L'arithmétique de la noblesse commerçante, ou Entretiens d'un négociant et d'un jeune genthilhomme sur l'arithmétique appliquée aux affaires de commerce, de banque et de finance
Autrèpe, D'
Durand, 1760




L’ARITHMÉTIQUE d e la noblesse commerçante. ouENTRETIENS D’UN NÉGOCIANTET D’UN JEUNE GENTILHOMME,SUR L’ARITHMÉTIQUEAPPLIQUÉE AUX AFFAIRES DECOMMERCE}DE BANQUEET DE FINANCE,
Par m, d’autrepe, syndic des experts-jurc’s-ecrivains. PREMIER ENTRETIEN.DES PRINCIPALES NOTIONS DE L’ARITHMÉTIQUE,ET DES QUATRE PREMIERES REGLES.A TA R I4y:v * :.:>':Chez DURAND, Libraire , rue du Foin, la première portecochère à droite, en entrant par ia rue S. Jacques.M. d c c. l x.AVEC APPROBATION ET PRIVILÈGE DU ROI.


' " v
A FE RT I S S E M E N T,J L y a environ quinze ans que je çompofài unefuite d’inftruclions fur les opérations de l’/\rithmé~tique, appliquée aux affaires delà finance, du commerce & de la banque. J’avoîs divifé ces inftructionsen plufieurs entretiens, entre un négociant & un jeune homme qui veut embraffer le parti du commerce : ce plan m’a voit paru d’autant plus propre à donner l’intelligence de cette fcience, que je rapportois les objections qui m’avcicnt été faites par mesécoliers, & en même temps les réponfès, accompagnées de difTérens exemples, par leiqueis j’avois ré^lblu leurs difficultés, & leur avois fait comprendrela raiion de leurs opérations.Mon objet, en cempofantces înéhuctions, avoir,été de les rendre publiques. J’y étois encouragé parle fuccès avec lequel je m’en étois fèrvi, pour former au calcul un grand nombre de perîcnnes. J’aurois effectivement alors effectué ce projet, fi la réflexion que je fis fur la multitude d’ouvrages en cegenre, dont Paris etT inondé, ne m’en eût entièrement détourné : je ferrai donc mes cahiers, bien réfblu de ne les jamais mettre au jour ; & j’aurois perfévéré dans ce fentiment, fi l’obligation où je fuisde partager mon temps entre l’cnfeignement de l’arcd’écrire & celui de l’Arithmétique, ne m’eût faitconnoître que mes écoliers, pour cette partie, tireroient un bien plus grand avantage de ces cahiersmultipliés par i'impreflion, que d’un fèul manuferkvj AVE RT ISS E ME NT,qui ne peut pafîer que fucceflivement entre les mainsde chacun, ou que d’inttructions de vive voix quela mémoire ne conferve pas toujours avec fidélité.J’ai donc vaincu ma répugnance, Se je me détermineenfin aujourd’hui à les faire paroître. Je conviensque le plan de cet ouvrage entraîne après lui unecertaine prolixité ; mais on fentira qu’elle efl indifpenfable dans ce genre que j’ai choifi, où les f\équentes répétions font néceflàires, liirtout à l’égarddes comirsençans. D’ailleurs, ce même plan a encoreune autre utilité ; c’efl de tailler à chacun le choixde la partie qui peutrintérefler, & d’en réduire parlà l’acquifition à un prix très-modique,Je donnerai fucceflivement chacun des entretiensqui compofent cet ouvrage. Gelui-ci renferme lesélémens de l’Arithmétique, c’elt-à-dire, les quatrerègles, qui font la bafe de la feience du calcul.Le fécond traitera des Proportions, par conféquent, de la règle de trois, fimpie, double, directe,indirecte & compofée.Le trôifième fera fur les fractions.Le quatrième comprendra l’application de la Règle de trois, jfîir une quantité de queftions relativesau commerce &àla finance ; ce qui formera un queftionnaire très-propre à donner la pratique du calcul.Le cinquième roulera fur les changes étrangers.Le fixième fera confacré à la démonflration dela Règle conjointe, appliquée aux roulemens qui fefont de place en place,Le feptième, enfin, contiendra les principes del’Arbkrage,avec des applications capables de donnerAVERTISSEMENT. vljl’intelligence de cette partie eflentielle de la banque,Si ce fruit de mon travail efl goûté, je continuerai,en fuivant le même plan, de donner des infiructionsfur la Tenue des livres à parties-doubles, qui, quoique bien traitée par Barème Se La Porte, efl cependant encore fufceptible de recevoir plus de clartéSi de diverfité dans Ion objet.Il me relie présentement’à rendre compte du titre de mon ouvrage, & du choix de mon interlocuteur, Dans le temps où je compofài ces infimetiens, j’avois alors chez moi piufieurs écoliers trèsbons gentilshommes, mais peu favorifés de la fortune , iefquels fe deftinoient an commerce. Quelquesuns entrèrent au fervice de la Compagnie des Indes, d’autres pafsèrent dans nos colonies : enfin, ily en eut/qui, fbutenus par de riches & puiflans négociant, trouvèrent des places à Bayonne, à Cadix,à Amlterdam, &c. Ces jeunes gens, dont la façonde penier & les moeurs étoient dignes de leur naif{ànce, m’occafionnèrent une réflexion, qui, je crois,vient naturellement àTefprit de tout homme fenfé.Un pauvre gentilhomme , fans autre reflburce quelà propre indultrie, qui feait que le commerce eltun moyen aiTuré pour fortir de la misère à laquelleil feroit condamné toute fa vie, & qui l’embraflemalgré le préjugé, efl: un homme d’autant plus eftimable & précieux à la fbciété, qu’il entre dans lesvues de l’auteur de fbn être, qui ne l’a créé que pourcoopérer, par fon travail, au bien de cette même fbciété dont il fait partie. Cette réflexion me conduifità fuppofer un jeune gentilhomme fans bien, qu’uneviij A V E RT ISS E M E N T.nobleémulation jette dans le parti du commerce, Sequi, pour en acquérir les premières connoiffuices,s’adrelfe à un négociant, ami de fa famille ; voilà laraifbn du choix de mon interlocuteur, La fameufècontroverfe qui s’elt élevée depuis plufieurs années,entre les partifans de la Nobkjjk militaire Se de laNoblejje commerçante, n’étant pas encore terminée,je peux donc rifquer, fans crainte de blâme, non feulement de faire connoître mes fentimens fur cettematière, maïs encore d’offrir à la nobleife,qui embraflera le commerce, un ouvrage dans lequel elleapprendra tout ce qu’il efl: eflèntiel de fçavoir pour lamanutention des affaires de ce même commerce.Voila la raifbn du titre de mon ouvrage,EATTRETIWSENTRETIENS sur l’arithmetique, ouINSTRUCTIONSD’UN NÉGOCIANTA u n j eu ne.gentil.ho.m m e. PREMIER E N T RE T I E N.NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR L’ARITHMÉTIQUE,êC démonjîration des quatre premières opérations,Le chevalier.JE m’adreffe à vous, Monfieur, avec toute la confiancepoffible, non feulement pour vous faire part de la rdfolution dans laquelle je fuis d’embrafïer le parti du commerce,mais encore pour vous prier de m’aider de vos confeils &de vos lumières. La fortune médiocre de mes parens,abforbée en partie par la penfion qu’ils font obliges de donnerà mon frère aîné, qui eft dans le fervice, ne me laide d’autre refiburce que celle du commerce. Je crois qu’il feraplus honorable pour moi de me livrer aux travaux de cetetat, que de végéter triftement dans le fief de mon père ,au milieu d’une famille que j’aime, & à laquelle je ne pourrois erre d’aucune utilité, fi, en me mettant au-deflus d’unPr, Entretien, À2 E N T R E T I E N Svain préjugé , je ne cherchois, par une honorable industrie, à lui procurer les fecours qu’elle a droit d’attendred’un fils tendre & refpe&ueux & d’un bon frère.Le négociant,Vous ne vous êtes pas trompé, Monfieur, en me donnant votre confiance. Indépendamment de l’amitié qui melie avec vos parens, votre façon de penfer, aufll folide quenoble & généreufe, efl: un nouveau motif pour m’engagerà vous donner les inftru&ions qui vous font ndceffaires &que le commerce exige.L’intelligence de la fcience des nombres eft a&uellement pour vous l’objet le plus intéreffant à acquérir s ce doit être votre unique étude. Quant aux autresparties qui font le parfait Négociant , vous comprenezque la pratique du commerce eft le feul moyen par lequel vous puifllez les acquérir. Je me oornerai donc à vousînftruire pour le préferit de l’Arithmétique appliquée furtous les différens objets qu’embraflent le commerce, labanque & la finance. Je ferai en forte de vous développerfes opérations , d’une manière claire , précife & capable devous en faire fentir les raifons. Mais , auparavant que de'commencer ce travail, il eft à propos de vous donner unejufteidée d ? la profeffion que vous voulez entreprendre, &de vous faire connoître combien eft faux le malheureuxpréjugé dont vous avez l’avantage d’être vainqueur, & quiretient vos pareils dans une inaction auifi honteufe que préjudiciable à l’intérêt focial & particulier.Peu de perfonnes connoiflent les qualités qui forment le'Négociant : on s’imagine que c’eil un homme fervilementattaché à une profeflion obfcure ; qui n’a befoin, pour for »trafic, que de quelques vues générales -, quelques connoiffances bornées ; dont l’intérêt dirige toutes les actions ; &que l’on croit peu fufceptible de ces fentimens qui font leparta^ des âmes nobles & généreufes. Rien de plus fauxque cette idée : je ne m’arrête pas à la réfuter. Il me fufiit,pour la détruire , de vous expofer en peu de mots les qualités qui conftituent le Négociant.SUR L’A R I T H ME TIQUE. 3UnNégociant eft un homme d’une probité à toute épreu>ve ; jaloux de fa réputation , jufqu’à facrifier ce qu’il a deplus précieux pour la conferver : c’eft un homme actif, vigilant , laborieux , qui ne prend de repos Ôc de délaflement que quand la tache que lui preferivent fes affaires eftremplie : fobre , tempérant, ennemi de la folle fomptuofité de la table, & des excès qui l’accompagnent : fimple ,•modefte dans fou extérieur, & entièrement éloigné de cefarte ridicule qui confond aujourd’hui toutes les conditions : c’eft un homme qui pofsède Thiftoire , la géographie, les mathématiques, qui entretient la correfpondancede fon commerce dans la langue de l’étranger avec lequelil le fait: c’eft un citoyen dont les richefles font fleurirl’Etat, 6c qui les fçait employer avec autant de profufion quede générofité, dès que la deTenfe ou l’honneur de fa patriele requièrent : enfin, c’eft un homme qui fupporte la pertede fes biens avec cette indifférence noble ôc tranquille ;quicara£térife la vraie ôc faine philofophie. Ne croyez pas,.Moniteur, qu’*' 7 ait rien d’outré dans ce portrait ; j’enappelle à l’expérience de tous les temps , ôc aux excellensouvrages qui nous onttranfmis le nom de ces grands Négociais, d’après lefquels je viens de vofus tracer cette foible efquifle. Avec le bon fens ôc Tefprit que je vous connois, faites le parallèle de ce tableau avec celui de ce gentilhomme ignorant, prefque nud /inutile à lui-même , à fafamille, à fa patrie , mais vain, orgueilleux , fier jufqu’à-l’impudence de la vertu de fes ancêtres : 6c jugez auquel• des deux vous defireriez de reflembler. Je préviens d’avance votre choix ; 6c je ne doute nullement que vousne parveniez à réunir tous ces différens traits qui caraclérifent le vrai Négociant. Cette petite digreftion, qui m’aFaru Néceflaire pour vous donner une idée convenable deétat que vous allez embraffer ôc des obligations que vouscontracterez en même temps, nous a éloignés du fujet quidoit faire l’objet de notre étude ôc de nos entretiens: mais j’yreviens,en vous priant de croire que mon intention n’eft pointde m’appliquer aucun des traits dont je me fuis fervi pourvous peindre le Négociant, finon ceux de l’honneur & de laA ij4 entretiensprobité que j’ai toujours eu à coeur de ne jamais défigurer.Le chevalier.Non feulement ils vous caractérifent, Monfteur, maisl’étendue de vos connoiflancesLe négociant,Ah ! mon cher Chevalier, vous êtes trop bien élevé pourtenir un autre langage. Entrons en lice. Voyons à qui nousTommes redevables de l’Arithmétique, Ôc fuivons par dégrésles différentes opérations qui conftituent cette fcience,dont l’application eft fi nécelfaire à tous les états.Il y en a qui prétendent que les aftronômes Chaldéensôc Arabes font les inventeurs de l’Arithmétique : cette tradition eft fondée fur lesmonumens qu’ils nous ont laiifésdecette fcience, ôc fur les chiffres dont nous nous fervonsaujourd’hui, qui doivent leur configuration ôc la combinaifon de leur valeur ôc de leur arrangement aux Arabes :aufli les diftingue-t-on, par cette dénomination particulière,de ceux qui doivent leur forme à d’autres nations ; telsque les chiffres Romains, les chiffres François ou de finance.D’autres veulent que cette admirable invention nousvienne des Indiens, ou du moins des premiers hommes quiont peuplé cette partie de l’univers. Quant à moi, monfentimenteft qiie l’Arithmétique eft auifi ancienne que lemonde.Cette hypothèfe paroît d’autant plus probable, qu’en remontant au premier âge, non feulement on trouvera l’Arithmétique en ufage>mais on conviendra qu’il étoit impoflibleque tous les hommes n’en euflent pas les premières notions :ôc vous en allez juger. Un homme, qui le confidéroit ifoléde tout individu femblable à lui, devoit abfolument concevoir l’idée de l’unité : dès qu’un autre homme fe préfentoità fa vue, l’idée d’une autre unité, qu’il pouvoit joindreà la fienne, s’offroit à fort efprit t or, en augmentant toujours d’une unité jufqu’à une certaine quantité volontaire,il s’enfuivoit naturellement une dernière idée deTaflemblagede toutes ces unités > dont cet homme pouvoit ex-S U R L* A R I T H M Ê T I Q U E. $
pofer la totalité par une exprcflîon quelconque : ainfi, ilavoit donc non feulement les notions, mais encore la pratique de l’addition.Je dis que ce même homme ayant exprimé d’une manièrequelconque les unités dont il étoit environné, 6: l’idée de cetotal fubfiftant dans fort e-fprit tant que les unités qui lecompofoient continuoient a fe repréfenter ; je dis que cethomme, lors deTabfenced’une de ces unités, devoit néceffairement concevoir l’idée de la diminution de cetteUnité fur ce total ; ôc cette idée de diminution devoit naturellement être fuivie de celle du reftant des unités de cepremier total, duquel elle avoit été retranchée: or, il eftaifé de comprendre que cette idée de retranchement, ôccelle du reftant des chofes defquelles on a retranché, fontexactement celles de là fouftraclion.Ces idées, comme vous voyez, font fimples ôc naturelles: celles des proportions ne le font pas moins. Prefquetout le monde s’imagine que la multiplication ôc la divifion,troifième ôc quatrième règles de l’Arithmétique, fontdes opérations particulières : ôc quoique, pour réfoudre larègle que l’on appelle de trois ou de proportion, on neEuifle faire ufage que de ces deux opérations, néanmoinseaucoup de perfonnes les diftinguent ôc en font des règlesparticulières, ainfi que de cette dernière. Je veux vous affranchir de cette erreur commune ;ôc vous faire voir queîa multiplication ôc la divifion, quoiqu’ayant des objets différens dans le réfultatde leurs opérations, ne font néanmoins qu’une fuite nécefiaire de l’idée des proportions delaquelle elles tirent leur exiftence. Voici de quelle manière je raifonne pour le prouver » Commençons par la multiplication ; ôc reprenons cet homme qui nousaddjà inftruitsde l’addition & de la fouftraclion.Je le vois au milieu de fes troupeaux. Il a cent brebisqui, depuis plufieurs années, n’ont jamais■ manqué]de lu »donner chacune par année un agneau. L’idée de l’accroiffement de ce troupeau eft une fuite naturelle de celte del’addition, qui fait fentîr qu’un nombre quelconque doitaugmenter à mefure qu’on le charge d’une unité. Mais6 E w t r et / e 'N Sl’idée qui tend à fixer la valeur de cet accroiffement, liée àcelle de la circonftance d’un certain temps, duquel dépend la valeur plus ou moins confidérable de ce mêmeaccroiffement, eft une fuite néceffaire de l’idée des proportions que je prétends être naturelle à tous les hommes.Cet homme, en réfléchiffant que cent brebis lui donnoientchacune par année un agneau, concevoit l’idée d’un totalde cent agneaux. Or, en fuppofant l’augmentation du même nombre .pendant fix ans, il fentoit que le produit totalde raccroiuement devoit être autant de fois plus grand,'ou contenir autant de fois le produit de la fécondité annuelle, que l’unité étoit répétée de fois dans le nombrequi exprimoit la quantité des années : ainfi, en augmentantfix fois le produit de la fécondité annuelle, qui étoit cent,il trouvoit le produit de l’accroiffement entier de la fécondité annuelle pour les fix années ; il faifoit donc une multiplication ; ôc ce n’étoit qu’en conféquence de l’idée desÎimportions qu’il raifonnoit de cette manière. Vous en alez convenir.Ne devoit-il pas dire , cet homme : Si en un an je retirecent agneaux, je dois absolument en fix ans en retirer fixcens ; parce que le nombre des années defquelles je veuxcoiinoître la fécondité étant fix fois plus grand que l’unitéqui me donne cent agneaux, je dois donc néceifairementavoir un produit fix fois plus grand que celui de cent aggneaux j ôc ce produit fera fix cens ?Le ch e va lier*Il eft vrai, Monficur, que ce raifonnement eft d’autantplus évident, qu’il eft très-naturel ;ôc je crois qu’il ne peuty avoir perfonne, qui, dans un pareil cas, ne Toit affectédes mêmes idées.Xe négociant.Je fuppofe à préfent que cet homme veut partager, entredouze de fes enfans,fix cens agneaux.Il pourroit les affembïer autour de ce troupeau ,Ôc leur faire retirer, chacun enmême temps > Un certain nombre d’agneaux \ action qu’ilS U R t’ A R l T H M Ê T 1 Q t7.fi. 7
réitéreroit jufqu’à ce qu’il n’en reftât plus à partager. Mais,en imaginant que l’abfence de quelques-uns empêche cettemanière de procéder, quelles peuvent être les idées furlefquclles cet homme nfleoira ce partage ?Si l’idée de l’unité,partageant feule la quantité de fix censagneaux ôc fe les appropriant, fe préfente à fon efprit ;celle de plufieurs unités,affociéesà ce partage, lui fait fentir que le lot de l’unité ne peut être qu’en raifonde la quantité de celles qui doivent partager avec elle : c’eft-à-dire que,plus elles feront, moins elle aura d’agneaux ; ôc que, moinselles feront, plus elle en aura. Or, cet homme concevantque, fi l’unité eft contenue fix cens fois dans fix cens, douzeunités n’y peuvent être contenues qu’une quantité de foisinférieure ; ôc que, fi fix cens agneaux font le lot de l’unitépartageant feule , le lot de cette même unité ne peut êtreque cette quantité inférieure qui doit réfulter des fix censpartagés entre douze unités : il fe préfente donc à fon imagination une dernière idée, qui lui fait conclure que lenombre repréfentant la quantité de fois que douze unitésfont contenues dans fix cens, doit être néccflairçment lelot de l’unité ; parce que, fi l’unité prend un agneau, douzeunités prennent douze agneaux ; ôc que le nombre repréfentant la quantité de fois que douze unités font contenues dans fix cens, tepréfente en même temps l’action réitérée des douze imités qui prennent chacune un agneau,jufqu’à ce qu’il n’enrefte plus, ou qu’il n’en demeure qu’une quantité inférieure au nombre de douze unités qui prétendent à ce partage.Ces idées déterminent non feulement la divîfion , dontl’objet eft de partager un nombre donné en une certainequantité de parties égales ; mais encore celles des proportions , defquelles ces idées précédentes font une fuite néceffaire ; en ce qu’elles ont fait fentir à cet homme que, ftdouze unités retirent enfemble fix cens agneaux^ une unitéen doit retirer une quantité qui contiendra cette mêmeimité autant de fois que fix cens contiendront douze unités ; ôc que douze unités étant cinquante fois dans fix c »ns,le lot de l’unité doit être cinquante agneaux j qui contientiient cinquante fois’l’imite**8 ENTRETIENS le chevalier.Vous développez ces idées, Monfieur, d’une manièretout-à-fait naturelle. Cependant j’ai vu beaucoup de perfonnes qui fçavoient par principes les quatre premières opérations de l’Arithmétique, ôc qui néanmoins fe trouvoientembarraffées pour réfoudre une queftion qu’on leur propofoit: elles ignoroient quelle opération devoit fervir a fa folution. Or fi , avec les connoiffances des principales règlesde l’Arithmétique,on eft embarraffé fur le choix de celle quieft propre à la folution de la queftion propofée, commentaccorder cette impuiffance avec ces idées naturelles de l’Arithmétique que vous donnez à tous les hommes, ôc parlefquelles vous leur faites réfoudre , fans autre fecours quecelui de leurs propres lumières, toutes les queftions imaginables ?Le négociant.Cette impuiffance ne détruit pas mon fyftême. Tous leshommes ont l’idée des proportions: les principes de l’Arithmétique ne font fondés que fur les proportions: donctous les hommes font arithméticiens , ôc peuvent opéreren conféquence. Mille exemples vous le prouveroient.Donnez, par une convention réciproque, au plus ftupidedetous lès hommes quatre brebis pour deux chevreuils : que,le lendemain, ce même homme vous donne quatre chevreuils , ôc ne lui donnez que fept brebis ; il refufera votreéchange, en vous faifant entendre que le double de chevreuils exige le double de brebis ; parce que l’idée desproportions, qui lui eft naturelle, fe préfente d’abord à fonefprit ; ôc lui fait fentir que, fi deux chevreuils ont valu quatre brebis , quatre chevreuils doivent néceffairement valoirhuit brebis. Vous voyez donc bien qu’il ne faut pas attribuer cette impuiffance aux défauts de lumière naturelle,mais feulement à l’ignorance des moyens par lefquels onpeut faire ufage de ces lumières. Car il eft cffentiel de diftingucr les idées des moyens, Ce ne font pas les moyensqui donnent l’exiftence aux idées > au Heu que c’eft par le• fecoursSUR L’ARITHMÉTIQUE. 9fecours des idées que l’on parvient à la connoiffance desmoyens : or, ces moyens ne font que la manière de combiner la valeur des figures qui reprdfentent les chofes ; Ôccette manière de combiner la valeur de ces figures eft cequi conftitue la fcience des nombres que l’on acquiert parun travail raifonné, & qui n’eft tel que quand il eft fondéfur ces idées de proportion, naturelles à tous les êtres raifonnables.Ce qui peut donc embarraffer ces perfonnes qui fçaventles quatre opérations de l’Arithmétique, dans le choix decelle qui eft propre à la folution d’une queftion quelconque , ne peut venir que des faux moyens qu’elles emploient, qui détournent l’ufage naturel des idées qui leurfont propres, ôc qui leslaiffent, par conféquent, dans cetteindécifion qui caractérife encore moins leur impuiffance,que l’ignorance de ceux qui leur ont fervi de guides. D’ailleurs, l’époque des temps Ôc l’intérêt perfonnel, qui n’eftque peu ou point du tout compromis aujourd’hui dans l’étude des opérations du calcul, concourent à affoiblir cesidées que les befoins réciproques des hommes du premierâge faifoient naître naturellement, Ôc qui fe réveilleroientbientôt dans ceux de nos jours fans aucun fecours étranger , fi les circonflances les obligeoient de ne commercerenfemble que par échange.Le c h ev al 1er.Je fuis de votre fentimeht, Monfieur : l’intérêt ôc la nécefftté font de puiflans motifs pour mettre les hommesen mouvement : ce font eux à qui nous femmes’ redevablescertainement de toutes les découvertes qui ont été faitesdans les arts Ôc les fcîcnces, ôc de toutes les commoditésdont nous jouiffons. Mais ces idées de proportion, fur lefquelles vous dîtes que l’Arithmétique eft fondée, font-ellesaffez générales pour réfoudre toutes les difficultés.dont’cette fcience eft fufceptible ? D’ailleurs, la fuppofition quevous venez de faire précédemment, pour établir fexiuenecde ces mêmes idées de proportion dans l’efprit de tous leshommes font fimples ôc naturelles ; leur folution appartientlif>Emrctuth BIo E tf t r e t i en sait bon fens ôc à la réflexion : mais auffi combien ne peut*il pas fe rencontrer de circohftances où les nombres, n’ayantplus entre eux de rapports connus, rendent inutiles cesidées de proportion par l’impolfibilité d’en faire ufage ?Le né go c i ant.Alors il faut avoir recours aux moyens. Reffouvenez-vousymon cher Chevalier, de ce que je viens de vous dire, ôc<jue je vous répète : Ce ne font pas les moyens qui donnentl’exiftence aux idées ; mais c’eft parle fecours des idées quel’on parvient à la connoiffance des moyens, Les propor-,tions font la bafe des principes de l’Arithmétique. Lama-'nière de combiner les différentes valeurs, repréfentées pacles chiffres, font les moyens, ôc le réfultat de ces idées*La pratique de ces moyens eft donc l’étude de la fciencedes nombres, qui, cdmnie je vous l’ai dit auffi, n’eft foiideÔc fructueufe, que quand elle*eft fondée furies proportions »Elles doivent toujours vous fervir de bouffole, mon cherChevalier, dans la folution des queftions de commerce, debanque ou de finance, que l’on vous propofera de réfou-vdre. Jugez de leur fécondité par l’application que toutesles fciences en font dans les différens objets qu’elles em-*braffent, méchaniques, aftronomie, phyfique , ôcc. Leurthéorie n*eft établie que fur elles. Tout ce que vous voyezdans ce vafte univers les annonce ; la révolution confiantedes aftres ôc dcsfaifons ; ce fentîment qui unit tous leshommes, Ôc qui les met ert fociété ; l’ordre qui règne danscette fociété. La gloire , la baffeffe, l’honneur, l’infamie >îa vertu,le vice, les récompenfes, les châtimens, nosloixmême, toutes ces chofes ont des proportions relatives ànos befoins, à notre climat, à notre éducation, à nos paffions, à nos préjugés Î enfin, il n’eft rien,au-dedans onaudehors de nous-mêmes, qui ne tende à quelque rapportdirect ou indirect, duquel dépend l’ordre de nos penféesôcle motif de nos actions.LE CM E V A L t EU.Je Maurois jamais imaginé j Monfieur> que les pré*SUR L’ A R I T H M Ê T I (> U E. Il
portions puffent fe concevoir dans un fens auffi étendu. le négociant*Rien n’eft plus certain cependant. Mais," comme notredeffein n’eft que d’en appliquer les propriétés aux objetsmercantiles ôc cambiftes-, laiffons donc aux philofophes ôcauxphyficiens l’analyfe de l’application fpéculative des pro.portions , pour ne nous attacher qu’à celles qui font denotre reffort, ôc dont nous avons befohvLe commerce ne fe fait plus par échange ; mon cherChevalier, fi ce n’eft encore avec quelques nations fauvages, reléguées aux extrémités du grand continent. L’orôc l’argent font devenus les fignes de la valeur des chofes ;ôc ce n’eft qu’avec ces mêmes fignes que l’on apprécie aujourd’hui les richeffes en tout genre, ôc les productionsdu fol ou de l’induftrie nationale de chaque pays.Les chofes qui font la matière du commerce réciproquede tous les habitans de l’univers, étant plus ou moins précieufes, plus ou moins abondantes, plus ou moins néceffaires, il doit s’enfuivre une évaluation proportionnelle dela nature ôc de la différence de ces chofes avec les fignesqui en repréfentent la valeur. L’impofilbilîté de déterminer des fignes propres à exprimer avec exactitude la valeurde chaque chofe en particulier, fit imaginer la multiplicitéde ces fignes, dans des proportions diminutives ôc proportionnelles, dont les différentes valeurs réunies égaioientcelle d’un ligne d’une plus grande valeur : voilà l’origine denos monnoies,qui n’étoient alors que des morceaux informes ôc grofïiers d’or, d’argent {a)  ou de cuivre, marqués d’un certain chiffre ou caractère qui en indiquoit lepoids ôc la finette de la matière. Bientôt la mauvaife foitroubla l’invention fi utile de cette monnoie naiflante, parles malverfations qui fe commettoient dans le poids ou dansla matière des pièces. Mais l’autorité publique intervint:ôc de-là font venues les premières empreintes des monnoies,auxquelles fuccédèrent les noms des monnétaires ; ôc depuis
( a ) Diflion » de Commerce.
tt ijxi EN t il e ri E N Sencore les effigies des princes, les années des confufats,les légendes, les millefimes, les grenitis, ôc les autres marques ôc précautions qu’on a prifes contre l’altération desefpèces ;Ce n’étoit pas affez d’avoir imaginé un moyen capabled’exprimer la valeur des chofes dont on fait commerce, &de leur fervir de prix : il n’étoit pas moins néceffaire d’inventer d’autres moyens, par lefquels on pût déterminerl’étendue, le poids ôc la quantité de ces mêmes chofes,pour en faciliter la vente relativement aux befoins des acquéreurs. Ces moyens ne furent pas difficiles à imaginer :des pierres de diverfes pefanteurs fervirent à établir le poidsdes corps folides ; des bâtons, ou d’autres inftrumens d’unecertaine longueur, fixèrent celle des corps étendus ; ôc desvafes plus ou moins grands*déterminèrent la quantité oule volume des corps liquides : voilà l’origine des poids defer ou de plomb, des aunes, des mefures de continence, Ôcdes divifions ôc fubdivifions dont chacun de ces objets eflfufceptible. Vous ne ferez pas étonné, mon cher Chevalier, de la différence qui eft entre les poids Ôc les mefuresd’un pays ôc ceux d’un autre qui lui eft étranger ; Comme,Far exemple , l’Angleterre ôc l’Efpagne , l’Allemagne ÔCItalie, Ôcc. : mais vous ferez furpris que, dans le mêmepays, non feulement chaque province, mais quelquefoismême chaque ville, diffèrent à cet égard les unes des autres. En vain nos princes ont effayé, dans plufieurs occafions, de réduire les poids Ôc les mefures des pays de leurdomination à une égalité refpective ; les inconveniens quiferoient réfultés de ce projet l’ont fait abandonner. Ceschofes fubfiftent donc telles qu’elles ont été établies ; Ôclelong ufage eft une efpèce de prefeription contre toute en*treprife qui tendroit a l’abolir.Ces poids, ces mefures, ces monnoiès, dont les chiffresrepréfentent les quantités, font les choies furlefquellesonexécute les différentes opérations dit calcul.Il eft queftion de vous en développer les principes, 6cde vous faire connoître que ces mêmes principes ne doivent leur exiftence qu’aux proportions, afin.de vous mettreSUR L’AR 1 T H M et i QUE. 13en état d’en faire une application raifonnée, fur tous lesobjets relatifs au commerce, à la banque ou à la finance.Mais, auparavant que de commencer, je crois que vous nejTerez pas fâché que je vous inftruife, en peu de mots, dela valeur des chiffres Romains ôc François, ôc de la manière dont on les arrange.Le chiffre Romain eft compofé de quelques lettres initiales de l’alphabet Romain, d’où, vraifemblablement, iltire fon nom : ou, peut-être auffi, de ce que ce peuple avoitcoutume de s’en fervir pour l’infcription des monumenspublics, élevés à l’honneur des Dieux ou des grands hommes qui avoient bien fervi la république : ou, enfin, pourconferver la mémoire de certains événemens finguliers ouhonorables à l’Empire.Ces lettres numérales qui compofent le chiffre Romainfont au nombre de fept : fçavoir, I, V, X ,'L, C, D, M :l’I lignifie un ; TV, cinq ; l’X, dix ;l’L, cinquante ; C,cent ; D, cinq cens ; Ôc l’M, mille. L’I, répété deux fois,fait deux, II ; répété trois fois, fait trois, III ; répété quatre fois, fait IIII, qui s’exprime auffi de la forte, IV, parceque l’I mis devant Î'V ôc l’X, diminue une unité du nombreque chacune de ces lettres repréfente. On exprime ainfi fix,VI, fept VII, huit VIII. Neuf s’exprime par un I mis devant un X> IX, conformément à la remarque précédente.L’on peut faire une remarque femblable fur l’X , îorfquecette lettre fe trouve devant l’L ouïe C ; à la réferve néanmoins que c’eft en dixaines, ôc non pas en unités, que confifte la diminution : ainfi ,,XL fignifie quarante, qu’on peutécrire XXXX ; ôc XC quatre-vingt-dix, qui s’exprime auffipar LXXXX. Deux XX font vingt ; trois, trente, XXX. UneL fuivie d’un X, foixante, LX ; fuivie de deux, foixantedix, LXX ; ôc fuivie de trois, quatre-vingt, LXXX.Deux CC font deux cens ; trois font trois cens, CCC ; Ôcquatre, quatre cens,CCCC, qu’on peut auffi exprimer en mettant un C devant un D, CD ; le C devant le D ôc devant l’Ai lesdiminuant chacune d’une centaine, ôc’CM ne faîfant queneuf cens, qu’on écrit encore de cette manière DCCCCOutre la lettre d, qui fait cinq,cens> on peut encore14 T. N T R E T I EN S exprimer ce nombu- par un i devant un c retourné de la forte 10 ; ôc de même,au lieu de l’m qui lignifie mille,on: peut fe fervir de l’i entre deux g, le premier dans la fituation  ordinaire, ôc le fécond retourné comme dans la figure fuivantecio » TABLE.ii. i .M. ,, . .i n. ■ !..■ CHIFFRÏ
VAt.EOR commun CHIFFRE CHIFFRE

des Arabe _ _

CMiFfRkS. OU R O M A I N. FRA^OIS
Arabique

Un……….. ï i………,.*,………… y.

 ; Deux •••>.■•.> Î II…………………… ij>

Trois……… 5 III….,…..,.,…..,.,,. l’y.

Quatre…….. 4 IV………………….. iiij.

Cinq. • •> V b.

Six ;….. ;…. 6 VI. bj.

Sept .>>><<> t « > 7 V11 • « ……………….. ci/.

Huit……..i. 8 VIII bit}.

Neuf………. 9 IX…,..,… ix.

Dix,.. »..,…. j& X….,…,.,..,,……,.. x.

Vingt…. •…. IO XX……..,…………. xx.

Trente…….. 30 XXX,., xxx.

Quarante….. : 40 XXXX, ou XL………… xi.

Cinquante ». »., jo L……………..,,,,.,,, I.

Soixante……. 60 LX………………….. Ix.

Soixante-dix OU

Septante….. 70 LXX>>……………… ixx,

Quatre -vingt,

Huilante ou

Oaante….. 80 LXXX………………. &}**.

Quatre-vingt-dix •■■'■'■•

oùNonante.. 90 LXXXX. ou XC……… M}***.

Cent………. 100 c ……..>>. »« .>••…. ».. y.

Deux cent…., zoo CC………………… V>

Trois cent….. 300 CCC………………… ">>

Quatrecerit..t. 400 CCCC ou CD…..,.,.,.. « '/••'■"

Cinq cent….. t joo D. ou 10…………….. bc.

Sixcent……. £00 DC. ou IDC…………. tyV

Septéent…… 700 DCC. ou IDCC*……… .$'.

Huit cent.et.t. $00 DCCC. ou ÎDCCC…… « Ov »

Neufcent…… 900 DCCCC. ou iDCCCC.ouCM. >*> .
Mille ..>……} toco M, ou CIO……………. r}-t) 
Lé chiffre françois, ainfi nommé, parce qu’il a été in-SUR L’ARITHMÉTIQUE. I$venté en France, ôc qu’il n’y a guère qu’en ce royaumeque l’on s’en fcrve , eft celui qu’on nomme plus communément chiffre de compte ou de finance.Ce chiffre n’eft compofé que de fix figures, partie prifesdes lettres de l’écriture courante ufitée en France, ôc partie imaginées par l’inventeur, Ces fix caractères font,J. b. ,v. /. t\ g,) Lyconfonne fignifie un ; le £, cinq ; I'AT, dix ; 17, cinquante ; le c, cent ; ôc le dernier caractère £* , mille.Comme ce chiffre eft une imitation du chiffre Romain ,on peut avoir recours à ce qu’on a dit ci-deffus ; particulièrement pour la combinaifon de certaines lettres, qui, mifesdevant ou après, augmentent ou diminuent les caractèresauxquelles elles font ajoutées, ou d’unités, ou de dixaines,ou de centaines. Cependant il y a trois remarques, qui fontpropres feulement au chiffre François ; S ç A v o i R :i°. Que, lorfqu’il y a plufieurs unités de fuite, il n’y aque la dernière qui foit exprimée par 1) ' ; Ôc que les autresfont toujours des i voyèles, c’eft-à-dire, qui n’ont pointde queue, comme on peut remarquer dans deux ij, troisii) , quatre iiij, fept bi}, huit bit).2°. Que quatre-vingt ôc les deux dixaines fuivantes juPqu’à cent, fe marquent par les caractères fuivans, iiij**quatre-vingt-un iiij*xJi quatre-vingt-deux iiij^i)  ; quatreving-neufiii) xxix ; quatre-vingt-dix iiîjxxx ; ôc le relie,30. Qu’à l’égard du c, qui exprime le cent, il fe met unpeu au-deflus des autres caractères qui en marquent le nombre ; ainfi on met deux cens / ;f ; trois cent iijc cinq censb(\ fept cens bi) \ neuf cens /V, Ôcc.LHifagede ces deux différens chiffres fe reftreînt (^) ,pourle premier, aux infcriptions des monumens publics, pourfaire connoître le temps de leur conftruclion ; ou fur lesmédailles, ôcc. pour y marquer l’année qu’elles ont étéfrappées ; ou pour ajouter au nom des princes de qui elles*— > —— ■■„,., 1 ..wiindwn ■■n——« ■*■ » ww ■■ ■■ntif.ifi. ■■■ii.yt ii. ■ t<
(a) Diftionnaîre de Commerce.
i6 EN T R E T I EN sont l’emgie ï afin de fixer leur rang de fucceffion, Ôc lesdiftinguet des autres princes du même nom.Les Imprimeurs ont coutume de fefervirdece chiffre,Ïiarticulièrement pour marquer l’ordre des chapitres, ôces divers articles des fommaires, Ôcc.Quand au fécond, il eft principalement en ufage danstoutes les Chambres des Comptes du royaume, où il eft employé dans les comptes en forme qu’y doivent rendre lestréforiers, fermiers /receveurs ôc autres gens d’affaires,qui manient les deniers ôc finances du Roi. C’eft auiïi dece chiffre dont fe fervent la plupart des gens de pratique,greffiers, Procureurs, Huifliers, ôcc. pour drefler leurs mémoires déclarations ôc arrêtés de frais ôc dépens : en unmot, tous ceux qui ne font leurs calculs qu’en jettons.Entrons en matière. Ce que je vous ai dit précédemment doit vous faire ferttir que l’Arithmétique eft la fcience des nombres, c’eft-à-dire, le moyen qui conduit à fupputer ou calculer avec exactitude diverfes fommes propofées pour en connoître là valeur. Les opérations dont onfefert pour y parvenir fe réduîfent à quatre, que l’on appelle ADDITION , SOUSTRACTION , MULTIPLICATION &DIVISION.  ;Paffons maintenant à la numération, D E L A N U M Ê R A T I O N*ON appelle nombre faîîemblâge d*une ou plufieurs figures qui expriment une valeur : ainfi ces cara&eres, que nousappelions chiffres Arabes > peuvent donc exprimer toutesfortes de nombres.o i â 3 f j 6 7 8 p.Là première, que l’on appelle zéro, n’a, d’elle-même,aucune valeur ; mais elle en donne aux autres. Ainfi quatre ne vaut que quatre ; mais fi, a la fuite, on ajoute unzéro, ce quatre vaut alors autant dé dizaines qu’il valoirctunités ; ce qui fait .jo. Si l’on en ajoute un fécond, ii« '. vautSUR ÎÏÀ R I T H met’/ ç) U'E. ÏJvaut autant de centaines qu’il exprimoit de dixaines ; cequi fait 400, &c.Ce n’eft pas aflez d’être inftruit que c’eft par le moyende ces dix figures qu’on exprime toutes fortes de valeurs ;il faut encore fçavoir les nombrer, pour en connoître lemontant : voici de quelle façon l’on doit s’y prendre. Onme donne la fomme fui vante à nombrer, & l’on me demande quelle valeur elle exprime :.Je féparc,' premièrement, mes chiffres de trois en trois yen allant de droite à gauche : cette féparatîon forme quatre cafés, que j’appelle, en allant toujours de droite à gauche , la première café des livres, la féconde café des mille , la troifième café des millions, la quatrième café desmilliards. Et, s’il fe trouvoit encore des chiffres au-delà decette dernière café, on pourroit en former d’autres, en leurdonnant une dénomination qui lesdiftinguâtdes précédentes , comme milliaffes, ôtc.Chaque café eft compofée de trois chiffres, dont on exprime féparément la valeur par trois expreffions, qui fe répètent à chaque café : ces expreffions font , nombre,dixaines, centaines. Ainfi, il n’y a que la dénominationparticulière de la café à prononcer, pour en marquer ladifférence i puifqne chaque chiffre vaut, à l’expreflîon descentaines, autant de centaines qu’il contient d’unités ; àl’expreffion des dixaines , autant de dixaines qu’il contient d’unités ; à l’expreflîon des nombres, autant d’unitésqu’il en contient en foi-même. De forte que cette fommeexprime donc,imlliarfo \ mÛlknt I tnîlle I l’uni
34$ {-Ai* I 37<* I P87.
-Troîscensquarante-cinqmilliards,quatre cens cînquatnefix millions, trois cens foixante-feize mille , neuf censquatre-vingt-fept livres »LE CHEVALIER.Je conçois parfaitement* Monfieut) ce que vous meJcf,Ëfihttien>Cï8 E N t re t JE N Sfaites l’honneur de me dire. Mais cependant) s’il fe trouvoitdes zéros dans une fomme que l’on me propoferoit denombrer, je crois que je ferois un peu embarraffé ; fuppoibns, par exemple, cette fomme : ;.r|oJp|4oy. ' v le n é go c i an t ;Vous ne le ferez pas en pratiquant ce que je viens devous dire. Séparez vos chiffres de trois en trois pour former vos cafés. Vous en avez deux: dans la troifième café,vous n’avez qu’un chiffre} c’eft donc la première expreflion de la café des millions, qui eft ce qu’on appelle nombre} c’eft une unité, yous direz donc un million, Vousavez un zéro à la troifième expreflion des.mille} il fautpaft’er cette expreflion pour prononcer la féconde, qui eftcelle des dixaines de mille, & dire, cinquante mille} parcequ’à la première exjpreflîon de la même café, qui eft nombre, il y a encore zéro, Le chiffre de la troifième expreffion de votre première café, qui eft centaine, étant un 4, vousdirez quatre cens ; la féconde expreflion étant un zéro,vous la pafferez encore pour prononcer la première, qui eftnombre, & qui exprime cinq unités de livres. Ainfi, cettefomme fait donc un million, cinquante mille, quatre censcinq livres,Le ch e v a lier.Me voilà fuffifamment inftruit, & ce dernier exemplevient de lever toutes mes difficultés à cet égard. Je vousprie, Monfieur, de vouloir bien continuer ce que vousavez à me dire fur la matière qui fait l’objet de vos inftru&ions.Le ni go g 1 an t.Volontiers. Mais,avant tout, j’ai à vous recommanderle fréquent ufage de cette table, qui vous procurera ledouble avantage de calculer jufte & avec facilité.SUR h* A R 1 T H M Ê T I Q U E, Xp34*2
tf ?2
3 2076 4** *n
8304.
 ;41j206249120 7
1743840
8
139j0720
62778240 moitié,
20925080 f/erj.
$231520 quartt
10463 04 cinquième,
174384 fixième,
24912 feptièmç.
3 114 huitième.
345 netwMme,
On pofe une fomme à volonté, que l’on multiplie pardeux, le produit par trois, ce dernier produit par quatre,& ainfi des autres jufqu’à neuf: enfuite, du dernier produitprenant la moitié , du produit de cette moitié prenant letiers, du tiers prenant le quart, & ainfi des autres, la neuC ij%Q E N T.RE n enîvième partie du dernier reftant doit être la première fomme que l’on a multipliée : obfervant qu’en prenant le tiers,quart, &c,, il ne doit jamais rien refter ; & que, fi cela arrive, c’eft une faute de calcul qu’il faut rectifier. Ce feulexemple fuffit pour vous donner l’intelligence de cettetable : mais je vous répète encore que vous ne fçauriezvous en fendre la pratique trop familière.La valeur qu’ëxprirne un nombre décide ordinairementd’une certaine dénomination QUI lui eft propre, Il y a desvaleurs qite l’on appelle nombres ajficviiés t hornbres parfaits, nombres pairs, nombres îrnpairs, &c, Mais il eftinutile de ypus charger l’esprit des différences qui établi ffent ces dénominations particulières j ' je ne yoiis eri ç}ijrai jfjé'ny. Jes me renferme fèuje$ent à voiisdpnuèr une idéedu nônibre qu^ l’on àppéUe fr^ftio ;) iiairé. Ce nombre repréTenté ordinairement une ou plufieurs parties d’un entierquelconque. Voilà fa définition. t Pè - là votis concluezdonc naturellement que tout nombre de fols inférieur à20 fi. oii î Ife. éff un nombre fra£tiounaJire ; que tout nombre dé denier inférieur à i i} eft vin nombre fractionnaire »que tout nôrnbçe de pieds, inférieur à fix pieds ou une toifeéfï unnombre fraiËionnaire, &CfIl n’eft queftiofi ici que de vous en donner une fimplenotion, néceffaire à l’intelligence de l’addition > que je vaisvous expliquer.SUR l’A RIT H MET ï QUE, 2ZD E U A D D I T I 0 IV.L’ADDITION eft une opération dont l’objet eft d’ajoutésenfemble pîufieurs fommes ou quantités, pour en çonnoître le montant, que l’on appelle total,Suppofons qu’il vous foit dû, par différens particuliers,les fommes fuivantes ;4874 tt>937 »-f 12434237 , -.
iP73*
Votre objet eft de connoître le total de ces fommes $c’eft-à-dire, ce à quoi elles fe montent toutes enfemble.Prenez garde aux expreflions, mon cher Chevalier: en vousdonnant l’intelligence de la chofe, eiles vous faciliteronten même temps Tes moyens de l’exécuter. Or, en revenantà la définition de l’addition, qu’eft-ce qu’ajouter enfemblepîufieurs fommes ou quantités ? N’eft - ce pas dire 4 6c 8font 12, & 3 font iy,& 7 font 22 unités, Pofez donc le 2 ;& retenez deux dixaines, qu’il faut porter à la colomnefuivante, qui eft celle des dixaines.Dites enfuite2, que je retiens,& 7 font 9,6:7 font 16,& 4 font 20,6c 3 font 23 dixaines. Pofez 356c retenez 2centaines, qu’il faut porter à la colomne fuivante, qui eftcelle des centaines.Dites 2, que je retiens j ôc 8 font 10, & 3 font 13, 6c 2font 1 j,&2 font 17 centaines, Pofez 7 ; ôc retenez un mille,qu’il faut portera la colomne fuivante, qui eft celle desmilles.Dites enfin 1, que je retiens, ôc 4 font ^, 6c 9 font 14,& 1 font 1 j, ; 6c 4 font 19 milliers, Pofez 9 ; ôc retenez i,qu’il faut avancer à la colomne des dixaines de mille, parceque vous- n’avez plus de chiffres auxquels vous puifllezr>a ENTRETIENSajouter ce que vous venez de retenir. Vous trouverez doncpour total dix-neuf mille fept cens trente-deux livres.Le chevalier,Je comprends très-bien, Monfieur, cett ? façon d’opérer.Mais fi, en ajoutant ces nombres les uns avec les autres, jem’étois trompé ( comme cela peut arriver dans une addition plus confidérable que celle-ci ) , comment m’appercevrai-je de mon erreur ?Le négociant,Rien n’eft plus facile, puifque chaque règle a une preuvequi démontre la jufteffe de l’opération, Voici celle -1 v l’addition , 6c en même temps le principe fur lequel elle eftfondée,Le total de votre addition eft le réfultat de toutes lesfommes particulières qui la compofent.Si vous retranchez,par la fouftra&ion, toutes les fommes particulières de cetotal général, vous le décompofez, ôc le reduifez à zéro parcette opération,: En voici l’exemple ; prenons la mêmerégie,48749378
 »243
4237• .*■1P732
1220
Dites, en commençant de gauche à droite, 4 ôc 9 font13, ôc 1 font 14, ôc 4 font j 8 mille,Otez ces 18 mille de19 mille, qui font au total général : il refte 1 mille, quevous poferez fous le 9.Enfuite dites, à votre féconde colomne, 8 ôc 3 font 11,ôc 2 font 13,6c 2 font ij cens. Otez ces 1 ; cens de 17cens, formés par le mille reftant de votre première fouftraction, qui en vaut 10, ôc les 7scens de votre total général : il refte 2 cens, que vous poferez deffous le 7,SUR L’ARI T H M ÊT1 ql/e. 33Dites après: 7ÔC 7font 14, ôc 4 font 18, ôc 3 font 21dixaines, Otez ces 21 dixaines de 23 dixaines, formées parles 2 cens reftans de votre dernière fouftraftton , qui enfont 20, ôc les 3 de votre total général: il refte deux dixaines , que vous poferez deffousle 3.Enfin, dites : 4 ôc 8 font 12 , ôc 3 font 1 f, 6c 7 font 22unités. Otez ces 22 unités des 22 unités formées par lesdeux dixaines reftantes de votre dernière fouftraélion, quien font 20, ôc les 2 de votre total général : il refte donczéro ; ce qui eft une preuve affurée de la juftefle de votreopération,Le chevalier ;Je conçois facilement, Monfieur, la démonftration decette preuve. Mais je la crois plus compliquée, par conféquent plus difficile , lorfqu’à la fuite des livres il fe rencontre des fractions, c’eft-à-dire, des fols 6c des deniers.Le négociant.Ce feroit vous en impofer , que de convenir de cetteprétendue difficulté que vous foupçonnez dans la preuve d’une addition où il fe trouveroit des fols ôc desdeniers. En voici une de ce genre. Commencez par enchercher le total ; vous jugerez enfuite, en faifant la preuve,fi les difficultés que vous imaginez font réelles ou chimériques,47639 tt> 17 fi 9* 9543 ,, 19 ,, u, 767487 ,* 17 ,. 6, 8432 .. 1 j’ .. 10.5434 •• 17 »• £•246 ,. 18 .. 9.838786 ., 7 .. 3.■ ■.. ■ 1 ■ 1 *m13223j .. 44 .. 0.Additionnez la colomne de vos deniers : vous y trou- »verez y 1 * ; à raifon.de 12 * pour 1 fi , cela fait donc4 fi ôc 3 fr : pofez ces 3 *, ôc portez vos 4 fi à la colomne*4 E N T R ET I en s des fols,* pour être ajoutés à ceux de ladite colomne.'Cette colomne des fols fe monte 347 fi, Pofez les 7fijÔc portez les quatre dixaines à la colomne des dixaines defols, pour être ajoutées avec celles de ladite colomne,Cette colomne fait alors dix dixaines de fols, defquellesil faut faire des livres, Comme il faut deux fois dix fols oudeux dixaines pour faire une livre, prenez la moitié de cesdixaines ; vous trouvez exactement yife, qu’il faut porterà la colomne des livres, pour être ajoutées avec celles de ladite colomne : ôc vous n’avez rien à pofer à la colomne desdixaines de fols.La colomne des livres fe monte à 3 6 ifc, Pofez 6, ôc retenez 3, c’eft-à-dire, ajoutez-les à la colomne fuivante,Cette colomne fuivante fe monte à 28, Pofez 8, ôc retenez 2, c’eft-à-dire, ajoutez-les à la colomne qui fuit: ôçcontinuez ainfi, en chargeant toujours la colomne fuivantedu nombre de dixaines que vous a produit la dernière,'comme je vous l’ai enfeigné dans le premier exemple ,jufqu’à ce que vos fommes foient entièrement additionnées :Vous avez trouvé votrej total, Procédez à la preuve,'fuivant ce que je vous ai dit ci-devant. Dites donc , enopérant fur la régie précédente :otez 7 de 8, refte 1, otez 10 de 13, refte 3, otez 36 de 38, refte 2. ■'.■.« • otez 25* de 27, refte 2, ôtez 25- de 28, refte 3, © « &* otez 3r de 36, refte j.C’eft ici la prétendue difficulté, Pour la réfoudre, rappeliez ce que vous venez de faire, en commençant votreaddition. Des deniers, vous en avez fait des fols ; desfols, vous en avé-s fait des dixaines de fols ; ôc enfin, desdixaines de fols, vous en.avez fait des livres. Dans lapreuve, faites le contraire. Des livres, faites des dixainesde fols. Vous avez y lt>; cela fait dix dixaines de fols :.ôtezfix dixaines de fols, que vous trouvez à la colmone
v '■■ ■ .' ' '■ ■/■'":■"-■ ■. ■ ;- : deS .
SUR I'AR IT H M È T.l QUE. 2f des dixaines : de ces dix, il vous refte donc quatre dixaines,Ces quatre dixaines reliantes valent 40 fi : en leur ajoutant les 7 fi qui font au total de la fomme générale , celaftit 47 fij defquels ôtant 43 fi, qui fe trouvent dans lacolomne des fols, il refte 4 ^, que vous pofez.Faites encore ici le contraire de ce que vous avez faiten commençant votre addition. Des deniers, vous en avezfait des fols ; réduifez maintenant en deniers les fols quivous reftent. Vous en avez quatre ; cela fait 48 * ; joignez-y les 3 & qui font au total de votre règle ; cela faity 1 * : Or, étant y 1 & de y 1 ^ , il refte zéro, ou rien ; ôcvotre première opération eft jufte dans toutes fes parties.Le chevalier,Voilà , Monfieur, toutes mes difficultés levées à l’égard de la preuve de l’addition ; ôc je me crois en état defaire a&uellement autant de règles en ce genre que l’onpourroit m’en propofer, Il ne me refte qu’à vous demanderun léger éclairciffement fur une petite difficulté, que jecrois cependant avoir réfolue. Je fuppofe que j’aie, autotal d’une addition,une dixaine de fols, comme dans l’exemple fuivant.:4372 tb lafitf* 937 lS 9 t 7676 17 9  ?32 8 3fc » … ■> —■ »■■ !■■■■■ ■■.-■ »« 13519 H 3
221222 o
J’imagine, après avoir fait la règle fuivant les principesque vous m’avez donnés, ôc être venu pour la preuve jufqu’à la colomne des livres : j’imagine, dis-je, que ce dernier chiffre, qui eft à ladite colomne des livres, doit êtreréduit en dixaines ; ôc que l’on doit ajouter, au nombre dedixaines qu’il contient, celle qui eft au total de la régie.Ainfi je dis-, 2$ font 4 dixaines, Ôc i,qui eft au total deladite règle, font y ; defquelles ôtant 3 , qui font à la colomne des dixaines, il refte deux dixaines, que je pofe-. ôcItr, Entretien » D2.6 ENTRETIENSj’achève enfuite cette preuve, comme celle que vous m’avez démontré ci-devant,Le négociant,Vous avez très-bien imaginé, Il eft clair que, quand autotal de votre addition il fe trouve une dixaine de fols,comme dans l’exemple ci-deffus, elle doit être ajoutée àcelles que produit le dernier chiffre des livres réduit endixaines ; pour, de ce nombre de dixaines, fouftraire enfuitecelles qui compofent la colomne des dixaines de votreaddition.Voici une remarque quï achèvera de vous donner l’intelligence de la preuve de l’addition, Tous les chiffres quivous relient au bas de cette règle lorfque vous faites lapreuve, ôc.qui femblent former un fécond total, ne fontque ce que vous avez retenu de chaque colomne, ôcdoncvous avez augmenté la colomne fuivante , en allant dedroite a gauche : ai n fi vous comprenez qu’en ôtant dechaque colomne une partie qui ne lui appartient pas, cetteopération vous conduit à rapporter à votre première colomne, qui eft celle des deniers, le nombre des fols quilui appartiennent ; lefquels étant réduits en deniers , ôcajoutés avec les deniers reftans au total, forment le mêmenombre de deniers que celui de ladite colomne. Pour rendre cette obfervation plus évidente, développpns-en l’opération.La colomne des fols ne fait 24, que parce que vousl’avez chargée des 2 fols que vous a produit la colomnedes deniers.La colomne des dixaines de fols ne fait y dixaines, queparce que vous l’avez chargée des deux dixaines que vousa'produit la colomne des fols.La colomne des livres ne fait 19 ife, que parce que vousl’avez chargée des 2 ib que vous a produit la colomne desdixaines de fols.La colomne des dixaines de livres ne fait 21, que parceque vous l’avez chargée de la dixaine que vous a produitla colomne des livres*La colomne des centaines de livres ne fait 2 y, que parceque vous l’avez changée des 2 cens que vous a produit lacolomne des dixaines de livres.Enfin, la colomne des milliers ne fait 13, que parce quevous l’avez chargée des 2 mille que vous a produit la eo~lomne des centaines de livres.Comptez maintenant cette colomne des milliers, en allant de gauche à droite ; vous trouverez 11. Si vous lesôtez de 13, ne reftc-t-il pas 2, dont cette même colomneavoit été chargée ?La colomne des centaines fe monte à 23 : fi vous lesôtez de 2 y, il refte les 2 dont cette même colomne avoitété chargée.La colomne des dixaines fe monte à 20 : fi vous les ôtezde 21, il refte la dixaine dont cette même colomne avoitété chargée.La colomne des livres fe monte à 17 : fi vous les ôtezde 19, il refte les 2 livres dont cette colomne avoit étéchargée. .La colomne des dixaines de fols fe monte à 3 : fi vousles ôtez de y dixaines que forment les 2 tb refiantes ôc ladixaine du total, il refte les 2 dixaines dont cette mêmecolomne avoit été chargée,Enfin, la colomne des fols fe monte à 22 : Ci vous lesôtez de 24, il refte les 2 fi dont cette même colomne avoitété chargée.Et ces deux fols réduits en deniers, auxquels vous ajoutez ceux de votre total, forment les 27 * contenus dansla colomne des deniers de votre addition. Vous voilà fuffifamment inftruit de l’addition ôc de fa preuve : partonsdonc à la fouftra&ion, Cette féconde opération me fournira le moyen de vous apprendre une preuve de l’addition,différente de celle que je viens de vous enfeigner,Dij28 E N t R E T 1 e N $ DE LA SOU STR ACTION*LA SOUSTRACTION eft une opération par laquelle on ôteune fomme inférieure d’une plus grande, pour connoîtrece qui refte de cette plus grande fomme. Cette règle eftextrêmement facile ; ôc la plus fimple explication fuflicpour vous en donner l’intelligence, Supposons que vous,deviez:8438 »Vous avez payé à compte 4_y_99Vous devez encore , , , , 3839TPreu v e..8438Voici de quelle façon il faut procéder à ladite opération* Dites, Qui de 8 1b en paye 9,, cela ne fe peut, Em*pruntez fur la colomne fuivante une dixaine, qui, ajoutéeavec votre 8, fera 18 ; ôc acquittez le 9 , en difant, Qui de18 paye 9, refte 9, qu’il faut pofer fous fa colomne. Paffez à la féconde colomne ; mais obfervez que ce chiffre,qui repréfente trois dixaines, n’en vaut plus que deux, àcaufe de celle que vous venez d’emprunter pour payer lep de votre première colomne : ôc, toutes lès fois que vousferez obligé d’emprunter fur un chiffre , fouvenez - vousque ce chiffre perd une unité de ce qu’il repréfente, àcaufe de cet emprunt ; ce qui eft une règle générale. Pourvousenireffouvenir, faites un point fur le chiffre où vousempruntez, Dites donc, Qui de deux dixaines en paye 9-,cela nefe peut. Empruntez, fur la colomne fuivante 1 centjqui vaut 10 dixaines ; lefquelles, ajoutées avec les 2,,feront 12, Acquittez le 9, en difant, Qui de 12 payep,,refte 3.Paffeza là troifième colomne, ôc dites, Qui de 3 cens ;p(aye yxens,,celane fe peut, Empruntez fur la colomne.:SUR L* A R 1 T H M Ê T 1 QU E. 2 ?fuivante i mille, qui vaut 10 cens ; lefquels, ajoutés aux 3,feront 1.3 ; ôc acquittez le y, en difant, Qui de 13 paye y,refte 8,Paffez à la quatrième colomne, ôc dites, Qui de 7 milleen paye 4, il refte 3 mille, que vous pofez : Et ce reftantvous repréfente ce dont vous êtes encore débiteur,Quant à la preuve, je ne vous en ferai point d’explication ; il fuffit de vous dire que c’eft une addition, Vouscomprenez qu’en ajoutant la fomme que vous avez donnéà compte, avec celle qui vous refte à payer, le total deces deux fommes doit nécefiairement exprimer celle dontvous étiez débiteur, avant d’avoir donné votre à compte »Le chevalier,Si la fouftra&ion, Monfieur, n’a rien de plus difficile >il eft aifé de la comprendre par ce feu ! exemple que vousvenez de me donner.Le né go ci ant,Les difficultés qui s’y.rencontrent font, comme je vousl’ai déjà dit, très-faciles à réfoudre ; ôc, pour peu que vousraifonniez avec vous-même, il n’eft pas de règles en cegenre dont vous ne fartiez l’opération avec jufteffe. Donnez-moi le reftant des fommes que voici. J’ai prêté 12 y49 tb12 fi 4 fr j on m’a.rendû 9799 ib 17 fi 9 & ; combien eftil dûT. »• » , »■■•■
12 y49 ib 12 fi 4 *
9799 17. 9
J*74p  !4_7 „
I2y49 12 4
Le cheva l i ervIl vous eft encore dû 27491b 14 8:7.3\ La preuve, quej’ai faite de fuite, ne laiffe aucun doute fur la jufttffe de monopération, Voici de quelle façon j’ai raifonné :l’ai dit, qui de 4- deniers en paye 9, cela- ne fe pcutu30 ENTRE T I EN SJ’ai emprunté, fur la colomne des fols, un fol que j’ai réduit en deniers, auxquels j’ai ajouté les quatre qui n’ontpu payer : 12 ôc 4, ai-je dit, font 16 &} avec lefquelspayant 9 * il refte 7 deniers,J’ai dit enfuite, Qui de n fi en paie 17, cela nefe peut,J’emprunte 1 ibfur la colomne des unités de livres, laquellefait 20 fi, qui, ajoutés à 11, font 31 fi, Qui de 31 fi, aije dit » en paye 17, il refte 14 fi.Enfin, j’ai dit, Qui de 8 ibpaie 9,' cela ne fe peut, J’aiemprunté, fur la colomne des dixaines, une dixaine, à laquelle j’ai joint le 8 de la colomne des unités : j’ai dit, Quide 18 paie 9, refte 9, Et j’ai enfuite procédé à chaque colomne , fuivant le premier exemple que vous venez de medonner î obfervant, comme vous me l’avez fait remarquer,démettre un point au-deffus de chaque chiffre fur lequelj’ai emprunté, afin de me reffouvenir de le diminuer del’unité dont je l’avois dépouillé par cet emprunt. Je croismon opération à l’abri de toute cenfure, puifque, raffemblant par l’addition ce que vous avez reçu à compte 6cce qui vous refte dû, je trouve exactement la fomme quevous aviez prêtée.Le négociant.Votre fagacité m’enchante. Mais, voyons un peu comment vous vous tirerez de cette queftipn. J’ai emprunté10061b, J’ai rendu y 23 tb 11 6 y * fur cette fomme ; combien eft-ce que je redois ?
1000 Ife fi .3 »
47<y 87
1000 le c he va lier.Vous devez encore 4751b 8 fi'7*: Ôc la preuve m’endonne là certitude, Voici de quelle façon j’ai raifonné :SUR L’ARITH fit Ê T I Q 17 E, 31
N’ayant aucun chiffre à la colomne des fols, ni à celle deslivres, fur lequel je puifie emprunter ce qu’il convientpour acquitter mes deniers ôc mes fols, je parte à la colomne où je trouve une valeur : ôc, fur le chiffre qui s’yrencontre, j’emprunte une livre qui vaut 20 fi: j’en laiffe19 à la colomne des fols ; ôcle vingtième fol, je le réduis endeniers, pour payer les y qui font à acquitter ; de forte que,12 payant y, ilrefte 19.Des 19 fi qui me reftent à la coïomrçe des fols , je paieles ii fi, ôcil en refte 8 que je pofe : ôc voici la raifonque j’en donne. Si, de 1000, on ôte ilb, il doit néceffairement refter 999 ib. Si aux 9 unités je rapporte cettelivre que j’ai empruntée , j’aurai 10 1b ou une dixaine delivres. Si aux 9 dixaines de livres je rapporte cette dixaine,j’aurai dix dixaines de livres, ou 100 ib, Et enfin, fi aux9 cens livres je rapporte les 100 îb, j’aurai dix fois 100 tb,qui font exactement les 1000 ib, defquelles j’ai fouftrait lafomme propofée, J’acquitte enfuite lés y23 tt>, en difant,Qui de 9 paye 3, refte 6 : qui de 9 paye 2, refte 7 : Ôc qui de9 paye y , refte 4 ; ôc l’unité n’a plus de valeur, ayant étéempruntée fous le nom d’une livre, pour acquitter les folsôc deniers à fouftraire.Le négociant,On ne peut opérer avec plus de difcernement Ôc de jufteffe. Ces zéros font ordinairement l’écueil des commençans ;ils ne peuvent imaginer que cette figure puiffe valoir 9.Mais fi, comme vous, ils raifonnoient ; 6c qu’ils compriffent que ce 9 , auquel on ajoute l’unité, redevient dixaine ; ôc que, de dixaine en dixaine, on rend a ce nombre fapremière valeur ; ils n’auroient plus de difficulté à comprendre que cette figure vaut réellement 9, Par exemple,(i de 400 Ib j’emprunte fur le 4 une unité, ce 4 nevaut plus que 3 cens ; mais chaque zéro vaut 9 : cela faitdonc 399, Rapportant au premier 9 l’unité empruntée , ildevient dixaine de livres ; laquelle rapportée au fécond 9 ,il devient dixaines de dixaine de livres ; autrement, uneunité de centaines: Et ce cent, rapporté aux trois cens, fait3^ v E N T R E T 1 e N S exactement 400 tb, defquelles j’avois emprunté une livre," faites-moi encore cette fouftraction :De 200401 tb fi 2 &.'ôtez 17870 17 yrefte182^30 2 9
200401 2
Î ?e c h e v al 1 e r ;Volontiers, Monfieur. Je dis, Qui de 2 deniers en payej > cela ne fe peut, Je n’ai rien à la colomne des lois jRemprunte donc une livre fur la colomne des livres, parceque c’eft la première qui ait une valeur. De cette livre, jelaiffe 19 fi pour payer les fols ; ôc réduis le vingtième folen deniers 5 lefquels, ajoutés aux 2, font 14 & ; avec lefquels , payant y > il refte 9, que je pofe.Je dis enfuite, qui de 19 fi en paye i7> il refte 2 fi.Je paffe à la colomne des livres, en difant, Qui de zéro(parce que n’ayant qu’une livre à cette colomne> ôc l’ayantempruntée) il n’y refte plus rien ) qui de zéro, dis-je ,payeZéro , il refte zéro, qtie je pofe.Je dis après, Qui de zéro payé 7, cela ne fe peut, J’emprunte une unité, qui vaut 10 ; avec laquelle je paye 7, ôcil refte 3,Je dis encore, Qui de 3 paye 8, cela ne fe peut, J’emprunte, fur la colomne qui m’offre une valeur, une unité,qui vaut 10 > à laquelle ajoutant les 3 > cela fait 13 i aveclefquels payant 8 , il refte y »Chacun des zéros valant 9 , je dis enfin, Qui de 9 paye7, refte 2 ; Ôc qui de 9 paye Ï , refte 8.Comme il ne fe trouve pas de chiffre àfouftraire du 2qui eft à là dernière colomne, duquel j’ai ôté une unité parce dernier emprunt, il refte ï ; duquel n*y ayant rien à ôter.,il refte ce même 1, que je pofe. Et faifant addition de lafomme retranchée avec celle reliante ; le total > en merepréfentant la première fomme, me prouve que je ne meJiiis pas trompé dans Won opération,■ " les u R L’ A R I T h M È T I q U E, 33
L E N É G O C I AN T,
Vous entendez parfaitement la fouftra&ion : mais, pourriez-vous en faire'une que l’on appelle de temps, c’eft-àdire , ôter d’un certain nombre d’années, mois ôc jours, unnombre d’années, mois Ôc jours. Je vous, en parle, parcequ’il eft quelquefois des circonftancesdans’lc commerce oùl’on peut avoir befoin de cette opération.Le'.chevalier.Je vous ferois obligé, Monfieur, de vouloir bien m’endonner un exemple.Le négoci a nt."Avec plaifir. J’ai placé un certain fonds qui me produit un’revenu annuel : depuis le 19 mai 1747 , jufqti'à ce jour 12mars 17y9 , je n’ai pu rien toucher des intérêts de ce fonds ;combien de temps m’eft-il dû defdits arrérages ?
I7y9 212
t747 4 t9
11 9 23

17JP 2 12
Je vois qu’il m’eft dû onze ans , neufmols 6c vingt-troisjours : c’eft ce qu’il faut vous démontrer par la poiition ôcl’opération de ladite règle.Pour la pofition, il laut obferver premièrement de poferpour premier nombre l’année courante, c’eft-à-dire , celtedans laquelle on eft.Secondement, il faut, en commençant par janvier, compter combien de mois font écoulés de ladite année , ik lespofer.Troifièmementj pofet le nombre de jours écoules dumois courant, c’eft-à-dire > de celui dans lequel on eft,Vous comprenez qu’il faut également pofer l’année oùj’ai ceffé de recevoir, foiis 1759, qui eft l’année courante 1 »- Compter combien de mois étoient écoulés de ladite au2".Entretien* e34 ENTRETIENSnée t en commençant |>ar janvier, Ôc les pofer fous lesmois.Enfin, pofer également les jplirs écoulés du mois courant fous les jours.Je dis enfuite, Qui de 12 jours en paye 19 , cela ne fepetit. J’emprunte , fur la colomne des mois, un mois queje réduis en jours ; obfervant que, dans tous les calculs quiont l’année Ôc fes parties pour nombres, le mois n’eftcompté que de 30 jours. Je dis donc : 30 , que j’emprunte,ôc 12 font 42 jours ; defquels étant 19 , il refte 23 jours ,que je pofe.Je dis enfuite, Qui d’un mois en paye 4, cela ne fepeut. J’emprunte, fur la colomne des années, un an, qui vaut12 mois ; lefquels ajoutés à celui qui me refte, font 13mois ; defquels ôtant 4, il refte 9 mois, que je pofe.Enfin, je dis, Qui de 8 ans en paye 7, refte i : Ôcqui dey paye 4, refte i. Il refte donc 11 ans, 9 moîsôc 23 jours,gui eft le temps qui m’eft dû des intérêts de la fomme quej’ai placée.Quant à la preuve de cette règle, c’eft toujours une ad*dition. Vous comprenez que le nombre fondrait ôc le nombre reftant, ajoutés enfemble, doivent vous donner pourtotal l’année coûtante Ôc fes parties. Aînfi, je dis : 19 ôc23 jours font 42 , dans lefquels il y a 1 mois ôc 12 jours:je pofe ces 12 jours, 6c retiens un mois.un mois,que je retiens, & 4'font y ,6:9 font 1411101$,qui font 1 an ôc 2 mois. Je pofe les 2 mois ; Ôc je porte Tannée que je retiens à la colomne des années, tn difant Ï1 ôc7 font 8 , ôc t font 9 ans: je pofe 9. Je psfie à la colomne des dixaines ; ôc je dis 14 &. 1 font y , que je pofe.Je dtfcciids enfuite à ce total le 7 ôc l’unité, qui exprimele mille ; Ôc je trouve i7y9 ans, 2 mois ôc 12 jours »Le chevalier,Je conçois cette dernière fouftra&ion ; ôc, pour VOUS eitconvaincre, fouffrez que je me propofe une queftion, queje vais réfoudre devant vous. Je lifois hier au foir l’hif*toire de France, Je me rappelle lannéc) le mois Ôc le joursu R L’ A R I T H M Ê T I QU E. 3^où Philippe-Àugufte fécond du nom remporta une victoire complette fur l’Empereur Othon IV ôc fes alliés, à la journée de Bouvines. Voyons combien il y ade temps, aujourd’hui 12 mars i7y9> que ce mémorableévénement eft arrivé. Ce fut le 27 juillet de l’année 1214,Je pofe donc17 y9 ans 2 mo's 12 l0" »1214 6 27[W 7 Vl7S9212Janvier Ôc février font écoulés ; c’eft 2 mois à pofer aprèsl’année courante , enfuite les 12 jours du mois courant.Je pofe deffous 1214, l’année de l’événement: de janvierà juillet il y a 6 mois entiers d’écoulés ; je les pofe, enfuite les 27 jours du mois de juillet. Faifant l’opérationcomme vous venez de me l’enfeigner, je trouve qu’il v aaujourd’hui y44 ans ,7 mois, 15 ; jours, que cette bataillefe donna ;ôc la preuve juftifie la jufteffe de mou opération,J^ e ne'gocun t.À merveille, Vous entendez la fouftra£tion, de façon àn’avoir plus befoin d’exemple.Voici cette féconde preuve de l’addition , dont je vous aiparlé ilyaun inftant, Suppofons la recette des fommes fui »vantes : 4728 ib 19 fi 7& .' 12473 13 il 4237 u y ys ? 19 3 •054 ^J3_Jj>26962 18 :: tcr, TÔTAÏ..222 33 18 y 2™, TOTAL.' 472F 19~~7Je fais l’addition de mes fommes fuivant la méthode or*dinaire ; 6t> pour prouver que mon opération eft Julie , jer. i) $6 E N T R E T 1 E N Sretranche la première fomme par une ligne qui la féparedes autres, ôc des quatre reliantes. Je fais une nouvelle addition, dont je pofe le total deffous le premier. Enfuite,retranchant par la fouftra&ion ce deuxième total du premier , il me refte la fomme que j’ai retranchée ; ce qui eftfacile à comprendre ; puifque,cette fomme étant incorporée dans le premier total, ôc ne l’étant pas dans le deuxième, elle doit néceffairement refter lors de la fouftra&iondu deuxième fur le premier total. Mais cette faconde prouver étant moins brève que celle dont je vous ai parlé cidevant, je ne vous confeille pas d’en faire ufage ; il fautvous en tenir à la première, qui eft infiniment plus expéditive,Le chevalier.J’entends très-facilement, Monfieur, cette nouvelle preuve. Il eft vrai qu’elle eft plus longue que la première ; maiselle ne démontre pas avec moins d’évidence la juftefle del’opération. Cependant, je fuivrai votre confeil, ôc je mebornerai à la pratique de la première , dans les cas où jepourrai en avoir befoin.Le négociant,Je crois vous avoir fufiifamment inftruit fur ce qui concerne l’addition ôc la fouftratlion ; nous allons paffcï.maintenant aux deux dernières règles ,fçavo'ir ,1a multiplication ôc la divifion, Commençons par vous expliquer la mut-*implication fuivant la méthode ordinaire » Je vous ferai voirenfuite que cette règle, ainfi que la divifion, ne font qu’une fuite de proportions produites par le rapport que lesnombres qui les compofent ont entr'eux,SUR L’A R I T H fit ET 1 QUE. 37 DE LA MULTIPLICATION’LA MULTIPLICATION eft une règle dont on fe fert pourconnoître, par la valeurei'une chofe. celle de pîufieurs ; ôcdont l’opération fe fait en augmentant un nombre , qu’onappelle MULTIPLICANDE, autant de fois qu’un autre nombre, nommé MULTIPLICATEUR, contient d’unités en Jui-m&rme : ôc de cette augmentation ré fuite un troifième nombre , qui s’appelle PRODUIT, lequel repréfente la valeur deces chofes. Pour donner plus de clarté à cette définition,appliquons-la fur un objet.Jeveuxfçavoir, par exemple, ce que coûteront 8 aunes de toile à 6 Ib l’aune. Vous voyez déjà que c’eft par lavaleur d’une aune, que je parviendrai à connoître celle des8 aunes, Pour opérer, je pofe mes 8 aunes, qui formencle multiplicande ; je pofe deffous le prix de l’aune ,qui eft 5 ib, Ôc qui font le multiplicateur, difant, 6fois 8 ;parce que, fuivant la définition, le multiplicande doit êtreaugmenté autant de fols que le multiplicateur contient d’unités en lui-môme ; il vient pour produit 48 lb,qui repréfente nt la valeur des 8 aunes.
g aune*,
à . * 6 Ib l’aune
coûtent 48 ib le chevalier »J’entends fort bien, Monfieur , la définition de cetterègle ; ôc je Conçois que le produit eft un nombre, qui doittoujours contenir le nombre augmenté, ouïe multiplicande , autant de fois que le nombre qui augmente , ou lemultiplicateur, contient d’unités en lui-même: ainfi,dansl’exemple que vous venez de me tlonner,je vois quc48tb,produit ou réfultat de l’opération, contiennent 8 multiplicande, autant de fois que (S, multiplicateur, contient3§ E N’-T R e T I E N sl’unité ; puifque dans 48, il y a 6 fois 8 , comme dans d’yil y a 6 fois 1,Le né go ci an t.Vous avez raifon, ôc vous comprenez fort bien le raifonnement de cette opération. Suppofons préfentementque l’on vous proposât de trouver le produit de 234 aunesde drap, à 24 lb faune ; ou , ce qui eft la même chofe ,t.que l’on vous demandât ce que doivent coûter ces 234aunes, à 241b l’aune,à . . 24l’a« «e :''■■' 93<$ ■■' ' 468
..■- ytfiô* ■-
ïlfaut commencer par pofer la quantité propofée à multiplier, ôc dont on cherche la valeur ; enfuite on pofe,def »fous ce nombre, celui qui fait le prix d’une des chofes,ôc ce dans l’ordre naturel ; c’eft-à-dire, en plaçant les unités fous les Unités, les dixaines fous les dixaines, Ôccécomme vous voyez dans cet exemple »Les nombres ainfi pofés, multipliez, en allant de droiteà gauche, chacun des chiffres, du multiplicande, par le premier chiffre du multiplicateur, en difant > 4 fois 4 font 1tf »Pofez 6> ôc retenez t. Dites après, 4 fois 3 font 12. Ajoutez à ces 12 cet 1 j que vous avez retenu ; cela fait 13.Pofez 3, Ôc retenez 1, dont vous augmentez encore le chifcfre de la colomne fuivante. Ainfi, 4 fois 2 font 8, 6c 1de retenu font 9, qu’il faut pofer.Multipliez maintenant, en nilant toujours de droite àgauche > chacun des chiffres du multiplicande par le fécondchiffre du multiplicateur ; obfervaut de pofer fous ce mê*me chiffre le produit qu’il vous donnera » Ainfi, dites donc,2 fois 4 font 8 » Pofez ce 8 fous le chiffre qui multiplie »Dîtes enfuite, 2 fois 3 font 6> Pofez ce 6 fous la colomnefuivante, en rétrogradant fur la gauche, comme je vousSUR L’ARITHMÉTIQUE* 39l’ai dit. Enfin dites ,2 fois 2 font 4, Pofez ce 4 a la colomne qui lui convient ; Ôc faites l’addition fuivant lesprincipes que je vous ai donnés. Votre produit eft la valeur , ou ce que doivent coûter les 234 aunes, à raifon de241b l’aune.L e c he v a l 1 e r.La multiplication de ces nombres ne me paroît pas difficile ; mais il en eft quelques-uns qui pourroient, je crois,m’embarraffer » Si l’on me demandoit, par exemple, le produit de 4009 chofes quelconques à 10071b chacune, jsvous avoue que j’aurois befoin de réflexion pour iéfoudrecette queftion.Le né gociant*La réflexion eft néceffaire dans tout ce .qui exige du rai-'fonnement ; mais cette queftion n’eft pa$ fi difticile quevous vous llmaginez. Pour vous en convaincre, il ne fautvous rappeller que la définition de la multiplication , oùplutôt fon objet.Ne vous ai-je pas fait voir que la multiplication eft l’augmentation d’un nombre autant de fois qu’un autre nombre contient d’unités en lui-même ? ,L e cheval i ér,Oui y Moniteur ; je me rappelle cette définition, Ôç jela conçois.Le, né gog t an t,  ;D’oh peut donc venir la difficulté de multiplier 4009par 1007 ? Sont-c’e les zéros qui vous embarrafietit i Elibien ! aglffez avec zéros’, comme avec des chiffres’quiexprimeroient des valeurs. Un exemple futfira pour vous*développer ce raifonnement ; je.reviendrai enfuite à votrepropofttion. Suppofons que Vous ayez 247S Ib à multiplier par 3624 ib, /40 E N T R E T I E N S 2478 9912 14858  ; . . 7434 8980272Votre multiplicateur étant compofé de quatre chiffres,"qui font nombre, dixaines, centaines, Ôc mille ; chacunde ces.chiffres augmentera donc le multiplicande d’autantd’unités de dixaines, de centaines, ôc de mille, qu’ils ontde valeur en eux-mêmes.Le premier chiffre du multiplicateur, qui fe trouve à laçoloinné des unités, eft un 4 ; il forme fa colomne ehaugmentant 4 fois le multiplicande, Ôc vous donne pour produit (<*).■■•''. 2478 .-."•■• '-:' ' ' .f
-:. -./ 9912 (a) 
Le fécond chiffre du' multiplicateur, qui fe trouve à lacolomne des dixaines, eft un 2 ; il doit donc augmenter 20foîsJe multiplicande : c’eft ce qui arrive exactement, puifqu’ayant augmenté 8 20 fois, en difant, 2 fois 8 font 16,qui font> comme vous voyez, 160 ou 16 dixaines, vouspofez les 6 dixaines fous le chiffre qui les produit ; ôc vouscontinuez l’augmentation de votre multiplicande par ce fécond chiffre , en chargeant chaque colomne de ce quevous retenez > fuivant ce que je vous ai dit plus haut, ôcvous trouvez pour produit (£)  »
 ?478
20
A9$fo (à) Le troifième chiffre du multiplicateur > qui fe trouve à îa colomneSUR L’ARITHMÉTIQUE, 41'colomne des centaines, eft un 6 ; il doit donc augmenter600 fois le multiplicande : c’eft ce qui s’exécute, puifqueayant augmenté 8 600 fois, en difant, 6 fois 8 font 48 ,qui font 4800 ou48 cens, vous pofez les 8 cens fous le chiffrequi les produit ;ôc, en continuant l’augmentation du multiplicande par ce même chiffre, vous trouvez pour produit (c) 2478
600
1486800 (c) Enfin, le quatrième chiffre du multiplicateur ï qui fetrouve à la colomne des mille, eft un 5 ; il doit donc augmenter 5000 fois le multiplicande : c’eft ce que vous faites , puifqu’ayant augmenté 8 3000 fois, en difant, 3 fois8 font 24, qui font 24000, ou 20 dixaines de mille ôc 4mille, vous pofez les 4 mille fous la colomne qui les produit ;ôc, continuant l’augmentation du multiplicande, comme vous voyez, vous trouvez pour dernier produit {</) 
5478
3000
7454000 (</) Raltemblez maintenant ces quatre produits ; ôc vous trou*verez celui de l’opération précédente , c’eft-à-dire, la va*leur des 2478 chofes quelconques à 3524 lb chacune.9912 ib ( a )  49j<*o (6)  1486800 {c)  7454000 (j)  8980272 le chevalier,L’exemple que vous venez de me donner, Monfieur,vient de lever les difficultés que je trouvois à multiplier desnombres dans lefquels il fe rencontre des zéros. TrouvezK >Entreiic/u f42 E N T re t i en S bon ,s*il vous plaît, que je revienne a ta difficulté que je m’étois propofee ; c’eft de multiplier 4oop par 1007. x y
4009 4009

par 1007. 1007

28063 {<*)  28063 (a) 

400000 {&)  0000 (c) 
40370*3 000° Y\ * ' 400p (*)  ; 4o37o63'Ayant pofé lès nombres 4069 6c 1007) je vois que cedernier, qui eft le multiplicateur » eft compofé de quatrechiffres-, qui doivent former chacun une colomne, fous ladénomination qui leur eft propre : chaque Cvlomne doit,donner le produit du multiplicande augmenté par le chiffrequi multiplie, Ainfi, je dis donc, 7 fois 9 font 63 ; je pofe3 6c retiens 6. Partant au deuxième chiffre du multiplicande , je dis, 7 fois zéro eft zéro : mais je charge cette colomne des 6 que m’a produit la première ( en conféquence de ce que vous m’avez dit ci-devant, qu’on chargeoîttoujours la colomne fuivante de ce qu’on retenoît de la précédente). Je paffe au troifième chiffre du multiplicande, endifant, 7 fois zéro eft zéro: comme je n’ai rien retenu, jepofe zéro ; ài.) e paffeenfuitc au quatrième chiffre du multiplicande , en dtfant, 7 fois 4 font 28, Je pofe 8 6c j’avance a î ■ de forte que ce produit me donne (a).Je remarque que le fécond chiffre du multiplicateur, qui& trouve à la Colomne des dizaines, eft un zéro. Ce chiffre,n’ayant point de valeur en lui-môme, n’en peut donner auxautres : ainfi, je me contente de le pofer feulement à lacolomne qu’il doit former ( comme dans l’exemple X à/>) >.puifqu’it ne me donneroît polir produit qu’autant de zéros qu’il y a de chiffres au multibande, comme vous voyeE.à l’exemple Y à (<?) ,Le troifième chiffre du multiplicateur, qui fe trouve à lacolomne des centaines > étant encore un zéro, je le pofe àSl/ït l’y/RI TH AT ET I QV E, 43la Colomne qu’il doit former ( sinfïque dans l’exemple X ,aufli à (/>) , puifque, comme le précédent, il ne me donneneroit pour produit qu’autant de zéros qu’il y a de chiffres aumultiplicande , comme on voit à ( J ) de l’exemple Y.Enfin, le .quatrième chiffre du multiplicateur, qui fetrouve à la colomnt ? des mille, étant 1 mille, il doit doncaugmenter mille fois le multiplicande ; ce qui s’cxéci ;te enpofant de flous ce môme 1 , qui multiplie 4009, endifant,.1 fois c) t(t 9, que je pofe ; 1 fois zéro eft zéro, que jeponfe ; 1 fois zéro eft zéro, que je pofe ; & '1 fois 4 eft 4,que je pofe, comme on voit dans l’un 6c l’autre exemple.L’addition des deux produits de l’exemple X , 6c desquatre de l’exemple Y, me donnent, dans chaque exemple,un produit égal, ou la valeur des 4009 chofes quelconques,à 1007 ib chacune, que je cherchois.Le négociant,Vous entendez très-bien, C’eft donc aînfi qu’il faut agir,lorfque vous aurez des zéros dans le nombre qui forme votremultiplicateur. Dès que chaque chiffre forme une colomne,il eft clair que le zéro doit former la colomne, de mêmeque le chiftre qui a de la valeur forme la ftenne : 6:, commele zéro ne peut donner pour produit qu’autant de ?.érosqu’il y a de chiffres au multiplicande , c’eft ce qui faitqu’ayant plufieurs zéros, au lieu de faire le môme nombrede produits qui eft dans l’exemple B, il fuflit de les poferchacun fous leur propre colomne , ainli que dans l’exemple A ; & continuer enfuite l’augmentation du multiplicande-par le chiffre qui a de la valeur, conféquemment à ceque je vous ai dit ci-devant ; de forte qu’ayant, par exemple, 4934 à multiplier par 4000 ib, je pofe chaque zérofous lui-môme, c’eft-à-dire, fous la colomne qu’il exprime ;ôc je paffe au chiftre qui repréfente \ma valeur, par lequelj’augmente le multiplicande, fuivant l’ordre que je vous aifait obferver » %F ij44 E w t R E T /en 'i a b 4934 4p34
, 4000 4000

19736000 0000

0000
0000

1P73<*
19736000II eft queftlon maintenant de vous enfeigner la façon d’opérer pour les fols & deniers, îorfqu’il s’en trouve à la fuitedu multiplicateur. C’eft ordinairement ce que l’on trouvede plus difficile ; mais vous allez voir que le plus Ampleraifonnement eft capable de vous en donner \\ne parfaiteintelligence,Je vous ai dit, au commencement de notre entretien, queles fois étoient des fraftions ou parties de la livre numéraire,'comme les deniers étoient fractions ou parties du fol.Que faut-il conclure de ce rapport ? C’eft qu’on doit opérerpour ces mêmes parties relativement à ce qu’elles font àleur tout ; c’eft-à-dire, que, fi l’on a un nombre de partiesqui foient exactement la moitié du tout, on doit prendrela moitié de la fomme que le tout produiroit ; fi l’on a unnombre de parties qui foient exa&ement le quart du tout,on doit prendre le quart de la fomme que le tout produisroit ; Ci l’on a enfin un nombre de parties qui foient exactement le cinquième, ou le dixième, ou le vingtième du tout,on doit donc prendre le cinquième, ou le dixième, ouïevingtième de la fomme que le tout produiroit. Ce principe une fois pofé, vous voyez que l’opération des fols ôcdeniers n’cft nas aulll difficile qu’.on fe l’imagine $ puifquel’on à une règle infaillible de fes opérations, dans le rapportque les fols qui font à là fuite du multiplicateur ont avec aofi où t ib, & le rapport que les deniers qui font égale-*ment à la fuite des fols ont avec un fol ou deux fols.Ce rapport exaft des parties à leur tout, c’eft-à-dive, ceSUR t’A RI T H ÙPÈ t I q U fi. 4^que chaque partie repréfente du tout, s’exprime ordinairement par le moïnliquote : ainfi 10 fi eft une partie aliquotede 20 fi, qui en repréfente la moitié ; 5 R eftaufli une partie aliquote de 20 11^ qui en repréfente lé quart ; ôc ainfide tout nombre de fols qui, répété plufieurs fois, fait exactement 20 R fans refte. Il en eft de môme des deniers : 6deniers eft une partie aliquote d’un fol, qui en repréfente■la moitié ; 4 deniers eft encore une partie d’un fol, qui enrepréfente le tiers: ainfi tout nombre de deniers qui eftcontenu exactement dans un fol, ou deux fols , eft partiealiquote de ce môme fol, ou de ces deux fols.Ce que l’on appelle parties aliquotes ne fe borne pasfeulement à ce nombre de fols qui eft exa&ement con->tenu dans 20 R, ni à ce nombre de deniers qui mefure fansrefte un fol ou deux fols encore ; on doit entendre parparties aliquotes tout nombre quelconque qui en mefurem\ autre, 6c qui en repréfente une certaine partie : ainfi,10 deniers eft une partie aliquote de y fi, parce que y fîou 60 * contenant 6 fois dix deniers, cette partie en repréfente le fixièmé t 8 ^ eft une partie aliquote de 2 fi,parce que 2 fi ou 24 & contenant 3 fois 8 &,' cette partierepréfente le tiers, ôcc. C’eft donc à caufe de la facilitéque ces parties procurent pour opérer que l’on s’en fert :elles abrègent les opérations de la multiplication ; 6c vousen allez voir de preuves dans les différentes queflions queje vais vous propofer, qui feront réfolues par cette réglé.Avant d’aller plus loin, il faut cependant que je vous faffeconnoître en détail ces parties aliquotes de 20 fi, cellesd’un fol 6c de deux fols, pourlefquelleson opère plus communément.10 fi eft partie aliquote de 20 fi, qui en repréfente la moitié » y en repréfente le quart, 4 le cinquième, a le dixième » t le vingtième. C 8 & , le tieisi 3 4 lefixlème*4<5 E M T R B T t E N S2fi6*, le huitième »i 8 le douzième,i 3 le feizième,Les parties aliquotes de 2 fi font 8 ft », qui en repréfenteiyt le tiers ; 6 le quart. 4 le fixième ; 5 le huitième ; 2 le douzième, 1 le vingt-quatrième ; les parties aliquotes d’un fol font6 3 », qui en repréfentent la moitié.4, le tiers.3 le quart, 2 le fixième. i le douzième ; le ch e v ali er ;J’entends parfaitement, Monfieur, ce que c’eft que partie aliquote. Mais on n’a pas toujours ce nombre exact defols 6c deniers ?qui font ces parties aliquotes ; ôc, lorfqu’ilfe rencontre une quantité de fols qui ne peuvent mefurerexaftement 20 fi, ou un nombre de deniers qui ne peutÊtre contenu dans un foi ou deux fols, comment peut-onopérer alors, ôc quel nom donne-t-on à ces nombres ?Le n ê* g oc i an t.On appelle ces forte|gde nombres parties aliquantes ;Mais, comme ils ne peuvln ? jamais excéder féparémentouenfemble 19 fi ôc u^> yous comprenez que chacun deces nombres eft com^ofé de plufieurs parties aliquotes,que l’on détache l’une après l’autre, ôc pour lefquelles onopère fuivant ce qu’ellesTont à 20 fi, fi ce font des fols ; ÔcSUR L’A n / t h m ù r r<> U E, 47fuivant ce qu’elles font à 2 fi, ou 1 fi , fi ce font des deniers.Suppofons, par exemple, que j’aie à la fuite du multiplicateur 3 fi ; *> : 3 fi fout parties aliquantes, parce qu’ilsne mefurent pas exactement 20 fi ; $ & font parties aliquantes , parce qu’ils ne mefurent pas exactement ni un foi,ni deux fols ; comment donc opérer ? Le voici. Je diî,3 fi font compofés de deux parties aliquotes de 20 fi, quifont 2 fi 6c 1 fi : la première repréfente le dixième, & laféconde repréfente le vingtième. J’opère donc fur la femme que me produiroit 20 fi, fuivant le rapport que cesmêmes parties ont avec 20 fi.j * font compofés de deux parties aliquotes d’un fol,-qui font 4 & ôc i* : la première repréfente le tiers, la féconde le douzième, Je peux encore trouver, dans ces 5 *,deux parties aliquotes d’un fol différentes de ces deuxpremières, qui font 3 A> 6c 2 * : la première repréfentele quart ,ôc l’autre le fixième, J’opère donc fur la fommeque me produiroit un fol , fuivant le rapport que cesmômes parties ont avec un fol, foit en prenant letiers ôc le douzième, foit en prenant le quart ôc le fixième ; ce qui produiroit toujours la même chofe.j * font auffî parties aliquotes de deux fois, de deuxmanières différentes ; la première eft 4* ôc 1 &, qui repréfente , l’une le fixième, l’autre le vingt-quatrième ; la fécondemanière eft 3 ^6c 2 ^, qui repréfente, l’une[lehuitième, ôcl’autre le douzième, J’opère donc fur la fomme que me produiroit 2 fi, fuivant le rapport que ces mômes parties ont avec2 fi, foit en prenant le huitième ôc le douzième, foit en prenant le fixième ôcle vingt-quatrième ; ce qui produiroit toujours la môme chofe. Mais, comme il feroit difficile de pren*dre pour un vingt-quatrième, jeconfidère que ce denier eftnon feulement partie aliquote de'alux fols, mais encorepartie aliquote de 4 & : ainfi, au Heu de prendre le vingtquatrième de ce que me produiroit 2 fi, j’opérerais fur "ceque m’auroit produit quatre deniers, ôc j’en prendrais lequart ; ce qui me donnerait une fomme égale à celle quej’aurois trouvée en prenant le vingt-quatrième,.48 ENTRETIENS les autres parties aliquantes de 20 fi font5fi, qui contiennent deux parties aliquotes, y fi ôc 1 fi,ou 4 fi ôc 2 fi, ou 2 fi répété trois fois, ou 1 fi rép cefix fois. Mais on s’en tient toujours, pour l’opération,'aux parties aliquotes d ufage ; ôc, pour ces fix fols, onprendrait, pour J fi, le quart de la fomme que produiroit 20 fi ; Ôc, pour 1 fi, le vingtième de la môme fomme, ou le cinquième du produit de y fi ; parce qu’unfol eft partie aliquote de j fi, puifqu’il eft exactementcontenu cinq fois dans j fi.7 r, qui contiennent deux parties aliquotes, y fi ôc 2 fi : ou 4 fi, 2 fi ôc 1 fi. 8 fi, qui en contiennent trois, 5 ft, 2 fi ôc 1 fi : ou deux fois 4 fi. 9 b, qui en contiennent deux , ;#&£#: ou ;fi& deux j fois 2 fi. 11 fi, qui en contiennent deux, 10 fi 6c 1 fi, i 12 fi, qui en contiennent deux, 1 o fi ôc 2 fi. j 13 fi, qui en contiennent trois, 10 fi, 2 fi ôci'fi. j14 fi, qui en contiennent deux, 10 fi ôc 4 fi, ' . j1 j fi, qui en contiennent deux, 10 fi ôc ; fi, j16 fi, qui en contiennent trois, jo fi, j fi ôc 1 fi, [ 17 fi, qui en contiennent trois, 10fi , j fiôt 2 fi, ï 18 fi, qui en contiennent quatre, 10 fi, y fi, 2 fi ôc 1 fi: | ou 10 fi ôc deux fois 4 fi, ' 19 fi, qui en contiennent trois, 10 fi, j fi ôc4fi:ou 10 fi, [ j fi ôc deux fois 2 fi. j les parties aliquantes d’un fol font,' jj ib : je vous ai fait voir plus haut quelles font fes partiesaliquotes.7 a », qui en contiennent deux, 6 * ôc 1 3> : ou 4* ôc 3 a », ! 8 &, qui en contiennent deux, 6. * ôc 2 a » : ou deux fois 4 *. .,.-'…. 9 a », qui en contiennent deux  ? 6 * ôc 3 a », 10 *, qui en contiennent deux,' £ .a » ôc4 a » : ou 6 a », 3 a » ôci a>, 11SU R h* A n I T II M ET / q 1/ e, 49u ^, qui en contiennent trois, 6 a>, 3 a> ôc 2 a> : ou 6* » ;4 * ôc 1 *,Les parties aliquantes de 2 fols fout 5 a », defquels je vous ai également fait connoître lesparties aliquotes.7 a>  ? qui en contiennent deux ,6 a> ôc 1 * ; ou 4 a » ôc3 3\9 a>, qui en contiennent deux, 6 & ôc 3 a>. !io a>, qui en contiennent deux , 6 *> ôc 4 3 » : ou ij*,'3 *& 1 a>, !i 1 a> qui en contiennent trois, 6^,3 fo ôc 2 3> ; QU 8 * 2 3iÔc 1 a » : ou encore 6 a », 4 fr ôc 1 3\Le chevalier ;Me voilà parfaitement inffruit, Monfieur, fur les partiesaliquantes : ;e conçois, comme vous me l’avez fait remarquer, que ces parties ne font compofées que d’un certainnombre de parties aliquotes, que l’on détache l’une aprèsl’autre , ôc pour lefquelles on opère fuivant leur rapport àla livre numéraire de 20 fols, fi ce font des fols ; ou proportionnellement à ce qu’elles font à un fol, ou à 2 fols,il ce font des deniers, •J-, e n é g o c i a n t.Je fuis bien aife que vous compreniez ce que je viens devous dire: les exemples que je vais vous donner achèveront de vous en procurer la parfaite intelligence.On demande ce que doivent coûter 144 aunes de drap, àraifon de 18 Ib 1 fi l’aune:à .. 18 tb 1 fi
l IJ2
7 4« 2J99 4/:'', Entretien, G^o ENTRETIENSAprès avoir multiplié 144 par 18 , fuivant ce que je vousai enfeigné ci-devant, il eft queflion d’opérer pour 1 fol ;c’eft-à-dire, d’ajouter au produit des 18 ib, ce que ce folproduira de plus, puifqu’il fait partie du prix de l’aune.Dites, Si 144 aunes me couraient 20 i^, ou 1 ib chacune,la valeur de ces 144 aunes ferait 144 ib. Il s’enfuit doncde-là, qu’un fol étant la vingtième partie de 20 fi ou d’unelivre, ce fol me doit produire la vingtième partie de 144 ib.Pour prendre cette vingtième partie, retranchez votredernier chiffre ; prenez la moitié des deux chiffres qui reftent au multiplicande : pofez cette moitié, en avançant d’unecolomne fur la droite, à celle qui lui convient ; ôc le chiffre que vous avez retranché, portez-le à la colomne des fols ;cette opération vous donne 7 Ib 4 fi, qui font exactementla vingtième partie de 144 ib, comme 1 fol eft la vingtièmepartie de 20 R. Cette opération eft générale fur tous lesnombres que l’on peut imaginer, ôc dans tel cas que cepuiffe être, lorfqu’il eft queftion de prendre le vingtièmed’une fomme.Le chevalier.Je viens d’exécuter, Monfieur, cette opération ; maisje vous avoue fmcèrement que je ne la comprends pas bien,Le négociant,Il faut faire en forte de vous la développer de façon àdifliper l’obfcurité que vous y trouvez. Je vous ai dit qu’un-fol étant la partie aliquote de 20 fi ou 1 ib, qui en reprépréfeiitoit le vingtième, on prenoit ce vingtième en retranchant un chiffre du multiplicande ; qu’on prenoit enfuitela moitié des chiffres reftans du multiplicande , en avançant d’une colomne fur la droite ; ôc que le chiffre retranché fe portoit à la colomne des fols. Voilà le méchanifmede l’opération ; mais ce n’eft pas là ce qui vous arrête. Remontons au principe.Prendre le vingtième d’une fomme , c’eft chercher combien de fois cette même fomme contient 20, ce qui fousentend une divifion. Suppofons, par exemple, 40 aunes deSUR ^ARITHMÉTIQUE. y rtoile à i fol l’aune ; il eft évident qu’elles coûteront 2 ib, Pourtrouver ces 2 tb par l’opération , je raifonne donc ainfi : 40aunes de toile à 1 ib l’aune coûteraient 40 Ib ; à 1 fol ellescoûteront la vingtième partie de 401b : c’eft donc chercherdans 40 combien de fois 20, Je retranche un chiffre, il neme refte qu’un 4 ; mais il eft fous-entendu que j’ai égalementretranché un chiffre du nombre 20, qui exprime le vingtième que je cherche ; ôc alors je ne cherche plus combiende fois 20 eft contenu dans 40 ; mais combien de fois 2 eftcontenu dans 4. Or, chercher combien de fois 2 eft contenudans un nombre quelconque, c’eft en prendre la moitié : je dis donc, La moitié de4 ib eft 2 ib ; ôc, en avançantd’une colomne fur la droite, je trouve, comme vous voyezdans l’exemple ci - deffous, que 40 aunes de toile à 1 foldoivent coûter 2 Ib,
^Iç. aunes

à,, Ï : ib 1 fi : : 3 »

.*….. 2 ib : : : :
Quant au chiffre retranché que l’on porte à la colomnedes fols, celui-ci étant un zéro , il eft inutile de l’y. tranfporter, puifqu’il n’y auroit aucune valeur. Mais, en fuppofant tout autre chiffre, il eft encore queftion de vous démontrer comment ce chiffre retranché repréfente autant defols qu’il contient d’unités en lui-môme ; raifon pour laquell epn le pofe à la colomne des fols,Suppofons 44 aunes de toile à 1 fi l’aune, Vous ditesdonc: 44 aunes à 20 fi ou 1 ib l’aune coûteraient 44 ib ;à 1 fi elles doivent coûter le vingtième : vous retranchezdonc le dernier chiffre ; action qui fuppofc la môme opération à l’égard du zéro, qui exprime le nombre 20 : vousprenez alors la moitié ; il vient 2 ib. Voilà une partie dede l’opération ; ôc le 4 porté à la colomne des fois la termine, ôc vous donne 2 ib 4 fi.Le tranfport de ce 4 à la colomne des fols fous-entcndlamôme opération que vous avez faite pour les livres. Ce chiffre retranché repréfente 4 ib ; ces 4 ib, réduites en fols, font
Cr îj
£a ENTRETIENS80 fi : il eft queftion de prendre le vingtième de ces 80 fi,'en retranchant le dernier chiffre, ôc fous-entendant toujours la môme action à l’égard du zéro qui fert à exprimerle nombre 20 ; vous voyez que ce n’eft plus prendre levingtième de 80 fi , mais la deuxième partie de 8, Or, cedeuxième de 8 vous produit 4 fi, que vous portez à h co ;lomne des fols ; ôc votre opération eft finie.
4I4 aunes
à.. ;:ib 1 fi ::*2ib4fi: ;3 »LE CHEVALIER ;Je conçois parfaitement, Monfieur , la raifon de cetteopération ; ôc ;e vois effectivement qu’on peut l’appliquerà tel nombre que ce puiffe être , duquel on veut prendre lev ngtième, Par exemple, fi d’un nombre de fols je vouloisfaire des livres, je peux y parvenir par ce moyen.Le négociant,Certainement ; ôc même il n’en eft pas d’autre. Vousavez 892 fi, defquels vous voulez faire des livres ; opérez »comme je viens de vous l’enfeigner, vous aurez 44 ib 12 fi »89j2 fi :: 3 » 4 4 ib 1 2 fi ; : 3 » l e c h è| v a l 1 e r,"Lorfqu’il fe trouve pour dernier chiffre du multiplicande, après en avoir retranché un ; lorfqu’il fe trouve, disje, un chiftre-dont la valeur eft impaire, vous confidérez,Monfieur, cette unité qui vous refte comme une livre de20 fi, de laquelle vous pofez la moitié, qui eft 10 fi, à lacolomne des fols ; ôc à coté de cette dixaine le chiffre retranché ?SUR L* A R I T H M É T l £U E, $ $
Le négociant.Oui ; ôc ç'cft toujours en conféquence du principe queje vous ai démontré, 892 chofes à i Ib font 892 ib. Lafupprefïion du dernier chiffre, ôc celle fous-entendue duzéro qui exprime 20, me donne donc 89 , defquels jeprends le deuxième. Or, cette unité qui me refte, à laquellej’ajoute le chiffre retranché, forme alors 12 ib , qui font240 fi: la fupprefïion réciproque du dernier chiftre de cenombre, ôc du zéro qui exprime le vingtième que je prends,ne me laiffe plus que 24 ; defquels prenant le deuxième,je trouve 12 fi, que je porte à la colomne des fols,Le chevalier.Me voilà entièrement inftruit , Monfieur, de la façond’opérer pour 1 fi ; ôc cette dernièredémonffration vient dem’apprendre môme la manière de réduire des livres en fols.Je crois que c’eft en multipliant le nombre qui repréfenteles livres par 20 fi ; ôc que le produit eft la quantité de folsque contient le nombre de livres,L e n i g 0 c 1 a n t,Sans doute , puifque l’objet de la multiplication eftd’augmenter le nombre propofé autant de fois qu’un autre nombre contient d’unités en lui-même. Dans la dernière opération, j’avois 12 tb à réduire en fols : 1 ib contenant 20 fi, j’ai donc augmenté le nombre 12, autant de foisque le nombre 20 contient d’unités en lui-môme ; ôc le produit m’a donné 240 fi, De môme, fi j’avois 200 ib à réduire en fols, ou toute autre quantité, une femblable opération m’en donnerait le produit.
200 ib
20 fi

4000 fi
Le chevalier, c’eft ainfi, Monfieur} que j’entendois cette opération, qui54 ENTRETIENSréduit les livres eu fols ; ôc,fuivant le même principe, jeconclus que, pour réduire les fols en deniers, il faut multiplier le nombre de fols dont on demande la réduction par12 ; ôc que le produit fera la quantité de deniers contenusdans ce nombre de fols, comme dans l’exemple fuivant :
372 G
12*
744372 •,4464 3 »Je comprends aufll que, pour faire des fols de ces deniers,il en faut prendre la douzième partie ; comme à l’égard desfols, lorfqu’on en veut faire des livres, on en doit prendre levingtième ; ce qui s’exécute en opérant ainfi que pour 1 fi ;de forte que 4454* font 372 K, comme 4000 fi font 200 ib.Le négociant.Votre difficulté fur la façon d’opérer pour 1 fol eft, jecrois, réfolue : continuons, ôc voyons comment vous entendez celle dont on fait ufage lorfqu’on a 2 fols à la fuitedu multiplicateur.On acheté 136" aunes de mouffeline à 14 ib 2 fi l’aune îcombien faut-il payer pour la valeur de ces 13c » aunes f1 i\6 aune$à., 1 4ib 2 R*44i3513 12 fi—■ ' ■ ' ''■ ■ —— 1 ii—
1 9 1 7 12
Après avoir multiplié 155 aunes par 14 ib, fuivant la méthode ordinaire, il eft queftion d’opérer pour 2 fi ; c’eft-àdire, d’ajouter, à ce produit des 14 ib, ce que ces 2 fi produiront de plus, puifqu’ils font partie du prix de l’aune.SUR l/ A R I T H M ê ti q 1/ £, jyDites, Si 13 6 aunes me coûtoient 20 R ou 1 ib chacune,la valeur de ces 13cT aunes fcroit 136 ib, Il s’enfuit doncde-là, que 2 R étant la dixième partie de 20 fi ou d’unelivre, ces 2 fi doivent me produire la dixième partie de136 Ib.
Pour prendre cette dixième partie, retranchez votre dernier chiffre ; pofez les deux chiffres qui relient au multiplicande, tels qu’ils font, en avançant d’une colomne furla droite ; ôc le chiffré que vous avez retranché , doublezfa valeur, ôc portez-la à la colomne des fols : cette opéra'tion vous donne 13 tb 12 fi, qui font exactement la dixième partie de 135 ib, comme 2 fi font la dixième partie de20 fi. Cette opération eft générale fur tous les nombres quel »conques, lorfqu’il eft queftion d’en prendre le dixième.Elle eft fondée fur le même principe que celle d’un fol ;ôc c’eft ce que vous allez voir dans la démonftration queje vais vous en faire.Suppofons, par exemple,40 aunes de toile à 2 fi ; il eft:évident qu’elles coûteront 4 tb. Pour trouver ces 4 ib parl’opération, il faut donc raifonner ainfi : 40 aunes de toileà 1 tb l’aune coûteraient 40 ib ; à 2 fi , elles coûteront ladixième partie de 40 ib : c’eft donc chercher dans 40 combiende fois il y a 10, Je retranche un chiffre, il ne me refte plusque 4 ; mais il eft fous-entendu que j’ai également retranché un chiffre du nombre 10, qui exprime le dixième queje cherche: ôc alors je ne cherche plus combien de fois 10eft contenu dans 40, mais combien de fois 1 eft contenudans 4. Or, chercher combien de fois 1 eft contenu dansun nombre quelconque, c’eft en prendre le unième. Ils’enfuit donc de-là que ce unième n’eft autre chofe que lenombre môme dans lequel on le cherche, puifqu il contientl’unité autant de fois qu’il la repréfente par fa valeur ; ainfije pofe donc 4, en avançant d’une colomne fur la droite,comme vous voyez dans l’exemple ci-après ;ôc je réponds,fuivant la queftion propofée, que 40 aunes’de toile à 2 f>l’aune doivent coûter 4 ib.$6 ENTRETIENS4|o a »»« à , ; ::tb 2 #-::&.2 tb ; ; : , »Quant au chiffre retranché dont on double la valeur,"que l’on porte à la colomne des fols, vous comprenez quecelui-ci étant un zéro, il eft inutile de l’y tranfporter. Mais,en fuppofant tout autre chiffre, il eft encore queftion devous démontrer la raifon pour laquelle on double fa valeur,pour être portée enfuite à la colomne des fols,Suppofons 44 aunes de toile à 2 fi l’aune. Vous ditesdonc: 44 aunes, à 20 fi ou une livre l’aune, coûteraient 44 ib ;à 2 fi elles doivent coûter le dixième. Vous retranchez ledernier chiffre ; action qui fuppofe la même opération àl’égard du zéro qui exprime le nombre 10, Vous pofez lechiffre du multiplicande fuivant fa valeur: celle du chiffreretranché étant doublée, vous la portez à la colomne desfols i & vous trouvez pour produit 4 ib 8 fi,4l4aunc*à,,,, tb 2 fi4 8Ce 4,dont la valeur eft doublée, ôc fon tranfport à lacolomne des fols, fous-entendlamôme opération que vousvenez de faire pour trouver les livres. Ce chiffre retranché repréfente 4 ib : ces 4 tb, réduites en fols, font 80 fi,Il eft queftion de prendre le dixième de ces 80 fi, en retranchant le dernier chiftre, ôc fous-entendant toujours lamême action à l’égard du zéro, qui fert à exprimer le nombre 10. Vous voyez que ce n’eft plus prendre le dixièmede 80 , mais la unième partie de 8, Or, ce unième de 8n’eft autre chofe que le nombre même dans lequel on lecherche, puifqu’il contient l’unité autant de fois qu’il larepréfente par fa valeur : ainfi, vous pofez 8 fi à la colomne des fols ; ôc votre opération eft achevée.Voici encore une démonftration fimple, qui achèvera de> U R l ! A R I T H M È T l QUE, $jde vous donner l’intelligence de cette opération, Si vousvouliez, par exemple, réduire en pièces de 2 fi un certainnombre de livres, comme 4 Ib, 8 ib, 16 ib , plus ou moins,il faudrait les multiplier par 10, à caufe qu’il y a 10 piècesde 2 fi dans 1 ib : or, fuivant l’objet de la'multiplication ,ii eft donc queftion d’augmenter le nombre de livres proIiofées à réduire en pièces de 2 fi autant de fois que le nombre 10 contient d’unités ; ce nombre , exprimé par l’unité6c le zéro, ne peut donc augmenter la valeur des chiffresqui compofent la quantité de livres que l’on veut réduire,puifque 1 fois 4 eft 4,1 fois 8 eft 8, ôc 1 Fois i<? eft \6,ôcc.,, Il fufiit donc d’ajouter, à la fuite de chacun de ceschiffres, le zéro, qui, fuivant la définition que je vous en$i donnée au commencement de notre converfation, faitvaloir ce même chiffre autant de dixaines qu’il exprimoitauparavant d’unités, Ainfi, voulant réduire 4 ib en piècesde 2 fi, j’ajoute zéro au 4, ôc je vois que 4 Jb font 40 pièces de 2 fi : voulant réduire 8 ib , j’ajoute égalementzéro , ôc je trouve 80 pièces de 2 fi : enfin , voulantréduire itffb le zéro ajouté me donne \6o pièces de2 fi ( ce qui s’obferve dans toute autre circonftauceoù l’on peut avoir une quantité à multiplier par 10.).IIs’enfuit donc de-là que, fi, pour réduire des livres en piècesde 2 fi, il fuflit d’ajouter un zéro au nombre propofé a réduire ; il s’enfuit donc de-là, dis-je, que, pour rendre à cenombre la valeur qu’il repréfentoit auparavant , c’eft-àdire en faire des livres, il n’y a que ce môme zéro .à retrancher. Ainfi , fupprimant zéro du nombre 4J0, il revient4. ib ; le retranchant également du nombre 8{o, on retrouve8 tb : enfin, le retranchant encore du nombre 16J0, ii revient16 tb, Ayant donc, par exemple , 44 aunes, ou toutautre nombre, à 2 fi l’aune , je peux dire ; 44 aunes, à 2 fil’aune, produifent 44 pièces de 2 H. Pour en faire des livres, je retranche un chiffre: cette opération me donnealors 4 ib ; ôc ce chiffre retranché me repréfente 4 piècesde 2 fi, defquelles, doublant la valeur pour en faire des ioh,j’ai 8 fi que je porte à la colomne des fols,Ier, Entretien. h ?8 E N T R E T 1 EN S
4J4. aunes
à,,,, tb 2 fi - 48 . le chevamer ;Votre démonftration, Monfieur, eft fi fenfible, qu’il eftïmpofflble de ne pas comprendre dans l’inftant même lesprincipes fur lefquels eft établie l’opération de 2 fi, Je con- »çois cette opération , ainfi que celle d’un fol ; ôc je croisêtre en état de paffer plus avant, fi vous le trouvez bon.Le né g oci a nt.Je le veux bien, Voici les plus grandes difficultés levées ;puifque, dans toutes les opérations que nous allons faire, cene fera prefque plus que des répétitions de ces deux premierres opérations.Ou demande ce que coûteront 139 aunes de dentelle > ï171b 3 fi l’aune »
I 3 (9 aune*
à., » 1 7tb 3 fi>'■ ■ ■« ■■■ I l’':" 97 3 •1 39■■ 13 » s .. *
6 \ 9 238317Multipliez à l’ordinaire ; ôc,pour vos3 fi, opérez premièrement pour 2 fi, enfuite pour 1 fi ; le produit eft lavaleur de ces 139 aunes au prix fuppofé.Il eft bon de vous faire remarquer que ces 3 fi, qui contiennent 2 parties aliquotes de la livre de 20 fi, dont hpremière qui eft 2 fi repréfente le dixième, ôc la féconde 1 fi qui repréfente le vingtième, vous donnent 2 produits , qui font également parties aliquotes du multiplican*de ; lefquels produits font chacun en particulier, à ce mêmemultiplicande, comme chaque partie aliquote pour laquelleSUR L’A R I T II M ET I QU E. $9 vous opérez eft à 20 fi, c’eft ce qu’il faut vous démontrer.Vous opérez pour 2 fi ; ôc cette partie aliquote vous adonné au produit 13 ib 18 fi. Cette fomme eft le dixième'de 139 ib, comme 2 f)  font le dixième de 20 fi.Dix fois 18 fi font 180 fi ; puifque multiplier par 10 n’eftautre chofe qu’ajouter zéro au nombre que l’on veut augmenter 10 fois. Des fols,vous en fçavez faire des livres:c’eft en retranchant ce zéro, ôc en prenant la moitié dunombre reftant. Il vient, donc 9 ib, comme vous voyezdans l’exemple A,Dix fois 13 ib , fuivant le premier principe, font 130fb,Ajoutez ces 130 tb, comme vous voyez dans l’exemple A jvous trouverez donc 139 ib : ce qui vous prouve clairementque 13 tb 18 fi font le dixième de 139 ib, comme 2 fi fontle dixième de 20 fi. De laquelle preuve réfulte néceffairement le principe fuivant : que toute partie aliquote quelconque produit toujours, par l’opération, un nombre quieft aliquote du multiplicande, dans le même rapport que la,partie aliquote opérante eft à 20 fi,A 1 8jo {\' ptb130l"3'ptbVous avez opéré pour 1 R ; 6c cette partie aliquote vousla donné au produit et tb 19 fi : cette fomme eft le vingtièmede 139 ib , comme 1 fi eft le vingtième de 20 fi,B c d 1 9 fi 6 tb 120 tb 2 0 20 19 58|o ^ 120 tb 1391b . 1 p tb augmentez par la multiplication vos 19 R vingt fois* h ij6*0 ' ' E N T R E T 1 E N S comme vous voyez dans l’exemple b, vous aurez 380 fi ; defquels faifant des livres, vous aurez déjà 19 ib.Augmentez également (f tb, en les multipliant par 20 ;vous aurez 120 tb , comme vous voyez dans l’exemple C.\ : … ;Additionnant, comme à l’exemple D, 120 tb ôc 19 tb^vous trouverez donc 139 tb ; ce qui vous prouve, avec ladernière évidence, que 6 ib 19 fi font le vingtième de 139 tbj,comme 1 fi eft le vingtième de 20 ^.Le cheval i er ;Je m’imagine ^Monfieur, entendre la raifon de ces rap*ports. Dès que je dis, 139 aunes ou tout autre nombre à20 fi, ou t tb faune, font 139 ib ; il eft évident que j’établis un rapport entre 139 Ôc 20 ; il doit s’enfuivre de-là,qu’opérant fur i 39 ôc fur 20 en même proportion, il réful*tera des produits qui feront du'lfi à chacun de ces nombresdans un môme rapport. Pour expliquer plus clairement mapenfée, voici ce que j’imagine »âofi 13 9 tb si je prends la moi- si je prends la tiède20fi,j’aurai lofi.aofi moitié de 139 tb, j’aurai tfp ib 10 fi. 6*p tb 10 fi si je prends le quart si je prends le deâofi>j’aurai$fi . >* $fi quart de 139^, j’auraij4ib ij fi. 34h3 i ;fi si je prens le dixiè- si je prends le me des âo fi, j’aurai dixième des 1391b â fi," » * 1 k i . » k .y afi j’aurai 13 tb 18 fi. ijfbisfiIl eft donc prouvé, pat cette démonftration, qifopéranten même proportion fur 20 fi ôc fur 139 ib, il me vient desproduits qui font,à chacun de leurs nombres^dans un mêmeSUR L’ A R I T h M È T I qu e. 6*rrapport. De forte que, fi to fi font la moitié de 20 fi, 69 tb10 fi font au.fll la moitié de 139 tb : fi 5 fi font le quart de20 fi , 34 ib 1 y fi font aufii le quart de 139 : enfin, fi ù. Iifont le dixième de 20 fi , 13 tb 18 fi font aufii le dixième de139 Ib ; 6c ainfi de toutes les autres parties de 20 fi pourlefquelles je pourrais opérer fur 139 Ib, ou tout autre nombre, qui donneraient toujours des produits qui feront,à 139,'ou à ces autres nombres, dans la même proportion que cesmêmes parties font à 20 fi »Le négociant.Votre démonftratîon eft jufte Ôc précife ; je fuis charméde vous voit comprendre 1Î aifément, Je n’ai donc plusqu’à vous faire opérer la fuite des fols, fans répéter ce quevous entendez aufli bieii que moi :
148 aune*
à 39 tb 4 fi
444Prenez pour 4 fi le jnw* 29 12
j8oi 12
Vous auriez pu opérer différemment pour ces 4 fi, enpo*Tant pour 2 fois 1 fi i c’eût été la même chofe, Répétezcette opération »àjsplh 4 fi133$ 'V, -. 444Vtèûèi pour 2 fi lejixième 14 ttfpofez encore le mêinTf>roduk 1415
r."^ 580 ! '-'là
- . i— 1 . .Il 1 ■ l ' ■:6% E N T R E t j e N S
208 aun"
à 2<îtb^ k> 11 »1248416"Prenez pour j ; fi le quart . . $2J4<fo
s slf aunes
à*. ï 8 Ib 6R
u6SoPrenez pour ? fl le quart 83 1 yprenez pour i Ç le aomCt *<? ' ?
($.130.10.
.i « U aunoà. » 2 5 tfe 7R|l »l il ! II. ■■ I » ■ »■■ ! I ^1 »Prenez pouï y fi te quart » ; 43 yprenez pour 2 fi te iolnn. » t 7 *4 0 3 9 1 i. . y »., ….. niniwi ».à yjj’auMS:à.. 4 jrb Si »
10 2 0"
Prenez pour j fi le quart 6 3 t y prenez pour 2 fi le io,rtc«  ' ô j i ô prenez pour 1 fi le2ohl<? » t 2 1 ?SURh1A r 1 t h M ET IQ U E* 6}l0p aunes
à . . 34ib 9 fi
435327Prenez pour ? fi le quart . . 27 Jprenez pour 4 fi le cinquième. . 2110*■■■■*■ ».ll I — '■■ ! ■ * ».—.—
37 ?? 1
■ 1 Éi Il I .
sQf aunct '
à. » 27Jb 10fi

413 ;
tfio
Prenez pour 10 6 la moitié .. l ?i 10
8387 10è
I 5|raunts
à . » 47tb 1 t r 94Ï5" 4 °Prenez pour 10 fi la moitié* , . 6 7 10prenez pour i file 20mc’ . . . . tf 1 ; 6419 rje ne penfe pas qu*il foit néceffalre de vous faire opérer jufqu’a 19 fi, puifque ce ferok une répétition des exem.pies que je viens de vous donner, précédés chacun en particulier de ce que 10 fi vous produîroiènt. Paffons donc àl’opération des deniers, que nous allons commencer fur leproduit d’un fol ; après quoi nous agirons pour ces mômesdeniers fur le produit de 2 fi, L’une ôc l’autre de ces opération font fondées, ainfi que celles des fols, fur la proportion que les deniers pour lefquels on opère peuvent avo »avec ce mCme produit d’un fol ou de deux fols »6% ENTRETIENSi pin aunej
à. i.. i 7 tb i fi i *
1099Prenez pour i fi le 2ome*….. 7 17prenez pour 1 * le i2me'du produit d’un fol, i ..*..,… 1 3 12677 10 i.. : AFaux pi'oduit de '6 *'. ; . 3 tb 18 fi 6 *produit de 1 *. »,. »». , 13 uVoici de quelle façon il faut raifonnei*. Dîtes 11 * eft la'douzième partie d’un fol ; or, fi 1 fi me produit 7 lb 17fi, 1 îNme produira donc la douzième partie de ces 7 ib 17 fi. Prenez-la, en difant, Le douzième de 7 tb ne me donne rien ala colomne des livres ; mais, en les réduifanten dixaines defols,cela fait 14 dixaines ; auxquelles ajoutant celle qui eftà la colomne des dixaines de fols, cela fait alors 1 y dixaines , defquelles le douzième eft i tréduifez les 3 qui vousrelient en fols, vous aurez 30 fi 5 ajoutez-y les 7 B qui fontà la colomne des fols t de ces '37 fi pofez-en le douzième,qui eft 3 fi, à la colomne des fols ; & ce fol qui vousrefte, réduifez4e eu deniers, Ôc dites, Le douzième de 12 &eft 1 {S que vous pofez a la colomne des deniers s de forteque l’opération de votre denier vous produit 13 fi 1 &,qui font exa&ement la partie aliquote de 7 îb 17 fi, qui eurepréfente le douzième, comme 1 ..tt\eft la partie aliquoted’un fol, qui en repréfente également le douzième,Ônauroit pu opérer plus facilement pour ce denier j » eufaîfant un faux produit t on appelle faux produit la fuppoft*tion d’un nombre, qui n’eft pas dans la règle ; ôc qui, pourcette i'aifon, fe fait fur un petit morceau de papier vo*lant, où'fut le même papier, pourvu qu’il foit hors ducorps de la règle* je peux fuppofer, pat exemple, que j’aiG ib
SUR L* A r I T II M Ê T iqV E, 6$6 & au lieu d’un. Alors, en vertu de cette fiippofition, je dis,Si i finie produit 7 ib 17 fi, 6 & doivent me produire lamoitié de ces 7 ib 17 fi, qui eft 9 tb t S fi.tf-* que je pofe,comme vous voyez dans l’exemple A, page 64.N’ayant qu’un denier, dites alors, Si 6 & m’ont produit5 tb 18 fi 6 &, 1 & denier doit me produire la fixième partie de cette fomme, que je prends, en difant, Le fixième de3 tb ne me donne rien à la colomne des livres ; mais, en lesïéduifant en dixaines de fols, cela fait 6 dixaines ; auxquelles ajoutant ceile qui eft à la colomne des dizaines defols, cela fait 7 dixaines ; defqticlles le fixième eft unedixaine, Réduifez celle qui vous refte en fols, vous aurez10 fi ; ajoutez-y les 8 fi qui font à la colomne des fols ; ôcde ces 18 fi pofez-en le fixième , qui eft 3, à la colomne desfols. Dîtes enfuite, Le fixième de tf & eft 1 & , que vouspofez à la colomne des deniers ; ôc le produit de votre denier , opéré fur celui de 6 * que vous avez fuppofé , vousdonne 13 fi i * ; fomme femblable à celle que vous aveztrouvée en prenant le douzième.On auroit encore pu fuppofer un autre faux produit,pour faciliter l’opération de ce denier. Ayant fait un fauxproduit de 6 *, qui a donné 3 ib 18 fi 5*> il n’y avoitqu’à dire, Si 6 &. me produifent 3 ib t S fi 6 * > il eft évtdenrque 3 * me produiront la moitié de cette fomme, qui cil1 ib 19 fi 3 & : enfuite, fi 3 * donnent t ib 19 fi 3' *>, t ^doit néceffairement produite le tiers de cette fomme, quel’on prend, en difant, Le tiers d’une livre n’eft rien à la colomne des livres ; mais cette livre réduite eu fols, à laquelle on ajoute les 19 \\ qui font à la fuite, forme untotal de 39 fi, defquels le tiers eft \ 3 fi ; enfuite le tiers de3 âyeft i & que je pofe, comme dans l’exemplu B: ôc jetrouve, atnfi que dans la première ôc féconde opération*13 fi i »,-. BFaux produit de 6 &. > »* 3 ib .18 fi 6 &Faux produit de 3 ^ …. t tpProduit d un denier. > >. >… 13M Entretient66 ENTRETIENS le chevali e r,Je penfe , Monfieur, qu’on auroit pu encore raifonnerdune autre façon ; ôtdhx ?,comme dans l’exemple C ckleffous,Si 6 & m’ont produit ■ 3 ib -iS .fi 6 *, 2 * me produiront letiers de cette fomme, qui eft 1 tb 5 fi 2 a> : enfuite, fi 2 îbme donnent 1 tb 6 fi 2 *>, il eft évident qu’un denier meproduira la moitié, que je prends, en difant, La moitiéd’une livre n’eft rien à la colomne des livres ; mais cettelivre réduite en fols , à laquelle on ajoute les 6 fols quifont à la fuite, forme un total de 26 fols, dont la moitiéeft 13 fols ; enfuite, la moitié de 2 &> eft 1 & que je pofetôc je trouve une fomme femblable à celle de votre première, féconde ôc troifième opération.C faux produit de 6 & . . . 3 tb 18 fi 6 & faux produit de a* » , . t 6 1 produit d un denier. ….. 13 1 le négociant.Sans doute \ vous trouverez toujours la même fomme quevous ont produit les première , féconde ôc troifième opérations. En fuppofant même encore un faux produit de 4 &qui feroit le tiers du produit d’un fol, ôc de ce faux produit prenant le quart, il revientlroit encore la même fomme. La raifon de cette égalité de produit eft fondée fur ceprincipe'. Dès qu’un nombre eft partie aliquote d’un autrenombre, qui eft lui-même partie aliquote d’un tout quel*conque, il s’enfuit que le produit de la petite partie aliquote , provenant de l’opération fur la plus grande partiealiquote, fera toujours le même que le produit de cettemême petite partie aliquote, provenant de l’opération furle tout. Ainfi, le produit de t fur tf, de 1 fur 3, de î fur2, ôc de t fur 4, fera égal à celui de t fur 12 t parce que1 étant partie de 12, ôc l’étant aufii de 0", de 3, de 2 6:de4, qui font eux-mêmes aliquotes de ta ; l’opération deSUR L* A R î V U m ET ! q't/ E, 6}'i fur 6-, de î fur }>de 1 fur.a &dc î fur 4, doit donc donner un produit égal à celui de 1 fur 12 ; puifque la fixièmepartie de 6, qui eft la moitié de ta , doit produire unefomme légale à celle de la douzième partie de 12 ; la troisième partie de 5, qui eft le quart de 12, doit encore produire une fomme égale à la douzième partie de 12 ; lamoitié de 2, qui eft la fixième partie de 12, doit produireune fomme égale à la douzième partie de 12 ; ôc enfin., laquatrième partie de 4 , qui eft le tiers de 12, doit toujoursproduire une fomme égale à la douzième partie de 12 »Voici un exemple qui vous fera encore mieux entendre ceraifonnement.12 12La moitié de 12 eft.. 6Le fixième de 6 eft.. JLe douzième de 12 eft 1Le quart de ta eft … 5Le tiers de 3 eft …. 1Le douzième de 12 clVi12I 2Le fixième de ta eft.. 2La moitié de 2 eft,.. 1Le douzième de 12 eft tLe tiers de 12 eft.., 4Le quart de 4 eft…. tLe douzième de ta eft rVous voyez donc par-là que > fi un fol ou ta ^ m’ontproduit une fomme, il faut que te produit de la plus petitepartie aliqitote de t a> opérée fur une plus grande partie aitquote du môme nombre ta> foit femolable au produit queje trouverois en opérant pour cette plus petite partie aliqitote An’ la fomme que mauroit donné 12 & ou t fi. Ainlt>pour revenir à l’exemple précédent 1A t V)  produit . . . … t . 7 ïb 17 r 6 & produite la moitié * .5 t8 cî »ï*Pour t « Melîxièmc …. 15 tOu pour t & le douzième. tj »r ' *
I 'J
(58 £ nt r e T 1 E w S
' ■ B
i B produit … . . . » , 7 tb 17R
3 & produifent le quart . . 1 tj 3^Pour 1 & le tiers …. . 13 iOu pour 1 * le douzième . 13 t1 b produit ……*, 7 ib 17 fi a'*produifent le fixième » t 6 a*-Pour 1 Ma moitié ,. ;» 13 1Ou pour 1 fr le douzième . 13 1D 1 fi produit .. i .,..• ; 7 fe 17 r 4 * produifent le tiers . . 2 12 4*Pour t &lequart . . . . . 13 tOu pour i-& le douzième . 13 1Un fol produit donc > comme dans les exemples À > B,G, D, 7 îb' i7 fi \ il s’enfuit donc dè-îà que j prenant pourî * le douzième de cette fott\me, il vient pour produitïj fi i &> que je trouve également en prenant le fixièmede ce qu’ont produit 6 *, le tiers de ce qu’ont produit 3 **la moitié de ce qu’ont produit a-.*) ou le quart de ce qu’ontproduit 4^: preuve inconteftabîe de ce que je viens devous dite plus haut) que le produit de la plus petite partiealiquotô) provenant de i'opération fur le tout> eft toujoursfemblable ît celui de là même petite partie > opérée fur WÛQplus grande partie aliqitote du même tout. C’eft ce que j’aivoulu vous démontrer avec Une certaine étendue > afin den’être pas obligé de revenir fur nos pas y îorfqu’il fera queftion de Faire des faux produits > ou d’opérer quelquefoispour des deuiers> non fui' ce qu’auront produit un fol >ou deux fols. » mais fur ce qu’aïu'ont produit les partiesàliquotes de ce loi, ou dé ces deux fols. Continuons préfentjmcnt nos opérations dès deniers, toujours fut* le pro »dnit d’un loi.SUR h' A h 1 t h M Ê T l q t/ e. 6p
i « yU aunes
|t.. 4 7 fc i g fi a &

i a i t
CT p a

Prenez peur io f. h moitié S 6 l 0

Pour f f. le quatt………. A , y

Pour »fol le vingtième..i, 8 13

t 8 1 0 Pou' *■ ri. le tîxiune de ce

"1 qu’imfolvcutaprcduit.

8 a 70 t 5 1 o

JQ aunes
à.. 1 3 1b t 3 fi 3 tb
V50
* 0

Prenez pour » 0 f. la moitié.. a Jf

Pour »f, le dixième. »….. j

Pour t û le vingtième •. ». > 2 I ô

U (f Pouf î ittii le quart de « e
1 11 - - qu’un fol VOUS a produit »
6 8 3 2 6
>jJj aune*
à », i p tb 1 8 fi 4 *

■ Pre nez pour lof, la moitié. »
Pour j f. le quatt……….

Pour 11*. le dixième…….

Pour » ù le. vingtième…. >.
639
7 l ■

17 iy

7 a

t 38 Pour 4 dén. le tiers de es

— ■—'-—■ ->-___ qu’im f0i veus a produit.

1414 t 8
70 ENTRETIENS
I o'o aunes

à ..2 3 ib i i fi y 3\
#- '— ■ ■ »■300
âûo .

Prenez pour 10 f. la moitié.. 5", O
Pour 1 f, le vingtième. ». • 1. y

I 13 4 'Pour 4 den. le tiers de ce
qu’unfolvousaproduit.

84 Pourtd.lcquartdecequo
J_, 4 d. vous ont produit.
a 3 y 7 t »
a a|i au »cs
à.. 3 4ib i<?B<î&'
■ ■« ■ 1 ■ ■ »—■ —■ 1 —^ ii —■ IM mm m 1 ■■884'6 6$
Prenez pour tof. la moitié.. 1 10 10
Pour * f » le quart.. 1 »…… $ J ?

Pour 1 fol le vingtième.. » ». t i 1
t î 0 <S Prenez pôurrfd. ta mot1-
— ■■- ■—— tiède ce qu’un fol vous

7 6 p 6 6 6 a produit »
1 ' " ■
t o| J aunci
à » , 1 p 1b t 1 fi p fo

t.Of

Prenez pour io fi la moitié »» $ b. 10

Pour t fol le vingtième. » i » y J
1 X 1 6 Prenez pou ? dd. la moitié

de ce qu’un fol vous a
Q produit.
Q P Pour t d. ie tlxicme de ce

' *« ,* ».. \ < l queedenivousontpro »
10S1 , »63 duit.
S UR h* A Ht T H M Ê t t QUE, JL
4*P a »"** ■:

à.. 2'it.Ni îfiS*

4P
PS

lVfntApoui'iof.hmtitié.. 2 4 * °

Pour ï f. le vingtième….. 2 p

j 4 rj Prenez pour 6 d.I.t moitié

* de ce qu’un fol vous a

produit.

8 a Pour id. le tiers de re que
,…., • ; <Sd, vous ont produit.

t o j 7 t i 8
i i,
2 t[o aunes
à., a8ib t fip t>
*■■■■ ' ■- ' m .
 » 7J2
438
Prencï pour if le vingtième. îo tp

y p fj Pour ê d. la moitié de ce
qu’un, fol vous aproduit.

2 t4 P Pour Î d. la moitié de ce

**—*——• " ' '—■■—— que 6 d. vous ont proi5

1 5* t 3 3 du !« *
1 p|p aunes

à. » 2 jlb t t fi i o&

.PP *
3P8

Prenez pour J 6 f, la moitié,. PP t0

Pour t f. le vingtième. *>>> 9 1 9

4 1 p fj Pour € d. la moitié do ce
qu’un loi vous a produit.

3 fj 4' Pour t d. le'tiers de ce

•M - ■ ■■■- - - ■ ■, qu’un fol Nous a produit.

j o p 2 14 to
Vous auriez pu prendre, pour 3 &, la moitié du produit de tffy7-à ENTRETIENSprendre enfuite, pour i*, le tiers du produit des 3 &. Mais,comme on doit toujours chercher le moyen d’abréger fesopérations, il vaut mieux prendre pour 6 & & pour 4 *.tj\y aunes
à .. a 7 lb 1 3 fi I 1 &
M 91 y 4
Prenezpour 10 f. la moitié. 3810

Pour^, f. le dixième……. 7 * 4

Pour t. f. le vingtième,… » 3*7

1 l8 tfPour <5 d. la moitié de ce
qu’un fol vous a produit.

1 P 3 Pour j d. la moitié de ce

que fi d. vous ont produit.

Ï.2 10 Pour t d. le tiers de ce que

■ i .. m ■ ^d, vous ont produit.

2132 11 7
■ ■Je vous crois fufiïfamment inftruit fur la façon d’opérerpour les deniers fur le produit d’un fol, ainft que fur lesparties aliquotes de ce même fol ! répétons maintenant lesopérations des deniers fur le produit de 2 fi, qui font fondées, ainft que les précédentes, fur le rapport que les parties ont avec leur tout, c’eft-à-dire, fuivant le rapport 6cla proportion que les deniers pour lefquels on opère ontavec 24 & ou 2 fi.
t \\H aunes »■
à v » t 4 tb a fi 1 *
4 6 8
H 7
Pftnti pour if. le dixième. tt 14

P P
ttf ?o 3 p pourSUR L’ARITHMÉTIQUE* 7$APour t fi. …. y tb 17 fi pour t 3> le t2me ».. p fi p * b pour 6 *., ;. ; alb ts iu&Pi— ■—■ !■ I ■' '■ ' ■'"■Pour 1 * lc fixième 9 9 cPour 3 * ;; ;; ;• 1 ibpfij *Pour t * le tiers… p pPour l’opération d’un denier, faites un faux produit d’unfol, comme vous voyez dans l’exemple À ; il vous donne y 1b 17 l\t Prenez enfuite, pour t *, le douzième de cettefomme ; vous aurez pfi p tt\Si vous voulez opérer plus aifément , faîtes un fécondfaux produit de 6 &, comme dans l’exemple U : il vousdonne a ib t8 fi 6 &. prenez, pour 1 *, le fixième, qui e(lp fip &. Ou enfin faites un troitième faux produit de 3 ^,comme dans l’exemple C ; il vous donnera t ib p fi 3 <b ;prenez enfuite, pour t * », le tiers qui eft p fi p ^ : portez*les dans le corps de la règle, pour Otre additionnés avec lesautres fommes. Quant à l’égalité de ce produit, quoiqueopéré de plufieitrs façons dilTérentes, vous comprenez quec’eftenconféqueneede ce que je vous ai dit ci-devant furun pareil fujet : il eft donc inutile de vous eu parler davantage./". Entretien* k74 ENTRETIENS, 3 ijfaunM à. . 3 3 ib i a fi a &>■ !■■ I ■ !■■' Il I II94$ p4 ?
Prenez pour io la moitié.. ijy io

Pour t f. le dixième…… 3 i 1 o

2 12 5 Pour i d. le douzième de

, , , _ ce que i f, vous ont

1 0 y 8 6 1 2 f5 Produit’
Pour l’opération des 2 &, vous pouvez faire un faux produit d’un fol, comme dans Texemple À ( page 73 ) , duquelprenant le fixième, vous trouverez une fomme femblablea celle que ces mômes a & vous ont donnée en prenant ledouzième du produit de 2 H.
j 2 7 aunes
à . » 1 3 ib t 7 fi 3 &'1 ■ -II » I I3 8 tt a 7
Pretitzpourlor.lamoitiê » rj 3 I O '

Pour î f. le quart……. 31 t y

Pour s. f. le dixième….. 12 t 4

î 11 p

1 7 6 0 1 ô p
> ■ »■■ M ■
Pour $ d. le liuitième de ce
quei f. volt » ont produit.
Pour l’opération des 3 &, vous pouvez encore faire unfaux produit d’un fol, comme dans l’exemple B, duquelvous prendrez le quart, qui vous donnera 1 tb 11 fi p â\B pour t fi » . . . .tftb 7 fi pour 3 a » le quart, t tt p&SUR i ! ARITHMÉTIQUE. y$${Q aunes
à .. t 2 Ib i 4 fi 4 fo

i 7 8
8p

Prenez pour to f. ta moitié, 4410

Pour 1 f. le dixième…… 8 t 8

Polez. encore le même produit
<>..>>>■« ><»…•• o I b
' 9 8 pour 4 d, le (îxicme de ce

— __ que if, vous ont produit.

i 1 3 1 1 y 8
 » ■ « I—^—**—
I ^Uaunes
4 7 Ib 1 2 fi y &
■■■—i—… 4.. ».i o.^^a.nM,. M.
I 2 II

fjp a

Prenez pour »o f. la moitié, S 6 1 ù

Pour 1 f. le dixième…… 17 6

2 17 8 Pour 4 d. le fîxltme de te

queif.VOUSont preduit.

14 $ Pourt d.lequattdceequt

—— '— 4 d, vous ont produit.
82388i » ■ ■ ».,■-. « .toPI PI ■ ■' ■' " « 
t o|t »« «"
à.. 3 0tb atU*

3030
PoUf à fol* le dixième » », t o 2

2 t 0 6 Pour « d, te quart de ce que

k__ __ —— * f. vous ont produit.

3042126"
Kij76E NT R ET I E N S
jU aunes
à. i 7 tb 17 JR 7*

7 7

Prenez pour 16 f.ia moitié. y 1 O

Pourf fols le quart……, 2 1 £

Pour i fol » le dixième,, » i • . 2

y . tf Pour 6 d. le quart de ce que.
tf. vous ont produit.

j 1 Pour t d. le /îxièmc de ce

„ ;,--■■ que Éd< vous ont produit,

tprî 13 y
 » 1 1 i » ■
I jj0 aunes
à », apit a fi 8^

1 3$o
300

Prenez pour i f. le dixième. I j ?

e Pour 8 d. le tiêri de ce qut

■ 1 , ,— >..'… .. i f. vous ont produit..

4 3 7 0
.i » .i. » i' ■ .i 1 ' 117l5aunei ..,
à » » 3 3 tb 7 n p * S ip y *p
Prenez pour j fols le quart. 43 Î

Pour tiôls le dixième…,,. * 7 <T…

4 6 6' Pour « d ; le quart de ce que
if,vous ont produit.

23 3 Pour % d. la moitié de ce

— . : ——que 6 d. VOUSoht produit ».
y 7 7 rf o pS U R l* A R I T h M É T 1 q V'ïï, J ?i 6\i »« M« 
à .. 3 7 tb p fi iofr

t t 4 i
48p

Prenez pour j fols le quart. 4 ° * S*

Pour i fols le dixième… I 6 6

Pofez encore le même produit l 6 6

4 t 6 Pour fid.leeuartdeeeque
x f. vous ont produit.

2 I A, A. Pour 4 d. le fixième de e.e
i » .__L que if. vous ont produit.
6 1M 2 10
Vous auriez pu opérer différemment : 6c, au lieu de prendre pour 4 & le fixième de ce que vous ont produit a fi,comme vous venez de faire, vous eufitez pu prendre pour 3 &la moitié du produit de 6 * ; & pour t * le tiers du produit de 3 ^ } ce qui auroitété égal. Mais la première opération étant plus brève, elle doit être préférée à cette dernière »
I pi7 ïMes
à.. 2 plb 1 pfi ti*
■ —■ …■■ »,..,-^ « ■. ^ hpi ■w »»* » »1773 3p4
Prenez peur tof. la moitié. p8 to

Pour ï fols le quart t ».. » 4 P S
Pour i fols le dixième>. » t p t 4

Pofez encore le même produit *P '4

418 fJ Pour^d.lequattdeccquc

if. Vous ont produit.

2 p 3 ^olir $ ^' 'â moitîc de ce

quted.Vousontproduit.

t 12 tO Pour td. le tiers de ce que

 »_~———.—► ,. ,—, 6 d. vous ont produit..
y pop 3 7kpMppfppppJpapVppHHpBHpVpvMpAlMipHppW'7$ K NT R E T I EN S le chevalier.Je comprends parfaitement, Monfieur, les opérationsdes deniers,tant furie produit d’un fol, que fur le produitde deux fols y vous m’en avez donné une parfaite intelligence par tous ces différens exemples .Mais, s’il arrivoitqu’on me proposât une queftiou comme celle-ci ; 240 aunes de toile ou autre chofe quelconque, à 7 Ib 7 ^ l’aune, comment me tirerois-je d’affaire ?Le négociant.Très-facilement. Vous n’avez qu’à fuppofer tel faux produit qu’il vous plaira, & opérer enfuite fur ce faux produit, fulvant ce que les parties aliquotes qui forment lenombre de vos deniers feront à ce même faux produit.X'ufage,dans ces fortes de cas, eft de fuppofer toujours leproduit d’un fol, duquel mt peut encore tirer d’autres produits , comme je vous l’ai démontré ci-devant, pour faciliter l’opération des deniers. Ainfi, pour réfoudre votrequeftion, Ôt toute autre de môme genre, voici de quellefaçon il faut s’y'prendreY24|oaunci Pauxproduît d’un fol, »» ; i2 }b
tu. 7tfaoB7V_ pour é deniers ta moitié.,. 6

t 6 S O Pour t dc.iier le fixième. i
7 t ' M ■ 111  »è■*—7-— ,:. ■ ■'. 7 ï 6 8 7- ■ ■ ■■■■'■■*■=.Le cm e v al i ër,Ne pourroit-il pas arriver,Monfieur, qu’il fe rencôn »tràt quelquefois des qttefttons à réfoudre, defquelles lemultiplicateur ou le prix de la chofe ne fût: qu’uni certainnombre de fols, ou de fols 6c deniers, ou môme feulementde deniers ? Dans ces fortes de cas, doit-on agir par lesparties aliquotes > ou par quelque autre méthode particu*
L E NÉGOCIANT.
Il y a plufieurs façons d’opérer ; mais la plus abrégée eftpar les parties aliquotes, que je vous ai démontrée. Cependant, il faut être inftruit des différens moyens par lesquels ou peut réfoudre les qucftions du genre que vousfuopofez. Soit propofée la queftion fuîvante î 274 aunes deruban à 13 fols faune.274auiic*
1 3 fi

8a a
274 3 S *|a «  réponfe …….. t 7 81b a fiiô. Lorfqu’un certain nombre de fols efflc prix d’unechofe, on peut multiplier la quantité de ces chofes par lenombre de fols qui eft le prix de ladite chofe. Le produiteft la valeur de cette quantité, comme vous voyez dansl’exemple ci-deffus, otï, ayant multiplié 274 aunes par 13 fi,j’ai pour produit 3 $62 fi. Pour de ces fols en faire des livres, je retranche la dernière figure ; je prends la moitié dela fomme, en avançant d’une colomne ; je pofe à la colomnedes fols le chiffre'retranché i enfin, j’agis comme pour unfoi,& je trouve pour réponfe 178 Ib a fi.a". Si > à la fuite des fols, il fe trouvent des deniers, coin,me, par exemple, dans la queftion fuivante, 13P aunes decordonnet de foie à t j" fi 7 & l’aune.i 1 n aunes
à.. 1 y fi 7^

 sr'tt  » 3 p ,
Prcne/.pour 6è> lamtitié.. "P ^l

Pour t d. le 'fixième*. »». t t 7

2 1 5|fj t
Réponfe »» »' ».,* »» îosibfjfii^$0 E N T R E T I E N SJe multiplie, comme dans la queftion précédente, 13Paunes par 1 j fi : enfuite j’opère, pour les deniers, proportionnellement aux parties aliquotes d’un fol, Je dis donc,139 aunes à t fi font 139 fi : par conféquent, 6 *. doiventme produire la moitié de cette quantité , qui eft 69 fols6 deniers. Vous comprenez que, quand il refléta quelquechofe à la dernière colomne, ce reliant n’eft qu’un nombrede fols qu’il faut réduire en deniers, 6c dont on prend lamoitié ou le tiers ouïe quart, &c. fuivant la partie pourlaquelle on opère. Àinfi, après avoir opéré pour <?« », 6copérant enfuite pour un ^ fur ce produit de 6&)  qui eft69 fi 6 &, je dis : Le fixième de 6 eft 1, le fixième de p eft t ;il refte 3 fi, qui font 36 deniers ; auxquels ajoutant les 6 .&qui font à la fuite du produit fur lequel j’opère y font alors4,2 &, defqitels le fixième eft 7 lV que je pofe. Faifant l’addition fuivant fà méthode ordinaire, je trouve pour produitn66 fi 1 '* t rédnïfant cette quantité de fols en livres, enopérant comme pour un fol, je trouve 108 !b 6 fi t * »36. S’îlarrivoit que le prix de la chofe ne fût qu’un certain nombre de deniers, comme dans l’exemple fuivant ;il faut multiplier la quantité propofée par les deniers quifont le prix de la chofe. Le produit eft un nombre de deniers, duquel prenant le douzième pour en faire des fols, &de ces fols prenant le vingtième pour en faire des livres, cequi s’exécute en opérant ainft que pour 1 fi, vous trouverez laréponfe telle que II vous .reulIÎM cherchée par les partiesaliquotes.
/ - ' È g p aunes
■■'■ îl,,'*'i.^ùnL-« 
Prêtiez le dcuïièmc… »..* 2 ijfj fi p1^

Prenez le vingtièmes: Vous’—"~-~j~ „ ih
aurez polir réponie…… ■ ■ 1. O 10 1 o.t>p "
Voyez préfentement à refoudre chacune de ces. qu’eftions. . propoféesSUR L*AR I T H M Ê T I qt/e. Sipropofées par les parties aliquotes. Je commence par lapremière, qui eft274 aunes, à 13 fi l’aune.a 7|4 av ;;ies
à.. Ib 13 fil’JU,lft
 » m ■■….
Pour io f, la moitié……. 137

Pour i f. le dixième…… z y 8

Pour 1 fie vingtième ! 3' IA

178 a
m-1 - ■ t - — - - ■■ —, ■ ■-La féconde queftion eft 13P aunes à 1 j fi 7 ^ l’aune,à., tbtjfi ?^« M I I I ■■ Il !*■
Pour :o f, ta moitié……. tf 9 JQ

Pour f f. te quart…….. 3 ± \ e

Produit des 7 deniers…… ^ \ j
>■■ ■ i<
108 6 t
■ ' ' • ' .■..-.
Faux produit d’un fol….(tf) fjtb tp fi
> 1 « i ii nkM^M—^
Pour 6 deniers la moitié…. 3 P ^

Pour I demie fixième,… 11 7 . „
*■■ ■ II. !.-. ■ il 1.1—,P.i J.IHP.IIIH I
4 1 1
La troifième queftion eft^Sp aunes, à p * l’aune.
(£) 2Sloalmcî à ». ib fip^ »^..t . - -.. ■ - f. ■■■■ .■■■i-.--.-.—■
Produit des ?deniers.. !». » t o t rj p

Faux produit d’un fol,… (/>) Kj.tb p R

Pour 6 la moitié……… 7 45

Pour $ deniers le quart.. » » 3 12 3

10 IfJ p
K ■ Entretien* l8a E N T R et i e N SVous voyez que, par le moyen des faux produits, on n’eftjamais embarralté. Comme vous m’aflurez entendre les opérations des fols 6c deniers de. la multiplication , nous allonspaffer à la divifion, qui eft la quatrième règle: après quoi,vous ferez en état de comprendre ce que j’ai à vous direfur les proportions.DE LAD I V I S I ONLA DIVISION eft une règle dont l’opération confifte àpartager une fomme donnée en autant de parties qu’unnombre appelle divifeur ou partitêur contient d’unités enlui-môme. Suivant la définition de cette règle, vous voyezque fon objet eft de connoître la valeur d’une chofe parcelle de plufieurs t ainfi, voulant fçavoir à combien doitrevenir l’aune d’une étoffe, de laquelle une certaine quantité auroit coûté ■un certain prix, il faut fe fervir de la règle que l’on appelle divifion, pour connoître cette valeur.Il y a trois nombres à remarquer dans la divifion, lele Dividende > le Divifeur & le Quotient. On appelle dividende la fomme qui doit ôtre partagée, comme, dans l’exemple A, 8y8a tb t on appelle divifeur le nombre qui doitpartager la fomme, ainfi que, dans le môme exemple, lechiffre 7 \ 6c enfin l’on appelle quotient 1226, nombre quirepréfente la quantité de fois que le divifeur ou le chiffre7 eft contenu dans le dividende.La pofition de cette règle doit être comme vous lévoyez dans l’exemple À, Je tire une ligne fous le dividende,SUR L’AR I T ÏI M ET I QU e. 83à la droite duquel je place le divifeur ; 6c enfuite je faisune efpèce de { dont le contour de la queue forme un efpace dans lequel je place les chiffres qui doivent composer le quotient.On fe fert de trois opérations dans la divifion, lesquelles fe répètent toujours dans-le même ordre, jufqu’à ceque la règle foît faite.La première opération confifte à chercher combien defois le chiffre du divifeur, ou le premier chiffre du divifeur, s’il y en a deux ou un plus grand nombre (en allant de gauche à droite)  ; la première opération confifte,dis-je, à chercher combien de fois ce chiffre eft contenudans le premier chiffre du dividende, en allant auffi degauche à droite ; obfervant que, fi ce premier chiffre dudividende ne peut pas contenir celui du divifeur, on enprend alors deux du dividende, dans lcfqueîs on cherchecombien de fois ce premier chiffre du divifeur eft donccontenu : ôc la quantité de fois qu’il s’y trouve fe pofedans le quotient,La féconde opération eft de multiplier le divifeur parle chiffre que l’on a mis dans le quotient, en allant dedroite à gauche, fuivant l’ordre ordinaire de la multiplication,La troifième opération eft de fouftratre du dividende leproduit du divifeur, multiplié parie quotient ; 6c de pofer,fous les. chiffres defqnels on fondrait,ce qui refte du dividende, fuivant la méthode ordinaire de la fouftrattion,Cette dernière opération achevée, on defeend un chiffredu dividende, que l’on place a côté de celui ou de ceuxqui relient. Cette fomme forme alors \n\ nouveau dividende, fur lequel on répète les trois opérations que je viensde vous expliquer ; obfervant que chacun des chiffres dela Comme propofée doivent ôtre defceiulns l’un après l’autre, 6c toujours placés à côté du reliant, pour former unnouveau dividende, fur lequel on fait encore les trois mômes opérations ; ce qui fe réitère depuis le commencementde la règle jufqu’à la fin, Voici la théorie ; procédons maintenant à la pratique, S y 82 ib à partager entre fept perfonL ij ■84 E N T R ET I E N S nes> combien chaque perfonne doit-elle retirer ?.
8582fer 7
1SL 18 42 0Première opération. Chercher combien de fois le premier chiffre du divifeur eft contenu dans le premier chiffredu dividende,Je dis, Dans 8, combien y a-t-il de fois 7 ? îl s’y trouveune fois ; je pofe donc 1 dans le quotient.Seconde opération* Multiplier le divifeur par le chiffreque l’on a mis dans le quotient.Je dis une fois 7 eft 7,Troijicme, opération* Souftraire, du dividende, la fommedu divifeur multipliée par le chiffre du quotient.Je dis, oter 7 de 8, ilrefte 1 que je pofe.Remarquez qu’à la fin de cette dernière opération, jedefcends toujours, comme je vous l’ai déjà dît »imchiffredela fomme à divîfer, que je place à côté du chiffre reliant,pour avoir un nouveau dividende ; a&ion que je réitèreautant de fois qu’il y a de chiffres à defcendre, c’eft-à-di »re, de chiffres fur léfquels je dois opérer à ladite fomme,Ainlî je defcends le j , fécond chiffre du dividende, à côtéde cet 1.. qui m’êft refté de la fouftra&ion que je viens defaire ; c’etlun nouveau dividende fur lequel je vais répéterles mêmes opérations »Première opération, Dans tj, combien de fois 7 ? il s’ytrouve deux fois ; je pofe 2 dans le quotient.Seconde opération* deux fois 7 font 14.Troifème opération* Oter. 14. de t j, il refte t que jepofe,je defcends le 8, troifième chiffre du dividende, 6c jecontinue.Première opération* dans ï s, combien de fois 7 ? il s’ySUR l’ A R 1 T h M Ê T I £ U e. sj 1 trouve deux fois ; je pofe 2 dans le quotient. Secondé opération. deux fois 7 font 14.Troifùme opération, Oter 14 de 18, il refte 4 que jepofe.Je defcends le 2, quatrième 6c dernier chiffre de laditefomme à divifer, que je pofe à côté du 4 qui me refte :ce nouveau dividende eft 42, fur lequel je répète les opérations précédentes.Première opération. Dans 42, combien de fois 7 ? il s’ytrouve fix fois ; je pofe 6 dans le quotient.Seconde opération* six fois 7 font 42.Troi/iè/ne opération. Oter 42 de 42, il refte rien ; je pofezéro, 6c la règle eft finie,LE CHEVALIER.S’il vous eût relié, Monfieur, un chiffre qui eût exprimé une valeur, qu’en auriez-vous donc fait, puifque vousn’aviez plus de chiffre à defcendre ?Le négociant.J’aurois réduit ce chiffre redant en fols, en le multipliant par 20 fols ; j’aurois divifé ce nombre de fols par 7,par le moyen des trois opérations dont j’ai fait ufage jufqu’àpréfent. S’il me fût refté un nombre de fols, je les auroisréduits en deniers, en les multipliant par ta ; 6c j’auroisenfuite divifé ce nombre de deniers par 7 , en répétanttoujours les mômes opérations. Mais, comme il ne refteaucune valeur, la divifion eft faite ; 6c vous voyez que chaque perfonne doit retirer 1226 Ib.Le chevalier.Je vous prie, Monfieur, de vouloir bien, par de nouveaux exemples, me mettre dans le cas de vous propoferplufieuts difficultés que j’Imagine dans l’opération de.cette'règle, 6c que je ne peux Vous faire connoître qu’en lesayant fous les yeux,Le n ê o o c 1 an t. volontiers ; vous n’avez qu’à propofer ces difficultés.-86 E N T R E T t È N S quelle eft la première qui fe préfente à votre efprlt î le c h e val ier.La voici : partagez, s’il vous plaît, 72op2 Ib entre neufperionnes.
720P2 îbr ^
——|8oïolb4fiî*
■02 "'-■'.
20
lu ' ■40 4 12Il H'' ''L48
'■"■.'■'. 3
Le né go ciant.Réfolvez vous-même cette queftion : 6c, quand vous ferez embarraffé, je viendrai à votre fecours. Dites donc tPremière opération, Dans 7, combien de fois p Ml n’yeft pas. Vous devez donc ici « rendre deux chiffres, Ôc dire,En 72, combien de fois p ? il s’y trouve huit fols, Pofez 8dans le quotient.Seconde opération* huit fois p font 72.Troijièmë opération, Oter 7a de 72, il né refte rien » DeÊcendez un chiffre de la fomme a divifer, pour avoir unnouveau dividende. Ce chiffre eft un zéro t comme il nevous eft rien refté de la fouftraclîon que vous venez de faire, ce nouveau dividende n’ayant aucune valeur, il ne peutdonc pas contenir le divifeur » Or, il eftit remarquer que,toutes les fois que vous defcendez un chiffre de la fommeà divifer, pour, avec le reliant, former un nouveau dividende)  il eft à remarquer, dis-Je, que l’on doit mettre unchiffre dans le quotient, qui exprime une valeur plus oumoins grande, fuivant que le divifeur eft contenu plus oumoins de fois dans le dividende. Ici > Je dividende n’ayantdonc point de valeur, il ne peut contenir le divifeur t niaisSUR h\A R I T H M E T I QU E. %Jayant defcendu un chiffre, ôc étant obligé d’en porter undans le quotient à caufe de cette aclion, il faut en mettreun qui n’exprime aucune valeur en lui-même: ainfi, vousdevez pofer un zéro dans le quotient ; ce qui s’obfervetoutes les fois qu’ayant defcendu w\\ chiffre, le nouveaudividende ne peut contenir le divifeur. Je crois que votredifficulté eft levée par cette explication. Continuez, enobfervant toujours les mêmes opérations.Defcendez maintenant le p , 6c dites :Première opération* Dans p, combien de fois p ? il s’ytrouve une fois. Pofez t dans le quotient.Seconde opération* une fois p eft p. Troifème opération* oter p de p, il ne refte rien.Defcendez le 2. Vous voyez que ce nouveau dividendene peut pas encore contenir le divifeur : mettez donc \mzéro au quotient,Il vous refte donc a ib, qu’il faut réduire en fols. Multipliez-les par ao, le produit eft 40 fi : continuez votre divifion fuivant le même principe, 6c dites :Première opération. Dans 40 fi, combien de fois 9 ? ils’y trouve quatre fois. Pofez 4 dans le quotient à la colonnedes fols.Seconde opération. quatre fois p font 3 6.Troifème opération* Oter 36 de 40, il refte 4 fi qu’il fautpofer.De ces 4 i\ qui vous relient, faites-en des deniers, enles multipliant par t a. Le produit eft 48 deniers : continuezla divifion de ces deniers dans le même ordre.Première opération* Dans 48, combien de fois 9 ? il s’ytrouve cinq fois. Pofez 5 dans le quotient à la colonne desdeniers.Seconde opération, cinq fois p font 45".Troifème opération. Oter 4j de 48, il refte 3 deniersque vous pofez, lefquels ne peuvent fe divîfer : ainfi votre règle eft faite, 6c chaque perfonne retire 8oto ib 4
fi y Û\
Lt chevalier. je commence à comprendre, monfieur, la raifon de cesSS E NT R E T l E N Sopérations. Il eft vrai que j’ctois embarraffé, lorfim’ayantdefecndu un chiffre, ôc le nouveau dividende ne pouvantcontenir le divifeur ; j’ctois embarrafl’é,dis-je ,fur ce qu’ilfalloir faire alors, Mais je conçois parfaitement, que (i cechiffre defcendu, joint à mon reliant, ne peut contenirmon divifeur, je dois pofer un chiffre dans le quotient quiexprime que le divifeur n’eft pas contenu dans le dividende ; & je ne peux me fervir dans cette occafion que du zéro, ■ puifquii ne repréfente aucune valeur.Le négociant,Il n’eft pas poftible que les explications que je vous aidonnées n’aient commencé à développer vos idées furcette règle: mais, pour achever de vous en procurer l’intelligence, je vais vous faire voir, par des démonftrationsfenubles, la raifon de vos opérations. Reprenons la définition de cette règle.La divifion eft une règle dont l’opération confifte àpartager une fomme donnée en autant de parties qu’unnombre, appelle divifeur ou partiteur, contient d’unités enlui-même : d’où il s’enfuit que le quotient, ou nombre réfultant de l’opération, repréfente une valeur qui eft contenue dans la fomme donnée autant de fois que l’unité eftcontenue dans ce même divifeur.Or, fi le quotient, ou nombre trouvé par l’opération,eftcontenu dans la fomme donnée ou le dividende autant defois que le divifeur contient d’unités en lui-même ; il s’enfuit donc de-là que le divifeur eft également contenu dansle dividende autant de fois que le quotient, ou nombretrouvé par l’opération, contient auffl d’unités en luimême.Si le quotient eft un nombre qui foit contenu dans ledividende autant de fois que le divifeur contient d’unitésen lui-même : il faut donc, pour avoir ce nombre, cherchercombien’de. fois une certaine valeur du dividende peut'contenir les unités qui expriment le divifeur. Je dis unecertaine vï'ieur du dividende, parce qu’on ne prend pas àla fois, comme vous.l’avez.vu, tous les chiffres qui compofentSUR i ! A R I t h MET I Q U E, 80pofent le dividende, pour chercher le nombre de fois qu’ilscontiennent le divifeur ; mais qu’au contraire, dans tel casque ce foit, on ne prend jamais que la quantité qui peutcontenir le divifeur depuis i jufqu’à p fois. Ainfi, dans iepremier exemple , ayant 8j8^ Ifc à partager entre 7 peribnnes, je ne dis pas tout de fuite,Dans SySa , combiende fois 7 ? ou dans 8 y. combien de fois 7 ? je dis feulement,Dans 8, combien de fois 7 ? parce que cette valeur du dividende fuffit pour contenir les unités qui expriment mondivifeur. Mais, fi cette valeur n’eût pu le contenir , Ôcqu’au lieu d’un 8 ce premier chiffre eût été un 6, j’auroisdit alors, En 6$, combien de fois 8 ? Ce n’eft pas encoretout : il faut vous rendre raifon de ce chiffre que vousdefcendez, lequel, joint à votre reliant, fait un nouveaudividende.Du principe que nous avons établi, que le quotient eftun nombre qui eft contenu dans le dividende, autant defois que le divifeur contient d’unités en lui-même ; pouravoir ce quotient, il s’enfuit donc que le divifeur doit parcourir tous les chiffres qui compofent le dividende : ôcc’eft pour cette raifon, qu’après avoir trouvé ce divifeurun certain nombre de fois, dans le premier ou dans lesdeux premiers chiffres du dividende, on defeend le chiffrefuivant, pour, avec ce qui peut relier de la troifième opération, qui eft une fouftraêtion, former un nouveau dividende , dans lequel on cherche encore ce divifeur : a£tionqui fe réitère jufqu’à la fin de la règle, comme vous l’avezvu dans les deux exemples que je vous ai donnés.Il faut donc vous développer la manière dont le divifeurparcourt un ou plufieurs chiffres du dividende. Vousavez 8 j8a à divifer par 7 ; vous dites donc , Dans 8, combien de fois 7 ? Il eft fous-entendu que vous cherchez, parcette opération, combien de fois 7 font contenus dans85^83, puifqu’il faut fuppofer vos chiffres placés dans l’ordre fuivant :pr. Entretien. m$0 E N T R E T 1 E N S—i-—J Ï22(S
i ;oo7ï8o7 42
• -7 '
Ayant trouvé le divifeur 7 contenu une fois dans ledividende 8000 ; ôc, après avoir multiplié ôc fouftrait, comme je vous l’ai enfeigné, il vous refte 1 mille ; votre divifeur, après avoir parcouru les milles, doit également parcourir les centaines de livres: vous defcendez donc le yqui eft à la colomne des centaines, ôc ce nouveau dividendeeft de 1 joo.Votre divifeur 7, placé fous le 3 ;, eft contenu deux foisdans iy 00 ; ôc, après les deux opérations faites, vous avezun cent de refte,Votre divifeur, après avoir parcouru les centaines delivres, doit également parcourir les dixaines ; vous defcendez donc le 8 qui eft à la colomne des dixaines, ôc ce nouveau dividende eft de 18 dixaines ou 180.Votre divifeur 7, placé fous le 8, eft contenu deux foisdans 180 ; ôc, après les deux opérations faites, vous avezquatre dixaines de refte.Enfin, votre divifeur, après avoir parcouru les dixainesde livres, doit également parcourir les unités ; vous defcendez donc le a de la colomne des unités, ôc ce nouveaudividende eft de 4a.Votre divifeur 7, placé fous le a, eft contenu fix foisdans 4a ; après les deux opérations faites, il ne vous refterien, 6c votre règle eft finie.Le nombre réfultant de l’opération, ou le quotient, quieft de 1226, vous repréfente que votre divifeur, ayant parcouru chacun des chiffres du dividende, par l’action de cechiffre defeendu à chaque nouvelle opération, vous avezSUR ^ARITHMÉTIQUE, pitrouvé premièrement qu’il y étoit contenu 1000 fois, fecondement aoo fois, troifièmement 20 fois, ôc quatrièmement6 fois. Sur quoi voici deux obfervations effetitielles.La première, eft que le quotient doit exprimer, par lenombre de chiffres qu’il contient, la quantité de fois quele divifeur a parcouru le dividende: ainfi, dans l’opérationci-deffus, votre divifeur ayant parcouru 4 fois le dividende, vous avez donc trouvé 4 chiffres au quotient ; le premier defquels a été produit par l’opération fur le premierdividende, c’eft-à-dire, fur la fomme dans laquelle on l’acherché pour la première fois ; ôc les trois autres, par chacun des chiffres que vous avez defcendusl’un après l’autre,pour former de nouveaux dividendes : Ce qui eft invariable dans tel cas que l’on puiffe imaginer ; puifque le divifeur, fi grand ou fi petit qu’il puiffe être, étant contenudans le premier dividende, ôc donnant par cette raifon unchiffre au quotient, il doit donc y avoir à la fuite de cechiffre autant d’autres chiffres que l’on en a defeendus dupremier dividende ; parce que cette a&ion forme autantde nouvelles fommes à divifer, qui, étant parcourues chacune, l’une après l’autre, par le divifeur, doivent égalementproduire à chaque opération une valeur dans le quotient,que l’on exprime par le chiffre qui la défigne.La féconde, eft qu’ayant pofé dans le quotient le chiffrequi exprime la quantité de fois que le divifeur eft contenudans le dividende, ôc le produit de ce divifeur étant multiplié parle quotient, ôc fouftrait de ce premier dividende, il ne doit jamais relier de cette opération une fomme,ni plus ^onfidérable, ni égale à ce même divifeur : fi celafe trouvoit ainfi, ce feroit une preuve que le chiffre duquotient,exprimant la quantité de fois que le dividendecontient le divifeur, eft trop foible ; puifqu’il refteroit unefomme capable de le contenir une ou piulieurs fois deplus: Ce qui eft égal à l’égard de chacun des autres dividendes, puifqu’étant également parcourus par le divifeur,le chiffre placé dans le quotient doit de même exprimerla quantité de fois que chacun d’eux contient ce divifeur ;M ijpa ENTRETIENS& le reftant doit être toujours inférieur à ce même divifeur.Le chevalier.Je voudrois Ravoir, Monfieur, fi l’on peut appliquertout ce que vous venez d’avoir la bonté de me dire furune fomme àdivifer, dont le divifeur fcroit de plufieurschiffres,Le négociant.Il n’y a pas de doute. Qu’importe que le divifeur foiecompofé d’un ou de plufieurs chiffres ? La multiplicité desfigures ne détruit pas les principes fur lefquels font fondées les opérations : &, pour vous en convaincre, en voiciune où le divifeur eft de deux figures.On propofe, par exemple, de divifer 14723 it> entre 81perfonnes.H- 81147231b r62
20

1240
430
12
300
SI
Je dis, pour la première opération, Dans 14, combiende fois 8 ? Il s’y trouve 1 fois, que je pofe dans le quotient.Qu’eft-ce que cette première opération fous-entend ? finon de chercher combien de fois 81 font contenus dans147 cens, parce qu’étant obligé de prendre trois chiffresdu dividende pour contenir les deux du divifeur, celui quime viendra par cette première opération ne peut expri-SUR J !AR 1 T h M Ê T i qv E, p3mer quedes centaines, puifque, n’ayant plus que 2 chiffresà defcçndre, ce quotient ne fera donc compofé que detrois figures, qui exprimeront le nombre de fois que le divifeur doit parcourir le dividende.La féconde opération cft de multiplier le divifeur parle quotient: ainli, il fembleroit que l’on devroit dire unefois 81 eft 81. Mais, lorfquc le divifeur eft compofé deplufieurs figures, on multiplie la première fuivant l’ordreordinaire de la multiplication ; on fouflrait fon produit dudividende par la troifieme opération ; après quoi, on revientà la féconde figure du divifeur, que l’on multiplie, & donton fouftrait également le produit du dividende: multiplications & fouftra&ions qui fe répètent à chacune des figures qui compofént le divifeur ; de façon que, s’il étoit de 3,de 4 , de 6 chiffres, &c, ce feroit 3 ou 4 ou 6S &c. multiplications & fouftractions qu’il faudroit faire.Je dis donc, pour la féconde opération, Une fois 1 eft 1.pour la troifieme, je dis, Oter 1 de 7 ,il refte 6' que je pofe. Je reprends la féconde opération pour la féconde figuredu divifeur, & je dis, Une fois 8 efl 8.Pour la troifieme opération, je dis, Oter 8 de 14, il refte6 que je pofe.Je defeends un chiffre à côté du reftant 66', lequel, comme vous voyez, eft inférieur au divifeur.Ce nouveau dividende eft de 662.Je dis, pour la première opération,Dans 66} combiende fois 8 ? ce qui fous-entend chercher combien de fois 81font contenus dans 662 ou 66 cens. Il s’y trouve S fois,que je pofe dans le quotient.Je dis, pour la féconde opération, 8 fois 1 eft S. Pourla troifieme opération, je dis, Oter 8 de 2, cela ne fe peut :j’emprunte une dixaine fur le chiffre fuivant ; laquelleavec ce 2 fait 12 , defquels ôtant 8, il refte 4 que jepofe.Je reprends la féconde opération pour la féconde figuredu divifeur, & je dis, 8 fois 8 font 64, auxquels ajoutantcette dixaine que j’ai empruntée pour acquitter le produit dela première figure, cela fait 6$ ; lefquels ôtés de 66, il refte94 ENTRETIENSI que je pofe. Sur quoi vous devez remarquer que la raifonpour laquelle je charge la colomne fuivante de l’empruntque j’ai fait} c’eft que, laiflant fubfifter dans toute fa valeurle chiffre fur lequel j’ai emprunté, il fuffit d’augmenter leproduit qui doit être fouftrait du dividende de ce dont ondevoit diminuer le chiffre ou les chiffres de ce même dividende ; ce qui revient à la même chofq: ainfi,l’on peutdonc emprunter, lorfqu’il eft néceflairc, tout ce dont ona befoin, en obfervant de charger toujours le produit de lacolomne fuivante de cet emprunt, en laiflant au nombrefur lequel on a emprunté la valeur qu’il repréfentoit avantcet emprunt.Je defcends le dernier chiffre à côté du reftant 14 : & cenouveau dividende eft de 143,Je dis, pour la première opération, Dans 14, combiende fois 8 ? il s’y trouve 1 fois, que je pofe dans le quo~tient.Je dis, pour la féconde opération, 1 fois 1 eft 1.Pour la troifieme opération, je dis, Oter 1 de 5, il refte2, que je pofe.Je reprends la féconde opération pour la féconde figure,& je dis, 1 fois 8 eft 8.Pour la troifieme opération, je dis, Oter 8 de 14, il refte6 que je pofe.Ce dernier reftant eft donc 62, fomme femblable à celleque j’aurois trouvée, fi j’euffe fouftrait 81 de i43,fuivantla méthode ordinaire: car, félon ce que je vous ai fait remarquer, chercher combien de fois le premier chiffre dudivifeur eft contenu dans le premier ou les deux premierschiffres du dividende, fous-entend chercher combien de foisle divifeur entier , c’eft-à-dire la quantité d’unités qu’ilcontient, eft contenue dans le dividende. Ainfi, dans la première opération de cette divifion, j’ai dit,Dans 14, combien de fois 8 ? Je l’ai trouvé 1 fois. C’eft comme fi j’avois dit, 81 étant contenu" une fois dans 147, voyons cequi doit refterfôc qu’après avoir fait la fouftra&ion, comme dans l’exemple X, il me reftât 66.Ce chiffre defcendu, qui, avec le reftant, fait un nouveauSUR h'ÀRl T H M t T l Q_U E, C>f
- .'. x ' dividende, dont la fomme eft 662 , doit 14 7) 2 3 f donc être divifé par 81 ; ainfi je dis, dans g■ l 66, combien de fois 8 ? il s’y trouve 8 fois. , c’eft comme fi je difojs,dans 662, il y a 662 8 fois 81 ; or, multipliant 81 par 8, il me 6 4 8 vient 648, lefquels fouftraits, fuivant la ~™7^ méthode ordinaire, de 662, il refte 14. " î "î •' { 62Enfin, ce dernier chiffre defeendu , qui, avec le reftant,fait’un ■nouveau dividende, dont la fomme eft 143, doitdonc êtrcdivîfée par 81. Ainfi, je dis, Dans 14, combien defois 8 ? il s’y trouve une fois. C’eft comme fi je difois, Dans143, il y a une fois 81, lefquels fouftraits de 143, il refte 62,Ce que vous devez conclure de cette nouvelle démonlP.tration, c’eft que, multipliant & fouftrayant l’un après l’au*tre chacun des chiffres du divifeur de la fomme du premierdividende, & enfuite de ceux que vous formez en defeendant un chiffre, vous faites une opération femblable à cellede multiplier en une feule fois le divifeur par le chiffre quevous avez mis dans le quotient, & en fouftraire le produitdu dividende dans lequel vous l’avez cherché ; comme vousvoyez dans chacune des opérations de l’exemple ci-defTus,où, ayant 81 une ou plufieurs fois dans chacun des dividendes, j’ai multiplié 81 par ce chiffre placé dans le quotient,qui exprime ce plus ou moins de fois qu’il étoit contenudans ces dividendes, & j’en ai fouftrait le produit des mêmes dividendes où je l’ai cherché. Mais revenons maintenant à la rédu&ion du dernier reftant en fols, ôc finiffonscette divifion.Il me refte donc 62 fe, lefquelles, réduites en fols, medonnent un produit de 1240 fols, fur lequel je réitèreles mêmes opérations que j’ai faites fur les livres.Je dis donc, Dans 12, combien de fois 8 ? ily eft une foisque je pofe.Pour la féconde opération, je dis 1 fois 1 eft 1.Pour la troifieme opération, je dis, Oter 1 de 4, il refte3 que je pofe.pr5 ENTRETIENSJe reprends enfuite la féconde opération pour la fécondefigure du divifeur, & je dis, i fois 8 eft 8.Pour la troifieme opération, je dis, Oter 8 de 12, il refte4 que je pofe.Vous comprenez que, fuivant ce que je viens de vousdire, cette opération revient à dire, Dans 124 B, combiende fois 81 f il y eft une fois ; & que, fouftrayant 81 de 124,fuivant la méthode ordinaire, il doit refter 43, comme vousvoyez dans l’exemple A,Je defcends le zéro à côté du reftant 43 ; ôc ce nouveaudividende eft de 430,Je dis, pour la première opération, adans 43 combien de fois 8 ? Il y eft $ 1240 Rfois, que je pofe. 81 rPour la féconde opération, je dis, < \ 1 ; r fois 1 eft y. V° LPour la troifieme opération, je dis, Oter y de o, cela nefe peut. J’emprunte fur le chiffre fuivant une dixaine, qui,avec le zéro, fait toujours 10 ; defquels ôtant y, il refte yque je pofe.Je reprends enfuite la féconde opération pour la fécondefigure du divifeur, & je dis, cinq fois 8 font 40, ôc 1 quej’ai emprunté font 41.Pour la troifieme opération, je dis, Oter 41 de 43, ilrefte 2 que je pofe.Cette opération fous-entend chercher combien de fois 81eft contenu dans 430. Il y eft y fois ; or, y fois 81 font40 y ; lefquels fouftraits, par la méthode ordinaire, de 430,il refte 2 y , comme vous voyez dans l’exemple A ci-deffus.Il me refte donc 2y H ;lefquels, réduits en deniers, medonnent un produit de 300*, fur lequel je réitère toujoursIQS mêmes opérations.Je dis donc, Dans 30, combien de fois 8 ? il y eft 3 foisque je pofe.PourSUR L* A R l T H M Ê T 1 Q V E. <? ?
Pour la féconde opération, je dis, 3 fois 1 eft 3,Pour la troifieme opération, je dis, Oter 3 de zéro, celane fe peut : j’emprunte fur le nombre 30 une dixaine, quiavec le zéro fait toujours Ïo ; defquels ôtant 3, il refte 7que je pofe.Je reprends enfuite la féconde opération pour la fécondefigure du divifeur, ôc je dis, 3 fois 8 font 24, ôc 1 que j’aiemprunteront 2 y.Pour la troifieme opération, je dis,Oter 2y de 30, il refte5 que je pofe.Cette dernière opération, ainfi que les autres, fous-entend chercher combien de fois 81 eft contenu dans 300.II y eft 3 fois : or, 3 fois 81 font 243 ; lefquels,fouftraits de 300 par la méthode ordinaire, Bil refte y 7, comme vous voyez dans l’exemple 300* RB : ôc la divifion eft achevée $ parce que, n’y 243 r g,ayant plus d’efpèce après les deniers dans lef ' \ * "quelles on puiffe réduire ce reftant, il eft indi- *vifible , Ôc forme feulement une fra&ion de denier, qui feraporté à la preuve, comme je vous le ferai voir lorfque nousy ferons.Le chevalier,Ces démonftrations, Monfieur, viennent de me donnerune parfaite intelligence delà divifion :ôc, fi vous le jugezà propos, je vais en faire une devant vous, fur laquelle jeraifonnerai conféquemment aux principes que vous venez:d’avoir la bonté de me démontrer.Le négociant. volontiers. le chevalier,Je me propofe de divifer 91700 1b à 19 perfonnes : leréfultatde l’opération eft de fçavoir ce que chaque perfonnedoit avoir de ladite fommei/'.'■'.I". Entretint. V No8 'ENTRETIENS\9pi700 f120 * 120 12 72Je dis, pour la première opération, Dans 9 ; combien defois 1 ? il y eft 9 fois. Mais, confidérant que cette premièreopération fous-entend chercher combien de fois 19 fontcontenus dans 91 ;je vois, du premier coup d’oeil, qu’il eftîmpoflible de mettre dans le quotient un chiffre qui exprime que 1 eft contenu 9 fois dans 9 j puifque 9 fois 19 excéderaient de beaucoup le nombre 91, dans lequel je cherche combien de fois 19 peuvent être contenus. Pour trouver donc combien de fois 1 eft dans 9, c’eft-à-dire, 19 dans91, ôc voyant qu’il ne peut y être ni 8, ni 7, ni 6, ni yfois, parce que 8, ou 7, ou <5, ou y fois 19 font plus de91 ; il y eft donc 4 fois que je pofe dans le quotient.Le négociant.Mais n’avez-vous pas de moyen plus court pour trouver le nombre de fois que le premier chiffre du divifeurpeut être dans le dividende, que celui de diminuera différentes reprifes le chiffre que vous voulez mettre dans lequotient fLe chevalier.Je ne vois pas bien quel moyen pourroit remédier à lalongueur de cette recherche.SUR L’ARITHMÉTIQUE, 99 le négociant,En voici un. Vous fçavez que votre première opérationfous-entend chercher combien de fois le divifeur entier,c’eft-à-dire Je nombre qui forme fa valeur, eft contenu dansle dividende ; mais, qu’au lieu d’agir ainfi, vous prenez feulement un ou deux chiffres du dividende , Ôc vous ditesalors, Dans tant, combien de fois le premier chiffre du divifeur ? comme dans l’exemple précédent, vous avez dit,Dans 9, combien de fois 1 ? Or, fçachant que chacun deschiffres du divifeur doit être multiplié par le chiffre quevous avez mis dans le quotient, ôc que le produit de cettemultiplication doit être fouftrait du dividende ; il s’enfuitdonc de-là qu’il fuflit de remarquer fi le dernier, ou les deuxderniers chiffres de votre dividende,ont une valeur allez considérable pour acquitter le produit du premier chiffre de votre divifeur, multiplié par le chiffre du quotient, ôc furchargé de ce que l’on auroit emprunté pour l’acquit duchiffre fuivant : ce qui fe voit, pour ainfi dire , d’un coupd’oeil. En voici la preuve : Vous dites, dans la divifion précédente , Dans 9, combien de fois i ? Je vois que, fi je metsfeulement y dans le quotient, y fois 9 font 4y ; que,poucacquitter ces 4 y , je ferai obligé d’emprunter y, pour dire,Oter 4y de y i.Or, le premier chiffre du divifeur étant multiplié par ce y, ôc furchargé de ces y que je viens d’emprunter, donne 10 pour produit ; lefquels, ne pouvant êtreêtes de 9 , il s’enfuit donc de-là qu’au lieu de mettre ydans le produit, je ne dois y pofer qu’un 4. Ainfi concluezque , quand le dividende contient, comme dans cet exemple, le premier chiffre du divifeur le plus grand nombrede fois que l’on puifTe pofer dans le quotient qui eft 9 , ondoit toujours obferver de laiffer au dividende allez de valeur pour acquitter le produit de ce premier chiffre furchargéde l’emprunt à l’occafion du fuivant ; ôc qu’on ne peut laiffer cette valeur au dividende qu’en mettant dans le quotient un chiffre bien inférieur, à la vérité, au nombre defois que ce premier chiffre du divifeur eft contenu dans ledividende ; mais qui exprime cependant combien de fois leN ijIoo ENTRETIENSdivifeur en entier eft réellement contenu dans le dividende ; obfcrvant toujours, comme je vous l’ai déjà dit, quele nombre reftant de la divifion que vous faites par la troifieme opération, doit être inférieur à celui qui exprime ledivifeur : autrement, ce feroit une faute qu’il faudrait rectifier avant d’aller plus loin.Vous comprenez encore que le chiffre qui fuit le premierdu divifeur, eft celui qui détermine en quelque façon lavaleur de celui qu’on doit mettre dans le quotient ; puîfque, fuivant la valeur qu’il exprime, étant multiplié par lechiffre du quotient, il formera un produit plus ou moinsgrand, qui exigera un emprunt plus ou moins confidérable. De forte que, dans l’exemple précédent, fi, pour fécond chiffre du divifeur, vous eufliez eu un 2 ou un 4,au lieu d’un 9 ; le produit de ce 2 ou de ce 4, multipliépar le chiffre que vous auriez placé dans le quotient, auroit été moins confidérable, par confisquent l’emprunt moinsfort. Il s’enfuit donc que le premier chiffre du divifeur auroit été contenu un plus grand ncmbre de fois dans le dividende ; puifque, fuivant ce que nousfous-entendons, ileft clair que 12 ou 14 feront contenus un plus grand nombre de fois dans 91, que 19 : réflexion qui ne doit pas vouséchapper, ôc que je m’imagine vous avoir développée avecaffez de clarté, pour vous mettre à portée de trouver avecplus de facilité le chiffre qui exprimera la jufte quantitéde fois que le premier chiffre du divifeur fera contenu dansle dividende.Le chevalier. *Je conçois parfaitement, Monfieur, tout ce que vou3venez d’avoir la bonté de me dire ; ôc l’application que j’envais faire vous convaincra que ce n’eft pas une trop bonneopinion de moi-même qui me perfuade que je l’entendsréellement. Trouvez bon que je continue la règle que j’aicommencée ci-devant. J’ai donc dit, pour la première opération, Dans 9, combien de fois 1 ? il y 4 fois, que j’aipofé dans le quotient.Pour la féconde, je dispréfentement,4 fois 9 font 36.SUR L’A R 1 T H MET I Q_ V E, 101
Pour la troifieme, oter 36 de 41, il refte y que je pofe.Je reprends enfuite la féconde opération pour la fécondefigure du divifeur ; Ôc je dis, 4 fois 1 eft 4, ôc 4 que j’ai emprunté font 8 ; lefquels étant ôtés par la troifieme opérationde 9, il refte 1 que je pofe.Je defeends le 7 à côté du reftant ly ; ôc ce nouveaudividende eft de 1 y7,Je dis, pour la première opération, Dans 1 y, combiende fois 1 ? il ne peut y être 9 fois, puifque 9 fois 9 font S i ;ôc 'que, pour acquitter ce produit, étant obligé d’emprunter 8,lorfqu’il ne me refte plus fur ces 1 j que 6, pour payer cetemprunt, je fuis donc obligé de diminuer ôc de dire , Il nepeut y être que 8 fois, que je pofe dans le quotient.Pour la féconde opération, je dis 8 fois 9 font 72, pour la troifieme, oter 72 de 77, il refte y que je pofe.Je reprends enfuite la féconde opération pour la fécondefigure du divifeur ; ôc je dis, 8 fois 1 eft 8 , ôc 7 que j’ai emprunté font 1 y ; lefquels, par la troifieme opération , ôtésde ry , il refte zéro.Je defeends le zéro à côté du reftant y ; ôc ce nouveaudividende eft de yo.Jedis, pour la première opération, Dans y , combien defois 1 f II ne peut y être ni 4 ni 3 fois ; parce qu’étant oLFgéd’emprunter pour acquitter le produit de 9 multiplié par 4 oupar 3 dixaincs, ce qui me refte du y n’eft pas fuflifant pouracquitter cet emprunt. Ainfi, je dis, Il n’y tft que 2 fois, queje pofe au quotient.Pour la feconde opération, jedis, 2 fois 9 font 18.Pour la troifieme, Oter 18 de 20 , il refte 2 que jepofe.Je reprends enfuite la feconde opération pour la fecondefigure du divifeur ; ôc je dis, 2 fois 1 eft 2, ôc 2 que j’ai emprunté font 4 ; lefquels, par la troifieme opération, ôtés dey, il refte 1 que je pofe..Je defeends le dernier chiffre du premier dividende, quiefti n zéro , à côté du reftant 12 ; ôc ce nouveau dividende
eft de 120.
Pour la première opération, je dis, dans i2,combiende102 E N T RE T l e N Sfois i ? Suivant les obfervations que vous m’avez fait faire ;ôc que je ceffe de répéter, il ne peut y être que 6 fois queje pofe au quotient.Pour la feconde opération, je dis , 6 fois 9 font y4>Pour la troifieme, Otez y4 de 60. il refte 6 que jepofe.Je reprends enfuite la feconde opération pour la fecondefigure du divifeur ; ôc je dis, 6 fois 1 eft 6, Ôc 6 que j’ai emprunté font 12 ; lefquels, par la troifieme opération, ôtésde 12, il refte zéro. ,Il me refte donc 6 fb, lefquelles, réduites en fols, medonnent un produit de 120 fols, fur lefquels je réitèreles mêmes opérations que je viens de faire fur les livres.Je dis, pour la première opération, Dans 12, combiende fois t ? il ne peut y être que 6 fois, que je pofe au quotient.'Pour la féconde opération, je dis, 6 fois 9 font y4.Pour la troifieme opération, Otez y4. de 60, il refte 6que je pofe.Je reprends enfuite la feconde opération pour la fecondefigure du divifeur ; ôc je dis, 6 fols 1 eft 6, ôc 6 que j’ai emprunté font 12 ; lefquels, parla troifieme opération, ôtésde 12, il refte zéro.Il me refte donc 6 fols, lefquels, réduits en deniers, medonnentun produit de 72 deniers, fur lequel je réitère toujours les mêmes opérations.Je dis donc, Dans 7, combien de fois 1 filne peut y êtreque 3 fois que je pofe.Pour la feconde opération, je dis, 3 fois 9 font 27.Pour la troifieme , Otez 27 de 32, il refte y que jepofe.Enfin, je reprends la feconde opération pour la fecondefigure du divifeur ; ôc je dis, 3 fois 1 eft 3, ôc 3 que j’ai emprunté font 5 ; lefquels, par la troifieme opération, ôtésde 7, il refte t que pofe. De forte qu’il nie refte donc 1 ydeniers indivîfibles ; ôc, ma règle achevée, je vois que chaque perfomte doit retirer4826 ib 6 fi 3 8\s v R L’A R I r H M É T I <> u E. 103 le négociant,Je vous crois préfentement en état de faire telle divifionque l’on pourroit vous propofer. Il paroît que vous entendezles principes des opérations par lefquelles cette règles’exécute : ainfi, nous pouvons patte r à quelque chofe denouveau.Le chevalier.Trouvez bon, Monfieur, que je vous propofe encorequelques difficultés qui pourroient m’arrêter. Suppofons,par exemple, qu’on me proposât de divifer 379090 ik à609 perfonnes : ce zéro, placé entre deux chiffres qui ontune valeur, n’apporteroit-il pas quelque différence dans lesprincipes de cette régie, ou tout au moins dans le méchanifme de fes opérations ?Le négociant,Aucune ; puifqu’il eft décidé que de divifer une fommepar une autre, c’eft chercher combien de fois une fommeinférieure eft contenue dans une qui lui eft fupérieure. Or,divifer 379090 Jb par 609 perfonnes, c’eft chercher combien de fois ce dernier nombre eft contenu dans le premier.Qu’importe donc qu’il y ait \m ou plufieurs zéros mêlésavec les chiffres fignificatifs du divifeur ? Us augmententfeulement la valeur de ceux-ci ; mais ils n’apportent aucunchangement dans les principes de la divifion, non plus quedans le méchanîfme de fes opérations. C’eft ce que vousallez voir, en fuivant les opérations de celle-ci.Ï04 E N T r fi T I EN S600£Z^°i_(L(d22if39fi7*1369 l
lyio
292
20
584 ?■■ 124308Pour la première opération, jedis, Dans 37, combien defois 5 ? il y eft 6 fois ; ôc je vois qu’effe&ivement* je peuxmettre ce 6 dans le quotient, puifqu’ayant un zéro pourfécond chiffre, cette figure n’étant fufceptible ni d’augmentation ni de diminution, je n’aurai rien à emprunter pouracquitter le produit qu’elle me donnera par la multiplicationque j’en ferai. Par conféquent, ce qui eft de furplus que36 dans le dividende 37, reftera lors de la fouftradion dece même nombre 35, pour, avec le chiffre que je defcendrai, former un nouveau dividende. Ainfi,je dis donc, Dans37, combien de fois6 ? il y eft 6 fois que je pofe.Pour la feconde opération, je dis, 6 fois 9 font y4.Pour la troifieme opération, je dis, Oter y4 de 60, parceque le quatrième chiffre de mon dividende répond à ce 9,troifieme chiffre du divifeur ; puîfque je fous-entend chercher, par cette opération, combien de fois 609 font contenus dans 3790. Je dis donc,pter y4 de 60, il refte (T queje pôle.Je reprends la feconde opération pour le fécond chiffredu divifeur ; ôc voici la difficulté. Je dis donc 6 foiso efto. Mais, comme l’ufage eft de charger le chiffre fuivantde ce que Ton a emprunté pour l’acquit du précédent, il fautcharger le produit de o de 6 que j’ai emprunté : ainfi 6 fois0 eft o, ôc 6 que j’ai emprunté font 5 ; lefquels, par la troifieme opération, ôtés de 9 , il refte 3 que je pofe,. -: jeSUR L’A RI T II M ET I QUE, Ï0$Je reprends la feconde opération pour le troifieme chiffredu divifeur ; ôc je dis, 6fois 6 font 36. Comme je n’ai rienemprunté pour l’acquit du chiffre précédent, je dis, parla troifieme opération, Oter 36 de 37, il refte 1 que jepofe.Je defeends le 9 à côté du reftant 136' ; ôc ce nouveaudividende eft de 13^9.J’opère fur ce nouveau dividende comme précédemment ;obfervant toujours, en reprenant ia feconde opération pourle fécond chiffre du divifeur, qui eft o, d’en charger leproduit, de ce qui a été emprunté pour l’acquit du chiffreprécédent. Il me vient au quotient 2., que je pofe î ôc il refteiyi, qui, joints avec o, dernier chiffre du dividende queje defeends à côté de ce reftant, forment un nouveau dividende qui eft 1 y 1 o.En opérant encore fur ce nouveau dividende fuivantles principes, il vient au quotient 2: 6c il me refte 292 fbjlefquelles,rédukes en fols, me donnent un produit de y84ofi.Je continue fur ce produit les mêmes opérations. Il vient9 fols que je pofe au quotient: ôc le reftant eft de 3ypfols ; lefquels, réduits en deniers, donnent un produit de4308 deniers.Je divife ce dernier produit fuivant le même ordre. Ilme vient au quotient 7 deniers, Ôc il refte 4y & qui font indivifibles.L’opération faite ainfi, je trouve que chaque perfonneretire 62 2 ib 9 fi 7 *.Vous voyez donc à préfentque les zéros qui fe rencontrent au divifeur n’apportent aucune différence dans la façon d’opérer î ainfi, je crois que cet exemple eft fuflifantpour achever de vous donner l’intelligence de la divifion,ôc prévenir en même temps les difficultés qui pourroient ferencontrer, ou plutôt que vous pourriez imaginer, lorfqu’il fe trouveroit au divifeur ou au dividende des nombresentrecoupés de zéros,Le c h e v a i. i'er,Vous venez, Monfieur, de lever toutes mes difficultésltr. Entretien, OI06 E N T R E T I E N Spar cette dernière divifion. Je crois entendre cette règleaffez bien pour réfoudre prcfcntcmtnt toutes celles quel’on pourroit me prcpoftr : trcirvez Ion que j’en frffe unedevant vous, peur jiifi'fic r ce que j’avance. Je fupppfeavoir ioioici. 1b à divifer entre 1011 perfonnes ; jeveux fçavoir ce qu’elles retireront chacune de laditefomme.ioioioi r ■ „—-^ 9p$ fb 2 fi 2 *Ic020 l9211112202240 218 122616S9*Voyant que les quatre premiers chiffres de mon dividende ne peuvent pas contenir les quatre chiffres de mon divifeur, parce que 101 o, qui font ces quatre premiers dudividende., font inférieurs à 1011 qui font ceux du divifeur ;je prends donc cinq chiffres du dividende, qui font 10101 ;ôc je dis, Dans 10, combien de fois 1 ? il y eft 9 fois que jepofe au quotient.Pour la feconde opération, je dis, 9 fois 1 (quatrièmechiffre de mon divifeur) eft 9 ; lequel ôté par la troifiemeopération de 11, il refte 2 que je pofe.Je reprends la feconde opération pour le troifieme chiffre du divifeur ; ôc je dis, 9 " t eft 9 » ôc 1 que j’ai empruntéfont 10} lefquels, ôtés par la troifieme opération de 10, ilrefte o.Je reprendsja feconde opération pour le fécond chiffredu divifeur ; & je dis, 9 fois o eft 0, ôc t que j’ai empruntéeft 1 ; lequel, ôté par la troifieme opération de 1, il reftezéro.SUR L* A R 1 T H M Ê T I Q U F. IOyEnfin, je reprends la feconde opération pour le premierchiffre.du divifeur ; ôc je dis,9 fois 1 eft 9 ; lequel ; parlatroifieme opération ôté de 10, il refte 1 que je pofe.je defeends un chiffre, qui eft o, à côté du reftant 1002 ;ôc ce nouveau dividende eft de 10020.J’opère fur ce nouveau dividende comme j’ai fait fur lepremier : je trouve au quotient 9, ôc il me refte 92 1.Je defeends un chiffre, qui eft 1, à côté de ce refiant ; ôcj’ai pour nouveau dividende 9211.J’opère encore comme j’ai fait ci-devant: il me vient auquotient 9, ôc il me refte 11 2 îb.Je réduis ces livres en fols: le produit eft 2240 fols.Je continue les mêmes opérations. Je trouve 2 fols,que je pofe au quotient ; ôc il me refte 218 fi, que je réduisen deniers, dont le produit eft de 2616 deniers, que je divife fuivant le même ordre.Je trouve au quotient 2 deniers : ôc il refte y94 deniers,nombre indivifible entre 1011 perfonnes, ôc qu’il faut négliger.La règle ainfi faite, je vois que chaque perfonne doit retirer 999 ib 2 fi 2 *, .Le négociant,Je vois avec fatisfaction que vous comprenez fort bienla divifion, ôc que je peux préfentement vous entretenird’autre chofe.Le chevalier.Il eft vrai, Monfieur, que je l’entends : mais je vous priede me dire comment on peut s’affurer que l’on ait opéréavec jufteffe.Le négociant,C’eft ce qui me refte à vous dire pour terminer notreentretien. Je ne vous ai point parlé de la preuve de la multiplication, en vous donnant l’intelligence de cette règle,parce qu’elle fe prouve ordinairement par la divifion. Onpeut cependant la prouver par une autre multiplication,que l’on appelle preuve de compaiaifon, laquelle s’exécuteOijI08 E N T R ET I E N Sen prenant la moitié de la quantité des chofes, & doublantle prix de la chofe ; ou, fi vous l’entendez mieux, en prenant la moitié du multiplicande, ôc doublant le multiplicateur. Vous fentez que le produit de cette règle doit êtrefemblable à celui duquel il eft la preuve, parce que 4 aunes à 6 rb l’aune font 24 tb, comme 2 aunes à 12 fb l’aunefont également 24 tb. Un exemple fuftira pour vous faireentendre cette preuve.PRBVVE DE COMPARAISON ;R t G L E, P fi B V y E,2 4.|<yaun« 123 aun" à.. 2 8tfe 1 jllp,*" à. y7lb 7fi<ya>- »… i ■ ■■■ m iii » ■ , . ■ 1 IliP<y8 8<yi 492 <>iy t 23 3° lS
'24 . 12 12 6
1263 t 6il C 70S7 2 6^■■-■■■IM.-I ii — 1 .I.I.II.-I ■-1 m* ….''7 o y 7 2 6Indépendamment de cette preuve, il y en a encore uneautre par la divifion. Vous comprenez que le produit7oy7 tb ifi 6 & étant le réfultat de l’augmentation de28 îb 13 fi 9& par 245 ; il s’enfuit que/divifant ce produit70^7 tb 2 ii 6 * par 245, il viendra au quotient 28 tb 13 fi9 & ; ou que, divîfant ce même produit par 28 ib 13 fi 9 & jil viendra au quotient 245 : ce qui fait deux moyens parlefquels on peut s’affurer de la jufteffe de fou opération.Comme chacune de cesdivifions eft fufceptible de quelques obfervations, je vais vous les faire remarquer, enfai*faut là règle.SUR L’ARITHMÉTIQUE. iooPREMIÈRE PREUVE de la Multiplication par la Divifion.Premièrement, en divifant 70y7 tb 2 R 6 * par 245, ildoit venir pour quotient 28 ib 13 fi 9 * fans refte.
7oy7 ib 2 fi<S& r 24<*
_____ ^28*13 P-*
169
20
"7782 922 184 12
2214
000
Remarquez qu’ayant des fols ôc deniers à la fuite du dividende , il faut ajouter ces fols au produit qui réfulte dela réduction du reftant de vos livres en fols : ainfi, ayant2 fols, vous les ajoutez à ce produit, en les pofant à la placequ’auroit.occupé le o dans ce même produit : ôc, lorfque vous réduifez le reftant des fols en deniers, vous faiteségalement entrer les 6 deniers qui font à la fuite des folsdu dividende.SECONDE PREUVE de la. Multiplication par la Divifion.Secondement,en divifant 70y7 tb 2 fi 6 & par 28 tb 13 fî9 * , il doit venir pour quotient 245, fans refte.RÉDUCTION DU DIVISEUR. RÉDUCTION DU DIVWESDE, 28 tb 13 fi 9* 7oy7tb 2 fi 6 *
20 20
572 141142 j 12 — -I * 88 ; *8~8y t69}7iol2* 6
31*71
41310
0000no ENTRETIENSRemarquez qu’ayant des fols ôc deniers à la fuite du divifeur, il faut néceffairement réduire le divifeur ôc le dividende en fols ôc deniers, obfervant de faire entrer à laréduction de chacun de ces nombres les fols ôc deniers quifont à leur fuite.Preuve de la division.Quant à la divifion, cette règle fe prouve par la multiplication. La précédente nous fervira d’exemple. Vous avezdivifé IOIOIOI par 1011 : le quotient eft 999 tb 2 fi 2 & jôc il refte au bas de ladite règle y94 deniers indivifibles.Si le divifeur 1011 eft contenu 999 fois dans le nombrequi compofé le dividende des livres, 2 fois dans celui quicompofé le dividende des fols, 2 fois dans celui qui compofé le dividende des deniers : il s’enfuit qu’en multipliantce divifeur 1011 par 999 tb 2 fi 2 &; ôc ajoutant, avantd’additionner, les deniers reftans de votre divifion, defquelsvous ferez des fols en prenant le douzième, ôc enfuite deslivres en prenant le vingtième, ou opérant comme pour1 fol en retranchant la dernière figure, ainfi que je vousl’ai démontré aux multiplications précédentes, vous aurez , dis-je, pour produit, la fomme de votre premier dividende. Ce qui eft facile à concevoir ; puifque, fi l’objetde la divifion eft de partager une fomme en un certain nombrede parties égales, celui de la multiplication eft d’augmenter ces parties autant de fois que le nombre qui les aproduites contient d’unités en lui-même : de forte que, fi 24divîfés par 6 donnent 4 pour quotient, 4 multipliés par 6donnent 24 pour produit : ôc, par la même raifon, fi 1 o 1 o 1 o 1divifés par 1011 donnent 999 tb 2 fi 2 & pour quotient,999 tb 2 fi 2 * multipliés par 1011, plus le reftant, donneront pont produit 1010101 : ce que vous allez voir parl’opération.SUR L’ARITHMÉTIQUE* irr Reftant.
I O l|l Prenez,pou ravoir

999 tb2fi2& dcsfols,lcdou-i.me. y 94*

 » Pour avoir drs li- . « »

9099 vres,le vingtième,,, 4'P » o l
9099 ' aibpfitf*
9099 1012
8 8 6 Faux produit d’un fol.
Rejlant.*.. 2 9 6 yo tb 11 fi

ÎOIOIOI Pourid.led"-. 8 6 &
Je crois que ces exemples fufiifent pour vous metereen état de prouver toutes vos opérations. Ce que je vousdiro'.s préfentement ,à cet égard, ne. pourroit être qu’unerépétition de ce que je viens de vous expliquer : ainfi, ileft inutile de chercher à éclaircir une matière que vous devez certainement entendre auifi bien que moi.Le. chevalier.Il eft vrai, Monfieur, que vos explications, ôc les différens exemples que vous m’avez donnés, m’ont mis dans lecas de ne plus imaginer aucune difficulté dans l’opérationdes quatre règles , que je ne puiffe réfoudre avec facilité ôcmême avec intelligence.LE NÉGOCIANT.Tant mieux , puifque ces quatre règles font le fondement ôc hbafede l’Arithmétique, ou plutôt l’Arithmétiquemême. Il n’eft plus queftion que d’en faire les applicationsfur les differens objets relatifs à la finance, au commerce& à la banque 1 c’eft ce que nous ferons par la fuite. Mais,comme ces applications fous-entendent aes rapports & desproportions dcfquels je ne vous ai point encore parlé, j’enruai la matière de notre premier entretien :'ô: c’eft ce quiachèvera de vous donner l’intelligence d’une fcîencc dontla parfaite théorie vous’ëft aulli ëffentieile que la pratique. V\cE'J’-M: * 'A P P R 0 B A T I 0 N.

J’AI examiné, par ordre de monfeigneur le Chancelier, un manuferit intitulé
l’Arithmétique de la Noble£e commerçante, ou EntntUns d’un Négociant G- d’un jeans
Gentilkomm ; fur l’Arithmétique, appliquée aux affaires de commerce, de banque G-de
' finance-, & je crois que l’imprelfion en fera utile au public. A Paris, ce S mar< 1760.
Signé, DE F ARC [EUX.
PRIVILÈGE DU ROI.

LOUIS, PAR IA GRÂCE DE DIEU , ROI DE FRANCE ET DE NAVARRE ; à nos
amés & féaux Confeillers les Gens tenans nos cours de Parlement, Alaitrés des Requêtes
ordinaires de notre Hôtel, Grand-Confeil ,Prerôt de Paris, Raillifs,Sénéchaux,
leurs Lîeutenans Civils & autresjios Jufticiers qu’il appartiendra ; SALUT :
notre atnéle fieur D’AUTREPE nousafaîtexpoferqu’ildefîreroit faire imprimer&
donner au public un ouvrage qui a pour titre l’Aritnmhijuj de la NMtfe cow.mtrçanie,
s’il Nous plaifoit lui accorder nos lettres de permiflïon pour ce néceffaires.
A CES CAUSES,voulant favorablement traiter l’expofant. Nous lui avons permis
& permettons par ces préfentes de faire imprimer le lit ouvrage autant de fois que
bon lui femblera, & de le faire vendre & débiter par tout notre royaume, pendant
le temps de trois années confécutives, à compter du jour de la date des préfentes.
Faifons défenfesà tous Imprimeurs, Libraires & autres perfonnes de quelque qualité
& condition qu’elles foientd’én introduire d’impreflîon étrangère dans aucun
lieu de notre obtiflance. A la charge que ces Préfentes feronte'nregiftrées tout
au long furleregiftre de la Communauté des Imprimeurs & Libraires de Paris,
dans trois mois de la date d’icclles ; que l’imprelfion Judit ouvrage fera faite dans
notre Royaume & non ailleurs, en bon papier & beaux caractères, conformément
à la feuille imprimée attachée pour modèle fous le contrefccl des préfentes ; que
l’impétrant le conformera en tout aux réglcmens de la Librairie, & notamment
à celui du 10 avril 171* ; qu’avant de l’expofer en vente, le manuferit qui aura
fervî de copie à l’impreflîon dudit ouvrage fera remis, dans le même état où l’approbation
y aura été donnée » es mains de notre très-cher & féal Chevalier, Chancelier
de France, le fieur DE LAMOIOKON,& qu’il en fera enfuite remis deux
exemplaires dans notre Bibliothèque publique, un dans celle de notre Château
du Louvre, &un dans celle de notrecit très-cher & féal Chevalier, Chancelier
de France, le lîeur DELAMOIGNON ; le tout à peine de nullité des préfentïs. Du
contenu desquelles vous mandons & enjoignons de faire jouir ledit expofant & fes
ayanteaufes, pleinement & paifiblemcnt, fans foullrir qu’il leur foit fait aucun
trouble ou empêchement. Voulons qu’à la copie'des prêfentes, qui fera imprimée
tout au long ou commencement ou à la fin dudit ouvrage, foi foit ajoutée comme
à l’original. Commandons au premier notre Huiffier ou Sergent, fur ce requis,
de faire, pour l’exécution d’icellés tous actes requis & néceffaires, fans demander
autre permi(fion> & nonobftant clameur de Haro, Charte Normande & Lettres
à ce contraires. CAR tel eft notre plaiftr. DONNE' à Verfailles le dixième jeur du
mois de mai, l’an de grâce mil fept cent foixsnte , & de notre régne le quarante-cinquième.
Par le Roi tn fon Confal. LE BEC y E.
Rtgijlri fur te RegiJlreXVit 11 Cliimfot Royite itsLîïrjirts 6" Imprimeurs àt Petit,K*. I,
fol.iitcotformimentuu RtgUmtnt de i ;j|, t,ùi fit itfen’ts, irt. 41, d toutes rirfinnts, dee.utttut
çuilité fr ceniitien qu’elles fchnt, autres çue l’t Lib'tirts fc 1 Imprimeurs , it vt\lrt, dthiter
& faire afiicbir aucuns Livres, fc-iir lesveni-e tn Ictirt nmt, fin qu’ils s’en diftnt lu auteur: eu
àuîrtKtai { 6' a la <t) àrgt dtfcurnir i UJhfUtt Claml-rt nekfexanpliirtspr.'ftritspir l’irt. I es du
m"mi Règlement. A Péris, le $ Mit 1760. S\çt\i, G. S A U G R A1N, SynJic.
DE L’IMPRIMERIE D E M O R E A U. 17fj0,

Texte détérioré - reliure.défectueuse'NF % 43-1 20-11Contraste insuffisantSMF Z 43-120-14