Une première année d'arithmétique
A. G. C.
Peltier-Voisin, 1843


Îjl première annéeSAIKT-CALA1S, IMPRIMERIE DE PELTIEU-VOISIK.
UNE PREMIÈRE ANNÉE
D’arithmetique,ContenantLIS DÉFINITIONS PnÉLIMINAlBES DE CETTE SC1EXCE ,L’EXPOSÉ DU SYSTÈME MÉTRIQUE,
S£sa quatw opctattono fonliamtntalco lie t’atitbmelique ,LES PREUVES RAI SONNÉES DE CES QUATRE OPÉRATIONS
et une méthode
POUR CHANGER LES FRACTIONS ANCIENNES
EN FRACTIONS DÉCIMALES.A l’usage des Petits Enfans.
^-"-r^ PAR. A. a-G.
SAINT-CALAIS,
PELTIER-YOISIN, LIBRAIRE,
— - Place de l’Eglise.
13 W.

PRÉFACE.
L’expérience m’a démontre qu’après la numération et
l’exposé du système métrique , un maître chargé d’enfans
de huit à dix ans ne peut espérer d’aller au-delà
des quatre règles dans le court espace de dix mois. C’est
ce qui m’a décidé à livrer à la presse ce petit recueil
destiné aux commençants. Je le crois simple et clair ;
et, tout dégagé qu’il est de démonstrations élevées, il
est suffisamment raisonné. Je n’ai point chargé mon
opuscule de problèmes. Un maître quelque peu exercé
saura toujours en dicter de proportionnés à la force do
ses élèves.Puisse ce faible gage de ma sollicitude pour le jeune
 ;*gc Otre utile à ceux auxquels je le dédie | j’aurai
obtenu tout le but que je me suis proposé.A. G. C.
PREMIÈRE LEÇON.

DÉFINITIONS.

L’arithmétique est la science qui enseigne
à effectuer diverses opérations sur les nombres.


Un nombre est la réunion de plusieurs
unités de même espèce.

On appelle unité un objet seul servant de
terme de comparaison à toutes les quantités
de même espèce: Le mètre, le franc , le litre,
le gramme etc. sont des unités.

On entend par quantité tout ce qui est
susceptible d’augmentation ou de diminution:
L’étendue des choses, leur prix, les poids ,
les mesures, les monnaies, les diverses parties
du temps etc. sont des quantités.

On distingue plusieurs sortes de nombres ;
le nombre abstrait, le nombre concret , le
nombre entier, le nombre fractionnaire et
les fractions.

_ 6 —

Le nombre abstrait est celui qui ne désigne
aucune espèce d’unités , comme deux ,
trois, vingt etc.

Le nombre concret en désigne une espèce
quelconque ; comme quatre mètres , vingt
francs , cent litres etc.

Le nombre entier est celui qui n’exprime
que des unités entières ; comme cinq grammes,
douze francs etc.

Le nombre fractionnaire contient des uninités
entières accompagnées de subdivisions ;
comme six mètres, vingtnrinq /centimètres.

Les fractions sont des nombres qui ne
contiennent que des subdivisions de l’unité j
comme deux dixièmes, trente-cinq centièmes
, trois cinquièmes, six onzièmes etc.
DEUXIÈME LEÇON.
NUMERATION.

La numération est l’art de former, d’énoncer
et de représenter les nombres.

— 7 —

On la divise en numération parlée et en
numération écrite.

Pour former les nombres on a d’abord
conçu Yunifë ; on a ajouté l’unité à ellemême
et l’on a eu deux ; l’unité à deux,
et l’on a eu trois ; Y unité à trois, et l’on a eu
quatre , et ainsi de suite.

On énonce les nombres au moyen d’une
petite quantité de mots que l’on appelle noms
de> n&mbtes , tels que un , deux, trois, iix,
vingt, cent ete> : c’èist l’objet dte h/ vnmirdti&n
parlée.

On représente les nombres avec une quanr
tité limitée de caractères , que l’on appelle
chiffres , et qui sont 1,2., 5 , 4-r 5, 6. » 7 ,t 8 ,
9 , 0. C’est l’objet de la numération: écrite.

Lés neuf premiers Ghiffrés 1 ont par euxmêmes
une valeur réelle. Le £êfo> ne sert
qu’à donner au chiffre placé à sa gauche une
valeur dix fois plus grande que celle qu’il a
par lui-même.

Ainsi la numération parléé énoncé les nombres
paF la parole ; et la numération écriée
les représente par des chiffres.

- — 8 —

Pour exprimer tous les nombres possible^
au moyen de dix caractères seulement on est
convenu 1° Que tout chiffre placé à la gauche
d’un autre vaudrait dix fois plus que
s’il était seul ; 2d Que de dix unités simples
on en formerait une nouvelle que l’on appellerait
dixaine ; de dix dixaines, une centaine
, et enfin de dix centaines "une unité
appelée mille.

Arrivé auxmille , on les considère comme
de nouvelles unités qui ont aussi leurs
dixaines et leurs centaines : on arrive par
ce moyen aux millions, aux billions ou milliards
été*

D’après celte formation, principe du système
décimal, un nombre, quelque grand
qu’il soit, n’est que l’assemblage d’autres
nombres plus petits, composés de trois chif'-
fres chacun ; d’où l’on tire ces deux règles :

1° Pour représenter en chiffres un nombre
quelconque , commencez par la gaucho
à écrire les unités les plus fortes, puis les
autres en avançant toujours vers la droite,
observant que chaque espèce d’unilés ne con-

— 9 ~

tient que trots chiffres, et que si dans l’énoncé
il n’y en a pas trois, on doit remplacer
par des zér os les centaines, les dixaines
et les unités qui manquent.

2° Pour énoncer un nombre écrit en chiffres
, séparez-le en tranches de trois chiffres
chacune, en partant de la droite , jusqu’à ce
que vous soyez arrivé à la dernière, qui peut
en avoir moins de trois. La première tranche
à droite prend le nom de tranche des unités ,
la seconde est la tranche des mille, la troisième
celle des millions etc.

Nous remarquerons ici que les chiffres ont
deux valeurs, l’une absolue et l’autre relative.
La valeur absolue d’un chiffre est celle
qu’il a par lui-même et indépendamment de
la place qu’il occupe.

La valeur relative est celle que lui donne
le rang qu’il tient. Dans 1h par exemple, la
valeur absolue de 2 est 2 unités , et sa valeur
relative est deux dixaines ou vingt..

Concluons de ce qui précède que tout chiffre
suivi d’un , deux ou trois zéros est dix
fois , cent fois , mille fois plus grand que s’il

1.

— 10 —

était seul ; et réciproquement qu’en supprimant
à sa droite un, deux, ou trois zéros ,
on le rend dix fois, cent fois , mille fois
plus petit.

TROISIÈME LEÇON.

FRACTIONS DÉCIMALES.

On appelle fractions décimales des parties
de l’unité qui sont dix fois , cent fois , mille
fois plus petites qu’elle, et de dix en dix fois
plus petites les unes que les autres : on les
appelle dixièmes , centièmes , millièmes etc.

Les fractions décimales s’énoncent dans
l’ordre suivant : 1° à la droite des entiers ,
dont on les sépare par une virgule et la lettre
initiale de l’espèce d’unité , les dixièmes, 2°
les centièmes, 3° les millièmes etc. On remplace
par des zéros les ordres qui manquent.

Quand il n’y a pas d’unités entières, avant
d’écrire les décimales , on pose d’abord 0
suivi de la lettre initiale de l’unité qu’il représente
 ; par exemple 0m 25.

— 11 —

Les fractions décimales se lisent comme
les nombres entiers , et prennent la dénomination
de la dernière à droite ; par exemple
0m 255 millimètres.

NOTA. 1° Un nombre entier accompagné
de fractions décimales devient 10 fois, 100
fois , 1000 fois plus grand ^lorsqu’on reporte
la virgule d’un , deux ou trois rangs vers la
droite ; et réciproquement il devient 10 fois ,
100 fois , 1000 fois plus petit, si on la reporte
vers la gauche d’un , de-jx ou trois
rangs.

NOTA. 2° On ne change pas la valeur des
Ghiffres décimaux en mettant des zéros à leur
droite. On a plus de parties, mais des parties
d’autant plus petites, ce qui fait qu’il y a
compensation.

QUATRIÈME LEÇON.

SYSTÈME METRIQUE.

Le système métrique est l’ensemble des
principes d’après lesquels on a détermiaé les
poids et les mesures.

—. 12 —

Il est appelé métrique, parce qu’il a le mètre
pour base , et légal parce qu’il est le seul
autorisé par la loi.

Le mètre est une mesure de longueur
équivalant à la dimillionnième partie du
quart du méridien terrestre.

Les unités du système métrique sont au
nombre de six , savoir : le MÈTRE , I'ARE , le
STÈRE , le LITRE , le GRAMME et le FRANC

Le MÈTRE est la mesure linéaire ou de
longueur.

L’ARE est la mesure des surfaces : c’est un
carré qui a dix mètres de côté , ou cent mètres
de superficie.

Le STÈRE est la mesure des bois de chauffage
: c’est le mètre cube , c’est-à-dire un solide
qui a un mètre sur chaque face. Un dé à
jouer en présente la forme.

Le LITRE est la mesure des boissons et des
grains : C’est une mesure de forme cubique
dont les dimensions intérieures sont égales à
un décimètre. Le litre usité a la contenance
mais non la forme légale.

— 13 —

Le GRAMME est la mesure de pesanteur : il
équivaut au poids d’un centimètre cuhe d’eau
distillée, ramenée à son maximum de densité.


Enfin le FRANC est l’unité monétaire : il
contient neuf dixièmes d’argent, et un dixième
d’alliage. Son poids est de cinq grammes.
Ainsi une pièce de 5 francs pèse 25 grammes.

Pour composer les multiples et les sowsmultiples
de ces six unités on a employé
sept mots en tout, ce sont :
MULTIPLES,DBCI qui signifie 40HBCTO qui signifie 100KILO qui signifie 1,000MYEIA _qui signifie 10,000SOUS-MULTIPLES.DBCI qui signifie dixième.
CBKTI qui signiûe centième.
MILLI qui signifie millième.
REMARQUE. Le mètre prend toutes ces dénominations
 ; le stère ne prend point de multiples
et n’admet que le premier des sous-multiples.
Le litre admet les quatre premiers
multiples, et les trois sous-multiples. Le
gramme admet les sept mots. L’are n’admet
que Yhecto et le second des sous-multiples
sous les noms de hectare et centiare. Le franc
ne reçoit aucun des multiples , et prend deux

— 14. —

sous-multiples sous le nom de décimes et
centimes.

COROLLAIRE.

L’are dérive du mètre en ce que c’est un
décamètre carré.

Le stère en ce que c’est un solide qui a un
mètre sur six faces.

Le litre en ce que c’est la contenance d’un
décimètre cube d’eau.

Le gramme en ce que c’est le poids d’un
centimètre cube d’eau distillée.

Enfin le franc en ce qu’il pèse cinq grammes.


CINQUIÈME LEÇON.

DES OPÉRATIONS FONDAMENTALES
DE L’ARITHMÉTIQUE.

Les opérations fondamentales de l’arithmétique
sont Y addition, la soustraction, la
multiplication et la division.

— 15 —

Le signe de l’addition est -j- qui signifie
plus où ajouté à.

Le signe de la soustraction est — qui signifie
ôté de ou moins.

Le signe de la multiplication est X qui signifie
multiplié par.

Le signe de la division est : qui signifie
divisé par.

Le signe de l’égalité est s qui signifie
égal à.

SIXIÈME LEÇON.

DE L’ADDITION.
\Jaddition est l’opération par laquelle on
joint ensemble plusieurs quantités de même
espèce pour en former un seul nombre qu’on
appelle somme ou total.

Par quantité de même espèce on entend
celles qui ont le même nom , comme des mètres
, des grammes , des francs.

— i6 —

Pour faire une addition , on écrit les nombres
à réunir les uns sous les autres , de manière
que les unités de même ordre se correspondent ;
c’est-à-dire, les unités sous les
unités , les dixaines sous les dixaines etc. ,
comme dans l’exemple suivant.
67429 3541 835 28
34.

Les quantités ainsi posées , on commence
le calcul par la droite, afin de porter les dixaines
provenant de l’addition des unités à la
colonne des dixaines , et les centaines qui
proviennent de la colonne des dixaines à la
colonne des centaines, et ainsi de suite.

EXEMPLE.

Une personne a reçu les quatre sommes
suivantes : 125 francs, 234 francs , 345
francs , 456 francs. Voulant savoir ce qu’elle
a reçu en tout, elle dispose ainsi son opération.


g^wtfX _ i ? -

^-JL-^ 456

Total. Î160

Les quantités ainsi écrites les unes sous
les autres et dans l’ordre convenable, elle
dit en commençant par la droite : 5 et 4 font
9 , et 5 font 14, et 6 font 20 ; en 20 il y a
deux dixaines , je pose 0 sous les unités , et
je retiens les deux dixaines que je reporte au
rang des dixaines. Passant à la colonne des
dixaines , elle dit : 2 de retenus et 2 font 4,
et 3 font 7 , et 4 font 11, et 5 font 16 ; en 16
dixaines il y a une centaine et 6 dixaines , je
pose6 au rang des dixaines, et j’additionne une
centaine de retenue avec la colonne des centaines
en disant : 1 et 1 font 2, et 2 font 4, et
3 font 7 , çt 4 font 11 , je pose 1 au rang des
centaines, et j’avance 1 au rang des mille,
ce qui me donne un total de 1160 francs.

L’addition des fractions décimales se fait

comme celle des nombres entiers ; mais à la

droite du résultat on sépare par une virgule

autant de chiffres décimaux qu’il y en a dans

le nombre qui en a le plus.

2.
-r. 18 —

EXEMPLE.

Un marchand a vendu 1° 425™ 25. 2° 64.1m
75. 5° 318m 235. Désirant connaître le total
de ce qu’il a vendu , il dispose ainsi son opération.


425° » 25
641—75
518-235

Total. 1585™ 235

Les nombres ainsi posés, il commence par
la droite et dit : 5 est 5 ; je pose 5 à la colonne
des millièmes: passant aux centièmes
il dit : 5 et 5 font 10 et 3 font 13 ; en 15 centièmes
il y a un dixième et 3 centièmes ; je
pose 3 sous les centièmes et je dis : 1 de retenu
et 2 font 3, et 7 font 10, et 2 font 12 ;
en 12 dixièmes il y a une unité plus deux
dixièmes , je pose 2 au rang des dixièmes ,
et je dis : 1 de retenu et 5 font 6, et 1 font
7 j et 8 font 15 , je pose 5 et je retiens une
dixaine pour la joindre auxdixaines.il continue
ainsi l’opération , et obtient pour résultat
1585m 235.

« 19 —
SEPTIÈME LEÇON.
DE LA SOUSTRACTION.

La soustraction est une opération par laquelle
on retranche un nombre jl’un autre
nombre plus grand pour connaître de combien
le plus grand surpasse le plus petit. Le
résultât de l’opération s’appelle reste, excédent
ou différence.

Pour faire la soustraction on écrit le nombre
à soustraire au-dessous de l’autre, de
manière que les unités de même ordre se
correspondent ; on souligne le nombre inférieur
pour le séparer du résultat ; ensuite
on retranche successivement, en commençant
par la droite chaque chiffre du nombre
inférieur de son correspondant dans le nombre
supérieur et l’on écrit le reste au-dessous
ou zéro s’il ne reste rien.

EXEMPLE.
Un voyageur qui avait 8648 francs , en
-r- 20 —
a dépensé 7427 : voulant savoir ce qui lui
reste , il dispose ainsi ses deux sommes :
86487427
Reste. 1221 francs.

Puis commençant par les unités , il dit : de
8 Olez 7 , reste 1 ; de 4 ôtez 2 , reste 2 ; de 6
Olez 4 , reste 2 ; et enfin de 8 Otez 7 reste 1.

NOTA. 1° Quelquefois le chiffre inférieur
est plus fort que son correspondant du nombre
supérieur : Dans ce cas on ajoute à celuici
dix unités pour rendre la soustraction possible
, et, lorsque l’on passe à la colonne
suivante , pour qu’il y ait compensation on
augmente le chiffre inférieur d’une seule
unité qui vaut les dix unités ajoutées au chiffre
supérieur :

EXEMPLE.

De 862617
Otez 254872

Il reste. 607745
MANIÈRE DE PROCÉDER.
De 7 Otez 2, reste 5 ; de 11 Olez 7, reste 4 ;

— 21 —

de 16 Otez 9, reste 7 ; de 12 Otez 5, reste 7 ;
de 6 Otez 6 , reste 0 ; enfin de 8 Otez 2 , reste
6 : ce qui donne une différence de 607745
unités.

NOTA. 2° Quelquefois le chiffre sur lequel
on doit emprunter est un zéro. Dans ce cas
on s’y prend comme dans le précédent.

Par exemple, voulant ôter de la somme
de 670620 francs.

Celle de 557259 francs.

Reste. 113581 francs.

On dira : de 10 Otez 9, reste 1 ; de 12 Otez
4 , reste 8 ; de 6 Otez 3 , reste 3 ; de 10 Otez 7,
reste 3 ; de 7 Otez 6 , reste 1 ; de 6 Otez 5,
reste 1 ; en tout 113381 francs d’excédent.
Remarque. On agit ainsi quelque soit le
nombre de zéros. Ainsi en ôtant de la somme
de 50000 francs.

Celle de 43454 francs.

On aura . 6546 pour reste.

La soustraction des fractions décimales se
fait comme celle des nombres entiers. Seulement
pour que les unités soient de même
espèce dans les deux nombres, on place des

— 22 —

zéros à la droite de celui qui en a le moins ;
et, la soustraction faite , on sépare, au reste,
par une virgule , autant de chiffres décimaux
qu’en avait le nombre qui en. contenait le
plus. Soit 44,6294 à soustraire de 47,5.

On écrit. 47,5000

44,6294

Reste. .2,8706
Remarque. Comme un dernier zéro sur la
gauche n’ajoute rien au nombre, il est mieux
de le remplacer par un point.

HUITIÈME LEÇON.

MULTIPLICATION.

La multiplication est une opération par
laquelle on prend un nombre autant de fois
que l’unité est contenue dans un antre.

Le nombre à multiplier s’appelle multiplicande
 ; celui par lequel on multiplie s’appelle
multiplicateur , et le résultat de l’opération
s’appelle produit.

— 23 —

Le multiplicande et le multiplicateur s’appellent
encore fadeurs du produit.

Les unités du produit sont de même nalure
que celles du multiplicande , et cela doit êfre,
puisqu’elles ne sont que le multiplicande répété
un certain nombre de fois ; d’où l’on voit
qu’il est facile de distinguer ces facteurs l’uu
de l’autre.

Les principaux usages de la multiplication
sont 1° de faire connaître le produit de deux
nombres ; 2° le prix de plusieurs unités de
même espèce lorsqu’on connaît le prix de
l’une d’elles ; 3° elle sert à réduire des espèces
principales en leurs parties, comme des
mètres en décimètres , centimètres etc ; des
années en jours, heures, minutes et secondes
 ; 4° à trouver la surface et la solidité des
corps ; comme la surface d’un appartement
en multipliant la largeur par la longueur ;
la solidité d’une poutre en multipliant la largeur
de l’une des extrémités par la hauteur,
et le produit par la longueur de la pièce de
bois ; 5° à prouver la division.

On ne donne pas de méthode pour la mul-

— 24 —

tiplication d’un chiffre par un autre ; la table
de multiplication qu’on doit savoir par
coeur , en donne le moyen.

2 fois 2. font 4
2 fois 3 font 6
2 fois 4 font 8
2 fois 5 font 10
2 fois 6 font 12
2 fois 7 font 14
2 fois 8 font 16
2 fois 9 font 18
2 fois 10 font 20
2 fois 11 font 22

2 fois 12 font 24

3 fois 3 font 9
3 fois 4 font 12
5 fois 5 font 15
3 fois 6 font 18
3 fois 7 font 21
3 fois 8 font 24
5 fois 9 font 27
3 fois 10 font 30

3 fois 11 font 33
3 fois 12 font 36

4 fois 4 font 16

4 fois 5 font 20

4 fois 6 font 24

4 fois 7, font 28

4 fois 8 font 52

4 fois 9 font 36

4 fois 10 font 40

4 fois 11 font 44

4 fois 12 fout 48

5 fois 5 font 25

5 fois 6 font 50

5 fois 7 font 35

5 fois 8 font 40

5 fois 9 font 45

5 fois 10 font 50

5 fois 11 fout 55

5 fois 12 font 60

6 fois 6 font 36
6 fois 7 font 42
6 fois 8 font 48
6 fois 9 font 54
6 fois 10 font 60
6 fois 11 font 66

6 fois 12 font 72

7 fois 7 font 49
7 fois 8 font 56
7 fois 9 font 63
7 fois 10 font 70
7 fois il font 77

7 fois 12 font 84

8 fois 8 font 64

8 fois 9 font 72

8 fois 10 font 80

8 fois 11 font 88

8 fois 12 font 96

9 fois 9 font 81
9 fois 10 font 90
9 fois 11 font 99
9 fois 12 font 108

10 fois 10 font 100
10 fois 11 font 110

10 fois 12 font 120

11 fois 11 font 121

11 fois 12 font 132

12 fois 12 font 144

NEUVIÈME LEÇON.

MANIÈRE DE FAIRE LA
MULTIPLICATION.

Après avoir plaeé les deux facteurs l’un

3.
— 26 +■
au-dessous de l’autre et tiré un trait, on prend
chacun des chiffres du facteur supérieur autant
de fois que l’unité est contenue dans le
facteur inférieur. Si l’un des produits donne
des dixaines , on ne pose que les unités , et
l’on retient les dixaines pour les joindre au
premier produit suivant à gauche. On fait
ainsi jusqu’à ce que tous lès chiffrés du facteur
supérieur soient épuisés ; et la suite des
chiffres que l’on aura obtenus donnera le produit
total.
EXEMPLE.
Soit à multiplier 526 par 5 : j’écris 5 audessous
de. 526, comme ci-dessous : je tire
un trait et je dis :

526
5
2650
5 fois 6 font 30 ; en 30 il est trois dixaines ;
je pose zéro sous les unités , « t je retiens 3
pour les joindre au produit des dixaines ; puis
je dis : 5 fois 2 font 10 , et 3 de retenus font
13 ; en 13 dixaines il y a une centaine et 3
dixaines, je pose mes dixaines sous les dixaines
du maltiplicamie et je retiens une cen-

— 27 —

tainc. J’ajoute 5 fois 5 font 25, et \ de retenu
font 2G ; je pose 6 aux centaines et j’avance
2. — Produit tolal 2630.
Rçttyarque, On place ordinairement le multiplicateur
sous le multiplicande. Dans les
nombres abstraits on les place indifféremment
l’un et l’autre. Néanmoins l’opération est
toujours plus facile lorsqu’on place dessous
le facteur qui a le moins de chiffres. Le sens
du problème indique suffisamment la nature
du produit et fait conséquemment distinguer
le multiplicande du multiplicateur.

DIXIÈME LEÇON.

Lorsque le multiplicateur a plusieurs chiffres,
on fait successivement avec chacun de
ces chiffres ce qu’on vient de faire quand il
n’y en a qu’un. Ainsi on multiplie d’abord
tout le multiplicande par le chiffre des unités
du multiplicateur ; ensuite par celui des
dixaines dont on écrit le produit sous les
dixaines du multiplicande ; puis les centai-

— 28 —

nés dont on écrit le produit sous les (fontaines
du multiplicande, en reculant toujours
d’un rang vers la gauche jusqu’à ce que tout
le multiplicateur soit épuisé. Enfin on fait
l’addition de tous les produits partiels pour
avoir le produit total.

Ainsi ayant à multiplier 4515 par 256 :

4315
236

Je dis : 6 fois 5 font 18, je pose 8 et je retiens
1 ; 6 fois 1 font 6, et 1 de retenu 7 , je
pose 7 ; 6 fois 3 font 18 , je pose 8 et je retiens
1 ; 6 fois 4 font 24 et un de retenu 25,
je pose 5 et j’avance 2. Passant de là aux
dixaines du multiplicateur , je dis : 5 fois 3
font 9 , je pose 9 sous les dixaines du multiplicande,
attendu que des unités multipliées
par des dixaines ne peuvent pas donner moins
que des dixaines ; puis 3 fois 1 font 5 que je
pose à gauche ; 3 fois 3 font 9 que je pose de
même à la gauche du dernier chiffre obtenu ;
enfin 3 fois 4 font 12 , qui terminent la série
de ce produit partiel. Je passe aux centaines
et je dis : 2 fois 3 font 6 que je pose sou.s les
centaines ; 2 fois 1 font 2 ; puis 2 fois 3 font

— 29 —

6 , enfila 2 fois 4 font 8 ,. sommes^quc je pose
toutes à la gauche l’une de l’autre. Cela fait,
je tire an trait, et j’additionne tous mes produits
partiels pour avoir le produit total.

4313
236

25878
12939
8626

Produit. 1017868

ONZIÈME LEÇON.

NOTA. 1° L’un des facteurs ou les deux
facteurs ensemble peuvent être terminés par
des zéros. Dans" ces deux cas on abaisse tout
de suite le ou les zéros au produit, et l’on
opère sur les chiffres significatifs.

J’ai, par exemple , 250 à multiplier.par 7 ;
mes deux facteurs posés comme il suit, je
m’y prends ainsi :
250 7
Produit. 1750

— 30: —

j’abaisse d’abord zéro au produit ; puis je dis :
7 fois 5 font 35 , je pose 5 et je retiens 3 ; 7
fois 2 font 14, et 3 de retenus font 17 que je
pose à la gauche du 6 pour avoir le produit
total — 1750.

AUTRE EXEMPLE.
245 30
Produit. 7550

NOTA. 2° Il peut y avoir un ou plusieurs
zéros entre les chiffres significatifs de l’un ou
de l’autre facteur. •

Si les zéros se trouvent dans le facteur su-:
péricur on pose le retenu s’il y en a , et zéro
s’il n’y en a point, comme dans l’exemple
suivant :

40039
25
20019580078 '

Produit. 100Ô975

Si les zéros se trouvent dans le facteur inférieur
on les pose également au produit,-et

— 31 —

l’on multiplie par te chiffre suivant, ayant
soin de porter le produit sous le rang que désigne
la place qu’il occupe.

EXEMPLE.

423
106

"2538
4250

Produit. 44838

NOTA. 3° Un des facteurs ou les demx ensemble
peuvent être accompagnés de fractions
décimales.

Dans ce cas on opère comme pour les nombres
entiers sans avoir égard aux virgules ;
mais au produit on sépare à la droite autant
de chiffres décimaux qu’il y en avait dans les
deux facteurs. Soit à multiplier 203,45 par
18,25.

Posant nos deux facteurs l’un au-dessous
de l’autre sans avoir égard aux virgules, et
ainsi qu’il suit ; .

- 52 —

20345.
1825

101725
40690
162760 20345
Produit. 57129625

J’obtiens pour résultat 57 129 625 ; mais
séparant sur la droite de mon produit quatre
décimales, je le réduis à sa valeur véritable
qui est 3712 , 9625 dimillièmes.

NOTA. 4° La multiplication peut se faire
sur des parties décimales seulement. On
opère encore comme dans le cas précédent,
et si le nombre des chiffres décimaux du produit
n’était pas suffisant pour égaler ceux
qui sont contenus dans les deux facteurs ensemble
, il faudrait y suppléer par des zéros
que l’on placerait à la gauche des chiffres significatifs.


0, 160
0, 50

0, 8000

j’obtiens pour produit 0, 8000 ; mais comme
j’ai une décimale de moins que dans’nies deux

— 35 ?—

facteurs , je place un zéro à la'gauche du 8,
et j’ai 0 entiers 08000 centmillièmes qui
est le résultat véritable.

DOUZIÈME. LEÇON.

DE LA DIVISION.

La division est une opération par laquelle
ori cherche l’un ; des facteurs-d’un produit
dont on connaît l’autre facteur et ce produit.

Ainsi diviser 12 par 5 , c’est chercher un
nombre qui multiplié par 3 reproduise 12.

: Le nombre à diviser s’appelle dividende ;
celui' par J’equelon divise s ? appelle diviseur,
et lé résultat dé: l’opération se nommé quo^:
tient. ' ■■:) '''■ '-.'-"■ ■..•:■• ■
Les principaux usages de la division sont
lès suivants :

Elle serti 0 à découvrir combien de fois

une quantité est contenue dans une autre ;

2° à partager un nombre en: parties égales ;

5° à trouver le prix d’une chose par la

4.
_ 54 —
connaissance de ;'plusieurs de la même espèce ;
4 ?{,à rappeler les parties: à leur tout ;. 5" à
prouver la multiplication. ^ '

TREIZIÈME LEÇON.

MANIERE DE FAIRE LA DIVISION.

hPOur-faimla: division lorsque le dividende
a plusieurs chiffres .et qu& le diviseur n’en ;
a qu’un,, on écrit le dividende et le. diviseur
sur .la même ligne : on les. séparé par un trait
et on souligné le diviseur'.'Ensuite on cherche
combien dé' fois le -prëmier^oTiMes deux
premiers chiffres à gauche du dividende contiennent
,1c diviseur: on:êcrit ce quotient
sous le diviseur, puis on multiplie le diviseur
par .ce quotient partiel : On pose le produit
sous la partie du dividende sur laquelle
on a opéré afin de l’en retrancher. A coté du
resté oh abaisse lechiffre'isuivaùt du dividende.
On a par ce moyen un nouveau dividende ;parl ;ièl
sur lequel.on opère comme sur.
le premier. On continue ainsi jusqu’à ce que

— -35 —
tous les chiffres du dividende soient épuisés.
EXEMPLE. ..
Ayant écrit le dividende et le diviseur
comme il vient d’être dit , j’examine combien
de fois le nombre 6 est contenu dans 18 ;
je vois qu’il y est contenu 3 fois ; j’écris 5
au quotient ; je multiplie ensuite le diviseur
par ce quotient ; je pose le produit sous le
dividende, et je l’en soustrais ; comme il
ne reste rien , j’en conclus que 18 contient
6 exactement 5 fois, ou que 5 est le
nombre par "lequel’'il faut multiplier 6
pour reproduire le dividende.

Il y a plusieurs choses à remarquer dans
la division : 1° le produit du diviseur par
le chiffre posé au quotient doit être moindre
que lé membre qu’on divisé ou lui être
égal ; 2° le restant de chaque division doit
être moindre que le diviseur ; 5°"on rie
pose jamais plus de 9 au quotient ; 4° lorsque
après, avoir abaissé un chiffra à J côté
— 3J6 —
d’un .reste , il arrive que le diviseur n’est
pas contenu dans ce dividende , on pose
zéro au quotient, et l’on descend de suite un
autre chiffre pour rendre le dividende capable
de contenir le diviseur.
QUATORZIÈME LEÇON.
MANIERE DE FAIRE LA DIVISION LORSQUE
LE DIVISEUR A PLUSIEURS
CHIFFRES.

Lorsque le diviseur a plusieurs chiffres,
après l’avoir écrit à la droite du dividende ,
comme nous l’avons dit ci-dessus , on prend
à la gauche du dividende autant de chiffres
qu’il en faut pour contenir le diviseur. Ce
qui reste de chiffres, plus un , indique le
nombre de chiffres qu’il y aura au quotient.
On cherche alors combien de fois le diviseur
est contenu dans le dividende partiel ; on
pose le quotient sous Je diviseur : on multiplie
çeluirçi par ce qup|j« jil : on pose le pro-

— 37 —

duit sous..le dividende partiel dont on le retranche.
A côté du reste on abaisse un nouveau
chiffre du dividende ce qui forme un
nouveau dividende .partiel  ;sur lequel on
opère comme on a fait d’abord, ayant soin
de placer le nouveau quotient à- droite du
premier. L’opération est terminée quand
tous les chiffres du dividende sont,épuisés.

Soit à diviser 4738 francs entre 54 personnes.
Disposant comme il suit mon dividende
et mon diviseur.
4758154
432 |87
418
378
40

Je dis en 473 combien de fois 54, ou en
47 combien de fois 5 il y est 9 fois ; mais 54
multiplié par 9 donnerait 486 qui est plus
grand que 473 , je ne mets que 8 au quotient:
multipliant 54par8 j’ai 452 à soustraire du
premier membre. A côté du reste 41 j’abaisse
8, ce qui me fait 418 pour deuxième membre
: je dis donc en 41 combien de fois 5 :
voyant qu’il ne peut y être que 7 , je pose 7

•— 38 —

au quotient et je mùliipliè et soustrais comme
ci-dessus. La" règle fihïé je vois que chaque
partageant aura 87 v^èt qu’il restera' encore
40 francs à partager entre eux.

NOTA. lp Lorsqu’il y a un’ reste , comme
dans la division précédente , on peut le mettre
à la droite du quotient et écrire le diviseur
au-dessous : on les,,sépare par un trait
horizontal qui signifie divisé par , et qui indique
que ce reste du dividende est à partager
en autant de parties qu’il y a d’unités au diviseur.


NOTA. 2° On peut aussi continuer la division,mais
comme la quantité à diviser ne peut
plus l’être par le diviseur, on peut rendre
 ; la division possible, et approcher d’aussi
près que l’on voudra de la réalité par le
moyen des décimales. A cet effet il faut mettre
 !un zéro à la droite du reste pour avoir
des dixièmes:au : quotient ; si l’on a encore
un reste , on’ajoute un second zéro qui donne
des cenlièmes ; c’est-à-dire qu’il faut mettre
à la droite des restés autant de zéros qu’on
veut avoir de chiffres décimaux. :

— 39 —
MANIÈRE DE SIMPLIFIER LA DIVISION.

11 y a un moyen facile de simplifier la division ;
c’est de soustraire à mesure que l’on
multiplie les unités du diviseur par chaque
quotient partiel, sans poser le produit sous
le dividende partiel.

EXEMPLE.

Un particulier a 8764 francs de rente annuelle
 ; combien a-t-il a dépenser par jour ?
Disposant comme il suit mon opération :

8764(365

1464J24 francs.

..4 .

Je dis en 876 combien de fois 565, ou en
8 combien de fois 5, il y est 2 fois que je
pose au quotient: puis multipliant le diviseur,
j’ajoute : 2 fois 5 font 10, lesquels ôtés de 16,
il reste 6, et je retiens 1 ; 2 fois 6 font 12et
1 de retenu 15, lesquels Otés de 17 il reste 4,
et 1 de retenu ; 2 fois 3 font 6, et 1 font 7,
lesquels Otés de 8 il reste 1. Je descends le 4
pour avoir le second membre du dividende,
et j’agis comme pour le premier. Il reste 4

5.

— 40 —
que l’on peut réduire en décimales.
Remarque. Quelquefois le dividende ne
contient pas le diviseur. Dans ce cas on place
d’abord zéro au quotient suivi d’une virgule
pour indiquer qu’il n’y a pas d’entiers, et on
réduit le dividende en dixièmes, puis en centièmes
etc. et on opère comme à l’ordinaire.

EXEMPLE.

250 litres de .vin ont été vendus 35 francs
quel est le prix du litre ? R. 0 f. 14 c.

OPÉRATION.
350
1000
000
250
0f.l4c.

• / QUINZIÈME LEÇON.

DES FRACTIONS DÉCIMALES.

La division des fractions décimales présente
quatre cas.

1° Ledividende et le diviseur peuvent avoir

— 41 —

un égal nombre de décimales. Alors la division
se fait comme celle des nombres entiers
sans avoir égard aux deux virgules.

EXEMPLE.

Soit à diviser 149 fr, 35 c. par 4m 12 pour
connaître le prix d’un mètre.

Supprimant les virgules je dispose ainsi
mon opération , et j’obtiens pour quotient
36 f. 25.
149551412
2575J56 f. 25
1030
. 2060
0000

NOTA. En supprimant la virgule dans le
dividende j’ai rendu mon quotient cent fois
trop grand : en la supprimant dans le diviseur
je le rends cent fois moins grand : il y
a évidemment compensation.

2° Le dividende peut n’avoir pas autant
de décimales que le diviseur. Dans ce cas on
complète par des zéros les décimales du dividende
, et l’on agit comme dans le premier
cas.

— 42 —
EXEMPLE.

On a payé 15 fr. 6 déci. pour 2m 125 d’étoffe
, à combien revient le mètre ? R. à 6
fr. 4 décimes.

OPÉRATION.

15600 12125

.8500 [6 f. 4 décimes.
0000

5° Le dividende peut n’avoir pas du tout
de décimales. Dans ce cas on y supplée par
des zéros , et l’on opère encore comme cidessus.


EXEMPLE.

Ou veut employer à acheter de la toile
15456 fr. ; combien en aura-t-on si le mètre
coûte 5fr. 55 ? R. 2515m 14e

OPÉRATION.

1545.6.0.0 535

2756 2515m14°
.810
2750
.750
2150
010

— 43 —

4° Le dividende peut avoir plus de décimales
que le diviseur. Dans ce cas on peut
diviser de s-uite et séparer sur la droite du
quotient autaut de décimales qu’il y en a de
plus au dividende qu’au diviseur , ou bien
compléter par des zéros les décimales qui
manquent au diviseur.

EXEMPLE.

Soit 690fr.75 à partager entre 36. L’opération
donne pour réponse 19 fr. 18 H- ~

69.0.75156

330 U9fr. 18

.67
315
27
ObservationnePEUT-ON. PAS ABRÉGER LA DIVISION.
On le peut 1° lorsque le diviseur est d’un
seul chiffre. Alors on commence par la gauche
à prendre de chaque chiffre du dividende
la quantité indiquée par le diviseur.

Soit 924 à diviser par 6 :.

Pour abréger l’opération on dit : Le. sixième
— 44 —
de9 est 1 +3 qui ajoutés comme dixaines à
2 font 32 ;. le sixième de 32 est 5-J-2 ; enfin
le sixième de 24 est 4 ce qui fait pour
résultat 154.

2° En supprimant dans le dividende et
dans le diviseur un égal nombre de zéros.

3° Lorsque le diviseur est l’unité suivie
de un ou plusieurs zéros, en séparant de
suite à la droite du dividende autant de chiffres
décimaux qu’il y a de zéros.

4° Lorsque le diviseur est 20 , en prenant
la moitié de tous les chiffres du dividende
, moins le dernier à droite , que l’on
convertit en décimales en mettant des zéros
à sa droite.

Soit 6844 à diviser par 20 :

Je dis la moitié de 6 est 3 ; la moitié de 8
est 4 ; la moitié de 4 est 2. II reste 4 auxquels
j’ajoute deux zéros qui me donnent
pour quotient 20 centièmes.

En supprimant le zéro du diviseur j’ai
rendu mon quotient 10 fois trop grand , en
séparant une décimale à la droite de mon di-

— 45 —

vidende je l’ai rendu 10 fois trop faible ; donc
il y a compensation.

SEIZIÈME LEÇON.
Preuves des quatre règles,
1° DE L’ADDITION,

La preuve de l’addition se fait par la soustraction.
Commençant par la gauche on -Ole
le total de chaque colonne du nombre qui
est au-dessous ; on pose le reste sous ce nombre
pour le joindre avec le chiffre quïrépond
à la colonne suivante ; de cette quantité
on retranche la totalité de la colonne ; on
-continue ainsi jusqu’à la dernière colonne.
Si du total de l’addition on peut ôter sans
reste le montant de toutes les colonnes, c’està-dire
s’il vient zéro sous la dernière, c’est
une preuve que l’opération est exacte.

La raison de cette preuve est fondée sur
ce principe , que si d’un tout on retranche
les différentes parties qui le composent il ne
— 46 —
doit rien rester ; or le total de l’addition est
composé du total des unités, de celui des
dixaines, de celui des centaines etc. ; si donc
on les retranche successivement, il n’y doit
rien rester. On commence par la gauche afin
de, réduire les restes en parties de l’unité immédiatement
inférieure.

2° DE LA SOUSTRACTION.

La preuve de la soustraction se fait par
l’addition. On ajoute la différence avec le
plus petit nombre, et si la somme égale le
plus grand , c’est une preuve que la règle est
bonne.
« 
La raison de cette preuve est fondée SUT
ce que si l’on ajoute à un nombre plus petit
la différence qui existe entre lui et un plus
grand , auquel il est comparé, il lui devient
égal.

3° DE LA MULTIPLICATION.

La preuve de la multiplication se fait par
la division. Divisez le produit par l’un des
fadeurs , vous trouverez l’autre pour quotient.

— 47 —
La raison de celte preuve est fondée sur
la définition même de la division. En effet le
produit de la multiplication peut être considéré
comme un nombre résultant de la multiplication
de deux facteurs r dont on connaît
déjà le premier, et par conséquent comme
un dividende. Si en essayant la division par
le facteur connu on retrouve l’autre, c’est
une preuve que l’opération était bien faite.
Autrement ils, ne seraient pas facteurs de ce
produit, ouïe produit ne serait pas celui que
l’on, recherche.

4° DE LA DIVISION.

La preuved% la division’ se fait par la multiplication.


Multipliez le diviseur par le quotient et
ajoutez au produit le reste s’il y en a un. Si
l’opération est bien faite, vous devez obtenir
un produit égal au dividende. Eni effet ledividende
peut être considéré comme le produit
de deux fadeurs dont l’un est le diviseur
et l’antre le quotient : si le produit de
ces deux facteurs égale ce dividende , c’est’
une preuve que le quotient trouvé est exact6.


— 48 —

et conséquemment que la division est bien
faite.
Supplement
DES FRACTIONS ORDINAIRES.

On appelle fractions ordinaires celles qui
ne sont point décimales , et qui s’expriment
par deux termes placés l’un au-dessus de l’au12

3 4 5 6 7, ,,

tre , comme §• jf 4 5 g- 7 6" c^c- Quc ' on
prononce un demi, deux tiers , trois quarts,
quatre cinquièmes , cinq sixièmes, six septièmes
, sept huitièmes etc.

Le nombre inférieur s’appelle dénominateur
, et indique en combien de parties égales
l’unité est partagée. Le nombre supérieur,
appelé numérateur , indique la valeur de la
fraction. Le trait qui les sépare signifie divisé
par.

Pour opérer sur ces fractions comme sur
les fractions décimales il faut les réduire en
fractions décimales.

— 49 —

Pour cela il suffit de diviser le numérateur
par le dénominateur, en convertissant le numérateur
en dixièmes, centièmes, elc, ce
qui se fait en mettant à sa droite autant de
zéros qu’il en faut.

Soit la fraction ~. Pour la réduire en millièmes
j’ajoute trois zéros au numérateur,
çt j’obtiens 0,875.

OPÉRATION.

70 I 8

. . 60 I 0,875

40
0

Quant l’opération ne peut se faire exactement
, on s’arrête à l’ordre de décimales que
l’on veut avoir, et on néglige le reste.
i
NOTA . * se change tout de suite par 0,25,
1. par 0,50, i par 0, 75.

FINIS CORONET OPUS.

définitions. page 5Numération6,Numération ■ écrite 7— parlée 7Eraetions décimâtes. . . . . . . 4 0Système métrique 41 ;Multiples et sous-multiples de> unitét métriques. < 5Corollaire. .. , liOpérations fondamentales de l’arithmétique. ■) ■ !Signes. ……… 15Addition. -15Soustraction. 19Soustraction des, fractions décimales. . . 21Multiplication. 22Usages de la multiplication 25Table de multiplication. ; 24Manière de faire la multiplication. … 25— Quand le multiplicateur a. plusieurs chiffres. 27— Quand l’un ou les deux facteurs sont terminés
par des zéros. …… 23:— Multiplication avec des. partie » décimales. 51'— Sur des parties décimâtes seulement. . . 52Division 53Maniène de faire la division. « .,.■. 5-t— Quand le dividende a plusieurs chiffres. . 56>
Manière de simplifier la division.59j
Fractions décimales. …JiO
Observation snr la division. ..15
Preuves desquatre règles. . .45
Des fractions ordinaires. . |MFIH DE LÀ. TABLE