Note sur l'action mutuelle d'un aimant et d'un conducteur voltaïque
Ampère, André-Marie (1775-1836)
Bachelier, 1828


f" ] note ■'■  ;'%:f '. 7S II R
.^'ACTION- MUTUELLE D’UN AIMANT

ET D’UN CONDUCTEUR Vèl/TAIQ^É.
^^* paris,
CHEZ BACHELIER, LIBRAIRE ,
QUAI DES. AUGCSTINS , ri° 55.
1828,

DE L’IMPRIMERIE DE C. THUiU,
HUE DU CLOÎTRÉ SAINT-BENOIT , N° 4'NoteSUR
L’ACTION MUTUELLE D’UN AIMANT

ET D’UN CONDUCTEUR YÔLTÂIQU.E.
(Extrait des annales de Chimie et de Physique, 1828. ) 
.L’ACTION mutuelle d’un aimant et d’une portion infiniment
petite de fil conducteur s’exprime au moyen
d’une formule très^simple qui a d’abord été énoncée
par M. Biôt, d’après des expéi'iences qiii , interprétées
rigoureusement s n’y auraient cependant pas
conduit, et qui depuis a été déduite par M. . Savary
d’une autre formule que j’avais donnée quelque temps
avant que M. Biot fît connaître la sienne. Je ne m’occuperai
point ici des expériences par lesquelles j’ai démontré
l’exactitude dé cette dernière , mais je conclurai
de la première qui en est une suite nécessaire et que les
. nouvelles expériences de M. Biotj publiées: dans la troisième
édition de son Précis élémentaire de physique >
tome iij page 744Î ont vérifiée aussi complètement qu’on
peut le désirer, de nouvelles conséquences > dont l’accord
avec les résultats de l’expérience achèvera de justifier la
théorie que j’ai établie sur ces formules.

Pour se faire une idée nette de la formule dont il s’agit -,
il faut remarquer que dans un barreau aimanté EFÇûgt 1) 5
■ ;:„:.■• ■( 4 ) il y a deux points A et B tels que la résultante de toutes
les forces exercées par les élémens magnétiques du barreau
EF sur une molécule magnétique M est sensiblement
la même que celle de deux forces appliquées
en M et agissant suivant les droites MA■', MB, l’une attractive
et l’autre répulsive, et en raison inverse du
carré de ces droites, en sorte qu’en faisant AM=r eiBM—'r1, silà fdrce MU suivant MA est—, là forcer1MTr suivant MB sera—-£■■'r 'Les points A et B sont ce qu’on nomme les pôles del’aimant EF. ; La 5 réduction 1 de toutes lès forces exercées par les'éléiWéhs 'magnétiques stir- la molécule magnétique M.-, à« es. deux-forces.— et —--Ç , n’estau reste qu’une approximation
•,'niais elle suffit pour l’explication des phénomènes
généraux que présentent les aimans. M. Poissoiva
démontré qu’on doit l’admettre rigoureusement
pour chaque élément magnétique. Les deux pôles d’un
tel élément étant situés sur son axe à une distance trèspetite-',
qu’on peut prendre à volonté dans l’intérieur del’élément en’faisant varier la constante p. en raison, inverse
de cette ; distance, pourvu que celle-ci reste toujoursinfinimentpetite relativement-,à: la distance ; de l’élément
magnétique au point sur lequel il agit. Supposons
maintenant qu’au liexi d’agir sur la molécule M ( fig. i) ,
l’aimant EF agisse sur une portion infiniment petite
de fil conducteur, mM (fig. 2) , dont la direction soit
quelconque. Si l’on fait Am=:r, Bm^=r', qu’on nomme
w et. w' les angles AmT, Bm2\ formés par ces droites(5) avec la direction rrlT de la petite portion mM de fi 1
conducteur, et ds la longueur de cette petite portion ,
et qu’on fasse passer par les mêmes-pôles A, B , du
barreau EF et par mM, les plans AmM : B mM’,-
d’après la formule dont il est ici question , la résultante
de toutes les forces exercées par les élemens magnétiques
du barreau EF sur m M sera la même que
j celle de deux forces © U, O F appliquées à m M
\ vers son milieu O , perpendiculaires aux plans AmM,
\BmM, réciproquement proportionnelles aux carrés
Ides distances A m, Bm, et en raison directe des sinus
 ; des angles AmT, BmT, et de la longueur de mM,.
 ; en sorte que les valeurs de ces forces sonti La réduction de toutes les forces exercées par les éléjmens magnétiques du barreau EF sur mM h ces deux ? „ u.d-ish\ti> y.dssmu>' . . . .uorces ———— , ■-=*——-.—— .doit aussi être consi-v1 dérée comme une approximation suffisante pour l’expli'„.
cation des phénomènes, et qui, d’après des calculs dont
| nous ne nous occuperons pas ici, puisque nous pou|
vons regarder la valeur de ces forces comme déduites
| directement de l’expérience ^ serait rigoureusement exacte
i pour chaque élément magnétique, en lui assignant deux
| pôles comme nous l’avons dit plus haut.
| Au reste, c’est en la supposant vraie pour les deux
| pôles d’un assez petit aimant de forme parallépipède ,
| que M. Biot l’a vérifiée dans les expériences déjà citées,
| et qu’elle s’est trouvée aussi exacte qu’on pouvait le
1 désirer. -iy
t 6 ). !
 ; Voici maintenant’comment j’ai transformé les valeursde ces forces.Si l’on nomme dv le double de l’aire du petit secteurmAM, dont la base mM==ds., et dont la hauteur estévidemment rsinw, on aura dv=rds sinw , et comme-i i ds suivi, \ „ ATr ,, . . .la valeur —■ de la force O U peut s écrire ainsiitrds sin « ' ,, , . u.dv , , -, elle deviendra ——, et la composante de cetteforce suivant une droite OS qui forme avec la direction
de OU un angle quelconque E, aura pour valeuru. dv cos s ., îi-iii-i'— -— ; mais oc cos e est le double de la projection
de l’aire AmM sur le plan perpendiculaire à la
droite OS , d’où, il suit qu’en nommant du le double de
de cette projection , on ?pour la composante suivant OS. En nommant du' le double
de la projection de l’aire BmM sur le môme plan
perpendiculaire à OS, on trouve de même pour la conir
posante de OV suiyant la droite OS ,d’où il suit que la force totale suivant cette droite estCherchons maintenant le moment de rotation de la
petite portion de fil conducteur mM ( fig. 3) autour de
l’axe GH du barreau EF, c’esl-à-dire de la droite qui
passe par ses pôles A et B. Pour cela , faisons passer par
(7 ) 
QH et par le milieu O de mM un plan, et prenons la

valeur de la composante perpendiculaire à ce plan,
du étant le double de la projection AnN’ de AmM

sur ce plan, aura pour valeur le carré du rayon vecteur
A'7i=r par l’angle nAN ; or, en nommant 6 l’angle
GAn, on a évidemment n A W=d 9, çl du — r* dQ,
…… . T y du y. du'
ce qui réduit le premier, terme de — „ , va-.
* • ■ *Ï ■ r' r '
leur de la force , à -—. Pour avoir le moment de
-".'--..'. r- ":.'…
rotation résultant de ce terme, il faut le multiplierpar
la perpendiculaire .0 P=r sin 6, et l’on voit que
la distance r disparaît de l’expression de, ce moment
qui est

On trouve de même qu’en liommant & l’angle GBn , la

valeur du second terme de la même force se réduit à—■ ——
r >.

qu’il faut multiplier par OP=.r' sin 9.' pour avoir le

moment qui en résulte., et qui est par conséquent

égal à

on aura donc

pour le moment total avec lequel l’aimant tend à faire
tourner autour de son axe la petite portion m M de fil
conducteur.

La force totale exercée sur m M par l’aimant EF,
et qui se décompose dans les deux forces OU, O V,
(fig. 2) , peut résulter de différentes manièresde forces
exercées sur m M --par les différons points de l’aimant,

( 8 ) 
suivant les droites qui joignent ces points à cette proportion
m M de fil conducteur supposée infiniment petite,
et avec la conditionque celle-ci réagisse avec des
forces égales sur les mêmes points et suiyant les mêmes
droites. Il faut seulement, pour que les forces OU,
O V" puissent être perpendiculaires aux plans AmM,
BmM, que parmi celles qui émanent de chaque .point
de l’aimant et agissent sur mM, les unes soient attractives
et les autres répulsives , ce qui a lieu , comme on
sait, pour toutes les forces exercées par les divers points
des aimàns. Cette condition de l’action égale à la réaction
suivant les mêmes droites entré mM et tous lés
points de l’aimant, est une suite nécessaire dé ce que
les molécules des fluides impondérables , ne peuvent
agir que comme celles des corps pondérables, et doivent
, comme celles-ci, lors même qu’elles sont en
mouvement, exercer à chaque instant la même action
que si elles étaient en repos là où elles se trouvent à
cet instant. On sait d’ailleurs que le mouvement des
deux fluides électriques dans le circuit voltaïque s’o-r
père par une série de compositions et de décompositions
du fluide neutre , sans qu’il en sorte ou en entre
dans le circuit, puis qu’on peut le recouvrir d’un vernis
isolant sans rien changer aux actions qu’il exerce, Dès ?
lors on ue peut se refuser à celte conséquence de l’égalité
entre l’action et la réaction suiyant les mêmes droites,
et de tout ce qu’on sait d’ailleurs des lois générales de
la nature, que si l’on lie'•mM’(fig. 3) avec l’aimant
EF de manière à en composer un système de forme
invariable , leur action mutuelle ne pourra produire
aucun mouvement dans ce système , ce sera comme
\ (9) ^isi cette action n’existait pas , puisque toutes les forcesi dont elles résultent se trouvent égales et opposées deuxlà deux, appliquées à des points invariablement liésf entre eux et par conséquent en équilibre.I Supposons, comme dans les expériences faites à ce sùIjet,que la petite portion m M et le barreau EF ne$ puissent se mouvoir qu’en tournant autour d’un.axe4 quelconque , s’ils sont liés invariablement tout sera i-mVmobile ; si on rompt la liaison qui les unit , ils tour'■"lieront en sens contraires autour de cet axe avec desSmomens égaux en- intensité , et par conséquent avec>àes vitesses réciproquement proportionnelles à leurs^momens d’inertie pris par rapport à l’axé auloiir duquel-jîls sont assujettis à tourner.|ij Si nous prenons pour cet axe l’axe GHàe l’aimant
ii&E F, nous aurons^pour le moment là rotation de wzMautour de GHt et4., J>our celui de l’aimant autour de ce même axe.' Si l’on intégre ce dernier pour un arc L^L.^ de fil
< onducteur, en représentant par 0^, 0 » les valeurs de 0 aux
' points Lt,Lv, et 0',, O'o , celles de 0' aux mêmes points ,
''on aura pour le moment de rotation imprimée à l’ai-,
tf'iaiu par l’arc £L,Dans la figure 4 , ■Oi~GALt,
' 0a = GAZ*, .
0'r = GBLi,
■ tf,= GBL,.
Il suit de cette valeur que le moment de rotation împrimé
à l’aimant autour de sôii axe G H par l’arc
de fil conducteur i^Oi^ est indépendant de la forme et
de la grandeur de cet àrc , .et ne dépend que de la situation
de ses extrémités L\ et L2 à l’égard des pôles A et B
du barreau EF. ,:Si on substitue à L^OL un autre arc L^KL^ terminé
aux mêmesvpoints L , L*, le moment sera exactement
le même , pourvu qu’ils soient parcourus par le
courant électrique dans le même'sens , par exemple,
de Ll en L, comme l’indiquent les flèches de la fig. /[.Mais si l’on changé le sens du courant dans L KL
en le faisant revenir de i en L , comme il est.mar2I 'que par les flèches de la figure 5, l’ensemble de Xl 01
et de LvKL\, qui forme le circuit fermé Ll OL[ ;KLi
n’aura plus d’action pour faire tourner l’aimant autour
de son axe GH, puisque les deux parties dont il se compose
exerceront alors sur l’aimant deux momens de rtk
tation égaux et de signes contraires. C’est ce qu’on peut
conclure également de la valeur générale.puisque, pour un circuit fermé, les deux limites Xl5 Lu,
étant à un même point, on aet cela soit que l’aimant soit hors du circuit ce qui
donne( I ! ) 
soit qu’il soit dans-l’intérieur du circuit et qu’ainsi

Les physiciens de Genève ont vérifié, par les expériences
les plus exactes et les plus multipliées, faites ,
avec des appareils extrêmement mobiles et en variant de '
toutes les manières possibles la forme des circuîfsyfermés’,
qu’il est en effet impossible de faire tourner l’aimant
autour de son axe par l’action de ces circuits.

Il est évident qu’en prouvant par l’expérience, quelle,
que soit là forme du circuit fermé , que son action est
toujours nulle, on constate en même temps l’exactitude
de ce résultat dit calcul que le moment de ro:-
lalion imprimé par un arc quelconque ne dépend ni de
sa forme ni de sa grandeur, mais seulement de la situation
de ses extrémités relativement aux pôles de l’aimant
 ; car si les actions des deux circuits fermés représentés
parZ> OLzK'Lt-et-Ll OL^K'/^(fig. 6) qui ont
' une partie commune Lt O.L^, sont toutes deux nulles, il
, faut bien que les actions exercées par les arcs Z2 K Lt ,
i LJi' Lt soient égales , puisqu’elles font également équi ?
libre à l’action de Zi OZa.

 ; Lorsque M, Faraday eut annoncé que, d’après ses
■■ expériences , il était impossible de faire tourner un ai]
main autour de son axe par l’action d’un fil conduct
teur > je m’assurai aisément que cela venait de ce que la
i réunion des fils conducteurs et de la pile forme nécessàil
l’ement un système de circuits fermés dont nous venons
| de voir que l’action rotatoire est toujours nulle. Alors
 ; 11 me vint l’idée de faire passer une portion du courant
i -
( 12 ) 
par l’aimant ; comme cette portion forme dans ce cas
un système invariable avec l’aimant, elle n’exerce plus
aucune action pour le mouvoir, c’est comme si elle
était anéantie ; d’où il suit que le reste du circuit qui exeiv
çait une action égale et opposée à la sienne, agit seul
alors et fait tourner l’aimant, pourvu que,le moment

ne soit pas par hasard nul.

Les points Lv, £a sont, dans ce cas, celui où le courant
entre dans l’aimant,' et celui où il en sort.

J’observerai à ce sujet que quand ces points d’entrée
desortie Li, L2, (fig. 7) sont dans l’axe de l’aimant,
il ne peut y avoir de rotation , parce qu’alors . ' ■'•

ce qui donne

Je remarquai bientôt après dans la lettre à M, Faraday,
imprimée dans les Annales de Chimie et de Physique
, qu’au lieu de faire passer une portion du courant
par l’aimant, il suffit, pour obtenir la rotation du
barreau autour de son axe, de faire passer le couranl
par une portion de conducteur métallique qui lui soil :
invariablement lié, et dont les deux extrémités ne soient i
pas dans l’axe , parce que cette portion formant avec ) 
l’aimant un système invariable , n’agit plus sur lui, et ' ;
que le reste du circuit, qui a les mêmes extrémités , le ;
fait tourner. ; ;

Il y a long-temps que j’ai démontré par le calcul, 0
dans les ouvrages que j’ai publiés sur ce sujet, que d’à* £
( i3 ) près la valeur du moment de rotation donnée plus haut,
]c mouvement de l’aimant restait lemême quelque forme
qu’on donnât au reste du circuit 5 v dire, comme l’au ;
leur d’un Mémoire inédit, qu’il faut négliger l’action
j Je cette partie du courant voltaïque parce qu’elle ne
l varie pas quand on en change la forme, c’est comme si
4 l’on disait que l’action calorifique d’une portion de l’engveloppe
de chaleur constante doit être négligée parce
1 qu’elle ne dépend pas de la forme de cette portion.
i La substance de cette Note se trouve en entier dans la
' Théorie des phénomènes électro-dynamiques’ uniquement
déduite de Vexpérience que j’ai publiéeen 1826 ,
pages 98—102—ri8—127, 172—-180, et les conséquences
qui suivent eu résultent d’une manière tellement
immédiate qu’il serait presque inutile de les énon*cer,
si ce n’était que la parfaite conformité qu’elles
.présentent avec les résultats des expériences faites deIpuis
par M. Pouillet, doit être considérée comme une
.nouvelle vérification de ma théorie.|| Soit qu’on veuille faire tourner une portion de fil \
^conducteur autour de l’axe d’un aimant, ou un aimant
s,' utour de son axe par l’action de la portion du circuit
Iftotal qui ne lui est pas unie en un système invariable,
Jl est commode de rendre l’axe de l’aimant vertical, et
||de faire arriver cette portion de fil conducteur dans une
jcoupe O (fig. 8) située sur le prolongement GO de l’axe
fjtle l’aimant ; cette coupe est fixe dans lé premier cas , soit
Qu’elle soit ou ne soit pas en communication avec l’ai.
sfnaniqui est aussi supposé fixe ; mais dans le second ,
fille doit, dans la disposition que représente la figure ,
pire soudée à l’aimant et mobile avec lui.
( *4 ) 
Quand lé poiut Li est sur le prolongement de l’axe
de l’aimant, on a ■Qi = o , Q'x— o ; d’où il suit que
cos. ;G — cos S’i ==• i —- i =o, qu’ainsi le môinentde
rotation imprimé au fil Lt Lx par l’aimant est

et que celui qui est imprimé à l’aimant par là partie du
circuit qui n’y est pas liée est
ga et 0'3 étant les deux angles OAL^, -0B'L . Quand
les choses sont disposées comme dans la figure 8,
cos ô'a ^> cos 9a, en sorte que le premier moment est,

Tant que le pointX2 est au dessus dii plan horizontal
passant par le pôle .A, ces valeurs lie contiennent
que la différence des deux cosinus, et deviennent trèspetites
quand le point L^ est près du prolongement GO
de l’axe de l’aimant, parce qu’alors ces deux cosinus
diffèrent peu de l’unité.

Quand le point L2 est dans le plan horizontal dont
nous venons de parler,, cos OAL^ — o , on a donc
seulement pour les valeurs’ des mômens

. Lorsque le point L^ tombe entre ce plan horizontal
et celui qui passe par l’autre pôle B, l’angle O Al,

I (i5-) 

 ! devient obtus comme on le voit dans la figure 9 ; on a
(alors cos OAL^=z — cos BALi, et comme on peut
j écrire AB.L^ au lieu de OBEi, on trouve que les

I inomens sont égaux à
1 -..'..'
 ? Les valeurs de ces momens contenant la somme au lieu
. de la différence des deux cosinus , sont beaucoup .plus
. grandes que ;dans le premier cas. Si l’on suppose que le
I point JE2 , restant toujours à la même distance de l’axe
de l’aimant, réponde successivement à divers points de
la longueur de cet axe, il est aisé de voira la seule
• inspection de ces valeurs :. ■

i° Qu’elles atteindront leur maximum quand le, point
" L7 répondra au .milieu de l’aimant ; elles deviendront

 !* a0 Qu’elles seront les mêmes à égales distances au|j
dessus et au dessous de ce milieu ; c’est ainsi que quand

Il le point Z2 se trouvera dans le plan .horizontal passant
^ i 1 • i
g par Je pôle B , on aura pour ces valeurs
S ■ ■
1 qui sont les mêmes que nous avons trouvées quand L^
| est dans le plan horizontal passant par le pôle ^..EnI

' ' ■

I - ■'

( .6 ) 

fin, lorsque le point LU est sitiié comme dans la fi,
gure 10 ,011 a cos AB Lu =—cos HBL^, et les valeurs
des deux momens deviennent

qui sont évidemment égales à celles que nous avons trouvées
quand i2 est situé précisément delà ijiême manière
au dessus du plan horizontal passant par lé'pôle A.
Il suit, de ces calculs que le sens de là rotation reste
. toujours le même quelle que soit la position du point
X2 ; mais qu’après avoir atteint son maximum quand ce
point est vis-à-vis le milieu de l’aimant , elle va etr
diminuant à mesure qu’il s’en écarte ; elle devient trèsfasblé
et susceptible d’être arrêtée par les frottemens
quand le point Z2 est près de l’axe, de l’aimant et hors
de l’intervalle compris entre les deux plans horizontaux
menés par les pôles A et B. Si nous considérons,
en particulier le cas où le point.Z2 est dans le plan horizontal
passant par le milieu K (fig. II ) de l’intervalle
AB des deux pôles, alors les momens sont

dont la valeur absolue est d’autant plus grande pour un
même aimant que la distance KL* est plus petite, et par
conséquent aussi l’angle .B-^Zs ; c’est pour cela que quand
l’aimant est fixe et que L ML^ est une portion mobile de
fil conducteur, elle tourne d’autant plus rapidement au'
tour de l’aimant que son extrémité L ? est plus près delà
( i. ?' ) . '
surface de cet aimant ; et que quand c’est au contraire
l’aimant qui peut tourner autour de son axe, et qu’une
portion du circuit total parcourt l’aimant et une roue de
métal^XZ, !^ qui lui est invariablement liée, depuis le
point Et jusqu’au point Z2, le mouvement que prend
]eharreau par l’action du reste L.VMrZa du circuit est
d’autant plus rapid e que le rayon K Z2 de cette roue est
plùspetit. :ilsé ;présènte ici une difficulté qu’il est bon

d’éçlaircir, ; ■■■■,-~-\ ,■■■■■'''.  ;\-. -■-• s’. ;'-'\ •■ -^.'.:. '

Lorsque le point, Z.s se ; trouve aussi dans le prolongement
de l’axe de l’aimant, soitdit même ; côté que le
point ,Zi, comme on le voi't.içi.^fîg./ia^ys’piï.rde-i'à.utre"
côté,..ainsi- que dans la figuré i3 ,. les deux angles ; 92 et
0' deviennent tous deux égaux àè, ou' à TT, et.la différence
deleur cosinus éteint.nulle,le moment derotation
l’est aussi, aussi observent-on alors que quand
l’arc L:iML2i peut tourner ; librement autour d’un., axe
fixe passant par ses deux extrémités ,: il reste immo^
bile , pourvu que les pôles de l’aimant EF soient exactement
dans cet axe, et que si les mêmes ppl’eà,. ; ne. s’y
trouvent qu’à peu près, l’arc Lt ML2 se meut d’autant

' plus lentement qu’ils en sont’ plus près, mais seulement
pour prendre une position fixe j. et non pour■ tour-,

ner d’un mouvement continu autour de l’axé qui. passe

'' par ses extrémités.
« --•••'' ,.'. ,■ ;-.,--
4î Considérons un aimant courbé comme on le voit
 ;, (fig. 14) , afin que le milieu de l’axe GH qui.'joint ses
'i deux pôles se trouve en dehors du barreau, et que l’autre
f^A ' ' ' ' '" ''-■'■ '-.-.'■'. • "■.'""..'
^ extrémité Z2 du fil Z, MZa puisse, de même que la
a première L.i} être placée sur la direction de cet axe,
g mais entre les deux pôles A et B ; d’après les calculs
1 " : '" ■ ' .' - " »■"'".
( *8 ) 
de M. Savary et les expériences’ faites il y a quelques
années par différens physiciens sur les aimans annulaires
, là courbure de l’aimant ne fait rien à l’action qu’il
exerce, elle est donc toujours la même que celle'd’un
aimant rectiligne qui aurait ses pôles aux mêmes points
A et B , et le moment de rotation de Zt ML2 autôurde
l’axe G H, qui est égal à y (cos 02 — c.ps-9'J se réduit à
— 2p, parce qu’on a cos 9a='^^-'-i et cas 0'2 == i ; aussi
voit-on tourner, dans ce cas, la portion de fil conducteur
-L- ML2 autour de L’axe G H, jusqu’à ce qu’elle vienne
s’appuyer contre l’aimant, ce qui arrive nécessairement
vers un ideisçs points K compris entre les pôles A et B
toutes les fois que l’extrémité Z2 est sur l’axe G entre
ces pôles , ainsi qu’on le suppose ici. ,.

Il semble d’abord que. c’est cette circonstance seule
qui empêche le fil LXML2 de tourner indéfiniment
autour de l’axe GH, car si l’on enlève ce fil des coupes
O, R, qui le mettent en communication avec les
deux extrémités de la pile, pour le replacer aussitôt
dans ces ; mêmes coupes, de manière qu’il se trouve de
l’autre.côté de l’aimant., il tournera dans le même sens
autour de GH, jusqu’à ce qu’il vienne de nouveau
s’appuyer contre l’aimant au même point K , et en le
faisant dé nouveau passer de la même manière de l’autre
côté de l’aimant, cette sorte de mouvement se continuera
indéfiniment. .

C’est sur. cela qu’est fondée la difficulté qu’il s’agit’
d’éçlaircir, et qui m’a été proposée par M. le professeur
S. Gherardi.

Elle consiste, en ce qu’il semble, pour me servir
des expressionsqu’il a employées, que ce n’est qu’un
 ! ( r9 ) i .I obstacle physique qui empêche lé mouvement de rota1tjon indéfiniment accéléré d’être produit par l’action
t inutuelle d’un aimant et d’un fil conducteur dont les
deux extrémités sont dàiis l’axe, et qu’a considérer
lés choses sous le point de vue purement mathématique,
où le fil conducteur passerait à travers l’aimant entre
]es élémens magnétiques qui agissent sur lui, ce mouvement
indéfiniment accéléré aurait lieu , ce qui est en
contradiction avec la démonstration purement mathématique
que j’ai donnée de sou impossibilité dans
l’ouvrage déjà cité, page 157, en partant de la seule loi
de l’action mutuelle d’un aimant et d’un fil conducteur.
Cette difficulté disparaît quand on fait attention à ce
que j’ai remarqué au commencement de cette Note, savoir
que la valeur attribuée à la force résultan§de l’action mu- R
tuelle 'd’un aimant et d’une portion infiniment petite
de fil conducteur, quelque approchée qu’elle soit lorsqu’il
s’agit d’un aimant de dimensions finies, ne peut,
dans ce cas, être regardée que comme une approximation
, et qu’elle n’est rigoureusement exacte que pour
chacun des élémens .magnétiques dont l’aimant est
composé.
.• Or il est aisé de voir que, clans le cas où l’on suppo- ■
v serait que la portion LyML.t de fil conducteur, venant
b, à rencontrer l’aimant en K , le pénétrerait et passerait
| entre les élémens magnétiques, l’action de ceux-ci, pour
| ; la faire tourner autour de l’axe'■' GJS,: changerait de
j|,3slgiie y et ,que , ■ bien loinr.qu’on ; pût regarder alors ?
jE'comme une approximation le moment calculé relatifs
^mentaux deux pôles de l’aimant total■', !' ce moment se
C, trouverî« t de signe contraire à celui qui, ayant’réeL( 20 ) 
lement lieu , résulte des actions réunies de tous les élémens
magnétiques.

C’est ce que je vais expliquer en détail sur un exemple
assez simple pour que celte explication soit facile à suivre,
, Cet exemple consiste à ne considérer au lieu de l’aimant
qu’une seule série d’élémens magnétiques de
même intensité, et dont les axes sont situés dans une
ligne quelconque AB (fig. r5) sur laquelle ils se trouvent
tous à égales distancés les tins des autres. Si l’on sup ;.
pose d’abord que les pôles de ces élémens soient aux
points a, h pour l’un d’eux,a', b' pour le suivant et
ainsi de .suite , on pourra ; saris changer l’action exercée
par ces élémens sur un point O situé à une distance
qu’on puisse considérer comme infinie relativement aux
, intervalles aZ^fk"^, etc.-y imaginer que les deux pôles de
chaque élément magnétique.s’écartent l’un.dé l’autre
en diminuant d’intensité en raison inverse de leur distance
mutuelle ;, jusqu’à ce quevle pôle boréal de l’élément
ab se confonde avec le pôle austral de l’élément
a' b', et que la même chose ait lieu pour les pôles de tous
les autres élémens, ceux-ci étant,supposés équidistans et

• de même intensité, les deux pôles d’espèces opposées,

• appartenant l’un à un élément et l’autre à l’élément précédent
où suivant, qui se trouveront ainsi superposés, se
neutraliseront mutuellement, en sorte qu’il, ne restera
que l’action des deux pôles extrêmes, c’est-à-dire le pôle
austral « de l’élément :A',, et le pôle boréal (3 de l’élément
B, précisément comme si, au lieu de tous les
élémens magnétiques de la ligne AB , il n’y avait qu’un
pôle austral à l’extrémité A de cette ligne , et un pék
boréalà son extrémité B.
( 21 ) 
Un aimant peut donc être remplacé par une ligne
d’une forme quelconque ainsi occupée par des élémens
de même intensité et équidistans , et dont les deux extrémités
seraient aux deux pôles de cet aimant. Concevons
donc une pareille série d’élémens magnétiques,
et voyons ce qui doit arriver à un élément d’un courant
voltaïque M/Mdirigé comme l’indique la flèche de
la figure, et placé à une distancé suffisante pour que
l’action de AB se réduise, d’après ce que nous venons
de dire, à celle des deux pôles extrêmes a et (3.

La force relative au pôle austral « tendra à porter
l’élément Mm suivant la-perpendiculaire OS au plan
uMm \ du côté de ce plan qui, est à gauche d’un observateur
qui serait placé dans’ là parallèle Nnk.Mm
menée par le point a, et qui, ayant les pieds en’ N etla
tête en ire, regarderait l’élément Mm ; ;par la même, raison
la force relative au pôle (3 tendra à porter l’élément
Mm suivant la perpendiculaire O T an plan ftMm à la
gauche d’un observateur placé en (3 de là même manière,
là résultante OR'de ces deux forces, dirigée
comme oii le voit dans-la figure , tendra donc a rapprocher,
daris ce cas , l’élément Mm de la ligne AB qui
représente un aimant, et il est aisé de voir que sil’on place
l’élément M/n’dans la même direction en M"m" de l’autre
côté de A^B, il tendra à s’en éloigner, d’où il semble ré|
sulter qu’en le supposant assujéli à tourner autour d’un ,
| axe situé convenablement, il pourrait revenir en Mm
| pour se rapprocher de nouveau de AB, et tourner ainsi
î d un mouvement continuellement accéléré s’il pouvait tra !
verser cette, ligne, en passant, par exemple, entre les deux
j démens magnétiques aZ>, a'Z »'. Gela n’arrive pas dans
..( 22 ) 
l’expérience , parce quelefil conducteur s’appuie contre
l’aimant, et l’objection consiste à prétendre qu’il y
passerait sans l’obstacle physique que lui oppose l’aimant
, en sorte qu’à considérer les choses mathématiquement
oh pourrait produire un mouvement indéfiniment
accéléré par l’action d’un aimant, et d’un circuit
fermé, dont Mm ; représente l’élément qui, dans cèmouvemeutj
rencontrerait laligiïé^jB. La réponse à cette ohjectiôn
est que , même encpftsidérantles choses sïous ce
point de vue , l’élément: Mm ne pourrait jamais i passer
entre les élémens magnétiques ab ,'a'b', parce:, que dès
qu’il eh serait assez près, comme dans-la situation  ;M’m’,
pour qu’on ne pût plus supposer, sans changer l’action,'
les deux pôles b et a superposés -, il faudrait cùiisidéra
au lieu de là sérié d’élémens magnétiques AB j tes deux
séries Ab, a ! B, qui agiraient .en vertu des forcïes relatives
aux pôles b et a' en sens contraire dés actions relatives
aux pôles de noms contraires’-a. et (3 qui existaient
seules dans le cas précédent ; ce qu’on voit dans la figure
par les directions de ces forces O' S’, 0"T", et de
leur 'résultante O'R'. D’ailleurs , à cause d<je la trèspetite
distance , ces forces deviendraient cornme infinies
par rapport aux forces relatives aux p^les .<*■, fy.
dès que l’élément Mm serait sur le pointue piassër entre
les élémens magnétiques ab, a'b' ; il serait ; donc violemment
repoussé en sens contraire du mouvement acquis,
et ce mouvement, à considérer les choses mêmes.
sous le point de vite purement mathématique , serai'
bientôt anéanti et remplacé par un mou-vement en
sens contraire , en sorte qu’on n’aurait que -des oscillations
autour d’une position fixe, au lieu dj’un mouve-
(23) 
ment indéfiniment accéléré dans le même sens ; ce qui
esi d’ailleurs rigoureusement démontré pour le cas où
le fil conducteur , dont Mm fait partie 5 forme im circuit
fermé j puisque,"dans ce cas, l’action peut être ramenée
à: des forces en raison inverse du ; carré de la distance
qui ne peuvent jamais produire un mouvement
indéfiniment accéléré:, ainsi q,ûe. je l’ai ;expliqué dans
l’ouvrage iri.titn.le : Théorie des Phénomènes- électro--
■ dynamiques, uniquement déduite, de V expérience ,
pg.:I^',7-…,. C  ;'■:.. ' ;,vï:.v-■> ■'■■' :-'■''■ "■' -

Le même changement âari^ la direction de l’action"

exercée par la série d’élémens magnétiques. AB qui a
lieu à l’égard de l’élément de fil conducteur Mm lorsque,
cet élément est successivement plaeé hors de l’aimant
et dans son intérieur entre deux des élémens magnétiques
dont il est composé, a également lieu à l’égard
d’un élément magnétique qui lui serait étranger et qu’on
supposerait placésuccessivement dans ces.deux situations.
Il est évident, en effet, que dans le cas où celui-ci serait
situé en Massez loin de la ligne-A B., il se dirigerait de
manière que son pôle austral fût en bas dans’':la figure,
du côté du pôle boréal (3, et son pôle boréal en haut.du
côté du pôle austral’a , tandis que s’il se trouvait entre
les deux élémens- magnétiques ab, ; a b', il se dirigerait,
au contraire , de manière que son pôle austral fût
en haut le plus près possible du pôle boréal b et son
pôle boréal en bas du côté du pôle austral a'.

Je suppose maintenant qu’on veuille calculer l’action
qu’un conducteur rectiligne indéfini NM (fig. 16) , que
je supposerai horizontal, exerce sûr unaimant A B,
dont le milieu C est dans le plan vertical EFMN pas^-
. (m ) saut par ce conducteur, l’aimant AB* étant aussi
horizontal et susceptible de tourner autour de ce
point G.Soit CD la perpendiculaire élevée au point C à ce
plan, laquelle se trouve dans le même plan horizontal
que l’axe B-A de l’aimant, nommons s l’angle DCA
de l’oscillation, angle qu’on suppose très-petit.Soit la perpendiculaire AB~ a, la distance AM=r,
l’angle BAM:= 0 , d’après ;la règle.énoncée d’abord
par M. Biot, l’action relative au pôle austral A exercée
par l’aimant sur l’élément M’" du fil conducteur,
dont O est le milieu , est dirigée suivant la perperidicui. s\ t. i -, ''■*■.* , -,-' y y Mm sin ÀBTR
laire OS au plan A Mm, et égale a- .. … ———..., . , . ,, . . . 2 A31m dO
que j ai montre pouvoir s écrire aiiisi y ■ r— ===y -Tjparce que 2 AMm = r° dO.Or, dans le triangle rectangle AHM, on a f== ,' ° ° ' Ços 0,aiusi la force suivant OS estdont l’intégrale, entre.les limites S, et 03 , donne, pour
la valeur de la résultante de toutes les forces parallèles
exercées sur AB »Quand on suppose que le hl conducteur AB s étend a
l’infini dans les deux sens, on a 0j^=—±- , Q^=->
ainsi sin 0, = — t, sin ©a = r et la résultante est égale à
Elle est donc en raison inverse de la distance A B—a,
du pôle A au fil conducteur. '

Cette résultante est, comme toutes ses composantes ,
dirigée perpendiculairement au plan ANM, et passe par
un des points de la droiteNM. Dans le cas du conducteur
indéfini dans les deux sens, ce point est en B, c’est-à-dire
que c’est le pied de la perpendiculaire abaissée du pôle
J sur NM, en sorte que la résultante est dirigée suivant
l’horizontale BR perpendiculaire à NM> parce
qu’à égales distances de part et d’autre de ce point H les
composantes sont égales , et donnent par conséquent,
deux à deux, des résultantes partielles qui passent
par H.

En abaissant du pôle boréal B la perpendiculaire B Lsur
NM, on trouvera une autre résultante, relative à
ce pôle, de toutes les forces exercées par l’aimant sur le
conducteur NM. Dans lé cas que nous, supposons ici où.
le milieu de l’aimant est dans le plan vertical ENM F>
celte résultante est égale à la première et a de même pour
1 2f*. . .
valeur -*-•

" a " •• • '

Pour avoir l’action. qu’exerce réciproquement le fil

conducteur NM sur l’aimant AB , il faut, suivant les

, premiers principes de la. statique, i° concevoir en B
s un point h sans liaison avec ce fil, mais invariablement lié

| « l’aimant A B ,• on aura pour première force agissant
H 2 ix
f sur cet aimant une force égale et opposée à la force —c

^ • a

f fjui est appliquée en H et dirigée suivant BR , cette pre-
(26) 
mière force, appliquée au point h lié à l’aimant, aura
donc la même valeur, et sera dirigée suivant liR' ;
2° Concevoir en Z un point l qui soit de même sans
liaison avec le fil NM etinvariablement lié à l’aimant
à ce point i on aura une seconde force appliquée en l
égale et opposée à,LT\ elle sera par conséquent dirigée
'l-.-.. ,'.-::''-• ;-'-> ■ 'i ' ' : " ' -2'U- * ■ ' v
suivant IT’, et aura pour valeur '—*-.-
'■■■■■■ - "■'■-, , •', '..-■,■ ' ,--• - - ■''■- ;.- -■ : . ;« . ' . .- „
^ Tous les mbiivemëns que pourra prendre l’aimant
résulteront de ;ces deux forces, et si l’on nomméç l’aiigle
A BG qui est égal à B L K, ôh pourra décomposer
chacune d’elles en: deux autres forces , l’une horizontale
et l’autre verticale ; ce qui en donnera quatre, savoir :

Ces deux: dernières agissant dans le même sens , étant
parallèles à la verticale C U et situées à'êV :ies distances
de cette verticale, se composeront en une forto unique dirigée
suivant CU, et qu’on pourra supposer appliquée
au point C, elle sera détruite par le fil C Z auquel l’aimant
est suspendu dans l’expérience actuelle ; mais s’il
ne l’était pas , elle porterait l’aimant vers le conducteur
NM ; c’est précisément celte force que j’ai désignée
sous le nom d’action attractive ou répulsive (i) dans

(i) Cette dernière action est ici attractive, parce que humant
est situé dé manière' que son pôle austral A est à gii"'
clié du courant NM.
.( *7 ) 
I mon premier Mémoire sur ce genre dé phénomènes, où
\  ;'ai analysé lesmouvemens produits dans l’expérience de
J M- OErsted.
| Quant aux deux forces horizontales dirigées suivant

* les droites hR", IT", et égales à ,=— , celles for'"'--

nieront évidemment un couple dont on trouvera la valeur
en multipliant cette expression par la distance lli
I des/deux forces,-distance qui est égale à 2 b cos s , en
 ? nommant b la moitié G.A bu CB de la longueur de
I* l’aimant prise d’un de ses pôles à l’autre.
1 v ' '■' • ''.'"' -1 -i ,■ ' i , :, , if: sin e cos oe
Lé moment cherche sera donc égal a —± •,
1 " 1 " - _ _ "
I et l’équation du mouvement sera

I w étant la, vitesse autour de CU à la distance 1. Plus
l’aimant est court, et plus l’angle <p est petit ; on a donc
 ? sensiblement 9,—o, et

i p ' '

g ! ;" dm dans celte équation est le moment d’inertie

| de l’aimant autour de l’axe CU qui passe parçson

I centre d’inertie Ç.

| On voit, à la seule inspection de la figure , que les

| forces dirigées suivant hR", IT", se réunissent pour

I amener l’aimant dans la direction CD perpendiculnij

renient plan ENMFenle faisant tourner autour de CU ;

j mais s’il était d’abord dans cette direction, il y resterait
■ ( 28 ) eu équilibre, parce qu’alors ces deux forces se trouvcni
opposées dans la même direction ; en effet, dans ^
cas , l’angle e étant nul, on a sin e = o , ce qui réduit
à o la valeur que nous venons de trouver pour
le couple. La force qui , en agissant à la distance b de
l’axe. CU sous l’angle s, produirait le même effet que ce
couple pour faire tourner l’aimant autour de CU, estévidemment égale à —-, en faisant toujours cos 9 sensia.
- -, \blement égal à l’unité. Cette force est comme l’a trouvée,
par expérience, M. Bio't en raison inverse de a.C’est à cause que nous avons supposé l’aimant horizontal
et sop. milieu C dans le plan vertical EN3IF,
que la dislance des deux pôles au conducteur NM, cl,
par conséquent les forces relatives à ces pôles, se sont
trouvées égales ; d’où il est résulté que les composantes
horizontales, dirigées suivant hR" etlT", ont formé
un couple. Dans ce cas, il est évident que le résultat
est identiquement le même que dans l’hypothèse du couple
primitif, parce qu’un couple peut être transporté,
sans que les effets produits éprouvent aucun changement,
dans tout plan parallèle au sien, pourvu qu’il conserve
la même valeur et que les nouveaux points d’application
des forces soient invariablement^liés aux anciens.-.Cette identité des résultats produits par les forces appliquées
comme elles le sont réellement aux points h et l,
et par des forces égales aux premières qu’on supposerait
appliquées aux pôles A et B , se voit immédiatement
dans le cas que nous avons cousidéré ici, parce que
les composantes horizontales de ces forces forment un
couple qui peut être transporté où l’on veut. Cette sorte. ■ • ( = »9 ) jc démonstration n’a plus lieu quand les pôles A et B
c sont pas à la même distance du fil conducteur, parce
mi'alors les forces qui leur sont relatives n’étant plus
égales entre elles, ne se réduisent plus à un couple. Dans
ce cas, la même identité dépend d’un autre condition, savoir,
de ce que le conducteur qui agit sur l’aimant forme
un circuit fermé ou un système de circuits fermés, alors
l’identité a ^toujours lieu comme je l’ai démontré dans la
Théorie des Phénomènes électro-dynamiques, pag. 157.
On sent bien, au reste, qu’à moins qu’une portion du courant
électrique ne passe par l’aimant ou par un conduc"•teur
Hé à l’aimant $ cette condition est toujours remplie
, ainsi que je l’ai dit dans le même ouvrage , parce
que la pile, les rhéophores et toutes les portions de conducteur
qui mettent ceux-ci en communication for|ment
toujours un circuit fermé.
% Dans les expériences faites par M. Biot, c’était réelleIjment
un circuit fermé qui agissait sur l’aimant dont il
si comptait les oscillations, et cela seul suffit pour démon|
trer que les résultats obtenus devaient être identiquement
les mêmes dans ma manière de considérer l’action d’un fil
couducteur et d’un aimant, et dans l’hypothèse du couple
primitif. Voyez, pour le calcul de ces expériences ,

l’Ouvrage que je viens de^cttèr^KNote v, page 216 et
\, /^ "• ' -.• ' ' ,,A
% suivantes. AÏ'^-ÏK:-, '-■QI
MJKVjp'