Théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques, uniquement déduite de l'expérience
Ampère, André-Marie (1775-1836)
A. Hermann, 1883




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DES PHENOMENES’
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UNIQUEMENT DÉDUITE DE L’EXPÉRIENCE
IMPRIMERIE C. MARPON ET E. FLAMMARION
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DES PHENOMENES
Élegtro-dynamiquesUNIQUEMENTDeduite de l’expériencePAli
ANDRE-MARIE AMPÈRE
DEUXIEME EDITIONCONFORME A LA PREMIERE PUBLIÉE EN 1826Paris
A. HERMANN, LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE
8, RUE DE LA SORBONNE, 8
1883IMPRIMERIE C. MABPON ET E. FLAMMARION
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ANDRÉ-MARIE AMPÈRE
DEUXIEME EDITIONCONFORME A LA PREMIÈRE PUBLIÉE EN 1826
'PARIS .

A. HERMANN, LtBRAIRIB SCIENTIFIQUE
8, RUE DE LA SORBONNE, 8
1883
Mémoire
SUR LA THÉORIE MATHÉMATIQUE
 »'-È ;S<Phenomenes electeo-dynamiques
UNIQUEMENT DÉDUITE DE L’EXPÉRIENCE

L’époque que les travaux de Newton ont marquée) daïïSiI ?Mstoii ?©cIes
sciences n’est pas seulement celle de la plus importante des: déçou*
vertes que l’homme ait faites sur les causes des grands phénomènes
de la nature, c’est aussi l’époque où l’esprit humain s’est ouvert wm
nouvelle route dans: les sciences qui ont pour objet l’étude de ces
phénomèjnes.

Jusqu’alors on en avait presque exclusivement cherché les. causes
dans l’impulsion d’un fluide inconnu qui entraînait les particules
matérielles suivant la direction de ses propres particules. ; et partout
où l’on voyait un mouvement révolutif, on imaginait un tourbillon dans
le même sens.

Newton nous a appris que cette sorte de mouvement doit, ; comme
tous ceux que nous offre la nature, être ramenée par le calcul 1 à des
forces agissant toujours entre deux particules matérielles suivant la
droite qui les joint, de manière que l’action exercée par l’une d’elles
sur l’autre ; soit égale et opposée à celle que cette dernière exerce en
même temps sur la première, et qu’il ne puisse, ; par eonséquentj
lorsqu’on suppose ces deux particules liées invariablement entre elles,
2 THEORIE MATHÉMATIQUE
résulter aucun mouvement de leur action mutuelle. C’est cette loi
confirmée aujourd’hui par toutes les observations, par tous les calculs,
qu’il exprima dans le dernier des trois axiomes qu’il plaça au commencement
des Philosophioe natufalis princïpia mathematica. Mais il
ne suffisait pas de s’être élevé à cette haute conception, il fallait
trouver suivant quelle loi ces forces varient avec la situation respective
des particules entre lesquelles elles s’exercent, ou, ce gui revient
au même, en exprimer la valeur par une formule.

Newton fut loin de penser qu’une telle loi pût être inventée en
partant de considérations abstraites plus ou moins plausibles, il
établit qu’elle devait être déduite des faits observés, ou plutôt de ces
lois empiriques qui, comme celles de Kepler, ne sont que les résultats
généralisés d’un grand nombre ie faits.

Observer d’abord les faits, en varier les circonstances autant qu’il
est possible, accompagner ce premier travail de mesures précises
pour en déduire des lois générales, uniquement fondées sur l’expérience,
et déduire de ces lois, indépendamment de toute hypothèse
sur la nature des forces qui produisent les phénomènes, la valeur
mathématique de ces forces, c’est-à-dire la formule qui les représente,
telle est la marche qu’a suivie Newton. Elle a été, en général, adoptée
en France par les savants auxquels la physique doit les immenses
progrès qu’elle a faits dans ces derniers temps, et c’est elle qui m’a
servi de guide dans toutes mes recherches sur les phénomènes électrodynamiques.
J’ai consulté uniquement l’expérience pour établir les
lois de ces phénomènes, et j’en ai déduit la formule qui peut seule,
représenter les forces auxquelles ils sont dus ; je n’ai fait aucune
recherche sur la cause même qu’on peut assigner à ces forces, bien
convaincu que toute recherche de ce genre doit être précédée delà
connaissance purement expérimentale des lois, et de la détermination,
uniquement déduite de ces lois, de la valeur des forces élémen- .
taires dont la direction est nécessairement celle de la droite menée
par les points matériels entre lesquels elles s’exercent. C’est pour
cela que j’ai évité de parler des idées que je pouvais avoir sur la
nature de la cause de celles qui émanent des conducteurs voltaïques,
si ce n’est dans les notes qui accompagnent VExposé sommaire des
nouvelles expériences électro-magnétiques faites par plusieurs physiciens
depuis le mois de mars 1821, que j’ai lu dans la séance publique
de l’Académie des Sciences, le 8 avril 1822 ; on peut voir ce que j’en
DES PHENOMENES ELEGTRO-DYNAMIQUES °
ai dit dans ces notes à la page 215 dé mon Recueil dObservations
électro-dynamiques. Il ne paraît pas que cette marche, la seule qui
puisse conduire à des résultats indépendants de toute hypothèse,
soit préférée parles physiciens du reste de l’Europe, comme elle l’est
par les Français ; et le savant illustre qui a Vu le premier les pôlesd’un
aimant transportés par l’action d’un fil conducteur dans des
directions perpendiculaires à celles de ce fil, en a Conclu que la matière
électrique tournait autour de lui, et poussait cespôles dans le
sens de son mouvement, précisément comme Desçartes faisait tourner
la matière de ses tourbillons dans le sens des révolutions planétaires.
Guidé par les ; principes de la philosophie nèwtonienne,ji'ai
ramené le phénomène observé par M. Oerstedt, comme on l’a fait à
l’égard de tous ceux du même genre que nous offre la natu/W, à des
forces agissant toujours suivant la droite qui joint les deux particules
entre lesquelles elles s’exercent ; et si j’ai établi que la même, disposition
ou le même mouvement de l’électricité qui existe dans le fil conducteur
a lieu aussi autour des partielles des aimants, ce n’est certainement
pas pour les faire agir par impulsion à la manière d’un
tourbillon, mais pour calculer, d’après ma-: formule-, les forces qui en
résultent entre ces particules et celles d’un conducteur ou d’un autre
aimant, suivant lés droites qui joignent deux à deux les particules
dont on considère l’action mutuelle, et pour montrer que les résultats
du calcul sont complètement vérifiés : 1° par les expériences que j’ai
faites et par celles qu’on doit à M, Pouillet sur la détermination précise
des. situations où il faut que se trouve un conducteur mobile,
pour qu’il Ireste en équilibre lorsqu’il est soumis à l’action, soit d’un
autre conducteur, soit d’un aimant ; 2° par l’accord de ces résultats
avec les lois que Coulomb et M, Biot ont déduites de leurs expériences,
le premier relativement à l’action mutuelle de deux aimants, le
second à celle d’un aimant et d’un fil conducteur.

Le principal avantage des formules qui sont ainsi conclues immédiatement
de quelques faits généraux donnés par un nombre suffisant
d’observations pour que la certitude n’en puisse être contestée,
est de rester indépendantes, tant des hypothèses dont leurs auteurs
ont pu s’aider dans la recherche de ces formules, que de celles qui
peuvent leur être substituées dans la suite. L’expression de l’attraction
universelle déduite des lois de Kepler ne dépend point des hypothèses
que quelques auteurs ont essayé de faire sur une cause méca-
4 THEORIE MATHEMATIQUE
nique qu’ils voulaient lui assigner. La théorie de la chaleur repose
réellement sur des faits généraux donnés immédiatement par l’observation ;
et l’équation déduite de ces faits se trouvant confirmée ; par
l’accord des résultats qu’on en tire et de ceux que donne l’expérience,
doit être également reçue comme exprimant les vraies lois de la propagation
dé la chaleur, et par ceux qui l’attribuent à un rayonnement
dé molécules calorifiques, et par ceux qui recourent pour expliquer le
même phénomène aux vibrations d’un fluide répandu dans l’espace-,
seulement il faut que les premiers montrent comment l’équation dont
il s’agit résulté ; dé leur manière de voir, et que les seconds la déduisent
des formules générales des mouvements vibratoires ; non. pour
rien ajouter à la certitude de cette équation, mais pour que leurs
hypothèses respectives puissent subsister. Le physicien qui n’a point
pris de parti à cet égard admet cette équation comme la représentation
exacte des faits ^ sans s’inquiéter de la manière dont elle: peut résulter
de l’une ou de l’autre des explications dont nous parlons ; et si
de nouveaux phénomènes et de nouveaux calculs viennent à démontrer
que les effets de la chaleur ne peuvent être réellement expliqués
que dans le système des vibrations, le grand physicien qui a lé premier
donné cette équation, et qui a crié pour l’appliquer a l’objet
de ses recherches de nouveaux moyens d’intégration, n’en serait pas
moins l’auteur de la théorie mathématique de la chaleur, comme
Newton est celui de la théorie des mouvements planétaires, quoique
cette dernière ne fût pas aussi complètement démontrée par ses travaux
qu’elle l’a été depuis par ceux de ses successeurs.

' Il en est de même de la formule par laquelle j’ai représenté l’action
électro-dynamique. Quelle que soit la cause physique à laquelle on
veuille rapporter les phénomènes produits par cette action, la formule
que j’ai obtenue restera toujours l’expression dés faits. Si l’on
parvient à la déduire d’une des considérations par lesquelles on a
expliqué tant d’autres phénomènes, telles que les attractions en raison
inverse du carré de la distance, celles qui deviennent insensibles
à toute distance appréciable des particules entre lesquelles elles
s’exercent, les vibrations d’un fluide répandu dans l’espace, etc., on
fera un pas de plus dans cette partie dé la physique ; mais cette recherche,
dont je ne me suis point encore occupé, quoique j’en reconnaisse
toute l’importance, ne changera rien aux résultats de mon travail,
puisque pour s’accorder avec les faits, il faudra toujours que
DES PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES 5
l’hypothèse adoptée s’accorde avec la formule qui les représente si
complètement.

Dès que j’eus reconnu que deux conducteurs voltaïques agissent
l’un sur l’autre, tantôt en s’attirant, tantôt en se répoussant, que
j’eus distingué et décrit les actions qu’ils exercent dans les différentes
situations où ils peuvent se trouver l’un à l’égard de l’autre,
et que j’eus constaté l’égalité de l’action qui est exercée par un conducteur
rectiligne, et de celle qui l’est par un conducteur sinueux,
lorsque celui-ci ne s’éloigne qu’à des distancés extrêmement petites
de la direction du premier, et se termine, de part et d’autre, aux
mêmes points ; je cherchai à exprimer par une formule la valeur de
la force attractive ou répulsive de deux de leurs éléments, ou parties
infiniment petites, afin de pouvoir en déduire, par les méthodes connues
d’intégration, l’action qui a lieu entre deux portions de conducteurs
données de forme et de situation.

L’impossibilité de soumettre directement à l’expérience des portions
infiniment petites du circuit voltaïque, oblige nécessairement à partir
d’observations faites sur des fils conducteurs de grandeur finie,, et
il faut satisfaire à ces deux conditions, que les observations soient
susceptibles d’une grande précision, et qu’elles soient propres à déterminer
la valeur de l’action mutuelle de deux portions infiniment
petites de ces fils. C’est ce qu’on peut obtenir de deux manières :
l’une consiste à mesurer d’abord avec la plus grande exactitude des
valeurs de l’action mutuelle de deux portions d’une grandeur finie,
en les plaçant successivement, l’une par rapport à l’autre, à différentes
distances et dans différentes positions, car il est évident qu’ici
l’action ne dépend pas seulement de la distance ; il faut ensuite faire
une hypothèse sur la valeur de l’action mutuelle de deux portions
infiniment petites, en conclure celle de l’action qui doit en résulter
pour les conducteurs de grandeur: finie sur lesquels on a opéré, et
modifier l’hypothèse jusqu’à ce que les résultats du calcul s’accordent
avec ceux de l’observation. C’est ce procédé que je m’étais d’abord proposé
de suivre, comme je l’ai expliqué en détail dans un Mémoire lu à
l’Académie des Sciences, le 9 octobre 1820 (1)  ; et quoiqu’il ne nous

(1 ) Ce mémoire n’a pas été publié à part, mais les principaux résultats en
ont été insérés dans celui que j’ai publié en 1820, dans le tome XV des Annales
de chimie et de physique.
6 THÉORIE MATHÉMATIQUE '
conduise à la vérité que par la voie indirecte des hypothèses, il n’en
est pas moins précieux, puisqu’il est souvent le seul qui puisse être
employé dans les recherches de ce genre. Un des membres de cette
Académie, dont les travaux ont embrassé toutes les parties de la physique,
l’a parfaitement décrit dans la Notice sur l’aimantation imprimée
aux métaux par l’électricité en mouvement, qu’il nous a lue le
2 avril 1821, en l’appelant un travail en quelque sorte de divination,
qui est la fin de presque toutes les recherches physiques (1).

Mais il existe une autre manière d’atteindre plus directement le
même but ; c’est celle que j’ai suivie depuis, et qui m’a conduit au
résultat que je désirais : elle consiste à constater, par l’expérience,
qu’un conducteur mobile reste exactement en équilibre entre des
forces égales, ou des moments de rotation égaux, ces forces et ces moments
étant produits par des portions de conducteurs fixes dont les
formes ou les grandeurs peuvent varier d’une manière quelconque,
sous des conditions que l’expérience détermine, sans que l’équilibre
soit troublé, et d’en conclure directement par le calcul quelle doit
être la valeur de l’action mutuelle do deux portions infiniment
petites, pour que l’équilibre soit en effet indépendant de tous
les changements de forme ou de grandeur compatibles avec ces
conditions.

Ce dernier procédé ne peut être employé que quand la nature dé
l’action qu’on étudie donne lieu à des cas d’équilibre indépendants
de la forme des corps ; il est, par conséquent, beaucoup plus restreint
dans ces applications que celui dont j’ai parlé tout à l’heure : mais
puisque les conducteurs voltaïques présentent des circonstances où
cette sorte d’équilibre a lieu, il est naturel de le préférer à tout autre,
comme plus direct, plus simple, et susceptible d’une plus grande exactitude
quandles expériences sont faites avec les précautions convenables.
Il y a d’ailleurs, à l’égard de l’action exercée par ces conducteurs, un
motif bien plus décisif encore de le suivre dans les recherches relatives
à la détermination des forces qui la produisent : c’est l’extrême
difficulté des expériences où l’on se proposerait, par exemple, dé mesurer
ces forces par le nombre des oscillations d’un corps soumis à
leurs actions. Cette difficulté vient de ce que quand on fait agir un
(1) Voyez le Journal des savants, avril 1821, p. 233. .DES PHENOMENES ÉLECTRO-DYNAMIQUES « 
conducteur fixe sur une portion mobile du circuit voltaïque, les
parties de l’appareil nécessaire pour la mettre en communication
avec la pile, agissent sur cette portion mobile en même temps que
le conducteur fixe, et altèrenl ainsi les résultats des expériences. Je
crois cependant être parvenu à la surmonter dans un appareil
propre à mesurer l’action mutuelle de deux conducteurs, l’un
fixe et l’autre mobile, par le nombre des oscillations de ce dernier,
et en faisant varier la forme du conducteur fixe. Je décrirai cet appareil
dans la suite de ce Mémoire.

11 est vrai qu’on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand on
mesure de la même manière l’action d’un fil conducteur sur un
aimant ; mais ce moyen ne peut être employé quand il s’agit de la
détermination des forces que deux conducteurs voltaïques exercent
l’un sur l’autre, détermination qui doit êLre le premier objet de nos
recherches dans l’étude des nouveaux phénomènes. Il est évident,
en effet, que si l’action d’un,fil conducteur sur un aimant était due à
une autre cause que celle qui a lieu entre deux conducteurs, les expériences
faites sur la première ne pourraient rien apprendre relativement
à la seconde ; et que si les aimants ne doivent leurs propriétés
qu’à des courants électriques, entourant chacune de leurs particules,
il faudrait, pour pouvoir en tirer des conséquences certaines relativement
à l’action qu’exerce sur ces courants celui du fil conducteur,
que l’on sût d’avance s’ils ont la même intensité près de la surface
de l’aimant et dans son intérieur, ou suivant quelle loi varie cette
intensité ; si les plans do ces courants sont partout perpendiculaires
à l’axe du: barreau aimanté, comme je l’avais d’abord supposé, ou si
l’action mutuelle des courants d’un même aimant leur donne une
situation d’autant plus inclinée à cet axe qu’ils en sont à une plus
grande distance et qu’ils s’écartent davantage de son milieu, comme
je l’ai conclu depuis de la différence qu’on remarque entre ; la situation
des pôles d’un aimant, et celles des points qui jouissent, dès
mêmes propriétés dans un fil conducteur roulé en hélice (1).

(1) Je crois devoir insérer ici la note suivante, qui est extraite de l’analyse
des travaux de l’Académie pendant l’année 1821, publiée le 8 avril 1822. (Voyez
la partie mathématique de cette analyse, p. 22 et 23.) 

« La.principale différence entre la manière d’agir d’un aimant et’d’un con« 
ducteur voltaïque dont une partie est roulée en hélice autour, de l’autre,

Les divers cas d’équilibre que j’ai constatés par des expériences
précises, donnent immédiatement autant de lois qui conduisent

« consiste en ce que les pôles du premier sont situés plus près du milieu de
l’aimant que ses extrémités, tandis que les points qui présentent les mêmes
propriétés dans l’hélice sont exactement placés aux extrémités de cette
hélice : c’est ce qui doit arriver quand l’intensité des courants de l’aimant va
en diminuant de son milieu vers ses extrémités. Mais M. Ampère à reéonnu
depuis une autre cause qui peut aussi déterminer cet effet. Après avoir
conclu de ses nouvelles expériences, que les courants électriques d’un aimant
existent autour de chacune de ses particules^ il lui a été aisé de voir qu’il
n’est pas nécessaire de supposer, comme il l’avait fait d’abord, que les plans
de ces courants sont partout perpendiculaires à l’axe de l’aimant ; leur action
mutuelle doit tendre à donner à ces plans une situation inclinée à l’axe, surit
tout vers ses extrémités, en sorte que les pôles, au lieu d’y être exactement
« situés, comme ils devraient l’être, d’après les calculs, déduits des formules
données par M. Ampère, lorsqu’on suppose tous les courants de même inten« 
site et dans des plans, perpendiculaires à l’axe, doivent se rapprocher du mi*-
« lieu de l’aimant d’une partie de sa longueur d’autant plus grande que les
plans d’un plus grand nombre de courants sont ainsi inclinés, et qu’ils le sont
davantage, c’est-a-dire d’autant plus que l’aimant est plus épais relativement
à sa longueur, ce qui est conforme à l’expérience. Dans les fils conducteurs
plies en hélice, et dont une partie revient par l’axe pour détruire l’effet de la
partie des courants de chaque spire qui agit comme s’ils étaient parallèles à
cet axe^ les deux circonstances qui, d’après ce que nous venons de dire, n’ont
pas nécessairement lieu dans les aimants, existent au contraire nécessai« 
rement dans ces fils ; aussi observe-t-on que les hélices ont des pôles sem« 
blables à ceux des aimants, mais placés exactement à leurs extrémités comme
« le donne le calcul. »

On voit par cette note que, dès l’année 1821, j’avais conclu des phénomènes
que présentent les aimants : 1° qu’en considérant chaque particule d’un barreau
aimanté comme un aimant, les axes de ces aimants élémentaires doivent
être, non pas parallèles à l’axe de l’aimant total comme on le supposait alors,
mais situés dans des directions inclinées à cet axe et dans des directions déterminées
par leur action mutuelle ; 2° que cette disposition est une des causes
pour lesquelles les pôles de l’aimant total ne sont pas situés à ses extrémités,
mais entre les extrémités et le milieu de l’aimant. L’une et l’autre de ses assertions
se trouvent aujourd’hui complètement démontrées par les résultats que
M. Poisson a déduits des formules par lesquelles il a représenté la distribution,
dans les aimants, des forces qui émanent de chacune de leurs particules. Ces
formules sont fondées sur la loi de Coulomb, et il n’y a ; par conséquent, rien à
y changer quand on adopte la manière dont j’ai expliqué les phénomènes
magnétiques, puisque cette loi est une conséquence de ma formule, comme on
le verra dans la suite de ce Mémoire.
DES PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES t »
directement à l’expression mathématique de la force que deux éléments
de conducteurs voltaïques exercent l’un sur l’autre, d’abord en
faisant connaître la forme de cette expression, ensuite en déterminant
les nombres constants, mais d’abord inconnus, qu’elle renferme,
précisément comme les lois de Kepler démontrent d’abord que la force
qui retient les planètes dans leurs orbites tend constamment au
centre du soleil, puisqu’elle change pour une même planète en raison
inverse du carré de sa distance à ce centre, enfin que le coefficient
constant qui en représente l’intensité a la même valeur pour toutes
les planètes. Ces cas d’équilibre sont au nombre de quatre : le premier
démontre l’égalité des valeurs absolues de l’attraction et de la
répulsion qu’on produit en faisant passer alternativement, en deux
sens opposés, le même courant dans un conducteur fixe dont on ne
change ni la situation ni la distance au corps sur lequel il agit. Cette
égalité résulte de la simple observation que deux portions égales d’un
même fil conducteur recouvertes de soie pour en empêcher la communication,
et toutes deux rectilignes ou tordues ensemble de
manière à former l’une autour de l’autre deux hélices dont toutes les
parties sont égales, et qui sont parcourues par un même courant
électrique, l’une dans un sens et l’autre en sens contraire, n’exercent
aucune action, soit sur un conducteur mobile, soit sur un aimant ;
on peut aussi la constater à l’aide du conducteur mobile qu’on voit
dans la figure 9 de la planche Iro du tome XYIII des Annales de
chimie et de physique, relative à la description d’un de mes appareils
électro-dynamiques, et qui est représenté ici (PL I, fig. 1). On place
pour cela uni peu au-dessous de la partie inférieure dee'é de [ce conducteur,
et dans une direction quelconque, un conducteur rectiligne
horizontal plusieurs fois redoublé AB, de manière que le milieu de sa
longueur et de son épaisseur soit dans la verticale qui passe par les
pointes x, y, autour desquelles tourne librement le conducteur
mobile. On voit alors que ce conducteur reste dans la situation où on
le place ; ce qui prouve qu’il y a équilibre entre les actions exercées
par le conducteur fixe sur les deux portions égales et opposées de
circuit voltaïque bcde, b'c’d’e', qui ne diffèrent que parce que, dans
l’une, le courant électrique va en s’approchant du conducteur fixe
AB, et dans l’autre, en s’en éloignant, quel que soit d’ailleurs l’angle
formé par la direction de ce dernier conducteur avec le plan du
conducteur mobile : or, si l’on considère d’abord les deux actions
210 THÉORIE MATHÉMATIQUE
exercées entre chacune de ces portions de circuit voltaïque et la moitié
du conducteur AB dont elle est la plus voisine, et ensuite les deux
actions entre chacune d’elles et la moitié du même conducteur dont
elle est la plus éloignée, on verra aisément : 1° que.l’équilibre dont
nous venons de parler ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de
cet angle, qu’autant qu’il y a séparément équilibre entre les deux
premières actions et les deux dernières ; 2° que si l’une des deux premières
est attractive, parce que les côtés de l’angle aigu formé par les
portions de conducteurs entre lesquelles elle a lieu, sont parcourus
dans le même sens par le courant électrique, l’autre sera répulsive
parce qu’elle aura lieu entre les deux côtés de l’angle égal opposé au
sommet, qui sont parcourus en sens contraires par le même courant,
en sorte qu’il faudra d’abord, pour qu’il y ait équilibre entre elles,
que ces deux, premières actions qui tendent à faire tourner le conducteur
mobile, l’une dans un sens, l’autre dans le sens opposé,
soient égales entre elles ; et ensuite que les deux dernières actions,
l’une attractive et l’autre répulsive, qui s’exercent entre les côtés des
deux angles obtus opposés au sommet et suppléments de ceux dont
nous venons de parler, soient aussi égales entre elles. Il est inutile
de remarquer que ces actions sont réellement les sommes des produits
des forces qui agissent sur chaque portion infiniment petite du
conducteur mobile, multipliées par leur distance à la verticale autour
de laquelle il peut librement tourner ; mais comme les distances à cette
verticale des portions infiniment petites correspondantes des deux
branches bcde, b'c’d’e' sont toujours égales entre elles, l’égalité des
moments rend nécessaire celle des,forces.

Le second des trois cas généraux d’équilibre, est celui que j’ai
remarqué à la fin de l’année 1820 ; il consiste dans l’égalité des
actions exercées sur un conducteur rectiligne mobile, par deux conducteurs
fixes situés à égales distances du premier, et dont l’un est
rectiligne, l’autre plié et contourné d’une manière quelconque, quelles
que soient d’ailleurs les sinuosités que forme ce dernier. Voici la
description de l’appareil avec lequel j’ai vérifié l’égalité des deux
actions par des expériences susceptibles d’une grande précision, et
dont j’ai communiqué les résultats à l’Académie, dans la séance du
26 décembre 1820.

Les deux règles verticales en bois, PQ, RS (fig. 2) , portent, dans
des rainures pratiquées sur celles de leurs faces qui se trouvent en
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES il
regard, la première un fil rectiligne bc, la seconde un fil kl formant,
dans toute sa longueur et dans un plan perpendiculaire au plan qui
joindrait les deux axes des règles, des contours et des replis tels que
ceux qu’on voit dans la figure le long de la règle ES, de manière que
ce fil ne s’éloigne, en aucun de ses points, que très peu du milieu de
la rainure.

Ces deux fils sont destinés à servir de conducteurs à deux portions
d’un même courant, que l’on fait agir par répulsion sur la partie ; GH
d’un conducteur mobile, composé de deux circuits rectangulaires
presque fermés et égaux BCDE, FGHI, qui sont parcourus en sens
contraires par le courant électrique, afin que les actions que la terre
exerce sur ces deux circuits se détruisent mutuellement. Aux deux
extrémités dé ce conducteur mobile, sont deux pointes A et K qui
plongent dans les coupes M et N, pleines de mercure, et soudées aux
extrémités des deux branches de cuivre gM, AN. Ces branches sont
en communication, par les boîtes de cuivre g et h, la première avec
un fil de cuivre gfe, plié en hélice autour du tube de verre hgf, Pautre
avec un fil rectiligne hi qui passe dans l’intérieur du même tube, et
se termine dans l’auge hi, creusée dans une pièce de bois vw qu’on
fixe à la hauteur que l’on veut, contre le montant z, avec la vis de
pression o. D’après l’expérience dont j’ai parlé plus haut, cette portion
du circuit composée de l’hélice g/et du fil rectiligne hi, ne peut
exercer aucune action sur le conducteur mobile. Pour que le courant
électrique passe dans les conducteurs fixes bc et kl, les fils dont ces
conducteurs sont formés se prolongent en cde, Imn, dans deux tubes
de verre ( !) attachés à la traverse xy, et viennent se terminer, le
premier dans la coupe e, et le second dans la coupe n. Tout étant ainsi
disposé, on met du mercure dans toutes les coupes et dans les deux
auges ba, M, et l’on plonge le rhéophore positif pa dans l’auge ba qui
est aussi creusée dans la pièce de bois vw, et le rhéophore négatif
qn dans la coupe n. Le courant parcourt tous les conducteurs de
l’appareil dans l’ordre suivant pabcdefq MABCDEFGHIKN hiklmnq ;

(1) L’usage de ces tubes est d’empêcher la flexion des fils qui y sont renfermés,
en les maintenant à des distances égales des deux conducteurs be, kl, afin
que leurs actions sur GH qui diminuent celle de ces deux conducteurs, les diminuent
également.
12 THÉORIE MATHÉMATIQUE
d’où il résulte qu’il est ascendant dans les deux conducteurs fixes, et
descendant dans la partie GH du conducteur mobile qui est soumise
à leur action, et qui se trouve au milieu de l’intervalle des deux conducteurs
fixes dans le plan qui passe par leurs axes. Cette partie GH
est donc repoussée par bc et kl: d’où il suit que si l’action de ces
deux conducteurs est la même à égales distances, GH doit s’arrêter
au milieu de l’intervalle qui les sépare ; c’est ce qui arrive en effet.
Il est bon de remarquer : 1° que les deux axes des conducteurs fixes
étant à égales distances deGH, on ne peut-pas dire rigoureusement
que la distance est la même pour tous 1 les points du conducteur kl, à.
cause des contours et des replis que forme ce conducteur. Mais
comme ces contours et ces replis sont dans un plan perpendiculaire
au plan qui passe par GH et par les axes des conducteurs fixes, il est
évident que la différence de distance qui en résulte, est la plus petite
possible, et d’autant moindre que la moitié de la largeur de la
rainure BS,,que cette moitié est moindre que l’intervalle des deux
régies, puisque cette différence, dans le cas où elle est la plus grande
possible, est égale à celle qui se trouve entre le rayon et la sécante
d’un arc dont la tangente est égale à la moitié de la largeur de la
rainure,, et qui appartient à un cercle dont.le diamètre est l’intervalle
des deux règles ; 2° que si l’on décompose chaque portion infiniment
petite du conducteur kl, comme on décomposerait une force en deux
autres petites portions qui en soient les projections, l’une sur l’axe
vertical de ce conducteur, l’autre sur des lignes horizontales menées
par tous ses points dans le plan où se trouvent les replis et les contours
qu’il forme, la somme des premières, en prenant négativement
celles qui, ayant une direction opposée à la direction des autres, doivent
produire une action en sens contraire, sera égale à la longueur
de cet axe ; en sorte que l’action totale, résultant de toutes ces projections,
sera la même que celle d’un conducteur rectiligne égal à
l’axe, c’est-à-dire à celle du conducteur bc situé de l’autre côté à la
même distance de GH, tandis que l’action des secondes sera nulle
sur le même conducteur mobile GH, puisque les plans élevés perpendiculairement
sur le milieu de chacune d’elles passeront sensiblement
par la direction de GH. La réunion de ces deux séries de
projections produit donc nécessairement sur GH une action égale à
celle de bc ;. et comme l’expérience prouve que le conducteur sinueux
kl produit aussi une action égale à celle de bc, quels que soient les
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 13
replis et les contours qu’il forme, il s’ensuit qu’il agit, dans tous les
cas, comme la réunion des deux séries de projections, ce qui ne peut
avoir lieu, indépendamment delà manière dont il est plié et contourné,
à moins que chacune des parties de ce conducteur n’agisse
séparément comme la réunion de ses deux projections.

Pour que cette expérience ait toute l’exactitude désirable, il est
nécessaire que les deux règlessoient exactement verticales, et qu’ elles
soient précisément à la même distance du conducteur mobile. Pour
remplir ces conditions, on adapte une division oc(3 à la traverse xy, et
■ l’on-fixe, les règles avec deux crampons t\ et 9, et deux vis de pression
"X, [jt., ce qui permet de les écarter ou de les rapprocher à volonté,
en les maintenant toujours à égale distance du milieu y de la division
c$. L’appareil est construit de manière que les deux règles sont
perpendiculaires à la traverse xy, et on rend celle-ci horizontale à
l’aide des vis que l’on voit aux quatre coins du pied de l’instrument,
et du fil à plomb XY qui répond exactement au point Z, déterminé
convenablement sur ce pied, quand la traverse xy est parfaitement
de niveau.

Pour rendre le conducteur ABCDEFGHIK mobile autour d’une
ligne verticale, située à égale distance des deux conducteurs bc, kl,
ce conducteur est suspendu à un fil métallique très fin attaché,au
centre d’un bouton T, qui peut tourner sur lui-même sans changer
de distance à ces deux conducteurs ; ce bouton est au centre d’un
petit cadran 0, sur lequel l’indice L sert à marquer l’endroit où il
faut l’arrêter pour que la partie GH du conducteur mobile réponde,
sans que le fil soit tordu, au milieu de l’intervalle des deux conducteurs
fixes bc, kl, afin de pouvoir remettre immédiatement l’aiguille
dans la direction où il faut qu’elle soit pour cela, toutes les fois qu’on
veut répéter l’expérience. On reconnaît que GH est en effet à égale
distance de bc et de kl, au moyen d’un autre fil à plomb tj/u> attaché
à une branche de cuivre <?%$ portée comme le cadran 0 par le support
UVQ, dans lequel cette branche <px$ Peut tourner autour de
l’axe du bouton <p qui la termine, ce qui donne la facilité de faire
répondre la pointe de l’aplomb w sur la ligne y8 milieu de la division
a£J. Quand le conducteur est dans la position convenable, les trois
verticales tyu, GH et CD se trouvent dans le même plan, et l’on
s’en assure aisément en plaçant l’oeil dans ce plan en, avant
de ipto.
THEORIE MATHEMATIQUE
Le conducteur mobile se trouve ainsi placé d’avance dans la situation
où il doit y avoir équilibre, entre les répulsions des deux conducteurs
fixes, si ces répulsions sont exactement égales : on les produit
alors en plongeant dans le mercure de l’auge ba et dé la coupe n les
fils ap,nq, qui communiquent avec les deux extrémités de la pile, et
l’on voit le ; conducteur GH rester dans cette situation malgré la
grande mobilité de ce genre desuspension, tandis que sil’on déplace,
même très peu, l’indice L, ce qui amène GH dans une situation où-il
n’est plus à égales distances des conducteurs fixes bc, kl, on le voit
se mouvoir à l’instant où l’on établit les communications avec la pile,
en s’éloignant de celui des conducteurs dont il se trouve le plus
près. C’est ainsi que j’ai constaté, dans le temps où j’ai fait construire
cet instrument, l’égalité des actions des deux conducteurs
fixes, par des expériences répétées plusieurs fois avec toutes les précautions
nécessaires pour qu’il ne pût rester aucun doute sur
leur résultat.

On peut aussi démontrer la même loi par une expérience bien
simple : il suffit pour cela de prendre un fil de cuivre revêtu de soie
dont une portion est rectiligne et l’autre est repliée autour d’elle de
manière qu’elle forme des sinuosités quelconques sans se séparer de
la première qui en est isolée par la soie qui les recouvre. On constate
alors qu’une autre portion de fil conducteur est sans action sur l’assemblage
de ces deux portions ; et comme elle le serait également
sur l’assemblage de deux fils rectilignes parcourus en sens contraires
par un même courant électrique, d’après l’expérience par laquelle on
constate de la manière la plus simple le premier cas d’équilibre, il
s’ensuit que l’action d’un courant sinueux est précisément égale à
celle d’un courant rectiligne compris entre les mêmes extrémités,
puisque ces deux actions font l’une et l’autre équilibre à l’action
d’un même courant rectiligne de même longueur que ce dernier,
mais dirigé en sens contraire.

Le troisième cas d’équilibre consiste en ce qu’un circuit fermé de
forme quelconque, ne saurait mettre en mouvement une portion
quelconque d’un fil conducteur formant un arc du cercle dont le
centre est dans un axe fixe, autour duquel il peut tourner librement
et qui est perpendiculaire au plan du cercle dont cet arc fait
partie.
Sur un pied TT’(PL Irc, fig. 3) , en forme de table, s’élèvent deux
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 15
colonnes, EF, E'F', liées entre elles par deux traverses: LL’, EF' ;un
axe GH est maintenu entre ces deux traverses dans une position
verticale. Ses deux extrémités G, H, terminées en pointes aiguës,
entrent dans deux trous coniques pratiqués, l’un dans la traverse
inférieure LL’, l’autre à l’extrémité d’une vis. KZ portée par la traverse
supérieure FF', et destinée à presser l’axe GH sans le forcer.
En C est fixé invariablement à cet axe un support QO dont
l’extrémité 0 présente une charnière dans laquelle est engagé par
son milieu un arc de cercle AA' formé d’un fil métallique qui reste
constamment dans une position horizontale, et qui a pour rayon la
distance du point 0 à l’axe.GH. Cet arc est équilibré par un contrepoids
Q, afin de diminuer le frottement de l’axe GH dans lés trous
coniques où ses extrémités sont reçues.

Au-dessous de l’are AA' sont disposés deux augets M, M’ pleins dé
mercure, de telle sorte que la surface du mercure, s’élevant au-dessus
des bords, vienne toucher l’arc AA' en B et B'. Ces deux augets
communiquent par des conducteurs métalliques, MN, M’N’, avec des
coupes P, P' pleines de mercure. La coupe P et le conducteur MN qui
la réunit à l’auget M sont fixés à un axe vertical qui s’enfonce dans la
table de manière à pouvoir tourner librement. La coupe P', à laquelle
est attaché le conducteur M’N’, est traversée par le même axe, autour
duquel elle peut tourner aussi indépendamment de l’autre. Elle en
est isolée par un tube de verre V qui enveloppe cet axe, et par une
rondelle de verre U qui la sépare du conducteur de l’auget M, de manière
qu’on peut disposer les conducteurs MN, M’N’ sous l’angle qu’on
veut. -il

Deux autres conducteurs IR, I'R' attachés à la table plongent respectivement
dans les coupes P, P', et les font communiquer avec des
cavités R, R' creusées dans, la table et remplies de mercure. Enfin,
une troisième cavité S pleine également de mercure se trouve entre
les deux autres.  ;

Voici la manière de faire usage de cet appareil : On fait plonger
l’un des rhéophores, par exemple, le rhéophore positif dans la cavité
R, et le rhéophore négatif dans la cavité S, qu’on met en communication
avec la cavité R' par un conducteur curviligne d’une forme
quelconque. Le courant suit le conducteur RI, passe dans la coupe
P, de là dans le conducteur NM, dans l’auget M, le conducteur M’N’,
la coupe P', le conducteur: I'R', et enfin de la cavité R' dans le con-
16 THÉORIE MATHÉMATIQUE
ducteur curviligne qui communique avec le mercure de la cavité S
où plonge le rhéophore négatif.
D’après cette disposition le circuit voltaïque total est formé :
1° De l’arc BB' et des conducteurs MN, M’N’ ;
2° D’un circuit qui se compose des parties RIP, P'I'R' de l’appareil,
du conducteur curviligne allant de R' en S et de la pile elle-même.

Ce dernier circuit doit agir comme un circuit fermé, puisqu’il n’est
interrompu que par l’épaisseur du verre qui isole les deux coupes P,
P' : il suffira donc d’observer son action sur l’arc BB' pour constater
par l’expérience l’action d’un circuit fermé sur un arc dans les différentes
positions qu’on peut donner à l’un et à l’autre.

Lorsqu’au moyen de la charnière 0 on met l’arc AA' dans une position
telle que son centre soit hors de l’axe GH, cet" are prend un
mouvement et glisse sur le mercure des augets M, M’ en vertu de
l’action du courant curviligne fermé qui va de R' en S. Si au contraire
son centre est dans l’axe, il reste immobile ; d’où il suit que
les deux portions du circuit fermé qui tendent à le faire tourner en
sens contraires autour de l’axe exercent sur cet arc des moments de
rotation dont la valeur absolue est la même, et cela, quelle que soit
la grandeur de la partie BB' déterminée par l’ouverture de l’angle des
conducteurs MN, M’N’. Si donc on prend successivement deux arcs
BB' qui diffèrent peu l’un de l’autre, comme le moment de rotation
est nul pour chacun d’eux, il sera nul pour leur petite différence, et
par conséquent pour tout élément de circonférence dont le centre
est dans l’axe ; d’où il suit que la direction de l’action exercée par le
circuit fermé sur l’élément passe par l’axe, et qu’elle est nécessairement
perpendiculaire à l’élément.

Lorsque l’arc AA' est situé de manière que son centre soit dans
l’axe, les portions de conducteur MN, M’N’ exercent sur l’arc BB' des ,
actions répulsives égales et opposées, en sorte qu’il ne peut en résulter
aucun effet ; et puisqu’il n’y a pas de mouvement, on est
sûr qu’il n’y a pas de moment de rotation produit par le circuit
fermé.

Lorsque l’arc AA' se meut dans l’autre situation où nous l’avions
d’abord supposé, les actions des conducteurs MN et M’N’ ne sont plus
égales : on pourrait croire que le mouvement n’est dû qu’à cette
différence ; mais suivant qu’on approche ou qu’on éloigne le circuit
curviligne qui va de R' en S, le mouvement est augmenté ou diminué,
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 17
ce qui ne permet pas de douter que le circuit fermé ne soit pour beaucoup
dans l’effet observé.

Ce résultat ayant lieu, quelle que soit la longueur de Taxe AA',
aura nécessairement lieu pour chacun des éléments dont cet arc est
composé. Nous tirerons de là cette conséquence générale, que l’action
d’un circuit fermé, ou d’un ensemble de circuits fermés quelconques,
sur un élément infiniment petit d’un courant électrique, est perpén^
diculaire à Cet élément.

C’est à l’aide d’un quatrième cas d’équilibre, dont il me reste à
parlerj- qu’on peut achever de déterminer les eoefflcients constants
qui entrent dans ma formule, sans avoir recours, comme je l’avais
d’abord fait, aux expériences où un aimant et un fil conducteur agissent
l’un sur l’autre. Voici l’instrument à l’aide duquel cette détermination
repose uniquement sur l’observation de ce qui a lieu quand
ce sont deux fils conducteurs dont on examine l’action mutuelle.

Dans la table MN (PL Ire, fig. 4) , est creusée une cavité A, remplie
de mercure, d’où part un conducteur fixe ABCDEFG formé d’une
lame de cuivre, la portion CDE est circulaire, et les parties CBA, ÉFG
sont isolées l’une de l’autre par la soie qui les recouvre. En G ce
conducteur est soudé à un tube de cuivre GH, surmonté d’une coupe
I, qui communique avec le tube par le support HI du même métal.
De la coupe I part un conducteur mobile IKLMNPQRS, dont la portion
MNP est circulaire ; il est entouré de soie dans les parties MLK
et PQR pour qu’elles soient isolées, et il est tenu horizontal au moyen
d’un contre-poids a fixé sur une circonférence de cercle qu’un prolongement
bcg. de la lame dont est composé le conducteur mobile
forme autour du tube GH. La coupe S est soutenue par une tige ST,
ayant le même axe que GH, dont elle est isolée par une substance
résineuse que l’on coule dans le tube. Le pied de la tige ST est soudé
au conducteur fixe TUVXYZA', qui sort du tube GH par une ouverture
assez grande pour que la résine l’en isole aussi complètement
dans cet endroit qu’elle le fait dans le reste du tube GH, à l’égard de
ST. Ce conducteur, à sa sortie du tube, est revêtu de soie pour empêcher
la portion TUV de communiquer avec YZA'. Quant à.l’a portion
VXY, elle est circulaire, et l’extrémité A' plonge dans une seconde
cavité A' creusée dans la table et pleine de mercure.

Les centres 0, 0', 0" des trois portions circulaires sont en ligne
droite ; les rayons des cercles qu’elles forment sont en proportion
3THEORIE MATHEMATIQUE
géométrique continue, et l’on place d’abord le conducteur mobile de
manière que les distances 00', O'O" sont dans le même rapport que
les termes consécutifs de cette proportion ; de sorte que les cercles 0
et 0' forment un système semblable à celui des cercles 0' et 0". On
plonge alors le rhéophore positif en A et le rhéophore négatif en A',
le courant parcourt successivement les trois cercles dont les centres
sont en 0, 0', 0", qui se repoussent deux à deux, parce que le courant
va en sens opposés dans les parties voisines.

Le but de l’expérience qu’on fait avec cet instrument est de prouver
que le conducteur mobile reste en équilibre dans la position où le
rapport 00' à O'O" est le même que celui des rayons de deux cercles
consécutifs, et que si on l’écarté de cette position il y revient en
oscillant autour d’elle.

Je vais maintenant expliquer comment on déduit rigoureusement
de ces cas d’équilibre la formule par laquelle j’ai représenté l’action
mutuelle de deux éléments de courant voltaïque, en montrant que
c’est la seule force agissant suivant la droite qui en joint les milieux
qui puisse s’accorder avec ces données de l’expérience. Il est d’abord
évident que l’action mutuelle de deux éléments de courants électriques
est proportionnelle à leur longueur ; car, en les supposant
divisés en parties infiniment petites égales à leur commune mesure,
toutes les attractions ou répulsions de ces parties, pouvant être considérées
comme dirigées suivant une même droite, s’ajoutent nécessairement.
Cette même action doit encore être proportionnelle aux
intensités des deux courants. Pour exprimer en nombre l’intensité
d’un courant quelconque, on concevra qu’on ait choisi un autre
courant arbitraire pour terme de comparaison, qu’on ait pris deux
éléments égaux dans chacun de ces courants, qu’on ait cherché le
rapport des actions qu’ils exercent à la même distance sur un même,
élément de tout autre courant, dans la situation où il leur est parallèle
et où sa direction est perpendiculaire aux droites qui joignent son
milieu avec les milieux de deux autres éléments. Ce rapport sera la
mesure d’une des intensités, en prenant l’autre pour unité.

Désignant donc par i et i' les rapports des intensités des deux courants
donnés à l’intensité du courant pris pour unité, et par ds, as’
les longueurs des éléments que l’on considère dans chacun d’eux ;
leur action mutuelle, quand ils seront perpendiculaires à la ligne qui
joint leurs milieux, parallèles entre eux et situés à l’unité de distance
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 19
l’un de l’autre, sera exprimée par iïàsàs’ ; que nous prendrons avec
le signe + quand les deux courants, allant dans le même sens, s’attireront,
et avec le signe — dans le cas contraire.

Si l’on voulait rapporter l’action des deux éléments à la pesanteur,
on prendrait pour unité de forces le poids de l’unité de volume d’une
matière convenue. Mais alors le courant pris pour unité ne serait plus
arbitraire ; il devrait être tel, que l’attraction entre deux de ses éléments
as, as’, situés’comme nous venons de le dire, pût soutenir un
poids qui fût à l’unité de poids comme dsds’ est à i. Ce courant une
fois déterminé, le produit M’dsds’ désignerait le rapport’de l’attraction
de deux éléments d’intensités quelconques, toujours dans la
même situation, au poids qu’on aurait choisi pour unité de force.

Cela posé, si l’on considère deux éléments placés d’une manière
quelconque ; leur action mutuelle dépendra de leurs longueurs, des
intensités des courants dont ils font partie, et de leur position respective.
Cette position peut se déterminer au moyen de la longueur r de
la droite qui joint leurs milieux, des angles 9 et 0' que font, avec un
même prolongement de cette droite, les directions des deux éléments
pris clans le sens de leurs courants respectifs, et enfin de l’angle w
que font entre eux les plans menés par chacune de ces directions et
par la droite qui joint les milieux des éléments.

La considération des diverses attractions ou répulsions observées
dans la nature me portait à croire que la force dont je cherchais l’expression,
agissait de même en raison inverse de la distance ; je la supposai,
pour plus de généralité, en raison inverse de la puissance n16me de
cette distancé,' n étant une constante à déterminer. Alors en représentant

par p, la fonction inconnue des angles 6, 6', w, j’eus S-—-—

pomTexpression générale de l’action de deux éléments ds,ds’de deux

courants ayant pour intensités i et i'. Il me restait à déterminer la

fonction p, je considérai d’abord pour cela deux éléments ad, ddl

(pi. Iro, fig. 5) parallèles entre eux, perpendiculaires à la droite qui

joint leurs milieux, et situés à une distance quelconque r l’un de

l’autre ; leur action étant exprimée d’après ce qui précède par
ii' d s d s’

—-^—, je supposai que ad restât fixe, et que a'd’ fût transporté

parallèlement à lui-même, de manière que son milieu fût toujours à
la même distance de celui de ad ; w étant toujours nul, la valeur de
20 THÉORIE MATHÉMATIQUE
leur action mutuelle ne pouvait dépendre que des angles désignés

ci-dessus par -9, 9', et qui, dans ce cas, sont égaux ou suppléments

l’un de l’autre, selon que les courants sont dirigés dans le même sens
… -.:.-. . " ■ „ . tt’dsds’<p(9,9') 
ou en sens opposes ; je. trouvai ainsi pour cette valeur —— Jy .

En nommant k la constante positive- ou négative à laquelle se réduit
<p (8, 9') quand l’élément a'd’ est en a'"d’" dans le prolongement de ad,

et dirigé dans le même sens, j’obtins • -r— pour l’expression de

l’action de ad sur a'"b'" ; dans cette expression la constante k représente
le rapport de l’action de ad sur ad"' à celle de ad sur a'd’,
rapport indépendant de la distance r, des intensités i, i', et des longueurs
d s, ds’ des deux éléments que l’on considère.

Ces valeurs de l’action électro-dynamique, dans les deux cas les
plus simples, suffisent pour trouver la forme générale de la fonction p,
en partant de l’expérience qui montre que l’attraction d’un élément
rectiligne infiniment petit est la même que celle d’un autre élément
sinueux quelconque, terminé aux deux extrémités du premier, et de
ce théorème que je vais établir, savoir : qu’une portion infiniment
petite de courant électrique n’exerce aucune action sur une autre
portion infiniment petite d’un courant situé clans un plan qui passe
par son milieu, et qui est perpendiculaire à sa direction. En effet, les
deux moitiés du premier élément produisent sur le second des
actions égales, l’une attractive et l’autre répulsive, parce que dans
l’une de ces moitiés le courant va en s’approchant et dans l’autre en
s’éloignant de la perpendiculaire commune. Or, ces deux forces
égales font un angle qui tend vers deux angles droits à mesure que
l’élément tend vers zéro. Leur résultante est donc infiniment petite
par rapport à ces forces, et doit par conséquent être négligée dans
le calcul. Cela posé, soient Mm(fig. 6) = ds et M’m—ds’,. deux
éléments de courants électriques, dont les milieux soient aux
points A et A' ; faisons passer le plan MA' ?ra par la droite AA' qui
les joint, et par l’élément Mm. Substituons à la portion de courant
ds qui parcourt cet élément, sa projection Nra = d s cos 8 sur la
droite AA', et sa projection Vp = dssin9 sur la perpendiculaire élevée
en A cette droite dans le plan MA'm ; substituons ensuite à la portion
de courant ds’ qui parcourt M’m’sa projection N’rc’ = ds’ cos 9 sur la
droite AA' et sa projection Pj »' = ds’ sin. 9' sur la perpendiculaire à
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 21
A A' menée par le point A' sur AA' dans le plan M’Am’ ; remplaçons
enfin cette dernière par sa projection IV = ds’ sin 9' cos w sur le
plan MA'm et par sa projection UV=ds’sin 9'sinw sur la perpendiculaire
à ce plan menée par le point A' ; d’après la loi établie ci-dessus,
l’action des deux éléments d s et d s’ sera la même que celle de
l’assemblage des deux portions de courants ds cos 9 et d s sin 9 sur
celui des trois portions ds’cos9', ds’sin9'cosw, ds’sin9'sinw ; cette
dernière ayant son milieu dans le plan MAm auquel elle est perpendiculaire,
il n’y aura aucune action entre elle et les deux portions
ds cos 9, ds sin 9, qui sont dans ce plan. Il ne pourra non plus, par la
même raison, y en avoir aucune entre les portions ds cos 9, ds’ sin9'
cos. w, ni entre les portions ds sin 9, ds’ cos 9', puisqu’en concevant
par la droite AA' un plan perpendiculaire au plan MA'm,'ds cos 9 et
ds’ cos 9' se trouvent dans ce plan, et que les portions d s’sin 9' cos w
et ds sin 9 lui sont perpendiculaires et ont leurs milieux dans ce
même plan. L’action des deux éléments ds et ds’ se réduit donc à la
réunion des deux actions restantes, savoir : l’action mutuelle de ds
sin 9 et de ds’sin 9' cos w et à celle de ds cos 9 et de ds’cos 9', ces
deux actions étant toutes deux dirigées suivant la droite AA' qui
joint les milieux des portions de courants entre lesquelles elles
s’exercent, il suffit de les ajouter pour avoir l’action mutuelle des
deux éléments ds et ds’. Or les portions d s sin 9 et d s’sin 9'cos w sont
dans un même plan, et toutes deux perpendiculaires à la droite AA' ;
leur action mutuelle suivant cette droite est donc, d’après ce que
nous venons de voir, égale à

et celle des deux portions ds cos 8 et ds’ cos 8' dirigée suivant la même
droite AA', a pour Valeur

et par conséquent l’action des deux éléments ds, ds’ l’un sur l’autre
est nécessairement exprimée par
22 THÉORIE MATHÉMATIQUE
On simplifie cette formule en y introduisant l’angle e des deux éléments
au lieu de w ; car en considérant le triangle sphérique dont les
côtés seraient 9,9', e, on a

substituant dans la formule précédente et faisant k — i =h, elle devient


et.il est bon de remarquer qu’elle change de signe quand un seul des
courants, par exemple celui de l’élément ds, prend une direction diamétralement
opposée à celle qu’il avait, car alors cos 9 et cos s changent
de signe, et cos 9' reste le même. Cette valeur de l’action mutuelle
de deux éléments n’a été déduite que de la substitution des projections
d’un élément à cet élément môme ; mais il est facile de
s’assurer qu’elle exprime qu’on peut substituer à un élément un contour
polygonal quelconque, et par suite un arc quelconque de courbe
terminé aux mêmes extrémités, pourvu que toutes les dimensions de
ce polygone ou de cette courbe soient infiniment petites.

Soient, en effet, ds,, ds,,… dsm les différents côtés du polygone infiniment
petit substitué à ds ; la direction AA' pourra toujours être
considérée comme celle des lignes qui joignent les milieux respectifs
de ces côtés avec A'.

Soient 8,, 8,… 9m les angles qu’ils font respectivement avec AA' ; et
e,, e2) … sm ceux qu’ils font avec Mm’, en désignant, suivant l’usage,
par S une somme de termes de même forme, la somme des actions
des côtés ds, dss) … dsm sur ds’, sera

Or Sds, cos s, est la projection du contour polygonal sur la direction
de ds’ et est par conséquent égal à la projection de ds sur la
même direction, c’est-à-dire à ds cos e ; de même S ds, cos 9, est égal
à la projection de ds sur AA' qui est ds cos 8 ; l’action exercée sur ds’
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 23
par le contour polygonal terminé aux extrémités de ds a donc pour
expression

et est la même que celle de ds sur ds’.

Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés
ds, ds25… dsm, aura lieu pour un arc infiniment petit d’une courbe
quelconque.

On prouverait semblablement que l’action de ds’ sur ds, peut être
remplacée par celle qu’une courbe infiniment petite quelconque,
dont les extrémités seraient les mêmes que celles de ds’, exercerait
sur chacun des éléments de la petite courbe que nous
avons déjà substituée à ds, et par conséquent sur cette petite courbe
elle-même. Ainsi la formule que nous avons trouvée exprime
qu’un élément curviligne quelconque produit le même effet que la
portion infiniment petite de courant rectiligne terminée aux mêmes
extrémités, quelles que soient d’ailleurs les constantes net h. L’expérience
par laquelle on constate ce résultat ne peut donc servir en rien
à déterminer ces constantes.

Nous aurons alors recours aux deux autres cas d’équilibre dont
nous avons déjà parlé. Mais auparavant nous transformerons l’expression
précédente de l’action de deux éléments de courants voltaïques,
en y introduisant les différentielles partielles de la distance de ces
deux éléments.

Soient x, y, z, les coordonnées du premier point, et d, y', z' celles
du second, il viendra

d’où, en prenant successivement les coefficients différentiels partiels

Pour avoir la valeur de cose, nous observerons que

sont les cosinus des angles que ds etds’ forment avec les trois axes,
et nous en conclurons

Or, en différentiant par rapport à s’ l’équation précédente qui donne
dr
r -j—, on trouve
ds’

Si l’on substitue, dans la formule qui représente l’action mutuelle
des deux éléments ds, ds’, au lieu de cose, cos9', cose, les valeurs que
nous venons d’obtenir, cette formule deviendra, en remplaçant
1 + h par son égal k,

qu’on peut mettre sous la forme
DES PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES 2o
ou enfin

On pourrait encore lui donner la forme suivante :

Examinons maintenant ce qui résulte du troisième cas d’équilibre
dont nous avons parlé, et qui démontre que la composante de l’action
d’un circuit fermé quelconque sur un élément, suivant la direction de
cet élément, est toujours nulle, quelle que soit la forme du circuit.
En désignant par ds’ l’élément en question, l’action d’un élément ds
du circuit fermé sur ds’ sera, d’après ce qui précède,

la composante de cette action suivant ds’ s’obtiendra en multipliant
cette expression par cos 9', et sera

Cette différentielle intégrée dans toute l’étendue du circuit s donnera
la composante tangente totale, et devra être nulle, quelle que
soit la forme de ce circuit. En l’intégrant par partie, après l’avoir
écrite ainsi

nous aurons
THEORIE MATHEMATIQUE
Le premier terme- »"1-"cos*8' s’éyanouit aux limites. Quant à Tinté- ;
gràle"(:r~nGôs* 8'dr, il est très facile de concevoir un circuit fermé pour

lequel elle ne se réduise pas à,zéro. En effet, si on coupe ce circuit
par des surfaces sphériques très rapprochées ayant pour centre le
milieu de l’élément d s’, les deux points où chacune He ces sphères
coupera le circuit donneront, la .même valeur pour rèt des valeurs
égales et de signes ; contraires pour, dr, ; mais les valeurs de cos 2 9'
pourront être différentes, et il y. aura une infinité de manières de
faire en sorte que les carrés de ; tous les cosinus, relatifs aux points
situés d’un même côté entre les. points extrêmes du circuit soient
moindres que ceux relatifs aux points correspondants de l’autre
côté ; or, dans ce cas, l’intégrale ne s’évanouira pas ; et comme l’expression
ci-dessus doit être nulle, quelle que soit la forme du circuit,
il faut donc que le coefficient i—-n-^zk de cette intégrale soit nul,
ce qui donne entre n et k cette première relation i — n — zk — o.

Avant de chercher une seconde équation pour déterminer ces, deux
constantes, nous commencerons par prouver que k est négatif, et,
par conséquent, que n= 1 — 2k est plus grand que 1 ; nous aurons
recours pour cela à un fait bien facile à constater par l’expérience,
savoir qu’un conducteur rectiligne indéfini attire un circuit fermé,
quand le courant électrique de ce circuit va dans le même sens que
celui du conducteur dans la partie qui en est la plus voisine, et qu’il le
repousse dans le cas contraire.

SoitUV (fig. 7) le conducteur, rectiligne indéfini ; supposons pour
plus de simplicité que le circuit fermé THKT’K'H' soit dans le même
plan que le fil conducteur UV, et cherchons l’action exercée par un
élément quelconque MM’ de ce dernier. Pour cela tirons du milieu A
de cet élément des rayons vecteurs à tous ces points du circuit, et
cherchons l’action perpendiculaire à UV exercée par cet élément sur
le circuit.

La composante perpendiculaire à UV de l’action exercée par
MM’ = ds’ sur un élément K H = d s s’obtiendra en multipliant l’ex-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO^DYNAMIQUES 27
pression de cette action par sin 9' ; elle sera donc, on observant que
\—n — ak = o,

expression qui doit être intégrée dans toute l’étendue du circuit.
L’intégration par parties donnera

Le premier terme s’évanouissant aux limites, il reste seulement

Considérant maintenant les deux éléments KH, K'H' compris entre
les deux mêmes rayons consécutifs, d9' est le même de part et
d’autre, mais doit être pris avec un signe contraire, en sorte qu’en
faisant AH = r, AH' = r', on a pour l’action réunie des deux éléments

THEORIE MATHEMATIQUE
d’un même courant rectiligne se repoussent ; car si l’on fait 8=0, ■
8'=o, la formule qui donne l’attraction de deux éléments, devient

-j— ; et comme elle est négative, puisque k l’est, il y a répulsion.

C’est ce que j’ai vérifié par l’expérience que je vais décrire. On prend
un vase de verre PQ (fig. 8) séparé par la cloison MN en deux compara
timents égaux et remplis de mercure, on y place un fil de cuivre
recouvert de soie ABCDE, dont les branches AB, ED, situées parallèlement
à la cloison MN, flottent sur le.mercure avec lequel communiquent
les extrémités nues A et E de ces branches. En mettant les
rhéophores dans les capsules S et T, dont le mercure communique
avec celui du vase PQ par les portions du conducteur AH, kK, on établit
deux courants, dont chacun a pour conducteur une partie de mercure
et une partie solide : quelle que soit la direction du courant, on voit
toujours les deux fils AB, ED marcher parallèlement à la cloison MN
en s’éloignant des points H et K, ce qui indique une répulsion pour
chaque fil entre le courant établi dans le mercure et son prolongement
dans le fil lui-même. Suivant le sens du courant, le mouvement
du fil de cuivre est plus ou moins- facile, parce que, dans un cas, l’action
exercée par le globe sur la portion BGD de ce fil, s’ajoute à l’effet
obtenu, et que dans l’autre, au contraire, elle le diminue et doit en être
retranchée.

Examinons maintenant l’action qu’exerce un courant électrique formant
un circuit fermé, ou un système de courants formant aussi des
circuits fermés, sur un élément de courant électrique.

Prenons l’origine des coordonnées au milieu A (fig. 9) de l’élément
proposé M’N’, et nommons)., [/., v, les angles qu’il fait avec les trois
axes. Soit MN un élément quelconque du courant formant un circuit
fermé, ou d’un des courants formant également des circuits fermés
dont se compose le système de courants que l’on considère, en nommant
ris’ et ds les éléments M’N’, MN, r la distance AA' de leurs milieux
et 8' l’angle du courant M’N’ avec AA.', la formule que nous avons trouvée
précédemment pour exprimer l’action mutuelle des deux éléments dedr


viendra, en y remplaçant -r- par —cos 9',
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 29
Les angles que AA' fait avec les trois axes ayant pour cosinus p, p -,
| on a

en substituant cette valeur à cos 9, et en multipliant par — , nous
trouverons pour l’expression de la composante suivant l’axe des x,
iï'As’ri-lxA[rk~tx cos X -f- r'-'j/r cos j ». -j- r^'z cos v) ,

le signe d se rapportant seulement, excepté dans le facteur ds’, aux
différentielles prises en ne faisant varier que s, cette expression peut
s’écrire ainsi

en remplaçant zk — 2 par sa valeur — n— 1.

Si l’on représente par i\, a ;,, 8',, etr,, a ;2, 9^, les valeurs de r, #, 9',
aux deux extrémités de l’arc s et par X la résultante suivant l’axe des
x de toutes les forces exercées par les éléments de cet arc sur ds’,
on aura

Si cet arc forme un circuit fermé rit x3,%, seront égaux à r,, x±, 8'j, et
la valeur de X se réduira à
30 THÉORIE MATHÉMATIQUE
En désignant par Y et Z les forces suivant les axes des y et des z résultant
de l’action des mêmes éléments sur ds’, on trouvera par un
calcul semblable

il viendra

En multipliant la première de ces équations par A, la seconde par B et
le troisième par G, on trouve AX + B Y-f GZ = o ; et si l’on conçoit
par l’origine une droite A'E qui fasse avec les axes des angles dont les
cosinus soient respectivement

en supposant, pour abréger,

elle sera perpendiculaire sur la résultante R des trois forces X, Y, Z,
qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

puisqu’on a, en vertu de l’équation précédente,
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 31
Il est à remarquer que la droite que nous venons de déterminer est
tout à fait indépendante de la direction de l’élément M’N’ ; car elle se
déduit immédiatement des intégrales A, B, C qui ne dépendent que.du
circuit fermé et de la position des plans coordonnés, et qui sont les
sommes des projections sur les plans coordonnés des aires des triangles
qui ont leur sommet au milieu de l’élément ds’, et pour bases les
différents éléments des circuits fermés s, toutes ces aires étant divisées
par la puissance n + i du rayon vecteur r. La résultante étant perpendiculaire
sur cette droite A'E que je nommerai directrice, elle se
trouve, quelle que soit la direction de l’élément, dans le plan élevé au
point A'perpendiculairement à A'E ; je donnerai à ce plan le nom.de
pian directeur. Si l’on fait la somme des carrés dé X, Y, Z, on trouvera
pour valeur de la résultante de l’action du circuit unique ou de l’ensemble
de circuits que l’on considère,

ou, en appelant e l’angle de l’élément ds’ avec la directrice,

Il est facile de déterminer la composante de cette action dans un plan
donné passant par l’élément ds’ et faisant un angle <p. avec le plan
mené par ds’ et la directrice. En effet, la résultante R étant perpendiculaire
à ce ; dernier plan, sa composante sur le plan donné sera

Or, sin e sin <j> est égal au sinus de l’angle | que la directrice fait avec
le plan donné. C’est ce que l’on déduit immédiatement de l’angle
trièdre formé par ds’, par la directrice et par sa projection sur le plan
donné. La composante dans ce plan aura donc pour expression

. Cette expression peut se mettre sous une autre forme en .observant
32 THÉORIE MATHÉMATIQUE
que ty est le complément de l’angle que fait la directrice avec la normale
au plan dans lequel on considère l’action. On a donc, en nommant
S, 7) , Ç les angles que cette dernière droite forme avec les
trois axes,

et l’expression de l’action devient

On voit que cette action est indépendante de la direction de l’élément
dans le plan que l’on considère, nous la désignerons sous le
nom d’action exercée dans ce plan, et nous conclurons de ce qu’elle
reste la même lorsqu’on donne successivement à l’élément différentes
directions dans un même plan, que si celle que la terre exerce sur un
conducteur mobile dans un plan fixe est produite par des courants
électriques formant des circuits fermés, et dont les distances au conducteur
sont assez grandes pour être considérées comme constantes
pendantqu’il se meut dans ce plan, elle aura toujours la même valeur
dans les différentes positions que prendra successivement le conducteur,
parce que les actions exercées sur chacun des éléments dont il
est composé restant toujours les mêmes et toujours perpendiculaires
à ces éléments, leur résultante ne pourra varier ni dans sa grandeur
ni dans sa direction relativement au conducteur. Cette direction
changera d’ailleurs dans le plan fixe en y suivant le mouvement de ce
conducteur : c’est en effet ce qu’on observe à l’égard d’un conducteur
qui est mobile dans un plan horizontal, et qu’on dirige successivement
dans divers azimuts :

On peut vérifier ce résultat par l’expérience suivante : dans un
disque de bois ABCD (fig. 10) , on creuse une rigole circulaire KLMN
dans laquelle on place deux vases en cuivre KL, MN de même forme,
et qui occupent chacun presque la demi-circonférence de la rigole dé
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 33
manière cependant qu’il reste entre eux deux intervalles KN, LM,
qu’on remplit d’un mastic isolant ; à chacun de ces vases sont soudées
les deux lames de cuivre PQ, RS, incrustées dans le disque et qui
portent les coupes X, Y, destinées à mettre, au moyen du mercure
qu’elles contiennent, les vases KL, MN, en communication avec les
rhéophores d’une très forte pile ; dans le disque est incrustée une
autre lame TO portant la coupe Z, où l’on met aussi un peu de mercure
 ; cette lame TO est soudée au centre O du disque à une tige verticale
sur laquelle est soudée une quatrième coupe U,.dont le fond est
garni d’un morceau de verre ou d’agate pour rendre plus mobile le
sautoir dont nous allons parler, mais dont les bords sont assez élevés
pour être en communication avec le mercure qu’on met dans cette
coupe ; elle reçoit la pointe V (fig. 11) qui sert de pivot au sautoir
FGHI, dont les branches EG, El, sont égales entre elles et soudées
en G et I aux lames gxh, iyf qui plongent dans l’eau acidulée des
vases KL, MN, lorsque là pointe V repose sur le fond de la coupe U,
et qui sont attachées par leurs autres extrémités h, /aux branches
EH, EF, sans communiquer avec elles. Ces deux lames sont égales et
semblables et pliées en arcs de cercle d’environ 90°. Lorsqu’on plonge
les rhéophores, l’un dans la coupe Z, l’autre dans l’une des deux
coupes X ou Y, le courant ne passe que par une des branches du
sautoir, et l’on voit celui-ci tourner sur la pointe V par l’action de la
terre, de l’est à l’ouest par le midi quand le courant va de la circonférence
au centre, et dans le sens contraire quand il va du centre à la
circonférence, conformément à l’explication que j’ai donnée de ce
phénomène, et qu’on peut voir dans mon Recueil d’Observations
électro-dynamiques, page 284. Mais lorsqu’on les plonge dans les
coupes X et Y, le courant parcourant en sens contraires les deux
branches EG, El, le sautoir reste immobile dans quelque situation
qu’on l’ait placé, quand, par exemple, une des branches est parallèle
et l’autre perpendiculaire au méridien magnétique, et cela lors même
qu’en frappant légèrement sur le disque ABCD, on augmente, par les
petites secousses qui en résultent, la mobilité de l’instrument. En
pliant un peu les branches du sautoir autour du point E, on peut leur
faire faire différents angles, et le résultat de l’expérience est toujours
le même. Il s’ensuit évidemment que la force avec laquelle la terre
agit sur une portion de conducteur, perpendiculairement à sa direction,
pour la mouvoir dans un plan horizontal, et, par conséquent,
5THEORIE MATHEMATIQUE
dans un plan donné de position à l’égard du système des courants
terrestres, est la même, quelle que soit la direction, dans ce plan, de
la portion de conducteur, ce qui est précisément le résultat de calcul
qu’il s’agissait de vérifier.

Il est bon de remarquer que l’action des courants de l’eau acidulée
sur leurs prolongements dans les lames gh, if ne trouble en aucune
manière l’équilibre de l’appareil ; car il est aisé de voir que l’action
dont il est ici question tend à faire tourner la lame gh autour de la
pointe V dans le sens hxg, et la lame if dans le sens fyi, d’où résulté,
à cause de l’égalité de ces lames, deux moments de rotations égaux
et de signes contraires qui se détruisent.

On sait que c’est à M. Savary qu’est due l’expérience par laquelle
on constate cette action ; cette expérience peut se faire plus commodément
en remplaçant la spirale en fil de cuivre de l’appareil dont il
s’est d’abord servi, par une lame circulaire du même métal. Cette
lame ABC (fig. 12) forme un arc de cercle presque égal à une circonférence
entière ; mais ses extrémités A et C sont séparées l’une de
l’autre par un morceau D d’une substance isolante. On met une de
ses extrémités A, par exemple, en communication avec un des rhéophores
par la pointe O qu’on place dans la, coupe S (fig. 13) pleine de
mercure ; celle-ci est jointe par le fil métallique STR à la coupe R
dans laquelle plonge un des rhéophores. Cette pointe O (fig, 12) communique
avec l’extrémité A par le fil de cuivre AEQ dont le prolongement
QF soutient en F la lame ABC par un anneau de substance
isolante, qui entoure en ce point le fil de cuivre. Lorsque la pointe O
repose sur le fond de la coupe S (fig. 13) ,1a lame ABC (fig, 12) plonge
dans l’eau acidulée contenue dansle vase de cuivre MN (fig. 13) qui communique
avec la coupe P où se rend l’autre rhéophore ; on voit alors
tourner cette lame dans le sens GBA, et pourvu que la pile soit assez
forte, le mouvement reste toujours dans ce sens lorsqu’on renverse les
communications avec la pile, en changeant réciproquement les deux
rhéophores de la Coupe P à la coupe R, ce qui p rouve que ce mouvement
n’est point dû à l’action de la terre et ne peut venir que de celle que les
courants de l’eau acidulée exercent sur le courant de la lame circulaire
ABC (fig. 12) , action qui est toujours répulsive, parce que si GH
représente un des courants de l’eau acidulée qui se prolonge en HK
dans la lame ABC, quel que soit le sens de ce courant, il parcourra
évidemment l’un des côtés de l’angle GHK en s’approchant, et l’autre
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 35
en s’éloignant du sommet H. Mais il faut, pour que le mouvement
qu’on observe dans ce cas ait lieu, que la répulsion entre deux éléments,
l’un en I et l’autre en L, ait lieu suivant la droite IL, oblique
à l’arc ABC, et non suivant la perpendiculaire LT à l’élément situé en
L car la direction de cette perpendiculaire rencontrant la verticale
menée par le point O autour de laquelle la partie mobile de l’appareil
est assujettie à tourner, une force dirigée suivant cette perpendiculaire
ne pourrait lui imprimer aucun mouvement de rotation.

Je viens de dire que, quand on veut s’assurer que le mouvement
de cet appareil n’est pas produit par l’action de la terre, en constatant
qu’il continue d’avoir lieu dans le même sens quand on renverse les
communications avec la pile en changeant les rhéophores de coupes,
il fallait employer une pile qui fût assez forte ; il est impossible
en effet, dans cette disposition de conducteur mobile, d’empêcher
la terre d’agir sur le fil vertical AE pour le porter à l’ouest, quand le
courant y est ascendant, à l’est, quand le courant y est descendant,
et sur le fil horizontal EQ, pour le faire tourner autour de la verticale
passant parle point O, dans le sens direct est, sud, ouest, quand le
courant va de E en Q, en s’approchant du centre de rotation, et dans
le sens rétrograde ouest, sud, est, quand il va de Q en E, en s’éloignant
du même centre (1). La première de ces actions est peu sensible,
lors du moins qu’on ne donne au fil vertical AE que la longueur
nécessaire pour la stabilité du conducteur mobile sur sa pointe O ;
mais la seconde est déterminée par les dimensions de l’appareil ; et
comme elle change de sens lorsqu’on renverse les communications
avec la pile, elle s’ajoute dans un ordre de communication avec
l’action exercée par les courants de l’eau acidulée, et s’en retranche
dans l’autre ; c’est pourquoi le mouvement observé est toujours plus
rapide dans un cas que dans l’autre ; cette différence est d’autant plus
marquée, que le courant produit par la pile est plus faible, parce qu’à
mesure que son intensité diminue, l’action électro-dynamique étant,
toutes choses égales d’ailleurs, comme le produit des intensités des
deux portions de courants qui agissent l’une sur l’autre, cette action
entre les courants de l’eau acidulée et ceux de la lame ABC, diminue
(1) Voyez sur ces deux sortes d’actions exercées par le globe terrestre, ce qui
est dit dans mon Recueil d’Observation électro-dynamiques, pages 280, 284.THEORIE MATHEMATIQUE
comme le carré de leur intensité, tandis que l’intensité des courants
terrestres restant la même, leur action sur ceux de la lame, ne devient
moindre que proportionnellement à la même intensité : à mesure
que l’énergie de la pile diminue, l’action du globe devient de plus en
plus près de détruire celle des courants de l’eau acidulée dans la disposition
des communications avec la pile où ces actions sont opposées,
et l’on voit lorsque cette énergie est devenue très faible, l’ap*-
pareil s’arrêter dans ce cas, et le mouvement se produire ensuite en
sens contraire ; alors l’expérience conduirait à une conséquence opposée
à celle qu’il s’agissait d’établir, puisque l’action de la terre devenant
prépondérante, on pourrait méconnaître l’existence de celle des
courants de l’eau acidulée. Au reste, la première de ces deux actions
est toujours nulle sur la lame circulaire ABC, parce que la terre agissant
comme un système de courants fermés, la force qu’elle exerce
sur chaque élément étant perpendiculaire à la direction de cet élément,
passe par la verticale menée par le point O, et ne peut, par
conséquent, tendre à faire tourner autour d’elle le conducteur
mobile.

Nous allons pour servir d’exemple, appliquer les formules précédentes
au cas où le système se réduit à un seul courant circulaire
fermé.

Lorsque le système n’est composé que d’un seul courant, parcourant
une circonférence de cercle d’un rayon quelconque m on simplifie
le calcul, en prenant, pour le plan des xy, le plan mené par
l’origine des coordonnées, c’est-à-dire par le milieu A de l’élément
ab (fig. 14) , parallèlement à celui du cercle ; et pour le plan des xz,
celui qui est mené perpendiculairement au plan du cercle par la même
origine et par le centre 0.

Soient p et q les coordonnées de ce centre 0 ; supposons que le
point G soit la projection de 0 sur le plan de xy, N celle d’un point
quelconque M du cercle, et nommons w l’angle ACN ; si l’on abaisse
NP perpendiculairement sur AX, les trois coordonnées x, y, z du
point M seront MN, NP, AP, et l’on trouvera facilement pour leurs
valeurs :

Les quantités que nous avons désignées par A, B, G, étant respecti-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 37
vement égales à

Si l’on intègre par partie ceux de ces termes qui contiennent sin tu
et cosw, en faisant attention que

qu’on supprime les termes qui sont nuls parce que ces intégrales
doivent être prises depuis w = o jusqu’à w = 2 n, et qu’on mette les
valeurs de A, B, C ainsi trouvées dans celle de U,

Or, l’angle l peut être exprimé au moyen de Ç ; car, en désignant
par h la perpendiculaire OK abaissée du centre 0 sur le plan èAG
pour lequel on calcule la valeur de U, on aura/ » = q cos K-\-p cos £, et
cette valeur deviendra
THEORIE MATHEMATIQUE
la développe en série suivant lès puissances de m, on verra que quand
on néglige les puissances de m supérieures à 3, les termes éri m"
s’évanouissent entre les limites o, 2 it, et que ceux en ms s’obtiennent
en remplaçant r par l = sjp 1 -\- q*\ il ne reste alors qu’à calculer les
valeurs de

ce qui donne « pour la première, et a« pour la seconde ; la valeur de
U se réduit donc a

Pour plus de généralité, nous allons supposer maintenant que le
courant fermé, au lieu d’être circulaire, ait une forme quelconque,
mais sans cesser d’être plan et très petit.

Soit MNL (fig. 15) un très petit circuit fermé et plan dont l’aire soit
~k et qui agisse sur un élément placé à l’origine A. Partageons sa sur »
face en éléments infiniment petits, par des plans passant par l’axe des
z, et soit APQ la trace d’un de ces plans, et M, N ses points de rencontre
avec le circuit A, projetés sur le plan des xy en P et Q. Prolongeons
la corde MN jusqu’à l’axe des z en G ; abaissons de A une perpendiculaire
AE —y sur le plan du circuit, et joignons EG. Soit kpq
la trace d’un plan infiniment voisin du premier, faisant avec celui-ci
un angle d<p ; faisons AP = u et PQ = Su. L’action du circuit sur l’élément
en A dépend, comme nous l’avons vu, de trois intégrales désignées
par A, B, C, que nous allons calculer. Considérons d’abord C,
dont la valeur est

Cette intégrale est relative à tous les points du circuit, et si l’on considère
simultanément les deux éléments compris entre les deux plans
voisins AGNQ et kGnq, et qui se rapportent à des valeurs égales et
des signes contraires de dy, on verra que les actions de ces deux éléments
doivent être ôtées l’une de l’autre, et que celle de l’élément
qui est le plus près de A produit l’action la plus forte. Observant que

pour avoir l’action du plus éloigné, il faut remplacer u et r par u + 8M
et r -h °>, on trouve

ces deux intégrales étant prises entre les deux valeurs de <p relatives
aux points extrêmes L, L’ entre lesquels est compris le circuit.

La différencede ces deux intégrales pouvant être considérée comme
la variation de la première prise en signe contraire, lorsqu’on néglige
toutes les puissances des dimensions du circuit dont les exposants
surpassent l’unité, il vient

d’ailleurs l’angle ZAE étant égal à Ç, on a

et, à cause des triangles semblables MHG, MSN,

en tirant de cette proportion la valeur de Sz et la reportant dans celle
de 8r, on obtient :
40 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Le circuit étant très petit, on peut regarder les valeurs de r et de z
comme constantes et égales par exemple à celles qui se rapportent au
centre de gravité de l’aire du circuit, afin que les termes du troisième
ordre s’évanouissent, en représentant ces valeurs par l et zt, l’intégrale
précédente prendra cette forme

Mais-.wd.rp est l’arc PK décrit de A comme centre avec le rayon u et
PQ = SM ; donc wdtpow est l’aire infiniment petite VQpq, et l’intégrale
/t« d<pdM exprime l’aire totale de la projection du circuit, c’est-àdire
X cos Ç, puisque Ç est l’angle du plan du circuit avec le plan des
xy ; on aura donc enfin

On connaîtra ainsi les angles que la directrice fait avec les axes, puisk
-p n
qu’on a pour leurs cosinus yr, ^r, *r, en faisant

Quant à la force produite par l’action du circuit sur l’élément situé à
l’origine, elle aura, comme on l’a vu plus haut, pour expression

- n’ ds’D sin e, e étant l’angle que fait cet élément avec la directrice,

à laquelle cette force est perpendiculaire ainsi qu’à la direction de
l’élément.

Dans le cas où le petit circuit que l’on considère est dans le même
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 4J1
plan que l’élément ds’ sur lequel il agit, on a, en prenant ce plaii pour
celui des xy,
1Z
D se réduit alors à G ; e est égal à -, et l’action du circuit sur l’élément
ds devient

Je vais maintenant exposer une nouvelle manière de considérer
l’action des circuits plans d’une forme et d’une grandeur quelconque.

Soit un circuit plan quelconque MN ?n (fig. 16)  ; partageons sa surface
en éléments infiniment petits par des droites parallèles coupées
par un second système de parallèles faisant des angles droits avec les
premières, et imaginons autour de chacune de ces aires infiniment
petites des courants dirigés dans le même sens que le courant MNm.
Toutes les parties dé ces courants qui se trouveront suivant ces lignes
droites, seront détruites, parce qu’il y en aura deux de signes contraires
qui parcourront la même droite ; et il ne restera que les parties
curvilignes de ces courants, telles que MM’, mm’, qui formeront le
circuit total MNm.

Il suit de là »que les trois intégrales A, B, G s’obtiendront pour le
circuit plan d’une grandeur finie, en substituant dans les valeurs que
nous venons d’obtenir pour ces trois quantités, à la place de 1 un élément
quelconque de l’aire du circuit que nous pouvons représenter
par d’X et intégrant dans toute l’étendue de cette aire.

Lorsque, par exemple, l’élément est situé dans le même plan que
le circuit, et qu’on prend ce plan pour celui des xy, on a
42 THÉORIE MATHÉMATIQUE
d’où il suit que, si à chacun des points de l’aire du circuit on élève
une perpendiculaire égale à ^-p, le volume du prisme qui aura pour
base le circuit et qui sera terminé à la surface formée par les extrémités
de ces perpendiculaires, représentera la valeur de / / -^ ; et

ce volume multiplié par — ii'ds’ exprimera l’action cherchée.

Il est bon d’observer que la question étant ramenée à la cubature
d’un solide, on pourra adopter le système de coordonnées, et la division
de l’aire du circuit en éléments qui conduiront aux Calculs les
plus simples.

Passons à l’action mutuelle de deux circuits très petits O et .0'
(fig. 18) situés dans un même plan. Soit MN un élément ds’ quelconque
du second. L’action du circuit 0 sur ds’ est, d’après ce qui
nrecède,

Nommant dip l’angle MNO, et décrivant l’arc MP entre les côtés de cet
angle, on pourra remplacer le petit courant MN par les deux courants
MP, NP dont les longueurs sont respectivement rd<p et dr ; l’action du
circuit 0 sur l’élément MP, qui est normale à sa direction, s’obtiendra
en remplaçant dans l’expression précédente ds’ par MP, et sera

l’action sur NP, perpendiculaire à sa direction, sera de même

Cette dernière intégrée dans toute l’étendue du circuit fermé 0' est
nulle, il suffit de considérer la première qui est dirigée vers le point
0, d’où il résulte déjà que l’action des deux petits circuits est dirigée
suivant la droite qui les joint.

Prolongeons les rayons OM, ON jusqu’à ce qu’ils rencontrent la
courbe en M’ et N’ ; l’action de M’N’ devra être retranchée de celle de
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 43
MN, et l’action résultante s’obtiendra en prenant comme précédemment
la variation de celle de MN en signe contraire, ce qui donne

Or, rd<p8r est la mesure du segment infiniment petit MNN’Mf. Faisant
la somme de toutes les expressions analogues relatives aux différents
éléments du circuit O', et considérant r comme constant et égal à la
distance des centres de gravité des aires "k et V des deux circuits, on
aura pour l’action qu’ils exercent l’un sur l’autre

et cette action sera dirigée suivant la droite 00'. Il résulte de là que
l’on obtiendra l’action mutuelle de deux circuits finis situés dans
un même plan, en considérant leurs aires comme partagées en éléments
infiniment petits dans tous les sens, et supposant que ces
éléments agissent l’un sur l’autre suivant la droite qui les joint, en
raison directe de leurs surfaces et en raison inverse de la puissance
 » + 2 de- leur distance.

L’action mutuelle des courants fermés n’étant plus alors fonction
que de la distance, on en tire cette conséquence importante, qu’il ne
peut jamais résulter de cette action un mouvement de rotation continue.


La formule que nous venons de trouver pour ramener l’action
mutuelle de deux circuits fermés et plans à celles des éléments des
aires de ces circuits, conduit à la détermination de la valeur de n. En
effet, si l’on considère deux systèmes semblables composés de deux
circuits fermés et plans, les éléments semblables de leurs aires seront
proportionnels aux carrés des lignes homologues, et lés distances de
ces éléments seront proportionnelles aux premières puissances de ces
mêmes lignes. Appelant m le rapport des lignes homologues des
deux systèmes, les actions de deux éléments du premier système et
de leurs correspondants du second seront respectivement

leur rapport, et par suite celui des actions totales, sera doncms~n.
Or, nous avons décrit précédemment une expérience par laquelle on
peut prouver directement que ces deux actions sont égales ; il faut
donc que n = 2, et, en vertu de l’équation 1 ~^n^— 2 k = 0, que
k = -. Ces valeurs de n et de k réduisent à une forme très simple
2 r
l’expression

de l’action mutuelle de ds et de ds’ ; cette expression devient

Il suit aussi de ce que n = 2, que dans le cas où les directions des
deux éléments restent les mêmes, cette action est en raison inverse
du carré de leur distance. On sait que M. de La Place a établi la
même loi, d’après une expérience de M- Biot, lorsqu’il s’agit de l’action
mutuelle d’un élément de conducteur voltaïque et d’une molér
cule magnétique : mais ce résultat ne pouvait être étendu à l’action
de deux éléments de conducteurs, qu’en admettant que l’action des
aimants est due à des courants électriques ; tandis que la démonstration
expérimentale que je viens d’en donner est indépendante de
toutes les hypothèses que l’on pourrait faire sur la constitution des
aimants.

Soit MON (fig. 17) un circuit formant un secteur dont les côtés
comprennent un angle infiniment petit, et cherchons l’action qu’il
exerce sur un conducteur rectiligne OS’ passant par le centre O du
secteur, et calculons d’abord celle d’un élément MNQP de l’aire de ce
secteur sur un élément M’N’ du conducteur OS’. Faisons OM = u,
MP = du, OM’ = s’, MM’ = r, S’ON = e, NOM = d e. Le moment de
MNQP pour faire tourner M’autour de Q sera, en observant que l’aire
MNQP a pour expression ududs,
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYlNAMIQUES 45
et le moment du secteur sur le conducteur s’ s’obtiendra en intégrant
cette expression par rapport à « et s’.
On a

et, en différenciant une seconde fois,

ce qui devient, en effectuant les calculs et réduisant,

substituant cette valeur dans le moment élémentaire, on a pour l’expression
du moment total

En considérant la portion L’L" du courant s’, et la portion L,L|
du secteur, et en faisant L’L, = r'„ L"L, 7= r',', L’L, = /• !,, L"L, = r"%,
la valeur de cette intégrale est évidemment

Lorsque c’est à partir du centre O que commencent lé secteur et le
THEORIE MATHEMATIQUE
conducteur s’., la distance r\ = o ; et si l’on fait OL, = « , OL" =ï b,
L"L, = r, on trouve que leur action mutuelle est exprimée par

Quand le conducteur L’L" (fig. 19) a pour milieu le centre L, du secteur,
et que sa longueur est double du rayon a de ce secteur, on a
a = b, et en faisant L’L,L, == 2 8 = u — s, .

en sorte que la valeur du moment de rotation devient

On peut déduire de ce résultat une manière de vérifier ma formule
au moyen d’un instrument dont je vais donner la description.

Aux deux points a d (fig. 20) de la table mn s’élèvent deux supports
ab, a'b' dont les parties supérieures cb, c’b' sont isolantes ; ils
soutiennent une lame de cuivre. HrieH'riV pliée en deux suivant la
droite HH', et qui est terminée par deux coupes H et H' où l’on met
du mercure. Aux points A,C, A', C, de la table sont quatre cavités
remplies de même de mercure. De A part un conducteur en cuivre
AEFGSRQ, soutenu par HH' et terminé par une coupe Q ; de A' il en
part un second A'E'F'G'S’R'Q' symétrique au premier ; ils sont tous les
deux entourés de soie, pour être isolés l’un de l’autre et du conducteur
HH'. Dans la coupe Q plonge la pointe d’un conducteur mobile
QPONMLKIH revenant sur lui-même de K en I, et ayant dans cette
partie ses deux branches PO, Kl entourées de soie ; il est terminé
par une seconde pointe plongée dans la coupe H ; NML forme une
demi-circonférence dont LN est le diamètre, et K le centre ; la tige
PKJÎ) est verticale, et terminée en p par une pointe retenue par trois
cercles horizontaux B,D,T qui peuvent tourner autour de leurs centres
et sont destinés à diminuer le frottement.

XY est une tablette fixe qui reçoit dans une rainure un conducteur
"SfUifkhgoZG revenant sur lui-même de g en 0 et doublé de soie dans
cette partie ; ifkhg est un secteur de cercle qui a pour centre le point
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 47
A ;les parties Ui et go sont rectilignes ; elles traversent en a ? le support
ab, dans lequel on a pratiqué une ouverture à cet effet, et se sépa*
rent en o pour aller se plonger respectivement dans les cavités-A
et C. A droite de FG se trouve un assemblage de conducteurs fixes et
mobiles parfaitement semblable à celui que nous venons de décrire,
et lorsqu’on plonge le rhéophore positif de la pile en C, et le négatif
en G', le courant électrique parcourt les conducteurs GZoghkfiUY,
AEFGSRQ ; de là il passe dans le conducteur mobile QPONMLKIH, et
se rend en H' par HH ; il parcourt ensuite le conducteur mobile
symétrique HTK'L’M’N’O'P'Q',. arrive en Q', suit le conducteur
Q'R'S’G'F'E'A' qui le conduit dans la cavité A', d’où il se rend en-G'
par le conducteur VU'i'fk'h'g'o'Z'G', et de là dans le rhéophore
négatif.

Le courant allant dans la direction LN dans le diamètre LN, et de
h en k, puis de k en f, dans les rayons hk, kf, il y a répulsion
entre ce* rayons et le diamètre ; de plus, le circuit fermé ghkfi ne
produisant aucune action sur le demi-cercle LMN dont le centre se
trouve dans l’axe fixe pH, le conducteur mobile ne peut être mis en
mouvement que par l’action du secteur ghkfi sur le diamètre LN, vu
que dans toutes les autres parties de l’appareil passent deux courants
opposés dont les actions se détruisent. L’équilibre aura lieu quand
le diamètre LN fera des angles égaux avec les rayons kf, kh ; et si on
l’écarté de cette position, il oscillera par l’action seule du secteur
ghkfi sur ce diamètre.

Soit 2 7) l’angle au centre du secteur, on aura dans la position
d’équilibre

d’où l’on conclut

Mais il est aisé de voir que quand on déplace, de sa position d’équilibre,
le conducteur L’L" d’une quantité égale à 2d8, le moment des
forces qui tendent à l’y ramener se compose de ceux que produisent
48 THEORIE MATHEMATIQUE
deux petits secteurs, dont l’angle est égal à ce déplacement, et dont
les actions sont égales, moment dont la valeur, d’après ce que nous
avons vu tout à l’heure, est

D’où il suit que les durées des oscillations seront, pour le même diamètre,
proportionnelles à

Faisant donc simultanément osciller lès conducteurs mobiles dans
les deux parties symétriques de l’appareil, en supposant les angles
des secteurs différents, on aura des courants de même intensité, et
on observera si les nombres d’oscillations faites dans un même temps,
sont proportionnels aux deux expressions *

en appelant 2 ?) et a*/ les angles au centre des deux secteurs.

Nous allons maintenant examiner l’action mutuelle dé deux conducteurs
rectilignes ; et rappelons-nous d’abord qu’en nommant p
l’angle compris entre la direction de l’élément ds’ et celle dé la
droite r, la valeur de l’action que les deux éléments de courants
électriques ds et ds’ exercent l’un sur l’autre a déjà été mise soûs la
forme

en la multipliant et la divisant par cos p, et en faisant attention
que k= donne r2* = -, nous verrons qu’on peut l’écrire ainsi :

d’où il nous sera facile de conclure que la composante de cette action
suivant la tangente à l’élément ds’, est égale à
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNA MIQUES 49
et que la composante normale au même élément, l’est à , i

expression qui peut se mettre sous la forme

Ces valeurs des deux composantes se trouvent à la page 331 de
mon Recueil d’observations électro-dynamiques, publié en 1822.

Appliquons la dernière au cas de deux courants rectilignes parallèles,
situés à une distance à l’un de l’autre.

On- a alors

et la composante normale devient

Soit M’ (fig.21) un point quelconque du courant qui parcourt la droite
L,LS ; et (3', £" les angles L’M’L,, L"M’L8 formés avec L^L, par les
rayons vecteurs extrêmes M’L’, M’L" ; on aura l’action de ds’ sur
L’L" en intégrant l’expression précédente entre les limites f}',|3", ce
qui donne

mais on a à chaque limite, en y représentant les valeurs de s par b'
et 6",

en substituant ces valeurs et intégrant de nouveau entre les limites
75 0 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Pi>$ et £"„$,', on a pour la valeur de la force cherchée,

en nommant c la diagonale, du, rectangle formé par ces deux droites !
et les deux directions des courants, l’expression précédente ; devient
alors

en nommant / la longueur des conducteurs, et quand ce rectangle
ii'
devient un carré, on a -=pour la valeur de la force ; enfin, si l’on
V'2
suppose l’un des conducteurs indéfini dans les deux sens, et que /
soit la longueur, de. l’autre,, les termes Qùy„ râ, r'[, ri se trQuvent.au
dénominateur disparaîtront ; on aura

et l’expression de la force deviendra

qui, sve réduit, à. M/ quand la longueur l est,égale, à la distance a.

Quant à l’action de deux courants parallèlement à la direction de. s’,,
elle peut s’obtenir quelle que soit la forme du courant s. En effet la
composante suivant àds’ étant
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 51
l’action totale qû'èxêrcè ds’ dans èétté direction sûr lé coûïànt L’L’'
(fig. 21) a pour valeur

et il est remarquable qu’elle ne dépend que dé là situation des extrémités
L’, L" du conducteur s ; elle est donc la même, quelle que soit
la forme de ce conducteur, qui peut être plié suivant une ligne quelconque.


Si l’on nomme a' et a" les perpendiculaires abaissées des deux
extrémités de la portion de conducteur L’L" que l’on Considère comme
mobile, sur le conducteur reetiligne dont il s’agit de calculer l’action
parallèlement à sa direction, on aura

d’où il est aisé de conclure que l’intégrale cherchée est
52 THÉORIE MATHÉMATIQUE
voit aisément que la partie de l’intégrale où entrent les cosinus de ces
quatre angles est la seule qui s’évanouisse dans ce cas, et que lé reste
de l’intégrale

Cette valeur montre que la force cherchée ne dépend alors que du
rapport des deux perpendiculaires a'et d, abaissées sur le conducteur
rectiligne indéfini des deux extrémités de la portion de conducteur
sur lequel il agit ; qu’elle est encore indépendante de la forme de cette
portion, et ne devient nulle, comme cela doit être, que quand les
deux perpendiculaires sont égales entre elles. ;

Pour avoir la distance de cette force au conducteur rectiligne,
dont la direction est parallèle à la sienne, il faut multiplier chacune
des forces élémentaires dont elle se compose par sa distance au conducteur,
et intégrer le résultat par rapport aux mêmes limites ; on
aura ainsi le moment qu’il faudra diviser par la force pour avoir la
distance cherchée.

On trouve aisément, d’après les valeurs ci-dessus, que le moment
élémentaire a pour valeur

Cette valeur ne peut s’intégrer que quand on y a substitué à l’une
des variables r ou p sa valeur en fonction de l’autre, tirée des équations
qui déterminent la forme de la portion mobile de conducteur ;
elle devient très simple quand cette portion se trouve sur une droite
élevée par un point quelconque du conducteur rectiligne que l’on
considère comme fixé, perpendiculairement à sa direction, parce
qu’en prenant ce point pour l’origine des s’, on a

et que s’ est une-constante relativement à la différentielle ':

La valeur du moment élémentaire devient donc

dont l’intégrale entre les limites p" et p' est

. En remplaçant ds’ par les valeurs de cette différentielle trouvées
plus haut, et en intégrant de nouveau, on a, entre les limites déterminées
du conducteur rectiligne,

Si l’on supposé que le conducteur s’étende indéfiniment dans les
deux sens, il faudra donner à P'n p", Pâ, p'2', les valeurs que nous leur
avons déjà assignées dans ce.cas, et on aura

pour la valeur du moment cherché, qui sera, par conséquent, proportionnel
à la longueur a" — d du conducteur mobile, et ne changera
point tant que cette longueur restera la même, quelles que soient
d’ailleurs les distances des extrémités de ce dernier conducteur à celui
qui est considéré comme fixe.

Calculons maintenant l’action exercée par un arc de courbe quelconque
NM pour faire tourner un arc de cercle L,L, autour de son
centre.

Soit M’(fig. 23) le milieu d’un élément quelconque ds’de l’arc L^,,
et a i le rayon du cercle. Le moment d’un élément d s de NM pour faire
tourner ds’ autour du centre O s’obtient en multipliant la compo-
54 THÉORIE MATHÉMATIQUE
santé tangente en M’ par sa distance a au point fixe ; ce qui donne

Nommant P', P" et r', r" les valeurs de p et r relatives aux limites M et
N, on a pour le moment de rotation de ds’

résultat qui ne dépend que de la situation des extrémités M
' etN.

Nous achèverons le calcul en supposant que la ligne MN soit un diamètre
L’L" du même cercle.

Nommons 2 8 l’angle M’OL’ ; M’T’ étant la tangente en M’les angles
L’M’T’, L"M’T’ seront respectivement p' et p", et l’on aura évidemment.


cosp' = — cosO, cosP"==sin8, r' = 2asin8, r" = aacose.

L’action du diamètre L’L" pour faire tourner l’élément situé en M
sera donc

Lorsqu’on prend un point quelconque A de la circonférence pour
origine des arcs, et qu’on fait AL’ = C, on a

ce qui change l’expression précédente en

qu’il faut intégrer dans toute l’étendue de l’arc L,L,.pour avoir le
moment de rotation de cet arc autour de son c,Rrrt,re<.
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 55
Or on a

si donc on appelle 2 0, et 28, les angles LOL, et L’OL, le moment
total de l’arc L, L, sera

Cette expression, changée de signe, donne la valeur du moment de
rotation du diamètre L’L" dû à l’action de L, L,.

Dans un appareil que j’ai décrit précédemment, un conducteur qui ;
a la forme d’un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur composé
d’un diamètre et d’une demi-circonférence qui est mobile autour
d’un axe passant par le centre de cette demi-circonférence et perpendiculaire
à son plan. L’action qu’elle éprouve de la part du secteur est
détruite par la résistance de l’axe, puisque le contour que forme le
secteur est fermé ; il ne reste donc que l’action sur le diamètre. Nous
avons déjà calculé celle de l’arc, il ne nous reste donc plus qu’à
obtenir celles des rayons de ce secteur sur le même diamètre.

Pour les déterminer, nous allons chercher le moment de rotation
qui résulte de l’action mutuelle de deux courants rectilignes situés
dans le même plan, et qui tend à les faire tourner en sens contraire
autour du point de rencontre de leurs directions.

La composante normale à ^élément, ds’ situé en M’ (fig, 24) , est,
comme nous L’avons: vu précédemment,

Le moment de ds pour faire tourner ds’ autour de ; Oys’obtiendra
en multipliant cette forcé par s’ ; on aura donc, eiïnsmmant M le
56 THÉORIE MATHÉMATIQUE
moment total,

Mais, d’après la manière dont les angles ont été pris dans le calcul
de la formule qui représente l’action mutuelle de deux éléments de
conducteurs voltaïques, l’angle MM’La = p est extérieur au triangle
OMM’ ; et, en nommant e l’angle MOM’ compris entre les directions
des deux courants, on trouve que le troisième angle OMM’ est égal à
p —e, ce qui donne

En remplaçant dans cette valeur cos (P — e) par

on voit aisément qu’elle se réduit à

qu’il faut prendre entre les limites p' et p" ; on a ainsi la différence de
deux fonctions de même forme, l’une de p", l’autre de p', qu’il s’agit
d’intégrer de nouveau pour avoir le moment de rotation cherché : il
suffit de faire cette seconde intégration sur une seule de ces deux
quantités : soit donc a" la distance OL" qui répond à p", on a, dans le
triangle OM’L",
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 57,
et la quantité que nous nous proposons d’abord d’intégrer, devient

En désignant parp\ etp\ les perpendiculaires abaissées du point O,
sur les distances L"La—r'2', L"L, = r", on a évidemment

et l’intégrale précédente devient

Si l’on fait attention qu’en désignant la distance PL’ par d on a aussi,
dans le triangle OM’L’,

on voit aisément que l’intégrale de l’autre quantité se forme de celle
que nous venons d’obtenir, en y changeant p'î,p't, r[,r'[, en p'i,p[,
r\, r\ ; ce qui donne pour la valeur du moment de rotation qui est la
différence des deux intégrales,

Cette valeur se réduit à celle que nous avons trouvée plus haut, dans
le cas où l’angle e est droit, parce qu’alors cot f ;= o,

Quand on suppose que les deux courants partent du point O, et
que leurs longueurs OL", OL, (fig. 22) sont représentées respectivement
par a et b, la perpendiculaire OP par p, et la distance L"L,par
- R58 THÉORIE MATHÉMATIQUE
pour la valeur que prend alors le moment de rotation.

La quantité a 4- b-^-r, excès de la somme de deux Côtés d’un triangle
sur le troisième, est toujours positive : d’où il suit que le moment

de rotation est plus grand que la valeur -ii'p qu’il prend quand l’an--

glê è des ; deux conducteurs est droit, tant que cot s est positif, C’est-àdire
tant que cet angle est aigu ;; mais il devient plus petit "quand le
même angle est obtus, parce qu’alors cote est négatif. Il est évident
d’ailleurs que sa valeur est d’autant plus grande que l’angle eest plus
petit, et qu’elle croît à l’infini comme cot e à mesure que s s’approche
de zéro ; mais il est bon de montrer qu’il reste toujours positif, quelque
voisin que cet angle soit de deux droits.

Il suffit pour cela de faire attention qu’en nommant a l’angle du
triangle OL"Ls compris entre les côtés a et r, et p celui qui l’est entré
les côtés b et r, on a

valeur qui reste toujours positive, quelque petits que soient les angles
a et p, puisque tang (a 4-p) , pour des angles inférieurs à v, est toujours
plus grand que tang a -j- tang p, et à plus forte raison plus que
tang - a 4-tang - p. Cette valeur tend évidemment vers la limite
jii'p à mesure que les angles a et p s’approchent de zéro ; elle s’évanouit
avecjo quand ces angles deviennent nuls.
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 59
Reprenons maintenant la valeur générale du moment de rotation
en n’y faisant entrer que les distances OL" = a", OL’===« ', et les différents
angles, valeur qui est

et appliquons4a au cas où un des Conducteurs L’L" (fig. 25) est rectiligne
et mobile autour de son milieu L,, et où l’autre part de ce milieu.
En faisant L’L" = ad, on a

et en désignant comme précédemment les perpendiculaires abaissées
de L, sur L’L,, L"L,, l’expression du moment devient

et les valeurs de r',' et de r'„ tirées de ces proportions et substituées
dans l’expression précédente la changent en

Lorsqu’on suppose L,L, infini, on a p\ =p's = a sin e, r£ — r',' =
2 à cos e, et cette valeur du moment se réduit à

il est donc en raison inverse du sinus de l’angle des deux courants, et
proportionnel à la longueur du courant fini.

Quand L,L, =- L’L" = a et qu’on représente l’angle L"L,L, par 26,
on a
'60 THÉORIE MATHÉMATIQUE
et lié moment dévient

en remplaçant 2 cot 2 8 par sa Valeur

on trouve que celle de ce moment est égale à

Pour avoir la somme des actions des deux rayons entre lesquels est
compris un secteur infiniment petit donc l’arc est de, il faut faire
attention que ces deux rayons étant parcourus en sens contraire, cette
somme est égale à là différentielle de l’expression précédente ; on
trouve ainsi qu’elle est représentée par

Mais l’action de l’arc L,L, sur le diamètre L’L" est égale et opposée
à celle que ce diamètre exerce sur l’arc pour le faire tourner autour de
son centre ; le moment de cette action, d’après ce que nous venons de
voir, est donc égal à

en l’ajoutant au précédent, on a pour celui qui résulte de l’action du
secteur infiniment petit sur le diamètre L’L"
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO'-DYNAMIQUES 61
Cette valeur ne diffère que par le signe de celle que nous avons déjà
trouvée pour lé même moment, différence qui vient évidemment de
ce que nous avons tiré cette dernière de la formule relative à l’action
d’un très petit circuit fermé sur un élément où nous avions changé le
signe de C pour la rendre positive.

Examinons maintenant l’action que deux courants rectilignes, qui
ne sont pas dans un même plan, exercent l’un sur l’autre, soit pour
se mouvoir parallèlement à leur commune perpendiculaire, soit pour
tourner autour de cette droiLe.

Soient les deux courants AU, A'U' (fig. 26)  ; AA' == a, leur eonimune
perpendiculaire ; AV une parallèle à A'U' : l’action de deux éléments
3
situés en M et M’, lorsqu’on fait n i= 2 et h = k — 1 — dans la formule
générale

la valeur de l’action des deux éléments devient - „ ■ •.
62 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Pour avoir la composante parallèle à A A', il faut multiplier cette

expression par le cosinus de l’angle MM’P que fait MM’ avec M’P paralM’P
a
Me à AA', c’est-à-dire par ^nrjr, ou -, ce qui donne

et en intégrant dans toute l’étendue des deux courants, on trouve
pour l’action totale

Si les deux courants font entre eux un angle droit, on a cos e=o, et
l’action parallèle à AA'se réduit, en prenant l’intégrale entre les limites
convenables, et en employant les mêmes notations que ci-dessus,
à

Cette expression est proportionnelle à la plus courte distance des courants,
et devient par conséquent nulle quand ils sont dans un même
plan, comme cela doit être évidemment
Si les courants sont parallèles^ on a e = o et

ds
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 63
et comme cos e = 1, l’action totale devient

Nous verrons plus tard comment se fait l’intégration dans le cas où

l’angle e est quelconque.

Cherchons maintenant le moment de rotation autour de la commune

perpendiculaire : pour cela il faut connaître d’abord la composante

suivant MP, et la multiplier par la perpendiculaire AQ abaissée de A

MP
sur MP, ce qui revient à multiplier la force suivant MM’ par^->. AQ,
ss’ sin e . .

ou par ; on aura ainsi . .
64 THÉORIE MATHÉMATIQUE
on

effectuant la multiplication et remplaçant ss + s1* par sa valeur
tirée de

on obtient, en réduisant,

d« 'l
r
Substituant cette valeur ainsi que celle de ss’ _. ,  ; dans l’expression

du moment de rotation de l’élément, il devient

le calcul se ramène donc, comme précédemment, à trouver la valeur

de l’intégrale double j j -——.

Si les courants sont dans un même plan, on a a = o, et le moment
se réduit à
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 65
résultat qui coïncide avec celui que nous avons obtenu en traitant directement
deux courants situés dans un même plan. Cary n’étant
ss’
autre chose que —, et r devenant MP, on a

et nous avions trouvé par l’autre procédé,
p désignant la perpendiculaire AQ : les deux résultats sont donc identiques.
L’intégration faite entre les limites donne

si l’angle e est droit, ce moment se réduit à
TZ
Lorsque e = -, mais que a n’est pas nul, le moment ci-dessus devient

66 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Soit M la valeur du moment de rotation lorsque les deux courants
électriques, dont les longueurs sont s et s’, partent des points où
leurs directions rencontrent la droite qui en mesure la plus courte
distance, on aura

expression qui se réduit, quand a s= o, à M = - ii'q, ce qui s’accorde

avec la valeur M = -ii'p que nons avons déjà trouvée pour ce cas,

parce qu’alors q devient la perpendiculaire que nous avions désignée
par p. Si l’on suppose a infini, M devient nul, comme cela doit
être, puisqu’il en résulte

Si l’on nomme z l’angle dont la tangente est

c’est la valeur du moment de rotation qui serait produit par une force
égale à

agissant suivant la droite qui joint les deux extrémités des conducteurs
opposées à celles où ils sont rencontrés par la droite qui en
mesure la plus courte distance.

Il suffit de quadrupler ces expressions pour avoir le moment de
rotation produit par l’action mutuelle de deux conducteurs dont l’un
serait mobile autour de la droite qui mesure leur plus courte distance,
dans le cas où cette droite rencontre les deux conducteurs à
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 67
leurs milieux, et où leurs longueurs sont respectivement réprésentées
par 2 s et 2 s’.

Il est, au reste, aisé de voir que si, au lieu de supposer que les deux
courants partent du point où ils rencontrent la droite, on avait fait
le calcul pour des limites quelconques, on aurait trouvé une valeur
de M composée de quatre termes de la forme de celui que nous avons
obtenu dans ce cas particulier, deux de ces termes étant positifs et les
deux autres négatifs.

Considérons maintenant deux courants rectilignes A'S’, L’L" (fig. 27) ,
non situés dans un même plan et dont les directions fassent un angle
droit.

Soit A'A leur commune perpendiculaire, et cherchons l’action de
L’L" pour faire tourner A'S’ autour d’une parallèle OV à L’L" menée à
la distance A'O = b dé A.

Soient M,M’ deux éléments quelconques de ces courants ; l’expression
générale de la composante de leur action parallèle à la pèrpendiculàire

commune AA', devient,en faisant e =-,
2
son moment par rapport au point O est donc, en prenant A' pour
origine des s’, égal à

et en appelant r' et r" les distances M’L’, M’L" de M’ aux points L’, L",
et intégrant entre ces limites l’action de L’L", pour faire tourner l’élément
M’, est
68 THÉORIE MATHÉMATIQUE
expression qu’il faut intégrer par rapport à s’. Or

et il est d’ailleurs aisé de voir qu’en nommant c la valeur AL" de s qui
correspond à r", et qui est une constante dans l’intégration actuelle,
on a A'L" = \Jd*-\- c 1, d’où il suit que

le second terme s’intégrera de la même manière, et l’on aura enfin
pour le moment de rotation cherché

Dans le cas où l’axe de rotation parallèle à la droite L’L" où s passe
par le point d’intersection A' des droites a et s’, on a b = o ; et si l’on
suppose, en outre, que le courant qui parcourt s’ part de ce point d’intersection,
on aura de plus

en sorte que la valeur du moment de rotation se réduira à

Je vais maintenant chercher l’action d’un fil conducteur plié suivant
le périmètre d’un rectangle K'K"L"L’pour faire tourner un conducteur
rectiligne A'S’ = s2, perpendiculaire sur le plan de ce rectangle,
et mobile autour d’un de ses côtés K'K" qu’il rencontre au point A' :
le moment produit par l’action de ce côté K'K" étant alors évidemment
nul, il faudra à celui qui est dû à l’action de L’L" et dont nous venons
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 69
de calculer la valeur, ajouter le moment produit par K'L’ dans le
même sens que celui de L’L", et en ôter celui qui l’est par K"L" dont
l’action tend à faire tourner A'S’ en sens contraire ; or, d’après les
calculs précédents, en nommant g et h les plus courtes distances
A'K', A'K", de AS’ aux droites K'L’, K"L" qui sont toutes deux égales ha,
on a pour les valeurs absolues de ces moments

Telle est la valeur du moment de rotation résultant de l’action d’un
conducteur ayant pour forme le périmètre d’un rectangle, et agissant
sur un conduèteur mobile autour d’un des côtés du rectangle, lorsque
la direction de ce conducteur est perpendiculaire au plan du rectangle,
quelle que soit d’ailleurs sa distance aux autres côtés du rectangle
et les dimensions de celui-ci. En déterminant par l’expérience
l’instant où le conducteur mobile est en équilibre entre les actions
opposées de deux rectangles situés dans le même plan, mais de grandeurs
différentes et à des distances différentes du conducteur mobile,
on a un moyen bien simple de se procurer des vérifications de ma
formule susceptible d’une grande précision ; c’est ce qu’on peut faire
aisément à l’aide d’un instrument dont il est trop facile de concevoir
la construction pour qu’il soit nécessaire de l’expliquer ici.

/Y* dsds’
Intégrons maintenant l’expression /1 —^— dans l’étendue de deux

courants rectilignes non situés dans un même plan, et faisant entre
eux un angle quelconque e, dans le cas où ces courants commencent
à la perpendiculaire commune ; les autres cas s’en déduisant immédiatement.

Soient A (fig. 28) le point où la commune perpendiculaire rencontre

la direction AM du courant s, AM’ une parallèle menée par ce point au
courant s’, et mm’ la projection sur le plan M’AM’ de la droite qui j oint
les deux éléments ds, ds’.

Menons par A une ligne An parallèle et égale à mm’, et formons enn
un petit parallélogramme nn’, ayant ses côtés parallèles aux droites
MAN, AM’, et égaux à ds, ds’.

Si l’on répète la même construction pour tous les éléments, les
parallélogrammes ainsi formés composeront le parallélogramme
entier NAM’D, et, leur surface ayant pour mesure ds ds’ sine, on
obtiendra l’intégrale proposé multipliée par sine, en cherchant le
volume ayant pour base NAM’D, et terminé à la surface dont les
ordonnées élevées aux différents points de cette base ont pour valeur

-i ; r étant la distance des deux éléments des courants, qui correspondent,
d’après notre construction, à tous ces points de la surface
NAMD.

Or, pour calculer ce volume, nous pourrons partager la base en
triangles ayant pour sommet commun le point A.

Soient kp une droite menée à l’un quelconque des points de l’aire
du triangle AND, etpqq'p' l’aire comprise entre les deux droites infiniment
voisines kp, kq' et les deux arcs de cercle décrits de A avec
les rayons kp — u et kp' = u 4- du : nous aurons, à causé que
l’angle NAM’ = « — e et en appelant <p l’angle NÀ/>,

Or, si a désigne la perpendiculaire commune aux directions des deux
conducteurs, et s et s’les distances comptées de A sur les deux courants,
on a

donc, en intégrant d’abord depuis M = O jusqu’à u = AR=« ,,

Il reste à intégrer cette dernière expression par rapport à çp : pour
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 71
cela nous calculerons w, en fonction de <p par la proportion
AN: AR::sin(tp4-e) : sine, ou s :w,:: sin(<p-fe) : sine ; et en substituant
à d1 4- u\ la valeur tirée de cette proportion, nous aurons à
calculer

Nommons [*. et JA' les angles NAD, M’AD, et prenons l’intégrale précédente
entre « p = 0 et « p= JA, elle devient alors

d’où l’on tire pour l’intégrale l’expression suivante :
72 THÉORIE MATHÉMATIQUE
En calculant la tangente de la somme des deux arcs dont les valeurs
contiennent s et s’, on change cette expression en

comme nous l’avons trouvé précédemment.

On peut remarquer que le premier terme de la valeur que nous
venons de trouver dans le cas général est l’intégrale indéfinie de

Concevons maintenant dans ;l’espace une ligne quelconque MmO
(P. II, fig. 29) , qu’entourent des courants électriques formant de très
petits circuits fermés autour de cette ligne, dans des plans infiniment
rapprochés qui lui soient perpendiculaires, de manière que les
aires comprises dans ces circuits soient toutes égales entre elles et
représentées par X, que leurs centres de gravité soient sur MmO, et
qu’il y ait partout la même distance, mesurée sur cette ligne, entre
deux plans consécutifs. En appelant g'cette distance que nous regarderons
comme infiniment petite, le nombre des courants qui se

ds
trouveront répondre à un élément de. d s de la ligne MmO, sera — ; et

il faudra multiplier par ce nombre les valeurs de A, B, C que nous
venons de trouver pour un seul circuit, afin d’avoir celles qui se rap*
10DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 73
comme on peut le Vérifier par la différenciation, et que les trois
autres s’obtiennent en faisant successivement dans cette intégrale
indéfinie :

Si les courants ne partaient pas de la commune perpendiculaire, on
aurait une intégrale composée encore de quatre termes qui seraient
tous de même forme que l’intégrale indéfinie.

Nous avons considéré jusqu’ici ; l’action mutuelle de courants électriques
situés dans un même plan, et de courants rectilignes situés
d’une manière quelconque dans l’espace ; il nous reste à examiner
l’action mutuelle des courants curvilignes qui ne seraient pas dans
un même plan. Nous supposerons d’abord que ces courants décrivent
des courbes planes et fermées, dont toutes les dimensions soient
infiniment petites. Nous avons vu que l’action d’un courant de
cette espèce dépendait de trois intégrales A. » ®, C, dont les valeurs
sont
74 ..-.- ; THÉORIE MATHÉMATIQUE
portent aux circuits de l’élément ds ; en intégrant ensuite, depuis
l’une des extrémités L’de l’arc s, jusqu’à l’autre extrémité L" de cet
arc, on aura les valeurs de A, B, G relatives à l’assemblage de tous
les circuits qui l’entourent, assemblage auquel j’ai donné le nom de
soléioïde électro-dynamique, du mot grec (JID^VOSISTJÇ, dont la signification
exprime précisément ce qui a la forme d’un canal, c’est-à-dire
la surface de cette forme sûr laquelle se trouvent tous les circuits.
On a ainsi, pour tout le solénoïde,

Or, la direction de la ligne g, perpendiculaire au plan de X, étant
parallèle à la tangente à la courbe s, on a

De plus, q est évidemment égale à la somme des projections des trois
coordonnées x, y, z, sur sa direction ; ainsi

puisqu’on a l* =. ,-r 2 4- if 4- z 1. Substituant ces valeurs dans celle que
nous venons de trouver pour G, elle devient

Nommant x', y', z', l’et x", y", z", l’, les valeurs de x, y, z, l, relatives
aux deux extrémités L’, L" du solénoïde, on a

En opérant de la même manière, pour les deux autres intégrales A, B,
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 75
on trouve des expressions semblables pour les représenter, é\ les
valeurs des trois quantités que nous nous sommes proposé de cal- :
culer pour le solénoïde entier sont

Si le solénoïde avait pour directrice une courbe fermée, on aurait
x" — x', y"z=y', z"=z', l" = l, et, par conséquent, A = .o, B = o,
C== o ; s’il s’étendait à l’infini dans les deux sens, tous les termes des
valeurs de A, B, C seraient nuls séparément, et il est évident que
dans ces deux cas l’action exercée par le solénoïde se réduit à zéro.
Si l’on suppose qu’il ne s’étende à l’infini que d’un seul côté, ce que
j’exprimerai en lui donnant alors le nom de solénoïde indéfini dans
un seul sens, on n’aura à considérer que l’extrémité dont les coordonnées
x', y', z' ont des valeurs finies, car l’autre extrémité étant
supposée à une distance infinie, les premiers termes de celles que
nous venons de trouver pour A, B, C, sont nécessairement nuls ; on
a ainsi

donc A : B : G :: x' ;y" : z' ; d’où il suit que la normale au plan directeur,
qui passe par l’origine et forme avec les axes des angles dont les
cosinus sont

en faisant toujours D = v/A 2 4- B* 4- C 2, passe aussi par l’extrémité du
solénoïde dont les coordonnées sont x', y', z 1.

Nous avons vu, dans le cas général, que la résultante totale est perpendiculaire
sur cette normale ; ainsi l’action d’un solénoïde indéfini
sur un élément est perpendiculaire à la droite qui joint le milieu de
cet élément à l’extrémité du solénoïde ; et comme elle l’est aussi à
76 THÉORIE MATHÉMATIQUE
l’élément, il "s’ensuit qu’elle est perpendiculaire au plan mené par 'cet
élément et par l’extrémité du solénoïde.

Sa direction étant déterminée, il ne resite plus qu’à en 'connaître
la valeur : or, d’après lé calcul fait dans le cas général, cette valeur
est

e' étant l’angle de l’élément ds’ avec la norniale au plan directeur ; et
comme D = \/As 4- B2 4- C 2, on trouve aisément

ce qui donne pour là valeur de la résultante

On voit donc que l’action qu’un solénoïde i'n’défini dont l’extrémité
est en L’ (fig. 29) 'exerce sur l’élément ab, est normale en A au plan
bkl !, proportionnelle au sinus de l’angle bkU et en raison inverse dû
carré de la distance AL’, et qu’elle reste toujours la même, quelles
que soient la forme et la direction de la courbe indéfinie L’L" sur
laquelle on suppose placés tous les centres de gravité des courants
dont se compose le solénoïde indéfini.
 ;Si l’on veut passer de là au cas d’un solénoïde défini doiit les deux
extrémités soient situées à deux points donnés L’, L", il suffira de
supposer un second solénoïde indéfini commençant au point L" du
premier et coïncidant avec lui depuis ce point jusqu’à l’infini, ayant
ses courants de même intensité, mais dirigés en sens contraire, l’action
de ce dernier sera de signe contraire à celle du premier solénoïde
indéfini partant du point L’, et la détruira dans toute la partie qui
s’étend depuis L" jusqu’à l’infini dans la direction L"0 où ils seront
superposés ; l’action du solénoïde L’L" sera donc la même qu’exercerait
la réunion de ces deux solénoïdes indéfinis, et se composera, par
conséquent, de la force que nous venons de calculer et d’une autre
force agissant en sens contraire, passant de même par le point A, per-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 7 /
pèhdiculairé au plan bkL", et ayant pour valeur

e" étant l’angle bkL", et /' la distance AL". L’action totale du solénoïde
L’L" est la résultante de ces deux forces, et passe, comme elles,
par le point A. '.-'_■

Comme l’action d’un solénoïde défini se déduit immédiatement de
celle du solénoïde indéfini, nous commencerons, dans tout ce qu’il
nous reste à dire sur ce sujet, par considérer le solénoïde indéfini
qui offre des calculs plus simples, et dont il est toujours facile de
conclure ce qui a lieu relativement à un solénoïde défini.

Soient L’ (fig. 30) , l’extrémité d’un solénoïde indéfini ; A le milieu
d’un élément quelconque ba d’un courant électrique M,AM„ et L’K
une droite fixe quelconque menée par le point L’ ; nommons 8 l’angle
variable KL’A, [*. l’inclinaison des plans ôAL’, AL’K, et r la distance
L’A. L’action dé l’élément ba sur lé solénoïde étant égale et opposée
à celle que ce dernier exerce sur l’élément, il faut, pour la déterminer,
considérer un point situé en A, lié invariablement au solénoïde,
et sollicité par une force dont l’expression soit, abstraction faite du
signe,

en nommant du l’aire dL’b qui est égale à

Gomme cette force est normale en A au plan kL’b, il faut, pour avoir
son moment par rapport à l’axe L’K, chercher sa composante perpendiculaire
à AL’K, et la multiplier par la perpendiculaire à AP
abaissée du point A sur la droite L’K. y. étant l’angle compris entre
les plans kL’b, AL’K, cette composante s’obtient en multipliant l’expression
précédente par cos p ; mais dv cos p. est la projection de
l’aire du sur le plan AL’K, d’où il suit qu’en représentant cette projection
par du, la valeur de la composante cherchée est
78 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Or, la projection de l’angle aL’b sur AL’K peut être considérée comme
la différence infiniment petite des angles KL’a et TQjb : ce sera donc
d9, et l’on aura

ce qui réduit la dernière expression à
et comme ÀP = / sin 8, on a pour le moment cherché

Cette expression, intégrée dans toute l’étendue de la courbe M,AMa,
donne le moment de ce courant pour faire tourner le solénoïde autour
de L’K : or, si le courant est fermé, l’intégrale, qui est en général

s’évanouit entre les limites, et le moment est nul par rapport aune
droite quelconque L’K passant par le point L’.

Il suit de là que dans l’action d’un circuit fermé, ou d’un système
quelconque de circuits fermés sur un solénoïde indéfini, toutes les
forces appliquées aux divers éléments du système donnent, autour
d’un axe quelconque, les mêmes moments que si elles l’étaient à
l’extrémité même du solénoïde ; que leur résultante passe par cette
extrémité, et que ces forces ne peuvent, dans aucun cas, tendre à
imprimer au solénoïde un mouvement de rotation autour d’une
droite menée par son extrémité, ce qui est conforme aux résultats
des expériences. Si le courant représenté par la courbe M,AM, n’était
pas fermé, son moment pour faire tourner le solénoïde autour de L’K,
en appelant 8,' et % les valeurs extrêmes de 9 relatives au point L’ et
aux extrémités M,, M, de la courbe M,AMS, serait
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 79
Considérons maintenant vin solénoïde défini L’L" (fig. 31) qui ne
puisse que tourner autour tl’un axe passant par ses deux extrémités.
Nous pourrons lui substituer, comme précédemment, deux solénoïdes
indéfinis ; et la somme des actions du courant M,AM, sur
chacun d’eux sera son action sur L’L". Nous venons de trouver le
moment de la première, et en appelant X, K les angles correspondants
à %, %, mais relatifs à l’extrémité L", on aura pour celui de la
seconde

le moment total produit par l’action de M,AM,, pour faire tourner le
solénoïde autour de son axe L’L", Sera donc

Ce moment est indépendant de la ferme du conducteur M,AM„ de sa
grandeur et de sa distance au solénoïde L’L", et reste le même quand
elles varient de manière que les quatre angles eî, ej, e2, 6'2 ne changent
pas de valeurs ; il est nul non seulement quand le courant
M,M, forme un circuit fermé, mais encore quand on suppose que ce
courant s’étend à l’infini dans les deux sens, parce qu’alors ses deux
extrémités étant à une distance infinie de celles du solénoïde, l’angle
9,' devient égal à 8 ?, et l’angle 82 à 82.

Tous les moments de rotation autour des droites menées par l’extrémité
d’un soiënoïde indéfini étant nuls, cette extrémité est le point
d’application de la résultante des forces exercées sur le solénoïde par
un circuit électrique fermé ou par un système de courants formant
des circuits fermés ; on peut donc supposer que toutes ses forces y
sont transportées, et la prendre pour L’origine A (fig. 32) des coordonnées
: soit alors BM une portion d’un des courants qui agissent
sur le solénoïde ; la force due à un élément quelconque Mm de BM
est, d’après ce qui précède, normale au plan AMm et exprimée par

du étant l’aire AMm, et r la distance variable AM.
80 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Pour avoir la composante de cette action suivant AX, on doitlamultiplier
par le cosinus ; de:l’angle qu’elle fait avec AX, lequel est le même
que l’angle des plans AMm, ZAY ; mais du multiplié par çé cosinus
est la projection de AMm sur ZAY, qui est égale à

si donc on veut avoir l’action suivant AX exercée par un nombre
quelconque de courants formant des circuits fermés, il faudra prendre
dans toute l’étendue de ces courants, l’intégrale

A désignant toujours la même quantité que précédemment dans laquelle
on a remplacé ; n par sa valeur 3 ; on trouvera semblablement
que l’action suivant AY est exprimée par

et, celle.qui a, lieu-.suiyajit AZ, par

La résultante de ces trois forces, qui es,t l’action, totale exercée par
un nombre quelconque de circuits formés sur le solénoïde, indéfini,
est donc égale à

en désignant toujours \/, A* + B2 4- C par D ; et les cosinus des angles
qu’elle fait avec les axes des x, des y et des z, ont pour valeurs,


qui sont précisément celles des cosjnus des angles que fait avec les
mêmes axes la normale au plan directeur que l’on obtiendrait en
considérant l’action des mêmes circuits sur un élément situé en A.
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 81
Or, cet élément serait porté par l’action du système dans une direction
comprise dans le plan directeur ; d’où l’on tire cette conséquence
remarquable, que lorsqu’un système quelconque de circuits fermés
agit alternativement sur un solénoïde indéfini et sur un élément
situé à l’extrémité de ce solénoïde, les directions suivant les*
quelles sont portés respectivement l’élément et l’extrémité du sole*
noïde, sont perpendiculaires entre elles. Si on suppose l’élément situé
dans le plan directeur lui-même, l’action que le système exerce
sur lui est à son maximum, et a pour valeur

Celle que le même système exerce sur le solénoïde vient d’être
trouvée égale à

ces deux forces sont donc toujours entre elles dans le rapport constant
pour un même élément et un même solénoïde

c’est-à-dire, comme la longueur de l’élément est à l’aire de la courbe
fermée que décrit un des courants du solénoïde divisée par la distance
de deux courants consécutifs ; ce rapport est indépendant de
la forme et de la grandeur des courants du système qui agit sur l’élément
et sur le solénoïde.

Lorsque le système de circuits fermés que nous venons de considérer
est lui-même un solénoïde indéfini, la normale au plan directeur
passant par le point A est, comme nous venons de le voir, la
droite qui joint ce point A à l’extrémité du solénoïde ; il suit de la
que l’action mutuelle de deux solénoïdes indéfinis a lieu suivant la
droite qui joint l’extrémité de l’un à l’extrémité de l’autre ; pour en
trouver la valeur, nous désignerons par X' l’aire des circuits formés par
les courants de ce nouveau solénoïde, g1 la distance entre les plans
de deux de ces circuits qui se suivent immédiatement, /.la distance
des extrémités des deux solénoïdes indéfinis, et nous aurons
■H82 THÉORIE MATHÉMATIQUEîx'
D = • rn >ce qui donne pour leur action mutuelle

qui est en raison inverse du carré de la distance /. Quand l’un des solénoïdes
est défini, on peut le remplacer par deux solénoïdes indéfinis,
et l’action se trouve composée de deux forces, l’une attractive et l’autre
répulsive, dirigées suivant les droites qui joignent les deux extrémités
du premier à l’extrémité du second. Enfin, dans le cas où deux
solénoïdes définis L’L", L,L2 (fig. 33) agissent l’un sur l’autre, il y a
quatre forces dirigées respectivement suivant les droites L’L,, L’Lg,
L"L,, L"LS qui joignent leurs extrémités deux à deux ; et si, par
exemple, il y a répulsion suivant L’L, il y aura attraction suivant
L’L2 et L"L,, et répulsion suivant L"L2.

Pour justifier la manière dont j’ai conçu les phénomènes que présentent
les aimants, en les considérant comme des assemblages de
courants électriques formant de très petits circuits autour de leurs
particules, il fallait démontrer, en partant de la formule par laquelle
j’ai représenté l’action mutuelle de deux éléments de courants électriques,
qu’il. résulte de certains assemblages de ces petits circuits
des forces qui ne dépendent que de la situation de deux points déterminés
de ce système, et qui jouissent, relativement à ces deux points,
de toutes les propriétés des forces qu’on attribue à ce qu’on appelle
des molécules de fluide austral et de fluide boréal, lorsqu’on explique
par ces deux fluides, les phénomènes que présentent les aimants,
soit dans leur action mutuelle, soit dans celle qu’ils exercent sur un
fil conducteur : or on sait que les physiciens qui préfèrent les explications
où l’on suppose l’existence de ces molécules à celles que j’ai déduites
des propriétés des courants électriques, admettent qu’à chaque
molécule de fluide austral répond toujours, dans chaque particule du
corps aimanté, une molécule de fluide boréal de même intensité, et
qu’en nommant élément magnétique l’ensemble de ces deux molécules
qu’on peut considérer comme les deux pôles de cet élément,
il faut pour expliquer les phénomènes que présentent les deux
genres d’action dont il est ici question : 1° que l’action mutuelle de deux
éléments magnétiques se compose de quatre forces, deux attractives
et deux répulsives, dirigées suivant les droites qui joignent les deux
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 83
molécules d’un de ces éléments aux deux molécules de l’autre, et
dont l’intensité soit en raison inverse des carrés de ces droites ; 2° que
quand un de ces éléments agit sur une portion infiniment petite de
fil conducteur, il en résulte deux forces perpendiculaires aux plans
passant par les deux molécules de l’élément et par la direction de la
petite portion du fil, et qui soient proportionnelles aux sinus des angles
que cette direction forme avec les droites qui en mesurent les
distances aux deux molécules, et en raison inverse des carrés de ces
distances. Tant qu’on n’admet pas la manière dont je conçois l’action
des aimants, et tant qu’on attribue ces deux espèces de forces à des
molécules d’un fluide austral et d’un fluide boréal, il est impossible
de les ramener à un seul principe ; mais dès qu’on adopte ma manière
devoir sur la constitution des aimants, on voit, par les calculs précédents,
que ces deux sortes d’actions et les valeurs des forces qui en
résultent se déduisent immédiatement de ma formule, et qu’il suffit
pour trouver ces valeurs de substituer à l’assemblage de deux molécules,
l’une de fluide austral, l’autre de fluide boréal, un solénoïde
dont les extrémités, qui sont les deux points, déterminés dont dépendent
les forces dont il s’agit soient situées précisément aux mêmes
points où l’on supposerait placées les molécules des deux fluides.

Dès. lors deux systèmes de très petits solénoïdes agiront l’un sur
l’autre, d’après ma formule, comme deux aimants composés d’autant
d’éléments magnétiques que l’on supposerait de solénoïdes dans ces
deux systèmes ; un de ces mêmes systèmes agira aussi sur un élément
de courant électrique, comme le fait un aimant ; et par conséquent
tous les calculs, toutes les explications, fondés tant sur la considération
des forces attractives et répulsives de ces molécules en
raison inverse des carrés des distances, que sur celle de forces révolutives
entre une de ces molécules et un élément de courant électrique,
dont je viens de rappeler la loi telle que l’admettent les physiciens
qui n’adoptent pas ma théorie, sont nécessairement les mêmes,
soit qu’on explique comme moi par des courants électriques les phénomènes
que produisent les aimants dans ces deux cas, ou qu’on
préfère l’hypothèse des deux fluides. Ce n’est donc point dans ces
calculs ou dans ces explications qu’on peut chercher ni les objections
contre ma théorie, ni les preuves en sa faveur. Les preuves sur lesquelles
je l’appuie, résultent surtout de ce qu’elle ramène à un. principe
unique trois sortes d’actions que l’ensemble des phénomènes
84 THEORIE MATHEMATIQUE
prouve être dues à une cause commune, et qui ne peuvent y être
ramenées autrement. En Suède, en Allemagne, en Angleterre^ on a
cru pouvoir les expliquer par le seul fait de l’action mutuelle de deux
aimants, tel que Coulomb l’avait déterminé ; les expériences qui nous
offrent des mouvements de rotation continue sont en contradiction
manifeste avec cette idée. En France, ceux qui n’ont pas adopté ma
théorie, sont obligés de regarder les trois genres d’action que j’ai
ramenés à une loi commune, comme trois sortes de phénomènes
absolument indépendants les uns des autres. 11 est à remarquer,
cependant, qu’on pourrait déduire de la loi proposée par M. Biot pour
l’action mutuelle d’un élément de fil conducteur et de ce qu’il appelle
une molécule magnétique, celle qu’a établie Coulomb relativement à
l’action de deux aimants, si l’on admettait qu’un de ces aimants est
composé de petits courants électriques, tels que ceux que j’y conçois ;
mais alors comment pourrait-on ne pas admettre que l’autre est composé
de même, et adopter, par conséquent, toute ma manière de
voir ?

D’ailleurs, quoique M. Biot ait nommé force élémentaire (1) celle
dont il a déterminé la valeur et la direction dans le cas où un élément
de fil conducteur agit sur chacune des particules d’un aimant, il est
clair qu’on ne peut regarder comme vraiment élémentaire, ni une
force qui se manifeste dans l’action de deux éléments qui ne sont pas
de même nature, ni une force qui n’agit pas suivant la droite qui joint
les deux points entre lesquels elle s’exerce. Cependant, dans le
Mémoire que cet habile physicien a communiqué à l’Académie les
30 octobre et 18 décembre 1820 (2) , il regarde comme élémentaire la

(1) Précis élémentaire de physique, t. II, p. 122 de la seconde édition.

(2) Ce dernier Mémoire n’ayant pas été publié à part, je ne connais la formule
qui y est donnée pour exprimer cette force que par le passage suivant de la
seconde édition du Précis élémentaire de physique, t. H, p. 122 et 123.

« En divisant par la pensée toute la longueur du fil conjonctif Z'C (fig. 34) 
en une infinité de tranches d’une très petite hauteur, on voit que chaque
Iranche doit agir sur l’aiguille avec une énergie différente, selon sa distance
et sa direction. Or, ces forces élémentaires sont précisément le résultat simple
qu’il importe surtout de connaître ; car la force totale exercée par le fil
entier n’est que la somme de leurs actions. Mais le calcul suffit pour remon« 
ter de cette résultante à l’action simple. C’est ce qu’a fait M. Laplace. Il a
« déduit de nos observations, que la loi individuelle des forces élémentaires

force qu’exerce un élément de fil conducteur sur un molécule de
fluide austral ou de fluide boréal, c’est-à-dire sur le pôle d’un élé« 
exercées par chaque tranche du fil conjonctif, était la raison inverse du carré
« de la distance, c’est-à-dire précisément la même que l’on sait exister dans les
actions magnétiques ordinaires. Celte analyse montrait que, pour compléter
la connaissance de la force, il restait encore à déterminer si l’action de chaque
tranche du fil était la même dans toutes les directions à dislance égale, ou si
elle était plus énergique dans certains sens que dans d’autres. Pour décider
cette question, j’ai tendu dans un plan vertical un long fil de cuivre ZMC
(fig. 34J, en le pliant en M, de manière que les deux branches ZM, MC fissent
avec l’horizontale MH des angles égaux. Devant ce fil, j’en ai tendu un autre
Z'M’C de même matière, de même diamètre, pris dans le même tirage ; mais
j’ai disposé celui-ci verticalement, de manière qu’il ne fût séparé du premier
en MM’ que par une bande de papier très mince. J’ai ensuite suspendu notre
aiguille aimantée AB devant ce système, à la hauteur des points M, M’, et j’ai
observé ces oscillations pour diverses distances, en faisant successivement .
passer le courant voltaïque par le fil plié et par le fil droit. J’ai trouvé ainsi
que, pour l’un comme pour l’autre, l’action était réciproque à la distance aux
points M, M’ ; mais l’intensité absolue était plus faible pour le fil oblique que
pour le fil droit, dans la proportion de l’iingle ZMH à l’unité. Ce résultat ana« 
lysé par le calcul, m’a paru indiquer que l’action de chaque élément [/. du fil
« oblique sur chaque molécule m de magnétisme austral ou boréal est réci« 
proqne an carré de sa distance \im à cette molécule, et proportionnelle au
« sinus de l’angle TKJAM formé par la distance [/.m avec la longueur du fil. »Il est assez remarquable que cette loi qui est une conséquence rigoureuse de la
formule par laquelle j’ai exprimé l’action mutuelle de deux éléments de fils
conducteurs, quand on remplace, conformément à ma théorie, chaque élément
magnétique par un très petit solénoïde électro-dynamique, a d’abord été
trouvée par une erreur de calcul ; en effet, pour qu’elle soit vraie,,il faut que
l’intensité absolue de la force soit proportionnelle, non pas à l’angle ZMH, mais à
la tangente de la moitié de cet angle, ainsi que l’a démontré M. Savary, dans le
Mémoire qu’il a lu à l’Académie, le 3 février 1823, qui a été publié dans le temps
et se trouve ainsi dans le Journal de physique, t. XCVI, p. 1-25 et suiv. 11 paraît,
au reste, que M. Biot a reconnu cette erreur, car dans la troisième édition du
même ouvrage qui vient de paraître, il donne, à la vérité, sans citer le Mémoire
où elle avait été corrigée, de nouvelles expériences où l’intensité de la force
totale est, conformément au calcul de M. Savary, proportionnelle à Ja tangente
de la moitié de l’angle ZMH, et il en conclut de nouveau, avec plus de raison
qu’il ne l’avait fait de ses premières expériences, que la force qu’il appelle
élémentaire est, à dislances égales, proportionnelle au sinus de l’angle compris
entre la direction de l’élément de fil conducteur et celle de la droite qui en
joint le milieu à la molécule magnétique. (Précis élémentaire de physique expérimentale,
troisième édition, t. II, p. 740-745.) 86 THÉORIE MATHÉMATIQUE
ment magnétique, et il y considère comme un phénomène composé
l’action mutuelle de deux éléments de conducteurs voltaïques. Or, on
conçoit aisément que s’il existe en effet des molécules magnétiques,
leur action mutuelle peut être considérée comme la force élémentaire
: c’était le point de vue des physiciens de la Suède et de l’Allemagne,
qui n’a pu supporter l’épreuve de l’expérience, puisque cette
force étant proportionnelle à une fonction de la distance, ne peut
jamais donner lieu au mouvement toujours accéléré dans le même
sens, du moins tant que, comme ils le supposaient, les molécules
magnétiques sont considérées comme fixées à des points déterminés
des fils conducteurs qu’ils regardaient comme des assemblages de
petits aimants, et alors les deux autres genres d’action étaient des phénomènes
composés, puisque l’élément voltaïque l’était. On conçoit
également que ce soit l’action mutuelle de deux éléments de fils conducteurs
qui offre la force élémentaire : alors l’action mutuelle de
deux éléments magnétiques, et celle qu’un de ces éléments exerce
sur une portion infiniment petite de conducteur voltaïque, sont des
. actions composées, puisque l’élément magnétique doit, dans ce cas,
être considéré comme composé. Mais comment concevoir que la force
élémentaire soit celle qui se manifeste entre un élément magnétique
et une portion infiniment petite de conducteur voltaïque, c’està-dire
entre deux corps à la vérité d’un très petit volume, mais dont
l’un est nécessairement composé, quelle que soit celle des deux manières
d’interpréter les phénomènes dont nous venons de parler ?

La circonstance que présente la force exercée par un élément de fil
conducteur sur un pôle d’un élément magnétique, d’agir dans une
direction perpendiculaire à la droite qui joint les deux points entre
lesquels se développe cette force, tandis que l’action mutuelle de
deux éléments de conducteur a lieu suivant la ligne qui les joint,
n’est pas une preuve moins démonstrative de ce que la première de
ces deux forces est un phénomène composé. Toutes les fois que deux
points matériels agissent l’un sur l’autre, soit en vertu d’une force
qui leur soit inhérente, ou d’une force qui y naisse par une cause
quelconque, telle qu’un phénomène chimique, une décomposition ou
une recomposition du fluide neutre résultant de la réunion des deux
électricités, on ne peut pas concevoir cette force autrement que
comme une tendance de ces deux points à se rapprocher ou à s’éloigner
l’un de l’autre suivant la droite qui les joint, avec des vitesses

réciproquement proportionnelles à leurs masses, et cela lors même
que cette force ne se transmettrait d’une des particules matérielles
à l’autre que par un fluide interposé, comme la masse du boulet n’est
portée en avant avec une certaine vitesse, par le ressort deTair dégagé
de la poudré, qu’autant que la masse du canon est portée en arrière
suivant la même droite, passant par les centres d’inertie du boulet et
du canon, avec une vitesse qui est à celle du boulet, comme la masse
de celui-ci est à la masse du canon.

C’est là un résultat nécessaire de l’inertie de la matière, que Newton
signalait comme un des principaux fondements de la théorie physique
de l’univers, dans le dernier des trois axiomes qu’il a placés au
commencement des Philosophie naturalis principia mathematica, en
disant que l’action est toujours égale et opposée à là réaction ; car
deux forces qui donnent à deux masses des vitesses inverses de ces
masses, sont des forces qui les feraient produire des pressions égales
sur des obstacles qui s’opposeraient invinciblement à ce qu’elles se
missent en mouvement, c’est-à-dire des forces égales. Pour que ce
principe soit applicable dans le cas de l’action mutuelle de deux particules
matérielles traversées par le courant électrique, lorsqu’on
suppose cette action transmise par le fluide éminemment élastique
qui remplit l’espace, et dont les vibrations constituent la lumière (1) ,
il faut admettre que ce fluide n’a aucune inertie appréciable, comme
l’air à l’égard du boulet et du canon ; mais c’est ce dont on ne peut
douter, puisqu’il n’oppose aucune résistance au mouvement des planètes.
Le phénomène de la rotation du moulinet électrique avait
porté plusieurs physiciens à admettre une inertie appréciable dans les
deux fluides électriques, et par conséquent dans celui qui résulte de
leur combinaison ; mais cette supposition est en opposition avec tout
ce que nous savons d’ailleurs de ces fluides, et avec le fait que les
mouvements planétaires n’éprouvent aucune résistance de la part de
l’éther ; il n’y a plus d’ailleurs aucun motif de l’admettre, depuis que
j’ai montré que la rotation du moulinet électrique est due à une
répulsion électro-dynamique produite entre la pointe du moulinet et

(1) Ce fluide ne peut être que celui qui résulte de la combinaison des deux
électricités. Afin d’éviter de répéter toujours la même phrase pour le désigner,
je crois qu’on doit employer, comme Euler, le nom d’éther, en entendant toujours
par ce mot le fluide ainsi défini.
88 THÉORIE MATHÉMATIQUE
les particules de l’air ambiant, par le courant électrique qui s’échappe
de cette pointe (1).

Lorsque M. OErsted eut découvert l’action que le fil conducteur
exerce sur un aimant, on devait, à la vérité, être porte à soupçonner
qu’il pouvait y avoir une action mutuelle entre deux fils conducteurs ;
mais ce n’était point une conséquence nécessaire de la découverte de
ce célèbre physicien, puisqu’un barreau de fer doux agit aussi sur
une aiguille aimantée, et qu’il n’y a cependant aucune action mutuelle
entre deux barreaux de fer doux. Tant qu’on ne connaissait que
le fait de la déviation de l’aiguille aimantée par le fil conducteur, ne
pouvait-on pas supposer que le courant électrique communiquait seulement
à ce fil la propriété d’être influencé par l’aiguille d’une manière
analogue à celle dont l’est le fer doux par cette même aiguille,
ce qui suffisait pour qu’il agît sur elle, sans que pour cela il dût en
résulter aucune action entre deux fils conducteurs lorsqu’ils se trouveraient
hors de l’influence de tout corps aimanté ? L’expérience pouvait
seule décider la question : je la fis au mois de septembre 1820,
et l’action mutuelle des conducteurs voltaïques fut démontrée.

A l’égard de l’action de notre globe sur un fil conducteur, l’analogie
entre la terre et un aimant suffisait sans doute pour rendre cette
action extrêmement probable, et je ne vois pas trop pourquoi plusieurs
des plus habiles physiciens de l’Europe pensaient qu’elle
n’existait pas ; non seulement comme M. Erman, avant que j’eusse
fait l’expérience qui la constatait (2) , mais après que cette expérience
eut été communiquée à l’Académie des sciences, dans sa séance du
30 octobre 1820, et répétée plusieurs fois, dans le courant de
novembre de la même année, en présence de plusieurs de ses
membres et d’un grand nombre d’autres physiciens, qui m’ont autorisé,
dans le temps, à les citer comme ayant été témoins des mouvements
produits par l’action de la terre sur les parties mobiles des

(1) Voyez la note que je lus à l’Académie, le 24 juin 1822, et qui est insérée
dans les Annales de chimie, t. XX, p. 419-421, et dans mon Recueil d’observations
électro-dynamiques, p. 316-318.

(2) Dans un Mémoire très remarquable, imprimé en 1820, ce célèbre physicien
dit que le fil conducteur aura cet avantage sur l’aiguille aimantée dont on
se serl pour des expériences délicates, que le mouvement qu’il prendra dans
ces expériences ne sera point influencé par l’action de la terre.
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 89
appareils décrits et figurés dans les Annales de chimie et de physique,
t. XV, p. 191-196 (P. II, fig. 5 et P. IIIj fig. 71) , ainsi que dans mon
Recueil d’observations électro-dynamiques, p. 43-48, puisque près d’un
an après, les physiciens anglais élevaient encore des doutes sur les
résultats d’expériences si complètes et faites devant un si grand
nombre de témoins (1). On ne peut nier l’importance dé ces expériences,
ni se refuser à convenir que là découverte de l’action de la
terre sur les fils conducteurs m’appartient aussi complètement que
celle de l’action mutuelle de deux conductëursv Mais c’était peu
4'aVoir découvert ces deux genres d’actions et dé les avoir constatés 7
par l’expérience ; il fallait encore :

1° Trouver la formule qui exprime l’action mutuelle dé deux
éléments de courants électriques ;

2° Montrer que d’après la loi, exprimée par cette formulé, de
l’attraction entre les courants qui vont dans le même sens, et de la
répulsion entre ceux qui vont en sens contraire, soit que ces courants
soient parallèles ou forment un angle quelconque (2) , l’action dé la
terre sur les fils conducteurs est identique, dans toutes les circons- '
tances qu’elle présente, à celle qu’exercerait sur ces mêmes fils un
faisceau de courants électriques dirigés de l’est à l’ouest et situés au
midi de l’Europe, où les expériences qui constatent cette action ont
été faites ;
3° Calculer d’abord, en partant de ma formule et de la manière
(1) Voyez le Mémoire de M. Faraday, publié le 11 septembre 1821. La traduci
tion de ce Mémoire se trouve dans les Annales de chimie et de physique, t. XVIII,
p. 337-370, et dans mon Recueil d’observations électro-dynamiques, p. 125-158.
C’est, par une faute d’impression qu’elle porte la date du 4 septembre 1821, au
lieu de celle du 11 septembre 1821.(2) Les expériences qui mettent en évidence l’action mutuelle de deux courants
rectiligries dans ces deux cas, furent communiquées à l’Académie dans la
séance du 9 octobre 1820. Les appareils que j’avais employés sont décrits et
figurés dans le t. XV des Annales de chimie et de physique, savoir : 1° celui pour
l’action mutuelle de deux courants parallèles, p. 72 (PI. I, fig. 1) , et avec plus
de détail dans mon Recueil d’observations électro-dynamiques, p. 16-18 ; 2° celui
pour l’action mutuelle de deux courants formant un angle quelconque, p. 171
du même t. XV des Annales de chimie et de physique (PI. Il, fig. 2) , et dans mon
Recueil, p. 23. Les figures portent dans mon Recueil lès mêmes numéros que
dans les Annales. "1290 THÉORIE MATHÉMATIQUE
dont j’ai expliqué les phénomènes magnétiques par des courants électriques
formant de très petits circuits fermés autour des particules
des corps aimantés, l’action que doivent exercer l’une sur l’autre deux
particules d’aimants considérées comme deux petits solénoïdes équivalant
chacun à deux molécules magnétiques, l’une de fluide austral,
l’autre de fluide boréal, et celle qu’une de ces particules doit exercer
sur un élément de fil conducteur ; s’assurer ensuite que ces calculs
donnent précisément pour ces deux sortes d’actions, dans le premier
cas la loi établie par Coulomb pour l’action de deux aimants, et dans
le second celle que M. Biot a proposée, relativement aux forces qui se
développent entre un aimant et un fil conducteur. C’est ainsi que j’ai
ramené à un principe unique ces deux sortes d’actions, et celle que
j’ai découverte entre deux fils conducteurs. 11 était sans doute facile,
d’après l’ensemble des faits, de conjecturer que ces trois sortes d’actions
dépendaient d’une cause unique. Mais c’est par le calcul seul
qu’on pouvait justifier cette conjecture, et c’est ce que j’ai fait, sans
rien préjuger sur la nature de la force que deux éléments de fils conducteurs
exercent l’un sur l’autre : j’ai cherché, d’après les seules
données de l’expérience, l’expression analytique de cette force ; et en
la prenant pour point de départ, j’ai démontré qu’on en déduisait par
un calcul purement mathématique les valeurs des deux autres forces
telles qu’elles sont données par l’expérience, l’une entre un élément
de conducteur et ce qu’on appelle une molécule magnétique, l’autre
entre deux de ces molécules, en remplaçant, dans l’un et l’autre cas,
comme on doit le faire d’après ma manière de concevoir la constitution
des aimants, chaque molécule magnétique par une des deux
extrémités d’un solénoïde électro-dynamique. Dès lors tout ce qu’on
peut déduire des valeurs de ces dernières forces subsiste nécessairement
dans ma manière de considérer les effets qu’elles produisent,
et devient une suite nécessaire de ma formule, et cela seul
suffirait pour démontrer que l’action mutuelle des deux éléments de
fils conducteurs est réellement le cas le plus simple et celui dont il
faut partir pour expliquer tous les autres ; les considérations suivantes
me semblent propres à confirmer de la manière la plus complète ce
résultat général de mon travail, elles se déduisent facilement des
notions les plus simples sur la composition des forces, et sont relatives
à l’action mutuelle de deux systèmes, composés tous deux de points
infiniment rapprochés les uns des autres, dans les divers cas qui
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 91
peuvent se présenter suivant que ces systèmes ne contiennent que
des points de même espèce, c’est-à-dire qui tous attirent ou repoussent
les mêmes points de l’autre système, ou qu’il y ait, soit dans un
de ces systèmes, soit dans tous les deux, des points de deux espèces
opposées, dont les uns attirent ce que les autres repoussent et repoussent
ce qu’ils attirent.

Supposons d’abord que chacun des deux systèmes soit composé
de molécules de même espèce, c’est-à-dire que celles de l’un agissent
toutes par attraction ou toutes par répulsion sur celles de l’autre,
avec des forces proportionnelles à leurs masses ; soient MM’M", etc.
(fig. 35) , les molécules qui composent le premier, et m une quelconque
de celles du second : en composant successivement toutes les
actions ma, mb, md, etc., exercées par M, M’, M", etc., on obtiendra
les résultantes me, me, etc., dont la dernière sera l’action du système
MM’M" sur le point m, et passera à. peu près par le centre
d’inertie de ce système. En raisonnant de même relativement aux
autres molécules du second système, on trouvera que les résultantes
correspondantes passeront aussi toutes très près du centre d’inertie
du premier système, et aiiront une résultante générale qui passera
aussi à peu près par le centre d’inertie du second : nous nommerons
centres d’action les deux points extrêmement voisins des centres
respectifs d’inertie des deux systèmes par lesquels passe cette résultante
générale ; il est évident qu’elle ne tendra, à cause des petites
distances où ils sont des centres d’inertie, à imprimer à chaque système
qu’un mouvement de translation.

Supposons, eh second lieu, que les molécules du second système
restant toutes de même espèce, celles du premier soient lés unes
attractives et les autres répulsives à l’égard de ces molécules du
second système, les premières donneront une résultante o/(fig. 36) ,
passant par leur centre d’action N, et par le centre d’action o de
l’autre système : de même, les particules répulsives donneront une
résultante oe, .passant par leur centre d’action P et .par le même
point o : la résultante générale sera donc la diagonale og ; et comme
elle passe à peu près par le centre d’inertie du second système, elle
ne tendra encore à lui imprimer qu’un mouvement de translation.
Cette résultante est d’ailleurs dans le plan mené par les trois centres
d’action o, N, P ; et quand les molécules attractives sont en même
nombre que les répulsives, et agissent avec la même intensité, sa
92 THÉORIE MATHÉMATIQUE
direction est, en outre, perpendiculaire à la droite oO qui divise
l’angle PoN en deux parties égales.

Considérons enfin le cas où les deux systèmes seraient composés
l’un et l’autre de molécules d’espèces différentes. Soient N et P (fig. 37) 
centres d’action respectifs des molécules attractives et répulsives du
premier, soient n etp les centres correspondants du second, de sorte
qu’il y ait attraction entre N etp, ainsi qu’entre n et P, et qu’il y ait
répulsion entre N et n, de même qu’entre P et p. Les actions combinées
de N et P sur p donneront une résultante dirigée suivant la diagonale
pe : semblablement, les actions de N et P sur n donneront une
résultante nf. Pour avoir la résultante générale, on prolongera ces
deux lignes jusqu’à leur rencontre en o, et prenant oh—pe, et
ok = nf, la diagonale o/sera la résultante cherchée ; qui donnera l’action
exercée par le système PN sur le système pn. Mais comme le
point o ne fait pas partie du système pn, il faudra concevoir qu’il est
lié à ce système d’une manière invariable sans l’être au premier système
PN ; et la force ol tendra généralement, en vertu de cette liaison,
à opérer sur pn un mouvement de translation et un mouvement de rotation
autour de son centre d’inertie.

Examinons maintenant la réaction exercée par le second système
sur le premier: d’après l’axiome fondamental de la mécanique, que
l’action et la réaction de deux particules l’une sur l’autre sont égales
et directement opposées, il faudra, pour l’obtenir, composer successivement
des forces égales et directement opposées à celles que les particules
du premier système exercent sur les particules du second, et
il est évident que la réaction totale ainsi trouvée sera toujours égale et
directement opposée à l’action totale.

Dans le premier cas, la réaction sera donc représentée par la ligne
ms (fig. 35) , égale et opposée à la résultante me, et que l’on pourra
supposer appliquée au centre d’action du premier système qui se
trouve sur sa direction ; d’où il suit qu’en négligeant toujours la petite
différence de situation du centre d’action et du centre d’inertie, on
n’aura encore ici qu’un mouvement de translation.

Dans le second cas, la réaction sera de même représentée par la ligne
o-y (fig. 36) , égale et opposée à og. Mais comme le point o n’appartient
pas au premier système, et que généralement celui-ci ne sera pas traversé
par la direction oy, il faudra concevoir que ce point o soit lié
invariablement au premier système sans l’être au second ; et, par
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 93
cette liaison, la force oy tendra généralement à opérer sur le système
PN un double mouvement de translation et de rotation. Au reste, cette
force oy est dans le plan PoN ; et lorsque les molécules attractives sont
en même nombre que les répulsives et agissent avec la même ; intensité,
sa direction est, comme celle de og, perpendiculaire à oO.

Enfin, dans le troisième cas, la réaction sera représentée par la ligné
oX (fig. 37) , égale et opposée à la résultante ol, et appliquée comme
elle au point o. Pour avoir l’action ol sur pn, nous avons conçu tout à
l’heure que ce point o était lié à ce second système pn sans l’être au
premier PN. Pour avoir maintenant la réaction exercée sur celui-ci,
nous concevrons la force o~k appliquée en un point situé en o, et lié au
premier système PN sans l’être au second. Cette force tendra encore
généralement à opérer sur PN un double mouvement de translation
et de rotation.

Si l’on compare ces résultats avec les indications de-l’expérience >
relativement aux directions des forces qui s’exercent dans les trois
genres d’actions que nous avons distingués plus haut, on verra aisément
que les trois cas que nous venons d’examiner leur correspondent
exactement. Lorsque deux éléments de conducteurs voltaïques agissent
l’un sur l’autre, l’action et la réaction sont, comme dans le premier
cas, dirigées suivant la droite qui joint ces deux éléments ; quand
il s’agit de la force qui a lieu entre un élément de fil conducteur et
une particule d’aimant contenant deux pôles d’espèces opposées, qui
agissent en sens contraires avec des intensités égales, l’action et la
réaction sont, comme dans le second cas, dirigées perpendiculairement
à la droite qui joint la particule à l’élément ; et deux particules
d’un barreau aimanté, qui ne sont elles-mêmes que deux très petits
aimants, exercent l’une sur l’autre une action plus compliquée, semblable
à celle que présente le troisième cas 1, et dont on ne ^peut de
même rendre raison qu’en la considérant comme le résultat de quatre
forces, deux attractives et deux répulsives : il est aisé d’en conclure
qu’il n’y a que l’élément de fil conducteur dont on puisse supposer
que tous les points exercent la même espèce d’action, et de juger
quelle est, des trois sortes de forces dont il est ici question, celle qu’on
doit regarder comme la plus simple.

Mais de ce que la force qui a lieu entre deux éléments de fils conducteurs
est la plus simple, et de ce que celles qui se développent,
l’une entre un de ces éléments et une particule d’aimant où se trou-
94 THÉORIE MATHÉMATIQUE
vent toujours deux pôles de même intensité, l’autre entre deux de ces
particules, en sont des résultats plus ou moins compliqués, en faut-il
conclure que la première de ces forces doive être considérée comme
vraiment élémentaire ? C’est ce que j’ai toujours été si loin de penser
que, dans les Notes sur l’exposé sommaire des nouvelles expériences
électro-magnétiques, publiées en 1822 (1) , je cherchais à en rendre
raison par la réaction du fluide répandu dans l’espace, et dont les vibrations
produisent les phénomènes de la lumière : j’ai seulement dit
qu’on devait la considérer comme élémentaire, dans le sens où les chimistes
rangent dans la classe des corps simples tous ceux qu’ils n’ont
encore pu décomposer, quelles que soient d’ailleurs les présomptions
fondées sur l’analogie qui pourraient porter à croire qu’ils sont réellement
composés, et parce qu’après qu’on en a déduit la valeur des
expériences et des calculs exposés dans ce Mémoire, c’était en partant
de cette seule valeur qu’il fallait calculer celles de toutes les forces
qui se manifestent dans les cas les plus compliqués.

Mais quand même elle serait due, soit à la réaction d’un fluide dont
la rareté ne permet pas de supposer qu’il réagisse en vertu de sa
masse, soit à une combinaison des forces propres aux deux fluides
électriques, il ne s’ensuivrait pas moins que l’action serait toujours
opposée à la réaction suivant une même droite ; car, ainsi qu’on l’a vu
dans les considérations qu’on vient de lire, cette circonstance se rencontre
nécessairement dans toute action complexe, quand elle a lieu
pour les forces vraiment élémentaires dont se compose l’action complexe.
En appliquant le même principe à la force qui s’exerce entre
ce qu’on appelle une molécule magnétique et un élément de fil conducteur,
on voit que si cette force, considérée comme agissant sur
l’élément, passe par son milieu, la réaction de l’élément sur la molécule
doit aussi être dirigée de manière à passer par ce milieu et non
par la molécule. Cette conséquence d’un principe qu’avaient jusqu’à
présent admis tous les physiciens, ne paraît pas au reste facile à démontrer
par l’expérience, lorsqu’il s’agit de la force dont nous parlons,
parce que dans toutes les expériences où l’on fait agir sur un
aimant une portion de fil conducteur formant un circuit fermé, le résultat
qu’on obtient pour l’action totale est le même, soit qu’on sup(1) 
Recueil d’observations électro-dynamiques, p. 215.DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 95
pose que cette force passe par l’élément de -fil conducteur ou par la
molécule magnétique, ainsi qu’on l’a vu dans ce Mémoire ; c’est ce
qui a porté plusieurs physiciens à supposer que l’action exercée par
l’élément de fil conducteur passait seule par cet élément, et que la
réaction lui étant opposée et parallèle n’était pas dirigée suivant
la même droite, qu’elle passait par la molécule et formait avec la
première fois ce qu’ils ont appelé un couple primitif.

Les calculs qui vont suivre me fourniront bientôt l’occasion d’examiner
en détail cette singulière hypothèse. On verra, par cet examen,
qu’elle n’est pas seulement opposée à l’un des principes fondamentaux
de la mécanique, mais qu’elle est en outre absolument inutile
pour l’explication des faits observés, et qu’une fausse interprétation
de ces faits a pu seule porter à l’adopter les physiciens qui n’admettent
pas que les aimants doivent réellement leurs propriétés à l’action
des courants électriques qui entourent leurs particules.

Les phénomènes produits par les deux fluides électriques en mouvement
dans les conducteurs voltaïques paraissent si différents de
ceux qui en manifestent la présence quand ils sont en repos dans des
corps électrisés à la manière ordinaire, qu’on a aussi prétendu que
les premiers ne devaient pas être attribués aux mêmes fluides que les
seconds. C’est précisément comme si l’on concluait de ce que la suspension
du mercure dans le baromètre est Un phénomène entièrement
différent de celui du son, qu’on ne doit pas les attribuer au
même fluide atmosphérique, en repos dans le premier cas et en mouvement
dans le second ; mais qu’il faut admettre, pour deux faits
aussi différents, deux fluides dont l’un agisse seulement pour presser
la surface libre du mercure, et dont l’autre transmette les mouvements
vibratoires qui produisent le son.

Rien ne prouve d’ailleurs que la force exprimée par ma formule ne
puisse pas résulter des attractions et répulsions des molécules des deux
fluides électriques, en raison inverse des carrés des distances de ces
molécules. Le fait d’un mouvement de rotation s’accélérant continuellement
jusqu’à ce que les frottements et la résistance du liquide dans
lequel plonge l’aimant ou le conducteur voltaïque qui présente cette
sorte de mouvement en rendent la vitesse constante, paraît d’abord
absolument opposé à ce genre d’explication des phénomènes électrodynamiques.
En effet, du principe de la conservation des forces vives,
qui est une conséquence nécessaire des lois mêmes du mouvement,
96 THÉORIE MATHÉMATIQUE
il suit nécessairement que quand les forces élémentaires, qui seraient
ici des attractions et des répulsions en raison inverse des carrés des
distances, sont exprimées par de simples fonctions des distances mutuelles
des points entre lesquels elles s’exercent, et qu’une partie de
ces points sont invariablement liés entre eux et ne se meuvent qu’en
vertu de ces forces, les autres restant fixes, les premiers ne peuvent
revenir à la même situation, par rapport aux seconds, avec des
vitesses plus grandes que celles qu’ils avaient quand ils sont partis
de cette même situation. Or, dans le mouvement de rotation continue
imprimé à un conducteur mobile par l’action d’un conducteur
fixe, tous les points du premier reviennent à la même situation avec
des vitesses de plus en plus grandes à chaque révolution, jusqu’à ce
que les frottements et la résistance de l’eau acidulée où plonge la
couronne du conducteur mettent un terme à l’augmentation de la
vitesse de rotation de ce conducteur : elle devient alors constante,
malgré ces frottements et cette résistance.

Il est donc complètement démontré qu’on ne saurait rendre raison
des phénomènes produits par l’action de deux conducteurs voltaïques,
en supposant que des molécules électriques agissant en raison
inverse du carré de la distance fussent distribuées sur les fils conducteurs,
de manière à y demeurer fixées et à pouvoir, par conséquent,
être regardées comme invariablement liées entre elles. On doit en
conclure que ces phénomènes sont dus à ce que les deux fluides
électriques parcourent (1) continuellement les fils conducteurs, d’un
(1) Lors des premiers travaux des physiciens sur les phénomènes électrodynamiques,
plusieurs savants crurent pouvoir les expliquer par des distributions
de molécules, soit électriques, soit magnétiques, en repos dans les conducteurs
voltaïques. Dès que la découverte du premier mouvement de rotation
continue faite par M. Faraday eut été publiée, je vis aussitôt qu’elle renversait
complètement celte hypothèse, et voici en quels termes j’énonçai cette observation,
dont ce que je dis ici n’est que le développement, dans VExposè sommaire
des nouvelles expériences électro-magnétiques faites par différents physiciens
depuis le mois de mars 1821, que je lus dans la séance publique de l’Académie
royale des Sciences le 8 avril 1822.« Tels sont les nouveaux progrès que vient de faire une branche de la phy« 
sique, dont nous ne soupçonnions pas même l’existence il y a seulement deux
« années, et qui déjà nous a fait connaître des faits plus étonnants peut-être
que tout ce que la science nous avait jusqu’à présent offert de phénomènes
mouvement extrêmement rapide, en se réunissant et se séparant
alternativement dans les intervalles des particules de ces fils. C’est
parce que les phénomènes dont il est ici question ne peuvent être
produits que par l’électricité en mouvement, que j’ai cru devoir les
désigner sous la dénomination de phénomènes électro-dynamiques ;
celle de phénomènes électro-magnétiques, qu’on leur avait donnée
jusqu’alors convenait bien tant qu’il ne s’agissait que de. l’action découverte
par M. OErsted entre un aimant et un courant électrique,
mais elle ne pouvait plus présenter qu’une idée fausse depuis que
j’avais trouvé qu’on produisait des phénomènes du même genre sans
aimant, et par la seule action mutuelle de deux courants électriques.

C’est seulement dans le cas où l’on suppose les molécules électriques
en repos dans les corps où elles manifestent leur présence par
les attractions ou répulsions produites par elles entre ces corps, qu’on
démontre qu’un mouvement indéfiniment accéléré ne peut résulter
de ce que les forces qu’exercent les molécules électriques dans cet
état de repos ne dépendent que de leurs distances mutuelles. Quand
l’on suppose au contraire que, mises en mouvement dans les fils conducteurs
par l’action de la pile, elles y changent continuellement de
lieu, s’y réunissent à chaque instant en fluide neutre, se séparent de
nouveau, et vont aussitôt se réunir à d’autres molécules du fluide de
nature opposée, il n’est plus contradictoire d’admettre que des actions
en raison inverse des carrés des distances qu’exerce chaque mole"
cule, il puisse résulter entre deux éléments de fils conducteurs une
force qui dépende non seulement de leur distance, mais encore des
directions des deux éléments suivant lesquelles les molécules élec« 

merveilleux. Un mouvement qui se continue toujours dans le même sens,
« malgré les frottements, malgré la résistance des milieux, et ce mouvement
produit par l’action mutuelle de deux corps qui demeurent constamment dans
le même état, est un fait sans exemple dans lout ce que nous savions des pro« 
priétés que peut offrir la matière inorganique ; il prouve que l’action qui
« émane des conducteurs voltaïques, ne peut être due à une distribution partice
culière de certains fluides en repos dans ces conducteurs, comme le sont les
« attractions et les répulsions électriques ordinaires. On ne peut attribuer cette
action qu’à des fluides en mouvement dans le conducteur qu’ils parcourent
en se portant rapidement d’une des extrémités_de__la pile à l’autre extré« 
mité. » Voyez le Journal de physique où cet eXM^ëîàl^té inséré dans le temps,
t. XCIV, p. 65, et mon Recueil d’observationsmlJ^iro-dynaTfàq^es, p. 20b.

/ ?"'■'' / ) T T vêA « 
98 THÉORIE MATHÉMATIQUE
triques se meuvent, se réunissent à des molécules de l’espèce opposée,
et s’en séparent l’instant suivant pour aller s’unir à d’autres. Or,
c’est précisément et uniquement de cette distance et de ces directions
que dépend la force qui se développe alors, et dont les expériences et
les calculs exposés dans ce Mémoire m’ont donné la valeur. Pour se
faire une idée nette de ce qui se passe dans le fil conducteur, il faut
faire attention qu’entre les molécules métalliques dont il est composé
est répandu un fluide composé de fluide positif et de fluide négatif,
non pas dans les proportions qui constituent le fluide neutre, mais
avec un excès de celui de ces deux fluides qui est de nature opposée
à l’électricité propre des molécules du métal, et qui dissimule cette
électricité, comme je l’ai expliqué dans la lettre que j’écrivis à M. Yan
Beek au commencement de 1822 (1)  : c’est dans ce fluide électrique
intermoléculaire que se passent tous les mouvements, toutes les décompositions
et recompositions qui constituent le courant électrique.

Comme le liquide interposé entre les plaques de la pile est, sans
comparaison, moins bon conducteur que le fil métallique qui en joint
les extrémités, il se passe un temps, très court à la vérité, mais cependant
appréciable, pendant lequel l’électricité intermoléculaire,
supposée d’abord en équilibre, se décompose dans chacun des intervalles
compris entre deux molécules de ce fil. Cette décomposition
augmente graduellement jusqu’à ce que l’électricité positive d’un
intervalle se réunisse à l’électricité négative de l’intervalle qui le suit
immédiatement dans le sens du courant, et son électricité négative à
l’électricité positive de l’intervalle précédent. Cette réunion ne peut
être qu’instantanée comme la décharge d’une bouteille de Leyde ; et
l’action entre les fils conducteurs, qui se développe, pendant qu’elle
a lieu, en sens contraire de celle qu’ils exerçaient lors de la décomposition,
ne peut par conséquent diminuer l’effet de celle-ci, car l’effet
produit par une force est en raison composée de son intensité et du
temps pendant lequel elle agit ; or ici l’intensité doit être la même,
soit que les deux fluides électriques se séparent ou se réunissent :
mais le temps pendant lequel s’opère leur séparation est sans comparaison
plus grand que celui qu’exige leur réunion.

L’action variant avec les distances entre les molécules des deux
(1) Journal de physique, t. XCIII, p. 450-453, et Recueil d’observations électro-dynamiques,
p. 174-177.DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 99
fluides électriques pendant que se fait cette séparation, il faudrait
intégrer, par rapport au temps et pour toute la durée de la séparation,
la valeur de la force qui aurait lieu à chaque instant, et diviser ensuite,
par cette durée, l’intégrale ainsi obtenue. Sans faire ce calcul,
pour lequel il faudrait avoir des données, qui nous manquent encore,
sur la manière dont les distances des molécules électriques varient,
avec le temps, dans chaque intervalle intermoléculaire du fil conducteur,
il est aisé de voir que les forces produites de cette manière,
entré deux éléments de ce fil, doivent dépendre des directions du
courant électrique dans chacun de ces éléments.

S’il était possible, en partant de cette considération, de trouver que
l’action mutuelle de deux éléments est en effet proportionnelle à la
formule par laquelle je l’ai représentée, cette explication du fait fondamental
de toute la théorie des phénomènes électro-dynamiques
devrait évidemment être préférée à toute autre ; mais elle exigerait
des recherches dont je n’ai point eu le temps de m’oecuper, non plus
que des recherches plus difficiles encore auxquelles il faudrait se
livrer, pour voir si l’explication contraire, où l’on attribue les phénomènes
électro-dynamiques aux mouvements imprimés à l’étirer par
les courants électriques, peut conduire à la même formule. Quoi qu’il
en soit de ces hypothèses et des autres suppositions qu’on peut faire
pour expliquer ces phénomènes, ils seront toujours représentés par la
formule que j’ai déduite des résultats de l’expérience, interprétés par
le calcul, et il restera mathématiquement démontré, qu’en considérant
les aimants comme des assemblages de courants électriques disposés
autour de leurs particules ainsi que je l’ai dit, les valeurs des forces
qui sont, dans’chaque cas, données par l’expérience, et toutes les circonstances
des trois sortes d’actions qui ont lieu, l’une entre deux
aimants, une autre entre un fil conducteur et un aimant, et la troisième
entre deux fils conducteurs, se déduisent d’une force unique,
agissant entre deux éléments de courants électriques suivant la droite
qui enjoint les milieux.

Quant à l’expression même de cette force, elle est une des plus
simples parmi celles qui ne dépendent pas seulement de la distance,
mais encore des directions des deux éléments ; car ces directions n’y
entrent qu’en ce qu’elle contient la seconde différentielle de la racine
carrée de la distance dès deux éléments, prise en faisant varier alternativement
les deux arcs de courants électriques dont cette distance
100 THÉORIE MATHÉMATIQUE
est une fonction, différentielle qui dépend elle-même des directions
des deux éléments, et qui entre d’ailleurs dans la valeur donnée par
ma formule d’une manière très simple, puisqu’on a pour cette valeur
la seconde différentielle ainsi définie, multipliée par un coefficient
constant et divisée par la racine carrée de la distance, en observant
que la force est répulsive quand la seconde différentielle est positive,
et attractive quand elle est négative. C’est ce qu’exprime le signe —
qui se trouve au-devant de l’expression générale

de cette force, d’après l’usage où l’on est de regarder les attractions
comme des forces positives, et les répulsions comme des forces négatives.


Les époques où l’on a ramené à un principe unique des phénomènes
considérés auparavant comme dus à des causes absolument différentes,
ont été presque toujours accompagnées" de la découverte d’un
grand nombre de nouveaux faits, parce qu’une nouvelle manière de
concevoir les causes suggère une multitude d’expérience à tenter,
d’explications à vérifier ; c’est ainsi que la démonstration donnée par
Volta de l’identité du galvanisme et de l’électricité a été accompagnée
de la construction de la pile, et suivie de toutes les découvertes qu’a
enfantées cet admirable instrument. A en juger par les résultats si
importants des travaux de M. Becquerel, sur l’influence de l’électricité
dans les combinaisons chimiques, et de ceux de MM. Prévost et Dumas
sur les causes des contractions musculaires, on peut espérer que tant
de faits nouveaux découverts depuis quatre ans, et leur réduction à un
principe unique, aux lois des forces attractives et répulsives observées
entre les conducteurs des courants électriques, seront aussi suivis
d’une foule d’autres résultats qui établiront entre la physique d’une
part, la chimie et même la physiologie de l’autre, la liaison dont on
sentait le besoin sans pouvoir se flatter de parvenir de longtemps à
la réaliser.

Il nous reste maintenant à nous occuper des actions qu’un circuit
fermé, quelles que soient sa forme, sa grandeur et sa position, exerce,
soit sur un solénoïde, soit sur un autre circuit d’une forme, d’une
grandeur et d’une position quelconques ; le principal résultat de ces
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 101
recherches consiste dans l’analogie qui existe entre les forces produites
par ce circuit, soit qu’il agisse sur un autre circuit fermé ou
sur un solénoïde, et les forces qu’exerceraient les points dont l’action
serait précisément celle qu’on attribue aux molécules de ce qu’on
appelle fluide austral et fluide boréal ; ces points étant distribués de
la manière que je vais expliquer sur des surfaces terminées par les
circuits, et les extrémités du solénoïde étant remplacées par deux
molécules magnétiques d’espèces opposées. Cette analogie paraît
d’abord si complète, que tous les phénomènes électro-dynamiques
semblent être ainsi ramenés à la théorie où l’on admet ces deux
fluides ; mais on reconnaît bientôt qu’elle n’a lieu qu’à l’égard des
conducteurs voltaïques qui forment des circuits solides et fermés,
qu’il n’y a que ceux de ces phénomènes qui sont produits par des
conducteurs formant de telles circuits dont on puisse rendre raison
de cette manière, et qu’enfin les forces qu’exprime ma formule
peuvent seules s’accorder avec l’ensemble des faits. C’est, d’ailleurs,
de cette même analogie que je déduirai la démonstration d’un théorème
important qu’on peut énoncer ainsi : l’action mutuelle de deux
circuits solides et fermés, ou celle d’un circuit solide et fermé et d’un
aimant, ne peut jamais produire de mouvement continu avec une
vitesse qui s’accélère indéfiniment jusqu’à ce que les résistances et
les frottements des appareils rendent cette vitesse constante.

Afin de ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je commencerai par
donner aux formules relatives à l’action mutuelle de deux fils conducteurs
une forme plus générale et plus symétrique. Soient pour cela
s et s’ deux courbes quelconques qu’on suppose parcourues par des
courants électriques dont nous continuerons à désigner les intensités
par i et i'. Soit d s = Mm (fig. 38) un élément de la première courbe,
ds’ = MW un élément de la seconde ; x,y, z et x', y', z' les coordonnées
de leurs milieux o, o', et r la droite od qui les joint, laquelle
doit être considérée comme une fonction des deux variables indépendantes
s et s’ qui représentent les arcs des deux courbes comptés à
partir de deux points fixes pris sur elles. L’action mutuelle des deux
éléments ds, ds’, est, comme nous l’avons vu plus haut, une force
dirigée suivant la droite r, et ayant pour valeur
102 THÉORIE MATHÉMATIQUE
On peut récrire plus simplement de cette manière :

en distinguant par les caractéristiques d et d’ les différentielles relatives
à la variation des seules coordonnées x, y, z, de l’élément ds, de
celles qu’on obtient en faisant varier seulement les coordonnées x', y',
z' de l’élément d s’ ; distinction dont nous nous servirons toutes les
fois que nous aurons à considérer des différentielles prises les unes
d’une de ces deux manières, et les autres de l’autre.

Cette force étant attractive, il faut, pour avoir celle de ses. Composantes
qui est parallèle à l’axe des x, en multiplier la valeur par

ou par —.- , suivant qu’on la considère comme agissant

sur l’élément ds’ ou sur l’élément ds ; dans ce dernier cas, la composante
est donc égale à

On peut mettre cette expression sous une autre forme en faisant
usage de la valeur qu’on obtient pour udv, M et u représentant des
quantités quelconques, lorsqu’on ajoute, membre à membre, les deux
équations identiques

cette valeur est

et en faisant

on en conclut

puisque 2 k -\- n = 1, ce qui donne
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 1X) 3'
Mais

et par conséquent

d’où

La composante parallèle à l’axe des x a donc pour valeur

Les deux termes de cette expression peuvent être considérés séparément
comme deux forces dont la réunion équivaut à la force cherchée.
Or, il est aisé de voir que quand la courbe s’forme un circuit
fermé, toutes les forces telles que celle qui a pour expression la partie

_ ii'd ! j-i—, provenant de l’action de tous les éléments ds’ du

circuit s’sur le même élément ds se détruisent mutuellement. En effet,
toutes ces forces sont appliquées au même'point o, milieu de l’élément
ds, suivant une même droite parallèle à l’axe des x ; il faut donc
jpour avoir la force produite suivant cette droite par l’action d’une
i ■ ■ \ ( X —— X i Q ?*
portion quelconque du conducteurs’ intégrer - ii' d !v . '.— d ' une
des/extrémités cette portion à l’autre, et l’on trouve

en nommant a'1,î',, dr,, les quantités qui se rapportent aune extrémité,
et x's, rs, dr, celles qui sont relatives à l’autre, cette valeur devient
évidemment nulle quand, le circuit étant fermé, ses deux extrémités
sont au même point.

Quand le conducteur s’ forme ainsi un circuit fermé, il faut donc,
pour avoir plus simplement l’action qu’il exerce sur l’élément ds pa-

rallèlement à l’axe des x, supprimer, dans l’expression de la composante
parallèle à cet axe, la partie -ii' —-—^—-—, et n’avoir égard
qu’à l’autre partie

que nous représenterons par X.

En appliquant les mêmes considérations aux deux autres composantes
de la même force qui sont parallèles aux axes des y et des z,
on leur substituera des forces Y, Z, ayant pour valeurs

Ainsi, lorsqu’il s’agit d’un circuit fermé, la résultante R des trois
forces X, Y, Z, auxquelles sont réduites les composantes de la force
— ii' r* d’ [rk dr) , remplace cette force ; et l’ensemble de toutes les
forces R est équivalent à celui de toutes les forces exercées par chacun
des éléments ds’, du circuit fermé s’, et représente l’action totale
de ce circuit sur l’élément ds. Voyons maintenant quelle est la valeur
et la direction de cette force R.

Soient M, V, W, les projections de la ligne r sur les plans des yz,
des xz et des xy, faisant respectivement les angles <p, %, ty, avec les
axes des y, des z et des x. Considérons le secteur M’om’ (fig. 38) , qui
a pour base l’élément ds’, et pour sommet le point o milieu de ds,
dont les coordonnées sont x, y, z. Appelons A, |A, V les angles que
fait avec les axes la normale au plan de ce secteur, et 9' l’angle compris
entre les directions de ds’ et de r. Le double de l’aire de ce secteur
estrds’ sin. 9', et ses projections sur les plans des coordonnées
sont

On peut donc donner cette nouvelle forme aux valeurs des forces
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 105
Or ces valeurs donnent

c’est-à-dire que la direction de la force R fait avec celle de l’élément
mM="ds, et avec la normale op au plan du secteur M’om’, des angles
dont les cosinus sont zéro, de sorte que cette force est à la fois dans le
plan du secteur et perpendiculaire à l’élément ds. Quant à son intensité,
on a par les formules connues
ok étant la projection de om sur le plan du secteur M’om’. On peut
décomposer cette force dans le plan du même secteur en deux autres,
l’une S dirigée suivant la ligne oo' = r, l’autre T perpendiculaire à
cette ligne. Celle-ci est

et comme l’angle trièdre formé par les directions de om, ok et oh
donne
il vient
La force S suivant oh est
14106 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Mais en désignant par w l’inclinaison du plan moh sur le plan hok,
qui est celui du secteur M’om’, on a

ainsi

Si l’on intègre les expressions de X, Y, Z pour toute l’étendue du
circuit fermé s’, on aura les trois composantes de l’action exercée par
tout ce circuit sur l’élément ds ; en remplaçant n par sa valeur 2,
celles des trois composantes deviennent

Des forces semblables appliquées à tous les éléments ds de la
courbe s donneront l’action totale exercée par le circuit s’ sur le
circuit s. On les obtiendra en intégrant de nouveau les expressions
précédentes dans toute l’étendue de ce dernier circuit.

Concevons maintenant deux surfaces prises à volonté <r, d, terminées
par les deux contours s, s’, dont tous les points soient liés invariablement
entre eux et avec tous ceux de la surface correspondante,
et sur ces surfaces des couches infiniment minces d’un même fluide
magnétique qui y soit retenu par une force coercitive suffisante pour
qu’il ne puisse point s’y déplacer. En considérant sur ces deux surfaces
deux portions infiniment petites du second ordre que nous
représenterons par d’ff et dV, dont les positions soient déterminées
par les coordonnées x, y, z pour la première, x', y', z' pour la
seconde, et dont la distance soit r, leur action mutuelle sera.une
force répulsive dirigée suivant la ligne r et représentée par

— J£fî—f—Z. qUe nous considérerons comme agissant sur l’élément

ds ; e, e' désignent ici ce qu’on appelle l’épaisseur de la couche magnétique
sur chaque surface ; JJ- est un coefficient constant, tel
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 107
que [**e' représente l’action répulsive qui aurait lieu, si l’on réunissait
en deux points situés à une distance égale à l’unité, d’une part tout
le fluide répandu sur une aire égale à l’unité de surface, où l’épaisseur
serait constante et égale à e, de l’autre tout le fluide répandu sur une
autre aire égale à l’unité de surface, où l’épaisseur serait aussi constante
et égale à e'.

En décomposant cette force parallèlement aux trois axes, on a les
trois composantes

Concevons maintenant une nouvelle surface terminée par le même
contours qui limite la surface o-, et telle que toutes les portions dé
normales de la surface T comprises entre elle et la nouvelle surface
soient très petites. Supposons que sur cette dernière surface soit distribué
le fluide magnétique de l’espèce contraire à celui de la surface
o-, de manière qu’il y en ait sur la portion de la nouvelle surface
circonscrite par les normales menées par tous les points du contour
de l’élément de surface d8<r une quantité égale à celle du fluide
répandu sur dV En nommant h la longueur de la petite portion de la
normale à la surface o-, menée par le point dont les coordonnées
sont x, y, z, et comprise entre les deux surfaces, laquelle mesure
dans toute l’étendue de l’aire infiniment petite d’à- la distance de ses
points aux points correspondants de l’autre surface, et en désignant
par i, 7i, .Ç les angles que cette normale fait avec les axes, les trois
composantes de l’action mutuelle entre l’élément dV et la petite
portion de la nouvelle surface circonscrite comme nous venons de le
dire, qui est toujours égale à d’à- tant que h est très petit et qu’on
néglige dans les calculs, comme nous le faisons ici, les puissances
de h supérieures à la première, s’obtiendront en remplaçant dans
l’expression que nous venons de trouver, x, y, z par x + h cos \,
y Ar h cos TJ, Z -f h cos Ç. Et comme les deux fluides répandus sur les
deux aires égales à d*<r sont de nature contraire, il faudra retrancher les
nouvelles valeurs de ces composantes des valeurs trouvées précédemment ;
ce qui se réduira, puisqu’on néglige les puissances de h supérieures
à là première, à différentier ces valeurs, à remplacer dans lé
résultat les différentielles de x, y, z par h cos i, heosr[, h cos Ç, et à en
changer le signe. Ces différentielles étant prises en passant de la pre-
108 THÉORIE MATHÉMATIQUE
mière surface 9 à l’autre, nous les désignerons par S, suivant la notation
du calcul des variations ; nous aurons ainsi pour la composante
x*~~~x
parallèle aux x ce que devient — p.ee'd8o-dV5 \3 , quand on y remplace
8a: par A cos ?, c’est-à-dire

Nous allons maintenant déterminer la forme de la position de
l’élément d*a.

Désignons comme précédemment par u, v, w les projections de la
ligne r sur les plans des yz, des zx et des xy, et par <p, x, <]>, les angles
que ces projections font avec les axes des y, des z et des x respectivement.
Décomposons la première surface o- en une infinité de zones
infiniment étroites, telles que abcd (fig. 42) , par une suite de plans
perpendiculaires au plan des yz menés par la coordonnée m’p'=x du
point m’, Chaque zone se terminant aux deux bords du contour s de
la surface o-, aura pour projection sur le plan des yz une aire décomposâble
elle-même en éléments quadrangulaires infiniment petits,
auxquels répondront autant d’éléments de la surface <r sur la zone
dont il s’agit. Ce sont ces éléments qu’on doit considérer comme les
valeurs de dsT. Celui dont la position, à l’égard de l’élément dV, est
déterminée par les coordonnées polaires r, u, <j>, est égal à sa projection
ududtf sur le plan des yz divisée par le cosinus de l’angle £ compris
entre ce plan et le plan tangent à la surface o- avec lequel coïncide
l’élément d’à-. Il faudra donc remplacer d*a par ^dans la
r cosç

formule précédente, et l’on aura
8 ?*
Pour calculer la valeur de (x — x')  =-, soient mx le prolongement de

la coordonnée mp ■= x du point m où est situé l’élément d’à-, mu une
parallèle au plan des yz menée dans le plan pmm’p', et mt perpendiculaire
à ce dernier plan au point m. Il est aisé de voir que la droite
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 109mn, suivant laquelle pmm’p'. coupe le plan tangent en m, à la surface
o-, fait avec les trois lignes mx, mu, mt, qui sont perpendiculaires
entre elles, des angles dont les cosinus sont respectivement

et que la normale mh fait avec les mêmes directions des angles dont
les cosinus sont

8/ tenant lieu de la projection de mh sur mt. On a donc

pour le cosinus de l’angle compris entre la droite mn et la normale
mh, et puisque cet angle est droit, d a ; 8 a ; -f- du 8 u = o, d’où
Ô.X oie
T—=—-=r- .Mais l’équation
du ox ^

donne

et

d’où l’on déduit

et

en éliminant ~— entre ces deux équations, il vient

8 r
Si nous tirons maintenant de cette équation la valeur de(x-x') ^-
HO THÉORIE MATHÉMATIQUE
pour la substituer dans celle dé la force parallèle à l’axe des x, nous
aurons

La hauteur h et l’épaisseur e de la couche de fluide infiniment
mince répandue sur la surface o-, peuvent varier d’un point de cette
surface à un autre ; et pour atteindre le but que nous nous proposons
de représenter à l’aide des fluides magnétiques, les actions qu’exercent
les conducteurs voltaïques, il faut supposer que ces deux quantités
e, h, varient en raison inverse l’une de l’autre, de manière que
leur produit he conserve la même valeur dans toute l’étendue de la
surface o-. En appelant g la valeur constante de ce produit, l’expression
précédente devient

et s’intègre immédiatement. Son intégrale pge'd*ddff-^—CJ

exprime la somme dés forces parallèles à l’axe des x qui agissent sur
les éléments d’v de la zone de la surface <r renfermée entre les deux
plans menés par m’p' qui comprennent l’angle df. La surface <r étant
terminée par le contour fermé s, il faut prendre cette intégrale entre
les limites déterminées par les deux éléments ab, cd de ce contour
qui sont compris dans l’angle df des deux plans dont nous venons
de parler, en sorte qu’en nommant « „ »',, et us, rt, les valeurs de u et
de r relatives à ces deux éléments, on a

pour la somme de toutes les forces exercées par l’élément d*d sur la
zone parallèlement à l’axe des x.

Si la surface <r, au lieu d’être terminée par un contour, renfermait
de tous côtés un espace de figure quelconque, la zone de cette surface
comprise dans l’angle dièdre <p serait fermée, et l’on aurait ut = u.,
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 111rt = ri  ; en sorte que l’action exercée sur cette zone parallèlement à
l’axe des x serait nulle, et par conséquent aussi celle que l’élément
d*d exercerait sur toute la surface o- composée alors de semblables
zones. Et comme la même chose aurait lieu relativement aux forces
parallèles aux axes des y et des z, on voit que l’assemblage de deux
surfaces très rapprochées l’une de l’autre, renfermant de tous côtés
un espace de forme quelconque, et couvertes, de la manière que nous
venons de le dire, l’une de fluide austral, l’autre de fluide boréal, est
sans action sur une molécule magnétique, en quelque endroit qu’elle
soit placée, et par conséquent sur un corps aimanté de quelque
manière que ce soit. Reprenons l’expérience précédente
et il nous sera aisé de voir que, pour avoir la somme totale des forces
parallèles à l’axe des x que l’élément dV exerce sur la surface
entière o-, il faut intégrer, par rapport à <p, les deux parties dont se
compose cette expression, respectivement dans les deux portions
kabB, BcdA du contour s, déterminées par les deux plans tangents
p'm’k, p'm’B, menés par la ligne m’p'. Mais il revient au même d’intégrer
pye'dV—j-^dans toute l’étendue du circuits ; car si l’on met

pour « et (p leurs valeurs en fonctions de r déduites des équations de
la courbe s, on voit qu’en passant de la partie kabB à la partie Bcdk,
d<p change de signe, et que par conséquent les éléments de l’une de
ces parties son^d’un signe contraire à ceux de l’autre.

D’après cela, si nous désignons par X la somme des forces parallèles
aux x qu’exerce l’élément dV sur l’assemblage des deux surfaces
terminées par le même contour s, nous aurons

ou, ce qui est la même chose,

les x, y, z n’étant relatifs qu’au contour s.
1-1-2 THÉORIE MATHÉMATIQUE
On aura de même, en désignant par Y et Z les sommes des forces
parallèles aux y et aux z qui agissent sur le même assemblage de
surfaces,

Gomme toutes les forces élémentaires qu’exerce l’élément d’d sur ces
surfaces passent par le point m ! où il est situé, on voit que toutes ces
forces ont une résultante unique dont la direction passe par le même
point m’, et dont les composantes parallèles aux axes sont X,Y,Z. Les
moments de cette résultante par rapport aux mêmes axes sont donc

Supposons maintenant qu’au lieu de ces forces on applique au
milieu de chacun des éléments ds du contour s une force égale à
pgs’d’d ■ ' , , et perpendiculaire au plan du secteur qui a ds pour

basé, le point m’pour sommet, et dont l’aire est- rds sin 9. Les trois
composantes de cette force étant respectivement égales à

parallèles à celles qui passent par l’élément d’à- et dirigées dans le
même sens, on aura les mêmes valeurs pour les trois forces X, Y, Z
qui tendent à mouvoir le circuit s ; mais les sommes des moments
de rotation qui en résulteront, au lieu d’être représentées par

(1) Il est inutile de remarquer que ces X, Y, Z expriment des forces toutes
différentes de celles que nous avons déjà désignées par les mêmes lettres, lorsqu’il
s’agissait de l’action mutuelle de deux éléments de circuits voltaïques.
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 113
le seront par

Il semble d’abord que ce changement en doit apporter un à l’action
exercée sur le contour s, mais il n’en est pas ainsi pourvu que ce
contour forme un circuit fermé, car si l’on retranche la première
somme de moments, relative à l’axe des x par exemple, de la quatrième
qui se rapporte au même axe, en faisant attention que x',y,'z
doivent être considérées comme des constantes dans ces intégrations,
on aura

en nommant a ;,, a ;2, et »',, Î'S, les valeurs de x et de r aux deux extrémités
de l’arc s pour lequel on calcule la valeur de la différence des
deux moments. Quand cet arc forme un circuit fermé, il est évident
que xi = x1i\ = ?*,, ce qui rend nulle l’intégrale ainsi obtenue ; on
a donc alors

On trouve par un calcul semblable que les moments relatifs aux
deux autres axes sont les mêmes, pour un circuit fermé, soit qu’on
suppose que les directions des forces
15114 THÉORIE MATHÉMATIQUE
passent par l’élément d-V ou par le milieu de ds ; d’où il suit que
dans ces deux cas l’action qui a lieu sur le contour s est exactement
la même, ce contour étant invariablement lié aux deux surfaces très
voisines qu’il termine : l’action exercée sur ces deux surfaces par
l’élément dV se réduira donc, pourvu que le contour s soit une:
courbe fermée, aux forces appliquées comme nous venons de le dire
à chacun des éléments de ce contour, celle qui agit sur l’élément ds
ayant pour valeur

La force appliquée au.milieu o de l’élément ab = ds, qui est proportionnelle
à dssin 6 divisé par le carré de la distance r de cet élément
au point m’, et dont la direction est perpendiculaire au plan
qui passe par l’élément ab et par le point m’, est précisément celle
qu’exerce, comme nous l’avons vu, sur l’élément ris l’extrémité d’un
solénoïde électro-dynamique indéfini lorsqu’on place cette extrémité
au point m’ ; c’est au>si celle qui est produite, d’après les dernières
expériences de M. Biot, par l’action mutuelle de l’élément ab, et d’une
molécule magnétique située en m’.

Mais en donnant à cette force la même valeur et la même direction
perpendiculaire au plan m’ab, qu’on doit lui donner lorsqu’on la détermine,
comme je l’ai fait, en remplaçant la molécule magnétique
par l’extrémité d’un solénoïde indéfini, M. Biot suppose que c’est en
m’que se trouve son point d’application, ou plutôt celui de la forcé
égale et opposée que l’élément ris exerce sur le point m’, car c’est à
cette dernière que se rapportent les expériences qu’il a faites ; au Heu
que la direction de la force exercée par cet élément sur l’extrémité
située en m’ d’un solénoïde indéfini doit passer parle point m, comme
celle que le solénoïde exerce sur l’élément, quand on conclut cette
force de ma formule. Ainsi, en conservant les notations que nous
employons, et en représentant, pour abréger, par p le coefficient constant
<?|ie'dV, les sommes des moments, d’après la manière dont
M. Biot place les points d’application des forces, seraient pour les
trois axes et en changeant les signes, puisqu’il s’agit des forces qui
agissent sur le point m’,
DES PHÉNOMÈNES ELECTRO-DYNAMIQUES 1 1 5
tandis qu’en prenant les points d’application comme je.les trouve, on
a pour ces sommes de moments

Mais nous venons de voir que ces dernières valeurs sont respectivement
égales aux trois précédentes, quand la portion de conducteur
forme un circuit fermé ; d’où il suit que dans ce cas, l’expérience
ne peut décider si le point d’application des forces est réellement au
.point ni ou au milieu m de l’élément as. Et comme, dans celles qu’a
faites l’habile physicien à qui l’on doit les expériences dont il est ici
question, c’était en effet un circuit complètement fermé, composé de
deux portions rectilignes formant un angle auquel il donnait successivement
différentes valeurs, du reste du fil conducteur et de la pile,
qu’il faisait agir sur un petit aimant, pour déduire le rapport des forces
correspondantes aux diverses valeurs de cet angle des nombres cl’os•

dilations du petit aimant, pendant un temps donné, qui correspondaient
à ces diverses valeurs ; dès lors, les résultats des expériences

• faites de cette manière devant être identiquement les mêmes, soit
qu’on suppose le point d’application des forces en o ou en m’, ne peuvent
servir à décider laquelle de ces deux suppositions doit être préférée,
cette question sur la situation du point d’application ne peut
être résolue que par d’autres considérations ; c’est pourquoi je pense
qu’il est nécessaire, avant d’aller plus loin, de l’examiner avec quelques
détails.

C’est dans le Mémoire que je lus à la séance du 4 décembre 1820,
que je communiquai à l’Académie la formule fondamentale de toute
la théorie exposée dans ce Mémoire, formule qui donne la valeur de
116 THÉORIE MATHÉMATIQUE
l’action mutuelle de deux fils conducteurs exprimée ainsi :
k étant un nombre constant, dont j’ai depuis déterminé la valeur, en

prouvant, par d’autres expériences, qu’il est égal à .

Quelque temps après, dans la séance du 18 du même mois, M. Biot
lut un Mémoire où il décrivait les expériences qu’il avait faites sur les
oscillations d’un petit aimant soumis à l’action d’un conducteur angulaire,
et où il concluait de ces expériences, par l’erreur de calcul
exposée plus haut, que l’action de chaque élément du conducteur sur
ce qu’on appelle une molécule magnétique, est représentée par une
force perpendiculaire au plan mené par la molécule et par l’élément,
en raison inverse du carré de leur distance, et proportionnelle au
sinus de l’angle que la droite qui mesure cette distance forme avec la
direction de l’élément. On voit par les calculs précédents, que cette
force est précisément Celle que donne ma formule pour l’action mutuelle
d’un élément de fil conducteur et de l’extrémité d’un sôlénoïde
électro-dynamique, et qu’elle est aussi celle qui résulte de la loi de
Coulomb, dans l’hypothèse des deux fluides magnétiques, lorsqu’on
cherche l’action qui a lieu entre une molécule magnétique et les éléments
du contour qui termine deux surfaces infiniment voisines,
recouvertes l’une de fluide austral, l’autre de fluide boréal, en supposant
les molécules de ces fluides distribués sur les deux surfaces
comme je viens de l’expliquer.

Dans ces deux manières de concevoir les choses, on trouve les
mêmes valeurs pour les trois composantes, parallèles à trois axes
pris à volonté, de la résultante de toutes les forces exercées par les
éléments du contour, et, pour chacune de ces forces, l’action est
opposée à la réaction suivant les droites qui joignent deux à deux les
points entre lesquels elles s’exercent ; il en est de même de la résultante
elle-même et de sa réaction. Mais dans le premier cas, le point
0 (fîg. 36) représente l’extrémité du sôlénoïde auquel appartiennent
les points P, N ; et o étant celui où est situé l’élément, les deux forces
(4) Journal de physique, t. XCl, p. 226-230.DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 117
égales et opposées og, oy passent par cet élément ; dans le second
cas, au contraire, c’est en 0 qu’il faut concevoir placé l’élément du
contour des surfaces recouvertes de molécules magnétiques P, N, et
en o la molécule sur laquelle agissent ces surfaces, en sorte que les
deux forces égales et opposées passent par la molécule. Tant qu’on
admet qu’il ne peut y avoir d’action d’un point matériel sur un
autre, sans que celui-ci réagisse sur le premier avec une force égale
et dirigée en sens contraire suivant une même droite, ce qui entraîne
la même condition relativement à l’action et à la réaction de deux
systèmes de points invariablement liés, on n’a à choisir qu’entre ces
deux hypothèses. Et comme l’expérience de M. Faraday, sur la rotation
d’une portion de fil conducteur autour d’un aimant, est, ainsi
que je l’expliquerai tout à l’heure, en contradiction manifeste avec la
première, il ne devait plus y avoir de difficulté à regarder, avec moi,
comme seule admissible celle où l’on fait passer, par le milieu de
l’élément, la droite suivant laquelle sont dirigées les deux forces.
Mais plusieurs physiciens imaginèrent alors de supposer que, dans
l’action mutuelle d’un élément ÀB (fig. 39) de fil conducteur et d’une
molécule magnétique M, l’action et la réaction, quoique égales et
dirigées en sens contraire, ne l’étaient pas suivant une même droite,
mais suivant deux droites parallèles, en sorte que la molécule M,
agissant sur l’élément AB, tendrait à le mouvoir suivant la droite OR
menée par le milieu 0 de l’élément AB perpendiculairement au plan
MAB, et que l’action qu’exercerait réciproquement cet élément sur
la molécule M tendrai t à la porter, avec une force égale, dans la direction
MS parallèle à OR.

Il résulterait de cette singulière hypothèse, si elle était vraie, qu’il
serait mathématiquement impossible de ramener jamais les phénomènes
produits par l’action mutuelle d’un fil conducteur et d’un
aimant à des forces agissant, comme toutes celles dont on a reconnu
jusqu’à présent l’existence dans la nature, de manière que l’action et
la réaction soient égales et opposées dans la direction des droites qui
joignent deux à deux les points entre lesquels elles s’exercent ; car,
toutes les fois que cette condition est remplie pour dès forces élémentaires
quelconques, elle l’est évidemment, d’après le principe même
de la composition des forces, pour leurs résultantes. Aussi, les physiciens
qui ont adopté cette opinion sont-ils forcés d’admettre une
action réellement élémentaire, consistant en deux forces égales diri-
118 THÉORIE MATHÉMATIQUE
gées en sens contraires suivant deux droites parallèles, et formant
ainsi un couple primitif, qui ne peut être ramené à des forces pour
lesquelles l’action et la réaction seraient opposées suivant une même
droite. J’ai toujours regardé cette hypothèse des couples primitifs
comme absolument contraire aux premières lois de la mécanique,
•parmi lesquelles on doit compter, avec Newton, l’égalité de l’action
•et de la réaction agissant en sens contraires suivant la même droite ;
et j’ai ramené les phénomènes qu’on observe quand un fil conducteur
et un aimant agissent l’un sur l’autre, comme tous les autres
phénomènes électro-dynamiques, à une action entre deux éléments
de courants électriques, d’où résultent deux forces égales et opposées,
dirigées toutes deux suivant la droite qui joint les deux éléments.
Ce premier caractère des autres forces observées dans la
nature se trouve ainsi justifié ; et quant à celui qui consiste en ce
que les forces que l’on considère comme réellement élémentaires
soient en outre simplement fonctions des distances des points entre
•lesquels elles s’exercent, rien ne s’oppose, ainsi que je l’ai déjà
remarqué, à ce que la force, dont j’ai déterminé la valeur par des
expériences précises, ne se ramène un jour à des forces élémentaires
qui satisfassent aussi à cette seconde condition, pourvu qu’on fasse
entrer dans le calcul le mouvement continuel, dans les fils conducteurs,
des molécules électriques auxquelles ces dernières forces seraient
inhérentes. La considération de ces’ mouvements introduisant
nécessairement dans la valeur de la force qui en résulterait entre
deux éléments, outre leur distance, les angles qui déterminent les
directions suivant lesquelles se meuvent les molécules électriques,
et qui dépendent des directions mêmes de ces éléments ; ce sont précisément
ces angles, ou, ce qui revient au même, les différentielles
de la distance des deux éléments considérée comme une fonction des
arcs formés par les fils conducteurs, qui entrent seuls avec cette distance
dans ma formule. Il ne faut pas oublier que, dans la manière
de concevoir les choses qui me paraît seule admissible, les deux
forces égales et opposées OR et OT sont des résultantes d’une infinité
de forces égales et opposées deux à deux ; OR est celle des forces
0 ?i', OpYetc, qui passent toutes par le point 0, en sorte que leur
résultante OR y passe aussi, mais que OT est la résultante des forces
Nn, Pp, etc., exercées par l’élément AB sur des points tels que N,
P, etc., invariablement liés à l’extrémité M du sôlénoïde électro-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 119
dynamique par laquelle je suppose remplacé ce qu’on nomme une
molécule magnétique. Ces points sont très près de M quand ce sôlénoïde
est très petit, mais ils en sont toujours distincts, et c’est pourquoi
leur résultante OT ne passe pas par le point M, mais par le point
0 vers lequel toutes les forces N ?i, Pjo, etc., sont dirigées.

On voit, par tout ce que nous venons de dire, qu’en conservant aux
deux forces égales qui résultent de l’action mutuelle d’un fil conducteur
et d’un aimant, et qui agissent l’une sur le fil dont l’élément AB
fait partie, et l’autre sur l’aimant auquel appartient le point M, la
même valeur, et la même direction perpendiculaire au plan MAB, on
peut faire trois hypothèses sur le point d’application de ces forces :
dans la première, on suppose que les deux forces passent par le point
M ; dans la seconde, qui est celle qui résulte de ma formule, lès deux
forces passent par le milieu 0 de l’élément ; dans la troisième, où les
forces sont OR et MS, celle qui agit sur l’élément est appliquée au
point 0, et l’autre au point M. Ces trois hypothèses sont entièrement
d’accord : 1° à l’égard de la valeur de ces forces qui sont également,
dans tous les trois, en raison inverse du carré de la dislance MO, et
en raison directe du sinus de l’angle MOB que la droite OM qui mesure
cette distance fait avec l’élément AB ; 2° à l’égard de la direction
des mêmes forces, toujours perpendiculaire au plan MAB qui passe
par la molécule et par la direction de l’élément ; mais à l’égard de
leurs points d’application, ils sont placés différemment pour les deux
forces, dans les deux premières hypothèses, et il y a identité entre la
première et là troisième seulement pour les forces qui agissent sur
l’aimant, et entre la seconde et la troisième seulement pour les forces
qui agissent sur le conducteur.

En vertu de l’identité des valeurs et des directions des forces qui a
lieu dans les trois hypothèses, les composantes de leurs résultantes,
prises parallèlement à trois axes quelconques, seront les mêmes ; mais
les moments de rotation, qui dépendent en outre des points d’application
de ces forces, ne seront, en général, les mêmes, à l’égard des .
forces qui tendent à mouvoir l’aimant, que pour la première et la
troisième, et, à l’égard des forces qui agissent sur le fil conducteur,
que pour la seconde et la troisième.

Nous venons de voir que dans le cas où il est question de l’action
d’une portion de fil conducteur, formant un circuit fermé, les valeurs
des moments sont les mêmes, soit qu’on prenne, pour chaque élé-
120 THÉORIE MATHÉMATIQUE
ment, le point d’application des forces en 0 ou en M ; dans ce cas,
donc, il y aura, en outre, identité pour les valeurs des moments dans
les trois hypothèses.

Le mouvement d’un corps, dont toutes les parties sont invariablement
liées entre elles, ne peut dépendre que des trois composantes
parallèles à trois axes pris à volonté, et des trois moments autour des
mêmes axes ; d’où il suit qu’il y a identité complète dans les trois hypothèses
pour le mouvement produit, soit dans l’aimant, soit dans le
conducteur, lorsque celui-ci forme un circuit solide et fermé. C’est
pourquoi l’impossibilité d’un mouvement indéfiniment accéléré, étant
en général une suite nécessaire à la première hypothèse, puisque les
forces élémentaires y sont simplement fonctions des distances des
points entre lesquels elles s’exercent, il s’ensuit évidemment que
ce mouvement est également impossible, dans les deux autres hypothèses,
seulement lorsque le conducteur forme un circuit solide et
fermé.

Il est aisé de voir, au reste, que la démonstration ainsi obtenue de
l’impossibilité de produire un mouvement indéfiniment accéléré par
l’action mutuelle d’un circuit électrique solide et fermé, et d’un
aimant, n’est pas seulement une suite nécessaire de ma théorie, mais
qu’elle résulte aussi, dans l’hypothèse des couples primitifs, de la
seule valeur donnée par M. Biot pour la force perpendiculaire au plan
MAB, ainsi que je l’ai démontré directement, avec tous les détails
qu’on peut désirer, dans une lettre que j’ai écrite sur ce sujet à M. le
docteur Gherardi. Si donc on avait pu produire un mouvement accéléré
en faisant agir sur un aimant un conducteur formant un circuit
solide et fermé, ce n’aurait pas été seulement ma formule qui aurait
été en défaut, mais encore celle qu’a donnée M. Biot, que toutes les
observations faites depuis ont complètement démontrée, et dont les
physiciens qui admettent l’hypothèse des couples primitifs n’ont jamais
contesté l’exactitude.

Lorsqu’on rend mobile une portion du circuit voltaïque, on doit
distinguer trois cas : celui où elle forme un circuit presque fermé (1)  ;

(1) Le circuit formé par une portion mobile du fd conducteur n’est jamais
rigoureusement fermé, puisqu’il faut bien que ces deux extrémités communiquent
séparément avec celles de la pile ; mais il aisé de rendre l’intervalle
qui les sépare assez petit pour qu’on puisse le considérer comme s’il était exactement
fermé.
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 1 21
celui où ne pouvant que tourner autour d’un axe, elle a ses deux
extrémités dans cet axe ; celui où la portion mobile ne forme pas un
circuit fermé, et où une de ses extrémités au moins parcourt un certain
espace à mesure qu’elle se meut : ce dernier cas comprenant celui
où cette portion est formée par un liquide conducteur.

Nous venons de voir que, dans le premier de ces trois cas, le mouvement
que prend la portion mobile par l’action d’un aimant, est
identiquement le même dans les trois hypothèses, et ne peut jamais
s’accélérer indéfiniment, mais tend seulement à amener la portion
mobile dans une position déterminée où elle s’arrête en équilibre
après avoir quelque temps oscillé autour de cette position en vertu de
la vitesse acquise.

Il en est de même du second, qui ne diffère du premier qu’en apparence ;
car si l’on ajoutait dans l’axe, un courant, qui rejoignîL les
deux extrémités de la portion mobile, on aurait un circuit fermé sans
avoir rien changé au moment de rotation autour de cet axe, puisque
les moments des forces exercées sur le courant ajouté seraient évidemment
nuls ; d’où il suit que le mouvement de la portion mobile
serait identiquement le même que celui du circuit fermé ainsi obtenu.

Mais lorsque la portion mobile ne forme pas un circuit fermé, et
que ses deux extrémités ne sont pas dans un axe autour duquel elle
serait assujettie à tourner, les moments produits par l’action, soit
d’une molécule magnétique, soit de l’extrémité d’un sôlénoïde indéfini,
ne sont plus les mêmes que dans la secondé et la troisième hypothèse,
et ont une valeur différente dans la première. En prenant pour
l’axe des x la droite autour de laquelle on suppose la portion mobile
liée de manière à ne pouvoir que tourner autour de cette droite, et en
conservant les dénominations que nous avons employées dans les calculs
précédents, nous en conclurons que la valeur du moment de
rotation produit par les forces qui agissent sur la portion mobile,
serait

dans la première hypothèse, et

dans les deux autres.
16122 THÉORIE MATHÉMATIQUE
C’est à cette différence dans les valeurs du moment de rotation,
qu’on doit la possibilité de prouver par l’expérience que la première
hypothèse est en contradiction avec les faits. Car si l’on considère un
aimant comme réduit à deux molécules magnétiques d’une force
comme infinie placées à ses deux pôles, et qu’après avoir mis dans
une situation verticale la droite qui les joint, on assujettisse une portion
de fil conducteur à tourner autour de cette droite prise pour l’axe
des x, alors les deux moments de rotation relatifs aux deux pôles seront
exprimés par la formule précédente en y remplaçant x', y'', z' par x'u
yi, z[ pour un des pôles, et par x'2, y2, 4 pour l’autre, en ayant soin
de changer de signe l’un de ces moments, le premier, par exemple,
puisque les deux pôles sont nécessairement de natures opposées, l’un
australet l’autre boréal.

Quand les deux pôles sont, comme nous le supposons ici, situés sur
l’axe des x, on a y\ = o, y2 == o, z\ = o, z2 = o, et les deux moments
de rotation autour de l’axe des x deviennent nuls dans la première
hypothèse : ce qu’il était facile de prévoir, puisque dans cette
hypothèse les directions de toutes les forces appliquées au conducteur
mobile passent par un des deux pôles et y rencontrent l’axe fixe, ce
qui rend nécessairement nuls les moments de ces forces.

Dans les deux autres hypothèses, au contraire, où les directions des
forces passent par les milieux des éléments, les parties des moments
égales à ceux de la première hypothèse sont les seules qui s’évanouissent ;
et lorsque après les avoir supprimées, on réunit ce qui
reste de chaque moment, on a

en désignant par rîfi\ ?',) 2 ; rS(1 ; rt>i les distances des points dont les
abcisses sont respectivement #2, #2 ; #,, x'2 ; xs, x\ ; x\, x[. Il est
aisé de voir que les quatre termes de la quantité qui est comprise
entre les parenthèses dans cette expression, sont précisément les
cosinus des angles que forment avec l’axe des x les droites qui mesurent
les distances r2j2 ; ?*1) 2 ; r2|I ; r,) t : ce qui rend la valeur que nous
venons de trouver pour le moment produit par l’action des deux pôles
sur le conducteur mobile, identique à celle que nous avons déjà obtenue,
pour celui qui résulte de l’action sur le même conducteur d’un

sôlénoïde dont les extrémités seraient situées à ces pôles, et dont les
courants électriques auraient une intensité i et des distances respectives
telles qu’on eût
i' étant l’intensité du courant du conducteur.

Le moment de rotation étant toujours nul dans la première hypothèse,
la portion mobile du circuit voltaïque ne tournerait jamais par
l’action d’un aimant situé, comme nous venons de le dire, autour de
l’axe de cet aimant ; dans les deux autres hypothèses, elle doit au contraire
tourner en vertu du moment de rotation dont nous venons de
calculer la valeur, toujours la même, dans ces deux hypothèses.-
M. Faraday, qui a le premier produit ce mouvement, conséquence
nécessaire des lois que j’avais établies sur l’action mutuelle des conducteurs
voltaïques, et de la manière dont j’avais considéré les aimants
comme des assemblages de courants électriques, a démontré par là
que la direction de l’action exercée par le pôle d’un aimant sur un
élément de fil conducteur passe en effet par le milieu de l’élément,
conformément à l’explication que j’ai donnée de cette action, et non
par le pôle de l’aimant. Dès lors l’ensemble des phénomènes électrodynamique
ne peut plus être expliqué par la substitution de l’action
dés molécules magnétiques australes et boréales, répandues de la
manière que je viens de l’expliquer sur deux surfaces très voisines
et terminées par les fils conducteurs du circuit voltaïque, à la place
de l’action, exprimée par ma formule, qu’exercent les courants de ces
fils. Cette substitution ne peut avoir lieu que quand il s’agit de l’action
des circuits solides et fermés, et sa principale utilité est de démontrer
l’impossibilité d’un mouvement indéfiniment accéléré, soit par l’action
mutuelle de deux conducteurs solides et fermés, soit par celle
d’un conducteur de ce genre et d’un aimant.

Lorsque l’aimant est mobile, il faut aussi distinguer trois cas : celui
où toutes les parties du circuit voltaïque qui agit sur cet aimant sont
immobiles ; celui où quelques parties de ce circuit sont mobiles,
mais sans liaison avec l’aimant, ces portions pouvant d’ailleurs
être formées par un fil métallique, ou par un liquide conducteur ;
enfin celui ou une partie du courant passe par l’aimant, ou par une
portion de conducteur liée à l’aimant.
124 THÉORIE MATHÉMATIQUE
. Dans le premier cas, le circuit total composé des conducteurs et de
la pile, est nécessairement fermé ; et puisque toutes ses parties sont
immobiles, les trois sommes des moments des forces exercées sur les
points de l’aimant considérés, soit comme des molécules de fluides
austral ou boréal, soit comme des extrémités de solénoïdes électrodynamiques,
sont identiques dans les trois hypothèses, ainsi que
le sont les résultantes mêmes de ces forces ; en sorte que les
mouvements imprimés à l’aimant, et toutes les circonstances de ces
mouvements, sont précisément les mêmes, quelle que soit celle de
ces hypothèses qu’on adopte. C’est ce qui a lieu, par exemple, pour
la durée des oscillations faites par l’aimant, sous l’influence de ce
circuit fermé et immobile ; et c’est pour cela que les dernières expériences
de M. Biot, d’où il résulte que la force qui produit ces oscillations
est proportionnelle à la tangente du quart de l’angle que forment
les. deux branches du conducteur qu’il emploie, s’accordent aussi bien
avec cette conséquence de ma théorie que les directions des forces
qui agissent sur l’aimant passent par les milieux des: éléments du fil
conducteur, qu’avec l’hypothèse qu’il a adoptée et dans laquelle il
admet que ces directions passent par les points de l’aimant où il
place les molécules magnétiques.

L’identité qui a lieu dans ces cas entre les trois hypothèses, montre
en même temps l’impossibilité que le mouvement de l’aimant s’accélère
indéfiniment, et prouve que l’action du circuit voltaïque ne peut
que tendre à l’amener dans une position déterminée d’équilibre.
. Il semble, au premier coup d’oeil, que la même impossibilité devrait
avoir lieu dans le second cas, ce qui est contraire à l’expérience, du
moins quand une partie du circuit est formée d’un liquide. Il est évident,
en effet, que la mobilité d’une portion du conducteur n’empêche
pas que cette portion n’agisse à chaque instant comme si elle
était fixe dans la position qu’elle occupe à cet instant ; et l’on ne voit
pas d’abord comment cette mobilité peut changer tellement les conditions
du mouvement de l’aimant, qu’il devienne susceptible d’une
accélération indéfinie dont l’impossibilité est démontrée quand toutes
les parties du circuit voltaïque sont immobiles. •

Mais dès qu’on examine avec quelque attention ce qui doit arriver,
d’après les lois de l’action mutuelle d’un corps conducteur et d’un
aimant, quand le conducteur est liquide, qu’un cylindre aimanté vertical
flotte dans ce liquide, et que la surface du cylindre est recou-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 125
verte d’un vernis isolant afin que le courant ne puisse pas le traverser,
ce qui donnerait lieu au troisième cas, on reconnaît bientôt comment
il résulte de la mobilité de la portion liquide du circuit voltaïque que
l’aimant flottant acquière un mouvement qui s’accélère indéfiniment :
il ne faut pour cela qu’appliquer à ce cas l’explication que j’ai donnée,
dans les Annales de chimie et de physique (tome XX, pag. 68-70) ,
du même mouvement, quand on suppose que l’aimant n’étant pas
verni, les courants du liquide où il flotte le traversent librement.

En effet, cette explication étant fondée sur ce que les portions de
courants qui se trouvent dans l’aimant ne peuvent avoir sur lui
aucune action, et que celles qui sont dans le liquide hors de l’aimant
agissent toutes pour accélérer son mouvement toujours dans le même
sens, il s’ensuit évidemment que tout ce qui arrive dans ce cas doit
encore arriver quand la substance isolante, dont on revêt l’aimantj
supprime seulement précisément ces portions de courants qui n’avaient
aucune action, et qu’elle laisse subsister et agir, toujours de la
même manière, celles qui, étant hors de l’aimant, tendaient toutes à
accélérer son mouvement constamment dans le même sens. Pour
qu’on puisse mieux juger qu’il n’y a, en effet, rien à changer à l’explication
dont je viens de parler, je crois devoir la rappeler ici,.en
l’appliquant au cas où l’aimant est recouvert d’une substance isolante.
Je supposerai, pour plus de simplicité dans cette explication, que l’on
substitue à l’aimant un sôlénoïde électro-dynamique, dont les extrémités
soient aux pôles de cet aimant, quoique, d’après ma théorie, il
dût être considéré comme un faisceau de solénoïdes. Cette supposition
ne change pas les effets produits, parce que les courants du mercure
agissant do la même manière et dans le même sens sur tous les
solénoïdes du faisceau, ils lui impriment un mouvement semblable
à celui qu’ils donneraient à un seul de ces solénoïdes, et l’on peut
toujours supposer que les courants électriques de celui-ci aient assez
d’intensité pour que son mouvement soit sensiblement le même que
celui du faisceau.

Soit donc ETFT’ (fig. 40) la section horizontale d’un vase de verre
plein de mercure en contact avec un cercle de cuivre qui en garnit le
bord intérieur et qui communique avec un des rhéophores, le rhéophore
négatif par exemple, tandis que l’on y fait plonger en P le
rhéophore positif ; alors il se forme dans le mercure des courants:
qui vont du ; centre P du cercle ETFT’ à sa circonférence.
126 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Représentons la section horizontale du sôlénoïde par le petit cercle
etft’, dont le centre est en A et dont la circonférence etft’ est un des
courants électriques dont il est composé : en supposant que ce courant
se meuve dans le sens etft’, il sera attiré par les courants du mercure
tels que PUT, qui se trouvent, dans la figure, à droite de etft’, parce
que la demi-circonférence etf, où le courant va dans le même sens, en
est plus rapprochée que ft’e où il va en sens contraire. Soit AS cette
attraction égale à la différence des forces exercées par les courants
PUT sur les deux demi-circonférénces, et qui passe nécessairement
par leur centre A, puisqu’elle résulte des forces que ces courants
exercent sur tous les éléments de la circonférence etft’ qui 'leur_sont
perpendiculaires, et sont, par conséquent, dirigées suivant les rayons
de cette circonférence. Le même courant etft’ du sôlénoïde est, au
contraire, repoussé par les courants qui, comme PUT’, sont, dans la
figure, à gauche de ce courant etft’, parce qu’ils sont en sens contraire
dans la demi-circonférence ft’e la plus voisine de PUT. Soit AS’ la
répulsion qui résulte de la différence des actions exercées par les courants
PU'T’sur les deux demi-circonférences/iî'e, etf, elle sera égale à
AS, et fera, avec le rayon PAF, l’angle FAS’ = PAS, puisque tout est
égal des deux côtés de ce rayon : la résultante AR de ces deux forces
lui sera donc perpendiculaire ; et comme elle passera par le centre A,
ainsi que ses deux composantes AS, AS’, le sôlénoïde n’aura aucune
tendance à tourner autour de son axe, comme on l’observe en effet à
l’égard de l’aimant flottant que représente ce sôlénoïde ; mais il tiendra,
à chaque instant, à se mouvoir suivant la perpendiculaire AR au
rayon PAF, et comme, lorsqu’on fait cette expérience avec un aimant
flottant, la résistance du mercure détruit à chaque instant la vitesse
acquise, on voit cet aimant décrire la courbe perpendiculaire à toutes
les droites qui passent comme PAF par le point P, c’est-à-dire la circonférence
ABC dont ce point est le centre.

Cette belle expérience, due à M. Faraday, a été expliquée par les
physiciens qui n’admettent pas ma théorie, en attribuant le mouvement
de l’aimant au rhéophore plongé en P dans le mercure, auquel
on donne ordinairement une direction perpendiculaire à la surface du
mercure. Il est vrai que, dans ce cas, le courant de ce rhéophore tend
à porter l’aimant dans le sens où il se meut réellement ; mais il est
aisé de s’assurer, par des expériences comparatives, que c’est avec
une force beaucoup trop faible pour vaincre la résistance du mercure,
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 127
et produire, malgré cette résistance, le mouvement qu’on observe.

J’étais d’abord surpris de voir que ces physiciens ne tenaient pas

compte de l’action que les courants du mercure doivent exercer dans

leur propre théorie, ma surprise a augmenté quand j’en ai reconnu la

cause dans une erreur manifeste qui se trouve énoncée en ces termes

dans l’ouvrage déjà cité (1)  : « L’action transversale de ce fil fictif (le

« courant électrique qui est dans le mercure) sur le magnétisme aus« 

tral de A (fig. 43) , tendra donc aussi constamment à pousser A de: la

« droite vers la gauche d’un observateur qui aurait la tête en G'.,, et les

« pieds en Z. Mais une tendance contraire s’exercera sur le pôle B, et

« même avec une énergie égale, si la ligne horizontale C’FF'Z se: trouve

« à la hauteur précise du centre du barreau ; de sorte qu’en somme,

« il n’en résultera aucun mouvement de translation. Ce sera donc

« alors la seule force exercée par GF qui déterminera la rotation du

« barreau AB. » Gomment l’auteur n’a-t-il pas vu que les actions que
le fil fictif , placé comme il le dit, exerce sur les deux pôles du barreau

AB, tendent à le porter dans le même sens, et qu’elles s’ajoutent au

lieu de se détruire, puisque étant d’espèces contraires, ces pôles se

trouvent des deux côtés opposés du fil ?

Il est important de remarquer à ce sujet, que si des portions de courants
faisant partie de ceux du mercure, pouvaient se trouver dans
l’intérieur du petit cercle etft’ et agir sur lui, elles tendraient à le faire
tourner autour du point P en sens contraire, et avec une force qui, au
au lieu d’être la différence des actions exercées sur les deux demicirconférences
etf, ft’e, en est la somme, parce que si uv représente
une de ces portions, il est évident qu’elle attirera l’arc utv et repoussera
l’arc vt’ui, d’où résultent deux forces qui conspirent à mouvoir
etft’ dans la direction AZ opposée à AR. Cette circonstance ne peut
évidemment avoir lieu avec l’aimant flottant qui occupe tout l’intérieur
du petit cercle etft’, parce qu’il en exclut les courants quand il
est revêtu de matière isolante, et parce que, dans le cas contraire, les
portions de courants comprises dans ce cercle, ayant lieu dans des
particules de l’aimant invariablement liées à celles sur lesquelles elles
agissent, l’action qu’elles produisent est détruite par une réaction
(1) Précis élémentaire de physique expérimentale, troisième édition, t. II,
p. 783.128 THÉORIE MATHÉMATIQUE
égale et opposée ; en sorte qu’il ne reste, dans les deux cas, que les
forces exercées par les courants du mercure, qui tendent toutes à
mouvoir l’aimant suivant AR. C’est uniquement pour cela qu’il tourne
autour du point P dans ce sens, comme on s’en assure en remplaçant
l’aimant par un conducteur mobile xzetft’sy (fig. 41) , formé d’un fil
de cuivre assez fin, revêtu de soie, dont la partie intermédiaire etft’ est
pliée en cercle, et dont les deux portions extrêmes, tordues ensemble
de e en z, vont, l’une ezx se rendre en x dans une coupe à mercure
communiquant à un des rhéophores, et l’autre t’sy plonger en P
(fig. 40) dans le mercure qui communique, comme nous l’avons dit,
avec l’autre rhéophore : on suspend ce conducteur mobile de manière
que le cercle etft’ (fig. 41) soit très près de la surface du mercure, et
l’on voit qu’il reste immobile, en vertu de l’équilibre qui s’établit
entre les forces exercées par les portions de courants comprises dans
le cercle etft’, et celles qui le sont par les courants et portions de courants
extérieurs à ce cercle. Mais dès qu’on supprime les portions de
courants comprises dans l’espace etft’ (fig. 40) , en enfonçant dans le
mercure au-dessous du cercle etft’ (fig. 41) un cylindre de matière
isolante dont la base lui soit égale pour imiter ce qui arrive à l’aimant
flottant, on le voit se mouvoir, comme cet aimant, dans le sens AR.
Lorsqu’on laisse le cylindre de matière isolante où était d’abord le
cercle etft’, celui-ci ne tourne pas indéfiniment comme l’aimant,, mais
va s’arrêter, après quelques oscillations, dans une position d’équilibre ;
différence qui vient de ce que l’aimant flottant laisse, derrière ;
lui, se remplir de mercure la place qu’il occupait d’abord, et chasse le
mercure successivement des diverses places où il se trouve transporté.
C’est ce changement dans la situation d’une partie du mercure qui en
entraîne un dans les courants électriques, et fait que, quoique le circuit
voltaïque total soit fermé, le mouvement continu de l’aimant,
qui est impossible par l’action d’un circuit solide et fermé, ne laisse
pas d’avoir lieu dans ce cas où le circuit fermé change de forme par
le mouvement même de l’aimant. Pour produire ce mouvement en
employant, au lieu de l’aimant, le conducteur mobile que nous venons
de décrire, il faut, lorsqu’on a constaté qu’il ne se meut que quand on
supprime, par le cylindre de matière isolante, les portions de courants
intérieurs au petit cercle etft’, et qu’en laissant ce cylindre à la même
place, il s’arrête dans une position déterminée d’équilibre après avoir
oscillé autour d’elle, imiter ce qui a lieu lorsqu’il s’agit d’un aimant
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 129
flottant, en faisant glisser le cylindre de matière isolante sur le fond
du vase, de manière qu’il soit toujours sous le cercle etft’ (fig. 41) , et
que son centre corresponde toujours verticalement à celui de ce
cercle, le conducteur mobile se met alors à tourner indéfiniment
autour du point P (fig. 40) comme l’aimant.

C’est, en général, en substituant aux aimants des conducteurs
mobiles plies en cercle, qu’on peut se faire une idée juste des causes
des divers mouvements des aimants, lorsqu’on veut analyser ces
mouvements par l’expérience sans recourir au calcul, parce que cette
substitution donne le moyen d’en faire varier les circonstances de
différentes manières, qu’il serait le plus souvent impossible d’ohtenir
avec des aimants, et qui peuvent seules éelaircir les difficultés que
présentent des phénomènes souvent si compliqués. C’est ainsi, par
exemple, que dans ce que nous venons de dire, il est impossible,
avec un aimant, de vérifier ce résultat de la théorie, que si des portions
des courants de mercure pouvaient traverser l’aimant, et agir
malgré cela sur lui en conservant l’intensité et la direction qu’ils ont
dans le mercure lorsqu’on enlève l’aimant, celui-ci ne tournerait pas
autour du point P, et que la vérification en devient facile quand on lui
substitue, comme nous venons de le dire, le conducteur mobile représenté
ici (fig. 41).

L’identité d’action qu’on observe constamment entre les mouvements
d’un conducteur mobile et ceux d’un aimant, toutes les fois
qu’ils se trouvent dans les mêmes circonstances, ne permet pas de
douter, quand on a fait l’expérience précédente, que l’aimant ne restât
aussi immobile, lorsqu’il est traversé par les portions de courants intérieures
au cercle etft, si ces portions pouvaient agir sur lui ; et,
comme on voit, au contraire, que quand il n’est pas revêtu d’une
substance isolante, et que les courants le traversent librement^ il se
meut précisément comme quand il l’est et qu’aucunes portions de
courants ne peuvent plus pénétrer dans l’intérieur de cet aimant, on
a une preuve directe du principe sur lequel repose une partie des
explications que j’ai données, savoir: que les portions de courants
qui traversent l’aimant n’agissent en aucune manière sur lui, parce
que les forces qui résulteraient de leur action sur les courants propres
à l’aimant, ou sur ce qu’on appelle des molécules magnétiques,
ayant lieu entre les particules d’un même corps solide, sont nécessairement
détruites par une réaction égale et opposée.
17130 THÉORIE MATHÉMATIQUE
J’avoue que cette preuve expérimentale d’un principe qui n’est
qu’une suite nécessaire des premières lois de la mécanique, me
paraît complètement inutile, comme elle l’aurait paru à tous les physiciens
qui ont considéré ce principe comme un des fondements de
la science. Je n’en aurais pas fait la remarque, si l’on n’avait pas
supposé que l’action mutuelle d’un élément de fil conducteur et d’une
molécule magnétique, consistait en un couple primitif composé de
deux forces égales et parallèles sans être directement opposées, en
vertu duquel une portion de courant qui a lieu dans un aimant
pourrait le mouvoir ; supposition contraire au principe dont il est ici -
question, et qui se trouve démentie par l’expérience précédente
d’après laquelle il n’y a pas d’action exercée sur l’aimant par les portions
de courants qui le traversent quand il n’est pas revêtu d’une
enveloppe isolante, puisque le mouvement qui a lieu dans ce cas reste
le même lorsqu’on empêche les courants de traverse rl’aimant, en
le renfermant dans cette enveloppe.

C’est de ce principe qu’il faut partir pour voir quels sont les phénomènes
que doit présenter un aimant mobile sous l’influence du
courant voltaïque, dans le troisième cas qui nous reste à considérer,
celui où une portion du courant passe par l’aimant, ou par une portion
de fil conducteur invariablement liée avec lui. Nous venons de
voir que lorsqu’il s’agit du mouvement de révolution d’un aimant
autour d’un fil conducteur, le mouvement doit être le même, et l’est
en effet, soit que le courant traverse ou ne traverse pas l’aimant. Mais
il n’en est pas ainsi quand il est question du mouvement de rotation
continue d’un aimant autour de la droite qui en joint les deux pôles.

J’ai démontré et par la théorie et par les expériences variées de
diverses manières dont les résultats ont toujours confirmé ceux de la
théorie, que la possibilité ou l’impossibilité de ce mouvement tient
uniquement à ce qu’une portion de circuit voltaïque total soit dans
tous ses points séparé de l’aimant, ou à ce qu’il passe, soit dans cet
aimant, soit dans une portion de conducteur liée invariablement avec
lui. En effet, dans le premier cas, l’ensemble de la pile et des fils
conducteurs forme un circuit toujours fermé, et dont toutes les parties
agissent de même sur l’aimant, soit qu’elles soient fixes ou
mobiles ; dans ce dernier cas, elles exercent, à chaque instant, précisément
les mêmes forces que si elles étaient fixes dans la position où
elles se trouvent à cet instant. Or nous avons démontré, d’abord
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 131
synthétiquement à l’aide des considérations que nous ont fournies’les
figures 30 et 31, ensuite en calculant directement les moments de
rotation, qu’un circuit fermé ne peut imprimer à un aimant uh mouvement
continu autour de la droite qui joint ses deux pôles, soit qu’on
les considère, conformément à ma théorie, comme les deux extrémités
d’un sôlénoïde équivalent à l’aimant, ou comme deux molécules
magnétiques dont l’intensité soit assez grande pour que les
actions exercées restent les mêmes quand on les substitue à toutes
celles dont on regarde l’aimant comme composé dans l’hypothèse des
deux fluides. L’impossibilité du mouvement de rotation de l’aimant
autour de son axe, tant que le circuit total fermé en est partout séparé,
se trouve ainsi complètement démontrée, non seulement en appliquant
ma formule aux courants du sôlénoïde substitué à l’aimant,
mais aussi en partant de la considération d’une force qui aurait lieu
entre un élément de fil conducteur et une molécule magnétique perpendiculairement
au plan qui passe par cette molécule et par la
direction de l’élément, en raison inverse du carré de la distance, et
qui serait proportionnelle au sinus de l’angle compris entre la droite
qui mesure cette .distance et la direction de l’élément. Mais lorsqu’on
suppose, dans ce dernier cas, que la force passe par le milieu de l’élément,
soit qu’elle agisse sur lui ou réagisse sur la molécule magnétique,
ainsi que cela a lieu, d’après ma théorie, à l’égard du sôlénoïde,
le même mouvement devient possible dès qu’une portion du courant
passe par l’aimant, ou par une portion de conducteur invariablement
liée avec lui ; parce que toutes les actions exercées par cette portion
sur les particules étant détruites par les réactions égales et opposées
qu’exercent sur elles ces mêmes particules, il ne reste que les actions
exercées par le reste du circuit total qui n’est plus fermé, et peut par
conséquent faire tourner l’aimant.

Pour bien concevoir tout ce qui rapporte à cette sorte du mouvement,
concevons que la tige TVUS (PL I, fig. 13) , qui supporte la
petite coupe S dans laquelle plonge la pointe o du conducteur mobile
oab, soit pliée en V et U comme on le voit dans la figure, de manière
à laisser libre la portion VU de la droite TS prise pour axe de rotation,
afin qu’on puisse suspendre l’aimant cylindrique GH, par un fil
très fin ZK, au crochet K attaché en U à cette tige, et que le conducteur
mobile oab maintenu dans la situation où on le voit dans la figure
par le contre-poids c, soit terminé en b par une lame de cuivre bef,
132 THÉORIE MATHÉMATIQUE
qui plonge dans l’eau acidulée dont on remplit le vase MN, afin que
ce conducteur communique avec le rhéophore pP plongé dans le mercure
de la coupe P, tandis que l’autre rhéophore ?'R est en communication
avec la tige TVUS par le mercure qu’on met dans la coupe R,
et que la pile pr ferme le circuit total.

A l’instant où l’on établit le courant dans cet appareil, on voit le
conducteur mobile tourner autour de la droite TS ; mais l’aimant est
seulement amené à une position déterminée autour de laquelle il
oscille quelque temps, et où il reste ensuite immobile. En vertu du
principe de l’égalité de l’action et de la réaction, qui a lieu à l’égard
des moments de rotation autour d’un même axe comme à l’égard des
forces, si l’on représente par M le moment de rotation imprimé, par
l’action de l’aimant, au conducteur mobile oab, la réaction de celui-ci
tiendra nécessairement à faire tourner l’aimant autour de son axe
avec le moment — M, égal à M, mais agissant en sens contraire.

L’immobilité de l’aimant vient évidemment de ce que si le conducteur
mobile oab agit sur lui, le reste ôMP/ ??'RTS du circuit total ne
peut manquer de le faire également ; le moment de l’action qu’il
exerce sur l’aimant, réuni à celui de oab, donne le moment du circuit
fermé oabWPprKTS qui est nul ; d’où il suit que le moment de
- éMPjtwRTS est M, égal opposé à — M.

Mais si l’on vient à lier l’aimant GH au conducteur mobile oab, il
en résulte un système de forme invariable, dans lequel l’action
et la réaction qu’ils exercent l’un sur l’autre se détruisent mutuellement ;
et ce système resterait évidemment immobile, si la partie
ôMPprRTS n’agissait pas comme auparavant sur l’aimant pour le
faire tourner en lui imprimant le moment de rotation M. C’est en
vertu de ce moment que l’aimant et le conducteur mobile, réunis en
un système de forme invariable, tournent autour de la droite TS ; et
comme ce moment est, comme on vient de le voir, et de même
valeur et de même signe que celui qu’imprimait l’aimant au conducteur
oab quand ce conducteur en était séparé et tournait seul, on
voit que ces deux mouvements auront nécessairement lieu dans le
même sens, mais avec des vitesses réciproquement proportionnelles
au moment d’inertie du conducteur et à la somme de ce moment
d’inertie et de celui de l’aimant.

J’ai fait abstraction, dans les considérations précédentes, de l’action
exercée par la portion iMPp^RTS du circuit total sur le conducteur
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 133
mobile oab, soit dans le cas où ce conducteur est séparé de l’aimant,
soit dans le cas où il lui est uni, non seulement parce qu’elle est très
petite relativement à celle qu’exerce l’aimant, mais parce qu’elle tend
uniquement à porter le conducteur mobile dans la situation déterminée
par la répulsion mutuelle des éléments de ces deux portions du
circuit total, et ne contribue, par conséquent, dans les deux cas, aux
mouvements de rotation de oab, que pour en faire un peu varier la
vitesse, qui sans cela serait constante.

Pour pouvoir facilement unir et séparer alternativement l’aimant et
le conducteur mobile, sans interrompre les expériences, il convient
de fixer au crochet Z par lequel l’aimant est suspendu au fil ZK, un
morceau de fil de cuivre ZX terminé en X par une fourchette dont les
deux branches ~K.x, Xy embrassent le conducteur mobile oab, qui se
trouve serré entre elles, quand on plie convenablement la tige ZX ;
en la pliant en sens contraire, on lui donne la position où elle est
représentée dans la figure, et le conducteur redevient libre.

J’ai expliqué en détail cette expérience, parce qu’elle semble, plus
qu’aucune autre, appuyer l’hypothèse du couple primitif, quand on
ne l’analyse pas comme je viens de le faire. En effet, on admet
comme moi, dans cette hypothèse, que les forces exercées par
l’aimant GH, sur les éléments du conducteur mobile oab, passent par
ces éléments, et qu’en les supposant tous dans le plan vertical TSaô,
mené par la droite TS, les forces sont normales à ce plan, elles
tendent donc à faire tourner oab toujours dans le même sens autour
de TS : ces forces sont, d’après la loi proposée par M. Biot, précisément
les mêmes, en grandeur, en direction et relativement à leurs
points d’application, que les forces données par ma formule ; elles
produisent donc le même moment de rotation M en vertu duquel
s’exécute le mouvement du conducteur oab lorsqu’il est libre. Mais,
suivant les physiciens qui admettent l’hypothèse dont il est ici question,
les forces dues à la réaction des éléments du conducteur sur
l’aimant ne sont plus les mêmes qu’en grandeur et en ce qu’elles sont
perpendiculaires au plan TSaô ; ils pensent que ces forces sont appliquées
aux molécules magnétiques, ou, ce qui revient au même, aux
deux pôles de l’aimant GH qui sont sur la droite TS ; dès lors leurs
moments de rotation sont nuls relativement à cette droite. C’est à
cette cause qu’ils attribuent l’immobilité de l’aimant quand il n’est lié
à aucune portion du circuit voltaïque ; mais pour expliquer le mouve-
134 THÉORIE MATHÉMATIQUE
ment de rotation de l’aimant dans le cas où on l’unit au conducteur
mobile oab, à l’aide de la tige ZX, ils supposent que la réunion
'de ces deux corps en Un système de forme invariable, n’empêche pas
l’aimant d’agir toujours pour imprimer au conducteur mobile le
même moment de rotation M, sans que ce conducteur réagisse sur
l’aimant de manière à mettre obstacle au mouvement du système, qui
doit tourner par conséquent dans le même sens que tournait le conducteur
mobile avant d’être lié invariablement à l’aimant, mais avec
une vitesse moindre dans la raison réciproque des moments d’inertie
du conducteur seul et du conducteur réuni à l’aimant.

C’est ainsi qu’on trouve dans cette hypothèse les mêmes résultats
que quand on suppose l’action opposée à la réaction suivant la même
droite, et qu’on tient compte de l’action exercée sur l’aimant par le
reste éMP/ ??'RTS du circuit voltaïque. Il résulte de tout ce qui a été
démontré dans ce mémoire, que cette identité des effets produits et
des valeurs des forces que nous venons de trouver, dans le cas que
nous avons examiné, entre la manière dont j’ai expliqué les phénomènes
et l’hypothèse du couple primitif, est une suite nécessaire de
ce que le circuit voltaïque qu’on lait agir sur l’aimant est toujours
fermé, et que dès qu’il s’agit d’un circuit fermé, non seulement les
trois forces parallèles à trois axes qui résultent de l’action qu’un tel
circuit exerce sur un aimant, mais encore les trois moments de rotation
autour de ces trois axes, sont les mêmes dans les deux manières
de concevoir les choses, ainsi que le mouvement de l’aimant, qui ne
peut dépendre que de ces six quantités.

La même identité se retrouvera, par conséquent, dans toutes les
expériences du même genre, et ce n’est, ni par ces expériences, ni
par la mesure des forces qui se développent entre les fils conducteurs
et les aimants, qu’une telle question peut être décidée ; elle
doit l’être :

1° Par la nécessité du principe, que l’action mutuelle des diverses
parties d’un système de forme invariable ne peut, dans aucun cas,
imprimer à ce système un mouvement quelconque ; principe qui
n’est qu’une conséquence de l’idée même que nous avons des forces
et de l’inertie de la matière.

2° Par cette circonstance, que l’hypothèse du couple primitif n’a été
imaginée, par ceux qui l’ont proposée, que parce qu’ils ont cru que les
phénomènes dont ils sont partis ne pouvaient être expliqués autre-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 135
ment, faute d’avoir tenu compte de l’action qu’exerce sur l’aimant la
totalité du circuit voltaïque ; parce qu’ils n’ont pas fait attention que •
ce circuit est toujours fermé, et qu’ils n’ont pas déduit, comme je l’ai
fait, de la loi proposée par M. Biot, cette conséquence rigoureuse que,
pour un circuit fermé, les forces et les moments sont identiquement
les mêmes, soit qu’on suppose que les directions des forces exercées
sur l’aimant passent par les molécules magnétiques ou par les milieux
des éléments des fils conducteurs.

3° Sur ce, quand on admet que les phénomènes dont nous nous
occupons peuvent être produits, en dernière analyse, par les forces
exprimées.en fonctions des distances qu’exercent les molécules des
deux fluides électriques, et qu’on attribue aussi aux deux fluides
magnétiques quand on les regarde comme la cause des phénomènes,
purement électriques selon moi, que présentent les aimants, on peut,
bien concevoir que si ces molécules sont en mouvement dans les fils
conducteurs, il en résulte entre leurs éléments des forces qui ne
dépendent pas seulement des distances de ces éléments, mais encore
des directions suivant lesquelles a lieu le mouvement des molécules
électriques qui les parcourent, telles précisément que les forces que
donne ma formule, pourvu que ces forces satisfassent à la condition
que l’action et la réaction soient dirigées suivant la même droite,
tandis qu’il est contradictoire de supposer que des forces, quelles que
soient d’ailleurs leurs valeurs en fonctions des distances, dirigées
suivant les droites qui joignent les molécules entre lesquelles elles
s’exercent, puissent produire, par quelque combinaison que ce soit,
lors même que ces molécules sont en mouvement, des forces pour
lesquelles l’action et la réaction ne soient pas dirigées suivant la
même droite, mais suivant deux droites parallèles, comme dans
l’hypothèse du couple primitif.

On sait, en effet, que quand même des molécules électriques ou
magnétiques sont en mouvement, elles agissent à chaque instant
comme si elles étaient en repos dans la situation où elles se trouvent
à cet instant. Si donc on considère deux systèmes de molécules, telles
que chaque molécule de l’un exerce sur chaque molécule de l’autre
une force égale et opposée, suivant la droite qui les joint, à la force
exercée par la seconde molécule sur la première, et qu’arrêtant toutes
ces molécules dans la situation où elles se trouvent à un instant
donné, on suppose qu’elles soient toutes liées invariablement ensem-
136 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Me dans cette situation, il y aura nécessairement équilibre dans le
système de forme invariable, composé des deux autres, qui résultera
de cette supposition, puisqu’il y aura équilibre entre les forces élémentaires
prises deux à deux. La résultante de toutes les forces exercées
par le premier système sur le second sera donc égale et opposée,
Suivant la même droite, à celle de toutes les forces exercées par le
seeondrsur le premier ; et ces deux résultantes ne pourront jamais
produire un couple capable de faire tourner le système total, quand
toutes ses parties sont invariablement liées entre elles, comme le
Supposent ceux qui, tout en adoptant l’hypothèse d’un couple dans
l’action mutuelle d’une molécule magnétique et d’un élément dé fil
conducteur, prétendent cependant que cette action résulte de ce que
l’élément n’agit sur la molécule que parce qu’il est lui-même un
assemblage de molécules magnétiques, dont les actions sur celle que
l’on considère sont telles que Coulomb les a établies, c’est-à-dire dirigées
suivant les droites qui les joignent à cette dernière, et en raison
inverse des carrés des distances.

Il suffit de lire avec quelque attention ce qu’a écrit M. Biot sur
les phénomènes dont nous nous occupons, dans le livre neuvième
de la troisième édition de son Traité élémentaire de physique expérimentale,
pour voir qu’après avoir considéré constamment les forces
que les éléments des fils conducteurs exercent sur les aimants, comme
appliquées aux molécules magnétiques perpendiculairement aux plans
passant par chaque élément et chaque molécule, il suppose ensuite
quand il parle du mouvement des fils conducteurs autour des aimants,
que, les forces exercées par les molécules magnétiques sur les éléments
des fils, passent par ces éléments dans des directions parallèles
à celles des forces exercées sur l’aimant, et forment, par conséquent,
des couples avec les premières, au lieu de leur être opposées suivant
les mêmes droites ; qu’il explique en particulier, à la page 754, tome II
de cet ouvrage, le mouvement de rotation d’un aimant autour de son
axe, quand une portion de courant le traverse, en supposant que
l’aimant tourne par l’action que cette portion même exerce sur le
reste de l’aimant, qui forme cependant avec elle un système de forme
invariable dont toutes les parties sont invariablement liées entre
elles (1)  : ce qui suppose évidemment que l’action et la réaction de

(1) Je ne sais s’il est nécessaire de rappeler à ce sujet ce que j’ai déjà fait
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 137
cette portion de courant et du reste de l’aimant forment un couple.
Gomment dès lors concevoir que le physicien qui admet une pareille
supposition, puisse s’exprimer en ces termes à la page 769 du même
livre : « Si l’on calcule l’action qu’exercerait à distance une aiguillé
aimantée d’une longueur infiniment petite et presque moléculaire,
on verra aisément que l’on peut former des assemblages de telles
aiguilles, qui exerceraient des forces transversales. La difficulté
unique, mais très grande sans doute, c’est de combiner de tels Sys« 
tèmes, de manière qu’il en résulte, pour les tranches d’un fil conte
jonctif de dimension sensible, les lois précises d’actions trânsver« 
sales que l’expérience'lait, reconnaître, et que nous avons expo-:
« sées plus haut. » Sans doute que de l’action de deux systèmes de
petits aimants, dont les molécules australes et boréales s’attirent ou
remarquer ailleurs, savoir que les fluides électriques, d’après l’ensemble dés
faits, surtout d’après la nullité d’action sur les corps les plus légers de Téleç^
tricité qui se meut dans le vide, doivent être considérés comme incapables
d’agir eh vertu de leur masse qu’on peut dire infiniment petite à l’égard de
celle des corps pondérables, et qu’ainsi toute attraction ou répulsion exercée
entre ces corps el les fluides électriques peut bien mettre ceux-ci en mouvement,
mais non les corps pondérables. Pour que ces derniers se meuvent, il
faut, lorsqu’il s’agit des attractions et répulsions électriques ordinaires^ que
l’électricité soit retenue sur leur surface, afin que la force qui surmonte l’inertie
de l’un, s’appuie, si l’on peut s’exprimer ainsi, sur Tinertie' de l’autre. .11 faut
dé même, pour que l’action mutuelle dé deux fils conducteurs mette ces fils en
mouvement, que les décompositions et recompositions du fluide neutre qui ont
lieu à chaque instant dans tous les éléments des longueurs des deux fils, déterminent
entre leurs particules pondérables les forces capables de vaincre l’inertie
de ces particules en imprimant aux deux fils des vitesses réciproquement proportionnelles
à leurs masses. Quand on parle de Faction mutuelle de deux courants
électriques, on n’a jamais entendu, et il est évident qu’on ne peut entendre,
que celle des conducteurs qu’ils parcourent: les physiciens qui admettent des
molécules magnétiques agissant sur les éléments d’un fil conducteur, conformément
alaloi proposée par M. Biot, admettent sans doute aussi que cette action
ne meut le fil que parce que la molécule magnétique est retenue par les particules
pondérables de l’aimant qui constituent l’élément magnétique dont elle
fait partie ; et il est dès lors évident qu’en supposant que l’aimant se meut, par
l’action de la portion de courant électrique qui le traverse, on suppose nécessairement
que son mouvement résulte de Faction mutuelle qui a lieu entré chacune
de celles de ses particules que traverse le courant et toutes les autres
particules du même corps.18138 THÉORIE MATHÉMATIQUE
se repoussent en raison inverse des carrés de leurs distances, suivant
les droites qui les joignent deux à deux, il peut résulter des actions
transversales, mais non pas des actions qui ne soient pas égales et opposées
à dès réactions dirigées suivant- les mêmes droites, comme celles
que suppose M. Biot.

En un mot, la valeur de l’action de deux éléments de fils conducteurs,
que j’ai déduite uniquement de l’expérience, dépend desïangles
qui: déterminent là direction respective des deux éléments.: d’après la
loi proposée par: M- Biot, la force qui se développe entre un élément
dé fil conducteur et une molécule magnétique, dépend aussi de l’angle
qui détermine la direction de l’élément. Si j’ai appelé élémentaire la,
force: dont j’ai déterminé la valeur, parce qu’elle s’exerce entre deux
éléments de fils conducteurs et parce qu’elle n’a pas encore été
ramenée: à des forces plus simples : il a aussi appelé élémentaire Y&
force qu’il admet entre une molécule magnétique et un élément de fit
conducteur. Jusque-là tout est semblable à l’égard de ces deux, sortes
de forces ; mais pour celle que j’ai admise, l’action et la réaction sont
opposées Suivant la même droite, et rien n’empêche de concevoir
qu’elle résulte des attractions et des répulsions inhérentes aux molécules
des deux fluides électriques, pourvu qu’on suppose ces molécules
en mouvement dans les fils conducteurs, pour rendre raison de
l’influence de la direction des éléments de ces fils sur la valeur delà
force ; tandis que M. Biot, en admettant une force pour laquelle l’action
et la réaction ne sont pas dirigées en sens contraire sur une
même droite, mais sur des droites parallèles et formant un couple, se
met dans l’impossibilité absolue de ramener cette force à des attractions
et répulsions dirigées suivant les droites qui joignent deux à
deux les molécules magnétiques, telles que les admettent tous les
physiciens qui s’en sont servis pour expliquer l’action mutuelle de
deux aimants. N’est-il pas évident que c’est de cette hypothèse de
M. Biot, sur des forces révolutives pour lesquelles l’action et la réaction
né sont pas opposées suivant une même droite, qu’on devrait
dire ce qu’il dit (page 771) au sujet de l’action mutuelle de deux éléments
de fils conducteurs, telle que je l’ai déterminée par mes expériences
et les calculs que j’en ai déduits, savoir : qu’une pareille supposition
est d’'abord en elle-même complètement hors des analogies que
nous présentent toutes les autres lois d’attraction ? Y a-t-il une hypothèse
plus contraire à ces analogies, que d’imaginer des forces telles
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 139
que l’action mutuelle des diverses parties d’un système de formé
invariable puisse mettre ce système en mouvement ?.

Ce n’est point en m’éloignant ainsi d’une des lois que Newton a
regardées comme les fondements de la théorie physique de l’univers,
qu’après avoir découvert un grand nombre de faits que nul n’avait
observés avant moi, j’ai déterminé, par la seule expérience et en suivant
la marche tracée par ce grand homme, d’abord les lois de l’action
électro-dynamique, ensuite l’expression analytique de la force qui se
développe entre deux éléments de fils conducteurs, et qu’enfin j’ai
déduit de cette expression toutes les conséquences exposées dans ce
Mémoire. M. Biot, en citant les noms d’une partie des physiciens qui
ont observé de nouveaux faits ou inventé des instruments qui ont été
utiles à la science, n’a parlé ni du moyen par lequel je suis parvenu
à rendre mobiles des portions de fils conducteurs, en les suspendant
sur des pointes d’acier dans dès coupes pleines de mercure, moyen
sans lequel on ne saurait rien des actions exercées sur ces fils, soit
par d’autres conducteurs, soit par le globe terrestre ou par des
aimants ; ni des appareils que j’ai construits pour mettre en évidence
toutes les circonstances que présentent ces actions, et déterminer
avec précision les cas d’équilibre d’où j’ai conclu les lois auxquelles
elles sont assujetties ; ni de ces lois elles-mêmes déterminées-par mes
expériences ; ni de la formule que j’en ai conclue ; ni des applications
que j’ai faites de cette formule. Et à l’égard des faits que j’ai observés
le premier, il n’en cite qu’un seul, celui de l’attraction mutuelle de
deux fils conducteurs ; et s’il le cite, c’est pour en donner l’explication
qui avait été d’abord proposée par quelques physiciens étrangers,
à une époque où l’on n’avait pas fait les expériences’ qui ont
démontré depuis longtemps qu’elle était complètement inadmissible.
Cette explication consiste, comme on sait, à supposer que deux fils
conducteurs agissent l’un sur l’autre, comme ils le feraient en vertu
de l’action mutuelle d’aiguilles aimantées infiniment petites, tangentes
aux sections circulaires qu’on peut faire dans toute la longueur
des fils supposés cylindriques ; l’ensemble des petites aiguilles d’une
même section formant ainsi un anneau aimanté, semblable à celui
dont MM. Gay-Lussac et Velter. se sont servis pour faire, en 1820,
une expérience décisive au sujet de l’explication dont il est ici question.
Cette expérience a prouvé, comme on sait, qu’un pareil anneau
n’exerce absolument aucune action, tant qu’il forme ainsi une circon-
MO THÉORIE MATHÉMATIQUE
férence entière, quoiqu’il soit tellement aimanté qu’en le formant d’un
acier propre à conserver, quand on le rompt, tout son magnétisme,
on trouve, en le brisant, que toutes ses portions sont très fortement
aimantées.

Sir H. Davy et M. Erman ont obtenu le même résultat à l’égard
d’un anneau d’acier d’une forme quelconque. Il est, au reste, une
suite nécessaire de la théorie des deux fluides magnétiques comme
de la mienne, ainsi qu’il est aisé, de s’en assurer par un calcul tout
semblable à celui par lequel j’ai démontré, dans ce Mémoire, la nullité
d’action d’un sôlénoïde Irmant une courbe fermée, conformément
à ce que M. Savary a trouvé, le premier, par un calcul qui ne
diffère pas essentiellement du mien, et-qu’on peut voir, soit dans l’addition
qui se trouve à la suite du Mémoire sur l’application du calcul
aux phénomènes électro-dynamiques, qu’il a publié en 1823, soit
dans le Journal de physique, tome XCVI, pages 295 et suiv. En donnant
de nouveau cette explication, M. Biot montre qu’il ne connaissait
ni l’expérience de Gay-Lussac et Velter, ni le calcul de M. Savary.

Il y a plus, les petites aiguilles tangentes aux circonférences des
sections des fils conducteurs, sont considérées par M. Biot comme les
particules mêmes de la surface du fil conducteur. aimantées par le
courant électrique qui séparerait dans ces particules le fluide austral
du fluide boréal, en les portant en sens contraire, sans que les molécules
de ces fluides puissent sortir des particules du fil où elles se
trouvaient d’abord réunies en fluide neutre. Dès lors, quand le courant
est établi depuis quelque temps dans le fluide et se continue
indéfiniment, la distribution des molécules magnétiques dans les fils
conducteurs ne peut plus changer ; c’est donc comme s’il y avait dans
ces fils une multitude de points déterminés qui ne changeraient pas
de situation tant que le courant continuerait avec la même intensité,
et dont il émanerait des forces attractives et répulsives dues aux molécules
magnétiques, et par conséquent réciproquement proportionnelles
aux carrés des distances.

Ainsi deux fils conducteurs n’agiraient l’un sur l’autre qu’en vertu
de forces exprimées par une fonction des distances entre des points
fixes dans l’un des fils et d’autres points également fixes dans l’autre
fil ; mais alors un de ces fils, supposé immobile, né pourrait qu’amener
l’autre dans la situation d’équilibre où l’intégrale des forces vives,
qui s’obtient toujours en fonctions des coordonnées des points du fil
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 141
mobile quand les forces sont fonctions des distancés, atteindrait sa
valeur maximum. Jamais de telles forces ne pourraient produire un
mouvement de rotation dont la vitesse allât toujours en augmentant
dans le même sens, jusqu’à ce que cette vitesse devînt constante, à
cause des frottements, ou de la résistance du liquide dans lequel il faut
que plongent les conducteurs mobiles pour maintenir les communications.
Or, j’ai obtenu ce mouvement de rotation en faisant agir un
conducteur spiral, formant à peu près un cercle, sur un fil conducteur
rectiligne, tournant autour d’une de ses extrémités située au centre du
cercle, tandis que son autre extrémité se trouvait assez près du conducteur
spiral.

Cette expérience, où le mouvement est très rapide et peut durer plusieurs
heures, quand on emploie une pile assez forte, est en contradiction
manifeste avec la manière de voir de M. Biot ; et si elle ne l’est
pas avec l’opinion que l’action de deux fils conducteurs résulte des
forces attractives et répulsives inhérentes aux molécules des deux
fluides électriques, c’est que ces molécules ne restent pas circonscrites
j comme celles dont on suppose composés les deux fluides
magnétiques, dans des espaces très petits où leur distribution est
déterminée par une cause permanente, mais qu’au contraire elles
parcourent toute la longueur de chaque fil par une suite de compositions
et de décompositions, qui se succèdent à de très courts intervalles
: d’où il"peut résulter, comme je l’ai déjà observé, des mouvements
toujours continus dans le même sens, incompatibles avec ià
supposition que les points d’où émanent les forces attractives et répulsives
ne changent point de lieu dans les fils.

Enfin, M. Biot répète dans la troisième édition de son Traité élémentaire
de physique (tome II, page 773) , ce qu’il avait déjà dit dans la
note qu’il publia, dans les Annales de chimie et de physique, sur les
premières expériences relatives au sujet dont nous nous occupons,
qu’il a faites avec M. Savart, savoir : que quand un élément de fil
eonjonctif très fin indéfini agit sur une molécule magnétique, « la
nature de son action est la même que celle d’une aiguille aimantée
qui serait placée sur le contour du fil dans un sens déterminé et
toujours constant par rapport à la direction du courant voltaïque. »
Cependant l’action de cette aiguille sur une molécule magnétique est
dirigée suivant la même droite que la réaction de la molécule sur
l’aiguille, et il est d’ailleurs aisé de voir que la force qui en résulte est
142 THÉORIE MATHÉMATIQUE
en raison inverse du cube, et non pas du carré de la distance, comme
M. Biot a trouvé lui-même qu’est celle de l’élément du fil.
, Il me reste maintenant à étendre à l’action mutuelle de deux circuits
fermés, de grandeurs et de formes quelconques, les considérations
relatives aux surfaces terminées par ces circuits et dont les points
agissent comme ce qu’on appelle des molécules de fluide austral et de
fluide boréal, que j’ai précédemment appliquées à l’action mutuelle
d’un circuit fermé quelconque et d’un élément de fil conducteur. J’ai
trouvé que l’action de l’élément o ?V sur les deux surfaces terminées
par le contour s, était exprimée par les trois forces

appliquées à chacun des éléments ds de ce contour, je vais mainte^
nant faire à l’égard du circuit s’, ce que j’ai fait alors à l’égard du .circuit
s. Concevons pour cela une nouvelle surface terminée de tous
côtés, comme lasurface cr', parla courbe fermée s’, et qui soit telle
que les portions des normales de la surface <*' comprises enty© elle et
cette nouvelle surface, soient partout très petites. Supposons, sur la
nouvelle surface, du fluide de l’espèce contraire à celui d© la surface
i'} de manière qu’il y ait les mêmes quantités des j&eux fluides
dans les parties correspondantes des deux surfaces. En désignant par
 ?', V » K'r les angles que la normale au point m’, dont Jes coordonnées
sont x', y', z', forme avec les trois axes, et par H la petite portion de
cette normale qui est comprise entre les deux Surfaces, nous pourrons,
comme nous l’avons fait pour l’élément dV, ramener l’action
de l’élément de la nouvelle surface qui est représenté par d’à-', sur
l’ensemble des deux surfaces terminées par le contour s, à des
forces appliquées, comme on l’a vu, page 319, aux divers éléments
de ce contour ;, celle qui est relative à l’élément ds et parallèle aux a ;
s’obtiendra en substituant dans l’expression que nous avons trouvée
pour cette force

ou
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 143
les nouvelles coordonnées x'+h'cosÇ, y1 -{• h'cosr{,, z'-{- h'.cosK'h
la place de x', y 1, z'. Comme les forces ainsi obtenues agissent en sens
contraire des premières, il faut les en retrancher, ce qui se réduit, lorsqu’on
néglige dans le calcul les puissances de h supérieures à la première,
à différentier

eh faisant varier x', if, z', remplaçant oV, 8^', 8z' par A'cosÇ',
h'cosrfy h'cosÇ', et changeant le signe du résultat, tandis que x, y,
z\ et dx, ày, àz, doivent être considérées comme des constantes
puisqu’elles appartiennent à l’élément d s.

La formule dans laquelle on doit substituer h' cos S’, h'cosVi
CosÇ' à Sic’, 8y', 8z', est donc

qu’il faut intégrer après cette substitution dans toute l’étendue de la
surface <r' pour avoir l’action totale de cette surface et de celle qui lui
est jointe sur l’assemblage des deux surfaces terminées par le contour
s. On peut faire cette double intégration séparément sur chacun
des deux termes dont cette expression se compose. Exécutons d’abord
celle qui est relative au premier terme

Pour cela, décomposons la surface <x' en une infinité de zones infiniment
étroites par une suite de plans perpendiculaires au plan des xz
menés par la coordonnée y du milieu o de l’élément ds. Nous prendrons,
sur une de ces zones, pour dV l’élément de la surface <r' qui
a pour expression

et nous aurons alors à intégrer la quantité
144 THÉORIE MATHÉMATIQUE
qui se changera,.par une transformation toute semblable à celle que
nous avons employée plus haut relativement à

en celle-ci

En supposant, comme nous l’avons fait pour la surface <r, que les
quantités H, e' varient ensemble de manière que leur produit conserve
une valeur constante g, on intégrera cette dernière expression,
en supposant l’angle % constant, dans-toute la longueur de la zone
renfermée sur la surface o-' entre les deux plans qui comprennent
l’angle d’% depuis l’un des bords du contour s’ jusqu’à l’autre. Cette
première intégration s’effectue immédiatement et donne … ■
i\, vx et r8, vt représentant les valeurs de r et de v pour les deux bords
du contour s’. Les deux parties de cette expression doivent maintenant
être intégrées par rapport h.% respectivement dans les deux portions
du contour s’ déterminées par les deux plans tangents à ce contour
menés par l’ordonnée y de l’élément dis ; et d’après la remarque
que nous avons faite, page 317, à l’égard de la valeur de la force parallèle
aux x dans le calcul relatif aux deux surfaces terminées par le
contour s, il est aisé de voir qu’on a ici

en prenant cette intégrale dans toute 1 étendue du contour fermes ;
les variables r, v et % n’étant plus relatives qu’à ce contour.

On exécutera de la même manière la double intégration de l’autre
terme qui est égal à

dans toute l’étendue de la surface a-' ; Il faudra, pour cela, diviser cette
surface en une infinité de zones, par des plans menés par la coor-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 145
donnée z du milieu de l’élément ds, et prendre ', sur l’une de ces
zones, pour dV l’aire infiniment petite qui a pour expression
——=r^. La formule, après avoir été transformée comme la précédente,
s’intégrera d’abord dans toute la longueur de la zone ; l’intégrale
nô renfermera alors que des quantités relatives au contour s’.
Ensuite la seconde intégration faite par rapport à <]> dans l’étendue du
contour fermé s’, donnera

Rassemblant enfin les deux résultats obtenus par ces doubles intégrations,
on aura

pour la valeur de la force parallèle aux x, dont la direction passe par
le milieu de l’élément ds, et qui provient de l’action des deux surfaces
terminées par le contour s’ sur les deux surfaces terminées par
le contour s.
On aura de même, parallèlement aux deux autres axes, les forces

Ainsi, en supposant appliquées à chaque élément ds du contour s les
forces que nous venons de déterminer, on aura l’action qui résulte
des attractions et répulsions des deux fluides magnétiques, répandus
et fixés sur les deux assemblages de surfaces terminées par les deux
contours s, s’.

Mais ces forces appliquées aux éléments ds ne diffèrent que par le
signe de celles que nous avons obtenues page 106, pour l’action des
deux circuits s, s’, en les supposant parcourus par des courants électriques,
pourvu qu’on ait pgg' = - U'. Cette différence vient de ce que

dans le calcul qui nous a les données, les différentielles d’y, d’%, d’ >Ji
ont été supposées de même signe que les différentielles dç, d%, d’il,
tandis qu’elles doivent être prises avec des signes contraires quand
les deux courants se meuvent dans le même sens ; alors les forces
1.9146 THÉORIE MATHÉMATIQUE
produites par l’action mutuelle de ces courants sont précisément les
mêmes que celles qui résultent de l’action des deux surfaces o-' sur
les deux surfaces <x, et il est ainsi complètement démontré que l’action
mutuelle de deux circuits solides et fermés, parcourus par des
courants électriques, peut être remplacée par celle de deux assemblages
composés chacun de surfaces ayant pour contours ces deux circuits,
et sur lesquelles seraient fixées des molécules de fluide austral et de
fluide boréal, s’attirant et se repoussant suivant les droites qui. les
joignent, en raison inverse des carrés des distances. En combinant ce
résultat avec cette conséquence rigoureuse du principe général de laconservation
des forces vives, déjà rappelée plusieurs fois dans ce
Mémoire, que toute action réductible à des forces, fonctions des distances,
agissant entre des points matériels formant deux systèmes
solides, l’un fixe, l’autre mobile, ne peut jamais donner lieu à un
mouvement qui soit indéfiniment continu, malgré les résistances et
les frottements qu’éprouve le système mobile, nous eh conclurons,
comme nous l’avons fait quand il s’agissait d’un aimant et d’un circuit
voltaïque solide et fermé, que cette sorte de mouvement ne peut
jamais résulter de Vaction mutuelle de deux circuits solides et fermés.
Au lieu de substituer à chaque circuit deux surfaces très voisines
recouvertes l’une de fluide austral et l’autre de fluide boréal, ces
fluides étant distribués comme il a été dit plus haut, on pourrait
remplacer chaque circuit par une seule surface sur laquelle seraient
uniformément distribués des éléments magnétiques tels que les a définis
M. Poisson, dans le Mémoire lu à l’Académie des Sciences, le
2 février 1824.

L’auteur de ce Mémoire, en calculant les formules par lesquelles
il a fait rentrer dans le domaine de l’analyse toutes les questions
relatives à l’aimantation des corps, quelle que soit la cause qu’on
lui assigne, a donné (1) les valeurs des trois forces exercées par un
élément magnétique sur une molécule de fluide austral ou boréal ;
ces valeurs sont identiques à celles que j’ai déduites de ma formule,
pour les trois quantités A, B, C, dans le cas d’un très petit circuit
fermé et plan, lorsqu’on suppose que les coefficients constants sont
les mêmes, et il est aisé d’en conclure un théorème d’après lequel
on voit immédiatement :
(1) Mémoire sur la théorie du magnétisme, par M. Poisson, p. 22.DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 147
1* Que l’action d’un sôlénoïde électro-dynamique, calculée d’après
ma formule, est, dans tous les cas, la même que celle d’une série
d’éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformément
le long de la ligne droite ou courbe qu’entourent tous les
petits circuits du sôlénoïde, en donnant, à chacun de ses points,
aux axes des éléments, la direction même de cette ligne ;

2° Que l’action d’un circuit voltaïque solide et fermé, calculée de
même d’après ma formule, est précisément celle qu’exerceraient des
éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformément
sur une surface quelconque terminée par ce circuit, lorsque les axes
des éléments magnétiques sont partout normaux à cette surface.

Le même théorème conduit encore à cette conséquence, que si l’on
conçoit une surface renfermant de tous côtés un très petit, espace ;
qu’on suppose, d’une part, des molécules de fluide austral et de fluide
boréal en quantités égales distribuées sur cette petite surface, comme
elles doivent l’être pour qu’elles constituent l’élément magnétique tel
que l’a considéré M. Poisson, et, d’autre part, la même surface recouverte
de courants électriques, formant sur cette surface de petits
circuits fermés dans des plans parallèles et ëquidistants, et qu’on calcule
l’action de ces courants d’après ma formule, les forces exercées,
dans les deux cas, soit sur un élément de fil conducteur, soit sur une
molécule magnétique, sont précisément les mêmes, indépendantes de
la forme de la petite surface, et proportionnelles au volume qu’elle
renferme, les axes des éléments magnétiques étant représentés par la
droite perpendiculaire aux plans des circuits.'

L’identité de ces forces une fois démontrée, on pourrait considérer
comme n’en étant que de simples corollaires, tous les résultats que
j’ai donnés dans ce Mémoire, sur la possibilité de substituer aux
aimants, sans changer les effets produits, des assemblages de courants
électriques formant des circuits fermés autour de leurs particules. Je
pense qu’il sera facile au lecteur de déduire cette conséquence, et le
théorème sur lequel elle repose, des calculs précédents ; je l’ai d’ailleurs
développée dans un autre Mémoire où j’ai discuté en même
temps, sous ce nouveau point de vue, tout ce qui est relatif à l’action
mutuelle d’un aimant et d’un conducteur voltaïque.

Pendant que je rédigeais celui-ci, M. Arago a découvert un nouveau
genre d’action exercée sur les aimants. Cette découverte, aussi importante
qu’inattendue, consiste dans l’action mutuelle qui se développe

entre un aimant et un disque ou anneau d’une substance quelconque,
dont la situation relative change continuellement. M. Arago ayant eu
l’idée qu’on devait pouvoir, dans cette expérience, substituer un
conducteur plié en hélice au barreau aimanté, m’engagea à vérifier
Cette conjecture par une expérience dont le succès ne pouvait guère
être douteux. Les défauts de-l’appareil avec lequel j’essayai de constater
l’existence de cette action dans les expériences que je fis avec
M. Arago, nous empêchèrent d’obtenir un résultat’ décisif ; mais
M. Colladon ayant bien voulu se charger de disposer plus convenar
blement l’appareil dont nous nous étions servis, j’ai vérifié avec lui
de la manière la plus complète, aujourd’hui 30 août 1826, l’idée de
M. Arago, en faisant usage d’une double hélice très courte, dont les
spires avaient environ deux pouces de diamètre.

Cette expérience complète l’identité des effets produits, soit par des
aimants, soit par des assemblages de circuits voltaïques solides et
fermés (1)  ; elle achève de démontrer que la série de décompositions

(1) 11 semble d’abord que cette identité ne devrait avoir lieu qu’à l’égard des
circuits voltaïques fermés d’un très petit diamètre ; mais il est aisé de voir
qu’elle alieu aussi pour les circuits d’une grandeur quelconque, puisque nous
avons vu que ceux-ci peuvent être remplaces par des éléments magnétiques
distribués uniformément sur des surfaces terminées par ces circuits, et qu’on
peut multiplier à volonté le nombre des surfaces que circonscrit un même
circuit. L’ensemble de ces surfaces peut être considéré comme un faisceau
d’aimants équivalents au circuit. La même considération prouve que sans rien
changer aux forces qui en résultent, il est toujours possible de remplacer les
très petits courants électriques qui entourent les particules d’un barreau
aimanté, par des courants électriques d’une grandeur finie, ces courants formant
des circuits fermés autour de l’axe du barreau quand ceux des particules
sont distribués symétriquement autour de cet axe. Il suffit pour cela de concevoir
dans ce barreau des surfaces, terminées à celle de l’aimant, qui coupent
partout à angles droits les lignes d’aimantation, et qui passent par les éléments
magnétiques qu’on peut toujours supposer situés aux points où ces lignes sont
rencontrées par les surfaces. Alors, si tous les éléments d’une même surface se
trouvaient égaux en intensité sur des aires égales, ils devraient être remplacés
par un seul courant électrique parcourant la courbe formée par l’intersection
de cette surface et de celle de l’aimant ; s’ils vai'iaient en augmentant d’intensité
de la surface a l’axe de l’aimant, il faudrait leur substituer d’abord un courant"
dans cette intersection tel qu’il devrait être d’après l’intensité minimum des
courants particulaires de la surface normale aux lignes d’aimantation que -l’-on
considère, puis, a chaque ligne circonscrivant les portions de cette surface où
les petits courants deviendraient plus intenses, on concevrait un nouveau cou-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES i-49
et de recompositions du fluide neutre, qui constitue le courant électrique,
suffit pour produire, dans ce cas comme dans tous les autres,
les effets qu’on explique ordinairement par l’action de deux fluides
différents de l’électricité, et qu’on désigne sous les noms de fluide
austral et de fluide boréal.

Après avoir longtemps réfléchi sur tous ces phénomènes et sur
l’ingénieuse explication que M. Poisson a donnée dernièrement du
nouveau genre d’action découvert par M. Arago, il me semble que ce
qu’on peut admettre de plus probable dans l’état actuel de la science,
se compose des propositions suivantes :

1° Sans qu’on soit autorisé à rejeter les explications fondées sur la
réaction de l’éther mis en mouvement par les courants électriques,
rien n’oblige jusqu’à présent d’y avoir recours.:

2° Les molécules des deux fluides électriques, distribuées sur la
surface des corps conducteurs, sur la surface ou dans l’intérieur des
corps qui ne le sont pas, et restant aux points de ces corps où elles
se trouvent, soit en équilibre dans le premier cas, soit parce qu’elles
y sont retenues dans le second par la force coercitive des corps non
conducteurs, produisent, par leurs attractions et répulsions réciprorant

concentrique au précédent, et tel que l’exigerait la différence d’intensité
des courants adjacents, les uns en dehors, les autres en dedans de cette ligne. ;
si l’intensité des courants particulaires allait en diminuant de la surface à l’axe
du barreau, il faudrait concevoir, sur la ligne de séparation, un courant concentrique
au précédent, mais allant en sens contraire ; enfin, une augmentation
d’intensité qui succéderait à cette diminution, exigerait un nouveau courant
concentrique dirigé comme le premier. -

Je ne fais, au reste, ici cette remarque que pour ne pas omettre une conséquence
remarquable des résultats obtenus dans ce Mémoire, et non pour en
.déduire quelques probabilités en faveur de la supposition que les courants électriques
des aimants forment des circuits fermés autour de leurs axes. Après
avoir d’abord hésité entre celte supposition et l’autre manière de concevoir ces
courants, en les considérant comme entourant les particules des aimants ;• j’ai
reconnu, depuis longtemps, que celte dernière était là plus conforme à l’ensemble
des faits, et je n’ai point changé d’opinion à cet égard.

Celte conséquence est d’ailleurs utile en ce qu’elle rend la similitude des
actions produites, d’une part par une hélice électro-dynamique, de l’autre par
un aimant, aussi complète, sous le point de vue de la théorie, qu’on la trouve
quand on consulte l’expérience, et en ce qu’elle justifie les explications où l’on
substitue, comme je l’ai fait dans celle que j’ai donnée plus haut du mouvement
de révolution d’un aimnnt flottant, un seul circuit fermé à l’aimant que
l’on considère. .'..'./,: , ' ..
150 THÉORIE MATHÉMATIQUE
quement proportionnelles aux carrés des distances, tous les phénomènes
de 1' électricité ordinaire.

3" Quand les mêmes molécules sont en mouvement dans les fils,
conducteurs, qu’elles s’y réunissent en fluide neutre et s’y séparent à
chaque instant, il résulte de leur action mutuelle des forces qui dépendent
d’abord de la durée des périodes extrêmement courtes comprises
entre deux réunions ou deux séparations consécutives, ensuite
des directions suivant lesquelles s’opèrent ces compositions et décompositions
alternatives du fluide neutre. Les forces ainsi produites sont
constantes dès que cet état dynamique des fluides électriques dans les
fils conducteurs est devenu permanent ; ce sont elles qui produisent
tous les phénomènes d’attraction et de répulsion que j’ai découverts
entre deux de ces fils.

4° L’action dont j’ai reconnu l’existence, entre la terre et les conducteurs
voltaïques, ne permet guère de douter qu’il existe des courants ;
semblables à ceux des fils conducteurs, dans l’intérieur de
notre globe. On peut présumer que ces courants sont la cause de la
chaleur qui lui est propre ; qu’ils ont lieu principalement là ou la
couché oxydée qui l’entoure de toute part repose sur un noyau métallique,
conformément à l’explication que sir H. Davy a donnée des
volcans, et que ce sont eux qui aimantent les minerais magnétiques
et les corps exposés dans des circonstances convenables à l’action
électro-dynamique de la terre. Il n’existe cependant, et ne peut exister,
d’après l’identité d’effets expliquée dans la note précédente, aucune
preuve sans réplique que les courants terrestres ne sont pas
seulement établis autour des particules du globe.

5° Le même état électro-dynamique permanent consistant dans une
série de décompositions et de recompositions du fluide neutre qui a
lieu dans les fils conducteurs, existe autour des particules des corpsaimantés,
et y produit des actions semblables à celles qu’exercent ces
fils. .

6° En calculant ces actions d’après la formule qui représente celle
de deux éléments de courants voltaïques, on trouve précisément,
pour les forces.qui en résultent, soit quand un aimant agit sur un fil
conducteur, soit lorsque deux aimants agissent l’un sur l’autre, les
valeurs que donnent les dernières expériences de M. Biot dans le premier
cas, et celles de Coulomb dans le second.

7° Cette identité, purement mathématique, confirme de la manière
la plus complète l’opinion, fondée d’ailleurs sur l’ensemble de tous
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 151
les faits, que les propriétés des aimants sont réellement dues au
mouvement continuel des deux fluides électriques autour de leurs
particules.

8° Quand l’action d’un aimant, ou celle d’un fil conducteur, établit
ce mouvement autour des particules d’un corps, les molécules d’électricité
positive et d’électricité négative, qui doivent se constituer dans
l’état électro-dynamique permanent d’où résultent les actions qu’il
exerce alors, soit sur un fil conducteur, soit sur un corps aimanté, ne
peuvent arriver à cet état qu’après un temps toujours très court, mais
qui n’est jamais nul, et dont la durée dépend en général de la résistance
que le.corps oppose au déplacement des fluides électriques qu’il
renferme. Pendant ce déplacement, soit avant d’arriver à un état de
mouvement permanent, soit quand cet état cesse, elles doivent exercer
des forces qui produisent probablement les singuliers effets que
M. Arago a découverts. Cette explication n’est, au reste, que celle de
M. Poisson, appliquée à ma théorie, car un courant électrique formant
un très petit circuit fermé agissant précisément comme deux molécules,
l’une de fluide austral, l’autre de fluide boréal, situées sur son
axe, de part et d’autre du plan du petit courant, a des distances de ces
plans égales entre elles, et d’autant plus grandes que le courant électrique
a plus d’intensité, on doit nécessairement trouver les mêmes
valeurs pour les forces qui se développent, soit lorsqu’on suppose
que le courant s’établit ou cesse d’exister graduellement, soit quand
on conçoit que les molécules magnétiques, d’abord réunies en fluide
neutre, se séparent, en s’éloignant successivement à des distances
de plus en plus grandes, et se rapprochent ensuite pour se réunir de
nouveau.

Je crois devoir observer en finissant ce Mémoire, que je n’ai pas
encore eu le temps de faire construire les instruments représentés
dans la figure 4 de la planche première et dans la figure 20 de la
seconde planche. Les expériences auxquelles ils sont destinés n’ont
donc pas encore été faites ; mais, comme ces expériences ont seulement
pour objet de vérifier des résultats obtenus autrement, et qu’il
serait d’ailleurs utile de les faire comme une contre-épreuve de celles
qui ont fournî ces résultats, je n’ai pas cru devoir en supprimer la
description.
152 THÉORIE MATHÉMATIQUENotesCONTENANT
QUELQUES NOUVEAUX DÉVELOPPEMENTS SUR DES OBJETS TRAITÉS
DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT

I. Sur la manière de démontrer par les quatre cas d’équilibre exposés
au commencement de ce Mémoire, que la valeur de Faction mutuelle
de deux éléments de fils conducteur est

En suivant l’ordre des transformations que j’ai successivement fait
subir à cette valeur, on trouve d’abord, en vertu des deux premiers
cas d’équilibre, qu’elle est

on déduit du troisième, entre n et k, la relation n-{- stk = \, et du

quatrième n = 2, d’où k =— - ; ce quatrième cas d’équilibre est alors

celui qu’on emploie en dernier lieu à la détermination de la valeur de
la force qui se développe entre deux éléments de fils conducteurs :
mais on peut suivre une autre marche en partant d’une considération
dont s’est servi M. de Laplace, quand il a conclu des premières expériences
de M. Biot sur l’action mutuelle d’un aimant et d’un conducteur
rectiligne indéfini, que celle qu’un élément de ce fil exerce sur un
des pôles de l’aimant est en raison inverse du carré de leur distance,
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 153
lorsque cette distance change seule de valeur et que l’angle compris
entre la droite qui la mesure et la direction de l’élément reste le
même. En appliquant cette considération à l’action mutuelle de deux
éléments de fils conducteurs, il est aisé de voir, indépendamment de
toute recherche préliminaire sur la valeur de la force qui en résulte,
que cette force est aussi réciproquement proportionnelle au carré de
la distance quand elle varie seule et que les angles qui déterminent
la situation respective des deux éléments n’éprouvent aucun changement.
En effet, d’après les considérations développées au commencement
de ce Mémoire, la force dont il est ici question est nécessairement
dirigée suivant la droite r, et a pour valeur

d’où il suit qu’en nommant a, (3, y, les angles que cette droite forme
avec les trois axes, ses trois composantes seront exprimées par

et les trois forces parallèles aux trois axes qui en résultent entre deux
circuits par les doubles intégrales de ces expressions, i et i ! étant des
constantes.

Or il suit du quatrième cas d’équilibre, en remplaçant les trois cercles
par des courbes semblables quelconques dont les dimensions homologues
soient en progression géométrique continue, que ces trois
forces ont des valeurs égales dans deux systèmes semblables ; il faut
donc que les intégrales qui les expriment soient de dimension-nulle
relativement à toutes les lignes qui y entrent, d’après la remarque
de M. de Laplace que je viens de rappeler, et qu’il en soit par conséquent
de même des différentielles dont elles se composent, en comprenant
ds et ds’ parmi les lignes qui y entrent, parce que le nombre
de ces différentielles,, quoique infini du second ordre, doit être considéré
comme le même dans les deux systèmes.

Or le produit ds ds’ est de deux dimensions : il faut donc que f(r,
8, 8', w) cosa, /( ?', 8, 8', w) cos$, f(r, 8, 8', w) cosy soient de la dimension—a
 ; et comme les angles 8, 8', w, a, (î, y sont exprimés par des
nombres qui n’entrent pour rien dans les dimensions des valeurs des
différentielles, et que f{r, 6, 6', « ) ne contient que la seule ligne r, il
20
faut nécessairement que cette fonction soit proportionnelle à -7, en

sorte que la force qu’exercent l’un sur l’autre deux éléments de fils
conducteurs est exprimée par

Les deux premiers cas d’équilibre déterminent ensuite la fonction y) 
où A seul reste inconnu, et l’on a

pour la valeur de la force cherchée : c’est, comme on sait, sous cette
forme que je l’ai donnée dans le Mémoire que j’ai lu à l’Académie le
4 décembre 1820. En remplaçant alors sinô sine' cosw, et cosô cos8' par
leurs valeurs

il vient

et en faisant pour abréger k -f- 1 = m, on a pour la valeur de la force
cherchée cette expression très simple

Il ne reste plus alors qu’à déterminer m d’après le cas d’équilibre qui
démontre que la somme des composantes des forces qu’exerce un fil
conducteur sur un élément, prises dans la direction de cet élément,
est toujours nulle quand le fil conducteur forme un circuit fermé. Ce
cas d’équilibre, que j’ai considéré dans ce Mémoire comme le troisième,
doit l’être alors comme le quatrième, puisqu’il est le dernier
qu’on emploie dans la détermination complète de la force cherchée.

En remplaçant d’r par — cos6'ds’dans la valeur

de la force que les deux éléments exercent Pun sur l’autre, on a, pour
sa composante, dans la direction de l’élément ds’,

dont % faut que l’intégrale relative aux différentielles qui dépendent
de djs soit nulle toutes les fois que la courbe s est fermée ; mais il est
aisé de voir, en intégrant par parties, qu’elle est égale à

La première partie de cette valeur s’évanouit quand la courbe s est
fermée, parce qu’alors rt = 'r1, cos8's = cos8i, à l’égard de là seconde
on démontre facilement, comme nous l’avons fait, page 26, que

/ • Î— ne peut s’évanouir, quelle que soit la forme de la courbe.

fermée s ; il faut dont qu’on ait a m — i = o, m = -, et que la valeur
de la force due à l’action mutuelle des deux éléments ds, ds’ soit

II. Sur une transformation propre à simplifier le calcul de Faction
mutuelle de deux conducteurs rectilignes.

Quand les deux conducteurs sont rectilignes, l’angle formé par les
directions des deux éléments est constant et égal à celui des directions
mêmes des deux conducteurs  ? il est donc censé connu, et en le
désignant par e, on a, page 24,
156 THÉORIE MATHÉMATIQUE
d’où il suit que

En désignant par p un autre exposant quelconque, on a de même
d ?' d/
et, en éliminant —5— entre ces deux équations, on obtient

d’où

En substituant -km dans cette équation, et en multipliant les deux

membres de celle qui résulte de cette substitution par — U', on a la
valeur de l’action de deux éléments de fils conducteurs transformée
ainsi

et l’on peut, dans cette expression, assigner kp la valeur que l’on veut.
Celle qui donne un résultat plus commode pour le calcul est p = — 1,
en l’adoptant, il vient

J’ai déjà trouvé d’une autre manière, page 61, cette expression de la
force qu’exercent l’un sur l’autre deux éléments de fils conducteurs ;
on ne peut l’employer, pour simplifier les calculs, que quand les conducteurs
sont rectilignes, parce que ce n’est qu’alors que l’angle e est
constant et connu ; mais dans ce cas, c’est elle qui donne de la
manière la plus simple les valeurs des forces et des moments de
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 157
rotation qui résultent de l’action mutuelle de deux conducteurs de
ce genre. Si j’ai employé dans ce Mémoire d’autres moyens de calculer
ces valeurs, c’est qu’à l’époque où je l’ai écrit je ne connaissais
pas encore cette transformation de ma formule.

III. Sur la direction de la droite désignée dans ce Mémoire sous le nom
de directrice de l’action électro-dynamique à un point donné,
lorsque cette action est celle d’un circuit fermé et plan dont toutes
les dimensions sont très petites.

La droite que j’ai nommée directrice de Faction électro-dynamique à
unpoint donné est celle qui forme avec les trois axes des angles dont
les cosinus sont respectivement proportionnels aux trois quantités
A, B, C dont les valeurs, trouvées à la page 40, deviennent

quand on substitue à n le nombre 2 auquel n est égal ; si donc on
suppose le petit circuit d’une forme quelconque situé comme il l’est
(P. I, fig. 14) , c’est-à-dire qu’après avoir placé l’origine A des coordonnées
au point donné, on prenne pour l’axe des z la perpendiculaire
AZ abaissée du point A sur le plan du petit circuit, et pour le
plan des xz celui qui passe par cette perpendiculaire et par le centre
d’inertie O de l’aire LMS auquel se rapportent les x, y, z qui entrent
dans les valeurs de A, B, C, il est évident qu’on aura y = 0,
qz=z,l = n = ~, K = o, et que ces valeurs se réduiront par conséquent
à

parce que ~rl = xi -\- z*. B étant nul, la directrice AE est nécessairement
dans le plan des xz déterminé comme nous venons de le dire.
La tangente de l’angle EAX. qu’elle forme avec l’axe des x est évi-
 ;15]8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
demment égale à T-I c’est-à-dire à —* : et comme celle de
D A Sxz

l’angle OAX l’est à -, on trouvera pour la valeur de la tangente
de OAE

d’où il suit que si l’on prend OB — ^ OA, et qu’on élève sur OA au

point B un,plan perpendiculaire à AO qui rencontre en D la normale
OC au plan du petit circuit, la droite ADE menée par les points A, D,
sera la directrice de l’action exercée au point A par le courant électrique
qui le parcourt, puisqu’on aura

et

Cette construction donne de la manière la plus simple la direction de
la droite AÈ suivant laquelle nous avons vu que le pôle d’un aimant
placé en A serait porté par l’actiou de ce courant. Il est à remarquer
qu’elle est située à l’égard du plan LMS du petit circuit qu’il décrit,
de même que la direction de l’aiguille d’inclinaison l’est en général à
l’égard de l’équateur magnétique ; car le point O étant considéré
comme le centre de la terre, le plan OAG comme celui du méridien
magnétique, et la droite AE comme la direction de l’aiguille d’inclinaison,
il est évident que l’angle OAE compris entre le rayon terrestre
OA et la direction AE de l’aiguille aimantée est le complément
de l’inclinaison, et que l’angle GOA est le complément de la latitude
magnétique LOA ; l’équation précédente devient ainsi

ou

IV. Sur la valeur de la force qu’un conducteur angulaire indéfini
exerce sur le pôle d’un petit aimant.

Soit que l’on considère le pôle B (P. II, fig. 34) du petit aimant AB
comme l’extrémité d’un sôlénoïde électro-dynamique ou comme une
molécule magnétique, on est d’accord, dans les deux manières de
voir, à l’égard de l’expression de la force exercée sur ce pôle par
chaque élément du conducteur angulaire CMZ : on convient généralement
qu’en abaissant du point B sur une de ses branches G[/.M
prolongée vers O la perpendiculaire BO = b, en faisant 0[JL==S !
BM=a, B{A = /', l’angle B[*M = 8, l’angle GMH = BMO = e, et en
désignant par p un coefficient constant, la force exercée sur le pôle B
par l’élément d s situé en [>. est égale à

qu’il s’agit d’intégrer depuis s = OM = a cos e jusqu’à s = c », ou, ce
qui revient au même, depuis 0 = e jusqu’à 8 = 0 : mais, dans le triangle
BOp., dont le côté OB = b .== a sin e, on a

ainsi

dont l’intégrale est

ou, en la prenant entre les limites déterminées ci-dessus,

valeur qu’il suffit de doubler pour avoir la force exercée sur le pôle
B par le conducteur angulaire indéfini CMZ ; cette force, en raison
inverse de BM = a, est donc, pour une même.valeur de a, proportionnelle
à la tangente de la moitié de l’angle CMH, et non à cet angle

lui-même, quoiqu’on prétende que la valeur

de la force exercée par l’élément ds sur le pôleB, ait été trouvée en
analysant par le calcul la supposition que la force produite par le fil
conducteur CMZ était proportionnelle à l’angle CMH. On ne peut
douter qu’il n’y eût quelque erreur dans ce calcul ; mais il serait d’autant
plus curieux de le connaître, qu’il avait pour but de déterminer
la valeur d’une différentielle par celle de l’intégrale définie qui en
résulte entre des limites données, ce qu’aucun mathématicien ne me
paraît, jusqu’à présent, avoir cru possible.

Gomme on ne peut, pas, dans la pratique, rendre les branches
MC, MZ du conducteur angulaire réellement infinies, ni éloigner les
portions du fil dont il est formé qui mettent ces branches en communication
avec les deux extrémités de la pile, à une assez grande
distance du petit aimant AB pour qu’elles n’aient sur lui absolument
aucune action, on ne doit, à la rigueur, regarder la valeur que nous
venons d’obtenir que comme une approximation. Afin d’avoir à
vérifier par l’expérience une valeur exacte, il faut calculer celle
qu’exerce sur le pôle B du petit aimant un fil conducteur PSRMÏSN,
dont les portions SP, SN, qui communiquent aux deux extrémités de
la pile, sont revêtues de soie et tordues ensemble, comme on le voit
en SL, jusqu’auprès de la pile, en sorte que les actions qu’elles
exercent se détruisent mutuellement, et dont le reste forme un
losange SRMT situé de manière que la direction de la diagonale SM
de ce losange passe par le point B. Pour cela, en conservant les dénominations
précédentes et faisant de plus l’angle BRM = 6t, l’angle
BRO' = 8',, la distance B S = a' et la perpendiculaire B O' = U ——a !
sin e parce que l’angle B SO' = — e, on verra aisément que l’action de
la portion RS du fil conducteur sur le pôle B est égale à

comme, à cause de b =. a sin e, on aurait trouvé
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 161
pour celle qu’exerce la portion MR sur le même pôle B, en prenant
l’intégrale précédente depuis 8 = e jusqu’à 9 = 8.,.

En réunissant ces deux expressions et en doublant la somme, on a,.
pour l’action de tout le contour du losange MRST,

Cette expression est susceptible d’une autre forme qu’on obtient en
rapportant la position des quatre angles du losange à deux axes BX,
. B Y menés par le point B parallèlement à ces côtés et qui les rencontrent
aux points D, E, F, G ; si l’on fait B D = BF = g, BE = BG = h,
on aura

et au moyen de ces valeurs, celle de la force exercée sur le pôle B
deviendra

en remplaçant dans les deux derniers termes sin 2 e par sa valeur
2 sin e cos e.

Abaissons maintenant du point D les perpendiculaires DI, DK sur
les droites BM, BR : la première sera évidemment égale à g sine, et
la seconde s’obtiendra en faisant attention qu’en la multipliant par
BR = y/y* + h* + *gh cos 2 e, on a un produit égal au double de la
surface du triangle BDR, c’est-à-dire à g h sin 2 e, en sorte qu’en nommant
pUi et pitt ces perpendiculaires, il vient * •
21162 THÉORIE MATHÉMATIQUE
en abaissant du point E les deux perpendiculaires EU, EV sur les
droites BT, BS, et en les représentant par pitl et p2fi, la première sera
égale à DK à cause de l’égalité des triangles BDR, BET, et la seconde
aura pour valeur h sin s, en sorte que l’expression de la force exercée
par le contour du losange MRST sur le pôle B pourra s’écrire ainsi :

Sous cette forme elle s’applique non seulement à un losange dont

une diagonale est dirigée de manière à passer par le point B, mais à

un parallélogramme quelconque NRST (fig. 44) dont le périmètre est

parcouru par un courant électrique qui agit sur le pôle d’un aimant

situé dans le plan de ce parallélogramme. Il résulte, en effet, de ce

qui aété dit, pages 41 et 81, que l’action de NRST sur le pôle B

est la même que si tous les éléments d ! A dont se compose sa surface

agissaient sur ce pôle avec une force égale à —y- ; d’où il suit qu’en
ods7i
nommant x et y les coordonnées rapportées aux axes BX, BY, et à
l’origine B d’un point quelconque M de l’aire du parallélogramme ce
qui donne

on aura, pour la force totale imprimée au pôle B,

Or nous avons vu, page 73, que l’intégrale indéfinie de

en supprimant la constante - . Quand a est nul, cette quantité se pré-
DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 163
sente sous la forme - ; mais comme l’arc doit être alors remplacé par
sa tangente, le facteur nul a sin e disparaît, et l’on a

qu’il est aisé de vérifier par la différentiation. On en conclut immédiatement
que l’expression de la force que nous calculons, considérée
comme une intégrale indéfinie, est

en nommant p la perpendiculaire PQ abaissée du point P sur BMj
parce que le double de l’aire du triangle BPM est à la fois égal à
ps/x* + y* ■+■ 2o ;yeos as et à xy Sin 2e, ce qui donne

Il ne reste plus maintenant qu’à calculer les valeurs que prend cette
intégrale indéfinie aux quatre sommets N, R, T, S du parallélogramme,,
et à les ajouter avec des signes convenables ; en continuant
i de désigner respectivement par ;?M, plfi, p2ii, p2>î les perpendiculaires
DI, DK, EU, EV, il est évident qu’on obtient ainsi pour la valeur de
la force cherchée''

La direction perpendiculaire au plan du parallélogramme NRST
suivant laquelle le pôle d’un aimant situé en B est porté par l’action
du courant électrique qui parcourt le contour de ce parallélogramme,
est la directrice de l’action électro-dynamique qu’il exerce au point B :
d’où il suit que s’il y avait à ce point un élément de courant électrique
situé dans le plan du parallélogramme, il formerait un angle droit
avec la directrice, et qu’ainsi l’action de ce courant sur l’élément
serait une force située dans ce plan, perpendiculaire à la direction de
l’élément, et égale à celle que le même courant exercerait sur le pôle
164 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES
d’un aimant placé au point B multipliée par un rapport constant, qui
est ici celui de p à - ii'às, en nommant cet élément ds ; en sorte que
la force ainsi dirigée qui agirait sur l’élément aurait pour valeur

Lorsque l’élément situé en B n’est pas dans le plan du parallélogramme,
mais forme avec ce plan un angle égal à w, on peut le remplacer
par deux éléments de même intensité, l’un dans ce plan,
l’autre qui lui est perpendiculaire : l’action du courant du parallélogramme
sur ce dernier étant nulle, on ne doit tenir compte que de
celle qu’il exerce sur le premier ; elle est évidemment dans le plan du
parallélogramme, perpendiculaire à l’élément et égale à
FINPilUi. — IMPRIMERIE C. MARPON ET E. FLAMMARION, HUE RACINE,