qui n’en est qtr'à deux degrés
& qui est marquée de 4e grandeur. Le 20 mai depuis
14 heures 17 minutes jusqu’à ^heures 3ominures,
elle lui parut encore de la grandeur de p de Persée,
cependant elle nia semblé un peu plus^ grosse dans
les jpurs pù j’ai pbservé son moindre éclat. La
durée de cette période est de deux jours 20 heures
48 4 minutes. Ces variations de lumière ont été remarquées
fur-tout par M. Goodricke, Gentilhomme
. d’Yorck, à la fin de Tannée 1782. On les explique
ou par de grandes parties obscures, comme Riccioli,
ou par une figure très-applatie , comme
Maupertuis, ou par Tinrerposition d’une grosse planète
: c’est le sentiment de M. Goodricke. Nous parlerons
de divers autres changemens au mot
ETOILE. (D, L.) CHANGEMENT D’ORDRE, en Arithmétique
d en Algèbre, est la mème chose'que permutation.
Voyez. PERMUTATION.On demande, par exemple, combien de changemens
d’ordre peuvent avoir fix personnes assises
à une table : on trouvera 720. Voyez ALTERCATION
d COMBINAISON. ( O ) CHAPE, í. f. (MécL )  Nom qu’on dpnne en
général à des trous percés dans le beis, dans le
fer, ou toute autre matière, &defiinés à recevoirC h a c h ak-s extrémités de Tcslieû d’une peulie, (Tune balehce
, d’un tpur, de, ■On affecte particulièrement ce npm à ces bandes
de fer reepurbées eh demi-cercle, entre lesquelles
font suspendues & rpurnènt des peuliesíur un pivpt
ou une gpupille qui les traverse & leur sert d’axe,
& va se placer & rouler dans deux trous pratiqués,
l’un à Tune des áîles de la chape, & l’autre à l’autre
aile. Tput cet assemblage de la chape tk de la ppulie
est suspendu p ?.r ùn crochet, soit à une barre de
fer,soit à tout.autre appui solide. On voit de ces
poulies encastrées dans des chapes au-dessus des
puits. Voyez POULIE.CHAPEAU, f. m. (Méck.)  On appelle ainsi,
dans certains bâtis de charpente , un assemblage
de trois pièces de bois, dont deux posées verticalement
& emmortoisées avec une troisième fur ses
.extrémités, tiennent cette troisième horizontale.Dans Yhydraulique pratique, le chapeau est une
pièce de bois attachée avec des chevilles de fer
fur les couronnes d’une file de pieux, soit dans
un batardeau , soit dans une chaussée.CHAPELET, f. in. (Hydrod.)  Machine hydraulique,
composée d’une suite de godets ou de
cfapcts attachés à une corde ou chaîne fans fin,
qui trempentalternativement dans Teaud’un puisard,
& qui se remplissent PU se chargent avant que
d’entrer dans un tuyau, d’eùils sortent par l’autre
bout, & se vuident dans un bassin ou creux quelconque
destiné à recevoir TeaU.Comme il est nécessaire que les clapets ou godets
entrent un peu juste dans le tuyau montant, il y.
a quelquefois un frottement assez considérable dans
eette machine.La chaîne fans sin doit être écartée dans son
chemin, & pour entrer verticalement dans le tuyau
montant, & pour que les godets ou clapets vuident
Teau dans le réservoir de décharge ; ainsi , il faut
qu’elle tourne & s’accroche fur deux hérissons ou
rouets à crocs, placés à fes extrémités. De plus,
son mouvement doit être un peu prorhpt, pour ne
pas donner à Teau le tems de redescendre par le
tuyau montant. Voyez une plus ample description
& Tufage de ces madiines dans Yarchiteâure hydraulique
de Belidor, & dans la Physique de
Defaguliers.CHARA. ( Astron. ) Voyez CHIENS DE CHASSE.CHARGE d’eau ; ( Hydrod. )  : hauteur verticale
de Teau au-dessus d’un orifice, ou d’un point
quel conque,rCHARGE (Jeu) fe dit des dés dont pn a rendu
.une des faces plus pesante que les autres ; c’est
une friponnerie dont’le but est d’amener le peint
foible eu fort à discrétion." On charge le dé en
remplissant les points mémes de quelque matière
plus lourde en pareil velurrìe que la quantité d’iveire
qu’pn en a ôtée peur les marquer. On les
charge d’une manière plus fine ; 'c’est en transpesant
le centre de gravité hors du centre de masse ; ce'
qui se peut, ce qui est niêrne très-souvení cpntreTintentien du tablétier & des joueurs, lorsque îá*
matière des dés n’est pas d’une ennsislance uniforme.
Alorril est naturel que les dés s’arrêtent plus souvent
fur la face dont le centre de gravité est le moins
éloigné. Exemvle : Si un dé a été coupé dans une
dent, de manière qu’une de ses faces soit faite de
Tivoire qui toucho.it immédiatement à la concavité
de la dent, & que la face opposée afc par conséquent
été prise dans Textrémité solide de la dent ; il est
clair que cet endroit sera plus compact que Tendroit
opposé, &que le dé sera chargé tout naturellement:
on peut donc sans fourberie étudier les dés au
trictrac, & à tout autre jeu de dés. La petite différence
qui se trouve entre Tégalité de pesanteur
en tout, sens, ou, pour parler plus exactement,
entre le sens de pesanteur & celui de masse, se
fait sentir à là longue, & donne un avantage certain
à celui qui Ta connoît : or le plus petit avantage
certain pour un des joueurs à Texclusion des autres,
dans un jeu de hazard, est presque le seul qui
reste quand le jeu dure íòug-tems.CHARIER , ( Hydrod. ) entraîner avec foi : les
eaux tant de rivière que de fontaine charient naturellement
du fable , du gravier. ( K ) CHARIOT,( Méch. ) Voyei TRAÎNEAU.CHARIOT, (Astronomie.)  Le chariot est une
constellation qu’on appelle aussi la grande owfe ;
ellé a en effet quelque ressemblance avec un chariot ;
Voyez GRANDE OURSE. ( O.).CHAR1VARI, s. m. (jeu)  se dit à Tombre à
trois, d’un hazard qui consiste à pprter les quatre
dames. On reçoit pour çe jeu de chacun une fiche,
si Ton gagne ; on la paie à chaque joueur, si Ton
perd.CHARNIERE, f. f. ( Méch. )  pièce fur laquelle
tournent au mpyen d’une virale pu d’un axe, les
deux parties d’une bpîte, les deux jambes d’un,
cpmpas, de.CHASSE, f. f. ( Méch. )  On appelle chaste d’une
balance la partie perpendiculaire au fléau, & paf,
laquelle en foutient la balance quand pn veut s’en
servir. Voyez BALANCE & FLÉAU.Les lunetiers appellent aussi chaste la monture
d’une lunette dans laquelle les verres sont efn- .
brassés ; cette chaste est de cerne, d’écaillé, d’acier
bien élastique, de. "Ce mème mot se prend aussi dans la Méchar
nique pour signifier Tespace libre, qu’il faùr accorder
à une machine entière, ou à quelqu’une ;
de ses parties, pour en augmenter ou du meins en
faciliter Tactipn. Trop pu trop peu de chaste nuit
à Taction ; c’est à Texpérience à déterminer la juste
quantité. Voici un exemple simple de ce qu’on
entend par chasse. La chaste , dans la scie à scier
du marbre, est la quantité précise dont cette scie
doit être plus longue que le marbre à scier, pour
que toute Taction du scieur soit employée san6
lui donner un poids de scie superflu qu’il tireroit,
& qui ne seroit point appliqué si la chasse étoit
troplongue : il est évident que dans ce cas, laChe c h e 343longueur des bras de l’ouvrier permettra plus de
chajfe. La chasse ordinaire est depuis un pied
jusqu’à dix-huit pouces. ; CHASSE, f: f. ( Jeu)  c’est.au jeu de paume la
distancé qu’il y a entre le mur du côté où l’on '
sert, & Tendroit où tombe la balle du second
bond. Cette distance se mesure par les carreaux :
quand la chasse est petite, on dit une chajfe à deux ,
à trois carreaux d demi, &c. C’est au garçon à
examiner , annoncer &. marquer fidellement les
chastes. Ce garçon én est appelle lé marqueur.
Voyei Varticle PAUME.CHASSIS, f. m. se dit généralement de teut
assemblage de fer PU de bpis affez prdinairement
quarré , destiné à environner un cprps & à le
contenir ! Le châssis prend souvent un autre nem,
felen Je corps qu’il contient, selon la machine
dont il fait partie, relativementàune infinité d’autres
circonstances. II y a peu d’arts & même affez peu
de machines considérables, où il ne se rencontre
des châssis ou des parties qui en font la fonction
fous un autre nom. •CHÂSSIS, ( Hydr.)  est un assemblage de bois
ou de fer qui se place au bas d’une pompe, ppur
pouvpir par le mpyen de deux çpuliffes pratiquées
dans un dormant de boisp la lever au besoin, &
visiter les cprps de pompe. (K) CHATEB, nom de la planète de Mercure.CHATIERE , f. f. ( Hydrod. )  diffère de la
pierrée, en ce qu’elle est moins grande, & bâtie
feulement de pierres sèches posées de champ des
deux côtés , & recouverte de pierres .plates appellées
couvertures, en sorte qu’elles forpient un
espace vuide d’environ 9 à 10 ppuçes en quarré,
pour faire écpuler Teau superflue d’un bassin, PU
d’une très-petite source. Ces chatières bâties ainsi
légèrement sont fort sujettes à s’engprger. (--K) CHEF del’épicycle PU apogée de l’éplcycle, est
la partie la plus élpignée de la terre.
C H E >■■ ■'"'..
. CHELUB, nom de la censtellatipn de Persée.
CHEMIN de S. Jacques. Vayei VoYE LACTÉE.CHENAL, s. m. (Hydrod.)  c’est un epurant
d’eau en forme de canal, bordé le plus souvent
dés deux côtés de terres coupées en talus, & quelquefois,
revêtu de murs.'Le chenal sert à faire
entrer un líâriment de mer ou de rivière dans le
iaffm d’une écluse. ( -K ) CHENE DE CHARLES II, ( Astron, )  cpnslellation
mérîdipnale , intrpduite par Halley , en
Jiiémpire du chêne royal, sur lequel se retira
Charles II, lorsqu’il eût été défait à Wor-cesler,
le 3 septembre 1651 : vpici ce qu’en racpnte le
célèbre M. Humes, dans son Histoire de-la maison
des Stuards.J^e roi sretaht échappé deWofcester à six heuresdu soir, fit environ vingt-six tnilies fans s’arrêter >
accompagné de cinquante ou de soixante de ses
plus fidèîes amis : ensuite Tintérêt de sa sûreté péri
sonnelle lui fit prendre le parti de quitter ses
compagnpns , fans leur avpir cemmuniqué ses
desseins ; & se livrant à la cpnduite du cemte de
Derby, il se rendit furies cpnfins deStaffordshire
à Boscpbel, métairie écartée , dont un nommé
Penderell étoit le fermier.- Charles ne fit pas de
difficulté de s’ouvrir à lui ; cet homme avoit des ■
fèntimens fort au-deffus de fa condition, quoique
la peine de mprt fût pronpncée cpntre ceux qui
donneroient une retraite au roi, & qu’on eûe
promis une grosse récompense à ceux qui le tra*
hiroient, il promit & sut garder une fidélité inviolable.
Ses frères, au nembre de quatre, &gens
d’henneur comme lui, prêtèrent leur assistance :
ils firent prendre à Charles des habits tels que
les leurs, ils le menèrent dans un bois voisin ,
& lui mettant une hache entre les mains, ils
feignirent de Temployer à faire leur provision dé.
fagots ; pendant quelques nuits.le roi n’eut d’autre
lit que de la paille, & fa- nourrinire fut celle
qui se trouva dans la ferme. Pour se cacher mieux,,
il monta fur un grand chêne, dont les feuilles .&
les branches lui servirent d’asylé pendant vingtquatre
heures ; il vit passer sous ses pieds plusieurs
soldats, tous employés à chercher le roi, & qui
là plupart témoignoient une extrême envie de
s’en saisir. Çet arbre reçut ensuite le nem de
chêne royal, tk fut regardé leng-tems par tous les
habitans du pays avec une extrême vénération.On trouve aussi dans le Journal des savons >'.
du 23 npvembre 167e, Textrait d’un livre anglois,
intitulé : Boscobel, du nom d’une des deux maisons
qui servirent de retraite à Charles -II ; ce livre a
été traduit en françois, on • y trouve la figure des
deux maisons & celle de ce fameux chêne, qu’on
regardoit cpmme un prodige, & qui jétpit si gros
& si touffu, que vingt hptnimes aureient pu s’y
cacher'. ■ •L’abbé de la Caille se plaignpit de ce que Halley
avpit pris des étoiles de la cpnslellation du navire
ppur former la cpnslellatien de son protecteur ;
(- Voyei le Journal du voyagé de la Caille 1763 ,
in-12 ; )  mais le menarque & Tastrenpme" méritoient
que cette censtellatipn fût cPníervée , &
j’ai représenté fur mpn globe céleste, gravé en
1773 , ce mênie chêne , situé cpntre le vaisseau ,
& passant fur toutes les étoiles que Halley lui avpit
assignées, elles font au npmbre dé vingt-quatre
dans le cafalegue des étoiles australes de Halley ;
lâ principale est une étoile de sceende grandeur,
qui avpit au cpmmencement de 1678, és 27d 25'
de lpngitude, & 72d 15' de latituíe australe:,
cette cpnslellation s’étend depuis 6S 13d jusqu’à
7S 6d de longitude , & depuis 51d jusqu’à 72d
de latitude ; cetíntervallerenfermeun grand nembre
d’autres étoiles du navire, dans le catalpgue du
Coelum aujlrak de la Caille, (D, L.) 344C h e 'c h eCHÉNIB ou GENIE, npm de la belle étoile
de Persée.■CHERCHE, s. f. (Méch.)  On dpnne ce nom
i.° aux différentes courbes selon lesquelles on
pratique le renflement léger qui fait tant à Télégance
des colonnes. Voyez CONCHOIDE DE NICPMÈDE.
C’est en effet cette cpurbe -qu’pn fuit
pour les Ipniques. & les Corinthiennes renflées à
la mantère de Vignole.. 2." Au trait d’un arc surbaissé
ou rampant, déterminé par plusieurs points
ou intersections de cercles, ou d’autres courbes,
ou de droites & de courbes. On dit aussi dans
ce cas, cerce , de même que cherche. La cherche
est surbaissée, quand elle a moins d’élévation que
la moitié de' fa base ; & J’urhaujsée , quand le
rapport de la hauteur à la base est plus grand que
celui de 2 à i. 3.° Au développement de plusieurs
circenférences fait selpn quelque ligne verticale ;
pour cet effet, il faut cenceveir un fil élastique
cpurbe circulairement, de manière que tputes les
circpnférençes PU tuurs tombent les uns fur ses
autres ; si Ton fixe à terre la première circonférence,
& qu’en prenant le bout du fil élassique
on le tire en haut, on aura le développement ap*
pelle cherche, & Ton donnera à ce développement
ì'hépithète de ralongé, & autres, selon le rapport
qu’il y aura entre la circonférence la plus basse
& celles qui s’élèveront en spirale au-dessus de
cette circonférence. 4.° Au profil d’un contour
courbe, découpé fur une planche même, pour diriger
le relief ou le creux d’une pierre, en indiquant
au tailleur les parties qu’il doit enlever.
Si la pierre dpit être concave, la cherche est çomvexe ;
si au contraire la cherche est çpnçave, c’est
que la pierre deit être convexe.CHERCHEE , adj. quantité cherchée , (Algeb.
ou Géom. )  Les Géomètres ou les Algébrisles appellent
ainsi la quantité qu’il s’agit de découvrir
quand pn propose un problême. Si Tpn demandeur,
par exemple, que l’en déterminât le nombre, lequel
multiplié par 12 produise 48, en trouveroit que
3enombre4est la quantité cherchée. (Chambers.) * On dissingue dans chaque problème les quantités
connues, & la quantité ou les quantités cherchées.
Arinsi, dans le problème précédent, 12 & 48 sont
les quantités connues. Voyez PROBLÈME, EQUA^
TION , 6pc. L’art des équations consiste à comparer
&. à combiner ensemble les quantités connues &
Içs quantités cherchées, comme fi les^ unes & les
autres étoient connues ; & a découvrir par le
moyen de cette combinaison les quantités cherchées,
c’est-à-dire à parvenir à une équation où la quantité
cherchée soit exprimée sous une forme qui ne
renferme que les quantités connues, Voyez, ARITHMÉTIQUE
UNIVERSELLE, ( O )  ■CHESIL, nom hébreu d’une constellation, que
les uns appliquent à Orion , les autres au scorpion
ou aux Ourses, Voyei mon ASTROHOMIE y art, ólí.
(D, L.) 
CHERCHEURS Astron. ) , petite lunette que
Ton adapte aux télescopes ou aux fortes lunettes
acromatiques dont le champ est petit, & cela pouf
trouver plus facilement les astres ; on en voit un
en EE , fig. 224 des planches d’Astronomie. Le
chercheur a un très-grand champ, & Ton y met
Tastre fort aisément, on le fait venir sur les fils
qui se croisent au foyer da chercheur ; &, si son
axe est exactement parallèle à celui du téleseppe,
Tastre se voit au milieu du champ du télescope.
(D.L.) CHEVAL, (Astron.)  nom que Ton donne àla.
constellation de Pégase. -CHEVAL ou PETIT CHEVAL, constellation
boréale située entre le dauphin & la tête de pégase, .
on Tappelle austi cquuleus , equus mìnor, hinnulus ,
equi caput, feâio equina , feâio equi minoris , cyU
larus , ( ou cheval ) semiperfeâus. On appelle cette
constellation le petit cheval, pour la dissinguer
de pégase qui est le grand cheval : on n’en voit
furies cartes célestes que la moitié, comme si le
reste du corps étoit caché dans les nuages, ainsi
que Te taureau dont on ne peint souvent que la
moitié. Suivant la Mythologie, ce cheval est celui
que Mercure avoit dpnné à Castor & qui se nommoit
Cillarus , ( Virg. géorg. III. 90. ) ou celui dont
Saturne prit la forme lorsqu’il fut surpris avec
Philyra fille dé Tocéan ; mais comme tous les
dieux & tous les héros de Tanriquité ont fait usage
du cheval, on a donné à cette constellation une
multitude d’origines différentes sor lesquelles. on
ne fauroit rien statuer, Voye^ Ccefius , ccelum As
tronomico poeticum.Cette constellation ne contient que dix étoiles,'
dont. la plus belle * est marquée dé troisièm »
grandeur dans EJâmsteed, & de quatrième grandeur
dans le catalogue de la Caille. Sa longitude au
commencement de 1750, étoit de 10£ 19^37' 54",
& fa latitude de 20d 8/ 56" boréale. (D. X.) • CHEVALET dupeintre , ( Astron. )  constellation
méridionale , qui contient 25 étoiles dans le Ccelum
australe de M. de.la Caille, PÙ elle est appellée
apparatus sculptons, la plus belle ■* n’est que do
cinquième grandeur ; son ascension droite pour
1750 est II° 38' 58° avec 30° 43' 3 "de déclinaison
méridionale, en sorte quelle passe plus de
dix degrés au-dessus de Thprizpn de Paris. (D. L,) CHEVALET, f. m. ( Méch.)  On dpnne ce nom
à une infinité d’instrumens dpnt l’énuniération
n’appartient pas à nptre sujet. Le chevalet erdiv ;
naire est une longue pièce, de bois horizontale,
soutenue par quatre pieds, dont deux sont assemblés
à un bout de la piècç, & lçs deux autres à l’autre
heur,. CHEVALIER, f, m. ( Jeu. )  C’est le nem d’une
 ; pièce aux échecs. Voyei ECHECS.CHEVELURE DE BÉRÉNICE, (Ástronom,) 
} ajícjennç constellation boréale j il en est parlé dansi'aìmagestçC h e c h ï 345Talmageíle de Ptolemée parmi les étoiles informes
du Lypn, qupiqu’il n’en fasse pas une constellation
 ; il dit qu’il y a un amas qu’on appelle les
cheveux axír^^H, fans parler de Bérénice. Voyez
à ce sujet M. Bailly, T. II0 page zSS. Proclus,
dans fa sphère, nous dit que cette constellation
avoit été célébrée parlëpoëteCallimaque, (environ
13Ó ans avant l’ére vulgaire, ) en quoi il a été suivi
par Catulle, par Hyginus, &.c. Ptolemée Lagus,
premier de ce nom, roi d’Egypte, épousa Bérénice
qui sot mère de Ptolemée Philadelphe. Son fils
Ptolemée Evergete, fornemmé Céraunus PU foudroyant
, éppusa Bérénice sa soeur dont il eut Ptolemée
Philopator, c’est cette Bérénice , femme de
JPtolemée Evergete, qui ayant vu partir-son mari
pour l’Afie à la tête de son armée , fit voeu de ;
ceuper ses cheveux s’il revenpit vainqueur ; elle
les censacra en effet dans le temple de Vénus ; ces
cheveux disparurent le lendemain : le rei témoigna
du regret, & Conon son mathématicien, pour le
distraire, lui montra sept étoiles qui n’apparteneient
à aucune cpnslellation, en lui disant c’est la chevelure
de Bérénice ; ce fut alors que le Poète Callimaque
de Cyrène en fit l’objet d’une élégie qui
donna de la célébrité à áa nouvelle cpnstellatipn^
Catulle qui l’a suivi parle aussi de Cenon.Idem me ille Cenon coelesti nurnine« .vidit
E Berenicep vertice csesariem.11 paroît que Virgile l’avoit également en vue
lprfqu’il disoit dans fa troisième éclogue : .In medio duo signa Conon, & quis fuit alter
Defcripsit radio totum qui gentibus orbem.Conon & Callimaque attribuèrent à cette constellation
sept étoiles situées au nord de la-queue du
lion, formant une espèce de triangle ; mais il y a
auffitróis étoiles qui, dans Ptolemée, appartiennent
à la constellation du lion, & que l’on doit rapporter
à celle de la chevelure de Bérénice , savoir
.les étoiles 33, 34 & 37. On a appelle ces trois
étoiles trìcas , car en grec on appelle les cheveux
i}OLi<r- ces étoiles qui, au tems de Ptolemée, appartenoieiitsau
lion, ont été attribués quelquefois
à la constellation de la_ vierge. { Stcefler, in Procli
sphoeram commentarius , fol. z 20.)  Bayer observe
que plus anciennement on y peignoit une gerbe,
( Voyez COESIUS , page 134. ) tk chez les arabes
elle a conservé le "nom d’huzimerh ou gerbe de
bled. La raison qui put donner lieu à cette an.
çienne dénomination tient à l’affemblage de toutes
les conslellationsvoisines ; on y voitle moissonneur,
le chariot, les-boeufs, il falloit bien y mettre les
gerbes de bled, & M. Dupuis fait vpir que cétte
censtellatipn, par son lçver béliaque annonçoit les
moissons. (Astron. T. IV, page 405.) (D. L.) CHÈVRE, ( Astron, ) capella , étoile brillante
& de première grandeur dans la constellation duMaÁliimaúques. Tome I, l.ertPartis.cocher, que l’on appelle aussi copra., hircus, cabrilla,
amalthea, olenia ,àcause d’Olenus ville de Béptie,
PÙ l’on disoit que cette chèvre avpit été nourrie,en
 arabe, alhaiot PU alhatod ; elle est située vers
l’épaule gauche ou l’épaule précédente du Cocher:
elle, est la troisième de cette censtellatipn dans les
catalogues de Ptolemée & de Tychp, & la quatorzième
dans le catalegue Britannique. Sa lpngitude,
en 1750, éteit de 78/ 21' 51" ; & fa latitude
de 22 d 51 ' 43 ". Voyez CPCHER. Cette étoileest
la plus belle de celles qui ne se couchent point
à Paris. Les poètes disent que c’est la chèvre
Amalthée qui akita Jupiter dans son enfance.
Horace en parle en disant : infana sydera caproe.
Ovide dit auffi : olenioe fidus pluviale capella ,
Métam. III 549:CHÈVRE, est auffi quelquefois le nom de la.
constellation du capricorne. { D. L. ) ■ CHEVRE, f. f. (Méch,)  Machinecpmppfée de
trois lpngues pièces de bois RA , R B , RC x
( Fl. Méch. fig. 67 )  lesquelles s’assemblent à genouiìlière
au sommet B,-& s’écartent par en-bas.
Au point 2 ? est attachée une ppulie fur laquelle passe - une
 cerde, qui d’un côté soutient le ppids M, tk
de l’autre va s’envelepper fur un teur T, Des ?
hommes appliqués aux extrémités des leviers TH,TL, font tourner le cylindre & obligent le ppids
M de-mpnter.CHEVREAUX, (Astron. )  La censtellatipn du
cpcher renferme aussi les chevreaux , que Tpn représente
pprtés fur le bras gauche du cocher ; ilsíònt
formés par trois étoiles * > i & n, qui font untriangle
isocelle dont l’angle supérieur est fort
aigu. Ce triangle, situé à trois degrés au midi de
la chèvre, sert même à distinguer cette étoile des
autres de première grandeur.Les poètes disent que ces chevreaux avoient été
nourris du mème lait que Jupiter. Autrefois le
lever des chevreaux étoit suivi d’ouragans, ce qui
a fait dire :Ouantus ab occafu veniens pluvialibus hoedis
Verberat imber humum. Virg. IX.' 66%.
Non ulli tutum est hoedis surgentibus oequar.On verra la manière de les reconnoître au mot
CONSTELLATION. (D. L.) CHIENS (Astronomie) , constellations célestes, £.
au.nombre dé trois, deux anciennes au midi, une
nouvelle du côté du nord.Le grand chien-eû appelle Carás major,magnuss.I alter, dexter, sequens , auftralior , astifer ; Horace
Tappelle Sidus fervidum., invidum Agricolis ;
Hemere , Astre d’automne ; les Egyp tiens , Isis ,
étoile d’Isis, Soàs ou Seth, Anubis ; d’autres enfin
Tappellent Sirius, la canicule, Mara. ; les Arabes,
Scera, Alchabor, Ëlchdbar pu Kabir, cest-à-'dire ,
le grand ; dans les tables alphonsines, Aliemini.
Cette constellation contient 31 étoiles dans le ca1
Xr

talogue britannique, & sur-tout une étoile de première
grandeur ,'la plus belle de routes les étoiles,
appellée Sirius ou Siris, du nom d’Osiris, divinité
ésvptienne, ou à cause du Nil qu’on appelloit aussi
Siris ( P lin. liv. v, chap. s ) , & qui paroissoit avoir
avec le lever de cette étoile une correspondance
remarquable. D’autres enfin tirent son npm du
mut grec "ip'ïv, briller , parce qu’en esset c’est
l’étoile la plus brillante du ciel. Les Grecs prétendeient
que le chien aveit été ainsi nommé, à
cause du chien dont f Aurore fit présent à Céphale,
comme du plus prompt de tous les chiens ; Céphale
voulut en faire répreuve sor un. renard, qu’on disoit
surpasser tous, les" animaux à la course : ils
coururent teus les deux fi long-tems ( & mème
fans se fatiguer ) , que Jupiter voulutrécompenser
ce chien , en le plaçant parmi les astres. II ' s’appellpit
Lcelaps , & a dpnné auffi son npm à la
cpnstellatipn.Le nom & la forme de chien que Ton donne à
cette constellation, paroît plutôt venir d’Anubis,
divinité égyptienne, qu’on représentoit avec une
tête de chien ; femi- deojque canes, dit Lucain
{ liv. viij, v. 832)  ; & Virgile ( JEn. viij , G78 )  ;
latrator anubis, parce qu’il étoit le gradien d’Osiris
& d’Isis, & qu’il avpit découvert les membres
d’Osiris, déchiré par son frère Typhon, ou parce
qu’il étoit grand chasseur : il est plus vraisemblable
que c’est parce qu’il avertissoit lés Egyptiens de la
saison du débordement, comme un chien fidèle
avertit son maître de Tarrivée des voleurs. Suivant
Plutafque, ce chien signifie Thorízon. Les Egyptiens
considéroient Anubis comme un gardien fidèle placé
aux portes du jour & de la nuit, c’est-à-dire, aux
limites .de Thémisphère éclairé qu’ils appelloient
Isis , & de Thémisphère pbsçur nomme Nephta.
îl paroît que les Egyptiens firent de cêtte étoile
leur mercure Anubis ; il étoit honoré en Ethiopie
comme le chef des étoiles. Astron. IV. 3.92. Nous
avons parlé, au mot canicule , du îeVer héliaque
de Sirius, qui sot si célèbre dans Tantiquité ; il
tirriveit en été, comme on le voit dans Virgile :Jam rapidus torrens sitientes Sirius indos ,
Ardcbat ccelo , d médium fol igneus orbem
Hauferat : arebant herbe. ' -Geprg. IV, 425.
Et dans Manilius :Latratque canicula Flammans,
Et rabit igné fuo , geminatque incendia folis.
Manil. V, 205.II faut remarquer-que Sirius est appelle Canisdexter,
austrahor ; au lien que le petit chien dont '
nous allons parler , est nommé Canis sinister, sep- .
untrionalis., parce que les Orientaux, dans-leursadorations, tournoient Ja face au levant ; <x cianr
cette position, ils avpient le midi à la droite &
le nord à la gauche : or Procyon est plus scp'
tentrional que Sirius.On a beaucoup disputé sur la signification d’un
passage de Virgile, où il est parlé du chien k Toccasion
de J’entrée du soleil dans le signe du taureau
, ou du commencement de Tannée qui, dans
Hésiode, étoit marqué au lever des pléiades. -.Candidus auratis aperit cum cornibus ahnum ,
. Taurus d adverfo cedens Canis occidit astro.Georg. I, 217.Peut-être que cedens doitse rapporter à taurus y
& non à Canis ; c’est le taureau qui, en se couchant
, cède la place à Tastre du chien qui en visà-vis
, parce qu’en effet Je taureau se couchoit avant
le chien, tk que ces deux animaux se regardent
dans le ciel. On peut dire aussi que c’est le chien
qui cède au soleil, astre ennemi, parce que le
soleil Tabsorbe dans ses rayons ; car c’est le tems
du coucher héliaque de Sirius.M. Tabbé de Lille, dans ses Géorgiques, traduit
ainsi , en suivant, dit-il, Tinterprétation de
Macrobe: -Et quand l’astre du jour
Ouvrant dans le taureau fa brillsnre carrière,
Engloutit Sirius dans les flots de lumière.Mais il convient que ce vers est le plus inintelligible
de toutes lesGéorgiques.Du tems de Servius^.
vers Tan 340 ; il y avoir quelques exemplaires où
on lisoit adverfo ; ce n’étoit dpnc pas la leçon
ordinaire : aussi Heinsius lit averfo , tk le P. delà
Rue adopte cette leçon, en appliquant ce mot
au navire, constellation qui fuit le chien, mais qui
présente la poupe, averfam partem , sa partie postérieure
, au lieu de la. proue. Mais rien dans
Virgile n’annonce ici le vaisseau.Le P. Lacerda explique adverfo par Tinfluence
fâcheuse du grand chien ; en effet, suivant Varron,
au sixième des calendes de mai, occidit Canis
Sirius per se vehemens , òn célébrois les fêtes appellées
robigalia. M. Costard cite un poète Anglois
dpnt il adopte.la traduction, St.qui dit que
le taureau effrayé fuit uu astre contraire ; mais il
ne dit pas comment il entend ce mot dé cpntraire:
ppur mpi, je préfère les deux explicatiens que j’ai
dennées plus haut.On trouve dans les mònumens un animal monstrueux
à 3 têtes, de chien, de lion & de loup ;
il paroît^ que c’étoit peur indiquer les constellations
qui, à Téquinoxe , occuppient Toricnt, TPCcident
& le méridien, ou la roufe du soleil dans
les signes supérieurs. V. Texplicatipn de M. Dupuis
dans mon Astron. t. iv, p. 494 tk 553.
'-. On voit aussi miicA/'ra hérissé de scrpens, poíir
faire allusion à la constellation de Thydre, dont
la tête semble menacer celle du chien."Ib. p. 494.LE PETIT CHIEN contient 14 étoiles, dpnt une
de première grandeur. II est appelle Procyon PU Antecanis,
Canis minor, Catellufc, Canis primus 0
Antecurfor, Precedens’, Septentrionalis , Sinistcr ,
Canis Orionis , Canis Lcarius, five Erigonius , \
Moera, Fovea, Morus ; en "arabe, Algomeysa. \Cette constellation a été nommée le petit chien,
suivant les poètes, à cause du chien d’Orion ou
de celui d’Icare, appelle Moera ,- qui se précipita
dans un puits après avpir vu périr son maître
Icare, & Erigone, sille d’Icare, qui s’éteit pendue
de désespoir : il est appelle chien dlcare dans ces
vers, PÙ Ovide annpnce qu’il se lève le 25 avril,
les meisspns cpmmençant à s’annoncer & les chaleurs
à se faire sentir ; mais ce passage est encore
sujet à des difficultés.Est Canis Icarium dicunt, quo sidère moto
Tota siiit tellus proeciditurque seges.Fast. IV, in fine.D’autres prétendent que c’est le chien qu’Hélène
aimoit tendrement sorsqu’elle sut enlevée par Paris ;
elle le perdit dans TEqripe,' & conçut u'ne si
grande douleur, qu’elle pria Jupiter de le recevoir
dans le ciel.Le nem que lui donnent Bayer tk Schillerus,
de Fovea, qui signifie une fosse où" Ton déposoit
le bled pour le garder, a pu venir, de ce que cet astre
indiquoit Tabondance & la moisson : mais il est
plus vraisemblable que Tidée de fosse vient du mpt
grec s-íips’ç, qui signifie quelquefois magasin de
bled, qu’on a confondu avec celui de Sirius. Ce
dernier nom est approprié au grand chien ; mais
souvent le grand & le petit ont porté le mème
nom, enrr'autres celui de Moera.Le ■ met arabe aìgomeyj’a signifie sycpmpre ou
fipiicr sauvage, parce qu’apparemment les Arabes
peignoient ici cet arbre au lieu d’un chien, tk
c’est à quoi répond le latin Morus. M. Dupnis
observe qu’on y peignit autrefois un singe.CHIENS de chajfe, (Afìron.)  les lévriers, canes
venatici, ou Aflerio tk Chara , constellation boréale
introduite par Hévélius dans son Firmamentum Sobiejcianum
( qui parut en 1690) pour rassembler
les étoiles informes qui.se trouvent entre la grande
Ourse & le bouvier ; il explique lui-même dans son
Prodomus, pag. 22-4, la raison de cette dénomination.
Le bouvier ayant été représenté quelquefois
comme un chasseur qui poursuit i'ourse à la chaste,
&qui élève les bras comme s’il excitoit ses chiens
de la voix & de la main, il a paru naturel de placer
ies chiens k côté de lui. Le npm d’Astérie, fo'rt connu
des poètes, convenoit spécialement à une fignrecrui
renferme plusieurs petites étoiles ; l’autre a été appellée
Chara, comme la chienne favorite du'ahasseur.
Parmi les étoiles ■ que' renferme cette constellatipn,
il y en a deux fous la queue de la grande
purfe , qui étoient cpnnues des anciens ; Hévélius
en observa & en détermina 21 qui éroient nouvellespour les astronpmes. Flamsteed, dans son
grand catalogue britannique, en a mis 24 ; Ja principale
est de seconde ou troisième grandeur : c’est
celle que Halley appelloit Cceur de Charles II,
à Thpnneur du roi, fondateur de Tobservatoire
royal d’Angleterre, & de la société royale de Londres
 ; nous en parlerons ci-après. (D. L.) CHIFFRE, f. m. ( Arithm. )  caractère dont on
se sert pour désigner les nombres. Les dissérens
peuples se sont’servis de dissérens chiffres ; on
peut en voir le détail au mot CARACTÈRE. Les
seuls en usage aujourd’hui, du mpins dans l’Eurepe
& dans une grande partie de la terre, sont
les chiffres arabes au nombre de dix, dont le zéro
( o ) fait le dixième. Le zéro s’est appelle pendant
quelque tems du nem de chiffre, cyphra, en sorte
que ce npm lui étoit particulier. Aujourd’hui on’
donne le nom de chiffre à tous les caractères servant
à exprimer les nombres ; & quelques auteurs refusent
même le nom de chiffre au zéro, parce
qu’il n’exprime point -de nombre, mais sert seulement
à en changer la valeur.On doit regarder Tinvention des chiffres comme
.une des plus utiles, & qui fait le plus-d’honneur
à -Te'sprit humain. Cette .invention est digne d ;étre
mise à côté de celle des lettres de Talphabet.
Rien n’est plus admirable que d’exprimer avec un
petit nombre de caractères toutes sortes de nombres
& toutes sortes de mot ;. Au reste, pn auroit pu
prendre plus ou moins de dix chiffres ; & ce n’est
précisément pas dans cette idée que coasiste le mérite
de Tinvention, quoique le n’ombre de dix chiffres
soit affez commode. Voyez BINAIRE d ECHELLES
ARITHMÉTIQUES. Le mérite de Tinvention consiste
dans Tidée qu’on a eue de varier Ja valeur
d’un chiffre en le mettant à différentes places ;
& d’inventer un caractère zero qui fe trouvant
devant un chiffre, en augmentât la valeur d’une
dixaine. Voyez,NOMBRE, ARITHMÉTIQUE, NUMÉRATION.'On
trouve dans ce dernier article la
manière de représenter un nombre dpnné avec
des chiffres, & d’exprimer eu dénoncer un nombre
représenté par des chiffres. ('O) CHIFFRER,' expression populaire dont on sesert
pour signifier Tart de compter.CHILIADE, s. f- (Arith. j Assemblage de plusieurs
choses qu’on cpmpte par mille. Ainsi,'"une
chiliade pu un mille c’est la méina- chose.CHILIOGONE, f. m. ( Géom. )  C’est une figureplane &, régulière de mille côtés, tk d’autant d’angles.Quoique Toeil ne puisse pas s’e.n former une imagedistincte, nous pouvons néanmoins en avpir uneidée claire dans Tesprit, tk démontrer aisémentcrae la somme de tous ses angles est égale à 1996jmgles droits : car les angles internes de teute(Êkure plane sont égaux à deux fois autant d’angìesareits moins quatre, que la figure a de côtés ; cegui peut se démontrer aisément en partageant laI filtre en autant de triangles qu elle a de côtés. Ces
-:34S
Chu
C I E
triangles auront chacun ppur Jîase un côté de la
figure, & Jeur sommet à chacun sera dans un
point placé au-dedans de la figure. Voye\
TRIANGLE. ( O ) CHOC, f. m. ( Méch. ) , action par laquelle un
corps en mouvement en rencontre un autre, &
iend à le pousser : c’est la même chose que percussion.
Voyei PERCUSSION d COMMUNICATION .
■DU MOUVEMENT. (O) 
CHOROBATE, f. m. (Méch.) , espèce de nireau
dont se servoient les anciens.
Le grand niveau qu’ils appelloient chorobate,
étoit une pièce de bois de 20 pieds de longueur,
soutenue par quelques pièces aux extrémités, &
qui avoit dans fa partie supérieure un canal.qu’on
rempliffoit d’eau, avec quelques petits plombs qui ,
•pendoient aux côtés, pour s assurer si cette pièce
étoit de niveau. C’étoit-Jà toute la longueur de
leurs nivellemens ; car ils tranfportoient le chorobate
de 20 en 20 pieds pour conduire leurs ouvrages.
Ce niveau étoit fort défectueux : nos modernes
en ont inventé de beaucoup meilleurs. Voy.
.NIVEAU, NIVELLEMENT, article de M- le chevalier
de Jaucourt... CHUTE, f. f. ( Méch.) , chemin que "fait un
corps" pesant en s’approchant du centre de la terre.
.Voyez PESANTEUR.Galilée est le premier qui ait découvert la loi
de la chute des cprps graves. Voyez, l’article .
ACCÉLÈRE.CHUTE d’eau (Hydrod. ). On dit qu’un ruisseau
, une_ rigole-, un courant d’eau quelconque,
forme une chute d’eau au-devant d’un moulin ou
d’une machine liydraulique qu’il fait mouvoir.CHUTE des graves à la surface de chaque
planète. La vitesse des graves à la surface de la
terre, 15 pieds ~s 3 étant multipliée par la masse
d’une planète & divisée par le quarré de son rayon,
en prenant pour unités Ja masse & le rayon de la
terre, donne la vitesse des graves à la surface de
.chaque planète. Par exemple, la masse de Jupiter
est 288 fois plus considérable quecelle de la terre ;
ainsi,, les corps graves y scroient attirés 288 fois
'plus qu’ils ne le sont fur la terre, & décriroient
2S8 fois 15 pieds, si le rayon de Jupiter n’étoit
■environ 11 fois plus grand que celui de la terre,
& Je carré de la distance du centre a la surface
116 fois plus "grand , ce qui rend la pesanteur
'•316 fois mpindre : or 288 diminué 116 fois, ou
divisé par 116, donne un peu moins de 2 \ ;
ainsi, la pesanteur des corps situés à la surface de
Jupiter, est presque deux sois & demie celle des
nôtres ; au lieu de décrire 15 pieds par seconde,
ils en décrivent 37. On en trouvera la table au
mot PLANÈTE. " ^^^CHUTE des planètes vers le soleil. Vpy. D JpCENTE.CHUTE d’une planète dans TAstrolpgic _, PU.'déjeâion, est le signe pù elle a le mpins d’influence
 ; ■ il est pppose à celui de Texaltatipn,
(D.L.) CIEL, dans VAstronomie ancienne , signifie plus
particulièrement un orbe eu une région circulaire du
ciel éthéré.Les anciens astronpmes admetteient autant de
cieux dissérens qu’ils remarqueient de mpuvemens
dissérens dans les astres. Quelques-uns croyoient
les cieux tous solides, ne ppúvant pas s’imaginer
qu’ils pussent fans cette solidité soutenir tpus les
cprps qui y sont attachés : de plus, ils les faisoient
de cryslal, afin que la lumière pût passer à travers
 ; & ils leur donnoient une. forme sphérique,
cemme étant celle qui cenveneit le mieux à leur
meuvement.Ainsi , on comptoit sept cieux pour les sept planètes
 ; savoir, le ciel de la lune, de mercure, de
venus, du soleil, de mars, de Jupiter & de
faturne.. Le huitième, qu’ils nommoient le firmament,
étoit pour les étoiles fixes ; auffi le nom de huitième
ciel est très-commun dans les auteurs. U y
en a qui comptoient un neuvième ciel, appelle
primum mobile, le premier mpbile, & qui enfraînoit
tpus les autres chaque jpur.Alphonse, roi de Castille, ajouta deux cieux
crysiallins, ppur expliquer quelques irrégularités
qu’en avpit trouvées dans les mpuvemens célestes.
On étendit enfin fur le tout ùn eiel empyrée, dont
on fit le séjour de Dieu ; & ainsi Ton compléta
le nombre de douze cicuxi Ri'ccioli a donné un
grand détail de ces diverses opinions. Almag. t. z ,
p. 271 dsuiv. - ■ ■ 'On fupposoit que les deux cieux crystallins étoient
fans astres, qu’ils entouroient les cieux inférieurs-,
étoilés & planétaires, &leur cemmuniquoientleur
jnpuvemenr. Lë premier ciel crystallin fervoit à
rendre compte .du mouvement des étoiles fixes, qui
les fait avancer d’un degré vers Torienten soixantedix-ans ;
d’où vient-la préceffion de Téquinoxe.
Le second ciel cryfíaIJin servpit à expliquer les
mouvemens de libratipn par lesquels pn croyoit
que la sphère céleste faisoit des balancemens d’un
pôle à l’autre pour la diminutipn de Tehliquité
de Técliptique.
' Quelques-uns pnt admis beauepup d’autres cieux
felpn leurs différentes vues & hypothèses. Eudoxe
en a admis vingt-gtrois ; Calippus, trente ; Rëgiomontanus
, trente-trois ; Aristote , quarante-sept,
& Fracaslor en comptoit jusqu’à soixante-dix.NOUS pouvons ajoutçr que les astronpmes ne se
mettoient Ças fort en peine si les., cieux qu’ils adCoientainsi' étoient réels ou npn ; il leur suft
qu’ils pussent servir à rendre raison des mouvemens
célestes, & qu’ils fussent d’aceprd avec les
phénomènes. Chambers,,( O) Parmi plusieurs rêveries des rabbins, on lit dans
le talmiid qu’il y a un lieu où les cieux & la terre
se jo.igneni ; que le rabbi. Barchana s’y étant' c i r c i r 549rendu , il posa son chapeau sur la fenêtre du ciel,
& que Tayant voulu reprendre un moment après,
il ne Je- retrouva plus, les cieux Tavoient emporté ;
il faut qu’il attende la révolution des orbes
pour le rattraper.CIERGES ( Hydraulique ). Ce font des jets
élevés & perpendiculaires, fournis fur la même
ligne par le même tuyau, qui étant proportionné
à leur quantité, à leur souche & à leur sortie,
leur censerve toute la-hauteur qu’ils dpivent avpir.
On a un bel exemple des cierges PU grilles d’eau
en haut de Tprangerie de Saint-Cleud.
v On prétend que les cierges d’eau sont plus éloignés
les uns des autres que les grilles. (IÍ) CINQ , f. m, (Arithmétique ) , npm de nombre.
Tout nombre terminé par 5 est divisible par 5,
& tout, multiple de 5 se termine par 5 PU par
zéro ; la démpnslratipn en est facile à trouver.CINQ ( Jeux de Carte )  est une "carte marquée
.de cinq ppints. Le point est PU coeur, PU pique,
eu trèfle, pu carreau. Ainsi, il y a quatre cinq
dans le jeu.CIRCONFÉRENCE, f. f. ( Géom’. ) , se dit de
la ligne courbe qui renferme un cercle ou un espace
circulaire, & qu’on nomme aussi" quelquefois
périphérie. Voyez, CERCLE. Ce mot est formé du
latin circum, environ, & de fero , je porte.Toutes les lignes tirées du centre à la circonférence
du cercle, & qu’on appelle rayons , sont
égales entr'elles. Voyez. RAYON.Une partie quelconque de la circonférence s’appelle
arc ; une ligne droite tirée de Textrémité de
cet arc à Tautre, s’appelle la corde de cet arc. Voy.
ARC d CORDE.La- circohféence du cercle est supposée divisée
en 360 parties égaies, qu’on appelle degrés. Voye{
DEGRÉ.L’angle. à la circonférence est "fous - double de
celui qui est au centre. Voy. ANGLE d CENTRE.Tout le cercle est égal à un triangJe rectiligne,
dont la base est égale à la circonférence , & la hauteur
égale au rayon. Voyez TRIANGLE.Les circonférences font entr'elles comme leurs
rayons. Voyez, "RAYON.De plus, puisque la circonférence de tout cercle
est: à son rayon "comme celle de tout autre cercle
est au sien, la raison de la circonférence au rayon
est donc la même dans tous les cercles.Archimède donne pour raison-approchée du
diamètre à la circonférence, celle de 7 à 22. Cette
proposition d’Archimede est démontrée dans plusieurs
livres de Géométrie.D’autres qui approchent plus de la vérité Jfcáònt
de icococfccOTOooocxDO à' 31415526535807^2.Dans Tufage, Viette , Huyghens, &c., donnent
là proportion de 100 à 314 pour des petits cercles !
& celle de 10000 à 31415 cour les grands cercles^
niais la proportion la plus "juste en petits nomb'tfsest celle de Metius, savoir, de 113 à 355. Voy,
DIAMÈTRE.• D’où il suit que le diamètre d’un cerclé étant
dpnné , pn a aussi sa circonférence , laquelle multipliée
par le quart du diamètre, dpnne Taire du,
cercle. Voyez, AIRE. ( Chambers. ) CIRCONFÉRENCE , se dit aussi en général du
cnntPur d’une courbe quelconque. V. COURBE. (£}CIRCONPOLAIRE, adj. ( Astron. )  étoiles
circonpolaires, ce sont celles qui sont près de nptre
pple boréal, qui tournent autour de lui fans se
coucher jamais par rapport à nous,--c’est-à-dire,
fans s’abaisser jamais au-dessous de notre horizon. *
Cpmme Paris est élpigné de Téquateur de 48d 50',
pn n’a qu’à prendre depuis le pelé arctique de
part & d’autre de ce pple 48"* 50', & toutes les
étoiles qui seront renfermées dans cette zone de
5>7d 40', ne se coucheront jamais à Paris.Dans ce sens, toutes les étoiles comprises dans
Thémisphère boréal ou septentrional , seroient
circonpolaires pour les habitans du pôle arclique,
c’est-à-dire, ne se couchent jarnais pour éux.Oh trouve l’heure" qu’il est la nuit par le moyen
des étoiles circonpolaires. Voyez mon Astronomie s
liv. iv. & ETOILE.^ CIRCONSCRIPTION, f. f. ( Géomét. ) , c’est
Taction de circonscrire un cercle à un polygone ,
ou un polygone à un cercle, ou à toute figure
courbe. Voyez, CIRCONSCRIRE.La circonscription deí polygones ne consiste que
dans Tart de tirer des tangentes ; car tous les côtés
d’un polygone circonscrit à une cpurbe, sont des
tangentes de cette cpurbe. Voyez. TANGENTE. (E) CIRCONSCRIRE, en Géométrie élémentaire »
c’est décrire une figure régulière autpur d ?un cercle
, de manière que tpus ses côtés deviennent autant
de tangentes de la circonférence du cercle.
Voyez, CERCLE , POLYGONE , deCe terme se prend auffi pour la description d’un
cercle autour d’un polygone, de façon que chaque
côté du pplygpne soit corde du cercle ; mais dans
ce cas, on dit que le pplygpne est inscrit, plutôt que
de dire que le cercle est circonscrit.Une figure régulière quelçenque AB CD E ,
.(pi. de Géomét. fig. 36.) , inscrite dans un cercle,
1 se résoud en des triangles semblables & égaux, en
tirant des raypns du centre F du cercle auquel le
polygone est inscrit, aux différons angles de ce
pplygpne, & son aire est égale à un triangle rectangle
, dont la base seroit la circonférence totale
du polygone, & la hauteur une perpendiculaire .
F H tirée du centre, du polygone sur un de ses
côtés ~ comme A B. . *On peut dire la même chose du polygone circonscrit
ab c de ( fig. 23 ) , excepté que la hauteur
ì doit être, ici le rayon F h.Vaire de tout polygone, qui peut être inscrit
dans’un cercle, est moindre que celle du cercle.Cir& celle de tout polygone qui y peut être circonscrit,
est plus grande." Le périmètre du premier des
deux polygones dont nous parlons,'est plus petit
oue celui "du cercle, & celui du second est plus
grand. Voyez PÉRIMÈTRE, de.C’est de ce principe qu’Archimede est parti pour
chercher la quadrature du cercle, qui ne consiste
efièctivement qu’à déterminer Taire ou lá surface
du cercle. Voyez. QUADRATURE.Le côté de Texàgone' régulier est égal au rayon
du cercle circonscrit. Voyez EXAGGNE.Circonscrire un cercle a un polygone régulier donné,
AB CD E' (fig. 23) , d réciproquement. Coupez
• pour cela en deux parties égales deux des angles
du polygone, par exemple A tk B ; tk du point
F, oìi les lignes de section se rencontrent, pris
pour centre, décrivez avec le rayon FA un cercle..Circonscrire un quarré autour d’un cercle. Tirez
deux diamètres" AB, D E ( fig. 37 ) , qui se coupent
à angles droits au centre C ; tk par les quatre
points pù cés deux diamètres- rencpntrerpnt le cercle
, tirez quatre tangentes à ce cercle, ellês formeront
par leur rencp'ntre le quarré demandé.Circonscrire un polygone régulier quelconque , par
exemple un pentagone autour d’un cercle. Coupez,
en deux parties égales la corde A E de Tare 011
de Tangle qui convient à ce polygone (fig. 23) ,
par la perpendiculaire F O partant du centre, &
vous la continuerez jusqu’à ce qu’elle coupe Tare
en g. Far les ppints A,E, tirez des ra) ons AF,
E F ; & par lé point g une parallèle à A E, qui
rencontre ces rayons prolongés en a, c,--alors ae
fera le côté dupolygone circonscrit. Prenez la eprde
A B =AE ; tirez le raypn F B , &i pro !ongez-Ie
en b jusqu’à ce que F b soit égal à F c. ; tirez ensuite
ab, ce sera un autre côté du polygone, &
vous tracerez tous les autres de la même manière.Inscrire un polygone régulier quelconque dans un
■cercle. Divisez 2,60'' par le.n’ombre des côtés, pour
trouver la quantité de l’angle EFD ; faites un
angle au centre égál’ à celui - là, & appliquez la
cot de de cet angie à la circonférence, autant de
fois qu’elfe pourra y être appliquée ; ce sera la
ligure qu’il ïalìoit inscrire dans Je cercle. (Chambers.
) CIRCONSCRIT , adj. (Géomét.). On dit, en Geo-,
métric, qu’un pplygoneest circonscrit à un cercle,
quand tous les côtés du polygone sont des tan■
gentes au cercle ; & qu’un cercle, est circonscrit à
un polygone, quand J a circonférence du cercle
passe par tous les íbmmers des angles du pplygone.
Voyez CIRCONSCRIRE. (E) Hyperbole circonscrite ,, dans la haute Géométrie
, est une hyperbole du troisième prdre, qui
coupe ses asymptotes, & dont les branches renferment
au-dedans d’elles les parties coupées de
ces asymptotes. Telle est la courbe ou portion-de
courbe C E D H'( fig. 39, Analyse.) , dont les
branches C E, D H, sont chacune -au-dehprs deI leurs: asymptotes respectives A F, A G, Vóye\COURBE. (O) ,~ . ■ 'CIRCONVOLUTION, f. f. ( Géom. ). On dît
quelquefois qu’une surface est produite par la circonvolution
d’une ligné, qu’un solide est produit
par la circonvolution d’une surface ; au lieu de dire
par la révolution.• CIRCUIT, s. m. ( Géom. ) , contour ou périmètre
d’une figuresCIRCULAIRE, adj. ( Géom, Méch.-Astron. de. ) 
se dit de tout ce qui a rapport au cercle. Ainsi,
on appelle arc circulaire un arc PU Une pprtion
de la circonférence du cercle ; mouvement circuIdre
le mouvement d’un corps dans la circonférence
d’un cercle, de.. . . .Les astronomes modernes ont prouvé que les
corps célestes ne se mouvpient pas d’un mpuvement
circulaire, mais elliptique. Voye[ PLANÈTE.Nombres circulaires : ce sont ceux dont les puissances
finissent par le caractère même qui marque
la racine, comme cinq, dont le quarré est 25,
. & le cube 125. Voyez. NOMBRE-. (Chambers.) 
- CIRCULATIO N, en Géométrie. Le P. Guldin,
jésuite , appelle voie, de circulation Ta ligne droite
ou courbe, que décrit le centre de gravité d’une
ligne ou d’une surface, qui par ion. mouvement
produit une surface, ou un solide. Voyez à l’article
CENTROBARI.QUE Tufage de la voie de circulation,
pour déterminer les surfaces &.Ies solides"",'
tant’curvilignes que rectilignes. Cette méthode fort
ingénieuse en elle-même, n’est presque plus d’usage
depuis la découverte du calcul intégral, qui fournît
des méthodes plus aisées pour résoudre tous
les problèmes de cette espèce. Voye\ CENTRE DÉ
GRAVITÉ. (O) CIRCULATOIRE, adj. (Méch.). On dit quelquefois
mouvement circulatoire', vitesse circulatoire,
pour désigner le mouvement ou la vitesse d’un corps
qui tourne autpur d’un ppint.
. CIRCULER, v. n. ( Méch. ) , se dit proprement
du" mouvement d’un corps ou d’un point qui décrit
un.cercle ; mais o.ri.a appliqué ce mut au mpuvement
des corps qui décrivent des courbes non
circulaires ; par exemple, au mouvement des planètes
qui ne -décrivent point dès cercles autour
du soleil, mais des ellipses. V°ycl PLANÈTE. Oh
Ta appliqué aussi au mouvement du sang, par lequel
ce fluide' est porté du coeur aux artères, &
revient occuper les reins. En général ce mot cí'rculer
peut s’appliquer par analogie au mpuvement
d’un cprps qui, fans i onjr d’un certain espace,
fait dans cet espace un chemin quelconque, eu
revenant de tems en tems au même point d’où il
est parti. (O) CiSSOlDE , f. f. ( Géom. )  courbe algébrique
qui. a été imaginée par Dioclès, ce qui l’a'fiit
appeller plus particulièrement la cijfóïde de Dioclès.
JÊVoyei COURBE.Voici comme on peut concevoir la formation
de la ciffoide,. •Cl a cle35íìSur le diamètre A B (PI. d’Anal, fig. 9 ) , du
demi-cercle A 0 B , tirez une perpendiculaire
indéfinie BC ; tirez ensuite'à volonté les droites
AH, AC , dans les deux quarts de cercles O B,
OA,tk faites Am=xIH, & dans l’autre quart
• de cercle L C = A N, tk les points m & L seront
à une courbe AmO L , qu’on appelle la ciffoide
de Dioclès..Propriétés- de la ciffoide. II s’enfuit de fa génération,
1°. que si on tire les droites Kl, pm,
perpendiculaires à AB , on aura A p : KB::Am:
IH ; mais Am = I H, & par conséquent A p
= KB ; d’où il s’ensuit que A K= p B , tkpN=IK.
1." II s’enfuit auffi que la ciffoide AmO coupe
la demi-circonférence A O B en deux également
au point O. .V De plus A K: Kl:: Kl: K B ; c’est-àdire,
que A.K:pN::pN:Ap ; d’ailleurs AK,
pN::Ap:pm ; donc pN: A_p:: Ap:p m ; tk
par conséquent A K , p N, A p tk pm , sont
quatre lignes en nrppprtion continue ; & l’on prouvera
de Ja même manière que Ap, p m , A K,
& KL sont ën propprtipn cpntinue.4. 0 Dans la ciffoide , le-cube de Tabscisse A p
est égal à un solide formé du quarré de la demiordonnée
p m , & du complément p B au diamètre
du cercle générateur.Et par conséquent lorsque le point p ,. tombeen B, & qu on a p B =. o, on a yz = —, &parconséquent o ', I '. Z a1 y7- ; c’est-à-dire , que lá
valeur de y devient infinie ; & qu’ainsi la ciffoide
A m 0 L , quoiqu’elle approche continuellement
& de plus près que toute distance doìinée de lá
droite BC, ne la rencontre cependant jamais.
5. 0 B C est donc í'afymptote de la ciffoide. Voy.ÁfYMPTOTE.Les anciens faisoient usage de la ciffoide , pour
trouver deux moyennes proportionnelles entre
deux droites données.- En effet, supposons qu’on
cherche par exemple deux moyennes proportionnelles
entre deux lignes données égales à A K &
à p m , il n’y a qu’à supposer la ciffoide tracée ;
puis prenant fur Taxe A E une portion = A K ,
& tirant T’ordonnée de la cijfóïde = pjn, on
trouvera les mpyennes proportionnelles p N&Ap.
Voyei PROPORTIONNELLE. .Òn trouve dans la dernière section ; de l’application
de l’Algèbre h la Géométrie , par M. Guisoée,
les propriétés principales de la ciffoide expliquées
avec beaucoup de clarté.M. Neuton a donné dans ses opuscules la longueur
d’un arc quelconque de la cisoïde. Ce problème
se résout par le calcul intégrals O) :C l aCLAPET, s. m. (Méchan.) , est une esoèce'de
soupape faite d’un rond de cuir, fortement serréentre deux platines de métal, par le moyen d’une
ou de plusieurs vis. Le rond dé cuir tient par une
queue à une ceuronne de cuir, laquelle est fortement
ferrée entre le cpllet du tuyau supérieur au
c/apet&lecpllet du tuyau inférieur : c’est sur cette
queue, qu’pn fait beauepup plus étroite que Je
clapet, que se fait le jeu du clapet comme fur une
charnière.La platine de métal qui est fur le cuir du clapet,
est plus grande que Touverture du diaphragme que
le clap'et doit couvrir ; & la platine de dessous qui
doit se loger dans Touverture du diaphragme quand
le clapet se ferme, est un peu. plus petite que cette
ouverture.-Le clapet étant ainsi construit, Iorfqual est fermé,
le cuir porte exactement sor les bbrds du diaphragme,
&. empêche Teau de passer. La platine
de métal qui est sor le cuir, le garantit du poids
de la colonne d’eau, & en porte toute la charge
que le cuir ne pourroit pas soutenir. La platine
de métal qui est sous le cuir, sert à deux choses ;
i.° elle sert avec la platine supérieure, à cemprimer
le cuir ppur le rendre plan ; 2. 0 elle empêche
que l’eau qui ppurroit s’ir.sinuer entre la platine
supérieure & le cuir , n’enfonce Je- cuir & ne le
fasse passer par Touverture-du diaphragme. VoyezHist.
d Mém. acad. 1739. Voy. ausji SOUPAPE. (Ó) CLE (Fontainier) , çe sont de grosses barres de
fer ceintrées , dont on fourre la boîte dans 1c
fer d’un regard pour tpurner les robinets. Ce fer
est montant, & se divise en parties plates qui
embrastènfles branches d’un robinet, au moyen
d’un boulon claveré qui passe à travers. (-K) CLEPSYDRE,, f. f. (Hydrod.)  : horloges d’eau
dont’ les anciens se servoient ppur rheiurer le
tems. - :I. On dpnnpit à ces hprl.oges différentes figures
ornées & variées, soit ppur en imppser aux yeux,
soit ppur former un spectacle agréable. M. Perrault,
dans ses 
suivant..
Remarques sor Vitravë, entre , à ce
sujet, dans, des explications que Tpn peut consulter.
-La questien réduite aux principes deJ’Hydrodynamique,
est de" favpir mesurer le tems que.la
surface d’un fluide employé à s’abaisser d’une hauteur
proposée, dans un vase d’une certaine forme:
elle dépend donc de lafolutipn duproblême général
II. PROBLÊME. Le vase A D E C (PI. Hyd.
fig. 13) étant d’abord rempli d’eau jusqu’en A C,
déterminer le tems que cette eau sortant par le petit
orifice D E, mettra a s’abaisser de'la hauteur quelconque
E P ? -
Imaginons le fluide partagé en une infinité de
■tranches horizontales, telles que AslV n ra. L/orifice
DE. pouvant être regardée, au mpins sensiblement,
comme infiniment "petit, il s’enfuit que,_ lorsque
IáTsnrface du fluide est parvenue en -MN, la
hauteur dûe à la vitesse au sortir de Tori-ìce, est
la verticale P D. Nommons a la hauteur, « fennecCle
- C O C
d’où tombe un corps grave pendant le tems donnée 5
h la hauteur KD primitive'& dpnnéè du fluide ;
K Taire de Torisice ; t le tems de la descente du
fluide par la hauteur indéterminée K P ; x cette
hauteur ; X la section ilsN du vase, laquelle est
une quantité dépendante de la 'figure du vase : op
aura d’abprd ( Voyci ECOULEMENT. ) —— " ' » ' '"^ pour la quantité élémentaired’eau qui sort pendant Tinstant dt. Or cette même
quantité = la tranche MN.nm = Xdx. On auradonc dt =6 y ,— -. D’où Ton '
- ^ zK r \/a. \s(h—x) 
voit que , connoissant la relation de £ à a-, on
trouvera X, tk par conséquent la figure du vase ;
ou que, si la'figure du vase est donnée, on trouvera
t, en intégrant Téquation précédente, après
y avoir substitué pour X sa valeur donnée par la
figure du vase.
III. COROLLAIRE I. Si on veut, par exemple,
qu’en tems égaux la surface du fluide parcoure,
des parties égales de la hauteur K D , il faudra
faire 1= n x., n étant un nombre constant &
donné : alors on aura dt=zndx, & par conféquentn = Tr ,—— ; ;■ d’où Ton tir© X=znK\/a, v/( h—x) . … . . , j.- ' —- ; ce qui détermine la figuredu vase.La même- hypothèse subsistant, si Ton suppose
de plus que le vase soit un solide de.révolution
produit par le mpuvement circulaire de la ceurJie
AMD autpur'de Taxe KD , tk qu’en prenne
ì'abscisse DP ==í, Tprdpnnée P M=y •" on
aura X= -L- , n étant le rapport de la circonférence
au diamètre ; & i" = h — z- Substituant
ces valeurs dans Texpreffion qu’on a trouvée pourX, on aura y"- == ——Yn’ 3 ou ( çn ^hant4nK\/aJ_. _^, , -, ,~——i-^ == m2 J, y^ = m> z- D pu 1 Pn vpit queJa ceurbe A M D est une parabple du troisième
genre,I V. CPRPLLAIRE 11. Supppfons que le vafe
preppsé ait la forme prismatique ou cylindrique
AP'H C(fig, z 4)  : la quantité X sera", ici une
quantité constante que je nomme A ; & on aura*t=rêr^Z X ysShjy dont Tintégrale eslí=
ì~aX(Vh-y(h^x) ). ' ■II est facile de construire, au moyen de,cette
formule, une clepsydre cylindrique. VoulezrVQus,
par exemple, partager la'hauteur K D ou C H
en douze parties, qui soient parcourues en tems
égaux par la surface du fluide ? Représentez CH
Pí »r W-> quarte ; de 12 ; de ces 144 parties égalesqui composent CH, retranchez 111, quarré de
11, le reste 2 3 sera connoître la première partie
cherchée CG ; de 121, retranchez 100, quarré
de 10, le reste 21 donnera Ja seconde partie
cherchée ; de 100, retranchez 81, quarré de 9,
le reste donnera la troisième partie cherchée ;
ainsi de suite. D’PÙ l’on voit que les parties suc-'
cessives de la hauteur CH, comptées depuis le
point C, sont entr'elles comme les termes de la
progressìpn arithmétique décroissante -f- 23. 21.
iç). 17. de, la hauteur totale CH étant exprimée
par le nombre 144.Quant à la mesure précise dutems employé â
parcourir cliaque partie de la hauteur CH, cm
le déterminera par la même formule. Supppspns,
par exemple, que la hauteur totale C H dpive
être parepurue en 12 heures, & que par conséquent
chacune de ces parties deive être parceurueen 1 heure : pn trouvera 12 heures == „* , .II faudra donc tellement combiner les trois quantités
A ; K, h (les seules dont on peut ici disposer
) , que Téquation précédente ait lieu en effet.
On voit que deux de ces trois quantités étant
données, on en conclut la troisième, (L, B.).. CLIMATS , parties ou zones de la terre, dans
lesquelles le plus long jour-d’été est de 12 \ heures
, 13 heures, de. on distingue 24 climats d’heures.
C’est un terme de Vancienne Géographie.CLOISON ( Hyd.)  ; on nomme ainsi des séparations
de cuivre, de plomb, PU de fer-blanc,
qu’pn place dans les cuvettes des fontaines & des
jauges. On en distingue de deux sortes : celle d »
calme, appellée languette , est placée près de
Tendroit pù tombe Teau, fans interrompre sacómn
munication dans toute la cuvette, elle ne fait
qu’en rompre le flot, qui dérangeroit le niveau
de Teau en même tems qu’il en augmenteroit la
dépense ; l’autre cloison est celle du bord où s’attachent
les bassinets pour Ja distributipn dç Teau »
Voyez, BASSINETS. (K) cocCOCHER, ou le chartier ( Astron. -)  ; çpnstelT
latipn bpréalè, composée de 66 étoiles" dans le
catalogue britannique ; elle est -appellée, dans les
auteurs , auriga ', aurigator , agitator currus,
arator, heniochus , habenifer (qui tient les renés) 
Eriâhonius ; dans Homère, Êriâheus ; chez les
Egyptiens, Orus ; d’autres Tont appelle Phaeton ,
Abfyrthe , Bellerbphon , Custo's caprarum- , Tro'
chilus , (Enomaus, Hippolitus. L’étoile brillante de
cette constellation est appellée la chèvre. La même
constellation renferme aussi les chevreaux, qui,
suivant les poètes, avoient été nourris du même,
lait que Jupiter.Cet Ericthon étoît, npn le fils de Dardanus,mais un roi d’Athènes, qui fut déifié çpmme Tin.' ' - ' " ' venteurcoc c o e
 ?B
'Venteuí de plusieurs arts utile* ,.& fur-tout de
, celui des chars.Trimus Eriâhonius. cuir us d quatuor ausus
Jungere eques , rapidifque rôtis insistere viâor..
..---" Georg. III. 113.Dans le commentaire de Theon sor Aratus,
Bellerophpn est cité comme fauteur fie Tinvention
du char, & comme étant le coclier céleste ; d’autres.
y substituentMyrtyJe , Cillantus, ou le Cocher de
Pelops, & Orus, qui enseigna le premier TAgriculturc
aux Egyptiens. -,On peut très-bien imaginer que les anciens placèrent
un laboureur dans la partie du ciel, qui
pouvoit désigner Tentrée du soleil dans le taureau
, & ces deux constellations reçurent un culte
spécial. -: Suivant M. -Dupuis , c’est cette constellation
qui a fourni au Jupiter JEgiochus des grecs, & à
Pan , leurs attributs. On la considérait comme
une des formes de Tame du monde. Le beuc
adoré à Mendès, & le beuc asima des samaritains
, ne sont que Timage de la belle étoile de
cette cpnslellation , appellée hircus par un ancien
commentateur de Ptolemée. Cette constellation se
levoit au tems de Téquinoxe, & fe couchoitle
matin en automne. C est par-là que M. Dupuis
explique la fable de Phaëton, qui tombe dans
l’Eridan, parce qu’il se couche peu après ce fleuve.
( Astron. t. iv , p. 521.) Suivant M.' Hyde, c’est à la chèvre, ou à ses
petits, queTe rapporte le nom d’Aifch ,". donné
par Job à une de 'nos constellations: c’est le Ais ?
ies grecs. (D. L. ) COCHLËA-, - en Méchanique ; terme latin qui
signifie l’une des cinq, machines simples : on la
nomme en françois vis. Voyez, Vis.On Tappelle de la sorte, à cause de fa ressemblance
avec la cpquille du limaçen pu cóchlea. (O) -COCHONNET "( Jeu )  , espèce de dé taillé à
douze faces pentagenales, chargées chacune d’un
chiffre depuis 1 jusqu’à douze. On jpue au cochonnet
corame aux dés.On dpnne Je même npm à une balle ou pierre
que-celuf qui a gagné le coup précédent jette à
discrétion, & à laquelle tous les joueurs dirigent
leurs boules. La boule plus voisine du cochonnet
gagne le coup.CÔDILLE, terme.de Jeux. On dit Itre codille
à Vombre , au médiateur, au quadriïíe , de. ; quand
on né fait pas le nombre de mains prescrites par
le gain ou la remise de la partie. Voye\ ces mots.
. COEFFICIENT, s. m. ( Algèbre )  en langage
algébrique, est le nombre ou la quantité quelconque
-placée devant un terme ; tk qui, en se
multipliant "avec les quantités du même terme qui
suivent, sert à former ce termé. Voyez\ TÊR.MÈ.Matsiématiques. Tome I, Lc"'Partie.Ainsi, dans 3 a, bx, Cxx, 3 est le coefficient
du terme 3 a , b celui de bx, C celui de Cxx.Lorsqu’une lettre n’est précédée d’aucun nembre,
elle est teujpurs censée avpir 1 ppur coefficient,
parce qu’il n’y a rien qu’pn ne puisse regarder
comme multiplié par l’unité. Ainsi a, b c sont
absolument la même chose que la, ìb c. II ne
faut pas confondre les coefficiens avec les expofans.
Dans la quantité 3a, le coefficient 3 indique
que a est pris trois fois, ou que a est ajouté deux
fois à lui-même. Au contraire, dans la quantité
aì -, Texposant 3 indique que a est multiplié deux
fois de suite par lui-même.Par exemple, supposons que a soit 4, 3 a sera 3
fois 4, c’est-à-dire 12, & a ' fera 4X4X4 ? c’est--à-dîre
 64,Dans une équation ordonnée, le coefficient du
fecend terme est la somme de toutes les racines
prises avec des signes conaaires ( voyez. RACINE. J ; '
en sorte que si la -somme des racines positives est
égale à celles des racines négatives, & que par
cenféquent la somme totale des racines soit zéro ,
il n’y aura ppint de fecpiid terme dans Téquatipri,Le coefficient du troisième terme dans la même
équatien ordonnée, est la somme dé tous les produits
des racines prises deux à deux de toutes .les
manières possibles.Le coefficient du quatrième ternie est la sommé
de tous les produits des racines prises trois à trois
de toutes les manières ppffibles, avec des signes
cpntraires ; & ainsi des autres termes à Tinfini.La méthpde des coefficiens indéterminés est une
des plus importantes découvertes que l’en doive à
Descartes. Cette méthpde très en usage dans la
théorie des équatipns, dans le calcul intégral, &
en général dans un très-grahd nembre de problèmes
mathématiques , consiste à supppser. Tinconnue
égale à une quantité dans laquelle il entrè
des coefficiens qu’on suppose connus , & qu’on
désigne par des lettres ; on substitue ensuite cette
valeur de Tinconnue dans Téquation ; & mettant
les uns sous les autres les tenues homogènes, on
fait chaque coefficient =z o , & on détermine par
ce moyen Jescoefficiens indéterminés. Par exemple,
soit proposée cêtte équation différenciélle ,
d y -J- b y dx -\- &x% dx -f- cxdx -j-fdx==o ; otl"
supppseray = A -f- B x -j- C x x, & on aura,dy=^Bdx -j-zCxdx
-j-b y d x =.b Adx\-bB xdx-\- bCx-xdx
-f- a x1 d x == ax-dx.-j- cxdx = ^-cxdx
-j- f d x =-f fax.
Ensuite onferaB4-6^4-/=o,2C-f -bB'+ c
=s-o,i C-\- a=z o ; & résolvant ces. équations à
Tordinaire ( voyez,- EQUATION ], on aura, lés inconnues
A> B, Ç. (O) COEUR ( Géométrie ). Quelques géomètres, éntr'autres
M. Varignòn, dans les Mém. de l’Ácad.
des Sc. ann, I6QX , ont donné ce nom au solide
que formêroit une. demi-ellipse en tournant, nonYv3j4 c (e u corautour de son axe, mais autour d’un de ses diamètres
 ; & en effet un tel solide auroit assez Ja
fiçure d’un caur pointu par lé bas, & enfoncé
par le haut. M. Varignon a. cherché la dimension
de ce solide ; mais il s’est trompé , comme il seroit
aisé de le faire voir. On peut trouver facilement
la dimension du caur par la méthode suivante.Soit imaginée une demi-ellipse dent les deux
sxes soierif égaux aux deux diamètres de Tellip'sc
donnée ; chaque ordonnée sera aussi égale de part
& d’autre, excepté que dans Tellipsc formatrice
du caur les ordonnées seront obliques à Taxe, tk
que dans" l’autre elles lui seront perpendiculaires ;
celles-ci .dans la rotation fermeront des cercles,
& les autres formeront des surfaces coniques qui
feront aux cercles dans le rapport du sinus de'
Tangle des deux diamètres à 1 angle droit : rien
n’est plus facile à démontrer. De plus, dans le
caur les surfaces coniques seront obliquement posées
par rapport à Taxe ; au lien que dans le solide
formé par l’autre ellipse , les cercles seront
perpendiculaires à Taxe: donc Télémeut du caur
est encore à Télément de l’autre solide, envisagé
sous ce point de vue, comme le sinus de Tangle
des deux diamètres est au sinus total. Dpnc,
puisque ce rapport entre deux fois dans le rapport
total des deux élémens, il s’enfuit que Télément
du coeur est à Télément de l’autre solide,
comme le quarré du sinus de Tangle des diamètres
est au quarré du sinus total : donc les deux solides
font aussi entr'eux dans ce rapport. En voilà assez
pour mettre sor la voie ceux qui voudront aller
plus loin, faire de cette proposition une démonstration
en forme, & reconnoîtrí en quoi pèche
celle de M. Varignon. (O) COEUR du lion ou Régulas, Bafiliscus ( Aftr. ) 
étoile de la première grandeur dans la constellation
du lion.COEUR de Charles ( Ajìron. )  c’est le nom d’une
petite constellatien boréale ; elle est marquée sous
ce nem dans le planisphère cn deux feuilles,'.
gravé en Angleterre, & appelle communément
planisphère de Senex, quoiqu’on y voie le nom
de Harris comme rédacteur, & celui de Bowles
comme marchand.- Elle n’est remarquable que par
une étoile de seconde grandeur , située sous la
queue de la grande ourse, du côté de la chevelure
de Bérénice & de la queue du lion. Cette
étoile est appellée dans le catalcgue de TycheBrahé
, informis inter caudam hujus d leonis. Dans
]e Catalogue britannique , publié en 1712, par
Halle) ', fur les Observations de Flamsteed , elle
est^ appellée clara fub caudâ informis ; il paroît
qu’alprs pn ne lui avoit pas encore donné le nom
qu’elle porte actuellement. Dans l’édition de 1725,
dpnnée par Flamsteed lui-même, elle est comprise
dans la constellation des chiens de chaste, introduite
par Hévélius ; in annullo armilloe charce informis
fub caudâ ursi. Dans les grandes cartes célestes
de Flamsteed, elle est en éífet située fur lecollier d’un des chiens, fans aucune figure de
caur. Cette dénomination de carur de Charles, a
probablement été introduite par Halley, ainsi que
le chêne de Charles II , roi d’Angleterre, par
respect pour la mémoire d’un prince , fondateur
de T Académie & deT’Observatoire d’Angleterre.
Flamsteed n’a point adopté cette dénomination
de Halley, qu’il n’aimoit pas ; mais on la trouve
sor Jes planisphères de Senex, fur ceux de M. Robert
de Vauçondy, fur mon globe céleste, gravé
en 1773 , *>"" le Perit ■Atlas de fortin, qui est
une réduction des cartes de Flamsteed, & fur le'
planisphère qui est dans les figures de ce Dictionnaire.
La principale étoile avoit en 1600 , 5r 20d
15' 22' de longitude, & 4c 1 7' 18" de latitude
boréale. (D. L.) COEUR de l’hydre ( Astronomie ) , étoile de la
seconde grandeur dans le caur de la constellation
de Thydre, la douzième dans le catalogue de
Ptolemée,la onzième dans celui de Tycho, & la
vingt-cinquième dans celui d’Angleterre. Voyez\
HYDRE. (O) . COIN, f. m. ( Méchan.)  : prisme .triangulaire
ABÇDEF (PI mec. fig. 58) de fer, qu’onjintroduit
dans une fente pour écarter ou séparer Jes deux
parties d’un corps. Quelquefois aussi on s’en sert
pour soulever des poids, ou pour comprimer dea
corps. .■''■'Les couteaux, les rasoirs, les’ ciseaux, & erí
général tpus les instrumens tranchans , ou pénétrans,
se rapportent au coin.On appelle tête du coin la face parallélogrammique
A B CD qui reçoit le coup, ou Timpresiioii
de la force motrice ; Tarrê'te E F, par laquelle le
COZ'TZ commence à s’enfoncer, en est le tranchants
tk les faces paralléîogrammiques ABFE, DCFE,
par lesquelles il presse les cerps c’pntigus, en sont
les côtés.Nous représenterons cet instrument par soii
simple profil D A E (fig. .59) , c’est-à-dire par
le triangle qui , en se mouvant parallèlement à
lui-même, engendre le coin.I. Supposons un corps appuyé par fa hase Z F ■
(fig. 60 ).fur un plan immobile. Que pour
écarter les deux parties M tk N de ce corps, on
introduise entr'elles un coin DEA frappé ou
poussé perpendiculairement à fa tête par une force
Q. II est clair que cette force étant détruite uniquement
par les résistances que les parties du
corps à fendre opposent à Taction du coin , doit
nécessairement se décomposer en deux forces. dirigées
vers les appuis J & K, perpendiculairement
aux côtés A E , D E du coin, qu on peut regarder
comme des plans tangens aux appuis J & if.
Ainsi la force Ç & les deux pressions qu’elle
produit aux points I tk K , sont dans un même
plan , & concourent au mème point O. Nomriioris
Q, I, K , ces trois forces ; & considérons
que.leurs directions Q O , 01, O K, étant perpendiculaires
chacune à chacun des trois côtésAT>, AE , DE , du triangle AE D , ori z
QlUKHA DIA E'. D E ; & par conséquent
auffi, Ç : I -f K l : AD ; AE -j- DE.II. A cause de Téquilibre, les deux pressions
J & K sont détruites par deux résistances contraires
& égales chacune à chacune , que les parties
du cprps à fendre leur ppppsent. Ainsi , la
force imprimée perpendiculairement à la tête du coin,
est h la somme des résistances que lés parties du
corps à fendre opposent immédiatement à son aâion ,
comme la tête du cpin , ejì à la somme de ses
côtés.On vpit que plus le coin deviendra tranchant,
plus la même puissance acquerra d’avantage fur la
somme des résistances à vaincre, & plus, par conséquent
, le coin trouvera 'de facilité à s’enfoncer.III. Lprfque le coin est isoscèle, c’est-à-dire,
lorsque les côtés AE , DE , sont égaux, les ,
deux forces I tk K sont égales , & on a .Q * I.+ KHADI xAEll~-lAE. Donc alprsh force imprimée perpendiculairement a la tête du
coin, est a la somme des résistances que les parties
du corps a fendre lui opposent } comme la demi-tête
du cpin est h Vun des côtés.IV. Prenons en général fui- les directipns des
deux forces I, K , les parties IV, KH, égales
respectivement aux côtés A E , D E du coin, pour
représenter ces forces ; & décomposons chacune
des mêmes forces '■ en deux autres, Tune perpendiculaire
, l’autre parallèle à la base Z F, en constmisant
les deux parallélogrammes rectangles
IR VT, KSHG, qui satisfassent à cette condition.
II est évident que lés deux forces IR, KS,
étant perpendiculaires au plan fur lequel le corps
s’appuie , ne peuvent imprimer aucune sorte de
mpuvement à ce cprps. Mais la force IT tend à
mouvoir la partie M parallèlement à ZF ; & la
force K G tend à mouvoir la partie ~N parallèlement
à F Z. Nemnions T tk G les deux forces
IT, KG. Cela ppfe, - •*' '
i.° On aura HT’. '.IV ou AElIT ;tk
comme on a I, Q l I .' I AD l AE ; si Ion
multiplie ces deux proportions par ordre, on.aura
QlTllADlIT.
2.° On trouvera semblablement, K*, G'.*.AD IK'G: . ■■■■'.'■' Ces deux propprtipns dpnnent la fuite de proportionnelles,'
q l Tl Gl l AD IITI KG ;-&
par conséquent austi , Ql T’-f- G l l AD l I T-f K-ÇV.Supposons que la tête D A au coin soit parallèle
à la base ZF, &-menons du tranchant E,
Ja perpendiculaire EB sor la tête. Les deux triangles
rectangles I VT, E AB , qui ont dés liypodiénuses
égales pat construction, & qui ayant
tous les côtés perpendiculaires chacun à chacun,
sont équiangles,sont parfaitement égaux. On aura jdonc ITz=FB, On démontrera de mème qnKGz=EB.
Ainsi, les deux forces T&L G sont
égales ; & la fuite précédente donne, Q '. T -f- G.', 't/AD’zEBU ~'.EB.II fuit de-là que lorsque la tête du coin est parallèle
au plan sur lequel le corps s’appuie, la force
imprimée perpendiculairement a la tête du coin, est
a la somme des résistances que les deux-parties du
corps a fendre lui opposent parallèlement a la tête
du coin , comme la demi-tête du coin est a fa
hauteur.Cette propriété peut être appliquée au cas où
Ton se sert du coin pour comprimer ; car alors 1
la résistance s’exerce parallèlement à la tête du
coin..VI. Telle est à-peu-près toute,la théorie mathématique
du coin. Nous ne devons pas dissimuler
que l’application de cette théorie à la pratique
n’est pas susceptible d’une grande précision,' parce'
' que les dissérens corps sont composés de parties
plus ou moins adhérentes entr'elles , ou ' de fibres
plus ou moins flexibles ; d’où il résulte que la
même force appliquée au mème coin,. ne produira
pas les mêmes enfoncemens dans deux matières
différentes, & que chaque enfoncement particulier
ne peut guère être déterminé exactement que par
la voie' d’une expérienceimmédiate. ( L. B.) COIN ( au jeu de triârac )  : qui dit simplement
le coin , entend le coin de repos , ainsi nommé
parce que le joueur est moins exposé quánd il
s’est emparé de ce coin ; c’est toujours la Onzième
case, non compris celle du tas de dames.Une des règles les plus sûres, c’est de le prendre
le plutôt qu’on peut, & d’avoir póur cela'des dames
fur les cases de quine & de sonnez. 'Le coin de repos fe prend par puistànce ou par
effet ; dans Je premier cas /.lorsque celui contre
qui Ton joue n’a pas le sien, tk que du dé que
vous amenez, vous pouvez mettre deux dames dans
son coin , ce qui ne se Tait point: on n’empéclie
point son adversaire de, se .faire son. grand '. jan,
quoiqu’on en ait la puissance ; il est plus avantageux
de prendre son coin. On le prend par effet
lorsque son dé a deux dames qui battent son
propre coin. Comme on ne peut se saisir de son
coin qu’avec deux dames, les règles du jeu ne
permettent pas, auffi qu’on le ,quitte fans les lever
toutes deux ensemble. Qui s’empare de son, coin
par effet, n’est plus en droit de reprendre par
puissance: si celui contre qui Ton joue s’est íaiíì
du sien, cette puissance est ôtée.COIN bourgeois , au triârac ; fe dit de la case
de quine & de sonnez. Voyez. QUINE d SONNEZ..COINCIDENCE., s. f. 'en Géométrie , se dit des
figures, lignes, de. dont foutes Jes parties se répondent
exactement lorsqu’elles sont posées Tune
fur l’autre, ayanf les mêmes termes ou lesmêíne^
limites. ' - •■ _ ."'-■. ■W-35* col colLa coïncidence désigne donc une égalité parfaite,
c’est-à-dire, que les figures ou lignes entre lesquelles
il y a coïncidence, sont égales & semblables. Voyez
ÉGALITÉ & SEMBLABLE.Euclide, & presque tous les autres géomètres à
son" exemple , démontrent un grand nombre de
propositions élémentaires, par le seul principe de
la coïncidence ou superposition. Voyez, SUPERPOSITION.
(O) COINCIDER, terme de Géométrie : on dit que
deux lignes ou surfaces coincident, lorsqu’étant appliquées
Tune fur l’autre, elles s’ajustent & se con-  ;
sondent parfaitement.' Voyez, COÏNCIDENCE.(O) ColCOLIN-MAILLARD , f.mi jeu d’enfans ; on
bouche les yeux à un d’entr'éux ,il poursuit ainsi
les autres à tâton jusqu’à cc qu’il en ait attrapé
un àtitre qu’il est pbligé de nommer , & qui prend
sa place, & qu’on appelle austi colin-maillard.COLLER au jeu de billard, c’est faire toucher
la bille à la bande, dp façon qu’on ne puisse pas
là jouer aisément.COLLIMATION, %rîe de collimation(.Aftr.) 
est celle par laquelle on vise à un objet, par lés,
deux pinules d’un graphomètre. Dans une lunette
c’est la ligne qui passe par le centre des verres,
ou Taxe optique de la limette. La ligne de collimation
doit être parallèle à la ligne de foi,eestà-dire,
à la ligne qui passe par le centre de l’instrument
& par le point de 1 index qui marque la
division. On dit auffi la ligne de foi pour dire la
ligne de collimation , parce que ces deux lignes
étant parallèles entr'elles & peu distantes 1 urte •
de l’autre, elles se dirigent au même point du ciel.
(D.L.) COLLISION, f. f. ( Méch. ) veut dire la même
■chose que choc. Voyez CHOC. ^COLOMBE (Astron.) , constellation méridionale,
située au-dessous du lièvre & du grand
chien , introduite vers le commencement du xvii'
siècle, lorsque les navigateurs commencèrent à
observer les étoiles australes & à leur donner des ■
aioms:on prétendit placer la colombe de Noé à
■côté du vaisseau que Ton considéra comme Tarche
■de Noé. Elle est représentée dans les cartes de
"Bayer avec neuf étoiles, lans autre explication
que celle-ci: recentioribus columba. Dans le catalogue
de Flamsteed, elle contient dix étoiles ;
« dans celui de la Caille, elle en renferme un bien
plus grand nombre. La principale, appellée>,
.avoit en 1750, 82^ 39' 13° d’ascension, & 34d
13' 21" de déclinaison ; d’où il suit qu’on peut
-très-bien la voir en Europe, puisqu’elle passe au
méridien près de 7 degrés au-dessus de Thorizon
de Paris. Elle est de seconde grandeur. (D.L.) COLONNE , force des colonnes ( Méchanique
de l’.Arcìúteaure ). Comme on ne bâtit pas. seulementavec le bpis, mais austi avec la piètre & le
marbre, il seroit à souhaiter pour le bien de Tarchitecture-que
nous eussions des expériences bien
faites fur la force des colonnes de pierre..M. Van Muffchenbroek a déjà là-deffus fait
quelques expériences , qu’il rapporte dans ses
Eff. de Phyf. II a pris une colonne quarrée faite
de terre glaise, & aussi dure que la brique rouge
durcie au feu : cette colonne, qui avoit onze pouces
& demi de long,& dont chaque côté étoit de ^
d’un peuce, fut rompue par 195 livres. Une pierre
de brême , lengue de douze pouces ff, & dont
chaque côté étoit de — d’un pouce , fut rompue
par 150 livres. Un marbre blanc un peu veiné,
long de treize pouces ~, épais d’un côté de ^ d’un
pouce, & qui avpit de l’autre côté Tépaisseur de
-rj d’un pouce, fut rompu par 250 livres.Si Ton prend un pilier de pierre fait de demipierres
posées les unês fur les autres,'ayant Tépaisseur
de trois pouces, la largeur de sept pouces,
& la hauteur de dix pies, on demande quelle charge .-,
pourra supporter ce pilier'de pierre, en supposant
qu’il soit bâti de briques rougë durcies par le feu.Si ce pilier étoit de la même épaisseur que ceile
qu’avoit la colonne ^ dans Texpérience' précédente,
& qu’il sot de la hauteur de dix pies, il ne
pourroit supporter deux livres,- parce que les
forces sont en raison inverse des" quarrés des hauteurs’ ;
mais si Ton compte qu’une pierre est de la
lengueur de 7,peuces, c’est-à-dire, dix-sept fois
plus large que.n’est la colonne dans Texpérience ;
alors ce même pilier -de mur qui a Tépaisseur de
■TÏ de pouce , & la largeur de sept pouces,-ppurra
-fupperter trenre livres. Mais la pierre est de Tépaisseur
de trois ppuces , qui est le Côté courbé par
le poids dont il est chargé ; ce côté est donc à
celui de la colonne rompue comme 36 à 5, dont
les quarrés sont comme 1296 à 25 : c’est pourquoi
le pilier de mur qui est de lá hauteur de dix pies j
-ne pourra, être chargé que de 1555 livres ; mais
s’il étoit de Tépaisseur. d’une pierre entière , il
peurroit supporter nn fardeau quatre fois plus
pesant.Par conséquent un mur qui sera de Tépaisseur
d’une demi-pierre, & qui aura dix piéS de haut,
pourra être chargé de 1555 livres, autant de fois
qu’il fera eje la longueur des pierres entières ou
de sept pouces. II est certain qyes’il étoit fiait de
pierres plus dures, il pourroit supporter une charge
encore plus pesante avant que d’être renversé. Si
Ton compare la force d’un, pilier cìe pierre avec
celle d’un pilier de bois de chêne, qui soit aussi
de la hauteur de dix pies, & dont les côtés aient
trois pouces & sept pouces, on trouvera que le
bois de chêne pourra supporter beaucoup davantage,
& même presque 280D livres.Comme on élève dans les églises plusieurs colonnes
qui soutiennent tout le bâtiment ; si l’on
prenoit une colonne de marbre Jilanc de la hauteur
de quarante pies, & dont le diamètre seroitCol g o m 3 57.de quatre pies, elle pourroit supporter à-peu-près
le poids de 105,011,085 livres. "Ainsi, Ton est
en état de calculer quel ppids étoient capables de
soutenir les J 27 colonnes du temple de la diane
d’Èphèso, qui étoient toutes d’une pièce de óo
pies, de hauteur.Comme on bâtit souvent des maisons à deux
portes qui donnent fur le coin des rues, de sorte
que tout le poids de la façade repose sur le poteau
de çe coin: il n’est pas indifférent de savoir Tépaisseur
qu’il convient de ' donner à ce poteau ;
mais il seroit encore bon de calculer les avan- '
tsges & les désavantages qu’il y auroit à lë former
en colonnes de pierre par préférence, parce que
ce poteau doit supporter sans aucun danger le
poids de Ja façade qui reppsc fur lui. ( M. ZECllEVAZIER DE JAVCOVRT.) * (M, Euler tk. M. de la Grange pnt donné, le
premier dans les Mémoires de TAcadémiede Berlin
pour Tannée 1757, l’autre-dans le v.c volume-dés
Mémoires de í'Àcadémie de Turin, d’excellentes
recherches J’ur la force des colonnes.COLONNE' d’eau.'( Hyd. )  : eau contenue dans
un ntyau , qui la fait ' monter d’une rivière ou
d’un réservoir quelconque par le moyen d’une machine
hydraulique. On appelle auffi colonne d’eau
leau qui forme un jet au sortir d’un ajutage. On
dit également, dans des sens analogues, une colonne
d’air, une colonne de mercure, de. -ÇOLURES ( Astron. )  sont deux "grands cercles
passant par les pôles du monde, l’un par lés équinoxes,
l’autre p>ar les solstices ; leur nprh, suivant
quelques -auteurs , vient du mpt grec KÍ/IH/W ; 5 mulilus,
truneus -, parce que dans les sphères artificielles
on fait des entailles fur ces cercles, ppur
fixer, assembler & retenir Tes "autres cercles ;;, cependant
Macrohe dit que ce nem vient de ce
qu’ils në font pas tout le tour de la sphère,
Nomen dédit imperseSa conversio ; ambientes enim
feptentrìonalem vertiçem poli , atque inde , in diyeifa.
diffufi , d se in summo iniersecant d quinque
pardllehs in euaîcrnas paries oequaliter dividunt ;
zoiiacum ita ïntersecantes ,ut uniis coramper arietem
d libram , alter pur cancruni atque capricornum
meando decurrat ; sied ad australem vertiçem nón
peivenire créduhtur. Somn. Scip^T. z s- H cn vrai
çueneus ne voyons jamais Ja partie des colures
qui avoifine le pôle austral ; mais Texistence de
cette partie ne doit pas mpins se supposer. Le
çolure ,.ou cercle passant par les pôles du monde
ou de Téquateur, & par les points solcticiaux,
s’appelle colure'des solstices 3 on a donnée ce méridien
ùn nom distinctif, parce qu’il sert à mesurer
Tpbliquitè de Técliptique. TPUS les astres
píacés fur çe colure, ont 90° PU 270"* d’ascensipn
droite, & autant de longitude. - : . .Le colure des équinoxes est un autre méridien
qui est perpendiculaire au précédent, ou aucc/are des
folilices, & qui passe par-les pôles-du monde &
par les points équinoxiaux. Tous les astres placésfur ze colure ont zéro ou' 180 degrés d’ascension
droite , mais leurs longitudes varient.. (D. L.) COMBINAISON , f. f. ( Analyse ) ne devroit
se dire proprement que de Taffemblage de plusieurs
choses deux à deux ; mais on l’applique
dans les Mathématiques à toutes les manièrespossibles
de prendre un nombre de quantités
données. -Le P. Merfenne a donné les combinaisons da
toutes les notes & sons de la Musique au nombre
de 64 ; la somme qui en vient né peut s’exprimer,
selon lui, qu’avec 60 chiffres ou figures.Le P. Sébastien a montré, dans les Mémoires
de I'Académie, 1704, que deux carreaux partagés
chacun par leurs diagonales en deux triangles de
différentes couleurs , sourniffoient 64 arrangemens
dissérens d’échiquier : ce qui doit étonner , lorsqu’on
considère que deux figures ne sauroient se
combiner que de deux manières. Voy. CARREAU.
• On peut faire usage de cette remarque du P. Sébastien
,pour'carreler des appartemens. -Doârine. des’combinaisons. Un nombre de quantités
étant donné avec celui des quantités qui-doit
entrer dans chaque combinaison, trouver le nombre
des combinaisons……..Une seule quantité, comme il est évident, n’admet
point de combinaison ; deux quantités atkb donnent
une combinaison ; trois quantités a, b, c, combinées
deux à deux, donnent trois combinaisons a b ,
a c, b c ; quatre én denneroient six ab, ac ,bc , ad,
b d ;c d ; cinq en denneroient dix ab , ac ,bc , a d ,
bd,cd,ae,be,ce ;de. .En-général, la fuite des nombres des combinaisons
est 1, 3, 6, 10, de- c’est-à-dire là fuite des
nombres triangulaires ; ainsi , q représentant lenombre des quantités à combiner, í^- X í-^-2sera le nombre de leurs combinaisons deux à deux.
Voyez, NOMBRES TRIANGULAIRES. .Si pn a trpis quantités a ,b, c, k cómbinër
tfpis à trois, elles ne fourniront qu’une seule combinaison
a b c ; qu’pn prenne une quatrième quantité
d, les .combinaisons .que ces quatre quantités
peuvent aveir trois à trois, seront les quatre abc,
ab d, b c d, a.çd ; qu’on en prenne une cinquième,
on aura les: dix combinaisons abc, abd,
bc d, ae d, ab e, bde,bee,ace,ade ;
qu’on en mette une sixième, On aura vingt combinaisons
,~~&.c.'-En sorte que la fuite des combinaisons
trois à trois est celle des nombres pyramidaux ;
& que q .exprimant toujours le nombre des quantités
données",  ?— X ^ X ^ , est celuide leurs combinaisons trois à trois. •-Le nombre des combinaisons quatre à quatre des
mêmes quantités sertrouveroit.de la même mani-èrei=ll v q—- X q:—L X 1-=-° ; & en général n
1 . - ■ • " 5 - - -. -• .4exprimant le nombre de lettres qu’on veut faireentrer dans chaque terme de la combinaison, la,.S8 c o m c’.ô'mquantité j—■— X 7 ' A ., Ag—n-i-4 y î: exprimera le nombre demandé4 n ■des combinaisons. ■T ;- Que Ton demande, par exemple, en ctimbien
de manières fix quantités peuvent le prendre quatre
à quatre, pn fera 9 = 6 & n == 4, & Ton soslituera
ces nombres dans la formule précédenre, cequi donnera :—:—-X—~—"X"--: X•^-7—-:.='if-.. •■•:■■'■Corollaire. Si on veut avoir toutes les combinaisons
possibles d’un nombre de lettres quelconque,
prises tant deux à deux que trois à trois, que quatre
à quatre, de. il faudra àjoutèr tputes les formulesprécédentes • -— X - . ■ ■■— ■I- 2 I X 2 Xj ,-• ! IX -—: X q-—~ X Ç — 15 -&c- c’esl-à-dire que, 2 3 .'-'.-'.-■le nombre de toutes ces combinaisons sera exprimé
pargXff— I . },{r-J’f-2 qXq-rl-q— 1-q— 3 • grl’-i ." - 2-3 . ' 1 •'■}'• '4 ": ; ".Si. on compare présentement cette suite avec
celle qui représente Télévatipn d’un binome quelconque
à la puissance q, on Verra qu’en faisant
égal à l’unité chacun des termes de ce bmome,
les deux suites sont les mêmes aux deux premiers
termes.près 1 ,,& ç,qui manquent.à Ja.fuite précédente.
De-là il fuit qu’au'lieu dé cette fuite, pn
peut ;écrire 2.q —"r^-q. Ce qui donne une" má- i
nièrè bien simple, d’avoir tdutés lès combinaisons
possibles d’un nombre q de lettres. Que ce nombre
loir par. exemple 5, pn aura donc pour le nombre
total de les combinaisons 25.— 5'—,1 = 32
f—" 6 = 16. Vcyeí BINOME,Un nombre quelconque de quantités étant donné,
trouver le nombre des combinaisons d d’alternations
qu’elles peuvent recevois, -en les prenant de toutes
les manières possibles, -, - .-:■,-..,Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux-quanti
tés a -, b ; on aura d’abord a b tk ba , -c’esl-àdire
, le nombre 2 ; & comme chacune de ces
quantités peut aussi fe combiner avéc elle-même ,
on. aura encore a a & b b , c’est-à-dire-, que "lé
nombre des combinaisons & alternations est en ce.
cas 2 -f- 2 = 4. S’il y a treis quantités a , b , c >
& que Texposant de leur variation soit deux, on
aura trois termes pour leurs combinaisons , lesquels
seront a b, b c ,_a r: k ces trois ternies, on en ajo'ii- '
fera-encore trois, autres 7> a, c b, c a,-pour les alternations
 ; & énfin trois autres pour les combinaifonsaa
,bb,cc-, des lettres a , b, c ,.nriféchacune
avéc elle-même : ce qui donnera .3 -j- 3 + 3
= 9. En générai, ii sera aisé de voir que' si lè
nombre des quantités est n-x-&. qaè i'expofenf deJa variation soit t, n* sera celui de tontes leur »combinaisons tk de leurs alternations. • : ,..■Si Texposant de la variation est 3, '& qu’on no
suppose d’abord que trois lettres a,b,c, pn aura
pour toutes les combinaisons & alternations aaa,
a ab , ab a , b a a , ab b , a a c , ac à , caa , abc,
b a c , b c a , ac.b , c ab , cb a , ace , c ac , c ca >
bb a ,bab, bbb ,bbc, cbb ; b cb, bec,cbc,
c’eb-, ecc, c’est-à-dire, le nombre 27 ou 3'.De ia même manière , .si le: nombre des lettres
' étoit 4 , Texposant dé la "variation" j , 4} , pu 64,
seroit lè nombre des, combinaisons tk- alternations.
Et’en général si le npmbre des lettres étoit 72, 72'
seroit celui des combinaisons & alternatiens pour
Texppsant 3. Enfin si Texposant ■ est un ; nombre
quelconque, m , rim exprimera toutes les combinaisons,
tk alternations pour cet exposant,
"- Si pn veut dpnc avoir toutes les combinaisons &
alternations d’un nombre n de lettres dans toutes les
variétés possibles, il faudra prendre la somme de la72 77-1 72-2 71-3 77-4 72-ç 77-Sférie n '-J-n .-\-n -j-n -f"' 2 "i"" "f"n
-J-, de. jusqu’à ce que le dernier terme soit n.Or,-comme tous les termes de cette fuite font
en progression, géométrique, & qu’on a le premierTZ . 7.-I , '._■terme 72, le second ,-z , & Tp dernier n , il s’ensuit ;
qu’on aura áûffi la sommé de .cette progression ^72 4-j
-laquelle sera n ■ .— r.72 i ."■•■■'Que n, parexemple, 1 soit égal à 4, lernómbre dé
tputes les combinaisons tk alternatiens peffibles feraÍ-—-= 1211 ^a.240. Que n soit 24, on aura alorspôur routes les combinaisons & alternatiens possiblesÌ41S"24ji'oópi ;fìé^4.i6%\%pS6j779S’il-j-iíT-C°°.24 —-1 ; '.-.',. • " '." ' 23 :. ■ ,..,. …. -,.139172428888725299942512849,340^0° ? & c’est’
cet.,énorme nombre .qui. exprime' les combinaisons
de,toutes, les lettres de Talphabet entr'çlles.  ;
.VoyezTars conjeâafidi de,, Jacques. Bernóul !i>
&i Y analyse des’ jeux de. hasard’de .Monrmort. Ces
deux auteurs, -fur-tout le premier, ont traité avec
beaucoup de soin Ja. matière des. combinaison1 ;.
Cette tliëorie est en effet très-utile dans le calcul
des jeux dé' hasard ; & c’est fur.elle que roule
toute la science des probabilités. Voyez. JEU,
PARIJ, PROBABILITÉ , de. -\-:.''' II est visible que la science des- anagrammes
dépend de celles des combinaisons. Par exemple,
dans Roma qui est cempòse de quatre lettres", il
y a vingt -quatre combinaisons (voy. ALTERNATIQN
)  ; & de ces vingt-quatre combinaisons on en
trouvera plusieurs qui forment des nPms latins,
arma , ranìo ,'triàra , amor, niaro ; on y trouvé
aussi om’ar ; de même dans Rome, pn trou\remare,
orner, tkc, (O) '■ ■ '■'■■--. ' •■C o m c o m
5) 9
* Nous ajouterons ici Técrit suivant de M ; de
Mairan , fur le nombre considérable de manières
différentes dont certains mots françòis peuvent être
écrits.Manières différentes d’écrire le mot K AIN A U T
en frànçois , dans la supposition que /'h rie
s’aspire pas.■ i.° Par h, ou fans h. , ;Y'.7..V. … imani2. 0 e , ee , ei,qi-, ey , ou ay….. .6Dons le produit est 2 X 6, ck donne.. iiman.
$." Ensoite aveç n, oumn……….2Produit… .12 X 2.-, & donne,.-. 24 màn,4. 0 Dans le cas d’un seul.-n, il peut
ètreproçédé des, ou de*,cequifecombine
avec la moitié du dernier produit,
& donne 24 à ajouter audit produit, ■
somme….. .. ;…………. 48 ma/z.J 5. 0 Dansles deuxcas de:n,-ourá,il ' ' ' .-' ;
peut y avoir après, ou n’y avoir pas :
uni.,………………. .v. ;, ;. .2Produit…. 4 ? X 2 > & donne.. ' 96 mari.6." Dans tous les.cas, prëcédens, on . : -peut finir le mot par o , au ou eau., fans :,
consonne, ce qm fait 3 cas qui seçomliinent,
&ç. ci…………. í….. -.'.y.Produit.. .. j) 6X 3 ,:& dpnne"…'. 288 man.7.°-Enfin. on peut terminer ce ■met.
par ces consonnes s, t, l, U ,x , U ,ihj -:■■ . , . .
M,-cela fait 8 npuveaux cas 5 qui par
leur combinaison, avec les précédens
donnent le produit. 288 X 8-, PU. …" 2304 min.
-Le mot Hainaut peut, donc être écrit de 2304
différentes manières fans - qu’un françòis "le prononce
disteremmént. …-., COMBUSTION, terme des ancienne astronomie:
quand une planète est ên conjonction avec Je
soleil, on dit. que la planète est en combustion.
Ce mot vient du latin, comburere , brûler, parce
qu’une planète'qui est en cet état doit paraître
passer fur le disque du soleil ou derrière le corps
de cet astre, & par conséquent se plonger, pouf
ainsi'dire, dans ses rayons, & en-être corhmé
brûlée. :', . ,Suivant Argoli, une planète est en combustion,
quand elle n’est pas éloignée du-soleil de plus de
huit degrés trente minutes, à Torient ou à Toccident.
On ne se -sert plus de ce mot, qui n’a été
employé que par les. astrologues. Marris tk. Charniers.
(O)  - ;■ .■ ;; ?;■ í .'. ' ' ■ : ':■"■■'•'COMÈTES sf.'ï. ('Astron. ) ,corps célestes qui
paroissent quelquefois dans Je cieT avec un mouvement
propre, très-différent dans les différentes
comètes, tk qui póur l’prdinaire sont acccmpagnés
d’une lumière éparse : c’est Je mpuvement des
- comètes "qui lès -distingue des .étoiles neuvelles
Çuè l’on a" vues dsíems à autres, ; car dans celles-ciIon* n’a 'jamais, remarqué de mouvement propre r
d’ailleurs la lumière des comètes est toujours foible
& douce ; c’est une lumière du soleil qu’elles réfléchissent
vers nous, aussi-bien que les planètes y
cela est prouvéTpécialement par la phase obscrvéedans
la comète.de. 1744^. dont Ja -partie éclairée
n’étoit visible qu’à moitié. On distingue principaleriieiitles
comètes par ; fes traînées de. lumière ,
dpnt ellesTpnt souvent entourées & suivies, qu’pn
appelle tantôt, la chevelure ou la barbe , tantôt
la queue de la comète ; ce^.ndant il y a eu des
-comètes sansrqueue, fans barbe j.fans chevelure.
La comète de 1585, observée pendant un -, meis
parsTychp, étoit ronde ; elfe n’avóit ; aucun ves-tige
de queue: feulement Ta circonférence étoit
moins lumineuse que le neyau, comme si elle -n’eût
eù vers "sa circonférence que quelques fibres lumineux.
Tycho, Progymn. p. 752. La comète de
166^ étoit fort claire, suivant Hévélius ; il n’y, .
-avoirpresquepas deohevelure': la-comète de léii,'
au rapport de M. Cassini, étoit aussi ronde-&
auffi claire que Jupiter, Mémoire Acad. 16^.
Enfin la comète que nous avonsU'ue depuis Je 28
septembre 1763 jusqu’au. 25 novembre, n’avok
aucune queue , quoiqu’elle fût affez près de la '
terre ; Ainsi, Ton ne.doit pas-regarder les queues
des comètes comme leur caractère- distinctif. Leur
véritable caractère consiste à avoir un mouvement
particulier-\: & à n’être''visible qu’un certain tems ;
les apparitions - les plus . longues ont ;étéde sixmois. ."r"-' ':.'-■''..■ .."■■ ' - . . " •Les Caidéens., les’ plus anciens astronomes dons
les Observations nous soient parvenues , regardèrent
les comètes comme de véritables planètes ; il-.
y'a mêmé des auteurs qui ont écrit.qu’ils en con-noiffpienf
 Tes retours,( Senè'que Queest. _nat. I. 7 ,) •.
cela est très-douteux..Quoi.qu’il en soit du sen.-.timent
 des Caidéens, il est sûr .que beaucoup'd’anciens
philosophes ont considéré les comètes comme
des astres ck.des "planètes perpétuelles & pêripdi- .
ques. Ainsi, npus ne dirons qu’un mot de ? systèmes
de ceux qui prirent.les comètes pour des
illusions,.ppur des .météores , ou ppur des çprps
d’une existence passagère. On peut voir, à çe sujet
Riccioli, Almag.II, 35',. & beaucoupd’aùfrés auteurs
qui ont expliqué les rêves des anciens philosophes.
'■■-'■-..Panaetius crut quelles étoient de pures apparences
de lumière, semblables aux iris, auxhalo
.& aux parhélies. Héráclides dePont, les regarda
comme des -nuées très-légères’ &. irès-élevées. Plut,
de plac.phil. .3. 2. Aristote les regarda comme un
météore igné, formé au haut.de Tataofphère par
les exhalaisons de la terre & de la mer. Meteor,
lib.-r, cap.y -d%i.o-. Tous les péripatéticiens ST
plusieurs autres philosophes en eurent à-peu-près
k même idée. Les stoïciens, ou les philosophes
latins du téms-de -Senèque , étoient à-peu-près
d’un a'iis semblable', & supposaient que ;les CQ-S
,<Í0 C O M

C O M
mites étoient sonnées par un air condensé. Seneq.
Qiucsi. nat. I. vij, c. 21.II paroît que Ptolemée crut que le cours des
planètes ou de leurs tourbillons étoit la cause
de la formation des comètes ( de Asirorum sud.
lib. ij, textu 53 ). Ce fut le sentiment d’Hévélius.Galilée même crut que les comètes étoient formées
par des exhalaisons assez légères ppur s’élever
au-dessus de la lune. Dial. z. , de Syst. mundi,
Trutinator.Tychp & Longomontanus crurent que les comètes
étoient véritablement des corps célestes
■formés de la substance de la voix lactée, mais
sujets à se décomposer, & d’une existence passagère.
,Kepler mèfife laissa les comètes au nombre des
^phénomènes momentanés, & Hévélius n’en .jugea .
pas mieux, quoiqu’il ait eu le premier fur les
comètes une très-belìe idée, dont nous parlerons
bientôt. •Ènsin le P. Riccioli. Alm. 2. .43. après avoir ■
examiné fort au long la question fi Jes comètes
sont perpétuelles & reviennent après de longues j
périodes, sinit par dire que cela n’est guère probable,
& qu’il lui paroît qu’elles se forment de
nouveau. (Alm. 2. 58. ) Après avoir raconté différentes
opinions sor la cause physique de leur
formation, & n’étant point satisfait de ces dissérens
systèmes, il propose religieusement son avis,
qui étoit de recourir à des actes particuliers &
volontaires de la teute puistànce divine.On voit avec peine lílluslre chancelier d’Amgleterre,
François Bacon, au nombre de ceux
qui ont regardé les comètes comme des météores
 ; íl parle à là vérité des prédictions qu’on
peut faire : Proediâiones fieri poffunt de cometis,
'qui ut nostra sert conjeâura' pranonciari poffunt.
( de augmentis scient, lib. 3 , cap. A, pag. 103.,
editio, IJAO. )  Mais il met cette prédiction dans
le catalogue de" mille prédictions astrologiques,
dont pn étoit encore persuadé de son tems ; il
mourut en 162e.'Mais si l’on voit quelques philosophes avoir eu
des idées si fausses & fi absurdes fur les comètes
on en trouve un grand nombre d’autres, même
parmi les plus célèbres de Tantiquité, qui ont eu
des notions plus justes fur cette matière.
. Suivant Aristote même , Meteor. lib. z, c. f,
quelques philosophes d’Italie , appelles pythagoriciens,
soutinrent que les comètes étoient des
astres errans qui ne paroissoiect qu’après un long
espace de teins, de même que mercure se voyoit
rarement & pendant peu de tems fur Thprizpn ;
il ajpute qu’Hipppcrate de Chip étoit du même
sentiment ayeç rous ses disciples, &. fur-teut
Aesehyle.Pluiarque dit aussi que quelques pythagoriciens
avoient regardé les comètes comme de véritables
Êikes qui ne paroislbieut paí continuellement,mais qui, après avoir achevé leur tour,reveiioicrft
dans des tems réglés ; il ajoute que Diogène le
pensoit ainsi, de plac. phil. lib. 3 , c. 2. Quelques
pythagoriciens croyoient que les comités
partoient du soleil, & y. retpurnoient ensuite,
parce qu’on avoit vu souvent autrefois lës comités
disparoître dans les rayons du soleil. Aristote réfute
à cet égard, les pythagoriciens ; mais Pline a
mal entendu le passage d’Aristote, quand il-lui
fait dire que les comètes ne sont jamais dans la
partie occidentale du ciel, Kepler de ' comeùs,Pig- 3G- ' . '-- ■Démocrite-, qui , au jugement de Ciceren &
de Senèque, sot le subtil de tous les anciens philosophes
, avoit étudié chez les jCaldéens. II soupçonna,
dit Senèque ( Qiioest. nat. lib. vij, cap.z) 
qu’il y avoit beaucoup de planètes dont chacune ■
avoit son mouvement ; mais il n’entreprit pas de
les nommer & d’en assigner, le nombre dans un
tems où le cours des cinq planètes, étpit à peine .
bien cpnnu.A Tégard de la formation & de Torigine des comètes,
je crois, çpmme Riccieli, qu’Aristpte a
mal interprété le sentiment de Démecrite & d’Anaxagpre
 ; ils ne pensèrent jamais, cemme on Ta
dit, que lès comètes fussent formées par la réunion
des planètes que nous connoissons, mais
peut-être que les grandes comètes pouvpiènt se
produire par la réunipn de plusieurs astres incpnnus
 ; ce qúi n’a rien que de très^physiqué &
de très-digne dé ces philpsophes : ce fut aussi lé
sentiment de Zenen, Senèque, lib. vij, c, 25.SenèqUe npus apprend qu’Appellónius le Myndien
pensoit qu’il y avoit beaucoup de comètes,
& que c étoient autant d’astres particuliers aussi-lien
que le soleil & la lune ; mais que leur route s’étendoit
dans le pjus haut du ciel , & ne nous
permettoít de Jes voir que dans la partie inférieure
de leur ceurs." Senèque parle dans le premier
livre de ses Questions naturelles, de ces me-'
tépres, que Pline met au rang des comètes, pogonioe,
lampades, cypariffia: ; mais il n’en dit
qu’un .mot à Toccasion de ceux qui regardoient les
comètes cpmme des métépres : c’est-dans son septième
livre qu’il traite de la nature des comètes.
tk de leur meuvement. On lui dpit ce témoignage,
qu’aucun auteur ancien n’en a parlé d’une
manière aussi sublime que lui. On y voit briller
la pénétration d’un homme de génie, & les grandes
idées d’un esprit véritablement philosophique ; il
réfute les systèmes & les opinions absurdes de son
tems, & il annonce à la postérité une cennoiffance
exacte de ce qui lui étoit alors inconnu.(t On a cru , dit-il, que les comètes n’étoient
'J point des astres , parce qu elles n’ont pas la
3> figure ronde des autres corps célestes. Mais ce
35 n est que la lumière qu’elles répandent qui est
>J alongée ; le corps dfune comète est arrondi : son
sjéciat ou fa lumière, la fait paroìtre alongée ; &
ÎJ quoiqu’elle ait une autre figure , il ne s’enfuit
« pas
 ; c o mc  o m * toi 'Jjpas qu’elle soit d’une espèce différente. La na>»
ture n’a pas tout fait fur un modèie unique ,
 »j& c’est ignorer son étendue & fa puissance que
 »>de vouloir rapporter tout à la forme ordinaire:
ii la diversité de ses ouvrages annonce fa gran« 
deur….. On ne peut point encore connoître
ÏJ le cours des comètes, & savoir fi elles ont des
 » retours réglés, parce que leurs apparitions sont
J3 trop rares ; mais leur marche, non plus que celle
93des planètes , n’est.point vague & désordonnée
I ? comme celle -des météores, qui feroient agités
i> par le vent. On observe des comètes de formes
f ; très-difïerentes ; mais leur nature est semblable
13 & ce sont eh général des’ astres qu’on n’a pas
 »3 coutume de voir, & qui sont accompagnés d’une
i3 lumière inégale ; elles paroissent en tout tems
13 & dans toutes les parties du ciel, mais fur-tout
t » vers le nord ; elles sont comme tous les corps
•icélestes, dés ouvrages éternels de la nature : Ja.
#j foudre & les étoiles volantes,. & tous les feux
ÌJ de Tatmosohère, sont passagers , & ne parois13
sent que dans leur chute : les comètes ont leurs
Í3 routes qu’elles parcourent ; elles s’éloignent,
 ;j mais ne cessent point d’exister. Vous prétendez
 »jque fi c’étoient des planètes, elles fe trouveroient
B> dans le zodiaque ; & qui -donc a fixé dans le
fjzòdiaque les limites des corps célestes ? Qui
 ?> peut assigner des bornes aux ouvrages divins ?
f s Le ciel n’est-il pas libre de tous côtés ? N’est-il
 ?3pas plus convenable à la grandeur.de Tunivers
 »3 d’admettre plusieurs routes différentes, ;que de
Vréduire tout à une feule,région du ciel ? Dans
« cet ouvrage magnifique j de la nature , nous
>3 voypns briller une multitude d’étoiles qui em-J>bellissent
 lá nuit ; elles neus apprennent qHe le
s ; ciel de teutes parts est rempli de corps célestes.
ísPourquei faut-il qu’il n’y en ait que cinq
5>avec des mpuvemens qui soient réguliers ? Ppur,93 qupi tous les astres dpivent-ils être immobiles ?
fsOn me demandera peut-être pourquoi donc il
 »3 n’y en a que cinq dont on ait observé le cours.
13 Je répondrai qu’il y a beauepup de chpses que
 »snous savons-être, fans savoir de quelle manière
 »J elles sont. Nous avons un esprit qui agit &
 »3 nous: éuige: nous ne savons ni ce que c’est,
9s ni comment il agit. Ne nous étonnons pas que
93 Ton ignore encore la loi du mouvement des
« Ìcomètes dont le spectacle est si rare ; qu’on ne
 »3connpiffé ni le cpmmencemënt ni la fin de ces
ssastres, qui reviennent d’une énprme dislance.
 »3ll n’y a pas enepre quinze cens ans que Ja
 »s Grèce a cpmpté les étoiles , & leur a dpnné des
93 noms : ( Stellis numéros d nomina fecit. ) II y a
 »3 encore bien des nations qui n’ont que la simple
 »3vue du ciel ; qui ne savent pas même pourqupi
33 ils voient la lune s’éclipser : il n’y a pas bien
islong-tems que nous le savons dune, manière
 »s certaine ; il viendra un tems où , par J’étude
 »3 de plusieurs siécles, les choses qui sont cachées
 »? actuellement paroîtront au grand jour. Un Ûècle
Mathématiques. Terne I., J.er.c .Parût. »»ne suffit pas pour découvrir tant de choses, »3quand même on’ y donneroit tout son tems ;^33 cependant nous ne partageons que "trep celui'3 qui npus est dpnné : les vices en pnt la plusJ3 grande part On étudie quand pn manque3sde spectacles, ou quand la pluie empêche lesrJjpromenades On conserve les noms des>3comédiens, mais on oublie ceux des philosoîsphes.
Un jour viendra où la postérité s’éton-.
■ unera que des choses si claires nous soient échap>spées.
On démontrera dans quelles régions vont
33 errer Tes comètes, pourquoi elies s’éleignent
33 tant des autres astres, quel est leur nembre
« & leur grandeur ; ceux qui neus suivront trou33verent
des vérités npuvelles : contentons-nous
33 de celles qu’en a décpuvertes : Nec miremurtam
33 tarde erui quoe tam alte jacent…… Que de33choses dont J’existence nous est inconnue, &
93 que fauteur de la nature semble se réserver .33
 Nous ne savons pas ce qu’est celui fans lequel
33 rien ne peut être ; quand on ignore ainsi la
33 partie la plus essentielle de Tunivers, on ne
93 doit pas être surpris que les petites parties nou#
33 échappent. 33Tel est Tabrégé des réflexions philosophiques de..
Senèque ," répandues dans son septième livre , que
j’ai traduites & rapprochées pour en -faire mieux
sentir toute la force, & mpntrer tput le génie de »
anciens philpsophes, même dans cette partie où
Tobfervation ne leur avpit rien appris.Descartes reneuvella.dans f Europe le geût de
la philpsophie, npn-seulement par des étincelles
de génie , comme lavoir fait Bacon en Angleterre
, mais par une géométrie profonde & une
physique toute nouvelle ; il eut des comètes une
idée plus juste que les astronomes même les plus
célèbres & les plus occupés de Tétude des astres,
quoiqu’il ne les eût étudiées lui-même que comme
une branche de Tunivers. .&. de la nature , dont
fa philosophie embraffoit la vaste étendue. 'Descartes supposequ’un astre placé d’abord dans
un tourbillon quelconque, soit plus solide que
les parties du second élément qui forment ce
tourbillon: cet astre s’éloigne alors du centre, Supasse
dans les limites d’un autre tourbillon ; il '
acquiert assez d’agitation pour passer au-delà, &
entrer dans unitroisième tourbillon, & cpntinuer
ainsi de l’un à l’autre. Ces astres, qui passent d’un
tpurbilfon dans un aiítre,.sont ceux, dit-il, qu’on
nomme comètes. Nous verrons ci-après les découvertes
de Neuton mettre fin. à toutes les disputes
qu’il y avoit eu jusqu alprs fur les comètes.Nombre des comètes. \Riccioli, dans son énumération
des comètes , n’en 'compte que cent cinquante-quatre
, citées par les historiens jusqu’à
Tannée 1651 , où il composoit son Almageste , tk
la dernière etoit celle de 1618. Mais dans le grand
ouvrage de Lubienietz, où les moindres passages
des auteurs sont scrupuleusement rapportés routes
les fois qu’ils ont le moindre rapport aux comè—'L 7>:$&iÊom c o mtes, on voìt quatre cens quinze apparitions jusqu’à
la comète de Tannée 1665 , qui parut depuis le 6
jusqu’au 20 avril, entre pégase & les cornes du
bélier. Depuis ce 'rems-là, on en a observé 46 en
comptant celles qui ont paru dans Tannée 1781 :
on trouvera un catalogue de toutes ces anciennes
apparitions dans le recueil des Tables astronomiques
, publié par l’Académie de Berlin, en 3 vol.
•ró-8. 0, en 1776, & dans le grand Traité des comètes,
-par M. Pinsré, oui est actuellement sous pressé.
{1783.) On en trouve auffi beaucoup de citées dans
-un ouvrage anglois, intitulé : A gênerai chronology,
tkc.Mais de toutes ces apparitions de comètes, nous
n’en trouvons aucune dont la route soit décrite
d’une façon circonstancièe avant Tannée 837, &
le nombre de celles dont on a pu voir assez de
circpnsiances pour calculer leurs -orbites, fe réduit
jusqu’ici à 68, en ne- comptant que pour une
ïeule comète celles de 1456, 1531, 1607 &
1682, tk de 1759, qui sont bien reconnues pour
n’être qu’une seule & même planète. J’ai réuni
de même celles de 1532 & 1661, & celles de
,1264 & 1556, qu’on croit être les mêmes. -Au reste, nous devons être persuadés qu’il à
paru de tout tems beaucoup de comètes’, dont
•íios historiens ne parlent point, & qu’il y en z
eu beaucoup plus encore qui n’ont point été apperçues.
Les anciens même le savoient ; car Posidonius
avoit écrit, suivant Senèque ( Quoest. nat.
lib. vij, c. zo )  qu’à la faveur de Tobscurité produite
par une éclipse de soleil, on avoit vu une
cumète très-proche du soleil : c’étoit vers Tan 60
avant J. C. Cc qui donne lieu de croire que dans
de pareilles circonstances, on en vêrroit souvent.
.Depuis Tannée 1757, qu’on.a attendu & cherché
la comète de 1682, &. que Tattention des observateurs
s’est tournée de ce côté-là, on a observé
'vingt autres comètes dans l’espace de 24 ans.
M. Meffier , de l’Académie des """Sciences, en a
fur-tout découvert beaucoup : il y en- a 8. qu’il a
apperçues. avant qu# personne en eût connoifsance.
M. Mechain, auffi de l’Académie des Sciences
, en a découvert deux en 1781 ; & quand on
prendra la peine de les chercher dans le ciel,
on en trouvera fans doute un grand nombre.Alstedius observe que, dans les années qui précédèrent
& suivirent Tan isoi, date de la 223e
comète , on en vif presque toutes ies années.
Lubieniecii theat. cometiciim. 11 est même arrivé plus
d’une fois que Ton a vu en mème tems plusieurs
comètes. Riccioli en rapporte des exemples des
-années 729, 761 , 1165 , 1214, 1337, 1529,
161S. Au mois de mai 174S, on croit avoir vu
trois comètes différentes dans une même nuit.
M. Struick, Phil. Tranf. t. 46. Le n février
{£760, on en voyoit deux. Mém Acad. 1760,
pag. z es. Jl y a apparence qu’il existe plus de
300 comètes auteur du soleil, & M. Lambertconjecture qu’il peut y en avpir des millions ;
Système dumonde , Epuillpn, 1772.Les comètes dent Tapparitipn a été la plus longue,
sont celles qui pnt paru pendant six mois • ;
la première du tems de Néron, Tan 64 de J. G.
( Senèque, /. vij , c.2i )  ; la sccpnde -vers Tan
603, au tems de Mahemet ; la troisième en 1240,
Iprs, de Tirruption du grand Tamerlan. De nos
jours, la comète de 1720 a été observée pendant
six mois, depuis le 31 juillet 1729 jusqu’au 21
janvier 1730-, celle de 1769 pendant près de 4
mois. Riccioli, dans son Almageflc , t. 2, p, 24',
nous donne une table de la durée de beaucoup
dautres comètes , suivant différons historiens : on
y voit quatre comètes de quatre mois,'savoir
-celles des années 676, 1264, 1363, 1433.Mouvement des comètes. Toutes les comètes paroiffent
tourner comme les autres astres par Teffet
du mouvement diurne ; mais elles - pnt aussi un
mpuvement propre, de même que les planètes’ ;
par lequel elles répondent successivement à différentes
étoiles fixes ; ce mouvement propre se fait
tantôt vers forient , comme celui des áutrës
planètes, tantôt vers Teccident ; quelquefois le
long de Técliptique pu du zpdiaque ; quelquefois
dans un sens tour différent, & presque perpêndi^
culaire à Técliptique. - ■'''.--La comète de 1472 fit en un jpur 120 degrés, a3'ant
rétrogradé depuis Textrémité du signe de la vierge .
jusqu’au commencement du signe des gémeaux, suivant
Tobfervation de Regiomontanus ( Riccioli ;
Alm. 2. 8. )  La comète de 1760 entre le 7 & le 8
janvier, changea de 41 degrés en longitude ; cellé
de 177© fut à-peti-près dans le même cas : on
pourroit citer d’autres exemples d’une très-grandè .
vitesse observée dans le mouvement apparent des
comètes, tk elles pourraient aller bien plus vîte,
"en apparence, fi elles paffoient plus près de la terre.Quelquefois les comète s paroissent si peu de
tems, que dans la durée de leur apparition, leur
situation ne change que très-peu, mais il y a deá
comètes dont le mouvement est fort étendu. Celle
de 1664 parcourut 160 degrés par mouvement ré- .
trograde en apparence ; & du 20 décembre jusqu’au
6 janvier 1665 , en 17 jours-, elle parcourut
143":celle de 1769 parcourut 8 signes, ou 240
degrés, tant avant qu après fa conjonction. Celle
de 1556, un demi-cercle ou environ 180 degrés:
celle de 147.2 fit environ 170 degrés : celle de.
iói8 ne parceurut que 107 degrés ; mais ce fut
dans Tespace de 28 jours. Riccioli, Alm. 2. 28.Kepler fut le premier qui entreprit de calculer
l’orbite d’une comète , pu la trajectoire & la trace
réelle de son véritable mpuvement ; il crut reconncítre
que ce mouvement approchoit de la régularité
d’une ligne droite: il âìt même ppsitívement
à la page 55 de son livre de Cometis, que le
cercle ne suffit pas ppur représenter le mpuvement
de la comète de .1618., & que son mouvement
a été exactement rectiligne : ainsi , jusqu’auCo m co m.
3*3
tííns de Kepler -, on ne favoit presque rien du mouvement
 des comètes. Hévélius me paroît être
celui qui", dans cette fhéene, fit d’abprd le plus
grand pas, puisqu’il devina le premier, non-feulement
que la route des comètes étoit courbée vers
le soleil, mais encore que cette courbé étoit parabelique.
Je crois à cette occasion devpirici relever
urie injustice, que plusieurs auteurs modernes
pnt faite à ce grand homme. Unè brochure allemande
d’un nommé Doerfeld, imprimée en 1681,
passe poiir être le premier livre où Ton ait démontré
que la parabole ppuvpit représenter le
mpuvement des comètes. Doerfeld applique" en effet
cette méthpde à la comète de 1681 ; mais il en conclut
une distance- périhélie dix fois plus grande qu’on
ne Ta trouvée depuis : c’est cependant à lui qu’on
a donné Thonneur de certe théorie , & c’est lui
qu’on .'fait à cet égard le précurseur de Neuton.
On en juge bien autrement, lorsqu’on ouvre la
cométographie d’Hévélius, imprimée dès Tan 166%,
c’est-à-dire, 13 ans avant la date de Doerfeld.
Hévélius observe d’abord que tous les projectiles
décrivent des. paraboles, & qu’il n’y a de différence
qu’à raison de la résistance de Tair ; il décompose
ensuite cette parabole pour faire voir qu’elle est
le résultat d’une double impression : la ressemJilance
entre les prpjecìiles que nous voyons.fur
la terre & Jes comètes , lui .paroît évidente ; il
voit de part & d’autre une gravité , une tendance
.vers un centre commun , qui est le centre du
soleil peur les planètes, & celui de la terre pour
les cerps terrestres ; de part & d’autre un mpuvement
d’explpfipn, de projeófion en ligne droite
qui se-combine avec Ia~ gravité pour former une
parabole,.en sorte que la comète abandonnerait la
parabole pour suivre, une tangente , si la gravité
çessoit d’agir sur elle , comme elle tomberoit
vers le soleil, si la force de projection ne l’en
éloignoit pas. Ces idées d’Hévélius étoient bien
singulières pPur ce tems-là ; s’il y eût appliqué la
loi de Kepler, c’est-à-dire, la règle des aires proportionnelles
aux tems, il ne lui auroit rien,
manqué ppur être en état de calculer les mouvemens
d’une comète.C’est"" à Neuton qu’il étoit réservé de joindre
cette découverte à tant d’autres : dans Je tems qu’il
étoit pccupé de la théprie des forces centrales,
& de la IPÌ de Tattractipn ; on vit paraître la
comète de 1680, qui réveilla fattention des philosophes,
produisit les -réflexions ingénieuses de
Bayle & les sublimes recherches de Neuton fur
cette.matière. La première idée qui dut lui venir
envoyant cetté comète s’approcher du soleil le
matin & s’en éloigner ensuite le soir, fut qu’elle
tournoit autour du soleil ', en vertu de Tattraction
de cet "astre & dune force quelconque de projection
, tóut ainsi que les autres planètes. Sur ce
simple-soupçon-, il étoit* bien naturel d’en faire
l’épreuve, & de tenter le caicul en emplpyant les
loix ordinaires dés mouvemens des planètes : il lçfit ; le succès fut complet, & toutes Tes observations
que Flamsteed avpit faites fur cette comète,
depuis le 12 décembre 1680 jusqu’au 5 février
1081 , se trouvèrent très-bien représentées par Thypothèse
de INeuton , quoique le mouvement de
la comète eût été plus de 130 degrés : il fut donc,
alors démontré que les comètes étoient de véritables
planètes qui tournpient auteur du soleil. Enfin
le retour de la comète de 1682, ebservée en 1759,
adonné le dernier degré de certitude & d’évidence
à la théorie des comètes. 11 étoit aisé de
juger, par la rareté de leurs apparitions, que leurs
orbites étoient très-vastes, très-alongées & trèsexcentriques,
& qu’il n’y avoit qu’une petite partie
de leurs orbites qui fût visible pour nous’ ; dèslors
il étoit naturel de calculer leurs mouvemens
dans une portion de parabole, parce qu’ií y a peu
de différence entre une ellipse fort excentrique &
une parabole , & parce que le calcul de sa pav
rabple est beaucoup plus facile que celui d’unej
ellipse. C’est la méthode que nous suivons encora
pour déterminer, les orbites des comètes , tk dont.
npus alsons expliquer lés-règles & les méthodes*
Halley fut le premier qui calcula ainsi des or-*
bíres de comètes , qu’il publia en 1705.Bradley resta feul après la mort de Halley, dé- »
positaire de la méthode de calculer les comètes  »:
il calcula celles de 1723 -, 1737 & 1742 ; & dans
le.mois de septembre 1742, il envoya en France
les élémens de celle-ci, avec une idée de fa meV
thode , comme on le voit dans la Théorie des co-.
mètes de M. le Monnier. M. Maraldi, à Toccasion.
d’une petite comète qui avoit paru au commencement
de Tannée 1743, donna.le premier calcul
de comète qui ait été fait en France. (M. de lá
Caille, Ephém. 1765, pag. xliij. ) 
' Supposons une comète qui tourne dans une'parabele,
dpnt le foyer pu le centre d’aftraction
lòit au centre S du soleil (planch:Astron. fig. 164) 
& que cette parabole P D ait une distance périhélie
■ S P , égale à la ' distance moyenne da
soleil à la terre, - PU au rayon du cercle que la
ferre est supposée décrire quand 011 néglige Tex<- ■
centricité de son .orbite. La vitesse de la comète
en P est à celle de-Ja terre dans son cercle , à
pareille distance, comme la racine de deux est à
l’unité, ou environ comme sept est à cinq. ; tel est
le rapport des aires ou de> surfaces décrites qui ont
lieu perpétuellement dans la parabole & dans Je
cercle.De-là on conclut que la comète arrivèroit au
point O, qui est à 900 du périhélie P dans Tespace
de 109 jours i.4h 46' 20".Connoiffant le tems qui répond à 90,d d’ano-'
malie vraie, ou à Tangle droit P/S O , on trouve
le tems qui répond à une autre anomalie quelconque,
ou à un autre angle P S D ; car nommant
t la tangente de la moitié de Tanomalie vraie,
il suffit de multiplier le quart de t3 -f- 3 t par les
.ioo jours qui répondent à 900 , pour avoir leZzij3<?4 C O M C O M
tems qui répond à l’angle proposé. Par ee moyen
qui est son simple, on a construit une table parabolique
, où pour chaque jour on trouve Tanomalie
vraie correspondante : cette table se trouve
fort au long dans mon Astronomie, dans le recueil
des tables de Berlin, & dans le traité de M. Pingre.
Cette table générale du mouvement parabolique
de la comèrc’de 109 jours, sert pour routes les
autres parabeles, peurvu que Tpn augmente les
tems en raison de la racine carrée du cube de
la distance périhélie ; en effet , pour un même
degré d’anomalie vraie, les carrés des tems de
différentes paraboles, qui ont toujours le même
rapport avec le cercle du rayon égal , doivent
augmenter comme les cubes des dislances périhélies
, suivant la loi de Kepler, pu les tems, comme
Jes racines carrées des cubes des dislances périhélies
: donc une seule table peut servir pouf toutes
léí paraboles.Par ce moyen, Ton divise en jours de grandes
figures, eiì Ton marque la situation d’une comète
sor son orbite de jour en jour, comme on le
voir fur les paraboles de la figure 165 pour 10
jours ,20, 30, de. de distance au périhélie ; fur
3a plus petite parabole, on voit les jours 1, 2,
3 , 4, de: j’ai donné les dimensions de ces parabples
calculées en détail dans les Mémoires de
l’Académie pour 1773.Avec la table parabelique, en trouve, le passage
d’une comète k son périhélie , lorsqu’on
connoît le jour où elle étoit en un point D de
-sa parabole , fig. " 1G4 , & Tangle PSD d’anomalie
vraie ; ainsi, dès qu’on connoît Tanomalie
d’une comète pour un jour donné, il est aise d’en
conclure quel jpur elle a passé par son périhélie,
& neus en indiquerons bientôt 1 usage dans la détermination
de ces orbites.Par une autre propriété de la parabole , le
rayon vecteur S D de la comète , ou fa distance
au soleil, est égale à la distance périhélie SP , ■
divisée par le carré du cosinus de la moitié de
■Tanomalie vraie c’est-à-dire de Tangle PSD. Ainsi,
quand pour un tems donné Ton a trouvé Tanomalie
vraie d’une comète dans son orbite, on a
le rayon vecteur S D , en divisant la dislance périhélie
S P par le carré du cosinus de la moitié
de cette anomalie ; & si. Ton a un rayon vecteur
S D avec Tanomalie correspondante PSD,
on peut également trouver la distance périhélie5 P de cette même comète.Enfin il y a une dernière propriété de la parabole,
qui'est d’un grand usage dans la déterniinatipn
des orbites des comètes. Quand on connoît
deux rayons vecteurs d’une parabole , comme S O6 S D avec Tangle compris, pn peur trouver la
distance périhélie, & les deux anpmalies qui répondent
aux deux rayons vecteurs,' en faisant cette
■proportion : la somme des racines des rayons vecîeurs
est à leur différence , comme la cotangeanie'de
la demi-somme des demi-anomalies.vraies est à la tangente de leur rtemi-clirrérence.
Quand on a la somme & la différence , il est
aisé d’avoir chacune dés anpmalies vraies, & de
trouver, par le tems qui leur répond , le mpment
du passage par le périhélie, en même tems que
le lieu du périhélie de la comète.Au moyen des théorèmes précédens, qui sont
démontrés fort au long dans mon Astronomie , on
peut trouver une parabole qui satisfasse à trois
longitudes -d’une comète observée de la terre, &
c’est en quoi consiste le problême important de la
détermination des orbites des comètes. Supposons
que la terre soit en A ( fig- 166 ) a une distance
A S du soleil, & qu’elle voie le lieu de la comète
réduit à Técliptique sur un rayon A G, en sorte
que Tangle SA G soit l’angle d’élongation, ou la
dissérencè entre la longitude du,soleil & celle de
la comète. On ne connoît dans le triangle ASG
qu’un côté & un angle ; on est obligé de faire une
supposition ou une hypothèse sor la valeur du
côté S G, distance accourcie de Ja comète au
soleil ; d’après cette supposition, arbitraire si Ton
veut., mais qui sera vérifiée pu réformée par la■ fuite du calcul, en cherche Tangle au soleil, eu
la cemmutatipn ASG, en résolvant le triangle
ASG, tk l’en a la lpngitude héliecentrique de
la comète ; pn en conclut fa latitude héliocentrique
, fa distance vraie au soleil, ou le rayon’
vecteur. On fait la même chose pour une.seconde
observation faite , quand la terre étoit en J ? &
la comète en H, & l’on a deux longitudes héliocentriques
comptées sor Torbite de la comète, &
par conséquent Tangle des deux rayons vecteurs,
qui est nécessairement la somme ou la différence
de deux anpmalies vraies ; en en cenclut chacune
des deux anomalies parla règle précédente,
& par conséquent le lieu du périhélie P, la distance
périhélie S P, tk le tems qui répond à ces
deux anomalies dans Thypothèse qu’on a faite sur
la distance S G de la comète au soleil. Si Tintervalle
de tems trouvé par le moyen de ces deux ano■malies n’est pas d’accord avec Tintervalle donné des
deux observations, c’est une preuve qu’une des deux
dislances au soleil, qui ont été supposées, doit
être changée : on en conservera une, & Ton fera
varier l’autre par diverses suppositions, jusqu’à ce
qu’à la fin du calcul on trouve un intervalle'' de
tëms égal à celui des deux pbservatiens ; alors on
aura une parabole qui satisfait à toutes deux dans
la première hypothèse faite sur la distance S G
de la comète au soleil.Mais ii ne suffit pas d’avoir une parabole qui
satisfasse à Tintervalle de deux observations, car
il jy en a une infinité ;. & à chaque hypothèse
qu’on aura faite fur la première distance S G de
Ja comète au soleil, on trouvera par les diverses
suppositions de la seconde dislance SH, PU de
Ja distance du soleil,dans la seconde pbservation,
une parabole qui satisfera aux deux mêmes observations,
La difficulté qui reste , est de se deter-C o m com.. 3^5miner par une troisième observatìpn, c’est-à-dire,
de faire un choix entre toutes ces paraboles qui
représentent les deux premières observations ,
mais dont une feule doit s’accorder avec la
troisième.On calculera donc dans chaque hypothèse, ou
danschaque^ parabole , la troisième' observation.
Pour cet effet, on supposera que P soit le pple
de Técliptique (fig. z6y ) QRN Tprbite de la
comète, dpnt pn connoît le mpuvement R Q entre
les deux pbservatiens & les latitudes héliocentriques
R M, Ç O, on déterminera le lieu du noeud
N, tk Tangle d’inclinaison R N M. Connoiffant
le tems du passage au périhélie & le tems de la
troisième observation , on trouvera par la table
parabolique le mouvement d’anomalie ; pn en ccnclura
la lpngitude hélipcentrique de la comète fur
Terbite dans la troisième observation’, fa latitude,
fa distance au soleil ; enfin fa longitude géocenîrique,
ainsi que pour les planètes. Si cette lpngitude
calculée éteit d’accprd avec la lpngitude
observée, la parabole qu’on a employée seroit la
véritable orbite ; Ton n’auroit pas besoin d’examiner
les autres hypothèses : mais cela n’arrive
jamais. On est- donc obligé de calculer ainsi la
troisième observation dans différentes Jiypothèses,
jusqu’à ce qu’on en ait trouvé une qui satisfasse
à la troisième observation. / ' .Celle des-différentes hypothèses, qui s’accorde
le mieux avec la longitude de la troisième observation,
est la meilleure, & une simple proportion
suffit quelquefois pour trouver une -autrè hypothèse
qui satisfasse exactement à tputes les trois
pbservatiens. Cette méthpde indirecte & de fausse
position, me paroît plus simple & plus commode
que les méthodes plus directes & plus élégantes,
données par les plus savans gépmètres, depuis
Neuton jusqu’à nos jours. J’ai donné les détails,
les préceptes,'& les exemples de ma méthode
dans le XIX livre de mon Astronomie ; je ne
pouvois donner ici que Tesprit de" cette méthode.C’est par des essais à-peu-près semblables, mais
bien plus longs fans doute, que Halley détermina
par les anciennes observations vingt-quatre paraboles
ou orbites coinétaires, y" compris celle de
165) 8. Bradley, Maraldi, la Caiile, Struyck,M.
 Pingre, M. Mecîiain, & moi, en avons calculé
plusieurs autres, en forte que 1e nombre sfeft
accru jusqu’à 68, y compris célle de 1783 ; mais
je ne compte que pour une seule toutes les apparitions
de celles dont les’périodes sont connues. On
trouvera cí -après la table des élémens de toutes ces
comètes , qui est le principal résultat de toutes les
les ebservatípns faites jusqu’à présent fur les
comètes , page 368.. Les élémens d’une comète font les six articles
qui déterminent la situatipn & la"grandeur de Tprbite
qu’elle décrit, & qui établissent fa théorie,
c’est-à-dire, le lieu du noeud vu du soleil, Tinclinaison, le lieu du périhélie, Ja distance pé-« 
rihélie, & le tems mo}'en du pastàge par le périhélie
, qui tient lieu d’époque ; enfin la direction
de son mouvement qui peut être direct ou rétrograde.Le calcul fait dans une paraboîe, satisfait ordinairement
à toutes les observations à 2 ou 3 minutes
près ; mais la comète de 1770 a exercé singulièrement
les calculateurs : M. Prosperin reconnut
d’abord qu’il falloit employer trois portions de
parabples différentes ppur représenter son apparitipn
tpute entière. Voyez Brevis commentatio de
motu cometoe anni zyyo : cette dissertation a été
insérée- dans les Mémoires de l’Académie d’Upsal.
M. Lambert pensoit qu’elle avoit été- dérangée par
Tattraction deTa terre (Mém. de Berlin, 1770 ).
M. du Séjour, dans son Effai fur les comètes , crut
que ces différences tenoient à la parallaxe ;-enfin
M. Lexell,- après des calculs immenses, a trouvé
qu’on ne pouvoit représenter ces observations que
par une révolution de cinq ans & demi, ou 5 ,
585, & la distance moyenne 3 ,14786. C’est une
chose très-extraordinaire, & qui vient peut-être
des grands dérangemens que cette comète a éprouvés
par des attractions étrangères. Quoi qu’il en
soit ; j’ai mis. dans la table les élémens qu’il a
donnés. ( Mém. de l’Acad. Ï776 , pag. 639 , d
I777 5 Pag- 3S2- Mém. de Péterstourg, 1777,
pag. 370. ■ ,Le calcul fait fur ces élémens ne s’écarte presque
jamais de 2 minutes de Tobfervation ; & en supposant
seulement une période de 7 ans , on trouve
pour quelques observations des erreurs qui ne
font pas vraisemblables. _ .Comme cette comète dans son aphélie est presque
dans la région de Jupiter, il peut se faire qu’elle
ait été dérangée par cette planète, & qu’elle ait
eu une orbite très-différente de celle de 1770
( ib. p. .648 )  ; fans cela elle auroit été vue plusieurs
fois. ■ . •On-avoit d’abord mis au nombre des comètes
Tastre découvert par M. Herschel, le 1-3 marr
1781 ; mais on vit bientôt qu’il avpit beauepup
de ressemblance avec les cinq planètes. Voyei
HEUSCHEL. ' '"' 'Retour des comètes. Lorsque Halley eut calculé
24 orbites paraboliques pour les comètes, dont
il put rassembler les observations , il vit que celles
de 1607 & de 1682 se ressemblaient beaucoup ;
la distance périhélie , la vitesse, Tinclinaison, le
noeud , étoient presque les raêtnes ; il remonta encore
76 ans plus haut , & il trouva une comète
observée en 1531, qui pouvoit s’accorder avec
la->même orbite ; il soupconna dès-lors que ce
pouvoit "être une même comète, ci Cependant,
ss dit-il, je me contentai de "proppser mon idée
35 comme probable, lorsqu’en 1705 je publiai pour
ì-j la. première fois cet abrégé ; la différence des
35 périodes & des inclinaisons me paroiffoit un peu
jîtrop grande, pour oser prononcer sur Ti des tirét66 c o m c o m: ;& les observations d’Apian •& de Kepler, que
jJÌ'a\ois employées dan ; fe calcul des deux prelí'mières,
étoient trop imparfaites, ou plutôt trop
ss grossières pour des recherches si délicates ;
js j’avertis cependant dès-lòrs les astronomes de
sala rechercher avec soin vers Tannée 1758, où
9}elle me scmbloit devoir encore revenu ; mais
93 lorsqu’après les recherches que je 'fis des an« ciennes
comètes j’en eus- trouvé encore trois
93 autres qui avoient paru auparavant dans le même
93 ordre , & à des intervalles "' de tems égaux ;
93 savoir, en 1305 , aux environs de Pâques, en
J31380 ( on ne fait pas dans quel mois ) & en
531456, au meis de juin : je repris un peu plus
f 3d’assurance dans-mon premier sentiment. 33 En
effet , il finit cet article en disant’: <c Tel est
93 Taccord des étëmens de ces treis comètes, accord
j: qui seroit bien étonnant, si c’étpient trois co93
mètes différentes, ou que ce ne fût pas le retour
93 d’une comète dans Tin orbe elliptique qui pastè
93 assez près de la terre tk du soleil ; si donc elle
93 revient encore, suivant notre prédiction vers
33 Tan 1758, la postérité se souviendra xjue c’est à
-93 un anglois que Ton en doit la découverte. 33
Voyezla Théorie des Comètes de Halley , que j’ai
publiée avec lès tables en 1759 ; j’y ai donné Thistoire
de Tapparition de cette comète en 1758 &
1759, par laquelle cette prédiction de Halley fut
parfaitement constatée.'II y a encore deux comètes dont la période
paroît connue, & dont on espère le retour ; i.° celle
de 1531 & 1661 qu’on attend pour 1789 òu 1790.
Cette comète de 1532 tk 166Î fe retrouve'dans
les historiens & fur-tout en 14Q2, 1145 , 891 ,"
245, & même 11 ans avant J. C., de manière
que ce qu on en rapporte s’accorde avec les élémens
calculés par M. Pmgré..La pièce de M. Méchain
qui a remporté le prix de l’Académie en 1782,
tk qui est dans le Tome X des Mémoires présentés
par des Javans étrangers, contient des calculs trèsdéraillés
sor lcs-a.pparitions de 1532 & de 1661, &
il en résulte quelque doute sur [identité de ces
deux comètes. 11 faut donc attendre Tévénement ;
mais si cette comète arrivoit. à son périhélie dans
le mois de juillet, on la vérroit difficilement &
elle pourroit bien nous échapper.- 2.° La comète de
1264 & celle de 1556, doit repareître probablement
en 1848 ; mais les pbservatipns de 1264
enr bien peu de précision pour établir l’identité.
Au sujet de cette comète , on peut voir les Mém.
de l’Acad. z y 60 , pag. z32. Enfin la grande comète
de 1680, suivant Halley, devroit repareître en
2254. 11 croit que c’est celle qui parut du tems
de Céíar ; dans ce cas-là ce seroit aussi celle dont
parle Homère ( Iliad. IV. y5: )  & elle auroit paru
619 ans avant J. C. Si cette comète de 1680 achève
scpt révolutions en 4028 ans, elle a dû passer près
de la terre 2349 ans avant J. C, & peut servir
à ceux qui veulent expliquer physiquement le
déluge, comme "Wlustpn , ( New thçory os theearth > page 186.)  Mais il y a des doutes surcetW
période, parce que la comite de 1680 n’auroit
pu être au mois.de mars nc6 dans le cancer, &
aller contre Tordre des fignei ; elle auroit*dù être
directe & dans le taureau. Quoi qu’il en soit, de
cette dernière, il est évident par le retour de la
comète de 16S2, que les comètes sont périodiques,,
& que leurs orbites sont elliptiques , de, même
que celles des planètes. La distance aphélie de la.
comète de 1759 est de 1200 millions de lieues,
& c’est celle qui s’éloigne le moins du soleil ;
on peut juger par-là de l’énorme dislance de toutes
les autres, & de la longueur de leurs révolutions.Lorsqu’on a observé deux apparitions d’une même
comète , la différence des deux passages au périhélie
donne la durée de fa révolution. Ainsi, la.
comète de 1682 passa par son périhélie le 14 septembre,
& celle de 1759, qui suivOit la même _
orbite, passa par son périhélie le 12 mars ; la
différence est de 76 ans & demi, c’est la durée
de fa révolution ;, mais cette dernière révolution
avoit étéunpeualongée par des attractions étrangères.Connoissant la durée de la révolution, 28070
jours, òu trouve la distance moyenne au soleil
par. la loi de Kepler , que les carrés des tems sont
comme les tubes des dislances ; cette dislance est
18,075759 ; on connoît donc le grand axe de
Tellipsc que la comète a réellement parcourue, de.
même que la dislance périhélie, &.par conséquent
Texcentricité : on en conclut facilement son anomalie
moyenne & ensuite son anomalie vraie Sc
son rayon vecteur , par les méthodes que nous
avpns expliquées au mot ANOMALIE ;.ainsi-, Ton
calcule 1e lieu d’une comète de la même manière,
que celui d’une planète.Une feule apparition d’une 
par M. Euler soient d’une minute, la révolution
comète observée
pendanr quelques mois, pourroit suffire à la rigueur
pour déterminer cette ellirTî toute entière,""
& par conséquent pour connoître la dislance
mpyenne & la révplutipn, & prédire le retour
de la comète ; mais la partie'que neus pouvons
appercevoir de la terre, est si petite en comparaison
de la partie de Torbite qui échappe à notre
vue , que les erreurs inévitables de nos observations
produiroient des erreurs énormes dans de
semblables prédictions. II est inutile de les entre- prendre,
 ni de chercher le retour, d’une comète,
si ce n’est quand 011 Ta déjà vue deux fois. Cependant
M. Euler a donné des formules pour le
même pbjet dans un ouvrage intitulé : Recherches
d calculs fur la vraie orbite elliptique de la-comète
de z y 69 d son tems périodique , exécutés fous la
direâion de M. Léonard EULER , par les joins de
M. LEXEZ'Z , adjoint de l’Académie impériale des
Sciences de Pétersbourg ; à Péterflourg, de firnprimerie
de.TAcad. impér. des Sciences, 159 pages
772-4.° avec figures. II détermine dans cet ouvrage
la révolution-par trois observations ; mais supposant
que les erreurs des trois observations employéesC o m c o m 567peut ailes de 449 ans à 519 ans dans les cas extrêmes
.-.cela suffit ppur faire vpir qu’pn ne peut
espérer de dpnner quelque chpse de probable sur
le retour-de la comète de 1769. Mais il y aura des
comètes où les erreurs des observations ne produiront
pas de si grandes différences fur la période ;
.ainsi , il ne faut point regarder "comme indifférentes
les recherches qu’on peut faire fur la révolution
des comètes, par une seule apparition. Indépendamment
deTélégance géométrique & anal) 'tique
de ces formules de M. Euler, elles pourront devenir
utiles aux astronomes lorsqu’ils auront des
comètes observées affez long tems tk affez exactement
pour espérer d’en pouvoir prédire le retour
par une seule apparition, & il y en aura probablement
quelques -unes dans ce cas-là.Les calculs que M. Lexell a faits sor trois observations
"sont si cónsidérablesTqu’on ne fe plaindra
pas qu’il én soit demeuré-là ; mais il’eût été à
souhaiter qu’il pût déterminer la même période
par d’autres observations prises trois à trois, tk
calculer les erreurs, de Thypothèse elliptique &
de Thypothèse parabolique dans chaque observation,
pour voir un peu plus exacìement quelle
est enfin la précision avec laquelle nous pouvons
croire que la période de cette "comète de 1769.est
connue. M. de la Grange dans les Ephémérides
de Berlin pour 1783, & dans_ les Mémoires de
Berlin ppur 1778, a dpnné une méthpde analytique
ppur trouver auffi la période d’une comète
par une feule apparition ; enfin il y en a une
de M. Je Marquis de Condòrcet dans lá-pièce-qui
a remporté Je prix de Berlin , & qui a été imprimée
à Utrecht en 17S0 avec celles de M. Tempelhoff
& de M. Hehnert. 'La comète de .1779, calculée par M. Profperin,
lui paroît avpir une période de "1150 ans ; il a
auffi cherché à découvrir la période de la comète
de 1773. Ephem de Berlin zyyy , page zíy.Mais" ces calculs exigeroient une bien grande
précision dans les observations," & ces périodes
doivent être bien altérées par les attractions, comme
on en peut juger par ce que npus avpns dit de la comète
de 1770, Stceque nous dirons de celle de 1759.Perturbations des comètes. L’attraction universelle
des cprps célestes, prouvée par" tous les phénomènes
célestes , doit, se manifester dans le dérangement
des comètes. Halley s’apperçut que la comète
de 1682 avoit eu une de les périodes plus
courte que l’autre, & il en attribuoit la cause à
Taction de Jupiter ; mais il n’avoit fait à cet égard
aucune espèce de cakul.La même comète ayant reparu, en 1759, fa-période
s’est trouvée pJus longue que la précédente
d’environ" 600 jours ; & il est prouvé actuellement
que les attractions feules de Jupiter & de Saturne,
pouvoient produire une aussi grande différence.
Dans le tems .que nous étions pcçupés á" chercher
la comète , je proposai en Ï757 à M. Clairàut,
de lui calculer ^ une table des .dislances de cettecomète à Jupiter & à Saturne, depuis 1531 jusqu’à
1759, avec les angles de cemmutatipn & Jes
forces attractives de ces deux planètes fur la co--
mète ,. afin qu’il y -appliquât fa thépríe du problème
des trois corps, & que nous pussions voir
si cette attraction devoit accélérer ou retarder- le_
retour qu’on attendoit pour 1757 ou 1759. Co
travail étoit immense ; mais il eut tout le succès
que nous en espérions, comme je Tai expliqué
fort au long dans YHistoire tk dans les Mémoires
de VAcadémie pour zysg. M. Clairàut trouva que
la révolution de la comète devoit être plus grande
environ de 611 jours que celle de 1607. à 1682 ;
savoir, de 100 jours par Taction de Saturne, &
de 511 jours par Teffet de Jupiter.. Suivant ces
premiers calculs, elle devoit passer dans son pé.
rihélie au milieu d’avril ( Voye{ ma Théorie des
comètes, à la fuite des Tables de Halley, zyss Ì
pag. 2 z o. ). Elle y passa le. 13 mars- ; &-. malgré
Timmensitédes calculs que nous fîmes M. Clairàut
& .moi, les quantités négligées produisirent un
mois d’érreur dans la prédiéiion ; mais M. Clairàut
Tavoit prévu, & il a fait voir ensuite que
Terreur se réduisoit à 22 jours, & qûil y auroit"
des moyens de pousser Tappraxitnation affez loin,
pour rendre Terreur encore moindre , à moins
que d’autres attractions ne se joignissent à celles
de Jupiter & de . Saturne.. Les recherches de
M. Clairàut sor cette matière, fe trouvent en
abrégé dans une., pièce qui a remporté le prix de
l’Académie à Pétersbourg en 1762,: & plus en
détail dans fa Théorie du mouvement des comètes
( zy£o , 241 pages in-80.). On trouvera auffi de
savantes recherches de M. d’Alembert 6 fur le
même sojet,.dans le second volume de ses Opuf.
cules Mathématiques, pag. s/y d suivantesj tk dans
la pièce de M. Albert Euler , qui a remporté , en
1762, le prix proposé par -l’Académie de Pétersbourg,
concurremment avec M. Clairàut. Enfin,
l’Académie ayant proppsé le -mème íïïjet pour le
prix de 1780, M. de la Grange a composé une
très-belle pièce fur ce sujet.Table des Comètes..Nous terminerons TAstronomie cométaireparla
table de toutes les comètes connues ; nous en ayons
expliqué le calcul ci-devant page 3 65.En consultant
cette tablé, on voit aussi-tôt si une comète, nouvellement
observée ressemble à quelqiuuhe de celles
qui avoient été vues précédemment ; dès-lors fa.,
révolution se trouve connue. : -^ ;Au moment où Ton imprímoít cette table,'j’aurois voulu Taugmenterpar une nouvelle comètequeM.Méchain a découverte le 26 Novembre 1783dans ía constellation du bélier jil Ta obscrvéeauffi-tôt,mais les calculs ne sont pas achevés..Çette comète esti extrêmement petite, & né ressemble qu’à une né'bu ;leuse fort obscure ; le voisinage d’une étoile de 8eI grandeur sufîisoit poui la faire difparoître. dans laI lunette. . " - -Ê L È M 'E N S des- lxvii comètes - Qui ont étéobseiyás affè^exaclement pour pouvoir être calculées.Ordre Z> Longitude Inclinai- Lieu Distance Passage au périhélie §■ Noms des Auteurs quides £ a • du Noeud son de 'du périhélie Temps moyen ■ § ont calcule ■ cesComètes, "g g" ascendant. l’Orbite. Périhélie. celle du à Paris. 8 Orbites.■" '■ ' Soleil - '* gS. í). M. S. D. M. S. !S. D. M. S. ctant '• Jouis. H. M. S.I. 837 6,26 Ti loouii" 9 -19 3 íTTs i Mars’…. Rétrograde. M. Pingre.H. 1231 o 13 30 6 s + 14 48 . 0,9478 30 lanv….. 7 22 o Directe. M. Pingre.III. 1264 s 19 o 36 30 P 21 o o o, 445 6 Juillet… 8 o , o Directe. Uunthorn ^S 28 45 30 25 9 S 45 00,41081 17 Juillet… 6 10 o Directe. M. Fmgre.ÏV. 1299 3 17 s 68 57 " o 3 20 0,3179 31 Mars 7 38 o Rétrograde. As. Pingre.- V 1301 o iS envir. 70 envir. 9 ou 10s 0,45 22 Octob. environ. Rétrograde. M. Pingre.VI. 1337 224 ii. 31 n 1 7 sp 0,4066s 2 Juin 634 ° Rétrograde. Halley, à-peu-près.î' í 21 32 11 o 20 i 0,6445 1 Juin o 40 o . M- Pingre. .49 1456 1 II 30 17 56 10 1 o 0,5855 8 Juin 22 10 o Rétrograde. M. Pingre, à-peu-près,VII. 1472 911 46 20 5 20 r 15 33 300,54273 -20 Février… 22 3 » o Rérrograde. Halley, à-peu-près.49 1531 o ip 25 17 56 10 1 39 0,56700 24 Août 2i 27 o Rétrograde. Halley, à-peu-près.19 <532 2 2027 3* 36 3 21 7 0,50910.19 Octobre.. 22 21 o Directe. Halley, à-peu-près.VIII. 1533 4 5 44 3S 49 ' 4 27 16 0,2028 16 Juin…… 19 39 o Rétrograde, Pouwej, à-peu-près.3 1556 5 25 42. 32 6 30 98 50 0,46390 21 Avril…. 20 12 o Directe. Halley, à-peu-près,"IX. 1557 o -25 52 74 32 45 49 22 0,18342 26 Octobre.. iS 54 o Rétrograde. Halley.X. 1580 o 18 57 20 64 40 o 3 19 5 50 o, 59^28 28 Novenib.. 15 p o Directe. Halley, à-peu-près.o ip 7 37 64 51 50 3 19 ir 55 0,59553 28 Novemb.. 13 54 o - - M. Pingre, exactement.XI. 1582 7 21 7 20 61 27 50 85 23 100,2257 6 Mai 16 9 o Rétrograde. M Pingre, à-peu-près.XII ; 15*5 1 7 42 30 6 4 o s 51 7,09358 , 7 Oct. N. S. 19 29 o Directe. Halley.XIII. 1590 j 15 30 40 29 40 40 7 6 54 30 0,57661 s Fév. N. S. 3 J4 o Rétrograde. Halley.XIV. ij93 S 14 is ° 87 58 5 26 19 o, 0S911 ìs Juil.N. S.. 13 48 o Directe. La Caille, à-peu-près.XV. 15961015.365052 945 72830500,549415 s Août 1543 o Rérrograde. M.. Pingre.10 12-12 30 55 12 7 18 16 0,51293 10 Aòtìt 2.0 4 o Rérrograde. Halley. . ' .49 [607 1 20 21 17' 2 • 10 2 16 00,58680 26 oct 3 J9 o Rétrograde. Halley.XVI. 1618 s 23 25 21 28 10 18 20 00,51298 17 Août 3 12 o Directe. M. Pingre, à^peu-prèj.XVII. 161S 2 16 1 37 34 o 2 14 oo,3797J s. Novemb.. 12 32 o Directe. Halley.
XVIIL 1652 2 28 10 , 79 28 o o 28 18 40 0,84750 12 Novemb.. IJ 49 o Directe. Halley.XIX. [661 222 30 3032 35 50 3 2.5 58400,44851 26 Janvier… 23' 50 o Directe. ' Halley.XX ,6Í>4 2 2i 14 21 18 30 4104: 25 1,02575s 4 Décembr.. 12 1 o Rétrograde. Halley.XXI 1665 7 18 2 76 ; o.z n 5+300,7.0640 24 Avril…. 524 o Rétrograde. Halley.XAII. 1672 9 27 30 30 83 22 10 3 16 59 300,69739 1 Mars '. 8 46 o Directe. Halley.>XIII. 1677 7 26 49 1079 j ij 4 i7 37 -j 0,28059 6 Mai…… o 46 o Rétrograde. Halley."-„.•,67t5 " 4° o 3 420102746 01,23801 26 Août 14 12 o Directe. Douves, à-peu-près.XXV 16SO 9 2 2 o 60 56 o 8 22 39 300,006125 18 Décembr.. o 15 o Directe. Halley. ■..*' l 6" l 2I ,£ 5° '7 5S o 10 2 52 45 c, 5S32S 14 Septemb.. 7 48 o Rétrograde. Halley.VVVTT l6SÌ S-323'o83n o 22529300,56020 13 Juillet…. 259 o Rétrograde. Hafley.YVIITT '6H 8 28 '5 o 65 48 40 72852 00,96015 .8 Juin….. 1025 o Directe. Halley.YT7V "Sí(i " 20 34 <o 31 21 40 2 27 o 50 0,32500 16 Septemb.. 14 42 o Directe. Halley.XXLX. Kt9 1: 2j 4s 10 69 17 o 82344450,016889 1 Décembr. 15 j o Rétrograde. M. Pingre, à-peu-près,XXX ,698 82744151146 o 9 o 51 150,69129 18 Oct 17 6 o Rétrograde. Halley.xxxi. 1699102145356920 o 7 23, 60,74400 13 Janvier..-, s 32 o Rétrograde. La Caille, à-peu-près..:::: ;.„• '702 6 S 25 15 4 3° o 41841 3 '->, 64590 13 Mars 1422 o Directe. ' La Caille, à^eu-près.xxxiu. ,7o6 o 13 1, 4o 55 14 10 2 12 29 10 r,42581 30 Janv 432 o Directe. La Caille.v_v-,r o 13 n 23 55 14 5 2 12 36 25 .-.,426865 30 Janv 5 5 0 Struick.xx~l\, 1707 1 2246 3' 8 » 56 02 19 54 560,85974 n Décemb… 23 39 o Directe. La Caille,.._„, ' 22 5° 2-' ; *8 37 4° 2 19 58 9 o, 855,04 " Décemb. . 23 52 47 Directe. Struick.:AAAV-'7'.-' .4843 o 30 20 o 4 ,.3o c ,0-6 s ■ 4 Janv…'…. 23 48 o Rétrograde. La Caille.rT1,n ' …… II n ._…..' _. *mmSUITE DES ÉLÉMENS: des lxvii comètes Qui ont été'observées ajje.7^ exactement pour pouvoir être calculées.a ' ■ I ..-:"-Ordre .- ;> Longitude Inclinai- Lieu Distance Passage au périhélie ■ £ » Noms des Auteurs quides T= j|v du Noeud" sonde du périhélie Temps moyen c ont "calculé ces
Comètes. "« fjf ascendant. l’Orbite. Périhélie.  ; celle du- à Paris. ' .-■ g. Orbites.Soleil t% -'.--''~ ~~~ S. D. M. S. D. M. S. S. D. M. S. 'et.ant -1- Jours. " ïl7~M. S. •" -..'"'"'' :: :": "'4 7 55 20 31 12 53 4 r 26 36 1,02565 15 Janv. ;… 1 24 36 Rétrograde. Struick.XXXVI. 1723 p 14 16 o 49 59 o 1 12 52 20 0,9986s 27 Septemb.. 16 20 o Rétrograde. Bràdley.XXXVII. 1729 ío io 32 37 76 58 4 10 22 40 6 4,26140 25 Juin 11 16. o Directe. La Caille,10 10 35 15 77 i" s’í i'° 22 16.534,0698 23 Juin í 4s 22 Directe. Douwes.:XXXVM. 1737.7 1.6 22 o ,8 20 45 10 25 55 00,222825 3° Janvier…. 8 30 oDirecte. Bradley.- ' .XXXIX. 1739 6 27 25 14 55 42.44 3 12 38 400, 67358 17 Juin. 10 9 o Rérrograde: La Caille..XL. 1742 -6 5 38 .25 66 59 14 7 7 3's 13 0,76568 8 Eévrier… 4 48 o Rétrograde'. La Caille.6 s 34 45 67 411 77 33 14 OJ 765555 8 Février… 4 .30 30 Rétrograde. Struick. " •XLI. 1743.2 18 .21 15 2 19 33 3 241 45 ó,835or 10 Janvier… 29 35 o Directe. Lá Caille, à-peu-pres.2 8 10 48 2 15 50 3 2 58 40,838115 10 Janvier… 21 24 57 Directe. . Struick.XIII. 1743 o 5 16 25 45 48 20 8 6 33 52 0,52157- 20 Septemb.. 21 26 o Rétrograde. Klinkenberg..XLIII. 1744 r iç 46 11 47 5 ìï 6 17 10 o 0,22250' 1 Mars ! ij o Directe. La Caille. ^1 15 45.20 47 8 36 6 17 12 55 0,22206 1 Mars 8 26 20 Directe. , Blijs, très-exacte.XLIV. 1746 4 27 18' 5° 75> 6 20 9 7 - o 2, 19851 3 Mars 1747 7 20 o Rétrograde. La Caille4 26 58 27 77 56 55 9 10 -'5 41 2,29388 28 Février…..n. 54 '19 Rétrograde. Cheseáux. ■■■ •
XLV. '748 7 22 52 16 í s 26 57 7.5 o 50. o, 84Ç67 . 28 Avril…. 19 34 4i Rétrograde. M. Maraldi..XLVI. 1-48 1 439455659 3 96 9 .24 o, 65,25. iS.Juin….. 1 33 o Directe. _:. Sxruich,^à-peu-près.XLVII.Ï757 745 5c 12 39 6 4 2 39 '00,33907 21 Ost..:… 942 o Directe. " La'Caille. ':XLV'III. 1758 7 20 50 9 68 19 o S 27 37 45 0,21535 n juin….. i' 27 o Directe.- M. Pingre.' -XLIX. 1759 i 23 49 017 3P o 10 3 16 .00,58349 12 Mars 13 41 ° Rétrograde.' La .Caille. - : -1 23 45 35 17-40 14 10 3 S. 10 o, 58490-- 12 Mars . 13 5P 24 ;.. .. De la-Lande.1 23 49 21 '7 3S.-20 10 3 16 200,5836 12 Mars 12 57 36 M. Maraldi, Mém. 175p.L. 1760 4 19 39 2478 59 22 1 23 24 20 0,79851 27 Nov. ,759. 2 28 20 Dir.Lion. La Caille.'LI. 1760 2 15 sb 45 4 51 32 .4 18 24 35 ò,.96s9p 16 Dec. 1759. 21 13 o Ré t. Orion. La Caille..6 19 20 24 4 42 .10 4 19 3 520,9618 16 Dec. 1759: 12 58 ii - Ckâpve:LIL " 1762 11 19 zo P 84 4j o 3 15 15 o I) 0i24.' 28 Mai 15 27 'o Directe..- ;)  ; De la Lande.'• . 11 ÏS 35 23 85 40 10 3 13 42 38 i, 00686 28 Mai….. 220 , M. JClinkenlerg.lí 1 ? 2.2285 32 3 14 29 46 1,009856 28 -Mai 7 o 49 ■-'.^tr'fick--ii-i's 55 31 8S 22 2I 3 I5 22 23 '« o'Mis" 29 Mai.'…. o 27 4p _ .'K: Maraldi. :'' ■LUI 1763 11 26 29 2Í. 73 39 29 2 25 o 48 0,49842 1 NovemB.. 21 6 2 ? Directe: ' 'Pingre ; Mfm. Ac. 1764.LIV - 1764 . 3 19 20 6 S3.54 19 ó 16 11 48 -1 S6418 12 Février… 10 29 o Rétrograde. Pingre ,Mem. Ac. 1764.LV 1766 8 -4 10 50 40 50 20 4 23 15 25 o, S0533 17 Février… 850 o Rétrograde. í',nB™, M.'m. 1766.LVI. 1766 2 14 22 50 11 S 4 8 2 17 53 o, 33274 22 Avril…. 20 5$ 4° Directe.'.. r M. P innéLVII. 1769 \s 25 043403733424-5540,12376 7 Ost I2 3° ° Directe…. . De la. Lande5 2j ' r6 32 40 48 49 424 11 7 c, 12272: 7 Oct • ■' J4 S8 4° . ■ .'. M PMpenn.M.A. i7ê ?.' LVIÌI. 1770 4 19 39 5 144 3o 11 25 27 16 0,636878 9 Aout…. o 16 54 Directe. - '..M.Ptngre. -■.4.12 00 1 33 40 11 26 16 26 9,674381 13 Aout…. 13 S o ;ase3::,4jM..:l£i£Bi: ;LIX. I77I 3,8 42 10 31 25 55 '6 28 22 440,52824 22 Nov.1770.22 5. 48 Rétrograde. M- P\n,Sre.- ..LX. i77. Ó2751 .1115 3 13 í ? 0,906 18 Avril…. 22 i4 oDirecte.,,,--M.-tingre …LXI. 1772 81243 19 o 3 iS 6 1,018 18 Fevner…. 20 51 o Directe.".'• De la Lande.LXII. 1 73 4 lîí « ' 2* 2 ií'3« VT34 ' 5-Sept…… n .9 'o Directe. . #. IW ;-LXIII. . 1774 6 049 83' o 10,722 1,429 15 Aout…. 10 Sí. ° Directe. M.Mecham.'LXIV. 1779 02s 6 3224 22713 0,713,2. 4 J »»'-■■-■• 2,2,oD,Kfc % ?'%""%■ ,*o 25 4 32 25| 2,7,4 0,7132 4 Janv.-… 2 24 ! o -As. le Chevalier d Angos.LXV. 178Ó 4 4 9- 5348 8 6 21 0,09925 30 Sept…… 18 13 P Rétrograde. As, As« A« 7,■IWI. 178. 2 2Ì58- 8,48 7 z8 56 0,77585 * Juillef… 2.23 "Directe. M. Mechain.LXVII. 178,-21722 27 iz o 16 3 Jo,96l 29 Nov……. 12.32 1 Rétrograde. M. Mechain.t ■ - - ' -. ■■ . . . ■ ■ - …-.,-•" » >Mathématiques. Tome. 1,1.°™ Ya-rûe. " . Aaa
C O M
COMÍÌTES qui peuvent approcher de la terre.
Wliislon , Maupcrtuis & d’autres, avoient déja rcniarguó
jjue les comètes pourroient se rencontrer,,
ou rencontrer la terre, & y produire les plus
ítranges révolutions-, mais on. n’avoit fait à cet
égard" que des conjectures très-vagues. Je voulus
examiner parmi les comètes déja connues, s’il y
en avoit qui naturellement puisent rencontrer la
terre, ou en approcher, de manière à nous mettre
en danger : je trouvai qu’il y en avoit huit dont les
orbites passent très-près de celle de la terre (ennégligeant
l’excentricité de son orbite) -, & si nous ne
connoiífons que la cinquième partie des comètes,
il peut y en avoir plus dé quarante dans ce cas-là.
Les dérangemens que les attractions étrangères
produisent sur le mouvement des comètes, suffisent
pour rapprocher leurs noeuds de la route de
la terre, & par conséquent pour faire concourir
les circonférences de leurs orbites avec Ja' nôtre  ;
clans cê cas-là, chacune de ces comètes pourroit
venir choquer la terre, ou du moins en passer fi
près que la mer en seroit soulevée, comme elle
l’c-st tous les jours par le soleil & par la lune,
&. qu’une partie de. la terre pourroit ën être submergée
: c’est l’objet d’un mémoire que je publiai
en 1773 , & qui a pour titre : Réflexions fur les
comètes qui peuvent approcher de la terre ( à Paris,_chez Mérigot ). Ces calculs gui avoient été an-,
nonces dans quelques conversations, occasionnèrent
dans Paris, la terreur & les bruits les plus
étranges -, on prétendoit que j’avois prédit la fin
du monde, & il fallut que mon mémoire fût-publié
pour dissiper ces bruits populaires. Je sis voir
dans cet écrit que , quoique ces rencontres de' planètes soient très-possibles, elles supposent tant
de circonstances réunies, qu’on nesauroit en faire
un objet de terreur. M. du Séjour a achevé de
dissiper ces terreurs dans un ouvrage exprès, intitulé
: Estais fur les comètes, 1775 , in-8." ( à
Paris, chez Valade) , où il fait voir combien il
est difficile que les comètes approchent assez de la
terre pour causer des révolutions. M. Euler a fait
la même chose dans les. Mémoires de -Tétírsbaurg
four tyy4. M. Profperin a calculé une table de
la .pliis proche distance des comètes à la terre dans
ïes Mémoires jle .Suéde , & je l’ai insérée dans les
Mémoires de l’Académie pour 277.J.Indépendamment • du grand nombre de chances•<jui rendent ces approches de comètes très-difHciles,
j’ai d’ailleurs observé que la terre parcourant
íx cens mille lieues par jour dans.son orbite,
« Ile nê pouvoit- être' au plus qu’une heure de
tems exposée à \attraction d’une comète, tk qu’il
étoit difficile qu’en Ti peu de tems lès eaux pussent
s’élever à une'bien grande hauteur. Cependant
, il semble que si l’on cheiche une cause
physique & naturelle des révolutions anciennes
de cotre globe, dont on trouve des traces dans
le sein de la terre comme au sommet des moníagnes,
on la peut trouver dans les approches dequelques-unes de ces comètes.Queues des comètes. Les anciens n’ont pané
communément de la grandeur des comètes, qu’en’
faisant attention au spectacle de leur queue ou
de leur chevelure 5 cependant il y a des comètes
dont le diamètre apparent semble avoir été trèsconfidérable,
indépendamment de la queue. Après
la mort de Déniétrius, roi de Syrie , père de
Démétrius & d’Antiochus, un peu avant la guerre
d’Achaïe , fan 146", avant J. C., il parut une comète
aussi grosse que le soleil ( Senèque, vij,15.) :
Celle qui parut à la naissance.dé Mithridate, 150
ans avant J. C., répandoit, suivant Justin, plus
de lumière que le soleil  ; elle étoit .si terrible,
qu’elle sembloit embraser tout le ciel -, sa queue
occupôit environ 45 degrés.La comète de Tan 1006, rapportée par erreur
en l’an 1200 dans quelques livres, & qui fut observée
par Haly-Ben-Rodoan ( Cardan , Astron,
liv. ij, c. 9, text. 14. ) , étoit quatre fois plu*
grosse que Vénus, & jettoit autant de lumière
que le quart de la lune pourroit faire. Cette comète
paroît être la même que celles de 1682 &
1759. Cardan dit la même chose de: celles de
1521 & 1*556 (de Varict. lib. .« V. ). Nous n’avons
rien de bien déterminé fur. la grandeur apparente
des comètes avant celle de 1577 -, son diamètre
apparent, suivant Tycho, étoit de 7', ç est-à-dire,
selon lui, le double de Vénus à la vue simple.Mais les queues des comètes ont toujours paru
la chose la plus singulière' de ces astres extraor^
dinâires. Nous rapportons ici la figure de celle de
1744, dont on se souvient encore, & qui étòit
très-singulière-, elle avoit juTVju'à 34" de longueur,
figures d’Astronomie, i 68. On en peut" voir plusieurs,
figurées dans la Cométographie d’Hévélius.
La comète de 1618 avoit une queue de 70 degrés.
au moins, suivant Kepler ; on l’apperçevoit même
à 104° , suivant Longomontanus, le 10 décembre
1618. La comète de 1680 avoit unë queue de 70*
le 26 décembre , & même de 900 suivant des
lettres de Constantinople, QÙ on la voyoit mieux.
La çomete de 1769 nous paroissoit à Paris avoir
une queue de 6"o° ; mais M. Pi-ngré, qui étoit fur
mer, la voyoit jusqu’à 900.Suivant Neuton, l’atmosphère des comètes peut
fournir une vapeur suffisante pour former leurs
queues. Quant à l’ascension des vapeurs qui forment
la queue des comètes, Neuton la croyoit
occasionnée par la raréfaction de l’atmosphère de
la comète , ou par la chaleur du soleil ?Les queues étant ainsi produites, la force qu’elles
' ont pour conserver leur mouvement & celle qui
les pousse vers le soleil, les oblige à suivre la
comète même, & à l’accompagner dans toute son
orbite. En effet, la gravitation des vapeurs vers
le soleil, n est pas plus propre à détacher la queue
d’une comète de fa tête & à la ; faire tomber fur
le soleil, qu’à détacher la terre de.son atmosphère ;
1 mais leur gravitation commune est cause qu’elles seGo m £ ò m 37*meuvent également, & quelles font poussées de la
iriême manière. ; ,■ Par ce moyen les queues des comètes produites
pendant le tems de leurs périhélies, peuvent être
entraînées avec ces astres dans les régions du ciel
les plus reculées, & revenir ensuite avec les comètes
au bout d’un grand nombre d’années : mais
il est plus naturel qu’elles se détruisent peu-à-peu
entièrement, & qu’en fe rapprochant du soleil les
comètes-en reprennent de nouvelles, d’abord trèspeu
sensibles, ensuite plus grandes par degrés jusquau
périhélie ,-tems auquel elles reprennent toute
leurgrandeur, les comètes étant alors les plus échauffées
qu’il est-possible.Les vapeurs dont ces queues font composées,
se dilatant & se répandant dans toutes les régions
célestes, font vraisemblablement, ainsi que "Neuton
l’observe, attirées par les. planètes, & mêlées avec
leurs atmosphères. II ajoute que les comètes semblent
nécessaires pour l’entretien des fluides qui
font fur les planètes, lesquels s’évaporent continuellement
par les végétations & les putréfactions,
&! se convertissent en terre sèche. Çar comme fOus
les végétaux se nourrissent & s’accroissent par les
fluides, & qu’ils redeviennent terre pour la plus
grande partie par la putréfaction ( comme on le
peut voir par le limon que les liqueurs putréSantés
déposent continuellement ) , il s’ensuit que .
pendant que la terre s’accroît fans cessé, seau
diminueróit en même proportion, fi la perte n’enétoit
pas rétablie par d’autres matières. Neuton
soupçonne que cette partie, la plus subtile & la^
nieilleure de notre air, laquelle est absolumesní
nécessaire pour la vie & l’entretien de tons les
êtres, vient principalement des comètes.D’après ce principe, il y auroit quelque fondement
aux-opinions populaires des présages des
comètes, puisque les queues des comètes fe mê--.
lant ainsi avec notre atmosphère, pourroient avoir
des influences sensibles fur les corps animaux &
végétaux.La grandeur de la queue .dans la comète de T6SQ,
s’accorde avec la grande proximité de cette comète
au soleil : en effet, fa distance au soleil dans son
périhélie le 8 décembre, étoit à la distance de la terre
au soleil comme 6 à ipoo -, d’où il suit que la chaleur
communiquée par le soleil à la comète, devoit
être alors à celle qu’on éprouve fur la terre
aii milieu de l’été, comme 28000 à 1. Neuton
considérant ensuite que par l’expérience la chaleur
de seau bouillante est un peu plus que triple
de celle de la terre échauffée par les rayons 1 du
soleil au.fort de l’été, & prenant la chaleur du
fer rouge pour trois ou quatre fois plus grande
que celle dp Veau bouillante, il en conclut que
la chaleur du corps de la corne te dans le tems
de son périhélie, devoit être 2000 fois plus grande
que celle du fer rouge.La- comète ayant acquis une aussi grande chaJpur,
doit être un tems immense à lé refroidir.Le tpênie auteur a calculé qu’un globe dé fer
rouge de la grosseur de la terre, seroit à peine
refroidi en 50000 ans. Ainsi , quand même la
comète fe refroidiroit cent fois plus vîte que le
fer rouge, elle ne laisserok pas encore, à caufê
que fa chaleur est 2000, fois plus grande j de
mettre un million d’années à se refroidir.M. dé Buffon a donné des calculs à ce sujet
dans le premier volume de ses Supplémens, imprimé
en 1774, pag. zzs—-2.3s. de i'édition in-iz.
Ce fut à ïoccasion de ce passage de  ; Neuton fur
la chaleur de la comète dont je parlois un jour avec.M.
 de Buffon, qu’il entreprit.des expériences,
fur le refroidissement des corps ; elles, lùi ont appris
des faits curieux & importans pour la pfry^
sique, & lui ont donné occasion de faire de :grands
établissemen.s de forges: :. il a trouvé.que la durée .
du refroidissement est en bien plus grande raifort
que ! celie des diamètres des corps, & non pas en
moindre raison comme le dit Neuton, & celui-ci
même semble l’indiquêr dans la onzième question
de son Traité d’Optique ; en forte que M. de Buffon
soupçonne que c’est par inadvertance qu’on aura
mis minori pour majori : il trouve qu’au lieu de
50000 ans, il faudroit 56670 ans pour refroidir
un globe gros comme la terre au point de la tern-,
pérature actuelle,: on pourroit même augmenter
encore cette durée, à cause "du contact tíe í'air
qui accélère le refroidissement des corps. -Suivant les expériences de M. de Buffon , il
faut.i5"t fois plus de tems pour refroidir les
corps que pour les chauffer à blanc-, ce qui exigeroit
encore un grand changement dans le ré*
íúltat de Neuton.Neuton dit que la chaleur du fer rouge est 5
ou 4 fois plus grande que celle de Teau bouillante.:
il faut supposer 7 à 8 fois, même d’après
un mémoire de Neuton qui est dans les Transactions
philosophiques de ijot ; en forte que la cha- ?
leur de la comète auroit été mille fois feulement %
tk non pas 2000 fois plus grande que celle du
fer rouge : il y a la moitié à rabattre par cette
feule considération.Mais cette diminution à faire dans la chaleur
évaluée par Neuton, n’est rien en comparaison
de celle qui résulte du peu de tems que la comète
a. été près du soleil ; çar 24. heures ayant
qu’elle fût à son périhélie, fa distance étoit six
fois plus grande : en tenant compté de la durée
du tems qu’elle a resté à chaque distance & du
degré de chaleur qu’elle y reecvoit, M. de Buffon
trouve", d’après les nombres que je -lui avois
fournis, qu’il auroit fallu qu’elle restât 3.92- ans
dans la partie inférieure de-fon orbite ( à compter
' de la distance égale à celle de la . terre ) , pour
pouvoir être chauffée, à blanc, au lieu qu’elle n’y
a été que 55 jours-, encore faudroit-il la suppoíer
frappée.de tpus côtés à-la-fois des rayons du soJeif.
H trouve-aussi par ses expériences, que. pour
le refroidissement, de la" glaise il-ne faut pas I3Àaaijm c o m € o Uhìoitié du tems qu’il faut pour celúi du fer ; ainsi ,
à cet égard, il faudroit diminuer la durée du refroidissement,
déduite des expériences.On voit par ces différentes considérations comLien
il entre d’élémens dans un semblable calcul,
& combien celui de Neuton seroit insuffisant pour
juger de ía chaleur effective de la comète ; mais
jl lui suíîìsoit dé donner une idée de la chaleur
qui av'oit eu lieu dans le point de son périhélie,
pour fáire voir que les matières susceptibles d’évaporation
avoient dû être volatilisées : il dpnne
ainsi l’explication de cette queue immense que
traínoit après elle la comète de 1680.M. Bolcovich, dans une dissertation imprimée
. à Rome en 1746, observé aussi que l’atmosphère
prodigieuse des comètes doit nécessairement 1 empêcher
qu’elles ne s’échauffent autant que d’autres
corps. La partie supérieure est trop rare pour
recevoir beaucoup de chaleur-, elle garantit la
partie inférieure. Cette atmosphère conserve auffi
la chaleur dâns le grand éloignement de la comète ;
elle la distribue à ses différentes partie ? : elle conservé
une lumière presque constante, & la rend
plus habitable que Neuton ne l’a cru. Mais cette
lumière est trop dispersée "pour qu’elle puisse paroítre
dans un grand éloignement, & voilà pourquoi
les comètes’ne paroissent point quand elles
font parvenues feulement à la distance de Jupiter.
Cette atmosphère empêche, qu’on ne distingue
les phases des comètes ; & M. Cassini avoit tort
de juger la comète de 1680 beaucoup plus éloignée
que le soleil, tandis qu’elle étoit beaucoup
plus près ; il se fondoit sur ce que sa- lumière étoit
pleine , & n’avoit point la forme de croissant :
mais on ne distingue point de phases dans les
comètes, à cause de la dispersion de lumière causée
par l’atmosphère.-… - ;
■ Le P. B. compare la queue, d’une comète à la
fumée qui s’élève àcause de la pesanteur de l’air: 1
l’atmosphère du -soleil pèse vers le soleil ; les va-- j
peurs de la comète ont moins de pesanteur, elles ]
s’éloignent’du soleil.-(D. L.) -,
COMETE ou de manille- ;( jeu de la ) jeu de 1
cartes qui se joue de la manière suivante : l’enjeu ]
ordinaire est de neuf fiches, qui valent dix jetons 1
chacune, & de dix jetons -, l’on peut, comme l’on 7
voit, perdre art jeu deux ou trois mille jetons ,
dans une séance. On se sert de toutes -lés cartes, ' 1
c’esl-à-dire, des ciriquante-deux : & l’on peut y  ;i
jouer depuis deux personnes jusqu’à cinq-, lé jeu (
à deux n’est cependant pas si beau qu’à trois & -i
au-dessus. II y a de Tavantage à faire au jeu de ]
-la comète. Les cartes battues, coupées à Tordi- (
naire, se partagent aux joueurs ttois à trois , ou <
"quatre à quatre, & de cette manière: vingt-six à (
Chacun, fi otrjone deux personnes-, dix-scptysi c’est j
'à trpis, & il en reste une qu’on ne peut pas voir-, -1
à quatre, treize, & à'cinq, dix, & if'en restera
encore deux qu’on ne pourra' point voir non plus. (
Toutes les cartes étant données, on les arrange {■ ;selon Tordre naturel en commençant par Iasj
qui dans cè jeu ne vaut qu’un, par 'le deux, le
trois, ainsi du'reste jusqu’au roi: On commence à'
jouer par telle carte qu’on veut, mais il est plus
avantageux de jouer d’abcjrd celle dont il y a le
plus de cartes de fuite : ainsi , en supposant qu’il
y ait depuis le six des cartes qui se suivent jusqu’au
roi, on les jettera toutes Tune après l’autre,
en disant six, sept, huit, neuf, dix, Valet,dame
& roi ; mais s’il manquoit unë de ces cartes, on
nommeroit celle qui est immédiatement devant ;
& on diroit fans telle carte, qui seroit celle qui
devroit.suivre celle qu’on déclare. ; si c’étoit le
huit, par exemple , qui manquât dans sa séquence,
on àiroii sept fans huit,tkc. le joueur, suivant qui
auroit la carte dont l’autre manqueroit, contihueroit
en la j estant , & diroit comme ie premier
jusqu’à ce qu’il lui manquât quelque nombre dans
fa fuite ; auquel cas uri autre qui auroit ce nombre,
recommencéroit de la même manière ; s’il
avoit pouffé jusqu’au roi, il continueroit de jouer
par telle carte qu’il voudrôit. La différence des
couleurs ne fait rien ; a ce jeu ,■ -pourvu que les
cartes que Ton a formeritune fuite juste. Le joueuf
qui vient après celui qui a dit huit fans neuf, ou
toute autre carte, reprend le jeu s’il a le nombre
manquant ; si ni lui, ni les’ autres ne Tont, le
premier qui. a dit huit jans neuf, continue à jouer
le reste de <son jeu par telle carte qu’il lui plaît,
& se fait donner un jeton de chaque jpueur. Ií
faut autant qu’on le peut se défaire de ses cartes
lés plus hautes en point,: parce que-Ton paie
autant de jetons que Ton â de points dans toutes
les cartes qui restent dans la main à la fin du
coup. Ceux qui jouent petit jeu, ne donnent qu’autant
de jetons qu’il leur reste de cartes. II n’est pas
moins avantageux de se défaire des as, parce que
si Ton attend trop tard à les jetter, on ne se remet
dedans qu’avec .peine , à moins qu’on n’ait un roi
pour rentrer. On dpit donner une fiche ou moins, ;
selon la convention , à celui qui joue la comète ; ;
il n’est plus reçu à la : demander dès qu’elle est
couverte de quelque carte, & elle est perdue pour
lui. Celui qui gagne la partie se fait donner unefiche
& neuf jetons, qui sont la valeur de,la comète
de celui qui Tayantdans son jeu, ne s’en:
.'est point défait dans le tour.- ; Celui qui jette fur
table dés rois qu’il a dans son -jeu, gagne-un jeton:de
chaque joueur pour chacun de ses rois ;au lieu
qu’il "paie un jeton à chaque joueur, & dix au
■gagnant, pour chacun des rois qui lui restent : &
l’on .paie par point, c’est celuî qui a plutôt joué
ses cartes qui gagne la partie & les fiches que. chaque
 joueur a mis au jeu,fans parler des marques
qu’il se fait payer de chacun, selon qu’il a
plus ou moins de cartes ou de points dans fa
main.: '""'-' '■ ■■-.'■■'11 n’est pas. permis de voir les- cartes qu’on a
déjà jouées, pour-'conduire son jeu & jouer plus,
avantageusement pour foi, à ; peine de donner iin.-Cd m’ ^ ci o: m .i7'fjetonà chaque jpueur ; à moms qúonné Tait-clé*
cidé autrement avant de commencer. ■ <■
 ; Voilà les principales & premières règles Au jeu
de la comètes elles ont beaucoup changé, & vraisemblablement
elles changeront encore beaucoup,
ii ce jeu continue d’être à la mode. On paiera
plus ou moins, quand on fera opéra : faire opéra i
c’est jouer toutes ses cartes fans interruption ; on
chargera de conditions’ remploi'-de la comète' ; on
fera payer plus ou moins félon la carte pour laquelle
òn la mettra: à présent òn’peut la mettre
pour toute carte ; On fera perdre plus ou moins
à celui dans-lá-main de qui on la fera gorger, ou
rester , c’est la même chose, de. Nous ne nous
piquons guère: d’exactitude fur ces chofès, "ellës en
valent peu la peine ; d’ailleurs, ce qui seroit exact
dans le mpment où nous écrivons, cesserpit bientôt
de Têtre par le caprice:dès joueurs, qui'ajoutent,
ôtent des conditions au jeu, eri,retranchent, ou
les altèrent. '^', .  ;-:' .COMMENSURABLË,adj. Les quantités commensurables
, en Mathétnat. font celles qui ont .quelque'partie
aliquote. commune., ou . qui peuvent .
être mesurées par qiiejque mesure commune , sans
laisser aucun reste. dans Tune ni dans .Tautre. Voy.
MESURE d INCOMMENSURABLE. ,",, ……'.'.. Ainsi,un pié & une aune font commensurables./■
parce qu’il y ""a une troisième quantité qui .peut
les mesurer l’un & Tautre exactement ; savoir, un
pouce, lequel pris douze' fois fait un pié, & pris
quarante-quatre fois donne une aune. '-..•.: Les quantités commensurables- font lune à l’autre
comme l’unité esta unnombre entier rationel, oíi
comme un nombre entier rationel est’à'un: âútre
entier rationel. En effet., puisque les quantités
commensurables ont une partie commune - qui les
mesure exactement, elles contiennent donc exactement
cette partie : Tune, un certain nombre de
fois ; Tautre, un autre nombre de fois : donc’ ëllés
font entr'elles comme ces deux nombres. II ert.est
autrement dans les incommensurables. Vóyé%_ ' INCOMMENSURABLE
, N0MBRE:& RÀTÏO'NEL. ' .Les nombres commensurables sont ceux qui,ont
quelqu’autre riom qui les mesure, pu qui les divise
fans aucun relie.Ainsi 6 tk 8 font, l’un’. par rapport à l’autre,,
des nombres commensurables, parce que 2 les
'.divise. . ; ..- ; r .., ■ Commensurable en puissance. On dit que dés.lignes
droites sont commenjurables en puissance., quand
leurs quarrés font mesurés exactement par un même
espace ou une même surface -, ou, ce qui revient an '
même, quand les quarrés de ces lignes ont entr'eux
un rapport de nombre à nombre. . ■ . ; Les nombres sourds commenjurables-, sont creux
quïj étant réduits’à leurs plus petits termes ; font
entr'eux comme une .quantité ratioflelle est à une
autre quantité rationelle.Voy. SOURD.. Ainsi 3 \/'■•% .&i \f í font dés nombres sourds commensurables s
parce qu’ils font entr'eux comme 5 àx. 'í: Les nombres 'commensurables font prpprementles
seuls- & vrais nombres.' En .effet y tout nombre
enferme Tidée d’un rapport, voye[ NOMBRE ;&
tóut rapport réel entre deux quantités suppose
unepartie aliquote qui leur soit commune ; x est ce
qui sera plus détàilé -à Tart.lNco'MMENSURABLE.
y 2 n’est point un nombre-pròprëmént’dit, c’est
une quantité qui n’existe point, •& qu’il esti impossible
db trouver. : Les fraisions même ' rie sont des
nombres commensurables ; jqu’e parce que ces fractions
représentent proprement des nombres entiers »
En effet, qu’est--ce que- cette fraction -| ì c’est trois
fois le quart d’un.toufy:& ce quart rest ici-pris
pour, l’unité : ibest vrai que cé quart lui-même est
partie d’une .autrejunité dans :laquelle<:il est 'contenu,
quatre fois.'Mais-i cela n’empêche pas ce
quart d’être regardé comme une fecondei unité
■dans la fraction j, ; cela est si vrai,: qu’on en trouve
la preuve dans la définition même des fractions  ;
le dénominateur., dit-on , compte le nombre des
parties dans lesquelles le tout eff divisé', &le numérateur:
compte ;combien íbnpprend’  ;dè cês parties
 ;ou cè qui est la knême chose, combien dé fois
on en prend-une.'Ceite' pártíe :efl doric ici une
véritable : Unité. "Après - cela , ; on’ ne •. .doit pas être
surpris que pour comparer entr'elles les:fractions,
òri change leur rapport en celui de nombres entiers
commensurables. Par.exemple, pour avoir le rapport
jde | à |-,-on trouve.'par les règles ordinaires
qu’ece rapport est íceliíi de 9-3:8: cela est évident.
Qu’est-ce-que-ì|: ?-c’est-la: même chose que —., oú
pijfóis- lè douzième -de l’unité. 'Qu’est-ce que f ï
c’est la même .chose que ~> oú 8 fois le douzième
de l’unité : donc - les: deux fractions comparées à
la même unité ( savoir —.)  , la Contiennent- 9 &
8 fois ; donc elles font entr'elles comme 918,
c’est-à-dire ,• que.-la partie aliquote commune qui
rnefure,..par-exemple-, lès-J:& les f- d’un pié-, est
la douzième partie du pié,& que cetté douzième
. partie.est ■contenue, 3 fois dans, la première & 8
dans la,seconde.. ;' … . .-'-.'De-là pn peut conclure que npn-seulemenr lesnombre ?
commensurables. font proprement les seuls&
vrais membres, mais que les nombres entierssont
proprement les seuls vrais nombre ? com¬¬
mensurables,. puisque tous- les • nombres sorts proprement,
des nombres entiers. Voyei NOMBRE „
FRACTION,, de. (. O ). !.',,COMMÈRE ACCOMMODEZ-MOI, (Jeu de) 
Ce jeu ainsi appelle parce que toute Thábileté du:
joueur est de chercher à-accommoder soif jeu,, a
beaucoup de rapport à' celui" du commerce, & ne: '
laisse pas d’être amusant,, quoiqu a en juger par
son nom il ne, soit guère 'j.Oué que par les petites",
gens., - ."'_■ ;…. ■■■-. h--- ''0n se:serf d’un jeu de cartes four entier. On
peut y jpuerfépt Ou huit personnes.. Chacun prendCo m g o mautant de jetons que Ton veut, &'dont ori a déterminé
la valeur ; On met peu ou'beaucoup au
jeu, selon que Ton a intention-de. perdre ou de
gagner de même. Celui.à qui il est échu- de faires
avant mêlé & fait couper à Tordinaire^,. donne
trois cartes à chaque joueur, toutes .ensemble ou
séparément. Les j.caftes ainsi distribuées ,. on ne
songe plus qu’à tirer au point, à la séquence, &
au .trictin, larséquence emportant le points .& le
tricpmla.séquence & le point. Le plus fort gagne
leìplus foible ; & s’ils font:égaux, c’est celui qui
est le plus vproche de celui qui a mêlé à droite.
L’as vaut onze au jeii & est la première de toutes
lés caftes.. Voye\ TRICON, SÉQUENCE d POINT.
_ .Celui qui gagne la partie par le point ne tire
que.la-.poùljé ;ícelui qui gagne par une !séquence,
gagne un îjeton de chaque joueur avec là.poule,
& celui qui gagne avec tricón en. gagne deux outre
la poule. …-•'-Souvent les joueurs ne trouvent point à s’accommoder
dès la première donne , rrtialgré tpus
les échanges qu’ils aient pu faire, & pour lors
celui qui a> fait prend-le talon & donne une carte
à.chaque joueur, qui.lui en rend une autre à la
place, en commençant pan la droite & mettant
toujours les: cartes, iéchangées fous> le : talon ; mais
il faut que tous les joueurs y consentent, sinon
Ton refait. : .■ ….--•: . .Quand on a reçu cette carte du talon, on fait
Téchange comme auparavant, en s’accommodant
l’un Tautre jusqu’à ce qu’un des joueurs ait.fait
son jeu. Si les joueurs ne s’accoifimodoient .point
encore , on pourroit donner unê Teconde carte,
ce qui pourtant h'arfive guère, non plus ;qúe_de
faire plus de deux donnés à ce jeu. :Celui qui donne mal n’est ténu que de refaire.
Lorsque le jeu est reconnu faux , lé coup est nul,
mais les précédens sont bons ; & fi même le còup
©ù Tpn sapperçoit que le jeu est incomplet étoit
fini, & que quelquun eût -gagné, le coup seroit
estimé valide. ■COMMUN , en Géométrie , s’entend d’un angle,
d’une ligne, d’une surface, ou de quelque chose
de semblable qui appartient également à deux
figures, & qui fait une partie nécessaire de Tune
& de Tautre. Voye\ FIGURE.Les parties communes à deux figures fervent à
trouver souvent T égalité entre deux figures différentes
, comme dans le théorème des parallélogrammes
fur même base & de même hauteur, dans
celui de la quadrature des lunules d’Hippocrafe, de.
Voy. PARALLÉLOGRAMME , LUNULE , &c (O) COMMUNICATION du mouvement ( Méch.) ,
est Taction par laquelle un corps qui en frappe
un autre, met en mouvement le corps qu’il frappe,L’expérience npus fait voir fous les jours que
les corps se communiquent du mouvement les uns.
faix autres. Les philosophes pnt enfin découvert
Jes sojx suivant lefquellçs se fait cette CQmmWrCation, après avoir long-tems ignoré qu’il y eit
eût, & après s’être long-tems trompé fur,les "vér
niables. , Ces loix confirmées par 1 expérience &
par le raisonnement, ne sontvplus révoquées en
doute de la plus faine partie des: physiciens. Mais
la raison métaphysique , & le principe primitif
de la communication, du mouvement, sont sujets,à.
beaucoup de difficultés. Ì ■ . - •r ■ Le P. Malebrailche prétend que la communication
du mouvement n’est point nécessairement dépendante
de, principes physiques, ou d’aucune
propriété des corps, . mais qu’elle procède de la
volonté & de Taction immédiate de,Dieu. Seloa
lui, il n’y a pas plus de connexion entre le mouvement
ou le repos d’un corps, & le mouvement
ou le repps d’un autre, qu’il n’y en a entre la
forme, la couleur, la'grandeur ,'de. d’un corps &
celle d’un autre ;-& ce philosophe conclut de-là,
que le mouvement du corps choquant n’est point
la cause physique du mouvement du corps choqué.II n’y a point de .cloute que la volonté du Créateur
ne soit la cause primitive & immédiate de la
communication du mouvement, comme de tous les
autres effets de la nature. Mais s’il nous est permis
d’entrer dans les vues de TEtre suprême , nous
devons croire que lés loix de la communication du
mouvement qu’il â établies, sont celles qui convenoient
le .'mieux-à* la sagesse& à la simplicité de ses
desseins. Ce principe du P. Malebranche, qu’il n’y a
p as plus de connexion entre le mouvement d’un corps d
celui d’un autre , qu’entre la figure d la couleur de
ces corps , ne paroît pas exactement vrai : cas il est
certain’ que lá figure & la couleur d’un corps
n’influent point fur celles d’un autre ; au lieu que
quand un corps A en choque un autre B , il faut
nécessairement. qu’il arrive quelque changement
dans Tétat actuel de l’un de ces corps, ou dans
Tétat de tous les deux ; car le corps B étant impénétrable
, le. corps A he peut continuer son
chemin suivant laidirection qu’il avoit , à moins
que le corps B ne soit déplacé ; ou si-le corps A
perd tout son mouvement, en ce cas ce corps A
change par la rencontre du corps B: son. état de
mouvement en celui de repos. C’est pourquoi il
faut nécessairement que Tétat du corps B change t
ou que Tétat du corps A change.De-là on peut tirer une autre conséquence ; c’est
que Timpénétrabilité des corps , qui .est une
de leurs propriétés essentielles, demandant nécessairernenf'que
le choc de deux corps produise du
changement dans leur état, il a été nécessaire au
Créateur d’établir des lóix générales pouf ces chatv
gemens : òr quelques-unés de ces loix ont dû né »
cessaircment être déterminées par la feule impénétrabilité,
& en général par la seule essence des
corps : par exemple, deux corps égaux & semblables
, fans ressort, venant se frapper directement
avec des vitesses égales, c’est une fuite nécessaire
de leur impénétrabilité qu’ils restent en repos. 11
en est de même, si les masses de ces corps foat
- ■ -C O M- '
c 'o m :: m■en raison inverse de leurs vitesses. Or si d’après ceÎirincipë, on peut déterminer généralement lés
oix.d 6 la communication du mouvement, ne scrawlpas
bien vraisemblable que ces loix sont celles
que le Créateur a dû établir par préférence, puisque
ces loix seroîent fondées fur des principes auffi
simples qu’on pourroit "le désirer, & liées-eri
quelque manière à une propriété, dès’corps’ àuffi
essentielle que Timpénétrabilité ? . ' : '  !Loix de la communication du mouvement. Dans la
fuite de cet article ,'nous-appellerons mouvement
■d’un corps pu degré de mouvement , un nombre
qui exprime le produit de la masse de ce corps
par fa vitesse  ; èV en effet il est évident que le
mouvenient d’un corps est d’autant plus grand que
fa masse eft plus grande , & que fa vitesse est plus
grande ; puisque plus sa mafle & sa vitesse sont
grandes j plus il a de parties qui fe meuvent, tk
plus chacune de ces parties a de vitesse.Si un corps qui se meut frappe un autre corps
déja en mouvement, & qui te meuve dans la
même direction , le premier augmentera la vitesse
du second , mais perdra moins de fa vitesse propre
que fi ce dernier avoit été absolument en repos.-Par exemple, si un corps en mouvement, triple
d’un âutre corps en repos, le frappe avec 32d de
. mouvement, il lui communiquera 8d. de son mouvemement,-&
n’en gardera que Ì4 : fi Tautre corps
avoit eu déja 4d de mpuvement, le premier ne
lui en auroit communiqué que 5, & en auroit
gardé 27 , puisque ces 5d auroientiété fuffifans par
rapporta Tinégalité de ces" corps, pour les faire
Continuer-à se mouvoir, avec la même vitesse ; En
effet j dans le premier cas, les mouvemens après
le choc étant <8 tk 24, & les masses 1 & 3, lés
vitesses seront 8 & 8, c’est-à-dire, égalés ; & dans
le second cas, on trouvera de même que les vitesses
seront 3 & f). - ■' On peut déterminer de la même manière les
autres loix de la communication’.du:-mouvement’,
pour lès corps parfaitement durs &: destitues, de
toute: élasticité. Mais tous les corps durs-quenous
eonnoissóns étant en même tems élastiques, cette
propriété rend les lòix- de la" communication 'da
mouvement fort différentes, & beaucoup plus compliquées.
'. -:.:..'.-..:Tout corps qui en rencontre un antre, perd
nécessairement -une: 'partie' -plus : ou moins grande
du mouvement-qtí-'ilá'au moment de larencontré ;
Ainsi, un corps qui a déja :perdu -une partie de
son mouvement par la rencontre"d’umautre corps
en perdra encore davantage par la rencontre d’un
second, d’un troisième. C’est pour cette raison
qu’un corps qui fe meut dans ún fluide , perd
continuellement de fa vitesse , parce qu’il rencontre
continuellement des corpuscules, auxquels ;il
en Communiqué une partie. ' • ,■■D où il s’enfuit ,:i ;° que si .deux corps homogènes
de ' différentes masses, "se meuvent en ligne
droite dans tin"■fluide avec h même Vitesse ,íeplus grand conservera plus song-tems son mouvement
que ie plus’ petit i car Tes > vitesses étant égales
par la, supposition ,-les’rnoûvemèns de ces corps
font comme leurs masses, & chacun communique
de son mouvement aux corps qui- s’environnent,
& qui touchent fa surface èn raison de la grandeur
de cette même surface.'''©f- quoique le plus
gr-ancT corps "ait plus-de surface:absolument que le
plus petit, ij en a moins à proportion, comme
nous:I allons prouver ; dpnc- il perdra à chaque
instant: moins’ de' son mouvement que le plus
petit. ; -"-Supposons, par exemple, que le côté d’un cube
A soit de deux pies, & celui d’un cube B d’un
pié ;;les surfaces íéront comme 4 à r,'-& les masses
comme'8 àj 1  ;rc’est pourquoi si ces corps fe meuvent
avec la mème vitesse , lè cube A aura huit ;
fois plus de . mouvement ' que ; le cube B : donc ,
afin que chacun parvienne au repose en même'
tems, le cube A' doit perdre à chaque moment
huit fois plus de son mouvement que le cube B :
mais cela est impossible ; car leurs surfaces étant
Tune,à l’autre-comme 4 a 1,1e corps.A'ne.doit
perdre que quatre fois plùsrde mouvement que le
corps B., en. supposant ( ce qui n’est pas fortéloigné
du vrai ) que la quantité du mouvement
perdue, est proportionnelle à la surface : c’est
"pourquoi quând le cube. B deviendra parfaitement
en repos, A aura encore une grande partie de
son mouvement. ., r 2. 0 De-là nous voyons la raison•. pourquoi un
: corps fòw long,, comme un dard,. lancé selon - fa
j longueur, demeure, en mouvement beaucoup-plus
i lorig-fems , que quand il est lancé trahve-rfalèment ;
| -car quand :il est lancéí suivant sa longueur, ií
 ; rencontre dans fa "direction un plus petit nombre
\ de corps auxquels il est obligé de communiquer
son mouvement, que quand il est lancé transver|
salemenr. Dans le premier cas, il ne choque que
| fort’■.peu ;de' corpuscules !par fà pointe ; & dans le
i fecoridi cas, if chèque-tous: les corpuscules: quifont disposés suivant fa-longueur.y :- ;:,"'
' - ^°-Dè-là) ilíslif qu’urìíeorps:.qúi se meut presque
 ! entièrement sur lui-même:,: de sorte qu’il communique-peu
de son mouvement aux corps environnans-,
doit conserver.son mouvement pendant un
long-tems.'-C’est pour, cette raison qu’une boule
. ider laiton’' polie V d’un demi-pié de diamètre,
■portée sur un’axe délié &poli , ,.& ayânt reçu'
mne ásiez "•"petite-." impulsion _, : foùrnera sur elle- :
même pendant un tems considérable. Voyti Ri ».^ISTANCE-^ê'C. : :' : rAu reste, quoique Texpérience & le raisonne-'
ment nous aient instruits fur les loix de la communication
du mouvement, nous n’en sommes pas
plus éclairés fur .le. principe métaphysique de
-cette communication. Nous ignorons par quelle
vertu un corpspartage, pouf ainsi dire, avec ún
.autre lé mouvement qu’il a. ; le mouvemenfrt’étanr.
rien de réel ea lui-même,.mais, une simple ma ?û7éC q m r.. . C ô mnière d’être du corps j dont, la toUtruinìcationv^
aussi difficile à comprendre que ; le.ferott .celle, du
repos d’un .corps á.un autre, corps. Plusieurs. !phi-:
lolòphes ont imaginé les mots: de force, de puissance
, d’adion’, &.C. qui ont .embrouillé cette
matière au lieu de ¥ éclaircir, ::ífÇoyei ces mots.
Tenons-nous en doìic. au simple-fait, &. avouons
de bonne fo' notrej.ignoranceJsttr: la cause première.
(O) ',\ • .< ■'..'■ \.. i ; ■ '■'< ^.- ■.■■■:COMMTJT.ATION,(:4/|ronomí'e) distarice entre
le lieu xle la terre: vue du soleil.9 ; & lé lieujd’uné
planète réduit à l’écliptique.Ainsi l’angle P S T ( Planches d’Astronomie,
fig-$3> ) qui a.pour base la dislance entre le vrai
lieu rde la terre.en J’., &.-. celui'd’unè planète ! P
vue du soleil réduit à l’écliptique.., eû l’angle de
commutation. - .. ■-, ■'•■ :.''• ! ■-' ', • La scommutatìorí que les .astronomes employent
pour calculer le lieu géocéntrique d’une planète j
le forme en soustrayant la longitude du soleil de
la longitude héliocentrique d’une planète inférieure-,
mais celle de la planète supérieure s’ôte de
la longitude.du soleil-, on a, par ce moyen, une
commutation différente de six signes de celle que
nous venons d’expliquer^ mais cela est un peu plus
commode dans les calculs. '■:'■:■:■ -j"-Copernic áppelloit commutation, cé que nous
appelions parallaxe annuelle, ou la différenceìqui*
servoit à trouver le lieu d’une planète.ou de la
terre, par le moyen du lieu vu du soleil.
'■■■ Kepler áppelloit .anbmalie< de commutation .$ la
différence-entre le lieu- de,, la ^planète vu 'du soleil
& Ie lieu moyen, de,la .terre.- ,.-. n ' : •COMPAGNIE ^ règle ]Je/compagnie ^/Arith.) 
La,règle de icompagnie 1 est- ; .une opération .par ía^
qtielleplusieurs marchandsiou etitrepréne.urs.ayant
mis ensemble des fonds pour un même objet, on
partage le gain ou lá perte, proportionnellement à
leurs’mises* • '■• … v.:J ; ;>i :.. .0. ,. ;,' La írègle de  ;<tr.oís répétée ; plusieurs-fois .est :1e
fondement 'de. la- règle-.de -compagnie ,,-& satisfait
pleinement à toutes les.quëstions ;dè cêtte .eïpèce j
car la'mise dé. chaqueopârtiçuliér:) doit être .à -sa
■part du gain ou "de lá'perte ,' .comme le fondsïotal
est à.la'pertejOuau gain total : donc il faut additionner
les différentes sommes d’argent que les associés
ont fournies, pourenifaire le'premier.:terme-, ;le
gain 'ou la perte .commune fera le-secqndr, chaque
mise particulière sera le troisième/,,&il faudra répéter
la règle de' trois autanrde- fois- qu’il y,ta
idaílbsiés.. … ..u -, : r Ï-..-:::'■ >■' :,■:'.:■■■Cette règle a deux cas : il y a différens tems à
, observer, où il n’y en a point.
- La règle de compagnie , sans dislincìion de teins,
est celle dans laquelle on ne considère que la
quantité de fonds que chaque associé a fourni,
sens avoir égard au tems que cet argent a été em.-'ployé,
parce.que l’on suppose que tous les fonds
ont été'mis dans le même tems.'Un exemple rendra
fette:opération facile… . .  ;.'..'-.. .. ,fA ;jCE', & C, onr chargé un vaisseau de li£
tonneaux "de vin-, A a fourni 1342 liv.'B -117-8'liv.
& C 630 liv. toute la cargaison est vendue à raison
de 32 íiv. chaque tonneau ; On demande combjen
il revient à chacun ?. Trouvez le produit entier du vin en multipliant
21 z par 32 , qui revient à 67S4 liv. ensuite ajoutant
ensemble ; les mises particulières 1342 liv.',
1178 & 630 liv. qui font 3150 liv. Topération
fera ;X 1342 est à 28510. '
3150:6784 •{ i 178 est à 2537.
/-''• (. 630 est à 1356.Preuve…*-•….3150 6783. . .■ '"■-.,•■ (Chambçrs.)  1La raison pour laquelle on. n’a point d’égard’
aux tems dans cette régie, c’est qu’étant le même
pour chaque misey- il doit influer également fuir
íe gain ou la perte que chacune doit porter. Mais
il n’en^est pas de même, lorsque le tems de chaque
mise est différent. C’est- ce qu’on appelle règle de
compagnie par tems, & qu’il est bon d’expliquer
a vèe clarté, d’autant que plusieurs de ceux qui en
pntjparlé yont laissé des difficultés. … -,Supposons deux particuliers, qpev pour plus
de facilité,, je distinguerai par A & par B ,
qui-aient fait ensemble une société. L un met
au premier janvier lá somme a', & au premier
avril la somme h ; le second met au premier janvier
la somme c, au premier juillet la somme
d ; & au bout de quinze ìnóis, il leur vient la
somme e , qu’il faut partager entre eux. On
demande de quelle manière on la doit partager ?11 éïl évident que la mise.de chacun doit être
regardée, comme un fonds qui travaille pendant
tout le teins qui s’écoule depuis cette mise jusqu’aux
' tems ■ du -profit’ ; que par conséquent on
peut la regarder i comme :de. J’argent placé rk un
. certain, denier:XJ dont la quantité dépend de la
somme.e.. De plus^ ce denier, doit ,être le même
pour chacun des-intéressés, il n’y aura,que le-plus
ou moins de tems qui fera varier le profit-, en forte
que,: fi x a est le denier x de a. pour un mois,
xb, xc, xd, feront auffi le denier de *b-c, &c.
pour un mois.. :.-■ '.,.,■ :. ' 11 fautifavoinanaintenân^ sur-quel pié, Pintérêt
doit ijêtoe ; envisagé ici  ; il.-est ; simple ou composé.
-,Pbyfi{ INTÉRÊT.-C’est, une chose qui. dépend uniquement:
de la convention entre lesántéressés..C’est
 ; ce qu’on a déjà faitsentir.à Xarticle ARRÉRAGES-,
&-qui sera'expliqué plus en détail à Varticle IN-T
TÉRÊT. On-regarde ordinairement l’intérêt comme
simple dans ces sortes de calculs ', nous allons d’abord
le.çonsidérerisous ce.point ide v-ué,._n>',.■■■. ■•i," Supposons que l’intérêt soit simple, que*•soit le denier de. la somme 'a pour un mois ; il estcertain .que la. sommer miseau 1".janvier,, doit,| aucbout des quinze »ojs -produire a ( 1 -\-15*) >. -'cou. c o m 377jae la somme b mise au 1" avril, & travaillant j
nendánt douze mois, doit, au bout des douze
niois, produire 5(i-f-12 x) -, que la sommée mise |
au 1" janvier produira c ( r + 15 x )  •, & que la
somme d mise au icr juillet, & travaillant pendant
neuf mois, doit produire d ( 1 -(-9 z). Or
ces quatre quantités mises ensemble doivent être
égales à somme retirée e. Donc a -\- b -f- c -j- d
 ; + 15 ax -f- 11b x -j- 15 ci -j- o dx=ie.Ce —a—6—c — d
onc X =15 a+ 12. Z> -J- 1 s c -}- 9 'í "Donc la somme a -f- 15 a a ; -j- 6 -f- 12. bx gagnée
'par le premier fera« + Í4-IJÛ£— Ijaa — isba — ijac— 15 a d
IS<z-r" iîi-f- 15 c4-9<£
. Tîtí—I2a&— izbb—izbc — i ?bdT —— r—r^—""i—-, ? laquelle lera15^-f- I2P-f- Ijc-fr- 9 d ' - ^. 15 a « — 3 £>a — Se T2&c-j- ;a& -}- ;fi,r- ; rffr* 'ija+'iii.+ lçc-r-9á' Ija+ I2í) -j-rs c4-y<f ?& ainsi des autres.Si l’intérêt est composé, én ce cas, au lieu 3e
. è. (1 -f 15*) , il faudra a ( 1 -fï) I !.fo. & l’on
aura a ( I -f x ) '-* -f i ( 1 -f x ) " -f c( 1 +*) "
-^i(i-f- ;r) 9 = e. Equation beaucoup plus difficile
à résoudre que la précédente , mais dont on
peut venir à bout par approximation.11 me semble que, dans les règles de compagnie ,
©ri devroit traiter l’intérêt comme composé -, car
tout intérêt est tel par sa nature, à moins qu’il
n’y ait, éntre les intéressés, une convention forïnelle
du contraire -, voye\ INTÉRÊT & ARRÉRAGES.
Mais il semble que l’usage, sans qu’on
sache trop pourquoi, est dé regarder 1 intérêt comme
smrple dans ces sortesd’associations.Quand le tems des mises est égal , alors, soit
qu’on regarde l’intérêt comme simple ou comme
composé, il est inutile d’avoir égard au tems. En
effet, supposons que les deux mises soient a & c,
on a dans le premier cas a (1 -f 15 ar) -fc (í-J-i^5=e ;doncar= $&■- 1.5 a ■+- 15 c0 + I5 ÍI= —i- —à ; : d’ou l’on voit que le gain de a est à la:mise comme le gain total e est à la misé totale
a -f- c , ainsi que le- donne la règle de compagnie ,
où l’on n’a point d’égard au tems.
Si l’intérêt est composé, on aura a ( i -J-*) ' 5-f c ( 1 -f *-) ".= « ; donc {ï + z-y = ^-c  ;donc a ( 1 -f x ).** == JTT^J ce qui donne encorela même analogie.II y a cependant une observation à faire dans
la règle dt compagnie par tems , quand l’intérêt est
simple. Je suppose , comme ci-dessus , que l’in’
ì&thtmatiaues. Tome I, I.'Ti Partie.téressé" À mette a au mois de janvier & b au mois-,
d’avril: il est évident qu’au premier avril, a (1 -(- $x) 
exprimera ce que l’intéressé A doit retirer , ou
plutôt fa véritable mise  ; & cette mise étant augmentée
de b, on aura ( i -j- 3 * ) + 6 pour sa
mise au premier avril. Or cette mise étant multipliée
par ( 1 -j- 12 x )  donnera [a(i-f-3a:-J-&J
X(i-J-I2ar) pour la mise totale de A la fin des .
quinze mois , ce qui diffère de a -f- 15 ax -j- b
-j- 12 b x qu’on a trouvé ci-dessus pour la mise
totale de A , puisque cette mise est plus petite de
la quantité 5 Z> a x x ; comment accorder tout cela ?
en voici le dénouement.Tout dépend ici de la convention mutuelle des
intéressés-, c’est précisément le même cas que nous
avons touché dans Y article ARRÉRAGES, en supposant
que le débiteur rembourse au créancier
une partie de son dû. En multipliant a -( 1 -j- 3 X }
par ( 1 -(- 12 x ) , l’intérêt cesse d’êrre simple ri- (
goureusemeiìt parlant, puisque l’intérêt de a, qui
devroit être 15 ax , est 15 a x -f- 3 b a x x. C’est
pourquoi l’intérêt étant supposé simple, il faut
prendre simplement a -j- 15 a a: -f- i-j- 1262: pour
la mise de A, à moins qu’il n’y ait entre les intéressés
une convenfion formelle pour le contraire. Cet
inconvénient n’a pas lieu dans le cas de l’intérêt
composé ; car a ( I -f- x ) '5 -(- b ( 1 -f- x )  " ou
O ( 1 +x) \ + b ] -f ( 1 + *) "sont la même "
chose : ce qui prouve , pour le dire en passant,
que l’intérêt doit psr sa nature être regardé comme
composé , puisqu’on trouve le même résultat de
quelque manière qu’on envisage la question.Si l’un des intéressés, par exemple B, retire
de la société la somme / au bout de trois mois,
alors dans le cas de l’intérêt composé il faudra
ajouter à la mise de A la somme /( I -f x )  I%,
& retrancher de la mise de B la mêmé somme,
& achever le calcul é comme ci-dessus, en faisant
la somme des deux mises égales,à e. Si l’intérêt
est simple, il faudra retrancher/( 1 -f- 12.r) de
la mise de B , & f ajouter à la mise de A , ou ( sl
la convention entre les intéressés est telle ) il
faudra prendre pour la mise de A, [ a ( 1 -f- 3 x ) 
-\-f-\- b ](i -j- m)  ; & pour celle de B il faudra
d’abord prendre [ ç ( I -f 3 * ) —/] -f [ 1 -f- 3 * ]  ;
ajourer cette quantité à d, & multiplier le tout
par 1 -J- S>x > PU'S ^re ^a somme des deux mises
égales à e. ^,11 est évident que , quel que soit le nombre des
intéressés, on pourra employer la même méthode
pour trouver le gain ou la perte de chacun. Ainsi,
nous n’en dirons pas davantage fur cette matière.
Nous aurions voulu employer un langage plus à
ja portée de tout le monde que le langage algébrique
-, mais nous aurions été beaucoup plus
longs, & beaucoup moins clairs : ceux qui entendent
cette langue n’auront aucune difficulté à
nous suivre. " " ■ . » .On peut rapporter aux règles de compagnie ou
.de jpartage cette question souvent agitée. Un père.B b b  !37S c o m - c o men mourant laisse fa-femme enceinte, & ordonne
par son testament que si fa femme accouche d’un
fils, elle partagera son bien avec ce fils, de manière
que la part du fils soit à celle de" la mère
comme a à ì>, & que si elle accouche d’une fille,"
elle partagera avec la fille , de manière que la part
de la mère-soit à celle, de la fille comme c h d.
On suppose qu’elle accouche d’un fils & d’une
fi île, on demande comment le partage doit se
faire. ■ ■ • .Soit A le bien total .du père, a.-, y, ç les parts’
du fils, de la mère & de la fille. Iì est évident,
l.° que a: -\- y -f- [ =A ; 1." que suivant, l’inténtion
du testateur , x doit être à~ y comme aest à b. Donc y = — ; ; 3.° que, suivant l’-intentiondu même testateur, y doit être à 1 comme> T i-v dr d b x y-. . b xc a d. Donc 2 = —- = —■—. Donc x -f- -—xc a c ' aAhx " • • --j- -"—' ^=A. Equation qui servira à résoudre leproblême.Plusieurs arithméticiens ont écrit fur cette question
qui les a fort embarrassés. La raison de leur
difficulté étoit qu’ils vouloient la résoudre de manière
que les deux parts du fils & de la fille
fussent entr'elles còmme a est"à d, & qu’outre
cela la part du fils fût à celle de la mère comr-e
a est à b, 6k celle de la mère à celle deia.fille
comme c est à d. Or cela ne peut avoir lieu quand
b =: c. Leur difficulté se seroit évanouie 's’ils avoien t
pris garde que le cas du fils & de la fille n’ayant
été nullement prévu par le testateur , il n a eu aucune
intention de régler le partage entre-le fils
& la fille, c’est uniquement entre le fils &■ la
mère, ou entre la fille & la mère, qu’il a voulufaire
un partage. Ainsi, en faisant x-l y ',1 a ' è ,
&.y l ll ■', c ;i,-ona satisfait à. la question suivant
l’intenrion du testateur, & il ne faut point
-s’embarrasser du rapport qu’il doit y avoir entre
x & [. Une preuve que ce prétendu rapport est
illusoire, c’est que fi, au lieu -du rapport de c
à d , on mettoit celui de nc à n d, qui lui est
égal, il faudroit donc alors que x &. 1, au lieu
d’être entr'eux comme a est à d , fussent entr'eux
comme a est à n d. Ainsi, cemme n peut être pris
pour un nombre quelconque, la question auroit
une infinité de solutions, ce qui seroit ridicule. (O) COMPAS, s. m. ( Ge'om.) , instrument de Mathématique
, dont on se sert pour décrire des cercles
& mesurer des lignes, &c. Voye\ CERCLE ,
LIGNE, &C.Le compas ordinaire est composé de deux: jambes
ou branches de laiton, de fer ou de quelque autre
métal, pointues par en-bas, & jointes en-haut
par un rivet fur lequel elles se meuvent comme
fur un centre.Qn attribue' l’invention du compas à Talaus,
neveu de Dédale par fa soeur. Selon les poètes.,
Eédale conçut une telle envie contre Talairs, qu’ille tua. L’auteur du labyrinthe, de Crète ne devoií
pourtant point être jaloux d’un compas.Nous avons aujourd’hui des compas de différentes
espèces & constructions, comme des:COMPAS à t’ois branches. Leur construction est
semblable à celle des compas ordinaires, excepté
qu’ils ont une branche de plus. Ils servent à prendre
trois paints à-la-sois, & ainsi à former des triangles,
à placer trois positions à-la-fois d’une carte que l’on
veut copier, &c.L* ic-mpes h verge consiste en une longue brandie
ou verge, portant deux curseurs ou boîtes de laiton ,
l’une fixée à un,bout, l’autre pouvant glisser le long
de la verge avec une vis, pour l’assujettir suivant
le besoin. On peut visser à ses curseurs des pointes
de toute espèce, soit d’acier ou de quelque autre
chose semblable. On s’en sert pour décrire de grands cercles
 ou prendre de grandes longueurs.
..-. Le ccr.ipas_d’anisan est fort & solide, son usage
ordinaire étant de servir, à couper le carton, le
cuivre, &c. II est traversé par un quart de cercle,
afin qu’on puisse l’arrêter fixement à une ouverture
, en serrant une vis qui appuie fur le quart
de cercle.Le compas a l’allemande a ses branches un peu
courbées, ën forte que les pointes ne se joignent que"
par les bouts.' COMPAS à pointes changeantes. On appelle ainsi
des compas qui ont différentes pointes, que l’on
peut ôter & remettre selon le besoin. Ils sont fort
utiles dans les dessins d’Architecture, où il s’agit
âssez souvent de faire des traits bien formés, bien
distinòls &'très-déliés.COMPAS a rejson. Ce compas est fait tourd’acier
trempé, & fa tête est contournée'de manière qu’if
s’ouvre de lui-même par son ressort  ; la vis qui le
traverse en arc sert à l’ouvrir & à le fermer à volonté
par Je moyen d’un écrou. Cette sorte de compas
est fort commode pour prendre de petites me-,
sures & faire de petites divisions  ; mais ils doivent
être un peiucourrs, & trempés de manière qu’ils
fassent bien ressort & qu’ils ne cassent pas.COMPAS, à pointes tournantes : c’est une nouvelle
invention de compas pour éviter l’embarras de changer
de pointes  ; son corps est semblable au compas
ordinaire-, vers le bas & en-dehors, 011 ajoure aux
pointes ordinaires deux autres pointes-, dont l’une
porte un crayon, & l’autre sert de plume-velles
font ajustées toutes deux de manière qu’on puisse
les tourner au besoin.Quant à la trempe de ces compas, les pointes
des petits se trempent par le moyen d’un chalumeau
& d’une lampe-, on les fait chauffer jusqu’à
ce qu’ils soient rouges-, on les laisse refroidir, &
elles sont trempées, c’est-à-dire durcies.Xes pointes
plus grosses se trempent au feu de charbon &avec le
chalumeau-, on les chp.uíîe jusqu’à ce qu’elles soient
d’un rouge cerise, & on les plonge ensuite dan%
l’eau. [Harris & Çhambers. ) -com ~ c o m 179.. COMPAS de proportion. Cet instrument de Mathématique,
que les Anglois appellent se Heur, est
'd’un grand usage-pour trouver des proportions
entre des quantités de même espèce, comme entre
lignes & lignes , surfaces & surfaces, &c. ; c’est
pourquoi on Pappelle en France compas de proportion.Le grand avantage du compas de proportion/fur
les échelles communes, consiste en ce qu’il est fait
de telle sorte, qu’il-convient à tous les rayons &
à toutes les échelles. Par les lignes des cordes,,
des sinus, &c., qui font fur le compas de proportion,
on a les lignes des cordes, des sinus, &c.,
d’un rayon quelconque, comprises entre la longueur
& la largeur du seâeur ou compas de proportion
quand il est ouvert. Voye^ ECHELLE 6.
LrGNE. ■Le compas de proportion est fondé fur la quatrième
proposition -du sixième livre d’Euclide, où
il est démontré que les triangles semblables ont
leurs côtés homologues proportionnels. Voici comment
on peut en prendre une idée. Supposons que
les lignes AB , A C (PI. Ge'om.sig. 38)  soient les
jambes du compas, & que AD, A E représentent
deux sections égales qui passent par le centre ou
qui partent du centre ; fi alors on joint les points
C,B & D,E, les lignes CB , DE seront parallèles
: c’est pourquoi les triangles AD E , AB Cfont
semblables, & par conséquent les côtés AD,
DE, AB & B C font proportionnels-,"c’est-àdire
que A D. D E : : AB.BC: donc si A D est
- la moitié, le tiers ou le quart de AB, DE fera
aúffi la moitié, le tiers ou le quart de B C. II en
est de même de tout le reste. C’est pourquoi si AD
est corde, sinus où "tangente d’un nombre quelconque
de degrés pour le rayon :A B , D E fera
1a même choie pour le rayon B C. Voy. CORDE ,
. SINUS, &C.Description du compas de proportion. Cet instrument
consiste en deux règles ou jambes égales de
cuivre -ou d’autre matière , rivées l’une à l’autre,
en forte néanmoins qu’elles peuvent tourner librement
fur leur charnière. Vcye[ fa figure (Plan,
.ge'om, fig. 39). Sur les faces de cet instrument sont
tracées plusieurs lignes, dont lés principales font
la ligne des parties égales, la ligne des cordes, la
ligne des sinus, la.ligne des tangentes, la ligne
des sécantes & la ligne des polygones.- La ligné des parties égalis, que l’on -appelle auffi
ligne des .lignes, marquée L, est une ligne divisée
en 100 parties égales ; & quand la longueur de la
jambe Ie permet, chaque partie est subdivisée en
moitiés & quarts. Cette ligne se trouve sur chaque
jambe du compas & du même côté, avec les divisions
marquées 1,2,3, 4, &c., jusqu’à 10, qui
est vers l’extrémité de chaque jambe. Remarquez
que dans ía pratique, 1 est pris pour 10, ou 100,
ou icoo, ou 10000, &c.,- suivant le besoin -, en
ce cas, 2 représente 20, ou 200, oa 2000, &c.,
& ainsi du reste. La ligne des £ordes marquée Cfur chaque jambe est divisée suivant la manière
ordinaire, & numérotée 10, 20, 30 , &c., jusqu’à
60. Voyei CORDE. La ligne des sinus, marquéefur
chaque jambe par la lettre S, est une ligne
des fihus naturels, numérotée 10, 20, 30, &c. s
jusqu’à 90. Voyei SINUS.La ligne des tangentes , marquée fur chaque
jambe par la lettre T, est une ligne des tan-gentes
naturelles, numérotée 10 , 20 ,--30 , &c., jusqu’à''
45. Outre cela, il y a une autre petite ligne des
tangentes fur chaque jambe, qui commence à 48°
& s’étend jusqu’à 75° -, elle est marquée par la lettre
t. Voyc^ TANGENTE. La ligne des sécantes, marquée
fur chaque" jambe, par lav lettre S, est une
ligne des sécantes naturelles, numérotée 10, 20,
30, &c. /jusqu’à 75. Cette ligne ne part pas da
centre de í'inftrument j son commencement en est
distant dé deux pouces. Voye^ SÉCANTE. La ligne
des polygones, marquée par la lettre P fur chaque
jambe., est numérotée 4, 5, 6, &c., jusqu’à 12 ;
elle commence à trois pouces du centre de l’instrument.
Voye^ POLYGONE.Outre ces lignes, qui sont essentielles au compas
de proportion ,11 y en a d’autres proche de ses bords
extérieurs fur l’une & l’autre face, & parallèles à
ces bords ; elles servent auffi. à des usages particuliers
dont nous parlerons.Les lignes que l’on trouve par le moyen, du
compas de proportion font de deux espèces ; elles
sont latérales ou parallèles. Les premières font
celles que l’on -trouve fur la longueur des côtés
de cet instrument, comme AB , A C ( fig.'38 )  ;
& les dernières, celles qui traversent d’une jambe
à l’autre, comme DE, CB. R epi arquez que Tordre
ou l’arrangement des lignes fur les compas de pro,
portion "les plus modernes, est différent de celui-qui
est observé sur. les anciens-, car la même ligne n’est
pas mise aujourd’hui à la même distance du bord
de chaque côté : mais la ligne des cordes, par
exemple, est la plus intérieure d’un côté, & la
ligne, des tangentes fur l’autre. L’avantage en.est
que quand Tinstrument est mis à un.rayon pour
les cordes, il sert auffi pour les sinus & les tangentes
, fans que l’on toit obligé d’en changer l’ouverture
:. car là parallèle entre les nombres 60 & <So
des cordes, celle qui est entre les nombres 00 & « jcï
des sinus, & celle qui est entre les nombres.45 & 45
dés tangentes, fout toutes égales..( Chambers.) La description que l’on vient de donner de cet
instrument, est conforme à la construction ang'oise.
Les 
. Ebbij
compas de proportion qui composent ce que l’on
appelle en France un e'tui de Mathématiques, consistent
auffi en deux régies assemblées comme cidessus,
dont chacune a pour Tordinaire 6 pouces
de long.,-6 à 7 lignes de large, & environ-2 lignes
d’épaisseur. On en fait de plus petits, pour avoir
la commodité de. les porter dans la-poche, & deplus
grands pour travailler fur le terrein, dont on
proportionne la largeur & l’épaisseur. On. a coutume
d’y tracer 6 sortes de lignes ; s ?"oir, la ligna
 ?8ó' C O M ' G O M
■ícs parties égales, ctlle des plans & celle des polygones
d’un côté ; la ligne des. cordes, celle des
'solides & ceile des métaux de l’autre côté des jambes
.de cet instrument.On met encore ordinairement fur le bord d’un
côté une ligne divisée, qui sert à connoítre le calibre
des canons, & del’aurre côté une ligne qui
sert à connoítre le diamètre & le poids des boulets
de fer, depuis un quart jusqu’à 64 livres.Usage de la ligne des parties égales du compas de
proportion. Pour diviser une ligne donnée en un
nombre quelconque des parties égales, par exemple
en sept, prenez la ligne donnée avec votre compas ;
mettez une-de ses pointes fur une division de la
ligne des parties égales, en sorte que cette longueur
puisse être exactement divisée par 7 ; mettez-la, par
exemple, sur 70, dont la septième partie est 10 ;
ouvrez la section ou plutôt le compas de proportion,
jusqu’à ce que l’autre pointe tombe exactement sur
le nombre 70 de la même ligne des parties égalés
tracées fur l’autre jambe : dans cette disposition,
fi Ton met une pointe du compas au "nombre 10
de la même ligne, & qu’on lui donne une ouverture
telle que son autre pointe tombe au nombre
10 de la même ligne tracée fur l’autre jambe, cette
ouverture fera la septième partie de la ligne donnée.
Jlemarqucz que si la ligne à diviser est trop longue
pour être appliquée aux jambes du compas de proportion
, on en divisera seulement une moitié ou
une quatrième partie par 7, & le double ou le
quadiuple de cette ligne sera la septième partie de
la ligne totale.2. 0 Four mesurer les lignes du périmètre d’un
polygone, dont un des côtés contient un nombre
donné de parties égales, prenez la ligne donnée
avec votre compas, &. mettez-la fur la ligne des
parties égales, au nombre de parties fur chaque côté
qui exprime fa longueur ; le compas de proportion
restant dans cet état, mettez la longueur de chacune
des autres lignes parallèlement à la première, -,
& les nombres où chacune d’elles tombera exprimeront
la longueur de ces lignes.3. 0 Une ligne droite étant donnée & le nombre
des parties qu’ellecontient, par exemple 120, powr
en retrancher une plus ' petite qui contienne un
nombre quelconque des mêmes parties égales, par
exemple 25, prenez la ligne donnée avec le compas
ordinaire ; ouvrez le compas de. proportion jusqu’à
■ce que les deux pointes tombent fur 120 de chaque
côté-, alors la distance de 25 à 25 donnera la ligne
demandée.4. 0 Pour trouver une troisième proportionnelle
à deux lignes données ou une quatrième à trois,
dans le piemicr -cas, prenez, avec votre compas,.la
longueur de la première ligne donnée, & mettez-la
fur la ligne des parties égales depuis le centre jusqu’au
nombre où elle se termine ; alors ouvrez le
compas de proportion, jusqu’à ce que la longueur
de la seconde ligne soit renfermée dans Touverture
comprise entré les extrémités de la première.Le compas de proportion restant ainsi ouvert, metter
la longueur de la seconde ligne sur Tune des jambes
de Tinstrument, en commençant au centre, & remarquez
où elle se termine-, la dislance qui est comprise
entre ce nombre & le même qui lui répond
fur l’autre jambe, donne la troisième proportionnelle
: dans le second cas, prenez la seconde ligne
avec votre compas ; &' ouvrant le compas^ de pra-,
portion, appliquez cette étendue aux extrémités de
la première que Ton a portée fur les deux jambes
de Tinstrument depuis le centre. Le compas dé,
proportion restant ainsi ouvert, portez la troisième
ligne comme ci-dessus depuis le centre ; alors Tétendue
qui est entre le nombre où elle se termine
fur les deux jambes, est la quatrième proportionnelle.5.° Pour diviser une ligne en une raison donnée
quelconque, par exempl’e en deux parties qui soient
Tune à l’autre comme 40 est à 70, ajoutez ensemble
les deux nombres donnés, leur'somme est 110 ; alors
prenez avec votre compas la ligne pròposce^que l’on
suppose 165, & ouvrez Tinstrument jusqu’à ce que
cette distance s’étende de 110 à 110 fur les deux
jambes ; le secteur demeurant ainsi ouvert, prenez
la distance de 40 à 40, comme aussi celle de. 70 à
 70 ; la première donnera 60 & la dernière 105,
qui seront lés parties que Ton proposoit de trouver ;
car 40 . 70 :: 60 . 105.6." Pour ouvrir le compas de proportion de sorte
que les deux lignes des parties égales fassent un
angle droit, trouvez trois nombres commé 3 , 4 &
S, ou leurs équimultiples, 60, 80, 100, qui puis-:
sent exprimer les côtés d’un triangle rectangle ;
prenez alors avec votre compas la distance du centre
à 100, & ouvrez Tinstrument jusqu’à ce qu’une des
pointes de votre compas étant mise fur 80, l’autre
pointe tombe fur le point 60 de l’autre jambe ;
alors les deux lignes des parties égales renferment
un angle droit.7. 0 Pour trouver une ligne droite égale à la circonférence
d’un cercle, comme le diamètre d’un •
cercle est à fa circonférence à-peu-près comme 50 ■
est à 157, prenez le diamètre avec votre compas,
& mertez ce diamètre fur les jambes de Tinstrument
de 50 à 50 ; en le laissant ainsi ouvert,-prenez •
avec le compas la distance de 157 à 157, elle sera
la circonférence demandée.Usage dt la ligne des cordes du compas de proportion,
l." Pour ouvrir cet instrument en forte que
les deux lignes des cordes fassent un angle d un
nombre quelconque de degrés, par exemple 40,
prenez fur la ligne des cordes la,distance depuis
la charnière jusqu’à 40-, nombre des degrés proposés
 ; ouvrez Tinstrument jusqu’à ce que la distance
de 60 à '60 sur chaque jambe soit égale à la dis- •
tance susdite de 40 ; alors la ligne des cordes fait
l’angle requis.2. 0 L’inslrument étant ouvert, pour trouver lés
degrés de son ouverture, prenez Tétendue de 60C o m c_.p m 381à 60-, mettez-la sur la ligne des "cordes en commençant
au centre, le nombre où elle se terminera
fera voir les degrés de son ouverture. En mettant
des visières ou des pinnules fur la ligne des cordes,
le compas de proportion peur servir à prendre des
angles fur le terrein, de même que Téquerre d’arpenteur,
le demi-cercle ou le graphomètre.3. 0 Pour faire un angle d’un nombre donné de
degré quelconque fur une iìgne_donnée, décrivez
fur la ligne donnée un arc de cercle dont le centre
est le point où doit être le sommet de l’angle ; "
mettez le rayon de óo à 60 ; & Tinstrument restant
dans cette situation, prenez fur chaque jambe la
distance des deux nombres qui expriment les degrés
pi oposés , & portez-la de la ligne dpnnée fur
Tare qui a été décrit ; enfin tirant une ligne du
centre par Textrémité de Tare, cette ligne fera
l’angle proposé.4. 0 Pour trouver les degrés que contient un angle
donné, autour du sommet décrivez un arc, & ouvrez
le compas de pioportion jusqu’à ce que la distance
de 60 à óo sur chaque jambe soit égale au
rayon du cercle ; prenant alors avec le compas
ordinaire la corde de l’arc, & la portant -fur les
jambes de cet instrument, voyez à quel même
nombre de degrés fur chaque jambe tombent les
pointes du compas ; ce nombre est la quantité de
degrés que^-on rient l’angle donné.5. 0 Pour retrancher un arc d’une grandeur quelconque
de la circonférence d’un cercle, ouvrez
l’inslrument jusqu’à ce que la dislance de 60 à óo
soit égale au rayon du cercle donné ; prenez alors
l’ítendue de la corde du nombre de degrés donné
fur chaque jambe de Tinstrument, & mettez - la
fur la circonférence du cercle donné. Par ce moyen,
on peut inscrire dans un cercle donné un polygone
régulier quelconque, auffi - bien que par la
ligne des polygones.Usage de la ligne des polygones du compas de proportion.
i.° Pour inscrire un polygone régulier dans
un cercle donné, prenez avec íe compas ordinaire
le rayon du cercle donné, & ajustez-le au nombre
6 de la ligne des polygones fur chaque jambe de
Tinstrument ; en le laissant ainsi ouvert, prenez la
distance des deux mêmes nombres qui expriment
le nombre des côtés que doit avoir le polygone ;
par exemple, la dislance de 5 à 5 pour un pentagone
, de 7 à 7 pour un eptagone, &c., ces distances
portées autour de la circonférence du cercle
, la diviseront en un pareil nombre de parties
égales. ■2. 0 Pour décrire un polygone régulier, par
exemple un pentagone., fur une ligne droite donnée
, avec le compas ordinaire, prenez la longueur
de la ligne, appliquez-la à f étendue des nombres
5, 5 fur les lignes des polygones ; Tinstrument demeurant
ainsi ouvert, prenez fur les’mêmes lignes
Tétendue de 6 à 6: cette distance sera le rayon du
cercle dans lequel le polygone proposé doit être 'inscrit ; alors si des extrémités de la ligne donnée
Ton décrit avec ce rayon deux arcs de cercle, leur
intersection fera le centre du cercle cherché.
- 3." Pour décrire fur une ligne droite un triangle
isocèle, dont les angles fur la base soient doubles
chacun de l’angle au sommet, ouvrez Tinstrument
jusqu’à ce que les extrémités de la ligne donnée
tombent fur les points 10 & 10 de chaque jambe ;
prenez alors la distance de 6 à 6, elle seia la longueur
de chacun des deux côtés égaux du triangle
cherché. .Usage de la ligne des plans du compas de proportion.
On voudroit construire un triangle ABC
semblable au rriangle donné ab c, & triple en surface
( Plane. d’Arpentage , fig. 13. )  ; il n’y a qu’à'
prendre avec un compas commun la longueur du
côté ab , la porrer sur la ligne des plans à l’ouverture
du premier- plan : le compas de proportion
restant ainsi ouvert ',, on prendra avec le compas
commun Touverture du troisième plan-, & l’on
aura la longueur du côté homologue au côté ab:
on trouvera, de la même manière les côtés homologués
aux deux autres côtés du triangle proposé,
& de ces trois côtés Ton en formera le triangle
ABC, qui fera semblable au triangle donné ab c „.
& triple en surface. -Si le plan proposé a plus de tróis côtés, on le
réduira en triangles par une ou plusieurs diagonales
: si c’est un cercle qu’il s’agisse de diminuer
ou d’augmenter, on fera fur son diamètre Topération
que nous venons de décrire.- Etant données deux figures planes semblables
(fig. 14.) , trouver quel rapport elles ont entre
elles.Prenez lequel vous voudrez des côtés de Tune de
ces figures, & le portez à Touverture de quelque
plan ; prenez ensuite le côté homologue de l’autre
figure, & voyez à Touverture de quel plan il con- .
vient. ; les deux nombres auxquels conviennent les
deux côtés homologues, expriment la raison que
les plans proposés ont entr'eux : si le côté ab, par .
exemple, de la plus petite convient au quatrième
plan, 6k que le côté homologue A B de l’autre convienne
au sixième plan, les deux plans 'proprisés
seront entr'eux comme 4 est à 6, òu comme 2 est
à 3. Mais si le côté d’une figure ayant été mis à
Touverture d’un plan , le côté liomologue ne peut '
s’ajuster à Touverture d’aucun nombre entier, il
faudra mettre ledit côté de la première figure àTouverrure
de quelque autre plan , jusqu’à ce qu’on
trouve un nombre entier dont 1 ouverture con=~
vienne à la longueur du côté homologue de l’autre,
figure, afin d’éviter les fractions.Si les figures proposées sont si grandes qu’aucun
de leurs côtés ne se puisse appliquer à Touverture- des jambes du 
plans.
compas de proportion ', prenez les
moitiés, les tiers ou les quarts, &c., de chacun
des deux côtés homologues desdites figures ; & les
comparant ensemble, vous aurez la proportion des
 ;5i C O M COM
Entre deux lignes droites données trouver- une
moyenne proportionnelle.Portez chacune des deux lignes données fur la
ligne des parties "égales du compas de proportion ,
afin de savoir le nombre que chacune en contient ;
& supposé, par exemple, que la moindre ligne soit
de 20 parties égales, & la plus grande de45, portez
cette plus grande à Touverture du quarante-cinquième
plan, qui dénote le nombre de ses parties :
le compas de proportion restant ainsi ouvert, prenez
Touverture du vingtième plan , qui marque le nombre
des parties égales de la plus petite ligne ; cette '
ouverture qui doit contenir trente des mêmes parties,
donnera la moyenne proportionnelle ; car 20
sont à 30 comme 30 font à 45. ,Mais comme le plus grand nombre de la ligne des
plans est Ó4, si quelqu’une des lignes proposées contcnoit
un plus grand nombre de parties: égales, on
pourroit faire ladite opération fur leurs moitiés,
tiers ou quarts, 6-c., en cetteforte :.supposant, par
exemple , que la moindre des lignes proposées lbit
de 32& l’autre'de 72, portez la moitié de la grande
ligne à Touverture du trente-sixième plan, & prenez
Touverture. du seizième ; cette ouverture étant doublée
donnera la moyenne proportionnelle que Ton
cherche. ' *Usage de la. ligne des solides du compas de proportion.
Augmenter ôu diminuer des solides semblables
quelconques selon une raison donnée. -Soit proposé, par exemple, un cube duquel on
en demande un qui soit double en solidité ; portez
le côté .du'cube donné sur la ligne des solides à
Touverture de tel nombre que vous voudrez,
comme, par exemple, de 20 à 20 ; prenez ensuite
Touverture d’un nombre double, comme est eu cet
exemple le nombre 40 ; cette ouverture est le côté
d’un cube double du proposé. t .Si Ton propose un globe pu sphère, &.qu’onveuille
en faire une autre qui soit trois fois plus
grosse, portez le diamètre de la sphère proposée
à Touverture de tel nombre qui vous plaira, comme
par exemple de 20 à 20, & prenez Touverture de
60, ce sera le diamètre d’une autre sphère triple
cn solidité.Si les lignes sont trop grandes pour être appliquées
à Touverture du compas.de proportion, prenezen
la moitié,.le tiers ou le quart ; ce qui cn proviendra
après l’opération , sera moitié , tiers ou
quart des dimensions que l’on demande.Etant donnés deux corps semblables, trouver
qupl rapport ils » ont entr'eux.Prenez lequel vous voudrez des côtés de l’un
des corps proposés ; & Tayant porté à Touverture
de qUelque solide, prenez le côté homolopue de
l’autre corps, &. voyez à quel nombre des. solides.
il convient ; les nombres auxquels ces deux côtés
homologues conviennent, indiquent le rapport de
deux corps semblables proposés.Si le premier ayant été mis à Touverture de quelque
solide, le côté homologue du second ne peuts’accommoder à Touverture d’aucun-nombre, portez
le côté du premier corps à Touverture de quelque
autre solide, jusqu’à ce que le côté homologue
du second corps s’accommode à Touverture de quelque
nombre dessolides.Usage de la ligne des métaux. Etant donné Ie.diamètre
d’un globe ou boulet de quelqu’un- des íix
m.étaux, trouver le diamètre d’un autre globe de
même poids & duquel on voudra desdits métaux.Prenez le diamètre donné & le portez à l’ouverture
des deux points marqués du caractère qui dénote
le métal du boulet ; & le compas de proporízora'demewrant
ainsi ouvert, -prenez ['ouverture des
points cottes, du caractère qui signifie le métal dont
on veut faire le boulet : cette ouverture sera son
diamètre.Si au lieu de globes on propose des corps semblables
ayant plusieurs faces, faires la même opération
que ci-dessus, pour trouver chacun des côtés
homologues les uns après les autres, afin d’avoir
lès longueurs, largeurs & épaisseurs des corps qu’on
veut construire. ,Usages des lignes desfinus , des tangentes , des sécantes
, lorsqu’il y en a de tracées sur le compas de
proportion. Par plusieurs lignes qui sont placées fur
cet instrument, nous avons des échelles pour différens
rayons ; en forte qu’ayant une longueur ou
un rayon donné qui n’excède pas la plus grande
étendue de Touverture de Tinstrument, on en trouve
les cordes, les sinus, &c. Par exemple, supposons
que Ton demande la cordé, le'sinus ou la tangente
de dix degrés pour Un rayon de trois pouces, donnez
trois pouces à Touverture de Tinstrument entre
60 & óo fur les lignes des cordes des deux jambes ;
alors la même longueur s’étendra de 45 à 45.fur
la ligne des tangentes, & de 90 à 90 fur la ligne
des sinus de l’autre côté de Tinstrument ; en sorte
que Ja ligne des cordes étant mise à un rayon quelconque,
toutes les autres se trouvent mises au même
rayon. C’est pourquoi si, dans cette disposition, on
prend avec le compas ordinaire Touverture ^entre
10 & 10 -sur les lignes des cordes, cela donnera
la corde de dix degrés ; en prenant de la même
manière Touverture de 10 en 10 fur les lignes des
sinus, on aura le sinus de dix degrés ; enfin fi Ton
prend encore de la même manière Touverture de
10 en 10 fur les lignes des tangentes, cette distance
donnera la tangente de dix degrés.Si Ton veut la corde ou la tangente de 70 degrés-,
~pour la corde on peut prendre Touverture
3e la moitié de cet arc, c’est-à-dire 55 ; cette distance
prise deux fois donne la corde de 7od. Pour
trouver la tangente de 70" 1 pour le même rayon,.
on doit faire usage de la petite ligne desiangentes,
l’autre s’étendantseulement jusqu’à 45'' ; c’est pourquoi,
donnam trois pouces à 1 ouverture entre 45
& 45 fur cette petite ligne, la distance en 70 &
70 degrés fur.la même ligne fera la tangente de
70 degrés pour un rayon de trois pouces.Pour trouver la sécante d’un arc ? faites que lec ° M c o m 383rayon donné ïoit Touverture de Tinstrument entre
o & o sur la ligne des sécantes ; alors Touverture
de 10 en 10 ou de 70 entre 70 fur lesdites lignes,
donnera la sécante de -10 ou de 70 degrés.Si Ton demande la converse de quelqu’un des
cas précédens, c’est-à-dire, si Ton demande le rayon
dont une ligne donnée est le sinus, la tangente ou
la sécante, il n’y a qu’à faire que la ligne donnée,
fi c’est une corde, soit Touverture de la ligne des
cordes entre 10 & 10 ; alors Tinstrument sera.ouvert
au rayon requis, c’est-à-dire que le rayon demandé
est Touverture énrre óo & óo fur ladite ligne. Si
la ligne donné: ; est un sinus, une tangente ou une
sécante, il n’y á qu’à faire qu’elle soit Touverture
du nombre donné de degrés ; alors la distance de
90 à 90 fur les sinus, de 45 à 4/5 íur les tangentes,
de^ o à'o fur les sécantes , donnera le
rayon. -. Usage du compas de proportion en Trigonométrie.
1." La base & la perpendiculaire d’un triangle rectangle
étant’données, trouver Thypothénuse.Supposons la base A C (PI. Trigonom. fig. z.) 
= 40 milles, & la perpendiculaire ^5 = 30 ;
ouvrez.Tinstrument jusqu’à ce que les deux lignes
des lignes, c’est-à-dire les deux iignès des parties
égales, fassent un angle droit ; puis .prenez pour la
base 40 parties de la ligne des parties égales fur une
jambe, & pour la perpendiculaire 30 parties de la
même ligne fur l’autre jambe ; alors lá dislance.du
- nombre 40 fur Tune des jambes, au nombre 30 fur
'l’autre jambe, étant prise ayee le compas ordinaire,
sera la longueur dé Thypothénuse : cette ligne se
trouvera = 50 milles. ' ■ • ■2. 0 Etant donnée la perpendiculaire A B d’un
triangle rectangle AB C= 50, & l’angle B C A .
— 37-dj pour trouver Thypothénuse B C, prefíez
le côté A B donné, & me-.rez-Ie de chaque côté
sur le sinus de l’angle donné Â CB ; alors la dis-tance
parallèle du rayon , ou la distance de 90 à'
90-, sera Thypothénuse B C,.laquellejncsurerá 50
sur la ligne des sinus. .3. 0 L’hypothénusc & là base étant donnés, trouver
la perpendiculaire. Ouvrez Tinstrument juíqu’à
ce que les deux lignes des lisnes soient à angles
droits ; alors met-r-i-z la base donnée sur l’une de ces
lignes depyis le centre ; preísez Thypothénuse avec
votre compas ; fe mettant Tune de ses pointes à Textrémité
de la base donnée, faites que l’autre pointe
tombe fur la ligne des lignes de l’autre jambe : la
distance depuis le Centre, jusqu’au point où le
compas tombe, sera la longueur de la perpendiculaire.
. " -4.' L’hypotslén^se étant donnée & l’angle A CB,
trouverJa perpendiculaire. Faites qaè Thypothé.
nuse donnée soit un rayon parallèle, c’est-à-dire,
étendez-la ^"90 à 90 fur les lignes des lignes*-,
alors le sinus parallèle de l’angle :d C B fera la longueur
du côté A B. ''.'■•'"'■'.-"5. 0 La baie & la perpendiculaire AB étant don^
nées, trouver l’angle B C-A.-Mev.iiz- la base A C
furies deux côtés de i'kÚÍW^sni depuis le centre,& remarquez son étendue ; alors prenez la perpendiculaire
donnée, ouvrez Tinstrument à Tétendue
de cette perpendiculaire placée aux extrémités de Ja
base ; le rayon parallèle fera la tangente de l’angle\ BCA.
' 6." Ën tout triangle rectiligne, deux côtés étant
donnés avec l’angle compris entre ces côtés, trouver
le troisième côté. Supposez le côté A C=z 20,
le côté B C= 30-, & l’angle compris A CB=no
degrés ; ouvrez Tinstrument jusqu’à ce que les deux
lignes des lignes, fassent un angle égal- à sangle
donné, c’esl-à-dire un angle, de xio degrés ; mettez
les. côtés donnés’ du^triangle depuis le centre de
Tinstrument fur chaque ligne des lignes ; Tétendue
entre leurs extrémités est la longueur du côté A B
cherché.7. 0 Les angles CAB & ACB étant donnés
avec le côté C5 , trouver h base AB. Prenez le
côté. C B donné, & regardez-le comme le sinus
parallèle de son angle opposé CAB , & le-sinus
parallèle de l’angle ACB sera la longueur de la
base AB- "'8.° Les trois angles d’un triangle étant donnés,"
trouver la proportion de ses côtés. Prenez les sinus
latéraux de ces différens angles ,& mesurez-les fur
la ligne des lignes ; les nombres qui y répondront
donneront la proportion des côtés.9. 0 Les trois côtés étant donnés, trouver l’angle
A CB. Mettez les "côtés A C, CB le long de la
ligne des lignes depuis le centre, & placez le côté
A B k leurs extrémités ; Touverture de ces lignes
fait que Tinstrument est ouvert de la grandeur de
l’angle ACB. . ;10.° L’hypothénusc, A C ( fig. 3. ) d’un, triangle
rectangle sphérique ABC donné, par exemple ,
de 43°, & l’angle CAB de iod, trouver le côté
CB. La règle est de faire cette proportion : comme
le rayon est au sinus de Thypothénuse donnée ==
43d, ainsi le-sinus de l’angle donné = 20d, est au
sinus’-la perpendiculaire CB. Prenez alors -20d avec
votre compas fur la ligne des sinus depuis le centre,
& mettez cette étendue de 50 à 90 fur les deux
jambes de Tinstrument ; le sinus parallèle de 43%
qui est Thypothénuse donnée, étant meíùré depuis
le centre fur la ligne des sinus, donnera I3J3P'
pour le côté cherché.ii." La perpendiculaire B C & Thyporhénnse,
A C étant données, pour trouver la base A B ,.
faites cette proportion’ : comme lé sinus du complément
de la perpendiculaire B C est au rayon,
ainsi le sinus du complément de Thypothénuse est
au sinus du complément de la base. C’est pourquoi,
faites que le rayon soit le. sinus parallèle
de lá perpendiculaire donnée, par exemple, de
.,.1 7Ód 30'. ; alors lé sinus parallèle du complément
■ ' de Thypothénuse,.-par exemple de 4711,. étant inesurésur
la ligne, des sinus, sera trouvé de 49'' 25',
: qui-èst-le complément de la base cherchée, &"par
". . conséquent la base elle-même sera de 4od 35'.
r Usages particuliers du compas de proportion en ?84 c o m co mGéométrie, &c> i." Pour faire un polygone régulier
dont Taire doit être d’une grandeur donnée
quelconque, supposons que la figure cherchée soit
un pentagone dònt Taire 22= 125 pieds ; tirez la racine
quarrée de \ de 12^ que Ton trouvera =22 5 ;
faites un quarré dont le côté ait s pieds ; & par la
ligne des pol3'gones, ainsi qu’on Ta déjà prescrit,
faites le triangle isocèle C G D ( Planches ge'om.
fig. 40) , tel que C G étant le demi-diamètre d’un
cercle, C.D puisse être le côté d’un pentagone
régulier inscrit à ce cercle, & abaissez la perpendiculaire
G E ; alors continuant les lignes E G ,
E C, faites E F égal au côté du quarré que vous
avez construit, & du point F tirez la ligne droite
F H parallèle à G C : une mjyenne proportionnelle
entre HE & E F, sera égale à la moitié
du côté du polygone cherché ; en le doublant,
on aura donc le côté entier. Le côté du pentagone
étant ainsi déterminé, on pourra décrire le
pentagone lui-même, ainsi qu’on Ta prescrit cidessus.2. 0 Un cercle étant donné, trouver un quarré
qui lui soit égal. Divisez le diamètre en 14 parties
égales, en vous servant de la ligne des lignes,
comme on Ta dit ; alors 12-4 de ces parties trouvées
par la même ligne seront le côté du quarré
cherché.3- ? Un quarré étant donné, pour trouver le
diamètre d’un cercle égal à ce quarré, divisez le ^
côté du quarré en 11 parties égales par le moyen
de la ligne des lignes, & continuez ce côté jusqu’à
12 ■ 4 parties ; ce sera le diamètre du cercle
cherché.4. 0 Pour trouver le côté d’un quarré égal à une •
ellipse dont les diamètres transverses & conjugués
font donnés, trouvez une moyenne proportionnelle
entre le diamètre transverse & le diamètre conjugué,
divisez-la en 14 parties égales ; iz -^de/ces
parties seront le côté du quarré. cherché.
, 5.° Pour décrire une ellipse dont les diamètres
aient un rapport quelconque, & qui soit égale en
surface à un quarré donné, supposons que le rapport
requis du diamètre tranfverse au diamètre
conjugué, soit égal au rapport de 2 à 1 ; divisez
le côté du quarré donné en 11 parties égales ; alors
comme 2 est 1, ainsi n X 14 = 154 est à un quatrième
nombre, dont le quarré est Ie diamètre conjugué
cherché ; puis comme 1 est à 2, ainsi le
diamètre conjugué est au diamètre tranfverse. Présentement,ó.° Pour décrire une ellipse dont les diamètres
tranfverse & conjugué font donnés, supposons que
A B & E D (Planches des coniq. fig. zi.)  soient les
diamètres donnés ; prenez A Ç avec votre compas,
donnez à Tinstrument une ouverture égale à cette
ligne, c’est-à-dire, .ouvrez Tinstrument jusqu’à ce
que la dislance de 90 à 90 sur les lignes des sinus,
soit égale à la ligne A C ; alors la'ligne A C peut
être divisée en ligne des sinus, en prenant avec le
campas les étendues parallèles du finus de chaquedegré fur les jambes de Tinstrument, & les mes- ».
tant depuis le centre C. La ligne ainsi divisée en ,
sinus ( dans la figure on peut se contenter de la
diviser de dix en dix ) , de chacun de ces sinus
élevez des perpendiculaires des deux côtés ; alors
trouvez de la mauière suivante des points par les- .
quels Tellipse doit passer : prenez entre les jambes
de votre compas Tétendue du demi-diamètre conjugué
C E , & ouvrez Tinstrument jusqu’à ce que
son ouvermre de 90 en 90 sur la ligne des finus
soit égale à cette étendue ; prenez alors les sinus
parallèles de chaque degré des lignes des sinus .du
compas de proportion , & mettez - les fur ces per- ,
pêndiculaires tirés par leurs complémens dans les
lignes des sinus A C ; par-là vous aurez deux points
clans chaque perpendiculaire par lesquels Tellipse
doit passer. Par exemple, le compas de proportion.
restant toujours le même, prenez avec le compas
ordinaire la dislance dé 80 à 80 fur les lignes des
finus ; & mettant urt pied de ce compas au poiDt
10 fur-la lignes C , avec l’autre marquez les points
a, m fur les perpendiculaires qui passent par ce '
point ; alors a &m seront deux points dans la -perpendiculaire,
par lesquels Tellipse doit passer. Si
Ton joint tous les autres points trouvés de la même
manière, ils donneront la demi-ellipse D AE.
On construira l’autre moitié de la même manière.
Usage du compas de proportion dans VArpentage.
Etant donnée la position respective de trois lieux,
comme A, B , C ( Planches d’Arpent, fig. 4 ) ,
c’est-à-dire, étant donnés les trois angles ABC,
B CA & CAB ; & la distance de chacun de ces
endroits à un quatrième point D pris entr'eux,
c’est - à - dire les dislances B D , DC, AD étant
données : trouver, les distances respectives des différens
endroits A, B , C , c’esl-à-dire, déterminer
les longueurs des côtés AB, B C , A C. Ayarit
fait le triangle E F G ( fig. j ) , semblable '
au triangle A B C, divisez le côté EG én H, de
telle sorte que E H soit à H G , comme A D est
kDC, ainsi qu’on Ta déjà prescrit ; & de la même
manière E F doit être divisé en I, tellement que ,
E I soit à IF, comme A D est à D B. Alors
continuant les côtés EG, EF, dites : comme
E H— H G est. à HG, ainsi E H -f BG est à
GK ; & comme E J— IFeû à IF, ainsi £ J
-f-IF est à F M : ces proportions se trouvent
aisément par la ligne des parties égales fur le corn-'
pas.de proportion. Cela fait, coupez H K & I M
aux points L, N, & de ces points, comme centres,
avec les dislances LU & IN , décrivez deux cer:
clés qui s’entrecoupent au point O , auquel du
sommet des angles EFG, tirez les lignes droites
E O, F O & O G qui auront entr'elles la même
proportion que les lignes AD, B D , D C. Présentement
, si les lignes E O , F O & G O lònt
égales aux lignes données AD , B D, D C, les
distances EF, F G & EG seront les distances
des lieux que Ton demande. Mais si E O, O F,
0 G sont plus petites que AD jDB ,DC, pro,
,' longez-les-C om com ?8."c.longez■'les jusqu’à ce que P O, OR & G Q leur
soient égales ; alors si Ton joint les points P, Q, R,les distances PR, R Q & P Q seront les distances
des lieux cherchés. Enfin si les lignes,£ O, O F,
OG font plus grandes que AD, D’B, D C, retrànchez-en
des parties qui soient égales aux lignes.
ADÌ BD, D C, & joignez les points défection
par trois lignes droites ; les longueurs de ces trois
lignes droites seront les- distances des trois endroits
cherchés. Remarquez que si £ if-est égal k EG,'
ou ET à IF, les centres L & í/'seront infiniment
distans de H & de î, c’est-à-dire qu’aux points
if & /j il doit y avoir des perpendiculaires élevées
fur les côtés E F, F G , au lieu de cercles,
jusqu’à ce qu’elles s’entrecoupent: mais si E H eû
plus petit que KG, le centre £ tombera fur l’autre
côté de la base prplpngée, ,6L: l’on doit entendre ;
la même chose de FI & IF.:..Le compas de proportion sert particulièrement à
faciliter la projection ; tant orthographique que
stéréographique.-Fbjeí PROJECTION è STÉRÉOGRAPHIE.
(E) - -' v .COMPAS à coulisse ou compas de réduâion : il
consiste en deux branches" ( PI. de Géom.-fig.^i ) ,
dont les bouts de chacune sont terminés par des !Íipintes d’acier. -Ces branches fpn.t.évîdées dans leur
ongueur pour admettre une boîte ou coulisse, que
l’on-puisse'faire glissera volonté dans routé: Tétendue
deleur longueur ;' air'milieu de la-coulisse, il
y a une vis qui sert à assembler íes branches & à les
fixer au point où Ton veut. '..'.-Sur l’une des branches du 'compas, il ; y a des
divisions qui fervent à.diyiser'les’ lignes -dans-un
nombre quelconque de partjês égaies^ ppùr réduire
des figures, &c. ; fur l’autre, ; il ;y a-des nombres
pour inscrire toutes sortes dé polygones- réguliers.
dans un cercle donné. L’ufage ' de la -première
branche est aise. Supposez, par exemple-, qu’on
veuille diviser une ligne droite en trpis parties
égales ; poussez" la coulisse' jusqu’à çe que la vis
soit directement sur-le: nombre 3 ; & i'ayant fixée
là, prenez la'lòngneuf de .la ligne donnée-, -:av'ec-les
parties du compas les plus’longues ; la distancé,
entre les deux plus courtes fera le tiers de-la ligné
donnée. On peut, de la même manière, diviser
Une ligne dans un npmbré quelconque: de parties ;
:. Usagé dé la branche pour les polygones. Supposez,
par -exemple", qu’on-veuille-iniçrire -uh.pen^
tagpne régulier'dans" un cerclé ; poussez la 'coulissé
jusqu’à ce que le milieu de la vis soit vis-à^vis de
5.j nombre, des 'côtés d’un’pentagone- ; prenez avec
les jambes pu compas ses plus courtes ; le: rayon
du cercle donnés l.'ouyerturé dés pointes des jambes
les" plus longues fera lè .côté du 1 pentagone qu’on
vpuîpit inscrire dans le'cercle ;On etí ferádemême
ppprupppíygóné quelconque.: : . ■-j : :: ■- .COMPAS de réduâion avec Us lignes du compasàe propottiom,-La Construction 'deeécompas,s(uòiSUUJÌipéuplus^párfaite-que'celle ;du compas’de:ré±duâion ordinaire, lui est icependant ; fi semblable ,' Mathématiques. Tome I} L’re Partie.qu’elle n’a pas besoin d’une description -p'articu"
Hère (fig.4z\pl. de Géométrie). Voye^plushau*
l’aiticle' COMPAS DE PROPORTION.Sur la première-face, il y-a la ligne des cordes. ;
ma'rquées cordés, qui s’étend jusqu’à óo ; & la ligne,
des lignes, marquées lignes, qui est divisée en cent
jjarties inégales ;^ dont chaque dixième " partie est …
numérotée.. ■■_..■■.'_ -.-..--. •| Sur l’autre .face sont tracées la-ligné des-sinus
■ « jui va jUsqu’à'9,od, & la ligne des tangentes -jusqu’à 45d.
 Sur le premier,côté-, Ton. trouvé lestan_gent.esdepuis
45 jusqu’à 7id 34'^-sur l’autre, les sécantes,
dépuis odjusqu’à70d 30'.. -,.Maniéré de se servir de ce compas. r.° Pouf'di-'".
viser une ligne- dans- un .nombre quelconque de"
parties égaies, moindre ^que ico ; divisez 100-par
Je -nombre des -parties requises ; faites avancer la
poulisse "jusqu’à ; ce .que- la' ligne- marquée ; sur lá  ; ìqueúe
 d’arpndé mobile, soit parvenue :vis-à-vis 1c :
jquorient fur Téchelle des lignes :' alors -prenant-,
jtoute la ligne-entré les pointes, les plus éloignées
du centre ; l’ouverrute des autres donnera la diví-'
:sion cherchée, ■_% ?. .Uneiigne droite étant donnée,
 ;que Ton suppose divisée eii -100 .parties-, pour'.
 ; prendre- un:, nombre qùplcònque- dé" ces,parties,
iayanCez la:iigne ; marquée fur. laquèué d’arondel
:jusquau nombre dés:parties requises ," ;& prenez.
:1a-ligne:.entièî-ei'avée les’ ? p'ointes/.du ;çompaîr ;lesplus
"distantes .du cèntrë,1'oùyertù.r.è ; dès’.-deûx ati-.
trésjèra égale:au riprnbrè.:des parties demandées^,
3.° Un.rayon.é.tànt dónhé, trouver la. corde'dé ;,
tout arç.au-dessous de 6ôi.\ amenez, la ligne.máf-' ;
quéécfur.v'laoqueue d’ar.ònde, jusqu’au "degré'que- »
l’on-démandefur la ligne dés cordes:, &;' prenez>
.lé rayon_ênWe'les,. pointes. les: plus éloignées ;duì
": centré de lá coùlhTe ; 1 ouverturedes au'trés pointesL
donnera la cordé.cherchée, pourvu que Tare soit ;
au-dessus de  ;29d : car s’il étoit au-dessous, la dis-,
" ; férence du rayon &.'de cette ouverture seroit alors \
la-corde cherchée. 4. 0 Si'la corde d’un arc au ;
dessous dé óod est donnée, & qu’on■ en cherche ;
| léxayòn:^:faités :avaricer,.la !.:ligné marquée-fufia
j queue d’aróndè , jiisqirau .degré: proposé, sur ..lá:
\ ligne 'des’cordes ; prenez ensuite'.là corde donnée
I entre les pointes les phis’prpches dû centre-, Tou'
vertureJes-autres peintes -donnera le rayon-cher- 1
ché. 5.° -Un rayon: étant donné,.trouver le sinus:
d’un arc quelconque ; amenez la ligne marquée fur ;
 ! la queue d^rônde ;, jufoVáù degré de-la ligne'.des
sinus dont on yeut avpir le iìnus ; prenez.le ravon
i entré 5 les 'pointes les jplus: éloignées ; du,cerirréiI
Touverture vdes autres’ donnera -Te sinus cherché':
màis^li le:"sinus’cherché étòit au-dessous de 3ód,
alors lá différence des ouvertures dés -pointes, opposées
donnerbit le sinus cherché. 6.° Un rayon
étant donnéj^tróuver- la 'tangente d’un arc quel-.
■ conque, au-dessóus ; de 7id, si la tangente cherchée
est,au-dessous" de ,2ód 30' ;'. faites glisser la"ligne
de la'queue d’-árondei juriju au- degré proposé sur
la-ligne des tangentes- ; prenez'le.rayon entre-lesCcc$%è- C Ô M C O M
pointes le ; plus dislantes du centre, Touverture
des autres donnera la tangente cherchée, si la tangente
requise est au-dessus de 2Ód 30' : màis audessous
de 45d, la ligne de la coulisse -dois être
amenée jusqu’au nombre de -degrés donnés fur la
ligne des tangentes ; alors, en prenant le rayon
entre les pointes les plus distantes’du. centre-, Tou- -,
verture des autres donnera la tangente. (E J' CÒMPA s sphérique ou à'épaiffiur: On’sc sert de
cet instrument pottr prendre les diamètres.."l’épais-Mso-ur, !
-óti le calibre des corps ronds ^oti -cylindri-i ■'ques,"
 tels que des’ciinons, des" tuyaux, S’ÍV Cejs sortes
 de compas consistent en quatre branches _ ;aí- semblées
 en" Un centre," dont deux font circulaires
& deux autres plates,. un rpeu recourbées-par lesbouts.'- '■ '- '-'■■■_'■ - 7  ;' ;,-': ': ■'-','■' ' ; :■ :. ' : " iPour s’en servir, on’fait entrer une deS ;pointes- ;
plates’dans-le-canon, & l’autre -par- dehoVs- ; lés-quelles-étant
 iferrce's j’ les deux pointes opposées
marquent Tépaisseur. , - ■- ■- ■'' '■- ;./'II y a austì des: compas sphcriqUcs-qvá' né diffèrent
des compas "communs,- qu’en ce que leurs
jambes sont recourbées pour, prendre les diamètres
des corps ronds. Chàmbas.-(E)  ■' _..'- ■' ■'■'}
. COMPAS ■elliptiques : ils scrvent-à'décriretoiftesJ
sortes d’ellipses,-ou d’ovales. On en :á-inïaginé:de
différentes fortes-, dont la-construction est fondée ;
surdifférentes’propriètés de Tellipse ;-'Par exemples
soient deux -droites CG, GL { PI. ■Ge'om.: fig: ^ :
égales chacune à.la moitié de la somme ou: de la
différence de deux-axes C B, CA , attachées Tune
à l’autre par leur extrémité commune:G.,.enforte
qu’elles : puissent ; fe : m oúvïùr: autour 'de rce' .point  ;'■•
comme les jambes d’un 'compas autour- de fa tête.
Soit le ppirit C fixe au-centre de Tellipse ,"& soit ;
Jj B= CA í le point B décrira Tellipsei ; Cette,
construction est démontrée article ■£$• des SeSions
coniques de M. de THôpital, &• nous".y- renvoyons
le lecteur. Au reste,"cette espèce de compas., ainsi
que tous les autres semblables, est.àssez peu commodeparcoures,sortes
 de raisons. :. L. :■■ ;: .Ceuxicrai ont besoin de-décrire-souvent des ellipses
& .autres sections coniques, dit" M ; le. mar-.
quis de : THôpital, préfèrent • la méthode, de: les
décrire par plusieurs points, parce .que les méthodes
de les décrire par des mouvemens ..continus
, sont fautives & peu exactes dans, la pratique.
(O)  -: ;-:- ■■■■■--■■ -. GOMPAS-aúmuthal. Ce compas revient au compas
de "variation, & diffère du:rornpa.S(.de ;merordinaire
de plusieurs manières*, en.voicila.descripr
tion. Voycibles figures duDi3.de Marine.-SurJa:.
boîte qui contient la rose est adanté-un large cercle !
dont une moitié est divisée en 90° ,:&.subdivisée
^ diagonalc-rnent en minutes. Sur. le. cercle est
posé un : index L ou alidade mobile. ;autoûr du
centre, ayant, une pinnule élevée . perpendiculairement
Jk. mobile sur une charnière. Une soie
sort .sine, va du ; milieu, de Tindéx au, haut de
k. pnnule ,• potu"'former une. ombre sur íalignedu milieu de Tindex. Ensin le cerclé esl( traversé
à angles droits par deux fils, des extrémités
defquels’Xjuarre lignes.'sont tirées dans TintérieUr
de la boîte ; .& fur la' rose, il, y a pareillement
quatre lignes tirées à angles droits. La boîte ronde,
fa rose, ìe cercle gradué & Tindex, tout cela eff.
suspendu fur deux cercles de laiton, &-pes cercles
font ajustés dáns la boîte quarrée. '. '•'- Usage du compas aiimuthal pour trouver Varjmutli
' du soleil, òu.plutôt son amplitude magnétique, pour
errdéduire ensuite la variation -du-compas. Si Toit
veut, par exemple, observer Tamplitude orientale
du soleil ou son azimuth., on fera parvenir le
centre de Tindex sur la pointe ouest de la rose,
de sorte que les quatre lignes de ' Textrémité
de la rose-répondent aux quatre autres qui font
dans TintérieUi" de la-boîte. Si 1, au eontrairey on
veut observer Tamplitude occidentale, ou Tazimuth'
après-midi j, on -tournera lé centre de Tindéx directeiiiénVaii-dessus
de la poiritèést-dela rose. Ceciétant
fait, on tournera Tindex jusqu’à ce que
Tombre du fij tombe-positivement sur la fente
de la pinnule, &vle long de la ligne du milieu
de Tindéx ; alors fòn bord intérieur marquera fur
le cercle le:degrëï&--Ia minute de.Tamplitude du ''
soleil ; prise òu du côté du nord, oU du côté du'■'sod. . :- ■■•--' ; ■"-■' y " .'■'■..'' ■ !": ; '-".-'::,:-Mais l’on remarquera que si lé compas étant ainsi :
placé, Tazimuth du.soleil se -tròuve-à'moins de
45d du sud , Tindex ne marquera plus, ;passánt alors
au-delà des divisions du limbe ; en ce cas, on
tournera, le compas d’un quart de tour, c’est-a-dire
i qupn sera réppndre: lè centre dé Tindex à la pointe
nord ou sud. dé ia rose 3 selon Taspect du soleil 5
 ; alors le bord de Tindex marquera.le degré de Tazimuth
màgnétiquëdu soleil, en comptant du nord
 ; comme ci-devant.* Voye[ AMPLITUDE.L’ampliti.ide magnétique étant une fois trouvée,
on déterminera la variation de Taiguílle aimantée
• de.cette-façon. Exemple. .Etant en mer, le 15-mai-17-15, à 45d de lati]
tude nord, les tables me donnent ía déclinaison du
l soleil.de X9d au nord, & son amplitude orientale
j’-de 27d 25' nord, & je-trouve par lé compas aû ;
muthal Tamplitude orientale du soleil entre 02 &
Ó3d, en comptant depuis le nord vers Test, c’està-dire,
entre 27 & 28d,en comptant de Test vers
le nord ; partant, Tamplitude magnétique étant
Ì égale à: la vraie amplitude, Taiguille n’aurâ point
i de variation, -, : ■ •• :":. Maisfi Tamplitude orientale que'donne lé compas
: s’étoit trouvée, entre 52 & 53d, en comptant-tou- 1
 ; jours ; da.no.rd vers Test j-on auroit eu, ; en comptant
de Test vers, le nord, Tamplitude magnétique
entre 37 & 38d, plus grande de iod que ìa■ vraieamplitude
 ; ce qui donne la variation de iod:att
nord-est.:",. . .-. ■>. • - -.■ ,-. ;i,<~./-. Si Tamplitude:orientale trouvée ;par' Tinstrument
est moindre .queia'vraie amplitude ,leiur difl’érénç*
j donnera la variation occidentale., •. 7  !> • ■"
C o m c o m - 387S|la vraie amplitude orientale est méridionale,
de même que .Tamplitude donnée par Tinstrument,
& que celle-ci soit la plus grande, la variation fera
su nord-ouest, & vice versa.Ce que Ton a dit de Tamplitude nord-est , est
le même pour Tamplitude sud - ouest ; comme
ce que Ton a dit pour Tamplitude sud-est, est
vrai de Tamplitude nord-ouest. Voye\. AMPLITUDE.Enfin,si on trouve les amplitudes de différentes
dénominations, comme, par exemple, la vraie ara^
plitude de 6d nord & Tamplitude magnétique de
5d sud , la variation qui, dans ce cas-là, est nordest
, sera égale à la somme des amplitudes vraies
& magnétiques. On doit entendre la même chose
des amplitudes occidentales.On peut trouver de même la variation par les
azimuths ; mais il faut alors que la déclinaison du.
soleil, la hauteur & la latitude du lieu soient
donnés pour trouver Tazimuth. Voy. AZIMUTH. ;
COMPAS de variation. V. le Diction, de Marine.
U y. a plusieurs espèces de compas à Tusage des
distérens arts ; on en jrouvera la description dans
le Dictionnaire des Aris_ & Métiers.
…COMPAS, .( Afiron. ) constellation méridionale
introduite par Tabbé de la Caille ; elle est placée ;
fous les pieds du centaure au - dessus du triangle
austral :1a plus belle étoile de cette constellation
est de quatrième grandeur ; elle avoit en 1750
2i7d ?9' 5,1 " d’ascension droite,.&Ó3" 31 ' 46"
de déclinaison australe ; elle contient onze étoiles’
dans le catalogue des 1942 étoiles australes de
Tabbé de la, Caille. ( D. L. )  " ' -: COMPLEMENT, sub. m. se dit en général
d’une partie, qui, ajoutée à une autre,formeróit un ;
tout ou naturel ou artificiel.
COMPLÉMENT arithmétique d’un-logarithme.,
"Vest ce qui manque à un logarithme pour être égal
à ioo,ooooco, en supposant les logarithmes de
neuf caractères. Voyez LOGARITHME. -Ainsi ,
le" complément arithmétique de 71,079054 ; est*
28,920946, (O) -COMPLÉMENT d’un angle ou d’un arc, en Géométrie
, est ~ ce qui reste d’un angle droit ou de
quatre-vingt-dix degrés , après qu’on en a retranché
cet angle ou cet arc. Voye\ ARC ,
■ ANGLE. --Ainsi Ton dit que le complément d’un angle oud’un arc dé 30 degrx's est de 60 degrés , puisque60 -(- -30 = ^0. ;- " .' L’árc & (oh complément sont des termes rela.-tifs,-quine, se disent que á$ Tunà Tégard del’autre.. …'■''■ On appelle co-smus le sinus du complément à'un
arc, & cd-tangente :, la tangente du complément.
■Voyez CO-SINUS.& CO-TANGENTE-,-&C. Voyez
^aujjì .SINUS. ( ÇHJÌMBERS)  - ■ -. . « ; ■On :appelle complément d’un angle à I 80 degrés
f .excès de 180. degrés fur cet angle: ainsi , le corn ;
piment A' 180 degrés, d’up angle-dfe 100 degrés, est80 degrés ; mais complément tout court ne se dit
que du complément à-, 90. (O) Les complémeni d’un parallélogramme font deux
parallélogrammes que la diagonale he tranfverse
joas, & qui résultent de la division de ce parallélogramme
par deux lignes tirées- d’un point quelconque,
de la diagonale parallèlement à chacun
de ses côtés. Tels sont les parallélogrammes Ç
& M (pi. Géomét. fig. 44). L’on démontre que
dans tout parallélogramme les complémtns C 8L.M
font égaux : car Z -f- C-f- ° =R 4- M-{- x , à
cause que les deux grands, tianglés. sont égaux ( la
diagonale divisant le parallélogramme en deux
également)  ; & de même Z = R, &to=x : c’est
pourquoi les parallélogrammes réstans C, M font
.égaux. Voyéi' PARALLÉLOGRAMME. (O) COMPLEX"E,adj..(^.) : une quantité, cornplexèefí
une quantité comme ; a -j-6—c , composée
'de plusieurs ' parties a ,b, c, jointes ensemble par
les signes -J- &—."( O)  'COMPOSÉ , adj.. ( Jrithmét. ) On dit qu’un,
'-nombre est composé)  quand il peut’être mesuré ou
divisé exactement, & sans reste , par quelque nombre
différent de Tunité : tel est le nombre* 12, qtìí
peut être mesuré ou divisé par 2,3,4,0.Les nombres composés entr'eux sont ceux qui .
ont quelque mesure commune différente de Tunité:
comme les nombres 12 & 15 , dont l’un §7
l’autre peut être exaòlement mesuré ou divisé
par 3. ■■'■'■ • ' . .- ■Cette dénomination est peu en usage. On se
sert plus communément des expressions suivantes :'
tel nombre a des diviseurs ,'ipu. n’est pas un nombre
premier ; Ces deux nombres ont un diviseur commun.
Voyez NOMBRE , PREMIER , DIVISEUR.La raison composée est celle qui résulte du pro-, '
duit des antécédens de deux ou de plusieurs _rai.
sons, & de celui de leurs conféquens. Ainsi, 77 est
à 10 en raison composée de 7 à 1,, & de 1 r ÍC 5.
On dit dans le même sens rapport composé. Voye%
ANTÉCÉDENT,CONSÉQUÉNT ^PROPORTION. (O) 
COMPOSÉ ; quantités composées , ìen Algèbre, se
.dit-de Tassemblée de "plusieurs quantités liées ensemble
par les signes-'-^ & — : ainsi a -j- b — c^ 8c
b b — a c, sont des quantités composées.On les appelle autrement quantités complexesou multinomes ,. pour les distinguer des quanritéssimples ou monômes, lesquelles ne consistent que.dans urt-terme. Vóyé{ MONÔME & MULTI,NOME. (O)  •■:--.""COMPOSÉ ( pendule ) eh Méchanique , ,fignisie'
-celui .qui consiste eh "plusieurs poids , conservant
constamment la même position entr'eux & la même
distance au centre du mouvement, autour duquel"
ils font le.urs vibrations. Ainsi, unè verge AB
(pi. Méch. fig. 61)  chargée de plusieurs poids,B,
H, F, D, qui sont attachés à cette verge , est Un
■pendule composé, & toutes les pendulessont réellement
de çettê nature : car dans un pendule
C e c ij -

ÎSS - ;C O M C O M
même qui. paroít simple , c’est-à-dire, compost’
d’une verge & d’un seul poids, toutes les particules
de la verge sont chacune autant de poids.
pl.icés à différentes dislances du centre de sulpen- ■
lion ; & le poids même qui est attaché au'bout !
n’étant pas infiniment petit, est un composé de
rplusieurspetits poids, dont les distances.au centre
de suspension sont réellement ^différentes. Le pronlèrne
des centres d’oscillation consiste à trouver
les vibrations d’un pendule composé. Voy.CENTR'E
.ÌÌ'OSCILLATION. ( O)."COMPOSÉ , en Méchanique ; mouvement composé,
.est le mouvement résultant de Taction^de plusieurs
puissances concourantes ou conspirantes. Voyez
PUISSANCE.On .dit que des puissances conspirent ou concourent,
lorsque la direction de lune n’est pas
"directement opposée à celle de l’autre ; comme
lorsqu’on conçoit qu’un point .se meut le long
d’une ligne horizontale qui se meut elle - même
vetticalement. Voyez à Varticle COMPOSITION DU
-MOUVEMENT , les loix du mouvement composé.Toût mouvement dans une ligne courbe est
composé ; ,car un corps tend de " lui - même à se ;
.mouvoir en ligne droite, & il se meut en effet
de cette manière tant que rien ne l’en détourne.:
par conséquent pour qu’il se meuve en iigne courbe,
jl faut nécessairement qu’il soit poussé au .moins
par deux forces à chaque point de íette courbe.
Voyez FORCE CENTRALE & MOUVEMENT."Tout le monde fait ce théorème de Méchanique,
que dans un mouvement composé uniforme,
-la puissance unique produite par les puissances concourantes,
est à chacune de ces puissances séparé-:
ment, comme lá diagonale d’un parallélogramme,
dont chaque côté exprime la direction &-i'énergie
.de chaque puissance, est à chacun de ces côtés.
Voyez MOUVEMENT & DIAGONALE. (O) COMPOSITION, en Arithmétique : supposons
que Ton ait deux rapports tels, que Tantécédent
du premier soit à son conséquent, comme Tantécédent
du second est à son conséquent ; alors on
.saura par composition de raison, que la somme de
^'antécédent & du conséquent du premier .rapport
est à Tantécédent ouau conséquent du même rapports
comme la somme de Tantécédent ,&• du conséquent
du second rapport à Tantécédent , ou au
conséquent du même rapport.. Par exemple, si A \ B * ; C ', D , on aura par .
composition de raison cette autre proportion A 4-B ' A
©uP:: C+D ; COUD..(O) 
, COMPOSITION du mouvement, est ;la réduction
de plusieurs mouvemens à un seul. La composition
du mouvement a lieu lorsqu’un ' corps est poussé
où tiré par plusieurs puissances à-kî7fois. Voyez
MOUVEMENT. Ces différentes puissances peuvent
agir toutes suivant la.même direction, où suivant
'des direòlions différentes ; ce qui, produit les loix
'suivantes.Si un point qui.se meut en ligne,droiteesl poussé..par une ou plusieurs puissances dans’k direction
de son mouvement, il se mouvra toujours dans la
même ligne droite: là vitesse seule changera,c’està-dire,
augmentera ou diminuera toujours en
raison des forces impulsives. Si lés directions sont
opposées", par exemple, si Tune tend cn-bas &
l’autre en-haut ; la ligne de tendance du mouvement
sera cependant toujours la même. Mais si
les mouvemens composans , ou, ce qui est la même
chose, les-puissances qui les. produisent n’ont pas
une même direction i le mouvement composé n’aura
aucune de leurs directions particulières ; mais-en
aura une autre toute différente "qui sera dans une
ligne ou droite ou courbe, selon la nature & la
-direction particulière des différens mouvemens
composans.Si les deux mouvemens composans sont toujours
uniformes, quelque angle qu’ils fassent entr'eux
 ; lá ligne du-mouvement composé sera une
ligne droite, pourvu que les mouvemens compo*
sans fassent toujours.le même angle. II en est de
même, files mouvemens ne sont point uniformes,
pourvu qu’ils soient semblables, c’est-à-dire,qu’ils
soient accélérés ou retardés en même proportion,
& pourvu qu’ils fassent toujours > le même angle
entr'eux. ' .Ainsi, si le point a (Planches de Méchanique",,
fig. .Gz )  est poussé par deux ^forces de ;direcìions
.différentes -, savoir en-haut, vers & , & en-avant
vers d ; il esl clair que quand il aura été en-ayant
jusqu’en c, il devra nécessairement être'monté jusqu’au
point e de la -ligne ce ; de forte que si les
mouvemens ;suivanta2& ab , étoient uniformes,,
il se mouvroit toujours dans la diagonale ace.
Car comme les lignes ac, ce, sont toujours en
proportion constante , & que par Thypothèse le
mouvement, suivant ad, Sa le mouvement perpendiculaire
àcêlui-ci, sont tous deux" uniformes ;
il s’enfuit que les lignes ac, Ce, seront parcou- ^
rues dans le même tems ; & iqu’ainfi tandis que le
point a parcourra a c par un -de- ses mouvemens,
il parcourra en vertu de l’autre mouvement la
ligne ce. D’où il s’enfuit qu’il se trouvera successivement
fur tous les points e de la-diagonale:
& que par conséquent il parcourra cette ligne.Dans h fig. Gz , on a fait les lignes a c , c e ,
égales èntr'elles, c’esl-à-dire, qu’on a supposé que
non-feulement les mouvemens étoient uniformes,
mais encore, qu’ils étoient égaux. Cependant la
démonstration précédente auroit -toujours lieu,
quand même les mouvemens, suivant a d & alr,
ne ferpient point égaux , pourvu que ces mouvemens
fussent uniformes, ou du moins qu’ils gar- ,
dassent toujours’entr'eux la même" proportion. Par
exemple, fi le mouvement, suivantà d, esl double
du mouvement suivant a & au commencement, lc
point a parcourra toujours la diagonale ae', quelque
variation qu’il: arrive dans chacun ;des mouvemens,
suivant ad & ab, pourvu que le premier
demeure toujours double, du second. -,. ■
C O M ■' ' ' - -,' C-O M Ï« V
'•. De plus, il est évident que la diagonale -a c
fera parcourue dans le même tems que l’un des
côtés ad ou a b auroit été parcouru , si le point
: a n’avoit eu qu’un seul des deux mouvemens. Si
un corps est poussé à-la-fois par plus de deux
,forces, par. exemple par trois, on cherche d’abord ;
le mouvement composé qui résulte de- deux de :
.ces forces ; ensuite regardant ce mouvement com,posé
comine une force unique , on cherche le [
mouveau mouvement composé qui résulte de ce ;Íjreinier mouvement & de "la troisième force. Par- i
à, on a le mouvement composé qui résulte'des
-trois forces.- .'■'_.S’il y avoit quatre forces au lieu de trois, íl
'faudrôit chercher le mouvement composé de la
^quatrième force & du second mouvement coin- ;
posé, & ainsi des autres. ' ■ ,Mai: si les mouvemens composans ne .gardent
' pas entr'eux une proportion constante, le point
"a décrira une courbe par son mouvement, com(.PPfé-Si un corps comme b (fis- .G3 )  »■ est poussé pu
 ! tiré par {rois différentes forces dans trois difFé ;rentes
directions, b a , b c , b d, de forte qu’il ne
cède à aucune, mais qu’il reste en équilibre ; alors
• ces trois forces,ou puissances seront- entr'elles
pommetrois lignes"droites parallèles,àçes lignes,
.terminées par leur concours mutuel, & exprimant,
l.eurs différentes directions , c’est7à-dire , que
■ces trois puissances feront entí'elles comme les
-lignes b e , .b c & b d.Voilà des principes généraux dont tous les-méchaniciens
conviennent, lìs ne sont pas aussi parfaitement
d’accord fur la manière de les démon.trer.
II est certain qu’un corps poussé par deux
forces uniformes , qui ont différentes directions
& qui agissent continuellement fur lui,J décrit la
diagonale d’un parallélogramme formé fur les
-directions de ces forces ; car, le point a , par
-exemple, .étant poussé- continuellement, suivant
a d & suivant ab , ou plutôt, suivant des directions
.parallèles à ces deux lignes, il esl dans le même
cas que s’il étoit fur une règle ad qu’il parcourût, 1
d’un mouvement uniforme, tandis que cette règle
-arf.se mouvroit toujours parallèlement à ellemême
, suivant d e ou a í>.Or-dans cette- supposition ,. .on -démontre sans
peine que le point a décrit la diagonale a c. Mais
. lorsque íe point a reçoit une impulsion suivant
ad, & une autre en même tems, suivant ab , ík
que les forces qui lui donnent ces impulsious Tabandonnent
tout-à-coup, il n’est pas alors aussi faciíe
de démontrer en toute rigueur que ce pointa
décrit lá diagonale a-c. 11 est vrai que presque tous
les auteurs ont voulu réduire ce second cas au
premier, &:il.esl vrai, auffi qu’il doit s’y réduire.
Mais on ne yoit pas, ce. me semble, assez évidemment
Tidentité. de.ces deux cas pour la supposer
íàns démonstration. On peut prouver qu’ils reviennentau même, de la manière suivante. Supposons
que les deux puissances agissent fur le
point a durant un certain tems, & qu’elles Tabandpnnent
ensuite j il est certain que durant Ie premier
tems il décrira la diagonale, & qu’étant abandonné
par ces puissances, il tendra de même à la
décrire, & continuera à s’y mouvoir,avec un.- mouvement uniforme, soit que le tems pendant
lequeLelles ont agi, soit long ou court. Ainsi ,:■ puiique la longueur du tems pendant lequel les
puissances .agissent, ne détermine rien ni dans la
direction,du mobile , ni dans Ie degré de son
mouvement, il s’ensuit qu’il décrira la diagonale
dans Je cas même où il n’auroit reçu des deux ;
puissances qu’une-impulsion subite.M. ÇanieTBernoullia donné dans Ie premier-.volume' des mémoires Ae Tacadémie -de Pétersbourg,
une dissertation où il démontre la com~-:-pofitìon des mouvemens par un assez long appareil
de propositions. Comme il s’est ; proposé de
. la démontrer d’une manière absolument rigoureuse,,
on doit moins ■ être surpris "de la longueur de fa
démonstration. Cependant il semble que le principe
dont il s’agit étant un ides premiers de la Méchanique,
il doit être fondé fur des-preuves plus
simples.&.plus faciles ; cartelle-est la nature d.e-presquetoutes les propositions dont Ténoncé est
íìmple. . ' ' "L’auteur du traité-de Dynamique.., imprimé à ;
Paris en 1743, a aussi essayé de démontrer env
toute rigueur le principe de la composition des ;
mouvemens. t C’est aux favans à décider s’il xféuffi. -•-..■ … ; ''Sa méthode consiste à supposer que le ! corps ;
soit fur un plan, & que ce plan puisse glisser entre ;
deux coulisses par un mouvement égaj & contraire
à l’un des mouvemens composans , tandis que les"
deux coulisses emportent le plan par un mouvement
égal & contraire à l’autre mouvement composant.
II est facile de voir que íe corps dans
cette supposition demeure en repos dans I espace
absolu.' ; Or il n’y demeureroit pas j s’il ne décri-voit
 la - diagonale. Donc, &c. On peut voir ce:
raisonnement plus développé dans Touvragé.que
nous venons >de citer. Pour lui donner encore:
plus de force, ou plutôt pour ôter tout lieu à la.
chicane, iln’y a qu’à supposer que la ligne' que ;
le corps décrit en yertu des, deux forces composantes
, soit tracée fur le plan en forme de rainure ;,
pn ce cas, il arrivera de deux choses l’une,: out
eette rainure fera Ja diagonale même , . & en ce:
cas il n’y à plus de difficulté ; ou fi elle n’est pasla
diagonale, òn n’aura nulle peine à concevoir
comment-les parois de la rainure agissent’ fur íé-'
corps & lui communiquent les deux mouvemensdu
plan pour chaque instant ;, d’où Ton conclura ;
par le repos absolu,dans séquelle corps doit être,,
que cette rainure fera la diagonale même. C’est ;
d’ailleurs- une supposition très-ordinaire-rque^
d’imaginer un : corps - fur un plan qui- lui .çom-r
mimique du mouvement, & qui Temporte avec
lui. ■ ■ ; 'Au resle, les loix de la composition des forces
suivent celles de la composition des mouvemens, &
on en déduit aussi les loix de Téquilibre des puissances.
Par exemple, que b e (fig. 63)  représente,
la force avec lsquelle le corps b est poussé de b
vers a , alors la même ligne droite b e représentera
la force contraire égale, par laquelle iLdoit
être poussértle b vers e pour rester en repos ; mais
par ce qui a été dit ici.-dessus, la force be se peut
résoudre dans deux forces agissantes , selon les
deux directions b d & b c ; & la force poussant de
'b vers e ,. est à ces forces comme' b e est’ à b d’, &
àkou de respectivement. Donc les deux forces
qui agissent suivant les directions bd, b c, seront
équivalentes à la force agissant suivant la direction
ba, & elles seront à cette force agissant
selon la direction b a comme b d,bc , sont a b a ;
c’est-à-dire, que si ie corps est poussé par trois■rìisiérenres puissances dans les directions ba,bd,
b c, lesquelles fassent équilibre entr'elles , ces
trois forces seront Tune à l’autre respeélivement
comme ba,bd, & b e óubc. Ce théorème &
ses corollaires servent de fondement à touté la méchanique
de M. Varignon, & on en peut déduire
immédiatement la plupart des théorèmes méchaniques
de Borelli, dans,son traité demotu arúma■lium ', & calculer d’après ce théorème la force des
muscles. (O)  . . :COMPRESSION, f. f. ( Méch.)  : action de '
presser ou de serrer un corps, de laquelle il résulte
qu’il occupe, ou tend à occuper un moindre. volume. 11 ne faut pas cptrsondre ( rigoureusement
parlant ) la comprcjsion avec la condensation. La
compression est proprement Taction de serrer un’
corps, soit qu’il soit réduit ou non à occuper un moindre
 volume : la condensation est l’état d’un- corps qui, par une cause quelconque , est réduit
à occuper un moindre volume.COMPTEPAS, f. m. instrument qui sert à mesurer
le chemin qu’on a fait à pied, ou même
len voiture. On l’appelle auffi odometre. Voyez •
ODOMETRE. (O) ' ,COMPUT ou COMPOST ecclésiastique, se dit
du calendrier destiné à régler les fêtes" mobiles !'ConCONCAVE s adj. (Géom., & optique )  se dit de
Ja surface intérieure d’un corps creux, particulièrement
s’il est circulaire.Concave est proprement un terme relatif ; une
ligne ou surface courbe concave vers un côté, est
convexe du côté opposé. Voyez SURFACE , CON^
-VEXITÉ,&C.Concave, se dit particulièrement des miroirs &
-des verres optiques. Les verres concaves sont ou
•concaves des deux côtés, qu’on appelle simplement
çpnc’aycs ; ou concaves d’un côté & plans del’autre, qu’on appelle plans concaves ou concaves
plans ; ou enfin concaves d’un côté & convexes de
l’autre. Si -dans ces derniersJa convexité est d’une
moindre sphère que la concavité, on les appelle
ménisques ; si elle esl de Ja même sphère,sphériques '
concaves ; & si elle esl d’une sphère plus grande,
convexe-concaves.Les verres concaves ont la propriété de courber
en dehors j & d’écarter les uns des autres les rayons
qui les traversent,'au.-lieu que les verres convexes
ont celle de les courber en dedans & de les’rapprocher,
& cela d’autant plus, que leur concavité ou
leur convexité sont des portions de moindres cercles.
Voyez LENTILLE & MIROIR.
' D’où il s’enfuit que les rayons parallèles, comme
ceux du soleil, deviennent divergens, c’esl-à-dire,
s ecartentles uns des autres après avoir passé à travers
un verre concave , que les rayons déjà divergens le,
deviennent encore davanrage, & que lesTayous convergens
sont rendus pu moins convergens ou parallèles,
òu même divergens.C’est pour cette raison que les objets vus à travers
des verres concaves paroissent d’autant plus petits ;
que les concavités des verres sont des portions de
plus petites sphères. Voyez un plus grand détail à
ce sujet aux articles LENTILLE, RÉTRACTION.'Les miroirs concaves ont un effet contraire aux
verres concaves ; ils réfléchissent les rayons qu’ils
reçoivent,' de manière qu’ils les rapprochent presque
toujours les uns des autres, & qu’ils les rendent
-plus convergens qu’avant Tincidence ; & ces rayons
sont d’autant plus convergens, que le miroir est
une portion d’une plus petite sphère. (HARJÍIS&-CH A MB ERS.) Je dis presque toujours, car cette règle n’est pas
générale: quand Tobjet est entre le sommet & le
centre du- miroir, les rayons sont rendus moins
convergens par là réflexion. Mais quand les rayons
viennent d’au-delà du centre, ils sont rendus plus
convergens ; & c’est pour cela que les miroirs con.-
çavis exposés au soleil, brûlent les objets placés à
leur foyer. (O) CONCAVITÉ, f. f., ( Geom. ) Té dit de la
surface concave d’un corps, òu de Tespace que
cette surface renferme. 'Voyez CONCAVE. (O) 
--' CONCENTRIQUE, adj. (terme'de Géométrie
& d’Astronomie ) On donne ce nom à deux pu plu-r
sieurs cercles ou courbes qui ont le même centre.
Voyez CENTRE.Ce mot est principalement employé lorsqu’on .
parle des figures & des corps circulaires ou elliptiques
, &ç. mais on peut s’en servir auffi pour les polygones
dont les .côtés sont parallèles’, & qui ont le •
même centre. Voyez CERCLE, POLYGONE,.6'C,
. Concentrique esl opposé à excentrique. Vóyez EXT
CENTRIQUE. ( CKAMBERS.)  'CONCHOIDE, s. f. (Géom.)  c’est le nom d’une
courbe géométrique qui a une asymptote. Voyez
ASYMPTOTE & C 0 y R B E. En voici la des ?
cription.. . ;''--' t
CON CON, 39't .1
: Ayant tiré deux lignes RD, AC (PI. Anal,
fig. ~i.)  perpendiculaires Tune à l’autre, & placé
fur la ligne AEC les trois points A , F, C, dont
les deux premiers soient à égale distance de J5, on
tirera par le point C autant de droites CFEA,
COM, CQN, CM, &.c. qu’on voudra avoir de
points de la courbe: on prendra ensuite sur ces
lignes, tant au-dessus de B D qu’au-dessous, les
parties Q M, QN, QM, &c. toutes égales à AE.
Cela fait, les deux lignes MMAMM, NFN
terminées par les extrémités de ces lignes droites,
seront les deux parties d’une même courbe géométrique
appellée concho'ide ; le point C est appelle
le'pôle de cette conchoïde ; la ligne B D est son
asymptote, & la partie constante A E sa règle. Si
EF=CE la courbe a un point de rebrouslément
en F ; si EF<^CE, eíle a un noeud en F. On
peut la tracer ainsi.AEDKG, (fig. z.)  est un équerredans la branché
AD de laquelle est pratiquée une coulisse qui
représente Tasymptóte de la courbe, & qui a dans
son autre branche un clou K qui doit être le pôle
de la concho'ide. CFKB , est une règle à laquelle
est attaché un clou F qui passe dans la coulisse A D,
où il a liberté de glisser. C & c font deux stylets
ou crayons attachés à la même règle, & à égale
dislance du clou F. O K est une coulisse pratiquée
dans cette règle , & dónt le commencement O est
placé à la même distance de F que K de A D.Cela posé, fí on fait mouvoir la règle CD, de
manière que le clou F ne sorte jamais de la coulisse^ !) ,
& que la coulisie OB passe toujours dans
le clou K, les deux crayons placés en C & en c
décriront les deux branches CH, c h de la. concho'ide.
Nous avons dit que la ligné AD est asymptote de .
cette courbe, c’esl-à-dire, qu’elle en approche tonjours
sans jamais la rencontrer ; cela est aise à comprendre
par fa description, puisque la ligné çonítante
 CF s’inclinant toujours fans se coucher jamais
fur AB, le point C doit toujours approcher de
la droite AD sans_jamais y arriver.
• Nicomède est Tinventeurde certe courbe ; &t on
ajoute ordinairement au nom-de conchoïde , celui
dé Nicomède, asin de la distinguer d’autres courbes
analogues qui pourroient avoir ce nom.Par exemple, la courbe MMAM (fig. i.)  que
Ton formerpit en prénnant QM, non constant
comme on .vient-de faire, mais de telle grandeur,
que E Cm : C Ç_m : : QMm : A Em, seroit une courbe
<fui auroit encore B D pour asymptote, & qu’on
peut nommer aussi conchoïde. Voyez, sur les pro-"
prières générales, de la concho'ide ., la derniere section
de í'application de VAlgèbre h la Géométrie ,
par M. Guisnée..'■ MM. ne la Hire & de la Condamine nous ont
donné plusieurs recherches fur_les conchoïdes ; l’un
dans les Mémoires de VAcadémie de zyoS ; l’autre
dans cèux de i y 33 6- 1734- M’.,de M’airân, dans
les Mémoires de VAcadémie de 1735, a remarqué
svec raison que i'espace conchoïdal, c’esl-à-dire,Tespace renfermé par la conchoïde, &son asymptote,
était infini & non fini, comme quelques Auteurs
Tont prétendu. En effet, soit AE=a, CE=b, &
-E Q=x, on trouve que AD Q M est <; que abC log. x -f- \fxx-\-bb—log. &.] Or cette quantité est « Î
lorsquea-== 00. Donc, &c. (O) CONCOURANTES, (PUISSANCES) en Méch.
sont celles dont les directions concourent, c’està-dire,
ne sont point parallèles, soit que les directions
de cespuissances concourent effectivement,
soit qu’elles tendent seulement à concourir, & ne
concourenten effet qu’étant prolongées. On appelle
xauffi puiffances concourantes celles qui concourent à
produire un effet, pour les distinguer des puissances
opposées , qui tendent à produire des effets
contraires. Voyez PUISSANCES CONSPIRANTES,,
(O) CONCOURIR. On dit en Géométrie -que deux
lignes , deux plans concourent, lorsqu’ils se rencontrent
& se coupent, ou du moins lorsqu’ils
fout tellement disposés qu’ils se rencontrèroient
étant prolongés. (O) CONCOURS , terme de Géométrie. Point de
concours de plusieurs lignes, est le point dans lequel
elles se renconrrent, ou dans lequel elles se rencontrèroient
, si elles étoient prolongées. Point de
concours de plusieurs rayons. Voyez FOYER. (O) CONDUIRE les- eaux (Rydrauliq.). La manière
de conduire Teau dans une ville n’est pas la même
que dans la campagne & dans un jardin.Dans uné ville, on n’a d’autre sujétion que de
se servir de tuyaux de plomb, âflez gros pour
fournir- les fontaines publiques & la quantité d’eau
concédée aux particuliers , en la faisant tomber
dans les cuvettes de distribution. Si, dans la pente .
des rues, Teau est: obligée de -remonter ou de se
.mettre de niveau après la pente, ou enfin fi on
soudé une branche fur le gros tuyau, on fait dans
cet endroir un regard avec un robinet, pour arrêter
cette charge & conserver les tuyaux : cela {ert
encore à les vider dans les fortes gelées !Dans la campagne, on n’a ordinairement à conduire
queues eaux roulantes ; après Tavoir amassée
par des écharpes-, des.rameaux, des rigoles, dans "
, des pierrëes , Tavoir amenée dans un regard de
prise-, on la fait entrer dans des tuyaux de grès ou
de bois, selon la nature du lieu ; s’il y a des contrefoulemens
où Teau soit obligée de remonter, on
la fait couler dans des aqueducs, ou au moins dans
des tuyaux assez forts pour y résister. On sent, /
bien qu’il seroit ridicule d’y employer des tuyaux .
de plomb,- qui seroient trop exposés à être volés ;
ceux de fer sont à préférer. On les enfoncera dé
quatre à cinq pies, pour éviter le vol & la maiieê
■ des gens mal intentionnés. . "Le plus difficile à ménager en conduisant les
': eaux pendant un long chemin, ce sont les fonds .
& les vallées appellées ventre où gorges ; ils se
trouvent dans Tirrégularitë.du terrein de ia campagne,
&.interrompent ie niveau d’une conduite :59i , con: con ;E'.ors on esl obligé de faire remonter Teau fur la
montagne vis-à-vis, pour en continuer la route ;
c’est dans cette remontée que Teau contrefoulée a
tant de peine à s’élever, que les tuyaux y crèvent
en peu de tems.Soit la montagne As pi. Hydr. fig. zs)  d’où
descend Teau qu’on suppose amenée depuis la prise
par un terrein plat, dans des tuyaux de grès ou
des pierrées. B est la seconde montagne où" se
rroìwë la - contrepente opposée à la pente de la
píemière montagne A, d’où- vient la source Ç
conduite dans dés tuyaux de grès. D D est le
ventre ou gorge , où ì'eaù se trouve forcée partout.
E E est la ligné de. mire ou nivellement ;
four connoítre la hauteur, du contrefoulement B.
,a conduite qu’on posera dans cette gorge ou
fondrière D D\ sera de fer, ainsi que dans la
contrepente où Teau force ie ; plus, jusqu’à ce
qu’elle se soit remise de niveau sur la montagne B, ; .
on reprendra alors des tuyaux de grès pu des pierrées,
pour éviter la dépense, julquau réservoir,
parce que Teau n’y fait que rouler, & ne force que
dans Je ventre &- la remontée.Si, dans un long chemin, il se rencoritroit deux
oû trois contrepentes, ce qui peut encore arriver
en ramassant des eaux de- plusieurs endroits , ;on
les conduiroit de la même manière. Quand la
gorge n’est pas longue, comme seroit celle F F
de la figure i G, un bout d’aqueduc ou un massif de
Mocailles est le meilleur parti qu’on puisse prendre,
&. Teau y roulera de la même manière que depuis
le" regard de prise dans des’ tuyaux de grès, ou
dés pierrées continuées fur des massifs de biocailles.
Lorsque cette gorge est longue, & que le
contrefoulement est élevé de vingt à trente pies,
les tuyaux de fer coûteront moins, & dureront ;
plus long-tems.Si le contrefoulement étoit plus haut que cent
pies, il faudroit y bâtir un aqueduc, parce que
les tuyaux de fer auroient.de la peine à résister ;
alors le niveau étant continué' par l’élévation de
l’aqueduc., Teau y roulerait & y regagnerait l’autre
montagne, d’où elle rentreroit dáns des auges ou
tuyaux jusqu’au réservoir.On peut encore éviter un contrefoulement, en
faisant suivre une conduite le long d’un coteau, &
regagnantpetit-à-petit le niveau de la contrepente :
mais il faut qu’il n’y ait pas un grand circuit à faire
dans cette situation appelléepoêle ou bassin ; parce
que la longueur d’une conduite ainsi circulaire,
quoiqu’en grès ou en piérrée-, coûté plus que
d’amener Teau en droite ligne par des tuyaux capables
de résister au contr'efotìíementiDans les jardins, en supposant Tealt amassée
dans le réservoir au haut d’un parc, il ne serencontre
pas’tant de difficultés : le têrrein y esl
dressé, & les conduites descendent plutôt en pente
douce qu’elles ne remontent, On se servira, dans
les eaux forcées, de tuyaux de fer, de plomb ou: |
pie bois, suivant le pays, & même■ deLgrès^bien |conditionnés, pourvu que la chute né passe pas
quinze à vingt pies. Ces conduites étant parvenues
jusqu’aux bassins, on’y fera un regard pour loger
un robinet de cuivre d’une grosseur convenable au
diamètiedela conduite ; on soudera ensuite debout
une rondelle ou collet de plomb un peu large autour
du tuyau, & dans le milieu de Tendroit du ■
corroi ou massif du bassin où il passe, asin que
Teau , ainsi arrêtée par cette plaque, ne cherche ■
point à se perdre le long'du tuyau. Quand ce  ;
sont des tuyaux de fer , on les: pose de manière
qu’une dé leurs’brides soit dans le milieu du corroi,
cë qui sert de rondelle : cette règle est générale '
pour tous les tuyaux qui traversent les corrois & '
massifs d’un bassin ; comme 3uffi de ne jamais engager
les tuyau , & dé ! les faite passer à découvert
fur le plafond 1 d’un bassin.Dans le centre du bassin, à Tendroit’ même où !
doit être le rjet, on’soudera fur la cónduité'un
tuyau montant appellé'/òucslè, ait bout duquel on-j
soudera encore un écrou de cuivre fur lequel lé
visse Tajutage': il faut que cette souche soit dé
même diamètre'que la conduite ; si elle étoit rétrécie
, elle augmenteroit lé frottement-, .& retarderait
la vitesse &.la hauteur du jet. A deux pies environ
par-delà la souche, on coupera la conduite, & on
la bouchera par^un tampon" de bois dé chêne,,
avec-une rondelle de fer chassée à force _au bout .
du .tuyau , ou, par un tampon de cuivre vis-à-vis
■queTon y soudera. Ces tampons facilitent le moyen"
de dégorger une conduite.Evitez les coudes, les jarrets & les angles droits’
qui diminuent la force des eaux ; prenez-les d’un
peu loin pour en diminuer la roideur : & même
il nè fera pas mal d’employer-des tuyaux plus grosdans
les-coudes pour éviter lés frottemeris.Dans les conduites un peu longues & fort chargées
, on place des ventouses d espacé en espacepour
la sortie des vents : on-les fait ordinairement ;
de plomb ; on les branche fur la tige dp quelque'
grand arbre, en observant qu’ellesToient de deux
ou trJois pies plus hautes que le niveau' du réservoir,
afin quellesvííe dépensent pas tant d’eau ;:
de cette manière, fln’y a que les vents qui sortent.
Quand, après une pente rolde, les conduites se
remettent de niveau, il faut placer dans cet endroif
des robinets pour arrêter cette chargé ; ce qui serf
encore à trouver les fautes, & à tenir les conduites ;
en décharge pendant Thiver ; ..Faites toujours passer'Jes tuyaux dans les allées ;>pour en mieux connoítre les fautes, & y remédier ; fans rien déplanter ; & ìes co'ndúitessous ;des:térirasses ou sous des chemins publics, passeront sousdes voûtes, afin de les visiter de tems en tems ; Leseaux de décharge rouleront dáns dés pierrées faitesen chatières, ou dans des tuyaux de grès: fanschemise, quand ces eaux vont- se., perdre dansj quelque puisart ou cloaque ; mais,-quand ellesI servent à faire jouer de^s bassins’ plus bas , on lesI çntóuréra d’une bonne chemise de ciment ,OÌTJ on"y emploiera
-G 0:N ; . '.. G ;Q N’ . z9t
y éStpfoierfl, dps,-myaux ordinaires-comme étant
pes eaux: forcées.. ' Tenez toujours les tuyaux- de.
décharge, tant de la superficie que du fond d’un
bassin,'.plus gros que ; le reste de la conduite, afin
que l’-eau se perde, plus vîte qu’elle nevient,.que
lé tuyau ne s’engorge point., & de peur que Teau ;, •
passant pardessus "les bords,' ne détrempe .toutes les-, i
■terres, qui soutiennent le.bassin, & n’en affaisse'íe, !
niveau. (K)  ■'.""..,.". . . ' ..- ! ; /CONDUITE "d’eau [HydrauL) , est une-fuite . ;
de tuyaux pour conduire Teau d’un lieu à un autre, ; '
que Vitruve appelle ; canalis duSilis. Si les tuyaux,
font de fer, oii la npmine conduite de fer ; s’ils font '
de plomb, conduite de plomb■ ; s’ils sont.de terr.e ou
degrés cuit, conduite déterre oude poterie,-ensin,'
s’ils sont .'de bois, on ; l’appelle conduite de tuyaux \
de bois’. Voyez.Tv-^AV. (P) ' • , …" . '' CONE, f. m. On donne' ce nom en Géométrie ,
à un corps solide, dont la base est un cercle, & i
qui se termine -par le haut en une pointe que Ton
appelle sommet. Voyez (pi. des coniq. fig. z.) Le cône, peut être engendré par le mouvement
d’une ligne droite K M, qui tourne autour d’un
point immobile K, appelle sommet, en rasantpar .
son autre extrémité la circonférence d un cercle MN,
qu’on nomme sa b ose.
On appelle en général axe du cône, la droite tirée
de son sommet au centre de sa base.Quand Taxe du cône esl perpendiculaire à sa
base, alors cé solide prénd le nom de cône droit ;
fi cet axe est incliné ou oblique, c’est un cône scalène.
Les cônes Te divisent encore en o.btusangles
& acutangles.'' Si Taxe ÀB (fig. 3 )  est plus grand que le rayon
CB de la base, le cône est acutangle ; s’il esl plus
petit, le cône esl obtusangle ;. énfih c’est un cône
recìangle , quand Taxe est égal au rayon, de la
' base.- ; Quelques auteurs définissent en-général le co.ne
une figure solide , dont la base" est. un cercle comme
CD (fig. '3) ,, & qui est produite ; par la révolution
entière, du plan d’un triangle rectangle CAB,
autour du cpté perpendiculaire A B ; mais, cette
âéfinition ne peut regarder que le cône droit, c’està-dire,
celui dónt Taxe .tpmbe à angles droits fuifa
base. ..■'. ;
' Afin donc d’avoir une description du.cône, qui
convienne, également au 'cône droit & k-loblique,
supposons un point immobile A ( fig. 4 ) , aû-dehors
. du'pîan du cercle B DE C ; Sçsoìt urée par ce
point-une ligne droite AE, prolongée,.indéfini'
ment-de part & d’autre, qui se meuve tout autour
de la-circonférence du cercle :.ries deux-surfaces
engendrées par ce mouvement, font appellées/w'sáces
 coniques ; & quand pn les nomme relativement
Tune à Tautré, ellés’s’appellent dës’surfaces
verticalement opposées ou opposées par-, le.sommet y
pu simplement,des surfaces opposées.■„.-.•■ ;,.•. 7 s 7.
" Voici les principales propriétés du conê.-ï/'L aire
eu la surface-de tout cône drpit,-faisant abstraction’
Mathématiques. Tome I} I.*'. Partie:
de !a base,: :ësl égaie à un triangle,' dont la báseesl
la. circonférence de celle du cône , &.la hauteurle.côté du cône.. Voyez TRIANGLE. OU bien lasurfacecourbe d’un cône droit esl à.Taire desábásecirculaire,comme la longueur de Thypothénuse■4 Cl (.fig- 3 ) , du triangle rectangle générateur,' estàCB , haie du même triangle, c esl - à- dire "ycomme ie côté du., cône au ..demi-diamètre dé-la ! base,- ..,->,. .' ,., … ; : •■ ;• ; . ;-. ;■ ■ ; ■ :.,:. ■  ;■■' 7L>'pù il .soit.que la surface d’un cône> droit est1 égalé à un secteur de cercle, qui. a pour, rayòrìle côté du coné, & dont Taie est égal à la circon’férence de la base'de ce solide : d’où il ■ est aiséde .conclure que cet arc est à 360 degrés ; comine ,
' le diamètre de la base esl au double du côté du'
 ; cône. ;  ; -, . . - .J ■ ',7. :. •-.- :' -.:Dn a donc une méthode très-simple, de tracée
: unesurfaGe ou un plan, qui enveloppe.exactemenc
i celle d’un cône droit proposé. Car, sur lé diamètre:
de la base A B, Ton n’a' qu’à déçrirè un cercle
(pi. des coniq, fig. s )  ; prolonger le diamètre jufc
qu’en.C, en forte que AC soit égal au côté du
c-ohe ; chercher ensuite, ùriè quatrième proportionnelle
aux .trois grandeurs zAC, AB ;, ^6od ; &
du ceptre £7:avec lé '.rayon ÇA, décrire un.arc
DE.yqpi ait le nombre de degrés tròuves:par laquatrième
proportionnelle ; alors le secteur CDÊj.
avec le cercle AB, sera unè surface propre à envelopper
exactement le cône proposé. ' ."'.'■ 7
, : Á-t-on un cône droit tronqué dont on voudroit
avoir le ' développement ? Que Ton porte, le: côté de.
cé cône de A en F ; que lón décrive un arc .G H
avec" lé rayon CF ; que Ton cherché ensuite.imc
quatrième proportionnelle à 360 !, au nombre ; de
degrés, de Tare G H, .& au rayon C F, afin^dê
déterminer, par ce moyen, le diamètre du cerclé
IF, & Ton aura une figure plané, dont on pourra
envelopper le cône tronqué. '■■-,- … 7.. Car C D B A E enveloppera le cône entier ;
CG FIH enveloppera le cône retranché ; .il faut
donc que P B E H.I.G soit pro'pfe à envelopper ,le ;
 cône tronqué…. .'..''
• '.-i.° Les cônes de même base & de même hauteur
sont égâtix èri solidité. Voye'z PYRAMIDE. .
Or il-est démontré que tout prisme triangulaire
.. pçut Être ' divisé .en . trois pyramides égales ;..&
qu’ainsi une: pyramide triangulaire est la troisième
partie d’un ; prisme de ;inême, base &. de ; même
hauteur. .-.'  ; , .1 ,"'.Puis, donc que tout corps mùltangulairè où polygone
peut être résolu en solides triangulaires ;.tque
toiite pyramide est le tiers d’un prisme'dé. même
base & de même hauteur ; . qu’un cône peUt: ;êtié
considéré comme une . pyramide, infinitangulame ,
ç'esl-à-dire ,d’un nombre. infini de côtés ; .&. le ;cy^
iindre. comme un prismé infinitangulaire ;: iLìelí
"évidentqu’un coneefi le tiers d’un cylindre Àe mêmè'
base &, de ;même hauteur:,: ;.:. • :::1: . ì': L’on a donc unè méthode très-simple pour me-'
surer la soliditéd’un cerne .-par il n’y a qu’àuouver
1 , ' Ddd
 ?<u con c oncelle d’un prisme ou d’un cylindre de mème hase
& de même hauteur que le cône ( voyez PRISME
& CYLINDRE)  ; après quoi Ton en prendra le tiers,
qui sera la solidité du cône ou de la pyramide. Si
la solidité d’un cylindre est 605591060 pies cubes,on
 trouvera que celle du conevaut 201864320 pies
cubes. ',Quant aux surfaces, on a celle d’un cône droit’
« n multipliant la moitié de la circonférence de Ja
base par-le côté de ce cône , & ajoutant à Cê produit
Taire de la base.Si Ton veut avoir la surface & la solidité d’un
cône droit tronqué AB CD (fig. <r) , sa hauteur
CE & les diamètres des bases- AB , CD, étant
données,.ón déterminera d’abord leurs circonférences
: ensuite on ajoutera au quarré de la hauteur
CHde quarré de la ;dissérence AH des rayons- ;
&■ extrayant la. racine quarrée detette somme, on
aura le côté A C du cône tronqué : on multipliera
ensuite la demi - somme des circonférences par Je
côté A C, & cette multiplication donnera la surface
du cône tronqué.- Pour en avoir la solidité, on fera d’abord cetteproportion
 ;"la différence Ciselés rayons est à la
hauteur CÉ du cône tronqué, comme le plus grand
rayon ^á F est à la hauteur FE du cône entier : cette
hauteur étant trouvée, on en soustraiera celie du
cône tronqué, & Ton aura la hauteur £ G du cône
supérieur. Que Ton détermine présentement lá
solidité "d’u cône CE D & celle du cône A E B , &
que Ton ôte la première de la seconde, il restera
la solidité du cône tronqué A CD B.
. Sur les sections du conc, voyez CONIQUE ; fur le
rapport des cônes& des cylindres, -voy. CYLINDRE ;
Stfurles centres de gravité & d’oscillation du cône y
voyez' CENTRE.Lé nom de cône sc. donne encore à d’autres
solides qu’à ceux dont les surfaces font produites
par le mouvement d’une ligne autour de la circonférence
d’un cercle ; il s’étend à toutes les espèces
de corps que Ton peut former de la. même manière,
en prenant une courbe quelconque\pour circonféisnce
de la base.La méthode pour déterminer la solidité d’un cône
oblique, est la même que celle pour déterminer la
solidité du cône droit ; tour cône en général est- le
produit de sa base par le tiers de fa hauteur ,
c’est-à-dire par le.tiers de la ligne menée du
sommet perpendiculairement à la base.. Dans les
cônes droits, cette ligne est Taxe mêmé ; dans les
autres, elle est différente de Taxe. 'Mais la surface du cône oblique est beaucoup plus,
difficile à trouvfcr que celle du conc droit’ ; on ne
peut la réduire à la mesure d’un secteur de cercle,
parée que , dans le cône oblique,. toutes les iignes
tirées du sommet à la baie, ne sont pas’ égales.
Voyez-'e Mémoire que M.. Euler a donné' fur ce
sujet, dans le tome I des nòuv.. Mém. de Péterfbourg.
Borrow," dáns ses LeSiones GeomttricCe , donne
une méthode ingénieuse pour trouver la suríàce.d’un cône qui a pour base une ellipfe, loríqua
ee cône fait portion d’un cône droit. Voici en deux'
mors fa méthode. Du point où Taxe du cône droit
coupe Tellipse, il imagine des perpendiculaires fur
les différens côtés du cône ; & comme ces perpendiculaires
sont égales, il na pas de peine-à prouver
que.la solidité du cône elliptique est égale au pro ;duit de fa surface par le tiers de Tune de ces perpendiculaires.
Or cette niême. solidité esl auffi'
égale au tiers de la hauteur dii cône, multiplié par• la base elliptique. Donc comme la perpendiculaire"
ci-dessus désignée esl à la hauteur du cône ,.
ainsi la base elliptique est à la hauteur cherchée »
On appelle, en Optique, cône de rayons, Tasseinblage
des rayons qui partent d’un point lumineux,
quelconque, & tombent fur la prunelle où fur lá"
surface d’un verre ou d’un miroir. Voyez RAYON’.':(°) . .. • . . --¥ Ajoutons ici quelques propriétés du cône -,
que j’ai-données dans mes Elémens de Géométrie ,
& qui ne se trouvent, du moins que je sache,.
dans aucun autre livre de cette espèce. . ,. .(-I. Si,furlasurface convexe d’unconedioitS’ABCÓ
(fig. 7) , on trace une courbe . quelconque E Fr
terminée par les. côtés S C,SI ; 6- que,, de tous
les points de cette courbe , oh abaisse des perpendiculaires
fur la base, lesquelles y forment, par
leurs extrémités, la courbe G H ;■ la surface conique
SET sera a la surface O GH, comprise entre la.
courbe GH & les- rencontres O G,. OH des plansSOC,
SOI avec la' base,, comme le coté S C du
cône est au rayon 0 C de sa base. 'L’espace OGB., qu’on peut regarder commi
formé par les extrémités des perpendiculaires
abaiísees de tous les points de la surface conique
SE F, s^ppelle la projeSion ortographique, ou
simplement ; la projeâion dé cette surface.Qu’on mène, suivant Taxe S 0 du cône, les
deux plans S O x, SOy, qui forrtient entr'eux
un angle infiniment petit, &. qui rencontrent lá.
surface du cône suivant les droites Sx, Sy, &
la base suivant les droites 0 x, 0y. 11 est clair
que le petit triangle S st a pour projeclion lë
petit triangle O u z-. Des points s & s, soient
abaissées les petites perpendiculaires s r, un fur
les côtés St, Oç.Les deux triangles.dont nous
venons de parler, pouvant être considérés l’un &
l’autre comme rectilignes,. la surface du premieresl-£±^ & ,.el,le du second esl >".._ ;2 ; ■■ -.i..'--Or, à cause dés deux triangles semblables SxyjSs.r, on a. .S’a- ; xy ; ; S s ' sr=:Ss X -11- 1
&, a cause des triangles semblables Oary, Oun,
on a O x l xy'. I" Ou ; u.n= Ou X f£i
Donc,, en-mettant póur gr & a. n leurs valeurs
dáns ; les expressions des surfaces des deux trianglesS st,.. O uz_>. ces expressions deviendront —~Con con ui
* T* , » "T X ^TJ— , &, en divisant par
le facteur commun ^í, dles seront entr'elles,
•dans le rapport de S t X jjiOîX -£•£..Or, à cause des parallèles-5 O, su, onaís ;^ar.*: Ou\ O x ; ce qui donne |^ = ^-, &,~i-cause des parallèles S O, tz> Je rapport de i'í
k Oz> est le niême que celui de S y à Oy. Donc
la surface du triangle S st est à celle du triangle
de projection O u z, comme le côté Sy du cône
-est au rayon O y de la base. Le même rapport
ayant lieu entre un autre triangle quelconque élémentaire
de la surface conique S E F, & le
triangle de projection, correspondants on doit
oe'nclùré que la suríàce conique entière S EF est
à sa projection entière OG'H, comme le côté
du7cóne~ est au rayon de sa base.II. COROLLAIRE. Donc, si la projection OGH
.est tìn espace quarrable, la foface conique SEFsera aussi quarrable, puisque ces deux surfaces font
entr-elìes âaps un rapport donné.,0n, voit jsar-là ; que, pour affigner des espaces
òuarrables ; fur la surface d’un cône droit, il ne
sagit que.de tracer sur sa base une figure, rcctilîgne,
& par-conséquent quarrable., & d’élever
ensuite de tous les points de cette figure, des parallèles
à Taxé du cône : l’espace que ces lignes
détermineront fur la surface du cône, sera quarrable,
,.,7 7 ; .. ■.: Ainsi-, on peut, au moyen des stmples élémens
de Géométrie, résoudre, pour le cône droit, un
problême analogue à-ceíui que Viviani avoit proposé
& résolu pour les voûtes hémisphériques.
Voyez PÈlogé de Viviani , par M. de Fohtenelle.III. Le cône droit S AB CD ( fig. S ) étant
coupé par-jtn plan quelconque EFQ, qui forme-fur
fa surface la courbe FEQ : on demande-V expression
de' la surface conique S F E Q S:, comprise entre
cette courbe, 5- les côtés SF, SQ, ensupposant qu’on
connaisse la surface E F Q ?"Soit O F H Q. O la projection ortographique
de la surface conique SFE' QS : on aura ( I J,S-FEQS—OFHQOXpj, ou bien ( à
causé que Tespacé\Ó F H Q O est la somme ; du
triangle: O FÇ ;& de ;Teípacé FQHy'sSFEQS
^(OFQ+FQ.HsX^.- Resté à trouver les
surfaces O F Q, F Q H.
Qu’on mène, par Taxe S O du cône & par le
fommet E de la ; courbe , F.E Q, un -plan S O'ME
qui rencontre « n E V le plan _É F Q-*, ces deux
seront perpendiculaires entreux, & la droite FF
fera perpendiculaire à JFÇ., puisque.les deux cpulbes
partielles.EFf F Q.font parfaitement égales &.semblables,
& que FV^= VQ. Ainsi, i°. la surfaw
du triangle isoscèíe 0 F Q~ —^—:—-.• l ? Nous pouvons regarder la surface EFQ',
comme composée d’une infinité de lignes, telles
que m n parallèles à E V, &fa projection F Q H,
comme composée d’uncinfinité de lignes correspondantes
np, parallèles à VH. Ainsi, puisque
les deux triangles rectangles m np, E VH, ont
tous les angles égaux, & sont par conséquent.sem4131) 165
 ; il s’ensuit que chaque élément m n de la
surface E F Q , est à chaque élément correspondant
np de la projection FQH, dans le rapport constant
de E V à VH. Donc la surface entière
EFQ est à sa projection entière FQH, commeF.Feslà VH ;çe quidonne FQH= ël£x™'Substituons les valeurs de O F Q, & de F Q g
dans Texpreffiori de SFEQS, trouvée ci-dessus ; &<?i ?vno (FQ.XOV. EFQxVB^■'
nous aurons SFEQS-1 —-—— -f- ■ "\ v—ì XS F /Q-p. D’où Ton voit que la suríàce coniqueS F.E Q S est exprimée en quantités toutes connues.IV. COROLLAIRE I. Lorsque'F F Ç paflç
'■• par le centré O de la base du cône , 4e trianglç
OFQ s’évanouit (fig. g) ', & Ton a SFE Q S=i
EFQxOH S_F - •_■"•.'
O E ■ OS" f'. V. COROLLAIRE II. Si le plan E F Ç passe
toujours par le centre. O } & qu il soit de plus pa*rallèle au"côté SA du cànt \ òn aura ,.■ . ~u il2^ == 2|. Donc alors SFE QS=E F Q ;c’est-à-dire, que la surface conique S F.E. Q S
est égale à la surface EFQ.Dans le cas présent,. Ia courbe FE Q s’appelle
une parabole ; & on démontre, ^>ar des méthodes
qui n’appartiennent pas tout-à-fait áux'élémens deGéométrie, que la surface FFQ- zfgx^° ;
Ainsi , la'surface- conique SFÉQS== îSM2.
, Nous, avons remplinotre, objet,. qui étoit de trou- '"vet la^furfecé'còhiquë" lorsqu’on cónnòîí k'sur:
face EFQ. …. \ ., -. . f'. 1  ; -I ' Ce corollaire fournît úne ;cmánièfe' très-simplededétërMnéHes surScés dés voûtes connues sous.lë rìóm de Jtwrhpes -dwites fur le coin- ; car ces
- fortes dé trèmdesrfon’t des portions de cônes droits•'coupés par des pláns parallèles à leurs côtés.' Ii yî. OCR-fitLAiliE:, III, Si Ton coupe un cône"droit SÁ3.ÇD .(' fig. z o).,, perpendiculairemenï"au' triangíe - SyíìO[,,par. -un plan._F F R Q, quirencontre les côtés SC, SA, aux points F, Rt1 Dddij
,9* con- c o n& l’axe 'an " point M ; qu’ensuite -. on abaisse dû
sommet S’h perpendiculaire SK.à la .section commune
EM des deux plans E FR Q > SA C, &
du point M la perpendiculaire M N .au côté SC
du cône : la surface conique SEFRQE aurapour expression , E FR Q X j^jr. Car, si nousmenons M H perpendiculaire à SM, & E L parallèle
à S M ; &.si nous fusons attention que ~5 H & MH peuvent être regardées comme le côté6 le rayon de la base d’un cône droit qui seroit
produit par la révolution du triangle rectangle
SMH autour de SM, nous verrons (IJI ) que
la, surface conique S E R F Q E :== E F P. Q Xij-rr X TTû. Or, à cause des deux Triangles rectangles
semblables,MLE, SKM, on a "-^ú =
•^ ; &, à cause des deux triangles, rectangles scni- <
biables" S MH, -SNM, -on a§|' = JJ.Donc, ''■TUT SJîen substituant ces valeurs de ■~^~f1, & de Ag-g }on am’z.SEFRQE^EFRQXjïj,.' \M. d’Alembert démontre ce Théorème . d’une . ;
manière très-différente dans-ses Opuscules mathé- :
matiques , tom. i , pag, Ì38 & ì-33, " "■"'..'VII. COROLLAIRE n7". Reprenons la figure 8.
Puisque nous possédons (Ill) vla méthode de
déterminer la surface conique SFEQS, & que,
d’un áu'tré "côté  ; lá surface 'ComçiûeiS’FC Q S,
■comprise.èntre les .côtés. SF}'SQy 81 Yarc ; FCQ
de la base , esl évidemment égale au produitWCQXSF ■':'". : ;J 7' :'T, ::'f'- ..——— , u est clair qu en retranchant de cetteexpression celle, de la surface. S F.E Q S, nous
aurons la surface convexe extérieure," de 1 onglet, .
conique F F Q C. Sì, à.cettë" surface,'nous ajou- : '
ions la surface EFQ, qui est supposée connue, ■ ■
>& la surface du. segment circulaire FQ C qui se  ;
îrouve, èri retranchant d’ù secteurcirculaire OFCQ i
îe triangle O F <2 ;;npus aurons Tenveloppe,, ou la ]
surface totale du mêmé onglet. " ' ' . :La surface de l’autre partie SF A QE S du cône ' '
se trouvera de la même manière. '' 'VIII IJAérj^iíer^^fí&^tfe'ron^íËFQ'Ç ' ]^figure 8: ) '" ' "' -"'"'" -'j-:-1-- J- ..7 7 ,jU est clair qu’on peut : considérer "la portion ; i
conique S FQC, comme, une pyramide qui a pour ' ]
iiase le segment circulaire F. Q C,, & pour hau- :
teur 1 a hauteur S O du cône, & la portion conique i j
SFE Q comme une. pyramide qui.a pour base.la '• }
section E FQ , & .pour .hauteur la perpendiculaire ) ■'■
'■S K abaissée du sommésdu ; « me -sur le^pìarí de i -1
la section EFQ. -Retranchant là sécpndép) 'rámide {i 1
de la première-, on aura la'solidité'de'-Tonglët 'I .
-tFQC .■•'"■ -■■-:■-.' -.■,.'■'. J:.-/, ;1L’autrconglet EFQ SA se trouvera, ou directement,
d’une manière semblable, ou en retranchant
de la solidité du cône celle de í'onglet EFQC.IX. L’article précédent á". également lieu pour
Je cône oblique.Quánt aux autçes articles, qui concernent la
surface du cône droit, ils n’ont pas lieu pour la
suríàce du cône oblique.
- X ; Nous ferons encore une observation fur Ie
cône oblique. .En le coupant, suivant son axe, par une infinité
de plans., lès sections avec fa surface & sa ;
base, formeront une infinité de triangles qui auront
tous des bases égales, puisque ces báses sont
des diamètres du cercle de la base du cône-, mais
des hauteurs différentes. De tous ces triangles, le'
mcihdrè en surface esl 'çel’ui qui partage le cône en
deux parties" égales & semblables, .& qui contient
èn même tems Taxe &'. la 'hauteur da cône ' ; & Te
plus grand en surface esl, celui qui est, perpendiculaire
au précédent. (L. B.) '"'- ". CONFIGURATION , (Aflron..)  situation des
planètes les unes par rapport aux autres. Váyez
ASPEET. -Ce-mot s’applique principalement auxsatellites"
de Jupiter, que l’on ne ppurróit distinguer
l’un de l’autre, fans ; le secours- d’une figuré-ôù
Iéurs situations’respectives font marquées’ ;-' ón la 1
trouve pour tous les jours dàns-lá connaissance
des. tems , dans le Nàutical almanac , & dans lesEphe'mérides
de Vienne. . … 7.7'Pour former ces configurations’, on se contente
"de-calculer, ; une" fois -le mois^ les -longitudes ;des
satellites vues de Jupiter, par le moyen des tables
qùi-fe tróùvént dans Caffiiii, &"dáris mon’-'Fa-position
du calcul astronomique : lé refle se fait par lé
moyen d’un instrument que'nous appelions jôvi-'
l’abe, & qui est représenté .'dans les planches’ d’-Asi,
troríomie, fig. 141. - ' '■■'■''■-.II y en a un pareil- pour les ' configurations dessatellitesde
 saturne^décrit. &• représenté dans mon
Astronomie..- ■ ,-'- -, ■' "> - ". .--'.■,, CONJONCTÌON, (Astronomie)  rencontre áp,-,
parente de deux astres pu. de, deux planètes, âu:
même pointdù ciel, ou plutôt au même signe .du,
zodiaque ; car, pour que deux astres soient censés
, eft conjonction ,. il n’est pas nécessaire que leur latitude
soit là même ; il suffit qu’ils "aient lá même
longitude. :Les astronomes fe servent assez généi
râlement -du mot decconjon3ipn,..póur exprimer
.Ta situation "de. deux astres , "dòht. lés’. centrés sá
trouvent a^Iec le centrè^dè íà'terfe-dans un iftêfhè'
plan-perpendiculaire aù'plán "deT’éçliptique.j " .- .
CONJONCTION partiíe , ëst-celle où les deux
planètes n’ont pas la même '-latitude, elle ësl pp-'
posée, à centrale ou corporelle.' ( Ozanam. ) 
'- Grandes conjòndiòns sorit 'celles 'qui arrivent sra« -
rënìerit’,'çomme celles ■ dé Jupiter & de saturne
fous les-20 a-ns.'Co/z/onffióní'trés-érandes sont cellesqui
arrivent "encoreLplus. rarement, comme: pour
Hiars, jtípitêr-& fatiu'ne:qúi-ne.reviennent- én-'càniCon c o "n 07.jonSion. tous les cinq cens.'ans ; .niais „cc n’est
qu’à peu-près.' Ces planètes supérieures au boiít de:
159 'áns se retrouvent preíqtié ensemble,, en 476''
ans’cela est plus approchant,7& en -Ì378, encòré ;
davantage j’cètte ëípècedeconjonaion est arrivée çn
1743 : cès trois planètes forent vues ensemble plusieurs
mois dans la constellation du'.lyòn ; niais
ellés ne se trouvèrent que successivement à la même
longitude, &en opposition ayëc-lèfôleil.y (avoir,
' mâfs ■lëí 16 février, faturnelë il] & júpiter :1e
2.8 ; ce qui né-fait quiin- intervalle, de 12 jours ;
& ce qui arrive très-raremeht '■:-' ToeiT placé successivement’'
surr■ chacune 'dé ces’- planètes,' ;aíiroit
donc Vu dans-le même ordre - trois conjonâìons’
dé lá terre au soleil. -On trouvera dans Thisloirë- ;
& les mémoires de TAcadémie de 1745, un plus
aniple détail fur ce sujet.- Lés anciens’ 1 établissoiënt
une distinction des conjonctions , qui n’est "fondée
que  ;fùr dê's --notions imaginaires’', des"prétenduesinfluences’dès
 ;'corps célestes-,-, dans "tels &'' ;tels’
aspects. ■-.■'■ -'■'/"  ;- ; "'.■}'"-. "." ;,,'
Le P. Martini & lé P. Souciet parlent": d’une
antienne conjohdion des planètes dont îl est question
dans les’livres chinois ,&■ qu’on rapporte a Tan
2449 áVânt - J. CM. 5 Caffiní la rapporte à Tan 2012Í
Réflexions fur- la chronologie chinoise y'anciens-''-]\íé^
moires de l’Académie,Tóm VIII. FóyïjMi.Báilly,'
Torri. T’y pag ;.'34s ,- ie P. souciet, 'Tom. IT,-pages.
3'3 ■& 24s de son Hifl. de l’Asiron. chinoise.1Mis^Tellanea
Berolinensia ,- Terfi. IIIy pagr 1G5 , &
Tom. V, pag: IS>3*_ ." :, - ;' ;  ! "" '' ]'":'"■ ;'-Lë'P-i-Souciet,:'Tóni. T-, page los-sparle àufll
d’une grande cqnjpndióhlarïïvée- en 172,5 entre
mercure', venus, .-'mars7&''.júpiten:Máis ;":ces tonjondiòns
ne" !sáUroient -être rigoureuses /qu’áprés  ;des
tems énormes -j & qu’il’í-serôit’ bien inûtile-cle'-tál’-:
eulèr,-': puisque- Tes 1" hïóuyeméhs célestes’ néTont
point assez connus pour qu’on puisse faire: dés
êàlèuíá ûh'peU-êXíéfe''ppuf' â'auffi long's inter- :
valles. ■- ■'■ '•■''-■'■.. "■': '-':■./''■'■. '■'_■'■ '''}:'f: ' Y"
 ;-\lú£ !cbnjonâloh esl-lé premier -ou' le -principal des
aspects :&;celui'áuquel-r:èusles autréscommêneërií-^
côrnfne Tóppositiori efiTle" dernier"& celùi ;pù:ils !
finissent:- ' ' o-.'■■■.■:■.. ~v-\ , - • ■•-.■'■- ? -^'".'p"".^•
  ;iLés -observations dés 1 planètes-dans leurs '-conjonSiôns
.font très-importántes jpóùr TAstronòmie'y
cë''sónt’aUfátit:d’ëpòqUès’''qUi -lés vent 'à:dëterininer
Iç ? tìioirveméns’ des corps célestes/ les foutes ■qu’ils.
tiénnent^ ;& là:-du'réë de seúr: cours, hes"conjonctions
de véritis-fònt lés -p'lus’rimpórí-árité|.:- Vo'ye'z
PASSAGES SUR-tE ;sQï,Eii.íví ;' ? ■-"' '■'■--< j-■"-f-:
: Lés planètes 'inférieures-,' íàyóir-vëriús '& mercnre' ;Pht-
 deux- fortes de: 'cSnjò'nSiòns : ;'TUnë.àrrive
lorsque la planète sé'trouve entre le soleil’& la
terre j & par conséquent se.trouvé le plusiprès’âe
la terre ; onlanbrnme-cbnjónBioa inférieure: l’autre'
arrive quand la planète ; est-le "plus -éloignée dé-Iáterre
qu’il èstnp'offible, c’est-à-dire que le soseil.
se trouve èritréla planète'& lá terre \ on l’appelle
cóiyóndiotj’supérieures --■■'- --'"-■''■':":'í'í -if ^ì'%'-•' '-'La lune se trouve en conjónêion avec íe soleil
tous les nioisVOn appelle ses conjonSions & ses
ópposltioris du" 'nom général dé syzygies. II n’y ^
. jamais..d’édipse de soleil que lorsque sa conjon’Sio/í
avec là lune, sè fait pVoche les noeuds’de'Tëcliptiquéj
où dans ces noeuds même. Le retour des
planètes à lènrs’conjónBïdrìs avec le soleil, s’appelltf
révolution synddique. ." ." "..'7J’Laconjonction apparente diffère delà.cónjórìBion■ Vraie àraison ;de là' parallaxe." : 1' . "'_' /. s.jiie irems de ïa cbnjohcìio'n’.d’ê'lá stme" ay'ëç ije
spíbil ou ayée une, étoile, étant déduit de TonserVatiòh
d’une éclipse ou. d’uiiéájiptilse èn déux ;
lieux différens , dor^ne lá différence des méridiens
ou 'la ' différence.-' dis’l’ongitudês’. Vos et ËtLiPSE »;(D-L) -.■■■■ 777 ;. ;7:,7'^: ;:, V :CONIQUE, àdj. (Ge'om.)  fedit-e'nrgenéraldeF
tout Ce qui a rapport áù'córae, bu'qui lùi áp'partién’tj
óíiquien afàfigure. Ori âit’qûelquéfpisîes^conzjaéîj,:
pour exprimer teste jsártìê.'déià GébMétrié dé'síignès
courbes"," óù Ton traité aesseâióris toniques. '7C 0 N.i.Q U ;E , séâjon conique , .ligne courbe que ?
donné la section d’un coné par un plan. Voyez,
CÔNE & SËCTIOÏÍ… ".',"' "'"',, ■■■'"'
: hès’secjions’coniqúçs’sont Tellipse ,, lá- páraDoíe:
&Thyper ;bolé, ;sansrcpmptër le.'cerclé '&"lë"triàngle, ;
qu’on peut, mettre'áu'hpmbre dessçBions coniques :
ënéfìë.tlè cer'cle'estla'íëctiòn’d’uh çoné par un plârf .
parallèle à'la Base du'cône ; & íetriangleen est laíèction
.par un plan qui" passe-par le sommer. On:
peut eri'conséquence regarder Íe-triangle cómme7
une, hyperbole dont Taxe tranfverse ou premier axe-C
est’ ëgái à" zéro. .'.„.,'' ' .' - 7 . ;. '. 7 ' ■'
:-'- Quoiq'Ue lés- principales’ pfòpriétés- des secHpné
cpniques soient expliquées en particulier a'çháqiîe'
article de Tellipse,"de la parabole & dé TÎiypër-bple ;.noUs
 àlío'ns Cependant les exposer tputes^en-.
général-, & comme fous un. mêmé point de vue \
afin qu’en lés v'oyantplus rapprochées, "òn puisse':
plus aisément se ses rendre familières : ce" qui ëst-.
nécessaire pour la háUte'Gëómétrie, TAstronomie, !'
la-Méchanique,^.'- ," '" ;-• "'■'■ ; '-■-_. ' r 1 ~-~
■:-:'i. ; Si'le pláh coupant est parallèle à quelque.plaìí
qui passe par le somriiet’, ;& qui'conpeJle cône•:
-ou çe "qúi'revient "au même, .si le' plan’coupantétant
prolongé 'rencontre à-la-fois les "deux conesópposés,
la section dechaque~cqnê.s’appelie hypef--
5o/e: ; Pour Teprésentersous un’rtiême hom les deux"
courbes 'que' dbnrie.chaque cofiè ,lQsqUelles ne fón’f
réellement ensemble qu’une seule' & même courbe,.
ori iésappelle hyperboles-opposées^ ''.'." ' "
" 2. Si le plan coupant ; est parallèle k qnelque planqui
páflëpár lé sommer dU'cpneJ, mâis sans couper-'
le cône nile toucher, lá figuré que dorine alors cette7
section est une ellipse. ' "" ". '3. - Si lé'plàii pa"ffanr par iè sommet, & auqiîef'
 ! on supposé parallèle iè plan’.de lá section , ne fait’■ fimplemenf que toucher'le cône, le -platf coupant
dòhnèra 1 alors une parabole.: ; -Mais- au ;lieu'de ; cônfldéíer les /e5/oaí ;coniques-:398 con con
par leur génération dans le conç, nous allons-, â
la manière de Descartes tk des autres auteurs modernes
, les examiner par leur description sur un
plan. '"■■'■••■' ;.:Description de l’ellipse. H, I, (seS. coniq. fig.it) 
étant deux points fixes fur ùn pian ; si Ton fait passer
autour de ces deux points un fil íisB, que Ton
tende par le moyen d’un crayon ou stylet en B,
en faisant mouvoir ce stylet.a'utour dés points H
& I jusqu’à cé'qu on reviérin| au inéme point B ,
la courbe..qu’il.décri^à.dári"5.7ce'rnWient.sèra/une
ellipse..',,".-. :' -r, ."'" -""7,.'-,. -s. ,.. ;,." . ■ ".,-' '.%''…
 !" Oh péut regarder cetté courbé 1 pomme ne 'difrerant
du cercle qu’autant qu’elle á deux centres su
lieu d’un. Auffi si on imaginé/que. lés points M,,I
se rapprochent, Tellipse sera ' moins éloignée d’un
cercle, ,& ep -deviendra un exactement,-lorsque cès
pointsH &I se. confondrons. 7 ,' ' 7. 7:."..' T7-' ;
 Suivant Iés:diffárerires.Tongueurs ; que .l’on- donnera
au fil B,HI, par rapport .à la çlistahcè ou
longueur HI, Òn" formera différentes "espèces d’ellipses
-,T &. toutes les fois qu’on augmentera Tintervalle
HT, & la longueur, du fil -HB' I, en même
raison, Tellipse restera dé la même espèce ; les limites
des différentes ellipses, font le.cercle, & la
ligne droite dáns laquelle 'cette courbe Te. change
lprfque les poin"ts ;.ís & Ifontêloignës àleur plus"
grande distance . ; c’est-à-dire, jusqu’à la longueur,
entière dti fil. La différence frappante qui est" entre
le cercle,-qui est’, là première .détoutes les ellipses,
& la ligne droite ou ellipse infiniment allongée qui
est la dernière, indique assez que toutes les ellipses
intermédiaires doivent être áutánt d’espèces d’ellipses
différentes les unes des autres ; & il seroit aisé
de le démontrer rigoureusement. .,…',,,'-
Dans une ellipse Iqùelconqtië'ip'F.KjR (fig,,13 ).
le point C.est appelle Ze -centre / ; les points H&.Ì y
ses foyers ; DK, íe grand "axe , òu l’axe tranfverse,
ou bien encore le principal diamètre ou le principal
diamètre transverse ; FR le petit axe. Toutes les
lignes passant par C sont-nommées diamètres: les ;
Jígnes terminées- à deux points de la circonférence,, ;
& menées parallèlement à. .la ' tangente M./*', au
sommet- d’un diamètre, sont, les ordonnées, à :ce
■diamètre. Les, parties çórnme Mr,terminées entre
le sommet M dU diamètre,. & lés ordonnées, sont
les abscisses. Le diamètre mené parallèlement aux
Ordonnées d’un diamètre, est-son diamètre conjugués
enfin la troisième proportionnelle ,'à'îun-diamètre,
quelconque, &*à fpri-diamètre conjugué est le paramètre
de ce diamètre'quelconque.. Voy. CEN.TRE,,
FOYER,- AXE, -DIAMÈTRE, &C . ■Propriétés de Tellipse. 1. ? .Les ordonnées d’undiamètre,
quelconque sont’toures coupées.en deux
parties égales par ce'diamètfè, ' ■'-'".' -'2." Les ordonnées des axes ou diamètres principaux
sont perpendiculaires à ces axes.'Mais les ordonnées
aux autres diamètres leur. sont, obliques/,
Dans les ellipses 'de différentes espèces,- plus les,
ordonnées font-obliques fiuvleur. diamètre à égaiedistance de Taxe, plus les axes diffèrent l’un d©
Tautre. Dans la même ellipse plus les ordonnées
seront obliques fur leurs diamètres, plus ces diamètres
feront écartés des axes.3 ; 0 11 n’y a que deux diamètres conjugués qui
soient égaux entr'eux ; &ces diamètres MG > VT>
sont tels que l’angle FCM=FCV. '■4.° L’angle obtus, VÇM, des deux diamètres
conjugués égaux, ;.est íe .plus .grand .de toupies
angles obtus, que fprment .entr.reux- les., diamètres,
conjugués’ de la même ; ellipse ; c’esl, fe contraire
pour l’angle aigu:pff F-. :: : ,, ;• ;: 7 j 1
- ; 5. 0 Les lignes ;," P &'.-' F'étant des: deini-ordorh
nées à un diamètre quelconque ; MG,le quarré de
p B est.au quarré de-'B, conime,1e reclangle
.Mp X /*G est au rectangle Mt* *X "G. Cette propriété
est démontrée par MM.: de THôpital, Guis:
nèe,&c.' - 7 -, -,., , ,-. : ;í… ' !. L-ii. 6.° Le paramètre du grabd,-axe, ;qui suivant 1 ?
définition précédente ; doit .être la troisième proportionnelle
aux deux axes, est auffi égal à Tordonnée
MI (fig, il-.-)  qui passe parTe,foyer I,' .7 ; 0 Le quarré d’une demi-ordonnée quelconque
Pi" à un diamètre MG (fig. 13.) :,. est moindre
quç-le produit, de Tabfçisse .As^ par le paramètre
dp ;çe diamètre. C’est ce qui a donné Ìe:npni, ;à
Tellipse, Aiii+íi:, signifiant défaut-. -.-.- ,_ -, -.' .'."•-,:
 8.° Si d’un point queíconque B (fig- *'. *■■.)  pn tire
les droites BH tk-BI aux foyers, leur somme
sera égale au grand axe ; & si Top divise par la
ligne B a Tarigle IB H que font ces deux lignes,,
en deux parties, cètte ligne, B a,sera perpendiculaire
à Tellipse dans- le,ppint B'. ,.-.  ; , '7
.. o„° U.pporps décrivant -, Tellipse DFK… autour
du foyer H, est dansfa pluSìgrançle distance à ce
foyer H^iorsqiul est’en’{K. ; dans fa plus petite,
lorsqu’il est. en D ;. & dans ses moyennes distancés jlorfqu’il
est en F& en E.■-,, ..,- -,-^ .% ;,,■_
 10." De. plus,. cette moyenne dislance Fís !&
F if est égale à la moitié"du grand axe. ' .■■„ y
' r ' 1 r.° L’aire d’une ellipse, est à cellp du cerple
circonscrit D mIí , comme ; le petit, axp éssâu
grand axe. IÍ en-est de,même, de toutes ses parfies
i correspondantes MlK, mi K de ces mêmes-aireíi
. Cette propriété fuit de cellerci , ; que chaque demiordonnée
Ml de Tellipse j est à la demi^ordonnéè
I ml du cercle dans la raison du pëtjt-axp au grand.
: Çe seroit. le contraire,- ;si pn comparpit un cercle
| à-une ellipse çirconserite,. c’estrà-dir-p i ;.quif aurpit
 ! pour petit.axe, le diamètre de eecercle., 7h.
j Î2.°> Tous les’ parallélogrammes ; décrits autour
i des diamètres-conjpgués.des eHipse5-, ;,-sont égaux
entr'eux. ;Le•parallélpgranime aS^Jíffig. rj.j-pas
exemple j est égal au parallélpgraifle ;ff. »-fl. M. Euler
a étendu ; cette propriété à d’autrës çpurbes. Voyez
te premier volume dé.VHistoire Française de l’Acai
démie de Btriin:, 2745.', ■ ■.-', ."'  ;/ .7 .
| .,, 1$°.Sija-.ligne.,dr:oite FJpaflantìpar l’un des.
j foyers, se-me.uti.en telle, sorte que íaireiqu’fille déj ;
crjt soit proportionnelle au temps^'.íeìmpuyementié o n con 199angulaire de 35 ET autour de l’autre foyer, lorsque.
Tellipse 7he diffère pa> beaucoup du cercle, est
fort approchant d’être'Uniforme ou ëgál. Car, dans
une ellipse qui diffère peu dfun cercíe-, les secteurs
quelconques B ID, El D, &c. font entr'eux à
tfèsrpeu près comme les angles corresppndansFiîP.
Voye(Inst. Astfori.. dé-M.-" le ■ îííonniër, - pag. $à'6'
Çtsuiv. •'■ •■".'-■' '- -.- ,- --' ' ;-. '-' - --.. \r.Description de-la parabole. YLI£( fig ; 14, se8.'
coniq.)  est une .équerre dont on fait-mouvoir la
branche Y'L le lorig d’une règle fixé Yl ; P F.
est un fil.dont upè extrémité est attachée en ~X à
cette équerre,, & l’autre en F à un point fixe F.
Si pendant letìoùvement de cette équerre on tend
continuellement ié fil-par Je moyen xTun stylet Fy'
qui suive toujours Téqnerre , ; le stylet décrira, la
courbe app£llée„_para£>ozV.  !; - - ' '.'., '"La' ligne LT est -nommée la dïreSríce•' ; F le
foyer ; le point Fquidivité en deux parties égales
là perpendiculaire FI á la directrice, est se sommet
de la parabole. La droite TF, prolongée indéfiniment,
Taxe- . .'■ .- ;.:, -, '7'Toute "ligne comme n i parallèle^ à 'J’axe., ' est
appellée.un.íi'ameíre. Les lignesJcomoee Hlter- ;
minéësà deux points H,l de'la parabole, & menées
parallèlement à la tangente au sommèt’d’ún diamètre,
font les ordonnées à ce diamètre. Les parties ;/ q
fònt les abscisses.. Le quadruple de la distance du
point i au point F, èviìe paramètre du diamètre
in: d’où il fuit que lé quadruple, deFTest se
paramètre de'ifaxé",- qu’on appelle auffi le para-,
'mètre de la parabole: - :  ;'7J 1 ", .r '■Propriétés de la pàrabolei 1.° Les’ordonnées, a.
un diamètre quelconque, font toujours-coiïpéesén
deux, p'ártiês égales par ce diamèrre. -.'>'.i." Les ordonnées à Taxe lui sont perpendiculaires
, % sont les" feules qui soient perpendiculaires
à leur diamèrre ; lesautrés sont d’autánt plus ;
obliques,:que le diamètre,dont eíles sont ordonnées,,
est plus éloigné de i'axe. " ;.-'.." .7 "'"-.,
' 3.° Le quarré d’une demi-ordonnéé quelcónqup
'§' l, est égal au rectangle de Tabseísse correspondante
iq, par, íe-paramètre ; du diamètre in de ces
ordonnées r c’est de cette égalité qu’est.tiré le nom
de la parabole, oei-à^eait, lignifiant égalité ou com.
jarqison^ " , - - " "-.•""'.. …■"'■"/, 14. 0 'Le paramètre- dé "la ; parabole', ; c’est-à-dire",
le ;paramètre"de'l’axe,' est&alàlfordonpéeà Taxe,
làquéliëpaííe parle foyer Fv:'&/íe:termine de^pâfr
^d’aútré'àla paraíjple.'- " ; . . ;' ;; ." "7 ''.''5. 0 La distance FF d’un point quelconque P ;dè ;
la parabole áù foyer F, est égale à la dislance P.L{.
du même point à íadirectrice El ; cette, propriété
fdit évidemment’deJa.défcriptipn de la "courbée '
" 6.0 ;Lòrsmié'rábscisse ;'ëff égale au paramètre, la ;
demi-ordonnée èsl-áuffi ' dé .la" mêmë- longueur.. ' V
[ .7.° Lés 'qûafrés’ des ''"d’eux ordonnées air mêmëdiamètres
"quirëjòndént à" dëiíx ; différents- pbi'nní
dé la parabole,' sohr"e'ntrsèiix. dàns ;4á mêmejjr'oí-'joriion
 que les deux" abcisses de-ces ordonnées ;; -,%."-■ L’ànglc .k-ìn entre la tangente ht au point
quelconque íj’&'le diamètre in au inéme point,,
est toujours égal à l’angle iF, que cette tangente
fait avec la ligne i F tirée au foyer. Ainsi, fi Hïl
représente.la surface d’un miroir exposée aux rayons ;' de lumière de manière qu’ils viennent parallèlement: à'Tixe-, ils-seront tous réfléchis au point F, oùiis-brûlerontpar leur réunion : c’est ce qui fait qu’ona
nommé ce point le foyer..p.° La parabole est une courbe qui 's’étend à
Tinfini à droite & à gauche de son axé.io°. Xa parabole à mesure qu’elle s’éloigne du
sommet, a une direction plus approchante du pa- .
raìTélisme à Taxe, & n’y arrive jamais qu’après uncours-infini.
'-' ','"■ ;' : "' ".ïi,.° Si deux paraboles ont-le-même axe &. !ernème
sommet,.leurs ordonnés àJl’axe répondant
aux-mêmes abscisses,.seront toujours entrellêsén
raison sous-dòubiéé de leurs paramètres,. ainsi que.
les aires terminées par ces ordonnées. --- ..I2.° La .valeur d’un espace quelconque' i q H,
renfermé entre un arc de parabole, le diamètre -iqau
point i, & Tordonnée H q au point H,, est toujours
le dòùblé rie l’espace i AH renfermé entre lemtme
atCiH, la tange-nte ih, .871a parallèle kH.
à iq ; oit ce qui revient au. même, ; l’espace i H q
est toujours lès deux tiers du parallélogramme
circonscrit.J3. 0 Si dam point quelconque H de la. paf aboie, ;
ouinène une tangente.fím à cette courbe, la partie.
im oompníc entre le"pomt ou cette tangente rencontre
un diamètre quelconque .S: le point z sommer. de ce'diamètre, est toujours égale à Tabseísse i q y.. qui répond’à T’ordpnnéë çfs de ce diamètre pour
le point H..14."°'Toutes" lés" paraboles sont semblables en—. tr'eíles & de la même espèce,- ainsi que les cercles^
■" :15-°."Si pn fait passer un" diamètre par le concours.dp-deux, tangentes qUekpnques., cé diamètre di-visera"
 eri' deux 'parties égalés lá"' b'gpp.quT joint les ;
deux ;,points de .contact: ;.cette piopriété est com^muhe-à
 toutes îles ^5/oní coniques,.'
""' Desériptiòn.di Thypéybôlé-1-Á règle TB T’,.
(fig. ij.)  estáttaçhëè "au point fixé. T, autour duquel,
elle, a là. liberté' dé. tourner. A L’èxtréinitë ,T" de. 1 ; cetre ;règlè est "attaché un. fil. H B Tjr dont JaTpn,igiieur én ïhoindrë -que"" TT’ ;' l’autre -bout decé'fiT. i
est attachera un autre.ppinîxiìxe- H y dont la,'dis—
táneé' au premier ' J."est plus grande. ;que. lá jdïffé—I réncé-^ul’étl’ entre *Ie"il ''&'"Ìá regl.ê I:T’, & "plus
petite que la longueur de- cette-règle.. Cela ppsé,,
\i pendant .que là "règle 'IT tpn’rné autour duppint:
ï ; òn -tend’ continuellement le,fil par le'moyen ;
• d’un .stylet qui suive tpuj’oufsçéfte règle, çéíljlét:
dëçrirá. la çbíiûié ]4pp^ée]' hyperjiçles. ^,. s] 77 ;->
.- '"Lés ppihts.'.ff'&'TTónf áppelleilé.s’fp.yírssLe:
point C qu.i"diyisë en" deux pàrnes-égales l’intery^llé:
ÎH,• est le cëntfe7 Lë  ;pòînt D "g.úr ëff celai, "pul
fpmbé te pòjnï:'"F.^.ldrsq^aè..l.a.,'f^gië' rTtpmbéfurr ;' la ligtré ÍÍÍÌ ; eí li' ÏQma£t\d^: Yhj2sr^x) le^ Eâi
droite D K- double de DC, « sl Taxe tranfverse ;
la figure SKL égale & semblable à B D T, .que
Ion décriroit de la mime manière en attachant la
règle en H, au lieu de Tattacher enJ, seroit,
i'hyperbole opposée à la première.Le rapport qui est entre la distante des points
H &.I, &. la différence du il à la règle, ist ce qui ;
caractérise Tespèce de I'hyperbole. ;-,.,-,.,-. . ,. ;II y aune autre manière^de décrire Tlíyperbple,
qui rend plus facile la démonstration dp,la plupart
de ses propriétés. Voici cette méthode.LL & MM (fig. 7G.)  étant deux droites quelconques
données de.position qui se coupent en un
point C, & çDdC un parallélogramme donné,,
si on trace unè courbe e D h qui áit cette propriété,
qu’en menant de chacun de -ses points e les pa- rallèles
 ed,'$tcc à'FF & MM, le parallélpT. ;
gramme c e d C soit égal au parallélogramme De
C d, .cette "courbe sera une hyperbole.La courbe égale & semblable à cette courbe que,
Ton Idécriroit de la même manière dans l’angle
pppolë des lignes MM, FZ, seroit I'hyperbole
opposée. ~, -. . .. … ,,, Les deux, hyperboles que -l’on décriroit avéc le ;
même parallélogramme entre les deux autres angles,
qui sont les complémens à. deux droits "des deux ;
premiers, seroient les .d.eux. courbes appellées les
hyperboles conjuguées aux premiers. Voyez CON- ;
JUGUÉ. ■ 7 :: 7 'Le point G pù les deux droites MM} LL, ;
se rencontrent, esl le centre' de toutes ces hypers i
.joies. . ■ ' ' ' / . •' : '" '. ; .., : -'. " … 7Toute ligné passant par le c-eptrë ,'•'& terminée ;
aux'deux hyperboles opposées, est un-diamètre-dé |
.ces hyperboles. Tóùtes" les" "droites menées parallé- i
serpent à la tangente au sommet de ce diamètre & ;
terminées p^r Thyperbple, sont dés ordonnées à ]
çe diamètre ; & les parties correspondantes dupro- j
fongemeht dp ce diamètre, lesquelles sont terminées, \
■par le sommet de cé diamètre & par lés ordonnées,' '
sont les abscisses. ' 7 ' :-' -','. ■.-'.'," '/,Un diamètre queícònqUe. de deux hyperboles ,
opposées, a ppuf diaiiiètre ;cpnjugUé'celuî des-hyperbole's
conjuguées qui a été .mené parallèlement
aux ordonnées’du'pr'emiër. .'" ' ' '"'■' , -,' ' ;Le paramètre d’un diamètre quelconque., est la. :
troisième proportionnelle. à cê diamètre & àsfon :
conjugué.. "'7777' * .,'. ' V ;',.'-..'7" •Les lignes LL, MMsórit áppéllëes ses asymptotes’,. \
lant des hyperboles ppppfëés que "des conjuguées." •Voyez ASYMPTOTE. ,."'". ; '.'ss. "..' "7 "7 7 -
Propriétés.de I'hyperbole. 1.°. L.es ordonnées, à
un diamètre quelconque font tpujpurs çpupées en '
deux parties égales par ce diamètre. - ,7. |-'i.° Les ordonnées à,Taxé.fónt’ les seules- !qui ;
soient perpendiculaires à", leur diamètre. ; íes 'autres. I
fpntId’autánt plus pbííques, que le diamètre est plus. ;
Écafréde'Táxe ; & en. çoinparant. deux' hyperboles"'
âé différentes’ espèces",' les diamètres/'qui feront á , :
pjêmp' distance 4e Taxe , 'auront dés ordonnées 1 '1 d’autant plps.obliques ; .que-la différence ;de.l angjç,.1LCMz son complément fera plus grande. .■ ;,. N
."'3.° Le quarré d’une ordonnée à un diamètrequelconque
est au quarré d’une autre ordonnée
quelconque au même diamètre, comme, le produit,
de Tabscisse correspondante -,à ; cette, .première, or- ;, dpnnée.par la somfne.de ;cettp abscisse &. du .diamètre,
"est au produit de Tabscisse correspondantes.
à la-seconde ordonnée, par.laspmme de cette abs:clsse' ;&.,d,u diamètre, ,- ,:, ..,.",,-, , ; ,7. •-, ,,
■ 4.0"Le"paramètre .de Taxe tranfverse' esl égàl à
Tordonnée qui passe par. .-Ie,foyer,.5s 0 Le quarré d’une ' dëmi - ordonnée à un diamètre
est plus,grand que .le rectanglp derrabscislp
correspondante par Jê paramètre de op diamètre,,: C’est.dp çet excès, iâppellë.pn grec..v« M/^ì,:cm’esti,< verni lé nom de Y hyperbole. … , . . -,.',,:,
-6 ;-° Si d’un.point quelconque B (fig-.is.)  on
tire deux lignes B H, BI aux foyers > "leur diffé-,
rence sera égale au grand axe ; ce qui fuit "évidemment
de la première description de I'hyperbole.
" ■ .'.--- - .' . .7." jSi. on - divise en deux parties. égales Tangíe
 ; HBT, compris entré'les deux lignes qui vont d’un.
 ; point quelconque aux foyers-, la ligne de Dissection
 ; sera tangente a. I'hyperbole .en F,' 1-:8.° Les lignes" droites LL, MM (fig-^-j dans,• lesquelles sont renfermées les deux hyperboles opi
polëes & leurs conjuguées, sont asymptotes de ces
 ;, quatre lvyperbples, c est-à-dire, qu’elles en appro-^
j client continuellement saps Jamais les rencontrer,
\ mais qu’elles "peuvent en approcher plë, plus près,
 ; que d’une distance -donnée,'fi petite qu’on laI suppose,, 7." ■. 7,' " ' ',..-. ;,9.° L’óuverture de l’angle que font les asymptotes.
 ; des deux .hyperboles opposées., caractérise Tespèce
 ; de cette hyperbole. Lorsque cet angle e£i droit,j
 I'hyperbole s’appelse équilatere, à cause *ue son
| áxé . ( latus tranfversum)  & son paramètre, j, latus
' redúm)  sont égaùx'entr'éux',, Çette.hjperbble esl à ;Tégard des, autres3 .ce que le cercle ést:àT’égaid
, des eíjipfes. Si  ; par-exemple fur le "même, axe, én,variant Taxe .conjugué ,. oh construit différentes.hyperboles,. ses ordonnées- ,de ces différentes hy-:,perb'oles’qùi'àuronf les7:rnênïës abscisses !, seront à.
: 1 ordonnée correspondante "de Thjperbole équilàj
tere^ cpmine Taxe-cpnjuguëiestà l’axe trariv'erse.io," Si par se,sommet d’un diaiîiè.tré.quélconquej
: ón rire une.jtangentë, ài'hyperjiple, ,'í'intçrváijç rle-j• tranché sur' cétte" tangente "par lés ;àsyrnprpres ,-.est
- tpujours.égalau diam^trp conjugué,, 7 ;,-,7'u,° '. Si par un point quelconque n ?,de Thyper'
bole (fig. 17.)  pn "tire à volonté des lignes Im//,
í rmR qui'rëncpritr.ent: les deux> asymptotes, oïl ;
 ; aura.JrííÈ ==mf.'> HE=pmK-: ce.jqjií"fournitune
i riïani'è.rç.'bien’ ,simp'le7,dg'rd.ecriré.une hyperboleh':
dont" !}ës asymptotes CrQ', .'JCT. jçiént données’,
&rqùl passé""par, uri point..Spnné'm’:' car .menant
.- par m unp iighe, ;q,ùelcpríqpe7ismítr, &' prenant,
' j$È'z~'m’K.s le' point -F fak à .Tiiyperbole. Qn
"-' --,.- ….. . jj.0-urerj
trouvera de même un autre point Jlsdel’hyperboleà
en menant une autre ligne rm’Rjík prenant
MR-mr ; & ainsi des autres.
■ 12°. Si fur Tune, des asymptotes O M {fig. \6.) 
íon prend les parties CI, Cil, CIII, CIV,
ÇV,&.c. qui soient en progression géométrique, &
qu’on mene par les points CI, Cil, CIII,.CIV,
les parallèles Ii IIz, III3., IV4 ; V5 , &c. à
l’autre asymptote, les espaces Iz, II3, III4,
IV5 , VG, &C. seront tous égaux. D’où ií fuit que
si l’on prend les parties CI, Cil, CIII, &c.
suivant Tordre des nombres naturels, les espaces Iz,
II3, LIÏ4, &c. représenteront íes ìeragiihmes
de ces nombres. ;,De toutes les propriétés des seSions coniques on
peut conclure: r.° que ces courbes font toutes ensemble
un fystême de figures régulières, tellement
liées les unes aux autres, que chacune peut dans-le
passage à Tinfini, chsngër d’espèce & devenir successivement
de toutes í'ès autres. Le cercle, par"
exemple, en changeant infiniment peu lëplah coupant,
devient une ellipse ; & Tellipse en reculant
son centre à Tinfini, devient une parabole, dont,
la pofition étant ensuite un peu changée, elle devient
la première hyperbole : toutes ces hyperboles
vont ensuite en s’-éleyant, jusqu’à se confondre avec
la ligne droite, qui est le côté du cône.On voit, 2. 0 que, dans le cercle, le paramètre est
double de la distance du sommet aufoyer ou centre-,
dans Tellipse, le paramètre de tout diamètre esta
l’égard de cette dislance dans une raison qui est
entre la double & la quadruple j’ dans la parabole
cette raison est précisément le quadruple, & daris
I'hyperbole la raison passe le quadruple.3, 0 Que tous Tes diamètres des cercles &~des
ellipses se " coupent au centre & en-dedans-de ; la
courbe ; que ceux de la parabole sont tous parallèles
entr'eux & a Taxe ; que ceUx-de Thyperbole
se coupent au centre, aussi-bien que ceux de Tellipse,
.mais avec cette différence que c’est en-dehors de.la
courbe. ( 'CHAMSERS. )  ; On peut s’instruire des principales propriétés des
. seSions coniques , -dans Vapplication, de VAlgèbre à
la Géométrie, par M. Guiíhée : ceux qui voudront
l.es apprendre plus en détail, auront recours à Tou,
vrage de M. le .'marquis de THôpital, qui a pour
titre, Traité. analytique desseSionsconiques: enfin
pntrouvera les propriétés âesscSions coniques traitées
fort au long dans Touvrage in-folio de M. de la Hire,
qui a pour titre,:JeSionés conicoe in’-novcm libros
distributoe ; mais les démonstrations en sont pour
la plupart très-longues, & pleines d’une synthèse
.difficile & embarrassée. Enfin M. de la Chapelle,
de la.Société royale ; de Londres., a publié fur
.. cette matière un Traité instructif .& assez, court,
■approuvé par TAcadémie royale des .Sciences. ..
.-_ ;- Les seSions coniques, ersy comprenant ;le cercle,
composent tout le, système, des lignes du second
ordre pu courbes du premier genre, la ligne droite
étant appelée ligne, du premier ordre. Ces lignesMathématiques. Tome I, !."*-Pafáí. ' fdis second ordre ou courbes du premier genre,
sont celles dans Téquation desquelles les indéterminées
x, y, montent au second degré. Ainsi ,
pour représenter en général toutes les seSions coniques
,. il faut prendre une équation dans, laquelle
x, y , montent au second degré, & qui soit la,
plus composée quise puisse, p'esl-à-dire, qui continue,
outre les quarrés xx &yy, i-° le plan xy,
i." un terme qui renferme a::linéaire., 3. 0 un terme
qui contienne y linéaire, & enfin un terme tout
constant. Aipsi , Téquation générale- des. sedions
coniques sera
yy-\-pxy-\-b'xx^\-cx-\-a==.o.' +17. . 77 , .,, !-.' ;-.- .".': ". … ;. - :' ICela
pòsé, voici comment on peut réduire cette
■ équation à représenter quelqu’une, des.'"seSions
coniques en particulier. " _:" 7
Soit y 4- £- 4-*.-=7, on aura 77—--^-^—^-1-J-
b-xx'■ ^4- -fr ex -j- 'â'-s=-'Q. Tìq.uàtipn qu’onpeut changer én"cèlle-ci: zi-j-Axk-f-B x-\-fco-.Alors on ' verrà facilement qUe'Tes nouvelles
coordonnées de la courbe sont: ?', .&. unë autre
ligne u qui est en rapport donne avec x, de sorte
qu’on peut supposer x=m~u ; ainsi Téquation pour,
les coordonnées 7^ u,, sera " ". zi + DuûSç-Fu-^G^o. - … "-,' ' ;.,'/' ….. Or, I. 9 si F>=o,-la. courbé est une parabole:
2.°. si D est négatif, la courbe est une ellipse ; &
elle sera un cercle, si 13==-— ì, & que Tangle
des coordonnées j.& u soit droit : 3. 0 si D est positif,
la courbe sera une hyperbole. Au reste, il
arrivera quelquefois que lá courbe" sera imaginaires
lorsque lá valeur de ? en u sera imaginaire.C’est ainsi qu’on pòurroit parvenir à donner un
traité vraiment’analytique dés’seSions. coniques ;
c’est-à-dire, où les propriétés de ces courbes seroient
déduites immédiatement de leur équation
générale, & non pas,-conìmé dans Touvrage de
M. le marquis de ;THôpital, de leur description
sur un plan.- M. Tabbé de Gua a fait sur ce sujet
de fort bonnes réflexions dans son ouvrage intitulé,
'usage de l’analyse^e-Descarte&>;'-&L-il :y a tracéTe
plan d’un pareil traité. ; .:-.: ; . ,:.M. lë marquis-de THôpital", ;après avoir donné
' dans les trois premiers livres de son" ouvrage les
propriétés de. chacune des seSions coniques .eri -particulier
, a consacré le quatrième livre àexpòser les
propriétés qui leur sont communes à toutes : par
exemple, que toutes lçs ordonnées à:un méme
diamètre font coupées en "deux également- par :ce
-diamètre., que les tangentes aux" deux extrémités
d’une même ordonnée aboutissent au même poiní
du diamètre, &'c7: p7. .■■..-.' " : -.Les-anciens ; aVoient.considéré d’abord les-seSions
. coniques, dans le cône où elles sont nées ; &. la meilleure
manière de traiter ces courbes, seroit peutEee"- ,
être de les envisager d’abord dans, Ie tone, d’y
chercher leur équation, & de les transporter eníùite
sur le plan pour trouver plus facilement par
le moyen de cette équation seu'rs autres propriétés ;
c’est ce que M. de la Chapelle s’est proposé de faire
dans Touvrage dont nous avons parlé..Quelques auteurs, non contens de démontrer
les propriétés des seSions coniques fur le plan, ont
encore cherché le moyen de démontrer ces propriétés,
eiì considérant les seSions coniques dans" secoue
même. Ainsi, M..le marquis de THôpital a
consacré le sixième livre de son. ouvrage à faire voir
comment on retrouve dans. Je. solide les mêmes
propriétés des seSions coniques démontrées fur le"
planr.ila rempli cet objet, avec beaucoup de clarté
& de implicite, Dáns Cet article,'nous.ávons, envisagé'
les 'seSions coniques de-la.-maniéré qui de 1
mande le moins d’apprêt, mais" qui n’est peut-être
pas la plus naturelle: la méthode que nous avons
' íhivie'convenòit mieux a un ouvragé tel que celui-ci ;
& celle que nous proposons cpnviendroit mi.euxà
un ouvragé en formêíur'lesjèéïïons coniques. Voyez
7eí ;árric/es COURBE JÌI-.EU, -CONSTRUCTION,:&e.<Four.ídémontrer les '.propriétés.de ;;,seSions .coniques
.dans le cône, il, ést’bpn de prouver d’abord
que -toute feSiph  !.conique est une.('courbe' du second
ordre, cesl-à-dirë ",.où lès inconnues ne forment
pas une équation plus’ haute que le second, degré.
Cela se peut prouver très-aisément par TAlgèbre,
en imaginant un cerclë:qùi"Tervë" dé base à ce
conë 7enrfaisant ; les ordonnées rde .la.seQion conique.
parallèles-"à.'Cellésj dui-cerclë ,, & en formant" des
. triangles., semblables qui ;âiënt, pour-sommet- commun
celui du. conèsj. :&; "pour bases, les. ordonnées
■parallèles, &c. Nous né faisons .qu’indiquer la.mé.thode
: les ; lecteurs intelligeps. la trouveront fans,
peine'. ; &]es autres peuvent : avoir recours à la
íhéorie des joràères…dan.s’J’ouvr.age.'de M. .'Tabbé de
<Gua, qui a ;pòùr< titre usages .de. l’analyse de JDes
cartes., &C, .-•-..-. -.'.'■■ .'i':''•'■: ! c. : .. ; -: --.-i: •: ■.
 Cela bien.démontréj ;il est visible:quëla section
d.un-conepar unplanqui le traverse, entièrement,
ne peut être qu’une ellipse ou ■ un’cercle,- car cette
section rentre ;en elle-même j & nè faur.oitêtre par
conséquent ni hyperbole mi parabole: de plus, son
équation.ne monte.-qu’au second degré, ainsi elle
ne peut être que cercle ou7ellipse. Mais, bn n’a
pas tfop'Júen-dérnontr,é'dans7quël càsiaseòrion est
un cercle ou une ellipse, ; , .7 ".- . ; ■■•■.-.
--: i.7Éileést.,un éërcje, ;lorsqu’éíle. ;:est:'paraIlèle
à la-basc du.cone. ;. ;.7 ." ;; .. ;:-.. a.° Elle est.encore un cercle^ lorqu’èlle forme
unefeclion,_/òíí.s-cpní/azVe , & lorsqu’elle est dé plus
perpendiculaire au triangle passantpar Taxe du cône,
& perpendiculaire <lui-même:à la base ;; cela: ést.dém’ontrédans
plusieurs livres, !.': i ■ ;;•„ ■ ;■■,.■:■ r-/ ::..',2° II est aisé de conclure de là démonstration•qu’on - donne, d’ordinaire de :cétte proposition, &qu’on peut voir, si' Ton veut  ; dans ie traité desJ’cSions coniques de M. de.la,Chapelle, que toutesection perpendiculaire au triangle par Taxe, &
qui ne lait pas une scclion sous-contraire, est une
ellipses Mais si la section n’esl pas perpendiculaire
à ce triangle, il devient un peu plus difficile de le
démontrer.' Voici comment il faut s’y prendre.-En premier lieu, si, dans cëtte hypodièse, lafcaion
conique passe par une.autre ligne que celle que
forme lá section fous-contraire avec lè: triangle par
Taxe, il esl aise de voir'que le produit des fegmens
de deux lignes -tirées dans le plan de la courbé ne
sera pas égal de part &' d’autre ; '& qu’ainsi la courbe
n’est pas un cercle, puisque dans -le cercle les produits
des fegmens font égaux.En second lieu, si,-d.ans ; cette même hypothèse, leplan de !-lá courbe passe par une. ligne que sonneiásectionsous-çontraire avec le triangle par Taxe, ; il n’y à qu’à imaginer un autrè triangle p'ependj.cnlaire à celui-ci, & passant par Taxe ; ; on véna' aisément, i.° que ce triangle sera isocèle ;''2°. que' la section de ce triangle avec la section fous-con ;traire, sera parallèle à la base ; .3. ? queparconíe,quent le plan dont ií' s’agit étant différent de la'i section fous-contraire (hyp.) ,> coupera ce nouveau'triangle suivant une ligne Oblique-à la base ; &. jlest très-aisé-de voir'que les fegmens de cëtte lignefont un produit plus grand que celui dés fegmensde la ligne parallèle à la base. Or ce second produitest égal au produit-des fegmens de -la section souscontraire, puisque cetté section (est un cercle : ;doncle premier -produit est plus grand ;' donc lasection est une ellipse. ' Je "rie fâché pas que cetteproposition ait’'été'démontrée dans’aucu.n livre.:Ceux qui travailleront, dans la fuite fur les 'coniques ypourront faire  ;usage dés vues -'qu’on leur donne.ici. (O). ■ 7 ■■'■-"■■' " ' •.7* On trouve dans le Traité de la Coupe des
pierres de M. Frézier,/, tome r,, page JLZZ) , un
problênie des sections -coniques,, relatif à. cet art,
& dont- MM..,. Jean Bernoulíí j’père, ,&' fils, ont '
donné chacun urie solution particulière. Le voici
résolu" d’une, manière encore ; différente. & plus
générale. ' . ,7 .■■■".-■PROBLÊME. Soitlfig. ift) un cône dròit érigé fur
une base elliptique dont C X' est le gr^nd axe, & F D le.
petit- : on demande. la nature de la' courbe que formera
, fur la surface dé ce cône., le-plan A M.S-Y,
qu’on suppose perpendiculaire au plan triangulaire
FTD ? , ; ,.■ ' ; ■• Soit mené par un point quelconque M de la
courbe AMSY, un plan NMO parallèle'à la
base du cône :. les "deux plans AMSY y NMO
se rencontreront dans la droite MF, qui fera parconséquent
une ordonnée commune aux axés AS’,
NO des courbes ' quils sonnent fur lá surface
conique. Ayant encore mené parallèlement à Taxé
TE: du rooeTa droite P H V qui rencontre le
côté FT en H, &qui est terminé par TVpa-'
rallèle au demi-axe'.FF , on abaissera du point A
la perpendiculaire A Q fur TE. Cela posé, soient

CON" CON xn-î
aura,, après les réductions ordinaires, PMr on yy=i a b b c gh m x — {zabbgmh —r a ? bz gz ) x. x
aac.c h h . Jéquation à la courbe cherchée, laquelle est, commê !
on voit, -une section conique.- Si Z ab b g h m~ j
a^g 2, ou ihm=àg, elle sera une parabole. Si
j:h-m-'ì>-ag ; elle .sera,, en général-, une ellipse.
Enfin, h zhm<^ag, elle fera -une hyperbole.. ;
Supposons maintenant qu’on demande.le, cas, où
cette courbe devient un cercle. Voici comment
■bns" résoudra cette question avec-la-plus" grande
facilité, -s -.'… . . './ . ","7.7_5, . zabbcghmx-l 2tibbghm-ïíbxfr*) xx' L équation y y- ; - ——. .-
x■Jaac.chh .appartiendra au cercle,'fi on peut la réduire à cette
forme yy— B x -f-x x. Or.,, pour cela, il faut> . zabbghm—a 1 b"- ss ., , ',,'"'. .qu on ait ^-5- - - ,° ■ ==1 ;,d ou Ton -tiré/ .'.- ::, -, aa <• oìik, , , - . . .': , 2 abb n h m —a*-' bz pï r . ." :. ' .. n.cc== _È_—, -. -b- ■ Le point i est- toujours.,

fixe-, mais., dáns-.Téquation générale , ; A.R
dépend de FF. La courbe peut être une ellipse,
én faisant, yarier. AR.Jk.- R F d’une -infinité ; de .
façons mais , ;;pour,,qu’elle,'spit ;un cercle, il est
clair :quelê ;rapport de AR à RT doit.être un
rapport déterminé, TU.-.-faut .donc ;considérer A R
(é) ,.&, RTsg)  comme,-jdeux inconnues. Nous
r -1,1, u-, •" ■ - - 2 ab b eh m - a1 bz nravons déiaJ Téquation cc=z ———■ ,, --.• ÍJ-7 ; . -.' '-.- ;■' ' - aa'hh ■>. -&,nous^ aurons R.Q^'pu (TQ — RTy = A~R
"r^.A Q , .c’est-à r.dire en termes, analytiques,
f '— '*-: g y '■== c cm’rn: De la.comparaison- áë ces
-, T J .
deux équations, oh tire.
La droite AR est donc, connue de pofition &
se problême est résolu. Ce résultat s’accorde -parfaitement,
quantau fonds, avec ceux de MM" Ber- '
"noùlli ; (L. B.)  . .''-' *-.-''-. : . ..' CONJUGUÉ, adj. Dans les sections coniques x
on appelle diainètres conjugués, ceux qui sont réciproquement
parallèles à leurs tangentes au sommet.
Voyez DIAMÈTRE, SECTION CPJTIQTJE. . 7
,' Axe conjugué, est le. nom.que -plusieurs auteurs
donnent, au plus petit des diamètres ou au petit
axe d’urië-ellipse. .Voyez ELLIPSE. ''""•''■..H ; est démontré, i.° que .dans une. ellipse íe
quarré de Taxe conjugué .est au .quarré" de Taxé
tranfverse, comme le quarté de íá deiiii-ordonnée
à Taxe conjugué est au reclangle des fegmens de cet
axé : 2. 0 que toute ligne droite tirée 'du fo) er aux
extrémités du demi-axe conjugué, est égale au demiaxe
tranfverse. Dé-là. il fuit que les.- deux" axés étant
donnés-, on ; a aussitôt les foyers,'par le.moyen
desquels il est aise ensuite de tracer Téllipsê.'Foye ?
FOYER.- … J -L’axe conjugué dans une ellipse ou hyperbole ,
esl le moyen proportionnel entre. Taxe transverse
& le paramètre. Voyez ELLIPSE , HYPERBOLE
PARAMÈTRE. ', .Ovale conjuguée , dans la haute Géométrie ; se
dit d’une ovale qui appartient- à '- une courbé &
qui 'se trouve placée sur le 'plan de cette courbe de
 manière qu elle est comme isolée & séparée 'des
autres branches, ou portions .de la courbe. On
trouve de ces sortes d’ovales, dans les courbes dtt
second genre ou lignes du troisième ordre,.comme ' '
-M. Nevytoh Ta remarqué. Quelques-'unes de ces
.courbes sont composées de plusieurs branches infinies:,
telles qu’on, les voit (fig. 43. analyse.) ,tí
d’une ovale. J’ séparée des’autres branches &
placée dans le plan .de lá courbe. , '" '
. II y a des"cas.où Tovale A fesédúh à un seul
point, & cette ovale .s’appelle alors point-çonj ugue\Quelquefois Yovalt, conjuguée touche lâcqurbe *
& le point conjugue' y- est adhérent. 7. 7. '■ ""/M. Tabbé de Gua, ^dans fon livre qui a pòur
-titre usages.de l’analyse de Descartes, remarque &
prouve que .la çoprbe appellée: caffinpide ou ellipse
de M. Camni,'doit dans certains cas être composée
de deux.ovales’Conjuguées. ; telles -que. A B
ífig-'44- analyse)  distantes Tune de l’autre, & pUe
ces ovales peuvent même se réduire, chacune à un
seul pomt conjugué, en sorte que la courbe dont il
" s’agit p'auráalors d’ordonnées réelles que dans deux
de ses points, & fé réduira par conséquent à deux
Eeëij

points conjugués uniques & isolés, placés à une
certaine distancé l’un de l’autre for Te" plan de la
courbe.. Pour qu’une-courbe se réduise à un point conjugué,
il faut que la valeur de y en .r soit telle,
que cette valeur ne soit réelle que quand x a ellemême
une certaine valeur déterminée ; par exemple,
la courbe dont Téquation seroit y y -f- xx = o, ouy=|/— xx, se réduit à un point conjugué ; car i
c’est Téquation d’un cercle_dont.se. rayon est nul ou
zéro' ; cè cercle se réduit donc à un point. La valeur
de y est nulie lorsque x = o , '&. imaginaire si ;
x est réelle. ' ■' - ■' …Ceux qui ont peu réfléchi sur la nature des lignes
tourbes, entant qu’elle est représentée par des équations,
trouveront d’abord fort-extraordinaires ces
ovales & ces points conjugués, isolés & séparés du
rresle de la courbe. Comme les courbes les plus fa 1
rpilíères & les plus connues n’en ònt/point, savoir
le cercle,,les sections ; coniques,*la,,conchoïde, 6r.
& que ces. dissé rentes courbes se décrivent ; ou peuvent
se décrire par un mouvement continu ; ces
autres courbes dont les parties font, pour ainsi dire,
détachées, paraissent d’abord fort singulières ; cependant
on póurroit observer que I'hyperbole nous
"fournit en quelque manière un "exemple de ces
courbes, dont les parties font détachées ;'car les
deux hyperboles"opposées paroissent n’avoir entr'elles
rien de commun, & appartiennent pourtant
à une seule & même courbé. ,Tout ce mystère prétendu disparaîtra ,~si on sait
réflexion qu’une coilibe représentée par une équation,.n’est,
proprement que le lieu des différens
points qui peuvent servir à résoudre un problème
indéterminé ; que les ordonnées qui répondent aux
•différentes valeurs x, ne sont autre chose que les
■valeurs de y, qu’on auroit en résolvant séparément
cette équation pour chaque valeur dex ; & que si
Ja valeur de x est telle que l’y correspondante soit
imaginaire , Tordonnéë sera imaginaire ; qu’ainsi
un point conjugué dans une courbe ne signifie autre
■chose sinori que la valeur de x qui répond à ce
point conjugué, donne une.valeur réelle pour y.,
■& que íï on prénd x un peu plus grande ou un
peu plus petite, la valeur dey sera imaginaire ;
ce qui n’a plus rien, de merveilleux. C’est ainsi
qu’avec des idées nettes & "précises, on peut ôrer
-à bien des vérités certain air paradoxe que quelques
.favans ne font pas fâchés de leur donner,- & qui
'en fait sotivent tout le mérite. (0.) í\ ' -CONJUGUÉES. (Hyperboles"). On appelle ainsi'
deux hyperboles opposées, que Ton décrit tìans
'l’angle vuide des asymptotes, des hyperboles op-posées,
 •& qui ont les mêmes asymptotes que ces
hyperboles, & lemerne axe, avêc cettc’scule diffé- ;
rence., que l’âxe tranfverse des oppolëes est Ie second
axe des conjuguées, & réciproquement.Quelques Géomètres se sont imaginés que le }
système des hyperboles conjuguées & des hyperbolesopposées formoit un seul & même système decourbesr'
maisiís étoient dans Terreur. Prenons pour exemple
lés hyperboles opposées équilateres. L’équation est
yy=x.x — aa, d’où Ton voit que x.<^ a donne
y imaginaire ; & qu’ainsi dans l’angle des asymp■
totes, autre que celui où font les hyperboles opposées,
on ne peut tracer de courbes qui appar.
tiennent au même système ; car alors x <^ a doîi:
neroit y réel. Ôn peut encore s’assurer fans calcul,
que les hyperboles conjuguées & les Jiyperboles opposées
, ne forment point un mème système, parce
que Ton trouve bien dans, un cône & dans son
opposé les hyperboles opposées, mais jamais les
conjuguées. Mais ;, dira-t-on, si je sonriois cette
équation (yy —xxs —-a* = o, cette ëquafion représenteroit
le système des quatre hyperboles ;caron auroit yy—xx==+fta ; &y=:4 ;!/7ri — a ;a,yp+Xfxx.-^-aal ; d ;où l’on voit aisément .que les
deux premières valeurs de y représentent les - hyperboles,
opposées , & les deux autres’les hyperboles
conjuguées ; ainsi , conclurs.-t-on , le système des
hyperboles conjuguées .& opposées apartiennent à
une même courbe, dont Téquation eû.(yy — x'xs.—-
a+ = o. Mais il faut rémarquer que cette équation
se divise en deux autres, yy — 'xx-\-aa-=o,
y y — xx—aa = o ;&. qu’une équation.n’appartient
jamais à un seul & même système de courbes, que
lorsqu’elle ne peut se diviser en deux autres équations
rationnelles. Ainsi, yy —a-.T = o , ne représente
point un seul & même système de courbçs.,
parce que certè équation se divise en y—xz=ó ;
y-{-x-o ; maisyy-x x -f-aa = o7'epréíènteunseul
& même fyslènië, parce qu’on,ne peut diviser certeéquation qu’en ces deux-ci, y — \/xx-— aa-~=o,&.y-\-\/xx—aa.^z-ó,. qui ne sont pas rationnelles.
Voyez COURBE. Cette remarque est trèsimportante
pour les commençans, qui ne la trouveront
guère ailleurs. (0) ■\ CONNOISSANCE DES TEMS, (Astronomie.) 
titre .que porte Tancienne" éphéméride des mou-,
veme-ns célestes, ou almahach que publie chaque
année TAcadémie des Sëiehces dé- Paris ,' pour
{'usage des astronomes & des navigateurs. Ce titré
a pu. faire croire à ceux quin’avoient pasconsulté
Touvrage,. qu’on y annonçoit le beau tems ou Ja
pluie ; mais il ne s’ágit d’ans cet ouvrage que.des
tems considérés astronomiquément, i& par rapport
aux mouvemens célestes .qui -en sont^ la. mesure.
Ce livre, qui ; a-été" 1 le modèle- de' tous les almanachs,
& qui sert encore ^àfáirc/tóus-ceux, de
la France, fut publié pour la : prernière Tois en
1679,par Picard, célèbre astronome dé cetems-Jà,
ávec ce titie : Xa connoiffance des tems ou calendrier
&• éphémérides du lever '& du coucher du soleil,
d’elí\.lune & dés autres planètes., avec des éclipj’es
pour Tannée zGyg, calculées.fur Paris , &Ja manière
de s’en fcn’ir pour Tes autres \ élévations t-
.-CON" C ON 4or
'àvíç plusieurs autres tables & traites ' d’Astronomie
•"€■ de physique ,■ & des éphémérides de toutes • les
■planètes, en figures. A Paris, chez J.F. Coignard,
imprimeur 'du roi, rue Saint-Jacques , à la Bible- d’p) : C’étoit un très-petit in-iz, composé de 60
-pages ; il étoit dédié au roi, qui en avoit approuvé
le projet. On lit dans un avis qui esl en tête, qu’il
fut hazardé fort avant dans Tannée, à Toccaíion
du voyage du roi ; (car on avoit résolu de ne le
commencer- qu’en 1680 ) & que Ton travailloit à
.calculer des éphémérides d’une méthode toute
"nouvelle qui dévoient commencer Tannée suivante.
Dans ce premier volume, on voit d’abord un
calendrier, le lever & coucher du soleil & de la
lune, avec les jours de "ses phases & de ses plus
grands abaissemens ou • élévations fur Thorizon :
pour le soleil, le premier instant qu’un de ses bords
paroít, ou que le dernier disparoît, eu égard aux
réfractions ; pour la.lune, Tinslant où elle paroít
'toute entière ën touchant Thorizon , eu égard aux
réfractions & auxparaljaxes : une autre table contient
■ leur lever & coucher pour Calais, Paris, Lyon,
Marseille, ce qui pouvoit servir à le trouver pour
tous les âurres pays. On y voit des figurés d’éclipses
pour plusieurs momens de leur durée: une table
du passage de lalune par le méridien, Tafcension
droite' du soleil- & Téquation de Thorlege, ou ce
dont elle doit avancer ou retarder, par rapport à
un cadran solaire sur lequel elle aura-été mise■ ie 16 juin .011 le 23 décembre, avec des usages. pour trouver Théure fur les cadrans solaires au
nioyen de la lune, en y ajoutant son passage au
méridien, & pour connoítre les marées, en supposant
que lá nier se trouve haute à Brest, "constamment
deux heures 'après lé passage de lá lune -1
par.la méridienne ; à Calais, à quatre heures. &
'demi ; à Saint-Maloslx heures après ; à Dieppe,
neuf heures ; à Rouen & Honneur, onze heures.
■ Le moyen de trouver par vingt étoiles qui
passent dans le même fil à plomb que la polaire,
t’heure qu’il est , en ajoutant Tafcension droite du-"soleil à Theure marquée fur une planche qui se
voit.dans le'. livre. L’on y voit une explication fur
'.le mouvement des -pendules, avec une autre petite
table ; les entrées du soleil’dans" tous les.signes
du zodiaque ; on y parle de lá manière dont les
planètes feront vues pendant toute-Tannée ; des' latitudes & différences de longitudes de vingt-trois
villes de. France ; les plus longs: jours & les plus
longues nuits pour différentes élévations de pôle ;enfin
 des observations fur le baromètre & les vents,
faitespendant Tannée. 1.678.•.Picard, l’un des plus, célèbres astronomes de  ;
Tacadémiede Paris, étoit Tauteur anonyme de cet.
ouvrage ; dès Tannée suivante, il Taugmenta de plusieurs
tables & de plusieurs remarques .intéressantes.
Dans celui-de 16&1, il annonça Tapparirion de
la fameuse comète, avec des réflexions très-philofóphiques.
à ;ce -sujet- ; -daris :celui-dei6"82, il annonça
les nouvelles opérations de la figure de la" [terre : énsin ce livre ne cessa de s’augmenter chaque
année, soit entre les mains du premier auteur, soit
dans celle de Lefebvre qui fut chargé de cet ouvrage
en 1685- ; Lieutaud lui succéda en 1702, il
y mit en 1729 ía liste de TAc’adémie des Sciences ;
Godin lui succéda en 1730 ; M. Maraldi com’
mençaTannée 1735, & a fini en 1759. Je commençai-en
1760 à.être, chargé-de cet Ouvrage par
ordre du roi, & sur le choix de T Académie ; dès
ce moment, j’en "changeai la forme en entier, j’y'
rassemblai tout ce queies astronomes pouvoient
délirer de plus nouveau & de-plus-intéressant..,
.pour leurs observations, & leurs calculs, & tout
-ce que les navigateurs "pouvoient désirer pour être
à portée de trouver la longitude en mer par le
moyen de la lune ; M. Jeaurar qui a commencé
en. 1776, continue fur le même pian. Mais en
-i~6-j, ie bureau des longitudes d’Angleterre fit
calculer par un grand nombre d’astronomes réunis
fous la direction de Tásironome royal, M. -MasTelyne,
un ouvrage beaucoup plus étendu ,-intirulé :
The nautical almanac and astronomical ephemeris
for the year IJGJ. Voyez ALMANAC. Cet ouvrage
destiné spécialement à la navigation,, n’a point
empêché la continuation de la connoiffance des
tems , nécessaire pòur la ville de Paris, &. dans"
laquelle on continue d’ailleurs de mettre des tables
"nouvelles chaque année, pour Tusage des astronomes.
Voy<?£ .EPHÍAÍÉRIDE. (D. L-.) CONOIDE, f. m. ( Ge'om.)  nom que Ton donne"
à un corps solide foi nié par la révolution d’une
courbe quelconque autour de son axe , & qu’on
donne quelquefois auffi à d’autres solides qui -au.
lieu d’être composés., comme celui-ci, de tranches
circulaires perpendiculaires à Taxe,'font composés
d’autres espèces de tranches." ' -• :Le candide prend le nom de la courbe qui l’a
produit par fa révolution. Un candide parabolique,
qu’on appeîl e aussi un paraboloïde, est le solide pror
duit par la révolution de la parabole autour de son
axe, &ç. ;• . .':.'.: Archimède a fait un livre des candides & des
sphéroïdes, dans lequel ce grand géomètre a donné
les dimensions, des solides ou candides paraboliques ;,
elliptiques, hyperboliques, &c.Comme Tellipse a deux axes, elle produit aussi
deux conoïdes , ïelon qu’on la fait tourner autour
de l’un ou de d’autre de ces ^axes. Chacun de ces
conoïdes s’appelle sphéroïde. Lîhyperbole produit
auffi deux conoïdes par fa révolutionau-tcur de l’un
ou: de. l’autre-de-ces axes ; •'Mais Archimède n’a
examiné que-le candide. produit par la révolution
de I'hyperbole autour.de son axe tranfverse ou
premier, & M. Parent (voyez Hist, acad. 1769.) 
s’est aopliqué à considérerle conoïdcío : inépar la révolution
de I'hyperbole autour de son second axe. Ce
conoïdes’appelle cylindroïde ', àcausequ’il ressemble
plus à:un C) 'liádr.e qu’à un cône, ne se terminantpas
ên pointe .comme les autres conoïdes. Car quoique
le mot de candide s’applique assez généralement406 " CON ~ . C O" N ■ ^
à tous les solides formés parlarévolution des courbes
autour de leur axe, cependant ce mot, qui est dérivé
de cône, convient encore d’une manière plus
particulière à ceux qui se terminent en pointe, ou
qui, comme le cône, ont un sommet.Nous donnerons à certe occasion une méthode
particulière pour mesurer la surface courbe d’un
conoïdc '.- cette méthode est assez simple ; nous iacroyons
nouvelle, & elle peut être utile en quelques
.cas. - ' .D’un point quelconque de la courbe qui engendre
le conoïde , soit menée une ordonnée perpendiculaire
à Taxe.de rotation , & une perpendiculaire à
la courbe qui aboutisse à Taxe : soit prolongée Tordonnée
hors de la courbe jusqu’à ce que le prolongement
soit égal à Texcès de la perpendiculaire
fur l’ordonnée ; & imaginant que Ton fasse la même
- chose à chaque point de la courbe, soit supposée
une nouvelle courbe qui passe par les extrémités
des ordonnées ainsi prolongées.- je dis que la surface
courbe du candide sera à Taire de cette nouvelle
courbe, comme la circonférence du cercle est au
rayon. Ceîteproposition estfondéesur ces deux-ci:
.i." Télément de la surface du conoïde est le produit
-du petit côté de la courbe par la circonférence du
cercle dont l’ordonnée est le rayon: z.° lá perpen^
diculaire est à l’ordonnée, comme. Télément de la
courbe est à Télément de Tabscisse ; deux propositions
dont la démonstration est très-facile.Par le moyen de cette proposition ori peut trouver
aisément la surface courbe du conoïde qu’une section
conique quelconque engendre en tournant autour
de son axe. Car on trouvera que la courbe formée
par les ordonnées prolongées est toujours une section
conique ; & par conséquent la mesure de la
surface courbe se réduira à-la quadrature de quel<me
section conique, c’est-à-dire, à la quadrature de
la parabole, qui est connue depuis long-temps, ou
à la quádrature-du cercle, ou à celle de I'hyperbole.
'Voyez CYLINDROÏDE.(O)  :
)  CONSEQUENT, adj. ( Arith. )  ; c’est ainsi que
Ton appelle en Arithmétique le dernier des deux
termes d’un rapport, pu cèlui,auquel Tantécédent
est comparé. Voyez ANTÉCÉDENT,, RAPPORT &
PROPORTION.Ainsi , dans le rapport de b à c , la grandeur c
est le conséquent, & la grandeurs Tantécédent. (O) 
 ; CONSEQUENTIAi terme latin en usage dans
TAstronomie^ On dit qu’une étoile ', une- planète,
ou une comète, située en quelque point du ciel, se
meut pu paroít se mouvoir in confequentia, lorsqu’elle
se meut & paroít se mouvoir d’occident en
orient, suiyant Tordre, des signes du zodiaque.
Ce mot e(l opposé à antecedentia. (O) CONSERVES, subst. f. pL (Optique)  ; c’est
une espèce de lunette qui ne doit point grossir Jes
objets, mais affoiblir la lumière qui en rejaillit,
& qui pourroit blesser la vue ; c’est de cette pro- /
priétéque leur est yenu le nom de conserves. Voy.
LUNETTES,.- , ■CONSOLATION, terme de jeu : on donne ce
nom dans plusieurs jeux à une'espèce de tribut
qu’on paie, soit à ceux qui ne jouent point, soit
à ceux qui jouent & qu’on fait perdre ; soit même
à ceux qui gagnent, soit à celui qui perd, selon
les conventions bizarres des jeux, où Ton a voulu
quelquefois que la consolation fût faite par celui'
qui perd , & qui, par conséquent, devroit être
consolé.CONSPIRANT, adj. ( Méch. ). Puissances conspirantes
, en Mécanique, sont celles qui n’agissent
pas dans des directions opposées. Les-puissances" sorit
d’autant plus conspirantes, que leurs directions sont
moins opposées : on peut même dire qu’à proprement
parler, il n’y a de puissances véritablement x
conspirantes, que celles qui agissent suivant la même
direction ; car alors Teffet produit par les deux
puissances agissant ensemble, est égal à la somme
des effets, que chacune , agissant en, particulier,
auroit produit : mâis quand les directions font
un angle entr'el.Ies, Teffet -produit par les deux
puissances conjointes esl plus petit que la somme
des deux effets pris séparément, par la raison que
la diagonale d’un parallélogramme est moindre que
la somme des deux côtés. Voyez COMPOSITION.
Cela vient de çe que deux puissances dont les directions
font angles, sont en partie conspirantes &
en partie opposées. II peut même arriver que l’angle
des puissances soit si obtus, que la puissance qui
en résulte soit moindre que chacune d’elles ; &
alors, les puissances ne seront appellées conspirantes
que fort improprement, puisqu’elles détruisent alors
mutuellement une partie de leur effet. Voy. PUISSANCE'&
MOUVEMENT.. (O)  '."' CONSTANTE, ( Quantité). On "appelle ainsi ,
en Géométrie, une quantité qui. ne varie point par
rapport à d’autres quantités qui varient, & qu’on
nomnie variables. Ainsi, le paramètre d’une parabole,,
le diamètre d’un cercle,, sont .des quantités,
constantes , pat rapport aux abscisses ; &' ordonnées
qui peuvent varier tant qu’on veut. Voyez PARAMÈTRE
, COORDONNÉES, :&C. En ; algèbre, on
marque ordinairement les quantités -constantes’ par
ses premières lettres de Talphábet,.& les variables
par ies -dernières.Qùánd- on a intégré une différentielles on y '
ajouteune constante qui esl quelquefois nulle,,mais’
qui - souvent aussi est une quantité réelle , dont
Tòmiísion seroit une faute dans lá solution. C’est
à'quoi-Jes commençans doiverii fur-tout prendre
garde. La règle la plus facile'•& la-plus ordinaire
pour bien déterminer la constante, est de supposer
que la différentielle représente Télément de l’aire
d’une courbe, dont Tabscisse soit x, de faire a: = o ,
de voir çë que la différentielle.devient en ce cas,
& d’ajouter, ce résultat ávec"un signe'contraire.Par exemple, soit dx J/ x. -\-a , la quantjté à
intégrer, . ^ , , .-' ' ' . ; con ç.o n , 407■ On .peùt’la regarder comme Téldment de Taired’une courbe, dont x est Tabscisse, & \/ x -f- a .
l’ordonnée. L’aire de cette. courbe ou Tintégrale
de cet élément doit être nulle, lorsque ar = o. OrTintégrale de dx J/ (x -f- a) esl f (x -f" a) * -j- C,
C désignant une,c"onj ?a ;zte quelconque ; on aura donc,lorsque ar=o^|a -) -C = o. Donc C - - \ a .■ " ■ ■ í. i.Donc Tintégrale cherchée est \ (x -f- a) —.f a .
Ainsi j on voit que la constante C n’est autre chosej_que y (r -f-, a) , en faisant i = o,& changeant le
signe'. Cet exemple suffit pour démontrer & faire
sentir la règle. On trouvera un plus grand détail,
dans tous les Traités de calcul intégral. (O) CONSTELLATION, fub: f. en Astronomie ,-est
Tassemblage de plusieurs _étoiles, exprimées & représentées
sous le nom & la figure d’Un homme,
d’un animal, ou de quélqu autre chose : on Tappelle
aussi un astérisme. Les principales constellations
font représentées dans les planches d’Astronomie,^.
4 .& £. ■.
. Les anciens astronomes ne se sont pas seulement. attachés à distribuer les étoiles selon seurs di fiérentes
grandeurs ; comme on le verra à. Yarúcle
ÉTOILE ; mais ils ont encore imaginé , peur les
faire recorinoîfre plus facilement, de faire plusieurs
caftes qui expriment la situation exacte, & la disposition
des unes à Tëgard-des autres -dans les
différentes régions du ciel. Pour cet effêt , ils ont
partagé le firmament en plusieurs parties on cons’
tellations, réduisant un certain nombre d’étoiles
sous ía représentation de certaines figures, afin
d’aider, Timagination & la mémoire à concevoir
& à retenir leur nombre , leur arrangement, ; &
même pour.distinguer les vertus qu’ils leur attribuoient
: c’est~dans cesens qu’ils disoient qu’un
homme étoit né sous une heureuse, constellation,
c’eft-à-dire sous une heureuse disposition, des corps
célestes. Voyez ASTROLOGIE. '
. La division des pieux en constellations est fort
ancienne, & paroít Tètre autant que TAstronornie
même ; au moins a-t-elle été connue des plus
anciens auteurs qui nous restent, soit sacrés, soit
profanes, U en est fait" mention, dans le livre de
Job, témoin cette apostrophe : p eux-tu arrêter les' douces influences des Pléiades ou détacher les bandes
i 'Orion ? On peut.observer lámême chose dans
les plus anciens écrivains payens, Homère & Héíiode
qui,' répètent .souvent le nom de plusieurs
constellations. En un .mot, il est vraisemblable que
les astronomes. Ont .senti dès’ le commencement
ja nécessité de . partager ainsi les 'régions du' ciel.
Les douze constellations du. zodiaque ont toujours
occupé spécialement les observateurs ; ainsi, le ciel
étoilé a trois parties principales ;. celle du milieu ..appellée zodiaque , renferme toutesles étoiles qui
se trouvent dans les environs de Ja route' des planètes
pendant leur révolution , & le zodiaque'
s:étend de plus -jusqu’à 8 ou 9 degrés, au-delà
desquelles- les planètes ne sauroient s’écarter de
Técliptique. Cette zone ou bande du zodiaque
sépare les constellations de la partie Jjoréale qui esl
au nord du zodiaque, & celles de. Ia partie qui
est’ au midi, &se nomme australe. Voyelle catalogue
au mot ETOILE.Les constellations des anciens comprénoient ce
qui étoit visible pour eux dans le firmament, au
.nombre de 48,. dont les 12 qui comprennent le
zodiaque furent nommées aries, taurûs, Gemhv,
cancer j léo, Vif go -, libra, Scorpius -, Sagittarius ,-
Capricornus, aquarius,pisces\ en français, le bélier.
Je taureau, les gémeaux, Técrévisse, le lion, lá
vierge, la balance, le scorpion, le sagittaire, le
capricorne, ie verseau, les poissons ; d’où les signes
du' zodiaque ■&- de Técliptique ont pris leur nom
quoique depuis long-tems ils ne.soient plus contigus
aux' constellations d’où ils Tont tiré. Voyez
ZODIAQUE , PRÉCESSION & les. noms de cês
différentes constellations dans ce dictionnaire.
7. Les’autres -étoiles-au nord du zodiaque dans la
partie boréale, furent-rangées sous 21 constellationsy
savoir , ursa major,- ursa minor, draco., cepheus y
bootés , cororíà. Jeptentrionalis , hercules , lyra ,
cygnus , cajjwpea , perseus , ' àndromeda , triangulum
, auriga , pegaj’us , equuleus, delphinus , sa~-
gitta , aquila , ophiucus ou ferpentarius s & serpens ;
en’françois’, la grande ourse-, ia petite ourse , le
dragon,çéphée,,.le bouvier, ía couronné boréale r
hercule ,_ la• lyre,, le cygne, caffiopée , perfëe ,,
andromëde," le triangle', lë cocher, ; pégase, le
petit cheval, le dauphin, Ja flèche, T aigle',. le
serpentaire & le serpent. On 3'ajouta dans la suite
deux antres constellations , composées de quelques '
étoiles: qui se trouvoient entre ces anciennes constellations
i & qu’on nommoit pour cette raison étoiles
informes, pu Jparsiles , sporades. Ces deux constellations
fontla chevelure de Bérénice & Antinous ;
ainsi, cela forme 23 constellations anciennes. …Les anciens distribuèrent les étoiles qui étoient
au midi du zodiaque.ên 15 constellations : cetus }
eridanus , lepus , Orion.] canis major p canis minor,-.
argo, hydra., crater, corvus , centaurus, lupus y
ara, corona méridionales ,& pijìis australis ; en:
françois, la baleine, l’éridan, Je lièvre , "orion,
Ie. grand chien,, le petit chien, le navire argo ,.
Thydre, la coupe, le corbeau, le Centaure, le
loup, Tautel, la couronne australe & le poiffon ;
austral. Après les voyages’ du seizième siécle aux ;
indes, on forma 1 z nouvelles constellations : p'hoenix r
gî'us.,- pavo , indus , apus , tiiangulurn -australe ,.
musca, cameleo , piscis volans , toucan,• hydrus &'
Xiphias ; en françois: le phénix,Ta grue, le paon,,
Tindien, Toiseau du paradis, le triangle austral,,
la mouche,.le caméléon, le poisson volant,. le
toucan, pu Toie d’Amérique:, Thydrè mâle ; lar,nî -CON CON
-i -dorade ; on y ajoute quelquefois le grand nuagé & le
petit nuage/Les positions des étoiles qui composent
ces douze dernières constellations , lurent déterminées
par M. Halley, qui alla exprès pour-cela
fi Iìle de Sainte-Hélène en 1677 ; & par Tabbé
de Ja Caille qui alla au cap de Bonne-Espérance
en 1751. Voyez chaque constellation & les étoiles
qu’elle contient sous l’on propre article.De ces constellations, le's 12 dernières & la plus
grande . paftie du navire argo, du centaure &
du loup, ne sont pas visibles fur Thorizon de Paris. '
Jusqu’au commencement du dix-septième siècle,
& même dans TUranométrie de Bayer en 1603,
il ne fut question que des anciennes, constellations
cìont nous venons de parler ; mais dans Touvrage
"de Bartschius, publié en 1624, ou en trouve sept
autres qu’il dit avoir été formées par les modernes.La GIRAPFE , (girajfa , camelopardaìis)  entre
Tétoile polaire, la grande ourse & persee.'Le fleuve duTYGRE, compose-des étoiles informes
de Pégase, du petit cheval, du cygne &
d’ophiucus.JLe JOURDAIN , formé des étoiles de la grande
ourse & du lyon.. La MOUCHE, vefpa ; apes , apis , furie dos
du bélier, entre les pléiades,- le bélier, la tète de
méduse &' le triangle.La COLOMBE DE NOÉ, au-dessus du lièvre,
devant le grand chien.- La LICORNE, unicornu , monoceros , entre le
grand chien & le petit chien.Le RHOMBE", du côté du pôle austral, (entre les
deux nuages) que Habrecht avoit introduit dans
son globe. " —Le COQ, gallus , derrière le grand chien.Dans les cartes célestes, publiées en 1679 par
Tíoyer, avec le catalogue dé i8o5 étoiles,, fait
parleP. Anthelme, chartreux de Dijon, on trouve
les constellations précédentes, excepté, le coq ; &
une nouvelle appellée Ie SCEPTRE & la main de
justice, placée entre le cygne céphée, Pégase &
Andromède. Boyer avoit formé cette constellation
à la- gloire de Louis XIV. -,Au lieu de la mouche dont nous avons parlé
- çy-dessus, on y trouve le lys.■ Dans les cartes d’Hévélius, publiées en 1690
après la mort de fauteur, intitulées : firmamentum
Jobiescianum, avec lè prodromus Astrpnomioe, on
trouve ID constellations nouvelles. .Les CHIENS DE CHASSE, canes vcnàtici, astér-ion
& chara,au7deflùs de la grande ourse, à la
place du Jourdain.Le LÉZARD, lacérta, à la place du sceptre
& de Ia main de justice.Le PETIT LYON, leo minor, à la place du
Jourdain entre la grande ourse & le lyon.Lé LYNX , à la place du tygre, entre la grande
purse & le cocher.Le SEXTANT d’Uranie, entre Thydre.&.lelyon.
. Le BOUCLIER, de Sobjeski, scutumsobiescianum,à Thonneur du roi de Pologne, au-dessus: du sagittaire,
entre Taigle.& le serpentaire, assez près
du. capricorne.Le PETIT TRIANGLE , au-desliis de la tête du ,
bélier, sous Tancien triangle. -.Le RENARD ET L’OYE,. vulpccula & anser,
à la place du tygre, entre Taigle & le cygne.CERBÈRE,'dans la main d’hercule.Le MONT MÍNALE, fous les.pieds du bouvier,
áu-dessus -de la vierge', c’est une montagne d’Arcadie
dont parle Virgile, Ecl. VIII , v. ii.
- Hévélius compte cependant 12 constellations nouvelles,
à cause de Tare & de la flèche qu’il ajoute
à Antinous, il explique dans" son prodromus, pag,
ii4, les-causes de toutes’ces dénominations,-.&
elles ont été conservées par les modernes, à cause
de la réputation d’Hévélius. ,Halley .forma auffi deux nouvelles constellations,
le CHÊNE de Charles II & le CCEUR de Charles II,
à Thonneur du roi d’Angleterre.
• Dans les cartes célestes de Flamsléed, on trouve
le.ratríeauqui répond à cerbère & la petite croix,
crofiers au-dessous du centaure. L’abbé de la Caille 1
ayant été au cap de Bonne-Espérance en 1751 ^
pour observer les étoiles australes, a publié des
observations de dix mille étoiles, ■ dans son ouvrage
, intitulé : Coelum australe flclliferum, & il a été
obligé, pour les lier méthodiquement, "3e formerquatorze
nouvelles constellations ; mais bien éloigné
de vouloir en cela faire fá cour, comme Hévélius
ou Halley, ni faire entrer du personnel dans une
affaire de sciences, il voulut consacrer aux arts
ces nouvelles constellations. II proposa ses "idées à
TAcadémie des Sciences, & nous convînmes tous
qu’on ne pouvoit faire un meilleur emploi des
nouvelles constellations. Les voici donc suivant
Tordre dès ascensions droites, & telles que la Caille
les rapporte dans les Mémoires de 1752 , pag..sS8.I.° L’attelier-du sculpteur ; il est composé d’un
scabellon qui porte un modèle, & d’un bloc de
marbre fur lequel on,a posé un maillpt & un ciseau..
2. 0 Le fourneau chymique , avec ' son alembifc &
son récipient. 3. 0 L1'horloge à pendule & à secondes.
4° Le réticule romboïdé, petit instrument
astronomique, dont il^sera parlé dans son lieu.
- Voyez RÉTICULE , 5. 0 Lé burin du graveur- ;
la figure esl’compolëe d’un burin & d’un échope
en sautoir, liés par un ruban. 6° Le chevalet du
peintre, auquel est attachée une palette. 7. 0 La
boussole , 011 le compas de mer. 8.° La maclûne.
pneumatique , avec son récipient, qui appartient à
la physique expérimentale. 9. 0 L’oSáns, ou le
quartier.de réflexion, dont on se sert généralement
en mer pour observer les latitudes & les longitudes.
10.° Le compas. II.° L’équerre & la règle,
pour indiquer Tarchitèclure ,• & en même tems
Tabbé de la Caille y a joint en forme de niveau,
le triangle austral qui fubsiftoit déjà. 1 z." Le télescope
, ou la grande lunette astronomique suspendue
à unmàt. .13. 0 Le microscope , pour, servir
/ ■ a Thisloire
à Thislòire naturelle ; c’est un tuyau placé au-dessus
d’une boîte quan’ée. 14. 0 La montagne de la table ,
célèbre au cap de Bonne-Espérance, ou le grand
travail de la Caille sur les étoiles a été fait : il
Ta mise au-dessous du grand nuage , pour faire
allusion à un nuage blanc qui vient couvrir cette
montagne en forme de nape, aux approches des
grands vents de fud-ëst.• En formant ces quatorze nouvelles constellations,
Tabbé de Ia Caille donna des lettres grecques &
ladites à chacune des étoiles visibles à la vue fimplê,
comme Bayer Tavoit fait en 1603, en donnant les
premières lettres aux plus belles, étoiles. II fut
obligé de changer les lettres que Bayer avoit assignées
aux constellations du navire, du centaure,
de Tautel, du loup & du poisson austral, parce
que plusieurs belles étoiles n’en avoient point, &
que les autres lettres étoient fort mal distribuées :
i ! étoit même quelquefois impossible dêreconnoître
dans le ciel les étoiles auxquelles" Bayer avoit
voulu attribuer certaines lettres, parce que les planisphères
de cet auteur ávoient été construits, en
cette partie, fur Tancien catalogue de Ptolemée,
& fur les observations peu circonstanciées de quelques
pilotes Portugais.II a été obligé de donner des lettres latines aux
étoiles les plus méridionales de Téridan, du grand
chien, de Thydre femelle & du sagittaire, en laissant
aux étoiles visibles de nos climats, les lettres de
Bayer auxquelles nous sommes accoutumés.II a voulu supprimer le chêne , constellation
formée par -Halley en 1677, sous le nom de robur
carolinum., pour laquelle Halley avoit détaché neuf
belles étoiles du navire, afin d’en composer une
nouvelle constellation à Thonneur de Charles II,
roi d’Angleterre ; ces étoiles étoient, ou désignées
- formellement dans les andens. catalogues comme
des étoiles du navire, ou reconnues par Tufage
pour appartenir à cette constellation ; ainsi, la Caille,
en laissantau navire les étoiles qui lui appartenoient,
a pense avec raison que par respect pour la réputation
de Halley, & pour un prince protecteur
des Sciences, il falloit représenter un arbre
fur le rocher auquel est attache le navire. Voyez
le Journal du voyage de la Caille, in-zz, 1765.M. le Monnier au retour du grand voyage au
cercle polaire, fit une constellation du RENNE ,
entre caffiopée & Tétoile polaire, comme on le
-peur voir dans Tédition in-4. 0 de TA tlas de Flamsteed,
publiée à Paris en 1776 par Fortin. Le MESSIER
que j’ai ajouté dans mon globe céleste, est à côté
de Renne. ,M. Poczobut, astronome du roi de Pologne,
dans ses observations imprimées en 1777, a. mis
le taureau royal de Poniâtowski entre Taigle &
le serpentaire, en Thonneur du roi de Pologne,
bienfaiteur de f Astronomie ; on Ta gravé en 1778
sur une planche du petit Atías de Flamsteed, qui
avoit été publié à Paris en 1776. '- M. le Monnier .a sonné en, 1776, .une conjkkMathématiques. Tome 1, 11." Partie.lation du SOLITAIRE ,'(oiseau des Indes) au-dessous
du scorpion. Toutes ces constellations sont peu
apparentes, on en fait rarement usage ; il nous
suffit d’avoir cité les auteurs où il en est parlé,
d’ailleurs chacune aura son article dans ce dictionnaire.On peut voir dans Hyginus,- Noël le Comte ;
Cassius, Riccioli, dans mon Astronomie & dans
ce dictionnaire-ci, les fables absurdes & bizarres
que les poètes grecs & romains ont tirées de l’ancienne
-Théologie fur Torigine des constellations ;
& Ton verra dans les divers articles de ce dictipnnaire
des explications allégoriques de ces fables,
en apparence si. ridicules. Mais ces noms sont pop'
anciens pour qu’on puisse espérer de les changer.Cependant le vénérable Bede, au lieu des noms
& des figures profanes des douze constellations .du
. zodiaque, substitua ceìles des douze apôtres ; quelques
astronomes modernes venus depuis ont suivi
son exemple, & suivi cette réforme, en donnant
à toutes les constellations des noms tirés de J’Ecriture
sainte.Alors aries, ou le bélier, "devint S. Pierre ;
iaurus, ou le taureau, S. André ; andromède, Ie
fëpulchre de Jesus-Christ ; la lyre, la crèche de
Jesus-Christ ; hercule, les mages venant de f Orient ;
canis major, David, ère.Weigelius, professeur en Mathématiques dans
Tuniversité de Jena, fit un nouvel ordre dé constellations,
changeant le firmament dans un coelum
heraldicum , & substituant les armes de tous les"
princes de TEurope aux anciennes constellations.
Ainsi, il transforma'Tar/à major , dans Téléphanr
du roi de Danemarck \ ophìuchus, dans la croixde
Cologne ; le triangle, dans le compas, qu’il
' appelle lefymbole des artistes ; & les pléiades , dans
Y abacus pytagoricus , qu’il appelle celui des marchands.
Voyez- ABAQUE. Chambers & Wolf.Mais les astronomes, n’ont jamais approuvé de
pareilles innovations, qui ne servent qu’à introduire
de la confusion dans la secture des auteurs.
C’est pourquoi on a gardé les noms des anciennes
constellations.Les Chinois ont des constellations toutes diffèWrentes, comme on le péut voir dans Thistoire -dé-TÀstronorriie chinoise du P. Gaubil ; & dans un’mémoire de M. Guignes le fils, où il les a fait"graver en 1782. -Mémoires présentés, Tome X.'Les étoiles sont ordinairement distinguées dans
les constellations par la partie de la figure qu’elles’
, occupent. Bayer, de plus, les distingue encore par
les lettres de Talphabet grec, & il y en a même
beaucoup qui ont leurs noms particuliers, comme
arSurus entre les pieds du bouvier ; sirius à ía
bouche du grand chien ; aldebaran dans Toeil du
taureau ; les pléiades, dans le dos, & les hyades.
- dans le front du taureau : castor & pplltoc dans
les gémeaux, la chèvre dans le. cocher ; regulus
dans" le coeur du lyon, Tépi -dans la main de la
yierge, la vendangeuse dans son épaule ; antares.
.. ' F f f
au coeur du scorpion ; somalhaut dans la bouche du
. poisson austral ; rigel dans le pied d’orion ; &
l’étoile polaire qui est la dernière de la queue de
la petite ourse. Voyez SIEIUS, &'c.Méthode pour reconnoître les étoiles & les constellations.
Les noms qu’on a donnés aux différentes
constellations sont arbitraires, & n’ont presque aucun
rapport aux figures que présentent aux. yeux • ces
constellations ; cependant comme on ne fàuroit entendre
les livres d’Astronomie, & faire usage des
observations fans employer les noms qui sont reçus,
il est nécessaire d’apprendre à rapporter ces nòms
aux objets qu’ils expriment, c’est ce qu’onappelle
connoítre les étoiles & les constellations.Quelques-unes sont si aisées à reconnoître, qu’il
fufîìt d’en désigner la figure, pour qu’un observteur
seul & isolé puisse les distinguer, mais elles sont
ên petit nombre ; aussi les seules constellations dont
il íòit parlé dans le livre de Job, dans Homère
& dans Hésiode, sont la grande ourse, le-bouvier,
orion,'se grand chien, les hyades, les pléiades &
le scorpion ; parce que ce sont véritablement les
plus faciles à reconnoître , & celles dont la forme
esl la plus frappante. . . ,^..En panant de ces constellations faciles à reconnoître
, on peut trouver toutes les autres par des
aligneìnens que je vais expliquer en détail ;on doit
Être d’abord prévenu que ces alignemens né
fauroient avoir une exactitude & une précision bien
rigoureuses ; mais, quand il ne s’agit que de reconnoître
la forme d’une constellation i il suffit que
les alignemens indiquent à-peu-près le lieu où elle  ;
est, pour qu’on ne prenne jamais une constellation
pour l’autre.On voit dans la fig. z la forme de la grande
ourse, composee de sept étoiles de seconde grandeur ;-cette
constellation se voit, en tout tems, elle
est dans le méridien au, plus haut du ciel, &
presque sur notre tête à neuf heures du soir au
commencement de mai ; Ia direction d’une ligne
tirée par les deux dernières étoiles du quarré,
marquées * _& £ indique Tétoile polaire, qui est :
toujours sensiblement à la même place, & autour ; ?
de laquelle toutes les autres semblent tourner.ArSurus, qui esl la principale étoile du bouvier, ■
est une étoile de la- première grandeur, indiquée
par la queue de la grande ourse, dont elle n’est
éloignée que de 31 degrés. Les deux dernières. étoiles
 de la grande ourse { & , », (fig. z)  forment
une ligne qui va presque se diriger vers arSurus:
Cajsiopée est une constellation directement, opposée.
à la grande ourse, par rapport à Tétoile polaire,
en sorte que la ligne ou íe cercle qui va du milieu
de la grande ourse ou de Tétoile e, par Tétoile
polaire, va passer au milieu de caffiopée, de l’autre
côté du pôle ; elle est formée de six à sept étoiles
en forme d’un Y, ou, si l’on veut, d’une chaise
renversée ; cette forme est assez équivoque, mais
les étoiles de caffiopée se font suffisamment remarquer,
plusieurs étant, de la seconde grandeur.La petite ourse est une constellation qui a presque
Ia même figure que la grande ourse, & qui lui est
parallèle, mais dans une situation renversée ;
Y étoile polaire qui est de la troisième grandeur,
fait Textrémité de la queue ; les quatre étoiles
fuivanies sont’fort petites, n’étant que de la quatrième
grandeur, mais les deux dernières du carré
sont encore de troisième grandeur ; on les appelle
gardes de la petite ourse ; elles sont fur la ligne
menée par le centre du carré de la grande ourse,
perpendiculairement à ses deux grands côtés.Dans la situation de la sphère que nous venons ■
de supposer, on voit encore ,deux étoiles de la
première grandeur ; la lyre & la chèvre, Tune à
J’oiient, l’autre à Toccident  ; fur une ligne horizontale
menée par Tétoile polaire, perpendiculairement
à celle de la grande ourse à caffiopée.Si c’est dans unelbirée d’hiver qu’on observe, au
mois de janvier ou de février, & qu’on soit dans un
lieu dégagé, vers lés sept ou huit heures du soir,
on verra du côté du midi la grande constellation
d’Orion ; elle est formée de trois étoiles de la
seconde grandeur, qui sont fort près Tune de
l’autre fur une ligne droite, & dans le milieu d’un
très-gránd quadrilatère ; on en voir la forme dansla
figure 3 de nòs planches- d’Astronomie ; & quand
je ne Taurois pas donnée, il est impossible de
méconnoître cette constellation fur les caractèresque
je viens d’indiquer.. -Ces trois étoiles qu’otì appelle le baudrier-d’orion^
vulgairement les trois rois ou le râteau, indiquent
par leur direction, d’un côté sirius, & de l’autre
les pléiades. Sirius, la plus belle étoile,du ciel,
se fait remarquer par fa scintillation & son éclat ;
elle est du côté de Torient ou du sud-est, par rap-'
port à orion. Les pléiades sont du côté de Toccident
, en tirant vers le nord ; c’est un grouppe
d’étoilés accumulées qui se distingue facilement :
il est d’ailleurs. for le prolongement de la ligne
menée de íirius par le milieu.des étoiles du baudrier-d’orion
 ; & la direction de cës trois étoiles
du baudrier, qui tend presque vers les pléiades
ou un peu plus au midi,, les fera connoítre aisément
 ; elles font fur le dos du taureau.Aldébaran , qui forme Toeil du taureau, est une
étoilé de la première grandeur , située fort près,
.des pléiades, fur la ligne menée de Tépaule occi-,
dentale d’orion 7.-aux pléiades. Procyon ou le petit
chien, est une étoile, de Ia première grandeur,
située au nord de sirius, & plus orientale qu’orion ;
elle fait avec sirius & le baudrier - d’orion, un
triangle presque équilatéral, & cela suffit pour la
distinguer. …'.. Les gémeaux font deux étoiles de la seconde
grondeur, assez proches Tune de l’autre, situées
dans le milieu de l’espace qu’il y a entre orion
& Ia grande-ourse. On les distinguera encore par
Ie moyen d’orion ; car en tirant une ligne de
rigel ou lì d’orion, qui est la.plus occidentale &Con con 4írIa plus méridionale de son grand quadrilatère, par
Tétoile l, qui est la troisième ou la plus orientale
des trois du baudrier, elle se dirige auffi vers les
deux têtes des gémeaux. Enfin les deux premières
étoiles de la queue de la grande-ourse {, £, avec
la diagonale du carré, menée par t & /2, forme
une ligne qui va encore se diriger vers les deux- têtes des gémeaux, après avoir passé fur une des
pattes de la-grande-ourse : cette même ligne, audelà
des tètes des gémeaux , passe fur Tes pieds.
des gémeaux , qui sont quatre étoiles fur une ligne
droite perpendiculaire à la première. Enfin la
ligne tirée de la grande-ourse aux gémeaux, étant
prolongée au-delà des pieds des gémeaux, aboutit
enfin à l’épaule orientale & la plus boréale du grand
quadrilatère d’orion.La ligne menée de Rigel par Tépaulë occidentale
d’orioH y, va rencontrer, vers le nord, la
corne australe du Taureau ? , de la troisième gran"deur, à même distance de y d’orion que celle-ci
Test de rigel ; c’est environ i4d. La corne boréale
du taureau (3 est de seconde grandeur ; elle est sur
la ligne menée par l’épaule orientale d’orion « &
par là corne australe ?-, à huit degrés de celle-ci :
Técliptique passe entre les deux cornés du taureau.Le Lion peut se reconnoître par les deux étoilesfrécédentes * & £ du carré de la grande - ourse
fig, z)  ; car ces deux étoiles qui nous ont servi
à trouver Tétoile polaire du côté du nord, indiquent
par leur alignement le lion du côté du
midi, à 45d de la grande-ourse.: le lion est Un
grand trapèze, où l’on remarque fur-tout une
étoile de la première grandeur, appellée Régulas
ou le coeur du lion ; elle est fur la ligne menée
de rigel par procyon, mais à 37^ de celui-ci ;
ainsi, Ton a une seconde manière de la reconnoître.
La queue du lion /2 est une étoile de la
seconde grandeur, située un peu au rnidi de la
ligne qui va de regulus à aréfurus ; elle est à i 5d de
regulus vers Torient.Le cancer ou Y écrevisse est une constellation formée
de petites étoiles qui sont difficiles à distinguer
: la nébuleuse du cancer est un amas d’étoiles,
moins sensible que celui des pléiades-, ori le rencomre
à-pèu-près en allant du milieu des gémeaux
au, coeur du- lion, ou dé procyon à la queue de
la grande-ourse. .Au midi des trois étoiles du baudrier-d’orion,
on voit une traînée d’étoiles qui forme ce qu’on
appelle Yépé'e & la nébuleuse d’orion : la direction
de ces étoiles, en passant fur Tétoile s an milieu.du baudrier, va passer fur la corne australe £ dutaureau-, & ensuite fur le milieu du Cocher ; c’estun grand pentagone irrégulier, dont la partie la1 plus septentrionale a une étoile de la premièregrandeur, appelleé/a chèvre : on rencontre austi. la chèvre par le moyen d’une ligne menée fur les
deux étoiles <f & * les plus boréales du carré deU. grande-ourse.Le bélier, Ia première des douze constellations
du zodiaque, est formée principalement de deux
étoiles de la troisième grandeur , assez voisines
Tune de l’autre, dont la plus occidentale fl est
accompagnée d’une plus petite étoile de quatrième
grandeur, appellée y, ou la première étoile du
bélier ; on reconnoî 1 cette constellation par une
ligne menée de procyon à aldébaran, qui va se diriger
vers le bélier, $6d plus loin qu’aldébaran.Perfée est composé de trois étoiles, dont une
de la seconde grandeur, qui forment comme unarc
courbé vers: la grande-ouifc ; c’est la ceinture
de perfée : la ligne tirée de Tétoile polaire aux
pléiades, passe fur la peinture de perlée, & suffi-t
pour la reconnoître ; mais on y peut encore employer
un autre alignement,. celui des gémeaux
& de la chèvre, dont Ta ligne se dirige-.vers, là
ceinture de perfée. La ligne menée du "baudrierd’orion
par aldébaran, va fur la tête de méduse 'JS-J
que perfée tient dans fa main. Cette étoile^ nommée
auffi algdl, est ordinairement de seconde Grandeur
, mais quelquefois de 4e.Le cygne est une. constellation fort remarquable "
-■'où il y a une étoile de la seconde grandeur, &
qui. a lá forme d’une grande croix : la ligne me- .
née des gémeaux à Tétoile polaire, va rencontrer
ie' cygne de l’autre côté, & à pareille-distance de
Tétoile polaire ; il y a des tems de Tannée où on
les voìt en même-tems fur Thorizon. Nous donnerons
ci-après un autre alignement pour hk
cygne.Le carré dé Pégase est formé par quatre étoiles
de seconde grandeur ; la plus boréale des. quatre
de ce carré, forme la tête d’andromède : JîHiigne
tirée des deux précédentes de la grande-ourse .£ & *
par Tétoile polaire , va passer .au-delà .du pôle fur
le milieu du carré de pégase. -La ligne menée du
baudrier-d’orion par le. bélier, va fur la.tête d’andromède:
la ligne menée des pléiades par le bélier,'yâ
fur Tailë de pégase y, algenib , qui est une
des quatre du carré ; les deux autres sont à Tocpident
 ; la plus boréale des occidentales eûpscheat ;
la plus mériodionale * ou markab.Le dragon est situé entré lá lyre & Ia petiteourse
, où les quatre étoiles de fa tête font un losange
assez visible ; fa queue est entre. Tétoile
polaire & le carré de la grande-ourse. La ligné
menée paf les deux gardes de la petite-ourse £ & >, va
 se diriger vers Tétoile » du dragon. Cette étoile
est entre 9 plus méridionale, _& l plus boréale,
fur une même ligne qui se dirige presque vers le
pôle de Técliptique, & un peu plus loin vers <r & £
du dragon, pour aller traverser ensuite la constellation
de céphée entre £ & « .L’une des diagonales du carré de pégase se dirige
au nord-ouest vers la queue du cygne.« ;Tauíre
diagonale du carré de pégase se dirige au nordrest
vers la ceinture de perfée ; elle passe d’abord vers ,
Tétoile 0 de la ceinture d’andromède, & ensuite
vers Tétoile y au pied d’andromède : ces deux étoilesFffijAt->. CON CON
i£ & y , de seconde grandeur, divisent èn trois
parties égales l’espace compris entre la tête d’an•
dromòde~& la ceinture de perfée ; la ligne qui les
joint passe entre caffiopée & le bélier.
 ; Les constellations qui paraissent le soir en été,,
•n’ont pas des caractères auffi marqués que celles
d’hiver ; mais on les reconnoîtra par le moyen des
•précèdenres. Quand le milieu de la queue de la
grande ourse 011 Tétoile ? est dans le méridien au•desius
de Tétoile polaire ;, & au plus haut du ciel,
-ce qui arrive à neuf heures du soir à la fin de mai,
on voit Tépi de la vierge dans lé méridien du côté
du midi, à 31 ° de hauteur à Paris ; c’est une étoile
:de la première grandeur. La diagonale du carré
de la grande ourlé menée par * &L y, va marquer
 ;auffi à-peu-près cette étoile., quoiqu’à la distance de
68.degrés. Enfin, cette étoile fait à-peu-près un .
triangle équilatéral avec àrcturus & la queue dUlion
, dont elle est éloignée d’environ 33' 1.On voit alors un peu à.droite & plus bas que
Tépi de Ia.vìerge, un trapèze formé parles quatre',Îírincipales étoiles du corbeau, qui sont auísi lùr
a ligne menée par la lyre & Tépi de la vierge.La ligne menée des dernières étoiles, du carré
de. la grande ourse -r & y, par le coeur du lion,
regulus, va rencontrer à 22 degrés-plus ;au midi,
le coeur de Thydre ; ía tété est au midi de Técre- ;
visse, entre procyon & regulus, ou un peu'plus :
méridionale. La coupe est entre le corbeau &
Thydre : Thydre s’étend depuis le petit chien-jusqu
au-dessous de Tépi de la yierge.
■ La lyre est une étoilé de la première grandeur,
Tune des plus brillantes dé tout le ciel, qui fait,
presque un triangle rectangle avec àrcturus &
Tétoile polaire, l’angle droit étant vers Torient à
■la lyre.La couronne est une petite constellation. située
près d’arcturus, fur la ligne menée- d’arcturus à
la lyre ;. On la reconnoît facilement par les sept
étoiles en forme de demi-cercle dont elle est composée
 ; il y en a une de la seconde grandeur : les
deux premières étoiles de la queue de. la grande
ourse s &'£, forment Une direction qui va rencontrer
auffi la couronne." V aigle, contient fur-tout une belle étoile de la
seconde grandeur, qui est au midi de la lyre &
du cygne ; on la dislingue facilement, parce qu’elle
esl entre les deux autres étoiles 9> & y de troisième
grandeur, qui forment une ligne droite avec
elle, & qui en sont fort proches.Le grand cercle ou la ligne qui passe par regulus
&Tépi de la vierge, c’est à-peu-près 1 écliptique,
va rencontrer plus à Torient la constellation.d’u scorpion
, qui est fort remarquable ; elle est composée
de quatre étoiles au front du scorpion, dont une
est de la seconde grandeur, qui forment un grand
arc du nord au sud, & d’une étoile plus orientale qui
 est comme le centre de Tare ; cette étoile est
& la première grandeur, & s’appelle antarcs oule coeur du scorpion. Les étoiles du front, en com.
mençant par le nord , sont /3, i-, m 7p.La balance contient deux étoiles de seconde grandeur
j qui forment les deux baffins de la balance,
dont la ligne esl à-peu-près "perpendiculaire fur Ie
milieu de celle qui est menée depuis àrcturus jusqu’au
front du scorpion, c’esl-à-dire, qu’elles font
placées dans le milieu' de Tintervalle, quoiqu’un
•peu ài'occident de cette ligne :Je bassin austral
est entre J’épi de la vierge & antarès, toutes trois
étant fort près de Técliptique : il y a 21 degrés
entre Tépi & le bassin austral, & 25 entre celle-ci
& antarès.Lesagittaire est une constellation qui fuit le scorpion,
c’est-à-dire, qui est un peu plus à Torient ;
elle esl fur la direction de 1 épi de la vierge &
^d’aiitarès ; qui fuit à-peu-près i écliptique. Lesagittaire
contient plusieurs étoiles de troisième grandeur
qui forment un grand trapèze, & deux étoilesA
du trapèze en forment un plus petit avec deux
autres étoiles ; mais ce second trapèze est dans un
sens perpendiculaire au premier : cette constellation
esl auffi marquée par une ligne menée depuis
lë milieu du.cygne"fur le milieu de Taigle ; car
-le sagittaire est environ 35° au midi de Taigle,
comme le cygne est au nord de Taigle. Le sagittaire-est
encore indiqué par-la diagonale du carré
■de pégase, prolongée du côté-du midi ; c’est cette
diagonale qui, prolongée du côté du nord , indi- .
-quoit la ceinture de perfée.Le cercle mené depuis-antarès jusqu’à Tétoile
polaire, traverse d’abord la constellation d’Ophiucus
ou du serpentaire, & plus haut rencontre celle
d’Hercule. Ces deux constellations étant un peu difficiles
à débrouiller, je vais les suivre avec quelque
détail. La ligne menée depuis antarès jusqu’à
la lyre, passe. entre les deux têtes d’hercule &
d’ophiucus, qui font deux étoiles de seconde grandeur
, fort proches Tune de l’autre, dont la ligne
se dirige vers "la couronne. La plus méridionale
& la plus orientale des deux, esl la tête, d’ophiucus ;
la ligne menée par ces" deux têtes v'á rencontrer
 y d’hercule 13 degrés plus loin , & Tétoile
£ d’hercule esl à 3 degrés, au nord-est de 7.. ,
La ligne menée de y à j8 d’hercule, va rencontrer
i d’hercule vers le nord , & cette ■ ligne -va
fur u du serpent vers le sud-ouest ; celle-ci forme
auffi un triangle équilatéral avec la tête d’hercule
& là couronne. La ligne tirée de la tête d’ophiucus
au bassin austral" de la balance , passe finies
étoiles £ & <f , Tune de la quatrième grandeur,
Tautre.de la troisième, qui sont à id f Tune
de l’autre,-sur une direction perpendiculaire au
milieu de cette ligne : Tétoile ï est Ja plus septentrionale
& la plus occidentale. Ces étoiles <*■■& f se
dirigent au sud-est vers { au genou occidental
d’ophiucus, qui est à 7 degrés \ des, & presque
vers » au genou oriental qui est 9 degrés ì plus
loin que ?, du côté du nord-ouest ; ces deux étoiles
et ; & j se dirigent un peu au-dessoús- de- « duCon , c o n 413serpent ; lte grouppe de ces deux étoiles J- & . d’ophiucus,
fait à-peu-près un triangle équilatéral
avec $ de la balance ou le bassin boréal, & « du
"serpent ; près de celle - ci est * du serpent ^degrés
{- au nord - ouest, & £ qui est 2 degrés au
sud-est. La direction de ces trois étoiles indique
encore  ? & * d’ophiucus, qui sont à- 10 degrés
' de' du serpent. Les étoiles £ & y à Tépatile orientale
d’ophiucus, sont fur. la ligne menée de la tête
d’hercule à celle du sagittaire, sur le même méridien
que la tête d’ophiucus ; i ? est à 8 degrés,
&y à 10 degrés pìus au midi que la tête d’ophiu.
pus ; leur direction passe entre les deux têtes d’ophiucus
& d’hercule. .La ligne menée de la tête d’hercule à celle
.d’ophiucus, se dirige vers e, extrémité de la queue
du serpent, qui est à 21 degrés de la tête d’ophiureus
vers Toccident ; c’est une étoile changeante.
'La ligne menée des étoiles les plus orientales de
la Couronne , qui regardent Ia lyre jusqu’à « du
serpent, passe sur la têre du serpent, entre y & /3 de
- troisième grandeur ; çelle-ci est la .plus occidentale
, des deux. Le pied occidental’d’ophiucus est entre
antarès & /S, ou la-boréale au front du scorpion ;
".son pied oriental esl entre antarès 6k y., qui est
la supérieure & Toccidentale, ou précédente de
T’arc du "sagittaire ;-ses deux pieds sont fur Técliptique
même, & la lune rencontre quelquefois les
étoiles au pied du serpentaire.Le capricorne est marqué par le prolongement
de la ligne qui passe par la lyre & Taigle : il y
a deux étoiles de troisième grandeur « &/2, à deux
degrés Tune de l’autre, placées fur se prolonge■
ment de cette ligne ; elles sont à la têre du capricorne
 ; & à 20 degrés de-là, du côté 'de Torient,
deux autres étoiles y & .^/situées de Torient
à Toccident à7deux degrés l’une de l’autre, marquent
la quëUe du capricorne.
•" Fomalhaut, ou la bouche dû Boisson austral,
étoile dé la première grandeur, est indiquée par.
Ja ligne menée: de Taigle à' la queue du capricorne
, & prolongée 20 degrés au-delà.Le Dauphin est une petite constellation située
environ 15 degrés à Torient de Taigle ; elle esl
formée par un loíànge de quatre étoiles de la
troisième grandeur.Le verseau- est désigné par une ligne menée de
-la lyre fur le dauphin, prolongée vers le midi,
 ; à la. même-distance du dauphin que le dauphin
de Taigle, c’est-à-dire, environ à 30 degrés : ie
verseau est un peu à Torient de cette ligne. En
allant du dauphin.à fomalhaut, òn traverse dans
. toute fa longueur la constellation du verseau, &
Ton passe d’abord entre les deux épaules « & jg,
qui sont deux étoiles de .troisième grandeur, à 10
degrés Tune de l’autre, & les plus remarquables
de toute cette constellation. " ■La Baleine est une grande constellation située au
midi du bélier, au-dessous"de Tespace qui est entre
les pléiades & pégase. La ligne menée dç la ceintured’andromède entre les deux étoiles du bélier,
va passer fur Tétoile* à la mâchoire de la baleine,
qui est une étoile de la seconde grandeur, à 25
degrés des deux cornes du-bélier. La ligne menée
de la chèvre par Jes pléiades., va passer aussi
vers a. de la baleine. Lá ligne menée par aldébaran
& la mâchoire de la baleine, va paíscr fur s ou
la queue de la baleine, autre étoile de seconde
grandeur, qui est à 42 degrés plus loin, tout près
de 1 eau du verseau.Les poissons, qui forment le douzième signe du
zodiaque , sont peu.remaquables dans le ciel : l’un
des poissons est placé le long du côté méridional
du carré de pégase, sous * & y de pégase ; l’autre
poisson est placé à Torient du. carré de pégase,
entre la tête d’andromède & la tête du bélier.
L’étoile « , la plus remarquable de cette constellation
,eh\ le noeud du lien des poissons, la feule
..de la troisième grandeur ; elle est située fur la
ligne menée du pied d’andromède par la tête du
bélier, & fur la ligne menée des pieds des gémeaux
par aldébaran, à 40 degrés à Toccident de
cette dernière étoile.-Je ne conduirai pas plus loin ce détail des constellations
 ; les autres étant plus petites & moins
remarquables, on aura besoin, pour les bien distinguer,
du secours des cartes célestes : je me contenterai
d’indiquer sommairement leur position. Le
lièvre est une constellation située au midi d’orion ;
la colombe est au midi du lièvre ; le centaure , au
midi de la vierge ; le loup, au midi du scorpion ;
le navire, au midi du lion ; antinoïis , au midi de
Taigle ; le petit cheval, entre le dauphin, le verseau
& le pégase ; le grand triangle, le petit triangle
& la mouche , sont entre la ceinture d’andromède
& les pléiades ; Yéridan , entre rigel ou le pied
d’orion, la baleine & sirius. ; la chevelure de bérénice
, entre la queue du lion & la queue de la
grande ourse ; la fleur-de-lys , entre le bélier & la
tête de méduse ; le lynx , entre les gémeaux, la
grande ourse & orion ; la licorne , au midi de
procyon , entre orion & Thydre ; le petit lion ,
au nord du lion , & le sextant au midi du lion ;
le lézard, entre le cygne & andromède ; Ia girafe
& le renne , entre ía grande ourse & caffiopée ;
les chiens de châsse , fous la queue de Ja grande
ourse, entre cette constellation & cellè du bouvier ;
la flèches le renard & Y oie , au midi de la Ivre
& du cygne, ou au nord de Taigle & du dauphin ;
le mont Ménale , entre le serpent & la vierge ; le
rameau ou cerbère, dans la main d’hercule ; Y écu
de sobieski, entre le serpent & antinoûs.Après avoir appris à connoítre le pôle du monde,
on doit étrëcurîeux de distinguer auffi le pose de
Técliptique, puisque c’est un "des points les-plus
remarquables dans le.eiel. Le pôle boréal de Técliptique
est situé fur-la ligne menée par les deux suivantes
y & S- de la grande ourse ; il fait un triangle
presque équilatéral avec la lyre & « du cygne ; il
est auflì -sur la ligne menée par les deux pré.cé-
dentés du carré de la grande ourse & par les gardes
de la petite ourse, 3 degrés au-delà de Tétoile w du
dragon qui est à-peu-près fur la même ligne que
les étoiles 6 , » , ? , du dragon, dont la direction
s’étend de caffiopée à àrcturus. « -Enfin le
pôle de Técliptique fait un triangle rectangle &
isocèle avec Tétoile polaire & £ de la petite ourse,
qui est la plus voisine de Tétoile polaire des deux
dcrmères de la petite ourse, Tanglè droit est à
Tétoile .6.■Je pense que, pour mettre le lecteur à portée
d’estimer èn. degrés les dislances des étoiles, il
.suffit de rapporter ici en nombres ronds les distances
de quelques-unes les plus remarquables. La
grande ourle a 26 degrés de longueur depuis a jusqu’à
a ;•■'la diagonale d’orion, depuis rigel jusqu’à
Tenaille orientale, est de 19 degrés ; les épaules
font distantes de sept degrés ; les deux têtes des
gémeaux de quatre degrés |. Ou peut trouver un
grand nombre de ces distances exactement mesurées
dans les livres de Tycho, d’Hévélius & de
Tlamsteed ; mais on s’en sert fort peu actuellement.
II faut auffi se rappeller qu’on ne. doit examiner
ces distances que quand les étoiles sont un
peu élevées : les constellations paraissent plus
grandes quand elles sont voisines de Thorizon,
par Terreur d’un jugement involontaire que nous
lâcherons d’expliquer à Tarricle DIAMÈTRE.Explication des fables par les constellations. Une
des plus belles applications de T Astronomie, est
celle qu’a faite en 1779 M. Dupuis, professeur
au collège de Lisieuxà Paris, en faisant voir que les
fables anciennes & la mythologie de presque tous
les peuples du monde, n’est qu’une allégorie astronomique.
Cette curieuse découverte fut annoncée
dans le Journal des Savans de z779 , & détaillée
dans un mémoire qui fait partie du 4e volume de
mon Astronomie : on en verra divers traits aux articles
de chaque constellation, & au mot ZODIAQUE
, où nous expliquerons les douze travaux
d’hercale par lès constellations. (D. L.) CONSTRUCTION, f. f. ( Géom. ). Ce mot
exprime, en Géométrie, les opérations qu’il faut
faire pour exécuter la solution d’un problème. II
. se dit aussi des lignes qu’on tire, soit pour parvenir
à la solution d’un problème, soit pour démontrer
quelque proposition. Voyez PE.OBL.EME, &C.
'La construSion d’une équation , est la méthode
d’en trouver- les racines par des opérations faites
avec la règle & le compas, ou, en général, par
la description de quelque courbe. Voyez EQUATION
& RACINE. NOUS allons donner d’abord la
construSion des équations du premier & du second
degré.Pour construire une équation du premier degré,
il n’y a autre chose à faire que de réduire à une
proportion la fraction qui exprime la valeur de
Tinconnue, ce qui s’entendra très-facilement par
les exemples suivans.T." Supposons qu’-on ait 3-=:^-, on en tirera
c : a—b : x ; ainsi , * sera facile à avoir par
la méthode de trouver une quatrième proportionnelle.2.° Qu’on ûtx=^~-, on commencera par. ^- d c .construire ^-à Taide de la proportion d \ a-=.b\~. Ayant trouvé ^, & l’ayant nommé g pourabréger, on fera la proportion e * g == c \ x ;
c’esl-à-dire, que Ton aura x par la quatrième proportionnelle
à x, g, e. .3. 0 Que Ton ait x - ^-~- • comme a a—bb■ est Ie produit de a—b par a-f-t, on n’aura autre
chose à faire qu’à construire la proportion c : a —i=. a -j- b : x.4.° Que x = — — I par Ie premier cas ;ad. '.. aba1b0 i- ' ron trouve une ligne £=: -r = -7-5 , & une ligne A
.= ■£, De plus, par le même cas, on construitaussi une ligne i = -4 ; donc x, qui esl alors =g>— i, sera Ia différence dès deux lignes g & t.
construites par ces proportions.ç.° Que x == -———— ; on cherchera d’abord— , & on fera h=f -{-—, ce qui donnera a hr . ò CJ. a*b + bcd.=zaf-\-,cg, & par conléquent 1= —-.ainsi, la difficulté fera réduite au cas précédent., _ aïb — bad ,. , as6." Que x = -— : on cherchera —- , &\ --x-- as\bc ' bon fera -z- -J- c = h , ce qui donnera a/-f- b c ===.ó /,, <*x b — b a d a ?-td
b h, & par conléquent x = —=3 •d’où Ton tirera A ; a=a—^d\x..„. a^+bb7,° Si x = : on construira le trianglerectangle ABC (Fl. Algèbre, fig. 1 ) , dont le côté ■
AB soit a, B C, b, & Thypothénuse sera alors\s aa-\-bb : faisante s=m, on auraar=—.& par conséquent c ; m=m * x.g. » Siz= '^~^, for AB=^a (fig. z) ,on
décrira un demi-cercle, & l’on prendra AC=b,
ce qui donnera B C=J/ a a — bb ; faisant donq
CB = m, on aura x ==— , c’est-à-dire, c * m ;. co n -t > ' "c o n’ 4rç9. ÌJI x= ——__— on cherchera —, &
l’on fera h = -i^ -f- c j ce qui donnera t c -f a/=
ia, & Par conséquent *== flì±±Lá= î !±îf '
Trouvarit alors entre AC=c (fig. . ?) , & CTE^a 7
la moyenne proportionnelle CD —[Vcd, & fusant
CE = a, on aura DE=\/ a~ -\-cd, qui,
étant nommée m, donnera x = ^ : & partant
h ' m =2 m " x.II est à remarquer que les construaions , que
nous venons de donner des trois derniers exemples,
ne sont que pour plus ; d’élégance & de simplicité ;
car on pourroit les construire, & on en
a déjà construit plusieurs autrement ci-dessus, n.os 2
&5.La construSion des équations du second de°ré
lorsque Tinconnue est délivrée , ne demande pas
d’autres règles que celles qu’on vient de donner.
- Qu’on ait, par exemple, xz~ab, on en tirera
x = \/ ab' que Ton construit en trouvant la
moyenne proportionnelle D C entre A C == a &
3 C== 6.Si Téquation a un second terme comme xx-\-axz^'àzbb, qui donne xz=-^-\àáz\/'^ aadzbb,toute la difficulté confinera à construire |/iaa^f-£íou J/^-aaj— bb. Pour le -premier cas , on fera
tomme dans les construSions précédentes (fig. z ) ,
A B=j a & B€=^b , ce qui donnera A C =s\s \da -\-bb. Dans le second, on fera (fig. z) 
AC=b, 8LA.B={aÍce epi donnera CB =V\a ?--b\ ■Les -équations du troisième degré peuvent se
construire, i."par Tintersection d’une ligne droite
& d’un lieu du troisième degré. Par exemple, soit
a:' -f 211 —-bbx-1-cì = o ; on construira le lieu
ou la courbe EMB'CF ( fig. 4-,. Algèbr. )  dont.
Téquation soit x% -f- aï' — bbx Âr^^^y, en
prenant les variables A P pour x & P M pour y ;
& les points, B , C, D > où cette courbe rencontrera
son axe, donneront les racines AB, AC-,
AD de Téquation ; car, dans ces points, y
eft=Oj puisque y exprime, en général, la dislance
P M de chaque point ils de la courbe à son axe
AD : par conséquent on a a- 3 ^j-a.r*— bbx-{-c}
== 0-,- í.°, lorsque x eû = AB : Z." lorsque x =
AC : 2° loïîqMéx.=AD. Dónc les valeurs de
Tinconnue x , propres à rendre x1 -f- tixx — bbx.
-j- CÏ =0., font AB , A Ç, AD. Les racines de
Téquation seront positives ou négatives, selon que
' les points B , C, D, tomberont d’un côté ou de
l’autre par rapport à A ; & si la courbe ne coupoit
pas son axe eri trois points, ce seroit une
marque qu’il y auroit des racines imaginaires,Je rapporte ici certe méthode de construire leséquations du troisième degré, parce qu’elle peuts’appliquer généralement aux degrés plus élevés àTinfini., & qu’elle est peut-être auffi, commode &■ auffi simple qu’aucun autre. Ainsi, en général,n n— 1 71—2, nTéquation ar- -j-a a: ~\-bbx -f &e. -J-.e =0 'peut se construire par la courbe dont Téquationn /1—1 n—2 - riseroit x -\-ax ' -\-bbx -f&e.-f-e —y,
dont ses intersections avec son axe donneront les
racines de Téquation. Ces sortes de "courbes où
Tindéterminé y ne monte qu’à un degré, s’appellent
courbes de genre parabolique. Et je dois,
remarquer, ici que M. Tabbé de Giia s’est servi
avec beaucoup de sagacité de la considération de
ces sortes -de courbes^, pour découvrir & démontrer
de fort beaux théorèmes fur les racines des
équations. Voyez RACINE ; voyez auffi les Mémoires
de l’Acad. des Scienc. de Paris , de 134.1 ,
& Y article COURBE. .Mais, en général, la méthode de résoudre ses
équations du troisième & du quatrième degré confisse
à y employer deux sections coniques, & ces
deux sections .coniques doivent être les plus íìm-pies
 qu’il se puisse ;. c’est pourquoi on construit
toutes Ces équations par le moyen du cercle & de
la parabole. Voici une légère Jdéè de cette méthode.
Soit proposé de construire xl=bbc, on
suppose d’abord x* = b b c x., en multipliant Ie
tout par x ; ensuite on suppose xx=.by, qui-est
Téquation d’une parabole, & on a par la substitution
x* == b b y y = b b c x', & y y = c x, qui est• Téquation d’une parabole. Ainsi, on pourroit résoudre
le problême, en construisant.les deux paraboles
B A C , DA (fig,.s ) , qui ont pour équation
y y = c x & x x = b y ;. le point d’intersection
C de ces paraboles dorineroit la valeur 0 C.
de Tinconnue x. Car Tinconnue x doit être teb'e
que x x == b y & que yy==ci:or nommant eh• général A P, x, P R, y, ouA S, y, SP,, x ;
il, n’y a .que le seul point C où l’on ait à-la-fois
x x == b y & y y =c x. Mais comme le_ cercle est
plus facile à construire que la parabole,, au lieu,
d’employer deux, paraboles, on n’en emploie
qu’une ; par exemple, celle qui a pour équation, xx=±by, & on combine ensemble les deux équa-"
rions xx ±=b y & y y ==c x, de manière qu’elles
donnent-une équation au cercle ; ce qui se fait en
ajoutant une de ces équations à l’autre ou en l’en retranchant,
 comme on le peut voir expliqué plus
au. long dans í'application de T Algèbre à ía Géométrie
de M. Guïsnée, &.dans le neuvième livré
des sections coniques de M> le marquis’de I'Hôpital.Par
exemple, dans le cas dont il s’agit ici^
on aura çTr—^ xx = yy— b y qui est une équation
au cercle ; & si ôn construit ce cercle, -ses
points d’intersectioh'avec la parabole qui a pour
équation xx=.by 3 donneront les racines’ de Téquation.■4.16 CON . , C O N .
On voit par-là que poUr construire une équation
du troisième degré, il faut d’abord, en la
multipliant par x , la changer' en une du quatrième
: on peut en ce cas la regarder comme une
équation du quatrième degré, dont une des racines
seroit = o.. Car soient x = a, x = b,, x = c ,
les racines d’une équation du troisième degré, x~>-\-
p x x -f- q x -f- r = o , si on multiplie cette équation
par -r, on aura x*-\-pxl -\-qxx -\-rx- o, dont
les racines seront x = o , x = a, x^=b , ~x = c.
Auffi lorsque Téquation est du troisième degré,"Téquation
 au cercle qu’on en déduit n’a point de terme
 constant ; d’où il s’ensuit qu’en faiíant dans
cette équation y = o,xefí. auffi = o, V. COURBE
ô- EQUATION ; & comme dans Téquation à la parabole
xx=^by,y=:o rend auffi 1 = 0, on voit
que quand Téquation est du troisième degré, le
cercle & la parabole se coupent dans Ie point qui
est Torigine des x & des y, & c’est cette intersection
qui donne la racines: = 0 : les trois autres
intersections donnent les trois racines. C’est ainsi
qu’en Géométrie tout s’accorde & se rapproche.Les équations des degrés plus composés-se construisent
de même, par Tintersection de courbés plus
élevées ; par exemple, un lieu du sixième degré
par Tintersection de deux courbes du troisième,
qu’il faut toujours choisir de manière que leur
équation soit Ia plus simple qu’il se puisse, selon
plusieurs auteurs: ;ependant, selon d’autres, cette
règle ne doit pas être suivie.à ,1a rigueur, parce
qu’il arrive souvent qu’une courbe dont Téquation
esl composée, est plus facile à décrirequ’une courbe
dont Téquation est fort fimple. Voyez for cela l’article
COURBE, ainíì-.que fur la construSion 'des équations
différentielles. (O) CONTACT, f. m. ( Ge'om.) , point de contact,
punSum cuntaSûs, est le point où une ligne droite
touche une ligne courbe, ou dans lequel deux lignes
courbes se touchent. . - .Angle de contaS. Voyez ANGLE DE' CONTINGENCE
au mot CONTINGENCE.CONTIG.U, (Géométrie)  : deux espaces ou soJides
sont dit contigus, lorsqu’ils sont placés immédiatement
l’un auprès de l’autre.Les angles contigus, en Géométrie, fonteeux qui
ont un côté commun ; on les appelle autrement
angles adjacens , par opposition à ceux qu’on appelle
opposés au sommet, qui sont produits par la
continuation des côtés des angles au-delà de leur
sommet. Voye\ ANGLE & ADJACENT.CONTINGENCE, s. f. (Géométrie.yOn ap-~
pdle angle de contingence un angle tel que l’angle
LA B ( pi, géom. fig. 45. ) , qu’un arc de cercle
A L fait avec la tangente B A au point A, où la
ligne B A touche le cercle. Voyez ANGLE.Euclíde- a1 démontré que la droite B A , élevée
perpendiculairement sur le rayon CA, touche le
cercle en un seul point, & qu’on ne peut tirer
aucune ligne droite entre le cercle & cette tangente.De-là il.s’ensuit que l’angle de contingence est
moindre qu’un angle rectiligne , & que l’angle
que le cercle fait avec son rayon, est plus grand
qu’aucun angle aigu..La nanire de l’angle de contingence a fait autrefois
le sujet de beaucoup de disputes. Un auteur,'
par exemple, a soutenu contre Clàvius, que l’angle
de contingence- étoit auffi hétérogène aux angles
rectilignes, que la ligne Test à la surface. Waflis,
quia fait un traité particulier de l’angle de contingence,
& de celui que le cercle fait avec sou
rayon, soutient le même sentiment. ( CHÂMBERS ).
V. TANGENTE.Depuis que les géomètres se font appliqués à
examiner une infinité d’autres courbes que le cercle,
ils ont nommé en général angle de contingence
, l’angle compris entre Tare d’une courbe
quelconque," & la-ligne qui touche cet arc à son
extrémité. . -. Quant à la dispute sur l’angle de contingence,
ëlle pourroit bien n’être qu’une question de nom ;
tout-dépend de Tidée qu’on attache au mot angle.
Si on entend par ce mot une portion finie de
l’espace compris entre la courbe & la tangente,
il n’est pas douteux que cet espace nè soit comparable
à une portion finie de celui qui esl ren- '
fermé par deux lignes droites qui se coupent. Si
on veut y attacher Tidée ordinaire de l’angle formé
par deux lignes droites, on trouvera, pour peu
qu’on y réfléchisse ,.que cette idée prise absolument
& fans modification, ne peut convenir à l’angle
de contingence , parce que dans l’angle de contingence
, une des lignes qui le forme est courbe. H'
faudra-donc donner pour cet angle une définition
particulière ; & cette: définition, qui est arbitraire,
étant une fois bien exposée & bien établie,-il ne
pourra plus y avoir de difficulté. Une bonne preuve
que cette qUestion est purement de nom, c’est que
les" géomètres font d’ailleurs entièrement d’accord
fur toutes les propriétés qu’ils démontrent de l’angle
de contingence ; par exemple, qu’entre un cercle &
fa tangente on ne peut faire paffer de lignes droites ;
qu’on y peut faire passer une infinité de lignes circulaires
, 6sc. - 'M ; Neuton remarque dans lascholie du lem. xj
du premier liv. de ses principes, qu’il y a des courbes
telles, qu’entre elles & leur tangente on ne peut
faire passer aucun cercle, & qu’ainsi on peut dire
qu’à cet égard l’angle de contingence de ces courbes
esl infiniment moindre que l’angle de contingence
du cercle. Ce grand géomètre mesure l’angle de .
contingence d’une courbe en un point quelconque,
par la courbure de cette courbe en ce point,
c’est-à-dire par le rayon de sa développée. Voyez
COURBURE & OSCULATION. D’après ce principe
, il fait voir que l’angle de contingence d’une
courbe peut en ce sens être infiniment moindre
ou infiniment plus grand que l’angle de contingence
d’une autre courbe. Les courbes dans lesquelles
íe rayon de la développée est= ?à Tinfini en cer-ítainsCon c-o-isr Airtains points, ont à-ces points l’angle de contingence
= o,& infiniment plus petit que l’angle de
contingence du cercle. Les courbes, au contraire,
-qui" ont en quelque point le rayon de la développée^
o 5 ont en ce point l’angle de contingence
infiniment plus grand, pour ainsi dire, que Tangle
de contingence du cercle, parce que tout cercle d’un
rayon fini, quelque petit qu’il soit, peut passer entre
la courbe & la tangente. .Soit y = xm, m étant une fraction positive : on
trouvera que íì-m esl <|, le rayon de la développée
est infini à Torigine, & qu’il est o si m > f. V.DÉVELOPPÉE.Ligne de contingence , dans la Gnomonique , est
une ligne qui coupe lafouslylaire à angles droits,
©ans les cadrans horizontaux, équinoxiaux, polaires,
&c., la ligne de contingence est ■ perpendiculaire
à la méridienne, ainsi- que dans tous les
cadrans où- la soustylairé & la méridienne se confondent.
Cettè ligne, dáns les cadrans horizontaux,
est la ligne de section ou de rencontre du plan du
cadran, avec un plan parallèle à-Téquateur, qu’on
imagine passer par le bout du style ; Voyez SousïYLAXRE
61 GNOMONIQUE. (O) * Pour dissiper Un petit air de mystère qui reste
fur ce sujet, nous ajouterons Texplication suivante",
qui fera difparoître le merveilleux 6k rendra la chose
plus intelligible.Deux lignes qui coïncident ne font point d’angle,
& deux lignes qui coïncident ont la même position ;
celles qui ne coïncident pas ne'Teint point. Deux
cliôses qui ne font pas les mêmes, sont semblables
ou différentes. Deux lignes semblablement posées
sont parallèles ( voyez PARALLÈLE)  : donc
les lignes qui font un" angle ont des positions différentes.
On voit bien qu’il s’agit ici,"& dans tout
le reste de cet article, des angles plans. Voyez
ANGLE. . ^' Remarque. II n’est pas vrai qu’au contraire deux
' lignes qui ont des positions différentes fassent toujours
un angle. Les lignes asymptotiques ( voyez
ASYMPTOTE ) ont des positions’ différentes & ne
font point d’angle, parce qu’ellej ne se rencontrent
jamais. - '■■ ■" II en résulte que l’angle se détermine par la différente
position de deux lignes qui, prolongées s’il
est nécessaire, se rencontrent.On fait que toutes les parties d’une droite, déterminées
& considérées"çomme on veut, ont la
"même position. Auffi Euclide demande- que d’un
point donné à un autre point donné pn puisse
menër une ligne droite, c’est-à- dire , que deux
points étantdpnnés de position, la droite qui passe
par ces points est auffi donnée de position. Ensuite .
il ( dém. z )  pose pour axiome que deux lignes
droites n’enferment point un espace ( ax. 11 ) , c’està-dire
, par deux points donnés on ne peut tirer qu’une
 feule droite. La définition qu’EuclideMathématiques. TomtI}I,erePartie',donne de la ligne droite revient à celle que je
viens de donner, & qu’on peut expliquer d’une
manière populaire, en disant : La ligne droite est
celle qui,. tournant autour de deux de ses 'points f
 ;ae change point de place.Une ligne courbe n’a pas trois de ses points qui
aient la même position ; c’est ce qui fuit naturellement
de la notion que chacun a naturellement de
la ligne courbe. - ' "■Donc, à parler exactement, il n’y a d’autres
angles que les angles rectilignes (voyez
ANGLE). De-là vient que tous les géomètres déterminent
unanimement Tangle que font deux
courbes, par celui que forment leurs tangentes
( voyez CURVILIGNE ). Ainsi , Tangle sphérique
ACE (PI. de Trigon. fig. zi. ) , c’est-à-dire',
l’angle que forment les deux arcs dé cercle'j4 I C,
E G C tracés for la surface d’une sphère, se détermine
par l’inclinàison mutuelle des deux pláns
CAF, CE F ( voyez SPHÉRIQUE) , & l’inclinàison
-de ces deux plans se mesure par Tangle
que forment lès perpendiculaires-à la droite CE ,
tirées Tune dans le plan CAF, & l’autre dans le
plan C E F ; & ces perpendiculaires sont les tangentes
 ; Tune du cercle CAF,e\ l’autre du cercle
CE F. Ainsi, pour connoítre Tangle que font
les branches des courbes qui Ont un noeud (voyez
NOEUD ) en A' (planches d’Anal, fig.'42.)  , on
tire par le point A les tangentes des deux
branches, De-là vient que, par exemple , on
"dit que la cissoïde (voyez C 1 s s o ï DE j A O L
( planche d’Anal, figure 9. ) est, au point A,
perpendiculaire au. cercle générateur AN O B,
parce que Ia tangente commune aux deux branches
de la cissoïde à ce point A est A B, diamètre dp
cercle. auquel est perpendiculaire la tangente du
cercle, tirée par le même point À.Par conséquent on peut bien fixer Tangle que ?
font deux points d’une ou de deux courbes, ou
le même point considéré comme appartenant à deux
courbes ou à deux différentes branches de la même
"courbe ; mais on ne peut pas fixer Tangle que font
deuxcóUrbes, puisque les angles varient à "chaque
- point. Les courbes qui se rencontrent eh un point,
& qui ont à ce point une mêrpe tangente,' ne font
point d’angle entr'elles : mais Jes unes s’écartent
de là tangente plus lentement que les autres ; &
quand on dit que Tangle du contact formé par une
courbe & fa tangente au sommet de la courbe,
est infiniment plus petit qu’un pareil angle formé
par une autre courbe, on veut dire que. celle des
courbes de la première sorte qui se détourne le
plus de ía tangente, immédiatement après le point
de contact, s’en détourne moins que celle, des
courbes de la seconde sorte qui s’en détourne le
moins. _ ■ ■ ' -Par exemple,.Téquation aux paraboles de quelquen 7i+iordre que ce soit est a -x == y ■ Prenons pour
' ' ' GS§.
routes les paraboles d’un même ordre (PI. de Géométrie
, fig.4G ) ia même^ordonnée D F ou A Bn ' n n(y)  ; le produit a .r ou a X AD = a X RF est
constant ; donc plus a est grand , plus x est petit,
& au contraire. Si donc les courbes A E & A F
Sont deux paraboles du même ordre, en sorte qiie
le paramètre de la courbe A E soit plus petit que
le paramètre de la courbe A F, Tabscisse A K sera
plus grande que Tabscisse ^4 _D, & la parabole A E
plus courbe que la parabole A F. Ainsi, dans un
ordre quelconque de paraboles, en augmentant
leur paramètre, on aura une fuite de courbes qui
s’écarteront toujours moins de la tangente commune
 ; c’est dans ce sens qu’on dit qu’elles seront les
angles de contact toujours plus petits.A-présent que les courbes AE, A F représentent
des paraboles du premier ordre, dont Téquation
est a x—y -, & que le paramètre de la courbe
A F soit supposé auffi grand qu’on veut.Prenons des paraboles du second ordre, dont
Téquation esl b- r=zy>. ; & soit leur ordonnée commune
(y)  la même" que dans la supposition précédente
: de plus que, B G indique Tabícislë.qui correspond
à l’ordonnée y dans une de ces paraboles.
'On áu'ra donc -FB:BG=.y\:yl=b\:y.
ab2a.Quelque petit que soit V-, & quelque grand que
soit a 5 la fraction ss est toujours finie ; mais plus■ale point B s’approche du point A, plus nous nous
approchons’de-ce que nous cherchons, qui est la
position du point de lá courbe qui fuit immédiatement
le point A. t- on peut donc prendre A Bplus’petite, que -" ; & dans’ ce cas B G est plus.petite que B F ; quelque petit que soit le paramètre
d’une parabole du second ordre, cette courbe
s’écarte moins de la tangente qu’une parabole du
premier ordre, quelque grand que soit son paramètre/
C’est dans ce sens qu’on dit que si , avec
le même axe. & avec le même sommet, on décrit
des paraboles 'des. différens ordres , en passant régulièrement
de Tordre inférieur à celui qui lui est
immédiatement supérieur, on aura une suite d’angles
de contingence qui. décroîtront à Tinfini ; &
c’est dans-ce sens qu’a parlé Neuron dàn.s Tendroit
ou'on a cité ci-dessus : endroit qui se trouve au
coroll. VII. de l’cx. IV. dup.ob. V dans Y Opuscule
II du -premiei des opuscules de Neuton, que
j’ai.donnés, p.ag. 114, iij. 'Ainsi, tout le merveilleux disparoit & se réduit ]
à cette idée simple & claire, que chaque ordre de 1
lignes, chaque ligne du même òrdre & de la même
eípicc a fa courbure particulière, différente, de la <
courburc-de toute autre ligne, & que la,courbure '
des lignes d’un ordre peur approcher de l’autre
tant qu’on veut, fans que Tune devienne.l’autre , ' J
comme plus on augmente le rayon d’un.cercle,moins la circonférence devient courbé, fans devenir
jamais droite.Au reste, il est douteux qu’Euclide ait parlé de
Tangle de contact du cercle & de la tangente ; voyez ;
les remarques que Simson a mises à la fin de son
•édition d’Euçlide. C’est pourquoi mon-fils a omis -,
par mon conseil, dans son édition/de cet auteur,
Ja partie de Ténoncé de la prop. ïG du liv. iij, qui
regarde Tangle du contact. Observez que ni Euciide
ni -Apollonius, quand ils parlent d’une_tangente &
.d’un cercle ou d’une section conique, ne disent jamais
angle ; ils disent toujours lieu, espaces -rónor ).
Cette remarque est de Wallis, de ang. contaS. çapw. i..
(J.D.C.) [ CONTRACTION de la veine fluide- ( Hyd. ).
On appelle ainsi le resserrement qu’éprouve la
colonne fluide qui sort d’un vase par un orifice.
Cette contraSion diminue le produit qne Torifice
devroit donner, suivant la théorie, si tous les
point6 fluides sonoient perpendiculairement au
plan de Torifice. Nommons le produit dont nous
venons de parler , produit théorique. Dans ses
écoulemens par des orifices percés dans de minces
parois , Ia contraSion de la veine fluide diminue
le produit théorique-, dans le rapport de 8 à.5,
à-peu-près ; & dans les écoulemens par des tuyaux
additionnels, Ia contraSion de la veine fluide dimi7
nue le produit théorique, dans.le rapport de 16 ■
à 13, à-peu-près. Voyez ADDITIONNEL. J’ai
traité amplement la matière des contraSions, dáns
mon Hydrodynamique. ( L. B. ) 
' CONTRE-FOULEMENT, f. m.(HydrauL) ,
se fait lorsqu’en conduisant des eaux forcées, les
tuyaux descendent d’une.montagne dáns une gorge,
& qu’on est obligé de les faire remonter fur une
hauteur vis-à-vis,- où Teau se trouve alors contrefoulée
& forcée si vivement, qu’il n’y a que les
bons tuyaux qui puissent y résister. (K) CONTRE - HARMONIQUE (■ Ge'om.)  ; trois
noinbres sont en proportion coritr e - harmonique ,
lorsque la différence du premier. & du second est
à la différence du second & du troisième, comme
Ie troisième esl au premier. Voyez PROPORTION.
Par- exemple, 3,5 & 6 sont des nombres en
proportion contreharmonique ; car 2 *. I *' 6 . 3 ;
Pour trouver un moyen proportionnel contre-harmonique
entre deux quanfités données, là règle est
'de diviser, la somme des deux nombres quarrés
par la somme des racines ; le quotient fera un moyen
proportionnel contre-harmonique entre les deux racines.
Car soient a , b les’ deux nombres, & a: le
moyen proportionnel qu’on cherche ; on aura donc
par la définition x — a [ b — x °', b ', a ; donc a x
— aà=zbb — b x ; donc a a -f- bb-=.ax -\-bxioaa-\-bb' ' . ■ 'x ,1 + 1 • '7CONTRE - PENTE., V. CONTRE -POULESMENT. " ,CONVERGENT, adj. en Algèbre 3íe dit d’une
C.O N C O N A,« 
série, lorsque ses termes vont toujours en diminuant.
Ainsi, i, j, |, ~, &c., est une férie convergente.
V. SÉRIE , SUITE &. DIVERGENT. (Oj
' CONVERGENT : droites .convergentes , en Géométrie
, se dit de celles qui s’approchent continuellement
, ou dont les distances diminuent de '
plus en plus , de manière qu’étant prolongées,
elles se rencontrent en quelque point, au contraire
: des "lignes divergentes,. dorit.les dislances
vont toujours en augmentant. Les lignes qui sont
convergentes’ d’un côté",, font divergentes de l’autre.
Voyez DIVER.GEN ;T. ,..-..
..- Les rayons convergens, en Dioptrique , sont ceux
qui, en passant d’un milieu dans un autre.d’une
densité différente j -se rompent s’approchant l’un
yers l’autre, tellement que s’ils étoient assez prolongés
, ils se rencontreraient dans un point ou
foyer. Voyez RAYON 67 RÉFRACTION -, &c.Tous les verres. convexes rendent les rayons
parallèles convergens , & tous les verres concaves
les rendent divergens, c’est-à-dire que les uns ten-r
dent à rapprocher les rayons, & que les autres les
écartent ; & la convergence ou divergence des rayons
est d’autant plus grande, que les verres sont des
portions de plus pètités sphères, V- CONCAVE , &c.
C’est fur ces propriétés que tous les effets des lentilles,
des microscopes, des télescopes, &c., sont
fondés. Voyez LENTILLE, MICROSCOPE, &C.Les rayons p,ui entrent convergens. d’un milieu
plus dense dans un milieu plus rare, lë devien 1
nent encore davantage , & se réunissent plutôt que
s’ils avoient continué à se mouvoir'dans le même
'"milieu. Voyez .RÉTRACTION.
' Les rayons qui entrent convergens d’un milieU
plus rare dans un’ milieu plus dense, deviennent
moins convergens, & se rencontrent plus tard que
s’ils avoient continué leur mouvement dans le même
milieu.Les rayons parallèles qui passent d’un milieu
"plus dense dans un milieu- plus rare-, comme par
exemple du verre dans Tair, deviennent convergens
& tendent à un foyer, lorsque la surface dont
ils sortent a fa concavité tournée .vers le milieu le .
plus dense, & fa. convexité vers íe milieu le plus
ràre. Voyez RÉFRACTION. .'.'.'
•■ Les rayons divergens ou qui partent d’un même '
point éloigné dans les mêmes circonstances, deviennent
convergens & se rencontrent ; & à mesure qu’on
 approche -lé point lumineux, le foyer de.vient
plus éloigné : de forte que sise point lumineux
est placé à une certaine distance,..le foyer
fera-infiniment cdistant, c’est-à-dire que les rayons
•seront ;parallèles ;'.&' si on Tapproche encore davantage,
ils seront divergens. Voy. DIVERGENT ;
yoyeZ aussi CONVEXITÉ ,-CONCAVE, FOYER, &C.
. ; Si la surface qui sépare les deux milieux est
plane, les rayons parallèles, sortent parallèles,
mais à la vérité dans une autre 'direction ; & si
les rayons tombent, divergens, ils sortent plus diyêrgens ;
mais ..s’ils tombent convergens } ils sortentplus convergens. C’est tout le contraire, si lesrayons
passent d’un milieu plus rare dans un plus
dense. (O)  . ,CONVERGENT : hyperbole convergente, est une
hyperbole du troisième ordre, dont les branches
tendent Tune vers l’autre, & vont toutes : deuxvers
le même côté. Telles sont ( fig. 3Í , sed. con. ).
les branches hyperboliques AB, CD, qui ont
ont une asymptote commune. (O) … ICONVERSE, adj. en Géométrie. Quand ort
met en supposition une vérité que Ton vient dé
démontrer, pour en déduire le principe qui á
servi à sa démonstration, c’est-à-dire,-quand la
Conclusion devient principe & lé principe conclusion,
la,proposition qui exprime cela s’âppelle ía ■
converse de celle" qui la précède ;Par exemple, on démontre en Géométrie que
si les deux côtés d’un triangle sont égaux, les .
deux angles opposés à ces côtés le sont auffi ; & ,
par la proposition converse, si les deUx angles
d’un triangle sont, égaux, les côtés opposés ; à "ces
angles le íèront auffi.La converse s’appelle auffi inverse. II y a plusieurs
propositions dont Tinverse n’est pas Vraie :
par exemple, cette "proposition, les trois côtés d’un
triangle étant donnés -, on peut connoítre les trois
.angles, esl vraie & facile à démontrer,-mais, son
inverse seroit fausse ; les trois angles étajit -donnée-,
on connoit les trois côtés ; car il y a une infinité
de triangles qui peuvent avoir les mêmes angles.^
fans avoir les mêmes côtés. Voyez.TRIANGLES
SEMBLABLES. (O) ■ ' ---_ CONVERSION, f. f. On se sert, 'cn Arithmétique
, de Texpreffion , proposition par- conversion
de raison, pour signifier la comparaison de Tantécédent,.
avec la différence de Tantécédent & du
conséquent dans deux raisons égales, . "Par exemple, y ayant même raison de.2 à 3
que de 8 à 12, on en conclut ; qu’il y a auffi même
: raison de 2 à i que de 8 à 4. ; c’est-à-dirè, en
général, que, fi a ; b l l c l d, on en conclut
que a ; b — a '.', c * d-—c, cé qui est évident ;
car a d=.bc donUeTza7—acz=bc — ac,'&par
: -conséquent al b — a H c l d—c. Voyez ANTÉCÉDENT:,
CONSÉQUENT, RAISON, RAP'
PORT , &c. ( O )  " ■-CONVERSION des équations, en Algèbre -, se
dit de Topération qu’on fait lorsqu’une quantité
cherchée ou inconnue, pu une de ses parties-, étant
sous la fornie de fraction, on réduit le tout à uh
.même dénominateur,, & qu’ensuite omettant les
dénominateurs, il ne reste, dans Téquation , que
les numérateurs. Voyçz EQUATION & FRACTION.
- ..'. ;-r- . xAinsi, supposez x —b =- XXj.CC’ -f- b, xetahtTinconnue : multipliez lë tout par d, & vous aurez\ x d — b d=ixx -\- c c -\- b d. Voyez EQUATION,I TRANSFORMATION , &c. Ce terme est, aujourd’huiGggij•410 CON.' CON
peu en usages on se sert du mot de faire évanouir
les fraSions: Voyez RÉDUCTIONS. (O) CONVERSION, centre de conversion, (Méchan.) 
Voyez CENTRE.CONVERSION des degrés, en Astronomie , se
dit de Topération par laquelle on convertit les
degrés en tems, ou les tems en degrés. Le mouvement
diurne qui s’achève en 24 heures, & par
lequel 360 degrés de la sphère traversent le méridien,
étant divisé en 24 parties, chacune vaut
une-heure & répond à I5d ; car r^ sont la 24e
partie de 360. En continuant de subdiviser, on
trouve de même les parties du tems qui répondent
aux parties du cercle ; id vaut 4' de tems ;
1' de degré vaut 4"/de tems.De même pour convertir le tems en degrés,
on prendra d’abord i5d pour chaque heure ;.on
prendra le quart des minutes de tems pour en
íàire des degrés ; le quart des secondes, & Ton
en fera des minutes ; le quart des tierces de tems,
& Ton en fera des secondes de degrés.Cette pratique est fondée fur ce que les arcs de
1 equateur sont la mesure la plus naturelle du tems.
Quand le soleil est éloigné du méridien de i5d,
il est une heure' ; auffi le tems vrai ou Theure
vraie dans le sens précis & exact de l’Astronomie,
n’est autre-chose que Tare de Téquateur, compris
entre le méridien & le cercle de déclinaison qui
passe par le soleil, converti en tems, à raison de
I5d par heure : on appelle cela convertir « n degrés
les heures du premier mobile, parce que le
mouvement du premier mobile ou le mouvement
diurne des 360 degrés de la sphère, s’achève en
24 heures de tems vrai quand on ne considère
que le soleil, ou en 24 heures des étoiles quand
on ne considère que les étoiles.La conversion des degrés se fait auffi, dans certains
cas, en heures solaires, moyennes : cela suppose
qu’on prenne Z4 heures poUr 360'' 59'. 8",
on 15e 1 z 28" par heure. Les 24 heures répondent
à"3Éotl(59'' 8", puisqu’en 24 heures solaires
moyennes, non-seulement une étoile revient ait
méridien , ce qui complète les póod, mais le soleil
lui-même qui avoit fait 59 8" en sens contraire
, par son propre mouvement, y arrive à
son tour ; ce qui termine les 24 heures solaires
moyennes. Une horloge réglée fur ces 24 heures,
n’indique plus \^à par heure, mais 1511 2' 28",
qni est la 24e partie des 360'' 59' 8" qui passent
en 24 heures, & ainsi des autres parties du tems ;
c’est ce qu’en appelle convertir les heures solaires
moyennes en degrés. On trouve dans la connoiffance
des tems de chaque armée , une table pour
cet effet ; elle est d’un usage continuel pour les
astronomes, dont les horloges ou pendules suivent
ordinairement les heures solaires moyennes ;.
ear ils observent les différences d’ascension droite
entre les étoiles & les planètes, en prenant pour
■disque heure de leur horloge. 1^ z' zî" de Ia
sphère étoilée. ' *CONVERSIONS se dìsoit aussi, dans Tanciénne
Astronomie, de toutes les révolutions célestes. (D. L.) CONVEXE, adj. (Géom.) , se dit .de k surface
extérieure d’un corps rond, par opposition à .
la surface intérieure qui est creuse ou concave.Ce mot est particulièrement en usage dans la
Dioptrique & la Catoptrique, où Ton s’en sert par
rapport aux miroirs & aux lentilles. Voy. MIROIR
& LENTILLE.Un miroir convexe représente les images: plus
petites que leurs- objets ; un miroir concave les
représente souvent plus grandes. Un miroir convexe
rend divergens les rayons qu’il réfléchit ; c’est pour-^
quoi il les disperse & affoiblít leur effet : un miroir
concave, au contraire , les rend presque toujours
convergens par la réflexion ; de sorte qu’ils
concourent en un point, & que leur effet est
augmenté. Plus le miroir convexe est portion d’une
petite sphère, plus il diminue les objets & plus il
écarte les rayons.Les.verres convexes des deux côtés s’appellent
lentilles ; s’ils sont plans d’un côté-& convexes de
l’autre, on Jes appelle verres plans - convexes où
convexes - plans ; s’ils sont concaves d’un côté &
convexes dei'autre, on les appelle verres convexoconcaves,
ou concavo-convexes , selon que la surface
convexe du concave est la plus courbe (c’està-dire
qu’elle esl une portion d’une plus petite
sphère ) , ou selon que la surface convexe ou conT
cave est tournée vers Tobjet.Toutes les lentilles donnent aux rayons de lumière
, dans lèur passage, une tendance l’un vers
l’autre, c’est-à-dire que les rayons sortent de ces '
lentilles, convergens ou moins divergens qu’ils
n’étoient, de sorte qu’ils concourent souvent dans
un ppint ou foyer. Voyez CONVERGENT.Les lentilles ont aufti la propriété de grossir les
objets, c’est-à-dire, de représenter les images plus
grandes que les objets ; &ëlles les grossissent d’autant
plus, qu’elles font des portions de plus, petites
sphères. Voyez LENTILLE, RÉFRACTION,
&c. ( O ) CONVEXITÉ, f. f. ( Géom. ) , se dit de la
surface convexe-d’un corps. Voyez CONVEXE ET
COURBE.Les mots convexe & concave étant purement
relatifs, il est assez difficile de les définir ;~~car ce
qui est.convexe d’un côté esl concave de l’autre.
Pour fixer les idées, prenons une courbe, & rapportons-la
à un axe placé fur le plan" de cetre
ligne, & appelions sommet de la courbe le point
ôù cet axe la coupe ; tirons des différons points
de la courbe des .tangentes qui aboutissent à Taxe:
si ces tangentes, depuis le sommet de la courbe,
aboutissent toujours à des points de Taxe de plus
en plus élevés, ou, ce qui revient au même-, fi
les soutangentes vont en- augmentant, la courbe est
concave vers son axe, & convexe du côté op-
COR. COR 42,1
posé ; sinon elle est convexe vers son axe, & concave
de l’autre cô-é. (O) COORDONNÉES, adj ; pi. ( Géom.)  ; on appelle
de ce nom commun les abscisses & les ordonnées
d’une courbe (voyez ABSCISSE^ & ORDONNÉES
) , soit qu’elles fassent un angle droit
ou non. La nature d’une courbe se détermine
par Téquation entre ses coordonnées. V. COURBE.
On appelle coordonnées redangles, celles qui font
pn angle droit. (O) COPERNIC , système de Copernic , est "celuidans lequel on suppose que,le soleil esl en reposau centre du monde, & que les planètes & la ; terre se meuvent autour de lui. Voyez SYSTÈMEDE COPERNICCOPERNIC est encore Te nom d’un instrument
astronomique proposé par Whiston, pour*calculer
. & représenter les mouvemens des planètes.II a été ainsi appelle par Tauteur, comme étant
fondé fur le système de Copernic , ou comme représentant
les mouvemens des corps célestes, tels
qu’ils s’exécutent suivant Copernic. II est composé
de plusieurs cercles concentriques. Par les diffé- '
rentes difposirions de ces cercles, qui sont faits
de façon qu’ils glissent les uns dans les autres,
on résout FeaucoUp dequestions astronomiques,
au moyen de quoi on évite, selon Chambers, de
grands calculs, & on réduit Touvrage.de plusieurs
heures à celui de quelques minutes. Cet
instrument représente jusqu’aux éclipses. L’auteur •
- a fâit un livre pour Texpíiquer ; mais cet instrument
est peu en usage, & doit être .plus curieux
qu’utile. Voyez PLANÉTAIRE.
. * COPERNICIEN, f. m. , nom par lequel \
~ pn désigne ceux- qui soutiennent le lyslême de ;
Copernic.CORBEAU ( Ástron. ) ,- ou Toiscau de Phébus,
constellation méridionale, composée de 9 étoiles ;
dans le catalogue britannique, corvus ; en grec,
ítófii ;. ; dans -Ovide, phábeius ales- ; dansFIórus,
avis satyra , ou pomptina , ales ficarius-, garrulus
proditor ; en arabe, gorab ou algourab. Ce corbeau
passe pour être celui qu’Apollon condamna à une
soif éternelle. D’autres veulent que ce soit le corbeau
qui révéla à Apollon l’infidélité de Coronis, & fut
cause de fa mort. Ovid. métam. ij , 54. La victoire
que Valérius Coryinus dut à un corbeau, lui a fait
donner Y épithète de.Pomptina ,. parce que ce fut
près des marais Pontins. Tite-live, vij ; zG. Cette
constellation annonçoit le solstice par son coucher
héliaque. (Astron. tom. iv, pag. 4G9.)  7La principale étoile du corbeau est celle qui est
marquée li ; elle est de 3 e grandeur : elle avoit
en 1750 1850 19' 34" d’ascension droite, & 220
o' 37" de déclinaison australe. ( D. L. ) CORDE (
-palcul de la puissance des machines, M-. Amputons ,
Méch.). De la résistance des cordes.
La résistance des cordes est fort considérable, &
doit, par toutes fortes de, raisons, entrer dans leremarque dans les Mémoires de VAcadémie royale
■ des Sciences, 1G39 , qu’une corde est d’autant plus
difficile à courber, i.° qu’elle est plus roide &
plus tendue par le poids qu’elle porte ; 20 ; qu’elle
esl plus grosse ; & 3. 0 qu’elle est plus courbée,
c’est-à-dire, qu’elle enveloppe un plus petit cylindre.11 rapporte des expériences qu’il a faites pour
s’assurer des proportions dans" lesquelles ces ..différentes
résistances augmentent. Ces expériences
apprennent que la roideur de la corde■', occasionnée
par le poids qùi la tire, augmente à proportion
du poids, & que celle qui vient de Tépaifseur
de Ta corde augmente à proportion de son
diamètre ; enfin que celle qui vient de la petitesse
des poulies autour desquelles elle doit être entortillée
, est plus forte pour les petites circon-:
férences que pour les grandes,-quoiqu’elle n’augmente
pas dans la même proportion que ces
circonférences diminuent.,D’où il s’enfuit que la résistance des cordes dans
une machine, étant.estimée, en livres , devient
comme un nouveau fardeau qu’il faut ajouter à
celui que la machine devoit élever ; & comme
cette augmentation de poids rendra les cordes
encore plus roides, il faudra de nouveau calculer
cette augmentation de résistance. Ainsi, on
aura plusieurs sommes décroissantes qu’il faudra
ajouter ensemble, comme quand il s’agit duTrot-,
tement, & qui peuvent se monter très-haut. Voy.
FROTTEMENT.En effet, lorsqu’on se-sert de cordes dans une
machine, il faut ajouter ensemble toutes les résistances
que leurs roideurs produisent, & toutes
celles que le frottement occasionne ; ce qui aug^
mentera si considérablement la difficulté du mouvement,
qu’une puissance mécanique.qui n’a besoin
que.d’un poids de 1500 liv. pour en élever
un :de 3000 livres par le moyen d’une moufle
simple, c’est-à-dire, d’une poulie mobile & d’une
poulie fixe, doit, selon M. Amontons, en avoir
un de 3942 livrés, à 'cause des frorremens_ & "de
la résistance des cordes.Ce que nous venons de dire des poulies doit
servir de règle dans Tusage des treuils, des cabestans
, &c., & des ^autres machines pour lesquelles
on se sert de cordes : fi on négligeòit de
compter leur, roideur, on tomberait infailliblement
dans .des erreurs considérables, & lë mécompte
se trouverait principalement dans les câs
où il est très-important de ne se point tromper,
je veux dire dans les grands effets ; car alors les
cordes font nécessairement fort grosses & fort
tendues. • ""M. Camus examine , dans les Mémoires de
VAcadémie de 1739 , quelle est la meilleure manière
d’employèr lës seaux pour élever de Teau. '
Car il est certain que de la manière dont on les
emploie ordinairement, le poids de la. corde- s’ajoute
à celui du seau 3 de forte queTì le puits a4n cor cor150 pieds, par exemple, de profondeur,. on aura
un plus grand effort à faire au commencement
de Taction 011 de Télévation du seau que vers la
fin , parce qu’au commencement on aura à : soutenir
le poids du seau, plus celui de toute la
corde , qui', si elle pèse 2 livres par toise, en
pèsera 50 pour ce puits de 25 toises de profondeur
 ; augmentation très-cOnfidérable au poids du
seau plein & sortant de Teau, dont il aura péuí,
Être puisé 24 livres. U est vrai que cette première
difficulté de Télévation du seau ira toujours en
diminuant,. & fera nulle au bord du puits : mais
cn ce cas, Taction de Thomme qui tirera le seati
fera fort inégale ; & ,dans. cette supposition , il est
impossible qu’il ne se fatigue.pas-trop , qu’il ne
perde du tems, & qu’il ne fasse moins qu’il n’aur-oit
pu , parce qu’il est presque Impossible qu’il ne
donne précisément que ce qu’il faudra de force
pour surmonter à chaque instant Ta résistance décroissante
du seau & de la- corde. 11. seroit plus
avantageux 87 plus commode pour la puissance,
d’avoir une machine, qui réduisît à Tégalité une
action inégalepar elle-même, de sorte qu’on n’eût
jamais à lbutcnir que lé même poids ou à enirployer
le même, effort ; quoique la résistance de'
la corde fût toujours variable. Pour cela, le seul
moyen est que, quand le poids de la ?corde sera
plus grand, ou, ce qui est le mçme',, quand il y
aura plus de corde à tirer, la puissance agisse par
un plus long bras de levier, plus long précisément
à proportion de ce besoin , & par conséquent
il faudra que les leviers Toient toujours
ehangeans & décroissans pendant, toute Télévation
du seau.. C’est pourquoi il. faudra donner à la
poulie dont on se,servira, une forme pareille àpeu-près
à' celse 'des fusées des montres qui. sont
.construites fur le mêmë • principe, ou plutôt il
faudra que cette poulie soit comme un assemblage
de plusieurs poulies concentriques & inégales : on
peut voir fur cette matière un plus grand détail
.dans l’hist. de- l’Acad. de 1739 , p, 51,II s’enfuit de ce que nous avons dit fur la résistance
des cordes , i.° quon. doit préférer, autant
que faire se peut les grandes poulies aux petites,
non-seulement parce-qu’ayant moins de tours à
faire, leur'axe a moins de frottement, mais encore
parce que les cordes qui les entourent y
souffrent une moindre courbure ,. & ont par
conséquent moins de résistance. Cette considération
est d’une si grande conséquence dans la pratique
, qu’en évaluant la roideur de -lá corde selon
la règle de M. Amontons , on’ voit clairement
que, si on vpuloit élever un.fardeau de',8oo liv.
avec une corde de 20 lignes de diamètre, & une
poulie qui n’eût que 3 pouces, il faùdroit 'augmenter
la puissance de 212 livres pour vaincre
•la roideur de la corde, au lieu qu’avec une poulie
d’un pied de diamètre, cette résistance céderait
à un effort de 22 livres, toutes choses d’ailleurs
égales, . ,On peut juger par-là que les poulies mouillées Jc’est-à-dire,
les poulies multiples, ne peuvent"
jamais, avoir tout Teffet-qui devroit en résulter
suivant la théorie. Car, dans ces sortes de nia- ,
chines, ses cordes ont plusieurs" retours ; & quoique
les puissances qui les tendent chargent d’autant
moins les axes qu’il y a plus de poulies, cependant,
comme il n’y a point de cordes,parfaitement
flexibles, ó'ri augmente leur résistance, en multipliant
les courbures.. Cet inconvénient,, qui est.commun à toutes Jes"
moufflés,, est encore plus considérable dáns celles
où les poulies,rangéeslesunes au-dessus des autres,
doivent être de plus en plus petites, pour donner
lieu aux cordes de se mouvoir fans se toucher &
se frotter ; car. une corde a plus de-peine à se
plier quand ;elle enveloppé un cylindre d un plus
petit diamètre. Ainsi , les poulies mouillées ' qui
font, toutes de même grandeur, sont en général
préférables aux autres.Lès cordes qui sont le plus en usage dans Ia
Méchanique, celles dont il s’agit principalement
ici, sont des assemblages de fil que Ton tire des
végétaux, comme le chanvre, ou du règne ani- .
mal, comme la soie, ou certains boyaux que Ton
met en état d’être filés. Si cés fibres étoient assez
longues par elles-mêmes, peut-être se contenterait-on
de lès. mettre'ensemble, de les lier ërt
forme de faisceaux.sous une enveloppe commune ;
Cette, manière de composer les cprdes eût peutêtre
paru la plus simple & la plus propre à leur
conserver la flexibilité qui leur est si nécessaire ;
mais, comme toutes ces matières n’ont qu’une Ion-',
gueur fort limitée, on a trouvé moyen de les
prolonger en les filant,-c’est-à-dire, en les tortillant
ensemble : le frottement qui naît de çettè
forte d’union est si considérable, qu’elles-se cassent
plutôt que de Te glisser Tune fur l’autre. C’est
ainsi que se forment les premiers fils dont Tassemblage
fait un cordon ; & de plusieurs de ces
cordons réunis & tortillés ensemble ,' on compose
les plus grosses cordes. On juge aisément que la
qualité des matières contribue beaucoup à la force
des cordes ; on conçoit bien auffi qu’un plus grand
nombre de cordons également gros , doit faire une
corde plus difficile à rompre ; mais quelle est la ma*
nière la plus, avantageuse d’unir les fils ôu le cor->
dons ? V. le Traité de. la Corderie de M.'Duhamel.Les cables & autres gros cordages que Ton emploie,
soit fur les vaisseaux, soit dans les bâtimens,
étant toujours composés de plusieurs cordons,
& ceux - ci d’une certaine) quantité de fils
unis ensemble, il esl évident qu on en doit point
attendre toute la résistance dont ils seraient capables,
s’ils ne perdosent rien de \eúr: force par
le tortillement ; & cette considération’est d’autant
plus importante, que de cette résistance dépend
souvent la vie d’un très-grand nombre d’hommes.Mais si le tortillement des fils én général/ rend
les cordes plus foibles, on les affoiblit d’autant. c or, cor 415plus qu’en les tord davantage : il faut donc éviter
avec soin de tordre trop les cordes.Lorsqu’on a quelque grand effort à faire avec
plusieurs cordes en mÈme-tems, on doit observer
de Jes faire tirer le plus également qu’il est possible
 ; sans cela, il arrive souvent qu’elles cassent
les unes après les autres, & mettent quelquefois
la vie en danger. Voyez, fur la résistance des cordes,
la. Méchanique de M. Tabbé Bossut, & la Pièce
de M. Coulomb, qui remporta, en 1781, le prix
double de Y Académie, fur le frottement & la roideur
des cordes dans les machines. (O) CORDES ( Méchan. ). De la tension des cordes.
Si une corde A B est attachée à un point fixe B
'(■fig. 64 , Méchan. ) , & tirée suivant sa longueur
par une force ou puissance quelconque A, il esl
certain que cettè corde souffrira une tension plus
011 moins grande -, selon que la puissance A qui
la tire, sera plus ou moins grande. II en est demême,
'si au lieu du point fixe B, on substitue
Une puissance égale & contraire""à la puissance A ;
il est certain que la corde sera d’autant plus tendue,
que les puissances qui la tirent seront-plus
grandes. Mais voici une question qui a-jusqu’ici
fort embarrassé les Méchaniciens. On demande si
une corde A B, attachée fixement en B & tendue
par une puissance quelconque A , est tendue de
. la même manière qu’elle le seroit, fi au Heu du
point fixe, B , on substituoit une puissance- égale
& contraire à Ta puissance ^.Plusieurs auteurs ont
écrit fur cette question , que Borelli a le premier •
proposée: Jè erdis qu’on peut la résoudre -facile■
ment, en regardant 4a corde tendue A B -comme
un ressort dilaté, dont lès -extrémités A , B font
également effort 'pour se rapprocher Tune dé
l’autre. Je suppose donc d’abord" que h. corde soit
fixe én B, & qu’elle soit tendue par une puissance
appliquée en A, dont Teffort soit équivalent
à. un poids de dix livres ;. il est certain que
le point A sera tiré suivant A D avec un effort
de dix livres ; & comme ce point A, par Thypothèse,
est en repos ,-il s’enfuit que par la résistance
de la"corde , il est tiré suivant A B avec
une force' de -dix-livres, .Sciait par, conséquent
un effort de dix livres pour se rapprocher du
point B. Or le point B , par" la nature du ressort,
fait le même effort de dix livres suivant B A,
pour se rapprocher du point A-, & cet effort est
soutenu „& anéanti par. la résistance du point fixé
B. Qu’on ôte maintenant le point fixe B, & qu’on
y substitue une puissance "égale & contraire à A ;
je dis que la corde demeurera tendue de même:
car Teffort de dix livres que fait le point B íninntBA,
fera soutenu par un effort contraire ■
de la puissance B suivant B C La corae restera
áone rendue', commeelle Tétoit auparavant : dortc
ùne: corde AB', fixe en B, est 'tendue par une
puissance appliquée en A, comine elle le seioit,
û au lieu dn point B>cn substituoit une puissanceégale &. contraire à la puissance A. Voyez TENSION.
(O) -.'. CORDES, (vibrations dèss Méch. Si une corde'
tendue AB (fig. G 5, Méchan.)  est frappée en
quelqu’un de ses points par ùne puissance quel »
conque, elle s’éloignera jusqu’à Une certaine distance
de la situation AB, reviendra ensuite, &
fera des vibrations comme unë pendule qu’on tire
de son point de repos. Lés géomètres ont trouvé
les lois de cês vibrations. On favoit depuis longtems
, par Texpérience & par des raisonnemehs
assez vagues, que toutes choses’ d’ailleurs égales,
plus une corde étoit tendue , plus ses vibrations
étoient promptes ; qu’à égale tension, les cordes
faisoient leurs vibrations plus ou moins promptement,
en même raison qu’elles étoient moins ou
plus longues ; de . sorte que deux cordes , par
.exemple.,,étant de la même grosseur, également’
tendues, & leurs longueurs en raison de 1 à 2,.
la moins longue faisoit, dans le même tems, un
nombre de vibrations double du nombre des vibrations
de l’autre, un nombre triple, si le rapport
des longueurs étoit celui d’r.à 3 , &c. M. Taylor,
.célèbre géomètre Anglois, est le premier qui aie
démontré les " différentes loix des vibrations des
cordes avec quelque exactitude, dans son savant
ouvrage intitulé : Metkodus incrementorum direSa.
&-< inversa ', 1715 ; & ces mêmes loix ont été" démontrées,
encore depuis par M. Jean Bernoulli,.
dans se tome II des Mémoires de l’Académie impériale
de Pétersbourg, On, n’attend pas fans doute
de nous que nous’rapportions ici les théories de
ces illustres auteurs , qu’on peut voir dans leurs
ouvrages, & qui ne ?pourroient être à la portée
que d un très-petit nombre de personnes. Nous ;
nous contenterons de donner la formule qui en
-résulte, & au moyen de laquelle tout homme tant
soit peu initié dans le "calcul, pourra connoítre
facilement les loix des vibrations d’une corde ~-
tendue, ' . ' •Avant que d’exposer ici cette formule, il faut
remarquer que la corde fait des.vibrations en vertu
de Télasticité que fa tension lui donne. Cette élasticité
fait qu’elle tend à revenir toujours dans la
situation, reéliligne AB ; & quand elle est arrivée
à cette situation rectiligne, lé mouvement qu’elle .
a acquis, en y parvenant, la fait repasser de l’autre
côté précisément comme un pendule. Voyez PENDULE.Or cette force d’élasticité peut toujours être com-« parée
 à la force d’un poids, puisqu’on peut imaginer
toujours un poids qui donne à la corde la tension
qu’elle a. Cela posé, si on nomme L la longueur
de la. corde, M la masse de la corde ou Ia
quantité de sa matière, P la force du ressort de
la corde , ou plutôt un poids qui représente, la
force avec laquelle la cordé est tendue,-D la longueur
d’un pendule donné, par exemple, d’un
pendule à secondes, p Te rapport de la circonférence
d’un cercle à son-diamètres le-nombre des.•AIA c or corvibrations faites par la corde durant une vibration. , I/2J5TPdu pendule donné D, sera exprime par p î/YxWîDe-làil s’enfuit,' i.° que, si les-longueurs L,
& les masses M de deux cordes sont égales, les
nombres de leurs vibrations, enteras égaux, seront
comme \f D xP, ou ( à cause que D est le même
pour tous les deux ) , comme y P , c’est-à-dire,
comme les racines des nombres qui expriment" le
rapport des tensions. 2.° Que, si les tenfìonsTP &
les longueurs L sont égales, les nombres des vibrations,
en tems égal, seront comme -T~ÂÏ> c’e^~
dire en raison inverse des racines des masses, &
par conséquent en raison inverse des diamètres,
íî les cordes sont de la même matière. 3. 0 Que, si ,
les tensions P sont les mêmes , & que les cordes
soient de la même matière & de la même grosseur,
les nombres des vibrations, en tems égaux,
seront, en raison inverse des longueurs ; car ces1
nombres de vibrations seront alors còmme./TTTJAor, quand les cordes sont de même grosseur & de
même matière, les masses M sont comme les IongueursX ; donc p=.est alors comniepWou comme 4-,II est visible que Ton peut déduire de la formule\/D x P 7
générale p t/-' M y autant de Théorèmes qu’on
voudra fur les vibrations des cordes. Ceux que
nous venons d’indiquer suffisent pour montrer la
route qui y conduit."Les mêmes géomètres dont nous avons parlé,
ne se sont pas contentés de déterminer les vibrations
de la corde tendue AB ; ils ont cherché
auffi quelle est Ia figure que prend, cettë corde en
faisant ses vibrations ; & voici, selon eux, quelle
est Ia nature de la courbé ACB que forme cette
corde. Soit D lé point de milieu de AB , CD
la distance du point de milieu C de la corde au
point B dans un instant quelconque ; ayant décrit
le quart de cercle CE du rayon CD , soit
pris jpar - tout F N k Tare correspondant C M,
comme D B est à Tare CE', le point N sera à
la courbe CB ; de sorte que la courbe ACB
que forme ia corde tendue, est une courbe connue
par les géomètres sous le nom de courbe des
arcs ou compagne de la cycloïde extrêmement alongée.
Voy. COMPAGNE DE LA CYCLOÏDE & TRO- •
CHOÏDE.MM. Taylor & Bernoulli ont déterminé Cette
courbe d’après la supposition que tous les points
de la code arrivent en même-tems à la situation
rectìligiie A B. C’est ce que Texpérience parait
prouver, du moins autant qu’on peut en juger,
cn examinant des vibrations qui se font presque
roujpurs très-promptement, M. Taylor prétendmême démontrer, fans le secours de Texpérience »
que tous les points de la corde ACB doivent arriver
en même-tems dans la situation rectiligne AB. Mais
dans une dissertation fur les vibrations des cordes
tendues, imprimée parmi les mémoires de Tacadémie
royale des sciences de Prusse pour Tannée 1747,
 ;j’ai démontré que M. Taylor s’esl trompé en cela,
& j’ai fait voir de plus, 1.° qu’en fupposantque
"tous les points de la corde ACB arrivent en,
même-tems à la situation rectiligne A B, la corde
ACB peut prendre une infinité d’autres figures
que celle d’une courbe des arcs alongée ; 2." qu’en
ne supposant pas que tous les points arrivent eri
même-tems à la situation rectiligne, on peut déterminer
en général la courbure que doit avoir
à chaque instant la corde A B en faisant ses vibrations.
Cependant il est bon de remarquer, ce
que personne n’avoit encore fait , que quelque
figure que prenne la corde ACB, en faisant ses
vibrations, le nombre de ces vibrations dans un
tems donné doit toujours être le même, pourvu
que ses points arrivent en même-tems à la situation
rectiligne ; c’est ce qu’on peut déduire fort
aisément de la théorie dont nous -venons de parler.
Je crois donc avoir résolu le premier, d une
'manière générale, le problême de la figure que
doit prendre une corde vibrante ; M. Euler Ta résolu
après moi, en employant presque exactement
la même méthode, avec cette différence seule que
sa méthode semble un peu plus longue. Voyez les
Mémoires de l’Académie de Berlin, 1748. Dans les
Mémoires de la '■même Académie, pour Tannée
I7') 0jPflë' 355 & fav-} j’ai donné encore quelques
recherches fur cette matière, & des observations
fur le mémoire de M. Euler & fur les vibrations
des cordes. Nous y renvoyons nos lecteurs. (0) On peut voir dans les mémoires de Berlin,
de Turin, de Pétersbourg, & dans plusieurs volumes
de nos opuscules mathématiques, la fuite
de nos recherches & de celles de MM, de la
Grange, Euler & . Daniel Bernoulli fur ce problême.
Nous joindrons ici à ces recherches les
observations suivantes fur le problême des cordes
vibrantes. -Un habile géomètre m’ayant consulté fur la
manière suivante, de trouver le mouvement d’une
corde dont Tépaistènr n’est pas uniforme, le paralogisme
de cette solution m’a paru assez subtil
pour faire voir en quoi il consiste.Soit LD M (planches Méchanique s, figure 6 G) 
la corde proposée ; LD ou LA = S ( on met
indifféremment LD ou LA, parce que la corde
est supposée faire de très - petites vibrations,
en sorte que D A est fort petite )  ; soit encore
D A=y, S Tépaisseur de la corde en D. Soit
maintenant une corde Idm (fig. 67) , d’une épaisseur
uniforme, & dont la tension soit égale à la
tension de la corde LD M pour chaque point A
de la corde donnée ; soit supposé dans l’autre tordsIa~sCor c or 4tçÌn.z=s’p=sds\rS, & la correspondante aâ =
AD, on prétend que les deux cordes, feront leurs
vibrations en même-tems.Car soit, dit-on, dans la corde uniformément
épáisséiám, a b = b c = a" s’-& constant, on aura
eri faisant ds\/~ S Ánul constant dans la courbe
LD M, l’ordonnée E B ( construct. ) = e b , & '
GCz==gc. Donc la base de Tangle de contingence
qui a son sommet en £ & fa base en G, base
que j’appelle K, est égale à la base de Tangle de
contingence qui a son sommet en e & fa base en g.
Or les tensions (hyp. ) étant égales, & les masses
de part & d’autre étant S. B C & a b, on trouvera
facilement par-là que les forces accélératrices despoints E, e, sont entr'elles comme -nCs Bc ou
■t-rfi à'-fj ou AT ; donc, à cause de aV^íaVo as ab d s( "byp- ) ces forces accélératrices seront égales ;
donc les points E, e parcourent des lignes égales
au premier instant ; & comme on a de plus E B
—.ei* ils seront encore également éloignés de la
position horizontale a la sin du premier instant ;
& comme la même chose aura lieu pour tous les
autres points de la corde & pour tous les instans
fuïvans, il s’enfuit, &c• Le paralogisme de cette solution consiste à conclure
de Tégalitê de AD c\ ad, BE &be,GC
& gc, que la valeur de « est la même de part &
d’autre. Eile le seroit sans douté, si les lignes AB,
B C étoient égales entr'elles, comme le font les
lignes ab, b c ; -mais à cause de ds\f S constant
{,liyp.}, d s n’est pas constant dans la courbe
L D M ; donc A B & B C diffèrent d’une quantité
dds, infiniment petite à la vérité par rapport
à elles ; mais cette différence influe beaucoup
fur la valeur de » dans la courbe LD M. .Pour lé démontrer, soit prolongée DE (fig. 68) 
jufquen F, & soit B C =ds -\- dd s, FG = <* ,-
EH=dy, CG = y ; on aura F O = d.y -fi^, & FG = FC-GC = y-j- Zdy-y +—^~j^. Eri faisant de même ab=^bc, ad-AD,e b z= E B, g c == G C, on áura ( comme il est
aisé de 1 e voir ) f g =zy-\-zdy —y = ( en regardant
aY. ou a fc comme constant) —d d y ; je
. mets —- parce que le courbe est supposé concavevers son axe ; donc F G±= — d d y -f- -^-j^ 5
& comme ——r est évidemment une quantité dud sx■même ordre que — d dy, il est évident que F G
& f g ne sont pas égales, & que leur différence
esl une quantité du même ordre qu’elles. Donc,
úc. ..\'..Op peut considérer encore, pour s’assurer que
la solution précédente esl vicieuse, que Téquation
générale , pôur le mouvement des cordes dont
Mathématiques. Tome I, II.'" Partie,Tépaisseur n’est pas uniforme, est j^ = y^— ; jt étant le tems, & d s étant supposé constant ; &
que Téquation générale du mouvement des cordesuniformes est d-^4 = ^-% , dont Tintégrale, comme-dûdsz ' Dje Tai fait voir ailleurs, est 3' = " ? (*'+ t)  -f- n
(/— t). D’où il s’enfuit que, st la solutio*
précédente étoit bonne, on auroit, pour les corde
dont Tépaisseur n’est pas uniforme , y = ■ ?
(t+sds-[/S) + y*(—t+fds\/ S). Or ilest
aisé de voir que cette équation, ne peut êtreTintêgralede -TT =. -rr-z i car, si on prend la différence
seconde de y en faisant varier s,& ensuite
en faisant varier t, la première de cês deux différences,
divisée par S d s1 ne sera pas égale à la
seconde, divisée par d t\~En voilà assez pour faire voir en quoi consiste
se 'défaut de cette solution. On pêut consulter
d’ailleurs, sur le problême des cordes dont Tépaisseur
n’est pas uniforme, ce que j’en ai dit dans
les Mémoires de Berlin de 1763 , p. Z4Z & suivi
(O). Voyez .VIBRATIONS..:CORDE , ternie dejeude Paume ; c’est une grosse
corde qu’on attache" en "travers "des "deux côtés d’un
jeu de paume, précisément dans le milieu de fa
longueur & à environ quatre pieds de hauteur.
La corde baisse toujours vers Ie .milieu de fa longueur,
à cause de son’poids." Depuis la corde jus*
qu’à- terre, est attaché un filet ou rezeau de ficelle,
pour arrêter les balles qu’on y jette. Les joueurs
qui ne font pas passer la ballepar^dessus la corde,
perdent un quinze. Voyez PAUMÉ.
■ CORDE , au jeu de Billard., ce sont deux cloUs
attachésTur les bandes, des côrés, en-deçà desquels
le joueur qui commence à" jouer doit placer fa
bille.. CORDE , f. f, ( Ge'om..) , ligne droite qui. joint
les deux extrémités d’un arc. Voy. ARC OU bien
c’est-une ligne droite qui se rermine par chacune
de ses extrémités à Ta circonférence du cercle,
fans passer par le centres & qui divise Je cercle
en deux parties inégales qu’on nomme fegmens :
Tel est la droite AB .(pi..Géom. fig. zo). Voyez
SEGMENT. --La corde du complément d’un arc esl la corde
qui'soutend le complément de cet arc, oa ce
dont il s’en faut que cet arc ne.soit un demicercle.
Voyez COMPLÉMENT."La corde est perpendiculaire à la ligne CE,
tirée du centre du cercle au milieu de Tare dont
elle est corde ; & elle a, par rapport à cette droite,
la même disposition que Ja corde d’un arc à tirer
des flèches â par rapport à la flèche. C’est ce qui
a servi de motif aux anciens géomètres pour appeller
cette ligne corde de l’arc ; & l’autre, flèche
du mime arc Le premier de ces noms s’est conservé
, quoique le second ne soit plus si fort enHhh
usage. Ce que les anciens appelloient flèche s’appelíe
maintenant sinus verse. Voyez FLÈCHE , 6SINUS.
.'-,-'■ ^ 'La demi - corde B D du double de l’arc est ce
que nous appelions maintenant sinus droit de cet
arc ; & la partie D E du rayon, comprise "entre
Ie finus droit B D & Textrémité du rayon, est ce
qu’on nomme finus verse.. Voyez SINUS. .La corae d’un angle & la corde de son complément
à quatre angles droits ou au cercle entier,
sont la même chose ; ainsi, la corde de 50
degrés & celle de 310 degrés sont la même choie.
On démontre, en Géométrie, que le rayon
CE qui coupe la corde B A en deux parties égales
au point D, coupe de même Tare correspondant
en deux parties égales au point E ; & qu’il est
perpendiculaire à la corde A B,§L réciproquement:
on démontre de plus, que si la droite NE coupe
la corde A B en deux parties égales & qu’elle lui
soit perpendiculaire, elle passera par le centre,
& coupera en deux parties égales Tare AE B ,
auffi-bien que Tare A N B. On peut tirer de-là
plusieurs corollaires utiles, comme i.° la manière
de diviser un arc A B en deux parties égales : il
faut pour cela tirer une perpendiculaire au miiieu
D de la corde AB, & cette perpepdiculaire coupera
en deux parties égales Tare donné A B.z." La manière de décrire' un cercle qui passe
par trois points donnes quelconques, A, B, C,
fig. Z4, pourvu qu’ils ne soient pas dáns une même
ligne droite.Décrivez pourcela des points A & C, & d’un
même rayon des arcs qui se coupent en D, E ;
&des points C, B, & encore d’un même rayon,
décrivez d’autres arcs qui se coupent .en G & H ;
tirez les droites D E , G H, & leur intersection
sera le centre du cercle cherché qui passe par les
points A , B, C.Démonstration. Par Ja construction, la ligne EI
a tous ses ;points á égale dislance des extrémités
A, C de la ligne A C ; c’est la même chose de
la ligne G I par rapport à C B : ainsi, le point I
d’intersection étant commun aux deux lignes FI,
G J. sera également éloigné dès trois points proposés
A ,.C, B ; il pourra donc être le centre d’un
cercle que Ton fera passer par les trois pointsA,C,B.
Ainsi, prenant trois points dans Ia circonférence
d’un cercle ou d’un arc quelconque, on
pourra toujours trouver le centre, & achever ensuite
la circonférence.De-là il s’ensuit aussi que si trois points d’une
circonférence de cercle conviennent ou.coïncident
avec trois points d’un autrè, les circonférences
totales coïncident auffi ; & ainsi, les cercles seront
égaux, ou le même. Voyez CIRCONFÉRENCE cy
CERCLE. ,Enfin on tire de-là un moyen de circonscrire
un cercle à triangle quelconque.
La corde d’un arc AEB (fig.zo ) , & le rayon C Eétant donnés, trouver la corde de la moitié AEdt
cet arc. Du quarré du rayon CE, ôtez Ie quarté
de la moitié A D de la corde donnée AB y la
reste sera le quarré de D C ; SL tirant la racine
quarrée, elle sera égale à CD ; on la soustraira
du rayon E C, & il restera D E : on-ajoutera
les quarrës de A D & de E D , & la somme fera
le quarré de AE ; dont tirant la racine, on.aura
la corde de la moitié A E.' Ligne des cordes, c’est une des lignes du compas
dç proportion. Voyez COMPAS DE PROPORTION.
WolfSí Chambers. (È)  '.:".,-,CORDON ( Hydraul. ) ,.eû un tuyau que Tpn
fait tourner autour d’une fontaine, pour fournir
.une fuite de jets placés, au milieu où fur les
bords. (K) CORNET ( Jeux de: hasard)  : espèce de petit
gobelet rond & délié, ordinairement de corne,,
& dont on fait usage pour agiter les dés quand
on joue. "Le cornet dont les anciens se servoient pour
jouer aux dés & aux osselets, & qui peut-être
fut inventé pour empêcher les coups de main,
étoit rond en forme d’une petite tour, plus large
par le bas que par le haut, dont le cou étoit
étroit. Ordinairement il n’avoit point de fond,
màîs plusieurs degrés au-dedans qui faisoient faire
aux clés & aux osselets plusieurs cascades avanr
que de tomber fur la table, comme il paroít par.
ce passage d’Ausone':Altérais vicibus , quos précipitante rotatu ' ;■'
Fundunt exeuffi per cava buxa gradus.On Tappelloit, chez lçs Latins, turris-, turrïculay
orca, phimus, fritillus, &c. Ce sont les tabletîerscornetiers
qui font les cornets, (M. le chevalier
de JAUCOURT.) CORNETS pour l’ouie (Acoustique ) : instrument
à Tufage de ceux qui ont Toreille dure. LeTon
se conserve dans ces instrutnéns, parce qu’en traversant
leurs parois il ne peut se répandre cirât-'
Iairement, & le son ainsi ramassé frappe l’organe
avec plus de force. On peut encore augmenter
Teffet du son , en donnanrà ces tuyaux une forme
en_partie parabolique, parce que le son est réslé- .
chi & comme ramassé en un seul point appelle
foyer , où Toreille est placée. Voyez E c H 0
& P 0 R T E - V o 1 x. Ces cornets sont à-peuprès
à Tégard • de Toreille, ce que les lunettes '
d’approche_ sont par rapport à la vue. On peut
les perfectionner comme on fait les lunettes.
Mais nous croyons avec M. de Buffon, qu’il faut,
pour que,les cornets- aient tout Teffet possible,
que Toreille soit dans un endroit désert, ou du
moins tranquille ; aurrement,. comme l’e son ne
se propage pas en ligne droite ainsi que la lumière,
le bruit des objets voisins frappant Toreille
suivant tautes,sortes de directions, altc-7 cor o ô s #í ?reróii & assoibliroit le bruit augmenté par Ic, carnet, (O).-'- • v " • ■ -CORNU, adj., angle cornu ( Géométrie )  : mot
employé par quelques anciens géomètres pour désigner'
Tangle formé par. une ligne droite tangente
 ;ou sécante, & par la circonférence du cercle.
- ' COROLLAIRE , f. m., en Géométrie , est une \
conséquence tirée d’une proposition qui a déjà été
avancée pu démontrée-: comme fi de cette proposition,
Un triangle qui a deux côtés égaux, a aussi
■deux angles égaux, on tire ía conséquence , donc
^un triangle qui a les trois côtés égaux, a aussi les
■trots angles égaux.On auroit tout aussi-tôt fait de dire conséquence
que corollaire ; cela seroit plus à portée de tout
"le monde : mais c’est le fort de presque toutes les
sciences d’être chargées de piots scientifiques assez
inutiles. II ne faut pas espérer qu’on les changé,
& ceux qui en traitent sont obligés de s’y conformer.
II faut avouer auffi que ce n’est pas toujours
la faute des savans ni des artistes, ss les
mots scientifiques font íì multipliés. Comme la
plupart des sciences & des arts nous viennent
des Grecs & des Latins, les mots nous en sont
venus avec les choses ; la plupart de ces mots
scientifiques n’ont point passé dans Tufage ordinaire,
& sont devenus obscurs pour le vulgaire.
Un-Athénien, fans savoir de Géométrie,-enten■
doit tout de fuite que le mot dé théorème fignifioit
une vérité de spéculation. Çhez nous,x'estun
mot savant pour ceux qui ignorent le grec, &
ainsi dés autres.Plutarque, dans Ia vie de Cicéron, le loue
d’âvóir le premier donné des noms latins dans
ses ouvrages, aux objets dont les philosophes
grecs s’étoient occupés, & qui, jusqu’à lui, avoient
retenu leurs noms grecs. On ne sâuroit rendre le
langage des sciences trop simple, & pour ainsi
dire trop- populaire ; c’est ôter un prétexte de les
décrier aux sots & aux ignorans, qui voudraient
se persuader que les rennes qu’ils n’entendent pas
cn font tout lé mérite, & qui, pour parler le
langage de Montagne, parce qu’ils ne peuvent y
prétendre, se vengent à cn médire. {O) 'CORPS, en Géométrie, signifie Ia même chose
que solide. Voyéz SOLIDE. Nous avons expliqué
dans le discours préliminaire de TEncyciopédie
-comment òn se forme Tidée des corps géométriques.
Ils diffèrent des corps physiques, en ce que
"ceux-ci sorít impénétrables ; au lieu que les corps
géométriques iie sont autre chose qu une portion
d’étendue figurée, c’est-à-dire une portion de l’espace
terminée eh tout sens par des bornes intellectuelles.
C’est proprement le fantôme de la ma-"
tière, comme nousl’avons dit dans ce discours ;
& on pourroit définir Tétendue géométrique ,
.détendue intelligible & pénétrable. ■".'.-Les corps réguliers sont ceux qui ont tous leurs
côtés, leurs angles & leurs plans égaux & semblables,
& par ; conséquent leurs faces régulières.II n’y n que cinq corps réguliers, Jc tárafiidre
composé de quatre triangles équilatéraux, Yoc- ^
taèdre de huit, Yicofaèdre de vingt, le dodécaèdre ..
de"douze, pentagones réguliers, òí. le cube de six
quarrés. Quand pn dit ici composé, cela s’entend
de la surface ; les figures que nous venons de dire
renferment ou contiepnent la solidité, & composent
la surface de ces corps. Voy. RÉGULIER ,
IRRÉGULIER, &C. (O) ■ ■.CGR.RECTION du midi, ou équation du
midi, est la quantité qu’il faut ôter du midi conclu
des hauteurs correspondantes du soleil, ou ajouter pour
 avoir le midi vrai. Voyez HAUTEURS CORRESPONDANTES.
'-■■'-'CORRESPONDANTES. (Astronomie) Veyei
HAUTEURS CORRESPONDANTES. -- . '*Cos.CO-SECANTE, f. f. en Géométrie y cab 'la
sécante d’un arc qui fait le complément d’un autre ; ■
ainsi-Ta co-sécante d’un angle de 30 degrés est la
sécante de '60 degrés. Voyez SÉCANTE & COMPLÉMENT.
(O) " GO-SINUS, s."m..(Géom.) : c’est le sinus droit
d’un arc qui est le complément d’un autre ; ainsi,
le co-sinus d’un angle de 30 degrés, esl lë sinus
d’un angle de 60 degrés. Voyez SINUS, COMPLÉMENT,
ANGLE, DEGRÉ.. • '_COSINUSVERSE , est un nom que quelques-uns
donnent à"-la-partie du diamètre qui reste après en
avoir retranché le sinus verse. Voyez SINUS VERSÉ. ,
CKAMBULS. (O) COSMIQUE, se dit, en Astronomie , du lever
ou du coucher d’une étoile quand il arrive le matin.
Une étoile se lève cofmiquement, quand elle se levé
avec le soleil, ou avec le degré de Técliptique
où est le soleil. Voyez LEVER.Le coucher cosmique arrive lorsqu’une étoile
se couche dans Ie même tems que le soleil se
levé. ..r.'Selom Kepler, se lever ou se coucher cofmiquement
, c’est seulement s’élever fur Thorizon ôu
descendre- dessous. Voyez ÀCRONIQUE. Chambers.
.(. O) .'■ .. -COSMOLÀBË, f. m. (4í ?''o ;z.) ancìéninslrument.
de Mathématique ; c’est presque la même chose
que ,1 astrolabe ; il servoit .à prendre des hauteurs
& à représenter les cercles 4e la sphère. Ce mot
est dérivédem^yos, monde , 8r.7My.lìkm, je prends,
parce que cet instrument sert pour prendre lès
mesures fur le globe du monde. II y a un ouvrage
de Jaques Bèffon, imprimé à Paris ën 1567, ,
intitulé le cosmolabe, Ou instrument universel ; cê
.livre est remarquable par Tidée d’une chaise marine
suspendue pour faire des observations fur un
vaisseau, idée qui a été proposée en Angleterre
de nos.jours, par M. Trubin. (D. L.) COSMOLOGIE, f. f. Ce mot, qui est forriié '
 : 'Hhhij ,
'4*8 'CO'S ■'..'" ' C O S '- '
de deux mots grecs, XOÎ-.UCC, monde , yj>y>t, discours,
signifie à la lettre science qui discourt fur le monde,
c’esl-à-dire, qui raisonne fur cet univers que nous •
habitons, & tel qu’il existe actuellement.La Cosmologie esl donc proprement une Physi- ;
que générale & raisonnée, qui, fans entrer dans ;
les détails trop circonslanciés des faits, examine du '•
côté métaphysique lès résultats de ces faits mêmes,
fait voir Tanalogie & Tunion qu’ils ont entre eux, ,
& tâche par-là de découvrir. une partie des loix
générales par lesquelles TUnivers esl gouverné. Tout
esl lié dans la nature ; tous les êtres se tiennent ,
par une chaîne dont nous appercëvons quelques  ;
parties continues, quoique dans un plus grand ]
nombre d’endroits la eontinuiténous échappe. L’art '
du Philosophe ne consiste pas, comme il ne lui
arrive que trop souvent, à rapprocher de force les
parties éloignées pour renouer la chaîne mal-àpropos
dans les endroits où elle esl interrompue ;
car, par un tel effort,, pn ne fait que séparer les
parties cjui se tenoient, ou les éloigner davantage
de celles dont elles étoient déjà éloignées par l’autre
lout opposé à celui qu’on rapproche ; l’artdu Philosophe
consiste à ajouter de nouveaux chaînons
aux parties séparées, afin de les rendre le moins
dislantes qu’il est possible :: mais ií ne doit pas se
flatter qu’il, ne reslera point toujours tic vuides en
beaucoup d’endroits. Pour former les chaînons"
"dont nous parlons, il faut avoir égard à deux
choses ; aux faits observés qui forment Ja matière
des chaînons, & aux loix générales dé la Nature ]
qui en forment le lien. J’appelle loix générales,
celles qui'paroissent s’òbservér dans un grand nombre
de phénomènes ; car je. me garde bien de dire
dans tous. Telles sont les loix du-mouvement, qui
sont une fuite de Timpénétfabilité des corps ;, & la
source de plusieurs des effets- que nous observons
dans la Nature. Figure & mouvement (j’entends le :
mouvement qui vient de Timpulfion, ) voilà une
grande partie des principes fur lesquels roule la
■Cosmologie. 11 ne faut pas s’en écarter fans nécessité,
mais auffi il ne faut pas trop affirmer qu’ils soient leslbuls:
nous ne connoissons pas tous les faits, comment
pourrions-noiis donc assurer qu’ils s’expliqueront
tous par une seule & unique loi '-cette assertion
seroit d’autant plus téméraire, que parmi les -faits
mêmes que nous connoissons, il en esl que les loix
de Timpulfion n’ont pu expliquer jusqu’aujourd’hui.
Voyez ATTRACTION. Peut-être y parviendra-t-ôn
mí jour : mais en attendant cette grande découverte,
suspendons notre jugement fur Tunivérfalité
de ces loix. Peut-être (& cela est du- moins auffi
vraisemblable) y a-t-il une Toi générale qui nous
est & qui nous sera toujours inconnue, dont nous
ne voyons que les conséquences particulières, obscures
-, & limitées ; conséquences que nous ne laissons
pas djppellcr loix générales. Cette conjecture
est très - conforme à Tidée que nous devons nous
former de Tunité & de la simplicité de Ia Nature.
Au fesle , fi nous réfléchissons fur la foiblesse de , ;notre esprit, nous ferons plus étonnes encore dece
qu’il a découvert, que de ce qui lui reste caché.Mais Tutilité principale que nous devons retirer
,de la Cosmologie, c’est de nous élever par ses lobe
générales de Nature, à la connoiffance de son
auteur ; dont la sagesse a établi ces loix , nous en
a laissé voir ce qu’il nous étoit nécessaire d’en connoítre
pour notre utilité ou pour notre amusement,
& nous a caché le reste pour nous apprendre à
douter. Ainsi, la Cosmologie est la science du Monde
ou de TUnivers considéré en général,-entant qu’il
est un être compose, & pourtant simpíe.par l’union
& Tharmonie de ses parties ; un tout, qui est gouverné
par une intelligence suprême, & dont les
ressorts sont combinés, mis eii jeu,. & modifiés par
certe intelligence.' « "Avant M. Wolf, dit M.Formey dans un ar- ■-JJ
 ticle qu’il nous a communiqué, ce nom étoit in33
connu dans les écoles, c’esl-à-dire, qu’il n’y avoit
53 aucune partie distincte du cours dé Philosophie
'5 qui fût ainsi appellée. Aucun métaphysicien-ne.
33 sembloit même avoir pense à cette partie, & tant
>■>d’énormes volumes écrits fur la Métaphysique,,
33 ne disoient rien, sur la Cosmologie. Enfin M. Wolf
33nous a donné un ouvrage sous ce titre: Cosmo"logia
gerieralis., methoda feientifica- pertraSa ; quâ
'3 ad solidam , imprimis Dei atque naturoe y cogniVtionem
viastemitur. Francof. & Lips ih-4." 1737.
"11 y én a eu une nouvelle édition en 1737: 11 "
'3 donna cet ouvrage immédiatement après TOnto'3logie,
& comme Ia seconde- partie de fa méta" »
physique , parce" qu’il y établit des principes-,
" qui lui servent dans la Théologie naturelle à dé"
montrer Texissence. & les attributs de Dieu par là
'3 contingence de TUnivers & par Tordre de-là Na33ture.
11 Tappelle Cosmologie générale ou transcen*
lïdante, parce qu’elle ne renferme qu’une théorie --■
33abslraite, qui esl, par rapport à la Physique, ce
33 qu est’ TOntologie à Tégard du reste-de la Philosjjfophîe.
… 7 ; : 73.5 Les notions-de cette science fe dérivent dé
3jfOnfhologié, car il s’agit d appliquer au Mondé.
3j lá théorie générale dé Têtre & de í'être composé.
33 A- cette considération ,du Monde, à priori, on
33 joint lë secours dés observations & deTexpérience.
33 De sorte qu’on peut dire qu’il y a une doublé
33 Cosmologie ; Cosmologie scientifique , & Cosmologie
J3 expérimentale.33.De ces deux Cosmologies , M. Wolf s’est prp33
prement borné à la première , comme Ie titre de
J.J l’on ouvrage Tindique ; mais il n’a pas négligé
3.3 néanmoins les secours que Texpériencea pu lui
33 donner pour la confirmation.de ses principes..
•' 33 L’une. & l’autre fournissent des principes, qui
33scrvent à démontrer" Texistènce & les attributs de
33 Dieu. Les principales matières qu’embrasse la
33 Cosmologie générale, lë réduisent à expliquer
3j comment le Monde résulte de Tassemblasse,. des
jî.substances simples, &à développer les principes■•-■ cos. :. .'c’o-s ~4í$"« généraux de la modification des choses matéjjrielles.33C’efflà le fruit le plus précieux de la Cosmoììlogie ;
il suffit seul pour en faire sentir le prix, &
jjpour engager à la cultiver, n’en produisît-elle
33 aucune autre. C’est ainsi qu’on parvient à déJJ
montrer que la contemplation d_u Monde visible
53 nous mène à la connoiffance de Têtre invisible
jjqui en esl Taureur. M. Wolf paroit exirêmement
33 persuadé de Tutilité & de la certitude de cette
« nouvelle route qu’il s’est frayée, & voici corn »3ment
il s’exprime là-dessus. 33 In hcnorem Dei,
confiteri cogor, me de cognitione Dei methodoscientificâ
tradendâ plurimìim sollicitum , non reperisse
viam aliam, quá.adscopum perveniri datur, quam
e'am quam propofitio prctsens monftrat, nec reperisse
phi/esophum qûi eandem rite calcaverit, etfi laude
sitá defrudandi non sint, qui noftris proefertim temporibus
theologioe naturali methodum demonflrativam
applicare conati fuerint. Wolf, Cosmolog. prolegom.
§. G. inschol. -
M. de Maupertuis a donné un essai de Cosmologie,
qui paroít fait d’après les principes & suivant les
vues que nous avons exposées plus haut. II cróit
que nous n’avons ni assez de faits ni ássez de principes,
pour embrasser la Nature sous un seul.point
de vue. II se contente d’exposer le système deTUnivers
 ; il se propose d’en donner les loix générales,"
& il en tire une démonstration nouvelle
de Texistence de Dieu. Cet ouvrage ayant excité en
1752, une dispute, très-vive , je vais placer ici
quelques réflexions qúi pourront servir à" éclaircir .
la matière. J’y serai le plus  ; court qu’il me sera
possible , & j’espère y être impartial.La loi générale de M. de Maupertuis est celle
de la moindre quantité d’action, voyez-en la définition
& l’expofé au mot ACTION : nous ajouterons
ici les remarques suivantes.Leibnitz, s’étant sonné une idée particulière de
la force des corps en mouvement, dont nous parlerons
au mot FORCE , Ta appelle /o7-ce vive, & a
prétendu qu’elle étoit le produit de la masse par lé
quarré de la vitesse,, ou ce qui revient au même,
qu’elle: étoit comme le quarré de la vitesse en prenant
la masse pour J’unité. M. Wolf, dans les
Mémoires de Pétersbowg, tome I, a imaginé de
multiplier la force vive par le tems , & il a appelle
,ee produit aaion , supposant apparemment que
Taction d’un corps’ esl le résultat de toutes les
.forces qu’il .exerce à.chaque instant, & par conséquent
ía somme de toutes les forces vives i'nslantanées.
On pourroit demander aux Leibnitiens,
dont M. Wolf est regardé comme le chef, pourquoi
ils ont"imaginé cette distinction métaphysique
entre Taction & la force vive ; distinction qu’ils ne
.devraient peiUrêtre pas mettre entr'elles, du moins
selon Tidée qu’ils se fprìnent de la force vive ; .
mais ce n’est pas de quoi il s’agit ici ,-& nous en
parlerons" au mot FORCE. Nous pouvons en attendant
admettre comme une définition de nom arbitrairecette idée de Taction ; .& nous remarquerons
d’abord qu’elle revient au même que celle de M. de
Maupertuis. Car íe produit de l’espace par la.vî*
tesse, est la même chose que le produit du quarré
de la vitesse par le tems. M. de Maupertuis, dans
les ouvrages que nous avons cités au mot ACTION r
ne nous "dit point s’il avoit connoiffance de la dé-'
finition de M. Wolf ; il y a apparence que non ::
pour nous, nous Tignorions quand nous écrivions
ce dernier article, & nous voulons ici rendre
scrupuleusement à chacun ce qui lui appartient.
Au reste, il importe peu que M. de Maupertuis ait
pris cette idée de M. Wolf, ou qu’il se soit seulement
rencontré avec lui ; car il s’agit ici unique-'
ment des conséquences qu’il en a tirées, & auxquelles
M. Wolf n’a aucune parL M. de Maupertuis
est constamment le premier qui ait fait voir que dans ;
Ia réfraction la quantité d’action esl un minimum: il n’est
 pas moins constant, í.° que ce principe est"
tout différent de celui-ci, que la Nature agît toujours-par
la voie la plus simple ; car ce dernier
principe est un principe vague , dont on peut faire'
cent applications toutes différentes, selon la dési-nition
 qu’on voudra donner de ce qu’on regarde ;
comme la voie la plus fimple de la Nature, c’eslà-dire,
selon qu’on-voudra faire consister la simplicité
de la Nature & fa voie la plus coute, oû
dans la direction rectiligne, c’est-à-dire, dans la"
Briéveté de la direction, ou dans la brièveté du.-'
tems, ou dáns le minimum de la quantité de mou- ;
vement, ou dansìe minimum de la force vive, oir
dans ceíui de Taction, &c. Le principe de M. de
Maupertuis n’est donc point le principe de,la voie
la plus simple pris vaguement, mais un exposéprécis
de ce qu’il croit être- la voie la plus simple-'
de la Nature..2.° Nous avorísfait voir que ce principe est trèsdifférent
de celui de Leibhkzj voyez ACTION s&
il seroit assez singulier si Leibnirz a eu connoit-"
sance du principe de-M. de Maupertuis, comme
on Ta prétendu, que ce philosophe n’eût pas songé"
à Tappliquer à la réfraction ; mais rious traiterons
plus bas la question de fait.2." II n’est pas moins constant que cé principes
de.M. de Maupertuis appliqué à la. réfraction,,
concilie les causes, finales avec la méchanique du
moins dans ce cas-là, ce que personne ìí'avoit en-core
 fiit. On s’intéressera plus ou moins à cette ;
conciliation , selon qu’on prendra plus ou moins
d’intérêt aux causes finales ; voyez ce mot. Mais les
Leibnitiens du moins doivent en être sortTatisfaits^
De plus, M. Euler -a fart voir que "ce principe'
avoir lieu dans les courbes que décrit un corps
attiré ou poussé vers "un point fixe_:' cette belle ;
proposition étend Ie principe de M. de Maupertuis""
à la petite courbe même que décrit Ie corpuscuíe'de
 lumière, en passant d’un milieu dans un autre ;:de
 manière qu’à cet égard le principe se trouve'.,
vrai généralement & fans restriction. M. Euler, dan’s>
les Mc’tn. de TAcad. des Sciences de Prusse de ijss-r
a montré encore plusieurs autres cas où le principe '
s’applique avec élégance & avec facilité,4.° Ce principe est différent de celui de la nullité
de force vive, par deux raisons ; parce qu’il s’agit
dans le principe de M. de Maupertuis non de la nullité,
mais delamínimfíe',- & déplus, parce que, dans
Taction, on fait entrer le tems qui n entre point
dans la force vive. Ce n’est pas que le principe de
la nullité de la force vive n’ait lieu auffi dans
plusieurs cas, ce n’est 'pas même qu’on në puisse/ tirer de la nullité de la force vive plusieurs choses
qu’on tire de la minimité d’action ; mais cela ne
prouve pas Tidentitë des deux principes, parce que
Ton peut parvenir à la même conclusion par des
voies différente ?. ; ■ "5. 0 Nous avons vu à l’article CAUSES FINALES,
que Ie principe de la minimité du tems est en défaut
dans la réflexion fur les miroirs concaves. II
paroít qu’il cn est de même de la minimisé d’action ;
car alors le chemin du rayon de lumière est un
maximum , & Taction est auffi un maximum. II est
vrai qu’on pourroit f ;ire quadrer ici le principe,
en rapportant toujours la réflexion à des surfaces
planes ; mais peut-être les adversaires des causes
finales ne goûteront pas cette réponse ; il vaut
mieux dire , ce me semble, que Taction est ici un
maximum, -& dans les autres cas un minimum. II
n’y en aura pas moins de mérite à-avoir appliqué
le premier ce principe à la réfraction, & il en- sera comme du principe de la conservation des
forces vives qui s’applique au choc des corps
élastiques, &. qui n a point-lieu dans les-corps
durs. . .:6.° M. de Maupertuis a expliqué cette même
- loi de la minimité d’action au choc des corps, & il
a déterminé Ie premier, par un seul & même principe.,
les loix du choc des corps durs & des corps
élastiques. II est vrai que Tapplication est ici un
peu plus compliquée, plus détournée, moins simple,
& peut-être moins rigoureuse, que dans le cas de'
la réfraction.Ce que nous disons ici ne sera point désavantageux
dans le fond à M. de Maupertuis, quand nous
Taurons expliqué. 11 suppose que deux corps durs
A, B, se meuvent dans la même direction, l’un
avec la vitesse a, l’autre avec là vitesse b, & que
leur vitesse commune après le choc soit x ; il est
terrain , dit-il, que le changement arrivé dans la
Nature est que le corps A a perdu lá vitesse a,—x ,,
& que le corps B a gagné la vitesse x— b ; donc
la quantité d’action nécessaire pour produire ce
changement, & qu’il faut faire égale à un minimum,en
A (a — xs-j-B (x—b~f, ce qui, donne
la formule ordinaire du choc des corps durs ? = ■ ^,-jj • Tout cela est fort juste. Mais toutdépend aussi de Tidée qu’on voudra attacher aux
mots de changement arrivé dans la Nature : car ne pourroir-on
 pas dire que le changement arrivé
consiste en ce que le corps A qui avant le choc
a la quantité d’action ou de force A a a , la chauge
après le choc en la quantité A x x, & de même
du corps B ; qu’ainsi Aaa—-Axx, est le changement
arrivé clans fétat du corps A, & Bxx—.
Bbb, le changement arrivé dans Ie corps B ; de
sorte que la quantité d’action qui a opéré ce changement,
eúAaa — Axx -{-Bxx — Bbb. Or
cette quantité égalée à un minimum ne donne, plus
la loi ci-dessus du choc des corps durs. C’est une
objection que Ton peut faire à M. de Maupertuis-,
qu’on lui a même faite à-peu-près ; avec cette
différence que Ton a supposé Axx -\- B xx —
Aaa — B b.b , égale à un minimum, en retranchant
la quantité Aaa— Axx de la quantité Bxx—
Bbb, au lieu de la lui ajouter, comme il semble
qu’on Taùroit aussi pu faire : car les deux quantités
Aaa—Axx & Bxx—Bbb, quoique Tunedoive
être retranchée de Aaa, l’autre ajoutée à Bbb,
•sont réelles, & peuvent être ajoutées ensemble,
sans.égard au sens dans lequel elles agissent. Quoi
qu’il en soit, il semble qu’on pourroit concilier ou
éviter toute difficulté à "cet égard, en substituant
aux mots chnngemens dans la Nature , qui se trouyent
dans Ténoncé de la proposition de M. de
Maupertuis, les mots changement flans la vitesse :
alors Téquivoque vraie ou prétendue ne subsistera
plus. , . ■ : "
On objecte auffi que la quantité d’action, dans
le calcul de M. de Maupertuis, se confond en ce _
cas avec la quantité de force vive : cela doit’ être
en effet ; car le tems étant supposé le même",
comme il l’est ici, ces deux.quantités-sont proportionnelles
Tune à l’autre , & on pourroit dire
que la quantité d’action ne doit jamais être confondue
avec la force vive", attendu que le tems,
suivant la définition de M. de Maupertuis, entre
dans la quantité d’action, & que d’ailleurs  ; dans
le cas des corps durs, le changement sc faisant
dans un instant indivisible, le tems est =0, & par
conséquent Faction " nulle. -On peur répondre à
cette objection, que dès qu’un corps se meut ou
tend à íe mouvoir avec une vitesse quelconque,
il y a toujours une quantité d’action réelle 011
possible, qui répondroit à l’on mouvement, s’il se
mouvois uniformément pendant un tems quelconque
avec cette vitesse ; ainsi, au lieu de ces mots,
la quantité d’aSion nécestaire POVR PRODVIRE ce
changement, ' on pourroit substituer ceux-ci, la
quantité d’aSion QUI RÉPOND ace changement, &c.
& énoncer ainsi la réglé de M. de Maupertuis :
Dans le changement’ qui arrive par le choc h la
VITESSE des corps, la quantité d’aSion QVX
RÉPONDRA à ce changement, le tems étant supposé ■
constant, est la moindre qu’il est possible. Nous disons,
le tems étant supposé constant ; cette modification
, & limitation même si Ton veut, est nécësr
faire pour deux raisons: i." parce que dans le choc
des corps durs, où à la rigueur le temps efl = t>j
la supposition du tems constant ou du tems variable-,C o s c o s 4xisont deux suppositions également arbitraires, &
qu’il faut par conséquent énoncer l’une des deux :
i." parce que dans le choc des corps élastiques, Ie
changement se fait pendant un tems fini, quoique
très court ; que ce tems n’est pas le même dans
tous les chocs, qu’au moins cela est fort douteux ;
& qu’ainsi il est encore plus nécessaire d’énoncer
ici la supposition dont il s’agit : en effet le tems
. qu’on suppose ici constant est un tems pris à la
volonté, & totalement indépendant de celui pendant
lequel se fait la communication du mouvement ;
& Ton poUrroit prendre pour la vraie quantité
d’action employée au changement arrivé, la somme
des petites quantités d’action consumées, pendant le
tems que le ressort se bande & se débande. On dira
peut-être qu’en -ce cas M. de Maupertuis auroit dû .
ici se servir du mot de force vive , au lieu de celui
à'aSion, puisque le- rems n’entre plus ici proprement
pour rien. A cela, il répondra fans doute,
qu’il a cru pouvoir liér cette loi par une expression
commune, à celle qu’il a trouvée fur la réfraction.
Mais quand on fubstitueroit ici le mot "de force
vive à celui d’aSion , il seroit toujours vrai que
M. de Maupertuis auroit le premier réduit le choc
des corps durs & celui des corps élastiques, à une
même loi ; ce qui est le point capital ; &' son théorème
fur la réfraction n’y perdroit rien d’ailleurs.II est vrai qu’on a trouvé les loix du mouvement
fans ce principe : mais il peut être utile
d’avoir montré comment il s’y applique. U est encore
vrai que ce principe ainsi appliqué ne sera & ne
peut être que quelque autre principe, connu, pré-^
lente différemment. Mais il en esl ainsi de toutes
les-vérités mathématiques ; au fond cilles ne sont
que la traduction les unes des autres. Voyez le
Discours préliminaire. Le principe de la conservation
rdes forces vives, par exemple, n’est en’
effet que le principe des anciens fur Téquiiibre,
comme je Tai fait voir dans ma Dynamique, II.
part. chap. iv. cela n’empêche pas que le principe
" de la conservation-des forcés vives ne soit trèsUtile,
& ne fasse honneur à ses inventeurs.7." L’auteur applique encore -son principe à
Téquiiibre dans le levier ; mais il faut pour,cela
faire certaines suppositions, entr'autres que la vitesse
est toujours proportionnelle à la distance du
point d appui, & que le tems estconslánt, comme
dans le cas du choc des corps ; il’faut supposer
encore que la longueUr du levier est donnée, &
que c’est le point d’appui qu’on cherche : car si le
point d’appui St un des bras étoient donnés, & qu’on
cherchât 1 autre, on trouverait par le principe de
Taction que ce bras est égal à zéro. Au reste, les
suppositions que fait ici M. de Maupertuis, sont
permises ; il suffit de les énoncer pour être hors
d’atteinte, & toute autre, supposition devroit de
même être énoncée." L’appliCation & fusage du
principe ne comporte pas une généralité plus grande.
A l’égard de la supposition" qu’il fait,' que les_ pesanteurs
sont comme les ruasses \ cette, suppositionest donnée- par la Nature même, .& elle a.lieu.dans fous les théorèmes fur le centre de gravitédes
corps, qui n’en font pas regardés pour célà
comme moins généraux. .1H résulte de tout ce que nous venons de dire,
que le principe de là minimise d’action a lieu dansun
grand nombre de phénomènes de la nature -,
qu il y en a auxquels il s’applique avec beaucoup
de facilité, comme la réfraction, & le cas des orbites
des planètes, ainsi que beaucoup d’autres,
examinés par M. Euler. Voyez les Mém. acad. de
Berlin 2751 , & Varticle ACTION ; que ce principe
s applique à plusieurs autres cas, avec quelques
modifications plus ou moins arbitraires , mais qu’il
est toujours utile en lui-même à la' Méchanique,_
& pourroit faciliter la solution de différons problèmes.
- ' ,On a contesté à M. de Maupertuis la propriété
de ce principe. M. Koenig avoit d’abord avancés
pour le prouver, un passage de Leibnitz, tiré
d’une lettre manuscrite de ce philosophe. Ce passage
,- imprimé dans les actes de Leipsick, Mai 1751,
contenoit une erreur grossière -, que M. Koenigassure
être une faute d’impression : il Ta corrigée ,
& en T effet ce passage réformé est du moins en
partie le principe de Ia moindre action. Quand la ;
lettre de Leibnitz seroit réelle (ce que nous ne décidons
point, cêtte lettre n’ayant jamais été publique) 
, le principe tel qu’il est n’en appartiendrait
pas moins à M. de Maupertuis ; & M. Koenig
semble Tavouer dans son Appel au Public du jugement
que T Académie des-Sciences de Prusse a
prononcé contre la réalité de ce fragment. M. Koenig
avoit.d’abord cité la lettre dons il s’agit, comme
écrite à M. Herman ,• mais il a reconnu depuis
'qu’il ne favoit à qui elle avoit été écrite r il a produit
dans son appel cette lettre toute entière,
qu’on peut" y lire ; elle est fort longue, datée d’Hanovre
le 16 Octobre 1707 ; & fans examiner Pau- -., thenticiré du total, il s agit seulement dé savoir fi
celui qùi Ta donnée à JM. Koenig, a ajouté ou altéré
le .'fragment en question. M. Koenig dit avoir' reçu cette lettre des mains de .M. Henzy, décapité
à Berne il y a quelques années. II assure quil a.
entre les mains plusieurs autres lettres de Leibnitz,,.que ce même M. Henzy lui a données-/plusieurs
sont écrites , selon M. Koenig,. de la main de
M. Henzy. A Tégard de la lettre dont.il s’agit,'
M". Koenig ne nous dit point de qu’elle main elle. est ; il dit feulement qu’il en a plusieurs autres
écrites de cette nìémc main, & qu une de ces dernières
se trouve dans le recueil imprimé in-4. 0 &.
il transcrit dans son appel ces lettres. M. Koenig né
nous dit point non plus s’il a vu Toriginal decetté
lettre, écrit de la main de Leibnitz. Voilà.lés faits,.
fur lesquels c’est au public à juger íi le fràgnienc 1
cité est authentique, ou s’il ne Test pas.Nous devons avertir auffi que M. Koenig^ dans
les aa.. de Leips donne un théorème fur les forces-'
vives y absolument le même que celui, de M-,, deCourdvron, imprimé dans les Mémoires dcl’Acad.
de 7748, pag. 304, & que M. de Courtivron
avoir lu à TAcadémie avant la publication du mémoire
de M. Koenig. Voyez ce théorème au mot
CENTRE D’ÉQUILIBRE.Il ne nous reste plus qu’à dire-un mot de Tufage
métaphysique que M. de Maupertuis a fait de fpn
principe. Nous pensons, comme nous Tavons déjà
insinué plus haut, que la définition de. la quantité
(PaSion est une définition de nom purement mathématique
& arbitraire. On pourroit appeller adion,
le produit de la masse par la vitesse ou par sou
quarré, on par une fonction quelconque de l’espace
& du tems ; l’espace & le tems sont les deux
seuls objets que nous voyons clairement dans Ie
mouvement des -corps. ; on peut faire tant de combinaisons
mathématiques qu’on voudra.de ces deux
choses, & on peut appeller tout cela aSion ; mais
Tidée primitive & métaphysique du mot aSion n’en
fera pas plus claire. En général, tous les théorèmes
fur Taction définie comme on voudra, fur la-conservation
des forces vives, fur le mouvement nul
ou uniforme du centre de gravité, & fur d’aútres
loix semblables, ne sont que des théorèmes mathématiques
plus ou moins généraux, & non des
principes philosophiques. Par éxeniplë, quand de
deux corps attachés à un levier l’un monte &
l’autre déî'cend,'on trouve, si Ton veut, comme
M. Koenig, que la somme des forces vives est
■nulle, parce que Ton ajoute, avec des signes
contraires, des quantités qui ont des directions
contraires : mais c’est là une proposition de Géò■méïrie,
& non une vérité de Métaphysique ; car
.au fond cés forces vives pour avoir des directions
contraires, n’en sont pas moins réelles, & on
pourroit nier dans un autre sens la nullité de ces
forces. C’est comme si on disoit qu’il n’y a point
de mouvement dans un système de corps, quand
les mouvemens de' même part sont nuls, c’est-àdire
, quand les quantités de mouvement sont égales
& de signes contraires, quoique réelles,-, Le principe dp M. de Maupertuis n’est donc,
comme tpus ses autres, qu’un principe miathémar
tique. ; & nous croyons qu’il n’.esl pas fort éloigné
de cette idée,'d’autant plus qu’il n’a pris aucun
parti dans la question métaphysique des forces
*ives, à laquelle tient celle de Taction. Voyez l.es
pages-7^ & iG de ses oeuvres , imprimées à Dresde ,
1751 > in-4.0 II est vrai qu’il a déduit Texistence
de Dieu de son principe: mais on peut déduire
Texistence de Dieu d’un principe purement mathématique
, lorsqu’on reconnoît ou qu’on croit que
ce principe s’observe dans la nature. D’ailleurs il
n’a donné certe démonstration .de Texistence de
Dieu que comme un exemple de démonstration
■ tirée des loix générales de TUnivers ; exemple auquel
il ne prétend pas donner une force exclusive,
ni supérieure à d’autres preuves. II prétend seulement
avec raison que Ton doit s’appliquer fur-tout
à prouver Texistence de Dieu par les phénomènes.généraux, & ne pas se bornera la dédunè des:
phénomènes particuliers, quoiqu’il avoue que cette
déduction a aussi son utilité. Voyez, fur ce fujèt,
préface de son ouvrage, où il s’est pleinement justifié
des imputations calomnieuses que des critiques
ignorants ou de mauvaise foi lui ont faites à ce
sujet ; car rien n’est plus à la mode aujourd’hui,
que l’accusation d’athéisme, intentée à tort &"à
travers contre les philosophes, par ceux qui ne le
sont pas. Voyez auffi,, fur cet article Cosmologie ,
les aSes de Leipfick de Mai 2751 , Yappel de
M, Koenig au public , les, mémoires de Berlin 17go
& 2751, (dont quelques exemplaires portent malà-propos
1752)  ; & dans les mémoires de TAcadémie :
des Sciences de Paris de 1749, a/z écrit de M. d’Arcy
fur ce sujet. Voilà quelles font (au moins jusqu’ici, ■
c’est-à-dire, en Février 1754 ) les pièces véritablement
nécessaires du procès, parce qu’on y a traité
la question , & que ceux qui Tont traitée sont au fait
de la matière. Nous devons ajouter que M. de Maupertuis
n’a jamais rien répondu aux injures qu’on
a vomies contre lui à cette occasion, & dont nous
dirons: nec nominctur in vobis, sicut decet philosophas.
Cette querelle de Yadion, s’il nous est
' permis de íé dire, a ressemblé à certaines disputes
de religion, par í'aigreur qu’on y a mise , & par la
• quantité de gens qui en ont parié fans y rien em-. ' tendre.
 (0) COSSIQUE, adj, nombre cofflque en Arithmér
tique & en Algèbre , est un terme qui n’est plus
en usage aujourd’hui, mais dorit les premiers auteurs
d’Algèbre se sont fréquemment servis. II y.
a apparence que ce mot vient de Tltalien cofa,
qúi veut dire chose. On fait en effet que les Italiens
ont été les premiers, du moins en Europe, qui
ayent écrit fur TAIgèbre. Voyez ALGÈBRE,Les Italiens appelloient dáns une équation res
,-pu cofa , la chose , le coëffipient de Tinconnue linéaire ;
ainsi dans xx -j-pa:-J- q ==0, ou x% rfp
x -J- q ==.0 , p étoit nommé res. Voyez les Mém.
de l’Acad.ijW,pp. 437 438, &C ; ainsi, ils ont
appelle nombres cojfiques, les nombres qui désignent
les racines des "équations :& comme, ces nombres
sont pour Tórdinaire incommensurables ,'on a
depuís-tranfporté cette expression aux nombres
incommensurables. Voyez ce mot. Luc Pàciolo,
.dans son Algèbre, appçlle costa census lá racine
d’une équation du second degré. ( O)  ^co-TANGENTE, f. f. ( Géom. )  c’est la tanr- 'gente d’un arc qui ésl lê complément d’un’autre.
Ainsi la co - tangente de ,30 degrés est la tangente
•de 6ò degrés. Voyez TANGENTE , ANGLE Sr -
DEGRÉ., (O) COTE, f. m. en Gépmétrie. Le côté d’une figure
est une ligne droite qui fait partie de, son pé- .
rimêtre.Le côté d’un angle esl une des lignés qui forment
Tangle. Voyez ANGLE.CO-VERSE, f. m. (Géom.)  Quelques Géo- "
mètres se servent de Impression sinus co-verfe ; •■pour
v^ w u C Ò U 4-îï
your. désigner la partie du diamètre d’un cercle,
laquelle reste après que Ton a ôté le sinus verse.
Voyez SINUS VERSE. (O) > coucouchant,(Aflronom.) ouest, occident ; est.Tendrait du ciel où le soleil paroít se coucher.
Le mot d’occident est proprement celui que les
Astronomes employent ; le mot d’ouest celui des
marins ; & le mot de couchant est plus usité dans
le discours ordinaire.Quoique le vrai point du couchant change tous
les jours selon la situation du soleil, cependant
on a pris pour point fixe du couchant, > celui où
le soleil-se couche aux équinoxes ; & qui partage
en deux parties égales le demi-cercle de Thorizon,
qui est entre le midi & le nord .Lorsqu’on est tourné
vers le midi , on a le couchant à fa droite. Le
couchant d’hyver se trouve entre le midi & le vrai
couchant ; il est d’autant plus éloigné du vrai couchant,
quela déclinaison du íbléil & Télévation du pôle sont
plus grandes. Le couchant d’été est entre le nord &
le vrai couchant, & il en diffère d’autant plus que la
déclinaison du soleil & TéIévation,du pôle sont plus
grandes ; dansjes autres tems, cëttë distancé est
différente ; elle s’appelle amplitude.COUCHER , en Astronomie , est le moment où
'le soleil, une étoile, ou une planète disparoît, ou. se cache sous Thorizon,
 ; Les astronomes & les poètes distinguent trois
sortes de coucher des étoiles, le cosmique, Tacronyque,
& f hêliaque. Lá manière de Calculer les
couchers, est la même que pour calculer les levers.
Nous Texpliquerons au mot LEVER.COUCOU ,.( Jeu de cartes. ) L’on peut jouer
à ce jeu depuis cinq jusqu’à vingt personnes.
Lorsqu’on esl un grand-nombre, òn joue .avec
un jeu de cartes entier, C’est-à-dire où font
toutes les baffes ; autrement on joue avec le jeu. de piquet ordinaire, en observant que les as. sont
les dernières & les moindres cartes du jeu. Comme
il y a un grand avantage à avoir la main, ón
yoit à qui Taura. Après avoir pris chacun huit
oii dix jettons, qu’on fait valoir ce qu’on veut,
celui qui a la' maia ayant fait couper à fa gauche-,
donne une carte, fans lá découvrir , à chaque
joueur, .qui Tayant regardée, dit,' fi fa carte lui
paroít bonne, je fuis content ; niais fi fa carte esl
Un as, ou upeaùtre carte dont il soit mécontent,
ìl.dit, contentez-moi à. son voisin à 'droite, qui
deitprendre fa carte & lui céder la sienne, à moins
qu’il n’ait un roi ; auquel cas il ne peut être contraint
à échanger, & il répond, coucou: alors le.' mécontent garde fa carte, tandis que les autres-, continuent à se faire contenter de la même manière,
c’est-à-dire à changer de carte avec leur
voifin à droite & ,à gauche, jusqu’à _ce qu’on en
soit venu à "celui qui a'mêlé, qui /lorsqu’on lui, demande i être' contenté, doit .donner la carte de
dessus le .talon3 à moins que, comme il a déjà
Mathématiques. Tome I, II ? Paríie.été dit, ce ne soit un roi. Enfin la régie générale J.
c’est que chaque joueur peut, s’il Ie croit avantageux
à son’jeu, & que ce soit à son tour à parler,
forcer son voisin à droite de changer de carte avec
lui, à moins qu’il n’ait un roi. Après que le
tour est ainsi fini , chacun étale fa carte fur la
table, & celui ou ceux qui ont la plus basse carte j
payent un jetton au jeu , qu’ils mettent dans un
corbillon qui esl exprès au milieu de Ia table.
11 peut se faire que quatre joueurs payent à Ia
fois, & c’est toujours la plus basse espèce des
cartes qui soit fur le jeu, qui paye. Les as payent
toujours, quand il y en a fur le jeu ; & au défaut
des as, les deux ; au défaut des deux, les trois,
& ainsi des autres. L’avautage de celui qui mêle,
■ est qu’il a trois cartes fur lesquelles il peut choisir
celle qu’il veut pour lui. Chacun mêle à son tour ;
. & quand quelqu’un des joueurs’a perdu tous ses
jettons, il se retire du jeu, n’y ayant plus d’espérance
pour lui. Celui au contraire qui conserve
encore des jettons quand les autres n’en Ont plus,
gagne la parne & prend tout ce qui a été déposé
dans le corbillon. -,COUDE ou JARRET_, ( Hydrauliq.)  C’est dans
le tournant d’une conduite de fer ou de grais,.
un bout de tuyau de plomb coudé pour raccorder
ensemble les tuyaux de. fer. -(K) COULEUR, f. f. ( Optique )  suivant les Phy'
siciens est-une propriété de la lumière, par laquelle
elle produit, selon les différentes configurations »&
vitesses de ses particules, des vibrations
dans le nerf optique, qui étant propagées jusqu’au
sénforium, affectent Tame de différentes sensations ;
Voyez LUMIÈRE. * 'La couleur peut être encore définie une sensation
de Tame excitée par Taction de là lumière.
. sur la rétine ;. & différente suivant le degré -de
réfrangibilité de la lumière & la vitesse QU là
grandeur de ses parties.On trouvera les propriétés de la .lumière à
Y article LUMIÈRE. ' ' J.Le mpt couleur, à proprement parler, peut être
envisagé de" quatre manières différentes ; ou en
-, tant qu’il désigne une disposition & affection particulière,
de la lumière , c’esl-à-dire, des cor-'
puscules qui la constituent ; ou en tant qu’il désigne
une disposition particulière dès corps physiques, à
,hous affecter de telle ou telle espèce de lumière ; ou
ën tant qu’il désigne Tébranlemenf produit dans Tor »
gane par tels oU tels corpuscules lumineux ; ou entant
enfin qu’il-marque la sensation particulière,
qui esl la suite de, cet ébranlement.C’est dans ce dernier sens que le mot couleur
se prend ordinairement ; & il est très dévident que.
lë mot couleur pris en ce sens, ne désigne aucune
propriété" du corps, mais seuíement une modifiT
cation de notre ame" ; .que la blancheur, par
exemple, la rougeur, &e. n’existent que dans
noûs, & nullement dans les corps auxquels nous
les rapportons néanmoins par une habitude priseI î i454 cou - co udès notre enfance ; cesl une chose très-singulière
& digne de Tattention des métaphysiciens , que
ce penchant que nous avons à rapporter à une
substance matérielle & divisible, ce qui appartient
réellement à « ne substance spirituelle & simple ;
& rien n’est peut-être plus extraordinaire dans
les opérations de notre ame, que de la voir transporter
hors d’elle-même & étendre, pour ainsi
dire, ses sensations fur une substance à laquelle
elles ne peuvent appartenir. Quoi qu’il en soit,
nous n’envisagerons guère dans cet article le mot
couleur, en tant qu’il désigne une sensation de
notre ame. Tout ce que nous pourrions dire
fur cet article, dépend des loix de Tunion de
Tame & du corps, qui nous sont inconnues.
Nous dirons feulement deux mots fur une question
que plusieurs philosophes ont proposée, savoir
ss tous les hommes voyent le même objet de Ia
même couleur. 11 y a apparence que oui ; cependant
on né démontrera jariiaîs que ce que j appelle
rouge, ne sojt pas verd pour un autre, 11 est au
reste assez vraisemblable que le même objet ne "
paroít pas à tous les hommes d’une couleur également
vive , comme il est assez" vraisemblable
que le même objet ne paroít pas également grand
à tòus les hommes. Cela vient de ce que nos organes
, fans différer beaucoup entre eux, ' ont
néanmoins un certain degré de différence dans
leur force, leur sensibilité , &c. Mais en voilà
assez for cet article : venons à la couleur en tant
qu’elle est une propriété de la lumière & des corps
qui la renvoyènt.II y a de grandes différences d’opinions fur les
couleurs entre les anciens & les modernes, & entre
les différentesfactes des philosophes d’aujourd’hui.
Suivant Topinion d’Aristote, qui étoit celle qu’on
suivoìt autrefois, pn regardpit la couleur "comine
une qualité résidante dans les corps colorés, &'
indépendante dç la lumière. "7 "Les Cartésiens n’ont point été satisfaits de cette
définition ; jls ont dit. que pujsque le corps coloré
n’étoit pas iminédiatement appliqué à Torgane de
la vue pour produire la sensation de. la couleur,
& qu’aucun corps ne sauroit agir sur nos sens que
par un contact immédiat, il falloit donc que les corps
 colorés ne contribuassent à la sensation de
la couleur, que parle moyen de^quelque milieu,
lequel étant mis en mouvement par leur action,
tránsmettoit cette action jusqu’à Torgane de la vue.Ils ajoutent que puisque les corps" n’affectent
point Torgane de ía vue dansTobscurité, il faut
que le sentimçnt de la couleur soit seuíemçnt occasionné
par la lumière qui met Torgane en mouvement
 ; & que les corps colorés ne doivent être
considérés que comme des corps qui réfléchissent
la lumière avec certaines modifications : ía différence
des couleurs, venant de la différente texture
des parties des corps qui les rend propres à donner
telle ou telle modification à la lumière. Mais c’est
fur-tout à M. Neuton que nous’ devons la vraie.théorie des couleurs, celle qui est fondée fur de*
expériences sûres, & quj donne Texplication detous
les phénomènes. Voici en qUoi Consisté cettè
théorie. xL’expérience fait juger que les rayons de lumière
sont composés "de particules dont les maíscssont
différentes entre elfes : du moins quelquesunes
de ces parties, comme on ne sauroit guère
en douter, ont beaucoup plus de vîteffe que lesantres ;
car lorsque Ton reçoit dans une chambre
obscure un rayon de lumière F E (PI. d’Opfiqí
fig. s.)  sur une surface réfringente AD,ce rayon
ne se réfracte pas.entièrement en L, niais ií indivisé
& se répand, pour ainsi dire, en plusieurs’autres
 rayons, dont les uns sont réfractés en L,
& les antres depuis L jusqu’en G ; çn sorte q« é
les particule ? qui ont íe moins de vitesse, sons
celles que Taction de la surface réfringente détourne
le plus facilement de leur- chemin rectiligne
pour aller vers elle,'•& que les autres, à ;
mesure qu’elles ont plus de vîteffe, se détournent
moins, & paflent plus près de C Voyez RÉFRANGIEILITÉ.De plus, les rayons’de lumière qui différent
le plus en réfrangibilité les uns des autres , sont
auffi ceux qui différent le plus en couleur', c’est,
une vérité reconnue par une infinité d’expériences.
Les particules les plus’réfractées, par exemple,,
sont cdles qui forment les rayons violets, & cela,
selon toute apparence, à cause que cés particules ;
ayant le moins de vitesse , sont auffi celles qui
ébranlent le moins la rétine, y excitent les moindres’
' vibrations ; & nous affectent, par conséquent, de
la sensation de couleur la moins forte & la moins
vive, telle qu’est le violet. Au contraire, les par-ticuíes
 qui se réfractent le moins, constituent les
rayons de la couleur rouge ; parce que ces particules
ayant lë plus de vîteffe', frappent lá rétine
avec le plus de force, excitent les vibrations les
plus sensibles, & nous affectent de la sensation
de couleur la plus vive, telle qu’est Ta couleur
rougej ■ " ' - . 'Les autres particules é'tant séparées de la mêmé
manière, & agissant suivant leurs vitesses respectives
, produiront par les différentes vibrations
qu’elles exciteront, les différentes, sensations des
couleurs intermédiaires, ainsi que les particules
de Tairexcitent, suivant leurs différentes vibrations
respectives, les différentes sensations des -sons*
Voyez VIBRATION.II faut ajouter à cela que non-féulement lès
couleurs les plus distinctes l.es unes de,s autres,
telles que le rouge, le jaune, le bleu, doiventleur
origine à la différente réfrangibilité des rayons ;,
mais qu’ilen est de même des différents degrés
& nuances de la même couleur, selles que celles ;
qui'sont entre le jaune-& le verd, entre lë rougp.
ëc le jaunp, &c.„De plus, les couleurs des rayons ainsiséparée…
ne peuvent pas être regardées comme de simplescon ; …-. c o tr ,•■'". . 4ÌSïnodisications accidentelles de ces Taypns, maïs
comme dés propriétés qui leur sont nécessairement
attachées, & qui consistent, suivant toutes les apparences,
dans la vîteffe & Ja grandeur de leurs
parties ; elles doivent donc.être immuables & Inséparables
de -ces rayons, c’est-à-dire, que ces
■iouléurs. ne sauraient s’altérer par 'aucune réfraction
ou réflexion.Or c’est ce que Texpérience confirme d’une
manière sensible ; car quelque effort qu’on ait fait
"pour séparer , par de nouvelles réfractions , un
íayon coloré quelconque donné par se prismé,
on n’a pas pu - y réussir. II est vrai qu’on fait
quelquefois ; dés" décompositions . apparentes de
couleurs-, mais ce n’est que des couleurs qu’on â
formées en’ réunissant des rayon6 de différentes
couleurs ; & il n’est pas étonnant alors que la réfraction
fasse retrouver les rayons quôn avoit
employés pour sonner cette couleur.De-là il s’enfuit que toutes les transmutations
•de couleurs qu’on produit par le mélange de couicursde
différentes espèces, ne sont pas réelles,
mais de simples apparences, ou des erreurs de là
vue, puisque aussi-tôt qu’on sépare les rayons
de ces couleurs , on a les mêmes couleurs qu’auparavant
: .c’est ainsi que des poudres bleues & des
poudres jaunes étant mêlées,, paraissent à la vue
simple sonner du verd ; & que satís leur donner
•aucune altération, on distingue facilement, à Taide
d’un microscope , les parties bleues d’avec les
jaunes. , . /On peut donc dire qu’il y a deux sortes de
couleurs ; les unes primitives■■, originaires 6k simples,
produites par la lumière homogène, ou par les
rayons qui ont le mâine degré de réfrangibilité,
& qui sont composés de parties de même vitesse
& masse, telles que le rouge, Torangé, le jaune,
le .verd , le bleu , Tindigo, le violet, & leurs• nuances ; les autres secondaires ou hétérogènes,
composés des premières , ou du mélange des
rayons de différente réfrangibilité. . -' '--. On peut produire par la voie dé la composi.tion
, des\ couleurs secondaires ,. semblables aux
couleurs primitives-,, quant au ton on à la' nuance
de la couleur , mais non- par rapport- à la permanence
ou à Timmutabilité. On forme de cette
manièie du verd ; avec du bleu &.du jaune" ; de
-Torangé avec du rouge & du. jaune ;; du jaune
avec de Torangé & du- verd jaunâtre ; - & en général
avec deux couleurs qui ne .sont: pas ;éloignées :
Tune de l’autre dans la fuite des- couleurs données
,par Ie prisme, on.parvient assez facilement à'
faire les couleurs intermédiaires. II faut savoir auffi
que plus rme couleur est composée, moins elle est
.vive & parfaite, ck qu’en la composant de plus. en-plus, on parvient jusqu’à Téteindre entièrement.
Par le moyênde la composition, on-peut parvenir
auffi- à former des couleurs qui ne ressemblent ;
àaueimë de celles de la lumière homogène.. Mais
Teffet le plus singulier que peut donner la compositionde$ couleurs primitives, c.éll de produire
le blaffc ; il se forme en employant à un certain
degré des rayons de toutes les couleurs primitives !
c’est ce qui fait que la couleur ordinaire de là
íumière est le blanc, à cause qu’elle n est autrp
chose que f assemblage des lumières de toutes les,
couleurs mêlées & confondues ensemble. .La réfraction que donne une seule surface réfringente
, produit la séparation de la lumière en
rayons de différentes couleurs ; mais cette séparation
devient beaucoup plus considérable , &
frappe d’une manière tout-à-fát sensible, lorsqu’on
emploie la double réfraction causée par les deux
surfaces d’un prisme ou d’un morceau de verre
quelconque, pourvu que ces deux surfaces né
soient pas parallèles." Comme les expériences • que
Ton fait avec le prisme, sont la base de toute
théorie des couleurs, nous allons en donner uilJ précis.i.' Les rayons du soleil.traversant un’ prisins
triangulaire, donnent sur lá muraille opposée uné
image de différentes couleurs ,- dont les principales
sont le rouge, le jaune, le verd, le bleu
& le violet. La raison en est" que les rayons différemment
colorés,. sont séparés les uns des autres
par la réfraction ; car les bleus, par exemple ,-. marqués (Pi, d’Opt. fig. G.)  par une'ligne ponctuée,
après s’être séparés des autres en. d d, par* la première réfraction, occasionnée par le côté e a,
du prisme ab c (ou pair sa première surface du
globe d’eau ab c-, fig. j. ) ■ viennent à s’en écarter
encore. davantage en e e par la réfraction du
même sens, que produit l’autre côté du prisme ;
{ ou la seconde surface du- globe abc) : il arrive
au contraire dans le verre plán a b c f,, figure 9,
(ou fur le prisme g l o, fig. S. placé dans une
autre situation, ) que les mêmes rayons bleus qui
avoient commencé à se séparer par la première
surface en d d, deviennent,. par une. "seconde réfraction,
parallèles à-leur première direction, &
se remêlent-par conséquent avec les autres rayons.
z° L’imagé colorée n’est pas ronde , mais
oblongue, fa-longueur.étant environ cinq, fois falargeur,,
lorsque Tangle' du prisme est d’environ
6"o ou 65 degrés. La raison en eff que cette
image est composée de toutes les images" particulières
.que donne chaque espèce différente de
rayons,. & qui sc.trouvent placées les unes audessus
des autres, suivant-la-force de la réfrangibilité
de ces rayons. _.3-, 0 Les rayons qui donnent le jaune j sont-plus
détournés de leur- chemin rectiligne que ceux, qui
donnent le rouge ; ceux qui donnent- le verd,
plus que ceÚK qui donnent’-le-jaune,. &' ainsi, de
fuite, jusqu’à ceux qui donnent le violet.-En con’
séquence de ce principe, st on fait tourner autGur
■de son axe le prisme sur- lequel tombent les
.rayons du. soleil, de. manière que le rouge , lç
jaune, &c. tombent successivement sur un autre
prisme fixe placé à une certaine distance du premier,1 liiij4,s cou co ucomme douze pies, par exemple ; &- que les
rayons de ces différentes coa/ei/riyayent auparavant
passé l’un après l’autre ,par une ouverture placée
entre les deux prismes ; les rayons rompus que
donneront ces différents rayons, ne se projetteront
pas tous à la même place, mais ses uns au dessus
des autres. - ._•Cette expérience simple & néanmoins décisive,
est celle par laquelle M. Neuton leva routes les
"difficultés dans lesquelles les premières Tavoîent
jette, & qui Ta entièrement convaincu de la correspondance
qui est entre la couleur & la- réfrángibilité
des rayons de lumière.4. 0 Les couleurs des rayons séparés par le
prisme, ne saurdient changer de nature ni se
détruire, quoique ces rayons passent par un milieu
éclairé, qu’ils íe croisent les uns les autres, qu’ils
se trouvent voisins d’une ombre épaisse, qu’ils
soient réfléchis ou rompus d’une manière quelconque
 ; d’où Ton voit que les couleurs ne sont
pas des modifications dûes à la réfraction ou à
la réflexion , mais des-propriétés immuables &
attachées à la nature des rayons.5. 0 Si par le moyen d’un verre lenticulaire ou
d’un miroir concave, on vient à réunir,tous les
différents rayons colorés que donne le prisme,
on-forme le lîlanc ; cependant ces mêmes rayons,
qui, tous rassemblés, ontformé le blanc, donnent
après leur réunion, ç'est-à-dire, au-delà du point
où ils se croisent, les mêmes soldeurs que celles
qu’ils donnoient en sortant du prisme, mais dans
un ordre renversé, à cause du croisement des
rayons. La raison en esl claire ; car le rayon.
étant blanc avant d’être séparé par le moyen du
prisme, doit Têtre encore par la réunion de ses
parties que la réfraction avoit écartées les unes
des autres, & cette réunion ne peut,'en’-aucune
manière, tendre à détruire ou à altérer, la-nature
des rayons. -.De même, fi on mêle dans une certaine proportion
de la couleur rouge avec du jaune, du
verd, du bleu & du violet, on formera une
couleur composée qui sera blanchâtre, (c’est-à-dire,
à-peu-près semblable à celle qu’on forme en mêlant
du blanc & du noir ) & qui seroit entièrement
blanche, s’il ne se perdoît & ne s’absorboit pas
quelques rayons. On forme encore ^une couleur
approchante du blanc, en teignant un rond de
papier de différentes couleurs , & en le faisant
tourner assez rapidement poùr qu’on _ne_ puisse
distinguer aucune des couleurs en particulier.(,.", Si on fait tomber fort obliquement ; les
rayons du soleil sur Ja surface intérieure dun
prisme, les rayons violets se réfléchiront, & les
routes seront transmis :-ce qui vient _ de ce que
les rayons qui ont le plus de réfrangibilité, font ;
ceux qui se réfléchissent plus facilement. ' _ ;7. 0 Si on remplit deux prismes creux, l’un
d’une liqueur bleue, l’autre d’une liqueur rouge,
& qu’on, applique ces deux prismes Tun contre Il’autre, ils deviendront opaques, quoique chacun,
d’eux , pris seul, soit transparent, parce que l’un
d’eux ne laissant passer que les rayons rouges,
& l’autre que les rayons bleus, ils n’en doivent
laisser passer aucUn lorsqu’on les joint ensemble.
' 8.° Tout les corps naturels , mais principalement
ceux qui sont blancs ,' étant regardés au
travers d’un prisme, paraissent comme bordés
d’un côté de rouge & de jaune, & de l’autre dé
bordures bleues & violettes ; car ces- bordures ne
sont autre chose que les -extrémités d’autant d’i-.
mages de Tobjet entier, qu’il y a de différeutes
couleurs dans ía lumière ; & qui ne tombent pas
toutes dans le même lieu, à cause, dés. différentes
réfrangibilités des, rayons.9 ? Si deux prismes sont placés de manière que
le rouge de l’un & le violet de l’autre tombent
fur un : ».iême papier, Timage paroîtra pâle ; mais
fi on la regarde au travers d’un troisième, prisme, en
 tenant foeil à.une distance convenable, elleparoîtra
douille, Tune rouge, l’autre violette.
De même si on mêle deux, poudres, dont Tune
soit parfaitement rouge, & l’autre parfaitement
bleue, & qu’on couvre de ce mélange un corps de
peu d’étendue, ce corps regardé au travers d’un
prisme, aura deux images,' Tune rouge , l’autre
bleue. - ■ ' ■"-_■■10.° Lorsque les rayons qui traversent une len’tille
 ^convexe, sont reçus fur un papier avant
qu’ils soient réunis au foyer ,-ses bords dé lá lu-,
mière paraîtront rougeâtres ; mais fi on reçoit
ces rayons après la' réunion, les- bords paraîtront
bleus: car les rayons.rouges étant les moins réfractés,
doivent être réunis le plus loin, & par
conséquent être les plus près du bord, lorsqu’on
place le papier avant le foyer ; au lieu qu’après
Ie foyer, c’est au contraire les rayons bleus réunis
les premiers, qui doivent alors renfermer les
autres, & être ;vers les bords.L’image colorée du soleil, que Neuton appelle
lespeSresolaire, n’offre à- la première vue que cinq
couleurs, violet, bleu, verd, jaune,& ronge, mais
en rétrécissant Timage, pour rendre les couleurs
plus tranchantes & plus distinctes, on .voir trèsbien
lesscpt, rouge, orangé,, jaune, verd, bleu,
indigo , violet. M. de Buffon (Mém. acad. 1743.) dit
 même en avoir distingué dix-huit ou vingt ;
cependant il n’y en a que sept primitives, paf la
raison qu’en divisant le spectre, suivant la. proportion
de Neuton , en sept espaces, Jes sept
couleurs sont’inaltérables par le prisme ; & qu’en
le divisant en plus.de sept, les couleurs voisines
sont de Ia même nanire:L’ëtendue proportionnelle de ces -sept intervalles,
de couleurs., répond assez juste à'.Tétendue
'proportionnelle des sept tons de la Musique : c’est un
 phénomène singulier ; mais il salit bien se
garder d’en conclure qu’il y ait aucunetmalogie
entre, les sensations, des couleurs & celles des. ; cou ." - c òu 437tons: car nos sensations mont rien de semblable
-aux, objets qui lés causent.M. de, Buffon-, dans le Mémoire que nous
venons.de citer, cempte trois manières dont la
nature produit les couleurs ;. la réfraction ., Tinflexion
& la réflexion. Voyez'ces mots…Voyez
auffi DIFFRACTION ; . -, -. Couleurs’des lames minces.'Le phénomène de
la séparation des rayons de différentes couleurs
que'donne ia réfraction du prisme & dés autres
corps d’une certaine épaisseur, peut encore être
constaté par le moyen des plaques ou lames minces,
transparentes comme les bulles qui s’élèvent fur
la surface de Teau de savon ; car toutes ces petites
laines, à un certain degré d’épaisseur, transmettent
les rayons de toutes les couleurs, fans en réfléchir
aucune ; mais, en augmentant d’épaisseur, elles
commencent à réfléchir premièrement les rayons’
bleus, & successivement après, les verds , les
jaunes, & les rouges tous.purs : par dé nouvelles
augmentations d’épaisseur ? elles fournissent encore
des rayons bkus, verds, jaunes & rouges, mais,
urí peu plus mêíés les nns avec les autres ; &
enfin elles viennent à réfléchir tous ces rayons
íi bien mêlés ensemble, qu’il s’en forme íe blanc.Mais il est à remarquer que dans quelqu’endroit
d’une lame mince que se fasse la réflexion d’une
couleur, telle que le bleu , par exemple,' il se fera
au même endroit une transmission de la couleur
opposée, qui sera en -ce cas ou- le rouge ou ie
jaune.On trouve par expérience , que la différence
de couleur qu’une ^plaque donne, ne dépend pas
du milieu qui Tenvirpnne, mais feulement la vivacité
de cette couleur. Toutes choses égales, la
couleur sera plus vive, fi le milieu le plus dense
est environné par le plus rare.Une plaque, toutes choses égales , réfléchira
d’autant plus de lumière, qu’elle fera plus mince
jusqu’à un certain degré , par de-là lequel ellece
réfléchira plus aucune lumière. ..Dans les plaqués dont Tépaisseur augmente
suivant la progression des nombres naturels i, z,
3, 4, 5, o,7, &c.,Ti les premières, c’est-à-dire,
les plus minces , réfléchissent un rayon de lú-,
mière homogène, la secondé le transmettra ; la
troisième le réfléchira de nouveau, & ainsi de
suite ;en sorte que les,plaques de rangs impairs,
1,3,5,7, &c.: réfléchiront les mêmes rayons,
que ceux que leurs correspondantes en rangs pairs,
z, 4, 6, 8, &c. laisseront passer. De-là une
- couleur homogène donnée par une plaque, est
dite du premier ordre , si la plaque réfléchit tous
, les rayons de Cette couleur. Dans une plaque trois
fois píus mince, la couleur esl dite du second ordre.
Dâns un autre d’épaisseur cinq fois moindre j. la
couleur, sera du troisième ordre, Sac,Une couleur du premier ordre est là .plus vive
■ de toutes , & successivement la vivacité de la
couleur augmente avec Tordre de la couleiu: Elus-.Tépaisseur de la plaque est augmentée,- plus il y
a de couleurs réfléchies ■& de différons prdres.
Dans quelques cas la couleur variera, suivant la
position de J’oeil ; dans d’autres, elle sera permanente.
7 ' -Cette théorie fur la couleur des lames minces j
esl ce que M. Neuton appelle dans son Optique,
la théorie des accès de facile réflexion ê' de facile' transmission ; & il faut avouer que toute ingénieuse
quelle esl, elle n’a pas à beaucoup près tout ce
qu’il faut pour convaincre & satisfaire entièrement
Tefprit. II faut ici s’en tenir aux simples faits,
& attendre, pour en connoítre ou en. chercher
les causes, que nous soyons plus instruits fur la
nature de la.lumière & des corps, c’esl-à-dire,,
attendre fort long-tems’, & peut-être toujours.,'Quoi qu’il en soit, voici quelques expériences
résultantes des.f.iits qui servent de base à cette/- théorie.Anneaux colorés des verres. Si on ,met - l’un sur
l’autre deux verres objectifs de fort grandes
sphères, Tais qui se rrouve entre ces deux verres,
-forme comme un disque mince, dont Tépaisseur
n’est pas la même par-tout : or.au point de contact
Tépaisseur ess zéro , & pn voit du noir en ter
endroit ; ensuite on voit autour plusieurs anneaux„ différemment colorés, & séparés les uns.des autres
par un anneau blanc. Voici Tordre des couleursr
de ces anneaux, à commencer par la tache noire
du centre :Noir, bleu , blanc , jaune,-rouge,
Violer, bleu, verd, jaune, rouge,
Pourpre, bleu, verd, jaune, rouge,. .
- - Verd, rouge. "II y -a encore d’autres anneaux, mais ils vont
toujours en s’affoibliffant.Én regardant les verres par-deffons, on verra
des couleurs- aux endroits où les anneauxfparoif-soient
 séparés , & ces couleurs seront dans iihautre
ordre. î^oye^Muffchenbroek, Eff. de.Phyj.§..
1134' &fuiv. ■■ - - "", On explique par-là les couleurs changeantes '
qu’on observe aux bulles de savon , selpn que
Tépaisseur de ces bulles est plus ou moinsgrandè.Couleur des corps naturels. Les corps ne pàroiffent
de telle ou telle couleur, qu’autant qu’ils
ne réfléchissent que les rayons de cette couleur-,-
ou qu’ils réfléchissent plus- de rayons de cette
couleur que des autres ; ou plutôt ils paraissent
de la couleur qui résulte du mélange des rayons ;
■ qu’ils réfléchissent. ■•■-.-Tous les corps naturels sont composés de pe- ;
■ rites lames minces , transparentes ; & lorsque ces
petites lames seront disposées les unes.à Tégard.
. des autres,- de manière qu’il n’y aura ni réfraction
ni réflexion entré leurs interstices, les corps- seront
 transparents ; mais si les inreflices qui font:
entre ces lames sont remplis-de matière fi: héts^43* 'cou coutogene-par rapporta celle des lames elles-mêmes,
qu’il se faste beaucoup de réfractions & de réflexions
dans Tintérieur du corps, cc corps sera
alors opaque.Les rayons qui ne sont pas réfléchis. par un
corps opaque, pénétrent au'dedans’ dé ce corps,
& y sourirent une quantité innombrable" dé réfractions
& de réflexions jusqu’à ce qu’enfin ils
s’unissent avec.les particules de ce corps. -De-là il fuit que les corps opaques s’échaussent
d’autant moins qu’ils réfléchissent plus de lumière:
auffi voyons-nous que les corps blancs, qui font
ceux qui réfléchissent le plus ; dé rayons, s’échauffent
beaucoup moins que les corps noirs,
qui n’en réfléchissent presque point.Pour déterminer la constitution de la surface
des corps d’où dépend leur couleur, il faut considérer
que les corpuscules ou premières parties
dont ces surfaces font composées , sont trèsminces
& transparentes . ;,. de plus, qu’elles sont
séparées par un milieu qui diffère d’elles en densité.
On peut donc regarder la surface de chaque
corps coloré, comme un nombre infini de petites
lames, dans le cas de celles dont nous venons de
parler, & auxquelles on peut appliquer tout ce
qu’on a dit à cette occasion. , .De-là il fuit que la- couleur d’un corps dépend
de la densité ít de Tépaisseur des particules de
ce corps , renfermées entre ses pores : que la
couleur est’d’autant plus vive & plus homogène,que
 ces parties sont plus, minces j & que, toutes
choses égales, ces parties doivent être les plus
. épaisses dans les. corps rouges, & les plus minces
dans les violets : qu’ordinairement les particules
des corps sont plus denses que celles du milieu
qui remplit Tems interstices. :-mais q,ue, dans les
queues de paons, dans, quelques, étoffes de soie,
& dans tous les corps ' dont la couleur dépend de
Ia situation de Toeil, la densité des parties est
moindre que celle du milieu ;, & qu’en général
la couleur d’un corps est d’autant moins vive,
' qu’il est plus rare par rapport au milieu que
renferment ses pores.. -■'.-.De plus, ceux des différents corps opaques
dont les. lamelles sont les plus minces, sont ceux
qui jaroislënt noirs ,,& les corps, blancs sont ceux
qui íònt composés des. lamelles les plus épaisses,
ou de lamelles qui diffèrent considérablement en
épaisseur, & sont par conséquent propres à réfléchir
toutes sortes de couleurs. Les corps dont
les lamelles seront d’une épaisseur moyenne entre
ces premières, feront ou bleus, ou verds, ou
jaunes, ou rouges, suivant celle de ces couleurs
qu’ils réfléchiront en plus grande quantité, absorbant
les autres, ou les laissant passer.C’est cette dernière circonstance de renvoyer
ou de laisser passer les rayons de telle ou telle
couleur ; qui lait que certaines liqueurs , telles,
par exemple  ; que celle -de Tjnfùsion de boisnéphrétique, paroifient rouges ou faunes.par J*
réflexion de la lumière, ,& qu’elles pàroissent
bleues-lorsqu’on les place entre Toeil & la lumière.
II en est de. même des feuilles d’or, qui font
jaunes dans le 'premier cas’j & bleues dans Te
second.. . .- ' ■.'':. ■On peut encore ajouter à cela que le changement
de couleur qui arrive à quelques poudres
employées par les -peintres , lorsqu’elles font
broyées extrêmement fin, vient fans-doute de
lá diminution sensible des pairies de ces corps
produite par le broyement , de même que le
changement de couleur des íamelles est produit
par celui de leur épaisseur.Enfin ce phénomène fi singulier du mélange
des liqueurs d’où résultent différentes couleurs ,
ne sauroit venir d’une autre cause que des différentes
actions des corpuscules salins d’une li,
queur, fur les Corpuscules qui constituent la couleur
d’une autre liqueur : si ces corpuscules s’unissent,
leurs masses en seront ou rétrécies ou alongées,
& leur densité, par conséquent, en sera-altérée ;
s’ils fermentent, la grandeur dès particules fera
diminuée,, & par conséquent les liqueurs colorées
-deviendront transparentes ; si elles se coagulent,:
une liqueur opaque sera le réfukat de deux couleurs
transparentes.On voit encore aisement par les mêmes principes,
pourquoi une liqueur colorée étant- versée
dans un, verre conique placé.entre Toeil & la lu*
mière, paroít de différentes couleurs dans les différents
endroits du verre oá Ton regarde : car
suivant que la section du verre fera plus éloignée
.du bas ou de la pointe, il..y aura plus-de rayons
interceptés ; & dans le haut du verre, c’est- à -dire. ;
à Ia base da cône,, tous ies rayons* seront interceptés,
& on n’en appercevra aucun que par la
réflexion.M. Neutoa prétend qu’on peut déduire- Tépaisseur
des. parties composantes des corps naturels
de la couleur de ces corps ; car les particules des
corps doivent donner les mêmes couleurs que les .
lamelks, de même épaisseur, pourvu que la ; deiífité
soit auffi. la même. Toute cette diéorie est
conjecturale. - ; -Couleurs qui résultent du mélange de différentes
liqueurs , ou de l’arrangement de différents corps.
Lorsqu’on fait infuser, pendant un court espace
de tems des roses rouges avec de Teaui-de-vie,
: & qu’on verse fur cette infusion encore : blanche
quelque esprit- acide/ de sel,. comme Pèsprit de .
vitriol, dé soufre, de sel marin., de nitre, ou de
Teau-forte, mais en ss petite quantité quson ne
puisse même y remarquer Tacide, Tinfufion blanche
deviendra d’abord d’un: beau rouge couleur-dérok.
Si on verse for cette teinture rouge quelque
íël alkali dissous, comme de la lessive dé potasse,
ou- de Tesprit de sel ammoniac, elle se changera
en un. beau verd : mais si on verse fur Tinfufion
de roses: du vitriol dissous dans -dé Peau, il’en, cou c ou' 439nattra d abord « ne teinture noire comnìe de i'ëncre.Muffch.fj/:de-Fkys. - ;rS\ òn íàit infuser pendant peu de tems des
'tioixide gales dans Teau, en forte que cette infusion
demeure blanche ,' & qu’on y verse du vitriol
■ commun, Ou qui ait été calciné au feu jusqu’à
•ce qu’il, soit devenu blanc, ou qu’en Tait réduit
en cplcorhar rouge, on aura d’abord une teinture-noire.
Si on verse for cette teinture'quelques
gouttes d’huile de vitriol ou d’eau-forte, toute
la couleur noire disparaîtra, & la teinture reprendra
son premier éclat. Mais si on verse fur
cette liqueur quelques gouttes de lessive dénotasse,
tout ée mélange deviendra d’abord fort noir ; &
pour lui faire perdre.cette noirceur, il suffira déverser
dessus un peu d’esprit acide.
 ; Si on niet sur du papier d’un bleu obscur un
morceau de papier blanc, qui ait été auparavant
légèrement frotté d eau-forte, íe bleu deviendra
roux, & ensuite pâle. La même chose arrive
auffi lorsqu’on à^écrit sur du papier: bleu avec le
phosphore urineux. Si on éclaircit du sirop violet :
commun avec de Teau, & qu’on le verse dans
deux différents verres, le sirop avec lequelon
mêlera une liqueur acide deviendra rouge ;, & celui
auquel pn ajoutera une liqueur aíkaline óu de
sel,-cleviendra verd : si on mêle ensuite ensemble
ces deux firpps ainsi changés, on aura un sirop
bleu, supposé qu’on ait employé autant d’acide
que d’alkali : mais fi l’alkali domine, tout ce mélange
fera verd ; & fi i'açide s’y trouve en plus
grande quantités le mélange deviendra rouge.
Lorsqu’on verse un peu de lessive de 'sel-.dé tartre,
feídu mercure sublimé ;dissons dans de Peau,
« mélangé deyient’rougey épais & ópaçraé ; mais fì
 ph verìe fur ce mélange Un peu d’esprit urineux
eu de sel ; ammoniac, il redevient blanc.Si on dissout auffi un peu de Vitriol bleU dans
Btìe grande quantité d’eau, en forte que lé tout
,reftë'"blanc. & transparent,'- & qu’on verse. ensuite
clans cette liqueur un ■ peu díesprit dé sel ammpftàç-'pn
verra paraître^ après: que ce mélange
wtía été: fait:,, unë-belle couleur bíeite ; 'mais si
oa y yerfe uri peu d’eau-forte, la couleur -bleue
■disparaîtra ùir-le-champ, & ieau deviendra claire
& Manche : enfin st l’on y joint encore de nouvel
esprit dé sel ammoniac , la couleur bleue reparóîtra
de nouveau. Lorsqu’on verse Une infusion"
de' !thé-bou sur de l’or dissous dans dé Téspritdé-vin
éthéré, il s’y forme une chaux de couleur.
fóurprée -qui se précipite au fond. ; Lorsqu’on
dissout de Tétaîn dáns de Teau régale, & qu’après
avoir éclairci cette, solution avec de Teâu-, on y
verse quelques gouttes d’or fondu dans dé TeaU
régalé j. on voit paroîtrë -une bél-lfe. éouleur depourpre
fort agréable à la vue. Ceux-qui veulent
voir uniplus/grand nbmhre' d%xpériences fur" lé
changénient des couleurs <y doivent consulter la
• íhymip de Boerhaave ; òn peut- auffi- en trouver
Vautrés dáns Touvrage. 'des- philosophes- de Flóv ;rence t enfin OH ne fera pas mal de consulter
encore fur cette matière les trans. philos. n.° Z38
§. vj. Mussch. ibid.L’infuston de noix de galé versée fur la solu ;
tion de vitriol, produit un mélange dont les parties
absorbent toute la lumière quelles reçoivent,
fans en réfléchir que fort peu ou point d tout ;"
d’où il arrive que cette teinture paroít noire ; mais
nous ignorons quel esl Tarrangement de ces parties :
lorsqu’on verse sur cette teinture quelques gouttes
d’eau-forte , elle redevient aussi claire que Téau,
& la couleur noire disparaît ; parce que Teauforte
attire d’abord à elle avec beaucoup de violence
le Vitriol qui -se sépare des noix -de gale,
lesquelles nagent alors dans leur êaU comme elles
faisoient auparavant, en lui laissant toute fa clarté
& fa transparence. Dès -qu’on verse ensuite sur
ce mélangé quelques gouttes cle lessive de p'o-7
tasse , qui étant un sel alkali, agit fortement for
Tacidé-, elles attirent sur-le-champ les,parties
acides de - Teau - forte, qui de son côté se sépare
du vitriol qu’elle avoit attiré,' de sorte que le
vitriol trouve encore par-là le móyen de se:
réunir avec les parties de'noix de gale, & "de
produire ia .même couleur noire qu’auparavant.Les parties de la surface d’un papier d’un bleuviolet,
ont une épaisseur & une grandeur dëferminée ;
"mais auffi - tôt " que l’èau-forte les rend
plus minces, ou qu’elles se séparent un peu des.
autres parties, il feut qu’elles écartent des rayons
de lumière qui ont une couleur différente de celle
des premiers, ce qui fait que lá couleur bleue fe
change etï une couleur roussátre ; & comme les
particules du papier deviennent chaque jour plus
minces, & qu’elles font comme rongées par Thumidité-de
Tâir qui se joint aux parties de Teau-'
forre, il faut quëltesrompent continuellement
' d’autres rayons colorés , &par conséquent qu’éllesfaffeiat
paraître "le papier d’une autre couleur..
Voyez Muffch. ess. de. Physc pag, s$G & suivantes:
d’où ceci est extrait. ■'■■ ' 1 ."■ Couleurs accidentelles ,iúnt des’ couleurs qúí ne
. paroiffent jamais que lorsque Torgane est forcés
on qu’il a été trop fortement ébranlé". C’ëstainíL
que M. de Buffon , dans un Mémoire sort curieux
, imprimé parmi ceux de TAcadémie des:
Sciences "de 1743 5 a Déminé ces fortes dé couleurs,
pour les distinguer des couleurs naturelles qui dé-pendëíit
 uniquement des.propriétés, dé la lumière,,
- & qui sont "permanentes du moins~ tant’que íes.
parties extérieures de fbbjët d’emeurentlésmê'mes..Personne, dit M. de Buffon’, n’a< fait avant
M. Jurin dfobservarions fur ce genre àe couleurs ;
cependant elles tiennent aux couleurs naturelles,
par plusieurs rapports, & voici uné'fuite défaitsassez
singuliers qu’il nous expose sur cette matière !.1. Lorsqu’on regardé fixement & í'ong-temí
une tache où une' figure rouge ,, comme, un’ petit
quarré rouge, sor un fond blanc, on voir naître:
autour de. la., figure rouge- unp espèce de ceìir-44o cou coutonne d’un verd soible ; & si on porte Toeil en"
quelqu’autre endroit du fond blanc, en cessant
de regarder la figure rouge, on voit irès-distinctement
un quarré d’un verd tendre tirant un peu
fur le bleu.i. En regardant fixement & long-tems une
tache jaune fur un fond blanc, on voit naître
autour de la tache une couronne d’un bleu pâle ;
& portant son oeil for un autre endroit du fond
blanc, on voit distinctement une tache bleue de
la grandeur & de la figure de la tache jaune.3. En regardant fixement & long-tems une
" tache verte fur un fond blanc, on voit autourde la tache verte une couronne blanche légèrement
pourprée ; & en portant Toeil ailleurs, 011 voit
une tache d’un pourpre pâle.4. En regardant de même une tache bleue fur
un fond blanc, on voit autour de la tache bleue
une couronne blanchâtre un peu teinte de rouge-,
& portant Toeil ailleurs, on voit une tache d un
rouge pâle.5. En regardant de même avec attention une
tache noire fur un fond blanc, on voit naître
autour^de la tache noire ime couronne d’un blanc
vif ; & portant Toeil fur un autre endroit, on
voit la figure de la tache exactement destinée, •
& d’un blanc beaucoup plus vif que celui du
fond.6. En regardant fixement & long-tems un
quarré d’un rouge vif fur un fond blanc, on voit
d’abord naître la petite couronne d’un verd
tendre dont on a parlé ; ensuite en continuant à
regarder fixement le quarré rouge , on voit le
mîíieu du quarré se décolorer , & les côtés se
charger de couleur, & former comme un quadre
d’un rouge beaucoup plus fort & beaucoup plus
foiscé que le. milieu : ensuite en s’élóignant uri
peu & continuant toujours à regarder fixement,
on voit le quadre de rouge .foncé se partager
en deux dans, les quatre côtés, & former une
croix' d’un rouge auffi foncé ; le quarré rouge
paroít alors pomme, une fenêtre traversée dans
ion milieu par une grosse croisée- & quatre panneaux
blancs ; car se quadre de cette espèce de
fenêtre est d’un rouge auffi fort que la croisée.
Continuant toujours, à regarder avec opiniâtreté,
cette apparence change encore, & tout se réduit
à un rectangle d’un rotìge si foncá, si fort & fi
vif, qu’il offusque entièrement les yeux ; ce rectangle
est de la même hauteur que Te quarré,. mais il n’a pas la sixième partie de fa largeur.
Ce point est le dernier degré de fatigue que'l’oeil
peut supporter, & lorsqu’enfin on détourne l’oeil
fie cet objet , & qu’on le porte sur un autre endroit
du fond blanc, on vojt au lieu du quarré
rouge réel Timage du rectangle rouge imaginaire
exactement destinée, & d’une couleur verte 'brillante.
Cette impression subsiste sort long-tems,
pe se décolore que peu-à-peu, & reste dans Toeil
même aprèj qu’il est fermé. Ce qup Ton vientde dire du quarré rougé arrive aussi lorsqu’on
regarde un quarré jaune oU noir, ou de tome
autre couleur ; on voit de même le qiiadre jaune •
ou noir, la croix & le reclangle ; & Timprellìon .
qui reste est un rectangle bleu, si on a regardé
du jaune ; un rectangle blanc brillant,, si on a
regardé un quarré noir, &c.7. Personne n’ignore qu’après avoir regardé le
soleil, on porte quelquefois très -long -tems Timage
de cet astre fur tous les objets. Ces images
colorés du soleil sont du même genre que nous
venons de décrire. . ….  ;8. Les ombres des corps qui par leur, essence
doivent être noires, puisqu’elles ne sont que la
privation de la lumière, sont toujours colorées au
lever & au coucher du soleil. Voici les observations
que M. de Buffon dit avoir faites fur co
sujet. NOUS rapporterons ses propres paroles..-'. .« Au mois- de juillet 1743 , comme j’étois
33 occupé de mes couleurs accidentelles, & qpe je
Jjcherchois á voir le soleil dont Toeil soutient
55 mieux Ja lumière à son coucher qu’à toute
33 heure du jour, pour reconnoître ensuite les
) ) couleurs & les changemens de couleurs causés
33par cette impression , je remarquai que,les
33 ombres des arbres qui tomboient fur une muJJraille
blanche étoient vertes ; j’étois darïs ira
sjlieu élevé, & le soleil se couchoit dans une
"gorge de montagnes, en forte qu’il me paroissoit
33 fort abaissé ; au dessous de mon horispn ; le ciel
33étoit serein, à Texception du couchant, qui,
Jjqupiqu’exempt de nuages , étoit chargé, d’un
33 rideau transparent de vapeurs d’un jaune ròussgeàtre ;
le soleil lui-même étoit-fort rouge, &
33sa grandeur apparente au moins .quadruple de
33 ce qu’elle est à midi : je vis donc très-dislincJ3
tement les ombres des arbres qui étoient à vingt ;
33ou trente pies de la muraille blanche, coíerées
33d’un verd tendre tirant pn peu fur le bleu ;
33 Tombre d’un treillage qui étoit à trois,pies de
33 la muraille, étoit parfaitementdeffméeTur cette
33 muraille , comme si on Tavpit: nouvellement
33 peinte en verd-de-gris .-cette apparence dura
33près de cinq minutes, áprès ;.-qupi la couleur
J3s’affoibíit avec la lumière du soleil, & ne dif33
parut entièrement qu’avec les Ombres. Le len3
j demain au lever du sol eil, j’allai regarder d’autres
3Íombres.for une autre muraille blanche ; mais
33 au lieu de les trouver vertes comme „je m’y
Jîattendois, je les trouvai bleues, ou plutôt de la
 » couleur .de- Tindigo le plus vifile ciel étoit
Jjserein, & il n’y avoit qu’un petit rideau de
33vapeursjaunatres.au levant ; ;le soleil se levoit
33fur une. colline, en sorte qu’il,me paroissoit
•3élevé au dessus de mon horizon j~l.es ombres
33 bleues ne durèrent que trois, minutes, après
33 quoi elles me parurent noires : Ie même jour,
sjje revis au coucher du soleil les ombres vertes,
33 comme je les avois vues la veille. Six jours se
« passèrent ensuite sans pouvoir observer, les>;pmbrefC o ù cd u ■ 44í« ombres tm coucher du soleil, parce qu’il étoit
toujours couvert cle nuages : le septième'jour j
 »? jc vis le soleil à son coucher ; les ombres,n’étoient
 »> plus vertes, mais d’un beau bleu d’azur, je re »3
marquai que les vapeurs n’étoient pas fort abontjdantes,
& que le soleil, ayant avancé pendant
•sscpt jours ,--se couchoit derrière un rocher qui
. »3 le fáisoit disparaître avant qu’il pût s’abaiflër
#3 au dessous de mon horizon. Depuis ce tems,
íij’ai très -souvent, observé les ombres, soit au
 »3 lever, soit aU coucher du soleil, & je ne les ai
fsvues que bleues, quelquefois d’un bleu pâle,
« d’un bleu foncé, mais constamment bleues, &
 »j tous les jours bleues. 33 (O) Un habile Physicien a cru devoir ajouter un
supplément à Tarticle sur les couleurs accidentelles.
Nous allons mettre ses observations fous les yeux
■du public. y . ;.-COULEURS ACCIDENTELLES , Optique. Les
phénomènes que présentent ces couleurs imaginaires
, font, à bien des égards, très - remarquables ;
& ils paraissent demander en particulier Tattention^
des astronomes, parce qu’ils fournissent des explications
naturelles & faciles d’un grand nombre
d’observations illusoires, qni ont embarrassé fré-quemment
 les observateurs dans les éclipses, dans
les occultations d’étoiles par la lune, dans les
passages de Vénus devant le disque du soleil, &
peut-être dans beaucoup d’autres occasions. Cependant
ils sont presque ignorés, tant des physiciens
que des astronoines ; & on connoît encore
moins généralement les nouvelles expériences qu’a
faites, après M. de Buffon, le P. Scherffer jésuite,
& professeur de Physique à Vienne en Autriche,
& les conjectures plausibles que cet habile jésuite
a exposées for la nature & fur les causes. des
couleurs accidentelles, dans pn écrit allemand imprimé
en 1765. Nous sommei persuadés d’ailleurs,
que ce que nous avons dit- d’après le Mémoire
de Mvde Buffon , ( Hist. de l’Acad. R.. des Sc.
1743.) ne peut qu’avoir excité la curiosité de
ceux qui auront lu cet article ; & toutes ces
raisons nous engagent à entrer ici dans dé nou'
veaux détails fur les couleurs accidentelles. Nous,
suivrons presque pas à pas le petit ouvrage du
P, Scherffer : nous tâcherons d’éviter que cet anticle
ne se ressente de Tobscurité qui dépare
assez souvent Toriginal ; & quoique nous soyons
' obligés de passer sous silence plusieurs détails,
nous espérons de mettre le lecteur en état de fe
rendre raison de la plupart des phénomènes que
nous avons rapportés ci r dessus, concernant les
Couleurs accidentelles. . " ;Comme ce sont les expériences de M. de Buffon
qui ont ; occasionné celles du P.' Scherffer , ; c’est
auffi par les rapporter & par en attester la conformité
avec lés siennes dans lés points principaux,
que ce dernier entre en matière. M. de Buffon
décrit deux suites d’expériences, & nous lès avons
déjà tirées de son Mémoire ; ainsi, nous ne ferons
Mathématiques. Tome ì, 11,"* Partis*,ici qu’une courte récapitulation, d’abord dé la
première. . ' .
: Lorsqu’on regarde fixement & long-tems une
tache ou une figure rouge, for un fond blanc,
. commè un petit quarré de papier rouge fur un
papier blanu , on voit naître autour du petit
quarré rouge une espèce de couronne d’un verd
foible : en cessant de regarder le quarré rouge ,
si on porte Toeil sur le papier blanc, on voit
très-distinctement un quarré d’un verd- tendre,
tirant un peu fur le bleu : cette apparence subsiste
plus ou moins long-tems, selon que Tira- »'
pression de la couleur rouge a été plus ou moins
forte. La grandeur du quarré verd imaginaire
est la même que celle du quarré-réel rouge j
& ce "verd ne s’évanouit qu’après que Toeil s est
rassuré, & s’est porté fucceffivement for plusieurs
autres objets , dont les images détruisent Timpreffion
trop forte causée par le rouge. M. de Buffon "
a remarqué, comme nous Tavons dit, des apparences
semblables, en mettant à la même épreuve
les autres couleurs primitives ; & voici le tableau'
des -résultats de cette fuite d’expériences.Le rouge naturel produit le verd’ accidentel.
Le jaune . . . . . , … . bleu.v Le verd …. ….. pourpre.-Le.bleû ………. rouge.Le noir. . . .-.".. » …… blanc. -,Le blanc ………. noir.La dernière expérience suppose qu’on ait con*''
sidéré Ie quarré blanc for un fond noir , &'
qu’on ait porté Toeil for un autre endroit du fond
noir ; & nous ajouterons que le P. Scherffer
trouve qu’on fait ces expériences en général avec
plus de succès, en considérant les couleurs naturelles
fur un fond noir. Outre qu’on ménage v
par-là fa vue, il a observé que les couleurs ac-* "
cidentelles, que M. de Buffon a toujours vit très ;pâles,
 étoient alors bien marquées , lorsqu’on transportoit
 Toeil du fond noir sur le blanc.
"TL’explication de cette suite d’expériences-exige,
quelques demandes-préliminaires que nous allons indiquer
 , fans entrer cependant dans le détail
des raisonnemens qui leur servent de preuves,
d’autant qu’elles sont fondées principalement for
Texpérience & for la . doctrine très-connue de
Neuton fur les couleurs. '.ï.° La cpuleur blanche consiste en un mélange
de toutes les couleurs des rayons de la lumière,
tel que.toutes, pour ainsi dire, sont en équilibre,
& qu aucune ne prévaut for l’autre : de sorte
qu’en vertu de ce tempérament , l’impreffion
' que chaque espèce -de rayons fait fur Toeil, correspond
aux autres, de façon que la lumière
étant réfléchie d’un corps blanc, il n’est aucune
de ces espèces qui fasse plus de sensation que, les
autres.■z.°. Dans les corps colorés, Tarrangement des
particules iósinimetu petites -qui agissent fur lj44i cou c-o ulumière, est tel que Tespèce de rayons qui donne
son nom à la couleur du corps, est réfléchie plus
abondamment vers Toeil que ne le sont les autres
espèces ; & que par-là, Timpreffion que font les
rayons des autres couleurs devient, en quelque
façon, insensible en comparaison de celle-là.V° Lorsqu’un de nos feus éprouve deux impressions,
dont Tune esl vive & forte, mais dont
l’autre est foible,nous ne sentons point celle-ci.
Cela doit avoir lieu, principalement quand elles
font toutes deux d’une même espèce, ou quand
une action forte d’un objet sur quelque sens,
est suivie d’une autre de même " nature , mais
beaucoup moins violente ; qUe cela vienne, ou
de ce que Torgane de ce sens est fatigué, & en
quelque manière relâché, & qu’il lui faut un
certain tems pour se remettre en état de transmettre
aux neifs des impressions même foibles ;
ou bien de ce que ce mouvement & Tébranlement
violent des moindres parties de cet organe, ne
cesse pas auffi-tôt avec Taction de Tobjet extérieur.
Cette troisième remarque préliminaire suffit
seule pour expliquer les phénomènes que . présentent
les taches blanches & noires. Si l’on considère
fixement pendant quelque tems un quarré
blanc fur un fond noir, la partie du fond de l’oeil
fur laquelle se peins la figure blanche, sera, pour
ainsi dire, fatiguée par 1 abondante réflexion des
ra3'ons, tandis que le reste de'la rétine souffre
très-peu de la fóiblë lumière que renvoie la surface
noire. Qu’on cesse ensuite ; de regarder le
quarré blanc, & qu’on jette Toeil à côté sur quel- '
qu’autre'endroit du fond noir, Timpreffion de la
lumière renvoyée par cet endroit , agira .avec
beaucoup moins de force for la partie qui avoit
été occupée par la figure blanche, & dans laquelle
les moindres nerfs sont assoiblis, qu’elle n agira
fur le reste de Toeil qui éprouvera par conséquent
un plus haut degré de sensation. C’est cette inégalité
qui fait que nous trouvons la tache que nous
croyons voir, beaucoup plus noire que le fond
fur lequel nos yeux sont fixés, & que tant fa
grandeur que fa configuration nous paraissent les
mêmes que précédemment, pourvu que Tendroit
où nous la voyons soit à la même dislance de
Toeil qu’étoit la figure blanche. Cette tache nous
paroîtra bien plus noiie encore & plus nette, fi,
après avoir considéré la figure blanche , nous '
jettons Toeil, non fur une surface noire, mais fur
un fond blanc ; la lumière plus forte de ce fond frappera
 d’autant plus vivement les libres, qui sont
 encore fraîches, & la sensation de celles qui
sont fatiguées en deviendra d’autant moins sensible.On remarquera au contraire for un fond blanc,
ou méme noir, une tache bien plus claire & plus
luisante, après avoir considéré fixement une figure
noire fur une fui face blanche : car, dans ce cas, ;
la sorte réflexion de cetre surface affecte Toeil vi- ;
renient ; & il n’y en-a que la partie qui a reçu <Timage de la figure noire, qui ne s’affoiblit pas :
cette partie est donc la seule qui soit en état_ de
ressentir ensuite vivement la blancheur du papier,
tandis que Timpreffion que les autres parties reçoivent
esl insensible. Que fi Ton jette Toeil for
un fond noir, il arrivera de même que les parties
qui ne sont point affaiblies feront affectées davantage ;
& Teffet de cette lumière, quelque soible
qu’elle soit, ne laissera pas d’être une sensation
plus forte que celle qu’éprouve Ia partie assoiblie.
. Le docteur Jurin , qui le premier a parlé ( à
la fin du traité de la ' Vision distinSe & indistinde ,.
joint à T Optique de Smith ) des illusions que causent
des taches Manches ou noires qu’on regarde at*
tentiyement pendant quelque tems , n’avoit plus
qu’un pas à faire pour en donner Ia mêmé explication
: il ne falloir que rédiger ses idées &
ses raïsonnemens for les différentes dispositions de
Toeil, quand il éprouve les mêmes sensations dans
des circonstances différentes ; & c’est çe que le r
P. Scherfser a fait.On peut assigner encore une autre raison, de
conclure que le phénomène de la figure imaginaire
dépend d’une certaine durée de Timpreffion que
la figure vraie fait for Toeil,, & qui le disposeà
une plus grande ou moindre faculté de ressentir
J’action d’un nouvel objet : cette raison est, que
si la surface blanche sur laquelle nous jettons.
Toeil, en est plus éloignée que la figure véritable,
nous trouvons Taccidentelle d’autant plus grande
que celle-là : car si deux objets peignent fur Ia
rétine des images égales en grandeur, c’est celui •
de ces deux pbjets qui est le plus éloigné, qui
nous paroít le plus grand r or, commei'impres- fion
 de la figure véritable occupe dans Toeil le-,
même espace sur lequel cette figure avoit agid’abord,
& que nous croyons voir son image for
la surface même où les axes visuels se croisent,
il s’ensuit que cette figure nous paroîtra néeef-.
saireinent plus grande, fi la surface for laquelle
nous Ia voyons est plus éloignée. .Mais passons aux couleurs accidentelles que produisent
les corps colorés. Pour les expliquer,'il
faut, principalement se rappeller , en quatrième,
lieu, ce que contient la VIe proposition de la
IT partie du premier livre de Y Optique de Neuton,
au fojet des règles pour connoítre dans un mélange
de couleurs primitives la couleur du com- .
pose, lorsque la quantité & la qualité de chaque
couleur sont données ; mais en faisant attention
cependant de né pas donner exactement aux arcs
du.cercleque décrit Neuton, les proportions des
sept tons de musique, ou des intervalles des liuit
tons contenus dáns une octave ; il vaut. mieux,
d’après une remarque du P. Benvenuti, dans fa ■
Dissertation fur .la lumière , donner au rayon rouge •
| ou arc dé 45 degrés, :à 1 orangés ou 27 degrés,
au jaune íf ou48 degrés, au verd j ou óodegrés,
au bleu ì.ou 60 degrés, à Tindigo ì 01140 degrés j,
ou violet ~ ou So degrés. .Cou cou 443: -- Cela posé, qu’on commence, par exemple, par' I
.chercher le mélange de toutes les’ couleurs’ pris- !7matiqûes, excepté la verte : il s’agit donc de déterminer
le centre dé gravité commun des ; arcs■•-.decercle qui représentent les couleurs qui entrent
dans le mélange, & il n’est pas nécessaire pour
cela de suivre tout le procédé prescrit en mé,
chanique. II est clair, en premier lieu, que ce
, centre tombera fort près du centre, & que par '
conséquent la couleur résultante- approchera du !
blanc, & Tëra très --pâle :■ de - plus, -ce centré de
gravité : se trouvera fur la ligné qùi 'passe par le
: centre du cercle en partant du milieu de Tire
omis ; & comme cette ligne va tomber for Tare
: violet, & seulement à 10 degrés de distance du
: rouge, il s’enfuit que la couleur composée ou
résultante sera un violet très-pâle, & tirant beaucoup ,
ifur le rouge. Or' ; n’est-ce pas là précisément ce i
-pourpre foible, semblable à la couleur d !une ámé- I
thifie pâle que M. de Buffon a vu succédera la '■
contemplation d’une tache verte sur un fond blanc î i
En effet, Toeil fatigué par une longue attention
.à lá couleur verte, "& Jette ensuite surTá surface
blanche, n’est pas en état de ressentir vivement
uné ; impression moins forte -de rayons : verds :
-ainsi, quoique toutes les modifications dé-la Tu-mière
îoient réfléchies par une surface blanche,
•.comme cependant les vertes sorit: en beaucoup
•moindre quantité en comparaison de celles qui
.frappoient Toeil en venant de la tache verte, ïl
arrivera que fi on fixe Toeil fur le papier blanc ;,
les. parties qui auparavant avoient senti úne plus
forte impression de la lumière verte que les autres,
aie pourront pas éprouver à présent toutl’xffet de
:cette lumière, mais qu’elles auront la sensation
xTune couleur mêlée des autres ; rayons, laquelle
ressemblera, comme on vient de lé-conclure, â
« ne couleur purpurine pâle.M. de Buffon á trouvé que la couleur accidentelle
d’une figure bleue , considérée fur un fond
Blanc, étoit rougeâtre & pâle ;.ce phénomène
s’explique de la même manière, mais il faudra
donner encore plus d’étendue à l’hypothèse que
Toeil, après une forte sensation de quelque couleur,
-est hors d’état de ressentir une impression moins
forte de rayons de la même espèce. On accordera
sans peine que Toeil alors ne sera pas en
état de distinguer avec précision les rayons qui
ont une affinité avec ceux-là, & qui déja natuTellement
font encore plus foibles ; on remarquera
que Tindigo n’étant qu’un bleu foncé $
Timpreffion de cette couleur n’est pas suffisante
-pour faire sensation sur un oeil qui s’est déjà fatigué
en regardant un bleu clair ; enfin on én
cpncluera que pour déterminer d’avance la couleur
accidentelle en question, il suffira de chercher la
couleur qui résulte du mélange du rouge ; de Torangé,
du jaune, du verd & du violet, en faisant
abstraction du. bleu & de Tindigo.Ce qu’on vient d’observer, sur Taffinité qui a-lieu' entre Tindigo & le blëucìaír, s’entend auffi
-du roùge& du violet clair,'principalement quand
' on destine.- à Texpérience un rouge un peu foncé
. & approchant du pourpre : en- partant: dé-là, &
 ; en cherchant le centré de graviré commun des
arcs des autres couleurs , on trouve que Ia couleuraccidentelle
du rouge doit être un verd tirant un
peu for le bleu ; ce qui est assez conforme à
Texpérience de M. dé Buffon. II est à remarquer
rque la' couleur:résultante approche encore dàvah'.
tage du'bleu-, ; fr- on’ tietit compte d’une' partie' de
Tare À'iolet ;. ;& au^effë, if ne faut 'ëm général
 ;pas s’arrêtei- ; à ;-de légères-différences-, - parce que
:M. de Buffonr, dans son mémoire, n’indique
..jamais les couleurs que parTes’ noms généraux de
:bleu-, -de rouge, &o, -fans "désigner les nuances.
: La méthode -du P. Scherffer. ;-fait voir qu’en
.omettant le jaune,-: la couleur rhèìée.tombe 'dans
Tindigo-, &; fort- près -du violet, duquel elléfèra
cependant, plus.-éloignée ss.pn ometauffi .Torangé ;.
,cé~qùi explique, pourquoi.pne tachp -jaune.,- -fixée
pendant quelque tems, se peint en bleu for une
surface blanche. Enfin, òn se convaincra encore.
 ;de plus en plus de la justesse de cette méthode
,èn faisant servir aux expériences les couleurs pri'mitiyes
.avec le secourssdu.prifme. 7"
 On peut. tirer  ; des principes de notre auteur
 ; plusieurs’autres, conséquences, qui, si.elíesTont
■ d’accord avec - Texpérience, ;, garàh tissent la solidité
 ; de ces principes : : nous • en citerons., quelquesunes
que. le P. Scherffer a mises à Tépreuve.
" "La couleur .accidentelle d’une tache rouge con’.sidérée
for un fond noir ou blanc  ; doit être.obscure
…ou ombrée:, íi-on jette Toeil sur une. surface
rouge, de mëme qu’pn ne voit for'uri. fond
blanc : que Tómbre. d’une tache blanche qu’on: a
considérée auparavant sur un fond •.•noir. . ; ■■_■''.Si la surface sur laquelíe on considère un quarré
rouge est elle-même colorée, par exemple, st
elle" est jaune, un papier blanc for lequel on
jette Toeil paroîtra bleu,  ;& pn y remarquera.un
quarré verd ; car en général-on doit apperéèvoir
nòn-seulement Ia couleur apparente de la figure ,
mais:.auffi celle du fond. - ,Si dans le tems qu’on considère ía figure colorée,
ori change la situation de Toeil de manière
: que Timage vienne à occuper.une autre place fur
 ; la rétine, on verra la figure double, ou du moins
dissemblable de la vraie. -. - …La figure apparente prendra for le papier blanc
i un bord pâle , Torique dans le teins. ; qu’on re ;
garde la taéhe colorëe,.,on en approche un" peu
 ; Toeil -fans que Timage change de place for la
 ; rétine.Oh verra une" figure verte fur un fond, jaunâtre,
 après avoir considéré un quarré rouge for
du papier bleu, &c.Pareillement, fr le fond a été jaune & la tache
bleue, on verra une tache jaune dans unphampbleu, de. •Kkkij444 cou couLe P. Scherffer Laisse un peu plus a désires
au sujet de Texplication de la seconde fuite d’expériences
de M. de Buffon. II.avoue d’abord
naturellement qu’il n’a pu. voir ni croisée de
fenêtre, ni panneaux blancs, ni un rétrécissement
considérable de la figure, & il s’arrête à Tidée
que M. de Busson aura fatigué ses yeux au point
de n’être plus en état de les tenir assez tranquilles,
pour que les axes visuels se rencontrassent for
le quarré: car, dit-il, si-ces axes se coupent en
deçà ou au-delà deTobjet,on,verra.nécessairement ■
double, comme il arrive,.ordinairement dans de
pareils cas : or il se peùt-frès-bien que les figures
qui se sont présentées ayerit été fi:proches Tune !
■de l’autre, qu’elles n’ont fait qu’une seule surface,,
& que si avec cela la longue sarigue a fait changer
à Timage fa place dansl’oeil, il ên soit: résulté !
•quatre images jointes, ensemble, & représentant l
■cjuatre panneaux de fenêtre.avec,leur croisée. 7 j' 7 Le P. Scherffer passe à ;,cè "qú'iTy.a d’àillëurs ;
íe remarquable dans" ces 'expériences ; "&' distingue ;
trois observations en particulier. La première est ':
« rac M. de Birffon a vu les bords du quarré rouge
Té charger de couleur : notre auteur observé fur
•cela, qu’en général le" bord d’une' figure quon
considère plus Iong-téms qu’il ne seroit nécessaire '.
pour la voir représentée sûr úrì fond blanc j sèteint  ; '
de la couleur accidentelle du" fond sus lequel lá '.
áïgure reposé: L’expéríericè lùi a appris qu’on ; ;
Toit íe bord d’un quarré llânc" devenir jaune,
ii le quarré repose'fur un fond-bleu ; verd s’il
■est for un fond rouge ; rougeâtre fur un. fond
Verd., & ainsi de fuite. Cela pose , comme les
■couleurs accidentelles , quand elles, tombent fur
tìe réelles, sont -très-foíbles en comparaison de
celles-ci ; & qu’outre cela elles sont luisantes, ;
elles ne font ordinairement d autres’ effets que de
renforcer un peu la couleur Véritable du Jbord,
<&.' de lui donner plus d’éclat ; -Mais Tombre étant
la.couleur accidentelle du blanc, on doit voir le
3iord.de la figure se rembrunir-quand on la con-'
ssderë fur du papier -blanc. Lé P. Scherffer explique
au reste ces phénomènes par des contrac-"
rions & des extensions alternatives de Timage qui \
Te forme fur la rétine lorsqu’on- considéré la figure ■
pendant long-tems, & cette conjecture nous paraît '
d’autant plus fondée, que le bord dont il s’agit '
est tantôt.plus large & tantôt plus étroit, & quil ,
difparoít souvent entièrement. JLa seconde .circonstance que notre auteur in- ' i
dique, c’est que, suivant M. de Buffon, Ia couleurdu quarré devient plus soible dans Tintéríenr de ices bords plus "colorés ; il assure que de son côté c
il a seulement pu voir au commencement íacouleur de la figure devenir un peu plUS sombre 1vers le milieu, & la figure paroître ensuite in- 1distincte, & pour ainsi dire, nébuleuse., quand il rIa considéroît for une surface blanche : cc je n’ai aÎ » jamais, ajoute-t-ilj pu femafquer une véritaJjle oJs blancheur fur des.figures colorées ; mais quand
33 je regardois des taches blanches for du papier
33 coloré, elles paroissoient légèrement teintes de
33 la couleur du fond en dedans de leur périphérie,
53 je ne voudrois cependant pas garantir que cela
33 ait toujours lieu. 33La troisième observation sur laquelle le
P. Scherffer insiste, c’est que toutes les fois qu’on
a considéré les taches colorées plus long - tems
: que de coutume, leurs couleurs accidentelles fe
voient non-seulement fuir un fond blanc, mais
auffi quand en fermant les yeux on ne regarde
-.rien absolument ;, il trouve ce phénomène difficile*
: à expliquer, & il entre à ce sujet dans des détails
trop longs pour pouvoir trouver place ici', d’aUtant
qu’au fond ce ne sont que des conjectures. Le
P. Scherffer ; insiste beaucoup fur celle que Toeil
est d’une nature à demander d’être rafraîchi
après de fortes impressions de la lumière, non.seulemènt
par le repos, mais auffi par la diversité
des cóùleurr, & que le dégoût que nous ressentons
en regardant long-tems la même couleur, ne dérive
pas tant de notre inconstance naturelle, que
-de la constitution même de Toeil.
: Ces mêmes conjectures cependant , combinées
-avec ; d’áutres , & principalement avec les principes
:que : nous av ons exposés, rendent auffi plauTibles
les explications, que. notre, auteur donne
'des faits & des expériences que nous allons simplement
indiquer, i." « En considérant, dit-ilj
pendant quelque temps urt quarré blanc for du
papier jaune, &, détournant ensuite Toeil à, côté
sur le jaune, je vis le quarré d’un jaune foncé ;,
mais,.èn.jettant ensuite les yeux fur du papier
•blanc ,'ce papier me parut bleu avec’un quarré
d’un jaune fort sombre, ressemblant à un petit nuage
qui obscurcissoit le. papier. 33
- De même une tache blanche vue sur un fond
rùuge en produit une pliî's foncée à côté, &'. l’on
voit ensuite sur une muraille blanche une tache
" d’un rouge foncé dans un champ verd.
.. Les expériences de MM: de Buffon, Béguelin
& ^Epinus,- & du P. Scherffer, ne laissent aucun
doute que Tombre d’un corps fur lequel tombe là
lumière du ;.jour, ne soit bleue ; auffi se jaune estil
fa couleur accidentelle. Notre auteur a fait for
cette ombre les expériences suivantes.z.", En considérant Tombre du-jour pendant
long-tems à la lueur d’une lampe, le papier
blanc lui montra une figure semblable toute de
couleur orangée. "'••"•'•■ -3.°,Et de la même manière, cette ombre jaune
étant éclairée par la seule lumière d’une lampe,.
devenpit, violette. …4.° Encaissant tomber un autre, soir Tombre
bleue fur un:papier jaune, le mélange donna un
beau-verd clair ; comme auffi lorsque íe P. Scherffer
reçut 'Tombre-jaune sur un papier bleu, la couleur
accidentelle de.l’un & de 1 autre fut le pourpre.,
qui est celle, de toutes les couleurs..vertes ».£ oiï cou -a4ç■11 faut remarquer, par rapport à ces dernieres
*xP,'-sence,Sj que la lumière que répand une chanle7exDérien.lampe.allumée> e » jaune ; &, qu’ainsi
es « penenj. - mío » fait à la lueur d’une telle
lumière, doivenl iz{f£- Â n ■ s £ .
à la lumière du \<t ?J* celles  ?ul se fen ?lent ■
d’après le P. Scherffei no™ Poumons en citercette considération. PareìR*^rsfi ^°m, « ** à
du soleil qui tombe sur leT™' sl c f^^lumière
expériences, les couleurs accid ?™ dest™ees aux
quelque altération , parce que f|^ en souffrent
. prédominent-auffi un"peu dans,cette X0)  ?s launesCeux qui seront curieux de s’occuper de » ' .
accidentelles , pourront vérifier auffi les expéfive"ri ;
que le P. Scherffer a faites avec la lumière d’uet ?.
chandelle,, considérée de jour & de nuit ; avec
la flamme.de.Tefprit-de-.vin ; avec des charbons
ardents & du fer rougi ; au feu ; avec des nuages
éclairés par le soleil ; "avec du papier blanc ; avëc
Timage du soleil, reçue sur les feuiHes.de papier
de différentes couleurs par le foyer d’une lentille.Nous ne nous arrêterons pas à ces expériences,
afin de rapporter plutôt les suivantes, que nous
regardons comme plus intéressantes , & que le
. P. Scherffer a faites à ; Toccasipn d’une conjecture
qu’il formoit ;, que chaque espèce de rayons agit
fur telles parties de Toeil dont les forces ont avec
: elle.-un rapport plus immédiat.., -..H Je voulus éprouver, dit-il, fi les couleurs
.accidentelles se mêlent de la même manière que
.les. vraies. Je mis, dans ce dessein, for un papier
noir, deux petits quarrés exactement l’un à côté
 ;dé.l’autre ; le quarré à gauche étoit jaune, l’autre
étoit íouge ; Je. tournai-íes axes visuels d’abord
-fur le centre du jaune ,. ;& le considérai pendant
quelque tems : âpres cela, ,je portai les yeux, fans
remuer la tête, fur le centre du rouge, & Ie
fixai pendant le même espace de teins ; je jettai
la vue ensuite de nouveau, sur le milieu du quarré■ jaune, & de-là sur le rouge. Je fis cela à trois
ou quatre reprises, & me tournai ensuite vers une
muraille blanche, où je vis trois quarrés qui se
toúchoient, comme ceux qui reposoient for le
fond noir : le quarré du côté gauche étoit violet ;
celui du milieu, un mélange de Verd& de bleu ;
& le quarré à Ia droite parut d’un verd clair,
parce que la couleur rouge du véritable tirait fur
le pourpre.• Je considérai de la même façon alternativement
deux quarrés, l’un jaune & l’autre verd ; & je
i vis for la muraille,, à gauche, un quarré bleu
Toncé, au milieu un quarré de couleur violette,
 ;mêlée de beaucoup de rouge, & adroite un quarré
d’un rouge pâle. ■ '. ■ ' ,Deux quarrés, l’un verd & l’autre bleu, produi:
firent du côté gauche une couleur rougeâtre , à
droite un jaune pâleá &. au milieu de Torangé.-Enfin, la figure "apparente oun quarré rouge
& d’un vérd se trouva verte'& rouge,- sans^que
je pusse distinguer au milieu autre chose qu’uneombre obscure de même grandeur que les quarrésJe
continuai par mettre trois petits quarrés ;à
côté l’un de l’autre ; un verd à gauche, un jaune
au milieu, & un roùge à droite. Je les considérai
Tun après l’autre fans remuer la tête , suivant. Tordre que je viens de désigner, & en commençant
par le rouge. Après que je les" eus contemplés
à diverses reprises, je vis cinq quarrés for la muraille
blanche : le premier , à gauche, étoit rougeâtre j: le second , d un pourpre foncé ; le troisième, d’un
bleu encore plus obscur ; la couleur du quatrième
étoit un mélange plus clair de.verd & de bleu ;. celle du cinquième étoit un verd clair.- Je changeai Texpérience en substituant un quarré*
bleu au verd ; & jè vis alorj à gauche, d’abord
"âi quarré d’un jaune pâle : à côté de celui-crérnirr^ un bleu -í 111 teir's^du vera> au milieu
A,l"-uarré d’un, verd tres-twé- puV_ y ' ;,
un mélange,A_ d.& de hleu.y seW^/™
étoit d Un verd « ■ J9 lII suffit, d’avoir saK..,es .prmcipes du P. Scherffer ;
& d avoir des notions ordinaires fur le mélange
des couleurs,. pour tirer ^e ces expériences la: conclusion que le mélange pw couleurs accidentelles-
se fait de la. mêmé manière que celui des. couleurs véritables. Elles donneni Heu auffi au
P.- Scherffer de faire plusieurs remarques fipes qui
répandent du jour.fur cette partie de Toptique,.mais qui sont trop liées entr'elles pour que nous
puissions ici nous y arrêter. Au reste, fi Ton’
considère, de la manière qu’on vient devoir, ùrt
plus grand nombre ; de quarrés. rangés- fur une.
ligne , leur nombre devient trop ; grand for Ja
muraille, & les couleurs accidentelles deviennent/"
írpp.foibles , pour qu’on ; puisse bien distinguer
cellés-ci.  ; " ■ ; _ . -Ontrouvera auffi dans la brochure du P'. Scherffer
des remarques for quelques phénomènes observés ;- par
 des savans célèbres, mais, mal expliqués, ou'
laissés fans explication, faute d’avoir connu la-théorie des couleurs accidentelles. ; Enfin , notre
auteur fait voir auffi que ces couleurs peuvent servir
à des récréations d’optique, dans le goût de cellës^qu’onfait avec des cônes & des cylindres de
métal : il a peint des fleurs,, & même:des figures
humaines, en couleurs renversées,. c’est-à-dirê ,.
avec les couleurs accidentelles de celles qu’il vouloir
que ses figures . eussent pour être . représcntéesenfoiteau
naturel fur un fond blanc ;'& cës expériences
Tont beaucoup amuse, ainsi que ceux qui ;
les ont.faites avec lui. II faut feulement, pour
y réussir," avoir un peu d’habitude,, & tenir Tceilî
fixe à peU-près fur le centre de la figuré.- '-. .Après avoir rapporté ce qu’il y a de phts ; essentiel
fur les" couleurs accidentelles dans le petit traitai
du P. Scherffer, nous dirons encore qUelque cho&fur
 les phénomènes de cette espèce,, qu’on voir
aprèsavoirregarcíéuninstantleíoleiLLéP. Scherffer
ne paroít pas s’en être beaucoup occupé- quoiqu’à.
la vérité cette image du soleil que. nous avons dip44<? cou . cou _plus’haut qu’il recevoit sor du papier blanc, au. .'moyen
 d’une lentille, offre à-peu-près les mêmesapparences. .■'/■>,C’est d’après un mémoire de M. yEpmus, mlérédans le tome X des .nouveaux Commentaires de
- Pétersbourg, que nous ajouterons à cet article cequi fuit,« Lorsque le soleil estassez proche de Thorizon,
.- ou bien quand il esl couvert par de légers nuages,
: son éclat esl assez diminué pour qu’en le regardant
: fixement pendant environ le quart d’une minute,Toeil en ressente seulement-une vive impression,
, sans en être cependant blessé tout-à-fait. Mais cetteimpression & la sensation qui en résulte, ne s’éva.nouissentpas d’abord , quand on détourne enfuisles yeux ; elles restent pariant trois ou m-^.minutes, & sTO/^'onëÌf"s", '« &£. fo
r>n ÊTWUve ~Lte tentation , soit qu’- sl
■™J ?m qu’on les ouvre ; les.-'f n.sla.nce^-* ?*. ;
1 accompagnent sont singuliè- 3 ? & J al trouve
.par plusieurs" expériences iaon peut les réduire
aux loix suivantes,i.° Quand auffi-t^ qu’on a cessé de regarder-le soleil on fern*: les yeux, on voit une tacheirrégulièrement arrondie ,- dont le champ intérieurest d’un jau*e pâle, tirant for le verd , tel à-peuíprèsque lACouleur du soufre commun, & cet espace,."jaune est entouré d’un bord ou anneau qui sembleteint en rouge.z." Qu’on ouvre ensuite les yeux, & qu’on lesjettefur un mur ou fur quëlqu’autre surface blanche,on verra sur ce fond blanc une tache toùt-à-fait■pareille, tant pour la grandeur quepòur la figure,.yi celle qu’on voyoit avec les yeux fermés, mais:gui se distingue par de tout autres couleurs : car,3." Le champ qui paroissoit jaune aux yeuxfermés, se voit, quand on les ouvre, d’une couleurrouge, ou plutôt brune tirant fur le rouge, &î'anneau qui auparavant étoit rouge, paroít de. couleur bleu-céleste fur le fond blanc.■ : 4. 0 Si on. referme ensuite les yeux, on revoit•les apparences du n.° r, &en ouvrant de nouveau•lés, yeux, on voit aussi revenir celles des n.° 2&• j. Mais les-cóa/earí cependant né restent pas toutàTaitles mêmes, elles s’altèrent continuellement& de plus en plus ; & si pn fait attention à ceschangemens, on remarque qu’après -la premièreminute à-peu-près,5.° Le champ paroít aux yeux fermés d un-beau
•verd^, -& que se bord , quoiqu’il continue de
paraître rouge, a changé cependant sensiblement ;
ce rouge différant déjà assez de celui du n." 1. -6.° Quon rouvre les yeux , on voit fur le'
tond blanc l’espace intérieur de la tache plus rouge,
& 1 anneau d’un bleu-céleste plus gai.7° Environ après la seconde minute, si on a
les 3'eux fermés, le champ parait, a la vérité,
encore yer-d, mais tirant cependant assez for le bleucésesle ;
quant au bord, il est rouge, mais encore
pissèrent des v." 1 & 5. '8." Si ensuite on rouvre les J’eux, le cr P• paroít encore rouge fur le fond blanc , &'' ? ,°J.bleu-céleste ; mais ces couleurs n’ont .--■ roui-a-iaitles mêmes nuances qu’aupar^van’ ■ . ■ . .o T- c 1 . A -rtn-'C ou cinq minutes,o.°'Enfin, au bout de qu- ,. J. , 'on apperçoit, a3-ant les iux /ermés le champ
entièrement bleu-célesl > & la"neau du" bea.« rouge ; & en r'ouvrr/ ìesJenxJ a TP se T9*& 1 bor/* un "leu-céleste vif.
*ou§etJ"',-/ ^ mère sensation se conserve pendant
10. çe eape ^g £ems ^ & jusqu’à ce que s’étant
u2.c- ?í ;alie plus en plus, elle s’évanouisse tout-â5.° ifíais il ne faut pas croire que pendant cet
…aervalle les couleurs dont nous avons parlé restenttoujours les mêmes : il est certain au contraire
que, quoique Tespèce reste la même,,elles changent
continuellement de modifications.  ;  !J’avoue que j’ai plutôt évité les occasions de
fairecette expérience, que je ne les ai recherchées,
parce que jedoute qu’on puisse fans danger faire
éprouver souvent aux yeux une si forte impression.
Mais, quoique je n’aie donc pas répété fréquemment
ces essais, je ne laisse pas de pouvoir assurer
que les phénomènes qu’ils présentent, observent
presque constamment Tordre que nous avons décrit.
Je n’ose pas lés donner tout-à-fait pour confiants,
parce qu’il m est arrivé un petit nombre de fois de
remarquer dans les couleurs une succession un peu
différente.  ;On peut,-au reste, tirer de ces observations,
diverses conclusions remarquables que je vais
joindre ici en peu de mots.-II est hors de douté que les rayons du soleil
reçus directement au fond de Toeil, nagiffent fur
les nerfs & y causent une ; certaine altération dont
notre ame est affectée. Ór nous voyons par les
observations que nous avons détaillées, que cette
altération ou cette'impression caufée aux nerfs,
ne cesse pas en même tems que Taction de la.
lumière, & qu’au contraire elle continue encore
pendant un teins assez Iong,.:&:que Tame se trouve
affectée comme s’il y avoit réellement hors de
Toeil un objet, & que des rayons de lumière
réfléchis par çet objet, exerçassent une action fur
"les nerfs. Si donc nous.admettons .cette supposition,
ainsi qu’on peut évidemment le faire, nous d.evons
conclure naturellement de nos observations :r." Que Timpreffion excirée par les rayons de
lumière les plus forts, passe après la cessation de
Taction même en une autre impression qui est celle
des rayons jaunes ; que celle^cî -devient Timpreffion
des rayons verds, & que cette dernière enfin se
change en. celle-que produisent ordinairement les
rayons bleus-célestes’ ; c’est-à-dire, qu’après que
Taction des rayons blancs a cessé, les nerfs se
trouvent successivement dans les différons états que
produisent "ordinairement les rayons jaunes, verds6 bleus-célestes.z." Que Timpreffion causée par la couleur blanche
d’un mur ou d’une table blanchie, si plie se mêle
L U U COU ' -447à
celle que produit la couleur jaune, verte &
bleúe-célesle , devient Ia même impression qu’à
coutume de produire une couleur brune qui tire
plus ou moins fur le rouge.3. 0 Que Timpreffion causée par Timage du soleil
au fond de Toeil,'se communique à des parties
de Ia rétine auxquelles Timage même ne s’est pas
fait sentir, mais qui sont voisines de la place qu’occupe
Timage, & que cette impression y cause une
altération qui est dûe ordinairement aux rayons
qui produisent la couleur songe.4.° Que cette impression, mêlée avec celle que
fait naître la couleur blanche du mur ou de la
table, produit Timpreffion causée par le bleucéleslé.Je trouve très-digne de remarquer ici que, dans
les couleurs accidentelles., il arrive tout - à - fait,
comme dans les réelles, que le jaune devient bleu
en passant par le verd : car il est très-connu que- dans les dernières, savoir, les couleurs réelles, si
011 mêle ^vec le jaune de plus en plus du bleu,
on obtient une couleur qui tire d’abord for le
verd, qui devient bientôt entièrement verte, &
qui tirant ensuite sur le bleu devient entièrement
bleue, si c’est une forte quantité de cette couleur
qu’on ajoute au même mélange.Ceux qui voudront répéter cette expérience,
observeront encore un autre phénomène que je ne
crois pas devoir passer sous silence : je ne parle
de ce qu’en projettant la tache fur un fond blanc,
quand on a les yeux ouverts, on la voit tantôt
disparpître , - puis revenir , puis disparaître de
nouveau. Je fus long-temps en doute au commencement
for la cause de ce paradoxe ; mais je
remarquai àia fin que la tache disparoissoit toujours
précisément quand je faisois un effort pour la
considérer plus attentivement , qu’elle revenoit
lorsque je jettois les yeux fur le plan comme fans
attention. Cette circonstance faifoit naître ; d’abord
même quelque difficulté dans le procédé de Texpérience
 ; car au moment même que Tesprit se
propose de faire attention à la tache, Toeil se
dispose de manière, sans qii'on le sache & qu’on
le veuille, à voir-distinctement le plan sur lequel
la tache" esl projettée, & dans le même moment
la tache difparoît. II s’enfuit de-là que Texpérience,
pour être bien faite, demande une certaine habitude ;
il faut que Tobservateur s’accoutume à ce
queTon esprit faste attention à la tache, & que
ses yeux cependant soient empêchés de se disposer
íe manière à lui rendre la vision du plan distincte.
NOUS conclurons de-là que pendant que Toeil se- dispose' de manière à voir distinctement un objet
un peu écarté, les nerfs retournent à Tétat dans
lequel ij s se trouvent quand rien ne les affecte ;
"nais.:que bientôt ils: rentrent-dans leur premier
état, quand-Toeil de nouveau, se dispose d’une
au'tre manière.'- .. ;". ;''- Mais je crains, ajouté M. jEpînus, de.tomber '■
dans des erreurs, si je continue.de.vouloir tirerdes conclusions dans une matière qui fera ënve-'
loppée de ténèbres auffi long-tems que nous ignorerons
en quoi consiste proprement Timpreffionde
la lumière fur les nerfs qui servent à Ja
vision. (J. B.) . Couleurs passantes, nom que quelques auteurs
donnent aux couleurs qui se déchargent ou ne fontpas
de longue durée, comme celles de l’arc-en-ciel,
des nuages avant ou après le coucher dir soleií,&c. .'.'.'_Les couleurs passantes sont la même chose que
celles qu’on appelle couleurs fantastiques 011 emphatiques
, &c.On dit d’une pièce de drap que fa couleur est:
passante, pour dire qu’elle change promptement
& se flétrit à Tair- ( Chambers. ) COULEUR favorite. ( Jeu ) au médiateur est-,
une couleur qu’on tire au hazard dans le jeu-entier,,
pour lui attacher certains privilèges , comme
d’avoir la préférence à jouer de cette couleur 3quoiqu’on
ne demande , si Ton ne joue, ni
médiateur, ni fans prendre, qu’après un autre 5
& quoiqu’on ne'joue l’un de ces deux jeux qu’après
qu’on les auroit voulu jouer en couleur simple.
C’est la première tirée qui est couleur favorite 3
fans qu’il y ait aucun choix pour cela. Par
exemple, fi on a tiré un coeur, le coeur fera couleur
favorite pendant toute la reprise, & ainsi destrois
autres couleurs, si on amenoit une d’elles,COULISSE, (Hydraulique)  rainures faites dansles
dormans, par le moyen desquelles on leye les
chaffis des corps de pompe, pour en visiter les
brides & les cuirs. Voyez DORMANT. (K)  -COUP de niveau, (Hydraulique)  se dit d’un
alignement entier pris entre deux stations d’un: nivellement.
 Voyez NJVELLER. (K) COUP sec, {Jeu de Billard) Jouer coup sec,- c’est
 frapper la bille avec la masse du billard ; &
la. faire partir fans la suivre ni la conduire. Les
billes faites du coúp séc sons les seules qui se comptent.
 ':"COUP d’ajustement, est,, au Mail, le..dernier '
des coups que Ton doit- jouer avec le mail, pour
s’ajuster & envoyer la boule à.portée-d’être jettée
à la passe avec la levé.COUPE, (Astronomie )  constellation méridionale
placée fur Thydre , contenant 31 étoiles
dans le catalogue de Flamsteed ; crater, vas aquarium
', scyphus ,- urna, patera , calix, albatina. >
poculum Apollinis, Bacchi, Herculis, Demophoontis,.
Achillis, Didonis ; en.arabe elBs. ou alkes. Nous '
verrons, en parlant de Thydre, Torigine poétique ;
de cette constellation ; on a prétendu auffi qu’elle,
étoit le symbole del’oubli. Suivant les Platoniciens 3,
les: amés en venant-habiter les corps humains.,. "
descendent parlá.porté du cancer," comme lors-,
qu’elles sont délivrées dé cette prison corporelle,-,
elles montent par le capricorne ;,mais en descendant:":
vers la terre, elles boivent plus ou moins dans la ;.
.coupe de Toubli ; c’est-là ce qui rend -certaines-4^S " god cou ^^âmes si éloignées de Tétat spirituel & céleste par
lçquel elles ont passé. D’autres ont vu différentes
coupes dont la fable fait mention. ■( Coesius, p. Z-JS- ) 
La principale étoile de la coupe est de quatrième
grandeur ; elle avoit en 1750 161 ° 54' 14 ' d’ascension
droite, & 16° 58' 26" de déclinaison australe.
COUPÉE, adj. pris subst. en Géométrie, est la
même chose qu’ablciffe , abfcista, qui. est dérivé du
la tin, & qui signifie la même chose, K. ABSCISSE. (O) ,
COUPER , terme de Jeu ; c’est diviser le jeu de
cartes en deux parties ; ce qui se fait par un des
joueurs, après que celui qui a la main a mêlé. La
partie qui étoit dessus se friet dessous, & celle qui étoit
dessous se met dessus. II ne faut point couper une carte.
COUPER LÁ BALE, (jeu de Paume)  c’est la
frapper avec la raquette inclinée ; ce qui la faisant
tourner du haut pn bas relativement au côté de
celui qui Ta coupée , elle ne fait point de bond
quand elle vient à tomber à terre, ou n’en fait que
très-peu, & trompe toujours le joueur inexpérimenté
en le faisant faux, c’est-à-dire, en se jettant
après le bond ou à droite ou à gauche, ou même
en avant, au lieu que le bond devroit être en ar-'
rière. Cela vient de la manière dont Ia balle tourne
quand elle est coupée , & de la manière dont le carreau
lui fait obstacle quand elle tombe : Tobstacle qu’il
lui fait quand elle est coupée, est précisément en sens
contraire de celui qu’il lui seroit si elle ne Tétoit pas.
COUPER LES DÉS , terme de Jeu ; c’est en retirant
lé cornet leur donner en arrière une impulsion,
qui compense celle qu’ils onf reçue pour aller en
avant, en forte"qu’en tombant for la tablç ils y
restent fans se mouvoir.COUPE-TÉTE, ( Jeu ) jeu d’enfans qui consiste ;
à se courber & à fauter les uns par-dessus les autres.
COURANT, f. m. (Hyd.)  est le nom qu’on
donne en général à une certaine quantité d’eau quise
meut suivant unedirectionquelconque. K FLEUVE.
Les courans, par rapport à la navigation, peuvent
être définis un mouvement progressif que leau de
la mer a en différens endroits, soit dans toute fa
profondeur, soit à une certaine profondeur feuler
ment, & qui peut accélérer pu retarder la vîteffe du
vaisseau, selon que fa direction est la même que
celle du vaisseau, ou lui est contraire.Les courans en mer font ou naturels& généraux,
en tant qu’ils viennent de quelque cause constante &
uniforme ; ou accidentels & particuliers, en tant
qu’ils font causés par les eaux qui sont chassées
vis-à-rvis les promontoires, ou poussées dans les
golfes & les détroits, dans lesquels n’ayant pas assez
de place pour se répandre, elles sont obligées de
reculer, & troublent par ce moyen le flux &
reflux de la mer. Voyez MER ., FLUX & REEUX.
II y a grande apparence qu’il en est des çpurans
comme des vents, qui parmi unë infinité de causes
accidentelles ne laissent pas d’en avoir de réglées.
L’auteur des réflexions for la cause générale des
rênts, imprimées à Paris en 1746, paroít porté àcroire que les courans considérables qu’ost observe
en pleine mer, peuvent être attribués à Taction du
soleil & de la lune : il prétend que si la terre étoit
entièrement inondée par Tocéan, Taction du soleil
& de la lune qui produit les vents d’est réglés de
la zone torride, donneroit aux eaux de la mer fous
Téquateur une direction constante d’orient en occident,
ou d’occident en orient, selon que les eaux
scroient plus ou moins profondes ; & il ajouté qu’on
pourroit expliquer par le plus ou moins de haureur
des eaux, & par la disposition des côtes, les différens
courans réglés & constans que les navigateurs
observent, &.que les oscillations horizontales de la
pleine mer dans le flux & le reflux, pourroiçnt être
Teffet de plusieurs courans contraires. Voyez fur cela
THistoire Naturelle de MM. de Buffon & Daubenton,
tome I, art. des courans. C’est fur-touí
aux inégalités du fond de la mer que M. de Buffon
attribue les courans. Quelques-uns, selon lui, sont
produits parles vents ; lés autres ont pour cause le
flux & le reflux modifié par les inégalités dont il
s’agit. Les courans varient à Tinfini dans leurs
vitesses & dans leurs directions, dans leur force, '
leur largeur, leur étendue. Les courans produits
par les vents, changent de direction avec les vents,
fans changer d’ailleurs d’étendue ni de vitesse.
C’est for-tout à faction des courans que M. de
Buffon attribue la cause des angles correspondans
des montagnes.Les .'principaux courans, les plus larges & les.
plus rapides, sont i.° un près de la Guinée, depuis
le cap-Verd jusqu’à la baie de Fernandopo, d’occident
en orient, faisant faire aux vaisseaux cen »
cinquante lieues en deux jours, z." Auprès de Su-] :
marra, du midi vers le nord. 3." Entre Tilë de '
Java & la terre de Magellan, 4. 0 Entre le cap de
Bonne^Espérance & l’Ile de Madagascar. 5.° Entre
la terre de .Natal &. le même cap. 6." Sur la côte
du Pérou dans la mer du Sud, du midi au nord ,&c,, ■
7° Dans la mer voisine des Maldives, pendant six
 mois d’orient en occident, & pendant six autres
mois en sens contraire. Hifl. Nat. tome 1,-pag.Afi^Les courans sont fi violens sous Téquateur, qu’ils
portent les vaisseaux très-promptement d’Afrique en
Amérique : mais aussi ils les ethpéchent- absolument
de revenir par le même chemin ; de forte que les
vaisseaux, pour retourner en Europe, sont forcés
.d’aller chercher le cinquantième degré de latitude,■ Dans lç détroit de Gibraltar, les courans pouffent ì
presque toujours lés vaisseaux à Test, & les jettenl 1
dans la Méditerranée ; on trouve auffi qu’ils-sc meu- ' • !
. vent suivant la même direction dans d’autres endroits.
La grande violence de la mer dans le détroit : 1
de Magellan, qui rend ce détroit fort périlleux, est >
attribuée à deux courans directement contraires, ;
qui viennent J’un de la mer du Nord, & l’autre i
de celle du Sud. (O) L’observation & la connoiffance des courans est ;
un.des points principaux de Tait de naviger ; leur di- ><
rection & leiJr force doit être spigneusemeiitremar- ;cjuééi 'ic ou ■. ;.,.■ cou , 449quèe.Pour la déterminer, les uns examinent, quand
ils sont à la vue du rivage, les mouvemens de
Teau-, & la violence avec laquelle Técume est chassée :
mais, suivant Chambers, la méthode la plus simple
& la plus ordinaire est celle-ci. D’abord on arrête
le navire de son mieux par différons moyens ; on
laisse aller 6k venir le vaisseau comme s’il étoit à
Tancre: cela fait, on jette le lock ; & à mesure que
la ligne du lock file, on examine fa vitesse & fa direction.
V. LOEC dans le diS. de Marine. Par ce moyen,
on connoît s’il y a des courans ou s’il n’y en a point ;
& quand il y en a, on détermine leur direction &
leur degré de force. II faut cependant observer
qu’on ajoute quelque chose à la vitesse du lock
pour avoir celle du vaisseau ; car quoique le vaisseau
paroisse en repos, cependant il est réellement
en mouvement. Voici comment se détermine ce
qu’on doit ajouter. Si la ligne du lock file jusqu’à
soixante brasses," on ajoute le-tiers de fa vitesse ;
si elle file à quatre - vingt, le quart, & le cinquième,
si elle file à cent brasses. Si Ie vaisseau
fait voile suivant la direction même du courant,
il est évident que la vitesse du courant doit être
ajoutéeàcelle du vaisseau ; s’il fait voile dans une
direction contraire", la vitesse du courant doit être
soustraite de la vitesse du vaisseau ; si la direction
du vaisseau traverse celle du courant, le mouvement
du vaisseau sera composé de son mouvement
primitif & dé celui du courant, & sa vitesse sera
augmentée ou retardée , selon Tangle "que fera sa
direction primitive avec célle du courant ; c’està-dire
, que le vaisseau décrira la diagonale formée
sur ces deux directions, dans le même rems qu’il
auroit décrit l’un des deux côtés , les forces agissant
séparément. Voyez COMPOSITION DE MOUVEMENT.
(CHAMBERS.) Ce qui rend la détermination des courans si difficile
, c’est la difficulté de trouver un point fixe en
pleine mer. "En effet, le vaisseau ne le sauroit erre,
car iTest mû par le courant même ; de sorte que
la vitesse du vaisseau se combine avec celle du
courant, & est cause qu’on ne sauroit exactement
démêler celle-ci. L’Académie Royale des Sciences
proposa ce sujet pour le prix double de Tannée
17^1 ; voyez la pièce de M. Daniel- Bernoulli qui
remporta ce prix.Sous -courans. M. Halley croitqu’il est fort vraisemblable
que dans les dunes, dans le détroit de
Gibraltar, &c. il y a des sous-'courans ; c’est-à dire,
des courans qui ne paroissent point à la surface de
la mer, & dans lesquels Teau est poussée avec là
.même violence que dans les courans qui se font à
là surface. M. Halley appuie cette opinion sur
Tobservation qu’il a faite de la haute mer entre le
nord & le sud de Foreland ; savoir.que le flux ou
le reflux arrive dans cette partie des dunes, trois
heures avant qu’il arrive dans la pleine mer : ce
qui prouve, selon lui, que tandis que le flux commence
à la nartie supérieure, le reflux dure encoreMathématiques. Tome I, IL’ Partie.à la partieinférieure, dont les eaux sont resserrées
dans un lit plus étroit ; & réciproquement que le
flux dure encore à Ia partie inférieure, lorsque le
reflux commence'à la partie supérieure. Donc,
conclud-il, il y a dans ces détroits deux courans
contraires, l’un supérieur, l’autre inférieur.L’auteur confirme son sentiment par une expérience
faite dans la mer Baltique, & qu’il dit lui
avoir été communiquée par un habile homme de
mer témoin Oculaire. Cet homme étant dans una
des frégates du Roi, elle fi.it tout d’un-coup portée
au milieu d’un courant, & poussée par les.eaux avec
beaucoup de violence. Aussitôt on descendit dans
ia mer une corbeille où on mit un gros boulet de
canon ; la corbeille étant descendue à une certaine
profondeur, le mouvement du vaisseau fut’arrêté:
mais quand elle fut descendue plus bas, le vaisseau
fut porté contre'le vent, & dans une direction
contraire à celle du courant supérieur, qui n’avoit.
qu’environ quatre ou cinq brasses de profondeur.
M. Halley ajoute qu’au rapport de ce marinj, plus
on deseendoit la corbeille, plus on trouvoit que le.
courant intérieur étoit fort.Par ce principe il est aisé d’expliquer , selon
M. Halley, comment il peut se faire qu’au détroit
de Gibraltar, dont là largeur n’est que d’environ
vingt milles, il passe continuellement une fi grande
quantité d’eau de la mer Atlantique dans la Méditerranée
par le moyen des courans, fans cependant
que Teau s’élève considérablement for lacôte de
Barbarie, ni qu’elle inonde les terres qui sont fort
basses le long de cette côte. L’auteUr paroít donc
supposer qu’il y a au détroit de .Gibraltar, un courant
inférieur & intérieur contraire au courant supérieur
 ; mais cela esl assez difficile à comprendre. ( O) COURBE, ad j. pris subst. (Géom.)  est, dit-on, une
ligne dont les différons points font dans différentes
directions, ou font différemment situés les uns par
rapport aux autres. C’est du moins la définition
que donne Chambers après une foule d’auteurs.
Voyez LIGNE.Courbe, ajoute-t-on, pris en ce sens, esl opposé.
à ligne droite, dorít les points sont tous.situés’ de
la même manière les uns. par rapport aux autres.On trouvera peut-être chacune de ces deux définitions
peu précise ; & on n’aUra pas tort. ' Cependant
elles paroissent s’accorder assez avec ridée
que tout le monde a de la ligne droite & de.la ligne
courbe : d’ailleurs il est très-difficile de donner de
ces lignes une notion qui soit plus claire à Tesorit
que la notion simple qu’excite en nous.leseul mot
de droit & de courbe. La définition la plus exacte
qu’on puisse donner de Tune & de l’autre, est peutêtre
celle-ci : La ligne droite est le chemin le plus
court d’un point à un autre ; & la ligne courbe esl une
ligne menée d’un pointa un autre, & qui n’esl’pas
" la plus courre. Mais la première de ces définitions
renferme plutôt une propriété secondaire que Tes■
' Lll4,° ; "'COU' C O U
fonce de la ligne droite ; & la seconde, outré qu’elle.
ne renferme" qu’une propriété négative, convient
auffi-bien à un assemblage de lignes droites qui font
angle, qu’à ce qu’on appelle proprement courbe ; &
qu on peut regarder comme í'assemblagc d’une infinité
de petites lignes droites contigues entr'elles à
angles infiniment obtus. Voyez-plus bas COURBE
POLYGONE ; voyez auffi CONVEXE. Peut-être foroit-on
mieux de ne point définir la ligne courbe ni.
la ligne droite, par la difficulté & peut-étre Timpoffibilité
de réduire ces mots à une idée plus élémentaire
que celle qu’ils présentent d’eux-mêmes.Les figures terminées par des lignes courbes sont
appellées figures curvilignes, pour les distinguer des
figures qui sont terminées par des lignes droites, &
qu’on appelle figures reSilignes. Voyez RECTILIGNE
& FIGURE. ^La théorie générale des courbes, des figures
qu’elles terminent, & de leurs propriétés, constitue
proprement ce qu’on appelle la haute géométrie ou
la géométrie transcendante. Voyez GÉOMÉTRIE.On donne for-tout le nom cle géométrie trascenííanteàcelle
qui, dans Texamen des propriétés des
courbes, emploie le calcul différentiel & intégral.
Voyez ces mots ; voyez auffi la fuite de cet article.'11 ne s’agit point ici, comme on peut bien le
croire, des lignes courbes que Ton peut tracer au
hasard & irrégulièrementTur un papier. Ces lignes
n’ayant d’autre loi que la main qui les forme, ne
peuvent être Tobjet de la Géométrie ; elles peuvent
íêtre seulement de Tart d’écrire. Un géomètre moderne
a pourtant cru que Ton pouvoit toujours déterminer
la nature d’une courbe tracée fur le papier ;
mais il s’est trompé en cela. Nous en donnerons
plus bas la prcuve.-Nous ne parlerons d’abord ici que des courbes
tracées sor un plan & qu’on appelle courbe à
simple courbure. On verra dans la fuite la raison
de cette dénomination. Pour déterminer la nature
d’une courbe , on imagine une ligne droite tirée
dans son plan à volonté. Par tous les peints de
cette ligne droite, on imagine des lignes tirées parallèlement
& terminées à la courbe. La relation
qu’il y a entre chacune de ces lignes parallèles,
& la ligne correspondante de Textrémitë de laquelfe
elle part, étant exprimée par une équation, cette
équation s’appelle Yéquation de la courbe. Voyez
EQUATION.Dans une courbe , la droite AD (PI. Géom. fig.
47.)  qui divise en deux également les lignes parallèles
MM, est ordinairement appellée diamètre.
Si le diamètre coupe ces lignes à angles droits,
il est appelle axe ; & le point A par où Taxe passe
est appelle le sommet de la courbe. Voyez DIAMÈ- .
TRE , AXE & SOMMET.' : Les lignes parallèles MM sont appellées ordonnées
on appliquées ; & leurs moitiés P M demisrdonnées
011 ordonnées. Voyez ORDONNÉE. '
".La portion du diamètre A P, comprise entre lesommet ou un autre point fixe, &. l’ordonnée eftr
appellée abscisse. Voyez ABSCISSE. Le point de
concours des diamètres se nomme -centre. Voyez
CENTRE ; voyez auffi les remarques que fait fur
ce sujet M. Tabbé de Gua dans la première section
de son ouvrage intitulé : " Usages de Vanalyse de
Descartes. 11 appelle plus proprement centre d’une
courbe un point de son plan, te.l que si on mène
par ce point une ligne droite quelconque terminée
 ; à la courbe par ses deux extrémités, ce point divise
la ligne droite en deux parties égales.Au resle, on donne aujourd’hui en général le
nom d’axe à toute ligne tracée dans le plan de la
courbe & à laquelle se rapporte Téquation ; on appelle
l’axe des x , ou simplement axe , la ligne
fur laquelle íè prennent les abscisses ; axe des yy
Ia ligne parallèlle aux ordonnées ,.& passant par
le point où a: est ='0. Ce point est nommé Yorigine
des coordonnées ou l’origine de la courbe. Voyez
COORDONNÉES. , .' • ■ —Descartes est le premier qui ait pensé à exprimer
les lignes courbes par des équations. Cette idée fur
laquelle est fondée Tapplication de TAlgèbre à la
Géométrie (voyez APPLICATION) est très-heureuse
& très-féconde. "U est visible que-Téquation d’une courbe étant
résolue, donne une ou plusieurs valeurs de l’ordonnée
y pour une même abscisse x, & que par
conséquent une courbe tracée n’est autre chose que
la solution géométrique d’un problème indéterminé,
.c’esi-à-dire, qui a une infinité-de solutions: c’est
ce que les anciens appelloient lieu, géométrique. Car
quoiqu’ils n’cuflënt pas Tidée d’exprimer les courbes
par des équations, ils avoient vu pourtant que les
courbes géométriques n’étoient autre chose que le
lieu, c’est-à-dire, la fuite d’une infinité de points
qui làtisfaisoient à la même question ; par exemple,
que le cercle étoit le lieu de tous les points qui
désignent les sommets des angles droits > qu’on peut
former for une même base donnée, laquelle halé
est le diamètre du cercle ; & ainsi des autres.Les courbes se divisent én algébriques, qu’on
appelle souvent avec Descartes courbes géométriques ;
& en transcendantes, que le même Descartes nomme
méchaniques. •Les courbes algébriques ou géométriques sont
celles où la relation des abscisses A P aux ordonnées
P M (fig. 48.)  esl ou peut être exprimé par
une équation algébrique. Voyez EQUATION &A L GÉ BRI QUE.Supposons, par exemple, que dans un cercle on
ait AB==a, AP=.x, P M=y ; on aura PB
:=a — x: par conséquent, puisque P M1=A'P.-
X P B , on aura yy==ax — xx ; ou bien si 011
suppose P C= x, AC=a , P M=y , on aura
MCÍ—PCÍ—PM’-, c’est-à-dire, a% — xLII est visible par cet exemple, qu’une même courbe
peut être représentée par différentes équations. Ainsi,,
fans chapger les axes dans Téquation précédente t û.
COU COU 45-i
« m prend Torigine des x au sommet du cerclé, au
lieu de les prendre au centre, on trouve, comme on
vient de le voir,y y = a a: ■— xx pour Téquation.Plusieurs auteurs, après Descartes, n’admettent
-que les courbes géométriques dans la construction des
problêmes, & par conséquent dans la Géométrie ;
mais M. Neuton, & après lui, MM. Leibnitz &
Wolf sont d’un autre sentiment, & prétendent avec
raison que dans la construction d’un problême , ce
n’est point la simplicité de Téquation d’une courbe qui
doit la faire préférer à une autre, mais la simplicité
& la facilité cle la construction de cette courbe. ,
Voyez CONSTRUCTION , PROBLÊME , & GÉOMÉTRIQUE.Courbe transcendante ou méchanique, esl celle qui
ne peut être déterminée par une équation algébrique.
Voyez TRANSCENDANT.7 Descartes exclud ces courbes de la géométrie ;
mais Neuton & Leibnitz font d’un"avis contrairepar
la raison que nous venons de dire. En effet, une
spirale, par exemple, quoique courbe méchanique,
est plus aisée à décrire qu’une paralxiìe cubique.L’équation d’une courbe méchanique ne peut être
exprimée que par une équation différentielle entre
les dy & les dx. Voyez DIFFÉRENTIEL. Entre
ces deux genres de courbes, on peut placer, i.° les
courbes exponentielles dans Téquation desquelles
une des inconnues, ou toutes les deux entrent en
exposant j comme une courbe dont Téquation seroit
y = ax, ou y.*=zar, &c. Voyez EXPONENTIEL.
z. 9 Les courbes ïnterscendantes dans Téquation •
îMquelles les exposans sont des radicaux, comme
x=y\/r.ì Ces deux espèces de courbes ne sont
proprement ni géométriques ni méchaniques, parce
que leur équation esl finie fans être algébrique.Une courbe algébrique est infinie, lorsqu’elle s’étend
à Tinfini, comme la parabole & I'hyperbole ;
finie, quand elle fait des retours sor elle-même comme
Tellipse ; & mixte, quand une de ses parties-est
infinie, & que d’autres retournent for elles-mêmes.Pour se former Tidée d’une courbe par le moyen
de son équation, il faut imaginer que Téquation de
la courbe soit résolue, c’est-à-dire, qu’on ait la valeur
de y en x. Cela posé, on prend toutes les valeurs
positives dex depuis o jusqu’à Tinfini, & toutes les
valeurs" négatives depuis o jusqu’à— Tinfini. Lés
ordonnées correspondantes donneront tous les points
de la courbe -, les ordonnées positives étant prises
"toutes du même sens, & les négatives du côté opposé.
Voilà ce qu’on trouve dans tous les Algébristes
& géomètres modernes. Mais aucun n’a
donné Ia raison de cette règle. Nous la donnerons
dans Ia fuite de cet article, après avoir parlé au-L
paravant de la transformation des axes d’une
courbe.II est certain qu’après avoir rapporté Téquation
d’une courbe à deux axes quelconques d’abscisses &
d’ordonnées, onpeut la rapporter à deux autres axes
quelconques tirés, comme on voudra, dans le plan
4£ Ia coúrpc.'Peces deuxaxes, l’un peut être parallèleou coïncident à Taxe des x, & l’autre parallèle .
ou coïncident à Taxe des y ; ils peuvent auffi n’être
point parallèles ni l’un ni l’autre aux-deux premiers
axes, mais faire avec eux des angles quelconques.
Supposons, par exemple, que A P (x)  & P M
(y)  soient ( figure 49.)  les abscisses & les ordonnées
d’une courbe , & qu’on veuille rapporter
Ia courbe aux nouvelles coordonnées quelconques
A p & p M ; on tirera AB &.Bq parallèles
à y & à x , & on nommera les coordonnées
nouvelles Ap (z).& p M (u). Cela pose,
il est visible que Tangle ap M .-.est donné, comme
pn le suppose, ainsi que Tangle p B q', & Tangle
B qm óu son égal A m M, & que a B & AB sont
auffi donnés de grandeur & de position. Donc fi
on nomme -a B, a, & AB , b , on aura Bp=zz.
—~a, B q ou Am=:(z — a) 772,- m exprimant
le rapport connu de B q à'Bp ; P m= y ri, n
étant de même un coefficient donné ; & par conséquent-.4
P ou *==(£—a) m-f-y a: de plusMm = pM—pm=zpM—A'B — pq = u — b
. ■— zq-\- aq, q étant de même Un coefficient donne,
&Mp ou y =:(u-—b — î ?-j-aq)  X k: donc on
aura y ==(a — b-—zq -j- a q) k, tkx = (z — á) 
m-\-nk (u—b — zq -f-a q)  ; donc, si on met à la
place de * & de y leurs valeurs qu’on vient de
trouver en z & en u, on aura une nouvelle équation
par rapport aux coordonnées z &- u- Voyez -
à l’art. TRANSFORMATION DES AXES unplusgrand
détail. - . _
II est visible qu’on peut placer non-seulemeut Taxe
des z & l’axe des u, mais auffi Taxe des .r & celui
des y, par-tout où Ton voudra, sans que la courbe' change pour cela de" place, & que la position de
la courbe est totalement indépendante de la position
des axes ; de sorte que les ordonnées u partant de
Taxe des z > doivent aboutir au mêmes points que
les’ ordonnées y, partant de Taxe des x. Cela est
évident parles opérations même que Ton fait pour
la transformation des axes. D’ailleurs on doit considérer
qu’une courbe n’est autre chose que le lieu
d’une infinité de points qui servent à résoudre un
problème indéterminé, c’est-à- dire, un problème
qui a une infinité de solutions. Or la situation de
ces points est totalement indépendante de la position
des axes auxquels on:les rapporte, ces axes
pouvant être placés par-tout où Ton voudra. De
çes principes, on peut tirer les conséquentes suivantes
fur la position des ordonnées.r.° Les ordonnées positives doivent être prises
-d’un même côté ; car , soit ( figure So ) A P
Taxe des x -, & qu’on trouve deux valeurs positives
pour y,- soit P.m la plus grande de ces
valeurs, je dis que la plus petite P M doit être
prise du même côté. Car soit transpose Taxe AP
en ap , en sorte que Pp==.a, & soif ap==x, &
pm—Zj on aura l’équation rapportée aux axes
x & z> en mettant í-a pour y dans Téquation de
la courbe ; & on aura chaque valeur de z égale
aux valeurs correspondanterde y,. augmentées çha*L 11 ij4si cou coucunc de à,- donc, au point p,on aura deux valeurs
positives de z> savoir a -f P As & a -f
P m. Or, si on ne prenôit pas 'P M du même
côté que Pm, mais de l’autre côté, l’ordonnée
PM, au lieu d’être a -f P M, scroka — P M ;
la courbe changéroit donc ou d’équation ou de
figure, en changeant d’axe ; & tandis qu’une de
ses parties resterait à la même place, l’autre se promènerait
, pour ainsi dire , suivant que Ton chançeroit
Taxe de place. Or ni l’un ni l’autre ne se
peilt. Donc il faut que P M &. P m soient pris
du même côté, quand ils font tous, deux positifs.
2." Si on a deux valeurs, Tune positiv e P M,
l’autre négative P m (figure 52.) , il faudra les
prendre de diflérens côtés. Car soit, par exemple,P M ■= \V~x~, &. P m==— 1/ x : transposant
Taxe AP en ap, erisorreque p P = a & mettant
Z—-a pour y, dans Téquation de la courbe , on
aura z— a -f- \/x, & z = a — }/ x. Si on suppose
\/ x <a, ce qui se peut toujours, puisque
a est arbitraire, on trouvera z ou p M=a -\- P M
&z ou p m = a — P M. Donc P m doit être égale
à P M , & prise dans un sens contraire. Tout cela
est aise à voir avec un peu d’attention.Lorsque les ordonnées sont positives, elles appartiennent
toutes également à la courbe , ce qui est
évident, puisqu’il n’y a pas de raison pour préférer
Tune à l’autre. Mais lorsqu’elles sont négatives, elles
n’appartiennent pas moins à Ia courbe ; car pour
s’en convaincre , il n’y a qu’à reculer Taxe de façon
que toutes les ordonnées deviennent positives.
Dans cette derniere position de Taxe , toutes ses
'ordonnées appartiendront également à la courbe.
Donc il en sera de même, dans la première position
que Taxe avoit.Donc supposant x positives, toutes les valeurs de
y tant positives que négatives, appartiennent à la
courbe ; mais au-lieu de prendre la ligne des x pour
Taxe, oh peut prendre la ligne àesy, & alors on
aura des valeurs tant positives que négatives de x,
lesquelles par la même raison appartiendront auffi
à la courbe. Donc la courbe renferme toutes les
. -valeurs de y répondantes à une même x ; & toutes
les valeurs-de x répondanresà une mêmey,- ou ce qui
revient au même , elle renferme toutes íes valeurs
positives & négatives de y répondantes, soit aux
a- positives, soit aux x négatives. En effet, si dans
Ja valeur desy qui répond aux a: positives, on change
les signes des termes où x ie trouve avec,une
dimension impaire, on aura la valeur dey correspondante
aux x négatives ; & cette équation sera
évidemment la même qu’on auroit, en résolvant
Téquation cn x & en y, après avoir changé d’abord
dans cette équation les signes des termes où x se
trouve avec une dimension impaire. Or j e dis que cette
derniere équation appartient également à la courbe ;
car ordonnons Téquation primitive par rapport à
x, avant d’avoir changé aucun signe, & cherchons
les valeurs dexeny ; nous venons de voirque les valeurs, tant positives que négatives oe *,~
appartiennent à la courbe. Or les valeurs négatives
sont les mêmes que Ton auroit avec un signe positif
, en changeant dans Téquation primitive les
signes des ternies où .r se trouve avec une dimension
impaire ; car on fait que, dans une équation
ordonnée en xi si 011 change les signes des ternies
où x se trouve avec une dimension impaire, toutes
lés racines changent de signe fans changer d’ailleurs
de valeur. Voyez EQUATION. Donc Téquation en
x, avec le changement des signes indiqué, appartient
auffi-bien à la courbe que Téquation etii,
. fans /changer aucun signe. Donc, &c. II est donc
important de changer les signes de x, s’il est né- •
cestàire, pour avoir la partie de la courbe qui s’étend
du côté des x négatives. En effet soit, par exemple,:
yy=aa—xx Téquation du cercle, on aura, enprenant x positive, y ^ij/'a a—xx ; & ën faisanta: négative, on aura dejnême y=drj/aa—xx :
ce qui donne le cercle entier. Si on prénoir seulement
x positive,-on n’auroit que le demi-cercle ;
& si on ne prenoit y que positive, on n’auroit que
le quart du cercie.Voilà donc une démonstration générale de ce
que tous les géomètres n’ont suppose jusqu’à présent
que parinduction. En effet, ils ont vu, parexemple,
que si y=a—.x, c’est Téquation d’une ligne droite
qui coupe son axe au point où x= a , & qui ensuite
passe de l’autre côté. Or quand x ^> a , on a
-y négative ; ainsi, ont-ils dit, l’ordonnée négative
doit être prise du côté opposé à Ia positive. Ils ont
vu encore que y=:zh[/px est Téquation de la
parabole, & que cette courbe a en effet deux parties
égales & semblables, Tune à droite, & l’autre à
gauche de son axe, ce qui prouve que — \/px
doit être prise du côté oppose à \s px. Plusieurs
autres exemples pris du.cercle , des sections coniques
rapportées à tel axe qu’on jugera à propos,
ont prouvé la régie de .la position des ordonnées
& la néceffité de prendre r négative, après Tavoir
pris positive. On s’en esl tenu là , mais ce n’étoit
pas une démonstration rigoureuse.Les différentes valeurs de y répondantes à x positive
ckàx négative , donnent les différentes branches
de la courbe. Voyez BRANCHE. - "Lorsqu’on a ordonné Téquation d’une courbe par
rapport à y ou à7r, s’il ne se trouve point dans
Téquation de terme constant, la courbe passe par
Torigine ; car en faisant xz= o, & y=o dans Téquation,
tout s’évanouit. Donc la" supposition de
y=0 quand x =0, est- légitime. Donc la courbe
paffe par le point où.r = o.En général, íi on ordonne Téquation d’une
courbe par rapport à y, en sorte que le dernier terme
ne contienne que x avec des constantes ; & qu’on
cherche ses valeurs de x propres a rendre ce dernier
terme égal à zéro, ces valeurs dé x donneront
les points où la courbe coupera son axe ; car
puisque ces valeurs de x substituées dans le dernierC o u' c o u 45 ?ternie le rendront =o, on prouvera par le: même
raisonnement que ci-dessus, que dans les points qui
répondent à ces valeurs de x , on ay=o.Lorsque la valeur de Tordonnée y est imaginaire,
la courbe manque dans ces- endroits - là ;
par exemple,- lorsque x |> a dans Téquation y =dr. \s a a ■— x x, la valeur d’y est imaginaire :
auffi le cercle n’existe point dans les endroits oùx~s> a ; de même si, dans Téquation y = úz\/px,
011 fait x négative, on trouvera y imaginaire, ce
qui prouve que la parabole ne passe point du
côté des x négatives.On verra aux articles EQUATION & IMAGINAIRE,
que toute quantité imaginaire, ou racine
imaginaire d’une équation peut se réduire a.A-\-B [/ — i, A & B étant des quantités réelles, &que toute équation qui a pour racine A -\-B J/-I,a pour racine auffi A—B\/—"i. Or, quand
une ordonnée passe du réel à Timaginaire, cela '
vient de ce. qu’une quantité comme C, qui étoit
fous un ligne radical y C, devient négative, ensorte que C='B\/ — I, S’ étant une quantité
réelle. Or, pour que C devienne négative, de
positive qu’elle étoit, il faut qu’elle passe par le
zero, ou par Tinfini. Voyez MAXIMUM. Donc,
au point où Tordonnée passe à Timaginaire, ona B nul ou infini} donc les racines A -f- B \/~ i,& A — B \/— 1 deviennent égales en ce point-là.
Donc la limite qui sépare les ordonnées réelles des
■ordonnées imaginaires, renferme deux ou plusieurs
ordonnées égales, lesquelles seront = o, ou finies
oa infinies ; égales à zéro ,. fi A .= o , & fi B est
zéro ; finies, fi A est finie, & B zéro ; infinies,
fi A est infinie, & B zéro, ou si A est finie &
B infinie, ou si A & B font infinies l’une &
l’autre, - -Par exemple, st x = a, & que Téquation
soit y ==, a —x i: \/ a— x , on a.y = o ; si
Téqivation est y = a dt j/ a — i,y fera — a ,- si
l’équation est y = aúz -^=- , ou y—-- „dr{/ a — x, y fera infinie ; & si, dans tous ces
cas, on prend x~s> a , la valeur de y sera imaginaire.Quand on a Téquation. d’une courbe , il faut
éxr.miner d’abord si cette équation ne peut pas
se diviser en plusieurs équations rationnelles ; car,
fi cela est, Téquation se rapporte, non à une feule
& même, courbe , mais à des courbes différentes.
On cn peut voir un exemple à Varticle HYPERBOLES
CONJUGUÉES au mot CONJUGUÉ. NOUS
■ajouterons ici, i.° qu’il faut, pour ne point se
tromper lá-deffus, mettre d’abord tons les termes '
■de l’équation d’un côté, & zéro de l’autre, &
voir ensuite si Téquation est réductible en d’autreséquations rationnelles ; car soit, par exemple,
yy = a a — a:*, on seroit tenté de croire d’abord
que Téquation peut se changer en ces deux - ci
J’ ~ a — x & y == a -{- x, dont Ie produit donne
y y — o- a ---.r x ; ainsi,, on pourroit croire que
. l’équation yy=^aa — xx, qui appartient réellement
au cercle, appartiendrait au système de deux
-lignes droites, y = a -f- x & y =_a — x. Or on
íe tromperait en cela ; mais, pour-connoítre son.
erreur , il. n’y a qu’à faire y y — a a-\-xx—Ot
& Ton verra, alors facilement que cette équation
n’est pas le produit des deux équations y — a -jx.=zo
& y — a —: i' = o ; en effet, on sent assez
que y y = a a— xx ne donne ni y=^a — x, ni
y=.a-j-x ; mais, fi on avoit Téquation yy —
zay -f- a a — x x := o, on trouveroít que cette
équation viendroit des deux y — a-—i- = o &
y — a-) -x = o, & qu’ainsi elle représenterait
non unè courbe, mais un fystême dé deux lignes
droites. -z." Les équations dans lesquelles Téquation
apparente d’une courbe, se divise, n’en seroient pas
moins rationnelles, quand elles renfermeraient des
radicaux, pourvu que la variable x ne se trouvât
pas sous ces radicaux ; par exemple, ùne équationqui seroit formée de ces deux-ci,y — j/ aa-\-bb .■— x = o, &y — \/ ad’-\- b b -\- x==0, représenterait
toujours le fystême de deux lignés droites.
11 faut seulement remarquer que Téquation y y—zy\/aa-\- b b -j- a a -\-b b —'x x = o, qui
résulte de ces deux-là, se change, en faisant évanouir
tout-à-fait le signe radical, en celle - ci
( y y -\- a a -j-- b b —r x .rjz —: 4 y y (a a -j- b b) ~ o,
qui esl. du quatrième degré , & qui renferme lefystême de 4 lignes droites, y— \/ aa-bb-x-O,
y —.%/ aa — b b -f- i = o, y -) - £/ a a -f- b b —
.r=o, y'"-f |/ aa-|- bb-\- x = o.3'.p Les équations sont encore ratiohnnelles,.
quand même x se trouverait fous le signe radical ;
pourvu qu’on puisse l’en dégager ; par exemple,y -y' a a xx -j- bbxxr= o & y — y*ddxz -\-ee xr-t= o, se changent en y = dr x \/ a a -j- b b , <ky^±x\/dd-\-ee, qui eff le -fystême de
quatre lignes droites’,. où Ton,voit qy.e les deux
équations radicales eii ont fourni chacune deux
autres, parce que là racine de xx est.également
-{-x & — .T. Je m’étens for ces différens objets,
parce qu’ils ne sont point traités ailleurs, pu
qu’ils le font trop fuccintement, ou qu’ils le sont
mal.Ceci nous conduit à parler d’une autre manière
d’envisager l’équation des courbes^, c’est de déterminer
une courbe par Téquation, non éntre x &
y , mais entre'les y qui répondent à une même
abscisse. "'Exemple. -On demande une courbe, dans laquelle
la somme de deux ordonnées correspondantes à |
une même x soit toujours égale à une quantité
constante z a ; je dis que Téquation de cette courbe
fera y=^a -f [/X, X désignant une quantité
■radicale quelconque, composée de .r & de constantes.
En effet, les deux ordonnées y =a -f\V
X & 3'.= a — y* X ajoutées ensemble, donnent
une somme =zi a ; mais il faut bien remarquer
que \V Xdoit être une quantité irrationnelle ;car, par exemple, y =:a-j- ,z & y — a —77 ne satisferaient pas au problème, parce que cesdeux équations ne désigneroient pas le . fystême
d’une seule & même courbe. De. même, si on
demande une 'courbe , dans laquelle le produit des
deux ordonnées correspondantes ?, x loit une quantité
Q, qui contienne .r avec des constantes, ou
qui soit une constante , on fera y. = P :+: ■\VPP—Q, P étant une quantité quelconque
qui contienne x avec des constantes, ou qui soit
une constante ; car le produit des deux valeurs .P -fl/Pp—Ç & P — y ~P~P~Q donnera
Q. Voyez, surtout cela, les Journaux de Léipfick
de 1697., íes Mémoires de TAcadémie des Sciences
de 17 34 ,1'introduSio ad Analysim infirútorum,
par M. Euler, c. xiv.Cours d’une courbe. Pour déterminer le cours
dune courbe , on doit d’abord résoudre Téquation
de cette courbe , & trouver la,.valeur de y en x ;
ensuite on prend différentes valeurs de .r, & on
cherche les valeurs de y correspondantes ; on voit
par-là les endroits où la courbe coupe son axe,
lavoir , les points où la valeur de y =: o ; les
endroits où la courbe a -une asymptote, c’est-àdire
, les points où y est infinie-, x restant finie, .
ou bien où y est infinie, & a un rapport fini
avec x supposée auffi infinie ; les points’où y esl
imaginaire, & où par conséquent la courbe ne passe
pas,_&c. Ensuite on sait les mêmes opérations, enprenant x négative. Par exemple, soit ( y- -^- Jx=xx -j- a a l’équation d’une courbe , on auradonc y = ^—^ dt:\/~xx -) - a a. Ce qui fait voir,l.° que chaque valeur de x donne deux valeurs
de y, à cause du double figne ± ; z." que, fi
x=zO, onay = a±a, c’esl-à-dire y =0 &y
= z a ; 3. 0 que, si x~ a , y= à Tinfini, & que
par conséquent la courbe a une asymptote au point
oùar==a ; 4. 0 que, si x = à Tinfini, on a y -ûix ;
ce qui prouve que la courbe a des asymptotes qui
font, avec son axe, un angle de 45 degrés ; enfaisant x négative , on trouve y = . aa— -í|/x x -f- a a , équation sur laquelle on fera des
raisonnemens semblables. 11 en esl de même desautres cas, Si Téquatipn avoit y xx>— aa, ontroUveroit qu’au point où * =0, Tordonnée devient
imaginaire, &c.Òn peut tracer à-peu-près une courbe par plusieurs
points, en prenant plusieurs valeurs de x
assez près l’une de l’autre, & cherchant les valeurs
de y. Ces méthodes de décrire une courbe par
plusieurs points sont plus commodes, & en un
sens plus exactes que celles de ses décrire par
un mouvement continu. Voyez COMPAS ELLIPTIQUE.Les anciens n’ont guère connu d’autres courbes
que le cercle,les sections coniques, laconchoïde,
& la cissoïde. Voyez ces mots. La raison en est
tonte simple, c’est qu’on ne peut guère traiter des
courbes fans le secours deTalgèbre, & que l’algèbre
paroít avoir été peu connue des anciens.
Depuis ce tems, on y a ajouté les- paraboles &
hyperboles cubiques, & le trident ou parabole de
Descarres ; voilà où on en est resté, jusqu’au Traité
des lignes du troisième ordre de M. Neuton, dont
nous parlerons plus bas. Voyez PARABOLE, HYPERBOLE,
TRIDENT, &C.Nous avons dit ci-dessus que les courbes média ?
niques sont celles dont Téquation entre les coordonnées
n’est & ne peut être algébrique, c’est-à-dire
finie.Nous disons ne peut être ; car, si Téquation différentielle
d’une courbe avoit une intégrale finie,
cette courbe, qui paraîtrait d’abord méchanique,
seroit réellement géométrique. Par exemple, si dy~.f- , Ia courbe est géométrique, parce que .Y z a xTintégrale eny=\/zax-\-A ; ce qui représente
une parabole. Mais Téquation a"y = î7===="'esl Téquation d’une courbe méchanique, parce que
Ton ne sauroit trouver Tintégrale de cette équation
différentielle. Voyez DIFFÉRENTIEL, INTÉ->
ORAL & QUADRATURE. 'Les anciens ont fait très-pêu d’usage des coari« 
méchaniques ; nous ne leur en connoissons guere
que deux, la spirale d’Archimède & la quadratrice
de Dinostrate. Voyez ces mots. Ils se servoienr de
ces courbes pour parvenir d’une manière plus aisée
à ta quadrature du cercle. Les modernes ont multiplié
à Tinfini le nombre des courbes méchaniques
 ; se calcul différentiel a facilité extrêmement
cette multiplication, & les avanrages qu’on poiw
voit en tirer. Revenons aux courbes, algébriques
ou géométriques, qui sont celles dont il sera principalement
mention dans cet article , parce que ìe
caractère de leurs équations qui coníisle à être cxpiïr
mées en termes finis, nous met à portée d’établir
for ces courbes des propositions générales, qui n’ont
pas lieu dans les courbes méchaniques. C’est principalement
la Géométrie des courbes méchaniques,
qu’on appelle Géométrie transcendante, parce qu’elle
emploie nécessairement le calcul infinitésimal ; au
ljeu que la Géométrie des courbes algébriques n’eniTCou cou 4ÍÎploie point,'du moins nécessairement, ce calcul
pour la découverte des prop3Ìété5 de ces courbes ,
si on en excepte leurs rectifications & leurs quadratures
 ; car on peut déterminer , par exemple,
leurs tangentes, leurs asymptotes, leurs branches,
&c.-& toutes les autres.propriétés de cette espèce ,
par, le secours du seul calcul algébrique ordinaire.
Voyez ses ouvrages de MM. Euler & de.Gua,
déjà cités, & Touvrage de M. Cramer, qui a pour
titré : IntroduSion a Vanalyse des lignes courbes ,
. Genev. 1750 , in-4. 0 • -Nous avons vu ci-dessus comment on transforme
les axes x & y d’une courbe par les équations x = A z
r<-Bu-\-C,y=Dz -f ; Eu-\- F ; c’est-là Ia transformation
la plus générale ,& si on veut faire des
transformations plus simples, on n’a qu’à supposer
un des coëfficiens A, B , C, D, &c., ou plusieurs
égaux à zéro, pourvu qu’on ne suppose pas, par
exemple ,AcXB ensemble égaux à zéro, ni D & E .
ensemble égaux à zéro, car on auroit x- C, &
y-F ; ce qui ne se peut, puisque x & y qui sont
des indéterminées ne peuvent être égales à des
constantes ; On ne doit point non plus supposes
en même-temps B&LE-O ni~-Ack.D=o ; car
substituant les valeurs de 1 & dey, on n’auroit
plus, dans.Téquation de la courbe, qu’une feule
indéterminée u. -Or il faut qu’il y en ait toujours
deux.11 est visible que, si on substitue à la place de x
& de y les valeurs ci-dessus dans Téquation de la
courbe, Téquation n’augmentera pas de dimension ;
car on détermine la dimension & se-degré de Téquation
d’une courbe , par la plus hauie dimension à
laquelle se trouve Tune ou l’autre des" inconnues.
x, y, ou le produit des inconnues ; par exemple,
Téquation dune courbe est. du troisième degré,
lorsqu’elle contient le cube y", ou le cube x", ou
le produit x y y ou xxy, ou toutes ces quantités
à-la-fois, ou quelques-unes seulement. Or, comme
dans les équations x == A z + B u -f- Ç,. y==D z -f.
Eu -f- F, z & a ne montent qu’au premier degré,
{1 est évident que, si on substitue ces valeurs clans
Téquation en x & ën y, la dimension de Téquation
&son degré n’augmentera pas. il est évident, par
Ja même raison, qu’elle ne diminuera pas ; car, si
elle diminuoit, c’esl-à-dire si Téquation ën z & en
a étoit de moindre dimension que Téquation en x,
&'eny ;, alors, substituant pour z & pour u leurs
- valeurs en x & en y , lesquelles sont d’une seule
dimension, comme il est aisé de le voir, on rerrouveroir
Téquation. en x & en y ,.& par conséquent
pn parviendroit à une équation d’une dimension
plus élevée que Téquation en z ,& en u ; ce qui' est
contre la première proposition.Donc en général, quelque transformation d’axe
que Ton fasse,' Téquation de" la courbe né change
point de dimension. On peut voir dans Touvrage
de M. Tabbé du Gua, & dans Tintroduction à
Tanaíyse des lignes courbes par M."Cramer, les.
siamères abrégées dp faire le calcul pour la transformationdes’ axes-. Mais ce n’est-pas de quoi il
s’agit ici, cette abréviation de calcul étant, indifférente-en
elle-même aux propriétés de la. courbe.
Voyez auffi TRANSFOUMATION des axes.Courbes algébriques du même genre pu du même
ordre ou du même degré, sont celles dont Téquation
monte à la même' dimension ; V. ORBE &
DEGRÉ. ■.-..-.'- : 'Les courbes géométriques étant une fois déterminées
par la relation des ordonnées aux abscisses,
on les distingue en différons genres ou ordres ;
ainsi, les lignes droites sont les lignes du premier
ordre, les lignes du second ordre sont les sections
coniques.II faut observer qu’une courbe du premier genre
est la'même qu’une ligne du second ordre, parce
que les lignes droites ne font point comptées
parmi les courbes, & qu’une-ligne du troisième
ordre est la même choie qu’une courbe du second
•genre. Les courbes du premier genre sont donc"
celles dont Téquation monte à deux dimensions ;
dans celle du second genre, Téquation monte à
trois dimensions, à'quatre dans celle du troisième
 ; genre, &c. ' . 'Par exemple, Téquation d’un cercle est yV=s
: ia x —x x , óu y2= à1- — xx  ; le cercle est donc
une courbe du premier genre & une ligne du second
ordre. - . -. De même là courbe , dont Téquation efiai^v 1,
esl une courbe du premier genre ; & celle qui a pour
équation a2 x=y 3 , esl courbe dû second genre &■
 ligne du troisième ordre.:Sur les différentes courbes du premier genre &
leurs propriétés, voye.z SECTIONS CONIQUES aa
mot CONIQUE.On a vu, à cet article CONIQUE , quelle est
Téquation la plus générale des lignes du second
ordre, & on trouve, que cette équation a 3 -j-2.
-J- 1 termes ; on trouvera de même que Téquation
la plus générale des lignes du troisième ordre est’
y ' -f a. x y- -f- b x xy -f- c x" -f e y2 -\-fxy-\- gxx
J-Vix-f- zy--f-/=o, & qu’elle a 4 -j- 3 -j- 2-j- r,
termes, c’effi-à-dire 10 ; en général, Téquation Ia
plus composée de Tordre n, aura un nombre determes = (n -f 2 ) X í ~ 1' J> c’est-à-dire à íasomme d’une progression arithmétique dont n -f- 1
est le premier teime & 1 le dernier. V. PROGRESSION
ARITHMÉTIQUE.II est clair qu’une droite ne peut jamais rencontrer
une ligne du nc ordre qu’en n points- tout au
plus ; car, quelque transformation quîon donne
aux axes, Tordonnée n’aurâ jamais que n valeurs
réelles tout au plus, puisque Téquation ^ ne peut
être que du. degré n. On peut voir dans Touvrage
M. Cramer, déjà cité, plusieurs autres propositions
auxquelles nous renvoyons, fur le nombre des
points, où les lignes de différons ordres ou du
même ordre peuvent se couper. Nous dirons feu-.
lement que Téquation d’une courbe du degré n étant
ordonnée, par exemple, par rapport à y, en sorte
que y" n’ait pour coefficient que l’unité j cette
équafiou aura autant de coëfficiens qu’il y a determes, moins un, c’esl-à-dire, "■'^'"- 5" Donc, si
on donne un pareil-nombre de points, la courbe
du n" ordre, qui doit passer par ces points, sera
facilement déterminablè ; car, eiï prenant un axe
quelconque à volonté , & menant des points donnés
des ordonnées à cet axe , on aura \ordonnées connues, ainsi que les abscisses correspondantes
, & par conséquent on pourra former
- autant d’équations, dont les inconnues seront les
coëfficiens de Téquation générale. Ces équations ne
donneront jamais que des valeurs linéaires pour les
coëfficiens, qu’on pourra par conséquent trouver
toujours facilement. .. •Au reste, il peut arriver que quelques-uns descoëfficiens
soient indéterminés ; auquel cas, .'on
pourra faire passer plusieurs lignes du même ordre
par les-points donnés ; ou que les points donnés
soient tels que la courbe n’y puisse passer :. pour
Jòrs Téquation sera réductibíe en. plusieurs autres
rationnelles. Par exemple, qu’on propose défaire
passer une section-conique par cinq points donnés(car n étant =2, -"*^~ ?" est = 5)  ;: il esl .visibleque, fi trois de ces. points sont en ligne droites la
section n’y pourra passer ; car une section conique
ne peut jamais être coupée qu’en 1 deux points par
une ligné droite, puisque son équation n’est jamais
que de deux dimensions. Qu’arrivera-t-il donc ?
l’équation sera réductible en deux du premier
degré, qui représenteront non une section conique,
mais le fystême de deux lignes droites, & ainsi des
autres. ■ : .On peut remarquer auffi qup, si quelques coêffi^.
ciens se trouvent infinis, Téquation se simplifie ; car
les autres coëfficiens sont nuls par rapport à'ceux-là,
& on doit par conséquent effacer les termes où se
trouvent ces coëfficiens nuls,M. Neuton a fait, for les courbes du second genre,
un traité intitulé ". Enumeratio linearum tertii ordinis.
Les démonstrations des différentes propositions de
ce traité se trouvent, pour la plupart, dans les
ouvrages de MM, Stirling & Maclaurin fur les
courbes , & dans les autres ouvrages dont nous
avons déjà parlé. Nous allons rapporter sommairement
quelques-uns des principaux articles de Touvrage
de M. Neuton. Cet, auteur remarque que
les courbes du second genre & des genres plus
élevés, ont des propriétés analogues a celles des
courbes du premier genre : par exemple , les sections
coniques ont des diamètres-& des axes ; les
lignes que ces diamètre^ coupent en deux parties
égales font appellées ordonnées ; & le point de la
courbe où pass ; Ie 'liamètre est nommé somma ; de
piéme, fi j dans une courbe du secpijd genre, ontire deux .ligues droites parallèles qui. rencontrent
Ja courbe en rrois points, une ligne droite qui coupera
ces parallèles, de manière que la somme des
deux parties comprises entre la sécante & la courbe
d’un même côté, soit égale à l’autre partie comprise
entre la sécante & la courbe , elle coupera,
suivant la même loi, toutes les autres lignes qu’on
pourra mener parallèlement aux deux premières,
& qui seront terminées-à la courbe, -c’esl-à-dire,
les coupera de manière que la somme des 'deux
parties d’un même côté fera égale à l’autre partie.
En effet, ayant ordonné Téquation de manière
que y", fans coefficient, soit au premier terme, lc
second terme sera y2 ( a -j- b x) , & ce second terme
contiendra la somme des racines, c’esl-à-dire des
valeurs de y. Voyez EQUATION. Or,par Thypothèse
, il y a deux valeurs- de'x qui rendent ce
second terme = o, puisqu’il ya deux-valeurs de x
( hyp- )  qui donnent la somme des ordonnées positives
égale à la somme des négatives Donc il y
a deux valeurs de x, savoir ,A 81 B, qui donnent
a -f- b A =: o , a -j- B b = o. Or cela ne peut être,
à moins qu’en général on. n’ait a = o, 6=0. Donc
a-j-6x=±o, quelque valeur qu’on suppose à x.
Donc le second terme manque dans Téquation.
Donc la somme des ordonnées positives est partout
égale à la somme des ordonnées négatives.On peut étendre ce théorème aux degrés plus
élevés. Par exemple, dans le quatrième ordre, le z*
terme étant y' ( a 4- b x)  , c est encore la même
chose ; &, si deux: valeurs de x donnent la somme
des ordonnées nulle, toutes les autres valeurs la
donneront. -'■■■■ iOutre cela, comme, dans lés sections coniques
non paraboliques,*le quarré d’une ordonnée, c’està-dire
le rectangle des ordonnées situées de deux
différons côtés du diamètre, esl au rectangle des
parties du diamètre terminées aux sommets de
Tellipse ou de I'hyperbole, comme une ligne donnée
appellée latus réSum ou paramètre -3 est à la.
partie du diamètre comprise entrê les sommets, &
appellée latus trahsverfum ; de même, chms les
courbes du second genrè nónparaboliques, le paraU
Ielépide fous trois Ordonnées est au parallélépipède
sous les trois parties du diamètre terminées par les
sommets & par la rencontre des ordonnées, dans
Un rapport constant,Cela est fondé for ce que le dernier terme de
Téquation , savoir, h x" -f- / x1 -f-mxv) - n, 'est le
produit de toutes les racines ; que ce dernier terme
est, outre cela , le produit de A x -) - B par D x
-\- E, &. par Fx -f- G, & que, aux points opi
y = o, c’est,à-dire où le diamètre coupe Ia courbe,
points que l’on appelle ici sommets , on a x = —A ■ ' . -Q ' fjg- ,.,r==—c- ^-,x=--r- -p t avec ces propositions ?on trouvera'facilement la démonstration dont il’
s’agit, ainsi que celle des théorèmes íùivans, qui
sont auffi tirés de M. Neuton.Comme, dans la parabole conique, qui n’a qu’un'' íbwjmcîCou . cou' 457sommet sur un seul &. même diamètre, le rectangle
des ordonnées est égal au produit de la partie du
diamètre comprise entre le sommet & Tordonnée,
par une ligne constante appellée latus reSum ; de
même, dans celles des courbes du second genre qui
n’ont que deux sommets fur un même & unique diamètre,
le parallélépipède sous trois ordonnées esl
égal au parallélépipède fous les deux parties du diamètre,
comprise entre lès sommers & la rencontre
de Tordonnée, & sous une troisième ligne constante,
que Ton peut par conséquent nommer latus
reâum. V. PARABOLE._ De plus, dans les sections coniques, si deux
lignes parallèles & terminées à la section, font coupées
par deux autres lignes parallèles & terminées
à la seérion , la première par. la troisième , & la
secondé par la quatrième, le rectangle des parties
de la première est au rectangle de la partie de la
troisième, comme le rectangle des parties de la
seconde est au rectangle des parties de Ia quatrième ;
de même auffi, si on tire dans une courbe
du second genre deux lignes parallèles, terminées
à. la courbe en trois points, & coupées par deux
autres parallèles terminées à la même courbe, chacune
en trois points, le parallélépipède des trois
parties de la première ligne sera à celui des trois
parties de la troisième, comme le parallepipède des
trois de la seconde est à celui des trois parties de
la quatrième. _.' Enfin les branches infinies des courbes du premier
& du second genre & des genres plus élevés , sont
ou du genre hyperbolique, ou du genre p'arabo-^
lique : une branche-hyperbolique est celle qui a
une asymptote, c’est-à-dire qui s’approche continuellement
de quelque ligne droite ; une branche
parabolique est celle qui n’a point d’asymptote,
V. ASYMPTOTE & BRANCHE.Ces branches peuvent se distinguer encore mieux
par leurs tangentes. En effet, si le point de contact
d’une tangente esl supposé infiniment éjoigné, la
tangente de ce point se confond aveç Tasy'mptote
dans une branche hyperbolique ; & dans une branche
parabolique, elle s’éloigne à Tinfini, & disparaît.
On peut donc trouver Tasymptote d’une branche,
en cherchant sa tangente à un point infiniment
éloigné, & on trouve la direction de cette branche,
en cherchant la position d’une ligne droite parallèle
à la tangente, lorsque le point de contact est infiniment
éloigné ; car la direction de la branche infinie
à son extrémité est parallèle à celle de cette ligne
droite. ■>-<.Les lignes d’un ordre impair, par exemple, du
troisième, du jcinquième, ont nécessairement quelques
branches infinies ;.. car on peut toujours, par
une transformation d’axes, s’il est -nécessaire, préparer
Téquation, en forte que Tune au moins, des
coordonnées, se trouve élevée à une puissance
impaire dans Téquation ; elle aura donc toujours
au moins une valeur réelle, quelque valeur qu’on
suppose à l’autre coordonnée. Donc, &c.Mathématiques. Terne 1,. ILePartie*Nou£ avons dit plus haut que, dans une ligne
courbe d’un genre quelconque, on peut toujours
imaginer Taxe tellement placé, que la somme des
ordonnées d’une part soit égale à la somme des
ordonnées de l’autre. L’axe, en ce cas, s’appelle
ordinairement diamètre. II est évident que toute
courbe en a une infinité ; car, ayant transformé Ie »
axes d’une manière quelconque, on peut toujours
supposer cette transformation telle que le second
terme de la transformée manque, & en ce cas l’un
des axes sera, diamètre.On appelle diamètre absolu celui qui divise, le »
ordonnées en deux également ; tels sont ceux de »
sections coniques.M. de Bragelongne appelle contre-diamètre un axe
des abscisses, tel que les abscisses opposées égalés
aient des ordonnées opposées égales, c’est-à-dire,
tel que x négative donne y négative , fans changer
d’ailleurs de valeur. .Ceci nous conduit naturellement- à parler des
centres , dont nous avons déjà dit un mot pins
haut. Pour qu’une courbe ait un centre, il faut
qu’en supposant Torigine placée dans ce centre, &.
prenant deux x opposées & égales, les y correspondantes
soient auffi opposées & égales ; c’eslà-dire,
il faut que, faisant x négative dans Téquation,
on trouve pour, y la même valeur, mais négative.
L’équation doit donc être telle par rapport
à x & à y, qu’en changeant les signes de x & de y,
elle demeure absolument la même ; donc cette
équation ne doit contenir que des puissances ou des
dimensions impaires de x &de y, fans terme constant
, ou des puissances & des dimensions paires
de x & de y, avec "ou fans terme constant. Car,
dans le premier cas, tous les signes changeront,
en faisant x & y négatives, ce qui est la même
chose que si aucun signe ne changeoit ; &•, dans
le second cas, aucun signe ne changera. Voulezvous
donc savoir si une courbe a un centre ?
L’équation étant ordonnée par rapport à x & ay,
imaginez que Torigine soit transportée .dans ce
centre, en forte que Ton ait x-f- a~z, y -\-b-u ;
& déterminez a & b à être telíes, qu’il ne reste
plus, dans la transformée, que des dimensions
paires, ou des dimensions impaires fans terme
constant ; si la courbe a un centre possible, voustrouverez
pour a & J des valeurs réelles. Dans
Texrrait du livre de M. Tabbé de Gua, Journal
des Savans, mai 1740, extrait dont je fois fauteur
, on a remarqué que Ténoncé de la méthode de
cet habile géomètre pour déterminer les centres,
étoit un peu trop générale. -.Nous ne nous étendrons pas ici for les manières,
de déterminer les différentes branches des courbes ;
nous renvoierons, fur ce sujet, au livre de M. Cramer
, qui a pour titre : IntroduSion à la ligne des
lignes courbes. Nous dirons seulement ici que ce
problême dépend de la connoiffance des séries &
de la règle du parallélogramme,-dont nous parMm m45g COU - COU
lerons en leur lieu. Voyez PARALLÉLOGRAMME,SÉRIE, 6v. a-, 3 1*7Division des courbes en differens ordres. ^JNous
avons vu à Y article. CONIQUE , comment Téquation
eénérale des sections coniques ou ligne du
second ordre donne trois courbes différentes.
Nous remarquerons seulement ici, i.° qu’il faut,
à Tendroit dont il s’agit, — D u u , au heu
de D u u ; c’est une faute d’impreffion : i.° que,
lorsque D esl négatif, & par conséquent — Dìiu
positif, alors Téquation primitive &, générale y y -f
pxy± bxx + qy-\-cx + a = o est telle que la
portion y y -f-px y + bxx a ses deux facteurs
imaginaires, c’est-à-dire que cette portion y y-f'
p xy -f b x x supposée égale à zéro, ne donneroit
aucune racine réelle. On peut aiséihent s’en assurerpar le calcul ; car, en ce cas, pn trouvera - <J>,&la quantité A dans la transformée zi+^xi
-f-Px-f C=o sera positive, & par conséquent
— D positive.: 5. 0 dans Téquation zi — Duu -f
F u -f G = o -. on peut réduire les trois termes
' — Duu J- F u -\- G a deux + K11 + H, lorsque
D n’èsl p'as = 0 , par la même méthode qu’on
emploie pour faire évanouir le setond terme d’une
équation du second degré ; c est-à-dire en faisantu ^ = t, & alors Téquation sera z í -f K t í +H — 0 , équation à Tellipse, fi K est positif ; & à
I'hyperbole, si K est négatif : 4.° si D = o / en
ce 'cas, on fera Fu -\- G = k t, & Téquation sera
Z.z-\-kt-o , qui -est à la parabole : 5.° dans le
cas où D = 0, yy-\-pxy-\-bxx a ses deux
facteurs égaux ; & dans le cas où D est positif,
c’est-à-dire où — Duu esl négatif, y y -f-p xy
-L&xx a ses deux facteurs réels & inégaux, &
Téquation apartient à I'hyperbole, car, en.ce cas,pp^>b, &.A est négative. Voyez fur cela, fi vóusle jugez à propos, le sepTième livre des sections
coniques de M. de THôpital, qui traite des lieux
■Géométriques ; vous y verrez comment Téquation
générale des sections coniques se transforme en
équation à la parabole, à Tellipse ou à I'hyperbole,
suivant que yy-\-pxy-\-bxx est un quarré,
ou une quantité composée de facteurs imaginaires,
ou de facteurs réels inégaux. Passons maintenant
aux lignes du troisième ordre ou courbes du second
genre.B-éduSion des courbes du second genre. M. Neuton
réduit toutes les courbes du'second genre à quatre
espèces principales représentées par quatre équations.
Dans la première, le rapport des ordonnées
y aux abscisses x, est représenté par Téquation xyy
-f- cy = a x* -) - b x x -j- c x -f- d ; dans la seconde,
Téquation a cette forme xy-ax1-4- bxx -J- ex
-j-á,- dans la troisième, Téquation est y y =axJ -£lxx
-\- cx-\- d ; enfin la quatrième a pour équation
y = a x' -f-T> xz -) - c x -|- á.Pour arriver à ces quatre équations, il. fautd’abord prendre Téquation générale la plus composée
des lignes du troisième ordre, & Técrire
ainsi.On . remarquera que Ie plus. haut rang {' -f- ;
bzu1-\-cu'z" -f-'ca' étant du troisième degré, tl
aura au moins un facteur réel ; les deux antres
étant, ou égaux entr'eux & inégaux au premier
facteur, ou réels & inégaux, tant entr'eux qu’avec
le premier facteur, ou imaginaires, ou enfin égaux
au premier. Soit z -f 4'u ce facteur réel, & faisons
d’abord abstraction du cas où les trois facteurs
sont égaux ; soit supposé z + Au-t, on aura une
transformée qui contiendra í5-, t 1, t, tuu,utt,,
tu, u u & u, avec un terme constant ; or on fera
d.'abord difparoître le terme u u, en supposant
t -j- F-fi ensuite, en faisant u = N f -f p + Q
( les grandes lettres désignent ici les coëfficiens ) ,
on fera difparoître les termes utt & aíj&ilne
restera plus que des termes’ qui représenteront la
première équation xyy -f- ey =.ax !-|-f> xx -j- c x
+ d: .En second lieu, si les trois facteurs du plus haut
rang sont égaux, on n’aura dans Téquation trans- .
sonnée, en faisant z-\-Au-t, que.les termes t", í 1,
t, u, t u, u u, & un terme constant. Or on peut
faire disparaître les termes tu Su. u, en supposant
u -f- R t -{- K -f ; & Ton aura une équation de la
formeyy=ax" -\-b x% -f-cx-f-a*. Troisième forme
de M. Neuton. Nous remarquerons même que cette
équation pourroit encore se simplifier ; car, en supposant
x— R -) - q, on seroit évanouir les termes bxx
ouáY& quelquefois le terme ex. •3. 0 Si les trois facteurs du premier rang sontégaux,
& que de plus un de ces facteurs soit auffi
facteur du second rang f z z + g Z u + ^ u u > alors
la transformée aura des termes de cette forme £',
t, t u, tt, u, & un terme constanr. Or, faisant
í-|- R^q, on fera disparaître le terme u, &' onaura
une équation de cette forme ,.r.y = ax,' -fb
xz -|- c x -j- d. Seconde" forme de M. Neutoni.
Cependant - on pourroit encore simplifier cette
équation, §t faire disparaître les deux termes bxz-Ç-
c x, en supposant x = Qp , & y- Np -j- P í
' -f M. .4."' Enfin, si les trois facteurs du premier rang
étant égaux , ceux du second font les mêmes,
Téquation-alors n’aurà que des termes de cette
forme tl,tt, u & r,'avec un terme constant, &
elle sera de la quatrième forme de. -M. Neuton
y~ax 3 -f- b x1 -f- c x -j- d, de laquelle on peut
encore faire disparaître les termes b x'" -j- c.x-\-d,
en supposant x-p -f P, & y -f Nx -\-Q_-Z- En
ce cas, Téquation sera de la forme y^-A xJ, &
représentera la première parabole cubique^ Vopi
COU , .- . COU AXC,
les usages de l’analyse de Descartes,.-par M. Tabbé i
du Gua, pag. 437 & suiv.
■ ; On voit, par ce détail-, for quoi est fondée la
division générale des lignes du troisième ordre qu’a
donné AÏ. Neuton ; on vpit de plus que les équations
qu’il a données auraient pu encore recevoir
toutes une forme plus simple, à Texception de la
première.Enumération des courbes dusecondgenre. L’auteur 1
subdivise ensuite ces quatre espèces principales en I
un grand nombre d’autres particulières, à qui il I
donne différons noms. . j■Le premier cas, qui est celui de xyy -) -<i= i
-ax'-f-tx 2 -f- c-x-j-o' , est celui qui donne le '•
plus grand nombre de subdivisions ; les trois fob- i
divisions principales font que les deux autres ra- !
cines du plus haut rang soient ou réelles & iné- '
■gales, ou imaginaires, ou réelles 5c égales, &
chacune de ces subdivisions en produitfcencore
d’autres. Voyez Vouvrage de M. Tabbé de Gua,pag. 440 & suiv.
Lorsqu’une hyperbole est toute entière au-dedans
de ses asymptotes comme I'hyperbole conique,
M. Neuton I appelle hyperbole ' inscrite ; lorsqu’elle
coupe chacune de ses asymptotes, pour venir, se
placer extérieurement par rapport à chacune des
parties coupées, il la nomme hyperbole circonscrite
 ; enfin, lorsqu’une de ses branches est inscrite
à son asymptote, & l’autre circonscrite à la sienne,
il i'appelle hyperbole ambigine ; celle dont les branches
tendent du même côté, il là nomme hyperbole
convergente ; celle dont íes branches ont des
directions contraires, hyperbole divergente ; celle
•dont les branches tournent leur convexité Àe différons
côtés, hyperbole k branches contraires ; celle
qui a un sommet .concave vers Tasymptote & des
branches divergentes, hyperbole conchoïdale ; ceíle
■qui coupe son asymptote avec des points d’inflexion,
& qui s’étend vers deux côtés opposés,
hyperbole anguinée ou serpentante ; celle qui coupe
•la branche conjuguée , cruciforme ; celle qui retourne
for elle -même & se coupe, hyperbole a
noeud ; celle dont les deux parties concourent en
-un angle de contact & s’y terminent, hyperbole a
pointe ou à rebrousfement ; celle dont la conjuguée
est une ovale infiniment petite ,* c’est - à - dire un
■point, hyperbole pointée ou à point conjugué ; celle
qui, par Tímpoflibilité de deux racines, n’a ni
ovale, ni point conjugué, ni point de rebrouffement,
hyperbole pure : l’auteur se sert, dans le■ même sens, des dénominations de parabole convergente,
divergente, cruciforme, &c. Lorsque Ie
nombre des branches hyperboliques surpasse celui
des branches de Thypçrbole.conique, il I'appelle
I'hyperbole redundante.M. Neuton compte jusqu’à soixante-douze espèces
inférieures de courbes du second genre :. de
-ces courbes il y en a neuf qui font des hyperboles
redundantes fans diamètre, dont les trois atymp-ïotes
forment un triangle. De ces hyperboles, lapremière en renferme trois, une inscrite, une circonscrite
& une ambigêne, avec une ovale ; la seconde
est, à noeud, la troisième à pointe, la-quatrième
pointée, la cinquième & lá sixième pures,
la septième & la huitième cruciformes, la neu- '
vième anguinée.II y a de plus douze hyperboles redundantes
qui n’ont qu’un diamètre ; la première aune ovale,
la seconde est à noeud, la troisième à pointe, la
■quatrième pointée ; la cinquième , sixième , septième
& huitième pures ; la neuvième & la dixième
cruciformes, la onzième & la douzième conchoïdales.
II y a deux hyperboles redundantes qui ont
trois diamètres.II y a encore neuf hyperboles redundantes, dont
les trois asymptotes convergent en un point commun
 ; la première est formée de la cinquième &
de la sixième hyperbole redundantes, dont les
asymptotes renferment- un triangle ; la seconde de
la septième & de la huitième, la troisième & la
quatrième de Ia neuvième ; la cinquième est formée
de la huitième & de la septième des hyperboles
redundantes, qui n’ont qu’un diamètre ; la
sixième de la, sixième & de la septième, la septième
de la huitième & de la neuvième, la huitième
de la dixième & de'la onzième, la neuvième
de la douzième & de la treizième. Tous
ces changemens se font en réduisant en un point
le triangle compris par les asymptotes.II y a encore fix hyperboles défeclives fans
diamètre ; la première a une ovale, la seconde
est à noeud, la troisième à pointé, la quatrième
pointée , la cinquième pure, &c.II y a sept hyperboles défectives qui ont des
diamètres ; la première & la seconde sont conchoïdales
avec une ovale, la troisième est à noeud,
la quatrième à pointe : c’est la cissoïde des anciens \
la cinquième & la sixième sont pointées, la sep'
tième pure. ,--"-.■II y a sept hyperboles paraboliques qui ont des
.diamètres ; la première ovale, la seconde à noeud,
la troisième à pointe,'la quatrième pointée, la
cinquième pure, la sixième cruciforme, la sep^tième
 anguinée.II y: a quatre hyperboles paraboliques, quatre
hyperbolisines de 1 hyperbole, trois hyperbolismes
de Tellipse, deux hyperbolisines de la parabole.Outre le trident, il y a encore cinq paraboles
divergentes ; la première a une ovale, la seconde
est à nçeud, la troisième pointée, la quatrième
est à pointe ( cette dernière est la parabole de
Neil, appellée communément seconde parabole cubique
)  , la cinquième est pitre. Enfin il y a une
dernière courbe appellée communément première
parabole cubique. Remarquons ici. que M. Stirling
a déjà fait voir que M, .Neuton, dans son énumération
, avoit oublié quatre espèces particulières,
ce.qui fait monter le nombre des courbes
du second genre jusqu’à soixante - seize, & que
M, Tabbé de Gua y en a encore ajouté deuï
Mmmij
ACÇ)  cou cotjautres, observant de plus que la division des
lignes du troisième ordre en espèces pourroit être
beaucoup plus nombreuse, si on affignoit à ces
m’íférentes espèces des caractères dislinctifs, autres
que ceux que M. Neuton leur donne.On peut voir dans Touvrage de M." Neuton ,
&. dans Tendroit cité du livre de M. Tabbé de
Gua, ainsi que dans M. Stirling, les subdivisions
détaillées des courbes du troisième ordre, qu’il
seroit trop' long & inutile de donner dans un
" dictionnaire. Mais nous ne pouvons-nous dispenser
de remarquer que les principes for lesquels
ces divisions sont fondées, sont assez arbitraires ;
& qu’en suivant un autre plan, on pourroit former
d’autres divisions des lignes du troisième ordre.
On pourroit, par exemple, comme MM. Euler
& Cramer, distinguer d’abord quatre cas généraux
 ; celui où íe plus haut rang n’a qu’une racine
réelle, celui où elles sont toutes trois réelles
& inégales, celui où deux sont égales, celui « où
trois sont’ égales, & subdiviser ensuite ces cas.
Cette division générale paraît d’autant plus juste
& plus naturelle, qu’elle seroit parfaitement analogue
 à celle des lignes du second ordre ou sections
coniques, dans laquelle on trouve Tellipse
pour le cas où le plus haut rang a ses deux racines
imaginaires, Thyperbole pour le cas où le
plus haut rang a ses racines réelles & inégales,
& la parabole pour le cas où élles sont égales.
Au reste, il faut encore remarquer que toutes-les
subdivisions de ces quatre cas, & même la division
générale, auront toujours de Tarbitraire. Cela
se voit même dans la division des lignes du ser
cond ordre : car on pourroit à la rigueur, par
exemple, regarder la parabole comme Une espèce
d’ellipse dont Taxe est infini (voy. PARABOLE) ,
& ne faire que deux divisions pour les sections t
coniques ; & on pourroit même n’en faire qu’une,
en regardant Thyperbole comme une ellipse, telle
que dans Téquation .y y s= a a—-xx, Ie quarré i
de Tabscisse xx ait le signe -f-. II semble qu’en ;
Géométrie comme en Physique, la division en
"genres & en espèces ait toujours nécessairement ]
quelque chose d’arbitraire ; c’est que dans Tune & ]
òans l’autre il n’y a.réellement que des individus, i
iSt que les genres n’existent que par abstraction de 1
Tefprit. 1M. Cramer trouve quatorze genres de courbes <
dans le troisième ordre, & M. Euler seize ; ce qui '(
prouve encore Tarbitraire des subdivisions. jOn peut, par une méthode semblable, faire la ]
division des courbes .d’un genre supérieur. Voyez 1
ce que M. Cramer a'fait par rapport aux lignes c
du quatrième ordre dans le chap. ix de son ou- c
vrage. ~ c' Pour rappeller à Tune des quatre sonnes de c
M. Neuton une ligne quelconque du troisième 1
Vo-rdre, dont Téquation est donné en ^'& en u, j
on transformera d’abord les axes de la manière la
jilus générale, cn supposant x-^Az -\-Bn-x-C, - -s
& y s= D z + E u -f- F : substituant ensuite cei
valeurs, on déterminera les coëfficiens A., B , &c.
à être tels que Téquation en x & en y ait une
des quatre formes susdites.
Points singuliers & multiples des courbes. On appelle
point multiple d’une courbe celui qui esl commun
à plusieurs branches qui se coupent en cé
point, &., par opposition, point simple celui qui
n’appartient qu’à une branche. II est visible qu’au
point multiple, Tordonnée y a plusieurs valeurs
égales répondantes à uii même x. C’esl-là une propriété
du point multiple ; msùs il ne faut pas croire
que le point soit multiple toutes les fois que Tordonnée
a plusieurs valeurs égales :car si une ordonnée
touche la courbe, par exemple, il esl aise de voir
que Tordonnée a dans ce point deux valeurs.égales’,
fans que le pbint soit double. Voyez TANGENTE.
La propriété du point multiple, c’est que Tor-^
donnée"'y a plusieurs valeurs égales, quelque'situation
qu’on lui donne ; au lieu que dans’ le point fimple,
Tordonnée qui peut avoir plusieurs valeurs égales
dans. Une certaine situation, n’en a plus qu une
dès que cette situation change ; ce qui "est évident
par la seule inspection d’un point multiple & d’un
point fimple. Voyez POINT. "De-là il s’ensuit que.fi on transporte Torigine
en un point supposé multiple, en faisant i'4-A.
=x, u -\-B-=y, il. faut qu’en supposant z infir
niment petit, on ait plusieurs valeurs nulles de u,
quelque direction qu’on lui donné. Ainsi, pour
trouver les points multiples, il n’y a qu’à, après
avoir transporté Torigine dans le point supposé,
donner unè direction quelconque à Tordonnée,
& voir si , dans cette direction quelconque, Tordonnée
aura plusieurs valeurs égales à.zéro. Voy.
M. Tabbé de-Gua, page 88 , & M. Cramer,
page 409. ' 'On prouvera, par ces principes, que les sections
coniques ne peuvent avoir de points multiples
 ; ce qu’on favoit d’ailleurs. On prouvera
auffi que les courbes du troisième ordre ne peuvent
avoir de points triples, &c. ; niais cette proposition
se peut encore prouver d’une manière
plus.simple en cette sorte. Imaginons que Tor- .
donnée Toit tangente d’une des branches, elfe
rencontrera cette branche en deux points. Or si
le point esl un point double, par exemple, Tordonnée
rencontrerait donc la courbe en trois points,
ce qui ne peut être dans une section conique ; car
jamais une droite ne peut la rencontrer qu’en deux
points, puisque son équation ne passe jamais le
second degré ; & qu’ainsi, quelque position qu’on
donne à Tordonnée, elle ne peut avoir jamais plus
de deux valeurs. On prouvera de même qu une
courbe du second genre ,-ou ligne du troisième
ordre,.ne peut avoir de point triple, parce que
la courbe ne peut jamais être coupée qu’en trois
points par une ligne droite.^' • 'A Tégard des points doubìes des courbes, nous
avons déjà remarqué que les courbes du second,.
COU C O U -A6Ì
genre peuvent être coupées en trois points, par
une ligne droite. Or deux de ces.points se confondent
quelquefois, comme il arrive, par exemple
, quand la ligne droite passe par une ovale
infiniment petite, ou par le point de concours
de deux parties,, d’une courbe qui se rencontrent
& s’unissent en une pointe. Quelquefois les lignes
droites ne coupent la courbe qu’en un point,
comme il arrive aux ordonnées de la parabole de
Defcartes, & de la première parabole cubique ; en
ce cas, il faut’ concevoir que ces lignes droites
passent par deux autres points de la courbe placés
à une distance infinie ou-imaginaire. Deux de ces
intersections coïncidentes, faites à une distance
infinie ou même imaginaire, constituent, une espèce
de point double. . ■ i
. On appelle points singuliers les points simples
. qui ont quelque propriété particulière, comme
les points conjugués, les points d’inflexion, les
points de serpentement, &c. Voyez POINT, CONJUGUÉ
, INFLEXION , SERPENTEMENT , &c ;
voyez auffi REBROUSSEMENT , NOEUD , .&c. Sur
les tangentes des courbes en "général & fur les
tangentes des points multiples, voy. TANGENTE.Description organique des courbes. l.° Si deux
angles de grandeur donnée, P AD, PBD
(figure s z.) , tournent autour de deux pôles A
& B donnés de position, & que le point de concours
P des côtés A P , B P décrive une ligne
droite, le point de concours D des deux autres
côtés décrira raie section conique qui passera par
les pôles A tk B, à moins que la ligne ne vienne
à passer par l’un ou l’autre des pôles A & P y ou :
que les angles B AD tk AB D ne s’évanouissent
à-la-fois, auquel cas le point de concours décrira
une ligne droite.• z." Si le point de concours P des côtes A P,
B P décrit une section conique passant par l’un
des pôles A, le point de concours D des deux
autres côtés AD, B D décrira une courbe du second
genre qui passera par.l’autre pôle B, & quiaura
un point double dans le premier pôle A ,'à
moins que les angles BAT) , AB D ne s’évanouissent
à-la-fois, auquel cas le point D décrira
une autre section conique qui passera par le
pôle A. -3.° Si la section conique, décrite par le point '
P, ne passe ni par A ni par B, le point D dé'crira
une courbe du second ou du troisième genre,
qui aura un point double, & ce point double se
irouvera dans le concours des côtés décrivans A D) 
BD,quand les deux angles BAP, ABP. s’évanouissent
à-la-fois. La courbe décrite fera 'du second
genre, quand les angles B AD, AB D
s’évanouiront à-la-fois, sinon elle sera du troi•fième
genre, & aura deux points doubles en A
& en B.Les démonstrations de ces propositions, qu’il
•seroit trop long de donner ici, se trouveront dansTouvrage de M. Maclaurin, qui a pour titre : Geomctria
órganica, où il donne des méthodes pour
tracer des courbes géométriques par-un mouvement
continu. Voyez auffi le VIII. livre des seSions co*
niques de M. de THôpital.Génération des courbes du second genre par les
ombres. Si les ombres des courbes de différons
genres sont projettes fur un plan infini, éclairé
par un point lumineux, les ombres des sections
coniques -seront des sections coniques ; celles des
courbes du second genre seront des courbes du second
genre ; celles des courbes du troisième genre
seront des’courbes du troisième genre, &c.Et comme la projection-du cercle engendre
toutes les sections coniques, de même la projection
des cinq paraboles divergentes engendre toutes
les autres courbes du'second genre ; & il peut y
avoir de même, dans chaque autre genre, une fuite
de courbes simples, dont la. projection fur un plan
éclairé par un point lumineux, engendre toutes les
autres courbes du même genre. MM. Nicole &
Clairaut, dans les Mémoires de l’Acad. dt 7737 ,
ont démontré la propriété des cinq paraboles divergentes
dont nous venons de parler, propriéfé
que M. Neuton n’avoit fait qu’énoncer fans démonstration.
Voyez aussi , fur cette proposition,
Vouvrage cité de M. Tabbé de Gua, pag. 198 é
suiv. Voyez auffi OMERE.
- Usages des courbes pour la construSion des équations.
L’ufage principal des courbes, dáns la Géométrie,
est de donner, par leur point d’intersection,
Ia solution des problèmes. Voy. CONSTRUCTION.
 ;Supposons., par exemple, qu’on .ait à construire
une équation pie o dimensions, comme x9 -j- b x7+cxe+dx* '+. c x* -f (m -f/) x ~ -f gx1-f- hx
-j- k=o, dans laquelle b, c, d, &c. signifient des
quantités quelconques données, affectées des signes
-f- ou—-, 011 prendra Téquation à Ia parabole cu- .
bique x5 —y ; & mettant y pour x" dans la première
équation, elle se changera en y " -j- b xy *
rf-cy" -f- dxz y-j-exy -f-my -\-fxì ■\-.gx' 1 -fHx
-f- k = o , équation à une autre courbe du second
genre, dans laquelle m ou f peuvent être
supposés =: o. Si on décrit chacune de ces courbes,
leurs points d’intersection donneront les racines
de Téquation proposée. II suffit de décrire une fois
la parabole cubique. Si Téquation à construire se
réduit à 7 dimensions par le manquement des
termes a x & k , l’autre courbe aura, en effaçant
m, un point double à Torigine- des abscisses, &
pourra être décrite par différentes méthodes. Si
Téquation est réduite à 6 dimensions par le manquement
des trois termes gx' 1 -\-hx-\-k ^l’autre
courbe, en effaçant f, deviendra une seclion conique
 ; 87 si, par le manquement des six derniers
termes, Téquation est réduite à trois dimensions,
on retombera dans la construction que Wallis en
a donnée par le moyen d’une parabole cubique
JLÍÍ cou cou& d’une lisne droite. Voyez CONSTRUCTION , St '■
l’ouvragc de M. Cramer, chap. iv. _COURBE polygone. On appelle ainsi une courbe
•considérée non comme rigoureusement courbe •, -,"mais comme un polygone d’une infinité de côtés. :
C’est ainsi que dans’ la géométrie de Tinfini 011
considère les courbes ; ce qui ne signifie autre
chose, rigoureusement parlant, sinon qu’une courbe
esl lá limite des polygones, tant inscrits que circonscrits.
Voy. LIMITE, ExHAUSTioN, INFINI., :
DIFFÉRENTIEL , &c., '& POLYGONE.II faut distinguer, quand on traite une courbe
comme polygone ou comme rigoureuse ; cette attention
est for-tout nécessaire dans la théorie des
forces centrales & centrifuges : car quand on traite
lay courbe comme polygone, Teffet de la force cen^
traie, c’est-à-dire la petite ligne qu’elíë. fait parcourir,
est égale à la base de Tangle extérieur .de
la courbe ; tk quand on traite la courbe comme
rigoureuse, Test et de la force centrale est .égal à
la petite ligne, qui est la base de Tangle curviligne
formé par la courbe tk par sa tangente.. Or
il est aisé de voir que cette petite ligne n’est que
la moitié de la première, parce que la tangente
rigoureuse de la courbe divise en deux également,
Tangle extérieur que le petit côté prolongé fait"
avec le côté suivant. La première-de ces. lignes
est égale aU quarré du petit côté divise par le
rayon du cercle oseulateur, voyez 'OSCULATEUR
& DÉVELOPPÉE ; la seconde au quarré du petit
côté divisé par le diamètre du même cercíe. La
première est censée parcourue d’un mouvenient
uniforme, la seconde d’un mouvement Uniformément
accéléré. .Dans la première, la forcé centrale
est supposée n’agir que par une impulsion
unique, mais grande ; dans la seconde, elle est
supposée agir, comme la pesanteur,par une somme
de petits coups égaux, & ces deux suppositions
reviennent á une même : car Ton fait qu’un corps■ mû d’un mouvement accéléré parcourrait uniformément
, avec fa vitesse finale, le double de Téspace
quil a parcouru d’un mouvement uniformément
accéléré , pour acquérir cette vitesse. Voyez les articles
ACCÉLÉRÉ, CENTRAL & DESCENTE.
Voyez auffi l’Hist. de l’Acad. 17zz, tk mon Traité
de Dynamique, pag. zo , article zo , & pag. 30 ,
article zG.ReSification d’une courbe, est une opération qui
consiste à trouver une ligne droite égale en longueur
à cette courbe. Voyez RECTIFICATION.Inflexion d’une courbe. Voyez INFLEXION.Quadrature d’une courbe , esl une opération qui I
consiste à trouver Taire ou l’espace renfermé par :
cette courbe , c’est-à-dire, à assigner un quarré dont ■
la surface soit égale, à un espace curviligne. Voyez
QUADRATURE.Famille de courbes, est un assemblage de plusieurs
courbes de différons genres , représentées
foutes par la même équation d’un degré indéterminé,mais différent, selon Ia diversité du genre
des courbes. V°ycZ FAMILLE.Par exemple,supposons qu’on ait Téquation d’unm—1 m.degré indéterminé a a"=y :ûm—z, onaura
■ax — y 1 ; û m = 3, onaura a2 x=yî ; si m = 4,
a" x = yf. Toutes les courbes auxquelles ces équations
appartiennent sont dites de Ia même famille
par quelques géomètres, , ' - -Les équations qui représentent des familles de
■courbes , ne doivent pas être confondues avec ies
équations exponentielles ; car quoique Texposant
soit indéterminé par rapport à toute une famille de.
courbes, il est déterminé tk constant par rapport à
chacune des courbes qui la composent ; au lieu que
dans les équations exponentielles, Texposant est variable
& indétermihépour une seule tk même courbe.
Voyez EXPONENTIEL.Toutes les courbes algébriques composent, pour
ainsi dire, une certaine famille qui se subdivise en
une infinité d’autres, dont chacune contient une
infinité de genres. En effet, dans les équations’par
lesquelles les courbes sont déterminées, il n’entre
que des produits, soit des puissances des abscisses
& des ordonnées par des coëfficiens constans, soit
des puissahGes des abscisses par des puissances des
ordonnées, soif de quantités constantes pures &
simples, les.unes par les autres. De plus, chaque
équation d’une courbe peut toujours avoir zéro pour
un de ses membres, par exemple, ax=.y'í se
change en ax — yz = o. Donc Téquation générale,
qui représentera toutes les courbes algébriques,
seraNous devons remarquer ici que le P. Reyneau
s’est trompé dans le second volume de son analysedémontrée,
lorsque, voulant déterminer les tangentes
de toutes les courbes géométriques en général, il
prend pour l’équation générale de toutes ces courbes.m n q , p _ fy -j-bx y -j-cx =6, équation qui n a que
-trois termes. II est visible que cette équation est
insuffisante, & qu’on doit lui substituer celle -que
nous venons de donner.Courbe cauflique. Voyez CAUSTIQUE.Courbe diacaustique. Voyez DlACAUSTIQUE. iLes meilleurs ouvrages dans lesquels on puisses’instruire de la théorie des courbes, sont, i." Venumeratiolinearum tertii ordinis de M. Neuton, d’oùune-partie de cetarticle-CpuRBÉ est tiré ; z." Tpu,vrage cle M, Stirling for le même sujet, & Geo*metria organicà de M. Maclaurin, dont noiis avons
■parlé 5 3.° les usages de Vanalyse de Descartes, par.
Cou ^ cou 463M. Tabbé dé Gua, déjà cités, ouvrage original•&
plein d’excellentes choies, mais qu’il faut lire àvec
précautions í^.,BRANCHE & REEROUSSEMENT) }
^yVintroduSion a Vanalyse des lignes courbes, par
M. Cramer, ouvrage très-complet, très-clair &
très-instructif, & dans lequel on trouve d’ailleurs s
/ plusieurs méthodes nouvelles ; 5.° Touvrage de
|ì-. M. Euler, qui a.pour titre: IntroduSip in analyf.
irijinitorum, Laufan. 1748.Sur les propriétés, la génération, &c., des différentes
courbes méchaniques particulières ; par
exemple, de la cycloïde, de la logarithmique,
de la. spirale, dp la quadratrice, 6-ç. Voyez les’
articles CYCLOÏDE, LOGARITHMIQUE, &.COn peut voir aussi la dernière section de Tapplication
de l’Algèbre à la Géométrie de M. Gùisnée,
où Ton trouvera quelques principes généraux
furies courbes méchaniques. Voyez aùffi MÉCHANÌQUE
& TRANSCENDANT. 'On peut faire passer une courbe géométrique tk
régulière par tánt de points qu’on Voudra d’une
courbe quelconque irrégulière, tracée fur le papier ;
car ayant imaginé dans íe plan: de cette
courbe une ligne droite quelconque, qu’on prendra
pour la ligne des abscisses, & ayant abaissé
des points, donnés- de la courbe irrégistière des
perpendiculaires à la ligne des x, 011 nommera a
la première ordonnée, & b Tabscisse qui lui- répond
 ; c la seconde ordonnée, & e Tabscisse cor- ■
irespondante ; /la troisième ordonnée, pi g Tabscisse
correspondante, &c- Ensuite pn supposera une
courbe dont l’équation soit y =1A -fr B x -frC x i
4- D x 3 _j_ 6-f. ■ tk faisant successivement y = a ,
x==i,.~y==c, x = e, y=f> *=&> &c.,'on.déterminera
les coëfficiens A, B , C, &c., en tel
nombre qu’on Voudra, & la courbe régulière dont
l’équation eû'y.= A -fr B x -fr Cxz, &c., passera
paf tous les points donnés. S’il y a n points donnés,
il faudra supposer a coëfficiens A , B , C,
D, &c. On peut donc faire approcher auffi prés
qu’on voudra une courbe irrégulière d’une courbe
, régulière, mais jamais on ne parviendra à faire,
-coïncider l’un ávec l’autre ; & il ne faut pas s’itna,
giner qu’on puisse jamais, à la vue fimple, déterminer
Téquation d’une courbe , comme Ta cru
le géomètre dont nous avons parlé au commencement
de cet article.- Les courbes dont Téquation y = A -fr B x -fr
Çx 2, &c., -s’appellent courbes de genre parabolique.
■Voyez PARABOLIQUE. Elles servent à rendre une ■
courbe quelconque irrégulièrë óu méchanique, le
plus géométrique qu’il est possible ; elles fervent
auffi à la quarrer par. approximation. Voy. QUADRATURE.
Au f-este, il y a des courbes, par
exemple, les courbes ovales ou rentrant en elles-mêmes,
par lesquelles on ne peut jamais faire passer
une courbe de genre parabolique, parce que ■
dans cette dernière courbe , Tordonnée n’a jamais
qu’une valeur, & que dans íes courbes ovales, elle
en a toujours au moins deux. Mais on pourroit,par exemple, rapporter ces courbes , lorsqu’elles
ont un. axe qui ; les’divise en deux également, à
1 équation ,yy ==. A-frBx-frCx^-fr^c. Voyez
MÉTHODE DIFFÉRENTIELLE.Courbe à double courbure. On appelle ainsi unè
'courbe dont tons les points ne íauroienr être fopppíes
dans un. même plan , & qui, par conséquent,
est doublement courbe, &-par elle-même,
& par la surface for laquelle on peut la supposer
appliquée. On distingue, par cette dénomination,
lescouibes dont il s’agit, d’avec ìes courbes à simple
. courbure ou courbes ordinaires. M. Clairaut a donné
un traité de ces courbes à double courbure ; c’est le
premier ouvrage qu’il ait publié.Une courbe quelconque a double courbure étant
supposée tracée ; on peut projetter cette courbe
for deux plans différens., perpendiculaires l’un à
l’autre, & les projections seront deux courbes ordinaires
qui auront un axe commun tk des or-'
données différentes. L’équation d’une de c-es courbes
sera, par exemple, en x & en y, l’autre en x &
en z- Ainsi, Téquation d’une courbe à double courbure
sera composée de deux équations à deux variables
chacune ;-qui. ont chacune une même va-,
riable commune. 11 est à remarquer que quand on
a Téquatipn en x & en y ,.tk Téquation en x"&
: en z> on peut avoir., par les règles connues
 ! (voyez EQUATION ) , une autre équation en
y & en zí tk cé fera. Téquation d’une troisième
courbe , qui est la projection de la courbe à double
courbure fur un troisiènie plan perpendiculaire
aux deux,premiers. • .On peut regarder, si Ton’veut, une des courbes
de projection , par exemple, ce) le qui a pour coordonnées
x tk y, comme Taxe curviligne-de la
courbe à double courbure. Si on veut avoir la
tangente de cette dernière courbe en un pointquelconque,
on mènera d’abord la tangente dp
la courbe de projection au point correspondant,"
c’effà-dire au point qui est la projection de celui
dont on demande la tangente ; & sur cette tangente,
prolongée autant’qu’il sera nécessaire, onprendra une partie t=z  ?i, "-■ ,ds exprimant le petitarc de la courbe de projection : on a le rapport de
d s à dx par Téquation de la courbe en x & en y
(voyez TANGENTE & DIFFÉRENTIEL) -, on a
celui de dx à d z par Téquation de la courbe enx tk en z,- Donc-^—pourra toujours être exprimépar une quantité finie , d’où les différentielles disparaîtront.
Une courbe à double courbure est algébrique,
quand les dejux courbes de projection le
sont ; elle est mécanique, quand Tune des courbes
de projection est mécanique, ou quand elles le
sont toutes deux. Mais, dans ce dernier cas, on
n’en trouvera,pas moins les tangentes ; car, par
Téquation différentielle des courbes de projection,
011 aura toujours la valeur de d s en dx & celle
dç.di ën dx..A6A cou couSurfaces courbes. Une surface courbe est repri ?fentce,
 en Géométrie, par une équation à trois-variables,
par exemple, x, y & ^ Eii effet, si on
prend une ligne quelconque au - dedans ou audehors
de la surface courbe pour la ligne des x >
& qu’on imagine à cëtte ligne une infinité de plans
perpendiculaires qui coupent la surface courbe, ces
plans formeront autant de courbes dont Téquation
fera en y & en {, tk dont le paramètre sera la distance
variable x du plan coupant à Torigine des x. Ainsi,
Zz=xx — yy, est Téquation d’un cône droit &
rectangle, dont Taxe est la ligne des x. M. Descartes
est le premier qui ait déterminé les surfaces
courbes par des équations à trois variables, commê
les lignes courbes par des équations à deux.Une surface courbe est géométrique, quand son
équation est algébrique & exprimée en termes finis ;
elle est méchanique, quand son équation est différentielle
& non algébrique r'dans ce cas, on peut
représenter Téquation de là surface courbe par d z
= « dx +£ d y ,*tk£ étant des fonctions de i,
de y & de z- ^ semble d’abord qu’on aura cette
fnrface courbe, en menant à chaque point de la
ligne des x un plan perpendiculaire à çette ligne,
&,en traçant ensuite sur ce plan la courbe dont ■
Téquation est dz = edy, x étant regardée comme t
un paramètre constant, & dx étant supposée = o.
Cette construction donneroit à la vérité une surface
courbe ; mais il faut que la surface courbe satisfasse
encore à Téquation d z = *.d x , y étant
regardé.comme constant, c’est-à-dire, il faut que
les sections de la surface courbe, par un plan parallèle
à. la ligne des x, soient représentées par
Téquation d z = « d x. Or cela ne peut avoir lieu
que lorsqu’il y a une certaine condition entre les
quantités « • & £, condition que M. Fontaine, de
1 académie des Sciences, a découvert le premier.
On trouvera auffi dans les Mémoires de VAcadémie
de Pétcrsbourg, tom. iij, des recherches for
la ligne la plus courte que Ton puisse tracer for
une surface courbe entre deux points donnés. Sur
une surface plane, la ligne la plus courte est une
ligne droite ; fur une surface sphérique., la ligne
la plus courte est un arc de grand cercle passant
par les deux points donnés. Et en effet il est aisé
de voir, par les principes de la Géométrie ordinaire
, que cet arc est plus petit que tout autre
ayant la même corde ; car, à cordes égales, les
plus petits arcs sont ceux qui ont un plus grand
rayon. Voyez auffi les OEuvres de Jean Bernoulli,
tom. iy, pag. 108. La ligne dont il s’agit a cette
propriété, que tout plan passant par trois points
infiniment proches, ou deux côtés contigus de la
courbe , doit être perpendiculaire au plan qui touche
la courbe en cet endroit. En -voici la preuve.
Toute courbe qui passe par deux poiuts infiniment
proches dtine surface sphérique, & qu’on peut '
toujours regatder comme Un are de cercle, est
évidemment la ligne la plus courte, lorsqu’elle
est un arç de grand cercle-, & cet arc de grandcercle esl perpendiculaire an plan touchant, coirime
on peut le démontrer aisément par les élémeris dé
Géométrie.' Or toute portion de surface courbe infiniment
petite peut être regardée commeiunc portion
de surface sphérique  ? & toute partie de courbe
infiniment petite comme un arc de cercle : donc, &c.
La perpendiculaire à lá méridienne de la France,
tracée par M. Caffini, est une courbe à double
courbure, & est Ia plus courte qu’on puisse tracer
for Ia surface de la terre, regardée comme un
sphéroïde applati. Voyez les Mémoires de l’Acad.
de 1731 & 1733. Voilà tout ce que nous pouvons
dire, fur cette matière, dans un ouvrage de Tespèce
de celui-ci.Des courbes méchaniques, & de leur usagé pouf
construSion-des_ équations différentielles. Nous avons
expliqué plus haut cc que c’est que ces courbes. U
ne s’agit que d’expliquer ici comment on les construit
, ou., en général, comment on construit une
équation différentielle. Soit,"par exemple, dy'^z.. , —=■ une équation à construire, onauray=y zax — x x. a - - ■ __ ./7-y^-a,-—-=r -fr C, C étant une constante qu’on
y 2 ax— xx'ajoute, parce que \ ./ ' ,=- est supposée=0lorsque x = o, & qu’on suppose que x = o rend
y = C. Fôye^~CoNSTAN.TE. On construira d’abord _
une courbe géométrique, dont les ordonnées soient, f = : les abscisses étant x, Paire de cettey zax — xx 9courbe ( Voyez QUADRATURE) sera /. , ——*-*=^ìv '"•■ »- jy zax — xx7ainsi, en supposant cette courbe quarrable , si onf a a d xfait un quarré z l = ]*/ _2=""> on aura y=
— -4- C, & on construira la courbe dont l’ordonnéea 'J■ sest y.■ ' Cette méthode suppose, comme on voit, que les
indéterminées soient séparées dans l’équation différentielle
( Voyez INTÉGRAL)  ; elle suppose
de plus Tes quadratures, fans cela elle ne pourroit
réussir. -Soit en général Xdx = Ydy , X étant une
fonélion dex ( Voyez FONCTION) , & y une sono
tion de y.- On construira d’abord, par la méthode
précédente, une courbe dont les abscisses soient x,
& dont les ordonnées z foient =^sX'dx divisé par
une constante convenable, c’est-à-dire, par une
constante m qui ait autant de dimensions qu’il Jen a dans X ; en sorte que Í—-Ì-Í soit d’unedimension, pour pouvoir être égale à une ligne ?.
Ensuite on construira de même une courbe dont
les abscisses soient y, tk dont les ordonnées asoient =zi—^— ; prenant ensuite u dans la dernièree o u .cou iíç.' îjièré combe = z dans l’autre,--on aura Px & l’y
correspondantes ; & ces x & y joints à angles,
droits’, fi. les coordonnées doivent fairé un angle
droit, donneront la courbe qu’on cherche.
' ■ Voyez, dans la dernière se Sion de l’application
. tìe l’ÁIgèbre à la Géométrie de M: 'Guisoée, & dans
Y analyse des infinimens petits de M. de THôpital,
plusieurs exemples de construction des équations
différentielles par des courbes méchaniques. (O) . ' COURBURE, f. f. ( Géom. )  On appelle ainsi la
quantité dont un arc infiniment petit d’une courbe
quelconque, s’écarte .de la ligne droite : or un
. arc infiniment petit d’une courbe, peut être con.fidéré
comme un arc de cercle. ( Voyez DÉVELOPPÉE
)  ; par conséquent on détermine la cour'bure d’une courbe par celle d’un arc de cercle infiniment
petit. Imaginons donc, for une corde infiniment
petite, deux arcs de cercle qui aient différons
rayons ; le plus petit sera plus écarté de fa
corde^ que le plus grand, &.on démontre,- en
Géométrie, que les écarts seront en raison inverse
dès rayons des cercles: donc, eri général, la
. courbure d’un cercle, est en raison inverse de son
rayon,. & la courbure d’une courbe , en chaque
point, est en raison inverse .de son rayon psçulatéur.
Au reste, il y a de. Tarbitraire-dans cette'
définition ;-cas lì, d’un côté, on peut dire qu’un• - arc de petit-cercle est plus courbe qu’un arc-de
grand cercle rapporté à la même corde , on peut• •'■ dire, d’un autre côté, que ces arcs sont également
courbes , rapportés à ' des cordes différentes &
proportionnelles à leurs rayons ; & cettefaçon de
parler pourroit être admise auiîi, d’autant que les
cercles font des courbes semblables. En nóus conformant
â la première définition, il est clair que la
-courbure d’une ^courbe en un point quelconque
est finie, fi le rayon oículateur en c-e point est
fini ; que la courbure est nulle, si Je rayon.oscillateur
est infini ; & que-la courbure est infinie, si
le rayon oseuíateur est = ,ol Vpyez le Sckoliesur
le lemme XI. des princ. math, de Newton, /. J.
M. Cramer, chap. xij. &M. Euler, l. II. ch. xiv.: 11 y a cependant, for ce dernier chapitre, quelques
observations à faire. Voyez REEROUSSE-MENT. ( O)  : - -"'■>'.COURONNÉ, f. f. en Géométrie , est un plan ter-.minépU-cnferiiié par deux circonférences parallèlesde cercles inégaux, ayar.t un même centre, .& qu’à- cause dp cela on appelle cercles concentriques. On a la
.' surface de la couronne, en multipliant sa largeur par
- IzJongueur de la circonférence moyenne arithmétique
entre ses deux circonférences qui íatermìncnt,
c’est-à-dire quea si Tpn veut mesurer la couromedont,
h largeur eh AB.(pi. Géom, fig. 53) , &'q« i est terminée
par les ;cercles dont les rayons sont CA tk CB ,… il íaút prendre le produit de la largeur AB tk de la
.circonférence décrite du centre C par. le point de
milieu D de laiargeur AB. La démonstration en, '. psl’fien simple ; soit a le ra}'on.dp grandcerc !e,.cfa
Mathématiques.. Tçme I, II'. Partie.circonférence, — sera son aire ; soit r le rayon du
petit cercle, — Y — ou — sera son aire ; donc1 , ' .z a a . za .la différence des deux aires, c’est-à-dire la surfacede la couronne = - = ( a — r 1 ~xs —z' za "- ' x a -—^-.. Or AB=a — ; r, & la circonférence, dontle rayon. est C D , a pour expression — X{r+a-~r) =^a-~) -Donc,&c.a(0) CoUBONNE australe,. corona auflrina , corolla
notia, sertum’ australe , caduceus-, orbiculus capitis,
corona fagittarii , rota Ixionis. Cette constellation
paroít à peine for notre horizon au commencement
du mois de juillet, vers le milieu de la nuit. Les
poètes racontent que Bacchus plaça dans le ciel
cette couronne à Thonneur, de fa mère Sémélé ;
d’autres disent que cette couronne esl celle qui fut
déférée à Corinne de Thebes, fille d’Archelodore,
célèbre par ses succès dans la Poésie, & .qui remporta
cinq fois la victoire fur Findare.Lá principale étoile de la couronne n’est que de
5.c grandeur. Elle avoit, én 1750, 18376' 35''
d’ascension droite, & 38° 16' de déclinaison australe ;
ainsi, elle est visible sur Thorizon de Paris-.
COURONNE boréale ( Astron. ) , constellation
formée de zi étoiles, suivant le Catalogue britannique ;
corona Ariadnoe , Cretica , Gnqffia, corona.
Vulcani -, Amphitrites, Thefei, Minois, Diadema
Cali, Oculus. La plus belle des étoiles de cette
constellation s’appelle spécialement Gnoffia,G_emmat
Margarita, Pupilla, Rofa aperta ; chez les Arabes,
Mumir.La figure de cette constellation seffisoit pour y
faire imaginer une couronne. Les poètes supposent
que c’est celle d’Ariadne , fille de Minos tk de
Pafiphaë, qui aida Thésée à se tirer du labyriure de
Crète ; de-là Tépithète de Gnosiìa ; Cretica. Ariadne
fut ensuite abandonnée dans l’îíe de Naxos &
.épousée par Bacchus : ce dieu plaça dans le cid
une xouronne que Vulcain avoit donnée à Vénus,
& Vénus à Ariadne. "Cette -constellation, esl située
entre Hercule & Ophiucus, commë Ovide Ta remarqué.
'. ."- .. .-'. -..'"'"
, . , , . Utque perenrâ
Sidère clara foret fumptum de fronte coronam
Immisit ceelo : tenues volât illa per auras ,
Dumque volât gemma nitidos vertuntur in ignésCcnsistuntque
\oco, specie. rémanente corònx ,
Qui med’-US nixique genu est, anguemque tenentis,Métam, VIII, 177.
Bacchus amat flores, Baccho placuisfe coronam
y^x-Ariadnoeo sidère noffes potes.
■ ;' "" ■„•..'.' Fast. V.N.nn4.66 C R A , , GRE -
D’autres ont écrit que cette couronne étoit celle
que- Thésée reçut d’Amphitrite, lorsqu’il, se jetta
dans la mer pour y chercher la perle de Minos.
M. Dupuis prouve que cette constellation a formé la
fameuse Proíërpine des anciens, & que le serpentaire
qui est au-dessous est leur Pluton. En effet,
là couronne boréale porté le même nom que Profeipine,
Libéra, suivant Ovide ; elle fixoit, par
son lever héliaque, le passage 'du soleil dans les
signes inférieurs, & le commencement du règne
de la nuit & de Tempire de Pluton. Elle se lève
après la vierge ou Cerès, au tems des semailles ;
mais son lever du soir annonçoit’ le printems : ■
auffi Proserpine »étoit six mois dans le ciel, & elle,
avoit deux fêtes (Astron. iv,.p. 5G7). Jùpiler,
amoureux de Cerès, se change en taureau ; il lui
présente les testicules d’un bélier qu’il a coupés ;
il en naît Proserpine, dont ensuite il devient-amoureux
: cela veut dire que le soleil sortant du bélier,
la vierge se couche le matin, le taureau se..couche le soir au même endroit,.& fait lever la
couronne ; Jupiter Taureau secondant Cerès, jette
dans son sein le germe de la fécondité qu’il a emprunté
du bélier, Jupiter s’unit à elle sous la forme
d’un serpent, & il en naît un taureau-j parce que
quand elle se couche, le taureau se lève, tk le soleil
est vers le serpentaire. (D..L.) COURSIER ( Hydraul. ) , est un chemin entre
deux rangs de pilotis nu de planches, que Ton
donne à Teau pour arriver aux aubes de la roue
d’un moulin, & qu’on ferme quand on veut, en
baissant la vanne qui est au-devant de la roue. (IV) '-,
■ COUSSINETS (Astnn.) , pièces-de métal de
timbre concaves, qui supportent les axes d’une
lunette ou d’un instrument des passages ; ils font
représentés dans les n.°s 8 & p, figure 213 d’Astronomie.
( D. L.) COUVRIR", au TriSrac, c’est placer une d2me ~. for-une autre qui étoit découverte ou seule.. Voy.~ TRICTRAC. '
C R A
CRAPAUDINE ( Hydraul. ) , sont, des espèces
de boîtes ou coffres de tole^ de plomb, de bois,
ou simplement des grilles de fil-d archaí, qui renferment
les soupapes pour les garantir des ordures
inséparables des fontaines. Elles se placent encore J
au-devant des tuyaux de décharge, qui fournissent '
d’autres bassms ou qui vónt se perdre dans des
puisons. On les perce de plusieurs trous-, pour :
. donner à Teau un passage libre. (K)  'CRATICULAIRE, adj. (Optique).On appelle Jprototype & eSype craticulam , le modèle d’une ,"anamorphose & Tanamorphose même. Voy. ANA- ,MORPHOSE. 7 - ' ' .j CRECHE ( Hydraul. ) , espèce d’éperon bordéd’une file de pieux, & rempli de maçonnerie de- ]
■.ain & derrière les avant-becs de la pile d’un J ípont. C’est encore inie'sile de pìenx èn maniéré '
de bâtardeau rempli de maçonnerie,'pour empêcher
que Teau ne dégravoie un pilotis. (K)  1
CREPUSCULAIRE ( Astron. J, cercle crépusculaire
, petit cercle parallèle à Thorizon , .& abaissé
au-dessous de Thorizon dei 8 degrés ; c’est le cerclé
terminateur des crépuscules.CREPUSCULE, f. Hi., en Astronomie, esl le
tems qui s’écoule depuis la première pointe du
jour jusqu’au lever du soleil, & depuis le coucher
du soleil jusqu’à la nuit fermée. ,On suppose ordinairement que le crépuscule commence
& finit quand lé soleil est à 18 degrés audessous
de Thorizon. 11 dure plus long-tems dans
la sphère oblique que dans la sphère droite, parce
que le soleil, descendant obliquement, emploie plus
de tems à s’abaisser de 18 degrés :■ par la même raison,
le crépuscule esl plus fong en été qu’en hiver..
Les crépuscules sont causés paf la réfraction que
souffrent les’ rayons du soleil’en passant par 1 atmosphère
, qui réfléchit ensuite ces rayons jusqu’à
nos yeux. En effet, supposons un observateur en
O (pi. astronomique , fig. 71 2) , dont Thorizon sensible
soit AB, tk que le soleil S soit au-dessous
de Thorizon ; le rayon 5 E entre d’abord dans
Tatmofphère en E, tk devroit naturellement continuer
fa route suivant E T, en s’éloignant de lá
terre. Mais, comme lés couches de Tatmofphère
sont d’autant plus denses qu’elles sont plus proches
de la terre, les rayons du soleil-passent con- ■
tinuellement d’Un milieu plus rare dans un plus
dense : ils doivent donc te rompre (. vòy'ez RÉFRACTION) 
en s’approchant toujours de la perpendiculaire,
c’est-à-dire du demi - diamètre CE.
Par conséquent ces rayons n’iront point en T,
mais viendront toucher la terre en D,^ pour tom- '
ber ensuite sur A en un point de "Thorizon sen- . ',
- fible ; & de tous les rayons qui sont rompus en
E,, aucun ne peut arriver en A que. le rayon AD.
Or, comme les particules dé Tatmofphère résléchiffent
les rayons du soleil ( voyez RÉFLEXION ) ,
& que Tangle DA C est égil à CAO, les rayons
-réfléchis en A viendront en O , lieu du spectateur ;
ainsi, le spectateur recevra quelques rayons, &
 par conséquent commencera à appercevoir la
pointe du jour. . .' -On peut expliquer de la même manière Ie crépuscule
du soir, par la réfraction & la -réflexion
des rayons du soleil. ,'■L’abaiísement du soleil sous-Thorizon, au commencement
du crépuscule du matin ou à la fin du
crépuscule dusoir, se détermine aisément, savoir, en
observant le moment où le jour commence à paraître
le matin, ou bien celui où il finit lë soir,
tk trouvant ensuite le lieu du soleil póur ce moment
, & par conséquent la quantité, dont il est
abaissé au-dessous de Thorizon. . •Alhazen trouve cet abaissement du cercle crépusculaire
de dix-neuf degrés, -Tycho de dix-sept,.
Stevin de dix-huit, Caffini dé quinze ; Riccioli. ci e- c r'-e 4.67 -Je matin dans les équinoxes de i6A, le soir de iod !
30', le matin au solstice d’été de zid 2,5', & le c
matin au solstice de Thiver de I7d z^'. <On ne sera point étonné de la différence qui ;
se trouve entre les calculs de ces divers astro- <
nomes, si Ton. remarque que la cause du crépus-, 1
euh est sujette à divers changemens. En effet, si i
les exhalaisons répandues dans Tatmofphère sontÍ) lus abondantes ou plus hautes qu’à Tordinaire, , J
e crépuscule du matin commencera plutôt, & celui <
du soir finira plus tard ;' car plus les exhalaisons 1
seront abondantes, plus il y aura de rayons ré- , 1
fléchis, par conséquent plus la lumière sera grande ; _ . 1
& plus les exhalaisons seront hautes, plus elles
seront éclairées de bonne heure-pàr le soleil. A
quoi on peut ajouter que quand Tair est plus dense,
la réfraction est plus grande ; tk que non-seulement
la densité de Tatoiosphère est variable, mais auffi
fa hauteur par rapport à la terre. Cependant il
paroít qu’aujourd’hui les astronomes conviennent
assez généralement de prendre dix-huit degrés pour
la quantité du moins moyenne de Tabaislëment
du soleil, à la fin ou au commencement du crépuscule.
,
De ce qUe nous venons de dire, il s’enfuit que. quanii la déclinaison du soleil & Tabaissement de .
1 équateur sous Thorizon sont tels que le soleil ne
descend pas de 18 degrés au-dessous de Thorizon,
\e'crépuscule doit durer toute la nuit. C’est pour ■, cela qu’à Paris, vers le solstice d’été, nous n’avons
pour ainsi dire point de nuit, & que dans des climats
plus septentrionaux, il n’y-en a point du tout,
quoique- le soleil soit sous Thorizon. C’est ce qui
arrive quand là différence entre Tabaissement de
Téquateur & .la déclinaison horéale du soleil est
plus petite que 18 degrés. II 'suffit de faire la figuré
pour s’en convaincre.L’élévation du pôle &la déclinaison dusoleil étant '■
données , trouver le commencement du crépuscule du■ "' matin & la fin du crépuscule du soir. Soit P le pôle
(fig. 715 ) , Z le zénit, S le soleil abaissé de iS
degrés au-dessous de Thorizon H O ; dans le triangle
P Î1 Z, les trois côtés f. nt donnés ;■ savoir,
P Z complément de Télévation P O du pôle, P S
complément de la déclinaison, & S Z somme du
quart de cercle Z A, & de Tabaissement A. S du
soleil : on trouvera Tangle horaire Z P S par les
-règles dé la Trigonométrie sphérique. Ensuite on
convertira en tëms .le nombre de degrés de cet
angle .à raison de 15 degrés par heure  ? tk Ton
aura lé tems qui doit s’écouler depuis se commencement
du crépuscule du matin jusqu’à midi.
-Pour trouver le crépuscule par le moyen du globe. artificiel, on placera le lieu du soleil & Taiguilíe
' de la rosette fur midi, on conduira le lieu du
soleil à 1,8 degrés au-dessous de Thorizon, & Taiguilíe
marquera l’heure." ' ,Le crépuscule est un des principaux avantages
' que nous retirons de notre atmosphère". En effet,
û nous "n’avions point d’atmosphère autour de jnous, la nuit viendrait dès .que le soleil se cacherait
sous notre horizon, ou Ie jour naîtrait
dés que le soleil reparoîtroit, 6k nous passerions ,
ainsi tout d’un coup des ténèbres à'la lumière &
de 1 la lumière aux ténèbres. L’atmosphère. dont •
nous sommes environnés fait cjue le jour & la nuit
ne viennent que par des degrés insensibles.Les crépuscules d’hiver sont moins longs que
■ceux d’été , parce qu’en hiver , Tair , étant plus
condensé, doit avoir moins de hauteur, tk par r
conséquent les crépuscules finissent plutôt : c’est le
, contraire en été. De plus, les crépuscules du matin
. . sont plus courts que ceux du soir ; car Tair est
plus- dense & plus bas Ie matin que le soir,"parce
que la chaleur du jour le dilate & le raréfie, &
par conséquent augmente son volume & sa hauteur.
Le commencement du crépuscule arrive lorsque
les étoiles de la sixième grandeur difparoissent
le matin ; mais" il finit quand elles, commencent à
paraître for le soir, la lumière du soleil étant le
seul obstacle qui les empêchoit de paraître.' En
été, vers les solstices, le crépuscule s’est trouvé
quelquefois durer trois heures quarante minutes,
à Bologne, en Italie, & celui du soir presque la
moitié de la nuit. Inst. astron. de M. le Monnier,
.pag. 40Z.De tout ce que nous avons dit, il, s’enfuit que
le commencement du crépuscule du matin óu Ia• fin de celui du soir étant donnés, on trouvera facilement
Télévation de Tair qui réfléchit la lumière
: car la'.sin du crépuscule arrive lorsque les
rayons -ED (fig. 171 )  qui partent du soleil rasent .
lâ terre, & se réfléchissent vers Toeil de Tobservateur
par les parties ses plus élevées A de.Tatmofphère
 ; de forte que, menant du. point O un
rayon O A tangent à la terre, qui foit réfléchi en• AD., tk qui rase la terre en D , il faut que la
: hauteur A N de Tatmofphère soit telle, que cerayon A D fasse avec Thorizon A B un angle de
18 degrés, parce que le crépuscule commence ou
sinit lorsque le soleil est .à iS degrés au-dessous’ de
Thorizon. La.Hsre a fait ce calcul dans les Mémoires
de. TAcadémie des Sciences de Paris pour
Tannée 1713, en ayant égard à quelques autres
" circonstançes ;dont nous ne faisons point mention
ici, & qu’on peut Voir dans son Mémoire & dans,
les Inst. astron. pag. 403 ; il-a trouvé la hauteur
A N de Tatmofphère capable de réfléchir la lumière
à nos yeux d’environ 15 J- lieues. (O) Problème du plus court crépuscule.II y a,-pour chaque endroit du monde, un jour: dans Tannée où le crépuscule est le plus court qu’il1' esl possible. On trouve dans VAnalyse des infiniínentpetits, à la fin de ía troisième -section, un pro-"blême où il s’agit de trouver ce jour du plus petit: crépuscule , Télévation du pôle étant -donnée. On, trouve auffi une_ solution de la même question ; J dans les Inst. Astronomiques de M. le Monnier,\ . ■"' N n n ij
psge 407. Ce problème est résolu très-élégamment
dans les deux ouvrages, & ne présente aucune
difficulté considérable. Cependant M. Jean Bernoulli
dit, dans le Recueil de ses OEuvres, tom. 1,
pag. G4, qu’il en a été occupé cinq ans fans en
pouvoir venir à bout. Cela vient apparemment de
ce qu’il avoit d’abord résolu le problême analyîiquement,
"au lieu d’employer Tespèce de synthèse
qu’on trouve dans VAnalyse des infiniment
petits , tk dans les Inst. Astr. synthèse qui rend la
solution bien plus fimple. En eflët ; si Ton résoud
ce problème analytiquement, òn tombe dans une
équation du quatrième degié, dont il faut d’abord
trouver les quatre racines, & ensuite déterminer
celle ou celles de ces racines qui résolvent la question.
Comme- cette matière n’a été traitée- dans
aucun ouvrage que jé sache avec assez de détail, ■
je. vais Ja développer ici.Son (fig. 773. d’Astron.)  P le pôle, Z le zénit,
HO Thorizon, E C le rayon de Téquateur, E e h
déclinaison cherchée du soleil le jour du plus petit
crépuscule ; ho le cercle crépusculaire parallèle à
Thorizon, íequel cercle est abaissé au-dessous de
.Thorizon de 18 degrés, suivant les observations.
Soit Tinconnue Cc sinus de la déclinaison du "soleil
~=i, & soient les données CZ=i, CQ sinus,
de 18 degrés ==k, P N sinus de la hauteur duor ce ou y 1—, s s etant prise pour sinus total,
cS esl le sinus de Tangle horaire depuis le moment
de six heures jusqu’à la fin du crépuscule, & c T’
le sinus de Tangle horaire depuis le moment de
six heures jusqu à Tinslant où le .soleil atteint Thok
s -t- knlon ; donc . ■==- , _ esl le'sinus duy 1 — n h-y 1—s spre mier angle, & ~ , - , , esl le sinusy 1 — h h--y 1—i.sdu second ; or Ia différence de ces" deux'angles .
est proportionnelle au tems du crépuscule ; donc,
nommant le premier sinus u, tk le second u , on/i" _ r du'ç, f. <*« aumum ; tk par conséquent 7-/— = . , r »y 1—«  n y j—i.'u'ysubstituant pour a & u leurs valeurs, en né faisans
varier que s, on parviendra à une équation deCette équation peut être regardée comine leproduit de ces deux-ci : s s—1=0 ; ÎS-|- —-•-'-frhh = o( voyez EQUATION )  ; d’où Ton tire les
quatre valeurs suivantes de s ; s = 1, s = — I ;Or, de ces quatre valeurs, il esl d.abord évident
qu’il faut rejetter les deux premières-, car
Tune donnerait la déclinaison boréale du lòleií= 1,
l’autre la déclinaison australe = 1, & cela ne se
peut pour deux raisons : 1." parce que la déclinaison
du soleil n’est jamais égale à 90 degrés r
z.d parce que « = 1., "donnerait les sinus des deux
angles horaires égaux à Tinfini, comme il est aisé
de le voir : ce qui ne se- peut ; car tout sinus réel
d’un angle réel ne sauroit être plus grand que
Tunité. 11 ne reste donc que- les deux valeurs —mine d’abord la seconde- de ces deux valeurs, &
je vois qu’elle est négative ; ce qui indique que
la déclinaison donnée par cette.valeur esl australe,
& non boréale, comme nous Tavons supposé dans
la solution.D’ailleurs il faut que —— soitplus petit que le finus total, & jamais plus grande
que le finus e de 23d £-,' 3m’ en: 'a Plus grande
déclinaison du soleil ; ce qui dònne h -fr h |/i -k k
< ou = k e, & par conséquent h = ou <■ .r-r—.~>-' = De plus, si on cherche la tangente1 -fry i—kk- * ' sde Ia moitié de l’angle dont le sinus est / ;, c’està-dire
de la moitié de Tare crépusculaire de 18
degrés,' & par conséquent la tangente de neuf' . . ' ■ . kdegrés, on trouvera que cette tangente esl , ,=r*car, i.° la tangente fse Tangle dont le finus esl k est. /——~st (voyez TANGENTE )  ; 2." si l’on’divisecet angle en deux parties égales, & qu’on nomme
x la tangente de la moitié de Tangle, on aura*
cette proportion x . -, -^- ,— x \ \ \ \ .y 1 —• k kt/—Z_Tk i car on &" íue,> ^ans. un triangle dontTangle du sommet est divisé ën deux parties égales,
les parties de la base sont comme les "côtés adja^k , ,cens. Donc x = . ,—=. ■ donc, au lieuA r,s1+\/1—** *\
oe s—-—al j , on peut mettre.s — — - 5 donc on dira, comme la tangente x de,
ncufdegrés est au sinus de Télévation du polè,
ainsi le sinus total est au sinus de la 'déclinaisonaustrale". II faut donc, pour que s soit = - , que -Télévation du pôle soit très-petite, puisque xest déjà une quantité très-petite, & que - ne faiiroitêtre ]> e ; ainsi, cette racine s = — ne ferhxvira" de rien dans Ie cas où -f- - sera "> c. Nòusverrons dans la fuite ce, qu’elle indique lorsque -",'est<e. . . 'A- Tégard de l’autre valeur s = — tzLVjdl:
. ■ k yelle est évidemment négative auffi, puisque I est>l/ i — kk ;ce qui donne encore la déclinaisondu soleil australe ; & comme on a '~v~-'- = ;■ - kk-3.' , .y——rj (ce-qu’U est aisé de voir en multipliant
en croix les deux membres )  ; il s’enfuit
que cette seconde valeur est = — h x ; donc on
dira, comme Te rayon est à la tangente de neuf
degrés, ainsi le sinus de la hauteur du pôle est
'à la déclinaison australe cherchée. C’est Tanaiogie
que M. Jean. Bernoulli & M. de THôpital ont
donnée pour la solution de ce problême, & la
racine Í = — hx résout par conséquent la question,
parce que h x est toujours plus petit que.e ; car
la tangente x -de neuf degrés est plus petite'quele finus e de 23d ~. Mais l’autre racine s = ^Jrésout-elieauffi le problême ? Voilà où est la difficulté.
Pour la résoudre, nous n’avons qu’à supposer,
dans la'solution primitive, que la déclinaison
soit australe au lieu d’être boréale-, &•'
faire le calcul comme dessus, nous trouveronsk~hs »"''■' -i ; , ;. - . .—.—= pour le sinus d un des deux
V i —si-V i —h li h■ angles horaires, tk. ^__/^_=: pour jl’autre ; nous verrons de.plus que c’est alors la i
somme de ces angles, & non leur différence, qui !
est le tems du crépuscule , comme il’est’aisé de
le- prouver en considérant la figure,- le point é
se trouvant de l’autre côté de E ; car ,1e.point c '.
se trouvera alors entré lés points T tk.S, tk TS :
fera égale non à la différence.,' mais,à la.somme de !
c S tk.de c T. Achevant donc le calcu !, on trouvera :
une équation qui ne différera .'de Téquation du. ;
quatrième degré en s trouvée ci-dessus, que par ;
les-signes des termes impairs ;. c’est-à-dirc -, dés
termes où sont Í3 & s. Cette,équation fera le pro-,h ,duit de "s Í —- r par ss —- 7r— -fr h h ; tk l’on auradeux valeurs positives de i,- savoir, s ~ — v '-ce sont,les deux valeurs de s} lorsque la quantitë -,- du quatrième degré* 4 -r— -fr&c. estsupposée= o. Cela posé, on peut regarder cette quantité
comme le produit de i—s s positive par —-posant la sonime ou la différence des deux "angles
horaires égale à un minimum ,- la somme pour le
cas de — a & la différence pour le cas de -|- h ;donc la quantité Í4 -rs- &c- <C °3 ou — s* -fr■ —r— &c. ^> o viendra (en supposant s k—-~h positive
dé (.s k-— 'h) -y* I-'SS — h h > h{/ I — s s — hh-frzhks — kk ; or, pour que
s k — h soit positive dans cette condition, il fautprendre s >- -fr h ^7-^——, Donc, si s.]> --fr hi^-'-^7_-3on a Ja différence des deux angleshoraires positive : je dis la différence, & non la
somme ; car, si c’étoit la-somme, il faudroit que
a , dans le second- membre , eût le signe - ; donc iavaleur de s^-r -fr h ^-ss-—donne,non la-somme
- 'k - ' k . ,des deux arcs égale à un minimum, mais leur dif-^férence égale à un minimum ; je dis à un minimum., -,, , h + h v/i — kk ,
car, prenant i plus grand que, ■— Jadifférence.se trouve positive. Voyez MrviMUM..Donc la .'valeur de s ==—■—— '■ ~ ne résoudpas le problème du plus court crépuscule , mais
-un aiííre problème qui n’est ni celui du plus court,
ni celui du plus long crépuscule , tk qui néanmoins
se réduit finalement à la même équation du quatrième
degré, parce que les quantités étànt élevées au
quarré, la différence -ries signes disparaît. Ceci.nesur"
prendra point les algébriíses qui lavenj: que souventA7o GR E , C RE
une équation donne, par ses différentes, racines,
non-seulement la solution du problême qu’on s’est •
propose, mais lá solution d’autres problêmes qui,
ont rapporta celui-là, fans être le même. Plusieurs
équations très-différentes, lorsqu’on n’a pas ôté les
signes radicaux , deviennent la même lorsqu’on '
les ôte. Voyez EQUATION.Enfin, si on suppose i4— Z-Jy- 6-c:>o, &s>
: !—■—y1--'" } on trouvera que ces conditions igrand. Donc cette somme est un véritable minimumlorsque s=: — ——— , &• par conséquentcette valeur de s est la seule qui résolve- véritablement
le problême du plus court crépuscule' ; je
dis du plus court, & non pas du plus long. Car
l’équation du plus .long crépuscule seroit la même
que celle du plus court, en faisant la différence =o ;
parce que la règle pour les maxima & les minima
est la même : ainsi, il pouvoit encore 'rester ici de
ì'équivoque ; mais elle est levée entièrement lorsque
Ton considère que s *> T —a ~T ~donne la différence positive, ce qui indique le
minimum. Si la différence étoit négative, alors le
tems du crépuscule seroit un maximum. Mais
dira-t-on quel sera le jour du plus long crépuscule
 ? car" il 3' en aura un. Je réponds que le plus
long crépuscule ne se trouve pas en faisant la diffé■rence de la somme des arcs égalé à zéro, mais
èn prenant le crépuscule du jour de la plus grande
déclinaison boréale du soleil, & celui du jour de
la plus grande déclinaison australe, & en cherchant
lequel de ces deux crépusculeseû leplus grand.
Car il n’y a qu’un seul crépuscule qui soit le plus
« ourt, puisqu’il n’y a qu’une, valeur de s pour le
plus court crépuscule , donc c’est un des deux tré■fuscules extrêmes, qui effile plus lóng. Voyez,
fur tout cela, les articles MAXIMUM tk MINIMUM
, où nous ferons plusieurs remarques furies
quantités plus grandes & plus petites.M. de Maupertuis 3 dans la première édition de
son Astronomie nautique , s’est proposé la même
question que nous venons de discuter ; il Ta résolueen
très-grande partie, & nous devpns ici lui en
faire honneur ; cependant il y resloit éncpré quelque'chofëà discuter, tk', c’est apparemment pour \
cette' raison qu’il a supprimé cette solution dans
-la seconde édition de son ouvrage, pour n’être
pas obligé, en la donnant tout au long, d’entrer
.dans un détail que son plan ne- comportoit pas ;
Nous avons tâché d’y suppléer ici, & de remplir ,
un objet que M. de Maupertuis auroit fans doute
rempli aisément lui-même, s’ill’avpirjùgëàpropos.Autre solution, dans la forme du calcul Astronomique.
Soit H O Thorizon (.planchés d’Astronomie, ..
fig.'7i5) ,CHZPQDle méridien, CSD le cercle
crépusculaire abaissé de 18° sous Thorizon-, Z le
zénit du lieu donné, P le pôle élevé, .S-& N les
deux points où le soleil coupe le cercle crépusculaire
&; Thorizon, quand il se-lève.- La durée du crépuscule,
ou de son passage de S k N, estmesurée'
par Tangle N P S, que nous supposons le plus petit,
de tous. Soit "TP.R la durée de ce même passage
pour, un parallèle infiniment voisin,.ou,.,si Ton.
veut,- pour le jour précédent ou pour, le suivant.:
Par la nature du minimum, ces deux angles seront
égaux:car, lorsqu’une qpantité est la plus petite,
ou la plus grande qu’elle puislè être, son changement
est nul. Otant de ces deux angles la partie
commune NP G , on aura N P T==SPR, .ou,
dZP N— d Z P S. Dans les triangles Z P N,<
tk Z P S, qui ont deux côtés conitans P Z &
Z N, P Z tkZS, Ton a par -les’-formules 'différentielles
de la Trigonométrie sphérique ( Astronomiede M. de la Lande , art. 38 zi.) 'dPN’.dZ.PNy.sin. PN’.cot.ZNP, ■■dps ; dzps y. sm, P s’: cot. z SP ;>Si Ton suppose. F N—FS, ainsi que P T=.
P R (la différence n’est que de j’42" pour'Ia
latitude ;de Paris, & Terreur fur la durée du.crépuscule
de 8" ; cette erreur ne seroit que de 42" à
70°, de latitude) , on aura dP N==d P S. Dpncj '
ayant trois termes qui sont égaux dans les deux
: analogies,il-en résulte-que ie quatrième l’est aúfli. ;
' & que ; Z NP = Z S P, c’esl-à-dirè, que Tangle
I du vertical, avec le tercse de déclinaison , ! est.
i constant dans lé tems où lé crépuscule est leplus
court. , -■■,•,--'■ ' . : ; - Pour connoítre la déclinaison du soleil qui a
i lieu lorsque ces deux angles sont égaux, si Ton
: prend Tare S Q == v>ç ?t=zZ N, les triangles SQP,
 ; NZF seront égaux-, puisqu’ils ont deux côtés
' égáux. avec Tangle compris. Donc P Q = P Z ,
' & ZQ=ir}°. Dans le triangle isoseèle P QZ,
j fi Ton abaisse un arc. perpendiculaire E P, il divisera
la. base Z Q eri deux parties égales, & dansIe triangle PES, orí aura ces. PE — ^£1 ==■ l !r~(TE'Dansletriangle rectangle P E Q, Ton
a auiïvcos. P£ == &*% .= :c4£&-,■.Donc
G r o c r o '47 £, JÊH= Sis > Sccos.PS = coslPZtang.- QE, ousin. déclinaison = ?jìn. latitude ; tang. o°.Cette-déclinaison du soleil esl australe, parce quecos.SE étant négatif, tang. QE, qui en dépend,f est auffi. ,La durée du plus court crépuscule esl mesuréepar l’angle S P N==ZP Q. Mais, dans le triangleisoscèle Z P Q , on a sirCfr P — fin: fp^£-( Astronomie, art. 3GG5 )  ; donc le sinus dé la moitié
de l’angle qui répond à la durée -du plus court
crépuscule, est égal au sinus de 0° divisé par le
cosinus de la latitude du lieu. .Par le moyen de ces deux équations, on trouye
que le plus court crépuscule arrive à Paris quand
le soleil a 6" 51' de déclinaison australe ; ce qui
a lieu vers lé 2 mars, & le 10 octobre, & que
fa durée est de ih 47'. Mais se ;Tus - court crépuscule
qui puisse avoir lieu for la" terré , esl fous
Téquateur au tems flë Téquinoxé,' & il est de
ih iz'. (M. CAGXOZI. )  v. CRIC, f. m.. ( Méch. ) , machine dont plusieurs
ouvriers, entr'autres les charpentiers & les maçons,
se' servent pour . élever les corps très-pesáns. Elle
est ordinairement composée de plusieurs roues
dentées, qui font sortir d’une forte boîte, par-une
ouverture pratiquée en-dessus, une barre de fer
qui peut monter & descendre par le moyen des
dents qu’on a pratiquées fur ses côtés, & dans
lesquelles s’engrennent celles- des roues. Cette barre
est terminée par un crochet qu’on applique aux
poids à élever. Xe principe de la force de cette
machine est le même que celui des roues dentées.
, Voyez DENT.'.
v CROISSANT,. adj.- ( Géom. ) ' On appelle quantité
croissante, une quantité qui augmente à Tinfini
oú jusqu’à un certain terme j par opposition à une
quantité constante ( voye'z CONSTANT ) , ou à une
quantité décroissante. Ainsi,, dans Thyperbole rapportée
aux asymptotes, l’abscisse~étant décroissante,,
Tordonnée est croissante. De même, dans un cercle,
Tabscisse prise depuis, le sommet étant croissante,
Tordonnée est croissante jusqu’au centre ,'.&
ensuite'décroissante., &c. (O) |
 CROISSANT (Astron. )  se dit de là Tune nou'
velle,. qui nous montre une petite partie de fa surface
terminée par deux pointes, comme on le voit
en G {planch.'d’Aflron. fig- z§). Quand la lune
continue à s’éloigner du soleil,.cette partie éclairée
augmente jusqu’à ce que la lune soit pleine & dàns •
son opposition. Voyez LUNE. ;Ce mot vient de crescens’óu decrcfco,. je crois,
j’augmente. Les pointes" ou extrémités d’u croiffanr
s’appellent cornés ; Tune est méridionale, l’autre
boréale. Tertia jam lunoese cornua lurriiné complent,
pòur dire -voìla-le troisième mois.
'On-appelle aussi croissant la- même figure de la lune
 en découss ;-m’àis. alors- ses pointes ou cornes
sontíoUrnées du côté de Toccident,. au lieu que,.dans l’autre cas, elles sont du côté de Torient.Peu avant ou après la-nouvelle lune, lorsque
Ie croissant paroít assez foible & mince, on peut
appërcevoir, outre le croissant, le reste du globe
de la lune, à la vérité d’une lumière beaucoup
moins vive que le croissant. Voyez LUMIÈRECENDRÉE.
(O)  ' "CROIX (Astron*) , nom de la constellation
du cygne. ,CROIX ( Astron. ) , croix australe ou cfoix dusud,
•croisade ou croìsette_,. en anglois , croziers, constellation
méridionale, remarquable par une étoile
de la première grandeur, qui avoit, en 1750, 183°
13' 56" d’ascenfion droite, 6T° -42' 45" de déclinaison
méridionale ': cette constellation contient"
17 étoiles dans le coelam, australe stelliferum de
M. de la Caillé. (D. L.) -CROIX géométrique. Voyez ARBALÈTE..CROIX OU PILE, (analyse des hasards.) Ce
jeu, qui est très-connu, '& qui n’a pas besoin de
définition, nous fournira les réflexions suivantes.
On demande combien, il y a à parier qu’on arrie^
nera croix en-jouant deux coups- consécutifs. La ;
réponse qu’on trouvera dans tous les auteurs, &
suivant les principes ordinaires, est’ celle-ci. íl y
a quatre combinaisons.- . -Premier coup.Croix.
Pile.
Croix*
' Pile.Second coup.Croix.
Croix.
Pile. …
Pile.De ces quatre combinaisons ,- une seule fait"
perdre & trois font gagner ; il y a donc 3 contre
1 à parier en faveur du joueur qui jette la pièce.
S’il paripit en trois coups, on trouveroit huit
combinaisons , dont une seule fait perdre, & sept
font gagner ; ainsi, il y auroit 7 contre 1 à parier:
Voyez COMBINAISON & AVANTAGE. Cependant
cela est-il bien exact ? Car, popr ne prendre ici
que le cas de deux coups, ne faut-il pas réduire
à unè les deux combinaisons qui donnent croix au
premier coup ? Car, dès qu’une fois croix est venu,
le jeu est fini,. & le second coup est compté pour
rien- Ainsi, il n’yya proprement que trois combinaisons
de possibles :" -Croix, premier coup.Pile , Croix , premier & second coup.Pile, pile,, premier 6k second coup.Donc il n’y a que 2 contre I à parier. De même,
dans le cas.de trois coups,on trouvera: ;Croix. ■ ' 7 7 • .■ •Pile Ì croix.P Hé, pile , croix.-Pilé, pile,-.pile.'Donc il n y a que 3 contre 1 à parier. Ceci est'A7Ì,.. C R O C R O
digne, ce me semble, de Tattention des calculateurs
, & iroit à réformer bien des règles unanimement
reçues fur les jeux de hasard.Autre question. Pierre joue contre Paul à cette
condition, que,si Pierre amène croix du premier
coup, il paiera un écu à Paul ; s’il n’amène croix
qu’au second coup ,- deux écus ; si au troisième
coup, quatre, & ainsi de fuite. On. prouve., par
les règles ordinaires ( en suivant le principe que
nous venons de poser) , que Tefpérance de Paul,
& par conséquent ce qu’il doit mettre au jeu est- -'- quantité qui se trouve infinie. Cet+ i + i-ì-f-c. H -. i - •_ ; -pendant il n’y a personne qui voulût mettre à cè
jeu une somme un peu considérable. On peùt voir
dans les Mémoires des Académie de Pétcrfbourg,
tome V, quelques tentatives pour résoudre cette
difficulté ; mais nous ne savons si on en fera satisfait
 ; & il y a ici quelque scandale qui mérite bien
.d’occuper les algébristes. Ce qui paraît, surprenant
dans la solution de ce problème , c’est la quantité
infinie que Ton trouve pour Tefpérance de Paul.
Mais on remarquera que Tefpérance de Paul doit
être égale au risque de Pierre. Ainsi, il ne s’agit
que de savoir si le risque de Pierre est infini,
c est-à-dire (suivant la véritable notion de Tinfini) ,
si ce risque est tel qu’on puisse toujours le supposer
plus grand qu’aucun nombre fini assignable.
Or, pour peu qu’on réfléchisse à la qiieliion, on
verra que ee risque est tel en effet. Car ce risque
augmente avec le nombre des coups, comme il
est très-évident par le calcul. Or le nombre des
coups peut aller & va en effet à Tinfini, puisque", par
îes conditions du jeu, le nombre n’est pas fixé.
Ainsi, l|î nombre indéfini des coups est une des
raisons qui font trouver ici le risque de Pierre
infini. Voyez ABSENT & PROBABILITÉ.Selon un très-savant géomètre, avec qui je-raisonnois
un’jour fur cette, matière, Tefpérance de
Paul &son enjeu ne peút jamais erre infini, parce
que le bien de Pierre ne Teft pas ; & q.ie, fi Pierre
n’a, par exemple, que z 10 écus de bien, il ne doit
y avoir que 21 coups, après lesquels on doit
cesser, parce que Pierre ne sera pas en état de
payer. Ainsi, le nombre des coups possibles pst
déterminé, fini & égal à 21", & on trouvera que-, zi"i. .[ '1 espérance de Paul esl -. Quoique cettesomme ne soit plus infinie, je doute que jamais
sucun joueur voulût la donner. Ainsi, cette foin- .
lion, toute ingénieuse qu’elle est, ne paroít pas
d’abord réfoudre la difficulté. Cependant, toutes
choses bien examinées, il me semble qu’on doit en
ítre satisfait. Car il nc s’agit pas ici de la peine ou
de la facilité que Paul doit avoir à risquer la somme
en que-slion, il s’agit de ce qu’ildoit donner pouf
jouer^à jeu égal avec. Pierre ; & il esl certain que
ce qu’il doit do-J^er esl la somme ci-dessus. Paul
seroit un fou fans doute de la donner ■ mai ; il ne
íeseroir, que parce que Pierre est uu fou auffi deproposer un jeu où lui Pierre peut perdre en, unè
minute dés sommes immenses Or, pour jouer avec
un fou à jeu égal, il faut se faire fou comme Iùi.
~Si Pierre, jouant en un feus coup, parioit un
million qu’il amènera pile, ií faudrait que chacun
mît au jeu un denii-million : ;cela est incontestable.
11 n’y a pourtant que deux insensés qui pussent- jouer un pareil jeu.
• Nous remarquerons à cette occasion que, pour
rendre plus complettes, & pòur ainsi dire plus
usuelles, les solutions de problèmes concernans
les jeux, il seroit à ; souhaiter qu’on pût y faire
entrer les considérations morales, relatives, soit à
la fortune des joueurs, foit à leur état, soit à leur■ situation, à leur force même ( quand il s’agit des
jeux de commerce) , & ainsi du" reste. 11. esl certain
par exemple, que, de deux hommes inégalement
riches qui jouent à jeu égal suivant les règles
ordinaires, celujqui est le moins riche risque plus
que l’autre. Mais, toutes ces considérations étarit
presque impossibles à soumettre au calcul, à cause.de la diversité des" circonstrrjçes , on est obligé
d’en f sire "abstraction, & de f ésoudre lès problêmes
mathématiquement, en supposant d’ailleurs les circonstances
morales parfaitement éga'es de part &
d’antre , ou en les.négligeant totalement. Cc sont
ensuite ces circonstances, quand on vient à y faite •
attention, qui font croire se calcul ën faute, quoiqu’il
n’y soit pas. Voyez AVANTAGE, JEU,
PARI, ~&c. (O) ■ —~CROT ON,( Astron.)  nom que Ton a donné .
quelquefois à la constellation du sagittaire, parce
qu’on a cru qu’elle représentoit Tancien poëte Croton,
qui étoit auffi grand chasseur, & que Ton dilbit
avoir étéélevé fur THélicon, dans la compagnie des
muses, & ensuite placé dans íe ciel à ía prière decês
déesses. (D. L.) CROWN-ÇLASS , ( Astron.)  nom angl.ois, qus
est reçu depuis quelques années dans nos livrés
d’optique & d’astronomie- ; ce mot signifie verre à
. couronne , il signifie une espèce de verre semblable
à celui de nos vitres ordinaires, tk que Ton. tourne
en plateaux ronds, par se moyen de la forcé centrifuge
que produit le mouvetnenrcirculairc. Ce
verre, dónt 011 fait auffi les vitres en Angleterre,
fut employé avec succès en 1755) , par. Doliond
le père, pour les Innettes achromatiques, combiné
avec leflint-glass ou crystal d’Angleterre ;'il remédie
à la dispersion des rayons colorés, qui forment
des iris au foyer des lunettes ordinaires ; la dispersion
de ce verre, ou la longueur du spectre coloré
.qu’il pjpduit, n’étant que les deux tiers de Ia dispersion
qui'a lieu dans le flint-glajs. Voy. ACHROMATIQUES
6- LUNETTES. (D. L.) , CRUCIFORME, adj ; (Géom.)  hyperbole cruciforme
,'esl une hyperbole du troisième ordre, ainsi
appellée par M: Neuton, parce qu’elle est formée de
 deux branches qui se coupent èn forme de croix.
Y0i'll COURBE. ( O) CRYSTALCù b c u b 47iCRYSTAL ( cieux de ~) , en Astronomie, étoient ;
dès orbes que les anciens astronomes avoient imaginés
dans le fystême de Ptolemée, où les cieux
étoient supposés solides, & n’être susceptibles que ;
d’un mouvement simple. Les astronomes anciens
. s’en sen’dient pour expliquer différons mouvemens
áppareris de la sphère céleste. Voyez CIEL &
SYSTÈME.. " ' -"Les découvertes modernes ont débarrassé la physique
de cette absurde complication. .L’embarras de
tous ces cieux de crystal étoit fi grand, pour les
anciens mêmes, que le- roi Alphonse , qui étoit
obligé d’en imaginer de nouveaux, parce qu’il ne
connoislbit rien de meilleur, disoit que, fi DieuTeût
appelle à son conseil quand il fit le monde,
il lui auroit donné de bons avis. Ce grand prince
vouloit seulement dire par-là qu’il lui paroissoit
difficile que Dieu eût fait le monde ainsi. ( 0 ) CRYSTAL d’Angleterre pour les lunettes. VoyezFLINT-GLASS ;C u b. ÇUBATURE oa CUBATION D’UN SOLIDE,
(Géom !) : c’est Tart ou Taction dé mesurer l’espace
que comprend un solide, comme un cône, Un
cylindre, une sphère. Voyez ÇONE , PYRAMIDE,
CYLINDRE, &C. _ ^La cubature consiste à mesurer la solidité duicorps
pomme la quadrature consiste à en mesurer la sur-.
face. Quand on a déterminé cette solidité , on
trouve ensuite un cube qui soit égal au solide proposé
, & c’est - là probablement la cubature. Ce
second problême est souvent fort difficile , même
après que le premier est résolu. Ainsi, si Ton trouvoít
un solide qui fût double d’un certain cube
connu, par exemple, d’un nié cube, il seroit ensuite
fort difficile d auigner exactement un cube qui fût
égal au solide trouvé, & par conséquent double
du cube connu. Voyez Du PLI CATION DU'
CUBE. Le problême de la cubature de la sphère,
outre la difficulté de la quadrature du cercle qu’il
suppose, renfermé encore célle de cuber le solide
qu’on auroit trouvé égal en solidité à ia sphère.
(D) CUBE, sub. m. en terme de Géométrie, signifie"■uri- corps solide régulier, composé de six- facesquarrées & égales, & dont tous les angles sont-droits, &. par conséquent égaux," Voyez SOLIDE.' Ce mot vient du grec X.6€M, teffera, dé.Lé cube esl auffi appelle- hexaèdre, à cause de
Tes six faces. Voyez HEXAÈDRE.
].. Òn peut considérer ie cube comme engendré pâlie
mouvement d’une figure plane quarrée le long
d’une ligne égale à un.de ses côtés, à laquelle cette
figure est toujours perpendiculaire dans son mouvement.
D’où il fuit que toutes les sections du
.séparailèse à fa- base j sont égales en surfaceMathématiques. Tome I, II.ePartie.à cette base, & conséquemment sont égales entr'elles.Pour construire le développement du cube-, c’està-dire
une figure plane, dont les parties, étant
pliées, forment la surface d’un cube ; il faut d’abord .
tirer une ligne droite AB (PI. géom. fig. 54)  ,
sur laquelle on portera quatre fois le côté du cube.
qu’on veut construire. Du pointa, on élèvera une
perpendiculaire A C égale au côté du cube AI, &
011 achèvera le parallélogramme A B C D : d’un
intervalle égal au côté du cube , on déterminera ■dans
 la ligne CD les points IC, M &■ O ; enfin
on tirera les lignes droites IL, LM> NO & BD ;
on prolongera IK & LM de E vers F, & de G
vers H, de manière que E I = IK=KF, &GH^=LM=MH ; enfin on tirera FG, F H.
■ Voyez DÉVELOPPEMENT.Pour déterminer la surface & la solidité d’un
cube, on prendra d’abord le produit d’un des côtés
du cube par lui-même, ce qui^donnera Taire d’une
de ses faces quarrées ; & on multipliera cette aire
par six, pour avoir la surface entière du cube ;
ensuite on multipliera Taire d’une des faces par le
côté pour avoir la solidité. Voyez SURFACE &
SOLIDITÉ,Ainsi, le côté d’un cube étant dix pies , fa surface
ferá six cens pies quarrés, & fa solidité mille
pies cubes ; si le côté est 1 z, la solidité sera-1728 :
par exemple, la toise étant de six pies, & le pié
de 12 pouces, la tóise cube sera de 216 pies cubes,
& le pié cube de 1728 pouces cubes.CUBE se dit auffi adjectivement.- Un nombre
cubé ou cubique , en terme d’Arithmétique, signifie
un nombre qui provient de la multiplication d’un
nombre quarré par la racine. Voyez RACINE.
, Donc, puisque Tunité est à Ja racine comme la
racine est au quarré, & que Tunité est à la racine
comme le quarré est au cube , il s’ensuit que I5
racine est au quarré comme le quarré esl au cube ,
c’est-à-dire que Tunité,. la racine, Ie quarré & Ip
cube -, sont en prpportipn continue , & que Iq.
racine du cube est Ia première des deux moyennes
proportionnelles entre Tunité & le- cube… Voyez.,
PUISSANCE.Théorie de ta composition des nombres cubes. Tout
nombre cube , dont la racine est un bihome, est
composé du cube des deux parties de cette racine
de trois fois le produit de la seconde partie par
le quarré de la première, & de trois fois Ie produit
de la première par le quarré de Ta seconde.Démonstration. Un nombre cube est le produit
d’un quarré par fa racine. Or Ie quarré d’une racine
binome contient Ie quarré de chacune des deUS
parties, & deux fois le produit de la première
par la seconde. Voyez QUARRÉ.Par conséquent, ie nombre cube est composé du
cube Se la première-partie, du cube de la seconde
du triple produit de la première par le quarré de
la seconde, & du triple produit de la seconde par
ie quarré de la première. V. RACINE, 7 - \O 00474 c u b c u rL’exemple suivant donnera une démonstration à
Toeil de cette règle. Supjiosons que la racine soit 24Comme la panie qui' esl le plus H la droite
désigne des unités, & que la partie qui fuit vers
Ia gauche désigne des dixaines, íe cube de la partie
qui esl à droite doit se terminer au dernier chiffre
vers la droite ; le produit de trois fois le quarré
de la seconde partie.par la'première , doit se terminer
au second chiffre vers ; la droite ; le produit de
 trois fois le quarte de la première par la
seconde, au troisième chiffre vers la droite ; enfin
le cube de la première partie, au ^quatrième chiffre
vers la droite.Si la racine est un multinome, en ce cas, deux
ou un plus grand nombre de caractères vers la
droite doivent être regardés -comme n’en faisant
qu’un seul, afin que cette racine puisse être considérée
comme "Un binome. 11 est évident que le
cube esl composé, en ce cas, des cubes des deux
parties de la racine ; du produit du triple quarré
de Ia première partie du binome par la seconde,
& du produit du triple quarré de la seconde partie
par la première. Supposons, par exemple, que laracine
soit 243, si on prend '240 pour une partie
de la racine, 3 sera l’autre partie ; & Ton auraLes places des différons produits se déterminent- '
par ce quia été dii.ci-dessus ; & on doit remarquer
que, si ces produits sont écrits seuls, il faudra
laisser la place ;du nombre de zéros convenable.,.qui doit se trouver au bout de chaque -produis-:
La composition des nombres cubiques étant’unefois
bien conçue, Textraction de la racine cubique
est fort aisée. Voyez EXTRACTION. "Racine cube ou racine cubique est un nombrequî,,
étant multiplie par lui-même, & étant:de nouveau
multiplié par le produit, donne un nombre cube.
V. CUBIQUE. " .'. ;■.. Extraire la racine cubique, est donc Ia même chose:
que de trouver un nombre comme 2, lequel, étant
multiplié deux fois de fuite par lui-même, donne
Je cube proposé, par exemple, 8- Voyez les articles ; '■
EXTRACTION & RACINE. (0) :, .-.CUBE-nu-CUBE, cubus - cubi'-, nom que Tes
écrivains arabes, & ceux qui-'lès ont fois-, ont
donné à la oc puissance-d’un nombre, ou au produit
d’un nombre multiplié neuf fois de foire par
lui - même. Diophante ; & après lui Viette ,.
Ouglitred, &c. appellent cette puissance -cubo-cubocubus,
cubo-cubo-cube.(O) . -'-,-CUBIQUE, adj. se dit de fout cé qíii à quelque: ■
rapport au cube. Une équation cubique est’ une
équation où Tinconnue a trois dimensions,.comme
xì = a 1, ou x%-fr p x-fr q-=o, &c. Voy. EQUATION..Sur la construction des équations cubiques-, voyez
CONSTRUCTION..Sur leur résolution, voyez RÉSOLUTION
, EQUATION & CAS IRRÉDUCTIBLE.
Sur leurs racines, voyez RACINE & CUBE ; '■ - ■■ ■
Pié cubique ou pié tube.. Voyez PIÉ & CURE.'
Première parabole cubique , est une dés paraboles ;
du second genre, dont Téquation est Í'ÏÉJTÎ.Seconde parabole cubique , est celle dont Téquation
est ax 1 =yï. Voyez COURBE & PARABOLE.(O) 
--"7, - "CUJBO-ÇUBE , f. -un, cubo-cubusi '( Ge'òmétrt’e ) •
terme dont se servent Diophante,.Viette, .&'c. pour
exprimerlasixièmepuissancèquelësarabësappellént .
quadratum cubi, quarré du-cube- J ?".. PUISSANCE
& CUBE. (O) CULTELLATION, f., f. (' Géom. )  terme dont
quelques auteurs se sont servis pour signifier la
mesure d’un terréin, en le rapportant au plan de
Thorizon ; Voyez-ARPENTA-PE…., ,,CULMINATION, (Astron.)  passage dune étoile
ou d’une planète par le méridien,. c’esl-à-dire-par
le point où elle est à. la plus grande hauteur. Voyez
PASSAGE , &c.CUNEUS, effile nom latin d’une des puissances
méchaniques, appellée plus communément coin..
Voyez COIN. ,: ; CURSEUR , ( Astron. ) fil- mobile par le mpyerr
d une vis, qui, dans un micromètre, sert à renfer-ímer
-les deux bords d’un astre, pour mesurer son:
diamètre apparent. (D. L. )  ' ".'. ;"' ; CURTATION , en "latin curtatio-, eff un ternie: '
d’Astrano.mie plus usité en latin qu’en françois  ;
c’est- Taccourciffcment de la distance, ou la diffé-"'-■ . .€. y c / :' c y.g -47 ?rénee entre la dislance réelle d’une • planète au
soleil, & sa distance réduite au plan de Técliptique,
-qu’on appelle distantìa curtata, distance accourcie.
Voyez PLANÈTE.II est aisé de voir queia distance réduite au plan
de Técliptique, se détermine par le point où ce
plan est rencontré par une perpendiculaire menée
du centre de la planète : il est,donc facile de
construire des tables 'de curtation, en multipliant
la distance ; par le cosinus de la latitude.Comme la distance d’une planète a Técliptique,
la réduction de son lieu au même plan, & fa curtation
, dépendent de Targument de la latitude ;
Kepler,' dans ses tables Rudolphines, a réduit
toutes les tables de ces quantités en une feule , sous
le titre de tabula: laátudìnarioe. J’ai donné auffi
tlans mes tables cette curtation, que j’ai appellée
Réduction de la distance. (D. L.) : CURTICONE j f.' m. en terme de Géométrie ,
signifie un cône , dont, le sommet a été retranché
par un plan parallèle à sa base : on I'appelle plus
communément cône tronqué. Voyez TRONQUÉ.
(O)  'CURVILIGNE, adj. terme de Géométrie. Les
figurés[curvilignes font des "espaces terminés par des
lignés courbes ; comme le cercle , Tellipse, le
triangle sphérique, &c. Fby.-CouïiBE £• FIGURE.- Angle' curviligne , est un angle formé par des,
lignes courbes. Pour là mesure de-Pangle curviligne,
tirez au point de concours des deux courbes ou
sommet de Tangle les tangentes de chacune de ces
courbes, Tangle 'formé par les tangentes sera égal
â Tangle curviligne. Cela vient de ce que Ton peut
regarder une courbe -comme un polygone d’une
,infinité de côtés, dont les tangentes font le prolongement ;
d’où il s’enfuit qu’en tirant les tangentes,
on a la position des petits côtés, &-par
conséquent leur inclinaison. (.0) --.-■ .C Y C .ÇYCLE, ( Astron. )  signifie une certaine période
pusuite de nombres qui procèdent par ordre jusqu’à
un certain ternie , & qui reviennent ensuite lés
mêmes fans interruption. " Voyez PÉRIODE.~ Les
cycles les plus usités sont le cycle lunaire, le cycle,
solaire tk le'cycle d’indidion.-
… Le cycle lunaire est une période de 10 ans ou
, de 603o. jours, dans lequel il arrive 235 lunaisons
 ; en forte qu’au bout des"i.5>" ans, les nouvelles
lunes arrivent au même degré du zodiaque,.&-par
cpnséquentrau même jour de Tannée que 19 ans
auparavant. On compte, pour première année d’un. cycle lunaire, celle où la nouvelle lune arrive le
i". janvier, du moins suivant le Calendrier Grégorien..
De ces 235 lunaisons, on en donne 12 à■ chaque année, ce qui fait 228' lunaisons alterna-"~ tíyement de 10 tk de 30 jours : il’ en reste 7 qu’on,
'appelle,lunaisons embolismiques pu intercalaires. U-'■y en a è d.e 30 jours chacune ; maïslá:j’ est de19 jours seulement, on Ia place à la fin du cycle
ou de la i<f année, où elle forme une irrégularité.
Ce cycle fut publié en grèce par Méton, environ
430 ans avant Jesus-Christ ,& fut regardé comme
une découverte si belle, qu’on en gravoit le.calcul,
en lettres d’or ; Ton,appelle encore nombre d’or
l’année du cycle lunaire dans laquelle on se trouve ;
c’est Tannée 17, en 1783.Toutes les fois que la nouvelle lune arrive Ie
1" jour de janvier, on recommence un cycle
lunaire, tk Ton a r pour le nombre d’or. Voici
la règle générale pour trouver le nombre N d’or en
tout tems. On ajoute un à Tannée de notre ère,
parce que, dans Tannée un de Jesus-Christ, le
nombre d’or a dû être 2, on divise la somme par
15)  ; le reste, s’il y en a un, marque Tannée du
cycle lunaire, où Ton se trouve-, c’est-à-dire le,
nombre d’or qui. convient à Tannée proposée ; ainsi ,
en 1764, après avoir ajouté 1, Ton divisera 1765
par 10 ; le quotient sera 92 -, parce qu’en 1764
le cycle lunaire avoit recommencé 92 fois depuis"
J. C. Mais il refjera 17 ; cela nous apprend que
le nombre d’or, en 1764, est 17. Si Ton ne trouve
aucun reste dans la division, c’est une preuve qu’on
esl à lá dernière année du cycle lunaire, & que le .
nombre d’or esl 19. ,•'".'Les orientaux commencèrent à se servir de cc
cycle au sems du concile de Nicée, & ils prirent
pour la première année du cycle, celle où la nouvelle
lune pasehale tomboit au 23 de mars ; de
forte que le cycle lunaire III tombe au 1" janvier
de la troisième année.An contraire, les occidentaux mirent le nombre I
au Ier janvier, comme on le voir dans Tancien
calendrier-que nous avons rapporté ci-devant, ce
qui produisit une différence très-considérable dans
le teais de la pâque pour Torient &pour Tocci ;dent ; auffi Denis le Petit, cherchant à dresser un
nouveau calendrier, persuada aux chrétiens d’occident
d’anéantir cette différence, & de suivre la ; pratique de Téglise d’Alexandrie.On forma donc une table généralepar laquelle
on trouvoit facilement les nouvelles lunes pour
chaque année, & qui servit par toute Téglise chré-,tienne. Cette table avoit le nombre III au I" janvier.
On peut la voir dans le tome IV des Elé■mens de - Mathématiques de Wolf. De sorte que,
quand on avoit trouvé le nombre du cycle lunaire
pour unë année, ou trouvoit vis-à-vis de ce nombre,: dans la table ou calendrier ; les jours des nouvelles: lunes pour toute cette année. ■ - - :Lorsqu’au tems du concile de Nicée, on résolut
d’adopter dans- le calendrier le cycle de 19 ans,
ce cycle marquoit affez bien les nouvelles lunes.,
& cela continua à-peu-près de même pendant quelques
siècles. Mais, dans ce íiècle-ci, comme les
lunaisons ont anticipé"d’un jour, en 3 siècles, elles
arrivoiënt cinq jours plutôt que dans le "calendrier
établi du tems du concile cle Nicée ; ou, ce qui
revient au même, les nouvelles lunes célestes anti•
' O ooi/476 c y c c y ccipoient de cinq jours fur celles qui résultoient
du nombre d’or de l’ancien calendrier ecclésiastique.
Malgré ces difficultés, Péglife anglicane a conservé .
long-tems Tancienne méthode de calculer les nouvelles
lunes par les nombres d’or, tels qu’ils avoient
été reçus dans le calendrier du tems du concile de
Nicée ; les nouvelles lunes ainsi calculées se nommoient
ecclésiastiques, pour les distinguer des véritables
 ; mais actuellement le calendrier Grégorien
y- esl reçu. : v 'On croyoitanciennement que le cycle de 19 ans,
comprenois exactement 235 lunaisons ; & qu’après- une révolution des 19 années du cy cle lunaire , les
nouvelles lunes revendent précisément aux mêmes
jours & aux mêmes heures. Mais la chose bien~ examinée ne s’est pas trouvée exacte, tk c’est ce
qui a fait imaginer les épactes. Dans l’espace de ..
19 années Juliennes, il y a Ó939 jours 18 heures ;
& comme il est certain, selon les plus exactes
observations des astronomes modernes, que chaque
lunaison ou mois lunaire sont de. 29' I2h 44' 3",
il s’ensuit que 235 lunaisons répondoient à 6939'
16 h 31' 45". II n’est donc pas exact de dire que
235 lunaisons répondent exactement à 19 années
Juliennes" ; mais il s’en faut environ une heure \.
Ainsi, les nouvelles lunes, après 19 ans’, n’arrive-,
ront pas précisément à la même heure qu’auparavant,
mais environ une heure & demie plutôt ;■ de
manière que, dans l’espace de 312 ans & demi,
suivant les auteurs du calendrier, les nouvelles lunes
anticipent d’un jour dans Tannée Julienne. Je' trouve, par un calcul plus rigoureux, que ce seroit
en 308 ans & 201 jours, en supposant les années
de 365 jours & un quart ; mais c’est for 312 {■ .
qu’on a réglé Téquation lunaire òu proemptoje, 011
la fait d’un jour tous les 300.ans ; &, à cause des
J2 ans &demi, 011 laisse passer un siècle au bout
de 24 fans tenir compte de Téquation lunaire, &
lans interrompre Tordre des épactes, comme nous
Pavons expliqué en parlant de la construction de
la Table étendue des épactes ; au mot CALENDRIER.Au reste, il nefaut pas confondre le cycle lunaire
de Meton avec la période de Pline ou siiros Chaldaique,
qui ne contient que 18 ans ou 223 lunaisons.
Cette période ou saros étant_de 18 ans &
environ 11 jours de plus, ramené les éclipses àpeuprès
dans le même ordre & vers les mêmes points
de Torbite lunaire ; an lieu qu’il s’en faut bien que
les pleines lunes-, qui arrivent aux mêmes joûrè
tous les 19 ans> se retrouvent dans une position
semblable, tant à Tégard du noeud que de Tanomalie
moyenne, le lieu dé Tapogée de la lune
étant d’ailleurs dirigé bien différemment à Tégard
de la ligne qui doit passer par le soleil.Dans VArt de vérifier les Dates, on remarque "1
qu’il y a une différence entre le cycle lunaire &le cycle de 73 ans. Le premier commençoit trois 1ans plus tard que le second. Mais lc cycle de 19 1ans a prévalu, on a oublié l’autre, & Ton aérant*
porté au dernier le nom de cycle lunaire.L’ufage du cycle de 19 ans, dans l’ancien calendrier,
est d’apprendre, par le nuryen de la nouvelle
lune de chaque mois, le iour où doit par
conséquent tomber pâques. Car ía fête de pâques
doir se célébrer le dimanche d’après la pleine lune
qui fuit ou qui tombe fur Téquinoxe du printems
fixé au 21 de mars. Dans Ie nouveau calendrier,
Tusagc du cycle lunaire se borne à faire trouver
les épactes. Voyez CALENDRIER.Cycle solaire est une période de 28 ans-, qui
ramèrie les mêmes jours de la semaine aux mêmes
jours du mois. Cette période étant écoulée, les
lettres dominicales & celles qui désignent les autres
jours de la semaine, reviennent en leur première
place, & procèdent clans le même ordre qu’au-1
paravant. ' ■',.■.'■''On appelle ce cycle, cycle solaire, hon à cause
du cours du soleil avec lequel il n’a aucun rap^port,
 mais parce que le dimanche étoit autrefois s
appeílé jour du soleil, DIES SOUS , S(. que les
lettres, dominicales, pu qui servent à marquer le
dimanche, font principalement celles pour lesquellps
cette période a été inventée : ces lettres, qui sont
les premières lettres de Talphabet, ont" suceécjé
aux anciennes lettres nundinales des Romains, que
Ton peut voir ci-devant au mot CALENDRIER.Pour trouver le cycle solaire d’une année pro- <
posée, comme 1763 , ajoutez 9 au nombre donné,
& divisez la somme 1772 par 28, le nombre restant
 8, exprimera le cycle cherché, & le quo-:
tient marquera le nombre des périodes du cycte
solaire depuis Tere vulgaire.S’il n’y a point de resle , c’est une marque que
Tannée dont, il s’agit est la vingt-huitième ou la
dernière du cycle La raison de cette opération est
que , dans la première année de J. G, neuf années
du cycle s’étoienpdéjà écoulées, ou étoient cen-,
fées s’être écoulées. Chaque, année bissextile ayant
un jour de plus que les autres, elle a auffi deux
lettres dominicales, dont la première sert jusqu’à
' Ia veille de saint Matthias, & la secppde jusqu’à
la fin de Tannée. Si, dans la première année du
cycle solaire, les lettres dominicales étoient G F,
cèlle de "la seconde année du cycle seroit E, celle,
de la troisième D, celle de la quatrième C ; niais’
la cinquième année étant bissextile , auroit pour
lettres dominicales’ !? tk A., tk ainsi deíùite. Tél.
étoit Tordre dU cycle solaire dans le ; cafendrier
Julien. '.-'' ' : -. :Grégoire XIII. en réformant le calendrier, fitplusieurs changemens à cet ordre. Le cycle solaire\ de Tannée 1582, dans laquelle se fit cette résormatîon,étoit 23, & par conséquent G étoit Ia• lettre dominicale, suivant Ia table du cycle solairedes années Juliennes. Or', cette armée 1582, pn ! retrancha dix. jours du mois d’octobre ; de,façonI qu’au lieu : du 5 octobre , on compta le 15 ( afiní que Téquinoxe fùt remis au 21 de mars,,eommé
-' '-■ C Y G ' ■

tYC 477
ìt Tétóitdu tems du concile de Nicée) ,,par conséquent
là lettre dominicale , qui. étoit: G • cette
arinéë-là , devint"'■.&;■ car 'le'7--d’octobre,, oùise
trouvé la lettre G dans le calendrier perpétuel ,
devois être un dimanche ; ■ par conséquent le 4
d’octobre, qui a la lettre D ; étoit un jeudi ; lé
15, qui a la lettre A, fut un vendredi, & le 17,
qui a Ta ■ lettre C ,■ fut un. dimanche. Ainsi, la
lable des’ lettres dominicales répondantes aux anr
nées, du cycle solaire, fut changée depuis 1582
jusqu’à 1700. Les années 1700,1800'& 1900 ne
devant point être bissextiles, còmme elles auraientdû Têtre suivant le.calendrier Julien, cette Table
doit encore changer ; par exemple, Tannée 1700
le cycle solaire est I,- & les lettres, dominicales
auroient. été ; C tk B. Mais, comme 1700 n’est
point bissextile,. C est feule..lettre dominicalepour
toute Tannée, par conséquent Tannée suivante la
lettre .dominicale est B, & pour les deux autres
on a A tk G. Ainsi, on voit que, dans le cycle
solaire depuis Tannée 1700 jusqu’à 1800 , Tordre
sera DÇj B, A, G, dont’ oh peut déduire la table
suivante. -,, ' ' " '■"""-.."., 'Cycle solaire, depuis Vannée Grégorienne 7700 jusqu’à P année 1800.1 ■ DC 5 FE 9 AG ÏÏ CB: ïy,~ËD 'ÍÏ'."'GF z< B A2,, B 6 D 10 , F 14 -',,A- 18 ;. ! C 22,7 £.26 G3 : A 7 .-. C 11 È 15 G ■■ 19'.',>.- B 23 D 27 .F4: G 8 B 12 D 16 > F zo::\A 24-,': C 28 ECe même cycle doit encore changer" en Tannée'l8op. ;Car
le cyçlesolaire de Tannée iScóesti^:,
par conséquent E, D devròïent être' les lettres
dominicales-, mais,, comme cette-année ne"sera
point bissextile, la lettré dominicale, sera É pendant
toutel’année, & celles des années suivantes
D, C, B. Ainsi,1a colonne où estF-E, D, C,
B, doit être la première dû. cycle depuis i8pó
'jusqu’en ,1900, 87 l’on pèut Tòrrher une table páf
reilîè, en. mettant .visT-à-yis:de 1, 2 ;,3, 4, lès
Ìettses,F.E, ;:D st, B > }Sç.ainsi He fuite. Par la
niêmeraison,pn trouvera que la colonne AG, F,
E,J3j doit êtreia.première ! du cycle depuis 1900
jusqu’à 2000,& depuis 2000 jusqu’à.2100, parce
gue Tannée 2000 sera bissextile. -,.."'■ Cycle, dis indidions ,eû une période de 15. ans",
quirëyientponstamment lamêmé,-pomme lés autres
cycks, & qui commence à lâ troisième année avantJ7C. ;.7~':- ■:'.'.."■:":..- 1'-'-."--.- .: : ■•''.■■"' ;• Les chropòlpgistes sont fort partagés fur lë tems
pùíecyck <des indictipns is’établit parmi les Romains
 ; & for Tusàgè auquel ce cycle servolt.'Le
■P.PetaUrn’a .pas-cru devoir prendre dé parti for
cette quëffiom L’opinion ;la3plus probable", est’que
.Je cycle des -indictions .commença à. .être en usage
ï ;án-312,i après 1 a mort de .Constantin. : ; ''-■'•
: ) Pour trouver le cycle d’indictipn ' d’une année
proposée, il faut ajouter 3. à cette année, & diviser
la somme par ~Ç5 , le reste est le cycle d’indiction ;
s’il ne rëste rien, Tindiétion est 15. ^.á .raison de
cette opérátipn est que, Tannée qui a précédé la
naissance de J. C, le nombrp de Tindiction étoit
3- tôesl poúr cela qu’on ajoute 3 au nombre des
tannées ,dé J. C,, ■ ■ . ' .7 ',_-.' -,… ''-. -:,". .'. ',:'.. f'.".
v.'Gnpeut obserV.er que le,mot cycle .estiion-Teuílementappliqué, en général, à tóus les nombres
qui composent la période, mais à chaque nombre
en particulier. Ainsi, on dit que la première année
de T ère. vulgaire a pour cycle solaire ,1, pour cycle
lunaire pu nombre d’or 2 , pour lettre dominicale
B > & pour cycle d’indiâion 4. . "Cy cle.paschal. Si on multiplie le cycle solaire par
le cyclelunaire , c’esl-à-dire 19 pari28,, il.eri réful\terá:unepériode de ^32'ans, appellée cy cle paschal.. ì
Voici pourquoi on lui a'donné cë nom.'Dans l’ancien
calendrier,, on faisoit généralement, chaque
.quatrième année bissextile, &-pn fupposoit, en"
adoptant le cycle lunaire, qu’au bout de I9ans les’
pleines lunes tomboient aux mênies jours ;■ de-sorte
qu’au bout de 28 fois 19 ans ou 532 ans, le jour
,de pâques" tomboit au même > jour, & le cycle
recommençpjt,, ……. ••,,…. .--,-.'-•'Dans iá préface del’aríde.y'érifiefdes daics , pn
obfërve ;que lecyde paschal pu produit du cycle
solaire- 28 par "lé, cycle lunaire 19, a été appeilé.
par quelques anciens anrius, magnus , &,.par .d’autres
circulus ou cyclus magnus: On I'appelle '"encore
période vicloriénnè du nom de Viâorius son auteur,
qui l’a fan. commencer àTán"28 dé J. Ç: Denis
le Petit, qui. à corrigé' cette période, Ta fait cpnir
mencer un an’ay-ant Père chrétienne ; ce qui..hua
fait donhër lë "riòhi de période Dyonisienne, qu’elle
a retenu, - ' "" iSî.on multiplie lë cycle solaire ,\e cycle lunaire,, &ìe cycle desshdiclions, ,1'nnpar l’autre, on forme
une période de" 7980 âns ,. àppelléeTpí'rwá'e Ju-r
Henné.{O) '.'••' . "_'CYC-LpIDAt,adj:(Gíom.). ;L’£jî) acc cycloiddt
est l’espace renfermé.par-,'la çyçloïdë & par sa base.
:J\Í. de Robéryàl a trouvé lë premier que pet espace4/s c-y-c c y ;cest triple du cercle générateur, ckoti peutlc pioii- !
ver aisément par le calcul intégral. En effet, soit x .
Tabcisse du cercle générateur prise au sommet de la
cycloïde, y Tordonnée du demi-cercle^ & z celle
de la cycloïde, Tare correspondant du cercle seraí,.,. — , a étant le rtryon du cercle ; & onJ y i a x —xxaura par la propriété de la cycloïde j.==jr.+r adx. „ , ~~~. —.- f\ *dx(./ — ==V^àx — x x-fr __^jjy z a x — xx J y zax — xx-' 'cette quantité étant multipliée par d x, donnera ;
pour Télément de Taire de la cycloïde dx y'zax-xxd’où il est facile-de conclure que la hioirié'-de
Yespace cycloïdalt=.i.° lé demi-cercle ; 'i:° se'diamètre
multiplié par la demi-circonférence, c’ést-àdire,
le double.du cercle_enrier., d’où il faut retrancher
le produit du rayon par cette demi-circonférence,
c’est-à-dire le cercle entier. ; ainsi, la moitié
"de Yespace cycloïdal éít égal à tróis^foís: le :dëmi■cercle.
Donc Y cspace^cyçloïdal totalváutirois fòis
se cercle générateur., : ;" ' ■ ' "'i: -/'■}" -'- ''. '''■" :On peut démontrer encore ,-par'une méthode
fort simple, que Téspaqe renfermé entre le demi- ;
cercle & la demi-cycloïde, esl égàlau cercle gêné- '■
rateur. Prenez deux. ordonnées de la cycloïde., ■■
"temiinéès au cerclé & à égalés dislarices’du centré, '
Ta somme' de ces ordonnées ■ sera. égaie au .demi- ■
"cercle ; d’où il sera facile d.e'fa'îrëVoir, en divisant - ;
Yespace cychïdal en perits trâpèses., que'1 aire dé ;
deux trapëscs, pris- !ensemb]e,ésl égal au produit ;
de Ia demi^-circonférence par Télément du rayon.
Donc Ia somme'des trâpèses eff égale au prodUtt
de la demi-circonférence parie'rayon,'c’efí-à-dirè
-égale au cercle. ('O') - - : " : ' ; ""-"-:"''■'■' ; '-''
. CYCLOJDE, f. en-Géomét. est une des courbes ;
 ; méchaniques, ou, ; comme- Tes. nomment 'd’autres ;
 ; auteurs, transcendante s. On l’appélse.auffi qu’eîq'ue- "
fois trochoïde & roulette. Fôyc^CpuRlîE, EPICY-,
PLIDE & TROCHOÏDE. ;EUe est décrite parie mouvement d’un points i
(PLde-Géomét.fig.Jssde la CirConférerce durì i
' cercle, tandis .que ; lé cerclé fait une réy olutionTur ;
une ligne droitev4 P.  ; Quand une rp'uè de carpffë ;
. tourné, un dés clous de là circonférence décrit dans
"Tair une cycloïde. " - '•'' '" ,' -De cette génération, il est facile de déduire plusieurs
propriétés de cette courbe, savoir que la
ligne droite A E est égale à la circonférence du
cercles B-CD, Sc’A'Ç égale à'IàdemTcirconférenee ;
Sc que i .dans une .situation quelconque du
cërese générateur', la ligne droite-. A d est égale à '
Tare a dytk, "comme a'a\est égale & parallèle à '
déj ad sera égale £ Tare'du cercle générateur <fK -' ! De plus ;, la longueur de^ la ■cycloïde èntìère.eft
égale a quatre .foïs le diamètre du:cercle générateur
 ; &J’espace cycloïdaT.4 ;F.f ?:esttriple:de Taire
dé ce même-cercle. Voyez ci-'deffus d’article GvCLOÏDAL.
Enfin une portion quelconque Fl.de
la courbe prise depuis ,1e sommet j est toujours
égale au.double cle la corde correspondante Fi
du cercle ; &, la tangente G X à I'extrémité Jíest
toujours parallèle àTamênie cordeFi.Sile cercletourne
>&i avance,en.' même .tems,-. de manière que
son mouvement: rectiligne.soit plus grand qúe-fon
mouvement circulaire, la cych'ìdesA alors pommée
cycloïde allongée, tk la base AE est plus grande que
la circonférence du cercle générateur. Au contraire
"," si le mouvement rectiligne du cerclé est
moindre que lé mouvement circulaire, la cycloïde
est- nommée -cycloïde- accourcie , tk fa- -base est
moindre que la circonférence du.percle… Voyez
RÒUÉ-.D’ARIS’TOT ;E,. " .' .": ■ ;" "■-■".('.i'Lá cycloïde est nrië courbe aslëz moderne' ;'&
quelques personnes ën attribuent l’invention au
P. ;Mersenne, â'áutrès à Galilée ;.mais le docteur.
Wallis prétend’qu’elle, est. de plus _ancienne date ;
qu’elle a été connue d’un certain Bovillus vers
Tannée .1.500, ; &, que le CardinalCufa en avoit
même fait mention long-rtenis auparavant’ ; "cestà-dirè
avant Tan 145 if Voyez le tome VdésAËùvrés
de Pascal/imprimées en’ 1 '779 ,' & 'lédiscours’-'dt
M- Vabbé'Bùsjìit >'à la tête 'de cette, .édition. ;: <\ '.•:■>
Cette courbe a des propriétés bienTsinguIièrés."
Son identité ; avec fa développées lés èliûte^'én
tems égáuxjpar des arcs.inégaux de cette çoùrbëy.
& là píu's vîte descente', sont les plus remarquables’.
ÊnJ général, ; à ' mesure qno'n’á approfondi lá ! cy- .
cloïde, "on y a.découVéftpiùs.'dé'singularités. Si
Ton: vêtit qu’un pendule fáffe des vibrations - iriê^
gales ën des,tems exactement 1 égáux"j ;iT,n.é-faut
point qu’il décrive dés arcs de cercle, mais de6 .
arcs- de cycloïde. Si Tònndévdoppé-' ùne-dárrïs. .
• cycloïde, en commençant par lefpmmètVelle reti'dij
par Ton développement, ^më Áutte^démi-^cyclpidé
 ;sembiáble":c1t, ;égale,--, ; -,&''''Tori-' ;'Ìait’ ;-c|u'eÌ>':ufáf6
M. Huygheris sit dé ces’ deûx'pfopriètés pòùRTHor-*
logeriç. Eu 1Ó97, M, Bernoulji,. professeur- de
Mathématique à Groriihgùe, proposa ce problème ,
à tous les géomètres de'Teuropë : supposé qu’un ]
corps tombât obliquement à Thprizoh, quelleétoit
la ligne courbe qu’il dévoìt décrire -pour "tomber ì
le plus vîte qu’il 'fût’possible. ;Gar,'cë. "quipeut ;
paroître étonnant,' il  ;ne devois point :dëcrire mné ;
ligne droite, quoique.plus’: coursé "que roiitesies >
lignes courbes terminées parles mêmes points. • Ce ■ ;
problêmeréfolu , il se trouva que cëtte courbe'étoit ■ ,
une cycloïde.-Une des plus importantes connoifsances
que Ton puisse avoir for - les Courbes cqn- ' "sisle
 à mefurêr exactement TespaCe-'qu’elles rên’' ' ;
ferment, où feules, òu'avec ;tles lignes drojtes ;;.& *
c’est ce qu’on appelle leur quadrature Ì S} còtteqúàdra- ture
 se peut mesurer, quelle que soit-la pòrtionde  ;£
la'çpufbe'qiu y-çntre,-0u lespârtiesdu-diámètr* HÇYÍÎ C’Y T.' *■>!*nui le. terminent avec elle , c’est la quadrature
àbfólue ou indéfinie, tellequ’on Ta de la parabole.
Mais il arrive quelquefois que Ton ne peut quarrer
"giìe des- espaces renfermés par de certaines portions
de la courbe & par de certaines ordonnées,
ou de certaines parties du diamètre déterminées.
On ?vit,:da'bprd que la. quadrature indéfinie de la .
cycloïde dépendolt de celle de son cercle généra- '
teur, &■ que par conséquent elle étoit impossible
selòn toutes les apparences. Mais M. H.uyghens
trouva le premier la quadrature d’un certain espace
çycIòïdaT déterminé. M. Leibnitz .'• ensuite trouva
encore celle d’un autre espace pareillement déterminé ;
& Ton croyoit qu’après ces deux grands
géomètres, on ne trouverait plus aucun espace""'quarrable dans la cycloïde. Cependant M, BeriìouHi'découvrit
depuis , dáns la cycloïde, une
infinité d’espaces quarrables, dans lesquels sont .
compris, & pour ainsi dire absorbés ,Tes deux de
M. Huyghens,& de M. Leibnitz. C’esl ainsi: que
lá Géométrie j àmeforê qu’elle est maniée par de
"grands: génies■-, va -presquëitbujours s’élevant-.-du.
particulier à Tuniversel ;, ;&.mème à Tinfini.- Hist.
&Mém. de l’Acad. 1G3.9. . '- Ttf.Huyghens a démontré le premier. que i ; de
quelque point ou hauteur que descende un corps
pesant qui oscilleautour d’un centre, par exemple,
tin pendule, tant que ce corps sc ;mouvra dans une
çyclò'jle ■:, les •' tems \de fès -chûtes ou ;■ oscillations
îeront’-tóujoù'rsi égàux entreux »' -Voici pomment
M, de Fontenelle essaie de faire,concevoir cette
propûétê'deia cycloïde.'. La nature de là cycloïde,
diwl, 'est telle qu’un Corps qui la décrit, acquiert. -plusde vitesse à mesure qu’il, décrit un plus, grand
arc, dans Ia raison précisé qu’il faut , ? pour, que '
}e tems-qU'ilniet à décrire cet arc ; soit toujours
le. même, quelle que soit la grandeur de-Tare que
lê'cpfps párcourí ; & de-là ; vient Tégalité dans Je
fèrns, .nonobstant TïnégaHté des arcs,, ; parce que <
la vitesse se trouve exactement plus grande ; ou
nipindre/éri même proportion que Tare est plus
grárid: òu plus petit. C’est cette. propriété. ; de la
cycloïde qui-a fait imaginer Thorìoge à pendule..
M. líuygnëns a donn’éíur ce sujetunouyrage plein
dergériie' & .« "invention ^.intitulé :.-: HorolpgiumPsçíllaéorium. Fóyej, BRÂCHYPT,OCHROVNË',ÍTAUT
'ïÓcxmNmslsQCHROlîÉ , &c- (O ) :-■ -.'."-- -/ ;<,,.:,

^IYCLQMETRIE , f. f. {. Géom. ) c’est T’afr^de-íiiefurër'des
cercles’"&.' des cycles. Voyez 'CYCLE -_■
t:ÇEfcÌE.:|ô>; ; "".'' '"' JK: ;/:7 : !; 177
'pfiK&^%-ys:Astrpn-.') i cpnstellatipn" ;boréale.,- qui
: -rénfér'the.'Sji 'éfoiles .dans se ÇafalpgupvBnranii.iqué-,
i^ ,htin,:.,cygnus.:, plof ,, -helénee.. genitor-y.Ales
:jpvif:y\Alessledoeus-, phcebi affeffpr ,. avis yeneris,
iieonîa"ï:/milvus, gall-ina yvuhur, caâens0 crux: ôu .
J(a,'-Crpix.7…Maniîius.,, ayeula plupart ..des auteurs
.grecs & latins, dit que çe cygne est. celui dont ;
Jupisef .prit .Ja,.figure pour séduire- ;Lëda.., Néan- '•
fflpjns,corruriëjPlatOn rapporte quOrphëè-après. ',
• -r .i / Savoir été déchiré par les Bacchantes, fut changé"
en cygne , quelques-uns pensent qu’en mémoire de
cet événement, on plaça, dans le ciel, Ie cygne
à côté de la lyre d’Orphée ; on l’a appelle auffi
mynhilus-, du mot de myrth3 -, arbrisseau consacré
à Vénus. . ; ' '. ;. ' Suivant M. Dupuís, c’est Ie cygne fécondant:1 oeuf du monde ou de la nature, parce qu’il annonçoit
le printems, (Astron. t. iv , p. 44.G & 4G4.) II y a, dans cette constellation, une étoile chan-*
géante. Voyez ETOILE, (D. L.) CYLINDRE, f. m.: nom que les géomètres: donnent à. un corps solide, terminé par trois surfaces,
dont deux font planes & parallèles, & l’autre• convexe & circulaire. On peut ìe supposer engen.dré par la rotation d’un parallélogramme rectangle
CBEF (PLGépm.fig. SG)  , autour d’un de ses -. côtés CF, lorsque le cylindre, est droit, c’est-à-dire, ;■
lorsque son axe CF est perpendiculaire a sa base.
Un bâton rond esl, un .cy lindre.-. . ….La surface à^un cylindre droit, sans.y comprendre
ses bases, est égale au. rectangle: fait  ; cle ía hauteur
du cylindre par là. circonférence. de fa baie. Ainsi ,,
la circonférence de Ta base, & par conséquent la ;
baseelle-même/étant.donnéeiíi on multiplie Taire '
de-cette base par 2, & qu’on ajoute çe produit k
celui dela circonférence de.la base par la hauteur
du cy lindre., pn. aura la surface entière du cylindre.,,
tk sa solidité sera égale, au Pípduit, de .la hauteur:
paf Taire -de ia. base.,Car il. est démontré qu’une
cylindre, est égal à un prifhiè quelconque qui a même'
basé & mèiiie hauteur, ce qui .esl aisé à voir ;.& Ton
démontre auffi aisénient que. ía solidité d’un prisme
esl égaie au produit de sa base par sa hauteur. .Donc' la solidité du cylindre-efi égale à Celle de ce prisme y.
qui est le produit de sa-hauteur, par sá base. Voye%
PRISME. • ; .. ;'-, .'■'.- ■ ' ,7 ..'_.. De.pluS ;, le cône pouvant être regardé : comme
unè pyramide d’une infinité de côtés, & le cylindre ;
comme un prisme d’une infinité de côtés, il s’ensuitqu’un
cône est íe tiers d’un cylindre de même bafe
& de même hauteur. Voyez ÇoNEr. . _ ;'
.', Outre cela, un cylindre est à une sphère, de même
base &demèmehauteur,cpmme'3Tà ;2.,V.SÊHÈR.E^Vòyez'aussi CENTROBARÍQUE. ',: ; ".■■ ■
. Tous.les cylindres, çones, tjc. font entr'eux en ;
saison cbmpofée de leurs bases '& de leurs hauteurs.
Donc, si lesíbascs font égales, ils font entr'eux"
çomme leurs hauteurs ; & si leurs hauteurs sonr
égales j ils font entr'êiix comme ■ leurs bases. De
plus,. Comme, les: bases des coíies St,des cylindres:
font des cercles,,:&.que les perdes font en raison,
jSpublée dé ..íeurs.dianîètres , il. s’ënfoit que Tes:
cylindres ,. les "cônes, &c.. sont entr'eux en raison’ '
.composée de leurs hauteurs & du quarré des dia--
mètres de leurs bases ; & que par conséquent, ff
leurs fauteurs sont égales,Os font entr'eux comme:
les quarrés de,leurs diamètres..,
,'. Donc ,Ti le,s hauteurs,des.cy^WT-si'sonté'gales aux: .
jaiarriètres dejeurs1 bases , ;ils font entr'eux. en- raison" ! ~
Aso C’Y -t dactriplée, ou comme les cubes de ces diamètres. Les
cylindres semblables sont encore entr'eux en raison
triplée de leurs côtés homologues, comme auffi de
leurs hauteurs. 'Les cylindres, cônes, &c. égaux ont leurs bases
eu raison réciproque de leurs hauteurs: Voyez, CONE.Enfin .Un cylindre , dont là hauteur est égale au
diamètre de fa base, est au cube de ce diamètre
à-peu-près comme 785 à 1000.,Pour trouver un cercle égal à la surface convexe
d’un cylindre droit, on se servira du théorème
suivant : la surface convexe d’un cylindre est égale
à unxercle dont le rayon est moyen proportionnel
entre lahauteur du cylindre & le diamètre de sa base.
Voyez SURFACE , AIRE, &c.Le diamètre d’une sphère & la hauteur d’un
cylindre, qui lui doit être égal, étant donnés, pour
ttouver le diamètre du cylindre, on se servira de
ce théorème : le quarré du diamètre de la sphère
est au quarré du diamètre d’un cylindre qui lui est
é »al, comme lé triple de la hauteur du cylindre
est au double du diamètre' de la sphère. Voyez
SPHÈRE. _ \ -Pour trouver le développement d’un cylindre ou
un espacé curviligne, qui, étant roulé sur la surface
du cylindre , s’y applique tk la couvre exactement,
on décrira deux cercles d’un diamètre égal à celui
de la base ; on en trouvera la circonférence ; &,
fur une ligne égale à la hauteur du cylindre, on
foniiera un rectangle dont la base soit égale à la
circonférence trouvée. Ce rectangle roulé fur la surface
du cylindre , lá couvrira exactement. Voyez
DÉVELOPPEMENT. . . 'Quand le cylindre est oblique, Ia détermination
de fa surface courbe dépend de la rectification dé
Tellipse ;. car, ayant imaginé un plan perpendiculaire
à Taxe, & par conséquent à tous les côtés du
cylindre, ce plan formera',, for le cylindre , unë
ellipse, & la surface du cylindre sera égale au produit
de la circonférence de cette ellipse par le côté
du cylindre. Donc , &c.'( 0 ) ', ■■•' -•■CYLINDRIQUE, adj. ( Géom. )  se dit de tout
ce qui a la forme d’un cylindre, ou qui a quelque
rapport au cylindre,- - ' - .ÇYLINDROIDE , T. m. signifie quelquefois,
en Géométrie, un corps solide qui approche de la
figure d’un cylindre, mais qui en diffère à quelques
égards  ? par exemple, en ee que ses bases
opposées & parallèles font elliptiques, &c. (O) CYLINDROÏDE , ( Géom.)  est auffi le nom que
M. Parent a donné, d’après M. Wren, à un solide
formé par la révolution d’une hyperbole autour de
son second axe. On trouve, dans 1 Histoire de TAcadémie
Royale des Sciences de 1709, Textrait d’un
mémoire que M. Parent donna fur cé sujet à cette
Académie. 11 démontra entr'autres une propriété
remarquable du çylindroïde ; savoir, que ," quand
les cieux axes de Thyperbole génératrice, auront
un certain rapport avec ceux d’un sphéroïde applatíqui y sera inscrit., les surfaces dé ces sphéroïdes, seront ën égalité continue , comme celles de lasphère & du cylindre circonscrit. Voyez l’ariiçleCONOÏDE ; où vous trouverez uné méthode pour ; déterminer la surface des conoïdes, qui peut servirà démontrer la propriété dont il s’agit. C’est untravail que nous laissons à Tindùstriede !nosTec■teursr (O 7)  7 - ' 7 ' , '  ;:CYNQSURE,(Aflr.)  c’est le nom que les grecs
ont donné à la petite ourse. Ce mot signifie
queue de chien ; il .'est formé de Sjà, queue ,nvmt
mût, chien. ■'.' ■ ^ , ;■■'" ; ■ ;.-■■■ d ac ;' ;;.., ;_DACTYLONOMIE, f. f. (AritL) ce mot est
fòrmé de mots greCs, séants, doigt,. &; rì/nó ;., loi ,: Tait de compter par les doigts. Voyez NUMÉRATION.
- 7 '"'■ ;■ : - . ' '■':■''■
- En voici toutie secret ; on donne 1 au pouce de
la main gauche jr2 à Tindex, & ainsi de fuite jusqu’au
poúcede la main droite, quií, étantle dixième, a par
conséquent le zéro, o. v. CARACTÈRE^: .7Cesse façon de compter rie peut.étfë ;que fort
incommodé. Comment, en effet, faire commode-.
mentles additions & autres opérations de TÁrithmé".
tique par cette méthode ? Comment peut-ion feuler
ínent indiquer commodément un nombre donné ;
par exemple, 279 ? Je fais qu’on Tindiquera en
levant les trois doigts de la main qûi désignent ces
trois nombres, & en baissant les autres yrnàis
comment distinguera-t-on Tordre dans lequel les’
chiffres doivent se trouver placés, en sorte que ce
soit:279j ; & non pas, par exemple, 2970U 729 ;
&c. ? Ce sera apparemment en ne montrant d’abord
que 2, & tenant’les autres doigts baiffés,pùisen
montrant 7, puis 9':■ mais une manière:ehcôre plus •
commode:d’indiquer ce nombre par signes, seroit
de lever d’abord’ deux doigts, puis sept, puis
neuf. Au reste, tout cela ne seroit bon qu’entre
des muets..' L’arirhmétique écrite est bien plus commode..
.. ;'…'-.'■. ■ .'■■■■ ■ ;-77 ;' ;Il y a apparence que ce font les dix doigts de
la main7qui ; pnt donné naissance aux dix' caractères
de T Arithmétique $ & cé nombre de caractères~ augmenté, ou diminué changerait entièrement les
calculs* Voyez BINAIRE, On auroit-peut-être
mieux fait encore.de prendre douze caractères,
parce que 12 a plus de 'diviseurs que To ; par 12 a
quatre diviseurs, 2, 5, 4, 6, & ro n’en à que deux,
ï V-5. Au reste, il est à remarquer que les romains
nemployoient point Tarithmétique décimale ; ils
n’avoient que trois caractères jusqu’à cents J, Vy
X ; C étoit pour cent ^JP pour cinq cent, Mpour
mille : mais comment cakuloient-ils r C’est ce que
nous ignorons, &: qu’il seroit asséz ; curieux dé
retrouver, ( O ) '■■■''-■'7 DAME. (Jeu.)  On donne ce nom à de petites’
tranches cylindriques de bois ou d’ivoifè qui fort' ; ' m \..p a m d a't a8rÇeu épaisses, qui ont à-peu-près. pour 'diamètre lë
côté d’un quarreaù .du damier, & dont oh se sert
pour jouer aux dames. II y en a de deux couleurs ;
un des joUeurs prend les dames d’une couleur, &
l’autre joueur les dames ; de l’autre-couleur. Voyez
les deux articles fuivans. ,DAMES. (Je-u-de)  'Le jeu de damés se joue avec les
dames. 11 y a deux fortes principales’de jeu de dames ;
on appelle l’un Jes .dames françaises, tk l’autre les dames
 polonoifes. Aux darnes .françoises, chaque
joueur a douze dames, aux dames polonoifes, vingt.
On commence le jeu par placer ses dames.Aux dames françoises, le joueur A place ses
douze dames for les douze quarreaux ou cases a, b,
c,d,&c, tkle joueur B.Ì les douze siennes-for les '
douze cases i,, 2, 3 , 4, 5, &c. (Jeux,fig. z). Chaque
joueur joue alternativement ; Lorsque le joueur A
a pouffé une de ses-aames, Te joueur B en pouffe
unè des siennes. Les dames he font qu’un pas ;elles
vont de.la cale oú elles font, v fur Jes cases vides- de même couleur, qui leur sont immédiatement
consignes par leurs angles-, fur la bande qui -est,
immédiatement aù-deffus.: ;d’oû -Ton voit qu’une
damé quelconque ne peut jamais avoir que deux
cases au plus à choisir. Au bout d’un cerfain nombre"
de coups, íl arrive nécessairement à une des dames
du joueur A ou B , d’être immédiatement consigne
à une des dames du joueur B ou A. Si c’est au
joueur A à jouer, & que la aame M.soit:consigne
à la a'ame N du joueur. B, en sorte que celle-ci
-. ait une case vuide parderrière elle y la dame M
se placera dans ia,eafe vide, tklay-damé N sera
ensevée de dessus le-damier. S’il y a -plusieurs, damés .
de fuite -en avançant vers- le fond du damier, placées
de manière qu’elle soient toutes séparées’par
une seule case vide cpntiguë, lá mêmp dame M
les enlèvera toutes, &;se placera fur la-dernière• case vide. Ainsi,-dans-le cas qu’on voit ici (fig. -z)  ;
la dame 'M enlèvera des dames 9,7, 5, 3-^ -'& "s’árrêtera
fur la'casei'. Quápd une damé est "arrivée
fur- Ia bande: d’en:-haut de Tadvéríaire, on-':dit
qu’elle est arrivée" a-dame,:.rpour la'"distinguer dès
autres-, on la~ couvre:d’une ;autre dame-', _&"ellë ; s/appélle dame damée. La dame damée ne fait qu’un
„ pas,: non plus queies autres, dames’, mais les 'damés’
' simples ne ;peuv'ent: point reculer ; elles avancent
toujours ou s’arrêtent, 6k ne prennent cprén av-ántï'
la dame dàinèe/au: contraire ,.'avancé ; recule ,
prend en avants en arrière:, en tout sens:, tout
autant de dames ciu'elie en rencontre, séparées-par
des cases.vides, pourvu qu’elle puïssefuivre Tordre ;
dés cases fans interrompre \ fa anarche.-: Que Cet
ordre soit ici en avançant,Tà en reculant, la dame
damée prend toujours, au lieu ; que , quand-elle
n’est nas damée, il faut que Tordre des dames prifesfoît
toujours en avançant ; elles ne peuvent jamais,
faire-un-pas en arrière. Ainsi, (fig. 3 ;)  là dame
damée M, prend.les’.dames 1, 2, 3 , 4, -5 , S-c, au
lieu que la dame stipule ne poUrroit prendre que
fyfathématiques. Tome I, IIe. Partie. .ìei.dames r , i. Si on ne prend pas quand on a à
prendre , tk qu’on ne prenne pas tout ce qu’on
avoit à prendre", on perd la dame avec laquelle on
 devoit prendre, soit simple, soit damée ; cela
s’appelle souffler : votre adversaire vous souffle tk
joue, car souffler n’est pas jouer. Le rjeu ne finit
que quand l’un des joueurs n’a plus de dame ; c’est
celui à qui il eri reste qui a gagné.
 ; Les dames polonoifes se jouent comme les dames
françoises, mais for un damier poìonois, c’est-à-dire
à cent cases, & chaque joueur a vingt dames. Les
dames polonoifes simples avancent un pas seule- "
ment, comme les dames fançoises simples ; mais
elles prennent comme les damés damées françoises,
& les dames damées polonoifes"marchent comme
les fous aux échecs : elles prennent dtm bout d’une
ligne à l’autre , toutes les dames qui se trouvent
séparées les unes des autres par Une pu plusieurs cases
vides ;,passent, fans inrerroinpre leur marche, d’un
seul & même coup, for toutes les lignes obliques,
tant qu’elles rencontrent des dames à prendre , &.
ne s’arrêtent que quand elles n’en trouvent plus.
- On souffle auffi à ce jeu les dames simples & damées ;
& "on perd ou gagne, comme aux dames françoises,
quand on manque de dames ou qu’on en garde le
dernier. " _■-… -DAMIER,: f. ni. (Jeu )  surface plane où sont •
des quarreaux alternativement- blancs & noirs. Lé
damier qui sert pour les dames françoises ou pouf
les échecs, n’a que soixante^quatre quarreaux ou
cases. Chaque'bande dé quarreau.est cde huit dans
chaque bande ;;si le quarreau d’une bande est noir,
les correspondans dans les bandes immédiatement
aù-dessus.& au-dessous, feront blancs" ; "Ainsi,dans
une bande quelconque, supposé que les-quarreaux
-soient, en allant de la gauche à la droite, blanc,
noir, blanc, noir, &c., dans’Ia bande au-dessous
& au-dessus de ce.tte bande, les, quarreaux seront,
en allant pareillement de la gauche à. la droite ,noir,
 blanc, noir, blanc, &c. … . Le darnier'qui
sert pour-les dames Ipolonoíscs, ne diffère de~
celui-ci que par le nombre de ses cases ou quarreaux
 ;;,il en- a 'cent ;: dix for'chaque bande. Voyez
. l’article DAME,JEU, &.l’àrt.EcîlEC. Voyezaujsi
. la PI. du Jeu. '^DATE, f. f. indication du tenis’"précis dans
lequel un éVériëmerit/est passé,. à Taide de laquelle
ón peut liii assigner dans’la"narration-historique &'
successive , ck dans Tordre chronologique 'dès
choses," la plàcé: qui lui convient. On’tròuvè à la
tète du grand ouvrage, qui a pour titré": l’Art de
vérifier les dates, une très-bonne dissertation for
les dites des anciennes chartes & Chroniques, &
fur les difficultés auxquelles ces dates, peuvent"
dònnef'occ’asiòrvUne des sources de cés difficultés.
Vient des divers’tems auxquels on’ a commencé
Tannée -, & du peu d’uniformité des anciëris auteurs
là-dessus. Les uns. la Commençóient avec le mois,
de mars,les autres avécle mois de janvier ; quëKPpp
ques-uns sept jours plutôt, le 25 décembre ; d’au-"
tres le 25 mars, d’autres le jourde Pâques. Voyez,
force sujet, un détail très-curieux & très-instructif
dans Touvrage cité Voyez auffi Varticle :ÀNNÉE,
&c.(0). :-' \ -DAVIS, quart de davis. V. ARBALÈTE.DAUPHIN, (Astron.). constellation : boréale ,
composée de 18 étoiles suivant Flaínsteed ; on
I'appelle dclphinus, delphin , animal, rep'andirostrum
(à large bec recourbé) , incurviccrrìcum, pisciiìmrex :
dans Pline, herniippus (mercure cheval) , Simon
' ( camus ) ', perfuafor amphitritcs , ve3or arionis .
neptunus, triton, apollo, músi'cum signum ,'tyrrheni
niutoe.'Le dauphin étoit regardé par -ses anciens comme
Tami & le défenseur des hommes. Téléinaque fut
sauvé par un dauphin, de même qu’Arion , célèbre
poète lyrique : le 'dauphin servira découvrir Amphitrite,&
à la fléchir en faveur de'Neptune ; lé
dauphin étoit regardé comme le-symbole du dieu
des-mers ; Apollon se changcoit aussi etídauphin ;
enfin les poètes disent que Triton ,-fils de Neptune,
espèce de monstre marin -, ayant servi ies dieux
dans la guerre des géans, par le moyen’ d’une trompette
terrible qu’il avoir imaginée,Tut changé eri
dauphin tk placé dans ciel.Le lever de cette constellation héliaque est annoncée
par Ovide, au 9 de janyier.Jnterea Delphin clarum super oequora sidus.
. Tollitur, & patriis exerit ora vadïs. •■'■'<■_ , Fast. I.457, "Le lever acronyque est indiqué au 10 de juin
dans le VT livre, & le coucher au 3 de février.Quem modo coelatiim stellis Dclplrina videbas 7
Is fugiet visas noe.c fequente tuos… . .' Fast. II.(D-L.) .'..
D E-B.
DÉ (Anal, des hasards )  î'Cube dont.les fix faces
sont numérotées un, deux, trois, quatre, cinq &
six.11 est visible qu’avec deux dés on peut amener^
rente-six coups différons ; car chacune des six faces
du dé peut se combiner six fois ,avec chacune des
fix faces de l’autre. De même, avec trois.dés, on
peut amener 36'X '6 ; ou 216 coups différons : car
chacune des 36 combinaisons des deux dés. peut
se combiner fix sois avec les fix faces du troisième
dé ; donc, en général, avec un nombre de dés-n,
le nombre des coups possibles, esl 6".. ■ … :Donc il y à 35 contre 1 à parier, qu’on ne fera
pas rasledei„de 2,'de 3 de4,'de 5,décavée
ceux dés. Voyez RAPLE. Mais on trouverait qu’il
y a deux manières de fair.é '3 , -3 de faire 4", 4 de
frire 5 , 5 de faire' 6,& "6 de "faire 7, 5 de faire8', 4 "de faire 9, 3 de faire 10, z de fàífc if,
j de faire 12 • ce qui est-évident par la table suivante,
qui exprime toutes les 3 6 combinaisons. ;--2: 3456 7 ■ ' " ' ' ;3 4 5 6 7 8-, :r :. ; 4 5 67 7 -8:_9: 7 ,--■ - .'"' -.-■ :-.. 5 -6 77'/■ 8 9 ib ' •-■' '. ■' ' 7 ' 67' 8-' 9 ' ió 11 ' 7 ' ' . ;
 ; . '… 7 ".'8 9 10 .11 12 .'..-'.' ; .Dans la première colonne verticale de cette table,
jé supposé qu’un des dés tombe successivement fur
toutes : ses faces, l’autre: aV amenant toujours T ;
dan s la seconde colonne, queT’un des dés amène
toujours 2, l’autre amenant ses fix faces, &c. les
nombres pareils se trouvent for la même diagonale.
On vpit donc que 7 est lè nombre qu’il esl Ie plus
avantageux de parier qu’on amènera avec deux dés ,
tk que 2 & 12 font ceux qui donnent moins d’avan,tage.
 Si on prend la peine de former ainsi la table
des combinaisons pour trois dés , on aura six tables
de 36 nombres chacune, dònt la première aiira 5
à gauche én haut, ■ 13 ; à jdroite en^bas,. tk la.der- ;
niëre aura 8 à gauche eh haut, & iS à droiteen
bas ;. & Ton verra, par le moyen ides diagonales,
quele nombre de fois que lp nombre 8.peut arriver,
esl :égal à 6 -j-.j’-f" 4+ 3 + 2"-fr ■> c’c^-
à-dire 21, ; ''qu’ainsi',- il y a 21 cas for 216 pour
que ce nombre arrive, qu’il y a 15 cas pour amener
7, '10 pour'6,'ô pour 5,3 pour4,.i pour 3 ;
que, pour amener 9 j il .y a un nombre, de combinaiícjns
= 5 '-fr.6 -f 5+ 4+-3 + 2-~z5*> .1uei
pour amener 1 o, il y à 4 sfr 5 -fr 6 -fr 5 -j- 4 -fr 3
= 27 ; que,' pour amener- iti, il y:à' 5• -f- 4 -j- 5
-fr 6 -j-5 -fr^~zjy que, pour amener 12, il y a
2-f 3-J-4 +'5.+ 6.4- 5 =25 ;.qiie, pour amener
13 , ;il y ai-fr z -fr 3 -f-4-f 5 -f 6 =21 ;' que,,
poúr amener, 14, il y-.a i5, ;què, pour amener 15,
il"y ;a- ió ; que, pour amener jé ,'il y a 6 ; que,
ppur. amener ; 17 , il y a 3 ; & pour amener i85
une feulé combinaison. Ainsi, 10 .& 11 font les
deux nombres’ qu’il - effile plus avantageux de parier
qu’on ámenera avec trois dés: il y a à'parier 27
fur. iió.,- c’est-àrdirë I contre' 8 ,,qu’on les ame-„
nera ; ensuite c’effineuf ou douze, ensuite c’est huit
pu treize,, :&c. ;• - - ■■ - .> ,-■-.. ;.' ., -.- >.-:l - -..:Qn peut .déterminer' , ;parune méthòdë,semblable,:
quels font ; les nombres-qu’il y a le plus ;à parierqu’on,amencra
avec un nombre donné d.e dés ; ce
qu’il esl bon de. savoir dans plusieurs jeux. Voyez
TRICTRAC , &c.-( O). '■-.-'■DEBANQUER, v. act. ( Jeu )  c’est au pharaon
ou à ,1a bassette épuiser ;le banqpier, & lui gagner
tout ce qu’il avoit .d’argent, ce qui le, force de
quitter la partie. ' -DEBOITER, v. act. (ífya'raa ?.) c’est séparer des’
tuyaux de bois ou de grès endommagés, pour-en
remettre de neufs. ( K ).: dec dec 48 ?• ; DÉBREDOUILLER ,,v. act. (Jeu).', il.se dit
au trictrac dans.le sens qui fuit : il faut prendre un
certain nombre de points (douze) pour gagner un
trou, & un certain nombre cle trous (douze) pour
gagner la partie: si Ton prend , ou tous les points
qui donnent le trou, ou tous lës trous qui donnent
la." partie, fans que Tadverfaire vous interrompe
, soit en gagnant quelques points, soit en
gagnant un trou ; 011 gagne Pu le trou bredouille,
ou la partie bredouille. Le trou  ;& la partie simples
ne valent qu’un trou, qu’une partie ; le trou bredouille
tk la partie bredouille valent deux trous,
deux parties. On marque qu’on a la brebouille,
c’esl-à-dire qu’on a pris ce qu’on a de points fans
interruption , avèc un jeton qu’on prend ou qu’on
ôte, selon qu’il convient. F. TRICTRACDÉCADE,T. f,(Arithm.'& Hist.). Quelques
anciens auteurs d’Arithmétique se sont servis de ce mot
 pour désigner ce que nous appellonsaujourd’hui
dixaine ; il est formé du mot latin decas., dérivé
lui-même d’un mot grec qui signifie la même chose.
On ne se sert plus de ce mot que pour désigner
les dixaines de livres dans lesquelles òn a partagé
THisloire Romaine de Tite-Live. II ne nous reste aujourd’hui
de cet ouvrage, qui conrenoit quatorze décades,
que trois décades tk demi. La seconde décade,
qui contenoit entr'autres Thistoire de la première i
guerre Punique, est perdue ; de forte que la- décade, :
appellée aujourd’hui la seconde, est réellement la
troisième. On a avancé, fans aucun fondement,
que cette décade perdue existoit dans la bibliothèque
des empereurs de Constantinople. Dans ce
qui nous reste de Tite-Live , le slyle paroít se
ressentir des différons âges où.il peut avoir-composé.
La première décade , qu’il a'écrite étant plus
jeune, est d’nn style plus orné & plus fleuri ; la
seconde est d’un style plus forme tk plus mâle ; le
style de la troisième est plus foible. On regarde
cet historien comme le premier des historiens latins ;
cependant il n’est, pas douteux que Tacite ne lui
soi't fort supérieur, dans le grand art de démêler
& de peindre les hommes, qui est , fans contredit,
la première qualité de Thislorien : & pour ce qui
concerne le stylé, il parpît que la narration de
Salluste, fans être trop coupée , est encore plus
énergique tk. plus vîve. A Tégard_de la véracité, .
on lui a reproché d’être trop partial en faveur des
Romains ; on p^ut en Voir un exemple dans Texcellente
dissertation de M. Melot fur la prise de Rome ;
par les Gaulois, imprimée dans le recueil de TAcadémie
dés Belles-Lettres. On lui a reproché auffi ■
Tespèce de puérilité avéc laquelle il rapporte tant
de prodiges ; puérilité qui paroít supposer eu lui une
crédulité bien pêU philosophique : il n’y a peut-être
que Plutarque qui puisse le lui disputer sur ce point.
Néanmoins Tite-Live peut avoir été digne en effet
de ,1a placé qu’on lui à donnée, par Texcellence, la
pureté, & les autres qualités de son style: mais
c’est de quoi aucun moderne ne peut juger. (O) • DECAGONE, f. m. (Géom.)  : nom qu’on donne,
en Géométrie, à une figure plane qui a dix côtés &
dix angles. Voyez FIGURE.Si tous les côtés & les angles du décagone font
égaux , il esl appelle pour lors décagone régulier, tk
peut être inscrit dans un cercle.Les côtés du décagone régulier sont égaux eri
grandeur & en puissance au plus grand segment d’unexagone
inserit dans’ íe même cercle, & coupé en
moyenne& extrême raison. En voici la démonstration’.
' . - -Soit A B (pi. Géom. fig. s7)  le côté du décagone ,
C le centre, Tangle ACB est de i6à, par conséquent
les angles A tk B sont chacun de 72 : car les
trois angles d’un triangle sont égaux à deux droits.
Voyez TRIANGLE.Si on divise sanglés en deux également par la
ligné ADJ Tangle B A D ferade 36d, & les angles
B tk D chacun de 72 : donc le triangle B AD fera
semblable au triangle A B C. De plus, Tangle
D A C tk Tangle C étant chacun de 26*, on aura
CD-AB : donc on aura A C est a A B ou AD
ou CD : ; AD ou CD* est aDB: or le rayon
AC est lé côté de Texagone." Voyez EXAGONE,
&c. .donc, &c. Voyez MOYENNE ET EXTRÊME"
RAISON.Un oUvrage de fortification composé de dix
bastions, s’appelle quelquefois un décagone.. (O) DÈCÁNS , decania dans Manilius , sont les
dixaines .de degrés ou les tiers de signes dont on
.faisoit usage autrefois. V. mon Astronomie, t.iv ,
p. 443. (D. L.) DÉCEMBRE, f. m. c’étoit le dixième mois de
Tannée romaine, comme son nom le désigne assez :
& c’est le douzième de la nôtre, depuis que
nous commençons Tannée en janvier, c est-à-dire
depuis l*édit de Charles IX. en 1564."Environ le 21 de ce mois, le soleil entre an signe
du capricorne ; c’est le jour le plus, court de Tannée
, & le commencement de Thiver.DÉCHARGE, (Hydraul.)  se dit de tout tuyau
qui conduit Teau superflue d’un bassin dans un.
autre, ou dans un puisait. -II y en a de deux sortes ;
celle du fond, 6k celle de superficie.La décharge du fond a plusieurs usages ; elle sert,
i.° à vider entièrement un baffin, quand 011 se
veut nettoyer : z." à faire jouer des bassins plus bas,
& alors le baffin où est cëtte décharge se peut appelier
le réservoir de celui qu’il fournit.La décharge de superficie est un tuj’au qui se met
for le bord d’un bassin ou d’un réservoir, tk sert k
faire écouler Teau à mesure qu’elle vient, de manière
que le bassin reste toujours plein. Cette superficie,
se met quelquefois à un pié plus bas que Ie fond ,
afin qu’elle íe trouve un peu chargée, pour faire
monter le jet qu’elle fournit. (, K ) DÉCHAR.GEOIR, f. m. (Hydraul.)  Dans une
écluse il sert à écouler Teau de superficie ou super"'
Pppij
,cU DEC DEC
stue, que le courant d’une rivière ou d’un ruisseau J
c.-.„^r í-n^MnivlIpin^nr . .& crui vient, uar le tDECIL ou DEXTIL,adj. terme d’Astronomie
ou plutôt d’Astrologie, qui signifie YaspeB ou là
position de deux planètes éloignées Tune de l’autre
de la dixième partie du zodiaque , ou de 36
degrés. Ce mot n’est plus en usage depuis que
l’Âstrblogie est proscrite. K ASPECT & ASTROT
LOGIE. (O) DÉCIMALE, f. f. (Arith.). On appelle parties
décimales ou fraaions décimales des fractions dont
Tunité est continuellement fous décuple de Tunité
principale. Ainsi, les fractions -^, ^-, -^r sont
des fractions décimales. Quelques auteurs appellent
Arithmétique décimale la partie de Tarithmétique,
qui traite du calcul des fractions décimales.De même que, dans le fystême de notre arithmétique
ordinaire ( voyez NUMÉRATION ) , en ajoutant
ensemble dix unités , on forme une dixaine ;
cn ajoutant ensemble dix dixaines, on forme une
centaine ; en ajoutant ensemble dix centaines, on
forme un mille, ainsi de fuite: semblablement, si
Ton corçoit que Tunité soit partagée^en dix parties
jégale ;, chacune de ces parties formera un dixième ;
mie chaane dixième foit narrapé en dix nartièsper à ces chiffres les places convenables. Alors les
fractions décimales ne se présentent plus fous la
forme des fractions ordinaires, & les opérations,
que Ton fait pour le calcul des unités principales,
ont également lieu pour se calcul des parties décimales.V. ADDITION , SOUSTRACTION , MULTIPLICATION,
DIVISION.Pour dislin mer les parties .décimales d’avec les
unités principales, on écrit, après celles - cij
un point , ou plus ordinairement une virgule :
ensuite, après cette virgule, &cn allant de gauche
à droite, on écrit les parties décimales. Suivant cet
ordre, & les parties décimales étant toujours prises
comparativement à Tunité principale , lë" premier
chiffre, après là Virgule, exprime des dixièmes ;le
second , des centièmes ; le troisième, des- millièmes ;
le -quatrième, desdix millièmes, ainsi de fuite. II en
est donc dès parties décimales ; comme des ; unités
'simples ; à mesure qu’un chiffre avance d’un rang
vers la droite, il devient dix fois plus petit, &
réciproquement. Ainsi, dans le nombre 345,7, Ie
cliiffre 7 exprime sept dixièmes-, ; dans le nombre
345,07., le.chiffre7 exprime ;sept centièmes ; d’ansle
nombre 345,007, le chiffre 7 exprime sept millièmes,
tkc. 'On voit par-là, en même'tems, qus
si, dans un nombre, il manque des parties décimales
d’un certain ordre, les places de cet ordre sont
occupées par des zéros.Cela bien entendu, il est- facile d’énoncer un
nombre qui contient des parties décimales. Soit, par
exemple , le nombre 42-3,549. Les chiffres écrits
à gauche de la virgule, représentent quatre cens
vingt-trois unités simples ; se chiffre 5 , qui vient
immédiatement après la virgule,- exprime cinq
dixièmes de Tunité simple ; le chiffre 4 en exprimé
quatre centièmes ; le chiffre 9 ,' neuf millièmes. Par
conséquent íe nombre 423,549 peut d’abord s’énoncer
ainsi : quatre cens vingt - trois unités, cinq
dixièmes, quatre centièmes, neuf millièmes.. Áìàis.,
comme chaque unité de: dixième vaut une dixaine
de centièmes, & une centaine de millièmes, &
que chaque unité de centième vaut une dixaine
de millièmes : il est clair qu’au lieu de dire cinq
dixièmes, ""quatre centièmes, neuf millièmes, nous
pouvons dire, cinq cens quarante-neuf millièmes:
Notre nombre 423,549 s’énoncera donc : quatre
cens vingt-rtrois unités, cinq cens quarante - neuf
millièmes. De même le nombre 54,3075 ,. où il
n’y apointde dixièmes, s’énonce .-pínquante-quatre
unités, trois mille soixante &.quinze dix- millièmes.
Le nombre 0,5408, où il n’y a ni unités simples.,,
ni millièmes, s’énonce : cinq mille quatre cens huit
dix millièmes. Ainsi des autres.Les nombres qui contiennent des unités simples
& des parties décimales, peuvent encore s’énoncer
d’une manière plus abrégée, en considérant que
chaque unité simple vaut dix dixièmes, ou cent
centièmes, ou mille millièmes, oii'&c. ; que chaque
dixaine vaut cent dixièmes -, ou mille centièmes,
ou dix mille millièmes, ou &c. ;, que chaque cen-taine
 vaut mille dixièmes, ou îlix mille centièmes ,
ou cent mille millièmes, ou &c. D’où il fuit que,
par exemple, le nombre 423,549 pourra se prononcer
: quatre cens vingt- trois mille cinq cens
quarante-neuf millièmes. On voir niip - diinç eprDec d e c - ' 48 ?énonce,Tes millièmes sont regardés, par rapport
aux autres chiffres à gauche, comme faisant la
fonction d’unités simples. On entendra la même
choses avec les changemens convenables, pour les
autres nombres de cette espèce.Puisque la virgule fait la séparation des parties
décimiles d’avec les unités principales, il est clair
qu’en avançant cette virgule d’un rang vers la droite,
pu vers Ia gauche, on rendra le nombre dix fois
plus grand ou plus petit. Soit, par exemple, le
nombre 467,8435. Si-, en avançant la virgule d’un
rang vers la droite, On écrit 46715,435 , 011 voit
que les centaines du premier nombre deviennent
■ des mille ; les dixaines, des centaines ; les unités,
des dixaines ; les dixièmes, des unités ; les centièmes,
des dixièmes, ainsi de fuite. Donc, par le
déplacement de la virgule, chaque panie du premier
nombre est devenue dix fois plus grande. Le nombre
lui-même est donc devenu auffi dix fois plus grand.
■Au contraire, en reculant la virgule d’un rang
-vers la gauche, le nombre deviendrait dix fois plus
petit,-puisque chacune de ses parties cleviendroit
dix sois plus petite.On voit, par un raisonnement semblable, qu’en
avançant la virgule vers la droite de deux, trois,
quatre, &'c places, on rendrait le nombre ico
fois, IOCO sois ,10000 fois, &c. plus grand ; &
qu’au contraire, en reculant la virgule vers la
gauche, de deux, tiois, quatre, &c places, on
rendroit le nombre 100 fois, xcoofois, 10000 fois,
ET. plus petit.On ne change point la valeur d’un nombre qui
contient des parties décimales ', en écrivant à la
droite de ce nombre tant de" zéros qu’on voudra.
Soit, par exëmplé, le nombre 45,67. On peUt,à
fa place, écrire 45,670, ou 45,6700, ou 45,67000,
de. Car, puisque chaque centième vaut 10 millièmes,
ou 103 dix millièmes , ou icoo cent -millièmes , &c.
il est clair,que les 67 centièmes vaudront 670 millièmes
, ou 6700 dix millièmes , 011 67000 cent millièmes
, &c.■ Réciproquement, si, à la droite des figures décimales
significatives, il se trouve des zéros, on
pourra supprimer ces zéros, fans changer la valeur
du nombre. Ainsi, le nombre 48,54000 est la mème
chose que 48,54.D’áprès les idées que je viens de donner des parties
décimales, on voit que la numération esl également
facile, & toujours sujette aux mêmes loix,
soit que les nombres contiennent ou-non dételles
parties. II seroit donc à désirer que, lorqu’on a
besoin de considérer des nombres plus petits que
celui qui sert d’unité , on divifâr toujours cette
' unité en parties décimales. Les opérations de
Tarithmétique' en feraient plus . simples & plus
commodes. Mais on ne s’assujettit pas à cet ordre,
soit parce que la nature des parties décimales n’a
pas d’abord été bien, connue, foit parce que des
circonstances particulières ont introduit d’autresdivisions.- Les difféféns arts subdivisent différemment
leur unité principale. Dans les monnoies *'
la livre se divise en 20 parties, qui valent chacune
1 fol ; & le sol en 12 parties, qui valent chacune
1 denier. La livre ( poids ) se' partage en 2
marcs ; le marc, en 8 onces. ; Tonce, en 8 gros ;
le gros, en 3 deniers ; le denier, en 24 grains.,
■Dans les toisés, la toise Te divise en. 6 pieds ; lë
pié, en 12 pouces ; le ppuce, en 12 lignes ; la ligne
en 12 points, &c. ( L. B. ) * Tout le calcul des fractions décimales.est fondé
fur. ce principe très-simple, qu’une-quantité décimale
, foit fractionnaire,'foit qu’elle contienne des
entiers en partie, équivaut a une fraction dont le
dénominateur est. égal à Tunité suivie d’autant de
zéros, qu’il y a de chiffres après la virgule ; ainsi,
0.563 esl =Jj|i, 0,0005 = côhro ' 36-52 =
36 + rrs’ i St’ ainsi -des autres.Par conféqûenr, si ori veut ajouter ensemble les
trois-fractions ci-dessus," il faùt supposer que Ces
trois fractions sont réduites au même dénominareur
comnîun 10000, c’esl-à-dire, supposer
0,563 =0,5630, '36,52 = 36,5200 ; c’est’ ce
que Ton fait, du moins tacitement, en écrivant
les nombres, qui contiennent des parties décimales
, comme on Tà vu à Y article- ADDITION.
II en esl de même de la soustraction. A Tégard de
la multiplication , on n’a point cette préparation
à faire^ de réduire toutes les fractions au même
dénominateur, en ajoutant des zéros à la droite de
celles qui en ont besoin. On multiplie simplementnà Tordinaire ; & il est visible que, si 10 esl censémle dénominateur d’une des fraclions, & 10 l’autre jm + ;i ■le dénominateur du produit fera 10 7 Donc ;-
supprimant ce dénominateur, il faudra que le produit
ait autant de parties décimales , c’est-à-dire
de chiffres aprèsla virgule, qu’il y a d’unités dans
m -fr n. II en sera de même de la division, avec
cette différence.que le dénominateur, au lieu d’êtrem -j- ra m — n10 , sera 10 , &. que par ; conséquentm - n sera le nombre des chiffres qui doivent se
trouver après la virgule dans le quotient. Voyez
FRACTION & DIVISION.On a expliqué, à ïarticle. APPROXIMATION,
comment, par le moyen des fractions décimales y
' pn approche aussi près qu’on veut de la racine d’un
nombre quelconque.11 ne nous reste plus qu’à observer qu’on ne
réduit pas toujours exactement tk rigoureusement
une fraction quelconque en fraction décimale. Soit -,par exemple, -une fraction à réduire en fraction
décimale —— ; on aura donc r=z—.——. Orn n n10 =2 -5 , & on verra à Taríz'cse'DivisiuR.
• que — — ne sauroit être égal à un nombre
entier r', à moins que ç ne soit égal à quelque
puissance de 2 ou de 5, ou de 2 X~5 , nu au P™-'
duit de quelque puissance de 2 par quelque puissance
de 5, puissances moindres que n ; car on suppose
que - esl une fraction réduire à la plus simpleexpression ; c’est - à - dire que p & a n’ont aucun
diviseur commun. Voyez DIVISEUR. Dans toutautre cas, — — ne pourra jamais être exactement’
6k rigoureusement égal à un nombre entier r.
Mais il est visible que plus n fera grand, c’est-à-dire,
plus le dénominateurxle la fraction aura de zéros,plus -^- sera près d’être.égal à - ; car Terreur , s’ily en a, sera toujours moindre que -~ , puisqu’enfaisant la division de p X 10" par q le quotient r
qu’on trouvera, & qui sera trop petit, sera au contraire
trop grand, fi on Taugmente d’une unité. Donc.J-<£&r_2Li>E. Donc, &c. ,Ainsi, la réduction des fractions en décimales est
toujours utile, puisqu’on peut du moins approcher
de leur valeur auffi près qu’on voudra, quand on
ne les a pas exactement. ( O) DECLICQ , f. m. (méchan.)  Ce terme désigne
toute espèce de ressort, tel que celui qu’on attache
à un bélier ou mouton d’une pesanteur extraordinaire
qu’on élève bien haut ; & par le moyen d’une
petite corde qui détache le déclicq ; on fait tomber
le mouton sur la tête d’un pilot. (_IC) '
DÉCLIN de la lune. Voyez DÉCOURS. .
DÉCLINAISON, cn terme d’Astronomie, signifie
la distance qu’il’y a du soleil, d’une étoile, d’une
planète, ou de quelqu’autre point de la sphère du
monde, à Téquateur , soit vers le Nord , soit vers
le íSud. Voyez ÉQUATEUR.La déclinaison’esl boréale , fi Tastre est dans Thémisphèreboréal ;&a« J ?ra/edansThémifphèreauslraT.La déclinaison esl mesurée par un arc de grand
cercle, comme EK, (PI. asti on. fig. Z3.)  compris
entre le point donné -K, où Ton suppose l’astre
& Téquateur E Q , & perpendiculaire au plan de
Téquateur ; par conséquent le cercle PGKE , dont
Tare sert à mesurer la déclinaison , passe par les
pôles du monde P tk R, tk ce cercle s’appelle
cercle de déclinaison , ou méridien.-La déclinaison d’une étoile se trouve, en observant
d’abord la hauteur du pôle P H. Cette hauteur
du pose étant ôtée de 9o.d donne la hauteur
de Téquateur E O. On observe" ensuite la hauteur
méridienne O K de Tétoile ; & si elle esl plus grande
que la hauteur, de Téquateur, on en ôte la hauteur
de Téquateur , & le reste est la déclinaison boréale
EK de Tétoile. Mais si la hauteur méridienne
de Tétoile M esl moindre que la hauteur de l’équar
teur, on la retranche de la hauteur.de Téquateur ,
& on a la déclinaison australe .E .M au-dessous-de
Téquateur. ….Si Tétoile est dans le quart Z H, alors la phI3
petite hauteur B H étant ôtée de la hauteur du
pôle P H, on aura la distance P B de Tétoile. au
pôle ; & cette dislance étant ôtée du quart de
cercle P Q ,on aura la déclinaison B Q. Par exemple,
on a observé P B , distance de Tétoile polaire au
pôle de' 2d 2' qui, étant ôtée de 90d , donne B Q
de Zyd 58' ; c’est’ par cette méthode que sont construites
les tables des déclinaisons des étoiles’ fixes ,■
données dans les Catalogues. Voyez ÉTOILE.Nous supposons au reste, que dans ces calculs,
011 ait égard à la réfraction , à Taberration, & à
là nutation, toutes quantités dont on doit tenir
compte pour déterminer rigoureusement la déclinaison
de Tétoile. On doit même avoir égard emcore
à la parallaxe , lorsqu’il s’agit du soleil ou
de quelque planète, for-tout si cette planète est
' la lune. ,. ■ ■ sOn trouvera au mot étoile , une table des.décli- '■
naisons des principales étoiles. On y voit que cette
déclinaison n’est pas constante , ce qui vient de plusieurs
causes : i.°-dece que Taxe de la terré a un
mouvement autour des pôles de Técliptique ; voyez
PRÉCESSION : i." de ce que quelques étoiles peuvent
avoir des mouvemens particuliers.dont on ignore
encore la cause, fut-tout Arâurus. . . ■La déclinaison du soleil est d’un grand usage dans
TAstronomie, nous en avons donné une table aumOt.CADRAN.La déclinaison , en Astronomie , est la même
chose que la latitude en Géographie. Voyez LATITUDE.Les Mathématiciens modernes ont sort agité la
question , si la déclinaison ou Tobliquité de 1 écliptique
esl variable ou non ; mais il est prouvé qu’eíie
di.minue. Voyez ORLTQUITÉ.: Parallaxe de déclinaison, est l’arc du cercle dedéclinaison , qui mesure la quantité dont la déclinaison
d’un astre est augmentée ou diminuée par la
parallaxe de hauteur. Voyez PARALLAXE.Réfraction de déclinaison , est un arc du cercle: de déclinaison ', qui mesure la quantité dont la réfraction
augmente 011 diminue la déclinaison d’une: étoile. Voyez RÉFRACTION.Déclinaison d’un plan vertical, en ternie de Gno■monique , est un arc de Thorizon compris entre: le premier vertical & la section du plan du cadran
avec Thorizon.Les auteurs de Gnomonique nous ont donné
différons moyens pour trouver la déclinaison des
plans : le plus facile de ces moyens esl’celui qui
se pratique par la boussole. Voyez DÉCLINATEUR: & CADRAN.NDéclinaison de l’aiman ou de la boussole , est la
quantité dont Taiguille aimantée s’écartp du vrai ; point du nord. Cet artiese sera -traité plus au long
dans le dictionnaire de Physique, tk dans celui de
Marine ; mais, comme les astronomes en font un: usage fréquent, nous croyons utile de mettre ici
■ une table de la déclinaison observée depuis quelques
années. E » 1610, Ia déclinaison étoit, .à Paris, de 8
degrés à Test ; en 1663j elle étoit nulle, & elle
a toujours été vers Touesl jusqu’en 1769, qu’elle
m’a paru de 20 degrés. Depuis ce temps-là, on né
voit pas distinctement si elle augmente ou si elle
diminue : suivant les observations rapportées dans
le Journal des Savans , on trouve la déclinaison
moyenne, en 1771, zo" o' ; en 1773, 190 55' ; en17755 l9 42'- ; en 777> J9° 3'5'i (™is cette
année-là-, M. le Monnier la trouva de 20" 26')  ;
en 1779, 190 41', (M. le Monnier, 200 30')  ;
en 1781, 20" 17' ; en 1782, 20" 20' ; des différences
de quelques minutes font insensibles dans ces
sortes d’observations, for-tout à cause des variations
continuelles qui arrivent dans, la déclinaison
de l’aiman, à différentes heures du jour, tk en
différons temps de Tannée. Voyez Its pièces de M.,
Van-Swinden & de M. Coulomb, qui ont remporté
le prix de VAcadémie , cn: 1777 , fur ce sujet. Si
Ton admet Thypothèse du refroidissement successif
de la terre, on aura un moyen d’expliquer ce changement
de la déclinaison magnétique , par TinégaIité
de refroidissement dans les parties hétérogènes
du globe terrestre. (D.L.)  ~
. DÉCLINANT, adj. Cadrans déclinans, cn Gnomonique
, sont des cadrans qui ne regardent pas
le midi, comme des cadrans verticaux -, dont Je ■
plan coupe obliquement le plan du premier cercle
venical. Voyez CADRAN.Si on imagine que le plan du premier vertical
íe meuve autour de la ligne du zénith tk du nadir'
ce plàndeviendra déclinant ; & il neferaplus coupé
à angles droits par le méridien , mais par quelqu’aut’re
vertical, passant par d’aùtres points que
les deux pôles.En général, on petit appeler déclinant, tout plan ,
vertical ou non,.dont la section, avec Thorizon ,
fait" un angle avec le premier vertical, tk qui ne
passe point par Torient tk Toccident.11 y a des auteurs qui appellent aussi déclinant,
en général, tout cadran qui ne regarde pas directement
quelqu’un des points cardinaux ; selon eux,
pour quun cadran ne fbir pas déclinant, il faut
qu’il passe par la commune section du méridien
& de Thorizon, ou du premier vertical & de
Thorizon. ' ■' ' \- …"■Les cadrans déclinans font fort fréquens, parce
que, lês murs, fur lesquels’on trace des cadrans,
déclinent .presque toujours des points cardinaux.
Les cadrans inclinés & réclinés , & fur-tout les
cadrans déinclinés, font plus rares. Voyez CADRAN.
(O) -DÉCLINA TEUR ou DÉCLIN A TOIRE, f. m.
(Pnomon.)  est un instrument de Gnomonique, par
k. moyen duquel on détermine la déclinaison &
l’inclinaison du plan d’un cadran.En voici la construction : fur une planche quarte
de bois AB CD (Plane, /pronom, fig. Z5G) ,
on décrit un demi-cercle AED , & on divise les
deux quarts de cercle AE & ED en 90 degréschacun ; lesquels 90 degrés commencent en E ,<
comme dans la figure. Ensuite on ajuste au centre,
UU régulateur F G, sué tellement qui ! puisse fc
mouvoir librement autour de ce centre : sus cé
régulateur, on fixe une boussole en G, de manière
(sue. se décliriatcur etapt posé centre un plaii per-i
pendiculaire au méridien, 6k la partie G du régulateur
étant en E , la ligne nord & sud de la bous-:
sole soit la continuation de la ligne E F,- ce qui',
donne le méridien magnétique. - '-Maintenant, pòur trouver par le moyen cle cet
instrument Ia déclinaison du plan, on applique au
plan proppsé MN, le côté AD de Tinstrument,
& on fait mouvoir le régulateur F G-autour du
centre F, jusqu’à ce que Taiguille reste sur Ia ligne
du méridien magnétique, du lieu. Ensuite si le régulateur
,.dans cet état, coupe le demi-cercle en E ,
le plan est, ou vers le nord, ou vers le sud : s’il
le coupe entre D tk E , Ic plan décline à Test dé
la quantité de Tangle G FE. '-. •
. Le-même instrument peUt auffi servir pour trou-i
ver si un plan est inclinant ou réclinaut. Pour cela ,
au lieu du régulateur 6k. de Taiguille ,7ií -faudra,
attacher , au centré FT un -fil avec un i plomb.,
(fig. zGs ) : oii appliquera ensuite, for.le:plan’pro2posé
IL, le.çótë 2 ? C du déclinateur AB CD’ ; ot
íi la ligne à plomb FGH, coupe ; le ; demi/cereí'è
AED au. point E , le-plan esl horizontal ; mais si
elle coupe le quart de cercle ET) , en un point quelconque
G , alors FFG fera Tangle d’inclinaison :
- enfin, si lorsqu’on applique le.côté AB 211 plán-,
le fil à plomb passe par le point £.-,. le .plan -serâ.
vertical. Si-Ton compare Tangle d’inclinaison âvec
la hauteur du pôle ou de Téquateur-, on connoîrra
facilement si le plan esl inclinant \ou■ réëlinant*
Voyez CADRAN. (M. n Ror.)  7 -DECLINATOIRE, s. m. ( Géom.prat. ) rínslrumentdont
on se sert pour orienter une planchette
fur laquelle on a tracé la direction.de Taiguille"
aimantée. Voyez LEVÉE DÉS PLAKS. " '■ 'Ç'esl une petite boëte rectangulaire qui Contiens
une aiguille, aimantée,-en.équilibre, for un pivóri
Ce pivot est placé perpendiculairement, au centre
du fond de la boëte, de sorte que lorsqu’elle est
fixée horizontalenient,..ck. que les deux extrémités
de Taiguille répondent à deux points de:division qtú
-marquent les milieux des deux petits côtés opposés:j,
Talignement de chacun des grands est parallèle a
J’aiguille & donne-Ja direction de la méridienne
magnétique. :. . ;7 -Le décl’matoire diffère de la boussole employée à
lever les pláns, ën ce que son aiguille n’est point.
environnée d’un cercle de fnèraTdivisé eíi degrés,
& qu’elle n’indique que les points nord & sud. II a
ordinairement cinq pouces de long , deux & dc-rrii
' de iarge,: 6k. dix-lignes de hauteur. ( M. 'Jozzï',
Ingénieur-Géographe. ) DÉC0MP0S1TT0NDESF0RCES, (Méchan) 
Gn a vu. .à Y article COMPOSITION , que-'deux ou
plusieurs puissances, qui agissent à - la-fois fur un.ss dec deccorps, peuvent être réduites à une feule,.& on
a expliqué de quelle manière se fait cette réduction
: c’est ce qu’on appelle compofitien des forces.
Réciproquement , on peut transformer une puissance
qui agit fur un corps en deux autres ; leurs
directions & leurs~valeurs seront, représentées par
les côtés d’un parallélogramme, dont la diagonale
représentera la direction &: la valeur de la puissance
donnée ; il est visible que" chacune de ces
deux puissances , ou l’une des deux seulement ,
peut se changes de même en deux autres. Cette
division , pour ainsi dire, d’une puissance en plusieurs
autres, s’appelle décomposition. Elle est d’un
usage extrême dans la Statique & dans la Méchajiiqúè
 ;; & M. Varignon ehtr'antres en a fait beaucoup
d’usage pour déterminer les forces des machines,'dans
son projet d’une nouvelle méchanique
,.&■ dans- fa nouvelle méchanique imprimée
depuis fa mort. -'Quand une -puissance A fait équilibre à plusieurs
autres B, C, D, tkc. il faut qu’en décomposant
cette - puissance en plusieurs autres que
j’appélléfai b ,c, d, tkc. tk qui soient dans la direction
de B, de C, tk de -D, les puissances b ,
c.., d , soient égales aux puissances B , C, D , tk
agissent en sens contraire. Voyez MACHINE FUNICULAIRE..
Quand une puissance ne peut exercer
toute fa forceà cause d’un obstacle qui Tarrête enÎjartie, il faut la décomposer en deux autres, dont
une foit entièrement anéantie par Tobstacle, &
. dont l’autre ne soit nullement arrêtée par Tobstacle.
Ainsi, quand un corps pesant est posé sur
un plân incliné, on décompose sa pesanteur en
deux forces, Tune perpendiculaire au plan, que
le plan . détruit entièrement- ; l’autre parallèle au
plan , que le plan n’empêche nullement d’agir.
Quand plusieurs puissances agissent de quelque manière
que ce.puisse être, 6k se nuisent en partie ,
il fautiés décomposer en deux ou plusieurs autres,
dont les unes se détruisent tout-à-fait j & les autres
ne.sc nuisent nullement, C’est-là le grand principe
de ,1a Dynamique^ Voyez ce mot.
: On se sert .auffi des mots décomposition tk décomposer
dans d’autres parties des.Mathématiques, lorsqu’il
esl.question en général de diviser un tout en
plusieurs parties ; par exemple, on décompose un
polygone quelconque en triangles, pour en trouver
la surface ; on décompose une équation en plusieurs
membres, ou en plusieurs équations partielles, afin
de la résoudre ; on décompose un produit dans ses
facteurs, É'c.
. - Au resle, quand on décompose une puissance en
Méchanique, il ne faut pas ' croire que les puissances
composantes ne fassent qu’un tout égal à
la composée $ la somme des puissances composantes
est tpujours plus grande, par la raison que
la somme des côtés d’un parallélogramme est toujours
plus grande que la diagonale." Cependant ces
puissances n’équivalent qu’à la puissance simple ,
que la diagonale représente j parce qu’elles se dé- "truffent eh partie, & sont en partie conspirantes.
Voyez CONSPIRANTES 6' COMPOSITION. ( 0 ) DÉCOURS , f. m. ( Astron. )  On dit que la lune
est en décours pendant le tems que fa lumière décroît
, ou qu’elle passe de Toppoíition à la conjonction,
c’est le tems qui s’écoule entre la pleine
lune 6k la nouvelle lune suivante. Ce mot est oppose
à croissant. Voyez INFLUENCE. .-DÉCRIRE, verbe act. On dit en Géométrie
qu’un point décrit une ligne droite ou courbe par
son mouvement, lorsqu’on suppose que cé point
se meut, & trace à en se mouvant, la ligne droite
ou courbe dont ií s’agit. On dit de même quune
ligne par son mouvement décrit Une surface , qu’une
surface-, décrit: Un solide. Voyez DESCRIPTION ,
GÉNÉRATION. (O)  ' "■.'■'. '. " 'DÉCRIVANT , adj. terme de Géométrie , qui
signifie un point, une ligne ou une surface dont se
mouvement produit une ligne, une surface, un
solide. Ce mot n’est plus guère en usage ; on se
sert 1g plus ordinairement du mot générateur. Voyez
GÉNÉRATEUR ou GÉNÉRATION. ( O) DÉCROCHER, (Hydraul.)  On décroche line
manivelle dans une machine hydraulique , quand
on vent en diminuer le produit, ou qu’on a dessein
de la raccommoder. (K) ' 'DÉCUPLE, adj. fa terme d’Arithmétique.,signifie
la relation ou le rapport qu’il y a entre-une.
chose, 6k une autre qu’elle contient dix fois ,
voyez RAPPORT ; ainsi 20 est décuple dé-'i. II
ne faut pas confondre décuple avec décuplé priine
chose est à une autre 1 en 1 raison décuple, lorsqu’elle,
est dix fois auffi grande ; 6k deux nombres sont en ;
raison décuplée de deux autres nombres, lorsqu’ils
sont comme la racine dixième de ces nombres ;
ainsi 2 est à r , en raison décuplée de 2. 1 ° à I ; car
la racine dixième de 2.,c ; est z- Voyez RACINE.
Voyez auffi DOUBLE &' DOUBLÉE , &c,.( 0) '" DÉCUSSATIQW, f, f. on appelle, eu Opr.
tique, le point de déeuffation , le point ou plusieurs
rayons se croisent, tels que le foyer d ùne
.lentille, d’un miroir, &c. II y a une déeuffation des
rayons au-delà du crystallin, fur la rétine, quand ;
la vision est distincte. -,DEDANS , espèce de jeu de paume, qui diíV
fère d’aVec les autres qu’on appelle quarrés , 'en "cé
que dans le grand mur, du côté de Ia grille, il
y a iin tambour, & qu’au lieu du ..mur du bout
-où il y a le trou 6k Tais, il est garni dans presque
toute fa largeur d’une galerie à jour, qui avance
d’environ trois pies dans le jeu, 6k est couverte
d’un toit semblable à celui qui est à l’autre bour.Cette galerie qui esl à Textrémité se nomme
auffi le dédans ; elle est garnie d’un filet òu réseau
de sicelle , qui ne tient que par le haUt, pour amor-"
tir le coup des balles, 6k empêcher que ceux qui 1
regardent jouer n’en soient.frappés. 7 '' DEFAUT,Def d e f 489DEFAUT, (Hydraul.)  est la différence qui se '
couve entre Ia hauteur où les jets s’élèvent, 6k celle
ou ils dev'roient s’élever. V. JETS.DÉFECTIF, nombres defeBifs, ( Arithm.)  est
la mèmë chose, que nombres déficiens. V. DÉFI"
CIENT. (O) DÉFECTIF , adj. (Géom.) hyperboles défeâives ,
sont des courbes du troisième ordre, ainsi appellées
par M. Neuton, parce que n’ayant qu’une seule asymptote
droite, elles en ont une de moins .que Thyperbole
conique ou appollonienne. Elles sont opposées
aux hyperboles redundantes dii même ordre. V.
HYPERBOLE & REDUNDANT.Nous avons vu à l’article COURBE que aryy -fr
ey-ax' -fr bx* -fr c x -fr d est Téquation de la première
division générale des courbes’, du troisièmeordre. On tire de cette équation y= — ~^-±V[ ax"- -frbx-fr.c -frj^ -fr JL. Yorilestyisible,
v " - x A. x x j1." que x -p, donney=- ~ ; z.° que , si x est infinie,on ay = + l/ax^-^Zx}/a. D’óù Ton voit,
í." qu’au point où x - o, la courbe a une asymptote
qui est Tordonnée même ; 2. 0 que, si a est négatif,la valeur x}/ a est imaginaire, 6k qu’ainsi y =xy a ne désigne alors qu’une asymptote imaginaire,
L’hyperbole, dans ce cas, est défective ,
puisqu’elle n’a "qu’une asymptote réelle. V. auxarticles COURBE & SUITE, &c. pourquoi y=x\f a
désigne une asymptote, quand x est infinie & a positif.
( O ) DÉFÉRENT, (Astr-on.} ; c’étoit,5dans Tancienne
astronomie, un cercle qui portpit f épicycle d’une
planète-, ou la planète elle-même.Pour expliquer les inégalités des planètes,, on
supposoit que leur mouvement propre se faisoit
dans Un cercle qui n’étoit pas concentrique à la
terre ; 6k ce Cercle excentrique étoit appelle déférent,
parce que, passant par le centre de la planète,
ou plutôt de Tépicycle, ilsembloit la porter 6k la
soutenir , pour ainsi dire, dans son orbite. Le
déférent étoit distingué" du cercle, autour duquel
le mouvement de la planète étoit uniforme.On supposoit que ces déférens étoient inclinés
-différemment à Técliptique , mais qu’aucun ne
l’étoit au-delà de huit degrés.On expljqnoàt affez bien, par se moyen de ces
cercles excentriques, pourquoi les planètes paroissoient
tantôt plus éloignées, tantôt plus proches
cle la-terre,Képler a depuis changé ces cercles en ellipses
dont le foleilìkcupe le foyer commun, 6k Neuton
à fáit yoir, par la gravitation universelle, que les
planètes dévoient pn effet décrire des ellipses autour
du soleil.Déférent des noeuds, étoit un cercse ou un orbeMathématiques.-Tome ï,-II.'Partie,qu’on imaginoit dans le ciel pour expliquer la
révolution des noeuds de la lune en 18 ans.DÉFICIENT, adj. ( Arithm. ). Les- nombres
déficiens sont ceux dont les parties aliquotes, ajoutées
ensemble, font une somme moindre que le toux ■■
dont elles font parties.Tel est le nombre 8 ,-dont les parties aliquofes r,
2, 4, prises ensemble, ne font que7. V. ABONDANT.Soit a & un nombre qui est íe produit de deux
nombres premiers a, b, b étant > a. Pour que
a b soit un -nombre déficient, il faut que 1 -fr a■frb <s^ab , c’esl-à-dke que v-^-<[6, Ainsi,parexemple ,2X5 ou 10 est un nombre déficient.Puisque b est supposé >-á, 6k que b tk a so&t
des nombres premier, donc b est au moins"3. Or,quel que soit a, on a ■' _" = -~*_ ~ , c’està-dire,
-i-frl_ .'Donc, 1.° sia = 2,6kqueisoit]> 3 -, a b sera un nombre défectif, z." Sia>2,
a b sera toujours défectif. On peut, à Texemple
de ce théorème, en faire une infinité d’autres pareils
for ces sortes de nombres. V. NOMBRE PARFAIT.
,
■Hyperbole déficiente ou déficiente.' Voyez DÈFECTIF.
(Q-) - 'DÉFINITION, - en Mathématiques , c’est Implication
du sens, "ou de la signification d’un mot,
ou si Ton veut, une énumérationde certains cataractères,
qui suffisent pour distinguer la chose définie
de toute autre chose.- Telle est la définition du mot quarré, quand ori
dit qu’on doit entendre par ce mot," une figure renfermée
par quatre côtés égaux, èk perpendiculaires
_ l’un à l’autre. -On ne sauroit en Mathématiques , s’appliquer
avec trop de soin à" donner dès définitions exacles :
car Tinexactitudé de la définition empêche de bien
saisir la vraie signification des mots ; le lecteur est
. à chaque instant en danger de s’écarter du vrai Tens
des propositions.Les définitions mathématiques ne sont, à Ta ru
oueur, que des définitions de-nom (pour user de
Texpreffion des Logiciens)  ; c’est-à-dire qu’on s’y
borne à expliquer ce qu’on enrend par un mot,
6k qu’on ne prétend pas expliquer par la définition
ía nature de la chose ; ainsi, les Mathématiciens
font plus réservés que bien des philosophes, qui
croyent donner des définitions de chose, entendant
par ce mot Texplication de la nature de la chòse ,
Comme si la nature des choses nous étoit connue, comme
 si même les mots de nature 6k cX essence
présentoient des idées bien nettes.. Çe qu’il y a
de singulier, c’est que les définitions 'des philosophes
, dont nous parlons , 6k celles du géo^
mètre, sont souvent les mêmes, quoique leurs pré'
tentions soient si différentes. Le géomètre dit : un
triangle rectiligne est une ligure renfermée par trois
lignes droites ;ìe philosophe diroit la même chose :
mais le premier explique seulement ce qu’il entend
par triangle ; le second croit en expliquer Ja nature,
quoiqu’il n’ait peut-être une idée bien nette,
ni de 1 espace, ni de Tangle,.ni de la ligne, &c.
Les définitions des Mathématiciens regardées
comme définitions de nom, font absolument arbitraires
, -c’est-à-dire , qu’on peut donner aux objets
des mathématiques, tel nom , 6k aux mots, tel sens
qu’on veut. Cependant il faut , autant qu’il est
possible, se conformer à Tusage de la langue 6k des
íavans : il seroit ridicule, par exemple, de définir
le triangle, une figure ronde , quoiqu’on pût faire,
à la rigueur , des élémens de Géométrie exacts(mais
ridicules) en appellant triangle, ce qu’on
appelle ordinairement cercle. (O) DÉGORGER , v. act. ( Hydraul. )  se dit d’un
tuyau que Ton vuide pour le nettoyer. 11 faut fouvent
faire jouer long-tems un jet, une cascade ,
pour faire sortir les 'ordures 6k Teau sale amassée
ou rougie dans les tuyaux. Voyez JET - D’EAU ,&c(K) DÉGRAVELER UN TUYAU, ( Hy dr. )  c’est
ôter d’un tuyau de fer ou de plomb , servant à
conduire les eaux dans les fontaines, le sédiment
qui s’y forme.DÉGRAVOYER, v. act. & DÉGRAVOYEMENT,
f. m. (Hydr. ) c’est Teffet que produit
Teau courante de déchausser 6k désacoter des pilotis
de leii5Htcrrein, par Un mouvement continuel. On
y peut remédier en faisant une crèche autour du
pilotage. Voyez CRECÌIE. ( K ) DEGRÉ- Ce mot , cn Géométrie , signifie la
360.e partie d’une circonférence de cercle. Voyez
-CERCLE. - '..-•■Toute circonférence de cercle grande 6k petite
esl supposée divisée en 360 parties qu’on appelle
degrés. Le degré se subdivise en 60 parties plus’
petites, qu’on nomme minutes, la minute en 60
autres appellées secondes , la seconde en 60
tierces, &c. d’où il s’enfuit.que les degrés , les’
minutes, les secondes, fi'c. dans un grand, cercle
sont plus grands que dans un petit. Voyez MINUTE
SECONDE , 6v,II y a apparence qu’on a pris 360 pour le
nombre des degrés du cercle, parce que ce nombre,
quoiqu’il ne soit pas fort considérable , a
cependant beaucoup de diviseur, car il est égal
à 2 X 2 X % X 3 X 3 X 5 '> & par conséquent,
al peut se diviser par 2 , par 4 , par 5 , par 6, ;
par g , par 0, par 10-, 6k par beaucoup d’autres
nombres. Voyez DIVISEUR.Les subdivisions des degrés sont des fractions, ~
-dont ks dénominateurs procèdent en raison de 1
à 6c, c’est-à-dire que la minute esl — de degré ,
Ja seconde ^'—, la ûerce^— ; mais"'comme cesdénominateurs sont eínbai raslàns ', on substitue à
leur place des expressions plus simples dans Tusage
ordinaire pour les indiquer.Ainsi , un degré étant T’unjté ou un entier, est
exprimé par d, ía minute ou prime par ', la secondé
par ", la tierce par '" ; c’est pourquoi 3 „
.degrés, 25 minutes , ió tierces , s’écrivent ainsi
3 d 25' 16"'. Stevin, Ougthred, Wallis, ont désiré
que Ton proscrivît cette division sexagésimale
du degré ? pour mettre la décimale à sa place. II
est cerrainque cela abrégeroit les opérations. Car,
' si au lieu de diviser, par exemple, le degré en 60
minutes, on le.divisoit en 100, la minute en ico
secondes. ; &c. on" réduiroit" plus promptement les
fractions de degrés en minutes. Ainsi , pour réduire
ij de degré en minutes, il faudroit simplement
diviser 5100 par 72, au lieu qu’il faut d’abord
multiplier 51 par 60, & diviser ensuite par 72 :
on s’épargnerait donc une multiplication. En gé ;
néral, il seroit à souhaiter que la division décir
maie fût plus ën usage. Voyez DÉCIMAL.La grandeur des angles fe désigne par les degrés ;
ainsi, on dit un angle de 90 degrés ; de 70 degrés ,
50 minutes ; de 25 degrés , 15 minutes, 40 secondes.
Voyez ANGLE. On dit. auffi : Telle étoile
est montée de tant de degrés au-deffus de l’horizon) .
décline de Véquateur de tant de degrés, fie Voyez
HAUTEUR-& DÉCLINAISON.La raison pourquoi on mesure un angle' quelconque
par les degrés ou parties d’un cercle, c’est,
i." que la courbure du cercle est uniforme 6k parfaitement
la même dans toutes ses parties ; en
forte que des angles égaux dont le sommet est au
centre d’un cercle , renferment toujours les arcs
parfaitement égaux de ce cercle ; ce qui n’arriveroit
pas dans une autre courbe, parëxemple, dans
Tellipse dont la courbure n’est pas uniforme :
2." deux angles égaux renferment des arcs de cercle,
d’un même nombre de degrés, quelques rayons différons
que Ton donne à ces cercles. Ainsi , on ii'a
point d’équivoque ni d’erreur à craindre, en désignant
un afigíe par le nombre de degrés qu’il
renferme, c’est-à-dire par le nombre de degrés que
contient un arc de cercle décrit du sommeil de
Tangle comme centre, & d’un rayon quelconque.Le .mot degré s’employe aussi dans TAlgebre,
ën parlant des équations. On .dit qu’une équation '
est du second degré, lorsque Texposant de Ia plus
haute puissance de Tinconnue esl 2 ; du troisième ,
degré, lorsque Texposant est 3 , & ainsi de suite.
Voyez ÉQUATION,EXPOSANT, PUISSANCE,&C.On se sert encore dp, mot degré en parlant des
courbes. On dit qu’une courbe est du second degré,
lorsque la plus haute dimension des deux inconnues
ou d’une feule, est 2 ; du troisième dégré,
lorsque cette plus haute dimension est 3. Voye'z'
COURBE. Au lieu du mot degré, on se sert quelquefois
de celui de genre ; courbe du second genre
esl la même choie que courbe du second degré.-
. DEGRÉ de la terre 3 esl l’espace de vingt-cinq
D E G.,. / DEG. 49 Ï
lieues .qu il faut parcourir dans le Tens du méridien,
pour quëla ligne du zénith ,/0u la ligne verticale
ait changé d’un degré, ainsi que la hauteur
du pôle 6k les hauteurs des astres. C’est par lamesure
d’un degré^quê Ton a cherché de tout tems à
connoítre Tétendue de la terre, aussi-tôt qu’on a
compris qu’elle étoit rOnde,L’obscryation de^la longueur des ombres , de
la hauteur du. pôle, 6k de la hauteur de Téquateur,
ou, si Ton veut, de la hauteur méridienne
du soleil, en différons pays, fut la première chose
qui dut apprendre aux hommes que la terre étoit
ronde. Ce fut d’abord par Tombre des corps terrestres,
que Ton déterminales différences de hauteur
du pôle ; plus on avançoit vers le nord , plus
le soleil paroissoit bas à midi, 6k plus ces ombres
mesurées le niême jour, par exemple, le jour du
solstice, à midi, se troUvoient longues , ce qui
prouvoit que la hauteur du. soleil, au-dessus de
Thorizon, étoit devenue plus petite, 6k que T observateur,'situé
vers le nord, n’étoit pas for le
même plan que Tobservateur situé vers se midi,. puisqu’alors ils auroient eu l’un 6k l’autre des ombres
égales ; on dut en conclure que la terre étoit '
arrondie. ■ -., . , \On vit ehfoite que Tombre de la terre, dans lesx éclipses de lune, paroissoit toujours ronde, & que
les vaisseaux vus de loin, en pleine mer, difparoissoient
par degrés ; on les voyoit descendre 6k
se perdre peu-à^peu, par la courbure de la surface
: telles furent lés marques auxquelles les anciens
philosophes reconnurent la courbure 6k larondeur
de la ferre.Après avoir ainsi reconnu la rondeur de la
terre , on sc. servit du ~ même moyen pour connoítre
sa grandeur ; 6k le changement dés latitudes^
6k des hauteurs , soit du pôle , soit des astres ,
servît à connoítre Tétendue de notre globe, en en
mesurant, une petite partie. Posiaonius , au rapport
de Cleomèdes (lib. I, cap. zG. ) observa, il.Lyva iooo.ans, que Tétoile appellée Canopus , qui
passoit au méridien d’Alexandrie, à la hauteur d’une.quarante-huitième partie du cercle, ou de 7°-íj
ne s’élevoit presque pas k Rhodes , mais quelle
passoit à Thorizon, 6k ne faisoit qu’y paròître^ il
íuivoit de-là que ces deux Villes , ( situées d’ailleurs
fous le même méridien ou.à-peu-près ) , étoient
éloignées de la quarante-huitième partie du ; cercle ; '
d’un autrè côté , leur distance itinéraire en ligne .
' droite, étoit de 3752 stades, suivant Eratoslhène,
cité par Pline, ( V. 31) , 6k par Strabpn, d’où
Ton conclut, par une seule règle de trois, que
les 360 degrés de la terre faisoient 180000 stades,
aussi, Ptolemée , dans Ta Géographie, donne à'la
terre entière"180000 stades ;. si Ton évalue le stade
Égyptien avec M. le Roy,: (ruines des monumens
de la Grèce , page 55 ) , 6k avec M. -Frères, à 114
toises -^, on aura, pour'la, circonférence de la
terre, 8999 lieues,, chacune de 2283 toises , ce
qni s’éloigne, bien peu de la mesure constatée parTAcadémie, qui est ; d’environ 0000 lieues, comme .
on le verra bientôt.' Posidonius, suivant un autre passage de Gléomède,
donnoit -à la terre 240 mille -stades ; Eratofthène,
250, ; d’autres, suivant Cléomèdc, 300 ;
en remontant encore plus haut, on trouve dans
Aristote 400 oc’o stades .: il est vraisemblable que
_Ces stades n’étoient pas les mêmes, 6kM. Bailly,
dans son histoire de Y Astronomie moderne, accorde
ces mesures d’une manière vraisemblable, en- distinguant
les différentes espècesde stades. La mesure
d’Eratosthène. esl la plus célèbre" ; il trouva qu’il
y avoit 5000 stades entre Alexandrie 6k "Syene.,
6k que leur latitude différaient d’un 50." du cercle.
M. Bailly y applique un stade de 85 toises 6k demi,
6k il trouve, pour le degré, 59 442 toises. Si Ton
y appliquoit le stade des Romains, on trouverait
66 000 toises, c’esl-à-dire un huitième de trop.Les Arabes firent auffi une mesure de la terre ;niais
 ne fâchant pas ce que valloit leur mille, on
ne peut savoir fi leur mesure s’accorde avec lesnôtres.C’est à un françois, nommé Fernel, que Ton
dut la première connoiffance, un peu exacte, de
la grandeur de la terre : il rapporte, dans fa coj’moihéorie
, cette mesure qu’il sit.en 1550,, en allant
à un degréau nord de Paris, 6k en comptant les tours
de roue, il trouva 56746 toises.Nonvood , ên 1635 , mesura le degré ëhtre
Londres 6k Yorck 6k fa mesure, de 567 200pieds,
anglois , donne 57 4-24 toises. 1 Cette mesure étoit
à-peu-près auffi exacte que celle de Fernel, 6k le
milieu des deux est fort juste ; cependant Riccioii,
après s’en être occupé fort long-tems , trouva le
degré de 64 363 pas deBologne, que Picard évalue
à 62 900 toises, 6k Caffini, à 62 650 toises.La première mesure qu’on ait faite, avec précision
, pour connoítre la grandeur de la terre, celle
qui a été répétée avec le plus de-soin , est la me- '
sure du degré entre Paris 6k Amiens. Je prendrai
cette mesure j pour exemple, en expliquant la méthode
qui a fait trouver , avec tant de précision,
Ta grandeur 6k la'figure de la terre.L’objet que se proposa Picard, en 1669, fox de
connoítre le nombre de toises qu’il y avoit ën ligne
droite, entre Paris & Amiens y 6k.combien de
minutes & de secondes il y avoit.pour leur différence
de latitude , for la circonférence du méridien
de la terre : ainsi, il y a deux opérations principales
dans ce travail ; mefore-géodéfique en toises,
mesure astronomique en degrés.
i ' A Tégard de la mesure géódésique, iì seroit long
6k difficile de mesurer" toise à toise , d’un bout à
l’autre, un espace de vingt-cinq lieues, quoique
cela Te soit fait en Amérique (-Pkil. tranf. 1.768).
Pic’ird préféra,d’employer la trigonométrie, 6k se/
contenta de mesurer avec soin, au midi de Paris,
un espace de 5-663 toises de long ? for. le chemin
de Villejuive. à Juvify , qui étoit déjà pavé en
.droite ligne , & d’en .conclure tout le reste parole*■- Q q g îj ' ■loi DEC D E G
triangles. Depuis ce temps-là , 011 a élevé à Villejuive"
6k à Juvisy, deux pyramides qui sont exactement
à 5717 toises Tune de l’autre, suivant la
mesure que TAcadémie a fait faire en 1756.On voit dans la figure 119, la disposition des
premiers triangles de Picard ; la dislance de Villejuive
à Juvisy ayant été mesurée, il se transporta
aux deux extrémités de cette base , pour mesurer
les angles d’un triangle dont le sommet étoit le
clocher de Brie-Comte-Robert. Etant placé à Juvisy
avec un quart de-cercle de trois pieds de
rayon , qui portoit deux lunettes, Tune fixe , 6k
l’autre mobile (fig. 181 ) , il dirigea, l’une, for le
moulin de Villejuive, où commençoit fa mesure,
6k l’autre, sur "le clocher dé Brie ; Tangle formé
par les deux lunettes, se trouva de 950 6' 55" ;
il se transporta pareillement à Villejuive, & là ,
pointant une des lunettes fur le pavillon de Juvisy,
qui avoit servi de terme à sa base, 6k l’autre,
sur le clocher de Brie ; il rrouva Tangle de 540
4 35" ; de ces deux angles, avec le côté compris,
il étoit aise de conclure, parle calcul, la dislance
de Villejuive à Brie, 11 012 toises 5 pieds ; pour
vérifier Tobservation, il ne négligea pas de mesurer
encore immédiatement le troisième angle ; il observa
auffi la direction de ces triangles par rapport
à la méridienne, au moyen des amplitudes
du soleil.Le second triangle se terminoit à la sourde
Monthléry ; il fit trouver la dislance de Brie-à
Montlhéry, 13 121 \ ; c’est celle que nous trouvons
actuellement de 13 108 toises , parce que notre
toise est plus longue d’un millième, que celle de
Picard. Ces triangles étant prolongés jusqu’à Amiens,
Ton a trouvé Tare du méridien terrestre, compris
entre la face méridionale de Tobservatoire cle Paris,
ck la flèche de la Cathédrale d’Amiens , 60 390
toises, (mérid. vérifiée , pag. 46 6k 50. ) En observant aveesoin la dislance au zénith, des
mêmes étoiles à Paris 6k Amiens, avec un secteur
semblable à celui que nous décrirons au mot SECTEUR
, figure 200, Ton trouve 1° ï-13" 1 de différence
dans toutes íes hauteurs, entre deux points,
dont la dislance étoit 58233 toises ; il ne reste
donc plus qu’à faire la proportion suivante, i° T
13° 1, est à 58 233 toises, comme 1° o' o", esl à
un quatrième terme, qu’on trouve de 57 074 toises ;
c’est la longueur du degré de Ia terre entre Paris
-& Amiens. En préférant Ia mesure de là base de
Villejuive, faite en 1756, avec la toise qui a servi
à la mesure du degré vers Téquateur, on trouve
57 069 toises, pour ledegré, entre Paris & Amiens,
dont le milieu est par 490 20' de latitude ; telle est
la première mesure exacte qu’on ait eu du degré tk de
la grandeur de la terre. Depuis ce tems, on en a
fait plusieurs autres pour constater son applarissement,
nous en donnerons la table au mot figure de
la terre ; mais en attendant, nous allons placer ici
la table des degrés de la terre, soit en latitude,
fou en longitude , telle qu’on la trouve dansle recueil des tables de Berlin ; elle suppose la terre
elliptique 6k le rapport des diamètres, tel que-Newton
Tavoir donné ; l’on a ôté environ 50 toises du degré
mesuré sous Téquateur, 6k on les a ajoutés au
degré mesuré en France, pour que la table tînt à-peuprès
le milieu entre les observations.Table des degrés de longitude & de latitude, en
toises’, pour toute la terre.,. . " , ' Degrés de lati- Degrés de IonLatitude.
tUfkt ^^Degrés. Toises. Toises.
.0 -' 56700 57196

i. 56701 57*88

2 56702 57J62

3 56703 57"g

4 56705 57058

5 56707 56981
6 56710 s6886

7* 5671 ? —56774

8 56716 56644
c, - 56720 56498
10 ' . 567*5 Í6335
11 - 56730 56-154

12 " 56735 ' 55957

13 56740 55743.

14 56747 ' . 5551* .

15 " 56754 55*64
16 ■ 56760 54999

17 56767 547i8

18 56774 ■' " 544*o
r9 56783 54105

20 56791 . 53774

21 56799 ' 53427 -.

22 56S09 53064

23 56818 52285

24 56828 5**89
~ 25. 55837 5l 878 '

"26 56S47 5-I45I27

- ' 5685,8. 51008

28 56869 - 50540

29 56879 50076

30 1 56851 495.87
"31 • 56903 49083

32 56914 48552

33 56926 - 48031

34 56938 47481
35- ' 56950 - 469*0
36 56962 46342

- 37 . 56975. - 45751

38 - 56988 45H6

39 57ooo 44527

40 57013 - 43894 '

41 '57026 43*48

42 57039 42588
43' 57o^2 41916
44 57064 41230
Table des degrés de longitude & de latitude , en
toises , pour toute la terre.T • , Degrés de lati- Degrés de lon-Latitude. . j , v jíaae. * gitude.P.egrés. Toises. Toises. '
45 57078 40552

46 57091 3982Í
47^ " 57J°4 39099

48 "57IJ7 -38364

49 57ï*9 ■ 3774*
5° 57*43 "" ~- 36859
yi ' 57^5 36070 <'■ .

52 97168 35309

53 571&i 34517 -. .^
\ 54 57J93 ■ 33715x

55 57*o5 5*903

56 57ZI7 3*o 8°

57 - 57**9 31*8* :

58 57*4 ! 30404

59 57*53 *9553

60 57*65. 28692
61- 57*75 *78**.

62 57*85 26943 .- ■

63 57296 26056 -
. 64 573°7 - - 7*5I5I

65 . 573*7 *4*59
66 • 573*7 : *3349

67 ■ -57336- - **43i

68 57346 *-i5°6
69 57354 . - ' . *°575
~ 70 - w573t5r 1963 »

71 ' 5737° 18694

- ' 72 57378 17744

- 73 -57386 ^ igfe

74 5739.3 :5« *9

75 57399 Í4Ô04
. 76 57405 ^894 •77 57411 I29*°78. 57417 -- "94*79 ~ 57421 1095980. 574*5 997 f -
8r - 57430 ..- i>9b6-82 "" ■ 57434- 7994. -' 83 , 57437 . .700084- -57439 60037' ■ 85 5744* . 50°686 - 57443- 4°°^.-87 57445- ' 3°° 6'88 57446 ",. . -*°°589 " -57446 100390 | 57446 I oDÉGUELXEUX, f. m. (Hydr.)  : ce font de grosmasques de pierre ou de plomb dont on- orne les
cascades, 6k qui vomissent Teau dans un bassin.
(K) ,. ' . …DEJECTION, en Astrologie, ou chute d’une
planète, étoit le signe opposé à celui où elle avoit
le plus d’influence.DÉINCLINANT oB-DÉINCLINÉ,adj.(Ga ».m.) '
On appelle quelquefois cadrans déinclinans ou déinclinés
, ceux qui déclinent & inclinent ou reclinent
tout-à-la-fois, c’est-à-dire, qui ne paslènt, ni par
la ligne du zénitri, ni par la commune section du
méridien avec Thorizon, ni par celle du premier
vertical avec Thorizon ; ils sont peu en usage. Voyez..
CADRAN,DELTOTON. Voyez TRIANGLE.D e mDEMANDE, s. f. terme de Mathématique ; c’est
une proposition évidente , parlaquelle l’on affirme
qu’une chose peut ou ne peut pas être faite.
Voyez PROPOSITION.Une proposition déduite immédiatement d’une
définition fimple, si elle exprime quelque chose qui
convient ou ne convient pas à une autre, est appellée
un axiome ; fi elle afiirme qu’une çhóse peut
ou ne peut pas être faite, c’est une demande.Par exemple, il fuit évidemment de la génération
du cercle, que toutes les lignes droites tirées
du centre à la circonférence, sont égales, puisqu’elles
ne représentent quune seule 6k même ligne
dans une situation différente ; c’est pourquoi cette
proposition est regardée comme un axiome. Voye\
AXIOME. -Mais puisqu’il est évident, par la mêmé définition,
qu’un cercle peut être décrit avec un intervalle
quelconque, tk d’un point quelconque, cela
est regardé comme une demande ; c’est pourquoi
les axiomes 6k les demandes semblent avoir à-peuprès
le même rapport l’un à l’autre , que les théorèmes
ont aux problèmes. Voyez THÉORÈME, &c.
Chambers. (E) Les demandes s’appellent auffi hypothèses ou pqftulata,mot latin qui signifie la même chose. Onleur donne for-tout le nom d’hypothèse, lorsqu’ellestombent for des choses qui, à la rigueur, peuventêtre niées, mais qui sont nécessaires pour établir lesdémonslrations.TPar exemple, On suppose en GéO■métrie , que les surfaces sont parfaitement unks ,.Jes lignes- parfaitement droites 6k fans largeur ; enMéchanique , que les leviers sont inflexibles, queles machines font fans frottement 6k parfaitementmobiles ; en Astronomie, que lè soleil esl le centre ; immobile du monde , que les étoiles sont à unedistance infinie-, &c. Il- est - visible par eette énu,méraíion, que les hypothèses influent plus ou moins• for la rigueur des démonstrations. Par exemple,en Géométrie , les inégalités des surfaces 6k desAOA DEM * D E M
lig ;-c ? , n’empêchent pas les démonstrations d’être
sensiblement 6k à très-ppu-près exactes ; mais en
Méchanique , les frortunens., la" masse des machines,
la flexibilité des leviers , la roideur des
cordes , 6-c. altèrent beaucoup les résultats qu’on
' trouve dans la spéculation, & il faut avoir égard
à cette altération dans la pratique.C’est bien pis encore dans les sciences physicomathématiques
 ;' car ses hypothèses que Ton fait
dans celles-ci, conduisent souvent à des conséquences
très-éloignées de ce qui est réellement dans
Ja nature. En Méchanique , les* hypothèses sont
utiles, non-feulement, parce qu’elles simplifientles
démonstrations, mais parce qu’en donnant Ie
résultat purement mathématique, elles fournissent
le moj’ên dejrouver ensuite, par Texpérience, ce
que les qualités" 6k circonstances physiques changent
à ce résultat ; mais dans les sciences physico-mathématiques
, où il est question du calcul appliqué
à la Physique , toute hypothèse qui s’éloigne de la
nature, est souvent une chimère, & toujours une
inutilité. Voyez le Discours préliminaire , & lá préface
de - mon Estai fur la résistance des fluides,
Paris, 1752. (O) -' \ . ." DEMANDER, au jeu de Quadrille , se dit d’un .
joueur qui n’ayant pas -, par son propre jeu, de
quoi faire les six mains qu’il faut avoir pour gagner
, nomme un roi, "qui est de moitié avec lui,
en cas.qu’il gagne, & de moitié de perte, s’il
.perd,DEMARCATION , .( Gc’ogr. ). On appella ligne
■de démarcation le méridien des.Açores,qii'Alexandre
VI, choisi pour arbitre entre le PonugaTck l’Efpagne,
donna pour limites en ^93 , laisswt aux .
espagnols toutes les découvertes faites à Toccident
de ce méridien jusqu’à 180 degrés de-là. Voyez
Riccioli, Geogr. reformata, p. 105. (D.L.) . DEMI-CASE, au-.TriSrac, se dit de celle où jl
 n’y a qu’une dame d’abbatue fur une flèche.DEMI-CERCLE, f. m. en Géométrie ; c’est Ia ,
moitié d’un cercle ou l’espace compris entre le
diamètre d’un cercle 6k la moitié de la circonférence.
Voyez CERCLE. . -Deux demi-cercles ne peuvent pas fi'entre-coupèr
en plus.de deux points : ils peuvent se couper ou
se toucher cn un seul ; mais deux cercles entiers,
dès qu’ils se coupent, se coupent nécessairement’
en deux points. (O) ' ' lDEMI-CERCLE est aussi un instrument d’Arpen--
. tage , que Ton appelle quelquefois graphometre.
Voy. ARPENTAGE S- GRAPHOMETRE.C’est un limbe demi-circulaire , comme FIG
(PI. d’Arpent, fig, 7G.)  divisé en 180 degrés, 6k
quelquefois divisé en minutes diagonalement ou
autrement. Ce limbe a pòur sous-téndante le diamètre
F G, aux extrémités duquel sont élevées
deux pinnules. Au centre du demi-cercle ou du '
-{Jç-mi-diamçtrc, il y a un écrou 6k un style,avecune alidade ou règle niobile, qui porte deux autres
pinnules, commeTí, I. Le tout est monté fur un
bâton 011 support, avec un genou.Le demi-cercle cn cet état n’est pas différent de
Ja moitié du théodolite ou demi-bâton d’arpenteur ;
toute la différence consiste en ce qu’au-lieu que le
limbe du bâton d’arpenteur étant un cercle entier,
donne successivement tous les 360 degrés ; dans ie
demi-cercle les dégrés allant feulement depuis r
jusqu’à 180, pour avoirles autres 180 degrés,
c’est-à-dirè, ceux qui vont depuis 180 jusqu’à 360,
-on les gradue fur une autre ligne du limbe, endedans
de la première ligne.Pour prendre .un angle avec le demi-cercle placez
Tinstrument de manière que le rayon" CG puisse répondre
directement & parallèlement, à un côté de .
Tangle à mesurer , 6k le centre C sur le sommet du
même angle. , 'La première de ces deux .choses se fait en visant
parles pinnules F tk G, qui sont aux'extrémités
du diamètre, à une marque plantée à l’extrémité
d’un côté : 6k la seconde, en laissant tomber un
plomb du centre de Tinstrument. Après cela, tournez
Ia règle ínobile HI for son centre vers l’autre
côté de l’angle, jusqu’à ce que par les pinnules’
qui sont élevées fur cette règle., vous puissiez appercevoir
la marque ; plantée à l’extrémité du côté:
alors le degré que Tadidade coupe for le limbe,
est la quantité de Tangle propose.
' Quant aux autres uíàgesydiî demircercle , ils sont
lès mêmes que ceux du bâton d’arpenteur, ou
théodolite. POJCÏBATON D’ARPENTEUR ,-GRAPHOMETRE,
PLANCHETTE (E). .DEMI-DIAMÈTRÉ, f. f. (Géom.)  c’est une
ligne droite tirée du centre d’un cercle ou d’une ,
sphère, à sa circonférence, ; c’est ce que Ton appelle
autrement un rayon. Voyez DIAMÈTRE , CERCLE,
& RAYON. -DEMI-ORDONNEES 6 s. f. pi. en Géométrie ;
ce. sont les moitiés des ordonnées ou des appliquées.Les demi-ordonnées sont terminées d’un côté à Ia
courbe, 6k de l’autre à Taxe de la courbe, ou à son
diamètre,' ou à quelqu’autre ligne droite. On les
appelle souvent ordonnées toút court. Voyez ORDONNÉES.
(O) DEMI-PARABOLÉ , -eh Géométrie, c’est se
nom.que quelques géomètres donnent én général .
à toutes les courbes définies ou exprimées’ par Té77ï— 1 rnquation a x ' . -y , comme aa7=y" , axly'K
Voyez PARABOLE & COURRE.II me semble que la raison de cette dénomination
est que dans Téquation de ces courbes , les
exposans de x tk de y diffèrent d’une unité comme
dans Téquation ax=y* de la parabole ordinaire :
ce qui a fait imaginer que ces courbes avoient,
par-là , quelque rapport à la parabole. Mais cette •
dénomination est bien vague 6k bien aibitratre ; car
par une raison semblable on pourroit appeller
 ;"■-.'- D E N ' . D E N A9y
âémi-pardboles toutes les courbes , dont 1 équationm n ' m’—n Cest y -a x ^ parce que Téquation de ces courbes
a deux termes comme celle de la parabole
ordinaire. On dira peut-être que les courbesm---i- m ….. ■
ax- =y , ont toujours comme la parabole
ordinaire, deux branches égales’6k semblablement
situées, ou par rapport à Taxe desx, fi m est pair,
ou par rapport à celui des, y , fi m est impair. Maisn m—n m, parla même raison toutes les courbes a- x —y
sefoient des demi-paraboles toutes les fois que .m ou
m-72 seroient pairs. Ainsi , il faut abandonner toutes
ces dénominations, 6k se contenter d’appeller demiparabole
la moitié de la parabole ordinaire ;&'en
général demi-ellipse , demi-hyperbole tk demi-courbe ,
la moitié d’une courbe qui' a deux portions égales
& semblables par rapport à un áxe. Voyez
COURBE. (O) 
DEMON Méridien. Voyez FL-ECHE.
D E N ■'.'
DENDROMETRE,. ( Géométrie-pratique , Méchanique
). Cet instrument ingénjeux & utile ( PI.
trig. fig. f) , par lequel on réduit la science de la
Trigonométrie rectiligne à une simple opération méV
chaniqùe, esl fondé fur la 2, 5,6 & 33e proposition
du VT livre d’Ëuclide. II est construit d’une
telle manière que Ton cpnnoît par la seule Inspection
la hauteur 6k le diamètre -d’un :arbfe 6Vde ses
branches beaucoup plus exactement qu’on ne Ta.
fait jufqu ici , 6k qu’on peut à Taide des tables
jointes au Traité qu’on .en a publié en anglois,
& qu’il seroit-trop long dé donner ici, "savoir la
quantité de bois.que contient un arbre fansfe servir "
de calcul. II fournit à Tacheteur èk au vendeur une
règle sûre 6k certaine pour n’être point trompé dans
une branche de commerce aussi importante que
^'exploitation des bois.Quoique cé soit un grand avantage de pouvoir
mesurer Tes arbres fur pied par un moyen auffi'
fimple que celui que fournit Tinstrument en question
, il a célui. de. ppLivoir être appliqué à des
usages encore plus importans. Par exemple , on
peut s’en servir pour mesurer les hauteurs 6k les
distances accessibles 6k-inaccessibles, situées dans
des plans parallèles ou obliques à celui de Tinstrument
, pour prendre des-angies de telle espèce
qu’ils soient, sans recourir aucalcultrigonométrique,
soi ; qu’ils soient dé niveau avèc la ligne de station,
, plus" haut ou plus bas, accessibles ou inaccessibles,
sor leurs propres plans, ou' fur celui de Thorizon.
II ne peut qu’être utile aux ingénieurs èk aux arpenteurs
dans les "différentes opérations qu’ils font
obligés de faire ; vu que. par le moyen de Taltimètre
, de Tindex d’élévation 6k des autres parties’ :
mobiles de Tinstrument ; on peut déterminer la valeur  ;
des côtés èk des angles droits où obliques avec aíìezd exactitude, fans le secours du calcul 6k des tables
dont on ne peut, se passer lorsqn’on’Te sert d’instru- 1
mens gradués. Les,ingénieurs, fur-tout, peuvent
Temployer pour connoítre la dislance où ils sont
d’une place, 6k pour élever leurs batteries, fans être
obligés d’aller reconnoître le terrein , ou cle s’exposer
au feu de Tennemi. Son utilité dans Tarpentage
consiste' en ce qu’on connoît par son moyen
Télévation ou la chiite perpendiculaire d’un terrein,
Thypothénuse 6k la base sans le secours du calcul :
en un mot , cet instrument a ie double avantage
de faciliter le toisé des arbres, de même que les
opérations du génie 6k de Tarpentage.Renvois pour là figure citée cl-deffus.A. Demi-cercle.
B- Son diamètre.C. Altimètre.D. La corde. , . ■ .E. Le rayon.F. Index d’élévation.G. Petit demi-cercle de Taltimètre.
H. Appuis de Taltimètre. ' .J. Vis qui sert à avanGer 6k à reculer- le rayon.
K. Pièce qui le contient én place. ,X, Lé plomb. - .. .M. Traverse de la pièce coulante.  ;' 'N. L’axe. ,: ,O. Clef de la vis. • -P. Pièce coulante.Ç. Bras mobile.R. Alidade qui porte lè télescope.S. Petits ■ arcs qui servent à donner à Ia partiede la pièce'coulante & à Tindex horizontal’,Ia position, qu’on veut.
T. Petit quart-"de-cercle de Taìidade. ( V)  -'DENEB, terme "arabe qui signifie qu’eue, tk dont
les astronomes se servent dans la dénomination.de
différentes étoiles fixes ; ainsi , deneb elecet 011 denebola
, est Y étoile -9> de la queue du lion ; déneb
. adigege, ou edigege , celle de la queue du cygne ;
denebalgedi,Vétoile, y du capricorne.DÉNOMINATEUR , f. "m. terme d’Arithmétiques
donfôn se sert en parlant des fractions ou nombresroínpus.
Voyez FRACTION.Le dénominateur d’une fraction est le nombre ou .
la.lettre.qui se trouve sous la ligne de la fraction>
& qui marque en. combien de parties Tentier ou
Tunité est supposée dr.isée.Ainsi dans. la fraction fr{ sept douzièmes ,. le
nombre 12 est le dénominateur, tk apprend que Tunité
est divisée en-12 parties égales ; de même dáns"la* fraction |j b est le dénominateur.Le. dénominateur représente toujours TenîieroE' Tunité. Le nombre 7, qui est au-dessus de r2,, estappelle numérateur. Voyez NUMÉRATEUR. . .• On peut regarder- une fraction comme-un nombre-496 D E N v. .- D E N. .
entier, dont Tunité n’est antre chose qu’une partie -
de Tunité primitive, laquelle partie est exprimée
par le dénominateur: Ainsi, dans la fraction y\ de
pié, i pié est Tunité primitive ; ■£• de pié est une
douzième partie de cette unité primitive , qu’on
prend ou qu’on peut prendre ici pour Tunité particulière
, 6k lc numérateur 7 indique que cette unité,
particulière est prise sept fois.Pour réduire deux fractions au même dénominateur
, la règle générale est de multiplier le haut
6k le bas de ìa première par le dénominateur de la
seconde, 6k le haut èk le bas de la seconde par le
dénominateur de la première. Mais, quand les aYnominateurs
ontun diviseur commun, on se contente
de multiplier le haut & le bas de la première fraction
, par le quotient qui vient de la division du
dénominateur de la seconde parle diviseur commun,& de même de l’autre. Ainsi | èk | se réduisent,, • ' , .- _ ad h bcau même dénominateur, en écrivant Yd Td 'mais ff & U s’y réduisent en écrivant j£& ^Voyez FRACTION & DIVISEUR.On dit quelquefois réduire à même dénomination,
au-lieu de réduire au même dénominateur.Le dénominateur d’un rapport est , selon quelquesuns,
le quotient qui résulte de la division de Tantécédent
par le conséquent. Voyez RAPPORT.Ainsi le dénominateur du rapport 30 ' 5 esl 6,
parce que 30 divisé par 5 donne 6. Le dénominateur
s’appelle autrement exposant du rapport. Voy. EXPOSANT.
(O) ' ) 'DENSITÉ, (Astron.) L^ densité des planètesse
trouve d’après la loi djL f attraction , en comparant
le volume ou la grosseur d’une píanère avec
ía masse , ou fa quantité de la matière, indiquée
par la force attractive. Cette découverte des densités,
qui paroít d’abprd bien singulière , êsl cependant
une fuite naturelle de la loi de Tattraction, puilque
la force attractive est un indice certain de la quantité
de matière. Prenons pour terme de comparaison ,
la masse ou la force attractive de la terre, dont les
effets nous sont connus èk familiers, èk cherchons
la masse de Jupiter par rapport à celle de la terre.
Le premier satellite de Jupiter fait fa révolution à
une distance de Jupiter, qui est la même que celle
de la lune à la terre, ( du moins elle n’est que d’un
douzième plus petite. ) Si ce satellite tournoit auffi
autour de Jupiter dans le même espace de tems
que la lune tourne autour de la terre, il s’erifoivroif
évidemment que la force de Jupiter pour retenir
ce satellite dans son orbite, seroit égale à celle
de la terre pour retenir la lune , èk que la quantité
dematièie dans Jupiter, ou ía niasse,seroit Ja même,
que celle de la terre ; dans "ce cas-là:, il fàudroit
que la densité de la terre fût 1281 fois plus grande
que celle de Jupiter ; car la grosseur ou le volume
de Jupiter contient 12S1 sois la grosseur de la.terre ;
or si le poids est "le même, la densitéest d’autantplus grande que le volume est plus petit. Ainsi, Ia
densité de Jupiter seroit 1281 fois moindre que celle
de la terre. Mais fi le satellite tourne'16 fois plus
vîte que la iune, il faut pour le reterúr 256 fois
plus de force, ( 16 fois 16 = 256 ) car la force centrale
est comme le carré de la vitesse ; une .vitesse
double exige èk suppose une force centrale quadruple
à distances égales ; èk Ia vitesse du satellite
16 fois plus grande que celle de la lune, quoique
dans une orbite égale, suppose dans Jupiter une
énergie ou une- masse - zs 6 fois plus grande que
celle de la terre ; d’un autre côté, l’on trouve un volume
1281 fois plus grand que celui de la terre ;
donc le volume de Jupiter , considéré par rapport
à celui de. la terre, est cinq sois plus grand que Ia
quantités de matière réelle èk effective , par rapport
à celle de la terre ; donc la densité de la terre est
cinq fois plus grande que celle de Jupiter. En calculant
plus exactement on trouve un peu moins,
mais tel est Tesprit de la méthode par laquelle
Neuton a calculé les masses èk les densités des planètes
: plus un satellite est.éloigné de sa planète, 6k
plus il tourne rapidemenr, plus aussi il indique de
force èk de matière dans ía planète principale qui
le retient ; on peut y appliquer le calcul rigoureux,
comme je Tai fait dans mon Astronomie.Cette force ou cette masse d’une planète étant
divisée parle volume , exprimé de même , en prenant
pour unité le volume du soleil, donne la densité
de la planète cherchée par rapport à ia denfité
du soleil ; c’est ainsi que Neuton trouva quelarerre
étoit environ quatre fois plus dense que le soleil ,quatre
 fois èk un quart plus dense que "Saturne. .
Neuton, liv, III, prop. 8. Ces densités sont calculées
píus exactement dans lá table qu’on trouvera
au mot PLANÈTE- NOUS pouvons comparer ces~~~
densités avec des objets familiers" : on fait que í'ântimoine
est quatre foi s plus: dense que Teau , èk fix
fois plus dense que le bois de prunier ; ainsi , en
Tupposant que les substances du soleil èk dé"jupiter
aient la'densité de Teau ,1a terre aura celle de
Tantimoine , èk saturne aura la légèreté du bois ; il
me paroít même que ces" substances répondent assez
- bien à ce que j’ai voulu expliquer par leur moyen.
On trouve à-peu-rprès le môme rapport entre l’acier,
Tivoire èk le bois le plus pesant, comme Tébène ;
il suffira de consulter la table des pesanteurs spécifiques
, donnée par Tabbé Nollef, dans ses Leçons,
de Physique , ou celle de Musschenbroèk,Les densités dé venus, de mercure & de mars,,
ne peuvent se trouver par lá méthode précédente,
puilque ces planètes n ont point de satellites, qui
puissent nous indiquer Tintensité de leur attraction ;
mais voyant dans les trois planètes dont les densités
, sont connues, une augmentation de densité quand
011 approche du'soleil, on a regardé comme pn>
babje que cet accroissement avoit lieu égaleriient
"pour les trois autres planètes, Eli essayant dé re-i
connoítre une loi dans .ces augmentations, on voit
que les densités connues sont’.presque proportionnellesD e n è , , d e n 497"uelles aux racines de moyens mouvemens. Par
.exemple, le mouvement de Ia terre est environ
11, 86 , celui de jupitèr étant i ; la racine est 3 £ ;
-la densité de la terre approche en effet de 3 \ sois
celle de Jupiter. On peut donc supposer la même
proportion dans les autres planètes ; c’est ainsi que
j’ai calculé les densités qui font rapportées dans la'
table, excepté celle de venus qui-seroit un peu plus
grande que celle de la terre, mais que j’ai supposé
plus petite d’après son action sur Tobliquité de
Ïéâiptique.-Mém. Àcad. 1780.
'. La masse de la lune, èk., par conséquent, sa
densité, sont difficiles à déterminer exactement ,
parce qu’elles se manifestent par des phénomènes qua
nous rie pouvonsmésurer avec assez d’exactitude ;
jeveux dire les hauteurs des marées, èk la quantité
de la nutation de Taxe de la terré. Si les hauteurs
des-marées dans les syzygies s’étant trouvées de sept pieds,
 ne sont que trois pieds dans"les quadratures,
eri supposant des circonstances -pareilles, c’est-àdire,
fi les grandes marées sont, aux petites comme
3 ì est à if, la somme des forces de la lune 6k
du soleil doit être "à leur différence comme 3 \ est
à .1 i ; ces forces-seront done entr'elles comme 5
â 2 ; car là Tomme de 5 & de z est à la différence
comme 3 r est à.i |- : c’est le rapport auquel s’en
tient Daniel BernouiUi. J’ai trouvé 2 -^ pour la -
force -de la lune , dans mon-Traité du flux & du
reflux de ía mer, p. 158. .Supposons donc la force du-soleil 1 , celle de
la lune 2 ~s\ ppur avoir la masse, de la lune, il suffit
de savoir quelle est sa force , en la supposant à la
^distance du soleil. - -La force diminue en raison inverse du cube de
la distance, quand on Ta décompose sur une direction
diffërente-de la primitive : il faut donc multiplier
lá force actuelle de la lune par le -cube de—,—- ?; qui est le rapport des parallaxes , & Tonaura la masse de la lune, celle du soleil étant prise
•pour unité ; mais la masse de la terre est seulement
TSÏÏTÎ" de celle du soleil fil faut donc encore diviser
la masse trouyée par cette fraction, èk Ton auras-ti, qui est.la masse de la lune, celle de la terre ; ^tant prise poiir unité. . :7
7 La masse de la lune-^, étant divisée par son
volume qui esl^p, ou o,.,02036 donne sa densité
o, 742 ; -ç'est-à-dire, que la densité de la lune
est les trois ; quarts, ouff de celle de la terre.
….' …C’est ; d après ces diverses-méthodes que j’ai calculé
les’densités des planètes, par rapport à la terres, çpmme elles sont dans la table qui est au mot
PLANÈTE , -en fractions décimales. de la densité
■de la terré que nous prenons pour unité. Cette
îable suppose la parallaxe dusoleil dans ses moyennes
distances, de huit secondes èk fix dixièmes, comme
ies observations" du passage de venus, en ' 1769,
me Tons donnée. (D,L.). "',..'.: -DENT. f. f {Méchan. )  On appelle dents d’une■ s’oúe,- des parties saillantes, placées i fa circonféJ$athe'matiaiin.
Tome I, JI.' Paitie,renée., 6k par le meyen desquelles cette roue pousse
les dents d’une autre roue, 6k lui,transmet faction ^
qu’elle a reçue, d’une manière quelconque, de la
force motrice,I. Les roues ainsi garnies de dents, s’appellent
roues dentées. Elles sont d’un grand usage dans les
moulins, èk en général dans toutes les machines
mues parie courant’ d’un fluide , 6k dans celles où"
le principe moteur ne peut pas être appliqué immédiatement
à la place même où-il doit opérer
son effer. …''.II. Ordinairement on -assemble for un même
arbre, 6k dans des plans’ différents , une grande
roue, 6k une petite nommée pignon dont, les dents
ou"ailes, engrènent avec les dents d’une antre
roue. Cela a principalement lieu dans’T’ho'rlògerie.Dans les grandes, machines, on substitue souvent
~"aux pignons ^ des lanternes■ (Pi, Méch. fig. Gf).-) Ç
. qui ne sont autre chose que des cylindres aslèm- '
blés parallèlement entr'eux dans des plateaux M>•
N : alors les dents de la roue engrènent avëc les
fuseaux de la lanterne, comme elles" feroient avec"
les ailes du pignon. Le méchanisme revient absolument
au même dans les deux cás. :III. Les machines qui doivent marcher avec
beaucoup de régularité tk. d’uniformité,. comme"
par exemple les horloges, demandent que les dents"
des roues èk les ailes des pignons ò aient une. 7
certaine figure qui n’est point arbitraire 6k qui peut ;
être déterminée par lés’ loix de la Méchanique èk dela Géométrie. M. de la Hlre a examiné cette matière"
dans son traité des Epicycloïdes ; mais la' théorie
qu’il .donne n’est guères applicable qu’aux ; dents
qui meuvent des .pignons a-lanternes. M-. Camus
a traité le même Tu jet -, d’une manière beáucoúp
plus claire 6k plus complète, dans les Mémoires de
VAcadémie , pour Tannée 1733 , & for-tout à-la
fin du tome IV de son Cours de Mathématiques.
Cet. excellent-morceau est trop long, pour pouvoir
être inséré ici ; èk il n’est guères susceptible d’âbbréviation.
Nous y renvoyons le lecteur. - '/'ÏV- Dans les machines en grand," on né s assujettis
pas à déterminer géométriquement la figure
des dents des roues : on imite ce qui a été. pratiqué, 1
èk-ce quia réussi. D’ailleurs le frottement détruit
bientôt les -inégalités èkles irrégularités qui peu vehtse
trouver dans une dent .- elle achevé de prendre
elle-même la figure qu exige Tengrènage. "'.."' 7Je suppose ici la figuré des dents telle qu’elle. doit être-, èk je vais examiner la manière .dónt.Iaforce se communique dans Téngrénage des roués èk"des pignons ; on appliquera facilement la meméthéorie à Tengrènage des roues èk des lanternes. ' 'V. Soiept (PI. Méch. fig..70)  trois roues.'Aj
B, ' C, tk leúrs pignons corresoondans àsb , c’
Lé pignon ou plutôt le cylindre a, soutient un poids
P ; la roue A , qui a le même arbre'.- quêjui ;^
engrène. ave'ç'lè pignonb ; la roue B,. qurà'même.
: ,aíbre qrte le pignon b, engrène .avec íe pignon^/ïtrr
la roue C, qui a même arbre que ce pignon, est
tirée à la circonférence par la puislance Q , tk tout
le système est en équilibre. Nommons R , R , -« ■ >
ses rayons des roues  ;r, r , r , ceux des pignons ;
E Teffort de la roue A contre le pignon b ; £
Teffort de Ia roue B contre,le pignon c. En regardant
Teffort reçu par chaque pignon, comme un
poids qui lui est appliqué, on aura ces trois proportions
:p : E. ::. R : r,E: E'::R': r%
E". Q:: R°:r" ;lesquelles étant multipliées par ordre, donnentP: Q:: HX-R'X-R'I'X/'X^
D’où il fuir que le poids ? est à la puissance Q,
comme le produit des rayons des roues, est au produit
des rayons des pignons. _ ■
II en seroit de'même , s’il y avoit un plus grand
nombre de roues èk de pignons. 'On voit, par-là , que ces sortes de machines
peuvent donner un très-grand avantage à la puissance
sur le poids, relativement à la force ; mais
cet avantage est acquis aux dépens du tems, lorsque
la machine passe du repos au mouvement. ,VI. On a"souvent besoin , for-tout dans Fhorlogerie
, que les nombres des révolutions des roues
&~des pignons aient entr'eux un certain rapport.
C’est ce qu’on obtient, en donnant aux roues èk
aux pignons les nombres convenables de dents tk
d’ailes.Fintrons dans quelque détail à ce sujet.
- VII. Soient les roues A ,B ,.C,D (fig. 7 z ) ,
clont la première engrène-avec le pignon b fixé à
la seconde ; celle-ci engrène avec le pignon c fixe
à la troisième ; ainsi de suite. Désignons par A, B ,
C, D , les nombres des dents des roues, èk par b,
c, d,.e, les nombres des ailes des pignons. De
plus, nommons N, N , N", N’"., les nombres
-de tours que les quatre roues font dans le même
rems ; ceux des trois pignons b, c ', d, qui ne font
chacun qu’un 'même corps avec chacune des trois
roues B, C, D , feront représentés par N’ , N",
N" ^respectivement ; nous désignerons parIV'vle
nombre de tours du dernier pignon e. Cela pose ,
il esl clair que le nombre des dents de Ia,roue A,
engrenées pendant chaque tour,. étant exprimé par
A , le nombre de ácntj qu’elle engrènera , per>
dantle nombre Ndetours, sera exprimé par A X'N.
De mème, le nombre d’ailes engrenées par le pignon
b , avec la roue A , pendant le nombre N’
de révolutions, sera représenté par í>X -N"'-Or,
pendant le même-tems, il s’engrène autant de dents
dé la roue A que d’ailes du pignon b. Ainsi, on
a Téquation A X N=b X N’. On a, par la même,
raison, les équations BXN’=cXN",CX
N"=4X11"" , D X #".='« X W'\ Ces différentes’équations
donnent les proportions :N: N’ :: b :.A,.,
N’.'.-N" ::-c : B,
N"': N’":: d: c • >.
N"' :&*:: e ; D, ■ *
lesquelles étant multipliées par ordre donnent,..•N-:N,y'.: xx c x d’x « \.A X^XPXD >.:C’esl-à-dire ,'que lé nombre des tours de la première.
roué K, est’ au nombre des tours du dcrnicrpignon’h,.
comme k produit des ailes dés pignons , est au pi-òdùit
des’dents des roues.^ ■■'7.7VI II. Cette proportion donne ; Téquàtiorr
^ = í* 7.x_i_*4. par laquelle on voit queN èk N" étant donnés , rien ne détei mine les
nombres d’ailes èk'de dents que "chaque'pignóii èk ; chaque roue doivent avoir en particulier. ;I1 suffit ;
que le rapport du produit de toutes les ailes, au
produit de toutes les dents, soit le même que celui:, de 2^ à N". Supposons, par exemple, que la roue.A faisant un tour pendant un  ;certain teins-, le". N ■ " '"''pignon e en fasse deux ; c’est-à-dire jt^ ={. On:*r *.=- ^wcs- - JXBXCX » ; = 2 X bX <" X d X e- Donc , ÏÌ Ton donne arbi-7
trairement 6 ailes au premier pignon , 8 au second ,,
10 au troisième, 12 au quatrième, òn aura AX
B X C XD = 2 X 6X 8 X 10X 12 = ri52o,:.
nombre qu’il faudra décomposer enlquatre facteurs
"qui seront les nombres des dents des quatre roues
A , B , C, D. On peut prendre, pour ces quatrefacteurs,
011 les quatre nombres 12", 8 , 10, 12,.
pu les quatre nombres 6, i6-, 5 , 24, ou-, &c. L’arrangement
des roues èk des pignons est indifférent ;.
Si on avoit commencé par se donner Jes nombresdes
dents des roues, on auroit trouvé dune ma-nière
 semblable les nombres des ailes des pignons.- ;IX. Souvent Ie nombre que.Ton a pour le produit
total des dents des roues, ou dès ailes des pignons
, ne peut se décóniposer en facteurs qui:
puissent être le nombre des dents ou des".ailes, des.
roues ou de pignons , en particulier. Alors le pro »
blême n’est pas susceptible d’une solution rigoureuse
 ; mais il faut se contenter d’une solutionapprochée.
■_Supposons, par exemple, qu’on ait (fig-7z) :
les trois roues, A, B, C, èk les trois pignonsb,
c, d ; que la première roue A fasse un tour
en un an, èk, que le dernier pignon d, un tour
en 12 heures. On aura d’abord (VII) l’équation:, , ., N i x c x dgénérale , T777/= -——-——..L’année commune étant de 365 jours 5 heures:
49 minutes, ou de 525949', èk 72 heures valant"
72o' ;:çonsidérant, d’un autre côté,-.que, pendant:
un tour de la roue A ,. le nombre N"" de tours-. d e-n - y -d e n Andu dernier pignon, est le quatrième terme cle
cette proportion, 720 J 525949 ; \ 1 ; N "'=s1***9': il esl clair qu’on aura N’. N"".: 1 I52554 » . . . ' . . . N '~^~ ., 7*o . 525949 » ou bien w„ =- 72° .Donc A X B X'C’X .710 = 6 X c Xd$25949 ■ ' •■ 'v, - ■' J\ST>\,/~ *X cXiX $25.949XS1.5949J ou<A XBXC— — r,… … . J20Comme le nombre de ailes de chaque pignon,
& celui des dents de chaqìie roue, doivent être
des nombres entiers , il faut que le produit b X c
X d, foit un nombre entier, èk que la fractionb Xi X d X 52ÎS’4S ■-'/■• ' n- - yi- en loit auffi un, ou que sonnumérateur soit divisible par son dénominateur. II
faut de" plus que le quotient, provenant de cette
division, foit, décomposable en trois facteurs qui
puissent être les nombres des dents des trois roues.
En faisant bXcX d=jzo, ce nombre est décomposable
en trois facteurs 8,9, 10, qu’on peut
prendre pour b , ft , d ; mais alors on auroit A X
BX C—,lci949> nombre qui n’est pas décomposable
en facteurs qu’on puisse prendre pour A,
B, C. La fnéme difficulté subsiste, en prenant pour
le produit b X c X d un multiple quelconque de
72p. Le problême n’est donc pas soluble à la rigueur ;
mais voici comment on peut Ie résoudre d’une
manière approchée.X. Le numérateurdeìafraction — îllîíl•■■■■■■ … . 720étant très-grand par rapport à son dénominateur,cette
 fraction ne changera pas sensiblement de
■valeur, si, fans toucher à,son dénominateur, Ton
augmente ou Ton diminue son .numérateur d’un
petit nombre d’unités. Prenons donc, à fa place,la fraction ——^ , m étant un- ,' >: … --, 720 .. ■■■ ' •'•- .-- / " ' '.nombre, entier' très -petit , positif pu négatif :'
noùs aurons sensiblement , A X B X C ' — 'h X c X d X $25949+™' 7 . „ „ , v,—:—-——\ . - . ; ou AX&X C=='frX.-c--720 -v,, ; . -, b X cXdX ìw-i-rn ','.XdX7iO-fr. ——- — :—. Or la prerníèfrepârtië ■ est un ; nombre entier ; la seconde,i'k cX dX 34S-T- m’ ~' ,' ; . …,„.--' : ."
~ : — en sera donc aulii Un, queje.-. J720. ,-. : ' - ■ . ,- - ■. ■ '"■'' ■'"'■-' '■''--•':.' r b.xYxdXiw&m I' …nomme : a ; On aura àmii - '.-:■-.■ ■ - - ■ -n ;■ : ' ."■ ,. '. ■ -., . .7.7.2°.. . : … :.-■22 ri'— m .. .du b X "e- X d = 2 n -fr '■'- ■." , dont la- .:■■ 349 ' - '"première pàrtië étant un nombre entier, la seconde
en sera auffi un, que je nomme p. Par-là on aUra ;ît/i- m ■ '■' ' .''.' : , '■ %yP 4 ^nnfflhrp''■ z=p•, ou .« = 15 p -fr r-r.—-—j, noinpre' '349'. '■'.-'■-''■ ' ' '"entier. Soit '"^°^-".à= q , nombre entier. On-—— , nombre entier. Soit —19 . IS= r, nombre entier ; on aura q = 6r -fr' -„nombre entier. Soit == s , nombre "entier ;.3 . ……on aura r ==3 s — m.Maintenant il faut rétrograder, èk par le moyen
de cette dernière équation, déterminer les,valeurs
des lettres r, q, p , h. Or comme Téquation r =
3 Í—m renferme trois indéterminées^ on peut en
prendre deux à volonté, èn observant seulement
qu’elles soient des nombres entiers, èk que m fóít
un petit nombre. Toutes les suppositions qui donneront
pour bXcXdlin nombre décomposable
en trois facteurs qui puissent être ses nombres des
ailes des pignons, èk pour iX^Xsun nombre
décomposable en trois facteurs qui puissent être
les nombres des dents des roues ; tputes ces suppositions
, dis-je, seront admissibles.Soient, par exemple, m==—-i, s-s==o. Onaura
r=z I, g= 6, p ==7, n== 111. Donc b X CX d=z'
229 , nombre qui n’est pas décompofable en facteurs
qu’on puisse prendre pour b,3 c , d. La supposition
proposée n’est donc pas convenable. Plusieurs
autres, comme celles de m==-^2 , Î=I , s=o,
ékc. ne .le sont pas davantage. Mais celle-de m=
— 4 , s=—1, peut être employée. Car alors on
a ? = 1, 5 = 5, p=6, n==ç><j. Donc b X c X
d == 196, nònibre qu’on péut décomposer en
cés trois -facteurs,- 4, 7, 7, qui peuvent être les
nombres des ailes des trois pignons.. Mettons
pour -m ,- 6k b XCX^ > leurs valeurs, dans1 équation A X B X C = — ; Z' elle deviendra'.^ X B X C=P I43I75v nombredécomposable en cès trois facteurs, 25, 69, 83,qui peuvent 'être les .nombres des dents des troisroues. Ainsi, en donnant 4 ailes à un pignon, 7' ailes à -un autre, 7-ailés au troisième ; 25 dents àune roue, 6ç> à une autre, 83 à la troisième , le''. problême sera résolu, & il s’en"" faudra très- peude chose que le dernier pignon faisant un tour en ; 12 heures,-la première^roue ne fasse un tour en ! un- an. ' ' ;' ! '-''f - -'.'_'"".'[.'í "Si ori veut connoítre ço ;inb.ieri il s’en faudra' que la première roue ne fasse Un toUr en un an,'■ cela \eÛ.'àiíe' ; car,'. en nommant ~x' le tems de larévolution’ 'de cette roue, il est ëlair qu’on aJ^1^-^Ì2LLÈ2-," oux ■-= 525948' 41.=*i^^4é--{^ f^s ;- f ' : , '.'' ;' ' XI, II-est à propos "défaire à ce sujet une obser'
vatiòn qui abrégera le calcul en plusieurs cas.
Comme dans Téquation AXB X C’=="..V.VRrrijcoo d e p p e p" -•w
t_x »x^s« iw + " le dénomînateur 7i0est '
720 ^un nombre composé de plusieurs faiseurs qu on
peut prendre ppur un , ou pour deux des trois
nombres b, c, d, le problème peut se simplifier
6k se résoudre comme il fuit. :Soit, par exemple, b =8,. "qui est un facteur
de-720, èk. prenons c = j : la question sera desatisfaire à Téquation A X B XC- ■-.-  ?4 - ■ ,ou A X B X C= —— ; èk on voit qu ilfuílìt de trouver pour Tinconnue d, un. nombre
entier convenable , èk tel que la quantité3Í81643 X. d + m . . .■ soit aussi un nombre enner, décom*.90posable en trois facteurs qu’on puisse prendre pourA*B,.C.Soient i = 8,-c==9- (' ces deux nombres sontdes facteurs de 720)  ; la question sera de satisfaireà "Téquation74 X B X C = îi !£12ÌL£±í, de10manière que d soit un nombre entier convenable,r, i- • , $25949 X d-ir m …& que la quantité —:— ;—:—— foit amu un nombre
entier, décomposable en trois facteurs- qu’en
puisse prendre A ; B , C.Soient b = 6, c=8 (nombres qui sont encore
dès facteurs de72o) L.il s’agira de satisfaire à féquationA X BXC=^s49*sd+m\ toujours fuiTantla condition énoncées . :
, ■ 11 en est de même pour d’autres- suppositions..
Tous ces problêmes se résolvent facilement par la
méthode proposée. (L. B.).DÉPENSE,, s. f. (Hyd.)  Oh appelle dépense
-d’un réservoir ou d’un jet, la quantité d’eau que
ce réservoir ou ce jet. fournit, par un ajutage,.en
lems- donné.. "'■•.'.On verra à f article écoulement-qneles-dépensespar
de petits orifices de même nature sont entr'elles
en général comme les produits des orifices par les
tems & par les. racines quarrées des hauteurs de
lëau "au-dessus des orifices. J’aLdit de même nature ;
parce que la contraction de la. veine fluide diminue
inégalement la dépense par un même orifice,
(toutes choses d’ailleurs égales) , quand le fluide
fort par un orifice percé dans un même parpie-, èk
quand il sort par un tuyau additionnel. Voyez A-D-_BlTIONNEL & CÓNT-RÂCTION.. '''. ;' ; .Si Ton/ veut donc .cpmpârer récbuïemíent par.
un orifice percédans une mince paroiàvecTécouseinent
par un tuyau additionnel, il~ faudra commencer
par diminuer les.forfaces réelles des. déuxorisices,
la première dans le rapport de 8 à 5 ou
de 16 à 10 , èk la seconde dans le rapport-de 16 à"
i3.,Foj..ADDiTioN-KiL..LorsqueIes.deux orifices
font dela_ même espèce, la réduólión .des, orifices.Aont
 je viens. de parler est inutile, parce que les’' orifices réels font entr'eux comme les orifices réduits" ;Je suppose ici que les écoulemens se fassent pardes orifices percés dans de minces parois ; ,6k jeprends pour principe d’expérience, qu’un tel orifice],ayant 12 lignes de diamètre, donnè,.sous une charged’eau de 1-1 pieds 'de hauteur, 8990 ponces cubesd’eau en une minute. De-là nous allons résoudreles quatre questions suivantes qui comprennent toutce qui est relatif à la. dépense des réservoirs ou desjets d’eau par de petits orifices. JSÍpus raisonne'róns for des exemples particuliers, pour plus de ; clarté. , '.'■"■ 7 ;I. QUES-TiOK\I..Oa_/àppo/è qu’un réservoir soit
entretenu constamment plein à la hauteur de 71 piedsG
pouces au-deffus d’un orifice de 7 G- lignes de diamètre
 ; & on demande la dépense, de cet orifice, en
8 minutes ?. . ""Les dépenses faites dans" le même-tems par différents
' orifices, íbùs différentes hauteurs de réservoirs,
étant entr'elles comme les produits de ces’
orifices par les racines quarrées des hauteurs dès
réservoirs, ou comme les produits dès quarrés
des diamètres dés orifices par les racines quarrées"
des hauteurs des réservoirs ; il est clair qu’en appliquant
ici Texpérience que nous venons de rapporter,
on aura la-proportiòn’ 144 X V (I ipiedsj l\
156 X V' (Ti pieds 6 pouces ) | ', 8990 pouces
cubes d’eau '.'un quatrième ternie ; ce.quatrième,
terme 16341 pouces cubes est la dépense que notre ;
orifice de 16 lignes de diamètre fait en une minute.
Multipliant cette quantité par 8 , on/aura 130728"
pouces cubes pour la dépense- qu’il fait en huit’ "
minutes.. … -II. QUESTION". II. Ohsuppose qu’un-réservoir soit
entretenu constamment plein a'la hauteur de ii-pieds*'
G pouces- au-rdeffus d’un, orifice dont la dépense- est’
2.45s 44 pouces cubes-d’eau en G minutes ; & on demande
le diamètre de cet orifice ? WfyPuisque Torifice donne 245544-pouces cub'es^
' d’eau en 6 minutés, il donnera . .40924 pouces ;
cubes en une minute. Done en nommant D son
diamètre exprimé en lignes, nous aurons, par ia'
même règle.que nous venons d’employer, .144 Xr ;
f-/(Ti pieds) '.P'-XVX 11 pieds 6pouces) ."
i'899b ; 40924 ; & , par conséquent, D* = 144lignes quarrées X-—- X — — = 641, 1, lignes.,
. ■ S990 v. v 138 J ' .' B ■'à très-peu-près. Donc £" = 25, 32, lignes ;. le dia-.mètre cherché est donc, prèfqúe de 2 pouces" une':■ ligne. èk ì dedigne… ■-, ,..'- … ''■'.' ; ' : ■-  !;7III. QUESTION. IfL On suppose qu’un réservoir
entretenu-constammentplein-.aTa hauteur de.1Gpiedsy ;
ait donné 45 G7S pouces cubes d’eau par un orifice
de- 7 G. lignes dé. diamètre ,:p.endant. un certain tems:(i on. demandé la durée de cé tems ? '-': ,/Je cherche .d’abord’par la méthode-.de la-quef--tipn ;I" là- dépense que nctre orifice seroit en une 1minute ; 6k. je trouve que cette dépense = .19276.■.pouces’cubes. Ensuite'j’observe qiieTês" depjfnfìï**■'£■ ;£. de s ..<ô* =imites’ par p" même orifice,- fous une même' hauteur
constante de réservoir 1, étant entr'elles comme les
,tems qu’ellesdurent, on aura-la proportion, 1927e ',
45678 1* une minute l au tems cherché qu’on trou- ", yera = 2 minutes 221 secondes à très-peu-près.
-, QUESTION W. On suppose qu’un réservoir donne
40000pouces-cubes d’eau en 4 minutes, par ùn orifice
dç zo lignes de diamètre ; on-demande. la hauteur
de ce réservoir ?^ ~ ;■ . r, , ;•-,..,-'■ Puisque .le résçrvoir proposé-.,,donne 40003
pouces x-ubës. -d’eau en ;;4. minutes,, ! il, donnera
IOCOO pouces cubes en-jUnieminúte. En nommant
A la hauteur cherchée,- exprimée, en pieds, on aura
saproporrioni44X. \/ (upieds) í 100.X \/-h-l-l
85350 ; iooòp. 'Donc A=ispieds’X■ ■4/|lXJ’'°°M
= 28:, 22 pieds.= 2S jjiedsVíi  ; ppiicés’ 8 lignes
environ. (Z.B.) ',. . ! ; .'…-. "V.'..'"' '.. V'-. ;.':. " .." ;
. . DERCIS ,,( Astron ij’aom d’ime.deesle que, l’ori
a quelquefois confondue avec "Vénus.,' &'donr qiiél,ques auteurs ont donnélë nom à íà constellation
fies poissons. (£>.£.)._ ' ." DERNIER , f. m. ternie de jeu [de paume , c’est
îa partie de là galerie qui comprend.Ia'jjremièrè
ouverture à CGirjpter, depuis .le bout du trippt’jusqu’au
second. Quánd òn: pelot-t’e à' la- paume'^"'Je.s
pâlies, qui. entrent "dàris le .^cr/îíérsont.'perd.ues’pqùr.
le joueur qui garde çei côtë^"máís quand on ; joue
partie, elles font une chassé qu’on àppeílë# dernier
à remettre.. .' , -.'.::" ; _¥DESASSEMELER-, y. act. se .dit en’Michalàque
débouteixonstruólion deiois V.c’est en séparer
les différentes parties, íî, fur-tout, elles ne se tienrieíir.
qu’à'chevilles cV: à :mortoisesv:Silá machine-est de "
fer j : de cuivre ,:&' que lès parties en soientúnies-,
• de plusieurs manières différentes, on ditdénionterí,
& non desajsémbler. On démonte une montre ■ ; -on
desassemhle-urr .échafaud, un escalier ;,-. & une char-*
pente quelconque ; i. . :." ;■'■-' i\ - ;.. >-' M
: .DESCENDANT,^adjj.(Méck.) - sé.: dit:propre- ;
mentdece qui tombe, ou qui semeut dë:haut en-bas.fbyq'DESCENTE. - .■:■':■:.''.■.'■':':■'■■ DESCENSION, {.{.fermed !'astronomie: la des
cenfioneûou droite, ou oblique. La descenfion droite
d’une étoile est la distance entre le, point- équinoxial
&-le ;point:dé.Uéquateur, qui descend avec l’étoile
sous.i'horizonilans.lá -sphère, droite, ;' ; ellèest/égálè
àFasceDÍionsidrpité.iIaa-.^í/ç^njío^jobJiqUeseteriúine
au point de. 1 equateur,:.qui ; descend sous l’hpr.izpn ;
eh même-temsfque  ;l ?étóile. dansja.sphèi ;é_pblique.: j
Ainsi les dtscensiens , tant droites qu’obliques '^.ÍQ ;
comptentjdivpremief.pojn.t paries ,_ou^è la.sectd.on j
vernalè.i-suivant-l’ordre des signes^ c’est-à-dire', !
dioccident.éh orients Ìe ;long-de l’équateur,,-Au,reste,.
eemoin’ësl-plus guèreen usage'$non plu.sjquexêlui j
dîáfcension, oblique* "On,ne se sert presque plus que j.
du mot à'ascension droite, le-feuj véritablement :né- !
eeffaire aujourd’hui ou I'GIÌ. se, serties arcs de l’en  ;: quateur pour déterminer la position- des étoiles.Vbye[ DÉCLINAISON. ( O) DESCENSIONEL , adj. (Asiron.) dife'renee
dcscenfionelle, est la différence entre la descenfion
droite & la' descenfion oblique d’une même étoile,
ou d’un mèmepoint_des cieux, &c- Voye[ ASCENSIONEL.
( O)  ., DESCENTE DES PLANÈTES VERS LE SOLEIL>
ÇAflron: ) c’est le rems qu’elles emploieraient à tom}tës
par, une ligne droite , fi la for.cede projection
qui anime-les planètes & leur fait décrire des orbites,
étoit détruite. La- force centrale les précipiteroit
vers le soleilsdansles temsfuivans, calculés en supposant
les, orbites circulaires & les planètes à leurs
moyennes.dislances ; mercure y arriveroit en 15
jours ;& .1-3 lieures ; venus en ^ o j ours 17 heures j
la terre en, 64 jours. 10 heures ; mars en 121. jours ; Jupiter ;
 en 7,6<j>;jours -, fatùrne en 1502 jours ; la
comète de 1^81 ;,la'ipluséloignée.que nous con..noiffionsj-,-suivant.Haíley,
en 37126 jours ;.la lune
toniberoit,fur. Ia. terre" en 4" jours -2o heures ; 'les
satellites-dé jupitertomberoient fur leur planète en
7 heures, 15 ; heures, 30 heures, &7L heures ;^ ,
feux defaturne ;en 8hcures,en.i 2 heures, 19. heures,.
5.5 heures, 33.6 heures ?, respectivement ; une pierre
tomberòit au centre de ;la: terre, í le passage étoit
J.ibre en,2i-'5) " ;r'Whistpn, Astronomie al principles os
religion’-, p.-6 ;6.:La règle qui-sert à-faire ces calculs,.
confiste.à dire5llaracine quarrée du-cube de 2, est à■
i,':çpmine, la demi-durée de la-révolution d’une
planète est au tems de fachûtejusqu’au centre de Fattraction
, ( Frijì de gravitate , p. 100.-) L’opération
ser.oit beaucoup plus simple., si l’on pouvoit supposer
que lés planètés::d’escendissentpárunmou'veftiènt’
uniforme- ; triais il- ëstsévident quëcettechute"
dtìii: être extrêmement accéléréé. Gn:deniande àuslì\
quelquefois le tems qu’il faudróít.à un -boulet de
canon pour arriver'jusqu’au soleil,"ên faisant tpujòúfs ;2C) 0tòiíes
.par seconde ; oh trouve "douze ans
&'dëmi ;.mais-onnéglige racectération. [D.L.) 
'' BEsdENTE -tf/t-CH-UTE , f. f: en terme Méchanïqile
:> 'est,' lé mbuvément-pitlá tendance d’un corps ..
vers lexèritrë-dè-lateirre, soit directement’, soit obliquement ;
 ;,''Ji is '-''■- ' - ■'■_ - -.'•""'  ;
' -" ,Gh:á beaucoup disputé sur lacaùse dé Izdejcèntè '
des xórps pesans: II y alà^deffusdeux' opinions oppòïées
 ;;ïúhë fait. Vèhir certe-'tënclahce 'd’un principe
intérieur',-&liautrel’attribue à unjDríneipe "extérieur ;.
La p'rêtìfièi-e'-déiéës/hypothèTe's est- soutenue par- les
PëHpatétici€ns-,'-leVEpituriens-i ;:&;plufieurs’Nëûtò.--
niens ; la seconde par let. Cartésiens & les Gaflëndifles::
 Léscòfps^pësàhshetê'ndén’t vers-laterre,félonNeu…
fo'n’/què paVce'qttelâ terré a plus de rhassequ’èux ; 8è
cè grand philosophe a fait voir par une démonstration
géométrique, q'uéla'ìune étoit retenue 'dans spti '
orbite'par la même forcé qui fait tomber les corps
pesans, & que la gravitation étoit un phénomène
H'nivëiífel fdela rtarure ; aussi Neuton a^.t-il expliqué ;
par le .moyen’.dexe principe tout ce ; qut concerné
les ; ínonye ;raens. des corps célestes avec beauceugisot des ' desplus de précision & de clarté, qu’on beTavoitfait
avant lui. La feule difficulté qu on puisse faire contre
ion système regarde l’attráctipn mutuelle des corps.
Voy~e[-ATTRACTION ' ; voye\ aussi PESANTEUR*
• L’idée générale par laquelle les -Cartésiens expliquent
le phénomène dont il s’agit (vòy."■ PESANTEUR
, ) paroît au premier coup-d’oeil assez heureuse'.
Mais il n’en est’pas de même quand on
lexamine de plus près ; car, outre les difficultés qu’on
peut íàirecontrë l’existence du-tourbillon qu’ils fupposentáutour
de laterre, on neconçoitpascomment
ce tourbillon ,^iontils fuppoférit,Iesi couchés parallèles
à l’équateur, peut pousser.les’corps’ pesans au
centre de la terre ; il est même -démontré qu’il der
vroit les pousièr.àtousles points dèTaxe: c’est ce qui
à fait imaginer à M. Huygliens únàutre tourbillon
dont les couches se croisent aux pplés^-S font dans
le plan des’différens méridiens. MaisçòmmenHiritél
tourbillon peut-il exister, &'s’il êxistè1,' cqmménth'etì
sentons-nous pas la résistance dans nos moj|>'"emehs’îL’explication des Gassendistes rie paròír-pas plus’
heureuse que celle des Cartésiens. Car fur-quoi est
fondée la formation de leurs rayons ? & comment
ces rayois ri'agisseht-ils point fur les corps-,& ne
leur résistënt-ils point dàris d’autres sens j’que,dans
celui du rayon de la terre ?- .  ! -- ; •' ; J-■ -' ;  !' !Quoiqu’il ënsoit, l’expérienceqúi n’a:pu ëncpre
nous découvrir clairement la çause.dé la pefanreuf,
nous a faitàu-moins connoftrë.: suivant quelle loi ils
se meuvent en descendant. C’est au célèbre Galilée 1
que nous devons cette découverte ; & Voici les loix
qu’il atrouvées. > ' , ■ V ■■ ;"'.Jjoìx de la descente des corps. l.° Dàns un,milieu
fans résistance, les corps pesans descendentáyectin
mouvement uniformément accéléré,c’est-à-dire tel
que le corps reçoit à chaque instant .des accroissemens
égaux de vitesse. Ainsi, o'npeut représenter les
inslans par les parties d’une ligne droite, & les vîtestes
par les ordonnées d’un triangle. Voye^ ACCÉLÉRÉ
& ORDONNÉES. Les petits trapèses dans
lesquels ce triangle est diyisé, ,& dont le premier, ou
le plus élevé est-un triangle, représentent les espaces '
parcourus parle corps durant les íristarìs corrëîpondans,
£t croissent évidemment xomme les.'nombres
1 > 3 ? 5 j 7 j #f • c.ar ^e premier" trapëse contiendra
trois triangles égaux au triangle précédent ou fupér !
-rieur, le second cinq triangles, &c. &,les. sommes,
deces petits trapèíës, à commencer dû "fomniet du i
triangle,- font comme les quarrés .des ternsl -J(pye\
ACCÉLÉRÉ.'. ■..',■- . ;' ,"._ '-f. ','''''■/,'■'. ' ~J:'rDe-là il s’enfuit ;, i.° que: lès espaces parcourus en  !
descendant depuis le commencement..de'la,chute, '■■
font comme les quarrés.des tems ou des vitesses, & ;
que les panies de ces espaces parcourues en.teins
égaur croissentconime'les nombres impairs i„3, 5„7>s>,&c>- ;. .• ' ;■ :.,'. ;-'/ ..':..',.. ;■: 2:" Que les tems & les vitesses font en raison soùsri !
doublée des espaces parcourus en .descendant. .. • - <J,-" QÛe-les’vîtcssfs des corps ^uiitomhenfi'sontpròp'órtìôhhèMés’áux tems qiii.fe font écoulés depwi
le commencement de leur chute. - .-',' •, Voilà les ioix'généralës’dëlachûtédescorpsdans
un espace vide ou hon résistant ; mais’ les corps que
nous observons tombent presque toujours dans des
milieux rëtìstans: ainsi, il n’èstpas inutile de donner
aussi les loix de leur descente dans ce cas-là.' 1 "
- II faut observèr,'i. 0 qu’un corps ne. peut ëlefcendre,
à moins.qu’il ne divise & nesépare le milièúoù,
il descend, & qu ?ií ne peíît faire cette séparation j s’il
n’est plus pesant que ce milieu. Gár commeles corps
ne peuvent’se pénétrer, mittuêllémènr, il fàút nécessairement
, pour- qu’ils se meuvent ,:quë l’un 1 fasse
place à l’autfeì dé plus vqupiqu’un’milieu , par
exemple l’eam ;,-soit diyi/îhle.', cependant si.ee milieu
essd’únepesanteur spécifique plus^rande qu’un.autìe
córp's", cónímë âìi bois, il n est pluspesatit que parce ,
quai contient, dans un même volume, une plus grande
quantité de.parties’de matière, qui tontes ont une
tendance en-bás ;' par conséquent l’éau à fous un
mê'mè Volume plus dé tendance à descendre que le
bois, d’où il s’enfuit qu’elle empêchera le bois de
descendre. ; Voye[ HYDROSTATIQUE & PESAN-TTEÚR 'SPÉCIPIQUE. ' .• ."- .. .. ,'.- !.' ;_ -.'".'.''• ;' ;;ì/".Uff c’órpsí''d’unéi ; 'pesanteur.spécifique plus
grande que le' fluide Pu il ; descend, ydescendayee
tinè ; force ég'aìé â l’ëxcès’de fa pesanteur fur' celle
.'d’unpareil,voímsié de fluide' ; çarçècorps ne.descêhd
qu àvècla-pësa'ntëur qui lui restë, ; ap'rèí qu’une
partie de son’ poids a,étë. employée à détruire & à
surmonter la résistance du fluide. Or cette résistance
. est égale au poids d’un volume de fluide pareil à
celui du xorps. dDdnc le. corps úb dèseèrid qu’avec
Pexcès de fáipefà'nteur surxëlle d’unigalvolume de
fluide."'. :: »;::'..' -:■■:■■■ ;.-■ ':. ;;,. ;;. ;.' ? .. ;., ; ;-:'. : !- !Les corps qui descendent perdent donc d’autant
plus deleur poids:, que le milieu .est plus pesant’ ;
& que les parties de xe milieu ont une force d’adhé- *
rence plus grande ; car un corps qùi descend dans
uni fluide nec descend rqu’eh vertu de'rexcès de son
poids sim le poids d’un pareil volume ;de- fluide\
& '.ode: pjú's: ii l ne'pëut’'descendre': fans :diviserT3es
parties du ! flulideí,-/qui résistent à proportion dé 'leur
adhérence. rt .- • . .'\ •,■•••. I■\' ;3v'Les,pesanteursspécifiquescde deuxcòrps étant
supposées les mêmès, celui qui alemoinscìevolume '
doit tpmberimoins vite dans Je milieu òù il des- cçnd.^car,
 quoique le rapport,de la pesànteufspécii
fiqué'ducorpsàcéllétìu'fluidèsóittoiijours lemême,
quelque soit le^volume-, ;cepehdantiùn !petit corps
à'plus de surface à-proportion de fa hiasse v& plus
ilyia^dé fui-face, pliís auíîìiil y a defrottement & de
résistance. 1 : ■■'{■ ' ': r^ ; :i • - '.-.-.■> i\/'- •-. h> • '•
4. 0 Si lès. pesanteurs spécifiques de: deux corps
font différentes, celui qui a le plus de pesanteur spécifique
tombera plus vîté dans líai^quel’autré.' Une
petite-balle dëploihb, par exemple, tpinbë beaucoup
plus vîtë dans l’aií qu’une plume ; "parée quela halle
dé plomb étant d’unepesantèur spécifique beaucoup
plus grande,.perd moins de son poids dans l’air queE> es des <GÍla plume ; d|ailleurs la plume ayant moins de masse ;
"fous unífnêriíe volume, à-plus de surfaceà propor-''
"tjonqiië.Ià balle de plomb ; & ainsi Pair lui résiste ,
xncoré| davantage. '. "."■'.-' ;Voilà les loix générales de la descente des corps ■' ;
dans des milieux résistans ; mais còriiníela résistance i
des Suides n’est pas encore bien connue, il s’en faut i
beaucoup que la théorie de la chuté des corps dans I
■des, fluides j soit aussi avancée que cellë,de la chute !
•des corps dans.le vide. M, Nèutoh a' tentë,dè détër- I
minérale' mouvement des corps pesans dàns des I
-fluides, & il nous a laissé Ia-déssus beaucoup de propositions
& d’expériences curieuses. Mais nous nous !
appliquerons principalement dans cet article à dé- .
tailler les loix de là chute des corps pesans dans un ,
•milieu non-résistant. … ": , ; ; ;;■„': En supposant que les corps pesans descendent dans ;
un milieu, non-résistant , 'on les suppose auíììlibres
de tout empêchement extérieur, dec<uëlque cause
qu’il vienne : on fait même abstraction "de l’impulfionoblique
que les corps reçoivent en tombant
par la rotation de la terre ; impulsion.qui leur fait parcourir'
 réellement ,une ligne oblique à la surface
delà terré, quoique cettë ligne npús paroisse per- :
pendiculaire , parce que Fimpulsion que le mou- ,
vement de la terre donne au corps pesant .dans le
sens horizontal, nous est commune avec eux. Galilée
qui a le premier découvert, par le raisonnement,
les loix àchdescente des corps pesans, les a confirmées
ensuite par des expériences qui ont été^souvent
répétées depuis, & dont le résultat a toujours été,
que les espaces qu’un corps parcourt en descendants
sont comme les quarrés des 'tems employés à les parcourir.
' ." -I. Grimaldi & Riccioli ont fait des expériences
fur le même sujet ; ils faisoient tomber du sommet
de différentes tours des bpules pesant environ huit
■onces, & mesuroient le tems de leurs chûtes par un
pendule. Voici le résultat de cës expériences dans la
table suivante..Vibrations Tems. Espace par- Espèce perdu
pendule. èburu à la fin courupcnâant
" '" du tems, chaque tems.. . 5 .. • o 50 iòpies. - 10 pies..10 1 40 40 30^ ,15 i .. 30 00' 5020 3 _ ' 20 160 '. 7025 -. 4 10 250 906 1 p 15 1512 . 1" .. O ". 60 ,,45 -, l8 "■'.- -3 : ° Í35■■•. '. ,' ;75- . ''-.24 . '4 -O 240 . .105 ;- - . '. ; U•-■■- ! 1' 1 ' 1 _' 1 '1 1 -mmmmm »»■ 1 wmm^m »-*.Comme les expériences de Riccioli,.faites avec
beaucoup'd’exactitude , s’accordent parfaitement ;
avec la théorie, & ont été eonfirmées depuis par un "
: grand nombre d’auteurs, on ne doit faire aucune
'attention á ce que-Dechales dit de contraire daDS
ion Mund.matli.óù'û prétend avoir trouvé, par des
-expériences,,que les’corps pesans parcourent quatre .
piés{_ ;dans la première fecon’de,î6- ; dans les" deux
premières, 36 en tròis ,-60 en quatre, 90en cinq,
123 en six. '..•••-■'■-.II. Sí un corps pesant descend dans un milieunon-résistant,
Fespace quil décrit durant un teins
'quelconque est fous-double de celui qu’il décriroit
L uniformément avec la vitesse qu’il a acquise à la fin
de sa chute. Ainsi.un corps pesant, parcourant, par
exemple, 15 pies dans une seconde ;. si ; à la fin de
cette seconde il se mouvoir uniformément avec la
vitesse qu’il a acquise, il parcpurroif dans une autre
seconde 30 pies, qui est le double de 15.III. Le teins qu’un corps met à tomber d’une hau- »teur donnée étant connu, si on veut déterminer les ;' espaces qu’il parcourt dàns les différentes parties dece terns, pn nPmmera la hauteur dpnnéëíz ,,le temst, & x Tespace parcouru en une pattie de.tems 1. j6 on aura.i-'*::e .-M . …y--Donc tt x-=.a
■&ix=i.a'.t\Ainsi Tespace décrit dans la première partie de'
tems est al f % dpnc Fespace décrit dans la secondeest
3 a \ ? ; l’espâce décrit dans la troisième est 5 a \Par exemple , dans les expériences de Riccioli
que nous Venons de rapporter, la boule parcoûroit
240 pies en quatre secondes ; ainsi, Fespace décrit
dans la première'seconde étoit 240* 16-= 15 j."
Fespace décrit dans la seconde étoit. 3 -15=45 5
Fespace décrit dans -lá troisième étok 5 . 1-5 =
75 , & Fespace décrit dans la quatrième étoit7 ' 15—105-. '"…■ .- -- IV- Le tems qu’un corps pesant met à parcpuri'r
un certain espace"étànt donné, voici comme on déterminera
le tems qu’il emplpie à parcpnrir dans le:
inême milieu un espace donné : les espaces étant
comme les quarrés des tems, on’cherchera ùriequatrième
proportionnelle à Fespace parcouru pendant:
Ietems donné,au quarré dutems donné,&àPefpace
parcouru pendant le tems inconnu ; le quatrième
ternie fera lë quarré dutems qu’on cherche, & fa ;
racine quarrée donriëfâ,,par conséquent la solution:
du problème. ; ' _ _.- Par exemple, une des boules de Riccioli tomboic
■ 'de 240 pies en quatre secondes ; si òn veut savoir'en combien de tems elle tomboitde 135 piës,.la-rë-<t04. des dít
■ponse sera J/ 155-16 : 240 = ^ *35 * *5 ~
1/9=3. ; ;
V, L’espace qu’un corps parcourt .dans un certain
tems étant donné, si on veutdéterminer l’espace qu’il
.parcourra dans un autre tems donné, on cherchera
une quatrièihé proportionnelle: au quarré du pre.miertems.,
àlespace proposé.,-.& au iquatré.du
second tems ; cette quatrième proportionnelle fera'l’espace qu’on demande. ' .- -' , .• í ' _Par exemple, une des boules de Riccioli tomboit' de 60 pies en deuxfecondes, on demande de'com•biende pies elle seroit tombée en quatre secondes ;
la réponse est 16. 60 ; 4=4 ■ 60= 240.■Sur les loix de la descente d’un .corps le long d’un .'plan incliné. >Foyí:j’PLAN INCLINÉ.L. Sur les loix de la descente d’un corps dans une cy-cloïde.
Voyei CYCLoinEë' PENDULE. "'- '~ Ligne de la plus vite descente, est une ligne par laquelle
un corps qui tombe en vertu de fa pesanteur• arrive d’un point donné à un autre point donné en
moins de tems que s’il tomboit par toute autre ligne
passant par les mêmes points. 11 y a Iong-te'ms que
l’on adémontréque cette courbe étoit une çyclóïdè...Voyez BAXHISTOCRONE. (0)  _.-'".DESCENTE , (Hydraul. ) est un tuyau de plomb
qui descend les eaux d’un chesneau qui les reçoit
d’un bâtiment. C’est aussi un-tuyau qui descend les
.eaux d’un réservoir. (K) _ DESCRIPTION , terme de Géométrie , est section
de tracer une ligne , une surface, &c. Décrire
un cercle, une ellipse, une parabole, &c c’est construire
ou-tracer ces-figures.On décrit les courbes en Géométrie de deux manières
, 011 par un mouvement continu , ou par pluíìeurs
points. On les. décrit par un mouvement continu
lorsqu’un point qu’on fait mouvoir suivant une
certaine loi, trace de suite & immédiatement tous '
les points de la courbe, C’est ainsi qu’on trace un
cercle par lemoyen de la pointedtm cojnpas ; c’est
presque la feulé courbe qu’on trace commodément
par un mouvement continu : ce n’est pas que nous
« 'ayons des méthodes pour en tracer beaucoup
d’autres par un mouvement continu ; par exemple,
les sections coniques : M. Macjaurin nous a même
donné un savant .ouvrage intitulé, Geometrica organica
, dans lequel il donne des moyens fort -ingénieux
de tracer ,ainsi plusieurs courbps. Voyei-m un
léger essai à Varticle COPRBE. Mais toutes pes méthodesfont
plus curieuses qu’utiles.&. commodes. La
description.par plusieurs points est plus simple, &
revient au méme dans la pratique. On trouve, par
des opérations géométriques, difterens points de hi
courbe a.siez près les uns.des autres ; on jqint’ces
points par de petites lignes droites a vue d’oeil, &
i aflemblp.ge de ces petites lignes forme sensiblement
& íuftíammerit p.0ur la pratique, la courbe que l’on
feut tracer. (Q)  ' ' ' • ' '"■DETERMINE, ( Géométrie )  On dit qu’un prò'blême
est déterminé , quand il n’a qu’une feule solution’,
ou "au-moîns qu’un certain nombre de
solutions ; par.opposition au problême.indéterminé
qui a une infinité de solutions. Foye{ INDÉTER.-■MINÉ. . " -'•' ' : ' ,'■'.'…:■' • -.• Ainsi le problême qui fuit : Sur une ligne donnée
décrire un triangle isocèle , dont les angles à la base
soient doubles de V angle au sommet, est un problème
■déterminé j parce qu’il n’a évidemment qu’une seule
-folution.Mais-en voici un qui en a deux: Trouver
untriangle dont on connokdeux côtés, & l’angle oppose
au plus petit côté ; car ayant tracé la ligne fur laífuëlsedoit-être
la base de ce triangle, & mené une
ligne qui fasse avec celle-là un angle égal à Fangle
donné, & qui soit égale auplus’grandxôté donné, il
est visible que, de Fèxtrémité supérieure de cette
dernière ligne comme centré, & du plus petit Côte
comme rayon, on peut décrire un arc de cercle qui
coupera en dëùx points la ligne de la base ; &ces deuxpoints
donneront les deux triangles cherchés. II n’y
a qu’un cas où le problême n’ait qu’une solution, c’est
celui òù le petit côté seroit perpendiculaire à 1 a base ;
car alors le cercle décrit -touchera la base fans -la
couper. -.■■■■■'•'■ ' : ■Ùh problème peut être déterminé, même lorsque
la solution est impossible : par exemple, si dans le
problème précédent le petit côté donné étoit tel que
le cercle décrit ne pût atteindre la base, le problême
seroit impossible, mais toujours déterminé ; car c’est
résoudre un problème, que de montrer qu’il ne se
pëut résoudre.En général, un problême est déterminé, lorsqu’on
arrive., en le résolvant, à une équation qui ne contient
qu’une inconnue ; on regarde aussi un problème
comme déterminé , lorsqu’on a autant d’équations
que d’inconnues, parce qu’on peut faire
disparoírre toutes ces inconnues l’une après l’autre.j
jusqu’à ce qu’on arrive aune équation qui n’ait
plus, ou'une. feule inconnue. Voye[ 'ELIMINA
T 10 K & EQUATION. Mais cette règle
n’est pas toujours fans exception ; car, i.°ilfaut
que les différentes équations que l’on a ne puissent
pas revenir à la même. Par exemple , si on avoit- x rf- 5y=a , & 2a:-f- io.y = 2 a, il femblequ’on
a ici deux inconnues &deux équations ; & cependant
le problênieseroit indéterminé, parce que Féquation
2 a:-f- ioy==xa n’est autre chose que la preinière,"dont tous les termes pní été multipliés par 2'. Dans
ces fortes de cas, lorsqu’on a fait évanouir une des
inconnues, par exemple x, 011 trouve 0=0 , ce qui
ne fait rien xonnoître , ou y=f, ce qui marque
que le problême est indéterminé ; car f exprime en
général une quantité indéterminée',' puisque f peut
être égal á un nombre quelconque p fini, ou infini ;,
ou zéro ;'en effet le dividende 0 ests==àu diviseur 0
multiplié par p. z." Si en dégageant les inconnues, .
pn tombe dans des absurdités, cela prouve que lejsrpblêmeDe v d e V:' ' íovproblême est impossible. Par exemple, soit x -J- 5y
= 1 & 2a:-f-.ioy= — 2, on trouvera 4=0, ce.
qui est absurde. 3. 0 Si on trouve, pour l’expreflìon
. d’une ou de plusieurs des inconnues, des fractionsdont
le numérateur ne soit pas zéro, & dont le dénominateur
soit zéro, ces valeurs font infinies, & le
problême est en quelque manière déterminé &L indéterminé
tout-à-la-fois. Par exemple 5 si on avoit
í~ 37 — 2y & ''5=6'ï—4y,onauroit ^=ì&y
=|. Je .dis qu’en ces occasions le problême est indéterminé
& déterminé: le premier,- parce que la valeur
infinie des inconnues est. indéterminée en ellemême
 ; lë second , parce qu’il est prouvé qu’aucune
valeur finie ne peut les représenter. 4.° Enfin il y a
des problêmes qui paraissent indéterminés, & qui
ne le. font pas. Par exemple , si j’avois 100 liv. à
partager entre cent personnes,, hommes, femmes,~
&cnfans, en donnant2liv. aux hommes, I liv. aux
femmes ,-& io sous aux enfans, on demande combien
il"y a d’homines, de femmes, & d’enfans. Soit
* le nombre des Jiommes, y celui des femmes, z
celui des eníàns ,.on aura x -f: y+i = 100, & 2 x -j*-|--=ìoo. Le problêmeparoit indéterminé, parce'que l’on íi trois inconnues & deux équations feulement ;
mais il est déterminé, parce que x,y,z>.
doivent être des nombres’polîtifs & des nombres entiers
 ; car il ne peut y avoir des fraólions d’hommes,,
&c. ni des nombres iiégatifs d’hommes, frc/Oii auradonc r..° 2 x -j-- — x -r-1 r=z.o , ce qui donne x —■■ - *:=£> , ou ^=2a: : 2.° 3 x,-\-y==. ìoo ; donc y —
ìoo—-3 x : donc 3.-= 1, ou 2., ou 3 , jusqu’à 33 ':
car x = 34 rendoity négative. Ainsi le problême a
trente-trois solutions ; & on a pour chaque valeur
de x , z = zx &-y = 100—3 x. Voyez PROBLÈME ;
( O) DETURBATRICE , force'déturbatrice^ est celle
quiest perpendiculaire au plan,de l.'orbite de la
planète troublée." La Caille, Leçons d’Aflron. art.
8Si.."DEUCALION, (Astron.)  nom que l’on donne
quelquefois à la constellation du vçrseau. (£>." !■.) DÉVELOPPANTE, f. f. en Géométrie, est un
terme dont quelques auteurs se fervent ppur exprimer
une courbe résultante du développement d’une '
autre courbe , par opposition.à développée , qui est
. la courbe qúi doit être développée, y oyez DÉVE- ...LOPPÉE..Le cercle oscillateur touche & coupe toujoursla
développante en même-tenis, parce que ce. cercle a "
- deux de ses côtés infiniment petits communs avec
la développante , ou pìlutòt qui sont placés exactement
fur deux de ses côtés égaux.
^ Pour faire comprendre cette disposition, imaginons
un polygone ou une portion de polygone
AB C DE-, (pi Géom. fig. ÍS. ) '.& une autre
portion de polygone G B CD F, qui ait deux côtés
communs S C’^fiD > avec le premier polygone yMathématiques. Tome I, II," Partit,& qui soit tellement situé, que-la partie ouïe côté
B G soit au-dessous ou en-dedans du côté B A , &
la partie ou côté D F au-dessus ou en-dehors du
côté D E. Supposons ensuite que chacun de ces
, polygones^ devienne d’une infinité de côtés, le premier
poligone représentera la développante, &,le ;
second-, lecercle oscillateur,qui la touchera au point
C, & qui la coupera en même-tems.II n’y a qu’un seul cercle osculateur à chaque point
de la développante ; mais, au même point, il peut y
avoir une infinité d’autres cercles, qui ne feroientr
que toucher la courbe fans l’einbrasier ou la baiser.
Le cercle osculateur & la développante ne font point
d’angle dans l’endroit de leur rencontre ; & òn ne
peut tracer aucune courbe entre la développante
& ce cercle , ; comme on lë peut entre une tangente
& une courbe, Voyez CONTINGENCE.
(O). ,DÉVELOPPÉES , f. f. pi. dans la Géométrie
transcendante , est un genre de courbes que M. Huyghens
a inventées, & fur lesquelles les mathématiciens
modernes ont beaucoup travaillé depuis".
' La développée est une combe que l’on donne à •
développer, & qui en se développant décrit une
autre courbe. Voyez COURBE, ~ .- .Pour concevoir son origine & fa formation, supposez
un fil flexible exactement couché sur une
courbe,comme AB CG (Fl. de Géom.fig. 5.9.) j &
supposez le fil fixé en G, & par-tout ailleurs én
liberté comme en A. Si vous faites mouvoir l’ëxtré »
và\té. A , dû fil de A vers F, en le développant s
&, ayânt soin que la. p'artie développée HD touche
toujours en son extrémité D la courbe AH G ;
quand le fil sera devenu' tout-à-fait droit, & qu’il
ne fera plus qu’une tangente F G au pbint G.-de
la courbe, il est évident que l’extrémitéyí dans son
mouvement de A en Faura décrit une ligne courbe
JDEF. 'La première courbe AB CG estappellée la développée
, chacune de ses tangentes B D , CE , &c.
comprises enrr'elles & la courbe A D E F ,eû appelléé
rayon.de la développée ou rayon osculateur de
la courbe AD EFdans lés points respectifs D, E ,
&x ; & les cercles dont les rayons oscillateurs B D ,
CE, sont rayons, sont appelles cercles oscuìateurs
■ de la courbe AD E F, en D , E ,-&c. & enfin la,
nouvelle courbe résultante du développement de
la première courbe commencé en A, est appellée
la courbe développante ou courbe déente par déyt±
loppement. .. -Le rayon, de la 
courbe est composée d’un nombre infini de pareils
développée est donc la partie du
fil comprise entre le point de la développée qu’il
touche , .&. le point correspondant où il se termine
à l’autre courbe. Le nom de rayon est celui qui
lui convient le mieux, parce qu’on considère cette
partie du fil à'chaque pas qu’il fait, comme si elle
décrivoit .un arc de cercle infiniment petit, qui fait
une partie de la nouvelle courbe ; en sorte que cetteSss
cotf ' D E V ^" • D E V
arcs, tous décrits de centres différens & de rayons
aussi dissërcn ?.La raison pour laquelle 1c cercle qui seroit décrit
des centres C, B, &c, avec les rayons CE, B D,
est appelle cercle oscillateur ou baisant, c’est qu’il
touche & coupe la courbe en même tems, c’està-dire,
qu’il la touche en-dedans & en-dehors.Foy q ;OsCULATEUR,DÉVELQPPANTE,& CoURÎURE.
■Donc, i.° la développée B C F (fig.' Go ) est le
lieu de tous les centres des cercles qui baisent la
courbe développante AM( Voyez LIEU.) 2.° Puisque
l’élément de Farc Mm, dans la courbe décrite
par développement, est un arc d’un cercle décrit
par lc rayon CM, le ra3'on de la développée CM
est perpendiculaire à,la courbe A M. 3.° Puisque
le rayon de la développée MCeû toujours une
tangente de la développée B CF} les courbes dé- .
reloppantes peuvent être décrites par plusieurs
points, les tangentes de la développée à ses différens
points étant prolongées, jusqu’à ce qu’elles
soient devenues égales à leurs arcs correspondans.Toute couibe peut être conçue comme formée
par le développement d’une autre ; & on peut proposer
de trouver la courbe du développement de
laquelleune autrè est formée. Ce problême se réduit
à trouver le rayon de la développée dans tous
les points de la développante ; car la longueur du
•rayon étantune fois trouvée, l’extrémitë de ce rayon
fera un point de développée. Ainsi on aura tant de .
points qu’on voudra de la développée, qui, ,en effet,
n’est autre chose que la fuite des côtés infiniment
petits que forment, par leur concours, les rayons
de développée infiniment proches. Voyez les articles
COURBE & TANGENTE.,.Trouver les rayons des développées , est un problême
de grande importance dans la haute Géomé-. ,
trie, & quelquefois mis en usage dans la pratique,
comme M. Huyghens Pa fait en Rappliquant au pendule ;
fur quoi voyez CYCLOÏDE.Pour trouver le rayon de la développée dans les ':
différentes espèces-de courbes, voy é ^Woif, Elem.
math.tom. I, p. 524, les Infin.petits de M.lemzrcmis
de l’Hôpîtal, & Y Analyse démontrée. 'Puisque le rayon de la développée est égal à un
arc de la développée, ouest plus, grand de quelque
quantité donnée,, tous les arcs des développées^peuvent
être rectifiés géométriquement, pourvu que les
rayonspnistënt être exprimés par des équations géométriques.
La théorie des rayons des développées
a été approfondie par M. Leibnitz, qui le premier
 ?.saitconnoítrel’usage des développées pour, mesurer
les courbes.M. Varignon a appliqué la théorie-des rayons
des développées à celle des forces centrales ; de sorte
qu’ayant le/ayon de la développée d’une courbe,
on peut trouver la valeur de la force centrale d’un
corps, qui étant mu fur certe courbe, se trouve au
même point où le rayon se termine ; ou réciproquejnentia
force centralc’étant donnée, on peut déterminerle rayon de la développée. Voyez P Histoire de
l’académie royale des sciences, ann. i-joG. Voyez aujfi
CENTRAL & COURBE.Le même M. Varignon a donné dans les Mém. de
l’acad. de zyzz & de 1713, une "théorie générale
des développées &-de leurs propriétés. Cette théorie
est"un des ouvrages des plus étendus que l’on ait fur
la matière dont il-s’agit.DÉVELOPPÉE, IMPARFAITE. M. de Réaumiir
appelle ainsi une nouvelle forte de développée. Les
mathématiciens n’avoient considéré comme rayons
de développée, que les perpendiculaires qu’on élève
fus une courbe du côté cpncavë de cette courbe : si
d’autres lignes non’ perpendiculaires étoient tirées
deé mêmes points, pourvu qu’elles sussent tirées
sous le même angle, 1 effet seroit le même, c’està-dire
, les lignes obliques se couperaient toutes
en-dedans de la courbe, & par leurs intersections
formeraient les côtés infiniment petits d’une nouvelle
courbe , dont elles scroient autant de tangente.
' _Cette courbe .seroit une espèce de développée ', &
auroit ses rayons ; mais ce ne seroit qu’une développée
imparfaite, puisque les rayons ne sont pas perpendiculaires
à la première courbe. Hisi. de l’acad.
.&.C. an. iios. ■ "Pour s’instruire à fond de la théorie des développées
, il est bon de lire un mémoire de M. de Maupërtuis,
imprimé parmi ceux de l’acad. de Tannée
 ; 1728 , & qui a pour titre :sur toutes les développées
qu’une courbe peut avoir à Vinfini. M. de Maupertuis
considère dàns ce mémoire, non-seulement les développées
ordinaires , mais-les développées dit ces
mêmes développées , & ainsi de fuite. (O) 
t DÉVELOPPEMENT., f. m. en Géométrie , est
Faction par laquelle on développe.une courbe, &
on lui fait décrire une développante. Voyez DÉVELQPP'ANTE.Sur le développement des courbes à double courbure
& de_s surfaces courbes, voyez' SURFACE.
, DÉVELOPPEMENT se dit aussi dans la Géométrie
élémentaire , d’une figure de carton ou de papier
dont les différentes parties étant pliées & rejointes >
composent la surface du solide. Ainsi (planches
Géom.fig. Gi ) , AEDFCBA est le développement
de la pyramide DA CB f ( fig. Gx )  ; car, si l’on
joint ensemble les quatre triangles AFD ,ACD,
ACB, D CF, ensorte que les triangles ADÊ ,
ACB ', se réunissent par leurs côtés AB , AE 3
& que le triangle D CF servant de base à la pyramyde
se réunisse aux triangles A D E, ACB ,
parles côtés D F, CF, l’assemblage dexes quatre
triangles formera la surface dune pyramide ; de ' *
sorte que ces triangles tracés comnie ils le sont ici
fur une surface plane, peuvent être regardés comme
le développement de la surface de ìa pyramide »
Voyez aujfi CUBE , &c.^ Enfin on appelle, dans Fanalyse développement’
d’une quantité algébrique en férie , la formation
d’une férie qui représente cette- quantité.:On développe en série les fractions ou les quan- '
« tés radicales ; on peut développer une fraction '
par la simple division, ,& une quantité radicale par
f extraction de la racine. Voyez EXTRACTIONSDIVISION.
Mais l’une & l’autre opération se fait
plus commodément par le moyen du bynome
élevé à une puissance quelconque. Ainsi, je supposemqu’on élève a 4- x à la- puissance m, on aura a+ m — ï ni-m—i m — z.. . rn.7H-i.m-zma x -i a x 4- • :—1 ^ 2-3m—3.a x*, &.c. V. BINOME. •Supposons à présent qu’on veuille réduire ensérie ou suite la fraction —|— ; j’écris au lieu dea -\- x ' '
, _ic’ette fraction a -f- x , qui lui est égal ( voyez
EXPOSANT)  ; &, substituant dans la formule précédente
— 1 pour m, vj’ai le développement de—,— en fuite. De mêmè, fi je Ì oulois développer[/ a-\-x ensuite, j’écrirois (a-j-.r) 2 ensuite, jesubstituerais ~ pour m dans la formule ; & ainsi
des autres. Vòye\ SÉRJE. (O) DEVERSOIR ou RÉVERSOIR, f. m. (Hydrod.) 
On appelle ainsi des digues construites ordinairement
en maçonnerie, & destinées à faire gonfler
l’eau d’une rivière, ou d’uncpurant quelconque ,
au-dessus d’un- moulin, ou d’un sas d’écluse. Ces
digues barrent entièrement les rivières, jusqu’à ce"
que l’eau. ait acquis assez de hauteur pour passer
par-dessus. Voyez'V article DIGUE , & Fouvrage qui
a pour titre : Recherches sur la construction la plus
- avantageuse des digues , ppr MM. Bostut & VialletmDÉVOYER, v. act. (Hyd. )  : c’est détourner un
tuyau, tme conduite d’eau, de fa' direction , soit
pour amener les eaux en quelque endroit placé
hors de cette direction, soit pour faciliter le mouvement
de quelque pièce d’une machine. Ainsi ,
par exemple, dans la pompe foulante, on est
obligé àe'dévoyeríe. tuyau montant, pour qu’il ne
gêne pas le mouvement des tringles, qui font monter
& descendre alternativement le piston dans le
corps de pompe.DÉVIATION, -_( Asiron, ) Voyez NUTATION.DÉVIATION , se dit aussi de la quantité dont un
quart de cercle mural, ou une lunette méridienne,
s’écartent du véritable plan du méridien. On "observe
cette déviation, én comparant le passage du
soleil, observé à la lunette, avec celui qu’on"détermine
par la méthode des hauteurs correspondantes.
Si l’on a trouvé, par cette méthode, que
le soleil devoit passer à la lunette méridienne à
midi 3' 10" de la pendule , & qu’on ait observé le
passage à midi 3' 6", on est assuré que la déviation
du nuirai est de 4" vers Forient, puisque le soleil
y a passé 4" plutôt qu’il n’a passé au véritable méridien.
- -DÉVIATION, ( dans i'ancienne Astronomie) , étoit
le changement du déférent de Fépicyele, par rapport
au plan de l’écliptique, imaginé pour expliquer
les changemens de laiitude des planètes inférieures.
(D.L.)  -DEUX, f. m. terme qui marque la collection
de deux unités ; c’est le premier des nombres pairs,
& le second des caractères de l’Arithmélique : il
se figure ainsi 2. Voyez BINAIRE. ; dia. DIACAUSTIQUE, f. f. (Optique & Géomet. ) 
est le -nom qu’on donne aux caustiques par réfraction
, pour les distinguer des caustiques par réflexion
, qu’on nomme catacaustique. Ces. mots font
formés fur le modèle des mofs.de catoptrique & de
dioptrique , dont l’une , est la théorie de la lumière
réfléchie, & l’autre, la théorie de la lumière rompue
ou réfractée. Voyez CAUSTIQUE.Représentez-vous Cm nombre infini de ravons.
tel s que B A, B M, B D, &c. ( Fl. Géom. fig. G$.j
qui partent du même point lumineux B , pour
être réfractés par la surface pu ligne courbe A MD r
_en s’é !oignant ou. s’approchant de la perpendiculaire
MC ; de manière que les sinus CE , dés
angles d’incidence CME ,~ soient "toujours aux
sinus CG, des angles de réfraction CMG , dans
un rapport donné. La ligne courbe qui touche tous
les raj’ons réfractés, est appellée la diacauflique. .Au reste, ce nom est peu en usage ; on se sert
plus communément de celui de caustiques par refîna
tíon. II est visible- que "cette caustique peut être
regardée comme un polygone d’une infinité de .
côtés," formé par le concours des rayons infiniment
proches, réfractés parla'courbe A MD, suivant
la loi que nous venons de dire. Vovez RÉFRACTION
& COURBES POLYGONES. (O) DIACENTROS,f.m.(4/Z,~o72.-) terme-employé par
Këpler pour exprimer le diamètre le plus court de
Forbite elliptique de quelque planète.-.Les deux diamètres d’une ellipse passenfpar son
centre, & peuvent, par cette raison , être nommés
diacentros ; car ce mot signifie qui est coupé par le
centre en deux ; cependant il y a apparence que
Képler à appelle ainsi le petit diamètre , pour le
distinguer du premier, qui pastè non-seulement par
le centre, mais encore par le foyer de Forbite ;.Au
-reste, ce mot n’est plus en usages ( 0 )  "DIAGONALE, f. f. en Géométrie -, c’est une
ligne qui traverse un parallélogramme, ou toute
autre figure quadrilatère, & qui va. du sommet d’unangle,
au sommet de celui qui lui est opposé.
. Telle est la ligne P N (PI. géomét. fig. 64. )  tirée
del’angle P à Fangle N. Voyez FIGURE. Quelques
auteurs l’appellent diamètre, d’autres, le diamétral
de la figure ; mais-ces noms nersont point d’usage.ïl est démontré, i.° que toute diagonale .divise tin
parallélogramme en deux parties égales : 2. 0 queSffij
deux diagonales tirées dans un parallélogramme se
coupent l’une l’autre en deux parties égales : Î." que
la diagonale d’un quarré est incommensurable avec
J un des ""'côtés. Vovcz PARALLÉLOGRAMME ,
QUARRÉ, 6T.La somme des quarrés des deux diagonales de
tout parallélogramme, est égale à la somme des
' quarrés des quatre côtés.11 est évident que la fameuse quarante-septième
proposition d’Euclide ( Vovcz HYPOTHÉNUSE ) ,
n’est qu’un cas particulier de cette proposition : car
íì le parallélogramme est rectangle, on voit tout
de fuite que les deux diagonales {ont égales, &
par conséquent, que Te quarré d’une diagonale , ou
-ce qui est la même chose, que le quarré de l’hypothénuse
d’un angle droit est égal à la somme des
quarrés des deux côtés. Si un parallélogramme est
obliquangle, & qu’ainsi ses deux diagonales soient
inégales, comme il arrive le plus souvent., la proposition
devient d’un usage beaucoup plus étendu.
Voici la démonstration par rapport au parallélogramme
obliquangle. Supposons le parallélogramme
obliquangle AB CD (Fl. géom. fig. G5.)  , dont
B D est la plus grande diagonale , & A Ch plus
petite : du point A de l’angle obtus DA B,
abaissez une perpendiculaire AE fur le côté CD ;
& du point B , une autre perpendiculaire B F fur
le côté D C .- alors les triangles ADE, BCF,
font, égaux & semblables, puisque AD est égal
à B C, & que les angles AD E, B CF, aussi-bien
que AED, BFC, sont auflì égaux' ; par conséquent
D E est égal à CF. Maintenant (par la i2.e
proposition d’Euclide, liv. II.)  dans le triangle
B D C obtus-rangle, le quarté du côté B D est
égal à la somme des quarrés de BC & CD, &
de plus, au double du rectangle de C F par CD ;
&par la: treizième du livre II. dans le triangle :
D A C, le quarré du côté AC est égal à la'somme . i
des quarrées de A D & CD, en ôtant le double
du rectangle du mème côté CD par D F= CF:
ainsi , ce défaut étant précisément compensé par le i
premier ' excès, la somme des quarrés des deux i
diagonales est égale à la somme des quarrés des ]
quatre côtés. ' -Remarquez que cette démonstration suppose la j
•fameuse quarante-septième proposition d’Euclide, c
& qu’ainsi, pour en déduire certe proposition, il i
faut se passer de cette quarante-septième : autre- c
ment, on donnerait dans un cercle- vicieux. Ceux e
donc qui prétendraient, en conséquence de la dé- (
lïionstrarion ci-dessus, que la quarante - septième
n’est qu’un corollaire "de celle-ci, se tromperaient ;
elle en est un cas, mais non un corollaire. *•Ainsi , dans tout rhpmbe ou losange, connoissant
un côté & une diagonale , on connoìtra pareil- t:
lement l’autre diagonale : car. comme les quatre
côtés font égaux , en ôtant le quarré de la diago- 1
noie donnée du quadruple du .quarré du côté .-fi
donné, le reste est le quarré de la diagonale cherchée,
i 15. Cette proposition est ausli d’un grand usage danj
la théorie*tìes mouvemens composés : car, dans unparallélogramme
obliquangle , la plus grande diagonale
étant la foutendante d’un angle obtus, & la
plus petite d’un "angle aigu, qui est le complément
du premier ; la plus grande diagonale fera d’autant
plus grande," & la plus petite fera d’autant
plus petite, que l’angle obtus sera plus grand :
de forte que si l’on conçoit que l’angle obtus croisse
jusqu’à devenir infiniment grand par rapport à
l’angle aigu,,.ou ce 'qui revient au même, si les
deux côtés contigus du parallélogramme sont étendus
directement bout à bout en ligne droite , la
grande diagonale devient la somme des deux côtés,
& la plus petite s’anéantit. Maintenant, deux côtés
contigus d’un parallélogramme étant connus avec
l’angle qu’ils renferment, il est aise de trouver en.
nombre la foutendante de cet angle, c’est-à-dire,une
 des diagonales du parallélogramme: quand cela
est fait, la proposition donne l’autre. La seconde
diagonale , ainsi trouvée, est la ligne que décriroit
un corps poussé en même tems par deux forces,,
qui auraient entr'elles le même rapport’ que les
côtés contigus, qui désignent les directions suivant
'lesquelles ces forces agissent :1e corps décriroit cette
diagonale en .même tems qu’il parcourrait l’un ou
. l’autre des’ deux côtés contigus, s’il n’étoit poufféque
par la force qui correspond à chaque côté :
. c’est-là un des grands usages de cette proposition ;
car le rapport de "deux forces , & l’angle qu’elles
font, étant donnés , on a besoin quelquefois de
déterminer en nombres la ligne'qu’un corps, poussé
par ces deux forces, décriroit dans un certain tems.
. Voyez COMPOSITION & MOUVEMENT.
. Les côtés d’une figure rectiligne , comme AB ,
AE, CD, DE (figure 66.■) ',.excepté B C ;& les
angles A, E, D, o, y, excepté B ,'C, étant
■ donnés : trouver les diagonales. .Dans le triangle ABE, l’angle A, & les côtés AB
SLAE étant donnés, l’angle E se trouve aisément
par la Trigonométrie, & ensuite la diagonale BE: on
résout de .la même manière le triangle B CD, &
l’on déterminé la diagonale B D. • ;Comme les ichnographies ou les plans se font
plus commodément loríque l’on a les côtés & les
diagonales , l’ufage de ce problême est de quelque
importance en planimétrie, particulièrement à ceux
qui veulent faire un ouvrage exact, quoiqu’il leur
en coûte du calcul. Voyez ICIINOGRAPIIIE, &C.
(E)  . _DIAGRAMME, f. m. en Géométne ; c’est une
figure ou une construction de lignes , destinée à
^explication ou à la démonstration d’une proposition.
Voyez FIGURE. > '
_ Ce mot est plus d’usage en latin, diagramma ,
qu’en françois ; on se sert simplement du mot de
figure. (O)  ".-■ •DIAMETRE, s. m. terme dé Géométrie ; c’est une
ligne droite qui passe par le centre.d’un cercle >■DIA DIA ÍOQ& qui est terminée de chaque côté paf la cîrconférencei
Voyez CERCLE.Le diamètre peut être défini une corde qui passe
par lê centre d’un cercle ; telle est la ligne NE
( Fl. Géomet. fig. G. )  qui passe par le centre C.
Voyez CORDE. "La moitié d’un diamètre, comme CE , tiré du
centre C, à la circonférence, s’appelle demi-diamètre
, ou ravon.Le diamètre divise la circonférence en deux parties
égales. On a la manière de décrire un demicercle
fur une ligne quelconque, en prenant unpoint
de. cette ligne pour centre. ,Le diamètre est la plus grande dé' toutes les
cordes. Voyez CORDE.■ Trouver le rapport du diamètre a la circonférence.
Les Mathématiciens ontfait là-dessus de très-gràndës
recherches : il ne faut pas s’en étonner ; car si l’on
trouvoit au juste ce rapport, on auroit la quadrature
parfaite du- cercle. Voyez QUADRATURE.C’est Archimède qui a proposé le premier une .
méthode de la trouver, en inscrivant des polygones
réguliers dans un cercle, jusqu’à ce que l’on arrive
à un côté , qui soit la fou s-tend an te d’un arc ex-,
çeísivement petit ; alors on considère un polygone
semblable au premier , &' circonscrit au même
■ cercle. Chacun de ces côtés étant multiplié par le
nombre de côtés dû polygone, donne le périmètre
de l’un & de l’autre polygone. En ce cas, le rapport
du diamètre, à la circonférence du cercle , est
. plus grand que celui du même diamètre m, périmètre
du polygone circonscrit, mais plus petit que celui du
diamètre au périmètre du polygone inscrit. La eomr
paraison de ces deux rapports donne celui du diamètre
à la circonférence en nombres très-approçhans
du vrai. .>•-.•, Çe grand géomètre en circonscrivant despolygones
de ç>6 côtés -, trouva que le rapport du diamètre
à la circonférence étoit à-peu-près comme 7
est à 22, çest-àvdire qu’en supposant le diamètre 1,
le périmètre du polygone inscrit est trouvé égal
à 3 if, & celui du circonscrit 3 i. .Adrien Metins nous donne ce rapport ^ comme113 est à 355 ; c’est le plus exact de tous’ ceuxqui sont exprimés en petits nombres ; il n’y a pasune erreur de 3 fur ICOOQCOO. Voyez les autres. approximations au mot CERCLE. .Le diamètre d’un cercle étant donné, en trouver la
circonférence_ & l’aire. Ayant . supposé le rapport
du diam.ètre à la circonférence, comme dans Farticle
précédenr, ori" a de même celui de la circonférence
au diamètre. Alors la circonférence multipliée
par .la quatrième partie du diamètre , donne
Faire du cercle ; ainsi , supposant le diamètre 100 :
la circonférence sera 314, & l’aire du cercle 7.850 ;
mais le quarré "du diamètre est IOGCO : donc je,
quarré du diamètre est à l’aire du cercle à-peu-près
comme icooo est à 7850, c’est-àTdire , preíque
cpmme iQsva « st à 785. .Vaire, d’un cercle étant donnée, en trouver le
, diamètre. Aux trois nombres 785 , 1000 , &
246176, l’aire donnée du cercle, trouvez un quatrième
proportionnel ; savoir 3113600, qui est le
quarré du diamètre , tirez-en la racine quarrée', vous
aurez le diamètre même ;Le diamètre d’une section conique est une ligne
droite, telle que AD (Fl. coniques , fig. 7) , qui
coupe en deux parties égales toutes les ordonnées
MM, &c. aux points P. Voyez CONIQUES.Quand ce diamètre coupé les ordonnées à angles
droits, on Fappelle plus particulièrement Y axe de
la co.urbe Ou de la section. Voyez AXE.Le diamètre transverse d’une- hyperbole est. une
ligne droite, telle que AB (Fl. coniq.fig. 8) ,
laquelle-étant prolongée de part & d’autre, coupe
en deux parties égales toutes les lignes droites, MM,
terminées à chacune'des hyperboles & parallèles
ehfr'elles. Voyez HYPERBOLE.Le diamètre conjugué est une ligne droite qui
coupe en deux parties égales les lignes tirées parallèlement
au diamètre transverse. Voyez CONJUGUÉ.
' '•Le diamètre d’une sphère est le diamètre du dëmi-'
cercle , dont la circonvolution a engendré la sphère.
On Fappelle aussi Y axe de la sphère. Voyez AXE
& S-PH-ÈRE. <Le diamètre de gravité est une ligne droite qui
passe par le centre de gravité, Voyez CENTRE DE ,
GRAVITÉ. . " ■ ■Le diamètre de rotation est une ligne autour de
laquelle on suppose que se fait la rotation d’un
corps. Voye(- ROTATION’, CENTRE, &C.Sur le diamètre d’une courbe en général, voye%
Y article COURBE. Nous ajouterons seulement à ce
qu’on trouvera dans cet article, qu’il n’y est question
que des diamètres, rcctilignes. Mais on peut
imaginer à -une courbe un diamètre curviligne ,.
c’est-à-dire,'une courbe qui coupe toutes les ordonnées
en deux également. Par exemple, soit en gé- •
. néral y ='X± \Z~f, %■&- % ëtant des fonctions de x.
.Voyez FONCTION & COURBE. La courbe qui divisera
1 les ordonnées en deux également sera telle y
que fi on nomme son ordonnée z> on aura X
-h\A — Î==X—[Ví -ì-í,- doncï=\/ g ; clone
y. == \/T"sera Féquation du. diamètre-curviligne ,
ou plutôt dune branche de ce'diamètre'. Car y'y
= i représenterait la. courbe entière ; mais il n’y
a que la branche y. = \f ? qui serve en ce cas ;
la branche y = — v/ F" est inutileSur
les contre-diamètres d’une courbe , Voyer,.
COURBE. - ■ ■ _, -DIAMÈTRE DES APSIDES , dans 1 ancienne Astronomie,
est une partie de la ligne des apsides ,'
terminée par Ja.circonférence de Fépicycle.
-DIAMÈTRE DES PLANÈTES , (Astronomie. )  ;
Qn distingue les diamètres- apparehs & les dia ?-
mètres réels. Le diamètre apparent d’une planète y
est l’angle fous lequel il nous-paraît, exprimé, ert
ÍÏO DIA DIAminutes
& en secondes ; c’est l’angle dont il est la
corde ou la sous-tendante, en prenant pour rayon
la dislance de la planète à la terre. Soit Tla terre,
pi 4stron. fis. 99, où est situé 1 observateur ; AB,
le diamètre d’une planète, TA & TB, les rayons
visuels menés de la terre aux deux bords, .ou aux
deux limbes opposes du disque de la planète ; l’angle
ATB est le diamètre apparent de cette même
planète. ' , , >Les diamètres se déterminent & s observent avec
des Micromètres ; mais on y peut aussi employer le
tems ou la durée de leur passage. En effet, íi l’on
observe, dans_une lunette, le moment où le premier
bord du soleil se trouve dans le méridien ou
fur un fil perpendiculaire à la direction de son
mouvement, & qu’ensuite, le second bord y arrive
deux minutes plus tard , ces deux minutes de
teins indiqueront que le diamètre du soleil est de 30',
en supposant qu’il soit dans Féquateur. Dans les
aurres cas, il faut multiplia-la différence d’ascension’
droite, oii les 30' par le cosinus de la déclinaison.
Voyez RÉDUCTION à un grand cercle.Les diamètres appareils d’une planète, en divers
tems, sont en raison inverse des distances. Si la
planète AB , étoit située en CD, de manière que
la dislance 13 J fût la moitié de la première distance
TB , l’angle CTD sons lequel paraîtrait la
planète, seroit double de l’angle A TB ou E TD,
sous lequel" elle paroissoit auparavant : en effet, íì
nous prenons AB ou CD pour rayon ; alors ,
suivant les règles-de la trigonométrie ordinaire ,
TB sera la cotangente de l’angle ATB ; TD
sera la cotangente "de l’angle CTD : or les cotanaentes
font en raison inverse des tangentes, donc
TB ■. TD :: tang. CTD : tang. A TB ;. mais
. les petits angles sont proportionnels à leurs tangentes
 ; donc" CTD : ATB :: TB-: TD ; c’esla-dirc,
que le diamètre apparent, dans le second
cas, est au diamètre apparent dans le premier ,
comme la première dislance -est à la seconde.Les diamètres apparens- des planètes servent à
Trouver leurs véritables diamètres DU leurs grandeurs
réelles , quand on connoît leurs distances :
dans le triangle TAB , qui est rectangle en B ,
on a cette proportion ; R :fin. A TB : : TA : AB ;
ainsi l’on trouvera le véritable diamètre AB en
multipliant là dislance TA par le finus de l’angle
ATB, qui esl le diamètre apparent de la planète ; ■
nous verrons, aux mots distance & parallaxe , la
manière de trouver les véritables distances, '-Dans la table qui est au mot Planète, on trouvera
les diamètres apparens des planètes , réduits
à la dislance moyenne du soleil à la terre j ou tels
qu’ils paroîrroient fi les planètes .étoient toutes à
la meme distance que le soleil.Les diamètres en lieues,, supposent le diamètre,
de la terre de 2865 -lieues., chacune de 2283
roises, & la parallaxe du soleil de 8" six dixièmes,
comme les observations du passage de venus  ; en
J760, me Font fait trouver.Le diamètre apparent de la lune,- clans la table
dont nous parlons, est déduit de celui de 31' .50"
qui s’observe dans les moyennes distances. Les diamètres
de Jupiter & defaturne, ne nous paraissent
ordinairement que de 37" & 42", parce qu’ils sont
vus de plus loin que celui du soleil, mercure paroi t
de 12", mars de 30", venus de 58", dans leur plus
grande proximité.Le diamètre apparent de la lune, est sujet aune
augmentation, à raison de fa hauteur , & qui est
sensible à cause de sa proximité.Lorsque la lune est plus près de notre zénith y
elle esl plus près dé nous que du centre ; ainsi ,
son diamètre apparent, paraît plus grand dans la
même proportion ; soir T le centre de la terre,
(Astron. fig. 47.) O un observateur situé à la sur-'
face de la terre, P la lune répondant au zénith de
l’observateur : (i la dislance P O de la lune à lob-"
sénateur, est plus petite d’un soixantième , que la
distance P 'Tde la lune au centre de la terre, lediamètre
apparent, vu du point O, sera plus grand
d’un soixantième, que le diamètre vu du centre T
de la terre, & depuis le zénith, jusqu’à.Fhorizon ,.
cette différence ira toujours en diminuant.Pour trouver le diamètre deUa luné augmenté
•à raison de sa hauteur au - dessus de Fhorizon ,
lorsque la lune est en^L, ou considérera que les
diamètres sont en raison inverse dés dislances OL,
TL, & que celles-ci sont comme les sinus des
angles T&. O ; ainsi, on fera cette proportion :
le cosinus de la hauteur vraie, est au cosinus de
la hauteur apparente, comme le diamètre horizontal
est au diamètre apparent. C’est la différence
enrre celui-ci, & le diamètre horizontal qu’on.appelle
augmentation du diamètre.
. La grandeur extraordinaire , dont la lune paraît
quelquefois à Fhorizon, n’est pas un phénomène
astronomique, mais il doit cependant trouver place
ici. Suivant la démonstration précédente, le diamètre
de la lune doit paraître plus petit, quand
la lune se levé, que quand elle esl parvenue à une
certaine hauteur ; la lune, en s’élevant, doit paraître
plus grande à nos yeux , & l’obscrvation faite
 , avec un instrument quelconque" , prouve ,
fans cesse aux Astronomes, que la lune paroît sous
un angle plus petit, quand elle est à Fhorizon ;
cependant, un fait généralement reconnu, c’est que
la lune, à la vue simple , paroît d’une grandeur
extraordinaire, lorsqu’on, la voit se lever à la sin du
jour, derrière des bàtimens 6k des montagnes ; il
n’y a presque personne qui ne s’imagine la voir
alors deux ou trois fois aussi large, que quand elle
arrive ensuite à une grande hauteur.-vC’est là certainement
une illusioa optique, & elle a lieu de
même pour les autres astres ; mais il suffit de regarder
la lune dans une lunette quelconque, dans
un tube de papier , & même si l’on veut, au travers
d’une carte où l’on a fait un trou d’épingle,
pour se convaincre que l’augmentation n’est point
réelle , & que se diamètre de la lune, est -vu au
DIA D I C Sri
contraire, alors, fous un plus petit angle -que lorsque
la lune est à" une plus grande hauteur.Régis, dans son système de Philosophie , soute'
noit que c’étoit un effet de la réfraction-, mais au
lieu d’étendre les objets, la réfraclion les accoureit,
& fait paroître les distances plus petites. .II esl difíicile de se former une idée claire de la
cause de cette illusion, si ce n’est en admettant ,
avec tous les opticiens, ce jugement tacite, commun
& involontaire , par lequel nous estimons
fort grands les objets que nous jugeons être fort
éloignés, en même temps que nous jugeons les objets
fort éloignéi, .lorsque nous, voyons à-la-fois
beaucoup de corps interposés entre nous & ces.
objets. Roger Bacon, en citant même l’optique dé
Ptolcmée (ouvrage qui fut perdu pendant les siècles
d’ignorance ) nous apprend que cet auteur en avoit
jugé ainsi ; Descartes & le P. Malebranche, ( Recherche
de la vérité ~ liv. J.J Fexpliquèrent de "la
même: manière. Régis écrivit contre Malebranche j
à qui plusieurs géomètres donnèrent un certificat.
Journal des Savons , mars, zis’,94,- mais- voici çe
qui me paroît de plus vraisemblable. \ .La lune se levant à Fhorizon, derrière une" montagne,
ou à Fexrrémité d’une plaine , paroît nécessairement
à la suite de plusieurs objets sensibles &
variés ; au lieu que dans une certaine hauteur ,
on élève la vue pour appercevoir la lune, & l’on
ne voit.rien entr'elle & nous, qui puisse nous faire
juger de fa dislance ; dàns le premier cas, notre
imagination, acoutumée à juger de Félolgnement
d’un corps par la niultitude des objets qui paraissent
entre lui & nous, estime la lune fort loin de nous,
& cela par habitude, par instinct, & par une fuite
de fa manière d’estimer" & de juger des distances ;
or un même, objet que nous jugerons fort éloigné,
fera jugé plus grand que si on le çroyoit plus
près ; ainsi, la lune dans Fhorizon , estimée à une
plus grande dislance, est jugée plus grande, par
cette même habitude de perception ; la réflexion
lie suffit pas pour empêcher la liaison de ces deux
jugemens,- parce que Fhabitude continuelle y a
mis une dépendance si forte, qu’on ne peut plus les
séparer. On trouvera d’autres preuves de la vérité de
 ce jugement habituel & involontaire, dans le
premier volume du grand Traité d’optique *de
Smith..Les diamètres apparens, des étoiles étant mesurés,
avec les meilleurs télescopes-, &" par la durée de
leurs occultations fous la lune, paraissent n’ètre
pas même d’une seule seconde ; ce n’est _ que la vivacité
de leur lumière qui nous les fait paroître
aussi grandes en apparence- que les planètes. Les
diamètres réels en font inconnus, parce qu’on ignore
leurs distances réelles. (D. L.) DIAPHRAGME, ( Optique, ) anneau de métal
ou de carton qu’on place au foyer commun des
deux verres d’une lunette, ou à quelque distance du
foyer, pour intercepter les rayons trop éloignés’dc
l’axe, & qui poiuroient rendre les images cen-^ :fuses fur les bords ; ce terme vient des mots grecs,
ò'ik, inttr ^(ky/j-s., fieparatio. On met souvent plusieurs
diaphragmes dans une lunette ; celui qu’on place
au foyer de l’objectif, détermine le champ de la
lunette, ou Fétendiie des objets Welle peut faire
voir. (D.L.) ■DICHOTOMIE ou BISSECTION, (Astron.) ' c’est un terme usité parmi les Astronomes, pour exprimer
.la phase ou'apparence de la lune , dans
laquelle elle est coupée en deux, de sorte qu’on
voit exactement la moitié de son disque ou de son
cercle. Voyez PHASE. Ce mot est grec , formé
de "Ms j deux fois , & TÓy-05., partie.
■■• Le tems de la dichotomie de la lune a été employé
pour déterminer la dislance du soleil à la
serre ; & la manière dont on s’en sert pour cette
recherche, est expliquée dans les Institutions de
M. le Monnier & dans mon. Astronomie'. Au moment
queTa lune esc dichotome, on est sûr que
les rayons qui vont de la lune au soleil & à la terre
font un angle droit ; si l’on observe alorsTélongàt-ion
de la lune oul’angle V T S , (fig. 90 £ Astron. ) 
on connoítra tous les angles du triangle VTS,
& l’on aura le rapport entre VT & T S.Cette méthode fut inventée par Àristarque de Samos,
vers Fan 260, avant J. C. ; mais iLest fort difficile
de fixer le moment précis où la lune est coupée
en deux parties-égales , c’est-à7dire où elle
est dans fa Véritable dichotomie. La lune paroît cou^
pée en deux parties égales, quand elle est proche
des quadratures, on a 90 degrés d’élongation vue,
de la terre telle le paraît aussi sensiblement quel_quetems avant & après , ainsi que Riccioli le
remarque dans son Almâgeste , Tome I:, page 1 o<?
& 731 , de sorte qu’elle paroît dichotome au moins
pendant plusieurs minutes de tems : or une trèspetite
erreur, dans le moment de la.'dichotomie >
en produit une fort grande dans la distance du"
soleil. M. le Monnier fait voir qu’en ne>,,se trompant
que de quatre secondes, ce qu’il est presque
impossible d’éviter , oii peut trouver,. dan’s un cas,
que la distance du soleil est de 13758 demi-dìamètres
terrestres, ; & dans un autre, qu’elle est seulement
de 6876' demi-diamètres. II faudrait, dit
M. le_ Monnier, prendre le milieu entre les deux. dnstans auxquels les phaíes. dé la lune sont douteuses.,
c’est-à-dire le milieu entre Finstant auquel
là lune a cessé d’être en croissant ou concave., St.
Finslant auquel elle a commencé à paroître bossue
ou convexe, puisque ce dernier tems doit arriver un
peu après la quadrature : de cette manière, Riccioli
auroit conclu la distance du' soleil à la terre, beaucoup
plus grande qu’il ne la déduit de son calcul,
Infi. astron. page 4 s z..11 faut avouer que, par de semblables observations,
Vendelinus s’étòit assuré, vers 1650, que la
parallaxe du soleil n’étoit pas de 15", & que fa
dislance à la- terre étoit d’environ 14000 demidiamètres
terrestres ; mais tout ce qu’on pouvoic
tirer de cette méthode, c’étoit de déterminer des-ni, -d if d i flimites entre lesquelles étoit, comprise la distance
de la terre au soleil : ces limites étoient du simple
au double. Au reste, les nouvelles méthodes étaiit
bien plus exactes, celle-là est devenue inutile.La dichotomie est proprement ce qu’on appelle,
dans le langage vulgaire, le premier ou le dernier
quartier. (D.L.) DIDYMI, fi'J-"/*" (Astron. ) c’est la même chose
que gemini ou les gémeaux. On ne se sert plus en
astronomie que de ces derniers termes. ( O ).D if :DIFFÉRENCE ascensionnelle, (Astronomie.)  est
-îa différence entre Fascension droite & Fascension
oblique d’un astre, ou Faix de Féquateur compris
entre le point auquel l’aslre répond perpendiculairement,
& le point quisclèveou qui se couche,
au même tems que cet astre. /Différence d’ascension droite, entre deux astres,
est mesurée par le tems qui s’écoule entre leurs
passages, par le méridien ou par un cercle horaire
quelconque. Ce font ces différences que les astronomes
observent continuellement, pour connoître
ia position d’un astre inconnu par le moyen de l’astre
dont on connoît déja là situation. Far exemple ,
on veut avoir l’aseension droite d’une planète , en
la comparant à une étoile connue par le catalogue ■
que nous donnerons au.mot ETOILE , on les observe
l’un & l’autre dans le méridien : si l’étoile
précède de quatre minutes de tèms la planète, on
en conclut qu’il faut ajouter un degré à Fascension
droite de l’étoile, pour avoir ee}le de la-planète
au moment où elle a passé au méridien. Si lapemdule
dont on se sert pour compter les tems des passages
, n’est pas réglée de manière qu’elle fasse exacrtement
24 heures entre deux passages consécu'tifs
de l’étoile, il faut faire une correction à Fintervalie
pbfervé , pour en conclure -.celui qui au- ■
roit lieu fi la pendule étoit exacternent réglée fur
les étoiles.. (D.L.) \ DIFFÉRENCE, f. f. ( Aûthm. & Alg. )  ; èxcès
d’une grandeur fur une autre, ou ce qui reste quand
pn retranche d’une grandeur une autre grandeur
de même nature. Ainsi, la différence, de o & 4
est 5 ; celle de a tk'b est a — b. On voit que la
différence a —b seroit négative, fi b étoit >> a.Dans la géométrie de l’infini, on appelle quelque^
fois différence, mais plus souvent, différentielle, la
quantité infiniment petite dont une grandeur variable
augmente pu diminue. II y a des différentielles de
tous les ordres, Voyez DIFFÉRENTIEL._ CALCUL AUX DITFÉKEXCES FINIES: on appelle
ainsi la méthode de faire, fur les différences finies
des grandeurs variables, des opérations analogues
a celles que les calculs différentiel & intégral font
fur les différences infiniment petites. II semble que
ces derniers calculs aucoient dû être précédés par
celui des différences finies, puisqu’en attribuant
d’abord une grandeur quelconque à une différence i
on peut supposer ensuite que cette différence diminue
jusqu’à devenir infiniment petite. Mais il n’arrive
presque jamais que l’efprit humain embrasse
d’abord une matière dans toute fa généralité. Les
calculs différentiel & intégral ont donné la naissance
à la méthode des différences finies, dont
je vais expliquer ici brièvement les premiers prin.
' cipes.I. Dans l’analyse des quantités infiniment petites,"
on emploie la lettre minuscule d, écrite au-devant
d’une grandeur variable, pour, désigner b. différentielle
de cette grandeur ; & la lettre/pour
désigner une somme ou une intégrale à prendre.
Semblablement-nous emploierons la lettre capitale
D, écrite au-devant d’une grandeur variable, pour
désigner la différence^ finie ( que nous appellerons
simplement différence )  de cette grandeur ; & la
lettre/" pour désigner une somme, ou Fintégration
d’une fonction aux différences finies.II.\La différence d’une quantité variable n’étant
autre chose que l’excès de la valeur qu’a cette,
quantité dans un état, fur la valeur qu’elle avoit
dans Fétat antérieur : on voit que, si une grandeur
variable x devient successivement x, x, x", x",
a:IV, &c., on aura D x-=.x — x ; D x'^x" — x ;
D x ' — x" r-- x" ; D x" — xlv— x", &c.1} peut -arriver qu’une différence, soit ppfitive -.
ou négative, selon que la grandeur variable, dont
elle esc la différence-, augmente ou diminue par
rapport à'une autre grandeur ou à d’autres grandeurs
que l’on suppose augmenter , & dont les
-différences sont par. conséquent positives.III. Les différences des grandeurs étant-ellesmêmes
des grandeurs, si ces différences font variables,
on pourra aussi en prendre les différences,
' lesquelles seront nommées différences secondes,
par rapport à la grandeur primordiale ; fi- les différences
secondes font variables, on pourra en prendre
les différences , lesquelles . seront nommées différences
troisièmes, par rapport à la grandeur primordiale ;
ainsi de fuite. .J’ai ajouté, dans-chaque cas, la .restriction , fl
les différences font variables, parce qu’il peut se
faire que ses différences, ou première, ou seconde,
ou troisième, &c., soient des quantités constantes.
Car, soit , par exemple, une progression arithmétique
quelconque : une pareille fuite peut toujours
être regardée comme engendrée par une grandeur
variable, qui, en, augmentant ou en diminuant
continuellement de la même quantité, forme suc-,
cessivement tous ses termes : alors la différence pre-r
mière'de la grandeur génératrice est constante, •La fuite 1 , 4, p, ró, 25, &c., des quarrés des
nombres naturels offre un exemple où Indifférence,
seconde de la grandeur variable est constante : car
cette fuite peut être regardée comme engendrée
par une grandeur variable xz, telle que si on prend,
les différences çntre tous les tçrmes de la fuite,ces différencesD if d i f p 5'secs différences formeront une progression arithmétique ;
& par conséquent les différences de ces"
différences, ou les différences secondes de x1 font
constantes. •.De mêmeia différence troisième de la grandeur
variable qui peut être supposée engendrer la suite
I, 8, 27,- 64, 125, &c., des cubes des nombres
"naturels, est constante ; ainsi de fuite.: On doit observer qu’une certaine différence étant ,
constante, les différences des ordres ultérieurs sorit
nécessairement zéro : car une quantité constante a
zéro pour différence, & les différences successives de
zéro font nécessairement zéro. ,On écrit les différences seconde, troisième, quatrième,
&c, d’une grandeur variable x, de la
. manière suivante : Dzx, D^xlD^x, &c., où l’on
voit qu’il ne faut pas cpnfondre les indices de D '
avec_ les expofans ordinaires. Pour indiquer la
puissance n à une différence Dx, nous écrirons-D*" ;
de même, pour indiquer la puissance n d’une différence
seconde D"-x, nous écrirons Dzx" ; ainsi
des autres.IV. IÌ y a des questions où l’on est obligé nécessairement
de regarder une certaine différence comme
constante : par exemple, dans les progreffions. arithmétiques, la différence première d’un terme
quelconque x est nécessairement constante ; dans
la fuite des quarrés des nombres naturels, la différence
seconde d’un quarré quelconque x 1, est
nécessairement constante. Mais il y a une infinité
de questions qui ne demandent point, parleur
nature, qu’on suppose aucune différence constante.
Cependant, comme on esl toujours le maître d’attribuer
à une certaine grandeur telle variation que
l’on juge à propos, pourvu que les variations des
autres quantités dépendantes de la première, soient
subordonnées à la variation que l’on a attribuée
à celle-ci, il est toujours permis de supposer, dans
un problème, que la différence première, ou seconde,
ou troisième, &c. d’une certaine grandeur choisie. à volonté, est constante ; en n’oubliant pas ce que
nous venons de dire, qu’alors les autres quantités
doivent varier en conséquence, & qu’ainsi il n’est
plus permis de supposer qu’une autre différence soit
constante, excepté lé cas où, par la'nature de la
question, cette autre différence devrait être en
rapport constant avec celle que-l’on a regardée
arbitrairement comme constante.V. Tout le calcul des 'différences consiste en deux
problèmes : F objet du premier est de trouver les
différences de tous les ordres, d’une grandeur
variable quelconque, élevée à telle puissance qu’on
voudra, d’un produit de grandeurs variables, &,
en général, dune fonction quelconque de grandeurs
variables : ce problême est toujours soluble,
& n’a aucune difficulté ; nous le donnerons sous
le nom de Calcul direâ des différences. L’autre problème,
qui est l’ihverfe du précédent, a pour but
de trouver une grandeur dont pn connoît là dífférxnce ;
il est souvent insoluble , ou du moins iLMathématiques. Tome I, 11* Partie,échappe, à toutes les méthodes connues ; nous en
traiterons sous le titre de Calcul inverse des différences.Calcul direâ dés différences.
VI. Puisque la différence d’une grandeur variable
quelconque est’ le changement que cette grandeur
éprouve en passant d’un état à Fétat voisin, il est clair,
en général, que, pour trouver la différence d’une
fonction quelconque de grandeurs variables, il faut
supposer que chacune de ces grandeurs particulières
augmente de fa différence positive ou négative ;
fustituer ces grandeurs ainsi changées , dans la
fonction proposée ; & du nouveau résultat, retran- j
cher la même fonction. Cela s’entendra pleinement’
par des exemples.EXEMPLE I. Trouver la différence première de la
somme x ^\-y-\-\> des trois grandeurs variables .*ry,i ? ……Les grandeurs x, y, z> augmentant respectivement
de leurs différences Dx, D y, D z, je substitue
, dans la somme proposée, x -f- D x pour x ,
y-\-Dy pour y, z -f" T> z pour z i ce 1^ m« 
""donné le nouveau résultat x -f- D x -J- y -f- D y
-fí-f-Dç, d’où,'retranchant #-J-'y-f- j,.le reste'
D x -\- D y -\- D z sûh différence cherchée ; ce qui
est évident, puisqu’une différence totale n’est aiitre
chose que la somme des différences particulières
dont elle doit être composée.-De même D (x + y— z ) = j> -f- D x-\- y -fD
y.- (i + V z)  J - (*:+ y ~ ï) *D x -iDy
— DzSi
on avoit a -\- x -\-y-rZ f où a est une grandeur
cpnslante ) ,, pn auroit D (a -\-x -\- y —z) 
= D x -\-Dy — D X> parce que la grandeur a n’a
point de différence. D PÙ l’on voit, en général ,
que , li à une somme" de quantités variables,
positives ou négatives, on ajoute, ou qu’on en
soustraie tant decruantitis constantes qu’on -vòiidra,la
 différence fera toujours la même.EXEMPLE II. Trouver la différence première de
x 1, de x 1, & en général de xm ?La grandeur variable x devenant x-j-Dx , if
est clair que ** deviendra £ x pi) ' ;' que x*: Si la quantité dont on demande la différenee'
étoit áxm ; la,constante a n’ayant point àt différence,
on auroit D ( a xm ) = a ( x -{- D x ) m - a x™xaKx-^DxY-x^^-aD (z-")  ; d’oùl’on voi* x
qu après avoir trouvé, comme iout-à-1'heure, la "

T tt
U4- D I F DIE
différence de i-", il faudrait la multiplier par a ,
pour avoir celle de a x"':EXEMPLE III. Trouver la différence première
du produit x y ?' Le facteur .r devient x -f-D x , & le facteur y
devient y -f D y ; donc D (xy)  s (x+Dx)  (y-f Dy) —■xy=yDx+xDy+DxDy.
''De même D ( xy\) -y zDx + xzDy -fsy
D i+x'DyDi+y Dx D\ -f î D x D y -fX>a-Dyl ?í,-
ainsi des autres produits plus com7
posés. Si le produit étoit axy, ou axy z, &c.
{ a étant une grandeur constante J, on auroit
D (axy) -a D ( xy ) , D (a xy z) = a.D.(xyz) , &c.
Ainsi, après avoir trouvé, comme on vient de
voir, D(xy) , D (x y z) , &c, il faudrait multiplier
tous les termes des résultats par a, afin
davoir D (axy) , D(dxyz) , &Ç.
EXEMPLE IV. Trouver la différence première
d’une quantité comprise sous l’une des formes suivantes
: x(x -f- a) , x(x-\-a) (x-\-za) ,x(x-\-à) 
(x + za) (x+ìa) ,&c.II est clair que cet exemple peut se rapporter au
précédent, en faisant x -f- a = u > x -\- za =zy ,
x -j^ $a = z, &c. : car alors on aura les produits
su, xuy , x uy z> &c Mais, si,fans faire aucune
transformation , on effectue les multiplications
indiquées, on aura des termes dont les différences
se trouveront par les exemples précédens. En esset,quantités de pareille nature.EXEMPLE V. Trouver la différence première de
la fraâion- ?
.On a D f x-)  =í±.^_ ï = i^£=^£2 =
■ \ y J Ï+^J y -y+yPy
. . . — 1
(yDx—xDy) (yz+yDy) _ ; Donc , en
développant la puissance -1 du binôme yz-j-yDy,
n/lVyDx — xDy t D y .':on aura D (- J='  ? X [ 1--/ +y . y ■ ' '
Si la fraction- étoit affectée d’un facteur consy

rant, fa différence seroit affectée du même sac- •

tèur.
EXEMPLE VI. Trouver la différence première de

& ( ii- D .-r + D i-*) comme les deux termes d unbinome
qui doit être élevé à Iapuiffance \, & développant
cette puissance, on aura D[\/aaA-xx) 
EXEMPLE VIL Etant donnée Véquation yy-ax
-\-xx = o, qui exprime la relation entre la quantité
constante a, & les deux quantités variables x & y:
trouver l’-équation. qui doit exprimer la relation entre
à & les: différences premières’ de x & y ?' ■Je substitue, dans Féquation proposée, x-\-ï) x
pour x,y-\-Dy pour y ; cé qui me donne une
nouvelle équation , de laquelle retranchant la
première, il vient pour reste zyD y — a D. x -JzxD
x -\- D x1 -\-D yz -o, qui est Féquation demandée.
…-,,On trouvera semblablement Fes différences
premières pour toutes sortes de quantités ou d’équations
algébriques.VIL On demande maintenant les différences
seconde, troisième, quatrième, &c de i™. :Les différences étant considérées comme desgrandeurs
variables, il est clair qu’on’passe de la
différence première à la différence seconde, de la
différence seconde à lá différence troisième, de la
différence troisième_à."la différence quatrième, &c,
comme on a passé de là grandeur proposée à la
différence première.E x E M p x E. Trouver la différence seconde de
x 1 ?
, On trouvera de même les différences troisième,
quatrième, de., en considérant que Dzx devient
£>\r-f D^x ; que D%x devient D^x -f D+x ; ainsr
de suite.

VIII. REMARQUE. Si on regardoit la première
différence de x, c’est-à-dire dx comme constante
, les calculs dont nous venons de parler déviera
droient beaucoup plus simples : car, après avoir
trouvé pour les premières différences :.
-'" d i f d i f \XK
ajnsi de suite '. bn "trouverait pour les difftuneu

ultérieures : . - ' . '

On voit assez la marche du calcul pour toutes
les différences , quelle que soit la puissance de la
variable x. ' ^

- IX. SCHOLIE. II est facile de trouver, parles
mêmes principes, les différences de toutes sortes
de fonctions. Faut-il, par exemple , trouver la.
différence seconde du produit xy, sans supposer
aucune différence constante ? Cherchez d’abord la
différence première de xy ; elle est yDx-^xDy
Jr-D x D y ; substituez , dans, cette expression , '
x -\r D x pour x, y -\-Dy pour y, Dx -\-Dzx
pour D x, D y -[- Dz y pour D y ; ensuite du
résultat, retranchez yDx-\-xDy-\-DxDy ;
pâr-là vous aurez Dz(xy) -(y -\-Dy)  (Dx-\-Dzx) 
-\:(x + Dx) (Dy-\-Dzy) -\-{Dx +Dzx) 
(Dy + Dzy) -~(yDx+xDy +DxDy) =
yDz x -fi Dz y+zDxDy -f zD y D1 x
-j-zDxDzy-\-Dzx-Dzy.

- Si on supposoit D x constante, on auroit
Dz(xy) =(y+Dy) Dx + (x+Dx)  (Dy+Dzy) 
+ Dx(Dy+Dzy)  — (yDx+xDyj-DxDy) ==.
xDzy + iDxDy + zDxDzy.

II seroit superflu de m’étendre davantage sur ce
sujet.

X. SCHOLIE II. On trouve aussi de même
les différences des quantités exponentielles ou transcendantes.
Qu’il s’agisse, par exemple, de trouver la
différence du ogarithme hyperbolique de x ? Je
fais y = l.x ; &. comme x devenant x, ou_.-r-J-D:r,

Les différences des ordres ultérieurs de l.x se
• trouvent par les méthodes précédentes, puisqu’il
ne s’agit plus, comme on voit, que dé prendre
les différences de.termes tous rationnels.

Soit ; pour second exemple , la quantité expoX

nentielle a dont on demande la différence prex
' • x >+■ D x
mière. Je feis- y s=s a. ; donc y ^=.a . ',

Les différences des ordres ultérieurs’ se trouvent
à Fordinaire.
Calcul inverse des différences.

XI. Dans’ le calcul inverse des différences -, il.
est question de trouver'une grandeur, ou en gêné- .
rai une fonction, lorsque l’on connoît fa diffé■
rence. C’est donc en examinant avec attention comment
on descend des grandeurs variables à leurs.
différences , qu’on apprendra réciproquement à
remonter des différences aux grandeurs variables.
Ce retour est sujet à de grandes difficultés, &-
souvent on ne, peut parvenir à les surmonter.. .Je
vais donner quelques exemples simples, qui indiqueront
Fefprit & Fufage des méthodes qu’il faut
alors employer.

XII. Considérons d’abord les puissances d’une
grandeur variable. Soit x cette grandeur, on
áura :

i.° Dx:= 2 ? (a:)  ; donc réciproquement/Dx=r ;
&, si on suppose D x constante ( supposition
qui a également lieu pour ce qui suit) , on aura
f D x X ■ i === * > ou T> x f r == x j ou enfin
rx~ ' ■
On trouvera semblablement, en continuant de
regarder D x comme constante, & en substituant
toujours, idans les termes qui contiennent des
sommes particulières, les valeurs de ces sommes

Tttij
■Uâ D I F • D T F
trouvées précédemment : on trouvera, dis- je,Ainsi de fuite. Je n’ai pas besoin d’ajouter que,
st une différence étoit multipliée Pu divisée par un
facteur constant, Fintégrale seroit aussi multipliée
ou divisée par le même facìeur.XIII. COROLLAIRE I. De-làsuit la manière
de trouver Fintégrale d’une quantité composée de
plusieurs termes qui contiennent les" puissances de
a-i affectées de coêfficiens quelconques. Telle est,
par exemple, la quantité a 4- b x 4- c x 1. Car,
pour trouver Fintégrale de cette quantité, il ne
íàut que sommer successivement chacun de ses
rennes, puis ajouter ensemble toutes ces sommes
particulières. Or ( en supposant toujours dx confiante
J.:Soit, pour second exemple, la quantité ax*-bxzj
dont on demande Fintégrale, en supposant toujours
Dx constante, on aura :XIV. COROLLAIRE II. Qu’on ait à intégrer
Fune des .quantités suivantes ( D x- étant toujours
constante )  : ( x -f-, a ) ,. (x 4- a) (x -^ Za) , (x-j-a) 
(x4-za)  (x-rf-^a) , &c. On y parviendra endéveloppant
ces quantités lorsqu’il est nécessaire,
& sommant successivement tous leurs termes. :
D’abord , pour la première , on a s x 4 sa ■= . .Ainsi de fuite.Si on demandoit Fintégrale de l’un des produits
suivants x-(x4-a).x ( x 4-a) f x 4- za) ,Ainsi des autres.X V. .RriisyiRçtrí*. Avant que dé passer plus.
- avant, je ferai ici une remarqué générale & essentielle.Comine la différence d’une grandeur variable.
x & celle de a -f-'x.font également Dx ( la grandeur
constante a n’ayant point dé différence) , réciproquement
Fintégrale de Dx peut être également
x ou a -J- x. Quand on a donc trouvé 1 intégrale,
d’une différence, il faut y ajouter une quantité'.'
constante, laquelle peut être zéro, ou ne Fêtre
pas, suivant les conditions du problême. On verra
dans la fuite plusieurs applications de cette remarque.XVI. Considérons, en second lieu, des prodpits
où les facteurs augmentent continuellement
par des différences constantes. Soient donc successivement
les produits x (x 4- Dx) , x (x 4-Dx) 
(x4- zDx) , x(x-^Dx) (x 4rïDx)  ;(x+2,Dx) i: '
&c. dans lesquels la différence j) x est constante :.
il est clair qu’on ; aura :Ainsi de fuite. Par où il -est aise de voir qu’en- '
général,'pour obtenir les différences de l’un des
produits proposés, il faut supprimer le premier
facteur x, écrire à. fa place le produit de la différence
D x affectée d’un coefficient, égal au,
nombre total des facteurs,. & érifih conserver les
autres facteurs.Remontons maintenant des différences aux intégrales
 ; nous aurons :'d i f. d i f 07
Ainsi de luite. Doit Ion voit facilement, en général,
que, pour trouver Fintégrale d’un produit
de cette espèce a Dx-(x -f Dx.) (x4-zDx) 
(x 4- 3D x) …… (x -j- n D x ) , il faut changer
Dx en x, & diviser le tout par le nombre des
facteurs ; de forte que s a D x ( x 4- D x ) 

(x + zDx) (x-\-2.Dx) (x+hDx) ^
ax(x+D*L)  (i+iJr) … . (x+nDx) ,\' n + i - -/
On ajoutera aux intégrales les constantes convenables ;
ce qui est toujours fous-entendu, quand
on ne le dit pas formellement.

XVI L Soient, en troisième lieu, des fractions’
où les facteurs des dénominateurs augmentent
continuellement par des différences constantes. Par
exemple , soient successivement les fractions

Ainsi de fuite. Par où Fon’voit que, pour déterminer
, en général, la différence de l’une des fractions
proposées, il faut augmenter le dénominateur
d’un facteur, & multiplier la fraction résultante,
'par Dx prise négativement autant de fóis qu’il y
a de facteurs dans le dénominateur de cette même
fraction. -.-.'■'

, De-là il soit que, réciproquement, pour intégrer
une fraction de cette espèce,

il faut supprimer le dernier facteur dans le dénominateur
, & ensuite diviser la fraction résultante,"
prise négativement par le produit de D x & du
nombre de facleurs compris dans le dénominateur
de la même fraction ; de sorte que

dernières sommes ne peuvent pas se trouver- fépa- •
rément ; mais on voit’que" leur différence est laquantité
algébrique -1 n , '

De-là fuit un moyen d’intégrer les’-quantités qui
peuvent être décomposées en plusieurs parties,
qui, n’étant pas intégràbles séparément, se combinent
néanmoins entr'elles de telle manière, qu’à la fin
les résultats deviennent algébriques ; ce qui arriveen
plusieurs cas. '-''.''■

EXEMPLE I. Trouver ['intégrals de ta quantité"
3x-\rzDx ., . ,
x[x4-Dxj (i+rDi) "
Je décompose cette quantité en ses facteurs %■
par-là elle devient ^(i) +(^. —ig-) _ ^

I • • * D j. Or, par la formule de la remarque-

Cette ""quantité devient i — T^u^j-P^cea-
5-j-8 VIJ. d i f
scquent son intégrale est d’abord j ì -jx-^rrôx'
Or, par la formule établie ci - dessus-, j ~
IXX. SCHOLIE GÊNERALE. Je ne m étendrai
pas dayantage fur là médiode- inverse des -différences
finies. Tout ce que j’en âi dit n’en contient
que les élémens ; Koyet -l’excél-lent traité du
calcul différentiel de^ M. Eûler ; Móyez aussi, daris
ce-Dictionnaire, Y article EQUATION, par M-, If
Marquis de Condorcct. Je finis par quelques applications
intéreíîarìtes.Usage du calcul inverse des différences pouf la
semmattondes suites. . . - ,'. -.. '< ' .X X"- La sommation des suites par la méthode
inverse dés différences, est fondée , en général,
fur ce principe. Soit une fuite -quelconque, composée
de tant de termes A, B, C, D , E, F,
&c., qu’on voudra, lesquels dérivent les uns des
tutres ^ suivant une loi déterminée & connue.
Représentons par. Z la somme d’un nombre quelconque
de ces termes,: par exemple, soit Z =,.
Av4 ?B -fíT-j-'D.Cela posé, il est clair qu’on
peut regarder Z comme une grandeur variable,
dont la différence est le terme E ', qui suit immédiatement
le dernier de ceux que l’on considère ;
car Z passant de sa valeur actuelle à sa valeur
consécutive Z', augmente de E, de sorte que
Z'=Z-j-E : donc Z' — Z=E : or Z' —Z
=pZ ; donc D-Z=..E. Par conséquent, lorsqu’on
propose de trouver la somme Z , la question
est de trouver une intégrale qui a £ pour différence.
Eclaircissons cela par des exemples.EXEMPLE I. Trouver la somme S de la suite des
unités^ 1 -f 1 -j- 1 -j- 1 4. 1 _jl Ê-c ?Soit x le numéro du terme où l’on -arrête la
suiie. Chaque,terme étant 1, on a Z=/"i. 'Or
Dx étant 1 ,'ona (-XlT) /i =x. Donc Z=x\
ce qui est d’ailleurs évident par soi-même, -"EXEMPLE ÌI. Sommer la fuite Z des nombres
naturels 1 -f r -f- 3 -f 4 -}- 5 4- 6 4- &c.Un terme quelconque, ou le terme général de
cette suite, peut être représenté par x, puisqu’en
táiíant íucceffivement x==i, x=^2, 'a—fj , x=4,
t-c on obtient tous les termes de la fuite' Donc
DZ=x+i, &Z=/x 4-fl. Or, Dx
*ar,t-p= 1, on a (XII) ' sx ^ x~ _ * &
' 2 'ji„ , TxX ■- ,. ■■■' X'-i-X .
Al = x ; donc Z =,—. 4-x—- , ,
J ' 2 2 » z ■' REMARQUE. Cet exemple nous offre Poccafion. d^éclaircir très-fimplement ce que npus avons dit. ci-dessus '( XV ) , en général, au sujet des tonítàntesqu’il convient d ajouter aux intégrales. Sup,posons qu’on demande la sommé des termes de la' fuite "ii z, 3, 4, 5., 6, 7, S, 5 », 10, &c.,des’nombres naturels depuis le tefrné '6 exclusivement,jusqu’à un terme quelconque x inclusivement. Le}firme ; qui fuit x "est a: 4- 1, &"la question est, detrouver la quantité dont la 1 différence est x"-f- 1,en remplissant là condition que la fuite commence-,à"'7,'& finisse à x. Or, si l’on cherche, commedans l’exemple précédent, ' Fintégrale de x 4-'1,òh trouvera qu’elle est xx , abstraction fairede laxonstante, ou .en supposant que la somme
s’ëvariouisse lorsque x==o, auquel cas la formule/ ; xx--x- représente la somme de tous les termesde la fuite des nombres naturels, depuis l’unité'""inclusivement,
 jusqu’au terme x inclusivement.
■ Mais, dans Fhypothèse présenté, il faut ajouter uneconstante fi la formule JX , ce qui la rend— \-, C ;'ensuite il faut déterminer la cons- .tante C par la condition qu’en faisant x==7, la •
formule JT -\- C représente simplement leterme 7. Or cette condition donne *l5j-4-C-jsou bien C == — 21. Ainsi, la constante C’est
déterminée ; & la formule qui représente la somme
des nombres naturels, depuis 6 exclusivement,"jusqu’au terme x inclusivement, est —■—21.Si, par exemple, x=i6, la somme en question seraZK,6 -V- 16 -,■———2.1=115.EXEMPLE III. Sommer la suite Z des.quairés
des nombres naturels, 1 4- A 4- 9 -f- 16 -f- ZJ
4-&c. . ■ :
En faisant successivementx= 1, x=i, x=3,
* =4, &£.', le termé général de la suite des
quarrés des nombres naturels sera représenté par
: xz. Donc D Z = ( x + 1 )  », & Z =/( x 4-1 ) *
t=sxz4- isx. + si: Or, Dx étant = 1, on a
(XU) sxz^^-f+f-yx=xz-x ;Jy=x:
Donc/z^'fi+f+ f. .'.ï.
REMARQUE. Si on ne demàndoit pas la somme
de tous les quarrés des nombres naturels, mais
seulement la somme des quarrés distans les uns désautres,
d’un même nombre m de termes : alors,
"en nommant x la racine du-terme où la somme ;
cherchée Z est supposée se terminer, il est clair
l.que le terme suivant seroit (x+") a> ou (x-f D*) %
D if d if M9
- La constante ' C doit être telle que, faisant x

égal à la racine quarrée du premier tërme, dé la

suite, la. formule représente ce premier terme.

'Nommons á1 ce même terme ; en faisant donc
- -j • ai . az . an i /- ! 2 .
ï = a, on doit avoir — -f- -—h- 1- C-a 2 :

Pohc C = --^ -—. Donc enfin Z=
*î , X1 , "*._ a5 i £^ £ » ■.gn ~ 2 . : ■ 6 37Z ' 2 6"-*
Par exemple , supposons qu’on demande la
somme des quarrés 4, 25 , .64,. 121  ; içj6 : en
considérant la fuite des quarrés de tous les nombres
1, z, 3, 4, 5, 6, &c, cm voit qu’on aura
ici a = 2, 'H =3, x= 14. Donc Z =410 ; ce
qu’on peut vérifier par Faddition immédiate. des
termes de la fuite proposée.

EXEMPLRI V. Sommer là suite Z ;=:I -f- 8 +
27 -f 64 -rf- 125 -j- &c.., des cubes des nombres
naturels ?

En faisant successivement x = i„, x = z, x = 3,
i = 4, x = 5, &c., le terme général de la suite
proposée sera représenté par x 5. Donc DZ =
( x + i ) i ; & Z =/( x +1 ) i =/V 4- 3 D x
fxz4- z Dxzf x + Dx1f 1 = ( XII ) _ —

On trouvera sans peine, à Fimitatiori de l’exemple
précédent, la somme d’une fuite de cubes, qui
feroient dislans l’un de l’autre d’un même nombre
de termes. ; ' …

La somme des puissances plus éleyées des
nombres naturels se trouve par les mêmes moyens.

EXEMPLE V. Sommer la fuite Z==i 4- 3 + 6
+ 10 -j- iç -f- il + 6/c. , des nombres triangulaires
 ?

En faisant successivement x= 1, x s== z, x=z,
1=4, x=5, &c, le terme général de la fuite proposee

est, comme on fait (F". TRIANGULAIRE) "'J*\
Donc Dz^+'f+ikà^, & Z =±sxz

Les sommes des nombres’pyramidaux, & en
général des nombres figurés de tous les ordres, se
trouvent semblablement.. ":
 ! EXEMPLE VI. Sommer la fuite Z= i'X A.+-
2X3 + 3X4+4X5-H X-6 + 6 X ?
irSrc: " ' ..-,,.'
,- En faisant su.ceelGvernenîa ;=ii,,3:ï==2 ;, *==5.>,

En faisant successivement x=ì, x==Z, x==i:t
ia 4, &c, le terme général de la suite proposée

est , "., ■. > Donc DZ=, , . , , -■ .,-oir

bien (à cause de D x =^r) , D Z= j^^p^î)  ;) *

Pouir ramener cette différence à la forme de celles
qui ont été considérées dans FarticleXVI, je fais,
x + DJ:=Î j ce qui donne D x =- D z > parce

que Dx -efi constante. JPonc DZ==^{ t + j ?'t ) >■

dont Fintégrale. (XVI) 'est Z= -i,i quoi il 'saur.

ajouter une constante C pour compléter cette inté~

gralê ; de sorte que Z = C— - '== C—-. j-pj s.

en mettant’à la place de [ fa valeur x + r. Pour
déterminer la constante C, j’observe que, fi l’on

fait x ==' 1, la formule .générale.C— ■—- doit

représenter simplement le premier terme ì- de la
suite proposée. On aura donc C—- ^=1, & parconséquent
C— 1. Donc Z ! = 1— J^n »

Par exemple, veut-on avoir les cinq premiers^
termes de la fuite proposee ì Alors x= 5, & lasomme
demandée est 1 — -p— , ou %■ ; ce quon’

peut’vérifier par Faddition - iinmédiate des cinqi
termES dont:il s’agit. - -'■'
51o D I F , D I F

EXEMPLE I X. Sommer h suite Z =aa ^~-j +
_JL_J ï 1_ .—'1—4-&-c.îX}T jXii ] iiX'7 'En faisant successivement x=i, x=5 , 1=9 ',
JL=I 3 , 3=17, &c , le terme général "de la suiteproposée €st -^-^y Donc DZ= ^ ^^
ou bien f à cause de D x = 4 ) , D Z == 4 X
. '. * , n .. Jefàisx + Dx=îi,, &(x + Dx) (X4-2I>X.) ' -par conséquent Dx = Dz- D°nc D Z ~\ X- -TA%r-
 , dont Fintégrale est (XV) ,Z=,—\ X--f C, ou .C—ï X-'—r-. La constante C doit
être telle que, faisant x=i, Z représente simplement
le premier terme-f de la suite. ; ce qui
donne C — ^==i, ou C = |. Donc Z-^\—rOn peut multiplier ces exemples à l’infini. En
voilà assez pour 1 objet que nous nous sommes proposé.
( L. B. ) "'DIFFÉRENTIEL’, adj. On appelle dans la
haute Géométrie, qaztìúté.différentielle ou simplement
différentielle, une quantité infiniment petite,
ou moindre que toute grandeur assignable. Voyez
.QUANTITÉ & INFINI. ,_ 'On Fappelle différentielle ou quantité différen- .
tiélle , parce qu’on la considère ordinairement
comme la différence infiniment petite de deux
quantités finies, dont l’une surpasse l’autre infinir
ment peu. Neuton & les Anglois l’appellent
fluxion , à cause qu’ils la considèrent comme
l’accroisfejnent momentané d’une quantité. Voyez
FLUXION, &'C. Leibnitz .& d’autres l’appellent
auffi une quantité infiniment petite.CALCUL différentiel ; c’est la manière de diffërentier
les’quantités-, ç'est-à-dire de trouver la
différence infiniment petite d’une quantité finie
variable./Cette méthode est une des plus belles & des
plus fécondes de toutes .les Mathématiques ;
■M. Leibnitz qui Fa publiée le premier, Fappelle
calcul différentiel, en considérant les grandeurs
infiniment petites comme les différences des quantités
finies ; c’est pourquoi il les exprime par la
lettre d qu’il met au-devant de la quantité différentiée ;
ainsi la différentielle de x est exprimée par
dx, celle de y par dy, &c.M. Neuton appelse le calcul différentiel, méthode
des fluxions , parce qu’il prend,, comme on Fa
dit , les quantités infiniment petites pour des
fluxions ou des accroissemens momentanés. II considère,
par exemple,une ligne commeengendr.ee par
la fluxion d’un point, une surface par la fluxion
d’une ligne, un solide par la fluxion d’une surface ;
& au lieu de la'lettre d, il marque les fluxionspar un point mis au-dessus de la grandeur dinérentiée.
Par exemple, pour la fluxion de Ï,3écrit x ; pour celle dey, y &c. c’est ce qui fait là
seule différence entre le calcul différentiel & la
méthode des fluxions. V. FLUXION. " 'On peut réduire toutes les règles du calcul
différentiel à celles-ci.1.° La différence de la somme de plusieurs quantités
esl égale à la sommé de leurs différences.
.Ainsi, d ( x + y + z ) = dx 4- dy 4- d.z2.0>>Ladifférentielle de xy esl ydx + xdy.3. 0 La différence de x™ , m étant un nombrem—1positif & entier, esl m x dx.Par ces trois règles, il n’y a point de -quantité
qu’on ne puislë différentiel ;. On fera, par exemple,-1= x X y ~1- Voyez EXPOSANT." Donc la diffé—1 —'i..rence (règle 2) est y X dx + x X d (y ) = (règlcz) ^~p<^Ï^.L*dfférentielle1 1 1 _ j Ï . -
de z 7 est j z î ■ dz- Car soit z ? —x, on a 1
q ' î—I d . — S, + IZ=2X&-d7=qx dx & dx——■ X*". . • î ■ , ■■s-'Xl~I+'". De même \/"x x + yy. \_ .
= x x + y y ' ; donc la différence est \ X
(zx d x 4- Z y dy)  X ( x x 4- y'y ) - ^ ;=,■ . ' =., & ainsi des autres.
V x'x 4- y.y •■ -■ '- .Les trois règles ci-deffus sont démontrées d’une
manière fort simple dans une infinité d’ouvrages,
& su r-tout, dans la première section de J’analyse
des Infiniment petits, de "M. de FHopital, à laquelle.
nous renvoyons. II manque à cette seòlion le
calcul différentiel des quantités logarithmiques &■exponentielles, qu’on peut voir dans le J. volume •
des oeuvres de Jean Bernoulli, & dans la I. partie
du traité du calcul intégral de M. ae Bougainville
le jeune.'On peut consulter ces ouvrages qui font\ entre les mains de tout le monde. Voyez EXPONENTIEL.
Ce qu’il nous importe le plus de. traiter
ici, c’est la métaphysique du calcul difféientiel:Cette métaphysique-dont on a_ tant écrit ; est
encore plus. importante, & peut-être plus difficile
à développer que les règles mêmes de ce calcul :
plusieurs, géomètres , entr'autrès M. Rólle , ne
pouvant admettre ,1a -supposition que l’on y fait: de grandeurs, infiniment petites , Font ' rejettée
entièrement, & ont prétendu que le principe étoit
fautif 6k capable d’induire eh erreur. Mais quand on
 fait attention que toutes les vérités que l’on
découvre par le secours de là Géométrie ordinaire,'
se découvrent de même & avec beaucoup plus de
facilité par le secours du calcul différentiel’., on ne
peut s’empêcher de conclure que ce calcul fournissant
des méthodes sûres, simples & exactes,les
1 principesD if dif rzrprincipes dont il dépend doivent auflì être, simples
& certains.M. Leibnitz, embarrassé des objections qu’il
sentoit qu’on pouvoit faire fur les quantités infiniment
petites, telles que les considère le calcul
différentiel, a mieux aimé réduire ses infiniment
petits à n’être que des incomparables, ce qui ruineroit
l’exactitude géométrique des calculs ; & de
quel poids, dit M. de Fontenelle, ne doit pas
être contre Finvention Fautòrité de Finventeur ?
D’autres,comme M. Nieuwentitadmettoient seulement
les différentielles du premier ordre, & rejettoient
toutes celles des ordres plus élevés :.ce qui
n’a aucun fondement ; car, imaginant dans un
cercle une corde infiniment petite du premier
ordre, Fabfcisse ou sinus verse correspondant est
infiniment petit du second ; & si la corde est infiniment
petite du second, Fabfcisse est infiniment
petite du troisième, &c. Cela se démontre aisément
par la Géométrie élémentaire, puisque le
diamètre d’un cercle qui est fini, est toujours à la
corde, comme la corde est à l’abseistè correspondante.
D’où l’on voit que les infiniment petits du
premier ordre étant une fois admis, tous les autres
en dérivent nécessairement. Ce que nous disons,
ici n’est que pour faire voir, qu’en admettant les
infiniment petits du premier ordre, on doit admettre
ceux de tous les autres à Finfini ; car on peut du
reste se passer très-aifëment de toute cette métaphysique
de Finfini dans le calcul différentiel, comme
dn le verra plus bas. • ,M_. Neuton est parti d’un autre principe ; &
l’on peut dire que la métaphysique de ce grand
géomètre fur le calcul des fluxions est très-exacte
& très-lumineuse, quoiqu’il se soit contenté de la
faire entre-voír. - .II n’a jamais regardé le calcul différentiel comme
le calcul des quantités infiniment petites, mais
comme la méthode des premières & dernières
raisons, c’est-à-dire la méthode de trouver les
limites des rapports. Aussi cet illustre auteur n’a-t-il
jamais difsérenrié des quantités, mais seulement
des équations ; parce que toute équation renferme
un rapport, entre deux variables, & que la différentiation
des équations ne consiste qu’à trouver
les limites du rapport entre les différences finies
de deux variables que Féquation renferme. C’est
ce qu’il faut éclaircir par un exemple qui nous
donnera tout-à-la-fois Fidée la plus nette & la
démonstration la plus exacte de la méthode du
calcul différentiel.Soit A M (fig. 3 , Analys.)  une parabole ordinaire,
dont Féquation, en nommant A P, x,
P M, y, & a .le paramètre, est y y = a x. On
propose de tirer la tangente M Q de cetse parabole
au" point M. Supposons que le problême soit résolu ,■&'
 imaginons une ordonnée p m k une dislance
quelconque finie de P M ; & par les points M,
m tirons la ligne m M R. H est évident, i.° que
_Mathématiques. Tpme'I, IXe- Partie.Jle rapport p^ de l’ordonnëe à la soutangente, estplus grand que le ràppprt —■ ou ^, qui lui estégal à cause des triangles semblables MO m,
M P R : z." que plus ie point m sera proche du
point M, plus le point il sera près du point Ç>,plus par conséquent le rapport ^ou^approMFchera du rapport yn > & que le premier de cesrapports pourra approcher du second aussi près
qu’on voudra, puisque P R peut différer aussipeu qu’on voudra de P Q. Donc le rapport —est la limite du rapport de m O à O M. Donc, si
on peut trouver la limite,du rapport de M O à
O M, exprimée algébriquement, on àura l’expreffion
algébrique du rapport de M P à PQ_ ; &
' par conséquent l’expreffion algébrique du rapport
de Fordonnée à la soutangente, ce qui sera trouver \
cette soutangente. Soit donc MO=:u, Om=zz*
pn aura .a x —yy, & ax + a u =z y y 4- z y {
4- z Z- Donc, à cause de ax=zyy, il vient au.=riy-i+u m" = 27t ?;Donc ——— est en général le rapport de m Oà O M, queique part que l’on prenne le point m.Ce rapport est toujours plus petit que — ; maisplus z sera petit, plus ce rapport augmentera ; &
comme on peut prendre z st petit qu’on voudra, onpourra faire approcher le rapport ■ ? ' aussi près
qu’on voudra du rapport — ; donc — est la limite
du rapport de ———-, c’est - à - dire du rapport'çûft. Donc ^ est égal à -^ , que nous avons.trouvé être auslì la limite du rapport de m O á
O M ; car deux grandeurs, qui sont la limite d’unemême grandeur,font nécessairement égales entr'elles.
Pour le prouver, soient Z & JHes Jimires d’une'
même quantité Y, je dis que X=Z ; car, s’il
y avoit entr'elles quelque différence V, soit X
 ;= Z rfc V : par Fhypothèse, la quantité I^peut
approcher de Â aussi • près qu’on voudra ; c’est-àdire
que la différence de z & de X peut être
aussi petite qu’on voudra. Donc, puisque Z différé
de if de la quantité V, il s’ensuit que i^nepeut
approcher de Z de plus près que {a quantité V,
& par conséquent que Z n’est pas la limite de T,
ce qui est contre l’hypothèíë, Voyez LIMITE
EXHAUSTION, .'_.'"De-là il résulte que ^~ esl égal à ^-. DoncPÇ) = ^3ii. Or," suivant la méthode duVvv
<ii D I F . - D I F
calcul différentiel, le rapport de M P à P Ç> est
égal à celui de dy à dx ; & Féquation ax = yyèonne adx~zy dy, &^=~. Ainsi , j^est la limite du rapport de z à""> &• cette nmite
se trouve en faisant Í=O dans la fraction-ryqr^'
Mais, dira-t-on, ne faut-il pas faire aussi í = o
& u = o, dans la fraction ï — 7j^_— , & alors
on aura - = — Qu’est-ce que cela signifie ? Je
réponds, ì. 0 qu’il n’y a, en cela, aucune absurdité ;
car ^peut être égal à tout ce qu’on veut :ainsi, il peut être p. Je réponds ,2.° que, quoique
la limite du rapport de z à u se trouve quand
Z =o & u = o, cette limite n’est pas proprement
le rapport de ï=° à u=z o, car cela ne présente
point d’idée nette ; on ne fait plus ce que c’est
qu’un rapport dont les deux termes font nuls l’un
& l’autre. Cette limite est la quantité dont le rapport
- approche de plus en plus., en supposant z &u tous deux réels & décroissans, &- dont ce rapport
approche d’aussi près qu’on voudra. Rien
n’est plus clair que cette idée ; on peut l’appliquer
à-une infinité d’autres cas. Voyez LIMITE , SÉBIE ,P.E.OGB.ESS10N , 6-cSuivant Ja méthode de différentier, qui est à la ,
tête du traité de la quadrature des courbes de
M. Neuton, ce grand géomètre, au lieu de Féquation
àx-\-au=yy4- zyz +'íï > auroit écrit
ax+ao'^yy-j-Zyo-j-uo, regardant ainsi en
quelque manière z■ & u comme des zéros ; ce quilui auroit donné -= —4 On’doit sentir, partouto - zy ' rce que nous avons dit plus haut, Favantage & les
inconvéniens de cette dénomination : l’avantage,
en ce que z étant = o , diíparoît fans aucune autresupposition du rapport-——- ; l’inconvénient,encè que les deux termes du rapport sont censés zéros :
ce qui, au premier coup-d’oeil., ne présente pas
une idée bien nette.Qn voit donc, par tout ce que nous venons de
dire, que la méthode du calcul différentiel nous
donne exactement le même rapport que vient de
nous donner le calcul précédent. II en sera de
même des autres exemples plus compliqués. Celui-ci
nous paroît suffire pour faire entendre aux commençans
la vraie métaphysique du calcul différentiel.
Quand une fois on laura bien comprise, on sentira
que la supposition que l’on y fait de'qnantités
infiniment petites, n’est que pour abréger & simplifier
les raifonnemens ; mais que, dans le fond,
le calcul différentiel ne suppose point nécessairement
l’exislence de ces quantités ; que ce calcul ne confifte
qu’à déterminer algébriquement la limite- d’unrapport de laquelle on a déjà Vexpression en lignes ;
6' à égaler ces deux limites , ce qui fait trouver une
des lignes que l’on cherche. Cette définition est peutêtre
la plus précise & la plus nette qu’on puisse
donner du calcul différentiel ; mais elle ne peut
être bien- entendue que quand ou se sera rendu ce
calcul familier, parce que souvent la vraie définition,
d’une science ne peut être bien sensible qu’à
ceux: qui ont étudié la science.Dans l’exemple précédent, la limite géométrique
& connue du rapport de z à u est le rapport de
Fordonnée à la soutangente ; on cherche, par le
calcul différentiel: 1, la limite algébrique du rapportde ? k u, & on trouve -2. Donc, nommant•« 'la2 y . 'soutangente, on a - = — ; donc s = — = z x.° . .s zy\ &Cet exemple suffit pour entendre les, autres.. II
suffira donc de.se rendre .bien familier dans l’exemple
ci-dëffus des tangentes de la parabole ; &,
comme tout le calcul différentiel peut se réduire
au problème des tangentes, il s’enfuit que l’on
pourra toujours appliquer les principes précédens
aux différens problèmes que l’on résout par ce
calcul, comme l’invention des maxima & minima,
des points d’inflexion & de rebroustëment, &c.
Voyez ces mots.Qu’est-ce en effet que trouver un maximum ou
un minimum ? C’est, dit-on, faire la différence de
d y égale à> zéro ou à Finfini : mais, pour parlerplus exactement, c’est chercher la quantité ~qui exprime la limite du rapport de dy fini à a"x
fini, & faire ensuite cette quantité nulle ou infinie.
Voilà tout le mystère expliqué. Ce n’est point dy
qu’on fait= ài'infini : cela seroit absurde ; car dy
étant prise poùr infiniment petite., ne peut êtreinfinie ; c’est -^ - c’est-à-dire qu’on cherche làvaleur de x qui rend infinie la limite du rapport
de dy fini à dx-faà…On a vu plus haut qu’il n’y a point proprement
de quantités, infiniment petites du premier ordre
dans le calcul, différentiel ; que les quantités qu’on
nomme ainsi, y sont censées divisées par d’autres
quantités censées infiniment petites, &. que, dans
cet état, elles marquent non des quantités,infiniment
petites, ni même des fractions,dont lenumérateur
& 1-e dénominateur sont infiniment petits,
mais la limité d’un rapport de deux quantités
finies. 11 en est de même, des différences secondes ,
& des autres d’un ordre plus élevé. II n’y â point,
en Géométrie, de ddy véritable ; mais, lorsque
ddy se rencontre dans une équation, il est censé -
divisé par une quantité dxz, ou autre du mêmeordre : en cet état, qu est-ce que^|-í c’est la
limite du rapport ~ , divisée par dx ; ou, ce quiD ì f d i f « îsera plus clair encore, c’est, en faisant la quantité
finie -~ =1, la limite de —1.dxx - dxLe calcul differentio - différentiel est la méthode
de différentier les grandeurs différentielles ; & on
appelle quantité diffèrentïo-différentielle la différentielle
d’une différentielle. »Comme le caractère d’une différentielle est la
lettre d, celui de la différentielle de dx est t/áx
ou ÍÏ, & là différentielle de í/áx est dddx, ou
dix,ckc.Les anglois écrivent x > x > &c. au lieu deJííx , d1 x, &c.
La différentielle d’une quantité finie ordinaires’appelle une différentielle du premier degré ou dupremier ordre comme dx.
Différentielle du second degré où du secondordre, qu’on appelle aussi, comme on vient de levoir, quantité differentio-différehtielle , est la partie \infiniment petite d’une quantité différentelle dupremier degré, comme ddx, dxdx ou dxz,dx dy, &c.Différentielle du troisième degré, est la partieinfiniment petite d’une quantité différentielle dusecond degré, comme'dddx ou d5x, dxdydz, &ainsi de fuite. .,Les
 différentielles du premier ordre s’appellentencore différences premières ; celles du second, différences
secondes ; celles du troisième, différencestroisièmes.La puissance seconde dxz d’une différentielledu premier ordre, est une quantité infinimentpetite du second ordre ; car dxz ' dx '. \ dx • ì ;donc dxz est censée infiniment petitepar rapport
a d x ; de même on trouvera que dxi óu d xz dy ,
■ est infiniment petite du troisième ordre, fi-c. Nous
parlons ici de quantités infiniment petites -, & nous
:en avons parlé plus haut dans cet article, pour
nous conformer au langage ordinaire ; car par ce
.que nous avons déjà dit de la métaphysique du
calcul différentiel, & par ce que nous allons encore
en dire, on verra que cette façon de parler n’est
qu’une expression abrégée ofobfcure en apparence,
d’une chose très-claire & très-simple.Lès puissances différentielles , comme d x1 se
différentient de la même manière que les puissances
des quantités ordinaires. Et comme les
différentielles composées se multiplient -òu se divisent
l’une l’autre, ou sont des puissances des
différentielles du premief degré, ces différentielles
se différentient de même que les grandeurs ordinaires.
Ainsi , la différence de d xm est m (dx) m- '
ddx, & ainsi des autres. C’est pourquoi le
Calcul différentio-différentiel est lé même au fond
que le calcul différentiel.Un auteur célèbre de nos jours dit, dans la préface
d’un ouvrage fur la Géométríe de l’infini, quil
n’avoit point trouvé de géomètre qui pût expliquer
précisément ce que c’est que la différence de a7 ydevenue égale à Finfini dans certains points d’inflexion.
Rien n’est cependant plus simple ; au pointd’inflexion la quantité — est un maximum ou unminimum ; donc la différence divisée par dx esl = o
ou=à Finfini. Donc, en regardant dx commeconstant, on a la quantité ■— = à zéro ou à l’infini ;
cette quantité n’est point une quantité infiniment
petite, c’est une quantité qui est nécessairement
ou finie, ou infinie, ou zéro, parce que le
numérateur ddy , qui est infiniment petit du
second ordre, esl divisé par dxz, qui est auísi du
second ordre. Pour abréger, on dit que ddy ést =
à l’infini ; mais ddy est censée multipliée par laquantité ^-j ; cê qui fait disparaître tout le mystère.
En général, d d y = à l’infini ne signifie autre
chose que ^3- = à l’infini ; or, dans cette équation,
il n’entre ppint de différentielle ; par exemple,
soit y ■=.-=L=- ; onáura^y = + .* *r. , &J a-i*' J ' (a—x) î »ddy== _ g : ddy=:& l’infini, n’est autrechose que — = à l’infini, c’esl-à-dire T^T ? =à l’infini , ce qui arrive quand a: = a ; on voit .
qu’il n’entre point de différentielle dans la quantitéTa~—xx« i qui réprésente J-J , ou la limite de la
limite ïï.dxOn supprime le dx 1 pour abréger ; mais il n’en
est pas moins censé existant. C’est ainsi qu’on se
sert souvent dans les sciences de manières de parler
abrégées qui peuvent iuduire en erreur, quand on
n’en entend pas le véritable sens.II résulte de tout ce que nous avons dit, 1." que,
dans le calcul différentiel, les quantités qu’on néglige,
sont négligées, non comme on le dit d’ordinaire,
parce qu’elles sont infiniment petites par rapport à
celses qu’on laisse subsister, ce qui ne produit qu’une
erreur infiniment petite ou nulle ; mais parce qu’elles
doivent être négligées pour l’exactitude rigoureuse.On a vu en effet ci-dessus que — est la vraie &exacte valeur de -j- ; ainsi, en différentiant ax=yy,c’est zy dy, & npn zy dy 4- dyz, qu’il faut
prendre pour la différentielle de yz, afin d’avoir,comme on le doit ,2~= — ; 2.° il ne s’agit point, ■comme on le dit encore ordinairement, de quantités
infiniment petites dans le calcul différentiel ;
il s’agit uniquement délimites de quantités finies.
Ainsi. la métaphysique de Finfini .fie des quantités
infiniment petites.plus grandes ou plus petites les
unes que les autres, esl totalement inutile au.
calcul différentiel. On nese-sert du terme d’infiniment
petit, que pour abréger les expressions. Nous
ne dirons donc pas avec bien des géomètres qu’une
^> Vwij
quantité-est infiniment petite, non avant qu’elle
s’évanouisse, non après qu’elle est évanouie, mais
dans l’inslant même où elle s’évanouit ; car que
veut dire une définition fi fausse, cent fois plus
obscure que ce qu’on veut définir ? Nous dirons
qu’il n’y a point dans le calcul différentiel de
quantités infiniment petites. Au reste, nous parlerons
plus au long à Y article INFINI de la métaphysique
de ces quantités. Ceux qui liront avec
attention ce que nous venons de dire, & qui y
joindront l’usage du calcul & les réflexions ,
n’auront plus aucune difficulté fur aucun cas, &
trouveront facilement des réponses aux objections
de Rolle & des autres adversaires du calcul différentiel,
supposé qu’il lui en reste encore. II faut
avouer que si ce calcul a eu des ennemis dans fa
naissance, c’est la faute des géomètres ses partisans, ""
dont les uns Font mal compris, les autres Font
trop peu expliqué. Mais les inventeurs cherchent
à mettre le plus’de mystère qu’ils peuvent dans
leurs découvertes ; & en général les hommes ne •
haïssent point Tobseurité, pourvu qu’il en résulte
quelque chose de merveilleux. Charlatanerie que
tout cela ! La vérité est simple, & peut-être toujours
mise à portée de tout le monde, quand on veut
en prendre la peine.NOUS ferons ici au sujet des quantités différentielles
du second ordre, & autres plus élevées, une
remarque qui era très-utile aux commençans. On
trouve dans les mém. de l’acad. des Sciences de
1711, & dans le I. tome des oeuvres de M. Jean
Bernoulli, un mémoire où l’on remarque avec
raison que "Neuton s’est trompé, quand il a cru
que la différence seconde de z" > en supposantn (n— lì ?"" 1 d ?zdz constante, esl au lieu qu’elle est n(n—l) z*"'l’dz~, comme il résulte des règles
énoncées ci-dessus , & conformes aux principes
ordinaires du calcul différentiel. C’est à quoi il
faut prendre bien garde ; & ceci nous donnera
encore occasion d’insister fur la'différence des
courbes polygones & des courbes rigoureuses, dont
nous avons déjà parlé aux art. CENTRAL &
COURBE. Soit, par exemple, y-xz ; Féquation
d’une parabole : supposons d x constant c’ést-àdire
tous les d x égaux, on trouvera que x 4- d x
donne pour l’ordonnée correspondante exacte, que
j’appelle y, xz + 2 x'dx 4- dxz, & que x -f 2 dx
donne l’ordonnée correspondante que je nomme y",
exactement égale à xz + 4 x dx 4- 4 d-xz ; donc
zxdx4-dxz est l’excès de la seconde ordonnée
sur la première, &2 x dxz -f 3 dxz est l’excès de
la troisième sur la seconde : la différence de ces
deux excès est z dxz ; & c’est Je ddy, tel que le
donne le calcul différentiel. Or si par l’extrémité
de la seconde ordonnée on tiroit une tangente qui
vînt couper la troisième ordonnée, on trouveroit
que cette tangente diviíeroit le d d y en deux
parties 'égales, dont chacune seroit par conséquent<fx* ou î^*-. C’est cette moitié du ddy vraique M. Neuton a prise pour le vrai d d y entier ;
& voici ce qui peut avoir occasionné cette méprise.
Le ddy véritable se trouve par le moyen de la
tangente considérée comme sécante dans la courbe .
rigoureuse ; car en faisant les dx constahs, ^.regardant
la courbe comme polygone, le d d y fera
donné par le prolongement d’un des côtés de la
courbe, jusqu’à ce que ce côté rencontre l’ordonnée
infiniment-proche aussi prolongée. Or là tangente
rigoureuse dans la courbe rigoureuse étant prolongée
de même, donne la moitié de ce ddy ;
& M. Neuton a crû que cette moitié du ddy exprimoit
le d d y véritable, parce qu elle étoit formée
par la soutangente ; ainsi, il a confondu la courbe
polygone avec la rigoureuse. Une figure très-simple
fera entendre aisément tout cela à ceux qui sont un
peu exercés à la géométrie des courbes & au
-calcul différentiel. V. COURBE POLYGONE au mot
"COURBE, V histoire de l’acad. des Scient, de IJZZ,
& mon traité de Dynamique , I. partie, à l’artiele
des, forces centrales.EQUATION DIFFÉRENTIELLE , est celle qui
contient des quantités différentielles. On Fappelle
du premier ordre, si les’ différentielles sont du
premier ordre , du second , fi elles font du
second , &c.Les équations différentielles à deux variables
appartiennent aux courbes méchaniqùes ; c’est en.
quoi ces courbes diffèrent des géométriques. On
trouvera leur construction au mot COURBE. Mais
cette construction suppose que les indéterminées y
soient séparées ; & c est Fobjet du calcul intégral.
V. INTÉGRAL. -Dans les équations différentielles du second ordre,
où dx, par exemple, esl supposé constant, si on
veut qu’il ne soit plus constant, on n’a qu’à divisertout par dx ; & ensuite, au lieu de -^- , mettreif dy \ ddy dyâ.dx „ .\Tx Jou "57 dl~> & Gn aura une é ?ua"tion où rien ne sera constant. Cette règle esl
expliquée dans plusieurs ouvrages, & fur-tout
dans la seconde partie ( du Traité du calcul intégral
de M. Bougainville.On peut aussi avoir recours aux OEuvres de
Jean Bernoulli, t. I V, page 77 ; & on peutremarquer que d-Ìl, en supposant dx constant, estla même chose que d ( |£ \, en supposant d xconstant : or ^ esl le même, soit qu’on prenne dx
constant, soit qu’on le fasse variable. Cary demeurant
la même, ■£ ne change point ;, pourvu que
dx soit infiniment petite. Pour le bien voir, on
n’a qu’à supposer d y =Ï dx ou 0 = ï} on auraD i f d i f xt%dz au lieu de -~ dans Féquation ; or ce if ?.est lamême chose que d í -^ ) fans supposer rien de
constant. Donc, 6-c.11 me reste à parler de la différentiation des quantités
fous le signe/ Par exemple, on propose de
différentier s A dx , en ne faisant varier que y ,
A étant une fonction de x & de y : cette différence
est dy J—dxy -j- étant le coefficient de dydans lardifférmtielle de A. On trouvera la méthode
expliquée dans les Mémoires de l’Acad. de 174.0,
page Z9G, d’après un Mémoire de M. Nicolas
Bernoulli. Je passe légèrement fur ces objets qui
font traités ailleurs, pour venir à la question de
Finventeur. du calcul différentiel.II est constant que Leibnitz Fa publié le premier ;
il paroît qu’on convient aujourd’hui assez généralement
que Neuton l’avoit trouvé auparavant : reste
à savoir si Leibnitz Fa pris de Neuton. Les pièces
de ce grand procès se trouvent dans le commercium ,
epistoliçum de analyfìpromotâ , 1712, Londini. On
y rapporte une lettre de Neuton du 10 Décembre
1672, qu’on prétend avoir été connue de Leibnitz,
& qui renferme la manière de trouver les tangentes
des courbes. Mais cette méthode dans la lettre
citée, n’est appliquée qu’aux courbes dont les équations
n’ont point de radicaux ; elle ne contient
point le calcul différentiel, & n’est autre chose
que la.méthode de Barrow pour les tangentes iua
peu simplifiée. Neuton dit à la vérité dans cette
lettre, que, par fa méthode, il trouve les tangentes
.de toutes sortes de courbes, géométriques, méchaniques
,~foit qu’il y ait des radicaux, ou qu’il’n’y
.en ait pas dans Féquation. Mais il se contente de
le dire. Ainsi, quand Leibnitz auroit vu cette lettre
de 1672, il n auroit point pris à Neuton le calcul
différentiel ; il-Fauroit pris tout au plus à Barrow ;
& en ce cas ce ,ne seroit, ni Neuton, ni Leibnitz,
ce seroit Barrow qui auroit trouvé lë calcul différentiel.
En effet, pour le dire en passant, le calcul
différentiel n’est autre chose que la méthode de
Barrow pour les tangentes, généralisée. Voyez
.cette-'méthode de Barrow pour les tangentes, expli-quée
dans fe6 lediones geometricoe & à la fin du
.V. livre des seâions coniques de M. "de FHopital ,
& vous serez convaincu" de ce que nous avançons
ici. II n’y avoit, pour la rendre générale, qu’à
l’appliquer aux courbes dont les équations ont des
radicaux ; & pour cela il suffisoit.de remarquer
que m x" 1 — 1 dx est la différentielle de x "', non.feulement
lorsque m est uii nombre entier positif
(c’estle cas de Barrow ) , mais encore lorsque m est
un.nombre quelconque entier, ou rompu , positif,
ou négatif. Ce-pas ëtoit facile en apparence ; &
c’étoit cependant celui qu’il falloit faire pour
trouver tout le calcul différentiel, . Ainsi, quelquesoit Finventeur du calcul différentiel, il n’a fait
qu’étendre & achever ce que Barrow avoit presque
fait, & ce que ìe calculdes exposons, trouvé par
Descartes, rendoit assez facile à perfectionner. Voyez
EXPOSANT. C’est ainsi souvent que les découvertes
les plus considérables préparées par le travail des
siècles précédens , ne dépendent plus que d’une
idée fort simple.Cette généralisation de la méthode de Barrow ; ■
qui contient proprement le calcul différentiel, ou
(ce qui revient au même) la méthode des tangentes• en général, se trouve dans une lettre de Leibnitz
du 21 Juin 1677, rapportée-dans le même recueil,
p. 90. C’est de cette lettre qu’il faut dater, &
non des actes de Leipfick de 1684, où Leibnitz
a publié le premier les règles du calcul différentiel,
qu’il connoissoit évidemment sept ans auparavant,
comme on le voit par la lettre citée. Venons aux.
autres faits qu’on peut .opposer à Leibnitz.. ;Par une lettre de Neuton du 13 Juin 1676, p.
40 de ce recueil, on voit que ce grand géomètre
avoit imaginé une méthode des suites, qui l’avoit
conduit aux calculs différentiel & intégral ; mais
Neuton n’explique point comment cette méthode
y conduit, il íë contente d’en donner des exemples
 ; & d’ailleurs les commissaires de la société
royale ne disent point fi Leibnitz a vu cettë lettre- ;
ou pour parler plus exactement, né disent point
qu’il Fa vue : observation remarquable ; & impor- "
tante, comme on le verra tout-à-I'heure. II n’est
parlé dans le rapport des commissaires que de la
lettre de Neuton de 1672 , comme.ayant été vue
par Leibnitz ; ce qui ne conclut rien contre lui,
comme nous 1 avons prpuvé. Voyez, p. 121 de ce
recueil, le rapport des commissaires nommés par
la société royale, art. II. & III. IIsemble pourtant
par le titre de la lettre de Neuton de 1676 ^
imprimée page 49 du recueil, que Leibnitz avoit
vu cette lettre avant la sienne de 1677 ; mais cette
lettre de 167e traite principalement des suites ; &
le calcul différentiel ne s’y trouve que d’une manière
fort éloignée, sous-entendue, & supposée. C’est
apparemment’ pour cela que les commissaires n’en
-parlent point ; car ', par la lettre suivante de
Leibnitz, page 58, il paroît qu’il avoit vu la lettre
de Neuton de 1Ó76-, ainsi qu’une, autre du 24
Octobre même année, qui roule fur la même méthode
des suites. On ne dit point non plus, & on fait
encore moins, si Leibnitz avoit vû un autre écrit
de Neuton de iéóo, qui contient un peu plus
-clairement, mais toujours implicitement, le calcul, différentiel, & qui se trouve au commencement ;de
ce même recueil.'.. C’est pourquoi, si on ne peut refuser à Neuton
la gloire de Finvention, il n’y a pas non plus, de
preuves suffisantes pour Fôter à Leibnitz. Siieibnitz
n’a point vu les écrits de. 1660 .& 1676, il est
inventeur absolument : s’il les a vus, il peut passer
pour Ferre encore, du moins de. l’aveu tacite des
commissaires, puisque ces -écrits ne contiennent5z6* D I F D I F
pas assez clairement le calcul différentiel, poùr
que les commiflaires lui aient reproché de les
avoir lus. 11 faut avouer pourtant que cès deuxécrits,
fur-tout celui de ióóo, s’il l’a lu, peuvent
lui avoir donné des. idées (voyez ■PaSe I0 du
recueil)  ; mais il lui restera toujours le mérite de
les avoir eues, de les avoir développées, & d’en
avoir tiré la méthode générale de différentier,
toutes sortes de quantités. On objecte envam à
Leibnitz que fa métaphysique du calcul différentiel
n’étoit pas bonne, comme.on Fa vu plus haut:
cela peut-être, ; cependant cela ne prouve rien contrelui.
II peut avoir trouvé le calcul dont il s’r.git, en '
regardant les quantités différentielles comme. des
quantités réellement infiniment petites, ainsi que
bien des géomètres les’ ont.considérées ; il peut
ensuite, effrayé par les objections, avoir chancelé
fur cette métaphysique. On objecte enfin que cette
méthode auroit dû être plus féconde entre ses
mains, comme elle Fa été.dans celles dé Neuton.
Cette objection esl peut-être une des plus fortes
pour ceux qui connoissent la nature du véritable
.génie d’invention. Mais Leibnitz, comme dnfait,
étoit un philosophe plein de projet sur toutes fortes
de matières : il cherelìpit plutôt à proposer des
vues nouvelles, qu’à perfectionner & à suivre celles
-qu’il proposoit. .''■■C’est dans les actes de Léigsick de 1684, comme
on l’a dit plus’ haut , que "Leibnitz a donné le
calcul différentiel des quantités ordinaires. Celui
des quantités exponentielles qui manquoit à l’écrit
de Leibnitz , a été donné depuis en 1697 par
M. Jean Bernoulli dans les actes de'Leipfick. ( O) DIFFÉRENTIELLE ( Méthode). Neuton a
donné ce nom à la méthode qu’il a- expliquée dans
\ un petit ouvrage particulier, pour faire passer une
"courbe de genre parabolique par plusieurs points '
donnés, en prenant les-différences finies., pre- :
mières,_secondes, troisièmes, &.c. des ordonnées,
qui passent par ces points. Voyez son ouvrage intitulé,
METHODUS DIFFERENTIALIS.On peut donner ce même nom à deux autres
méthodes ;ia première, est celle de découvrir Fintégrale
de certaines différentielles par la diff'érentiation.
M. Clairaut en a le premier donné l’idée
dans les Mém, de l’Acad. des Sciences de Paris,
2754 ^ mr quelques cas particuliers ; j’ai donrté
depuis, dans les Mém. de Berlin, 174R , la méthode
générale pour trouver les équations différentielles
qui avoient cette propriété. Voyez {aï
cela mes OPUSCULES MATHÉMATIQUES, Tome I,
page 244.On peut encore donner le nom de Méthode différentielle
, à une autre méthode que j’ai aussi
donnée dans les mêmes Mémoires de Berlin , 1748 ,
& qui consiste à trouver,par la différentiation, dans
certains cas, les valeurs dune quantité intégrale, à
une ou plusieurs variables. J’ai fait souvent usage
 »e cette méthode, entr'autres, pour démontrer quetoutes-les.quantités imaginaires peuvent se réduire
à la forme A 4- B |/ — I, & pour résoudre uiie
grande quantité de problêmes fur les fonctions.
'Voyez les Mém. de Berlin, 1746, & plusieurs endroits
de mes opuscules. (O)  ,
DIFFÉRENTIER ,.v. act. ( Géomét.) une quantité
dans la Géométrie transceridenre , c’est en
rendre la différence suivant les règles du calcul
-différentiel. Voyez DIFFÉRENCE & DIFFÉREN■TIEL, où les règles & la métaphysique de ce calcul.
font expliquées, Voyez auffi Varticle INTÉGRAL.
('0) ' 'DIFFRACTION, f. f. .( Optiq. )  est une propriété
des rayons de lumière , qui consiste en ce' que ces rayons se détournent de leur chemin lorsqu’ils
rasent un corps opaque, & ne continuent
pas leur route en ligne droite. Nous ne pouvons
mieux foire ici, que de rapporter en substance ce
que dit M. de Mairan sus ce sujet dans les mém.
.acad. iyz^, page 53. _■ Tous les Opticiens, avant le P. Grimaldi, jé-i
fuite, ont cru que la lumière ne pouvoit se répandre
ou se transmettre que de trois manières ;
savoir, par voie directe ou'en-ligne droite, par
réfraction, & par réflexion ; mais ce savant homme
y en ajouta Urie quatrième qu’il avoit observé dans
îa nature, & qu’il appellà diffraSion. C’est cette
inflexion des rayons qui se fait à la superficie ou
auprès de la superficie des corps, & d’où résulte
non-seulement une plus grande ombre que celle
qu’ils dévoient donner*,' mais encore différentes
couleurs à côté de cette ombre, fort semblables à
celles de l’expériencè ordinaire du. prisme.Pour se convaincre en gros du phénomène, &
fans beaucoup de préparatifs, il n’y a qu’à regarder
le soleil à travers les barbes d’une plume , òu auprès
des bords d’un’chapeau, ou de tel autre corps
filamenteux, & l’on appercevra une infinité de pe^
tirs arc-en-ciels ou franges colorées. La princi- pale
 raison du P. Grimaldi, pour établir que la
diffraSion étoit réellement une quatrième espèqç
de transmission de la lumière, & pour la distinguer
de la réfraction, est qu’elle se fait, comntò
il ie pense, sans Fintervention d’aucun nouveau
milieu. A l’égard de -M. Neuton, qui a décrit ce
phénomène avec beaucoup d’exactitude, & qui a
encore plus détaillé les circonstances & les dimensions
que le P. Grimaldi, il n’a rien décidé for-,
mellement, que je sache, de sa vraie & préten- »
due différence avec cèlui.de la réfraction , ne voulant
pas même , comme il le dit -à ce sujet, entrer
dans-la discussion, si les rayons de la lumièresont
corporels ou ne le sont pas : de natura radiorum,
utrum sunt corpora neene , nihil omninò disputant.
Cependant il a exclu du phénomène, fans restriction
& fans rien mettre à fa place, la réfraction
ordinaire de l’air.Voici d’une manière plus détaillée en quoi consiste
la diffraSion: Mt A 3 C D (pi. Opt. fis. GG) 
le. profilou la coupe d’un cheveu ou d’un filD 1 g p. i G. <z ?délié de métaí, RR i\n trait de lumière reçu par
un fort petit trou dans la chambre obscure , &
auquel on a' ; opposé, le corps A B CD à quelques
pies au-delà. Si ^on reçoit Fombre du fil- A C fur
un plan, à quelques pies de dislance du fil , par
exemple en N Z , elle y sera trouvée ,. toutes’ déductions
faites, beaucoup plus grande quelle ne
devroitl’être' à raison du diamètre de ce sillon
voit de plus de part & d’autre des limites de
Fombre en NL , Z Q, des bandes ou franges de
lumière colorée. On s’imaginera peut-être que les
couleurs 2V , E, L, d’un côté de Fombre, & Z,
V, Q , de l’autre côté , représentent simplement
la fuite, des couleurs de la. lumière , chacune des
bandes ou franges ne donnant qu’une dé ces couleurs ;
Mais ce sont bien dìslinctementtout au moins
trois ordres ou suites de couleurs de chaque côté ^
& posées l’une auprès de l’autre -, à-peu-près comme
lès spectres d’autant de prismes ajustés ! un fur l’autre
au-deffus & au-dessous du.corps dissringent’
AB CD. Ces trois suites de franges ou de couleurs
sont représentées ici dáns leurs proportions
ou approchant (fig. 67) , par-rapport .à Fom-bre
 O du cheveu, & marquées fur lë milieu des
rfîêmes lettres’ que leurs correspondantes dans’ la
figure 66. Ainsi la première, en partant de Fombre,
est N d’un côté & Z, dfe l’autre ; la seconde E &V,
& la troisième. X & Q: On voit dans la première
de párt & d’antre, en venant de Fombre, les couleurs
suivantes, violet, indigo , bleu-pâle, yerd,
jaune, rouge ; dansJa ; secondes ensuivant le même
ordre, bleu, jaune., rouge ; & dans la,troisième,
bleu-pâle, jaune-pâle, & rouge. Cette propriété des
rayons de lumière s’appelle zuiûinflexion-U y ;ades
auteurs qui prétendent que M ; Hóok'Fa découvert..
le premier, mais.cet auteur est postérieur à Grimaldi.
La cause n’en est pas bien connue ; on peut
voir fur .ce sujet les eonjeâures de M. Neuton
dans son Optique , & celles.de M. de Mairan dans,
les mém. acad..£738. (O) M. de Liste a donné des expériences à ce sujet,
dans ses Mémoires imprimés à Pétersbourg, en
1738, M. Maraldi dans les Mémoires de VAcadémie,
pour 1723 Voyez aussi le .Cours completd’'Optique ,
traduit de Fangois, de Robert Smith, à Avignon,
1767,tome-1 ,p. Z14ÍLes astronomes appellent inflexion le changement
qu’éprouvent les rayons en passant près d’une planète,
mais- ils regardent celle-ci comme un effet de la
 réfraction. V. INFLEXION. ( D. L. ) D i gDIGNITÉ (en Astrologie) , se dit de la simation
d’une planète dans le signe où elle ale plus d’influence.
( OzosAM.) . ' y. DIGRESSION ,s Astron. )  éloignement apparent
dés planètes’ au soleil ; c’est à-peu-près la même
chose que ÉLONGATION : mais digression se dit plus
communément des planètes inférieures.^ mercure &venus, quinè s’éloignent du soleil que jusqu’à uni
certain point ; mercure ; s’en éloigne' de 28d , &venus
 de 4"8a. Quand une de ces deux' píanèses est 1
dans fa plus grande digression orientale ou> occidentale
, le rayon, par lequel nous ; la voyons., est
une tangente à.Forbite de la planète, & elle nous
paroît pendant quelque tems à: la:même distance
du soleil,' ou à -la: même^élongatiòn ;, ces circonstances
■ sorif:.très-favorables- pour déterminer, exac.tement:la
situation & la grandeur d’une orbite,
c’est-à-dire, le lieu de son aphélie , sa distance au
soleil,, l’excentricité de l’ellipse que la planète décrit.
Voyez APHÉLIE , EXCENTRICITÉ, tkc.(D.L. ) '
• DIGUE, s f. (Hydrodi)  On appelle généralement
digue tout obstacle opposé à Teffort que fait 1
1 un fluide pour se-répandre. En ce sens, il y a
des digues: naturelles- & des digues artificielles. 11
n’est ici question que des dernières ; & albrs une
digue esl un solide formé de: terre Ou de pierre,
de charpente ou de faseinage , souvent dé plusieursde
ces matières, ou même de toutes ensemble,
destiné à arrêter , quelquefois à détourner & àrejetter
d’un autre côté les eaux ; d’un ;ruisseau, d’un
fleuve ou de la-mer. 'Les digues prennent,- relativement’ à leur objet/
& suivant lês matériaux dont elles sont composées,
les noms de chauffées, quais,turcies ;.) levées>
battes, glacis, reversons, jettées, môles -, épis >
batardeaux, &c. fur, quoi il est bon de remarquer ■
que plusieurs de ces dénominations sont synonymes,
le même ouvrage changeant souvent de Hom d’un 1
pays à un autre. ' .La construction la plus avantageuse & les usages
des différentes sortes de- digues, font la matière,
d’un ouvrage que j’ai composé, conjointement
avec M, Viallet, Ingénieur des ponts &- chauffées,
& qui remporta, en 1762, le prix quadruple
de l’Académie des Sciences de Toulouse. Voyez
cet Ouvrage. Ici je me contenté d’en extraire cequi
esl relatif à- la détermination & à la fprine'
qu’une digue doit avoir pòur résister à la preffionou-auchbc
des eaux.qui-tendent, à là-renverser.I. La- solution de çë problême doit être établie
fur l’une des trois hypothèses suivantes :1.° On peut considérer la digue comme un
corps absolument continu que la pression ou le
choc des .eaux tend à renverser, en le-faisant
tourner sur l’angle postérieur de sa.base, regardé
comme fixé. Gëtte manière de considérer l’effort
des eaux contre une digue est principalement applicable
à- celles qui se construisent en maçonnerie 5
súr-îout quand la maçonnerie a une fois pris
corps. ' .z." La digue-"peut être regardée comme un
solide inébranlable dansses fondemens, mais qui
ne résiste pas également fur toute fa hauteur, &
qui tend-à se diviser par tranches " horizontales ;
en, sorte qu’il s’agit de déterminer la: figure & les
dimensions que doit-avoir cette même digue, relativement
aux différentes charges d’eau quelle fou-
« iS D I F D I F
tient à différentes profondeurs. Cette seconde
hypothèse convient sur-tout aux digues qui seroicntconstruites
entièrement en terres.3. 0 On peut considérer les digues, comme ne
pouvant être rompues, ni renversées, mais comme
devant glisser d’ure seule pièce, de.sorte qu’elles
ne demeurent stable ; qu’en vertu de la résistance
occasionnée par le frottement de.leur base, contre
le fol fur lequel elles sont posées. Cette hypothèse
a rarement lieu dans la pratique, parce qu’on doit
prendre toutes les précautions possibles pour fonder
solidement les digues, & pour-les encaisser dans le
terrein. Je ne donnerai pas ce calcul.: si quelque
lecteur'veut le faire, il observera qu’on doit alors
remplir ces deux conditions..i.° La force horizontale
qui tend à faire reculer la digue , doit être
égale à la résistance du frottement, qui est toujours,
comme on fait, une certaine partie de la pression
totale que souffre le fond sur lequel la digue tend
4a glisser. 2. 0 Le moment de la force horizontale,Íiar rapport à l’angle postérieur de la base, sur
equel íè fait la rotation au premier instant, doit
être égal au moment de toutes les forces verticales,
par rapport au même angle. 11 suffit d’indiquer
cette'méthode.Examinons la forme & les dimensions de la
digue , dans les deux premières hypothèses ,, en
ayant d’abord simplement égard à la pression des
eaux stagnantes. Nous expliquerons ensuite la manière
de faire entrer dans le calcul l’essort des eaux
courantes.Première Hypothèse, -II. Soient (pi. Hydr.fig. 2 7. ) , FHNSE le profit
d’une digue regardée comme un solide, dont
toutes les parties sont liées & continues ; HK, le
niveau des eaux qui tendent à la renverser en la
faisant tourner sur le point E, considéré comme
fixe ; F H N, SE des lignes quelconques, droites
ou combes, mais données ; F E , lepaisseur que
la digue doit avoir à son pied, afin de n’être pas
renversée. 11 esl évident que dans le cas où les terres,
au-devant de la fondation du parement d’amont, ne
joindroient pas parfaitement ce parement, l’eau s’iniinueroit
dans ce fluide, & presseroit la digue en
cet endroit, suivant toute la hauteur de son niveau,
au-dessus du fond de l’affouillement ; ainsi , pour
plus de sûreté, il faut compter la profondeur des
eaux depuis la naissance de la fondation, jusqu’au
niveau des plus hautes eaux.Ayant mené à l’axe horizontal H K, les ordonnées
infiniment voisines P M, p m ; des points
H.&M, les verticales HT, MX ; du point M,
FhorizontaleML, & du point£,la verticale E L :
supposons HT=a ;F T=.f ; F E == z i le moment
de laire FHNSE, par rapport aupoint-E
e=Z ; la pesanteur spécifique de l’eau=p ;'celle
de la digue= n ■ HP~x ; P M=y.On sait que chaque élément Mm souffre une
pression perpendiculaire RM, laquelle est proportionnelleà la-hauteur P M. Décomposons cettè force
R M en deux autres RQ , R Y, l’une horizontale
, l’autre verticale. On aura force R Q =p y d s X n4>. Or ( à cause des triangles fem- '
blables RQM, m VM) , ££= £f =  ;£>d°nc
force RQ=z py ds. ^ =.pydy. Ainsi, laforce R Q fera toujours la même, quelle que
puisse être la courbe H F. Le moment de cette
même force, par rapport au point E , eftpydy
X LE=py dy X (a — y) , dont Fintégrale estIL1L-- ?2-# Supposant y = a, il nous viendra— pour le moment total de poussée horizontale■ de l’eau par rapport au point E , & par conséquent
ce moment sera toujours le même que le
moment de la poussée horizontale de l’eau contre
la verticale F K. La seconde force R Y ou Q M=pydsX^-ti:=Py dsX~TS=Py dx. Cetteforce conspire, avec le poids de la digue , à affermir
cette même digue fur fa base ; & lbn moment,
par rapport au point E, est pydx X XE~
pydx X (l~f +*) • Ponc le moment de la poussée
verticale entière de l’eau, par rapport au point E,
feras(z—f4-x) py dx. Lorsque cette intégration
sera effectuée, après avoir exprimé x en y , à l’aide
de Féquation de la courbe connue FH, il faudra
supposer y := a, afin d’avoir le moment.de la poussée
verticale de l’eau , correspPndant à toute la
hauteur HT.Maintenant , il est clair que le moment de la
poussée horizontale de l’eau, qui tend à renverser
la digue , doit être contre-balancé par la somme
des momens de la poussée verticale de l’eau , & •
du poids même de la digue , ou par le- moment
unique qui en résulte. Ce moment unique constitue
la stabilité de la digue sur son pied1F-,E : & comme '
il convient toujours de donner plus de stabilité à,
la digue , qu’il ne faut pour le simple équilibre, on
multipliera un nombre m de fois, le monieut de la
pousiee horizontale de l’eau, & on égalera le produit
à la somme des momens de la poussée.vertw ■
cale de l’eau & du poids de la digue ; ce qui donnera
Féquation (A) , m pa~> x=s(z~f 4- x) pydxG. _ '+ nZ ; d’où l’on tirera Fépaisseur Zi la quantité
Z étant une fonction connue de î- 'III. Supposons, par exemple, que les dçux
paremens N F, SE (fig. 1 8) , soient deux lignes
droites inclinées, faisant, avec Fhorizon, les angles
donnés N FT, SE Q ; & que le couronnement
N S soit une ligne droite-horizontale. Abaissons
les verticales NZ, S Q, & faisons’ S Q = N Z= b-, EQ = g, FZ = r ; oh aura i=Û:s(l~-f4.x,) pydx^f£ (î-z+û ) ■Pjdy^xD’I G .. . D I G C29
Je laisse aux lecteurs le foin d’appliquer ces
formules à des exemples particuliers.Seconde Hypothèse.IV. Dans cette hypothèse, comme dans la précédente
, la digue est censée arrêtée fixement par
son pied, de manière qu’elle ne puisse pas glisser:
mais ici elle est composée de tranches horizontales,
suivant lesquelles elle peut se diviser ; & il s’agit
de courber le parement d’amont de telle manière,
que ces différentes tranches résistent également, aux
différentes forces qui tendent à les emporter. Nous
supposons, pour écarter tout ce qui est étranger à
ía question , que le parement d’aval soit à - plomb ,
& que la hauteur des eaux s’élève à la hauteur de
la digue, ', " .: Soient donc (fig. 2.9.) HFT le profil de la
digue ; H K le niveau des eaux ; if I la courbe cherchée,
qui doit former le parement d’amont ; la verticale
HT le parement d aval ; MNnm une tranche
horizontale infiniment mince& indéterminée, suivant
laquelle la. digue tend à se rompre en vertu de
l’effort des eaux fur H M. Cela pose, il est clair
que lorsque la digue se rompt en effet suivant M N’,
, ía partie supérieure HMN se détache de Finfériéure
MNTF, en allant de As vers N, & qu’à
1 instant de la rupture , il se fait autour du point N
un pëtit mouvement de rotation. II faut donc trouver
les forces qui agislënt fur lá tranche MNnm ,
fi. les. mettre en équilibre autour du point N ,
regardé comme l’appui d’un levier. : Or ces forces
sont, i.° la poussée horizontale de l’eau. z.° La
poussée verticale'de l’eau. 3-° Le poids de la partie
HMN de la digue. 4. 0 L’adhérence des deux
surfaces M N, mn, laquelle naît de l’engrainejnent
de leurs parties. Cette dernière force est analogue
à la résistance qu’une poutre , fixée dans un
mur, & pressée par un poids, oppose à sa rupture ;
 ;mais il faut bien-marquer qu’entre ces deux sortes
de forces, il y a cette différence que les fibres d’une
poutre font flexibles & extensibles -, ce qui fait qu’elle
•ne résiste pas également dans toute la section fuiivant
laquelle elle se rompt, au. lieu que l’adhérence
des deux, surfaces MN, mn de la digue s étant
produite par Fengrenement de parties durés & déMathtmatiqucs.
Tome I, lí.e Partie,nuées de tout ressort, doit être la même dans toute
la longueur M N.Des quatre corps dont nous venons de parler,
il esl évident que la première est la seule qui
tende à renverser là partie HMN fur le point
N, & qu’elle est contrebalancée par les trois autres.
Reste à trouver les momens de toutes ces forces
par rapport au point N, & à égaler le premier à la
somme des trois autres. Or, en supposant HP ou
NMzzx,PM~y, la pesanteur spécifique de Yea\x-p,
celle de la digue =. n : on voit, i.° que le moment dela poussée horizontale de l’eau = ^".2.° Le moment
de là poussée verticale de l’eau =spxydr.-
3. 0 Le moment de la partie HMN de la digucr=.i ——^—-, 4. 0 Le moment de la force d’adhérerice"des deux surfaces MN, m n est proportionnel àxX - ■> de forte qu’en supposant que, sous unelongueur donnée h , la force d’adhérence soit
égale à un poids connu Q, &~en observant que,
comme il ne s’agit ici que de profils, ce poids
peut être converti en une tranche quarrée d’eau,
qui ait pour côté la ligne connue K : le momentdont il s’agit sera p—r— X — ;momeritqui,commel’on voit,. est homogène à tous les autres. Parconséquent on aura Féquation ~-^ =spxy d x 4f—-—-+--—r—, de laquelle il faut tirer
la relation entre x & y. Pour cela, je différentie
les deux membres ; ce qui donne ——3 -pxydx4T\xziypKzxdx ;, , /■/••/■-— -i— -f. -—-. ; ou bien ( en fanant, pourabréger, .£ = n, p-^r-—N) , nyydy = xxdy4- ( 2 ny 4- Z'N).x dx ; ou bien encore ( en faisant
2ny+ zN=z) > xxdi4-'z'nzx'dx=d^(r—z N ) z ',,…. ' • ì—i— . Multipliant tout par z n .. p0ur1rendre cette équation intégrale, on aura xzz n53o D I G D I G
La constante A , ajoutée en intégrant, doit être
telle qu’on ait y=o , lorsque x:=o , car alors le
moment de la poussée horizontale de l’eau s’évanouit,
& par conséquent les momens des autres
forces doivent s’évanouir aussi. Or cette suppositionNz (zN)  n. En substituant cette valeur de A
dans Féquation précédente, on aura Féquation de
la courbe cherchée HFT, exprimée en x & eri
y ,* & en quantité toutes connues. On voit que
cette .courbe, quoique d’un genre assez élevé, est
très-facile à construire, puisque les indéterminées
x & y se séparent d’elles-mêmes, & que, pouravoir
x en y, on n’aura à résoudre qu’une simple
équation du second degré, qui manque même de
second terme. Le (nombre constant n est le rapport
.connu des pesanteurs, spécifiques de l’eau & de la
digue. A Fégard de N, fa valeur doit être déterminée
par l’expérience.V. Si on néglige la force d’adhérence, qui ne
fait d’ailleurs que concourir à la solidité de la
digue, la solution du problème se simplifie extrêmement ;
car alors I^=o, & Féquation devientw Wi ■ f1 "y) " j> > i> • -nnxz ( 2 ny )  — 4 ( 14-1 n) > d ou 1 on Iire ai^"ihent x = y y-^~+z~îi ' ^ d’°u ^°n voit que le
parement d’amont H F est une ligne droite inclinée
fur fa base F T, de manière qu’on a FT’.HTl '.VsT^n’:- ' ' ;'' Dans les digues en-terres pour lesquelles cette
formule convient- principalement , comme nous
l’avons, déjà dit, les pesanteurs spécifiques p & n
sont entr'elles à-peu-près comme les deux nombres 7
■&. 10., en sorte qu’on a ici n=-r2. ; donc la va.nknr du radical 1/ T+TT est à-très-peu-près -2- ;
donc FT: HT : 13 -.24 à-peu-près. Ainsi, suivant
la ihéorie, le profil d’une digue en terre doit être
•un triangle rectangle dom la base soit les 14 de
la bautenr.^C’est fur quoi r.ons observerons ^déux
■choses relativement à la pratique.
■. ï.° Un talut de moitié de la hauteur ; qui ne.
suffirôit pas pour des terres abandonnées à. ellesmêmes
, conviendra parfaitement, lorsque ce talut
■sera blocaillé. II n’y auroit même aucun inconvénient
à J’augmenter davantage , si on le jugeoit
à propos. La théorse & la pratique peuvent donc ^'accorder
 très-bien ensemble.2,°,11 est impossible que le parement de derrièrede la digue se soutienne à-plomb , comme nouí
l’avons supposé dans Ia solution du problême ;
& il faut, fi on ne le biocaille pas comme celui
de devant, lui donner un talut qui varie , suivant
le degré de fluidité des terres, entre les \ & les -£• de
la hauteur. " ' ' , ' 'Comme il ne suffit pas de proportionner l’épaifseur
de la digue à la simple pression des eaux, &
qu’il faut encorese garantir des filtrations, & comme
il ne convient pas d’ailleurs de terminer une digue
par une crête aiguë qui ne pourroit pas se soutenir
long-tems’, on ne peut se dispenser de donner
à la digue , à son sommet , au moins deux
pieds de largeur. Ce plus d’épaisseur & le talut
du parement de derrière , produiront ensemble
l’excédent de résistance que la digue doit avoir sur
l’effort qu’elle esl obligée dé soutenir. On voit parlà
que la plupart des chauffées d’étang , qui ne
servent pas en même-tems de chemins, ont une
épaisseur trop considérable.Dimensions qu’une digue doit avoir pour résister tout
à-la-fois à Id pression & au choc des eaux.VI. Je suppose , pour plus de simplicité dans
les résulrats , que les deux pàremens de la digue
soient des surfaces planes, ce qui est le cas le plus
ordinaire. De plus, je suppose que la digue
forme un corps solide & continu, qui tend à se
renverser en tournant sur l’angle postérieur de sa
base. '.-.-•-'Soient (fig. zo. ) CD FH, la face plane d’une
digue, ou d’un mur, que rencontre le lit d’une
rivière ou d’un courant d’eau , suivant D F, &
qui est frappé par Teau suivant la direction
oblique RB, ; HF E S, ia coupe verticale dit
mur, élevée sur l’horizontale FÈ , perpendiculaire
à l’horizontale D F. Supposons que la hauteur
des eaux, dans le tems des grandes crues ,
s’élève à la hauteur entière ff'-T du mur, & que
les deux pàremens H F-, SE, aient le même
talut.Cela pose, on fait, par la théorie ordinaire de
la percussion des fluides, que lorsqu’un fluide frappe
obliquement un plan, Fimpulsion qui eri réíulte
perpendiculairement contre le plan , est en raison
composée du plan, du quarré de la vitesse du fluide,
& du quarré du smiis de l’angle d’incidence du
fluidesur le plan. Or, si d’un point quelconque R
du filet RB , on abaisse sur le plan CD F H la
perpendiculaire R X, & qu’on mène dans ce même
plan la droite XB, qui rencontre R B au point B ,
il est visible qu’en prenant le sinus total pour
Funíté, le sinus de l’angle d’incidence du fluidefur la face du mur, sera exprimé par.—— ;donc,R Bennommant V la vitesse de l’eau, le choc perpendiculaire
contre FH, sera proportionnel à
D I G D I G <3t
 ; Soit mené suivant la direction du filet il B que
je suppose horizontal , un plan horizontal qui
rencontre la face du mur suivant A B ; ;' & par la
droite RX , soit mené' un plan LKMm perpendiculaire
à AB, & qui rencontre le plan horizontal
passant par il B & par A B, suivant- R O ,
& la face du mur suivant O X. II est clair que
l’angle ROX est égal à l’angle H FT du talut
du parement d’amont, puisque les droites R O,
XO , sont évidemment perpendiculaires au même
point de l’horizontale À B. Or on , a R X=^
ROXsin. R O X= ROX fin. HFT, & RB' *= CT*r "' donC 'S" = f^ * * T X fin.R B 0 ; donc, le choc contre F H sera encore proportionnel
à FHX V-z Xism. HFT) Z X
(sm. RBO) z.Soient la verticale HT ou S Q = a,- F T~f ;
E Q_=g ; FH~\/"( aa. +ff) = c ; le sinus del’angle HFT( pour le rayon i ■) = — == o,- lesinus de l’angle R B 0=r ; l’épaisseur FE de la
digue à son pied = í ;la pesanteur spécifique de
l’eau = p ;.la pesanteur spécifique du mur=n.
Supposons déplus que sous une vitesse donnée v,
Fimpulsion perpendiculaire de l’eau contre une ligne
donnée K, soit égale à un poids connu Ç : Fimpu'l’
ion qui résulte perpendiculairement contre F H,•ra—Kvz•Comme tous les points de la droite H F souffrentQcVzqzrz.des chocs égaux, la force ■ = — doit être. Kvimaginée réunie au point P, milieu de HF. Qr/onprenne P V perpendiculaire à H'E pour représenter
cette force, & qu’on la décompose en deux
autres P N, P Z , l’une horizontale, l’autre Venise) 
c V"1- o2 r2- acale. On aura force PN—^ * ? X ' == ■'JCv~ cQaV*qzS■ .. „ ÇfrS’í'v:,_QfVzqzr*■ -., ' \■ Kvz • _Maintenant, on voit que la force P N tendra ',
ainsi-que la poussée horizontale de l’eau qui naît de
la pression, à renverser le mur sur le point E ,
tandis que la force P Z tendra, ainsi que le poids
du mur & la poussée verticale de l’eau qui naît de
la pression, à affermir le même mur fur son pied
FE. Or, on a trouvé. ( art. III) que le moment
de la poussée horizontale de l’eau par rapport aupoint E = — ; que le moment de la poussée verticale
= ZÙâ. - v£Lt • qu’enfin le moment duz . 6 ' í… ntj’ • n« /{ .. uafzpoids du mur:= —— — - —%— + —f- —
^~ s à cause qu’on a icjb s ; e, r~-s- Par conséquent,
en donnant au mur une sta-bilité m fois
multiple dec elle que requiert le simple équilibre,,,, . mp a\ ' ," mQaVzqzr'Lon aura 1 équation ——- 4- - Tr , =Tsla- _ Ps** , n.,' _ Tla f z T\afzí -' 6 z z+6 "Ua£QfVztzrzs / V
-J- + KÇT— X^Í - rJ ;doulon
tirera la valeur de.I'inconnue z- (L. B.) * Nous ajouterons ici, au sujet- des digues de Ia
Hollande, Farticle suivant, qui. est extrait d’une
lettre écrite d’Alcmaér , en Hollande, le 7 no.vembre
 1732, à M, de Mairan , sur les vers qui
rongent ces digues.Tout ce pays est garanti des eaux de la mer par
des pilotis ; il faut d’abord observer que la Hollande,
& plus particulièrement la Nort-Hollànde où je de-,
meure 3 est 14 pieds plus bas que n’est la mer, ou
l’eau des canaux dans Fintérieur du pays ; cela
paroît incroyable à ceux qui ne Font pas vu ; néanmoins
cela est très-vrai. Pour donc empêcher que
la mer ne submerge tout, on a fait un pilotage de
bon bois de chêne le long de la mer nommée Zaidersée,
avec une digue de terre derrière les pi*,
lotis. .Depuis environ quatorze mois on s’est apperçu
que presque tous les pieux en pilotis sont percés &
rongés de vers, & dans deux différens haut-tems’ou
tempêtes, la mer en a emporté environ 12000 toises ,
& ce qui reste ne vaut pas mieux.Ainsi là consternation esl extrême : jusqu’à présent
, l’entretien de. ces digues ou pilotis a été à la charge
des terres qui y font parallèles ; mais ces terres sont ruinées
 & abandonnées par leurs habitans, & ne
peuvent plus porter les frais extraordinaires & immenses
qu’on est forcé de faire dans une telle crainte
& calamité. Chaque, toise de digue coûte ordinairement
500 florins, & chaque arpent de terre-paie
25 florins par an pour ces digues : c’est souvent plus
qu’il ne produit, & aujourd’hui pour porter les frais,
extraordinaires, il faudroit que chaque arpent payât.
2000 florins, ce qui seroit plus de sept fois fa valeur
: par conséquent les. particuliers abandonneraient
toutes ces terres comme ils ont déja fait.
Ainsi, Fétat ou corps esl obligé de faire unedépense
qui, jusqu’à ce jour, & dès-à-présent, monte à
12 millions j & à sept cènt cinquante mille florins
pour le dommage actuel. L’état lui-même esl. endetté
de toutes parts, & ne veut pas s’y prêter, du moins
ceux déla susdite Hollande ne paroiffent pas disposés
à vouloir secourir ceux de la Nort-Hollande,
parce que la jalousie a toujours été très--grande
- entre les*'uns & les autres.Le ver en question est de Ia grosseur d’une plume
à écrire, & long de dix pouces, son corps n’a point,
de consistance, & n’est proprement que de Ia morve ;.
fa tête est grostë & plate comme une lentille dure ,
comme un diamant de chaque côté de la tête ; il a
comme deux petites perrières avec lesquelles il perce -Xxxij
r,, D I M D I M
les bois neufs, comme on seroit avec un vilbrequìn
de la grosseur du tuyau d’une plume, & il perce les
pieux'de tout sens, à-peu-près comme un rayon de
mouche à miel ou de guêpe. 11 ne travaille que clans
le bois qui est dans l’eau, celui qui-est en terre ou
qui esl hors de l’eau n’est pas endommagé. En Frise,
le dommage est encore plus grand qu’en NonHollande.
"Trois mille pionicrs travaillent actuellement
à une digue qui commence à la ville de Heldclmpen
, & qui.s’étend vers Forient en traversant
les terres, afin que s’il arrivoit que la digue crevât
d’un côté ou de l’autre, on pût néanmoins garantir
une -partie du pays.DIHELIE, (Astron.) , esl le nom que Keplcr
donne à l’ordonnée de l’ellipfe qui passe par le
foyer., dans lequel on suppose que le soleil esl
placé. Ce nom vient de "t« > deux sois , & " ?■"£ > Solál\
parce que cette ordonnée qu’on imagine passer
par le centre du soleil, le coupe pour ainsi dire
en deux. Ce mot n’est plus en usage. (O) DILATATION, ( Astronomie. )  se dit de l’augmentation
du diamètre des planètes, causé par In. .
grande lumière qui les environne. On a cru long- _
tems que le diamètre de la lune étoit beaucoup
plus grand lorsqu’elle étoit lumineuse , que lorsqu’elle
paroissoit obscure sur le disque lumineux du
solesl dans les éclipses. M. le Monnier. ayant été
en Écosse "pour observer l’éclipse annulaire du 25
juillet 174b j "observa la lune sur le soleil, & reconnut
que la diminution n’étoit pas telle que la Hire
l’avoit cru. Mém. de.l’Acad., 1748. M. du Séjour
la trouve de 6 à 7 secondes. Mém. , 1770. J’ai fait
 -voir que cette dilatation étoit insensible, à
]'égard de .venus dans ses passages fur le.soleil ,
Mém. de l’Acad. , i~6z. Le diamètre du soleil
paroît avoir une-petite dilatation: M. du Séjour
trouve qu’elle est d’environ 5 à 6" , par ses cal- culs
 de l’éclipse de 1764, & j’ai trouvé le même
résultat par les passages de Vénus fur le soleil en
3761 & 1769. M. du Séjour trotìveauísi uneinslesion
de 3" \ qui équivaut à une diminution du
'demi-diamètre de la lune dans les éclipses.. Voyez
IRRADIATION , INFLEXION. (D. L.)  ■ . .DIMENSION, f. f. (Géométrie)  : c’est Fétendue :
d’un corps considéré en tant qu’il esl mesurable
ou susceptible de mesure. . . ._ .Ainsi, comme nous concevons que les corps sont
étendus en langueur , largeur & profondeur-on. épaisseur
, nous concevons aussi ces trois dimensions dans  !
la matière : la longueur toute seule s’appelle ligne ■
la longueur combinée avec la largeur prend-lè nom
■ ûe surf ace ; enfin la longueur, la largeurs la profondeur
ou Fépaiffeur, combinées ensemble, pjoduisentee-que
l’on nomme unsolide. Voyez LIGNE
.SURFACE, SOLIDE. - • . 3On se sert particulièrement du mot dimension
pour exprimer les, puissances de,s racines ou valeurs
des quantités inconnues des équations\ que jl’on appelle les dimensions de ces racines. Vpyéi
RACINE. _ .Ainsi, dans une équation simple ou du premier degré ;
la quantité inconnue n’a qu’une dimension, comme
x = a + b. Dans une équation du second degré,
Finconnue est de deux dimensions , comme x1 =a*
4-bz. Dans une équation cubique, telle,que x'> =a !
— b 1, elle a trois dimensions, Voyez EQUATION >
PUISSANCE , &cEu général on dit, cn Algèbre , qu’une quantité
comme ab c d, ab c , ab, &c. esl d’autant de dimensions
qu’il y a de lettres ou de facteurs dont elle
est composée. Ainsi abc d est de quatre dimensions,
abc de trois, &c. On sent assez la raison de cette
dénomination prise de la Géométrie. Si , par
exemple, les produîsans ou faiseurs a, b , c, du
produit abc, sont représentés par désalignés , le
produit abc sera représenté par uri solide ou parallélépipède
, dont l’une des dimensions est a, l’autre b,
l’autre c ; de même le produit a b est de: deux dimensions
, parce 'qu’il peut représenter Uné surface
ou figure rectangle de deux dimensions a ,b , &c.
Au reste, il-ne peut y avoir proprement que dés
quantités de trois dimensions ; car passé le solide ,
on n’en peut concevoir d’autres. Qu’est-ce donc que
les quantités comme a*, a%, qu’on employé dans
Fapplication de l’Algèbre à la Géométrie ì Ces
quantités peuvent être considérées sous deux points
de vue. Ou la ligne a est représentée par un nombre
arithmétique, & en ce cas a* est la quatrième puissance
de ce nombre ;' ou bien on doit supposerai
divisé par une certaine ligne à volonté, qui réduise
le nombre des dimensions k z, Par exemple,
soit x5 + 21' -j- 6î=.o , je dis que cette équationx^ -t- aXe* -4- í> 5 " - "est la même chose que—f =o ;ce quîréduit les- dimensions à troïs.Remarquez qu’on peut toujours faire cette division
 ; car, dans la Géométrie, tout se réduit toujours .
à des équations. Oh rie considère,a 4 -que pour le comparer
 à quelque autre quantité de même dimension
 ; & îl est visible qu’une équation continue d’avoir
lieu, lorsqu’on divise tous ses termes par une quantité
constante quelconque. Ou bien, on peut regarder
a & b dans Féquation comme des nombres", qui
soient entiseux comme les lignes représentées para
&_í>, & alors x sera un nombre,, & on n’aura.que
faire de division-Cette manière de, considérer les
quantités de plus de trois dimensions, est aussi exacte
que l’autre ; caries lettres algébriques.peuvent toujours
être regardées ; comme représentant des nombres,
rationels ou non. J’ai dit plus haut’qu’il '
n’étoit pas possible de concevoir plus de trois diimenfions.^
Un homme d’esprit de ma connoissançe
croit qu’on pourroit cependant regarder la durée
conmiï une quatrième dimension , & que le pro■thiirdu
terns, par la solidité , seroit en-.quelque
manière un produit de. .quatre dimensions ; cette
idée peut être contestée,, mais:èlle a, cernescmbJe,,,..D i o d i o 553quelque mérite , quand ce ne seroit que celui de
la nouveauté.Dans lés’fractipns algébriques la dimension esl égale
à celle du numérateur, moins celle du dénominateur,
ainsi-^- ou ~ esl de deux dimensions.Ln effet,on peut supposer~ =c c. Par la même raison  ?\oup est de dimension nulle ; & on appelle ainsi en
général toute fraction où le numérateur a une dimension
égale à celle du dénominateur. ^ seroit dela dimension— i ; ce qui ne signifie autre chose ,
sinon que cette quantité étant multipliée par une
quantité de dimension positive m, le produit seroit de
la dimension m^— i. ; car voilà tout le mystère des dimensions
négatives & des expofans négatifs. Voyez
EXPOSANT. (O) . -DIOPHANTE. (Problêmes ou questions de) On
appelle ainsi certaines questions fur les nombres quarrés,
cubes,lés triangles rectangles, &c. du genre decehes
qui ont été examinées & résolues autrefois par
Diophante ,mathématicien d’Alexandrie,qu’oncrois
avoir vécu vers le troisième siècle. Nous avons son
ouvrage qui a été commenté & publié à Paris en
1Ó21, par Bachet de Meziriac ; il y en a une autre
édition faite en 1670, avec des observations de :
M. Fermait fur quelques - unes des questions de
Diophante. Dans ces questions , il s’agit de trouver
des nombres commensurables qui satisfassent à des
problêmes indéterminés, auxquels satisferaient une '
infinité de nombres incommensurables. Par exemple, :
on propose de trouver un triangle rectangle dont
les côtés x ,.y , j , soient exprimés par des nombres
commensurables. II est certain qu’on aura en général
x x4-.yy ==ZÍ> l ^îant supposée Fhypothénuse.
Voyez HYPOTHÉNUSE. Mais on voit aussi
que l’on p'eut prendre x & y , tels que z soit un
incommensurable ; car si, par exemple, x==i &y
gi ? pn aûra ï = l/ 5- Or il. s’agit de déteimi- _
ner x & y à être tels, que non-seulement x& y-,
mais encore z {oient des-nombres commensurables.  ;
Pe même soit proposé yde partager un nombre
quarré à1 en deux autres nombres qui soient aussi
quarrés, & ainsi des autres. Voilà ce. qu’on appelle
les questions de Diophante.. L’art de.résoudre ces sortes de questions consiste.
à employer & à manier tellement les inconnues
ou l’incorinue , que le-quarré & les plus hautes
puissances de cette inconnue disparoiflënt de Féquation
, & qu’il ne reste que Finçonnue élevée au
premier degré, au moyen de quoi on résout cette
équation sans avoir recours aux incommensurables.
Donnons-en un exemple fur les triangles rectartgles
en.nombres. On propose de trouver x, y, 7L,
teiles que .xx 4ryy^=zz: soit supposé z=x4-u-,
on aura x x+y y == ; x x -jr 2 x u -\- u u ; d’où l’on
voit:qu’on peut faire difparoître xx} & quon aura2i—— == x/ donc, prenant y & u pour tout ce
qu’on voudra, pn trouvera que les côtés du triangle
sont y, ìl^OJL } & Fhypothénuse x 4- u =3——— : par exemple, soit y = 3 , u = ; 1, on auray) —u a 8 o i- 10 1 ■ /•„= I = 4> & x -f u=T = 5. Ainsi.,
3, 4, sont les deux côtés du triangle, & 5 l’hypothénuse.
On voit aisément que ce problême a une
infinité de solutions.Autre problême.. Soit proposé de trouver une
quantité x, telle que,a-j-í>x -f-xx soit un quarré,
on sera de même a + b x + x x égale au quarré
de x 4-z , & on, aura a + b x = z xz + z l>
donc x == -r-zhi- &'m^> prenant z pour tout ce
qu’on voudra, on aura x.Autre. Soit proposé départager un nombre az 4bz,
composé de deux quarrés ën deux autres quarrés ;
soit s x — a , l’un dés nombres cherchés, &
■r x — b l’autre , s &. r étant, des coëfficiens indéterminés
: ón aura az 4- bz = sz xz — z s’x a +
az'4- f- xz—2 r x b + bb ; donc sz x — Isa +- - -, ' r i - z sa-i- z r b. , . n
r x — Z rb =0 ; donc x s=  ;— ;—,. Ainsi ,prenant pour r & s tels nombres qu’on voudra, ori
aura x. - … .
' Autre'. Soit proposé de trouver x, telle que aa -xx soit un quarré. Je fais j/àa—xx = (a-x) z,&. j’ai a a -r- x x = a—, xz z z> ■&■ divisant parà — x, j’ai a + x =a ? — xi ; donc ■ \ .',' ~ x,I -Ainsi, prenant pour z tout ce qu’on voudra, on
aura x.Voilà, cé me semble, un nombre suffisant d exemples
pour donner -dans un simple Dictionnaire
í'idée. des problêmes de Diophante. ,Ceux qui
voudront étudier plus à fond cette matière,, la
trouveront très-bien traitée dans les élémens d’Algèbre
de Saunderson,z'« -4.° Cambridge 1740,,/iv. VI,■ tom. II. M. Euler , dans dissérens volumes des mémoires
de Pétérsbourg, a donné aussi d’une manière
trèsrsavante la solution de plusieurs problèmes
du genre de ceux de Diophante. .Voyez fur-tout le
tome II de VAlgèbre de M. Euler.Remarquons en passant que cette méthode de rc-r
duire à des quantités rationnelles les quantités irrationnelles,
est fort utile dans le calcul-intégral,
pour réduire'une différentielle donnée en fraction ~
rationnelle. V. CALCUL INTÉGRAL, FRACTION.dxEn effet, soit donné , ,——==r :.on transfor- ;, Y a-\-bx~\-zxmera cette quantité en fraction rationnelle,, en suprosantcomme ci-dëssu's x 4- £= |/ a 4- hx 4+ x x ;.- ' dx ■ -- . ; …
On transformerait- de même r-j==z==. ensúp*Y a->f-bx—xx ' 'r"c 'm d i o d i oposant quep-— x est un facteur dea -f- hx — xx,& faisant y a + i x — x x = ( p — x )  ?. Foy <r{
1c Mémoire que j’ai donné sur ce sujet dans le
volume de l’Académie de Berlin , pour Fannée
1746. Voyez aussi le Traité du calcul intégral de
M. de Eougainville le'jeune, I.erc part. chap. des
Transformations des différentielles.ccL’ouvrage de Diophante est,-dit M. Saunder93
son, le premier ouvrage d’Algèbre que noustrou"53
vions dans Fantiquité. Ce n’est pas qu’il soit Fin-as venteur de cet art ; car outre qu’on en trouve quel33
ques traces dans des auteurs plus anciens, Dio ?3
phante' ne donne point dans son ouvrage les
93 règles de F Algèbre : il traite cette science comme
Ï3 déjà connue. 33M. Saunderson fait ensuite un grand éloge de la. sagacité que Diophante a,montrée dans la solution
des problèmes qui ont retenu son nom. II ajoute que
du tems de Diophante, on ne connoissoit point encore
la méthode de nommer par des lettres les nomIres
connus,- comme on fait les nombres inconnus,
TU la méthode d’introduire plusieurs lettres pour désigner
plusieurs quantités inconnues, différentes ; il
rcconnoît que, faute de cet avantage , on trouve
quelquefois dans les solutions de Diophante un peu
de confusion. Nous n’examinerons point ici si cë
qu’on trouve dans l’ouvrage de Diophante'-peut être
regardé comme de l’Algèbre ; & suppose "que c’en
soit en effet, jusqu’où les anciens paroistënt "avoir
poussé cette science. C’est une question qui nous
conduiroit trop loin, qui n’appartient qu’indirectement
à cet article, & que nous pourrons avoir
occasion de traiter ajlleurs. Voyez ALGÈBRE & MATHÉMATIQUES.
(O) DIOPTRIQUE, f. f. Science de la vision qui
se fait par des rayons rompus ,.c’esl-à-dire par des
rayons qui, passant d’un milieu dans un autre ,
comme du verre dans Fair ou dans l’eau, se brisent
à leur passage, & changent de direction. On appelle
.aussi' cette science anaclastique. Ce mot vient du
grec, & signifie science des réfraclions. Voyez ANA-,
CLASTIQUE & ViáiON.Le mot Dioptrique tire son origine aussi du grec,
& est composé de J1'**, per, au travers , fi ua/\o(ii-j.^je
vois. .Ls.Dioptrique, prise dàns un sens plus étendu, est
îa troisième partie de l’Optique, dont l’objet est dé
considérer & d’expliquer les effets de la réfraction
de la lumière, lorsqu’elle passe par dissérens milieux
 ; tels que Fair, l’eau, le verre , & fur-tout
les lentilles ; Voyez OPTIQUE.Ainsi, on peut distinguer deux parties dans la
Dioptrique ; l’une, considère indépendamment de
la vision, les propriétés de la lumière, lorsqu’elle
traverse les corps tranfparens, & la manière dont
ses rayons se brisent & s’écartent, ou s’approchent
mutuellement ; l’autre, examine l’efset de ces rayons
fur les yeux, & lesphénomènes qui doivent eo résulter
par rapport à la vision,., M. Descartes a donné un traité de Dioptrique "i,
qui est un de ses meilleurs ouvrages. On trouve
dans le recueil des oeuvres de M. Huyghens, un
traité de Dioptrique assez étendu. Barrow a traité
aussi fort au long de cette partie de l’Optique ,
dans ses leâiones Opticoe, aussi-bien que M. Newton ,
■ dans un ouvrage qui porte le même titre, & qu’on
trouve dans le recueil de ses opuscules, imprimé à
Lausanne en trois vol. m-40. 1744. Cette matière
se trouve aussi fort approfondie dans l’Optique du.
même auteur. M. Guithée a donné, dans les mém.
de l’acad. de-1704, la solution d’un problême général,
qui renferme presque toute la Dioptrique ;
& le P. Mallebranche a inféré ce problème à la fin
de sa Recherche de la vérité. Nous parlerons plus
bas d’un ouvrage de M. Smith fur cette matière.Une des principales difficultés de la Dioptrique est
de déterminer le lieu de Fimage d’un objet qui est vu
par réfraction. Les auteurs d’Optique ne sont point
d’accord là-dessus. Pour expliquer bien nettement
en- quoi ils diffèrent, imaginons un objet O (pi.
Opt. fig. GS) , plongé dans une eàu tranquille , dont
la surface soit F G , & que Foeil A voit paf le rayon
rompu G HA. II est question de déterminer en quel
endroit cet objet O doit paroître. II esl certain d’abord
qu’il doit paroître dans le prolongement du
rayon^ís, puisque l’ceil est affecté de la même manière,
que si l’objet étoit dans le prolongement de
ce rayon ; mais eri quel endroit de ce prolongement
rapportera-t-on i'objet ? C’est fur quoi les auteurs de
Dioptrique sont partagés. Les uns prétendent que
l’objet O doit paroître dans l’endroit où le rayon
rompu H A coupe la perpendiculaire, menée de
l’objet O fur la surface FG, c’est-à-dire en i. La
raison principale que ces auteurs en apportent, est
que tout objet vu par un raj’on réfléchi, est toujours
rapporté à l’endroit où le rayon réfléchi coupe'la
parpendiculaire, menée de l’objet fur la surface réfléchissante
, & qu’il en doit être de même des
rayons rompus. Mais, 1.° le principe d’où partent
ces auteurs fur lieu de Fimage vue par des. rayons
réfléchis, est sujet à beaucoup de difficultés, comme
on le Verra à Y article MIROIR ; 2.° quand même ce
principe seroit vrai & général, on ne seroit pas en
droit de Fappliquer fans aucune espèce de preuve,
pour déterminer le lieu de Fimage vu par des rayon ?
rompus. _ . - ' ' - ' •D’autres auteurs prétendent que le lieu de Fimage
de l’objet O doit être au point K , qui est le point
de concours des deux rayons rompus infiniment
proches, TA -, HA. Voici la raison qu’ils en apportent.
II est certain que l’objet O envoyé à Foeil A
un certain nombre de rayons, parce que la prunelle
a une certaine largeur. Si donc on suppose que IA
& HA soient deux de ces rayons, il est facile de
voir que ces rayons entrent dans Foeil, de la même
manière que s’ils venoient directement du pointiî:
or tous ses auires : ra3'ons qui entrent dans Foeil
concourent à-peu-près au même point K , parce
que .la prunelle a peu de largeur  ? &. qu’ainsi le
D.îo di r mnomhrë des’rayons qui y entrent n’est" pas fort
grand : ainsi, l’objet doit paroître au point K. 11
faut avouer que ce raisonnement paroît beauconp
plus plausible que celui des partisans de la première
hypothèse: aussi Fopinion dont il s’agit ici, esl celle
des- plus célèbres auteurs d’Optique , entr'autres de
Barrow & de Neuton. Le premier de ces auteurs
dit même avoir fait une expérience facile, par le
moyen de laquelle il s’est assuré de la fausseté de
l’opinión ancienne fur le lieu de Fimage. 11 attacha
au bout d’un fil W O [planche Opt. fig, 69) ,. '
un plomb O, & descendit ce fil dans urie eau stagnante,
dont la surface étoit F G ; en sorte que la
partie N V étoit vue par réflexion au-dedans de
l’eau, & .la partie O V par réfraction , Foeil étant
placé en A : Fimage de la partie N V, vue par
réflexion, étoiten ligne droite avec N V, comme
elle le devoir être en efset ; & Fimage de la partie
O Fparoissoit s’éloigner de la perpendiculaire,
& former une courbe VRM. Or, si les points du
fil 0 V dévoient paroître dans la perpendiculaire
O V, comme le prétendent ceux qui foutiennent-la
première opinion, Fimage de la partie O V adroit
dû paroître droite, & non pas courbe, & de plus
elle auroit dû se confondre avec celle de NV.
. Cependant Barrow avoue lui-même à la fin de
son Optique, qu’il y a des cas où l’expérience est
contraire à son principe fur le lieu de Fimage : çe
font les cas où les rayons rompus, au lieu d’entrer
divergens dans Foeil, y entrent convergens ; car
alors le point de réunion des rayons est .derrière
Foeil, & on devroit voir l’objet derrière soi, ce
qui est absurde. Voyez ce que nous dirons fur ce
sujet à Y article MIROIR. Voyez aujfi. APPARENT.
M. Smith, dans son Optique imprimée à Cambridge
en 1738 , & qu’on peut regarder comme
Fouvrag'e le plus complet que nous-ayons jusqu’à
présent sur cette matière, attaque le sentiment ..de
Barrow., & s’en écarte. Selon cet auteur,, la g-ramdeur
apparente d’un objet vu par un verre ou un
miroir, -estd’abord proportionnelle à l’angle visuel ;
ensuite , pou r avoir le lieu apparent, il dit que l’objet
paroît à la même distance à laquelle il-pàroî trait à
la vue simple, s’il étoit vu de la grandeur dont il
paroît au moyen du verre. Ainsi , je suppose un
pbjet d’un pouce de grandeur vu par un verre ;
si. l’angle visuel est augmenté du double , l’objet
paroîtra double:.cela posé , placez l’objet d’un
pouce -entre les deux rayons rompus qui forment
îangle visuel, de manière qu’il (bit rase par ces
rayons ;& TOUS aurez le lieu où paroîtra l’objet.
M. Smith prétend avoir confirmé son opinion par
des expériences.' Voyez son ouvrage , art. 104 &
sdv. & les remarques à la fin de Vouvrage , pages 30
&sulv. II prétend aussi expliquer par son principe
Fopinion de ' Barrow. .Mais le principe.de-M. Smith,
est-il lui-même fans difficulté ? Est-íl’bien vrai en
premier lieu que la grandeur apparente de l’objet
dépende uniquement de l’angle visuel ? Voyez ÁP- .
PAREKTÌ Cela n’est pas vrai dans l’Optique simple :pourquoi- cela scroitril vrai généralement dans la
Dioptrique ? Est-il bien vrai, en second lieu, que
la dislance apparente soit d’autant plus petite, que
la grandeur apparente est. plus grande ? Je doute
que l’expérience soit bien conforme à cette idée
On objet vu. avec une forte loupe, 6k fort grossi
par conséquent, devroit suivant, cette règle , paroître
plus près que le méme objet à la vue simple.
Cependant, cet objet n’est éloigné que de quelques
lignes de Foeil j & son image paroît à une distance
beaucoup plus grande.Voyez les règles de la Dioptrique , expliquées,
plus au long dans les articles RÉFRACTION ;.
LENTILLE , &c. & l’applicatiòn qu’on en fait dans,
là construction des télescopes, dés microscopes ,
,& d’autres instrumens de Dioptrique , aux articles’ '
TÉLESCOPE, MICROSCOPE, &c. ( O) DiopTRiQUE', adj..se dit en général de tout ce
qui a rapport à la Dioptrique. II esl opposé à catoptrique,
aussi pris.adjectivement. Ainsi, on dit télescope
dioptrique, d’un télescope entièrement par
réfraction ~, c’est-à-dire compoíë de verres., pour
Fopposer ait télescope catoptrique 011 catadioptrique,
qui est un télescope. par réflexion , com- .
pose de verres & de mií'oirs. Voyez TÉLESCOPE.
(O) '■' DIPLANTIDIENNE, ( Astr. ) nom d’une lunette
à deux objectifs, proposée par M. Jeaurat,dans
 les Mémoires de l’Ácadémìe , pour 1770.
Voyez LUNETTE DOUBLE. (D.L.) DIRECT. (Aflronom.)  On considère les planètes
dans trois états ; savoir, direâes , flationnaires , &
rétrogrades. Voyez PLANÈTE.On dit qu’elles sont direâes , quand elles paroissent
se mouvoir vers Forient , suivant Tordre
des signes du zodiaque ; stationnaires, quand elles
paroissent rester au même point. ; & rétrogrades ,
quand eiles paroissent se mouvoir dans un sens
contraire, ou vers Foccident. Voyez RÉTROGRADATION ;,
- . - , . ;"-'DIRECT’, adj. On dit, en Arithmétique & en
Géométrie , une raison directe ou une proportion
directe. Pour bien concevoir ce que c’e'st, supposons
deux grandeurs A, B d’une part, & deux
autres grandeurs C, D d’une autre part ; & considérant
les deux premières A , B comme dés
causes dont les deux autres C, D sont les effets ,
en sorte que -la première cause A , soit au premier
-effet C, comme la seconde cause B , est au second
effet D, on dit en ce cas, que les causes sont en
- raison direâe des effets. Mais îi la première cause A
est’ au premier effet C, comme le second effet D .
esl à la' seconde cause B ■* alors les, causes sont en
raison inverse- où réciproque des effets. On voit par
ces exemples,,. pourquoi ces raisons ou proportions
ont été ainsi dénommées.Quand deuxtriangl.es sont semblables, leurs côtés
homologues sont en raison direBe. V RAISON ,ys6 du d 1s’PROPORTION. Les corps sont attires eh raison
direâc de leurs masses, & en raison renversée du
quarré de leurs distances. V. RENVER"SÉ , RÉCIPROQUE,
INVERSE. (E) ' DIRE"CT , -adj. en Optique : vision dìreâe d’un
objet, esl celle qui est-formée par des rayons di--
reâs ; cesl-i-dire par des rayons qui viennent directement
& immédiatement de l’objet à ri os yeux.
Elle est opposée à la vision qui se fait par des
rayons ou réfléchis ou rompus, c’est-à-dire par des
_rayons qui partent de l’objet, & qui avant d’arriver
à nos yeux, tombent fur la surface d’un miroir
qui nous les renvoyé , ou fur la surface d’un
corps transparent qui les brise, & à travers lequel
ils passent.DIRECTEMENT , adv. en .Géométrie ■■: on disque
deux lignes sont direâement l’une vis-à-vis de
Faune, quand elles font partie d’une même ligne
droite.On dit, en Méchanique , qu’un corps heurte où
.donne direâement contre un autre , s’il le frappe
dans une ligne droite perpendiculaire :aU point de
contact. , ' 'En particulier, une,sphère frappé direâement
contre une autre'sphère, quandla ligne de la direction
du choc passe par" les deux, centres." DIRECTION, f. f. (Méch.)  est en général la
ligne droite suivant laquelle un corps se meut ou
est censé se mouvoir.DIRECTION OU LIGNE DE DIRECTION ,.en Méchanique
, signifie particulièrement la ligne qui
passe par le centre de la terre, & par le centre de
gravité d’un corps. -- II faut nécessairement qu’un homme tombe,
lorsque la ligne de direction , prise dans lë
sens qu’on vient d’indiquer, ne passe pas par le
point d’appui de cet homme fur la surface- de laterre.
..-.■-Angle de direâion, en Méchanique, est l’angle
compris entte les lignes de direâion de deux puissances
qui conspirent. Voyez ANGLE & PUISSANCES
CONSPIRANTES. ■ "
- Direâion de Vaimant, est la propriété qu’à l’airoant,
ou une aiguille aimantée, de tourner tou-r
j’.Krs une de ses extrémités du côtéd’un des pôles
d.: la terre, & l’autre extrémité du côté de l’autre
poìc. Voyez MAGNÉTISME..DIRECTION , en Astronomie , se dit du mouvement
d’une- planète, lorsqu’elle est directe,' c’est-àdire
lorsqu’elle paroît se mouvoir d’occident en
orient, selon la suite des signes. La direâion est
Fétat opposé à la station & rétrogradation. Voyez
STATION 6- RÉTROGRADATION. ,
' On dit en Géométrie que trois points, ou que
deux ou plusieurs lignes sont dans la même direction
,^quand ces points ou ces lignes se trouvent
. précisément dansunescule & mêmeligne droite. (O) DIRECTIONS, dans Fancienne Aslrplogie  ?ëtpientdes’arcs de l’éqnateur qui mefurPient les distance »
éntre le-significateur & le prometteur, ou e tems
qu’il falloit pour que le point du cie appelle prometteur,
arrivât au cercle dans lequel íe trouvoit
le point significateur. Kepler a donné même dans
ses Tables Rudolphines , une méthode pour calculer
les directions, & Fon en trouve des tables dans
tous les anciens livres d’astrologie ; mais ces rêveries
ne^ valent pas la peine d’être platées dans un
ouvrage qui doit être consacré aux conrioissances
unies, dignes d’être transmises à là postérité.DIRECTRICE, f. f. c’est un terme de Géométrie
qui exprime une ligne, le long de laquelle on fait
couler une autre ligne ou une surface dans la généras
ion d’une figure plane, ou d’un solide. Voye\GÉNÉRATION. ' ;Ainsi., fi Ia ligne A B (pi. de Géom. fig. 6j.)  se
meut parallèlement à elle-même le long de la
ligne A C, de manière que le point A soit toujours
dans la ligne A C -, il en naîtra un parallélogramme
, comme A B CD , dom le côté AB est
la ligne décrivante ; ou génératrice ; &la ligne AC
est la direârice. De même encore, si l’on suppose
que la surface ABCD’íe meut le- long de la
ligné CE , dans une position toujours parallèle à
fa "première situation -$ il en naîtra le solide ADEH,
dans lequel la surface AD en le plan générateur,
& la ligne CE est la direârice. -.Dans la description de lá parabole, que l’on peut
voir au mot’CONIQUES, la ligne DE (figure 3.seâ.
con.)  est la direârice. (O) 
■' ;. ; , ;: " ' D I S.
DISCRETE, adj. (Géom. & Phys.) la proposition
.discrète ou disjointe est celle où le rapport
de deux riòmbrës ou quantités est le même que
celui de deux autres quantités’,.quoiqu’il n’y ait
pas le même rapport entre les - quatre nombres.
Voyez RAISON.& PROPORTION.
- .Ainsi, supposant la proportion des npmbrés 6 :
8 :: 5 :4,1e rapport des deux premiers 6,8, est le
mêine que le rapport des deux derniers .3 , 4 ; par
conséquent ces nombres sont proportionnels ; mais ils
ne le sont que d’une manière discrète ou disjointe ;
car 6 n’est pas à S, çornme 8 esta 3 ; c’est-à-dire
que la proportion est interrompue entre 8 & 3,
& n’est pas continuée pendant tout son cours ^
comme dans les proportions suivantes, où les
. termes sons continuement proportionnels, 3:6::
6: 12:: 12: 24, òu rr z : 6: 12: 24, &c 'La quantité discrète est celle dont les parties nefont point continues .011 jointes ensemble. VoyezQUANTITÉ. Tel est un nombre, dont les parties: étant des unités distinctes , ne peuvent former urii 'seul confina : car selon quelques-uns, il n’y a point ! dans le continu de parties actuellement déterminées| avant la division : elles font infinies en puissance^c’est pourquoi l’on a coutume de dire que la quantité- continue est divisible à l’infini, ( E ) 
DISJOINT,
■DISJOINT, adj. on dit en Arithmétique: une
proportion disjointe , pour désigner une proportion
discrète. Voyez DISCRÈTE. ( O ) DISQUE se dit , en termes. d’Optique , par
-quelques auteurs, de la grandeur des verres de lunettes
, & de la largeur de leur ouverture, de
quelque figure qu’ils soient , plans , convexes ,
ménisques, ou autres. Ce mot n’est plus en usage ;
<on emploie les mots d’ouverture ou de champ ,
fur-tour dans les ouvrages écrits en françois. (O) 
DISQUE, terme d’Astronomie ; c’est le corps du
soleil ou de la lune, tel qu’il paroît à nos yeux..
- La largeur du disque se divise en douze parties
qu’on appelse doigts., & c’est eu doigts qu’on mesure
la grandeur d’une éclipse.- DISSEMBLABLE, adj..« z Géométrie, est l’opposé
de semblable : ainsi triangles dissemblables ,
sont des triangles dont les angles ne sont point
égaux. Voyez SEMBLABLE. (O) ■" DISTANCE, f. f. (Géom. & Physiq.)  ce mot
signifie proprement le plus court chemin qu’il y a
entre deux points, deux objets , &c. Dpnc lá distance
d’un point à un point, est toujours une ligne droite
tirée entre cès deux points, puisque la ligne droite '
-est la plus courte qu’on puisse mener d’un point à un
autre. Par la même raison , la distance d’un point à
une ligne, est une perpendiculaire menée de ce
point à cette ligne.On mesure les distances en Géométrie par le
moyen de la chaîne3 de la toise , du pied,
fie ~On découvre les distances inaccessibles ert prenant
d’abord une longueur que Fou appelle base, & observant
ensuite la grandeur des angles, que font les
rayons visuels tirés des extrémités de cette bâfe aux
extrémités de ces distances inaccessibles. Voyez
-PLANCHETTE, GRAPHOMETRE , 6T. (O) . DISTANCE APPARENTE .DES -OBJETS. La ma'
nière dontnous ên jugeons ,,est lë sujet d’une grande
question parmi les’Philosophes & les Opticiens^ II y
A six choies qui concourent à nous mettre à portée
de découvrir la distance'dés objets , ou six moyens
dont notre ame se sert pour former ses jugemens à
cet égard. Le premier moyen consiste dans cette
configuration de Foeil, qui est nécessaire pour voir
distinctement à diverses distances.11 ne peut y avoir de division distincte, à moins
que les rayons de lumière qui font renvoyés de
tous les-points dé l’objet apperçu-ne soient brisés
par les humeurs de Foeil, & réunis en autant de
points correfpondans fur la" rétine. Or la même
conformation de Foeil n’est pas capable deproduire
icet effet pour toutes les distances ; cette conformation
doit être changée , & ce, changement nous
étant sensible, parce qu’il dépend dela volonté de
notre ame, qui en règle le degré, nous mêt à porïée,
en quelque façon, de juger des distances ,
íueme avec un oeil seul. Ainsi, lorsque je regarde .
Mathématiques. Tome I, IK Partie.un objet, par exemple , à la distance de sept
pouces, je conçois cette distance par la disposition
de Foeil, qui m’esl non-seulement sensible à ce degré
d’éloignement, mais qui est même en quelque sorte
incommodé ; & lorsque je regarde le même objetà
la distance de 27 pouces, ce degré d’éloignement
m’esl encore connu , parce que la disposition nér
ceffaire de Foeil m’esl pareillement sensible, quoiqu’elle
cesse d’être incommode. L’on voit par-là
comment avec un seul oeil nous pouvons connoître
les plus petites distances , par le moyen du changement
de configuration qui lui arrive. Màis comme
ce changement de conformation a ses bornes, audelà
desquelles il ne fauroits’étendre, il nepeutnous
être d’aucun secours pour juger de la distance des
objets placés hors des limites de la vision distincte,
qui dans nos yeux ne s’étendent pas. au - delà de 7
à 27 pouces. Cependant , comme l’objet baroît
alors plus ou moins confus, selon qu’il est plus ou ~
moins éloigné de ces limites, "cette confusion {upplée
au défaut du changement sensible de configuration
, en aidant Famé à connoître la distance de
l’objet qu’elle juge être placé plus près ou plus
loin, selon que la confusion est plus ou moins, grande. Cette confusion, elle-même, a encore fer
bornes, au-delà desquelles elle ne fauroit être d’aucun
secours pour nous aider à connoître Féloignement
où se. trouve l’objet que nous voyons
confus ; car, lorsqu’un objet est placé à une certaine
distance de Foeil, & que le diamètre de la prunelle
n’a plus aucune proportion sensible avec cet
Objet, les rayons de lumière qui partent d’un des
points de l’objet, & qui passent par - la prunelle ,
font si peu divergens qu’on peút les regarder eri
quelque façon , sinon mathématiquement, au moins
dans un sens physique, comme parallèles. D’où il
s’enfuit que la peinture, qui se fera de cet objet fur
la rétine, ne paroîtra pas à Foeil plus confuse ,
quoique cet objet se trouve placé à uhe beaucoup
plus grande distance.. Les- auteurs ne conviennent
point entr'eux quel est ce degré d’éloignement ,' avec lequel le diamètre de la prunelle n’a plus de
rapport sensible.Le second moyen plus général, & ordinairement
le plus sûr que nous ayons pour juger de là distance
des objets, c’est l’angle formé par les axes optiques
fur cette partie de l’objet fur laquelle nos yeux sont
fixés. /Nos deux yeux font le même effet que les stations
dont- les Géomètres se servent pour mesurer les distances.
C’est-là la raison pour laquelle ceux qui n’ont,
qu’un oeil se trompent si souvent, en versant quelque
liqueur dans un verre, en enfilant une aiguille,
& en faisant d’autres actions semblables qui demandent
une notion exacte de la distance.- Le troisième moyen consiste dans Ia grandeufapparente
des objets, ou dans la grandeur de
Fimage peinte fur la rétine. Le diamètre de ces.
images diminue toujours proportionnellement à.
i'aûgmentation de la distance des objets qu’elles. YY¥:o8 d i.s d i sreprésentent ; d où il nous est facile de juger par
le chargement qui anive à ccs lrna§es > de ia distance
dis objets qu’elles représentent, sur-tout si
nous avons d’ailleurs une connoissance de leur
grandeur. Cest pour cétte raison que les Peintres
diminuent toujours, dans leurs tableaux, la grandeur-de^
objets, à proportion de Féloignement où !
ils veulent les faire paroître. Mais toutes les fois
que nous ignorons la véritable grandeur des corps,
Sious ne pouvons jamais former aucun jugement de
leurs diflanecs, par lc secours de leur grandeur apparente,
ou par la grandeur de leurs images fur
îa rétine. C’est ce qui fait que les étoiles & les
planètes nous paroissent toujours au même degré
d’éloignement, quoiqu’il soit certain qu’il y en a
qui sent beaucoup plus proches que les autres. II
y a donc une infinité d’objets dontnous ne pouvons
•jamais connoître la distance, à cauie de Fignorance
- où nous sommes touchant leur véritable grandeur.
•Le quatrième moyen, cest la force avec laquelle
les couleurs des objets agissent fur nos yeux. Si nous
sommes assurés que deux objets sont d’une même
couleur, & que l’un paroisse plus vif & moins
•confus que l’autre, nous jugeons par expérience
que l’objet qui paroît d’une couleur plus vive, est
plus proche que l’autre. Quelques-uns prétendent
que la force avec laquelle- la' couleur des objets
H2it fur nos yeux , _doit être en raison réciproque ,
doublée de leurs distances ', parce que leur densité
■ou la force de la lumière décroit toujours selon
cette raison. En effet , la densité ou la force de
la lumière est toujours, en raison réciproque dou"blécdes
 distances ; car puisqu’elle se répand sphéTiquement
5 comme des rayons tirés du centre a la
circonférence, fa force, à une distance donnée du
centre de son activité, doit être-proportionnelle à
la densité de ses rayons à cëtte distance. Mais il
me s’enfuit pas de-là que la force avec laquelle les
objets a°ifiënt fur notre vue décroisse de même
félon cette proportion : la raison en est sensible ;
car comme la force de la.lumière diminue par la distance
 de l’objet d’où elle part, de même la grandeur
de Fimage sur la rétine décroit auffi selon lamême
proportion ; & par conséquent, cette image
sera aussi vive & agira aussi fortement sur la rétine
■quand l’objet sera éloigné, que quand il sera proche.
D’où il s’ensuit que 1 objet paroîtra à toute forte
de distance auíìi clair & aussi lumineux., à moins
qu’il n’y ait quelqu autre cause qui y apporte du
changement. Pour connoître cette cause, nous n’avons
qu’à laisser., entrer, dans une chambre obscure par
un petit trou , un rayon du soleil ; car ce rayon
ou ce faisceau de rayons paroissant dans toutes
les posliions de Foeil , comme une ligne de lumiè-e,
il est évident que loute la lumière ne continue
pas- son chemin lèson la ligne droite, mais
qu’il y en a une partie qui esl réfléchie en tous
sens de tous les points du milieu qu’elle traverse,
& que c’est par k moyen de, ces rayons’ réfléchisque le faisceau de lumière est visible. Par-cônse^
jfuent, ce même faisceau de lumière, à cause de
la diminution continuelle qu’il souffre, doit dc« venir
 continuellement de plus foible en plus foiblë,
& cela proportionnellement à l’opacité ,3u milieu
à-travers duquel il passe : fi Fair est pur & scrain’,
il.y aura peu de lumière de réfléchie,. & il s en
transmettra une moins^grande quantité': mais il n’èst
jamais si pur qu’il n’y ait toujours quelque partie
de la lumière réfléchie' ou interrompue dans son
trajet, & par conséquent, fa force doit tòujours:
décroître, à mesure que la distance que l’objet d’où
elle part augmente. Puis donc que la force de là
lumière décroît ainsi continuellement à proportion
que la distance de l’objet d’où elle part augmente,
il s’enfuit que les objets doivent toujours
paroître moins lumineux & plus teints de la couleur
du milieu à travers desquels ils sont apperçus,, '
à proportion de Féloignement où ils seront parrapport
à nos 3'eux. Lors donc que nous savonsd’ailleurs
que deux objets font de la même couleur
, íì l’un paroît d’une couleur plus vive & plus,
frappante que l’autre, nous avons appris par l’expérience,
à conclure que celui qui paroît d’une'
couleur plus vive est le plus proche ; & c’est par
cette raison que les corps lumineux, on très’-éclairés,
paroissent toujours plus proches qu’ils ne le
sont en effet. ' De-là, il est aisé de rendre raisonpourquoi
une chambre paroît plus petite après
que ses murs ont été blanchis , &' pourquoi pareillement
des collines paroissent moins. grandes &
moins élevées lorsqu’elles sont couvertesde neigeDans
ces cas, & dans, d’autres de cette nature, '
"la vivacité & la force de. la couleur font paroître'
ces objets plus proches, d’où nous concluons qu’ils
sont plus petits ; car nous jugeons toujours de Fëtend’ue
& de la grandeur des corps, par. la comparaison
que nous faisons de leur grandeur apparente: avec
 leurs,distances. Par la même raison, on ex—'
plicme encore pourquoi le feu & la flamme paroissent
si petits lorsqu’on les yoit à uhe grande:
distance pendant la nuit. La prunelle étant alorsfort
dilatée, laisse passer une plus grande quantité
de rayons de lumière dans Foeil, & cette lumière
agissant plus fortement fur la rétine, doit,
faire paroître 1 objet plus proche , d’où l’on jugequ’il
esl plus petit. Comme les objets brillans &.
lumineux paroissent plus proches & plus petits qu’ils,
nesont en effet, ceux au contraire qui sont obscurs,
& ceux qui ne sont que foiblement éclairés, paroissent
toujours plus éloignés. & plus grands , àraison
de la foiblesse & de l’obscurité de,Ìeur couleur.
C’est ce qu’on remarque particulièrement 5i
lorsqu’on regarde des objets obscurs à l’entrée de.
la nuit ;-car ces objets paroissent alors toujours ;
plus éloignés & plus grands, que lorsqu’on Jes voit
pendant le jour. C’est aussi par la même raison que.
la distance apparente & la grandeur'des objets paroissent
augmentées , lorsqu’on les, voit à-traversun
air chargé de biouiUards ; car une plus grande ;
DIS DIS S3 ?
quantité de lumière étant interceptée , ou irrégulièreriient
brisée dans son passage, à-travers le
.brouillard, il en entrera moins parla prunelle, &
elle agirâ par conséquent d’une manière plus foible
surJa rétine ; donc l’objet sera réputé à une plus
grande distance & plus grand qu’il n’est. L’erreur
de la vue qui provient de cette cause est fi grande,
qu’un animal éloigné a été quelquefois pris pour
un animal beaucoup plus gros, étant vu par un
tems débrouillard. Cette opacité de Fatmoí'pbère,
qui empêche une partie de la lumière de parvenir
jusqu’à Foeil, est encore la raison pourquoi le soleil
, la lune , & les planètes paroissent plus foiblement,
lorsqu’elles font proches de Fhorizon,
& qu’elles deviennent plus brillantes par rapport
è nous, à mesure, qu’elles s’élèvent ; parce que les .
rayons qui en partent ont une plus grande étendue
fl’air à traverser, & rencontrent plus de vapeurs
lorsque ces astres sont proches de Fhorizon, que.
lorsqu’ils font dans une plus grande élévation. II
semhle encore que ce soit là une des raisons pourquoi
ces corps paroissent toujours plus grands à
mesure quils approchent de Fhorizon. Car puisqu’ils
paroissent plus foibles ou moins brillans,
ils paroîtront auffi à une plus grande' distance ; d’où
il s’enfuit qu’ils doivent paroître plus grands, par
la raison que les objets paroissent tels , lorsque ■
Fair est chargé de brouillards. II semble que nous
pouvons, avec assurance, conclure de tout çëqui
vient d’être dit, que les couleurs apparentes des
objets nous servent beaucoup pour nous faire-juger
de leurs distances, lorsque npus connoissons d’ailleurs
là'force & la vivacité de leur couleur à toute
autre distance donnée. C’est en suivant ce principe,
' que les habiles peintres représentent fur un même
.plan des objets à diverses distances ; én augmentant
ou en diminuant la vivacité des couleurs, selon
qu’ils ont dessein de les faire paroître plus
proches ou plus éloignés. 11 est bien vrai que la ,
pruuelle , par la vertu qu’elle a de se contracter,
le met toujours dans un degré de dilatation proportionné
À la vivacité ou à .la force de la" lumière
 ; d’où l’on pourroit penser qu’il npus est impossible
de juger de la distance des objets, par le
secours de leur couleur, apparente, on par la force
avec laquelle elles agissent fur nos yeux. Mais- il
est aisé de répondre à cela, que Fétat de dilatation
ôu de contraction de la prunelle nous est connu.,
parce qu’il dépend du mouvement de l’uvée que
nous sentons j & qui procède du différent degré de
force avec sequel la lumière agit fur nos yeux, qui
par conséquent doit toujours être senti. II s’enfuit
. de-là que, quoique la prunelle, par fa contraction,
•■ ne laiffe pas entrer dans Foeil une plus grande quantité
de rayons , lorsque l’objet est proche, que
lorsqu’il est éloigné, nous connoissons .cependant
la force de la lumière qui en part, parce quêtions
sentons que la prunelle est alors contractée. D’ailleurs,
lorsque la prunelle est dans un état de contraction,
nous voyons plus distinctement que lors-- 'qu’elle est dilatée , ce qui nous aide encore à juger
de la distance des objets. -' - ,: Le' cinquième moyen consiste dans la diverse àp^
pareuce des petites parties des objets. Lorsque ces ;
parties paroissent distinctes, nous jugeons que l’objet
est proche ; mais lorsqu’elles paroissent confuses
, ou qu’elles ne /paroissent pas du tout, nous
estimons qu’il est à une grande, distance. Pour entendre
cela, il .faut considérer que les diamètres:
des images qui se peignent fur la rétine, diminuent
toujours à proportion que la distance des
objets qu’elles représentent augmente ; & par conséquent
, un objet peut disparaître lorsqu’on le placera
à une fi grande distance de nos yeux, que Ia
peinture qu’il fera fur la rétine, soit insensible à .. cause de sa petitesse ; & plus l’objet sera petit, plu- :
tôt il cessera d’être visible : de-là vient que les petite »
parties d’un objet ne seront pas apperçues à toutes.
les distances ; car la partie ia moins sensible sera.
toujours plus petite ou plus grande , proportionnellement
à la distance plus ou moins grande de
l’objet même. Ainsi , Ta plus petite partie visible
à la 'distance d’un pié, deviendra invisible à celle •
de deux pies ; la plus petite partie visible à' deux
pies, disparaîtra à trois, & ainsi de toute autre
distance à Finfini. Hrélùlte évidemment de ce que• nous venons de dire, que lorsque Foeil peut voir
distinctement les petites parties d’un objet , nous
devons juger qu’il eft plus proche^qu’un autre , ;
dont nous iie voyons point du tout les mêmespetites
parties, ou'dont nous ne les voyons que
confusément. .Enfin le sixième &. dernier moyen consiste en.
ce que Foeil ne représente pas à n.ctre ame un seul
objer, mais qu’il, nous fait voir en même tems ,•
tous ceux qui sont placés entre nous & l’objet principal
dont nous considérons la distance. Par exemple ,
lorsque nous regardons quelqu’objet éloigné, tel
qu’un clocher, nous voyons pour Fordinaire plusieurs
terres & maisons entre nous & lui ; or, comme
nous jugeons de la distance de ces terres & de ces
bâtimeris , & que nous appercevons en même tems :
le clocher au-delà de tous ces objets 5 nous concluons
qu’il est beaucoup plus éloigné, & même,
qu’il esl bien plus grand que lorsque nous le voyonsseul
& sens Finterposidon d’aucun autre objet visible.
II eft cependant certain que l’iiriage de ce
clocher qui est peinte fur la rétine, esl toujours la ;
même dans l’un & dans l’autre cas, pourvu 'qu’il
soit à une égale distance ; d’où l’on voit comment
nous connoissons la grandeur des objets par leur..
distance apparente , & comment les corps placésentre
nous & un-objeí, influent dans le jugementque
nous portons au sujet de son éloignement. 11
en est à-peu-près de ce jugement comme de ceíui.
que nous formons fur la grandeur de notre durée
, par le souvenir, confus dé tout ce que nous-,
avons fait, & de-toutes les pensées que nous avons
eues, ou, ce qûi est la même chose, de la gran- ;
deur & Fétcndue. du tems qui s’est écoulé depuis<4o dis diselle action ; car ce sont ces pensées & ces actions
qui mettent notre ame à portée de juger du tems
passé ou de 1 étendue d’une partie de notre durée :
ou plutôt le souvenir confus de toutes ces pensées
& de toutes ces actions, est la même chose que
le jugement de notre durée, comme la vue confuse
des champs & des autres objets qui sont placés
entre nóus & le clocher , est la même choíè que
3e jugement que nous formons fur le clocher:
(M. FORMEY).
*On voit par-là que la distance apparente, ou
appercue des objets , est souvent fort différente de
la distance réelle ; lorsque l’objet est fort éloigné,
elle est presque toujours plus petite. II n’y a personne
qui n en ait fait Fexpérience, &' qui n’ait
remarqué que dans une vaste campagne, des maisons
ou autres objets qu’on croyoit aslëz près de
foi, en sont souvent fort éloignés. De même: le
soleil & la lune, quoiqtt’à une dislance immense
de la terre, "nous en paroissent cependant assez
proches, si nous nous contentons d’en juger à la
vue simple. La raison de cela est que nous jugeons
de la dislance d’un objet principalement par le
nombre d’objets que nous voyons interposés entre
nous & cet objet ; or , quand ces objets intermédiaires
sont invisibles, ou qu’ils sont trop petits
pour être apperçus, nous jugeons alors 1 objet
beaucoup plus proche qu’il n’ef{ en effet. C’est -par
cène raison, selon le père Malebranche, que Je
soleil à midi nous paroît beaucoup plus près qu’il
n’est réellement, parce qu’il n’y a que très-peu
d’objets remarquables & sensibles entre cet astre
& nos yeux ; au contraire, ce même soleil à Fhorizon
nous paroît beaucoup plus éloigné qu’au méridien
 ; parce que nous voyons alors entre lui &
nous, un bien plus grand nombre-d’objets terrestres
, & une plus grande partie de Ia voûte céleste.
C’est encore par cette raison que la lune ,
vue derrière quelque .grand objet comme une muraille
, nous paroît immédiatement contiguë à cet
objet. Une autre raison pour laquelle nous jugeons
souvent la distance d’un objet beaucoup plus ' petite
qu’elle n’est réellement, c’est que pour juger
de la distance réelle d’un objet, il faut que ses
différentes parties de estte distance soient apper-'
çues ; & comme notre oeil ne peut voir à-la-fois
qu’un assez petit nombre d’objets, il est nécessaire
pour qu’il puisse discerner ces différentes parties ,
qu’elles ne soient pas trop multipliées. Or , lorsque
la distance esl considérable , ces parties sont
tn trop grand nombre pour être distinguées toutes
à-la-fois, joint à ce que les parties éloignées agissent
trop foiblement sur nos yeux, pour pouvoir être
îpperçues. La distance apparente d’un objet est donc
renfermée dans des limites aslëz étroites ; & c’est
pour cela que deux objets sort éloignés, sont jugés
íouvent à la même dislance apparente, ou du moins
que l’on n’apperçoit point Finégalité de leurs distances
réelles, quoique cette inégalité soit quelquefois
immense, comme dans le soleil '& dans la ,luné, dont l’un est éloigné de nous de iiooo-diamètres
de la terre, l’autre de 6o seulement.Ajoutons, d’après plusieurs philosophes , que
quoique le sens de la vue nous serve à juger des
distances, cependant, nous n’en aurions jamak eu
d’idée par ce sens seul, fans le secours de celui du
toucher. Voyez l’effai de M. Jurin fur la vision
distinâe & non distinâe , imprimé à la fin de l’Optique
de M. Smith.DISTANCES DES PLANÈTES , ( Astron. ) s’évaluent
de deux manières ; l’une, pour Fusage des
Astronomes, dans laquelle il ne s’agit que d’avoir
le rapport entre les distances des différentes planètes
 ; l’autre, pour la curiosité générale, dans
laquelle on demande combien de lieues il y a de .
la terre au soleil, ou à telle autre planète.Les distances des planètes considérées aslrono'
iniquement-, s’évaluent ordinairement en parties de
la distance du soleil à la terre, que l’on prend pour
échelle commune ;. on la divise en mille ou en cent
mille parties, & l’on calcule toutes les autres distances
des planètes, soit par rapport au-soleil, soit
par rapport à la terre en parties semblables.Ces distances des planètes se mesurent par rapport
au soleil, parce que c’est au tour du spleil
qu’elles tournent, comme nous le démontrerons à l’article
 du système de Copernic, & ce mouvement y
une fois démontré, noss conduit à trouver les
distances. Soit île soleil, (fig. 93.) PEN, For-'
bite d’une planète telle que venus, TB AC, Forbite
de la terre. Lorsque la terre est en T, & que
nous voyons venus au point £ dans fa plus.grande
digression ; fa distance apparente au soleil, S TE ,
mesurée en degrés & minutes, est connue, ainsi que
l’angle E , qui est de 90 degrés. Ainsi , les trois
angles du triangle TSE sont connus, & si l’on’
suppose donnée la distance TS de la terre au soleil,.
on aura la distance S E , en parties semblables.Pour une planète supérieure telle que mars, on
emploie deux observations, soit S, (fig.8o.) ,le:
centre du soleil, M celui de mars, B C , deux
points de Forbite terrestre où se soit trouvée la
terre, lorsque mars étoit au même point M de son
orbite-, & par conséquent à la même distance S M
du soleil ; on connoît les deux positions de la terre,
c’est-à-dire ses longitudes & ses distances au soleil,,
il s’agit de trouver SM distance au soleil. Dans le
triangle rectiligne BSC, l’on connoît les deua
côrés BS, SC, distances de la terre au soleil,
& l’angle compris B S C, différence entre les deux
longitudes de la "terre en B & en C , l’on trouvera
les angles B CS, CBS, & le côté B C ; l’angle
MB S est la diflërence entre la longitude observée
de mars, & celle du soleil, au tems de l’observation
faite en B ; si l’on en retranche l’angle CBS
que nous venons de trouver, on aura l’angle MB C,
si l’on ôte aussi l’angle B C S de l’angle MCS ',- on
aura l’angle MCB ; ainsi, dans le triangle MCB ,
l’on connoît deux angles, & le côié compris, on
trouvera aisément MB & MC : enfin dans leDis „,. dis s4i 1-triangle MB S, "on connoît dèiìx côtés MB,
B S avec l’angle compris MBS, on trouvera la
distance MS, avec l’angle MSB, qui étant ôté de
lá longitude de la terre , lorsqu’elle étoit en B ,
donnera la longitude héliocentrique de, niars dans
chacune des deux observations.Ce font les distances des planètes au soleil, ainsi
déterminées, qui ont fait trouver à Kepler, en
I<SI8, cette fameuse loi, que lés carrés des teins
périodiques des planètes font comme les cubes de
leurs distances au soleil. Cette règle s’étanti trouvée
une fuite de la loi del’attractión universelle j
on la regarde aujourd’hui comme un principe ; &
c’est de cette loi de Kepler, que les astronomes
déduisent les distances des planètes, dont ils font
usage dans’leurs tables astronomiques. Voici celles
que j’ai calculées par le rnoyen des dévolutions
planétaires , observées & calculées avec un soin
tout nouveau, pour construire les tables qui font
dans mon Astronomie. ,Mercure, - 38710Vénus, 72333La terre, '.- ioooòoMars, 152.360Jupiter, 520008Saturne, q53°37Les distances absolues en lieues, ne peuvent se
calculer quexpar le moyen de la parallaxe ; soit T le
centre de la terre ( fig. 47 des planches d’Astron.) 
EDO le globe de la terre ; NO le lieu d’un observateur
, placé à la surface de la terre ; N la planète
qu’on observe ; O N T l’angle de la parallaxe,
- connue par les différentes méthodes des astronomes : « 
connoiffant la ligne O T, qui est le rayon de la
terre de 1432 lieues & demie, avec les angles du
triangle, il est aisé de trouver le côté T N distance
de la planète a la terre. C’est ainsi que j’ai calculé
les distances de toutes les planètes à la terre, par
le moyen de la parallaxe du soleil, que j’ai trouvée
de huit secondes & 6 > dixièmes, & de celle de
la lune 57 minutes 3 secondes dans ses moyennes
distances ; ces deux parallaxes suffisent pour trouver
les-distances’', parce que celle du soleil doïme
les distances des planètes, comme on Fa-vu dans
la tablé précédente.La table que l’on trouvera au mot planète, contient
les distances moyennes des planètes àTa terre, <
en lieues ; elles sont sujettes à augmenter ou à
diminuer de toute la quantité de la distance du
soleil à la terre, à raison du mouvement annuel
de-la terre autour du soleil ; c’est pourquoi les
distances moyennes de mercure & de venus au soleil
peuvent se trouver-, par le moyen de. -la plus
grande & de la rríbyenne distance à la rerre, en
les■ retranchant l’une de l’autre. Par exemple,celle de mercure 1-3299742 lieues ; la distance
moyenne, de ces deux planètes à la terré, est Ta
même que celle du soleil autour duquel elles
tournent.L’excentricité des orbites planétaires fait que
leur distance au soleil varie beaucoup ; on calcule
la distance-pour un moment donné, par le rnoyen
de l’anomaliemoyenne.Fbyq ;ANOMALiE& RAYONVECTEUR. <•''-.., DISTANCE ACCOURCIE,diflantiàcurtata-, signifie
en Astronomie , la distance d’une planète au soleil
réduite au plan de l’écíiptique , ou Fintervalle qui
est: entre le soleil & le point du plan dé l’écíiptique
où tombe la perpendiculaire menée de la
planète sur ce plàri. On .Fappelle ainsi , parce que
la distance réelle ■ d’une planète au ; soleil est plus
grande que ía distance réduite aU plan de l’écíiptique,
puisque la première de cës distances ; est Fhypothénuse
òu le grand côté d’un triangle rectangle »
dont la distance accourcie est Un des petits côtés.
La différence s’appelle Curtation ou réduction de la
distance. Voyez CURTATION.Les distances des étoiles à la terre ne peuvent
se trouver par aucune méthode ; elles sont trop
considérables pour que la base-, dont nous nous servons,
qui n’est que la distance du fpleil à la terre, faste
• un ánglë sensible à l’étoile , c’est-à-dire une parallaxe
annuelle que l’on puisse observer ; mais nous
savons feulement que cette distance surpasse ; sept
millions de millions de lieues, parce que la parallaxe
annuelle des étoiles n’est pas d’une« scconde.DISTANCE apparente.entre deux astres, est l’angle
formé par les rayons, qui vont de notre oeil aux
deux ■ astres • ; c’est -Tare de grand, cercle compris
entre eux., exprimé en degrés, minutes &. secondes.C’est en observant ces distances, que les Astronomes
détermirioient lés longitudes & les latitudes,
des astres dans ce dernier siècle: Actuellement on
né s’en sert que pour trouver les longitudes en mer ,
ou l’on observe la distance de lá lune au soleil ,
ou aux étoiles, avec l’inslrumënt à réflexion 3 ou
quartier ariglois.Ces distances font calculées dans la connoiffance
des téms, & c’est encomparant ces distances observées
avec les distances calculées j qu’on parvient
à connoître Fheure qu’il est sous le premier.méridien
, & par conséquent la longitude.La distance observée , doit être corrigée par Ia
réfraâion & la parallaxe , pour donner l’angle de
distance vraie « ntre les deux astres , le seul qu’on
puisse comparer avéc lá distance calculée.DISTANCE des centres dans une éclipse, est aussi
l’angle compris entre le centre du soleil & le centre
de là lune ; c’est ce que l’on calcule & ce que Ton
observe avec le plus de foin ,,pour-"en déduire la
longitude de la lune, ou Ia longitude du lieu de
Fobservation. (D.L,)  _DISTANCE horaire de la lune au soleil b est leur
•différence d’ascension droite.'Dans la gnomonique,C4i dis … prsc’est l’angle que fait une ligne horaire avec la
méridienne. ( OZAXAM ). .DISTINCTE, (BASÉ) en Optique , est le nom
que donnent quelques auteurs à la distance où il
faut que soit un plan au-delà d’un verre convexe,
pour que Fimage des objets , reçue fur ce plan,
paroisse distinâe' ; de forte que da base'distinâe est
la même chose que ce tjuon appelle > foyer : car
imaginons un objet éloigné qui envoyé -des rayons
fur un verre cònTexe , '.ces.rayons se réuniront
■s-peu-près au ;foyer"'du verre ;& si on veut recevoir
fur un papier Fimage de cet objet, ce sera
au foyer ; qu’il faudra placer.le'papier pour.que
Fimage {oit.distinâe. Voyez EOYER. y'. La base distinâe est donc produite par la réunion
qui se fait’des rayons-,partis: d’un seul point d’un
objet, &;,concçurant eii Un seul point de Fimage ;
& c’est, pour cela que iles .verres 'concaves,. qui ,
au heu de réunir ies rayons i,: les’ écartent , ne
peuvent point avoir de base distinâe réelle. Voyez
CONCAVE. (O) '….,DISTRIBUTION des eaux, f. f. (Hydr.)  Manière
de partager une certaine quantité d’eau , suivant
desrapports connus, entre plusieurs fontaines
particulières, ou pour d’autres usages. ",:
I. Soit MÌÌOP (Pl.Hyd.sig.'zs.J l’élévàtîòn
d’un réservoir "nourri par les eaux d’un aqùeduç,
d’une source , d’un ruisseau , ou de de toute autre
manière qu’on voudra imaginer. II est question de
percer la paroi MNO P de plusieurs, ouvertures
pár-lefquellSs prises ensemble, il sorte autant d’eau
que le réservoir en reçoit,- & dont les dépenses
particulières soient entr elles en raison donnée. Cë
problème a-plusieurs applications dans la pratique ;
il est fur - tout utile , lorsqu’on veut’ partager
entre les fontaines -publiques ou particulières lès
eaux amenées dans les différéns quartiers d’une ville,
& reçues d’abord dans des réservoirs , d’où elles .
passent ensuite à leurs destinations par lë moyen
de différéns tuyaux.- - -''."■'
II..La première opération qu’on"ait à faire ici,
est de déterminer la quantité d eau' que leréservoir
reçoit & donne pendant, un certain.tems. Pour
cela, on percera perpendiculairement à la face ou
paroi MNO P un trou de grandeur convenable ,
par lequel on laissera échapper l’eau. Lorsqu’après
les rhouvemens d’oscillation qui auront d’abprd.
lieu, la surface de l’eau dans le réservoir demeurera
calme, & se tiendra toujours au même point
fans monter ni descendre, on sera assuré que le trou
proposé dépense précisément autant d’eau que le
réservoir'en reçoit. Alors on recevra l’eau qu’il
donne, dans un baquet, pendant un tems connu ;
& ayant mesuré exactement cette quantité, soit par
le moyen de la pinte, soit avec tout autre étalon
bien jaugé, on connoîtra la recette & la dépense
totales du réservoir. On pourra toujours faire ces
évaluations en pouces cubes. II est inutile , comme
on voit, de s’embarrasser de la grandeur précise.du trou, ni <3ë la hauteur dé l’eau 'dans le résert
voir.III. Cette opération préliminaire étant faite, &;
le trou qu’on y a-employé étant maintenant bouché,
voici comment on partagera l’eau du réservoir en
plusieurs portions.Ayant fixé les figures qu’on veut donner aux orifices
de distribution, & leurs dislances à là'surface
de Feaù dans le réservoir-, que jë suppose répondre 1
íoujoursau même point de la paroi MNO P , du
-moins pendant un certain tems : fi l’on nomme Q
la dépense-totale que le réservoir peut faire en un
tems donné , & que nous venons de déterminer ; &
si l’on suppose que les dépenses partielles, corres- '
pondantes au même tems, soient entr'elles respectif
vement comme ses nombres quelconques m , n.^
p , &c : on aura ces différentes proportions,
fíi-j-7z-4-p"'-) -: <Sr l:m H Q * la première dépense
partielle^-—-^--^ }'""'.
m + n-\-.P-+. kc l..n '.'. Q l la seconde dépense
partielles —■—.", ^- ■, -.. :1 . ' m ->r n ->cp 4e &C 'm 4-n4-p 4- â'c \ p \\ Q * la troisième dépense. ,. '_ pQ ! ■ ■" ■&C. • !La question sera donc réduite à trouver la grandeur
que doit avoir chaque orifice pour dépenser,
en un tems donné, une quantité donnée d’eau,
-sous une hauteur-donnée de réservoir.IV. Pour éclaircir cela par un exemple, suppo-,
sons que l’eau s’écoule parles trois orifices circulaires
A , B ,' C, percés dans une mince paroi qui
donne lieu à la contraction-de la première espèce ;que
 leurs centres soient placés fur une même ligne
horizontale D E dislante de la surface Q R de l’eau ,■
de la quantité donnée CH ; que la dépense totale
Ç. soit de 3 6co pouces cubes en .une minute ; 8fc: que ses" dépenses, particulières des,orifices Ai B, Cy.
pendant le mèm’e-tems, soient entr'elles comme les
nombres, 6 ; 3,1. On aurâ les proportions,  ;10 l 6.1 l -3600 pouces cubes ; dépense de A-z=-
Z160 pouces cubes.Jo ° 3 l l - 3600,pouces cubes : dépense de 5 =
1080 polices cubes. -1ó ê 1. '.'. 3<?0°. pouces cubes ; dépense de C=
360 pouces cubes^Maintenant, connoissant la, hauteur CH qu’on
peut toujours-prendre, fans craindre d’erreur sensible,
pour la hauteur moyenne de l’eau au-dessus
des trois orifices, il ne s’agit plus que de trouver
les diamètres que-les orifices A,B,C , doivent
avoir pour dpnnerles trois quantités d’eau que nous,
venons de déterminer. Supposons, par exemple, CH.
= 6 pouces, & nommons D, d, J’les diamètres des
■ trois orifices proposés, exprimés en lignes ; en prenant
:, pQUrbnse, d après Fexpériçnce, qu’un orjsicecirçuy ■Dis dis UÏtaire de ipòucê de diamètre ,sous ì'pîè'd òti tl
pouces de hauteur-de réservoir, donne 272Ì pouces
cubes d’eau en une minute, on aura ( Voyez DÉPENSE) 
ces proportions,2722:2160: .'1X144 lignés quàrrées : DDX\Z"ï, 2722:1080 ;
 : 1X144 lignes quàrrées : ddXV\, "
2.722: 360:^X144 lignes quàrrées.: r.^X V\>
lesquelles donnent D == 12, 71 lignes, íí=o'Ìignes,* = 5 r ?lignes- . _ ■ ■<■ -. s, _ ;'
V. 11 auroit été également facile de trouver les
grandeurs des^ orifices, si leurs centres n’avoient
pas été placés fur une même ligne horizontal Toutes
les dispositions de centres sont également admissibles
dans la théorie , le niveau.de l’eau demeurant le
mênië. Mais, dans la pratique, ,il faut considérer que
comme l’eau provisionnelle qui nourrit le réservoir
diminue par les teins defécheresse, la surface de l’eau
pourra s’abaisser, par'exemple, eri DE où F G.
Alors les orifices A, B , C ne' donneront pas de
l’eau dans la raison convenable. L’orifice C n’en
donne point du tout, lorsque.lë niveau de Fèau est
en FG. Le' mênje' inconvénient a lieu, dans un
autre sens, pour'-les trois orifices ; V, T, í1.. Lorsque
le-niveau dei'ëaiï est eri ÏK', Foriîice S donné plus’
à proportion que lès deux autfes.,Quelqù'arrangement
qu’on donne, aux orifices ; tórsqu’ils sont fort ;
inégaux, il y aura toujours des tems ôiï les uris
donneront plus-à propoïtipn que les autres. ,"VI. Dé-là M. Mariotte a conclu -qu’il fallpit
ahandonnér les orifices-circulaires. II leur substitue
des orifices rectangulaires verticaux.-qui ont, tousrhêthe
-hauteur,, & dont les bases sont fur une mênié
ligne horizontale. Par-là, soit que le niveau de l’eau
hausse ou baisse, lês dépenses demeurent toujours
entr'elles dans la même raison. Cependant cette idée
n’a pas été adoptée. Les ouvertures rectangulaires
sont très-difficiies à faire avec précision ; elles sont
sujettes à beaucoup de frottement, fur-tout quand
ehes sont petites. ; elles 'font souvent exposées à être .
bouchées par le limon & ks autres ordures que
l’eau ; charse avec elle. On a donc conservé.les
orifices circulaires, dont la construction est facile,.
& lissage commode.- - ,VIL II est aise d’éviter , en grande partie, les
inconvéniens auxquels nous avons vu que ces
ouvertures sont sujettes.'Pour, cela , il n’y a qu’à
mettre tous les- centres- dáns tine .'même ligne horizontale
&, diviser une grande ouverture en plusieurs
autresj.plus petites, qui,.prises ensemble,,
fournissent la même quantité d’eau, & l’a transinet-'tent
 à un même tuyau. En donnant ainsi à toutes
les ouvertures à-peu-près la riiême grandeur, on
fera non-seulcment ensorte que leurs dépenses confervent
toujours entr'elles à-peu-près le même,
rapport ; mais on évitera que les ? grandes ouvertures
ne donnent- plus à proportion que les .petites ;
ce qui ne manquerait pas ; d’arriver fi.les cuver--'
. tares étoient fort inégalés,-., ' ' VIÏÏ. D’aslê : KQS ' calculs íieius -avoris ' fòujours
évalué les quantités d’eaux dépensées,, en: ; pouces- •
cubes. Mais les fontainiers ne seservent pas de £ettçi
niefure. Ils emploient le pouce d’^àu, laligne d’eau.,
ckc. Voici ce qu’ils entendent par là.M. Mariotte a trouvé qu’en,une minute une
ouverture circulaire & verticale , d’un pouce .de
diahiètre, dont le centre est distant de 7 ;Iignes ,de
la. surface de' l’eau ,' dépense près dé 1 14 pintes’
de Paris, le pied cube étànt- supposé contenir 36,
pintes. Cette dépense a été'appellée pouce d’eau
par les auteurs quil’ont suivi. La ligne d’eau est
la -4^ partie du pouce d’eau ; elle est par conséquent
fournie en une minute, par un orifice d’une ligne
de diamètre, dont le centre est dictant dey lignes de ; -
 la surface de l’eau, &c.- ; ; n ;. ".,'..:. _":.U est assurément très-permis d’employer les mots
' qu’on définit  ;: ; maisfplufieurs’ forifairiiers ignôrans
1 ont.abuse de í'éxpremon de M,-Mariotte, &'sesorit
persuadé que lé pouce d’eau étoit, en,général,'Ta"
dépense faite en une minute par une ouverture, circulaire
& -verticale, d’un pouce 'de diamètre, sans"
 ; s’embarrasser de la hauteur de l’eau dans le réserl
voir au-dessus du- trou ; ce qui est-absurde, tar la.
i hauteur du réservoir est’ un des’ élém’èns essentiels de"
| lai dépense. Toutes les rnésures sont arbitraires ; la: .
'■ coirimodité&là facilité qiiellés ofFrent,,dâns Fufage,:
 ! sont ses seules raisons .qui doivent déterminer au choix
 qu’on adopte. 11 n’y auroit point d’équivoque-'
ni d’autre inconvénient à craindre , fi l’on évaluoit
les dépenses en pouces cubes ; ou du-moins en"
mesures qui continssent un nombre connu de pouces:
cubes.- Je 'trois qu’en -cela oh"'est d’autant plus:
fondé à s’éloigner de M.-Máriòt’të, qu’if attribueune
dépenses un peu trop forte à  ; une ouverture verticale
 & circulaire ■iid’uri:'pòuee de diamètre s
sous: 7 lignes de charge. Voyez- PòúcÊ" B'EÀU.IX. II sera toujours facile de trouver, par le:
moyen du poids, le nombre de pouces cubes con-tenus
 dans un vase ou étalon quelconque, en se'
, souvenant :qu’e l’e:pied Cube-d’eau tìòucé pèse 70 liv. ■
à peu de chose près. SiTori prérid pour étalon la: 1
pinte de Paris, & qu’on la'ìnesúre juste,'il en fau-dra^époursàiré
 le pied ;-çube. ;É-lîe'còritiërit, par'
conséquent, 48 pouces cubes. Lorsque Feau dé-passe
 les bords de la mesure, comme il peut se
faire sans qu’elle se répande , il në- faudra- que- 3 5s ,
pintes pour faire le pied cube. Le muid de Paris
contient 8.pieds cubes, ou 28S des premières pintes,,
i& 280' des dernières. (L. B.) ''■}-'■ •'.: .',' ;■,:, ■ .^\:-&irWy.y-. . ■:- : ;
., DIVERGENT, adj. II'-se dit de tout "ce qui ' ;,'■-
continué, se reneontrëroit d’un côté en un point-'
commun, & de l’autreiroittoujours- en s’éloignant:
de plusen.plus.: c’est en ce sens, que.des lignes, des>
directions, 
&c. -sont’ divergentes: De Fâdjecìif diversgent
on a fait le substantif divergence: /.
.." Des lignes sont divergentes- du-.còiè oùçllesvont: 'D iv ; divcn s’écartant, & convergentes,-du. côté opposeDIVERGENTE, (série ousuite) eû celle dont les
tenues vont toujours en àugriienrant ; comme
cette progression arithmétique i , 2 , 3 , 6-e,-ou
cette progression géométrique I , 2, 4, 8, &c.
Voyez SÉRIE, &c. -DIVERGENTE, (parabole ou hyperbole )  sont
celles dont les.branchesont des directions contraires.
Voyez COURBE ,, ; PARABOLE , HYPERBOLE,
.or. . -."",-.,. ,- -\ ;DIVIDENDE, adj. pris sub. on appelle ainsi,  ;
en Arithmétiqut, un noriibre dont 011 propose de
faire la divisiom Fôys^ DIVISION.
. Le quotient d’une division est à l’unité, comme
le dividende est au diviseur. (O)  ' jDIVISEUR, s m. ( Arithm.) -est,dans la division, I
íe nombre qui divise, ou èelui qui sait voir en corn-, :
bien de parties le dividende doit être divisé.  ; .On appelle commun diviseur une quantité ou'un
nombre, qui divise exactement deux 011 plusieurs
quantités ou nombres, fans aucun reste.Ainsi 3 en commun diviseur de 12 & 18 ; le nombre
2 esl aufE commun diviseur des mêmes nombres.
Les mêrnes nombres peuvent donc avoir plusieursí
communs diviseurs ; or celui de ces communs diviseurs
, qui est le plus grand , s’appelle le plus grand
commun diviseur. - - -Pour trouVer le plus grand commun diviseur de
deux quantités quelconques a, b ; on divisera le plus
* grand nombre a par le plus petit./' ; & s’il y. a un’
reste c , on divisera le plus petite par ce reste c
( en négligeaut toujours les quotients )  ; & s’il y a
encore un reste d, on divisera se premier rèstec par'
le second d, & ainsi de fuite, jusqu’à ce qu’on ait
trouvé un reste, m qui divise au juste celui qui lë
précède immédiatement  ;;.ce dernier reste m sera -'
le plus grand commun diviseur des deux quantités
a , b. # ,.,…Ainsi, pour trouver le plus grand commun diviseur
des deux nombres 54 :& 18 , je divise 54 par
18 ; & comme cette division se fait fans reste,. je
connois que 18 est le plus, grand coriimun diviseur
de 54 & 18.. Pour trouver le plus grand.commun diviseur de
387 & de 54, je divise 387 .par 54, & trouvant un
reste o, je divise 54 par 9 ; & comme la division se
fait exactement, je connois que 0 est le plus <n’ànd
commun diviseur de 387 & 54, °-.' ,Pour trouver le plus grand commun diviseur de
'458 & de 102, je divise 438 par 102, & trouvant
le reste 30 , je divise 102 par 30 , & trouvant le
reste 12 ; je divise 30 par 12, & trouvant le reste 6,
je divise 12par 6 ; & comme 6 divise 12 sans reste,
je connois que 6 est le plus grand commun diviseur
de 438 & 102, &c, ••'"..'"Pour trouver le plus grand commun diviseur de
trois nombres quelconques^, B, C, je cherche
A abord, comme auparavant, le plus grand commun Idiviseur m des deux premiers A, B ; &; je cherche
ensuite le plus grand commun divìjeurn de, C&de
m ; & n sera le plus grand commun diviseur des trois
nombres A, B , C.S’il falloir trouver se plus grand commun diviseur
de quatre nombres /on chercherait d’abord
se plus grand commun diviseur n des trois premiers ;
& ..ensuite le plus grand commun diviseur p du quatrième
& de n ,-,& ainsi de fuite à l’infini.II est quelquefois utile de connoître tous les di-,
viseurs d un nombre, fur-tout dans Fanalysc-, où
il s’agit fort souvent de décomposer uhe quantité
, ou d’en déterminer les facteurs, c’est-à-dire,
de savoir les quantités qui ont concouru à fa production.- Ainsi, pourtrouvertpus les diviseurs d’un nombre.
2310 , on prendra' la fuite 2 , 3 , 5 , 7., 11,/13 ,
17,10,2 3 ,.6'c. des nombres premiers ( V, NOMBRE
P.RÊMIER) , &l’on trouvera,par son moyen, tous
les diviseurs simples ou premiers 2, 3 , 5 , 7, il,
de 2310 ; & poánt l’unité 1, on multipliera 1 par
2, &i'on aura pour diviseurs 1,2, qu’on multipliera
chacun par trois, pour avoir 3, 6, lesquels
joints à I, 2 , donneront pour diviseurs i,z,z,6
que l’on multipliera chacun par 5 ; ce qui produira
5 , lo, 15 , 30, lesquels joints aux quatre diviseurs.
1 , i, 3,6, produiront les huit diviseurs 1,2,3,
6,5, 10, 15, 30 , que l’on multipliera chacun
par 7, pour avoir 7,14,21, 42, 3 5, 70, 105,
210, que l’on joindra aux huit premiers, pour
avoir Tes 16 diviseurs í-, 2 , 3 , 6 , 5 , 10, 15,
3° »'7 ».i45'" > 4i. '3Î5 7°> 105, 110, que l’on
multipliera chacun par 11, pour avoir 11, 22, 33,
66, 55 ,'.IIO, 165, 330,77, 154, 231, 462, 585,,
770,1155-, 2310, lesquels joints aux 16 précédens
donneront lés 32 diviseurs 1, 2 ,'3 , 5 ,10,15,30,
7, 14,21,42, 35, 70, 105,210, 11,22, 33,
66, 55, 110,165 , 330, 77 ,154, 231,462, 385,
770, H55, 2310 du nombre 2310, & il nenaura
pas davantage. - - , ,La règle pour trouver les plus grands communs
diviseurs est démontrée dans plusieurs ouvrages,par
différentes méthodes. En voici la raison en peu de
mots. Qu’est-ce que trouver le plus grand commun
diviseur, par exemiple~de 387 & 54 ? c’est trouvés la
plus petite expression de 1Ç-. II faut donc d’abord
diviser 387'par 54 : je trouve que le quotient est un
nombre entier -jt f^ ; il faut donc trouver le plus
grand commun diviseur de 9 & de 54, ou'réduire
cette fraction à fa plus simple expression ; donece
plus grand diviseur eû o. On sera le même raisonnement
fur les ex.emples plus composés ; &l’on verra
toujours que trouver le plus grand communj^/v/V
seur, se réduit à trouver la plus petite expression
d’une fraólion ; c’est-à-dire , une fraction dont le
numérateur & le dénominateur soient les plus petits
qu’il est possible.Ori peut aussi employer souvent une méthode
abrégée pour trçmvçr le plus grand commun dirviseur,

Je suppose

D I -V •■ D I V . \AC
Je suppose qu’on ait, par exemple, à trouver le
plus grand commun diviseur de 176 & de 77 , je
: remarque en prenant tous les diviseurs de 176, que
176=2 X 88 = 2 X 2 X i X ^ X 11, & que 77
=7 X  !J i donc 11'est le plus grand commun diviseur
, & ainsi des autres. En général soient a,b,c,
tous les diviseurs simples ou premiers d’un nombre
ai bz c , tkc ,b ,f, tOus ceux d’un nombre Z> 4 czfs ',
on aura pour diviseur commune' c.Deux nombres premiers (voyez NOMBRE PREMIER) 
ou deux nombres dont l’un est premier, ne
sauraient avoir de commun diviseur plus, grand que
l’unité : cela est évident par la définition des nombres
premiers , & par la règle des communs diviseurs.
Donc ùne fraction composée de deux nombres premiers
r, est réduite à fa plus simple expression.Donc le produit a c de deux nombres premiers
différéns de b ne peut se diviser exactement par, > a c a m.b ; car, fi on avoit — = m, on auroit T — - »■' . . o , occe qui ne se peut. En effet, il faudroit, pour
cela, que b & c eussent un commun diviseur, ce
qui est contre Fhypothèse. On prouvera dé mêmeque ^ ne fauroit se réduire ; car on auroit ^
— -., g ayant un diviseur commun avec b ; on
prouvera de même encore que — , d étant un
nombre premier, ne fauroit se réduire ; car on.
auroit %r, — -^r : donc b d produit de deux nomba. g n -L.,bres premiers, seroit égal au produit de deux
' autres nombres g, h, & par conséquent on auroit-=:-, quoique b, d’une part, & d, de l’autre,soient des nombres premiers: ce qui ne se peut,
car on vient de voir, que toute fraction, dont un
des termes est un nombre premier , est réduite à
la plus simple expression. On prouvera de même que\4>c^tant nombre premier, ne peut se réduire ;
&, en général, qu’un produit de nombres premiers
quelconques, divisé par un produit 4'autres
nombres premiers quelconques, ne peutîeréduire
: à une expression plus simple. Voyez les conséquences
de cette proposition aux mois FRACTION & INCOMMENSURABLE. ;■ A Fëgard: de la méthode par laquelle on trouve lé
plus grand diviseur commun de deux quantités algébriques,
elle est la même, pour le fond, que celle
par laquelle on trouve le plus grand diviseur commun
de deux nombres. Elle est expliquée dans plusieurs
ouvrages, & en particulier dans Y Algèbre, de
M. l’Abbé Boffut. (O)  ■*-\L’article diviseur, qu’on vient de lire, est engrande partie de M. d’Alembert ; il méritoit, parcette feule raison, d’être conservé ; & d’ailleursil- contient- des remarque ? qui peuvent .être utilesMathématiques. 2bmel}II-' Partit,aux conimënçans. Nous croyons cependant devoir
ajouter ici une explication un peu plus détaillée
fur la méthode de trouver le plus grand commun
diviseur de deux quantités.On à souvent besoin, sur-tout,dans le calcul des
fractions -, de savoir réduire une fraction à ses
moindres termes. Cette réduction se fait en’cherchant
le plus grand-commun diviseur au numérateur
& au dénominateur de la fraction. Voyez FRACTION.
Or, dans la comparaison de deux nombres,
on peut toujours considérer l’un comme le numérateur
,, l’autre comme le dénominateur t d’une '
fraction : ainsi, la,question générale de trouver le
plus grand commun diviseur de deux nombres, se
réduit à trouver le plus grand commun diviseur des
deux termes d’une fraction.Sóit donc^ par exemple, la fractions, dont
il faut trouver le plus grand diviseur commun à son
.numérateur & à son dénominateur. II esl d’abord
évident que cê plus grand commun diviseur ne pêut
pas être plus grand que le plus petit des deux ternies
de la fraction, qui est le numérateur 96. J’essaie st
96 est ce diviseur ; 96 se divisé lui-même , mais il
ne divise 180 qu’avec un reste 84. La fraction -^eft donc la même chose que—-. .En cet état,je vois que le plus grand diviseur cherché nê peut
pas excéder 84, autrement il ne diviseroit pas la
partie 84- J’essaieji 84 est ce diviseur ; 84 se divise
lui-même, mais ii ne divise jóquavecun reste 12.
La fraction peut donc être écrite sous cette forme,84. p us 12 ^ Alors j ! efl claij- que Je diviseurs+ plus 12 plus 84 ± ■-•'.,.cherché ne peut pas excéder 12, autrement il ne
diviseroit pas 12. Voyons si 12 est ce diviseur • iz
se divise lui-même ; il divise auffi 84. II divise
donc toutes les_parties de la fraction- 'Donc il est
diviseur commun du numérateur & du dénomina^
teur ; & de plus il est le plus grand diviseur commun
de ces deux ; termes ; car on voit, par'la fuite de
nos opérations,-qu’un nombre plus grand que 12,
ri'auroit pas pu diviser les deux mêmés termes.Maintenant que nous voilà assurés que 12 est se
plus grand commun diviseur cherché: ; si nous divi ?
sons 06 & 180 par 12, nous réduirons ía fraction -f~
à celle-ci -^ qui est fa plus simple expression. ,En réfléchissant fur l’efprit des opérations précédentés,
on yoit que la méthode dont il s’agit, revient
à cette règle. Divisez le plus grand terme de la
. fraâionpar le plus petit ; &si la divisions f ait fan*
reste , ce plus petit terme est le plus grand commun
diviseur cherché. Si la division ne se fait pas sans reste ,
divisez le plus petit terme , parle premier reste ; &si la
division se f ait fans reste ,le premier reste est le- plus
grand commun diviseur, cherché. Si elle ne sefait pas
fans reste , divisez le premier reste par le second ; gf si
ellése fait sans reste , le second, reste sera le diviseur
cherche'. Si la 'division ne se fait pas sans reste, vous
" continuerez à °pÌTcr d,ç même, jusqu’à ce que ; vous
■ ■ - z ? r
XA6 D I V D I V
trouviez un reste qui divise exaâement le précédent. Ce
reste diviseur sera le plus grand diviseur commun des
deux termes de la fraâion ; de manière qu’en les
divisant aâuellemcntpar lui, vous réduirez la. fraâion
è ses moindres termes.Si, dans la fuite de'ces calculs, on ne parvient
pas à faire une division fans reste , & si, en cohiéquence,
le dernier de tous les restes est l’unité :
ce fera une marque que la fraction esl exprimée par
ses plus simples termes, & qu’elle est irréductible.Le plus grand commun diviseur de deux quantités
algébriques se trouve d’une manière analogue.
Après avoir ordonné les deux termes de la fraction,
par rapport à une même lettre, il fout diviser celui
des deux termes, où cette lettre a le plus grand exposant
, parle second ; & pousses Fopération tant qu’elle
esl possible, conformément aux règles ordinaires de
la division ; ensuiteil fautdiviser, luivant les mêmes
conditions, le second terme par le premier reste ;
puis le premier reste, par le second reste ; ainsi de
suite, jusqu’à ce qu’on parvienne à une division
exacte : alors le dernier diviseur est le plus grand
commun diviseur des deux termes de la fraction proposée.
Sion ne ppuvoit,pas parvenir à faire une
division exacte , la fraction seroit irréductible. On
voit que le prpcédéest absolument le même pour
les fractions littérales que pour les fractions numériques.
Avant que d’appliquer cette règle à des
exemples , nous ferons quelques Observations qui
tendent à simplifier le calcul.On ne change rien au commun diviseur de deux
quantités, en multipliant ou en divisant l’une de ces
quantités par un facteur qui n’est pas diviseur
de l’autre. Qu’on ait , par exemple, la fraction— , dont les deux termes ont a pour diviseur commun
: en multipliant le numérateur ou le dénominateur
par une quandté d, on formera la nouvelle
fraction —, ou -^—r,dontlésdeuxtermesa c a cdn’ont pas d’autre diviseur commun que a. Mais,
íì la quantité, par laquelle on multiplie un-des
termes de la fraction, étoit diviseur de l’autre terme,
alors on changerait le diviseur commun. Par
exernple , qu’on multiplie le numérateur de làfraction — par c, qui est diviseur du dénominateur
, on formera la fraction —-, dont les deuxa c *termes ont, pour diviseur commun, ac, & non
pas simplement a comme tout-à-1'heure. De même,
ii l’on multiplie le dénominateur de la fractioní^ , par b, qui est diviseur du numérateur, onformera la fractions , dont les deux termes
ont pour diviseur commun a b, & non a simplement.
On ne conserve donc le même diviseur commun
aux deux termes d’une fraction, qu’en multipliant
ou en divisant l’un de ces termes par une
quantité qui ne soit pas diviseur de l’autre.EXEMPLE -I. Trouver le plus grand communJ- -r J r r a-aì + " bz — azb— i' 5diviseur de la fraâion —r-*- — r-r-, rrJJ■ 4. a4 — zazbz—^.aìb + zablJ’ordonne tout par rapport à Ia lettre a , & je
prens le dénominateur pour dividende, & le numérateur
pour diviseur. Cela posé ,1.° Comme 2 a divise tous les termes du dividende,
& ne divise pas ceux du diviseur, je commence
par délivrer le dividende de' ce diviseur,
pour simplifier Fopération. 11 me vient ainsi 2a 5— 2 a z b — à b z 4- b » à diviser par a ' — azb4abz
— bi. Le quotient esl 2 , & le reste—3 afc*z° Je prens pour dividende le diviseur a\—.-.
az b 4- a b1—fe', & pour diviseur le premier reste—■■
3 abz 4- 3 b}. Et comme 3 b1 est diviseur de ce reste,
sans Fêtre du nouveau dividende, je délivre mon
diviseur actuel du facteur $.bz. Par ce moyen, j’ai
a ;—azb4- abz—fcs à diviser par—a -f- b. II vient
pour quotient exact— a2 — bz. D’où je conclus que
—a -f- & est le plus grand commun diviseur cherché..
Divisant donc les deux termes de la fraction pro■r..ai—azb+abz—bi.p osée , :— par—a-f-J ■rte« -4Ìii-isîJ>4 »2aJi'r'3,, j . , _aî_fci az4<bzelle deviendra -— ou —,. ui ,— ^u'+zaP * -tas- — zab 1, *& sera réduite à ses moindres ternies.EXEMPLE I L Trouver le plus grand commuttj- -r j r r n-2a4+'2ai b —í 1 b c — a bzc ,diviseur de la fraâion - ->- J 3 « M-3 "z b +- 4âbz + 4 *>' *J’ordonne tout par rapport à la lettre a ; &je
prens pour dividende le numérateur, & pourtiVí■
sieur le dénominateur. •7." Je prépare.Ie dividende, en divisant tous ses ;,
termes par a qui n’est pas diviseur commun de .tous
les termes du dénominateur. Ensuite jé multiplie
 ; tous les termes du même dividende par y qui n’est
pas.diviseur du dénominateur, afin de rends è le premier
terme du dividende, divisible parle premier ■
terme du diviseur. Par ces deux opérations, j’ai
6 ai 4-^fzb— zabc — zbzck diviser par 3 à ? 43
azb-\-^abz4r^bi. Le quotient est z, & se reste— z abc—8afi2— 3 61 c—86'.
z.° Je prens pour dividende le diviseur précédent3 a5 + 3 a* 6 + 4 a bz 4- 4 6* , & pour diviseur le
premier reste—3 abc—•% abz—3bxc — 8íJ. Je
prépare la division , en observant que—3 bc —
8 bz divise le diviseur , & ne divise pas le dividende ;
Ainsi je délivré le diviseur de ce facteur ; & alors
j’ai z a* 4- z az b 4- 4&bz 4- ^.bi à diviser par a -j- b.
La division se fait exactement, & le quotient est :
3 a* 4-4 bz. Par conséquent le plus grand commun
diviseur de la fraction proposee '1 4* + 1 fl ! í — az b c — abz c „ , . _■=- 1 ■ - -1 ;. ■ •■ u ,—zr~- esl a 4- 0 ; &,,eaD iv.. d i v y 47■divisant son numérateur & son dénominateur par
ce diviseur, cette fraction devient — -a !~-^-\■ . i ì a> +< 4 i *DIVISIBILITÉ, (Géom.&Phys)  esten général• íe pouvoir passif, ou la propriété qu’a une quantité
de pouvoir être séparée en différentes parties,
íbit actuelles , soit mentales.Les Péripatéticiens & les Cartésiens soutiennent
. en général que la divisibilité est une affection ou
propriété de toute matière ou de tout corps : les
Cartésiens adoptent ce sentiment , parce qu’ils
prétendent que Fessence de la matière consiste dans
{'étendue, d’autant que toute partie ou corpuscule I■ d’un corps étant étendue à des parties qui renferment
d’autres parties, est, par conséquent, divisible.Les Epicuriens disent que la divisibilité eft propre
à tòute continuité physique , parce qu’où il n’y a
point de parues adjacentes à d autres parties, il ne
- peut y avoir de continuité, & que par-tout où il
y a des parties adjacentes, il est nécessaire qu’il y
ait de la divisibilité ; mais ils n’accordent point• cette propriété à tous les corps, parce qu’ils
soutiennent que les corpuscules primitifs ou
ies atomes font absolument indivisibles. Leur
plus grand argument est que. la divisibilité de tout
corps ou de toute partie assignable d’un corps,,
même après toutes divisions faires, suppose que: îes plus petits corpuscules sont divisibles à l’infini,
ce qúi est, selon eux,~ une absurdité, parce qu’un• corps ne peut être divisé que dans ses parties actuelles■ dont il est comppfë. Mais fupppser, disent-ils, désÎ>arties a l’infini dans le cprps le plus petit  ? c’est
upposer une étendue infinie : car des parties ne
, pouvarit être réunies à l’infini à d !autres parties extérieures
, comme:1e sont, fans doutes îes parties
qui composent les corps, il faudroit nécessairement
admëttreune étendue infinie. 'Ils ajoutent qu’il y a une différence extrême
entrefa divisibilitéAes quantités physiques & la divisibilité
des quantités mathématiques : ils accordent’
que foute quantité, ou dimension mathématique,
peut être augmentée ou diminuée à Finfini ; mais ia
quantité physique j selon eux, ne peut être ni augmentée
, ni diminuée à' l’infini.Un artiste qui divise un corps continu parvient-à
certaines petites parties , au-delà desquelles il ne
„peut plus aíler ; c’est ce qu’on appelle minima
partis. De même Ia nature qui peut commencer où
î'art, finit, trouvera des bornes que Fpn:appelle mi.
nima natures ; & Dseu , dont le pouvoir est infini,
commençant pù la nature finit, peut subdiviser ce
cminimanaturoe ; maisàforcede subdiviser , il arrivera
jusqu’à ces parties qui, n’ayant aucunes parties
" .continues, ne.peuvent-plus être divisées, & seront
- ;.atomes. Ainsi parlent les Epicuriens.Cette question est sujette « à bien des difficultés :
■ nous allons exposer ;en grosjes raisonnemens póur
' & contre. D’un côté, il est-certain que tout corpuscule
étendu a des parties, & est, par conséquent,
divisible ; car, s’il n’a point de côtés, il n’est point
étendu , & s’il n’y a point d’étendue, Fassemblage] de plusieurs corpuscules ne composerait point uri
corps. D’un autre côté, la divisibilitéiunnie suppose
des parties à Finfini dans les corps les plus petits:
d’où il soit qu’il n’y a point de corps , quelque
petit qu’il puisse être, qui ne fournisse autant de
surfaces ou de parties que tout le globe de Ia terre
en pourrait fournir.La divisibilitéò. l’infini d’une quantité mathématique
se prouve de cette manière : supposez A C,
(PI. de.Géom. fig., 68 ) perpendiculaire à B F, &
une autre ligne tellê que G H k une petite distance
de A , aussi perpendiculaire à la même ligne : "des
centres C,Ç,C, &c. & des di{\ancesCA,CA,&c.
décrivez des cercles qui coupent la ligne GHavrx.
points e, e, &c Plus lê rayon AC est 'grand , plus
la partie e G ésl petite ; mais le rayon peut être
augmenté ininfinitum ,8t, par conféqnent, Ia partie
e G peut être diminuée aussi in infinitum ; cependant
on ne la réduira jamais à rien , parce que le cercle
nepeut jamais devenir coïncident avec Ia ligne B F ;
par conséquent les parties de toute. grandeur peuvent
être diminuées in infinitum.Les principales objections que l’on fait contre ce
sentiment sont,.que l’infini rie peut être renfermé
dans ce qui est fini, & qu’il résulte de la divisibilité
[in infinitum, ou que les corps sont égaux, ou qu’il,
est des infinis plus grands les uns que les autres :
à quòi l’on répond crue les propriétés de ce qui est
fini, & d’une quantité déterminée,peuvent être
attribuées à ce qui est fini ; qu’on n’a jamais prouvé
qu’il he pouvoit y avoir un nombre infini de parties
infiniment petites dans une quantité finie. On ne
prétend point ici soutenir la possibilité d’une division
actuelle in infinitum ; on prétend seulement que
quelque petit que soit un corps, il peut encore être
divisé en de plus petites, parties ; & c’est ce qu’on a
jugé â-propos.d’appeller une division in infinitum. 3
parce. que.ce qui n’a point de bornes est infini.U eft certain qu’il n’est point de parties d’un
corps que Fou rie puisse regarder comine contenant
d’aútres parties ; cependant^la petitesse des
particules de plusieurs corps est telle , qu’elle surpasse
de beaucoup notre conception ; & il y a une
infinité d exemples dans la nature, départies trèspetites
, séparées actuellement l’une de l’autre.M. Boyle nous .en fournit plusieurs. L’or est un
métal, dont on formé en le tirant, des fils fort
longs & fort firis. Ondit qu’à Augsbourg, un habile
, tireur d’or fit un fil de ce métal, qui avoit 8oo piedï
de long, & qui pefoit un grain, ; on auroit pu, par
conséquent,-le diviser, en 3600000 parties visibles.
On se. sert tous les jours, pour dorer plusieurs
sortes de corps , de feuilles d’or fort déliées-, lesquelles-étant
battues, peuvent être jrendúes extrêj
mement minces j car il faut 300000 de ces petitesZzzij
> A8 D I V D I V .
feuilles entassées les unes fur les autres pour faire
Fépaisseur d’un pouce. Or on peut diviser une feuillle
d’un pouce quarré en 600 petits fils visibles, &
chacun de ces petits fils en 600 parties visibles ; d’où
il fuit que chaque pouce quarré est divisible en
360CCO. Cinquante pouces semblables fontun grain. .
Donc un grain d’or peut être divisé en iScooooo parties
visibles. M. Boyle a dissout un grain de cuivre
rouge dans de l’efprit de sel ammoniac, StFayant
mêlé avec de l’eau nette qui pesoit 28") 34 grains,
ce seul grain de cuivre teignit en bleu toute l’eau
dans laquelle il avoit été jette. Cette eau ayant été
mesurée faisoit 105 , 57 pouces cubiques. On peut
bien supposer , sans craindre de se tromper, qu’il
y avoit dans chaque pairie visible de l’eau une petite
partie de cuivre fondu. II y a 216000000 parties visibles
dans un pouce cubique. Par conséquent un
seul grain de cuivre doit avoir été divisé en
22788000000 petites parries visibles. Le fameux
Levenhoeck a remarqué dans de l’eau où l’on avoit
jette du poivre, trois sortes de petits animaux qui
y nageoient. Que l’on mette le diamètre de Ia plus
petite sorte de ces animalcuses pour l’unité, le
diamètre de ceux de la seconde sorte étoit dix fois
aufli grand , & celui de la troisième espèce devoit
être cinquante fois plus grand. Le diamètre d’un
grain de fable coriimun étoit mille fois auslì grand,
&, par conséquent, Ia grandeur du plus petit de
ces animalcules mis en parallèle avèc un grain de
fable, étoit comme les cubes des diamètres I &
IOCO , c’est-à-dire, comme 1 à 1000000000 1 on
voit pourtant ces petits animaux nager dans l’eau:
ils ont un corps qui peut se mouvoir ; ce corps est
composé de muscles , de vaisseaux sanguins, de
nerfs, & autres parties. II doit y avoir une différence
énorme entre le volume de ces vaisseaux sanguins
& celui de tout leur corps. Quelle ne doit
donc pas être la petitesse des globules de sang, qui
circulent continuellement dans ces vaisseaux ? De
quelle petitesse ne font pas aussi les oeufs de ces animalcules,
ou leurs petits, lorsqu’ils ne font que
de naître ì Teut-on assez admirer la sagesse & la
puissance du créateur dans de semblables productions
 ? .Dans les corps odoriférans, il eft encore facile
d’appefeevoir une finesse très-grande de parties, &
même telles qu’elles sont actuellement séparées
l’une de l’autre : on trouve beaucoup de corps dont
la pesanteur n’est presque point altérée dans un long
espace de temps , quoiqu’ils remplissent fans-cesse
une grande étendue pat les corpuscules odoriférans.
qui s’en exhalent.Toute partie de matière, quelque petite qu’elle. fòit,
 & tout espace fini quelque grand qu’il soit,
étant donné , il est possible qu’un petit grain de
sable ou une petite partie de matière soit étendue
dans un |rand espace ,. & le remplisse de manière
. qu’il ne s’y trouve aucun pore dont le diamètre .
excède quelque ligne donnée, si petite qu’on •
voudra..En effet, qu’on prenne ,par exemple, une ligne
cube de matière, qu’on la divise par tranches en.
petites lames , il est certain que l’on peut augmenter
aslëz le nombre de ces lames pour pouvoir,
en les mettant les unes à côté.des autres, couvrir
une surface áuíiì large qu’on voudra. Qu’on redivise
ensuite chacune des petites lames en un grand
nombre d’àutres , on pourra placer ces nouvelles
petites lames à telle distance si petite qu’on voudra
les unes des autres, & en remplir, de cette sorte,
un espace qui pourra être impénétrable à la lumière,
si les distances entre les lames sont moindres que
les diamètres des corpuscules de lumière. Cela est
démontré plus aillons dans Keill , Introd. adver.n>ys- ■ „
Voici maintenant, d’une manière plus détaillée,'
les objections de ceux qui prérendent que la matière
n’est pas divisible à Finfini'. Le corps géométrique
n’est que la simple étendue, il n’a point départies
déterminées & actuelles, il ne contient que des
parties simplement possibles, qu’on peut augmenter
tant qu’on veut à l’infini ; car la notion de Fétendue
ne renferme que des parties co-existentes & unies ,,&
le nombre de cesparties esl absolument indéterminé,
& n’entre point dans la notion de Fétendue. Ainsi,
l’on peut fans nuire à Fétendue, déterminer ce
nombre comme on veut, c’est-à-dire, que l’on’peut
établir qu’une étendue renferme dix mille j ou un
million, ou dix millions de parties, selon qiie l’on
Voudra prendre une partie quelconque pour un ;
■ainsi, une ligne renfermera deux parties, fi l’on
prend fa moitié pour une , & elle en aura, dix qu
mille, fi on prend fa dixième , ou fa millième
partie.pour l’unité. Cette unité esl donc absolument
indéterminée, & dépend de la volonté de celui qui.
considère certe étendue. .II n’en est pas de même de la nature.Tóut ce qui."
existe actuellement doit être déterminé en toute manière,
& il n’est pas en notre pouvoir de le déterminer
autrement. Une montre, par exemple, a ses parties t
mais ce ne font point des parties simplement déterminàbles
par Fimagination ; ce sont des parties
réelles, actuellement existentes : & il n’est point libre
de dire , cette montre a dix ', cent,, ou Un million
de parties ; car en tant que montre, elle en a un
nombre qui constitue son essence ,.'& elle n’en peút
avoir ni plus ni moins  ; tant qu’elle restera montre..
II en est de même de tous lès corps naturels, çe sont '
tous_des composés qûi ont leurs parties déterminées
& dissemblables, qu’il n’est point permis d’exprimer
par un nombre quelconque. Les philosophes
se seroierit donc épargné tous les embarras où les
a jettes le labyrinthe de la. divisibilité du continu-,,
s’ils avoient pris soin de ne jamais appliquer les
raisonnemens quel’onfaitfurla divisibilité. du corps
géométrique aux corps naturels & physiques.
_ Les adversaires de la divisibilité de-la matière soutiennent
qu’il n’y a aucune expérience qui fasse voir
démpristrarivèmerit que les corps sont composés de
parties divisibles ;, que la nature 's’arrête, daas:Paralyse de Ia matière à un certain degré fixe &
déterminé ; c’est ce qui est fort probable, & par l’uriiformité
qui règne dans ses ouvrages, & par une
infinité d ^expériences, f." Si la matière étoit résoluble
à l’infini, là forme & la façon d’être dans
les composés seraient sujettes, discnt-ils, à mille
changemens, & les espèces des choses seraient fans. cesse brouillées. 11 seroit impossible que les mêmes ; germes & les mêmes semences produisissent cons,raniment les mêmes animaux & les mêmes plantes,
& que ces êtres conservassent toujours les mêmes
propriétés ; car le suc, qui les nourrit, tantôt plus
subtil, tantôt plus grossier, y causerait des variations
perpétuelles. Or il n’y a aucun de ces dërangefnens
dans l’univers ; les plantes, les animaux, les
fossiles, tout enfin produit constamment son semblable
avec les attributs qui constituent son essence.
2.° Non-seulement les espèces se' mêleraient dans
la division à l’infini, mais il s’en formerait de nouvelles.
Or on n’en voit point dans la nature ; les-.-monstres mêmes ne perpétuent pas la leur ; la main
du créateur à marqué les bornes de chaque être, &
ces bornes ne sont jamais franchies. z.° Les dissolutions
des corps ont leurs bornes fixes j aussi-bien.que leur accroissement. Le feu du miroir ardent,
seplus puissant dissolvant que nous connoiffiòns,
fond For, le pulvérise , & le vitrifie , mais ses
effets né vont pas au-delà. Cependant l’hypothèse
que nous combattons ne fauroit rendre raison pourquoi
les liquides ne reçoivent, jamais qu’un certain
degré de chaleur déterminé , ni pourquoi Faction
du feu fur les corps a des bornes si précises , fi la
solidité & Firrésolubilité actuelle n étoient pas atta- :
chées aux particules de la matière. Aucun chymiste
a-t-il pu rendre l’eau pure plus fine qu’elle étoit
auparavant ì A-t-on jamais pu^ après de centaines,
de distillations -, de digestions & de mélanges avec
toutes sortes de corps, rendre l’efprit d’eau-dë-vie
lêplus fin, encore plus subtil que l’esprit-de-vin
'éthéré , qui est beaucoup plus fin que Falcohol ?
4.° Le système des germes, que les nouvelles découvertes
ont fait adopter, rend Firrésolubilité des
premiers corps indisoensablement nécessaire. Si la
nature n’agit que par développement, comme les
microscopes scmblenr le démontrer -3 il faut- abfo.lument que les divisions actuelles de la matière
aient des bornes. 5.° Si l’on frotte les corps les uns
contre les autres, 6k fi on les’épure, on peut bien
en détacher de grosses parties ; mais on a beau continuer
de les frotter pendant long-tems, ces parties
emportées seront toujours rendues visibles à l’aide
du microcofpe. Cela paroît, fur-tout,lorsqu’on brise
ses couleurs fur le porphire, & qu’on les considère■senfuite au microscope. 6.°'La divisibilité de la matière
à l’infini suppose que les corps soient composés k
Finfini d’amres corpuscules. Mais cela se peut-il
concevoir ?. Dire qu un corps est composé d’autres'corps, c’est ne rien dire. Car on demandera de
nouveau de quoi ces corpsfoht composés. Les’élétoensdela' matière doivent donc être autre chose ,que de la matière. C’est ce qui avoit fait imaginer
à M. Leibnitz son système des monades. La matière,
selon les Leibnitiens, n’est qu’un phénomène résultant
désunion de plusieurs monades. Çephénomène
subsiste tant qu’il y a plusieurs monades ensemble.
En divisant la matière, on désunit les monades ; &
si la division est portée jusqu’au point qu’il n’y ait
plus, qu’une seule monade , le phénomène de la
matière disparaîtra. Si on demande comment des
mpnades, qui ne sont point corps, peuvent constituer
des corps , ;les Leibnitiens répondent qu’elles
n’en constituent que Fapparence, que la matière
n’existe point hors de'notre esprit telle que nous
la concevons. Telles sont les difficultés de part
& d autre. Non nostrum inter vos tantas componere
lites. Nous devons à M. Formey une grande partie
de cet article. (O) DIVISION, f. f. (Arith.)  : opération par
laquelle on trouve un troisième nombre qui, riiultipliant
le second, ou étant multiplié-par le second,
donne un produit égal au premier.NOUS allons expliquer les règles de la division’,',
eri commençant par les nombres incomplexes.1. Le npmbre qu’on divise s’appelle dividente, celui
par lequel on divise , diviseur ; & lè: traiflèmenombre
qui résulte de Fopération, quotient. Ainsi,,
le produit du diviseur & du quotient,-multipliés
l’un par l’autre, doit être égal au dividende, ou
plutôt doit être le dividende même. D’où il fuit
que lë dividende contient le diviseur alitant de
fois que le quotient contient l’unité, ou que le'
dividende contient le quotient autant de fois qu’il
y á d’unités dans le diviseur ;-ce ; qui fait deux:
cas. ' . . ;..-■ -  ! ' - '■'■- ;Dans le premier, 1 le dividende & le diviseur
contiennent des unités de même espèce ;, puisque
l’un fait partie de l’autre ;;.. & le quotient est ùn ;
nombre abstrait qui marque combien de fois le
. dividende contient le diviseur. Par exemple, si l’on’
■ divise 40 écus par 10 écus, tout ce qu’on peut se
proposer dans cette opération est de connoître ;
combien de fois 40 écus contiennent 10 écus,- le
quotient 4 indiquant ce nombre de fois,, est unnombre
abstrait. Çe n’est ; que dans ce cas que le-résultat
 de la division est appelle proprement quo-tient,
 du mot latin quoties, combien defois.-Dans le second cas-, le diviseur est-un nombre ;
abstrait ; & le quotient aura dès unités de même:
espèce queie dividende, & ferapar conséquent’
concret, si le dividende est concret.- La division,
se réduit donc alors à partager le dividende enautant
de parties égales qu’il y a d’unités dans le
diviseur, pour avoir une de ces parties qu’on appelles
quotient, nom qui ne lui convient qu’improprement.,.
Par exemple, si l’on propose de diviser 40 écus
par io,nombre abstrait ; on a pour but départager"
40 écus en dix parties égales ; le quotient 4 écus:
est donc une, dès parties’ d’u- dividende.-, II. Lorsque le dividende & le diviseur font dëuxí
nombres abstraits, la-divifion peut être rapportée ;îSo d iv divirdifféiëmmerit à l’un & à l’autre èas ; & le quotient :
cil toujours un nombre abstrait.
- De "quelque nature que soient les unités du
dividende & du diviseur, On peut faire la division,
comme s’il s’agissoit de savoir cpmbien de fois le
dividende contient le diviseur. Ensuite on déterminera
Fespèce des unités -duquotient,'relativement
à celles du dividende & du diviseur, ou au sens
dans lequel òn a prOpofé la question qui a donné
lieu à la division.On indique une division à faire , Pu.se quo-tiënt
qui endoit provenir,ën écrivant le dividende
au-déssus d’imeltórre horizontale, &Ie diviseur audèssous.
Par exemple, ^- indique le quotient de r2
divisé par 6 ; de même ^ indique le quotient de ;45 divisé par 9 ; 6* *J indique le quotient du"produit 64 X 5 divisé par le produit 8 X 6 ; ~&c.III. Toute division peut s’exécuter par le moyen '
"de la soustraction, comme la multiplication7 par
Faddition. En effet, s’agit-il, par exemple, _de
'diviser 40 écus pàrio écus, ou de trouver combien
•de fois.40 écus contiennent 10 écus ?Otez 10 de 40 ; ôtez Dividende 40 écusensuite 10 du reste 30 ; D iviseur 10 écus^ôtez ensuite 10 du second Premierresle loécus ' !
reste '20 ; ôtez, enfin 10 Diviseur io écus <du troisième reíte 10 ; —-—^-^-.——-vous aurez :zéro pour Second reste 20 écus
quatrième reste. Le nom- Diviseur 10 écusbre de soustractions -que Troisième rëste ioéeus,
: vous aurez faites pour Diviseur ro écusépuiser le dividende, sera ~ .. —„ '-—— '•le quòriehrchërché. Quatrième reste 00Faut-il diviser 40 écus par 10, nombre abstrait,fcest-à-'dire^partager^o écusen dix parties égales ?
On a vû que dàns ce Cas chacune de ces dix
parts peut être "prise pour le quotient. Otez 10
écus "de 40 écus, vous trouverez dans ces ioeëus
I écu pour:chacuhe des 10 parts égales. Otèz du
reste 30 écus, 10 autres écus, qui formeront’un"second écu poUr chaque pàrt. En un mot, autant
de fois que vous trouverez 1 q écus à soustraire,-jusqu’à-ce 'que' vous, àyèz épuisé le dividente ,
cc sera autant de fois 1 écu qui revient à chacune
des parts égaies. Ainsi le quotient cherchécest 4 écus.Mais cette'manière de faire la. division seroit j
trop longue dans la pratique, fur-tout lorsque le ;'dividende est considérable par rapport au diviseur. !
L’art d’abréger Fopération est l’objet de la division I-proprement dite. J’expliquerai cet art, après que■j’aurai tìonné encore quelques notions nécessaires
pour-la suíie. 'IV. • Si ón multiplie, ou si on divise par un j
hómbre quelconque, le dividende d’une division, \
en conservant son diviseur ; le quotient de la nouvelle :
division est égal au quotient de la première, mulri- i"plié 011 divisépar ce même nombre, Car un dividende'i fois, 3 fois, 4 fois, &c. *plus grand ou plus
petit qu’un autre, doit contenir Z fois, 4 fpis
plus, ou 2 fois, 3 fois, 4 fois moitì's le même
diviseur.Au contraire, isi on conserve le dividende
d’une division , & qu’on multiplie ou divise son
diviseur par un nombre quelconque ; le quotient
de la nouvelle division sera égal- au quotient de
la première, divisé ou multiplié par le même
'nombre. Car un diviseur i'fois, 5 fois, 4 fois plus-grand
ou plus petit, est nécessairement contenu'z
fois, 3 fois, 4 sois moins « u'••davantage dans-le
même dividende.Ilsùit de ces deux remarques, que .fi l’on
multiplie'le dividende &le diviseur par un même
nombre, •ou -bien encore si on lés divise l’un &
l’autre par un’hiême nombre ; cètte double opération
ne changera rien au quotient, dans chaque
cas ;V. Les règles riëcëffaires pour: faire toutes sortes
de divisions, demandent-qu’on sache d ?abord divisép'
■un nombre qui ne contient’ pas plus de deux
chiffres par <un autre qui n’en contient qu’un seuil.
Or cette première opération estfacile, & se fait par
le moyen’de la Table de Pythagore (Voyez MULTIPLICATION) ,
Qu’il-s’agisse,-par exemple, de
diviser'72par 8 ? On’ cherchera le dividende 72 dans
la Table, & prenant le diviseurs dans la-première
case de la bande verticale qui contient 72, on
trouvera le.quotient 5) dans la première case de la
bande horizontale qui contient aussi 72.Si le dividende nç se trouvoit pas dans lá Table,"
comme, par ëxëmple, s’il falloit diviser 78 par 8 ;
on prëndroit-dans la-Table le nombre 72 qÙL
approche le plus, en dessous, du dividende ; &
-on trouverait, comme tout-à-1'heure, que le quotient
est 9. 'Mais ce quotient n’est qUapproché.,
parce que le nornbre 78 n’est pas exactement divisible
par 8,Cela posé, nous sommes en-état de diviser l’un
par l’autre deux nombres exprimés par tant de
chiffres qu’on voudra.'V'I. PROBLÈME L faire la division, lorsque
le dividende étant composé d’un nombre quelconque
de chiffres, le diviseur n’en contient qu’un seul.Ayant d’abord écrit le dividende, on mettra lediviseur à côté, en les séparant par une acolade, Ontirera une barre sous le diviseur, & on écrira souscette barre les chiffres du quotient ,-à mesure qu’onTes trouvera. Or, pour trouver ces chiffres, il fautdiviser successivement -toutes les parties du divi- .dendepar le diviseur, en commençant par les unités"de la plus haute espèce, c’est à-dire, en allant degauche à droite. Si la première division ne sefait pas fans reste , vous convertirez se reste enunités de For'dre immédiatement inférieur, &. vousy jpiridrez: les imités decet ordre-déjà contenuesdans Te dividende total ; ce qui vous donnera-unsecond dividende partiel. Vous opérerez fur ce"seconddividende, cpmme fur se-premier ; ainsi dçD i v d t\v <U'saité, jusqu’à ce que le dividende total soit épuisé.
Lorsqu’il se trouve quelque dividende qui ne
contient pas le diviseur, il faut mettre zéro au
quotient. On voit par-là que chaque division partielle
fournit un chiffre au quotient. Le résultat de tous
les quotients partiels forme le quotient total. Eclaircissons
cela par des exemples.
- EXEMPLE I. Oh propose de diviser 747 par 3 ?Dividende 747 f 5 diviseur.-— (_i4° quotient
H•- 12027 z7oJ écris ces deux
nombres comme on
le voit ici ;& je commence
par diviser les
7 centaines du dividende'par
le diviseur
3, en disant, dans
7 combien de fois
3 ? II y esl deux fois,
& ce 2 marque des
centaines ; je Fécrisfous la barre. Ensuite je multiplie le diviseur 3 par
le quotient 2, ■&" je retranché le produit 6 du
premier dividende partiel 7, ce qui me donne I centaine
pour reste. Je vois par-là que les centaines
du dividende ne peuvent pas fournir'plus de 2 centaines,
aujj’uotiènt, & que la centaine de reste doit
être convertie en dixaines , lesquelles avec les
dixaines qui suivent, formeront un second dividende
partiel.Ainsi, à côté de 1 j’abaisle les dixaines 4 du
dividende, & j’ai 14 dixaines à diviser par 3. Je
dis donc, en 14 combien de fois 3 ? II y esl 4fois,
& ce 4 , que j’écris sous la barre, marque des
dixaines. Je multiplie 3 par. 4, & je retranche lë
produit i2,de 14V j’ai 2 dixaines dé reste.A côté du 2, j’abaisse les unités 7 du dividende
 ; ce qui me donne 27 unités à diviser
par 3. Je dis donc en 27 combien de fois 3 ? II
y est p fois ; j’écris 9 au quotient, &-ce 9 marque
des unités. Je multiplie. 3 par .9, ce qui donne
27 pour produit ; & cé nombre étant retranché
du dernier dividende partiel, donne zéro pour reste.La division est donc ainsi achevée, & le quotient
total demandé est 249.
EXEMPLE II. Diviser 16473 par 7 ?
Je dispose le dividende & le diviseur, comme
dans Féxemple précédent ■, & comme on le voit ici.
Div. 16473 (7 diviseur.

— U35JíïuotH
-21
' ■'.':' - .37 .' Î5_"- *$:-
113.Et commençant 1 opéra-jtión
par lès dixaines de
mille du dividende,. je
vois d’abord que ces
dixaines n’en peuvent
pas fournir au quotient,
puisque ì n’est pas diviítle
par 7. Je les réduis
donc en mille, & j’ai 16
mille pour premier dividende
partiel. Maintenant
, je dis en 16 combien
de fois 7 ? II y est
2 fois -% & ce % aiarquedes-mille'que j’écris fous.-la barre. Je multiplie 7
par 2, & je retranche lë produit 14, de 16. lime
rëste 2 mille.A côté de 2, j’abaisse les centaines* 4 du dividende
 ; & lesccond dividende partiel est 24centaines.
Je dis donc, en 24 combien de fois 7 ? U y est 3 » ; fois ;& ce. 3 marque des centaines que j’écris íbus
la barre. Je multiplie 7'par 3 ; je retranche le produit
21 , de 24 ; il me reste 3 centaines.A côté de 3,« j’abaisse les dixaines 7 du dividende
 ; & le troisième dividende partiel est 37
dixaines. Je dis donc, en 37 combien de fois 7 ?
II y est 5 -fois ; j’écris 5 au quotient. Je multiplie
7 par 5 \ & je retranche lé produit 35 , de 37 ;
ce qui donne 2 dixaines pour reste.A côté de 2, j’abaisse les unités- 3 du dividende5
& le quatrième dividende partiel est 23 unités. Je
dis donc:, en 23 çombiën de fois 7. ? 11 y est
3 fois ; j’écris 3 au quotient. Je multiplie 7
par 3, & je retranche le produit 21, de 23 ; le
reste est 2.On voit donc que ledividende 16473 étant divisé
par le diviseur 7, donne 2.35 3 pour quotient, avec, un reste 2- qúi n’â: pas été divise ; en íprte que
2353 n est lè quotient exact que de 16471 divisé
par7. Ladivision du resté 2 par7, s’itidiqueainsi~.• Voyez F.SACT-I0K-. -,VII. PROBLÈME II. Faire la division lorsque le
diviseur a plus d’un chiffre ? ,….'.'Elle se fait comme dans le premier cas , en décomposant
le dividende en plusieurs dividendes partiels
, qui se divisent successivement parTe diviseur.EXEMPLE. Diviser -111-6597 par 3 67 ?. -
Div.i 116597s 367 diviseur.
1101 
< -—' -~- b0^^ quotient.1559 -■:'■'1468.0917
_734183Je prends ses
quatre premiers
chiffres du dividende
, qui for4
 ; ment un nombre
assez grand pour
contenir le diviseur.
Ainsi , j’ai
1,116 pour premier
dividende
partiel, & je cherchecombien, de fois ce dividendecontient le diviseur
367. Or^ commeil n’est pas facile de saisir
tout-d’un-coup.le rapport des. nombres dès qu’ils
font un peu grands ; âU-lieu.de dire, dans 1116
combien de fois 367, je comparerai seulement ses
centaines du dividende avec celles du diviseur, en
disant, dans 11 combien de fois 3 ? II y est 3 fois.
Mais, avant que d’écrire ce 3 au quotient, il faut
savoir si les dixaines & les unités dudividende 1116
contiennentauffi : 3 fois les dixaines & les unités.dis
diviseur 367. J’éclaircis icê doute > en multipliant
367 par 3 , ;& comme le produit 1101 estmoindre
que 1110, je conclus que ledividende 1116 contient
5 fois le diviseur 367. J’écris donc au quotient« i div * d i vle chiffre ;, qui marque des mille. Ensuite je retranche
noi, deinó, il reste 15 mille.A côté de 15 , j’abaisse les 5 centaines du dividende
, & j’ai 155 centaines pour second dividende
partiel. Ce dividende étant moindre que 367, &Conséquemment ne pouvant pas être divisé par 567,
j’écris o au quotient, pour exprimer que le quotient
ne contiendra pas de centaines.A côié de 155 , j’abaisse les 9 dixaines du dividende,
& j’ai 1559 dixaines pour, troisième dividende
partiel. Je dis donc, en 1559 combien de fois
367, ou plutôt (en ne comparant,_ Comme on a fait
çi-dessus, que les centaines du dividende à celles du
diviseur) , dans 15 combien de fois 3 ?I1 y est 5' ibis ; ce qui peut d’abord induire à croire que .5
doit être le troisième chiffre du quotient ; mais, faisant
attention que ses dixaines & les unités du dividende
1559 ne contiennent pas-aussi 5 fois les
dixaines & les unités du diviseur 367, j’en conclus
qu’au lieu de mettre 5 au quotient, je ne puis y
mettre tout au plus que 4 ; & je serai .sûr que c’est
en effet le chiffre qui doity être, si jepuis soustraire
le produit de 367 par 4-, du dividende 1559., Or je
trouve que-ce produit est 1468, qui est moindre que■ í559 ;jel’ensouslrais,cequjdonne9idixainesdereste. :
A côté de 91 jj’abaiffe ses 7 unités du dividende,'
£: j’ai 917 unités pour quatrième & dernier dividende
partiel. Je dis donc, dans 917 combien de
fois 367, ou dans 9 combien de fois 3 í Je vois, par
une observation analogue à celle que j’ai faite dans
l’opération précédente, qu’on ne peut mettre que
z au quotient. Je multiplie 367 par 2 , & je retranche
lë produit 734, de 917, il reste 1S5 qui -,
ne peinent pas se diviser par 367, & dont la division
s’indique ainsi j§|.Le nombre 3042 n’est donc le quotient exact
que'de 1116414 divisé par 367.VIII. E-EMARQUE Ilc. On.voit, par ces exemples,
que tout Fart de la division des nombres exprimés
par plusieurs chiffres, consiste à partager le dividende
total en plusieurs dividendes particuliers ,
qui soient divisibles par se diviseur. Chaque dividende
partiel doit donc contenir le diviseur ;
mais, pour la facilité & la simplicité de Fopération
, ces deux nombres doivent approcher de
l’égalité, autant qu’il est possible qu’ils en approchent.
Ainsi , ori examine d’abord fi en prenant un
dividende partiel qui contienne le même nombre
de chiffres que le diviseur, ce dividende est plus
grand que le diviseur i, ou est toút au moins-égal au
diviseur ; en ce cas, ladivision: est. possible, & il est
clair que le quotient est toujours exprimé par un
seul chiffre, autrement le produit du diviseur par
le quotient contiendrait plus de chiffres que-le
dividende, ce qui në peut pas être. Mais si le dividende
partiel dont on vient de parler ,se trouve
moindre que le diviseur, la division est impossible,
& alors il faut prendre pour dividende partiel
un nombre qui -contienne un chiffre de plus
que le diviseur : ce dividende sera.évidemment Jplus grand que le diviseur ; mais le quotient
íëra toujours exprimé par up seul chiffre ,
comme dans le premier, cas. En effet, supposons j
par exemple, qu’on ait à diviser 599 par 60. On ne
peut pas faire la division, fans prendre pour divi-.
dendetout lenombre599 ; car fa première partie 59
ne contient pas le diviseur 60. Mais, d’un autre côté,le
diviseur 60 est le moindre qu’il est poflìblé par rapport
au dividende ; car fi on avoit pour diviseur le
nombre 59 qui est immédiatement au-dessous de 60,
ilsuffiroit deprendrë pour dividende la partie 59 du
nombre proposé 599 , ce qui se rapporterait au
premier cas. Or, en divisant 599 par 60, on ne peut
pas mettre 10 au quotient ; car le produit de 60 par
10 est 600 , nombre plus grand que le dividende
599. Même raisonnement pour tout autre cas. Chaque
division partielle ne donnant ainsi qu’un seiil
chiffre au quotient ; se quotient total contiendra
toujours autant de chiffres qu’on aura fait de divisions
partielles.IX. REMARQVE II. La seule difficulté qu’on
rencontre dans la pratique de la division , est de
déterminer chaque quotient partiel. Cette difficulté
augmenteàmesure que le dividende & le diviseur
ont plus de chiffres, & que les chiffres de Ia gauchedu
diviseur sont plus petits par rapport aux autres.
Le quotient ne se trouve que par une espèce de tâtonnement
qui embarrasse,pourl’ordinaire,les corn-mehçans.
 Ainsi , lorsque nous avons eu, ci-dessus,
à diviser 1116 par 367 ; nous avons trouvé d’abord
, en tâtonnant, 3 pour quotient ; & nous n’avons
été certains que c’ëtoit-là, en effet, le véritable
quotient-, qu’après avoir trouvé, par la multiplication,
que le produit de 367 par 3 , ou noi,
étoit contenu dans 1116. En général, on ne peut
affirmer qu’un quotient est exact, & on ne doit,
par conséquent -, Fécrire qu’après s’être assuré que
îe produit du diviseur entier par ce chiffre, peutêtre
soustrait du membre de la division sur lequel
on opère actuellement. Siée produit est trop grand,
on diminue le chiffre eri question, d’une unité ;. &•
on le soumet à. la même épreuve. Si le produit du
diviseur par le nouveau chiffre est encore trop grand ;:
il faudra diminuer se'chiffre encore d’une unité ;
ainsi desuite , jusqu’à ce qu’on trouve un chiffre qui
multipliant le diviseur, donne un produit contenu
dans le dividende, .."•■•Ces fortes de- tâtonnemens sont :inévitables ;
mais voici du moins un moyen d’en diminuer, le
nombre. Je prends un exemple , pour plus de
clarté ; & je vais expliquer enmême-tems Ía manière
d’abréger les opérations de la division.EXEMPLE. Diviser 96194-71} par 2789 ?
Dividende 9639475 t 2789 diviseur..12724 , X' 3456^quotient. .- UÉÌL : ■' ,"_W5 '
Keste 691Comme35.l’y d i v 5,3^ : Comme les différentes opérations que nous avons
ici à faire & à enseigner, sont un peu nombreuses
& un peu compliquées, exposons-les distinctement
& par parties.I." PA E. T I E.Le premier membre de notre division tu 06zo.
Je dis donc, en 9639 combien de fois 2789 , ou ,
en ne comparant ensemble que les plus hautes uni- .
tés, en 9 combien de fois 2 ? II y est 4 fois ; mais
pour savoir fi 4 doit être en effet le premier chiffre
du quotient, ou s’il n’en faut pas prendre un plus
petit, jè multiplie le diviseur 2789 par 4 ; & aulieu
défaire cette opération à l’ordinaire, je commence
par les unités de la plus haute espèce, &
j’essaie de soustraire du dividende le produit à mesure
que je le trouve. Tout cela s’exécute fans rien
écrire, en disant, 4 fois deux font 8 ; 8 ôté de 9 ,
reste. 1, qui joint au second, chiffre 6 du dividende,
fait 16 ; 4 fois 7 font 28 ; mais 28 ne peut
être ôté de 16. D’où je conclus que le chiffre 4 est
trop grand, & que c’est tout au plus .3 qu’il faut
mettre au quotient.Avant que d’écrire le 3 , je le soumets à la
même épreuve, en disant 3 fois 2 font 6 ; 6 ôté de
"9, reste 3'. Dès qu’on trouve un reste aussi grand
où plus grand que le chiffre qu’on éprouve, c’est
une marque sûre que ce chiffre peut être écrit au
quotient. En effet, il est clair ( & il en sera de
même dans tous les autres cas ) que 3639 contient
trois fois le nombre 789. Car 3 mille valent 30
centaines, qui contiennent 3 fois 9' centaines, avec
un reste 3 centaines ; ces 3 centaines valent 30
dixaines, qui contiennent 3 fois 9 dixaines, avec un _
reste 3 dixaines : ces trois dixaines valent 30 unités,
qui contiennent 3 fbis 9 unités , avec un reste 3
unités ; d’où il résulte qu’à plus forte raison se
nombre 3639 contierit 3 fois le nombre 789. Je
puis donc mettre 3 au quotient.Maintenant que npus nous sommes ainsi assurés
que le quotient 3 n’est pas trop grand, multiplions
le diviseur 27S9 par le quotient 3 , à l’ordinaire,
cëst-à-dire, en allant de droite à gauche , & soustrayons
íe produit, du dividende. 9639'. Ces deux
opérations peuvent se faire tout-à-la-fois ; & cela
abrège extrêmement le calcul de la division.Je dis donc 3 fois 9 font 27 ; mais 27 ne peut être
Até de'9 ; ainsi je suppose que 9 est augmenté de 2
dixaines, ce qui me donne 29, dont retranchant 27,
il restë z' que j’écris fous ; le 9.Les deux dixaines dont le 9 a été augmenté, sont
censées avoir été empruntées fur les 3 dixaines du
dividende 963 9. Ainsi, en passant à la multiplication
& à la soustraction suivantes, il faut ne compter le 3
que pour 1 ; ou, ce qui est plus commode dans la
pratique , & revient au même , il faut retenir 2
dixaines pour les joindre au produit de ? dixaines
du diviseur, par le quotient, & soustraire le tout,
des dixaines du dividende prises en leur totalité. JeMathématiques. 'Tome 1, II.' Partit,poursuis donc, & je dis, 3 fois 8 font 24, & 2 de
retenus font 26 ; or 26 ne pouvant être ôté de 3 ,
j’augmente 3 de 3 centaines ; ce qui me donne 33,
dont retranchant 26, reste 7 que j’écris sous le 3..Je retiens 3 centaines pour ses joindre aux cen-'
taines du troisième produit, qui doivent être soustraites
des centaines du dividende. Ainsi , je dis,
3 fois 7 font 21 ', & 3 de retenus font 24 ; 24 ne
peut être ôté de 6 ; j’augmente donc 6 de 2 mille ; ce
qui donne 26 , dont je retranche 24, il reste 2 que
j’écris sous le 6: - - 'Enfin je multiplie le chiffre z du diviseur par 3 ;
le produit est 6, auquel ajoutant 2 ,à raison de l’ernprunt
supposé pour, la soustraction précédente , la
somme est 8 , qui étant retranchée de 9 , donne r *
pour reste.Toutes ces opérations font voir qu’après avoír
retranché du dividende 9639 le produit du diviseur
2789 par 3, le reste est 1272 mille.I I. P A K. T I E.A côté de ce reste, j’abaisse les 4 centaines du
dividende, & j’ai 127 24 pour second dividende partiel.
Je dis, en 12 combien de fois 2 ? II est 6 fois ;
mais on voit fans peine que ce chiffre 6 est trop
grand pour le quotient, puisque les 724 unités du
dividende partiel, loin de corttenir.6 fois, ne contiennent
pas même I fois les 789 unités du diviseur.,
Ainsi, il faut éprouver tout de fuite íe nombre 5 ,
en disant 5 fois deux font io ; 10 ôté de 12, il reste
2, qui, avec le 7 suivantdu dividende partiel, font
27 ; 5 fois 7 font 3 5 ; mais 3 5 ne peut être ôte de 27 ;
le 5 est donc encore trop grand. On éprouvera donc
le nombre 4, en disant 4 fois 2-.f0.nt 8 ; 8 ôté de 12,
il reste 4. Comme cé reste est aussi grand que le quotient
4, je conclus, par une observation semblable
à celle que nous avons déjà faite ci-dessus, que Ia
-chiffre 4 est bon, & .doit être mis au quotient. Cela
pose, on multipliera à l’ordinaire 2789 par 4, & on
soustraira en même-tems se produit , de 12724,
çomnie dans Fopération précédente ; on trouvera
1568 centaines pour reste.I I I. P AH. T I -B. .A côté de ce reste , mettez le chiffre 7 des
dixaines du dividende :-vous aurez.le troisième dividende
partiel, 156S7 dixaines. Pour trouver le troisième
chiffre du quotient, vous direz, en 15 combien .
de fois 2 ? II y est 7 fois ; màis en essayant ce chiffre .
7, Vous le trouverez trop grand pour être Ie quo- '
tient ; le chiffre 6 est encore trop grand ; mais le
chiffre 5 est bon, & vous le mettrez au quotient.
Faisant ensuite le produit de 2789 par 5 , vousle
retraricherez eri même-tems du dividende 15687,
& vous aurez 1742 dixaines de reste.I V. P A s. T 1 E.Enfin, à côté de ce restë, placez le chiffre 5Aa-aatu d i v d i vdes unités du dividende ; vous aurez le quatrième
& dernier dividende paitiel, 17425 unités. Vous
direz donc, en 17 combien de fois 2 ? II y esl 8
fois ; mais par Fépreuve, vous trouverez que le 8
S: le 7 font trop grands ; & vous rie mettrez que 6
au quotient. Ayant retranché de 17425 , le produit
du diviseur 2789 par 6, vous aurez 691 pour dernier
reste.Voici encore deux exemples où je ne donne que
les résultats des opérations ; elles ont été faites
comme dans celui qui le précède.EXEMPLE I. Diviser 584587567 par 2984 ?Dividende 5845S7567 f 2984 diviseur.28618 liP5 ?o7^ quotient.17627•2-7075
21967 ;
1079
EXEMPLE II. Diviser 874235859 par 34985 ?
Dividende 874235859 s 34985 diviseur.174535 U45>88 \TJTS quotient310935310559,— v1 , 30679X. REMARQUE III. II y a des cas où Ia division
s’abrège : naturellement par elle-même. Parexemple, qu’on ait à diviser un nombre quelconque,
par un autre qui ne contient que l’unité suivie de
plusieurs zeros ; la division íe fait rout-d’un-conp-,
en séparant vers la droite, par une virgule, autant
de chiffres dans le dividende, qu’il y a de zeros dans
le diviseur. Ainsi, s’il esl question de diviser 43458
par IO00 ; je séparerai, dans le dividende 4345S,
les trois derniers chiffres vers la droite, & j’aurai
43,458 pouf le quotient cherché. Çar diviser 43458
- par ioco, c’est chercher un nombre 1000 fois plus
petit que 43458, Or on rend le nombre 43458,
mille fois plus petit, en y séparant trois chiffres
vers la droite, par la virgule décimale.XI. REMARQVE IV. Lorsque le dividende & le
diviseur finissent l’un & l’autre par des zeros, on
pourra supprimer dans les deux ,1e même nombre
de zeros, & faire la division fur les deux nouveaux !
nombres ; le quotient sera toujours le même. Car, i
par la suppression des zeros, on divise tout--à-la-fois
íe dividende & se diviseur, ou par 10, ou par 1001ou par 1000, &c ; d’où il résulte que le quórîenf
ne change pas de valeur. Ainsi, s’il faut diviser
45000 par 1500, je supprime deux zeros dans le
dividende & dans le diviseur ; c’est-à-dire , je les
divise l’un & l’autre par 100. Alors Fopération se
réduit à diviser 459 par 15 j ce qui donne 30 pour
Ie quotient, qui est le même que fi on avoit divisé
45000' par 1500. ' ' ■XII. Donnons quelques usages de la division.QUESTION I. Trouver combien de f ois la livre est
contenue dans II280^ ? •" \La livre vaut 20 sols, le sol 12 deniers, &,par conséquent, la livre vaut 24o\ II est évidentqu’en divisant le nombre iiiSo3*- par 240^, ou1128^ par 249>-, on aura pour quotient, le nombrequ’on cherche. Dans cette division, le dividende &le diviseur sont de même espèce j & tous les deusconcrets ; & le quo- Di -: g8t , 2 9,divid>tient esl un nombre J——abstrait. Elle se fait T/Q 1 .-„„n, ;0„t
, … - 160 I 47 quotient,
comme on le voit ici. ._ v t/ 1_ DQUESTION II. Supposons que 345 hommes aient
à partager également la somme tfyoo^: on demande
la part qui revient à-chacun ?II est clair que l’objet de cette question est de
partager le nombre 45787'*' en autant de parties
égaies, qu’il y a d’unités dans le nombre 345. EUè
se résoudra donc, en divisant le dividende concret
45789"*, par le diviseur abstrait 345 ; & on áura
pour quotient un nombre concret, de même espècequiserÏlfp^aÎDiv.^^rH^iseur.fera , co mme on le ' 'voit ici. 9392-49 ' ■
On appreridra , dans la fùitê, à évaluer en sols
& deniers le reste 249* qui n’a pas pu être divisé
par le diviseur 345.QUESTION 111. La toise d’une certaine maçonnerie
étant supposée coûter 7**-:- on demande combien
on fera de toisesde la même maçonnerie ,pour 595* ?
- Puisque chaque toise de maçonnerie coûte 7*,
il est évident que pour chaque fois que le nombre 7
est contenu dans le nombre 595,, il viendra 1 toise
au quotient. La question est donc la même que si
on proposoit de partager 55) 5 toises en 7 parties éga'les
 ; &, sous ce nouveau point de vue, il s’agit
de diviser le nombre concret 595 toises , par le
nombre abstrait 7 ; le quotient est de même espèce
que le dividende, & r^ .„ r ,- •/■représente,parconsé-Dlv-^ í _7^lvlseurquentdes
toises. L’o- 1 „ „ - „.Jération est indiquée £> t 85-quotient »ici.
o
D-iv- d i v <<?XIII. SCHOLIE I. II arrive souvent (& nous en '
Hvons vu plusieurs exemples ) que le dividende n’est
pas exactement divisible par lë diviseur. Alors,
après avoir trouvé les unités principales du quotient,
on peut pousser plus Ipin la division, & approcher
davantage du vrai quotient, par le moyen des parties
décimales. Pour cela , ori convertira le reste du
dividende en de telles parties, en écrivant à fa
droite une virgule, & mettant après cette virgule,
autant de zeros qu’on voudra avoir de chiffres décimaux
au quotient. Cette préparation ne change
point la valeur du dividende. Ensuite on continuera
la division , comme si la virgule n’exisloit pas ; &
quand on aura épuisé le nouveau dividende , on
séparera vers la droite duquotient, par une virgule,
autant dé chiffres décimaux qu’on a mis de zeros à
la fuite de la virgule.ExËMrLE. Qu’on ait à diviser 47 par7 ?Div. 47 f 7 diviseur.5,000 (- 6,7i4quot.
io
' 30. - -z >On trouvera d’abord
6 poùr quotient,
& 5 pour reste. Le
quotient ne peut pas
centenír plus de 6
.unités principales ;
mais il peut avoir encore
des parties décimales.
Je Tuppose
qu’on veuille qu’ilcontienne des millièmes. Je mettrai, après le relie
5, une virgule, & à la fuite de cette virgule trois
zeros ; ce qui convertira le nombre 5 en 5,000,
c’est-à-dirë, en cinq mille millièmes , & n’en changera
pas la valeur. Cela pose, je continuerai la division,
fans faire d’abord attention à la virgule, c’est- '
à-dire, comme s’ilfalloit diviser 5000 par7. Cette
division, faite à l’ordinaire, par parties, donne
714 pour quotient. Ces trois chiffres, écrits à la
fuite du premier 6, forment le nombre "6714.Or, ce nombre est 1000 fois plus grand que le
quotient de 47 divisé par 7. Car il est évident que
pour trouver ïe nombre 6714, j’ai opéré comme s’il
avoit été question de diviser 47C00 par.7, cëst-àdire,
de diviser un dividende "1000 fois plus_ grand
que Ie véritable. Donc, pour avoir ce quotient, il
faudra rendre le nombre 6714, mille fois plus petit.
C’est ce qu’on obtiendra, en y séparant trois chiffres
vers Ia droite.par une virgule ; c’est-à-dire, en écrivant
6,714. Voyez DÉCIMAL.Ce. quotient <5,7ï4n’est pas rigoureusementexact,
puisqu’il y a un reste 2 dans la dernière division
partielle ; mais il ne diffère pas d’un millième , du
,'quotient rigoureux ; car, à la place du dernier
chiffre 4 du quotient, on n’auroit pas pu mettre 5,
fans rendre ce quotient trop grand.XIV. SCHOLIE II. La même méthode se sert à
diviser un nombre par un autre plus grand que lui,
& à exp'riihér le qùptient en parties décimales, de
fliaiúère qu’il ne diffère pas du vrai quotient d’uneunité décimale de tel ordre qu’on voudra. Expliquons-nous
par des exemples.EXEMPLE I. Diviser 4paí"j, & trouver un quotient
qui ne diffère pas du véritable , d’un millième ?Div. 4,000 í 7 diviseur.
50 (^ 0,571 quot.■ »_ A la droite du dividende
4, je mets
une virgule , & après
■ la virgule, trois zeros.
Ensuite, je fais la division
, comme si Ie dividende
étoit 4000 ;'
& je trouve pourquotient 571. Ce quotient est IOCO fois trop grand ,
puisque le nombre 4000 est mille fois plus grand
que le dividende véritable 4. Donc5 pour avoir
le vrai quotient, il faut-, dans le nombre 571, séparer
trois chiffres vers la droite, par une virgule ;
ce qui donne 0,571 pour se quotient cherché. Le
zero écrit à la gauche de la virgule indique qu’il n’y
a point d’unités principales au quotient.On observera, comme dans l’exempleprécédent,,
que le quotient 0,571 n’est pas rigoureusementexact,
mais qu’il ne diffère pas du véritable, d’unmillième.EXEMPLE II. Diviser 5 par 67, de manière que
h quotient ne diffère j> as du. véritable ; d’un dix.
millième ? 'Div. 5,0000 f" 67 diviseur.310 [ OJO746 quòt,420 ■i8A là place de 5,,
écrivez 5,0000 ; &
faites la division corn.
me . fi se dividende
éfpît 50000 ; vous
trouverez pour quotient,
746. -Or ce quotient
est ìócoo foistrop grand ; vous aurez donc le vrai quotient, en
écrivant 0,0746. On voit que ce quotient ne con-tierit
ni imités principales, ni dixièmes. II rie diffère
pas du quotient rigoureux , d’un dix-millième ;
càr, à Ia place du' dernier chiffre 6 , on n’auroit pas"
pu mettre 7, fans rendre ce quotient trop grand.XV. SCHOLIE III. 11 peut arriver qu’il y ait
des chiffres décimauxau dividende, ou au diviseur,
ouatons les- deux à-la-fois. Alors, pour règle générale,
faites en sorte que le dividende & le diviseur
contiennent le même nombre de chiffres décimaux, ;
en complettant, s’il esl nécessaire , les places par
des zeros , ce qui ne change pas la valeur des
nombres.- Supprimez la virgule dans le dividende
& dans le diviseur ; & la question sera rév
duite à diviser un nombre qui ne cpntient que des
unités entières par un autre qui ne contient aùsli que
de pareilles unités. En effet, par la suppression de
la virgule, on multiplie tout-à^la-sois le dividende
& le diviseur par 10, ou'par ióo, ou par 1000, &e.
ce qui ne change point la valeur du quotient.EXEMPLE' I, Diviser lé notnbre 43 parle nombrei>57ì .'■■'•■ ■ ■-'.. ;- '-,-:-Aaaaij
rc/í DIV DIV
Div. 4300 s 357 diviseur.
730 ^12 quotient.16Je mets la virgule
décimale au dividende
, & ensuite deux
zeros après cette virgule
 ; ce qui ne change
pas la valeur de cenombre. ' La question revient ainsi à divises3,00
par 2,57^ ou bien (en supprimant les deux
- virgules ) , 4300 par 357. Le quotient est 12, & se
resle ió.11 est évident que par la position de deux zeros à
la droite de la virgule dans le dividende , & par
la suppression subséquente de la virgule dans le dividende
&dans le diviseur, je mulriplieledividende
& le diviseur, par le même nombre 100 ; je n’ai
dònc pas changé la valeurdu quotient qu’on cherche.
II ne s’agit plus maintenant que de diviser 4300
unités principales pir 357 unités principales ; division
qui donnera évidemment des unités principales
au quotient.EXEMPLE II. Diviser Çopar 22,784 ?Div. 69000 f 22784 dîvis.
648 [ 3 quotient.Après avoir mis la
-virgule décimale à la
droite du dividende,
• &. avoir écrit ensuitetrois zeros ; je supprime les deux virgules, & je
divise 69000 par 22784. Le quotient est 3 , & le
reste 648.XVI. REMARÇIVE. Quand cessortes de divisions
font ainsi achevées, &qu’ilse trouve un reste, comme
dans les deux exemples pré.cédens, on peut pousserla
awjîon’plus loin , par le moyen des parties décimales.
Reprenons le premier de ces deux exemDiv.4300,000 í 3 57 diviseur.
 ; .730 | 12,044 quot.
16,00
1,7*°
0,292pies ; & luppoíons
qu’on veuille avoir un
qiiotientquinedissère
pas du véritable, d’un
millième. U s’agirade
~diviser430oo,ooopar
3 57 ; opération qui se
lait, comme il a été
dit, & comme on le
voit ici.XVII. La multiplication sert à vérifier la division.
Lorsqu’une division a été bien faite, le produit
du diviseur par le quotient, ou du quotient par le
diviseur ; ce produit, dis-je, joint au reste de la
division , s’il y en a un, doit être égal au dividende..
Si cette égalité n’a pas lieu , la division a été mal
faire, & il faut la recommencer.Passons à la division des nombres complexes.XVIII. Je distingue deux cas : l’un, où le divi- 1
dende étant complexe, le diviseur esl incomplexe ; '
l’autre, où le dividende étant incompl’exe ou com- l
plexe , le diviseur est complexe. cXIX. CAS I. On divisera successivement toutes I
les parties du dividende par le diviseur ; & on aura
nu quotient j des unités de différentes espèces.EXEMPLE. Partager 245* $s 9*- cntreKz^'pcr~
sonnes ? •II est évident que la question se réduit à partager
Ie dividende en 24 parties égales. Je commence
par diviser les livres par 24 ; le quotient esl 14%
& il reste 9* qui, divisées par 24 , donnent la.
fraction -^ d’une livre. Voyez FRACTION.Cette fraction doit être évaluée én fols. Pour cela,
il faut en multiplier le numérateur 9 par 20, &
diviser lé produit, par 24. Mais comme nòusdcvòns
ensuite, diviser S**" par 24 , nous réunirons, cette diT
vision à la précédente ; ainsi , après avoir multiplié
le nombre 9,. regardé comme exprimant des
fols par le. nombre abstrait 20 , ce qui donne i8cJ,
j’ajoute W au produit, & je,divise la somme iSS-s
par 24 ;Iequotientesl ys, &'il resle 20J" qui donnent
la fraction |-f d’un fol. ,. , ;J’évalue certe fraction en deniers , en multipliant
•" son numérateur par 12, & divisant le produit
par 24 ; & comme nous avons ensuite 9*1. à
diviser par 2-4, je multiplie d’abord le nombre 20,
regardé comme représentant des deniers, par 12 ;;,
le produit esl 240^,^ quoi joignant 9^, j’ai la
somme 249ss qui, étant, divisée par 24 , donne
pour quotient io3*-, & la fraction-^ ou { d’un dénier.
Cette fraction ne peut pas être éyaluée en unités
d’une espèce inférieure , parce qu’il n’y en a pas
de plus basse espèce que le denier, qui aient cours
dans le commerce de la société. Ainsi, je laisse cettè
fraction sous fa forme naturelle. On voit, ci-dessous,
toute la fuite des opérations que nous venons d’inv
dîquer. , ■ -'--'.-Divid. 345* 8s 9dì 24 diviseur.105 J i4tt 7s iod | quotient,9" 920180".
, 8,-
188,- 20 20 -iz
Ì40
9_
H9:9XX.. CAS II. Lorsque le diviseur est complexe*.
_ La division peut alors se faire de différentes ma-niéres ;
 mais le moyen le plus simple & le plus commode
est de rendre le diviseur incomplëxë, eri
réduisant le tout en unités de Fordre le plus bas de
celles qu’il contient.. Ce qui ramène Fopération au
premier cas.EXEMPLE I. Diviser 545 » SSpar 24 r- ? "'Je commence par réduire, les 24 unités, simple*
àii diviseur en tiers ; ce qurse fait ( Voye ?c FRACTION.
). en multipliant 24 par 3 , & mettant sous le
produit le dénominateur 3. On a ainsi la fraction If,
à laquelle ajoutant la fraction ~, il vient il pour
le diviseur. Or diviser 345* S-- 1" par la fractions,
c’est multiplier ledividende par le dénominateur 3 ,
& diviser le produit par le numérateur 74.'Ainsi-,
.multiplions d’abord 345 » 8J’ par 3 ; nous aurons !
le produit 1036** 4s qu’il ne s’agira plus que de
diviser, par 74.-Div. ioz6*> 4^ o^v- f 74, diviseur.. 196 ' I 14* o H^quotient.Òn trouvera que les i03Ólfc divisées par 74, don- :
nent juste I4tt au quotient. Restent 4S à diviser par
74 ; cette opération ne peut pas donner de sols au
quotient ; j’écris donc zero au rang des sols.Ensuite
j’évalue la fraction ^ d’un sol, en deniers , csest-àòire,
que je multiplie 12^ par 4, & j’ai 4%*- ; dont
la division par 74 ne peut donner que là fraction de
denier íi, 011 ff. que j’écris.. Le quotient total demandé
est donc 14*0^ H&.
EXEMPLE II. Diviser 7* S-*" z^-par z® zS 6K
Je réduis le diviseur en deniers , en multipliant
leslivrespar20, ce qui donne des fols ; & ensuite
les sols par 12, ce qui donne des deniers. Je réduis
auslî, par les mêmes opérations-, le dividende en
deniers," pq-ur avoir un nouveau dividende qui ait
des unités de'mêmê espèce que le diviseur, Par cette
double transformas ion du dividende,& du diviseur,Div. 1779 ( 510 diviseur.
. H9 l 3. -èh quotient.- « queition eu réduite a
diviseri7791par5io<'.
Le quotient est le
nombre abstrait z-^.• EXEMPLE III. On suppose.que 24'° 5s 8P° d’un
certain ouvrage , ont coûté 814* 6S 99*- ; & on demande
a combien revient là toise ?II est visible qu’aùtant de fois le nombre,( 24'° 5P
%f°)  contieistune toise, autant de fois le nombre
( 8i-4ft 6S çyX)  contient le prix de ì toise. Ainsi -, la
question consiste à diviser 814^ 6S 9^, par lë quo1ttent
de la quantité (24t0- 5P 8P°) divisée par 1 toise.
Je réduis 1 toise en pouces, else en vaut72 ; je
réduis pareillement les 24" 5P 8P° en pouces ; elles
en valent 1796. Le quotient de la quantité ( 24'° 5 P
8P°) divisée par une toise , est donc la fraction
abstraite l49^-. Toiit cela posé, il ne s’agit plus que
de diviser 814** 6S 9^ par '-4~ ; ce :qui se réduit à
"-multiplier -d’abord 814* 6S 9^ par 72 , & à- diviser
ensuite le produit résultant 58632* 6S, par 1796.
On trouvera pour quotient 52* zzs 11-^*-.DIVISION, (Algèbre.) La divisiou, en Algèbre
comme en Arithmétique.., est une^ppération par
laquelle étant données" une quantité qu’on .appelle
dividende ; & une autre quantité qu’on appelle diviseur,
il faut en’trouver unetròifièriie qu’on appelle
quotient, laquelle étant multipliée par la seconde,produise la première. Expliquons celte opération
par ordre & avec quelque détail ; wI. II fuit des règles qui ferons, expliquées à l’article
MULTIPLICATION ( Voyez ce mot, )  pour la mulr
tiplication des signes : T.° que si, le dividende
& le diviseur ont tous.deux le signe -|-, le quo- •
tient aura aussi le signe ..-p. Cette règle, s’exprimeainsi en général, '- donne 4-,. : +2.° Si le dividende-a le signe -j-, & le diviseur
Ie signe —, le quotient aura le signe—. Cette" , -trègle
s’exprime ainsi en général, donne.—.3. 0 Si le dividende a lesigUe—, & le diviseur
le. signe-j-, le .quotient aura le "signe—. Cetterègle sexprime en général, donne—...„ • 4- .4. 0 Si le dividende & le diviseur ont tous les
deux le signe —, le quotient aura le signe -j-. Cetterègle s’exprime ainsi en général,- donne 4-,Tout-cela est évident, puisque se produit du
diviseur par le quotient, doit avoir un signe qui
soit- celui du dividende.II. PROBLÊME I.- Diviser un monôme rationnel
par un autre monôme rationnel ? (Voyez RATIONNEL).
'•■■ -.. ;■ ;•-.. •-:■..Puisque Indivision décompose ce que la multiplication
compose , les opérations par lesquelles
on trouvë,,'un quotient, doivent être contraires à
celles par"lesquelles on trouve un produit. Ainsi,
pour résoudre lë problème dont il s’agit ici : •
r.° écrivez le signe qûi doit’ précéder le quotient,
conformément à la règle que nous venons de
prescrire, z." Lorsque le dividende ou le diviseur,
pu tousses deux, ont des coëfficiens autres .que
l’unité, divisez , suivant lès règles de Farithmétique,
le coefficient dû dividende par celui du diviseur.
3. 0 Effacez les-Iettres communes au dividende
& au diviseur. La quantité trouvée par toutes ces
opérations sera le quotient qu’on demandoit. Par
exemple, le quotient de -f- a b divisé par -f a est
_f- b ; celui de —ab h divisé par a b est— h ; celui
de — mnp q divisé par. — n q est 4-mp ; celui
de—15 ab b divisé par zab est— 5aí>,- celui
de— z'jmnpq divisé par —7 m’n er\4-^pq.Toutes ces opérations sont évidentes ; car, fi
l’on multiplie le diviseur par le quotient , on
aura, pour produit, le dividende, comme cela
doit être. ' . '111. REMARQUE I. Quelquefois il ne se trouve
pas de lettres communes au dividende & au diviseur,
ni de facteur commun à leurs coëfficiens ; r
alors’ la division ne peut que s’indiquer. Par exemple
on ne peut qu’indiquer la division de a par & j*c8 DIV DIV& la manière de Findiquer est | ; dé même, ladivision de 2a par z b , s’indique par -:. Ces
sortes d’expressions doivent être considérées comme
des fractions dont le numérateur est le dividende,
& le dénominateur le diviseur.Quelquefois les lettres ou les facteurs du diviseur
ne se trouvent qu’en.partie dans le dividende :
alors la division se fait en partie , & s’indique en
partie. Ainsi, en divisant—■ abc d par-\-ab h, lequotient est .IV. REMARQUE II. Si, dans le dividende &
dans le diviseur, il se trouve une même lettre avec
'des expofans différéns, la division de ces deux
quantités se fait en retranchant, de l’exposant dudividende, l’exposant du diviseur. Ainsi, ~~ ==
a*~z=az ; -^= 2 a' ~" » bz — = 2 az b ;5alb*cr __ t gl—S b*—z cz~' __ f^c £n
' 7 aS-ì>z c ~~ 7 -. ' 7effet, î-j n’est autre chose que ^p-, qui devient
(en effectuant la division) , a a ou az. De même,8u !i"-Zaaaaahb. ' , , , . /.. = c= 2 á a b = % a- b ; ainsi4 ai b 4a a abdes autres.On voit par-là que a°= 1 ; car 1 = - = — '===a}— ;,='a°. Ainsi, toute quantité élevée à.la
puissance o vaut 1 ; car une telle expression représente
toujours le quotient d’une grandeur divisée
par elle-même ; quotient qui est nécessairement 1-,
puisque toute grandeur se contient une fois ellemême,V. REMARQUE III, Si l’exposant d’une lettre,
dans le dividende, est moindre que l’exposant de la
mème lettre dans le diviseur, on aura un resle négatif,
en retranchant le second exposant du premier. Ainsi,4 = az~ » = a-i ; l^S- =. 7 a' '—' bz ~ ic ? ' aSb> - '=ja~zb~', - - : 'II est évident que, si on avoit commencé parsupprimer les lettres communes au dividende &i- •/• . az la" _,au diviseur. 011 auroit eu-r = -T = ^r=:a ' ;3a>ai áï 'Li^2 =JL- Zf !*l = 7 a-> b-\ 'a* l>i a-b—azb' ' /VI. PvHOBLÊME 11. Diviser un polynôme, rationnel
quelconque par un monôme rationnel ?On divisera^successiycment tous les termes du
dividende par le diviseur ; & la somme de tous les
quotiens partiels formera le quotient total.11 est à propos, pour faciliter Fopération, à'ordonner
le polynôme, c’est-à-dire, d’écrire successivement
, en allant de gauche à drpitç, toús- lesI termes ôiYuno lettre, choisie à volonté, a les plut
grands exposons, & de diviser ensuite, dans lé
même ordre j chaque terme du polynôme par lé
diviseur.EXEMPLE. Diviser le polynôme az.bl—la 1 i
'j-q.a*—4 a b c d, par le monôme—2a 1 ?Je commence par ordonner le polynôme par
rapport à la lettre á qui se trouve au dividende
& au diviseur ; je dispose ces deux quantités,
comme pour les quantités numériques, & comme
on se voit ici. Ensuite je divise róus les termes
du dividende par. le diviseur, & j’écris chaque
quotient partiel, à mesure que je le trouve. La
somme de tous .ses, quotiens partiels forme. Te
quotierit total.Dividende. s ' D"'isetir.4á*-Záid4-albz-4abcd\. -zaz.J Quotient.V ' … z a ,VII. PROBLÈME III. Diviser un polynôme
rationnel par un polynôme rationnel ?. On commencera par ordonner le dividende &
le diviseur par rapport à une même lettre ;' puis
on divisera toutes les parties du dividende par Iedivifeur,
en suivant à-peu-près ses riiétnes procédés
que dans Farithmétique. Cela s’eritendr » mieux
par des exemples,EXEMPLE L. Diviser le . polynôme……."'…… :..zabz-- z abz 4-ai^-b' ,par le polynôme , —■ 2 a b 4^ a1 4- b1 ■J’ordonne d’abord le dividende & le diviseur
par rapport à la même lettre a. .Divid, a' — 3 a" b 4- z abz 4^b>', s Div'iscur.
— ai 4- Zazb-^ abz, la1— Za.b 4-b\j." reste _ azb 4-Zabz— è !, < -Quotient,
-f a1 6— Zabz 4- bi, J- a-^-bX.c resie .0 . " lCela pose, i." je divise le premier terme du dividende
par le premier terme du. diviseur ; '&,
comme ils font censés avoir tous les deux le
signe + , le quotient aura auffi le signe 4- qu’on
pourra supprimer, parce qu’il Commence la phrase.
Or, en divisant a> par a% on a pour quotient la
lettre a, que j’ëcris k l’endroit du quotient. Jë
. multiplie le diviseur entier az ~ z a b 4- bz, par se
quotient partiel a, ce qui donné le produit a ! —■
2 az b 4- abz. Ce produit doit être retranché dti
dividende. Ainsi, je Fécris fous le dividende, avec
des signes corjtraires à ceux qu’il a ; &-, après avoir
D I V DIV 5,9
Sait’la réìluction, c’est-à-dire, après avoir effacé
les termes qui se trouvent avec des signes contraites
áU dividende & à la quantité'qui vient d’être
écrire au-dessous de lui , j’ai le resle — a2 b 4zabz—rbi,
qu’il faut diviser par Ie diviseur az
— 2 a b 4- bz.z.° Je fais cette seconde opération, en divisant
le premier terme :— a2 b du dividende, par le
premier terme a2 du diviseur ; j’ai polir second
quotient partiel, — b, que j’écris à la fuite de la
première partie a du quotient’total. 'Je-.'multiplie
le'diviseur entier, par —&,• ce qui donne le produit
—- a2 b 4- z a bz— b>, que j’écris, avec des
signes contraires , sous le dividende. Et comme,
après avoir fait la réduction, il ne reste rien, je
conclus que le. quotient exact de là quantité as —3
 azb'4r z ai) 2 —f » 5, divifée.par a.z -r- Zdb 4-bz,
est.a— b.• EXEMPLE II. Diviser……… ..".,a5,-j- b*-,par. a -j- b ?i.° Le dividende & le diviseur étant ordonnés
par rapport a a, je divise le premier terme a'" du
dividende, par le. premier terme a du diviseur ;
il vient le premier quotient partiel a 4, que j’écris
à fa place. Je multiplie le diviseur a -f- i par a 4 ;
& j’écris le produit avec des signes contraires,
sons le dividende ; il vient — a5 — a 46. Faisant
la réduction du dividende & de cette quantité,
on "a, pour premier reste, ou pour second dividende
partiel, ordonné, par rapport à a, la quantité—
a* b 4- bS. - '2.° Je divise le premier terme — a4 6 de ce
dividende, par le premier terme a du diviseur ; il
vient Íe second quotient partiel — a% b , que j’écris
à la fuite du premier : je multiplie a 4-b par
— a> b ;ek j’écris le produit, avec des signes contraires,
sous le dividende ; il vient a*, b. 4- ai b\
Faisant la réduction, le second resle, on le troisième
dividende partiel est a1 bz.-j-.fc 5.z." Je -divise le premier terme a'P de ce dividende
par a ; il vient au quotient 4-az b%, que
j’écris ; .je,multiplie, le diviseur \a 4- b par a2 bz ,
& j’écris le produit, avec des signes contraires,
sous le dividende ; il vient— a' bz — az £'. La
.réduction étant faite , on a.— a2 b1 -j- b% pour
troisième resle, ou pour quatrième dividende partiel.4.' 0 Je divise—a 2 í>! par a ; il vient — ai 5
pour quatrième quotient partiel ; je multiplie le
diviseur . a-4-6 par — a Z>', & j’écris le .produis,
avec des signes contraires, sous le. dividende ; II
"rient 4- a1 è' -f- a b*. La réduction faite, on a
"a£>4-|-& 5 pour-quatrième reste, ou pour cinquième
, dividende partiel. .5,° Je divise.a64.par-a,- il vient fc 4 pour cinquième
quotient partiel ; je multiplie a-j-è par Ì 4, & j’écris le
produit, avec des iìgries contraires, fous lediyidendej
il vient -ai 4 — b*. Laréduction faite ; on a o pour
reste. D’où je conclus !que Te, quotient exact de la
quantité a5 4- Z> 5 divisée par a.-fi, est a4—
aib4-azbz — aV +'b*. " ; ■ ''"-VI IL RÈMARQUE. Quelquefois, après avoir
ordonné lë dividende ,& lë. diviseur par rapport à
unë lettre ,-il ' se trouve plusieurs termes dans
lesquels’cettè lettre a le mêmè exposant. Alors il
faut disposer tous ces, termes dans, une même
-colonne verticale, & regarder leúr assemblage
comme un même tout ; mais chaque quotient partiel
se détermine toujours de la même manière.
- EXEMPLE. Diviser….-.. ioa ?4-iiazb—I9aíc —I^azc4-zabz4-l^bcz—56V,
par.
 ' . .z,ab4-'jaz—^bc ?j^ordonne le.dividende- & ie diviseur par rapport
à la lettre a, & j’ai 10^ -f- rrzz2:è—Ì5a2c
— 19-2 b.c 4- 3 a bz_ 4- 15 i c\—- 5 Z) 2 c à .diviser
par 5 a2-) - z ab—'5 j-c’.. Or, comme, dans le
dividende, il y a deux termes qui contiennent a 2,
& deux qui contiennent a, je dispose mon dividende
& mon diviseur, comme on-Te voit ici.i.° Je divise 10 a' par 5 az ; il vient z a au
quotient ; je multiplie le diviseur par 2 a, & -Récris
le produit, avec des signes contraires, fous le56o div "divdividende. Puis, ayant fait la réduction, j’ai le
premier reste écrit ci-dessus.2." Je divise le premier terme. 5 a2 b de ce
reste par 5 a2 ; il vient -f b au quotient ; je multiplie
le diviseur par-j- b ; &., a3'ant écrit se produit,
avec des signes contraires, sous le dividende,
puis ayant fait la réduction, on a un second reste
écrit ci-dessus.3.° Je divise le premier terme—i5a2c de ce
reste par 5 a 2 ; ensuite, ayant fait les mêmes opé- .
rations que ci-devant, il ne reste rien. Ainsi, la
division est achevée, & le quotient exact est
z a 4-b— 3'c.IX. USAGES DES SUITES POVR ZA DIVISION,
II arrive souvent que, le diviseur étant complexe,
la division ne peut pas se faire exacsement. Par
exemple, qu’on ait à diviser a2 4- z ab 4- b b + c2
par a 4- b ; on trouvera que le quotient est a-\-b ;
& que le resle est c 2 ; de sorte qu’en indiquant la
division de ce reste, par lè diviseur, le quotientcz » •total sera a 4-b 4- —r—r. Mais, si on veut n avoir1 ' a ■+■ b 'au quotient que des monômes, ce qui est utile
dans une infinjté d’occasions, on pourra développer
le qu-otienten une fuite infinie,de la manière
qu’on va ['expliquer fur l’exemplç suivant.EXEMPLE. Diviser à l’infini c1 par a 4-b" ! .i.° Je divise le dividende c"- par le premier
terme a du diviseur, ou plutôt j’indique cette
division, parce que le dividende c2 & le diviseurá n ont pas de lettre commune. Le quotient c »
Ç-, que j’écris à la place où il doit être. Je multiplieIe diviseur a 4-b par —,& j écris le produit,
avec des signes contraires, sous le dividende.
Puis, ayant fait la réduction, j’ai —pour premier reste, ou pour second dividende
partiel.Z." Je divise ce dividende par le premier >. . ' . cz bterme a du diviseur, & j’ai—■ -j- poùr second
quotient partiel que-j’écris à la fuite du premier.czbJe multiplie le diviseur a 4-b par- -j— ;. &j’écris Ie produit, avec des signes contraires, fousle -dividende. La réduction faite, j’ai 4- c—rpoursecond reste, ou. pour troisième dividende
partiel à diviser par a,-{- b..On continuera la division toujours de la même
manière. H est évident qu’elle n’aùra pas de fin,
8c7qu’elle donnera continuellement de nouveaux
termes au quotient. Le quotient total sera donç
exprimé par cette fuite infinie ; ..Comme chaque terme de cette fuite a c2 pour
un de ses facteurs, elle peut être écrìte~sous çette
forme,X. REMARQUE I. On voit facilement que tous
les termes de cette même fuite iront en diminuant
de grandeur, fi a > 6,- & qu’au contraire, ils
iront en augmentant, si a<sj>.En. effet, comparons d’abord ensemble ses deuxpremiers termes i& -.— ?, en faisant abstractiona ade leurs signes, ou en les supposant affectés du
même signe, Si on á a]> b, on aura aussi - |> — ;car, puisque a ^>b, il est clair qu’en divisant les
deux membres par la même grandeur a 2, on aura— > -^r , ou bien - ]> -^. Si au contraire on
avoit a<"6, on trouverait-<■- ;.> , a >" azOnfera voir, d’une rhanière semblable, qu’en
supposent a^>b, le second terme -^ est plus grand.que le troisième — , & qu’au contraire, en supposant
a •< b, le second- terme -^ est plus petitque le troisième. — ; ainsi de fuite. D’où nous pouvonsDiv , div- ' 'fSíTons conclure , cri général, que les termes de la
fuite iront en) diminuant pu en augmentant, selon
que a sera plus grand Ou plus petit que b. ■On- appelle fuites convergentes , celles dont les
termes vont en diminuant, & fuites divergentes ,
celles dont les termes vont en augmentant. Une
fuite peut converger ou diverger plus ou moins
rapidement, selon que ses termes vont en diminuant
pu en augmentant, par des sauts plus ou moins
grands. v"'-XI. RÌMARQVE II. Lorsqu’une fuite converge
rapidement, il suffit de prendre quelques termes
du commencement, pour avoir, à peu de chose
près, la valeur de la fuite entière. Par exemple,
ayant trouvé, par la méthode de-Fart. IX, quela valeur générale du quotient indiqué , jpeut être exprimée par la fuite infinie,st l’on suppose a == ìoo, b = I, & qu’on prenne
seulement les deux premiers termes de cetté fuiteson aura — ~ ;_ c’est-à,dire, -Jì—,ìoo 10000 y . TOÓOO sen réduisant les deux fractions au même dénominateur,
puis soustrayant la secondé de" la première.
Or cette dernière fraction ne diffère pas beaucoupde la fraction —-1,- , ou -î--, qui est Ia valeurIOO -}- í •> ÌOI ' 'totale .de la fuite ; car réduisons ses deux .fractions
îôT ^ ooo au mems dénominateur, pour pouvoirles
comparer plus facilement ensemble  ;: elles
deviendront respectivement --°°°°- & ■ 9 ". ■' !A IOIOOOO .IOIOOOO 7d’où l’on voit que leur différence est presqu’insensible.
. .' . .• On approcherait davantage, & de plus en plus,
. de la valeur entière de la fuite, en prenant ensemble
ses. trois.premiers termes, pu ses quatre premiers
termes ;, ainsi de fuite, . -. …"' IIesl clair,'par là raison contraire, que, íì une
suite est divergente, on s’éloignera de plus en plus
de:fa valeur totale, à mesure qu’on prendra plus
de termes du commencement. On ne peut donc:,
prendre les premiers termes d’une fuite qui en a
une .infinjté, pour exprimer,' à peu de chose près,
fa valeur to.tale, que quand cette fuite est convergente.
Plus élse converge promptement, moins il
faut prcriare.de termes du. cpmmencement, pour
la représenter d’une manière approchée. - -•XII. REMARQUE IIì. L’expreiíion g ■peut être développée en fuite infinie, de. deux
manières, selon qu’on regardera a -ou b, comine,
íe premier" terme du diviseur.. Dàns Ie premier
,^as,. la fuite infinie est: ■ \- ''.'..,-. i'^lathématiqu.es. Tome I ; IIe Tartiz, '.Et dans le second, la fuite infinie est : —. Ôr, lorsque a>6, la suite (A) est conver-gente,
 & la suite (B) est divergente ; au contraire,
lorsque a<^b, la suite ( A ) est divergente, & la
suite (B) , est convergente. Ainsi, lorsque a > b,
il faut se servir' de lâ suite ( A ) pour représenterle quotient indiqué —-r~b j & lorsque a <] b , ilfaut se servir de la suite (B) pour représenter le
même quotient. • -.• •XIII. REMARQUE IV. Si on avoit a=3&>
l’une ou l’autre suite deviendrôit également:Or, comme chaque terme est détruit par le
ferme suivant, il paraît s’ensuivre que la valeur,
totale de la suite esl o, tandis que cette valeur doitêtre réellement — ou -^r. Mais il faut prendre gardeza z b - r . . o .que, dans ce cas, la fuite n’est pas convergente,.
& que,.si l’on Veut employer quelques-uns.de sestermes pour exprimer la quantité-4-, on ne peutpas se dispenser d’ajouter à ces termes le reste de
la division, divisé par le diviseur.Si,' par exemple , on arrête la série au secondterme — - ; à la somme -.— - des deux premiersternies qu’on trouve en divisent ì par à 4-a, il
faudra joindre se quotient du second reste ì de ladivision, divisé par a + a,'c’est-à-dire,,. 1 : alors
on aura - —■- 4- —, c’est-à-dire, —, pour la vaaa '■ za '■ - ' za3-^. I'éù'r de — ,' comme cela doit être.  ;. , . za/3 …"Si l’on arrête la férie,au troisième terme4- - „ ,-…-.. - - ' . : - ' ■a >à la sommev --- -"+_- des trois premiers termespravenans de la division,, il faudra joindre le quo<
tient du'troisième reste— ì, divisé par za, c’est-àîdire, _-.:. J: : alors on au'ra - — í +-'-- ~ "■■, ' za a a ' a za ic’esl-à-dire, -^, pour la valeur de — Ainsi de ; za zafuite. ' :■■ ;■■'.■ .: XIV. PR.0BLÊME IV. Diviser un monôme■ rationnel par un monômeradical,:ou un monôme
\ radical par un monôme rationnel ?j La. division m peut alors que s’indiquer ; enobscr:
vant néanmoins que, s’il y a des coëmci.ens -, autres
■' que l’unité, au-devant des quantités, ou que lauuan-s’' Bbbbr^ div - d i v3 1tité radicale soit précédée de quantités rationnelles,
la division des coèfficiens &■ des quantités rationnelles,
se fait comme on Fa expliqué ci-dessus. Ainsi, par
exemple, en divisant + a par -f \/ b, on a pourquotient 4- -ji, ou + -4- ; en divisant — S aj/c
par + 2 ab, on a pour quotient —- ^—-^ , ou -*^
i. • .On doit observer qu’au lieu d’écrire, commë
nous venons de faire, le quotient en forme de
fraction, on écrit souvent le diviseur à côté du
dividende, en donnant au diviseur un exposantnégatif. Ainsi, Fexpression -f -^restlamêmechose
… z> 2 '
que-f-a 6 ; Fexpression j- est la mêmechose que -4c 2 b '. On traite, à cet égard, les
quantités qui ont des exposans fractionnaires,
comme celles qui ont pour exposans des nombres
entiers. Voyez EXPOSANT.XV. PROBLÈME V. Diviser un monôme radical
par un autre monôme radical ?Je dislingue deux cas ; l’un où les deux quantités
radicales font de même espèce, l’autre où elles
font de différentes espèces.I. CAS. Supposons d’abord que le dividende &
le diviseur soient des quantités radicales de même
'dénomination. Après avoir écrit le signe qui doit
précéder le quotient, on écrira le signe radical
commun au dividende & au diviseur, & à la fuite
de ce signe, le quotient des quantités divisées delà
même manière que fi elles n’étoient point affectées
de radicaux. La division des coësliciens & des
quantités rationnelles qui peuvent précéder les
quantités radicales, se fait à l’ordinaire. Ainsi, en
divisant 4- \f a2 bz par—.^a, on a pour quo-.2.' í ' ' ■ - - ' -tient - \V a bz, ou - a 2 b z .,, ou ( en réduisant la
fraction exponentielle de i à sa plus simple exprès-.lion ) , — a b ; en divisant -Sa'J/10 m2 nz par-f 4 a y 5 m n, on a pour quotient - .2 a [fímn,- ì .1 i ■ - ~\ ' 1 i
ou-2aXi3mî -n 3, ou-2J artin ; en divisant7a' V " ? <? P par - 8 a2 y c m p, on a pour, 7 a r * ia" m n c—'quotient + 4——-— ou 4—7— ' . ,- * Z * !_ ï t I333"
j , ou bien encore +7.8"" ?.
+ j am n c ,i 2. _ 2.v/ 5' 3 3On se fendra facilement raison de cettë"règle,"
en considérant que la division est une opération
inverse de la multiplication, & que le produit du
diviseur, par le quotient, doit toujours être une
quantité égale au dividende. Ainsi, par exemple^
je dis que, si l’on divise-— y" a par -f- [/b, lequotient sera — -t/ |. .En effet, si l’on multiplie
cette dernière quantité par + j/- b, ori aura —
1/ —-., OU'—[/a, qui est le dividende. proposé.
II en fera de même dans tous les autres cas
pareils.II. CAS. Lorsque se dividende & le diviseur
ne sont pas des quantités radicales de même déno^
minationi, on peut les réduire à la même déno-r
mination ; & alors ce cas revient au précédent.Qu’on ait, -par exemple, à diviser — y á\b%par 4-\S a: je réduis les deux ijuantîtés radicalesà la même dénomiriation ; la première devient —. . - $ i - ..C 6 6 6y"aeM, ou— -a b., la-seconde devient 4- |/a 5,"6 .  ;ou -j- a ; &en divisant la première par Ia seconde,y ■ ì 4 l -Í.j ai pour quotient—y ai J 4, on -a b , ou-à b .
On trouvera semblablement"qu’en, divisant —• ;
3 - 44 a2 y bz par - z a y b c, le quotient est 4^lï/bs■Iv~' 4.2aV ~cî >ou "^ 2 a v ^ c~~ì'> ou "t"- 2 a&1>
4.4- 4- ^ic , ou 4-zabíx c 4. Ainsi des autres quantités
'pareilles.XVI. PROBLÈME VI. Faire une division dé
polynômes, lorsqu’il y entre des quantités 'radicales
 ?La solution de ce problême dépend immédiate- !
ment de ce qui précède.EXEMPLE. Diviser .. .' - ;-/.' á> bz — 7'a 2 bv -f
7 abc \/ mznp-'jazbz'y" az c4-z^ abi{/ azc~
35 b çy/m* ni pi a4 cz,par ab~<;by'âzc  ?On fera cette opération à l’ordinaire, en divisant’
successivement les différentes parties du dividende'
par le premier terme du diviseur, & retranchant
du dividende, à chaque division partielle, le produit
du quotient partiel par le diviseur entier. II
n’y aura point de difficulté à Fégard de :1a division ;
ou multiplication des quantités radicales, puisque
toutes les opérations partielles se font lur des
monômes, & qu’elles ne demandent-par conséquent
point d’autres règles que celles que nous
avons données pour ces dernières quantités. On
trouvera ainsi que le quotient demandé est azb-]abz
4--jcyr mz np. (rf. 5.)  ;DIVISION, ( Géom. )  La division géométrique
PIU , D Q D ; c*.

consiste a diviser Ie produit de deux lignes, parune-ligne ;
ou le produit de trois lignes, par cëlui
de deux lignes ; ou le produit de quatre lignes,
par celui de trois lignes, &c. Par exemple, soit
le produit a b de deux lignes exprimées par a &
b., à diviser par la ligne c : cette opération se
fera en cherchant une quatrième proportionnelle
aux trois lignes c,,a, b. De même la division du
produit ale de trois lignes, par le produit de
de deux lignes, se fera en cherchant, i.° une
quatrième proportionnelle x aux trois lignes d,
a, b. 2," Une quatrième proportionnelle aux trois
lignes e,, c, x. Ainsi des autres. Voyez CONSTRUCTION.
(L. B.) 

DIVISION des instrumens d. Astronomie. Voyez
INSTRUMENS, QUART DE CERCLE, TRANSVERSALES.


DIURNE ou JOURNALIER, adj. se dit, en
Astronomie, de ce qui a rapport au jour, par opposition
au mot noâurne qui regarde la nuit ;
Arc diurne ; c’est Farç ou lë nombre de degrés
que le soleil, la lune, ou les étoiles déserivent entre
leur lever & leur coucher. Arcsemi-diurne , c’est l’arc
qu’un astre décrit depuis son lever jusqu’à son
passage au méridien, ou depuis son passage au méridien
jusqu’à son coucher. On appelle cet arc semidiurne
, parce qu’il est environ la moitié de l’arc '
diurne ; on l’exprime $ídinairêrnent en sems.

Le cercle diurne est un cercle parallèle à Féquáteur
dans lequel une étoile pu un point quekonque,
pris dans la .surface de la sphère du monde, se
meut, ou paroît se mouvoir, par son mouvement
diurne.

Ainsi , en concevant Une ligne droite tirée du
centre d’une étoile perpendiculairement à Faxe du
_monde , & prolongée jusqu’à la surface de la
sphère,, & supposant que cette ligne droite fasse
une révolution entière autour de cet axe, elle décrira
dans le ciel un cercle qui sera le parallèle ou
cercle diurne de l’étoile.

Le mouvement diurne d’une planète est le nombre
de degrés & de minutes qu’une planète parcourt dans
l’espace de 24 heures par son mouvement propre.
Pour avoir le mouvement diurne d’une planète, il
faut connoître 'd’abord le tems qu’elle emploie à
faire fa révolution , c’est-à-dire, à parcourir 36b
degrés ; & l’on dira ensuite ; comme le tems connu
de la révolution est à 24 heures, ainsi 360 degrés
sont au nombre de degrés que l’on cherche : mais
cette, proportion nè donne que le mouvement diurne'
moyen ; car le mouV« ynent diurne véritable , dans
le soleil, par exemple, est tantôt plus grand, tantôt
plus petit ; & le mouvement diurne d’une planète,
vu de la terre, est quelquefois nul quand la planète
est statípnaire. .'■'■-,

Le mpuvement diurne de la terre est fa rptatiqn
autour de son axe, ce qui forme le jour naturel.

La réalité de la rotation diurne de .la terre est àprésentau-dessus-de
toute contestation, ainfique son

: mouvement annuel. Voyez SYST-ÊME DE COPERNIC
(O) 

DIX, (Arith.)  c’est le premier ou le moindre
des nombres qui ont deux chiffres ; il se marque
par l’unité suivie d’un zéro, suivant la propriété"
qu’a le zéro de décupler tout chiffre qui le précède.
Voyez ARITMÉTIQUE, BINAIRE,
DACTYLONOMIE, &C. D’où il s’ensuit qu’on multiplie
un nombre par 10, en écrivant un zéro k '
la droite de ce nombre après le dernier chiffre j
& qu’on le divise par 10, en retranchant le
dernier chiffre. Cette opération si simple devroir
faire souhaiter que toutes les parties d’un tout
fussenttoujpurs décimales. FôyqDÉciMAL,&c.(O) 

D1X-HUITÌEME, f. f. (Jets de cartes)  : uneT
dix-huitième est composée dès huit cartes d’une
même couleur qui valent dix-huit points à celui
qui les a.

DIX-SEPTIEME, Y feu de piquet)  :-c’est sept
cartes de fuite & de la même couleur, comme as, roi,
dame, valet, dix, neuf, & huit ; & roi, dame,
valet, dix, neuf, huit & sept. Lasupérieureefface
la seconde, & vaut dix-sept.
D q d
DODECAGONE, s. m. (Géom.) , polygone
régulier qui a douze angles égaux & douze côtés
égaux. Voyez POLYGONE.

Le dodécagone se trace aisément quand Fhexagone
est tracé ; car il n’y a qu’à diviser en deux
également chaque angle au centre de Fhexagone ,_
& on fait que le côté de Fhexagone inscrit au cercle.
est égal au rayon. Voyez HEXAGONE. (O) 

DODECAHEDRE, s. m. est se nom qu’on
donne , en Géométrie , k l’un des cinq corps,
réguliers , qui a fa surface composée de douze
pentagones égaux & semblables. - •

On peut considérer le dodecahedre comme consisr
tant en douze pyramides pentagones ou quinquangulaíres,
dont les sommets ou pointes sont au centre
du dodecahedre , c’est-à-dire de la sphère qu’on
peut imaginer circonscrite à ce solide ; par conséquent
toutes ces pyramides ont leurs bases égales
& leurs hauteurs égales. . >'

Pour trouver la solidité du dodecahedre, il suffit
donc de trouver celle d’une de ces"pyramides, &
de la multiplier ensuite par 12. Or la solidité d’une
des pyramides se trouve en multipliant fa base par
le tiers de la distance de.cette base au centre ; &
- pour trouver cette distance, il faut prendre la
moitié de la dislance entre deux faces parallèles.
Voyez -Ì'article PYRAMIDE.

Le diamètre de la sphère étant donné, le côté

du dodecahedre se trouve par çe théorème ; le

quarré du diamètre de la sphère est égal au rectangle

-fous la somme des côtes du dodecahedre & da

' Texahèdre, inscrit à la même sphère, & le triplg

' - Bbbbij "
 »*/ don d o u ,du côté du dodecahedre. Ainsi, Ie diamètre de Ia
sphère étant I , le côté du dodecahedre inscrit
sera ( y" I — \/ j )  : 2 ; - par conséquent ce côté
est au diamètre deìa sphère :: j/ f — \/ ì est à 2,
& le quairé de ce côté au quarré du diamètre,comme 6~~~ ■ est à 4. Par conséquent le diamètrede la sphère esl incommensurable, tant en
grandeur qu’en puissance -, au côté du dodecahedre
inscrit. Voyez INCOMMENSURABLE. (E) DODECATEMORIE, s. f. (Géom.)  signifie
la douzième partie d’un cercle. Voyez CERCLE,
AEC, &c. .DODECATEMORÎE (Astron.) , est le nom..quei
quelques auteurs ont donné aux 12 signes du
Zodiaque, par la raison que chacun de ces signes
contient la douzièmepartie du zodiaque, ou 30. 0 mais
ce mot est hors d’usage ;.il scrvoit à distinguer les
12 signes d’avec les 12 constellations qui ne leur
correspondent plus quoique les signes aient conservé
les mêmes noms, la constellation des poissons étant
actuellement dans le Bélier, voyez PRÉCESSION.
(D.L.) 
DOIGT, en Astronomie , est la douzième partie
du diamètre apparent du Soleil 011 de la Lune.
Chaque doigt se divise en soixante minutes. On dit
dans les éclipses de Lune ou de Soleil, qu’il y a
tànt de doigts d’éclipsés, & ces doigts éclipsés s’appellent
doigts écliptiques. ( O) DOMINICALES ; lettres dominicalts F.- CALENDRIER.DONNE adj. terme dont se servent souvent les
Mathématiciens, pour marquer ce que.l’on suppose
être connu.Ainsi, quand une grandeur est connue, ou
quand on en peut assigner une autre qui lui esl
égale, on dit qu’elle est donnée de grandeur. Vpyez
GRANDEUR.Quand on suppose que la position d’une ligue,
&c. est connue, on dit qu’elle est donnée de position.
On dit la même chose d’un point dont la place
esl donnée. ~ ■Par exemple , quand un cercle est actuellement
décrit sur un plan , son centre esl donné
de position, sa circonférence esl donnée de grandeur
, & le cercle est donné tant de position que de
grandeur.Un cercle peut être donné de grandeur seulement,
comme lorsqu’on n’a donné que son diamètre,
& que le cercle n’est point décrit actuellement.Quand l’espèce de quelque figure esl donnée , on
dit qu’elle esl donnée d’espèce. Voyez SEMBLABLE.Quand on connoît la. proportion qu’il y a entre
deux quantités, on dit qu’elles sont données de prepoit’.on.
(HARRIS & CHAMJÌERS).DONNÉES , adj. pris subst. terme de Mathématique,
qui signifie certaines choses ou quantités," "
- qu’on suppose être données ou connues & dont on 'se sert pour en trouver d’autres qui sont inconnues,
& que 'l’on cherche. Un problème ou une
question renferme en général deux fortes de gran-'
deurs, les données & les cherchées, data & quasita.
V. PROBLÈME , &c. . .Euclide a fait un traité exprès fur les données ;
il se sert de ce mot pour désigner les espaces, les.lignes,
 & les angles qui sont donnés de grandeur,
ou auxquels 011 peut assigner des espaces, des lignes,
ou des angles égaux.Ce mot, après avoir d’abord été en usage dans
les Mathématiques, a été ensuite transporté dans
les autres’Arts, comme la Philosophie, la Médecine,
&c. On s’en sert dans ces sciences pour désigner
les choses que l’on preríd pour accordées,
fans avoir de preuves immédiates de leur certitude,
mais simplement pour servir de base aux raisonnemens
: c’est aulîi pour cette raison que dans I-es
Ouvrages de Physique, on appelle quelquefois
data, données, les choses- connues, par le moyen
desquelles on parvient à la découverte des choses
inconnues ; soit dans la .Philosophie naturelle,
soit dans í'oeconomie animale, soit dans Fopération
des remèdes’. V. DEMANDE. (HARRIS &
CHAMBERS). (O)  1DORADE, ( Astron. )  : nom d’unpoiffon doré qu’on
a donné à une constellation méridionale ; ellëest
appellée austì xiphias ;elseìest située entre l’éridan
& le navire, & contient 2QTëtoilës principales dans
le catalogue de la Caille, la plus belle esl :de
troisième grandeur,- elle avoit, en 1750, 6j."
9' 21" d’ascension droite & 55. 0 34' 15" de déclinaison
méridionale. (D. L.) DOUBLE, ad j. ( Géom. )  Une quantité est double ■
d’une autre, lorsqu’elle la contient deux íois^sousdouble,
lorsqu’elle en est la moitié. Une raison est
double quant l’antécédent est double du conséquent,,
ou quand Fexposant du rapport est double. Ainsi le
rapport de 6 à 3 est une raison double. Voyez RAISON
ou RAPPORT. :La raison fous-double a lieu, quand le cons&quent
 est double de l’antécédent, ou que l’exposant
du rapport esl \. Ainsi 3 est à 6 en raison fous- ;
double. Voy. RAPPOB^T ou RAISON. (O) DOUBLE, (Point)  est un terme fort en usage
dans la haute Géométrie. Lorsqu’une courbe a
deux branches qui se coupent, le point où fe
coupent ces branches esl appelle point double. On
trouve des points doubles dans les lignes du troisième
ordre & dans lés courbes d’un genre plus
élevé. 11 n’y en a point dans les sections coniques.'
Voyez COURBE. ,„•Si on cherche la tangente d’une courbe au
point double , par la méthode que l’on verra à
ï'art.- TANGENTE, fexpression de la soutangente
devient alors |. On trouvera dans la seâion neuvième
des infiniment petits de M. de l’Hópital, ce
qu’il faut faire alors pour déterminer la position
de la tangente ; & on peut voir ansli plusieurs
remarques importantes fur cette matière dans h$-, d-r a d ra ÎÍSïnc’m. de l’-acad. de iyiS. &• i ?z_ > ainsi que d’arts i
les usages’de l’analyse de Descartes , par M. l’ahbé. :
de Guà, & dans les mém. de. l’académie de 1747.
Nous parlerons de tout cela plus au long au mot
TANGENTE , où nous expliquerons en peu.de.
mots la méthode des tangentes aux points multi-.
pies. (O)  r,DOUBLE, adj. (Arithmétique & Algèbre.)  raison
doublée, c’est le rapport qui est entre deux quarrés ;
ainsi la raison doublée de a k b , est le rapport
dé a a kbb, ou du quarré de a au quarré de b.
Voyez l’article\QúA'R.RÉ.Dans une progression géométrique le premier
terme est au troisième en raison doublée du premier
au second, ou comme le quarré du premier est
au quarré du second : ainsi, dans la progression
1, 4, 8, 16, le rapport de 2 à S est doublé
de celui de 2 à 4, c’est-à-dire que 2 est à 8,
comme le quarré de 2 au quarré de 4. Voyez
PROGRESSION.■'■ Souvent les coinmençans confondent la raison
doublee_av.ee la raison double ; quelques auteurs
même se servent indifféremment de ces expressions ;
rien n’est cependant plus différent ; la raison de.
8 à 4 est une raison double, parce que 8 est
double de 4 ; la raison de 16 à 4 est doublée, de,
celle de 4 a 2, c’est-à-dire est la raison du quarré
de 4 au quarré de 2. II fàut de même distinguer la
raison sous-doublée de fous-double ; la raison de
4 à 8 est sous-doùble, celle de 2^4 est sous-donblée
de 4 à16, c’est-à-dire comme la racine quarrée de,
4- esl à celle de-16. (O)  .DOUBLET., ( Jeu. )  :. c’est, un coup de jeu de
billard, par lë'quel on fait frapper ia bille de sori'
adversaire seulement contre, une des bandes du
billard, d’où elle va entrer dans une belouse. Si
c’est dans urië des belouses du milieu, le coup
s’appelle un doublet du milieu ; & doublet du coin,
quand la bille va tomber dans une des belouses
des coins. "' \- .DOUBLET, c’est au jeu du triârac, un jet de
dés- par lequel on amène .le même point des deux
dés, comme deux as, deux 4,-deux 3 ;, &c….
 ; DOUILLE, (Astron.) , tuyau ou anneau concave .
dans lequel entre le cylindre, ou Faxe du genou,
comme S, fig. 180 d’Astron. . .DOUILLE, (Méch.)  : c’est dans le genou d’un
instrument pour travailler fur le terrain, une ou
deux boîtes’ pù entrent des bâtons ferrés & pointus
qui soutiennent L’instrument. (K)  '■'.'""'' DOUVE, f. f..(HydrauL) , est se niurd’un bassin
Contre lequel l’eau bat. II est bâti fur des racinaùx
de charpente, afin de laisser une communication
du corroi du plafond avec celui "des côtés. (K-) •
D R A
DRACONTIQUE, adj. (Astron.) ,:Mois draconr
tique, c’est l’espace de tems que la. Lune emploie.à' aller de son noeud ascendant , appelle caputdràconis,
tête du dragon’, ;au même point. Ou la
révolution de la Lune par.rapport à son noeud.
Ce mot n’est plus en usage.. [O.]  ; ::: ",-:,' ;,
•'■ DRAGON, ( Astron. ) -: constellationhoréale'qui
est composée de 8ó étoiles dans le catalogue Britannique
 ; draco , serpéns- , anguis ; , Hesperidum
custos , coluber arborcm conscéndens, fidus minervee
& bacchi, Alscuiapius , python. Ce dragon est,:
suivant les poètes,: celui que 'Junon ; avoir préposé
à la garde-d’un jardin délicieux ' qu’elle ) avoit à
Fextrémité deshespérie-you-de. l’Espagne,''& qui .
fût tué par Hercule. Apollonius donne à ce dragon,
le nom de Ladon, qui á 'été aussi' porté par un " '-J
fleuve ; ce qui peut faire soupçonner qu’on a voulu , par
 ce dragon, désigner les rivières où les bras de
mers, qui defendoient les. jardins des hefpérides,
cë dragon a d’ailleurs été regardé comme le symbole
de la vigilance : il est surnommé", audax , mpnftrum
mirabile. - " - ■.'.' ;.:.Ovide parle de cette constellation , qui est
au nord de Fécliptique,- lorsque Phoebus dit Zi
Phaëton , de n’aller ni trPp au nord, ni trop au
midi, du côté de F autel, mais de tenir ùn juste
milieu :,' "Neii té dexterior tortum declinet ad-anguem j
Neve siniflerior preffam rota.ducat ad aram,'
. Inter utrumqué tene….. Métahior..II. 1.38. .' .Lé nom de dragon a été quelquefois donné à la
constellation du serpent, comme dans ce vers,
mystérieux que M. Dupuis a expliqué d une-manière
fi heureuse.-' " ' . .Tâurus draconem genuit & taurum draco.C’est le serpent qui se lève quand le taureau se
couche, & réciproquement. V. mon Astron. tomeiv, p. 56P. (D.L.)  ■-.■:
DRAGON ,^( Astron.) La tête & Ia queue du
dragon, caput & cauda dràconis , sons les noeuds ou "
les’.dëùx "points  ; d’intersection de l’écliptique &
"de. Forbite de.la Lune, qui fait avëc l’écliptique
un angle d’environ cinq degrés. -' On les marqué ordinairement : bar ' ces. caractères
"' ;f Sl /tête dtl dragon", SL _1 , queue du
dragon-, ■ '.'"■■Le noeud ascendant, appelle tête du dragon, est
celui'par lequel la Lune passe pour aller au nord
de l’écliptique, dàris.la partie .septentrionale,-'de
son prbite'" ; le t noeud descendant âppellé queue, dû
dragon., est celui par .lequel là Lune passe pour
. èntrêr'-dans la párfië • méridionale de son ór-bite.
Les-astronomes’modernes" "ònt abandonné ,'ces
dénominations ; ils rie se servent plus que des mots
'dé'nceud ascendant’& descendant, (D,. L,) ■'.DRAGUE, (
fable ou les ordures qui sc. .troijyeni en citant un
HydrauL) , est une grande pelle de
fer, emmanchée d’une longue perche, dosir les.
bords.sont relevés par trois côtés’,pour arrêter le'<66 dup d. u f.puits ou une citerne. Cette ;pelle esl percëeiau fondde
plusieurs trous, par lesquels elle donne passage
à l’eau,'& on la lait un peu tranchante pardevant,
afin de fouiller & enlever le limon. (K) DROIT, adj. se dit, en Géométrie, de ce qui
ne se fléchit, ou ne s’incline d’aucun côté.Ainsi, une ligne droite est celle qui ya_ d’un
point à un autre par le plus court chemin, fans
se fléchir. . •Droit pris dans .c.e sens, est opposé à courbe.
Voyez COURBE, pù nous avons fait des réflexions
fur les définitions des mots ligne droite &- j
ligne courbe. jL’angle droit est celui qui est formé par deux
lignes perpendiculaires l’une à l’autre, c’est-à-dire
qui ne s’inclinent d’aucun côté. V. PERPENDICULAIRE.-. La mesure d’un.angle aVoír est le quart de la
circonférence, ç'cst-à-dire oo degrés ; par conséquent
tous les angles droits font égaux. Voyez
ANGLE.Le mot droit pris dans ce second sens, est opposé
à oblique. Voyez OBLIQUE.On dit d’une figure qu’elle est rectangle, lorsque
ses côtés sont à angles droits, c’est-à-dire perpendiculaires
les uns fur les autres. Voyez FIGURE.Quelquefois une figure est entièrement rectangle,
c’est-à-dire a tous ses angles droits, comme le
quarré & le parallélogramme : quelquefois elle n est
rectangle quen partie seulement, comme le triangle
rectangle.Cône droit, voyez CÔNE.Sinus droit ; voyez SINUS. Ce mot sert à distin« 
guer le sinus droit du sinus verse,
DUP ■ -y''
DUPLICATION, f. f. terme d’Arithmétique &
de Géométrie : c’est l’aclion de doubler une quantité,
c’est-à-dire la multiplication de cette quantité
par le nombre z.. Voyez MULTIPLICATION.La duplication du.cube consiste à trouver le
côté d’un cube, qui soit double en solidité d’un
cube donné : c’est un problème fameux que les
Géomètres connoissent depuis deux mille ans.
Voyez CUBE.)  On prétend qu’il fut d’abord proposé par Foracle
d’Apollon à Delphes, lequel étant consulté'fur le
moyen de faire cesser la peste qui désoloit Athènes,
répondit qu’il falloit dpiibler l’autel d’Apollon,qui
étoit cubique, C’est pourquoi,'dit-on, on l’appella
dans la fuite le problème déliaque. Nous ne prétendons
point garantir cette histoire,Eratosthènes donne à ce problème une origine
plus simple. Un poète tragique, dit-il, avoit introduit
fur ' la scène Minos élevant un monument à
Glaucus ; les entrepreneurs donnoient. à ce monument
cent palmes en tout sens ; le prince ne trouva
pas le monument assez digne de íà magnificence,
& ordonna qu’on le fit double. Cette question futproposée aux Géomètres, quelle embarrassa beau^.
coup jusqu’au tems " d’Hippocrate de Chio, Ie
célèbre quadrateur des lunules (voyez LUNULE)  ;>
il leur apprit que la question se réduisoit à trouver
deux moyennes proportionnelles, comme on le
verra dans un mpment.Dans la fuite Foracle de Delphes demanda qu’on
doublât l’autel d’Apollon ; les entrepreneurs, pour
exécuter Fordre du dieu, cpnsultèrent Fécolë plato-u
nicienne, qui, comme l’on sait, faisoit une étude.
& une profession particulière de la Géométrie. H
n’est pas vrai, comme Valerê Maxime le raconte,
que Platon ait eu recours à Euclîde pour résoudre
la question : ce ne pouvoit être à Euclide le.
géomètre qui a vécu cinquante ans après lui ; cène,
peut-être à Euclide de Mégare, qui n’étoit occupé:
que de chimères, & de subtilités dialectiques. Çe,
pouvoit être à Eudoxe de Gnide, qui étoit contemporain
de Platon ; maisoutre que Fhistoire n’en parle
pas, on fait que Platon donna une solution très-sim-i
pie du problème ; elle ne suppose que la géométrie
élémentaire ; & Platon étoit assez instruit & assez,
grand génie, pour trouver tout seul cette solution
fans le secours de personne.
-_ Ce problème ne peut être résolu qu’en trouvant
deux moyennes proportionnelles entre le côté du
cube St le double de ce côté : la première de ces’
moyennes proportionnelles seroit le côté du cube
double. En effet fi on cherche deux moyennes
proportionnelles x , z s entre a & 2 a, a étantle côté du euhe, on aura a l x ', '. x l z pu—'j^T.'T*'T*1<!''^'0^l5°n"re*3==**''J !
c’esl-à-dire' que le cube, dpnt le côté est x, sera,
double du cube dont le côté est a. V, MOYENN.ÉPROPORTIONNELLE. . " 'Les Géomëtres , tant anciens que modernes j
'ont donné différentes solutions de cette question ;
on eri peut voir plusieurs dans les élémens de Géométrie
du P. Lamy, & dans le liv. X. desseâions
coniques de M. de l’Hopital, Mais toutes ces solutions
font ìnéchaniques. Ce qu’on demande dans ce
 problème, c’est de trouver par des opérations,
géométriques & fans tâtonnement le côté du cube
que l’on cherche. On ne peut en venir à bout par
le seul secours de la règle & du compas ; car
Féquation étant du troisième degré, ne peut être
résolue par FintersectioiTcTùne ligne droite & d’un
cercle , Féquation qui Tésulte de cette intersection
ne pouvant passer le second degré ; mais on peut
y parvenir, en se servant des sections coniques,
par l’interfection d’un cercle & d’une parabole ;
car il n’y a qu’à - construire Féquation cubique
xi z=z.al. On peut aussi y employer des courbes
, du troisième degré (voyez CONSTRUCTION &
EQUATION)  ; à Fégard des autres moyens dont
on s’est servi pour résoudre ce problème, ils consistent
dans différéns instrumens plus ou moinst) u p d y m 
iómpliqùés, niais dont Fusage est’ íòujburc fautif
& peu commode. Là façon la plus simple & la
plus exacte de résoudre la question , seroit de
supposer que le côté du cube donrié esl exprimé
cn nombres ; par exemple, si l’on veut que ce côté
soit de dix pouces, alors en faisant a = 10, &
tirantlàracinecube de 2 a5 on 2000 (voyez APPROXIMATION
& RACINE) , on aura aussi près qu’on
• voudra la valeur de x : cette solution suffira, &
áu-delà,- pour la pratique. II en esl de ce problème
comme.de celui de la quadrature du cercle, qu’on
péùt résoudre, sinon rigoureusement, du moins
auiîi exactement qu’on veut, & dont une solution
exacte & absolue seroit plus curieuse qu’elle
fi'èst nécessaire.M. Montucla, très-versé dans la Géométrie
ancienne & moderne, & dans lëur histoire, a publié
un ouvrage intitulé : 
il s’agit j & Mage enwre^pius’sirhpië^Ue' '
Histoire des recherches sur la
quadrature du cercle , &c. avec une addition concernant
les problèmes de la duplication du cube & de
la triseâion de l’angle. L’auteur a détaillé avec soin
& avec exactitude dans cet ouvrage, ce qui concerne
l’histoire de la duplication du cube-, & c’est le seul
point dont nous parlerons ici, réservant le resle
pour. les mots QUADRATURE & TRISECTION. 1
M. Montucla remarque avec raison que la solution
du problème donné par Platon, étoit méchanique
& avec tâtonnement ; que celle d’Architas étoit
au contraire trop intellectuelle. & irréductible à
la pratique ;-que Menechme, disciple de Platon &
frère de Dinoslrate fi connu par sa. quadratrice
.(voyez QUADRATRICE) , donna une solution
géométrique de ce problème, en employant les
sections coniques ; mais que cette solution avoit
. le défaut d’employer deux sections coniques, au
, lieu de n’en employer qu’une seule avec un cercle,
comme a fait depuis Descartes, voy. CONSTRUCTION,
COURBE, EQUATION, LIEU, &C M. Montucla
parse .ensuite de la solution d’Eudoxe de
Guide, dont il ne reste plus de trace, & qu’un
commentateur d’Arcimède semble avoir déprimé
mal-à-propos, fi on s’en rapporte à Eratoslhènes,
beaucoup meilleur juge. Ce dernier nous apprend
que la'solution d’Eudoxe consistoit à employer de
certaines courbes particulières, telles apparemment
que la conchoïde, la cissoïde, &c ou d’autres
semblables, Eratoslhènes. donna .aussi une solution i
du pròbíëfné ; ítíais cette ' solution , quoiqu ingé- i
riieuse, a le ; défaut d’être méchanique , ainsi que j
cëhes qui furent données ensuite par Héron d’Ale- j
xandrie & Philon de Byzance^ & qui rèviënnërit i
à la même, quant au fond. Apollonius en donna [
une géométrique & rigoureuse, par Fintersecrioii" '
d’un cercle &" d’une hyperbole. Nicomède qui'
vivoit vers le second siécle avant J. G. entrei
Eratoslhènes & Hipparque, imagina, pour résoudre'
ce problêmé, fa conchoïde. M. ; Montucla explique'
àvec clarté & avec facilité, Fusage' .que Nicomède ,
íaisoit de cette courbé pour résoudre la' quëstióndont| M, Neuton á fait depuis de cette ; mêmë • tourbe
dans sort Arithmétique universelle, pour, résoudre
la même question. Pappus, qui vivoit du tërns de
Théodose, avoit réduit le problême à une cdnstfuc^| tion qui peut avoir donné à Dioclès Fidée de la
cissoïde, suppose, comme cela.est vraisemblables
que Dioclès ait vécu après Pappus, La solution
de Dioclès par le moyen de Ia cissoïde, est trèssimple
& très-élégante, d’autant plus que la cissoïde
est très-aisee à tracer par plusieurs points, ; & que
M. Neuton a donné même un moyen assez simple
de décrire cette courbe par un mouvement continu.
Voilà Fàbregé des recherches historiques de
M. Montucla fur ce problême. Voyez Fexcellente
histoire dés mathématiques, du même auteur. ( O ) D y nDYNAMIQUE, f. f. signifié proprement la
science des puissances ou causes motrices , c’esl-àdire
des forces qui mettent les corps en mouvement.Ce mot est formé du mot grec S-OIHIHÍ, puissance >
qui vient du verbe fúvu/jM, je peux.M- Leibnitz est le premier qui se soit servi de
ce terme pour désignerla pártië la plus transcendanre
de la méchanique, qui traite du mouvement
des corps, en tant qu’il est cause par des forces
motrices actuellement & continuellement agissantes.
Le principe général de la Dynamique prise dans
ce sens, esl que le produit de la force accélératrice
pu retardatrice par le tems est égal à Félément
de la vitesse ; la raison qu’pn en donne est
que la vitesse crpît pu décroît à chaque instant,
en vertu de "la somme des petits coups réitérés
que la force motrice donne au corps pendant cet
instant ; fur quoi voyez l’article ACCÉLÉRATRICE
& l’article CA-USE.Le mot Dynamique est fort en usage depuis
quelques années parmi les"Géomètres, pour signifier
en particulier la science du mouvement des corps
qui agissent les uns fur les autres,. de quelque
manière que ce puisse être, soit en se poussant,
soit en se tirant par le moyen de quelque corps
interpose entr'eux, & auquel ils sont attachés,
comme un fil, un levier inflexible, un plan, &c.Suivant cette définition,: les problêmes pù l’on’
dëtermirie-les lois de la percussion des corps,
font des problêmes de Dynamique. Voyez PERCUSSION.
.- ;:'- '".' ;-. ,' .-
 ;À Fégard des problêmes òù il s’àgit de déférs
rhiner se'rno'uveriiént de plusieurs corps, qui
tiennent les uns aux autres par quelque corps flexible
óu 
: inflexible, ' & qui par-là altèrent mutuellement
leurs mòuvemens, le premier qunn ait
résolu dans ce gënfe , est celui qui est connu
aujourd’hui fous le noni du problème des centrés
d’oscillation, -''-.■- '. .' ….
mpweìjïent que"dÒivënt’' avoir plusieurs poids
.-■}II s’agit dans ce problême, de déterminer le<6. î) -y k d y nattachés a une même verge de pendule. Pour faire
sentir en quoi consiste la difficulté,,11 faut .observerd’abord"
que fi chacun de ces,poids étoit attaché
seul à la verge, il décriroit dans le premier instant
de son mouvement, un petit 'arc dont la-longueur
seroit Ia même, à quelque eridroit de Ia verge
qu’il fût-attaché , car la verge étant tirée de. la
situation verticale, en quelqnendroit de la verge
que lé.poids soit, placé, Faction de la pesanteur
fur lúLest la même & doit produire.le mèriie
efset au premier instant. C’est pourquoi chacun
des-poids qui sont attachés à la verge , tend à
décrire une petite ligne qui est égale pour tous
ces poids. Or la verge étant supposée inflexible,
il. est impossible, que ces poids parcourent tous des
lignes égales au premier instant ; mais ceux qui
sont plus près du centré. de* suspension , doivent
évidemment parcourir un plus petit espace, &
cêux qui en sont plus éloignés doivent parcourir
de plus glandes lignes. II faut donc nécessairement
que, par l’inflexibilité de la verge, Ia vitesse avec
laquelle chaque poids tendoit à se mouvoir, soit
altérée, & qu’au lieu d’être.la même dans tous,
elle augmente dans les poids inférieurs, & diminue
dans les supérieurs. Mais suivant quelle loi doitclle
augmenter & diminuer ? voilà en quoi le
problème consiste : on en a donné la solution à
l’article CENTRE D’OSCILLATION.M. Huyghens & plusieurs áutrës après lui, ont
résolu ce problème par différentesméthodes. Depuis
ce tems, & fur-tout depuis environ cinquante ans,
les Géomètres se font appliqués à diverses questions
de cette espèce.', Les mémoires de Tacadémie de
Pétersbourg nous offrent plusieurs de ces questions,
résolues par MM. Jean & Daniel Bernoulli père
& fils, & par M. Euler, dont lés noms sont
aujourd’hui si célèbres. MM.CIairaut, deMontygny
& d’Arcy, ont aussi imprimé dans les mémoires de
l’académie des Sciences, ;des.solutions .deproblèmes
de Dynamique ; & le preniier de ces trois géomètres
a donné dans, les mém.acad. 1742, des méthodes,
qui facilitent, la-solution d’un .grand nombre de
questions qui on rapport à cette.science. J’ai fait,
imprimer, en 1743 3 un traité de Dynamique , on
je donne un principe, général pour résoudre tousses
problêmes de ce genre. Voici ce qu’on lit à
çefujet dans la préface : et Comme cette partie de
Jjla méchaniquen’esl pas .moins, curieuse que.diífi-,
jj çile, & que les problêmes - qui ". s’y. rapportent,
s: composent une classe trës-étenduë', les plus grands’
V,géomètres- s’y ;font appliqués. particulseremeru
 » depuis quelques années : mais iís. ri'ôrit résolu.
« jusqu’à présent qu’un très-petlt .nombre de. prpi-'
ÎJ bleuies de ce genre, & seulement dans des cas
V particuliers,:La plupart des.solutions qu’ils nous,
« ont données, sont .appuyées, outre,' cela '.fur-des’
V.principes que personne .'ria. e'nçbreRemontrés"
55d une manière générale ; tels," par ëxêmplë,- que'
ÎJ celuidela-conservation,des forces vives’(voyez
J’fp'jsèryatioB '^f/çrí.M1>iyfó.'iau': root .TORCE" ).JíJai dont cru devoir m’étendre principalemehf33'fur çe ; sujet, & faire voir comment on peutJJ résoudre'.toutes les questions de Dynamique par35 une même ■méthode fort simple & fort directe',-33 & qui ne- consiste que dans Ia combinaison des'« .principes de féquilibre & du mouvement comijj posé ; j’en montre Fusage dans un petit nombre' 33 de problèmes choisis, dont quelques-uns sont déjà] 33cpnnus, d’autres sont entièrement nouveaux,sjd’autres enfin ont été mal résolus, même par de33 très-grands géomètres. 33 ; . ;Voici en peu de mots en quoi consiste mon
principe pour résoudre ces sortes de problèmes.
Imaginons qu’on imprime à plusieurs corps, dés
mouvèmens qu’ils ne puissent conserver à cause de
leur action mutuelle, & qu’ils soient forcés d’altérer
& de changer . en d’autres. II est certain que le ,
 ; mouvement que chaque corps avoit d’abord, peut
: être regardé pomme composé de deux autres
mouvèmens à volonté (voyez DÉCOMPOSITION &■ COMPOSITION du mouvement) , & qu’on peut
•' prendre pour l’un des mouvèmens compofans celui
 ! que chaque corps doit prendre en vertu de Faction
i des autres corps. Or fì chaque corps, au lieu du
', mouvement primitif qui lui a été imprimé, avoit:
reçu ce premier mouvement composant, il est
: certain que chacun de ces corps auroit conservé■ ce mouvement saris y rien changer, puisque par.
la supposition c’est le mouvement que chacun des
corps prend de lui-même. Donc l’autre mouvement
composant doit être tel qu’il rie dérange
rien dans le premier mouvement composant, c’est-,
à-dire que ce second mouvement-doit ttre tel
pour chaque corps, que s’il eût été imprimé seul
■■& fans aucun autre, le système fût demeuré en: repos. ' :. De-là il fuit que, pour trouver le mouvement,
de plusieurs corps qui agissent les uns fur les
autres, il faut décomposer le mouvement que
chaque corps a reçu, & avec lequel H"tend à se
. mouvoir, en deux autres mouvèmens, dont l’un,
soit détruit, & dpiit l’autre soit tel & tellement
dirigé, que Faction des corps environnans ne puisse
Faltérer ni le,changer. On trouvera aux articles
OSCILLATION., PERCUSSION, & ailleurs, des
applications de ce principe qui en font voir l’ufage
 ; & la: facilité. , ;'-. _■ Par-jà il est aise de vpir que f putes, les lois du
. mouvement des corps se réduisent aux . lois de.
 ; Féquilibre ; car, pour résoudre un problème quel-,
) co'nquede Dynamique.,11 n’y a qu’à d’abord décom ;
poser 1 le, mouvement, de chaque.corpí en. deux,1
 dont.L’un.étant,supposé connu, l’autre le sera àuffí.
ì nécessairement.- Or l’un de'.ces mouvçmens doit,
 ! être tel j que les corps:eh le suivant ne'fé nuisent
 ! point,, • ç'est-à-dirë. que'"s’ils, sont,- par exemple-y
j attaches .à.^ùne^vergëliriflëxible,, cette, vergé ne,
 ! souffre ni -fracture-ni extension, & que les corps
j demeurons ripújp,u'rs ; à, la meni.ë 'distance l’undei
l’aùtre'j’&'^e^secpnsl’.hiouvçmént doit -être tel queD y n ' ë c h <69s’il étoit imprimé seul, la verge , on en général
ie système, demeurât en équilibre. Cette condition
de ^inflexibilité de' la verge, & la condition de
Féquilibre T donneront toujours toutes les équations
nécessaires pour trouver dans chaque corps
Ja direction & la valeur d’un des mouvèmens
composons, par conséquent la direction & la valeur
de l’autre.Je crois pouvoir assurer qu’il n’y a aucun
problême dynamique, qu’on ne résolve facilement
& presque en se jouant, au moyen de ce principe,
ou du moins qu’on ne réduise facilement en équation
 ; car c’est-là tout ce qu’on peut exiger de la
Dynamique, & la résolution ou l’intégration de
-Féquation est ensuite une affaire de pure analyse.
On se convaincra de ce que j’avancejci, en liíànt
les différéns problêmes de rrion traité de Dynamique
 ; j’ai -choisi les plus difíìciles que j’ai pu, & je
crois les avoir résolus d’une manière aussi simple &
.aussi directe que les questions Font permis. Depuis la
publication de mon traité de Dynamique , en 1743,
gai eu fréquemment occasion d’en appliquer le.
principe, soit à la "recherche du mouvement des
îluides dans des vase ? de figure quelconque ( voyez
mon traité de V équilibre fi" du mouvement des fluides,
-T744Ì, soit aux oscillations d’un fluide qui couvre
-une surface sphérique ( voyez mes recherches fur
les vents , 1746 ) , soit à la théorie de la précession
des équinoxes & de la nutation de Faxe de la Terre
 en 1749, soit à la résistance des fluides en
S752", soit enfin à d’autres problèmes de cette
espèce. J’ai toujours trouvé çe principe d’une
•facilité & d’une fécondité extrêfnes ; j’ose dire que
j’en parle fans prévention, comme je ferois de
la découverte d’un autre, & jë pourrais produire
fur ce sujet des témoignages très-authentiques &
très-graves. II me semble que ce principe réduit
en effet tous les problêmes du mouvement des
-corps à la considération la plus simple, à celle
de Féquilibre.. Voyez EQUILIBRE. II n’est appuyé :
fur aucune métaphysique mauvaise ou obscure ; il
ne considère dàns le mouvement que ce qui y est
réellement, c’est-à-dire l’espace parcouru, & le
tems employé à le parcourir ; il ne fait usage ni
des actions nì des forces, ni en un mot d’aucun
de ces principes secondaires, qui peuvent être
bons eux-mêmes, & quelquefois utiles, pour abréger
ou faciliter ses solutions, mais qui ne leront jamais
des principes primitifs, parce que la métaphysique
•n’en sera jamais claire. (O)  ; ; E B E
E'B'E, reflux, jusán, descendant de la marée ;
.K FLUX.ECART, (terme de Jeu.) íe dit à Fhombre,
. au piquet & à d’âutres jeux, des cartes qu’on rebute,
& qu’on,met à-bas pour en reprendre daHjrcs au
Mathématiques’. Tome Ij IIe Partie*1 talon, íî c’est ,1a loi du jeu ; car íl y a des jeux
où l’on écarte fans reprendre.ECHARPES ,(Hydraul.) \ tranchées faites dans
les terres en formé de croissant, pour ramasser les
eaux dispersées d’une montagne, & les recueillir
dans une pierrée. (K). ' :ECHECS, f. m. pi. (JEU DES). Le jeu dcB
échecs que tout le monde connoît, & que trèspeu
de personnes jouent bien, est de tous les jeux
où l’efprit a part, le plus savant, & celui dans
lequel Fétendue & la force de l’efprit du jeu, peut
se faire le plus aisément remarquer.Chaque joueur a seize pièces partagées en six
ordres, dont les noms, les marches, & la valeur
sont différentes. On les place en deux lignes de
huit pièces chacune, fur un échiquier divise en
soixante-quatre cases ou quarrés, qui ne peuvent
contenir qu’une pièce à- !a-fois. Chaque joueur a
une pièce unigue qu’on nomme le roi. De la conser-t
vation ou de la perte de cette pièce dépend lë forde
la partie. Elle ne peur-être prise, tant qu’il lu,
reste quelque moyen de parer les coups qu’on lu- porte. La surprise n’a point lieu à son égard danS
cette guerre ; 011 Favertit du danger, où elle est.pa 1"
le terme d’échec, & par-là, on Foblige à changer
de place, s’il lui est possible, afin .de se garantir
du péril qui la menace. S’il ne lui reste aucun moyen
de Féviter, alors. elle tombe entre les mains de
l’ennemi qui Fattaquoit, & par Ia prise du roi, la
partie est décidée, ce que l’on exprime par les mors
d’échec & mat. ■: Telle est Fidée générale du système de ce jeu :
son excellence a tenté divers écrivains d’en chercher
Forigine ; mais, malgré Férudition greque
. & latine .qu’ils ont répandue avec profusion fur
cette matière, ils y ont porté si peu de lumières
, que la carrière est encore ouverte à de
nouvelles conjecturés. C’est ce qui a déterminé
M. Fréret à proposer ses siennes, dans un mémoire
imprimé parmi ceux de l’acadëmie des ' BellesLettres
, dont . Je précis formera cet article.
ci J’étudie, comme Montagne, divers auteurs pour
33 assister mes opinions piéçà formées , seconder
33 & servir. »3Plusieurs favans ont cru qu’il falloit remonter '
jusqu’au siège de Troyè, pour trouver Forigine
du jeu, des échecs ; ils en .ont attribué Finvention- à Palamède, le capitaine grec qui périt par les
artifices d’Ulysse. D’autres rejettant cette opinion ,. qui est en effet destituée de tout fondement, se sont
contentés d’assurer que le jeu des échecs avoit été
connu des Grecs & des Romains,' & que nous, le
tenions d’eux: mais le jeu des soldats, latrunculi,
ceux des jettons, calculiIkscrupuli', qu’ils prennent
pour celui des échecs -, n’ont aucune ressemblance
avec ce jeu, dans les choses qui en constituent
l’essence, & qui distinguent les échecs de tous les
autres jeux de dames , de merelles , de jettons ,' &c. avec lesquels ils le confondent. Voyez DAMES,
JETTONS. &C: " ." - Cccc<7o ech echLes’ premiers auteurs qui aient incontestable^
ment parlé des échecs dans l’Occident, font nos
vieux romanciers , ou les écrivains de ces fabuleuses
histoires des chevaliers de la table-ronde, &
des braves de la cour du ròi Arrus, des douze
pairs de France, & des paladins de Fempereur
Charlemagne.11 faut même observer que ceux de ces romanciers
qui ont parlé des -Sarrasins, les représentent
comme très-habiles à ce jeu. La princeslè Anne
Comnène, dans la vie de son père Alexis Comnène
empereur de Constantinople dans le xj. siécle, nous
apprend que le jeu des échecs, qu’elle nomme
Zatrikion, a passé des Persans aux Grecs ; ainsi, ce sont
les écrivains orientaux qu’il faut consulter sur
l’origine de ce jeu. 'Les peisans conviennent qu’ils n’en sent pas les
inventeurs, & qu’ils l’ont reçu des Indiens, qui le
portèrent en Perse pendant le règne de Cosroës dit
le Grand,àucommenctment du vj. siècle. D’un autre
côté les Chinois, à~qui le jeu des échecs esl connu,
& quile nomment le jeu de V éléphant, reconnoissent
aussi qu’ils le tiennent des Indiens, de qui ils Font
reçu dans le vj. siècle Le Haï-Pien ou grand dictionnaire
chinois, dit que ce fut sous le règne de
Vouti, vers l’an 537 après J. C. Ainsi on ne peut
douter que ce ne soit dans les Indes que ce jeu a été
inventé : c’est de-là qu’il à été porté dans l’Orient &
dans l’Occident. - .■ Disons maintenant en peu de mots, ce que les
écrivains arabes racontent de la manière dont ce
jeu fut inventé.Au commencement du v. siècle de Fere chrétienne,
il y avoit dans les Indes un jeune monarque
très-puissant, d’un excellent caractère, mais que
ses flareurs corrompirent étrangement. Ce jeune
monarque oublia bientôt que les rois doivent être
les pères de leur peuple, ^que Famour des sujets
pour leur rai, est le seul appui solide du trône,
& qu’ils font toute fa force & toute fa. puissance.
Les bramines & les rayais, c’est-à-dire, ses prêtres
& les grands, lui représentèrent vainement ces
importantes maximes ; le monarque enivré de fa
grandeur, qu’il croyois inébranlable, méprisa leurs
sages remontrances. Alors un bramine ou philosophe
indien, nommé Siffa , entreprit indirectement
de faire ouvrir les yeux au jeune vprince.
Dans cette vue, il imagina le jeu àes~échecs où le .
roi, quoique la plus importante de toutes lés
pièces, est impuissante pour attaquer, & même pour
se défendre contre ses ennemis, fans le secours de
ses sujets. ■Le nouveau jeu devint bientôt célèbre ; le
roi des Indes , en entendit parler , & voulut "
l’apprendre. Le bramine Siffa, en lui en expliquant
les règles, lui fit goûter des vérités -importantes
qu’il avoit refusé d’entendre jusqu’à ce
moment.Le prince , sensible & reconnoissant, changea
de conduite, & laissa au bramine le choix de larécompense. Celui-ci demanda qu’on lui donnât
Ie nombre de grains de blé, que produiroit ïe
nombre des cases de Féchiquier ; un seul pour la
première, deux pour la seconde -, quatre pour la
troisième, & ainsi de fuite, en doublant toujours
jusqu’à la soixante-quatrième. Le roi ne fit pas
difficulté d’accorder sur-le-champ la modicité apparente,
de cette demande ; mais quand ses trésoriers
eurent fait le calcul, ils virent que le foi s’étoir
engagé à une chose pour laquelle tous ses trésors
ni ses vastes états ne fufíìroient point. En effet, ils
trouvèrent que la somme de ces grains de blé,
devoir s’évaluera 16584 villes, dont chacune contiendrait
1024 greniers, dans chacun desquels il
y auroit 174762 mesures, & dans chaque mesure
52768- grains. Alors Ie bramine se servit encore
de cette occasion pour faire sentir au prince combien
il importe aux rois de se tenir en garde contre
ceux qui les entourent, & combien ils doivent
craindre , que l’on n’abuse de leurs meilleures
intentions.Le jeu des t’ehecs ne demeura pas long-téms
renfermé dans Flnde ; il paffa dans laPerse pendant
le règne du grand Cosroës, mais avec des
circonstances singulières que les historiens persans
nous ont conservées , & que nous supprimerons
ici : il nous suffira de dire que le npm de schatreingi
pu schatrak, qu’on lui donna, signifie &
jeu de sichach ou du roi : les Grecs en firent celui
de zatrikion ;'&. les Espagnols, à qui les Arabes
Font porté, Font changé en celui d’alxedres, ou
al xadres.Les Latins le nommèrent scaccorum ludus, d’où
est venu Fitalien fiacchi. Nos pères. s’éloignent
moins de la prononciation orientale, en le nom.mant
lej.cu des échecs, c’est-à-dire, du roi. Schak
■en ; persan ,fthek en arabe, signifient roi ou seigneur.
On conserva Ie terme d’échec, que l’on emploie
pour,avertir le roi ennemi de se garantir du danger
auquel il est exposé: celui d’échec & mat ; vient du
terme persan, schakmat, qui_.veut dire le roi est
prìs ; & c’est la formule usitée pour avertir le
roi ennemi qu’il ne pëut plus espérer de secours..
Les noms de plusieurs pièces de ce jeu ne
signifient rien de raisonnable que dans les langues
de l’Orient. La seconde pièçe des échecs, après
le roi, est nommée aujourd’hui reine ou dame ;
mais elle n’a pas toujours porté ce nom ; dans des
vers latins du xij. siècle, elle est appellée fercia.. Nos
vieux poètes franç'ois, comme Fauteur du roman
de la rose, nomment cette pièce fterce , fierche,' &
fierge , noms corrompus du latin fercia , qui -luimême
vient du persan ferz-, qui esl en. Perse, le
nom de cette pièce, & signifie un ministre d’état,
un visir.Le goût dans lequel on étoit de moraliser toutes
sortes de sujets dans les xij. & xiij. siècles, fit
regarder le jeu des échecs comme une image de
la vie humaine. Dans ces écrits, on compare les
différentes conditions avec les pièces du jeu desEch ech m'échecs ; & l’on tire de leur marche, de leùr nom &
de leur figure, des occasions de moraliser fans fin,
à la manière de ces rems-là. Mais on se persuada
bientôt que ce tableau serait une image imparfaite
de cette vie humaine, si l’on n’y trouvoit une
femme ; ce sexe joue Un rôle trop important, pour
qu’on ne lui donnât pas une place dans le~jeu ; ainsi,
Ion changea le ministre d’état, le visir ou fei\,
çn dame , en reine ; & insensiblement, par une
fuite de la galanterie naturelle aux nations de l’Occident,
la dame , la reine devint la plus considérable
pièce de tout le jeu.La troisième pièce des échecs est le fou ; chez les ,
Orientaux elle a la figure d’un éléphant, & elle
en porte le nom, fil. ,Les cavaliers, qui font la quatrième pièce des
échecs , ont la même figure & le même nom
dans tous les pays : celui que nous employons,
est la traduction du nom que lui donnent les
Arabes.La cinquième pièce des échecs esl appellée aujourd’hui
tour ; on la nommoit autrefois rok, d’où le
terme de roquer nous eft. demeuré. Cette pièce qui
entre dans les armoiries de quelques anciennes
familles, y a conservé & le npm de roc & son
ancienne figure , assez semblable à celle que lui
donnent les Mahométans, dont les échecs ne font
pas figurés. Les Orientaux la nomment, de même
que nous, rokh, & les Indiens lui donnent la figure
d’un chameau monté d’un cavalier, l’arc & la flèche
à la main. Le terme de rok, commun aux-Persans
& aux Indiens, signifie dans la langue de ces derniers,
Une espèce de chameau dont on se sert à la
guerre, ót.que l’on place sur les ailes de l’armée,
en sonne de cavalerie légère. La marche rapide
de cette pièce, qui faute d’un bout de Féchiquier,
:à l’autre, convient d’autant mieux à cette idée,
que, dans les premiers tems, elle étoit laseulepièce
qui eût cétte marche.
v La sixième .ou dernière pièce  ;est se pion ou
le fantassin, qui n’á souffert aucun changement,
.& qui représente aux Indes, comme chez nous,
les simples soldats dpnt l’armée est cpmppfée.
' Voilà lenom des pièces du jeu des échecs : entrons
dans le détail, qu’on comprendra fans peine ën
arrangeant ces pièces fur Féchiquier de la manière
•que, nous allons indiquer. ,'
 ; J’ai ditrci-dessus qu’il y a au jeu des échecs seize ,
pièces blanches d’un côté, & seize pièces, noires
de l’autre. De ces seize pièces il y en á huit .grandes
& huit petites ; les grandes font le roi, la reine
su h dame, les deux fous, savoir le fou du roi, &
le fou de la dame , les deux cavaliers, l’un-du.
roi, l’autre de. la dame ; & les deux focs ou tours '
du roi & de la dame. Ces huit grandes-pièces se,
înettent sur les huit cascs.de la première ligne de
lëehiquîer, lequel doit être dispose de telle sorte
que la dernière case à main droite, où se met la
four, soit hlaríche.
,£es huit petites pjèc,es sont les huit pions quioccupent les cases de la seconde ligne. Les pions
prennent leurs noms’ des grandes pièces devant
lesquelles ils sont placés : par exemple, le pion qui
est devant le roi, se nomme le pion du- roi ; celui
qui est. devant la dame, se nomme le pion de la
dame ; le pion qui est devant le fou du roi ou le
fou de la dame , le cavalier du roi ou le cavalier
de la dame} la tour du roi ou la tour de la dame t
s appelle le pion du fou du roi , le pion du fou de
la dame , le pion du cavalier du roi, le pion du
cavalier de la dame, le pion de la tourdu roi, le pion
de la tour de la dame. .L’on appelle la case où se met le roi, la café
du roi ; 1 on nomme celle ou esl son pion , la
deuxième case du roi ; celle qui esl devant le pion,
esl appellée la troisième case du roi ; &. l’autre plus
avancée, la.quatrième case du roi. Il en est de
même de toutes les cases de la première ligne,
qui retiennent.-chacune le nom des grandes pièces
qui les occupent, comme aussi des autres cases, qui '
portent celui de deuxième, troisième & quatrième
case de la damé , du fou du roi , du sou de la,
dame, & ainsi.des autres. ; --Le roi est la première & la principale pièce du
jeu ; il se iriet au milieu de la première ligne :
si c’est le roi blanc, il occupe la quatrième case
noire ; si c’est le roi noir, il se place à la quatrième
case blanche, vis~à-~vis l’un de l’autre. Sa .
marche est cómme celle de toutes les autres pièces ;
excepté celle du chevalier. Le roi ne fait jamais ,
qu’un pas à-la-fois, si ce n’êst quand il faute :
alors il peut fauter deux cases, & cela de deux
manières seulement {toutes les. autres manières
n’étant point en usage) , savoir ou de son-côté, ou
du côté de fa dame. Quand il faute de son côté,
il se met à lá case de son cavalier , & la ; tour se
met auprès de lui , à la case de son fou ; & quand ■'
il faute du-côté de fa dame, il se met à la case du
fou de fa dame, & la tour de fa dame à la case
de fa dame : on appelle ce faut qu’on fait faire au
roi, roquer. _II y a cinq rencontres où le roi ne peut fauter,*
la prefnière, c’est lorsqu’il y a "quelque pièce entre
lui & la tour du côté de laquelle il veùt aller, la
seconde, quand cette tour-là a déjà été remuée -,
la troisième, lorsque le roi a été obligé de sortir de
sa place ; la quatrième, quand il est en échec ;
& la cinquième ± lorsque la case par-dessus laquelle
il veut fauter, est vue, de quelque pièce de son
ennemi qui lui donnerait échec -en passant. Quoique
les rois aiênt se pouvoir d’aller fur toutes les cases,
toutefois ils ne peuvent jamais se joindre ; il faut
tout au moins qu’il y ait une case de distance
entr'eux. i• . '' ■'La dame blanche íe înet à la quatrième case
hlanche, joignant la gauche de son roi : la dame
noire íe place à la quatrième case noire , à la droite
 de son roi. La dame va droit & de biais,
comme le, pion, le fou & la tour ; ëllè peut aller
d’un seul coup d’un bout de Féchiquier à l’autre,C c c c’ i j ■
î7i ECH ECH
Pourvu que le chemin soit libre : elle peut aussi
prendre de tous côtés, de long, de large & de
biais, de près"& de loin, selon que la nécessité du
jeu le requiert.Les fous sont placés, l’un auprès du roi, &
l’autre près de la dame, leur marche eft seulement
de biais : de-forte que le fou qui est une fois fur
une "case blanche, va toujours fur lè blanc ; & se
fou dont la case est noire, ne marche jamais que
fur le noir. Us peuvent aller & prendre à droite
& à gauche, & rentrer de même, tant qu’ils trouvent
du vuidë.Les cavaliers sont postés, l’un auprès du fou du
roi, l’autre joignant le fou de la dame, leur mouvement
est tout-à-fait différent des autres pièces :
leur marche est oblique, allant toujours de trois
cases en trois cases, de blanc en noir & de noir
en blanc, sautant même par-dessus les autres
pièces. Le cavalier du roi a trois sorties ; savoir à
la deuxième case de son roi, óu à Ia troisième case
du sourde son roi, ou bieri à la troisième case de
sa tour. Le cavalier de la d2jne peut aussi commencer
par trois endroits différéns ; par la deuxième
case de la dame, par la troisièfrie case du fou de
fa dame, & par la troisième de fa tour : cela
s entend files cases sont vuides ; si elles étoient néanmoins
occupées par quelque pièce de l’ennemi,
il a le pouvoir de les prendre. Le cavalier a deux
avantages qui lui sont particuliers : le premier
est que quand il donne échec, le roi ne peut être
couvert d’aucune pièce, & est contraint de marcher ;
le second, c’est qu’il peut entrer dans un
geu & en sortir, quelque serré & défendu qu’il
puisse être.Les tours sont sstuées aux deux extrémités de
la ligne, à côté des cavaliers :. elles n’ont qu’un
seul mouvement qui est toujours droit ; mais elles
peuvent aller d’un coup fur toute la ligne qui est
devant elle, ou fur celle qui-est à leur côté, &
prendre la pièce qu’elles trouvent en leur chemin.
La tour esl la pièce la plus considérable du jeu
après Ia dame, parce qu avec le- roi seul elle peut
donner échec & mat, ce que. ne sauraient faire
ni le sou ni lé cavalier.Les huit pions se placent fur les huit cases de
la deuxième ligne : leur mouvement esl droit de
case en case : ; ils ne vont jamais de biais, si ce
n’est pour prendre quelque pièce :ils ont le pouvoir
.d’aller deux cases, mais seulement le premier
coup.qu’ils jouent, après quoi ils në marchent
plus que case à case. 'Quand un pion arrive fur
quelqu’une des cases de la dernière ligne de Féchiquier,
qui est la première ligne de l’ennemi, alors
on en lait une dame, qui a toutes les démarches,
les avantages & ses propriétés de la dame ; & si le
pion donne échec, il oblige le roi de sortir de
lá place. 11 faut de plus remarquer que le pion
' ne peut pas aller deux cases, encore que ce soit,
son premier Coup, quand la case qu’il veut passer
fft vue par quelque pipn de son en.nc.ny. Pa^rexemple, fi le pion du cavalier du roi blanc est’
à la quatrième case du cavalier du rpi noir, la
pion du fou du roi noir ne pëut pas pousser deux
cases, parce qu’il pauëroit par-dessus Ia case qui
est vue par le pion du cavalier du roi blanc, qui'
pourrait le prendre au passage. L’on en_ peut dire
autant de tous les autres pions ; néanmoins le con-v
traire íë pratique quelquefois ,. & principalement '
en Italie, où l’on appelle cette façon de jouer,passer
 bataille. " ':' ■. La manière dont les pièces de ce jeu se prennent
l’une l’autre, n’est pas en sautant par-dessùs^
comme aux dames, ni en battant simplement les
pièces, comme l’on bat les^damës au trictrac, mais
il faut que la pièce qui prend se mette à la place
-de cellè qui est prise, en ôtant la dernière 'de
dessus Féchiquier. ■ • • . • : •Echec est un coup qui met le roi en prise, mais
comme par le principe de ce jeu il rie se peutprendre,
ce mot se dit pour Favertir de .quitter
la case où il est, ou de íe'couvrir de.quelqu’une
de ses pièces ; car en cette,,rencoritre il ne ;peut
pas sauter, comme nous avons dit ci-dessus. L’on ■
appelle échec double , quand le roi-le reçoit en
même tems de deux pièees ; alors il ne s’en peut
parer qu’en changeant de place, pu bien en prenant
l’une de ces deux pièces fans se mettre en
échec de l’autre. Le pat ou mat suffoqué, c’est
quand le roi n’ayant plus de pièces qui se puissent
jouer, & fe trouvant 'environné des pièces
ennemies, fans être en échec ,. il ne peut pourtant
changer de place fans s’y mëttíe, auquel cas
on nîa ni perdu ni gagné, & le jeu íë doit récóinr
mencer.. ; '. S ■ 'L’échec ck'mat aveugle est ainsi appelle, lorsque
l’un des joueurs gagne fans le savoir, & sans le
dire au'moìnent qu’il le donne ; alors, quand on ;
joué,à toute rigueur, il ne gagne que la moitié
de ce qu’on a mis au jeu ; Enfin ï échec & mai estce
qui finit le jeu, lorsque le roi se. trouve en échec
dans la case où il est, qu’il ne peut sortir de íá
place fans se mettre encore eri échec , & qu’il nefauroit
se couvrir d’aucune de ses pièces ; c’est pour,
lors qu’il, demeure vaincu,. & qu’il est obligé de
se rendre.On conçoit aisément par- le nombre, des pièces,". ■,
la diversité de leurs marches ; & le nombre des ;
cases, combien ce jeu doit être difficile. Cependant
nous avons eu à Paris un. jeune homme deFâge
de 18 ans,. qui jouoit à-la-fois deux partiesd’échecs
fans voir le damier, & gagnoit deux jpueurs.
an-dessus de la force médiocre, à qui il ne pouvoit.
faire à chacun en particulier avaritage que: du
cavalier, en voyant, le damier, quoiqu’il fût de
la première force. Npus ajouterons à èé fait, une
circonstance dont nous avons été.témoins oculaires ;.,c’est
 qu’au', milieu d’une de ses parties, on lut fit
: une ; fausse marche de propos délibéré,' & qu’au,
bout d’un assez grand nombre de coups, il reconnut,
la feiUÎç marche ^6$ fit remettre la pièce pù elle ;Ech ech *rtdevoit être. Ce jeune homme s’appelle M. Phi-"
lidor ; ils est fils d’un musicien qui a eu de la réputation ;
il est lui-même grand musicien, & le premier
joueur de dames polonoises qu’il y ait peut-être
jamais eu, & qu’il y autà peut-ètre jamais. C’est
un des exemples ses plus extraordinaires de la
force de la mémoire & de Fimagination. II est
maintenant à Paris.. On fait les pièces ou jeu des échecs d’os ,
d’ivoire, ou de bois, différemment tournées, pour
les caractériser ; & de plus, chacun reconnoît ses
pièces par la couleur qui les dislingue. Autrefois
on jouoit avec des échecs figurés-, comme le font
ceux qu’on conserve dans se trésor de SaintD.enys.
A présent, on y met la plus grande simplicité.II est singulier combien de gens de lettres se
font attachés à rechercher Forigine de ce jeu ; je
me contenterai de citer un Espagnol, un Italien,
& un François. Lopes de Segura, de la invencion
deljuego dcl axedfez. son livre est imprimé à Alcala,
en 1661, te-4. 0 Dominico Tarsia, des invenzione
degliscacchi, à Venise, i/z-8.° Opinions du nom &•du jeu des échecs , par M. Sarrasin, Paris, in-12.
I\'oublions pas de joindre ici un joli poëme latin de
Jérôme Vida , traduit dans notre langue par
M..Xouis des Mazures.Les chinois ont fait quelques changemens à ce
 jeu ; ils y ont introduit de nouvelles pièces,
fous le nom de canons ou de mortiers. On peut
voir le détail des régies de leurs échecs, dans
la relation de Sîam de M. de la Loubere, & dansde livre du savant Hyde , de ludis orientalium.
Tarmelan y fit encore de plus grands changemens :
par les pièces nouvelles qu’il imagina, & par la.
marché qu’il leur donna, il augmenta la difficulté
d’un feu déjà trop composé pour être regardé
comme un délassement. Mais l’on a suivi en Europe
Fancienne manière de jouer, dans laquelle nous
avons eu de tems" en tems d excellens maîtres,
cntr'autrës le sieur Boi, communément appelle le
Syracusain, qui, par cette raison, fut fort considéré
à la coúrd’Espagne du tems de Philippe II ; & dans
le dernier siécle, Gioachirri Greco, connu fous le
nom de Calabrais , qui ne put trouver son égal
à ce jeu dans les diverses cours de l’europe. On a
recueilli de la manière de jouer de ces deux champions
, quelques -fragmens dont on a composé un
corps régulier, qui contient la science pratique de
ce jeu, & qui s’appelle le Calabrois.il est fort aifé■de 1 augmenter.Mais ce livre ne s’étudie guère aujourd’hui" ; les
échecs’{ont assez généralement passés de mode,. d’autres goûts, d’autres manières de perdre le tèms,
en un mot-d’autres frivolités moins excusables, ont
succédé. Si Montagne revenoit au monde, il approuveroit
bien la chuté des échecs ; car il trouvoit
ce jeu niais & puérile : & le cardinal Cajétan, qui
oe raisormoit pas mieux fur cette matière le. mettoitau nombre des jeux défendus, parce qu’il
appliquoit trop.D’autres personnes au contraire frappées de ce
que le hasard n’a point de part à ce jeu, & de
ce que Fhabileté seule y est victorieuse, ont regardé
les bons joueurs d’échecs, comme doués d’une
capacité supérieure : mais si cè raisonnement étoit
juste, pourquoi voit-on tant de gens médiocres,
& presque des imbécilles .qui y excellent, tandis
que de très-beaux génies de tous ordres & de tous
états, n’ont pu même atteindre à la médiocrité ?
Disons donc qu’ici comme ailleurs Fhabitude prise
de jeunesse, Ia pratique perpétuelle & bornée à »
un seul objet, la mémoire machinale des combinaisons&
 de la conduite des pièces fortifiée par
l’exercice , enfin ce qu’on nomme' l’efprit du jeu ,
sont les sources de la science de celle des échecs,
& n’indiquent pas d’autres talens ou d’autre mérite
dans le même .•homme* ( M. le chevalier DÉ
JAÚCOURT.) ' ,* II y a, au sujet du jeu des échecs , un problême
fameux depuis long-tems : il consiste à faire
en sorte que le cavalier parcoure successivement
- toutes les cases de Véchiquier, en marchant suivant
Fordre établi pour le mouvement de cette pièce,
& sans passer plus d’une fois par la même case,
M. Euler a traité ce problême dans les Mémoires
de Vacadémie de Berlin, pour Vannée 1759. Voici
une idée générale de ía dissertation.I. L’auteur commence par indiquer la route
suivante , où le cavalier partant d’un coin de
Féchiquier parcourt toutes les cases.-42' 59 44 o j 40 21 46 76r ro" 41 ' 58 ; 45, 8 39 2012 43' 60 55 ! 22 57 ; 6 4753 62 iì 30 I 25 j 28 19 38 :32 13 54 27 56 zz 48 563. 52 31 24 ! 20. 26 37 .18.. ; l__ ; " '__1.4 33 2 -51. 16 35 4 491 64 15 34 I 3 50 17 36 'Les "cases sont numérotés suivant Fordre qu’elles
sont parcourues. Ainsi y le cavalier ayant été,posed’abord
dans la case 1, faute en 2, de-là en 3,.
en 4, &c. quand il est parvenu en 64, il a parcouru
toutes ses cases. On voit qu’on peut le seire partir,
également des autres angles »K74. ech e ch -II. Eh retournant par la même route, ou pourra
aussi commencer par la case 64, & de-là, en passeur
succeslìvement par les cases 63 , 62 , 61, &c. on
parviendra enfin, après avoir parcouru toutes lés
cases, à celle du coin 1. Mais cette route ne sera
d’aucune utilité, quand il faudra commencer par
quelque àutre case. La question proposée, généralement,
est de donner parmi toutes les combinaisons
dont se problême esl susceptible, un rnoyen^
infaillible de commencer la route par une case
quelconque.III. M. Euler remarque d’abord qu’on pourrait
satisfaire à la question, si l’on trouvoit une route• où la dernière case marquée par 64, fût éloignée
de la première, d’un faut du cavalier, de sorte
qu’il pût sauter de la dernière sur la première ;
alors il est évident qu’on pourra commencer
par une case quelconque, & de-là epntinuer la
course suivant Fordre des nombres jusqu’à Ia
case marquée 64, d’où, en sautant à celle qui
est marquée I, le cavalier poursuivrait la course
& reviendroit à la case, d’où il scroir parti. Or
voici une telle route rentrante en elle-même,42 57 44 9 40 ?• ! 46 j 755 10 4 ! 5.8 45 ,8 - 39 2012 43 56 61 22 59 è 4763 54 il 50 25 2,8 ìp 3832 13 62 27 60 zx 48 553 64 31 24 29 26 37 1814 35 2 51 16 35 4 491 5.i 15 34 3 5P 11 Î.5.'IV. On voit, qu’en fixant bien cette route daris
fa mémoire, on pourra faire partir le cavalier d’une,
case quelconque. Car, par e'xemple3 veút-on qu’il
parte de la case marquée 25 ? On le sera passer
successivement par les cases 26, 27, 28,…. jusqu’à
64, d’où, en passant par les cases 1, z, 3, &ç.
il poursuivra fa route jusqu’à se case 2.4. 'V. II est évident que la même disposition
fournit, pour chaque case , une double route.
Ainsi, dans l’exemple précédent, on peut, eri
panant de la case 25, aller par les cases 26,' 27,
28, &c, ou par les cases 24, 23, 22, &c. Toutè
autre disposition rentrante en elle-même aura lesmêmes avantages. Si on ne vouloit taire oe ce
problême qu’un amusement de société, il suffiroit
de-retenir p"ar coeur l’une de ces dispositions, après
Favoir trouvée auparavant, soit parle târonnement,
soit de toute autre manière. Mais si on se
propose en cela une recherche scientifique, il faut
enseigner une méthode certaine, de trouver les
dispositions dont nous venons de parler.VI. Pour y parvenir facilement. M, Euler
dislingue deux espèces de routes : l’une où le
cavalier parcourt simplement.'toutes les cases de
féchiquier, fans qu’il puisse sauter de la dernière
à la première (telle est celle de Varticle 1 )  ; l’autre
espèce est celle des routes rentrantes en ellesmêmes,
oùle cavalier, après avoir parcouru toutes
les cases, peut sauter de là dernière à la première
(telle est celle de'l’article III). Le problême est
beaucoup plus facile, dans le premier cas j que
dans le second. M. Euler explique la manière de
trouver des routes de l’une, & de l’autre espèce:
c’est une analyse d’un gemé nouveau, qu’il faut
suivre dans son Mémoire même. Contentons-nous
dé donner, toujours d’après lui, une méthode
par le moyen de laquelle, connoissant une route "
ía première espèce, en,pourra en découvrir nonseulemenf
une, mais plusieurs de la seconde
espèce.VÌI. On observera pour cela, qu’on peut en
plusieurs manières changer-la dernière cale, celle
du commencement demeurant la même. Considérées
, par exemple,, la route de Varticle I ; qu’on
marque les cases auxquelles se cavalier pourroîç
passer de la dernière 64 : On verra que ces cases
sont 63, 31, 51, dont la première qui renferme
le faut déjà employé à 64, n’est d’aucun usage.
Mais, puisqu’on peut passer de la case 31 à Ia
case 64., qu’on fasse ce saut, après être parvenu
de la case i par les cases 2,3,4, &c, à la case
31 ; & qu’on poursuive ensuite la route par les
cases 64, 63, Ó2j &c. jusqu’à ce qu’on .revienne
à Ia case 32, qui sera à présents la dernière. Cette
nouvelle route îe-ra représentée ainsi : 1, 2, . ; .,.. ;
31, 64,63 …….32.VIII. De même, le faut de 64 à 51 nous donne
à connoître qu’on peut passer de la case <ji
k la case 64, & de-là en poursuivant la route par
les cases 63 , 62, &c. la dernière sera Ia case 52. '
Cette route entière sera donc représentée ainsi :
1, 2, ,. ;,… 51, 04, 63 ,.,… 52. ' . '•[■Maintenant, puisque cette dernière cale 52 roumit
un faut â la première, cette route se rapporte à .
la seconde espèce, étànt rentrante en elle-même j
& c’est précisément la route de f article III.IX. Quand on ne seroit pas encore parvenu à
uijè route rentrante , on pourròit de nouveau,
transformer celle que nous avons trouvée -dans
V article VII, c’est-à-dire, lá rpute : 1 …..31,
64 …,. 32, .dans laquelse la dernière .case étant' ; ji.l n f ech' <7ç^2, le cavalier peut fauter de-là, aux cases 43,
II, 31, 33. Ainsi, on n’aura qu’à renverser la
partie de cette route, comprise entre l’un de ces
' nombres, & le dernier 32.. .X. Le nombre 43 fournira donc cette nouvelle
route: 1 …… 31, 64,…… 43, 32….42,où la case angulaire, 42 est la ^dernière.Le second nombre ri donnera cette route :1 ……'11, 32 …….. 64, 31, 12, oùla case 12 est la dernière.Le troisième nombre 31 rend la route principale
: 1 31, 32 64, d’où nous avonstiré les autres.Le quatrième nombre.32 nc change rien dans
la rpHte que nous traitons.La route précédente , qui íiniffoit par 12 ,
puisque se cavalier peut fauter de la case 12 aux '.
cases 59, 41, 11, 13, fournira ces transformées:1 .. 11, 32 .59, 12 …….zi, .,^4 ….. 61.I ….. II, 3 2 ….. 41 , ,12 …. 31, 64 ;.. ,42 ; & celle-là , puisque 60 conduit aux cases '
. 61, 59 3 9 > 45>'2-5 > 27 3.13 & 53, « ous mènera
à plufieurs npuvelles routes pù les dernières cases
seront "10, 46, 26, 28, 14 & 54. 'XI, On vpit par-là, combien il est facile de
■trouver quantité de nouvelles routes, quand on
eft connoît une seule. Nous n’entrerons pas dans
.un plus grand détail. Voyez le Mémoire Je
M. Euler ;. Voyez aussi, dans les mém, dé l’acad.
des sciences. de Paris, pour Vannée 1771 un écrit
de M. Vandermonde , fur le mime sujet.■"'■* Le Traité théorique &■ pratique du jeu
des échecs , imprimé à Paris chezStoupe , rue
de la Harpe 1775 , est le meilleur que nous
ayons. U mérite la préférence fur tous ceux qui
ont paru jusqu’à présent, en ce qu’il joint à une
plus grande étendue, l’analyfe & Fordre fi nécessaires
dans Fétude d’une science" de calcul , &
cependant trop négligées, par tous les auteurs qui
ont essayé de donner quelques principes de ce jeu.
.On y donne aux huit pièces des échecs le nom
des huit premières lettres de Falphabet , & on
désigne leur position & leur marche fur Féchiquier,
par les n." r. jusqu’à 8. Cette méthode de noter
les parties, aussi simple que claire, a permis aux
v auteurs dé réunir dans un seul vol. in-iz tout cê
qui a paru jusqu’ici de satisfaisant sur ce jeu ,
avec les résultats des manières des plus grands
joueurs de ce siècle. Ceux qui.seront curieux d’en
faire une étude particulière, y trouveront rinstruction
là plus variée, là plus suivie & Ia plus capable
d’aider, par Tapplicafion des exemples aux prin-^
cipes,le plus ou le moins d’aptitude qu’on peut
avoir d’ailleurs dans son génie :pour ces combinaisons.
'■■.-"ECHELLE, f, f. eh Mathématiques, consiste en
une ou plusieurs lignes tirées fur du papier , du
carton, du bois., du métal, ou tpute autre matière,
divisées en parties égales ou inégales. Ces
échelles sont fort utiles, quand on veut,représenter
en petit, & dans leur juste proportion , les
dislances’ que l’on a prises fur le terrein.II y a des échelles de différente espèce, appropriées
à différéns usages. Les principales sont :L’échelle des parties égales, qui n’est autre chose
qu’une ligne, divisée en un nombre quelconque
de parties égales, par exemple 5 ou 10, ou davantage
 ; une de ceí parties est ensuite subdivisée en 10,
ou davantage ; une de ces parties est ensuite subdivisée
en 10, ou un plus grand nombre de parties
égales plus petites.Quand une ligne est ainsi divisée , si une des
plus grandes divisions représenté 10 d’une mesure
quelconque, par exemple io milles, 10 chaînes ,
10 toises, 10 pies, ou 10 pouces, chacune des
petites divisions que cette grande division contient,
représentera un mille, une chaîne, une toise, un
pié, ou un pouce. -L’usage .de cette échelle est fort aisé à concevoir.
Par exemple, si Fonyeut représenter par son moyen
une distance de 32 milles, ou de 32 perches, on
prendra avec le cpmpas Fintervalle de trois grandes
divisions qui valent 30 , & Fintervalle de deux petites
divisions ,.poùr les unités : en traçant cette
longueur fur le papier, elle contiendra 3 2 parties.
de l’échelle , dont chacune est supposée valoir un
mille pu une perche , ou &c. S’il s’agiffoit de mesurer
une ligne quelconque avec une cchelle donnée.,
on prendrait la longueur de la ligne avec
un compas ; & appliquant une des ; pointes de cet
instrument sor une des grandes divisions de l’échelle ,
on remarqueroit où-tombe l’autre pointe: alors le
nombre des grandes & des petites divisions., qui
se trouveroít renfermé entre les pointés du compas
j donnerait le nombre de milles, de perches, &c.En Géographie & én Architeâure , une échelle est ■
uneligne divisée en parties égales, & placée anbas
d’une carte, d’un deffeirj, ou d’un plan, pour
servir de commune mesure à toutes les parties d’un
bâtiment -, ou bien à toutes ses distances & à tous
les lieux d’une carte, - - :Dans les grandes cartes , comme celles de ?
royaumes & des provinces, &c.}'échelle représente
ordinairement des lieues, des milles, &c. C’est ce
qui fait que l’on dit une échelle de lieues , une
échelle de milles, &c.". Darisles cartes particulières, comme celles d’une
seigneurie, d’une ville, d’une ferme,.&c. l’échelle
représente ordinairement des perches, ou des toises '
subdivisées en pies. ' ' y , ■ •Les échelles dont on fait ordinairement usage dansleDeffein, ou Ie plan d’un bâtiment, représententdes .modules, des toises, des pies, des pouces,& autres, mesures semblables.., • Pour trouver fur une carte la distance entre deux
<?<? ECH ECH
villes, on en prend Fintervalle avec un compas ; j
& appliquant cet intervalle fur l’échelle de la carte,
on jugera par le nombre de divisions qu’il renferme,
de la'distance des deux villes. Par la même méthode,
on trouve Ia hauteur d’un étage dans un
pian de bâtiment.L’échelle de front, en Perspetííve , esl une ligne
'droite parallèle à la ligne horizontale, & divisée
en parties égales, qui représentent des pies, des
pouces., &c.L’échelle fuyante est aussi une ligne droite verticale
dans un dessein de perspective, & divisée en
parties inégales, qui représentent "des pies, des
pouces -, &c. ( Hanis & Chambèrs. ) •Pour en donner une idée plus précise, soit Q N
i Peijpeâ. fig. 15.)  une ligne horizontale .divisée en
parties égales Q 1,1II, IIIII, IIIIV, &c.
& soit tirée du point P, que je suppose être Ia
place de Foeil, des lignes PI, Pli, PIII, &c.
qui coupent en 1, 2, 3 , &c. la ligne verticale Ç> R.
}l esl aisé de s’assurer à Foeil, & de démontrer
par la Géomérrie, qu’en supposant la ligne horizontale
Q N divisée en parties égales j lès parties
correspondantes () 1, 12, 23 , &c. de la verticale
iront toujours en diminuant ; & que menant P O
' horizontale, la verticale Q.O sera l’échelle de toutes
ses parties de la ligne Q N, quelque grande qu’on
suppose cette dernière ligne : c’est ce qui a fait
donner à ï échelle Q R le nom d’échelle fuyante.
Pour avoir le rapport d’une partie quelcpnque 2,3,
de l’échelle fuyante à la partie correspondante IIIII,
on mènera la verticale II a, .& on considérera que
z z esl à II a, comme P2 esl à Pli, comme MQ
est à MII, & que II a est k IIIII comme P M est
à MIII ; donc 23 est à IIIII, comme MQ multiplié'
par P ils, est à MII multiplié par MlII ; donc
IIIII. MÇ). F M , , , IIIII.MQ.PM
23=MiClWÏ— ?=à£rès-Pell-Près^/p-Jíí— ,
en supposant les parties IIIII très-petites par rapport
à la ligne enti.ère. Donc les parties de l’échelle.
fuyante seront entr'elles à-peu-près dans la raison
inverse des .quarrés des parties correspondantes j
MII ; ou pour parler plus exactement, deux par- i
ries voisines 23 , 34 de l’échelle fuyants , sont !
entr'elles comme MI V à MII,-. c’est -à -dire en
raison inverse des parties MII, MIV. (O) ECHELLES ARITHMÉTIQUES, Quoique nous
ayons déjà traité cette matière aux mots ARITHMÉTIQUE,
BINAIRE, DÀCT YLO"N OMI E ,
-DÉCIMAL , & autres, l’article suivant qui nous a été .
communiqué fur çe même objet, nous paraît digne
d être donné au public. II est de M. Rallier des
Ourmes , conseiller d’honneur au présidial de
Rennes, qui a fourni plusieurs excellents articles
pour 1 Encyclopédie.I. ECHELLE ARITHMÉTIQUE , dit-il, esl le nom
qu on donne à une progression géométrique , par
iaquelle se règle la valeur relative des chiffressimples, ou Faccroissement graduel de valeur qu jjí
tirent du rang qu’ils occupent entr'eux.Elle est formée de puissances consécutives d’un
nombre r, toujours égal à celui des caractères nu*
mériques ou chiffres ( y compris p ) , auquel on a :
trouvé bon de se fixer dans le fystême de numérar
tion établi ; & le premier" 6k le plus petit terme cn
est r°.II. Étant donc posée une telle progression, si l’on
conçoit une fuite de chiffres pris comme on voudra,
quiluicorresponde ternie à terme, on est convenu
que la valeur relative de chacun d’eux seroit le produit
de sa valeur propre ou absolue, par la puissance
de r qui lui correspond dans la progression. Cette
idée heureuse nous met en état de représenter net- ;
tementj & avec peu de caractères ,, les" nombre*
les plus grands, & incapables, par leur grandeur
même,. d’être saisis par notre imagination.III. Comme les rangs deschiffres se comptent dan s
le même sens qu’est dirigé le cours des exposans potentiels
dans la progression, & que le premier exposant
est o, il fuit que l’exposant de la puissance est
toujours plus petit d’une unité que lé rang du chiffre
correspondant ; en sorte que nommant n lerang qu’occupe
un chiffre a quelcpnque dàns fa fuite, Fexpref'_ n-—i.sion de fa valeur relative est généralement a X rSil’on cherche, par exemple, la valeur du 4 dans
437, relativement à notrè échelle , où r= 10, &oú
les rangs se comptent de droite à gauche, on la trou3— 1 -, '2
vera=4 X 10 =4X 10 =4 X 100=400.
IV. Le nombre r est dit la racine,de l’échelle ;&
c’est de lui que l’échelle même prerid son nom.r==
lofait nommer denaire celle dont nous nousservons ;
r== z donnerait l’échelle binaire ; r = 7 la septtnaire,
&c.V. La progression décuple qui constitue notre
échelle , est croissante de droite à gauche , & nou6
supposerons la même direction dans toutes ses autres
auxquelles nous pourrons la comparer ; mais elle
pouvoit Fêtre tout auffi-bien de gauche à droite.
On eût pu même lui donner une direction verticale
& la rendre croissante , soit de haut eri-bas, soit de
bas en-haut. En un mot, Y arbitraire avoit lieu ici
tout comme pour Fécriture : si nous dirigeons nos
lignes de gauche à droite , d’autres peuples les ont
dirigées & les dirigent encore de droite à gauche ;
d’autres de bas ên-haut ou de haut en-bas.VI. r trop petit nous eût réduit à employer beaucoup
de caractères pour représenter un nombre assez
médiocre, rti op grand nous eût obligé de multiplier
les caractères, au risque de surcharger la mémoire
& aux dépens de la simplicité, r == 1 o semble, entre
ces deux extrêmes, tenir un juste milieu. Ce n’est
pas que quelques sevans n’aient pense qu’on eût pu
mieux choisir. Voyez BINAIRE. Pour mettre se le&teuren
 état de juger dcleur prétention,nous allons
donner le moyen de cpmparer entr'elles les diverseséchelles arithmétiques,Ech ECFÍ , ,T+WcleUes arithmétiques. Tout peut se réduire aux cinq
pu même aux trois problêmes ci-après :
 ; Vll.Probléme I. L’expreísion a d’un nombre étant
doririée dans l’échelle usuelle, trouver fexpression
du même nombre dans une autre échelle quelconque
dont la racine b est aussi donnée. '' Solution.Cherchez la plus haute puissance de b qui
soit contenue dans a. Nommant n l’exposant de cette
puissance, n 4-1 sera le nombre de chiffres de l’exnpression cherchée. Pour l’avpir, divisez a par J , len. —i n—zpremier restë par 6 , le second reste par b . , &« —71 oainsi de fuite jusqu’à b ou b inclusivement. Tous
ces quoúens pris en nombres entiers & écrits à la fuite
l’un de l’autre, dans l’prdre qu’ils viendront, donneront
l’expreffìon cherchée dans l’échelle dont la racine
est b ; enforte que désignant le premier reste par
/, le secpnd reste par *, &c. la formule générale fera' Exemple. Un nombre exprimé par 4497 dàns 1 é.
thclle usuelle, commentle sera-t-il dàns laseptenaire 5Substituant dans Ia fora==:4497ì
mule, on aura/.__..- V 44-97 1°°6 _|_8 î_8 î" —*'" i H »>; itî '■ ", »' 7" »""^~On trouve… .n =4 > 1.6.0.5.3=16053.Le même nombre ne pourroit être exprimé dàns
échelle binaire par moins de treize caractères,VIII, Problême 2. L’expreííìon A d’un nombre
étant dpnnée dans une échelle quelconque (autre que
l’utuelle ) , dont la racine b est connue ^ trouver fexpression
du même nombre dans l’échelle usuelle.
• Solution. Soient les chiffres du nombre A représentés
dans le même ordre par les indéterminées
c.d. e,f….D. ' . ■ ■ -..Nommant n -\-1 se nombre des chiffres de A, rasera
( n°. y. )  l’exposant de la plus haute puissance de b qui
y soit contenue, Ôela posé,'multipliez respective-n :- n—i _ 'ment c par b ', d par b , & ainsi dé suite, jusqu’à
fc°v inclusivement, là somme de tous cçs pro^
duits sera, dans l’échelle usuelle, Fexpreslìon .cherchée
du npmbre prppofé, dont la formule généralen n—1 n—ï °sera c b 4-db 4-eb …^\-Db.-
,' Exemple. Un nombre exprimé par 16053 dans
Yéchelle ■ septénaire , comment le íera-t.-il dans
ïéfhelle usuelle ? . , ■Mathématiques. Tome I, IL*, Purtic,ÏX. Problême 3. L’expreffìon a d’un nombre étant
donnée dans l’échelle usuelle, & l’expreffìon A du
( même nombre dans une autre échelle , trouver lâ
racine b de cette seconde échelle. '. n n—t•5ototíon.Parleproblêmeprécédent,c& -{-dbO 71 /l—I •…. 4- U fi = a ; d’où cb -{-db …, 4- D b
-— a = o, équation du degré n, laquelle étant résolue
donnera la valeur de fi.- Voyez ÉQUATION,Exemple. Le même nombre est exprimé par 4497
dans l’échelle usuelle , & par 16053 dans une autre.
échelle : quelle est la racine fi de cette seconde échelle ?Mais fans entrer dans aucun calcul, il est aisé de
voir que b est d’un côté <^ 10 ( puisqu’il y a plus de
chiffres dans A que dàns á ) , & d’un autre côté ]>■ 6 '
( puisque 6 ëntredans l’expreffìon A )  ; essayant dórie
ses nombres entre 6 & 10, on trouve que 7 est celur
qui convient ,& qu’il résout Féquation,X. Problême 4, Etant données les racines b & c de
deux échelles ( toutes deux autres que Fusuelle ) avec
l’expreffìon A d’un nombre dans la première, trouver
l’expreffìon du même nombre dans la seconde »Problème 5. Etant données les expressions A & &
du même nombre en deux échelles autres que Fusuelle,
avec la racine b de la première, trouver la
racine de .la seconde.Solution commune. Si dans l’un & dans l’autre cas
on réduit ( par le problême II.) Fexpression A à
l’échelle usuelle, le problême IV. ne sera plus que '
le premier, ni se problême V, que le troisième.Exemple pour le problême 4. Un nombre exprimé
par 16053 dam l’échelle septénaire, commçnt 1c sera-t-ril
 dans la duodénaire ? -160.53 réduit (problème 2.) à l’échelle usuelle,
devient 4497 ; puis cherchant (problême 1.) Fexpression
de 4497 dans l’échelle duodénaire, on
trouve 2729.Exemple pour te problême 5. Le même nombre
qui est exprimé par 16053 dans Yéchelle septénaire
, l’est par 2729 dans une autre échelle : quelle
est la racine de cette seconde échelle ?16053 réduit à l’échelle usuelle, devient 4497 ;
puis opérant ( problème 3. ) fur 4497 & fur 2729,
ori trouve 12 pour la racine de la seconde êcheUe.■ ECHELLES , (construâion des) pour les carter
topographiques. On dit, qu’une échelle est dé 6
lignes pour,. 100. toises , de 3 lignes poiìr íeo
toises &c. lorsque la partie de cette échelle qaì.
■ ' ■ D d d d,73 ech echreprésente ìoo toises du terrein, a l’ëtendue de
6 lignes, de z lignes &c. ,,„,,.I. PROBLÈME. Construire une échelle de demie
lieue, à S lignes pour i oo toises , dont la plus petite
division soit une toise.Solution. Soit tirée la droite AB ì (pi arpen,tage,
fig. 6) , à laquelle on donnera un demipied,
& soit divisée, cette droire en 12 parties
étales pour représenter 1200 toises, ou une demilieue ;
on élèvera des extrémités A & B, &_de
tous les points de division, des perpendiculaires
AE, CD &c. indéfinies ; & portant dix fois la
même ouverture de compas fur les perpendiculaires
extrêmes A E , & B, 1100, par tous les points marqués,
 correspondants, on tirera des" droites
qui feront parallèles à A B , par construction.
Soient divisées ensuite les bases opposées-Ji D,
A C, du petit rectangle A CD E , en dix parties
égales, & par les points de division soient tirées.
les transversales 100.90. &c. L’échelle sera, construite.
|Démonstration. Le petit triangle A, ioò 90"qui
a pour base 10 toises, étant coupé paf ses parallèles
à AB i renferme neuf autres triangles, qui
lui sont semblables & dont les bases sont par conséquent
proportionnelles à leurs hauteurs, celle du
plus petit, est donc à celle de A, 100 90 comriie
lest à .10 ;.& puisque A , 90 contient 10 toises,
la base du plus petit, contient une toise. Celle du
second vaut conséquemment z toises ; celle du 3.°
3 toises &c. Par la même raison se triangle ICD
renferme aussi neuf autres triangles, dont lé plus
petit a pour base une toise. Donc au moyen de
cette échelle , on peut prendre avec le compas,
tel nombre de toises que l’on voudra, car supposons
que l’on ait besoin de 34.toises ; après avoir
pris 30 toises fur E D, ori portera la pointe du
compas ouvert, de cetre quantité le long de D C,
fur la quatrième parallèle, & l’on prendra fur elle
avec l’autre pointe, 4 toises de plus en ouvrant le
compas jusqu’à la transversale, qui sera immédiatement
aù-de-là , dans le rectangle AE D C.II, Lorsque l’on propose de construire une
figure semblable, à une autre sur une échelle qui
soit à celle de la première , dans un rapport
assigné en nombre, rien n’est fi aise que de multiplier
, où de diviser par 2 par 3 &c. l’échelle
de la première, pour déterminer celle de la seconde ;
mais si l’on propose de construire une figure semblable
à une autre, de manière que Ia surface de
la première, soit à la surface de la seconde, dans
« n rapport dont les termes ne soient pas tous deux
des quarrés parfaits, il faut alors une méthode
particulière, pour trouver l’échelle de la figure que
l’on veut construire.III. PROBLÊME. On propose de trouver l’échelle
avec laquelle on construira une figure semblable , à
une autre > dt manière que la surface de celle-ci >
soit à la surface de celle que l’on demande, dam
vn rapport donné.. Solution. Ori prendra fur une ligne droite deur
parties A K , KE , (pi. d’arp. fig. 7) qui soient
entr'elles dans le rapport donné ; & fur la somme
A E , de ces deux parties comme diamètre, ayant
décrit une demi-circonférence, du point K 011
élèvera l’ordonnée KD , &. l’on tirera ses cordes
AD, DE ; on portera alors, fur là corde AD%
prolongée s’il est nécessaire, l’échelle AB , de la
première figure, & par son extrémité B tirant une
parallèle à 1 autre corde, jusqu’à ce qu’elle remontre
le diamètre, où son prolongement, cette parallèle
B C, sera l’échelle que l’on cherche.Démonstration. A cause de Ia parallèle BC, on
a AB l B C. l AD l DE , par conséquentÂ~B) B~d\ '.AD’. DÎE ;mai=, le triangle ADE
étant rectangle, lès deux triangles dans lesquels il
est divisé, par l’ordonnée K D, lui sont semblables& donmnt AD’D’E\ '.A Kl KE, donc parune fuite de rapports égaux AB'.B Ç\',AR',KE
c’est-à-dire, que le quarré de. l’échelle de la première
figure, est áìi quarré dé la.droite.B C, dans
le rapport de la surface de cette figure, à la surface
de celle que l’on demande. Or les surfaces dej
figures semblables j sont entre elles pomme les
quarrés de leurs échelles , lorsque ces’échelles contiennent
un. nombre égal de parties correspondante
 ; donc puisque AB ,en l’échelle, de là
première figure, B C doit être l’échelle de la figure
que l’on veut construire. (Mi Jòlly*, Ingénieur
Géographe).ECHELLE de logarithmes, échelles proportion »,
nettes , Echelle anglaise , en Anglois, gunteisline ,
échelle de Gunter ; Navigation scale, figure 163 des
pi. d’Aflr. fot imaginée, vers 1625 par Gunter,
professeur d’astronomie au collège de Gresham à
Londres, d’après Finventiort des logarithmes par
Napier en 1614. Les usages de cette échelle furent
étendus par Wingate, Milbourn, Òughthred,
Hénrion, Seth-Partridge j Leybourn, qui en a
donné un petit traité fur la fin du dernier siècle:
The Une os proportion or Numbcrs commonly called
Gunter's Une , made eafy ; enfin par M. Robertson,
dont il y en a une description détaillée : A description
os the Unes drawn on Gunter 1 s scale asimprovedby
M. John Robertson, and executed by MM. Nairn
and Blunt. 1778. Cette description est de M. Mountaine,
&■ contient différéns usages de cette échelle
pour la navigation, F Astronomie & la gnomonique.
On trouve, fiir cette échelle, les logarithmes des
sinus & des tangentes, avec plusieurs autres lignes,
& c’est ce qu’on appelle ordinairement l’échelle
angloise. On s’en sert pour faire des multiplications,
& pour résoudre des triangles, en plaçant fur trois
lignes lès logarithmes des nombres , ceux des
sinus & ceux des tangentes.Pour construire cette échelle que l’on vend communément
en Angleterre, gravée fur du buis de
l deux pieds anglois, ou u\ pouces de long fur
un& demi de large, on prend une longueur d’environ
21 \ pouces, "pour représenter iooo parties
égales. Cette première ligne de préparation ne sert

Îiu'à la construction des trois échelles ; on pëut la
aire fur un carton, ou fur une table. On s’arrête
à cette division de ioòo parties, parce que le logarithme
de 10 est iooo, en ne prenant que lës
quatre premiers chiffres, & considérant la caractéristique,
comme fi elle n’étoit pas séparée par un
point. Le logarithme de l’unité est zéro ; c’est pourquoi
l’on marque l’unité au commencement de
Yéchelle des logarithmes des nombres, marquée
numb. Root. Le logarithme de i est 301 , ainsi ,
il faudra prendre 301, avec un compas, fur la première
Ijgne des mille parties égales, & portant cet
intervalle fur F échelle destinée aux logarithmes depuis
le commencement, ou le point de l’échelle oùnous
avons marqué l’unité, on aura le point où
répond le logarithme de 2 ; on trouvera de même
le point"de 3 , en prenant 477, fur Ia ligne des
parties égales ; on marquera 4 en prenant 602 parties
, &c. ainsi de fuite jusqu’à 10, qui termine
Yéchelle , dont le logarithme est de 1000, en supposant
toujours qu’on ait retranché les derniers
chiffres des logarithmes qui sorit dans les tables.

Le point de 2 tombe presque au tiers de l’échelle ;
car son logarithme est de 301 fur 1000, aussi ,
cet intervalse d’un à deux est subdivise en 100 parties
inégales , &.on peut le regarder comme 200 ,
&.alors l’ecní/se donnera les nombres jusqu’à 1000,,
maisdans le dernier intervalle de 9 à 10, il n’y a
.plus que 10- subdivisions, ce qui fait qu’on ne peut
opérer complettement que fur les nombres qui sont
au-dessous de cent , avec les échelles dont nous
parlons. ■ "

La construction des deux autres e'cheIles ne sera
pas plus difficile. On se servira des tables des logarithmes
pour les sinus &les tangentes ; mais, pour
.réduire celui du sinus de 90 degrés, ou celui de
la tangente de 45 degrés aux 1000 parties qu’ils
doivent avoir, il ne suffira pas de retrancher les
derniers chiffres à droite, il faudra encore soustraire
le nombre 8 de la caractéristique, & prendre
ía moitié du rëste , afin que pour le sinus total",
on ait 1000. Ainsi, pour marquer, par exemple,
15 degrés fur {'échelle des logarithmes de sinus ,,
on cherchera dans les tables le logarithme du
sinus de 15°, qui est 9413 ; mais on ne prendra
que 1413 , dont la moitié serà 706 ; ainsi, iî faudra
. prendre 706 fur Yéchelle des parties égales, & transportant
Fintervalle sur Yéchelle destinée à marquer
les logarithmes de sinus, on aura le point de 15
degrés.

, Si l’on veut pareillement marquer fur la troisième
échelle , ou fur l’échelle des tangentes, le point
de 35 degrés , on prendra les quatre premiers
chiffres du Ipgarithmede la tangente 9845, &'on
soustraira 8 de la caractéristique ; on aura 1845
parties, dont la moitié est 922, qu’il faudra prendre
.avec, un compas fur la,ligne des 1000 parties

égales, & portant cet intervalle fur Y échelle des
logarithmes, des tangentes, on aura Ie point de 3 c
degrés. La diminution qu’on fait à la caractéristique
des logarithmes de sinus & de tangentes, & la division
par moitié, sont absolument indifférentes, car
le changement étant absolument Ie même fur toutes
ces quantités, c’est comme si l’on réduisoit les sinus,
& les tangentes à de moindres, nombres, les différences
n’en sont pas moins égales pour les quantités
proportionnelles.
Usage. Lorsqu’on se sert des logarithmes pouu
faire une proportion, on met précisément la même
différence entre les logarithmes des deux derniers
termes qu’entre les logarithmes des deux presiiers.
II faut faire la même chose avec Yéchelle de Gunter,
& Fopération est facile. On ouvre un compas ordinaire
depuis le premier terme, jusqu’au second pris
{ur~Yéchelle , on porte ensuite cette même ouverture
de compas fur Je troisième terme de la propprtion,
& l’autre pointe du compas marque le
quatrième. II faut seulement faire en sorte ,■ dans
Fusage de l’échelle des tangentes, que les tangentes
dont on se sert appartiennent à des. angles moindres
que 45 degrés.

On peut disposer Yéchelle des logarithmes, pour
n’avoir pas besoin de compas ; .cette façon est encore
plus courte. On trace l’échelle des nombres fur.
une règle que l’on fait glisser dans une coulisse j
le long de laquelle sont gravées ses échelles des
logarithmes des nombres, ou celles des logarithmes
.de sinus & des tangentes.. M. Sauveur en avoit fait
exécuter plusieurspar Gevin & le Bas. On retire simplement
, ou l’on avance la règle des nombres qui
est celle du milieu ; s’il s’agit de pointer une route
de navigation, on fait répondre les lieues de distances
au sinus total, & on trouve les lieues, est
& ouest, vis-à-vis de l’angle du rumb de vent pris
fur les sinus, pendant que les lieues de différence
eft latitude, se trouvent vis-à-vis du complément
du rumb de vent. En effet., les deux problêmes
principaux se réduisent à cette propprtipn, le sinus
tptal est au chemin parcpuru, coriime le sinus de
l’angle de la route esl. au nombre de lieues de
Fest à Fouest r dpnc il y a même différence entra
lés lpgarithmes du sinus tptal, & celui du sinus de
l’angle de la route, qu’entre celui du chemin parcouru
& celui du nombre des lieues de Fest à
Fouest. Si donc on a fait correspondre deux de
ces quantités, les deux autres.correspondront nécessairement
, puisque les distances réciproques sorit
les mêmes. Voyez le Traité de navigation de
M. Bouguer, revu & augmenté par Fabbé de la
Caille, ou le Traité de Robertson , en anglois »
Nos marins préfèrent Fusage du quartier de réduc’
tion, avec lequel pn peut faire les mêmes opérations ;
mais il nous paroît qu’on peut aller plus
vîte avec Yéchelle angloisc dont-nous venons de donner
l’explication. .M. se Monnier dans son Abrégé
du pilotage, en 1766, dans son Astronomie nautique,
en 1771, dans ses Elémens de Géométrie t

D d d d ij . :. "

<8o ECH ECH
1772, recommande aussi Fusage de Ia règle de
Cunter , dans plusieurs opérations d’astronomie ,
& elle sert en général dans tous les calculs qui
peuvent se f.iire par logarithmes.Les autres lignes qu’on trace fur la même règle,
font celles logarithmes des nombres carrés ; des
cubes, des sinus verses ; la ligne des sinus sert aufli
pour les sécantes, qui sont en raison inverse des
cosinus. La ligne marquée S. Rumb, contieni les
sinus naturels des .8 Rumbs de vents, ou de H°^,
Ì2°l,Gc.
. La ligne marquée méridian , est l’échelle des latitudes
croissantes, divisée en deux parties, dont
la première partie va jusqu’à 60 degrés, & la seconde
jusqu’à 80, & peut servir à diviser les méridiens
des cartes réduites, 011 cartes de " Wright
de dix en dix minutes de latitude. Les degrés à
l’équateur, pour la même carte, sont marqués à
l’extréniiré de la seconde partie de cette ligne, &
désignés ainsi , Eq 1. Deg. , ceux-ci vont juíqu’à 10
degrés de longitude.Surle revers de Ia même règle, appelle theplane
or Plotting suie■■ , on trouve d’abord une échelle
de 24 pouces anglois, divises chacun en dix par^
ties, suivant Fusage des anglois, & une division du
pied en 100 parties.Le poids des boulets, plusieurs échelles,de^ parties
égales, deux échelles à transversales ; les lignes
des Rumbs, des cordes, des sinus, des tangentes
& dès tangentes de la moitié ; enfin une autre
ligne destinée à faire voir combien valent les degrés
de longitude terrestre , à différentes latitudes.
Par exemple, vis-à-vis de 6o° on voit 30,
ce qui annonce qu’à 6o° de latitude, les degrés de
longitude ne valent plus que 30 minutes de grand
cercle, ou 30 milles marins de 60 au degré.Telles sont les lignes qui se trouvent sur les
échelles de B. Donn , exécutées par B. Martin,
•dont la description a été imprimée en 1772. II y
en a où l’on trouve encore une ligne pour indiquer
la solidité dès Bois de charpente, fous le titre de
 gin line. (D. L.) ÉCHELLE des marées. Voyez FLUX & REPLUX.ÉCHIDNA, (Astr.) Voyei HYDRE.ÉCHIQUIER,. ( Jeu )  c’est ainsi qu’on appelle se
damier,, lorsqu’il est occupé par un jeu d échecs.
•Voyez ÉCHECS & DAMIER. ^ ■ÉCHO , f. m. ( Mech.)  : son réfléchi ou renvoyé
par un corps solide, & qui, par-là, se répète &
se renouvelle à Foreille. Voyez SON & RÉFLEXION.
Ce mot vient du grec % »!, son.Le son est répété par la réflexion dès parrrcules
de Fair mises en vibration (voyez SON )  ; mais ce
n’est pas assez de la simple réflexion de Fàir sonore
pour produire Y écho ; car, cela suppose, il s’ensuivroir
que tonte surface d’un corps solide & dur,
seroit propre à redoubler la voix ou le son , parce
quelle seroit propre à se réfléchir) ce que l’expériencedément. II paroît donc qu’il faut, pour prtfc
duire Ie son , une espèce de voûte qui_ puisse lë
rassembler, le grossir, & ensuite le réfléchir , à-peuprès
comme il arrive aux rayons de lumière rassemblés
dans un miroir concave. Voyez MíRoiRrLorsqu’un son viendra frapper une muraille derrière
laquellescra quelque voûte, quelque arche, &cí
ce,même son sera renvoyé dans la même ligne „ ou.
dans d’autres lignes adjacentes.Cela pose, pour qu’on puisse entendre un écho y
il faut que Foreille soit dans la ligne de réflexion ;
& pour que la personne qui a fait le bruit puisse
entendre elle-même son propre son , il’ faut encore
que cette même ligne soit perpendiculaire à la sur-face
 qui réfléchit ; & pour former un écho riiultiple
ou tautologique,, c’est-à-dire qui répète plufiëurs
fois le même mot, il faut plusieurs voûtes,
ou murs, ou cavités placées , ou derrière l’une
l’autre, ou vis-à-vis l’une- de l’autre.Quelques auteurs ont observé avec beaucoup
d’attention plusieurs phénomènes de Y écho ; nous
allons rapporter historiquement, & fans prétendre
absolument ses adopter, leurs réflexions fur ce
sujet. Ils remarquent que tout son qui tombe directement
ou obliquement fur un corps,dense dbritla
surface est polie, soit qu’elle soir plane oucourbe,
se réfléchit, ou forme urr écho plus ou moins fort -j
mais pour cela il faut, diseht-ils, que la surface"
soit polie »:: sans quoi la réverbération de cette surface
dëtruiroit le mouvement régulier de l’àir ,-•&■'
par-là romproit & éteindroh le son. Lorsque toutes
les circonstances que nous venons de décrire fè réunissent,
il y a toujours un écho, quoiqu’on, ne
l’entende pas toujours, soit que se son direct soit
trop foible pour revenir jusqu’à celui qui l’a formé,, ou
 qu’il lui revienne fi foible qu’il ne puisse le
discerner ; íoit que le corps réfléchissant soit à trop
peu de distanee5i pour qu’on puisse distinguer íe:
son direct d’avec le son réfléchi , oU que. la personne
qui fait le bruit se trouve mal placée pour
recevoir lë son réfléchi.Si l’obslacie ou se corps réfléchissant est éloigné
de celui qui parle, de 90 toises,, le temps qui íe
passe entre le premier son & le son réfléchi, est:
d’une seconde, parce que lefon fait environ 180
-toises par seconde ; de forte que Y écho répétera:
toutes les paroles ou les fy-llables quì- auront éié:
prononcées dans lë temps d’une seconde : ainsi ,,
lorsque celui qui parle aura cessé de parler, Fecao
paroîtra répéter toutes lss paroles quon áura prononcées.
Si l’òbstacle se trouve trop proche, l’e'cfo'
ne rendra qu’une syllabe.Notre amène fauroit distinguer, à Fàide-de l’organe
de Fouie, dès sons qui se succèdent ses uns '
aux autres avec une grande célérité ; il faut, pour .
qu’on puisse les entendre, qu’il y àit quelque intervalle
entre les deux sons. Lorsque d’habiles
joueurs 
puisse entendre distinctement j par conséquent,, o »
de' violon jouent très-vîre, ils rie peuvent
jouer dans une, seconde que dix tons que l’amEch v r m r<?rlie fauroit disliriguer Y écho ", lorsque le son réfléchi
succède au son direct, avec plus de vitesse qu’un
. ton n’est suivi d’un autre dáns le pre$issimo. On
vòit aussi pourquoi les grandes Chambres & les
caves voûtées résonnent fi fort lorsqu’on parle ,
sans former cependant dYcáo. Cela vient de la tropr
grande.proximité des murailles , qui empêche de
distinguer les sons réfléchis.Tout ce qui réfléchit le son, peut être la cause
d’un écho ; c’est pour cela que les murailles , les
vieux remparts de ville, les bois épais, les mai- .
sons, les montagnes, les rochers, les hauteurs élevées
de l’autre côté d’une rivière, peuvent produire
des échos. 11 en est de même des rocs remplis
de cavernes, des. nuées, & des champs où il croît
Certaines plantes qui montent fort faut ; car ils
forment des échos .- delà viennent ces coups terribles
du tonnerre qui gronde, &• dont les échos
répétés retentissent dans ì'air.Les échos se produisent avec différentes circonstances
 ; car,i.° Les obstacles plans réfléchissent le sori dans
, fa force primitive avec la feule diminution que
doit produire la dislance.z,° Un obstacle convexe réfléchit le son avec un
peu moins de force & de promptitude qu’un obstacle
plan.3." Un obstacle concave renvoie en général unson plus fort ; car il en est à-peu-près du son commede la lumière. Les miroirs plans rendent Fobjettel qu’il est, les convexes le diminuent, les con.caves le grossissent. .4. 0 Si -on recule davantage le corps qui renvoie
lYcao , il réfléchira plus de sons que s’il étoit plus
voisin. , •" '5. 0 Enfin on peut disposer ses corps qui font
xcho , de façon qu’un seul fasse entendre plusieurs' échos qui différent, tant par rapport au degré du
Ion, que par rapport à l’intensité ou à la force du
son : il ne faudroit pour cela que faire rendre les
échos par des corps capables de faire entendre ,
par' exemple, la tierce, l’a quinte & l’octave d’une
note qu’on auroit jouée fur un instrument. -Telle est la théorie générale donnée par les auteurs
de Physique fur les échos- ; mais il faut avouer
.que toute cette théprie est encore vague, & qu’il
restera toujours à expliquer pourquoi des lieux
qui, suivant ces règles, paroîtroient devoir faire
■écho, n’en font point ; pourquoi d’autres en font,
qui paroîtroient n’en" devoir point faire.,. &c. Il
semble aussi que le poli de la surface réfléchis- ■'
santé, n’est pas auffi nécessaire à Yécho ,_ qu’à la !. réflexion des rayons de lumière : du moins 1 expérience
nous montre des échos dans des lieux
pleins de rochers & de corps très-bruts & très.remplis d’inégalités. II semble enfin que souvent
des surfaces en apparence très-polies, ne produisent
point d’écho ; car quand elles réstéchiroient le son ,
il n’y a de véritabse Mo que celui qu’on entend,La comparaison des loix de la réflexion, du son
avec celles de la lumière, peut être vraie jusqu’à
un certain point ; mais elle ne l’est pas fans restriction
, parce que le son se propage en tout sens ,
& Ia lumière en ligne droite feulement.Echo íe dit aussi du lieu où la répétition du son
esl produite & se sait entendre.On distingue les échos pris en ce sens, eri plusieurs
espèces.■i." En simples, qui ne répètent la voix qu’une
fois, & entre ceux-là, il y, en a qui sont toniques,
c’esl-à-dire qui ne se font entendre que lorsque le
son est parvenu à eux dans un certain degré de ton
musical ; d’autres fyllabiques, qui font entendre
plusieurs fyllabespu mots’. De cette dernière espèce
esl se parc de Woodslrok en Angleterre, qui, suivant
que l’assure le docteur Plott, répète distinctement
dix-sept syllabes se jour , & vingt la
nuit. ■•-'.": . * . :2. 0 En multiples, qui répètent ses mêmes syllabes
, plusieurs fois différentes.Dans la théorie des échos, on nomme le lieu où
 ;se tient celui qui parle, centre-phonique ; & Fobjet
ou l’endroit qui renvoie Ia voix, centre-phonocamp'
tique , c’est-à-dire, centre qui refléchit le son.II y avoit,-dit-on, au sépulcre de Metella ,
femme de Crassus, un écho qui répétoit cinq fois
ce qu’on lui difoit. On parle d’une tour de Cyzique,
où Yécho se répétoit sept sois. Un dés plus beaux
dont- on ait fait mention jusqu’ici, est celui dont
parle Barthius dans ses notes fur la Thébaïde-de
Stace, liv. VI, v. 30 , & qui répétoit-jusqu’à dixsept
fois les paroles que l’on prononçoir : il étoit
fur le bord du'Rhin, proche Çoblents : Barthius
assure qu’il en a fait l’épreuve , & compté dixsept
répétitions ; & au lieu que les échos ordinaires
ne répètent la voix que quelque tems après
qu’on a entendu celui qui chante ou qui parle ;
dans celui-là, on n’entendoit presque point celui
qui chantoit, mais la répétition qui se raisoit de íà
voix, & toujours avec des variations surprenantes :
Yécho scmbloit tantôt s’approcher, & tantôt s’éloigner
: quelquefois on entendoit ía voix très-diftinctemenr,
& d’autres fois On ne l’entendoit presque
plus : l’un n’entendoit qu’une seule voix & l’autre
plusieurs : l’un entendoit Yécho à droite, & l’autre
à gauche. Des murs parallèles & élevés, produisent
auffi des échos redoublés, comme il y en a ea autrefois
dans le château Simonetta ,, dont Kircher ,
Schott & iVíisson ont donné la description. II y
avoit dans un de ces murs une fenêtre d’où on
entendoit répéter quarante fois ce qu’on difoit.
Adisson & d’autres personnes qui ont voyage eri
Italie, font mention d’un écho qui s’y trouve , &
qui est encore.bien plus extraordinaire, puisqu’il,
répète cinquante - six fois se bruit d’un coup de
pistolet, lors même que Fair est chargé de brouillards.
Nous rapportons tous ces faits, fans prétendre
ses garantir. ■ 'Dans les mémoires de ì'académie des Sciences
<8z ECH ECH
de Paris, pour Fannée 1692, il est fait mention
d’un écho (*) qui a cela de particulier, que Ia
personne qui chante n’entend point Ia répétition de
Yécho , mais seulement fa voix ; au "contraire ceux
qui écoutent n’entendent que la répétition de Yécho ,
tnais avec des" variations surprenantes ; car 1 écho
semble tantôt s’approcher , & tantôt s’éloigner :
•quelquefois on entend la voix très - distinctement,
& d’autres fois on ne l’entend presque plus : l’un
n’entend qu’une seule voix, & l’autre plusieurs ;
l’un entend l’écho à droite , & l’autre à gauche :
enfin, selon les différéns endroits où font placés
ceux qui écoutent & celui qui chante, l’on entend
l’écho d’une manière différente.La plupart de ceux qui ont entendu cet écho ,
s’imaginent qu’il y a des voûtes ou des cavités souterraines
qui causent ces différéns effets ; mais la
véritable cause de tous ces effets, est la figure du
lieu où cet écho se fait. 'Cest une grande cour située au devant d’une
maison de plaisance, appellée Genetay , à six ou
sept cents pas de Fabbaye de saint Geprge auprès
de Rouen. Cette cour est un peu plus ìengue que
large, terminée dans le fond par la face du corpsdcT-logis,
& de tous les autres côtés environnée de
murs en forme de demi-cercle, comme l’on verra,
(pi. mec. fig. 73). Cette figure ne représente qu’uneÍiartie de la cour, se reste ne servant de rien au
ùjet dont il s’agit.CIIC est se demi-cercle de la cour , dont H
est l’enttée : A D B est l’endroit où se placent
ceux qui écoutent : celui qui chante se met à l’endroit
marqué G ; & ayant le visage tourné vers
l’entrée H, il parcourt en chantant l’espace G Fy
qui est de 20 à 22 pies de longueur.Sans avoir recours à des cavités souterraines ;
la seule figure demi-circulaire de cette cour suffit
pour rendre raisori de toutes les variations que l’on
remarque dans cet écho.r.° Lorsque celui qui. chante est à l’endroit mar« 
que G, fa voix est réfléchie par les murs C de la
cour au dessus de D, vers^ L ; & les lignes de
réflexion se réunissant en cet endroit I, l’écho se
doit entendre de même que si çelui qui chante y
étoit placé. Mais comme ces lignes ne se réunissent
pas précisément en un même point, ceux qui sont
placés en L-, doivent entendre plusieurs voix ,
comme si diverses personnes chantoient ensemble.i," A mesure que celui qui chante s’avance
versE, les lignes dé réflexion venant de plus en
plus à se réunir près de P, ceux qui font placés
en D doivent entendre l’e'cao, comme s’il’approchoit
d’eux ; mais quand celui qui chante est parvenu
en E, alors la réunion des lignés venant à
se faire en D , ils ^entendent l’e'cao comme si l’on
chantoit à leurs oreilles.z.° Quand Celui qui chante continue d’avancër
de E ën*F, Yécho semble s’éloigner, parce que Ia
réunion des lignes se fait de plus en plus au des-sous
 de D.4.° Enfin, lorsqu’il est arrivé en F, ceux qui
sont placés en D n’entendent plus Fe'cÁo , parce
que 1 endroit H, d’où la réflexion se devroit faire
-vers D, est ouvert,- & que par conséquent il rie
se fait point de réflexion vers D ; c’est pourquoi
Yécho ne s’y doit point entendre : mais comme il
y a d’autres -endroits d’où quelques lignes réfléchies
se réunissent en A & en B , deux personnes
placées en cês deux endroits, doivent entendre
Yécho l’une cpmmê íi l’on chantoit à gauche ;, &
l’autre comme si l’on chantoit à droite. Ils ne le
: peuvent néanmoins entendre que foiblemënt, parce
qu’il y a peu de lignes qui se réunissent en cès
deux endroits.5.° Ceux qùi sont placés en D doivent entendre
Yécho, lorsque celui qiú chante est en E , parce
que la veix esl réfléchie vers eux ; mais ils ne
doivent entendre que foiblemënt la VPÌX même de
çelui qui chante , parce que l’oppòfition de soncorps
empêche que fa voix rie soit portée directement
vers eux ; ainsi, íà voix ne venant k eux
qu’après avoir tourné à Fentour de son corps, est
beaucoup moins forte en cet endroit que lVcío,
qui par conséquent i'étousse., & empêche qu’elle
ne soit entendue. C’est à-peu-près de même que 1 st
'ua flajnbeau est plaeé-entre-un miroir concave:#(*) XJéçho dont ìl est-fait mention dans lèí Mémoires de
VÂcad. royale des Sciences de i69i) ístl’ceAo-de Genetay,
i deux lieues de Rouen. Le père dom Çmesnet, bénédictin,
qui en avoit envoyé la description à l’Académie,
a prétendu que le secret aire n’avoit pas pris entièrement
fa pensée., & qu’il a même inséré, dans son extrait,
quelque chose de contraire à Inexpérience, Voici ce qu’on
lit au sujet de cet écho dans les Mélanges de Vigneul- '
Marville : a M. de Wgny., président des finances de
 » Rouen j avoit apporté d’Italie cette invention, qui fait
 » encore aujourd’hui un des plus: grands orneméns’ de fa
î> belle maison-de Genetaj’, Ayant possédé cette maison
 » depuis fa jeunesse jusqu’à l’âge de. quatre-vingts, ans
 » qu’il est mort, & ayant été sollicité mille fois dédire
 »la véritable cause de ce merveilleux écho, il n’en a
i> jamais dit un seul mot à personne. »" Cet écho subsiste
encore, mais il est fort dfchu de ce qu’il étoit autrefois
, parce qu’on a planté aux environs des arbres quj
nuisent beaucoup à l’effet. ( O ) U y a un écho remarquable près dé Rofncath, belle
maison de campagne en Ecosse, à l’ouest d’un lac d’eau
salée qui se perd dans la rivière de Clyde, à t7 pilles audessous
de Glascow : ce lac est.environné de collines,
dont quelques-unes font des rochers arides ; les autres
font couvertes de bois. Un trompette habile, placé fur
une pointe de terre que l’eau laine à découvert, tourrié
au noíd, a sonné un air 8c s’est arrêté : aussi-tôt un écho
a repris l’air, qu’il a répété distinctement & fidèlement,
mais d’un ton plus bas que la trompette : cet écho ayant
cessé, un autre, d’un ton plus bas, a répété íe même air
avec Ia même exactitude : le second a été suivi d’un
r-roiíieme , qui a été aufli fidèle que les deux autres, â
1 exception d’un ton plus bas encore, 8e l’on n’a plus
rien entendu ;.on a répété plusieurs fois la même expérience,
qui a toujours été .également heureuse, Qbjirv,
f, a Lfuirçs ; n. 3. 1770. [ C]" ; e c t ec l ïsí.
uti corps opaque ; car ceux- qui sont derrière cè 1,
corps opaque, voient par réflexion la lumière du
flambeau, mâis ils ne voient pas directement le

" flambeau, parce que se corps opaque le cache.
6." Au contraire, celui qui chante étant placé
vis-à-vis de Fentrée H, & ayant’le visage tourné
de ce côté-là , ne doit point entendre Fe'cAo , parce
que l’endroit H étant ouvert, il ne se trouve rien
qui réfléchisse la voix vers E ; mais il doit entendre
fa voix même, parce qu’il n’y a rien qui
l’en empêche.

\ Nous avons tiré des méitioires cités, cette description
& cette explication , dont nous laissons le
jugement à nos lecteurs : nous ignorons fi cet
écho subsiste encore. (O) 
'''L’écho dé Verdun ( Hist.de l’acad. des Sciences,
ànn. 17m.) , est formé par deux grostès tours détachées
d’un corps-de-Iogis, & éloignées lune de
l’autre de 26 toises : l’une a un appartement bas
de pierre-de-taille, voûté ; l’autre n á que son ves.

tibule qui le soit : chacune a son escalier. Comme
ce qui appartient -aux échos peut être appelle la
catoptriqùe diison ,( Voyez CATOPTRIQUE ;)  , on
peut regarder cés deux tours’ comme deux miroirs 1
posés vis-à-vis l’un de l’autre, qui se renvoient mutuellement
les rayons d’un même objet, en multipliant
Fimage, quoiqu’en Taffoibissant toujours, &
la font paroître plus éloignée ; ainsi, lorsqu’on est
fur la-ligne qui joint lès deux tours, & qu’on prononce
un mot d’une voix assez élevée  ; on Fentend
répéter douze 011 treize fois par intervalles égaux,
& toujours plus fpiblement ; fi l’on sort de cétte
ligne jusqu’à iine certaine distance , on n’entend
plus d’ecÁo ", par la même raison qu’on ne verroit
pius-4'image, fi l’on s’éloignoit trop de l’espace qui
est entre les deux miroirs : si l’on est fur la ligne
qui joint une des tours au corps-de-logis, on n en■

tend plus, qu’une répétition , parce que les deux
échos-ne jouent plus ensemble à Fégard de celui
qui parle, mâis un seul. (M. le Chevalier DE
SA UCOVX T.) 
E c l
ÉCLIPSE, f.s. (Astron.)  phénomène qui arrive
lorsqu’un astre disparoît, en rout ou en partie,
soit qu’un autre astre nous eh dérobe la vue, comme
dans les éclipses de soleil ou d’étoile , soit qu’il cesse
réellement d’être éclairé comme dans les éclipses
de lune, ou dans celles des satellites de Jupiter.

Ce mot vient du grec ; é^eí »», dcficio , ou ê^en) *,
défaillance, parce que dans les éclipses j le soleil
óu la lune paroissent nous manquer.

Les éclipsés ont été de tous" les tems un spectacle
frappant pour tous les hommes : elles sont aussi pour'
l’astronomie un objet d’utilité relativement aux longitudes
 ; ainsi, nous ne pouvons nousdifpenscr d’entrer
ici dáns des détails, qui font urte^rande partie
des connoifTances astronomiques que l’on a droit de
chercher dans cet ouvrage. .

- Les anciens & les peuples sauvages regardoient
les éclipses comme des objets de superstition ou
de terreur. On en a vu qui croyoient autrefois
qu’en faisant un grand bruit dans une éclipse de
lune, on apportoit du remède aux souffrances de
cette déesse ; ou que ces ccUpses étoient produites
par des enehantëmens.

L’ignorance de la Physique a fait rapporter dans
tous les lieux & dans tousses tems, à des causes
animées, les effets dont ori ne connoissoit pas les
principes ; ainsi, ses poètes imaginèrent en Grèce,
que Diane étoit devenue amoureuse d’Endimion, &
que les éclipses dévoient s’attribuer aux visites nocturnes
que cette déesse rendoit à son amant dans les
montagnes de la Carie_: mais comme ses amours ne
durosent pas toujours, il fallut chërchër, ditl’abbé
Banier, unè autre cause des éclipses.

On publia que lès sorcières, fur-tout celles de
Thessalie, avoient le pouvoir par leurs enchante.
meris d’attirër la lunefur la terre ; c’est pourquoi ori
faifoit un grand vacarme avec des., chauderons &
autres instrumens, pour la faire remonter à fa place.
Parmi les Romains même , on trouve cet usage
bizarre ; ori allumoit un-grand nombre de torches
&de flambeaux, qu’on, élêvoit vers le ciel, pour:
rapp'eller lâ lumière dé Fastre éclipsé. Juvénal fait
allusion au grand’bruit que faifoit à ce sujet le
peuple de Rome sur des vases: d’airain , lorsqu’il
dit d’une femme babillarde , qu’elle fait assez de
bruit pour secourir la lune en travail.

Si l’on vouloit remonter à la source de cette coutume,
on trouveroit qu’elle venoit d’Egypte , où
Isis , ^symbole de la lune, étoit honorée avec un
bruit pareil de vases d’airain, de tymbales, & de
tambours. _

L’ppinión des autfës peuples étoit, que les éclipses
ánhonçoient de grands malheurs, ou menaçoient
la tête des rois & des princes. On a eu long-tems
la même idée des comètes.

Les Mexiquains effrayés jeûnoient pendant les
éclipsés.Les .'femmes, durant cé"tems-là, semaifraiioient
elles-mêmes, & les filles se tiroient du
sang dès bras. Ils s’imaginoient que la lune avoit
été blessée par le soleil,- pour quelque querelle
qu’ils avoient ëue ensemble.

II y a des Indiens qui croyent austi que la caufe
des éclipses vient de ce qu’un dragon malfaisant
vëut dévorer la lune ; c’est pourquoi les uns font
un grand vacarme , pour lui faire lâcher prise ,
pendant que les autres se mettent dans Feau jusqu’au
cou, pour supplier le dragon de ne pas dévorer
entièrement cette planète. On peut voir aussi dans ,
les mémoires du P. le Comte, les idées particulières
de la populace chinoise.

- Ànaxagore contemporain de Périclès j & qui
mourutla première année de la soixante-huitième
olympiade, fut le. premier qui écrivit très-claire_

ment & très-hardiment fur les diverses phases de

la lune, & fur ses éclipses ;. jc dis, comme Plutarque j

-, très-hardiment} parce que le peuple ne souffroit pas
cs< e c r ; e c l ; --rencore volontiers les Physiciens. Auffi ses ennemis
de Socrate réussirent à le perdre ,_en Faccusant
de chercher, par une curiosité criminelle, à
pénétrer ce qui se passe dans les cieux, comme si
la raison & le génie pouvoient s’élever trop haut.
On n’a depuis que trop souvent renouvelle, par le
même artifice , des accusations semblables contre
des hommes du premier mérite.Les généraux romains se font servis quelquefois
des éclipses pour contenir leurs soldats, ou pour les
encourager dans des occasions importantes. Tacite
dans ses annales, liv. I, ch. xxviij. parle d’une
écUpse dont-Drufus se servit pour appaiscr une sédition
très-violente, qui s’étoit élevée dans son
armée. Tite-Live rapporte que Sulpitius Gallus ,
lieutenant de Paul Emile , dans la guerre contre
Perfée, prédit aux soldats une éclipse qui arriva le
lendemain, & prévint par ce moyen la frayeur
qu’elle auroit causée. Plutarque dit que Paul Emile
sacrifia à cette occasion onze veaux à la lune, & le
lendemain vingt-un boeufs à Hercule, dont il n’y
eut que le dernier qui lui promit la victoire , à
condition qu’il n’attaqueroit point. Plutarque raconte
aussi que Nicias , général des Athéniens ,
avoit résolu de quitter la Sicile avec son armée ,
une éclipse de lune dont il fut frappé, lui fit perdre
le moment favorable, & fut cause de la mort du
général & de la ruine de son armée ; perte si sonesle
aux Athéniens qu’elle fut Fépoque de la décadence
de leur patrie. Alexandre même, avant Ia
bataille d’Arbelle, fut obligé de rassurer son armée
effrayée d’une éclipse de lune ;'il ordonna des sacrifices
au soleil, à la lune 6k à la terré, comme
aux divinités qûi causoient ces éclipses.Cest ainsi que l’ignorance de Ia cause des éclipses
en a fait long-tems un objet de terreur pour la crédulité
populaire. On voit au contraire des généraux
à qui leúrs çpnnoissances en astronomie ne furent
pas inutiles ; Periclès çonduisoit la flotte des Athéniens
 ; ii arriva une éclipse de soleil qui causa une
épouvante générale ; le'"pilpre même trembloit :
Periclès le rassure par une comparaison familière :
il prend le bout de son manteau, & lui en couvrant
les yeux, il lui dit ; ce crpisTtu que ce que je ■
 »J fais là soit un signe cse malheur ? Non, sans doute,
t> dit cé pilote : cependant, c’est aussi une éclipsé
 »jpour toi, & else ne diffère de celle que^tu as
 »J vue, qu’en ce que la lune étant plus grande que
. »> mon manteau , elle cache, le soleil à un plus
 »jgrand nombre de personnes, JJ (PZUTARQUE.) 
t Agatoçlès, roi de Syracuse , dans une guerre
d’Afrique, voit aussi dans un jour décisif, la terreur
se répandre dans son armée, à la vue d’une
éclipse ; il se présente à ses soldats, il leur en explique
les causes, & il dissipe leurs craintes. On
raconte un trait de cette espèce à l’pccafidn de
Dion,-' roi de Sicile.Nous lisons un fait également honorable à l’aslronomie,
dans l Epître que Roias adresse à Charlesfirtint.,
en lui dédiant ses Commentaires fur le planisphère.Christophe Colomb, en commandant 1 armée
que Ferdinand, roi d’Espagne, avoit envoyée à la
Jamaïque, dans les premiers tems de la découverte de
cette île, se trouva dans une disettede vivres fi gêné-.
raie, qu’il ne lui restoit aucune espérancede sauver
son armée, & qu’il allòit être à la discrétion des
sauvages : l’approche d’une éclipse de lune^ fournit
à cet habile homme un moyen de sortir d’embarras
: il fit dire aux chefs des Sauvages, que si dans
. quelques heures on ne lui envoyoit pas toutes les
chpses qu’il demandpir, il alloit les livrer aux derniers
malheurs, & qu’il oemmenceroit par priver
 ! la lune de fa lumière. Les sauvages méprisèrent
j d’abord ses menaces ; mais auffi-tôt que se tems de
Y éclipse étant arrivé , ils virent que la lune cominençoit
en effet à disparaître, ils furent frappés de
terreur ; ils apportèrent tout ce qu’ils avoient aux
pieds du général, & vinrent eux-mêmes demander,
grâce.Aujourd’hui, non-seulement les Philosophes ,
mais le peuple même est instruit de la cause des
éclipses ; on fait que les éclipses de lune viennent
de ce que cette planète entre dans Fombre de la
terre, & ne peut être éclairée par le soleil durant le
tems qu elle la traverse, & que les éclipses de soleil
viennent de Finterposition de la lune, qui cache
aux habitans de la terre Une partie du soleil, ou
même le soleil entier.S’il y a quelque chose dans F Astronomie qui
puisse nous faire connoître les efforts dont l’efprit
humain est capable, lorsqu’il s’agit de recherches
qui demandent une grande sagacité, c’est assurément
la théorie des écUpses & la justesse avec laquelle
on esl parvenu depuis long-tems à les calculer
& à les prédire ; cette justesse sert. à nous,
convaincre de la certitude & de la précision des.
calculs astronomiques ; & ceux qui s’étonnent qu’on,
puisse mesurer les mouvèmens & les distances des.
corps célestes, malgré Féloignement où ils sont ,
n’ont rien à répondre à Faccord si parfait qui se,
trouve entre le calcul des éclipses & le moment où
elles arrivent.Après avoir parlé des faits qui prouvent l’itnportance
de la 'théorie des éclipses , nous allons ■
parler de la cause "de ces phénomènes, de la ma- '
nière de les calculer, & enfin de leur usage.Çause-des éclipses^ L’orbite que la lune _ décrit
en un mois tout áutonr du ciel, coupe Fécliptique
en deux points diamétralement opposés , quon
appelle le ? nçeuds. Si, dans le tems que la lune,
passe dans un de ces noeuds, le soleil se trouve au
même point de Fécliptique, la lune qui esl plus
près de la terre npus cachera le soleil. Si Ia luna
passe dans le noeud pppofé , la terre se trouvera
entre se soleil & la lune ; la terre étanf beauepup ■
plus grosse que la lune, interceptera par son ombre
toute la. lumière que la lune recevoit du soleil,
& nous cesserons de Fappercevoir.On demandera peut-être pourquoi on n’observe
point iYéclipses dans toutes les planètes : pourquoi,par exemple j
ECL V C T. çRc
"paf exemple, la terre, lorsqu’elle passe entre mars
, & le soleil, n’obscurcit pas quelquefois-le disque
de mars. A cela pn répond que la terre étant un
. corps beaucoup plus petit que le soleil,-son ombre
 ! ne doit point s’étendre àl’insini, mais doit se terminer
en pointe à une certaine distance en forme
de cône. 11 n y a que la lune qui soit assez proche
de la terre pour pouvojr entrer dans son ombre
, & la couvrir de la íìeiínè ; il en est de même des
satellites de Jupiter qui sont éclipsés par leur
planète*
_' Les anciens n’étoient guère en état de prédire les
éclipses avant le tems d’Hipparque, cent vingt ans
avant Jefus-Christ. Hérodote raconte, à la vérité,
que Thaïes avoit prédit aux Ioniens une éclipse de
soleil que l’on rapporte à Fannée 585 , ou 6oz ,
ou 6zì avant Jesus-Christ, le fait est douteux -,
mais en tout cas, ce ne poUrroit être que paf le
moyen de la période de 18 ans & 11 jours, qui
ramène les éclipses du moins à-peu-près , & qui
pouvoit êtreconnue dès ce tems là.Mais Ptolemée, dans le sixième livre de son
Almageste, composé vers Fan 147 de Jefus-Christ,
donna des règles pour le calcuì des éclipses, & ce
sont les plus anciennes dont nous ayons connoifsance.
Ces méthodes ont 'été perfectionnées par
Kepler, & dans ce siècle-ci par divers Astronomes,
pour réunir Fexactitude & la facilité.Lorsqu’on veut calculer les éclipses d’une année
quelconque, il est nécessaire d’avoir le tems des
nouvelles & des pleines lunes de cette année, pour
choisir celles qui arrivetìt aux environs des noeuds ;
ee qui s’exécute,facilement par le moyên des
EpACTES astronomiques, qui donnent, par une
simple addition, le tems moyen d’une conjonction
pu d’une opposition moyenne pour une année &
•on ' mois donnés. . ■Quoiqu’on ne connoisse encore que le tems
moyen d’une conjonction moyenne pu d’une opposition
moyenne, pair la méthode des épactes, on
peut savoir à-peu-près, s’il doit y avoir une éclipse
de soleil ou de lune ; on prendra dans les Tables
astronomiques > la longitude moyenne du soleil &
celle du. noeud de lâ lune, pour lë tems moyen
trouvé ; ón retranchera le lieu d’un des noeuds ,
de la longitude moyenne du soleil, & l’on aura
Ia distance moyenne du soleil au noeud de la
lune.Lorsque le soleil est éloigné de plus de iod 44'
d’un des noeuds de la lune, il ne fauroit y avoir
 ; éclipse, de soleil en aucun lieu de la terre ; fi cette
distance est moindre que iz^ 33', il est sûr qu’il
- y aura une éclipse de soleil en quelque lieu de
la terre ; ï'incertitude roule entre ces deux termes,
c’esl-à-dire, que .si la distance -moyenne du soleil
,au noeud le plus voisin, dans lë tans de Ia con-,
jonction moyenne, ésl entre j3 \& io 11 -, if faudra ,
'■■ faire un calcul plus exact que celui dórit je viens
de parler, pour être sûr s’il y aura éclipse.II ne peut,y avoir éclipse de lune , fi dans Ie^/sathématiqy.es, Tome11IL’ Partie,tems de Ja conjonction moyenne, il y a plus de'
13' 1 21' de dislance entre lë soleil"'& le noeud de
la lune ; mais ori est sûr qu’il y en àùraune, si la
dislance est moindre que7d 47' ; entre ces limites,
l’on fera obligé de recourir à un autre calcul ; mais
•il est toujours très- commode d’avoir promptement
l’exclufion de presque toutes les syzygies qui ne
fauroient être écliptiques, & de n’avoir à en calculer
rigoureusement qu’un très - petit nombre  ;
pour connoître toutes les éclipses qui doivent arriver
dans une année ou dans un siècle.Lorsqu’on á trouvé qu’il doit y avoir éclipse dans
une nouvelle lune ou une pleine lune, & qu’on
veut en calculer les circonstances , il faut commencer
par trouver Fheure & là minute de la conjonction
ou dé Fopposition vraie en longitude 1,
avec la latitude de la lune pour ce tems-là ; c’est
un préliminaire général daris’ le calcul de toutes
les -éclipses.Pour avoir la conjonction , on calcule d’abord Ie
lieu du soleil & celui de la lune, par les Tables
astronomiques, pour deux instans différéns , & Fon
a, par ce moyen, Ie mouvement horaire de la
lune & celui du soleil, avec la différence de leurs
longitudes pour un instant connu : on peut aussi se
servir des Tables du mouvement horaire qui sont àí
la fuite des Tables de la lune. Je suppose qu’on
ait trouvé, pour le premier avril 1764 à 8h 32.'
du matin , que le lieu de la lune étoit moins avancé
que celui du soleil de 54', & que Ie mouvement
horaire de la luné en longitude , moins celui du
soleil, étoit de 27', il est évident que puisque Ia
lune se rapproche du soleil de 27' par heure , elle
atteindra le soleil deux heures après ; car 27' font
à une heure, comme 54' sont à deux heures. Ainsi ,
la conjonction vraie arrivera à 10'' 32'.Lorsqu’on connoît se tems de la conjonction, pn
cherche dans ses Tables , pour le même instant,
la latitude de Ia lune , fa parallaxe, son diamètre,
& le diamètre du soleil ; il faut ausli connoître se
mouvement horaire de la lune en latitude,. & pour
cet effet, òn calcule la latitude de.la,luné pour
deux instans différéns. ^ .Quand on a Fheure de la conjonction & se mouvement
horaire de la lune, il faut trouver Finclinaisonde
son orbite par rapport à Fécliptique ; d’abord
l’inclinaison de Forbite vraie, ensuite,celle de Forbite
relative, de la manière suivante.Pour calculer une conjonction de deux planètes,'
ou d’une. plartète à une étoile, c’esl-à-dire , une
appulse, ou même une éclipse-, on n’a besoin que
dé connoître la quantité dont un astre se rapproche
de l’autre, c’est-à-dire, le mouvement relatif, our
l’excès d’un des mouvèmens fur l’autre, On peut
donc ne faire aucune attention au mouvement d’une
des deux planètes, pourvu qu’on donne 3 l’autre
la différence des deux mouvèmens, c’est-à-dire,
qu’en faisant mouvoir seulement l’une des deux ,
on-lui 'fasse changer de longitude & de latitude par
rapport à l’autre, autant qu elle en change-réelle- ;' . Eeee\Î6 e c l e c tment par la combinaison des deux mouvèmens pris
ensemble. II en est de même des mouvèmens en
latitude : l’orbite relative est donc celle que l’on
peut supposer à la place de l’orbite réelle, & dans
laquelle pourra se mouvoir une des deux planètes,
fans que ses dislances réelles par rapport à l’autre,
paroissent être changées ; il suffit pour cela de conserver
la même distèrence des longitudes &-des latitudes
: ainsi , pour jrouver Finclinaison de l’orbite
relative, & le mouvement horaire relatif, on fera
ces deux proportions :la différence des deux mouvèmens horaires en longitude
, est à la différence des mouvèmens en latitude
, comme le rayon est à la tangente de Finclinaison
relative. Ensuite, le co-sinus de l’inclinaison
relative est au*rayon , comme la différence des mouvèmens
horaires en longitude , estau mouvement horaire
fur l’orbite relative.On suppose dans ces deux proportions, que ses
planètes vont du même sens, tant en longitude
qu’en latitude : mais si l’une étoit directe & l’autre
rétrograde, il faudroit prendre la somme des mouvèmens
en longitude , au lieu de leur différence ;
de même si l’une alloit au midi & l’autre au nord,
par leur mouvement en latitude, on preridrpit la
somme de ces mouvèmens.Dans les éclipses de soleil ou d’étoiles, que I onne
veut calculer que par une opération graphique, on
n’a besoin de savoir cru'à cinq minutes près, l’inclinaison
de l’orbite lunaire ; "on peut alors supposer
toujours que l’inclinaison est de 5d 40' , pour
 les éclipses de soleil, & ^d 5/ pour les éclipses
d’étoiles ; mais si l’on veut calculer l’éclipse rigoureusement
, ou s’il s’agit d’une éclipse d’étoile par
la lune qui ait été observée, il faut toujours faire
la proportion précédente avec les mouvèmens horaires
calculés à la rigueur.Les éclipses de lune sont, comme nous l’avons
dit, l’obícurité produite fur le disque „de la lune
par sombre de la terre. L’éclipse totale est celle où
la lime entière est obscurcie. L’éclipse partiale est
celle où une partie du disque de la lune conserve
sa lumière. L’éclipse centrale est celle qui a lieu
quand supposition arrive dans le point même du
noeud ; la lune traverse alors, par le centre même
le cône d’ombre ; c’est pourquoi l’on appelle centrale
cette sorte à'éclipse.11 y a des années dans lesquelles il n’arrive aucune
éclipse de lune ; telles sont les années 1767
 ?77°5 I774)  le noeud de la lune s’étant trouvé
à io.* 11.". au commencement de janvier ; mais
communément il y en a plusieurs , quelquefois
quatre dans une même année.Si la lune , au moment de son opposition vraie
est assez loin pour que la latitude surpasse 30' '
l’éclipse de lune ne fauroit être totale, & si lalatitudeest
plus grande, que 64,11 ne fauroit y avoir ,
à'éclipse, parce que Fombre de la terre n’occupe j
jamais dans l’orbite de la lune phi s de 47', & le 1' demi-diamètre 17 : ainsi , pour que se bord de Ià"
lune puisse toucher Fombre de la terre, il faut que
la distance de leurs centres, ou la latitude de Ia
lune, ne surpasse pas 64, ce qui suppose environ 1
I2d de distance au noeud.On mesure les mouvèmens de la lune par les
arcs célestes qu’elle paroît décrire ; il est donc nécessaire
de mesurer, de la même manière , Fombre
qu’elle traverse dans les&lipses , c’est-à-dire ; la- __
largeur de ce cône ténébreux, que la terre répand- "
derrière elle , en interceptant la lumière du soleil,
cemme font tous ses corps opaques..Soit A P O Je cône d’ombre que la terre produit,
(pi. d !Astron. fig. 54) , S le centre du soleil,
T le centre de la terre, L celui de la l’une en opposition
 ; SA se demi-diamètre du soleil, vu sous
un angle S TA ; TB le demi-diamètre de !a terre,
L C Ie demi-diamètre de Fombre de la terre dansl’endroit
oùla lune doit la traverser ; cette ligne
L C eû le rayon du cercle qui forme la section
perpendiculaire à Faxe, du cône de Fombre dansla
région de la lune.L’angle CTL, formé au centre de la terre ,.
.& qui a pour.base le côté CL , est ce qu’on appelle
demi-diamètre de Vombre ;. c’est l’angle fouslequel
nous paroît le mouvement de la lune, ou
l’arc de son orbite' qu’elle décrit pendant la demidurée
de YéçRpse centrale , c’est-à-dire-, en tra—
. versant Fombre de C en L, & de L en E, pour ensortir
au point £..Le triangle rectiligne CAT, dont le côté A T’
est prolongé jusqu’en D, ason angle externes TD,.
égal aux denx angles internes opposés pris ensemble,,
c’est-à-dire, aux angles B A T & B C T, dont l’un’
est la parallaxe du soleil, l’autre celle de la lune ;ainsi,
 l’angle C TD est égal à la somme des parallaxes
 ; si l’on en ôte l’angle LTD , il restera.^
l’angle CTL ,. ou le demi-diamètre de Fombre ;,
mais l’angle L TD est égal à Fangle A T S, qui.
mesure le demi-diamètre apparent du soleil ; donc,
il faut ôter de la somme des parallaxes le demidiamètre
apparent du soleil ; se resle sera se demidiamètre
de Fombre ; mais . il faudra encore y
ajouter quelques secondes, pour l’atmofphère de
la terre.Le demi-diamètre de Fombre trouvé par la règle
précédente , peut varier depuis environ 37' 46" jusqu’à
46" 19* ; il esl le plus grand quand la lune
est périgée & le soleil apogée..On connoît assez le diamètre de la terre & la
parallaxe de la lune, pour être sûr de la détermination
du diamètre de Fombre trouvé par la
règle précédente. Cependant, quand on observe les
éclipses, on trouve constamment que Fombre eft
un peu plus grande que suivant cette règle ; ii
est évident que l’atmofphère de la terre en est la
cause. ■ • -La densité de Fair est assez forte & réfléchit assez-'
de rayons pour former des crépuscules, pour causer
la réfraction astronomique , & pour affoiblir procli-E.c l e c u s§7pieusement la lumière du soleil àThotizon : ainsi,
îl n est pas étonnant qu’elle le soit assez pour intercepter
une partie des rayons qui éclairent la lune,
pour former une augmentation autour de Fombre
de la terre, & poúr changer lalongueur & Fintejisilé
ducône d’ombre. C’est une des causes qui
font que Fombre est mal terminée, & qu’on trouve
souvent deux minutes de différence entre le tems
du commencement d’une, même éclipse- de lune,
observée par différéns astronomes. On peut voir
dans les Mémoires de VAcadémie , pour 1777, les
calculs de M. du Séjour, fur Fintensité de lumière
des différentes parties de Fombre.L’augmentation que l’atmofphère produit dans le
demi-diamèn-e de Fombre , esl de 20" suivant
M. Caffini, de 30" suivant M. le Monnier ; mais
M. le Gentil pense qu’elle esl de 40" dans les parties
qui répondent à Féquateur, & de i''4* pour
les parties qui sont formées par la masse d’un air
plus dense autour des pôles de la terre , Mém. acad.
de Paris, 1755,.Enfin, d’autres astronomes, entr'autres M. Mayer,
pensent que la correction de l’atmofphère eft toujours
jz du diamètre de Fombre, ou d’autant de
secondes qu’on a trouvé de minutes par la règle
précédente. Je m’en tiens ordinairement à cette
règle ; elle est suffisante à cause du peu de précision
dont ces observations sont susceptibles. L’éclipse
du 18 mars 1783, observée avec beaucoup de foin,
a donné 3 6" pour une ombre de 42 minutes. -Trouver les.phases d’une éclipse de lune. Lorsqu’on
•connoît Fheure de la pleine lune ou de l’opposition
vraie, la latitude pour ce tems-là, l’inclinaison de
son orbite, & le mouvement horaire relatif, on doit :
dchercher- le tems du milieu de Y éclipse—- Soit O , fig. 56' & S7 , le point de l’écliptique
opposé au soleil, ou le centre de Fombre de la
terre, considérée à la distance de la lune ; O G le
le demi-diamètre de la section de Fombre , E LS
l’orbite relative de lune ; X le lieu de la lune au
moment de l’opposition, O L Ia latitude de la
lune, ou sa distance à l’écliptique KG ; O M la
perpendiculaire abaissée sur l’orbite relative E M S ;
au moment où l’éclipse commence, la lune étant
en E, le bord de la lune touche en P le bord de
sombre ; ainsi, E est se lieu de la lune au commencement*
de l’e'cfig/e  ; de même le point S est le lieu
de la lune à la fin de l’éclipse, ou à la sortie de
l’ombre : les triangles MO E , MO>S, sont égaux,
puisqu’ils ont un côté commun O M, les côtés égaux
OE & OS,.& qu’ils sont rectangles ; ainsi, le
point MIndique le milieu de l’éclipse ; au lieu que
le tems de l’opposition arrive quand la lune est au
point L , qui esl directement oppose au lieu du
soleil dans Fécliptique, & sor la ligne OL, perpendiculaire'
à l’écliptique O G.Dans le triangle L O M, formé par le cercle de
latitude O L 8L par la perpendiculaire O M, l’angle
LOMeû égal à l’inclinaison de'l’orbite relative de
lalune j on a aussi se côté LO, latitude de la lune,en opposition ; on trouvera -la ligne L M ; en faisant
cette proportion ; le rayon est-au sinus de l’inclinaison
, comme la latitude O L eft à l’intervalle L -M.
On le réduira en tems, à raison- du mouvement
horaire de la lune, en disant : le mouvement horaire
relatif est à lh. ou 3600''-. comme l’espace LM
est au tems qu’il y aura entre la conjonâion &le milieu
de l’éclipse. On retranchera cet intervalle de
tems, du moment de l’opposition, fi là latitude.: esl croissante ; on l’ajoutera au tems de l’opposi ;tion , si la latitude est décroissante ," ou qu elle aille
en se rapprochant des noeuds, comme dans la figure ,
& l’on aura le milieu de l’écUpse. ^Les mêmes quantités qui ont servi à trouver Ia
différence L M entre la conjonction & le milieu de
l’éclipse , serviront à trouver la plus courte distancej O M de l’orbite lunaire au centre de Fombre,
en faisant cette proportion : le rayon est a la lai
titude L O , comme le sinus de l’angle L, ou le\ cosinus de l’inclinaison relative , est à-la plus courtedistance
O M.II est aisé de trouver le commentement de
Y éclipse lorsqu’on connoît le milieu, la plus courte
distance des>centres O M, & le côté OE, qui
est la somme du demi-diamètre O P de Fombre ,
& du demi-diamètre P E de la lune ; il ne reste
plus qu’un triangle DEM k résoudre. Quand on
aura trouvé le côté E M du -triangle OEM, on
dira : le mouvement horaire de la lune fur son.orbite
relative, est à i.h, cômme E M est à la demidurée
de YécUpse. - -Dans les éclipses-âe lune qui sont totales, on a
encore deux autres- phases à chercher , qui sont.. Fimmersion & l’émerfion, c’est-à-dire, le moment
où la lune entre totalement dans l’ombre, & celui
où elle commence à sortir. Soit D , fig. 57, le
lieu de la lune, à Finstant où elle est assez avancée
dans l’ombre , pour que son dernier bord N
touche le bord intérieur de l’ombre ; on a un
nouveau triangle O M D , dont Fhypothénufe O D
est égale à la différence entre se demi-diamètre OIT
de l’ombre, & le demi-diamètre D N de la lune ;
on cherche MD, qui donne Ia demi-durée de
l’éclipse totale ; elle se retranche du milieu de
l’éclipse, pour avose Fimmersion qui arrive quand
la lune est en D, & elle s’ajoute pour avoir l’émerfion
qui arrive en V.- Lorsqu’on a la plus courte distance, le demi-diamètre
de l’ombre OA,tk le demi-diamètre de la
lune MB , il est aise de trouver la partie éclipséede
la lune, c’est-à-dire, la quantité A C: câr A As,
fig. ^6, est égale à O A moins O M ; si l’on ajoute
MC, l’on aura AC ; donc AC est égale k O A
4- MC— O M, c’est-à-dire, que ià partie éclipsée
esl égale à la somme du demi-diamètre de la'
lune & de l’ombre, moins la plus courte dislance.Quand
 la luné est entièrement dans l’ombre, cpmme
dans la fig. 57 -, on appelle toujours A C la grandeur
de l’éclipse > tuais elle est alors de plus de douze:
doigts. - • ..Eeeeij
cSS E C L " E C L’
On observe dans la couleur des écUpses de lune
des différences considérables. Lorsque la lune esl
apogée, elle traverse le cône d’ombre plus près
de son sommet : elle paroît alors plus rouge, plus
lumineuse que lorsque les éclipses arrivent dans le
périgée ; car dans le périgée, les rayons rompus par
l’amiosphère, qui se dispersent dans le côned’ombre,
& qui en diminuent l’obscurité , ne parviennent pas
jusqu’au centre de l’ombre ou à Faxe du cône, qui
est trop large dans ce point là , & qui est plus près
de la terre."Voilà pourquoi l’on a vu des éclipses où
la lune disparoiflbit entièrement ; telle fut Y éclipse
du 15 juin 1Ó20, ou celle du 9 de décembre 1601,
dans laquelle on ne dislinguoit pas le bord éclipsé.
Kepler, Aston, pars opt. page 2.57, Epitomepage
Szs. Hévéìius., en parlant de l’éclipse du 25 avril
1642, assure qu’on ne dislinguoit pas, même avec
des lunettes, la place de la lune, quoique le tems
fût assez beau pourvoir les étoiles de la cinquième
grandeur, Hével. Sclenogrophià , page 117, ; mais il
■ est fort rare que la lune disparoisse ainsi totalement
tìans les éclipses : on s’apperçoit presque toujours
que cet astre est éclairé d une lumière très-foible,
à la vérité , mais du moins assez vive pour que la
lune ne dispavoisse pas tout-à-fait, comme il semble
qu’elle le devroit faire dès qu’elle est entièrement
plongée dans l’ombre de Ia terre, & tout-à-fait
privée de la lumière du soleil. Quelques auteurs,
pour expliquer cette apparence, ont prétendu que
cette lumière étoit propre à la lune même, ou bien
que c’étoit la lumière des planètes & des étoiles
fixes qui se trouvoitréfléchie par la lune ; mais il
est inutile de réfuter ces deux opinions ; l’atmofphère
qui brise &.détourne continuellement de leur
direction les rayons du soleil, suffît pour expliquer
cette lumière. La seule inspeòìion de la figure 55
suffit pour faire connoître de quelle manière les
ravons du soleil se répandent en partie dans l’ombre
de la terre, après avoir été rompus en traversant
i'aunosphère terrestre.Cette figure montre aussi Fëffet de Ia pénombre.
AGD est le cône de l’ombre pleine, mais les parties
G E , GL, qui ne font éclairées que par une
portion du disque solaire, sont dans la pénombre ;
les parties comprises entre F8L I,. ne voient point
le centre du soleil ; les rayons rompus, comme
D CH, arrivent jusques dans l’intérieur du cône,
d’ombre TG.La hme prend même successivement différentes
couleurs dans les éclipses ; car l’atmofphère étaìit
inégalement chargée de vapeurs & d’exhalaisons,
les rayons qui la traversent pat-tout, & vont tomber
sur la. lune vers H, sont tantôt plus , tantôt
moins abondans, plus ou moins rompus , plus 011
moins séparés, plus ou moins dirigés par la réfraction
vers Faxe de l’ombre & de la pénombre ; or,
cc-s différences sont autant de sources de différentes
couleurs, & ces couleurs ne. doivent pas être les.
ménies dans tous les points de l’espace M N.
La bmc s’éclipse quelquefois en présence du so|leil, Iprfqué ces deux astres paraissent près de l’hói
j rizon, la lune à son lever,, & le soleil à ion couchen
On a vu de ces éclipses horizontales en divers tems.
On en avoit observé du moins une du tems de Pline ;
On en vit une autre, Ie 17 Juillet 1590, à Tubingue
 ; une troisième à Tarascon , le ç Novembre
1648, une quatrième en File de Gorgone, le 16
Juin 1666. La lune & Ie soleil ne sont ças alors
tous deux en ester fur Fhorizon ; mais la réfraction,
qui'élève ses objets, élevant ces astres plus qu’ils ne
sont élevés ■ effectivement,. les fait paroître tous
deux en même tems fur Fhorizon. D’ailleurs la
lune est souvent éclipsée, sans qu’elle soit exactement
dans, le point opposé au soleil, & dès-Jors,
rien n’empêche qu’on ne les voie l’un& Fautre,LES ECLIPSES de soleil sont produites- par Firiterpoíìtion
de la lune qui,. dans ses conjonctions,
passe quelquefois directement entre nous & le soleil.
La lune nous cache alors le soleil en tout ou en:
partie. Lës éclipses totales sont celles où le soleil
paroît entièrement couvert par là lune, le diamètre
apparent de la lune étant plus grand que celui
du soleil. Les éclipses- annulaires sont celles oìr
la lune paroît toute entière fur se soleil ; le diamètre
du soleil paroissant alors se.plus grand, excède
de tout côté celui de la lune, & forme autour
d’elle un anneau ou une couronne lumineuse ; telle
fut l’éclipse du 25 Juillet 1748 ,.& celle du I Avril’
1764, que l’on vit annulaire à Cadix, à Rennes, à>
Calais, & à Pello en Laponie, ainsi que je l’avois ;
annoncé dans la Connoiffance des mouvèmens célestes
de Ì7G4. Les éclipses centrales sont celles où.la,
lune n’a aucune latitude au moment de la' conjonction
apparente: son centre paroît alors fur le centre:
même du soleil, & l’éclipse est totale, ou annulaire,,
en mtme tems qu’elle est centrale.Les plus anciens auteurs nous ont raconté comme.
des événemens remarquables, les grandes éclipses de:
soleil. II en est parlé dans Isaïe , chapitre 23 ; dans.
Homère & Pindare ;-dans Pline, livre II, chapitre i-z' ;\
dans Denis d’Holicamaffe , livre II,Ce 1 dernier dit’
qu’à la- naissance dé Romulus & à fa mort, il y eus
des éclipses totales de soleil, dans lesquelles la terrefut
dans une obscurité aussi grande qu’au milieu de:
la nuit. Hérodote nous apprend que dans la-sixième
année de la guerre entre les Lydiens & les Mèdes,.
il arriva, pendant la bataille, que le jour sechangea
en une nuit totale. Thaïes, leMiléfieu,, l’avoit
annoncée pour cette année-là ; Pline, livre II, chapitre
z , parle aussi de la prédiction de Thaïes »
On trouve de semblables éclipses-dans les année&43 '  »
190 & 5.0- avant Jefus-Christ ; & 'dans ses années,
après .Jésus - Christ 59 , 100 , 237^ 360, 787 „
840, 878,957, 1133, 1187 ; iiot, I24.i„i4i5„
I4A5 , 1544 5 Jl) 6° , Kepler, Astron.. pars opt^
page zç) 0. Riccioli Almag.., &c. M. de la Caille &.
M. Pingre ont donné un catalogue de toutes ks’
éclipses de soleil & de lune, arrivées depuis Fere:
vulgaire , dans Y Art de vérifier les- dates , seconde
édition j. in-folio x. 1220., M, du Vaucel a prolongé}E c l e c l ^ -589Te calcul júsquà lan 2000, dans la troisième édition,
.eri I7S3. On trouve aussi un Catalogue de
toutes les anciennes éclipses dans ,1e Recueil des
.Tables de Berlin, Tome II, page izi , d’après
Calvisius, Struyck-, Férguson, &c.C’est une chose très-singulière. que le spectacle
d’une éclipse totale du soleil. Clavius , qui fut témoin
de celle du 21 août 1560 à Conimbre, nous
dit que Fobfcurité étoit, pour ainsi dire , plus
grande ,. ou du mpins plus sensible & plus frappante
que celle de la nuit : on ne voyoit pas où
pouvoir mettre le pied , & les oiseaux retomboient
vers la terre, par l’effroi que leur causoit une fi
triste obscurité.II n’y a eu depuis très-long tems a Paris, d’autre
éclipse totale que celle du 22 mai 1724 : Fobfcurité
totale dura 2' i à Jaris.On vit le soleil, mercure,
venus, qui étoient fur le même alignement ; il parut
peu d’étoiles, à cause des nuages. La première petite
partie du soleil qui se découvrit, lança un
éclair subit & très-vif, qui parut dissiper l’obseurité
entière. Le baromètre ne varia point ; le thermomètre
baissa un peu : mais il seroit difficile de
dire si l’éclipse en étoit la cause. L’on vit autour
du soleil une couronne blanche, mais pâle, dont
on avoit parlé dans YHistoire de VAcadémie, pour
1706.. Le roi Louis XV ayant désiré savoir s’il y auroit
à Paris, des éclipses totales dans l’espace de
quelques années, j’engageai M. du Vaucel à se
livrer à cette recherche ; il trouva que de 1769
à .1900, en 132 ans, il y auroit cinquante-neuf
éclipsés de soleil à Paris ; aucune ne sera totale ;
une seule annulaire ; ce sera celle du 9 octobre
J047. Mém. présentés , &c. tome V. ' '-Les éclipses totales sont actuellement des phénomènes
importans pour ses astronomes ; mais jusqu’ici,
on ne les avoit regardés, que comme des
phénomènes curieux , éfonnans, capables d inspirer
la terreur, -c’est ce qui causa, en 1764 , la méprise de
 la Gazette de fiance, du lundi 19 mars, où. l’on :
trouve Farticle suivant , qui avoit ése envoyé par
un Curé de province : « On craint que l’office du ■
"matin, qui doit se célébrer dans les différentes
Jjparoissesle dimanche , premier avril prochain ,
JJ ne soit troublé par la frayeur & la curiosité que"
"5 peut exciter parmi le peuple l’éclipse annulaire ,
JJ du soleil, on a cru qu’il ne seroit pas inutile de
9J rendre public l’avis suivant.55 Les curés, tant des villes que de la campagne,
55 sont invités à commencer , plutôt qu’à Fordi55riaire,
FOffice du IV.' dimanche du carême, à
JJ cause de Y éclipsé totase du soleil qui, fur les dix
•J heures du matin , ramènera les ténèbres de la
55nuit. Ils font priés, en même-tems , d’avertir
JJ le peuple,-que'les éclipses n’ont fur nous aucune
•^influence, ni morale, ni physique, qu’elses ne
« ^présagent & rie produisent ni stérilité , ni conJJiagion
, rii guerre , ni accident funeste , & que
Jice sont des luîtes nécessaires du. mouvement des »5 corps célestes, aussi naturelles_quc le lever ou se '
JJ coucher du soleil, ou de lalune. JJDans l’assemhlée de FAcadémie du 21 mars ,"
l’on parla avec surprise de cette annonce : pn ne
concevoit pas qu’il eût paru dans la Gazette de
france, un avertissement où l’on confondoit une
éclipse annulaire avec une éclipse totale, & pù l’on
annonçoit une obscurité entière -, tandis que, tous
les:àlmanacs avoient dû suffire pour prévenir la
fausseté & Finutilité de cette annonce ; elle avoit '
été démentie long-tems d’avance par les Ephéméridcs
de la Caille , par la connoiffance des tems que j’avois
publiée, par la Carte de Madame le Paute, déjà
très-répandue. U fut décidé , dans F Académie , que
comme il restoit encore dix jours avant l’éclipse ,
on seroit mettre dans la Gazette un avertissement
contraire ; il parut en effet , cinq jours avant
Y éclipse, dans les termes fuivans : cf Le sieur Cassmi
JJ de Thury , de YAca-démie Royale des.Sciences ,
JJ a présenté au Roi, un Mémoire sur l’éclipse anJjnulaire
du soleil, du premier avril prochain,
JJ d’après les observations faites fur: les dernières
JJ éclipses du soleil, tant annulaires que totales ;
JJ il résulte que celle du premier aVril ne ramènera
Jjpasles ténèbres de la nuit , comme on l’a dit
Jj.dans l’avis inséré dans la Gazette du 19 dé ce
' JJ mois.' JJ ''''■'".'Malgré cet ^ avertissement, le bruit qui y étoit
répandu dáns toute la France d’une, éclipse totale ,-•-.
fit avancer l’office dans le plus grand nombre des
paroisses, même à Paris ; Fimpressión y étoit formée,
& l’on ne tenoit nul compte du second avis
publié. J’enterids même , vingt ans àprès, reprocher
aux Astronomes qu’ils se trompent quelquefois,
puisqu’ils avoient annoncé ( pour 1764-j une éclipse
totale qui n’a pas eu lieu. Cependant, on avoit
distribué dans Paris un nombre prodigieux d’exemplaires
de deux Cartes (gravées à Paris chez Lattre) 
où Madame ie Paute avoit tracé les phases de cette
éclipse ; on y voyoit expressément la figure du soleil
débordant la lune tout autour: cela auroit bien
dû suffire au public pour lui apprendre qu’il ne ,
pouvoit point y avoir d’obscurité ; d’ailleurs les
plus simples élémens de l’astronomie suffisent pour
savoir qu’une éclipse ne peut être totale que sur un
petit espace én largeur, la lune étant bien plus
petite que la ferre. Cet espace n’étoit alors que
de 50 à 6ú lieues,' ainsi , Y éclipse n’auroit pû être
■totale dans toute la France : je profitai de J’occasion
d’un Mémoire qui accompagnoit une Carte de
l’éclipse de 1778 , par M. d’Agelet , pour justifier
ses Astronomes, & moi en particulier , qui étois
chargé pour lors de la connoiffance des tems , A'où.
se tirent tous lès Almanachs de Paris & du Royaume,
& j’ai cru qu’il étoit utile de rappeller ici des faits
qui intéressent l’honneur dés Astronomes & de
Y Astronomie.La grande difficulté qu’on trouve dans îe calcul
des éclipses de soleil, consiste à avoir se mouvement,
apparent, qui varie dans to.ua ses pays d« 
<^,o E C L E C L
) ïv *=* ~ ~monde, à raison de la parallaxe. Quand on ailric
fois calculé le mouvement apparent, on peut calculer
le commencement, la fin & la grandeur
d’une éclipse de soleil , de la même manière que
rous avons calculé une éclipse de lune. Pour trouver
le mouvement apparent, il faut calculer la parallaxe
de longitude & de latitude pour deux
instans.On peut aussi .calculer une éclipse de soleil en
cherchant la distance apparente du soleil à la lune ,
pour deux instans. La manière la plus simple qu’on
ait eue jusqu’à présent, esl celle que j’ai donnée
dans les Mémoires de l’académie , pour. 1763 ; &
plus en détail .dans mon Agronomie > édition de
1771. Elle consiste à trouver la différence de hauteur
& d’azimut entre la lune & le soleil, pour
en conclure leur distance apparente ; c’est le terme
auquel on se propose de parvenir, pour trouver
le commencement & la fin d’une éclipse , ou pour
tracer- l’orbite apparente de la lune. _Calcul d’une éclipse. La première opération qui est
nécessaire dans ce calcul , est de trouver la hauteur
du soleil ou de l’étoile que la lune doit éclipser. Je
suppose aussi qu’on ait caleulé par les Tables, pour
un moment donné , la longitude du soleil ou de
l’étoile, & la latitude de celle-ci, la longitude
& la latitude vraie de la lime , sa"pârallaxe horizontale
, la déclinaison du soleil ou de l’étoile &
leurs ascensions droites, enfin l’angle de position
du soleil ou de l’étoile , & son angle horaire ; connoissant
la déclinaison & l’angle horaire , on calculera
la hauteur du soleil, & l’angle du vertical,
avec le cercle de déclinaison.Le premier avril 1764, la conjonction vraie ,
Calculée par les Tables de la lune, qui sont dans
mon Astronomie, & rectifiée par F observation , est
arrivée à iç>.h 31' 8" du matin, la latitude de la
lune étant de 39' 38" boréale au moment de la
conjonction ; lá différence des mouvèmens horaires
du soleil &,de la lune en longitude , est de 27'
13" ; le mouvement hoiaire de la lune en latitude
2 43* ì , du midi au nord, fa parallaxe 54' 8 ;
celle du soleil 8" \. Si l’on demande à 9h. 10' du
matin, la distance apparente des centres du soleil
& de la lune, on cherchera la déclinaison du soleil
pour cet instant, 40 47', 34", sa hauteur vraie
.3 3° 7' 34" ; l’angle Z S 0 , figure 71 , du vertical
Z S, avec le cercle de déclinaison S O , zz°
4' 16" y l’angle de position OPS 23° ç>' 13" ; la différence
AB des longitudes vraies, entre la lune A
& le soleil S, iG 47" 5 , & la latitude de la
lune i1 B z<é 56" 4 boréale. Le cercle de déclinaison
ÍOestà gauche du vertical Z S, le matin
dans nos régions septentrionales" ; mais il faut le
changer suivant les cas, de même que la situation
du cercle de latitude VS, qui esl à Forient, ou
a la gauche du cercle O S de déclinaison, toutes
les sois que le soleil est dans les signes descendans :
on peur, en> regardant un globe céleste que l’on
, aura rois à Fheure, après y avoir marqué se lieudu soleil, juger facilement de ces variétés dans la
situation des cercles %S, P S, OS. On placera
la lune à Forient ou à'gauche du cercle P S, quand
la conjonction vraie sera passée. Dans notre exemple^
on prendra la différence des’ deux angles 3 2° 4 16
& 2 3 ° o' 13 " ; & l’on aura 90 4 3 " Pour ^"g^ Paral"
lactique Z j1 P.Supposons la lune en A ; soit S le soleil, ou
l’étoile dont on calcule une éclipse , SB la latitude
de la íuriè, B A la différence de longitude entre
| lalune & le soleil ; SA la ligne qui joint le heu
du soleil à celui de la lune ; l’angle A S B est celui
que j’appelle angle de conjonâion.La ligne B A , s’il s’agit d’une éclipse d’étoile,.est
un peu plus petite que la différence de longitude
prise dans ses Tables , & mesurée le long de Fécliptique.
Pour être réduite à la région de l’étoile-, il
faut quelle soit multipliée par le cosinus de la
latitude apparente de la lune Voyez RÉDUCTION
des petits cercles aux grands. J’ai donné une Table
de la quantité qu’il faut ôter de la différence de
longitude, pour avoir l’arc A B. Connoìffance des
mouvèmens célestes, 17 6 5, page z 28, Cëtté quantité
ne pëut aller qu’à quinze secondes dans les
plus grandes latitudes de la lune, & en fupposan »
même A B d’un degré, .L’angle d’azimut esl l’angle Z SA, formé ail
centre du soleil ou de l’étoile, par le vertical de
l’étoile & par la ligne SA-, qui va du centre de
l’étoile au centre de la lune. Cet angle d’azimut
A S C, ne peut se former que par la somme òu
la différence des angles B S C & AS B , c’esl-àdire,
de l’angle parallactique & de l’angle de conjonction
 ; mais la situation du point A & des trois
cercles dom nous venons de parler, suffira póur distinguer
les deux cas. II faut chercher aussi l’arc A S,,
qui est la distance vraie de lá lune au soleil , ou
à l’étoile ; soit en ajoutant les quarrés de AB
&. B S en secondes ; soit en faisant cette proportion
: le sinus de l’angle de conjonction A SB, est
à la différence de longitude AB , comme le rayon
est à la distance A S. Cette distance AS, multipliée .
par le sinus de l’angle d’azimut-ASC, ou de son
supplément, s’il est obtus, donnera la différence
d’azimut vrai A C ; & cette même dislance AS,
multipliée par le cosinus de l’arigle d’azimut ASC,
donnera la différence de hauteur vraie S C entre le
soleil & la lune, les points A & C étant sensible »
ment à la même hauteur.Dans l’exemple précédent, la différence de latitude
35' 5Ó" 4 est à la différence de longitude 36'
47" \, comme le rayon est à la tarigente de 45° 40'
14" , angle de conjonction ASB, Divisant 36' 47'
par íe sinus de 450 40' 14", on a la distance vraie
SA. 51' z6". La différence entre l’angle de conjonction
45° 40' 14" & l’angle parallactique , est
de 90 4' 4" ; ce qui donne l’angle d’azimut ASCf
3Ó° 36' 11". La distance vraie 51' 26", multipliée
par le sinus de l’angle d’azimut, donne l’a différence
vraie d’azjmup 4 C > }P' 4P" I j la distance
.. _ E CL ■ ÎG L ycr't
vraie, multipliée par le cosinus du même angle
d’azimut ^. donne lá diíférerice de -haliteur SC,
41' 17" 3 , qui ajoutée à la hauteur du soleil trouvée
ci-dessus, donne la hauteur vraie de lalune,
d’où l’on conclura facilement fa hauteur appa- .
rente, pn ôtant, la parallaxe de hauteur.Si l’on suppose le lieu apparent de la lune en M,
dans se même vertical que le lieu vrai A,- en sorte
que l’arc CD du vertical du soleil soit égal à la
différence des parallaxes de hauteur du soleil &
dela lune, M D sera la différence apparente d’azimut
 ; elle est un peu plus grande que la différence
vraie A C, & c’est de la quantité dont les deux
verticaux qui partent du zénif s’éloignent l’un
de l’autre pour une différence de haureur égale
à CD. Cette ligne MD se trouvera très-facilement
en augmentant AC dans le rapport duposinusde.
la hauteur vraie au cosinus de la hauteur apparente
 ; par ce moyen, l’on aura la différence apparente
d’azimut MD entre la lune & le soleil ,
prise dans la région de la lune. Dans notre exemple,
cette différence apparente est jo' 56". 11 reste encore
une correction à faire , lorsqu’on veut opérer
rigoureusement : elle consiste à chercher l’efset de
l’applatissément de la terre, ou la parallaxe d’azimut,
qui fait toujours paroître lalune du côté du
pôle élevé ; en voici la règle. La parallaxe horizontale
, multipliée par le sinus de l’angle a de la
verticale avec le rayon de la terre dans le sphéroïde
applati, & par le sinus de l’azimut z > donne
la valeur de cette correction, ou la quantité ML ,
dont le lieu apparent L vu de la surface de la
terre, est plus près du nord que le point M PÙ
la lune paroîtroit, si la terre étpît sphérique,
. La parallaxe étant de « J4' o" dans l’éclipse de
1764, l’angle a fupppse de 14' 49", l’azimut de
lalune 520 53', on a la parallaxe d’azimut p :
sinus a. sinus ^_=II" 2 , qui retranchée de 30'
56", différence d’azimut vue du centre de la terre,
donne la différence apparente d’azimut D L , 30'
44" 8, telle qu’on la voit à la surface du sphéroïde.
Voyez se 9° Livre de mon Astronomie.Les deux petites corrections que nous venons
d’expliquer, peuvent se négliger dans tous les cas
où il ne s’agit pas d’une observation déja faite,
& dont on veut tirer .des conséquences rigoureuses.Quand on a la hauteur vraie de la lune , il
s’agit d’avoir fa hauteur apparente y on multipliera
la différence des parallaxes du soleil & de la lune,
par le cosinus de la hauteur vraie de Ia lune, que
l’on a trouvée ci-dëssus, on aura la parallaxe de
hauteur à quelques secondes près ; cette parallaxe
se retranchera de la hauteur vraie de la lune,
pour avoir la hauteur apparente, & la différence des
 parallaxes horizontales multipliée de nouveau
par le cosinus de cette hauteur apparente , donnera
plus exactement la parallaxe de hauteur. On
retranche de xette parallaxe la correction dûe à
l’applatissément de là terre p. finus a, &ms h.cos. z •> h e » 'a hauteur de la lune ; & l’on a
exactement la parallaxe de la hauteur A L on CD,.
dans le sphéroïde applati, calculée avec la plus
grande exactitude.La parallaxe de hauteur CD ; abaisse'la lune audessous
du soleil ; ainsi , l’on en retranchera Ia
quantité Ci", dont la hauteur vraie de la lune
étoit. plus grande que celle du soleil, & l’on aura
Ia différence de hauteur apparente S D. II y a
des cas où il faut prendre lá somme de ces deui
quantités ; mais la figure seule suffira pour appercevoir
tous les cas , pourvu qu’on ait placé convenablement
le point A & les cercles SP, S O*Connaissant ainsi la différence apparente de hauteur
S D , & la différence apparente d’azimut LD ,
on résoudra le triangle SLD , & l’on trouvera la.
distance apparente SL. Cette dislance fera connoître
.^íì Y éclipse est commencée ; & l’on en déduira Ie
véritable commencement, en faisant le même calcul
pour un tems plus ou"roóins avancé de quelques
minutes, comme on le verra dans l’exemplefuivant.
. , -Dans notre exemple, l’a différence de hauteur
vraie entre la lune & se soleil 41' 17°, étant ajoutée
à la hauteur vraie du soleil 33d 7' 34", donne
la hauteur vraie de la'lune 33d 48' 51". La différence
des parallaxes 54' o" multipliée par le cosinus
de la hauteur de la lune, donne la parallaxe
de hauteur à-peu-près , 44' 51". Cette parallaxe
ôtée de la hauteur vraie de la lune 3'3d 48' 51" r
donne fa hauteur apparente 33^ 4' o". Le cosinus
de cette hauteur apparente, multipliée par la pa-rallaxe
 horizontale, donne plus exactement la parallaxe
de hauteur 45' 15" 6 ; il en faut ôter la
correction p. sin. a. fin. h. cof. z ? dûe à l’applatissément,
qui se trouvera 4" 6, '& l’on aura Ia: ■
véritable différence des parallaxes dans la sphéroïde
applati 45' 10" .9, qui est égale à A M otr
CD ; il en faut retrancher la différence de hauteur
vraie C<s==4i' 17" 3, il reste la différence
de hauteur apparente S D z' 53" 6" ; cette valeur
de S D avec celle deI>X ,'qui esl 30' 44" 8, nous ;
donnera, l’angle de dislance apparente 8zá 47', &
la distance apparente des centres du soleil & de
Ja lune 30' 59" 5. La somme du demi - diamètre ) 
du soleil 1(5' o" 8 , & du demi-diamètre horizontal
de la lune 14' 47" I, augmenté de 7" 7 ," à cause
de sa hauteur, est de 30' 55" 6-, quantité moindre,
de 3" 9, que la distance apparente des centres f
ainsi , le centre de la lune doit se*rapprocher encore
du centre du soleil de 4", pour que Yéclipsc
puisse commencer à Paris. .Si l’on refait un semblable calcul, pour nn tems ;
plus avancé de ï, ou pour o' 1 ri', l’on trouvera:
que la distance apparente des centres est de 30' 27"
5, plus petite que la précédente de 22", or 22" : 60" .T
4" : n"s ; donc la distance des centres perdoit dans.
Fespace de 11* de tems, les 4" dont nous l’avons:
trouvée trop grande ; ainsi, Y éclipse dut commencer
à 9h 10' il’'. II faudroit ôter 3" \ de la somme des
coi E C L E CL
demi-diamètres", &. la réduire à 30' ^6", fi l’on
vouloir avoir égard à Y Inflexion des rayons qui
rasent le limbe de la lune ; alors la dislance apparente
seroit sensiblement la même que la somme
des demi-diamètres, ce qui annonce que le tems
que nous avons choisi , étoit celui du commencement
de YécUpse. On trouveroit de même la fin à
midi 10' 1*.Si l’on veut former l’orbite apparente de la lune ,
affectée dela parallaxe, pour trouver se milieu de
l’éclipse & le mouvement apparent de la lune, on
se servira du même triangle, dont, on connoît les
côtés S D StDL, l’angle LSD ,Szd 4/ ; la
somme ou la différence de cet angle & de l’angle
parallactique D SE , 9° 4' donnera l’angle LSE,
73d 43' ; l’on fera le même calcul pour la fin, la
lune étant en F, & l’on aura de même l’angle F SE ,
qu’on ajoutera avec l’angle LSE ; ainsi, l’on for-,
mera un triangle LSF, dans lequel on connoîtra
LS, SF, & l’angle LSF ; on cherchera le segment
L X qui donnera le tems où la lune "doit
paroître en X, c’est le tems du milieu de l’éclipse ;
on cherchera ensuite la perpendiculaire SX avec
laquelle on trouvera facilement la grandeur de
YécUpse , comme nous l’avons fait pour les éclipses
de lune. Mais si l’on veut avoir égard à la cour\
bure de l’orbite apparente de la lune, pendant la
1 durée de YécUpse, on recommencera -le calcul pour
le tems du milieu, trouvé à-peu-près par Fopération
précédente, & l’on aura en effet, pour la distance
apparente, 26" de moins, qu’en supposant
l’orbite rectiligne pendant trois .heures.Ce problême qui consiste à trouver la distance
des centres pour un moment donné, & que nous
venons de résoudre par le calcul astronomique, a
été donné par M. du Séjour dans les Mémoires de
Vacadémie, année 1764 & suivantes, avec des formules
analytiques très-élégantes & très-générales,
dont Fauteur a déduit la solution de tous ses problèmes
relatifs aux éclipses.Après avoir expliqué la méthode rigoureuse de
calculer les éclipses , nous passons à une méthode
graphique, par laquelle on peut trouver fans calcul,
avec la règle & le compas, les phases d’une
éclipse de soleil à deux ou trois minutés près, ce
qui est très-suffisant pour prédire des éclipses en
différéns pays de la terre, & pour tous les usages
de l’aslronomie,..excepté pour le calcul d’une observation
déja faite. Cette méthode est plus difficile
à démontrer , mais beaucoup plus facile à exécuter
que la méthode rigoureuse que nous venons
d’expliquer. La figure que l’on fait pom trouver
ses phases d’une éclipse, est celle du globe terrestre
projette, c’esl-à-dire, rapporté dans la région de la
lune. Pour faire sentir les raisons & les principes '
de cette opération graphique, nous allons montrer
la manière dont les éclipses de soleil arrivent fur la
surface de la terre , dans le cas Ie plus simple ,
en supposant un principe qu’il ne faut pas perdre
de vue, savoir, que se soleil est aflez éloigné denous, pour que les rayons qui partent du centré
dit soleil, & qui vont aux différéns points de lá
terre , soient sensiblement parallèles. Le point T,
(pi. d’Astron. fig. G A)  que je suppose le centre de
la terre, voit le centre du soleil par un rayon TS ;
le point E qui est à la surface de Ia terre, voit
le centre du soleil par un rayon E O , qui ne fait
avec se précédent qu’un angle de. 8" i , ■&. qui va
par conséquent se rencontrer à 34 millions de lieues,
c’est-à-dire à une distance prodigieuse ; ainsi, ce
rayon est sensiblement parallèle au précédent : on
peut donc supposer que la ligne E A O , parallèle
à TLS ;.eû celle par laquelle le point £ de
la terre voit le ceritre du soleil.Si cependant l’on vouloit avoir égard à Ia parallaxe
du soleil, & supposer que le rayon E O Ce
rapproche de TS pour aller former au centre
du soleil un angle de 8" \ , toute la différence
consistera à diminuer Farigle TE A de 8' \, en
tirant une ligne ER qui fasse avec £ O un angle
RE O', & ce sera sur la ligne ER, que lepoint E
de la terre verra le centre du soleil. Si l’on suppose
que LA soit une portion de l’orbite lunaire
interceptée par lés rayons TS, E O, la ligne LA
que nous appelions, la projeâion du rayon de la
terre ET, dans l’orbite lunaire, paroîtra plus
petite de 8" f, lorsqu’on voudra tenir compte de
Ia parallaxe du soleil. Supposons que Ie soleil soit
au point S , Fespace que les rayons G S & TS
interceptent dans l’orbite de la lune, & que nous
avons appelle la projeâion de la terre , est vu de
la terre G, sous un angle LGS qui est la différence
des parallaxes de la lune & du soleil, c’està-dire,
la différence des angles GLI'-& LSGj
mais il faut imaginer le point de concours £ à
une distance prodigieuse , pour que l’angle Sjió
soit que de 8" \ : alors l’angle LGS est plus petit
de cette quantité que l’angle L, & Fangle R EL
plus petit de 8" - que l’angle E L T ou son égal
O EL ; ainsi , lá projection de la rerre est vue
fous un angse LE A, sensiblement égal à. la parallaxe
de la lune.Si la lune est en L au moment de la conjonction,
l’observateur placé en K , fur la furfacede
la terre, verra une éclipse centrale de soleil, puisque
le centre de la lune lui paroîtra sur le rayon
TKLS, par lequel il voit le centre du soleil.
Soit A L une portion de l’orbite lunaire , décrite
avant la conjonction, eri allant de A en L , ou
d’occident vers Forient ; puisque le point E de la
terre voit le centre du soleil sur la ligne E A O t
il s’ensuit évidemment que quand la lune sera au
point A de son orbite , elle couvrira le soleil &
sonnera une éclipse centrale pour l’observateur placé
en E, puisqu’alors le centre de la''lune" & celui
du soleil lui paroîtront sur une même ligne E A Ô.
Si Ia lune emploie une heure à parcourir la
portion AL de son orbite , l’éclipse aura lieu
pour le point £ de la terre, une heure avant qu’elle
ait lieu pour le point K , ou pour-le centre Tde la. terre,Ecu' … j’gìí í93de la terre, c’est-à-dirë, une heure avant la conjonction
que je suppose arrivée au point L. L’on
á d’abord quelque peine à se figurer le soleil, répondant
ainsi au même instant à divers points de
Iaprojection pour différéns lieux : mais-qu’on réfléchisse
à çe qui se passe dans une allée de jardin ,
óù l’on se promène en voyant le soleil fur fa droite,
toutes les ombres des arbressoritparallèles entr'elles ;
quand On est fur la première ombre, on voit le soleil
répondre au, premier arbre ; quand on a fait
quelques pas-, on voit le soleil répondre à l’arbre.'
soiyant, & s’il y a quatre personnes en même tems
qui soient entr'elles à la même dislance que les
quatre arbres sont entr'eux, elles verront répondre
k soleil aux quatre arbres différéns ; c’est ainsi que,
Fobscrvateur qui est en D ,. voit le soleil, répondre
su point C de 1 orbite de la lUneou de la projection
 ; tandis que l’ohservateur qui eft en si voit le
soleil "au point L , comme celui, qui est. en F voit.
se soleil au point if.Ainsi, pour trouver la manière dont une éclipse
doit paroître à différéns points de la terre, il suffit
d’cn_ faire la projection sur un plan A L , & la
manière dorit l’orbite de la lune traversera cette
■projection, nous montrera' les circonstances de
l’éclipse ; nous serons assurés , par exemple,- que'
íi ie point E de la terre étant projette en A', la
lune íe trouve en même tems au pointa, elle
sera une écUpse centrale pour l’observateur situé
eri E.La partie A L de l’orbite lunaire égale au rayon
E'T de: la terre , paroît sous un angle AE L,
égal à l’angle E ET qui est la parallaxe horizontale
de la lulie ; soit auffi la partie ML égale
à la soirime du demi-diamètre B M, de. la lune ,
du demi-diamètre B A du soleil, & de la parallaxe
horizontale de la lune qui est égale à AL,
alors le point E de la terre verra commencer
YécUpse auísi-tôt que la dislance M L de la lune,
au point L. de la conjonction , fera égale à la "
somme des demi-diamètres du soleil & de la lune ,
& de la parallaxe horizontale, de la lune, dont on .
aura ôté 9 secondes pour plus d’exactitude. De
mèine le point G, le dernier &le plus oriental
de la terre, verra finir entièrement YécUpse , lorsque
la lune , après avoir passé la conjonction, sera
éloignée du point L de là même quantité, c’est-àdire,
de la sommé des demi-diamètres du soleil &
de la lune, & de la parallaxe horizontale de ía
lune. . , ■. ' ' s.
Si la lune esl en C, de manière que A C soit
jiussi égal à la somme-des demi-diamètres du soleil
& de ía lune ,,'le point £ de la terre verra, se
' centre C de la lune éloigné du centre A du soleil,
de la somme des demi-diamètres, c’est-à-dire ,
. qu’il verra les bords du soleil &de la lune se toucher
, & YécUpse finir-.J’ai supposé jusqu’ici que Xorbite LA B M de
ía lune passoit par la ligne SL’T, qui joint ses
e« ntres du soleil & de Ia terre, & que la lune ,
Mathématiques. Tome I, IIe. Partie.en conjonction , n avoit aucune latitude ; voyons• ce qui arrivera: daris le cas où la lune, eri con- 1
 ; jonction, 'auroit une latitude, ìl faut considérerd’abord que tout ce que j’ai dit du point M, doit
s’entendre également de tout autre point qui seroit
à la mêmedistance du point Tek du point L’ ; supposons
que la ligne, L M ( égale à la parallaxe de
ía lune plus la somme des démi-diamètrës du soleil
& de la lurie ) tourne autour du point L ,/■&. ; décrive
un cercle dont le plári soit perpendiculaire
à L.T, & au plán dé:nôtre figure,'en forte que
tous les points 1 de ce cercle soient-à égales dislances■•du point T ; ce cercle décrit fur LM, est ce que ,
nous appellerons le cercle de projeâion-, & nous
allons se considérer seul dans la-fuite de notre explication
, en .y rapportant tout ce que.nóus veinons
de dire fur la figure á4.-II est évident que
les différéns points du cercle, placé dans la région ; dé la lune & décrit fur LA, répondent -aux dis-'• férens points de la circonférence de la terre,.de
la même manière que le point A, répond au point E _
de la .ferre, & le point L au point’ K ; chaque point
de la terre à fa projectiohpu son image à l’extrémité
de la ligne, qui va tomber -perpendieulairement
au plan dé projection dàns la région de ia
lune. ' ' ;' ■' - '". - - ; ' : - ! '■- -'-.'. Supposons une ligne LB (fig- 58)  de inéme Ion-',
gueur que- la somme L M du ■ ráyori de projection
& des dëmi-diamètres du soleil & de la lune
dans Ia figure G&. Décrivons un cercle B CG D fur
le plan de projection ; décrivons áussi un autre
cercle AËFR, dont se rayon LA soit égal à lá
parallaxe dela lune , ( dont on retranchera 9" pour
plus d’exactitude ) comme L A, dans la figure 64 ,
fornioit le rayon de projection égal au rayon de
la terre -, & -vu sous un angle égal à la parallaxe
de la lune. ■ Lorsque la lune approchera assez de
la conjonction pour que son centre vienne à se
trouver fur quelque point K de lá circonférence.
B CD , l’éclipse commencera pour quelque point
de la surface de la terre.De même, lorsque le centre de la lune sera sur
quelque point V de la circonférence A VE du
cercle de projection, se centre de la lune paroîtra
"répondre fur se centre du soleil, & l’éclipse. corn^
mencera d’être centrale pour quelque point de la
surface de la terre , c’est-à-dire, pour eelui qui
se trouvera directement sous le point V, ou qui
aura fa projection au point V,Ainsi l’on peut, par le moyen de cette figure,
calculer une éclipsé de soleil poúr la'terre en général
, faus égard à la situation de chaque pays
déterminé. Lorsque lalune est en K, on a se commencement
 ; se milieu est en M & la fin en G. Pour
connoître se tems du milieu de l’éclipse générale ,
on suppose les mêmes calculs préliminaires,-&. l’on
fuit la même méthode que ; pour une écUpse de
lune. DLAB , représente une portiossde Fécliptique
 ; L le point où est le soleil au moment de
kconj6nction ;.íiT,la latitude de la lune ; K M G..EfffK-OA ECL E C L
l’orbite relative ; LMla perpendiculaire à.l’orbite.
Dans le triante L M H rectangle en M, on connoît
l’angle HL M ëgaí à l’inclinaison de l’orbite
relative,"&Fhypothënuse HL égale à lá latitude
~ de la lune ; òn" multipliera le côté L H par le finus
de l’angle ML H, & l’on aura le côté HM ; on
le convertira en tems, à raison du mouvement horaire
de la lune sur l’orbite relative , & l’on aura
Fintervalle entre la conjonction & le milieu de
YécUpse générale. Pour trouver le commencement
& la fin, òn calculera aussi la perpendiculaire LM,
& l’on résoudra le triangle LMK, dans lequel on
connoît auffi le côté LK. Pour .trouver le commencement
& la fin de l’éclipse centrale, on résoudra
le triangle LMV ; le procédé esl à-peu-près
le même que pour les écUpses de lune.Quand il s’agit de trouver quel est le pays de la
terre qui répond an point F"de la projection, ou
à quelque autre point.de l’orbite de la lune, on
peut employer le calcul trigonométrìque, comme
je l’ai expliqué dans mon astronomie, ou le calcul
analytique, comme M. du Séjour Fa donné fort au
long' dans les Mémoires de VAcadémie ; mais je
vais tâcher de faire sentir , par le moyen d’un
globe , ia manière dont on peut connoître facilement
les phases d’une éclipse .pour les différéns
pays de la terre, du moins r.-peu-près,- & suffisamment
pour tracer les lignes des phases, comme
dans la carte, fig. 73. Pour plus de simplicité, je
ne suppose qu’un globe terrestre qui ait cependant
au moins six pouces de diamètre , & une règle
avec deux pieds représentée par G VAE, fig. $g ,
dont la longueur VA soit égale au diamètre du
globe dont on se sert, & la hauteur égale au rayon
du globe, ou un peu plus, afin d’être placéefur
son horizon GE ; le.rayon du globe doit représenter
le rayon de la terre, ou la parallaxe de la
lune, comme LA dans la fig.64. ; c’esl-à-dire qu’il
faut le supposer, par exemple, de .54' dans notre
exemple, parce que Ia parallaxe de la lune, dans
l’éclipse de soleil de 1764,, étoit de 54'.Pour placer fur, le globe l’orbite dela lune, il
faut avoir fait une figure telle que la fig. 58 , où
la ligne BLD représente une portion de Fécliptique,
& XV l’orbite relative, on y ajoutera une
ligne 0 LQ pour représenter un diamètre de l’èquateur
 ; en faisant l’angle AL 0 égal à l’angle de
position, ou au complément de l’angle de Fécliptique
avec le méridien ; le diamètre de Féquateur
sera au midi ou au-dessous de l’écliptique à Forient
du globe, dans les lignes aseendans, c’est-à-dire,
quand la conjonction arrivera depuis le 21 décembre
jusqu’au 21 juin. La somme de l’angle ^£ O '
& de l’inclinaison de l’orbite relative ou leur différence
, suivant les cas’, donnera l’angle de la
perpendiculaire L Asavec le méridien universel LP ,
ouîe méridien du globe, que l’on suppose immobile ;
cet angle PLM, c’est-à-dire l’angle de l’orbite
G K avec Féquateur QLO, ou de la perpendiculaire
L M avec se cercle de déclinaison LP 3étoit. de. 2S 0 44' en 1764. On prendra sur Ia ;
figure, avec un compas, les arcs O V, Q X, &
l’on marquera tin pareil nombre de degrés, fur
Fhorizon du globe , à compter depuis les vrais
points d’orierit & d’occident, c’est-à-dire , depuis
les intersections de Féquateur & de Fhorizon du
globe, en allant du côté du nord , si la latitude
de la lune est boréale ; du côté du midi, si elle est
australe.On élèvera le pôle du globe fur son horizon ,
du nombre de degrés quela déclinaison du soleil
indiquera. Si la déclinaison est boréale, c’est le pôle
boréal qu’il faut élever ; ce sera le pose antarctique
si la déclinaison esl méridionale. On placera
le supp'ort G VAE (fig..,59 ) de manière que le
bord de la règle supérieure VA réponde perpendiculairement
au-dessus des deux points marqués,
fur Fhorizon du globe ; dans cet état, cette traverse
VA représentera l’orbite de la lune., placée
sur Fhorizon du globe, comme elle l’ëtoit sur le.
cercle de projection dans la figure 58..11 fai.it prendre encore fur la.figure ç8, les tems
de l’orbite lunaire qui répondent en V & en X,
c’esl-à-dire au commencement & à la fin ; on les
écrira sor le support VA que je suppose couvert
d’une petite bande de papier collé, & l’on auraun
intervalle A V, qu’on divisera en minutes de
tems, comme nous l’avons dit en parlant des éclipses
de lune., ou bien l’on se servira du mouvement horaire
, & l’on marquera le tems du milieu dé
l’éclipse fur le milieu L de la règle , & les antres:
positions de la lune de cinq 1 en: cinq minutes fur.
l’orbite VA.II ne s’agira plus que de placer le globe fur
Fheure quîlui convient : par exemples dans YécUpse
de 1764, la lune devant être en A à 9h r, qui est
se commencement de YécUpse centrale, on tournera
le globe de manière que Paris soit èn Ç 21' <;8' à
Fbccident du méridien du globe, ou du'méridien
universel MP : c’est ce méridien dans lequel le
soleil est soppose fixe, tandis que tous les pays de.
la terre passent successivement devant lui par Ia
rotation du globe d’occident en orient.Le globe terrestre étant ainsi dispose pour FhéUré de.
 Paris, il est aussi placé pour tous les autres
pays, & la lime étant supposée en A, le point E
de la terre qui répond perpendiculairement sous
la lune, est celui où Y éclipse paroît centrale dans
ce même moment ; on n’a donc qu’à abaisser un
à-p !omb du point A , si Fhorizon du globe est
bien de niveau, ou placer Foeil perpendiculairement
au-dessus du point A , ou enfin se servir
d’une petite équerre, & l’on verra sur le gjobe se
point £ de la terre que l’on cherchoit perpendiculairement
au-dessous de A ; l’on marquera la longitude
& la latitude de ce point là ; cesera le premier
point de l’éclipse centrale, marqué en Aior se
côté gauche de la figure 73.Pour connoître les derniers pays au nord. & an-Ëc l. ' " E'Cl : >9.cmidi qui -veirontlVc/ni/e, dans le mètrie moment, "
lalune étant en A, l’on placera en A le ceutre
d’un cercle dont se rayon AD soit égal à la somnie
dés demi-diamètres du soleil & de la lune ; dn
pourra faire un cercle de carton,-qu’on placera  !
parallèlement à Fhorizon du globe , son centre
étant en A ; ou bien l’on fera circuler un compas
"dont FouVerture soit égale à la somme des demidiamètres,
& dont une pointe soit en Â ;; pn remarquera
tous les points du globe qui fe trouveront
répondre perpendiculairement sous la circon.férence de ce cercle ; ce sont ceux qui verront les
tords du/oleil & de la lune se toucher, au même
instant ; ceux qui seront ses plus au nord Ou les
plus au midi, ne verront point d’éclipsé , mais un
simple attouchement ; & en continuant à chercher
ces points pour les autres instans-de la durée dé
l’éclipse , c’est-à-dire en promenant le cercle D fur
l’orbite AV, & disposant le globe pour chaque
"instant, 011 trouvera tous les points de la terre. ■
qui sont fur la ligne B C (fig. 73) tk qui ne voient
qu’un simple attouchement des bords du soleil &
de la lune. En diminuant le cercle D, fig. 59 y de
la moitié du diamètre du soleil, on trouvera sur
le globe les points qui doivent avoir la plus grande
phase de six doigts.- Mais cette méthode, pour calculer une éclipse de
soleil, n’étant qu’un à-peu-près, nous allons en expliquer
nne où l’on peut mettre la précision des minutes
, en employant seulement la règle & se compas
 ; mais il faùt pour cela reprendre, avec plus
de méthode, les principes &ses propriétés de la
.projeclion orthographique,Projetter une figure , c’est la rapporter à un
áutre plan, par des lignes tirées de chaque point
de la figure , à chaque point du plan. On distingué
plusieurs sortes de projections, mais la plus simple
de tontes, est la projection orthographique formée
par des lignes perpendiculaires au plan de projection,
c’est celle dont ón se sert avec avantage p'oùr
les éclipses sujettes aux parallaxes. Soit une ligne
AB , (fig. Go , )  & un plan quelconque P L diffcrerit
de cette ligne. Si des extrémités A & B. de la
ligne donnée, on abaisse sor le plan P L desperpendiculaires
A a , B b ; l’espace a b qu’elles occuperont
fur le plan. P L sera la.projection orthographique
de la ligne AB , .& le plan PL fur
lequel on a abaissé cés perpendiculaires, s’appellera
le plan-de projeâion.• La projection orthographique ab ; d’une ligne AB,
faite fur un-plàn de projection P L , par ks perpendiculaires"
À a , Bb ,- est le'.produit de cette
ligne AB , par le cosinus’ de son inclinaison ; car
ayant tiré AC, parallèle à P L., l’angle BACeû
éîal à l’inclinaison de la ligne AB furie plan de■ projection’P X,- tkJ’Qm’db est la projection,de
fa ligne AB ■ ; or AB : AC : ■: -R': cos, B AC :
ainsi,, lé rayon est au cosinus de l’inclinaison
comme laligne A B est à fa projeclion A C. Donc,
& l’on prendJe rayon pour 1 unité > -.ori fro.uv.era:-qúé lá projection d une ligne est’égale à cette ligne.,
multipliée pair lé' cosinus de fon inclinaison, fur lë
plan de projection ; ou si l’on prend la ligne AB
pour unité, fa projection A C sera le cosinusméine
de son inclinaison. . , - ■La projection CK ,fig. 61 . d’un are tel que FI",
est égal à son sinus quand on ;part du point qui
répond à laligne dés centres. Soit là-éirconference
DFH du demi-cërcle , dont on demandelà
projection, située dans un plan pcrjjendiculaire au
plan de projection ; toutes les-lignes perpendiculaires
F C abaissées de chaqùé point de la circonférence
fur se- rayon C H, seront perpendiculaires
au plan , & inarqueront les projectioris des mêmes
points ; le point K serala projection du point If
ainsi , lá ligne CK sera la projection de l’arc FI ;
mais fi- C est le centre du cercle, C if égal à IL
est le sinus de l’arc FI : ainsi, les sinus des arcs
FI seront ses projections de ces: arcs:, si l’on prend
leur origine au point F, qui répond perpendiculairement
au centre C.La projection drm demi^cercle DFH, incliné
fur le plan de projection, est une courbe DGGH,
dans laquelle toufesles ordonnées, çomiriê KG:,
perpendiculaires à la cofnmutìe section D H des
deux plans:,-sorit égales chacune à l’ordonnée correspondante
IK, multipliée parle cosinus de l’in-s
clinaison des" demt plans ; ainsi, toutes ces ordonnées
sont diminuées dans se même rapport ; elles
forment donc une ellipse ; car l’ellipse nsest autre
chose qu’un cercle dont, toutes les ordonnées sont
diminuées en même proportion, tandis que ses abscisses
restent lès mêmes. Voilà pourquoi un cerclé ^
vu obliqueínent ; -par-oît sous la forme d’une ellipse.
On fait qu’une ligne A B , fig. Gz, vue obliquement
d’un point O, paroît de Ia même grandeur
que la ligne perpendiculaire A [Cs= A B. fin.
A B C ; ainsi, dans un cercle CA D , fig. 65 , vu
obliquement, toutes les ordonnées Alì , E F paroissent
plus petitësdans le:même rapport ; or un
cercle devient une ellipse quand toutes ses ordonnées
sont diminuées dans un: même rapport : le
cercle pároít donc urie ellipse CGD, dont le petit
axe est au grand , comme le sinus de l’inclinaison
est au rayon ; cette proportion revient au même
que Fexpresliort précédente. II est nécessaire des’accoutumer
à comprendre que le cercle vu obliquement,
paroît une ellipse, ou que projette &
rapporté fur un plán par des lignes perpendiculaires,
il y forme une ellipse ; car nous faisons .un
usage continuel dans Fastronomie de cettèconsidé-.
ration. Voyons actúelsemerit de quelle manière cette
projection peut" se tracer avèc l’exactitude nécessaire,
pour calculer une éclipse s & en trouver les
phases par. la seïtle'figure. . ,Lès principales lignes dela projection d ?úne éclipse
font représentées dans ìkfig.Gs ; S’Teû laligne menée
du centre du soleil au centie- de- la terre .que.
npus appelions simplement la Ugne dés centres ;
I £ un plán qui passe par se- centre de lá terre perFfffij
ìoo- E C L E C L
pendiciiláirement à la ligue des centres. Ce plan
forme le cercle d’illumination, & sépare la partie
éclairée J D L de la partie obscure L O VI ; nous
allons rapporter, à ce plan , ies différentes parties
de la projection ; mais tout ce que nous dirons à
ce sujet", pourra s’appliquer "au plari de projection,
lois même que nous le placerons dans la
région de la lune, parce qu’il sera toujours parai- ;
lèle au cercle d’illumination:, &.y formera une
figure semblable & sensiblement égaie. La ligne P .0
est Faxe de la terre ; £ Q le diamètre de Féquareur :
P££OÇlPle méridien universel, c’esl-à-dire ,
celui qui passe continuellement par le soleil, &
que les différéns-pavs dela terre atteigneut successivement
par la-rotation diurne du:globe ; ££> est .
la déclinaison du soleil, ou sa dislancé -k..Téqua- ;
teur ; l’arc PI est 1 élévation du. pôle au-dessus" du  ;
plan de projeclion’: cette hauteur jest égaie à la :
déclinaison du soleil ; car si des anglesdfoits P:TE \
&.DTJ l’on ôte la partie commune P D, on aura
l’arc P T=D E qui est la distance du soleil à Féquateur
E , ou.sa déclinaison. Cette élévation dupôle
sur le plan de-projection, est aussi égaseà l’inclinaison
de tous les parallèles terrestres & .de Féquarc-ur
 £ Q , par.rapport à la ligne des ; centres TS -,
&. le complément ; de leur inclinaison par rapport
au plan de projection ITL. '.Ayant pris depuis Féquateur, les arcs £ G & QF
égaux à la latitude d’un lieu de la terre, tel que
Paris, on tirera la ligne GHF perpendiculaire à
Taxe PO, GH qui est le cosinus de la latitudeEG,
fera-le rayon du parallèle de Paris, ou du cercle
que décrit Paris chaque jour, par la rotation diurne
de la: terre: ; & G F sera, se diamètre de ce parallèle.
Des points Ç,:F.&.:íT, qui sont les extrémités
& le cemre du parallèle de Paris, nous abaisserons
des perpendiculaires G M,. FR, HN- ; les
points M, P., A7 où ces perpendiculaires rencontrent
le plan de.projection IL , seront les projections
des extrémités & du centre du parallèle. La. distance
TM du ceritre.T.de la projection au tord
intérieur jlí de la pi ojection du parallèle de Paris, est
 égale au sinus de l’arc G D , ou de.-la difseV
rence entre T G qui est îa latitude de Paris, & D E ]
qui esl la déclinaison du soleil ; la distance TR du i
centre T, de la projection à l’extrémké la plus i
éloignée R du parallèle de Paris, est égaie au sinus 1
de Farc .D F ou VF, ; cet arc- FF esl égal à la ]
fou me des ares- V,Q & Q F, dont l’un cìì égal à (
îa décliraison du soleil, & l’autre à la latitude de i
Paris : ainsi , la distance du- centre de la piojec- (
tion au sommet du parallèle, est.égale au íìnus’de ' <
la somme de la latitude du lieu, & dela décli- í
liaison du soleil. <La distance TN, ou l’espace compris entre le i
centre X de la projection, & le centre 2*7"du pa- I
rallèle, est le 'cosinus de l’angle HTN pour le I i
rayon TH, ou égal à TJÏcos. HTN ; mais TH ì
efi Je finus de la latitude de Paris ; tí TsN esl égal 1
. ?. l’arc PI ou à D E , c’est-à-dirc, à la déclinai ; ci f son du soleil pour, le moment.dònné, en prenant
: pour rayon , lf- rayon ; même de la projection-,
 ; donc TN esl le produit du sinus de la latitude,.
& du cosinus de la déclinaison. -Soit P CR , Faxe de la terre, fig. 66, élevé audessus
du cercle d’illumination , ou du cercle terminateur,
de la quantité P CN, égale à la déclinaison
du soleil. Soit A B D E le cercle ou parallèle
diurne de Paris ; A F, D G des lignes parallèles
aux rayons du soleil, & parallèles entr'elles.
: Ces lignes forment entre la terre & la lunej un
cylindre oblique dont la base est un cercle, mais
dont toutes les sections perpendiculaires à Faxe
font des ellipses, puisqu’elles sont laprojeétion d’un
. cercle vu obliquement. ; La projection de la terre entière dans Forbe de la
' lune, sera un cercle MF KG parallèle & égal au
: cercle d’illumination de la terre : mais le parallèle
de Paris ou le cercle A B DE n’étant poinr parallèle
au plan dèprojection XY, ou à la ligne N O >
il rie peut se projetter que fous une forme elliptique.
'C’est cette ellipse que nous allons décrire ;
elle est la même fur le plan de : projection XY
que furie plan qui.passerait par NO ; ainsi , tout
ce que nous ^avons.dit à l’oecafion ; de la fig. GÍ ,
aura lieu pour l’ellipse que npus allons décrire
sor le' cercle de projection qui passe par l’orbite
lunaire.-.' Dans les opérations soivantes, il faut bien com"
prendre que la dislance de la. lune, au point de
la projection qui représente un lieu de la terre ,
marque, la distance.apparente ; du soleil & de la
lune pour ce póintlà :. jè suppose un point A dp
Ia terre., fig. 66 , projette en Fp'ar un rayon AF ;
le même lieu-.A de la terre voit se soLeil sur la
ligne AF ; si 1c centre de lá lune répond, alors au
point L de la projection, l’observateur situé en A ,
verra l’a lune éloignée du soleil de Ia quantité F£,
Ainsi, le point F .étant la projection du point A
dela terre, c’est an point F de la projeclion que
l’on rapporte le soleil ,. quand on Fobserve du
point A. ' '.. ;'"Airmoyen des. propriétés que nous avons expliquées,
& de celles de l’ellipse, II esl aisé de
tracer l’ellipse de projection pour un lieu & pour
un jour donné. Soir AXB , fig.. G7 , le cercle d’ik
. sommation, ou le cercle de la terre qui esl perpendiculaire
au ;rayon du soleil ou à.la ligne des
centres ; il faut supposer le soleil aii-dessus.de la
figure, répondant perpendiculairement au-dessus ■
du centre C dela terre, Laligne XPD C esl un '
diamètre du méridien universel, dans lequel on
suppose le soleil immobile ; A CB esl un diamètre
de Féquateur , perpendiculaire au méridien universel
 ; P est la projection du pose , c’esl-à-dire ,
le point du plan de projection sur lequel le pôle
répond perpendiculairement ; on prendra les arcs
BL & A K égaux à la latitude du lieu ; ensuite
les arcs KM, K N, LR,L V, égáux à. là déclmaison
du soleil  ; on tirera les lignes M E R >E c l - , e c l i97KFV, 1 on aura CE égale au sinus de B B. óu de
la somme' de la latitude du lieu & de la décjinaifon
de Faslre ; & la ligne C F égale au sinus de B V
ou de la différence des mêmes arcs. Ainsi , les
points £ & F seront les extrémités de la. projection
du parallèle ; donc l’ellipse qui représente Ie
parallèle de Paris, aura £F pour petit axe ; '&
divisant £F en deux parties égales au point G ,
l’on aura se centre de l’ellipse ; car le centre doit
être nécessairement à égale distance des deux extrémités
E , F, du petit axe.Il est Vrai que le point G est différent du point D ,
par lequel passe le diamètre KL du parallèle de
Paris ; mais cela vient de ce que se cercle AXB
fur lequel nous avons pris les arcs B L , & A K
égaux à la latitude de Paris, n’est pas un méridien ,
ni un cercle fur lequel se comptent les latitudes ;
Faxe est incliné au cercle de projection ; le méridien
qui passe par AB est incliné au cercle AXB ;
le point de Faxe-par lequel passe le parallèle de
Paris, est bien à une dislance du centre égale k
CD ; mais çe point rapporté fur le cercle de projection
, répond, perpendiculairement en G, en
forte que CG esl égale à CD multipliée par le
cosinus de la déclinaison du soleil.Mais le demi grand axe de l’ellipse n’est autre
chose que le cosinus de la latitude du lieu ; ayant
donc la grandeur de Faxe, on tirera par le centre G
que nous avons déterminé, une ligne S-G Q parallèle
&ëgale à KL ; qui est égale au diamètre du
parallèle de Paris ; S G Q sera se grand axe de l’ellipse
qu’il s’agit de décrire.Connoissant le grand axe S Q & Ie petit axe
EGF de l’ellipse que nous cherchons , il sera aise
dela tracer , c’esl-à-dire , d’en trouver tous les
points d’heure en heure. On décrira fur íe "grand
axe un cercle SHQ O qui représentera le parallèle
de Paris ; ce cercle étant divisé en 24 heures
aux points marqués 1,2 ,3 ,.6'c, on sera sûr que
chaque point g du parallèle paroîtra sur la ligne g-/.Íierpendiculaire au grand axe : car quelie que soit
'inclinaison du cercle S HL , & Fobliquité sous
laquelle il fera vu, pourvu qu’il passe parles points S .
& Q , le point g- de fa circonférence répondra toujours
perpendiculairement au point h du grand axe ,
& Fabfcisse G h de-l’ellipse fera toujours le sinus
.de l’arc Hg du parallèle ou dela distance au méridien,
qui est de 15° à une heure, & ainsi des
autres, " •Pour trouver auffi l’ordonnée b h de l’ellipse au
même point ,-^on remarquera que laligne gh étant
vue obliquement, doit paroître d’une longueur i A ,
"telle que bhfoiî à gh , comme le cosinus de FinchDaifon-du
parallèle est au rayon., ou comme le sinus
de la déclinaison’esl au rayon ,. pu'enfin comme se
demi .petit axe £ G est au grand demi axe HG ;
donc HG': gh -.-.E G.: b h ; ainsi, gh étant par
exemple le cosinus de 30" pour le rayon H G ,
ìh sera le cosinus de 301' pour se rayon G E. Les.j
abscisses comme G h de l’ellipse, étant les íimisde {I54, 30d45d, &c. les ordonnées b h doivent "être
les cosinus des mêmes arcs, en prenant pour rayon
la moitié" du petit axe ; on marquera donc en partant
du centre G les points 1, h , 3 , tel que G I
soit se sinus de 15' 1, G h, le sinus de 30d &c auxpoints
1 ; h, 3 , &c. on élèvera fur G Q des perpendiculaires
qui soient les cosinus de I5d,- 30d ,
45d , pour le ravon F G■, ou G£ , & ces perpendiculaires
détermineront les points cherchés & lë
contour de l’ellipse du parallèle.Pour trouver aisément ces sinus & ces cosinus ,
au défaut d’un compas de proportion , 011 décrit du
centre G un autre cercle £ VF fur le petit axe ;
on le divise comme le cercle H Q en 24 parties,
ou en 48 , fi l’on veut avoir les demi-heures ; par
les points de divisions du grand cercle, on tire
des lignes comme gbf parallèles au petit axe,'&
par les. points de divisions du petit cercle, qui correspondent
aux mêmes heures, on tire des lignes,
comme ab parallèles au grand axe , celles-ci étant
prolongées vont rencontrer les premières dans des
points teís que b , & la fuite de ces points forme
' l’ellipse qu’on cherche.Lorsqu’on a tracé une ellipse bien divisée, sur
lin cercle de projection , comme l’ellipse de la
figure 168 , on se sert de la partie inférieure del’el-íipse,
 quand la déclinaison est septentrionale, &
de fa partie supérieure quand la déclinaison est
méridionale. Mais soit qu on se serve de la partie
supérieure ou dela partie inférieure de l’ellipse,
il faut toujours considérer Paris, comme allant vers
Ia gauche , c’est-à-dire, à Forient dans la partie .
visible du parallèle, ou dans la partie qui" esl tournée
vers le soleil ou l’étoile.La partie droite ou .occidentale de l’ellipse"sert
pour'les heures du matin, dâns les éclipses défoulai
 ; fi c’est une éclipse d’étoile fixe , cette partie
sert avant le passage de l’éioile. au méridien, puis-'
crue le mouvement de la terre se fait vers Forienr,
soir fur la terre, soit sur la projection qui en est
Fimage ; on marque òh ou I2h .aux sommets: du.
petit "axe, lorsqu’il s’agit du soleil, ou bien l’on y
. marquel’h.eurè du passage de l’étoile au méridien ,lorsqu’il
 s’agit d’une éclipse, d’étoile par la lune.
- 11 esl essentiel de marquer fun la projection , la
situation du cercle de latitude ou de 1 axe de l’écliptique,
par rapport au cercle de déclinaison i ou au.,
périt axe de l’ellipse,-cette position peut se trouves
par le moyen du calcul de l’angle de position ;
mais ', pour abréger autant qu’il est poflible, op' se
sert d’une opération graphique de la manière suivante.
Je suppoíe que F G H, fig. 70, soit un arc du
cercle de projection egal.au double de Fobliquité de
l’écliptique-, c’est-à-dire, que les arcs GF&LGH
soient chacun de 23d 28' y sor la tangente G, V-de
I2á 28' & du. centre G, l’on décrira un "demi-jcercle
VMX qu’on divisera en 12 signes comme
Fécliptique, en.commençant au.-point "X du côté
de l’occident-, OÙ l’on marquera iê bélier, ou cf.
,„S E'C L1 F. C L
de longitude-, on prendra sur cc cercle un arc égal
à la longitude du soleil ou de l’étoile, par exemple
XM ; on abaissera sur le diamètre VXla perpendiculaire
MN, & le point N de la tangente GNV
où passera cette perpendiculaire MN, sera le point
où l’on devra tirer le cercle de la latitude CSN,
l’angle GCS sera l’angle de position.On pourroit aussi faire une construction semblable
pour les étoiles fixes que la lune rencontre ,
en supposant le cosinus de la latitude égale au
rayon ; mais celle que je viens d’expliquer peut
suffire même pour les étoiles ; l’erreur n’est pas de
S’ de degré fur l’angle de position, ce qui est insensible
dans des figures d’uu pied de rayon, telles
que j’ai coutume de les employer. Au resle , on
trouve dans mon Astronomie ces angles calculés pour
routes les étoiles.considérables",, & j’en ai marqué
plusieurs dans la figure GS. On y voit que toutes
.celles dont la longitude est dans le premier ou
le.dernier quart de Fécliptique, c’est-à-dire, dans
les signes aícendans, sont â la ■ droite du méridien
CS ; les autres sont à la gauche, ou à Foccident
du côté du nord.Qn peut maintenant, par une opération trèscommode,
& avec l’exactitu'de d’une ou deux minutes
de tems, trouver le commencement & la fin
d’une éclipse avec la règle & le "compas. On voit
dans la figure GS., un demi-cercle qui doit avoir'
au moins 6 pouces de rayon, & qui représente la
projection de la terre dans l’orbite de la lune ; le
rayon- CR est divisé en autant de. minutes qu’en
confient la parallaxe horizontale de la lune ; le
diamètre TR esl parallèle à Féquateur : CS est
une portion du méridien .universel ou *du cercle
de déclinaison qui passe par le soleil ou par l’étoile ;
CK est la distance du centre de projection au centre
de l’ellipse ; /££ est le demi-axe de l’ellipse, K V
où KQ le demi-petit axe ; nous avons donné cidessus
la manière de trouver toutes ces dimensions.
Cette ellipse représente le parallèle de Paris, ou la"
trace décrite fur le plan de projection, par le rayon
menè de Paris aune étoile, dont la déclinaison est
de 26 degrés. On tirera le cercle de latitude CL,
ou Faxe de l’écliptique, de la manière que nous
avons indiqué y dans ce cas-ci, il est à la gauche
du cercle de déclinaison, & placé pour l’étoile antarès
ou a ìiy,, c’est-à-dire, « du scorpion. ' ;La latitude de la lune , au moment de la conjonction
 ? étant prise furies divisions de la ligne
CR qui sert d’échelle, & portée de C en L fur
le cercle de latitude ; le point L eslcelui où doit
" casser l’orbite de Ia lune ; on marquera au point £
1 heure de la conjonction. - . .'1. . .'."Pour tracer l’orbite de- la lune , on tirera au
point L de la conjonction une ligne £ As perpendiculaire
au cercle de latitude ; le mouvement horaire
de la lune en longitude, moins celui du soleil
pris fur l’échelle CR se porte de £ en M ;-
Je mouvementde latitude se porte de M en N parallèlementau cercle de latitude ; au midi dupoint M, si lalune se rapproche du nord, & aunord fi elle s’approche du midi ; par les points N& £ , on tire l’orbite de lune 1NL & l’on marque^ une heure de moins au point N qu’au point L i' l’on divise N L en 60 minutes de tems, & l’onporte les mêmes divisions à gauche du point L,pour avoir la situation de la lune de minutes en ; minutes, une heure avant & une heure après lai conjonction. On prolongé ces mêmes divisions plus1 loin si cela est nécessaire. ' _On marque fur l’ellipse les heures du soleil ou
de l’étoile qui répondent aux divisions qu’on à
trouvées par les règles précédentes, en décrivant
l’ellipse ; savoir, 6b du matin à la droite, & 6' 1 du
soir à la partie orientale ou à gauche, &'c. s’il s’agit
du soleil. "On prend sur les divisions de CR la somme
des demi-diamètres du soleil & de la lune, ou le
diamètre seul de la lune , s’il s’agit d’une éclipse
d’étoile. Le compas étant ouvert decetre quantité,
on voit si le tems de la conjonction marqué en L,
& la même minute de tems, prise fur les divisions
de l’ellipse, sont éloignés entr'eux de cette quan•
tité des demi-diamètres ; dans ce cas, le tems de
' la conjonction seroit auffi le teins du commencement
ou de la fin dé l’éclipse ; ce seroit le commencement
, si le point trouvé sur Ie parallèle étoit
à gauche ou à Forient du point L ; ce seroit la fjn
\ de l’éclipse , si le point de l’ellipse, marqué de la
: même heure que le point L, étoit à l’oecident ou
à"-la droite du point L de l’orbite. Si cette dislance
des points correspondans sor l’ellipse & sur l’orbite
de la lune, n’est pas égale à la somme des demi ;
diamètres, on cherchera en avançant à là droite
: du point L ,■ toujours avec la même Ouverture de
compas, une Tieure dans l’ellipse & dans Forbitç
dela lune qui satisfasse à cette distance ; alors cette
' heure sera, celse du commencement de YécUpse ;
car on a vu que l’éclipse commence pour Paris,
quand la distance AI entre se point de la projection
où Paris voit se soleil, c’est-à-dire, auquel Paris
répond, & celui où se trouve la lune au même
instant, est égale à la somme des demi-diamètres
du soleil & de la lune, La lune avance sur son
. orbite de I en £, & Paris dans" son parallèle de A
en B , mais bpaucoup plus lentement, puisqu’il y'
a 12 heures pour Ia demi-ellipse E VF du parallèle
de Paris, tandis que la lune en 2 heures óu'
environ, fait dans son orbite IL,, un chemin’auffi
considérable : ainsi, la lune arrivera de l’autre côté
pu à Forient de Paris, & se frouvera en £ lorsque
Paris ne sera arrivé qu’en B ; si çette dislance
B £ est égale à Ia somme des demi-diamètres de
la lune & du soleil, & que les points B &. E rèv
pondent à Ia même heure & à la même minute,
on est sûr d’avoir la fin de YécUpse.'Le milieu de l’éclipse est à-peu-près se milieu deFintervalle de tems écoulé entre se commencement■ & la fin ; la distance- des deux points comme P■e cl - ecl : fysH G qui tiennent le milieu entre le commencement
& la fin,' l’un sur l’orbite & l’autre furie
parallèle , donnera la plus courte distance des
centres du soleil &. de la lune dans le tems du
milieu de YécUpse. Cette distance portée avec le
compas fur les divisions du rayon CR , se trouvera
exprimée en minutes & en secondes de degré.
Si le point J ? de l’orbite est au-dessous ou au midi
du point G du parallèle, ce sera une preuve que
la lune passe an midi de l’autre astre. On trouve :
aussi la plus courte distance des centres, íàns supposer
que le .milieu de YécUpse soit à égale distance
du commencement & de la fin : il n’y a qu’à chercher
les déufc points correfpondans marqués de la
" même minute fur l’orbite & fur l’ellipse ; se point
où l’on■ verra que cette distance ne diminue plus,
& où elle augmente un instant après, sera aussi la
plus courte distance.Pour éviter de diviser chaque fois le rayon Cil
de la projection ,, en autant de parties qu’en contient
la parallaxe , c’est-à-dire, tantôt ^4', tantôt
6ï, fans compter les fractions de minutes ; on
forme une échelle EF, fig, 69 , dont les lignes
font plus longues que se rayon du cercle qu’on
veut faire servir de projection, lorsque la parallaxe
est plus petite, & plus petite quand la parallaxe
est plus grande ; c’esl-à-dire, que le rayon
deprojection étant toujours supposé de 60 minutes,
il faut avoir une échelle ôù l’on puisse trouver
toutes les" parallaxes depuis 54 jusqu’à 61 mimites.
II en est de même du mouvement horaire
& des diamètres", qu’on prendra fur cette échelle
plus longue, quand la parallaxe sera plus petite.Le demi-diamètre de la lune étant toujours les 4.
de la parallaxe , ce sera une quantité constante pour
une figure dont se"raypn ne change pas ; on prendra
CH égal à 4r de CT, & cette ligne représentera
toujours le demi-diamètre. On néglige ici Faugmentation
qui a lieu, à raison de la hauteur de la
lune sur l’horizom ■'■..'.'Quand on a la plus courte distance G D des
centres, & que l’on veut conclure la grandeur de
l’éclipse en doigts , il faut diviser se diamètre du
soleil pris’sur l’échelle des parallaxes en 12 doigts
ou 12 parties, & porter la. différence entre GD,
& lá somme des demi-diamètres fur cette" échelle ;
l’on y voit aisément la partie éclipsée du soleil, en.
doigts & fractions de doigts.En décrivant d’autres ellipses" fur la figure 68 ,
pour représenter les parallèles de différentes latitudes
, on’trouve les phases d’une éclipse pour différéns
pays, & c’est ainíi que nous avons coutume
de construire les figures des éclipses de soleil dans
nos éphémérides , en marquant fur une Carte de
Géographie, fig. 73 > ses ^Snes des phases ; on y
remarque fur-tout la fuite des pays qui dévoient
voir l’éclipse centrale &. annulaire en 1764. ; cette
ligne passe fur l’Efpagne, FAngleterre & la Norvège ;
& il ne faut, pour la tracer, que voir íur '
une projection,, comme celle de- là figure- 6.8 , Les J■ parallèles qui -sont coupés par i'pr-bite de Ia lune
& les heures qui se trouvent marquées .aux- inter- '
sections ; cela donne les latitudes 1 & les longitudes
des différons’points de la terre.qui voient successivement
une cr/fp/e centrale, Par exemple, fi l’orbite
de la lune, au point marqué 2 heures, coupe le
parallèle de 5_o°_ au ..point de 3 heures, il ;s’ensuit
que YécUpse étoit centrale fous la latitude de 50
degrés, à 15 degrés du méridien de Paris vers
Forient. Les courbes qui forment comme un huit
déchiffre , & marquent le commencement & la .fin
de YécUpse au lever & au coucher, du soleil, se
nomment courbes d’illumination ; quelquefois ces
. courbes forment deux ovales séparés, oU même unseul
ovale ; celles qui:font dans la fig. 73 , paroissent
fur-tout assez bizarres y mais quelques considérations
, fur la nature du phénomène qu’elles
représentent, feront sentir les raisons générales de:
leur forme & de leur situation. Les" courbes du
coucherions vers ia droite, & plus orientales que ;
celles du lever, parce que les pays qui quittent
Fhorizon quand l’éclipse commence, ont plus de
longitude ; .&,sont’plus orientaux que ceux qui- y
arrivent.,, o.u :qui ont le soleil levant ; les courbesdu
coucher sont plus au nord que celle du lever,
cela arrive en .général dans les signes aseendans yi
fur-tout quand îa lune est ên même temps dàns son"
noeud ascendant ; car alors elle va en se rapprochant
du nord, depuis le commencement jusqu’à ;
la fin de YécUpse ; les pays -qui voient YécUpse í
la partie orientale de la projection,.fig. 68 , font
plus au nord que ceux qui ont Vu YécUpse ; en se:
levant dans la partie droite de la projeclion.Le pays situé en B-, qui est à-peu-près le plus’méridional
de tous ceux- qui peuvent vpir. l’éclipse
au soleil levant,, ne voit qu’un .contact,. ou un ins-tant
 d’éclipsé ; &çe.pays. Voit tout à-la-fois à le commencement
, le milieu & la fin ; ainsi , les trois
courbes commencent en Un poinr5,.qui est àl’occident
dela figure,, parce que la lune arrivant paf ;
l’ocçident, les pays ses plus occidentaux font ceux",
qui"voient l’éclipse les premiers.,
-..- Dans des pays un peu plus septentrionaux, Ia ?;
lune étant un peu plus basse, 11 y a.un peu plusde
parallaxe, la lune mord davantage fur le soleils
YécUpse y .dure plus long-tems, & il se passe plus:
de reins entre le commencement & la fin y. il y a*
donc plus d’espace entre le lieu £ qui se lève'
quand YécUpse commence,. & lelieu F qui-se lève ;
quand YécUpse finit ; voilà-pourquoila courbe s’élar—
gif& serenfíeen£ & en F ; mais se point E qui ?
lë lève ou qui. arrive, sor le cercle termináteur ,,, parallèle
 au plan de projection, quand: l’éclipse
çommerice est plus oriental que celui-qui se lève:
quand YécUpse finit ,., & la dislance de.ces deux:
points,, ou la largeur de la courbe,.répond à la ;
plus grande durée de Y éclipsé , & á la petitesse des ;
degrés de longitude ,_qui fait que la- courbe occupe
inoins d’espace y la plus grande, largeur ers ?
- longitude est à i&° de latitude. Sous lé garaUèlecfc
e-oo E C L Ë C L .
85° 11' , le soleil rie se couchoit qu’un instant,
le premier avril 1764, donc les trois points qui
séparent la partie droite &la partie gauche de chaque
courbe, c’est-à-dire où l’on voit se commencement,
se milieu & la fin de l’éclipse au lever , & tout
à-la-fbis au coucher du soleil, doivent être fur ce
cercle-là ; & les courbes qui marquent là fuite-de
ces points, doivent toucher la circonférence de ce
petit cercle , voilà pourquoi les trois courbes se
rapprochent & se terminent fur ce parallèle , vers
se nord , ces trois points, dont l’un G esl commun
aux courbes du lever, & du coucher au commencement ;
Ie second H appartient aux courbes du
milieu de l’éclipse' ; au lever & au coucher ; le
troisième I est celui du lever cVdu coucher à la
fin de l’éclipse.
La courbe de la fin au lever , coupe Celle du
commencement au coucher en un point K trèsvoisin
du parallèle de 85° 11', parce que le pays
qui, après avoir vu YécUpse commencer au' coucher
du. soleil, la voit finir le lendemain matin au
lever du soleil , a nécessairement’ une nuit fort
^courte ; il est par conséquent situé à une latitude
fort grande & sort peu éloignée de celle où le .
soleil ne se couche point ; il est à 85° 3' de lâti- ,
tude & 2100 de longitude, lí y a encore deux
autres points d’intersection y en sorte que l’on doit
considérer six points, là où les figures ordinaires
semblent n’en indiquer qu’un seul. On trouvera
toutes ces singularités détaillées dans mon Astronomie
& dans le Mémoire de M. du Séjour. Mém.
de l’Acad., 1769. On voit auslì fur la figure 73 ,
les lignes qui marquent les différéns pays de la
terre où l’éclipse paròissoit de-9 doigts, de 6 , de 3 ,
enfin ceux qui ne,'voyoient qu’un fimpse contact
des bordas du soleil & de Ia lune.LES ÉCLIPSES D’ETOILES se calculent comme,
les éclipses de soleil, pn .observant, 1.° que CL ,
fig. G8, est la différence entre la latitude de la
lune'&- celle de l’étoile ; z.° que LN est le mouvement
horaire de la lune seule, puisque l’étoile '
n’a aucun mouvement propre y 3. 0' que sur les
points Q óu V de l’ellipse, on marque l’heure du
passage de l’étoile au méridien, ou plus exactement,la
 différence entre son ascension droite & celle du
soleil , convertie en tems , pour le moment de
YécUpse ; 4. 0 que-l’on prend la distance ì A égale
au seul demi-diamètre de la lune. Nous allons en
donner un exemple, afin de rendre le procédé plus
clair. Le 7 avril 1749 , antarès fut en conjonction
avec la lune à zh 22' du matin ; la parallaxe dela
lune émit alors de 57' \ , son mouvement horaire ■
35' 12" en longitude, .& ï 56" ën latimde décroissante ;
la latitude de la lune, au moment de
la conjonction , étoit de z* 45' 22", au midi. de
1 écliptique ; celle de l’étoile étoit de 4d 32' 12" •
ainsi, la lune étoit au nord de l’étoile de 46' 50" !Je commence par tirer Faxe de Fécliptique ou
le cercle de latitude CL ; au point qui convient
íi la longitude d’antarès Ss 6* ió'y'je prends furl la ligne qui répond à 57' dans l’échelle dés páral’
làxfes, une quantité de 46" 50", & je la porte de C
en £ fur le cercle de latitude ; au point L , je
tire la perpendiculaire £ M. Je prends fur la même
échelle- de 57' de parallaxe ; le mouvement horaire
de h lune 33' j, & je le porte de £ en M fur
la perpendiculaire au cerclé de latitude ; jeporte
auslì z au-dessous du point M, parce que la lune
s’avançoi t de 2' par heure vers le nord, & le point N
marque le lieu de la lune, Une heure avant la conjonction,
à i 1' 22' du matin, puisqu’elle esl arrivée
au point £ à 2h 22' ; je divise Fintervalle LN en
60 parties, & je marque la situation de la lune
de 10 en 10 minutes. Au sommet P^de l’ellipse,
je marque l’he-ure'du passage d’Antarès au méridien
de Paris z} 11', & fur les autres divisions de l’el- .
lipsc, 2h 11', &c. jefubdivise ces intervalles de iò
en 10', comme fur l’orbite de la lune.Je prends lé demi-diamètre dela lune, qui se
trouve depuis C jusqu’en H ; cette ouverture de
compas ayant une pointe en fsur ih 1", l’autre
pointe tombe au point A de l’ellipse, & y rencontre
aussi une heure & une minute ; ainsi  ; il
doit se faire alors une éclipse., lá distance de la
lune étant précisément égale au demi-diamètre de
Fa lune, ce qui suppose un contact de l’étoile Sc
du bord de la lune.Je promène la même ouverture de compas de
l’autre côté , en avançant vers Forient, & je trouve
qu’une-des pointes’étant ën’£ stir 2ll’ii', l’autre
pointé tombe auíïì à 2h 11'fur l’ellipse en B ,
c’.esl lemoment de l’émersion. C’est vers lé milieu
de cet intervalle, la lune étant en D & l’étoile
en G , qu’est arrivée la plus courte distance ; on
s’en assurera en mesurant la distance de minute en
minute, quelques instans avant & après’ : cette plus
courte dislance D G -étant portée sor la ligne 57'
de_ l’échelle des parallaxes, se trouvera de 6' y ce
qui m’apprend que 1e centre de Ia lune a passé à G
au midi de l’étoile, vers le tems de la conjonction
 ; cela esl conforme à l’observâtion que je.sis
à Paris cette nuitlà. '■ ' .Les éclipses des planètes, par la lune, se' calculent
de la même manière que celles de soleil ou
d’étoiles ; la seule différence confisle à prendre' la
somme des mouvèmens de la planète & de la lune
en latitude, & Celle de leurs mouvèmens en longitude
, réduits à la région de l’étoile., ou bien leurs
différences, s’ils sont du même sens ; cela donne
le mouvement relatif en longitude & en latitude,
qui sert à trouver l’inclinaison de l’orbite , avec
laquelle on calcule Fimmersion , l’émersion &le
milieu de l’éclipse , comme nous venons de faire
pour l’étoile.Les éclipses des planètes, par la lune, sont assez
fréquentes ;' mercùrs est la seule planète que l’on
puisse rarement observer , quand elíe est cachée par
lalune ; je n’en connois que deux observations ,
l’une faite au.Brésil par Margraf, dans k dernier
siécle ;
E cl" e c l éoísiècle,.& une du 8 mai 1774, faite au château de
Bonrepos, près de Toulouse : ces éclipses scroient
très-utiles pour déterminer les longitudes des villes
-où on les Pbserve. yAutres écUpses. Les planètes sont quelquefois
assez prpches l’une de l’autre pour s’éclipser mutuellement
 ; mars parut éclipser Jupiter le 9 jan’,'
vier 1591 ; il fut éclipsé par venus, le 3 octobre
1590, Kepler Astron. pars optica , p. 305. Mercure
fut caché par venus , le.,. 17 mai 1737 , Philos.
Transita. n.° 450, "-'•On trouve auffi dans* les ouvrages des aslro-'
. rìpmes , plusieurs exemples des occultations des
étoiles par les planètes. Saturne couvrit l’étoile o
à la corne australe du taureau, se7 janvier 1679 ,
suivant M. Kirch, Misicell. Berolin. p. 2.05 ; Jupiter
, l’étoile du cancer , appellée Y âne austral, le
4septembre 241 ans. avant J. C. Pound observa, en
1716, l’occultation de l’étoile a des gémeaux, Philos,
transi n.° 350. Le 18 janvier 272 ans avant
J. C. mars couvrit l’étoile boréale au front du
scorpion ; & Gassendi Fa vu couvrir l’étoile qui est
à l’extrémité de Faile de la vierge : en 1672, il
couvrit encore urie étoile du verscau. Vénus dut
auffi cacher la belle étoile au coeur du lion, le 16
septembre 1574, suivant Moesthlinus, &.Ie 25 septembre
1598 , suivant Kepler, Astron. pars opt. p.
305. Riccioli, Alm. I. 721.
. Les comètes couvrent auffi quelquefois des étoiles
fixes. Le 12 janvier 1764, je vis. la comète qui
paroissoit alors, sortant de dessus une étoile de
7" grandeur à la queue du cygne. Ces fortes
d observations* seroient très - curieuses pour la
théorie des comètes, fi l’on connoissoit parfaitement
les positions des petites étoiles.On observe avec soin les éclipses des satellites
de Jupiter, sorfqu’ils entrent dans Fombre de cette
planète. Voyez SATELLITES.On peut regarder comme une autre forte d’éclipsés
les passages de meroure & de venus fur le disque
- du soleil, dans leurs conjonctions inférieures. Voyez
PASSAGE.Usage des éclipses. Le principal usage des éclipses
de soleil ou d’étoiles consiste à trouver ses longitudes-des
lieux où elles ónt été observées, & à
corriger les tables astronomiques ; dans ces deux
cas, il faut trouver d’abord Fheure de la con j onction
par le moyen de FobserVation. Soit S, fig. 7z , se
soleil ou Fétpile qui est éclipse ' ; £ la situation
apparente du centre de la lune , par rapport au
soleil au commencement de l’éclipse ; F le lieu
apparent du centre de la lune à la-fin de YécUpse
( ou à l’émersion ; L F lemouvement apparent de
• îa lune, par rapport au soleil dans Fintervalle de
îa durée de YécUpse ; G HI un arc de l’écliptique,
D S E un parallèle à l’écliptique passant par le
centre du soleil ou de l’étoile ; si F. A est parallèle
à D E , l’on aura A L pourse mouvement apparent
en latitude , &.F A pour le mouvement relatif
apparent en longitude fur un arc de grand cercle :
■Mathématiques. Tome IxH,e Partie.cet are se confond sensiblement avec le parallèle ï
l’écliptique , mais il est plus petit de quelques
secondes que l’arc G I- de l’écliptique ; ce mouvement
est la première chose qu’iî s’agit de trouver.
On connoît par les tables Fheure de la conjonc-^
tion vraie calculée , de même que les longitudes &
ses latitudes vraies dela lune, & de Fastre éclipsé
au commencement & à la fin deY éclipse : on calcule
pour .les mêmes instans la différence des parallaxes
en longitude & en latitude ; on ajoute chaque parallaxe
à Ia longitude vraie, ou bien on la retranche
suivant les cas, & on a des longitudes apparentes
ou affectées de la parallaxe , dont la différence est
le mouvement apparent de la lune fur l’écliptique ; .
on en retranche le mouvement du soleil , ou de .
Fastre éclipsé ; s’il est rétrograde ou F ajoute, 8c
l’on a la valeur de GI, mouvement relatif apparent
fur l’écliptique.On applique de même la différence des parallaxes
en latitude pour chacun des deux instans ,> à la latitude
vraie de la lune calculée par ses tables, on a
fa distance au pôle boréal de l’écliptique, & l’on a
les latitudes apparentes IL, G F, au commencement
& à la fin de YécUpse : la différence de ces
latitudes apparentes ou leur somme, si l’une étoit
australe & 1 autre boréale, est le mouvement apparent
de la lune en latitude ; on en ôte le mouvement
- en latitude de Fastre éclipsé , si sa latitude change
dans le mémo sens que celle de la lune, & l’on a
la valeur A L ; on multiplie lá différence des lon.
gitudes apparentes, c’est-à-dire, G I, par le cosinus
de la latitude apparente qui. tient le milieu entre
les latitudes I £ & F G , &. l’on a la valeur du
mouvement FA mesuré dans la région de Y éclipse ;'
Voyez RÉDUCTION des petits Cercles. 11 est’pius
petit que le mouvement fur Fécliptique , d’une
quantité-dont j’ai donné la table dans ia Connoiffance .
des mouvèmens célestes pour 1764, pag. 118.Dans le triangle F A L rectangle en A l’on
connoît les deux côtés F A & A L, on trouvera
l’angle L FA qui est l’inclinaison de l’orbite apparente
j & Fhypothénuse FL, mouvement apparent
de la lune fur l’orbite apparente, relativement au
point S qui est toujours supposé immobile pendant
Ia durée de Y éclipsé.Dans se triangle LS F on connoît trois côtés,.le mouvement apparent F £ en ligne droite, lasomme des demi-diamètres de la lune & de Fastreéclipsé, celui de la lune étant augmenté à raisonde sa hauteur sur Fhorizon , & la somme étantdiminué de 3" \ à cause de Finflexion des rayons \cettë somme des demi-diamètres pour le commencemeriFestS L , & pour la fin c’est S F. Oncherchera les angles S L’F & S F L, en disant:Le grand côté est à lasomme des deux autres, comme■ leur différence est à Ia différence des segmens BL. & B Fi formés par ,1a perpendiculaire S B ; la: moitié de cette différence trouvée, étant ajoutée ? avec la moitié du mouvement F £ adonnera le ; plus grand des deux segmens y cette demi-différence ■Cy (r ÍJ o
,ínr FCL" E C t ■■:..•
ôtée de la moitié de F£ donnera leplus pítit segment.
L’on prend le segment qui esl du cótéde la plus
grande latitude apparente, soit qu’elle soit de même
dénomination, ou de dénomination contraire ; c’està-dire,
que si dans lá première observation la latitude
apparente 'calculée I L est plus petite que
dans la -seconde, on se servira du rayon de la
lune & du segment qui répondent à la seconde
observation ; mais si la latitude est plus grande au
commencement de l’éclipse , on choisira se segment
qui répond au commencement ; avec ce segment
on sera la proportion suivante : la somme des demidiamètres
apparens qui répond à ce segment, est
au rayon des tables comme se segment correspondant
est au cosinus de l’angle adjacent B L S
ou B F S ; cet angle B FS ajouté avec celui de
l’inclinaison apparente LFA , donnera SFA complément
de l’angle de la conjonction apparente-,T ou l’angle D S F qui répond à la plus grande
latitude.Le rayon est à la somme des demi-diamètres
apparens S F, qui répond àla plus grande latitude,
comme se cosinus de l’angle D S F esl à S D : cette
quantité divisée par le cosinus de la latitude H S
de Fastre S, si ce n’est pas le soleil, donnera la
distance H G à la conjonction apparente , pour
celle des deux observations qui répond à la plus
grande des deux latitudes apparentes( de la lune.On ôtera cette distance de Ia longitude vraie du
soleil ou de l’étoile, si c’est le commencement de
YécUpse auquel répond la-plus grande latitude ; on
l’ajouteraavecla longitude vraie du soleil, fi c’est
la fin de YécUpse , & l’on aura la longitude apparente
de la lune observée. Cette longitude apparente
observée étant comparée à celle qu’on avoit
calculée, donnera Ferreurdes tables en longitude.
11 pourroit arriver que Fimmersion’ fût après la
conjonction apparente en longitude : le cas est' aare ; mais si l’on avoit lieu de le craindre, on pourroit
s’en assurer en calculant par les tables seules
& Fimmersion, & la conjonction apparente.
• Le mouvement vrai de la lune par rapport au
soleil sur l’écliptique , est à une heure , comme .
■Terreur des tables en longitude est à un nombre .
de secondes de rems qu’on ôtera de Fheure de la
conjonction calculée par les tables, si l’on a rrouvé
par observation une longitude plus grande que par
les tables j & l’on aura Fheure dela conjonction
observée ; c’est ce qu’il falloir trouver.11 est toujours utile de trouver également la
conjonction & l’erreur des tables, par le moyen de
l’autre triangle S B L, qui est du côté de la plus
petite latitude , en prenant l’autre segment , &
l’autre somme des demi-diamètres, & en prenant
•la différence des deux angles, dont on a pris Ia
.somme dans le premier calcul. Le résultat doit être
exactement le même, puisque les deux observations
du commencement & de la fin n’en font qu’une
feule pour la détermination de la longitude & de
Ja latitude de la lune.Le triangle S D F qui a'servi á trouver Ia différence
de longitude apparente S D , sert aussi k
trouver la différence des latitudes apparentes, c’est- '
àrdire, F D , qu’on ajoute avec la latitude de
l’étoile S , si celle de la lune F qu’on a calculée
par les tables , a été trouvée plus grande que celle
de l’étoile , & l’on aura la latitude apparente de la
lune, qui, comparée avec celle qu’on a tirée des <
tables, fera connoître Ferreurdes tables en latitude.II peut arriver un cas où l’on seroit embarrassée
de savoir si le point F est plus ou moins éloigné de
Fécliptique "G I que se point D , c’est lë cas où la
différence F D des latitudes apparentes de la lune &
 de l’étoile ne seroit que d’environ 30" dans chacune
des deux observations ; l’erreur des tables
laissant à-peu-près une incertitude de 30", on nefauroit
pas si le centre de la lune passe au nord ou
au midi de Fastre S : dans ce cas, se commence- '
ment & la fin d’une éclipse ne fussiroient pas pour
déterminer la latitude ; il faut y suppléer ou par la
grandeur de l’éclipse, s’il s’agit du soleil, ou parla
différence de déclinaison observée entre la lune &
l’étoile avant Fimmersion & après Fémerfion ;
dans ce cas-là, il faudroit calculer la longitude &
la latitude apparente de la lune pour le moment
de Fobservation, en conclure Fascension droite &
la déclinaison apparente, les comparer à celles :
qu’on auroit observées y on jugeroit si la lune est
plus au nord ou au midi par F observation’, que
par les tables. : -Les préceptes que nous venons de donner pour
trouver la conjonction vraie , suffisent à- cêux qui •
ont déjà Fhabitude de ces sortes de calculs ; les
autres auront besoin de se fortifier par quelques
exemples : en voici un en abrégé.Le 6 avril 1749 , l’étoile antarès sot éclipsée par •
la lune à Berlin à 14'' G 19" de tems vai ; elle
reparut de l’autre côté de la lune à I5h 12' 54".
Le même jour, j’observai Fimmersion à Paris à 13h 1'
20" ; je me propose de chercher la différence des •'
méridiens entre Paris & Beilin, parla comparaison
de ces observations. II faut déjà connoître à-peuprès
la différence des méridiens que l’on cherche,
ou bien le premier calcul ne sera qu’une approximation
 ; & on le recommencera , pour trouver le
même résultat une seconde fois avec plus de précision..
Par exemple, si je n’avois aucune idée.de
la longitude de Berlin , je prendrois Fintervalle
entre ses heures de Fimmersion à Paris & à Berlin,
qui est 'ih 4' 59" que je fupposerois la différence
de deux méridiens y mais, sachant dès-à-présent que
cette différence n’est pas fort éloignée de 44' 15*,
je-mefuis servi de cette connoissance.J’ai réduit au méridien de Paris les deux obscr- ■
vations de Berlin, en tems moyen, & j’ai calculé
pour ces deux instans les lieux du soleil, lès longitudes
& les latitudes vraies dela lune , les parallaxes
, & enfin les longitudes & les latitudes
apparentes de Ia lune à Berlin. ■ ■Le mouvement apparent en latitude dans Fespace
- "• '-V. E QL ; '- E CL ínî
8c iu 6** 35', cju'a duré l’occultatíon à Berlin, c’est.à-dii'ë
j AL, est de ì 5* 5, dont la latitude áppa- •
rente croissoit :1e mouvement apparent en longitude
sur l’écliptique étoit de 27' 8" 4 = G I, &
27' ?" 1 danslà région de l’étoile sor un grand cercle
FA ; par-là on trouve l’angle A F L de 32' 50" &
le côté F £  ; ou le mouvement apparent de la lune
fiur son orbite apparente 27' 3*1.
'.,-v" Le diamètre horizontal de la lune étant 3 ï 17",
le demi-diamètre apparent, diminué à raison de
Tinflexion, est de 15' 3 6" 9 = S L pour lc premier
instant, & de i<j ! 37" 3 = S F pour la fin. Ayant
abaissé du centre i" de l’étoile une perpendiculaire
. S B sur la ligne F £ qui joint les deux lieux appa.
.rens, les segmens seront de 13' 31" — B L &
, 13'.31" 3 8 = B E , on cherchera l’angle BLS" ;
on en ôtera l’angle AFL ou CLF de 32' 50", &
l’on aura l’angle S L C. Dans le triangle £ SL ,
pn connoît S L & l’angle ESL, on trouvera S E
de 13' 35" 7 , qui divisé par le cosinus de la
latitude apparente £ I, donnera la distance à la
conjonction H J sor l’écliptique 13' 38° 4. Cette
distance if I est à l’occidênt de Fétoilé, & précède
la conjonction apparente, puisqu’il s’agit de
Fimmersion, & que la lune étoit moins avancée ;
niais la parallaxe de longitude faifoit paroître lâ
lune plus avancée vers Forient, parce que la longitude
de la lune étoit plus grande que cellê du
nonagésime ; ainsi , le vrai lieu de la lune étoit
encore plus éloigné, que le lieu apparent : il
faut ajouter la parallaxe de longitude avec la distance
à la conjonction apparente, & l’on aura 32'
59" 8 pour la distance de la lune à la conjonction
vraie en minutés de degrés comptées fur Fécliptique^
ce qui fait o% 59' 37°, à raison de la différence
des mouvèmens vrais de la lune & du soleil.
Les 59' 37" font la différence entre Fobservation
& la conjonction vraie : or Fimmersion avoit été
observée à i4h 6" 19" ; donc k tems vrai de la
conjonction étoit à I5tì 5' 56"', au méridien de
Berlin.- '-. -■ Pour vérifier se calcul précédent, il est bon,de
chercher áussi.la conjonction par l’émersion de
J’étoile, & dans cet.exemple on trouve la distance
■' à la conjonction apparente-G H, mesurée sur l’écliptique
de 13' 30" G, dont la lune^toit plus-prientale
• que l’étoile ; mais la parallaxe de longitude la faifoit
paroître plus avancée, & le lieu apparent étoit
plus oriental que le lieu vrai de 9' 38" 6 ; donc il
reste .3' 51" 4, dont la lune avoit réellement passé
fa conjonction vraie avec l’étoile, ce qui fait en tems
. ■ 6'- 58" : cet,intervalle étant ôté de Fheure de- cette
seconde observation i<,h 12' 54", on trouveletems
vrai de la conjonction vraie à 15h 5' 56"' ^aussi-bien
que par la première..Pour connoître la vraie latitude de la lune parcette observation, l’on cherchera aussi les côtés D F: ■& £ L, par le moyen des triangles P i1 F & L SÊy/on trouvera D E =7' 56" > &£ L =7 4*" » on-ajoutera ces quantités à la latjiude.de l’étoile -4*32.' ii' = lEz=zGD , &l’on aura les latitudes
• apparentes de la lune IL, G F, 4 ? 39' 12", & 4A|
40'8": on ôtera les parallaxes de latitude 52'52", ;:
& 55' ió", parce que la latitude australe de la lune
étoit’ augmentée par la parallaxe,, & l’on aura 34
47' ò" & 3" ! 44' 52* -, par les latitudes vraies de
la lune IM&. G N conclues de Fobservation plus,
petites de 18" que par les tables. On remarquera
en pasiànt que l’orbite vraie M N de la lune se
rapprocheici de l’écliptique, quoique l’orbite appaparente
£ F s’en éloigne par l’effet de la parallaxe.11 s’agit de trouver auslì Ia conjonction vraie de
la luné à l’étoile par Fobservation de Paris, et »
faisant à-peu-près la même opération que pour
Berlin , & l’on trouve le tems vrai de la conjonction
à 1411 21' 46" : la différence entre cette conjonction
& celle de Berlin qui est arrivée à I5h 5' <) 6",
 donne la différence des méridiens de oh "44.
10", & par rapport à l’observatoire royal oh 44'
12".Les éclipses des principales étoiles font lës plusutiles
de toutes pour 4a théorie de la lune & la
détermination exacte des longitudes des villes ;
, Aldebaran en supposant 45' de parallaxe en latitude
, doit être éclipsé lorsque le noeud de la lune
est vers 4* lyouó' de longitude, comme en 1680,
1700, 1718, 1755 j 1773- Lorsque'le noeud est
vers os ÍJ° & y* 50 , comme en 1745 , 175 3, 17Í4,
c’est Fépi de la Vierge. A os 10° & 9S23° c’est
Antarès, comme en 1709 j 1749 ^ èn J7^^ '■> erifin~
à4Íìgnes’i3° & ns io°, le coeur du lion fournit
des éclipses fréquentes , comme en 1683, I747j
1765 & 1776 ; mais la plupart de ces éclipses nous
échappent ou par les mauvais tems ou par Fheure
où elles arrivent. Lës éclipses des étoiles de seconde
& de troisième grandeurs, sont un peu plus fréquentes
, mais elles ne sont pas fi faciles à observer
avec exactitude.Cette manière de déterminer les longitudes des
"différéns pays de la terre par la conjonction vraie
calculée pour les deux pays, esl la plus exacte que
nous ayons ; se seul inconvénient qu’on y trouve ,
est la longueur du calcul quelle exige ; c’est un
très-grand obstacle, à cause du peu de-personnes
qui s’occupent de ces recherches. Cependant depuis
vingt ans on a appliqué cette méthode a un
. orand nombre d’observations. D. L.
° ECLIPTIQUE ,eclipticus, pris adj. (Aflrono^
mie)  se dit de ce qui appartient aux éclipses.Toutes les nouvelles & pleines lunes ne sont
pas écliptiques, c’esl-à-dire, qu’il n’arrij’e pas des
éclipses à toutes les nouvelles & pleines lunes. .
Voyez-en la raison au mot ECLIPSE.Termesécliptiques, termìni ecliptici, limites des .
éclipses, signifie, l’espace d’environ quinze degrés , á
compter des noeuds de la lune, dans lequel, quand
la lune se-trouve en conjonction ou en opposition) 
avec le soleil, il peut y avoir une éclipse de soleil
ou de lune, quoiqu’elle ne soit pas précisément
dans les.noeuds.Pi o a a ii' t« A E C L ECO
Doigts écliptiques, sont les douzièmes parties
du soleil ou de la lune qui fervent à exprimer la
grandeur d’une éclipse.ECLIPTIQUE, sob. f. se dit plus particulièrement
d’un cercle ou d’une ligne fur Ia surface
de la sphère céleste, que le centre du soleil paroît
décrire chaque année par son mouvement propre.Dans le système de Copernic , qui esl "aujourd hui
démontré, "le soleil est immobile au centre du
monde : ainsi, fc’est proprement la terre qui décrit
l’écliptique ; mais il revient au même quant aux
apparences, que ce-soit la terre ou se foleil.,qui
la décrive.L’écliptique est donc réellement l’orbite terrestre,
V orbite annuelle , ou le grand oibe , en tans qu’on
la regarde comme la trace que la terre décrit par
son mouvement annuel. Elle est divisée en douze
íi ?nes ou parties égales, dont on verra les noms
àì'article ZODIAQUE, & la terre parcourt environ
un signe par mois. L’écliptique a auffi un axe qui
esl perpendiculaire à ce grand cercle, & qui est
différent de Faxe du monde ou de Féquateur, &
les extrémités de cet axe s’appellent les pôles de
l’écliptique.On appelle noeuds les endroits où l’écliptique est
coupée par les orbites des planètes.L’écliptique est ainsi nommée, à cause que toutes
les éclipses arrivent quand la lune est dans ou
proche ses noeuds, c’est-à-dire , proche de Yéclip- '
tique. Voyez ECLIPSE.L’écliptique esl placée obliquement par rapport
v à Féquateur , qu’elle coupe en deux points , c eít•
à-dire, au commencement du bélier & de la balance,
ou dans les points équinoxiaux : ainsi, le
soleil est deux fois chaque année dans Féquateur ;
le reste de Fannée il est du côté du nord eu du
côté du sud. Ces poinrs équinoxiaux ne sont pas
fixes, mais rétrogradent d’environ 50" i par an.
.Voyez PRÉCESSION.L’obliquité de Yécliptique, ou l’angle qu’elle
fait avec Féquateur-, esl d’environ , 23° 28' : les
points de la plus grande déclinasson de chaque
côté s’appellent points folstitiaux, ce font ceux par .
lesquels passent les deux tropiques.L’obliquité de Yécliptique diminue de 3 3 secondes
par siècle. Voyez OELIQUITÉ. Elle a auffi un
mouvement de nutation.de 9" que M. Bradley a
observé. Voyez NUTATION. (0).ECLUSE, du mot Latin excludere , empêcher
tn Hydraulique, se dit généralement de tous les
ouvrages de maçonnerie & de charpenterie qu’on
fait pour soutenir & pour élever les eaux ; ainsi
les digues qu’on construit dans les rivières pour
les empêcher de suivre leur pente naturelle, ou
pour les détourner, s’appellent ' des écluses en
plusieurs pays : toutefois ce .terme signifie plus
patticulièrement une espèce de eanal enfermé
. entre deux portes ; l’une supérieure, que les ouvriers
nomment porte de tête ; & l’autre inférieurequ’ils nomment porte de mouille , servant dans les
navigations artificielles à conserver l’eau ,_ & à
rendre le passage des bateaux également aise en
montant & en descendant, à la différence^ des
permis qui n’étant que de simples ouvertures laissées
dans une digue, fermées par des aiguilles appuyées
fur une brise, ou par des vannes, perdenr. beaucoup
d’eau, & rendent te passage difficile en
montant, & dangereux en descendant. Voyez
VArchiteâure-Kydiadique de M. Belidor.ECLUSÉE, f. f, (HydrauL)  est le terme du
tems que l’on emploie à remplir d’eau le sas d’une
écluse pour faire passer les baieàux ; on dit de
cette manière "qu’on a fait tant à'éclusées dans
Fespace d’un jour ; & que la manoeuvre qui se
fait dans une écluse esl si facile, qu’on y, peut
faire tant d’éclusées par jour. Voyez ECLUSE &
CANAL, {K) ECLUS1ER , f. m. ( HydrauL )  est celui quî
gouverne Fécluse, & 'qui a soin de la manoeuvrer^
quand il passe des bateaux, qui montent ou qui
descendent le canal de Fécluse. Ce métier demande
un homme entendu, qui sache ménager son eau
de manière qu’il s’en dépense se moins qu’il peut
à chaque éclufée, pour en avoir suffisamment pour
fournir à tous les bâtimens qui se présentent dans
le courant du jour. (K) EcoÉCOLE, terme de Jeu: on fait une école aiï
trictrac, quand on ne marque pas exactement ce
que l’on gagne ; je dis exactement, parce qu’il faut
marquer ce que l’on gagne, qu’il ne faut marquer
ni plus ni moins, & qu’il faut le marquer à tems.
Si vous ne marquez pas ce que vous gagnez, ou
que vous ne se marquiez pas à tems, votre adversaire
le marque pour vous ; fi vous marquez
rróp , il vous démarque le trop & le marque pour
lui ; si vous ne marquez pas assez, il marque'■
pour lui ce que vous oubliez. On n’envoie point
\Y école de Y école. Voyez TRICTRAC.ECOULEMENT , f. m. (HydrauL)  On désigne
sous le nom général d’écoulement, la quantité-de
fluide qui passe , en un certain tems, par l’orifice
d’un vase, par un permis d’écluse, &£.I. Dans la pratique, on a souvent besoin- de
connoître la quantité d’eau qui sort d’Un vase, en
un certain terns, par un orifice infiniment petit.
Nous allons donc commencer par ce cas ; nous,
déterminerons ensuite Y écoulement par un orifice de
grandeur quelconque.
II. Spïr ADEC,(pl. Hyd.sig,zz.)  un vase
de figure quelconque , dans le fond duquel on a
pratiqué l’orifice infiniment £>£,- que se fluide
contenu dans ce Vase s’écoule par 1 orifice D Eé
Concevons que la masse fluide ADEC soit partagée
en une infinité de tranches égales, telles
que MNnm, par des plans horizontaux j il est
E c o eco 6o<évident que toutes les tranchés, qui se succèdent
•les unes aux autres de proche en proche, peuvent
erre considérées comme des prismes qui, étant
.égaux (hyp.) , ont des hauteurs réciproquement
proportionnelles à leurs bases ; d’où il résulte que
les vitesses des tranches comprises dans l’iritérieur
du vase sont nulle ? par rapport à la vitesse de la
tranche .qui sort actuellement de l’orifice , & que .
par conséquent la tranche de l’orifice est chassée
par tout íe poids de la colonne qui lui répond
.verticalement. Ainsi la vitesse, au sortir de l’orifice,
est la même que celle d’un corps grave qui
seroit tombé de la hauteur de l’eau au-dessus de
l’orifice. Voyez > P°ur un plus ample développe'
ment, mpn Hydrodinamique , tom. 1, p. Z49.
III. Cela pose, cherchons d’abord une équation
qui exprime la relation entre la quantité d’eaur'fort par l’orifice DE, le tems de Y écoulement,
la hauteur du fluide dans le réservoir ; en supposant
que le vase reçone par une effusion latérale
autant d’eau qu’il en perd par l’orifice D E,
& que par conséquent la hauteur KD du fluide
dans le réservoir demeure constante pendant la
durée de Y écoulement.Nommons K l’aire DE, t. se tems de Y écoulement,
h la hauteur constante D K de l’eau dans
le réservoir, Q la quantité d’eau écoulée pendant
le tems t, e le tems qu’un corps grave meuroit à
tomber d’une hauteur donnée a. II fuit de la
théorie du mouvement uniformément accéléré ,
{ Voyez A CCÉLÉRÉ ) , que si l’on fait cette proportion
\/a J \Vh I ; e ! un quatrième terme , ce6 \/hquatrième terme -—■ esl le tems qu’un corps gravemeuroit à 'tomber de la hauteur h ; & que, durant
le même tems, il doit sortir une colonne fluide
qui a Faire K pour base, & 2A pour hauteur,
la hauteur h étant constante , & produisant par
conséquent une "'vitesse constante au sortir de1
orifice : ainsi, la colonne ou quantité de fluidequi sort pendant le tems ^- 4 est exprimée par,2 K h. II est évident d’ailleurs que les quantités
de fluide qui sortent , avec la même vitesse, .pendant les temps ^^ & t, font entr'elles commeces tems. On aura donc,T—r- '. t \\ zKh * Q,va
& par conséquents Q =ztK\/ah ; ce qui est
la formule cherchée.Des six quantités que cette formule renferme,
•deux, savoir 6 & a , sont toujours constantes & .
données ; l’expérience apprend que si l’on suppose
fl== 1 seconde, a est de 15 pieds, à trèspeu
de chose près. Les quatre autres quantités
K,t, h, Q, peuvent varier, & on voit que
trois d’entr'élles étant données, on connoîtra Ia
quatrième. On doit avoir soin de corriger laire
A de l’orifice, relativement à FeíFet de la con- Jtraction de la veine fluide. Voye\ CONTRACTION
6* ADDITIONNEL.Cette même formule donne la solution de toutes
, les questions que l’on peut proposer sur Y écoulement
des eaux qui sortent des vases où elles sont
contenues, par des prifices infiniment petits , PU
par- des orifices physiquement très-petits. Ces orifices
peuvent avoir telle pofitiori^que l’on voudra
par rapport à l’orifice : pourvu que ia hauteur du
fluide , qui leur' répond , soit la même , Yécoulcment
fera le même. >IV. Considérons en second lieu Y écoulement,
toujours par l’orifice infiniment petit DE, mais
en fuppoíant que se vase se vuide, fans recevoir
de nouvelle eau ; en sorte que lahauteur du fluide
dans le réservoir diminue continuellement. Alors
la surface du fluide étant supposée parvenue, au
bout d’un tems t, dans l’a position indéterminée
M N : íì l’on nomme h la hauteur primitive &
donnée KD ; x la partie variable ÈP ; X, la
section MN , laqueslé est une fonction de x,
dépendante de la figure du vase ; K Faire de
Fpiisiee ; t lë temps emplpyé par la surface du
fluide à parvenir de A C en MN ; i le temps de
chute d’un eprps grave de la hauteur donnée a:
il est évident, par l’article précédent , que la
hauteur P D ppuvant être regardée cpmme constante
pendant le tems élémentaire dt, la quantité
élémentaire d’eau qui sort esl exprimée parlKdt\/[a{h — x) ] ■ ; . ,— g— . Or cette même quantité =3M N nm= Xdx. On aura donc íjt=8) £-y jr '„ -.. -z—r , équation d’où l’on tirera la: K \/a- \/\_h — 1J ' ■*relation entre se tems t & la hauteur variable x..
Voye\ CLEPSYDRE.. Je passe à la théorie des écoulemens par des
orifices de grandeur quelconque.Y. 11 esl confiant, par l’expérience, que lorsqu’un
fluide s’échappe d’un vase par une ouverture,
fa surface demeure toujours horizontale,
du moins jusqu’à ce qu’elle soit arrivée fort près
du fond. De-là pour déterminer les écoulemens
par des ouvertures horizontales de grandeur
quelconque, la plupart des auteurs d’Hydraulique
font deux hypothèses générales ; l’une qu’en imaginant
le fluide part gé en une infinité de.tranches
horizontales, ces différentes rranches s’abaissent
parallèlement à elles-mêmes ; l’autre que la vitesse
de chaque tranche ne varie point en direction\3
c’est à-dire, que tous les points d’une même-tranche
ont une même vitesse verticale.La première supposition paroît une fuite nécessaire
de l’expérience citée. Car puisque la prerriiète
tranche conserve son parallélisme,, il semble quela
continuité du fluide & la force d’adhérence
réciproque de tous ses points,- demandent que de
proche en proche toutes ses autres franches
s abaissent parallèlement à elles-mêmes. D’ailleurs•^ vr n ecoles mêmes causes qui tendent à entretenir le parallélisme
de la première tranche paroissent devoir
agir fur ks tranches intérieures, & y produire
les mêmes effets, du moins à-peu-près. Quant à
la seconde hypothèse, elle ne peut pas être rigoureusement
exacte, lorsque le vase n’est pas
prismatique & ^vertical. Car les particules contigues
aux parois " doivent nécessairement en suivre
la direction.-Or si ces’mouvèmens ne sont-pas
■verticaux, ils doivent produire quelques altérations
dans le mouvement vertical des particules
voisines. Mais comme le nombre des particules
d’une tranche qui touchent les parois, est infiniment
petit par rapport au nombre des autres
particules de la même tranche, on peut supposer
légitimement, ou fans craindre d’erreur sensible,
que les altérations dont nous venons de parler
sont comme nulles, & que tous les points d’une
. même tranche ont ía même vitesse verticale.Voilà à-peu-près les raisons fur lesquelles on
établit les deux hypothèses proposées. Elles sont
certainement très-admissibles pour la partie supérieure
du vase. II n’en est pas tout-à-fait de
même pour celle qui avoisine l’orifice. Car
dans cette dernière partie les- points fluides se
dirigent de tous côtés vers l’orifice suivant des
-mouvèmens obliques ; & on ne peut pas supposer
que les mêmes particules individuelles forment
une même tranche horizontale, dont tous les
points s’abaissent verticalement. Ainsi, il est impossible
que Y écoulement déterminé suivant les
deux hypothèses dont il s’agit, puisse être exactement
conforme à l’expérience. Mais on sent "d’un
autre côté, que les erreurs de la théorie doivent '
suivre, du moins à-peu-près, la même loi dans
tous les cas. Si l’on a donc soin de constater
ces erreUrs par quelques expériences, & de dresser
en conséquence des petites tables de correction
rien n’empêchera d’appliquer cette théorie à laÍiratique, en .faisant daris chaque cas particulier,
. a correction dont il a besoin. Avee une telle
restriction, j’adopte ici la même théorie, parce
'. que, tout bien pesé, il me paroît qu’on n’a encore
rien imaginé de mieux póur représenter en ©énéral
le mouvement des fluides par des formules
analytiques, qui n’exigent pas des calculs extrêmement
compliqués.VI. Soit donc ACDB (fig.zz.)  un fluide four
mis à Faction de la pesanteur dans un vase , & qui
s échappe par l’ouverture horizontale p q de grandeur
quelconque, pratiquée dans le fond CD.
Imaginons que ce fluide est partagé en une infinité
de tranches horizontales & égales ABba, TVut,
&c qui s’abaissent parallèlement à elles-mêmes
& dont chacune a la même vitesse verticale dans
toute son étendue. Toutes ces tranches agissent
les unes fur les autres, soit en se poussant ^ou en
s entraînant ; en sorte que fi la vitesse des unes est
retardée d un instant à l’autre, la vitesse des
fwtres est accélérée. II en esl à cet égard, du rnourementdes particules fluides, comme de celui
de plusieurs corps 'solides, formant un _ même
fystême, dont aucun ne peut se mouvoir fans
agir fur les autres, & fans éprouver leur réaction.
Ayant élevé Ia verticale p E, & ayant faitla gravité , ,==gla hauteur donnée Ep "=à -Faire de l’orifice p q ;=iCl’aire exprimée par la ligne AB , & qui est
une fonction de Ep , donnée par la figuredu vase =Mla hauteur indéterminée EH. = xl’aire exprimée par TV, fonction donnéede a- …_….. ,.=yla vitesse de la tranche qui sort de l’orifice
:…….. i ….• ,= ula. vitesse de la tranche TVùt. = vle temps ,,…., .E= í,supposons que dans Finstant <ft.Ia vitesse v devienne
v 4- dv, (dv pouvant être positive pu
négative) , II esl clair que si ses tranches n’agjssoient
point ses uns fur ses autres, la vitesse v,
k la fin de Finstant dt , devsendroit u4-gdt.
Ainsi, puisqu’elle devient v 4- dv , &. que
v 4-gd t~ v 4-gdt-1^ dv—dv, on voit que
le fluide resteroit en équilibre si. chaque tranche
n’étoit animée que de la vitesse gdt — dv. Ces
sortes de vitesses qui se détruisent mutuellement
& qui'varient d’une tranche à l’autre, sont les
unes positives, les autres négatives^ & on a par
conséquent, sur toute Fétendue dela hauteur Ep,
sdx(gdt-r— dv) ==o, ou en mettant pour dt.fi
valeur ^ } s^~ '—sdx <? v =P o. Subslituam
pour v fa valeur ■ . '..■.■ , pour dv se valeui
K ( y d u — u d y ) ■ s" gy dx> '■ -ri— ; <- ; nous auronsy ~jrr- ~~/Kdx{ydu—udy)  „
= >— ;— ç=o. Cela posé, commel’jntégrale doit être prise relativement à Ia hauteur
Ep ; & que par conséquent u & du doivent,
pour le moment, être regardées comme constantes,
que de plus y dx esl une quantité constante. ; '
nous pouvons mettre notre équation sous cettç
forme :^sdx-Kdusil+liuydxsil^Or sdx devient h ; s —(en suppléant conva-"
nablement les homogènes ) , peut représenter
Faireque je nomme N, d’une courbe construite
fur Faxe E p , & qui a pour ordonnées lesquantités -j- 3 qui répondent aux différénspoints de Ep  ;f—% représente l’aire d’une courbpqui doit s’évanouir lorsque y=AB=.M, &
recevoir sa valeur cempiette lorsque y=K, k
n <^ w ECO 607
. ■ -
par conséquent cette aire ~=r—^1 Z. —gs% De "plus
ydxz^ABb a = M.X E' e. Donc Féquation ,
deviendrazgh.M*XEe-zK\M.N,udu4-uuXEe(Kí-M*) =o,eu bien encore ( en nommant s la hauteur dûe à
la vitesse IL, ce qui donne uui= Zgs) ,(A) h.M^XEe-k\M.Nds4-sXEeX(Kí-Mí) =o.Cette équation générale nous sera utíle à plusieurs
usages.VII. Supposons, en premier lieu, que le vase
soit entretenu constamment plein à la hauteur pE ;
& imaginons qu’à mesure que la surface AB
s’abaisse dans un instant en ab ; & qu’il sort par
conséquent une petite quantité de liqueur, égale
k-AB XEe, imaginons, dis-je, que la tranche
AB b a en remplacée par une autre qui est, pour
ainsi dire, créée én fâ place, & qui a la même
vitesse qu’elle. Que le produit K X l > de l’orifice
K par la ligne z J représente la quantité de liqueur
qui sort pendant se temps f. II est-clair qu’on
■aura Kdz=^ MX Ee. Par conséquent Féquation
(-A ) deviendra ici h M1 d z — K M * N "d-s 4-.
( K* — M* ) s dz — o, dans laquelle il n’y a que
ï & s de variables. " ■ •■' ■VIII. H esl facile d’intégrer cette équation. Car si
l’on fait, pour abréger le calcul, -=b,•jC.M^N- ^  ?' 0n aura ds Jffsd^ —h -Jí".D’où l’on tire,"par des méthodes connues (voyez
INTÉGRAI.., EXPONENTIEL, de.) ,-en prenant c pour le nombre dont se logarithme
est 1, & complétant Fintégrale de manière que
ï & i s’évanouisseHt en même-tems.IX. Si l’on veut connoître la relation entre le
tems t & la vitesse u ou la hauteur s qui lui estdue, on observera que dìt= — = ■■ —y^' n (b—fs) \/2gs’Donc, en faisant s-=.y'L,-7.^= m 1, dt = ^~—
v dJ = . * / _3L_ +.'. . dy . 1 :
^ m ? — /*• . fm\/ig\ m 4-y m —y j) dont Fintégrale est M +/m^íX íog.( f±* ) Comme on doit avoir í= o, lorsque S=Q-, &
que }og. 1=0, dáns la logarithmique qui a 1
pour soutangente , ainsi que-dans celle des tables
ordinaires, on aura A=.o, Donc l’expreffìon
générale du tems est:.quon comparera fans peine, à celui quun corps
grave níet à tomber d’une hauteur'donnée a ; car,
"en nommant 6 ce dernier tems , on a 9 =f y/a
\Aff '. ' " '
X. De même, fi l’on veut connoître la relation
entre le tems & Fespace parcouru ç, on mettra1 dans Féquation d t ,= — pour u fa valeur \/zgs,& pour s ía valeur trouvée (art. VH)  ;ce qui donneraSoit c =y> & par conséquent ' d [.■=*—*.A . on aura la transformée dt=z— —r-,—j—-.X ''' /, 7-, ou, en faisant i-"y=.xx, dt=sy vi 1 — y) . J—± y _£í_ ^ L_v7 _£*_'■
V(ibgf) ^ i-xx— V(ibgf) ^ V i+'-* '4- '—**— f, dont Fintégrale est t’= ; -^.-4—sri—.xj’
6 , V(zbgs) X [ seg. (i-fï) — Ipg, (1—' x ) ] ,■ PU bien, env
chassant a:, ' .II ne faut point ajouter de constante,- parce que
j=s:o, donne í = o, cômme cela doit être. Par
le moyen de cette équation, on connoîtra la
quantité d’eau qui s’écoule, en un temps donné-y.
car cette quantité = K X í> qu’on peut exprimermaintenant
en fonction du tems & de constantes.
- XI. Lorsque dans l’hypothèse des quatre articlesprécédens,
l’orifice JC peut être regardé comme
infiniment petit par rapport aux amplitudes du
réservoir à Féquation fondamentale hM* dz—-
KM’-Nds 4- (2£\---ÁP) í^=to,de Fart. VII ;
devient, en négligeant les termes qui contiennent
K, hM1- dz—M* s dzz=-o, ou ssi D’où l’on
voit que la vitesse , au sortir de l’orifice, esl, dûe.
à la hauteur entière h du réservoir, comme on
l’a trouvé (II).- XII.: La manière dont nous avons imaginé
(art. VII) que le vase A CD B est entretetui
constamment plein, a rarement lieu dans la pratique.
II y en a une autre beaucoup plus ufitée,Élle
 consiste à imaginer que la. nouvelle trancheABbd,
ajoutée à ehaque instant pour réparer la. ,
dépense" qui se fait- par l’orifice pendant k même
instant, est fournie par une affufion latérale , &
quelle reçoit sa. vitesse de celle qui- la précède es
<ïo8 ECO E C O
descendant, & qui Fentraîne en vertu de la ténacité
réciproque des parties du fluide. Alors il faut
faire quelques changemens à la méthode de
l’arricle VII , peur Fappliquer au cas dont ils’asit. _Soient VIa vitesse de la tranche ABba, v
la vitesse de la tranche indéterminée TVut, g
la gravité, t le tems, cH~x. Si la, tranche
ABba étoit livrée à Faction libre de Ia pesanteur,
elle acquerroit dans Finstant dt la vitesse
gdt. On pourra regarder cette vitesse gdt comme
composée de la vitesse V&. d’une autre gdt-— V
qui doit être anéantie. Par conséquent, si cette
même vitesse gdt—Fexistoit seule daus la tranche
A B b a, & si les autres tranches qui répondent à la
hauteur ep étoient animées chacune de la vitesse
gdt — dv , tout le système demeureroit en équilibre.
On aura donc Féquation Ee X (gdt—V) 
4-sdx (gdt — dv) =a, qui devient en négligeant
gdt par rapport à V, &, faisant comme cidessus,
AB = M, p q = K, Ep ou epi=.h,
— 2 EeXK.M.V.u 4- zgk. M1 X Ee —
zK*M.N.udu 4- Ee Xu\(Kl — M%)  = o,
ou bien encore, en nommant K X î la quantité
d’eau qui s’écoule pendant le tems t, s lá hauteur. dûe à la vitesse u, &. considérant que YÎ= -^
Ee =-^~, uu = zgs,hM*dz— (K* 4-M1) s d z—KM*Nds=o,
équation qui est de la même forme que celle, de
l’article VII, .& qui est par conséquent susceptible
de calculs analogues à ceux qu’on a faits dans les
articles VIII, IX, X. On voit qu’il n’y a qu’à
changer des coëfficiens constans, pouir adapter les
formules de ces articles au cas présent.Quand l’orifice K peut être censé infiniment
petit, on a ici, comme dans le premier cas,XIII. Soit maintenant un vase qui se vuide par
l’orifice p q fans recevoir de nouvelle eau. Supposons
qu’au premier instantla surface du fluide
soit en SX, & qu’au bout du tems t elle prenne
la position indéterminée A B, la hauteur Ej>
éiant ici variable. 11 est clair que si, en"conservant
d’ailleurs les autres dénominations de l’article VI,
on fait Ep — z, & par conséquent £ e =■— dz ,
Féquation ( A ) s’appliquera ici, & deviendra
<B) M^zdz+K 1 M.Nds4-sdz(K*—M^z^o. .On voit d’abord par cette équation que si l’orifice
K peut être supposé infiniment petit, on a
*=î,- & que conséquemment la hauteur dûe à
chaque instant, à la vitesse du fluide au sortir de
l’orifice, est celle même du fluide dans Ie'vase
au-dessus de cet orifice, quelle que soit la figure
du vase. Cette même équation s’intègre facilement
en général. Car M &.N étant -ici des fonctions
de z données par la figure du vase, Féquation
précédente est réductible à cette forme,ds4-s.A.Zdz-\-Bx.Z'di=.o ;dans laquelle Z & Z' sont des. fonctions, de z > -A
& B des quantités constantes. Je me borne à Pexa*
men d’un cas particulier.XIV. Supposons que le vase proposé soit un
cylindre vertical. Suivant, nos dénominations,
M représente la section horizontale & constantedu cylindre , JV =: -5-. Par conséquent Féquation(B) devient
(C) M\zdz + I<-\ds-(M1— K*)  sdz~ot
qu’on, peut intégrer dé deux manières ', directement
, ou en séparant les indéterminées.
Le premier-moyen est le plus simple 5 & je vais
Femployer. Soient d’abord, pour abréger le calcul,
W- M1 —K* ,~KT==m>—xsï—' = n "' on aura ?<**•—
nsdz-\-mzdz = 0. Ayant multiplié tous lesternies de cette équation par une fonction <p de çqui soit censée la rendre intégrale, ce qui donne(D) <f>zds — <pnsdz4-9mzdz=0,& supposant qu’on ait Í^Í-J-/ » mzdz=iA ; cette
dernière équation donnera(E) çzds -\-s($di4-id*') 4- <fmzdz=o.Comparant terme à terme ses deux équations (D) 
& ( E ) , on aura ? d z -f- \ d<t — — » n dz, & parconséquent — =.— ( n 4- 1 ) -£ ; d’où l’on tire 9 3-(« 4-0 ' ,B z . L équation ^zsJrs*ml^\ = ?■£
deviendra donc, -— n 1 —n 1 — n,( I — n) s z "T"mï s=mH ,en nommant ís la hauteur primitive & donnéeAOp du fluide, & déterminant la constante -g- parla condition que ?=is donne s = o, ou qu’au*
premier instant la vitesse du fluide soit nulle.Si au premier instant le fluide avoit dans Ie
cylindre , par quelque cause extérieure , uhe
vitesse dûe à une hauteur donnée b , il faudroit
déterminer la constante A par la condition queM1
î =£sdonnât s=6 X j^. On aura donc toujours
facilement s en fonction de ï & de conse
tantes.On trouvera aussi fans peine la relation entre le
tems & la vitesse, & la relation entrê se tems & v
la hauteur f, ''■'•>. ,, -XV. Lorsqu’on a n==i, ou M1 = zK%, la
formule de l’article précédent donne pour s une
valeur indéterminée. Alors il faut remonter à
Féquation différentielle (C) qni devient xzdz4-zsts,. , . \d s — sd ? z d x.— s d2-= o, pu bien '-_ — = •— r.1 îí  ?,-dont
ECO ECO 6ÓQ
dont Fintégrale est z = L.A — L. z1- Donc > endéterminant la constante A par la conditiorf que
î = fl\donne s=o, on aura,S= Z(L.H--L.z*).XVI. Nous ferons, fur ce même exemple, une •
remarque qui s’applique, avec les changemens
convenables, à toutes sortes de vases. Supposons
que la surface de l’eau immobile au premier instant
dans se cylindre s’abaisse de la très-peiite hauteur
q. On aura z = H ~ 1 > & en négligeant lequarré & les plus hautes puissances de q, z— n —n —n—i i—n-(H-q)  =ff 4-nH ' q ; zi—n i—n .—n-(H- ?) -=H -(T-n) H q.Substituant ces valeurs dans Féquation générale— h i—n i—n( I — n-) -s ï -f m z ~mH , elle
deviendra Hs4-nsq — mfi{=o, pubien* =mìîq--g-j.-n~ > ou encpre, en négligeant le secondterme du dénominateur, s = m q = q X -jr\.D’où il suit que la hauteur dûe à la vitesse de
la surface de l’eau dans le cylindre est exprimée
par q. Cette surface descend donc, dans les premiers
instans du mouvement, à Ja manière des
corps qui tombent librement par la pesanteur, ou
comme s’il n y avoit pas de. fond dans le cylindre,
& que le fluide tombât tout d’une pièce.De-là on a tiré une objection contre Fhypothèse
du parallélisme des tranches. II est impossible,
dit-on , que se fluide sortant par Fouverture
pq moindre que le fond CD puisse jamais
descendre de la même manière que si ce fond ne
lui faifoit aucun obstacle. A cela , on peut répondre
que l’objection- seroit sans réplique , si
fur la hauteur entière Op du cjlindre, les vitesses
des différentes tranches étoient égales entr'elles.
Mais, en supposant qu’à | une petire dislance du
fond les particules se dirigent vers l’orifice suivant
des mouvèmens obliques Qp, Rq, & regardant
les portions de fluide CQp , D R[q comme.:stagnantes
, íes particules qui' répondent à l’espace_ pQRq se mouvront plus vîte que celles de la
partie supérieure SQBXdu cylindre ; & conséquemment
il pourra se faire que la surface de
l’eau descende, pendant les premiers Instans , àpeu-près
comme un corps pesant & libre. L’expérience
doit seule décider entre ces deux opinions.
Or elle apprend qu’il n’y a pas de portion de
fluide qui.soit rigoureusement stagnante, & que' toutes ses’particules ont une tendance marquéey.ers Forisice ; mais que .celles qui sont- dans levoisinage du trou ont des mouvèmens plus rapidesque' les autres. II paroît donc que, dans.cetteMathématiaues. Tome I, II' Partis, Apartie inférieure du vase, Fhypothèse du parallélisme
des tranches n’a pas lieu ; mais elle est
sensiblement vraie dans toute la partie supérieure.
D’ailleurs , quand même elle déterminerait Y écoulement
d’une manière erronée pour un tems qui
esl comme infiniment petit, il ne s’enfuit„point. qu elle ne soit pas propre à représenter, d’une
manière très-approchée, les écoulemens qui répondent
à des tems finis, ou que du moins on n’en
puisse tuer, à très-peu de chose, près, les rapports
de différéns écoulemens. Car, comme nous l’avons
déjà dit (art. V) , ks erreurs auxquelles elle -est
sujette suivent les mêmes loix dans tous les cas,
& il peut se faire que les écoulemens naturels &
physiques soient entr'eux comme les écoulement’
déterminés par la méthode dont il s’agit.XVII. L’équation (A) de l’article VI, peut
encore servir à trouver le mouvement d’une quantité
déterminée de fluide pesant ou non, qui se
mouvrait dans un vase, soit en vertu de la seule
pesanteur, ou d’une impulsion primitive donnée
au fluide, ou en vertu de ces deux forces à-lafois.
En effet, ayant imaginé d’abord que le fond
CD soit anéanti j ou qu’on ait K = CD, pour
permettre au fluide de couler le long du vase,
supposons que la portion "donnée du fluide occupe
, au premier instant, Fespace. SZKX, &.,.& qu’à la fin du tems t elle soit parvenue dans
la positiori indéterminée A CD B. Il est clair qu’en
nommant z Fespace O E parcouru verticalement
par la surface du fluide, les quantités M, K,N, h, ..
seront des fonctions données àez & de constantes -,
puisque la figure du vase est donnée , & que les
deux espaces, SZKX, A CD B sont égaux
entr'eux. L’équation, qui représente le mouvement
du fluide, fera donc toujours de cette forme,Zdz+AZ'd’s 4-B s Z" dz — V,
Z, Z', Z" étant des fonctions de z > A ■ &. B
des quantités constantes. On intégrera cette équation
{ce qui est toujours facile) , de manière
quelle satisfasse à la condition de la vitesse initiale
d’une tranche donnée du fluide.Quand le fluide n’a pas de pesanteur,-le premier
terme de Féquation, qui est relatif à cette
force, s’évanouit, & Féquation devient fort
simple.Connoissant la relation entre s & z> Pn trou »
vera facilement t en s ou en zXVIII.Après avoir examiné les principaux cas
des écoulemens des fluides, il nous resle encore à
déterminer la pression qu’un fluide coulant dans
un vase exerce contre ses parois. Pour y'parvenir
facilement,reprenons Fhypothèse, la construction
& les dénominations de l’article VI. La vitesse
avec laquelle chaque tranche devroit tendre à se
mouypir pout demeurer en équilibre, étanç
gdt^r-du , & par conséquent la force correspon^dante de la même tranche étant g-— y-, on 'voit
' Hhhh
qu’en vertu de ces forces g— ^, les tranches se
pressent les unes les autres, de la même manière
que dans un fluide pesant & en repos dàns Un
vase, les tranches se pressent les unes les autres
en v£rtu de la pesanteur. Donc à la profondeur
'EH(x) , la pression de chaque point de la trancheT VuteR exprimée par sdx [ S ~ ■£. ) - Cetteforce, qui se transmet én tout sens, agit perpendiculairement
contre les parois T t, Vu. Or sdx(g-£ ) =gXEH-sd-£. mettahfpour, „ , K ( ï d u — u.d y ) '■ sdxdvdv fa valeur u r1 } on auraj —j^-.__ Kdu f dx_Kuydx Çdy -^ ■ :inté ?rations
~ dt J y . -dtjyì -indiquées doivent être eslècluées de manière quel’aire représentée par / '- ? ,, & que je rioiìíme Q,-.Ttponde à £ H ; &- que J y, s’évanouisse lorsquey—AB,'8i. reçoive sa valeur coriiplétte lorsque
y — TV= H. Ainsi, en mettant pOUr ydx sa
valeur MX E e ,.on troUvera que l’a pression 'sdxfg — il j qui répond à la hauteur £ H-gXEH-Tl—+ 2^H* M* * expressiondans laquelle onsubstituera dans chaque cas, pòur
u & d t leurs valeurs. . ' I.Si la valeur dela pression, pour quelqu’endroit
-du vase, étoit négative, cela signifieroit qu’en cet
endroit les tranches n’agiroient pas les unes fur :
les autres, & que par-conséquent le fluide n y for- :
meroit pas une masse continue , ou se détacheroit
.par parties- .XIX. Enfin on trouve facilement par les mêmes
-principes la force qu’il faut employer pout soutenir
un vase qui donne de l’eau par Fouverture p q..
Car cette force est égale à la somme: des produits de
chaque tranche multipliée par. la force en vertu de '
laquelle ia même tranche demeureroit en équilibre,.
par la même raison que la force requise pour soutenir
l’effort d’un fluide pesant & en repos dans un
vase, est égale à lafomme des produits de chaque tranche
multipliée par la pesanteur. Laforce dont il s’agirici est donc représentée par/ y d x \e~. ~íi~ Jsydxdvc=sgydx—J Tt '• La première partie estlepoids même du fluide ; la seconde se trouve sans
peine par ce qui précède..XX. On voit par la théorie générale que nous
venons d’exposer, que dans Fhypothèse du parallélisme
des tranches, on détermine d’une manière
afféz fimple tout ce qui esl relatif à Fécoulementdes fluides qui sortent, par des ouvertures Horizontales,
des vases où ils font contenus. Lamêirie
théorie s’applique également à la recherche du
mouvement des fluides dans de longs tuyaux inclinés,
quelques sinuosités qu’ils puissent avoir dans '
le sens de leur longueur , pourvu néanmoins que
kùr courbure ne varie pas trop brusquement d un
point à l’autre. II. est indifférent,. quant à la facilité
du calcul j. de supposer alors, ou que les tranches
sont horizontales, PU qu’elles sorit perpendiculaires
aux parois du tuyau en chaque endroit. En comparant
avec l’expérience ses résultats des calculs
dans les deux suppositions, on verra laquelle méï'itela
préférence. Je nai pas "besoin d’ajouter que
. dans la seconde , les tranches né sont parallèles
eritr'elles que<de proche en proche,. & fur chacundes
élemens de la longueur du tuyau..XXI. A Fégard des vases qui dohnenrde l’eau
par de grandes" ouvertures latérales, leurs écoulemens
ne peuvent pas être déterminés par la mé-v
diode du parallélisme des trariches.:Car lorfquè les
particules contenues dans se vase sont arrivés aux:
environs de Foriíìce ,, elks se détournent de la ;
verticale j & prennent des directions 'plus’ou moins ;
courbes , tendantes au même orifice.. De plus à-:
leur sortie ,. elles n’ont pas-la ; même vîtësse ; lés
plus éloignées de la surface du fluide se meuvent
nécessairement plus Vîte que les autres. II n’y a:
donc pas alors (L’autre méthode siinple & commodepour
déterminer Fécoulement , que de supposer
la vitesse de chaque point-de l’orifice,.. proportionnelle
à la racine . quárrée de là hauteur" dii/
flui'de au-dessus de.ee point, ce qui mène à des
résultats sensiblement conformes àï l’expérience.XXLI.. M. d’Alembert & M.. Euler ont donné"
d autres méthodes théoriques y plus rigoureuses ,.
mais aussi plus compliquéesque les précédentes, pour
déterminer Fécoulement des fluides- V- les OPUSCULES
de M. d’Alembert, & une multitude de Mémoires
de M. Euler, répandus parmi ceux des.Académies
de Berlin & de Pétersbourg., (L.B.) ECREVISSE, f. f. ( Astronom.)  quatrième signe,
du Zodiaque, qu’on nonime aussi Cancer.-EcuECU de Sobieski", ( Astronom. )  conssellàtiòrr
placée par Hévélius dans l’heinisphère.austral, assez:proche
 de Féquateur,. entre Antinous, le Sagittaire
& le Serpentaire. Elle se trouve dans tous les planisphères.
Voyez CONSTELLATIONS.ECUELLE, f., f. (Méchan. )  On donne ce noms
aune plaque de fer un peu creuse,, fur laquelle
pose un cylindre du cabestan , & fur laquelle il-,
tourne. - V' Quelques-géomètres ontappellé écuelle le solide
formé par une partie de couronne circulaire ( Voyez:
COURONNE) qui tourne autour d’un diamètre ;:
ce solide a èn effet la figure à-peu-près femblabse. k
-■-"- - "£-fr-jF EGA- €u
celle d’une c’cueïïe. On en trouve la solidité en cherchant
celle des deux portions de sphère j formées
Îiar les deux segmens circulaires, & en retranchant
a plus petite portion de la plus grande. (O) '*
E F F
EFFECT-ION , f. f. en termes de Géométrie,
signifie la construâion des problèmes ou équations.
Voyez CONSTRUCTION , • LIEU , COURBE. Ce
terme commence à n’êtreplus fort en usage. (O) 
EFFORT’, f. m. ( Méchan, )  terme fréquemment
usité parmi les philosophes & les mathématiciens
, pour désigner la force avec laquelle un
corps en mouvement tend à produire un effet, soit
qu’il le produise réellement, soit que quelque obs’tacle
empêche, de le produire.On dit en ce sens qu’un corps qui se meut suivant
ïine courbe, fâit effort à chaque instant pour s’échapper
par la tangente} qu’un coin qu’on pouffe dans
-une pièce de bois, fait effort pour la fendre, &cL’effort
paroît être, suivant quelques auteurs, par
rapport au mouvement, ce que se point est par rapport
à la ligne 1 au moins ont-ils cela de commun
tous les deux, que comme le ppint est le commencement
de la ligne, ou le renne par où elle commence
, Y effort est auffi, selon ces auteurs, le
commencement.de tout mouvement ; mais cette
derniere idée ne peut s’appliqitër toutau plus qu’aux
efforts qui tendent à produire une vitesse infiniment :
petite dans un instant, comme Y effort de la pesanteur
, celui de la force centrifuge, &c. Si l’on veut
entendre par le mot effort, toute tendance au mou-vement,
 ce qui est bien plus exâct & bien plus naturel,
alors la mesure de ï'effort sera la, quantité de
mouvement qu’il produit ou qu’il produiroit si un
Obstacle ne l’en empêchdit, ou,ce qui est la même
-chose, le produit de la masse par la vitesse actuelledu
corps, ou par fa vitesse virtuelle , c’estrà-dire,
par la vitesse qu’il aurpit fans la résistance de l’obstacle.
Voyez FORCE, Á'ÇTION , PERCUSSION,
PESANTEUR, &c. (O) EFFUSION, (Astron.)  c’est la partie du signe
du Verseau qui est renfermée dáns ses globes &
dansles planisphères célestes, par l’eau qui sort de
l’urne du Verseau, Voyez VERSEAU.
- EGAL, adj. (Géom.)  Ce terme exprime, dit-on,
- -un rapport entre deux ou plusieurs choses qui ont la
même grandeur, la même quantité, ou la même
qualité. Wolf définit les choses égales, celles dpnt
íime peut.être" substituée à l’autre, fans aucune
altération dans leur quantité. Je crois, pour moi,
que toutes ces défmitions_jie font pas plus claires
que la'chose définie, & que se mot égal présente
à'Fesprit uhe. idée plus précise & plus nette que tout
autre mot ou phrase synonyme qu’on voudroit. faire
servir à l’expliquer,' Voyez DÉFINITIONS & EráWENS..C’est un axiome en Géométrie, que deuxçhçseségaies à une mème troisième, sont égales entre elles '■>
que si de choses égales on ôte des choses égales, ou
qu’on les leur ajoute ', les restes oúlesfommes seront
encore des quantités égales, &c. Le même M. Wolf
dontnous venons de parler, a pris la peine de démontrer
ces axioines dans son Onthologie , § 34939
G, comme il a démontré dans son Cours de mathématiques
, que le tout esl plus grand que la partie,
par un raisonnement si métaphysique, qu’on ne fait
plus que penser de ía vérité de Ia préposition. Démontrer
des choses si claires, c’est k moyen de les
rendre douteuses, si elles pouvoient le devenir.Les cercles égaux, en Géométrie, sont ceux dont
ses diamèrres "sont égaux. Voyez CERCLE.Les angles égaux font ceux dont les côtés sont inclinés
les uns auxautres de la même manière, ou qui
font mesurés parades arcs égaux d’un même cercle,
ou par des arcs semblables de cercles différéns.
Voyez ARC , ANGLE & DEGRÉ.Les figures égales font celles dont les aires sont
égales, soit que ces figures foièntsemblables ou non.
Voyez FIGURE. . '-.''■'Les segmens d’une sphère ou d’un cercle sont dits
d’uneégaleconcavité, lorsqu’ils ont lemèrne rapport
aux diamètres des sphères ou des cercles dont ils.
font partie. Voyez SEGMENT. " ' ;: Lës solides égaux sont ceux qui cpntiennént autant
d’espace l’un que l’autre, c’est-à-dire dont .les
solidités ou capacités sont égales. Voyez SOLIDE.
Les rapports géométriques égaux sont ceux dont
les seconds termes font de semblables partie ; aliquotes
óu aliquantes de leurs premiers termes. Voyez
RAPPORT. , - _ ' ~Les rapports arithmétiques égaux sont ceux dans
lesquels ia différence des deux plus, petits"termes
est égale à la différence des deux plus grands. '■ Voyez
RAPPORT. (O)  . "EGAL , oequabilis, terme de Méchanique ; mouvement
égal ou uniforme, esl celui par lequel un
corps se meut en conservant toujours Ia même
vitesse, fans être ni accéléré, ni retardé, Voyez
MOUVEMENT. (O) _ - ■■_EGAL est auslì un terme d’Optique , en tant qu’il..
s’applique à des choses dpnt Y égalité n’esl qu’apparente
&nónréelse. Ainsi ,'Pn dit, dans V'ancienne
Optique, que des" objets qui sont vus sous des
angles égâux , paroissent égaux ; que des parties
égales du même intervalle ou de la même grandeur
, vues sous des angles inégaux, paioislënt.
inégales ; que des objets égaux vus à égale dislance,
paroissent inégaux, íorfque l’un est placé directement
, & l’autre obliquement ; & que celui qui- est
placé directement paroît plus grand.-Toutes cès.propositions que l’on regardoit anciennement
comme générales 6k fans restriction, ne sont
vraies que lorsque l’on co'mpare.des objets extrême- .
 ment éloignés de nos yeux ; car alors leur graudeur
. apparente dépend principalement, & presque uniquement
de sanglé visuel ; en sorte que ss les angles
visuels font égaux PU inégaux ,les objets paraîtront1 ," - - - líhhhlj- " y ■-- '
Ziz ega e latgaux ou inégaux', quelle que.soit d’ailleurs leur
égalité ou inégalité réelle. (O) EGALÉ, adj. ( Afìron. )  anomalie égalée, ano- :
malia oequata,erl quelquefois YanomaUe vraie , quelquefois
Vanomalie moyenne corrigée par une partie
des équations.. Fòyeí ANOMALIE. (D.L.) ÉGALITÉ, en Astronomie ; cercle d’égalité ou
équant, est un cercle dont on faifoit beaucoup d’usage
dansl’astronomie ptòlémaïque, pour expliquer l’excentricité
des planètes,. & la réduire plus aisément
au calcul. Voyez EQUANT.Raison d’égalité en Géométrie, est la raison Pu
le rapport qu’il y a entre deux quantités égales.
Voyez EGAL & RAPPORT.Proportion d’égalité ordonnée, ou ex oequo ordinata,
est celle dans laquelle deux termes d’un rang ou
d’une fuite, sont proportionnels à autant d’autres
Termes d’un autre rang ou d’une autre fuite, chacun
a son correspondant dans lé même ordre, savoir le
premier au premier, le second au second , &c. Par
exemple soit a, [ b ', '. c '. d & e ' b ", l f\ d, on aurà .
en proportion ordonnée a\ c\\ e\ f.Proportion d’égalité troublée , est celle dans laquelle
deux termes d’un rang sont proportionnels
íì autant de termes d’un autre ráng , dans un ordré
renversé & interrompu : par exemple, Ie premier
d’un rang au troisième d’un autre, k second de ce
dernier rang au quatrième, du premier rang. Par
exemple fi a '. b ['. cl d & b '. e '.'. f ', c , on aUra
ën proportion troublée a * e\',f\ d, &c. Voyez
PROPORTION. '■''..Egalité, en Algèbre, est la même chose qu’équation.
Voyez ce mot, qui est aujourd’hui pìus en
usage, quoique l’autre ne soit pas proscrit. (O) EGOUT, s. m. (Hydrauliq. )  canal destiné à ré-.
roir & à emporter les eaux sales & ses ordures.Quelque pièce d’eau que l’on ait, soit canal, soit
bassin , il faut toujours un écoulement, tant pour
la conservation de la pièce , que pour la nettoyer & ;
laisser un passage à l’eau superflue. Si c’est un étang,
un vivier, la bonde se lève, & on vuide l’eau pour
•avoir lé poisson & rétablir la chaussée. " ]Dans Fusage ordinaire , égout est distingué de ,
cloaque, en ce que dans un égoût les eiux & immon- (
dices s’écoulent, & qu’elles croupissent dans un
cloaque. Ainsi, le canal d’un égoût doit avoir une
: pente suffisante, pour que les immondices soient,
facilement emportées par les eaux. (K).E h a .ÉLASTICITÉ, f. f. ou FORCE ÉLASTIQUE ; (' en Méchanique, propriété ou puissance des corps . <naturels, au moyen de laquelle ils se rétablissent (dans la figure & Fétendue que quelque cáuse exté- íric-ure leur avoit fait perdre. jCette propriété se trouve à un degré plus ou moins cgrand dans presque tous-les corps ; il y en a niême c1 dont Y élasticité eu presque parfaite, c’esl-à-dire qui
paroissent reprendre exactement la même figure
qu’ils avoient avant la compression ; tels font Fivoire,
Facier trempé, le verre , &c. Cependant il paroît
prefqu’imposlible qu’il se trouve des corps absolument
doués d’une parfaite élasticité. En effet, lorsqu’un
corps se bande & se débande , i ! faut de nécessité
que quelques-unes des parties solides qui se
touchent mutuellement, se repoussent &sc retirent, &
 qu’ellesYouffrent de cette manière un frottement
considérable, ce qui produit un très-grand-obstacle
au mouvement, & doit nécessairement faire perdre
une partie de la force.II semble que Yélaflicité soit différente, à proportion
que les parties des corps sont plus ou moins '
compactes ; car plus on bat les métaux, plus ils:
deviennent compactes ..&, élastiques. L’acier trempé"
a beaucoup plus d’élasticité que l’acier qui esl mou,
il esl auslì beaucoup plus compacte ; caria pesanteur
de l’acier trempé esl. à celle de l’acier non '
trempé, comme 7809 87738.Outre cela, un corps paroît avoir d’autant plus
d’élasticité qu’il est plus froid, apparemment parce :
que ses parties sont alors plus resserrées ; ainsi, une
corde de violon retentit avec plus de force en hiver
qu’en éré. L’élajlíçité de tous les corps reste constamment
la même dans le vuidê.que dans Fair,. pourvu
feulement qu’on ait soin que ces corps ne deviennent
ni humidesj,nisecs,nifroids, ni chauds. Musichenbr. '
Essai de Physiq. §.448. & suivans.On est fort partagé fur la cause de cette propriété
des corps : les Cartésiens Ia déduisent d’une matière
subtile qui fait effort, selon eux , pour passer à travers
des pores devenus plus étroits ; ainsi, disent-ils, _
en bandant ou comprimant un corps élastique, par
exemple un arc, ses particules s’éloignent l’une de
l’autre du côté convexe, & s’approchent du côté
concave , & par conséquent les pores se rétrécissent
du côté concave ; de sorte que s’il étoient ronds,
auparavant, ils deviennent ovales ; & la matièredu
second élément tâchant de sortir des pores ainsi
rétrécis, doit en-même temps faire effort pour rétablir
k corps dans í'état où il étoit lorsque les pores
étoient plus ouverts & plus ronds , ;c’est-à-dire avant
que l’arc. fût bandé.D’autres philosophes expliquent F'élasticité'à-peuprès
comme lës Cartésiens ; maïs avec cette légèredifférence,
qu’au lieu de la matière du second élément
des Cartésiens, ils substituent Féther , ou un
milieu très-subtil qui traverse librerrientles pores.Ces explications vagues sont bien éloignées de
nous apprendre "d’une, manière claire &' distincte la
cause de Y élasticité ; câr fi- les pores sont rétrécis d’un
.côté , ils sont élargis de l’autre , -de FaveU des
Cartésiens ; par conséquent la matière subtile qui
sort d’un côté, ira remplir les espaces qui-lui sont,
pour ainsi dire, ouverts,, à lafurface convexe ; &
elle les remplira avec d’autant pliis de facilité, que ■
cette matière-, selon les Cartésiens, est capable deEL-A E LA ■ 61*
prendre toutes sortes de figures , & ne tend à en
conserver aucune.C’est pourquoi le corps restera dans l’état de
compression où ij, a été mis  ; & dont la matière .
subtile ne peut avoir aucune action pour lë tirer.
.D’ailleurs il paroît difficile d’expliquer, par Faction
de cette matière , les vibrations successives des corps
élastiques ; car une corde de violon , par exemple,
qui a-été frappée , ne se rétablit pas d’abord dans son
premier état : quand elle esl lâchée, non-seulement
elle se débande , mais elle se jette du côté opposé ,
où elle forme une nouvelle courbure , & revient
eniuite, en passant au-delà de son état de repos’,
pour former une nouvelle courbe : or comment par
le simple écoulement d’un liquide , un corps peut.
il faire autre chose que de se remettre dans la situation
où il étoit ?D’autres philosophes, à la tête desquels est le
P. Mallebranche , ont attribué V'élasticité à de petits
. tourbillons de matière, dont ils ont suppose que
tous les corps étoient remplis. Ces tourbillons,
selon eux , font applatis par la compression , &
- changent leur figure sphérique en une figure ovale :
alors leur force centrifuge les rétablit dans leur
premier état, aussi-bien que les parties des corps
dans lesquelles ils fout engagés. Mais fur quoi est
fondée l’exislence de ces petits tourbillons ? elle
n’est pas appuyé íur des fondemens plus solides que
celle des grands tourbillons de Dcfcartes. D’ailleurs,
pourquoi Faction de ces tourbillons n’e'slelle
pas la même dans tous ses corps, & pourquoi
tous les corps, dans-ce fystême, ne sont-ils pas
élastiques ?D’autres philosophes ont attribué Y élasticité à
Faction de lair ; mais ce sentiment tombe de luimême,
puisque Y élasticité subsiste dans la machine
du vúide. "D’autres ont cru que la matière subtile , ou
l’éther, étoit lui-même élastique ; mais ce n’est
pas lá une explication : car on demandera de
nouveau d’où peut prévenir P élasticité de l’éther,
& la difficulté restera toujours la même.D’autres enfin ^abandonnant la supposition gratuite
de la matière subtile, déduisent la cause de
Y élasticité de l’attraction, cette grande loi de la
nature, qui est", selon eux , la cause de la cohésion
des solides & des corps durs. *Supposons, disent-ils, qu un eorps dur soit frappé
©u bandé de façon que les parties composantes sortent
.un peu de leur-place, & s’éloignent un peu
"les unes des autres , mais fans se quitter tout-à-fait,
'& fans se rompre ou se séparer assez pour sortir
de la sphère de cette force attractive qui les fait
adhérer les unes aux autres ; alors il faudra nécessairement
, lorsque la càuse extérieure cessera
d’agir, que toutes ces parties retournent à leur état
naturel. Voyez ATTRACTION. /Cette explication ne paroît guère plus fondée
que les précédentes à bien des philosophes ; car, ,
: disent-ils, il faudrait d’abord prouver l’exislencede cette attraction entre ses particules des corps
terrestres. Voyez ATTRACTION. II faudroir prouver
de plus que cette attraction produit l’adhérence.
des parties. D’ailleurs , en attribuant l’élajlicité k
l’attraction des parties , il resleroit à faire voir
comment Fattfaclion ne produit Y élasticité que dans. certains corps. Rien n’est si contraire à Favancement
de la Physique , que les explications vagues
& fans précision. 11 faut savoir douter & suspendre
notre jugement dans les effets dont nous ne connoissons
point les causes , & Y élasticité paroît "être
de ce nombre.Ce que nous venons de dire ne s’adresse qu’aux
philosophes audacieux, qui prenant les fantômes
de leur imagination pour ks secrets de la nature .,
croient rendre raison des phénomènes par des hypothèses
bazardées & faus fondement , qu’ils regardent
comme des démonstrations. II n’en esl pas, de même de ceux qui portant dans Fétendue de la
nature la sagacité & la sagesse de Fësprir observateur,
ont la modestie de ne donner que pour _de-simples
conjecturés, des vues souvent heureuses Scfécondes.
Telles sont celles que propose M. Diderot fur la
cause de Y élasticité, dans ses pensées fur tinteipré■tation de la nature , ouvrage plein de réflexions
profondes & philosophiques.M. Diderot remarque d’abord que quand on
frappe une corde d’instrument divisée en deux
parties par un léger obstacle ,-il’s’y. forme des.
ventres & des noeuds. II pense qu’il en esl de même
de tout corps élastique ; que ce phénomène a plus.ou moins lieu dans toute percussion ; que les parties
oscillantes & les noeuds sont les causes du frémissement
qu’on éprouve au. toucher dans un corps
élastique frappé ; que-Ce frémissement , ainsi, que
celui des cordes frappées, est plus ou moins fort,
suivant la violence du coup , mais toujours isochrone
 ; qu’ainsi on devroit appliquer au choc des
corps élastiques, les loix des vibrations des cordes.
Voyez CORDE &'PERCUSSION.De plus, imaginons que les molécules de" matièrequi
agissent les unes fur lés autrespar attraction,
c’est-à-dire, en général par quelque cause inconnue
(car M. Diderot ne considère ici l’attraction que
sous ce point de vue) , se disposent èntr'eiles d’une
certaine manière par leur action mutuelle ; il est
visible que si on dérange ces particules, elles tendront
à se remettre clans leur premier état , ou
du moins à se coordonner entr'elles relativement à
la loi de leur action, & à celle de la force perturbatrice.
Le fystême formé de telles particules ,
& que M. Diderot appelse A, estun corps élastique ;
& en ce sens, dit-il , l’univers en seroit un : idée
neuve , & qu’on.peut adopter à bien des égards. Le
fystême A dans le vuide fera indestructible, dans
1 univers une infinité de causes tendront à Faltérer.
Un corp- ; élastique plié se rompra , quand les parties
qui le constituent lërcnt écartées par la force perturbatrice
au-delà de ia sphère de leur action j ilíu ' e l a e l ase rétablira quand I'écartement sera moins fort, &
permettra à Faction mutuelle des particules de
produire un esset.Si les particules sont de différente matière, de
différente figure, & agissent suivant différentes
loix, il en résultera une infinité de corps élastiques
mixtes, c’esl-à-dire, des systèmes composés de deux ou
 plusieurs systèmes de "particules différentes par
leurs qualités '& leur action. Si on chasse de ce
composé un ou plusieurs systèmes, ou qu’on y en
ajoute un nouveau, la nature du corps changera ;
ainsi le plomb diminuera d’élasticité, fi on le met
c-n fusion, c’est-à-dire, si on coordonne entre
ses particules un autre fystême compose- de molécules
d’air & de feu ," qui le constituent plomb
fondu. Voyez dans Fouvrage cité , l’explication
détaillée des conjectures de M. Diderot, que nous
exposons ici dans un raccourci qui leur fait tort.Loix deVélasticité. Pour venir à bout de découvrir
la nature & ses loix de Y élasticité, nous en considérerons
les phénomènes. Nous supposerons donc
d’abord que tous les corps dans lesquels on observe
cette puissance, soient composés ou" puissent être
conçus composés de petites cordes ou fibres qui par
leur union constituent ces corps ; & pour considérer
Yélasticité dans le cas le plus simple , nous prendrons
pour exemple les cordes de musique.Les fibres n’ont de Yélasticité qu’autant qu’elles
font tendues par quelque force, comme on voit
par les cordes lâches , qn’on peut faire changer
facilement de position, fans qu’elles puissent reprendre
la première qu’elles avoient , quoique
cependant on n’ait pas encore déterminé exactement
par expérience , quel, est le degré de tension nécessaire
pour faire appercevoir Yélajiicité.Quand une fibre-est trop tendue, elkperdson
-élasticité. Quoiqu’on ne connoisse pas non plus le
degré de tension qu’il faudroit pour détruire Yélasticité,
il est certain au moins que Yélajiicité dépend
de la tension, & que cette tension a des limites on.
Yélasticité commence & où elle cesse.Si cette observation rie nous fait pas connoître
la cause propre & adéquate de Yélasticité, elle nous
fait voir au moins la différence qu’il y a entre le
corps élastique & les corps non-élassiques ; comment
il arrive .qu’un’corps perd sou élasticité, &
comment un corps destitué de cette force, vient
à l’acquérir. Ainsi, une plaque de métal devient
élastique à force d’être battue ; & si .on la fait
chauffer, elle perd cette propriété.Entre les limites de tension qui sont les termes
de Yélasticité, on peut compter dissérens dégrés de .
force nécessaires pour donner différéns degrés de
tension, & pour tendre les cordes à telle ou telle
longueur. Mais quelle est la proportion de ces
forces par rapport aux longueurs des cordes ? c’est
c’est çe qu’on ne fauroit déterminer que par des
expériences faites avec des cordes de métal ; &
comme les alongemens de ces cordes sont à peine
scnfiblps, il s’enfuit de-là qu’on ne fauroit mesurerdirectement ces proportions, mais qu’il faut pour
cela se servir d’un moyen particulier & indirect.
Gravesande s’est donné beaucoup de peine pour
déterminer ces loix: voici se résultat des expériences
qu’il a faites pour cela.i." Les poids qu’il faut pour augmenter une sibre
parla tension jusqu’à un certain degré, font dans
différéns degrés de tension, comme la tension-même.'
Si, par exemple x nous supposons trois fibres dé
même longueur & de même épaisseur, dont les
tensions soient comme ì , z, 3 , des poids qui feront
dans la même proportion les tendront également.z.° Les plus petits alongemens des mêmes fibres
seront entr'eux à-peu-près comme les forces qui les
alongent ; proportion qu’on peut appliquer aussi à
leur inflexion.3.° Dans les cordes de même genre, dé même
épaisseur & également tendues, mais de différentes
longueurs , les alongemens produits en ajoutant
des poids égaux,, sont les uns aux autres comme
les longueurs des cordes ; ce qui vient de ce que la
corde s’alonge dans toutes ses parties, & que par
conséquent l’ajongement d’une corde totale est
double de Falongement de fa moitié, ou de Falongement
d’une corde sous-dôubk,4.° On peut comparer de la même manière les
fibres de même espèce, mais" de différente épaisseur,
en comparant d’abord un plus ou moins grand
nombre de fibres déliées de la même épaisseur : &
prenant ensuite le npmbre total des fibres, en raison
de lâ solidité des cordes, c’est-à-dire , comme les
quarrés des diamètres des cordes, ou comme leur
poids, lorsque leurs longueurs sont égales. De telles
cordes, doivent donc être tendues également par
des forces que l’on supposera enjraison des quarrés
de leurs-diamètres. Le même rapport doit aussi se
trouver entre les forces qu’il faut pour courber des
cordes, de façon que les flèches de la courbure
soient égales dans les fibres données.5. 0 Le mouvement d’une fibre tendue fuit les
mêmes loix que. celui d’un corps qui fait ses oscillations
dans une çycloïde ; & quelque inégalesque
soient les vibrations, elles se font toujours dans un
même tems, Voyez ÇYCLOÏDE & CORDE.
 » 6." Deux cordes étant supposées égales, mais
inégalement tendues, il faut des forces égales pour
les-iléchir également : on peut comparer leurs mour
vemens à ceux de deux pendules, auxquels deux,
forces différentes seroient décrire des arcs semblables
de çycloïde, & par conséquent les quarrés
des tems de vibrations des fibres sont ses uns aux
autres en raison inverse des forces qui les fléchissent
également, c’est-à-dire, des poids qui tendent les
cordés. Voyez PENDULE.7. 0 On péùt encore comparer d’une autre mar
nière les mouvèmens des cordes semblables également
tendues , avec ceux des pendules ; car, comme
on fajt attention aux tems des vibrations, il fautEl a .eu et faussi faire attention aux vitesses avec lesquelles les
. cordes íe meuvent : or cçs vitesses sont entr'elles
en raison composée de la direcìe des poids qui
fléchissent les cordes, & de l’inverse des.quantitésde
matière contenues dans les cordes, c’esl-à-dire,
dela longueur de ces cordes. Les vitesses font donc
en raison in verso des quarrés des longueurs, & des
quarrés des tems des vibrations.Les lames ou plaques élastiques peuvent être
considérées comme Un amas ou faisceau de cordes
élastiques parallèles. Lorsque la plaque se fléchit,
quelques-unes des fibres s’alongent, & les différéns
points d’une même plaque sont différemment
alongés.On explique Yélasticité d’un fluide, en supposant
à toutes ses parties une force centrifuge : &
M.Neuton (Princ.matk.prop.xxiij. liv.II.) prouve,
d’après cette supposition , que les particuíes qui se
repoussent ou íe fuient mutuellement les unes les
autres par des forces réciproquement proportionnelles
aux distances de leur centre, doivent composer
un fluide élastique dont la densité soit proportionnelle
à fa compression ;-& réciproquement,
que si un fluide est composé de parties qui se
. foient& s’évitent mutuellement les unes les autres,
& que fa densité soit proportionnelle à la. compression
 ; la forcé centrifuge de ces particules sera en
raison inverse de leurs distances. Voyez FLUIDE.
' Au reste, il faut regarder cette démonstration
comme purement mathématique, & non comme
"déduite de la véritable cause physique de Yélasticité
des fluides. Quelle que soitla caisse de cétte élasticité,
il esteonslant qu’elle tend à rapprocher les parties désunies
ou éloignées, & que par conséquent on pèut
la réduire, quant aux_effets , à Faction d’une force
centrifuge par laquelle les particules du fluidefe •
repoussent mutuellement, fans qu’il soit nécessaire
de supposer l’existence réelle d’une pareille force
'■centrifuge. La démonstration subsiste donc , quelle
que soit Ia cause physique de Y élasticité des fluides. _M. Daniel Bernoulli a donné dans son Hydrodynamique
, les loix de la compression & du mouvement
des fluides élastiques. 11 en tire la théorie
"de la compression de Fair, & de son mouvement
en passant par différéns canaux ; de la force de la
poudre pour mouvoir ses boulets de canon , &c.
Dans mon traité de l’équilibré & du mouvement des
fluides , imprimé à Paris en 1744, j’ai auffi donné
les loix de Féquilibre & du mouvement des fluides
élastiques. J’y remarque que le mouvement d’un
fluide élastique diffère principalement df celui d’un
fluide oidinaire, par les loix des vitesses de. ses
différentes couches. Ainsi , quand un fluide non
élastique se meut dans un vase cylindrique , toutes .
les couches de ce fluide" se "meuvent avec une
égale vitesse ; mais il n’en est pas dé"même quand
le flui.de est élastique : car, si ce fluide se ment
dans un cylindre dont un des bouts soit fermé,
la vitesse de ses-tranches esl. d’autant plus grande,
qu’elles font plus éloignées de cc fond ;. à-peu-près 1comme il arrive à un ressort fixé par une de ses extrémités
, & dont les parties’ parcourent en se dé-bandant
 d’autant plus d’espace, qu’elles sont plus
éloignées du point fixe. Du reste , la méthode pour
déterminer les loix du mouvement des fluides
élastiques, est la même que pour déterminer celles
des autres fluides. M. Bernoulli, dans ses recherches’
fur le mouvement des fluides élastiques , avoit suppose
la chaleur du fluide constante, & Yélasticité
proportionnée à la densité. Pour moi, j’ai suppose
que Y élasticité agit suivant telle loi qu’on voudra.M. Jacques Bernoulli , dans les mém. acad.
' r.703, où il donne la théorie de la teusion des
fibres élastiques de différentes longueurs, ou de
leur compression par différéns poids , remarque
avec raison que la compression des fibres élastiques
n’est pas exactement proportionnelle au poids comprimant
 ; & la preuve démonstrative qu’il en apporte
, c’est, qu’une fibre élastique ne peut pas êtrecomprimée
à l’infini ; que, dans son dernier état »■
de compression, elle a encore quelque étendue, &
que quelque poids qu’on ajoutât alors au poids 1
comprimant, la compression ne pourroit pas être plus
 gratíde : d’où il s’enfuit évidemment que la ;
compression n’augmente pas généralement en raisons
du poids. ' "Or ce que nou$- venons de rapporter d’après ;
M. Jacques Bernoulli, fur la règle des pressionsproportionnelles
aux poids , a lieu dans ses fluidesélastiques
 ; par conséquent la règle qui fait les-:
compressions proportionnelles aux poids des fluidesélastiques.,
(- K-AiR ) ne fauroit être qu’une régler
rapprochée. J’aimerois mieux- dire , & ce seroit '
peut-être parler plus exactement, que la différence
des compressions de Fair est proportionnelle ans
poids comprimans ; mais que comme la compression’
de Fair est fort petite lorsque le poids comprimant
= o , c’est-à-dire-, comme Fair dans son état na-turel
 est extrêmement dilaté ,. les expériences ont
fait croire que les compressions de Fair étoient
comme les poids , quoique cette proportion n’aie
pas lieu rigoureusement ; car , soit P la compreffionde
Fair dans son état naturel, & P -f A, & P "4- B*
les compressions de ce même air par les deux poids •
a , b ; còmme on suppose A & B fort grandes par"
rapport à P , il est évident qu’au lieu de la proportion
a . b 11 A',B , on peut prendre la proportion
approchée a '.b '.' „' P 4- A : P 4r3. Voye£
-me s-recherche s fur la cause des vents ; article 81.Sur les phénomènes de Yélasticité de Fair ,-voyezz. '
les mots AlR & ATHMOSPHERE dans le diaionnaire
de physique.. C’est Yélasticité de Fair ,. & non sors
poids, qui est la cause immédiate de la suspension ;
du mercure dans le baromètre ; car Fair d’une ;
chambre soutientlemercure-en vertu de son ressort ^
ainsi ,.plus le ressort ou Yélasticité de Fair augmen-^
tent j plus le mercure.doit monter , & aU-contrairè ».
Les variations du baromètre font donc Feffet dm
changement de Yélasticité dans Fair,. autant que.dis
changement qui arrive dans son, poids ;& eomme.^6i6 e l a e l a ,outre k poids de Fair , il y a une infinité de
causes qui peuvent changer Yélasticité de Fair,
comme la chaleur , l’humidité, Ie froid , la sécheresse
, il s’enfuit que toutes ces causes concourent
à la suspension plus ou moins grande du mercure.
(O) ' ÉLASTIQUE , adj. (Méchanique. )  corps élastique
ou à ressort , est celui qui étant frappé ou
rendu , perd d’abord fa figure, mais fait eslort par
fa propre force pour la reprendre ; ou qui, quand
il est comprimé, condensé, &c. fait effort pour se
mettre en liberté, & pour repousser les corps qui
le compriment , comme une lame d’épée , un
arc, &c. quise bandent aisément, mais qui reviennent
bientôt après à leur première figure & à leur
■première étendue. Voyez ELASTICITÉ. Tel est encore
un ballon plein d’air.Les corps élastiques sont ou naturels ou artificiels.
Les principaux parmi les artificiels,pour k
degré de force élastique , sont les arcs d’acier , les
boulets d’airain , d’ivoire, de marbre, &c. les cuirs
& les peaux, les membranes, les cordes ou fils
d’airain, de fer, d’argent & d’acier, les nerfs, les
boyaux , les cordes’ de lin & de chanvre.Les principaux .entre les naturels sont les éponges
, les branches d’arbres verds ,1a laines se coton
, ses plumes, &c. On dispute si l’eau a pu n’a
point de force élastique : plusieurs philosophes
croient qu’elle n’en a point ou peu par elle-même,
&' que fi elle en montre.quelquefois, on doit Fattfibuer
à Fair qui y est connu.Les principaux phénomènes qu’on observe clans
les corps élastiques , sont, i.° qu’un corps élastique
(nous supposons ici ce corps parfaitement élastique,
& nous imaginons qu’il y en ait de tels) fait effort
pour se remettre clans l’état.où il étoit avant la
compression , aveç la même quantité de force qui a
été employée à le presser ou à* k bander ; car la
force avec laquelle pn tire une corde ', est la même
que celle avec laquelle cette corde résiste à la trac-.:
tion ; de même un arc resle bandé, tant qu’il y a
équilibre entre la force qui esl employée à le bander
& celle avec laquelle il résiste.z." Les corps élastiques exercent également leur
force en tout sens, quoique l’efìèt se fasse principalement
apperceyoir du côté où la résistance est Ia
moins forte : ce qui se voit évidemment par l’exemple
d’un arc qui lance une flèche, du canon lorsque
îe boulet en sort, &c.30..Les corps élastiques sonores , de quelque
manière qu’on les frappe ou qu’on les poustè, font
toujours à-j) eu-près les mêmes vibrations ; ainsi ,
une cloche rend toujours un même son de quelque
manière ou de quelque côté qu’on la frappe. De
même une corde de violon rend toujours le même
son à quelque endroit qu’on la pousse avec l’archet.
Or les différéns sons consistent, comme l’on fait,
d ans la fréquence plus ou moins grande des vibrations
du corps sonore. Voyei CORDE t> SON, .4/ Un corps parfaitement fluide , s’il y en a de
tels, ne fauroit être élastique, parce que ses partie9
ne sauroient être comprimées. Voyez FLUIDE.
*" <j.° Un corps parfaitement solide, s’il y en avoit
de tels, ne fauroit être parfaitement élastique, parce
que n’ayant point de pores, il ne fauroit être susceptible
de compression.6." Les corps durs, longs & flexibles propres à
acquérir de Yélasticité, l’acquierent principalement
de trois manières , par leur extension , leur contraction
, ou leur tension.
' 7. 0 Lorsque ses corps se dilatent par leur force
élastique , ils emploient pour cela une moindre
force dans le commencement de leur dilatation que
vers la fin, parce que c’est à la fin qu’ils sont se
plus comprimés, & que leur résistance est toujours
égale à la compression.8.° Le mouvement par lequel les corps comprimés
se remettent dans leur premier état, esl ordinairement
un mouvement accéléré. Quant aux loix du
mouvement & la percussion dans les corps élastiques
, voyez fur cela les articles MOUVEMENT & '
PERCUSSION. Voyez aujfi RESSORT.Je ferai feukment ici les deux observations
suivantes :1.° On suppose ordinairement qu’un corps élastique
à ressort parfait qui vient frapper un plan
inébranlable, reçoit par le débatidement du ressort,
une vitesse précisément égale & en sens contraire à
celle qu’il avoit ën frappant le plan. II faut cependant
remarquer qu’un corps élastique peutserétablir
parfaitement dans fa figure, en perdant beaucoup
de fa vitesse : en voici lá preuve. Supposons
deux corps A , B , durs , unis ensemble par un
ressort attaché à, tousses deux, & supposons que
ce fystême vienne à frapper perpendiculairement
un plan inébranlable avec la vitesse a ; il est certain
que le corps antérieur A perdra d’abord tout son
mouvement, qu’ensuite lé corps B avancera contre
le plan & contre Ie corps A, en comprimant le
. ressort avec la vitesse a , & que ce ressort en se
débandant lui rendra la vitesse a, laquelle étantA apartagée aux deux masses A, B," deviendra-^r~g ;donc la vitesse du fystême des deux corps A, B ,
sera moindre après le choc qu’auparavant,. quoique
le fystême conserve la même figure. Pour qu’un corps
élastique ne perdît rien de fa vitesse par le choc,
il faiidroitsupposer que k ressort dont il esl pourvu
ïendît ses parties susceptibles de division à l’infini,
en sorte que quand il choque un "plan , il n’y eût
que Ia partie infiniment petite consigne au plan,
qui perdît tput - à - coup fa vitesse ,, les autres
parties’ne perdant la leur que par degrés insensibles.
Or on sent bien que cette supposition est
plus mathématique que physique ; en effet ,Tcxpé-=
rience prouve que les corps élastiques les plus.
_ patfaits perdent quelque partje de- leur vitesse parle choc,
le" choc , sens que leur figure soit aucunement
altérée. -z." M. Mariotte, dansson traité du choc des corps,
dit que si on frappe un cerceau avec un bâton pour
le faire avancer, la partie du cerceau opposée à Ia
partie choquée avancera vers le bâton & s’applatira,
tandis que le cerceau entier ira en avant ; ce
phénomène est aisé à expliquer par les principes
qu’on peut lire au mot DYNAMIQUE. Le cerceau
étant en repos au moment du choc, on peut regarder
son repos actuel comtrie composé de deux
mouvèmens égaux & contraires, l’un progressif &
l’autre opposé à celui-là , & contraire à FimpUlsion
du bâton ; donc en vertu de ce dernier mouvement
le cerceau est dans le même état que s’il étoit poussé
directement contre le bâton ! Or , dans ce cas, il
est évident qu’il doit s’applatir par la partie la
plus éloignée du bâton. Donc , &c. ( 0 ) ELASTIQUE, adj. pris subi ou COURBE
ELASTIQUE, (Géométrie & Médian.)  est le nom"
que M._ Jacques Bernoulli a donné à la courbe
-que forme une lame de ressort fixée horizontalement
par une de ses extrémités à un plan vertical,
•& chargée à l’autre extrémité d’un poids qui, par fa
pesanteur , oblige cette lame de se courber ; la
détermination de cette courbe est un problême de
la plus sublime géométrie. On peut voir l’analyse
que M. Jacques Bernoulli en a'donné dans les
mémoires de Vacadémie des sciences de Paris de
'2703. Plusieurs favans géomètres ont donné depuis
ce tems différentes solutions de ce problême ; on
en trouve plusieurs très-élégantes dans le tome Ht
des 'mém. de l’académie de Pétersbourg.Cette courbe est la même que celle que formeroit
un linge A C B ( MécLfig. 74. ) parfaitement
flexible , fixé horizontalement par ses deux extré^
mités A , B , & chargé d’un fluide qui rempliroit
lâ cavité A CB. Voyez cette proposition démontrée
dans l’effai de M. Jean Bernoulli fur une 'nouvelle
théorie de la manoeuvre des vaisseaux, imprimé
à Bâle en 1714, &-réimprimé depuis à Lausane,
1743 ' c’ans 'e recuel’ in-f-" des oeuvres de M. Jean
Bernoulli. Je dis 1743 , quoique le titre porte
1742, parce qu’il y a au commencement du premier
volume deux écrits de M, Bernoulli & de Féditeúr,
datés de 1743. ' ' ;On peut voir aussi dans le tome IVdes oeuvres ~
de M. Jean Bernoulli, page 2.42 , une solution
du problême élastique ; elle est fondée fur deux
"principes : 1.° que le poids tendant exerce fur
chaque point de Y élastique une 1 forcé proportionnelles
fa distance ; Z." que la courbure dans chaque
point .est en raison de la force tendante ; d’où il
s’ensuit que si pn. nomme x la distance d’un point
quelconque à la ligne de direction du poids
tendant, on aura le rayon de la développée/ i« '+^ U _ • 1 d>ou -ron íire\—dxddy 1 . ? ' •:Mathématiques, Tome I, II,' Partie.en regardant d x comme constant, — =—.7~rr^- — & '. / =dv-, équation deYélaftique.Or il est évident que cette courbe est Ia
même que celle du linge dont il a été parlé ci-dessus,,
puisque la pression, dans chaque point du linge,
est proportionnelle à x , c’est-à-dire à la hauteur,
& que cette pression est de plus proportionnelle
à la courbure, ou en raison inverse du rayon de
la développée.Voyez (Mém. de PAcadémie de Berlin, 1769) 
un Mémoire-de M.-de la Grange, fur la force des
ressorts pliés. ( O ) 
E L E
ELECTION, (Arithm. & Alg. )  : dans les
nombres & les combinaisons, est la différente
manière de prendre quelques nombres ou quaritités
données, fans avoir égard à leurs places.
Ainsi, les quantitésr a, b, c, peuvent être prises
de sept façons différentes, comme abc, ab, ac ,
bc & a, b, c. Voyez COMBINAISON, ALTERNATION,
PERMUTATION.- ( O) ELEÇTRA, {Astronomie) , nom d’une des sept
étoiles des pléiades, situées fur le taureau.ELÊMENS , en Astronomie. Les astronomes
entendent communément, par ce mot, les principaux
résultats des observations astronomiques,
& généralement tous les nombres essentiels qu’ils
emploient à la construction des tables du mouvement
des planètes. Ainsi, les élémens de la
théorie du soleil, ou plutôt de la terre,-sont les
époques de son moyen mouvement & de célui
de son aphélie, son mouvement moyen & son
excentricité, & le mouvement de son aphélie. Lesélémens
dela théorie de la lune sont son mouvement
mo3'en, celui de son noeud & de son apogée,
son excentricité, l’inclinaison moyenne de
son orbite à Fécliptique, & la valeur deses différentes
équations. (O) ELÉMENS DES SCIENCES, (Math.)  On appelse,
en général, élément d’un tout, les parties primitives
& originaires dônt on peut supposer que ce
tout est formé. Pour transporter cette notion aux
sciences en général, & pour connoître quelle idée
nous devons nous former des élémens’d’une science
quelconque, supposons que cette science soit entièrement
traitée dans un ouvrage, en sorte que Ton
ait de fuite &-sous les yeux les propositions, tant
générales que particulières, qui forment Penscmble
-de la science^ &que ces propositions soient disposées
dans Fordre le plus naturel & le plus, rigoureux
qui soit possible ; supposons ensuite que ces
propositions forment une fuite absolument continue
, en sorte que chaque proposition dépende
uniquement & immédiatement des précédentes, &
qu’elle ne suppose point d’autres principes que
ceux que les précédente ? propositions renferment}
Iiii

•*i8 E L E E L E
cn ce cas, chaque proposition, comme nqus l’avons
remarqué dans le discours préliminaire de l’Encydopédie,
ne sera que la traduction de la première, préferitëesous
différentes faces ; tout se réduiroit par conséquent
à cette première proposition, qu’on pourroit
regarder comme Y élément de la science dont
il s’agit, puisque cette science y seroit entièrement
renfermée. Si chacune des sciences qui nous ocfcupent
étoit dans le cas dontnous parlons, les élémens
en seroient aussi faciles à faire qu’à apprendre ;
& même, si npus pouvions appercevoir fans interruption
la chaîne visible qui lie tous les objets de
nos connoissances, les élémens de toutes les sciences
se rëduiroient à un principe unique, dont les conséquences
principales seroient les élémens de chaque
science particulière. T’espïit humain participant
alors de.l’intelligence suprême, verroit toutes ces
connoissances-comme réunies sous’ un point de vue
indivisible ; il y auroit cependant cette différence
entre Dieu & l’homme, que Dieu , placé à ce
point de vue, appercevroit d’un, coup-d’oeil tous
les objets, & que l’homme auroit besoin de lés
parcourir l’un après l’autre, pour en acquérir une
connoissance détaillée. Mais il s’en faut beaucoup
que nous puissions nous placer à un tel point de
vue. Bien loin d’appeícevoir la chaîne qui unit
toutes les sciences, nous ne voyons pas même,
dans leur totalité, les parties de cette chaîne qui
constituent chaque science en particulier. Quelque
ordre que nous puissions mettre entre les. propositions
, quelque exactitude que nous cherchions
à observer dans la déduction, il s’y trouvera toujours
nécessairement des vuides ; toutes ses propositions
ne se tiendront pas immédiatement, & formeront,
pour ainsi due, desgrouppes différéns &
désunis.Néanmoins , quoique , dans cette espèce de
tableau, il y ait bien des objets qui nous échappent,
il est facile de distinguer les propositions ou
vérités générales qui servent de base ' aux autres,
& dans lesquelles celles-ci sont implicitement renfermées.
Ces propositions réunies en un corps,
formeront, à proprement parler, les élémens de
la science, puisque ces élémens seront comme un
gerriie qu’il fuffiroit de développer pour connoître '
íes objets de la science fort en détail. Mais on
peut encore considérer les élémens d’une science
sous un autre point de vue : en effet, dans la fuite
des propositions, on peut distinguer celles qui,
soit .dans elles-mêmes, soit dans leurs conséquences,
considèrent cet objet de la manière la plus simple ;
& ces propositions étant détachées du tout,' en y
joignant même les conséquences détaillées qui en
dérivent immédiatement, on aura des élémens pris
dans un second sens plus vulgaire & plus en usage
mais moins philosophique que le premier. Les élémens
, pris dans le premier sens, considèrent, pour
ainsi dire, en gros toutes les parties principales
de 1 objet : les élémens pris dans k second sens
considèrent en détail les parties de l’objet les plusgrossières. Ainsi, des élémens de géométrie, quî
contiendroient non-seulement les principes de la
mesure & des propriétés des figures planes, mais
ceux de l’application de l’algèbre à la géométrie,
& du calcul différentiel & intégral appliqués aux
courbes, seroient des élémens de géométrie dans,
se premier sens , parce qu’ils renfermeroienr les
principes de la géométrie prise dans toute son
étendue ; mâis ce qu’on appel’e des élémens de
géométrie ordinaire , qui ne_ roulent que fur les.
propriétés générales des figures planes & du cercle,
ne sont que des élémens pris- dans le second sens,
parée, qu’ils n’embrafferit que la partie la plus
siniple de leur objet, soit qu’ils Fembraffent avec
plus ou moins de détail. Nous nous attacherons
ici aux élémens pris dans le premier sens ; ce que
nous en dirons pourra facilement s’appliquer ensuite
aux élémens pris dans le second.La plupart des sciences n’ont été inventées que
peu-à-peu.: quelques-hommes de génie, à différéns
intervalles de terris, ont découvert, les uns aprèsles
autres, lin certain nombre de vérités ; cellesrci
en ont fait découvrir de nouvelles, jusqu’à ce
qu’enfin le nombre des "vérités connues est devenu
assez considérable. Cette abondance, du moins
apparente, a,produit deux effets. En premier lieu,
on a senti ía difficulté d’y ajouter, non-seulëment
parce que les génies créateurs sont rares, mais
•encore parce que les premiers pas faits par Une
fuite de bons esprits , rendent les suivans plus
difficiles à faire ; car les hommes de génie parcourent
rapidement la carrière une fois ouverte,
jusqu’à ce qu’ils arrivent à quelque obstacle insurmontable
pour .eux, qui ne peut être franchi
qu’après des siècles de travail. En second lieu, la
difficulté d’ajouter aux découvertes, a dû naturellement
produire Ie dessein de mettre en ordre les
découvertes déjà faites ; car se caractère de l’efprit
humain 'est d’amasser d’abord le plus de' connoissances
qu’il est possible, & de songer ensuiteà les mettre
en ordre, lorsqu’il n’est plus si facile d’en amasser.
De-là sont nés les premiers traités en tout genre ;,
traités pour la plupart imparfaits & informes. Cette
imperfection venoit principalement de ce que ceux
qui ont dressé ces premiers ouvrages, ont pu rarement
se mettre à la place des inventeurs dont ils
n’avoient pas recule génie en recevant le fruit de
leurs travaux. Les inventeurs seuls pouvoièrit traiter
d’une manière satisfaisante les sciences qu’ils
avoient trouvées, parce qu’en revenant fur la
marche de leur esprit, & en examinant dé quelle
manière une proposition les avoit conduits à une'
autre, ils étoient seuls en état de voir la liaison
des vérités , & d’en former par conséquent la
chaîne. D’ailleurs les principes philosophiques fur
lesquels’la découverte d’une science est appuyée,
n’ont souvenr une certaine netteté que dans l’efprit
des inventeurs ; car soit par négligence, soit pour
déguiser leurs découvertes, soit pour en faciliter
aux autres les fruits, ils les couvrent d’un langageE l e e l e .*.*particulier, qui sert ou à leur donner un air de
mystère, ou à en simplifier Fusage ; or ce langage
ne-peut être mieux traduit que par ceux mêmes
qui Font inventé, ou qui du moins auroient pu
l’inventer. II est enfin.des cas où les inventeurs
mêmes n’auroient pu réduire en ordre convenable
leurs connoissances ; c’est lorsqu ayant été guidés
moins par le raisonnement que par une espèce
d’inslincl, ils font hors d’état de pouvoir les transmettre
aux autres. C’est encore lorsque le nombre
des vérités se trouve assez grand pour être recueilli -,
& pour qu’il soit difficile d’y ajouter, mais non
assëz complet pour former un corps & un ensemble.- Ce que-nous venons de dire regarde ses traités
détaillés & complets ; mais il est évident que lës
ïnêmes réflexions s’appliquent aux traités élémentaires
: car, puisque les traités complets ne diffèrent
des traités élémentaires bien faits, que par se détail
des conséquences & des proposttions particulières,
omises dans les unes & énoncées dans les autres,
il s’enfuit qu’un traité élérnentàire & un traité
complet, fi on les suppose bien faits, seront pu
■explicitement ou implicitement renfermés l’un dans
laurre.II est dpnc évident ,, par tout ce que nous
venons de dire, qu’on" ne doit entreprendre lés
élémens d’une science que quand les propositions j
qui la constituent, ne seront point chacune isolées
& indépendantes l’une de l’autre, mais quand on
y pourra remarquer des propositions principales
dont les autres seront des conséquences. Or comment
distinguera-t-on ces propositions principales î
■voici le moyen d’y parvenir. Si les- propositions,
ími forment Fënscmble d’une science, ne se suivent
pas immédiatement les unes les autres, on remarquera
les endroits où la chaîne est rompue, &
les propositions qui forment la tête de chaque partie
de la chaîne , font celles qui doivent entrer dans
lës élémens. A Fégard des propositions mêmes qui
forment Une. feule portion continue de la chaîne,
on y, en distinguera de deux espèces ; celles qui
ne sont que de simples conséquences, une.simple
traduction en d’autres termes de la proposition
-précédente, doivent être exclues des élémens, puisqu’elles
y sont évidemment renfermées. Celles qui
eriipruntent quelque chose, non-seulement de la
proposition précédente, mais d’une autre proposition
primitive, sembleraient devoir être exclues
par la même raison, puisqu’elles font implicite-,
nient & exactement renfermées dans ses propositions
dontelses dérivent. Mais, en !s’attachantscrupuleusement
à cette règle,non-seulement on réduiroit
les élémens à presque rien , on en rendroit
encore Fusage & l’application tròp difficiles. Ainsi,
les conditions nécessaires’., pour qu’une proposition
entre dans lès élémens d’une science pris dans Ie
premier sens-, font quecéspropositions soient assez
distinguées les’ unes des autres, pour qu’on n’en
puisse pas en former une chaîne immédiate) -queces propositions soient elles-mêmes la. source de
plusieurs autres, qui n’en seront plus ; regardées
que comme des conséquences ; & qu’enfin, si quelqu’une
des propositions est comprise dans ses-pré.
cédentes, elle n’y soit comprise qu’implicitement-,
ou de manière qu’on ne puisse en appercevoir
la dépendance que par un ; raisonnement développé.N’oublions pas de dire qu’il faut inférer dàns
ses élémens lës propositions isolées, s’il en est quelqu’une
qui ne tienne ni comme principe, ni comme
conséquence, à aucune autre ; car les élémens d’une
science doivent contenir au moins le germe de
toutes ses vérités qui font l’objet de cette science :
par conséquent- Fomission d’une feulé vérité isolée,
rendroit les élémens imparfaits.Màis ce qu’il faut fur-tout s’attacher à bien développer
, c’est la métaphysique, des propositions ;
Cette métaphysique, qui a guidé ou dû guider lès
inventeurs, n’est autre chose que l’expofition claire
& précise des vérités générales- & philosophiques-,
sor lesquelles les principes de lâ science sont
sondés. Plus cette métaphysique est simple, facile j
& pour ainsi dire populaire, plus elle est précieuse ;
on peut mêmedire que la íimplicité& la
facilité en font la pierre de touche. Tout ce qui
est vrai., fur-tout dans les sciences de pur- raisonnement,
a toujours des. principes clairs: & sensibles,&
 par conséquent peut être mis à lâ portée
de tout le monde, fans aucune obscurité. En
effet, comment les conséquences pourroient-elks
être claires, & certairies, si les principes étoient
obscurs ? La vanité des auteurs & des lecteurs est
cause que l’on s’écarte souvent de ces règles-: ses
premiers font flattés de pouvoir répandre un air
de mystère & de sublimité sur leurs productions :
les autres ne haïssent pas Fobfcurité, pourvu qu’il
en résulte une espèce de merveilleux ; mais la
vérité esl -simple , & veut être traitée comme-elle
est. ,Nous aurons occasion, dans cet ouvrage ,
d’appliquer souvent les règles que nous venons de
donner, principalement dans ce qui regarde. lés
loix de la méchanique, la géométrie, qu’on nomme
de l’infini ; & plusieurs autres ohjets ; c’est pourquoi
nous insistons, pour le présent, assez légèrement
là-dessus.Pour nous b°rner i<-i k quelques règles générales,
quels sont dans chaque science les principes
d’où- l’on doit partir ? des faits simples, bien vus
& bien avoués ; en physique , Fobservation deFunivers ;
en géométrie, les propriétés principales
de Fétendue ; en méchanique, l’impénétrabilité des
corps ; en métaphysique & en morale, Fétude de
notre ame & de ses affections, & ainsi des autres.
Je prends ici la métaphysique dans se sens le plus
rigoureux qu’elle puisse avoir, en tant qu’elle est
la science des êtres purement spirituels. Ce que
j’en dis ici sera encore plus vrai, quand on la
regardera dans un sens plus étendu, comme la
science universelle, qui contient les principes deliii.ij6io E L E E L E
toutes les autres ; car, si chaque science n’a & ne
peut avoir que Fobservation pour vrais principes,
la métaphj’sique de chaque science ne peut consister
que dans les conséquences générales qui résultent
de Fobscfvation, présentées sous le point de
vue le plus étendu qu’on puisse leur donner. Ainsi,
dussai-je, contre mon intention , choquer encore
quelques personnes, dont k zèle, pour la métaphj’sique,
est plus ardent qu’éclairé, je me garderai
îoien de la définir, comme elles le veulent, &
science des idées ; car que seroit-ce qu’une pareille
science ? La philosophie, sur quelque objet qu’elle
s’exerce, est la science des faits ou celle des chimères.
C’est en effet avoir d’elle une idée bien
informe & bien peu juste, que de la croire destinée
à se perdre dans les abstractions, dans ses
propriétés générales de Fêtre, dans celles du mode
& de la substance.- Cette spéculation inutile ne
consiste qu’à présenter sous une forme & un langage
scientifique, des propositions qui étant mises
en langage vulgaire, ou ne seroient que des vérités
communes qu’on auroit honte d’étaler avec tant
d’appareil, ou seroient pour le moins douteuses,
& par conséquent indignes d’être érigées en principes.
D’ailleurs une telle méthode est non-seulement
dangereuse, en ce qu’elle retarde, par des
questions vagues & contentieuses, le progrès de
nos.connoissances réelles, elle est encore contraire
à la marche de l’efprit, qui, comme nous ne saurions
trop le redire, ne connoît les abstractions
que par Fétude des êtres particuliers. Ainsi, la
première chose par où l’on doit commencer en
tonne philosophie, c’est de faire main-basse fur
ces longs & ennuyeux prolégomènes , fur ces
nomenclatures éternelles, fur ces arbres &"ces divisions
fans fin ; tristes restes d’une misérable fcboTaslique
& de ligriorame vanité de ces siècles téné- ■
breux, qui, dénués d’observations & de faits, se
créoicnt un objet imaginaire de spéculations & de
disputes. J’en dis autant de ces questions aussi
inutiles que mal résolues, fur la nature de la
philpsophie, fur son existence, fur le premier principe
des connoissances humaines, fur l’union de '
Ia probabilité avec l’évidence, & fur une infinité
d’antres objets semblables.U esl, dáns les sciences, d’autres questions contestées
, moins frivoles en elles-mêmes, mais aussi
inutiles en csset, qu’on doit absolument bannir
d un livre à'élémens. On peut juger sûrement de
1 inutilité absolue d’une question fur lacjuelle on
se divise, lorsqu’on voit que les philosophes se
réunissent d’ailleurs fur des propositions, qui néanmoins
, au premier coup-d’oeil, scmbleroient tenir.
nécessairement à cette question. Par exemple, les
élémens de géométrie, de calcul, étant les mêmes
pour toutes les écoles de philosophie, il résulte
de cet accord, & que les vérités géométriques ne
tiennent point aux principes contestés fur la nature
de Fétendue, & qu’il est, fur cette matière, un point
commun où toutes les sectes se réunissent ; un principevulgaire & simple, d’où elses partent toutes
fans s’en appercevoir ; principe qui s’est pbscurci
par ses disputes, pu qu’elles pnt fait négliger, mais
qui n’en subsiste pas moins. De même, quoique
le mouvement & ses propriétés principales soient
l’objet de la méchanique, néanmoins la métaphysique
obscure & contentieuse de la nature du
mouvement, esl totalement étrangère à cette science ;
elle suppose l’exislence du mouvement, _ tjre de
cette suppositipn une foule de vérités utiles,. &
laisse bien foin derrière elle la philpsophie scholas- .
tique s’épuiser en vaines subtilités fur le mouvemême.
Zenon chercheroit encore si les corps se
meuvent, tandis qu’Archimède auroit trouvé les :
loix de Féquilibre , Huyghens celles de la perçus- 1
sion, & Neuton celles du fystême du monde.Concluons delà que le point auquel on doit
s’arrêter dans la recherche des principes d’une
science, est déterminé par la nature de cette sesence •
même, c’esl-à-dire par le point de vue fous lequel
elle envisage son objet ; tout ce qui esl au-delà .
■doit être regardé ou .comme appartenant à une .
autre science, ou comme une région entièrement
refusée à nos regards. J’avoue que les principes ,
d’où nous partons en ce cas ne sont peut-être
eux-mêmes que des conséquences fort éloignées
des vrais principes qui nous sont inconnus, &qu’ainsi
 ils mériteroient peut-être le nom de conclusions
plutôt que celui des principes. Mais il n’eff
pas nécessaire que" ces conclusions soient des principes
en elles-mêmes, il suffit qu’elles en soient :
pour nous. ,Nous n’avons parlé jusqu’à présent que des^
■ principes proprement dits , de ces vérités primitives
par lesquelles on peut non-seulement guider
ses autres, mais se guider soi-même dans l’étude ■
d’une science. 11 est d’autres principes qu’on peut :
appeller secondaires ; ils dépendent moins de la .
nature des choses, que du langage : ils ont principalement,
lieu, lorsqu’il s’agit de communiquer ses
 connoissances aux autres. Je veux parler des. ■
définitions, qu’on pëut, à l’exemple dés mathématiciens,
regarder en effet comme des’"principes ;• .
puisque, dans quelque espèce à'élémens que ce puisse
être,. c’est en partie sur elles que la plupart des
propositions sont appuyées. Ce nouvel objet demande
quelques réflexions : l’article DÉFINITION,
en présente plusieurs ; nous y ajouterons les suivantes.Définir, suivant la force du mot, c’est marquer
les bornes & les limites d’une chose ; ainsi, définir. ■
un mot, c’est en déterminer & en circonscrire
pour ainsi dire le sens, de manière qu’on ne puisse,
ni avoir de doute fur ce sens donné, ni l’étendre ,
ni le restreindre, ni enfin Fattribuer à aucun autre ,
terme. .Pour établir les réglés des définitions , reinar- .
quons d’abord que dans les Sciences, on fait usage. :
de deux sortes de termes , de termes vulgaires,. .
& de termes scientifiques. .E l e ; e l e in.J’appelle termes vulgaires , ceux dont on fait
usage ailleurs que dans la science dont il s’agit,
c’est-à-dire, dans le langage ordinaire, ou même
dans d’autres sciences ; tels font par exemple les
mots: espace , mouvement en méchanique ; corps en
géométrie ; son en musique , & une infinité d’autres.
J’appelle termes scientifiques , les mots propres &
particuliers à la science, qu’on a été obligé de
créer pour désigner certains objets , & qui sont
inconnus à ceux à qui la science est tout-à-fait
étrangère.. II semble d’abord que les termes vulgaires n’ont
pas besoin d’être définis, puifqu’étant, comme òn
le suppose, d’un usage fréquent, l’idée qu’on attache
à ces mpts doit être, bien déterminée & familière
à tout se monde. Mais le langage des
Sciences ne fauroit être trop précis, & celui du
vulgaire est foùvent vague & obscur ; on ne fauroit
donc trop s’appliquer à fixer la lignification des
mots qu’on emploie , ne fût-ce que pour éviter
toute équivoque. Or, pour fixer la signification des
mots, ou, ce qui revient au même, pour les définir
, il faut d’abord examiner quelles sont ses
idées simples que ce mot renferme ; j’appelle idée
simple, celle qui ne peut être décomposée eu
d’autres, & par ce moyen être rendue plus facile
à saisir : telle est par exemple Fidée d’existence ,
celle de sensation, & une infinité d’autres. Ceci a
besoin d’une plus ample explication. -A proprement parler , il. n’y a aucune de nos
idées qui ne soit simple ; car quelque Composé que
soit un objet, Fopération par laquelle notre esprit
le .conçoit comme composé, est une opération mstantanée
& unique : ainsi, c’est par une opération
simpk que nous concevons un corps comme une
substance tout-à-la-fois étendue , impénétrable ,
figurée & colorée.Ce n’est donc point par la nature des opérations
de.l’efprit quon doit juger du degré de simplicité
des idées ; c’est la simplicité plus ou moins
grande de l’objet qui en décide : de plus, cette
simplicité plus ou moins grande , n’est pas celle
qui est déterminée par le nombre plus ou moins
grand des parties de Fobjet, mais par^ le nombre
plus" ou moins grand des propriétés qu’on y considère
à-la-fois ; ainsi, quoique.Fespace & k tems
soient composés de parties , & par conséquent ,
ne.soient pas des êtres simples, cependant, Fidée
que nous en avons,, est une idée simple , parce
que toutes les parties du tems & de l’espace sont
absolument semblables ; que l’idée que nous en
avons est absolument la" même, & qu’enfin cette
idée ne peut être décomposée, puisqu’on ne ppurroit
simplifier l’idée de i'étendue & celle du tems,
fans les anéantir : au lieu qu’en retranchant de Fidée
de corps, par exemple, Fidée d’impénétrabilité,
de figure & de couleur, il reste encore Fidée de.
Fétendue. .Les idées simples, dans le sens où nous l’entenions,.peuvent
se réduire à deux espèces :lesunes font des idées abstraites ; Fabstraction en
effet n’est autre chose que Fopération , par laquelle
nous considérons, dans un objet, une propriété
particulière, fans faire attention à celles qui se
joignent à çelle-là , pour constituer l’estence de
Fobjet. La seconde espèce d’idées simples est renfermée
dans les idées primitives que nous acquérons
par nos sensations," comme Celles des couleurs
particulières, du froid , du chaud, & plusieurs
autres semblables ; auffi n’y a-t-il point de
circonlocution plus propre à faire entendre ces
choses, que le terme unique qui les exprime.Quand on a trouvé toutes les idées simples qu’un
mot renferme , on le définira en présentant ces
idées dune manière auffi claire, aussi courte , &
auffi précise qu’il sera possible. 11 suit de ces principes
, que fout mot vulgaire qui ne renfermera
qu’une idée simpk , ne peut •& ne doit pas erre
défini dans quelque science que cepuifse être, puisqu’une
définition ne pourroit en mieux faire connoître
se sens. A Fégard des termes vulgaires qui
renferment plusieurs idées simples, fuísent-ils d’un
usage très-commun, il est bon deles définir, pour
développer parfaiteinent les idées simples qu’ilsrenferment.Ainsi, dans la méchanique ou science du mou-,
vement des corps, pn ne doit définir ni Fespace'ni
se tems, parce que ces mpts ne renferment qu’une
idée fimpk ; mais pn peut & on doit même définir
le mouvement, quoique la notion en soit assez
familière à tout le monde, parce, que l’idée de
mouvement est une idée complexe qui en renferme
deux simples , celle de l’espace parcouru, & celle
: du tems employé à le parcourir. II fuit encore des
mêmes principes, que les idées simples qui entrent .
dans une définition doivent être tellement dis-,
tinctes l’une .de l’autre, qu’on ne puisse en ,rëtrancher
 aucune. Ainsi , dans la définition ordinaire
du triangle rectiíigne, on fait entrer mal-à-propos
 lës trois côtés & les trois angles ; il suffit
d’y faire entrer ses trois côtés, parce qu’une figure
renfermée par trois lignes droites a nécessairement.
trois angles. C’est à quoi on ne fauroit faire trop
d’attention, pour ne pas multiplier fans nécessité
les mots non.plus que les êtres, & pour ne pas.
faire regarder comme deux idées distinctes, ce qui .
n’est individuellement que.la même.On peut donc dire non-seulement qu’une définition
doit être courte, mais que plus elle fera-,
courte, plus elle sera claire ; car la brièveté consiste
à n employer, que les idées nécessaires, & à .
les disposer dans Fordre le plas naturel. On n’est.,
souvent obscur , que parce qu’on est trop long :
Fobfcurité vient principalement de ce que les idées
ne font pas bien distinguées les unes des autres.,
& ne font pas mises à leur place. Enfin , la brièveté
étant nécessaire dans les définitions , on peut
& on doit même y employer des termes qui renferment
des.idées complexes, pourvu que cës termes
aient été définis auparavant, & qu’on ait par con-
<?ÌÌ E L E E L E  ;
sëquent développé les idées simples _ qu’ils contiennent.
Ainsi, on peut dire qu’un triangle rectiligne
est une figure terminée par trois lignes droites,
pourvu qu’on ait défini auparavant ce qu’on entend
par figure , c’est-à-dire , un espace terminé entièrement
par des lignes : ce qui renferme trois
idées, celle d’étendue, celle de bornes -, & celle
de bornes-en tout sens.• Telles sont les règles générales d’une définition
 ; telle est l’idée qu’on doit s’en faire, & suivant
laquelle une définition n’est autre chose que
le développement des idées simples qu’un mot renferme.
11 est fort inutile après cela d’examiner si
les définitions font de nom ou de chose , c’est-àdire
si elles sont simplement l’explication de ce
qu’on entend par un mot, ou si elles expliquent
la nature de Fobjet indiqué par ce mot. Eri effet,
qu’est-ce que la nature d’une chose ? En quoi consiste-t-elle
proprement , & la connoissons-npus í
Si on veut répondre clairement à ces questions ,
on verra combien la distinction dont il s’agit est
futile & absurde : car étant ignorans comme nous
k sommes fur ce que les êtres sont en eux-mêmes,
la connoissance de la nature d’une chose ( du moins
par rapport à nous ) ne peut consister que dans la
notion claire & décomposée , non des principes
réels & absolus de cette chose, mais de ceux qu’elle'
nous paroît renfermer. Toute définition ne peut
être envisagée que sous ce dernier point de vue :
dans ce cas elle sera plus qu’une simple définition
de nom , puisqu’elle ne se bornera pas à expliquer
se sens d’un mot , mais qu’elle en décomposera
l’objet ; &' elle sera moins aussi qu’une définition
de chose, puisque la vraie nature de Fobjet, quoiqu’ainsi
décofnposé, pourra toujours rester inconnue.Voilà ce qui concerne la définition des termes
vulgaires. Mais une science ne se borne pas à ces
termes, elle esl forcée d’en avoir de particuliers ;
soit pour abréger k discours & contribuer ainsi
à la clarté, en exprimant par un seul mot ce qui
auroit besoin d’être exprimé par une phrase entière ;
soit pour désigner des objets peu connus fur lesquels
elle s’exerce, & que souvent elle se produit
à ellc-míme par des combinaisons singulières &
nouvelles. Ces mots ont besoin d’être définis, c’eslà-dire
simplement expliqués par d’autres termes
plus vulgaires & plus fimpks ; & la feule règle de
ces définitions, c’est de n’y employer aucun terme
qui ait besoin lui-même d’être expliqué, c’esl-àdire
qui ne soit ou clair de lui-même',, ou déja
expliqué auparavant.Les termes scientifiques n’étant inventés que
pour la nécessité, il est clair que l’on ne doit pas
au hasard charger une science de termes partie uliers.
11 seroit donc à souhaiter qu’on abolît ces
termes scientifiques, & pour ainsi dire barbares,
qui ne servent qu’à en imposer ; qu’en géométrie,
par exemple, on dit simplement proposition au lieu
de théorème , conséquence au lieu de corollaire ,remarque au heu de Jchohe , & ainsi des autres.
La plupart des mots de nos sciences font tirés des
langues savantes, où ils étoient intelligibles - au
peuple même, parce qu’ils n’étoient souvent que
des termes vulgaires, ou dérivés de ces termes:
pourquoi ne pas leur conserver cet avantage ?Les mots nouveaux, inutiles, bizarres, ou tirés
de trop de loin, sont presque aussi ridicules eri
matière de science , qu en matière de goût. On ne
fauroit, comme nous lavons déja dit ailleurs,
rendre la langue de chaque science trpp simple -,
&, pour ainsi dire, trop'pppulaire ; nen-sculemert
c’est un moyen d’en faciliter letude , c’est ôter
enepre un prétexte de la décrier au peuple, qui
s’imagine PU qui voudroit se persuader que la
langué particulière d’une science en fait tout le
mérite ; que c’est une espèce de rempart inventé
pour en défendre les approches : les ignorans
ressemblent en cela à ces généraux malheureux ou
mal-habiles, qui ne pouvant forcer une place, se
vengent en insultant les dehors.Au reste, ce que je propose ici, a plutôt pour
objet les mots absolument nouveaux quele progrès
naturel d’une science oblige à faire , que les mots
qui y sont déja consacrés, fur-tout lorsque ces
mots ne pourroient être facilement changés en
d’autres plus intelligibles. II est, dans les choses
d’usage, des limites où le philosophe s’arrête ; il
ne veut ni les réformer, ni s’y soumettre en tout,
parce qu’il n’est ni tyran ni esclave.Les règles que nous venons de donner , concernent
les élémens en général pris dans Je premier
sens. A Fégard des élémens pris dans le second
sens , ils ne diffèrent .des autres qu’en ce qu’ils
contiendront nécessairement moins de propositions
primitives, & qu’ils pourront contenir plus de conséquences
particulières. Les règles de ces deux .
élémens sont d’ailleurs parfaitement semblables ;
car ses élémens pris dans le premier sens étant Une
fois traités, Fordre des propositions élémentaires
& primitives y sera réglé par le degré de simplicité
ou de multiplicité, sous lequel on envisagera
l’objet. Les propositions qui envisagent les parties
les plus simples de l’objet , se trouveront donc
placées les’premières ; & ces propositions, en y
joignant ou en omettant leurs conséquences ,
doivent former les élémens de la seconde espèce.
Ainsi, le nombre des propositions primitives de
cette secondé espèce d’élémens , doit être déterminé
par Fétendue plus ou moins grande de la
science que l’on embrasse, & le nombre des conséquences
fera déterminé par le détail plus ou
moins grand dans lequel on embrasse çette partie.On peut proposer plusieurs questions fur là manière
de traiter les élémens d’une science.En premier lieu , doit-on suivre, en traitant les
élémens, Fordre qu’ont suivi les inventeurs ? H
est d’abord évident qu’il ne s’agit point ici de •
Fordre que ses inventeurs ont pour l’ordinaire
réellement suivi, & qui étoit fans règle & quel-E l e e l e 6t-$quefois fans objet, mais de ceîui qu’ils auroierit
pù suivre en procédant avec méthode. On ne peut
douter que cet ordre nè soit en général le plus
avantageux à-suivre ; parte qu’il est le plus conforme
à la marche de l’efprit, qu’il éclaire en
instruisant, qu’il mët sur la voie pour aller plus
loin, & qu’il fait, pour ainsi dire, pressentira chaque
pas celui qui doit le suivre : csest ce qu’on appelle
autrement la méthode analytique , qui procède des
idées composées aux idées abstraites, qui remonte
des conséquences connues aux principes inconnus,
& qui en généralisant celles-là, parvient à découvrir
ceux-ci ; mais il sauf que cette méthode réunisse
encore la simplicité & la clarté, qui font les
qualités les plus essentielles que doivent avoir Jes
élémens d’une science. 11 faut bien se garder sur-^
, tout, sous prétexte de suivre la méthode des inventeurs,
de supposer comme vraies des propositions
qui ont besoin d’être prouvées, sous prétexte
que les inventeurs, par la force de leur génie ,
ont dû appercevoir d’un coup-d’oeil & comme à
vue d’oiseau la vérité de ces propositions. On ne
fauroit traiter trop exactement les sciences, surtout
celles qui s’appellent particulièrement exaâes..La méthode analytique peut fur-tout être employée
dans les sciences dont l’objet n’est pas hors
de nous, & dont se progrès dépend uniquement
de la méditation ; parce que tous les matériaux de
la science étant pour ainsi dire au-dedans dé nous,
Fanalyse est la vraie manière & la plus simple d’employer
ces matériaux. Mais, dans les sciences dont
les objets nous sont extérieurs, la méthode synthétique
, celle qui descend des principes aux conséquences
, des idéës abstraites aux composées, pêut
soiivent être employée avec succès & avec plus de
implicite que 1 autre ; d’ailleurs les faits font
eux-mêmes, en ce cas , les vrais principes. En
général, la méthode analytique est plus propre à
trouver les vérités, ou à faire connoître comment
on lesía trouvées. La méthode synthétique est plus
propre à expliquer & à fair e entendre les vérités
trouvées : lune apprend à lutter contre les difficultés
, en remontant à la source ; l’autre place ,
l’efprit à cette source même, d’où il n’a plus qu’à
suivre un cours facile. Voyez ANALYSE , SYNTHÈSE.
, 'On demande, en second lieu, laquelle des deux
qualités doit être préférée dans des élémens-, de la
facilité, ou de la rigueur exacte. Je réponds que
cetté question suppose une chose fausse ; elle supposé
que la rigueur exacte puisse exister fans la
facilité, & c’est le contraire ; plus une déduction
est rigoureuse , plus elle est facile à entendre : car
la rigueur consiste à réduire-tout aux principes les
plus simples. D’où il s’enfuit encore que la rigueur
propremerit dite , entraîne nécessairement la méthode
la plus naturelle & la plus directe. Plus ses.
principes ; seront disposes dans Fordre convenable ,
"plus la déduction, sera rigoureuse ; ce n’est pas
qu’absolument else ne pût Fêtre fi on suivoit uneméthode plus -composée , comme a fait Euclide
dans ses élémens : mais alors l’enfbarras de la
marche seroit aisément sentir que cette rigueur précaire
& forcée ne seroit qu improprement telle._ II ne s’agit pas ici des élémens des Belles-Lettres ,
ni de ceux de i'histoire , c>c. Nous dirons seulement
,'en général, que toutes nos connoissances
peuvent se réduire à trois espèces ;■ I'histoire, les
arts, tant libéraux que méchaniques , & les sciences
proprement dites, qui ont. pour objet les matières
de pur raisonnement ; & que ces trois espèces
peuvent être réduites à une seule, à celle des
sciences proprement dites. Car, i.° I'histoire est
ou de la nature, Ou dès pensées des hommes, ou
de leurs aélions. L’hisloire de la nature, objet de'la méditation du philosophe , rentre'dans-la classe
des sciences ; il en est de même de I'histoire des
pensées des hommes, fur-tout si on ne comprend
fous ce nom que celles qui ont été vraiment lumineuses
& utiles, & qui sont auffi les feules qu’on
doive présenter à ses lecteurs dans un livre & élémens.
A Fégard de I'histoire des rois, des coriquérans,
& des peuples, en un mot , des événemens
qui ont changé ou troublé la terre, elle
ne peut être Fobjet du philosophe, qu’autant qu elle
ne se borne pas aux faits seuîs ; cette connpissancé
stérile, ouvrage des yeux & de la mémoire, n’est
qu’une connoissance de pure convention quand on
la" renferme dans ses étroites limites , mais entre
les mains de l’homme qui fáit penser , elle peut
devenir la première de toutes. Le sage étudies univers
moral comme le physique,, avec cette patience,'cette
circonspection, ce silence de préjugés
qui.augmente ses connoissances en les rendant' utiles ; il fuit les hommes dans leurs passions,
comme la nature dans ses procédés ; il observe ,
il rapproche, il compare, il joint ses propres
observations.à celles des siècles précédens , pour
tirer de ce tout, les principes qui doivent Féclairer
dans ses recherches, ouïe guider dans’ ses actions .*
d’après cètte idée, il n’enviíagel’histoireque comme
un recueil d’expériences morales faites fur le genrehumain
, recueil qui seroit fans doute beaucoup
plus complet s’il n’eût été fait que par des philosophes,
mais qui, toutinforme-qu’ilésl, renferme
encore les plus grandes leçons de conduite, commé
le recueil des observations médicinales de tous les
âges, malgré tout ce qui lui manque & qui lui ;
manquera peut-être toujours , forme néanmoins
la partie la plus importante & la plus réelle de
Part de guérir. L’hisloire appartient donc, à Ta
classe des sciences, qnant à la manière de Fétudier
& de se la rendre "utile, c est-à-dire , quant à la
partie philosophique.z.° íl en est de même des arts, tànt méchaniques.
que libéraux : dans les uns & lës autres , ce qui
concerne ses détails est .uniquement l’objet de l’artiste
 ; mais d’un.côté, les principes fondamentaux !des arts méchaniques sont, fondés fur les connoifjfances mathématiques & physiques des hommes.éx4 ELE ELE
c’esi-à-dire, sur. les deux branches les plus considérables
de la philosophie ; de l’autre , ses arts libéraux
ont pour base Fétude sine & délicate de nos
sensations. Cette métaphysique subtile & profonde,
qui a pour objet les matières de goût, fait-y distinguer
les principes absolument généraux & communs
à tous les hommes, d’avec ceux qui sont
modifiés par le caractère, se génie, le degré de
sensibilité des nations ou des individus ; elle démêle
parce moyen le beau essentiel &■ universel,
s’il en est un , d’avec le beau plus ou moins arbitraire
& plus ou moins convenu : également éloignée
& d’une décision trop vague & d’une discussion
trop scrupuleuse, elle ne pousse Fanalysc du
sentiment que jusqu’où elle doit aller, & ne la
- resserre point non plus trop en deçà du champ
qu’elle peut se permettre ; en comparant les,impressions
& ses affections de notre ame, comme
le métaphysicien ordinaire compare les idées pur .
rement spéculatives, elle tire de cet examen des
règles pour rappeller çes impressions à une sourcecommune
, & pqur les juger par l’analogie qu’elles
ont entr'elles ; mais elle s abstiens, ou de les juger
en elles-mêmes, ou de vouloir apprécier les impressions
originaires & primitives par les principes
d’une philosophie aussi obscure pour nous, que
la structure de nos organes, ou de vouloir enfin .
faire adopter ses règles par ceux,qui ont reçu , .
l’on de la nature, soit de l’habitude , une autre
façon de sentir. Ce que nóus disons ici du goût
dans les arts libéraux, s’applique de soi-même à
cette partie des sciences qu’on appelle BellesLettres.
C’est ainsi que ses élémens de toutes nos
connoissances sont renfermés dans ceux d’une philosophie
bien entendue.Nous n’ajouterons plus qu’un mot fur la manière
d’étudier quelques sortes à'élémens que ce
puisse être, en supposant çes élémens bien faits.
Ce n’est ppinf avec le secours d’un maîrre qu’on
peut remplir cet. objet , mais avec beaucoup de méditation
 & de travail, Savoir des élémens, ce
n’est pas seulement connoître ce qu’ils contiennent,
c’est en connoître Fusage, ses applications, & ks
conséquences ; c’est pénétrer'dans le génie de Finventeur
, c’est se mettre en état d’aller plus loin
que lui, & voilà ce qu’on ne fait bien quà force
d’étude & d’exercice ; voilà pourquoi on ne saura
jamais parfaitement, que ce qu’on a appris soiniéme.
Peui-être feroitT-on bien, par cette raison ,
d’indiquer en deux niots dans des élémens , Fusage
& les conséquences des propositions démontrées.
Çe seroit, pour les commençans, tin sujet d’exercer
leur eiprit en cherchant Ia démonstration de
ces conséquences , & en faisant disparoître - les
vuides qu’on leur auroit laissés à remplir. Le
propre d’un bon livre à'élémens est de laisser beaucoup
à penser.On doit être en état déjuger maintenant fi des
elemens complets des sciences, peuvent être Fouvrage
d un homme seul : & comment pourroientilsl’ètre ', puisqu’ils supposent une connoislance
universelle & approfondie de tous les objets qui
occupent les hommes ? Je dis une connaissance
approfondie ; car il ne faut pas s’imaginer que pour
avoir appris les principes d’une science, on soit
en état de les enseigner. C’est à ce^préjugé, fruit
de la vanité & de Fignorance , qu’on ' doit attribuer
le petit nombre de bons livres élémentaires
que nous avons, tandis qu’il en existe
une foule de mauvais. L’élèv'e à peine sorti
des premiers sentiers, encore frappé des difficultés
qu’il a éprouvées, & que souvent même
il n’a surmontées, qu’en partie, entreprend de les
faire connoître & surmonter aux autres ; censeur
&- plagiaire tout ensemble de ceux qui Font précédé
, il copie, transforme, étend , renverse,' resserre,
obscurcit, prend ses idées informes & confuses,
pour des idées claires, & l’envie qu’il a eu
d’être auteur pour le defir d’être Utile. On pourfòit
se comparer à un homme qui ayant parcouru un
labyrinthe à tâtons & les yeux bandés, croifoit
pouvoir en donner le plan , & en développer les
détours. D’un autre côté , ses maîtres de Fart ,
qui , par une étude longue & assidue, en ont
vaincu les difficultés & connu les finesses , dédaignent
souvent de revenir sur leurs pas pour faciliser
aux autres le chemin qu’ils ont eu tant de peine
à suivre : peut-être encore, frappés de la multitude
& de la nature des obstacles qu’ils ont surmontés
, redoutent-ils le travail qui seroit nécessaire
pour les applanir ; & qui seroit trop peu
senti pour qu’on pût leur en tenir compte. Uniquement
occupés de faire "de nouveaux progrès
dans Fart, pour s ?élever , s’il leur est possible ,
au-dessus de leurs prédécesseurs ou de leurs contemporains
, & plus jaloux de Fadmiration que
de la reconnoissance publique, ils ne pensent qu’à
découvrir & à jouir , & préfèrent la gloire d’augmenter
Fédifice au soin d’en éclairer l’entrée, ÏIs
pensent que celui qui apportera, comme eux, dans
l’étude des sciences, un" génie vraiment propre à
les approfondir  ; n’aura pas besoin d’autres élémens,
que de ceux qui les’ont guidés eux-mêmes ;" que
la nature & ses réflexions suppléeront infailliblement
pour lui, à ce qui manqUe aux livres,
& qu’il est inutile de faciliter aux autres , des
connoissances qu’ils në pourront jamais se rendre
vraiment propres ,, parce qu’ils font tout au plus
en état de les recevoir fans y rien mettre du leur.
Un peu plus de réflexion eût fait sentir combien
cçtte manière de penser esl nuisible au progrès &
à la gloire des sciences ; à leur progrès , parce
qu’en facilitant aux géniesJieurenx, Fétude de ce
qui esl connu , on ses met en état d’y ajouter
davantage & plus promptement ; à leur gloire,
parce qu’en ses mettant à la portée d’un plus
grand nombre de personnes , on sc procure un
plus grand nombre de juges éclairés. Tel esl Favantage
que produiraient de bons élémens des sciences,
élémens qui ne peuvent être Fouyrage que d’une
niain

E L E É L I 4%Î
main fort habile & fort exercée. En effet, si on n’est
 pas parfaitement instruit des vérités de détail
qu’une science renferme ; si, par un fréquent usage,
on n’a pas apperçu la'dépendance mutuelle, de ces
vérités , comment distinguera-t-on parmi eíles les
propositions fondamentales dont elles dérivent v
l’analogie ou la différence de ces propositions fondamentales
, Fordre qu’elles doivent observer entre
elles, & fur-tout les principes au-delà desquels on
rie doit pas remonter ? C’est ainsi qu’un chymiste
ne parvient à connoître les mixtes qu’après des
analyses & des combinaisons fréquentes & variées.
La comparaison est d’autant plus juste , que ces
analyses apprennent au chymiste, non-feulement
quels font les principes dans lesquels un corps se
résout, mais encore, ce qui n’est pas moins imÎiortant,les bornes au-delà desquelles il ne peut
è résoudre, & qu’une expérience longue & réitérée
peut seule faire connoître.Des élémens bien faits, suivant le plan que nous
avons exposé, & par des écrivains capables d’exécuter
ce plan , auraient une double utilité : ils
mettraient les bons esprits fur la voie des découvertes
à faire, en leur présentant les découvertes '
déjà faites ; de plus, ils mettroient chacun plus à
portée de distinguer les vraies découvertes d’avec
les fausses 1 ; car tout cò qui ne pourrolt point être
ajouté aux élémens d’une science , comme par
forme de supplément j ne seroit point digne-du
nom de découverte. (O) ..ÉLÉMENS , { Géomét. tranf.)  On appelle ainsi
dans la géométrie sublime, les pârtiés infiniment
petites ou différentielles d’une ligne droite, d’une '
epurbe, d’une surface, d’un solide. Voyez DirrÉB.ENTÏEL,
FLUXIONS , INDIVISIBLES , INTÉGRAL,
INFINI, &C. (O) ÉLÉMENTAIRE se dit , en parlant d’une
science, de la partie de cette science qui en renferme
les élémens.' Ainsi., on dit la Géométrie
élémentaire pour les_élémens de Géométrie , la Méchanique
. élémentaire pouf les élémens de Méchanique
, &c. (O) , ÉLÉVATION des puissances, (Aríth.) Voyez
ÉLEVER.ÉLÉVATION , en Hydraulique > se dit de la
hauteur à laquelle montent les eaux jaillissantes ; '
elle dépend de celle des réservoirs & de la juste
proportion de la sortie des ajustages avec le diamètre
des tuyaux de conduite. Voyez Jais D’EAU,
au mot JET.ÉLÉVATION , fùb. f. ( Astron. ) If élévation où la
"hauteur d’une étoile ou d’un autre point du ciel,
est un arc de cercle vertical compris entre l’hôrizon
& l’étoile, ou le point observé.L’élévation du pôle , ou la hauteur du pôle fur
l’horizon d’un lieu, est un arc de méridien intercepté
entre se pose & l’horizon. Voyez HAUTEUR.ÉLEVER , v. z8t. terme d’Arithmétique & d !AlMathématiques.
Tome I, IIe, Paftie.gèbre. Ofl dit qu’on élève un nombre au- quarrés,
au cube, à la quatrième puissance,' &c lorsqu’on
en prend le quarré, le cube, la" quatrième puissance,
&c. ainsi, z élevé- au quarré donne'4, au
cube donne 8, &c Voyez QUARRÉ , CUBE ",
PUISSANCE. Le mot à élever s’emploie :daris ces
occasions, parce que les nombres dont on prend
le quarré, le cube, &c- augmentent par cette opération.
Cependant on se sert auffi du mot élever,
lorsque la puissance est moindre que l’unité, &
que par conséquent le nombre diminue par'Topé-.
ration. Par exemple , on dit élever à la puis’
fonce , \, ì, pour dire prendre la racine quar'rie ,
la racine cube, &c. Voyez PUISSANCE & EXPOSANT.
On se sert auflldu mût élever au qUarr.é%
au cube , en parlant des fractions , quoique par
cette opération\ les fractions dimiriúent ; ainsi , ~
élevé au quarré, donnes" ; élevé'au cube, donnes.
C’est ainsi qu’on se sert durnot multiplication dans
les cas même où le produit est moindre jjue le
multiplicande. Voyez MULTIPLICATION ;" voyez
auffi DIVISION. Des définitions exactes & précises
lèvent eri ce cas toute,Féquivoque. (O) : ;..',-..
ELGEBAR., (Astron.)  nom de la belle étoile
au pied d’Orion óu Rigel. ''.-*'
ÉLIMINATION, {. f. (AlgsjÒn appelle ainsi
une opération par laquelle , étant données un
nombre n d’équations qui contierinent-unnombre n
d’inconnues, on trouve une équation qui ne contient
plus qu’une seule inconnue •.: de forte que íî
l’on peut résoudre cette équation , on connpkfa
, Finconnue qu’elle contient ; & en remontant, on
connoîtrá les autresinconnues." De-là , éliminer
une quantité signifie la même çhpfe que faire ^évanouir
, faire disparoître cette quantité. Voici les
principes généraux de Y élimination ppur les équá- .
tipns.de tpus les degrés, '
1. SOIENT , premièrement,, entre les deux inconnues
x & y , & les données, a, b, c ,. &ç. ',
les deux écruations générales du premier Aegrè:*x + by -fc = o, -idx4-ey4-f=o. . '.-' ;. ..Pour éliminer l’une des deux inconnues , par
exemple y, je multiplié tous les termes de la
première équation par c , coefficient dey dans la
seconde, & tous lestermes dela seconde par b ,
coefficient de y dans la première ; ce qui me
- donne …… …-..'. '..-•■'êax4-éby 4- ec — o ;
bdx4-bey-\-bf=zO.Retranchant la seconde de ces équations, de la
première, on aura eax — bdx^4-ec — Ì/==-GJ
équation où il n’y a plus que a: d’incorinue, et d’où■■- " hf—cel’on tire x = ae_br
I La valeur dey se trouve, òu en substituant
•* "'- ' Kkkls
£i6 ELI ELI
« ette valeur de * dans l’une des deux équations '
primitives, ou en multipliant la première de ces
équations par d, la seconde par a, & retranchant
lune des équations résultantes de l’autre.'On. ade l’une ou de l’autre manière, y = —— bd’Ces formules donneront la solution de tous les
problêmes du premier degré, qui contiennent deux
inconnues, en mettant pour a,b,c,&.c. le.s
valeurs individuelles qui résultent des conditions
de chaque problême particulier.II. EN second lieu, soient entre les trois inconnues
x,y,[,.&. les quantités données a,
,1} c} &c, les. trois équations, générales : .Pour éliminer d’abord [ , je multiplie succeffivenient
la première par g, la seconde par c ; puis
la première par l, & la troisième par c ; ce qui
produit les quatre équations r ' . 'Retranchant la seconde de ces équations, de la .
première ; & la quatrième, de îa troisième-, on
aura les deux équations :. " -qui ne contiennent que les deux inconnues x &
y} &. qui se rapportent par conséquent à l’artícle
précédent. On aura dòric ici les valeurs de a: &
y, en mettant, dans celles de l’article précédent,
ga — ce pour a, gb — c/pour b, /a—ci" pour
d, Ib — ck pour e^gd—ch pour c, Id—cm
pour/. Ainsi,Ces expressions deviennent, en effectuant les
multiplications indiquées, & réduisant,Substituant ces valeurs de x & de y dans Tune
des trois équations primitives ,on aura une équa- :
« on où il n’y aura plus que * d’inconnue, & d’où
l’on tirera:A l’aidc de ces formules générales , on aura,par
 de simples substitutions , la íolution de tous
les problèmes du premier degré, qui' contiennent
trois inconnues.III. IL EST CLAIR, qu’en opérant toujours de la
mêine manière, on parviendra à déterminer toutes
les inconnues, quels que soient leur nombre éje
celui des équations , toujours du premier degré ',
qui les contiennent. Si l’on a quatre inconnues
& quatre équations ,' on commencera par éliminer
1 une des inconnues -, ce qui réduira ce cas au
précédent.Si Ion a cinq inconnues & cinq équations, on
éliminera l’une des inconnues , & on réduira íe
problême au cas précédent ; Ainsi de fuite. Cea
formules dérivent les unes des autres, suivant une
loi facile à reconnoître.IV. SOIENT maintenant entre les deux inconnues
 » & y , & les données a , b, c , &c., les
deux équations suivantes Î dont l’une est la plus
générale du premier degré,, l’autre, la plus générale
du second:On parviendra tout d ?un coup à une équation
où il n y aura que a: d’inconnue, en tirant de là
première la valeur de y , & la substituant dans
la seconde. Ce calcul donne „ dx1- 4- e x +/.=p : équation déterminée du second degré, d ou
l’on tirera la valeur de -x. Substituant ensuire
cette valeur dans la première .équation primitive-,,
on aura auflì la valeur de y.V. L’EQUATION finale, soit en x, soir en y., ;
peut être trouvée par une autre méthode qui nous
servira dans les cas. suivans. Je suppose , pour
abréger le calcul , a ar.-f- c == A ', g-{-hx = B',
dx* -\- e x -\- i=C ; nos deux équations primitives
deviennent donc : ■ -Je. multiplie la première par Cj la seconds
par A ;- je retranche le premier produit du seconds
& je trouve (en divisant le reste par y, à
cause de l’égalité à zéro ) ,A.fy + AB — Cb =o.Je multiplie cette équation par 6,- & je multiplie
l’équation b y -f- A = o, par Af ; je retranche
les deux équations résultantes l’une de l’autre-, ce
qui produit l’équation, A' /— b(AB-Cb)  =o,
dans laquelle il n’y a .point de y. Mettant pour A,
.B , C, leurs valeurs, on aura f (a x-j-c)  a — b
(ax + c) (g±hx) + bz {dxi \ex-\ri)  = Q.On trouveroit de même l’ëquation finale en y.VI. SOIENT les deux équations générales du i.™*
degré ;
£ L ï ELI s^f
Pour éliminer j, je suppóíe d -}- e x ?==A , a. x1
'^-b x 4- /= B , k 4- / x = D,g x1 -\-h.x 4- m |
= E ; & j’ai les deux équations : " jCela posé, i.° je multiplie la première par z, ía
seconde par c, & je retranche le second produit
du premier-, ce- qui me dorine,(Aï— De) y.
-\-B i — E c= a : première équation où y nest \
plus qu’au premier degré. . .2.° Je multiplie la première des deux mêmes í
équations par E, la seconde par B ; je retranche |
le second produit du premier ; ce qui me donne ■
(en divisant tout par y) , (Ec-^-B i) y -}-A E '.
— Bp==o : seconde équation où y n’eíl qu’au ,
premier degré. Ainfi ^ éliminant eétre inconnue ,
par leur moyen , on aura : (B i — E cy 4^ (Ai
—De)  X (AE— B D ) =o.'Mettant pour 4 ,
B , D, E , leurs valeurs, on aura, (z'-a*2'^- bix
-4-z'/ ;—cgxz—chx—•C7ny-Jr[id-\-i é-x-^c k^-
clx~\ [~j 4- é-x)  (gx% ^hx 4-m) —(ff x^.^-bx
4-/) {.Ar-j-/x'3 ]=Ë= ;O : équation- déterminée, du
•quatrième degré. ■ ;…■ ■ -• '■ On trouveroit de même l’équation finale :en y. \
' VÏI. SUPPOSONS qu’on ait en général les fleux ' ;
équations : ' • ' ",'dans lesquelles m, ìilpì q, ~M, N’j F'■", Q, font •
des quantités composées, comme pn voudra, dé :
"l ;ineòhnue i & de données, ou', pour nous exprimer
suivant l’usage, dés fonâións quelconques
de x. II s’agit d’éliminer y. Pour cela, je multiplie
la première équation par ils, la seconde par m ; ■
& je retranche le second produit du premier-, ce
V"'quî me donne, (Mn — mN)  y1 ■^('Mp-mP) y \
\jj-Mq~mQ = o : première "équation-òù la plus ;
y haute puissance de-y ne monte qu’au second’ degré. '
Je multiplié encore laps ëmière des deux éqúa- ;
 ;-tionsr proposées par Ç, îásëconde par q ; je rë- ':
"tranche lè second produit du premier ; ce qùi me,
■ donné ( en divisant le reste pary) -, (Qm—^qM) 'y^-hiO."— ?'&)  y4-ÇP"~" ? Pézo : seconde
équation où la plus haute puissance de y ne irioníe
qu’au second degré. _ .' • " _ J . 'Au moyen des deux dernières équations, pn par-.
' viendra, comme dans l’article précédent, àfairêdis1
paroître entièrement y. Soient, pour abréger le calcul
, M.n — m 2V= * , Mp — mP = f , Mq <—m Q
= y , On-—q N<z=f,Q-p—qP==*. On trouvera,
(-^Cx ±yr) Tyì:±« S’)  4- (f+^vf■-.-■=5 o : équation où11 n y a point de y. Cette équation
est la même chose que >* 4- 2V' « A,L_-*X-(.« .V-_
C <r) —e » y * _L.C/ y14- a ^y = o. Et conímè * \
Í>e=[Mn-^rtïN) , (Qp~<íP) —(Mp-mi). ;—'( Q n C= q W") —{m, Q—Mq) ,( Pit—j N)  = —
> ( P n •—p N) , notre équation deviendra r* 4"l yZ **
-« V(P » -—p N’) —Q 1 y TÌ -) -: C *■ ■>> 4-'a 'f,i 7 ==o.
Alors. elle est divisible par T qui affecte toiis ses
termes  ; & ce facteur lui est inutile , cesl-à-direv
qu’on v.o peut pas supposer pour équation finale y
= o ;car cela denneroit Mq=mQ , supposition
particulière qui altérerait la généralité des deux
équations primitives. La vraie équation résultante "
de l’élimination deiy est donc, ys 4- iy*K— « >.
(Pí !->« ) -e^4Wï4« sis=o. ■■'■■■.■Pour fairé une application de ces formules, foiení
les deux équations : •''''''■'.Nous avons, dans ce cas, mz^x,n^=o,p=:6,
j='a ;:4.'ír,:ilí==i,27=3:0, ?==^ Ç>=J>xz-{-h, -
■ rt^=o,'€=z.b:^c, x'ì,y=:xl -\ra —x>(b x1 -f h,
S- E=SO :^'=b{i x* 4r.í ) ■T-* c{a ;!.4- a). Doncl’équation
finaleestr5^—eî>=ò,c’est-à-dire,[I'^ÍZ^-
x-(b e-r{-h) ^-^ (i -~ c x ) \ [b (b xz + lì) -^
c.(x !-j-,íz).î = o, oùil.n’y a point dey.
VIII. SOIENT les deux équations générales.:dans lesquelles ía plus haute puissance de y^est dS
quatre dimensions. On commencera par éliminer y+
' ën multipliant la premièrepar 'M, la seconde par m ,
& retranchant le second produit du premier •, ce qui
-.donne ; ,-(-ilsn,— m■W).y|:4- ( Mp — m P jy* -|_
î'Mí "T-" 1 Q.) y W:M<r — m Jl === o : première équation
où ía plus haute puissance de ; y i est que de trois
dimensions. ,<. . ■-,-, ;.i -.■■ ■.'---.\-,->~., . *. . ■ ■■-.
.- Ênsuitepn .multipliera la première équation priini
tivëpar,R:, la seconde ;pârr ,&pn retranchera le
second produit du premier ; ce qui donne, f Ê m
^rM) yh+( ;Rn^:rN) :yl±(.Rp-rPÏy +,
.Rq.irlQjtrîP'- seconde équation„où la plus haute
■puissance !jde\y n ?est -que de trpjsj diinensions. Òh
% jdpnç t^eux ; équations cqui ne contiennent plus
.'que ;^ ;, &, les,pujssancesinfériçurçs,de_y, & qui
íse,traitent,par.conséquent comme çeììes de l’article
^précédentj’.-v- ..-. -,,, . ■ ,.-.:, On procédera semblablement, lorsque dans lés
'deux féqua_tipns. ;primitives, la plus haute puissance
de y fera de plus de quatre dimensions. •
. iJX,^cHÇLiE,.l.Si, dansl’ëquatipn finale,il se
trouve, des facteurs ;inutiles-, comme cela arrive
'■ quelquefois,i ces sortes áe facteurs ; peuvent four
vent ;se'jrecqnnoître sans,peine, en employant des
abréviations jde calcul pareilles à celles qui nous
■ ont servi a trouver ( VII ) l’équation finale résultante
de l’élimination dey. Du moins, ils peuvent
.toujours être déterminés,-en décomposant l’équa-tign
finale en ses, diviseursiCornmensurables. ( Vbyei
"EpTjA:TioN ;'( Foyíiaz#mon Traité4'Algèbre.) 
-Ensuite ; l’examen ries conditions du.problême qu’on
cherche à résoudre, apprendra à discerner .parmi_ ': '..-■' ::::-v: ; ■■'■i:-v' ;---'--'■■■ "KVkiij- :■:■■■ :' ;:-*i« e'lc" ..'… feL ;K …….Jes diviseurs", ceux qui doivent être utiles d’avec
ceux qui doivent être, rejettes.
, .X.'SCHOLIE II.La même méthode s’applicjue
à l’élimination dès inconnues, lorsqu’il y en a plus
de deux, quels que soient les degrés des équations
qui les contiennent. Car fi- on a les trois inconnues
x, y,í, & trois équations , il est clair,
qu’avec, la- première & la seconde équation, on
peut -former une : équation, qui ne contienne- plus
que deux des trois inconnues, par exemple -x-Si>y.
De mêmé,,en combinant la première équation a »ec
la troisième, on pourra former encore uneéqua-.
tiori qui ne contiendra-que. x & y. Ainsi, on aura
deux équations qui ne contiendront plus que les
deux- inconnues * & y : ce qui rappelle le problème
aux cas précédens. ■ ■' •
.Si on avoitquatreinconnùes &quatre équations,
en combinant successivement.la première équation
avec les trois autres ,'on forméròit trois équations
« ù il : n’y áuroit que tr-ois inconnues-, ce qui rappelle
cë cas au précédent Ainsi de fuite. (L. B.) ÉUX ; ou Hélice > (Ajfron.) nom de la cons- .
tellarión de la grande ourse. ' ' .ELKEÍD, ('Afi-cm^jjiom de Ia"dernière étoile, j
au bout de lá queue' de là grands ourse j.mar- ;
« ruéen.' ■ ;•.'■•■■■ !■ ;'-..-■:■'. '.- ■-■ 'i ::. ^■••. ; "• ! --'■:El l ' ;'- ELLIPSE, s. f. en Géométrie', est une desseç-îòns
coniques, qu’on appelle- vulgairement o vole.
Yoyei CslNiQÍJË.-"  ; 'i '■'"■ : -'■',L’ellipfe s’engendre dans le cpne, en cpupàritiin
■tòné'droìi par un plan qui traverse ce còrié oblique- i
iment j c’est-à-dirè non parallèlement à la base, qui >
ne passe point par le-sommet, & qui rie rencontre
la base, qu’étáht prolongé hors du conë , ou qui :
ne fasse tout-au-plus que raser cette base. La ;çon- |
dition que le corie soit droit,: est nécëflaifè póur !
que la courbéfdrrriée,, .comhie'joh vierit-'de lé dire, i
íoit touj ours’xmë ellipse ; càt fi le'Coné est oblique', |
ën coupant ce'conë obliquement, o'ri.péùt qtíël- '
quefois y former un cercle (voye\ la fin dé l’article
CONIQUE , & l’article ANTI-PARALLÈLE )  ; or la
nature de íellipse est d’être ovale", c’est-à-dire
d’avoir deux axes inégaux. -.'-■■'■Ce'mot est formé du grec í^í4' 5 , défaut ;
lés.anciens géomètres grecs ' ont dónhé-ce nom à
cette figure , parce que éntr'autrés propriétés, ëlle |
•à celle-ci , que lés, quarrés des ordonnées:'sont i
ímoindrës que .les rectangles formés-sous, les paramètres’&
les abscisses, ou leur font inégaux par
'défaut. ..-.-. ■.-•'En effet, l’équation de l’ellipfe, en prenant les absIcisses
au sommet, estcéllé^ciy'y^=(iia:^— xx) X.î-.,slétanfl’axe,& 6 són:paramètre..( voy'éiPARAMÈTRE,
COURBE, & EQUATION’J voy'fj ausfi'lasuite de cet aiticle)  ; doncyy < bx : donc, « í*
Voyei enfin PARABOLE. & KyJPERBOLE.• ;Vellipse, pour la définir par sa forme, est une
ligne courbe, rentrante, continue,-régulière, qui
renferme ún espace plus long que large , & dans
laquelle se trouvent deux points également distans .
des deux extrémités de fa longueur, & tels, que
si on tire de ces points-deux lignes, à un point
quelconquede l’ellipfe , leur somme est égale à la
longueur de l’ellipfe. Ces deux points-sont éloignés
de 1 extrémité du petit axe, d’une quantité égale à
la moitié, du grand axe.\ ; -
Ainsi , dans l’ellipfe A'EBDA , ( Sedìont
conique s,fig. 3.1.)  lesi lignes Fa & fa, tirées des
deux points F, f, également distans des deux
points A &. B , forment une somme égaie à AB ;
& la distance des points F,/, au point E, est
= CA. -■-■■.. … : ■-. .-.Souvent les Géomètres prennent l’ellipfe pour
l’espace contenu ou renfermé dans cette • courbe.'
Elle a, comme on vient de le dire , deux_axes
inégaux AB &.ED. Le grand axe AB s’appelle
quelquefois axe pu diamètre transverse , & le petit
axe DE s’appelle quelquefois l’axe conjugué ou
seçorid axe. Mais on appelle en général .diamètres
■conjugués, ceux dont l’un est parallèle à Ia tangente
, menée à l’extrémité de 1 autre, &, réciproquement,
soit que leurs angles soient droits, ou
non. Les deux axes se coupent toujours à angles
droits. -,.-..Les deux axes sont lé plus grand & le moindre des
 diamètres dé l’ellipjejìmàis l’ellipfe a une in-,
finité d’autres diamètres, différens. Voyei PIAI^IETRE, .&C.,, ■ ;-',". " .. ■''Le centre d’une ellipse est le ;point C dans le*quel se coupent les deux axes. '.'• Les deux points F,/, pris dans le grand axe ;également distans de ses deux extrémités..^ &.B.P& distans chacun du point D, de la valeur deyí C »
.fontnommés/oyers de l’ellipfe -, ou en latin « m »bilici. Voyei FOYER. ,Mais l’ellipfe -, considérée comme une section
.conique, ç'est-à-dire comme une courbe próvenarilde la section d’un cpne,,se définit encore mieux
.par ; sa génération dans ce solide, que par la ma »
,nièce..dont.elle peut êtrej>rp,duite fur un plan »'C’est là ligne courbe DQE qu’on forme en coujjant
le .cône droit AB QÍJig. zl) , de la manière
"expliquée ci-dessus. ' ■
.. Ou en la définissant par une de ses propriétéssupposée "connue , c’est uneligne courbe dans la » .quellèie quarré.de ja demi-ordonnée P M(fig. zi.) est au rectangle des scgmens ÀPj &.B P de Taxe,
içomme le. paramètre est à l’axe ; ainsi, supposantAB=za, le paramettre == 6 , P M=y, AP=x, on aura b l a H yy\ ax — xx, &,par cor>.sèquent.ûyy =^2Ì>a:r- bxx.Npusnè donnons point lá démonstration de cette
propriété, parce quelle se trouve par-tout. Nousavons exposé les .dirFéreàtes définitions qu’on peu !E l l éll 6L$
donner de l ellipse ., & cette dernière propriété- peut
Être - regardée , si l’on veut, comme une des définitions
qu’on peut en donner : auquel cas la démonstration
en scroit superflue. Mais la meilleure
manière de traiter de l’ellipfe & de toutes les sections
coniques géométriquement, est de les considérer
d’abord dans le cône , d’en déduire leur équation,
& de la transporter de-là sur le plan, pour, considérer
plus facilement léurs propriétés, & pour
írouver , fi l’on veut, la manière de les décrire
par un mouvement continu, ou par plusieurs points.
Ainsi, des propriétés de Y ellipse transportée &
considérée sur le plan , résulte la description de
l’ellipfe telle que nóus l’avons donnée au mot
CONIQUE.

J’ai dit que la meilleure manière de traiter géométriquement
les sections coniques, & en particulier
1 ellipse , étoit de les faire naître daris le cône ;
car, fi on veut les considérer algébriquement parla
nature & les différences de leurs équations, la
meilleure manière est celle dont j’ai parlé au mot
CONIQUE. Voyçi aussi, les articles Co uni E &
CONSTRUCTION.

Si on prenoit les abscisses x au centre C, on

irouveroit yy = I- — —• xx j X f. Quelquefois

cette équation est plus, commode que áyy=i
ûbx-bxx.
Dé cette dernière équation, il s’enfuit, i.° que
yy=bx — , c’est-à-dire, que le quarré de

la demi-ordonnée ' est égal au rectangle du paramètre
par l’abscisse, moins un autre rectangle
.formé par la même abscisse, une quatrième proportionnelle
à Taxe, au paramètre &.à l’abscisse.'
i.° Le paramètre, l’abscisse & la demi-ordonnée
<d’úne ellipse, étant donnés, on trouvera Taxe en

.faisant ces proportions b '.y'.'.yl — , & x —

^ • * 11 x l &' Vbyei CONSTRUCTION.

3. 0 L’abscisse AP, l’axc AB, & l’ordonnée PM,
ítantdonnés, on trouve le paramètre en faisant b ==.

■ yy , & construisant ensuite cette valeur de b
« I— XX 3
•suivant les règles expliquées au mot CONSTRUC■
TION.
. 4.° Si du grand axe AB comme diamètre (sig. 23) ,
on décrit uh cerclé ACB , & que, par le foyer F,
On mèrièFC ordonnée à Taxe, F C fera la moitié du
L petit axe, (k F D la moitié du paramètre du grand

-axe. Car ■l’abscisse GF=tf (FF1— CE 1)  =
>y/li-.Z ?\,pa étant le quarré du petit axe.
Voyei PARAMÈTRE & FOYER. Or ÇFa =
— — GF*3 parla propriété du cercle j. donc CF=
* íf ==la moitié du petit axe. Or CF 1 cûkDFzt

comme la moitié du grand axe est au demi-paramètre
, c’est-à-dire , comme le -quarré de la moitié
du petit axe est au quarré de la moitié du paramètre ;
donc DF= la moitié du.paramètre. Le cercle qui a
pour diamètre le grand axe de l’ellipfe , est appelle
circonscrit à l’ellipfe ; le cercle qui a pour diamètre
le petit axe, est appelle cercle inscrit : en effet, le
premier de ces cercles est extérieur, le second in*
térieur à Y ellipse.

5.° Le paramètre & Taxe A B étant donnés J
on trouvera facilement Taxe conjugué , puisque
c’est une moyenne proportionnelle entre l’axe & le
paramètre j à quoi il fàut ajouter que le quarré du
demi-axe conjugué est égal au rectangle formé sur
Bf&.fA(fig.zz.) ou{mAF8íB F.
6." Dans une ellipse quelconque , les quartes
des demi-ordonnées P M, p m , &c. sont entr'eux
-comme ;les rectangles formés fur les segmens de
l’axe : d’où il s’enfuit, que D C1  ; P M* '. ; C B1 ;
APX BP, & par conséquent-D C% \ BC*\\
P M1 l AP X B P ; c’est-à-dire, que le quarré
du petit axe eflrau quarré du grand, comme le quarré '
de la demi-ordonnée est au rectangle formé sur les
segmens de l’axe.'

7.* La droite F D (fig. 24.') tirée du foyer Fà
l’extrémité du demi-axe conjugué, étant égale à la
moitié de l’axe tranfverle A C, il s’enfuit que les
axes conjugués étant donnés , on peut aisément
déterminer les foyers. Pour cela, on coupera le
grand axe A B en deux parties égales en C, on
élèvera du point C la perpendiculaire CD égale au
demi-axe conjugué-, enfin du point J* pris pour
centre , & de l’intervalle C A , on déçrirá un arc
de cercle, il déterminera les foyers F &/par ses
intersections avec le grand axë.

8.° Comme la somme des deux droites F M 8c
fM, tirées des deux points F&.f, au même point
de la circonférence M, est toujours égale au grand
axe A B , il s’enfuit de-là que les axes conjugués
" d’une ellipse étant donnés, ori peut facilement 'décrire
l’ellipfe. Voyei CONIQUE.

5>.° Lé rectangle formé fur les segmens de l’axe
conjugué est au quatre dela demi-ordonnée, comme
Je quarré de l’axe conjugué est au quarré du grand
axe ; d’où il s’enfuit que les coordonnées à l’axe
conjugué ont entr'elles un rapport analogue à celui
qui règne entre les coordonnées du grand axe.

I0.° Pour déterminer la soûtangente P T(figure
zj. ) '. & la soûnormale P R daris une ellipse quelconque
, on fera comme.le premier axe est au
paramètre, ainsi lá distancé de là demi-ordonnée
au centre est à la soûnormale. V. SOÛNORMALE.

ÍI.° Le rectangle sous les segmens de Taxe est
égal- au rectangle de la distance de la demior
donnée au centre & de la soûtangente. Voyef
r SOÛTANGENTE. --
- - . . s - .6x6 e l l el liz." Le rectangle fait de la soûtangente & de ía
distance de l’ordonnée au centre, est égal à la différence
du quarré de cette distance & du quarré du
demi-axe transverse.13. 0 Dans toute ellipse , le quarré de Ia demiordonnée
à un diamètre quelconque, est au quarré
du demi-diamètre conjugué j comme le rectangle
fait fous les segmens du diamètre est au quarré du
diamètre ; & par conséquent le rapport des demiordonnées
des diamètres est le même que celui des
ordonnées des axes ; Le paramètre d’un diamètre
quelconque est aussi une troisième proportionnelle
à ce diamètre & à son conjugué..Nous avons rapporté ces propriétés de l’ellipfe
la plupart fans démonstration, pour deux raisons :
la première, afin que le lecteur ait sous les yeux
dans un assez petit espace les principales propriétés
de l’ellipfe, auxquelles il peut joindre celles
dont on a déjà fait mention kl’article CONIQUE.
La seconde raison est de donner au lecteur l’occaíìon
rie s’exercer en cherchant la démonstration
de ces propriétés. Toutes celles que nous venons
d’énoncer se déduisent aisément de l’équationyy=( ax-xx) -oxxl — — xx J-, selon qu’onprendra les abscisses au centre ou au sommet, pour
démontrer plus simplement ces propriétés. Pour
démontrerrles propriétés des foyers, on nommera •
CF(fig. 2.1) f ; & on remarquera que, si e est lesecond axe, on aura — —//= — == — En■ -. 4 + - A ', vpilà plus qu’il n’en faut ppur mettre lé lecteur
fur la voie. On peut remarquer ici, en passant ,•
que le cercle .est une espèce à'ellipse dans laquelle
les foyers coïncident avec le centre.Pour trouver les tangentes de Y.ellipse , rien n’est
plus simple & plus commode que d’employer laméthode du calcul différentiel ; pn ayy=í>^ ;—" j. ■
..donc lydy=bdxr^ -—-—- ; donc la sou.
tangente ^ .== zyy ^ . Voyez les articles Sou■■ a■■ TANGENTE & TANGENTE, A l’égard de la fouperpendiculaire
ou soûnormale, elle est ^ ou.y—y~ —• ~= - - -j. En voilà assez pour démontrer
les propositions énoncées ci-dessus au sujet des
tangentes de l’ellipfe.Nous avons déjà vû au mot CONIQUE , & nous
prouverons encore au mot QUADRATURE , que la
quadrature de l’ellipfe dépend de celle du cercle ,
puisque Y ellipse eR au cercle circonscrit en raison du
petit axe au grand. A l’égard de la rectification de. i ellipse, c est un problême d’un genre supérieur à
colui de la quadrature du cercle, ou du moins touta-fait
indépendamment de cette quadrature. VoyezRECTIFICATION ; voyez auffi dans les mémoires’
que j’ai donnés à l’académie de.Berlin pour l’annév
1746, & dans le traité du calcul intégral de Mi de
Bougainville , les différentielles qui se rapportent à
la rectification de Y ellipse.Au lieu de rapporter Y ellipse à des coordonnées
rectangles ou à des ordonnées parallèles’, on peut
considérer son équation par rapport à sangle que
font avec l’axe les lignes menées du foyer. Cette
considération est utile dans l’Astronomie, parce que
les planètes, comme l’on fait, décrivent des ellipses
dont le soleil est .le foyer. Or , si on nomme a la
moitié du grand axe d’une ellipse , fia distance du foyer
 au centre, q le cosinus de l’angle qu’une ligne
menée'du foyer â l’ellipfe , fait avec l’axe, ria Ion- ,gueur de cette ligne ; on aura r = ^5^ y H onrapporte l’équation au foyer le plus éloigné, &r z=zalT/y si on la rapporte au foyer le plusproche. De-là on peut tirer la solution de plusieurs
problèmes astronomiques, comme de décrire une
ellipse dans laquelle trois dislances au foyer font
données, &c. Voye^ les.mémoires de l’académ.àe
Berlin pour Tannée 1747 , & plusieurs aunes ouvrages
d ? Astronomie.Mais Ia manière la plus générale de considérer
l’ellipfe eri Géométrie, est de la considérer par Téquatiòn
aux ordonnées parallèles. Nous allons entrer
dans quelques considérations fur ce sujet, qui
pourront être utiles aux cornmençàns,pèut- être
même aux géomètres plus avancés. - .L’équation d’une ellipse rapportée aux axes, les
coordonnées étant prises au centre, e&yy ■= k fgx
x, k exprimant un quarré ou rectangle connu,
& gun nombre constant & connu ; cela résulte
-.-de ce qu’on á vu çi-dessus. Transformons les axes
de cette courbe, de manière qu’ils ne soient plus
rectangles , si on veut, mais qu’il s. aient la même
origine , & servons - nous pour cela des règles
éxpliquéesaùXízrtz'JeîCouRBE & TRANSFORMATION
: on rerra qu’en supposant un . des. axes
dans une position quelconque, il fera possible de
-donner une telle ppsition à l’autre, que l’équation
transformée soit de cette forme uù=~m—« ?{,
m & n marquant aufíl des constantes déterminées.
En effet, supposons que l’angle des premiers axes
soit droit, que E soit l’angle du nouvel axe avec
l’un des actes primitifs, & F l’angle que l’axe
cherché fait avec Taxe conjugué à Taxe primitif jsoit sinus E=xe, cosinus E == j/ i —- e e, onaura sinus oo 4- F = J/- I •— ee , cosin. 90 4E
= —e ; soit sinus F= f, & cosinus F=\f 1 ~ff, on trouvera \s ■ y 4- ( * '*""•S ■ ■ ' * l~sf r ^ \'yf\fin. E o s yf\E l l e l l 6ti
íin. (9°+E) X \/i—ff-scofm. (c>o+E) (voyez
SINUS) = 1/ r —//X \/~^Te 4-/e. Substituant
ces valeurs , & chassant x &y , on aura une
équation en { & en a , qui fera la transformée de
Téquationyy — k —gxx ; & supposant dans cette
transformée que les termes où se trouve u z se détruisent
, on aura la valeur de / en e convenable
.pour cela , -& l’équation uu=m — n z ï- Cela
posé,II est visible que pour chaque £, zz a toujours deux
valeurs égales, Tune positive, l’autre négative ; quelorsque z= y ^-, on a u - o dans chacune de cesdeux valeurs , & qu’ainsi la tangente à Textrémiré
'd’un des deux axes est parallèle à l’autre axe, &
réciproquement ; car la tangente est une ordonnée
qui coupe la courbe en deux points coïncidents.
Voyez TANGENTE & COURBE. On verra de plus
que/=orend e=o- ; que/== i rende = i , i
représentant le sinus total ; que/=— I rende=—
. I, & qu’ainsi , il n’y a que deux axes dans l’ellipfe
qui se coupent à angles droits ; mais que/= + r,
r étant moindre que I, donne deux valeurs de e
aussi égales entr'elles, & qu’ainsi , il y a toujours
deux diamètres différens qui font avec leur conjugué
le même angle , si cet angle est moindre qu’un
droit. On peut aussi déduire des valeurs de/en e ,
& de celles de m en n , que le rectangle des deux
axes est égal au parallélogramme formé fur deux
diamètres conjugués, & que le quarré des deux axes
est égal au quarré des deux diamètres. Mais ces
propositions peuvent encore démontrer de la manière
suivante, qui est bien plus simple.Pour démontrer que les parallélogrammes formés
aurourde deux diamètres conjugués sont conslans,
imaginez un diamètre infiniment proche d’un
des conjugués , & ensuite imaginez le conjugué àce
diamètre infiniment proche. Achevez les deux parallélogrammes
, ou plutôt le quart de ces parallélogrammes
: vous verrez à l’instant, & pour ainsi
dire à Toeil, par le parallélisme des tangentes aux
diamètres conjugués, que ces deux parallélogrammes
infiniment proches sont égaux ; leur différence
,- s’il y en avoit, ne pouvant être qu’infiniment
petite du second ordre par rapport à eux.
Donc , &c.Pour.démontrer maintenant que la somme ries
, quarrés des diamètres conjugués est constante, c < ..servez
 la même figure , appeliez a un des demidiamètres
, h ion conjugué , a -f- d a , le demidiamètre
infiniment proche de a , b — d b le demidiamètre
conjugué ; il faut donc prouver quea a +bbz=aa +zada-\-bb — zbdbÇvoyczDIFFÉREN TIEL ) ou que a d b ==: b d b. Or, traçant
du centre de l’ellipfe & des rayons a, h > deux
petits arcs de cercle x, ? , on verra d’abord évidemment
que les deux quarts d ;'ellipse renfermés
entre les demi-diamètres conjugués, font égaux,& qu’ainsi a 'x = b z. Or, x est à da & z est à db,
comme le linus-de Tangle des diamètres est au cosinus
du même angle ; donc x\ da\ \z \ db ;
donc, puisque a x = b z > on aura ada = b d b.
On objectera peut-être que ces deux démonstrations
font tirées de la considération des quantités infiniment
petites, c’esl-à-dire, d’une géométrie transcendante
supérieure à celle des sections coniques. Je
réponds que les principes de cette géométrie-sont
simples & clairs, & qu’ils doivent être préférés, dès
qu’ils fournissent le moyen de démontrer plus aisément.
Voyez INFINI & DIFFÉRENTIEL. En effet,
' pourquoi ne mettra-r-on pas à la tête d’un traité de
sections coniques des principes de calcul différentiel,
lorsque ces principes simplifieront & abrégegeront
les démonstrations ? J’ose dire que Topinion
contraire ne seroit qu’un préjugé mal fondé. II y a
cent raisons pour la détruire, & pas une pour la
soutenir. Les principes de la géométrie de Tiusini
étant applicables à tout, on ne sauroit les donner
trop tôt ; &. il est bien aisé'de les expliquer nettement.
On doit traiter le problême des tangentes
d’une courbe par le calcul différentiel, celui de la
quadrature &,de fa rectification par le calcul intégral
, & ainsi du reste, parce que ces méthodes sont
les plus simples & les plus aisées à retenir. Voyez
ELÉMENS & MATHÉMATIQUES.La manière dont nous venons de démontrer
l’égalité des parallélogrammes circonscrits à l’ellipfe 3
a donné occasion à M. Euler à chercher les courbes
qui peuvent avoir une propriété semblable. Voyez
les mém. de Berlin, année ty45.Au lieu de considérer d’abord Y ellipse par rapport
à ses axes, on peut la considérer, comme nous avons
fait dans l’article CONIQUE , par rapporta son équation
envisagée de la manière la plus générale. Cette
équation , comme on le peút voir à l’article cité >
se réduira toujours à réquatíon des diamètres u u =
m — n z ï » ne faisant même changer de position
qu’une des coordonnées. Voyez COURBE , &c.Le sphéroïde formé par tine ellipse autour de son
axe, est à la"sphère qui a cet axe pour diamètre,
comme le quarré de Taxe est au quarré de son cor*jugué
 ; c’est une suite du rapport des ordonnées
correspondantes de l’ellipfe & du cercle qui a le
même axe. Voyez SPHÉROÏDE ; voyez aussi les
articles CozuR ( Géométrie ) & CONOÏDE.Nous avons dit ci-dessus & au mot CONIQUE,"
comment on décrit l’ellipfe par un mouvement continu
 ; cette manière de la décrire est la plus-simple
qu’on puisse employer fur le terrein, & même fur lé
papier : mais toutes les descriptions organiques de
courbes fur le papier font incommodes. Voyez
COMPAS ELLIPTIQUE. La description de plusieurs
points doit être préférée. Voyez DESCRIPTION &
CoURBE.OnpeufdécrireTífiztj/èdeplusieuTspoints,
en divisant en-raison du petit axe au grand les
ordonnées du Cercle circonscrit. Voyez h la fin da
II. Uvre desfeSaons coniques de M. de l’Hôpital r
'plusieurs autres méthodes très-simples de décrire sel*■rg*t E' L L E L L
MpÇe par plusieurs points. II y a des géoriiètres qui
enseignent à décrire l’ellipfe sur le papier par un
mouvement continu , suivant la méthode qui sera
expliquée à l’article OVALE ; mais cette méthode
est fautive : ce n’est point une' ellipse qu’on décrit,'
c’est un composé d’arcs de cercle, qui forment une
ovale à la vue , & qui n’est pas même proprement
une courbe géométrique. Aucune portion d’ellipse
n’est un arc de cercle. La preuve en est que le
le rayon de la développée dé cette courbe n’est
constant en aucun endroit. On peut le démontrer
d’une infinité d’autres manières. K". DÉVELOPPÉE&• OsCULATEUR.On a déjà dit un mot de Tusage de 1 ellipse dans
T Astronomie, & on a vu ci-dessus que z étant Tanoïnalie
vraie, a la distance moyenne, &/Texcentricité
( Voyez ANOMALIE & EXCENTRICITÉ J, on aJa dislance r de la planète du foYer=aa~f ç ■■. jor, suppofant/très-petite par rapport à a , on peut
aisément réduire en série cette valeur de r. Voyez
BINOME , DÉVELOPPEMENT & SÉRIE ; de plus,
l’élément du secteur qui représente Tanomalie
moyenne ( Voyez Loi DE KEPLER & ANOMALIE) est proportionnel à d z ■ a~{, . ,.—r— ; d’où ilest aisé de conclure, par les séries & le calcul
intégral, que, si £ est Tanomalie moyenne, on aura
 ? = t + a/ fin. z 4- ìJrl l + T « n. ,3.{., &c.
& par la méthode du retour des suites ( voyez
SUITE & RETOUR) , on aura ï= ?~2/fin.£ -JîX1 fin. 1 K~ Û£î fin. 3 ?_ ÍÉdI f &c.ainsi, on a également la, valeur de Tanomalie
moyenne par la vraie, ou celle de la vraie par la
moyenne, ce qui donne la solution du problême
de Kepler développé au mot ANOMALIE. J’ai mis
ici ces formules, afin que les astronomes puissent
s’en servir au besoin. Voyez EQUATION DU
CENTRE.Si Y ellipse est peu excentrique , & qu’une des
lignes menées au foyer soit a -f- l , l’autre fera
■a —z, z étant une très-petite quantité ; donc le
produit aa — zzàe ces deux lignes peut être regardé
comme confiant & égal à a a, à cause de la
petitesle de î j. Or, si des deux extrémités d’un
arc infiniment petit d’ellipse on mène des lipnes à
chaque foyer, ori trouvera , après avoir décrit de
petits arcs du foyer comme centre & des rayons a-i-z
a — z, que ces petits arcs font égaux ; nommant
donc a chacun de ces petits arcs, on trouvera que lesecteur qui a a -f z pour rayon, est « , / a-±l\ [}
& que l’angle, qui a a — ï pour.rayon, est ~^- '7 , a —\ ?. 0pnç le rapport du' secteur -à l’angle. est ■--"** •
' ' p ■ ■ i ?_donc il peut être censé constant, sûr quoi, voyez
l’article suivant, ELLIPSE de M. Caslini.De ce que la somme des lignes menées aux foyers
est constante, il s’enfuit, comme il est aisé de le
voir , que menant deux lignes du même point aux
deux foyers, la différentielle de Tune est égale à la
différentielle de l’autre prise négativement. Or on
conclura de-là très-aisément, & par la plus simple
géométrie élémentaire, que les deux lignes dont il
s’agit font des angles égaux avec la tangente qui
passe par le point d où elles partent. Donc un corps
partant du foyer d’une ellipse & choquant la surface,,
sera renvoyé à l’autre foyer. Voyez R É F L E- S
x I 0 N. De - là Tusage de .cette propriété dans
l’Acouslique & dans TOptique. Voyez MIROIR,E
 c 11 0. Voilà encore une propriété dé l’ellipfe
que le calcul différentiel, ou-plutôt le simple
principe de ce calcul, démontre très-élégamment &
•très - simplement. Si les deux foyers de l’ellipft
s’éloignent jusqu’à arriver aux extrémités du grand
axe , Y ellipse dévient alors une ligne droite ; &
a un des foyers restant en-place, l’autre s’en éloigne
àl’infini,elie devient parabole. Voy ez PARABOLE.Ellipses à Tinfini ou de tous les genres, ce font
. celles qui sont désignées par les équations générales3714- n m . nay t=íi Xa~x> & que quelques-unsappellent elliptoides. Voyez ELLIPTOÏDE. Mais ces
mots ou façon de parler font peu en usage.L’ellipfe ordinaire est nommée ellipse apollonienne
ou d’Apollonius, quand on la compare à celle-ci,
ou qu’on veut Teri'distinguer. (O)  ■ELLIPSE de M.' Cassini, autrement nommée cafsi
noïde , est une courbe que seû M. Jean Dominique
Cassini avôit imaginée pour expliquer les mouvfcrriens
des planètes ; cette courbé a deux foyers F, f
(fig. 24 ) ',' don t la propriété est tèlle que le produit
FMX. Mf dedeiixlignes quelconquesrnënéesde
Ces foyers à un point quelconque M dela courbe,
est toujours égal à Une quantité constante ; au 'lieu
que, dans l’ellipfe ordinaire 'ou d’Apollonius, c’est
la somme de ces lignes, & riori leur produit, qui est
égale à une quantité constante. M. l’abbé de Gua
dans ses usages de V analyse de Descartes , a déterminé
les principales propriétés de cette courbe. II y examine
les différentes figures qu’elle, peut avoir, &
dont nous àvpns rapporté quelques-unes a l’article
CONJUGUÉ , & il conclut que cette courbe n’a pas
été bien connue par ceux qui èn Ont parlé avant’lui,
fi on en excepte cependant l’illustfe M. Grégory.
" Voyez afiron.physiq. & géométr. élément, pag. '331 >
édit, de Genève, 1726 , ou les tranf. -phil. Sept.'i.7°4- . * ::Poúr avoir une idée des propriétés de cette courbe,
soit a son demi-axe , fia distance d’un des foyers
au centre, * l’abscisse prise depuis le centré ,y {'ordonnée
, on aura , comme il est aisé de le p ! ouver
par le calcul, (x x-^lfx-\-ff-\- y y) (xx+ifx 4ff-\-yy) =(
a a —//) % pour la propriété de Cette
courbe, ou (yy +ff-j~ xx ) 1-~^ffx x^.(áa*~fffr' " e l l e ll ézxff)  yon y ==J- Y [ —//- xx±{/(a a—f f ) *
4" Affx x1 i donc,'-1.° cette équation ne donnera
jamais que deux valeurs réelles tout au plus pPur y ,
l’une positive , l’autre négative & égale à la positive
 ; caries deux valeurs qu’on auroit en mettant le.signe—devant\s (aa—ffj- 4- A^ffxx scroientimaginaires
, puilquey seroit la racine d’une quantité négative.
2." En supposant même le signe -\- devant
cette derniere quantité , il est visible que la valeur
rie y ne sera réelle que quand ( au—f f) "- -j- 4-ffxx
sera> ou — (ff-\-x x y-, c’est-à-dire, quand a* —
zffaa -f- zff xx — x*sèra > ou = o. Donc, si
(aa—sfy est> (x x-fff ou ( ss—xx) \ l’ordonnée
sera réelle, sinon elle sera imaginaire..
Donc , si a a=zsf, l’ordonnée sefanulleau centre
, & la courbe aura la figure d’un 8 de chiffre ou
lemniscate ( Voyez LEMNISC ATE)  ; car on aura alors
x x=ou ^> zff— a a, condition pour que l’ordonnée
soit nulle ou réelle. Si zff^> a a, les ordonnées
réelles ne commenceront qu’au point où x =ïfcj/ zff-—aa, & ellesfiniront au point oùan=2 ;
car ( a a —f s)  2 doit aussi être > ou = ( xx—ff).z
Ainsi , dansée cas la courbe sera composée de deux
courbes conjuguées & isolées, dislantes Tune de l’autre
de la quantité z \/ zff—a a ; & si dans cette supposition
on a de plus a=J/ 2- f f—a a, ou /= a, la
courbe se réduira à deux points conjugués uniques.
Si/^>zz, la courbe sera totalement imaginaire.
Enfin, ûzff<C_aa, là courbe sera continuée, &
aura toutes ses coordonnées réelles, égales & de
figne contraire, depuis x = o jusqu’à = a.-.Cetre courbe que M. Cassini avoit voulu introduire
dans T Astronomie-, n’ess plus qu’une courbe
purement géométrique & de simple curiosité ;car on
fait que les planètes .décrivent des ellipses appolloniennes
ou ordinaires. On demandera peut-être par
quelle raison M. Cassini avoit substitué cette ellipse à
celle de Kepler. Voici ma conjecturesur ce sujet. On
sait que la plupart des planètes décrivent des ellipses
peu excentriques. On fait auslì, & on peut le conclure
de l’article ellipse qui précède , que dans une
ellipse peu excentrique lessecteurs faits par les rayons
vecteurs à un foyer, sont proportionnels à très-peuprès
aux angles correspondans faits à l’autre foyer ;
& c’est fur cette propriété que Ward ou Setus Wardûs
a établi fa solution approchée du -problême qui
consiste à trouver Tanomalie vraie d’une planète,
Tanomalie moyenne étant, donnée. Voyez ELLIPSE ,
HYPOTHÈSE "ELLIPTIQUE. & ANOMALIE. Voyez
aufsiles infiit.asironomiq. de M. le Monier. Le rapport
du secteur infiniment petit à l’angle correspondant,
est comme, le rectangle des deux lignes menées au
foyer, & dans une ellipse peu excentrique, ce recctagle
est à-peu-près constant’ ; voilà le principe de
Ward. Qr M. Cassini paroît avoir raisonné ainsi:
puisque je rapport des secteurs élémentaires aux an ?
Míitrhmatigues. Tome, It IIe Partie,gles correspondans est comme ce rectangle, il fera
constant dans une courbe où le rectangle seroii
constant il a en conséquence imaginé sa Caffinoïde.
Mais, i.° quand la Caffinoïde auroit cette propriété
de la proportionnalité-des secteurs aux angles,
ce ne seroit pas une raison pour Tintroduirc
dans TAstronomie à la place de l’ellipfe conique que
les planètes décrivent en effet ; que gagne-t-on à
simplifier un problême, lorsqu’on change Tétat de la
question ? z.° Si, dans l’ellipfe conique, le rapport des
secteurs aux angles est comme le rectangle des deux
lignes menées aux foyers, c’est que la somme de
cesdeux lignes est constante ( Voyez ELLIPSE )  ;
fans cela, Ia proportion n’a plus lieu. Ainsi, même
dans l’ellipfe cajsienne les secteurs ne sont pas comme
les angles. J’ai cru cette remarque assez importante
pour ne la pas négliger ici. (O) ELLIPSOIDE, {.m.(Géom.)  est le nom que
quelques géomètres ont donné au solide de révolution
que forme l’ellipfe en tournantautour de l’un ou
de l’autre de-ses axes. V. SPHÉROÏDE & CONOÏDE.
L’ellipfoide est alongé, íì l’ellipfe tourne autour de son
grand axe ; & applati, si elle tourne autour de son
petit axe ; L’ordonnée de l’ellipfe génératrice est
toujours à l’ordonnée correspondante du cercle qui
a pour diamètre Taxe de révolution, còmme l’autre
axe est à Taxe de révolution : donc les cercles décrits
par ces ordonnées (lesquels cercles forment les
élémens de la sphère & de l’ellipfoide)  sont entr'êux
comméle quarré de Taxe derévolution est au quarré
de l’autre axe : donc la sphère est à l’ellipfoide
commé le quarré de Taxe de révolutiou est au
quarré de l’autre axe. (O) ELLIPTICITÉ, s. f. ( Géom. )  Quelques géomè- .
tres modernes ont donné ce nom à la fraction qui
exprime le rapport de la différence des axes d’une
ellipse, au grand ou au petit axe de cet ellipse. Plus
cette fraction est grande, plus, pour ainsi dire,
l’ellipfe est-ellipse , cesl-à-dire $ plus elle s’éloigne
du cercle par Tinégalité de ses axes ; ainsi, on peur.,
dire que le degré à'ellipticité d’une ellipse est représenté
par.cet-re fraction. II seroit à souhaiter que
cette expression fut adoptée ; elle est commode
claire & précise. ( Ò ) ELLIPTIQUE, adj.~T.Geom. ] il se dit de cequi appartient à l’ellipfe. Voyez ELLIPSE.Kepler a avancé le premier que.les orbites de*
planètes n’étoientpas circulaires, mais elliptiques ,
hypothèse qui a été soutenue ensuite par Bouillaud,
Flamsteed, Neuton, &c. d’autres astronomes ino^
dernes Tont confirmé depuis , de façon que cette
hypothèse , qu’on appelloit autrefois du nom
■d’hypothèse elliptique,. est maintenant universellement
reçue. Voyez ORBITE &'PLANÈTE.M. Neuton démontre que si un corps se meut
dans un orbite- elliptique , deTmanière qu’il décrive
autour d’un des foyers des aires proportionnelle »
aux tems, fa force .centrifuge ou fa gravité fera çn
Lìlí
6}4 e l o. EU b .raison doublée inverse de ses distances au foyer, ou
réciproquement comme les quarrés de ses distances.
Voyez CENTRIPÈTE.L’ellipfe est d’un fréquent usage dans Tarchitecture
des voûtes.. Voyez le Diaionnaire d’ArchiteBure.
Voyez aussi , dans celui - ci, l’article
.V'OUTÉ.Espace elliptique , c’est Taire renfermée par la
circonférence de l’ellipfe. Voyez ELLIPSE.Conoïde ou sphéroïde elliptique, c’est la même
chose qu’ellipsoïde. Voyez SPHÉROÏDE, CONOÏDE
& ELLIPSOÏDE. ;Compas elliptique , voyez COMPAS. ' Harris &
Chambers. [O]ELLIPTOÌDE, f. f. ( Géom. ) , signifie une
espèce d’ellipse- ou plutôt de courbe désignée parm -|- n 771 /zl’équation générale <zy = b x X a —x ,dans laquelle m ou n est plus grand que i. Voyez
ELLIPSE.II y en a de différens genres ou degrés, comme
l’elliptoïde cubique , dans laquelle axì = b x%
Xa-x. -,'■■•L’elliptoïde quarrée ou fursolide, ou du troiiième
ordre, dans laquelle ay^—bx 1 X^-*) 2Sion appelle une autre ordonnée u, & l’abscissem « +< n mcorrespondante ï , on aura au ■ = b z. n m -J- n m -f-nX a — z , & par conséquent, ay : aum n m n.llbx X« -i :&ï X"-î , c’est-à-dire'
'tn^-n .m^fJi m.n m ', ny lu H x Xa — x li Xa—lELLIPTOÏDE , s. m. ( Géom. ) , se dit aussi quelquefois
pour- ellipsoïde. Voyez ELLIPSOÏDE. (O) E l oÉLONGATION, ( Astronomie ) est Ia différence
entre le lieu du soleil & le lieu d’une planète, ou Ia
quantité de degrés dont une planète s’éloigne du
soleil par rapport à un oeil placé sur la terre ; c’est
Tare ou l’angle apparent compris entre la planète
& le soleil, vus l’un & l’autre de la terre. On
l’appelle aussi angle à la terre. Tel est l’angle STP
(planches d’Astiono'mìe ,stg.s6)  que Ton trouve par
la résolution du triangle S P T , lorsqu’on calcule
le lieu géocenrriqne d’une planète*La plusgrandedislance d’uneplanèteìriférîeureau
soleil, est fa plus grande élongation ; elle est plus ou
moins considérable, selon que les ellipses que ces
planètes décrivent , sont plus ou moins grandes ,
& s’éloignent plus ou moins d’être des cercles.C’est fur-tout dans les mouvemens de Vénus &
de Mercure qu’on a égard aux élongations ou dig'-cjpons.
Mercure est dans fa plus grande élongation, lorsque la ligne menée de la terre à Mercure ;
est tangente à Torbite de cette planète ; Tare compris
entre le lieu de Mercure & le lieu du soleil,
c’est-à-dire, l’angle compris entre les lignes menées
de la terre au soleil & de la terre à Mercure, est
alors le plus grand qu’il est possible : il en est de
même de Vénus.A Texception de Vénus & de Mercure, Yélongation
de toutes les autres planètes , par rapport au
soleil, peut aller jusqu’à i8od ; ce qui est évident,
puisque la terre est entre ces planètes & lé soleil.La plus grande élongation de Vénus va depuis
45 jusqu’à 48d ; la plus grande élongation de Mercure
de 18 à 28d, c’est-à-dire, que la première de
ces planètes ne s’éloigne jamais du soleil de plus
de 48d, ou n’en est jamais vue plus distante que
de ce nombre de 'degrés , & que l’autre ne s en
éloigne jamais plus que de z8J ; c’est ce qui fait
que Mercure est st rarement visible, & qu’il se
perd d’ordinaire dans la lumière du soleil.Le mouvement de la lune par rapport au soleil,
ou Tare compris entre la lune & le soleil, s’appelle
aussi Y élongation de la lune au soleil ; cependant lesastronomes
modernes se servent presque toujours
en ce cas du mot distance. ( D- !• ) Elongation dans Tan cienné Astronomie, é'toít Ia
situation d’une planète fur le côté de son épicyclc
On a aussi appelle élongation la différence entre les
mouvemens de deux planètes qu’on appelloit égale-ment
 fupération. ' -ELSCHEERË, (Astron.) VoyezSIRIUS.E m bEMBOITER , ( Eydraul. ) c’est enchâsser un
tuyau dans un autre" ; ce qui se pratique en posant
des tuyaux de bois ou de grès pour conduire les.
eaux. (.K) ÉMERSION, en Astronomie.On îe sert Je cè
- mot pour exprimer la réapparition d’une étoile qui
étoit éclipsée , & mêmè celles de la lune & du soleil
dans leurs éclipses, pour marquer que le soleil, la:
lune ou quelqu’autre planète recommencent à paroître,
après avoir été éclipsés ou cachés par Tinterposition
de la lune, de la terre ou de quelque
autre corps céleste ; il est opposé à immersion.On se sert encore du terme émersion , lorsqu’une
étoile ou planète que le soleil cachoit, parce qu’il
en étoit trop proche , commence à reparoître , eri.
sortant , pour ainsi dire, des rayons de cet astre*
C’est le lever Hélidque.Scrupules ou minutes d’émersion ; c’est Tare quele
centre de la lune décrit depuis le tems qu’elle:
commence à sortir de Tombre de la terre,.jusqu’à la:.
sin del’édipse. Wolf, Harris & Chambers. (O) _ ÉMISSION ,s. fr. ( Opt. )  C’est une. grande question
que de savoir fi la lumière se fait par pression.
ou par émission^ c’est-à-dire, si elle se communique
à nos yeux parTaction du corps lumineux fut UÎHE m 1/ e m-p . ?3sfluide environnant, ou par des corpuscules qui
s’élancent du corps lumineux jusqu’à Torgane. En
attendant que nous trairions cette question plus en
'détail.au mot lumière, nous croyons devoir faire,
ici quelques réflexions fur une preuve que des philosophes
modernes ont crue très - favorable au
système de Y émission. Les observations de Roëmer,
difent-ïls, fur les éclipses des satellites ( Voyez
SATELLITE & LUMIÈRE , ) prouvent que la lumière,
soit par pression , soit par émission , vient
du soleil à nous en huit minutes & demie' ; les
observations de Taberration prouvent que la vitesse,
soit actuelle, soit de tendance, que les corpuscules
de la lumière ou de Téther ont en’parvenantà nos
yeux, est précisément celle qu’il leur faut pour
parcourir en huit minutes & demie la distance du
soleil à nos yeux : n’est-il donc.pas bien vraisemblable
qu’en effet les corpuscules lumineux viennent
du soleil à nous par un mouvement de transport ?
Voyez les râém.de l’acad. 173.9.Pour apprécier le degré de force de ce raisonnement,
j’ai considéré une suite de petites boules
élastiques, égales, rangées en ligne 'droite, & j’ai
comparé le rems qu’une de ces boules mettoit à
parcourir un espace donné, avec le tems qu’il fauriròit
pour que le mouvement de la première boule
se communiquât à la dernière. Prenons d’abord
deux boules égales & à ressort, dont le diamètre soit
d, & dont Tune soit en repos & soit choquée par
l’autre avec la vitesse V. Soit a Tefpace qui est .
entre Textrémité antérieure de la boule choquante
& Textrémité postérieure de la boule choquée ; V
étant la vitesse de la boule choquante, il est visible:
1.' que Textrémité antérieure de cette boule parcourra
Tefpace a dans le tems ^ ?, & qu’alors elleatteindra l’autre boule ; 2.° dans ce moment,
comme on le prouvera à Y article PERCUSSION ,
Textrémité antérieure de la boule choquante, &
l’extrémité postérieure de la boule choquée ; qui
forment le point de contact fur lequel se fait lacompression , auront la vitesse commune — \c est-à-dire, que Tunó, qui avoit Ia vitesse V,perdra la vitesse —, & que l’autre, qui étoit en.repos, recevra la vitesse — ; & si on nomme xl’efpace que le point de contact parcourt pendant. que le ressort se bande & débande , le point decontact parcourra cet espace x avec ; la vitesse— pendant le tems1.2-^-. Alors la première boulereste ~en repos, & Textrémité antérieure de la boule
choquée parcourt- un espace quelconque c avecla vitesse V dans le tems ^-. L’efpace qui setrouve alors entre le lieu qu’occúpoit, avant le
choc, Textrémité antérieure de la boule choquante,
& le lieu qu’occupe actuellement Textrémité antérieure
de la jçhoquée, est-évidemment égal àa 4-s -f-r-f-'i ?,- or Textrémité-antérieure de la
boule choquante, si elle n’eût point rencontré
d’obstacle , auroit parcouru cet espace dans untems égal à * ^TT ■ Donc, en supposantseulement deux boules, la différence du tems par
émission ou transport, & du tems par pression, est ;= -jr'i s’il y a trois boules, cette différence seraY—, & ainsi de fuite ; & fi le nombre n desboules est très-cpnsidérable, elle sera sensiblement= ■—y.—'. Donc le premier tems fera.égal, plusgrand, ou plus court que le second, selon que â
sera égal , plus grand ou plus petit que x, c est-à
dire, selon que le diamètre d’une des boules fera
égal , plus grand ou plus petit que Tefpace parcouru
par le point dé contact durant le bandement
& se débandement du ressort. II n’y a donc qu’un
cas pour Tégalité des deux tems , & une infinité
pour leur inégalité : c’est pourquoi la preuve alléguée
ci-dessus a de la force ; mais ëlle n’est pas rigoureusement
démonstrative.Quoique la lumière, fi elle se propage par pression
, ne se propagé peut-être pas exactement de la
même manière que le mouvement ou la tendance
au mouvement dans une fuite de boules élastiques,
j’ai cru que la théorie précédente pouvoit servir au
moins à nous éclairer jusqu’à un certain point sur
la question proposée.II est bon de remarquer au reste, pour prévenir •
toute difficulté sur ce sujet , que 1 accord de la
théorie de Taberration avec le système de l’émiffìon
de làlumière, ne suppose pas qu’on connpissé la
vraie, distance de la terre au soleil ;-il suppose seulement
qu’un arc de 20" dans Torbiste terrestre soit
parcouru par la terre eri 8' f-, ce qui est vrai.
Voyez ABERRATION .- & les institut, astron. pag. g g&.302.(0) EMPYRÉE." Le plus haut des cieux. C’est , suivant
les théologiens, le lieu où les Saints jouissent
" de Ia vision béatifique : on Tappelle ciel empyrée.
& paradis.Derham disoit que les taches ou nébuleuses qu’on
apperçoit dans certaines constellations, pouvoient
être des trous du firmament, à travers lesquels on
voit Y empyrée.Ce mot formé du grec’ », dans, &^p, fea"
pOur marquer Téclát & la splendeur du ciel.En.cENCLAVES, (Hydraulique) _sont des enfon-^
cemens qu’on a ménagés en bâtissant les faces des
bajoyers d’une écluse pour y loger' de grandes
portes, lorsqu’on est obligé de les ouvrir pour le
passage des bâtimens. Rien n’est mieux imaginé,
non-seu,lernenî pour la conservation de ces portes jL111 ij■6x6 E N G

. E"N N
mais encore pour ne point faire d’obstacles au
parrage des bàtimens. (K) 
ENDECAGONE. Voyez HENDECAGONE.ENDUIRE un bassin , ( Hydraul. )  On enduit un
bassin neuf de ciment d ?un bon pouce de-mortier fin,
que Ton frotte avec de Thuile. Si ce bassin a été gâté
par la gelée, ou long-tems fans eau, on peut le
repiquer au vif, & YenduÌ7-e de trois à quatre pouces
de cailloutage, & d’un enduit général de ciment. (K) ENGENDRER, v. á. En Géométrie, on se sert du
mot engendré, pour défigiíer une ligne produite par
le mouvement d’un point, une surface produite par
le mouvement d’une ligne , un solide produit par
le mouvement d’une'surface , ou bien encore pour
désigner une ligne courbe produite dans une surface
courbe par la section d’un plan. Ainsi , on
dit que les sections coniques font engendrées dans le
cône. Voyez CONIQUES & GÉNÉRATION. •■On dit aussi qu’une courbé est engendrée par lé
développement d’une autre. Voyez DÉVELOPPÉE.
On a proposé à cette occasion de trouver les courbes
qui s engendrent elles-mêmes parleur développement.
Voici une solution bien simple de ce problême.
i.° Soit que la courbe développée s’engendre ellemême
dans une situation directe ou dans une situation
renversée , il est évident que la développée dela
développée sera précisément située de la même
manière que la développante. 2.°. Le petit côté de
la développante sera parallèle au petit côté qui lui
correspond dans la développée de la développée
(que j’appelé fous - développée )  ; une figure trèsiìmple
peut aisément le faire voir. Donc, puisque Ia"
développante & la sous-développée sont semblables
& égales ( hyp. ) , & qu’outre cela leurs petits côtés
correspondans sent parallèles , il est aisé d’en conclure
que ces petits côtés font égaux ; or, nomment
ds le petit côté de la développante ou courbe
cherchée, & R le rayon de ìadéveloppée, il est aise
de voir que le rayon oscillateur de cette développéesera Tç. ■ d -'. savoir ■— si Ia courbe.se développe
dans une situation renversée, & -j- si elle se développe
dans une situation directe. Donc, puisque
le petit côté de la sous-développéë~-est égal à ds, &
que ce petit côté est égal à la différence du rayonofculateur, on aura d I ^jz—— \=ds , &^.RdR !=sds±ads, &-ZpRR—ss±zas±'bb ;
c’est l’équation générale des courbes qui s’engendrent’
elles-mêmes par leur développement. Voyez OscvXATEUR.
Si Ton vouloit que la courbe génératrice fût non
pas. égale, mais semblable à la courbe engendrée', ence cas la différence de^-MíL devroit être enraison constante avec d s. Cela se prouve comme
çhns le CM précédent. On aura donc z^RR=mssï£es-±:F.(0) ENGIN, s. m. (Méchan.)  machine composée ;
dans laquelle il en entre plusieurs autres simples,
comme des roues, des vis, des leviers, &c. combinés
ensemble -, & qui sert à enlever, à lancer, ou à
soutenir un poids, ou à produire quelqu’aut’re effet
considérable, en épargnant ou du tems ou de la
force. Voyez MACHINE. -,II y a des engins d’une infinité desortes : les uns
font propres à la guerre , comme autrefois les ballisles,
les catapultes, les scorpions, les béliers, &c.
Ces machines éroient fort en usage, parmi les anciens,
& elles avoientbeaucoup de force ; on ne
s’en sert plus aujourd’hui depuis Tinvention dela
poudre. D’autres servent dans les Arts, comme des■ moulins, des grues, despressoirs. Foyq ; MOULIN ,
ROUE, PRESSOIR, POMPE, &CLe mot d’engin n’est plus guère en usage , du
moins dans le sens qu’on vient de lui donner,
c’est-à-dire-, de machine composée : celui de machine
tout court a pris fa place, & on ne se sert
guère du mot engin que pour désigner des machines
simples, comme le levier , encore s’en sert-onrarement. (0)  'ENGONASIS, en Astronomie, est le nom qu’on ;
donne k.Hercule', Tune des constellations boréales.
Voyez HERCULE. (0) -ENGORGEMENT ,_(Hydr.)  se dit d’un conduit
où il est entré assez d’ordures pour le boucher. On
- y remédie -en ôtant les tampons, les robinets, &
lâchant toute Teau qui entraîne ces ordures.~(0) ENGYSCOPE, f. m ; ( Optique ) machine qui est
plus connue sous le noiii de rnicrofeope. Ce mot vient
des.mots grecs c-Kt’smp.cu^ jc vois, & in’'proche ,
parce que l’engyfcope pu microscope sert à faire distinguer
des objets fort petits qu’on rie verroit pas à
la vue simple, & qu’on approche de Toeil en mettant
l’engyfcope ou la loupe entre deux.II semble que le télescope ou. lunette d’approche
qui sert à rapprocher les objets , méritoit encore
mieux lenorn d’engyfcope que le microscope. Au ,
resté, ce mot nèft presque plus en usage. V. Lo DPE, •MlCRQSCpPE, TÉLESCOPE. (O) ENIF, (Astron.)  étoile de ía troisième grandeur,
située à Ia bouche de Pégaze, que Ton appelle'auiu
Enf Apheras. Elle est désignée par la lettre : dans
nos catalogues ; son ascension droite, en 1750 ì
étoit 522d 58' 17", & sa déclinaison 8d 4/ 31",
boréale. (D.L.)  . '
ENNEADECATHERIDE , cycle lunaire-, ou'
période de 10 ans, qui ramène les nouvelles luries
aux mêmes jours du mois. - •ENNÉAGONE , f. f. en Géométrie, figure de
neuf angles , & de neuf côtés. Voyez POLIGONE.
Ce.mot est formé deìnU } nmf',-&-s »v« , angle.Pour tracer dans un cercle l’ennéagone régulier,
il ne s agit que de diviser en trois parties égales,
1 angle au centre du triangle équilatéral ; .ainsi, ccE p a - . e p e irt■problèmeseréduit à celui dela trisection de l’angle.
Vbyez TRISECTION.ENTIER, adj. ( Aiith. )  On"appelle nombres
entiers veux qui contiennent un certain nombre de
fois .& fans fraction la quantité prise pour unité
principale.ENTREE, se dit , en Astronomie, du moment"áuquel’le soleil ou la lune commence à parcourir unries signes du-zodiaque.. Ainsi, on dit Y entrée dufoleilou de la lune dans le bélier, dans le taureau, &c.Voyez SIGNE.Ôrise sert aussi du mot entrée dans ces phrases:
Y entrée de la lune dans V ombre., dans le pénombre , &c,
VoyezEciLVSK. (O) 
' EPA
- EPACTES, (Aflronom.)  nombres de jours
d’heures , de minutes & de secondes dont les ré- '
volutìons lunaires diffèrent des solaires. Voyez
CALENDRIER. II y a aussi des épaâes. dont les
astronomes ont des tables, & qtii servent à préparer
les calculs ries éclipses. On en trouve les tables dans
le P. Riccioli, daris M. de la Hire, dans M. Cassini,
& dans mes tables de la lune , imprimées en 1771 ,
à la fuite de mon Astronomie.Lês épaS’es astronomiques dont nous nous servons
pour trouver les nouvelles lunes moyennes,
ne sont autre chose que Tâge de la lune au commencement
de Tannée , ou le nombre áe jours qui
restoit dejuis la derniere conjonction moyenne de
Tannée précédente jusqu’au commencement de l’année
actuelle , íi elle est bissextile, ou à la veille ,
si c’est une année commune. Par exerriple , il y a eù
-conjonction moyenne le, 26 Décembre 1761 , à ih
13' 28", tems moyen , la longitude moyenne du
soleil étant alors égale à celle de la lune: depuis
ce moment-là jusqu’au. trente-un de Décembre à ;
-midi 3 pour lesquels font calculées les époques des
années communes, il y a quatre jours, 22h 46" .
32" ; c’esi-là ce qu’on appelle Yépaâe astronomique
de 1762. Cette epaâe étant retranchée de 20 jours
i.2h 44' 3", révolution moyenne de la lune _au
soleil, nous apprend que Ia première conjonction
moyenne de ,1762 , arriva le 24 Janvier à 1311
57" 31" de tems moyen , puisque 4 Jours 22" qui ,
i-este-rie Tannée précédent avec 24 jours 1311 du
.mois de Janvier , font Tintervallé de 20 jours
-12 heures qu’il doit y avoir d’une conjonction à ■
l’autre. • ■Pour calculer YépaSe d’une année, il suffit donc
de retrancher ía. longitude moyenne du soleil de .
.celle de la lune, & de convertir le reste en tems
lunaire , à raison de 120 11 ' 27" par jour, qui est ;
la différence des mouvemens diurnes du soleil &de
li lune. Ainsi, l’époque du soleil pour 1762, est
.5>s io° 6' 14" ; & celle de la lune ns ip° z6' o",
suivant les nouvelles tables de Mayer : celle du
.'soleil étant retranchée de cétte dernière , il reste>- !' o" iç)  55'', qui répondent à 4 jours 22l46" 32°
de tems : ces 4 jours font YdpaSe de 1762, parce
qu’il a fallu 4 jours à la,lune pour s’éloigner du
soleil de 2 signes , & qu’au moment del’époque de
1762, il y avoit quatre jours que la conjonction,
étoit passée. . ' ,Ëpaâes des mois. L’épade du mois de Janvier est- '
1 zéro dans les années communes ;'car , puisque
Yépaâe de l’année marque Tâge de la lune au 31
Décembre, & que nous appelions zéro le 31 Décembre
, il n’y a rien à ajouter pour le mois de
Janvier. L’épaâe de Février sera Tâge de la luné
au commencement de Février , en supposant que
la lune ait commencé le 31 Décembre ; c’est donc
Texcés de 31 jours fur une lunaison entière, ou"un jour íi 11 15' 57 ;, & ainsi des autres mois.Exemple ; On demande là conjonction moyennedu mois d’Avrili7é4 ;.0n ajoutera ensemble le ?nombres, tirés de la table des épaâés astronomiques.' Epaâe de Tannée 1700, 9S 2ih 50' 8",-Changement pour 60ans, 3 7 J7" 34Pouf4 ans, . 14 o 1 44Pour le mois d’Avril, ." 1 9 47 52 "Somme à ôter, 28 1.4 " 57 18Révolution entière , 29 12 - 44 3Conjonction moyenne, o c’est-à- 1
dire, le 31 Mars à 2ih, o 2ih 46' 45*En effet, tant qu’il n’y a que zéro de j ours jppur íe
mois d’Avril, on rie peut pas dire que nous soyons
ën Avril, puisqu’on compte 1 aussi-tôt que le rnois
commence. Pour trouver la pleine lune moyenne ," on ajoute 14' r8 !j 22' 1". Nous en avons indiqué
l’usage au mot ÉCLIPSE. ." Halley avoit donné 'une suite d’éclipsés, depuis
1701 jusqu’à 171S , pour servir à trouver lés
autres éclipses par la période de 18 ans ; mais les
éditeurs y ajoutèrent une table des conjonctions
moyennes, que Pound avoit construite, & que
Ton peut voir.dans le premier volume des 'tables
■-: de Halley,.Paris , 1754 : elle revient à-peu-près
au même que celles des épaScs ; mais on y a joint, des tables d’équations, pour trouver à-peu-près
les conjonctions vraies. IÌ y en a de semblables
dans lë Calendarìum imprimé à Berlin pour 1740..
(D. L.) - …ÉPERON, f. m. (Hyd.)  On appelle éperons
des massifs, eh forme d’arcs - boutans , que Ton: construit xâu - devant des piles d’un pont, pour
préserver ces’piles" du choc des bois, des glaces,.
& autres corps étrangers que l’èau charrie avêc
elle. On donne aussi le même nom à des solides:
de maçonnerie, qui servent à lôutenir les murs, d’une terrasse contrela poussée, des terres.'' ' ÉPHÉMÉRTDE, f. f. (Astron.)  en grecé^mtjepìí
 ; livre qui contient pour chaque jour les
lieux des planètes & les circonstances des mouvemens
célestes. . ' ..Les plus anciennes éphémérides dont il soit paris6i% E P H E P H
dans Thistoire de f Astronomie, sòntcellesc|uifurer,î
calculées par Regiomontanus , & qui s étendent
depuis Tannée U75 jusqu’à 1531 ; on y trouve les
éclipses, les lieux des planètes, leurs latitudes &
leurs aspects : elles furent dédiées à Mathias, roi
de Hongrie , qui fit présent à Tauteur de huit cens
écus d’or : ellesfurent reçues par lesfavans avec tant
d’empressement, que chaque exemplaire se vendoit
douze écus d’or , duodecim aurèis : toutes les nations
de TEurope s’empressoient de les faire venir,
,suivant le témoignage de Ramus, Schol. mathcnï.
Uv. II. p. Gs : elles furent imprimées à Nuremberg
en 1474> & ce^ un des Pre™ers ouvrages d’astronomie
"qui aient été imprimés. S’il y a des éphémérides
plus anciennes que celles de Regiomontanus,
elles éroient si informes & sont si peu connues,
qu’il est inutile d’en faire ici mention. Onconserve
à Ia bibliothèque du Roi, des éphéméiides de Tan
1441, (Journal des Savans, zyjs.., p. 547.) On
imprima en 1482, des éphémérides de Stofìler,
'qui furent ensuite étendues jusqu’à 1550 ; celles
de Stadius allèrent de 1554 à 1606 ; celles de
Leovitius, depuis 1556 jusqu’à Tannée 1606, forment
un très\ ;rand volume in-folio ; celles d’Origan,
vont depuis 1595 jusqu’à Tannée 1654. En 1621,
Argoli fit imprimer à Rome des éphémérides , qu’il
prolongea ensuite jusqu’à Tannée 1700: ce sont-là
les plus célèbres calculateurs d’éphémérides. Je ne
parle pas de beaucoup d’autres éphémérides qui
renfermoient moins d’années , & qui font par
conséquent moins remarquables, comme celles de
Pitatus, Simi, Carelli,, Magini, Kepler, Ulac, ■
Hecker, Kirch , Montanari , Wing, Gadbury ,
Mezavachi. On en trouvera le catalogue dans la
préface de mon 8.c volume à'éphémérides. Celles
de Kepler, depuis 1617 jusqu’en 1636 ,-• étant
calculées fur des râbles beaucoup plus exactes que
celles dont on avoit fait usage jusqu’alors, firenf
une époque dans cette partie de l’Astronomie.Celles de Malvafia -, imprimées à Modene en
1^62, s’étendent de 1661 à 1666 : elles avoient
aussi le mérite d’être faites avec un soin tout particulier
, & le célèbre Cassini les enrichit de ses
observations & de ses tables. •Noël Duret de Mpntbríson fut le premier
François qui calcula des .éphémérides , & publia
' îes années 1Ó37-1700, sous ce titre : Nova motuum -
ccelestium Ephémérides Rìchelianoe. :Lorsque ['académie des sciences de Paris vit, en
1700, que les éphémérides d’Argoli finissoient, ellè
chargea la Hire fils de les continuer ; mais il ne
calcula que les années 1701-1703. Dans le même
iems , M, des Forges, vicaire de S. Gervais, sous
le nom de Beaulieu, en calcula d’autres , qui
s étendent de 1701 à 1714. Lieutaud, Desplaces
& Bomie, firent, par' ordre de Tacadémie, celles
de 1704 & de 1705, auxquelles cependant Lieutaud
mit son nom." Desplaces fit les années 1706-1708,
& Eomie les années 1709-1711 ; mais il copia
entièrement, & jusqu’aux fautes, celles de Beaulieu.Les’ éphémérides de Beaulieu furent continuées
par Desplaces, qui commença eri 1715, & con-r
tinua jusqu’en 1744, eri donnant chaque foií un
volume pour dix ans. L’abbë de la Caille continua
les éphémérides de Desplaces ; il dorina le quatrième
volume pour 1745-1754, suivi de deux
autres, qui vont jusqu’en 1774. Le septième , dont
je nie suis chargé à la mort de l’Abbëdela Caille, ,
a paru en 1774 ; le 8e volume va jusqu’en 1792 ;
il est sur lë point de parohre , (Mai 17S4.) Cette suite. d’éphémérides frariçoises a été imitée
par Tacadémie de Tinslitut de Bologne. Euslache
Manfredi, aidé de quelques autres calculateurs,
commença en 1715 , & continua jusqu’en 1750:
Euslache Zanotti en a donné la fuite jusqu’en
178e. J’ai voulu dissuader ce célèbre astronome
d’un travail ingrat & inutile , puisqu’il se faisoit
déjà en France ; il m’a répondu que c’étdit une
fondation de Tinslitut , qu’on’ ne pouvoit se dispenser
de remplir.La connaissance des tems est un livre analogue
aux éphémérides, & que Tacadémie fait calculer
chaque année depuis 1679 , pour Tusage des astronomes
& des navigateurs, avec beauepup plus de
détail & d’exaólitude que les éphémérides : nous
en avons "parlé ailleurs.Les éphémérides. ájbonomiques du père Hell -,
"-publiées à Vienne chaque année'depuis 1757,
sont uri ouvrage du même genre que la connoijfance
des tems , dans lequel il y a même plus de détails.
Elles sont remarquables encore, par un grand
nombre d’observations astronomiques-^ faites dans
différens pays de la terre, par tous les astronomes
avec qui il est en correspondance. L’académie de
Berlin en fait calculer de pareilles depuis 1776 ;
enfin M. Reggio & M. de Cesaris, à Milan -, font
aussi chaqûë année des éphémérides depuis 1775.
C’est un inconvénient pour les progrès de l’Aslro- "
nomie, que des ouvrages de cette espèce soient
calculés séparément par tant de personnes^, dont
le tems seroit employé plus utilement à calculer
des observations ou des tables pour le progrès
TAstronornie.Je ne dirai pas la même chose du Nautical
Almanac qui se publie à Londres depuis 1767,
pour Tusage de la marine ; tout* ce qui intéresse
cet article important de l’adminislration , mérite
tous nos foins , & ce n’est pas un tems perdu
pour les astronomes qui s’en occupent : mais pour
rendre véritablement ce livre utile à la marine, il
falloit prendre, comme on Ta fait, des moyens
qui ne sont point au pouvoir des particuliers , &
qui exigeoient les secours de TEtat.'Quatre calculateurs
répandus dans différens endroits de 1 Angleterre,
envoient leurs calculs à un cinquième,
pourles comparer & les vérifier : ils ont chacun
-soixante & quinze guinées par an. Tous les cal- ;
culs importans tìe la lune sont faits avec la précision,des
secondes -, pour midi & -pour minuit,
& vérifiés par les secondes diíserencps. Les dislancesE p h e pi 6z9de la, lune au soleil & aux étoiles, y sont de trois
îú.tl ?% heurespour tous les jours, soit à Torient,
soit à 1 occident de la lune. Avec cette immense
quantité rie calculs, on peut espérer d’avoir la
longitude sur mer , à un demi-degré près, toutes
les fois qu’on aura observé avec le quatier de
réflexion la distance de la lune au soleil ou à une
étoile : M. Maskelyne , astronome' royal d’Angleterre
, est chargé de Ia direction de cet utile
travail. ■ __ Cette sorte à'éphémérides pour Tusage de la marine,
avoit été projettéeeri France parMorin, sous
le cardinal de Richelieu. Le P. Léonard Duliris,
récollet, publia une éphéméride maritime, en 1655,
en un volume in-folio , qui s’étendoit à vingt ans.
M. Pingté, en 1754,"entreprit de calculer Tétat du
ciel , dans lequel il donna, pour Tusage de la marine,
les longitudes & les latitudes de la lune pour
midi & pour minuit , les ascensions droites, lés
passages au méridien, les mouvemens horaires , &c.
il a continué jusqu’en 1757 ces calculs qui sont
immenses pour un seul astronome , & dont on
paroissoit dans la marine ne pas faire assez d’usagé
pour dédommager 'Taflronome du sacrifice de son
tems -y mais le gouvernement d’Angleterre à compris
qu’U' falloit commencer par offrir ce secours aux
navigateurs d’une manière continue & non interrompue
, quoiqu’il dût en coûter , fi Ton vouloít
espérer de les déterminer à en faire usage. O ri' ne
s’est point lassé de faire cette dépense , & déjà on
en recueille les fruits : Tacadémie royale de marine •de
 Brest fit d’abord réimprimer les calculs du
NauticaLAlmanàc ; jé les insérai dans la connoif-
sance des tems depuis 1774 '■> M. Jeaúrat a continué,
& l’on publie ces éphémérides plusieurs années
d’ayanceporuTutiiité des navigateurs. ( D. L. ) E p ìEPI , f. m. (Hydi). On donne quelquefois
indifféremment le nom d’épis à toutes les digues
dónt Tobjet est de conserver les berges d’une rivière
 ; & c’est en cé sens qu’on appelle épis , le
long du Rhin, les revêtemens enfaícinage, construits
fur les bords de ce fleuve. Mais les épis proprement
dits,( sont des bouts- de digues , destinés
à modifier le cours d’une rivière , de sorte qu’elle
se rétablisse comme d’elle-même dans son premier
état, en détruisant lés áttérissemens , & en .remT
plissant les affouillemens que Tirrégularitë de la
rapidité du courant y ont formés. Voyez l’article
DlGUÉ , &- les recheches de M. l’abbé Bojfut& de
M. Viallet ysur la construâion li plus avantageuse
des digues.ÉPI DE LA VIERGE ,fpica Virginis, (Afimnom.) ■
est une étoile de la première grandeur, qui est
dans la constellation de la Vierge. Voyez ETOILE.ÉPICYCLE, f. m. (Astronom.)  cercle dont le
centre est dans la circonférence d’un autre cercle,,
gui est censé le porter en quelque manière,. ;Ce mot est formé des mots grecs, « »', supra,
fur , & dc"« M>>-, cercle , comme,fi l’on disoit
cercle sur cercle.Les anciens astronomes ernployoient un cercle
excentrique pour expliquer les irrégularités apparentes
du mouvement des planètes , & leur différente
distance rie la terre ; & ils faisaient ufage.
d’un petit cercle pour expliquer la seconde inégalité
ou les stations & les rétrogradations des
planètes. Ce cercle , qu’ils appellerent épicycle,
avoit son centre dans la circonférence du plus
grand, qu’on appelle déférent. Tel est le cercle
AGP, (planches d’Astr. fig. .9 z.)  dont le centre
F se meur fur la circonférence FKML de Texcentrique
ou du déférent ; cet épicycle emporte avec
lui la planète, dont le centre se meut régulièrement
dans la circonférence de Y épicycle ; elleparoît
aller suivant Tordre des signes , lorsqu’elle
est dans la partie inférieure P de Y épicycle , & /
paroît aller contre Tordre des signes lorsqu’elle
est dans la partie supérieure A. ' ,Le pointai le plus haut de Yépicycle s’appelle
apogée de Yépicycle , & le point P le plus bas s’appelle
périgée.Quoique les phénomènes des stations & rétrogradations
des planètes s’expliquent d’une manière
bien plus naturelle dans, le système de Copernic ,
- on ne peut disconvenir que la rrianiére dont Ptolemée
les a sauvées né soit ingénieuse : mais â
mesure qu’on découvroit des inégalités , il falloit
mettre épicycles fur épicycles , des épicycles variables,
sujets à des augmentations & à des décroisse-mens
 perpétuels , & différemment inclinés à Y écliptique
 ; celâétoit utile lorsqu’on ne çonnoissoit pointles
causes de ces inégalités , & qu’il ne s’agiflpit
que de les représenter ; mais aujourd’hui il n’en eff
plus question.Quoique les 
que la tarse se meuyoít dans une ellígse ;.&'§« £
épicycles des planètes, imaginés
par Ptolemée, soient ajourd’hui entièrement bannis,
de l’Astronomie , cependant quelques 'astronomes
modernes s’en font servis pour expliquer
les irrégularités du mouvement de la lune ; ínais.
n’ont pas prétendu que la lune parcourût en efsec
lá circonférence d’un épicycle, ils ont seulemenE 1
dit que les inégalités apparentes du mouvement de
la lune étoient les mêmes que st cette planète se
mouvois dans un épicycle. Machin, dans un ouvrage
sort court, qui a pour titre , the laws os
moon’s motion, les loix du mouvement de la lune ^
faisoit mouvoir la lune dans une ellipse dont le
petit axe est la moitié du grand r tandis que Le
centre de cette ellipse décrivoit d’un mouvement
uniforme un cercle autour rie la terre , la lune se.
mouvoir dans l’ellipfe, d e manière qu’elle y parcou■
' rbit des aires proportionnelles aux.tems. Mais:
Clairaur, dans un mémoire imprimé parmi ceux
de í'aeádémie, en 1743, soutint qu’on ne pouvofc
représenter par cette supposition les mouvemens ;
de hvlitne. Halley fupposoít,. comme HorocciusBí4o epi epile centre de cette ellipse étoit dans un épicycle
dont le centre se mouvoit- uniformément autour
de la terre : il a déduit de ce .mouvement les
inégalités "qu’on observé dans la vitesse de Tapogée,
& dans Texcentricité de Torbite de cette planète.
■ Voyez LUNE , Evection. Dans un mémoire de
Godin , imprimé parmi "ceux de Tacadémie , en
1733 , cet astronome cherchoit à développer- cette
théorie , & à donner les loix du mouvement apparent
des planètes dans les épicycles. Lorsqu’on ne
cherche qu’à connoître les apparences , & à construire
des tables , il importe peu , dit Thislorien
de Tacadémie , quelle hypothèse qu’on choisisse,
pourvu que cette hypothèse sauve routes ces appa•rences
, & que ces tables les représentent. De plus,
•les satellite s de Jupiter & de Saturne ont , par
rapporta nous , .des apparences de mouvemens ,
■semblables à celles que doivent avoir les planètes
dans le système de Ptolemée : la terre & lune,
vues du soleil ou de quelque, autre point du système
solaire , sont aussi dans le même cas ; c’est pourquoi
la théorie des épicycles peut être de quelque
utilité. La nutation se représente encore par un
petit cercle de même'espèce que les épicycles ; en
général toute inégalité périodique peut- se représenter
par un épicycle. (D. L.) É PIC Y C L OID E , f. "f. en Géométrie, 1 igné. courbe , qui est engendrée par la révolution d ?unpoint dé la circonférence cl un cercle, lequel semeut en tournant fur la partie convexe ou concaved’un autre cercle.Chaque point de la circonférence d’un cercle
qui avance en droite ligne fur un plan , tandis
qu’il tourne en même tems fur son centre , décrit
une cycloïde. (voyez CYCLOÏ.DE)  ; & si le cercle
générateur, au lieu de se mouvoir fur une ligne
droite , se meut fur Ia circonférence d’un autre
cercle , ou égal, ou inégal à lui, lá courbe que
décrira chacun des points de fa circonférence s’appelle
épicicloïde. ' - - -Par exemple , fi une roue de carrosse Touloitsur
la circonférence d’une autre roue , la courbe que
décriroit un des clous de cette roue seroit uneépicycloïde.Si le mouvement progressif du cercle roulant
est plus grand que Ion mouvement circulaire ,
Y épicycloïde est nommée alongée, & accourcie s’il '
est plus petit.Si le cercle générateur se meut fur la convexité
de la circonférence , {'épicycloïde est. nommée supérieure
&. extérieure ; & s’il se ment fur fa concavité
, on Ia nomme épicycloïde inférieure ou intérieure
 ; on appelle base.de Y épicycloïde la partie
de cercle fur laquelle se meut le ceicle générateur,
tandis quil fait un tour entier. Ainsi (Planches
Géométriques , figure 6 ?.) , D R est la base de
épicycloïde, Ffonsommet , VB son axe, DP V
la morne de {'épicycloïde extérieure produite par
tórévolution du demi-cercle VLB, qu’on appellecercle générateur, furie côté convexe de 13
base. ■ _ '-….On trouvera dans les tranfact.philofoph. n. i8 , Sedans
les infiniment petits de_ M. de l’Hopital, les démonstrations
des principales propriétés de Yépicycloïde
, fur-tout ce qui concerneles tangentes de ces
courbes , leurs rectifications & leurs quadratures.
M. Nicole a aussi donné fur Ia rectification des
épicycloïdes alongées & accourcies un. excellent ,
mémoire dans le vol. de l’académie de i j 08. ■Le volume de 1732 de la même Académie,
renferme plusieurs écrits de M M. Bernoulli- ,
Maupertuis , Nicole , & Clairaur , fur une autre
espèce à'épicycloïdes ; appellées épicycloïdes sphériques.
Ces’ épicycloïdes sont encore engendrées,
par le point de la circonférence d’un cercle qui
, roule fur un autre cercle ; mais avec cette différence
que dans les épicycloïdes’ ordinaires le cercle
roulant est dans le mêitie plan que le cercle fur
lequel il roule ; au lieu que dans celles-ci le plan
du cercle roulant fait un angle constant avec le
plan de l’autre cercle. Les épicycloïdes sphériques
ont plusieurs belles propriétés que Ton peut voir
dans les mémoires dont nous ivenons de parler ; .
& dont le détail seroit au-dessus de la portée du
plus grand nombre de nos lecteurs.Nous nous contenterons de tìonner ici en peu
de mots, une théorie des épicycloïdes simples ou
ordinaires.. Cette théorie contiendra le germe d »
tous les problêmes qu’on peut se proposer fur les
épicycloïdes, & facilitera le moyen d’étendre ces
problèmes à des épicycloïdes plus composées.Je suppose d’abord que r sort le rayon du cerclé
roulant ou générateur ■, .& qúè Y épicycloïde soit,
extérieure. Soit x Tare qui a roulé , r le rayon ds
l’autre cercle : il est évident que prenant dans ce
second cercle un arc = i ,"& tirant ensuite Ia
corde de Tare x dans le cercle générateur , on aura
un dés -points de Vépicycloïde. Or, les angles for.
mës par deux arcs égaux dans différens cercles,- ■
sont entr'eux eri raison inverse des rayons de ces cercles.
 Voyez ANGLE , DEGRÉ , MESURE, &C.
Donc il ne s’agit que de diviser un angle en raison
rie r à I, pour avoir un point de Y épicycloïde.Donc, - fi r esta j en raison de nombre ànoaibre,
Y épicycloïde sera une courbe géométrique , puisqu’on
peut toujours diviser un angle géométriquement
en raison de ce nombre à nombre. Voyez
TRISECTION , &c, • •Considérons à présent les deux cercles comme
deux polygones réguliers d’une infinité de côtés .
chacun, mais dont les côté ; soient égaux, en sorts
que ces polygones ne soient point semblables : il est
visible., i.°-que l’angle decontingence du cercle gé- ,
nérateur sera d x ; que Tàngle de""contingence del’autre sera—[voyezPOLYGONE & COURBE) :.Z.°que pendant le roulement où T application d’un côtéinfiniment petit du cercle générateur fur le côté• cçurespondani
■JJLM ;E.PI Mi
correlpondant de l’autre , une des-éxtrémìtés dé-la \
corde deTarcic: pourra être régardée comme fixe, '
& que l’autre décrira un arc de cercle qui sera lepe- i
tit côté dé Y épicycloïde : 2. 0 que la tangente de Y épi- '
çycloïde ( voyez TANGENTE ) fera par Conséquent
perpendiculaire à la .corde de Tare x dans le cercle
générateurs 4. 0 que le petit côté de YépicycloïdeSera{'« ** 4- H ) X'xord:- * -z=,d-:x X 1 fin.' XX
J ——. J.', donc Tare total de Y épicycloïde sera^ ~r~ J X 2- X ( : 1 — cos. ~ J, voyez SINUS :'5.^ que l’élément dé Taire de Y épicycloïde. sera
'égal au petit triangle scalène, dont .dx est la- base
. ^.S ?1^ x un des côtés, plus au rtriangle isoscèlequi a cord. x porir 'côtéy & pour base dx {' ~±. ]a fin. ->" Cela se voit à ■ Toeil par la seule inspection
.(Tune figure. Or íe.premier.de ces élémens est
Télément du cercle, & le secoíîtl est dx í ~-r j'■Z íin ;,^X ^cor^x^dx:fí^^fim.f) '

L^(ii^) X:[4cor,i:+ 'i j ; Voyez
SINUS. ,|Donc Taire de Vépicycloïde est. égale à
Taire du ; cercle, píus à Tintégrale de l%juantité .
précédente ; intégrale.aisée à trouver ; yoy. SINUS ., ;
' INTÉGRAL , & le Calcul intégras de íví,.de Bougain- ,
ville. 6° L’angle," que font ensemble:de'ux côtés i
consécutifs: de Y épicycloïde ,se", trouvera aisément., ,
&. toujours par la'seule'inspection’ dune "figure j
fort simple ; car cet angle est égal, i.° à i^ ' ,
z." à deux angles à la base d’un triangle isoscèle, i'dont l’angle du sommet efi-dxA- — ;c’esl-à-djre, ì■ - • 1 . - - \ '-•: ;-■■■ .-■■ ■ 'i i. ; iïZo-dx-"— : rionc I angle de cont.mgence ;.cst |ÍL -f- d—, Or le rayon oscuìatèúr esl égal 'au côté Jde la courbe, divisé par* Tangle.de: contingence, j
Voyez OSCÚLATEUR & DÉVELOPPÉE.- Donc le jra}-on oscuiateur est égal a 2 _, r '.. .-" .Si on fait r négative dans les calculs précédens,
on aura les propriétés rie l’épicycloïde-intérieurë.
■Si, dans les mêmes calculs, on, fait r = à.Tinfini,
ou aura les propriétés dela cyeloïde ordinaire.On peut encore considérer d’une autre manière
toutes’les e>z'cycso'z'íf£s ordinaires, alongées, aççqurr
cies, sphériques , &c. Au lieu de faire rouler le cer■
cle .générateur ,. il- n’y a qu’à supposer que le centre
de cé cercle décrive une ligne quelconque ,-. &. qu’en
même sems un pojnt.mpbiie se meuve-fur la circonférence
de ce cercle. Par le principe de la-.ç-pmposir
-tion.d.es.ni'puvem’en.s:, on• aura facilement.les ;éléMathématiques.
Tome f f IIe Partie.(inéns de i'épicycloïde: ; Y épicycloïde fsefá, siiriple ou
ordináife.^, c’est-à-dirè, ni alongée ni àccóurcie,
•si. Tare détrit par le centre , pendant que le point
mobile décrit la circonférence ,. est à cetté circonférence
comme ;■ -f- 1 est à r. .
Nôus_ n’enjdirons pas davantagesur cet article. II
nous fussitd’avoir mis ici en quelques lignes tout le
traité des épicycloïdes , d’une manière assez nouvelle
à plusieurs-égards., & fourni àux'commençans-, &
peut-être à des géomètres, plus avancés, une occasion
de ,'s’exercer. j .,.■■.' .-:- " 'M. deMaupertuis, dans les mémoires de l’ac’ad. de
z7 i-f, a examiné Jes figures rectilignes- formées par
le roulement d’un polygone régulier fur une ligne
droite., .&. il en a riéduit : d’une manière, élégante
les dimensions de la cyeloïde. Po.urgénéraliser.fa
théorie j-.supposons que le roulement du polygone
se fasse à Te.xtérieur: fur un.autre, pplygone régulier-,
dont.les côtésfoieut égaux à ceux du polygone roulant
:  ;iT: est aise de voir par tout ce qui a été dit cidessus
, i.° que la. figure rëctiligné formée ainsi,
sera égale à Taire du polygone roulant, plus à un
triangle isoscèle qui auroit i.pour côté, & pour
angle au sommet.là,somme des angles, extérieurs
ries deux "polygones , ce triangle, étânt multiplié,
. par la moitié de la-somme des quarrés des cordes du
polygone roulant.: or on a dans leliv… X\ des-'feóxions
.coniques Ae. M.. ;de" THôpital ',. une rnéthode
fort simple pour trouver la somine de ces .quarrés.
z:° Le contour de la figure sera égal à Ia corde' de
. la.somme des. angles .extérieurs multipliée par la
 ; somme des cordes du polygone roulant : .or *\x a
, dans le même ouvrage & au même endroit , la
'■■ méthode de trouver' la somme des cordes du. poi
ly'gone. 3:°T/angle.extérieur-formé.par"rieux" côtés
i rectilignes consécutifs ded:Y épicycloïde'., est égal à
 ; la moitié de l’angle,aú centre du polygone roulant,
i -plus àTangle extérieurde.Tautre polygone. '
 ! ..Enfin il est visible que cette méthode peut
s’étendre très gisement’.à la recherche des propriétés
'-. de toute épicycloïde formée'par'le roule »
 ! .ment..d’une':còurbe:quelconquesururie autre quel- ;
 conque. (O) i). ', .: ' -"- -. ; - ..'j EPIPEDOMETRIË , f. î. dans les Mathéma'\
.tiques , signifie.la mesure des figures qui s’appuient
I fur une même iase. Ce mot. n’est plus en.usage.
'■■ Harris & Chambers: (E)  - 'EPISTOMIUM ;î,m.en.tersnesd]Hydraulique,
"est un instrument par-,T-appliçatiqn’.duquel Torificè
d’un vaisseau ;  ;pput être fermé ,:át Rouvert ensuite
à volonté •j’jtelSisont le_s pistons-des pompes-, des
seringues^ qui remplissent leur cayité,,& qui peuvent
.à volonté être tirés &-repoussés." ( K) 
■ EPOQUE, (Astronomie.)  On appelle époque ou
racine des moyens mouvemens d’une planète^ le lieu
moyen de cette'.planète,' déterminé pour quelque
■ instant niarqué , afin de pouvoir ensuite , en comptant
depuis cet instant, trouver lé lieu moyen de la
-planète, ppur.un autre instant: quelconque.Les époquésiries Tabies Astronomiques sout.pour
M m m m
*4i E Q U E,Q.U
le midi qui précède le premièr^jour de Tannées ;
à moins que Tannée ne soit bissextile,'c’esl-à-diie, .
pour le 51 décembre de l’annèe précédente', -en ■
-forte qu’à midi du premier janvier, on compte '
déja un jour complet, ou vingt —quatre heures
écoulées. Ainsi , quand on trouvé dans les Tables
astronomiques, au méridien de Paris, Yépoque de
la longitude moyenne .du-soleil.-en ; r7,co , de 9
signes"10 degrés7minutes -ì9 secondes ; cela figni- ■
-fie que le 31- décembre 3699, à nûdi moyen- à
Paris-, la longitude moyenne du soleil, c’est-à-dire-,
fa distance au premier point à'arìes, en n’ayant
égard qu’à son mouvement moyen, étoit de 9^"
io° 7' 19", & ainsi des autres. On a choisi , Je -,
31 Décembre, pour faciliter un peu le calcul des
jours de Tannée.L’époque une fois bien établie, le lieu moyen pour
 un instant quelconque, effaiséà fixêr par une
-íimple règle de trois. Car pn dira : comme une ;
année ou :\6r -jours est au tems écoulé depuis ou |
avant Yépoque ; ainsi, le mouvement moyen de la '
planète, pendant une annép^est au mouvement •
cherché, qu’on 1 ajoutera à Yépoque , ou qu’on en
retranchera. Toute la difficulté se réduit donc à  ;
bien fixer Vépoque , c’esl-à-diré , - le lieu moyen
pour un tems déterminé. Les époques des planètes- ;
•se -déterminent ordinairement avec le' lieu de Taphé- :
lie & l’excentricité, par lé moyen de trois observations.
* .On trouvera au mot Planète, -une table des ,
époques de chaque planète, avec les autres élé- :
mens de leurs orbites. ( .D. i.') 
: ,E-:Q. U ' . ;■
EQUANT ,.( teime de Vancierme Astronomie ) -
c’est le cercle qui est plâcé, de manière que le mouvement
d’une planète soit uniforme autour du centre
rie ce cercle. Gest donc, un cercle que l’on/ imagine
décrit du point d’égalité, .ou du centre des
11103'ens mouvemens, qui:, daris Thypothèse des ':
anciens, étoit au-dessus du "centre du déférent, !
autant que le centre de. la terre étoit au-dessous. :On rien fait plus d’usage aujourd’hui ,'riepuk
que Kepler à banni les excentriques, "& a démontré
que les planètes se mouvoient dans desellipses dont
lesoleil.occupoit.le foyer. Foye^pEANÈTEs. : IÉQUATEUR ,.f. m. en-Astronomie & en Géographie
, est un grand cercle ; de ìa sphère, autour ■■
riuquel se fait le mouvement diurne ; il est étalement
éloigné des-deux pôles-du mpnde & ses
pôles font les mêmes que ceux du monde.. :Ce cercle est représenté ; dans h figure première i
des planches d’astronomie ! On le nomme équateur
ou équinoxial, parce que, quand le soleil ■ est dans ee
 cercle, il y a égalité entre les jours & les nuits :
quand il est tracé fur les cartes géographiques,
on Tappelle la ligne équinoxiale, QU simpleihent làhgne.
_ • : .(Chaque point de Y équateur est éloigné d’un quart ì
de cercle des poses du monde ; d’où il .fuit que | -: Yéqúathir. divise là sphère en deiix hémisphères ;,
daris l’un desquels est le pôle septentrional, & dans, ;
l’autre , lé pôle méridional. ; .-. ;' :•- . 'L’équateur terrestre coupe la zone torride par le
milieu ; le soleil décrir ce grand cercle le 20 mars,
.premier jour du printems , & le 22 septembre ,
.premier jorir de Tautomne : ainsi, il y revient deuxfois
par an. Les peuples qui habitent sous la ligne ,
ont-pendant-toute Tannée les jours égaux aux nuits.
Car Thorizon de ces peuples passe par Taxe de la:
"terre,- & est perperidiculaîre à -tous■ les cercles parallèles
à Y équateur , dont le soleil décrit .ou paroît
d’écrire un chaque jour : d’-óù il s’ensuit qu’une
■- moitié rie ces parallèles est au-dessus de Thorizon
dés habitans de Y équateur ,, &. l’autre moltié ;audéssous
.-..ainsi, ils ont précisément autant de jour
que-dë riuit, si ce n’est quéle cfépuscule du matin
'& du soir- peut ; augmenter un peu. leurs jours &
 ; 'diminuer leurs nuits/Les" longues nuits sonttrèsi
nécessaires dans ces., climats-.,- dont le-.soleil-ne
s’éloigne jamais de plus de'23 degrés \ ;"désorte
1 que quand il-est-ífe plus éloigné du zënit des haibitans
dé l’équateugg. il-esl. .enepre . plus pr.ès qu’il
 ; rie Tefl /de riotre'zeriît" le jour.' du solstice"d’été 1
car il esl alors : éloigné de plus de 2,5 degrés du ;
' zénit de-Paris.""'Of~cpnihìe=lâ"'" longueur ries’jours
& là brièveté des nuits est. une.^des causes de la.
chaleur, j il s’ ;eníuìt’ que -la jchaleiir: de-Y'equ’ateur
n’est pas à proportion aussi-grande qu’elle 'devroit
: Terre •-,. eu égard à la position du soleil.. II y a
: même dfeis ces climats , ;des.pà3'squijouissentd’une
chaleur'modérée, & pour ainsi dire,.-d’un prin"tems
-perpétuel’ "..tels . sont certains endroits du
'Pérou,.'qtii" font élevés .au-dessus du-niveau de la
mer t le haut des montagnes, y est áuffi excessivement
froid , comiriê iT arrive par-tout ailleurs..
'-Hauteur de V équateur , est un arc d’un cercle,
vertical, qui est compris entre Yéquateur & Thorizon
 ; eíle-est’à Paris dé 41 degrés 10 minutes..
\ . ''- X'ëléva'tión -dè-1-Vgiíizífzír- ;' avec celle du .pôle ,
est toujours égale à un quart de cercle ; ou , ce
:qui revient au même, Télévàtion:delY{z/íztazr'est
égale à la distance du-pôle au zénit. Cette, élé—
-vation est donc’le complément de la'hauteur du
[ pôle ou de la latitude. :- .C’est autour de Yéquateur que la sphère tourne
chaque jòur, &tous les astres paroiísent se mou■
voir d’orient en occident,, parallèlement à Yéquaiéur..
Ainsi,. les portionsi Téquateur sorit la mesure
naturelle du tems. '' .'--■■'On’ appelle tems ;, de V équateur Ou -te ms’ du premier
mobile ,[ celui, qui se compte ià raison rie 15
degrés par hêure.' Quand le soleil" est. éloigné du
méridien’de 15=", il est une heure ; quand iT est
éloigné de 100"degrés, il’est 6^ 40' ; parce que.
-le mouvement diurne se faisant uniformément sur
Yéquateur , il passe réguliéreriient au- méridien à.
chaque herire, la vingt-quatrième partie de la circonférence'entière
'de l équateur : aussi le tems
vrai,.ou Tlíeure vraie, dans lê sens précis & exactïïQU e q u: £45•de Tastronomîe, n’est autre chose que. Tare de Yéqua- j
teur, compris entre le méridien :& le.cercle: de. j
déclinaison qui passe -par lë soleil , converti-en
tems, à raison de i<jd par heure. Le plus souvent,
à la place de cet arc de Yéquateur, on substitue
l’angle au pôle mesuré pat cet arc , & que Ton
appelle angle horaire : on prend cet angle horaire
à la place de Theure même, c’est-à-dire, qu’au lieu
d’une heure, on met 15 degrés, & au lieu de deux
heures 30 degrés, &c. ' ,
 ; Le mouvement diurne qui s’acheve en vingtquatre
heures , & par lequel 360 degrés de Ia
Iphère traversent le méridien, étant subdivisé en
vingt-quatre parties, chacune vaut une heure, &
répond à 15 degrés, car 15° sontlavingt-quatrième
partie de 3Ô00 ; en-continuant de subdiviser, on
pourra trouver de même les parties du tems qui
répondent aux parties du. cercle ;.un degré vaudra
4 minutes de tems ; une minute: vaudra 4 secondes ; en
 général, il suffit dé prendre le quadruple des
minutes de degrés, pour en faire: des secondes de
tems du premier mobile, & le quadruple des-degrés,
pour en faire des minutes de tems fur Yéquateur.De même,'pour convertir lerems dé Yéquateur
ou du premier mobile - en degrés , on prendra
d’abord 15" degrés póurxhaque heure, on prendra
lë quart des minutes de. tems, on en fera des de-,
grés ; le quart" des secondes , on en fera des. mU
nutes ; le quart ries tierces de tems ,r Ton en fera
■des secondes de degrés.Ces règles, aisées à retenir & à pratiquer, se
peuvent faire sans le secours des tables ; cependant
on trouvera des tables propres à faire-eês conversions
de tems en parties de- Yéquateur, & des.
' parties de Yéquateur -,■■ en tems/, dans la Connois-i
Jance des tems, &C.
' La conversion riu tems eri parties de Yéquateur,
est différente de la conversion « h tems solaire
moyen,'dans laquelle on prend 3600 59' 8" pour'
vingt-quatre heures, ou 150 2' 27"-^ pour chaque
heúre ; c’est Je nombre des parties rie Yéquateur y:
qui passe par le méridien , pendant la duréé desheures
solaires , marquées- par une pendule, du ;
moyen mouvement ;- quand cette pendule a-fini
ses vingt-quatre heures ,• -il a passé, non-seulement
36od de Yéquateur, mais encore.-les 59' 8" que Je
soleil a parcourues en sens contraire, & qui doivent ;
passer par le méridien pour que lc soleiTy arrive.'.Daris la recherche des. longitudes, connoissant
la différence des heures entre deux lieux, par sefneyen.dés
éclipses .delune ou'des satellites de
Jupiter, ou des dislances observées "entre la lune
& ses étoiles, on connoít tout de fuite de combien
de degrés les méridiens de ces lieux, sont
éloignés l’un de l’autre. Par exemple, s’il est une
heure 46' à Constantinople , lorsqu’il, est midi à
Paris, on voit que le soleil passe'^u-méridien"de
Paris, une. heure'& 46'.-aprèsTe méridien de Constantinople','
& que par conséquent,- le fnéridien de ;
Paris est plus occidental de z6 degrés 30'., quecelui de Constantinople. < Voyez LON.GITUD E.
Les planètes qui. tournent fur leur P.xe, aussi
bien que la terre, ont aussi leur équateur, & leurs
pôles. L’équateur du soleil se détermine par le
moyen de ses taches ; il est incliné de 7" \ fur
Técliptique, & il là coupe à 2S iSa de longitude.
Voyez SOLEIL , TACHES , ROTATION. (D. L.) -EQUATION , f. -f. en Algèbre , signifie taie
expression de la même quantité présentée sous deux
dénominations-différentes. ' '■■'<.:Ainsi, quand on dit 2X 5 = 4+£', ce'a veut dire
qu’il y a équation entre deux fois trois & quatre
plus deux. - -On peut définir l’équation , u'rirràppórt d’égalité
' entre deux quantités de différentes dénominations ,
comme quand on dit ò"ó sous = g'-livV ; où. 20 sous ■= i.liv. onb — ÍZ-4- c:, ou .12 ==^-— >.- &c: '.Ainsi ".,'. mettre ries quantités. en équation , c’est
représenter,. par urie double expression, des quantités
réellement égales & identiques.Le caractère, ou.le figne dV<7z« zíz'o7z-est:=ou 00 ;
çë dernier est plus fréquent, dans les anciens alí-,- 1
gébristes, & l’autre dans lés modernes. '■■ ■'.La résolution des "problêmes-,. par le m’oyeri
de leurs équations ,, estl’óbjet.del’Algèbré. Voyez
ALGÈBRE. ■-:.'" ■"• ".\ .,' .. "--.--■Membres d’une équation : ce sonfles deux quan ?
tités qui sont séparées par le signé = ou 00 ; &
termes d’une équation , cë sont les différentes quantités
ou parties,. dont chaque membre de l’équation
: est composé,,^cKqúi sont "jointes entr'elles paf les
 ! signes 4" &'~-i Ainsi ;, dans .{'équation b ,4 ? ;c.== d ,
 ! b'-\- c est un .membre , ;&-* ? Taútre ; & b ,c, ds
I sont les" termes" ; & Y équation signifie que" là "feule
: quantité d est égale aux deux. 6.&c prises erifernble.
: Voyez TERME, MEMBRE.Racine d’une équation , est Ia valeur de la quantitéinconnue de Y équation. Ainsi, dans Y équation a7- -fJP==-a:z- ;~ ía.racine est \/ a1 -+-:i\ Voyez RACINE.■ Les équations , eu., égard à la puissance plus oumoins v grande , à laquelle Tincônnue y monte , ;se divisent en équations simples , quarrées, cu ;biques, &c. : - 'Equation simpleou:du premier degré, est-cèlle, dans-laquelle Tiricónnue ne monte qu’à la première ; puissance QU au premier degré , commex=a -f-é.: ^ Equationquarie'e ovcdu.fecond^degrc-, est ce-ile-où.. la plus haute puissance de Tincônnue est de-deuxdifhenfions ,. cornrné xz:.== à* ^ t> - fou x ? -f- â x' r=.bb. Voyez QUARRÉ & DEGB.É.: Equation cubique ou du troisième degré, est celleoù la plus haute, puissance de- Tincônnue ' est detróis dimensions, comme .T 3 = a3 — b'' ou xy- -£-a^x-\-hbx-=cK Voyez CUBIQUE-. -Si la quantité inconnue-est de quatre dimensions-, 1
comrne'í 4 -=:a' -^ b'' ou x*~-{- âx~-'-\-b=x ==<■-*,
l’équation eûappellée biqUadratiqáe ou quairée qùdr—
rie.)  ou plus communément du: quatiième degré $
■Mmmmij,44 equ _ equsi Tincônnue a cinq dimenlions, Y équation est nommée
surde-soV.de , ou du cinquième degré , &c. -rei-sí PUÌSSANCE. ,'.'/-- ,- Òn peut considérer les équations Ions deux
points de vue -, ou comme les dernières conclusions
auxquelles on .arrive dans la solution des
'problèmes, ou comme les moyens par lesquels on
parvient à la solution iìnale. ; Voyez SOLUTION
& PROBLÈME. ■ ■ ■ . - .Les équations de Ia première espèce ne renferment
qu’une quantité inconnue mêlée avec
d’autres quantités données "ou connues ; celles de
la seconde espèce renferment différentes quantités
inconnues qui doivent être comparées & combinées
ensemble , jusqu’à ce que Ton arrive à une nouvelle
'-équation qui ne renferme plus qu’une inconnue
mêlée, áveç des connues.Pour trouver la valeur rie-cette inconnue,"on.
prépare & on transforme l’équation de. différentes
hianières,' qui servent à Tabaisser au moindre
degré , & à la rendre la plus simple qu’il est
possible. . . ,. .■ La théorie & la pratique des équations, c’est-àdire
Ia solution des questions par les équations,.a
plusieurs branchés’oii. parties’. r.°, La .dénprriinanon
qu’on, doit, donner,aux différentes 1, quantités
en -les exprimant par les’signes ou'symboles:con-- :
- vënables. z." .La réduction du,problême en équation.
3. 0 La réductiori de {'équation même 'au de- ■
gré le plus bas, & à ,1a forme la plus simple.. :
4. 0 On y peut ajouter la solution de {'équation ,
ou la réprésentation de ses racines par des nombres
ou des lignes. Nous’allons donnèf d’abord les règles’
particulières aux deux premiers " articles,"" c’est-àdire
én’.général la méthode, de mettre en équation j
une question proposée.Une queffion ou un problème étant proposé, on
suppose que les choses.cherchées,,ou demandées, "
sont déjà trouvées, & ori les marque ordinaire-:
mentpar les dernières lettres a:, y,'z > Sic. de
Talphabet,- marquant eri. même tems les 'quantités.connues
par les premières lettres de Talphabet
comme J, c, d , &c. Voyez QUANTITÉ, ÇA.--3.ACTÈRE,, 6"c. .- …  ! .'.' :..', ;Toutes les quantités qui doivent entrer dans
la quession’, étant ainsi nommées , on examine
si la queslion est sujette à restriction, ou non,
e'esl-à-dire fi elle est déterminée ou indétermi-- "
née. Voici les règles par lesquelles on peut le
savoir. - - -.'■'■_ i.° S’il y a plus de quantités inconnues qu’il
n’y a d’équations données ou renfermées daris la ■
queslion, le problêm-î =st indéterminé., & peut
avoir une infinité de lo.urions. Quand les équa- ]
dons ne sont pas expressément contenues dans le
problême, on les trouve par le moyen des théorèmes
, fur Tégalité des grandeurs. ■ : -,2. 0 Si les équations données v ou renfermées’ t
dans le problême , sont précisément en même i
Eombre eue les quantités inconnues, le problêrnë J rest déterminé, c’esl-à-dire, n’admet quun nóiribrè ; ' de solutions limité.3. 0 S’il y a moins d’inconnues que d’équations-,: le problème est plus que déterminé , & on découvre
quelquefois qu’il est impossible par les còn ;trádïclions qui se trouvent dans les équations. Voyez1 DÉTERMINÉ. (Maintenant, pour mettre une question en équation
, c’est-à-dire, pour la réduire en différentes
équations médiates , par lé moyen desquelles ori
puisse parvenir à une équation finale, la principale
chose à laquelle on doit faire attention , c’est d’exprimer
toutes les conditions de la queffion par autant
d’équations. Pour y parvenir, il faut examiner
si les propositions, ou mots dans lesquels la question
est exprimée , peuvent être rendus.par des
termes algébriques, comme nous rendons nos idées
ordinaires çri caractères grecs, latins ou françois, &c.
Si-cela est. ainsi , comme il arrive généralement
- dans toutes les questiojis que Ton fait furies.nombres
ou fur les quantités abstraites, en ce cas, il faut
donner, des noms aux quantités inconnues & connues,
autant que la question le demandé , & traduire
ainsi,- en langage algébrique , r le sens de la
 ; question,. Ces conditions.,, ainsi traduites,,. donne-r:
rorit autant d’jéquations que le problème peut ën.
: fournirì On a .déjà donné au mot ARITHMÉTIQUE'
UNIVERSELLE,, uil exemple de cette traduction,
, d’une question, en langage algébrique.Donnons encore un. autre exemple. Un marchand
augmente tous lès ans’son bien d’un tiers, en ôtant.
100: liv. qu’il dépense,par an dans sa famille ; aubont
de trois ans, il trouve,son bien doublé ;,on,
demande -.combien ce. marchands avoit de bien au.'
 c’pmmenceriient de ces. trois ans. Pour -réfoudre,
cette question , il faut bien prendre garde aux différentes
propositions quel le renferme, & qui four,-"
 niront les équations, suivantes. .,.-.•'En langage órdî- . Algébriquement.
naire, un marchand. ". ": ,- ' .a un bien dont .il ■■■•■ x > : , ; ■dépense la première -. -.•>.■■"'.année 100 liv. .: ; x —100. . ,Et augmente le ■" . -x_ IOO- ^ S.reste d un tiers. x ~ IO° 4 ou—ì-« ;3 3Lasecondeannée 4*-400 "41 — 700^ il dépense roo liv. ~~ ~ I 0° ou —^—'•: Et augmente lë 4Z-700 , 4r-7oo t.ex-iSáo '
reste d’un tiers. : T"+——°u ,„. -La.troisième an- 16^-2800 - ií.z-3700née il dépense ioo,l. ; J^~ ~ IO° ou ~~~7f~ ■>.Et augmente le i6x— 3700 , 16x—3700
reste d’un tiers. s r í ? °tt642: —14800Et au botit des
trois ans, il est deux 64 x — 14800' __
sois plus riche qu’il "" 2.7 '" ■—Xx*
n’étoit, 'La question se réduit donc à résoudre cêtte équation64 x—14.800-■- - .= i'x, par le moyen de laquellePn trouvera la valeur rie 'x de la manièrë'suivante.On multipliera Y équation par 27 , & on àura
64 * — 14800 = 54 x ; on ôtera de part &
d’autre 54 x /& on aura lor— 14800=0., ou
10-a: = 14800 ; divisant par.,1.0, il viendra x =
1480. Ainsi, ce marchand avoit 1480 livres de
bien. . ■II résulte de ce que nous venons de dire, que
pour résoudre les questions qu’on propose .fur les
nombres , ou .fur les quantités abstraites, il ne
faut presque que les traduire du langage ordinaire,
en langage algébrique , c’est-à-dire en caractères
propres à exprimer nos idées fur les rapports des
quantités. II. est vrai-qu’il peut arriver quelquefois
que lé discours dans lequel l’équation est proposée,
ne puisse être rendu algébriquement ; mais en y
faisant quelques petits changemens, & a) 'ant principalement
égard au sens, plutôt qu’aux mots, la
traduction deviendra assez facile ; la difficulté, qui
peut se rencontrer dans cette traduction , vient
uniquement de la différence des idiomes, comme
dans les traductions ordinaires. Cependant, pour
faciliter la solution de-ces sortes de problèmes,
nous allons en donner un exemple ou deux.i.p Etant données lá somme a de deux nombres,.
& celle b deleurs quarrés, trouver ces d eux nombres ?■
..Supposons que le plus petit de ces nombres soit a:,
l’autre sera .a— x, &les quarrés íeront x x, tkaa—
zax-\-xx, dont la différence est a a — z ax ìcmi
doit être égale ab ; donc a a — 2 ax = b ; donc á a <—
i '-. ■ B áa—b - '' - - ■■J-- z a --Supposons, par exemple, que la somme des
nombres -ou la quantité' a soit = S, S: que la différence
de"s quarrés soit 16, alors - 2a ■ ou - —b ""— sera 4-^1 =A =x, & on aura a-r-x~y,
donc les nombres cherchés sont 3.8t. 5. VoyezDlOPHANTE.2.° Trouver trois quantités x , y, z, dont on connoiffe
la somme , étant prises deux à deux. Supposons
que la somme de * & dey soit a , que celle de
x & de3 soit b, & que celle dey & de. ? soit c, on .
aura les~trois équations a: -j- y = 2 5 x'-\-l—f> >y + ï
 = c  ; pour-chaffermaintenant deux des trois quantités
x , y, z > par exemple, z & y > on aura Par Ia
première & pari aseconde équationy = a — x &?=
'b—.x ; on substituera dans la troisième équation ces
valeurs au lieu de y & de ?, & Ton aura a— x -f
b-x = c, & * = a~J ?-^-i.x étant trouvée,on' ■ ■ z 'aura y, z par le moyen des équations y-=a-y &
í = 6 - x.'_Pat exemple, si la somme de x & de y est 9, celle
de a: &de ?,. ió, & celle dey & de z> 1,3 j "dans les
valeurs de x, y & í ; on écrira 9 pour a} iopour b, & 13 pour c, & on aura o--^-b-e = 6 ;
par conséquent x ou ——^= - = 3 ; y oua-x= é , & ? OU 6 ~ a: = 7.3. 0 Diviser-une quantité donnée en un nombre
quelconque de parties, telles que les différences des
plus-grandes fur les plus petites, soient égalesàdes.
quantités données. Supposons que a soit une quan-*
tité que Ton propose de diviser en quatre parties ,
telles que la première & la plus petite soit x ; que
Texcès de la seconde fur la première soit b ,. celui
de la troisième soit c, & celui de la quatrième d :.
.r-f-1.sera la seconde partie, x-\-c la troisième,
x --j- d la quatrième , & la somme 4 x -J- b -f- c -J- d
de toutes ces parties sera égale à a. Retranchant b -^-
c -j- d de part & d’autre, on aura 4 x = à - b - c~d &a — b — c — d*= . ••- " 4 ' , r ■Imaginons , par exemple, qu’on propose de diviser
une ligne de vingt pies en quatre parties., de
manière que Texcès de la seconde partie fur la première
, soit de 2 pies, celui de la troisième de 3 pies ,
& celui de lâ quatrième de 7 pies, on aura* oua—b—c—d . 20—2—3—7 __ g ,-,-———-——r-—---i>x+h= 4, x 4- c = 5 ,. & ÎT 4" ^= 9- Os Peut so servir
de la même méthode pour diviser une quantité
donnée en un nombre quelconque de parties , avec
des conditions pareilles. '" "' 4. 0 Une personne voulant distribuer, trois sous à
un certain nombre de pauvres, trouve qu’il lui manque
huit sous ; ainsi, elle ne leur donne à chacun
que deux sous, & elíe a trois sous de reste. On demande
combien cette personne avoit d’argent., &"
combien il y avoit de pauvres ï Soit a: le nombre
des pauvres ; & comme il s’en faut huit fous qu’ils
_ne puissent avoir trois sous chacun, Targent est
donc 3 x — 8 , dont il faut ôter zx, & il doit
rester 3 ; donc 3 r —8—ii.= 3,oua:= 11. .
5.° Le pouvoir óu Tintertsité d’un agent étant donnés,
déterminer combien il’faut d’agens semblables
pour produire un effet dónné'íz daris un teins donné
b. Supposons que Tagent puisse produire dans le
tems d Teffet c, on dira comme le tems <íest au tems
b , ainsi. Teffet c que Tagent peut produire dans le
tems d, est a Teffet qu’il pëut produire dans le temsb, qui sera par conséquent —. Ensuite on dira,
cômme Teffet —- est à Teffet a, ainsi un des agensd -,est à tous les agens ; donc le nombre des agëns sera~. Voyez RÈGLE DE TROIS.Par exemple, fi un clerc ou un secrétaire transcrit
quinze feuillés eri huit jours de tems, ou demande
combien il faudra de clercs pour transcrire 405 feuilles
en neuf jours ? Rép. 24. Car si on substitue 8 pour
d, 15 pour c ,405 pour a, & 9 pour J, le nombre-£ deviendra 4f^ , c’est-à-dire ^ ou 24* '
<?4í -EQ« EQU__
6.° Les puissances de différens agens étant don- ,
nées déterminer le tems x dans lequel ils produiroientun
effet donnée, étant jointes ensemble. Supposons
que les puissances des agens A, B ,C, soient,
telles que dans les tems e,f,g, ils produisent les
effets a, b , e ; ces agens dans le tems x produiront. -. ax bx ex , ox , bx . exles effets —) -jy g • on aura donc-^- -f j + yImaginons, par exemple, que trois ouvriers finissent
un certain ouvrage en différens tems. Par exemple
, a une fois en trois semaines, b trois fois en
huit semaines , & c cinq fois en douze semaines,
on demande combien il leur faudra de tems pour
finir le même ouvrage, en y travaillant tous en.
semble ; les puissances des agens sont telles que dans
les tems 3 , S , 12 , ils produisent les effets 1, 3,5,
& on veut savoir en combien de tems ils produiroient
Teffet 1, étant réunis. Aulieu de a, b, c ,d, e,
f, g, on écrira 1, 3, 5,1,3, 8, íi, & il viendra x—% , , _,—T onl c’e semaine, c’est-à-dire, sixT 4" "8 T TTjours cinq heures & -j- d’heure pour le tems qu’ils
mettroient à finir Touvrage proposé.7.° Etant données les pesanteurs spécifiques de
plusieurs,choses mêlées ensemble, & la pesanteur
spécifique de leur mélange , trouver la proportion
des ingrédiens dont le mélange est composé. Supposons
que e soit la gravitéjpéeifique du mélange A -jB,
a celle de A , & b celle de B ; comme la gravité
absolue ou le poids d’un corps est en raison composée
de son volume &'de sa pesanteur spécifique,
a A sera le poids de a, & b B celui de Z ?,>&
à A 4- bB sera = e ví + eB ; donc aA — eA
= eB—bB,&.a — e:e—b::B:A.Supposons, par exemple, que la pesanteur spécifique
de Tor soir 19 , celle de Targent x'o'j-, & celle
d’unecouronne composée d’or & d’argent 17, on aura
A:B::e — b:a — e ::'■/ j : 2 :: 20 : 6:: 10:3 ;
ce fera le rapport du volume de Tor de la couronne
au volume de Targent: & 190: 31 ::iç) X 10 •to\X y-- a X e — b:b X a — e ; ce sera le rapport
du poids de Tor de la couronne au poids de
Targent : enfin 221: 31, comme le poids de la couronne
est au poids de Targent. Voyez ALLIAGE.Pour réduire en équations lés problêmes géométriques
, on remarquera d’abord que les questions
géométriques ou celles qui ont pour objet Ia quantité
continue, se mettent en équations de la même
manière que les questions arithmétiques. Ainsi, la
première règle que nous devons donner ici, est de
luivre, pour ces sortes de problêmes, les mêmes
règles que pour les problêmes numériques.Supposons, par exemple , qu’on demande de
couper une ligne droite A B (Planche d’Algeb. « g. 6.) 
en moyenne & extrême raison en C ; c’esl-à-dire detrouver un point C, tel que B E quarré de la plus
grande partie soit égale au rectangle B D fait de
la ligne entière & de fa plus petite partie.Supposant AB — a, & CB =a.-,onaura^C=
a — ,r,&arar=a (a — x)  ; équation du second
degré', qui étant résolue, comme on Tenseigneraplus bas, donnera x = — \a'\\/ \aa.Mais il est rare que les problèmes géométriques
se réduisent si facilement en équations ; leur solution
dépend presque toujours de différentes positions &'
relations de lignes : de forte qu’il faut souvent un
art particulier & rie certaines règles pour traduire
ces questions en langage algébrique. II est vrai que
ces règles sont fort difficiles à donner ; le génie
est la meilleure & la plus sûre qu’on ait à suivre,
dans ces cas-là.On peut cependant en donner quelques-unes ;
mais fort générales, pour aider ceux qui ne font
pas" versés dans ces opérations : celles que
nous allons donner sont principalement tirées de
M. Neuton.Observons donc , 2. 0 que les problêmes concernant
les lignes qui doivent avoir un certain rapport
ses unes aux autres, peuvent être différemment
envisagés, en supposant telles ou telles choses
connues & données, & telles ou telles autres inconnues
 ; cependant, quelles que soient les quantités
que Ton prend pour connues, & celles qu’on
prend pour inconnues ,"Tes équations que Ton aura
seront les mêmes quant au fond , & ne différeront
entr'elles que par les noms qui serviront à distinguer
les grandeurs-connues d’áveç les inconnues.Supposons, par exemple, qu’on propose de comparer
les côtés B C, B D, & la base CD (fig. 7.
d’Algèbre)  d’un triangle isoscèle inscrit dans iin
cercle, avec .le -diamètre de ce même cercle. On
peut se proposer la question, ou en regardant le
diamètre comme donné, avec les côtés, & cher-'
chant ensuite la base , ou en cherchant le diamètre
par le moyen de là base & des côtés supposés
donnés, ou enfin en cherchant les côtés,
par le moyen de- Ia base & du diamètre. Or, sous
quelque forme qu’on se propose ce problême, les
équations, qui serviront .à le résoudre, auront toujours
la même forme.Ainsi, supposons que Ton cherche le diamètre, on
nommera A B ,'x, CD, a , 8L B C ouB D, b ; ensuite,
tirant AC, on remarquera que les triangles
AB C 8L CBE îont semblables, & qu’ainsi AB:
BC:: BC-.BE, ou x : b :: b : BE ; doncBE =b h. ■— & CE=l CD oui a ; & comme Tangle CEBest un angle droit, CE% -f 5£2=BC% c’est-à-dire, 1— -\-* — =bb. Cette équation étant résolue, donnerale diamètre cherché x. -Si c’est la base qu’on demande,
on fera AB = c, CD = x , & B C ou
B Dz=b ; ensuite on tirera A C, & les trianglesE y rj ' equ ^47semblables A B C & C B E donneront AB:BC:\
BC-.BE , onc:b::b:BE.DoncJ5£=6_6 '.& CE=\CD ou\x ;h\comme Tangíe CB E est droit, on aura CE"- -fBE*=CB>;donc i * * 4-1-* = 6 i. D’où Tontirera la valeur de la base cherchée x.Enfin , si les côtés B C & B D sont supposas inconnus
, on fera AB = c, CO—a, 8tB.CouBD =
x, on tirera ensuite A C ; & à cause des triangles
semblables AB C&. CBE , on aura AB : BC\:BC’.BE ou c\x\:x:BE ; donc BE=~ }
-CE-=i\-CD on\à, ^& l’angle droit CBE donnera'CE2-j-.B
£*=#<;% c’est-à-dire | a a + —=nxx : équation qui., étant résolue, dofïnera la
valeur x d’un des côtés cherchés.On voit, par-là, que le calcul, pour arrivera
Y équation, &. Y équation elle-même, sont semblables/
dans tous les cas , excepté que les mêmes lignes y
sont désignées par des lettres différentes, selon les
données & les inconnues que-Ton suppose. .11 est
vrai que la différence des données, fait que la
résolution des équations est différente ; mais elle ne
produit point de changement dans Y équation même.
Ainsi, on n’estpoint absolument Obligé de prendre
telle ou téíle quantité pour inconnue ; mais on est
le maître de choisir pour données & pour inconnues-,
les quantités qu’on croit les plus propres à
faciliter lá solution de la question.3. 0 Uri problême étant donc propose , il faut
commencer par comparer entr'elles les quantités
qu’il renferme, & fans faire aucune distinction
entre les connues & les inconnues, examiner le
rapport qu’elles,ont ensemble, afin, de connoître
quelles font celles d’èntr'elles qui peuvent faire
trouver plus facilement les autres. Dans cet examen
\ il n’est pas, nécessaire de s’assurer par un
calculalgébrique exprès, que telles ou 1 elles quantités
peuvent être déduites de telles ou telles autres ;
il suffit de remarquer, en général, qu’on peut les
en tirer par le moyen de quelque connexion directe
qui est entr'elles. ■• ' \Par exemple, íi on donne, un cercle dont le diamètre
soit A D (fig. 8. algébr. )  & dans lequel soient,
inscrites trois lignes’AB, B C, CD , desquelles on
demande B C, les autres étant connues, il est évident
,. au premier coup d’oeil,- que le diamètre A D
détermine le demi-cercle , & que les lignes AB &
CD , qu’on suppose inscrites dans le cercle, déterminent
aussi les points B & C ,1 & que par conséquent
la ligne cherchée B C , a une connexion
directe avec~les lignes données. Voilà de quoi il
suffit de s’assurer cfabord, fans examiner par quel
caleul analytique lá valeur de la ligne B C peut
être réellement déduite de. la valeur des trois lignes
données.. …'.,4.° Après avoir examiné les différentes manières
dont on peut composer & décomposer les termes de
la question, il faut se servir de quelque méthode synthétique,
en prenant pour données certaines lignes,
par le mo}'en desquelles on puisiê arriver'à la connoissance
des autres , de manière que le retour de
celles-ci aux premières soit plus difficile ; car quoiqu’on
puisse suivre , dans le calcul , différentes’
routes, -cependant, il faut le commencer par bien
choisir ses données ; & une queffion est souvent
plus facile à-résoudre, en choisissant des données,
qui rendent les inconnues plus faciles à trouver,.
qu’en considérant le problême sous la forme actuelle
sous laquelle il est proposé.Ainsi, dans Texemple que nous venons de donner,
si on propose de trouvera D, lés trois autie-s
lignes étant connues, je vois d’abord que ce problème
est difficile à résoudre synthétiquement ; maisque
cependant s’il étoit ainsi résolu,.je pourrois
facilement appercevoir la connexion directe qui est
entre cette ligne & les autres. Je prends donc A D
pour donnée , & je çòrnmence à faire mon calcul
comme si elle étoit en effet connue, & que quelqu’une
des autres quantités AB , B C on CD , fût
inconnue ; combinant ensuite les quantités données
avec ses autres , j’aurai toujours une équation ea
comparant entr'elles deux valeurs de la même quantité
: soit que Tune ; de ces valeurs soit une lettre
par laquelle cette quantité aura été marquée , en
commençant le calcul, & l’autre , une expression
de cette quantité, qu’on aúra trouvée par le calcul,
même ; soit que les deux valeurs aient été trouvées
chacune par deux différens calculs.5. 0 Ayant ainsi comparé en général les termes de
la question enrr'eux', il faut encore de Tart & de
Tadresle pour trouver parmi les connexions ou rela-tionsparticulières
 des lignes, celles qui sonfles plus
propres pour le calcul ; car il arrive soiivent que tel
rapport qui paroîtfacile à exprimer algébriquement,,
quand on Tenvifage au premier coup-d’oeil, ne peut
être trouvé que par un long-circuit ; de manière/
- qu’on est quelquefois obligé de recommencer -unenouvelle
figure,. & de faire son calcul pas-à-pas ,,
comme on pourra s’en assurer en cherchant B C
par le moyen de AD, AB & CD* Car on ne
peut y parvenir que par des propositions dont
T énoncé soit tel, qu’elles puissent être rendues ení
langage algébrique,& dont quelques-unes peuvent
se tirés d’Euclide- Ax. 29. proposit. 4.. L. VI. &
propqsit. 47. L. I. élément.Four parvenir plus aisément à confioître les rap^ •
ports des lignes qui entrent dans une figure, on peut
employer différens moyens :en premierJieu,,Taddition
& la soustraction des lignes ; car par les valeurs*
des parties, on peut trouver celles du tout, ou par
la valeur du tout, & par celle d’unedes parties, on" '
peut connoître la valeur de l’autre partie: en second lieu,
 par la proportionnalité des lignes ; car, comme-nous
 Tavons déjà fuppofé.dans quelques exemples
ci-dessus, le rectangle dés termes moyens d’une
proportion, divisé par un des extrêmes, donne
l’autre on ce qui est la même choie, si les valeurs
de quatre quantités font en proportion ,'le produit
des extrêmes est égal au produit des moyens. Voyez
PROPORTION. La meilleure manière de trouver la
proportionnalité des lignes , est de se servir des
triangles semblables ; & comme la similitude des
triangles sc.connoît’par Tégalité de leurs angles,
Tanalyste doit principalement se rendre ce point
familier. Poúr cela, -il doit posséder les propositions
5,13 ,, I5,29, 3 2, du premier livre d’Êùclide ;
les propositions 4, 5, 6,7, 8, du livre VI, & les 20,
21, 22, 27 & 51 du livre 111. On. peut y ajouter
la troisième, proposition du livre VI, ou les propositions
35 & 36 du livre III. Troisièmement,
on fait aussi beaucoup d’usage de Taddition & de
la soustraction- des quarrés , fur-tout lorsqnil se
trouve des triangles reòìangles dans la figure. On
ajoute ensemble les quarrés des deux petits côtés,
pour avoir le quarré du grand, ou du quarré du
plus grand côté, 011 ôte le quarré d’un des côtés ,
pour avoir le quarré de l’autre. C’est fur ce petit
nombre de principes qu’est établi tout Tart analytique
, au moins pour ce qui regarde la géométrie
rectiligne, en y ajoutant seulement ía proposition
première du VI.e livre d’Eùclide , lorsque la question
proposée regarde des surfaces, & aussi quelques
propositions des Xl.c & XII.' livrés. En effet,
toutes les difficultés des problêmes de la géométrie
rectiligne peuvent se réduire à Ia seule composition
des lignes, & à la similitude des triangles ; de
sorte qu’il ne se rencontre jamais d’occasion de faire
usage d’autres théorèmes, parce que tous les autres
théorèmes, dont on pourroit se servir, peuvent se
réduire à ces deux-là, & que par conséquent, ces
derniers peuvent leur être substitués dans quelque
solution que ce puisse être.6.° Pour accommoder ces théorèmes à la construction
des problèmes , il est souvent nécessaire
d’augmenter Ia.figure, soit en prolongeant ceitaines
lignes jusqu’à ce qu’elles en coupent d’autres, ou
qu’elles deviennent d’une certaine longueur ; soit en
tirant des parallèles , ou des perpendiculaires de ,
quel que'poin t remarquable ; soit en j oignant quelques
points remarquables ; soit enfin comme cela arrive
quelquefois, en construisant une nouvelle figure
suivant d’autres méthodes, selon que le demandent
les problèmes & les théorèmes dont on veut faire
usage pour ia résoudre.Par exemple, si deux lignes qui ne se rencontrent
point Tune & l’autre , font des angles donnés avec
Une certaine autre ligne, on peut les prolonger juíquà
ce quelles se rencontrent ; de manière qu’on
aura un triangle dont on connoîtra tous les angles,
& par conséquent, le rapport des côtés ; ou bien si
•m angle esl donné, ou doit être égal à un angle
tsatnuinque, souvent on peut compléter la figure,
<* en former un rriangle donné d’espèce, ou semblable
a quelqu’autre : ce qui se sait, soit en prolongeant
quelques-unes des lignes de la figure, soiten tirant ùne ligne qui souslende un angle.' SJ un
triangle propose esl- obliquangle , souvent on le
refond, en deux triangles rectangles, en abaissant
une perpendiculaire d’un des angles fur le cÒté
opposé. Si la question regarde des figures de plusieurs
côtés, on les résoud en triangles,_ par des
lignes diagonales, & ainsi des’autres : mais il faut
toujours avoir attention que par ces divisions, la
figure se trouve partagée , ou en triangles donnés,
ou en triangles semblables, ou en triangles rectangles.
'.. _Ainsi, dans Texemple proposé, on tirera la diagonale
B D,. afin que le trapèse AB CD , puisse se
résoudre en deux triangles, 1 unrectangle A B.D, &
l’autre obliquangle B CD (fig. 8.). On résoudra ensuite
lè triangle obliquangle en deux triangles rectangles
, en abaissant une perpendiculaire de quelgu'un
des angles B , C ,D, fur le côté opçofé ; par
exemple,-du point B fur la ligne C D, qu’on prolongera
en E , afin que B E~ puisse la rencontrer
perpendiculairement. Or, comme les angles B AD
& B CD , pris ensemble, font deux droits ( par la
proposition 22 du 111. EucL) , aussi-bien que^P CE
& B CD , il s’enfuit que les angles B AD &.B CE
sont égaux ; par conséquent, les triangles B CE &
D AB sont semblables. Ainsi, prenant AD, AB
& B C , pour données, &- cherchant CD > on peut
faire le calcul de la manière suivante. AD & A B
donnent B D à cause du triangle rectangle AB D ;
AD , AB , B D , B C , à cause dès triangles
semblables AB D & CE B, donnent B E &.CE,
B D & B E donnent E D , à cause du ■ triangle
rectangle BED, & ED—E C donne CD. Ainsi. ;
on aura une équation entre la valeur de la ligne CD
trouvée par ce calcul, & la valeur de cette même
ligne exprimée par une lettre algébrique. On peut
aussi ( & souvent il vaut mieux suivre cette méthode,
que de pousser trop loin un seul & même
calcul)  ; on j) eut _y dis-je, commencer le calcul, par
différens principes, ou au moins le continuer par
diverses méthodes , pour arriver à une feule &
même conclusion , afin de pouvoir trouver deux
valeurs différemment exprimées de la même quantité,
lesquelles valeurs puissent être ensuite laites
égales Tune à l’autre. Ainsi, AD , AB'-& B C,
donnent B D ,BE & CE , comme ci - devant ;
ensuite CD -\- CE donne ED ; enfin D B &.ED
donnent BE, à cause du triangle rectangle BED.7° Ayant choisi & déterminé la méthode suivant
laquelle On doit, procéder, & fait sa figure",^on
donne d’abord des noms aux quantités qui doivent
entrer dans le calcul, c’esl-à-dire desquelles on doit
tirer la valeur des autres, jusqu’à ce qu’on arrive à
une équation ; pour cela, on aura soin de choisir
celles qui renferment toutes les conditions du problême,
&qui paroissent, autant qu’on peut en juger,
les plus propres à rendre la conclusion simple &
facile , de manière cependant qu’elle ne soit pas
plus firnple que le sujet & le dessein du calculateur
ne le demand,ent. Aissi, il ne'faut pointdonnerEqu e g u . 642slonner de nouveaux noms aux quantités dont on j
peut exprimer la valeur par celle des quantités à
qui on a déjà donné des noms. Par exemple , si
une ligne donnée est divisée en parties, ou si on
a un triangle rectangle , on doit laisser fans nom
quelqu’une des parties de la ligne, ou toute la ligne
entière , ou un des côtés du triangle, parce que
les valeurs de ces quantités peuvent se déduire de
la valeur des données, comme dans Texemple déjà
proposé. Sion a ûàtAD^x & BAz±=.a, on ne
marquera B D par aucune lettre , parce qu’elle est
îe troisième côté du triangle rectangle A B D, & que-par conséquent, sa valeur estj/arar — aa. Si on
nomme ensuite B C, b , on verra que les triangles
semblables D AB & B CE donnent AD : AB : : BC:
CE. Or, deces quatre lignes, les trois premières sont
•déjà données ; ainsi , on ne donnera point de nom
■à la quatrième CE, dont la valeur se trouvera être.-— par le moyen de lá proportion précédente. Si-donc on nomme D C, c, on ne donnera point de
-nùm k DE, parce que ses parties DC & CE,étant Tune c, l’autre ^, leur somme c 4- —
. x '. > X., est la valeur de DOE.8." Par les différentes opérations qu’on fait pour
exprimer les lignes auxquelles on n’a point donné de
-noms -, le problême est déjà presque réduit à une
, équation ; car, après qu’on a exprimé ainsi les différentes
lignes qui doivent entrer dans la solution
de la question proposée , il ne .faut plus que faire
attention aux conditions du problême , pour découvrir
une équation.' • .Par exemple , dans le problème dont nous avons
déjà parlé, il ne faut que trouver, par le moyen des
■triangles rectangles B CE &.BDE, deux valeurs
de SE ; en effet, on áura B Çz— C E* ou 6è^H= BE\ & BDÏ—DEÍ ou xx-aa-ccXX' .ïatc _ aabb = B£1 £ - j enfernDle ceS deUXj: xx evaleurs de BE* ; Jk, ôtant ^-j- , on aura l’équation
bb==xx^~aa-^cc — ——-, qui , délivrée
ries fractions, donne xl = atx-\-bbx-\-zabc
4" ccx'
çj.° A l’égard dela géométrie de_s lignes courbes,
on a coutume de déterminer cês 'lignes, ou en les
supposant décrites parle mouvement’local de quelques
lignes droites, ouën les représentant par des
équations , qui expriment indéfiriimenfle rapport de
certaines lignes droites, disposées entrelles dans un
certain ordre & suivant une certaine loi, & terminées
à la courbe par une dé leurs extrémités. Voyez
COURBE.& LIEU. "Les anciens déterrninoientles courbes, ou par le
mouvement .continu de quelque point, ou par les
sectioris.des solides, mais moinscommodémentqu’on- Mathématiques. Tome 1,11*. Partie.ne les détermine parla seconde des deufc manières,'
dont nous vêlions de parler. Les calculs qui regardent
les courbes, lorsqu’on les décrit de la première manière
, se font par une méthode semblable à celle
que nous avons donnée jusqu’ici. Supposons, par
exemple, que A KÇ (fig.9.)  soit une ligne courbe
décrite par le point vertical K d’un angle droit^íiîZ % ■
dont un côré A K puisse se mouvoir librement’, en
passant toujours parle point A donné de position,
tandis’ que l’autre côté KZ d’une longueur déterminée
coule ou glisse le long d’une ligne droite AD ,
aussi donnée de position. Oh demande de trouver la
point C, dans lequel une ligneriroite CD aussi don-née
 de position doit couper certe courbe : pour cela,
ori tirera les lignes AC,CF, qui peuvent représenter
l’angle droit dans la position qu’on cherche ;
on.mènera la perpendiculaire CB farAF ; on s’appliquera
ensuite à trouver le rapport des lignes, fans
examiner celles qui font données ou celles qui ne le
sont pas, & on verra que toutes dépendent de CF %
& de Tune des quatre lignes BC,BF,AF&AC ;
supposons donc CF—a , & CB ==jc, on auradab.or'd BF—t/àa~xx, & AB =zr-~=-i'■■■--■■ |/ aa-xxcar, à cause des triangles rectangles A C F, CBF,
on a-B F ; B C. \B C’.AB. De plus, comme
CD est donnée de position, AD est donnée j
ain fi-, on appellera A D, b ; on connoît, aussi Taraison
de BC à B D, qu’on supposera comme d k ey& on aura BD = £-# tkAB=b-c-^ ; donc í- — =5a a . a—-— Si on quatre les deux membres déy .a a — x xcette équation, & qu’on les multiplie ensuite paf
a a—xx, on réduira Y équation à cette forme x+-=s.& par le moyen des quantités données a, b, d, e ,
on tirera de cette équation la valeur de x. Cette valeur
de x où de B C étant connue , on tirera à ía
distance B C, une ligne droite parallèle a AD, qui
coupera la courbe, & CD au point cherché C.Si, au lieu de descriptions géométriques, on se
sert d’équations pour désigner les lignes courbes, les
calculs deviendront encore plus simples & plus faciles,
puisqu’on aura moins d’équations à trouver ;
ainsi, supposons que Ton cherche le point d’intersection
C de l’ellipfe donnée ACE (fig. 10.)  avecla
ligne droite CD donnée de position ; pour désigner
l’ellipfe, on prendra une des équations qui la déterminent,
comme ra:— -—=yy, dans laquelle xímarque une partie indéterminée AB ou Ab de Taxe
prise depuis le sommet A, tk,y une perpendiculaire
B.C, terminée à la courbe, & où r & q sont-données
par Tespèce donnée de l’ellipfe. Or, puisque CD est
donnée de position , À D sera aussi donnée ; on la
nommera a, & B D fexs.a—x ; l’angle AB C seraN n n n6,0 E.QU EQU
■ aussi donné, & par conséquent le rapport de 2 ? D à"
R C, qu’on supposera être celui de I à ej & B C (y ) 
-sera ae — ex, dont le quarré ee a a—2 eeax -fte xx doit Être égal à rx — ^j. Cette équationzac ex Jr-.rx-aai eé tant réduite, donnera x x- • ee+r ouîOn remarquera que lors même que Ton détermineles
courbespar des descriprions géométriques ou par
des sections de solides, on peut toujours les désigner
par des équations, & que par conséquent toutes
les difficultés des problêmes qu’on peut proposer sur
les courbes, se réduisent au cas ou on enyisageroit
les courbes sous ce dernier point de vue. Ainsi, dans
le premier exemple (fig. 9.) , fi A B est appelle a: ,& BC,y, la troisième proportionnelle B F, -sera ^,dont le quarré joint au quarré dcBCest égal.à CF%,c’est-à-dire quey^-j-yy = aaouy + ■Js-xxyy=a. a xx. Par cette équation on peut déterminer tous
les points C de la courbe ARC,en trouvant la lonjgueur
de chaque ligne B C qui répond à chaque partie
de Taxe AB. ; & cette-équation peut être fort
utile dans la solution des problêmes qu’on aura à '
résoudre sur cette courbe.Quànd une courbe n’est point donnée d’espècé,
mais qu’on propose dela déterminer, on peut supposer
une équation à volonté qui exprime-fa nature
d’une manière générale ; on prendra cette équation
pourla véritable équationde la courbe, afin de pouvoir
, par ce moyen, arriver à des équations, par le
moyen desquelles on déterminera la valeur des quantités
qu’on a prises pour données.Jusqu’ici nous n avons fait que traduire l’article
équation à-peu-près tel qu’il se trouve dans TEncyclopédie
angloise. Cet article est tiré presque en entier
de {'Arithmétique universelle de M. Neuton ; il esl aisé
d’y reconnoítre en effet la main d’un grand maître,
& nous avons cru-devoir le donner tel qu’il est par
cette raison , Y Arithmétique universelle n’áyant point
d’ailleurs été traduite.juíqu’ici en notre langue. Mais
il reste encore fur la théorie des équations beaucoup
de choses à direpour rendre cet article completrians
un ouvrage tel que TEncyclopédie. Nous allons tâcher
de satisfaire à cet objet ; & quoique la matière
ait déjà été fort maniée dans un grand nombre d’ouvrages,
nous espérons montrer qu’elle a été traitée
d’une manière insuffisante à plusieurs égards, & la
présenter d’une manière presque entièrement nouvelle.Je ne parlerai point ici de la manière de préparer
une équation, en faisant évanouir les fractions, lesradicaux 5 & toutes les inconnues, excepte une
seule , 6T. Ces opérations font détaillées aux mots
ELIMINATIONS, FRACTIONS, &C. ^Je ne parlerai point non plus de rabaissement
des équations. Voyez ABAISSE M ENT& RÉDUCTION.Jene parlerai pointenfindes équations du premier
degré, cest-à-dire, de celles où Tincônnue ne monte
qu à une dimension : leur solution est sans difficulté.
Voyez TRANSPOSITION. J’entrerai donc en matière
par les équations d’un degré plus élevé que
Tunité ; je les suppose abaissées au plus petit degré
possible, & délivrés de redicaux & de fractions t
enfin , ordonnées suivant les dimensions de Tinconnue
x , c’est-à-dire, de manière que le premier
terme contienne x élevée au plus haut degré, que
le 'second terme contienne x élevée au plus haut
degré suivant, & ainsi de suite jusqu’au dernier
terme, qui ne contiendra point x ; je suppose enfin
que le premier terme n’ait d’autre coefficient que
Tunité (nous enseignerons au mot TRANSFORMATION
, cette manière de préparer Y équation ) , &
que le second membre de l’équation soit zéro,
m m-i m-zSoitdonca: -\-px- -\-qx …-fr=o ;
l’équation à résoudre, dans-laquelle il faut trouver
là valeur de x.II est évident, par L’érioncé-même de la question,
qu’il faut trouver une quantité a , positive ou négative
, réelle ou imaginaire, qui étant substituée à lam m -1place de x dans* -fpr + &c tout se détruise.
Je suppose qu’on ait trouvé cette quantité a,m m - 1 m — zje dis que la quantité x -\-px -\-q* • > •
■j- r ( en faisant, si Ton veut, abstraction de son égalité
à zéro, & en la regardant comme une quantité
algébrique réelle) sera divisible exactement par a:—a.
Car il est évident, i.° que x ne montant qu’au premier
degré dans le diviseur, on pourra par les règles
de la division algébrique ordinaire (voyq ; DiyisiON
 ) , pousser 1 opération jusqu’à ce qu’on arrive
à un reste que j’appelle R , & dans lequel x ne se
trouvera pas. Soit donc Q le quotient, il est évident
que fi au produit du quotient Q par le diviseur
x—d, pn ajoute le reste, R, on aura une quantité
égale & identique au dividende. Or, en faisant dani
le dividende x = a_, tout s’évanouit par Thypothèfe ;
donc tout doit s’évanouir aussi , en faisant x=oe
dans la quantités a: — a ) Q -f- R , & cette quantité
doit alors se réduire à zéro ; mais en faisant x = a ,
cette quantité est ( a—a) Q -f R. Donc, puisque
(a—a) Q -i-R =0, on a R = o. Donc la division sem m-1 m-ífait sans reste. Donc -%-px +2* -•••4".
r se divise exactement par x — a.Je fais un raisonnement semblable sur le quotient
provenu de la division : je suppose que b
substitué à la place de x, fasse é'vanouh tous ses
termes de ce quotient, je dis qu’il est divisible parE o u equ tfct*—6 ; & il est évident que si b substitué à la place
de x, fait évanouir le quotient Q , il fera évanouir
.aussi le dividende : car le dividende est=(x— a) 
Q ; donc toute supposition qui réduira Q à zéro,
y réduira aussi le dividende. Donc ar— b divise
aussi exactement le dividende.On trouvera de même, qu’en supposant une
quantité c, qui substituée à la place de x, fasse
évanouir le quotient de Q divisé par x—b, ce
nouveau quotient, & par conséquent le dividende
sera, divisible par a: — c.Ainsi, on aura autant de quantités simples a:—a,
x—b, x—c , qu’il y a d’unités dans m, lesquelles
quantités simples donneront, par leur multiplication
, le diviende ou équation proposée. .On pourra donc, au lieu- de l’équation donnée ,
supposer ( x—a ) ( x—b )  ( a ;—c ) =^ o : mais il faut
bien se garder d’en conclure, comme font tous
les auteurs d’Algèbre, qu’on aura x — a = o,
x—6 = 0, x~e=o, &c. car, pourra dire un
commençant, comment se peut-il faire qu’une
même quantité x soit égale à plusieurs grandeurs
différentes a, b, e ? Si vous dites que x., dans
ces équations, ne désigne qu’en apperence la même
grandeur, & désigne en effet ries grandeurs différentes
, en ce cas vous vous rejettez dans une autre
difficulté ; car íi cela étoit, dans une équation
du fécond degré, par exemple, comme arar-J-par-J-ç,
xx ne seroit plus un quarré, cependant tous les
Algébristes le traitent comme tel ? Voici la réponse,
à cette difficulté, qui, comme je le fais par expérience,
peut embarrasser bien des commençans.
La quantité proposée est le produit de x—a par
' !■—b, par x — c , &c. Or la quantité proposée est
supposée égale à zéro, & quand une quantité est
•égale à zéro, il saut qu’un de ses facteurs le soit ;
ainsi, la,quantité ou équation proposée est le produit
de x—â=o par x—b &par x—^c, &ç,ou de
x—Z> = o par x — a & par x — c , &c, ou de
x—c=opar x—a & par x—b., &c.Dans chacun
de ces cas on ne suppose à-la:fois qu’une des équa- .
tions partielles égale à zéro ; x est la même quantité
dans chaciin des cas ; • & elle est différente dans.
.les différens cas. Ainsi, xx— ai-) -íi=oest x-a~^bx
=0 par x—^b, ou x-b = o oarx-a ; cetteéquaùon
xx— ízar-f- aè=o représente ces deux-ci ;— bx •
Tune aa-r- a a -\-a.b ( en mettant a pour x) , tk.- — a b .l’autre bb—ab -\-ab ( en mettant b pour a:).
— bbDans Tu* des cas, x & ses puissances représentent
a & ses puissances ; dans 1 autre, x & ses puissances
représentent b & ses puissances. Ainsi, une
équation d’un degré quelconque-représente réellement
autant d’équations^ particulières qu’il y "a
d’unités dans -son degré ; équations dans chacune'
desquelles x d. une valeur différente. Poursuivons
& approfondissons cette matière, quij je le répète ì
est fort mal développée par-tout. ;
"La démonstration précédente, dira-t-on , suppose
qu’il y-a toujours une quantité a possible.,
qui substituée à la place de' x dans une quantité
algébrique, ar« 4"pxm—t, &c. fera évanouir toùs
les termes. Sans doute ; mais cette supposition est
^légitime. J’ai démontré le premier, Mim. de tac.
de Berlin, IJÁÍ, qu’U y avoit toujours en effet
une telle quantité, laqnelse fera ou réelle , ou
égale àm-j-nj/—1, m & n étant réelles, tk m
pouvant être =.o. Cette proposition fondamentale
de T Algèbre & même du calcul intégral, (Voyez
TRACTION RATIONNELLE & INTÉGRAL) n’avoit
été démontrée par personne avant moi : j’y renvoyé
le lecteur , Ù.la trouvera encore plus développée,
& mise à la portée des commençans dans
le fí-aitédu calcul intégral de M. de Bougainville
première partie. I^yq ;IMAGINAIRE.De-là il s’enfuit qu’une équation est le produit
d’autant de quantités simples, ar—a, x—-b,x—c ,
tkc. qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation f
quelques-unes des quantités a , b, c, ou toutes,
peuvent marquer des quantités réelles, égales ou
Inégales, imaginaires simples comme n|/—I, oii
mixtes imaginaires comme m -j- n \f—1 - . .On remarquera maintenant que le.produit dé
x—a par x—b ne peut être, égal à un autre
produit.a:-e par x-f~ ; car si cela étoit, on auroit-^—r = ——r. H fáudroit donc ou que x -a futx —T x — b Tdivisibleexactement par x—/, ainsi que ar—e
par x — b , ce qui ne se peut, ou que x—/ &
x — b eussent un diviseur commun, ainsi que x-a.
& ar — e,ce qui ne se peut encore. Tout cela est
évident par soi-même.Donc une quantité quelconque xx-\-px^-q,
où x monte ausecond degré, ne peut être le produit
que de deux facteurs simples ar—a , x—b , & il
ne peut y en avoir d’autres que ces deux-là. Donc
dans une équation du second degré, ar ne peut,
avoir que deux valeurs différentes a, b , tk jamais
davantage. C’est une fuite des propositions précédentes.De mème on ne fauroit supposer x-a par x-b
par ar-c, égal à ar-c par ar-/par x-g ; car on auroit, "pr-, ; =, rn -■ Doncles déno^minateurs.de ces fractions devroient avoir un diviseur
commun, & par conséquent aussi leurs numérateurs
ar—a ,.x—e j ce qui ne se peut/Don©
dans une équation du troisième degré, & par la
même raison dans’toute équation, Tincônnue ne
peut avoir qu’autant de valeurs, soit réelles, soit
imaginaires, qu’il y a d’unités dans le degré de
l’équation. Voilà encore une proposition qú'aucun
auteur n’avoit suffisamment prouvée. On appelle
… racines ', -les différentes valeurs de Tincônnue.
Voyez RACINE. 'N n n n i j*<i E.ÓV " equ. .11 pourroit se présenter aux commençans uue
difficulté fur la démonstration précédente. Soit,
diront-ils,a—4,ft=i7,c = 7i> c = S,&x=2,on
 auras*—a) X (a—í) = —i X—15 =
-5X-6=(í-) )X(--3) = (—OX
(x—e)  ; on peut donc avoir , continueront-ils,
(x—a) (x—b) = (x — c) (x—b). La réponse
à cette objection est bien simple ; il est vrai qu il
peut y avoir des cas où , en donnant à x une certaine
valeur, on ait (x — a) (x—í>)  = (x—c) 
(ar—e)  ; mais il faudroit, pour renverser la démonstration
précédente , que quelque valeur qu’on
donnât àar, on eût toujours cette dernière équation
, x marquant ici une quantité générale & indéterminée
: or cela est impossible. En effet, fi cela
étoit, supposons xz=a, on auroit donc, à cause
de Tégalité supposée , (a— a) (a — b) = (a— c ) 
(a—e) , c’efí-à-direo = (>—c) (a —e)  ;cequi
ne se peut, puisque e & e sont différentes de a &
de b. De-là on tire une autré démonstration de la
proposition dont il s’agit, & qu’on peut appliquer
aux degrés plus composés ; par exemple, û(x-a) 
{x-—f>)  (x—c) pouvoit être égal à (ar— e) (x —/) 
(x~ g)  s on auroit (a— e) (a—f) (a—g) ~0,
ce qui ne se peut ; & ainsi du reste. .„ 'Je passe un grand nombre de propositions qu’on
trouvera suffisamment démontrées par-tout, par
exemple, celles qui sont indiquées au motCOEFTICIENT
: c’est principalement à des choses.nouvelles
, ou du moins présentées d’une manière nouvelle
 &: rigoureuse, que je dessine cet article.
J’observerai- seulement que les propositions connues
fur les coëfficiens des équations, servent quelquefois
à démontrer d’une manière simple & élégante
des propositions de Géométrie ; M. de l’Hopiial,
dans se liv. X de ses fedious coniques, s’en
est heureusement serti pour démontrer certaines
propriétés des cordes du cercle.Si une des racines de l’équation xm -j- p ar"1— '. _.
-f r=o est un nombre entier a', positif ou négatif,
ce nombre a fera un des diviseurs du dernier '
terme r ; car on a am -f p am — '4.^4 r= o,.
. donc am -f pa"1—'.. 4. n*=— r, doncB"__,4-Pfl,"—1"-4-."=-—i- Or le premiermembre de cette équation esl un entier , puisqu’ilest compose d’entiers ; donc - est un entier, donc. a est un des diviseurs de r. La démonstration ordinaire
de cette proposition me paroît sujette à difficulté ;
c’est par" cette raison que j’en ai substitué
une autre.Si toutes les racines d’une équation font réelles
& que tous les termes de {'équation aient le figne -f '
toutes ces racines seront négatives 5 car, puisoue
tous les termes ont le signe -j-, il est é\ idem qu’il ?liF^ULy.-V'oiídeqUanthéPosit’ve, qui étant
substituée a la place de ar,. rende l’équation égale ■Dans une équation, les racines imaginaires Vont
toujours deux à deux ; en sorte que si a. -f- b j/ — I
est racine d’une équation ,a — b J/ — 1 en sera une
"autre. J’ai démontré le premier cette proposition’
dans les rném. de l’acad. de Berlin 1J4.6. Voyezaufsi
Touyrage de M, de Bougainville déjà cité, & Y art.
IMAGINAIRE.Donc, puisque les racines imaginaires sont toujours
en nombre pair, il s’enfuir que dans les équations
d’un degré impair, il y a du moins une racine
réelle ; ce qu’on peut encore démontrer.en cette
sorte. Soit, par exemple, ar 5 -\-px* -j-çx-|-r=:o,
en donnant à ar toutes les valeurs positives possibles
depuis o jusqu’à Tinfini, on a toujours,un résultat
réel, & ce résultat devient infini & positif quand
ar= 03, c’est-à-dire co 3 ; de même en donnant à a:
toutes les valeurs négatives possibles depuis o jusqu’à
Tinfini, on aura toujours un résultat réel, &le
■dernier résultat est infini & négatif quand ar= — óo,
c’est-à-dire—-00 3 ; donc, puisqu’on a une suite de .
résultats tous, réels & fans interruption, dont les
deux extrêmes sont de différens signes, il s’enfuit
qu’il y a un de ces résultats égal à zéro. Donc il y
a une valeur réelle de ar qui rend ar 3 -\-p x' 1 -j- q x
-fr=o. Donc ar a, au moins, une valeur réelle dans
cette équation. II en est rie même des autres cas.Dáns une équation délivrée de fractions, & dont
le premier terme n’a d’autre coefficient que l’unité,la racine, ne fauroit être une fraction -^-dontledébnominateur & le numérateur soient des nombres
entiers & rationnels. Voilà encore une proposition
bien mal prouvée dans presque tous les auteurs.
En voici une meilleure démonstration.- Soit x5
-f- p xz -jr- q x -J- r = o ; & supposons que .-g soit racine de l’équation, on aura donc — -f-'Donc , suivant la théorie des équations donnée
ci-dessus, le nombre entier a doit être diviseur
du dernier' terme ri 3 ; or , comme, a tk b' n’ontaucun diviseur commun , car la fraction — est sup-posée, comme de raison ; réduite à ses moin.-'
dres termes ( Voyez DIVISE U-R , F E. A CT
I 0 N ) , il s enfuis que a & ,t> 3 n’ont aucun diviseur
commun ; donc a doit être diviseur de r ;
donc r=zn a , n étant un nombre.entier. Donc on
aura a3 -\- p a ? b -f q a 61 -f- n a £>' =o.donc a1
-J-p a b -f- q b% -j- n í> 3 =0 Donc , par la même
raison que ci-dessus,. a doit être un diviseur du
dernier terme qV- -\-nbl , .& par cokséquent.de q
-\-bn ; donc q 4- bn=.ma ; donc a* -\-pab~-\-b* m a. ?= o ; donc a -{f pï> 4" i^'m —°> donc *£='—P'—m b. Donc -r-n’étoit point une fraction.,..
^Ê qui est contre Tbypothèfe., Qn démontrera de.-
E Q, U E Q tì ■ è,'y
la meme mamere, dans tous les autres cas, la proposition
dont il s’agit. Donc , de.II esl évident, par la nature de cette démonstration,
qu’elle ne s’étend qu’aux fractions rationnelles.
Une équationíans fractions & fans radicaux,
peut en effet avoir pour racines des fractions irrationnelles
 ; par exemple, x% — x — i =o, & -une
infinité d’autres.Voyez azz mot TRANSEORMATION , ce qui regarde
la manière de transformer une équation en
une autre.On trouvera au mot RACINE ', le fameux théorème
de Descartes fur les racines, des équations ,
démontré par M. Tabbé de Gua dans les mémoires
de Vacadémie de ly42 , auxquels le lecteur peut
avoir recours. Nous nous bornerons ici à quelques
réflexions générales fur les racines des équations.Les.racines d’une équation sont les différentes
valeurs de Tincônnue ; il semble donc qu’un .problême
doive avoir autant de solutions qu’une équation
a de racines ; & cela est vrai en effet dans un
certain sens, mais ceci a pourtant besoin d’une plus
ample explication. * ' -i.° Si on proposoit de trouver un nombre x,
tel que le quarré de ce nombre plus 15, fût égal
à 8 fois le nombre cherché, c’est-à-dire tel que xx
— 8 x -f-15 ,fút = o , on trpuveroit que cette équation
auroit deux racines réelles & positives x = 3,
x = ç ; & en effet, le quarré de 3 qui est 9, aug-r
mente de 15, donne 24 égal à 8 fois 3 , & le quarré
^augmenréde 15, donne 40 égal à 8 fois 5. Ainsi,
les deux racines de l’équation satisfont en ce cas
au problême, fans _rien changer à son énoncé. II
y a donc des cas où toutes les racines d’une équation,
résolvent chacune le problême dans le sens
le plus direct & le plus immédiat que son énoncé
présente. - .z." Si on proposoit de trouver un nombre x
plus petit que 1, & tel que le quarré de 1 — x fûtégal à-, on auroit (r—x) * = -, & i-x-±-\donc x = - & x = -. Voilà deux racines réelles2. 1 .& positives ; cependant il n’y a proprement quela racine - qui satisfasse au problêfne, car la. racine
-donne i—^1=— -, quantité négative. Or Ton- suppose dans Ténoncé que x est plus petit que 1 ;
pourquoi donc rrouve-t-on une autre racine réelle,, & positive ì le voici. Si on eût proposé ce problême
: trouver un nombre xplus grand que z , & tel.que (x —) %,foit égal a \, on auroit eu précisément
la même équation que celle qui esl donnée
par la solution du problème précédent ; & en ce
cas x = l adroit été la vraie valeur dei'ínconnue,
ainsi ,l’équation i — zx-\-xx = \ représente réellement
ces deux-ci, (1 —x) *— \ tk(x— I ).*
—=|, qui font la ; traduction algébrique de deuxquestions, tres-différentes dans leur, énoncé. La
première de ces questions a pour réppnse x=f
la seconde x = f. Donc, quoique les racines d’une
équation soient toutes deuxréelles & positives, il
ne s’enfuit pas toujours qu’elles résolvent toutes
exactement & rigoureusement la question ; mais
elles la résolvent, en la-présentant en deux sens
différens, dont l’Algèbre ne peut exprimer la différence
 ; par exemple, dans le cas dont il s’agit,
l’énoncé rievroit être : trouver une grandeur x
telle que la retranchant de Tunité, ou retranchant
Tunité d’elle, le quarré du reste soit égal à \. Lai
traduction algébrique du premier énoncé est parfa
nature, plus générale que ce premier énoncé ~r
c’est donc le second qu’il faut y substituer pour
répondre à toute Tétendue de la traduction. Plusieurs
algébristes regardent cette généralité comme, une
' richesse de l’Algèbre, qui, disent-ils, répond nonfeulement
à ce qu’on lui demande, mais encore à ce
qu’on ne lui demandoit pas, & qu’on ne songeoit
pas à lui demander. Pour moi, je ne puis m’em.
pécher d’avouer que cette richesse: prétendue me
paroît un inconvénient. Souvent il en résulte qu’une
équation monte à un degré beaucoup plus" haut
qu’elle ne monteroit, si elle ne rensermoit que les
seules racines propres à la vraie solution de la question
, telle qu’elle est proposée. II est vrai que cet
inconvénient seroit beaucoup moindre , & seroit
même, en un sens, une véritable richesse, íi on
avoit une méthode générale pour résoudre les équations
de tous les degrés ; îî ne s’agiroit plus que
de démêler parmi les racines, celles dont on auroit
vraiment besoin : mais malheureusement on se
trouve arrêté dès le quatrième degré. II seroit donc
à souhaiter , puisqu’on rie peut résoudre toute
équation, qu’on pût au moins Tabaisser aU degré
de la question, c’est-à-dire à- n’avoir qu’autant d’unitésdans
î'expofant de son degré, que la question a de
solutions vraies & directes ; mais la nature de l’Algèbre
ne paroît pas le permettre.3. 0 Si on proposoit de trouver un nombre x s tes
que retranchant Tunité de ce nombre, le quarré du
reste fût égal à quatre, on trouveroit (x— i) *
=4, x == 3 & x=— 1. La première racine x = 3 ^
qui est réelle & positive , résout la question ; à.
l’égard de x = — 1, elle ne résout point" la question
proposée , elle résout celle-ci : trouver unnombre
, auquel ajoutant Tunité , le quarré de la
somme soit-égal à quatre. On voit que dans cer
énoncé, ajouter- se trouve, au' lieu de retrancher>
& somme au lieu de reste. En effet (x -f-1 ) z == 4
donne x = i & x =— 3, qui sont précisément les
racines de Yéquaúan précédente prises avec des
signes contraires. D’où Ton voit que les racines négatives
satisfont à la question, non telle quelle est
proposée,, mais avec rie légers changemeris qui consistent
à ajouter ce qu’on devoir retrancher, ou à
retrancher ce qu’on devoi't ajouter. Le signe — qui
précède ces racines, indique ùne fausse supposition ;
qui a été faite- dans Ténoncé,. à'aádition-au lieu de ;
*S4 EQU .E(2.UJ„
sousraSion, &c. & ce signe—redresse cette fausse
'supposition. En veut-on un exemple plus simple ?
qu on propose de trouver un nombre x , qui étant
ajouté à 20, la sommé soit égale à 10, on aura
2o4-ar = io &ar=— to, ce qui signifie qu’il
falloiténoncer ainsi la question : trouver un nombre
qui étant retranché de 20, le resteîoit égal à 10, &
ce nombre est 10.4.° Si on proposoit cette question, trouver un
nombrex, tel que, ajoutant Tunitéà ce nombre, le
quarré du tout soit égal à \ , on auroit ( x -{- 1 ) *
== ì, x=—i, ar = — | : voilà deux racinesnésatives,
ce qui signifie qu’il falloit changer ainsi la
question ; trouver uri nombre tel, que retranchant
1 unité de ce nombre, s’il est plus grand, ou le retranchant
de Tunité , s’il est plus petit, le quarré
du reste soit égal’à \. Cest précisément le cas du
n." 1 précédent , dont les racines sont les mêmes
que de ce cas-ci, avec des signes contraires.5. 0 Tout nous prouve.donc que les racines négatives
nè sont destinées qu’à indiquer de fausses.soppofitions
faites" dans Ténoncé, & que le calcul re- dresse.
 C’est pour cela que les racines négatives ont
été appellées faustcs par plusieurs auteurs , & les
racines positives, vraies, parce que les premières
ne satisfont, pour ainsi dire, qu’à un faux énoncé
de la question. Au reste, je dois encore remarquer
ici que quand toutes les racines sont négatives,
comme dans le cas précédent, Tinconvénient est
léger ; ces racines négatives indiquent que la solution
avoit un énoncé absolument faux : redressez
Ténoncé, toutes les racines deviendront positives.
Mais quand elles sont en partie positives, & en
parties négatives , Tinconvénient que cause la solution
algébrique est, ce me semble., alors plus
grand ; elles indiquent que Ténoncé de la queslion
est, pour ainsi dire , en partie vrai &Tën partie
faux ; elles mêlent, malgré nous, une question
étrangère avec la question proposée , sans qu’il
soit possible de l’en séparer , en rectifiant même
Ténoncé ' ; car qu’on change dans l’énonçé les mots
ajouter & somme, en ôter & reste , la racine négative
devient à la vérité positive ; mais la positive
devient négative, & on se trouve toujours dans le
même embarras, fans pouvoir réduire la queslion à
un énoncé qui ne donne que des racines réelles
positives. II en est de même dans le cas du n.° i
précédent, où, quoique les racines soient toutes
réelles & positives , cependant elles ne résolvent
pas toutes la queslion ; néanmoins il y,a encore
cette dissérencé entre ce cas & celui du n.° 3 , que
dans celui-ci, pour'changes les’racines négatives en
positives, il ne faut changer qu’en partie les signes
riex-|-i c esl-à-dire, écrire x-1, ou i-x,-au
heu que dans le cas du n." 1, il faut changer tout
a-la-fois les deux-signes de i,-* , & écrirt x- 1Sïftdc mp]oyçr la racine polit^_ 6." Les ! racines négatives, je le répète, sont un
« convoient, fur-tout lorsqu’elles sont mêlées avecles positives ; mais il y a bien de Tapparencc qu’on
ne parviendra jamais à lever cet inconvénient’ ;
peut-êtte pourroit-on le diminuer, si on avoit une
bonne méthode de résoudre les équations. C’est ce
que nous tâcherons plus bas ds faire sentir , ou
plutôt entrevoir, en parlant des équations du second
degré. Mais ce qui prouve que les racines
négatives ne sont pas tout-à-fait inutiles à la solution
d’un problême, c’est Tapplication de l’Algèbre
à la Géométrie. Les ordonnées négatives d’une
courbe sont aussi réelles que les positives, & appartiennent
aussi essentiellement à la courbe ; nous
lavons prouvé au mot COURBE d une manière aussi
rigoureuse que nouvelle, en faisant voir que les
ordonnées négatives deviennent positives, en transposant
seulement Taxe. De même en transformant
une équation, algébrique , on peut rendre toutes les
- racines réelles positives ; car soit 6 la plus grande
des racines négatives, & soit fait x==\— A »
A étant une quantité plus grande que b ou égaleà
b ; alors les facteurs, au lieu d’être, par exemple,
x — a , x 4- b > seront z — A—- a,z — A -\-b ,
toutes deux positives. Voyez encore fur cet article
ce que nous dirons plus bas, en parlant des équa'
tions appliquées à la Géométrie.7. 0 Si on proposoit de trouverun nombre x, tel
que, (x -f- i) 1 -j-4fût=o , on auroit x = — 1 -fy^—4,& x := — 1 ■— \f — 4 ; valeurs imaginaires
qui indiquent que l’énonçé dela question est absurde ,
& qu’il n’est pas possible de la résoudre. Mais,
dira-t-on , pourquoi deux racines imaginaires ? une
seule fúffiroit pour avertir de Tabsurdité. Je réponds
que les deux imaginaires avertissent que la-question
est absurde non-seulement dans son énoncé , mais
même dans toute autre qu’on lui substitueroit, c’està-dire,
en mettant x — 1 où 1 —x à la place de x + *•
En effet (1—x) i-f-4==o, ou (x-f) 1-^ 4=0, donnex 5= 1 —4 y/-—4, & x— 1 4- v^'— 4 '■> racines imaginaires
& de signe contraire aux précédentes, parce
qu"e Ténoncé de la question , quoique changé , demeure
impossible.8." Ainsi, quand une équation n’a que des racines
négatives ou fausses / cela indique que le problême
est impossible dans lésons direct, mais non pas dans
un autre sens ; au lieu que quand elle n’a que des
racines imaginaires, cela indique que le problème
est impossible dans quelques sens qu’on le présente.
Quand les racines sont réelles & incommensurables,,
celaindique que le problême n’a point de solution numérique
exacte, mais qu’on peut trou ver un nombre
qui approche aussi près qu’on voudra des conditions
proposées ; donc les racines négatives,
Imaginaires & incommensurables, désignent différentes
espèces d’impossibilité dans - la ' solu/ion,
mais d’impossibilité plus ou înoins entière, plus ou
moins absolue.9,° Mais quand’les racines imaginaires.sont mêlées
avec des racines réelles, qu’est-ce qu’indiquent
alors ces racines imaginaires ì Par exemple, « 3 —
EQU EQU 6) 5
V == o, a pour racine réelle u—b,tk deux autres
racines imaginaires qui sont celles deTejzzatzoïz, uu-\-
1 u -f- b b ==o , comme on Ta vu au mot CAS
IRRÉDUCTIBLE. Ces deux racines imaginaires,
dira-t-on, paroissent ici bien inutiles. Je réponds
que ces deux imaginaires ne sont point de trop ;
elles indiquent que s’il y avoit une quantité u , telle
que u u -|- bu -f- b b pût être égal à zéro, le cube
de cette quantité u seroit égalât 3. Voilà, ce me
semble, tout ce qui regarde les racines des équations
suffisamment éclairci ; passons à d’autres observations.


II y a quelques remarques à faire fur la manière
dont On résoud ordinairement les équations du. 2d
degré : soit xx —p x = q., on en conclut tout de

fuite x — -=± i/ — 4- S i mais, dira-t-on,
pourquoi fait-on x — - positif égal à la quantité

négative—l/— 4* î- 7 ^ e^ Dien vrai que_deuxquarrés

égaux donnent ries racines égales ; mais ce
doit être des racines de même signe : Cela est évident ;
car, de ce que 4=4, en conclura-t - on que

2 =— zì D’ailleurs - — x est aussi-bien que x--
2 ^2
la racine de xx—p x -\-p— ; on devroit donc

avoicpx±^=T/ — 4" ?• Je réponds, i.° que
cette dernière équation donne les quatre suivantes
5.x==-/« +î,'r,Sal/ff+î:or
les deux dernières sont évidemment les rriêmes que
les deux premières ; II suffit, donc de prendre le
double signe ± daris un des membres, & non dans
les deux à - la ^ fois, z." J’aimerois mieux résoudre
l’équation en raisonnant de cette sorte : la racine

çuarrée de xx-p'x + El est x— \, fi x > \ ',
Si t _ x, si x<~ : dans le premier cas,on aar£

— -j / ZE -j- q ; dans le second, on a- —ar ;=

v/ LE -j- q : ce sont ces deux cas très-distincts

& très-clairement énoncés de cette manière, qu’on
énonce tousses deux ensemble implicitement, & , si

je Tose dire, obscurément,en écrivant x -1 = d:
1/ EJ jç.q. Les inventeurs de l’Algèbre ont

imaginé cette expression pour abréger ; & cette
expression commode rend la métaphysique plus

obscure. Voyez > sur cela, ce qui a été dit au mot
ELÉMENS DES SCIENCES. .

Si on avoit xx -^-.px==q, alors on trouveroit,

en suivant le raisonnement précédent, x-\- -==

1/ l~ -|- q, ce qui ne donneroít que la racine

positive ; àTégafd de la racine négative ou fausse,
on n’en a que faire, puisqu’elle n&résout pas le
problême ; cependant on auroit cette- racine, íî
on vouloit, en changeant Ténoncé de la question
suivant les règles données ci-dessus ; ce qui donneroit
xx — px = 0 ,• & - -x, ou ar — £ =
*■ ' a 3,
On voit donc que, par cette manière que jè pro--
pose de résoudre les équations du second degré., on
sépareroit les racines positives nécessaires d’avec les
inutiles , les vraies d’avec les.fausses , &c. cette
méthode s^appliqueroit aux autres degrés , ú on
avoit une règle générale poûrrésoudre^ toute équation
: mais la règle dont il s’agit est encore à
trouver.

J’ai donné au mot CAS IRRÉDUCTIBLE une
théorie suffisante & neuve presque-à tous égards dé
la résolution des équations du troisième degré ; j’y
renvoie le lecteur. Je n’y ai supposé qu’une proposition
 ; c’est que si le second terme d’une équation
du troisième degré est nul, & que les trois racines
soient réelles , -le troisième terme a toujours lë
signe'—•. La question se réduit à-prouver que. si a
-\-b -f- c = o, a ,b , c , étant de tel signe qu’on
voudra, & réelles,( voy. COEFFICIENT) , on aura
ab-\-a c-\-b c négative, c’est-à- dire — aa—aç—cc
négative , ce qui esl évident ; donc, si le troisième
terme est positif, il y a deux racines imaginaires.,
Du reste on trouvera dans cet article , pu explicitement,
ou implicitement , tome la théorie-des
équations du troisième degré. Passons’ au quatrième
degré.

Soit x4 4" ?** 4r ;t4î:= 0)  une équation k
résoudre , on suppose qu’elle soit le produit de
* x-\--y'x -+- ;[.=o_, &xx — y ar 4- zz=o ; &
ori trouve, en multipliantces deux équations l’une
par l’autre, & comparant le produit terme à terme
avec la proposée , les équations suivantes :
L’e'quationye , &c. =0, étant du sixième degré a
íìx racines ; & les équations xx 4- y x -f- z =0, x x—
y x 4- K=O , en donnant chacune deux pour cha-
é<é equ equ' ' .que valeur dey ; voilà donc, dira-t-on , vingfquatre
racines, quoique, suivant Ia théorie connue,
l’équation x*, &c. ne doive avoir que quatre racines
possibles. Je vais montrer que ces vingt-quatre
racines se réduisent à quatre.i.° Dans l’équation y\ &c = o, où tous les termes
pairs manquent , il est évident que chaque
racine positive a fa pareille .négative. Cela est évident
 ; car faisant y y ;= z 3 'l’équation est du troisième
degré. Voyez ABAISSEMENT. Or soient
A, B i C , ìes valeurs de Í j on aura y y = .4  ;
donc y = + l/ A , y - — \f A ; de même y
= ±\/B, y=±\/ C.Celâpofé.Soit a une des valeurs y, — a en sera une autre ;
& l’équation x x -j-y x -f- ï donnera,Ces deux dernières équations reviennent au
même que les deux précédentes ; donc voilà déjà
quatre équations réduites, à deux, & vingt-quàtre
à douze.Je dis maintenant que x xît a x -f- -+ ~ 4"
—a, donnera les mêmes racines que xxúlbx 4-"1 4" 7" ^F ~b> en supposant +£,>-& deux autresracines de l’équation y b 4- 2. q y*, &ç. = o. Car
soit y y — a.a, yy — b b, yy-r-cc, les trois
racines, on aura 2.qj=-aa-b b.-cc, r==àbc ;
& les deux équations précédentes deviendrontsont aisées à trouver, & sont les mêmes. On trouvera
de même que xx±cx-— 4- ^í _*—-+-4 ' ' 4 4(L b — o, donne encore les mêmes racines ; donc,
en général, les douze racines se réduisent à quatte,
§L ces quatre seront : ■Car jl faut remarquer que le signe - de ^ répondà" 4- a x ^ & que le signe 4- répondra — ax, il ne
faut pas prendre -f- a x avec -\- bc , nì — ax avec
— bc.Si on fait quatre équations simples de quatre valeurs
précédentes, de x , on formera par le produit
une équation du qnatrième degré qui fera la même
que la proposée, en mettant pour q, s, r, leursaa—bb—ccg1aabb—aacc—bbccvaleurs- —— 3 -— -,& d b c. Ainsi, tout s’accorde parfaitement, comme
on le voit. II y a quelques auteurs qui ont traité ce
derriier article des équations du quatrième degré
avec assez de soin ; mais, ce me semble , d’une
manière moins simple que nous ne venons de
faire.En résolvant d’une certaine façon quelques équations
du quatrième degré, on tomberoit dans un inconvénient
semblable à celui du cas irréductible,
èesl-à-dire , qu’on trouveroit des quantités réelles
sous une forme imaginaire. Soit, par exemple, x4-^—
zz 4 = o, on a deux racines réelles x -a, x-- a ,& deux autres imaginaires x ~ \f - a a , x = -f/ •— a a ; cependant fi on fùpposoit que l’équation
ar4-— zz4==o , fût venue de ces deuxrC.ixx-f-px-|- ■
q, x X'—px-\- q , on trouveroit z q —pp=ó,qq~
-T- <z 4 : ainsi, on auroit pour les deux équations, dont,
la multiplication produit x4—a 4 , ces rieux-cí-:équa.tions d’où Ton ne tirera que des valeurs de x
sous une forme imaginaire ; néanmoins de ces différentes
valeurs une fera = a, & une antre ==—-a
Voyez fur cela l’article IMAGINAIRE. Voyez aussi les
mémoires de l’acad. de Berlin, Y]àfi> tk l’ouvrage
cité de M. de Bougainville.II est aisé de voir par. tout ce qui a été dit , qu’il
•n’y a jusqu’à présent que les équations du second
degré dont on ait une solution complète ; car, i.° les
équations du troisième degré tombent souvent dans
le cás irréductible. 2.° Si une équation du troisième
degré a une racine réelle & commenfurable , cette
racine commenfurable se présente sous une forme
incommensurable , & il faut du travail pour la
dégager de cette forme. Voyez RACINE & EXTRACTION.
5". Les équations du quatrième degré
se réduisent, comme on vient de le voir > au troisième
, & sont par conséquent sujettes aux mêmes
inconvéniens ; ' , ■ -,Lorsqu’une équation du troisième degré a une.
racine commenfurable, le plus court moyen de la
déterminer , est d’essayer tous les diviseurs du
dernier terme ; M. Neuton ,.dans son arithmétique
univaj’elle , a donné une méthode pour abréger
considérablement cet essai. Nous ne dirons rien de
cette méthode j qui a été fuffifarnirient expliquée &- développéeEqu - e 0 û '<SK7ïévelpppí'épar MM. s’Gravesande & Ctaìraut, daris
leurs éléme7is d’Algèbre. -Paslé le quatrième degré, on n’a plus de méthode,
mêmeimparfaite& tronquée, pourrésoudre
les équations. Si la racine est réelle, il faut essayer
les diviseurs du dernier terme ; fi elle estincommensurable,
il-faut tacher de connoître à-peu-près
cette racine ën nombres entiers , & se servir ensuite'
delaméthode expliquéeau mot APPROXIMATION ,
pour approcher de plus en plus de la même valeur.
Si on trouve deux quantités a , b , peu différentes
Tune de l’autre , qui étant substituées à la
place de x dans une équation , donnent, Tune un
résultat positif, l’autre un résultat négatif, il s’ensuit
que la valeur qui donne le résultat ==ò , &
qui est la vraie racine del’équation, sera entre a tkb.
On en a vu la démonstration à l’article APPROXIMATION.Cela
 peut encore se démontrer dé la
irianière suivante.Soit construite aine courbe de genre parabolique
: nous verrons clairement que.si une valeur
de x donne l’ordonnée positive, & qu’une autre
valeur de x donne une valeur négative , la valeur
de x qui donnera l’ordonnée == o , sera "entre ces
deux-là : mais il ne faut pas conclure que si on
•diminue , "ou qu’on augmente tant soit peu cette
valeur de x, qui donné le résultat == o , on aura
deux résultats de signe différent ; car if est évident
qu’une courbe parabolique peut atteindre son axe
fans le couper, mais en le touchant seulement ;
& en général, pour qu’une quantité passe paf le
zéro , il n’est point nécessaire que les deux états
voisins de cette quantité, l’un avant, l’autre après
l’égalité à zéro , soient des états opposés. Cela '
est clair par les tangentes parallèles au diamètre'
•du cerclé, où l’ordonnée positive devient zéro, &
redevient ensuite positive , & par une infinité
d’autres cas semblables.•Dans les mémoires de Vacadémie des Sciencespour
l’armée 1747 , pag. 665 , on trouve un savant
mémoire de M. Fontaine sur la résolution des
équations. L’auteur annonce -qu’il donne ce.mémoire
pour Vanalyse en entier , telle qu’on la
cherche. -, dit-il, si inutilement depuis- Vorigine de
l’Algèbre. II se propose en.effet , de donner dans
cet ouvrage des règles pour déterminer", dans une
■équation quelconque proposée. ; j.° Ta nature & le
nombre des racines, c’est - à - dire , fi elles font,
"réelles,, égales ou inégales, toutes positives, toutes ;
négatives, ou eri partie positives & négatives,'ou.
enfin imaginaires en tout ou en partie. L’auteur .
suppose dans cet ouvrage la vérité d’un théorème
que j’ai démontré le premier, &, dont il a déjà .
été fait mention plus haut : savoir, que toute racine
imaginaire d’une équation peut toujours être
exprimée par a-j-b\/-i ;, a &. b, étant deux quantités
•réelles, & quily a en ce cas encore une autre racine
exprimée para—b {/ — 1. Nous n’entrerons
point ici dans le détail de la méthode donnée par:,
Mathématiques. Tome I, IL’Pertie.M. Fontaine ; elle, esl si bien expliquée dans lemémoire
cité, & présentée avec tant de précision ique
nous ne pourrions absolument que la transcrire
ici : nous y renvoyons donc le lecteur. Nous
ferons seulement lés remarques suivantes, dans
lesquelles nous supposerons qu’il ait le mémoiresous
les yeux. ' ' '-i.° La quantité ou fonction formée des coëfficiens’
m ,n ,p , &c. (quiest égale à zéró dans certains cas,
plus grande que zéro dans d’autres, Síplus petite'
dans d’autres) se-trouve, en faisant égales entr'elles,'
quelques quantités parmi les racines de Y équation r/
car il y a toujours autant de quantités a,b ,c,d, &c.
dans les racines de l’équation, qu’il y.a de coëfficiens
m, n,p , q, &c. On a donc autant d’équations entre
ayb,c,d, &c. tkm ,n,p , q , &c. qu’il y a decoefficiens
m, n, p , q ; tk ori ne peut arrivera unequantité
ou équation finale , de laquelle a, b,'c, d,
&.C. aient disparu, que dans le cas où quelques-unes*
des quantités a ,b,c, d , &. seront égales ; autre2ment,
après toutes les opérations ordinaires destin
nées à faire évanouir les inconnues a,b ,c ,d., (voy.
ELIMINATION ) &c. ìlen resteroit toujours une,
puisqu’il y auroit autant d’équations, que d’inconnues.
Prenons, par exemple ,un des cas que M. Fontaine
a proposés, x1 — 3 x4" 1 —° ,:ouxx—mx4=-'n=s
o ; on trouve que (x—a) (x—b)  ou (x—a-j-by^-i}
(x — a — J{/ = i) ou(x—b-\-a\/— i) (x-—b—a.
. {/—ï )  peuvent être les trois systèmes de facteurs de
cette formule. Or , pour queles deux premiers systèmes
de facteurs deviennent les mêmes, il faut que
dans le pr(emier système b=:a ,& quequandieseçoná
i=so,- d’oùl’on tire xx—2 ax-\-a sr^ii-nu 4",.n ; doric m-==za, n=.aa=^.— ; donc dans le cas
- 4 ,de« r=Z>, on a mm—4n—=o. Maintenant pour crue
le second & se rrosième système de facteurs deviennent
le même , il faut que b. ==.'a dans les deux fyst-K
mes ; ainsi, on aura xx—za x -j- âa -\-a,.a=zo ; donc .Í7Z = 2« .,n^Zaa==. •—- ; donc mm—zn-=^o ;ainsi mm —An & mm— 2nsont,les deux quantités
égales, plus grandes ou plus petites que zéro, qui"
doivent déterminer ici les racines égales -ó'u les
racines réelles , pu les racines imaginaires, & de' "
r,plus le figne & la forme des racines. ' ."'' z.° On v.oit assez paf la nature- de la méthode de .
M. Fontaine, qu’un système defacteurs étant donnédans
le second, ou même dans le troisième degré,' on trouvera la nature dela formule d’équation qui
en résulte, c’est-à-dire, le figne de chaque coefficient
de cette formule ; mais on ne voit pas, ce me semble
, avec la même clarté comment on déterminera
la formule qui résulte d’un système de facteurs,
système' 'delfacteurs , en cas que ce système puisse
: dans, les équations plus composées que le troisième
degré ; ni. s’il sera toujours possible d’assigner exactement
toutes les formules qui résultent d’un mêmeJ O 000« 8 * í<2u' equ ;produire plusieurs formules. II seroit à souhaiter qne
ceux qui travailleront dans la fuite d après la méthode
de M. Fontaine, s’appliquassent à développer
ce dernier objet. . . _ 'a." M. Fontaine suppose que la quantité qui est=
© dans le cas de la coïncidence de deux systèmes de
facteurs, est nécessairement plus grande que zéro
pour l’un de ces fyslêtnes de facteurs, tk plus petite
pour l’autre. II est vrai qu’il arrive le plus souvent
qu’une quantité égale à zéro dans l’hypothèse de
denx quantités qui coïncident est positive, & négative
dans les deux cas imfnédiatement voisins ; mais
cela n’arrive pas toujours. Par exemple , lorsqu’une
courbe de genre parabolique toucheíbn axe, & que
par conséquent l’abscisse x répondante à l’ordonnée
y-o, a deux racines égales, il arrive souvent qu’en
faisant x plus grande ou plus petite qu’une de^ ces racines
, on a y positive dans lês deux cas. Cén’est pas
tòut. II pourroitarriver que dans les cas infiniment
-voisins , ou extrêmement voisins de celui qui a
donné l’égalité à zéro, la quantité formée de m, n ,
p , q, tkc. fût plus grande que zéro pour un de ces
cás &plus petite pour l’autre ; mais esl-il bien certain
que dans les cas qui ne seront pas fort voisins de
celui qui a donné l’égalité à zéro , il y en aura toujours
un qui donnera la fonctions o, &que l’autre
donnera la même fonction < o ? Une courbe qui
coupe son axe en un point, a près de ce point endeslus
& en-dessous des ordonnées de différens
signes ; mais il est rrès-possible que toutes les ordonnées
au-dessus & au-dessous ne soient pas nécessairement
de différens signes , parce que la courbe peut
encore couper son axe ailleurs. M. Fontaine dit que
s’il y a plusieurs fonctions - o, Usera toujours facile
de reconnoîue laquelle de ces fonctions est toujours
plus grande que zéro dans l’un des deux systèmes, &
toujours moindre dans l’autre ; il semble que, suivant
son principe , dès qu’une fonction est égale à
zéro dans le cas de la coïncidence de deux systèmes
de facteurs, elle est toujours plus grande que zéro
dans un de ces systèmes, & moindre dans l’autre.
S’il y a des cas où cela puisse n’avoir pas lieu
( comme M. Fontaine semble Tinsinuer ) , pourquoi,
dira-t-on , n’arriveroit-il pas quelquefois que cela
n’auroit lieu dans aucun cas ?Enfin M. Fontaine détermine par le calcul d’un
seul cas numérique particulier d’un des deux systèmes
, celui où la fonction est>o , & celui où la
fonction esl plus petite. Cela peut être encore sujet
à difficulté ; car cela suppose que la formule est
toujours >o dans un des cas, & toujours < o dans
l’autre. Or, dira-t-on, ne pourroit-il pas arriver que
la formule fût à la vérité toujours>. oú < o, dans
les deux cas pris ensemble ; mais qu’après avoir été plus
 grande que zéro dans l’un de ces deux cas,
jusqu à une certaine valeur des quantités a ,b ,c,d\
&c.&plus petite dans l’autre cas, elle devînt ensuite
plus pente que zéro dans le premier cas, & plus
grande dans le second ?
• Nous ne prétendons point par ces difficultés att’a-, -quer, ni encore moins renverser la méthode de
M. Fontaine ; elle nous paroît pleine de sagacité &
de finesse , & digne de toute Tattention des favans ;
nous Ia regardons comme une nouvelle preuye du.
génie supérieur que l’auteur a déjà montré dans
d’autres ouvrages (voyez INTÉGRAL fy TAUTO-T
CRONË )  ; nous desirons seulement que M. Fontaine
trouve ces difficultés assez capables d’arrêter les géomètres,
pour chercher à les lever entièrement dans
un autre écrit ; & mettre fa méthode à Tabri même
de toute chicane ; Afin de l’y engager, voici à quoi
nous réduisons la queslion. La formule esl = o dans
le cas de l’égalité de certaines racines ; soif cette
formule appellée P. Supposons maintenant les racines
inégales, eh sorte que 21 soit leur différence
(c’est-à-dire que -) - t doive être ajouté à Tune, &.
— t à l’autre ) , en ce cas la formule deviendra P ~fc,
Rt+Stt+Q-V, tkc.-R, S, Q, désignant
des quantités connues ; or , pour que la méthode
de M. Fontaine ait lieu dans tous les cas, il faut,
i." que R ne soit jamais = o , ou du moins que si
R =o , S le soit aussi, en un mot que t se trouve
toujours à une puiflànce impaire dans le premier
des coëfficiens ; autrement étantsuppofé très-petit,
les deux formules scroient Tune & l’autre >pu < o,
t étant positif ou négatif : z.° qu’en supposant t positif,
R t -\-Stt -f- Q z3 &c. soit toujours du même'signe, t ayant telle valeur qu’on voudra : 3.° qu’en
supposant f négatif , R t -j- S11Q í 3, &c. soit
, toujours de signe contraire au précédent, t ayant
telle valeur qu’on voudra. Ces trois propositions
démontrées, il ne restera plus de doute fur la gérnéralité
& la certitude de la méthode proposée par
M. Fontaine.U seroit encore à souhaiter que l’auteur donnât
une démonstration de la méthode qu’il propose,
pour approcher, aussi près’qu’on veut, dés racines
des équations ; il semble supposer encore dans Texpofé
de cette méthode, que quand une certaine
valeur de ? rend = o une quantité ou fonction de <?,:
deux autres valeurs de q>, Tune plus grande, l’autre
plus petite, donneront Tune moins ou plus que
zéro, l’autre plus ou moins que aéró. Cela n’est pas
vrai en général, mais cela pourroit Têtre dans le
cás particulier de M. .Fontaine '*, & c’est ce quil
seroit bon de prouver. Voyez l’article RACINE.II nous reste à faire quelques réflexions fur les
équations appliquées à Ia Géométrie/ On trouve ,'.
dans la Géométrie de Descartes, par quel raisonnement
il est parvenu à appliquer les équations
indéterminées aux courbes ; les mots COURBE,
.DIFFÉRENTIEL , TANGENTE , &ç. & autres scriiblables,
font voir en détail les applications & les
conséquences de ce principe. On a vu aussi au mot
CONSTRUCTION , comment on construit les équations
par la Géométrie. .11 ne nous reste .ici qu’un
mot à dire fur la multiplicité des racines des équa-t '
tions en Géométrie. Les’observations que nous ,
-avons à faire fur ce su jet,, font une suite de cellesEqu equ í(9iqtjç nous avons déjà faites fur les racines multiples
des équations algébriques. > :Supposons, par exemple, qu’on propose de diviser
une ligne a eri moyenne & extrême raison ; nommant
x la partie cherchée de cette lign i, on aura a :
Kl I* « a-x ; d’où Ton tirexx -f- ax-=.aa y tkx =a ^^^-*7". |r \s saa y la racine négative de cette tquaz-. 4tìon nesauroit servir ici, mais elle serviroit à la solution
de ce problème, trouver dans le prolongement
de la ligne donnée a une ligne x, telle que a'.xl’.
x', a-j- x ; dans ce cas la racine négative devientpofiti
vc, & la positive négative ; & l’équation est x x
r^ax — aa. . 'Sion propose de tirer du point A une 1 i gne A E
(sig. 11. Algeb.)  dans un cercle, telle que Ir> O étant
perpendiculaire au diamètre AD, tk donnée de position
, on ait £ F = à une ligne donnée à, on aura
çn nommant B*F, x, une équation du quatrième
degré qui n’aura ni-second, ni quatrième tërrrie ;
cétte équation, aura deux racines positives B F &
B f, telles que F E d’une part., & / e de l’autre ,
seront égales à a ; tk deux autres racines égales aux
deux précédentes & de signes contraires , parce
.qu’en achevant le cercle ,. & prolongearit ÓB endessous,
le problême aura deux solutions pareilles ;
iì a étoit plus grand que B D , les racines feraient
imaginaires. •Siohhommoit AF,x,B O ,b, A C,r,AB>c,
on auroit b b - x x -j-c c-=.ax ou 2 rc = xx -f- ax ;
la racine positive est A F., &la négatives/, parce
que cette racine négative , si ori la traitoit comme
positive, donneroit ax - B f1 - B O1 = xx- bb—.
-cc — xx—zrc, &nonpasax-=5 O1 — B Fz
Voilà un cas où deux racines de différens signes
n’indiquent pas des dispositions diamétralement
opposées dans les lignes A F, Af, qui représentent
ces racines, mais seulement lé changement
de figne du second terme zz x dans Y équation du
problême. 'Dans ce dernier cas, c est-à-dire, en prenant A F
jour Tincônnue , l’équation n’est que du second
degré, au lieu que prenant B F pour inconnue ,
elle monte au quatrième ; d’où Ton voit comment
par le bon choix des inconnues ont peut simplifier
un problême en plusieurs occasions. Mais, dira-t-on,
jpourquoi le problême a-t-il quatre solutions dans
un. cas, & deux feulement dans un autre î Je réponds
que dans ce dernier ças il a aussi quatre solutions
comme dans le premier ; ou pour parler plus
exactement, que B Fa quatre valeurs dans les deuxcas ;"car B F= + V' ÀF- — AB*, ce qui donne
deux valeurs égales de différent signe pour chaque
valeur de A F. Voyez encore d’autres observations
fur un problême de ce genre à l’article SITUATION.
Autre question. On propose d’inscrire dans un
rectangle donné AB DE (sig. 11. alg. n. s…)  un rec-.
iangle ab de, dont les côtés soient également éloi'gnésdes cótás du grand, & qui soit à ce grand rectangle
comme m est à n : soit A B — a , A D — b ,
A Ç= x, on aura (a- Zx) X[b-ix) \ab-',',m’.
n , & on trouveta par la résolution de cette équation
, qu’en supposant m<^n , x a deux valeurs
réelles & positives ; cependant le problême n’a évidemment
qu’une solution , maïs il renferme uné
condition que. l’Algèbre ne peut pas énoncer,
savoir -que le rectangle ab d e soit au-dedans de
l’autre : si on avoit zz 6: ( Zx-a) (zx- b) \°.n’. m ;
on trouveroit la même équation , & cependant ce ne
seroit plus le rnêmeproblême. Le parallélogramme ,
_ rectangle qui satisferait à cette queslion, seroit alors
celui qu’on voit,fig. i i ,n. 5 ,dans lequel^ test égal
à la plus grande valeur positive de x, & A C~ Ca ;
le côté d d esl éloigné de A D comme le côté code
AB , & ainsi du reste ; mais le rectangle abc à
n’est pas au-dedans de l’autre ; condition que TA1*
gèbre ne peut exprimer. Voyez SITUATION.Sur les équationsdifférentielles , exponentielles) , tkt.
voyez DIFFÉRENTIEL, EXPOSANT , ËXPONEN- '
TiEL , INTÉGRAL , CONSTRUCTION, &C.Oii appelle quelquefois équation , en Géométrie &
en Méchanique , ce qui n’est qu’une simple proportionnalité
indiquée d’une manière abrégée ; par
exemple , quand on dit qu’un rectangle est égal au
produit de fa base par fa hauteur, cela signifie
explicitement : si on a deux rectangles, & qu’on
prenne une quantité quelconque linéaire a pour Ia
mesure commune de leur base & de leur hauteur ;
que B soit le nombre de fois ( entier ou rompu ,
rationnel óu irrationnel ) que la base de l’un contient
a ; que iîsoìt le nombre defois que la hauteur
du même contient zz^,- que b soit le nombre defois
que la base de l’autre contient a ; que h soit le
nombre de fois que la hauteur du même cotient ; .
a , les aires de ces deux reélagles serontenîr elles’
comméle produit des nombres i ?, H, est au produit
des nombres b , h. De même , quand on dit
que la vitesse d’un corps qui se meut uniformément,
est égale à Tefpace divisé par le tems, cela veut
explicitement : si deux corps se meuvent uniformément
, & parcourent , l’un Tefpace E pendant le
tems T, l’autre Tefpace e pendant le tems t ; qu’on
prenne une ligne zz pour commune mesure des espaces
E , e , & un tems 8 pôur commune-mesurer
des tems T} t, les vitesses seront comme le nombre— divisé par le nombre -r- & au nombre — divisépar le nombre y Voyez MESURE , VITESSE ,
&c.(0) - * EQUATION. ConstruSion & usage d’une machine
pour trouver les racines de quelque équation’que ce
puijfe être. ( Algèbre. Machines. )  La machine dont
, je vais doriner la description peut s’appliquer à
toutes les équations de quelque degré qu’elles soient.
Avant que d’en donner la construction, il convient
d’exposer en pçu de mots la théorie fur lanO o o ó i jiêo equ EQUquelle elle esl sondée : elle suppose , danscèu* mû
liront cet article, quelque connoislance d Algèbre.Soit {'équation à résoudre <z -f- Z> x -f ç x x -}ex ;,
 &c.'= o. Tirez fur la ligne Z Z prise pour
base ( Algèbre , Construâeur universel d’équations ,
// ?. I ) les perpendiculaires S S tkRR , éloignées
"lune de l’autre de telle dislance qu’il vous plaira.
Prenez ensuite sur la ligne i^de Tune ou del’aucre
figure les parties O A, AB ,BC, CD , &c.
proportionnelles aux coëfficiens a, b ,c , d, tkc.
de l’équation , observant de prendre chacune rie ces
, lignes de bas en haut, à compter de Textrémité de
3a dernière , lorsque le coefficient qu’elle doit représenter
esl positif, & dans un sens  ; contraire
iorsquil est négatif. Cela fait, tirez par Textrémité
de la dernière des lignes O A, A B ,BC, &c.
lavoir par D , la ligne D C , parallèle à la base
ZZ, & par le point C, où D C coupe .Ri ?, c C, tk
parallèlement à i 15, & à telle distance qu’il vous
fslaira MM ; par le point où c C coupe MM, la
ligne k b parallèle à D C ; pat le point b , ou la
dernière coupe R R, la ligne b B ; par le point pu
celle-ci coupe MM, l a- parallèle à D C, & enfin
par le point a , où b B coupe MM_, l a , & par
îe point a, où la coupe R R , la ligne a A. Supposons
maintenant que les lignes S S ,-R R, C c ,
représentent trois règles avec des rainures telles ,
<m’on les voit figure 3 , que vous fixerez daris leurs
places respectives SS, R R , C’a fur un plan ou
châssis de grandeur suffisante.Soient B b, A a , d’autres règles de même forme,
•qui se meuvent fur les centres B , A, &c. lesquels se
meuvent eux-mêmes en haut & en bas le long de la
règle S S, mais de manière qu’on puifle placer les
centres B &.A l’un fur l’autre, ou fur C, si Toccaíipn
le requiert, & Jes arrêter avec des écrous, savoir
Te centre A en A, le centre B en B , tkc. Soient
k b & l a , d autres règles mobiles , comme les
premières, & disposées de façon"qu’elles se meuvent
toujours parallèlement les unes aux autres ,
& à Ia ligne De &.-M M , une autre règle de
pareille forme. On assemblera les règles K b & MM
avec la. règle fixe C c au moyen d’une pointe couTante
qui'passe pour le point q, où leurs rainures
.sc coupent. On assemblera dé même les règles K b ,
B b , la & A a ensemble, & avec.MM&.RR,
avec de pareilles pointes qui les traversent dans les
points b-,, r■ , a tk s. La derniere de ces pointes
doit être faite de manière à pouvoir porter un
crayon/Je dis maintenant que fi Ton avance pu
recule la règle MM de S S, en sorte qu’elle lui
soit toujours parallèle, le crayon s décrira la courbe
. qu’on demande ; que les distances à compter du
point O où le crayon coupera la base Z Z , à droite '
de S S, marqueront les racines positives de l’équation
 ; celles qui seront à gauche , les racines négatives
 ; & les endroits où il approchera de la
base sens la toucher, le racines impossibles ou imaginaires.
Ces dislances doivent être prises fur uneéchelle, fur laquelle la ligne D C sera prise pour !
Tunité.Démonstration: Puisque les lignes O A, ABj
B C, &c. sont proportionnelles aux coëfficiens a,
b, c, tkc, supposons que la première O A soit
égale au premier coefficient zz, ou à telle de ses
parties qu’on voudra, iz par exemple ; elle seroit.- : alors, pour conserver la proportion ci-dessus^
Ia suivante A B sera égale à£, Bc à9- .& cD à-, &c. Si Ton nomme OO ou son égaleZ>P,x,
pour lors De étant prise égale à Tunité, P c sera
égale.à i~x ; & comme D C est égale à-, on
aura, à cause des triangles semblables D C c Sc.T, '■ . ' .. d ■ d — dxF q c, cette proportion 1 . i-x .. - ;=P ? ou D K : mais KB=àJB J&+ CD-DK*,'-.,. , c , d—d— dx r . , Í + ÍJ ,  ;c esl-à-dire, à - -f , savoir, a - ■ , ■ Lesmêmes triangles semblables, donnent Kb\qb\\
KBígr, c’est-à-dire, 1 ; r— x* ;c-4-tí x: c+ dx— c x — d xx -, '-—-—- ■ '■ —-—: ~q r Pu JLl : mais. n ■ . .nAl=AD—DK—Iíí,ou- -f ;í 4- ì -f
d — dx . c-S-rfx—ti—>dxx - b + c xJ-d xx,— ---— ■ OU a , .- a ' . -n "Les mêmes triangles donnent encore là\xa\ ZAI. • ..b + cx-i-dxxAl. rs,oiu ; i-tíc. '. . -. —- — :.-b-\-c z-r-dx x — bx — cxx— dx x x _. _'.— : t=.rs* Or Qsjn . ■ . T ■qui, par la figure, est égal à .QJP — P q - q r - raô-i-b+e^-d—d dx c Jfd x —ix-dxx' ' -n .' !_ »•.bA-cxA-dxx — b x— c xx- d x A x - .. .•—■—■. ——— , • savoir-.in
a-\-bx-\- c xx 4- dx x x . ., , .r— ; & par conséquent, lorsqueÇs=o, c est-à-dire, lorsque la courbe décrite par:_ -, „■- a-i-b ar + c xx-r-dxi ' .S coupe la base-,.■ =°j ou i:-c + bx 4ci x-\- d xxx- .. „,. . -—: ,.qui, par \ équation même,".esl égale à o. Q s, dàns ces circonstances,sera donc.,
aussi égale à a -j- 6 x -f- cxx -(-■ dxx'x, & parconféquent
toute valeur de x ou de O Q , qui rend
a- -J- 6x-j-cxx-) -z ?xxx=o, rend pareillement
Q s égale à zéro. Or toute valeur de x qui
rend a -j- b x -j^ c x x -f- d x x x = o ,.. est une
racine de l’équation proposée a -j- b x -j- cxx -f<ixxx
= .o ; donc la courbe coupera la base ZZ
pour chaque racine réelle de cette équation, soit
positive ou. négative,, & ne. la .touchera point loxCifeq tj e o u -6èvtjuelie-íera imaginaire , comme le sayenr-çëux-guí
connoissent les propriétés des courbes. C Q. F. D.
( Cette démonstration est applicable à toute autre ;
équation que Ton voudra. - !'Nota. Pour avoir les racines négatives, on placera
les règles à gauche de S S figurez, où elles
sont marquées par lès mêmes lettres que dans la ■
première figure. Par exemple, pn posera, la-règle
Cc de c ou*/, là règle B b rie b ou r, la règle zz^í
de m ou s, vers la gauche, én forte que les centres
Aj B , des deux dernières se trouvent fur la ligne
.fixe S.S. . ; ..''-,.II n’est pas nécessaire que la courbé soit décrite
avec exactitude, ni.même qu’elle tombe fur le plan,
excepté lorsqu’elle coupe la base ;, &• par conséquent
on ne risque rien à faire des lignes O A, AB,
&c. fort longues. Mais les régies fixes OD &LTC, I
doivent être si près l’une de-l’autre, que leur distance
De: ou O T,- étant prise pour ;.Tunité-., la
_ base .0 T qui s’étend à droite juíqu’à.Textrérnité du
plan, puisse contenir toutes ses racines positives,
à gauche toutes les négatives. -- ;■•■■II y a encore une chose.à .observer : c’est que. si
l’on a une équation comme.celle-çi x x x — ^ x x -f- :
:i2co.x -f- c>boo==.o , dont.ses coëfficiens ;« ., 120,0
& 9000. sont si différens. Tun ; de l’autre, qu il seroit ;
difficiledeT.es prendre fur la ligne O D ; on peut les ■
réduire de la manière suivante: c’est de ruettre dans  ;
Yéquation à la place de chaque.x,.iQ xj 20x, ou
ico x. Je suppose qu’on mette zo x y pour lors , au ;
lieu de x xx, on aura 8000 xx x, au lieu de-5 xx,
.—,2000 x x.,: &c.. & l’équation sera changée en celle- í
ci 8ocò xxx — 2000 x x 'H- 24000 x ^f- ç) oqo-o. -
Divisant chaque terme par 1000, on aura cette autre ;
8xxx-2xx4- Hx 4" 9 :=C 3, dont la réduction !
sera. plus, aisée. Mais on se souviendra pour lors, Í
que faisant x, 20 foisplus grand qu’il n’est, les racines :
que vous trouverez seront pareillement vingt fois
plus -.petites, & qu’il faudra par, conséquent les ■
multiplier par 20, pour qu elles aient leur juste '
valeur. - : : . . _. v ; ;."Voici quelques observations fur ^application deces règles qui peuvent avoir.leur utilité.: .-_.■■i. 6 Les racines d’une équation peuvent être de ; trois
 fortes, positives , négatives & impossibles ou
imaginaires:'' - . ;•'■■'''■2. 0 Toute équation- contient autant de racines
qu’elle a de degrés.' —3. 0 Les racines imaginaires sons toujours au
nombre, de dëtix..Par exemple, íi une équation aune, racine iriiar gihaire
 comme.celle--ci a-^by^ b - 1., elle eriaúrá.
une autre ; savoir, a-b\/' -1 ,.quHa suit toujours….
11 fuit dé-là que toute équation qui a des racines’
imaginaires-,, en confient 2, 4, 6-, &c. c’efí-à-dîre.,
qu’elles sont toujours en nombre pair.-Toutes les
fois "que la courbe , queles règles décfivetìt, ap-■
proche.de la base fans là couper, c’est une marque
qu’il y, a-deux racines impossibles ;, de sorte que si _elle -éîi approche trois fois ^Y équation contient, six
. racines imaginaires. C’est tout Ce que cés règles péú'
.yent faire par. rapport’à çës fortes, dé racines ; elles
fnafquent leur nombre, & non leur nature. J’enseignerai
plus bas le moyen de connoître celle-cí, Puis
 donc que les racines imaginaires sont toujours
eri nombre pair, &. que leur' nombre est égal au*
rdegfés de l’équation , il. s’enfuit : ."'"'.'4.° Que toute équation , dont le,nombre, dès
:degrës est. inîpair,, doit ; contenir.,.au moins une
racine.réelse,•'.- _-' > ■ - ;.■ ",.'-. ,5.° Que toute équation ;■ :dpnt le premier & le
dernier termes, après avoir été transposés, ont des
signes contraires,. contient au moins une racine
réelle. Lorsque cela arrive,. & que lé-nombre de
ses dimensions est,pair, ; de même que celui des
 ; racines .Impossibles, celui des racines, réelles-doit
,1'être pareillement^ : ■■:■'■',- - V- - -6° Que íi Ton divise une équation par Tincônnue,"
moins une de ses racines, on la réduira a unè dimension.plus
bas ;- comme toute- équation contient
autant de racines qu’elle a de degrés,. il s’enfuit’
^encore: •.•:■.■,..:..- : ' ., ; ;..:: „. • ■ r,7° Que retranchant le « ombre des racines imá*
ginaires de celui de ses racines , je veux dire, dit
nombre: de ses,dimensions, le'restant sera cëlurdes-racines
réelles.-Í -.'.•■:-':. :.■, !;-.8.° Après avoir trouvé, pat le moyen des règles J
les racines réelles -, faites la quantité inconnue a »
égale à:chacunë.: transposez les termes d’un.côtéí
multipliez les équations Tés.unesr-par les autres ,■■.&
divisez Yéquà.tion proposesepar le produit qui en
résultera.. Faites le quotient, égal-à .zéro ,. & vous
aurez une. équation.quí renfermera toutes les: racinesimpossibles
, ; fans. en ,■ ayoir "aucune de réelle: Qír
trouvera.enfuitc les racines impossibles par la-méthode
qu’enseigne ■AL._de. Bougainville dans son:
Traité du. Calcul, intégral, dans le cinquième ,&sixième
 chapitre de son introduction. C’est lameil-îeure
 que je, connoisseElïeconsiste à partager Yéquation donnée en deux:
autres du riiême nombr.ede dimenfions ?.màïs quihe:
contiennent que des racines réelles,. que vous trou-verez
 parlé, moyen des- règles., ou autrement : au
moyen.rie quoi ,, vous aurez toutes lès racines ;
impossibles de" votre équation.Comme peu de gens cormoissent cette méthodes
il convient de la donner ici ; ■"'•.,.,-.■-..
f L’auteur ' çonìmencë par donner làrièmonstratioB-.
dés deux'-propositions suivantes.-, _■-}'. .' -.'-■ Prop-. 1. Lorsqu’une quantité est’égaie à zéro, &
composée dé plusieurs termes-, dont quélquës-uns"
sont, réels,. &Tes autres multipliés par yt’—i, lasomme
de tous les rennes réels est égale à zéro ; 6c
eelle de tous ceux qui sorit-multipliës par j/" —■ 1,,,
égale pareillement à zéro. C’est- le soixante-neu-r
viéme article (se: son 'Introduchon:: :■ - ;. ; ; ' -'■:. - "Prop ;.
 1. Eorsqu’-ùneVj/zflsion: ne'.çohaënïqtré„dgg.Uz equ … . equ .racines imaginaires, on peut toujours supposer la ;
quantité inconnue égale à m + n y — i , dans la- j
quelle mtkn sont des quantités réelles. C est se hui- ,
tième article de la même introduction. _Par conséquent, pour trouver les racines d’une
équation telle que celle dont il s’agit, il faut mettre à
la place de chaque inconnue, x ,• par exemple , m
_j_ n \/ — i, & Ton aura une nouvelle équation qui
contiendra les termes réeh & les termes multipliés
paf y~-i, dont le premier & le dernier sont égaux
à zéro, par la proposition I. Faites-le donc,- & vous
aurez deux équations dont il vous sera facile de découvrir
les deux quantités m & n, de même que
celle de x, qui, par la deuxième proposition, est
-égale à m -f- n.|/"-i.Voici un exemple qui fera comprendre ce que
j’ai dit dans la première partie de cet àf ticle. Sup'
posez que les racines réelles, découvertes par lë
rnoyen:des règles dont j’ai parlé, soient a, b, -c ,
&c. Faites x=a, x-b , x--c , &c. Transposez
les termes , & vous aurez x-a = o ,-x-b — o ,
x 4- c - o, &c. Multipliez ces dernières équations ,
les unes par les autres, divisez Yéquation donnée
parleur produit, & procédez ;comme.j’ai ; dit-cidessus ;
'■■.-'■■'.■■. 9. 0 Le plus grand coefficient négatif d’une équation
quelcorique, considéré comme.positif, & augmenté
de Tunité-, excède toujours la plus grande
racine positive de {'équation. Par conséquent,io.° Si en place de la quantité inconnue x de
l’équation, vous mettez le coefficient, pris comme
positif & augmenté de Tunité, moins x , toutes
les racines deviendront positives. Dans, ce cas ,
vous n’aurez besoin que des règles de la figure j ,
dont les centres sont à leurs extrémités, & elles
vous suffiront pour tous les cas possibles ; car vous
devez avoir observé que les centres de celles de la
deuxième figure sont autrement disposes.II.° Si, après avoir rendu toutes les racines de
votre équation positives, vous voulez vous éviter la
peine detransporterla règle MMà la droite de RR ;
ce qui est sujet à quelque inconvénient, je véux
dire, si vous voulez que toutes les racinesdevotre
équation se trouvent entre O &.T, ou éntre zéro &
Tunité, au lieu de la quantité inconnue x de la dernière
équation , mettez x multipliée par le plus
grand coefficient négatif, considéré comme positif
& augmenté de Tunité. Par exemple , si le plus
grand coefficient négatífdeTe'jzzatíon est-9, mettez
10 x à la place de chaque x, & vous aurez une.
nouvelle équation , dont toutes les racines se trouveront
fur la ligne O T, fans qu’il soit besoin"de
la prolonger, Par elles seront moindres que Tunité,
je veux dire, queDCou OT ; mais, après avoir
ainsi trouvé les racines, il faut les multiplier par
le coefficient augmenté de Tunité , c’est-à-dire,
dans 1 exemple ciTdessus, par 10, parce qu’ayant,
mis 10 x pour x, on rend chaque racine dix fois
plus petite quelle n’ètoit.Ces propositions sont reçues de tous les algëbrisles,
& n’ont pas besoin d’être démontrées. '
■ Voici Ia description d’une machine pour régler
le mouvement des règles dont j’ai parlé relie n’est
que pour les équations du deuxième degré 5 mais
on peut également Temployer pouf toutes les
autres. - ' '  ;AB CD, figure 4 , est un châssis de fer ou d’acier.,
compose de quatre barres de fer assemblées par leùís
extrémités, qui forment un parallélogramme rectanglede
douze pouces de long fur huir de large,
aux quatre coins duquel sont des appuis EF, GH,
IK, tk LM, fur lesquels il porte. Sur le côté A,
est un coulant N, qu’on peut arrêter avec une vis
dans tel endroit qu’on veut, & fur lequel Ia traverse
NO tourne sur son centre. Son autre extrémité
tient par le moyen d’une vis, avec son écrou"
à la traverse P Q , qui est pareillement arrêtée fur
le châssis aux endroits P & Q_ , mais" de manière
qu’on peut Tapprocher ou T éloigner à. volonté de
Textrémité A. Cette traverse est représentée parla
ligne R R de la première figure. Les quatre' appuis
£ F, GH, IK, LM, portent trois tra-,
versans S T, UX tkY Z , fur le premier desquels
est tine-boîte coulante o , qui sert de centre
au traversant à b. Le second tk le troisième, sa<vòir
 UX tk YZ, sont pareil lerrient garnis dedeux'
noix coulantes -e tkf, qu’on arrête où Ton veut
par le moyen d’une vis, tk auxquelles la soie ef
est attachée. Lës trois traversons ST, UX, A, ou
plutôt la ligne tracée fur celui d’en haut, repré■senre
la ligne S S de la figure -1,' & lá soie ef, lá
•base ZZ de la même figure. ■- >' 'ghi k est un autre parallélogramme, environ deux
fois plus long que le premier, dont les côtés gk &
■hi, coulent dans des supports attachés par des vis
au châssis AB CD, dont trois sont marqués par les
lettres l ,m’,n , tk ont des dents triangulaires pardessous
, depuis g- jusqu’à d , tk depuis h jusqu’à 0 ,
lesquelles s’engrainent avec celles dés deux roiiej
& t de mème diamètre, dont Taxep r est soutenu
daris deux endroits , savoir zz, & un autre qu’on ne
peut voir dans’la figure. Ces dents servent à régler
íè mouvement des traversons gk tk hi, lorsqu’on
fait mouvoir la machine ; au moyen de quoi, les
barres nx tky z> qui coulent dans deux pièces I &
2 sont toujours parallèles. Elles sont représentées
par la ligne MJM deTa première figure. Celle de
dessous nx est garnie d’une pointe 3 , dont Textrér
friité supérieure passe dans la rainure de la barré 4,
5 , & Tinférieure parcelle de Talidade NO. Sur la
barre, de dessus y z > est attachée une pointe perpendiculaire
6, 7, dont on peut ôter la pointe pour y
mettre un crayon ; cettè pointe représente le point s
tk la première 3 , le point r de la première figure.
Sur la barre 4 , 5 est un boulon rivé 8 ", qui est
placé directement au-dessus de la rainure de la
barre P Q , & qui représente t e, le point a de la
première figure. Les deux traversons 9, 10 , II .
[ & 12, cousent dans les supports 13,14, ÏÍ& 16,Equ equ 66$fònt garnis de dents triangulaires, qui engrainent
avec celles des roues 17 & 18 , dont Taxe est
marqué par les nombres 10, 20. Ces roues règlent
le mouvement des barres, & font que celle qui est
marquée par les chiffres 4, 5, se meut toujours
parallèlement ; elle est représentée par la ligne Z a
de la première figure. Les coulans e, f, c, IVtkR,
étant arrêtés avec des vis, dans les endroits convenables,
selon les coëfficiens. de Yéquation , ainsi,
qu’on 'le verra dans l’article suivant, en avançant
ou reculant Ja barre, g h , on fera mouvoir la machine
, & la pointe. 6, 7 , décrira une courbe qui
sera le lieu de Yéquation. Les endroits où elle passera
sous la foie ef, à compter de la ligne ponctuée
, qui est marquée fur la traverse UX, iridiquérà
les racines réelles ; & lé norribre de sois
qu’elle approchera & s’éloignera de la même soie
sons passer dessous, marquera celui des racines imaginaires.
Au-deffus des montans E E , GH, IK
& LM, sont-de petites pièces 21, 22 & 23, qui
empêchent ses barres qui coulent dessous, de sortir
de leurs places. Voici maintenant la manière.de
rectifier la machine pour une équation donnée.Arrêtez les noix e ,f, auxquelles la foie est attachée
à égales distances des soutiens EF tk L M ;
avancez ensuite la.noix c, qui porte Textrémité de
Ia. barre zz b , de sorte qu’elle soit plus éloignée du
soutien EF, que Tendrait OÙ VOUS avez arrêté Ia
noix e , d’un nombre de divisions prises fur une
échelle de parties égales, égal au terme connu de.
l’équation , s’il est positif, & plus près s’il est négatif
 ; & arrêtez-là dans cét endroit. Faites ensuite
couler Ia noix N, qui porte la barre NO , Téloignant
ou Tapprochant du soutien E F, plus que
ne Test la noix c , d’un nombre de divisions prises
fur là même échelle égal aucoëfficierit de Véquation,
je veux dire , celui où la quantité inconnue n’a
qu’une dimension ; plus loin, íi le coefficient est.
positif, & plus près s’il est négatif. Faites ensuite
couler la noix À, qui fixe l’autre extrémité de la
barre NO , jusqu’à ce qu’elle soit plus éloignée :
d’une ligne tirée du soutien £ F au soutien -LM,
je veux dire, du côté D du châssis, que la noix N,
d’autant de divisions que le coefficient du terme
de l’équation, où Tincônnue à deuxdimensions l’in-dique,
plus loin s’il est positif, & plus près s’il
est négatif. Pour cet effet, on doit graduer le côté A
du châssis, les barres S T, UX, YZ tk le traversant
P Q, à commencer du front D. Ces graduations
sont marquées différemment surla machine,
mais d’une manière moins commode. Si Ton observe
les endroits où la pointe , ou le crayon , 6,.
7., coupe la soie es, à commencer de la ligne ponc- ■
tuée marquée fur lá traverse UX ; & qu’on lesmesuré
sur une échelle , sur laquelle la distance dutrâversant
P Q, prise depuis une ligne tirée du
milieu de Textrémité .4 de FF à £# représente
Tunité ( on peut en voir laraison dans Ta démons :
tration ei-deffus , où D c ou O T, figure z , qui ;,
marque la distance de cette ligne P Q de la barre â »\•est prise pour Tunité) , on aura les racines que
: 1 on cherche. Si Ton ôte la soie es, '& qu’on mette
un carton fur la machine ,-sur les deux traversons
supérieurs: UX & Y Z , après avoir tracé dessu9
uneligne qui représente-la soie ef, & mis un
crayon en place de la pointe 7 ; ce dernier décrira
une courbe , qui, avec la ligne droite dont je
viens de parler, construira Yéquation donnée. Plus
: les coëfficiens seront grands (on peut les augmenter
autant qu’on veut fans changer les racines ,ën les
multipliant par tel nombre qu’on voudra ) , plus les
angles, que la courbe & la ligne formeront, seront
grands ; ce qui est avantageux dans la construction
des équations. Comme il paroît par la dëmonstra- tion
 précédente, qu’en augmentant les barres de
cette machine _, on peut Temployer • généralement
pour toutes les équations de quelque-degré qu’elles
puissent être, on peut Tappêller, à juste titré,,un
constructeur: universel-d’équation. (V).* EQUATIONS DÉTERMINÉES ; (Algèbre.) Je mé
bornerai dans cet article á exposer cè qui a été fait
dans ■ ces derniers tems , fur la solution générase
des équations, tk depuis que l’article EQUATION
fut imprimé póiir la première fois. ,"Le premier qui ait fait quelques pas-dans cette're-'
cherche, est le célèbré-Tchirfnaus., géomètre Aile- .
mand , à" qui Ton doit Ta découverte des caustiques.
II proposa utìe méthôdëpóùr faire disparaître autant
dé termes qu’on-voudrait d’une équation proposée,
par le moyen d’une substitution 5 & il trouva que íì
Ton vouloit la réduire à deux termes, le premier &
le dernier, & faire disparaître les intermédiaires,
on seroit dépendre la solution de la proposée, de
celle d’une équation y -j-yí=:ò, n étant le degré de
la proposée , & A dépendant d’une équation du
-degré n- í,n~z. … 2.1. - - - ^M. Euler & M. Bezout, l’un dans lë tome.XI des '-
Mém. de Pétersbourg ; l’autre dans les Mém. de l’Acad.
des Scierie, pour Tannée 1765, ont pris une autre méthode.
Ils ont supposé quëla racine d’une équation du
degré n débarrassée de son zá terme, étoit de la for ?n , n ' "me j/ A 4- \/ B…le nombre des A, B, tkc. étant
n-i ; & ils onttrouvé que Ton avoit A par une
équationaufíi du degrézz- 1, n-2, n- 3 …2. I.La solution d’une équation du 5e degré se trouvoit
donc réduite à celle cTune équation du vingiquatrième ;
& quoique ( Voyez les Recherches de
M. de la Grange & de M. de Vandermonde, fur cet
objet) cettê équation soit réductible à une du sixième,
.lV^zzíZízon du cinquième degré-n’est pas rabaissée
par ce moyen ; & celle du íìxièmeTe seroit
encore inoins, r ' ' -II reste donc ici deux, objets à considérer, l’un
la possibilité de parvenir à cet abaissement, auquel
les équations semblent s’y refuser ; l’autre Tês - '
moyens derendre praticables ses calculs immenses
où cette méthode générale doit nécessairement conduire.« 4 equ equJIM. Waring & Wandermondc se sont occupés
avec beaucoup'de succès du second objet. On fait,
que le second tenue d’une équation esl égal à la
somme des racines ; le •troisième, à celle de leurs
produits deux à deux, & ainsi de fuite. On fait
auíìi que ces fonctions quisont connues, puisqu’elles
sont les coëfficiens de la proposée,étant données,.
on peut en tirer la valeur d’une fonélion quelconque
des racines, pourvu que toutes y entrent
d’une manière semblable ; mais les formules, des
coëfficiens de la proposée qui expriment ces fonc- ;
lions semblables de racines, sont difficiles à exprimer
fous une forme générale & commode, lorsque
le nombre des racines où les exposons de ces
fonctions sont des quantités indéterminées. Si les
fonctions semblables de toutes les racines sont rationnelles
, les fonctions des coëfficiens de la pïopoféele
sont aussi : mais si elles font irrationnelles ;
íi au lieu de fonctions semblables rie routes les racines
, pn cherche des fonctions- semblables de
deux, de trois racines seulement ; alors les fonctions
des coëfficiens qui y répondent ne font plus
rationnelles, & il faut déterminer le degré des
équations dont elles dépendent alors., Scles-coëffi- ;
ciens rationnels de ces équations.
. . Soit par exemple.une équation ; '. L.x" -j- ax ;1- i -\-bzx"r-z , ,:f. -f-'r« =a
& qu’on demande la valeur de . . . , . .
y = A ? .-L-Rf'+Cr . ■' ….. . . … 1A> B, C, étant les racines de la proposée, & entrant
au nombre de m dans la valeur dey ; i." fi p
est entier, on verra.que Te5zzatz0nquidp.it donner y ,
fera d’un degré égafau nombre des combinaisons de
n quantjtés prises en nombre m ; 2.° fi p est une frac-.:
îion dont le dénominateur .soit/ ?', le degré, de Yiqua-. '■
tion rationnelle en y , sera le. même nombre'des :
combinaisons de n quantités, prises en nombre m,
multiplié par p"', & de plus, il n’y. aura daris’
Y équation en y , que les termes pù Texppsonf de y .
sera un multiple de p, Si qp est le degré de cette ;.équation en y,on aura se coefficient de y^~I-P , é°al
à unç fonctionne zz, ì1…, r" du degrés//, le coefficient
de y  ?r2-p à une fonction du degré zpp ; ■
& ainsi de fuite, & il n’y a plus à déterminer que
les coëfficiens de ces fonctions. Cette dernière partie
est celle pour laquelle il est le plus difficile derrouver
des expressions générases. Nous renvoyons pour ■
cet objet à Touvrage.de M. Waring , .intitulé : .
Meditationcs Algcbraicoe ; aux Mémoires de M. Wandermonde
 ; Mémoires de Tacadémie des Sciences,
volume de. 1771 ; aux Mémoires de Berlin années
1770 & 1771, où M. de la Grange s’est occupé
auíìi du même objet.Cette théorie, une fois établie en général &
réduite a des formules dont on puisse saisir la loi,
il est clair qu on aura immédiatement & sons calcul :
ses^ coëfficiens de toutes les’ 
qu pn emploie pour rabaisser la proposée. ■ '
équations transformées IKelte a savoir U ce raoaiiiement en toujours poi ;
slblei M.' de la Grange a prouvé qu’on ne pouvoit
 ; sirpposeren général "que la solution d’une-équation
du degré n, dépendît de celle d’une équation du degré
n- 1. Examinons doric s’il n’y a point d’autres:
ressources. M. de la Grange prouve que la quantité'
A, ci-dessus donnée par une équation de degré n -1-,
72 - 2, n - 3 …. sera réductible à une équation du.•degré n’- 2„ n- 3 ……… 3. 2. r. soit cedegré'm, & cherchons A comme nous avons cherché x y
nous aurons, A^ V ;( la quantité F est employée ici'
pour faire disparaître le 2d ferme) sera expriméparm mxy A' 4- y B' , ces quantités étant au nombre
de m - 1 ; & A' sera donné par une équation dudegré m-i, m-Z, m - 3 3, 2, IAlorsil’se présente deux cas, ou le nombre m -1,
de fonctions 1 A, B, &c. sera plus grand qu’il né
. ! doit être, ou il ne le sera pas : dans le premier cas,
il arrivera qu’il y aura un certain nombre des racines
de {'équation en A qui se trouveront être zéro. Soit
m le degré de Yéquation en A', nous ferons A' - V'^s -né m’y A" 4- y B", &c. & nous aurons A" par une
équation du degré m’- I, m - 2 ….. 3 , 2, 1. Si la
supposition dé m’r ? 1 radicaux n’est pas trop compliquée.
Le degré dé Yéquation en A' se réduiraà i7z-2,772— 3 3 , 2, 1 , il en sera de mêmepour A", & ainsi de fuite.' II. esl clair que pourvu
que la valeur de x soit finie , & que Ton puisse la
supposer formée par des radicaux placés successivement,
en sorte que lâ valeur de x soit composée deh 71'4-ï■p-1 ternies dela forme y A ,A de n termes y An"+iplus un terme constant, A de n termes y A',
plus un terme constant, &-ainsi de soité unnombre
jfihi de fois,- pn aura enfin la racine cherchée. Or
11 n’y a point’de fonction ; composée de radicaux
•qu’on né puisse réduire à cette forme :' donc en
suivant léprocëdé ci-dessus, 011 parviendra à trouver
enfin une quantité A , qui sera donnée par une
équation du second degré., toutes les fois qu’élis '
sera possible. ' - ■•••'-.Maintenait, il y a lieu de penser que le nombre
de ces opérations ne pourra être plus grand que zz-i.
En effet, soit-x 5 égal à une fonction qui contienne
des radicaux les ; uns sous les autres, qui ait n-r''
ternies différens semblables entr'eux , il faut qu’un©
fonction linéaire des produits & des quarrés de ces
tenues soit une quantité rationnelle. Les quarrés
• ne peuvent pas Têtre, puisque les racines ne le sont
pàsV & que n>- 2 ; donc, il faut que les produits de
deux.termes le soient. Or , cela ne peut arriver s’il
n’y á pas dans ces termes une foncîion sous le ra-,
dicàl 2. II faut ensuite qu’une fonction linéaire produise
trois de ces termes, de leurs cubes, du pro- '
duit des quarrés de chacun par les autres ; soit une

quantité
E q u equ 6Mquantité rationnelle Jes cubes nesontpas’ratíonnels ;
&, pour que les autres termes le deviennent, il faut
que chacun contienne des radicaux sous le signe 3 ,
.& ainsi de fuite jusqu’au'dernier terme ; terme qui
devient fonction linéaire des termes qui sont sous le
ligne n. On voit donc pourquoi il pourrait y avoir,
& même il doit y avoir 71-1 radicaux successifs.
Mais on, ne voit pas pourquoi , en prenant cette
forme, il y en auroit un plus grand nombre.Nous terminerons cet article par une considération
qui'peut être d’une grande utilité. C’est que
mettant la proposée , sous la forme x" 4" t1 x"" 1
-}-c’ x"-3 …. -|- r", toutes les fonctions rationnellessous le signe TZ , férorit’des fonctions de & 1, cJ, rn.
"du degré TZ , les fonctions sous les radicaux 72 & 72'
. des-fonctions du degré.71 n ; & ainsi de fuite. (C’est,
je crois, M. Fontaine, qui,, dans son Mémoire fur
les équations, a employé le premier cette remarque,
qui peut abréger considérablement les calculs.) Les
coëfficiens de ces fonctions feronrdes nombres rationnels,
& ceux des radicaux, des racines des équations
y" — 1=0, ym— 1, = o , &c. II ne reste
donc plus fur la résolution générale des équations
que deux difficultés ; i.° la longueur du calcul ;
z.° qu’il n’est pas rigoureusement démontré qu’une
équation déterminée d’un degré quelconque, aitune
racine d’uneforme générale & finie: lecontraireseroit
même prouvé si, en suivant la marche indiquée cideffus,
la solution de la proposée, n étant un nombre
premier, se réduisoit à la solution d’une autre équation
du degré n, qui n auroit pas de diviseurs rationnels
, ou, si 72 n’étoit pas un nombre premier, à une
' équation d’un degré pour lequel lVçzzzztze^ qui donne
les rermes sous le radical n , ne se rabaisserait pas
au-dessous du degré 72 — 2, n — 3 …… 3,1, I.Ainsi, dans le cas où la racine n’auroit aucune forme
finie possible, la ínéthode proposée ci-dessus conduira
encore à trouver cette impossibilité. C’est
donc à diminuer la grande complication des Calculs,
& à trouver des méthodes "qui les abrègent, que les
analistes doivent tendre maintenant.
.-. J’ai publié quelques recherches fur ce sujet
dans le tome V des mémoires de l’académie de
Turin. (M. D. C.) EQUATION zzzzx différences finies. Taylor paroît
être le premier géomètre qui-ait considéré les différences
finies. M. Eulera fait fur cet objet un grand
Sombre de belles & utiles recherches dans ses institutions
de calcul différentiel ; mais il s’est occupé
fur-tout d’appliquer aux suites infinies ou indéfinies,
la théorie de ces différences, ou réciproquement.
Si on appelle X une "fonction quelconque de.*.,
& X' çe qu’elle devient en mettant pourx, x -f- A x
(A est ici le signe de la différentiation comme d
pour les équations ordinaires)  ; on a égalementx=x+*x, tkX'^x+^+irë. ^ * . 1 ■ z ' ì d x"Mathématiques, Tome I, IL’ Partie*.En effet, si on cherche à avoir X' en X, en
ordonnant la férie par rapport à A x, il esl aisé ■
de voir qu’on peut prendre X pour le premier
terme rie cette valeur, puisqu’en faisant A x==o,.
X' devient X,1Ê second terme, multiplié par Ax,.doit être égal à ce que devient -j£--, en y faisant
4i=0) c’esl-à-dife à — ; le troisième ; muldx'A d X'tiplié par 2 Ax* esl égal à -j^^, en faisant Ax=o,c’est-à-dire, qu’il est’.——x , •& ainsi dé suite.Ce théorème, dont j’ai déjà fait usage à Y article
APPROXIMATION , dans ce Supplément, est dû à
Taylor. . -..'__.._■Si Ton a A X égal une fonction de x y on aura
encore, par le moyen de cette expression, X en
x par une férie infinie. En effet, puisque A X estconnu, que j’appelle A= — ^x -j—3-^ àx*j^
. -lîJ^x^&c. j’aurai AX X =, f.A d xÂx*dX . A-r.' ddX. 0 dX-T>—x ——3-dï ?'>&c ; mettant Po^ -Z7Ax
sa valeur A— -^-, AX, &c..pour^Ìf A X sávaleur rf— — ■— A X1 , &c. j’aurai X en série deA & de ses différences.Je me propose dans la fuite de cet article de traiter
les équations aux différences finies d’une manière
générale &direcse. On trouvera aux articles POSSIBLES
, MAXIMUM, LINÉAIRES, ce qui regarde
leurs équations de condition , ou de maximum. &la'
solution des équations linéaires. J’aimontré àl’article ■
APPROXIMATION/vers la fin que la solution
approchée dépendoit toujours d’équations linéaires
& je me bornerai ici à donner une théorie générale
des équations aux différences finies des fonchons qui
peuvent entrer dans leurs intégrales, & de la manière
de les trouver rigoureusement autant qu’elles
sont possibles par la méthode des coëfficiens indéterminés.Soit Z, une fonction de x, y, z, qu’on, metíc
dans Z au lieu de x, x-j-& x au lieu de y,
y-j-Ay au lieu de z, í4-Aï/& qu’on appelle
Z' ce que devient z ; alors on aura Z'^=sZ -J- A 2
& AZ=Z'-Z. Si on á une fonction de x, y,1, *x>Ay> AÏ> Aiy> A1î> &c. AX étant s 'posé constant, on mettra dans cette fonction Q't
x-{-Ax, au lieu de x, y 4" Ay poury,  ? -j-A 7pour z> Ay 4-Aîyp°ur Ay> AÍ4-A 2 Ì pour A/.'Azy+Aîy pour ^y, A* z 4 ; Aî l pour *> l} &
ainsi de .fuite , & âppellant Q' cë. que devient
alors Ç>, on aura Q' =^Q_-\- A Q, A Q-^ Q'_Ç>.Soit Z-lx ; on aura Z' -lx -j- AX & AZ=SU + 7x ^U-l^ïl-li+tlpp>p666 EQU EQU
_ „ „, axA-a&x a Ax ax.Soit Zr=fc*, Z'=e° ^ =e e >donc 4Z = (Í°4I-I)  e ax ; donc Ax étantconstant 'Z=o toutes les fois que e" = i.. „ ar' + ii+c „, íi ! + i'í + t’Soit Z = e ^ Z =e& Z'4-AZ'=Z' = £ax"+i"x"î"-", !orfqueAxest
supposé constant.On trouvera de même que soit Z une fonctionde e", tk eaAx=i, Z' = Z, pourvu que
cette fonction ne soit pas telle que, pour avoircaAx- 1 = 0, il faille prendre zzAx=o, ce1*. r n r f ax\ 711qui arriveroit si Zz=le ax, ou ( e )  , . ou
contenoit de pareilles fonctions. Soit enfin Z =a x a x atíXcVcZ'—/1£ ; donc ûeaAX -est un
nombre entier, la comparaison de ces deux équations
peut feire évanouir cette transcendante : de
même la comparaison de 3,4, &c. équations sembxz bx ■"biables, seroit disparaître ea xe , eax e ,&c.
Si maintenant on veut résoudre le problême suivant
, trouver Tintégrale sans diftërences variables
d’une équation aux différences finies entre x & z >
on y parviendra à Taide des observations suivantes
:i.° La proposée est produite par la comparaison
des équations Z = 0, AZ=O, &ZZ = 0,
A"Z=o.2. 0 11 n’y a point de fonction transcendante de z,
dont la différence he le soit, ou n’en contienne
une nouvelle.3. 0 x étant une variable dont la différence A x
est constante, au lieu d’une arbitraire sons variable,
on aura une fonction arbitraire de eax, a étant, a Axtel que e = 1. .4. 0 Une feule différentiation pourra, par la
comparaison entre la différentielle & Tintégrale
faire évanouir un teime epx ,p étant quelconque,
& la fonction arbitraire sera le coefficient de ce
terme. Deux différentielles successives, comparées
avec leur intégrale , peuvent faire évanouirun terme eax ' x, a & b étant quelconques,& de plus un terme- ebx, b' étant donné en zz '&
b, & ainsi de fuite. La comparaison de Tintégrale
avee la différentielle, peut faire aussi disparaîtreaxLesc, &la comparaison de Tintégrale avec deuxbxdifférentielles successives, faire disparaître eaxe ,
bi ainsi de suite. ' - .5.* Quoique Ia proposée ne contienne pas Ar ;ï
cependant Tintégrale de Tordre immédiatement
inférieur, peut contenir x, parce que la dislé-^
fentielle exacte peut contenir un ternie constante = ^ dont Tintégrale est ^.6." Si dans un produit indéfini Ex. Rt--ArFx - 2 A x… le nombre des ternies étant ^ ou— ; 72 étant un nombre entier, on fait x=x« f AX,Ax ' .ce produit ne change pas de forriie, & esl feulement
multiplié par Fx-j-Ax, ou par Fx-f-A^-.
Fx-j-2 Ax…'. Fx-\-n&x ; donc, si on TappelleX/on aura^^^ = Fx-(-Ax, ou Fx+*x,Fx-j-2Ax… Ces produits étant en nombre déterminé
& fini, donc une seule différentiation peut faire dis- ,
paroître un nombre déterminé de ces produits multipliés
ou divisés les uns par les autres, en même tems
qu’une exponentîonnelle & une fonction arbitraire,
& de même deux. différentiarions peuvent faire
disparaître une fonction :. 1 - —'■ j <Fx, F.X Ax, Fx—2Ax , &C.Une, différentiation pourra aussi faire difparoître
une fraction continue, dont le nombre des termes
seroit x,. ou 2x, 3X , &c.■7. 0. Si la proposée contient une fonction \, TintéXgrale pourra contenir une fonction lll..:..a, a étant
une Constante qui peut contenir x. Voyez ci-dessus ;si elle contient une fonction é , Tintëgrase pourra- * '' *■ .a
ccontenir une fonction ee , le figne exponentiel
étant répété x fois. Si la proposée contientune fonction y b -f i > la proposée pourra contenir
une fonction y b -f- y b -\- yy b -f- y a , le radical étant répété x fois, & '
semblablement pour toutes les fonctions qui ne
sont pas algébriques & rationnelles.8." Si la proposée contient dés radicaux qui doivent
entrer dans son intégrale immédiatement inférieure,
en différenriant la proposée, on aura une
équation qui aura deux intégrales rationnelles de
Tordre immédiatement inférieur.p.° Le nombre des arbitraires est égal à Texposont
de Tordre de la proposée ; máîs on ne peut pas lui
supposer'en général 72 intégrales algébriques de Tordren1.
 En effet, ona d’abord le terme e« l ! qu’une
seule différentiation ne pourroit pas faire dilparoî-
EQU ' EQU 667
-tre ; ainsi, lorsque Tintégrale de Totdre n - 2doit-le contenir, une des intégrales de Tordre 72-1 le
contenant aussi, fa différentielle exacte contien.tlfa e * ' *.D’ailleurs (2 étant le figne de Tintégration par
rapport aux différences finies, tkFx désignant une-fonction donnée de x ) , Tintégrale de Tordre 72 - 1 :
peut contenir 2 F x , & cette somme peut ne pas
erre exprimable en termes finis par une fonction
finie de x ,• alors si Tintégrale de Tordre 72-2 contient
2 F' x, & que F' x contienne 2 F x., il paroît
impossible d’avoir deux intégrales de Tordre n - 1,
à moins que Ton ne puisse égaler 2 F' x à une
fonction finie de x & F x plus une fonction 2 F" x,
_'F° ne contenant plus F x ; tk comme de telles
fonctions peuvent entrer dans la différentielle
exacte, fans que x soit dans la proposée, on ne
pourra supposer qu’on ait n intégrales de TordreTZ- i qui puissent la produire fans contenir x tke x,nou e , &c. dans letirs différentielles exactes,ou mêmes des produits indéfinis.io." II fuit de-là qu’il faudra ou suivre la
méthode des intégrations successives , ou bien
lorsqu’on aura une équation intégrale de Tordre
- - V x " , .72— r, qui contienne x ou e , ou un produita xindéfini, ou e , supposer une autre intégrale
du même'ordre qui contienne x, ou.eP x , ou lafonction indéfinie, & déplus eax + * , tk une
fonction indéfinie , qui ( n." 6)  peut difparoître
par deux différentiations, cette intégrale ne devient
la proposée qu’en mettant, au lieu de celles de
ces quantités qui restent, après avoir comparé cette
nouvelle intégrale avec fa différentielle, leurs
valeurs tirées de l’équation intégrale qu’on a trouvée
d’abord , & fi la nouvelle intégrale . contienteax%+l/x, tkc. on supposera que êax+*,&c.
entre aussi dans la troisième intégrale, & ainsi de
suite. -11° On observera que,12.° Pour intégrer la fonction en x purs, on remarquera
que la différentiation n’en ayant pu faire
évanouir ni radicaux , rii fonctions transcendantes
toutes les fois qu’elle pourra être exprimée par une
fonction’finie , cette fonction fera une fraction, rationnelle
de x & des fonctions de x contenues dans
ía différentielle, & on Taurà toujours en férie infinie
par la méthode dont j’ai parlé au commencement
de cet article. - - ' _ '.-,-.Quelle que soitune équation aux différences finies yces principes suffiront pour Tintégrerparla méthode
des coëfficiens indéterminés.Quant aux intégrales qui échappent à cette méthode
, on peut dans différens cas trouver des
formes de fondrions qui les représentent ; mais cette'
discussion nous entraînerait trop soin.Si au lieu de sovoirque A x est constant, on sovoít
qu’il est.égal à ç, fonction dex &y , il n’y auroit
qu’à éliminer y , & on auroit x par une équation
comme ci-defíbs, dont Tintégrale contiendrait une
nouvelle variable x y seroit donné par une équation
semblable, &pour avoir y en x , il faudrait éliminer
x. (M.D.-C.) EQUATIONS aux différences sinies & infiniment petites.
Je donne ce nom à des équations qui contiennent
outre les variables y, tk x leurs différences
finies & infiniment petites, telles que dx , dy*
Ax, d y , A Ay ,dAy dz y… A "y , d A "- 'y*
&c. Aucun géomètre n’a encore considéré la théorie
de.ces équations. Voici quelques remarques fondamentales
qui pourront conduire à une méthode de
les résoudre généralement.I." La proposée pour un ordre n de différences
pourra, lì Z en est Tintégrale complète & finie,
être mise sous la formeII fuit de cette forme semblable à celle des différences
partielles , que la préposée n’a point pour intégrale
nécessaire une équation de Tordre 72-1 , dont
les différentielles combinées entr'elles produisent îa
proposée.. P
2,'A x étant supposé constant, les quantités edx tp b x ' ~ .p étant un nombre entier, ou eax ' , eb Ax
étant un nombre entier , sont les feules qui se
trouvent également dans Z , Z -f- A Z , Z-J-zíZ ,
& par conséquent si, dans la proposée, p & q
(n.° 1 )  ne sont pas égaux à zéro , ç'esl-à-dire.,
si la proposée contient à-la-fois ries différences
n" finies & infiniment petites, Tintégrale ne contiendra
point d’autres transcendantes ni d’autres
arbitraires, que der fonctions fans variables, ppourra être, égal à - -, mais jamais plus grandsp bxtk semblablement pour les fonctions e eax ** *■'h7I2-H177p ne pourra être ,> —— 1,3." Si ía proposée est telle que les équations A » Z
E- o à" Z==o n’entrent pas dans sa formation, mais,
seulement.les équations. A ™-„Z==o d"-mZ =0,
& des équations aux différences", partie finies, partie
infiniment-petites. Alors on pourra avoir une
intégrals qui contiendra m transcendantes quelcon-*P p p p i j - ,
que ;, ou un plus grand nombre de transcendantes
ên .-r feulement, & telles que Tune étant Kune autre
f0 ;r \r -f A V, & ainsi de fuite, ce nombre étant toujours
facile à déterminer pour chaque ordre ; & m
arbitraires pareilles à celles des équations aux différences
finies , c’est-à-dire, qu’on aura pour intégrale
une fonction algébrique des variables & de
îeurs différences infiniment petites, dont les coëfficiens pourront être e *x , & en général des fonctions
Q de x données par des équations aux différences
finies entre x & QVoyez fur ce sujet les mémoires de l’académie
deesciences , année 1772. "Fbyí-r{ aussi l’article EQUATIONS LINÉAIRES au
mot LINÉAIRES , ou Ton considère quelques autres
hypothèses d’équations aux différences finies
MM. de la Place & Charles se sont occupés depuis
de ce genre d’équations. (M. D. C.) EQUATIONS empiriques. On á nommé ainsi des
équations trouvées indépendamment de toute théorie
& d’après ses seules observations d’une planète
& comme elles représentent avec exactitude le
mouvement de cette planète pendant les révolutions
observées, on en conclut’ qu’elles pourront les
représenter indéfiniment.Ainsi les équations de mars, telles que Kepler les'détermina lorsqu’il trouva moyen d’expliquer les
irrégularités qu’il avoit observées dans son cours, en- supposant que son orbite étoit elliptique, ces équations,
dis-je,étoient empiriques. Maisîorsqu’en appliquant
cette loi aux autres planètes, ilprouvaque. leurs orbites étoient aussi des ellipses, alors leurs
équations trouvées d’après cette hyporhèsefurent des
équations données par la théorie , & non plus des
équations empiriques. Ainsi , une équation à qui on a
donné long-tems ce nom , cesse de Tavoir lorsqu’on
îrouve une théorie qui en rend raison.M. Wargentin a trouvé ries équations empiriques
pour les satellites de Jupiter, d’après les observations
seules & d’après ces équations , il a dressé des
tables de ces satellites qui représentent leurs mouvemens
avec des erreurs qui ne vont pas au-delà
de quelques minutes.M. de la Grange est le premier qui ait imaginé de
réduire en méthode générale Tart de trouver ces
équations empiriques. Voici une idée abrégée de,cette méthode.1°. Toute expression d’une quantité donnée par
nne équation différentielle, peut être supposée égale
à une suite de termes en sinus & cosinus. ( Voyelles.
articles APPROXIMATION & EQUATION SÉCULAIRE
). Le problême se réduit donc à trouver
cette férie par les seules observations, toutes ses
fois du moins qu’elle est convergente.2.° Dans ce cas, un certain nombre fini de termesde cette férie doit représenter les observations. Soit'd.oEc.Ç la quantité dont on cherche la valeur, soientZ, Z', Z", Z'", Z" '….« des valeurs observées
de Q répondent à72 + 1 valeurs de l’angle décrit
x ou du tems r , nous aurons (Z n." 1 ) égal à un
nombre infini de termes, fin. zz' -\-b' X, ou fin,
a-j-b Tekcos. a' -f b' X, oucoía+bT,chacun
de ces termes étant multipliés par un coefficient
constant, Xtk Tsont les,valeurs de x & t, correspondantes
à Z. Soient maintenant X-j-p, X-\r zp,
X-\- ip , &c. les valeurs correspondantes à Z', Z",
Z"' , &c. & prenant une férie Z 4" Z'y 4" Z" y1
-f- Z'" y3 , &c. (A) le terme général de cette férie
sera composé de termes cos. <z -\-b' X-\-V pm,
fin. zz'-j- V X-^.b' p m, m étant Texposant du terme
général ; or, puisque-fin. a'-f-b'-X -\-b'p m =il est aisé de voir que le terme général (A)  sera
composé d’un nombre 2 72-f-2 de termes, dont
chacun sera égal aii tenrie correspondant dans leterme précédent de la férie multiplié par ebp v~y,e , donc chaque terme formera unefuite géométrique ; donc la proposée sera égale à
la somme de 272-f-de ces suites, & le dénominateur
de la férie récurrente sera i-e p^~l 3J — e  ; tk ainsi de fuite pour chaquesinus ou cosinus ; donc le dénominateur sera 1-2,
cos. b' py -\-y-Xl^Z cos. b" p y -f- y* , tkc.
donc la série ( A )  sera récurrente ; soient donc Z ,
Z, Z", Z'", tkc. les valeurs données par Tobservation,
il faudra, pour cela, chercher la îèrìe
récurrente de cette forme, dónt Z -f Z'y-f- Z"yz-jZ'.'yi,
&c. font les premiers termes ; je remarque
que la somme de la férie récurrente fera nécessairement.' f° ?c>. prenant toujours Z en nombre impair,
soit 2TO — l’ce nombre, on aura, par des équations-linéaires,
les valeurs des A, B… P,…
A B … P'. Si ces valeurs forment une férie con.
vergente , lorsqu’on augmente se nombre ries
observations , alors, prenant le dominateur, on
cherchera à résoudre l’équation A"-\- B' y ,.. -fP
y™=zo en facteurs ,1-2 cos. b'py -L y 1, on
mettra ensuitesou.5 la forme d’une somme de fractions divisées par
EQU E Q U 667) 
l-zcotb py4-yl,&Tonaura par ce moyen la
détermination des coëfficiens des termes en sinus.Au reste, íi Yéquation n’est pas susceptible'de la
forme ci-dessus, les racines indiqueraient dans Ia
forme générale cherchée des quantités e fx qu’on
fait pouvoir s’y trouver. S’il y a plusieurs racines
■réelles égales, alcìrs il y aura dans la valeur cherchée
•des quantités proportionnelles aux puissances de x ,
& ces puissances seront d’un degré égal au nombre
des racines égales diminué de Tunité.Si ces racines égales sont de la forme 1-2 cos.
P &'3'4-y J al°rs ce'a indique dans la quantité cherchée
des termes de la foi me xm coi. a + b x , &
ainsi dé fuite -, en sorte que quelle que soit la forme
cherchée, pourvu que la quantité soit donnée pour
une équation différentielle, & quelle puisse' être
représentée par une certaine étendue de valeurs
d’une manière approchée, on la trouvera d’après les
observations par la méthode ci-dessus. (O) EQUATION SÉCULAIRE. On appelle ainsi en
Astronomie, une équation qui augmente continuellement
avec le tems : on verra ci-après la manière
dont les astronomes s’y prennent pourla calculer y
mais’toute équation au rayon vecleur, d’une planète
proportionnelle, soit au temps ou à ses puissances
, soit à. l’angle du mouvement moyen & à
ses puissances, est une équationséculaire. II en est
de même de toute équation du moyen mouvement
qùi seroit proportionnelle au quarré du tems,
. ou à ses puissances supérieures ; ou de toute équation
pour le tems proportionnel au quarré ou
■<aux puissances de l’angle du moyen mouvement.A Y article APPROXIMATION, nous avonsmonrré
que Texislence apparente de ces équations dépendoit
dans la théorie de l’égalité des racines d’une équation ;
qu’un changement permis dans toute espèce de méthode
d’approximation pouvoitsoire difparoître cette
égalité ; que, dans le cas où la différence des racines
seroit très-petite, ce même changement pourrait
en introduire d’égales ; qu’ainsi, dans ce dernier
cas, on ne peut être sûr qu’il n’y ait pas d’équation
séculaire , tk que jamais on ne peut être certain
qu’il doive y en avoir , à moins que Ton puisse
s’assurer que la férie, où la méthode d’approximation
conduit , ne.Toit convergente , lorsqu’elle
renferme l’équation séculaire ; tk divergente lorsqu’elle
ne la renfeime pas , ou réciproquement.
Nous avons fait voir ensuite que Texislence apparente
de ces quantités dépendent aussi de la cemmenfurabilìré
des racines positives & négatives,
d’où il résulte que. toutes les fois que -les quantités
connues ne sont pas absolues, mais données par
des Observations ; on ne peut pas être sûr qu’il
n’existe pas dételles équations.-II ne nous reste donc plus ici qu’à parler del’équation séculaire, considérée astronómiquement.Quelque longue que soit une fuite d’observations,eíle ne prouve rien pour la réalité d’une équationséculaire. En effet, soit p le nombre des révolu-.tiòns observées-d’un astre, il est clair que,puisque
cos. mx=i-— + 2Î2Í , &c. si on a unez ' 2.3.4.
équation apparente proportionnelle au quarré de
l’angle parcouru, c’est-à-dire à x%, tk soit Pxhcettè
équation, au bout de p révolution, elle sera P pz n%~
n étant la circonférence du cercle , elle sera par
conséquentcr cette série est toujours plus petite que P m* n*
p*, cos. zTzpn- donc, pourvu que Ton prenne m
tel que la quantité Pm2-™ pf, cos. m p n, soit
insensible aux observations j on peut supposer, au,. , ,j , T, , , • , 2P1-C0I". mxheu de 1 équation P x , une équation de —:———-■ xsans qu’il y..ait d’erreur sensible : or, quel que
soit p, on peut toujours prendre 772 assez grand
pour cela ; donc on peut représenter aussi - bien.
- les observations sons le secours d’une équation,
séculaire.Quelle que soit une équationséculaire donnée
par les observations ,. on parviendra donc à la
représenter aussi - bien par une ou plusieurs équations
proportionnelles à des sinus. -Ainsi, lorsqu’on cherche à comparer Ia théorie
avéc les observations , ce n’est pas à chercher
rigoureusement si. la théorie donne Y équation séculaire
observée, mais fi elle donne ou une telle
équation ; ou une de celles qui la peuvent représenter,
& réciproquement, la théorie étant donnée ,..
il faudfa-voir seulement si les observations s’accordent,
soit avec Y équationséculaire de la théorie ,
Toit avec les équations que (art. APPROXIMATION^
on peut y substituer:- Voyez les Mémoires de .,l’académie de Sciences ,
1771 , e\le Mémoire de M. de la Grange , qui à
remporté le prix de la mêmé académie, en 1774^
& où ce grand géomètre prouve qu’on peut représenter
toutes les observations de la lune faites
jusqu’ici, sons supposer d’équationséculaire à certe
planète, {M.D. C.) EQUATION (en Astronomie) , esl la différence
entre les tems ou les degrés supposés unifonhes y
& ces mêmes. quantités réelles & inégales.EQUATION du tems, est la différence entre leteins vrai solaire ou apparent, & le terns moyeàou uniforme ; -c’est-à-dire , la réduction du tems. inégal indiqué par le soleil, à un tems égal marquépar une pendule-bien réglée.Le tems ne se mesure que par le mouvement ;
& comme le tems en lui-même coule toujours
uniformément, on se sert, pour k mesurer, d’un
mouvement qu’on suppose égal & uniforme, ou
qui conserve toujours la même vitesse.Le mouvement du soleil est celui dont on s’est
toujours servi pour la mesure du terris, parce que "
ce mom’emeEt est celui qu’on observe le pfus
ó-o 'EQU EQU
fstiìc’ncnt :-cependant il n’a point la principale
qualité nécessaire pour mesurer le teins , c’est-àdire
Tunisormité. En eflet, les astronomes ont
remarqué que le mouvement apparent du soleil
n’est pas toujours égal ; mais que ce mouvement
tantôt s’accélère, tantôt se ralentit : il ne peut
donc scivir à mesurer le tenis,qui est uniforme
par fa nature, à moins qu’on n’ait égard à Tinésalité." Ainsi, le tems mesuré par le mouvement du soleil,
& qu’on appelle le tems vrai ou apparent, est différent
du tems moyen tk uniforme, suivant lequel on
mesure & on calcule tous les mouvemens des corps
célestes.Le tems moyen ou égal est celui que marquerait
à chaque instant une horloge absolument parfaite, :
qui, daris le cours d’une année, auroit continué
de marcher sons aucune inégalité, en marquant
midi un certain jour de Tannée, & Je même jour
tle Tannée suivante, au même instant où le soleil
esl dans le méridien, sauf la différence de six
heures qu’il y a entre Tannée commune & Tannée
solaire. Cette horloge n’a pas dû marquer également
midi à tous les autres jours intermédiaires,
avec le soleil ; car il faudroit, pour cela, que.le
soleil eût été tous les jours avec la même vitesse,
ce qui n’arrive point.Quand le soleil quitte le méridien, & y retourne
le lendemain, il a décrit 360 degrés en apparence ;
mais véritablement il a parcouru non-seulement
les 360 degrés qui font une révolution entière de
tout" le ciel étoilé, mais environ un degré de plus,
qui est la quantité dont le soleil s’est avancé vers
Torient parmi les étoiles fixes, dans Tintervalle de
son retour au méridien, par son mouvement propre
' o\\ mouvement annuel. '•' 'Pour que tous les retours du soleil au méridien
fiiíì'cnt égaux, il faudroit que ce mouvement propre
du soleil vers Torient fût tóus les jours de la même
quantité, c’essà-dire, de 59 min. 8 sec. mais, à
cause des inégalités dont nous avons parlé aa mot
AXNOMALIE , il arrive qu’au commencement de
juillet il ne fait que 57' 11" par jour vers Torient ~ &
 qu’au commencement de janvier, il fait 61
11", c’est-à-dire 4' de plus "qu’au mois de juillet,
le long de Técliptique par son mouvement propre ;
telle esl la première cause qui rend.les jours inégaux
 ; Ton compte toujours 24 heures d’un midi
à l’autre ; mais ces 24 heures seront plus longues,
t/uand le soleil aura fait 61' 11", que quand il
r.'aura soit que 57' 11" vers Torient, parce qu’il
íca obligé de parcourir 4' de plus par le mou'.aíicnt
diurne d’orient en occident, avant que
d’arriver au méridien ; & pour faire 4' de degré,
jl lui faut 16" de tems.A cette première cause, qui dépend de Tinégar
jité du mouvement solaire dans Técliptique ,° il
s’en joint un autre qui dépend de la situation de
ì écliptique ; il ne suffit pas que le mouvement
propre du soleil sor Técliptique soit égal pour
rendre les jours égaux, il faut que ce mouvement
soit égal par rapport à Téquateur & par rapport
au méridien où il s’observe : la durée des 24k
dépend en partie de la petite quantité dont le soleil
avance chaque jour vers Torient ; mais cette quantité
devrait être mesurée fur Téquateur, parce que
c’est autour de Téquateur que se comptent les
heures ; ce n’est donc pas feulement son mouvement
propre qu’il faut considérer par rapport à
Tinégalité des jours, mais c’est ce mouvement rapporté
à Téquateur ; & si le soleil avoit un mouvement
tel qu’il continuât de répondre perpendiculairement
au,même endroit de Téquateur, Téqua'
tion du teins n’exisleroit point, puisque les retours
au méridien seroient égaux.Soit O le soleil (sig. 4i_ d’Astr.) , SB le méridien
auquel le soleil doit arriver lorsque le point Q
sera arrivé au point A du méridien, en sorte que
O Q soit un cercle horaire qui, à midi, sera confondu
sur le méridien SA B ; quelle que soit la
longueur de Tare OS- de Técliptique, cet arc
n’emploiera à passer que le tems qui est mesuré
par l’arc A Q de Téquateur ; c’esl-à-dire, que, si
Tare A Q est d’un degré, il faudra 4' à Tare S O ,
grand ou petit , pour traverser le méridien ; sa
situation oblique ou inclinée, peut rendre sa longueur
O S plus grande que celle de Tare A Q ;
fa dislance à Téquateur peut aussi faire que Tare
O S soit plus petit que Tare A Q, parce qu’il est ;
compris entre deux cercles de déclinaison SA &
O Q , qui sont perpendiculaires à Téquateur
EAQ, tk qui vont se rencontrer au pôle, en
sorte que leur distance est moindre vers O que
vers Q ; mais c’est toujours Tare A Q de Téquateur
qui règle le tems employé par le soleil à venir du
point O jusqu’au méridien SA B.Pour combiner ensemble ces deux causes qui
rendent inégaux les retours du soleil au méridien ^
concevons un soleil moyen & uniforme qui tourne
dans Téquateur, de manière "à faire chaque jour
59' 8" vers Torient, & les 360 degrés en même
tems que le soleil, par son mouvement propre,
-c’esl-à-dire dans Tefpace d’un an, & qu’il"parte
de Téquinoxe du prinrems au moment où là Ion*
gitude du soleil est nulle ou égale à zéro ; toutes
les fois que ce soleil moyen arrivera au méridien,
nous dirons qu’il est midi moyen ; & fi le soleil
vrai se trouve plus ou moins avancé, en sorte
qu’il soitplus ou moins de midi, nous appellerons
la différence équation du tems.Ce mouvement du soleil moyen a pour époque
primitive , le tems ou Tapogée du soleil étoit
d’accord avec le point équinoxial. Le soleil vrai
s’y est trouvé en même tems ; mais cela n’a pas
pu arriver depuis bien des siècles, si même cela
est jamais arrivé exactement ; c’est le seul cas où
les deux soleils ont pu epincider dans Téquinoxe,
& les deux causes de l’équation du tems être
nulles tout-à-la-fois ; mais elles se détruisent réçi ?
proquernent quatre fois Tannée, . , ; equ \ . equ 6jiL’ascenfîon droite moyenne du soleil se trouve
marquée par le lieu de ce soleil moyen, qui tourne
uniformément dans Téquateur : l’ascenfîon droite
vraie du soleil, celle qui est marquée par le cercle
de déclinaison qui passe par le vrai lieu du soleil,
peut différer de pliis de 4 degrés de la moyenne,
par_ les deux causes dont nous avons parlé, le soleil
vrai peut passer un quart-d’heure plutôt .ou plus
tard que le soleil moyen : l’équation du tems va
même jusqu’à oh 16" 13", ou à-peu-près , le 1"
de novembre.II fuit de ces principes que la différence entre
Tafcension droite moyenne du soleil, & son ascenceníìon
droite vraie, Convertie en tems, nous donnera
l’équation du tems-, mais Tafcension• droite
moyenne esl nécessairement de la même quantité
que la longitude moyenne, puisque Tune & l’autre
commencent tk finissent à Téquinoxe, sont toujours
proportionnelles au tems, tk augmentent chaque
jour de 59' 8" ; ainsi, Tèquatiori du tems est la
différence entre la longitude moyenne & Tafcension
droite vraie du soleil, convertie en tems.Mais comme nous ne pouvons, dans la pratique,
trouver cette différence que par une double opération
,"& d’après deux principes différens, il s ensuit
que l’équation du tems a deux parties ; la première
est la différence entre la longitude moyenne
& la longitude vraie.,- ou l’équation . de Torbite
en-tems ; la seconde est la différence entre la longitude
vraie & Tafcension droite vraie, aussi convertie
en tems. On trouve des tables de Tune &
l’autre parties, jointes à toutes les tables du soleil.La première partie, ou la première table qui a
pour argument Tanomalie du soleil, ou fa distance
à Tapogée, va jusqu’à 7' 42" de tems, lorsque le
soleil est dans ses moyennes distances, c’est-à-dire,
vers 3 & 9 signes d’anomalie moyenne ; cette
partie est chaque année la même, parce que l’équation
du centre est toujours de 1 degré 55' 31" ;
mais le tems de Tannée où elle arrive n’est pas
toujours le même, parce que le soleil arrive chaque
année un peu plus tard à son apogée, à cause du
mouvement de cet apogée.La seconde partie de l’équation du tems, ou la
seconde table , qui a pour argument la longitude
vraie du soleil, est la plus grande vers 46 deg. \
des équinoxes ; mais, comme cette partie dépend
de l’obliquité de Técliptique , dont la quantité
diminue peu - à - peu, cette partie, de l’équation,
diminue, o", 014 pour chaque seconde de diminution
de l’obliquité de Técliptique, cé qui .fait
ï" de têms dans Tefpace d’environ 200 ans. II
, seroit aisé de s’en assurer, en calculant la différence
entre ES’tk EA {sig. 41) , lorsque.£5
est de 4Ó deg.-J, cette différence est alors de 2
"degrés 28' 24", 8 ; en supposant l’angle È de 2.3
deg. 28' 20", ce qui fait 9' 53" rr.de teins. On
aura urie équation plus petite-, quand on diminuera
l’angle Ejl’on éo trouve la différence dans
les tables du soleil.On soit aussi une table composée des deux autres,
où Ton met l’équation du tems pour chaque longitude
du soleil ; mais cette table n’est sensiblement
exacte que pendant quelques années, à cause du
mouvement de Tapogée du soleil, qui fait que Ia
première partie de l’équation du tems,-recommence
plus tard. 11 peut y avoir jusqu’à 7" d’erreur en
50 ans. Nous nous contenterons de mettre ci-après,
une table de l’équation du tems, qui a lieu actuellement
pour chaque jour du mois, dans les années
moyennes. On peut la faire servir pour les autres £
par des parties proportionnelles , comme nous
lavons indiqué pour-la table des déclinaisons.On n’avoit jamais employé dans Tastronomie
d’autres élémens pour l’équation du tems, que les
deux quantités dont nous venons de parler, parce
qu’on ne connoissoit pas d’autres sources de difFérences
entre Tafcension droite vraie & la moyenne,
que l’équation de Torbite & l’obliquité de Técliptique ;
mais, depuis que MM. Euìer & Clairant
ont eu calculé les dérangemens que causent dans.
le mouvement réel de Ia terre, & par conséquent
dans le mouvement apparent du soleil, les attractions
de la Lune, de Vénus•& de Jupiter, & que
M. Bradley a eu découvert la nutation ; ces petites
équations ont dû produire une troisième" partie
dans l’équation du tems ; car elles affectent Tafcension
droite vraie du soleil, sans affecter Tafcension
droite moyenne : j’en ai parlé affez au long dans
le 4e livre de mon Astronomie ; mais cela ne và
qu’à 2-ou 3" de tems.L’équation du tems étoit connue & employée
même du tëms de Ptolemée, qui en parle dans son Almageste
 ; mais les astronomes varièrent beaucoup
fur la manière de Terriployer. L’équation du tems,
telle qu’on Temploie aujourd’hui , .& que nous
venons deTexpliquer, ne fut connue d’une manière
précise, & généralement adoptée, qu’en 1672, lorsque
Flamsteed publia une dissertation sur ce sujet,
à la suite des OEuvres d’Horoccius.Cette théorie de Yéquation des jours naturels est
en usage, rion-seulement dans -les calculs astronomiques,
mais aussi pour régler les horloges & les
montres. Par-là nous connoissons pourquoi une
pendule rie s’accorde point avec le soleil qui mesure
le tems vrai, pourquoi elle va quelquefois avant,
& quelquefois après lui : c’est pour cela que les
.cadrans solaires & les horloges ne sont jamais
parfaitement d’accord. Voyez CADRAN.Ainsi, quand on dit, par exemple, a midi de
tems moyen, on parle, du midi mesuré fur se mouvement
de Thorloge ; mouvement qui est uniforme
& semblable à celui de Tastre imaginaire, que
nous avons’supposé plus haut : & quand on dit
h midi de tems vrai, il s’agit du moment où le
soleil est arrivé au méridien 'du lieu ; moment sou !
vent différent de celui où Thorloge marque midi.i
 ' De même  ; quand on dit à z heures z 5 minutes
j après-midi tems moyen , on entend à z heures 15
1 minutesmarquées parla pendule, après le midi moyen.


E Q U

E'Q.Cf
La table précédente montre, pour chaque jour,
la différence entre le tems uniforme & le tems
apparent.On a souvent besoin, en Astrohoiriie, de réduire
le tems moyen en tems vrai, parce que les mouvemens
des planètes sont calculés dans les tables,
par rapport au tems moyen, & qu’il est ensuite
nécessaire, pour se conformer à Tusage civil, de
connoître ces mouvemens par rapport au tems
essimé selon le mouvement du soleil : de même on
a besoin de réduire le tems vrai en tems moyén,
lorsqu’il s’agit de comparer aux tables astronomiques
l’obíervation de quelque phénomène.C’est Yéquation du tems qui a produit l’équation
de l’horloge, qu’on mettoit autrefois dans la Connaissance
des tems. Ce n’est autre chose que la quan.titë
de tems dont une pendule bien réglée doit
avancer fur une bonne méridienne, en la supposant
d’accord le i" de novembre ; par ce moyen,
la pendule avance toujours & ne retarde jamais.On.trouve, dans presque tous les almanachs
astronomiques , comme dans la connaissance des '
tems, dans toutes les Ephémérides, l’équation ou
í£Ì72í-pour chaque jour, ou le tems moyen qui.
répond au midi vrai, & qui diffère du midi dela
quantité appellée équation du tems.'L’équation du tems, formée des deux inégalités
■ci-dessus expliquées, est la plus grande quilest
possible, ou de 16' 14", versle ì" ou le 2 novembre ;
la pendule retarde alors de cétte quantité. Dès ce
moment, la pendule retarde de moins en moins
jusqu’au 23 décembre,.qu’elle s’accorde à trèspeu-près
avec le soleil. De-là jusqu’au 15 avril,
else avance fur le soleil ; du 15 avril jusqu’au 15 :
juin, elle retarde ; du 15 juin jusqu’au 31 août,
ellëavancé, & du 31 août jusqu’au 23 décembre,
( elle retarde.^ On voit dans la table précédente, que l’équation
additive au tems vrai le I". janvier, esl de 4' 15"<
& deux dixièmes ; ainsi, une pendule bien réglée'
doit marquer ce jour-là 4' 15" de plus que midi,
au moment où le soleil est dans le méridien, &,
■que les cadrans solaires marquent .midi ; mais le
.2 novembre Yéquation est soustractive de 16' 13":
ainsi, la pendule ne doit marquer que iíh 43' 47"
■au moment du midi vrai.La seconde colonne fait voir de combien une
pendule exactement réglée doit avancer ou retarder
sur le soleil d’un jour à l’autre ; du i"au 2
de janvier, elle doit avancer de 28"rV ;.se 1"
mars elle doit retarder de 12' ; le .1" juin élle
doit avancer de 9" ; au milieu de septembre, élle
retarde de 21" d’un jour à l’autre ; & au milieu de
décembre, elle avance de 30", ou d’une minute
lous les deux jours. ,Si Ton vouloir mettre plus d’exactitude dans
ce calcul, il faudroit avoir la table dé chaque
année, telle quelle est dans les Ephémérides, dans
la Connoissance des tems, dans fAmanach royal,
dans k Nantical almanac, &c.Mais pn peut encore y suppléer assez exácï$ment,
 ou à .2 ou 3 secondes près, par les corrections
suivantes: dans les années bissextiles,
comme 1784, 1788 , &c. pour les mois de jan-vier
 & de février, il faut prendre Yéquation 12.
heures plutôt ; ainsi, le 1" janvier de 4' 15% il
faut ôter 14", qui est le changement en 12 heures,
& Ton aura 4 1* : c’est l’équation qui a lieu le
i" janvier 1784 ; dans les autres mois , il faut
prendre l’équation 121' plus tard.Dans les anriées qui suivent les bissextiles.,
comme 1785, 1789, &c. il faut prendre l’équation
6h plus tard, & Ton aura, par exemple, pour le
1" janvier à midi, 4'22°.Dans les années qui suivent les moyennes, ou
qui précèdent les bissextiles, Corinne 1783, 1787,
Esc. il sout prendre l’équation six heures plutôt,,
ou à six heures du matin, dans la table précédente,
poùr lavoir à midi dansTesi années dont iT s’agit, ;
ainsi, Ton trouvera, pourrie 1" janvier à midi.,
4' 8" en .1783. Cela ne diffère que d’une seconde
du calcul rigoureux fait pour Tannée 1783, dans
le.Nautical almanac de Londres, qui est la meilleure
de toutes les Ephémérides. ! ( D. X, ) ÌEQUATION DE L’ORBITE, équation du centre ,
prostapher'efe, (Astron.)  est la difFérerice entre le
mouvement inégal d’une planète dans son orbite,,
& le mouvement moyen, égal & uniforme qu’on
lui suppose pour calculer plus facilement son lieu
vrai. Nous avons expliqué au mot ANOMALIE la
manière de trouver Tanomalie vraie par le moyen
de:l’anoriialie moyenne, la différence des deux est
l’équation’ ; voici une table de la plus grande équation
des planètes, têllë que je Tai déterminée par
les observations ; Ton trouvera ci-après différentes
méthodes, pour cet effet. '-. ,Mercure 23° 4°' 49"Vénus o. -. 47 20: Le Soleil 1 55 32Mars 10 40 20Jupiter 5 34 1-Saturne 6 . 23 19La.Lune 6 18 32En considérant les méthodes qne nous avons
indiquées pour calculer Tanomalie vraie d’une
planète, on.reconnoît facilement les règles fuirvantes :"i.° L’équation dé Torbite est nulle dans Tapfide
supérieure, puisque, vers ce point - là , le lieu
moyen & le lieu vrai sont confondus ; mais,, en
partant de Tapfide, leur différence augmente r.tpidement,
parce que la vîtëffe vraie étant la plus
petite, diffère le■ plus de la vitesse moyenne :
i.° cettedifférence s’augmente chaque jour, tant" e qu eo u éji^ue la^-vitesse ; vraie est. moindre que la vitesse
moyenne ; lorsqu’elles font égales, il: se trouve un
point, vers trais signes & quelques degrés d’anomalie
moyenne, où la différence, qui a augmenté
jusqu’alors, est devenue la plus grande, & où
í 'équation cesse d’augmenter, étant presque la même
pendant quelque tems, pour diminuer ensuite jusqu’à
Tapfide inférieure (soit périhélie, soit périgée) ,
où le lieu vrai & le lieu moyen se trouvent d’accord
une seconde fois : 3. 0 l’équation de Torbite
est soustractive, se retranche du lieu moyen dans
les fix premiers signes, pour avoir le lieu vrai,
parce que la vitesse moyenne, en. partant de Tapfide
supérieure, est plus grande que la vitesse vraie,
.& le lieu moyen est plus avancé ; il faut donc ôter
de la longitude moyenne la quantité de l’équation.,
. j pour avoir le lieu vrai. Le contraire arrive après
î'apside inférieure : la vitesse vraie-étant la plus
grande, prévaut à son tour fur la moyenne, & le
lieu vrai se trouve toujours le plus avancé dans
la seconde moitié de l’ellipfe, ou dans les six derniers
signes de Tanomalie ; alors l’équation de
Torbite s’ajoute au lieu moyen, pour avoir le lieu
vrai, ou à Tanomalie moyenne, pour avoir Tanomalie
vraie.La plus grande équation d’une planète peut se
calculer lorsqu’on connoît sa dislance aphélie & sa
dislance périhélie, ou son excentricité ; on peut
trouver par le-càlCul, la plus grande équation,
aussi-bien que le degré d’anomalie moyenne, où
arrive cette plus grande équation ; pour cela, il
suffit de trouver le point M (pi. d’Ast. fig. 8<> ) ,
dans lequel arrive la vitesse moyenne. En effet,
dès que la planète est arrivée au poirit où fa vitesse
angulaire D F M ( c’est-à-dire l’angle qu’elle parcourt
, vue du soleil) , est égale à la vitesse moyenne,
par exemple, de 59' 8" par jour, si c’est le soleil,
la longitude moyenne cesse d’anticiper sur la longitude
vraie, elle en diffère alors le plus qu’il est
possible, parce que, jusqu’à ce moment, la vitesse
réelle, qui étoit plus petite, faisoit retarder tous
les jours le lieu vrai fur Te lieu moyen ; mais,
dès que ìa vitesse vraie est devenue égale à la
•vitesse moyenne, elle est prête à la surpasser ; elle
va commencer à regagner ce qu’elle avoit perdu
jusqu’alors, le lieu vrai se rapproche du lieu
moyen, & l’équation de Torbite diminue.- Ainsi ,
• toute la difficulté consiste à trouver -le point M,
tk Tanomalie A F M de la planète au moment où
sa vitesse est .égale à la vitesse angulaire moyenne ;
pour cela, ayant pris une ligne F3Ímoyenne proportionnelle
"entre les deux demi-axës de Torbite:
on décrira du foyer F comme centre, un cercle
MG N fur le rayon F M, tk ce cercle aura une
' surface égale à celle de l’ellipfe, comme on le
démontre dans les sections coniques. Supposons
un corps qui décrive le cercle M N dans un tëms
égal à celui de la révolution de la planète dans
son ellipse, sa vitesse angulaire sera constamment
égale à la vitesse angulaire moyenne de la planète,paf exémple,dé 59' 8" pour le soleil ; Taire décrite'
dans le cercle sera toujours égale à Taire décrite
en même tems dans l’ellipfe , puisque les aires
totales sont égales:'& parcourues en des tems
égaux, les durées des révolutions étant les mêmes,
& les aires partielles de l’ellipfe proportionnelles
aux.parties du tems ; par exemple, fi le soleil
décrit en un jour une aire D FR de son ellipse
égale à la 365e partie de la surface elliptique-,
Taire EFO décrite dans le cercle, sera aussi la
365e partie dé Paire du cercle ( qui est égal à
l’ellipfe). ; la vitesse vraie du soleil ( ou l’angle
D FR) ', sera donc égale à la vitesse moyennne
en M, c’est-à-dire à l’angle EFO ; car ce sont
deux secteurs égaux qui ont la même longueur
F Mr, la même.furface, & par conséquent lë même
angle ; d’ailleurs les triangles égaux MED, MR O,
qui sont l’un en dehors du cercle, & l’autre en
dedans, font voir que le seeseur elliptique est
égal au secteur circulaire, qui a le même ingle
en F ; donc, pour trouver le point de la vitesse
moyenne, il faut trouver Tintersection M de Tél.. .
. lipse & ducerese qui lui est égal en surface. Ayant
tiré du point M à l’autre foyer B de l’ellipfe únè
ligne M B , Ton áura un triangle B F M, dans
lequel on connoît Tes trais Côtés ; savoir, ZJF,'qui
est le double de Texcentríciré ,- F M qui est la
moyenne proportionnelle entre les deux demiaxes
, & B M qui esl la différence entre F M &
Te grand axe ( parce que les deux lignes F M tk
MB font entre elles lâ valeur du grand axe)  ;
ainsi, résolvant le triangle B F M,on cherchera l’angle
 F, qui est Tanomalie vraie de la planète
au tenis dé la plus grande équation ; on convertira
cette anomalie vraie en anomalie moyenne
& la différence sera la valeur de la plus grand*
équation. '.-■■' "i. ..Après avoir- indiqué Ia manière de calcules’
l’équation, nous parlerons de la manière de Tobserver.
Depuis Tinstant où une planète part de son
aphélie A jusqu’au tems où elle arrive au point M
de fa plus grande équation , fa vitesse est moindre
que ne seroit la vitesse moyenne, Tanomalie vraie
plus petite que Tanomalie moyenne, en diffère de
plus en plus ; lorsque la planète, ayant passé le
périhélie P, se trouve au point G vers neuf signes
d’anomalie, fa distance vraie ^FGàT’aphèlie
est également plus petite que fa distance moyenne
de la quantité de la plus grande équation. Si. Ton
a deux longitudes vraies de la planète, observées
en G & eri M, elles différeront entre elles de la
quantité de l’angle G F M, qui est la somme des
deux anomalies vraies ; mais la somme des deux '
anomalies moyennes sera plus grande du double
-de Yéquation ; il est aise de calculer en tout tems
la "somme des deux anomalies moyennes y quoiqu’on
ne connoisse pas-le lieu de Taphélié.^,
parce que la somme des deux anomalies moyennes
est égale au mouvement moyen de la planète, dans
cet intervalle de tems, & on le trouve "aifèmeQíQqqqìjtoi eott ZQVouand on connoît la durée de la révolution. Ainsi,
Texcès du mouvement moyen calculé fur le mouvement
vrai observé, donne le double de la plus
crrande équation, pourvu que Ton ait les deux
observations en As & en G, c’esl-à-dire au tems
de la vitesse moyenne.EXEMPLE. Le 7 octobre 1751,1e vrai lieu du
soleil, observé par la Caille, en y faisant entrer
3 jours d’observations, discutées & comparées entre
elles, fut trouvé de ós 130 47' 13' ?Le 28 mars, cette long,
vraie fut de…'.. '• • 08 9 25 5La différence de ces deux
longitudes ou le mouvement , ■ » cvrai du soleil est donc <ys 240 22. ir 8Mais, dans cet intervalle,
le mouvement moyen avoit ' ^dû être par le calcul 5S 200 41 33 2Difl’érence double de la
plus grande équation…… 3 50 28 6.Dontìa moitié est l’équationde Torbite…. : 1 - 55 H 3Quand 011 a trouvé par observation - la - plus
grande équation, & qu’on veut en conclure í'ex- ■
centricité , le plus commode est d’employer une
rè<de de fausse position, ou de supposer d’abord
connue Texcentricité. que Ton cherche pour en
. conclure la plus grande équation ; si elle se trouve
trop grande, on diminuera Texcentricité supposée,
& Ton recommencera le calcul. Cette méthode de
déterminer Texcentricité par le moyen de la plus
<rande équation est souvent plus commode que
celle dont se servit Kepler pour trouver Texcentricité
de mars, ou celle dont je me fuis servi pour
mercure. Auresle, nous-donnerons des méthodes
exactes pour trouver Texcentricité, fans. recourir
à la plus grande équation. V. EXCENTRICITÉ
& PLANÈTE.Equation du centre dans Tancienne astronomie,
étoit pour la lune la partie.de Tinégalïré qui dépendoit
de Texcentricité du déférent de l’épicycie.Equation de Torbite ou simplement équation,
étoit, ponr le soleil, Tiuégaliié entière de son
mouvement..Autres équations des planètes. L’équation de
Torbite n’est pas la feule inégalité à laquelle le.
mouvement des planètes soit sujet ; il est encore
d’autres inégalités qui viennent principalement de
Taction mutuelle que les planètes exercent les unes '
fur les autres , ou de celle, que le soleil exerce
sur les Satellites, & qu’on appelle perturbations..C’est principalement dans la lune que ces équations
sont sensibles ; elles lc sont aussi clans Jupiter
& dans Saturne. M.. Euler a calculé les inégalités
de Saturne & celles de Jupiter, qui vont à^quelques
minutes dans des pièces qui ont remporté
les prix d e l’Académie. en 1748 & 1.75 2 ; MM..CIairauf,d’AIembert & Euler celles du soleil ou *
la terre, & j’ai donné le calcul des inégalités de
-mercure dans les Mémoires de l’Académie pour
1771, celles de venus dans les mémoires de 17Ó0,
& celles de mars daris les Mémoires de 1758 &
176T ; elles ne vont qu’à quelques secondes.Indépendamment de ces perturbations, soturne
a éprouvé un dérangement particulier, qui ne
peut pas provenir de 1 action.des planètes que nous
connoissons. V. SATURNE..Equations physique & optique, dans Tancienne
astronomie, étoient les deux parties de Tinëgalitë
d’une planète, dont Tune considérée au centre de
Texcentrique, avoit lieu par rapport au centre de
Téquarit, & l’autre par rapport au centre du mouvement
vrai.Equation des hauteurs correspondantes. Voyez
HAUTEUR.EQUATION séculaire. L’équation séculaire est Ia
quantité dont une planète, au bout de quelques
siécles, est plus’ ou moins avancée qu’elle ne le
seroit, si ses révolutions avoient été toujours de la
même durée. .Kepler- écrivoit, en 1625, qu’ayant examiné les.
observations de Regiomontanus & de •Waltherusy'
dans la bibliothèque de Moestlinûs à Tubingue,
il avoit trouvé constamment lês lieux de Jupiter
& de soturne plus ou moins avancés qu’ils ne
"dévoient Têtre selon les moyens mouvemens déterminés
par les observations dé Ptoleniée & de
Tycho ; il disoit la. même chose des mouvemens
de mars ; mais j’ai reconnu que cette planète ira
besoin d’aucune équation-séculaire..Saturne est de toutes les planètes celle dont
-T’équation séculaire est la plus sensible : quand on
compare l’observation faite le 2 'mars de Tannée
228.avant Tëre vulgaire avec les observations faites
daris ce fiècle-c’i, on trouve la durée de la révolution
plus courte que par les observations faites
depuis un siècle..Si Ton se sert du moyen mouvement trouvé
depuis, environ 120 ans pour calculer l’observation
228 ans. avant J..C, on trouve une longitude trop
grande de 70 ; ce- qui' prouve qu’on â employé un•
mouvement-trop petit, & qu’il esl moindre dans
ce siècle qu’il n’a été dans les vingt autres siècles ; iV
faudroit ôter 7 degrés de la longitude moyenne trouvée
par le mouvement qui'a lieu dans ce siècle ; &
cette équation séculaire de 70 prouve assez le retar- .
dément de soturne ( Mémoires’ de - l’Académie ,
1757- ) On suppose que cette ejzzzztzoTzséculaire augmente
comme les carrés des tems, on^ ne peut pas lë vérifier
par les observations ; mais on peut y substituer
un raisonnement fort naturel-: les degrés de vitesse
perdus par soturne en vertu de la cause qui produit
son équation séculaire étant fort lents , ne
peuvent être supposés égaux qu’en tems égaux. Dessers
Tefpace parcouru est comme le carré des
tems,. En efset,. dans Taccélération des corps qui- ;Equ equ £7 ?tombent par leur pesanteur naturelle, on observe
que les espaces augmentent comme les carrés des
tems ; cela vient de ce que les vitesses acquises
sont comme les tems, & qu’à chaque instant le corps
reçoit un accroissement de vitesse toujours égal
& toujours constant. D’où il fuit que les espaces sont
comme les carrés des tems.J’ai donc trouvé que Yéquation séculaire de
soturne doit être de 47" pour le premier siécle,
& de 5° 13' 20° pour 2000 ans.L’équation séculaire de Jupiter est de 30" pour
le premier siècle, & de 3° 23 20" pour 2000 ans ;
mais elle.est en sens contraire, parce que le mouvement
de Jupiter paroît avoir accéléré, tandis
que celui de soturne a retardé. L’équation séculaire
■ de la lune, suivant les tables de la lune de Mayer,
est de 9 secondes pour le premier siècle, & de
1° pour 20CO ans. J’en ai donné le calcul dans les
Mémoires de 1757. ^a*s > Pour ^^lir cette quantité,
Ton n’a que deux éclipses de soleil des années
977 & 978,-qui laissent quelque obscurité. Si cette
. accélération de la lune est réelle, elle peut venir
de la résistance de la matière éthérée" ; c’est du
moins le sentiment de M. Tabbé Bossut, dans une
Dissertation, qui a remporté le prix de l’Académie
en 1762, & M. Euler trouve qu’on ne peut expliquer
cette accélération par Tattraction du soleil
.(Pièces des Prix , l~JJP & 1772, íoz/z. z'x) , mais
M. de la Grange pense qu’elle n’est pas nécessaire
même pour expliquer les observation^.A l’égard de 1 accélération de Jupiter & du retardement
de soturne, on a tâché de les expliquer par
leurs attractions mutuelles ; M.' de la Grange,
Mélanges de Turin, tom. III ; M. Euler, Prix de
1752 ; M. Cassini, Mém. de l’Acad. lj^6,p. 475.
Mais cette matière n’est point encore affez éclaircie.
Equation lunaire ou proemptofe, équation solaire
« u métemptose, dans ie calendrier, sont le changement
d’un jour" qui se fait dans l’épacte, pour
accorder avec le ciel les nouvelles lunes & les années. V.
 CALENDRIER. (D..L.) EQUATORIAL, (Astron.).instrument destiné à
suivre le mouvement diurne des astres par le moyen
d’un axe parallèle à Taxe du monde, & à mesurer
Tafcension droite &' la déclinaison^par le moyen,
de deux -cercles qui représentent Téquateur & le
cercle de déclinaison ; on y ajoute un quart de
cercle, dirigé dans le rnéridien, qui sert à élever
Téquateur pour Ia latitude du lieu : cet instrument
est semblable, à certains égards, au cadrans équinoxial
, & même aux astrolabes des anciens ; car
Tastrolabe de Ptolemée (Almag. VII- 4.) A'sTfa.á.pas,
le torquetum d’Apian, ( Asionòmicum Coesareum
1540,.) & de Schoner,, font des instrumens de
même espèce. Ce que Ptolofnée appelle ífyatoi
<Ktfov.*Kw-ov, esl appelléinsirumentunTparallaticum
par Regiomontanus & par Copernic IV. .15, ce
sont deux règles à angles droiis. Tycho-Brahé les
appelle Régulas parallaticas ; il appelle armillaire ;
Tmflrurnent à plusieurs, cercles dont Hipparque & IPtolemée se servirent ; il observe que dans le torquetum
imaginé par les Arabes ou même par les
Caldéens, on employoir des surfaces planes au lieu
des armilíes. ( Astron. instaur. .mecanica , p. 3.9. ) 
Mais, dans le torquetum d’Apian, il y avoit aussi
un mouvement fur un axe parallèle à Taxe du
monde. Cela prouve que le nom d’astrolabe n’est
point suffisant pour donner une idée claire. Voyez
ASTROLAEE.L’équatorial, du moins dans sa forme actuelle,
est un instrument moderne dérivé cependant dela
machine parâllatique. Le plus ancien que je connoisse
dans cette forme, a été fait à Lunéville, vers
1735, par Vayringe ; mais ce fur Short qui le premier
accrédita ces instrumens en Angleterre, lors-qu’il
 en eut fait exécuter un dont la description
se trouve dans les transactions philosophiques de
1749. II y a une description de Yéquatorial de
Dollond, imprimée séparément en 16 pages z'72-4. 0
avec une grande planche. Enfin il y en a une
par Nairne, dans les transactions de 1771, c’est
celle que je vais placer ici, en attendant la description
que nous promet M. Ramsden , habile
Anglois, qui a exécuté beaucoup de ces instrumensavec
de nouvelles perfections.Planches d’Astronomie, sig. ziG.Sur un pied de bois A A est placé un cercle
azimutal C mobile, divise en degrés. Sur se cercleest
placé une platine D , au bas rie laquelle est
fixé un axe conique E. hu milieu de la furfacer
supérieure de la platine horizontale on met un’
niveau F,. par le moyen duquel la platine X* se
place horizontalement, & Taxe E verticalement.
Au-dessus de la platine s’élèvent perpendicialaire-ment
 deux quarts de cercle G, G, l’un desquels
est divise en degrés pour marquer les latitudes. "Ce
sont ces deux quarts de cercles qui soutiennent se
cercle de Téquateur H avec son cercle horaire qui
sest au-dessous. L’axe de son mouvement,. qui est
placé de xii à xii heures, passe par les centres
des deux quarts de cercle, & porte Tindèx I, qui
marque la hauteur du pôle , fur les divisions du ;
quart de cercle.Le cercle de Téquateur est divisé" en heures &
. minutes, & fur un cercle de 7 pouces de diamètre'
divise en demi degrés, le vérifier peut indiquer""
12" de. teins. On y marque aussi les degrés. Le
commencement des divisions doit être fur la méfi-díenne,
 quoique dans la figure les XII n’y soient"
pas, on les a mis sor le coté pour fair-ë voir se
vernier qui, subdivise les minutes. •A la partse supérieure de- la plaque' équatoriàlé
font situés les deux supports MN, qui soutiennent"
Taxe parallèle à Téquateur, avec- lequel tourne la ;
lunette, & qui*porte le demi-cercle dès déclinai-sons
 O , qui'représenteun cercle horaire. Le contre-"poids
 Q est placé à la partie inférieure pour faire-équilibre
 avec le- poids de-la lunette y de- même:
« 78 H Q U EQU
trae les poids R contrebalancent la totalité dèTinsrnmient
qui tourne autour de Taxe de Téquateur,
& le font rester dans toutes les positions où on lemet. 'Les quatre mouvemens de cette machine peuvent
se foire lentement par le moyen des vis S,
T, V, W, qui engrennent dans les stries ou den- '
relures ; & quand on veut avoir un mouvement
prompt, on fait déscngrener les vis.M. Ramsden fait des instrumens dont les cercles
ont 7 pouces de diainètré, & qui coûtent 60 guinées
ou 60 louis. On y distingue les minutes une
à une. La lunette grossit depuis 40 jusqu’à 80 fois,
elle porte vers Toculaire un petit quart de cercle
avec un niveau sphérique, par le moyen duquel
on apperçoit la hauteur & l’angle parallactiquë de
Taslre auquel la lunette est dirigée, afin de calculer
plus aisément Teffet de la réfraction sur les ascensions
droites & les déclinaisons. Je ne décrirai pas
ici cette mécanique , .dont M. Ramsden se propose
rie publier les détails ; ceux qui seraient tentés de
Texécuter comprendront bien que quand le quart
de cercle, qui est vers Toculaire, esl placé verti'ealement,
il diffère de la position du cercle horaire,
qui est toujours fixe fur Toculaire de la
lunette, d’une quantité égase à l’angle parallatique.
11 se sert aussi d’un’ occulaire prismatique P pour
regarder de côté.L’équatorial se vérifie comme la lunette parallatique.
On peut le placer à-peu-près,très-facílement ;
car, dès que la base est bien horizontale 'tk Taxe
monté fur la latitude du lieu, on place la lunette
fur la déclinaison de Taslre, on tourne le pied ,
& en même-temps la lunette le long de Téquateur,
jusqu’à ce que Taslre soit dans la lunette ; alors on
á l’angle horaire de Taslre, & la véritable direction
de la méridienne, sauf les vérifications des
différentes parties de Tinslrument, que nous expliquerons
ZZZZ mOtPARALLATIQUE.51. Mégnié dispose l’équatorial d’une manière
plus commode , comme on lé voit dans là sig. ZZ7.
Sur'unebâse A B, fixée horizontalement, s’élèvent
deux montâns CD , entre lesquels tourne le demicercle
G F qui représente le méridien , où se
marquent les latitudes terrestres,A que l’on dispose
suivant la latitude du lieu où 1 on observe,
de manière que le cercle E Q qui est fixé perpendiculairement
sur le méridien soit parallèle à
Téquateur dans le lieu où Ton établit Tinslrument..L’axé HX est dessiné à porter la lunette qui est
fixée à son extrémité X ; cet. axe tourne dans une
goutière ou un canon dont le dessous est plan &
appliqué for Téquateur, & tourne autour du centre
de celui-ci, par le moyen d’une queue ou d’un
axe qui entre au centre de Téquateur dans un des
rayons du demi-cercle du méridien.A l’autre extrémité de Taxe XH, est fixé un
cercle horaire IK ; une alidade M portée par la
gouttière , & qui est fixe comme elle, marque les
déclinaisons fur le cercle IK, à mesure que-secercle tourne avec Taxe de la" lunette. Par coite
disposition ,,la lunette peut soire tout le tour du
cercle horaire IK, & se diriger vers le pose sons
être embarrassée par le support CD ; tk, ce qiu
esl impossible dans tous les autres,instrumens de
cette espèce, elle peut aller entré le pâle & se
zénit vers les étoiles circompolairés, dans le tems
qu’elles sont à la partie supérieure de leurs parallèles ;Cet équatorial a aussi Tavantage de pouvoir se
vérifier plus facilement que les autres ; car, i.D en
retournant Taxe de Ia lunette dans fa gouttière de
droite à gauche, on vérifie fur un objet terrestre si
la lunette est perpendiculaire à son axe. 2.° Eh
mettant Téquateur dans une position verticale, &
faisant décrire 1800 à la lunette, on voit sur un
objet terrestre íi l’axe est perpendiculaire au plan
du cercle qui représente 1 équateur. 3- 0 Un cercle
entier pour les déclinaisons donne le moyen de
s’assurer si les divisions sont fur un cercle concentrique
à Taxe, & si elles sont égales.Pour faire usage de l’équatorial plus commodément
, il faudroit avoir une table de la parallaxe
en ascension droite & en déclinaison pour chaque
degré de déclinaison & d’angle horaire, & pour la
latitude de Tobservateur. Cëtte table est aisée à
calculer quand on a celle des hauteurs .& des
angles parallatiques ; car la réfraction en afeenfion
droite est égale à la réfractiorien hauteur multipliée
par le sinus de l’angle parallactiquë, & divise
par le co-finus de la déclinaisori. De même la réfraction
en déclinaison est égaie à la réfraction eh
- hauteur multipliée par le co-íìntis de l’angle parallactiquë.
Dollond ajoute un niveau circulaire &
un petit quart de cercle vers Tocculaire, pour
estimer Teffet de la réfractiori. Philos. TransaS.i77-9-(D.L.) ÉQUERRE, ( Astron. )  constellation méridio^
nale, introduite par la Caille sous le nom de
Norma, tk qui est jointe avec la Règle & le
Triangle austral en forme- de niveau. FTTRIANGLE.
(D.L.) 
EQUERRE , f. f. (Géometr. )  C’est un instrument
soit de bois ou de métal, qui sert à tracer & mesurer
des angles droits, comme LEMs^Planc. de Géom.fié- 7°) - ■ ■Elle est composée de deux règles ou jambés y
qui sont jointes ou attachées perpendiculairement
fur Textrémité Tune de l’autre. Quand les deux
branches sont mobiles à un point, on Tappellc
biveau ou fausse.équerre. Voyez BIVEAU.Pour examiner fi une équerre est juste ou non,
décrivez un demi-cercle AEF d’un diamètre * '
discrétion ; & dans ce demi-cercle tirez de chaque
extrémité du diamètres & F des lignes droites,
vers un point pris à volonté dans la circonférence,
comme E : appliquez Teçzz<!,7rí aux côtés de l’angle
AEF, de manière que son sommet soit en E.
Sil’équerre s’ajuste exactement aux côtés de l’angle,E q u e q V 673<lle est juste ; autrement, elle est fausse. (Harris &
Chambers).On dit que deuxjignes ', tkc. sont d’équerre, quand
elles sont perpendiculaires l’une à l’autre.EQUERRE D’ARPENTEUR, en terme d’Arpentage
 ; c’est un cercle de cuivre d’une bonne consistance,
de 4, 5 ou 6 pouces de diamètre. (PI.
d’Arpent, sig. 17). On le divise en quatre parties
égales, par deux lignes qui s’entre-coupent à angles
droits au centre. Aux quatre extrémités de ces
lignes & au milieu du limbe, on met quatre fortes
pinnules bien rivées dans des trous quarrés, &
très-perpendiculairement fendues fur ces lignes,
avec des trous au-dessous de chaque fente, pour
mieux distinguer les objets éloignés. On évide ce
cercle', pour le rendre léger.Au-dessous & au.centre de Tinstrument se doit
monter à vis une virple, qui sert à soutenir Y équerre
sur bon bâton de 4 à 5 pies (fig. 18.)  suivant ía
hauteur del’oeil de Tpblervateur. Ce bâton est
garni d’un fer pointu par le bout qui entre en
terre, &Tautfe bout est arrondi, pour que la virole
y reste juste.'. Toute la précision de cet instrument consiste en
ce que les pinnules soient bien exactement fendues
à angles droits ; ce que Ton connoîtra facilement en
bornoyant par deux pinnules un objet éloigné, &
un autre objet par les. deux autres pinnules. 11 faut
ensuite tourner l’équerre bien juste sur son bâton,
& regarder les mêmes objets par les pinnules opposées
: s’ils se rencontrent bien exactement dans
{alignement des fentes, c’est une marque de la
justesse de í'instrument.Pour éviter de fausser cette équerre-, il faut,
l.° enfoncer en terre le bâton.seul ; & quand il est
bien affermi', placer ladite équerre fur la virole, par
le moyen de sa vis. -■On fait aussi de ces sortes d’équerres où Ton methuit pinnules y de la même manière que celles dé•crites ci-deffus ; elles servent pour avoirles anglesde 45 degrés, ainsi qu’aux Jardiniers pour aligner& planter des allées d’arbres en étoile.Voici la manière de se servir de cet instrument.
Supposons qu’on veuille lever le plan du champ
ABC DE (PI. de V Arpent, fig. Z4.) : on plantera
des jallons ou des piquets bien à-plomb à tous les
angles ; on mesurera la ligne AC, tk les perpendiculairesqui
 tombent des angles fur cette ligne, &'
Ton écrira séparément ces mesures. Pour trouver le
point F, extrémité d’une des perpendiculaires, on
plantera dés jallons à ; discrétion sur la ligne A C,
&l’on mettra le pied de Tinslrument sus la même
ligne, de manière qu’à travers deux alidades opposées
on puisse voir deux jallons plantés fur cette
figne ; & à travers les deux autres alidades^le
jallon. E. Si, dans cette station, le point F n’est
point visible, on reculera ou Ton avancera Tinstrument,
jusqu’à ce que les lignes AF, F F fassent
un angle droit en F: par ce moyen on aura le
plan du triangle AFE. On trouvera de la même'' manière le" point H où tombe la perpendiculaire
D H, dont on mesurera la longueur- avec celle de
HF, pour avoir le plan du trapèse EFHD.On mesurera ensuite HC, qui fait un angle
droit avec H D", & on aura le plan du triangle
DHC. II ne restera plus après cela qu’à trouver le
point G, où tombe la perpendiculaire B G. On
trouvera ce point de la mèmë manière que les
autres, St on aura par ce moyen le plan de tout
Je champ A B CD E, dont, on aura Taire bu la
surface en ajoutant ensemble les triangles &Tes
trapèses. Voyez AIRE , SURFACE, TRIANGLE,
_ TRAPESE, bc.yoy, aussi ARPENTEUR, CHAÎNE,
. LEVER UN PLAN , &c. (E).EQUERRES, ( Hydrauliq.)  sont-des coudes qu’on
esl obligé de faire à une conduite, lorsque le dessein
d’un jardin vous assujétit à des angles indispensables.
■ v - . ' "Equerre se dit encore de grosses plates-barides de
fer dont on garnit les angles’des réservoirs de plomb
élevés en Tair, pour soutenir la poussée & Fécarteinent
des côtés. (K) . ,EQUIANGLE, adj. en Géométrie , se "dit des.
figures dont les angles sont égaux. Voyez ANGLE ;
Un quarré est une figure équiangle. Voy. QUARRÉ.
Un triangle équilatéral est aussi équiangle. Voy.
EQUILATÉRAL.Qûand les trois angles d’un triangle sont égaux
aux trois angles d’un autre triangle, on appelle
ces triangles équiangles entr'eux. Voyez TRIANGLE.
(E) Le mot équiangle s’emploie plus souvent dans ce
dernier sens relatif, lorsqu’on compare les angles
d’une figure à ceux d’une autre, que dans le premier
sens, lorsqu’on compare entr'eux les angles
d’une seule figure. Cependant il est utile de s’en
servir dans les deux acceptions, pour éviter les
circonlocutions, ayant soin d’ailleurs que ce mot
ne fasse point d’équivoque ; une figure équiangle
-tout court, est une figure dont les angles font
égaux entr'eux ; une figure équiangle à'une.autre
ou deux figures équiàngles entr'elles, sont deux
figures dont les angles sont égaux chacuri à chacun.
Peut-être ferpit-on encore mieux de se servir, dans
le premier cas, du mot équiangulaire, ( qui n’est
pas même tóut-à-fait hors d’usage) àTexemple de
quadrangulaire, & d’employer, dans le second cas3
le mot équiangle : une figure équiangulaire , deux
figures équiangles, &c. (0) - EQUICRURAL, adj. (Géom.)  Un triangle équicrural
efí. celui dont deux côtés font égaux, & qu’on
appelle plus communément un triangle if q/cèle, Voy.
ISOSCÈLE & TRIANGLE. (E) On.peut appeller 
suppléent. (O) 
équicrural, un angle, une figure
dont les côtés sont égaux. Mais ce mot n’est plus
en usage ,-parce que ceux cYisocèle tk équilatéral yEQUICULUS, Equuleus> ou Equus minor,
(Astronm.)  est une constellation de Thémisphère ;Mé EQU EQU
septentrional, autrement nommées tir cheval. Voy.
Çxzv AL, £ Astron.) (O) . EQUIDIFFÉRENT, adj. en Arithmétique. Si
flans une fuite de trois quantités il y a la même
différence entre la première & la seconde, qu entre
la seconde & la troisième, on dit alors que ces
quantités sont continuemcnt équidifférentes ; maïs
íi dans une fuite de quatre quantités, il y a la même
différence entre la première & la-seconde, qu entre
la troisième & la quatrième j on appelle ces quantités
diferète/nent équidifférelitçs. Voyez RAISON &
RAPPORT. ,. ,Ainsi, 5, 6, 7 & io sont discrètement equidtfferentes ;
& '3 , 6 & 9 continuemcnt équidifférentes.
Harris & Chambers. Voyez DISCRET, CONTINU & '
QUANTITÉ. Voyez anjsi PROPORTION ARITHMÉTIQUE.
(E) EQUIDISTANT, adj. en Géométrie , est un
tcì-me qui exprime la relation de deux choses, en
tant qu’elles font à la même.ou à une égaie distance
l’une rie l’autre. Voyez DISTANCE.Ainsi, on peut dire que les lignes parallèles sont
équidistantes, ou également distante s^ ; parce que ni
l’une ni l’autre ne s’éloigne ni ne s’approche. Voy.
"PARALLÈLE. 'Harris & Chambers. (E) ^On peut néanmoins remarquer qu’il y a cette
différence entre . équidistant & parallèle , que le
dernier s’applique à une étendue continue, ou
considérée comme telle, & le premier à des parties
de cette étendue isolées & comparées ; ainsi, on
peut dire que dans deux lignes parallèles, deux
points quelconques correspondans, c’esl-à-dire,situés
clans la même perpendiculaire à ces deux lignes,
"font toujours iquidìstans ; que dans deux rangées
d’arbres"- parallèles chaque arbre est équidiflant de
son correspondant dans l’autre allée. E-quidistant
s’employe encore lorsque dans une même portion
d’étendue on compare des particules situées à égales
distances les unes’des autres ; ainsi, dans une íçule
rangée d’arbres plantés à égale distance l’un de
l’autre, pn peul dire que les arbres sont équidiftans ;
au lieu que parallèle pe s’employe jamais qu’en
comparant la position de deux portions d’étendue
distinguées. Telles sont les différences des mots
parallèle & équidiflant : la Géométrie , comme
l’on voit  ? a ses synonymes ainsi que la Grammaire.
(O) EQUILATERAL, ou EQUILATERE, adj.
(Géom.)  sc dit de tout ce qui a les côtés égaux. Ce
mot est formé des deux mots latins oequus égal, &
latus côté.Ainsi un triangle équilatéral efk celui dont lés
côtés sont tons d’une égale longueur. Dans un
triangle équilatéral , tous les angles sont aussi
égaux. Voyez TRIANGLE 6- FIGURE.Tous les poligones réguliers & tous les corps
réguliers font équilatéraux. Voyez PoLIGONE
RÉGULIER <f,x. Harris tk Chambers. (E) Le mot équilatéral est plus en usage qùéquïlaterc,cependant ce dernier n est pas encore tout-a-iait
proferic ; il esl même en quelques cas plus en usage
que l’autre, comme dans le cas suivant.Hyperbole équilatère esl celle dans laquelle les axés
conjugués comme AB, de sont égaux. ( Planches
des coniques, sig. zo ).Donc i..° comme le paramètre d’une hyperbole
est une troisième proportionnelle, aux axes conjugués
, il leur est égal dans Thyperbole équilatère:
2.° si dans l’équation ya== b x -f b x1 : a qui est
l’équation générale des hyperboles, nous faisons
b = a ; l’équation y2 = zzx-f xx, est celle d’une
hyperbole équilatère. Voyez HYPERBOLE. _Dans cette dernière équation ori prend Torigine
des co-ordonnées au sommet de Thyperbole : íi on
les prenoit au centre, Téquafiqn de Thyperbole'
équilatère rapportée à sori premier axe seroityy.= xx——, & rapportée au second axe, elle.seroityy = xx -j—--(O)  ' __EQUILIBRE, s. m. (Méchanique)  signifie une
égalité de force exacte entre deux corps qui agissent
Tun contre l’autre. Une balance est en équilibre
quand les deux parties se soutiennent si exactement,
que ni l’une ni l’autre ne monte ni ne descend
, mais qu’elles conservent "'toutes deux leur
position parallèle à Thorizon. C’est de-là que le
mot équilibre tire son étymologie,, étant composé
de oequus, égàl, tk libra , balance. C’est pourquoi
aussi on se sert souvent du mot balancer ou contrebalancer
pour désigner {'équilibre. Voyez BALANCE
& LEVIER. .'■'■'-..En général, la partie de la Méchanique qu’on
appelle statique , a pour objet les soix de {'équilibre
des corps.Pour que deux corps ou deux forces se fassent
équilibre , il faut que ces forces soienK égales , &
qu’elles soient directement opposées Tune à l’autre.
Lorsque plusieurs forces ou puissances agissent les.
unes contre les autres, il faut commencer par réduire
deux de ces puissances à une feule, ce qui sc
fera en prolongeant leurs directions jusqu’à ce
qu’elles se rencontrent, & cherchant ensuite par
les règles de la composition des forces, la direction
& la valeur de la puissance qui résulte de ces
deux-là ; on cherchera ensuite de la même manière,
Ia puissance résultante de cette dernière, & d’une
autre, quel conque des puissances données, tk en
opérant ainsi de fuite, on réduira toutes ces puifc
sonces à une feule. Or, pour qu’il y ait équilibre-,
il faut que cette dernière puissance soit nulle, ou
que fa direction passe par quelque point fixe qui
en détruise {'effet.Si quelques-unes des puissances étoient parallèles
, il faudroit supposer que leur point de concours
fût infiniment éloigné , & on trouveroit
alors facilement so valeur de la puissance qui en
résulterait, & sa-direction. Voyez la Méc/ianique
de Varignon,Le principe~ v v- e q f 6%i_ Le principe de I équilibre est un des plus esseti- '■
tiels de la Méchanique, & on y périt réduire tout
ce qui concerne le mouvement des corps qui agissent
les uns fur les autres d’une manière quelconque.
Voyez DYNAMIQUE._ II y a équilibre entre deux corps, -lorsque leurs
directions sont exactement opposées, & que leurs
masses sont entr'elles en raison inverse des vitesses
avec lesquelles ils tendent à se mouvoir. Cette proposition
est reconnue pour vraie par tous les MéchaTjiciens.
Mais il n’est peut-être pas aussi facile qu’ils
I ont cru de la démontrer en toute rigueur, & '
d une manière qui ne renferme aucune obscurité.
Aussi la plupart ont- ils mieux aimé la traiter
d’axiome que de s’appliquer à la prouver. Cependant,
fi on y veut faire attention, on verra qu’il
n’y a qu’un seul cas où Y équilibre se -manifeste d une
manière claire & distincte, c’est celui où les deux ,
corps ont des masses égales & des vitesses de tendance
égales & en sens contraires. Car alors il n’y
a point de raison pour que Tun des corps se meuve
plutôt que l’autre. II faut donc tâcher.de réduire
.tous les autres cas, à ce premier cas simple & évident
par lui-même ; or, c’est ce qui ne laisse pas
id’être difficile, principalement lorsque les masses ;
font incommensurables. Aussi n’avons-nous presque
aucun ouvrage de Méchanique, où la proposition
dont il s’agit, soit prouvée avec Texacti rude qu’elle
"exige. La plupartse contentent de dire que la force
d’un corps est le produit de fa masse par fa vitesse, ;
& que quand ces produits sont égaux, il doit y ;
avoir équilibre:, -parce que les forces sont-égales ; ces .'
-auteurs ne prennent pas garde que le mot de force ;
tìe présente à-Tefprit aucune idée- nette , '-&. que les i
•MechaniCiensmêmê sont fl peu d’accord là-dessus, :
yue plusieurs prétendent-quelaforce-est léproduît ;
delamaíseparlequaiTëriela^'ìtesse. T^ô-ye ?-FORCES
VIVES. Dans mon traité de Dynamique , imprimé
« n 174 ;., page 37 ~&_suiv. j’ai, tâché de démontrer \
rigoureusement la proposition dont il s’agit, -&
j’y renvoyé mes lecteurs ; j’ajouterai seulement ici j
Jes observations suivantes. j"r.° Four démontrer le plus rigoureusement -qu’il \
« st possible la proposition dont.il s’agit, il faut ,
supposer dabord que ses deux corps-qui fechoquent ..
'soient des parallélépipèdes "égaux& rectangles, dont :■
les bases soient égales j & s’appliquent directement '
l’une fur l’autre ; -ensuite on supposera que Ia base
demeurant la même, un des parallélépipèdes s’a- ;
longe en même proportion que fa vitesse diminue ;
par ce moyeuondémontteráltd#zzz7z'zVe dans les parállèlepides
de même base, en suivant la méthode
rie Tendrait cité dans notre -traité de Dynamique.
z." Quand un des parallélépipèdes est double de
•l’autre," au lieu de partager la vitesse Friupetit en
deux., on peutpartagef la masse m du.granden deux-autres oui aient chacune la vitesse -p & dont ,.outre
cela, la partie antérieure ait encore la vitesse r^-, &
Mathématiques. Tome I, IIe. Partie.la partîe postérieuréla vitesse —en sens contraire. ;xar, par ce moyen , les deux parties du grandcorps se
feront équilibre entr'elles, &ilne restera.plusquune
-masse M dame part, animée de la vîtesse-f* :&de l’autre qu’une masse —ou M animée dela^ vitesse
'■—j—=V c’est-à-dire que tout fera égaí depart & d’autre. On peut appliquer le même rationnement.aux
autres cas plus composés.3.° Quand on aura démontréles loixde l’équilibre
pour des parallélépipèdes de même base , on les
démontrera pour des parallélépipèdes de bases différentes,
en employant le principe suivant -.fideux
parallélépipèdes, égaux,r-e3angUs,.& semblables ,
font fixés.aux deux extrémités d’un levier_,& qu’entre
ces deux parallélépipèdes , on enplace deux autres
à égale distance des extrémités du levier., & qui agissent
■ensens contraire aux deux premiers , avec la même
vitesse de tendance, il y aura équilibre ; proposition
dont la vérité ne sera point contestée, mais qu’il est
peut-être difficile de démontrer rigoureusement. Sur
quoi voyez l’article LEVIER.
'- 4.^ On applique ensuite certe même.proposition,"
pour démontrer l’équilibre des corps de figure quelconque,
dont les ; masses sont en raison inyerse rie
leurs vitesses., & .qui agissent ! un fur l’autre, ffii-vant-des
lignes qui passent paf leur centre dergra-vité.
Par le moyen de ces différens Théorèmes, en
aura démontré,rigoureusement &fans restriction..,
la loi de Yéquïlibre dans ses corps .quisechoquentriirectement.
Ad’égard de l’équilibre dansle levier,:&
autresmacliinesytíoy£ílLi ;viER, POULIE ,FDRCEJ^MOUVANTES ,áflïï.E ,'COIN., M-ACHiNE/FUNICU•LAIRE,Vis, &•£. v*) '.° -Ón a demandé plusieurs fois iì les loix du
choc des corps font relies qu’il ne pût pas y :èn
avoir d’autres, "Mous avons démontré zzzz .772*77 ; ÍD.ÏV
•NAMIQUE., que les loix aîu .choc dépendent .rie
celles de ìl’équilibre. ; ainsi., la question se réduit íà
savoir, fi les loix de i'équilibre sont rellesqu’il ne
puisse pas -yen avoir d’autres ;; x>r lés loix del’équi:libre
se réduisent, -cominemous avions vu dans cet
.article,a f'équilibre de deux corps iégaux & sem~
hlables, anim’és’en sensrontraire de vitesses deiem
idance égales. Tout se réduit donc à savoir, s’il peut
.encore y avoir équilibre dans d’autres,cas ;x'est-à•dire, rar exemple, fi deuxxorps égaux, dont.les
vitesses contraires sont inégales, pourront se faite
absolument équilibre, ouxe niai est-la mêrrie chose,.Comme il-eft aisé de le voir,si un corps Ranimé• d’une vitesse quelconque zz:, & venant frapper un
autre corps égal en repos, les deux corps resteront
en repos après le choc. Ilsemble que ce dernier
cas est impossible ; car au lieu desupposer.se
second corps en repos, supposons-le animé rie la
vitesse— zz égale & ,en Tens contraire à. la vitesse a ;
il est certain d’abord que, >dans.ee cas., il y aura[ -équilibre ; 'íupppsonsá présent :quecdans Tinflant.oû.Rrrr« ísi equ £VUil est animé de Ia vitesse—zz, par laquelle il fart
équilibre au -premier corps , il soit animé de la
•vitesse -f zz, il esl évident i.° que rien n’empêchant
l’action de cette dernière vitesse, puisque l’autre ^- a
esldémiite par l’action du premier corps, rien n empêchera
ce second corps de sc mouvoir avec la vitesse
-J-a ; cependant, ce même corps animé des vitesses
-f- zz, — zz, esl dans un cas semblable à celui du
repos, où nous Tavons supposé, & puisqu’on suppose
que ce second corps en repos , ne seroit
point mû par se premier , ce second corps seroit
donc tont-à-la-fois en repos & en mouvement,
ce qui esl absurde. Donc il n’y a de vrai cas
d’équilibre, que celui des vitesses égales & conîiaires.
Donc, &c.6.° Donc, quand deux corps sont en équilibre,
en vertu de la raison inverse de leur vitesse: & de
leurs masses, íi on augmente ou qu’on diminue si
peu qu’on voudra la masse ou la vitesse d’un des
corps, il n’y aura plus d’équilibre. II faut nécessairement
supposer cette dernière proposition, pour
démontrer la proposition ordinaire de l’équilibre
dans lé cas de Tincommensurabilité des masses,
voyez PaSe 39 de ma, Dynamique ; car dans le cas
des incommensurables , on ne démontre que par
la réduction à Tabsurde ; & Ia seule absurdité à
laquelle on puisse réduire ici, comme on le peut
voir par la démonstration citée , c’est qu’une masseÍilus grande soit le mêmé effet qu’une moindre avec
a mêmé vitesse. 11 esl assez singulier que, pour dé- :
montrer une proposition nécessairement vraie, telle
que celle de l’équilibre des masses, en raison inverse
des vitesses, H faille absolument supposer ,
cette aune proposition, qui paroît moins nécessai-  ;
rement vraie ; qu’un corps en mouvement venant ■■
frapper un autre corps en repos , lui donnera nécestaircment
du mouvement. Cette connexion forcée n’estelle
pas une preuve que Ja seconde proposition esl
aussi néceflàirerhent vraie que Ja première ? U me
semble que ce raisonnement n’est pas sons force, soraout
íi on le joint à celui de l’article 5 précédent.De tout cela, il s’enfuit qu’il n’y a qh.une feule
loi possible d’équilibre , un seul cas où il- ait lieu,
celui des masses en raison inverse ; des vitesses ;
que par conséquent un corps en iiipuvemenr, en
mouvera toujours un autre en repos : or ce corps
en mouvement, en communiquant une partie du
-lien, en doit garder le plus qu’il est possible.-,
c’est-à-dire, rien doit communiquer que ce qu’il
faut pour que les.deux corps aillent de compagnie
après:ie choc avec une vitesse égale. De ces deux
principes résultent les loix du mouvement & dela
'Dynamique ; & il résulte de tout ce qui a. été dit>,
que ces loix sont non-seulement les plus fiaiples &
les meilleures, maisencore les seules que le Créateur
ait pu établir d’après les propriétés qu’il a données à
la matière. VoyezDYNAMIQUE, PERCUSSION.Sur 1 équilibre des fluides, voyez FLUIDE
HYDROSTATIQUE, &ci., 'Au reste, on ne devrait, à Iarigueur ^ employerJe mot équilibre y que póur désigner le repos de
deux puissances ou deux corps qui sont dans un:
état d effort continuel, & continuellement contre-,
balancé par un effort contraire, en sorte que, fi
un des deux efforts contraires yenoit à cesser ou
à être diminué, il s’enfuivroit du mouvement.
Ainíì, deux poids attachés aux bras d’une balance-,,
sont en équilibre dans le sens proprement dit : car
ces deux poids agissent fans cesse l’un contre l’autre.,.
tk si vous diminuez un des poids, la balance sera
en mouvement. Au contraire,. deux corps égaux
& durs 3 qui se choquent en sens, opposés avec des
vitesses égales, détruisent à la vérité leurs mour
vemens,. "mais ne sont pas proprement en équilibre
, parce que Teffort réciproque des deuxeorps ,
est anéanti par le choc ; après Tinstant du choc ,
ces deux corps ont perdu seur tendance , même ,
au mouvement „ & sont dans un,repos absolu 8c .
respectif, en sorte que si on ótoit un dés corps ,.
l’autre resterait en repos sons se mouvoir. Cependant
, pour généraliser les idées, & simplifier le
langage, nous donnons:dans cet article. Ie nom
d’équilibre, à tout état de deux puissances, ou .
forces égales qui se détruisent, soit que cet état .
soit instantané, soit qu’il dure aussi long-tems qu’on
voudra. (O) .* On trouve dans les Mémoires de l’académie des
sciences de Berlin, année 1752 , une démonstraT
tiort métaphysique du principe, général, de Yéquir
libre y qui est du célèbre M_ Euler. Son .-utilisé. .
nous a engagé à la placer ici, vu que d ailleurs
elle est assez iimple pour être £ la portée de tous
les lecteurs médiocrement verses dans" le calcul .
.différentiel. Voici en quoi elle consiste. Mais
comme Yéquïlibre est produit par Taction des forces, .
il est nécessaire d’expliquer, avant toutes choses ce.
que l’on entend par ce mot, afin de s’en former
une juste idée..On donne en général le nom dé. force., à tout .
ce qui peut changer Tétat. d’un corps, soit pour
le faire passer du repos au mouvement, ou réciproquement
du mouvement au repos , soit enfia
pour faire varier çe mouvement d’une manière,
quelconque. II y a deux choses à considérer danschaqueforce,
 fa direction , ou dans quel sens.,
elle, agit fur un corps  ; & fa grandeur. La direction
de la force est toujours exprimée par lá ligné
droite, suivant laquelle la force,tend à entraîner,,
le corps ; & on sc forme une idée, de sa grandeur,
en prenant une force connue, pour Tunité, & 'en- .
.examinant combien celle-ci.est contenue dans une.
autre force quelconque.Mais on peut encore' se former une, idée plus
distincte de ces choses , en se les représentant
de cette - manière. Supposez que, le corps A \,
{Planches Méchaniques , fig..j^) , soit attaché par
la corde EF, à la barre MM, avec qui elle fait
un angle droit. Supposez encore une barre NN, parallèle
à la première, mais immobile, ót que ces
dsux. barres soient jointes ensemble par lës filets 1 1-,//ëq.tj equ.' 6-8 ?•^ > f3 > -&'c- perpendiculaires à N N,. qui- peu vent--se-contracter : en forte que quand cela arrive:, la
harre MM & le corps sont obligés de s’approcher
de N.N. II esl évident que, fi Ton prend chaque
filet pour Tunité, & que le nombre en soit^I^
ce nombre exprimera aussi la force totale de tous
ces filets pour tirer le corps A vers N. N, suivant
la direction E F.-v' De-là, il soit que Tàction de cette force consiste
dans la contraction actuelle des filets 11, 22, &c.
& que cette action furie corps A est d’autant plus
grande, que les filets sc sont plus raccourcis : on
suppose d’ailleurs que dans quelqu’état qu’ils soient,
ils aient toujours le même pouvoir de se contracter.
Par conséquent, le raccourcissement des filets est la
juste mesure de faction de la force totale N : si
donc ils se sont raccourcis d’une quantité z Ì &: que
le corps ait été ainsi entraîné par un espace = z 5
Faction de la force sur le corps A, sera exprimée
par la quantité N z, qui exprime aussi le raccourcissement
total des filets.Que la dislance du. corps A, à la barre immobile
NN^ soit e'gale à x, & que la longueur dela corde
EF soit égale à b, qui doit être une quantité constante ;
x—b exúrimera la longueur des filets, &
N (x — b) la somme des longueurs de tous les
filets. Or . cette quantité devient de plus en plus
petite, par l’action de la force ; mais comme b esl
constant, II n’y-a que x qui puisse diminuer ; par
conséquent, l’objet de la force est de diminuer la
quantité Nx, qui est le produit rie la force N,
par la distance du corps A à la barre immobile N N.
II est évident qr/on peut se passer ici de. la considération
de la distance absolue, puisque Ia force
est censée constante : car si la barre N N étoit à
-toute autre distance du corps A, la même contraction
des filets produirait toujours la même diminution
dans la quantité N x ,- pourvu que.cette. barre fût tou j ours perpendiculaire à la direcrion EF,
suivant laquelle on conçoit que le corps est sollicité
à se mouvoir par la force N.. . . <-. Après avoir ainsi expose en quoi consiste l’action. d’une force, on en’peut facilement tirer ce principe
général, Que toute force agit autant qu’elle peut:
proposition qui est assez évidente, pour être admise
comme un axiome par tous ceux qui en auront
compris lé sens. Car l’action de la force consistant
dans la contraction des filets, ils rie cesseront de
se Contracter rant qu’ils ne rencontreront pas d’obstacle
invincible. Par conséquent ces filets, & pariant
la force qui en est composée , agira autant
qu’elle pourra, ou jusqu’à ce qu’elle rencontré un
Obstacle invincible. '. Mais lorsqu’un corps, ou un système de corps,
est en 
#lprs dans leur plfls grande contraction, eu forte
équilibre , les forces qui le sollicitent à se
mouvoir sont tellement opposées entr'elles, qu’elles
ne sauraient agir ou remuer le corps ; il faut alors
que Faction des forces soit la plus grande, ou que
les filets doritles forces sont composées, se trouventqu’il est irripòffible qu’ils se contractent davantage.
Ainsi, un corps, ou un système de corps, sera en
équilibre, quand les forces qui le sollicitent à se
mouvoir, seront tejiement disposées à l’égard du
corps ou du système de corps , que la contraction
des filets soit la plus grande , ou quela somme ries
longueurs des filets pris ensemble, soit la plus petite
qu’il est possible. Que l’on considère , par
exemple, dans un système de corps , chaque force
séparément, de même que sa direction, sur laquelleon
prendra une dislance arbitraire x : nommaiítaprès
cela la force qui agit suivant cette direction
N-, Nx fera la somme des.filets dont cette
force est censée composée. Et, dans le cas d’équilibre
, la somme de tous ces Nx, qui conviennent
. à chacune des forces prises séparément, doit être
la plus petite, puisque la contraction des filets est"
alors la plus grande.La force de ce raisonnement consiste en ce que
Ton réduit toutes les forces à un certain nombre
de filets semblables & égaux entr'eux, qui par la
faculté qu’ils ont de se raccourcir, composent la
force même. Ainsi, lorsque le corps est en équilibre,
il faut que les filets de toutes les forces quiagissent
fur lui, soient dans leur pìus grande contraction
,'• conformément à Taxiomê ci^dessus. Car ,
s’ils pouvoient encore se contracter, ils le feraient,
& le corps ne seroit pas en équilibre. Donc, si le
corps est en équilibre ■',- la contraction de tous lesfilets,
est la plus grande, ou ils n’en sauraient recevoir
aucune , ou ce qui revient au même , la
somme de toutes les forces- sollicitantes est la plus
petite.' "Telle est donc la règle générale, pour trouverque !
doit êtrel’état des corps sollicités par des forces
quelconques, pourvu qu’elles ne varient point suiyant
la distance , afin qu’ils soient entr'eux en équilibre,
suivant cette rh^e ; on considérera chaque
force à part, on prendra sur sa direction un point
fixe', & on multipliera la force par la distance de ce
pointau lieu de 1 application de la force, ou par la
dislance qu’il y a de ce point au corps fur lequel
elle agit. Ori assemblera ensuite tous ces produits •
& la somme qui en résultera, sera un minimum dans
. Je cas d’équilibre. Et. réciproquement, on pourra,
déterminer, parTa méthode des plus grands’& des
plus petits, Y état & équilibre , lorsque les forces sont
constantes, ou que la quantité N, qui a exprimé
jusqu’ici la force^jie dépend point de la quantitéx
qui a été considérée comme la variable.La force de la gravité est de ce genre , car fa
variation est insensible à de petites distances de la
terre. Si donc on considère un corps AB, (sig. j6) 
dont ses parties M ne sont sollicitées à sc mouvoir
que par l’action dela gravité , suivant là direction
verticale M P , tk que Ton prenne à volonté
sur cette ligue un point fixe P., qui soit dans Thorizontale
-N N. ; on fera la distance MF =x ; &
nommant la masse de la particule M, dM, cedM
exprimera en même tems le poids de la particuleR rrrij
*<U EQU EQU
l. U if. — _ ^_Jls ou la force avec laquelle elle est sollicitée à se
mouvoir suivant JlsP : doncxt/Asest danscecas
le produit qu’il sout mettre à la place de- Nx, pour
cette particule ; & partant la somme de fous les
xdM qui résultent de tous les élëmens du corps,
sera la plus petite , lorsque le corps se trouvera
en équilibre. Mais on soit que la sommé de tous les
x d M exprime le produit du poids entier du corps,
pas la distance de son centre dé gravité à la même
ligne horizontale N N. Si donc on suppose que G
soïtlecentre de ce corps, le produit ils X GH-, qui
eff égal à la somme de tous les xdM, sera un minimum
en cas d’équilibre. D’où Ton voit que les corps pesons
ne sauraient être en équilibre , à moins queleur
centre de gravité ne soit aussi, bas quil est possible..
La démonstration que Ton vient de ; donner du "
principe de Y équilibre , suppose queT’action des:
forces fur les corps ne varie point, à quelque distance
quelles en soient.: Car'sises forcés ne sont
pas constantes, il faudra supposer le noriibre des.
ílets variable, pendant qu ?ils se contractent, puise
qu’on les a envisagés comme conservant toujours
le même pouvoir. Voici commentTLfaut envisager
la chose dans.le cas oùlà force varie, suivant
les distances. La force représentée,par Nx: ;:
doit être décomposée en ses élémens Nd-x ; tk:
comme N, qui représente ïe. nombre des filets à-,.
chaque distance P x , est variable , queon suppose
cè nombre = P ,"" on aura P- dx pour Télément ! dela:
force: dontT’intégrale /PáxseràTa.jtìfle:valeur
qui doit être mise à la place der^sx, qúanri
la force est variable ; ■ ;. .' ;'..: .::. …. -"-.Afin de répandre un plus grand jour fur ce sujet,t
il faut considérer, cornaient lës formules Nx',. que
les forces constantes donnent, deviennent un minimum.
Cela arrive, lorsque léiws différentielles-.M zzx,,
prises ensemble, s’évanouissent : mais,.dans, ces différentielles.,
il n’est plus queslion si ; la force J*7 estconstante
ou non. Donc , st la force, est variable,
& qu’elle soit = P, on auraPdx, au lieu de Nd-x,.
dont la somme doit’ être égalée à zéro. ; par- conséquent,
la formule qui devient un: minimum.-en cas ;
d’équilibre,- doit être composée de celles-ci/Pzía ;, ;.
que Ton doit tirer de. chacune des forces sollici.tantes ;
d’où Ton voit que dans le cas dès forces ;
constantes, ou deP=rí5 on aura lesmêiriesformules
íîi, pour rendre un minimum, qisecelles ;
-que Ton a trouvées ci-dessus.Tel est donc le principe universel qui convient:
à tout état d’équilibre. En vertu de ce principe ,' il
faut considérer séparément chaque force qui: sollicite
le corps à sc mouvoir : supposez que.ces forcessoient=:P,Q,R,
&c. & que les directions suivant
Lsquellesellesagiffentsursecorps M, (sig.77) isoient
A b, li O C H- ; prenez à volonté fur ces directions
lespomts fixes F, G, H ; & nommant A F, x B G r
CH, z , on aura pour Tétat ^équilibre fP'dx -f m,
fy -\rf R d\ + &c. qui doit être un minimum. Pou ?
la commodité du calcul, il convient de placer les
pointsfìïc^ .G, íf,dans de certains endroitsphuôtqu’ailleurs : ainsi, dans, le cas des forces centrales que
Foriexprimepar de certaines fonctions de la distance
à leurs centres de forces, il faut placer ces points
dans lés centres mêmes. Alors P' ; Q, R, &c. pou^
vant être exprimés par ces quantités * x", £j", y z" ,
&c. Texpression dont Ton devra faire un minimum,fera, _JL_ xn + I+ r|T3r »+. + ^V ?<
4- &c. & cela s’observera dàhs ; tous lës cas semblables."
- - • .Comme la force P fournit dans tous les. calculs
une quantité pareille à celle-ci fPdx,f\ on nomme.
effort Tintégrale de cette -quantité résultant de la
force Py on pourra renfeianerle principe générât
d’équilibre dans cette règle bien simple,:
: La. somme de tous les efforts que desforcesfontfutt
un corpsy doit être uninnmnmmpòuj que ce corpsfiitcn
équilibre.LorfqueTe corps dontoncherche Tétatà'équHibre,
est, flexible ou même fluide ; il ërí faut considérertous
les élémens féparéirient, dermême queTes forces
quiles sollicitent, póur enlirèr, d’abord 1 tous les
efforts que chaque élément soutient. Ensiiite on
trouvera, par se calcul intégrai, la soniiriede tous
ces -efforts:, ou Teffprttotal que le eorpséprôuve, ;
de laquelle oni fera un minimum:, quix indiquera
alors les conditions requises.pour quede corps soitëft:
équilibré'.. ' - _ ' ' "" . ' ' ■ 'II faut remarquer quil n’est’pas nécessaire d’introduire
dans le calcul de Yéquilib.r.eí,.Tes forces qtìi 1
attachent le corps à quelqueiobjët fixe, onquise 1
tiennent arrêté. Ainsi, si'Pn veut trouver, par cette'
méthode, ; la courbure d’ùnexhahie suspendue , onne
fera pas attention à 1 effort que souffrent les’
clous’auxquels la. chaîne est suspendue ; & "lorsqu’il
est queslion de l’équilibre d’un ; fluide f enfermé d’ans>
un vaisseau , il. n’est pas nécessaire: dp considérer les
forces avec lesquellesle fluide presse levaisseau. Ilfrif i
fira, dans ; l’un & Fautre cas, de considérer les
seules foiices- de soi gravité , pour. eh. déterminéi'
Tétat d’équilibre. La raison ! der.cette distinction-, est’
aisée à comprendre, parlàrmanièr.ed’-envisager'Tactio.n
des forces, savoir y.-dans la contraction, des’
filets. Ainsi ;,, s’ily a dësforces auxquelles le corps: >
ne saurait obéir,, comme.celles qui: se tiennent à/
quelque objet immobile , elles-, n’entreront point
dans, le calcul,, mais ;seulement celles, qui peuvent
imprimer quelque, mouvement au: corps- ; on en
prendra les efforts, comme ori Ta déja dit, & fai~
sont : des .somrnes un miiimum,- on trouvera par'ce
moyen Tétat d’équilibre- dtìí'eor.ps ; ( ;•/ ;■) '■'' '■■ ÈQ.U1MULTIPLE, adj. CTZ Arithmétique &en
Géométrie, se dit des grandeurs.multipliées égale-'
ment, c^ést-àvdire par des quantités, ou. des multiplicateurs
égaux ; Voyez MULTIPLICATION. ■■Sion prend A autant de fois que B-, cest-à-dáre
fi on les multiplie également, iT y aura-toújours le
même rapport entre les’ grandeurs ainsi imiltipliëesy
qu’il y avoitentreles.grandeursprimitiv.es avant la
multiplication. Or, ces grandeurs csusi égálemensEqu equ :6îfmultipliées, font, nommées équimultiples de leurs
primitives A tk.B ; c’est pourquoi nous disons que
les équimultiples sont en raison des quantités simples.
Voyez RAISON ;En Arithmétique, on se sert en général du terme
équimultiple , pour exprimer des nombres qui contiennent
également ou un égal nombre de fois leurs
fous-multiples.- Ainsi iztk-6 sont équimultiples de leursfous-mul*-
liples 4 & 2 ; parce que chacun d’eux contient son
fous-multiple- trois f'ois. Voyez SOUS-MULTIPLE &
MULTIPLE. Harris tk Chambers. CE) EQUINOXE, f. m. en Astronomie, est le tems
auquelle Soleil passe par Téquateur, & par un
des points équinoxiaux-. On appelle aussi quelquefois
équinoxes , les points ou Técliptique coupe
Téquateur : on dit passage de Y équinoxe au méridien
, distance deTe'í/zzznoxzrau soleil, niais il est plus
correct dé dire Te point équinoxial.Les,équinoxes arrivant quand le soleil est- dans
TEquateur, les jours sont pour lors égaux aux nuits
par toute la terre, (sauf la petite différence qui
vient des réfractions ) , cela arrive deux fois par án ;
savoir, ver-s le 20' jour rie mars, & le 22e rie Septembre ;
le premierest Y équinoxe du printems, & se
second celui d’automne^ C’est de-là que vient le
anot équinoxe., formé de teqitus, égal j & de TZOX,
nuit. Depuis- Y-équinoxe du printems. jusqu’à ; celui
d’automne, les jours sont plus grands que.ses nuits
•dans nos régions septentrionales., c’est ; le Contraire
depuis Y équinoxe d’automne jusqu’à celui' du prmr
teins. - :■- ;',':. . : ,. ;: ; -■Comme le mouvement du soleil estinégaly c’està-dire.,,
tantôt, plus prompt , tantôt-plus-sent, il
arrive qu’il y a environ huit jours de plus àel’équi-r
noxe díi printems à Y équinoxe d’automne, que de
X équinoxe d’automne à Y équinoxe du printems,
parce que le soleil emploie plus de tems à-parçourir
les signes septentrionaux ;:, qu’il n’en met à parcourir
les-méridionaux. -,Suivant les tables dela Caille & dé Mayer,lesoleil emploie I,8<J jours n heures 49 rtìinutes à"parcourir ses signes septentrionaux, & 178: jours-fS’heures 5 minutes à parcourir les méridionaux-:la- différence est de 7 jours 17 heures 44 minutes.Le soleil avançant toujours’dans ; Técliptique, &
gagnant un degré tous les- jours, ne sarrête pas
dans les points des équinoxes, mais au moment quil
y arrivé, iT les quitte. Ainsi, quoiqu’on appelle
jour, de l’équinoxe celui où: le- soleil entre ; dans le
point équinoxial, parce qu’il est réputé égal, à:la
nuit, cependant cela n’est pas de la dernière préV
cisiony car, fi se soleil, en se levant y entre dans
{'équinoxe du printems, en. se couchant il Taura
passé, & sen^ sera éloigné du côté du septentrion
d’environ 12 minuter, ; par conséquent çe: jour-là
aura un peu ; plus de íi heures, ,&la nuit, àrpro.porrion
 en aura moins. II n’y a queles habirans
de Téquateur -qui. ont: u » équinoxe perpétuel ; car,
fous Téquateur, les jours.font pendant toute Tannéeégautf aux nuits, abstraction: faite des réfractions
& des crépuscules.Le tems des ; équinoxes, c’est-à-dire le moment
auquel le soleil passé par Téquateur, se peut trouver
de la manière suivante, par observation,
loricpron connoît la latitude du lieu  ; où Ton
observe. ' ; -.. Le jour de Y équinoxe ou celui qui le précède »
prenez la hauteur du soleil à midi. ; si elle esl égale
à la hauteur de Téquateur, ou au complément dp
la latitude du lieu, le soleil est dans Téquateur au
moment même de,midi ;-si elle n’est pas égale, la
différence marque la déclinaison du soleil.- Lè
jour suivant, observez, comme la veille, la hauteur
du soleil à midi, pour en conclure sa dëcliv
naison. Si les dëclinaisons.sont de différentes dénpminations,
cest^à-dire .que Tune soit au nord &
l’autre au sud, Y équinoxe est arrivé dans Tintervalse
des deux observations.. Au moyen de ces
deux observations, il est aisé de fixer le teins de
Y'e'quinoxe par une simple proportion. Nous avons
expliqué une méthode encore plus exacte, auJ720ÍAs.CERSIQN DROITE.Ontrouve, par les Observations, que les points
dés équinoxes tk tous les autres points de 1 éçlipr ■■'
tique, se meuvent continuellement, d’orient én
occident contre Tordre des signes. -Ce mouvement
rétrograde des points équinoxiaux", est appelle
P-RÉCUSSION des’équinoxes. -Plusieurs auteurs ont dirqu’il y avoiteu autrefois ;
fur'la terre,.uni équinoxe universel, ; c !est-à4d’ire,
que. Téquateur & Técliptique. étoient.■' d’accordi
Depuis qu’on-, .a reconnu qu’ils se. rapprochoient
insensiblement, on en a conclu .que cet. équinoxe
 ;général & continuel reviendrait encore^ Mais, la
diminution actuelle dëfobliquité de Técliptique
étânt causée par les attractions de Jupiter & de
venus fur Ta terré y on fait que cette, diminution’
ne peut aller qu’à quelques degrés,. & qu’il en
réfoítera ensuite'Une augmentation ; ainsi, il’n’y. à
rien dans Tastroriomie qui ludique , ni pour "ses
siècles passés ,ni pour les -siècles à vénir/un équinoxe
universel. (D. L.) EQUINOXIAL, subst. m." èn Astronomie , est
la même chose que Téquateur. II y.,a. cependant
des’ auteurs" ; qui entendent par Y équinoxial’, "le
grand cercle immobile de là sphère, sous lequel
f'ëquaieurde'la terre se meutdans fori mouvement
journaliën Selon eux, Téquateur est mobile, là
ligne équinoxiale-ne Vest pas’: Téquateur est supposé
traéë sur la- surface convexe de la sphère ; là ligne
équinoxiale est irnagiriëe" dans la surface concave de
la. sphère, céleste..On c-óncoit la ligne- équinoxiale , en supposantun rayon delasphèreprolóngé par-delà Téquateur,& qui,, par la rotation de la sphère-sur son axe,,■ décrit un cercle sur. la surface irainobise. zScxpricavedu- grand- orbe.Equinoxial se prend aussi adjectivement ; ligw
tfS<? EQU 'E R î
équinoxiale s’emploie quelquefois pouf désigner
{'équinoxial fur lá terre. . 'Points équinoxiaux, sont les deux points dans
lesquels Téquateur tk Técliptique se coupent l’un
l’autre.Cadran équinoxial, est celui dont se plan est
parallèle à 1 équateur. Voyez CADRAN.Orient équinoxial, esl le point où Thorizon d’un
lieu esl coupé par Téquateur vers Torient ; il en
esl de même de Toccîdent équinoxial, ce sont les
vrais points d’orient & d’occident. Cespointssont le
levant & le couchant au tems des équinoxes.France équinoxiale, est le nom que quelques
auteurs ont donné aux pays qui appartiennent à
ía France, & qui se trouvent sous Yéquinoxial,
ou sort près de ce grand cercle. L’íle de Cayenne,
qui appartient aux François, & qui est à 4 degrés
ide 1 équateur, fait la plus grande partie de la
france équinoxiale. M. Barreré, médecin de Perpignan,
& correspondant de l’Académie des Sciences
rie Paris, a donné un ej^zzi fur Vhistoire naturelle
de la f rance équinoxiale.II y a des auteurs qui écrivent équinoBial ; on
doit écrire équinoxial, fi on le dérive d’équinoxe,
& même de oequus tk nox ;. mais il doit s’écrire
équino&ial, si on le dérive de cequus, & d’un des
cas du mot nox, comme noâis, nod.es ; nous avons
préféré la "première orthographe comme plus conforme
à Tétymolpgie. ( O ) EQUIPAGE, (Astron. ) , sc dit de Tassemblage
des oculaires que Ton applique à une..lunette ou à
un télescope. L’équipage le plus fort est celui qui
grossit davantage. ( D. L. ) EQUIPAGE, (Hydraul.)  On dit Y équipage d’une
pompe, ce qui renferme seulement les corps, les
pistons, les fourches, les tringles & les moises qui
ses attachent à des châssis qui sont à coulisses, & qui
se peuvent glisser dans les rainures des dormans ou
bâtis de charpente scellés dans les puits & citernes
OÙ on construit des pompes. (K) EreERE, f. f. en Astronomie ,. est la même chose
qu’époque, en Chronologie.,.--''
- Le mot ère , selon quelques-uns, vient du mot !
arabe arach ou trach, qui signifie qu’072 zz fixé se
tems.' D’autres croient qutra vient des lettres initiales
de Tépoquedes Espagnols ; AbExordio Réuni
Augusti, (O ) ■ .ERICHTON, lAflron.) , nom que Ton donne
quelquefois à la constellation du cocher Cet
Enchton étoit, non se fils de Dardanus, mais un
roi d Athènes, qui fut déifié comme Tiriventeur
de plusieurs arts utiles & fur-tout de celui des
gars : cest çelui dont parle Virgile dans les versPrimus Erichtonius cumis & quatuor aufus ■<
Jungcrc equos, rapidifque rôtis insisiere viâor,Georg. III. 113. ,
(D.L.)  'ÉRIDAN , ( Astron. ) Contellation méridionale „'
composée de 60 étoiles dans le Catalogue Britannique.
En latin Eridahus ; Padus, (le Pô ) Nilus ,'
Melo , Gyon , Mulda , Oceanus. Phaëton , fils
du Soleil, si célèbre dans Tantiquité , s’appelloit
d’abord Eridan ; il donna son nom à un grand
fleuve d’Italie, où il avoit été, dit-on, noyé après
so chute ; & comme ses Egyptiens rendoient au
•fleuve du Nil une espèce de culte , on a aussi
prétendu que c étoit ce fleuve bienfaisant dont ils
avoient voulu consacrer Timage parmi les astres.
On donnoit à ce fleuve le nom de Melo , ou noir,
ce qui répond ad mot hébreu/c/zzeor , qui a lá même
signification^Nigrafoecundato arenâ. Virg. Georg. IV. 291. '■Le coucher de cette constellation & de celle du
cocher, qui se fait le matin , quand sesoleil parcourt
le scorpion, sert à M. Dupuis à expliquer la chute
de phaëton, allégorie de Tembrasement du monde
ou de Tété, qui finit par un déluge , c’est-à-dire,
par les pluies de Tautomne. ( Astronom. tom. IV, .
p. 52-9. ) ■ ■ ■ : ■II y a dans Yèridan une étoile de la première
grandeur, appellée achenar ou acharnar ; elle avoit
en 1750, 22. 0 5' 44° d’ascension droite , & ç8. ?
30' 50" de déclinaison australe. (D. L.) - ,ÉRIGONE , (Àstmn.)  nom que Ton donne i
la constellation de la vierge". Voyez VIERGE. ' 'ERREUR , en Astronomie, c’est la différence
entre le calcul tk l’observation ; ainsi , Y erreur des’
tables de la lune est la quantité dont les tables
donnent la longitude calculée , différente de Ia
longitude observée : on marque ordinairement du
signe -(- Y erreur qu’il saut ajouter aux tables pour
les accorder avec l’observation. Halley avoit calculé
les erreurs de ses tables pendant dix.- huit ans t
pour servir à prédire les lieux de la lune dans les
usages de la navigation, & Ton a publié celles des
tables rie Mayer dans la connoiffance des tems deÏ775>. y .-..'.On appelle Y erreur d’un quart de cercle , Ia
quantité qu’il faut ajouter aux hauteurs qu’il indiqHe
 ; erreur d’une lunette méridienne, la quantité
dont elle s’éloigne en différens points du véritable
méridien. Cotes, célèbre géomètre d’Angleterre ,
a donné, en 1722, à la luitc d’un ouvrage intitulé
, Hdrmoniamenfurarum , un mémoire intéressant
fur les rapports que les erreurs ont les’ unes avec
les autres y & fur les manières de lés déterminer
par ses régies du calcul différentiel. J’ai traité cette
matière encore plus au long dans le xxmc livre
de mon Astronomie. ( D. L.)  . '" . , ,.. ESCALIER, (Hydr.}On pratique dans la
construction des cascades des escaliers de pierre ,
dont la plupart sont en fer-à-cheval , avec un
bassin qui en occupe le milieu ; quelquefois ces
escaliers sont de galon. (i£) ESCOMPTE, f. m. (Arithmétique). C’est,
en ; général la remise que fait le créancier , ou la
perte à ; laquelleTl se soumet en faveur du paie■hient
anticipé qu’on lui fair d’une somme avant
Téchéance du terme.ï. Phrs particulièrement tfcomptet fur une somme,
c’est en séparer les intérêts qu’on y suppose noyés &
confondus avec leur capital.■.z. II y a deux manières d’énoncer Y escompte ;
on.dit qu’il se fait à tant pour £ par an (ou tel
autre terme ) , ou qu’il se fait à tel denier. Nous
nóus en tiendrons à Ia première expression qui
s’entend mieux , & qui est la plus usitée. Quant
au moyen de ramener Tune à l’autre. V. INTÉRÊT.
Nous aurons souvent occasion de renvoyer à cet
article, à cause de Tintime liaison qu’il y a entre
les deux calculs ; tk fur-tout parce que l’article
INTÉRÊT (dont l’autre se déduit ) devant naturellement
précéder y si l’orrire alphabétique de cet
ouvrage ne s’y opposoit , la matière" s’y trouve
.traitée plus à fond ; on y aura donc récours, même
fans en être averti ,. s’il se trouve quelque point
qui.ne paroisse pas ici suffisamment expliquépQuand on dit que Y escompte, se fait à tant
ppur.-f. par an, par mois, par &c. un an, unmois ;
.tkc. est ce que nous nommerons terme d’escompte ;-4. Dans toutes les questions de ce genre il entre
nécessairement cinq élémens.La somme dûe qui sera désignée par. . . . . zz. Le nombre ( arbitraire , mais communément
100) fur lequel on suppose en général que se '
fait Yescompte . . .'. . . '..-.. .' • . , . d,Ce qu’on escompte-sor ce nombre. _ . _, . i
. Le tems que le paiement est anticipé. . . i , tCe qui reste après Vescompte fait. . . ' . . ■. r5. Comme c’est à exprimer t qu’on se trouve ordinairement
le plus embarrassé, ce point demande
quelque éclaircissement :i est proprement l’exposont
du rapport du zr£ ?772e d’escompte au tems que lé paiement
a été anticipé , c’èsl-à-dire , celuirci divise par
celui-là. L’antîcipatïon subsiste, lorsque le diviseur
nest pas soûmultiple du dividende ; ellè difpàroît
dans l’autre cas, qui est le plus ordinaire. C’est ce
que les exemples feront mieux entendre.6..Pour avoirr, faites d-fcif.d’.: a:  ;-rV-rf ~-zz X<?:, ':d+it’
Ainsi…… »… …… ,..r=e:X d^st°-
s '"I '.-y.^'f -
■ A~=r.X -j-.
D’où.Ton tire ..,. I i=dX ~77"--… te=dxïrL^•7. Premier' exemple. Un homme doit 1344 liv.
payable dans quatre ans ; son créancier offre de
lui escompter, à raison de 3 pour | par an , s’il
paie actuellement ; acceptant Toffre, que' doit - %■
payer. î !^= 1344 liv-1
Í=Ì=4 J , tk substituant
'-=1344X rfí=-i344 X W = ^P = ncev. xLe même exemple retourné. Un homme qui
devoit 1344 liv. exigibles dans un certain tems,
s’acquitte en payant actuellement 1300 liv., Yescompte
étant à 3 pour f par an ; de combien d’années
a-t-il anticipé le paiement ? . .. :Substituant dans la quatrième formule ,.on trouve'í=IooX ^Ô=^=4- - . - ;, .8. Second exemple. Un homme .doit 2000 liv.,.payables dans deux ans ; on offre de lui escompter à
raison’ de 5 pour | par an , du joui"""qu’il pourra
anticiper Te paiement ; il paie au--bout de .sept
mois : qu’elle somme doit-il compter ? . ,-Le paiement est anticipé de deux ans ■—'sept ;
mois., ou réduisant les années en mois de 24 — 7
=r= 17. Prenant donc 17 pour numérateur de,lá- .
fraction qui' (72. 0 j. ) représente í, &,lui- donnant’ \
pour^dénominateur le terme S escompte un.anauí&;
réduit en mois, ou a í = f|-. "-.'" -. r --.. ,-,Ízz==2ó0ó liv.-V ; "' ;'■' '- ;'',
\ZLlQO: i & substituant:r - - - - IOO 2400000 48GOOO - ^—rr= 2000 X ——: =- ■ '- = -1004- 8-ç n*s. a-57. ."-1867 livres —„• ZS7. _ .Le^même. exemple retourné. Un homme qui devoit ,
2000 liv. payables dans deux ans , s’est acquitté en’- ,
payant au bous desept moss 1867 liy. if| ou tëffS
liv. à combien pour f-par an s’est fait Yescompte ?'Substituant dans la troisième formule , on trouver
(sotis une expression que lés fractions rendent né-r
cessairement un peu compliquée).2GOO-4SOOOO 3-4OOO V :' g-roox ÍS 7 —100x -íZ— î480030 X 17 : S160000 l3ií7, ■&■'■ 30S4 }'■1043 SC ». -r -—-• 105711 J°~.9. La règle.de change n’est souvent qu’une'règíéà'escompte ;
& cela arrive lorsque le change, se prends
en-dedans de la somme principale. Uri homme, par"
exemple , comptant à un banquier, sous cette con-r.
diáon , une somme de 3000 livres, dexòrfibieiï"
(lechange suppose à 3 pour § fera lalettre-qu’il ! .
$sx recevrai… appliquant ía. formule-(&.rfeglii-« eant í qui n est ici de nulle considération ) , on
trouve quelle sera de 3000 X Tîf:='i^p-=7:
2012 liv. T£- , le banquier retenant pour son droitLe même homme, s’il eût voulu que lá lettre
fût de 3000 liv. en plein , eùtdù compter 3090 liv.
Ie change montant alors à 90 liv.Mais, demandera-t-on , pourquoi cette différence ?
pourquoi Pintérêt étant le-même, ajoutet-on
dans uu cas 90 liv. tk que dans l’autre on
n’ôte que 87 liv. àZ. ? la réponse est bien simple,
c’est que dans les deux cas on opère fur deux
sommes différentes. Là, ce sont ses intérêts de la
somme même de 3000 liv. qu’on lui ajoute ; ici,
les intérêts qu’on Ôte ne sont pas ceux de 3000 liv.
mais’d’une tomme moindre qui y esl renfermée &
confondue avec eux. Cette somme mêmeest 291-2 liv.
~^r, dont les intérêts à -3 pour £ produisent -en
eflêt 87 liv. -fâ ; en sorte que la somme & ses
intérêts font ensemble 3000 liv.Tout ceci, comme on voit, n’est que la règle
de trois ,■ dirigée par se jugement, ■'& maniée avec
un peu de dextérité.On ne connoît dans le commerce, qu’une espèce
d’escompte ; c’est célle qu’on vient de voir, '&
qui 'corerréspond à f intérêt simple : néanmoins
eorrìtiie ' escompter ri'est-proprement, ainsi qu’on Ta
déjà 'observé ; que-séparer d’un tapirai-un intérêt
qui y esl , ou du moins qu’on yïuppóse tohfonflu ,
& que Tintérêt est de -deux sortes, il semble qu’il"
doit y avoir aussi deux espèces d’escompte , relatives
xhacune à Tefpèce d’intérêt qu’il 'est 'question
de démêler.d’avec le capital. En adoptant,si Ton
veut, cette idée, nous .avertissons -que se supplément-qu’elle
:fcmble "exiger ( "& qui riest. guère que
dépure curiosité ) se trouve "à IWÍ'CZV INTÉRÊT R.EDOTJBLÉ
 , la seconde des formules qu’on y voit
n ayant pour objet que de retrouver-une somme
primitive confondue avec les intérêts & les intérêts
d’intérêts. Nous y renvoyons dbnc pour éviter Tes
redites. Cet article est de M, RAZZIER T,ES
OVRM-ES , Conseiller d’honneur au présidial-de
Rennes. "•* Engénéral, soit —■ Tintérêt dune somme S riûau bout d’un an, il est évident qu’on devra àubò.utde Tannée S ^ 1 -f i J ; soit maintenant t le rap- |port d’un tems quelconque à une année, il est í
évident que, dans le cas de Tintérêt simple (v. INTÉ- j
RÊT) , on devra, au bout du tems t:, lasomtne S !V * + m 1 » & :íaeî dans-le -cas de Tintérêt-cpm- 'pose, nu devra la somme S (7 if. i \. Or , íi !t ~ 1, ces deux quantités font égaies ; fi -.t^> 1 •
\î T^î f PÍUS grande quelapremière, comme  !
ÍI íst atsé de le voir ;-fi s< 1,-la première tst  ;plus grande que la seconde. Soit a présent S ce
qu’on doit, en escomptant -pour le tems tla sommeq, on aura í í 1 -f -j- I = î dans le premier cas,
& s ( 1 -f Mt=î dans le recond- Donc> I-°fi
t=î ^Yescompte est le même dans le cas des deui
intérêts. 2. 0 Si r> 1, la remise est plus grande
dans le second cas que dans le premier ; c’est lè
contraire, fi t< r. Ainsi, quand pn escompte pour
moins d’un an, il est avantageux à celui pour qui
on escompte rie supposer qu’il prête à intérêt composé ;
c’est 'le contraire, fi on escompte pour pjus"
d’un an. C’est qu’en général Tintérêt composé est
favorable au créancier pour les termes au^elà de
Tannée, & au débiteur pour les termes en-deçà.
V. INTÉR-ÊT.On voit aussi que, pour trouver Yescompte rie
roo liv. payables au bout d’un an, au denier 20,il faut prendre I 0° , ■ = ÍÎHJf - 551. 4s. « rd:& non pas 95 liv. commê Ton paie ordinairement.
En effet, il 'faute aux yeux que 95 liv. au hom
dun an, doivent produire seulement 99 liv. 15 f.
au denier 10, & non pas aoo liv. .M. jDêparcieux
a déjà fait cette remarque,' pag. z:o '& z i de soii
Essai sur les Probabilités ide du cdur'ée :âe la vie
humaine. La raison arithmétique de cette fausse
opération., c’est que ses .'banquiers prennent_,_ pour "la même choseíjue ïoo ;( 1 —&)  : wI "T 2.Q—j—t- est un peu plus grand que 1 —•• ^, puisque 1est uri peu plus "grand que t - ^. ( O.) 
. ESCÒPERCHE, ( Mééh.) : c’est une machine
dont pn se sert pour élever des sordeaux, au
moyen d’une pièce rie bois , ajoutée 'fur un.gruau,
au.bout de laquelleilyamnepoulie.C’est sencore comme un second fauconneau àélevé
sur un gruau -ousur-un engin, ou c’est une .pièce de
bois ajoutée fur un gruau., au bout de laquelle il
y. a une poulie.-Çe mot se dit aussi de toutes les
pièces de bois qui sont debout, & qui ont úne
poulie à Textrémité, par le moyen de laquelle on
élève du bois & des pierres. On appelle aussi
efcoperche une-solive ou autre pièce rie bois, qui
a une poulie., & dont on esl quelquefois obligé
de se servir en des endroits où îl est impossible de
placer un engin , ou une grue , quoique xette
pièce ne soit pas toujours dressée debout-, -mais,
souvent planchée tomme fur-une .avarice /de .corniche
ou flans une lucarne. ( -fr- ) ESCULAPE, iiPtnde la constellation d’Ophincuî
ou du Serpentaire.ESPACE , en Géométrie , 'signifie Taire d’une
figure renfermée ou bornée par les lignes droites
pu courbes qui terminent cette figure.■ L’cfpactEsp es s 6%$' L’efpace parabolique est celûi qui. est renfermé
par la parabole : de même l’efpace elliptique,
l’efpace conchoïdal, l’efpace cissoïdal sont ceux qui
sont renfermés par l’ellipfe , par la conchoïde ,
par la cissoïde, &c. Voyez ces mots ; voyez aufsi
=Qir.ADR.ÂTURE. 'ESPACE , en Méchanique , est la ligne droite ou
courbe que Ton conçoit qu’un point mobile décrit
dans son mouvement. (O) ESPECE , en Arithmétique ; il y a dans cette
science des grandeurs de même espèce y & des
grandeurs de différente espèce.Les grandeurs de -même espèce sont définies par
quelques-uns, celles qui ont une même dénomina-tion
: ainsi, i pies & 8 piéssont des grandeurs de
imême espèce.Les grandeurs de différente espèce , selon les
-mêmes auteurs, ont des dénominations différentes ;
par exemple, 3 pieds & 3 pouces sont des grandeurs
• <de différente efpèCe. (E) * On définira plus exactement les grandeurs de
différente espèce , en disant que ce sont celles
qui sont de nature différente ; par exemple, Tétenriue
&,le tems , 12 heures & 12 toises sont des
grandeurs de différente espèce ; au contraire ,12
heures & 12 minutes d’heure sont de la mêmeespèce.
On ne fauroit multiplier Tune par l’autre des
-quantités de même espèce , dans quelque sens qu’on
prenne cette expression ; òn ne peut multiplier
des pies par des pies, ni des toises par des heures.
Voyez-en la raison au mot MULTIPLICATION. On
peut diviser Tune'par l’autre des quantités de différente
.espèce , prises dans le premier sens ; par
xxemple, 12 heures par 3 minutes. ( Voyez DIVISION) 
 ; mais on ne peut diviser Tune par l’autre
des quantités de différente espèce , prises dans le
second sens ; par exemple, des toises par des
heures. Voyez ABSTRAIT, CONCRET, &c.'On dit qu’un triangle est donné d’espèce , quand
chacun de ses angles est donné : dans ce cas, se
-rapport des côtés est donné aussi ; car tous les
înangles équiangles font semblables. ( voyí^TRiANCLE
& SEMBLABLE ). Pour qu’une autre figure
rectiligne quelconque soit donnée d’espèce , il faut
non-seulement que chaque angle soit donné, mais
auíìi le rapport des côtés.On -dit qu’une courbe est donnée d’espèce ,
z." dans un sens plus étendu, lorsque la nature
.rie là courbe est connue ; lorsqu’on sait, par exem- •
.pie, si c’est un cercle, une parabole, &c. z", dans
un sens plus déterminé , lorsque la nature dé la
-courbe est connue, & que cette courbe ayant plusieurs
paramètres , on connoît ie rapport de ces
paramètres. Ainsi , une ellipse esl donnée d’espèce,
lorsqu’on connoît se rapport de ses axes ; il en est
de même d’une hyperbole. Pour, bien entendre
ceci, il faut sc rappeíser que la construction d’uneMathématiques. Tome Ip II.' Fartìe.courbe suppose toujours la connoissance de quel-,
ques lignes droites constantes qui entrent dans l’équation
de cette courbe, & qu’on nomme paramètres
de la courbe ( voyez PARAMÈTRE ). Les courbes
qui n’ont qu’un paramètre, comme les cercles., les
paraboles, sont toutes semblables’ ; & fi le paramètre
est donné, la courbe est donnée d’espèce &
de grandeur : les courbes qui ònt plusieurs paramètres
, sont semblables quand leurs paramètres
ont entr'eux Un même rapport. Ainsi, deux ellipses,
dont les axes sont entr'eux comme m est à 72, font
semblables, & Tellispp est donné d’espèce quand on
connoît le rapport rie ses axes. Voyez SEMBLAELB'
6'PARAMÈTRE. (O) . ESSIEU , f.m. (Méchan.)  appelle aussi chez
les anciens cacheté , est Ta même chose qu’zzxe »On ne se sert plus de ce terme qu’en parlant
des roues, pour désigner la ligne autour de laquelle
élles tournent ou sont censées tourner. Voye\
ROUE.Essieu dans le tour, c’est la même chose qu’zzxe
dans le tambour. Voyez ce mot. Voyez aussi TOUR ;Les anciens géomètres François, par exemple
Descartes dans fa Géométrie, donnent se nom
d’essieu à Y axe des courbes. Voyez AXE & CO'URBE,
(O) E t aÉTABLISSEMENT du Port y c’est Theure où
arrive la pleine-mer dans un Port le jour dela •
nouvelle lune. Voyez FLUX.ETALON, mesure primitive qui sert à régler
toutes les autres y on donne fur-tout ce nom à lá
toise du grand Châtelet & ' de Tacadémie des
Sciences. Voyez TOISE.ÉTAMER , (Hydraul.)  Pour rendre les tables de
plomb plus solides , quand ori les etnpIo.se à des
cuvettes, de terrasses tk des réservoirs, on les fait
étameren y jettant dessus de Tétain chaud pour boucher
les soufflures. (K) ÉTANIN, nom arabe de Tétoile y à Ia tête du
dragon y qui est de seconde grandeur.ÉTÉ, (Géog. & Phyfiq. )  est une des faisons de
Tannée qui commence dans les pays septentrionaux
, le jour que le soleil entre dans le signe dit
Cancer, ou le 21 Juin, & qui finit quand il sort
de la Vierge se 22 Seòtembrè. Voyez SAISON t>
SIGNE.Pour parler plus exactement & plus généralement
, Y été commence lorsque la distance méridienne
du soleil au zénit est la plus petite, &
finit lorsque sa distance est précisément entre la plus
<*rande:& la plus petite.La fìri de Y-été répond au commencement dé
Tautomne. Voyez AUTOMNE.Depuis le commencement deTVte jusqu’à celui
de Tautomne , les jours font plus longs que les
Sfss
tf*o ete etonuit ; ; mais ils vont toujours en décroissant, &
se trouvent enfin égaux aux nuits au commencepient
de Tautomne. . .Le premier jour de Tête étant celui où le soleil
darde ses rayons le plus à plomb, ce devroit être
naturellement lé jour de la plus grande chaleur ;
cependant c’est ordinairement entre le 13 Juillet &
le 7 Août, que nous ressentons le plus grand chaud,
& cette chaleur répond à 17 degrés du thermomètre
François , par un milieu entre les^ dégrés
de chaleur du jour & de la nuit ; c’est ce qu’on von
par le calendrier météorologique imprimé dans le
traité de M. Cotte, dans la connoissance des tems
rie 1775 , & dans le journal de Physique de
M.Tabbé Rozier, Juin 1775. Cela vient de la
longueur des jours & de la brièveté des nuits de
l’été, qui soit que la chaleur que se soleil a donnée
à la terre pendant le jour, subsiste encore en partie
au commencement du jour suivant, & s’ajoute
ainsi à celle que le soleil donne de nouveau. La
chaleur ainsi conservée de plusieurs jours consécutifs,
forme vers le milieu de Te'zVla plus grande
chaleur possible.On appelle levant & couchant d’été le point de
.Thorizon où le soleil se levet ou se couche au
solstice d’été. Çes points sont plus au nord que les
points est& ouest de Thorizon, qui sont le levant
& le couchant des équinoxes.Solstice d’été. Voyez SOLSTICE. .EtoÉTOILE, f. f. siellq ( Astronomie ). On donnoit
autrefois ce nom à tous les corps célestes, & Ton
riiftinguoit les étoiles fixes & les étoiles errantes ou
planètes ; mais aujourd’hui J’on ne donne plus Ic
nom d’étoile qu’aux astres qui sont fixes & qui-ont
une lumière propre & inhérente, ainsi que le soleil.
On divise les étoiles en plusieurs grandeurs,
suivant leur degré de lumière ou leur éclat ; on
compte 20 à 24 étoiles de la première grandeur,
qui font Sirius, ìa Lyre , la Chèvre, Arcturus,
Aldtbaran , Tépaúse d’Orion , Rigel, Regulus,
l’épi de la Vierge, Procyon , Antarès, Fomalhaut,
T Aigle, Acharnar, Canopus, le pied de la Croix,
la Jambe & se pied du Centaure ; les cinq dernières
« ie sont point visibles en Europe. II y en a qui
ajoutent la queue du Cygne , la première des Gémeaux
, le coeur de THydre , la queue du Lyon, la
seconde du Vaisseau tk Toeil du Paon. Les anciens,
qui comptoient 1022 étoiles dans la partie du ciel
qu’on voyoit en Egypte, en comptoient 15 dela
première grandeur, 45 de la seconde , 208 de la
troisième, 474 de la quatrième, 2i7delacinquième,
& 49 de la sixième ; jl y avoir encore 5 nébuleuses
& 9 étoiles plus obscures que les autres ; le total
faisoit 1022 ; ils ne-poussoient pas leur division
plus loin : & s’ils ne comptoient que 49 étoiles de
lixième grandeur, c’étoit à cause de la difficulté
de les distinguer : aujourd’hui qu’on observe ayècdes lunettes,' on distingue des étoiles de 7. , 5. ,
9.% & io.c grandeur, & des étoiles télescopiques
ou visibles seulement avec les fortes lunettes ; celles*
ci sont en si grand nombre qu’on en voit le champ
de la lunette parsemé, quand la nuit est bien obscure,
& Toeil bien reposé, & cela dans presque
toutes les parties du ciel.On divise aussi les étoiles en cent constellations,
& nous avons expliqué la manière de ses distinguer
dans se ciel ; on appelle informes les étoiles qui ne
sons pas comprises dans les bornes de quelque
constellation. On a dressé des cartes & des figures
propres à reconnoître les étoiles. Voyez CARTES.Les étoiles étant les points fixes dans le ciel,
auxquels les astronomes ràpporterit les mouvemens
des planètes pour mesurer leurs révolutions &
leurs inégalités, il faut en connoître exactement
les positions ; &, pour cet effet, on observé leurs
ascensions droites , déclinaisons , longitudes tk latitudes
, en lès rapportatìt à l’I'équateur & à Y écliptique.
Ces quantités varient par la précejsion des
équinoxes, quoique les étoiles soient fixes. Je rapporterai
ses positions des étoiles de la première grandeur,
pour 1750, d’après le catalogue de Tabbé de
la Caille ; on en trouvera quelques autres à l’article
de chaque constellation.Hipparque fut le premier qui dressa un catalogue
d’étoiles ,125 ans avant J. C. Ceux de
Flamsteed & de la Caille sont les plus étendus
que nous ayons actuellement. Voyez CATALOGUE.Bayer dans son uranométrie publiée en 1603 ,
marqua les différentes étoiles par des lettres grecques
« , P,y>P, &c. Cet usage s’est conservé jusqu’à
nous, comme on le verra dáns le catalogue de la
page suivante.Mouvement des étoiles. Les étoiles fixes ont en
général deux sortes de mouvemens apparens : l’un
qu’on appelle premier, commun, ou mouvement
cliurne , ou mouvement du premier mobile ; c’est par
ce mouvement qu’elles paroiffént emportées avee
la sphère ou firmament autour de la terre d’orient
en occident dans Tefpace de vingt-quatre heures.
Ce mouvement apparent vient du mouvement réel •
de la terre autour de son axe.Le second mouvement des étoiles est celui par
lequel elles paraissent se mouvoir selon Tordre des
signes , en tournant autour des poses de Técliptique
, avec tant de lenteur , qu’elles ne décrivent
pas plus d’un degré de leur cercle dans Tefpace
d’environ 72 ans ; par ce mouvementles-latitudes
ne changent pas , mais les longitudes des étoiles
augmentent chaque année de 50" |. Ce mouvement
est purement apparent. Voyez PRÉCESSION. Nous
avons marqué dans le Catalogue suivant son effel
en ascension droite & en déclinaison,, -Les lettres S & M signifient septentrionale &
méridionale ; les lettres B tk A lignifient boréale
& australe, ce qui revient au même.
-
G a t a logue De xxv etoilés principales pour l’année i"J$Q>Asrptifinncrlrni Variations Variations „ . _ . ,
Noms des étoiles mi-c""u ;.  ;.IO1~ pour Déclmatsons. pour Longitudes. Latitudes,

o . . tes des etodes. ■ dixans. , dix ans
& leurs grandeurs.

Si. D. M. S. M. S. D. M. if M. S. Si. D. M. S. D. M. S.

Etoile polaire.. a z. o 10 40 56,0 25 8,3 87 58 2,4 S. +3 x7> 0 2. 25. 4 1266 4 21 B

Corne précédente du ■ -

Bélier p 3. o 25 13 2,1 8 12,1 19 34 34,1 S. +3 i,3 1 o 28 40 8 28 44 B

Luisante de Persée.
« .z. 1 16 39 25,4 ro 29,1 48. 56 52,0 S. -f 2 17,6 12835593° 5 5lB

(Eil du Taureau ALDEBARAN
ai. 2 5 24 2,5 833,91559 3,8 S.-f-1 23,4 2 61745 519 o A
LA CHÈVRE…aï. 2 14 33 53,1 10 59,8 45 42 41,2 S. +0 53.3 z 18 21 51 22 51 43 BPiedd’OrionRiGEl./Si '2 15. 3 8' 10,0 7 12,6 8 30 35,5 M.— O 49,7 2 IJ 20 2J 31 9 I3A
La deuxième du baudrier
d’Orion, ç 2. z 20 53 10,4 7 36,9 1 23 o,6M. —o 31,7 i 19 58 3* M 32 18 A
Epaule orientale cfO- ~

rion …aï. z 25 1441,4 8 7,4 7 20 15,0 S.+0 16,0 z 25 15 50 16 3 32A

CANÒPUS ,. sur le
vaisseau……ai. 3 4 36 6,0 320,75234 4,6M.+016,1 3 11 30 4075 5* 21 A

Le grand chien SiRIUS

« 1. -3 8 32 2,0 6 43,416 23 35,1 M.-fo 29,7 3 10 38 2239 32 58 A

Le petit chien PRO- O I

CYON……. « I. 3 21 32 57,2 8 0,7 5 50 42,2 S.—1 13,6 3 " 20 14 15 58 9A
L9. fête 2ÌI1TT*3ÏG QGÍ
gémeaux 9> z. 3 22 29 38,2 9 22,728 3632,7 S.—1 16,7 3 *9 45 56 6 4° ° B

Coeur du Lion RE- „ , ■ " „

GULUS……« I. 4 28 45 22,7 8 6,1 13 10 51,8. S.— 2 51,4 4 26 21 12 o 27 33B

EpidelaVierge.*i. 6 18 ó 54,4 7 5^5 9 5° 50,4M. +3 ro,6 6 20 21 18 2 2 5 A

Le Bouvier ARCTU- ■ , , -

RUS……..« I. 7 1 3 59fi 7 35iio29 3^3 S--3 ï 3,° 6 10 44 46 3054 31 B

Bassin austral de la • _

- Balance « 2. 7 9 16 *3,i § *5,7 H 59 8,3 M.+2 35,2 7 " 35 52 o 21 55 B

Bassin boréal de la o .- ^

Balance jg 2. 7 15 53 5*,9 8 3, 1 8 26 28,7M.+2 19,5 7 *5 53 7 « 3* i6B.
La Boréale au front , , r>

: du Scorpion.. /3 2. 7274411,2 840,419 5 52,9 M.-f r 47,0 72942 21 2 24 B

Coeur du Scorpion, „ ■ , „ , , „ " .

ANTARÈS… al 8 3 31 5531 9. 8,625 51 6,5M.-f 1 29,3 8 6 16 28 4 32 12A
LA LYRE. …. « I. p 7 7 V 5 3' 1 38 34 M S. -fo 24,8 9 11 48 37 61 44 5° B

^.í.^.í.^íí 924384^9 7 15,4 8I345JrS.+i23,6 9 28 .15 2 29 18 46 B

La suivante à la tète „ ,, ^ „_ _„ , ,_ T„ D

du Capricornes 3. 10 1 2 24,3 S 22,3 13 18 0,5 M.-1 43,3 » ° " 59 6 57-19 B
 ;Etì^.*t 10 19 35 50,o 7 5<,9 9J9-2l58M.^2 32,6ro iM4 39 oV 58 B

La précédente à la '""-.,'
cqoUrne..d.U.. ?^t 10 » 32 58,o 8 2X,7 r7 4* .49,**-* 37,0 xo 18 x7 xo 2 32 2A
FûMALHAUT , bouche
du Poisson aus- ' „ . ,. , ' „* TT n m « , u 6 n i
tial……… cti. iJ xo 56 -42,2 8 ìo,8 30 56 21,7M.-3 9,5 " ° 20 33 2I 6 'ÎA_
Ssssij
■íoi ETO ETO
Elles paraissent décrire chaque année des ellipses
qui ont 40 secondes de diamètre. Ce mouvement
est apparent. Voyez ABERRATIOÎC.Les étoiles changent de longitudes & de latitudes
par le déplacement de Técliptique. V OBLIQUITÉ
DE L’ÉCLIPTIQUE ', ce mouvement est purementapparent.Elles changent de longitudes fans changer de
latitudes, par Teffet de la Nutation.Comme on détermine les positions des étoilés
par rapport à Técliptique & à Téquateur, on appelle,
quoique improprement , mouvemens des
étoiles, tous les changemens qui paraissent dans
ces situations.Ces mouvemens généraux & appafens affectent
toutes les étoiles ; mais il y a quelques étoiles qui
ont de plus un mouvement propre, un dérangement
physique dont on ignore la cause, & dont on
tâche de déterminer la quantité par observation.On peut dire cependant en général que les étoiles’
sont immobiles, & qu’iln’y en a qu’un petit nombre
auxquelles ont ait apperçu de* semblables dérangemens.
Ce qui prouve assez Timmobilité des
étoiles , ce sont les alignemens observés autrefois,
& qu’on trouve constamment les mêmes.. Ptol.
Alm. liv. VII, chap. z ; Tycho. Progym. tom. I,
pag. 234. Riccioli rapporte plus de vingt-cinq
exemples d’étoiles qui, prises trois à trois, pa- ~
roiílènt exactement en ligne droite , Astr. réf.
pag. 203 ; telles sont la chèvre avec le pied précédent
du cocher & aldebaran, les deux têtes des
gémeaux avec le col de Thydre •, se bassin austral
de la balance , avec arcturus tk la moyenne de la
queueue de la grande ourse •, les deux étoiles boréales
de la tète du bélier , & la luisante au genou
de Persée : celles qui avoient autrefois certe position
rectiligne, la conservent encore , du moins
autant qu’on peut en juger à Ia vue r, ainsi, les
étoiles sont à-peu-près fixes, & les dérangemens
dont il s’agit ici , ne tombent que fur un petit
nombre.Halley, en examinant les positions des étoiles
qui sont dans se septième livre de YAlmageste ,
pour en déduire la préceísion des équinoxes
apperçut que trois des principales" étoiles, aldebaran '
finus & arcturus, avoient changé de latitude en un . <
sens contraire au changement de toutes les autres ,
& contraire à ce qu’exige la diminution de l’obliquité
de Técliptique. Phil. Tranf. 1718 , num. 3SS. (
Suivant Halley , aldebaran devroit être actuellement
15' plus au'nord, & il est de 20' plus au
sud que dans Ptolemée, par rapport à Técliptique • 1
sinus devroit être 20' plus au nord , & il ess 22' 1
plus au- sud ; arcturus qui devroit avoir à-peu-près
la même latitude, est 33' plus au midi -, Tépaule <
orientale d Orion, esl au contraire plus au nord
d un degré , que suivant le catalogue de Ptolemée c
On ne peut pas soupçonner des erreurs de copistes <
dans ces positions, parce que les déclinaisons ran- ì
portées cans d autres endroits du livre s’accordent cavec les longitudes inférées dans le catalogue : on
ne peut pas attribuer cette différence à Terreur des
observations, parce qu’on voit celles d’Ariítylle &
&deTymocharès d’accord avec celles ri'Hipparque
& de Ptolemée.Cassini ayant comparé les observations faites par
son père , en 1672, & par Richer à Cayenne,
trouve qu’alors la latitude d’arcturus étoit de^ 30/
57 26' -, on en 1738 , il Tobscrva de 30.° 55' 26 ;
ainsi, dans un intervalle de 66 années, arcturus s’est
rapproché de Técliptique de deux minutes, ce qui
fait 3' z" par siécle. Les observations de Flamsteed
& celles de Ia Caille comptées entr'elles , donnent
4' 8". M. le Monniera trouvé ce mouvement de
4' 5* (Mémoires de 1769)  : ce mouvement est encore
prouvé par ses observations de M. Cassini de Thury,
( Mém. 1753 ) , & M. d’Agelet a trouvé 34" depuis
se tems de la Caille , ce qui supposé deux minutes
& demie de mouvement vers le midi en un
siécle. Si Ton suppose 4' de diminution , & qu’on
en ôte 15" dont elle devoit diminuer par la cause
générale , il restera 3' 45" pour le déplacement réel
d’acturus. II y a près d’arcturus urie petite étoile ,
marquée b dans nos cartes célestes, & qui est trèspropre
à faire appercevoir le mouvement réel
d’arcturus. Leur pofition respective a changé con- '
fidérablement depuis se tems de Flamsteed, & le
changement est presque tout entier en latitude 5
cependant M. le Monnier trouve une rétrogradation
en longitude d’une minute par siécle, ; <Le P. Mayer a observé, en 1777, un grand nombre
de petites étoiles qui sont auprès des grosses, &
qui seront propres à faire connoître ces mouvemens:
propres-, il y avoit déjà remarqué des différences ;
il en attribuoit une partie aux petites étoiles ;
qu’il regardoit comme des espèces de satellites. Denovis in ccelo phoenomenis mannheimii, 1779,,í'rz-4. 0 Mais cette hypothèse ne paroît pas prouvée.Le changement de latitude n’est pas fi sensible: dans
 firius , du moins par les observations modernes
 ; car Cassini ayant calculé les observations,
de Tycho, a trouvé la latitude vers 1590, 39.*
32' 10*. Flamsteed.la trouva de 39.° 32' 8" pour
1690. Par les observations de Richer, faites en
1672 , Cassini la trouve de ,39.° 31'. 55", tandis
que lui-même, vers 1738, Ta observée plus grandoe
d’une minute, auffi-bien que la Caille, qui trouve
39 ;° 32' 58" 1 pour 1750. Ainsi y il n’y a guère
qu’une minute d’augmentation depuis un siécle »
Voyez Mém. Acad. des Scienc. 1758 , pag. 553 ; ,
mais cette latitude auroit dû diminuer de 32", par'
le déplacement de Técliptique dans le même intervalle
de tems. Ainsi , il y a un changement
propre d’environ 1' {- dans le vrai lieu de firius,
qui s’est avancé vers le midi.II est difficile de déterminer les variations d’Aldebaran,
qui jusqu’à présent ont paru fort irréguhères,
comme je Tai fait voir, Mém. de 1758 x
pag. 434 ; fa latitude que nous trouvons de 5. 0 20'
o',estdc5.° 2950" dans le catalogue de FlamsteedyEto eto 695M. Cassini trouve, parles observations de Tycho,
que cette latitude en 1589-, étoit de 5." 30' 23",
Mém. de 1738-, elle paraît donc avoir diminué:
mais cette diminution devant être de 32" par la
théorie générale, le riiouvement propre ne seroit
que de 47' par les observations de Flamsteed
& de la Caille , & de 20° par celles de Tycho.
Cependant Tabbé de la Caille m’a dit que dans le
grand nombre de réductions qu’il a faites de ses
observations fur aldebaran, il avoit trouvé souvent
des irrégularités de 15 à 20" , qu’il ne pouvoit
attribuer qu’à des variations particulières à cette
étoile. Tycho-Brahé s’étorinoit aussi de la grande
différence qui se trouve entre les latitudes d’aldebaran
, déduites des observations de Tymocharès,
d’Hipparque & de Ptolemée. Voyez ce que j’en
ai dit dans les Mémoires de 1758 , pag. 344 : il
paroît que ces variations d’Aldebaran font trèsirrégulières,
mais qu’elles sont petites actuellement.Caflìni trouve auffi des variations en latitude
•dans rigel , Tépaule orientale d’orion, regulus, la
chèvre & Taigle -, la différence de latitude entre
la luisante de Taigle, & Y étoile &■ de la même constellation
esl plus grande de 36' qu’au tems de
Ptolemée, & de 2 ou 3' que suivant les observations
de Tycho.Cassini ayant examiné aussi, en 1738, le mouvement
des étoiles en longitude, a reconnu que
depuis Flamsteed , c’est-à-dire , dans Tefpace de
quarante-huit années, la luisante de Taigle s’étoit
éloignée de 48" en ascension droite de celle qui
la précède , & s’étoit approchée de 73" de celle
qui la fuit. Par les observations de Tycho , on
trouve ces différences de 4' 14", & de 2' pour
138 ans -, d’où il fuit que ces étoiles , ou dû moins
deux d’entr'elles, ont un mouvement réel & particulier
en ascension droite. Mém. Acad. 1738.Mayer lut, en 1760 , à Tacadémie de Gottingue
, un rnémoire fur le mouvement propre
des étoiles ; il a été publié en 1774 : on y voit
une table de comparaison entre les ascensions droites
& les déclinaisons observées par Romer , en 1706,
(triduum Astronomioe )  , & celles que Mayer avoit
observées, en 1756, fur 80 étoiles, il y en a une
quinzaine qui paraissent avoir eu quelque mouvement
, & ce ne sont pas toujours les plus bril’lantes,
qu’on pouvoit supposer être plus près de '
la terre.Nous pouvons attribuer la cause de ces variations
dans ses étoiles aux attractions des différens
corps célestes , les uns fur les autres, & au mouvement
imprimé par quelques cause étrangère, &
j’ai fait" voir que le soleil avoit lui-même un semblable
déplacement ; mais ilsc passera des siècles avant
qu’on connoiíse la loi & la mesure de ces mouvemens.
Les étoiles de la première grandeur, qui
sont probablement les plus proches de nous, font
celles où ces variations font plus’sensibles ; mais je
ne doute pas qu’il n’y. en. .ait de pareilles dans les
autres étoiles : en attendant, il me semble que cedoit être une raison pour les astronomes d’employer
, quand ils se peuvent, les étoiles de la
troisième grandeur dans leurs recherches fur le
mouvement des planètes , au lieu des étoiles les
plus brillantes, dont on s’est servi jusqu’ici.La dislance des étoiles fixes ne pouvoit se déterminer
que par Ia parallaxe annuelle ; nous donnerons
plus loin Thistoire des tentatives faites à cet
égard. Mais elles ont été infructueuses ; on n’a pas
pu s’assurer d’une feule seconde de parallaxe : ainsi
la dislance des étoiles esl au moins 200 mille foisplus
grande que Torbe annuel de la terre, c’està-dire,
plus de sept millions de millions de lieues.
La grandeur des étoiles est aussi peu connue que
leu^distance. Leur diamètre apparent est fi petit y
qu’on ne peut le mesurer. Avant Ia découverte des
lunettes ri approche, Kepler estimóit le diamètre de
firius de 4 minutes j mais dans la fuite, il reconmu
lui-même que c’étoit une illusion. Riccioli Testimoit
de 18'' Cassini cinq secondes •, mais on est assuré
maintenant que Tangle" sous lequel paraissent les
étoiles fixes de la première grandeur , n’est pas
même d’une seconde-, car lorsque la lune rencontre
Toeil- du taureau , le coeur du lyon, Tépi de la
Vierge , le coeur du scorpion , l’occultation est
tellement instantanée , & {'étoile û brillante à Tint
tant où elle disparaît, qu’un observateur attentif
ne sauroit se tromper , ni demeurer dans Tincertitude
pendant une demi-seconde de tems. Or, fi
ces étoiles avoient, par exemple, un diamètre de
cinq secondes, on les verroit s’éclipser peu-à-peu ,
& diminuer sensiblement de grandeur pendant prés
de 10 secondes de tems ; mais il y a autour des
étoiles , pendant la nuit, une espèce de fausse lumière
, un rayonnement ou scintillation qui nous
trompe ,*& qui fait que nous les jugeons à la vue
íïmple cent rois plus grande qu’elles ne sont. On
fait disparaître la plus grande partie de cette fausse
lumière, en regardant les étoiles par un trou fait
à une carte avec la pointe d’une aiguille., & bien
mieux encore en y employant d’excellentes lunettes
d’approche -, elles absorbent la plus grande
quantité de cette lumière , & on n’y apperçoit les
étoiles fixes que comme des points lumineux trèspetits.
On fait pourtant que les lunettes d’approche
grossissent les objets : or il semble que le con’■
traire paroît à l’égard des étoiles fixes ; ce qui prouve
combien le diamètre apparent de ces étoiles est peu
sensible à notre égard. On ne sait comment Cassini
s’y est laissé tromper, jusqu’à donner à firius un
diamètre de 5 secondes 3 car, íi on suppose qu’à la
vue simple les deux lignes tirées des extrémités du
diamètre de firius ferment dans notre oeil un angle
de 5 secondés, une lunette qui augmente 100 fois
les objets, nous seroit par conséquent appercevoir
cette étoile sous un angle de 500 secondes , d’où
il s’ensnivroit que firius vu dans la lunette y paraîtrait
le quart du soleil ou de la lune. Or quoique
les plus excellentes lunettes ne soient pas
même capables d’absorber totalement cette fausse694 ETO È T O
lumière qui environne ses étoiles fixes , il est certain
nue firius n’y paroît pas. plus grand que mercure,
dont le diamètre dans fa plus petite distance de
la ierre, esl au plus de 12 sceondres : ainsi, quoique
la lunette augmente 100 fois "environ le diamètre
apparent de íìrius, Tangle sous lequel on y appercoít
cette étoile n’est que d’environ 12 secondes,
c’est-à-dire, qu’à la vue simple , ce diamètre riëst
réellement que la dixième partie d’une seconde. On
demandera peut-êtte maintenant comment nous
pouvons appercevoir les étoiles fixes, puisque leur
diamètre apparent répond à un angle qui n’est pas
« l’une seconde  ; mais il faut faire attention que
c’est ce rayonnement & cette scintillation qui les
environnent, qui est cause que ces corps lumineux
se voient à des dislances si prodigieuses, au contraire
de ce qui arrive à l’égard de tout autre
objet. L’expérience ne nous apprend-ellepas qu’une
çetite bougie ou un flambeau allumé se voient
pendant la nuit sous un angle très-sensible à plus
rie deux lieues de distance ? Au lieu que si, dans le
plus grand jour, on expose tout autre objet de
pareille grosseur à la même dislance, on ne pourra
jamais Tappercevoir : à peine -pourroit- on même
distinguer un objet qui seroit dix fois plus grand .
que la flamme de la bougie. La raison de cela est
que les corps lumineux lancent de tous côtés une
matière incomparablement plus forte que cellë'qïu
est réfléchie par les corps non lumineux -, & que
celle-ci étant amortie par la réflexion , dévient plus
foible & sc fait à peine sentir aune grande distance:
l’autre au contraire est fi vive , qu’elle ébranle
avec une force incomparablement plus grande les
fibres de la rétine •, ce qui produit une sensation
tout-à-fait différente , & nous fait juger par cette
raison les corps lumineux beaucoup plus grands
qu’ils ne sont. Voyez les Instit. astron. de M. le
Pionnier. II n’est pas inutile d’observer ici que la
scintillation des étoiles esl d’autant moindre, que
1 air est moins chargé de vapeurs : aussi dans lesF ays où Tair .est extrêmement pur , -comme dans
Arabie, les étoiles n’ont point de scintillation.
Voyez SCINTILLATION.Nature des Etoiles fixes. Leur éloignement immense
ne nous permet pas de pousser bien loin nos
recherches fur cet objet : tout ce que nous pouvons
en apprendre de certain par les phénomènes, sc
réduit à ce qui fuit.i.° Les étoiles fixes brillent de leur propre lumière
 ; car elles sont beaucoup plus éloignées du
soleil que saturne, & paraissent plus petites que
saturne: cependant on remarque quelles sont bien
plus brillantes que cette planète-, d’où il est évident
quelles ne peuvent pas emprunter leur lumière
<se la mème source que saturne, c est-à-dire , du
ioleil.Or puisque nous neconnoissons’point d’a'utre
corps lumineux dont elles puissent tirer leur lumière
, que le soleil, il s’ensuit qu’elles brillent de
leur propre lumière.On conclut de-là, 1. » que les étoiles fixes fontautant de soleils : car elles ont tous ses caractères
du soleil ; savoir Timmobilité , & la lumière
propre.3. 0 Qu’il esl fort probable que ces étoiles ne
doivent point être dans une même surface sphérique
du ciel 5 car cn ce cas elles seraient toutes
à la même distance du soleil, & différemment
distantes entr'elles, comme elles nous le paraissent :
or pourquoi cette régularité d’une part , & cette
irrégularité de l’autre ? D’ailleurs , pourquoi notre
soleil occuperoit-il le centre de cette sphère des
étoiles ? •4.° De plus, il est bien naturel de penser que
chaque étoile est le centre d’un fystême & a des
planètes qui font leurs révolutions autour d’elle, ..
dela même manière que notre soleil, c’est-à-dire,
qu’elle a des corps opaques qu’elle éclaire, échauffe,
& entretient par fa lumière : car pourquoi la nature
auroit - elle placé tant de corps lumineux à
de si grandes distances les uns des autres., fans
qu’il y eût autour d’eux quelques corps opaques
qui en reçussent de la lumière & de la chaleur ?
Voyez Pluralité des MONDES. Les.planètes
iriiaginées autour de certaines étoiles, pourraient
servir à expliquer le mouvement particulier qu’on
remarque dans quelques-unes d’elles, & qui pourroit
être causé par faction de ces planètes. C’est
ainsi que le soleil est tant soit peu dérangé par
faction des sept planètes, fur-tout de Jupiter &
de.saturne, & que je soupçonne mème qu’il est
transporté avec tout son système dans lès. espaces
célestes. Voyez ROTATION. ' xETOILES NOUVELLES. Les ebangemens qu’ont
éprouvé ses étoiles sont très-considérables ; cela
détruit f Opinion des anciens, quisoutenoient-que
les cieux & les corps célestes étoient inaltérables ;
que leur matière étoit permanente , éternelle &
plus dure que le diamant. II est vrai que jusqu’au
tems. d’Aristote, & même 200 ans après, on n’avoit
encore observé aucun changement dans le ciel ;
vers Tan 125 avant J. C ; on apperçut une nouvelle
étoile' ; ce qui engagea Hipparque à faire son catalogue
des étoiles -, dont nous avons parlé, afin
que la postérité pût appercevoir les changemens"
de cette espèce qui pourraient arriver à Tavenir.
Depuis ce rems-là, les histoires forit mention de
plusieurs étoiles remarquables & nouvelles qui ont
paru , &_difparu ensuite totasement : nous en connoiffons
encore actuellement qui disparaissent de
tems à autre, qui augmentent de grandeur & diminuent
ensuite sensiblement. II y en a d’autres qui
ont été marquées par les anciens , & qui ne paraissent
plus, ou quiparoissenteonstamment, n ayant
pas été décrites par les anciens  ; mais on peut atrri- ,
huer une partie de ces différences "à leur inatteri-- -„
tion,ou à Terreur du catalogue des anciens qui ne
nous a été conservé qu’avec beaucoup de fautes
dans YAlmagesie de Ptolemée.Les plus anciens auteurs., te}s qu’Homère ,
Attalus&Geminus, ne comptoient que six pléiades $Eto eto 69yVarron , Pline, Aratus, Hipparquè & Ptolemée ,
dans le texte grec , lès mettent au nombre de sept,
& Ton prétendit que la septième avoit paru avant
Tembrasement de Troye 3 mais cette différence a pu
venir de la difficulté de les distinguer, & de les
compter à la,vue fimple.L histoire raconte plus précisément des apparitions
d’étoiles nouvelles, 125 ans avant J. C. au
tems d’Hipparque : Voyez Pline , liv. II. chap. 26:
& au tems de Tempereur Adrien, 130 ans après
v. CFortunio Lketi, médecin, mort à Padoue en
1656, a composé un traité De novis astris & covietis
, Venetiis , 26Z3 , où Ton peut trouver une
ample érudition sur les étoiles nouvelles , dont les
anciens ont parlé. On peut voir aussi YAlmageste
rie Riccioli, tom. II, pag. 230 ; ils rapportent,'
ri'après Cuspinianus, qu’on observa une étoile nouvelle
vers Tan 389, près de Taigle  ; elle parut aussi
brillante que Vénus pendant trois semaines, &qui
disparut ensuite : c’est peut - être la même , dit
■ M. Cassini, que celle qui fut apperçue au tems de
Tempereur Honorius , que quelques-uns rapportent
à Tannée 389, & d’autres à 398.Dans le neuvième siècle , Maffahala Haly &
Albumazar -, astronomes Arabes, observèrent au
15/ degré du scorpion , une,nouvelle étoile, si
brillante que sa lumière égaloit la quatrième partie
de celle de la lune ; elle parut pendant Tefpace de
quatre_mois.Gyprianus Leovitius raconte qu’au tems de
Tempereur Othon, vers 945, on vit une nouvelle.
étoile entre céphée & caíuopée •, & Tan 1264 , une
aùtre étoile nouvelle vers le même endroit du ciel,
& qui n’eut aucun mouvement.La plus fameuse de toutes les étoiles nouvelses-,
á été celle de 1572 : elle fut remarquée au commencement
de Novembre, faisant un rombe parfait ■
avec les étoiles a > <° > y > de la constellation de cafíìopée.
Tycho-Brahé-, le 11 Novembre, détermina
fa longitude à 6.° 54' du taureau, avèc 53. 0
45' de latitude boréale, son ascenfiori droite o.° 26',
sa déclinaison 6i.° 47'. II a composé sur cette nouvelle
étoile un excellent ouvrage intitulé , De nova
fiella anni 1572, qui renferme, beaucoup d’autres
recherches intéressantes. Cette étoile parut dès le
commencement fort éclatante, comme fi elle se fût
formée tòut-à-coup avec tout son éclat  ; elle surpassoit
firius, la plus brillante des étoiles, & même
Jupiter périgée. Dès le mois de Décembre 1572,
elle commença à diminuer peu-à-peu , jusqu’au
mois de Mars 1574, qu’on la perdit de vue. Elle
n’avoit aucune parallaxe sensible , ni aucun mouvement
propre apparent  ; d’où il est aisé de conclure
qu elle étoit beaucoup plus loin de nous que
saturne, la plus éloignée de toutes les planètes,
fans quoi elle auroit eu une parallaxe annuelle
très-senfibse.Leovitius croitque les étoiles, qui avoient paru
dans la même consteJJátipn vers ^45 & 1264,étoient la rnême étoile, & Keill penscíf qu elle
reparaîtrait de nouveau vers 1820.Simon Marins en découvrit une autre dans la
ceinture d’Andromède en 1612 & 1613. Boulliaud
prétendit qu’elle avoit déjà paru dans le quinzième
siècle.La nouvelle étoile du serpentaire qui parut le
10 octobre 1604, fut aussi brillante que celle de
1572-, on cefi'a de la voir au mois d’octobre 1605 j
fa longitude étoit à 170 40' du sagittaire, aveu
1° 56' de latitude septentrionale. Kepler, de nova.
Stella ferpentarii , assure qu’elle n’avoit aucune
parallaxe, ni aucun mouvement par rapport aux
autres étoiles ; d’où il paroît qu’elle étoit aussi beaucoup
au-dessus de la sphère de saturne : car la
parallaxe annuelle, produite par se mouvement de
la terre, Teût fait varier en apparence de plusieurs
degrés, si elle ëût été à la dislance de saturne.Sur ses changeantes de la baleine, du cygne
& de perfëe', v. CHANGEANTE. . . „M. Cassini parle de plusieurs autres étoiles ,- ou
qui sont perdues, ou.paraissent changeantes ou
nouvelles, Elémens d’Astronomie ,p, 73. M. Maraldi
en avoit observé un grand nombre, Mém. Acad.
1704.- Duhamel, Hist. de l’Acad. année 1675.
Cette matière n’a été encore que peu riiseurée,
quoiqu’elle mérite bien Tattention des observateurs
curieux : se moyen le plus sûr de découvrir, dans
ce genre, les riVóindres variations, seroit d’observer
de teins-en tems toutes les étoiles, & d’en dresser
des catalogues aussi nombreux .&. aussi. détaillés
que celui de la Caille, dont nous avons parlé
ci-dessus  ; fans cela, on peut s’y tromper. Un jour
viendra peut - être où les sciences auront assez
d’amateurs pour qu’on puisse suffire à de fi pénibles
travaux. . .- Montanari, dans une lettre qu’il écrivit à Ia
société royale en 1670, annonçoit qu’il manquoit
dans les cieux deux étoiles de la seconde grandeur
dans le navire Argo , qui avoient paru jusqu’à Tannée
1664 ; il ne savoit quand elles avoient commencé
à difparoître, mais ÍT assurait qu’il n’en restoitpas
la moindre apparence en 1668 : il ajoutoit qu’il avoit
observé beaucoup d’autres chançémens dans les
- étoiles fixes, & ilfaisoit monter ces changetnens à
plus de cent. Mais Kirch observa que les deux
belles étoiles: que Montanari prétendoit être" perdues
, avoient été apperçues continuellement depuis
Ptolemée jusqu’à nos jours, à un figne plus loin,
ou à 30 degrés de Tendrait du ciel où on les
cherchoir. Ces étoiles , dit Montanari, sont marquées
sí tk y dans Bayer, proche le grand chien, L’erreur
 des cartes de Bayer vient fans doute da
ce que cet auteur s’en est rapporté aux traductions
latines du texte de Ptolemée -, au lieu que Tédition
grecque de Baíle nous apprend qu’il: falloit
chercher ces étoiles dans Tancien catalogue vers
le 15e degré, non du lion , mais de Técrevisse..Il y a dans -plusieurs autres étoiles des changemsns
de "grandeur è\ de lumière, Vétoile e deW £ t o etoljaiçle qui, su tems de Bayer , devoit être plus
briffante que y, puisqu’il lui a donné la première
place après la luisante de Taigle, est actuellement
beaucoup plus petite que y, elle est à peine de
quatrième-grandeur : il paroît aussi que la distance
entre « & e est plus grande actuellement qu’elle
n’étoit autrefois ; en sorte que Y étoile -G a changé
rie lumière & de situation.L’étoile précédente x à la jambe gauche du sagittaire,
qui, dans Bayer, est de troisième grandeur,
parut en 1671 de Ía sixième  ; en i6j6, elle étoit
plus grande, & Halley la marqua de troisième
•grandeur : en 1692, Maraldi pouvoit à peine Tappercevoir-,
en 1693 & r694, elle parut de quatrième
grandeur, Hist. Acad. U y a encore, dans
ia sagittaire & dans le serpentaire, d’autres étoiles
variables.Le changement de couleur, qu’on prétend être
arrivé dans firius , paroît encore une chose bien
íìngulière : M. Barker a remarqué, Transi P Ml.
1760, p. .498 , d’après les" témoignages d’Aratus,
de Sénèque, d’Horace , de Ptolemée, que cette
étoilé étoit autrefois très-rouge, quoiqu’elle soit
aujourd’hui d’une blancheur décidée, fans aucune "
teinte de rouge ; M. Bailly explique, dans son Histoire
de VAstronomie, comment cela pourrait arriver.Cause du changement des étoiles. II est difficile
de se former une idée nette de la cause qui peut
faire. changer & disparaître les étoiles , ou nous
en montrer de nouvelles. Le P. Riccioli, Aimageste,
t. II, p. 176, estime qu’il y a des étoiles
qui ne sont pas lumineuses dans toute leur étendue
, & dont la partie obscure peut se tourner
vers nous par un effet de la toute-puissance de Dieu.Boulliaud, dans un ouvrage qui parut en 1667,
intitulé: Ifmaé'lis Bullialdi adAflronomos Monita
duo, suppose aussi que là changeante de la baleine
a une partie obscure, avec un mouvement de rotation
autour de son axe, par lequel sa partie lumineuse
& sa partie obscure se présentent alternativeaient
ì nous.Maupertuis, dans son Discours fur les diverses
figures des astres, publié à Paris en 1732, ayant
fait voir que le mouvement de rotation d’un astre
fur son axe, peut produire dans cet astre un applatissement
considérable, s’en sert pour expliquer le
phénomène dont il s’agit. c< Les étoiles fixes,
33 dit-il, sont des soleils comme le nôtre ; il est
w donc vraisemblable qu’elles ont, comme cet
s ?astre, un mouvement de rotation fur leur axe ;
55les voilà donc, selon la rapidité de leur mousjvement,
exposées à Tapplatissemenf, & pourquoi
ÏJ ne se trouveroit-il pas de ces étoiles plates dans
ïsles cieux, fi Ton pense fur-tout que nous ne ,
« s savons par aucune observation quelle esl la figure
 »des étoiles fixes ? Si autour de quelque étoile
55 plate circule quelque grosse planète fort excenJîtnque,
ou comète, dans une orbite inclinée au
« jplan de Téquateur de l’étoile, qu’arrivera-t-il ?
fr ^a pesanteur de Yétoik vers la planète., lorsqu’elle« approchera de son périhélie, changera liuchJjnaison
de l’étoile plate, qui par-là nous paraîtra
33 plus ou moins lumineuse. Telle étoile même que
33 nous n’appéreevions point, parce qu’elle nous
jjprésentoit le tranchant,' paraîtra lorsqu’elle nous
J3présentera une partie de son disque, & telle
33 étoile qui paroiísoit ne paraîtra plus. C’est ainsi
35 qu’on peut rendre raison du changement de
33 grandeur qu’on a observé dans quelques étoiles,
33 & des étoiles qui ont paru & disparu. »Enfin Ton pourrait imaginer que quelque grosse
planète tournant autour de Y étoile , nous en dérobe
la vue en tout ou en partie.Etoiles doubles ou singulières. Dans les Observa*
tionsde Bianchini, imprimées à Véronne en 1737 ,
par les soins de Manfredi,, on trouve que l’étoile
double, appellée ? de la lyre, présente des phénomènes
fort singuliers : une des deux étoiles dont
elle est composée, paroît quelquefois se diviser en
deux, quelquefois elle paroît environnée d’une ou
de deux autres petites étoiles ; la seconde des deux
étoiles dirninue quelquefois de grandeur, en sorte
qu’on la distingue à peine, quoique" Tair soit parfaitement
serein. Cette observation, ajoúte-tTil,a
été faite avec plusieurs lunettes de Campàni tk
de Marc-Antoine Cellius, qui avoient 22, 23 &
■25 palmes (chaque palmé est de S pouces^) ,
& 1 on a toujours observé à-peu-près la même
chose,Grischow, astronome de Berlin i*ant à Londres
en 1748, écrivoit qu’on avoit découvert en Angleterre
une nouvelle planète qui tournoit autour
d’une étoile fixe située auprès ou dans la lyre :
c’est une planète, ajoute-t-il, que Bíárichiní avoit
cru appercevoir , mais dont il n’étoit pas bien
assuré, faute de lunettes assez parfaites. D’autres
ont dit avoir vu l’étoile K rie la lyre environnée
de cinq petites étoiles , au moyen d’un grand télescope
de 12 pieds, construit par Short, pour le
docteur Stephens, & qui depuis a été cassé. Pour
moi, je n’ai rien qui dire de semblable en Angleterre
, & je crois que des singularités pareilles ont
besoin d’être bien constatées pour obtenir quelque
confiance.On a écrit que M, Cassini avoit remarqué, dans
le dernier siècle, que la première étoile y du bélier
étoit quelquefois.double, ou divisée en deux par-,
ties, distantes l’une de l’autre de Tinrervalle du
diamètre de chacune, Gregori, liv. III, prop. 54^
Wolf, 'pag. 440. On a dit aussi que Y étoile qui est
au milieu ■ de Tépée d’orion , & quelques étoilet
des pléiades paraissent quelquefois triples & même
quadruples ; mais ces phénomènes singuliers n’ont
pas été bien constatés. ,A l’égard des étoiles doubles, elles ne sont pas
rares. J’ai observé distinctement avec une lunette
de 18 pieds, que {'étoile y à Tépaule de la vierge
esl double, ou formée de deux étoiles séparées Tune
de l’autre d’un intervalle d’environ 2", presque égalau diamètrei i u ' eto 697au diamètre ^apparent que chacune paroît avoir à
cause de Tirradiation. - -,- ' .L’étoile o du capricorne est aussi double. ; Tintervalle
des deux étoiles est tel, qu’avec un instrument
de six pieds, on ne peut prendre ía hauteur
que dans le crépuscule, ou en éclairant les fils,
parce que, quand Tune est cachée fous le fil, l’autre
paroît, tk on ne fauroit distinguer laquelle des deux
est sous le fil.L’étoile y à la tète dû bélier est aussi composée
de deux étoiles considérables, comme Tobserva le
premiet, à ce qu’il paroît, Robert Hook. Voyez
Transi Philos, n." 4. La plus boréale des trois
étoiles au front du scorpion, est composée de deux
. étoiles, dont Tune est double de l’autre en grandeur
& en lumière , comme Tobserva M." Cassini
en 1678. La tête précédente des gémeaux esl aussi
doubse.Mayer, astronome de Manheim, mort en 1783 ,•'.
avoit observé 72 étoiles doubles ,.p_armi lesquelles
il n’y en a qu’une seule où Ia différence entre, les
. deux parties soit de 3" \ de tems. II s’étoit aussi
attaché à observer lës petites étoiles qui font trèsprès
dès plus belles étoiles, &'plusieurs lui
paroissoient avoir un mouvement.On peut voir dans le Journal des Savans de
février 1779, le détail des étoiles remarquables près
desquelles Mayer avoit observé ces petites étoiles,
qu’il appelloit Stcllas comités.II faut voir auslì le détail de celles qu’il regardoit
comme nouvelles, dansTouvragequi a pour titre:
de novis incoelosydereophoenornems.MannherniijVyjc).Enfin M. Herschel, dans les Transactions philosophiques
de 1782, -a donné un catalogue de
269 étoiles doubles,' triples , quadruples , quintuples,
sextuples. Le 23 mai 1783, il m’écrivoit
qu’il en avoir déjà observé 400 de plus y triais Ia
plupart ne peuvent Tobserver qu’avec des télescopes
qui grossissent plus "de mille fois, comme
ceux qu’il a trouvé le moyen de construire.ETOILES NÉBULEUSES , parties lumineuses
qu’on remarque en plusieurs endroits du ciel ;
elles sont comme des blancheurs pâles & irrégulières
dans les lunettes ; mais, à la vue simple ,elles
 semblent être des étoiles plus obscures que les
autres. V. NÉBULEUSES.Manière de connoître les étoiles. On a.vu, au.
mot CONSTELLATION , une méthode pour distin ?
guer les différentes étoiles, .par le .moyen de la
grande' ourse & d’orion (sig. 9 & xo d’Astronomie) ,
On trouvera dans les Planisphères,^. s&6,U
figure & la situation’ des différentes constellations.
Mais le catalogue qu’on vient de voir présente un
moyen qu’il.est.naturel de placer içi.Dès qu’on connoît Tafcension drpite tk la déclinaison:
d’une étoile, on peut calculer, son passage
au méridien & fa hauteur y on dirigera un quartde-cerese
fur une méridienne, en le mettant a la
hauteur calcusee ; alors se qúart-de-cercle indiquera
l’étoile que Ton cherche, tk on la verra paroîtreMathématiques,K Tome I, IIePartis.à Textrémité du rayon du quart-de-cercle à Theure
du passage au méridien de cette étoile., On peut
faire soi-même un quart-de-cercle de bois quisuffit
pour de pareilles indications.Pour faciliter cette manière de reconnoítre les
étoiles à ceux qui ne voudraient avoir aucun calcul
à faire, jai mis dans la table suivante Theure &
la minute du passage au méridien des principales
étoiles, pour le premier jour de chaque mois. J’ai
choisi Tannée 1786, moyenne' entré deux bissextiles
 ; mais la table servira pour toutes les autres
années, fans qu’il y ait plus de 2 minutes d’erreur
à craindre j on peut même éviter cette erreur
de z', en ajoutant 1' à chaque passage, quand on
voudra lavoir pjour une-année qui précède les
bissextiles, comme 1783 , tk z' pour les années
bissextiles ; au contraire, il faudra ôter une minute
des passages au méridien, calculés dans Ia table
suivante, pour les réduire aux années qui suivent
les bissextiles, telles que 1.781, 1785 ,: &c. L\
table n’exigeta aucun changement pour les années
moyennes entre deux bislextiles, commè 1788 ,
1792, &c.La dernière colonne de la table contient Theure
vraie du passage de Téquinoxe au méridien, à
laquelle on ajoute Tafcension idroke d’une étoile
quelconque, convertie en tems vrai , pour avoir
Theure dé son passage au méridien. L’afceníion
droite & la hauteur méridienne de chaque étoile
se trouvent en tête de la colonne, & au-dessous du
nom de l’étoile., : .Exemple. Le x." janvier , je veux connoître
dans le ciel l’étoile appellée firius, ou le grand
chien ; je vois, dans la table suivante, qu’elle
passe au méridien le 1." janvier, à ilh 44' du
soir, & que sa hauteur méridienne pour Paris est
de 240 44' ; je place uri quart-de-cercle dans le
plan du méridien à iíh 44% & je le mets à Ia
hauteur d’environ 25 degrés ; j’apperçois à Tinslarit
que ce quart-de-cerclé est dirigé vers une belle
étoile , tk je juge que c’est Sinus.11 faut observer que les tems marqués dans Ia
table précédente, sont des tems comptés astrono:
iniquement, ceffà-dire^-d’un midi à l’autre peu-*
dant 24 heures ; ainsi , quand on voir, dans Ia
première colonne, que Y étoile aldebaran, le pre-*
mier juin., .passe-í 2311 42', cela veut dire.ydarts
Tusageordihaire,"le 2 juin, à nh 42' du matin,'
parce que se Ier juin ne commence qu’à midi.da
lendemain,, lorsime, dans la société, on compte
déjà le 2 de juin. ,Cette rnéthode pour reconnoítre les étoiles par
le catalogue & les passages au méridien est suffifánre,
mais eíle est longue, & exige peut-être trop d’assujettiment,'.fur-tout
en hiver. J’ai donc cru devoir
indiquer au mot CONSTELLATION , quelques ali'
griemens propres à fairë reconnoítre les princi'
pales étoiles ; ce sera un petit secours offert à la
curiosité de ceux qui sont dépourvus de globes, rie
planisphères. & d’inflrwnens. V. CONSTELLATION »

Tttt '


ETO' ETO 699
',- 'Trouves P heure par le moyen des étoiles.' II y â
plusieurs moyens de trouver Theure qu’il est, par
le moyen des étoiles ; i.° en observant Theure de
leur passage an méridien , si Ton sait d’avance à
quelle heure elles y doivent passer ; 2." en observant
leur lever & leur coucher , lorsqu’on a
calculé le temps vrai qui y répond ; 30. en observant
leur hauteur, parce que, leur hauteur étant
donnée, on peut trouver Theure qu’il est, voyez
HAUTEUR ; 4. 0 en observant le passage d’une étoile
clans le vertical d’une autre étoile ; tk c’est cette
méthode qu’il s’agit d’expliquer. Picard Tindiqua
dans fa Connoiffance des tems , qu’il donna, en
3679, pour la première fois ; depuis ce tems-là
jusqu’en 1760 inclusivement, elle y a toujours été
employée avec’ùne figure destinée à expliquer la
méthode.Je suppose qu’on observe le moment où une
étoile passe, perpendiculairement au - dessous deY étoilé polaire, tk qu’en y appliquant une petite
correction, on ait trouvé combien elle étoit éloignée
du méridien dans Tinstant de TobservatîorrSi
Ton connoît Theure de son passage, on en con*
clura Theure qu’il est’par le moyen rie la table suivante.
 Par exemple, Textrémité de la queue de
la grande ourse étant d ;à - plomb au-dessous de
- Y étoile polaire, on ajoutera une heure 35 minutes
& 17 secondes, avec le passage de Téquinoxe par
le méridsen, ou avec la distance de Téquinoxe au
soleil pour ce momcnt-là, & Ton aura Theure qu’il est.
Cette quantité est exacte pour 1750, elle aùgriíente
de trente-sept secondes en dix ans, & de dix-neuf
secondes, si Ton change de latitude fur la terre de
cinq degrés vers le midi.- J’ai donné la démonstration ' de cette méthode
dans mon Astronomie ; je vais, placer ici la table
pour vingt étoiles , qui peut intéresser les amateurs
de TAstronomie. . …" Différ.'NOMS DES ÉTOILES. En 1686. En 1750. pour | ur 5 e ,■•'■'..•• ' ■ 10 ansí latitudev '■ ■•■■' ■ -' …'.■ -. --. ,H.' M. H: M. S. s. M. s.La précédente du carré de la grande ourse. Q> 22 54 22 56 49 .26 ^— - 41La suivante du carré de la grande ourse/.. a. zz 57 22 59 30 .26 ■-— 41La troisième du carré de la grande ourse., y 23 41 23 45 53 " 33 ' '.-r— -ZzLa dernière du carré/…. •"■ o 2 • o- 6 36 28 ]—■ 14La première de la queue. ■••s ° 37 ° 42. 55 23 -, I— oLe milieu de la queue.. ? 1 5 1 11 2 36 J4-0 10La dernière de la queue ." .1 25 1 33 17 37. j-j-ò 19La dernière des deux gardes de la petite jourse……. ~……………. P> 2 28 2 32 34' 4.1 . i-f-o 42--La seconde des deux gardes de la petiteourse…. …..:… y\ 2 51 3 .0 34 41 j-fo 53 -L’oeíl du dragon / ? 50 5 6 15'.., 54. û^ï ^.'.'La queue du cigne Déneb y '…'« 8 12 8 17- 19 45 +i..2iXLe milieu de la chaise de Cassiopée /3 11 46 11 51 14. 30 í-f- IQ:La poitrine de Cassiopée Schedir. « 12 21 12 24 54 31 . j-j- §La cuisse de Cassiopée …y 12 38 12.41 41 '30 j oLe genou de Cassiopée <f 13 8 13 12 32 25 ^- ri .La jambe de Cassiopée… ; E 13 40 13 42 54 24. I— 22Le pied d’Andromède……………… y 13 54- 13 53 28 24 |— ,..26'.",.''La ceiriture de Persée…… a 15 14 15. 17 58 19 U ' ^3La Chèvre……….. ………. a 17 12 17 14 22 16 I—1 22 ■'. 'L’épaule du cocher. ..0 v 17 56 17 58 8 15 j-^r 27Etoile du Berger. On appelle ainsi quelquefois I
- Vétoile qui paroît la première après le coucher du
soleil, c’est souvent la planète de vénus. ; - iEtoile du matin, ou étoile du jour , phosphore,
aorh de venus, lorsqu’elle brille lè'triatin.| Etoile du soir, vesper ou hesper, nom devenus,
lorsqu’elle brille le soir. ^ ■"."Etoilés de Médias, nom ; que Galilée avoit Voulu
-donner aux satellites dé'Jupiter. ' '
[ Etoiles de Bourbon, nom queLTarde ávoit donMTttrij7oo eto eveaux satellites de Jupiter ; d’autres à dé prétendus
satellites qu’on croyois avoir observés autour du
soleil. ( OZAKAM )  .Etoiles de Louis-le-Grand, nom que Dom. Cassini
avoit voulu donner aux satellites de saturne.Etoiles errantes, est lé nom qu’on donne quelquefois
aux planètes, pour les distinguer des étoiles
fixes.: - ■Etoiles flamboyantes, est IenomqucTon a donné
quelquefois aux comètes, à cause de la chevelure
lumineuse dont elles sont presque toujours accompagnées.
Voyez COMÈTE,Etoiles tombantes , matières ou exhalaisons enflammées
qui, de loin, ressemblent à des étoiles
au moment où elles s’allument ; quand ; elles sont
plus près de nous, elles paraissent comme des
globes enflammés. (D. L.) ■Et rETRANGLEMENT, f. m. (Hydr.)  On entend
par ce mot Tendrait-d’une conduite où le frottement
on quelqu’autre obstacle, est si considérable,
que Teau n’y passe qu’avec 'peine. (O)  -EVANOUIR, v. n. (Algèbre)  ; faire évanouir -
est la même chose que 'chasser ou faire difparoître
une quantité. On dit en ce sens faire évanouir uiïe
fraction ; faire évanouir les radicaux d’une équa- '.
lion, &c. • \Sur la manière de faire évanouir les inconnues
*lans les équations, Voyez l’article ELIMINATION.
Par rapport aux fractions , radicaux, Voyez les
articles FRACTION , RADICAL. ._ EVANOUISSEMENT, f. m. ( Alg.)  On appelle ,
ainsi le but & la fin d’un calcul par lequel on fait
difparoître, une'inconnue d’une équation , une '
fraction, un radical, tkc.EVECTION , f. f. (Astron.)  seconde inégalité  ;
de la lune, produite par Tattraction du soleil.&
riontla quantité est de iM-20'33". Cette équation
que Ptolemée appelloit arpoenvu,, balancement de
T épicycle, ,ést appellée :dans Copernic prbstaphoeTtfis’secundïvél
minoris epicycli ; dans Tycho, pns- - i
taphoeresis extrencitatis, ou changement de l’excentricitë ;
dans Boulliaud , évedion ; parce qu’elle
porte le calcul à une plus grande exactitude que
ì'ancienne équation de ^A, connue dès le tems
d’Hipparqûe. Jusqu’au tems de Ptolemée on s’étoit
borné à obscrverdes éclipses de lune, parce que
ces observations étoient les plus remarquables &
les plus faciles à^ faire ; Tinégalité de 5d étoit
la seule qiïi pût s’y faire remarquer, puisque se
dérangement qui vient des situations du soleil par
rapport à la lune, ne peut sc faire remarquer dans :
des observanons où cette situation est toujours la
même. Mais Ptolemée ayant observé des distances
rie la lune au soleil dans d’autres situations de la
lune apperçut qu’il y avoit une autre inégalité
fort sensible, & que cette équation revenoit tousses quinze jours, non pas de 50, hiais de 7**-,'
lorsque la lune étoit en quadrature & en mêmeteriis
dans ses moyennes dislances , Almageste ,
liv. V, chap. 3 ; il supposa en conséquence que
Tépicycle de la lune étoit porté dans un cercle
excentrique, & qu’il étoit plus près de nous dans
lés quadratures que daris les syzygies. Copernic
employa deux épicycles. -- Horoccius donna pour YévecTion une hypothèse
différente qui a été la première occasion ou le premier
fondement de la théorie de Neuton fur'ses
mouvetnens dela. lune ; cette hypothèse fut connue
en 1673 ; alors Flamsteed Calcula de nou- '
velles tables lunaires fur. ses principes & sor les
nombres rionnés par Horoccius, & ces tables forent
publiées par Wallis dans les OEuvres posthumes
d’Horoceius en 1678.Cette hypothèse consiste à faire varier Texcentricité
de Torbite elliptique de la lune., &; à faire"
tourner le centre de 1 ellipse dans un petit cercle,
le foyer reslant.immobile, en sorte que la ligne des
apsides ou le grand axe de l’ellipfe, qui passe toujours
par se foyer tk par le centre , soit sujette à
un balancement alternatif, qui dépend de la situation
du soleil par rapport à Tapogée de la lune.
Çette théorie-a quelque rapport avec l’hypothèse
d’arzachel , astronome Arabe du XIe siécle, qui
suppòsoit dans Torbite du soleil un semblable mouvement.
Kepler, dans la préface de ses Ephémérides
pour 1618 , avoit aussi indiqué une variation
dans Texcentricité de Torbite lunaire.Flamsteed publia encore, des Tables de.la lune
en 1-681, dans lesquelles il faisoit usage de Thypothèse
d’Horoceius, & M. se Monnier, dans ses
Institutions astronomiques, en 1746, en a donné une
troisième édition. Les tables de Halley ainsi que Ia
théorie dé Neuton, d’après laquellé ; on a calculé
différentes tables de la lune , font fondées fur le
même principe pour le calcul de Téquatiori de
Torbite & de YévecTion. . -M. Euler est se premier qui ait fait voir dans fa
Théorie de la lune , qu’on pouvoit calculer Y évedion
d’une'manière très-fimjise , fans supposer une
excentricité variable & un balancement dans Tapogée
 ; j’ai fait voir dans mon Astronomie , que Ia
méthode d’Horoceius revient au mème que la
formule de Euler, & qu’il suffit, pour calculer
1 évedion dans un tems quelconque, de multiplier
ï.° 20' 33" par le sinus du double de la distance
moyenne de ía lune au soleil, moins Tanomalie
moyenne de la lune ; la théorie & les observations
ont obligé M. Mayer à y ajouter une équation de
36" multipliée par le sinus de quatre fois la distance
moyenne , rtioins deux fois Tanomalie, flt"
cette équation , qui a un signe contraire à celui de
1 éveâion, entre dans une même table. ;'""".-'Peur donner une idée de la manière dont Tattraction
solaire produit cette inégalité appellée
éveâion dans le mouveriient de la lune,.il suffira
de faire voir ; que Texcentricité de Torbite lunaireEve - ' exc 7°<doit être plus grande lorsque la ligne des apsides
de la lune concourt avec la ligne des syzygies, ou
lorsque la lune étantnouvelle ou pi einese trouve
en même-tems^apogée ou périgée. La force du soleil
dérange la lune, parce que le soleil attire la lune
plus ou moins qu’il n’attire la terre , c’est la différence
des deux attractions qui fait toute Tinégalíté.
Or la différence d’attraction fuit la différence des
distances ; cette différence est la plus gtande quand
la lune est apogée, & la plus petite quand elle est
.périgée ; ainsi, quand la ligne des apsides de la lune
concourt avec la ligne des syzygies, la force centrale
absolue de la terre sur la lune, qui est la
plus foible dans la fyzygie apogée , reçoit la plus
grande diminution , & la force centtale, qui est la
plus considérable dans la fyzygie périgée, y reçoit
la moindre diminution : donc la différence entre
la force centrale de la terre fur la lune périgée,
& la force centrale dans Tapogée sera alors la plus
grande ; donc la différence des distancerrie lalune
dans son apogée & dans son périgée augmentera ;
ce qui produira T augmentation d’excentricité qui
a lieu dans Thyppthèse d’Horoceius , & qui est
exprimée sous une autre forme par Yéveâion dont
nous avons parlé. Au reste, se calcul rigoureux des
équations de la lune, produites par TattracHon de
soleil, est si compliqué, qu’il faut absolument le
vòir dans les ouvrages des géomètres qui en ont
traité expressément., rels, que d’Alembert, Euler &
Clairaur. (D. L.) E x a■■ EXAGONE. Voyez HEXAGONE.
" EXALTATION , en Astrologie , est le signe où
\me planète a le.plus dé vertu, ainsi le bélier est '-
i'exaltation dû soleil, la balance est sa déjection.
. EXALTATION , (Alg.)  Quelques auteurs se sont
servi de ce mot, en parlant des puissances, pour
désigner ce qu’on appelle autrement leur élévation ;
mais ce dernier' mot est beaucoup plus usité, &
l’autre doit être proscrit _commë inutile. VoyezEi-EVER. - . .-- ■-' EXCENTRICITÉ," s. f. (Aflronom.)  est la dis.tance
qui est entre les centres de deux cercles ou
sphères qui n’ont pas le même centre. Voy. EXCENTRIQUE.
Ce mot n’est guère usité en ce sens.
' EXCENTRICITÉ, dans Tancienne.Astronomie,
-est la dislance qu’il y a enrre le centre de Torbite
d’une planète, &. la terre autour de laquelle elle
tourné. Voyez PLANÈTE.
jours de ; plus dans les signes septentrionaux gîte
'-. Les astronomes modernes qui ont précédé
-Kepler , à compter depuis Copernic, croyoient que
les planètes décrivoient autour du soleil non des
ellipses, mais des cercles, dont le soleil n’oecupoit
pas le centre. II ne leur étoit pas venu en pensée
d’imaginer d’autres courbes que des cercles ; mais
córnme ils avoient observé que le soleil étoit 7 à 81 dans les signes méridionaux , ils "en- Concluoient
avec raison que le soleil n’oecupoit pas le centre
de Torbite terrestre , mais un point hors de ce
centre, tel que Ia terre étoit tantôt plus près,
tantôt- plus loin du soleil. Kepler prouva que les
planètes déçrivoieut sensiblement autour du soleil
des ellipses dont cet astre occupoit se foyer Voyez
Loix DE KEPLER.EXCENTICRITÉ , dans la nouvelle Astronomie,
esl la distance qui se trouve entre le centre C de
Torbite elliptique d’une planète (PI. cT Astron. fig.
87) , & se centre du soleil .S", c est-à-dire , la
dislance qui esl entre le centre de l’ellipfe & son
-foyer. On Tappelle aussi excentricité simple.L’excentricité double est ía distance S F qu’il y
a entre les deux foyers if & F de l’ellipfe , qui
est égale à deux, fois Y excentricité simple , ou {'excentricité
tout court. On se sert quelquefois de
la double excentricité, mais alors on a foin de
s’expliquer. 'II y a plusieurs moyens de déterminer par les
observations Y excentricité d’une planète. Celle du.
soleil pourrait se déterminer par la différence des
diamètres apparens ; ce diamètre est de 31' 31" en
été , & de 32' 36" en hiver ; donc la distance périhélie
est à la distance aphélie dans se même rapport,
d’où Ton conclurait aisément la différersce
de ces mêmes distances qui est la double excen-_
triché.. " • ■Kepler ayant choisi des observations de Mars y
faites dans le tems où il devoit être au même
point de son orbite"ils, (fig. 78 ) , la terre étant
en deux points très-éloignés dans son orbite, comme
Ttk R ou D & E, trouva ses parallaxes annuelles
ou les angles SMD & SME , qui lui firent connoître
la différence entre SE &.S D , c’est-à-dire , l’excentricité
de Torbite terrestre , & en même tems la
riifìance S M de mars au soleil. Il chercha ainsi les
distances de mars dans plusieurs points de son orbite
 ; ces distances lui firent connoître la figure &
la grandeur de certe orbite ; elles lui apprirent
que c’éíoit une ellipse, & non un cercle, & luifirent
connoître Y excentricité B S de cette ellipse,
. comme nous Texpliquerons au mot PLANÈTE -,
Ia même méthode pourrait s’appliquer aux autres
planètes. _Mais les astronomes déterminent plus souvent
les excentricités des planètes par le nKryen de la
•plus grande équation ; nous expliquerons aussi
la méthode par laquelle on détermine cette équation.
Voyez PLANÈTE.L’excentricité de mercure est la feule qu’on ne
peut déterminer par ce moyen ; on se sert pour
cette planète de ses plus grandes digressions ou .
élongations par rapport au soleil, qui varient depuis
170 36' jusqu’à 280, à raison de ses différentes
distances au soleil ; cette différence des élongations nous
 fait juger dela différence ries distances, &
par conséquent de Y excentricité. Quand on .connoîtYexccntiicitc , Ton en conclut Ia plus grande
équation.Voici le résultat des observations ses plus exactes i
& des calculs les plus rigoureux par lesquels j’ai
déterminé les excentricités de toutes les planètes
dans les nouvelles Tablés astronomiques, en supposant
la dislance moyenne du soleil à la terre de
loocoo. Celle de la 'lune est tirée des nouvelles ;
tables de Mayer ; elle est en décimales de la dis- ■
tance moyenne de la luné à la terre.Excentricité suivant lesPlanètes. ~'i ■ inouveaux calculs.Mercure, 7í>6oVénus, 498Le Soleil, 1680■ ■ 'Mars, . Ï42HJupiter, 25277Saturne, 532-1°La Lune, 0,0550Ces excentricités paraissent être constantes : on
croit cependant que celle de jupitèr & celle de
saturne sont sujettes à quelques variations, à raison
rie leurs attractions réciproques. J’ai supposé dans
les Tables que la plus grande équation de júpiter.
augmentoit de z' 15" par siècle : ce qui détermine
Tausrnentation de 1 excentricité. (D.L.) EXCENTRIQUE, f. m. ( Astronomie)  ou cercle
excentrique , est un cercle, comme F K M (Planches
astrononi. fig. ç>z) , décrit du Centre D différent du
lieu T de Ia terre, & qui porte YépicycleA:G:P
quand il s’agit d’expliquer la seconde inëgalrti ?; 'Au lieu des cerclés excentriques autour de la
terre, Kepler introduisit les orbites: elliptiques f
ce qui explique toutes les irrégularités des mouvemens
des planètes & leurs distances différentes
de la terre , &c. d’une manière très-exacte & très- '
naturelle.L’anomaliè de T’excentrique, chez les astronomes '
modernes, est un arc du cercle circonscrit à Tortue
comme A N {fig. 83 )  compris entre Taphélie
A & la ligne droite R MN, qui , passant par se
centre de la planète M, est tirée perpendiculairement
à la ligne des apsides A'P.EXCENTRIQUE ,, adj. en Géométrie, se dit de
deux cercles ou globes qui , quoiq„e renfermés
i un dans 1 autre n ont cependant pas le même
centre, & par conséquent ne sont point parallèles ;
par opposition aux concentriques qui font parallèles
, & ont un seul &. même ^cemr VCONCENTRIQUE. r J Íf^EHXSLUSI( ?N ' s" £ en thématiques. La méthode
des exclusions est une manière de résoudre''les problêmes en nombre, en rejet tant ri abord &
excluant certains nombres comme n’étant pas propres
à la solution dela question- Par'cettéméthodc
le problême esl souvent résolu avec plus de promptitude
& de facilité. M. Frenicle , mathématicien
fort habile, qui vivolt du tems de Descartes, est
un de ceux qui s’est le plus servi de cette méthode
d’exclusion, cc M. Frenicle étoit le plus habile
3 J homme de son tems dans la science des nombres ;
'3 & alors vivoient MM. Descartes, de Ferrnat dé
 »n Roberval, Wallis , tk d’autres , qui égaloient ou
'5 peut-être furpassoient tous ceux qui les avoient
J3 précédés. La conjoncture du tems avoit beau- "coup
 aidé ces grands génies à se perfectionner
33 dans cette science. Car la plupart des savanss’eri
« piquoit alors ; & elle devint tellement à la mode,
" que non-seulement les particuliers , mais même
'îles nations différentres se faisoient des défis fur
 »J la solution des problêmes numériques : ce qui à
 » donné occasion à M. Wallis défaire imprimer,
JJen Tannée 1658 , le livré intitulé : Commèrcium.
iìepiflólicum , où Ton voit les défis que les ma« 
thématiciens de France faisoient à ceux d’Anglé33terre ;
les réponses des uns, les répliques des
>J autres, & tout le procédé db leur dispute, Dans
J3ces combats d’esprit, M. de Frenicle étoit touíijóursle
principal tenant, & c’étoit lui qui fai33
soit le plus d’honneur à la nation Françoise.35 Ce qui lé faisoit le plus admirer '■, c’étoit la
33 facilité qu’il avoit à résoudre les problèmes ses
>3 plus difficiles, fans néanmoins y employer TA133
gèbre , qui donne un ttès-grand avantage à ceux
33 qui savent s’en servir. MM. Descartes , de
33 Fermât, Wallis, & les autres, avoient bien dé
'3 la peine ; avec toute seur Algèbre., à trouver la so33lution
de plusieurs propositions numériques, dont
J3M. de Frenicle, fansTaide de cette science,
33 venoit aisément à bout par la seule force de son,
33génie, qui lui avoit fait inventer une méthode
33 particulière pour cette sorte de problêmes. Je
33VOÛÎ déclare ingénument, ditM.de Fefmat dans
33 une de ses lettres imprimées dans le recueil deses
33 ouvrages, que j’adrhire le génie de M. de Frenicle >
 »3qui,fansl’'Algèbre , pouffe si avant dans la con33
noistance dès nombres ; & ce que j’y trouve déplus
33 excellent, consiste dans la vttejfe deses opérations.
33 M. Descartes ne Tadmiroit pas moins’.son arith »métiquc
, dit-il au ' perè Mersenne , en parlant
3J de M. de Frenicle, doit être excellente, puisqu’elle
ìtle conduit a une chose où Vanalyse a bien de la
33peine à parvenir. Et comme le remarque l’auteur
33 de la vie de M. Descartes, ce jugement est d un
33 poids d’autant plus grand , que M. Descartes
33étoit moins prodigue d’éloges, particulièrement
33en écrivant au P. Mersenne, à qui il avoit cou33
tume de confier libremerit ses pensées. Enfin
33 Ton ne peut rien dire de plus avantageux qup
>3ce uue lecélèbre M. de Fermât, quiconnoifl’oit
33 aussi-bien que personne la force de'tous ceux
 »squi se mèloient alors de Ja science des noirn-•"•".£. A: V '. ' ' EXE 705Mbres, riit daris une rie ses lettres, où parlant
JJ de quelque chose qu’il avoit trouvée : II n’y a _,
 ?jriit-il , rien de plus difficile dans toutes les 'Malithématiques
 ; & hors M. de Frenicle., & peuttiêrre
M. Descartes , je doute que personne en
J3 connoìffe le secret. De M. Descartes,, il n’en est
« est pas bien assuré ; mais il répond de M. de
i)  Frenicle.. « Cette méthodesi admirable qui va , dit M. Def9}
cartes, où Tanalyse ne peut aller qu’avec bien
>3 de la peine, est celle que M. de Frenicle, qui
J3 Tavoit inventée, appelloit la méthonde des excluììsions.
Quand il avoit un problême numérique à
 »3 résoudre, au lieu de chercher à quel nombre les
93 conditions du j>roblême propose conviennent,
 »3 il examinoit au contraire à quels nombres elles ne
 »j peuvent convenir ; & , procédant toujours par
 »> exclusion , il trouvoit enfin le nombre qu’il
9)  cherchoit. Tous les mathématiciens de son tems
13 avoient une envie extrême de savoir cette mé53
thode ; <St entr'autres, M de Fermât prie infÎ'J
tamment le père Mersenne , dans une de ses
JJ lettres , d’en obtenir de M. de Frenicle la comJ3
munication. Je lui en aurois, riit-il , une très »}
grande obligation , &je ne ferois jamais difficulté
53 de t’avouer. II ajoute qu’il voudrait avoir mérité
'3 par ses services, cette faveur, & qu’il ne déses33
père pas de la payer par quelques inventions
53 qui peut-être lui seront nouvelles.JJ Quelqu’instance que Ton ait fâite à M. de
as Frenicle, il n’a jamais voulu pendant fa vie
33 donner communication de cette méthode ; mais ,
 »J après fa mort, elle se trouva dans ses papiers ; tk
Jj c’est .un des traités que Ton a donnés dans le
33 recueil, intitulé : divers ouvrages de Mathématiques
JJ de Physique , par MM. de l’Académie royale des
iìSciences , à Paris 1693. Comme c’est une mess
thode de pratique, & qu’en fait de pratique-on
 » a bien plutôt fait d’instruire par des exemples que
 »r> par des préceptes, M. de Frenicle ne s’arrête pas
 »j à donner de longs.préceptes pour tous les cas diffésjrens
qui peuvent íe rencontrer ; mais, après avoir
53 établi en peu de mots dix règles générales, il en
 »3 montre Tapplication par dix exemples choisis tk
sj affez étendus, JJ Mém. de l’Acad. des Sciences >
I6o3 , p. 50 , 51 , sz. On ne dit ici rien davantage
de cette méthode , parce qu’il seroit difficile de
donner en peu de paroles une idée affez claire dé
çerte fuite de. dénombremens & d’exclusions , en
- quoi elle consiste : il la faut voir dans le livre
même : d’ailleurs depuis que les méthodes de
l’Algèbre font devenues familières & ont été perfectionnées
, elle n’est plus d’usage, & ne peut être
que de simple curiosité. (O) E X Ç U R£ IO N , s. f. terme d’Astronomie. Les
cercles d’excursion font des cercles parallèles à
Técliptique, & placés à une telle distance de ce
grand-cercle, qu’ils renferment ou terminent l’efpace
des plus grandes latitudes. Ces excursions doivent être,
à 8 degrés environ, parce que les orbites des planètessont fort peu inclinées à Técliptique, de sorte que
la zone ou bande appellée zodiaque 6 ;-qui renferme
toutes ces orbites , n’a qu’environ 8 degrés
de largeur d’un côté & de l’autre. Voyez INCLINAISON
, ZODIAQUE.Les points où une planète est dans fa plus grande
excursion , se nomment limites. (O) ExeEXEGESE numérique ou linéaire, signifie, dans
P ancienne Algèbre, Y extraSion numérique ou linéaire
des racines des équations, c’est-à-dire, la solution
numérique de- ces équations, ou leur construction
géométrique. Voy. EQUATION, CONSTRUCTION,
RACINE. Viette s’est servi de ce mot dans son
algèbre. Voyez ALGÈBRE.s EXGETIQUE, f.s. terme de Vancienne Algèbre ;
c’est ainsi que Viete appelle Tart de trouver ses
racines des équations d’un problême, soit en nombres
, soit en lignes, selon que le prorflême est
numérique ou géométrique. Voyez RACINE,
EQUATION, &C. (O) EXHAUSTION, f. f. terme de Mathématiques.
La méthode d’exhaustion est une manière de pfou^'-'ver Tégalité de deux grandeurs , en faisant Voir
que leur différence est plus petite qu’aucune gran■rieur assignable ; & en employant, pour le. dé-.
montrer, la réduction à Tabsurde.Ce n’est pourtant pas parce qu’on y réduit à
Tabsurde , que l’on a donné cette méthode le -nom
de méthode d’exhaustion : mais comme Ton s’eri sert
pour démontrer qu’il existe un rapport d’égalité
entre deux grandeurs, lorsqu’on ne peut.jias le
prouver directement, on se restreint à faire voir
qu’en supposant Tune plus petite ou plus grande
que l’autre , on tombe dans une absurdité évidente
: afin d’y parvenir, on permet à ceux qui
nient Tégalité supposée , de déterminer une différence
a volonté ; on leur démontre que la différence
qni existerait entre ces grandeurs (en cas
qu’il y en eût ) seroit plus petite que la différence
assignée ; & qu’ainsi cette différence ayant pu être
supposée d’une petitesse qui , pour ainsi dire,
épuisât toute grandeur assignable, c’est une nécessité
de convenir que la différence entre ces grandeurs
s’évanouit véritablement. Or c’est cette petitesse indissible,
inaffignable, & qui épuise toute grandeur
quelconque , qui a fait donner à la méthode
présente le nom de_ méthode d’exhaustion, du mot
latin exhaufiio, épuisement.La méthode aexhaufiion est fort en usage chez
les anciens géomètres, comme Euclide, Archimède,
&c Elle est fondée fur ce théorème du deuxième
livre d’Éuelide, que des quantités sont égales lorsque
leur différence est plus petite qu’aucune grandeur-assignable ;
car fi elles étoient inégal es, leur
différence pourroit être assignée j ce qui est contre ..
Thypòthèse. . -C’est d’après ce principe qu’on démontre que,
fi un polygone régulier d’une infinité de côtés est
inscrit où circonscrit à un cercle, Tefpace qui constitue
la différence entre le cercle tk le polygone
s’épuisera & diminuera par degrés ; de sorte que le
cercle deviendra égal au polygone. Voyez QUAI ;RATURE
, POLVGONE , &c-Voyc’z aussi LlMsTE,ÌNFÌNI, &C. (E) *Le calcul différentiel n’est autre chose que la
méthode d’exhaustion des anciens , réduite à une
analyse simple & commode ; c’est la méthode de
déterminer analytiquenient les limites des rapports ;
la métaphysique de cette méthode est expliquée au
mot DIFFÉRENTIEL.
EX P
-EXPONENTIEL , adj. (Géomét. transcend.) 
Quantité exponentielle _, est une quantité élevée à
une puissance dont Texposant est indéterminé tk
variable. Voyez EXPOSANT.II y a des quantités exponentielles de plusieurs
degrés ou de plusieurs ordres. Quand Texposant
est une quantité fimple & indéterminée, on Tappelle
une quantité exponentielle du premier degré.Quand Texposant est lui-même une exponentielle
du premier degré , alors la quantité est une expehentielle
du second degré. - " 'Ainsi, zy est une exponentielle du premier degré,
parce que la quantité-y est une quantité simple :.maisy est une quantité exponentielle du second degré,
t '■-."■ '.■-■.-parce que V est une exponentielle du premier degré.y
De même ^est une exponentielle du troisième degré,í
parce que Texposant^ en est une du second.. - XII faut remarquer de plus que, dans les quantités
exponentielles , la quantité élevée à Texposarit variable
peut-être constante comme dansy , ou variable
comme dans* ainsi, on peut encore à cet égarddistinguçr ses quantités 
espèces.
exponentielles en différentesLa théorie das quantités exponentielles est expliquée
avec beaucoup de clarté dans un mémo:.-e qu’on
trouvera au tome I. du recueil des oeuvres de M. J.
Bemoulli, Lausanne, 1743. Le calcul des quantités
exponentielles , de leurs différentielles, &c. se
nomme calcul exponentiel. On peut aussi voir les
règles de ce calcul expliquées dans la première
partie du traité du calcul de M. de Bougainville. :
Au reste, cest à M. J. Bçraoulli que la Géométriedoit la théorie du calcul exponentiel, branche
du calcul intégral devenue depuis si féconde.Outre les quantités exponentielles dont.les expofans
sont réels, il y en a aussi dont les exposons
sont imaginaires ; tk ces quantités font sor-tout
fort utiles dans la théorie des sinus Stries cosinus
des angles. Voyez SINUS. _ -La méthode générale pour trouver aisément les
différentielles des quantités exponentielles , c’est dé
supposer ces exponentielles égales à un.e_ nouvelle
inconnue, de prendre ensuite les logarithmes de
part & d’autre,, de différentier, & de substituer y
ainsi, faisant y* = z > on aura x log. y = log. z i

donc dx X log. y + — = — • v°yci LOGARITHME.
Donc zf Í ou d s J j =z^x log* y -K
&U = y* dx log. y -f ^iy- Donc, si on a àdiffiéJrentier a* ; comme a est alors égal à y , tk que
dy =0, on aura pour différentielle axdxX^og. a ;
tk ainsi des autres.Courbe exponentielle , est celle qui est exprimée
par une équation exponentielle. Voyez COURBE.Les courbes exponentielles participent de la nature
des algébriques & des transcendantes ; des premières
, parce qu’il n entre dans leur équation que des
quantités finies ; tk des dernieres, parce qu’elles ne
peuvent pas être représentées par une. équation algébrique.
Car dans les courbes à équations algébri>
ques, ses expofans sont toujours des nombres déterminés
& constans, au lieu que, dans les équations
des courbes exponentielles , les.expofans sont variables.
Par exemple, ay=xz est l’équation d’une
courbe algébrique ; y = a" est l’équation d’une
courbe exponentielle ; cette-équation y = zz* signifie
qu’une ordonnée quelconque y, est à une ordonnée
constante que Ton prend pour Tunité, Comme une
constante zz élevée à un exposant indiqué par se rapport
de f abscisse x àlá ligne que Ton prend pour Tunité,
est à la ligne prise pour Tunité, élevée à ce même
exposant. C’est pourquoi fi on prend b pour cette
ligne qui représente Tunité, l’équation y==a" réduite
à une expression & à une traduction claire,Xh - .revient à celle-ci -| = ~ ; l’équation y = a1 est celleT~.
bde la logarithmique. Voyez LOGARITMIQUE. Dey ■ ■ 'b
même y = xi signifies = — ; tk ainsi des autres ; ■
bEquation exponentielle, est celle dans laquelle il y
■a desE x p e x p ^o,a ries quantités exponentielles, &c. Ainsi, y = z* est
une équation exponentielle !.On résoud les équations exponentielles par logarithmes
, lorsque cela est possible. Par exemple , si on
avoit zz* = b, x étant Tincônnue, on auroit x log.<2=log. b, tkx=^~— : de même si on avoit cc*"*" 2,° log. a 'ar-f. i x-f- i c -f g-cr: i: on en tirerait l’équation.
C (zzc 1 ^-£> c-f-g^r^fcí&arlogarith.c -(-logarith.
(ac 1 -L.&ç4^gj-=l0g.jL-j- d’où Ton tirera x. Mais
il y a une infinité de cas où on ne pourra trouver x
que par tâtonnement ; par exemple, si on avoit a"
-^ b 2* = c , &c." Voyez LOGARITHME.C’est par les équations exponentielles qu’on pratique
dans le calcul intégral l’opération qui consiste
à repasser des logarithmes aux nombres. Soit, par
exemple, cette équation logarithmique x = log. y,
supposant que c soit le nombre qui a pour loga- •
rithme i, on aura i =log. c,tkx log. c=* = log.y.
Donc(F. LOGARITHME) log. c" =log..y>&.c3'=y.EXPOSANT, s. m. (Algèbre)  Ce terme a différentes
acceptions, selon les 'différens objets auxquels
on ses rapporte. On dit, Yexpofant d’une raison,
1 exposant du rang d’untermé dans une fuite, Y expo-:
sont d’une puiffance.L’exposant d’une raison ( il faut entendre la géométrique
, car dans TArithmétique ce qu’on pourrait
appeller de ce nom , prend plus particulièrement
celui de différence )  : l’exposant donc d’une raison
géométrique est le quotient de la division du
conséquent par Tantécédent. Ainsi , dans la raison
de 2 à 8,, l’exposant est \ == 4 ; dans celle de 8 à 2 y
l’exposant est f = \.&c. Voyez PROPORTION.C’est Tégalité des exposans de deux raisons qui les
rend elles-mêmes égales, & qui établit entr'elles ce
qu’on appelle proportion. Chaque conséquent est
alors le -produit de son antécédent par l’exposant
commun. II semble donc, pour le dire en passant,
qu’ayant à trouver le quatrième terme d’une proportion
géométrique , 'au lieu du circuit qu’on
prend ordinairement, il seroit plus simpse démultiplier
directement le troisième terme par l’exposant
de la première raison, au moins quand celui-ci
est un nombre entier. Par exemple, dans la proportion
commencée 8. 24 ; ; 17. *, se quatrième
terme se trouveroit tout-d’un-coup, en multipliant.
27 par l’exposant 3 de Ia première-raison ; au lieu
qu’on prescrit dé multiplier 24 par 17, & puis
de diviser le pro.duit par 8. II est vrai que les deux
' méthodes exigent également deux opérations, puisque
la recherche de Yexpofant suppose elle-même
une division ; mais dans celle qu on propose, ces
deux'opérations, s’exécutant fur deux termes moins
composés , en seraient plus courtes & plus faciles.
Voyez RÈGLE DE TROIS.L’exposant du rang est , comme cela s’entend
assez, le nombre qni exprifne le quantième d’un
Mathématiques. Tome I, IIe. Partie.terme dans une fuite quelconque. Ori difa , par
exemple, que 7 est {'exposant du rang du terme
13 dans la fuite des impairs j que celui rie toutautre terme T de la même fuite est "^ ' j & plusgénéralement que l’exposant du rang d’un terme
pris où Ton voudra dans une progression arithmétique
quelconque , dont le premier terme estdésigné par p , tk la différence par d, ef\~s-^~1,:On nomme exposant, par rapport àunepuisiance ,
un chiffre ( en caractère minuscule-) qu’on place à la
droite & un peu au-dessus d’une quaritité, soit numérique,
soit algébrique , pour désigner le nom de la
puissance à laquelle on veut faire entendre qu’elle
esl élevée. Dans c* , par exemple, 4 est l’exposant
qui marqtte que a est suppose élevé à la quatrième
puissance.Souvent, au. lieu d’un chiffre, on emploie une
lettre ; & c’est ce qu’on appelle exposant indéterminé.
zz* est- zz élevé à une puiffance quelconque désigné®77
par n. Dans \V a , n désigne le nom dr la racine
qu’on suppose extraite de la grandeur zz , &c.Autrefois, pour représenter la quatrième puiffance
de a, on écrivoit aa.ua ; expression incommode , &
pour l’auteur, & pour le lecteur , sur-tout lorsqu’il
s’sgisscit de puissances fort élevées. Descartes vint,
qui à cette répétition fassidieuse de la même racine
substitua la racine simple, surmontée vers Ia droits
de ce chiffre qu’on nomme exposant, lequel annonce
au premier coup-d’oeil combien de fois elle est censée
répétée.Outre Tavanfage de la brièveté tk de la netteté ,"
cette expression a encore celui de faciliter extrêmement
le calcul des puistances de la même racine, en le
réduisant à celui de leurs 'exposans , lesquels pouvant
d’ailleurs être pris pour les logarithmes dés puissances
auxquelles ils se rapportent, les font participer
aux commodités du calcul logarithmique. Dans
Texpofé qui va suivre du calcul des exposans des
puissances , nous- aurons foin de ramener chaque
résultat à Texpression de Tancienne méthode, comme
pour servir à la nouvelle de démonstration provisionnelle
 ; renvoyant pour une démonstration plus •
en formé aï article LOGARITHME, qui esl en droit
de la revendiquer.Multiplication. Faut-il multiplier am par a" ? Onm 4~n.fait la sommé des deux exposans ,& L’on écrit s.m-f-n ' 34-2En effet que m = 3 , &7z=2 ; a ==a saa ? = a a a a a = zz a a X & a' '-.-'.771 n ,Division. Pour diviser par a ., on prend la771— ndifférence des deux exposons ,&. Ton écrit a.771-^71 J—2: En effet, quenz==5, & n = 2 ; zz =# .=a. a <2 o. a, ,a'=zzâ'íz.= ; —■——. . ' . 'a aV r v "v7c6 exp ex pSi n = m, Yexpofant réduit devient o, & le quotient
est a°= I ; car ( au lieu de n, substituant m quim—i ?ilui est égale par supposition) zz° = a =m
a
— = 1.znSi n^>m, Yexpofant du quotient sera négatif.m—n 2—5Par exemple, que m=2, <Stn=5 ; zz r=zz =
zz— !. Maiî qu’est-ce que a~~ 5 î Pour se savoir,
interrogeons Tancienne méthode. ' zz  ! est donnécour Texpreffion de = -a1- Ce quir £ a a a a a a a a.fait voir qu’une puissance négative équivaut à une
fraction, dont le numérateur étant Tunité, le dénominateur
est cette puiffance même devenue positive
: comme réciproquement une puissance positive
équivaut à une fraction, dont le numérateur
est encore Tunité, & le dénominateur cette mème+ m
puissance devenue négative. En général, zze +'". On peut donc, fans inconvénient, substituer
Tune de ces deux expreflions à l’autre : ce
qui a quelquefois son utilitésElévation. Pour élever zzm à la puissance dont
{'exposant est n, on fait le produit des deux exposans,& Ton écrit zz … En effet, que m=z,m X n iXj& n=3-, zz =zz =zzff = zzzzzzzzzzzz=zzzzXaaXaa.ExtraSion. Comme cette opération est le contraire
de la précédente ypour extraire la racine n dea", on voit qu’il faut diviser m par n, tk écrire a nm 6En effet, que m-6, & 72 = 3 ; a" = zz^=zz2== zz zzi ?= ^/zzzzzzzzzzzz.On peut donc bannir du calcul les signes radicaux
qui y jettent souvent tant d’embarras, & traiter
les grandeurs qu’ils affectent comme des ptìssances
dont les exposans sont des nombres rompus. Car
n 1 n —m1/7=7%- \/~a^m—a " , &c.On ne dit rien de {'addition ni de Ia foufìracTion,
parce que ni la somme, ni la différence de deux
puissances de la même racine, ne peuvent sc rappeller
à un carpo/zzrzt commun , & qu’elles n’ontpoint d’expression plus simple que celle-ci, zz ±:
Mais elles ont d’ailleurs quelques propriétés parti« uheres,
que je ne sache pas avoir jusqu’ici été
icmarquées , quoiqu’elles puissent trouver leurapplication. Elles ne seront point déplacées en cet
article.Première propriété. La différence de deux puissances
quelconques de la même racine, est toujours
un multiple exacì de cette racine diminuée dem nTunité,- c’est-à-dire que "~^\ donne toujours un
quotient exact. ' • " , "43—4' __ 64—--4 __ ££ __ 20 .,3 o , 3 . / . fans reste.3 3 ~ 3 .Observez en passant que, dans le premier exemple,4}—41 == 60 ;= 3 X 4 X 5- Ce qui n’est point un
hasard, mais une propriété constante de la differenée
des troisième & première puistances , laquelle
est toujours égale au produit continu des trois
ternies consécutifs dé la progression naturelle ,
dont le moyen est la première puissance même 011
la' racine.a~>—al=a—IXÍXÍT1Secondepropriété.-,La différence dedeux puissances
quelconques de la mème racine est un multiple
e.xaél de cette racine aug.nentée de Tunité,
quand la distèrence des exposans des deux puissancesm 7zest un nombre pair ; c’esl-à-dire que ° ~a donneun quotient exact, quand m-ra exprinu un noriilre
pair.—-— = .= — - 1 z,fans rejle, parce que3—1 =2, nombrepzzz'r.Mais i-p,° = Í5JZ-1 = íi Uffe m reste, parce1ue 3 —-0=3 n’est pas un nombre pair.Troisième propriété. La somme de deux puissances
quelconques de Ia mênie racine esl un multiple
exact de cette racine augmentée de Tunité, quand
la différence des exposans des deux puissances est711 71un nonîbre impair ; c’est-à-dire que ^-~ donne
un quotient exact, quand m-n exprime un nombre.
impair. Ainsi , íL±±-* = ii±J = îi = 13 , fans,
^este, parce- que 3 — o ==3,, nombre impair.
Maîs îi±£ = i±±í = SI laisse m rejie, parce "
que 3,— 1= 2 n’est pas nombre impaire
Démonstration commune*m - n -Si l’on compare* ± a , considéré, d’une part,.Ex p ex p 7°7comme dividende avec a±i, considéré de l’autre
comme diviseur, il en résulte quatre combinaisons
différentes ; savoir,771 n m n. m n m ■ na+ " g ■—aa —a a -\* aa— i « a -^T "^ a-+ i ^f T+T*Maintenant, si Ton vient à effectuer sur chacune
Ja division indiquée, on trouvera ( tk c’est une suite.
des loix'générales de la division algébrique.) i.° Que dans toutes les hypothèses, le ; termes du
quotient (supposé exact) sont par ordre les puissances
consécutives &. décroissantes de a, depuis & y
compris zz"- 1 jusqu’à an inclusivement ; d’où il suit
que le nombre des termes du quotient zr.rzzc ?, ou, ce
qui est la niême chose, l’exposant du rang de son
•dernier terme esl m — n.z.° Que dans les deux premières hypothèses les
termes dujruotient ont tous se figne -f-, & que dans
les deux dernières ils ont alternativement &. dans le
même ordre les signes -j- & — ; de sorte que le signe
+ appartient à ceux dont l’exposant du rang est
impair, tk se figne—à ceux dont l’exposant du rang
est pair. ' - -_ 3.° Que, pour rendre la division exacte, le dernier
terme" du quotient doit avoir le signe— dans les
première & troisième 113-potrièses , & le signe -f.dans
la seconde & daris la quatrième.La figure suivante mer sous les yeux le.résulrat
des deux derniers articles. La ligne supérieure représente
Tordre des signes qui asseoient les divers
termes du quotient, relativement aux quatre différentes
hypothèses ; Tinférieure marque se signe que
dok avoir dans chacune le dernier tenue du quotient,
pour rendre la division exacte.I. hypothèse. Seconde. Troisième Quatrième.4-.-Í- +.&c. 4-.-j-.4-.S-z:. -K—--H—-&c -i --K—-&c.— 4- — - " +La feule -inspection de la figure fait veir que la
division exacte ne peut avoir lieu dans la première
hypothèse, puisqu’elle exige le signe — au dernier
terme du quotient, tk que tous y ont se signe -j- ;
que par une raison contraire elle a -toujours lieu
dans laseconde ; qu’elle Ta dans la troisième, quand
l’exposant du rang du dernier terme , où (supra ) 
m — neû pair y tk d2ns laquatrième, quand m—72
esl impair.
. J’ai remarqué ( & d’antres fans doute Tauront
fait avant moi ) que la différence des troisième &
première puissances de la même racine est égale au
produit continu de trois termes consécutifs de Ja
progression naturelle, -dont le moyen estla premièrepuissance mème óu la racine…. r3 — r1 =r- iX
~X *" +" i- ,
Cette propriété, au reste, dénve_ dune autre
ultérieure. Les exposans des deux puissances étant
quelconques, pourvu que leur difféience soit 2, on
m 71 n- a généralement r —,r = r— 1 X r X 7'+1 j|& la démonstration en est aisée. Car, dans le second
membre, le produit des extrêmes est r r— r ': or,si Ton multiplie le terme moyen r par r r — r,724-2 n 14* 2 mon aura r ■— r : mais r = r , puisque(par supposition ) m — n=. z, d’où m = n -\- Z.Ceci est peu de chose en soi : mais n’en pourroit-on
pas faire usage, pour résoudre avec facilité
toute équation d’un degré quelconque, qui aura,m nou k qui on pourra donner cette sorriie ar — x
— zz:=o, de sorte que m-n y soit= 2, & dont
une des racines fera un nombre entier ?En effet, cherchant tous les diviseurs ou facteurs
de a, tk, pour plus de commodité, les disposant par
ordre deux à deux, de façon que chaque paire contienne
deux facteurs correspondans de zz, comme
on voit ici ceux de 12… i\.e.\ on est assuré qu’ilx — 1 X Xrì-1s’en trouvera une paire qui sera n .. x
Choisissant donc dans la ligne inférieure (que je
suppose contenir les plus grands facteurs ) ceux qui
sont des puissances du degré n, ou bien il ne s’en
rrouvera qu’un, & dès-là fa ne - racine sera la
valeur de x ; ou il s’en trouvera plusieurs, Sialors,
ses comparant avec leurs co-facteurs , on se
déterminera pour" celui dont le co-facteur est se
-produit rie fa TZC racine diminuée rie Tunité. par
ía même racine augmentée de Tunité. Par exemple,
Soit l’équation à résoudre… xs — ar ; — 3000=0,
on 'trouve que les facteurs de 3C00 sont par ordre,1 2 3 4 î 6 8 10 12 15
icoo* IJOO" looo" 7fO' 600' 500* 37Í' 500' 2jo" 200"-"
20 -24 25 30 40 fO
150* 125" 120" ioo" 75' 60'En consultant, si on le juge nécesiaire, la table
des "puissances, on trouve que la ligne inférieure né
contient que deux cubes, loco & 125. Lepreinier
ne peut convenir, parce que son co-facteur est 3 , tkque ^ \/ icoo étant 10 ) il devroit être ío— i X10 -j- 1 =S> X 11=09: rnaissesecondconvientpar-fairernent
 , parce que d’un côté sa tanne cubique
étant 5 , de l’autre son co-facteur est 24= 4 X 6x3ZJ •— iX^+i-'-.Onà donc x = F. - -Reste à trouver îe moyen de donner àtoute équation
proposée la forme requise ^ c’esl-à-dire, de la
réduire à ses premier, troisième, & dernier termes ;
de façon que les deux-premiers soient fans ccëfE.
-ciens, & les deux derniers négatifs. C’est Taffaire
des Algébrifles, & pour euxune occasion précieuse
d’employer utilement Tan des transformations, s’il
va jusque-là.II est an moins certain "que, dans les cas où Tonpourra ainsi tranformer l’équation , la méthodeJqu’on propose ici aura" lieu , pourvu qu’une desY v v v ij
-S EXP E X P
racines de Téquation soit un nombre entier' On
convient que cette méthode ne s étend jusquiçi
qu’à un très-petit nombre de cas,. puisqu on n a
point encore, & qu’on n’aura peut-être jamais de
méthode générale pour réduire les équations à la
forme & à la condition dont il s’agit ; mais On ne
donne aussi la méthode dont il s’agit ici , que
comme pouvant être d’usage en quelques occasions.
Article de M.líuizziSR DÌS. OUXMXS,* 11 ne nous reste qu’un mot à ajouter à cet excellent
article j fur le calcul des exposans. Que signifie',.-—771dira-t-on, cette expression zz  ? Quelle idée
nette présente-t-elle à Tesprit ?-Ie voici. II n’y a
jamais de quantités négatives & absolues en ellesmêmes.
Elles ne sont telles, que relativement à
ries quantités positives dont on doit ou dont on
peut supposer qu’elles sont retranchées ; ainsi,— me. ne désigne quelque chose de distinct, que. 77relativement à une quantité zz exprimée óu sous—-771entendue- ; en ce cas , a marque que, si on71 777vouloit multiplier zz par , il faudroit retrancher
de Yexpofant n autant d’unités qu’il y en a…. — 777dans m ; voilà pourquoi d équivaut à^-, ou771 —777à une division par zz . Ainsi, e n’est autre choseTqu’une manière d’exprimer ~m , plus commode
pour le calcul. De même zz" n’indique autre chose771
771 .—Í777 aque aXa ou-^ = i ; a" indique -, suivantala notion des exposans, que la quantité zz ne doit
plus se trouver dans le calcul ; & en effet elle ne— 777 |s’y trouve plus : comme a. indique que la
quantité zz. doit se trouver dans le calcul avec m
dimensions de moins, & qu’en général elle doit
abaisser de m dimensions la quantité algébrique où
elle entre par voie de multiplication. JANÉGATIF.
Passons aux exposans fractionnaires. Que signifie<z= ? Pour en avoir une idée nette, je supposezz := b b ; donc zz s est la même chose que ( b b )  *
or dans (M>) 5,par exemple, l’exposant indique que :
ì> doit être écrit un nombre de fois triple du nonvbre
de fois qu’il est écrit dans se produit (b b)  ;
& comme il y est écrit deux fois (b b) il s’enfuit
que {b b y indique/que jb doit être écrit 6 fois ;
donc ( b l y est égal à b6 ; donc par la même raison,{bb) * indique que b doit être écrit la moitié defois de
ce qu’il est écrir dans la quantité b b ; donc il doiterre écrit uriè fois ; donc j(Z> b)  *=£ ,• donc zz*^zb=%/~.
II n’y aura pas plus de difficulté pour les exposans
radicaux, dont très-ptu d’auteurs ont parlé. Que
siguifib, par exempse, zz Ví ? Pour le trouver, on
remarquera que J/ 2 n’est point un. vrai nombre, mais
une quantité dont on peut approcher aussiprès qu’on
veut, fans Tatteindre jamais ; ainsi, supposons queexprimeune fraction par laquelle on approche continuellement
de (/ 2 ; zz W aura pour valeurp_
approchée la quantité zz q , dans laquelle p tk q seront
des nombre entiers qu’on pourra rendre aussi
exacts qu’on voudra , jusqu’à l’exactitude absolue
exclusivement. Ainsi , a v- indique proprement la
limite d’une quantité, & non une quantité réelle ;
c’est Ja limite de a élevée à.un earpo/zz/zífractionnairequiapproche de plus en plus de la valeur de [/ z.
Voyez EXPONENTIEL , LIMITE, &C.(0).EXPRESSION , f. f. ( Algèbre ). On appelle en
Algèbre expression d’une quantité, la valeur de cette
quantité exprimée ou représentée sous une forme
algébrique. Par exemple, si on trouve.qu’une inconnue
x est ■= \/ a à -f- b b ,. a & b étant desquàntitésconnues, \/ a a -j- b b sera {'expression
de x. Une équation n’est autre, chose que la valeur
d’une même quantité présentée sou deux expressionsdifférentes,
voyez EQUATION. ( O ) EXPURGATION, Emersion, sortie del’ombre
dans une éclipse.Ext…. . ( ■• .. - /EXTERNES., (angles) en Géométrie , sont sel
angles de toute figure rectiligne -, qui n’entrent
point dans fa formation, mais qui sont formés par
íes côtés prolongés àu-dehors. Voyez ANGLE &
INTERNE. ' ' . ' -Les angles externes d’un polygone quelconque
pris ensemble sont égaux à quatre-angles droits.
Dans un triangle , Tangle externe est. égal à la
somme des angles intérieurs opposés. Voyez
TRIANGLE. Ces propositions sont démontrées partout.
(E)  .EXTRACTION, f. f, ( Arith, &Alg. )  Opération"
qui consiste à -trouver une certaine racine d’un
nombre ou d’une quantité algébrique. Voici les
principes & le procédé de laméthode..I. Ori appelle puissances d’un nombre, ses produits
que Ion trouvé, en se multipliant par luimême
, un certain nombre dé fois.Tout nombre est lui-même fa première puissance..
Ainsi, 4 ou la première puissance de 4 ,. c’est lá
même chose.La seconde puissance ou le quarré du nombre ,
est se produit de ce nombre multiplié par lui-même..
•Ainsi, 4 X 4 ou 16 , est la seconde puissance ou le
quarré de 4.. De mème, 6 X 6 ou 36, esl. la se-Ext . ext 7° ?'-conde puissance ou le quarré de 6. L’usage le plus
ordinaire est d’employer, pour la brièveté , le mot
de quarré , préférablement à celui de seconde
puiffance.La troisième puissance ou le cube d’un nombre,
est le produit de ce riombre multiplié deux fois de
fuite-par lui- même, c’est-à-dire , le produit dunombre
par son quarré. Ainsi, si l’on multiplie 4
par son quarré 16 ", le produit 64 est la troisième
puissance ou le cube de 4. De même , 216, produit
de 6 par son quarré, est la troisième puissance ou
le cube de 6. Le mot de cube est plus usité.La quatrième puissance d’un nombre est le produit
de ce nombre multiplié trois fois de fuite
par lui-même, c’esl-à-dire, le produit du nombre
par son cube. Ainsi ,4 X 64, ou 256 est la quatrième
puissance de 4 ; 6 X 2.16 , ou 1206 est la
quatrième puissance de 6.Ainsi de fuite, pour les puissances cinquième,
sixième , tkc.II. L’opération qu’on fait pour trouver une certaine
puissance d’un nombre , s’appelle formation
de cette puissance.III. On remarquera que toutes les puissances de
I sont 1. Car 1 multiplié par lui-même autant de
fois qu’on voudra, ne peut donner que 1. Cette
propriété appartient à Tunité, exclusivement à tous ■
les autres nombres. jIV. Voici une petite Table qui contient les ■
qnatre premières puissances des nombres depuis 1
jusqu’à 9 inclusivement.Nombres 12-345 6789
Quarcés i 4 S 16 *■ ! 36 45 64 *iCubes J S 27 64 IZJ 216 343 512 7294CS ~~FuiiTances 1 16 íi 256 625 1256 2401 ^oi/&-6$6i■-. . :——i—.
V. On appelle racine d’une puissance, le nombre
qui, en sc multipliant lui-même un certain nombre
de fois, produit cette puissance. La racine première
& la puiffance première sont la mème chose. Mais
il en est autrement pour les puissances & les racines
des ordres supérieurs au premier. Par rapport
à la seconde puissance, le nombre générateur s’appelle
racine seconde , ou plus ordinairement, racine
quarrée ; par rapport à la troisième puissance,
le nombre générateur s’appelle racine troisième ,
ou plus ordinairement, racine cube. Ainsi de fuite.VI. Lfopération qu’on fait pour trouver la
racine quand on connoît la puiffance , s’appelle
extraSion de la racine^VIL Ces notions bien entendues, nous pouvons
nous proposer, à ce sujet, lesdeux questions suivantes
, dont Tune est Tinverse de l’autre.(T.) Etant donné un nombre , déterminer telle
puissance qu’on voudra de- ce nombre ?( II. ) Etant donné un nombre que l’on regarde
comme une certaine puiffance d’un autre nombre f
trouver cet autre nombre ? *•La première question n’a aucune difficulté ; car
il ne s agit , pour la résoudre , que de multiplier
un nombre un certain nombre de fois par luimême.
Qu’on demande , par exemple, la quatrième
puissance de 15 : je multiplie 15 par 15,
le produit est 225 ; je multiplie ce produit par 15,
& j’ai 3375 ; je multiplie ce dernier produit par
15 , & j’ai 50625 , qui est la quatrième puissance
cherchée.Quant à la seconde question, elle esl beaucoup
plus difficile , & demande., pour être résolue, des
règles particulières. Je vais donner ces règles pour
les racines quarrée & cube, seulement , parce que
dans les usages les plus ordinaires qu’on fait des
racines, dans TArithmétique, on n’a hesoin quede
lavoir extraire la racine quarrée &. la racine
cube. Mais il ne sera pas difficile d’imiter, si l’on
veut , ses mêmes procédés pour les ordres supérieurs.ExtraSion de la Racine quarrée.VIII.- Suivant Tidée générale que nous avons
donnée (VI.) de Textraction des racines., Textraction
de la racine quarrée est une opération par
laquelse on trouve un nombre qui, multiplié par
lui-même , donne , ou le nombre dont il s’agit
d’extraire la racine quarrée, ou le plus grand quarré
qui y est contenu.Comme il n’est question ici que des racines quarrées
 ; quand , pour abréger , j’omettrai le mot
quarrée , on aura soin de se foas-entendre.IX. Lorsqu’un nombre n’est pas exprimé par
plus de deux chiffres, fa racine n’en a qu’un ; &
elle se trouve par le moyen de la Table de Tartície
IV. Par exemple , demande-t-on la racine de 49 ï
On Ia trouve dans la première case de la bande
verticale qui contient 49 ; elle esl 7 ;Si le nombre, toujours exprimé par deux chiffres
tout au plus , dont on demsnde la racine , n’étoit
pas compris dans la Table., comme, par exempley,
si on demandoit la racine de 88 ; on. prendrait
dans la Table se nombre le plus approchant, en-dessous,
 de 88 ; ce nombre est 8ï, dont ia racine
est 0 ; & cette même racine seroit celle qui", ennombre
entier, approche le plus-, en-dessous , de
la véritable racine de 88. _L’extraction de 3a racine des nombres qui rie.sont.pas
 exprimés par plus de deux chiffres, eft
le fondement de Textraction des racines des nombres
exprimés par taux de chiffres qu’on voudra ,.
opération que nous allons exgliquer »
EXT EX-T
X. Tout nombre exprimé par plus de deux
'chiffres en a nécessairement plus d’un à fa racine.
Car ico , qui est le plus petit des nombres exprimés
par plus de deux chiffres , a pour racine
io, qui est exprimé par deux caractères. Ainsi , la
racine de tout nombre exprimé par plus de deux
chiffres peut être regardée comme composée d’un
nombre de dixaines & d’un nombre d’unités, &Ies
dixaines pourront être exprimées par plus d’un
chiffre. Voyons-comment ces parties de la racine
entrent dans la formation du quarré. Quand nous
-connoítrons bien comment un quarré est produit,
il nc sera pas difficile de découvrir la racine d’un
nombre quelconque, ou du moins du plus grand
quarré qui y est contenu, sopposé que ce nombre
r.e soit pas un quarré parfait.XI. Je prends, par exemple , le nom- ,T 24
bre 24, qui est composé de deux dixaines, 24
& de 4 unités ; & je Télève à son quarré , ,
en le multipliant par lui-même, suivant <
les règles ordinaires de la multiplication. Ì__JL—
Ainsi, je multiplie, premièrement 4 par Quarré  ?-(,
4 ; secondement, 2 par 4 ; troisièmement, 4 par 2,
ou 2 par4 ; quatrièmement, 2 par z. Or il est visible
que par la première multiplication , on faille quarré
des unités ; par la seconde, le produitries dixaines
parles unités ; par la troisième, encore le produit
ries dixaines par les unités ; par la quatrième, le
quarré des dixaines. 11 éu sera de même.pour tout
autre nombre composé de dixaines & d’unités. D’où
je conclus que se quarré d’un nombre'composé de
dixaines & d’unités, contient y i.° le quarré des
dixaines. Z." Deux fois le produit des dixaines par
les unités , ou , ce qui revient au même , le double -des
dixaines multiplié par les unités. 3.°. Le quarré des
unités. Dans ce résumé , les parties ne sont pas
énoncées tout-à-fait dans le même ordre qu’on les a
trouvées ; mais il est visible que les deux résultat ;
reviennent au même. ,Maintenant venons à Textraction des- racines
quarrées, qui esl le problême inverse du précédent.
. XII. Problême. Trouver la racine quarrée d’un
nombre donné ?Les préceptes généraux-seroient difficiles à entendre
en eux-mêmes ; ils naîtraient fans peine des
opérations que nous allons faire fur des exemples.EXEMPLE I. Extraire la racine quarrée du nombre
3458, ou da plus grand quarré contenu dans ce nom’
bre , s il n’est pas un quarré pars ait ?Le nombre 5458 étant composé de plus de deux
chiffres, fa racine en a nécessairement plus d’un (X. j’ ;
elle a donc des dixaines &dçs unités. Sans connoître
ces dixaihes & ces unités, nous sommes sûrs (XI, ) 
que le quarré contient le quarré des dixaines de la
racine , plus deux fois le produit des dixaines par les
unités, plus le quarré des unités. Or le quarré des
dixaines étant un produit de dixaines par des dixaines
est un nombre de centaines, qui a deux rangs à fa
droite, Ainsi, fi dans se nombre 3458, jefépare, parune pt-tite barre verticale, les deux derniers chiffres
vers 1 la droite, en cette forte : 34I58 ; je serai fur
que le quarré des dixaines de Ia racine esl contenu
dans la partie 34. Et comme céttepartie ri'a que deux
chiffres, j’en trouverai la Quar.sup. 34I58 f 58 racine ;racine, au moins appro- 25 1 _chée en-dessous, à 1 aide ■—- { ^5dé la Table de l’article 058IV. Mettons nos calculs 864en ordre. Après Tacolade 94qui accompagne notre nombre, je tire une barrehorizontale au-dessus de laquelse j’écris les chiffresde la racine, 'à'"mesure que je les trouve.La table citée me fait voir que 34 riesl pas un
quarré parfait, & que le plus grand quarré contenu
dans ce nombre, esl-25, dont la racine esl 5. J’écris
donc 5 à la racine, & le qur.rré 25 sous 34. Lc
chiffre 5 exprime les dixaines de la racine du
nombre total 345.8. Retranchant 25 de 34, reste 9,à
 côté duquel j abaisse la tranche 58 ; ce qui donne
le nombre 95S.Puisque, du.nombre proposé 34.58 , nous avons
retranché le quarré 25 des dixaines de fa racine,
il est clair" que le r ombre restant 958 doit contenir
le double produit des dixaines par les unités
inconnues de Ia racine, plus le quarré des mêmes
unités. Or, de ces deux dernières, parties, Ia preinière,
c’est-à-dire se dpubse produit des dixaines
par les unités, est nécessairement un nombre de'
dixaines. Donc ce nombre est contenu dans les
deux premiers chiffres de la gauche du nombre
95S, c’esl-à-dire dans 95. J’écris sous la barré 10,
.qui est le double des dixaines 5, & j’observe
."qu’en’divisant 95 par 10, on aura évidemment au'
quotient se nombre des unités qu’on cherche. Or
le quotient de 95 divisé par 10 est 9. Mais, avant
que d’écrire ce chiffre à la racine , il faut le soumettre
à Tépreuve. Cette épreuve péutsc faire de la
manière suivante.A côté de 10, écrivez -9 ; vous aurez ainsi le
nombre 109, que vous multiplierez par 9. II 'est
clair que ; par cette multiplication, vous ferez
tont-à-la-fois le quarré des unités , & le double
produit des dixaines par les’unités. Donc, fi le
produit de IC9 par 9 peut être retranché de 958,
le chiffre 9 pourra être écrit à la racine. Or on
trouve que le produit de 109 par 9, esl plus grand
que 958. Donc se chiffre 9 est trop grand. On
éprouvera le chiffre immédiatement inférieur ,8,
en écrivant ce chiffre-à côté de 10, & multipliant
108 par 8 ; se produit est 864, qui peut être
retranché de 958 ; se reste est 94. Ce reste est Texcèsdu
nombre 3458 furie quarré de 5 8.Toutes les fois qu’on trouve ainsi un reste, autre
que zéro, c’est une marque que se nombre proposé
pour en extraire la racine quarrée, n’est pas u a
quarré parfair. •.EXEMPLE. II. Extraire la racine du nombre
3.745945- » ou > s’il n’est pas un-quarté parfaitt du
plus grand quarré qui y est contenu ? .
EX"T EXT 7ii
Quai faj ?1jJ4 !55) l45p935rac.• 274 \zp- 1359 3r9j21045 3&£$-1720" Ayant tout dispose
, comme dans
le premier exemple,
& comme on
le voit ici ; je considère
deux parties
dans la racine inconnue
qu’on- demande
: un nombrede nixames, qui sera exprimé" lui-même par
plus d’tui chiffre, & un nombre d’unités qui esl
toujours exprimé par un seul chiffre. Le quarré
total contiendra donc le quarré des dixaines de la
racine, plus le double produit des dixaines par
les unités, plus le quarré des unités. Partageons
èn différens membres Topération que nous avons
à faire, pour trouver les dixaines & les unités de
cette racine.(I). Comme le quarré des dixaines esl un
riombre de centaines, & qu’il ;i par conséquent
deux places à sa droite, il sera compris dans la
partie 37459, qui est à gauche de la première
barre verticale. Ainsi, pour avoir les dixaines de
la racine du nombre propose 3745945 , il faut
tirer laracine du nombre.37459, en faisant abstraction
de la dernière partie 45.
' ( II ). Le nombre '37459 étant exprimé par plus
de deux chiffres, fa racine a nécessairement des
dixaines & des unités. Or le quarré des dixaines
ayant .deux places à fa droite , fera compris dans
la partie 374 située à gauche de la seconde barre
verticale. Tirons donc la racine de 574, comme
si les chiffres, qui accompagnent ce nombre à
droite, n’existoient pas.(III). Le nombre 374 a encore des dixaines &
ries unités à fa racine, & le quarré des dixaines
esl compris dans le chiffre 3 , situé à gauche de
la troisième barre verticale. La racine de ce nombre
374 se trouve comme dans lé premier exemple.
De 3 ôtant 1, qui eíî le plus grand quarré contenu
dans 3 , reste 2 , à côté duquel j’abaisse la tranche
suivante 74. Je divise 27 par 2 , double des
dixaines ; le quotient est 13 rmais on ne peut pas
mettre plus de 9 à la racine, autrement ori auroit
pu mettre plus de 1 pour le premier chiffre. On "
écrira donc 9 à laracine, & à côté de 2, double
-des dixaines ; ensuite on éprouvera ce chiffre,
•comme il a. été expliqué. Ayant trouvé que 9 n’est
pas trop grand pour être le nombre des unités de
la racine,.ori multipliera à Tordinaire 29 par 9,
& on. soustraira en même-tèms le produit, de 274 ;
le reste est 13.„ (IV). A côté de ce reste, j’abajffe la tranche
suivante 59 ; & regardant 19 comme les dixaines
de la racine de 37459 : de plus, considérant que, par
 Topération précédente-, je viens de retrancher
le quarré de 19 ,~de la partie 374, il est évident
que le reste 1359 contient le double produit des
dixaines 19 par le nombre inconnu des unités, plusquarré des unités. Or le double produit des dixaines
par les unités, a une place à fa droite ; il esl donc
contenu dans 135. Divisant 135 par 38, double
de 19, on aura au quotient les unités qu’on demande.
Ce ouotient esl 5 ; on mettra ce chiffre à la racine,
& à côté de 38 ; on trouvera, par Téprcuve, qu’il
n’est pas trop grand. Ensuite, on multipliera à Tordinaire'383
par 3 ; & on soustraira en même-tems
le produit de 1359 ; le reste esl 210. .( V ). A côté de ce refîe , j’abaisse la dernière
tranche 45. Je regarde 193 comme les dixaines
de la racine du nombre proposé 3745945 ; &
comme, par les opérations précédentes, j ai retranché
se quarré de ces dixaines, dela partie 37459,
il est clair que le reste 21045 contient le double*
produit des dixaines 193 par le riombre inconnu
des unités, plus se quarré des unités. Le premier
de ces deux produits a une place à fa droite ; il
est donc compris dans 2104. Divisant ce nombre
par 386, dpubk de 193, le quotient sera les unités
dé la racine. L’épreuve fait voir qu’on ne peut pas
mettre plus de 5 à ía racine. J’écris donc 5 à la
-racine, & à côté de '386 ; je multiplie "3865 par 5,
tk je soustrais en même-fems le produit de 21045 y
se resteest 1720, excès du nembre proposé 3745945
sur se quarré de 1935.On voit, par ce second exemple, que Textraction
des racines des nombres exprimés par plus de quatre
chiffres, n’a pas d’autres difficultés que celles des
nombres qui n’en ont que trois Ou quatre. Quelque
grand que soit le nombre dont on propose d’extraire
la racine, les chiffres de cette racine se
trouvent successivement par des extractions partielles
qui se font absolument de, la même manière
que fi la racine ne devoit être composée que de
deux chiffres.. XIIL SCIÍOLIE I. Lorsqu’un nombre n’est pas
un quarré parfait, ou qu’il n’a pas de racine exactement
exprimable en nombres - entiers, on peut,'à
laide des parties décimales, déterminer une racine'
qui ne diffère pas de la véritable, d’une unité
décimale de tel ordre qu’on voudra. Pour cela,
on mettra une virgule à la droite du nombre proposé
, & à la suite de cette virgule , deux fois
autant de zéros qu’on voudra avoir de chiffres décimaux
à la racine. Je dis deux fois autant, parce
qu’un nombre, qui contient des parties décimales,
étant multiplié par lui-même , donne un produit
ou un quarré qui contient deux fois autant de
chiffres décimaux qu’il y en a à la racine ( voyez
MULTIPLICATION ). Cette préparation faite, On-,
tirera la racine comme s’il n’y avoit pas de virgule ;
tk quand cette racine fera trouvée, on séparera
vers fa droite un nombre de chiffres décimaux,
égal à la moitié du nombre de zéros qu’on avoit
mis d’abord à la droite du nombre proposé.EXEMPLE. On demande la racine de 57, a moins
d’un millième près ? ,Suivant, les conditions de la question 5 ía raçiEs-, ext ext< " . . ….. o.' ri ..-„:. n„^/« îl Fnnf ninlnnlier numérateur par numé^loitcontenir des millièmes, & par conséquent trois ■
chiffres décimaux. Ainsi, je mets six zéros à la droiteQiur.iup. 57|OOIOO|OCJ7549 racine.
"~8oa litf
7500 *&#
148400 *$%%&
12599 '
de 57, & je me
propose d’extraire
la racine
de 57,000000,
ou èn supprimant
la virgule,
rie 57000000.Je trouve, par
la méthode exposéeci-cseflus, que cette racine esl 7549, & que
Je reste de Topératiop est 12599. Mais la racine
7549 est 1000 fois trop grande, puisqu’elle est
celle d’un nombre ioooood plus grand que 57 ;
il faut donc la rendre 1000 fois plus petite ; ce
qui se fait en y séparant trois chiffres décimaux
par une virgule. Par ce moyen, on aura 7,549 pour
ía racine de 57,approchée à moins d’un millième ;
car on n auroit pas pu ajouter une unité au nombre
7549, fans le rendre trop grand pour être la racine
de 57000000.XIV. SCHOLIE IL Si le nombre dont on propose
de trouver la racine approchée, contenoit
déjà dès chiffres décimaux, on ne mettrait à fa
droite qu’un nofnbre de zéros, suffisant pour avoir
au quarré deux sois autant de chiffres décimaux,
qu’on veut en avoir à laracine. Ainsi, par exemple,.
s’il s’agit d’extraire la racine de 57,3 , à moins d’un
millième près, on ne mettra que, cinq zéros à la
droite de ce nombre : ensuite ón tirera la racine
rie 57300000 ; &, après Tavoir trouvée, on y
séparera trois Chiffres décimaux vers la droite.
Toutes ces opérations donnent 7,569 pour la racine
approchée de 57,3. ' .:.'-…Dans tous les cas, se nombre des chiffres décimaux
du quarré vrai ou supposé, doit être pair, &
riouble de celui de la racine,XV. SCJIOLIE III. En suivant cë principe, on
trouve avec la même facilité, la racine des nombres
qui ne contiennent que des parties décimales. Tels
font les nombres , 0,457 ; 0,03345. Si on veut
avoir la racine du premier, à moins d’un millième
prés, on Técrira ainsi, 0,457000 ; & on tirera la
racine., comme si le nombre étoit 457000. La
racine approchée de. ce dernier nombre est 676 ;
& par conséquent 0,676 est, à moins d’un millième
près, la racine du nombre donné 0,457. De
même, pour avoir la racinede 0,03345 , à moins
d’un dix-millième près, on écrira ce nombre ainsi
0,03345-000 ; & on opérera comme si le nombre
étoit 5345000. La racine approchée de ce dernier
nombre' est 1,828 ; & par-conséquent laracine du
nombre proposé 0P3345, est 0,1828 , à moins
d’un dÌR-miÌIîèmfi près,ExtraSion des Racines quarrées desf radions.XVI.- Pour multiplier .une fraction, par* uneautre, il faut multiplier numérateur par numérateur,
& dénominateur par dénominateur. 
est-J- ….
Voyez
FRACTION. Par conséquent le quarré d’une fraction,
ou le produit de cette fraction multipliée
par elle-même, est une fraction qui a pour numérateur
le quarré du numérateur de la fraction pro*
posée, & pour dénominateur le quarré du dénominateur
de la même fraction. Donc réciproquement,
pour avoir Ia racine quarrée d’une fraction,
il faut tirer la racine du numérateur & celle du
dénominateur, & faire une fraction qui ait pour
numérateur la première racine , & pour dénominateur
Ia seconde. Ainsi, par exemple, laracine
de la fraction A est f ; la racine de la fraction ^XVÍI. II peut arriver que íe dénominateur soit
ou ne soit pas un quarré parfait ; ce.qui fait deux
cas. Nous ne faisons pas de division relativement
au numérateur, parce que Tespèce de la fraction
est déterminée par le dénominateur, & qu’il est à
propos de régler ses unités de la fraction-racine
fur celles de là fraction-quarrée. Examinons séparément
les deux cas proposés.XVIII. (I. CAS.) Tirer la racine quarrée d’une
fraSiòrt, lorsque le dénominateur est un quarré
parfait ?Tirez la racine du numérateur, ou du plus grand
quarré qui y est contenu, & celle du dénominateur:
la fraction qui aura pour termes ces deux racines,
sera ou la racine exacte demandée, ou rien dis »
férera pas d’une unité fractionnaire de même dénomination
qu’elle. Soit, par exemple, la fraction
f|, dont le dénominateur est Un quarré parfait,
óf dont le numérateur n’en est pas un. Je prends
la racine 6 de 36, qui est le plus grand quarré
contenu dans le-numérateur 43 „ & la racine exacte
8 du dénominateur 64 ; & je forrae la fraction f t
qui ne.diffère pas de |- de la vraie racine def| ;
car, fi à -f on ajoutoit -}, on auroit.J’, dont le
quarré f| surpasse la fraction |4.On peut approcher, aussi près qu’on voudra ,
dé la vraie racine du. numérateur, par le moyen
des parties décimales. Ainsi,- tirant la racine quarrée
de43, à moins d’un millième près, on aura-^~ pour la racine approchée de ||. Si on- veutavoir seulement une fraction décimale à la racine,
on divisera le nùiriérateur par le dénominateur,
& on. trouvera 0,813, pour cette racine,XIX. ( II. CAS. ) Tirer la racine quarrée d’une
fraSion.i lorsque le de.norninat.eur n’est pas un quarré
parfait ? " . -Multipliez le numérateur tk le dénominateur de
la fraction", par le dénominateur : vous, changerez
cette fraction en une autre de même valeur, &,
dont le_ dénominateur est. un quarté parfait, ce
qui revient au premier cas. Ainsi., vous opérerez,
fur la nouvelle fraction, comme on vient de Texplîquer.
Soit,, par exemple, la fraction^ donton dç/nandeExt ext 71$tìin demande la. racine. Je multiplie lé numérateur
fk le dénominateur, par le dénominateur.íI ;
ce qui donrie -^, dont ■— est la racine à moins
dcrr près.En employant T approximation des parties décimales
, & la pouffant jusqu’aux millièmes, on
trouve que la racine approchée de 55, est 7,416.
Ainsi, Ja racine de la fraction ^ ou ■£&, está£í ou 0,674. - ' .XXi SCHOLIE I. Les racines des nombres composés
d’entiers & de fractions, se trouvent en
réduisant ces nombres tout-à-fait en fractions. Par
exemple, soit le nombre 65 £}-, qui est composé
de Tentier 65 & de la fraction $. Je réduis l’en-,
tier en une fraction qui ait 47 pour dénominateur ;
ce qui se fait en multipliant 65 par 47, faisant
une fraction qui ait ce produit pour numéra^
teur, & 47 pour dénominateur. Cette fraction est
^1^- ; en sorte que le nombre proposé 65 ||- est
la méme chose que-5-f^ plus |i, ou ±~. La question
est donc réduite à tirer la racine de là fraction
2|f^ ; extraction qui se fait par l’article précédent.XXI. -SCHOLIE II. Quelquefois, lorsqu’un
nombre entier nsest pâs’un quarré parfait, on veut
du moins déterminer fa racine, à moins d’une
unité fractionnaire d’une espèce donnée. Je m’explique
par un.êxémple. Soit le nombre 3, qui
n’est pas un quarré 'parfait, & dont.on demande
la racine, à- moins de-^ près. Cette question se
résout par l’article "XVIII. Je convertis le nombre
-3 en une fraction" qui ait lë quarré dé 15 pour
dénominateur ; cest-à-dirè, qu’après avoir multiplié
15 par 15, cé qui donne 225, je réduis 3
en une fraction qui âit 225 pour dénominateur.
Cètte fraction est f|f. J’en tire la racine approchée,
& je trouve la fraction ff , qui est moindre
que la vraie racine, mais qui n’en diffère pas
de -r,. La fraction f-f est un peu plus grande que
la vraie racine, mais en approche beaucoup plus
que fr•
XXI. SCHOLIE. III. II n’y a point de rhéthode
aussi simple & aussi Commode pour approcher de
la racine d’une fraction dont les termes ne font
pas des quarrés parfaits, que d’employer les parties
décimales. Cette approximation peut être faite un
peu autrement que nous ne lavons prescrit(XVIII
& XIX). Voici ce nouveau moyen, lequel comprend’
tout-à-la fois les -deux cás.La fraction n’étant pas un quarré parfait, par
îè défaut de l’un de ses terìnês óu de tous les
deux , commencez par diviser le numérateur par
îe dénoiriinateur, & pouffez la division en parties
décimales, jusqu’à ce que vous ayez au quotient
deux -fois autant de chiffres décimaux, que vous
voulez en avoir à la racine. Ensuite tirez la racine
de, ce quotient, comme s’il n’avoit pas de chiffres
riécimaux ; & quand vous Taùrez trouvée, séparez
Ters la 'droite pair- une virgule , un moiribre ' de
chiffres -décimauxy égal à ;la moitié de celui-daMaihéxiaùquesj Tome í, IL’Perti$iquotient qui exprime la valeur de là fraction proposée ;
Ainsi, ayant la fraction },-dont ori veut
exprimer la racine approchée avec trois décimales,
je divise 5 par <>', avec six décimales, ç'est-à-dire,
que je convertis 5 en 5,000000 ; le quotient de ce
nombre divisé par 9, est 0,555555, dont la racine
approchée est .0,745. L .'-'"■'ExtraSion de la Racine, cube. '_ ~ ■ '.
XXII. Extraire la racine cube d’un nombre, c esttrouver
un nombre qui, multiplié-par son quarré, pro-x
duise, ou lé nombremême dont ori proposéd’éxtraire
Ia racine, ou le plus grand cube qui y est contenu.XXIII. La racine cube des nombres qui ne sont
pas exprimés par plus de trois chiffres, se trouve
par le moyen de la table de l’article IV. Ii ne
s’agit ici que Y extraSion de la racine cube der
noínbres exprimés par plusrle trois chiffres.
-XXIV- Tout nombre exprimé par plus de trois ;
chiffres, en a nécessairement plus d’un à fa racine
cube. Car 1000, "qui est le plus petit des nombres
exprimés par plus de trois chiffres, a pour.racine
cube, 10, qui est exprimé par deux chiffres. Donc,
en général ,"la racine cube de tout nombre exprimé
par plus dé-trois chiffres-, peut "être regardée
comme composée de dixaines & d’unités.
- - XXV- Nous avons vu (XI) que le quarré d’un’
nombre composé de dixaines & d’unités , contient
le quarré des dixaines, plus le double produit
des dixaines par les-unités, plus le quarré
des unités. Ainsi, pour former le cube dn même
nombre, il faut multiplier chacune des trois parties
dont nous venons de parler, par les dixaines
& par les unités ; ce qui donnera évidemment ses
six produitssuivans : .-". !". ír.-° .Le quarré des dixaines multiplié, par les
dixaines, ou le cube des dixaines.z." Le double produit des dixaines & des unités j
par les dixaines ; ou le double produit du quarré
des dixaines, par les unités, - . - ; :t." Le quarré des unités par lès ; dixaines.
4.° 'Le quarré des dixaines par ses:unités ; ."
" c.°Le double produit des dixaines & dès unités,
par les unités ; -ou le double produitdu quarré des
unités, par les dixaines.y6." Le quarré des unités, par les unités ; ou le
cube des unités.Rassemblons toutes ces parties du cube, & ne
faisons qu’-urie mêiiie somme de celles de même
espèce:,nous verrons que le cube .d’un nombre
 ; coráposé de dixaines &d’unités, contient fe cube
des dixaines ; plus trois, fois le quarré des dixaines■',
' multiplié par les unités ; plus trois f ois le quarré des
unités, multiplié par les dixaines ; plus le cube des
unités. " Par exemple, se cube de 24 est composé
des parties qu’on voit ici,8.-v Cubedesdixain.es.
t^.. triple duquaric des dixaines,parles uní^,
sá. triple du quarré dés unités, par les dix^i __
:. ' . 64. cube des unités. '■-■ ;'■ SÒKÛneis8z4 cu6e-'d€"zV -Ext - htLa première partie du cube exprime des mille,
& a trois places à fa droite ; la seconde, des centaines,
& a deux places ; la rroisieme,des dixaines,
& a une place ; la quatrième, des umtés, &ne laille
point de place à fa droite. II est clair que, par
par cette manière de former le cube, pn ne fait
que développer'lè calcul par lequel pn auroit
trouvé le nombre-13824 , en multipliant à 1 ordinaire
24 par 24, & ensuite le produit.résultant,
par -24. ' '..' :. . .'.' ■'.''. ' ' ….XXVI. VKO-Bhhl-Es’Extrdirè là racine cubé d’un
nombre ou du plus grand- cubé qui y est contenu,
fi ce nombre n’est pas un cube parfait ?-, 'J’opère sur des exemples pour.plus de clarté.EXEMPLE I. Extraire la racine cube de 34567,
ou au plus grand cube contenu dans ce nombre ?Lenombre34567cubesuPpoíej4l5(í7s3^. cubeétant composé de Xj j^plus de trois chiffres, '. _  ! ' - ' ' •fa racine cube en a 7567 ',-nécessairement plus „-7($gd’un (XXIV)  ; elle a _. :_L_ _…,donc des dixaines &-' .:: ; j’^pcj
des unités :& se. nom-• ':' : ,.'].'. !'.'.' ..'*■'.'
bre proposé contient se cube dés dixaines jíé la
racine ; plus troïsfois le quarié''dèsrdixàines-, multiplié
par les unités ; plus trois sois lë quarré'des
unités, multiplié par lès dixaines y plus enfinle
cube des unités. Pour avoir la partie du nombre
qui contient le cube des dixaines de laracine, je ■
sépare, par une petîfebarre verticale, les trois derniers
chiffrés, & je vois que"le cube des dixaines
est contenu dâns 34. ' ■■■-'' ."■/■ ■ ] ■■Cela pesé., suivant la tablé de l’article I V, se
plus’ grand cubé'contenu dans 34 est 27, dont laracine
euhe est 3 , que j’écris après lé crochet, &
au-dessus de la baffe qui répond au milieu de ce
crocheri Retranchant se cube 27 de 34, il reste 7.A côté de 7, j’abaisse la tranche 567, & j’ai lè
nombre 7567, sequel doit’contenir le triple du
quarré des dixaines 3 qubnoùs Venons de trouver,
multiplié par ses unités que nous cherchons ; plus
ie triple de cés mêmes dixaines, multiplié par le
quarré des unités ; plus le cube des unités. Or lè
triple du quarré des dixaines y multiplié par les
unités, doit avoir deux places a fa droite ; ce produit
est donc contenu dans 75. Ainsi, pour avoir
les unités, je divise 75 par 27, triple'du quarré' ':
des dixaines ; il vient au quotient. 2, que j ?ëcrìs '
à lá fuite des dixaines 3, La racine cube du
nombre proposé, ou du moins du plus grand’ cube,
contenu dans ce nombre, est "donc 32, supposé
que le chiffre 2, écrit à la racine, ne soit pas trop
grand.Pour éprouver ce chiffre, je fais à part les trois,
produits^ qui doivent se trouver dans le nombre
7567, c’est,à-dire le triple, du quarré dés dixaines
3 par les unités 2, qui est-. 5400 ; se triple du
xjuarré des unités par les dixaines,"qui ;est "3-60" yenfin le cube des unités y qui est 8. J’ajoute enlemme
Ces trois produits ; & comme leur somme 5768 est
moindre que 7567, je conclus que le chiffré" 2 est’
bon ; & en retranchant 5768 dé75Ó7',. je vois que
le nombre proposé 34567 surpasse le cube de 32.,
de 1799. ■-,.-' . .' Lorsqu’on a eu,trouvé,la racirie 32, on auroit
pu la': cuber ; &. en. retranchant son cube 3 2768,
de 34567, on áuroif trouvé" également le reste 1799.
Maisil y a un petit avantage, dans là pratique, à
faire à."part les ; trois produits dont nous/avons
parlé. On voit, par leur môyen^, fans beaucoup
de tentatives, si le chiffre des. unités de la racine ,.,
tel que la division le donne-, n’est pas trop grandEn
cas qu’il le fût, on le diminuerait d’une unité,
jusqu’à ce qu’on en trouvât un qui fût convenableEXEMPLE
11. Extraire la racine cube du nombre
948975S4, ou du plus grand cube qui y est con.jtenu, ?'"■-."'■ L’opération CubefuEposé94Ì^5) 7]5^4-s45^rac. cube.
est- indiquée 64 1^g ;ici ; exposons- , "TôsWèn.leprocédé,,, ^ .-. . ^ 0eS ?/--par parties.-.. ………- ■ ;. .,. -,,.- . ..'. ;-■- '"'--n-\" ' ■■377ï5"84'.-'i ---'.':■ .' …….' ;  ; 3Ó93816.V.' 1. ■":"'"■•: :'.'-… 7876F ' Z ; '(I). Le nombre 94897584 étant exprifné par
plus de trois chiffres, fa racirie cube eri a plusd’un,
& coritient par conséquent les dixaines quipeuvent
ellés-mêihes ' être exprimées, par plus d’unchiffre,
& des unités qui sont toujours exprimées
par un seul chiffre. Séparons, paf une petite barreVerticale,
les trois derniers chiffres vers la droitey,
& nous serons-sûrs que íe cube des dixaines dela
racine est contenu daris le nombre 94897, qui
reste à gauche. J’opère fur ce nombre, comme's’il’
existoit seul, & je fais abstraction, pour un moment,,
de la tranche 584." -' (II)  ;. Comme se' nombre 94897 ; est encore
exprimé'par plus.de trois chiffres, fa racine en a
plus d’un, & contient des dixaines &.des unités ».
Séj>arons vers la droite les trois derniers chiffres ;
il nous restera à gauche le nombre 94, qui Contient
lè cube des dixaines de la racirie du nombre
partiel 94897. On continuerait le mème partage
en tranches de trois chiffres, en allant toujours de
droite à gauche, fi le nombre dont on propose d’extraire
íaracinescube, avoit un plus grand nombre de>,
caractères. ; Suivant Ià: table, de l’article IV, le plus grand ;
cube contenu dans se nombre 94. est 64, dont la.
racirie cube est 4, que j’écris à la: droite du crochet.
Je retranche lé cube 64, de 94 ; & à côté
du reste 30, j abaissé làtranche 897. Par-là, j’ai
le nombre 30897, lequel doit contenir le triple du
quarré-des dixaines 4,multiplié par les 1 unités
inconnues ; plus le. triple, du quarré-désunîtes, par
EX T- …, EXT - 71Ç"
ses dixaines ; plus le cube des unités. ; Le prefniçr
-de ces trois produits doit/avoir deux, rangs de
"chiffres, à fa droite, & se trouve paf conséquent
-daris le riombre 308. Aìnsi,'póur avoir lës  ;uriitès
■sde'lâ" racine cube du nombre "94897, je divise
-308 par 48, triple. du_ quarré dés’dixaines 4 ; le
■quotient est é.Mais, en faisant les trois produits
que je viens d’indiquer, je trouve que leur somme ;
surpasse 30897. D’où je conclus que le chiffrée
est trop grand pour pouvoir être mis .à là racirie.
J’éprouve le nombre 5, & je vois qu’il est bon ;
car lé triple du quarré des dixaines par 5 est 24000 ;
le triple du quarré des unités, par les dixaines,est
3000 ; le cube des unités est 125 ; la somme de
ces trois nombres est 27125, qui est moindre que
30897. Je retranché, 27x25-,''de 30897 ; il reste3772. D’où il soit que se ; nombre'94897 surpassé
ie cube de 45, de 3772/-" .: î J .'i:.  ;j•( í 11 ). Maintenarit. ;jé ; reprends’'la: dernière tranche
 584^ qu’on avoit d’atò'rd’mise-à Téfcart ; >.
je Tabaisse.à côté rie 3772,: & j’ai le nombre
3772584. En considérant 45 comme les ;dixaines
de Ia racine du nombre total 94897584, lè nombre :
3772584'doit .conteriir.se triplerdu-quarré dé eès ■
dixaines, par, ses .unités qu’on cherche ; plus le :
triplé du quarré dés unités, parïèsf riijêmés dixaines ;
plus enfin le cube des unités. Le premier pródriít-rioit
 avoir deux rangs de chiffre.s à sa droite ; il esl ■
donc contenu dans 37725. Divisant oe noriibré par
6075, triple du quarré. des dixaines 45, il viendra
au quotient 6. Je fais le produit de 6075 par 6,
•mu est 3645000 ; plus le produit dé 45, "par 108,
triple du, quarré de 6, qui est 48606 ; enfin se
•çubë-de 6., qui est 216. J’ajoute eòsenibleces trois
noiribres ; ía somme est 3693816,' qui, étarit retràn-cliée
rie 3772584, donne 707,68 pour reste. ; Lopération
est achevée. Oir voit que 456 est la racine
du plus, grand cube contenu dans le nombre
54897584, & que ce mêfne riombre surpasse le cube
rie 456, 00,78768.'. .••'.',..XXVII. ièckoLiE ; I. .Lorsqu’un, riombre n’est
pas un cube, parfait, & qu’on veut, approcher dé
ía racine cubé'paf le rfiòyén des’-'-parties -décimales,
il faut mettre .à fa droite une virgule, &
âprè's la virgule "trais fois autant de zérosy qu’on
,veut_avoir dé chiffres décimaux à ía racine ; tirer
ensuite là racine cubé có'rhmé s’il n y áv'oif pas de
-virgule ; &, quand elle est trouvée, y séparer vers
lá droite,:par une-virgule", ún riombfé de chiffres
dëciiriauxy égal au ' fiefs du hoiiibré des -zéros-qui
accompagnent la virgule dans -le cubé. II y"a donc
ainsi trois.fois-plus de parties 1 décimales au> cubé
qu’à la racine cube ; En effet,-se cubé daíri nombre
qui.contient des dixièmes, á trois-figures ; décî•inalesy
puisque les trois facteurs de cë-cûbe o'nf
chacun -une figuré décimale, ; lé cube díuri-nòmhrë.
qui eo'títièrit’rièûx' -figurés- dëctmálës’:,-dois-avoir
six chiffrés dácímâuxy puifqué ìhaque" facseur dé
ce cubé' a 'déuxr"sigufès ; dScirriales ; ainsi: de fuite.
EXÈMPLÏ ;-.^Extraire >l’airrdcfné cube- de -57y qui.n’est pas un cube parfait, &. fáiïé enjhrté qu’elle né
■diffère.■pas’ de'-la vraie ràcihçí'd’uh'rhilUème ?'- '■'■ >
'■. 'Puisque laracine cube tliércnëé :dó'it’ contenir
des-rnillièriies, &parseòri'séqùeritvf-ròis !ffgu,'rés décimales,
lé cube doit avoir riéuf figurés déciriíalès".
'Ainsi, au lieu de 57, j’écris ;57,croòóòodó0,- qui
est au fond la même chose. Ensoité , supprírnarit
la virgule, j’éxtráis ; 'pari les . règlèî'prëcéí-dèrifes,
la racine- cube -áu-ftorfibre 57'o2Crtooçooy
elle est ify'ìfja: moins’ d’ùriç unité pr&ï.-Mais’,
:COnin-K ;57coóGóocoëestT’ooôoòbc »o'foisp'lrifgra
que 57,'lë riombre 3848 èst ;ïooo.foiè ;plu's !|rarid.
que la "racine cubé de 57. II faut donc-fe reridrè
1000 fois plqs petit ; c’est Ce qu’on ferg en écrivant
.3,848,.qui ne, diffère pas de la racine cube de 57,
d’un millième.' 'í'-"' ," ■'" ."''"''..'' -"  ;  ; ', '"' .''""*
7 ;'X^Ytìív%àóM^'ít ;SÍ' ;.se :npri^ritòt^oìjt
pfòpose'dé'trouver la racine cube ap'j^fBéffié,-cdn^
tenoit déjà, des cHiffres,'dtóífri ?iix, .oriyné metfròît
â fa' droite' qu’un "ndmbré de'zéros, suffisant pbur
avoir "au cube"írois foís áufàrit de' chiffres décimaux,
qu’on veut en avoir à la racine. Ainsi, s’il
s’agit ; par ëxèinjbse ; d’extraire - la racinelGribe de
"57>3i ímolris,^up ;.-nÎHÌi.èm’ë: près ; oirne mettra
que^húit zé ?ó.3-a ía suife-dece' riofnbré'.'íErisuite
.òri-riirerá'.lárrâcíìse "eub'e'riè 573í>oôofioco'5':eUe
>ést 'f85js ;arnioiri^:d ?úne' unité prês’ ;;S’ép'arantrfoïs
chiffres ;.vers Ia dtoífepárJùnê':Vjfgulé^"ori:àura,à
moins d’uri millième, près, 3,855 pour -la racine
cube du riombre propose 57,3.- "' -XXIX. SCHOLIE III. S’il falloit extraire la
racine ; cubé d’un riombre reL que 0^045, qríi ne
contiens- que' ries.': parties décimales-, '•&- qu’on
démàndâf cëfte'raeiriéí 1 moins d ?uri 'centième près j
on mettroit trojs ?éros à la- fuite'riúnOiiibre pro-^
pose 1 ; &'.òn cò'mrríénçëróit pártifèrìa'râcinecube
de 45G00 ; ell’e-'eïl-jjy-'rà'-inóîris- dríne-unité près ;
Séparant, dans ce noiribre 35 deux chiffres vers ía- droite 
riombre proposé 0,045. -
paf ; une virgule, on aura y à -moins d’un
centièriié près, 0,35, pour la racine cube dii...ExtraSion des-racines cubes des. fraSion’s.'■ - XXX. II fuit dés principes fur:1a multiplication
&'la nature des fractions, que se cube d’une fraction
est égal au cube du numérateur, divisé par le
cube du dénominateur. Donc réciproquement la
racirie cube d’une fraction est la racine cube du
numérateur ; divisée par.''la" racine cuber du
dénominateur. Par exérripley la racine CiiÍJé de|£
effl ; cëlle dé^ ests. ■ y -' -:-.:■'.-*
XXXI.-"A Tunifátion rië c’è que"- nouj âvotis-dit
.'.XVII ) au sujet’ dé la racine quarrée-des’.fractions,
distingubtas de mêm’e .déúx^câ's" pour: leí
racines cubes des fractions ; Tun’óù ie dénomma^
réúrést’un cubé parfait ; l’autre óù il n’en est pas un.
.■: XXXII..( í.- ÇAS ;) ,Tirer la racine cube - d’une
frâSiòn’-j lorsque le'dénominateur est un cube parfait ?
" ' IT’fa'ut tirer Iâ.'racirie cubé exàcté ou approchée
du nutfiérateur", >&-cé'.k du dénominateur. LaXxxxij
■EXT EXT
fraction qui aura pour numérateur Ia première
racine, & pour dénominateur la seconde, sera Ia
■racine demandée. Soit, par exemple, la fraction
,if|, dont il, s’agit d’extraire la racine cube. Je
prends la racine 7 de 343, qui est le plus grand
cnbecontenu dans.le numérateur 458, &là racine
exacte 8.du dénominateur 512 ; je forme Ia fraclion
J, qui n’est pas la racine exacte de~f|,mais
qui n’en diffère pas de f, c’est-á-dire d’une unité
fractionnaire de même dénomination qu’elle. .
• Òn peut approcher aussi près qu’on voudra de
la vraie racine du numérateur", par le moj’en ries
parties décimales. Ainsi, tirant la" racine cube de458, à moins d’un millième près, on aura-^j—pour ìa racirie approchée de |f|% Si on ne veut
avoir qu’une fraction décimale à la racine, ori divî- ,
fera le numérateur 7,708 par 8, & ori aura 0,963
pour lá racine approchée.XXXIII. (II. CAS.) Tirer la'racine cube',
d’une fradion, lorsque le dénominateur n’est pas un :
cube parfait ? … ,'.'''Multipliez le numérateur & le, dénominateur, ;
par: le quarré du dénominateur y vous ne ; chan- ; ,
gérez ; pas la valeur de ; la fraction ;, & 'Vous ;
« n ; aurez une autre dont le dénqrninateuryesl^un '
cube parfait ; ce qui revient au cas précédent. .Soitç~- '
par exemple, la fraction f dont on dèniande la
racine cube, & dont le dénominateur nest pas un
cube parfait. Je multiplie numérateur &." dénominateur
par 81, quarré de 9 ; & j’ai la fraction iji. .
Prenant la racine cube approchée 7 du numéraleur,
& lá racine cube exacte 9 ;du dénominateur, í
je formei la fraction j, qui ne diffère pas de 5 de la
- vraie racine cube de £■. y r. -{.-.. On approchera davantage,"ff l’on veuf, de la c
yraie racine, eh employant les parties décimales, \
comme dans le cas précédent. . jXXXIV. SCHOLIE I. Si òtì proposoit d’extraire ;
la racine cube d’un nombre composé d’un entier '
& d’une fraction, on commencerait par réduire
Tcntier en une fraction de même dénominateur ^
que celle dont il est accompagné ( voyez FRAC- C
TION )  ; ensuite, après avoir ajouré ensemble ces
deux fractions, on tirerait la racine cube, de la *
somme , comme on vient de Texpliquer. Par ' t
exemple, qu’il s’agisse de tirer la racine cube du 1
nombre 4 f- : je réduis Tentier 4 en une fraction :
qui ait 9 pour dénominateur. Par ce moyen, le
nombre 4 f devient ^ plus f-, c’est-à-dire i-C La Û
question est donc réduite à tirer la racine* cube f
dejr ; ce qui se rapporte à l’article précédent. aXXXV. SCHOLIE II. Quand un nombre entier a
n’csl pas un cube parfait, tk qu’on veut avoir, fa c
racine cube à moins d’une unité fractionnaire don- . v
née près, il faut convertir cenombre'en une frac- a
tion qui ait pour dénominateur le cube du nombre
qui est le dénominateur de Tunité fractionnaire e:
donnée. Par ce moyen, Topération esl réduite au
premier cas. Soit, par exempte, se nombre 3, qui 4: n’est pas un cube parfair, tk. dont on veut avou
a la racine cube, à moins de Trprês ; Ie convertis-î1 en une fraction qui, ait Ie cube de ,15 pour déno3
minateur. Cette fraction esl-^ 5 y dont la racine
í approchée esl rf- ou \, qui ne diffère pas de -^, de2 la vraie racine de 3.
XXXVI. SCHOLIE III. Nous avons indiqué ; (XXXII & .XXXIII ) ìe moyen d’approcher, en
l ■ parties décimales, de lá racine cube des fractions
dont les deux termes ne sont pas des cubes "parfaits.
: Voici une autre manière, plus simple dans lapra:
tique, pour parvenir, au ìriême but.  ; ,Divisez se numérateur par ledénominateur, &pouffez Topération,. enparties décimales, jusqu’àce que vous ayez au quotient trois fois autant dechiffres décimaux,que vòus voulez en avoir à la1 racine. Tirezlá racine cubé de ce quotient,, commeVil n’avoit pas" dé parties décimales ; & quand yotis ! Taurez- trouvée,,,séparez.- y. .vers, la droite uni' riombre de chiffres décimaux,, égal, -au tiers de ! éelui des chiffres’dëcirriáuxdri cubé. Ainsi, par ; exemple, ayant la-fraction. £. dont on demande ì'a■ racine cube avec trois figures décimales, je I'écris: ainsi i>°°°°°°°°3.. & gn effectuant la division:, elfe: devient 6,555555555, dont la racine tube appr'ócriée
 est.0,822. , " -■■.'.-ExtraSion des racines dés quantités algébriques.'1XXXVIL" Les puissances d’une quantité algébrique
se forment comme celles d’un nombre,, en
multipliant cette quantité un xértain riombre de
fois par elle-même { Voyez MULTIPLIC’ÁTIOÏÎ ).
Ainsi, 1e quarré de -f- zz , c est-à-dire -f a X .+ a
est -f-^zz a,r celui de—zz, csest-r.-dire — zz X ~ î
est auffv-L da.~ Le cube de -fYzz est -f 115 zz' ;
le cube de---5 zz est— 125 zz'. La quatrième puiffance
de. -f-2zz est -f 16 a* ; celle de — 2à est
aussi -J- 16zz 4. '■..,.'Les puissances des fractions-se forment én élevant
numérateur & dénominateur au quarré- au
cube, &ç. Ainsi, le quarré de la fraction -f- -est -f ^ ; celui de la fraction — | est aussi -£fr 5 le cube de la fraction 4- .i2 est + J !íL t
ainsi des autres.XXXVIU. Qu’on ait un binomé , tel que
a-\-b, a élever à une puissançe:quelconque. On
formera le quarré :, en multipliant zz'-j- b par
a -h'h le cube, en multipliant íe quarré y par
t -f b ; la quatrième puissance, en multipliant le
cube par a-\-b ; ainsi de fuite. Par-là, on trouvera
, toutes réductions faites ^ que le quarré ; de
<J -f b est a1 +Zab -J-F ; que k cube est a-}
~k ïa* b -f 5 a- P + *' ; que la quatrième.puissance
est zz*-j-4zzî& -f ózz^^-^-^zzi' +b\, JStci.-.- "..- ;
. XXXIX- Les.puissances des trinômes. des.qua*.
fàn°msf .&c9.se sonnent parle^ mêmes moyens »

EXT EXT . ■ 77.
Soit, par-exemple, le trinôme a-f 6-f-c. JeÍirends une quantité fimple d, pour représenter la
òmme -f- b -f- c des deux derniers termes de ce
trinôme ; c’est-à-dire, que je fais -\-b -j-c = d:
alors la question est de former les puissances du
binome zz -J- d. Quand ces puissances auront été
trouvées, comme onvient de Texpliquer, on substituera
à la placé des puissances rie d, les puissances
pareilles du binome -(- b -j- c.De même, s’il s’agissoit de former les puissances
du quadrinome a -j- b -f- c -\- d, on supposerait
-£b -f- c -\-d=ze ; tk après avoir formé les pujsíances
du binôme zz -j- e, on substituerait à la place
des puissances de e, les puissances semblables du
trinôme -f- b -f- c -J- d, qui se trouvent, comme on
vient de voir.On réduira toujours ainsi lá formation des puissancesd’un
 polynôme qui a un nombre quelconque
de termes, à la formation des ' puissances d un
polynôme qui a un terme de moins. Et," en
allant de proche en proche, le^problême ne consistera
jamais qu’à élever un binomeà une puissance
proposée.II en est des fractions qui ont des termes complexes
, comme des fractions simples ; leurs puissances
se forment en élevant numérateur & dénominateur,
an quarré, au cube^ à la quatrièmepuis-"sance,
 &ct Ainsi, par exemple, le quarré de la fraction ,i + i „ a1 -}- z a b •+- i1■ est —2 777-J-.3 71 4.7T72 4- Ï2 77177 4- » 77* "XL » RSMARQVE. Si on demandoit les puissances,
du binôme — a — b,..dont les deux termes sont
négatifs ; tous les termes des puissances paires
auroient Ie signe -f-, parce que — X-^donne-{- ;.
& tous les termes des puissances impaires auroient
le signe —, parce que -f- X — donne —. Ainsi,
le quarré de—zz — b est aa + z ab-\-bb ; & le
. cuberie—zz — beû—a> — 3 zz 1 í> — \ab%—6**Si on demandoit les puissances du binôme zz—b >
dont les deux termes ont des signes différens : alors,
pour toutes les puissances paires ou impaires, tous "
les termes où b.auroit des exposans pairs scroient
positifs, & ceux où b auroit ries exposans impairs
seraient négatifs. Ainsi, le quarré de zz— b eô
aa-~ zab -f-66 ; le cube de a—í est a ?—jzzxt
.+ 3ZZÍ1— bK

On étendra facilement Tusage de cette remarque
aux trinômes, aux quadrinomes, &c. .

XLI. L’extraSion des racines, qui est le'proiblême
inverse de la formation des puissances y n’a
aucune difficulté pour les: monômes. Çar Topération
se réduit à tirer d’abord, conformément aux
règles pour la multiplication des signes, la racine
iiuménque du coefficient, s’il y en a un différent
.de Tunité ; & à prendre ensuite la moitié y le tiers,
le quart, Ia cinquième partie, &c , des exposons
dés lettres qui composent une quantité monôme,
selon qu’on veut tirerla racine quarrée , ou la
racine cubey ou la racine quatrième, ou la racine
tìnqwènje, (/ci: A.insi , la racine quarrée de-j^a ?-
est ±1 a. La racine quatrième de -J- 16 zz 4 eft±2zz ;
la racine cinquième de -f 32<z5/>l° est-{-.2 ai 1.La racine quarrée de la fraction -j- ^ est~ b~-'Je passe à Y extraSion des racines des polynômes,'
qui est un peu plus difficile.  ;X L 11. PROBLÊME. Extraire la racine qúarreed’un
polynôme entier ou fraaionnaire ?La queslion se .réduit, dans tous les cas, á
savoir tirer la racine quarrée d’un polynôme entier,
puisque la racine quarrée d’une fraction est la
racine quarrée du numérateur , divisée par la
racine quarrée du dénominateur. On’ résoudra
généralement cette question, en procédant coirime
dans les exemples suivans.EXEMPLE I. Extraire la racine quarrée du polynôme
40 ?—40b -j-bz ? - -•J’ordonne ce polynôme par rapport à Ia settre zz>
& je le dispose comfne on voit ici:■■■- Cela posé , i.° la racine du premier termé 42*
éstrfc2zz. Je me contente ,.pour simplifier Topé »
ration, d’écrire Cette racine'avec .le signe supérieursous-entendu.
 Je quatre 2a, & j’écris I&
quarré, avec un signe contraire, fous se premier
terme de la quantité proposËe, pour pouvoir faire
la réduction. Cette réduction faite, iTreste-4--4íz&+ *% "."•■'•-' '" -2." Je double la racine 2zz, çe qui .me donna4a, quantité par ; laquelle je divise le premier
terme—aab du reste précédent ; il vient au quotient
— !• b, que j’écris à la fuite du premier terme
2zz de la racine. Je fais le produit de 4 a par— b,
& Ie quarré de — 5 ; j’écris la somme de ces deux
produits, avec des lignes contraires, fous Ie premier
reste— 4ab-j-br. La réduction faite, il rie
resté rien. D’où je conclus que 2 a - b est laracine
exacte du polynôme proposé.On voit qu’au ljeu de z a—b, on pourrait
prendre également pour racine, —za-\-b , qui a
des signes contraires à ceux -de la première.EXEMPLE 11- Extraire la racine du polynôme
,9a 1 — izab — Gac-Z- 4í>c-{-46*-4-c% qui est:
ordonné par rapport à la lett~ a ? 'Je dispose les quantités, & j’opère fur elíes3
comme tì « st exprimé içi*
71* ext ext .- i.° Je tire laracine du premier terme 5 zz !; eîle
« st dr^zz, mais je ne prends que le signe supérieur.
J’écris le quarré de cette racine, avec un
signe contraire, sous lc polynôme proposé. La
réduction faîte, on a pour premier reste,—izab
>— zîzzc-f- 4b- + 4b c-\- c\2." Je double la racine trouvée '3 a ; & par ce
doublé G a, je divise lë premier terme-r-za zzè
du reste : précédent ; le quotient est —~z iv-qu<^
j’écris à ía suitede 3 a. Je fais le prpduit de G a
par—zb , & se quarré de — zb ; j’écris la somme
rie ces deux produits, avec des signes contraires,
sous le premier reste. La réduction faîte, on a
ìe second teste —- 6a c -4- 4b c -) - c1:.3. 0 Jedouble la racine 3 a— z b , ce qui donne
Ga—-4b. Par le premier termè zjzzde cette-quantité,
je divise le pr<anier termeT-GUC du:sëcofid
reste ; il vient au quotient-^—c, que j’écris à la
fuite de 3a—zb. Je multiplie le diviseur Ga-^b
par-c, & jefais le quarré de-c,- j’écris lasomme
de ces deux produits, avec-des signes contraires,
sous le second reste. Je.réduis, íl ne reste ríeíi.
Donc 3 zz'— zb — c, ou —( 3 a—zb — c) , est
Ja racine exacte du polynôme proposé.Usages des fuites infinies pour l’extraSión des
racines quarrées,XLIII. II arrive souvent qu’un polynôme dont,
il s’agit d’extraire la racine quarrée, n’est, pas un
quarré parfait. Alors on ne peut pas en tirer la
racine exacte ; mais on.peut exprimer cette racine
par une fuite. infinie de termes. Je suppose que
le polynôme proposé est positif ; autrement Texpression
qu’on trouveroit, pour sa racine seroit
Imaginaire,EXEMPLE, Extraire la racine quarrée approchée
du hnome rn^^zn, qui n’est pas un quarré parfait ?1.° Je prens Ia racine quarrée du premier terme
m1 du binôme proposé ;,elle,est m, eh s’en tenant
-.toujours .au signe ^-.- J’en fais le quarré, que
j’écris, avec un signé contraire, sous le poh'r
nome. La"réduction faite, on a le premier résle± n. ' ", '
2. 6 Je double m ; tk par ce double 2m, je divise n ;
lë quotient indiqué" est tfc-^ , que j’écris à la fuitede la première partie m de la racine. Je multiplie
le diviseur par se quotient ; au produit, j’ajoutele quarré deJ±: —- ; ensuite j’écris la somme, aveédes signes contraires, sous’ le premier reste. La■2.
réduction faite, on à —.—1 pour second reste. ,3.° Je double la partie trouvée m±-2- delaracine ; & par.se prerpier terme z tri deccdpublpim±-—, je divise lé secorid reste ; il vient au
777 ' .quotient — ^-5, que j’écris ; je multiplie le diviseur
par le quotient ; au produit, j’ajòutè le qúárré
de.— jrf', ensuite j’écris lasoirime, avec des signes
contraires, sous le second reste. La réduction
'^te,6n,a-£-^— — -~é', pour troisième, resté. '.
4.- Jê double' la partie m ± ■ '— '— ■ tk riars- 27B . S777Î '. !i. " r. le premier tèrme 2rn dfc cé doublé ì rn^-I^ '^t,171. ^ . . . ………r^f, jc divise le premier terme du troisième reste i ; 'y ' ■-. '- -■' -' ■' -'- ;.': -^.{'' - >'■ * ■' i- -' > "• n .:.
il vient au quotient ± -^r-n ?  ;; je' multipliele divif
seurpar le quotienry au prodúity j’ajoute''le r^afré

EXT EXT ,719'
rie —^ ;' ensuite j’écris la somme, avec des signes jcontraires, sous le troisième reste. La réduction ifaite, on a-^±-^_ -g- pour quatrièmereste.On vpit qu’en continuant toujours à opérer de
même, ii viendra à chaque opération un nouveau ;
terme pour la racine :. elle est donc exprimée par Ia
fuite infinie : ,.En changeant les lignes de tous ses termes de cette
fuite, on en auroit une autre qui seroit également
la racine de m* ±n.II est évident que la suite ( A ) convergera,
fi, m tk n étant supposés des nombres entiers,■— est moindre que l’unité, ou même ne surpassepas Tunité. Voyez Tusage de cette suite à l’article
APPROXIMATION. yXLIV. La même méthode s’applique à YextraSìon
dé la racine quarrée approchée d’un trinôme,
d’un quadrinome, &c. Pour cela,' on partagera
le polynôme proposé eh deux parties, qui.
peuvent contenir chacune un seul terme ou plusieurs
termes ; on fuppotèra que Trine est représentée
par 77z 2, l’autre par TZ, & on sonnera là
suite ( A ). Sur quoi il faut observer que le polynôme
doit être partagé de manière que la partie
représentée par m* soit positive, & tout au moins
égale à l’autre partie n, afin que la fuite ( A ) 
ait des termes réels, & qu’elle converge. Cette
opération faite , on substituera dans les différens
termes de la fuite (A) , pour m & n leurs valeurs, .
qui peuvent être rationnelles ou radicales ; ce qui
produira de nouvelles fuites qu’on développera par
les élévations aux puissances, ou par les extraSions,
des racines, ou par la division ; enfin on rassemblera
toutes ces. suites en une même somme, en
ordonriant par rapport à une même lettre ; cette
fuite finale donnera ; la racine approchée du polynôme
proposé: Par exemple y soit le quadrinome
/+£+ h -\rk : supposons qu’on aitf-\-g^>h -j-k,
& que de plus/-f- g'soit une quantité positive ;
je fais f-j-g^m ?, h-\-k=n ; il est clair que
les numérateurs des termes de la fuite (A) , ne
contiendront que des puissances entières dont la
formation na aucune difficulté r mais les dénominateurs
contiendront des racines de binômes, qui
ne sont pas des quarrés parfaits ; on trouvera ces
racines par approximation, & on divisera les numérateurs
par les suites qui- proviendront de ces
extraSions ; on aura ainsi de nouvelles fuites dont
ses termes seront des monômes rationnels ou radicaux ;
on les rassemblera cn une même somme, en’
les ordonnant par rapport à: u'rie "même' lettre,
telle que f. ■ \ ..Les racines quarrées approchées dés fractions --qui ne sont pas de* quarrés parfaits ; se déterminent
par les mêmes moyens ; car , après avoir trouvé
la racine exacte ou approchée dé chacun des
termes de la fraction, il ne s’agit que de diviser
la racine du numérateur par la racine du dénominateur,
en ordonnant ces deux racines par rapport .
à une même lettre.XLV. SCHOLIE. Lorsqu’une quantité radicale
complexe a des facteurs, qui sont des quarrés parfaits,
Texpression peut être simplifiée ou changée.
Qu’on ait, par exemple , la quantité radicale
(/ ( 3 a% c— G a ? b c -\- 3 ab* c)  : j’observe que le
polynôme 3a>c— Gazbc -\r3 abrc est composé de
ces deux facteurs zzzz—zab-\r bb, tk 3ac, dont
le premier est le quarré de a—b ; d’où il fuit
qu’en tirant la racine de ce quarré, la quantité
radicale proposée deviendra (a—b) \/3ac.Réciproquement une quantité rationnelle complexe
écrite au devant d’uríîsigne radical du second
degré, peut être transportée fous ce signe, en élevant
cette quantité au quarré. Ainsi, ( a -\- b ) \Z~ m
est la même chose que \V [ á1 m -(- z a b m -\- b1 ni].-X L V I.' PR.OBLÊME. Extraire la racine cube
d’un polynôme quelconque-,-entier-ou'fraSionnaire ?'11 s’agit seulement de savoir extraire la racine'
cube. d’un polynôme entier, puisqu’on aura celse
d’une fraction, en divisant la racine du numérateur
par la racine du dénominateur. Or on tirera-:
dans tous les cas la racine cube d’un polynômeentier,
comme,dans les exemples fuivans.EXEMPLE I. Extraire la racine cube du poly--
nome 2.7 zzJ—54a1b -\-36abz—-8 b 1 ? . "■J’ordonne cette quantité par rapport à la íettrea
 ; on voit ici le résultat de Topération.Développons tout au long le procédé dé Topé-^
ration indiquée. ' ""i.° Jsextrais la racine cube du premier terme
zj a> ; elle est 3 zz que j’écris. Ensuite, après avoir
formé-le cube de cette partie, & après Tavoir'
placé, avec un signe contraire ; fous le polynôme
proposé, je fais la réduction’ ; cC qui me donne
pour premier reste, —^42* b-\-3Gab1—8bKZ.° Je fais le quarré de la partie ^zz ; & je se-triple,
 ce qui me donne 27 a 1, quantité par laquelle
je divise le premier- terme — s4 a* b du premier
reste ; U vient au quotient — ; zb ; que j’ècrisà
la racine. Ensuite je fais premièrement le pro~duit
 de-^zz 1 par— z b ; il est— 14a 1 b : secondement,
le produit du triple du quarré de -r-:-zb ,-
'■ par 3,aì il est.-jríff« P : ;troisièmëmen^:.lecub€-
F XT EXT - -
de — 2 b ; il est- 8 bK Puis, ayant écrit la somme
de ces trois produits, avec des signes contraires,
sous le premier reste, je fais la réduction, tk il
ne reste rien. D’où je conclus que la racine cube
exacte de la quantité proposée est ^zz—z b.On ne peut pas mettre ici le double signe ±
au-devant de Ia racine, comme pour la racine
quarrée.EXEMPLE II. Extraite la racine cube du-polynôme
Z7 a> —•54zz2Z' -f 3Gab'— 8V -\-Z7 à* c —
3G a b crj-f i z fr 1 c -j- 5 zz c2 — Gb c* -j- c> ?Ajant ordonné ce polynôme, par rapport à zz,
Topération sc fait comme on le'voit dans le tableau
suivant :Les deux premiers termes de la racine se trouvent
par un calcul qui esl exactement le mème que celui
rie Texemple précédent. Mais, pour épargner tout —
embarras aux commençans, je vais faire ici Topé- 1
ration en son entier.i.° J’extrais la racine cube du premier ternie
3.7 zz' ; elle est 3 a, que j’écris. J’en fais le cube,
& j’écris ce cube , avec un signe contraire, sous
le polynôme ; & la réduction étant faite, j’ai lë 2
•premier reste écrit ci-dessus.2. 0 Je fais le quarré de pzz, & je Je triple ; ce
qui me donne 2.7 zz ?, quantité par laquelle je divise
ïe premier terme—54ZZ16..du premier resté ; le 7
quotient est — zb , que j’écris à la fuite dé 3a. Je
fais trois produits c savoir, premièrement, celui de j
3.7 a> parrr- zb ; secondement, celui du triplé du
quarré de—2s » par ^zz ; troisièmement, le .cube
rie—zb. Ces trois quantités étant ajoutées ensemble,. 7
j’écris la somme, avec des signes contraires, sous ^
ïe premier reste, & je fais la réduction. De toutes
ces opérations, résulte le second reste qu’on voit
ci-dessus. • ■ *3. 0 Jé considère la- partie 3 a-^zb, comme ne ^
•'formant qu’un même tout ; j’en fais le quarré, tk
^eletriple ; cequi me donne 27 a1 — 3Gab-\- izb^ '
far-le premier terme 27 zz 1 de cette quantité, je "
(toi* ìs premier serpe A ?<#Ç du second, reste. ; le ( •quotient est-f e, que j’écris à la fuite de Ia première
partie (3a—zb) dela racine. Ensuite je
fais trois produits : savoir, premièrement, celui
de 27 a- — 3Gab -j- izb 1 par c ; secondement,
celui du triple du quarré de'c, par 3a-—zb ;
troisièmement, Ie cube de c. Et après avoir écrit
la somme de ces trois quantités, avec des signes
contraires, sous Ie second reste, je fais la réduction,
& j’ai o pour reste. Par conséquent la racine "
exacte du polynôme proposé est 3 a—zb-fc.Usages des fuites infinies pour t extraSion
des racines cubes.XLVII. Lorsqu’un polynôme n’est pas un cube
parfait., on peut au moins eri extraire Ia racine
cube approchée,par le moyen, des suites infinies,
comme pour ses racines quarrées. Selon que le
polynôme sera positif ou négatif, la valeur de la
fuite qu’on trouvera pour fa racine cube (valeur
réelle dans" l’un & l’autre cas ) , sera positive ou
négative.EXEMPLE. Extraire la racine cube approchée de
m1 ±/z y qui n’est pas un cube parfait ?
- Pour abréger, je me contente, dans le problême"suivant, d’attribuer le signé -f- à chacune des deux
quantités m% tk n. Si cês quantités avoient d’autres'signes, on verrait facilement, fans recommencer se
calcul, les changemens qu’il faudroit faire aux
signes des termes de ía racine. ;." j exirar*■ ÊXTr ext fisi." J’extrais la racine cube de ía première partie'
m ! du cube supposé ; elle est m, que j’écris. Je fais
le cube de m ; & après Tavoir écris, avec un signe
contraire, sous mì-T-n, je fais la réduction, & j’ai,
pour premier reste, -j- n.z.° Je triple le quarré de m, tk j’ai 5*72*, quan^
tiré par laquelle je divise -\-n ; le quotient esl -£--~, que j’écris à la racine. Ensuite je sais troisproduits :-savoir, premièrement, celui de -f- 3171*par-) --A ; secondement, celui du "triple duquarré de -~ , par m ; troisièmement, Ie cube de-^7. Et après avoir écrit la somme de ces trois3771- 1produits, avec des signes contraires, fous le premier
reste,, je fais la réduction ; ce qui donne lesecond reste = —<f.3 771 > 27 777° '3.° Je triple le quarré de m ~|r —j ; ce quidonne 3:171*' -f- — + —- Par le premier terme
de cette quantité, je divise le premier terme —
-^-j du reste précédent y se quotient est —-2-z-, que j’écris à la racine.-Ensuite je fais trois
produits :, savoir,, premièrement3 celui de 3-'m7-'
+ — + -—■4-3 par— —= ; secondement, celui777 ' 3 777^ J x $m> ' * ?de m-f —j par le triple duquarréde - —^y troisièmement,
le cuie de— —- ?■' Et après .avoirécrit la somme dé ces trois produits, avec des
signes contraires sous le second réste, j’ai, après
la réduction, le trcrMîème reste écrit ci-dessus.14." Je triple. Te quarré de m -f ^ — ^ ; ; &
iia1.3-.rn1-f- ;-■-:,+-—rs. Par le> J > m 377 »* 9777" ' 27777' 0premier terme de cette quantité, je divise le premier
tetme du reste précédent ; ce qui donne lequotient +^^3-, que j’écris à la racine. Ensuiteje fais trois produits-, savoir,, premièrement,…eelui' du diviseur 3 ; ráa -j- m — &c, par -f*~^ ; secondement, celui: du triple du quarré de+ ~-Ô,, par m -í- -^ — ~ ; troisièmement, le. * 81777* ' -T I' jm 1 57775 ' •" ,cube de -4% 4^. Et après:- avoir écrit la sommede ces trois produits, avec des signes contraires »
sous le troisième reste, j’ai'un quatrième reste.
En continuant à opérer toujours de même, ontrouvera , pour la racine , de nouveau** termes ?
qu’on écrira à ía fuite des précódcns. La racine
cube de mì -f n fera donc exprimée par cette
fuite infinie ::.… 77 n" ,. <ni ton* . s ..13m3- ,97775 ' 8IÍ7. 8 245>n" '- 7laquelle est convergente, lorsque —estmoindre'que Tunité, ou du moins ne surpasse pas Tunité,-.
Tes nombres m tk n étant supposés des entiers.'XLVIII. Jl esl facile d’appliquer les rriérr.csméthodes
à {'extraSion des racines cubes des
trinômes, des quadrinoníes, &c.-NXLIX. SCHOLIJÍ. En décomposant toujours
les puissances dans uri ordre opposé,à celui suivant
lequel elles se forment, on pourroít établir'
des règles particulières pour extraire la racine ;
quatrième, cinquième, sixième, &c d’une quantité'
complexe. Mais tous ces calculs,-en général, sont’
un peu longs. La formule du binome fournit mí
■moyen facile d’abréger les calculs, dans tous lescas.
V. BINOME. (L.B.) EXTR AD OS, f. m. " ( MécL-de la ; coupe des’
pierres] :"surface extérieure d’une voûte , comiiier
IHutrattos’ en en est la surface intérieure.- Voyez lsDiSïonnaire
d’ArchiteSure.EXTREME , ( Géom.-)  Quand. une digne' eÛ
divisée, de riianière que la ligne entière est "à Tune-'
de ses parties, comme cette même partie, esl à*
l’autre, on dit, en Géoriiétríe, que cette liane'
est divisée en moyenne & extrême raison. Voici ;
comme on trouve cette division.- Soit la ligne
donnée AB—a. (pi.. Géom. sig. 77)  ; soit le grandsegment
x, le petit-sera zz—ar ; alors parì'h.y-'
" pothèse d :-x : : x :-zz—ar. Donc a'a — ax=xx
par conséquent- aa=zxx-\r ax ; & en ajoutant -ae:-
de- chaque côté , pour faire le- quarré. parfaitxx-^
zz x -j--\ a d : l’équation sera |.zz a'^xx -\-
ax-\-\aa. -Or,,puisque- la dernière quatìtité est exactement
un quarré,..sa racine x-iç-\a-=^\/' >4a'a ;. & paffíarispositíoh , on trouvera \V | a a — \ a'oex…
Cela posé, sur A B' = a, élevez à angles droitsCB== ?a ;
ensuite tirez CA, dont le quarré est:égal à ~Â~B -ÇCB^aa,-. Donc- AC=.\/~^a~a~i:
avec CA, décrivez Tare AD : vous aurez CA:=.CD ; ainsi,. BD = CD — CB'=\/'taa—<-
{ a=x.- Portez .'donc B D fur la ligne AB, depuisB
jusqu’ën E ; tk la ligne AB sera coupée en-'
moyenne & extiéme raison au point E. ( E ).EXTB.-ÊMES d’une proportion, sorit le premier'
& le quatrième termes. Voyez F-ítQPOR.ïí(iir*r &-
MOYEN.-Fin de/aletireE & du-Tome LMathématiques-
Tome-- I, II.* Vartie,- T-.£y fERRATA.
Page 97, colonne r, ligne 29, au lieu de 3',.lisez nK ft&/á*JìL Yp/|

Pag. 321, art. Central, n.° r2, zzzz lieu de raison inverse de Ia trin^,AM ?^^^í\(Mj|-douI) lée de
la triplée ; & n." 13, vers la fin, au lieu de cosinus, /isq sinus. f ?|\ ^Ì|||lf IE1]'