Mémoire sur quelques nouvelles propriétés des axes permanens de rotation des corps et des plans directeurs de ces axes
Ampère, André-Marie (1775-1836)
Éditeur : Bachelier
Date : 1823


Mémoire sur
QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
Des axes permanens de rotation des corps et des plans directeurs de ces axes ;
PAR M. AMPÈRE,
Membre de {'Académie royale ides Sciences (Institut de France) , de la Société royale
d’Edimbourg, de h Société Helvétique et de la Société phlIosoplik|ue de Cambridge.A PARIS,DE L’IMPRIMERIE ROYALE.
Chez BACHELIER, successeur de M.™ veuve COURCIER, Libraire,
quai des Augustins , ri." JJ.

1823.
Ce Mémoire a d’abord été imprime dans le recueilde l’Académie royale des Sciences. On trouvera ici descorrections et additions qui me paroissent importantes.A. ampeklMemoireSur quelques nouvelles propriétés des Axes permanentde rotation des corps et des Plans directeurs deces axes ;
Lu à l’Académie royale des Science* le « S Juin I8ii.

DÉNOMINATIONS ADOPTÉES.
JE désignerai, dans ce Mémoire, sous le nom d’axes permaliensde rotation, oii, pour abréger, sous celui d’axes permanens, les lignes situées dans un corps ou menées hors dece corps et iiées invariablement avec lui, de manière qu’onpuisse y déterminer un point tel, qu’en le supposant fixeet en faisant tourner le corps autour de la ligne que l’onconsidère, le mouvement se continue indéfiniment sans queles forces centrifuges qui en résultent tendent à déplacercette ligne. Je nommerai centre de rotation d’un axe permanent le point ainsi déterminé sur cet axe, et je dirai qu’uneligne est axe permanent relativement à un point, quand cepoint sera son centre de rotation.Je réserverai le nom d’axes principaux, qu’on donne ordinairement à tous les axes permanens, pour désigner exclusivement les axes permanens relatifs au centre d’inertie, qui,A*4 mémoire sur quelques nouvelles propriétéscomme on sait, le sont non-seulement par rapport à cecentre, mais encore par rapport à un point quelconque deleur longueur. ' ; M ' ; ^ :J’appellerai plans directeurs des" axés permanens de rotation,ou plus simplement plans directeurs, les plans situés dansun.corps,ou hors de ce corps, de manière qu’on puisse.ydéterminer,un point-tel que toutes les lignes menées par cepoint dans’ le plan soient des axés permanens, en quelquepoint de la longueur de ces axes que soient d’ailleurs placesleurs centres de rotation.Je nommerai centre de convergence d’un plan directeur lepoint ainsi déterminé sur ce plan, et je dirai qu’un planest plan directeur relativement à un point, lorsque ce pointsera son centre de convergence. Comme il sera démontrédans la suite de ce Mémoire que tout plan passant par deuxaxes principaux est un plan directeur relativement à tous lespoints de la surface, et que cette propriété ne peut appartenir à aucun autre plan, je donnerai exclusivement aux plansqui passent ainsi par deux axes principaux, le nom de plansprincipaux. ] * ■. !" ''Oh sait qu’il y a: toujours dans un corps, ; d’après cettemanière d’en désigner les axes et les plans, trois axes principaux et trois plans principaux, et qu’il ne peut y en avoirim plus grand nombre que dans des cas particuliers où cenombre devient infini, et qui ont été discutés depuis longtemps ; en sorte qu’il serait tout-à-fait superflu de les examiner ici.J’adopterai les dénominations de momens d’inertie relatifsà un axe i et de momens d’inertie relatifs à un plan, dansle sens que leur ont donné les auteurs qui ont déjà écrit surce sujet. 1 Je distinguerai eh conséquence les momens d’inertiedes axes principaux, qui, en nommant A-,^,£, les coordonnées relatives à ces axes, sont f{f- -f- if') dm pour l’axeprincipal sur lequel on compte les x ; /(.f'-r-g 1)  d m pourcelui des> y, et f(x * -+•) >* ) dm pour celui des % ; des momensd’inertie des plans principaux, qui sont/.v* dm pour le planprincipal passant par l’axe des/ et l’axe des ç ;fyxdm pource plan principal où se trouvent l’axe des x et celui des y etfZid m pour celui qui contient les deux axes des ,v et des y.La somme du moment d’inertie d’un axe principal et de celuidu plan principal qui lui est perpendiculaire, étant toujourségale à/(.v* -H^-t-g*) dm, le plan perpendiculaire à l’axedont le moment d’inertie est le plus petit, est celui des troisplans principaux dont le moment d’inertie est le plus grand,et réciproquement.Lorsqu’on fait mouvoir un axe permanent ou irn plan directeur, de manière que le centre de rotation du premier oule centre de convergence du second s’éloigne indéfinimentdu centre d’inertie du corps, l’axe ou le pian s’approcheindéfiniment d’une ligne ou d’un plan tellement situé, que,si on les considérait, la ligne comme un axe permanent, leplan comme un plan directeur, on trouverait que le centrede rotation de cette ligne ou le centre de convergence dece plan sont situés à une distance infinie. J’appellerailimites des axes permanens , limites des plans directeurs , leslignes ou les plans qui présentent cette propriété : elles présentent en même temps la plupart de celles des axes permanens ou des plans directeurs, mais non pas toutes ; et cequi fait sur-tout qu’on ne peut comprendre les limites dontnous parlons, les premières parmi les axes permanens, lessecondes parmi les plans directeurs, c’est qu’on peut concevoir, pour les limites des axes permanens, des plans directeurs dans lesquels il existe un centre de convergence deces limites, que toute ligne menée par ce centre dans le plandirecteur est une limite d’axes permanens, et que cependantces plans directeurs des limites des axes permanens n’ont6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
point en général les propriétés des plans directeurs des axespermanens, et diffèrent sur-tout tout-à-fait des limites desderniers plans, teiles que nous les avons définies.Avant-propos.EULER, qui fit une si heureuse application de la considération des axes permanens à la détermination du mouvementd’un corps, soit libre, soit retenu par un point fixe, démontra que par tout point lié invariablement avec le corps,ou pris dans son intérieur, on peut toujours faire passer aumoins trois axes permanens perpendiculaires entre eux, dontles centres de rotation sont placés à ce point, Mais il ne tintpas compte Jcs autres axes permanens qui peuvent passer parle même-point, et dont les centres sont situés à des pointsdifférens de celui que l’on considère ; en général, il ne s’occupapoint de la distribution des axes permanens dans un corps.La théorie des axes permanens se borna à la démonstrationde ce théorème et aux formules par lesquelles, connaissant lesvaleurs des momens d’inertie par rapport aux trois axes principaux, on peut calculer celle du moment d’inertie relatif à unaxe quelconque, jusqu’au mémoire présenté à l’Institut au moisde mai 1811 par M. Binet, tant sur les axes permanens qu’ilnomme axes principaux, que sur une autre sorte d’axes qu’ila considérés le premier et nommés axes conjugues ; ces axessont devenus, dans ses mains, un sujet fécond en résultatsaussi remarquables qu’inattendus, et dont il a déduit entreautres conséquences une théorie complète sur la situation desaxes permanens et la manière dont ils sont distribués dansun corps. J’ai cru cependant qu’on pouvait encore ajouterquelque chose à ce beau travail ; je me propose ici d’exposerle point de vue sous lequel j’ai considéré les axes permanens,et les résultats auxquels j’ai été conduit ; mais je dois d’abord
démontrer quelques formules dues à M, de Lagrange, dont
j’aurai besoin dans le cours de ce Mémoire,

Quand, au lieu des trois coordonnées x,y, g, on en prend
trois autres x', y', i', telles que

il existe entre les neuf cosinus des angles formés par un des
anciens axes avec un des nouveaux, et qui sont représentés
ici par a, a , a", b, b', b", c, c , c", six relations qu’on peut
mettre sous différentes formes : voici une conséquence de ces
relations, que je dois d’abord en déduire parce que j’en aurai
besoin dans des recherches ultérieures. Les six relations étant
mises sous cette forme,

on en tire, en multipliant la première par la seconde et élevant
la quatrième au carré,
On trouverait de mêmeMais, en suivant cette marche, on ne verrait pas commentles signes des deux dernières équations dépendent de celuide la première : c’est ce qu’on voit au contraire en partantpar exemple dequi donnent, d’après les formules des équations du premierdegré,Ainsi le signe de la première équation est arbitraire ; mais,une fois qu’il a été choisi à volonté j il détermine ceux desautres équations, et en outre ceux des équations qui donnentdes valeurs semblables pour b, b', b", a, a !, a". En effet, sil’on substitue, par exemple, les valeurs que nous venons detrouver pourc’ et c" à la place de ces quantités dans cdl—a'c",on trouvetandis qu’en substituant les mêmes valeurs dans a'c" — c’a",on aurait trouvé — h
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. p
On aura donc avecdont la dépendance, relativement aux trois équations quidonnent c, c , c", consiste en ce que, $\a, par exemple, estmultiplié dans les valeurs de c, c’, c", par b et par— b", ille sera par c" et par — c’ dans celles de b, b', b" ; et de mêmepour a et pour. a". Il est aise d’en conclure que pour cesvaleurs de c, c’, c", b, b', b", celles de a, a !, a", serontvaleurs qu’il est d’ailleurs facile de vérifier par des calculssemblables à celui qui nous a donné la valeur de b.CHAPITRE I."Des Axes permanens assujettis à passer par un point donne'.ON peut, en général, faire passer par un point A (i) , prissoit dans un corps, soit hors de ce corps, trois sortes de lignes :i.° Celles qui sont des axes permanens par rapport à cepoint, et qui sont au moins au nombre de trois ;i.c Celles qui ne le sont pas pour ce point, mais pourun autre point de leur longueur ;
(t) Vcytz la figure i à la page 30 de ce Mémoire.
3. 0 Celles qui ne le sont pour aucun point de leur longueur.Les premières sont déterminées par la condition qu’en lesprenant pour axe des %'', chacune à son tour,/ x' z' dm etS y' Z dm soient nulles ; les secondes par cette autre condition, que les mêmes quantités, n’étant pas nulles pour le pointA, le soient pour un point O qui s’en trouve à une distancer=r, sur la ligne que l’on considère, en sorte queet la, condition cherchée est exprimée parComme on peut toujours prendre pour axes des-A-' et des y'deux droites perpendiculaires à cette ligne et rectangulairesentre elles, dans des directions telles, qu’outre les deux équations ci-dessus, on ait de plus/.v'y dmz=z o, la ligne passant par le point A,qui satisfera à la condition précédente,sera un axe permanent relativement au point O déterminépar la condition A 0 — r, puisqu’on aura pour ce pointOn voit en même temps, par ces formules, pourquoi, quandle point A est le centre d’inertie, il n’y a que deux sortes delignes qui puissent y passer ; car alors/x'd mzzo,fyd« =o,ce qui donneen sorte que si la ligne est un axe permanent pour le point A,elle le sera aussi pour tous les autres points pris sur son cours,
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. II
et que, si elle ne l’est pas pour le point A, elle ne pourra jamais l’être pour aucun de ses points, si ce n’est pour unpoint situé à une distance infinie, puisqualors la valeur générale de r devient infinie.Reste à trouver toutes les lignes qui, passant par un pointA différent du centre d’inertie, satisfont à la conditionSupposons que les axes primitifs des x,y, z> sont les axesprincipaux ; nommons G, H, K, les trois quantités/:** dm,fy* dm,fz%d m ; M, la masse du corps ; X', Y', Z', lescoordonnées dit centre d’inertie relativement au point A etaux axes des .v', y', z ; X, Y, Z, celles du point A relativement au centre d’inertie et aux axes des .v, y, z. Noiaurons, en représentant, comme on le fait ordinairement,par a, a', a", b, b', b", c, c’, c", les cosinus des angles forméspar les deux systèmes,parce que ,v~ X, yz= Y, g^Z, doivent donner *':=:o,y' = o, g' =: o. En substituant ces trois dernières valeursdans les précédentes, on aurait les valeurs connues de x',y',z,en x,y, z »X, Y, Z ; maïs nous conserverons d’abord X', Y', 71,dans celles de x',y', z> pour que le calcul soit moins compliqué. Elles donneront, à cause deles valeurs suivantes :-ce qui change les deux valeurs obtenues précédemment pourr, enPour que ces deux valeurs soient égales, il far' queou, en mettant au lieu de X' et de Y' leurs valeurs et changeant les signes,qui devient, à cause des valeurs de c, c , c", obtenues précédemment,Et si nous représentons par D, D’, D", les trois différencesH — K,K-—G, G— H, entre les quantités G, H, K,prises de manière que chacune de ces quantités entre unefois positivement et une fois négativement dans les deuxdifférences où elle se trouve, en sorte qu’on aitces quantités seront aussi les différences entre les trois momens d’inertie relatifs aux axes principaux ; car, en nommantces momens A, B, G, on a, comme on sait,et l’équation que nous venons d’obtenir prendra cette formeplus simple :Toutes les fois qu’une ligne passant par un point donné A,dont les coordonnées relatives aux trois axes principaux sontX, Y, Z, sera dirigée de manière que les cosinus c, c’, c",des angles qu’elle forme avec ces trois axes, ne satisferontpas à l’équation précédente, elle ne pourra être un axe permanent ; quand, au contraire, cette équation sera satisfaite,la ligne sera nécessairement un axe permanent ou une limited’axe permanent. II est d’ailleurs aisé de reconnaître à quelcaractère on distinguera les axes permanens de leurs limites,eu faisant attention, i.° que cette équation est toujours satisfaite par u lie ligne qui passe par le centre d’inertie ducorps, parce qu’en prenant le point A à ce centre, on aXz=zo> Yz=zo, Z = o, ce qui fait évanouir tous les termesde l’équation ; z,° que quand l’axe des z' passe par le centred’inertie, on a/ x '<//« = o, f y' dmt=zo, et qu’alors, si laligne donnée n’est pas un axe principal, les amnthésfx'z dm,î4 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
f y z* dm, ne sont pas nulles, d’où il suit que les valeursf x' z* d m fy'z'dm ,
■ > ,-j et ~>—r-j— , que nous avons trouvées pour r,fx dm fy'dm *■ , rdeviennent infinies, en sorte que les lignes qui satisfont dansce cas à l’équation sont toutes des limites d’axes permanens.Il est aisé de voir, au reste, que cette propriété leur appartientexclusivement ; ce qui résultera d’ailleurs de la déterminationgénérale de la valeur de ;* que nous donnerons plus bas, cettevaleur ne pouvant devenir infinie que quand la ligne donton cherche le centre de rotation passe par le centre d’inertie.La même équation est encore satisfaite quand la ligne estparallèle à un des axes principaux, ou qu’elle est comprisedans un desstroîs plans rectangulaires qui joignent ces axesdeuxàdeux. En effet, si la ligne est, par exemple, parallèle àl’axe des z> olia r=o, c’zzzo, c"z=: i ; et comme tous lestermes de l’équation de condition contiennent l’un des deuxfacteurs c ou c’, cette équation est satisfaite. Si la mêmeligne est comprise, par exemple, dans le plan des x y, ona c" zzzo etZ:=o, cequi rend encore nul le premier membrede l’équationd’où il suit que les deux sortes de lignes dont nous venons deparler sont toujours des axes permanen ?, ou des limites d’axespermanens ; ce qu’il est d’ailleurs aisé 4e déduire des lois dela distribution des axes permanens d’un corps qu’a donnéesM. Binet dans le Mémoire cité plus haut.On peut aussi écrire l’équation précédente ainsi,et si l’on nomme J fa ligne qui joint le centre d’inertie aupoint donné A ;m, mf, m", les trois cosinus des angles quecette ligne forme avec les trois axes, on auraen sorte que cette équation deviendrad’où il suit que parmi toutes les lignes passant par un pointdonnée différent du centre d’inertie, celles-là seulementsont des axes permanens, ou des limites d’axes permanens,qui sont situées de manière que lorsqu’on divise les trois différencesD, D’, D", entre les momens d’inertie des trois axesprincipaux respectivement parles cosinus des angles qu’ellesforment avec ces trois axes, et qu’on multiplie les quotienspar les cosinus des angles que forme avec les mêmes axes ladroite qui joint le point A et le centre d’inertie, on trouvetrois produits dont la somme est égale à zéro. Une seule deslignes qui satisfont à cette condition est une limite d’axespermanens, c’est celle qui passe à-la-fois par le point donnéet le centre d’inertie.Si l’on nomme u la distance du point A à un point dontles coordonnées soient ,v, y, z, et qui soit pris à volonté surun des axes permanens passant par ce point A, on aural6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
En exécutant les multiplications indiquées, et faisant les réductions qui résultent de l’équationéquation commune à tous les axes permanens qui passentpar le point A ; et comme elle appartient à une surface conique du second ordre , il s’ensuit que c’est sur une surfacede ce genre que se trouvent tous ces axes. Cette surface, dontle sommet est au point A, passe par la ligne qui le joint aucentre d’inertie et qui est la limite de tous les axes permanensqui se trouvent sur cette surface, puisque l’équation est satisfaite quand x=:oty=ot ç:=o. Elle passe aussi par les troisparallèles menées du point A aux trois axes principaux, puisque cette équation l’est aussi, soit qu’on fasse y t=z Y, z =Z, ou .v = X, e = Z, ou enfin .v=: X,y^=. Y ; ce quidoit être, puisque toute parallèle à un des axes principauxest, comme nous venons de le voir, un axe permanent.L’équation commune à toutes les surfaces coniques formées par les axes permanens qui se coupent à leurs sommets,prouve qu’il n’y à pas d’axe permanent parallèle à un planprincipal qui ne le soit à un des axes principaux comprisdans ce plan : car, pour qu’il soit parallèle, par exemple, auplan des x y, il faut que £ = Z, ce qui réduit cette équationà (x—X) (y—K) =o ; en sorte qu’on aura à-la-fois ou £=Zet yz=z Y, et alors l’axe permanent sera parallèle à l’axe des x,ou 2=:Zet xz=zX, et alors il sera parallèle à l’axe des^y.Si l’on fait passer un plan quelconque par la ligne menéeau point A au centre d’inertie, il coupera la surface coniqueen une autre ligne dont la direction se trouve déterminée parune relation très-simple qu’on obtient de la manière suivante iSoient n, n, n" les cosinus des trois angles que forme ce planavec les trois plans coordonnés que nous venons de considérer,ou, ce qui est la même choser-des trois angles que forme,avec les axes des .v, des .y et des z> ^a ligne menée par lépoint A perpendiculairement à ce plan. Comme cette ligneest à-la-fois perpendiculaire à celles dont les cosinus sontrespectivement c, c’, c" et ///, m’, m", on auraCes deux dernières équations donnentj8 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉSc’est-à-dire que ce facteur donne pour une des intersectionsdu plan que nous considérons et de la surface conique laligne qui passe par le point donné et le centre d’inertie, etqui est la limite de tous les axes permanens situés sur cettesurface. L’autre intersection i correspondant à l’autre facteurdéterminera, parmi les axes permanens passant par le pointdonné, celui qui est situé dans ce plan. On aura pour cet axe
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dont deux suffisent pour déterminer la position de l’axe permanent qui, passant par un point donné, se trouve dansun plan donné mené par la ligne qui joint ce point au centred’inertie. Mais un moyen plus simple de déterminer cet axe,puisqu’il doit passer par le point A et doit être situé dansle plan A G M, c’est de prendre la valeur du cosinus del’angle qu’il forme avec la droite menée par les points A etG ; cette valeur estet l’axe permanent A M situé dans ce plan sera représentépar deux des trois équationsQuand le point donné A est dans un des plans principaux,par exemple dans le plan des .v^, on a Z = o et / ;/" = o ;en vertu de cette valeur de ///", l’équationen sorte que la première des trois équations que nous venonsde trouver pour un axe permanent passant par le point A,devientCette équation étant indépendante des angles dont lescosinus sont M,' », « "> qui détermine la position du planG A M, les axes permanens passant par le point A, correspondons aux diverses positions de ce plan, auront touspour projection ' sur le plan des x y une même droite représentée par cette équation, et seront par conséquent dansun même plan perpendiculaire à celui des xy ; mais parmices diverses positions du plan G A M, il s’en trouve uneoù il se confond avec le plan des * y, alors n z=: o, « '= o, »"==: i, et l’équationse trouve ainsi satisfaite d’elle-même ; l’équation l’est aussi, puisqu’elle devientmais, comme on a alors Zr= o, les deux autres équationsdes axes permanens passant par le point A se réduisent àZ = o, en sorte que toutes les lignes menées par ce pointdans le plan des x y sont des axes permanens, et qu’engénéral, lorsque le point donné est dans un des plans principaux , la surface conique qui comprend tous les axes permanens qui y passent se change en deux plans, dont l’unest ce plan principal et l’autre lui est perpendiculaire.Quand on fait ainsi « = o, M * ;= o, n" t=r i, les valeurs
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que nous venons d’obtenir pour c et c’, deviennent —,etcel(ede c" devient nulle, parce que son numérateur contient alorsdeux facteurs égaux à zéro, tandis que le dénominateur commun aux trois valeurs n’en contient qu’un ; ce qui montreque l’axe permanent cherché doit être dans ce plan, maisque sa direction y reste arbitraire, comme nous venons dele voir.Après nous être occupés d’un plan sécant passant par lepoint donné A et le centre d’inertie, il est naturel de considérer le plan passant par ces deux points, qui est tangentà la surface conique. Ce plan s’obtient par la condition queses deux intersections avec la surface se réunissent, c’està-dire qu’on ait, dans les formules précédentes,d’où l’on tirera les valeurs de u, n, M", qui feront connaîtrela direction du plan tangent à la surface conique mené parle centre d’inertie ; l’équation de ce plan estNous avions déjà vu que toute ligne menée dans un desZ% MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
plans principaux est un axe permanent ; il était aisé d’enconclure que, quand le point donné A est dans un de cesplans, toutes les lignes qui y passent et sont situées dans ceplan doivent se trouver sur la surface conique que nousvenons de déterminer, et qu’elle doit alors se réduire à deuxplans, dont l’un est le plan principal qui passe par le pointdonné. C’est aussi ce qu’on peut déduire de son équation ;car, en prenant ce dernier plan pour celui des x y, on aZ := o. et l’équation de la surface conique devientdont le facteur 2=: o représente le plan principal où se trouvele point donné, et l’autre facteur D Xy-\-£>' Yx-i-D" X Y—o,ne renfermant pas z* et ne contenant xet y qu’à la premièrepuissance, représente un plan perpendiculaire au premier etqui le coupe suivant la droite dont l’équation estcomme nous l’avons déjà trouvé d’une autre manière.II est aisé de voir que tant qu’aucune des quantités D X,D’ Y, D" Z, ne sera nulle, l’équationDXyz+D’Yxz-*-D"Zxy-i~DYZx+D’XZy+D"XYz=one pourra se décomposer en deux facteurs du premier degré,et que par conséquent aucune partie de la surface coniquene pourra devenir plane. Ce n’est donc que dans le cas oùune des trois quantités D X, D’ Y, D" Z, devient nulle, quele point dont les coordonnées sont X, Y, Z, peut présentercette propriété, qu’on puisse y faire passer un plan où toutesles lignes menées par le point donné dans ce plan soient desaxes permanens : c’est ce qui peut,arriver de deux manières,ou parce qu’une des quantités X, Y, Z est nulle, alors lepoint donné est dans un des plans principaux, une portiondes axes permanens passant par le point donné se trouve dans
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ce plan et les autres sont compris dans un aui.iv p'.an qui luiest perpendiculaire ; ou parce que, par la natuui du corps,une des trois quantités D, D’, D", est nulle. Supposons quece soit£>": comme D" -=:fx*i d m—f y* d ni, if faudraquefy* d m =:/.v* d m, et par la théorie connue des plansprincipaux, tout plan passant par l’axe des z se^ un planprincipal. La supposition Z>"= o réduit l’équation de la surface conique àmais comme alors Gzzff, les deux quantités D~=:H— Ket D’^/C-T-G sont égales et de signes contraires, cette équa*tioiv peut donc s’écrire ainsi,représente le plan qui passe par Je point donné et par l’axé*des.g ; et qui, comme nous venons de le dire, est un planprincipal. L’autre facteur z — Z == o, représente un autreplan passant par le point donné et parallèle au plan des x y ;il est donc perpendiculaire au plan représenté par le premierfacteur, et dan ? ce cas, comme dans celui que nous avonsd’abord examiné, les axes permanens passant par un pointdonné ne peuvent être compris^dans deux plans qu’autantque l’un de ces deux plans est un de,s plans principaux etque l’autre lui est perpendiculaire 1 en sorte que dau'l aucuncas cette propriété ne peut appartenir à un point qui ne setrouve pas dans un des plans principaux, et que les axespermanens qui passent par un point donné ne peuvent setrouver compris dans des plans qu’autant que ces phns, s’ilsne sont pas des plans pffticipaux , soient nécessairementl-\ MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
parallèles à un des axes principaux. Cette proposition, quiest généralement vraie quand il s’agit des axes permanensproprement dits, cesse de l’être quand on considère un planoù passent par un même point les limites d’axes permanens qui se trouvent dans ce plan. Comme nous ayons vuque toutes les lignes passant par le centre d’inertie et différentes des axes principaux sont des limites d’axes permanens, et réciproquement, il s’ensuit que tout plan passantpar le centre d’inertie contient une infinité de limites d’axespermanens qui se coupent toutes à ce centre, en sorte queces limites peuvent être comprises dans un plan et passerpar un même point de ce plan, sans qu’il soit un plan perpendiculaire à un des plans principaux s c’est là une premièredifférence entre les plans où se trouvent une infinité d’axespermanens passant par un même point, et les plans quijouissent de la même propriété relativement aux limites deces axes ; une autre différence entre ces deux sortes de plansvient de ce que les premiers, outre le système des axes permanens passant par le point donné, contiennent un secondsystème d’axes permanens parallèles entre eux et à l’axe principal, auquel le plan l’est lui-même, puisque toute ligne parallèle à cet axe est un axe permanent, tandis que la mêmepropriété n’a pas lieu en général pour les plans où se trouventune infinité de limites d’axes permanens, mais seulementdans le cas particulier où ces derniers plans seraient parallèlesà un axe principal qui y serait alors nécessairement contenu.Les plans passant par le centre d’inertie et dirigés d’unemanière quelconque, contenant une infinité de limites d’axespermanens, sont, d’après nos définitions, les plans directeursde ces limites, et leur centre de convergence est au centred’inertie ; mais ils ne doivent point être confondus avec lesplans directeurs des axes permanens proprement dits, puisqu’au lieu de présenter toujours, comme ces derniers, la
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propriété de contenir un second système d’axes permanensparallèles entre eux » ils ne la présentent que dans le cas particulier oùils sont perpendiculaires à un plan principal : c’estpourquoi, dans tout ce que nous allons dire des plans directeurs , nous entendrons toujours par ce mot les plans directeurs des axes permanens, et non ceux de leurs limites.Si le point donné se trouvait sur un des axes principaux,en prenant cet axe pour celui des z> on aurait X=~o, Yz=zo\l’équation de la surface conique deviendraitet l’on aurait x='o, 011^ = 0', c’est-à-dire que les deuxplans dans lesquels se change alors cette surface sont lesdeux plans principaux qui passent par le point donné ; cequi est d’ailleurs évident, puisque toutes les lignes menéespar un point quelconque pris dans les plans principaux sontdes axes permanens.Lorsque l’intégrale fx* d m est égale à/y* d m, ce quidonne D" ■=: o, l’équation que nous venons d’obtenir pourle cas où le point donné est sur Taxe des z> s’évanouit : cequi indique que dans ce cas toutes les lignes menées par cepoint, dans quelque direction que ce soit, sont des axes permanens’ ; ce qu’il est d’ailleurs bien aisé de voir à priori.L’équation généraledisparaît aussi quand les trois intégrales fx- dm, fyl d m,/g dm, sont égales entre elles, parce qu’alors toutes les lignesmenées de quelque manière que ce soit par un point quelconque sont des axes permanens.. Enfin, si le point donné était au centre d’inertie, on auraitAf=o, Yzzzo, Zr:o, et l’équation de la surface coniquedisparaîtrait encore, parce que tout plan mené par le centred’inertie est, comme nous l’avons vu plus haut, un planDz6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
directeur des limites des axes permanens qui se trouventdans ce plan, et dont le centre de convergence est au centred’inertie, II suit de ces diverses considérations, qu’outre lesplans directeurs des limites des axes permanens, on doitdistinguer dans un corps quatre sortes de plans:i,° Les plans directeurs qui le sont relativement à tousles points de leur surface, propriété qui ne peut apparteniren générai qu’aux plans principaux, comme il n’y a que lesaxes principaux.qui soient des axes permanens relativementà tous les points de leur longueur, mais qui, dans le cas oùles momens d’inertie de deux axes principaux sont égauxentre eux, appartient aussi aux plans, menés par un pointquelconque perpendiculairement à l’axe principal dont lemontent d’inertie n’est pas égal aux deux autres, comme ilest aisé de le conclure de ce qvï. a été dit plus haut relativement à la forme que prend alors l’équation de la surfaceconique ;z," Les plans directeurs à un seul centre de convergence,qui contiennent toujours deux systèmes d’axes permanens,l’un formé d’axes permanens passant par un point, déterminéde ces plans, qui est leur centre, et l’autre, d’axes permanensparallèles entre eux et à un des axes principaux, auquel leplan directeur est nécessairement parallèle ; , :3. 0 Les plans qui, sans avoir de centre de convergence,satisfont aux mêmes conditions que ceux qui en ont, parceque le point où devait être leUr centre d<v convergence setrouve placé à une distance infinie, en sorte que les deuxsystèmes d’axes permanens qu’ils contiennent se composenttous deux d’axes parallèles entre eux, et qu’on doit par conséquent considérer chacun de ces plans comme une limitedont un plan directeur peut s’approcher d’aussi près que l’onveut sans jamais l’atteindre. H est aisé de voir que cette propriété-appartient à tout plan perpendiculaire à un des* axesprincipaux, qui, étant à-la-fois perpendiculaire à deux plansprincipaux, contient un système d’axes permanens perpendiculaire à l’un d’eux, et un système d’axes de rotation perpendiculaii'e à l’autre. Nous verrons, quand nous, aurons déterminé en général la position du centre de convergence d’unplan perpendiculaire à un des plans principaux, que cecentre ne se trouve porté à une distance infinie que dans lecas où le plan est à-Ia-fois perpendiculaire sur deux plansprincipaux, en sorte que la propriété d’être des limites deplans directeurs appartient exclusivement aux plans situésde cette manière,4.° La quatrième espèce de plans comprend tous ceux quine satisfont à aucune des conditions auxquelles sont assujettisceux dont nous venons de parler.Lorsque le point donné A est dans le plan des x y, ensorte que Z = o, le plan directeur dont il est le centre, deconvergence a pour équation, comme nous venons de le'voir,d’où il suit que son intersection avec le plan des x y, quiest représentée par la même équation ,- forme avec J’axedes a* un angle dont la tangente est Dx -, cette valeurne varie pas quand on place successivement le point donnéà différens points d’une ligne.située dans le plan des y xet passant par le centre d’inertie ; d’où il suit que tous fesplans directeurs dont tes centres de convergence se trouventsur une telle ligne sont parallèles entre eux, et réciproquement, que tous les centres de convergence d’un système deplans directeurs parallèles entre eux sont placés sur unemême droite passant par le centre d’inertie. Nous pourronsappeler cette ligne axe des centres de convergente, ou, pourabréger, axe de convergenee ; et chaque axe de eorivergeïice,
D*
correspondant à un système de plans directeurs parallèlesentre eux, formera avec ces plans un angle qui sera la différence de deux autres dontdes tangentes ont respectivement
, y D’ Y
pour valeur-j- et -~ jjjfl d’où il suit que la tangente de cet angle est pour que cet angle soit droit, il faut queCette valeur ne peut être réelle qu’autantque K=fzl dm estcompris entre G = fx%d m et Hz=:fy* dm, c’est-à-direqu’autant que le plan qu’on a choisi pour celui des A- y, et oùse trouve l’axe du centre de convergence, est celui des troisplans principaux dont le moment dinertie est intermédiaireerjtrp les momens d’inertie relatifs aux deux autres plans principaux. Ce n’est donc que dans ce plan, celui des trois plansprincipaux qui passe par les deux axes principaux dont l’una lé plus grand et l’autre le plus petit moment d’inertie, quel’on peut trouver deux lignes, déterminées par la double valeurde -y-, qui soient des axes de centres de convergence perpendiculaires, aux. plans directeurs dont tous les centres deconvergence se trouvent sur ces lignes. Il ne peut donc, engénéral, exister dans un corps: que deux systèmes de plansdirecteurs parallèles, tels.que le centre de convergence soit,pour chacun de ces plans* au point où il est.rencontré parlai perpendiculaire abaissée du centre d’inertie du rorps surce plan, Les plans de ces deux systèmes sont évidemment
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parallèles à l’axe principal.dont le moment d’inertie est intermédiaire entre les moinëns d’inertie des deux autres axesprincipaux. ;•-'*'■'•'■■•'. Dans le cas particulier où deux des trois axes principauxont le même moment d’inertie, il faut, pour quesoit réelle, que l’axe des z soit un de ceux dont lés momensd’inertie sôiit égaux. 1 Si l’autre ést’jpris pour l’axe des A*, lesmomens d’inertie de ces deux axes étant représentés respectivement par cV-4-//et par //-+ Af,lon’aura'■■.d’où il suit qiié les deux'lignes "dont nous venons.de parlerse réunissent dans l’axé dés^.'^l’ï'on prenait, au contraire^cet autre axe pour celui dés 7,011'aurait 'ce serait donc sur l’axe des x (jue se 1 réuniraient ces deuxlignes : ce qui n’est qu’une autre manière d’arriver au mêmerésultat, bavoir, que dans ce cas les deux lignes se confondententre elles et avec l’axe principal dont le moment d’inertien’est pas égal aux deux autres. Il n’y a donc plus alors qu’unseul système de plans directeurs parallèles dont les centres deconvergence soient aux points où ils rencontrent une perpendiculaire commune passant par le centre d’inertie, et cesplans sont alors tous perpendiculaires à l’axe principal dontle moment d’inertie n’est pas égal à ceux des deux autres axesprincipaux.Chapitre h,Formules pour reconnaître si une ligne donnée est un axe permanent,et pour déterminer dans ce cas le centre de rotation de cet axeet son moment d’inertie.QUAND une droite JV M (Jig, t)  est donnée et qu’on veutsavoir si elle est un axe- permanent, on pourrait le faired’après les résultats* obtenu ?; dans le paragraphe précédent,en prenant à volonté unppint.^sijr cette ligne et envoyantsi l’équation i <■est satisfaite. Maïs, comme alors iq, condition exprimée parcette équation doit être indépendante de là position arbitraireoù l’on place le point A su* N M,,'û faut considérer X, Y, Zcomme les coordonnées dun point quelconque de cette ligneet les éliminer de l’équation que nous venons de trouver.Soit L le point où la ligné donnée TV A M rencontre le plandes *■ y ; nommons ph et a les coordonnées de ce point rapportées aux axes principaux G X, G Y ; a, l’angle que formesa, projeçtiçsn/fî^P sur ce, plan avec l’axe des x, et /3 l’angledont le, cosinus est c"* et qui est le complément de l’angleD L.M : on aura .■ — .
d’Où ■•■:,•
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équationmais, par les formules connues de là trigonométrie sphérique,on ac:=:côs et sin/3 » r'irssïii * sin /3, et par conséquentCette valeur de tang et fait connaître la direction que doitavoir la projection d’une ligne qui rencontré. le plan des A* yen un point dont les coordonnées sontp et q, pour qu’ellesoit un axe permanent ; et comme la valeur de tang et estindépendante de l’angle /3, c’est-à-dire de l’inclinaison de laligne donnée sur le plan des ,v y, tous les axes perntanensqui passent par le point de ce plan dont p etq sont les coordonnées, seront tous compris daiîsTé 'plan parallèle à Pakedes j, dont l’intersection avec celui des x y est la projectiondont nous venons de déterminer la direction ; ce qui s’accorde avec ce qui a été dit des propriétés des plans de con*vergence dans le chapitre précédentAinsi, pour savoir si une ligne donnée est un axe permanent, il faut déterminer:1e..point,où/elle rencontre un desplans principaux et la direction de sa projection sur ce plan,et voir si l’angle et qui se trouve déterminé par cette direction, ainsi que les coordonnées p et y du point de rencontre,satisfont à l’équation de condition que nous venons d’obtenir.Quand on aura ainsi reconnu qu’une ligne est un axe derotation, et qu’on voudra'déterminer son centre de rotation,on se rappellera que la distance A Odexe centre au point/4\que nous avons désignée par r, es\ égale àla valeur de A Ose réduit donc à ■ ■ l .■■Si l’on abaisse du ceritre d’inertie la perpendiculaire G K surla ligne donnée A M, la distance A K sera celle que nousavons désignée par Z', et par conséquentIi est aisé dé s’assurer, par dé simples"réductions au même
• S , c c’ D" c c" D’
dénominateur, que lestrois quantités Y_ >x * ' c" X — 11T ' — »y_ ,,-y-, sont égales entre elles en vertu des équationsd’où il suit qu’au lieu de la pâleur précédente de K O, onpourra employer une de ces deux-ci,Si l’on remplace X et Y par leurs valeurs en p, a, Z, quenous venons de trouver, celles de K O se réduiront àConcevons maintenant qu’on élève au centre de rotation Oun plan perpendiculaire à l’axe permanent L M, il rencontrera l’axe des A1 et celui des y en des points tels, qu’en nommantxt etyt les distances entre le centre d’inertie et ces deuxpoints, on aura K' 0' r= c x, et K O' = c y(, d’où il suit quext = -jjp- , et que yt = — -^7—• h suffira donc, pourdéterminer le point O, de construire une de ces valeurs et dela porter, à partir du centre d’inertie, si c’est la première -, surl’axe des x, si c’est la seconde, sur l’axe des^, et d’abaisserE$4 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
d’un des deux points ainsi déterminés une perpendiculairesur l’axe permanent A L M, elle viendra rencontrer cet axeau point cherché O.La condition.quisçxpriine que,la,^9]te A L,ty( est unaxepenuanent, se réfJuit à ce que, si l’on construit les deuxpoints dont nous venons de parler,) les deux perpendiculairesqu’on abaissera de ces deux points sur (adroite la rencontrerontau même-ppjnt..En effet, cette condition est que la projectionLD[deA L M sur le. plan des x y forme, avec l’axe des A ;, unangle dont la tangente s’oit..-— ■ D q , ; e(t la droite qui joint ces deux points forme, avec le même axe, un angle dont la tangente est — — = Df ; cette condition exprime doncque ces deux droites se.coupent à angle droit dans le plan désx y, qu’on peut par conséquent abaisser par la dernière un.plan perpendiculaire à J’axe permanent A L M, et que lesdeux perpendiculaires dont nous venons de parler, se trouvant nécessairement dans ce plan, rencontrent A L M en unmême point.A — C
Les valeurs de A*/ et de^, peuvent s’écrire ainsi, A,—- -^ ,
yt = —JT:— ; en joignant les deux points que ces valeursdéterminent l’un sur l’axe des .v et l’autre sur celui des^, onaura une droite perpendiculaire au plan directeur L M D,qui le rencontrera au point 0', qui est le centre de rotationdel’axè permanent LD, intersection de ce plan directeur aveccelui des x y, et il suit de ce qu’on vient.de voir, que, si l’onjoignait les points O et 0'par une droite, elle serait l’intersection du même plan avec un plan perpendiculaire à Taxepermanent A L m,e\\e serait donc aussi perpendiculaire àcet âxè, eh sorte que le point O se trouve sur la circonférence
DES 'AXES PERMANENS DE ROTATIONDESuCORPS. 3 5
décrite dans le plan directeur ;sur le diainètre-Zi O'. La mêmechose pouvant se.dire de ; tous les àxès permanens situés dansce plan et passant par le point L, ou voit qu’ils ont tousleurs centres de rotation sur cette circonférence.Nous avons nommé le point Z*Je"cëntre de convergencedu plan directeur  !/) /,-/^/,noifsxpourrojis donner le nomd’axe de ce même plan à la ligne quiNJui'est élevée perpendiculairement au point c7.'_et„par Jaqû1 ?lIeJpass.ent. tous les plansélevés perpendicUÏaXi^mefit-sur/ïés axés permanens qu’il contient aux centres de^r^tatioji'de ces axes.v Comme l’axe duplan directeur dont le centre de convergence situé dans leplan des ..y yA a. pour- coordonnées p et q rencontre les. axesdes x et des^y, dahs.des pointssdont les distances au centred’inertie sont respectivement ~JJ— et- !— .-^ ' ;'sbn equation  est D p x —D’ q y z=. —^—, tandis que celle de laprojection L D de l’axe permanent A L M qui coupe aupoint Q' l’axe du plan directeur, est « ^ •d’où il suit, à cause de D -4- Dr -4- D" z=z o, que si l’onnomme p' et q' les coordonnées du point O' pour un plandirecteur dont le centre de convergence à pour coordonnéesp et q, les valeurs de p et de q' seront déterminées par lesSi lé point L se trouvait sur taxe dès x, on aurait ^rzr.o, et ces deux équations deviendraient p p' z=z ~-, et q' = o,en sorte que le plan L M D se confondrait avec celui desx z où se trouveraient nécessairement tous les axes permâE*
nens passant par le'poiht JL qui ne seraient pas dans lé piandes x y. Soit donc N G L (fig, 2)  le plan des x z: toutes lésdroites menées dans ce plan étant des axes permanens, pouravoir le centre de rotation d’une de ces droites, telle que A' Lqui rencontre en L l’axe des .v, il faudra, en nommant/ ? la,, b' distance G L, prendre G O =/>' r= —^—, et décrire sur LO'z=p—~- la circonférence L O Q' O", lieu dev - ' t,tous leurs centres de rotation ; cette circonférence rencontreraN L au point cherché O.Comme l’équation/ ;// == -^j- est symétrique relativementh p-et î\ p', si l’on fait au contraire G 0'= p, onaura C ? L :=/>', doù il suit que la circonférence L’O O' O"n’est pas seulement lé lieu des centres de rotation des droitesmenées dans le plan N G L par le point L, mais encore decelles qui y sont menées par le point 0' »Cette réciprocité ne peut avoir lieu que quand le plan deconvergence est un des plans principaux > car, lorsque q n’estpas nul, il faudrait que lés deux équations entre p, lj,p, q,subsistassent quand on y changerait/ » en p'iq en q, et réci-.proquement ; or cela arrive en effet à la première Op p—•b b'D’ q q' z=z ■ Al - ,• mais, pour qu’il en tut de même de laseconde, qui peqt s’écrireainsi, - i ^ . .£) '=— £ ?etZ3":=p— Z ?—/) '=o ,.en sorte qu’il faudrait queles momens d’inértié ,/4 et B des axes principaux C X et C ? yf/#, 1} fussent égaux entre eux, et alors le plan L M D seraitun plan principal comme tous les plans menés par l’axe G Z »Quand le point L (fig. 2) , où l’axe permanent situé dans leplan principal L G N rencontre l’axe principal G L, dont lemoment, d’inertie surpasse celui de l’autre axe principal G /Vsitué dans le même plan , tombe en L’, k une distancedu centre d’inértié G L’ = y '-— , on a -^— =.p, et lavaleur de LO devient nulle, quelle que soit celle de l’angleHi en sorte que tous les axes permanens situas dans le planN G Let passant par le point Z/ont alors leur centre de rotation ; à ce point. > ,jTant que les trois momenSr d’inertie des axes principauxsont inégaux, il est clair qu’il ne peuty avoir sur chaque plan’principal que deux points, un de chaque côtédu centre d’inertie, qui présentent cette propriété relativement aux axes permanens menés dans ces plans, et qu’il y en a toujours,deuxqui sont situés sur celui des deux axes principaux qui s’ytrouvent, dont le moment d’inêrtte est le plus grand, parceque D’ ■=. A — C, à une distance du centre d’inertie ducorps égale à la racine carrée de la différence des momensd’inertie de ces deux axes, divisée pat" la masse du corps.Il suit de là que, quand ces deux momens d’inertie sontégaux entre eux, les deux points dont nous parlons, relatifs auplan principal passant par ces deux axes, se réunissentau centred’inertie, et qu’il ne peut y en avoir deux qui ne soient passitués à ce centre que sur le troisième axe principal, et celaseulement quand son moment .d’inertie est plus grand quecelui des deux autres. On sait que MM. Poisson et Binet ontdémontré que, dans ce dernier cas, toutes Jes lignes qui ypassent sont des axes principaux qui y ont tous leur centrede rotation, » étque cestle seul cas où un point pris dans uncorps dorit les trois ! momens d’inertie relatifs aux axes principaux ne sont p^as égaux entre eux, puisse présenter, cettepropriété relativement à toutes les droites qui y passent. Lorsque les trois momens d’inertie sont inégaux, on a au contrairetoujours six points situés sur les axes principaux qui présententlà même !} ojjriété, niais seulement à l’égard des droites comprises dan. ; *a. plans principaux ; l’axe principal dont le momentd’inertie est le plus grand en présente quatre, deux pour chacundes plans principaux dont il est l’intersection | et celui dont lemoment d’inertie, est intermédiaire entre les deux'.autres, enprésente deux pour Ie ;plan principal qui le joint à Taxe principal dont le moment d’inertie'est le jplus petit* r.Lorsqu’une ligne est donnée sur un des plans principaux,011 trouvera ainsi son centré de rotation : après l’avoir prolongée ; jusqu’à icel qu’elle rencontre en L (fg.j)  celui desdeux axes principauxjsitués dans ce plan dont le momentd’inertie est le plus grand » déterminez le point L’de manièreque G U == l/ D ■', et faites la proportion ;;'iY f 11 Al: 1 / .
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puis sur le ; diamètre L.O' décrivez la circonférence L O O'qui coupera la ligne donnée au point cherché O, De plus, siG T est là tâii&éhte menée du point G'èicette 'circonférence,Réciproquement, si le point O est donné dans un planprincipal et qu’on demande les directions’des deux axes permanens menés dans ce pian de manière que leurs centresdé rotation 'soient en 0 (fig, /f) , on tirera c ? O et on ferala proportionce qui détérrhinera un second point S de la circonférence LOL,en sorte qu’en élevant sur le milieu R de C ? S la perpendiculaire 7 ? C, elle coupera Taxe principal G L au centre C decette circonférence, et en la décrivant on aura par ses intersections avec G L les points L, L, auxquels on tirera leslignes O L, O L, qui seront les axes permanens cherchés. Letroisième axe permanent relatif au point Osera la perpendiculaire élevée par ce point au plan principal.Si l’on considère le point A^ (fig. y)  où le même axe permanentOL rencontre celui des deux axes principaux du planN G« l. des A" z qui a le plus petit moment d’inertie, et quenous avons pris pour l’axe des z> on trouvera la circonférencequi est le lieu de tous les centres de rotation des axes permanens passant par le point N et situés dans le plan GN L,4 ? MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
'<-,-■ D’en prenant G O" t±. -~-~-^- { cette circonférence coupera l’axe G L en un,point dont la distance au cenfrç d’inertie c ? sera égale à y GNxG O", c’est-à-dire à-jjj-/ ce sera doncau point JJ dont nous venons dé rappeler les propriétés, etdont la situation reste toujours la rrièmé, quelfe que soit celledu point N. On déduit de cette considération 'une.solutionplus simple des deux problèmes précédenss car, si l’on veutdéterminer le point O quand la ligne A^/I/estdonnée, il suffitde prolonger celle-ci jusqu’à ce qu’elle rencontre en N l’axeprincipal dont le moment est le plus petit* etde décrire la circonférence qui, passant par les deux points N et 12, a soncentre sur G Ni elle coupera N M au point cherché O,Si au contraire le point O est donné et qu’on veuille avoirla direction des deux axes permanens compris dans le planN G L, qui ont leur centre de rotation en O, on décrira leinênje cercle par les points Oei L\ Ce cercle coupera G Naux points N et 0'\ tels qu’en tirant O N et O O" ce serontles’deux axes permanens cherchés. Si l’on mène du point Oaux centres 0 et 6" des circonférences L O 0',N O P Y lesrayons CO> C’ 0> on aura GCO^iGLO, G-Cr%asi GN0iû\\ûGC0^GG>0t=ii{Gl40^GN0) ^zdeux angles droits ; et comme l’angle CGC’ est droit, ilrestera dans le quadrilatère G CO CT’un angle droit pour la
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valeur de C O C’ : ainsi toutes les circonférences telles queLO O' (fig.<f)  couperont àFig, <f.angles droits toutes les circonférences N OOu ; il est d’ailleursaisé de voir que, si l’on projette stéréographiquement sur leplan L L" N tous les parallèles et tous les méridiens d’unesphère dont les pôles seraient situés en Z/ et en U, les projections des premiers seront les circonférences L O 0\ et lesprojections des seconds, les circonférences NO O".Reprenons le cas général d’un axe permanent L M, situéhors des plans principaux et qui rencontre en L (fig, t)  celuide ces plans qu’on a choisi pour le plan des A'^ ; soient toujoursp » q » les coordonnées de ce point relatives à l’axe des.v et à celui des .y, en sorte qu’on ait à ce point x^=ip,yi^zq, ?:r=o, comme A L est la valeur de 7 qui y correspond,. mais nous avons vu que K O rr: ^ ■ ^-~r—, et que, et, /3 désignant les deux angles que nous avons ainsi nommés'. x *D’<ipage 30, on avait, à cause que tang et = — ■ D -, ces valeurs de cet de c’,4* MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
on en tireSi l’on décrit sur le plan des .v ^y, des sections coniquesdont les équations soient de la formeE étant une quantité quelconque, la tangente de l’angle quela normale à un des points L d’une de ces courbes dont lescoordonnées sont représentées en général par p et q, formeavec l’axe des x, sera ■'**d’où il suit que la projection L D de la ligne donnée sur leplan des .v y se confondra avec cette normale , et le plandirecteur qui contient tous les axes permanens passant parle point L sans se trouver dans le plan X G Y, sera le plannormal à cette courbe.On aura de plusd’où il suit que le rapport des deux distances K L, K O,sera constant pour les axes permanens de tous les plans
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directeurs normaux à une même courbe ; ce qui donne uneconstruction très-simple de la dis’tance K O qui déterminele point O. La distance L O =r K O — KL aura pourvaleuret sera aussi eiv rapport constant pour les mêmes axes permanens soit avec K L » soit avec À !* O.Si l’on fait dans ces formules fi z=z — , la ligne L Mdeviendra l’intersection LD du plan directeur et de celui desx y, qui, comme nous l’avons dit, est toujours un axe permanent. On aura, en supposant que O' est son centre de rotation, et H le point où elle rencontre la perpendiculaireG H abaissée du centre d’inertie sur cette intersection,En comparant cette valeur de L O' avec celle de L O, onvoit qued’où il est aisé de conclure que la courbe L O O' qui passepar tous les centres de rotation des axes permanens menéspar le point L et situés dans le plan L M D, est une circonférence de cercle, ainsi que nous l’avons déjà vu pages 34et 3 5 ; le diamètre de cette circonférence est
F*
44 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
Nous avons considéré les sections coniques tracées sur leplan des A*^ et ayant pour équation Dp%-—D’ qxs:E ; toutesles courbes ainsi décrites sur les trois plans principaux détermineront, à chaque point du plan principal où elles sont tracées, la situation du plan directeur dont le centre de convergence est à ce point. Ces courbes sont des sections coniquessemblables sur chaque plan principal, puisque le rapport descoefîiciens Det D’est le même pour toutes celles d’un mêmeplan. On a des hyperboles sur le plan des xy quandDï=zfy%dm—fzxdm, et Z>'=/s* dm —fx^dm,sont de même signe , c’est-à-dire quand le moment d’inertie/g 1 dm, relatif au plan principal que l’on considère, est intermédiaire entre les momens d’inertie relatifs aux deux autresplans principaux, ou encore lorsque c’est le plan principal quipasse parles deux.axes principaux dont les momens d’inertiesont l’un le plus grand et l’autre le plus petit des trois momensd’inertie relatifs aux axes principaux, tandis que ce sont desellipses sur les deux autres plaiis principaux.Nous avons vu, à la fin: du chapitre précédent, que ceplan contient les deux seuls axes de convergence qui sontperpendiculaires aux plans directeurs dont les centres de convergence se trouvent sur ces axes, et que les tangentes desangles compris entre ces mêmes axes et celui des .v sontreprésentées par zk: y . .. ; mais les asymptotes des hyperboles dont l’équation est Dp* — D’q 1 =:£, forment aussiavec l’axe des .v des angles dont les tangentes sont égales àdr y jl ; ce sont donc les axes de convergence dont nousvenons de parler qui sont les asymptotes communes de toutesces hyperboles. 'Suivant que les valeurs qu’on donnera à E seront positivesou négatives, les hyperboIes.se trouveront dans deux desquatre angles que forment leurs communes asymptotes oudans les deux autres,.Ces angles se distinguent parce.quedeux d’entre eux sont divisés en deux parties égales parTaxeprincipal dont le moment d’inertie est le-plus grand, et queles deux autres le sont par l’axe principal dôht le montentd’inertie est le plusComme c’est en prenant le premier de ces deux axes pour l’axe des x ou des p, et le second pour l’axe des y ou des q, qu’on a A >.C >B,_et par conséquent G < K < H, ce qui donne Det D’ positifs, il est clair qu’une hyperbole représeiitée  par l’équation D p *—D’ q * s=.E, aura tbiis ses points dans les deux angles opposés au sommet qui soin divisés en deux parties par l’axe doiit le moment d’inertie est le plus
. Dp%
grand quand, q* sera plus petit que —-7-ket qu’ainsi E serapositif ; tandis que ces points tomberont dans les deux anglesopposés au sommet, formés par les mêmes asymptotes etdivisés en deux parties égales par l’axe principal dont lemoment d’inertie est le plus petit, quand q% sera plus grandque :~rJi, ' et que E sera par conséquent négatif. Je désignerai toutes les hyperboles comprises dans les deux premiers angles sous le nom de'^pwnières hyperboles, et cellesqui sont comprises dans les deux derniers, sous le nom desecondes hyperboles. Quant à la forme des, mêmes courbes sur lesdeux autres plans principaux, si nous prenons d’abord pourplan des xy le,plan principal dont le moment d’inertie estle plus grand, AT sera plus grand que H et que G, d’où ilsuit que Dz=z H—AT sera négatif, et D ' x=i fC —- G, positif ;l’équation D pfc — D\ q■* si E deviendra donc, en changeantles signes, , \ : ;
'4<> MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
et il faudra prendre pour E une quantité négative arbitrairepour que cette équation soit possible. Comme les coefficiensde p *■ et de q * y sont affectés du même signe, elle représentera toujours une ellipse, et l’on aura dans ce plan une infinitéd’ellipses que je désignerai sous le nom de premières ellipses,Au contraire, quand on prendra pour plan des x y le planprincipal dont le moment d’inertie est le plus petit, D serapositif, D’ négatif ; et l’équation entre p et q devant alorss’écrire ainsi, *on Voit qui} faudra donner à il une valeur positive arbitraire.On aura ainsi dans ce plan un système d’ellipses que je distinguerai de celles qui se trouvent sur l’autre plan principal,en les nommant secondes ellipses.Lorsque deux:des, trois momens d’inertie sont égaux entreeux,,il y a une infinité de plans principaux passant par Taxeprincipal dont le moment n’est pas égal à ceux des deux autres,et un plan principal qui lui est élevé perpendiculairementpar le centre d’inertie : si l’on prend un des premiers planspour celui des .v^, et l’axe principal dont le moment d’inertien’est pas égal aux deux^ autres, pour l’axe des .v, on aura Hz=.Ket /) ::=o, en sorte que l’équation entre/ ? et q deviendravaleur constante arbitraire qui montre que les courbes quenous considérons se changent en des lignes droites parallèlesà l’axe des .v, et que tons les plans directeurs correspondaissont perpendiculaires à l’axe principal dont le moment d’inertien’est pas égal aux deux autres { leurs centres de convergence,au lieu d’être déterminés, sont alors placés indifféremmentà tous les points de leurs surfaces, comme on l’a déjà vu
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 4 ?
dans le premier chapitre dé ce Mémoire. En prenant aucontraire pour plan des x y le plan principal perpendiculaireau même axe, on a.G.sz_H:etD"sz,o, d’où D’zzzz— D ;l’équation entre p et q devient doncéquation d’une circonférence décrite dans ce plan avec unrayon arbitraire, et dont le centre estait centre d’inertie. Tousles plans perpendiculaires à cette circonférence sont les plansprincipaux qui, en nombre infini, passent par l’axe principaldont’le moment d’inertie diffère des deux autres. II n’y adonc dans ce cas d’autres plans directeurs différens des plansprincipaux, que ceux que nous avons trouvés d’abord, et quisont perpendiculaires à cet axe.vQuand le point L est sur celui des trois plans principauxdont le moment d’inertie est intermédiaire entre les momensd’inertie des deux autres, et que ce point se trouve sur lesaxes de convergence qui sont les asymptotes de toutes leshyperboles dont les plans normaux sont des plans de convergence , on a Dpx — D’ q1 s o, ce qui donne X Ls:o eton peut mettre cette valeur sous une forme plus simple,comme il suit.On a alorsvaleur très-simple qui, dans ce cas, détermine immédiatement le point 0,et donne, pour le diamètre de la circonférence sur laquelle se trouvent tous les centres de rotation desaxes permanens passant en L,Quant au plan directeur où est tracée cette circonférence,il suit de ce qui a été dit à la fin du premier chapitre dece Mémoire, qu’il est perpendiculaire à la ligne G L: c’estce qui résulte, aussi de ce que ~- szzàzy yp- donneCherchons maintenant la valeur du moment d’inertie relatif à l’axe permanent A A4 passant par le point L, ce moment d’inertie sera représenté paret au moyen des valeurs de .v' et, dey, on trouvera par lesréductions connues qu’il est égal àoù A"* -4-K'* est le carré de la perpendiculaire G K abaisséedu centre d’inertie sur cet axe. Comme on a
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 4j>
en représentant toujours par G le moment d’inertie G~\-hïrelatif à l’axe principal parallèle au plan directeur où se trouvel’axe permanent A M.Au moyen des valeurs de c et de c’ en fonction de p et dea, on aen sorte que le moment d’inertie de l’axe A M est égal àlorsque le point K est hors de la circonférence LO O , afinque K LetK O aient le même signe. Alors, si l’on mené parle point À" une tangente à cette circonférence, qu’on portela longueur de cette tangente de AT en R sur K L et qu’onjoigne les points G et R par la ligne G R, on aet le moment d’inertie cherché estCe cas a lieu quand À*" L et AT Cou £ et—^j—, qui leur sontproportionnelles, sont de même signe, c’est-à-dire, t.° quandGon prend pour le plan des s y celui dont le moment d’inertieest le plus grand, et que le plan directeur est parallèle à l’axeprincipal dont le moment d’inertie est le plus petit, puisquenous avons vu qu’alors les courbes auxquelles les plans directeurs sont normaux, étaient les premières ellipses pour lesquellesE et r-,.-- sont tous, deux négatifs ; 2,° quand onprend pour le plan des ,v y celui dont le moment d’inertie estintermédiaire entre les momens d’inertie, des deux autres,et que le point L tombe dans l’un des deux angles opposésau sommet qui sont divisés en deux parties égalés par l’axedont le moment d’inertie est le plus grand, puisque, d’aprèsce que nous avons vu, les courbes auxquelles les plans directeurs* sont normaux sont alors les premières hyperbolesD D’pour lesquelles’ M <#-,- .. sont positifs. mais, quand E et —-rr— sont de signes, contraires, lesvaleurs de K L et de K O le sont aussi, en sorte que le pointK tombe entre les points L et O dans le cercle dont la circonférence est L Ot O'iet le terme du moment d’inertie de l’axepermanent A M que nous avons remplacé par/Wx K O x KL,étant négatif, il fiiut,en prenantK 0 etKL, indépendammentdé leurs signés, écrire pour là valeur de ce moment d’inertie.dont la construction, moins simple que dans le cas précédent,s’obtient par les moyens connus,, en ayant soin de là modifier suivant que G K est, plus, grand ou plus petit que.KL*KO. .  ;■ ce cas a lieu, .i.° Quand on prendîpourTe »plan des A* y, celui dont lemoment d’inertie,est-ipjrius petit »,que le.plan dîrecteur.est, pari
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 5 !
conséquent, parallèle à l’axe principal dont le moment d’inertieest le plus grand, et que les courbes auxquelles les plans directeurs sont normaux, sont les secondes ellipses pour lesDD’quelles E est positif et—-=7— négatif ;2." Quand on prend pour le plan des ,.v y celui dont lemoment d’inertie est intermédiaire entre les deux autres, etque le point L tombe dans Tu n des deux angles opposés ausommet qui sont divisés en deux parties égales par l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus petit, puisqueles courbes auxquelles les plans directeurs sont normaux,sont alors les secondes hyperboles pour lesquelles E est né.rDD’ . ,rgain et —jçf' positif.Lorsque le point L est situé sur l’un des axes de convergence perpendiculaires à leurs plans directeurs, axes qui sontles asymptotes de toutes ces hyperboles, on à K Lst o ,GKzzz: G L, et la valeur générale du moment d’inertie del’axe A M devientvaleur indépendante de l’angle que forme cet axe aVec saprojection sur le plan des A*^, d’où il suit que tâùé les axespermanens compris dans un plan directeur perpendiculaireà l’une dès deux lignes dont nous parlons, ont tons leursmomens d’inertie égaux entre eux et àqui est, par les formules connues, la valeur du momentd’inertie de celui de ces axes pértnaftens qui est perpendiculaire au plan que nous avons pris potir celui des x y ; niaisleurs centres de rotation se trouvent aux différéhs points déla circonférence L O O'.Si nous prenons la valeur générale de ce moment d’inertieG*
) 2 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
et que nous y remplacions G K par G L —* KL , cettevaleur, qui estquand le point K est hors de circonférence L O O', ex quand il est au-dedans, deviendra, dans le premier cas,le signe -H devant être employé quand K L< K O, et lesigne -— quand K L > K O, et, dans le second cas,Or, si l’on mène par le point L une parallèle à l’axe des z >qui est un des axes permanens passant par ce point L, dansle plan directeur que l’on considère, le moment d’inertie decet àxe permanent sera, d’après les formules connues, égal àd’où il suit qu’il aura le- plus grand moment d’inertie parmitous les axes permanens du même plan directeur, i. ? quandle plan directeur sera perpendiculaire à une des secondesellipses ou des secondes hyperboles ; 2,° lorsque, ce plan étantnormal à une des premières ellipses ou des premières hyperboles, on auraTandis que son moment d’inertie sera un minimum relativement, à ceux des autres axes permanens du même plandirecteur, quand ce p}an étant toujours normal à une despremières ellipses ou dés premières hyperboles, on aura
DES s AXES’PERMANENS ÎDE RQTATJ0N DES CORPS. J3
: A l’égard de'celuirp !es mêmes• axes.permanens’id6nt lemo>ment d’ine^e..est,i\n mhiimuiif dans leb deu^premierslçasj^ etun maximum dans le secondai ! est évident,^puisque KL.etL50sont1'dans uiv rappdrt coifs^iUit pbùr 1 chaque pilant diïé'c-*teur, que ce sera Taxé 1 permah'ènV pour îècjUél /: (9 aùra'îaplus grande , ;yâlèu^ct: deviendra. • !§ djgrnçtré LO'\de lajcirconférenceL O O', en sorte que l’axe permanent correspondant est l’intersection du plâh: directeur  !âvec lëplan desxyiLorsque le diamètre L Q' de Iat circonférence sur laquellesont situés tous les centrés de rotation’ des axes permanensd’un même pjan directeur est.nul, ces.centres sont tous aumême, point L,\ et comme, onja, pour-tous LAQIS=, Q.\ leursmomens .d’inertie deviennent: tous égaux^entre^eux et à • !Il suit des propriétés des axes permanens démontrées dansce Mémoire, que cette double condition rt£ peut être satisfaite que par des axes permanens appartenant à un même plandirecteur, et seulement, par conséquent’, lorsque Je point L,qui devient leur centre commun de rotation, est dans un destrois plans principaux et qu on a _ >La valeur de E étant ainsi, déterminée ;- Ia\çourbe aliénéesur le plan des A-v par tous les points qui jouissent de cettepropriété, est évidemment une des sections cpiiiflues normalesà tous lés plans directeurs 'parallèles a Iïaxé tles z: et cettecourbe ne peut se trouver que parmi celles pour .lesquelles
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£ et —jçpy sont de,iriême signe, c’est-à-dire, parlailes/p/ce-fi MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
mières i ellipses ou les ; premières hyperboles. En faisantE ±~ fP™^^'^ ; dan ? l’équatïon générale' dés ' premières ^jh'psgsppui ; lesquelles K est plus grand c^xe jfetG,pn trouvera, qde ce/le de l’ellipse cherchée est .çf eafa mettant ?pus ; cette fprm,ç, i. - 'on verra que soft grand axe est placé sur l’axe principal dontle moment d’Inertie est leiplus-grand ; en le prenant,pourl’axe deè'X'bU-desp, G sera plus petit que //,1a'valeur de- ' f / K i Gla moitié de ce grand axe'sera' y ~~~M— » et ce"e ^e ^ampitiédw peti| ]/ n-..-^ ! ', cçiqyi donnepour la distance du centre au foyer.. '……<•Nous avons trouvé pour l’équation générale des premièreshyperboles£ étant positif, on a donc pour celle de l’hyperbole cherchée .' v" ".:.■-':.  ; ,cojnînesph axis■ traiisyerse est l’axe principal dont le inomentd’inertie "est ie/plûs<:grand 'et .qu’il est pris dans ceitte équationpour i axe des A: ou ides/>> G est encore plus petit que H et K,ce qui exige que H soit plus grand que K pour que E soitpPsitifVàlhsî,-$àris"'cette' équation comme dans celle del’ellipse que nous venons defdétei'miner, ^estla.pUis’petitedes ttPi s quantités G, H, K ; mais,-dans •■ l’ellipse',' Arestlaplus grande des trois, et dans l’hyberbole, c’est //. Po'urdéisigner les mêhioS: quantités par'les ; mêmes lettres ; dans leâdeux cas, il est plus commode ; d’adopter les dénominationsrelatives à l’ejlipse,. où l’ordre alphabétio ;ue suit l’ordre désgrandeurs relatives’à ces trois-quantités ; alorsil faut écrire,dans l’équation de l’hyberbole, //au lieu dé K, et K au lieude H ; elle devient ainsi i - 1ce qui montre que le demi-axe trapsyerse.de cette hyperboley LI __ c ,
a1 pour valeur y • ■■-' ;-- , c’ést-à-dirè qu’il est égal à làdistance du centre au foyer de l’ellipse, en sorte que sessommets sont aux foyers dél’eilipse. Son demi-axe conjugué—JJ— , et celle de la distance du centre 1au foyer de cette hyperbole est par conséquentqui est aussi* là valeur du demi-gi"and axe de l’ellipse ; ensorte que les sommets de cette ellipse sont-aux foyers del’hyperbole. Ces deux courbes sont d’ailleurs situées danstdeux plans rectangulaires entre.eux.: l’ellipse^dans celui oùsont toutes lès premières ellipses, et*qui est, Comme nousl’avons vu, perpendiculaire à iWè'pHftc^al’doWPlè'ihonteHHd’inertie est ie plus- petit- ;:etCl’hyperbole pdàns celui qui estperpendiculaire à l’axe principal dont le moment d’inertie est »intermédiaire,entre les’deux'autres ; le/ seul cih)  les sections}6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
coniques auxquelles les’plans directeurs sont normaux deviennent des hyperboles, Pour distinguer l’ellipse et ^hyperbole dont tous les points sont les centres de rotation de tousles axes permanens passant par ces points dans les plansnormaux à ces courbes, je les désignerai sous ie nom d’ellipseprincipale et d’hyperbole principale, Les propriétés qui lescaractérisent ont été .découvertes par M. Binet, qui les a exposées-dans le Mémoire déjà cité. ; •En continuant de désigner par G: h plus petite des troisquantités £ ; H, AVpar H h moyenne, et par K la plusgrande, et en prenant toujours aussi pour l’axe des p, soit àl’égard des premières ellipses, soit à l’égard des premièreshyperboles, l’axe principal dont le moment d’inertie est leplus grand, on pourra prendre l’axe principal dont le moment d’inertie est* le plus petit pour l’axe de p, tant à l’égarddes secpndes ellipses qu’à.celui des secondes hyperboles dontil est l’axe transverse,Si l’on permute convenablement les lettrés G, H, K, dansles valeurs dé D et de D’, coefficiens de px et de q* dansl’équation : ; ;qui représente toutes ces courbes, et si l’on.donne à E lesigne convenable pour que sa valeur soit toujours positive,les équatjons de ces courbes seront, pour Ies( premières ellipses,v^ 'pour les secondés ellipses,': '£ ■'"' <J ':I:-' - '• enfin pour (es secondes^hyperboles, " chapitre iii..(.--■* ' '.. ". ' \ -■-'.."•■■*..Equation de la ligne sur laquelle se trouvait tous les centres derçtotiop des Axes pamanens passant par un point dontié.Tous les axes permanens,quj passent par un point donnéA (fig. 1) , dont X, Y, Z sont les coordonnées relatives auxtrois axes principaux, sont compris, comme nous l’avons vu,dans la surface conique du second degré qui a pour équationd’où il suit que tous leurs centre % de rotation se trouvent surune courbe qui est comprise dan ; la même surface, et qu’onpeut ïeprésénter par le système foi ié de la réunion de cetteéquation avec une autre équation fu'il est facile d’obtenirde la manière suivante: x, y, z> et it les coordonnées dupoint O appartenant à cette courbe, t « la distancé A O,on amais nous avons trouvé une autre valeur de. 4,Q•== « > quidevient ' , ,lorsqu’on y substitue au lieu p*e Z' sa valeur — c X'—c’ Y— c" Z ; en éliminant c, c , c", ;éi mù'ltipliànt par « ,011enconclut . oet en égalant ces deux valeurs de m 1, on a l’équationqui représente.une surface du troisième degré, ddht l’intersection avec la surface conique donne la courbe cherchée.'-' On peut,' dans dette éqùajlbh, remplacer là quantité'ces trois, quantj,tçs. étant égales en vertu, de 1 équation ; mêmedelà, smfac^ conique, cpmme il est aisé de s’en assurer parun calcul fp^t sjmpje ; on a aînsj ; trois, équatipns du troisièjnedegré quj peuvent être également employées pour, déterminerla^ courbe des centres, de rotation par leur, intersection avecla surface conique.Nous avons vu, page 23, que quand deux des axes principaux, que nous prendrons pour ceux des x et des y, ontdes momens d’inertie égaux, la surface conique se changetoujours en, deux plans dont.l’un est le plan, abaissé du point
DES AXES PERMANENS DE R0TÀT40N DES CORPS. 5jp
donné A pérpèndiculairèmêni s\ir l’axé des z e* dont l’équation est z-xrm.Z, l’autre passé par le même point A et par cetaxe ; il a pour équation Xy— Yxsio, et est toujours undés pïahs principaux du corps.Comme il faut alors faire D" s: o, l’équation que nousvenons de trouver devient [Xy^Yx)  (xx ~+-y* -4- &* '—X x — Y y ^- Z z)  ':=: ° » et se décotnpose ert deux facteurs,dont l’un représente le plan principal dont lipus Veiioris deparler ; en Sorte que les centres dé rotation situés dàris ceplan ne sont plus déterminés par cette équation, qui se trouvéainsi satisfaite ; ils ne peuvent donc plus l’être que par Unedes deux autres équatiPns du troisième degré, Qiiaht auxcentres de rotation des axes permanens situés dans l’autreplan, comme le facteur X y-^~ Y x n’est plus nul, ils sontdéterminés par la condition que le second facteur de là mêmeéquation est alors" nécessairement égal à zéro ; ce qui donnéArîH-(y* — X x — Xy zs o, à cause dez=^Z, Ces centressont donc situés sur une circonférence tracée dans ce plan,dont le centre a pour coordonnées -— x et —■ Y, et quipasse à-Ia-fois par le point donné et par l’intersection duplan avec l’axe principal auquel il est perpendiculaire}' il estaisé d’en conclure que les centres de rotation des axes permanens compris dans ce plan sont situés aux points oùchaqife axé est rencontré par Jâ perpendiculaire abaissée ducentré d’inertie sur cet axe.Quand les trois momens d’inertie des axes principaux sontégaux entre eux, les trois quantités\D, £) ', D" sont nulles,et, d’après ce qui a été dit page 25, toutes les droites méfiéesde quelque manière que ce soit sont des axes permanens,parce que le premier membre de l’équation de la surfaceconique est identiquement égal à zéro ; alors les trois équations du troisième degré se réduisent à une seule, savoir :
H*
6o MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
qui esp celle d’une surface sphérique dont le centre a pour coordonnées ~ X, — Y, ^ z, et qui passe à-ia-fois parle point donné et par le centre d’inertie ; c’est sur cette surface sphérique que se trouvent tous les centres de rotationdes droites menées par le point donné: d’où il suit que celuid’une droite quelconque est au point où elle est rencontréepar la perpendiculaire abaissée du centre d’inertie sur cettedroite. ;. iOn peut déduire directement de l’équation que nousvenons de trouver, pour la courbe des centres, les.résultatsauxquels nous sommes déjà parvenus dans le cas où le pointA est dans un des trois plans principaux, en prenant ce planpour celui,des x y. Cette manière d’arriver à ces résultats aen outre l’avantage de montrer plus clairement à quoi ifstiennent.Quand le point A tombe en L (fig, i)  dans le plan desx y, si l’on représente, comme nous l’avons fait, par/J et qses coordonnées relatives aux deux axes principaux qui sontdans ; ce plan, on aura à ce, point X z=. p, Yz=: q, Zz=: o ;l’équation de la surface conique devient alorset se décompose erj deux facteurs représentant deux plans,dont l’un est le plan même des x y, et l’autre a pour équation
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DpS CORPS. 6l
Ce plan passe donc par le point L,, il est perpendiculaire surcelui des x y, et sa projection sur ce dernier plan forme avecl’axe des .v un angle dont la tangente est égale àOn en conclut aisément qu’il est-perpendiculaire à la sectionconique tracée dans ce plan et passant par le point Z,, dontl’équation.est ;- ,: ;.■.'.  ;L’autre équation de la ligne des centres de rotation devient,pour les,mêmes valeurs de X, Y, Z,d’où il suit qu’on a pour la ligne des centres de rotation situésdans lé plan des x y, l’équation du troisième degréet que, pour trouver celle de la Ijgne des centres qui sontdans le plan perpendiculaire à celui des x y, il faudra la. rapporter à l’ordonnée z et à une abscisse t prise sur l’intersectionde ces deux plans et comptée depuis le point 'L)  En faisant ;pour abréger, ,., >vet la valeur de ç* se réduit à tS -i '6% MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
équation d’une circonférence passant par le point donné A etdont le diamètre est égal au coefficient de t dans le premierterme de cette valeur de .g\Lorsque Dz=± o,1a tangente de l’angle formé par l’intersection du plan directeur et de celui des * .y avec l’axe des xdevient infinie, en sorte qu’il est alors perpendiculaire à cetaxe, et l’équation que nous venons de trouver pour la circonférence sur laquelle Sont situés tous lés Centrés de rotationdes axes permanens menés par le point L, se réduit à g* ==2qt—-tx\ ce qui s’accorde avec le résultat obtenu page 50,en faisant D" zsô.filous avons vu que les plans de ces circonférences sontnormaux à une section conique qu’elles rencontrent chacuneen un point par lequel passent toutes les droites situées dansces plans, qui sont des axés permanens, La normale de lasection conique à ce mémo point, que nous désignerons par/-±*—■>■" "V-''\' !l"-'  ;_^(T^) * ce qui.donne « ;=\ra* ^ ^^ quand on y remplacé -^-par s& valeur —rrr—l et si l’on nomme a et b les demi - axes de cetteU q \courbe, on aura pour son équation7* zh —r px z— zh.bz,qui doit être identique à Dpx —- D’q* = E, c’est-à-dire, àcelle que nous venons de trouver pour le diamètre de la circonférence correspondante, après qu’on l’a écrite ainsi,elle devientla normale n se rapportant au même axe principal auquelest relative la différence D des momens d’inertie des deuxautres, et b étant celui des deux demi-axes de la sectionconique qui est-perpendiculaire à ce même axe principal.'Nous avons déjà remarqué qu’il existait deux autres surfaces dont l’intersection avec la surface conique détermine, engénéral, la même courbe des centres de rotation ; mais, lorsquele point A est en L dans l’un des plans principaux et quela surface conique se change en deux plans, ces deux autressurfaces se partagent aussi chacune en deux nappes indépendantes l’une de l’autre, qui ne peuvent pas être combinéesarbitrairement avec les deux plans qu’elles doivent rencontrerdans lés,points où se trouventles.centres de rotation, chaquenappe correspondant seulement à un de ces plans.Pour discuter plus facilement toutes les circonstances decette réduction des surfaces du troisième degré à des surfacesdont les équations sont moins élevées, je prends de nouvellescoordonnées x', y', z* dont l’origine est au point donné etdont les axes sont parallèles à ceux dés x, y, z des calculsprécédens, en sorte que XS=XT\-X', yz=iY-\->y !,ZzsZ~V-z ;alors l’équation générale de la surface conique prend cetteforme très-simple,64 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
Nous avons déjk vu ce qui résulte 'de la première, quand lepoint A tombe en £ ;on fait Xzzzp, Yzsq, Zz=zo, etelle devient ;, - ;, !\alors l équation ;de la surface conique se réduit à et lés deux autres équations du troisième degré se changent en , ".qui se décomposent chacune en deux facteurs,dont l’un z'zzzoreprésente da.ns les deux cas le plan des xy, et dont l’autredonne une surface sphérique passant toujours par le pointdonné L, et dont le centre a pour coordonnées, à partir deSi Ion prend le second facteur z z=zo de ces deux équations du troisième degré, il rendra identique celle de la sur-^face conique, et les centres de rotation des axes permanens
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS, 6* 5
passant par le point L, qui sont dans le plan des x y, resteront indéterminés ; ce qui doit être, puisqu’ils sont compris,sur ce plan, dans la courbe dont l’équationest essentiellement du troisième degré, et ne peut* en conséquence,-être donnée par l’intersection du plan des .v^ avec•des surfaces sphériques.Je ferai remarquer, au sujet de cette dernière équation ,qu’on peut l’écrire ainsi,et qu’on voit alors qu’elle est satisfaite en faisant py' zsq x',et A*' et/ infinis: Elle a donc pour asymptote la droite représentée par cette dernière équation, qui est précisémentcelle qui passe par{ le point L et par le centre d’inertie ducorps ; ce qui était aisé à prévoir d’après ce que nous avonsdit plus haut de cette droite.Si l’on égale, au contraire, à zéro les premiers facteursdes mêmes équations, il faudra, pour que les.équations dessurfaces sphériques qui en résultent aient lieu, qu’on n’ait pasZ' '= o ; elles ne détermineront donc des centres de rotationpar leur intersection avec là surface conique, qu’autant qu’onlés combinera avec l’autre facteur Dpy' *\-u'q x' z=± o del’équation de cette surface, équation qui représente le plandirecteur dont le centre de convergence est au point Lt eten effet, ces deux surfaces sphériques coupent ce plan dansla même circonférence que fa surface exprimée par l’équationpuisque leurs équations ne diffèrent de cette dernière que 166 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
parce que la quantité ■ , ^ ^-7- y est relhplacée par une de ces deux-ci, — , — » et que ces trois quantités deviennent égales pour les points compris dans le plan direc. teur dont le centre de convergence est en /, n vertu del’équation même de ce plan Dp y' *\-D’ q x'=z o, et de larelation D -4- D’ -4- D"^z=. o. :'Supposons maintenant que le point donné/f tombe en L(fig, 2)  sur l’un des axes principaux, et qu’on prennecet axe pour celui des A*, il faudra faire Xzzzzp, Y zzz. o,Z = o. L’équatiprç de la surface conique se, réduit alors ày' z' = 0, et les trois autres deviennentCette dernière équation exprime, comme celle de la surfaceconique,,les deux plans coordonnés des 'xy et des .v z> quoiqu’il lie suive pas nécessairement de ce qu’on trouve ainsi lamême équation / z* ^ ° pour deux surfaces qui doivent serencontrer dans la ligne des centres de rotation des axes permanens passant par le point L , qu’on ait à-Ia-fois y z=z oZ ==0 sur une des branches de cette ligne: il esta remarquerque le système de ces deux dernières équations représentel’axe des x dont tous les points sont, en effet, comme on l’avu dans ce qui précède, des, centres de rotation relativementà cet axe lui-même qui passé par le point L. La même observation s’applique au cas où l’on prend dans les deux premièreséquations du troisième degré-leur second facteur, qui est/
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 6j
dans l’une et z' dans l’autre, pour le combiner avec i'équationy' z' zz= o, qui représente les deux plans dont se composealors la surface conique. Mais l’on se tromperait fort, et l’ontrouverait des points d’intersection qui ne seraient pas descentres de rotation d’axes permanens passant par le point L,si l’on croyait que içs premiers facteurs des mêmes équationspeuvent se combiner arbitrairement avec ceux de l’équation *y' z = o. En effet, pour que la première des trois équationsci-dessus donneil faut qu’on n’ait pas y' =o, et par conséquent la surface, spjhérique exprimée par cette équation ne doit être combinée Qu’avec le plan représenté par celle-ci 2':=o, c’est-àdire avec le plan des x y ; leur, intersection est une circonférence dont l’équation est/' ==î — (p4—ATÎT) X' — *'*•p "qui passe par le point L et dont le diamètre est —*--g p.C’est sur cette circonférence que se trouvent tous les centresde rotation des axes permanens passant par le point L, quisont situés dans te pian des x y.De même, pour que le premier facteurde la seconde équation soit nul, il faut qu’on n’ait pas £':=o ;il faudra donc réunir l’équation qu’on obtient, en l’égalant àzéro, avec/ = o, équation du plan des x z> pour avoir cellede la circonférence sur laquelle se trouvent tous les centresde rotation des axes permanens passant par le point L qui
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sont dans ce dernier plan » on trouve ainsi l’équationqui est en effet celle de cette circonférence, comme on auraitpule conclure, de l’équation trouvée iplus haut entre z etV>en y faisant q zzz o, tsi-x' ; et £:= g'. '  ; ,Résumé.ON sait qu’une ligne étant prise à volonté dans un corps,il peut arriver quatre cas: f s ïj \ii.d Qu’elle soit un axe permanent Relativement à-fiblis lespoints’de sa longueur : ce cas 1 ne péut’aVbir Heutjife-pourlés axes principaux ; 'u"' .'  ! f : ■ "b2. 0 Qu’elle soit un axe permanent pour un point de salongueur, qui est toujours unique : c’est lé*'cas dé tous lesaxes permanens proprement dits ;3. 0 Qu’elle soit UiVe limité d’axes pèrinânéns : ilrésiiUé'désformules précédentes, et il est également aisé de conclure desthéorèmes siir les axes principaux Jpnnés par M, Binet, quecette propriété appartient’ exclusivement à toutes tes droitespassant par le centre d’inertie J ,,4.° Qu’elle ne tombe dans aucun des trois cas précédens:ce qui ne peut arriver, d’après ce qu’on vient de voir, qu’àdes lignes qui ne passent pas par le centre d’inertie., Par un point donné autre que-le centre d’inertie, oit nepeut donc faire passer que- ;trois sortes de lignes, et on enpeut toujours faire passer trois sortes, savoir s vUne infinité d’axes permanens : H y en a au moins troisqui ont leur centre de rotation à ce point ;
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 6p
Une ligne servant de limite.à ces:.axes, c’est la droite quijoint le point donné au centre, d’inertie ;Enfin dés lignes qui ne sont ni axes permanens ni limitesd’axes permanens.J’ai trouvé ; " ' '■■'■'■'ï.é Qùe'Ies premières forment par leur réunion une surface conique du second degré dont l’équation est très-simple ;,2.°, Que tous les axes permanens qui passent par le pointdonné 'sont’'compris dans deux plans rectangulaires, lorsquece^oint 'est situé sur "un des plans principaux passant par lecentre d’inertie : l’un des deUx plans rectangulaires est ce planprincipal lui-méiné ; l’autre, qui lui est perpendiculaire, setrouve déterminé 'èpmpléfeinent parla situation du pointdonné et les’valeurs dés momens d’inertie des trois axes prinçipaux ; .,'… ;. ;3.° Que si l’on multiplie, les trois différences entre lesmomens d’inertie relatifs aux trois axes principaux, respectivement’ par ,lès,cosinus des '.angles qu’ils forment aVec '' la|jgne,qui jdjnt(,Ie ;point donné au centre d’inertie, et qu’ondjlvjs) e,,Ies. produits ainsi obtenus par les cosinus dés anglescpinprjsentre les,mêmes’axes et une ligne quelconque passantpar,.lejpoint,dp^mé, cette ligne sera ou ne sera pas un axepermanent,, suivant que la somme dés quotiehs résultant deces divisions sera ou ne sera pas nulle, bien entendu queles différences e\\\re les momens d’inertie relatifs aux troisaxes principaux doivent être prises de manière que chaquemoment d’inertie entre une fois positivement et une fois négativement dans ces différences ;4'° Qiie, dans le cas où l’on s’est assuré ainsi qu’une lignedonnée est un axe permanent, et qu’on veut déterminer soncentre de rotation, il faut abaisser du centre d’inertie une perpendiculaire sur cette ligne, et prendre, à partir du point K(fig, t)  où elle la rencontre, une distance égale à une des valeursdeK 0données page 33 ; l’autre extrémité Ode cettedistance sera le centre de rotation cherché : ou bien déterminer ce centre par la construction décrite pages 33 et 34 »5.°Qiie, dans tout plan mené par le point donné et lecentred’inertie, il y a un axe permanent passant par ce point et déterminé par les formules données pages 18-ip ;,6.° Que, dans le cas où le point donné est sur un des plansprincipaux, et où tous ïes axes pérmaneiis qui y passent sansêtre compris dans ce'plan se trouvent dans u ri autre planperpendiculaire au premier, les centres de rotation de ces àxèssont situés sur une circonférence qui passe par le point doiinéet y touche la droite qui y est élevée'perpendiculairement auplan principal, droite qui est elle-même un axe pérnianent ;7. 0 Que les plans différons des plans principaux où setrouvent ainsi une infinité d’axes permanens menés par immême point situé dans leur intersection aVéé Un plan principal, softt nbrmaux'à une section conique qui passe parcepoint i et qui est ; coiriprise dans !e plan principal ; l8i° Qi\é toutes celles de ces sectionsi coniques qui sbfttcomprises dans un même plan principal sont semblables entréelles, et ont leurs axés dans le rapport des’racines’carréesdes.différenbéé entre le moment d’inertie relatif• à ce ' planprincipal et lés mPnieiVs d’inertie relatifs àiix deùk autresplans principaux ; :o,* Que ces sections coniques sont <Jfés,s hyperboles surle plan principal dont le moment d’inertie est Intermédiaireentre les momens d’inertie des deux autres plans principauxet des ellipses sur ces derniers ;i o.° Que si l’on veut trouver la valeur du moment d’inertied’une ligne donnée qui satisfait au caractère auquel on reconnaît les axes permanens, il est aisé de la trouver par l’expression algébrique ou par la construction géométrique que nousavons données !, aux pages 49 e* 5 ° » pour ; déterminer cemoment d’inertie ; : ' : i ^ s iI"I,° Que la ligne sur laquelle se trouvent tous les centresde rotation des axes pérmànehs passant par un point donné,est déterminée par l’intersection d’une surface du troisièmedegré aveé la surface cohique qui comprend tous ces axes ;11,° Qu’il y a en général trois surfaces du troisième degréqui peuvent servir indifféremhient à cette détermination ;13, 0 Que qaand le' point donné est dans un des plans principaux, et que la surface conique devient un système de deuxplans, une des trois, surfaces reste du troisième degré etdonne, par ses intersections avec les deux plans de ce système,tous tes centres de rotation cherchés, tandis que les deux autressont remplacées chacune par une surface sphérique et un planqui se confond avec un des plans de la surface conique, ensorte que rien rie détermine plus les centres de rotation dontl’intersection de ces deux plans devrait donner le lieu, maisque ceux de l’autre plan de la surface conique continuentd’être déterminés par l’intersection commune de ce dernieret de la surface sphérique correspondante ;l4'a Q.ue, dans te cas où le point donné est sur un desaxes principaux, et que la surface est remplacée par le système des deux plans principaux qui passent par cet axe, unedes trois surfaces se change précisûnent dans ce même système et peut être regardée comme ne déterminant plus nécessairement des centres de rotation d’axes permanens passantpar le point donné, mais qu’elle indique cependant par l’intersection des deux plans dont elle se compose ainsi que lasurface conique, les centres de rotation situés à tous les pointsde l’axe principal sur lequel se trouve ce point donné ;15. 0 Que, dans le même cas, les deuxjaitres surfaces sontremplacées par deux systèmes composés chacun d’un plan etd’une surface sphérique ; qu’on ^retrouve ainsi les. deux plansprincipaux dont l’intersection donne tous les centres de rotation situés sur l’axe principal qui'passe par. te point donné ;que chaque surface sphérique ne' dpit être combinée qu’avecun des plans dont se. compose alors la surface conique, ety détermjne tous les centres de rotation des axes permanenspassant par le point donné qui sont situés dans ce plan sansl’être sur l’axé principal inené par lé mérite point.
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Addition au mémoire précédent jw ;, le Mouvement 4 .un. Corps, qui n est :sojimis à faction d aucune •••'. ; ;■••■•.■. ,l. force, a.ccélêratrice\.v y .u-y iPj ■>>•,■,, . .i
O. •
Npeut distinguer trois cas dans ce mouvement i celui bù'lé corps
est. assujetti à tourner .autour d’un axe donné dsei p o s i t ipjti ^, ,c e lu i, o ù j !peut pirouetter en tout sens autour d’un point fixe, celui où il est entièrement libre, Le ; premier de'ces trois cas ïié présentant aucune difficulté', nous’ne nous occuperons ici que des deux derniers,- , t ! vAvant • dé notis livrera 'cette récherche, il faut nous’faire nine- idéeprécise de la manière dbnt’ ôïr petit: déterminer à chaque instant laposition d’un corps, qui peut tourner en tout sens autour d’un, ppiiudonné auquel il est lié d’un manière invariable,On prend à volonté pour cela trois.droites, perpendiculaires entreelles, fixes dans l’espace, et,passant par le point donnétces,(lrpis,droitessont les trois axes d’un.premier système de coordonnées, .v,,1.,, ?., ,, » i • * s ' t * . • ' '. »-'■.■■ * …… I ; j- : -, , I i ' t fi : t Jv ' ,- , ^ ' 1 ;On prend ensuite trois autres droites, passant par le m^nîe^ppintet rectangulaires, entre elles, mais liées invariablement avec,^pprps(etse mouvant avec lui : ces droites sont les axes d’un secpndLsystème decoordonnées^,^^g,. :: ;,, … ; r ;/ .j , .,. '. ,i-:..|rn(). ; ..j,.. ;, ;.. ■•La position relative de'ces deux systèmes dépend, en général .detrois angles ; ceux qu’il est le plus, commode d’employer « pour da ; déterrminer, sont les deux anetes formés .par les axes des, A- et des, .* .avecta droite qui est la commune intersection des plans des .v/et’des.v, y\t et l’angle dicdi-e 1 formé' paV ces’deux plans". Cie^îcrnier ÏHjjê 1 estévidemment égal à l’angle plan compris entre l’axé'des’jj’ek cèltirÛés’ zt>K( 74 ) Quant aux deux autres, on les détermine lorsque l’on connaît les anglesformés par chacuri des mêmes axes avec les deux autres axes de l’autresystème, au moyen du théorème suivant:Nommons et et j8 les angles compris, soit entre l’axe des z, et ceux desA- et des y, soit entre l’axe des z et ceux des A*, et des yt% nommons /l’angle formé par l’intersection des plans des A*^ et des x, y ; dans le premier cas avec l’axe des A-, dans le second avec l’axe des ,v ; : les plansdes angles et et /3 étant prolongés jusqu’au plan perpendiculaire à leurcommune intersection, formeront, dans l’angle dièdre compris entreles plans {des xy et des A* /y >y .deux triangles sphériques rectangles donttes côtés opposés à cet angle dièdre seront égaux à ~ ~— au et à 2- —/3, et dont les hypoténuses seront y » et / -h —.or, quand deux trianglessphériques rectangles ont un angle commun, les sinus des côtés opposés à cet angle sont proportionnels aux sinus des hypoténuses : onaura donc cos /3 : cos « t :: cos p x sin / :: i : tang /, et par conséquent, ,, COS « On a coutume, pour rendre simples et symétriques tes calculs oùl’oùcPiisidèrè, dans leurs rappprts mutuels, tes deux systèmes d’axesdbniVious 1 venons de parler, de désigner par a,b, c, tes cosinus desangles qiieforme Taxe des x avec ceux des .v,, yt, z,> Par rt’> t>» c>* *euxdé l’RXèdés^ avec les mêmes axes ; enfin par a\ b'\ c", les cosinus desàrigtes cbmpris entre eux et l’axe des z i alors x si a xt -4- 6yt ^h cg, >yzz>:àfxt4-b'yt-hc’t,,- z^a"x,*++ù*yt-t~ e"zt, Si l’on nommeô l’angle compris entre le plan des xy et celui des X, y,t \ et <p lesangles que forment les axes des x et des xt avec l’intersection de cesdeux plans, on aura cos ô:=r", et, en vertu du théorème précédent,tàfig + £='-£• » et tàng <p z=-~->,. fyWfll tes neuf quantités at,b, c, a', b\ c\ a", b", c", trois seulementsont int|£pendantes, et tes six autres sont liées avec elles par les équations(75)  si l’on tire des deux dernières les valeurs de c et de c’, on aura nombre constant qui reste à déterminer. on aOn peut donc prendre également « == t ou n zs —« i : en adoptant lapremière de ces valeurs, il vientLes équations de l’équilibre d’un système de points matériels liés invariablement entre eux , qui est assujetti à tourner autour d’un pointfixe, et dont les particules sont soumises à l’action de forces motricesreprésentées par ^V, K, Z pour te point m, par Xt, Yt> Zt pour le point/w,, &c. étanton aura, pour les équations du mouvement,(7*) Lorsque le systpme, n.'est spumis’à Ta,ction d’aucqne. force extérieure, ceséquations deviennent * < . ,dont les intégrales relatives à la variable t sontCes équations expriment que les sommes des momens des quantitésde mouvement in—-,— > m~r—> ih*~-> de chaque particule du corps,• '. ', }. . , _ . ,. V', a t ,. ;, d t’ d t * , * » • . *autour de trois axes fixes dans l’espace, restent constantes pendant toute,la durée dit mouvement.pour lés vitesses du point « /, parallèlement aux A'>_y, g, oh en déduirales valeurs de celles du mêirie point, parallèlement aux xltyt, z]> euprojetant les premières sur les directions de celles-ci. En faisant, pourabrégea, .où nous avons pris positivement les termes^ de la forme b -j^-> c -V— »a -jj> parce que ce sont eux qui correspondent aux termes ,y "jj~*.(77) :^ ""rfT’"x lriJi *lm’ ^'ont ^ dans les équationset en ajoutant les projections qui appartiennent à chacun des axes desA,, desyf et des z,> on trouve, pour ces dernières vitesses,quantités de mouvement autour des axes des a*,, yt, z,* sontEn les représentant par U, K Wt et en faisant attention que, pour avoirles sommes,des mêmes momens autour des axes des x, des y et des g,qui sont respectivement égales à /, /' et /", il suffit d’y appliquer lemême mode de projection par lequel on passe des valeurs de xt,y/tZt>à celtes de x,y, g, on obtiendra, pour les trois équations qui expriment toutes les conditions du problème,Si l’on prend pour les axes des .v,, des^, et des zt> tes tl’°'s axesprincipaux du système relatif au point fixe où l’on a placé l’origine descoordonnées, on aura £/t=-—/JSW^'-I- ?/). VZS.— r/Sw/Ç.v/H-g'*) ,Wsz—i'S/« (.v/4- ;/)  ; ce qui simplifie beaucoup les trois équationsprécédentes. Lorsque le système est un corps dont la masse est continue,it faut remplacer m par dm, et le signe S par/, en sorte qu’en nom-:(7*.>mant A, B, C, les trois momens d’inertie du corps pris par rapport àces trois axes principaux, Ust—Ap, Vsi-~Bq, Wsz—Cr, et queles trois équations deviennent a A p -\- b B q ~\- c C r si — l,a'Ap-hb'Bq-{-c’Crzs — l’,a"Ap-t-b"Bq+-c"Crsz—.l".En les différenciant, on aEn multipliant maintenant et ces équations elles-mêmes et leurs différentielles, d’abord par a, a, a", ensuite par b, b', b", enfin par c, c, c",et ajoutant tes produits obtenus dans chacune de ces six opérations, ontrouve, en vertu des relations entre les neuf quantités a, b, c, a', b', c, a",b", c", et des valeurs de p, q, r, que Ap si —al—a'l’~~a" l", Bqsz.En multipliant ces trois équations, respectivement par p,q, r, ajoutantles produits et intégrant, on a A p*~\~Bqx*-\~Crxzskx, et en tesmultipliant de même par Ap, Bq, Ct, et intégrant, il vient//' et kx étant deux constantes arbitraires.d rOn tiré de ces dernières équations et de C -j^ s\(B—A) pq, celles-ci :(79)  ,et la détermination des valeurs p, q, r, en fonction de t, est ain ?» réduiteà une seule intégration par quadrature ; cette intégration ne peut s’effectuer sous forme finie que dans des cas particuliers que nous examinerons par la suite.En ajoutant les carrés des valeurs de A p,de Bq et de Cr, on trouved’où il suit, d’après la théorie des momens, que la constantek si y'/ 1 n-/'*4-/"* est la somme des momens des quantités de mouvement autour de l’axe passant par l’origine pour lequel cette sommeest la plus grande possible, et que cet axe forme, avec ceux dès x, des yet des z> des angles dont les cosinus sont -j-> -7- et -r-> valeurs constantes d’où il résulte, conformément à un principe général de mécaniquedont ce résultat est un cas particulier, que la direction de cet axe estinvariable. Nous verrons bientôt comment on la détermine, à l’époqueoù l’on commence à considérer le mouvement , d’après les donnéesqui déterminent le mouvement à cette époque.Puisque cette direction est invariable, on peut prendre l’axe dont nousparlons pour celui des g » alors, lszot l’zso, l"s:k, les valeurs deA uA p, Bq, Cr> se réduisent à un seul terme, et l’on a a' zs — —ja>II reste à trouver tang ^ =r -p ' pour cela, on différenciera cetteéquation et t on aura(8o) -Donc’-' '■ - •■■ >'■■ ■•-■<■■ ■■ ,' .' • - :'- '■■:••' ■■■-■' ■■ !l--- ■- K-  !'-'Éliminons,-■— ;- entre les deux équations ■,■-„..„.et d^si ■^i_.gi>!y k dt, où il faudra remplacer « / r par sa valeur en ret r/r, trouvée ci-dessus : on atira ainsiet en intégrant-cette quadrature, le problème sera complètement résolu,puisque 4/^l) \\iie^& déjà été déterminé en fonction dé t par une autre quadrature.(,… -\.•■■■ ;< .v-7 .:.- ,
7'- 7= YK'- ; ,-• ; FIN.