Nouveau Cours raisonné de dessin industriel appliqué principalement à la mécanique et à l'architecture... par Armengaud aîné,... Armengaud jeune et Amouroux,...
Armengaud, Eugène (1810-1891)
L. Mathias, 1848




Nouveau coursRAISONNÉM-, dessin industriel/ ^ ' -\ APPLIQUE PRINCIPALEMENT\ !;l-/{]Msh mécanique et a l’architecture,,:/'/.'/, ' ,\' X.^,/-' Comprenant :LE DESSIN LINÉAIRE PROPREMENT DIT ; LES ETUDES DE PROJECTIONS ;LA CONSTRUCTION DES MODELES EN BOIS, ET D’ENGRENAGES DE TOOTE ESP" CE ; LES TRACÉSD’EXCENTRIQUES ; LES ÉTUDES D’OMBRES HT DE LAVIS, AVEC PLANCLIE5 TEINTÉES, Ct.'IRlÉES ET LAVÉESA L’EFFET ; LA COUPE DES PIERRES ; LE LEVÉ DES MACHINES ; LES PROJECTIONSOBLIQUES ; LA PERSPECTIVE PARALLELE ET EXACTE ;ET TERMINÉ
Par clés Vues d’ensemble des Appareils ef des Machines le plus en usnge dans rindasfr !< .AVEC LA DESCRIPTION TRÈS-DÉVELOPPÉE DES OBJETS ET DE LEURS MOUVEMENTS GÉOMÉTRIQUES ,
ET DES RÈGLES PRATIQUES RELATIVES A LA GÉOMÉTRIE, A LA MÉCANIQUE,
A LA CONSTRUCTION, ETC.Par armengaud aîné,PROFESSEUR DE DESSIN DE MACHINES AU CONSERVATOIRE DES ARTS ET MÉTIERSET
ARMENGAUD JEUNE ET AMOUROUX,
PROFESSEURS DE DESSIN INDUSTRIEL ET INGÉNIEURS CIVILS
A PARIS.
Le dessin industriel est appelé à devenir une langue universelle. Il est de
première nécessité dans un siècle d’industrie comme le nôtre, et son étude
_devient aussi exigible que les connaissances les plus indispensables.
C II est, en effet, le plus intelligent intermédiaire entre la pensée et l’exécution,
car c’est par le dessin que le professeur de mécanique, de physique,
de chimie, peut faire comprendre la fonction des pièces mobiles, la propriété
et le mouvement des appareils, la combinaison et le travail de certains organes
 ; c’est aussi par le dessin que l’ingénieur, l’architecte, le constructeur,
parviennent à établir les projets d’usine, les monuments les plus remarquables,
les machines, les outils, les instruments les plus précis et les plus compliqués ;
c’est encore à l’aide du dessin que le propriétaire, le manufacturier, le fabricant,
peuvent se rendre compte à l’avance de ce qu’on leur propose, soit en
constructions, soit en améliorations quelconques ; c’est enfin par le dessin
que l’inventeur exprime ses idées avant de procéder à leur exécution.

Sans le dessin, on ne peut véritablement étudier avec fruit les ouvrages qui
traitent des sciences mécaniques, agricoles et manufacturières. Son importance
est d’ailleurs si généralement reconnue, que non^seulement les écoles
industrielles, mais encore les collèges, les pensions et autres établissements
2
d’instruction publique font entrer cet art dans le programme des études.

L’expérience que nous avons acquise dans l’enseignement nous a permis
d’introduire les éléments de la science cinématique dans un ouvrage qui embrasse,
avec les développements nécessaires, les applications du dessin géométral
aux diverses branches des arts industriels.

Ce traité comprend donc : le dessin linéaire proprement dit ; les éludes de
projections ; les tracés d’engrenages et d’excentriques ; les éludes d’ombres
et de lavis ; les projections obliques, la perspective parallèle et exacte. Chaquepartie
est accompagnée d’applications spéciales à la mécanique, à l’architecture,
à la coupe des pierres, à la fonderie, à la charpente, à la menuiserie, à la
chaudronnerie, à l’hydraulique et à la construction des machines à.vapeur et des
moulins.

Nous avons tenu compte, dans la disposition de cet ouvrage, du peu d’attrait
que les élèves ont généralement à dessiner les principes élémentaires, et, à
cet effet, nous avons ajouté l’intérêt à l’étude, en faisant suivre chaque problème
géométrique d’un exemple choisi, pour en faciliter l’intelligence et en
démontrer l’utilité.

" Cet ouvrage a été adopté par le Conservatoire et les Écoles d’arts et métiers,
par les Écoles universitaires de l’État, en Russie, en Belgique, etc.,
par la Société industrielle de Mulhouse, et il a été, en particulier, le sujet
d’un rapport favorable du comité de la Société d’encouragement pour l’industrie
nationale.

Nous extrayons de ce rapport les passages suivants :

« Messieurs, dans la séance du conseil du 21 novembre 1849, vous avez
renvoyé à votre comité des arts mécaniques, pour l’examiner au point de
vue de son utilité dans l’enseignement du dessin industriel, un ouvrage
intitulé : Nouveau Cours raisonné de Dessin industriel., appliqué principalement
a la mécanique et à l’architecture, etc.

Le volume de texte de cet ouvrage renferme trois cent soixante pages grand
in-8°, format anglais ; l’atlas oblong est composé de quarante-cinq planches
très-bien gravées sur cuivre.

Les matières traitées dans ce Nouveau Çôurs ; raisonné, de Dessin sont divisées
en douze chapitrés, dont voici les titres accompagnés de l’indication des
planches qui s’y rapportent et des objets qu’elles représentent.
.. ChapitreIer. — Dessin, linéaire : cinq planches de principes ; parquets, plafonds, ogives el
rosaces gothiques, etc. • ' ' ■ ..-Chapitre IIe. — Études des projections.: quatre planches (n° 6 à n° 9 ) de principes avec
applications de l’ordre loscan, etc.Chapitre IIIe. — Teintes de coupes et applications (n° 10 à n°. 13) , indiquant’les teintes
conventionnelles et représentant des pièces importantes de diverses machines.Chapitre IYe. — Intersections des surfaces : quatre planches, n° 14 à n° 17, offrant dès
intersections et des développements de surfaces pour les chaudières à vapeur, des vis, dès
serpentins, des robinets et des escaliers.Chapitre Ve. — Études et construction îles engrenages cylindriques : quatre planches
n° 18 à n° 21, engrenages en fonte à dents de fer et de bois et engrenages’xle vis sans fin.Chapitre VIe. — Études et construction des engrenages d’angle ou coniques ; quatre
- planches, n » 2.i à.n°25, roue d’angle en fonte à dents de fonte et à dents’ de bois ; tiroirs de
. .machines.à vapeur, cames.el excentrique ?.— 3 —Chapitre VIIe. —Principes élémentaires des ombres : huit planches (n° 26 à n° 33) , applications
aux engrenages, aux vis à lilets triangulaires, carrés et arrondie ; principes de lavis
ordinaire et par teintes plates.Chapitre VIIIe.— Coupe despierres : une planche (n°3i-) , donnant les détails d’un berceau
à plein ceintre débouchant dans l’angle de deux murs obliques, et ceux d’une arrièrevoussure
de MarseilleChapitre
IXe. — Etude et lever des machines : six planches (n° 35 à n° 10) , offrant une machine
à percer dans tous ses détails ; une roue hydraulique à augets ; une roue hydraulique
de côté ; une pompe à eau et une machine à vapeur avec ses détails.Chapitre Xe.—Projections obliques: une planche (n° 41) , application à un cylindre de machine
à vapeur oscillant.Chapitre XIe. — Perspective parallèle : une planche (n° 12).Chapitre XIIe. — Perspective exacte : quatre planches : (n° i3 à n° 45) , donnant des applications
à divers corps et à un moulin à farine à courroies, de cinq paires de meules.
Les neufs premiers chapitres, et le douzième, contiennent chacun une
sous-division du texte intitulé : Règles et données pratiques relatives aux
divers objets et machines représentés dans les planches, à la mécanique, aux
scieries, au travail de la laine et du lin , aux chemins de fer, aux bateaux à
vapeur, etc. Le nombre des tables numériques diverses qui y sont consignées
étant de cinquante-six, il serait trop long d’en rapporter ici les titres.

« Vous voyez, Messieurs, que le cadre embrassé par MM. Armengaud
frères et Amouroux est très-étendu, que toutes les matières qu’ils y traitent
ont leur degré d’importance et d’utilité au point de vue sous lequel vous avez
prescrit l’examen de leur travail, savoir : SON UTILITÉ DANS L’ENSEIGNEMENT
DU DESSIN INDUSTRIEL.
En conséquence, nous avons l’honneur de vous proposer, au nom du
comité des arts mécaniques :

1° De remercier MM. Armengaud frères et Amouroux de l’envoi qu’ils ont
fait à la Société de leur utile ouvrage.

2° De CLASSER ce Nouveau Cours raisonné de Dessin industriel parmi les
livres que la société distribue tous les ans, dans ses récompenses, aux contremaîtres
et ouvriers

3° Enfin, d’ordonner l’impression du présent rapport dans le Bulletin ,
aQn de faire connaître la nature de cet ouvrage aux personnes qu’il doit
intéresser. »
Signé BENOIT, rapporteur.
Approuvé en séance le 13 février 1850.PRIX DE L’OUVRAGE :_ . ( 25 fr., Paris.Bnocirii, '( 28 fr., Départements. II „ . ( 27 fr. 50, Paris.CAUTONNK,( 30 fr. 50, Départements.A Paris chez :
ARMENGAUD AÎNÉ,
Rue Saint-Séliaslien, -SS.
ARMENGAUD JEUNE,
Hue des Filles-du-Calvaire, 6.
Nouveau coursRAISONNÉDe dessin industrielAPPLIQUÉ PRINCIPALEMENTA la mécanique et a l’architectureIMPRIMERIE CLAYE ET TAILLEFERRUE SAINT-BENOtT, 7.

Préface
Le dessin industriel est appelé à devenir une langue universelle ; de
première nécessité dans un siècle d’industrie comme le nôtre, son étude
devient partout aussi exigible que les connaissances les plus indispensables.


11 est en effet le plus intelligent intermédiaire entre la pensée et l’exécution,
car c’est par le dessin que le professeur de mécanique, dé physique,
etc., peut faire comprendre la fonction des pièces mobiles, la
propriété et le mouvement des appareils, la combinaison et le travail de
certains agents ; c’est aussi par le dessin que l’ingénieur, l’architecte, le
constructeur, parviennent à établir les projets d’usine, les monuments les
plus remarquables, les machines, les outils, les instruments les plus
précis et les plus compliqués ; c’est encore à l’aide du dessin que les
propriétaires, les manufacturiers, les fabricants, peuvent se rendre
compte à l’avance de ce qu’on leur propose, soit en constructions, soit
en améliorations quelconques ; c’est enfin par le dessin que l’inventeur
exprime ses idées avant de procéder à leur exécution.

Le dessin bien entendu, tel qu’il doit être réellement compris, a
une plus grande importance qu’on ne le pense généralement, car il ne
se borne pas au simple tracé plus ou moins correct de lignes droites ou
circulaires, comme l’idée en est généralement répandue chez un grand
nombre de personnes ; mais ayant pour but la représentation exacte et
complète des objets, il embrasse à la fois l’agencement et la combinaison
des organes entre eux, ainsi que leur disposition inférieure, le
jeu de toutes les parties actives. C’est surtout à la construction des
machines que le dessin est d’un grand secours. En effet, pour parvenir
à exécuter une machine à vapeur, par exemple, sans avoir recours à
aucun modèle, il est indispensable, après avoir calculé les dimensions
des principaux agents, de les combiner entre eux de telle sorte qu’ils
occupent des positions relatives, propres à remplir parfaitement les conditions
voulues, puis de tracer toutes les pièces, pour en déterminer
6 PRÉFACE.
les assemblages et les mouvements, afin d’opérer comme si l’appareil
fonctionnait en réalité. >

Que d’ouvriers, que d’hommes intelligents auraient, avec la connaissance
du dessin industriel, mis au jour des inventions fort ingénieuses ?
que de pertes de temps, de main-d’oeuvre et de matières leur aurait-il
souvent épargnées ? - ', ".,: .. -

Les notions du dessin, plus répandues dans l’administration et dans la
magistrature, permettraient de résoudre des questions industrielles avec
une grande lucidité, une grande promptitude, et le plus souvent sans le
secours d’hommes spéciaux. Indépendamment de son utilité comme
art précis, le dessin intéresse l’élève en l’instruisant. Il fait naître en
lui des idées saines et, positives ; il développe son intelligence, en lui faisant
voir ce qui existe, comme s’il avait les objets mêmes devant les yeux.
En général, les élèves font toujours mieux ce qu’ils comprennent bien ;
or le dessin, sous ce rapport, est un mobile très-puissant, puisqu’il leur
donne constamment des résultats nouveaux et variés. Aussi, plus ils avan-f
cent, plus ils désirent faire de progrès.

Nous pouvons donc le dire avec raison, le dessin industriel est aussi
indispensable que les sciences les plus vulgaires  ; il doit faire une partie
essentielle de l’instruction des jeunes gens, quelle que soit d’ailleurs
la profession qu’ils se proposent $ embrasser.

Sans le dessin, on ne peut véritablement étudier avec fruit les ouvrages
qui traitent des sciences, ;mécaniques, agricoles et manufacturières.
Son importance est d’ailleurs si généralement xeconnue,.que non-seulement
les écoles industrielles, mais encore les collèges, Ies ; pensions et
autres établissements d’instruction publique, font entrer cet art dans le
programme des études. … -

L’expérience que nous, avons acquise dans renseignement et la pra-r
tique du dessin, nous à permis d’entreprendre un ouvrage, qui embrassât
avec les : développements nécessaires, des modèles de dessin géométral
appliqués aux diverses branches des arts industriels..

Ce traité comprend : le dessin linéaire proprement dit,i-les études
de projection, les tracés d’engrenages et d’excentriques, les études
d’ombres et de lavis, les projections obliques, laperspective ; .vulgaire et
exacte. Chaque partie est accompagnée d’applications spéciales à.Ia mé-:,
canique, à l’architecture, à la fonderie, à la charpente, à la menuiserie,
à la chaudronnerie, à l’hydraulique, et à la construction des machines à
vapeur-et des moulins. : ::. rt ; ;: .

Nous avons tenu compte, dans la disposition de cet ouvragé,  ;du peu
d’attrait que les élèves ont généralement à destiner les principes élémen-
PRÉFACE. 7
taires, et, à cet effet, nous avons ajouté l’intérêt à l’étude, en faisant
suivre chaque problème géométrique d’un exemple choisi pour en faciliter
l’intelligence et en démontrer l’utilité.

L’ouvrage se compose de dix livraisons contenant les différentes
branches du dessin industriel.

La première, qui ne concerne que le dessin linéaire, traite particulièrement
des lignes droites, des cercles et de leurs applications au tracé
des moulures, plafonds, parquets, balcons, ogives, rosaces, etc., afin
d’habituer les élèves à bien se servir de la règle, de l’équerre et du
compas ; elle donne en outre les différents moyens de construire des
courbes planes que l’on rencontre souvent dans les arts et l’industrie,
telles que l’ellipse, l’ovale, la parabole, la volute, etc. Des figures spéciales,
ombrées à l’effet, représentent des RELIEFS qui font voir dans
quels cas ces courbes sont employées.

La deuxième livraison a pour but la représentation géométrale des
objets, ou l’étude des projections ; cette étude forme la base de la géométrie
descriptive, considérée principalement sous le point de vue pratique.
Elle démontre qu’une seule figure ne suffit pas pour déterminer
toutes les dimensions et les formes d’une pièce quelconque ; qu’il faut
toujours deux projections et le plus souvent une ou plusieurs coupes ou
sections pour en faire comprendre l’organisation intérieure.

Après les éléments qui précèdent, nous pouvons déjà indiquer dans la
troisième livraison quelles sont les teintes, les couleurs conventionnelles
dont on doit faire usage dans le dessin, pour exprimer les parties coupées
des objets suivant leur nature, et donner en même temps des modèles
simples et faciles qui intéressent l’élève et le familiarisent avec le pinceau.

La quatrième livraison donne les tracés des différentes courbes essentielles
à connaître, telles que les hélices, et les diverses sortes de vis,
puis les serpentins et les escaliers, ainsi que les intersections de surfaces
et leur développement, avec des applications aux tuyaux, chaudières,
bouilleurs , robinets, etc. Cette étude est d’une grande utilité à bien des
professions, notamment aux tôliers, ferblantiers, et fabricants de chaudières.


La cinquième livraison traite des courbes particulières dont on affecte
les dentures des roues d’engrenages cylindriques, à vis et à crémaillères,
et aussi des détails nécessaires à la construction de leurs modèles. Comme
ce dernier sujet ne se rencontre dans aucun ouvrage, il nous a paru
utile de l’introduire ici, parce qu’il est d’une grande importance pour les
modeleurs mécaniciens, qui doivent connaître comment les bois se débitent
et s’assemblent, et quelles sont les dispositions à prendre dans l’exé-
8 PREFACE.
cution du>modèle, pour feçiliter l’opération du moulage, tenir compte
des retraits, etc.- '• . ;

La sixième est, à vrai dire, la continuation de la précédente ; elle, con>-'
prend le tracé théorique et pratique des engrenages coniques, avec la
construction détaillée de leurs modèles en bois, et de plus, des engrenages
de Whrte et a développantes de cercle. Nous ne pouvions omettre
ces deux systèmes d’engrenages, car leur usage tend à s’accroître tous les
jours en raison des avantages qu’ils présentent ; nous faisons connaître
également les excentriques les plus employés dans les machines.

Nous avons réuni, dans les septième et huitième livraisons, les études
d’ombres propres et portées des principaux solides, prismes, pyramides,
cylindres et sphères, avec leurs applications à dès parties de machines et
d’architecture, telles que vis, roues droites et coniques, chaudière et four-r
neau, colonne et entablement. Ces études, amènent-tout naturellement à
la pose des tons gradués, ç'est-à dire à la pratique du lavis en noir, d’après
les deux systèmes en usage à teintes plates et fondues, ainsi qu’à celle
du lavis en couleurs.

Après avoir bien compris et bien exécuté tout ce qui précède, les
élèves sont aptes à faire convenablement des dessins plus compliqués et
qui exigent des soins et de l’attention ; nous donnons, dans la neuvième
livraison, des modèles représentant les vues d’ ;ensemble, les coupes ou
les sections et les détails de plusieurs machines complètes. Nous avons
choisi de préférence les pompes, les machines à vapeur et les roues hydrauliques,
persuadés que, quelle que soit là profession que l’on embrasse
dans l’industrie, il est indispensable d’avoir des connaissances exactes sur
ces appareils, qui sont, sans contredit, les plus répandus. A ces.modèles
sontjoints des tracés géométriques, qui expliquent le jeu des pièces mobiles
et les fonctions qu’elles doivent remplir dans des conditions voulues.

La dixième et dernière livraison forme le complément, de l’étude du
dessin industriel ; elle réunit les projections obliques, la perspective vul- ?
gaire et la perspective rigoureuse.. '..,■'■'_.

Les projections obliques se présentent assez ; souvent par la position
inclinée que certaines pièces occupent sur les plans géométraux. .',-.'

La perspective vulgaire peut servir quelquefois à donner dans: une
seule et même figure une idée de la forme et de la disposition d’un objet
quelconque. ;

. Pour ne rien laisser à désirer dans ce traité, nous le ; terminons par
l’étude de la perspective rigoureuse, et nous en montrons l’application
spéciale à l’architecture et aux machines, par les vues ; d’ensemble d’un
moulin à blé. à colonnes avec engrenages et poulies.. - ;
PRÉFACE. 9
Le texte explicatif des planches embrasse non-seulement la description
des objets et de leurs mouvements géométriques, mais encore des données,
des tables et des règles pratiques, qu’il est indispensable de connaître,
en choisissant plus particulièrement celles relatives aux dimensions des
parties principales des machines, pour en faciliter la construction.

Dans la composition de cet ouvrage, nous avons constamment accompagné
chaque figure d’une explication raisonnée qui forme l’élève et développe
progressivement son intelligence sur le dessin, tout en le familiarisant
avec les principes de la géométrie et de la mécanique pratique,
qui conduisent tout naturellement à la science cynématique (ou de la
mécanique géométrique)  ; nous espérons ainsi avoir justifié notre titre
de Nouveau Cours raisonné de Dessin industriel appliqué.

C’est surtout pour les travailleurs que nous avons entrepris la publication
de ce nouveau cours ; d’abord ouvriers nous-mêmes, puis successivement
contre-maîtres et chefs d’ateliers, nous connaissons leurs besoins.

L’ouvrier est intelligent, il comprend bien ce qui lui est expliqué avec
clarté, mais il a trop peu de temps à consacrer à l’instruction pour étudier
toutes les sciences appliquées à l’industrie ; il lui faut des cours pratiques
exposés d’une manière succincte et de façon à bien en saisir les résultats.
Le cours de dessin industriel est évidemment un de ceux qui lui conviennent
le plus, parce qu’il réunit de fait la théorie à la pratique, parce
que l’élève ne fait point un seul pas sans rencontrer une application nouvelle ;
ses épures sont pour lui des modèles vivants qu’il conserve précieusement
et qu’il revoit toujours avec plaisir. On peut oublier une
leçon démontrée au tableau, mais on n’oublie jamais ce que l’on a appris
en dessinant.

Espérons donc que dans peu d’années il n’y aura pas un seul travailleur,
par les mains comme par la pensée, qui ne sache parfaitement
comprendre et mettre en pratique le dessin industriel.
Signes àbréviatifs ou conventionnels
. Pour simplifier lé langage ou-l’expression des opérations arithmétiques et
géométriques, on fait usage des signes conventionnels suivants :
, Le signe + signifie plus., et se place entre deux pu plusieurs termes pour
indiquer leur addition. -
Exemple. "4+3,. s’énonce % plus 3.. .  ; ■

Le signe—signifie moins et indique la soustraction

comme 4—3, s’énonce4 moins 3.-

Le signe X signifie multiplié par j placé entre deux quantités, il indiqué la
multiplication. ■ ' •'..'''
Exemple. ' -.. 5x3, s’énonce'5, multiplié par 3.

Quand les chiffrés sont remplacés par des lettres, on supprime le signe ; ainsi
on écrit indifféremment
axb, ou ab. ■.

Le signe . ; ou .7 signifie divisé par, et placé entre deux quantités.indique la

division \

■• . 12 '-••.'■'"■■ ' ■'■''• - ■ ' - -■■

comme . ' 12 ; 4 ou—, s’énonce 12 divisé par 4.

Le signe== signifie égal, et se place entre deux expressions pour indiquer leur
égalité.. " - ■ :- ;.-■'
Exemple. 6 + 2 = 8, s’énonce 6 plus 2 égale 8.'. • "'..

La réunion de ces signes ; '.'. '. indique'une proportion géométrique.
Exemple. 2 ;3: ;4 ;6, s’énonce 2 est à 3, comme 4 esta 6.

Le signe V' indique Vextraction d’une racine . ~ ■

comme V 9 = 3, qui s’énonce racine carrée de 9 égale 3.

L’interposition d’un chiffre entre l’ouverture de ce signe l/, indique le degré
delà racine.

Ainsi: ' 1/27 — 3, s’énonce racine cubique de27 égale 3."

Les signes < ou > indiquent plus petit que ou phis grand que. '
Exemple. 3<4 = 3 plus petit que-4 et réciproquement, 4>3 = 4 plus grand
que 3.

Fig. exprime figure, et pi. signifie planché. >
Nouveau coursRAISONNEDe dessin industrielAPPLIQUE PRINCIPALEMENTA la mécanique et a l’architecture chapitre premier
DESSIN LINEAIRE

Le dessin appliqué à la mécanique, à l’architecture et à l’industrie en
général, est non-seulement la représentation graphique des objets, mais
encore la corrélation raisonnée de la fonction et du mouvement de leurs
organes constitutifs.

Cet art emprunte ses moyens d’exécution à la géométrie élémentaire, pour
ce qui concerne le dessin linéaire proprement dit, et à la géométrie descriptive
pour ce qui est relatif aux corps solides.

Le dessin linéaire, qui est la base du dessin industriel et artistique, a pour
but le tracé exact des surfaces par la combinaison étudiée des lignes ; pour en
faciliter l’étude et la rendre à la fois plus attrayante et plus intelligible, nous
exposous successivement et d’une manière succincte, les définitions, les principes,
puis les problèmes ou les applications auxquelles ils donnent lieu.

On a essayé un grand nombre de traités sur le dessin linéaire, mais nous
croyons que ces ouvrages, abstraction faite de leur objet, ont une portée trop
restreinte, qu’ils ne présentent pas des développements assez étendus et qu’ils
ne remplissent pas alors les conditions de progrès et de précision qu’on doit
exiger à notre époque. Cette pensée nous a fait reconnaître la nécessité de
commencer par cette première étude, en choisissant autant que possible des
exemples qui se présentent fréquemment et sous des formes très-variées.

Plusieurs de nos problèmes se rencontrent naturellement avec ceux déjà
connus ; nous avons dû les rappeler comme étant d’une utilité indispensable
dans les applications.

DÉFINITIONS.
DES LIGNES ET DES SURFACES.

. - ".:"'.■'*•'■"■.■"' ' : :„ : Planche Ve, '::' ■ /:. ■■-.'.:' : ". :' ;-,-v--ï •• ■

-En géométrie, l’éfeM^we embrasse trois dimensions, longueur, largeur et
épaisseur, hauteur ou profondeur.

L’étendue restreinte à deux dimensions prend le nom de surface, et réduite
à une seule dimension, elle se nomme ligne. *
Lignes. — Les lignes employées,dans,le dessin sont.de plusieurs espèces :

Les lignes droites, les lignes courbes et les lignes brisées. ■>">■■

Les lignes droites sont verticales, horizontales ou inclinées..

Les lignes courbes sont circulaires, elliptiques, paraboliques, etc.
Surfaces. — Les surfaces, qui sont toujours limitées par des lignes, sont
planes, concaves ou convexes. Une surface,est plane, quand une règle droite
peut s’y appliquer exactement dans tous les sens ; elle est dite concave ou
convexe, lorsqu’elle est creuse ou bombée.

. Ligne verticale. — On entend par ligne verticale, là direction que prend un
-fil suspendu librement à son extrémité supérieure, et portant à l’autre un
poids, telle est la ligne AB (relief â. pi- lre ). .Cetteiigne est toujours droite,
et en géométrie on appelle ligne droite le plus court chemin d’un point à
un.autre. ■•'■.'-.
Fil aplomb. — L’instrument indiqué par le relief A s’appelie fil à plomb. Il
est très-fréquemment employé dans les constructions, pour reconnaître la
verticalité de certaines lignes ou de certaines surfaces. : '

.. Ligne horizontale. — Lorsqu’un liquide contenu dans un vase est en repos,
son niveau supérieur forme une surface plane, et toutes lès lignes 1 tracées ; sur
cette surface sont des horizontales.
■ ""Niveaux. — C’est sur ce principe qu’on a établi des instruments appelés
niveau d’eau et niveau à bulle d’air'. ■ .. '-'■■■" : , l

: Le premier consiste en un tube cylindrique recourbé a ses deux extrémités,
et surmonté de deux tubulures en verre ; lorsque l’instrument est
rempli d’eau à une certaine hauteur, et qu’il est au repos’, la surface ; supérieure
du liquide dans les deux branches, détermine un plan horizontal ou de

niveau- ' • '-.•'■' '■■''"■":■:

Le niveau à bulle d’air (relief l) consiste en un tube de verre, en grande
partie rempli d’un liquide quelconque ; ce tube est renfermé dans une enveloppe
métallique a, qui fait corps avec deux supports ô et une platine c ;'En
plaçant cet instrument sur un plan CD, celui-ci est reconnu de niveau si la
bulle d’air d laissée par le vide du tube se trouve: exactement au milieu.

Les menuisiers, maçons, charpentiers et mécaniciens font souvent usage
aussi d’un instrument (relief fi) qui se compose d’un fil à plomb suspendu au
sommet b de deux règles inclinées, ab,bc, et d’égale longueur/réùnies par

une traverse d ; un trait ÀB est pratiqué au milieu de celle-ci, et indique lorsque
le fil se confond avec lui, que la base CD est horizontale.
Perpendiculaires. —Si on suppose (6g. lre)  la ligne verticale AB, placée
sur la ligne horizontale CD, ces droites sont dites perpendiculaires l’une à
l’autre et forment entre elles des angles droits ; on comprend que, si on fait
tourner ce système de lignes, tout en conservant leur position réciproque,
les angles qu’elles forment n’en seront pas moins des angles droits ; ainsi la
ligne 1, 0, de la fig. 5e, forme également avec la ligne EF un angle droit.
Lignes brisées. — Plusieurs droites qui se suivent en changeant de direction,
forment ce que l’on est convenu d’appeler lignes brisées. Telles sont les
lignes BAEHFN, etc. (fig. 14.) 
Lignes circulaires. Circonférence. — La ligne continue EFGH (fig. 5) ,
tracée avec l’une des pointes d’un compas dont l’autre est fixe, s’appelle circonférence
 ; elle a évidemment tous ses points à égale distance du point fixe 0,
que l’on nomme centre.
Rayon.— L’ouverture OF (fig. 5) du compas, ou la distance des deux pointes,
se nomme rayon, et par suite toutes les lignes OE, OF, OG, partant du centre
et concourant à la circonférence sont des rayons égaux.
Diamètre. — Toute droite LH, passant par le centre 0, et aboutissant à la
circonférence, est un diamètre.
Le diamètre est donc le double du rayon.
Cercle. —L’espace renfermé dans la circonférence est une surface plane que
l’on appelle cercle, et une partie quelconque EÏF ou FLG de la circonférence
prend le nom d’arc.
Cordes. — Les droites EF, FG, qui joignent les extrémités des arcs sont
appelées cordes ; ces lignes prolongées en deçà de la circonférence sont dénommées
sécantes.
Tangente. —Une droite AB (fig. 4) , qui ne touche une circonférence qu’en
un point est une tangente. Toute tangente est perpendiculaire à l’extrémité
du rayon qui passe par le point de contact B.
Secteur. — La portion BOHC (fig. 4) de la surface du cercle comprise entre
deux rayons qui passent aux extrémités d’un même arc, se nomme secteur.
Segment.— Le segment est une portion EFI (fig. 5) , de la surface du cercle
comprise entre un arc et la corde qui sous-tend cet arc.

Les lignes droites et brisées se tracent à l’aide de la règle et des équerres ;
les lignes circulaires se décrivent avec le compas.
Des angles.— Nous avons vu que lorsque des droites étaient perpendiculaires
l’une à l’autre, elles formaient des angles droits ; mais lorsque deux lignes
prolongées se rencontrent, et qu’elles ne sont pas perpendiculaires, elles
forment alors des angles aigus ou obtus. Un angle est aigu, lorsqu’il est plus
petit que l’angle droit, tel est l’angle FCD (fig. 2).

Un angle est obtus quand il est plus grand que l’angle droit, tel est l’angle
GCD. En général, on appelle angle l’espace compris entre deux lignes quel-
U COURS RAISONNÉ

conques, qui concourent à un même point que l’on nomme sommet,
Un angle est rectiligne, quand il est.formé par des droites ; mixtiligne,
quand il est compris entre une droite et une courbe, et curviligne, lorsqu’il
résulte de la rencontre de deux arcs ou de deux courbes,
. Mesure des’ angles. Si du sommet d’un angle on décrit un arc de cercle, la
portion de cet arc comprise entre les côtés de l’angle lui sert de mesure. ;

On est convenu, pour estimer un arc quelconque, de diviser la circonférence
du cercle en 360 ou 400 parties égales % que l’on nomme degrés, &ï h
cet effet, on a construit des instruments qu’on nomme RAPPORTEURS, représentés
(fig. 1, l.) . .-■■.-.■-■

Le premier (fig, l) qui se trouve dans toutes les boîtes de mathématiques,
comme étant le plus généralement en usage, se compose d’un demi-cercle
divisé en 180 ou 200 parties. Pour s’en servir, on place son centre b sur le sommet
de l’angle et de manière que son diamètre coïncide avec un côté ab, l’autre
côté bc correspond à l’une des divisions, laquelle exprime justement en-degrés
la grandeur de l’arc ou de l’angle. Ainsi l’angle abc est de 50 degrés (que
l’on écrit 50°) quelle que soit la dimension de l’arc compris entre ses côtés, et
par conséquent quelle que soit la longueur même de ces côtés, car l’arc, ainsi
mesuré, formera toujours la même fraction de la circonférence achevée et
divisée en 360 ou 400 degrés.

Dans le premier cas, le degré est divisé en 60 minutes, la minute (ou 1/) en
60 secondes (ou \")  ; la seconde en 60 tierces (oui'7') * etc., et dans le second,
les divisions sont décimales, c’est-à-dire que le degré est divisé eh 100 mfc
nutes, la minute en 100 secondes, et ainsi de suite.

Lé second rapporteur (fig. i) , nouvellement créé, présente l’avantage de ne
pas exiger le sommet de l’angle pour en avoir la mesure. -_■■•''.' . V

Il consiste en un cercle entier divisé intérieurement en deux fois 180 parties
et dont le contour extérieur est un carré. On applique l’un dé ses bords contre
larègle B. mise en contact avec un côté ce de l’angle, l’autre côté de passé par
deux divisions opposées du cerclent indique la valeur de cet angle. Ainsi, oh
voit (fig. i) , que l’angle dee est de 50°. -
Obliques. — Les lignes qui ne forment pas des angles droits avec celles
qu’elles rencontrent leur sont obliques ou inclinées. Les droites GC et FC
(fig. 2) , sont des obliques par rapporta la verticale KC, et à l’horizontale CJ.
Parallèles. — Deux droites sont parallèles sur le papier, lorsqu’elles conservent
la même distance sur toute leur longueur ; les lignes IK, AB et LM,
delafig. lre, sont parallèles. "' ;■']
Triangles. — L’espace renfermé entre trois lignes qui se coupent s’appelle
triangle ; i.
i. Cette dernière division a été proposée lors,de l’adoption du système décimal, en 1790, et
portée de nouveau à l’appréciation des savants, en 18M) , qui l’ont adoptée, mais le grand nombre
de sous-multiples de 360 facilitant singulièrement lés calculs, on se conforme habituellement
à l’ancienne division.
Lorsque les trois côtés, DE, EF et FD (fig. 12) , sont égaux, le triangle est
équilatéral ; si deux côtés seulement GH et GI (fig, 9) sont égaux, le triangle
est isocèle ; il est scalène, ou irrégulier, lorsque les trois côtés sont inégaux
( fig. 6 )  ; et enfin, il est rectangle, lorsque les deux côtés DL et LK ( fig. 10 ) ,
sont à angle droit ; dans ce cas, le côté DK, qui est opposé à l’angle droit, se
nomme hypoténuse.

On fait constamment usage dans le dessin d’un instrument que l’on appelle
équerre, et qui a la forme d’un triangle rectangle ; ces équerres sont connues
sous diverses nominations : 1° équerre à 45 degrés (©) , dont les deux côtés de
l’angle droit sont égaux ; 2° équerre à 60 degrés (H) , dont le plus petit côté
de l’angle droit est moitié de l’hypoténuse, et 3° équerre à projeter (x) ,
dont un des côtés de l’angle droit est toujours au moins double de l’autre.
Pohjgone. — Un polygone est une surface comprise entre plusieurs lignes,
qui forment entre elles des angles quelconques ; il est plan lorsque les lignes
sont situées sur une seule et môme surface plane ; son contour prend le nom
de périmètre. Un polygone est triangulaire, quadrangulaire, peniagonal, hexagonal,
heptagonal, octogonal, décagonal, etc., lorsqu’il est formé par trois,
quatre, cinq, six, sept, huit ou dix côtés, etc.

Un carré est un quadrilatère dont les côtés AB, BC, CD et DA sont égaux et
perpendiculaires l’un à l’autre et dont alors tous les angles sont droits (fig. 10).

Un rectangle est un quadrilatère formé de deux côtés égaux ÀB et FN perpendiculaires
à deux autres côtés AF et BN également égaux et parallèles

(fig- 14).
Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux et
parallèles, et les angles quelconques.

Le losange est un parallélogrammme dont tous les côtés sont égaux.

Le trapèze est un quadrilatère dont deux côtés Hî et ML, opposés seulement
sont parallèles ( fig. 9 ).

Les polygones sont réguliers lorsque tous les côtés et les angles sont égaux ;
dans le cas contraire ils sont irréguliers. Tous les polygones réguliers sont
susceptibles d’être inscrits dans un cercle ; de là, la propriété de les tracer
géométriquement avec une grande facilité.
OBSERVATIONS.
Nous avons cru utile de donner les définitions qui précèdent pour rendre
nos descriptions plus intelligibles ; nous allons maintenant passer à la solution
de divers problèmes qu’il importe de bien connaître, parce qu’ils se rencontrent
très-souvent dans la pratique. Mais observons auparavant que pour dessiner
avec précision, il convient que la feuille de papier soit bien tendue, sur
la planchette ; à cet effet on la mouille légèrement d’un côté, à l’aide d’une
éponge que l’on promène également sur toute sa surface, puis on la retourne
de manière à ce que la partie mouillée soit en contact avec la planchette ; on
colle alors les bords de la feuille avec de la colle à bouche en commençant

par les milieux, puis par les angles. Lorsque la feuille est "sèche on exécute
le dessin en indiquant les lignes au crayon d’un trait fin égal partout ; puis,
les figures étant terminées, on passe à l’encre à l’aide du tireligne, en. ayant
soin d’arrêter les contours aux points d’intersection ou de rencontre des lignes.
Pour distinguer les lignes d’opération qui ne sont que des lignes fictives
de celles qui forment les contours des objets, nous avons représenté les premières
par des traits ponctués, et les autres par des traits pleins et continus.
(Voir les figures de lapl. .lre, ) . , :
PROBLÈMES.
D’après ces définitions on peut déjà résoudre les problèmes suivants à l’aide
du compas, de la règle et des équerres.

1. Élever une perpendiculaire sur le milieu d’-une droite donnée (fig. l*e).
■ Des deux extrémités C,D, delà droite donnée, on trace .avec le compas dont
l’ouverture doit être toujours plus grande que la "moitié de CD, des arcs de
cercle qui se croisent en À et B, au-dessus et au-dessous désaligné ; là droite
AB qui joint ces deux points est la perpendiculaire qui divise la droite GD en
deux parties égales, CG- et’ GD.

En procédant de la même manière sur chaque moitié CG- et GD, on obtient
les perpendiculaires IK et LM> qui subdivisent la ligne donnée enuquatrë parties
égales ; on arrive ainsi à diviser une droite quelconque en 2, k, 8,16, etc.,
parties égales. - ■" ' .

Ce problème est constamment appliqué dans le dessin. Par exemple:
pour obtenir les lignes principales VX et YZ, qui divisent là feuille de papier
en parties égales. À cet effet, de chacun des points r, s, t, u, pris le plus
près [possible des bords du papier, on décrit des arcs de cercle se coupant
en P et Q ; puis, de ces deux derniers comme centres, on trace d’autres
arcs de cercle qui.se rencontrent en tj, z ; les droites YX et YZ qui joignent
ces points de rencontre sont perpendiculaires l’une à l’autre et servent de
guides ou de repères pour toutes les opérations graphiques. Ces lignes que
nous nommons directrices né sont tracées qu’au crayon, pour être effacées
quand le dessin est terminé. . s2.

Pour élever une perpendiculaire d’un point quelconque H pris sur une
ligne CD, il suffit dé marquer à droite et à gauche de ce point et sur la ligne
deux distances égales CH et HG, puis de tracer des points C et G des arcs qui se
coupent en I et en K. (fig. lte). ■"'.■'-'.•'■■

3. Il en serait de même pour abaisser une perpendiculaire LM*d’un point L
donné en dehors de la droite CD ; on tracerait de ce point un arc de cercle qui
couperait la ligne en G et D, puis de ces deux points on en’décrirait: deux
autres qui se rencontreraient en M.

Dans le'dessin on trace souvent ces perpendiculaires au moyen de la règle
et d’une équerre ou du Té. (i.) 
k. Mener des■ parallèles à des droites données’VX etYT.

DE DESSIN INDUSTRIEL. H

Pour la régularité du dessin on forme habituellement un cadre rectangulaire
RSTU, que l’on construit de la manière suivante :

On trace les côtés parallèles, RS et TU, en décrivant des points V et X, audessus
et au-dessous de la ligne VX, des arcs de cercle, en R, S, T et U, et
en posant la règle tangentiellement aux deux premiers, puis aux deux autres.
On opère de même pour les lignes RT et SU ; cette opération doit être faite
toutes les fois que l’on veut encadrer un dessin. En général les parallèles se
tracent plus rapidement en employant le Té, que l’on fait glisser sur un côté
de la planchette de dessin, ou l’équerre sur la règle , en se guidant toutefois
sur les lignes principales ou directrices.

5. Diviser une droite donnée en plusieurs parties égales (fig. 3).

Nous avons déjà indiqué la division d’une ligne en 2 et 4 parties égales ;
nous allons démontrer comment, au moyen des instruments basés sur les déBnitions
précédentes, on peut arriver à diviser une ligne en un nombre quelconque
de parties égales.

Soit à diviser en sept parties égales la droite AB (fig. 3). Du point extrême
A, on tire la ligne AC, faisant avec AB un angle quelconque ; on porte avec le
compas sur cette ligne AC, à partir de A, une longueur arbitraire AD, autant
de fois que l’on veut obtenir de divisions sur AB ; on joint le dernier point C
au point B, et par les autres points I, II, G, etc., on mène, en faisant glisser
l’équerre sur la règle, des parallèles à CB ; la rencontre successive de ces parallèles
avec AB, divise cette droite en 7 parties égales aux points 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Si l’on opère de même en tirant à volonté une autre ligne AJ, et avec la même
ou toute autre ouverture de compas, on retrouve exactement les divisions
précédentes.

Ce problème sert très-souvent, et principalement à la division et à la subdivision
des échelles employées pour la réduction des dessins.

6. L’unité de longueur adoptée en France est le mètre, il se divise en dix
grandes parties égales appelées décimètres ; l’un de ces derniers est représenté
par le relief (|)  ; il est divisé d’un côté en 1/10 et 1/100, qui représentent des
centimètres et des millimètres ; et de l’autre côté le millimètre est partagé en
deux parties égales pour représenter des demi-millimètres.

Nous allons indiquer l’application spéciale du mètre et de ses subdivisions à
la construction des échelles.

Une échelle est une ligne droite que l’on divise et subdivise de la même manière
que le mètre ; les parties de l’échelle prennent les mêmes noms que les
subdivisions du mètre.

Le but de l’échelle est d’indiquer dans quelle proportion un dessin se trouve
par rapport à l’objet.

7. Construction de l’échelle.—Vour dessiner une machine au 1/4, au 1/5, au
1/6, au 1/10, etc., on divise 100 qui exprime le mètre en centimètres, par les
nombres 4, 5, 6, 10, etc. Le quotient indique la longueur du mètre à l’échelle
de réduction. On trace cette ligne sur le papier et on la subdivise en parties

<Î8 COURS RAISONNÉ .

décimales comme le mètre lui-même ; lessubdivisions ainsi obtenues, représentent
les décimètres, les centimètres et les, millimètres réduits. .'-.■■■

On voit (fig. 7) un fragment d’échelle au 1/5 d’exécution. ^

Pour se servir de l’échelle, on porte sur la gauche du zéro une division en
plus, que l’on subdivise en parties plus petites, afin d’évaluer les fractions de
l’unité:principale. Si l’on veut prendre par exemple 32 centimètres, on place
la pointe du compas sur le chiffre 3 à la droite du zéro, et l’autre pointe sur le
chiffre 2' à gauche du zéro' ; l’espace 3, 2', exprime la longueur de 32 centimètres
ou 3 décimètres 2 centimètres. ;
Échelle de dixme. — Avec l’échelle précédente on ne peut opérer que
difficilement la subdivision du centimètre en 10 parties égales pour apprécier
un millimètre ; aussi quand on veut exécuter un dessin avec précision, on
construit l’échelle de dixme, représentée (fig. 8) , qui permet d’estimer des
subdivisions très-petites. :

Pour construire,cette échelle, on procède par lès divisions principales,
comme dans la précédente, et pour déterminer rigoureusement les dixièmes
de la longueur db, qui représente 1 centimètre réduit ; on élève au point a une
perpendiculaire ai, sur laquelle on porte 10 fois une longueur arbitraire, puis
par les points de division ç, d,e',f, on mène des parallèles à ag, on tire la diagonale'^,
qui coupe obliquement toutes les parallèles ; chacune des longueurs
comprises entre la diagonale bi et la verticale ai exprime respectivement 1/iO,
2/10, 3/10,\etC, de ab. Si, par chacun des points 1', %',2',kf, etc., on-mène
des parallèles à la diagonale bd, toutes les divisions de ao seront subdivisées de,
même en dixièmes. • - . ;

D’après cette construction, pour prendre une longueur de 325 millimètres,
par exemple, on pose l’une des pointes du compas au point S,-sur la cinquième
ligne horizontale ; à sa rencontre avec la verticale élevée du point 3, et l’autre
pointe doit s’arrêter en l, point d’intersection de la diagonale %'h, avec la
même ligne horizontale. . ^ ,

8. Diviser unangle donné en deux parties égales (fig. 2). ■

Pour diviser en deux parties égales l’angle FCD, on décrit du sommet C-un
arc HIj et des deux points de rencontre î, H, de cet arc, avec les ; côtés de
l’angle, on trace d’autres arcs qui sêcouperit en J ; la droite CJ divise l’angle
donné en deux angles égaux, HCJ et JGI. On pourrait subdiviser chacun de
ces angles en deux parties: égales en opérant de la même manière, comme
cela est indiqué sur la figure. ■

Cette division d’un angle peut se faire par la division’ de'Farc à l’aide des
rapporteurs (© et n) , principalement lorsque lés divisions de J’angle doivent.
être impaires. * ' \

La solution de ce problème s’applique à un angle quelconque aigu ou obtus,
c’est ainsi que la droite CE divise l’angle GCH en deux parties égales.
9. Tracer une lange ?iteà~une circonférence donnée (fig..4). ".
Il peut se présenter deux cas: 1° celui où le point donné est situé sur la

circonférence môme ; 2° celui où le point est en dehors de la circonférence.

1° Le point donné D étant situé sur la circonférence,

La tangente s’obtient en traçant du point D un rayon CD, que l’on prolonge
en dehors de la circonférence ; et si l’on élève du point D, une perpendiculaire
FG, sur la ligne CE, cette droite est la tangente cherchée.

2° Le point donné A étant en dehors de la circonférence ; dans ce cas il y
a toujours deux tangentes:

Après avoir joint le point A au centre C du cercle, on divise AC en deux
parties égales au point 0. Si on décrit de ce point comme centre avec le
rayon AO une circonférence, celle-ci coupera le cercle donné en deux points

B, H, et les lignes AB et AH, seront les 2 tangentes cherchées ; ces lignes sont
perpendiculaires aux extrémités des rayons CB et CH.

10. Déterminer le centre d’un arc ou d’un cercle donné (fig. 5).

Soit EFG-, l’arc dont on veut connaître le centre ; on marque 3 points E, F,
G, à volonté sur cet arc, et les réunissant deux à deux par les cordes EF, FG,
on élève sur le milieu de celles-ci des perpendiculaires 10 et LO, dont le point
de rencontre 0 est le centre cherché. D’après cette solution on peut toujours
résoudre le problème suivant :

11. Faire passer une circonférence par trois points non en ligne droite.
L’opération pour résoudre ce problème est exactement la môme que la précédente.


12. Inscrire un cercle dans un triangle (fig. 6).

Un cercle est inscrit dans une figure quelconque, lorsque tous les côtés de
cette figure sont tangents à la circonférence.

Pour inscrire un cercle dans le triangle ABC, on divise deux des angles de
ce triangle en deux parties égales, les bissectrices AO et BO, ou lignes qui
partagent un angle en deux parties égales, se coupent en un même point 0,
qui est le centre du cercle ; pour vérification on peut diviser le troisième angle

C, et la bissectrice CO doit passer par le môme point ; si de ce point, on abaisse
des perpendiculaires, OE, OF, OG, sur les côtés du triangle, elles seront
égales entre elles et au rayon du cercle inscrit.

13. Diviser un triangle en deux parties équivalentes ou en deux surfaces
égales (fig. 9).

Deux surfaces sont égales, lorsque étant superposées, elles coïncident exactement
dans toute leur étendue ; elles sont équivalentes, lorsque n’étant pas
de môme forme, elles ont cependant la même superficie.

Soit donné le triangle quelconque GUI que l’on veut partager en deux parties
équivalentes, on divise le côté GI en deux parties égales par la perpendiculaire
OK, du point 0, comme centre on décrit la demi-circonférence GKI,
on mène la corde GK que l’on reporte par un arc de cercle de G en L ; la
droite LM, tirée parallèlement à Hl, détermine le triangle GLM qui est moitié
en surface du triangle donné ; par conséquent les deux surfaces GML et MHL
sont équivalentes.

Il en serait de même, si le triangle donne était GNI, les deux surfaces GFL
et FNIL seraient aussi équivalentes. ""■',..'■

14. TJn carré ABCD étant donne, construire un autre carré double en surface•
(fig. 10).V

Après avoir prolongé les deux côtés DA et DC "de ce carré, on mène.la
diagonale DB^ avec laquelle on décrit du point D comme centre, un arc de
cercle ; cet arc donne les points E, F, par lesquels on trace'les lignes FG et
GE, parallèlement aux deux premiers côtés DC et DA, le nouveau carré
DFGE est double en surface du premier. Par conséquent Ja surface non teintée
sur la figure est égale à la surface du carré donné.

En tirant de même la diagonale DG que l’on reporte de D en ;L et en H,
on formera le carré DHKL, également double en surface au carré DFGE, et
par suite quadruple du carré donné.

15. Traiter un cercle dont la surface soit moitié d’un cercle donné (fig. li).- '
Soit ACBD, le cercle donné. Après avoir tracé du centre E, des diamètres

AB et CD, perpendiculaires l’un à l’autre, on joint les deux extrémités A et C
par une corde AC, on divise cette corde en deux parties égales par la perpendiculaire
EF, la droite GE est le rayon du cercle dont la surface est la moitié du
cercle donné. La surface annulaire ombrée sur cette figure est égale à la surface
du cercle de rayon GE, ,et par,conséquent moitié du grand cercle ACBD.

16. Inscrire, dans des circonférences données, un triangle équilaiéral et un
hexagone-régulier \$g. 12).

D’un point quelconque F, pris sur la circonférence du cercle d’un rayon
donné OF, on trace un diamètre FG, de l’extrémité G, avec le rayon GO, on
décrit l’arc EOD, on réunit les points D, E, entre eux et au premier point F,
pour former le triangle équilatéral DEF>

Dans un hexagone régulier, le côté est égal au rayon du cercle circonscrit,
il suffit alors, pour construire cet hexagone, dé porter six fois’le rayon OH sur
la circonférence donnée. ; ou bien, après avoir tracé un diamètre KH, on décrit
dés deux extrémités K et H, avec le même rayon OH, des arcs decercle qui
coupent cette circonférence aux points I,_J, L, M ; ces points réunis-deux à
deux forment l’hexagone régulier KLM. • , ; -

Ces problèmes conduisent naturellement à la division du cercle en’3, 6, 12
et 24-parties égales ; en subdivisant successivement les arcs correspondants à
chacun des côtés, en 2, h et 8 parties égales comme on le fait pour la division
de l’angle.

On a souvent dans le dessin à tracer sur une petite échelle des écrous et des
têtes déboulons de forme hexagonale ; au lieu d’opérer avéc.le compas comme
on vient:de l’indiquer, on emploie Téquerre (M) , dite à 60 degrés, que l’on,
applique sur une règle B placée parallèlement au diamètre KIL , -

17. Inscrire un.carré dans un cercle (fig. 13). '•"•'■■ -'
On inscrit un carré dans le cercle donné en traçant deux diamètres perpen-

diculaires ÀB, CD, il suffit de joindre l’extrémité des deux diamètres, pour
obtenir le carré ACBD.

18. Construire un octogone régulier dont on connaît le rayon OE du cercle
inscrit (fig. 13).

Ayant tracé ce cercle, on tire comme précédemment des diamètres EF, GH,
perpendiculaires l’un à l’autre, on divise chacun des angles formés par les
diamètres en deux parties égales, pour obtenir d’autres diamètres IJ et KL
qui sont également perpendiculaires l’un à l’autre ; alors des points E, F, on
mène des parallèles àGH ; de même des points G et H, on mène des parallèles
à EF, des points IJ, on trace des parallèles à KL, et enfin des points K, L,
des parallèles à IJ, toutes ces lignes se couperont et formeront un octogone
régulier.

Cette figure peut encore se construire au moyen de l’équerre (©) , dite à
45 degrés, après avoir tracé les premiers diamètres EF et GH.

19. Construire un octogone régulier sur un côté donné AB (fig. 14).

On élève sur le milieu de AB une perpendiculaire DO ; du point A, on mène
AF, parallèle à DO. Après avoir prolongé AB en C, on divise l’angle droit CAF
en deux parties égales, ce qui donne la ligne à 45 degrés EA ; sur cette ligne
on porte la longueur AB de A en E, pour former le second côté de l’octogone ;
on élève également du milieu de AE une perpendiculaire GO, qui rencontre
la verticale DO, au point 0, centre du cercle circonscrit à l’octogone, et dont
le rayon est OA ou OB. On peut continuer l’opération de la môme manière,
ou se contenter de porter la longueur AB sur la circonférence de E en H, de
H en F, etc. On peut encore prolonger les rayons OB, OA, OE et OH, pour
en joindre les extrémités.

En subdivisant les arcs correspondants aux côtés de l’octogone, en 2 ou
4 parties égales, on divise le cercle en 16 ou 32 parties égales, etc.

Nous verrons souvent l’application de ces tracés dans la représentation des
arbres, coussinets, etc.

20. Former un pentagone et un décagone réguliers (fig. 15).

Pour inscrire un pentagone régulier dans un cercle donné de rayon OA,
on trace des diamètres perpendiculaires AI et EJ, on élève une perpendiculaire
GH, sur le milieu de EO ; du milieu K de ce rayon on décrit avec la longueur
AK, l’arc AL qui coupe le diamètre EJ en L, la corde AL que l’on
reporte en AF sur la circonférence donne le côté du pentagone ABCDF.

La division de chacun des côtés du pentagone en deux parties égales permet
d’obtenir le décagone.

Le décagone inscrit dans un cercle donné d’un rayon OM, peut se tracer
directement en procédant de la manière suivante :

On mène les deux rayons perpendiculaires OM et OR, puis les deux tangentes
UN et MN ; du milieu P de cette dernière considérée comme diamètre,
on décrit une circonférence ; on tire BP qui coupe cette circonférence en a ;
la longueur lia portée de R en b donne le côté du décagone inscrit. Cette ligne

-22 ' COURS RAISONNÉ

Ra est une moyenne proportionnelle, entre le rayon,entier OR et la plus, petite
portion cN '. -

21. Construire un rectangle dont les côtés soient des moyennes proportion-,
nettesentreuneligne donnée et le'i/3 ou les 2/3 de celle-ci (fig. 16). ..-:.

Soit ÀC, cette ligne donnée, qui doit être la diagonale du rectangle. Divisons
cette ligne en trois parties égales aux points m, n.. Sur.CA comme diamètre,
on décrit un cercle ABCD ; aux points m et n, on élève les perpendicu- •
laii'es mïs et riB ; les lignes qui joignent les points A, B,C, D deuxà deux, forment
le rectangle demandé, dont le côté CD est une moyenne proportionnelle entre
Cm .et CA.j •

.'-.-■ ■ ' • ou Cm:CD::CD:CA ; . . ■ - r • ■■

c’est-à-dire que le. carré construit sur CD serait égal en surface au rectangle
qui aurait pour baseCA, et pour hauteur Cm,:

. - puisque CD X CD = Cm x GA 2.

Il en est de même pour le côté AD-qui est.une moyenne proportionnelle entre
CA et mk. … -, \

Ce problème trouve son application dans la pratique, pour le débit des bois
en grume et en pièces de charpente. La surface du rectangle inscrit dans le
cercle, qui représente la section de l’arbre ;, donne à surface égale la poutre de
plus forte résistance.

APPLICATIONS. . - ; : , \
DESSINS DE PARQUETS, PLAFONDS, BALCONS, ETC.Planche2e. . . ■ " ■"

Les problèmes que nous venons de résoudre donnent lieu à un grand
nombre d’applications que nous avons réunies dans la pi. 2°, en choisissant de
préférence celles qui sont le plus en usage en mécanique-et en architecture.

Nous observerons à cet égard que, si nous représentons sur de petites
dimensions les fragments ou reliefs des objets, nous recommandons de dessiner
toujours lès figures à des échelles plus grandes, afin de bien se rendre
compte des opérations.

22. Dessiner un carrelage composé de carrés égaux ('fig. 1 et A).

On prend la moitié ab (fig. A) de la diagonale du carré qui doit former le
carrelage ; on porte cette longueur un certain nombre de fois sur une preriiière
ligne horizontale de A en B, de B en C (fig. 1) , etc., et on élève en i une perpendiculaire
IH à cette horizontale, puis par tous les autres points B,C, etc., on
1. .Une ligne est moyenne proportionnelle entre deux longueurs données, lorsque le carré
construit avec, cette ligne pour côté est égal en surface à un rectangle ayant pour base l’une des
longueurs et pour hauteur l’autre.2. Voir les notes et règles données à la fin de ce chapitre.
lui mène des parallèles ED, FG, elc. ; on porte également sur la perpendiculaire
IH la môme longueur a b de A en H et I, etc., et par ces points on tire
des parallèles à AC. On a ainsi une figure composée d’une suite de petits carrés
dont il suffit de tracer les diagonales pour avoir les côtés du carrelage ( fig. £.).

23. Dessiner un parquet composé de carrés et de rectangles entrelacés (fig. 2

et a) 

Soit donné le côté cd du carré (fig. g)  ; on trace une première circonférence
avec un rayon OB (fig. 2) égala la moitié de ce côté, et du môme centre 0 on trace
une seconde circonférence avec le rayon 01 qui est égal au raj on OB augmenté
de la hauteur ab du rectangle. On trace comme précédemment les droites AC
et ED perpendiculaires l’une à l’autre ; ces lignes rencontreront la circonférence
du rayon 01 aux quatre points A,E,C,D. De ces points on mène des parallèles
aux deux droites AC et ED, pour former le carré JHFG dont on tire les diagonales
qui rencontrent les deux circonférences en des points I, B, K, L, M, N,
P, Q ; on tire par ces derniers une suite de lignes parallèles aux diagonales
JF et HG et qui ne sont autres que des tangentes aux deux circonférences. Il
est à remarquer que les lignes AE, EC, CD et AD, sont exactement au milieu
des rectangles formés par celte suite de parallèles et servent de vérification.
On comprend qu’il suffit de prolonger toutes les lignes d’opération et de tracer
des circonférences égales aux deux premières et à môme distance pour compléter
le dessin du parquet.

Il est essentiel, en passant la figure à l’encre, de limiter les lignes comme
l’indique le relief B.

Ce tracé qui a de l’analogie avec le précédent, quoique d’un aspect différent,
s’applique aussi à la construction des treillages, etc.

24. Dessiner une bordure ou frise grecque (fig. 3 et Ë).

On prend deux lignes perpendiculaires AB, AC, sur lesquelles on porte autant
de fois qu’il est nécessaire une longueur Ai, égale à la largeur e f du
ruban ; on mène par les points 1, 2, 3, 4, etc., des parallèles aux deux directrices
AB, AC, ce qui forme ainsi une suite de petits carrés ; et en passant à
l’encre les parties convenables on détermine des lignes brisées à angle droit
qui laissent alternativement des vides et des pleins égaux comme l’indique le
relief fi.

Ce tracé se rencontre très-souvent en architecture et en serrurerie pour
plafonds, corniches, grilles et balcons ; ainsi qu’en menuiserie et en mécanique
pour des bordures de parquets ou planchers en bois ou en fonte.

25. Dessiner un carrelage formé de carrés et d’octogones réguliers (fig. 4 et S).
Avec un rayon EO égal à la moitié de la largeur EF (fig. s) de l’octogone,

on détermine celui-ci comme il a été indiqué fig. 13, pi. lrc, c’est-à-dire que
l’on trace une circonférence EGFH , à laquelle on circonscrit le carré ABCD ;
si l’on tire les diagonales AC, DB, elles rencontreront le cercle en des-points
I,J,K, L, et si de ces points on mène des tangentes à la circonférence ou des
parallèles aux diagonales, on obtiendra l’octogone cherché.

On peut’également former l’octogoneen décrivant de chacun des angles du
carré ABCD, avec le rayon AO égal à la moitié d’une des diagonales, des arcs
de cercle qui tous passent par le centre 0, et viennent s’arrêter sur les côtés
du carré en des points qui sont les sommets des angles de l’octogone. :

Pour terminer le carrelage, il suffit de prolonger les côtés du carré ABCD,
ce qui donne une suite d’octogones, et les espaces compris entre les côtés
inclinés à 45 degrés de quatre octogones contigus sont justement les petits,
carrés intermédiaires teintés en noir sur la fig.-B.

En Construction, ce carrelage est en marbre blanc et en marbre noir, ou
en pierres de diverses nuances pour détacher les carreaux.

26. .Dessiner un carrelage composé d’hexagones réguliers (~fig. 5 et l).

Avec le rayon AO égal au côté a'b de l’hexagone, on trace une circonférence
dans laquelle on inscrit l’hexagone régulier ABCDEF ;en prolongeant
successivement les diagonales et les côtés de cet hexagone, leur rencontre
respective forme le carrelage indiqué par le relief g ; c’est pour détacher les
carreaux qu’on a teinté les rangées.alternativement noir et blanc sur le dessin,,
mais en exécution ils sont généralement tous de même couleur. -.-
-'■ 27. Dessiner un parquet composé de fragments trapézoïdes renfermés dans
des.carres.(fig. 6 et f). -■-'..' ' -■ .

On se donne le carré ABCD qui doit comprendre les différents trapèzes et
qui, lui-même, doit se reproduire un certain nombre de fois ; on-trace, les diagonales
AC et BD et on forme \un second carré abcd concentrique au premier ;
du centre o on pointe de chaque côté sur l’une des diagonales BD en e et
en/, le demi-intervalle qui existe entre les côtés des carrésrPar les deux points
ef on mène des parallèles g h et ij à la diagonale AC, puis on joint les points
de rencontre de ces lignés avec les côtés du petit carré par les."droites Ik et
mn. On réproduit cette figure un certain nombre de fois en prolongeant les
côtés des carrés pour en former d’autres semblables. Avec des bois de diverses
nuances on confectionne ainsi des parquets ou des panneaux de meubles de
dessins variés. '_..■■,..'

28. Dessiner•■.un panneau, composé de losanges -(fig. 7 et ©). '.■■■

Sur la ligne AB on porte deux fois la longueur du côté a b,du losange, et on
forme le triangle équilatéral ABC ; du sommet C on abaisse la perpendiculaire
CD, et on mène EF parallèle et égale à AB pour avoir le second triangle DEF ;
les côtés DE' etDF de ce triangle coupent symétriquement ceux du:premier
en G et en H. On obtient ainsi les losanges ADHG et CEGH, etc. Si Ton répète
cette construction sur le prolongement des lignes extérieures AE, BF, AB, etc.,
on complétera la fig. s.

29. Dessiner un panneau composé de triangles isocèles (fig. 12 et %) ■.

Si dans la figure précédente g on traçait la diagonale longitudinale de chaque
losange, on obtiendrait une figure analogue au fragmentJL, ; mais au lieu du
côté du losange nous supposons donnée la base a b du triangle ; on porte deux
fois la longueur de cette base sur la ligne AB (fig. 12) , afin de construire

comme précédemment le triangle équilatéral ACB, puis le second triangle
DEF qui donnent les pointes G et H, on mène alors les lignes AH, GB,
EH et GF dont chaque point de rencontre I, L, etc., est le sommet de trois
triangles isocèles.
Tous ces triangles teintés de diverses nuances produisent le panneau ILLes
différents tracés que nous venons d’indiquer ne sont réellement que les
applications usuelles des polygones réguliers. La combinaison étudiée de ces
diverses figures amène à produire une grande quantité de dessins très-variés,
qui servent à plusieurs industries, comme la menuiserie, l’ébénisterie, la marqueterie,
etc.

30. Dessiner une plaque en fonte, à jours, formée de losanges et de rosaces
circulaires (fig. 8 et H).

Étant donné le losange abcd, dont les sommets des angles servent de
centres aux rosaces, on trace les deux diagonales ac et bd qui sont toujours
perpendiculaires l’une à l’autre, et on les prolonge indéfiniment. Par les points
a, b,c, d, on mène des parallèles à ces droites, puis on porte la demi-diagonale
ae sur les lignes horizontales autant de fois qu’il est nécessaire ; on porte de
même la demi-diagonale be sur les verticales, la rencontre de toutes ces lignes
détermine en même temps le centre de chaque rosace et celui des losanges.
De chacun des centres a, b, c, d, etc., on trace une suite de petits cercles de
rayons donnés, on se donne également les demi-largeurs f g etfh, que l’on
porte à droite et à gauche des côtés du losange primitif abcd, et on mène
par les points g, h des parallèles à ces côtés : on forme ainsi une série de
losanges concentriques qui complètent le parquet a par le prolongement de
toutes les lignes comme il vient d’être dit.

31. Dessiner un plafond composé de carrés ou de losanges et d’octogones irréguliers
mais symétriques (fig. 9 et )  !).

On se donne le rectangle ABCD dont le sommet des angles est situé au
centre de chaque losange ou carré ; on trace les lignes EF et GH qui divisent
ce rectangle en quatre parties égales, et on se donne ensuite les demi-diagonales
AI et AO que l’on porte en dessus et en dessous des points A, B, C, D,
puis à droite et à gauche de ces mêmes points.

Les sommets et les lignes milieux de chaque partie de la figure étant ainsi
déterminés, on se donne les demi-épaisseurs fg etfh, que l’on porle comme
précédemment de chaque côté OC, de AB et CD.

En variant les dimensions du rectangle et du losange, on arrive à former
des plafonds de dessins qui paraissent très-variés, quoique tracés de la même
manière.

32. Dessiner un balcon en pierre à jour, formé de cercles entrelacés et raccordés
par des droites (fig. 10 et j).

On forme un rectangle ABC !) , dont les sommets des angles servent de
centres aux cercles que l’on décrit avec les rayons, Ab, C d ; après avoir divisé
AB en deux parties égales au point E et mené la verticale EG, on porte la

'26 COURS RAISONNÉ

distance AE de E en F ; puis de -chacun des points C, B, E, etc., on trace des
cercles semblables et de même rayon. ■- - .

On mène ensuite les verticales telles que g h tangentes à chacun de ces
cercles, ce qui donne la partie de gauche dé la figure 5.

Pour obtenir la partie de droite•,. on trace des points G et E d’autres cercles
-concentriques aux premiers avec des rayons E e et E f.

Cette double figure suppose la'représentation sous deux faces opposées
d’un balcon en pierre exécuté. • - : -

On doit observer, en passant à l’encre un dessin qui.contient des raccords
de cercles et de droites, qu’il est essentiel de tracer d’abord les parties circulaires
et les droites ensuite, pour bien arrêter les lignes aux points dé contact..

33. Dessiner line plaque en fonte évidée,. et formée de carrés entrelacés
(fig, 11 et x). . : . -■- -'.-.' ;■.-.• ,_■ ;■'

On se ; donne deux carrés concentriques ÀBCD et FGHÏymais placés de
telle sorte que les côtés de l’un sont parallèles aux diagonales de l’autre ; on
inscrit ensuite un carré « , b,c,d, dans le premier on forme un autre carré
efglî concentrique au précédent, et dont les côtés rencontrent les diagonales
AC et BD aux points i,j, k-, l par lesquels on mène des parallèles aux côtés du
grand carré ABCD, on trace enfin du centré o un/petit cercle dont lé rayon
om est égal à la demi-largeur deScévidements, puis par les points m, n,<p etq,
on mène des lignes horizontales et verticales: qui se limitent aux côtés des
différents carrés tracés. -

Pour distinguer les reliefs des évidements, on-a teinté ces derniers dans
la fig. &.-,'■■ v ' ■  ;

On voit par ces divers problèmes tout le parti que l’on peut tirer de la combinaison
des lignes et des cercles pour arriver à la composition^ d’une foule
d’objets, tels que parquets, balustrades, grilles ; panneaux, balcons, etc. ; on
peut multiplier ces applications à l’infini, en faisant des opérations analogues
et qui n’offrent pas plus de difficultés.
RACCORDS, PROFILS ET MOULURES. ': ~ "Planche3e. ''-.. ,

34. Tracer dans un carré des arcs de cercles symétriques et reliés par une
moulure demi-circulaire (fig. lre et [&).- ■■..':■>.■•-■'• ;:•■•. ?■ ;•:

Soit AB le côté du carré ; on trace les diagonales qui se- coupent: au point G,
par lequel on mène des parallèles DE et CF aux côtés du carré. Des angles
de celui-ci, avec le rayon donné AG, on décrit des quarts de cercle ; des
points D, E, F, comme centres, avec un rayon Ds plus petit que la distance
D6, on décrit des demi-circonférences qli complètent la figurer

Comme vérification du tracé, on décrit avec le rayon CG et CH des circonférences
concentriques qui doivent être exactement en contact, l’une avec les
quarts de cercle, et l’autre avec les petites moulures.

Si l’on traçait les demi-cercles avec un rayon Dû, au lieu du rayon Da on
formerait un raccord parfait.

Ce tracé trouve fréquemment son application en mécanique, telle que dans
la représentation des bielles, colonnes, arbres en fonte, etc.

35. Tracer un arc de cercle tangent à deux droites en se donnant : 1° le
rayon a b (fig. 2)  ; 2° un point de contact B (fig. 3).
1ercas. Du point A, rencontre des deux droites AB et AC, fig. 2% avec le
rayon donné a b, on trace des arcs de cercle auxquels on mène des tangentes
respectivement parallèles à ces droites ; leur point de rencontre 0 détermine
le centre de l’arc DE, et les perpendiculaires OD et OE abaissées de ce centre
donnent les points de contact D et E.
2ecas. Soient les deux lignes AB et AC, fig. 3, faisant entre elles un angle
quelconque que l’on divise en deux parties égales par In droite AD. Au point
donné B on élève une perpendiculaire sur AB ; elle rencontre la ligne AD au
point 0 qui est le centre de l’arc cherché CB. Et en abaissant du point 0 une
perpendiculaire OC sur AC, on a le second point de contact C.

En traçant dans ces fig. 2 et 3, et du centre 0, des arcs de cercle GH dont
le rayon soit plus petit que OB, on forme des congés qui sont en saillie, au lieu
d’être tangents aux droites données.

Ce double problème sert à la construction de la fig. B qui représente des
sections de bâtis, de roues dentées ou autres pièces en fonte.

36. Tracer un cercle langent à trois droites données qui se coupent d’une
manière quelconque (fig. 4).

On divise l’angle des deux droites AB et AC en deux parties égales par la
ligne AE ; on divise de même l’angle des deux droites CD et CA par la ligne
CF ; ces deux lignes se coupent au point 0 qui se trouve à égale dislance des
trois droites données, et détermine par conséquent le centre de l’arc de
cercle BGD que l’on décrit avec un rayon égal à l’une des perpendiculaires,
OB, OD ou OC. Ce problème complète le tracé du profil B.

37. Tracer le profil d’une rampe d’escalier (fig. (G).

Ce profil donne lieu aux deux problèmes suivants (fig. 5 et 6)  :

1° Trouver l’arc de cercle tangent à la circonférence donnée AB, fig. 6, et
à la droite CD, son point de contact avec celle-ci étant situé en D.

En ce point D on élève une perpendiculaire EF sur la droite CD ; de D en F
on porte le rayon BO et on tire OF, sur le milieu de celle-ci on élève la perpendiculaire
GE qui rencontre la première EF au point E, centre de l’arc BI) 
cherché ; puis en tirant la ligne OE on a le point de contact B, limite de ces
arcs de cercle.

2° Tracer un arc de cercle tangent à un arc donné AB (fig. 5) , et aux deux
lignes BC et CD.

On divise d’abord l’angle de ces deux droites en deux parties égales par la
ligne CE ; du sommet C on décrit avec le rayon AO l’arc GH, et au point H on
mène une parallèle Hl à la droite CB ; cette parallèle rencontre le prolonge-

ment de EC en J ; on joint celui-ci au centre 0, la droite JO rencontre l’arc
de cercle GH en G, on tire CG et on mène OK parallèle à cette dernière : le
point de rencontre K avec la droite JE est le centime de l’arc cherché LMN.

38. Tracer le .profil d’un gland (fig. l). ' .' ■ '.'

Ce tracé exige la solution de deux problèmes géométriques (fig. 9 et 10)  :

4° Faire passer un arc de cercle par un point A ;.(fig. 9) , pris sur une
droite donnée AB et tangent à la circonférence du rayon CO.

On,porte ce rayon de A en D, on’tifela droite OD sur le milieu de laquelle
on élève une perpendiculaire EB qui rencontre la ligne donnée en B ; ce point
est le centre de l’arc AEG cherché et de l’arc concentrique OFD. *

. 2° Tracer avec le rayon donné ab un. arc de cercle passant au point A,:
et tangent au cercle BCD (fig. 10). ^ •

Du centre 0 du cercle donné/avec un rayon OE égal à la somme des deux
rayons CO et ; a b, on trace un ai'c’de cercle, puis du point A, comme centre,
avec le même rayon ab, on décrit un second arc qui coupe le premier au
point É : celui-ci est le centre de Parc cherché, et son point de contact avec
la circonférence donnée, se trouve en C sur la ligne EO.: •., :

On voit par la fig. D que ces deux problèmes se répètent symétriquement
par rapport à la ligne d’axe, qui, comme dans les.figures précédentes,.doit
toujours être indiquée pour servir de guideaux opérations. .. ,

Cette forme est adoptée fréquemment en serrurerie et en mécanique pour
servir d’ornement à des tiges de bouton ou de poignée. . '
39. Décrire une-doueine formée d’arcs de cercle tangents passant par rdeux
points donnés, et ayant pour rayon la moitié de la distance de ces deux points
'(fig. iet ;7) … " ,,-■ . -■ •.'

On joint les deux points donnés A et B par la droite AB, sur le milieu de:
laquelle on élève une perpendiculaire E-F ; puis des points A,G, d’une part, on.
trace avec le rayon ÂC, des arcs qui se coupent en G, et des points Cet B, de
l’autre, deux arcs qui se coupent en H ; ces points sont les centres"des deux
arcs cherchés AC et CB, formant une courbe qui, en architecture, se nomme
doucine droite. Lorsque cette courbe est accompagnée de filets, elle prend le
nom générique de moulures. -f': ; ,:::r'
, 40. Tracer des arcs de cercleiangents passant par des points donnés et avec
un rayondonné (fig. i ? et 11). > '■-.■■-■. . ••", -'.y'- .

On divise la droite AB qui réunit les points donnés en quatre parties égales
par les perpendiculaires: CD, EF et GH ; puis avec le rayon AI qui doit toujours
être plus grand que la moitié de AJ, on décrit des centres Afet B, des
arcs dé cercle, dont l’un coupe la perpendiculaire CD àupointC, et l’autre la
perpendiculaire GH au point H ; ces deux points sont les centres des arcs: AJ
et JB qui sont en contact au point J. Il est à rémarquer qu’en se donnant des
rayons successivement plus grands que AJ on trouvera sur les perpendiculaires
GD.et-GH les centres de différents arcs de cercle qui satisferaient à la même
condition d’être tangents et de passer par des points donnés.

Comme les arcs de cercle CI et HL coupent les perpendiculaires CD et GII
en deux points, si on prenait pour centre les seconds points K, L, au lieu des
premiers C, H, on formerait une figure analogue à la précédente, mais renversée
comme cela a lieu en a et b dans la fig. s, qui représente des encadrements
ou des chambranles de portes ou de croisées en menuiserie et en maçonnerie.


41. Tracer un balustre à deux renflements (fig. © et 8).

Ce tracé donne lieu au problème suivant : décrire un arc de cercle tangent
à deux arcs connus a b et CD, et dont le centre doit se trouver sur la ligne
horizontale b e ; on prolonge celle-ci de b en H. d’une quantité égale au rayon
DG du cercle CD, on tire la ligne GH sur le milieu de laquelle on élève une
perpendiculaire qui rencontre la droite be en e ; de ce point on décrit alors
l’arc Cô, avec le rayon eb ; la ligne G e donne le point de contact C. L’arc DF,
qui termine le ventre du balustre, devant avoir son centre sur la ligne DG et
passer par un point donné F, s’obtient naturellement par la perpendiculaire
élevée sur le milieu de la corde DF.

On voit par le relief s que ce problème doit se répéter symétriquement par
rapport aux lignes horizontale et verticale/. ? et m n.

42. Tracer le profil d’un balustre simple (fig. Tl 12, 13 et 14 ).

Le problème à résoudre consiste à faire passer d’abord un arc de cercle par
deux points A, B (fig. 12) , et dont le centre se trouve sur une ligne BC, puis
à raccorder cet arc par un autre DE passant en un point D et dont le centre
est situé sur une ligne DF parallèle à BC.

On élève sur le milieu de BA une perpendiculaire qui coupe BC en 0, centre
du premier arc de cercle ABE ; pour trouver le centre F du second arc DE
qui se raccorde avec celui-ci, on opère comme dans la fig. 6e (37).

La base du balustre est évidée suivant un profil qui prend le nom de scotie.

43. Cette courbe se trace de différentes manières ; les solutions les plus
simples sont les deux suivantes :

1° Tracer la courbe par des arcs de cercle tangents entre eux et à deux
droites parallèles AB et CD (fig. 13) en A et C. Des points A, C on tire les
perpendiculaires CO et AE, on divise cette dernière en trois parties égales ;
avec la première partie AF comme rayon, on décrit le premier arc AGH, on
porte la distance FA de C en I, on tire la droite IF que l’on divise en deux
parties égales par la perpendiculaire KO ; le point de rencontre 0 est le centre
de l’arc CH qui se raccorde en H avec le premier. Cette solution a été appliquée
sur la fig. ïi.
2u Tracer la scotie par deux arcs de cercle tangents entre eux et passant
par deux points A, B, (fig. 14.) On suppose pour résoudre ce problème que les
centres des deux arcs se trouvent sur une môme ligne horizontale CD parallèle
aux deux droites EF et BG qui passent parles deux points donnés.

Du point A on abaisse une perpendiculaire AI sur CD ; le point I est le centre
du premier arc AD ; on mène la corde BD sur le milieu de laquelle on élève

une perpendiculaire qui coupe CD en 0, centre de l’arc cherché BGD. Ce tracé
s’emploie plus particulièrement dans la base des ordres ionique ; corinthien
et composite. . /. ; ■ ' .. '

Pour habituer l’élève à établir déjà son dessin d’après des dimensions adoptées
en pratique, nous avons indiqué sur chacun des profils A, 1, (G, etc., et
sur lès tracés correspondants, les cotes proportionnelles en millimètres. Cependant,
comme la plupart des problèmes énoncés peuvent avoir un trèsgrand
nombre d’applications, on comprend qu’on peut également les résoudre
avec des données différentes. ;
ÉLÉMENTS GOTHIQUES, OGIVES ET ROSACES.
• ■ . ■ Planche 4-. ,

44. Les divers problèmes dont on vient de voir les solutions permettent d’arriver
à la représentation graphique d’objets plus définis et plus compliqués ; nous
pensons qu’on peut les dessiner avec facilité, pourvu qu’on ait soin d’apporter
la plus grande attention à déterminer les lignes principales qui servent de
guides et de directrices. C’est surtout dans les monuments gothiques. queTon
rencontre des applications très-variées sur le raccord des lignes et des cercles ;
nous en donnons quelques exemples dans la planche 4. La fig. 5 représente la
partiesupérieure d’une fenêtre gothique composée d’une suite d’arcs de cercles,
combinés de manière à former des ogives. On se donne la largeur AB et
le sommet C ; sur le milieu des lignes CB et AC on élève des perpendiculaires
qui coupent l’horizontale AB aux points D et E. Ces derniers sont les centres
des-différents arcs concentriques qui se rencontrent tous sur la ligne verticale
CF ; on opère de même pour tracer les ogives intérieures en se donnant la
ligne GTI parallèle à AB.

Quelquefois ces ogives intérieures sont surmontées d’un oeil de boeuf.M,
formé de plusieurs cercles concentriques entre lesquels sont sculptés, des ornements
variés. .

45. Lafig. lre réprésente une rosace formée de circonférences concentriques
dans lesquelles on inscrit des cercles entrelacés qui simulent des espèces de
rubans continus. On suppose donné le rayon AQ de la circonférence, qui contient
ious les centres ,des petits cercles ; on divise cette circonférence en un
certain nombre de parties égales ; des points de divisions 1, % 3, etc., on décrit-des
cercles tangents dont les rayons diffèrent dans un rapport pris à
volonté ; on décrit ensuite du centre 0 des cercles concentriques qui touchent
ceux du rayon Aô. On voit aussi à. l’intérieur de la rosace une sorte.de coquille
formée par des arcs de cercle tangents aux rayons qui ont servi à la division
du premier cerclé AB. \ .,

46. La fig. 6 représente" le quart d’une rosace gothique dite rayonnante,
formée d’une suite d’ogives et de colonnettes qui concourent à son,centre.
On voit.sur cette figure les lignes d’axe qui déterminent les centres respectifs

de chaque ogive et de chaque colonnelte. La figure 6° donne sur une échelle
double, le tracé du chapiteau qui réunit l’ogive à la colonnette.

Avec les rayons donnés AB, AC, AD, AE, on trace des quarts de cercles
concentriques que l’on divise en huit parties égales ; les points d’intersection
de ces cercles avec les rayons de divisions donnent les centres des trèfles qui
se trouvent compris dans les ogives. Ces trèfles sont de différentes formes,
nous en avons indiqué les tracés plus en grand sur les figures 6 ", 6 *, 6 ° ; on
peut étudier par les lignes d’opération la marche à suivre pour dessiner ces
différents ornements.

47. La fig. 4 représente une rosace composée également d’ogives et de
trèfles, mais disposés différemment. Comme les constructions sont tout à fait
analogues aux précédentes, il est inutile d’entrer dans des détails sur le dessin
de cette rosace, nous avons d’ailleurs indiqué les lignes d’opération nécessaires.

48. La fig. 7 est la représentation d’un fragment de plancher ou parquet en
fonte, découpé à jours suivant des formes gothiques. Le tracé fig. 7" indique
sur une plus grande échelle les détails d’une partie comprise entre deux
rayons ; on voit encore que ces opérations se réduisent à des divisions et à des
raccords de cercles.

49. Les fig. 2 et 3 représentent les profils de culs-de-lampe qui sont comme
suspendus aux clefs des voûtes gothiques ; elles ont aussi du rapport avec les
sections de certaines colonnes gothiques dans les monuments des xne et xnr 3
siècles. Pour les dessiner il suffit d’indiquer les centres et les rayons de chacun
des cercles dont ces profils sont formés.

Les tons indiqués sur une partie des figures 1, 4, 6 et 7 ont été ajoutés pour
distinguer les reliefs des évidements.

Nous avons cherché à donner dans cette planche quelques difficultés pour
familiariser l’élève à l’usage des outils et principalement des compas ; ces
figures l’habitueront en môme temps à représenter une foule d’objets en
usage en architecture et en mécanique.
TracésDES OVALES, ELLIPSES, PARABOLES, VOLUTES, ETC.Planche 5°.
DE L’OVE. FIG. lre.
50. L’ove est un ornement fréquemment employé en architecture, et qui
participe du cercle et de l’ovale.

Cette courbe, qui se rapproche par sa configuration de la forme d’un oeuf,
se trace ainsi : on se donne les lignes d’axe AB, CD, perpendiculaires l’une à
l’autre ; du centre 0, point de rencontre de ces deux perpendiculaires, on
décrit un premier cercle CADE, qui forme la partie supérieure de l’ove ; on
porte la distance BE, différence entre les rayons OC et OB, sur la diagonale
m
32 • COURS RAISONNÉ

CB de C en F, on élève une perpendiculaire GH sur le milieu de FB ; cette
perpendiculaire rencontre les lignes d’axe aux points T et H, le premier est
le centre de l’arc JBK, et le second est le centre de l’arc CJ tracé avec le rayon.
JH ; si on porte le point H en L, à la même distance du point 0, et qu’on
trace la ligne LK passant par lepoint I,. on aura aussi l’arc JDK symétrique et
égal au premier CJ.

On voit l’application dé cette ove au fragment de corniche (A).
' 5L L’ovale est une courbe qui diffère de l’ove en ce que la partie au-dessus
de la ligne CD, est exactement symétrique par rapport à cette ligne avec celle
qui est au-dessous, par conséquent il suffit de répéter le tracé indiqué pour
la partie LBH (fig. l’e.) 

DE L’ELLIPSE. Fia. 2.

82. L’ellipse est une courbe fermée qui est telle que la somme des distances
d’un point quelconque A, pris sur elle à'deux points fixes B, G,
appelés foyers, est toujours égalé à une ligne donnée DE. Cette dernière est
lé grand diamètre ou le grand axe de l’ellipse, et passe par les deux foyers.

La courbe est symétrique, non-seulement par rapport au grand axe*' mais
encore à une autre ligne FG perpendiculaire sur le milieu de la première, et
qui prend le nom de petit axe. - : '.''■.■'■'
' Le point de rencontre Q des deux axes est le centre de l’ellipse. ,

Les lignes droites BA, CA, CF, etc., partant des foyers et concourant en
des points quelconques de la circonférence de l’ellipse, s’appellent, dés rayons
vecteurs: Ainsi la sommé de deux rayons, BJet JC qui partent d’un même
point, est égale au grand are DE. • . V ;

Pour décrire cette courbe, on emploie en dessin divers moyens que nous
allons faire connaître. ' '

53. lr«  solution.— Elle repose justement sur la précédente définition et consiste
à se donner le plus généralement les deux axes DE et FG ; on obtient
d’abord les foyers B et C, en décrivant de l’une des extrémités F du petit axe
avec un rayon DO égal au demi-grand ax&, un arc de cerclé, qui coupe ce
dernier aux points désignés. Si, après avoir marqué un point H quelconque
sur le grand diamètre, on prend la partie DHet que du premier foyer B on
décrive des arcs de cercle en I et en J,, puis que du second foyer G avec l’autre
partie HE comme rayon on décrive deux autres arcs, les points de rencontre
I et J de ceux-ciavec les premiers seront deux points de l’ellipse. Les deux
points A et K, symétriques aux précédents, seront obtenus avec les. mêmes
rayons, mais en transposant les centres de B en C et réciproquement, c’est-àdire
que AC et CK sont égaux à DH, comme BA et BK sont égaux à HE.

On voit de même qu’en partageant encore le diamètre DE en deux parties inégales
DL et LE, on obtiendra aussi quatre autres points de la courbe. Eh répétant
cette opération avec autant de points différents L, H, c, etcv,'pris sur le

grand axe, on multipliera les points par lesquels doit passer la courbe qui se
dessine à la main.

Dans la construction on décrit de grandes ellipses en substituant, au compas
ordinaire, des tiges rigides armées de pointés ou un compas à verge.
U Ellipse du jardinier se trace avec un cordeau dont les extrémités sont
situées aux foyers B et C, et qu’une pointe maintient tendu suivant les rayons
vecteurs.

54. 2e solution. — On prend une bande de papier dont l’un des bords db est
rectiligne, on marque sur le côté une longueur ab égale au demi grand axe, et
une autre bc égale au demi petit axe ; on place la bande de manière à ce que
les deux points a et c se trouvent, l’un, qui représente l’extrémité du grand
axe, sur le petit diamètre FG, et le second c, qui représente l’extrémité du
petit axe, sur le grand diamètre DE. Si on promène cette bande, en laissant
toujours les deux points a et c sur leurs lignes respectives, le point extrême b
indiquera successivement différents points de la courbe, qu’on a le soin de
marquer au crayon pour ensuite la tracer à l’encre.

55. 3e solution (Qg. 3).— On démontre en géométrie descriptive, comme nous
le verrons plus tard, que si on coupe un cône ou un cylindre à base circulaire
par iln plan incliné à l’axe, la section est une ellipse. C’est sur cette propriété
qu’est basé le tracé que nous allons indiquer. Après s’être donné les deux
axes ÀB et CI) , dont le point de rencontre est en 0, on trace une ligne quelconque
AE égale en longueur au petit axe CD, on décrit sur cette ligne, considérée
comme diamètre, le demi-cercle EGA, on joint le point E au point B, et
par une suite d’autres points 1,2, 3, 4, etc., pris à volonté sur EA, on trace des
parallèles à EB, et de ces mômes points on élève sur EA des perpendiculaires
la, 26, 3c, etc. On porte successivement la longueur de ces lignes sur d’autres
perpendiculaires IV, 27/, 3V, élevées sur AB ; la courbe passant par les différents
points a' b' c’ d’, etc. est l’ellipse cherchée.

56. 4e solution. —On trace sur le grand axe AB, regardé comme diamètre,
le demi-cercle AFB, et du même centre 0 on en trace un second HDI avec un
rayon égal au demi petit axe. On divise la première circonférence AFB en
plusieurs parties égales, i,j, k, l, etc. On réunit ces divisions au centre commun
0, ce qui donne les points correspondants i' f k' l’ sur la deuxième circonférence
HDI ; de ces derniers points on mène des parallèles au grand axe
AB, et des premiers ij k l, on mène des parallèles au petit axe CD ; la rencontre
de ces lignes donne les points g, r, s, t, appartenant à la courbe. Il est à remarquer
que dans ces deux dernières solutions, il n’est pas nécessaire de connaître
les foyers.

On a imaginé plusieurs instruments dont quelques-uns sont fort ingénieux
pour tracer les ellipses comme on trace des cercles au compas ; mais en
général ils ne paraissent pas assez simples ou assez commodes pour être appliqués
avantageusement dans le dessin géométral.
3DES TANGENTES A L ELLIPSE.
57. Tl est quelquefois utile de déterminer les points de contact d’une ligne
avec une courbe elliptique, soit lorsqu’on donne le point sur Ta courbe, ou en
dehors de la courbe, soit lorsque la tangente doit être parallèle à une droite
donnée. ;'■•

Dans le premier cas, du point A, pris sur la courbe (fig. 2) , on tracé les
deux rayons’vecteurs Cl et BA, et on prolonge ce dernier ; on divise l’angle
MAC en deux parties égales par la droite NP, qui donne la tangente à Fëllipse,
c’est-à-dire que géométriquement elle ne touche la courbe qu’au seul
point A. …" - ; .-'".''■•■■'.•'

Deuxième cas où le point donné L est en dehors de la courbe (fig, S).
De ce point, comme centre, on ; trace un arc ; de cercle avec un rayon IL égal
à la distance duvfoyer le plus voisin I ; et du second foyer H avec Une ouverture
de compas, égale au grand axe AB, on décrit un secohd arc qui coupe
le premier en M-etN, on tire alors les lignes MH et NH qui rencontrent l’ellipse
aux points de contact v et x ; les droites Lv et Lx sonfcles tangentes à
lacourbe. "- J ' r '■• - ;•

58. Pour mener une tangente à l’ellipse parallèlement à une droite donnée
QR (fig. 2) , on abaisse du foyer le plus procheB une perpendiculaire BS à la
droite QR, puis du second G, avecuri rayon égal au grand axe, on décrit un arc
qui coupe cette perpendiculaire en S ; la ligne SC rencontré la courbe en T qui
est le point de contact de la tangente cherchée. Il suffit de^rnener ta droite
TU parallèle à QR, et on observe comme vérification que cette tangente divise
la perpendiculaire SB en deux parties égales. ' ■'"

59. Ellipse ou ANSE DEPANIER "à-5 centres (fig."4). / ■",'.■ ;
On suppose comme précédemment les deux diamètres donnés et on Com^

mence par chercher une moyenne proportionnelle entre le demi grandaxe et le
demi petit axe. Pour cela on construit sur le grand axeAB le rectangle ABÈG
ayant pour hauteur le demi petit axeCO, on mène là diagonale CA, sur laquelle
on abaisse du point G la perpendiculaire GD qui rencontre'le grand axé en H et
le petit axe en D (ce dernier point peut se trouver en dedans ou en dehors de'
l’extrémité du petit axe}. Du point 0, on décrit avec GO pour rayon la circonférence
CIK ; sur AK connue diamètre on trace la demi-circonférence ÀLK|
on prolonge OC jusqu’à L. La droite OLest une moyenneproportionnelle entre
le demi grand axe et le demi petit axe. :

On .porte CL de 0 en M ; du point D comme centre avec DM pour rayon on
trace l’arc aMl>~, on porte de A en N sur le grand axe la longueur OL, du point H
avec le rayon on trace un autre arc qui coupe le ; précédent eù'a^ On obtient
ainsi les cinq centres D, a,b, H etH' par lesquels on déerit successivemenli
les arcs de cercle PCQ.PR et QS, puis AR et SB, limités aux lignes PDetQD
d’une part, et Ra et Sô de l’autre. .  ;- ; /
DE DESSIN INDUSTRIEL. 35
On voit l’application de cette courbe dans un grand nombre de voûtes, d’aqueducs
ou de ponts en pierre, tels que celui qui est représenté par le relief ©.
DE LA PARABOLE.
60. La parabole (flg. 5) est une courbe non fermée et telle que la distance
d’un point quelconque D pris sur cette figure par rapport à un point fixe C
nommé foyer, est égale à la distance DE de ce môme point à une droite BA
que l’on nomme directrice.

La perpendiculaire FG abaissée du foyer sur la directrice est l’axe de la
courbe, c’est-à-dire qu’il la partage en deux parties égales. Le point A, milieu
de FC, est le sommet de la courbe.

Plusieurs solutions sont applicables au tracé de cette courbe.

61. Première solution. — Elle repose sur la définition même que nous
venons de donner ; mais il faut connaître pour cela la directrice et le foyer.

Le problème consiste à prendre différents points A, E, H et I sur la directrice,
et à mener par ces points des parallèles à l’axe, puis à les joindre au
foyer C par les droites AC, EC, HC et IC ; sur le milieu de chacune de ces dernières
on élève des perpendiculaires qui rencontrent respectivement les parallèles
aux points e, D, c, b, par lesquels on fait passer la courbe.

62. On peut remarquer que toutes les perpendiculaires qui viennent d’être
tracées sont des tangentes à la parabole ; par conséquent, si la courbe est donnée
pour mener une tangente col d’un point c quelconque, il suffit de tracer la
ligne c G et la droite c H, puis d’élever une perpendiculaire sur le milieu de
HC. Tl en serait de même si le point était donné en dehors de la courbe.

63. Deuxième solution.—On se donne l’axe « G, le sommet a et un point l de
la courbe. On abaisse sur l’axe et du point l une perpendiculaire IG, que l’on
reporte de G en e et que l’on divise en un certain nombre de parties égales aux
points i, j et h, par lesquels on mène des parallèles à « G que l’on divise en un
même nombre départies égales ; on joint les points de division/,, ?, h au point e ;
la rencontre respective de ces lignes avec les parallèles donne les points o, n, m
de la courbe.

64. On mène une tangente Mm à cette courbe parallèlement à une droite donnée
JK, en abaissant du foyer C sur celle-ci une perpendiculaire CL, laquelle
rencontre la directrice au point p, on tire alors ^> n parallèle à l’axe ; le point
de rencontre n est le point de contact de la tangente.

On trouve un grand nombre d’applications de la parabole dans la construction
et dans les machines, à cause des propriétés particulières dont elle jouit
et que nous ferons connaître successivement.

65. Les reliefs ai' en sont une première application ; ils représentent des
instruments désignés en physique sous le nom de Miroir-sparaboliques, et servant
à expliquer que les rayons vecteurs ab, ac, ad, se réfléchissent suivant des
lignes bb', ce', ddr, parallèles à l’axe. D’après cette propriété, si au foyer a
d’une première parabole bf on place une lumière ou un corps incandescent,

et au foyer a' de la parabole Vf un morceau de charbon ou d’amadou, on allumera
ce dernier quoique les foyers aa' soient à.une grande distance l’un de
l’autre, parce que lecalorique rayonnant sur la parabole 6/se réfléchit sur
l’autre parabole ô'/ et vient se concentrer au foyer a'. \
TRACÉ DE LA VOLUTE (fig".-6)..'.
66. S’étant donné.urie ligne verticale ko on la divise en neuf parties égales,
et avec l’une de ces parties ao pourTayon on décrit le cercle ab c d, appelé
oeil de la volute. On inscrit dans cecercle ( fig-- 7) un carré dont les diagonales
sont l’une horizontale et l’autre verticale ; du centre o on mène les
lignes 1, 3 et 2, :k, parallèles aux côtés de ce carré', et on divise la moitié de
chacune de ces lignes en trois parties égales. Du premier point 1 avec un rayon
égal à la distance 1 A, fig. 6, oh trace un premier arc de cercle.que l’on arrête
à la première ligne horizontale Ie passant par le point 2. De ce second point
comme centre, avec un rayon égal à 2e* on décrit l’arc e/qu’onlimiteàlaligne
verticale 2/ passant par le point 3". ; .-.on- continue de même à tracer d’autres
arcs par les points 3, h, 5,6,>.etc., ayant le soin de limiter successivement
chacun des nouveaux arcs aux lignes passant par deux de ces points. : ;

En architecture., dans .l’ordre Ionique, où cette courbe est eniployée, on
trace une seconde courbe intérieure, dont les centres se trouvent en i^, 2', 3V
-4/,,etc.:, (fig.7 6« ) /àun tiers au-dessous des.premiers 1,2,3,4 et sur les mêmes
lignes : l’arc i' k ! est tracé avec un rayon plus petit’d’un neuvième que le premier
1A, Il en résulte que les autres se réduisent progressivement comme on
le voit dans la figure 6.  ; : -: ; ;…

'"■'"'." ■'•"' ■,, PROBLÈME. /■- "'[■'
6%. FIG. 8. — Deux droites AB, BC étant données, tracer une courbe qui
les -raccorde en passant tangentjellement par les poihts.A et C pris sur chacune
d’elles.,.. ;. ."..-■.-.'"""■'-' ■ .- ;• : ■.-' ; ■ ;■ ;-:■ ;■_'… ■. ; ,■■ '■■' ;,

On mène la corde AC et on joint le milieu D de celle-ci au point de rencontre
B des deux droites ; on divise BD en deux parties égales au point E, lequel est
déjà un point de la courbe ; on tire les lignes EG et EA sur le milieu desquelles
on élève les perpendiculaires ab, cd^ et on porte-le quart-'de ED de een/et"de
e' en /, les points/ /^appartiennent aussi à la courbe j qti,répète la même
opération pour obtenir les points g, h et g', h' ; la réunion de ces divers points
donne la courbe cherchée. *V..■.. ;.,,  ;- . •. :.-., . ?:.

Ce tracé est généralement adopté par tous les ingénieurset les constructeurs..

II se rencontre souvent dans les travaux publics comme dans les chemins
de fer, ponts et chaussées, etc., -que l’on ait ainsi à raccorder des droites données
par des courbes, qui paraissent le plus régulières possibles.,
Règles et donnees pratiques
LIGNES ET SURFACES.
68. Le mètre carré est l’unité de surface, comme le mètre linéaire est l’unité de longueur.
Les subdivisions du mètre carré sont : le décimètre carré, le centimètre carré
et le millimètre carré.Le décimètre linéaire étant la dixième partie du mètre, le décimètre carré est la centième
partie du mètre carré. En effet, le carré exprimant le produit d’un nombre par
lui-même, le produitde 0m,l par 0m,l =0,01™Ï.On trouve ainsi que le centimètre carré est la dix-millième partie du mètre carré,
puisque0m,0lX0m,01 =0i"i,0001.Et que le millimètre carré égale la millionième partie du mètre carré.Car Om,001XO »\001 =0m<i,000001.Ces résultats établissent les relations comparatives entre les unités linéaires et les
unités carrées.MESURE DES SURFACES.69. La surface d’un carré, comme de tout rectangle, parallélogramme ou losange,
est égale au produit de la base ou de la longueur, par la largeur ou la hauteur, mesurée
perpendiculairement à la base.Ainsi la surface d’un rectangle qui a pour base lm,25 , et pour hauteur 0m,75, est
égale àlm,25X0m,75 = 0mq,9375.Connaissant la surface d’un rectangle et l’une de ses dimensions, on détermine
l’autre en divisant la surface donnée par la dimension connue.Exemple : La hauteur d’un rectangle dont la surface est exprimée par 0mï,9375, et
dont la base est de l111(i,25, est égale à0,9375
1,25 'Ce problème trouve constamment son application dans l’industrie, et en particulier
dans le calcul des machines, pour déterminer l’une des dimensions d’une ouverture
rectangulaire dont on connaît la surface et l’autre dimension.
3.
Trapèze, La-surface d’un trapèze est égale au produit de la demi-somme des bases,
parallèles parla hauteur oula perpendieuTaire comprise entre celles-ci. - .
Exemple. La surface d’un trapèze ayant pour bases, lm30et lln50, et pour hauteur
0^80^ çstde^ - - '.'-.. . ■■_■■ .-"/'. "
Triangle. La surface d’un triangle quelconque s’obtient en multipliant sa base par
la deini-hautèur. " -,
Exunple. La surfacedu .trîânglëqui. a pour basé'2m,30 et pour hauteur lm, 15, égale

'. La surface ;d’un triangle étant connue-et l’unede ses dimensions étant donnée, on
détermine la dimension inconnue en divisant le double.de la surface.par la dimension
connue..Dans l’exemple précédent, la division de 2Xlmi,3227 par-la hauteur 1,15
donne pour quotient la base 2m 30 ; de même lé quotient 1,15 provenant de la division
de 2Xlm5,1227 par làbase-2,30-, exprimelajiauteur du triangle'. :.-'-.. ;■■■

70. On démontre en géométrie que le carré construit sur l’hypoténuse d’un triangle
rectangle- est égal à.là somme-des carrés construits sur, les deuxcôtés.de rahgïê"droit.
11 résulte de cette propriété que, connaissant deux côtés quelconques d’un triangle
rectangle, on peut déterminer le troisième'. - ;' ; : ; ■,,■•:•.'

1° Les deux côtés de l’angle droit du triangle étant donnés, on déterminé l’hypoténuse
en faisant la somme des .carrés-des deux côtés, et en extrayant la racine carrée
de cette somme. . \
Exemple. .Quelle est la: grandeur de l’hypoténuse AC’, d’un, triangle ABC (fig. 16,
pi. lré.)  en supposant le côté AB=-3m,Je côté BC = 4m ? ''■…..'":

2" Si l’on connaît l’hypoténuse AC et l’un des côtés.AB, de l’angle droit, le troisième
BC est égal à la racine, carrée de la. différence des quarrés construits sur AC et’AB.
Ainsi, dans l’exemple précédent, oh trouverait '-,'..'' . , ■[■''■ ,,' :.

La diagonale d’un carré est toujours égale à l’un des côtés multiplié par 1/2, et
comme V 2 = 1,414, on voit que la diagonale d’un carré s’obtient eh multipliant le
côté du carrépar 1,414. ._■ . ." -, : . .
Exemple. Un quarré à pour longueur, sut chaque côté > 6 mètres, quelle est sa diagonale
D ? '…■.' '.-..:". : ;

La somme des quarrés des quatre côtés d’un parallélogramme est: aussi égale àla
somme des quarrés dès deux diagonales. ' .«  ;

'71. Polygones réguliers. La surface'd’un polygone régulierïsïobtjentt eh'multipliant
son périmètre par la demi-perpendieulaire abaissée du centreïsjlr l’un-des côtés.
DE DESSIN INDUSTRIEL. 39Un polygone régulier à 5 côtés, dont l’un est de 9m,8, et dont la perpendiculaire
abaissée du centre sur l’un des côtés égale 5™,6, a pour surface :La surface d’un polygone irrégulier se détermine en divisant sa surface soit en triangles,
soit en rectangles ou trapèzes, et en additionnant les surfaces de ces diverses
figures.Ire TABLE DE MULTIPLICATEURS POUR DES POLYGONES DE 3 A 12 COTÉS.SURFACES, ANGLE APOTHÈMENOMS. COTÉS. MULTIPLICATEURS.- le côté ' ouperpenétanll.>mw- diculaire.Triangle 3 2 1.73 0.579 0.433 60°.0' 0.2886731Carré 4 1.41 1.W2 0.705 1.000 80".0' 0.5Pentagone… 5 1.238 1.174 0.852 4.720 IO80.O' 0.6881910Hexagone… 6 1.156 rayon. lougr du côté. 2.598 120o.0' 0.8660254Heptagone… 7 l.H 0.867 j 1.160 3.634 128°.34'| 1.0382607Octogone 8 1-08 0.765 1.307 4.828 133°. 0' 1.2071069Eiméagone… 9 1-062 0.681  ! 1. '.70 6.182 140°.0' 1.3737387Décagone…. 10 1.05 0.616 1.625 7.694 144 ».0' 1.5388418Undécagone.. H 1.04 0.561 1.777 9.365 147°. 16'^ 1.7028436Duodécagone. 12 1.037 0.Ï.16 1.950 11.196 150".0' 1.8660254Au moyen de cette Table, on peutrésoudre, d’une manière très-simple, des problèmes
fort intéressants sur les polygones réguliers, depuis le triangle jusqu’au duodécagone.
Tels sont les suivants ;1° La largeur d’un polygone étant donnée, trouver le rayon du cercle circonscrit
'.Règle. Multipliez la moitié de la largeur du polygone par le facteur de la 2e colonne,
correspondant au nombre de côtés de la rc colonne ; ce produit sera le rayon du cercle
circonscrit.Exemple. Soit 18m50 la largeur d’un octogone.ou 10 mètres environ, rayon du cercle circonscrit.2° Le rayon d’un cercle étant donné, trouver la longueur du côté du, polygone
inscrit.Règle. Multipliez le rayon du cercle par le multiplicateur de la 3e colonne, correspondant
au nombre de côtés du polygone.Exemple. Le rayon étant de 9,99, le côté de l’octogone inscrit est :1. OBSERVATION. Quand le nombre des côtés d’un polygone est pair, la largeur s’entend : la
dislance entre deux côtés opposés parallèles ; lorsque le nombre est impair, la 1/2 largeur est
mesurée par la distance du centre à l’un des côtés40 . : COURS iEtAISONNE '-:3° Le côté du polygone ; étantAonné, trouver le rayon ; du cercle circonscrit, :.
Règle- Multipliez çeeôtépar le facteur:de la quatrième colonne correspondant au
nombre de côtés. ■ ….-',-, -, /Exemple. Soit 7m,642 le côtéde l’octogone régulier', le produit -^s T ■ : ■ 7™,642 XI,307 =9,989. ..'…. ■ - ;très-rapproché de 9,99, est le rayon. .. -'''.4° Le côte du polygone régulier étant donné, déterminer la surface.Règle. Multipliez le côté-par le facteur de. la 5e colonne correspondant au nombre de _
côtés du polygone, . „" ■ - …. '-' ;.-Exemple. Lasurfaceide l’octogone dont le côté estde 7m6427m,642X 4,828 = 36™^90. .'.. CIBCONFÉBENGE ET SUHF^CE DD CERCLE.'72. Si on divise une circonférence de rayon quelconque par son diamètre, le quotient ;
est un nombre cdnstânt*que. lbn nomme. ■■.Rapport de la circonférence au diamètre:
, Ce rapport a pour expression approximative : . .. _ t ■■'■'..".. ■ ; „.':'"'..•' " .3,1416ou22 :7 ' ;" ■ ■'■ '..'"'"'c’est-à-dire que la circonférence égale 3,1416 fois la longueur de son diamètre et
s’exprime dans les formules par la -lettre grecque n, qui se prononce■pi.- ■ ^En représentant par C là .circonférence d’un xercle, et par D son diamètre, la formule
suivante : '""■ ; "exprimé: le développement de cette circonférence. \Pour la déterminer, il suffit de
connaître le diamètre ou le rayon que l’on double, et de le multiplier par le nombre
constant ÏI ou 3,1416. ' '" • 1Ainsi, la circonférence d’un cercle qui a pour diamètre D==2m70, où pour rayon,
R = i"' 35, égale , ■ • ■ \ ''■',." "'…-: V- ■'-,:.Connaissant la circonférence d’un cercle, on détermine son diamètre ou son rayon
en divisant cette circonférence par. 3,1416 pour le diamètre, et par 6,2832 pour
le rayon. . ' _Le diamètre D, d’une circonférence dont le développement est dé 8m,482.'85 ' ' • .'.'•"■-..'Le rayon R delà même circonférence = -' .. ' . ■ .• =1,35. ; -J ":.- ;■ 6,2832 ■'•■■•• ■'-•'. : ',La surface d’un cercle est égale à sa circonférence multipliée par la moitié
du rayon.Cette règle donne lieu à la formule suivante :
Surface du cercle 2HR x-r-= ÏÏRV ' ; , -DE DESSIN INDUSTRIEL. 41Ce résultat I1R 2 est la simplification de la formule, car le nombre 2 peut se supprimer,
puisqu’il est multiplicateur et diviseur, de même, le produit de R par R
donne R2 ou le carré du rayon.Ainsi, d’après cette formule pour connaître la surface d’un cercle, il suffit d’en connaître
le rayon, de l’élever au carré et de multiplier le produit par 3,1416.Exemple. La surface d’un cercle dont le rayon est de lm05 est égale àPour connnaître le rayon d’un cercle dont on connaît la surface, il faut diviser cette
surface par 3,1416, et extraire la racine quarrée du quotient.
Exemple. Le rayon d’un cercle dont la surface est de 3mi,46 est égal àQuand on connaît le diamètre d’un cercle, on détermine aussi sa surface par la
formule :la formule devient :Surface cercle = 0,7854xD 2.C’est-à-dire qu’en multipliant la fraction décimale 0,7854 par le carré du diamètre,
le résultat exprime la surface du cercle.
Exemple. La surface d’un cercle dont le diamètre est de 2m,10est = 0,7854X2,10X2,10 = 3mq,4635.Observation. La surface d’un carré étant donnée, on obtient la surface du cercle
inscrit, en multipliant la surface du carré par 0,7854, c’est-à-dire que la surface d’un
carré est à la surface d’un cercle inscrit dans ce carré, comme4 : 3,1416, ou 1 à 0,7854.IIe TABLE DES RELATIONS ENTEE LES CERCLES ET LES CARRÉS.\. Le diamètre du cercle X 0,8862 Ii = le côté d’un carre.2. La circonférence du cercle X 0,2821 ) 3. Le diamètre X 0,7071 ][ = le côté du carré inscrit.
h. La circonférence. X o,225t ) 5. La surface de d. X 0,6366 = la surface du carré inscrit.6. Le côlé du carré inscrit X l,'(M2 = le diamètre du cercle circonscrit.7. Le côté d’un carré inscrit X 4,M3 = la circonférence du cercle circonscrit.8. Le côté d’un carré x U28 = le diamètre d’un cercle égal.9. Le côté d’un carré X 3,543 = la circonférence d’un cercle égal.D’après cette table, on peut résoudre une suite de problèmes parmi lesquels on
distingue les suivants:1° Le diamètre d’un cercle étant de 0 !n125,011 125 ^/m, le GÔté du quarré équivalent
est '125X0,8862 —110m/m,7752° La circonférence d’un cercle étant 860m/,£j le côté du quarré iuscrlt est >■■ 860X0,25i=215 !n/m,86. /
3° Le côté d’un quarrë étant 215m/m) 86, le diamètre du cercle circonscrit.
2) 15,86Xl,4W2=3p5'P/m,27î'. //Observation. Les rayons et les diamètres1 de cercles sont entre eux comme leurs
circonférences, et réciproquement., '.-' ;•''■De même, les surfaces des .cercles sont comme les carrés des rayons :et des
diamètres.ïlrésultede ces propriétés, que si l’on double le rayon ou le diamètre, on,dquble
seulement lacirconférence, mais on quadruple la surface ; e-'est ainsi qu’un dessin réduit
de moitié en longueur et en largeur, n’occupe que le 1/4 delà surface du dessin
primitif. -.,..'.:.73. Secteur, Segment. Pour pouvoir déterminer la surface d’un secteur ou d’un segment,
if est nécessaire de connaître l’arc développé.La longueur d’un arç se trouve en-multipliant la circonférence entière parlenpmbre
de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360°.Exemple. Soit un arc de 45° et dont la circonférence est de 3^,50, . . ;On trouve encore la longueur d’un arc lorsqu’on connaît la corde de Parc et la-corde
de lamoitié de cet arc : en soustrayant la corde de l’are entier de huit fois la corde de
la moitié de l’arc, et en prenant le tiers du reste.Exemple. La corde d’un arc étant 0"1,344, et celle de la moitié de cet arc, 0m,198,pour la longueur de l’arc ; ."■ .. \ "■■"•■■La surface d’un secteur est égale au produit de la longueur de l’arc par là moitié durayon du cercle.
Exemple.. Soit 0,169 le rayon du Cercle, et 0,266 là longueur de l’arc,La surface d’un segment s’obtient, en multipliant la longueur de ia'flèche par 0,626,
et en ajoutant au carré du produit le carré de la moitié de la cordé, puis en multipliant
deux fois la racine carrée de la somme par lés 2/3 de la flèche.Exemple. Soit 48 la corde de l’arc ABC (fïg.<g) 6118131160116 60,
par conséquent, 2 X |/l26,9678 + 576 X 2/3 18 = 636,24.
pour la surface du segment.

On peut encore obtenir la surface du segment d’une manière suffisamment approximative
en divisant le cube de la flèche par deux fois la longueur de la corde et en y
ajoutant le produit de la flèche par les 2/3 de la corde.

Ainsi on a, d’après les données précédentes :
Couronne. Pour trouver la surface d’une couronne circulaire ou l’espace compris
entre deux cercles concentriques :

On multiplie la somme des diamètres des deux cercles intérieurs et extérieurs par
leur différence et par la fraction décimale 0,7854.
Exemple. Soit 100 et 60 les deux diamètres de la couronne,

surface de la couronne.

La surface d’un fragment de couronne est égale à son épaisseur multipliée par la
demi-sonime des arcs extrêmes, ou par l’are moyen.
CONTOUH ET SUKFÂCE DE L’ËLLIPSE.
74. On obtient le contour d’une ellipse, en multipliant la demi-somme des axes par
3,1416, rapport de la circonférence au diamètre.
Exemple. Soit 12 et 9 les longueurs des axes,

contour de l’ellipse.

On détermine la surface d’une ellipse, en multipliant le produit des deux axes par la
décimale 0,7854, rapport de la surface du cercle au carré du diamètre.

Ces règles rencontrent à chaque instant de nombreuses applications dans l’industrie,
et particulièrement dans la mécanique, comme nous le ferons voir bientôt. Les exemples
indiqués suffisent pour mettre les élèves à même de bien comprendre leurs opérations,
et de résoudre d’autres problèmes analogues.
U COURS RAISONNÉ
IIIe TABLE.
VALEUR DES PRINCIPALES MESURES LINÉAIRES ÉTRANGÈRES EN MESURES MÉTRIQUES.VALEURPAYS. DÉSIGNATION DES MESURES enmillimètres.(Londres.) Inch ou pouce = 1/12 de foot 253,995ANGLETERRE ~ F »<" ou pied = 1/3 de yard 304,794— Yard impérial = 3 feet 9H,383— Fathom ou 2 yards 1,828,767i (Vienne.) Pied ou Fuss = 12 pouces = 144 lignes. 316,103(Bohême. ) Pied 296 ;416(Venise. ) Pied 435,185— Pied (Palmo)  347,398— Pied d’architecte.,. 396,800BADE | ( Carlsruhe. ) Pied nouveau=1 o pouces=100 lignes. 300.000BAVIÈRE , (Munich.) Pied =12 pouces = 144lignes 291,859i (Augsbourg.) Pied 296,168BELGIQUE ' (Bruxelles.) Elle ou aune = 1 mètre 1,000,000— Pied 285,588BRÈME (Brème.) Pied = 12 pouces = 144 lignes 289,197BRUNSWICK (Brunswick.) Pied id. id 285,362CRACOVIE (Cracovie.) Pied….. , 356,421DANEMARK (Copenhague) Pied 313,821j (Madrid.) Pied d’après Lohman 282,655ESPAGNE Yare de Castille, d’après Liscar 835,906( Yare de la Havane = 3 pieds de Madrid 847,965( (Rome.) Pied 297,896ETAIS ROMAINS paim0 des architectes = 3/4 de pied 223,422( Pied antique 294,246FRANCFORT Pied 284,610Pied du Rhin (Hollande et Prusse)  » »», »» »HAMBOURG Pied = 3 palmes = f 2 pouces = 96 part 286,490HANOVRE (Hanovre.) Pied = 12 pouces = 144 lignes 291,993HESSE (Darmstadt.) Pied = 10 pouces = 100 lignes 300,000 ! „„,. „„_ (Amsterdam.) Pied = 3 palmes = H po. = 2649.. 283,056HOLLANDE <Pied du Rhin 313,884LUBECK (Luheck.) Pied 291,002MECKLEMBOURG Pied , 291,002MODÈNE S PieddeMoaène 523,048— de Reggio 530,898EMPIRE OTTOMAN ( Conslanlinople.) Grand pie 669,079PARME Braccio di legno = 12 pouces = 1728 alomi 544,670POLOGNE (Varsovie.) Pied = 12 pouces = 144 lignes 297,769PORTUGAL (Lisbonne.) Pied d’architecte 338,600PRUSSE (Berlin.) Pied = 12 pouces 309,726j-USSIE j (Pétersbourg.) Pied russe 538,151— Archine 711,480SARDAIGNE ( Cagliari ) Palmo, mesure de la ville 202,573SAXE ( Yeimar. ) Pied 281,972SICILES (DEUX) Palmo = 12 pouces (onces = 60 minuti.) 263,670SUÈDE .( Stockholm.) Pied 296,838/ (Baie et Zurich.) Pied 304,537l (Berne et Neufchâtel.) Pied = 12 pouces 293,258SUISSE J ( Genève ) Pied 487,900J (Lausanne.) Pied = 10 pouces = 100 lignes 300,000f ( Lucerne et autres cantons.) Pied 313,854TOSCANE Pied de construction 548,167WURTEMBERG , Pied = 10 pouces = 100 lignes.. 286,490
COURS RAISONNE DE DESSIN INDUSTRIEL. i",
Chapitre il
ETUDE DES PROJECTIONS.

75. En dessin, pour faire connaître exactement toutes les dimensions d’un
objet, on doit représenter celui-ci sous plusieurs aspects différents ; ces vues
diverses comprennent habituellement, l’élévation, le plan, le profil, et sont
connues sous la dénomination générale An projections.
L’étude des projections ou la géométrie descriptive a donc pour objet la
représentation exacte sur le papier de tous les corps à plusieurs dimensions,
envisagés sous diverses faces.

On est convenu de ramener les projections d’un corps quelconque à deux
plans principaux, dont l’un est appelé le plan horizontal et l’autre le plan
vertical. Ces deux plans sont aussi nommés plans géométraux ou plans de
projection.

La ligne d’intersection qui sépare ces deux plans prend le nom de ligne de
terre ; cette ligne est toujours horizontale, et dans le dessin nous la supposons
parallèle à l’un des côtés du cadre du papier.

Comme il est important de bien connaître les principes élémentaires de la
géométrie descriptive pour arriver à rendre sur le dessin toute espèce d’objets
à contours déterminés, nous croyons utile d’entrer dans quelques détails
explicatifs à ce sujet, en commençant d’abord par les projections d’un point
et d’une, ligne.

PRINCIPES ÉLÉMENTAIRES.
PROJECTIONS D’UN POINT.Planche6e.

76. Soit ABCD (fig. 1 et 1") un plan horizontal, représentant, par exemple, la
table sur laquelle on dessine, ou si l’on veut, la surface d’un parquet. Soit
également ABEF, un plan vertical dont on peut avoir l’idée par la muraille
môme qui s’élève sur le parquet ; la droite AB, intersection de ces deux plans,
est la ligne de terre: soit enfin un point 0 quelconque situé dans l’espace, et
dont il s’agit d’obtenir la représentation sur le dessin.

Si, de ce point 0, on abaisse par la pensée une perpendiculaire Oo sur le
plan horizontal, le point d’intersection o, ou le pied de cette perpendiculaire,
4
est ce que l’on est convenu d’appeler là projection horizontale du point donné.

De môme, si du point 0 on abaisse la perpendiculaire O.o/ sur le plan vertical
ABEF, le pied o' de cette perpendiculaire est la projection verticale du
même point.  ;;v >.. '■■

On reproduit ces perpendiculaires dans les plans de projection par les
lignes on et n o', parallèles et’respectivement égales aux premières O o' et O o.

77. Il résulte de ce principe, que lorsque les deux projections d’un point
sont données, le point lui-même se trouve.déterminé, puisqu’il est le point de
rencontre des deux perpendiculaires élevées sur les deux plans de projection.

Comme en dessin on n’a qu’une'surface, la feuille de papier, et qu’on ne
peut alors opérer que sur un seul et même plan, on est convenu de supposer,
par la. pensée, le plan vertical ABEF, .rabattu sur le pfolongement~du: plan
horizontal, en tournant autour de'. la ligne: de terre comme charnière, tel
serait un livre ouvert à angle droit, que l’on coucherait sur la table. Oii'à"
ainsi la figure DCEF (fig. 1") , représentant, sur la" feuille de papier'les deux
plans de projection, réunis dans une seule et môme surface, et divisés par la
ligne A'B. . v1 •-■■■ ''..'• '■'■'

Dans teette transformation pratique des plans, géométraux, lés points\o\Vreprésentent
les projections horizontale et verticale du point donné ;

Il est à remarquer que ces points se trouvent sur une même perpendicu~
laire à la ligne de terre, parce que dans le rabattement du plan vertical ,4a.
droite no', forme le prolongement de la droite no ; il ;faut observer que la
ligne Mo 7, mesuré la distance du point donné au plan horizontal, comme la
ligne on indique la distance de ce même point au plan vertical. On comprend ;
que si par la pensée on élève du point o une ligne verticale, sur laquelle on
porterait la longueur no', on aurait exactement la position du point©, donnée
.précédemment. ■ '.--. '.'■''•':. : '

On voit donc bien maintenant qu’un point dans Kespaceest toujours" déterminé
parles deux projections. ;. ;"■…::.:-•
PROJECTIONS D’UNE DROITE.
78. En général, en abaissant de plusieurspoints’pris sur une ligne donnée, des
perpendiculaires sur les plans de projection, les lignes qui joignent les pieds
des perpendiculaires sur chaque plan sont les projections de la ligne donnée.

Lorsque la ligne est droite, il suffit de: connaître les projections de ; deux
points de cette ligne pour qu’elle soit déterminée. -

79..Soit MO (6g. 2) , une ligne droite donnée dans l’espace, et que noussupposons
ici perpendiculaire au plan horizontal, et par conséquent parallèle ^u
plan vertical de. projection.. Pour avoir sa projection sur ce dernier, il faut
abaisser les perpendiculaires- M m’.,. Q o', et joindre les points ; m’, ë ;. dans ; ce
cas, la projection tn(, o', est égale à la droite elle-même.. …*■- ;> .■.-■'/

La projection horizontale de la droite donnée MO, se réduit ; à un seul point
m, parce qu’elle se confond avec la perpendiculaire M m, abaissée d’un de ses
points sur le plan horizontal.

Dans le dessin, lorsque les deux plans de projection sont rabattus, comme
l’indique la fig. 2", les projections horizontale et verticale de la droite donnée,
sont déterminées par le point m d’une part, et par la ligne m’o' de l’autre.

80. Si nous supposons, comme dans les fig. 3 et 3ff, que la droite donnée MO
soit horizontale et en même temps perpendiculaire au plan vertical, ces projections
sont disposées d’une manière inverse aux précédentes, c’est-à-dire
déterminées par la droite om, en projection horizontale, et par le point </ en
projection verticale.

Dans l’un comme dans l’autre cas, les projections de la droite se trouvent
sur une môme perpendiculaire à la ligne de terre.

81. Lorsque la droite MO ( fig. 4 et 4e)  est parallèle à la fois aux deux plans
géométraux, les deux projections m o et m’o' sont elles-mêmes parallèles à la
ligne de terre.

82. Quand la droite MO (fig. 5 et 5°) est parallèle seulement au plan vertical
ABEF, sa projection verticale m’o' est parallèle à la droite donnée, et sa projection
horizontale mo est parallèle à la ligne de terre. Il est évident que, si
la droite était parallèle au plan horizontal et inclinée au plan vertical, l’inverse
aurait lieu, c’est-à-dire que sa projection horizontale serait parallèle à la
droite donnée, et que sa projection verticale serait parallèle à la ligne de terre.

83. Enfin, si la droite MO (fig. 6 et G")  est inclinée en même temps par rapport
aux deux plans géométraux, ses projections mo et mo' sont aussi inclinées
à la ligne de terre, et s’obtiennent toujours par des perpendiculaires
abaissées des extrémités de la ligne sur les deux plans de projection.

Les projections d’une droite étant données, on détermine la droite ellemême
dans l’espace, soit en élevant, des points de projection m, o, des perpendiculaires
au plan horizontal, et en portant sur ces perpendiculaires les hauteurs
verticales n m’ et p o', soit au contraire en élevant des points m’, o' des
perpendiculaires au plan vertical, et en y portant les distances mn et po.
PROJECTIONS D’UNE SCRFACE PLANE.
84. Comme toute surface plane est limitée par des lignes, quand on sait déterminer
les projections de celles-ci, on est capable de représenter une surface
quelconque sur les plans de projection.

il suffit, en effet, d’opérer comme nous l’avons indiqué ci-dessus, c’est-àdire
d’abaisser, de chacun des sommets des angles ou points d’intersection des
lignes, des perpendiculaires sur chacun des plans géométraux, et de réunir
successivement les pieds de ces perpendiculaires ; c’est ainsi que l’on obtient
les projections de la surface MOPQ (fig. 7, 8 et 9).

11 est à remarquer que cette surface se projette suivant une figure égale à
elle-même, lorsqu’elle est parallèle à un des plans de projection, et suivant

une simple ligne droite sur l’autre plan de projection, comme étant perpendiculaire
à celui-ci. ; '

85 ; Ainsi, dans la fig. 7, nous avons supposé la surface MOPQ, parallèle au
plan horizontal ; dans ce cas, sa projection horizontale donné une figure égale
et parallèle à-elle-même, et sa projection verticale « st une drôîte-^/o', parallèle
à la ligne de terre AB. : "  ! . . '

Lorsque les plans de projection sont rabattus sur la môme surface, comme
l’indique la fig. 7ff, la représentation de la surface donnée se réduit à une
figure égale à elle-même pour la projection horizontale (soit un carré, puisque
la surface donnée est un carré) , et à la droite p' o' parallèle à la ligne dé terre..
. 86. De même, lorsque la surface est parallèle au plan vertical ( fig. 8) , sa.
projection verticale m’o'p'q', donne une figure égale à elle-même, et sa projection
horizontale est une droite mo, parallèle à la ligne de terre ;' ces projections
sont représentées géométralement sur la fig. 8". .

87. Si la surface n’est pas parallèle aux plans de projection, mais qu’elle soit
perpendiculaire à l’un d’eux, sa.'projection sur celui-ci est encore une ligne
droite ; tel est le cas de la fig. 9a. : -

..' Dans le rabattement, des plans géométraux sur la surface du papier, les
projections sont représentées comme l’indique la fig. 9 ?. -. "

Ce qui vient d’être dit pour les surfaces à contours rectangulaires, s’applique
évidemment aux surfaces polygonales quelconques,, comme on le voit par les
figures-12 et 12 », qui peuvent être suffisamment intelligibles, si on observe,
que les mêmes lettres correspondent aux mêmespoints, et par suite aux mêmes
lignes de projection. v '■'.' ;■■ ;

Il-en-est de même,de toute surface à contours circulaires, comme nous en:
donnons des exemples dans les fig. 10 et 11.

88. Dans la première de ces figures, le cercle MOPQ étant supposé parallèle
au plan vertical, sa projection m’o'p'q' %w ce,plan, est un cercle égal à luimême,
et sa projection horizontale qo est une ligne parallèle à la ligne de terre,'
et est en même temps égale au diamètre du cercle. En projetant 1 le centre H.
de ce cercle en A' (fig. 10 ») , il suffit de tracer de ce dernier point une circonférence
avec un rayon WM, pour obtenir la projection. Si au contraire le
cercle est parallèle -au plan horizontal, sa projection verticale se réduit à une
droite p' m’ et-sa projection horizontale est un cercle égal à lui-même.

89. Lorsqu’il s’agit d’obtenir les pi'ojections d’une figure régulière, comme
.celles d’un polygone (fig. 12 et 12 ») , il est toujours bonde déterminer lès

projections de son centre de figure, ou de la ligne de symétrie qui partage la
surface en deux parties égales.. - ■ ■ 2 . ,

En général, on peut obtenir-les projections de toutes-surfaces à contours
recHlignes, quand on sait déterminer les projections d’un point et d’une ligne ; ;

De même lorsqu’on sait construire les projections d’une surface quelconque,
on peut arriver aisément à la représentation des corps solides qui ; ne sont, en
réalité, -terminés que par des surfaces et des lignes. " -

PRISMES ET CORPS RONDS.
Planche 7.

90. Avant de faire voir les tracés de divers corps solides, nous croyons devoir
donner quelques définitions préalables, pour faire connaître les différentes
dénominations qu’ils sont susceptibles de prendre dans les arts ou l’industrie.

DÉFINITIONS. — Un corps solide est un objet quelconque ayant trois dimensions,
c’est-à-dire Xétendue réunissant longueur, largeur et hauteur ou profondeur.
La grandeur ou contenance d’un solide est ce que l’on nomme son
volume ou sa capacité.

Il y a plusieurs sortes de solides : le polyèdre, qui est un corps limité par
des surfaces planes ; le cône, le cylindre ou la sphère, terminés par des surfaces
courbes.

On appelle aussi solides de révolution ceux qui sont engendrés par la révolution
d’une surface plane autour d’une droite fixe nommée axe. Ainsi un
anneau ou tore est un solide engendré par la révolution d’un cercle autour
d’une droite située dans le plan de ce cercle.
Un prisme est un polyèdre dont les faces latérales sont des parallélogrammes
et les bases des polygones égaux et parallèles.

Le prisme est droit, lorsque les faces latérales sont perpendiculaires aux
bases, et il est régulier, lorsque sa base est un polygone régulier (fig. B).

Le prisme est aussi dénommé parallélépipède, lorsque les bases sont des
rectangles ou des parallélogrammes, et il prend le nom de cube ou d’hexaèdre
régulier, quand toutes les faces au nombre de six, sont des carrés égaux
(fig. &). On distingue parmi les polyèdres réguliers, outre le cube :

1° Le tétraèdre, 2° Voctaèdre, 3° Vicosaèdre, qui sont formés extérieurement
de quatre, huit et vingt triangles équilatéraux ; et 4° le dodécaèdre, qui est terminé
par douze pentagones réguliers.
Une pyramide est un solide dont toutes les faces latérales sont des triangles
concourant au môme sommet, et ayant pour bases les côtés d’un polygone
quelconque, qui sert de base lui-même à la pyramide ( fig. Ë).

Le prisme, comme la pyramide, est triangulaire, quadrangulaire, pentagonal,
hexagonal, etc., suivant que sa base a trois, quatre, cinq ou six
côtés, etc.

La hauteur d’une pyramide est la perpendiculaire abaissée du sommet sur
la base ; la pyramide est dite droite, lorsque cette perpendiculaire passe par le
centre de sa base.

Un tronc de pyramide n’est autre que le fragment d’une pyramide dont on
a enlevé la partie correspondante au sommet par une section quelconque,
inclinée ou parallèle à la base.

On appelle cylindre, le solide engendré par une droite tournant autour
d’un axe quelconque, suivant le contour d’une courbe donnée.

Lorsque le contour est un cercle,, et que la génératrice lui est perpendiculaire,:
le cylindre est droit (fig." g). "_' :

On peut dire aussi que le cylindre droit est engendré par un rectangle dont
la base est le rayon du cercle, et dont le côté perpendiculaire est la génératrice.'
Un cône est un solide engendré par une droite, tournant d’un bout autour
d’un même point quien est le sommet, et de l’autre autour d’un cercle quelconque
leur servant de base (fig. g). '.•'■'->'•• : "

Le cône est droit, lorsque sa base est un cercle, et que la perpendiculaire
abaissée du sommet sur cette base passe par son centre ; dans ce cas ibpeut
être considéré comme engendré par l’hypoténuse d’un’ triangle rectangle dont
la base est le rayon du cercle. ■-•■■•- „--/: ;

Un tronc de cône est la portion restante d’un cône dont on a enlevé "le sommet",
 ;en le coupant par un plan incliné ou parallèle à la base.' j

Une sphère est-un solide engendré par un demi-cercle donné, tournant autour,
de son diamètre (fig. g). - ■ v ; " i : : '-

Un secteur sphérique est le corps engendré par la rotation d’un secteur circulaire
O'LE' (fig. .7) , autour d’un diamètre ab qûiiui est extérieur. "

La sône décrite par l’arc L’E^ est la base du secteur sphérique. La zône^est
une calotte sphérique, quand la rotation s’opère autour de l’un des rayons
O'E' du secteur. .'■-.- ■•■■■■  ;--■■:■ ■'■.- ~ - : - ' ■ ■■'■'

Un onglet sphérique est la portion IHGF'(fig. ja)  de la sphère comprise
entre deux demi-grands cercles IHG et 1FG limités au même diamètre Ife  ;
1 L’onglet a pour base la portion de la surface de la sphère1appeléé' ;fw.seà« ,
comprise entre les circonférences de ces demi-grands cerdes. ^ : ;
Un segment sphérique est le corps engendré parla rotatiori d^un’segnlentcjrculaire
D’B'li (fig. 7 ) autour d’un’ diamètre' » b qui lui ;est extérieur ; la corde
B^K et sa projection rti'n surle diamètre, sont la eorcfeetla hauteur du segment.

Une tranche sphérique est la portion LNJLD’ dû volume de la sphère comprise
entre deux sections parallèles ; ces sections sont les 6fl^yGÏi'culai ?res ;dô-la tranche,
leur distance m î^eh est la hauteur, Lorsque l’une des sections se réduit àun
point la tranche n’aplus qu’une base, elle est alors recouverte par-une calotte.
Une pyramide sphérique est. là portion de la sphèreintepceptééïpar unangle
solide dont le sommet est au centre ; sa base n’est autre qu’un -polygone, sphérique
dont ;les côtéssont des arcs de grands cercles ; :.■': ■'>-
.PllOJEÇTipNS D’UN ..CC^E., (fig…..4) ,, ..:,… '..'■,,,, -î'.. r
91. Un cube dont deux faces opposées sont respectivement parallèles aux
plans de projection, est représenté sur ces plans par des carrés égaux ABGI) 

et AWE'E/(fig..4aefcfig-. 1).. : ^v'i

En effet, nous avons vu que lorsqu’une surface telle que ABEF (figy â) : est ;
parallèle au plan vertical, sa projection sur le plan-horizontal: se réduit à une.
ligne droite. AB ( fig, 1*) , et sa projection, verticale A^BfP^ (figv 1) , est:une
figuré égale à ellerméme. ■■■.r.:--  ;;.>. •"■:■• -•■■> s :u-,y:'.::i H ; :v > ■■ÎK ..

DE DESSIN INDUSTRIEL. SI

Il en est de même de la surface ABGD qui est parallèle au plan horizontal ;
elle se projette en A'B'verticalement (fig. 1) et en ABCD horizontalement
(flg. I").

On observe que les faces ADHF et BCGE ( fig. k)  qui sont perpendiculaires
à la fois aux deux plans de projection sont projetées horizontalement suivant
les lignes AD et BC ( fig. la)  perpendiculaires à la ligne de terre Lï, et verticalement
suivant les droites A'F' et B'E' situées sur le prolongement des premières
(fig. 1).

On remarque aussi que la base FEGII ('fig. à)  qui est parallèle et opposée à
celle ABCD n’a pu être représentée en projection horizontale (fig. \") , puisqu’elle
est cachée par la base supérieure ; mais elle est indiquée sur le plan
vertical (fig. 1 ) suivant la droite F'E', située sur la ligne de terre LT.

Il en est de même de la face verticale postérieure DCGH, qui est parallèle
et opposée à celle antérieure ABEF ; sa projection horizontale est réduite à
la droite DC (fig. 1") , tandis que sa projection verticale se confond avec le
carré A'B'E'F', représentation de la face ABEF ( fig. 1 ).

92. D’après ces considérations, pour dessiner un cube dont on a le modèle
à reproduire, il suffit de connaître l’un des côtés, puisque tous les côtés sont
égaux. Il faut avoir le soin pour ce travail de disposer les figures de façon que
les faces de l’objet soient, autant que possible, parallèles ou perpendiculaires
aux plans de projection , afin d’éviter ce que l’on appelle des raccourcis, ou des
projections inclinées qui ne donnent pas les véritables dimensions de l’objet.
% On trace doue un carré tel, ABCD, dont le côté est égal à la cote ou à la
mesure donnée, et en prenant le soin de disposer les côtés AB et DC parallèlement
à la ligne de terre, on reproduit ce carré en k'WW¥' sur le prolongement
môme des côtés AD et BC, perpendiculaires à la ligne de terre, afin que
les faces correspondantes soient en projection.
PROJECTIONS I) 'ON PRISME DROIT A BASE CARRÉE OU D’UN PARALLÉLIPIPÈDERECTANGLE (fig. B).
93. La représentation de ce solide sur les plans de projection, se fait exactement
comme celle du cube précédent, en supposant aussi que les faces latérales
soient parallèles ou perpendiculaires aux pians de projection.

La base du prisme étant carrée, sa projection horizontale ABCD (fig. 2") est
nécessairement un carré, mais sa projection verticale est un rectangle A'B'E'F'
(fig. 2) égal à l’une des faces du prisme ; on voit que ces projections s’obtiennent
comme les précédentes, à la condition que l’on connaisse non-seulement
le côté de la base, mais encore la hauteur du parallélipipède.
PROJECTIONS D’UNE PYRAMIDE QUADRANGDLAIRE (fig. (C).
9k. Cette pyramide est supposée renversée et sa base ABCD parallèle au plan
horizontal : il résulte de cette position que sa projection horizontale est tout

entière représentée par le carré ABCD (fig. 3"). L’axe OS qui est vertical, et
qui passe par le centre de la base, se trouve projeté horizontalement en un seul
point 0, et verticalement suivant la droite O'S (fig. 3)  ; or, le sommet S delà
pyramide étant supposé sur la ligiiede terre, si, à partir de ce point, on porte
sur la verticale la hauteur donnée SO'ipuis que du point 0' on tirs l’horizontale
A'B 7, celle-ci représentera la projection verticale de,la base limitée aux
points A'etB' ; on obtient ces derniers par les perpendiculaires élevées dëss ;
points A et B sur la ligne de terre. En tirant alors les lignes A'S et B'S, on a
le triangle SA'B' qui représente toute la projection verticale de la pyramide.
En effet ce triangle est la projection de la face antérieure SAB (fig. t). Ôf
les deux faces latérales SBC et SAB sont perpendiculaires au plan vertical y
par conséquent elles sont représentées sur ce plan par les simples droites

SA'etSB'. …"'. ..■- ■■■.-■-

Quant à la face SDC, elle se confond en projection verticale avec la première
SAB, puisqu’elle a le même sommet S, et que sa base DC est parallèle à cehe
AB. Chacune des arêtes inclinées de la pyramide étant cachée par la basé, iie
peut être exprimée sur le plan (fig. 3ffi) , .par des lignes pleines ; mais pour
faire voir, cependant qu’elles existent, nous les avons indiquées par des lignes
ponctuées. y -
PROJECTIONS D’ON-PRISME DROIT ÉVIDÉ (fig. B). "
95. Les projections verticale et horizontale du contour extérieur-de ce prisme
(fig, 4 et 4« ) sont exactement semblables à,celles du précédent (fig. 2 et 2e) ,' et
sont par conséquent représentées par le carré ABCD, et par le rectangle
A'B'E'F' ;. mais l’évidemént à jour ménagé dans ce prisme forme véritablement
un second parallélipipède de dimensions plus petites ,vdont les faces
GHIJ et KLMN sont parallèles au plan vertical, et celles GKNJ et HIML sont
perpendiculaires à ce plan ; il en résulte ; que les projections de ce~ second
parallélipipède (sur les fig. 4st4s)  sont représentées par les rectangles G'H',
FJ’etGHLK. : ~ :

96. Il est à remarquer que les lignes GK et HL, sont représentées par une
suite de traits interrompus, au lieu d’être tracées en lignes’ pleines, commeétant
cachées par la base ABCD du premier prisme. Il en sera de même toutes
les fois que des lignes ne seront pas apparentes, soit sur l’un, soit sur l’autre
plan de projection. C’est ainsi que, comme nous l’avons déjà ditplus’haùt,
dans la fig. 3" les projections horizontales des arêtes latérales de la pyramide
ont été représentées par des lignes ponctuées AC et BD. ;

Nous devons faire observer que ces lignes ne sont pas, comme les lignés de
projection, tracées avec des points et des traits, comme nous indiquons les
lignes d’opérations, mais seulement avec une suite de petits traits égaux. Decette
sorte, on peut toujours distinguer dans un dessin les lignes de projection
ou fictives, des lignes-non apparentes, quoique existantes.- ;

97. En examinant les figures précédentes, on reconnaîtra que pour les projections
horizontales le contour extérieur de chaque objet est un carré, tandis
que pour les projections verticales, les figures sont différentes les unes des
autres. Ce qui démontre que, dans un dessin, une seule projection ne suffit
pas pour que la forme et les dimensions d’un objet soient bien déterminées,
mais qu’il faut toujours réellement deux projections ; nous verrons même plus
loin qu’il est souvent nécessaire d’en avoir une troisième et parfois une quatrième,
ou des sections faites par différents plans.
PROJECTIONS D’UN CYLINDRE DROIT ( fig. I).
98. L’axe OM de ce cylindre est supposé vertical et ses bases AB et EF étant
par conséquent horizontales, ses projections sur les fig. 5 et 5B sont représentées
par un rectangle A'B'E'F' d’une part, et par le cercle ACBD de l’autre.
On voit que pour dessiner ces figures, il suffit de connaître le rayon ÀO de la
base, et la hauteur OM ; avec ce rayon on trace le cercle ACBD, qui représente
la projection horizontale de tout le cylindre, et en portant la hauteur
sur la ligne verticale MO', élevée du centre 0, on forme le rectangle A'B'E'F' ;
à cet effet on mène par les points AB, des parallèles à MO', et par le point 0',
une parallèle A'B' à la ligne de terre.
PROJECTIONS D’UN CONE DROIT (fig. ?).
99. Les projections d’un cône droit ne diffèrent de celles du cylindre que
sur l’un des plans géométraux. Ainsi on voit (fig. 6 et 6B)  que la projection
horizontale du cône donné SAB, est exactement la môme que celle correspondante
du cylindre droit qui a la même base ; mais la projection verticale
S’A'B', au lieu d’être un rectangle, est un triangle isocèle dont la base est le
diamètre du cercle, et la hauteur celle du cône. Il suffit de connaître, comme
ci-dessus, le rayon de cette base et cette hauteur pour dessiner les deux projections
du cône.
PROJECTIONS D’UNE SPHÈRE (fig. S).
100. Une sphère, quelle que soit sa position par rapport aux plans de projection,
est toujours représentée par un cercle dont le diamètre est égal au sien
propre, par conséquent si l’on se donne les projections 0 et 0', du centre de
la sphère (fig. 7 et 7") , on trace de ces points deux circonférences égales avec
un rayon correspondant à celui ÀO, de la sphère donnée.

Il semble, d’après cela, qu’une seule projection devrait suffire pour faire
connaître une sphère, mais si l’on remarque que le cercle représenté dans
chacune des projections horizontales (fig. 5« , Qa et 7« ) correspond aussi bien
à un cylindre ou à un cône qu’à une sphère, on sera convaincu qu’une seule
projection géométrale ne suffit pas pour sa détermination exacte. Ce n’est

que dans quelques cas particuliers et lorsque l’objet est ombre, au lieu d’être
: simplement au trait," que. l’on peut en distinguer là forme ; mais cela rie s’applique
qu ;à dés corps ronds," comme les cylindres, les cônes 1 et les sphères
(voy:. fig. l„ ' ?, !,).: -■' ■'■■■: ■■■' ;. " . ■■ ■

DES TRAITS DE FORCE.

101. Pour faire sentir dans un dessin au trait lès différentes parties saillantes
de l’objet à représenter, on est convenu d’indiquer en traits fins toutes les
lignes apparentes et éclairées, et èri traits plus forts celles qui appartiennent
à des surfaces saillantes et non éclairées ; ce sont ces traits renforcés que l’on
nommé traits de force.

On suppose donc, pour cela, que les objets soient éclairés d’une certaine,
manière pour que leurs projections aient des parties dansTombre et d’autres
dans la lumière.. r V.

Jusqu’ici oii n’a pas toujours été d’accord sur la direction à donner au rayon
de lumière pour éclairer les objets ; des auteurs ont cru devoir prendre pour
ce rayon la direction de la diagonale d’un cube dont les projections sont, AC
et A'E 7 (fig. 1 et 1"). D’autres, au contraire, ont pris pour rayon la direction
de la diagonale projetée suivant les lignes BD et A'È' ; quelques-uns ont proposé
pour direction "des rayons de lumière, soit des perpendiculaires au plan
vertical, soit des perpendiculaires au plan horizontal. Nous avons adopté le
premier système, nous-ferons voirplus loin les motifs qui nous ont portés à le
préférera tout autres ' :' ; ,

La ligne que nous prenons comme diagonale du cube, est la droite qui part
de l’angle A,, de la face antérieure du prisme (fig. A) et qui aboutit au sommet
G de l’angle opposé de la face postérieure. ,.3 > ; ' V v_' ;

Les projections de ;cette droite^dans la représentation du cube (fig. 1 et 1") 
sont leslignes AG et A'E', qui forment des angles à--45 ? avec ; la ligne, de ..tjerpey.
Ainsi, en général, les rayons de lumière qui éclairent les objets: dans.nos:
dessins, sont représentés comme l’indique la fig. 8 par les droites R et R' inclinées
à 45° sur la ligne LT. … : r.V .:,  ;

102. II est à remarquer que la véritable inclinaison du rayon de lumière, par
rapport aux plans de projection », n’est pas- inclinée à 45p comme ses projections
mêmes ; il fait, au contraire, avec ces plans un angle pluspetit^ que l’on" petit
aisément déterminer par le tracé indiqué (fig. 9). Pour le démontrer,:nous ;
allons chercher\]ëkrabatte'ment de ce rayon en le supposant couché sur l’unièû !
l’autreplan.

Supposons les deux projections II, R' du rayon concourant au même point 0
situé sur la ligne de terre LT ; prenons ; sur ce rayon un point quelconque 1
projeté horizontalement en â, et verticalement en a ?- ; du point 0 comme centre
avec le rayon a 0, décrivons un arc de- cercle a ca'r, qui coupe la ligne dé terre ;
au point c ; de ce poiiït, élevons’ une perpendiculaire- qnai serai rencoTûitréêi en !
b et b', par les horizontales menées des points a a'. Les droites ob et ob' sont
alors les rabattements du rayon de lumière sur chaque plan de projection, il
est facile de vérifier avec le rapporteur que les angles bo L et Lob, qu’elles
forment avec la ligne de terre, ont pour mesure 35° 16', environ.

D’après cela, il est facile de voir quelles sont les parties éclairées et les
parties dans l’ombre d’un objet représenté sur les plans géométraux. On reconnaît,
par exemple, sur les fig. 1 et ia que les faces éclairées sont celles
représentées par les lignes AB et AD, d’une part, et par les lignes A'B' et A'F'
de l’autre ; et que les faces dans l’ombre sont celles projetées en BC et CD sur
le plan horizontal, et en B'E' et F'E' sur le plan vertical.

II est à remarquer que par cette direction donnée à la lumière, toutes les
faces qui paraissent éclairées sur l’un des plans de projection, le sont également
sur l’autre ; il en est de môme des parties non éclairées.

Ce que nous venons de dire pour le cube s’applique exactement à tout autre
prisme ou corps solide terminé par des faces et des arêtes vives, en ayant
toujours le soin de mettre les traits de force sur les arêtes qui représentent
des faces saillantes entièrement dans l’ombre, ou des arêtes qui limitent les
parties éclairées de celles qui ne le sont pas.

103. Pour les corps ronds, les projections des surfaces latérales étant limitées
entre des lignes qui ne sont pas des arêtes vives, ne peuvent, quoique dans
l’ombre, recevoir des traits de force, comme celles qui représentent des surfaces
planes. Ainsi, dans les fig. 5, 6 et 7, les lignes B'E', S’B' et C’B'D’, ne
sont pas renforcées comme celles correspondantes B'E' des fig. 1 à k. Cependant,
pour faire sentir dans le dessin qu’elles appartiennent à des parties non
éclairées, on est convenu de les faire légèrement plus fortes que les lignes
opposées A'F' ou A'S’. Il n’en est pas de même évidemment des droites F'E'
et A'B' (fig. 5 et 6) , qui représentent des surfaces.entières planes.

Dans la projection horizontale du cylindre (fig. 5") , la partie éclairée correspond
au demi-cercle adb, et celle dans l’ombre à l’autre moitié acb ; on
obtient les points a et b, qui séparent les parties éclairées des parties dans
l’ombre, soit en menant une perpendiculaire a b au rayon de lumière d 0, soit
en menant deux tangentes au cercle parallèle à ce rayon. Cette droite ab est
nécessairement aussi inclinée à io° sur la ligne de terre. 11 faut avoir soin,
dans ce cas, en traçant le trait de force sur la partie « ci, de fermer les
palettes du tire-ligne à mesure qu’on approche des limites a et b, afin de le
faire mourir sur le trait fin, comme il est indiqué (fig. 58). En inclinant ou
en appuyant le tire-ligne sur le papier, on peut, avec un peu d’habitude,
obtenir immédiatement cette dégradation du trait de force.

104. Dans le plan du cône (fig. 6« ) , la partie éclairée est toujours plus grande
que la partie dans l’ombre ; mais comme il faudrait faire une construction
spéciale, que nous indiquerons en traitant des ombres, pour déterminer les
lignes de séparation S e, on ne prend généralement pas cette peine dans les
simples dessins au trait, on exprime seulement le trait de force comme dans

S6 : COURS RAISONNÉ

la projection horizontale du cylindre. Toutefois, il est bon de remarquer que
si la hauteur du cône était moindre que le. diamètre de la base, sa surface
serait complètement éclairée, et son contourne devrait pas recevoir de trait
de force. * ; ~r ■.- ' ■ ■■-. - A

105. Pour -faire comprendre les motifs qui nous ont déterminés à adopter,
pour la direction du rayon de lumière, la diagonale d’un cube projeté suivant
les lignes R, R' (fig. 8) , préférablement aux autres systèmes proposés, il n’est
peut-être pas inutile d’entrer dans quelques considérations qui feront mieux
ressortir lés inconvénientsque présentent ceux-ci. ',:' ;■… - - . - .-

Remarquons d’abord, que si l’on prend pour rayon de lumière, des lignes
parallèles à la diagonale projetée en À.fEf et T) B, sur les (fig. letl<*) , une
partie des surfaces éclairées du plan ', ne correspond plus à celle de l’élévation
 ; les lignes qui recevraient les traits de force devraient être les droites
AB et BC en projection horizontale, et les droites W-W et B'W en projection
verticale, de sorte qu’on ne peut faire aucune distinction entre les deux
projections, tandis que, par le système que nous ayonsadopté, on péuttou ?
joursdistinguer l’élévation d’un plan, d’un ; premier coup d’çeil., à l’aide des
simples traits de force, par cela seul que, dans la première, ces traits-se trouvent
bien à la partie inférieure de l’objet ; mais, dans Ie,second, ces traits-sont,
au contraire, à la partie supérieure, ; Disons y d’ailleurs, qu’il n’est pas naturel
de supposer que dans la représentation d’un objet, on fasse arriver la lumière
derrière celui-ci pour l’éclairer, car il en résulterait que le spectateur se trouverait’justement
du côté où cet objet n’est pas éclairé ; or, c’est évidemment ce
qui alieu en donnant au rayon la direction delà ligne projetée en BD etÀ'W.
Par conséquent, pour ce double motif, une telle direction ne peut convenir.

Lorsque les rayons de lumière sont perpendiculaires à l’un et à l’autre des
plans de projection, la confusion devient tellement grande qu’il n’est plus
possible de distinguer-, d’une manière positive, les .parties dans rompre ; de
celles qui sont éclairées. En effet, que l’on suppose, par exemple, la lumière
venir perpendiculairement au plan vertical, toute la face-antérieure (fig.4
à 4) est bien complètement éclairée, mais aussi toutes les faces perpendiculaires
au plan vertical sont dans l’ombre, donc il faudrait ou ne pas mettre de
traits de fox'ce sur tout le contour de l’objet, ou, au contraire, en poser partout,
ce qui rendrait le dessin tout à fait inintelligible.
.- Il n’est pas, d’ailleurs,-rationnel que le spectateur qui se place devant l’objet
reçoive la lumière par derrière. .:■ ;

Ainsi, nous croyons, en résumé, que la meilleure direction à donner à la
lumière, pour éclairer les dessins, est celle que nous avons choisie, c’est-à-dire
celle parallèle à la diagonale d’un cube dont les faces sont parallèles ou perpendiculaires
aux plans géômétraux, et dont, par suite, les ;-projections .sont
inclinées à k5° par rapport à la ligne de terre, mais dirigées de bas efchaut
sur le plan horizontal et de haut en bas sur le plan vertical ', commelè montrent
bien les lignes RR' dé la .fig.' 8.
PROJECTIONS DE CYLINDRES CANNELÉS ET DE ROUES A ROCHETSPlanche8e.

106. Les figures de cette planche ont principalement pour but de faire acquérir
aux élèves l’habitude de mettre les objets en projections et aussi de leur
apprendre à représenter ces mêmes objets, non-seulement suivant leurs contours
extérieurs, mais encore suivant des coupes ou des sections qui montrent
bien certaines parties intérieures.

Les fig. 1 et 1" de la planche 8e représentent le plan et l’élévation d’un
cylindre droit, cannelé sur toute sa surface extérieure. D’un côté les cannelures
sont supposées triangulaires, formées de triangles isocèles de mêmes
dimensions, comme celles des cylindres que l’on emploie dans les métiers de
filature, dans les appareils à hacher la paille, le foin ou autres substances, pour
les bestiaux, et dans un grand nombre d’autres machines.

L’autre partie se compose de cannelures carrées ou rectangulaires, dont les
côtés latéraux sont des lignes qui concourent au centre ou quelquefois parallèles
aux rayons passant par leurs milieux ; ce système est employé dans les
mouvements d’horlogerie, dans les appareils à compteur et dans des instruments
de précision.

107. Pour établir la projection horizontale de ce cylindre, supposé vu de
bout, il faut d’abord compter le nombre de cannelures dont il est garni, et
tracer une circonférence AO, que l’on prend toujours plus grande que celle
du cylindre donné ; on divise cette circonférence en un nombre de parties
égales double de celui des cannelures.

D’après ce que nous avons vu dans la première planche qui traite du dessin
linéaire, il est toujours facile de diviser un cercle en 2, 3, 4, 6, 8 et 12 parties
égales et, par suite, de déterminer les subdivisions de chaque partie en deux.
Ainsi le cylindre portant 24 cannelures doit être divisé en 48 parties égales ;
pour y parvenir, on commence d’abord par tracer les deux diamètres perpendiculaires
AB et CD, on porte de chacune de leurs extrémités, le rayon AO,
sur la circonférence, afin, d’une part, d’avoir les quatre points 8, et de l’autre
les points 4, ce qui donne immédiatement 12 points de division. Il suffit ensuite
de diviser l’espace A4, B4 ou 4.8, etc., en deux parties égales d’abord,
puis chaque partie en deux autres, ce qui donne les 48 divisions du cercle.
Par ces points de division, on tire une suite de rayons qui concourent au
centre 0, et qui divisent le cercle du rayon OF, dans le même nombre de parties
égales. On limite le fond des cannelures par la circonférence du rayon
OE, comme les extrémités sont limitées par la circonférence du rayon OF.

Toute l’opération que nous venons d’indiquer se rapporte aussi bien aux
cannelures triangulaires qu’aux cannelures droites ou carrées ; seulement, dans
le premier cas, on joint les points d’intersection a, b, c, d, des circonférences

avec les rayons, tandis que dans le second ce sont les rayons eux-mêmes qui,
avec les circonférences, limitent les. contours des cannelures ;

108. Pour dessiner la projection verticale (fig. ls) , lorsqu’on s’est donné la
hauteur du cylindre WW=5k, on trace d’abord les deux horizontales M’P' et
WQ', qui limitent le contour extérieur du cylindre. Puis l’on projette chacune
des arêtes des cannelures,- en élevant des différents points’-e-, f, gyh^, étendes
perpendiculaires ou parallèles à la verticale OFjtoùtes ces droites,, comprises
entre les deux Bases du cylindre^ représentent én-élévation toutes les arêtes
des cannelures appartenant à,la,portion ,de cylindre comprise au-dessous du
diamètreMP.
i 09. Nous avons observé, précédemment, qùedéux projections ne suffisent
pas toujours pour déterminer toutes les parties d’un objet ; déjà nous pouvons
voir, par les figrl et 1°:, qu’une troisième vue est nécessaire pour faire comprendre
l’intérieur du cylindre. En.effet, lé rayon dtLcefcle: OG = "32, ; qui
exprime un trou pratiqué au centre du Cylindre, n’a pu être apparent-sur la
-fig. ia ; d’où il résulte qu ?on ne sait pas si "le trou existe sur toute la hauteur
du cylindre ou seulement dans une partie ; de même la rainure: rectangulaire
mn qui sert à recevoir la clef au moyen de laquelle la pièce est retenue "sur
son .axe n’est pas-vue eu élévation (fig. Ie)  et, par. conséquent,- oh n’en connaît
pas la longueur.-Il est donc utile de supposer le cylindre coupé par la
moitié, suivant la ligne MP, par exemple, de manière à voir:son intérieur^ en,
enlevant la moitié supérieure.: ^ --., ..„•■..
 ; Cette section -, représentée sur la : fig.- IV fait reconnaître que le trou ainsi ;
que la cannelure, donlil vient d’être parlé, existent sur toute la hauteur du
cylindre, et sont.indiqués par les verticales passant-aux points G', m !,n’,W..
JElle montre de même que les cannelures existent également sur toute la hauteur
du cylindre, et sont comprises-entre les verticales passant aux points
M^ L’et R', P'. - " ', :■■■

La portion pleine ducylindre, rencontrée par leplan coupant MP, est^^ indiquée
sur la fig. 1* par un ton de hachures’, afin de la distinguer"des parties
évidées ; c’est ainsi qu’on procède généralement■■ pour faire une distinction
entre les parties coupées et celles qui ne, le sont.pas ; on varie ;-lé'ton ? c’est-à--
dire l’écartement ou.la force de ces hachures, suivant la nature de la matière.
Pour le fer et la fonte, en général, le ton est plus prononcé que pour la pierre
ou le bois ; nous avons fait sentir ces différences sur les coupes de: la planche 8°.
Les hachures delà fig.. i* correspondent à une teinte de cuivre' ; Gelles de la
fig. %h à une teinte de fonte ou de fer ; enfin, celles dé la: ;figy3} simulent un
ton de bois ou de maçonnerie. ■ ' : -

110. Ilest à remarquer-que toutes ces hachures, quelles qu’elles soientysont

toujours inclinées à 45p pour les distinguer de celles que l’on pose quelquefois

sur la.surface extérieure des objets, afin de mieux enfaire ressortirTès-parties

saillantes et les parties creuses. ; (Voir lesfig.- enrelief des-planchesl, 5 ?et7.) 

Les lignes G'W et I'J’, qui expriment- les-bases de l’ouverture-cylindrique^.

doivent toujours être tracées comme indiquant !a projection du demi-cercle
GmR, ce que l’on omet quelquefois à tort, car les lignes existent et joignent
les deux parties coupées du cylindre. Celte observation s’applique, en général,
à tous les objets creux coupés par leur axe.

Nous avons tenu compte dans ces figures de l’application des traits de force,
d’après les principes exposés précédemment ; nous devons, toutefois, observer
que ces traits sont d’autant plus soutenus qu’ils appartiennent à des plans plus
rapprochés. Ainsi, dans les fig. 1", 2°, 3", les arêtes verticales passant en "F',
situées dans un premier plan, sont sensiblement plus prononcées que celles
P'Q' du dernier plan. De môme dans les coupes fig. I 4, 2J, 3*, les traits de
force, posés sur les arêtes qui limitent le contour des sections, sont plus
nourris que ceux des lignes extérieures.

Il est important d’avoir égard à cette observation , surtout dans un dessin
compliqué, pour bien distinguer les différences de plans.

ÉLÉMENTS D’ARCHITECTURE.
ORDRE TOSCAN.Planche9e.

111. Dans les constructions et même dans les machines, les colonnes des
différents ordres d’architecture sont fréquemment employées comme supports,
ayant l’avantage de réunir l’élégance à une grande solidité.

Les ordres d’architecture sont au nombre de cinq, savoir :
1° L’ordre toscan ;
2° L’ordre dorique ;
3° L’ordre ionique ;
4° L’ordre corinthien ;
5° L’ordre composite.

On applique aussi quelquefois un sixième ordre que l’on nomme ordre
poestum.

112. Chaque ordre d’architecture comprend trois parties principales : le piédestal,
la colonne et Y entablement.

Dans tous les ordres, le piédestal a pour hauteur le tiers de la hauteur du
fût de la colonne, et celle de l’entablement en est le quart.

Le diamètre et la hauteur de la colonne varient suivant l’ordre auquel elle
appartient.

/toscane > / 7 fois\
\ dorique 1 l 8 id. 1

La colonne (ionique >a de hauteur ! 9 id. I son diamètre inférieur.

/corinthienne \ 110 id. \
\ composite / >10 id. /

On supprime assez souvent dans la construction le piédestal.

Pour mettre un ordre en proportion, on le rapporte au demi-diamètre pu.
aû.module. ' ; '- ;. • '"■v■ ' • -•■ ' >* ■ -:. '■'■'"■ '■-..■■'-

Le, module est la moitié du diamètre inférieur de la colonne ; il se divise
en 12 parties pour les ordres-toscan et dorique, et en 18 parties pour les
ordres ionique, corinthien et composite.

La hauteur totale de l’ordre toscan est de 22 modules 2 parties, distribués
de la manière suivante'■:' 14 modules pour la colonne, 4 modules 8 parties
pour-te piédestal, et 3 modules’6 parties pour l’entablement ;

La hauteur totale de l’ordre dorique est dë~25 modules% parties. La colonne
a 16 modules, le piédestal a 5 modules 4 parties, et l’entablement 4modules.

La "hauteur totale de l’ordre ionique est de: 28 modules 9 parties, ainsi
répartis : le piédestal 6 modules, la colonne 18 modulés, l’entablement %-■ modulés
9 parties. ■■-". '"'■■■--

La hauteur totale des ordres corinthien et composite comprend 31 modules
12 parties, dont 6 modules i2 parties pour le piédestal, 20 modules pour la
colonne et 5 modules pour rentâblement. .—-

Ne traitant pas d’une manière spéciale l’architecture proprement dite, nous
ne donnons pas les dessins de tous les ordres ; nous nous sommes seulement
attachés à faire connaître l’ordre toscan, qui est le plus simple et le plus
généralement employé dans les machines. :

Nous avons, du resté, réuni dansées tableaux vu et ix (Voir pages 72 et:73j
les cotes proportionnelles de toutes les parties des ordres toscan et dorique.
i TRACÉ DE L’ORDRE TOSCAN. -
113. On peut toujours établir toutes les parties proportionnelles d’un ordre
quelconque ; sur une hauteur donnée M N. ;. ■"■.■,- ;

Soit 4m 5Ô/par exemple (fig. 7) , cette-hauteur ; on la divise d’abord en
19 parties égales, puis on prend 4 de ces parties pour la hauteur: du piédestal,
12 .pour\celle de la ; colonne entière, et lés 3 parties, restantes: donnentlâ hauteur
de l’entablement. >V:- ;-'/ ;« A

Suivant l’ordre que l’on veut construire, la hauteur:-.mn\de lajcolonne se
divise en 7, 8, 9 ou 10 parties égales, qui donnent le diamètre à,lai partieinférieure
de la colonne, ; ainsi, dans l’ordre toscan,'le diamètre ab est égal
au ^ de la hauteur mn,. la.moitié de ce diamètre ou le rayon donne une.
unité de mesure qu’on appelle module, et d’après laquelle on établit toutes
les parties de l’ordre en proportion ; le module est donc égal à la ^-partie deE
la hauteur de la colonne dans l’ordre toscan, et à la ^, ou.^ ou ^ dans les
ordres dorique, ionique et corinthien ou composite. > - ~

114. Les trois membres d’un ordre se subdivisent chacun eh trois: parties
principales. Ainsi le piédestal se compose du socle A, du dé B, et de la corniche
C ; la colonne comprend la base D, le fût E et le chapiteau F ; dans Tenta>
blenient on distingue l’architrave G ;, la frise H et la corniche !..

115. Pour dessiner ces différentes parties, ainsi que les moulures dont elles
sont ornées, il est. utile d’établir une échelle de module déterminé, comme
nous venons de le dire, par le rayon ou le demi - diamètre de la colonne ;
chacun des modules doit être divisé en douze parties égales.

Pour bien faire voir les détails des moulures et leurs dimensions exactes,
nous avons représenté à une échelle plus grande chacune des parties principales
du socle de l’entablement et de la colonne.

Ainsi, le socle et la base de la colonne sont représentés en élévation (fig. 2) 
et en plan (fig. 3) , à une échelle qui est deux fois et demie plus grande que
celle de l’ensemble (fig. 1). Le module est alors aussi deux fois et demie plus
grand.

Toutes les cotes indiquées sur ces figures donnent exactement les mesures
de chaque partie ou de chaque moulure, et permettent de les dessiner complètement
d’après l’échelle adoptée. Pour la symétrie et l’exactitude du dessin,
il est bon que toutes les cotes soient portées à partir de l’axe cd. Le module
n’étant qu’une unité de convention, on est obligé dans la mise en exécution
d’exprimer les mesures en mètres et fractions de mètre ; c’est pourquoi nous
avons indiqué sur le dessin, des échelles en mètres, correspondantes à celles
du module, et nous avons répété sur chaque figure, en millimètres, les cotes
correspondantes à celles en modules et parties.

Pour mieux distinguer le contour ou profil des parties saillantes de l’ordre,
nous avons indiqué une partie en élévation, coupée par un plan vertical passant
par l’axe de la colonne. Cette partie est rendue suffisamment apparente
par un ton de hachures. Nous avons aussi supposé dans le plan (fig. 3) deux
sections horizontales, l’une faite à la hauteur de la ligne 5-6, et l’autre à la hauteur
de la ligne 7-8. La première sert à faire voir que le fût de la colonne est
rond ainsi que le filet/et le tore g, tandis que la base h et la corniche ij sont
carrées ; de même la seconde coupe montre que le dé B, le socle A et son
filet p sont carrés. Les parties rencontrées par les sections sont suffisamment
indiquées par des hachures.

La figure 4 représente, en élévation et en profil, l’entablement et le chapiteau
de la colonne. La figure 5 est une coupe horizontale de celle-ci, et supposée
faite suivant la ligne brisée 1, 2, 3, 4, en regardant en dessous. Nous
avons également indiqué les cotes en modules d’une part, et en mesures métriques
de l’autre. Dans le dessin, elles doivent toujours être portées à partir
de l’axe c’d’, comme nous l’avons dit précédemment.

116. L’exécution du dessin ne présente aucune difficulté, puisque nous avons
pris soin de bien indiquer toutes les lignes d’opération et les lignes de cotes.
11 est inutile d’entrer dans plus de détails ; nous croyons seulement devoir
expliquer des parties qui présentent quelques particularités, telles que le fût
de la colonne et certaines moulures.

Remarquons d’abord que, dans la colonne, la partie inférieure du fût, jusqu’au
i de la hauteur, est cylindrique, tandis que l’autre partie va en dimi-

nuant de diamètre jusqu’au,sommet ; cette réduction, n’a pas lieu d’une manière
régulière, de sorte que le contour est limité par une ligne courbe, au
lieu d’être une ligne droite, comme on le fait assez sauvent dans les machines,
surtout lorsque les colonnes sont en fer et d’un petit diamètre, comparative-^
ment à la hauteur, parce qu’alors les proportions entre le diamètre et la hauteur
ne sont nullement observées. '■,■-,'■••■■'

Pour déterminer cette courbe, on divise la ligne cd{ fig, 6 ) , qui représente
lesf de la hauteur du fût, en un nombre quelconque de parties^ égales ( et
généralement en six). Du point d, comme centre,, avec un rayon de, égal à
un module* on trace un arc de cercle, et après avoir porté de e en v9_1/2 paiv
ties, on mène du point v, une parallèle vx, à l’axe cd- ; cette parallèle rencontre
l’arc de cercle au point x ; on divise alors la portion ex de cet arc en autant de
parties égales, c’est-à-dire en six, puis aux points 1, 2, 3y ;4, etc., on mène autant
de 'parallèles à Taxe ; ces parallèles rencontrent les’lignes horizontales
tirées de chacun dès points q, r,s, t, aux points 1/, 2' ? 3', etc., par lesquelson
fait passer la courbe qui réprésente le profil du fût. En reportant les points
trouvés à là même distance et de l’autre côté de l’axe cd, sur les mêmes lignes
horizontales prolongées, on complétera le ; contour du fût.

Dans l’entablement et le piédestal, on a remarqué qu’il existe desmoulures
appelées talons, formées de deux arcs de cercle, dont le. tracé présente la plus
grande analogie avec ceux que nous avons indiqués dans les figures de la
pi. 3. Les lignes que nous avons tracées sur une plus grande échelle (fig, 8) ,
montrent d’ailleurs suffisamment les opérations à effectuer à cet égard.: Il en
est de même du quart de rond et de la baguette qui appartiennent au chapiteau
delà colonne^ et qui sont ; représentés séparément, sur les. fig. 9 et 10.
Regles et donnees pratiques
• MESURE DES SOLIDES.
117. On a vu que le volume ou la solidité d’un corps est l’étendue qu’il embrasse en
longueur, largeur et hauteur ; cette dernière dimension est quelquefois remplacée
par l’épaisseur ou la profondeur.Le volume d’un corps est déterminé lorsqu’on connaît le nombre de fois qu’il peut
contenir le cube pris pour unité.Pour mesurer le volume d’un corps, on prend pour unité le mètre cube, comme on a
pris le mètre quarré pour l’unité de surface et le mètre linéaire pour l’unité de longueur.Les subdivisions du mètre cube sont le décimètre cube, le centimètre cube, le millimètre
cube, etc.Les unités comparatives, entre les unités linéaires et les unités cubiques, sont les
suivantes :I mètre = 10 décimètres = 100 centimètres = 1000 millimètres.1 mètre cube = 10* x 10* X 10* = 1000 décimètres cubes.1 mètre cube = 100 » X 100 » = 1,000,000 centimètres cubés.1 mètre cube = 1000m/ra X 1000m/m X 1000m/m = 1,000,000,000 millimètres cubes.Par conséquent, 1 décimètre cube = 0m« 001 ou r5L_ de mètre cube, ou 1 litre.1 centimètre cube = omc 000001 ou ;nrôWo~ c^e mètre cube, ou ^ de litre, etc.Lorsqu’on connaît le volume d’un corps, on peut en déterminer le poids, en multipliant
ce volume par la densité.118. La densité, ou pesanteur spécifique d’un corps, est son poids sous l’unité de
volume.L’eau distillée sert d’unité de poids à tous les corps solides et liquides, et l’air est
adopté pour unité de poids comparatifs des fluides élastiques ou gaz.L’unité décimale de pesanteur est le gramme, qui équivaut au poids d’un centimètre
cube d’eau distillée à la température de quatre degrés centigrades au-dessus de zéro.Le kilogramme vaut 1000 grammes, et équivaut au poids de 1000 centimètres cubes
d’eau ou d’un litre, qui n’est autre que l’équivalent d’un cube de un décimètre de long,
de haut et de large ; ainsi, un kilogramme égale le poids d’im décimètre cube d’eau.IVe TABLE DES PESANTEURS SPÉCIFIQUES DES PRINCIPAUX CORPS SOLIDES.NOMS DES SUBSTANCES. POIDS DU MÈTRE CUBE.kilog.Liège 240„ ,. I d’Italie 392Peuplier… | de Hollande 571c • ( commun 542baPin ! jaune aurore 671Pommier 793Frêne 845,T ( de France 642N°yer i d’Afrique 735Hêtre 842( de France 907 à 912Buis . de Mahon 921de Hollande, 4321 à 132864 COURS RAISONNENOMS DES SUBSTANCES.. POIDS DTK HETRE CUBE.— '..-.' ;[ vert,:..".,…: . ;…,……' de- 8.50. ,à"1000 kilog ;Chène-ordinaire…. - \ secli..,.:.-. ^. ;..'.'.:……. de'740 à 785.( lecoeur.. /l 170Charme , ………. .. ■.. 757Châtaignier……. ;..,. …….. .685Orme ………. …- 842Acajou… - 4063Pierre ponce …….:……..:…..,…..'…. de 557 a 915'' ; Craie…… …:…….,……… ;….,…………. '4285 . -„ -ii. ) compacte…..'…. ;:/ …4329-.•Houd.e …… .j:mesurée à l’hectolitre……. ;……, .-. .,800:Ivoire..-. :.,…:.:….. ….,……..,.,, 4826 …:, ;T. . . I les moins cuites -. de 450.0 à 1650 . .…. --.Briques.. *,….■.>….- | iesplUs’cuites…. ;….'. ; …de. 4800 à 2200 ■p. . ;.■:■'■" | à plâtre..:……,-…..,.,…:…::,.- 21.68. :■.■•■■■■■■nerre……………. j à bgtir-. - … _ …….. ………. de: 4440 à ; 2500:.■:■:.,..- .. ;Maçonnerie de moellons,……………………. ~de 4700 à 2240 ' ;"--',,Grèsde paveur.'… ..' ; …….. . …… 2445Pierremeulière et pierre de taille à bâtir. de 2400 à 2700'■.- -Terreau: :- ;………………. ::.. :,'.'….. ;;.. ?. .de -830 à 860 -•Tourbe, suivant la sécheresse.. …………. de 544. à. .785. .'.-.■■Terre -végétale,,,..:..,".. ……… de .44.50, à. 4 45:0 - iGïavier'et cailloux. ;…….'..,… ;…………… de 4370 à 4658Argile et glaise .- …… de 1636 à 4756 -. :Sable…..,.,,….. ?………….,:,….,. ;;:,… ;de 4400 à ;4860.Scories de forge, mâchefer.: …,.:…'.,:.,..,. ;. de 770 à. 4 000 j '.Laitier vitreux ..,,… …… ..•:.-,… .> de.4400 a .4 480,.Pouzzolane…'………..". …. … .. '. ' de 4 070 à 4 4 30Chaux éteinte..,'….,….,…".,'.,….,…:……-de-1320 à 4430i sable.'".-'.,.., .-v….'.-.,.■-.. de 1850 à^2(40 ■'•.'- ;Mortier de chaux et: de ciment …,-,…,…'., de 4-650^ à 1700 ■ ,'".' ' --"■ I" mâchefer de 4130 à 4220. ; ..' . '., ( cuit, battu et tamisé..'.'.. de 4240 à 4260 .'Plâtre : » . , l humide…… .. de .4570 à 4:600' ■ ;•.■■'■- "… / ( -gacne j sec………….. de .4400. à 1415 .Schiste…………' j…….. …de 4.84 3 à 2856 .- Marbre.. ;.*.. .., de 2717 à-.'2837 '■'-."■-■■ -.-Zinc fondu………………………………. de 6861 à7100(i) Fonte de fer……….,..,..:…- ;,….'..-…………..\V. ■ ■'. 7207:Antimoine fondu …….. …… :……,%,: ;.:. . 6742 x: [ Pur de Cornwal, fondu…,'.,.:… ,7287
\ Neuf, fondu, écroui…………… 7307' .'"•'-'.■ Etain ………. I Fin, fondu, écroui……..,.-., .:..{ ;: .75.15 ..'.-.■'■ ^Commun, fondu………… ;…., ,7945  ;. [.' dît claire étoffe, fondu..•,,'… '.. ;.,,v, ; 8439 ::, ;"":,Fer en barre.., '…….,..""…. 7788.„• . ( Ecroui, non trempé ,'■ 7843Acier……..,….,., j.Noti écroui::…..,:/..,……-. .:i 7829/ rouge, fondu………………….. 7783P'nivrp"''■'- ) Passe à la filière.. '………….. 8540suivie.. jaune, laiton fondu…. .', 8395passé>à la filière.,,,,,,,,,,,,…….. \8540Argent-fondu………… ..:.,……. '40474Plomb coulé .'…………'……'.,…..,………:……'.' -4Ï352- .Mercure Y.ï..'.'..'..'..'.'.'.'.'.'..'.'.'.. .V., .- 43586Or pur fondu.':…'….'.'."………. ;,. .,'..„., …….. 49258Or pur forgé. ………….. …Y……………………. 49362Platine forgé. …………………….'…… . V20337Platine laminé ………,..'..'.\ …,..'..,..,…'……'. 22069,1. Pour calculer le poids des métaux on emploie généralement comme unité ■'■ le décimètre
cube ;.il suffira donc dans l’évaluation de ces matières d’avancer la virgule de trois chiffres,
ce qui donnerait 7^1- lpour le zinc, 7kii. 2 pour la fonte, 6M.71 pour l’antimoine, ele.DE DESSIN INDUSTRIEL. 65119 PABALLÉLIPIPÈDES. — Le volume d’un parallélipipède est égal au produit de
sa base par sa hauteur.
Exemple : Supposons (fig. m, pi. 7 ) AF = 2 mètres, FE = l’MO et FH = lm40.Ainsi, la solidité de ce parallélipipède est égale à trois mètres cubes neuf cent vingt
millièmes de mètre cube, ou 3 mètres cubes 920 décimètres cubes.Le poids d’un tel volume en maçonnerie de moellons, dont la densité, d’après la
table IVe, est de 2240 kilog. au mètre cube, est égal àLe cube, proprement dit, ayant toutes les dimensions égales, son volume est exprimé
par la troisième puissance du côté, c’est-à-dire par la longueur de ce côté multipliée
trois fois par elle-même.Ainsi le cube fig. A, dont le côté est de lm 40, a pour soliditéEn général, le volume d’un prisme droit, quelle que soit sa base, est égal au produit
de cette base par sa hauteur.V° TABLE DES SUKPACES ET VOLUMES DES POLYÈDRES RÉGULIERS.NOMBRE DE COTÉS. NOM. SURFACES. VOLUMES.4 Tétraèdre. 1.7820508 0.11785495 Hexaèdre. 6 4.8 Octaèdre. 3./I641046 0.474404512 Dodécaèdre. 20.6457788 7.663148920 Icosaèdre. 8.6602540 2.1816930120. PYBAMIDES. — Le volume d’unepyramide polygonale est égal au produit de sabase par le tiers de sa hauteur.Exemple : soit (fig. <g) , SO = 2 mètres, AB et AD = l’MO. La solidité de cette py11U40X lm40 X 2ramide est • = imc306.3Ainsi, le volume d’une pyramide est égal au tiers du volume d’un prisme de même
base et de même hauteur.Le volume d’un tronc de pyramide à bases parallèles est égal au produit du tiers
de sa hauteur, par la somme des deux bases ajoutée à la racine quarrée du produit de
ces deux bases.Ainsi, soit V le volume d’un tronc de pyramide, dont la hauteur H = 3 mètres, la
base inférieure B = 6 mètres quarrés, et sa base supérieure. B' = 4 mètres quarrés ;En pratique, lorsque les bases diffèrent peu, le volume d’un tronc de pyramide est
sensiblement égal à la demi-somme des bases multipliées par la hauteur.« j C@IMS:RAISONNÉ :'■■■.. Dans.l’exemple précédent on aurait :-  ; '._. V1.121. CYXIHDBBS. — Le volume, d’un cylindre quelconque, ('flg. S) est égal au produit
de.sa base par sa hauteur. Ainsi, dans un cylindre à base circulaire, on a
B = ■* R2 (72 ) '. Par conséquent le volume V = ■k R2x H.Premier exemple : Quel est le volume d’un cylindre en fonte dont le rayon R =
0m 20 et la longueur H.== im.OS ? •' -,', Le volume V = 3,1416 X (0,20) ^ Xlm 08= Omc 1356. ■ : ,-On peut aussi obtenir le volume ou -la solidité du cylindre en substituant le diamètreÎIB 8 -au rayon, la-formuleest alors V—'-—X H. . ,Ou" ' V'=785'X (0,4) 2 Xlm 08= Omc 1356. ' ;.. .,Le poids d’un teLcylindre ; supposé.en fonte (table IVe) ,-est.égal à. - ;.:0m ;13S6.X 7207=.:977k 96. ,Le même cylindre en bois de chêne sec ne pèserait queOm 1356-X 785k = 106k 39. - ..La surface convexe d’un cylindre droit, développé, est celle d’un-rectangle ayant
pour base le développement de la circonférence du cylindre, et pour hauteur la hauteur
de celui-ci. Elle s’obtient alors en multipliant la circonférence de la base par la hauteur
ou la longueur. : ■ \ .,--._Dans l’exemple précédent, la surface convexe est donnée par la formule 'S==2^R X H, OU-^D X H = 3,14 X 0,4X l™08==lmq 35./ ''Le volume d’un cylindre creux est égal au produit de sa hauteur par l’épaisseur et
par la circonférence moyenne.Deuxième exemple : On demande le volume V,"le poids P etlà surface interne S’
(brides ou bords 1 compris) , d’un cylindre à vapeur en fonte, dans les dimensions suivantes
: D diamètre extérieur == 0m 56, D’ diamètre' intérieur = Om 50, et H = lui- 20.
Largeur des brides ==o™ 08, et saillie externe = om 05. E ; épaisseur desdites ==,0m04.On a: Surface intérieure..du cylindre, ouS’= 3,1416 X 0'ii50 X fm 20 =imq 8840 OU 1.884Qcent.q: JSurface plane des brides ' ..-■--■'ou S" = 2(Om50'-j-0,08) X 3,1416 X0,08=.0mq5912 ou 2912cent.q. , " _Surface totale' S = 2.fJ:1752ou2t752« mi. q.■'Volume du corps du cylindreV = (0,50 + 0,03) X.3,1416 X 0,03 XI™ 20= O.mc 060■■• •■"=. 60déc. cubes.
Volume des saillies des brides
ou V' = 2 (0,56 + 0,05) X 3,1416 -X 0,05 X 0j04-==, O.mc- 007664 ou 7(lc,664.. ; ,
Volume total du cylindre V= Omc 067664 où 67dc 664. :1. Toutes les fois qu’un principe ou une règle se rapporte à une démonstration précédente,
nous renvoyons à cette démonstration ou à ce principe, en citant le numéro sôus lequel il est
rangé dans l’ouvrage ; c’est ainsi que la formule relative à la surface du cercle ayant été expliquée
généralement page 40, n° 72, nous i ndiquons’ ce dernier 'numéro pour en montrer l’app] ication
particulière ou la relation. . ' '■ ' ' … .-. ' ' _.DE DESSIN INDUSTRIEL. 67Poids de ce cylindre en fonte 67^ 664 X 7k 207 = 487k 66.
122. CÔNES. — Le volume d’un cône quelconque est égal au produit de sa base par
le tiers de sa hauteurDans le cône droit à base circulaire (11g. 3F) Exemple : Quel est le volume d’un cône droit dont la hauteur H = 2m 4 et le diamètre
de la hase ou D = 1" » 7.Le poids d’un tel cône eu marbre (table IV) est deComme on le démontrera plus loin, le cône développé est un secteur dont le rayon
est la génératrice du cône et dont l’arc est la circonférence ou la base de ce dernier. Par
conséquent, la surface convexe d’un cône droit est égale au produit de la circonférence
de la base par la moitié de sa génératrice, ce qui donne lieu à la formuleDans l’exemple précédent, on aurait, en cherchant la véritable longueur de la génératrice
= 2,546123. TBONC DE CÔNE. —■ Le volume d’un tronc de cône se détermine comme celui
d’un tronc de pyramide (120).La surface convexe d’un tronc de cône droit est égale à la moitié de la génératrice
du tronc, multipliée par la somme des circonférences des bases, et s’exprime par la
formuleSoit Lia longueur de la génératrice du tronc de cône= 1,40.R, le rayon de la base inférieure = 0,S5.IV le rayon de la base supérieure = 0,38.La surface convexe S = 1,40 X 3,14 (0,85 + 0,38 ; =5i » 40.124. SPHÈRE. — Une sphère est déterminée lorsqu’on connaît son rayon ou son diamètre.
La surface est égale à quatre fois celle d’un cercle de môme diamètre. Elle est
exprimée par la formulec’est-à-dire le auarré du diamètre multinlié nar 3.4416.68 COURSvRAISONNÉ : . .Le volume de la sphère _est égal à sa surface,, multipliée par le ï/3 du rayon, ce qui
donne lieu ;à la formule .,. v- "' - • "'.''ou par rapport au diamètre,Exemple : On demande la surface", le volume et le poids d’une sphère pleine en
cuivre rouge fondu ; ayant om 25 de diamètre.  ; ■Surface convexe ou S-=(0m 25 ;2.X 3,1416 =0iiiq-196. ' .Volume V = 0,5236 (0,25) 3 = ;0mc 00818. - ., . • ; -= . ;Poids de la sphère ou P= Omc 00818 X 7783 = 63k 67. -.'-. Pour trouver le rayon ou le diamètre d’une sphère dont on connaît le volume, il suffit
de renverser les formules précédentes et ; de les établir comme 1 suit :125. CALOTTE, ZONE, "SECTEUR ET SEGMEWT SPHÉBIQUES.—La surface d’une zone
ou'dhine calotte sphérique, est égale à la circonférence, du cercle delà sphère multipliée
par lk hauteur de la calotte ou de la zoneExeinple : La surface S d’une calotte dont la hauteur H = O » 15 et le rayon R de
la sphère '= 0,75 est de .Le volume d’un secteur sphérique est égal au produit dé la calotte qui lui sert de base
par lé tiers dû rayon de la sphère. …….Xa formule correspondante est donc ' 'Exemple : Le volume du secteur qui a pour base la surface de la calotte précédente
est donc ' ,.Le volume d’un segment est égal à la surface du cercle qui a pour rayon la corde
multipliée par le 1/6 de sa hauteur. , . .Exemple-. Soit ?• — 0,65 et H = 0,15. Le volume estDE DESSIN INDUSTRIEL. 69Le volume d’un onglet sphérique est égal au fuseau qui lui sert de base, multiplié
par le tiers du rayon.A exprimant l’arc du fuseau.Le volume d’une tranche sphérique est égal à la demi-somme de ses bases, multipliée
par sa hauteur, plus la solidité de la sphère décrite sur cette hauteur comme
diamètre.126. OBSERVATIONS :Les volumes des sphères sont proportionnels aux cubes des rayons ou des diamètres.Soit V = 14"ic 137 et v = 4mc 188. On trouve que les rayons correspondants sont :Par conséquent D = 3 et d — 2.Les cubes de ces nombres, ou 27 et 8, sont exactement dans le même rapport que
les volumes donnés, c’est-à-dire que, 27 : 8::14.137 : 4.488.A hauteur égale, les volumes des cylindres, comme les volumes des cônes, sont
entre eux comme les quarrés des rayons de leurs bases.A diamètre égal, ces volumes sont entre eux comme les hauteurs.Le volume de la sphère est au volume du cylindre circonscrit comme 2 : 3.(Une sphère est inscrite dans un cylindre, quand son diamètre est égal à la hauteur
et au diamètre du cylindre.) Le volume d’un anneau circulaire est égal au produit de sa section par la circonférence
du cercle moyen. (Nous avons dit (90) qu’un anneau est le corps engendré par
un cercle tournant autour d’un axe situé dans le même plan. ) Soit R le rayon du cercle générateur, et r la distance de son centre à l’axe, on a :V = n-R 2 X 2T !T = 19,72 Ra X r.T ; "VIe TABLÉ-DES ::FERS GÀRRES ET RONDS:,* PODR tïNÈ LÔNGÛÉBR' DE ^V ; MÈTREi '  !| DIAMÈTRES FERSCARRÉS. FERS RONDS.- \ ^.DIAMÈTRES, FERS CARRÉS.' ,. FERSRONDS. ! OU CÔTÉS POIDS POIDS . on CÔTÉS POIDS ' POIDSenmillimètres ; en kilos ;. en kilog. en-millimètres, . en kilog. : en kilog… ..1 '' 1  ; 6.0078 0.066 -31 7.495 ' ' « 7872i 2 0.031 0.022 .32 7.985 6-248J-. :.-3 "' 0.070" 0.044 33" - 8.494 6.668■j " ■ 4. 0.124 -0.092 34 9.016 7.060 ! . .8' -' 0.195 0.152' . ■ ■■ 35' 9.555 7.488. -6 0.280 ." 0.212 36 ■.•_■ 10.Î08 - -7.920 : ;7 ' 0.382 ' 0.288 " 37 , 10.678' 8.364"" 8 '," 0.499 ' 0.380 . 38 11.263 8.820' 9 0.631 0.488 39 11.863 9.30010 • ■ 0.780 -. 0.612 -40 ' 12.480 -.•-■• --9*788 -11 0.943 . 0.732 41 .13.111 '. " 10.276 "': '  ! 12 -:- '' r 1.123 - <0.868 : 42 ' .-13.'759 .-- : : ■.rl.0 ;776 : - ', 13 .1.318 1.020 .43 14.422..- 11.300'•'- 14' •'''■'• ■ !■ 1:628 .' ' . ' 1.188: - 44 :-'" '"-  ; 15.100-'■-' ■'■••■ 11.836 -' "': ;15 1.755 - 1.368 45 15.795 12.38416 1.996- . 1.556 46 --: '■.''-' 16.504 12.93617 : : 2.254 - "1.-750 … 47 i ■ ;;-17.230 ''-. ' . 13.504.' 18 ■ ■ 2.527 "-.-.. 1.968- 48 . 17.971 14i080 .19 -■'- - 2.815 ' 2,200 49 . 18.727 ' : ' ■ ' 14.680 .'20 3.120 , 2.244 50 '19.500 . 15.292 ! 21 3.439 2.688- 55 23.595 18.502 '22 3.775 2.944' 60 , , 28.080, ,22.024,, 23 4.126 . 3.204 65 32.955 25.842> '•., -24 - - •" 4.482 ,'.:- :■•■ - 3.512,: ' 70" ',. - -. .38.220:-■-■ 29.-968 ! 25 4.875' "3.816 -, ' 75 43.875 34.412j 26 5.272 , ' 4.124 80 : ' i49.'920 ' 39.160■ Y-. -27 5.686., 4.448, . 85 '" 56.355 ,44.202 -,i 28' 6.115' "■ ' ' ' '4.784 l '"- 90 ' ' ,63.180 ' 49.556'29 6.559 5 ;136, . -95 .. ■ 70 ;395  ;.-■■.'> 55.210o-30--. 7.020 . ,5.504, , . .100 .. .78,000 V .. .'61-159-' - . -, -—:==L„_„ _" ' _ _RÈGLE. — D’après cette table, pour trouver le poids d’une barre de fer,-d’une longueur
quelconque, il suffit de multiplier cette longueur par le nombre de la table correspondant
au côté du carré, ou au diamètre. -, …,,,,Premier exemple : Soit-une barre quarrée de 3m50 de long ,et de 40m/m de côté,on a : '■'■■'■ ■'■ '-- -,Deuxième exemple : Soit une barre ronde de 2m80 de long sur, TO^/indediamètre-jon a : : ;.-, :'■ • ; , ':■■■'■ "•■'•_"-■'■■. ' ' ., ..-. ■•-.,- ■' :,-.-- ,••-:•- w ,rEn général, ' pour "déterminer lé poids d’une barré dé fer méplate, de toute section," il
faut ramener cette section à celle d’un ; carré équivalent….. , -,Pour cela, il suffit de multiplier, ses deux côtés l’un par l’autre (comme on le fait
pour déterminer la surface d’un rectangle) , et la racine quarrée de ce produit est le
côté du carré ; on cherche alors le nombre correspondant dans la table, comme pour
une barre quarrée.Troisième exemple^.: Quel est le poids d’une barre méplate enfer ayant pour section
81m/m sur 27'n/m, et une longueur de 2-25. ;DE DESSIN INDUSTRIEL. 74Ce nombre est compris entre 46 et 47 de la table, par conséquent les poids correspondants,
pour une barre de 1 mètre de longueur, sont 16k 504 et 17k 230.
Il est facile de voir que le poids correspondant 46,75 est à très-peu près, de 17 kil.
Par conséquent 17k x 2m25 = 38k 25, poids de la barre méplate en fer.VIIe TABLE DU POIDS D’UN MÈTRE CABRÉ DE FEUILLES DE TÔLE, EN FER LAMINÉ, CUIVRE
ROUGE, PLOMB, ZINC, ÉTAIN ET ARGENT, SUIVANT LES ÉPAISSEURS.ÉPAISSEUR POIDS POIDS POIDS POIDS POIDS POIDSdes de la tôle de la tôle do de la feuille de la feuille de la feuille de la feuille. FEUILLES, de fer. cuivre rouge. de plomb. de zinc. d’étain. d’argent.millim. kilog. kilog. kilog. kilog. kilog. kilog.1/4 1.947 2.107 2.838 1.715 1.825 2.6521/2 3.894 4.394 S.076 3.430 3.650 5.3051 7.788 8.788 11.352 6.861 7.300 10.6102 15.S76 17.576 22.704 15.722 14.600 21.2203 23.364 26.364 34.056 20.583 21.900 31.8304 31.154 35.152 45.408 27.444 29.200 41.4405 38.910 43.940 56.760 34.305 36.500 32.0506 46.728 « 2.728 08.112 40.166 43.800 62.6607 54.516 61.516 79.464 47.027 51.100 73.2708 62.304 70.304 90.816 53.878 58.400 83.8S09 70.092 79.092 102.168 60.749 65.700 94.490
10 77.880 87.880 113.520 67.610 73.000 105.100
H 83.668 96.668 124.872 74.471 80.300 115.71012 92.456 105.456 136.224 81.332 87 600 126.32013 100.234 114.244 147.576 88.193 94.900 136.930
 ! 14 109.032 123.032 158.928 93.054 102.200 147.S4015 116.820 131.820 170.280 101.915 109.500 158.15016 124.008 140.608 181.632 108.776 116.800 168.76017 132.396 149.390 192.984 115.637 124.100 179.37018 140.184 158.184 204.336 122.498 131.400 189.98019 147.972 166.972 215.688 129.359 138.700 200.59020 155.760 175.760 227.040 136.220 146.100 211.200I |RÈGLE. — D’après cette table on voit qu’il faut d’abord calculer la surface de la
feuille, puis chercher dans la table l’épaisseur correspondante en rapport avec la nature
du métal.Premier exemple : Soit une feuille de tôle, de lm80 de long sur 0,75 de large, et de
de 7ir,/m d’épaisseur, quel est son poids ?Deuxième exemple : Quel est le poids d’une feuille de cuivre rouge, doublée d’argent,
de 2m50 de long sur 0m 15 de large, provenant d’une plaque de 2 centimètres
d’épaisseur, dont 1/10 d’argent, et qui, après les laminages successifs, a été réduite à
l’épaisseur de 1/4 de millimètre tout compris.Ce problème est complexe ; on voit qu’il faut d’abord décomposer l’épaisseur de la
feuille en deux parties, dont l’une est égale à 1/10 et l’autre à 9/10. Il faut prendre
alors dans la table les 9/10 du poids correspondant à 1/4 de millimètre pour le cuivre,
soit, 2947 X ~= 1,9773,' et le 1/10 du poids correspondant à 1/4 de millimètre pour
l’argent, ou ^fj- = 0,2652. D’où il résulte que le poids total d’un mètre quarré de la
feuille de doublé est égal à 2k 2425. Or, la surface de la feuille est de 2,50X0,15
= 0™<I375. Par conséquent on a :72 . COURS RAISONNÉ ".,DBIENSIONS COTÉES DES DIFFÉRENTES PARTIES D’M ORDRE ENTIER.…..--'' VI[Ie TABLE, -r- ORDRE TOSCAN. ■-". .• DÉSIGNATION COTES’SELON VIGNOLE. COTES CENTÉSIMALES… Module divisé en douze parties. en supposant le module 1 mètre. ■.' ■ .' DÉS PRINCIPAUX MEMBRES ' V' ■■--.-- • - .. ■_ET SES MOULURÉS" ' ''V ". Saillies .V*'."'J Saillies."' -à partir à partir. HAUTEURS•qui constituentl’ordre entier. dejaxe HAUTEURS. ^axe en mètres et millimètres. ;'.. ' y ".'' " ■ ■ '■- ;eolonne. ■-■''.'M. - côïonn. ^-^^.^^^^li^ .. ; ' m.-p. '■" m. p. un. p. in.:p. met.'. met.' met. met.IQuart de. rond.:-. ;………. 2 -.-3 1/2. » 4 v" i. 2.292 .0,333 \ ' . .:Baguette % - » 1 1 2.000- 0."083 ] .-..'.Filet. ……:…"…V…… 1 111/2' »"> 1/21 -1^959 0.0421 ' ' [Larmier……-. ;.. …… 1 101/2 » 6 M *. 1 -. 1.873 0.500M.333^ ■''•-.Filet. ! '. 1 7 1/2 » ».-4/2l- , 1 ,- ^ 1.625 0.042lTain,, ' ■ i* 1 </2- ,, ;, ) ■'• I '4.423- - ITalon…..v…………. / , 4 ;/…. .1 .• ■ 0.888J , .. .■g\.-f' - - ■ -■■• ! - " I ■" • ■ ■ •■ ■.y.3- 6 <■:■ - 3.S00 .E- B ( ■■-■..-' " ' [' '-.-■'. ' ■ ■(g | Frise.,..,.'….. > 9 1/2 1 2 12 1 0.792. 1.167 1.167 1 . -.| ) Listel ,…"..,………. 11 111/2 B.2 n ]■■ 0.959 0.467 -, '.. !'.g j Facede l’architrave. » 9.1/2 n 10 - ' - 0.792 0.833 ,'1,000,/.'<' ■ - ■ --.- • ■■ -■ ■ — ■.' ■■- ' ''. ■'.■-■■ ■' ' ■ |.. , ! Listel… ;.. 1 2 1/2 0 1 • \ : 1.209 0.083 \Face du tailloir. -1 i 1/2 » ,3 ■ I^ -\: A. 12S. 0,230 ; , rEchine ou quart de rond.-…. 1 1 . ». 3 : V 1.083 0.250 U.00o\,■Filet ou anneau » 101/2 n’A ' b.875 0 ;083_ yGorgerin. …………….. » 9 1/2 » 4 /  ;0.792 "0.334/ i 'g ! lAstraale (Baguette.. » H ' » 1 !. 0.917. 0.083V I. ■■o( I rSa ;r ; = V'f.ceintnre…- . » .401/2'.- ». ..'^ lâ, ) 1* 0.875 0-0^W.ooo) l4.000o *• \ Fût ou vif de la j part, super. ■' » 9 1/2 ,,',„.,„ • ..' \ 0.792') ' .'.' \. •'.•( -^ '-(■"■-,■' \ ■- :•> - 11101/2- (11.875/ I ■f , colonne… . -part, iiifer.. i ' ' 1 ' ' 4.000) • 'I
_L ' - : - - . < ..- i _. ■ S- ■ •■ ;■ ,
i Listel, ou ceinture 111/2 »!' , 1.125:0.083 • ..>'. . "…Tore…. ï 4 1/2 ». 5 il 1.375 0.417 4.006/-'Plinthe -.'…..'.■….'….. 1 4 1/2 » ' 6 ) '1.375 0.500: ' ' ' '■.'■' I ' '■' ;■ '■■, à l’Réglet ou listel 1 8 1/2 » 2 - 1.709 0.167 \ '■' !§ 1 S " 6 \ ■ ' I fi(57 °-500l •■S 1 m , * ° ' . 1.DD7 n 0£>.jS ..Talon……… ;. ; ., » 4 • J . 0,333]- . -I .:..■.,gr " . l’H .. . j ■ ■■ 1.417 . -I- ;""~l • : ' - s » ï 18 ■['■■••g Dé.. J 1 4.1/2 3 8,. . I' .-.'•"■ 1-375 3.667 3.667T * ; -'■^ Réglet ou listel. „…,' 16 1/2 » 1 ° 6' 1.542 0.083 "']''/.':■.■| Socle…… 1 8 1/2- » 5 : 1.709 0.417 0iS00J "ë\-'■ !.:'"■ ■ ' . ■ . " ' '-:'■'■'•.. " \: ;T:":■■''.■: .^ ' m.:p. m.miU.Hauteur totale de l’ordre……….. ;……. 222' Haut ?.'totale de l’ordre. 22.167* Quand deux cotes sont en regard d’un memhre ou d’une moulure"quelconque, la première indique leur
dislance de l’axe à leur partie supérieure, et la deuxième, cette même distance à leur partie inférieure.DE DESSIN INDUSTRIEL. 73IXe TABLE. — ORDRE DORIQUE DENTICULAIRE.DÉSIGNATION COTES SELON VIGNOLE. COTES CENTÉSIMALESModule divisé en douze parties, en supposant le module 1 mètre.DES PRINCIPAUX MEMBRESET DES MOULURES Saillies Sailliesà partir à partir HAUTEURSqui constituent l’ordre entier. détaxe HAUTEURS del’axe mmèlreBetmllUmèlres.___ colonne. ,, colonn. IMmod. p. m. p. l m. p. m. p. met. met. met. met./ / Réglet 2 10 » 1 \ 2.833 0.083 ^I Cavet 2 7 » 3 \ 2.583 0.250 1I ! Filet 2 6 1/2 » » 1/2 1 2.542 0.042 II. I Talon Il » 1 4/al 2.500 0.125| g 1 Larmier 2 4 1/2 » 4 \ '2.375 0.333 II S / Filet 2 2 » » 1/2} 16 \ 2.167 0.042 >1 .500 \H ! .g \ Goutte sous le larmier 2 1 1/2 ;» » 1/2 2.125 0.042zjg Denticules 1 3 | » 2 1/2 1 I 1.250 0.209 1 JS Filet 11 » » 1/2Ï i 1.083 0.042 1 I| Talon , 11l}2 » 2 o !959 0- 166) g Chapiteaux des triglyphes 11 » 2 / \ i, 0.917 0.166 l( 4 000z I \ . .._ …I / J i 1I | ] Frise » 10 16 16 S 0.833 1.500 1.500|g Bandelette ou cimaise » 111/2 » 2 . 0.959 0.167 , nnn j\ | Face ou plate-bande » 10 » 10 / 0.833 0.833 I'uuu' < (=================== . . t : j| /Réglet '1 3 1/2 | » » 1/2 \ 1.292 0.042,a Ualnn * 3 ili » 1 d- 271 0 0833 I lalon 12 1/4 I 1.188 u-u8ii| -I B J Face ou gouttière 12 » 2 1/2 1 , 1.167 0.2091. nfm ,| S \ Ove ou échine 1 1 3/4 » 2 1/2f \ 1.116 0.209 /1,uuuS I J Trois annelets ou filets "t JJJjg » 1 1/2 ! ^875 û-m \ I1 I Gorgerin, colarin ou frise » 10 » i 1 0.833 0.333) |1\ Baguette 1 » » 1 I 1-000 0.083) W 000OH Filet, ceinture ou congé » 111/2 » » 1/2 L. >16 » _ 0.9S9 0.042(u 000 /10,™uh but ou vif ; !° i3ioi/2 1  ?:JJÔoj" ;W 5) S j Filet. 1 1 1/4 » 1 1-104 0.083] IM Baguette 12 » 1 … 1 1.167 0.083"Tore 15 » 4 ' 1.417 0.334 r-0™/\-a | Socle… i 15 »6 1.417 0.500) ' / I 1 =============/ I Réglet 1 U » » 1/2 \ <-i>17 0.042,g I Quart de rond 1 102/3 » 1 1.889 0.083I Filet 19 2/3 . » 12 „ 6 1.806 0.042II Larmier 19 .2 1/2 \ 1.750 0.209 °-oU0\3 Talon……. <« $}. 1 « />) î ;s« 1 cm) ■« 3/ sa Dé 1 S 4 » 4 » I54 1.417 4.000 4.000 \ S.333S| [Filet 16 i. » 1/2 1 1.500 | 0.042 \ 1S baguette 17 »1 1 I.S83 J 0.083ï Talon renversé î 8 1/2 "2 ) "i 0 I l’.70s|0- 166 8-333/"Plinthe 1 9 » 21/2I 1.750, 0.209]\ Socle… 1 9 1/2 » 4 ] 1.792 j 0.333/ni. p. m.mill. ;Hauteur totale de l’ordre 25 4 Hanf totale de l’ordre. 25.33374- /■VGO.Ù.B-S RAISONNÉ-.-:D’après ces tables, pour avoir en mètres la dimension d’une partie quelconque d’un
ordre, il suffit de diviser la hauteur entière donnée par la hauteur totale indiquée dans
l’un des tableaux ; le quotient donne le module en mètres.' Ce quotient, multiplié par lé
nombre quelconque du tableau correspondant-à la partie que l’on cherche, donne la
dimension de cette partie en mètres: .]Premier exemple. On demande quel est le diamètre du fût de la colonne d’un ordre
toscan, dont la hauteur totale est de 5m60 ?La hauteur dé l’ordre étant 22^W7, pour rayon d’un mètre, on a : :Et 0,2526 X 2 = Om 5052 pour le. diainètrè de la partie inférieure du fût. I: Deuxième exemple. Quelle est la:hauteur, en mètres, du socle dû même, ordre dont
le module est trouvé égal a 0m2526 ? ' ,  ; ■  ;.' ;'j°: On pourrait de même déterminer les dimensions ;de tous les autres membres fétides
moulures des deux autres ordres. …"'. ;..'X ? TABLE, DU .POIDS’ D’UN MÈTRE COURANT. DE TUYAU EN FONTE,VARIANT DE DIAMÈTRE ET 'D’ÉPAÏSSECR. .,….-. >■■■'<DIAMÈTRE ",' TOIDS EN KILOGRAMMES POUR DES ÉPAISSEURS 1 DE : : : ■■' ' ;-■ intérieur ' . - . - ',- :. .'- '. ',■ L ' -''-:U CESTIHÈTRES ■ V" ' '•,10 mil. 40 mil. 5: H mil. - 42 mil. , .I3.mil. 44 mil ; , 15 mil: \:kii ; kii: ,. kil. kil., • "kiC '. -'".'kit’''' ;kil.10. ; ; 24.9 26.-2 V 27.6 30.4 ' 33.2 ' ," 36.'4 "'39.012- ,29.4 31.0 32:6 , 35.8 39.1. 42.4 45.844 33.9 35.7 37.6 '•• f 41.3 43.Ô" ' 48^8 '• '—52.616 -38.4 . 40.3 - 42.5 ., 46.7. -. SÔ.9 " "55.4 '■.'■■- 59.418 -43.9 45.2 47.5 . 52.1 ' 56l7" 6) A'', ■■ 66.120. 47.5 . 50.0 ~ ,52.5 57.5 62.6 ''"67:7" 72.922i …. 52.0 ' 54.8 57.4 63.0 ■■ ' 68.5 74.4 -..79.7 ;24 : 56.5 59.5 62.4 68.4 74.4. 80.4 86.520 61.1 64.3 : 67.4 . 73.8 ' ■ -80*3 ; 86.8 i93.3 .28 65.6 '69.0' 72.4 • 79.2 -86*2- • ! 93.4 ■ -400.430 ■ -70.4 73.8 77.4. .84.-7 -92*0. '" 99 ;4 '. M06.9 :.-32 74.6 78.6 ' 82.3 - 90.4 • 97i9■ .'.. . 405.8 • ■'■■'■',MÏ.i'34-. 79*2 - 83.3 87.3 • 95.5 • 403.8 '■.- 112.4 •■• • 424.* .36 <• 83.7 88.4 . 92.3 .- 404.0' : 409.7 ' 448^4 427.238 88.2 92.8 97.3 4Ô6.4 '. 445.6 . 424.7 - 434.0 ''.àO - 92.7 97.6 402.2 441.8 421.4 131.4 - 440.8""'•S2 … 97.3 402.4 "407.2 ' 417.3 ' - ,127.3 437.4 447.6 '44 ' 401.8 407.4 . 442.2 422.7 433.2 443:8 ,' 454.346 -, 106.3 412.0 ; 117.2 128.1 , > 139.4 ■ ' . 450 4 ' 461.1 ■■■48 110.8 116.7 122.2 433.5 445.0 456.4 167.9 -50 . 415.3 121.5 127.4 139.0 -450.8 … 462.8 . 474.7DE DESSIN INDUSTRIEL. 78XIe TABLE DU POIDS D’UN MÈTRE COURANT DE TUYAUX DE PLOMB ETIRE,
VARIANT DE DIAMÈTRE ET D’ÉPAISSEUR.DIAMÈTRE POIDS EN KILOGRAMMES POUR DES ÉPAISSEURS DE :inléiieui' ^ ^m CESiiaÈiRHS.3 mil. 4 mil. 5 mil. 6 mil. 7 mil. 8 mil. 9 mil.kil. kil. kil. kil. lt il. kil. kil2 2.4 3.4 4.4 » » » »3 3.5 4.8 6.2 7.7 » » »4 4.0 6.3 8.0 9.8 » » »5 5.7 7.7 9.8 12.0 14.2 » »6 6.7 9.1 11.6 14.1 16.7 » »7 7.8 10.5 13.4 16.3 19-2 22.2 »8 8.9 12.0 15.0 18.5 21.7 25.1 »9 9.9 13.4 16.8 20.6 24.1 27.9 31.8
 ; 10 11.0 14.8 18.6 22.2 26.6 30.8 35.011 12.1 16.3 20.4 2/1.9 29.1 33 6 38.2'■ 12 13.1 17.7 22.2 27.1 31.6 36.5 41.4i 13 14.2 19.1 24.0 29.1 34.1 39.3 44.6j 14 15.3 20.5 25.7 3I.2 36.6 42,2 47.815 16.4 22.0 27.5 33.3. 39.0 45.0 51.016 17.4 23.4 29.3 35.4 41.5 47.9 54.2■ 17 18.5 25.0 31.1 37.6 44.0 50.7 57.5 j18 19.6 26.3 32.9 39.7 46.5 53.0 60.7 j19 20.6 27.8 34.7 41.8 49.0 56.5 63.9 !20 21.7 29.2 36.4 44.1 51.7 59.4 67.1 jXIIe TABLE DU POIDS D’UN MÈTRE COURANT DE TUYAUX EN FER LAMINÉ,
OU ÉTIRÉ AU BANC.DIAMÈTRE POIDS EN KILOGRAMMES POUR DES ÉPAISSEURS DE :extérieur -.ES HUmiÈTItB. i1 mil. 1/2 2 mil. 2 mil. 1/2 3 mil. 3 mil. 1/2 4 mil. 5 mil.kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil.10 0.3 0.4 0.5 » » «  »15 0.5 0.6 0.7 0.9 » o »20 0.7 0.9 1.1 1.2 1.4 » »25 0.9 1.1 1.4 1.6 1.8 « »30 1.0 1.4 17 2.0 2.3 2.5 »35 1.2 1.6 2.0 2.3 2.7 3.0 3.240 1.4 1.9 2.3 2.7 3.1 3.0 4.345 1.0 2.1 2.6 3.1 3.5 4.0 4.950 1.8 2.3 2.9 3.4 4.0 4.5 5.555 2.0 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 6.160 2.1 2.8 3.5 4.2 4.8 5.5 6.7 i65 2.2 3.1 3.8 4.5 5.3 6.0 7.570 2.4 3.3 4.1 4.9 5.7 6.5 7.9 i75 2.6 3.0 4.4 5.3 6.1 7.0 8 a ;80 -2.9 3.8 4.7 5.6 6.5 7.4 9.183 3.1 4.1 5.0 0.0 7.0 7.9 9.8 ;90 3.2 4.3 5.3 6.4 7.4 8.4 10.4 i95 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 H o i100 3.0 4.8 0.0 7.1 8.3 9.4 H 6 '103 3.8 5.0 6.3 7.5 8.7 9.9 12.2110 4.0 5.3 6.0 7.9 9.1 10.4 12 9 ;76 COURS '■RAISONNÉ DEDESSIN INDUSTRIEL.… XIIIe TABLE DES PRINCIPALES MESURESFRANÇAISES ET ANGLAISES. -,,
 Mesures de longueur. ■.-'•.■.-.-.,•..■,, .-'FRANÇAISES., --..•■<. . ..- .' ■.-■■, ANGLAISES. ,..,.,., …….•I Mètre, unité fondamentale des poids et mesures. 1 Foot - = - 12 inches."1 Décamètre = 10 mètres. . 1 Yard ., …..=- 3 feet. ; …1 Hectomètjé ==.  ; ICO mètres. . A Pôle ou rod = S yards.1 Kilomètre = 1,000 mètres. . .-. .1 Furlong -= 40 pôles. ,.:_., ■■1 Myriamétre -….=•_• 10,000 mètres. . 1, Mile, ;, = . 8furlongsoul760.yàrds..■'.-■ … Mesures agraires. . !-.-.',-■'• i '1 -Hectare , = ; I00aresou10,000in.q ; ! 1 Acre ,.= „ 10 square chains.. ..1 Are = fao mètres quarrés. Il Squarechain = • 10,000 squarelinks.. 1 Centiare = 1'/Ï00.de l’are, ôum. q. j t - Square link - = 62*726 square incites. .■- Mesures de capacité■ ' . POUR'LES LIQUIDES ET LES MATIÈRES SÈCHES. ""'' '"1 Kilolitre ..-.==. 1,000 litres. , ' ' "l Load •--.." '== - S quarters=40bushersii Hectolitre .> = lOOliïres. - . 1- Bushel = 4pecks = 8gallons.1 Décalitre '.- = 10-litres: ,1 Gallon '= 4:quarters =  ;'1 -Litre . -=. " 1 litre. . 1 '. Quart" = 2 pints = 8 gills. .1 Décilitre -:.■■ — .. 1/10: du litre. ., -' i GUI ■-.== 8,663 cuïic inches ;' ,1 - Mesures de solidité. < '■ '1 Décastère . . = 10 stères. ■• H Cubicyard = 27 cnMc feet. -'•■'. '. '■i '.Stère -■ •= Imèlrecube. .11 Cubicfoot  ; = 1,728 cubic inches: , ~1 Décistère "* = 1/10 de stère. I ■ -_• ■"-"■ ;*■■ ;-■'■ -•-'■'. '■'■■ ' PÔldS. - ;■ ;■. ;- /_■■■•/■ ••■■■•' ' ,.l,OOOkilog.oulni.cub.d’eau=1 tonneau.^ î - . Avoir du poids. . •- '-*.1,000 kilogrammes =1 quint.métrique…j 1 Ton. ' = 20 cwt.1 Kilogramme, -.. ;._. ., —1,000 gramm. ou I 1 Cwt.'.". . ..=. 4 quartèrs oul12:lbs.' poiuVd’un décim. cube d’eau distillée. ■ M Ùuarter ==.•'. 2 stones. '-. ;1 Hectogramme . = 1.00 grammes. 1 Stone = ■ 14pounds. " ,1. Dééagramme , • =10 grammes. 1. Pound = 16ounces.t. 1 Gramme - '., ,= le poids d’un cen-. 1 Ounce . = 16 drams.. timètréçubè d’eau.- . ; ' i: Dm - = ' 27,344troy grains.1 Décigramme. ~ =1/10 du gramme. . ;.,'.'■- CONVERSION DES PRINCIPALES ;MESURES ANGLAISES EN MESURES"'.,',.■.. FRANÇAISES,-MÉTRIQUES, ET RÉCIPROQUEMENT.Mesures de longueur.-ANGLAISES. ."''' FRANÇAISES. ', '^FRANÇAISES,' ANGLAISES. 11 Inch (ou pouce) 1 (36 du yard’= 2,540 centimèt. [1 Centimètre *' '== 0,394 pouces (ouinches).1 Foot (ou. pied) 1/3 du yard = '3,050-décimèt. Il Mètre - ■•<- = 3,281 pieds (ou feet). _ !i Yard impérial = 0,914 mètres. I 1 Mètre "" = 1,094 yards.1 Mile (1760) yards, ■ = 1609, 314 met. J 1 Myriamètre ;.:: = 6,214miles.…-, Mesures de superficie.I : Yard.carré .. = 0,8361 met. car. 1 1 '-. Mètre" carré '■ = 1,1960 yards carrés.1 I Rod (perche carrée) = 25,2919 : id. Il Are :■■■':- -= 0,0988roods.1 | ;Acre (4,840 yards carrés) =0,4047 bect: [ 1 . "Hectare ,, = . 2,4736 acres. ,Mesures de,capacité.1 Quart (1/4 de gallon) -~'= 1,136 lilre… Il Litre-" ■■".- =' 1,7.61 pint.
1 i Gallon (impérial) .. = 4,543 litre.:. Il Litre " . =, 0,220 gall.1 ! Bushel (8 gallons) .= 36,347.litre. Jl Décalitre. ::.. ■"= 2,201 gall.---./:. ..■ .-.Poids. .-:1 ' Avoir du poids. - ,' ..-1 Dram (16e d’once) =1,77 grammes. , i *„„,. . ( = 0,643 pennyweight.1 Once.(16e délivre) " '= 28,34. grammes. i .gramme ■ j _ 0,032 onces troy.f 1 Livre (impériale àv. du p.) . =0,4H34kiiog-, 1 Jvilog. .,'■ . = 2,20i> liv. av du p.1 .Quintal (1i2 liv ;… id.- ) = 50.78 kilog. . 1 .Quintalmétrique = 110,28 livres av. du p.1 Ton’. (20 quintaux) = 1015,65 kilog. 1 Tonne^métrique ='. . 19,69 quintaux.COUES RAISONNE DE DESSIN INDUSTRIEL. 77Chapitre iii.
TEINTES DES COUPES ET APPLICATIONS

COULEURS CONVENTIONNELLES.

127. Jusqu’ici nous avons indiqué par des hachures les parties coupées des
objets. La pose de ces hachures exige beaucoup de temps et d’habitude, pour
obtenir une régularité suffisante, et quoiqu’on varie, comme nous l’avons dit,
ou leur écarteraient ou leur ton, pour exprimer la nature de la matière, cependant
cette indication ne peut pas être assez intelligible pour tous.

On comprend qu’en substituant à ces hachures des teintes coloriées, étendues
au pinceau, on peut arriver à la représentation plus rapide et plus complète
des matériaux employés en construction. Ces teintes, toutes de convention,
sont adoptées généralement dans les dessins géométraux.

La planche 10 donne des exemples des principales matières en usage, telles
que la pierre, la brique, le fer, la fonte, le cuivre rouge, le bronze, le bois et
le cuir ; nous allons entrer dans quelques détails sur la composition des teintes
qui les représentent.
COMPOSITION DES TEINTES.Planche 10.

128. Pierre de taille (fig. 1). La pierre de taille est représentée par une
teinte rose, formée de carmin pur ( ' ).

En général la maçonnerie en pierres ou en moellons est aussi indiquée par
la même teinte ; toutefois, lorsqu’on tient à faire une distinction, on simule
par des traits rectangulaires les assises des pierres de taille, et par des traits
irréguliers les assises de moellons.

129. Brique (flg. 2). — Le ton de la brique ordinaire, employée généralement
pour les constructions, approche de la couleur rouge pâle. Il s’obtient
avec du vermillon auquel on mélange quelquefois un peu de carmin.

On la distingue de la brique réfractaire en ce que pour celle-ci, qui est plus
blanche et qui tire sur le jaune, on ajoute dans la teinte précédente une faible
quantité de gomme-gutte.
1. Quelques personnes emploient, par économie, de la laque carminée ; nous n’engageons
pas les élèves à se servir de celte matière, qui est à la vérité moins chère que le carmin, mais
qui a l’inconvénjeifl^^tM&sic des tons d’un aspect irrégulier et disgracieux. On peut cependant
l’emplov0r.^Wèrài:nfe $mVles mélanges.
les vues extérieures les contours de briques sont toujours indiqués ;
mais dans les coupes, on ne les figure "qu’autant qu’on tient à faire voir comment
elles sont placées. - -

Ainsi, dans la construction des fourneaux, les unes sont posées à plat, les
autres de champ ou de côté, selon l’effort qu’elles doivent supporter.

130. Fer (fig. 3). — Le fer s’exprime par une teinte bleuâtre que l’on compose
avec du bleu de Prusse et du carmin, et dans certains cas avec de l’encre
de Chine. Il serait difficile de dire dans quelle proportion ces couleursdoivent
entrer dans la composition, l’une par rapport à l’autre, à cause de la très-petite
quantité sur laquelle on opère, Ce n’est que par l’habitude et en cherchant à
imiter l’exemple que nous avons donné, que l’on arrive à produire cette teinte ;
nous pouvons toutefois remarquer que le bleu domine, que le carmin .et
l’encre de Chine surtout y sont toujours en très-petite quantité. L’acier, qui
approche du fer, s’indique de même, si ce n’est que la teinte est un peu plus
claire et contient moins ou point d ?encre de Chine. '■-.'.,.■■

131. Leplomb et l’étàin s’indiquent d’Une manière analogue, mais en.supprimant
le carmin pour rendre le.ton un peu plus gris. On doit observer alors
la plus grande légèreté dans ce ton pour éviter les taches-marbrées qui dénaturent
singulièrement le dessin. - ' . • ,~

132. Fonte, (fig. h).—Le ton de la fonte tient à la fois du bleu et du violet ; on
le compose, comme le fer, avec du bleu de Prusse, de l’encre de Chine et du
carmin, mais eny faisantentrer cette dernière couleur en plus grande quantité.

On trouve dans le commerce des pains dérouleurs appelés teinte neutre
et gris de Payn {Payn’s gray) , qui donnent immédiatement le ton de la fonte
sans autre mélange. . - ' ;-. , '•. '■■.'.

Avec cette couleur on obtient le fer en ajoutant du bleu de Prusse.

133. Cuivre rouge (fig. 5). — Cette couleur s’obtient par le mélange du carmin,
de l’encre de Chine et d’une faible quantité de gomme-gutte, ou préférablement
de terre de Sienne brûlée ; c’est évidemment le carmin qui doit
dominer dans ce mélange.

134.- Cuivre jaune ou bronze (fig. .6). — On représente ces métaux en coupe
par une teinte composée "de gomme-gutte et de carmin ; on observe seulement
que pour le cuivre jaune, la gomme-gutte entre en plus grande quantité.

Le mélange de la gomme-gutte avec une légère partie de vermillon, au lieu
de carmin, donne une teinte d’un aspect plus brillant. Le vermillon étant plus
dense (118) que les autres couleurs, il convient de remuer la teinte avec le
pinceau chaque fois qu’on doit l’utiliser.

135. Bois (fig. 7). — On trouve dans le commerce diverses espèces de bois
présentant des nuances différentes. Il paraît naturel de varier la teinte suivant
la nature de ces bois ; toutefois, dans le dessin géomélral on est convenu, en
raison de l’emploi plus fréquent du chêne et du sapin, d’adopter pour les
coupes un seul ton, comme celui représenté (fig. 7).
. Ce ton est composé de gomme-gutte, de carmin et d’encre de Chine ; le plus

souvent on se contente de former la teinte directement avec de la terre de
Sienne brûlée, qui malgré les légères différences qui existent dans les tablettes
achetées chez divers fabricants, donne toujours un ton brillant et d’une convenance
parfaite.

136. Cuir (fig. 8). — On emploie fréquemment dans les machines pour les
garnitures des pistons à eau, comme pour les courroies, des cuirs emboutis
ou travaillés spécialement ; la teinte de cuir s’indique par un ton brun foncé,
composé d’encre de Chine, de gomme-gutte et de carmin.

On peut aussi le représenter avec un mélange de sépia ou de carmin.

137. POSE DES TEINTES. — On vient de voir la composition intégrante de
chaque teinte ; nous croyons utile de présenter quelques observations sur le
mélange des couleurs et sur la pose des tons.

Pour la formation d’une teinte en général, on verse quelques gouttes d’eau
dans un godet, on frotte le pain de couleur dans le fond de celui-ci, en ayant
soin de l’incliner légèrement, de manière à ce que le pain ne soit jamais baigné
dans l’eau ( ').

Pour obtenir une dissolution intime et régulière, il est convenable, après le
broyage successif de chaque couleur dans le godet, de remuer le liquide avec
le pinceau, en ayant le soin d’ajouter au mélange une quantité d’eau suffisante
pour obtenir une teinte légère qui doit être d’autant plus faible que les
surfaces sur lesquelles on doit les poser sont plus considérables.

Nous conseillons aux élèves qui n’ont pas encore l’habitude du pinceau,
d’employer des tons très-légers qui s’étendent plus régulièrement sur le papier
 ; lorsque ces premières teintes sont complètement sèches, ils en augmentent
le ton par une seconde couche qui régularise la première. Lorsque
les teintes sont larges, ou que le papier est fatigué, ou de qualité inférieure,
ou satiné, il est même important de passer préalablement sur toute la surface à
teinter, une couche légère d’eau pure ou saturée d’alun, dont l’effet immédiat
est d’imbiber également le papier, et de le rendre propre à reproduire régulièrement
le ton qu’on veut y fixer.

Pour arriver à bien étendre la teinte sur le papier, on plonge le pinceau
dans le godet, en ayant la précaution de bien remuer le mélange ; on essuie le
trop plein du pinceau sur le bord du godet, on l’essaie au besoin sur un gardemain,
non-seulement pour reconnaître si la teinte a la couleur convenable,
mais encore pour affiler le pinceau. Après ces préliminaires on procède à la
pose de la teinte, en conduisant le pinceau de gauche à droite, de haut en
bas, et par tranches parallèles, non interrompues, et en le guidant constamment
sur les lignes de contour.

Nous devons observer que les couches seront d’autant plus régulières qu’on
aura conservé dans le pinceau une égale quantité de teinte ; on arrive à ce résultat
en ne chargeant pas trop le pinceau chaque ibis qu’on l’alimente et en
1. II y a inconvénient à laisser baigner le pain de couleur dans le godet, parce qu’il s’écaille
et se granule. Celle observation s’applique également à l’encre de Chine.
n’attendant pas qu’il soit complètement vide ou sec pour le renouveler.
Lorsqu’on est près déterminer la couche, il est convenable de sécher lé
pinceau, soit en le frottant sur le garde-main, soit en le passant légèrement
entre les’lèvres, pour éviter l’accumulation de la teinte vers les bords.

SUITE DE L’ÉTUDE DES-PROJECTIONS.
UTILITÉ DES COUPES. — PIÈCES DÉTACHÉES. .Planche 11.- ••'■…-.

138. On a déjà vu, au sujet de la planche 8, qu’il est utile de sectionner ou
couper les objets pour en faire bien comprendre l’organisation intérieure. Nous
allons démontrer, par divers exemples réunis dans la planché 11, que dans
certains cas des coupés sont indispensables et plus nécessaires même que des.
vues extérieures. C’est dans ce but que très^ souvent on rencontrera dans nos
dessins. géométraux des modèles coupés par l’axe ou par le milieu, afin de
bien habituer les élèves à ces sortes de projections dont on ne connaît pas
assez l’importance.

139. GRAPAUDINE.—Les’ figures 1 et ia représentent en plan et en élévation
une crapaudine destinée à recevoir le pivot d’un arbre vertical. Cette crapaùdinesecompose.de
plusieurs pièces emboîtées les unes dans les autres et qu’il
est de toute impossibilité de comprendre par les vues extérieures, quoiqu’elles
soient apparentes sur la projection horizontale, fig. lre.

■ En supposant au contraire ces pièces coupées verticalement, par un plan
représenté suivant la ligne 1, 2, on forme une nouvelle projection fig. \h qui
prend le nom de section ou coupe verticale.

Cette figure montré : 1° l’épaisseur de la pièce extérieure A, appelée gobelet,
et l’ouverture a, pratiquée à sa base pour le passage d’une tige destinée
à. soulever la crapaudine proprement dite ; -2° l’épaisseur et i'évidement de la
crapaudine B, ainsi que les deux l’ainures verticales & qui servent à introduire
la clé c ; 3° la forme et l’ajustement du grain G, qui reçoit lé pivot dé F arbre
vertical. Ce grain, ne devant pas tourner avec le pivot, est retenu dans le fond
de la crapaudine par la clé c, qui est elle-même engagée par ses extrémités
dans les rainures b.

Le gobelet A est en fonte, la crapaudine B est en bronze^ son grain C: est
en acier trempé, et la petite clé c est en fer.

On peut donc, d’après ce qui a été exposé précédemment, indiquer les ;matières
dans.la-coupe, soit par des hachures de différentes nuances, comme le
fait voir le modèle, soit par des couleurs correspondantes à celles de la
planche 10., ■ - ;

Rigoureusement, les figures 1 et 1* pourraient suffire pour là représentation
complète de l’organe que nous venons de décrire ; mais comme le gobelet A,
qui est cylindrique extérieurement, porte en quatre points diamétralement
opposés des surfaces rectangulaires d, destinées à recevoir la pression des vis

qui doivent centrer la crapaudine, et que le plan en montre seulement la largeur,
l’addition de la fig. i" devient nécessaire pour indiquer leur hauteur.

Cependant si ces surfaces d, au lieu d’être tangentes au cylindre À, présentaient
plus de saillie, leur hauteur serait indiquée dans la coupe (fig. ls) , ce
qui rendrait inutile la figure ia. Nous pouvons faire remarquer dès à présent,
au sujet de la projection de ces saillies avec le contour du gobelet A, que
lorsqu’un cylindre quelconque est rencontré par un plan parallèle à son axe,
l’intersection de ce plan et du cylindre donne une ligne droite e/(fig. 1 et l8).

140. PRESSE-ÉTOTJPES.— Dans les corps de pompe, dans les cylindres à vapeur,
les couvercles qui sont traversés par les tiges des pistons sont munis de
boîtes à étoupes [stujfing-box) , destinées à empêcher l’introduction de l’air,
ou la sortie de la vapeur ou des gaz.

Les étoupes sont comprimées par une espèce de bouchon creux à oreilles,
tel que celui À', représenté en plan (fig. 2) et en élévation (fig. 2a).

Il est évident que ces deux vues sont insuffisantes pour l’intelligence de la
forme intérieure de ce presse-étoupes A' ; la coupe verticale fig. 2* est encore
nécessaire pour démontrer d’une part les épaisseurs et les évidements, et d’un
autre côté la bague ou virole B' rapportée à la base.

L’ouverture cylindrique a du bouchon et celle b de la virole correspondent
exactement au diamètre de la tige du piston ; la partie c, comprise entre ces
deux ouvertures, est d’un diamètre plus grand, afin d’éviter le contact de la
tige et de servir de réservoir à graisse.

On voit encore bien par cette coupe, que les oreilles d (38, 1°) qui garnissent
la partie supérieure du bouchon, sont percées dans toute leur épaisseur
d’un trou cylindrique e, destiné au passage des boulons de serrage. Le
dégagement annulaire/, au sommet du bouchon A', sert de premier réservoir
dans lequel on met l’huile ou la graisse qui se répand ensuite à l’intérieur.

La bague B' est ajustée de force au bas du presse-étoupes, et se termine
comme celui-ci sous forme angulaire, afin que le joint soit aussi hermétique
du côté de la tige du piston que du côté de la paroi intérieure de la boîte ou
couvercle.

Cette virole B' est en cuivre ou en bronze, pour diminuer d’une part le frottement,
etpermettre de l’autre d’être remplacée au besoin, sans être obligé de
renouveler le bouchon ; ce dernier est le plus généralement en fonte, par économie
de construction, bien qu’on en fasse quelquefois en fer ou en bronze.

141. JOINT SPHÉIUQUE.—Le tender ou wagon d’alimentation sur les chemins
de fer, communique son eau à la locomotive par des tuyaux qui s’assemblent
à rotule, afin de se prêter naturellement aux inclinaisons variables qu’ils sont
susceptibles de prendre. Ce système de joint, représenté sur les figures 3 et
38, a l’avantage de ne pas laisser de fuite, quelle que soit la position d’une
partie par l’apport à l’autre, et nécessite encore, pour être bien compris, la
section verticale, fig. 3*.

Cette coupe, en effet, montre bien la construction du système, qui consiste :

1° en une sphère A, de môme épaisseur que le tuyau B dont elle forme le
prolongement ; et 2° en deux brides sphériques G et D qui se relient entre
elles par des Boulons,-et qui embrassent la boule A.

La bride C fait eorpsjivec le tuyau E, tandis que la bride D est rapportée,
pour permettre l’introduction de la sphère A. Cette bride est dégagée à sa
partie inférieure, à l’effet de donner au tuyau B toute la liberté de se mouvoir
ou de prendre toute espèce d’inclinaison, par rapport au tube Ê qui n’est
autre que son prolongement. Ce tube E nous fournit l’occasion de faire observer
que lorsqu’un cylindre rencontre ou pénètre une sphère la ligue d’interjection
est toujours un cercle projeté suivant une droite (pi, 14).

Les brides, C et D sont découpées extérieuremenfrsous forme d’oreilles a,
destinées à leur assemblage. Leur raccordement avec le contour circulaire
donné lieu à la solution d’un problème qu’on peut poser ainsi : Tracer avec
un rayon donné,-un arc de cercle tangent à deux cercles donnés. Pour le ;résoudre
on trace des deux centres 0, o des arcs de cercle distants chacun des
cercles qu’ils entourent d’une quantité égale au rayon donné ; leur point
d’intersection F est le centre dé l’arc, et les rayons qui joignent ce point avec
les.deux centres déterminent les points de contact ou d’arrêt-de l’arc GEL
Ces tuyaux ainsi que leurs brides sont, en raison de la difficulté de leur ajustement,,
fondus en bronze, puis tournés, alésés et rodés.

142. SOUPAPE DE SÛRETÉ.—Les générateurs ou chaudières à vapeur doivent
être munis d’accessoires, tels que manomètre ; niveau d’eau, flotteur, sifflet
d’alarme et soupape de sûreté. …

Les soupapes ont pour objet dé livrer issue à la vapeuïy dès que sa tension
dépasse le degré de pression pour lequel la chaudière a été construite.

Les fig. 4, 4" et 4*' représentent en section horizontale, en élévation et
en -.coupe verticale, le mode de soupape adopté d’après les dernières ordonnances
réglementaires des appareils à vapeur. Cette soupape se compose de
deux parties distinctes :

1° Le siège en fonte A, fixé à demeure sur la chaudière par trois Ou. quatre
boulons ; 2" la soupape proprement dite B, qui se fait en fonte ou en bronzé.

La soupape B est fondue avec une tige verticale C, évidée en forme de
triangle curviligne, concave sur toute sa hauteur^ pour réduire la surface
verticale de contact qui lui sert de guide , et en même temps pour laisser le
passage nécessaire à la.vapeur.: Le tracé de cette section se termine--d’après
un procédé analogue à celui du n° 34, à l’exception que c’est par Ja division
d’un triangle équilatéral au lieu d’un carré. La base de la soupape est ; un
anneau circulaire, de très-peu de. largeur, qui repose sur le sommet dû siège
A ; ce dernier est lui-même évidé en biseau, pour correspondre au contact
horizontal de la soupape. Le centre de la soupape est creusé en dessus, pour
recevoir le pointai delà tige sur laquelle presse un levier chargé d’un contrepoids ;
les dimensions de ce levier et du poids doivent correspondre à la.pression
intérieure de la vapeur, pour maintenir la soupape en équilibre sur son

siège. Dès que cette pression augmente, la soupape est soulevée et donne
issue à la vapeur jusqu’au rétablissement de la pression normale (').

143. SOUPAPE D’ÉQUILIBRE. — Les machines à vapeur de grandes dimensions,
telles que celles employées dans le comté de Cornouailles (Angleterre) ,
sont munies de soupapes à double siège, dites d’équilibre, pour remplacer le
tiroir de distribution.

Elles ont sur ceux-ci l’avantage d’ouvrir avec très-peu de course de larges
passages à la vapeur, et d’être beaucoup plus faciles à manoeuvrer. Ce système
de soupape, représenté sur les fig. 5, 5" et h 1' , se compose d’un siège fixe A,
en fonte ou en bronze, solidaire avec la boite de distribution, et d’une soupape
à cloche B, également en bronze, adaptée à une tige verticale C, par
laquelle elle reçoit son mouvement. Le contact de la soupape avec le siège a
lieu par deux surfaces coniques, dont l’une a est intérieure et l’autre b est
extérieure. Quand la soupape est fermée, ces surfaces coïncident exactement
entre elles, et au contraire, lorsque la soupape est soulevée, comme l’indique
la fig. 5*, elle laisse simultanément un vide annulaire à la partie supérieure et
à lapartiejnférieure, ce qui donne deux issues à la vapeur.

Le corps de la soupape B est évidé sous forme d’un croisillon à quatre
branches c, pour réunir le moyeu avec la circonférence ; il en est de même
du siège A. L’aspect extérieur de cette soupape présente une suite d’ondulations
dont le tracé donne lieu aux problèmes suivants :
Baccord du corps avec la partie cylindrique supérieure ; voir (37, 1°) et le
détail Og. 5e et raccord de la nervure c, avec le moyeu supérieur, ou Tracé d’un
cercle tangent à une droite et passant par un point donné.

La solution de ce dernier problème est très-simple ; toute l’opération consiste
à élever une perpendiculaire sur la ligne e/, au point de contact e du
cercle tangent, joindre le point e au point donné g, et sur le milieu de cette
ligne élever une perpendiculaire h i qui rencontre la droite au point i centre de
l’arc cherché e h g.

Les nervures du siège A sont tracées à l’aide du problème décrit (38,2°).

On voit bien maintenant combien les vues intérieures ou sections des pièces
sont nécessaires pour l’intelligence complète des objets. Il est vrai que quelquefois,
dans les ateliers, on se contente de faire voir l’intérieur des pièces
par des lignes ponctuées sur les vues extérieures mêmes ; mais outre qu’elles
ont l’inconvénient de rendre le dessin plus compliqué et moins intelligible,
elles ne peuvent pas toujours exprimer toutes les parties, en ce que, dans un
grand nombre de cas, elles se confondent avec ces lignes extérieures.

Nous n’avons pas cru utile d’entrer dans des explications sur les tracés graphiques
de ces divers objets, persuadés que les indications ponctuées sur le
modèle sont suffisantes, d’autant plus qu’elles se rapportent avec les problèmes
de la planche 3e.
1. Voir plus loin les règles relatives aux soupapes de sûrelé.
,84 COURS RAISONNÉ

APPLICATIONS ÉLÉMENTAIRES,
ARBRES, MANCHONS, MODÈLES EN BOIS.
^ • "(Planche 12°.)  . ' . "

144. On emploie, dans là composition même des machines, des arbres eh
boiSj en fer et en fonte. ,■' . •.•-.'.■

Les arbres en bois et en fonte sont principalement usités pour les moteurs
hydrauliques, les moulins et autres mécanismes, transmettant de grands
efforts ou supportant de lourdes charges., '■■'• ■

Les premiers, plus économiques, sont surtout préférés, lorsque les portées
sont très-grandes, et qu’ils sont susceptibles d’éprouver des : chocs comme
dans les marteaux ou martinets ; Les arbres enfer sont employés, soit pour
transmission de mouvement dans les usines, soit comme arbres premiers moteurs
dans les appareils de navires à vapeur ; le fer forgé présentant l’avantage
d’une plus grande élasticité que la fonte..

145. ARBRE EN BOIS.—Les fig. 1, 4, 5 et 6 représentent différentes projections
d’un arbre en bois établi pour une roue hydraulique. La fig. 4 montre
simultanément d’un côté l’élévation latérale de l’arbre, muni de ses frettes et
de son tourillon, et de l’autre une coupe verticale passant par son centre avec
la section des frettes, mais en supposant le tourillon et ses ailes YUS extérieurement
(* ). "/■''•

La fig. 5 est une section tranversale faite par le milieu du corps de l’arbre ;
pour faire voir que l’arbre est plein et que sa forme extérieure est un octogone
régulier. , - _ ' ^

La fig. G est une vue par bout du même arbre, pour indiquer l’encastrement
du tourillon et de ses ailes dans la fusée de l’arbre. •■• ■.:'..■■■••

Ces vues sont nécessaires et suffisent pour bien déterminer/toutes les parties
de l’arbre. On voit, en effet, qu’Use compose d’une longue pièce prismatique
en chêne A et de section octogonale, dont les extrémités 6, appelées fusées,
sont arrondies et légèrement coniques.'■ \. '

Les tourillons B qui y sont rapportés sont fondus chacun-avec quatre ailes c
et une longue queue d qui leur sert d’assise (2).

Pour les encastrer, on perfore le centre des bouts de l’arbre à la profondeur
suffisante, et on pratique dans les fusées quatre entailles en forme de croix
plus larges que l’épaisseur des ailes, mais de la même longueur.

Après leur introduction on frette les fusées b ayec des cercles en fer f,que
1. En général, dans les sections longitudinales d’objets renfermant Jine ou plusieurs pièces à
l’intérieur, nous conseillons de ne pas mettre en coupe, l’axe ou. d’ailleurs toute pièce centrale
dont l’intérieur ne présente aucune parti cularité ; c’est ainsi qu’il est inutile de couper les boulons
et leurs écrous, les arbres, les tiges rondes, les vis, etc. •..•.■.-..2. Il y a des’constructeurs qui se contentent de disposer les tourillons a.vec les quatre ailes
sans y ajouter la queue d: cette disposition est plus simple, mais aussi ellea l’inconvénient de
présenter moins de solidité, puisqu’alors les tourillons ont moins de portée.
l’on chasse de force et à chaud ; ces frettes étant en place, on enfonce de
chaque côté des ailes de forts coins en bois e qui assemblent solidement les
tourillons avec les fusées. On augmente encore la solidité de cet assemblage
avec des cales en fer g, chassées par bout dans l’épaisseur du bois. La figure
lro, qui est ombrée, montre bien l’aspect d’un des bouts de l’arbre, quand il
est terminé et prêt à mettre en place.

146. ARBRE EN FONTE.—Les arbres en fonte sont de plusieurs espèces : les uns
sont creux, d’autres sont entièrement pleins, et de forme cylindrique ou prismatique.
Ceux qui sont destinés à supporter de très-fortes charges sont généralement
renforcés par des nervures qui vont en augmentant de hauteur vers
le milieu et qui leur donnent une très-grande rigidité. Tel est l’arbre représenté
en élévation sur la figure 7, partie coupée suivantla ligne brisée 1-2-3-4 (') 
et partie vue extérieurement, en vue par bout sur la figure 8, et en section
transversale fig. 9, faite suivant la ligne 5-6, fig. 7.

Cet arbre, dont le corps A est cylindrique et creux, est destiné à supporter
une roue hydraulique ; il est fondu avec quatre nervures B, qui le garnissent
.extérieurement ; ces nervures, disposées en croix, ont une forme parabolique,
pour présenter une égale résistance dans toutes les parties. Des saillies C
sont ménagées vers les extrémités de ces nervures pour recevoir les moyeux
de la roue hydraulique. Les faces extérieures de ces saillies sont les côtés de
carrés égaux comme le montre la fig. 8 (34). Elles doivent être dressées pour
recevoir les clés i qui les fixent aux moyeux E, également dressées en ces parties.
Les tourillons D qui terminent l’arbre, sont aussi fondus avec lui et
tournés au tour ; l’arbre enfin est d’une seule et même pièce.

147. Quoique nous ayons déjà indiqué dans la planche 5 le tracé d’une parabole,
nous croyons utile de donner le tracé pratique employé dans les ateliers
pour la courbure adoptée soit dans les nervures des arbres en fonte, soit dans
les balanciers, soit dans les bielles ou autres pièces analogues. On suppose dans
chaque cas que l’on se donne deux points de la courbe dont l’un a en est le
sommet et correspond en même temps au milieu de la pièce, et l’autre b, qui
est situé vers l’extrémité.

Nous supposons donc dans la fig. 7 que l’on connaisse la hauteur a-c, et
celle b d, par rapport à la ligne d’axe m n de l’arbre. Cette ligne serait aussi
le milieu ou l’axe du balancier ou de la bielle.

Après avoir mené la droite b e parallèle à cet axe, on divise les distances a e
en un nombre quelconque de parties égales, et on reporte ces divisions de
b en i sur le prolongement de b d, puis on joint les points 1, 2, 3, au sommet
a. On divise aussi la longueur c d de l’axe en un même nombre de parties
égales aux points 1 ;, 2', W, par lesquels on mène des parallèles à a c. Les
1. Dans la pratique du dessin , lorsque la pièce à couper n’est pas uniforme on se contente
d’avancer ou de reculer la ligne, de coupe pour faire mieux comprendre la l’orme de l’objet ; les
saillies accidentelles sont alors projetées extérieurement, telles sont les nervures de l’arbre qui
nous occupe, les bras d’une roue d’engrenage ou d’une poulie, les dents de ces roues, etc.
de rencontre/, g, :h,. a, de ces parallèles avecles lignes, concourant
au sommet, appartiennent à la courbe parabolique. Gomme la nervure opposée
est exactement symétrique, par rapport à l’axe, il suffit de prolonger les verticales
et de reporter sur chacune d’elles en a', h', g', f '-:ét b', les hauteurs
correspondantes a c,\h 3',etc. Nous observerons également que pour tracer
le prolongement des nervures à gauche de la fig. 7, il suffit de reporter les
verticales à leurs distances respectives ,'■ et d’y marquer les hauteurs des
premières. Quelques personnes emploient, pour tracer pratiquement, la
Courbe parabolique, Un procédé différent de. celui que nous indiquons ; c’est
celui que nous avons donné avec la pi. 9, relativement au tracé du galbe
d’une colonne toscane : com:ne il s’éloigne davantage du tracé réel delà parabole,
et qu’il tend à diminuer assez notablement les dimensions vers, les
extrémités delà pièce, nous lui'préférons le précédent tracé ; "'. . . .

La fig. 3 représente un fragment de l’arbre qui vient d’être décrit, ombré à
l’effet, pour en mieux faire ressortir les parties rondes et planes.

148 ; MANCHONS D’ACCOUPLEMENT. — Lorsque les arbres qui doivent transmettre
le mouvement de rotation se prolongent à de grandes dislances, comme
cela alieu Jans un grand nombre d’usines, on est obli gé_de les faire en plusieurs
partïesque l’on réunit pardes ! manchonsd’accouplement. Ces manchons
sont généralement en fonte ; composés d’une seule ou de deux pièces. Dans le
premier pas ils consistent en une sorte de longue douille cylindrique -alésée
■ intérieurement et recevant par moitié les deux bouts des parties de l’arbre à
réunir ; dans le second cas ils’se composent de deux douilles renflées emportant
des griffes, qui s’assemblent ou engrènent l’une avec l’autre.. ,Tel est le
manchon représenté en élévation latérale (fig.'10) et de face (fig..11).

Ce manchon a été exécuté pour un arbre- de transmission dont le diamètre
dans les parties renflées n’est pas moindre,de 28 centimètres. :

La douille À de ce manchon est ajustée sur le. bout-de la première partie C
de l’arbre de couche. La seconde douille A' est ajustée sur la seconde partie
C’du même arbre. Ces deux douiljes rapprochées engrènent l’une dans l’autre
par les saillies B et B' qui sont interrompues vers le moyeu par une surface
concentrique à ce dernier, pour recevoir la contre-partie de À'. .• ', ; - ,

La figure 11, qui est~unë vue de face de la première douille A, montre bien
la forme et les dimensions de ces saillies ; on voit qu’elles occupent chacune
un quart de cercle surla face de la douille. Celles de la seconde.À' sûht, exactement
de môme, à l’exception qu’elles se trouvent placées du côté des: vides,
afin qu’elles puissent s’emboîter exactement les unes.dans les autres, comme
l’indique la fig. 10. ;

La réunion intime des deux parties du manchon avec Parbre est.déterminée,
1° par les deux clés a diamétralement opposées et ajustées par moitié de
leur épaisseur dans l’arbre et le moyeu ; 2° par des vis de serrage b' (.') y dont
1. On verra plus loin le tracé des vis à filets triangulaires et à.iilets carrés.
l’une est visible dans la fig. 10. Les clés a ont pour objet de rendre les manchons
solidaires avec l’arbre dans le sens de rotation, et les vis b empêchent
la disjonction longitudinale des deux parties du manchon.

CONFECTION D’UN MODÈLE EN BOIS ET D’UN MANCHON
D’ACCOUPLEMENT.

149. Lorsqu’on a établi le dessin d’un organe quelconque de machine qui
doit être en fonte, il faut le plus généralement construire un modèle en bois
destiné au moulage. La mise en oeuvre d’un modèle exige de la part de l’ouvrier
modeleur une certaine aptitude dans le choix et le débitage du bois, et dans
la précaution à prendre pour la réussite du moulage.

On emploie par économie le sapin du nord, quelquefois le charme ou le
chêne, et assez souvent le noyer pour des petits modèles de précision.

Quelle que soit la nature du bois, il doit être toujours parfaitement sec, les
modèles sont tantôt pleins et tantôt creux, suivant la dimension des objets.
Pour le cas d’un tambour, d’une grosse colonne, d’un cylindre de machine ou
d’un manchon de grand diamètre, tel que celui représenté sur les flg. 12, 13 et
14, le modèle est généralement creux, ce qui présente l’avantage d’une économie
de bois, d’une plus grande légèreté, et en même temps il est moins
sujet à se déformer par l’effet des changements de température.

La fig. 13 représente une partie du modèle vu latéralement, et l’autre supposée
coupée par un plan vertical passant par l’axe.

La fig. 12 est une vue de face, du côté des griffes ou saillies.

il est facile de voir par ces figures que le modèle se compose de deux: plateaux
D, I) ', sur le pourtour desquels on rapporte une certaine quantité de
douves E, qui y sont clouées ou fixées par des vis. Ces douves sont débitées
dans des planches d’épaisseur et rabotées sur leurs faces latérales, suivant la
direction des rayons c dut ce. Elles présentent ainsi réunies l’aspect delà
partie gauche de la fig. 14, et lorsque le tambour est tourné, elles forment un
cylindre uni comme le montre la partie droite de cette figure.

Sur l’une des bases D de ce tambour est rapportée la saillie B, qui a été découpée
préalablement dans une planche de forte épaisseur, pour donner la
forme des grilles indiquées sur la fig. 12. Sur la base opposée D’ sont rapportées
plusieurs rondelles F, destinées à former la partie du noyau qui doit déterminer
le diamètre du trou au centre du manchon. Ces rondelles sont
clouées et collées ensemble sur le plateau !) '. Le modèle ainsi préparé est
tourné, puis passé au papier de verre, pour en adoucir la surface et ne laisser
aucune prise à l’adhérence du sable ; souvent même et surtout les petits modèles,
sont enduits d’une couche de mine de plomb pour en conserver le poli
et la durée.

Le diamètre de la partie F est plus petit que le diamètre de l’arbre destiné
à recevoir le manchon, afin de laisser la matière nécessaire à l’alésage du trou

obtenu par le noyau. Ce noyau est:un cylindre préparé en sable et porté dans
le milieu du.moule, et comme le modèle doit être moulé debout, il n’est utile,
en,r.aison de son peu ;de longueur, que de le soutenir par une extrémité,
c’est-à-dire par la partie inférieure ; c’est pourquoi le modèle n’a besoin que
d’une seule portée F. On remarque que cette portée est conique: Il en est
de même du corps du tambour, tandis que le noyau est tout à fait cylindrique.


150. DÉPOUILLE ET RETRAIT,—Pour permettre d’enlever plus facilement le
modèle du sable, on lui donne de la dépouille, c’est-à-dire que le diamètre de
la portée F, ainsi que celui du corps du tambour, est plus petit à l’extrémité
vers l’entrée dans le moulé, qu’à l’extrémité opposée- il’ suffit d’une différence
de quelques millimètres pour atteindre ce but. r ■■''".•>'"•

La fonte, comme tous les métaux en fusion, diminue de volume par le
refroidissement/Cette contraction oblige de faire les modèles d’une dimension
un peu plus forte que les pièces mêmes finies. Ainsi, quand les pièces doivent
être travaillées, tournées, alésées ou rabotées, il faut avoir égard non-seulement
à la réduction provenant du retrait, mais encore à la réduction provenant
de la main d’oeùvre.

• En général, pour la fonte grise ou de seconde fusion, onrestime que le retrait
entous sens est de 1/90 à 1/100. ■'.■■-•  ;

Pour la fonte blanche de première fusion,jlè retrait est beaucoup plus considérable.
.'''•■.''■ ;

Lorsque, pour éviter la façon d’un "modèle, on moule sur l’objet même que
l’on veut reproduire, les mouleurs regagnent le retrait 1 par l’ébranlement du
modèle dans le sable. * ' ,.-■

APPLICATIONS ÉLÉMENTAIRES.
RAILS ET COUSSINETS POUR CHEMINS DE FER.
■'.:■■' Planche 13. ■ '

151. Les chemins de fer présentent sur lesroutes ordinaires, les deux avantages
suivants,: '

1° Accélération relative de vitesse ; 2° augmentation de charge à égalité de
puissance. - ■ "--\[ ■-"'"■■'■''■

Les voies ferrées se composent de deux rails parallèles à lm50Tun de l’autre,
et formés généralement de barres laminées de' km 70 à 5 mètres de longueur.

Ces rails sont supportés de'0ni90ç à 1 mètre de distance par des Chaises en
fonte ou coussinets, qui sont assujéties par des chevilles ou boulons sur dès
madriers en chêne, enterrés en travers de la voie. Les coussinets qui correspondent
aux joints bout à bout des barres, ne diffèrent des coussinets intermédiaires
que par un plus large empâtement, pour augmenter la stabilité du
coussinet, et rendre plus facile, sur une plus grande étendue, la juxtaposition
et le serrage des bouts des rails.

La planche 13 donne les détails d’un coussinet de rail, tel qu’il est monté
sur le chemin de fer de Paris à Strasbourg.

Les Ggures 1 et 2 représentent l’élévation et le plan de ce coussinet avec un
fragment de rail qu’il supporte.

La fig. 3 est une section verticale faite suivant la ligne 1-2 du plan, mais
dans un sens opposé à celui de la fig. 1, dans le but de montrer la position
respective des rails parallèles.

La fig. k est une vue par bout du coussinet seul.

La fig. 5 est une vue par bout du rail.

Ce coussinet, qui est combiné de manière à réunir la solidité à l’économie
de matière, présente d’une part une large semelle A, qui lui donne de l’assise
sur sa traverse en bois, et de l’autre des joues latérales BB', renforcées par des
doubles nervures CC.

La semelle A est percée de deux trous cylindriques a, légèrement évasés
par[ïe haut, pour l’introduction des chevilles en fer qui fixent solidement le
coussinet sur sa traverse ; l’espace vide laissé entre les joues BB' est destiné à
recevoir le rail D et le coin de serrage en bois E.

La section verticale du rail D affecte une forme exactement symétrique,
non-seulement par rapport à la ligne d’axe b c, mais encore par rapport à la
ligne milieu d e, fig. 5, disposition qui permet de retourner le rail au besoin.

La section du coin E est elle-même symétrique, par rapport à ses diagonales,
pour se prêter au renversement du rail, et pour caler indifféremment
dans un sens comme dans l’autre.

La configuration du rail se compose de lignes droites et de lignes courbes
qui se raccordent géométriquement, comme le montre le tracé (fig. 5). Les
opérations ainsi que les lignes de cote suffisent pour le dessiner.

Ces opérations ne sont que la reproduction de problèmes analogues à ceux
de la première livraison. Du reste, nous avons détaché les principaux problèmes,
en les dessinant sur une échelle différente dans les fig. 6, 7 et 8.

La fig. 6 rappelle le problème (35) qui a pour objet de tracer un arc de
cercle i j k, tangent à des droites/ g et g h, connaissant le rayon o k égal
31m/m 5 (fig. 2, pi. 3). Ce problème trouve son application sur la fig. 5 en/, g, h.

La fig. 7 fait voir le problème (37, 1°) qui a pour objet de raccorder un arc
de cercle l m n, tangent à une droite n p et à un arc donné q r l, connaissant le
point de contact n (fig. 6. pi. 3). Ce problème se rapporte également à la
fig. 5 en l, m, n.

La fig. 8 est relative au problème d’une tangente g2f à deux cercles donnés
de rayons st et o' W- (9).

Ce problème consiste à trouver un point commun u sur la ligne o s qui joint
les centres des deux cercles. A cet effet, on mène par les centres des diamètres
parallèles quelconques vx et v'x'. On joint les deux points opposés v et x' par
la droite v x' qui coupe la ligne o' s au point u. Le problème revient alors, à
mener du point u, une tangente à une circonférence quelconque (fig. h, pi. 1)  ;

cette droite est à la fois tangente aux deux cercles donnés. Ce problème trouve
son application sur la fig. 4 en x, k 2, t. ■--…

Nous ayons indiqué également sur la fig. 9 la solution d’un problème (M) 
ayantpour objet de tracer un arc de cercle y z d’un rayon donné a'V, tangent
à deux cercles de rayons c’ d’ et e'f 2 (fig. 8, pi. 3). Ce problème se rapporte,
au raccord de la joue B' ( fig. 3) avec la semelle A vers l’ouverture a,

Pour compléter les tracés particuliers des projections du coussinet, il nous -
reste à faire voir comment on détermine les lignes g'h' qui représentent les
intersections de fragments de surfaces. cylindriques déterminés par les
fig. 1, 2,3 et k. Afin d’éviter la confusion des lignes, nous avons reporté
te tracé, fig. 10 et-11, qui représente les sections verticales de "ces cylindres.
On trouve un point quelconque i7 sur la projection horizontale, fig. 12, correspondant
au plan, fig. â, en abaissant du point i, pris sur l’arc gU( (figrlO) 
une perpendiculaire i' i à la ligne de terre Lï, et en menant du même point
une horizontale n 2. Cette dernière rencontre le profil du cylindre g1 h', fig. 11,
en 0. On projette ce point en i 3, sur la ligne de terre, ;pour la ramener par
un arc de cercle et une droite parallèle à cette ligne en i', qui est le point
cherché ; les autres points / n’ se déterminent de la même manière.

ïl est à remarquer que, lorsque les deux cylindres sont de même diamètre,
l’intersection commune g'h', comme il sera démontré plus loin, se projette
horizontalement suivant une ligne droite ; elle devient une ligne courbe d’autant
plus sensible .que la différence: entre les deux cylindres est grande.Toir
les fig. 10, 11 et 12. . V ' , ': \

Les nervures C et U, se raccordent avec la semelle À du coussinet par: des
arcs.dé cercle qui, dans la projection horizontale, fig, 2, sont indiqués par
les courbes k'ï'. - …:..■.

L’opération, pour déterminer ces courbes, est complètement analogue à
celle des figures précédentes, et se trouve suffisamment indiquée par lés tracés,
fig. 13, 14 et 15. Nous devons faire remarquer que nous avons indiqué
tous les raccords autant pour exercer les élèves sur les problèmes que nous
avons donnés précédemment, que pour réunir en une seule planche un grand
nombre-de difficultés ; nous ajouterons que dans la pratique on n’a pas égard
à l’exactitude des opérations linéaires, et que les courbes sont déterminées
soit à l’aide de calibres, soit par des raccords tracés approximativement.

Les rails ne sont pas assujétis verticalement dans les coussinets, mais ils sont
légèrement inclinés vers l’intérieur de la voie, de manière que leur ligne d’arc
c b forme avec la ligne verticale c b2 un angle de degrés, ; cette inclinaison a
pour objet de maintenir les roues des wagons sur la voie, en opposition à la
force centrifuge (') , qui aupassage des courbes.tend à les faire sortir des rails.
i. La force centrifuge est l’action par laquelle un corps doué d’un mouvement de rotation
autour d’un axe tend à s’éloigner du centre de cet axe, par opposition à la force centrale qui
attire l’objet sur le centre du mouvement.Regles et donnees pratiques.
RESISTANCE DES MATÉRIAUX.
152. Les matériaux employés dans les constructions présentent, suivant leur nature,
des résistances variables proportionnées aux efforts qu’ils sont susceptibles de supporter.Ces efforts sont de plusieurs espèces, savoir : la traction, la compression , la flexion
et la torsion.On est arrivé, par des expériences réitérées, à établir des règles pratiques qui servent
de guides pour calculer les dimensions des diverses pièces selon le genre de la résistance.RÉSISTANCE A LA COMPRESSION OU A L’ÉCRASEMENT.153. La compression est une force qui tend à refouler dans le sens de la longueur les
fibres ou les molécules de la pièce soumise à son action.D’après Rondelet, un prisme de chêne, tant que sa longueur ou hauteur ne dépasse
pas sept à huit fois la plus petite dimension de sa section transversale, s’écrase sous
une charge de 385 à <(G2 lùlog. par centimètre carré de section transversale.En général, pour le chêne et la fonte, la flexion d’une pièce soumise à l’écrasement
se fait sentir, dès que la longueur ou hauteur atteint dix fois la plus petite dimension
de la section transversale. Jusqu’à cette limite, la résistance à la compression reste à
peu près constante.Le fer commence à se comprimer sous une charge de 4900 kilog. par centimètre
quarré, et fléchit avant l’écrasement, dès que la longueur ou hauteur de la pièce dépasse
trois fois la plus petite dimension de sa section transversale.Nous verrons dans la table suivante, le nombre de kilogrammes dont on peut charger
avec sécurité chaque centimètre quarré de la section transversale des corps de diverses
natures soumis à l’effort de compression.XIVe TABLE. —POIDS QUE PEUVENT SUPPORTER DES SOLIDES SOUMIS A UN EFFORT
DE COMPRESSION, TELS QUE LES COLONNES, LES PILIERS, LES PILASTRES , LES
ÉTAIS, LES POTEAUX, ETC.RAPPORT DE LA LONGUEURni'-pTnv ATinv A L-v VL,is PETITE DIMENSION.DESIGN AllON _™_ _^™^^„„___DES cours. Au-dessous Au-dessus Au-dessus Au-dessus Au-dessusde 12. de 12. de 24. de /i8. de 60.kil. kil. kil. kil. kil.Chêne fort 30.o 30.0 15.0 5.0 2.5Chêne faillie 19.0 8.4 8.0 » »Sapin jaune ou ronge 37.5 31.0 18.7 7.5 »Sapin blanc 9.7 S.2 4.9 » »Fer forgé 1000.0 835.0 500.0 107.0 84.0Fonte 2000.0 1670.0 1000.0 333.0 I67.0Cuivre roulé 823.0 » » » »' SUITE DE LA..XIVTe TABLE. .RAPPORT -.'"■■ RAPPORTdelà . de lalongueur à la , longueur à la"■ DÉSIGNATION DES CORPS. plus petite DESIGNATION DES CORPS: . plus petitedimension •-',-. dimensionau-dessous ' au-dessous- de !2:_ ' - . de 12.kil. . . ■ ' kil.Basalte de Suède et d’Auvergne 200.0 Pierre calcaire ordinaire .. 30.0Granit dur de Normandie.. : 70.0 Calcaire dur de Givry près Paris…….. . 3,1.0Granit vert (les Yosges 62.0 Calcaire tendre i'idem … 12.0Granit gris de Bretagne 65 0 Lambourde de qualité inférieure '■'.. ;.:. 2.3Granit gris des Yosges. 42.0 Brique très-dure '.. 12.0. Granit ordinaire 40.0 Brique ordinaire ' ; .. 4.0Marbre.dur.. .- •.'.,.. ;.- 100.0 Brique dure très cuite. .. 15.0Marbre blanc veiné et ïurqùin 30.0 Briquerouge 6.0Grès dur …….. 90.0 Pierre tendre (lambourde vergetée) 6.0Grès tendre… 0.4 Plâtre gâché à l’eau . ………. 5.'0'Roche de Chalillon près. Paris 17.0 Plâtre gâché au lait de chaux. 7.3Liais de Bàgneux près Paris, Hrès-dur… 44.0 Béton en mortier de dix-huit mois.: 4.0.Roche douce A'idem. t3.0 Mortier ordinaire de dix:huitmois:…… 2.SRoche d’Arcueil près Paris … -25.0 Mortier ordinaire en chaux et sable. …. . 3.5PierredeSaillancourtp.Pontoisè,l.requal. 14.0 Mortier en ciment ou tuiléaux piles - 4.8Pierre ferme de Comlans, employée à Paris. 9.0 Mortier éii pouzzolane de Naples et de ,Pierre calcaire très-dure 50.0 Rome… :…….. ., 3.7
RÈGLE. D’après cette table^ pour trouver la charge que peut supporter avec sécurité
une pièce quelconque soumise à l’écrasement, , ^
On multiplie._la section transversale de cette pièce par le nombre de la. table en
le modifiant suivant le rapport de sa longueur a la section. Et réciproquement, connaissant
la. charge qu’une pièce doit supporter, on détermine sa plus petite section
transversale. En divisant cette charge exprimée en kilogrammes par le nombre correspondant
de la table, en tenant compte de la longueur.
Premier exemple : Quelle est la charge que supportera un pilier en triques ordinaires,
à section rectangulaire, dé 50 centimètres sur 60 décote, la hauteur étant de
4 mètres, c’est-à-dire au-dessus de douze fois cette section. '

On a 50 x 60 = 3000 cent.'quarrés, section transversale. ' . . :

Puis, d’après la table, 3000 x 4 = 12000 kilog.
■ . Deuxième exemple : Quelle est là section transversale d’un poteau quarré en chêne
fort,.:de 2m80 de hauteur, pour résister à.une charge de 6000 kilogrammes.

D’après la table on a, si on suppose à priori la longueur au-dessous de douze fois la
section transversale,. le nombre ou.coefficient de compression par centimètre quarré
= 30 kilog. ;

Alors, 6000 : 30=200 centimètres quarrés, section transversale

En comparant ce côté 14c,l4, a la hauteur donnée 2m80, pour en avoir le rapport,

Ce rapport fait voir, comme nous l’avons fait par intention, que l’on ne devait pas
prendre le nombre 30 de la première colonne de la table pour déterminer la section
vraie du poteau, mais bien le nombre 25 de la deuxième colonne.

En conséquence les calculs doivent être rectifiés ainsi :
Troisième exemple : Quelle est la charge que peut supporter avec sécurité une colonne
massive, en fonte, de S centimètres de diamètre, sur 3m 84 de hauteur ?

On voit d’abord que le rapport de la hauteur au diamètre est 384 : 8 = 48 fois.

Le nombre que l’on doit prendre dans la table est alors 333.

Ainsi, section 0,785 (8) 2 X 333 = 16736 kilog.

Pour les magasins et boutiques, les architectes établissent ordinairement deux colonnes
jumelles en fonte, au lieu de pilastres en briques, pour occuper moins d’emplacement.
Les deux colonnes supporteraient alors une charge de plus de 30,000 kilog. et
pèseraient :

Si au lieu de deux colonnes jumelles massives ou pleines, on adapte une seule colonne
creuse de 16 cent, de diamètre pour supporter la même charge de 33000 kilog.,
on arrive à diminuer notablement le poids de la fonte.

En effet, le diamètre de la colonne étant 16 cent, au lieu de 8 cent., le rapport entre
la hauteur et le diamètre est de 24 au lieu de 48.

Par conséquent le nombre à prendre dans la table est de 1000 kilog. au lieu de 333.

Or, 33000 ; 1000 = 33°. section d’une colonne pleine, équivalente à celle dont il
faut chercher l’épaisseur. Puisque le diamètre de cette dernière est de 16 centimètres,
sa section est égale à

0, 785 X (16) 2 = 20ic q.

Si de cette section on déduit celle 33e qui vient d’être trouvée, on a 168e- ?• 06, pour
la section intérieure de ladite colonne creuse.
Le diamètre correspondant aune section interne de 168e- ?• 06 =

Ainsi l’épaisseur de la colonne creuse est égale à 16 — 14,75 = 1 » 25.
Or le poids d’une telle colonne ayant 3m 84 de hauteur =

Ce résultat fait voir qu’il y a une grande économie de matière, à employer des colonnes
creuses, au lieu de colonnes pleines.

Dans les deux cas précédents, on n’a pas tenu compte des moulures de la colonne et
de l’augmentation du diamètre vers sa base ; le poids doit en conséquence être élevé
d’environ 1/ 10e.

RÉSISTANCE A LA TRACTION.

154. La traction est la force qui, employée à tirer un corps dans le sens de sa longueur,
tend à en opérer l’allongement et par suite la rupture.

Des expériences multipliées ont également permis, comme pour la compression, de
déterminer les sections à donner aux corps soumis à la traction, pour qu’ils résistent
avec sécurité à cet effort.
Premier exemple : On demande quelle est la section de quatre tiges quarrées en
fer forgé, qui relient les deux sommiers d’une presse hydraulique dans laquelle on suppose
que la pression qui tend à éloigner ces sommiers et par conséquent à rompre les
tiges, est de 240000 kilogrammes.

Chaque tige doit donc résister à un effort de traction de M »Mfl. = 60000 kilog.
7•94 .. .'/COURS RAISONNÉ:D’après la table, chaque centimètre quarré de fer forgé peut être chargé avec sécuritéde lOOOkilog. - : \:On a donc ^^- — 60 centimètres ,quarrés, section transversale de chaque barre, et■ 2- .-'-"■. : ' ' .'■ ■'"'"' ''■'.■|/60 = 7c 74, côté delà tige. Si la tige était ronde, on aurait : -Où calculera de même le diamètre à donner, aux tiges de. pistons à vapeur ou de
pompes, après avoir calculé la pression sur le piston. '" '■'■■'.Deuxième exemple .• ; On demande à quel effort de tractioifpeut résister avec sécurité
une flèche ou timon de voiture en bois de frêne, dont, la section est de 100- centimètres
quarrés. . :, . :D’après la table on a 120kil. X 100 = 12000 lai: ■ .-.'.-" • "■' !■'/■'■ 155. — COHEKOIBS. Plusieurs ingénieurs emploient dans la pratique, pour les di--.''■■' -■ ■ ■ • 1500 X F ■'mensions
 à donner aux courroies, la formule suivante : L= ~ dans laquelle Lexprimé la largeur de la courroie en centimètres, F la force eti chevaux ( •* j vapeur, ^et v
la vitesse en centimètres par seconde. - ■ -On suppose l’épaisseur naturelle du fort cuir de boeuf, soit environ 5m/m pour celle
-de la courroie. .- ' ;.• -. "-, '^ .■■-. .' ■ ': ■_>- . ;_■.'"Cela donne lieu à la règle suivante..- Multipliez, la force en chevaux par le
■nombre constant 1500 -, divisez le produitpar la.vitesse exprimée en centimètres,
le quotient donnera la largeur de la courroie en centimètres.Exemple : Soit F = 2' chevaux-vapeur, v.— 3m ou 300e par seconde, on aCette formule satisfait, aux conditions suivantes" 1: 1° la courroie se développe'sans
glisser sur les ppulies qu’elle embrasse ; 2° elle n’est pas susceptible de s’allonger notablement
 ;' 3°.ellé résiste parfaitement à l’effort de traction qu’elle doit transmettre.Il convient que les diamètres des poulies dé transmission embrassées par. ia cour^
roie ne dépassent pas le rapport de 1 : 3. '. ./''.-' _.- ; ■'■.■■ "•■■.' ;.'-..1. On appelle, cheval-vapeur en"industrie,.le travail correspondant à un poids de 75 kilog.
élevé à un mètre de hauteur par seconde, travail exprimé par 75 kilôgrammètrès. Ainsi huit
chevaux-vapeur valent 8 X 75 =600 kilôgrammètrès.DE DESSIN INDUSTRIEL. 95XVe TABLE. — SOLIDES PRISMATIQUES OU CYLINDRIQUES SOUMIS A DES EFFORTS DE TRACTIONLONGITUDINALE.EFFORT PAR CENTIMÈTRE QUARRÉDÉSIGNATION DES CORPS. que l’on peut fairesupporter au corps avec sécuritéBOIS. Kiloj.Chêne [ dans le sens des flbres ! faible !.'."." '. '. WW. \ .' WW .' 60( perpendiculairement aux fibres 16.0ç„n:n i dans le sens des fibres 80 à 90od’,m j latéralement aux fibres 4.2Frêne dans le sens des libres 1 20Orme id. id 101Hêtre id. id 80MÉTAUX.Fer forgé ( le plus fort de petit échantillon 1000ou étiré J le plus faible de très-gros échantillon 416en barres, (moyen 666Fer ou tôle j tiré dans le sens du laminage 700laminée. ) tiré dans le sens perpendiculaire 600Fer dit ruban, très-doux 750[ de Laigle, de om/m 23 do diamètre 1500Fil de fer j le plus faible d’un grand diamètre 833nonrecùil. j le plus fortde Om/m 5 à 1 m/m de diamètre 1333( moyen de 1 à 3 m/m de diamètre 1000Fil de fer en faisceau, ou cable 500Chaînes en ( ordinaires, à maillons oblongs 400fer doux. | renforcées par des élançons 533Fonte de j la pins forte coulée verticalement 2251er grise. ) la plus faible coulée horizontalement , 217Î fondu ou de cémentation, étiré au marteau, en petilséchantillons 1667le plus mauvais, en gros échantillons, mal trempé 600moyen 1250Uronze de canons, moyennement 383I laminé dans le sens de la longueur 350rnivropnn™/ id- de qualité supérieure 433Llllvrei0"Se| battu….. 417[ fondu ' 233Cuivré rouge le plus fort au-dessous de 1 millimètre de diamètre 1167en 111 non \ moyen de 1 à 2 millim. de diamètre 833recuit. | id. le plus mauvais i 667Cuivre jaune, ou laiton fin : 210i,:™,, ( le plus fort au-dessous de 1 millimètre do diamètre 1416jaune en 111 > ' 833non recuit. ( JFil de ( écroui, non recuit, de Om/m \ 27 de diamètre 1933platine. j id. recuit 567Etain fondu 50Zinc fondu 100Zinc laminé 83.3Plomb fondu 21.3Plomb laminé 22.5Fil de plomb de coupelle, fondu, passé à la filière, de 4 millimètresde diamètre 22.7CORDES.Aussières et grelins en chanvre de Strasbourg de 13 à 14 millimètresde diamètre 440id. en chanvre de Lorraine 325id. en chanvre de Lorraine ou de Strasbourg de 23 milllm 300id. de Strasbourg de 40 à 54 millimètres 275Vieille corde de 23 millimètres 210Courroie en cuir noir 20m : ■ ; COURS-RAISONNÉ ',' '. --' RÉSISTANCE A LA ; FLEXION.156. — La résistance d’une pièce à la -flexion est l’effort qu’elle oppose à toute
charge agissant dans une direction perpendiculaire à sa longueur, comme dans le cas
des châssis, suppdrts,~leviers, balanciers, les arbres des.roues hydrauliques., etc., etc.Les corps-peuvent être' soumis à l’effort de flexion de plusieurs manières. Ainsi,
tantôt la pièce.-est.encastrée dans tm mur,..à l’une.de ses. extrémités,, et chargée à
l’autre extrémité d’un certain poids ;■ puis la pièce est supportée en son milieu, et chargée
à ;chaque extrémité ; puis encore la pièce est solidement encastrée à ses deux extrémités,
et chargée au milieu ou en un point quelconque'de sa longueur, . '-■ ■ ~ ;.'.1° Considérons le cas où une 'pièce, est encastrée, à l’une^ de ses extrémités et
chdrgée^à l’autre.  ;, ; - . , ;."-…'-" ,:'. ■''' .^ ;: ,,.'-.Soit.P la charge placée à une distance L,. en centimètres de la ligne d’encastrement ;
R, coefficient numérique variable selon’ le cas ; a, la" dimension horizontale en
centimètres de la-section transversale' de la pièce ; b, la dimension verticale en centimètres
de là même section transversale : .-■ rRX« V --: ■-..'.'■■ v .■:''■'..•'■-.-' ;■ \ .-,/• ■': :LaformuleP= ————- permet de déterminer la charge maximum,que p'eùlsupportersans être altérée, une pièce de section rectangulaire, eneastrée à l’une, de- ses
extrémités et chargée a l’autre. ' - . .'- ;: .-''.'-' ■ :Or, le coefficient R = 600 pour le fer," :. . ,:s . . '.. .' 750 pour''la fonte." : -… 60 pour le chêne, et le sapin. ;."  ; .:..En substituant, ces valeurs de, R, dans la formule précédente ;,, on obtient successivement
pour une pièce à section rectangulaire : ;;. " ;…> . -■.:■■' Ces formules conduisent à la règle suivante :Multipliez la dimension horizontale en centimètres de la section transversale
d’une pièce rectangulaire, par le guarré de la dimension verticale en centimètres
et par un coefficient numérique variable suivant la matière ; puis divisez, ce produit
par la longueur de la pièce exprimée en centimètres ; le quotient donnera en
kilogrammes la charge que peut supporter la pièce sans.altération.Cette règle fait voir que la résistance transversale des pièces soumises,:à l’effort de
flexion est en raison inversé de leur longueur, et directement proportionnelle a. leur
largeur et au quarré de leur épaisseur:verticale. D’après cette observation, il sera
toujours très-avantageux de placer de champ les pièces encastrées..ierexemple. Quel poids supportera sans être altérée une barre de fer présentant,
depuis la ligne d’encastrement jusqu’au point d’application de la-charge, une longueur
de 150 centimètres, et une section transversale dont la dimension horizontale a = 3 centimètres,
et la dimension verticale 6 = 4 centimètres ?

Ce résultat est donné, la pièce étant supposée de champ ; mais quelle sera la charge
soulevée ou supportée dans les mêmes conditions, en supposant la pièce posée à plat,
c’est-à-dire 4 centimètres exprimant alors la dimension horizontale a, et 3 centimètres
la dimension verticale b ?

Ce résultat est bien inférieur et prouve qu’il y a un grand avantage à placer la pièce
de champ.

Lorsque la pièce soumise à l’effort de flexion a une section quarrée au lieu d’être
rectangulaire, alors a = b, et ab 2 devient ô3 ; c’est une simple substitution à faire dans
la formule précédente. .

Biais si la section de la pièce est cylindrique , la formule, en représentant par D le
diamètre, devient :

Dans chacun des cas considérés pour une pièce encastrée à l’une de ses extrémités et
chargée à l’autre , on arrive à déterminer les dimensions transversales de la pièce par
les formules suivantes :
DÉSIGNATION SECTIONSCORPS. Rectangulaire. Quarrée. Cylindrique.
fer « ô 2 — b° = —— D" = ——- .

100 100 60

, » PL ,, PL „ PL
F0nteab*= liïb=TiïD^-75--
,<, PL ,, PL ^. PL
B0ISab'~^r •••• b=-w D*=-irLa
règlejléduite de ces formules, pour déterminer la section transversale quarrée,
rectmw^mëjM oMindrique, d’une pièce encastrée à l’une de ses extrémités et chargée
à/J%utre,^èenon’êesainsi :
/S Û ï> n: ^ *
Multipliez la charge par sa distance en centimètres de la ligne d’encastrement,
divisez ce produit par un coefficient numérique variable suivant le cas, la racine
cubique^du quotient- expriviera en centimètres la dimension verticale, ou le côté du
quarré, ouïe diamètre du cercle selon que la section transversale'de lapiècesera, un
rectangleou un quarré ou un cercle. -"':- ■ •
Ve Application : Quelle sera la section transversale d’une barre enier rectangulaire
recevant, à une distance de lm 50 de la ligne d’encastrement, une charge de 32 Mlog.
■dette barre ; étant supposée placée de champ ? . -.., . ' .■'■■,.-■
uiuicu&juu y. -" " . : ■■ <•2e Application. Quel sera l’éqûarrissage de la même pièce placée dans les mêmes conditions,
mais à section quarréé ?

157. — Observation. Quand la pièce soumise à l’effort de flexion a par elle-même
un poids appréciable capable d’influer sur Fa résistance, ou une charge répartie uniformément
sur la longueur, on détermine d’abord les dimensions de la section transversale
en négligeant cepoids ; ces dimensions étant trouvées d’après les-règles et formules
précédentes, oncalcule approximativement lé poids ou la charge uniforme de la pièce,
puis on ajouteJa moitié de ce poids à la résistance de. flexion pour calculer alors lès
nouvelles dimensions de la pièce. •"'. • …'■' ' •

Il est constant que la rupture d’une pièce encastrée, à une extrémité et chargée à
l’autre tend à avoir lieu à la ligne même d’encastrement, puisque c’est là que l’énergie
du-poids sur le levier est à son maximum. Or, lorsqu’on a déterminé par les formules
données la hauteurde la section de la pièce à l’encastrement, onpéut, pour alléger son
poids et bénéficier la matière, diminuer cette hauteur sur le reste de la longueur de la
pièce. La forme qu’il convient dé lui donner est celle d’une courbe parabolique (PI. 5).

Cette courbe est aussi employée pour les pièces, encastrées’aux deux extrémités,
et supportant une charge également répartie sur sa longueur ; tel est l’arbre en fonte
. dessiné planche 12 ;.' … ..-

Les balancieïs des.machines à vapeur affectent aussi 1 cette courbe qui donne à la
pièce une résistance uniforme, sans cause de rupture en un point plutôt 1 qu’en un autre
de. sa longueur. .

Une pièce supportée-par son milieu et chargée aux extrémités résiste à un effort
double de celui d’une pièce analogue encastrée à une extrémité et chargée à l’autre,
parce que chacun des poids placés aux extrémités n’agit que sur un levier égal à la
moitié de la longueur totale de la pièce., -

De même, une pièce reposant librement sur des appuis à chaque extrémité et chargée
en son milieu, supporte une charge double de celle d’une pièce analogue -encastrée à
une extrémité et chargée à l’autre. Dans ces deux cas , on se sert des formules précédentes
en doublant le coefficient R. '

Une pièce encastrée solidement à ses extrémités supporte un effort quatre fois plus
plus grand que dans le cas où elle est encastrée par une extrémité seulement et chargée
à l’autre. Par conséquent les formules données pour le premier cas de flexion peuvent
servir en quadruplant le coefficient R.

Pour calculer les diamètres.des tourillons des arbres en fonte de i'oues hydrauliques

ou susceptibles de supporter de grandes charges, on se sert de la formule particulière
suivante:

dans laquelle D exprime le diamètre en centimètres et P la charge en quintaux métriques
(100 ldlog.).

D’après cette formule, pour trouver le diamètre d’un tourillon en fonte, on extrait la
racine cubique de la charge totale exprimée en quintaux métriques, et on multiplie cette
racine par 3.

Pour le diamètre des tourillons en fer forgé, on multiplie le diamètre de ceux en fonte
par la fraction 0,863.
Exemple. Quel est le diamètre à donner à chaque tourillon de l’arbre d’une roue
hydraulique dont le poids total est de 30400 kilog.

On a 30400kil. =304 quintaux, D = 3 X K 304 = 20 cent., tourillon en fonte, etc.
20 X 0,863 = 17e 26, diamètre du tourillon en fer.
. XVIe TABLE SERVANT A DÉTERMINER LES DIAMÈTRES DES TOURILLONS DE ROUES
HYDRAULIQUES OU DES ARBRES SOUMIS A DE FORTES CHARGES.CHARGE TOTALE DIAMÈTRE DIAMÈTRE CHARGE TOTALE DIAMÈTRE DIAMÈTREsur des des sur des desLES TOURILLONS TOURILLONS TOURILLONS LES TOURILLONS TOURILLONS TOURILLONSen kilogrammes. en fonte. en fer. en kilogrammes. en fonte. en fer.3.8 1 0.86 15564.8 16 13.8130.4 2 1.73 18669.4 17 14.67102.6 3 2.59 22161.6 18 15.S3243.2 4 3.45 26064.2 19 16.40475.0 5 4.31 30400.0 20 17.26820.8 6 5.18 35191.8 21 18.121303.4 7 6.04 40482.4 22 18.99i1945.6 8 6.90 46234.6 23 19.852770.2 9 7.77 52523.2 24 20.713800.0 10 8.63 59375.0 25 21.575057.8 11 9.49 66788.8 26 22.446566.4 12 10.36 74795.4 27 23.308348.6 13 11.22 83417.6 28 24.1610427.2 14 12.08 92678.2 29 25.0312825.0 15 12.95 102600.0 30 25.89m…:::GO ;URS. RAISONNE ; -: ;■ , -

, RÉSISTANCE A LA TORSION. V :' ■■■■ ;.■■

158. —Lorsque deux forces agissent en sens contraire et tangentiellement à la sur-,
face d’un solide quelconque comme pour le faire tourner en sens contraire, on dit alors
que ce solide est soumis, a un effort de torsion. Ainsi, si on suppose .un arbre- de
machine a vapeur recevant, d’un bout, L’action de la puissance par une maiiiyèlle perpendiculaire
à son axe,'et-portant,-de l’autre, une roue d’engrenage destinée à transmettre
là force de la machine, la résistance qu’éprouve cet engrenage, et par suite ^extrémité
de l’arbre qui le porte, agit en sens contraire de la puissance appliquée à la
manivelle ; l’arbre éprouve donc un effortdétorsion qui est en raison de ces deux forces.

Dans les machines, les organes les plus susceptibles d’être soumis aux effortsc ;de
torsion sont les axes.môbiles, ou les arbres animés d’un mouvement:de rotation.. Ceux
qui sont soumis aux ; plus grands efforts de torsion, désignés sous le nom d’arbres premier
s .moteurs, sonties arbres" de volant des machines, ou les arbres de couche des
bateaux à vapeur. Lès arbres-qui doivent porter de forts, engrenage^ ou d’autres organes
.destines à transmettre la puissance, mais’sans choc et sans volant, sont rangés
dans la catégorie des arbres seconds moteurs ; enfin, les arbres qui ne portent .que des
poulies ou des engrenages de très-petites dimensions, sont compris comme arbres’ de
troisième classe. ; ..,.-. ■:■■,'• ■'.-'■■ ;,.,:: ;.

Dans les formules employées pour calculer les dimensions des arbres soumis à des
, efforts de torsion, on a égard à J’une ou l’autre dé ces trois classes d’arbres ;.

Comme ce sont les tourillons qui dans.ces arbres fatiguent le phis, puisqu’ils sù-bissènt

l’usure plus-ou moins considérable en raison de la chargé qu’ils supportent, ce

sont les diamètres de ces tourillons qu’on doit principalement s’attacher à déterminer.

La formule pratique employée !pour calculer le diamètre d’un tourillon en fonte
d’arbre, premier moteur, est ■ -' . -.-. ■ … . .'
d, représentant le:diamètre du tourillon en centimètres, … :.

C, le nombre de chevaux-vapeur que ljarbre doit transmettre, - -

R, le nombre de révolutions de l’arbre par minute, - , ..

Cette formule revient à.la règle suivante":.

159 ; — Pour déterminer le diamètre des tourillons d’un arbre en fonte premier
môteûr,ora' divise la force de la machine exprimée en chevaux-vapeur ■ (âè75 kilogrammètres) ,
par le nombre de révolutions de l’arbre par minute ; on multiplie te
quotient par le nombre constant 6859., puis on extrait la racine cubique-du prodwii.
Le/résultat dorme en centimètres le diamètre du tourillon en fonte.

Pour lès tourillons d’arbres en fonte seconds moteurs, la formule est :

et pour ceux d’arbres.troisièmes moteurs, elle est :

On voit par ces deux dernières formules, que l’opération pour déterminer le dia-

mètre des tourillons de deuxièmes ou troisièmes moteurs, est absolument la même ; il
suffît de remplacer le coefficient G859 par celui 3375 ou 172S.

160. — Pour les tourillons en fer forgé, on emploie les mêmes formules, mais en
substituant aux coefficients précédents 4076 pour les arbres de première classe ;
2197 pour ceux de deuxième classe, et 1090 pour ceux de troisième classe ; par conséquent
les formules deviennent :

Si dans ces formules, pour supprimer le radical, on élève les deux membres de l’équation
au cube, on a en représentant par m le coefficient variable .

formule qui fait voir que le cube du diamètre du tourillon est proportionnel à la force
transmise, et en raison inverse de sa vitesse de rotation. On voit ainsi que la résistance
d’un tourillon est proportionnelle au cube de son diamètre, c’est-à-dire qu’un tourillon
dont le diamètre est double d’un autre est capable de résister à un effort huit fois plus
grand, puisque le cube de deux est huit.

161. — Comme l’opération déterminée par ces formules est assez longue à cause
des extractions de racines cubiques, nous avons cherché à la simplifier au moyen de
la table suivante, qu’il est facile de construire.

Obseivons d’abord que la formule

Par conséquent, si on divise le coefficient m par les cubes des nombres successifs
1, 2, 3, 4, etc., représentant les diamètres des tourillons en centimètres, on aura une

suite de nombres correspondants a — •

Ainsi 6859, divisé successivement par les cubes 1, 8, 27, 64, etc., donne les nombres
de la deuxième colonne de la table suivante. De même les autres coefficients, divisés
aussi par ces cubes, déterminent les 3e, 4e, 5°, 6e et 7e colonnes de cette table.
*ea ; : COURS-Rirs:ÔNNË '
XVIIe TABLE. DIAMÈTRE DES TOURILLONS DES ARBRES SOUMIS,. ■ /. = ■ .  ;. A <DES EFFORTS DE TORSION., "--'-':. ■'":':'. DIAMÈTRE ""''■-''' '. '''ÂBBRE'S ;EN FONTE, .' -' ' ARBRES EN FER. ,, -, V.CENTIMÈTRES. ..jer moteur. 2 » moteur. 3e-moteur. ..1er moteur. -" 2emoteur.., , ;.3e moteur.1 .6859.00 3375.00 ■ 1728.00 4096.00- '2197.00 . -1000.002 857.38' 422.00 216.00 512.00 . 274.62 , 123.003 254.04- 125.00- ' 6i.00.'' ' - 132.00 : '81:36 - .37.004 '107.17 52.74 • 27.00 64.00 "' 34.33 18.625 S4.87 27.00 ' .13.82 32.70 ; 17.56' 8.006 31-75 15-62 8.00 49.90 10.17 4.62 "
7. . 20-00 ' 9.84 3.04 ' 12.20 6.11 2.918 13-32' 6.59 3.57 ,8.00 - 4.29 .1.95.9 9-41 4.63 < •-■ 2.37 ' 5.'62 .'■ '.■" ' .3'.'13" ■ •■"'■'" 1\3710 •■". 6-86 3.38 1.73 4-<Ô . 2.20 1.0011. 5-1S -2.34 ~ 1-30 3-68 1-65 0.7512 3'98 1,95 I.00 2-37 * -50' 0_.S713 : 3-12 - • 1.5J .0.78 : .1-86 - … 1-00 , Ô:4S .14 - ' 2-50, ■ ' ■" ■ |,27 0-61 1-43 - 0-80 . . 0.3615 2-03 ' ~ Î.00 "0-S1 ■ "■''-.' 1:-21 - ->'0'.'65 ■"'■: 0.29 -* '16 -1-67 0.82 0-42 l’-OO '.' 0-53 0.2417 1-40 - 0.68. 0.35 0-83 0-45 0.20
. 18: . - 1-.17. . ,- 0.58 0.30 0-70 _ .0.37 ' ■■'•. 0,1719 1-00 0.47 0.25. 0-60 0-32 ,0.1520 " ■ 0-86. ,- 0.42 -■ 0.22 - 0-S1 0.26 0.13 ,
.21 0- 74. 0,36^ ' 0.17 ■ _ 0-44 0.24 " 0-11
-.22 ' -.-. 0'64 0-32 ' 0.16 0-39 '•" 0-21- 0.09- 23 -'. 0-S6 … 0.27.  ;0.14 . ' 0-34 . 0,18 ' ,,0.08'. ; 724 ' "" 0-SO 3 .0.24 . 0.13 0-30 0.J6 .0.07 .. 25-, ■-, .- ,. 0:44 _: ,0-21 -.'■ ■. .'0H1-. 0-26 0-14 - ,0.06 ;■'26 0-3.9, , . 0.19 0.10 - ,0-23 ' 0.13 . 0.05..:.,' 27, ' 0-35 ■-. . 0.17 0.09 0 21 Ô-11 0-04 -".28 0-31. 0/15- 0.08 . ..-0-19 ' - - 0.10 ' ' » :- ". 29'-"■•'-'. 0-28 ' > 6.14- '■" "0.07 0.17 0.09 »30 0-25 _■ 0.13 0.06 0-15.. 0.08 . -. ;- » ; 31 0-23 ' 0.11 • . ■■ - » , '■■ 0.14 - 0.07 »",'32 '-.: 0-21 •-.: 0.10 •• »' 0-13' - 0.06 ' . ».33 • - . 0-19 0,09 " » .: 0.12 -..- » .« .-. ;'34 0-17 0.08. ■' » '•- 0.11 ' »' - « .35 . 0-16 > - » . 0.10-  »': • »'.-'36 - 0-15 » ' ''-,.' . -0^09 -' . » ." »37 .'. • o- 14 i .".« .. -0.08 -'. ' ' --' » ■■'*' "'- »38 0-13 » ,.'. . -0.07 ' ~ >
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RÈ&LE. D’après cette table, la règle pour déterminer le diamètre du tourillon d’un
arbre premier moteur se réduit à celle-ci :'
0.n,divise le,nombre de révolutions de l’arbre par minute par le nombre de chevauxvapeur
 ; on cherche flans l’une des colonnes de la table le nombre qui se rapproche
le plus du quotient trouvé, en ayant égard évidemment à la nature du tourillon. Le
nombre correspondant dans la première colonne donne Je diamètre en centimètres.
. Premier exepiple.Quel est le.-diamètre des tourillons d’un arbre en fonte premier
moteur,d’une machine à vapeur de.20 chevaux, marchant, à la vitesse ;dè33 révolutions
Dar minute. .■■'"■'■■."■.

On voit que ce ;quotient 1, 65 approche de celui 1,, 67 de la deuxième colonne de la
table, et que, ce nombre-corresponde 16 dans la première colonne ; par: conséquent le
diamètre d du tourillon est de 16 centimètres. - ' -._ -

Si l’arbre devait être en fer, il faudrait chercher le quotient dans la cinquième colonne,
on verrait qu’il serait compris entre 1, 86 et 2, 43 ; par conséquent le diamètre
du tourillon serait alors compris entre 13 et 14 centimètres, soit environ 135 millimètres.
Deuxième exemple. On demande le diamètre des tourillons d’un arbre deuxième
moteur portant de forts engrenages, pour transmettre une force de 15 chevaux, avec
une vitesse de 40 révolutions par minute.

Ce quotient approche de 2, 54 dans la troisième colonne et se trouve compris entre
3,13 et 2,20.dans la sixième colonne de la table. Il en résulte que le diamètre correspondant
doit être de 11 centimètres pour le tourillon en fonte, et compris entre 9 et
10 centimètres, ou d’environ 95 millimètres pour les tourillons enfer forgé.
Troisième exemple. Un arbre de couche de troisième classe devant transmettre
une force de 4 chevaux avec une vitesse de 48 révolutions par minute, on demande le
diamètre des tourillons, soit en fer, soit en fonte :

Ce nombre dans la dernière colonne de la table est compris entre 15, 62 et 8. Le
diamètre correspondant pour le tourillon en fer est alors compris entre 4 et 5, soit
45 millimètres. On verra de même, par la quatrième colonne, que le diamètre des
tourillons supposés en fonte est compris entre 5 et 6 centimètres, soit 54 millimètres.

La longueur des tourillons des arbres est toujours plus grande que leur diamètre.

Pour les’ gros arbres elle est égale à 1, 2 cl ou 1, 4 d, et pour les petits arbres elle
peut être de 1, 5 cl à 2 d. Ainsi le tourillon d’un arbre en fer de 0m 06 de diamètre, par
exemple, devrait avoir 1,5X0,06= 0m09 à 2x0,06 = 0m12 de longueur.

Lorsque les arbres doivent résister à la fois à des efforts de torsion et de pression
latérales, on doit prendre pour diamètre de leurs tourillons la dimension trouvée pour
le plus grand des deux efforts.

Quand les arbres sont de faible longueur, comme par exemple de 1 à 2 mètres,
leur diamètre peut être égal à celui des tourillons ou augmenté d’environ 1/I0e. Cette
augmentation peut aller de 1/5 à 1/4, pour des arbres en fonte pleins, lorsque les longueurs
s’étendent de 2 à 4 mètres.

FROTTEMENT DES CORPS EN CONTACT.

162. —Le frottement est la résistance qui s’oppose au mouvement ou glissement de
deux corps en contact. Il y a le frottement par glissement et le frottement par roulement.
Le premier provient de deux surfaces glissant l’une sur l’autre ; le second résulte
de la rotation d’un corps sur un autre.

Le frottement qu’éprouve un corps placé sur un plan est indépendant de la grandeur
de sa surface et de sa vitesse, il dépend essentiellement du poids du corps ou mieux de
sa pression sur le plan. On peut donc dire : le frottement est proportionnel à la pression.

De même le frottement qu’éprouve un tourillon tournant dans ses coussinets est
indépendant de la longueur de ce tourillon, mais proportionnel au diamètre et à la
pression.

Nous donnons pour chacun de ces genres de frottement une table indiquant le rapport
du frottement à la pression, qui n’est autre qu’un coefficient par lequel il faut
multiplier la pression pour avoir la résistance que le frottement oppose.
m COURS RAISONNE-DE' DESSINMKDUSTRIEL.
XVni* TABLE.—FROTTEMENT DES’SURFACES PLANES, A L’ÉTAT BE REPOS ET^.EN MOUVEMENT..■'■_" INDICATION DISPOSITION ETAT * RAPPORT M IROTTEMENT' :. to' ''■■ ; ;'. des. '…._ ' des - - * la I"'ession 'J-T .SURFACES EN CONTACT. '-_' ■''' HERES, SURFACES. . AU MOS." ES MODTEHEKT. .. .'.- / parallèles. .' sans enduit. 0.62 ! 0.48' - ,'id, . . : frottées de savon sec. 0-44 -,0.16Chêne sur chêne, . "perpendiculaires. ■. sans enduit. -■'N 0.54 0.34- r- id. mouillées d’eau. 0.71 -"■ i 0.25' .■ . ( bois de bout sur plat, sans enduit. 0.43 0.13 ... Chêne sur arme.,,.-.,,.,.,.,: ". .parallèles. id. . ; ©.38, -' Frêrië ; sapin,Tiêtre sur chêne., id. - ' - . id. -. 0.53 0.38 :Corde de chanvre sur chêne…. 1 parallèles: ' j. ' id. . 0.80 0:52Eersurchêne .,….,..,, - id. . . ld:>.' . .0.62. ■■■< ■ 0.4 ? 'Fonte'sur chêne:….,'.. .' '. id. -mouillées d’eau. "0.65 -0.22Cuir, de boeuf.pour garniture .'_,-' .:■< mouillées d’eau. . 0.62 ■.' . : ;'-.de piston,.sur fonte:…:… i S" plat ou de champ. avec huile ou suif , 0.12• ; .r-nWfftpf'snfïamlibnrenéhêire- ; L" ; ■ n) f ': - <.„„,. Vndiiit '0.-47 ~s 0.27contrôle | :Surpoulie:en fontei_j . . aplat. . _ _ sans enduit. , ., 0.28 ,..- ..-:…,:Fonte surfontee.:… ;…… id." . " . 0.16 0.15Fer sur fonte….. ;….. . r id. ' 0,99 - ;-.."- -J0-.*IJ9 .- -- .Exemple ; Quel est l’effort nécessaire pour soulever une vanne verticale en bois de^
chêne, contre laquelle est exercée une pression de 350 kilog. et dontïe poids estde 15 kilog. ?

- On a 0,71 X 350 = :248K+15^== 26.3.M1- au point de départ.
EtO) 325 X 350 = 87t 50 -^ 15 ~ 102t 50 pendant le mouvement.
XIXe TABLE -- FROTTEMENT DES TOURILLONS EN MOUVEMENT .SUR LEURS COUSSINETS.INDICATION "■'," '. -,- . .RAPPORT. DU FROTTEMENT ! . ' ^ . •':■ - , ÉTAT DES: SURFACES: .". MRSaDE ^ïïs™Bvni.É1 SURFACES ET CONTACT. . — —nman** ^~ ■■■■ »"\ :.,- \ .'_y~ ■ ■•. ' •■ '---'-- 'àlà -manièreordinaire, > d’une manière ïonttflu'B1 ^oSfsèiSÉ fer Ironie ™eS4« le,deSaindonx,4e:snif]- ou gaa^i' otfdecamionismoa-••••••• 0.07 à 0.08 , 0.054Avec les mêmes enduits et mouillées 'Tourillons en fonte.sur fonte., ' d’eau:-,.,.,….,,,,',,* ;::..,,:,,, 0.08 »- .' \ Onctueuses et mouillées d’eau. ;…,, 0.14 - »' tourillons,en fonte Sur coussi-: Oncfuéuses..-…. ;;…….,.'."…… 0.16 »nets en -bronze..' - - , .Onctueuses et mouillées.d’eau,…… ..■■■ 0.19 ,- >. •'■' \ -Sans enduit…,……………". ;… 0.18 i „ »Tourillons en fonte sur conssi-J,Onctueuses d’huile et de saindoux^..:, . - 0-10 , s
nets en bois de gaïac. j Onctueuses d’un mélange de saindoux[ et de plombagine '. . 0.14 .. »TnnrilIniK ! un frr « air nmraiiiPR ('En !iuites le. Cambouis ferme…….., 0.09 »„ ! SJ ■ coussinets Onctueuses et mouillées d’eau 0.19 »enuronze. , j Très-peu onctueuses 0.25. Tourillons-en fer.sur^coussinets-- Enduitesid’.huile oiiide saindoux..,.:. 0.11 -n.. en gaiac. ' j Onctueuses …\.,…………. 9.19 »
RÈGLE. Pour déterminer la pression P, exercée sur Jes« ) ussinets, en tenant compte
du poids dé l’arbre et de son équipage, de l’fiffoijt de la puissance et de celui de la résistancéj
il faut:'Multiplier'.ce produit ?par lecoefficimtipour avoir le frottement, puis
multiplier celui-ci par. le chemin parcouru, ou par la circonférence 2 m x — 6,28 ï
pour avoir le travail.pour chaque tour, et enfin multiplier ce produit par,le nombre
de tours en -i ' pour avoir le travail consommé pendant cette unité de temps,.
Exempte : Quel est le travail T consommé par les tourillons d’un arbre en fonte
tournant dans âes coussinets légalement en fpntç, le diamètre de ces. tourillons étant
0m,l4, le poids de l’arbre ayee ses accessoires, 40400 kilog., et la vitesse,5 tours par 1'. ?
On a d’après la table, ^0,75 pour coefficient, .et fbùr,formule ;

T = 6,2S r X nXfX P, ou T = 6,28 X 0,07 X 5, X 0,075 X 10,400 = 1714 kilog.
Chapitre iv.
INTERSECTIONS DE SURFACES.

DÉVELOPPEMENTS ET APPLICATIONS.

163. Une des plus grandes utilités de la géométrie descriptive dans son application
aux arts industriels, est celle relative aux intersections de surfaces ou
à la pénétration des corps solides. Elle permet, en effet, de déterminer d’une
manière rigoureuse toutes les courbes planes ou à double courbure ('^provenant
de la rencontre de deux ou plusieurs objets, dont la génération est connue.

Les applications en sont très-nombreuses soit en cbaudronnerie ou en ferblanterie,
soit en charpente, ou en menuiserie, soit enfin en maçonnerie ou
autres constructions. Il est donc naturel d’en introduire le principe dans ce
traité. Il en est de même des surfaces susceptibles d’être développées, pour
indiquer aux ouvriers, les contours suivant lesquels ces surfaces doivent être
découpées préalablement, afin de satisfaire rigoureusement aux intersections.

L’étude des projections comprend également les tracés d’autres courbes,
qu’il est utile de connaître par leurs fréquents emplois dans la mécanique et
l’architecture, tels que les hélices, les vis, les surfaces gauches, les serpentins
et les escaliers.

INTERSECTIONS ET DÉVELOPPEMENTS DE CYLINDRES ET CONES,
Planche 14°.
TUYAUX ET CHAUDIÈRES.
164. Les intersections des surfaces cylindriques ou coniques, sont des courbes
planes ou à double courbure ; le problème pour les déterminer consiste donc
à chercher un point quelconque de ces courbes, et à répéter la construction
pour tous les autres. Le principe à suivre revient : à imaginer un plan coupant
à la fois les deux cylindres, suivant des lignes droites ou circulaires,
dont les r-encontres respectives donnent des points de la courbe.

Ainsi, pour déterminer la courbe d’intersection de deux cylindres droits A et
B, représentés fig. 1 et 2, on trace un plan quelconque c d, parallèle à leurs
axes. Ce plan coupe le cylindre vertical A , suivant des génératrices, qui étant
verticales, se projettent horizontalement aux points ef, et verticalement sui"

1. On appelle courbes à double courbure des lignes dont tous les points ne sont pas situés
dans un môme plan.

.1.06 COURS RAISONNÉ

vaut les droites e' e2 et// 2. Cemême plan rencontre aussi le cylindre horizontal
B, suivant deux génératrices qui se confondent en projection horizontale
avec la trace c d. Une de ces génératrices sert à la détermination des points
de la courbe ; or, pour en obtenir la projection verticale, nous supposons la
demi-basegi, du cylindre B, couchée sur le plan fig. la. En prolongeant alors
la droite c d, jusqu’en c 2, la distance lie 1, indique la position de la génératrice,
par rapport à l’axe ij, du cylindre. On porte alors cette distance de i en c’,
sur la fig. 2 , et par le point c’, on mène la droite c’d’, qui donne la projection
cherchée. '

Les points de rencontre c2/ 2, de cette droite, avec les génératrices verticales
e'e 2 et// 2 déterminent deux points apparents de la courbe d’intersection
des deux cylindres. . ":.-',-.'

On voit qu’en suivant la même méthode pour/un autre plan m n parallèle
au premier, on obtiendrait de même les points,l’,o' et l 2, o2-, de la-courbe d’intersection.
' - ' :-•.'■'■ .■- ;■'•

Les points limites a'k', sont déterminés naturellement par la rencontre des
génératrices extrêmes. Quant au point b', qui est le sommet delà courbe, il
est déterminé par le plan y.p, tangent au cylindre vertical A. " ;. ■' . .

La réunion de ces divers points forme la courbe d’intersection cherchée.

Il est à remarquer que dans la ûg. 2, cette intersection est projetée, suivant
des droites a' b', et V W, qui se coupent à angle droit ; cela résulte de ce
que les deux cylindres A et B sont de même diamètre, que leurs axes sont
situés dans un même plan, et perpendiculaires l’un à l’autre, dé sorte que les
courbes suivant lesquelles ils se pénètrent sont elliptiques et perpendiculaires
au plan vertical. '

Ainsi, on voit que dans ce cas de deux cylindres égaux et droits, ilgùt suffi
de joindre lespointsextrêmes a' et k', au sommet b' intersection de leurs lignes
d’axe pour représenter les lignés d’intersection sans faire aucune autre opération.

165. Lorsque les cylindres ne sont pas égaux , la courbe d’intersection est
à double courbure, quoique les axes soient situés dans le même plan. Ainsi,
les fig. 7 et 8 qui représentent deux cylindres A etB, très-différents de diamètre,
font voir que la courbe d’intersection a' b' k', tracée d’ailleurs par le
même procédé, est une courbe à double courbure, d’autant plus aplatie, que
la différence entre les deux cylindres estplus grande. Pour bien indiquer que
l’opération est la même, nous avons désigné les points obtenus, par les mêmes
lettres que sur les fig. 1 et 2. Nous ferons néanmoins l’observation que le
procédé est indiqué dans ce cas sur deux figures représentées enélévation,
tandis que dans l’exemple précédent elles le sont en plan et en élévation.

Nous montrons l’application de cette courbe sur les figures 4 et 5 qui représentent
une chaudière à vapeur C, vue montée extérieurement et moitié
en coupe. La tubulure D, appelée irou d’homme, étant supposée cylindrique,
s’assemble avec la chaudière par une bride et donne ainsi des courbes d’intersections
extérieures ab, cd, et les courbes intérieuresef. ;
INTERSECTIONS D’DN CONE ET 1>'UNE SPHÈRE.
166. Toutes les fois qu’un plan coupe un cône parallèlement à sa base, la section
est semblable à cette base ; donc, s’il s’agit d’un cône droit à base circulaire
, la section est un cercle ; ainsi dans les fig. 3 et 3a, qui représentent un
cône droit A'B'S’, le plan a'b', parallèle à la base K'W, coupe ce cône suivant
un cercle dont le diamètre est justement compris entre les deux génératrices
extrêmes A'S’ et B'S’. Si donc du centre S, avec le rayon a S = ^ on trace
une circonférence, elle limitera la section du plan coupant.

Toute section faite dans une sphère C, par un plan quelconque, est aussi un
cercle. Lorsque ce plan, tel que celui a'b', est perpendiculaire à un plan de
projection , il se projette dans ce plan suivant une ligne droite fig. 3", et lorsqu’il
lui est parallèle, il se projette suivant un cercle fig. 3.

II résulte de ces propriétés, qu’on peut employer un moyen fort simple
pour déterminer l’intersection d’un cône et d’une sphère quelle que soitlapositio'n
relative de leurs axes. Ce moyen consiste à mener une suite de plans parallèles
, qui coupent à la fois la sphère et le cône suivant des cercles dont les
intersections donnent des points de la courbe, suivant laquelle ils se pénétrent
lorsque l’axe du cône passe par le centre de la sphère (comme l’indique la fig. 3).

L’intersection a'b', est une circonférence dont le diamètre est limité par la
rencontre des génératrices extrêmes S’A', S’B', avec le grand cercle de la
sphère C. L’opération est la même lorsque le cône est coupé par un plan a'g,
incliné par rapport à la base : la section est alors une ellipse qui se projette en
plan, fig. 3, suivant la ligne a i" g' n’, résultat de la rencontre des différents
plans coupants.

Il en est de même de l’intersection d’un cône A'B'S’ et d’un cylindre a'b'df ;
lorsque leurs axes se confondent, l’intersection a'b' est aussi un cercle dont le
diamètre est égal à celui du cylindre.

167. Lorsque les axes sont parallèles, mais non situés sur une même ligne,
l’intersection des deux surfaces est une courbe à double courbure qui peut se
déterminer, soit par la méthode relative aux fig. 1 et 3, soit par une suite de
plans parallèles à la base du cône, et par conséquent perpendiculaires aux génératrices
du cylindre, afin d’obtenir des sections circulaires ; chaque section
dans le cylindre reste la même, mais elle est variable dans le cône suivant la
distance du plan coupant au sommet ; ce sont les points de rencontre de ces
cercles avec celui du cylindre qui déterminent leur courbe de pénétration.
DÉVELOPPEMENTS.
168. Développer une surface, c’est la dérouler sur un plan pour se rendre
compte de sa forme et de son étendue.

Les surfaces développables les plus usitées, sont : le cylindre, le cône, les
prismes, les pyramides et les troncs ou fragments de ces corps.
Les chaudronniers, tôliers et ferblantiers qui opèrent avec des feuilles

métalliques minces, ont constamment à transformer ces feuilles en des objets
qui ont généralement des formes analogues à ces corps.

Pour opérer avec exactitude et sans tâtonnement, ils doivent préalablement
faire l’épure de l’objet fini, soit isolé, soit assemblé, puis en chercher le développement
afin de connaître le véritable contour suivant lequel la feuille doit
être découpée.
DÉVELOPPEMENT DU CYLINDRE. v
169. Ainsi, admettons que la fig. 2e que nous avions d’abord supposé représenter
deux cylindres pleins, représente au contraire deux tuyaux ou cylindres
creux, formés de feuilles minces, et proposons-nous de trouver quel doit être
le contour de la surface de chacun de ces cylindres ramenés sur un plan.

„On observe que le développement d’une circonférence sur une ligne droite
est égal au produit du diamètre multiplié par par S, 1416, ou pratiquement à
3 fois le diamètre plus 1/7 de ce dernier ; d’après cela le développement de la
base PQ, du cylindre vertical droit A ( fig. 2 ) , dont le diamètre est de 0m 322,
estégaià3xQ, 322 + 3rf- 2 = lm 012.. (72) ' • :.-, ?

On porte donc cette longueur lm. 012, sur la droite MM’, tracée fig. 10 ;
puis, si on a préalablement divisé laxirconférence abkb" en un certain nombre
de parties égales, comme on l’a fait fig. Ve pour obtenir l’intersection
des deux cylindres, on indiquelsur la ligne MM’, le même nombre de divisions ;
de chacun de ces points de division, à partir de M, on élève .sur cette
droite, une suite de perpendiculaires qui représentent les génératrices correspondantes
à celles du cylindre A, tracées fig.. 2 ; comme repère, nous avons
désigné ces lignes par lesmêmes lettres ; on porte ensuite respectivement sur
chacune d’elles’, ; les longueurs MV, efe 2, VF-, P a',f/.f,o/o 2, Q k' etc..On
obtient ainsi dans la fig. 10, les points b',e', /', P, qui ; forment le contour
correspondant à l’intersection du demi-cylindre b' a b"..(fig. 1 ) avec lé cylindre
horizontal B.

Comme l’autre moitié du cylindre est exactement égale à la première, son
développement est semblable à celui obtenu, et se répète comme le montre
lafig. 10. -,'■'•….' ,:

Nous croyons inutile d’indiquer le développement du cylindre horizontal B,
puisque l’opération est identique.

On voit donc, d’après ce qui précède, que le principe à suivre pour développer
un cylindre quelconque, consiste à l’ouvrir suivant l’une de ses génératrices,
puis à porter sur une ligne droite les positions successives d’une suite de points
pris à égale distance, ou si l’on veut arbitrairement surtoutle contour de labase, ,
et dont on a préalablement déterminé les projections sur l’intersection, quand
il est assemblé ou relié avec un autre, ou sur sa section quand il est coupé par
un plan quelconque ; on trace ensuite par les points marqués ainsi sur la droite
des perpendiculaires à celle-ci, et on porte sur elles les hauteurs des génératrices
comprises entre la base et les points d’intersection ou de section.
DEVELOPPEMENT DO CONE.
170. De môme que pour le cylindre, pour développer un cône, on l’ouvre
suivant une de ses génératrices, or toutes les génératrices d’un cône sont
égales, et passent toutes par un même point qui est le sommet ; il en résulte
qu’en étendant la surface du cône sur un plan, toutes les génératrices forment
autant de rayons d’un fragment de cercle ; par conséquent si on trace un cercle
avec un rayon égal à la génératrice, et si l’on porte sur la circonférence
de ce cercle une longueur développée égale à la base du cône, on formera un
secteur circulaire égal en surface à la surface latérale de ce cône.

Lafig. 9 représente le développement du tronc du cône a' b', A'B', projeté
fig. B" dont le sommet est en S’. On opère de la manière suivante :

Supposons le cône ouvert suivant la génératrice S’ A', fig. 3" ; avec un rayon
égal à sa longueur, on trace, du centre S 7, fig. 9, le fragment de cercle A'B'A 2.

Ayant divisé le cercle AB, base du cône fig. 3, en un certain nombre de
parties aux points 1,2, 3, etc., et tracé les génératrices correspondantes 1S,
2S, 3S, etc., on reporte respectivement ces parties rectifiées sur l’arc A'B' A 2,
en 1', 2', 3', etc., fig 9. Puis on mène les rayons l’S’, 2'S’, 3'S’, etc., qui
représentent les génératrices correspondantes projetées sur la fig. 3".

Le cône entier, d’après cette opération, serait donc développé, suivant la
surface S’ A'B'A 2 (73) , dont le périmètre circulaire est égal à la base rectifiée
du cône.

Mais ce dernier étant coupé par un plan a'b', parallèle à la base (fig. Ba)  se
trouve réduit à un tronc de cône dont le développement est compris entre la
base A'B 7 A 2, que l’on vient de déterminer, et le fragment de cercle a cb, que
l’on trace du môme centre S’, avec la génératrice a' S’ de la portion enlevée.
Le développement du tronc du cône est donc dans ce cas une portion de couronne
circulaire indiquée par un ton de hachures sur la fig. 9.

171. Dans le cas où le plan de section af b' n’est pas parallèle à la base, ou
bien si le cône pénètre une surface cylindrique ou sphérique, suivant une
courbe quelconque, le développement de cette courbe ne sera plus une portion
de cercle tel que celui acb.

On obtiendra son développement en reportant sur le rayon de la figure 9,
la longueur respective de chacune des génératrices comprises entre la base
et les points de section ou de l’intersection (figure Ba). A cet effet, il est
important de ramener chaque génératrice intermédiaire sur la génératrice
extrême par une horizontale partant de chaque point, pour avoir la véritable
longueur. C’est ainsi que le plan coupant milieu a'g (fig. B") , donne lieu à une
ellipse qui dans le développement (fig. 9) est représentée par la courbe aigb.
Pour obtenir, par exemple, la longueur, on rectifie le point i, de la partie de
la génératrice projetée en ik' (fig. 3"). Puis on trace l’horizontale i i', qui
donne alors A' i', et on porte indifféremment la longueur S’i' sur le rayon S’i
(fig. 9) , ou bien la distance A' i', sur ce même rayon de V en i.

flO -COU R& RAIS 0 NNÉ :

Pour la construction de la chaudière dessinée fig: 4 et 5, laquelle est formée
de plusieurs feuilles de tôle, on fait l’application des principes que nous
venonsM’exposeiven tenant compte dans le développement du supplément de
surface nécessaire pour le recouvrement ou l’assemblage des feuilles,,comme
l’indiquele dessin. :

 ; 172. Dans les chaudières à vapeur cylindriques, les extrémités sont ordinairement
de forme demi-sphérique, comme présentant plus de résistance^

La sphère n’étant pas développable, ces-fonds sphériques ne peuvent être
établis d’une seule pièce, à moins d’être emboutis, ou fondus. En exécution,
on lève la difficulté en faisant ces fonds de 5 à 8 fuseaux, suivant le diamètre
de la chaudière, et raccordés par une calotte ; ces fuseaux et la calotte,
après avoir été découpés, sont eux-mêmes emboutis ou rétreints au marteau.
- Nous donnons, fig, 6,.un moyen pratique pour déterminer approximativement
le développement d’un de ces fuseaux ; le tracé consiste à ;décrire d’un
point V, fig. 6, un arc de cercle m n, correspondant au rayon de la demisphère.
Gn porte sur cet arc, de m en n, la longueur circulaire du fuseau ; on
porte de même la distance p, g, correspondante à la 6e division de la vue par
bout fig. 5 ; on-marque un certain nombre de points 1, 2, 3, 4, 5, assez rapprochés
sur. l’arc mn, on eh rectifie lès distances pour les porter successivement
en M, 2', 3', sur la droite o'n’ ; par les points 1,2, 3,4, 5, on a tracé des
lignes-horizontales venant aboutir à la droite verticale m o', afin de donner les
rayons successifs d 1", c/2", o' 3", etc., avec lesquels on trace les arcs de cerclé
indiqués. ; les longueurs de ces arcs compris entre les rayons p o', et g% sont
rectifiées et portées respectivement sur les perpendiculaires élevées dès points
-l.',.<2', 3', etc. Ainsi l’arc p g rectifié, donne la longueur p' g' ; on forme ainsi un
contour fi, n’, g', qui donne approximativement la surface du fuseau supposée
ramenée à un plan, on ménage en plus la partie nécessaire pour le recouvrement,
comme l’indique la partie teintée (figV6). La feuille de tôle, ainsi découpée,
reçoit la forme du fuseau sur un mandrin en fonte à surface sphérique.

TRACÉS ET DÉVELOPPEMENTS. — HÉLICES, VIS ET SERPENTINS.
' Planche 1.5e. "
■HÉLICES. ' ,. ' ',•' -'
173. Oii appelle-hélice cylindrique la courbe engendrée par un point assujéti
à tourner sur la surface latérale d’un cylindre, en s’avançant constamment
d’une quantité proportionnelle à l’espace parcouru par sa projection sûr
la base du cylindre ; on appelle pas de l’hélice, la distance de deux portions
consécutives du point mesuré sur la même génératrice. -- ~

Il résulte de cette définition que pour tracer une telle courbe, lorsqu’on
connaît les deux projections du cylindre ; et la longueur où la hauteur du pas,
il faut diviser la circonférence' de sa base et le pas en un nombre quelconque.

DE DESSIN INDUSTRIEL. Ml

de parties égales, faire passer par les points de division de la base, les droites
parallèles à l’axe, et par les divisions du pas des lignes perpendiculaires à cet
axe ; les rencontres respectives de ces lignes déterminent autant de points de
la projection latérale de l’hélice.

Soient À et A' (Gg. 1 et 2) les projections horizontale et verticale d’un
cylindre droit, et a' a2 la hauteur du pas de l’hélice engendrée par le point
projeté en a, « '.

La circonférence décrite avec le rayon « 0, et qui représente la base du
cylindre, est divisée, à partir du point générateur a, en 12 parties égales. De
chacun de ces points de division sont élevées une suite de lignes verticales: le
pas <£ a- est également divisé en 12 parties, et de chaque point de division
sont menées des lignes horizontales qui rencontrent les premières aux points
1', 2', 3', etc. ; on réunit successivement ces divers points par la courbe continue
a' 1', 3', 6', 9' a-, laquelle représente la projection verticale de l’hélice.

La moitié de cette courbe est tracée en ligne pleine comme appartenant à
la partie antérieure a, 3, 6 du cylindre, tandis que l’autre partie symétrique
est ponctuée comme n’étant pas apparente, puisqu’elle correspond à la seconde
moitié du cylindre a, 9, 6.

Par cela même que l’on peut diviser le cercle et le pas en un nombre quelconque
de parties égales, il est naturel de choisir de préférence un nombre
pair (6, 8 ou 12) , dont l’opération graphique est la plus simple, et dans ce cas
on remarque que deux divisions du cercle, en tant que le point générateur se
trouve sur le diamètre horizontal a, 6, correspondent à une môme génératrice ;
ainsi les points 2 et 10 se projettent verticalement sur une môme ligne qui
donne les points 2' et 10'.

Le tracé à suivre est le même si la courbe est engendrée par un point projeté
en b', diamétralement opposé au premier a' et ayant le même pas b', b-.

174. L’hélice conique ne diffère de la précédente que parce qu’elle est tracée
sur la surface d’un cône, au lieu d’être décrite sur un cylindre. On opérera de
la même manière en se donnant les projections horizontale et verticale du cône.

La figure 3 est la projection verticale d’un tronc de cône C, dont les bases
a' b' et c’ d’sont représentées en plan suivant des cercles concentriques qui
ont pour rayons a 0 et c 0. La circonférence extérieure étant divisée comme
nous l’avons indiqué, on réunit tous ces points de divisions au centre 0, par les
rayons 1, 2, etc., qui rencontrent la circonférence interne en e,f, g, etc. On
projette ces derniers points sur la base supérieure c’ d’, on projette de môme
les premiers 1, 2, 3, etc., sur la base inférieure a' b' ; les droites 1- e2,22/ 2, 0' O 2,
etc., représentent autant de génératrices du tronc de cône, et doivent concourir
à son sommet.

Elles sont rencontrées par les horizontales partant des divisions du pas
donné a !c’ et déterminent parleurs intersections respectives les points e'fgr
d’c’, dont la réunion donne la projection horizontale, en abaissant de chacun
de ces points des verticales, qui rencontrent respectivement les rayons tracés

m COURS RAISONNE .

dans lafîg. 1. On obtient alors une sorte de spirale ou de volute e3,f3,g 3, h3., etc.
On pourrait également tracer sur le même principe les hélices situées sur des
sphères ou d’autres surfaces de révolution. '
DÉVELOPPEMENT DE L’HÉLICE.
175. On se rappelle qu’un cylindre comme un cône peuvent se développer
sur une surface plane, et que la.based’un cylindre droit se développe suivant une
ligne droite égale à 3 fois 1/7 le diamètre. Soit donc a 6, fig. 4, une portion du
développement de la base du cylindre A, fig. i et 2 ; pour obtenir le dévelop^
pément dé l’hélice tracée sur ce cylindre, on reporte sur cette droite lés longueurs
rectifiées des arcs obtenus par les divisions du cercle « 0. On lui élève,
de chacun des points 1, 2, 3, etc., des perpendiculaires sur lesquelles on porte
les hauteurs 1,1', 2, 2', 3,3', etc., respectivement égales aux distances .verticales
àrl, a'%. à'3, etc. ; fig. 2, qui ne sont autres que les distances des points
\', 2', 3', etc., dé la courbe à la base du cylindre. Tous les points \',.%'y-W, :
ainsi obtenus, fig. k, sont situés sur une même.ligne droite a &, qui représente
le développement d’une portion de l’hélice.

En général, le développement d’une hélice est toujours une ligne droite
représentée par l’hypoténuse d’un triangle .rectangle qui a pour base la circonférence
développée du cylindre et pour hauteur la longueur du pas. L’inclinaison
que forme cette droite avec la base montre la rampe de l’hélice.

Plusieurs hélices tracées sur un même cylindre avec le même pas, ou une
hélice continue faisant plusieurs révolutions, se représentent dans le^dévelop-"
pement par une suite dé lignés parallèles dont la distance mesurée sur une
génératrice est la hauteur du pas.

Le développement de l’hélice conique peut S’obtenir par une opération
analogue à celle indiquée pour le développement du cône (pi. 4). Dans, ce
développement, l’hélice donne une courbe au lieu d’une ligne droite.

On rencontre de nombreuses applications de fhélice dans les arts, pour la
génération des vis, des escaliers, des serpentins, etc.
vis. .■''■':•
176. Les vis sont employées en mécanique, en construction, soit comme
moyen de serrage et de pression, soit comme organe mobile. Les vis sont à
filets triangulaires, carrés ou arrondis.

Une vis est dite à filets triangulaires, lorsqu’elle est engendrée par un
triangle isocèle dont les 3 sommets décrivent des hélices autour d’un axe
donné, situé dans le même plan que le triangle.

Les fig. 5 et 5oe, représentent les projectionsd’une vis à filet triangulaire qui
est engendrée par le triangle a' b' </, dont un des sommets a' est situé sur un
cylindre de rayon « 0, et dont les deux autres sommets b[yc’ appartiennent à
un .même cylindre intérieur de rayon h 0 appelé noyau et concentrique au

premier ; la différence des rayons a 0 et b 0, indique la profondeur du filet a b.

Lorsque la vis est à simple filet, comme nous le supposons dans la fig. 5",
le pas est égal à la distance des deux points b' et c’ ou à la base du triangle. La
vis est à 2, 3, 4 ou 5 filets, lorsque le pas est égal à 2, 3, 4 ou 5 fois la base
du triangle générateur.

D’après ce qui précède, on peut aisément tracer une vis à filet triangulaire,
puisqu’il suffit de déterminer les hélices engendrées par chacun des angles du
triangle donné, comme on vient de le voir sur les fig. 1 et 2.

L’opération est d’ailleurs suffisamment indiquée pour un filet sur les fig.
5 et 5« .

Lorsqu’on a obtenu l’une des courbes a' 3', &, on la répète autant de fois
que l’on veut représenter de filets sur la longueur de la vis, et pour éviter de
répéter chaque fois l’opération, on fait un gabarit sur la courbe trouvée, avec
une feuille de carton , ou préférablement avec un morceau de placage, et en
dirigeant ce gabarit aux points de divisions d’e'f, on trace les courbes parallèles
qui passent par ces points. On opère de même pour les hélices du noyau.

Il est à remarquer que ces hélices, pour terminer le contour de la vis, doivent
être réunies par des parties b' cl’ et cl’ ï, qui, quoique indiquées en lignes
droites sur la fig. 5", sont rigoureusement des lignes légèrement courbes qui
sont tangentes aux hélices passant par les points al et b 1, fig. 5J. Ces courbes
sont le résultat d’une suite d’hélices engendrées par les différents points des
côtés a' 6' et a' c’, du triangle générateur ; mais en pratique on n’en tient aucun
compte et on se contente de lignes droites.

177. Une vis est à filet carré, lorsqu’elle est engendrée par un carré ou un
rectangle dont les côtés parallèles appartiennent à des cylindres droits et concentriques,
et dont les angles décrivent des hélices autour de l’axe de ces
cylindres.

Les fig. 6 et 68 représentent les projections d’une vis dont le filet est engendré
par le carré a' c’ b' cl’ ; le côté horizontal a' c, détermine la profondeur.
La hauteur a'cl’, marque la largeur du plein, et l’intervalle cl’ e', indique le
creux ; le plus souvent ce creux est égal au plein.

Lorsque la vis est à simple filet, le pas a' é comprend le creux et le plein
seulement, ou est égal à deux fois le côté du quarré. Mais lorsque le pas est
2, 3, 4 fois la distance a' c’, la vis est à 2, 3 ou 4 filets et contient toujours
autant de creux que de pleins. Les figures indiquent suffisamment les opérations
pour le tracé d’une vis à simple filet quarré ; celle à plusieurs filets ne
présente pas plus de difficultés.
ÉCROTJS.
178. Les écrous sont des vis pratiquées ou incrustées à l’intérieur d’un corps
au lieu de saillir à l’extérieur, de telle sorte que les parties creuses de l’écrou
correspondent aux parties saillantes de la vis et réciproquement. Pour que les
filets héliçoïdes d’un écrou soient apparents, on est obligé de le couper par un

plan passant par son axe ; c’est ainsi que sont représentés lès écrous nï npq,
dans les fig. 5 » et 6ff ; le premier est à filet triangulaire pour recevoir là vis
D, qui commence à y pénétrer ; l’autre est à filet carré pour correspondre à

la vis E. …-. ■

Il résulte de la section de ces écrous, qu’il n’y a d’apparent sur le dessin
que les portions de filets correspondantes à là partie postérieure ou non visible
des vis D et È ; par suite, les Hélices tracées sont inclinées en sens Contraire
decelles indiquées en lignes pleines sur les vis. : .-:

On distingue dans la pfàtiqueles vis à droite dont la Courbe rampante s’élève
de gauche à droite, comme les vis DE, et les vis à gauche, dont la courbe
rampante se dirige, au contraire , de la droite vers la"gauche, ; c’est-à-dire,
par exemple", dans le sens des filets apparents des écrous coupés.
SÉ.RHENTIN.
179. On appelle serpentin en pratique un tube contourné sôiïs la forme
hélicoïdale, maisengéométrie, un serpentin est un solide engendré par une
sphère dont le centre parcourt une hélice.

Les serpentins-sont souvent employés, soit comme tuyaux, soit comme ressorts
à boudins. -

Pour tracer un serpentin, oh détermine d’abord l’hélice décrite par le centre
de là sphère dont le diamètre est connu, en se donnant le pas de cette
hélice et le rayon du cylindre qui la contient, puis des différents points pris
sur la courbe, on décrit avec le rayon de la sphère, une suite de circonférences
auxquelles on mène deux courbes tangentes qui limitent le contour du
cylindre.^

Les fig. 7 et 7" représentent le plan et l’élévation d’un serpentin ainsi formé.
Le cercle tracé avec le rayon a 0, est la base du cylindre sur lequel se trouve
l’hélice engendrée par le point projeté verticalement en d’ ; on se donne ensuite
le rayon a' b' de là sphère génératrice et le pasa', « 2 de Phélicë. Cette hélice
est alors projetée comme l’indique l’opération suivant la courbea' 1', 27,6', 9',
et a 2 ; elle est.coritiriuée indéfiniment selon le nombre de spires que l’on veut
avoir. Des différents points obtenus de cettecourbe on décrit avec le râyon:
a'b', une suite de cercles assez rapprochés, puis on mène deux courbes tan-=
gentes à la'circonférence de ces cercles comme le montre la 1 fig. 7« .

Il importe en passant cette figure à l’encre d’arrêter les courbés, suivant
le contour apparent ; ainsi, pour la partie antérieure a-, ï, % % 6, fig. 7 du
cylindre, la courbe inférieure c e, fg, s’arrête d’une part au point de contact c,
du cercle générateur décrit du cylindre a 2, tandis que la seconde hid, s’arrête
en d, sur le cercle décrit du point 6'. - . -

Ces courbes disparaissent ensuite, l’une en g, et l’autre en i,pour laseconde
partie 6, g a du cylindre.

En projection horizontale le serpentin est toujours’compris, entre deux eer-

cles concentriques dont la distance est égale au diamètre de la sphère génératrice.


La fig. V>, représente un tube en serpentin que l’on a supposé coupé par un
plan vertical 1-2, passant par l’axe du cylindre. Les portions apparentes des
spires sont dans ce cas comme pour les écrous inclinés de droite à gauche. On
voit également en industrie des serpentins à section pleine ou creuse, engendrés
par des hélices coniques ou autres, comme par exemple les ressorts
employés dans les lampes à régulateur, dans les sommiers élastiques, etc.,
comme aussi les tubes à serpentins en usage dans les distilleries.

180. OBSERVATION. Les tracés rigoureux que nous venons d’indiquer pour
les vis et les serpentins se modifient lorsqu’on doit les reproduire en dessin
sur une petite échelle ; ainsi, la vis à filet triangulaire peut s’exprimer comme
le montre la fig. 8, par des lignes droites parallèles qui remplacent les hélices,
et qui sont légèrement inclinées suivant la moitié du pas de celles-ci.

Pour opérer régulièrement, ces lignes doivent être comprises entre des parallèles
à l’axe, qui limitent la saillie du filet. Pour plus de simplicité, surtout
lorsque les vis sont très-petites, on se contente de lignes parallèles inclinées
comprises entre les deux génératrices extrêmes fig. 9, qui déterminent leur
diamètre.

Pour les vis à filet quarré, on remplace également les hélices par des lignes
parallèles inclinées, comme l’indique la fig. 10. Il en est de môme du serpentin
fig. 11.

APPLICATION DE L’HÉLICE.
CONSTRUCTION DE L’ESCALIER.Planche 16.

181. Les escaliers qui dans les bâtiments établissent la communication des
divers étages, sont construits sur plusieurs systèmes dont le plus grand nombre
repose sur l’application de l’hélice.

La cage ou l’espace réservé pour recevoir l’escalier varie suivant les dispositions
de la localité. Cette cage peut être rectangulaire, circulaire ou elliptique.

Les figures 1 et 2, représentent un escalier dont la cage a b c d, est rectangulaire,
c’est dans cet espace que l’on doit établir le limon , les marches et la
rampe enlaissant au centre un jour suffisant pour y laisser pénétrer la lumière.

Dans le cas où la cage est cylindrique, l’hélice, suivant laquelle les marches
dites tournantes s’élèvent, commence dès la première, et se termine à la dernière
 ; mais dans un escalier à cage rectangulaire comme celui qui nous occupe,
les premières marches dites parallèles s’élèvent en ligne droite, et la courbe
rampante ou l’hélice ne commence qu’un peu avant le contour circulaire qui
raccorde les deux parties rectilignes, lorsqu’il n’y a pas de palier intermédiaire,
c’est-à-dire de repos au milieu de la hauteur de l’escalier.

Pour la division des marches, on prend pour guide une ligne e f g h i, située

vers le milieu de leur largeur, et suivant exactement le contour qu’on se propose
de leur donner. La première marche A, qui repose sur le sol, est généralement
en pierre de taille et plus large que toutes les autres. .-

Dans l’escalier, comme pour l’hélice, on divise le pas ou la hauteur 3m 380
existant entre le sol et l’étage supérieur, eh autant.de parties que l’on veut avoir
de marches. On divise alors la ligne génératrice e/<77M’, en autant départies
égales à partir du point 1. En général, on doit s’arranger pour que "la hauteur
des marches ne dépasse pas 19 à 20 centimètres. Plus la cage d’escalier est
grande, plus on peut réduire cette hauteur, jusqu’à 15 à 16 centimètres. La
largeur. 1, 2,. du giron ou de la marche, ne doit pas être au-dessous dé 18 à 20
centimètres. .  !

Si sur,1a hauteur donnée, 3m 380> on établit21 marches, on devra diviser
cette hauteur en 21 parties ou degrés. Par chaque point dé division on trace une
suite de lignes horizontales qui représentent le dessus ou le giron des marches.

Pour les marches qui sont parallèles, il suffit d’élever de chaque point de
division de la ligne génératrice, autant de lignes verticales qu’il y a de parallèles ;
les points de rencontre 1, 2,3, 4-, etc., fig ; 2, indiquent le bord de ces
marches, mais pour les marches tournantes,'' on est obligé de faire une
opération particulière que l’on appelle balancement des marches. Cette opération
a pour objet de donner aux marches des largeurs à peu près égales, sans
qu’elles soient par trop resserrées à l’extrémité qui aboutit au limon, et d’éviter
aussi que la courbe passant par les arêtes supérieures des marches, n’éprouve
des changemens trop brusques.

Dans les escaliers étroits, comme celui représenté sur. le dessin, le balancement
doit commencer deux ou trois divisions avant la marche tournante.

Le tracé consiste, à développer d’une part la partie droite p l du limon qui
comprend trois hauteurs de marches, puis la partie courbée, m-, ra, du même
limon qui comprend également trois hauteurs de marches ; On obtient le développement
de la première ligne en,portant sur la verticale t q (fig. 3) trois
hauteurs égales à celle d’une marche ; au points, on trace une ligne.horizontale
sur laquelle on porte trois largeurs de marches, on a ainsi la ligne q k, qui
représente le développement en ligne droite des marches parallèles. On obtient
de môme la seconde ligne t u, en portant sur la verticale t q', prolongement
de la première tq, trois hauteurs égales. Aupoint q', on tire une ligne
horizontale sur laquelle onportede g', en 10, la longueur de l’arc rectifié l, m, n,
de la fig. lre ; là droite 110, donne alorsle développement correspondant à la
partie courbe dû limon.

Du dernier point n,on élève une perpendiculaire no, sur la droite, t u, on '
élève de même du point 5, origine du balancement, une perpendiculaire à la
droite t’k ; le point de rencontre o de ces deux perpendiculaires donne le centre
de l’arc, de cercle p k n, que l’on trace tangentiellement à ces lignes. On
mène alors de chacun des points de division marqués sur tq et tq !, des lignes
horizontales qui rencontrent, cet arc aux poin ts/, k, l, m ; de ces points, on mène

DE DESSIN INDUSTRIEL. m

des parallèles à qq' ; puis, on porte les distances respectives j6, kt, 18, md,
comprises entre l’arc et les deux droites t 4 et tu, sur la ligne du limon pkn
du plan (fig. lre)  de j en k, de k en l, de l en m et de m en m, etc.

On joint alors les points,/' k,l, m, aux points de division, 6, 7, 8, 9, etc., de
la ligne génératrice, par des droites qui représentent la véritable direction des
marches balancées. Il est évident que la seconde partie tournante de l’escalier
est exactement la même que la première. Ayant ainsi déterminé la direction
des marches en projection horizontale, on les projette successivement sur le
plan vertical par une suite de lignes qui rencontrent respectivement les horizonitales
menées de chacun des points de division aux points 1, % 3,4, etc.Comme
l’élévation fig. 2, suppose que Ton a enlevé le mur antérieur de la cage, suivant
la ligne a 6' 10', ce sont les points 1,2,3,4, etc., que l’on projette sur cette figure
pour avoir les points correspondants qui représentent les bords des marches.

Les contre-marches v v', sur lesquelles celles-ci sont en saillie, n’étant pas
apparentes en projection horizontale, ont été indiquées sur la fig. lro par des
traits ponctués parallèles aux bords des marches. Pour les rendre apparentes
et en môme temps bien faire voir leur assemblage avec !e limon, nous les avons
représentées sans les marches sur la fig. 4 en admettant qu’elles soient coupées
successivement au milieu de leur hauteur par un plan horizontal.

Le limon est la pièce principale d’un escalier, il se place vers le centre de
la cage, pour soutenir toutes les marches ; il doit être construit avec la plus
grande régularité, parce que c’est sur lui que repose la solidité de l’escalier.
Habituellement, le limon se fait en trois parties et en chêne, celle du milieu C,
correspond a la partie courbe, et les deux autres B et I) , avec lesquelles elle
s’assemble, correspondent aux parties droites. Pour bien déterminer les formes
et les proportions du limon , il est indispensable de faire une épure spéciale,
telle que celle indiquée ( fig. 5). Cette épure consiste à tracer d’une
part, chacun des joints suivant lesquels les contre-marches s’assemblent avec
le limon, ce que l’on peut obtenir très-facilement en projetant ces dernières
de la figure 4 sur la fig. 5 ; on remarque que ces joints sont découpés en
biseau afin de ne pas être apparents à l’extérieur: ces faces de joints se voient
sur la fig. 5 dans les parties B et C, et leurs projections sont suffisamment indiquées
par les lignes ponctuées. Le limon ayant une certaine hauteur, est découpé
en dessus suivant les degrés de l’escalier, et en dessous suivant une
courbe a'b'c’d’e'f, qui n’est autre qu’une hélice composée de deux parties
droites et d’une portion courbe. Les parties droites a'b' et e'f sont naturellement
parallèles à la ligne génératrice des marches 1,3,5,13,16,19 ; la partie
courbe b'c’ qui correspond à la face antérieure b2c- du limon, se trace exactement
comme l’hélice cylindrique ordinaire ; il en est de même de la partie d’e',
qui corresponde la face intérieure d2e-. Si pour bien indiquer l’espace occupé
parle limon suivant la largeur de la cage, on veut faire voir celui-ci sur le profil,
on peut aisément le tracer (fig. 6) à l’aide des figures 4 et 5. Nous avons indiqué
sur une plus grande échelle (fig. 12, 13 et 14) les différentes vues de la

« 8 COURS RAISONNÉ

pièce courbe C du limon, afin de bien en montrer la construction, ;ainsi que la
disposition des faces d’assemblage connue sous le nomdetraitde Jupiter ; cha
cune de ces figures est inscrite dans un rectangle indiqué eiï lignes ponctuées
pour représenter le parallélipipède rectangle dans lequel il petit être débité.
Pour Consolider l’assemblage de cette pièce avec les parties B et D, on les réunit
par des plates-bandes de fer oupar des boulons incrustés dans l’épaisseur dubois.

Lès figures ? et8, représentent en plan et en élévation les détails de la marche
paliëre E, qui termine l’escalier au premier étage, et qui doit être par
conséquent de niveau avec le plancher. C’est avec cette pièce que s’assemble
la partie supérieure 1) , du limon, par un joint analogue ; la fig. 9 est une section
faite par le milieu de cettemarche suivant la ligne 1,2,'La fig. l’O'én est une
faite suivant la ligne 3,4, et la 6g. 11 est une troisième section, faite suivant M
ligne 5,6. La forme, les dimensions ainsi que les joints de cettemarche palièfe
sont suffisamment indiques par ces diverses figures. ' ' '

Le noyau ou le jour de l’escalier est garni d’une balustrade formée d’un certain
nombre de barreaux en fer F, assembles au limon comme l’indique la figure
15, et réunis par'leur partie supérieure aune pïatè-baridë en fer incrustée
dans une rampé ou main courante G (' ) en bois de noyer ou d’acajou ; là place
dé ces barreaux, indiquée sur la.fig. lre, suffit pour déterminer la projection
verticale (fig ; 2). . "'

INTERSECTIONS DE SURFACES. ;''.■"'.'."/> ;■ •
APPLICATION AUX ROBINETS.
Planche 4T.

182. Nous avons déjà indiqué précédemment plusieurs intersections de surfaces
avec leurs applications aux tuyaux, chaudières, etc. Nous allons encore
en faire connaître quelques autres qui se rencontrent assez généralement et
particulièrement dans la construction des robinets. " .

Un robinet est ; un organe mécanique destiné.à établir ou à interrompre à volonté
la communication d’un vase quelconque contenant un gaz ou un liquide.

Il se compose de deux parties distinctes, l’une appelée boisseau ; l’autre,
ajustée.et mobile dans la première, se nomme clé.

Les robinets sont en cuivre, en plomb, en fonte, et leur boisseau est fondu
avec ou sans brides, pour s’assembler avec les tubulures et les tuyaux qui doivent
les recevoir, par des.boulons ou par des vis. La clé du robinet est généralement
conique, afin de présenter plus d’adhérence dans son siège ;(- 2 )  ; il en
résulte naturellement que le boisseau lui-même doit être conique aufour de
la clé. Le raccord entre cette partie conique avec la tubulure cylindrique se
1. Voir planche 3, iig. (S.2. Le degré de conicité delà clé que nous représentons sur les. flg..2 »et 2'. varie suivant les.
usagés et les constructeurs. Les cbles et les lignes ponctuées feront voir qu’on peut lui donner
différentes inclinaisons suivant qu’on veut avoir.plus de douceur dans.la manoeuvre ou plus
d’herméticité dans la fermeture. . '. „. :
fait par une gorge de forme à peu près elliptique, tel est le robinet représenté
en plan et en élévation sur les fig. 1 et 1".

On voit sur ces figures la partie conique A qui enferme la clé du robinet,
les parties cylindriques B, qui se raccordent avec elle par les gorges D, et les
brides circulaires C, qui terminent ces parties.

La clé conique E, ajustée dans le boisseau , est surmontée d’une poignée F,
à l’aide de laquelle on peut la faire tourner à volonté , puis retenue par un
écrou G à la partie inférieure du boisseau. La Og. \h représente la vue de bout
de ce robinet, et la fig. 2J la projection latérale de la clé seule. La fig. 2e est
une vue en dessous de cette clé sans la poignée. La fig. 2 est une section
horizontale faite par la ligne d’axe 1-2, et la fig. 28 une section verticale faite
suivant la ligne 3-4.

Il est facile de voir par ces différentes figures que pour représenter exactement
toutes les parties d’un tel robinet, on a cherché, d’une part, l’intersection
d’une gorge elliptique D, avec la surface conique extérieure A du boisseau,
puis l’intersection des surfaces cylindriques de la poignée F, de la clé, lorsque
celle-ci est placée parallèlement au plan vertical, comme fig. 28, ou incliné à ce
plan, comme fig. 1". Nous avons aussi à déterminer, d’un autre côté, l’intersection
de l’ouverture quadrangulaire H, pratiquée dans la clé du robinet
avec la surface extérieure de celle-ci, et enfin l’intersection d’un prisme avec
une sphère qui termine l’écrou G. Les opérations relatives à ces diverses
intersections, sont indiquées sur les figures suivantes.

Les figures 3 et 3" indiquent le tracé géométrique de l’intersection du cylindre
horizontal F', avec le cylindre vertical F, de la clé du robinet. La
courbe d’intersection abc, s’obtient évidemment suivant le procédé décrit
(fig. 1 et 2, pi. 14-)  ; nous n’avons fait que répéter ici les opérations,

183. Lorsque le cylindre horizontal F' (fig. 3S et 3e)  est incliné au plan vertical,
la courbe d’intersection de ce cylindre avec celui E, change d’aspect en
projection verticale, mais sa construction est toujours la même.

On voit en effet que si, comme dans la figure précédente, pour obtenir un
point quelconque, on mène un plan vertical d’ e', parallèle à l’axe des cylindres,
ce plan coupe le cylindre vertical suivant deux droites qui se projettent verticalement
en df, et eg. Ce même plan coupe aussi le cylindre horizontal suivant
une génératrice projetée horizontalement en d’ e\ et dont on obtient la projection
verticale après avoir fait le rabattement de la base du cylindre comme
l’indique la fig. 3. En portant la distance ii', de A en h' (fig. 3} et fig. 3e) ,
l’horizontale de, menée par le point h', représente l’intersection du plan avec
le cylindre horizontal. On voit que cette droite est rencontrée par les génératrices
dfeteg, aux points de ; il en serait de môme de tout autre point de la
courbe dbec.

184. Les figures 4 et 5 représentent l’intersection d’un cylindre à bases elliptiques
, avec un cône à base circulaire correspondant à la surface conique
A du boisseau, rencontrée par les gorges D. La figure 5, est un plan vu

il20. COURS RAISONNÉ

en dessous.pour rendre les intersections apparentes en projection horizontale.

La solution pour déterminer ces intersections revient à mener un plan
horizontal quelconque, qui d’une part coupe le cône suivant un cerclé, et de
l’autre le cercle suivant deux génératrices. Les,points.de rencontre de ces
droites avec la circonférence du cercle sont dès points des courbes d’intersection.
Ainsi en menant le plan a b,{ fig. 4) on. a d’une part le cercle du diamètre
crZque Fon projette horizontalement du centre o (fig. 5) , et d’une autre part
deux génératrices projetées en.a & et dont on détermine la projection horizontale
.en a' V, et en a2 b 2. Après avoir rabattu la base de du cylindre en d’fe',
et avoir porté la distance/^ (fig.,ka)  àzg' en a' et en a2 (fig. 5)  ; les génératrices
a' b'et a2b 2, rencontrent le cercle du diamètre c’ à', aux quatre points
h/'i', qui se projettent verticalement en h-et en « (fig. 4."). Oxi a obtenu.de la
même manière les points mn, parle plan horizontal Til. Les points limites de
la courbe s’obtiennent naturellement en p, g, r, -vpar la rencontre des génératrices
extérieures et du cylindre,- ;quant aux points lu, 'sommet des ;deux
courbes, on peut les obtenir par le rabattement ( fig. M. ) ,- en menant du sommet
S, ducône, une tangentes ?, à la base d’fe', du. cylindre, et en projetant
le point de contact t, suivant la ligne horizontale xy,laquelle « ^présente un
plan qui coupe le cône suivant un cercle que l’on projette horizontalement
sur la fig. 5. Si on porte alors la distance t, v, de g' en x', et que- Fon tire les
horizontales: x' y', on obtient les points t’v !, par leur rencontre avec le cercle
qui vient d’être tracé ; ces pointsse projettent en /.-« -sur. la (fig. 4). >.

On voit que cette opération est tout à fait analogue à celle relative à l’intersection
de deux cylindres. t . • . ■:■ ■

Si le cylindre était à base'circulaire-au lieu, d’être à base, elliptique, comme
cela se présente quelquefois, on comprend très-bien.que l’opération pour obtenir
son intersection avec le cône, serait exactement identique à-la précédente,
et donnerait les courbes analogues, pourvu toutefois que le diamètre
du cylindre soit plus petit que celui de la section dû cône correspondante à la
génératrice extrême inférieure ; mais ces courbes changent lorsque ce diamètre
est plus grand, comme on le voit sur-les fig. 6 et 7. "'-■-.■ '

L’intersection, dans ce cas, est représentée par les courbes s.tr etpuq: le
tracé indique suffisamment l’opération, .• '-.. ..

185. L’ouverture H, pratiquée dans la clé du robinet, est généralement de
forme rectangulaire au lieu d’êtreeirculaire, comme la section extérieure du
tuyau ou des tubulures dû boisseau, afin de faire cette clé moiiîs volumineuse et
plus légère tout en présentant la même section. Cette ouverture rectangulaire
détermine en projection latérale fig: 2<V une courbe d’intersection abcd:, qui
n’est autre qu’une hyperbole, résultant de la section faite par un plan vertical
parallèle à l’axe du cône. L’opération pour déterminer cette courbe est indiquée
sur les fig. 10, 11, et 12.

Pour-rendre la courbe"plus apparente, on a supposé dans ces figures que les
génératrices du cône font avec l’axe, un angle plus ouverfrsque sur la figure 2.

La ligne a b,.représente le plan vertical dans lequel est contenue la courbe
d’intersetàièriJ]|iestfaêile'clè voir ^ûe'sf rbn ?nièn’e(iîgri(f} une suiie de plans
horizontaux cd, ef, g h, ik, on obtiendra autant de cercles qui projetés sur la
fig. 12, rencontrent le plan a b aux points V, m’, n’,p', etc. Ces points se projettent
verticalement (fig. 10) en lm np, et on obtient le sommet o de la courbe,
en traçant du centre S’, un cercle S’, o', 'tangent au plan ab, et en projetant ce
cercle sur le^planf,vertical 4fig..,l,p,|.,,,^f ,- ;, ;-rn::.,'i ■>.*■ ;■: •- ; ;,-.--->?••= ^w,<-.\\ i ;:..-j ; ;<:•
-nvD’après <m tracé ;v ilest facile:de voir que l’ouvertureiE-est ;r.eudue apparente'
w'partie, lorsqu’on -regarde laide durobinet’ en dessous corrime: le
montre la fig. 2e. . -:i,ii !':'i !:'" ;, ;- ;':  ;;''<■ -■- •-"' !
"].'■&% Les’flgures 8et 9 f^reseriteni ; les projëbïipnS verticale'et’horizontale
Adg^^o^G^qqi retientJa. dé,du ^

hexagonale est terminé par une portion sphérique dont le centre se trouvesur

, Chacune des faces.de ce prisme ôii de l’écrôu ; rencontre ia. surîâëë delà 'sphère
^uivan£ qes, cer^
•Y'isM du prisme ; •'■■ '-V !;: ;i:' v-:^ ;H-'n ■:■> -■y\^--- -.b s ■ ?, != ; ■ ;.., ;:: ?s« ;-v ; :-,■• ,'■:.,. ;<■
Le diamètre delà sphère: est,à.peu près ; triple pu quadruple.dU ; diamètre du
cercle circonscrit àl’écrou ; pourrendre. ces courbes plus, apparentes: sur les
figurés’ 8 ët ;9,:nou !s avons 1 supposé ce diamètre plus*petite-:- ; ■■>■'• .-'H-.. ■■■■■■■■
,d %'a sphère'y'est représentée ;par deuxéérclës !du rayonOA-,ëtl-écrdUpar 1 un
prisme hexagonal dont l’axe passe par le centre. "'"' '"'.'..'J. ':'Z ' !! !.'.'.,.'''.. ■'.'.'

La première face a'b', de cet écrou, rencontre la sphère suivant un cercle
parallèle au' plan vertical et dont le 1 diamètre est’c’d’ ; Ce cercle projeté vértiticalement
sur la fig. 8, rencôntreies arêtesv'a e et bf, du prisme aux points
• a et &; la partie comprise entre ces deux points représente donc-l’intersection
idela^feoe verticale ;a'b' avëci la,sphère. Les,deux autres, faces a'g'yehb'h'.,:qm
Isont ïncMnées au plan vertical, coupent aussi la sphère suivant dès cercles égaux
j au premier, mais qui se projettent verticalement suivant des.portiohs d’ellipse
icomprisesientre les points a et g d’une part, ; eté/j de l’autre., On ; a Ie>spmme ;t
|de ces ellipses, en menant par le point ? une tangente horizontale hYaxe.aib,
| et en .projetant les.points k'l’, milieu des côtés a'g' et b'h': sur cette ligne hq ;rizontale
en h et /î,Eu pratique,, il suffit de faire passer des arcs de cercle par
[les points g,k, a, et. les points &.,:7, h. Nous avons déjà vu dans la planche'14,
| que ;ii'ïnfersection d un cylindre droit et d’une sphère dont le centreest situé
|surtaxé du ;cylindre, donne unicercle quiise projette latéralement ;èn ligne
jdroife Ainsi ; le trou O' qui traverse l’écrou, étant cylindrique, donne pour initersection
avec la sphère un cercle du diamètre m’n’ qui ; se projette verticap
SlenJentsuivant la droite mn. ■, !■' ;,: .y'v'.": Vi 1~'A |

j Laiijgure 8a indique aussi l’opération analogue ; faite pour déterminer lès
 ! mêmes intersections ; lorsque l’ëcrou est vu sur l’angle dételle sorte que deujx
| faces seulement sont apparentes, ; comme il est représenté sur lafig. i*,'ïl est
jévidenique la courbe elliptique ô2 !P A 2 ; correspondante à celle 6,7 A, doit être
[aussi comprise entre les deux mêmes lignes horizontales passant par ces pointa.
9Regles :et donnees.: pratiques ■,,..■•■
, . '.. ' /.'. ; '.. VAPEUR. '."'■ ."" ~..ï ;f ;:/ï

187. Tout liquide élevé à une certains température se réduit en vapeur.

L’eau renfermée dans un vâsè et chauffée jusqu’à la température de 100 degrés centigrades,
produit de la vapeur dont, la tension ou force élastique fait équilibre à la
pression atmosphérique.

La pression de l’air atmosphérique est la force capable de soulever flans le vide une
colonne d’ëau de iOm’33ô ou une colonne de mercure de 76". Cette force s’estime
habituellement par le poids de 1 k. 083, sur un centimètre quarré 1, ce qui ; correspond à
10330 kilogr..par mètre quarré. … ' ■■■ ;'' vv

, Ainsi, en prenant pour l’unité de surface le centimètre quarré, la pression ou la tension
de la vapeur à'100 degrés est aussi.égale à 1 k..033. , ~

Lorsque le vase-est hermétiquement fermé comme une chaudière, si on augmente la
température du liquide, la vapeur acquiert successivement une force élastique plus
grande, mais non proportionnelle avec l’accroissement dé température. ■'.

La tension-ou force élastique de là 'vapeur,comme en général celle d’un gaz quelconque,
est en raison inversé de son volume ; ainsi à la pression d’une atmosphère,
par exemple, le volume de la vapeur ou du gaz étant 1 mètre cube, sous la pression de
deux atmosphères, cette, vapeur pu ce gaz se réduira à un volume moitié moindre, et
réciproquement. . . '
XXe TABLE INDIQUANT LES. TEMPÉRATURES, LES POIDS ET,LES VOLUMES DE,LA: VAPEURA DIVERSES PRESSIONS..ÉLASTICITÉ COLONNE- • PRESSION TEMPÉRATURE' POIDS.: ^ ■ VOLUME f !CW Hfï'PÇou pression  ;de mercure . en kilogrammes en. degrés. .. ;-…. du. ,„.. ', d’nnkilogrammede la vapeur . à 0° - par chaque de vapeur' en oui'mesure centimètre centigrades. « lèire cuhe ;à la pression !eu qui mesure ceniimeue . et à la températureatmosphères. celte pression. quarré. . ■ ~ ■'. de vapeur correspondantes.mètres. . kilogrammes.- " degrés. kilogrammes. litres:-■ 0.50'ou 1/2 . 0.38 0.516 ■ 82.0 0.310 : .- . 3229V360.75 ou 3/4 0.57 0.776 ' 92.0 0.451 2217.20- 4:00 0.76'- .1.033' 100.0 " 0.588 1700.001.25 ,0.95 1.293 106.6 0.722 1384.361.50 ■ - ; 1 ;14 "._■■ 1.S50 ' ; 112.4- ■ 0 ;854 . . '1171.59.'1.75 1.33 1.809 .117.1 0.984 1016.66.2.00- 1.52 ' 2.066 . 121.5 : - IV111 : '899.91''2.25 1.71 '2.326 125.5. 1.238 808.00' 2.50 ' 1.9Ô ' ; 2.582 128.8 1.363 ■'■'. ; 735:45..: 2.75 2.09 2.842 132.1 1.487 672.36■■■ 3-00 2.28 ; 3,100 135.0 .' ;"' « .1.611 • 620.743.25 2.47 3.360 137.7 1.734 576.833.50 2.66 3.618 140.6 ' .1.855 539.104.00 3.04 ' 4.133 .145.4 . 2.096 ' 477.054,50 3.42 -4.648 - . 149.î' .:2i334: 428.365.00 3.80 - 5.165 153.3 2.568 . 389.38' 5.50 4.'18 - 5.681 . 156.7 ' . '2.802 . ' . :, 356.866.00 '4.56 6.200 160.0, 3.033 329.696.50 -. 4.94 - 6:719 163.3 3.261 . ;:306.627.00 5.32 7.235 166.4 3.488 286.708.00 6.08- 8.264- 172.f ; ^: '3.934' '254.27
D’après cette table, on peut résoudre les problèmes suivants :
1erExemple. Quelle est la pression de la vapeur sur un piston de 25 centimètres
de diamètre, correspondante à la température de 135 degrés ?

On voit que la pression correspondante à 135° est de trois atmosphères ou de 3 kil.
10 par centimètre quarré.

La surface d’un piston de 25 centimètres de diamètre est égale à

Ainsi, pour résoudre le problème, on cherche dans la table la pression correspondante
à la température donnée, et on la multiplie par la surface du piston exprimée en
centimètres quarrés.
2eExemple. Quel est le poids de cette vapeur dépensée à chaque course de piston, si
la course de ce dernier est lm 20 ?

On a d’abord le volume dépensé,

A la pression de 3 atmosphères, le poids d’un mètre cube de vapeur est égal à
1 le. fin.

Pour résoudre ce problème, on détermine le volume dépensé en mètres cubes, puis
on multiplie ce volume par le poids de la vapeur correspondant à la température ou à
la pression donnée dans la table ; le résultat est le poids en kilogr.

UNITÉ DE CHALEUR.

188. On nomme calorie ou chaleur spécifique la quantité de chaleur nécessaire pour
élever la température d’un kilogramme d’eau, d’un degré centigrade. Ainsi, un kilogramme
d’eau à 25° contient 25 calories ; de même 60 kilog. d’eau à 50° contiennent

On obtient donc le nombre de calories d’un corps quelconque en multipliant son
poids par sa température.

La quantité de chaleur développée par les divers combustibles employés dans l’industrie
varie avec leur qualité et les fourneaux ou appareils de chauffage.

Suivant M. Péclet, la quantité de chaleur moyenne développée par un kilogramme
de houille brûlée est égale à 7500 calories ou unités de chaleur.

D’après M. Berthier, celle d’un kilogramme de charbon de bois varie de 5000 à 7000
calories.

Voici du reste le résumé des expériences relatives à divers combustibles et consignées
flans ïïî tnlila eiiivïmtpmi ,jai ;iïgUaMO« E:83BuU&0$NÉOaiÀ/i bnUOlj
■ -. : 8î0G7i03,33Hiéfdo !iq-a3Ï 9Tbuo&àï,5o8Cï iio .aldfii 9JJ9O aé'iqs’O„, „iArXXIe_ TABLE BE LA. QUANTITE DE CHALEUR DEVELOPPEE PAR 4, KILOGRAMME _ , ,ssïjSfMijjLtas .c-^ 30 isuraiij ïiij -ma ïusqjivjji- SD noigBfnq ci SES uiisiiO- .3VcH« s3:,a °tc, ;v.„DE COMBUSTIBLE,BRULÉvï /, ,-,^.,<. „„..".„„ ',,.1 .„,.':k ,5ts aîssà 3Sa.sïJéraBii. sb gau^^g^is &K .j^A^Tg §R*nç^Gj
NATURE DES COMBUSTIBLES. . de chaieur développées W de vapeur fournierii .a .o (jj ). ' —PffcinfMograminSj par la combustion de 1 Kilog.de combustible, de chape combustible.-■'■"..  ;. ' - • ■ Ml- 'ïlfl^îKïtfjrS-HOteîf-Hfc-^J-I-JiSB-âfïfiîîgi <ïiJiiJffi slSÇP&a .flàfliini) 0ïnte%rtrjM | ? <; eîllf sHouille moyenne…./…. j—.^.^..^ "7^0'- î-"-'^- "'--'^o'.vs à VK.Tourbe sèche ,. 4800- " .BSïXiGU'iJ gâïîsînljfli j•.„Tourhe ;oriijnair.eiâyfiC-AM^eau,4re-(iaalitê.i. .13000,' ,. . . , 5,8 % 2 _'^ôûM^^cbfide^litéH^^ firaqs*- atfïiSoÔ » eniog-.artes larj.y- .s^Hrexa, "XBois séché de toutes sortes ' 3600c pu m ; t.., , !r. ;^,(,3,7…- „£,„_..„….. sBois ordinaire, avec 0,20 d’eau 2800* '■*""" ^i'.r". J*: - "°J 'Charbon de tourbe.- •. 5800,'èsnsqèb 1 orulov $l§ykïZïuh fi XiO. (t) 0j15 de cendres. ' . .formée par la combustion-d’un kilog. Se combustible obtenue en pratique dans lesj
appareils ordinaires.:Exemple : Quelle est la£|uanteé^:eniônilie%ecés’sàiïe0à'lF'alimentation d’uatffôurarelki
destiné à produire 250 kilog. de vapeur ?ë'Cntkifôgi fflênWùilië pôWant fôurili'r,sèn’5ni0y*nnie .f !6.kffï'5'0}io-iq sa. wihmizh" iij’o'is i/o mnîà'ièîwoi ci ii.îflGbçroqasrfoa 'iaaqBv r,l si) « Bioq al -jnq aaiulov sa silqniufii no
'on,. • ■ - •ï8oI« ^3bioiI^^J^|j,gyMuSJfif8UB|1aàimob.noi8^qi:i6,50- . & "• "• ■• ' ' -ilUïïJAHD ' ?]« ;CFIH[Ï
189: Les chaudières dans lesquelles on doit produire de la vapeur, telles qu’elles vsont
mdiquéésoeuB&fcSifrg.^ général’ejràeaWa#roee s$drfqmpïJepmihée'aux'çto^
déadeuxi::GUK£r,ais.é&^^munication avec elles au moyen de tubulures où culottes ; actuellement ces chaudières
sont presque toujours 'constrûitëgi'arvéed^s’feuillèS deflole dont l’épaisseur varié nonseulement
avec le diamètre de la chaudière, mais encore avec la pression delà vapeur
qffl3dôîtî^ ?y'îèn|eiïdreïvp/J03isr.p gqioo ixu'b gahoi'sa ab stvlw.ou a ! ouol) Sasiido' nOL’épaisseur à donner aux chaudières cylindriques est rég]ée:d%ÇrèsjlesîoEdoBnaticss.j
dè^pbffëë-^iMtrà'ffirmîllib''suivteë) :« 9'ib, ?s ! -inq- aàricjofs.vài) •ti.'.gicrfy 9b àjiinfiuj) l !i,I
- . as. ^ .agâÏBBjta sb aSisïeqqfs 00 bjasïnîjoî as ! js sliier/p wai 337c ahsv si'rtau !) sHMîBraoiiM. au Mi|ii) 3qqnS3v:àb  »nud’8)  »< ^J$teffli> si)..àjrinfiijp cf tj9iaàq- J/t touYiugOOûT. « . OOOù.abahav aioc ! ai>■iiod-reria.su sxf:mr/i2,o !i ;l riij’baiiao^si/lHaa M saioc’O
dans laquelle: . • ' ■ . -■■ ;« , le diamètre de la chaudière en mètres ; " '.p, la pression de la vapeur dans là chaudière, diminuée d’uaeitmolpîîèrftfc’ zaiii>Cette formule s’exprime par ]a règle suivante : .Multipliez la pression effective de la vapeur exprimée en atmosphères par le diamètre,
de la chaudière et par le nombre constant 18 divisé par 10, le résultat augmenté de 3
donne l’épaisseur en millimètres.
Pour simplifier ce travail, nous donnons ci-dessous une table toute faite, relative à
l’épaisseur des chaudières cylindriques en fer ou en cuivre, et calculée jusqu’à un diamètre
de 2 mètres.
XXIIe TABLE DES ÉPAISSEURS A DONNER AUX CHAUDIÈRES A VAPEUR CYLINDRIQUES,
EN TÔLE OU EN CUIVRE LAMINÉ.DIAMÈTRES NUMÉROS DE TIMBRES EXPRIMANT LES TENSIONS DE LA VAPEUR.2 3 h 5 6 7 8CHAUDIERES,almosiih. atmosph. atmosph. almosph. atmosph. almosph. atmosph.mètres. millim. millim. millim. millim. millim. millira. millim.0.50 3.9 4.8 5.7 6.6 7.5 t 8.4 9.30.55 4. 5. 6. 7.0 7.9 '■ 8.9 9 90.60 4.1 5.1 6-2 7.3 8.4 9.5 10.50.65 4.2 5,3 6-5 7.7 8.8 10. 11 .20.70 4.3 5.5 6.8 8.0 9.3 10.5 H .80.75 4.3 5.7 7. 8.4 9.7 11.1 12.40.80 4.4 5.9 7.3 8.8 10.2 H .6 13.10.85 4.5 6.1 7.6 9.1 10 6 12.2 13.70.90 4.6 6.2 7.9 9.5 11.1 12.7 14.30.95 4.7 6.4 8.1 9.8 H .5 13.3 15.1.00 4.8 6.6 8.4 10.2 12. 13.8 15.61.10 5. 7. 8.9 10.9 12.9 14.9 »1.20 5.2 7.3 9.5 11.6 15.8 16. •1.30 5.3 7.7 10. 12.4 14.7 ■ i1.40 5.5 8. 10.6 13.1 15.6 • « 1.50 5.7 8.4 H.l 13.8 • ■ »1.60 5.9 8.8 11.6 14.5 t • »1.70 6.1 9.1 12.2 15.2 » • »1.80 6.2 9.5 12.7 16. » • »1.90 6.4 9.8 13.3 s ) > ■ ■I 2.00 6.6 10 2 13.8 . • » »
DES SURFACES DE CHAUFFE.

190. Dans la pratique, on estime habituellement, soit pour les chaudières cylindriques
avec ou sans bouilleurs, soit pour les chaudières dites à tombeau ou à chariot de Watt,
qu’un mètre quarré de surface de chauffe peut produire de 18 à 25 kilogr. de vapeur
par heure en service courant.

On a adopté généralement lin à lm 50 de surface de chauffe par force de cheval.

Cette surface de chauffe embrasse non-seulement celle qui est directement exposée à
l’action du feu, mais encore celle qui est échauffée par la fumée et l’air chaud qui parcourent
les carneaux ; cette dernière produit évidemment beaucoup moins de vapeur que
la surface directe. On peut l’évaluer, suivant les circonstances, à 1/2 ou 1/3 de cette
surface de chauffe directe, ce qui donne environ pour surface totale les 2/3 de la surface
de la chaudière.

Nous donnons, dans le tableau suivant, les dimensions principales des chaudières
cylindriques à bouilleurs, correspondant à des forces données en chevaux :
XXIIIe TABLE BES DIMENSIONS ET DES ÉPAISSEURS DES CHAUDIÈRES
POUR UNE PRESSION DE 5 ATMOSPHÈRES., NOMBRE LONGUEUR. LONGUEUR DIAMÈTRE DIAMÈTRE ÉPAISSEUR ÉPAISSEUR, , , de la tôle . de la tôlede des des deux des des , , „. ■ ■ des desCHEVAUX. CHAUDIÈRES. BOUILLEURS. CHAUDIÈRES. BOUILLEURS. CHAUDIÈRES. : BOUILLEURS.m. m.- m. ' ni. …m. m. '2 ' 1.65 _ 1.75 0..66 0.28 . 8 84 2.10 . " 2.20 . .0.70 0.30 • 8 .86 2.70 2.85 0.75 0.35 9 - 108-- 3.40/ 3.60 0.80 0.35 9 10."fO- 4.10 ' 4.30 0.80 0.38 10 1012 ' 4.80 ' 5.00 . 0.80 0.38 10 . ' " 1015 . 5.60 5.80 .0.80. .' 0,45 .10 10.20 6.60 6.80 0.85 0.50 10 1025. .8.00 8.20 0.85 "0.50 10 1030 8.30 8.50 1.00 0.60 10.5 1035 9.50 9.70 1.00 0.60 11 10 - •40 10.00 10.30 1.00. 0.10 11 10
Dans les chaudières à vapeur sans bouilleurs l’eau remplit environ les 2/3 de la capacité
totale de la chaudière : il est à remarquer que dans les chaudières cylindriques avec
bouilleurs, l’espace réservé pour la vapeur comprënd^environ la moitié de la capacité
du corps principal de la chaudière, l’autre moitié et les bouilleurs contiennent l’eau à
vaporiser: ' - ■ ; ■ • ■ - :: '-■

Pour que la vapeur n’entraîne pas avec elle des. molécules d’eau, on surmonte la
chaudière d’une grande tubulure ou réservoir cylindrique, sur le sommet duquel
s’adapte le tuyau de conduite qui amène la vapeur à la machine.
EXEMPLES SUR LE CALCUL DES CHAUDIÈRES.
1° Quelle est la longueur'à donner à.une chaudière cylindrique,sans bouilleurs,
capable d’alimenter une machine de 6 chevaux, en admettant que son diamètre soit de.
Om 80 et la surface de chauffe delm 30, par force de cheval ?
Onaloe30 X 6= 7m 80 pour surface totale. ;

D’après ce qui vient d’être dit, la surface de chauffe comprend les 2/3.de la surface
totale de la chaudière. ' \
t. J ' T »
L représente la longueur cherchée de la chaudière, et R le rayon connu égal ^ =
0,40. On a donc, en remplaçant n et R par leur valeur numérique,
DE DESSIN INDUSTRIEL. -127Comme il peut être intéressant de connaître la capacité pour l’eau et la vapeur, on
devra opérer suivant les règles que nous avons données précédemment sur les volumes
des cylindres , sphères, etc. (121-124). La chaudière étant terminée par des calottes
sphériques, la longueur de la partie cylindrique est égale àOn aurait donc pour le volume correspondant de la partie cylindrique :pour celui des bouts sphériques des deux sphères entières :Le volume total pour l’eau est alors de :Par conséquent, le volume pour la vapeur sera : = u2~ ° m’e' 734 ou 73<* litres de vapeur,
ce qui donne pour résultat définitif de la chaudière 1,469 + 0.734 = 2 m.c. 203,
qu’on aurait pu calculer par la formule générale191. Il est utile de connaître le volume total d’une chaudière à vapeur pour se renfermer,
suivant les localités, dans les ordonnances de l’administration (' ).« (33) Les chaudières sont réparties en quatre catégories.On exprimera en mètres cubes la capacité de la chaudière avec ses tubes bouilleurs,
et en atmosphères la tension de la vapeur, et on multipliera les deux nombres l’un par
l’autre.Les chaudières seront dans la première catégorie quand ce produit sera plus grand
que quinze ;Dans la deuxième, si ce même produit surpasse sept et n’excède pas quinze ;Dans la troisième, s’il est supérieur à trois et s’il n’excède pas sept ;Dans la quatrième catégorie, s’il n’excède pas trois.Si plusieurs chaudières doivent fonctionner ensemble dans un même emplacement
et s’il existe entre elles une communication quelconque, directe ou indirecte, on prendra
pour former le produit, comme il vient d’être dit, la somme des capacités de ces
chaudières, y compris celle de leurs tubes bouilleurs.« (34) Les chaudières à vapeur comprises dans la première catégorie devront être
établies en dehors de toute maison d’habitation et de tout atelier.« (35) Néanmoins, pour laisser la faculté d’employer au chauffage des chaudières une
chaleur qui autrement serait perdue, le préfet pourra autoriser l’établissement des
chaudières de la première catégorie dans l’intérieur d’un atelier qui ne fera pas partie
d’une maison d’habitation." (36) Toutes les fois qu’il y aura moins de 10 mètres de distance entre une chaudière
de la première catégorie et les maisons d’habitation ou la voie publique, il sera con1.Nous donnons la partie de ces ordonnances relative aux dimensions des chaudières, pour
servir de base dans l’établissement de ces dernières.
straij^enb^^

autres dîmënsl’ons ^seront ^déterminées, cpme il. est .<^t à F article ,41 ; - •>:■ >. :■., i •:- ;;- ;; « <■

Ce mur'de d\) fense sera, dar^ tous les ças, ;diK,tinet,:du ;;massif' ;dei:maçoimerreidBS^
fourneaux, et en ^era séparé par un espacé, libre de 50 centimètres de largeur au moins ;
il devra également être séparé des murs mitoyens àvecïes ;maisons voisines.

Si la chaudière eiSt enfoncée dans le sol..et ; établie de manière que sa partie supérieure
soit à 1 mètre .au moins en contrebas àù soïyle mur de défense ne sera exigible
que lorsqu’elle se trouvera à moins de, 5 mètres des maisons habitées ou de la voie publique.
,
".(37J-■ ■ ■[ '- -'••■-. . . / . . …… . ". . .
« (38) Les chaudi ères à vapeur..comprises: dansla deuxième ; catégorie' pourront -être  ! -
placées dans l’intéri ear d’un atel’ier, si toutefois cet atelier ne fait pas partie d’une maison
d’habitation ou d’une fabrique ;à,plusieurs: ;étages.:, ; '■■■y.. (-'-…-.( '-."-,

« (39) Si les châu itères do cette catégorie sont à moins de 5 mètres de distance, soit
des maisons d’habit ; itipa, soit de la voie publique, il sera construit. de ce côté un ;mur
de défense tel qu’il c jgirprescrit à l’article 36.
"(4°) - • • • • <■ !-.. ;..■ « =,,..:&-..='^.v: .•'••■ !.'^.w.:.vi.-ii « Ï<-: , ; : :'.

« (41) L’autorîsatii m donnée par le préfet, pour les chaudières de.la premièreet de là
deuxième catégorie, i Indiquera l’emplacement de la chaudière et:"fa'distâpce^à laquelle
cette chaudière devra étlçe j .lacée par rapport aux habitations appartenant à'des’tiefs et
a la voie publique, et fi ;iera., s’il y a.lieu, Iâ^irectionrdèTç » 1 delà chaudière/ 5 -

Cette autorisation d< éteiminera la situation et les dimensions en longueur et en hauteur
du mur de^def^ ;(5e. de 1 mètre, lorsqu’il sera^eessairë d’établir ce mur en exécution
des articles ci ..dessus.

Dans ^fixation d.ié^es dimensions, or^aé ^^^^^^^m, au'

degré de tension de ..  »ia varlp1lr et à ' , f. ' . „ .:■ … ^ -,
VJZM- * J - ■ ; la vaptuïjtJtd ^^^ j autregcirconstances-.gui ? pourront rendre

1 établissement de ,„ nViandip--' 1 • J ""■ • 1

« (42)  71, iacnd .:■ .^eplus pu moins dangereux ouancommoçlei ;■■:■..> ■.., :• ;■.
A, „ . ,,,'-, ,: ;. : aàiëre,5,.de la troisième catégorie pourront être placées dahs-l’intérieur ■
cl un atelier qui _,„ J- .: ,, - . ,„ ,..'-■■• ,., ■.

lion ri'o'vï^- " ?; ,:- ;-' Be:îef# pas partie dune maison d habitation, mais sans quil y. ;ait
neu p. exiger le ^ ; n>
K(43).Lesr: .^^defense. - ,…„,, ■. „.+,,.-

d’un atelier ■":-^udlêres :<>«  ia quatrième catégorie pourront« tre placées^ dans 1 intérieur
bitation . fuelcpncj.ue, lor.s même que cet atelier ferait partie d’une maison: d’havane
■■:■<"}.- ■ ;: ;.:.. <'. ":'"'": ■:■'-. \y ■ ■r' !::.i''/." ' ^ !'".-*.rry ■■:'.•'. !' ■■■ : ■■ .'■-. !*:. • -

«  ! j®è eas/les thàudières seront munies d’un manpmètre-âair=libre. s ;say - r. y.r^-
qV ,M)  lies fourneaux des’chaudièrës}àr^apeuf:'cbnipWses’.dansvila^teoisième7Bt’dahs ;Ia- ;
■aftmènïe''-Catégorie ;'seront’ entièrement ^séparés par ; ùii ;!espace ;"yide dé 50 centimè.oeesâa
« soins, des maisons d’habitation appartenant à des tiers. … . '. ..>..■■.-.."

Ainsi, la chaudière précédente, en supposant qu’elle marche-à 3-atmosphères, se
arouverait,dans4a::deuxiè.me ;catégorië, jpuisa^e.^QSX 3 =,6,609 estmfmeur à sept.

2° Quelles sont les dimensions a%nè:cnatid^
alimenter une-'oeacniiie' 'âe'iaïorce de 16 chevaux, le djainètre du corps principal étant
0,90,étceiui dés’bôuilleùrs b$5 ? ' ■■ ■■' '"' ''"'.'■/' ' ;; ;"' ; '
Solutëri. A.dmèttons: d’abor-d i^-1- 20,:ppiir  ;sùrfàëëae:%àuffè par 'fôïcé de cheval v
onau.ra.donc im-ï-20 X 16= 19m.q, 20 pour surface de'chauffe'tô'tâlèi.-':"-J’-"'0-'v' ;"" !  ;' ;

Oï^pn prend ; hàïntuëllém^ totale du corps de la chaudière

et lesS/i'dé cblle'aës’DOuilleurs ;' "■""'"'"'. "J,'K" .

D’après cette donnée on a la fprmule suivante :

DE DESSIN 1 INDUSTRIEL. 429''L’^p'fésèïite
\'A''longueur'dès chaudières et des b'ôuilfeûrs^qiïï'ësf sïtoïè' inconnue: ;
En mettantrâ'1ai'pîac’ë'dé R'étT, leurs tâlëurs nùnïéri(jtrés:.t) ,^p 'ëï'6:,ii'è','6h'a'':''''" „"":

Ainsi la longueur tôtaleide ;la bhaudière est égale à ,6^i4S, on:sait’queies ;bdutS ;de ces
chaudières sont sphériques, par conséquent la largeur de la partie cylindrique serait
égale à --. ':

Les bouilleurs dépassent habituellement 1 ■là 'chaudière^ ëh^Tant^'dù 'fôùrriëàû^dè'
50 ;îéën1 ;imëtrëS:enViron-, mais àûssràcausè'du retour de IS’flàm^ë dànSiés’c’afheàux,
ils rentrent dans ceux-ci d’une quantité  ;ëgàle au rayon dëia^ch'aùdiërëfainkil’a'lôh'-i'
gueur des bouilleurs est peu différente de celle de la chaudière.

192. Dans les chaudières de distillerie, "on désigne par force de cheval la puissance
évaporatoire de 25 kilogr. d’eau. Ainsi, un générateur de 10 chevaux serait capable de
vaporiser en une heure.250 kilogr^ d’eau ^or, en admettant t" ? 12.0, ;de:Sur,face !d.eiO ;hauffë.
\m:.force 4Çi.cheval-vapeur,.cela■ suppose ,une .vaporisation, ; ,d,e, 1,8 à ;2,0 Mlogr.  ;par.heure
etjar.mptrjesuperli^ieldeichauffei:. !:.. ;! ■, .,•- ; : ;;:: \: ■■ -,-,:■ -, ;.,, ;;  ;, !:, ;.  ;.:.ï ! -, v,-i -/■ ;>

DIMENSIONS DES GRILLES.

193. Dans la marche habituelle des fourneaux, 1 mètre quarré de surface totale de
gjrillei) rûle ;40"à !4& kilogr, de houille par heures Ainsi-une ehaudièreiqui aurait besoin ?
de produire 280 kilogr. de.T’apeiirpar.lienre, dépenserait pour cette production ;, en ad- ;
mettaint qu’un kilogr. :dei houille.produise 6,650 de ^vapeur f^ ±= 43 ; kilogr ; de houille,
et par conséquent le fourneau-de s cette chaudière ; devrait avoir 1 mètre :quai'ré: de. sut’-,
face de grille.

Les barreaux de la griliesoiit ordinairement en fonte de 30 à 35 millimètres de largjeur^et,.
ji^Jaissenj ; ,entr,ereux qu’un,espa.ce de J: à,.& millirnèjres^.deitelleisprte.que.lai
surface des vides est égale au \ ou au ^ de la surface totale. .,>hr.>■.,. ;,

On a reconnu qu’il était plus avantageux pour,leur conservation que les barreaux
fussent dressés et renforcés au-dessous par des. nervures, etc. ■ <,.>'-■ i, < • ;;

« .m » v^bi,, ;, !:, : »:>:■:.,<:u ■> \'■ ■■ CHEMINÉES, ; ..-.,-, , ;,„. ;.:… .,.,,>,:,.,,,,, ;,,,, ;••

194. La hauteur des cheminées est très-variable, et. ne peut, être assujétieà aucune loi,
lixe ; sa section près du sommet dépend des dimensions de la grille et est ordinairement
du sixième de celle-ci. On trouvera dans l’application suivante des calculs sur ces cheminées
et des exemples sur les différentes règles que nous venons de donner.
..,.'. r.M*".' ''.['■': -.', ;'.' ""'."'' ' APPLICATION. ' . ; '' .', ' '
Proposons-nous de déterminer les dimensions d’un fourneau de chaudière à vapeur
et-dë-'sa 1  ;tîlieiniuéè,'-'pDur UneTnachine'de8'chevaux, par exemple, du système à haute
430 COURS RAISONNÉ:pression, à détente, et dépensant au maximum 5 kilogrammes de houille par cheval et
par heure, en admettant une surface de chauffe dé 4 m- q- 52 par cheval-vapeur.
Pour 8 chevaux la surface devra être de :Chaque mètre quarré de surface de chauffe produisant moyennement 18 kilogrammes
de vapeur, on a :Gomme 5 kilogr. de vapeur sont produits par 1 kilogr. de houille (') représenteront la dépense de houille pendant une heure.La surface de la grille correspondante à cette consommation, si on admet que chaque
décimètre quarré doit brûler lk-2 par-heure, sera ,.-'en supposant un quart de la surface libre pour le passage de l’air. ' ■. ;:■Il ne nous reste plus qu’à déterminer la surface de la cheminée. Nous ferons remarquer
à cet effet qu’il faut 18m-i- d’air pour la consommation de i kilogr. dehouille■■•, par
conséquent pour 43 k.8 kilogr., il en faudra -Cet air, après avoir traversé le foyer, cédera une partie de son oxigèhe, qui sera en
partie remplacé par de l’acide carbonique et de la vapeur d’eau. -. Si ces gaz s’échappent par la cheminée à la température moyenne de 300 ?, le volume
étant, d’après M. Péclet de 38m-c-54 par kilos, de houille, sera: /par heure. Si on divise ce résultat par 3600, on aura lé volume qui devra s’écouler parSi nous supposons, comme c’est’ le cas le plus ordinaire pour une chaudière d’une
telle force, que la cheminée ait 22 mètres de hauteur, l’air froid à 15°, l’écoulement
des gaz par la cheminée est donné par l’équation :Dans le cas qui nous occupe, H = 22m, a est la quantité constante 0,00365, V =
300°, t = 15°, et 2 g =19,62. En substituant à ces lettres leur valeur numérique,1. Nous prenons ici un minimum de même que pour l’estimation précédente de 18 kilogr. _,DE DESSIN INDUSTRIELS 431Ce qui veut dire que le gaz s’échapperait de la cheminée avec une vitesse de 21 mètres
par seconde, s’il n’éprouvait aucune résistance le long des parois des carneaux et
de la cheminée ; mais la vitesse réelle n’est que les 70/100 de ce nombre, ouSi nous divisons le volume du gaz qui s’échappe de la cheminée en une seconde par
la vitesse que nous venons de trouver, nous aurons la surface de la section de la cheminée
à la partie supérieure ; ce qui sera représenté parAinsi la cheminée étant supposée carrée, aurait pour section à sa partie supérieure
un carré de moins de deux décimètres de côté ; mais il faut observer que ce n’est là
qu’une dimension minimum, il sera bon de lui donner plus de section ; ainsi, on pourrait
la faire de 25 centimètres de côté, et même de 30 à 35 centimètres, si on prévoit
que la force de la chaudière sera susceptible d’augmenter, comme cela arrive assez souvent
dans bien des fabrications, mais il faut toujours avoir le soin de placer à la naissance
de la cheminée un registre qui permette d’en régler le tirage, en variant l’ouverture
de sortie suivant les besoins de l’usine.SOUPAPES DE SÛRETÉ.195. Les chaudières sont toujours accompagnées d’appareils accessoires, tels que
soupapes de sûreté, manomètre, trou d’homme, flotteur, sifflet d’alarme.Le manomètre est un instrument qui sert à indiquer la pression de la vapeur dans
la chaudière en atmosphères et fractions d’atmosphère. Il y en a plusieurs systèmes, les
uns à air libre, les autres à air comprimé.Le flotteur sert à connaître le niveau d’eau, et le sifflet à prévenir lorsque le niveau
d’eau baisse sensiblement au-dessous du niveau ordinaire.Les soupapes de sûreté servent à donner issue à la vapeur lorsque la tension dépasse
la pression normale.Nous en avons donné un tracé sur la lig. 4, pi. 11 ; leurs diamètres varient avec les
dimensions des chaudières et la pression de la vapeur.Elles sont déterminées suivant les ordonnances de police, d’après les règle et table
suivantes.Pour déterminer les diamètres des soupapes de sûreté, il faut diviser la surface de
chauffe de la chaudière, exprimée en mètres quarrés, par le nombre qui indique la tension
maximum de la vapeur dans la chaudière, préalablement diminuée du nombre 0,412 ;
prendre la racine quarrée du quotient ainsi obtenu, et la multiplier par 2.6 ; le résultat
exprimera, en centimètres, le diamètre cherché. Ce qui revient à la formule suivante :dans laquelle
d, désigne le diamètre de la soupape en centimètres,,132 COURS RAtSSNÏSf&Dli <DESSIN INDUSTRIELs la suiface de chauffe de la chaudieie y compas les paities des paiois compuses
dans les carneauxomcenduiîs-de laflarQraetetdeîa&mee -exprimes en mètres quanes.
n le numéro de timbie expumant en atmospheies la tension de la yapeur. é 1 ih'MM l S 9 i _> r q I [ 3 sr la iil) fi 9 I ) b")  »> lit >vfiPV 8 TÂStE prOBfi to&LERftES’ DIAifeStS i DONNER AUX OàTteCÉS s 1 S9XJ ;
0 ^dciOfllS 5 0^ES soroAfe^BE 1 SU&TÉ 7 e9j 11' i r 9 i 'i fiÉsS » NHMBI\PS9DES TIMBRES J^DIgDAM ; LES TEÎkSJgîfô DEjLA^APDUR 0£_ ,■ . fa ,3 I m j° s% i ? 8f "ia r ( i i J s dm ' )  JD aMi/ I i13 ca — ■ j nimrnniiiiiniiiiBi t^~ ■■iiiiiiniiiiium ;vni>""""'"tf — ->-3 -3 J i î « O ( « ? H « M J9Ua B 93 6C l d "i% g ATMOSPH ATMOSPH ATMOSPH ATMOSPH ATMOSPH ATMOSPH ATMOSPH ATMOSPH ATMOSPH ATM0S1Hs ■=g 1 1/2 2 2 1/2 3 3 1/2 4 5- 6 7 8j \ Cf/t !'m q m 11 m mill in m 11 m mill m m 11 n n llmi In 11 m m llin n 11 n m lhni1 2o 21 18 16 1b 14 12 11 10 9•à 91% ci 35 r, 29 r oi &5g n 23 .j 20 iinus o iM7 ;in i ffifliiisrasr' ma3 43 36 31 29 ^6 o ,™ J9 17 ) 5sïf SfO n « If 36 â2 1 9 -29SJ 27 * :>24« 3> 22 ï m2(P ' ' 19 ' !l f X ig6 3 ; KS-tll $8 43< I !39 J36 j tî932 1 09 • ) sn C hï- 8 70 58 51 46 42, , 39 J 34 31 , 29 ,27j svti 70 : U »ai o& u rgp. J/2 Do 4f ai" 39s t AI^ 1 v 3^1 ■ J>y« p111831C-13é8 ^ * 6Ûr Si •■ !S9 5b' fJ "Sô* IU'âa J3Ï 31: • - 1 il 87 H ) o 1]# ',. 56 cjijM fît 4 1 J 14°1 i U tâ^ i i jdSof fJjJ33C ?13 90 74 65 '58 53 , 49 1 44 40 36 3414 93 7 67 60 5b 1 ' 51> ^S 1  ? » M "« 3f •""' » 3§ »15 96 80 0 62 57 53 47 42 38 3616 100 82 7 (5 59 55 /8 44 40 3817 103 85 74 67 61 56 50 45 => 3918 106 87 76 j/ B8 TT 63o §8 0 51 47 43 , 4019 109 90 8 0 64 60 53 48 44 41
°0 111 92 80 72 66 61 54 49, o 4« ■ 1 Ï) 21 a« <SI £94 tf '"« i 82j i) « 741 6S : £63) ®g a" Î503I f) 046cs <" ;b« 2 117 97 8 ; v 76 69i 64 57 . 51, 47 „., -M-25 12o 103 90 l 81 74 ' 69 60 55 50 4726 1 i 127d . -105L _ 91 i-S’û rr *fSJ (70 62J9IQ<:66-1 fU 0ïi° * ï§ l2 129 107 9o 84 7 I 63 57 < 52. • 4928 132 109 9o 80 8 f 3*3 J 6Ï ' J58 3l 9J53' '50"f ? 1 l} ?*I I->H ! ^i d *IJ ifP ) U7{ 65, 89 S  ? i54- (floSI30 136 113 98 88 81 78 66 60 55 , 5" .32 140 116 100 1' (90 IS » !il 6 ? al 671 H -62 C ) 57. i^ i UJ) £ I34 145 119 , 104 94 86 ,79 69 J 641 59 5538 151 l2o 110 97 90 83 74 65 n #-4«  5840 156 130 113 101 92 86 5 69 64 591 4&? 'njirn , mil 1 319 \m c 971 G ISI a JSÔ C7S ai o« B8i IÎOO350 174 145 125 413 10^ 96 84 76 Q 67 r55 184 451 132 HW U « 101  ! ! ? : ' 80n 1 S VI1-0'^^Q ,60jâ ,) M C[ ^085 137-10 b^Vl i r¥ 3 ) ( ^6 ^, 9,4 3 m84« J 780 T i7ï^ l II -■-■-■-.■, .Ë3llns-<-i.^1 a r i ! 'in ÎOTI J 9 UtJ °b qcq Oo ° °u nBl « sniH o ) r oa
roid3 r sjpi ci * »<»idao0 1 \ 9 rsjj a 1 irnn « >5f r q 9 i-ibîjfil r i> i 1 JJ<" C » dfno^ (  ! m ir n 1/ Inq « s n I 1 ai L J q ? cl I) autun a
- i,c 1 M q qi IJ il O UL III w »t U ) U 91 ) SflJ ! I 1 b/I8 q0 j UA « 'in 10 f 1 i sr ) "^ « 1 b " »r 1 E° IFSJI^J n r • » s 'q■-'■■'■■ '.. .• .■ "•■ ■■.-'.-. .'■■ . ■ -._'- .: ■ . .'9ll3Up£l.g{TB'b. ■ '• \ ; ; : .ssiîômijfla'Q"à3 sanqùos al 'Bb^3iîémê.ib Sl’sngissB àyCOURS RAISONNÉ DE DESSIN INDUSTRIEL. 133Chapitre v. etude et construction des engrenages.
196. Les engrenages sont des organes mécaniques fréquemment employés
pour les transmissions de mouvement ; on en exécute de toutes dimensions
dans l’horlogerie, la filature, les machines-outils et jusque dans les moteurs
les plus puissants. Les engrenages reposent sur ce principe, que leurs surfaces
latérales développent le môme arc pendant la même durée de contact, bien
que leur vitesse angulaire (') varie en raison inverse de leur diamètre. Us
consistent en des saillies ou dents, ménagées au pourtour de plateaux droits
cylindriques ou coniques, et disposés de manière à se conduire réciproquement
pendant un temps limité.

Mais pour que cet entraînement se fasse régulièrement, il est indispensable
que les surfaces de ces dents ou saillies restent constamment tangentes pendant
toute la durée de leur contact, et à cet effet, loin de se tracer d’une manière
arbitraire, elles doivent au contraire être déterminées géométriquement, car
de leur forme exacte dépend la bonne marche de tout l’engrenage ; il est
donc essentiel de s’attacher particulièrement au tracé de ces dentures.

Les courbes des dents adoptées dans la pratique sont : les développantes de
cercles, les cycloïdes et les épicycloïdes.

Ces courbes sont d’autant plus utiles à connaître qu’elles trouvent également
leur application dans divers autres agents mécaniques.

DÉVELOPPANTE DE CERCLE, CYCLOÏDE ET ËPICYCLOÏDE.
Planches 18 et 19.
DÉVELOPPANTE DE CERCLE.Figurelro, planche 18.

197. Quand un fil est enroulé sur la circonférence d’un cercle, si on le
déroule par une de ses extrémités, en le laissant constamment tendu, cette
extrémité décrit la courbe appelée développante.
1. La vitesse angulaire d’un corps tournant autour d’un centre, est l’angle décrit par ce corps
dans sa rotation pendant l’unité de temps, tandis que la vitesse réelle ou linéaire d’un point est
l’espace parcouru par ce point soil sur une ligne, soit sur une circonférence ; ainsi, les différents
points d’une manivelle ont tous la même vitesse angulaire, tandis que ces mêmes points
ont une vit6i5g-ré§tlte« al) ien différente, en raison de leur éloignement du centre ; de même un
On se repose sur cette définition, pour tracer géométriquement une développante,
de cercle. Soit ABC, une circonférence donnée de rayon AO, et A
l’extrémité du fil qui l’enveloppe. On prend sur cette circonférence à partir
de A, des points « , b, c, assez rapprochés pour que leurs arcs puissent être
considérés comme autant de lignes droites ; à chacun de ces points on mène des
tangentes ou des perpendiculaires aux rayons correspondants, on porte successivement
sur ces tangentes, à partir de leur point de contact, les longueurs
respectives etrectifiées des arcs a A, &A, 'eA ; etc., ce qui détermine les points
a', b', e', ; etc. ; la courbe qui les réunit est une partie de la développante. En
continuant le développement du fil, la développante forme plusieurs: circuits
qui s’agrandissent de plus en plus, et donne lieu à une courbe qui prend alors
le nom de spirale. Après uiie révolution entière de la circonférence, 4a plus
courte distance entre deux circuits consécutifs est toujours la même et est
égale au développement de la circonférence génératrice qui est lé noyau de la
courbe. .'•■.- . . …..

En se donnant les points a, i »i ç,_ à-égale-distance sur la circonférence, les
tangentes sont respectivement doubles, triples, etc., de la première Àa ; et si,
comme nous l’avons dit, ces points sont assez rapprochés, on peut, pour tracer
la courbe correctement, décrire des arcs de cercle avec la longueur de ces
tangentes pour rayon. Ainsi, du point à, avec le rayon a « ', on-trace le premier
arc A a', de même de b, avec le rayon bb', on décrit l’arc a ! b', et ainsi
de suite. f

Nous ferons voir l’application de Ja développante aux engrenages à crémaillère
et à vis, comme aussi aux cames et excentriques.
CYCLOÏDE. :'.'.-.Figure 2, planche 18.

198. Lorsqu’on fait rouler un plateau circulaire sur un plan et en ligne
droite, le point de contact de la circonférence de ce plateau sur le plan, engendre
ou donne naissance à une courbe appelée cycloïde. Ainsi, un point
quelconque pris sur le contour d’une roue de locomotive, par exemple, décrit
dans son mouvement sur le rail autant de Cycloïdes qu’elle accomplit de révolutions ;


Pour que la courbe soit rigoureuse, le roulement doit avoir lieu sans glissement,
c’est-à-dire que l’espace parcouru sur la droite, doit être égala la
longueur de la portion de la circonférence qui, dans le mouvement, s’est trouvée
en contact avec le plan. . - ' - ,
pendule qui décrit un angle ou un mouvement angulaire autour de son point de suspension. La
vitesse angulaire d’un corps est d’autant plus grande qu’il décrit Un angle plus grand dans le
même temps. Deux points peuvent avoir la même vitesse angulaire, quoique l’espace parcouru
par« hâcun soit différent ; en effet, tous les points du pendule, par exemple, mis en oscillation,
décrivent le même angle et par conséquent ont la même vitesse angulaire, et cependant
leurs vitesses réelles oit les chemins qu’ils parcourent sont différents, r'-'f' <"ï,
Proposons-nous de tracer une cycloïde engendrée par le point A, d’un cercle
donné de rayon AO, et roulant sur la droite BC.

Plusieurs solutions satisfont à ce problème.
lresolution. — On porte un certain nombre de fois sur la circonférence, à
partir de A, une partie Aa, assez petite pour être considérée comme une ligne
droite, ce qui s’appelle, avons-nous dit, rectifier un arc. On la porte de même,
et le môme nombre de fois sur la droite AC ; des points a, b, c, d, on élève sur
cette dernière des perpendiculaires coupant la ligne 0 0', engendrée par le
centre du cercle roulant et parallèle à la droite donnée BC ; on obtient ainsi les
points de rencontre o, o', o 2, etc., qui sont les centres du cercle générateur,
dans la position correspondante aux points de contact a, b, c, d. De chacun de
ces centres, on décrit des portions de circonférence, sur chacune desquelles on
porte successivement les longueurs des arcs A a', A b', A c’, etc., de a en a",
de b en a 2, et de c en b 2, ainsi de suite ; la courbe A a" a ? b2 c 2, qui passe
par ces points, donne la cycloïde.
2esolution. — On peut aussi déterminer les points de cette courbe par
la rencontre des lignes horizontales menées des points de division a', b', c’,
df, etc., avec les arcs de cercle décrits des centres o, </, o 2, etc.
3esolution. — Au lieu de tracer des arcs de cercle comme ceux qui ont été
indiqués à la droite de la fig. 2, on peut déterminer des points de la courbe
cycloïdale en reportant successivement les distances qui existent entre les points
de division du cercle et les lignes verticales, sur les lignes horizontales passant
par ces divisions, à partir de la ligne verticale AO ; ainsi, les distances ee',
îf -, ffÇ'y hh', etc., sont reportées de 1 en a 2, de 2 en b 2, de 3 en c 2, etc.

Pour éviter la confusion, nous avons indiqué cette dernière solution à gauche
de la fig. 2, qui montre une seconde cycloïde semblable à la première.

Lorsque le cercle générateur a parcouru son demi-développement, on obtient
le sommet de la courbe en D’, point correspondant au diamètre AD. La longueur
AG, de la droite donnée, est égale alors au développement de la demicirconférence
de rayon AO.

En continuant le tracé, on obtient une courbe entière symétrique par rapport
à CD, et qui a pour base une droite double de AC, et par conséquent
égale au développement total du cercle générateur. La cycloïde est la courbe
géométrique, employée généralement pour la denture des crémaillères et des
vis sans fin.
ÉPICYCLOÏDE EXTÉRIEURE.Figurelre, planche 19.

199. L’épicycloïde ne diffère de la cycloïde, qu’en ce que le cercle générateur,
au lieu de rouler sur une ligne droite, se meut autour d’un cercle fixe. Lorsque
les deux cercles sont dans un môme plan, le point de contact engendre une
épicycloïde droite ou cylindrique ; dans le cas où les deux cercles sont situés

dans des plans différents, mais conservant le même angle, la courbe engendrée
est une épicycloïde sphérique ; on suppose alors que le cercle générateur
se meut autour d’un centre fixe tout en roulant sur la circonférence du cercle
immobile. ' -
lresolution.— Pour tracer Tépicycloïde droite, la construction est analogue
à celle- indiquée pour la cycloïde. AinsL, soit AO le rayon du cercle
générateur, et AC le rayon du cercle fixe, on divise le cercle générateur en un
certain nombre de parties égales,aux points a', b',c’, d’,etc.,et on porte sur la
circonférence de rayon AC, la longueur de ces arcs rectifiés, à partir de A en
a,b, c,d, etc. Par ces nouveaux points dé division, on mène les rayons G a, Gb
C c, etc., que l’on prolonge jusqu’à la rencontre delà circonférence de rayon
CO engendrée par le centre du cercle générateur dans sa rotation autour du
cercle fixe ; on obtient ainsi les points o, o',o ?,o ? qui sont les centres successifs
du cercle générateur, lorsqu’il est en contact aux points a, b, c,d, etc. ; on
décrit alors de chacun de ces centres des arcs de cercle de rayon AO, puis on
porte successivement les arcs ka', kb', kc’, de a en a 2, de b en b 2, de e en
c 2, etc. La courbe passant par les points a ?b2'c*, etc.,.est Tépicycloïde.
2esolution. — On détermine également les points de cette courbe en
décrivant du centre C, des arcs de cercle passant par les points de division
a', b' c’ d’, et coupant les arcs qui expriment les diverses positions du cercle
générateur en a2 b2 c2 d 2, qui sont autant de points de l’épicycloïde. >
3esolution. — On peut aussi déterminer la courbe en portant successivement
les distances qui existent entre le.s points de division-e,/, g, étendu cercle
générateur et les rayons Ch, Ci,Ck, qui passent par les différents points de
contact du cercle fixe, sur lés circonférences, décrites du centre Cet passant
par les points e,f, g ; ainsi les.distances ee',ff, gg',sont reportées de 1 en a 2,
de 2 en b 2, et de 3 eii.c2,etC ;Çe tracé est indiqué à droite delà fig. i.

Quand Te cer-cle générateur a parcouru son développement sur le cercle
fixe, Hépicycloïde obtenue est une tourbe entière AD B, symétrique par rapport
à la droite DE, qui est égale au diamètre du cerclé mobile.
ÉPICYCLOÏDE EXTÉRIEURE DÉCRITE PAR UN CERCLE TOURNANT AUTOUR
D’pN CERCLE FIXE QUI EST INTÉRIEUR.Figure 3, planche 19.

20(L Pour ce tracé qui est analogue au précédent, on se donne Je cerclé fixe
de rayon C A, et le cercle mobile de rayon B A ; on divise le premier cercle en
un certain nombre de parties égales aux points a, 6, c, d, etc., on porte la longueur
rectifiée de ces arcs sur la circonférence de rayon B A de A en a',b', c’, etc.
On décrit ensuite du point C, avec le rayon B C, une circonférence qui coupe les
rayons C k,Ga,Cb,Cc, aux points B^B^B 3 ; dechacun de ces derniers comme
centres, on tracera avec le rayon AB, des circonférences qui sont respectivement
tangentes avec le cercle fixe aux divers points a, b, c, puis du centre C,
on décrit des arcs de cercle passant successivement parles points à' b'v'd’,
DE DESSIN INDUSTRIEL. 137
ces arcs coupent en a2b2c-, les circonférences tangentes au cercle fixe.
La courbe réunissant ces points est l’épicycloïde. Les deux autres solutions
indiquées pour l’épicycloïde ordinaire sont applicables à ce cas particulier.
ÉPICYCLOÏDË INTÉRIEURE.Figure 1, planche 19.

201. L’épicycloïde est dite intérieure lorsque le cercle mobile roule à l’intérieur
du cercle fixe.

Soit C A, le rayon du cercle fixe, et A B le rayon du cercle générateur. Ce
tracé consiste, comme il a été déjà expliqué précédemment, à prendre un certain
nombre de divisions sur le cercle mobile, à porter ces divisions rectifiées
sur la circonférence immobile, puis à appliquer l’une des trois solutions indiquées
pour l’épicycloïde extérieure. Ce tracé est d’ailleurs suffisamment indiqué
dans la fig. 2, par les mêmes lettres correspondantes à celles de la fig. lre.

Lorsque le cercle générateur est moitié du cercle fixe, l’épicycloïde engendrée
par un point de la circonférence du cercle est une ligne droite égale au
diamètre du cercle fixe. Ainsi dans la fig. 3, pi. 18, l’épicycloïde engendrée
par le point A, du cercle mobile de rayon CA, après une demi-révolution,
se confond avec le diamètre A B.

Si dans le même cas, on prend un point D extérieur, lié invariablement au
cercle du générateur, l’épicycloïde décrite par ce point est alors une ellipse
DF E G, qui a pour grand axe la ligne D E, égale au diamètre du cercle fixe
A B, augmenté de 2 fois la distance du point générateur D au point A, et pour
petit axe G F, qui est égale à 2 fois la môme distance AD. Il suffit d’ailleurs
pour déterminer cette courbe, si on ne veut pas avoir recours au tracé connu
de l’ellipse (5-2 et suiv.) , de porter la longueur AD, sur le prolongement
du rayon C A dans toutes les positions qu’on fait occuper au cercle générateur
dans sa rotation à l’intérieur du cercle fixe. Si le point générateur était pris à
l’intérieur du cercle mobile, l’épicycloïde obtenue serait aussi une ellipse.

L’épicycloïde est généralement employée pour la courbure géométrique des
engrenages extérieurs et intérieurs, cylindriques et coniques.

Les engrenages se divisent généralement en deux catégories, savoir : les engrenages
droits ou cylindriques et les engrenages d’angle ou coniques ; les
premiers comprennent: l’engrenage d’une crémaillère et d’un pignon, l’engrenage
d’une vis sans fin et d’une roue, et enfin l’engrenage de deux roues.
Dans tous ces engrenages, nous remarquerons que toutes les dentures sont
disposées de telle sorte qu’elles puissent se commander réciproquement.
TRACÉ DE L’ENGRENAGE D’UNE CRÉMAILLÈRE ET D’UN PIGNON.Figure k, planche 18.

202. Une crémaillère est une espèce de règle droite et rigide armée de
dents, sur l’une de ses faces, pour engrener avec une roue droite qui étant
1:38 COURS RAISONNÉ 'généralement de petit diamètre, s’appelle pignon, telle est la barre dentée A B
(%■ VpK 18..) " ..-.■.■ :.-

On suppose pour tracer cet engrenage, comme d’ailleurs : pour un engrenage
quelconque, que l’on connaisse l’épaisseur ab, à donner à la denture,
dimensionqui est variable suivant les efforts à transmettre, comme on le verra
dans les notes.

Lorsque la crémaillère et le pignon doivent être de même inétal, l’épaisseur
dés dents est égale pour Tes d’eux organes. Il en est de même de l’espace vide
ou creux compris entre deux dents consécutives.. Le creux théoriquement est
égal au plein où à l’épaisseur de-la dent, mais en pratique on le fait un peu
plus large pour que les dentures puissent passer librement.

203. Le pas des dents comprend •:"'". . '."'.''.

La largeur du creux et l’épaisseur de la dent ; il se porte, dans une roue, sur
là circonférence du rayon donné, que l’on appelle circonférence.primitive, et
dans la crémaillère sur une ligne droite tangente à-la circonférence et appelée
aussi ligne primitive. <

20ï. Soit 0 C, le Crayon du cercle primitif d’un pignon engrenant avec une
crémaillère, et A B, la droite primitive de celle-ci. Proposons-nous dlabord de
déterminer la courbure dés dents du pignon pour commander la crémaillère,
nous chercherons ensuite la courbure des dents de la crémaillère pour commander
le pignon. ■ ;

Lé problème revient à faire rouler tâhgeritiéllement là droite A C,. sur la
'Circonférence du cercle primitif 0 C ; dans ce mouvement le.point de contact
C engendre une développante G D quej’on trace suivant l’indication de la
fig. lr.e, tracé répété d’ailleurs en-a'd’, sur une des dents du pignon (fig. 4.) 

Cette courbe jouit de .cette propriété,, que si elle fait, corps avec lé pignon
et qu’on fasse tourner ce dernier autour de son centre., elle ppussèrà constamment
le point de contact C suivant fa droite A B, et .avec une vitesse, égale
à celle imprimée au-même pointe sur la circonférence 'primitive ;; du pignon.
Par conséquent, si on divise cette .circonférence en autant, de. parties, égales
que le pignon doit avoir de dents et de cfëux, et si à chacune des divisions on
rapporte la développante C D,.toutes-ces courbes rempliront ia même condition ;
une de ces divisions rectifiée est reportée également sur la droite primitive
À B, autant de fois qu’il est nécessaire. A chaque dent les courbes sont
placées symétriquement par rapport au rayon qui passe par le milieu de leur
épaisseur ; tel qu’il est indiqué en 0 d’, pour que le pignon puisse commander
àussibîen de droite à gauche que de gauche à droite. fV

205. Gomme les dents ne peuvent pas avoir une longueur indéfinie, il faut les
limiter, en se basant sur le principe suivante La dent delà rpuequi„commande
ne doit abandonner celle sur laquelle elle agit, que lorsque la dent qui la
suit immédiatement est venue prendre sa position primitive, qui dans l’engrenage
de deux roues correspond à la lighedes centres’et dans Uengrenàgé à
crémaillère correspond au rav on 0 G> perpendiculaire à la ligne primitive A B.
DE DESSIN INDUSTRIEL. 139
Ainsi, si on suppose que le pignon se meuve dans le sens indiqué par la
flèche, la dent E, qui agit sur la dent H de la crémaillère, doit pousser celleci,
jusqu’à ce que la dent suivante G, soit venue prendre sa place ; elle est
alors arrivée à la position de la dent l ?, par conséquent elle a fait marcher la
dent H jusqu’en I ; on voit qu’alors la courbe de la dent est en contact en c,
sur la ligne primitive À B ; c’est en ce point que l’on peut limiter la dent, mais
en pratique, pour que chaque dent du pignon commande un peu plus longtemps,
et afin d’éviter le jeu résultant de l’usure, on les rogne un peu au
delà du point c, en traçant du centre 0, un cercle extérieur qui coupe toutes
les courbes à la même longueur.

Pour donner passage à la partie courbe des dents du pignon, la crémaillère
doit être évidée, ou présenter des creux qui sont simplement déterminés par
des perpendiculaires ef, cd, gh, à la droite primitive AB, et passant aux points
de division portés sur cette droite.

Ces perpendiculaires qui forment en môme temps les côtés des dents se
nomment flancs.

La profondeur de ces creux devrait être rigoureusement limitée par la
droite m n, tangente à la circonférence extérieure du pignon ; mais pour empêcher
le frottement des dents dans le fond, il est préférable d’augmenter
d’une petite quantité la profondeur des creux, et de raccorder alors les flancs
avec le fond par des quarts de cercle qui, en évitant les parties angulaires,
donnent plus de force à la denture.

206. Comme il est d’usage dans la pratique d’établir les engrenages de telle
sorte qu’ils puissent se commander réciproquement, nous devons chercher à
compléter le tracé précédent en donnant aux dents de la crémaillère la courbure
nécessaire, pour qu’elle puisse à son tour commander le pignon avec
lequel elle engrène, en remplissant toujours la condition d’une marche régulière,
sur la circonférence et sur la ligue primitive.

Remarquons, à cet effet, que si sur le rayon OC, considéré comme diamètre,
on place le cercle OLC, et qu’on fasse rouler ce cercle sur la droite AB, le
point de contact C engendrera une cycloïde CK, que l’on pourra construire
comme il a été indiqué sur la lig. 2.

Si on fait rouler de môme ce cercle dans l’intérieur du cercle primitif G C J,
le même point C engendrera une épicycloïde droite qui se confond avec le
rayon OC, comme on l’a vu sur la fig. 3. Or, si l’on donne à la denture de la
crémaillère la courbe CK, et au flanc du pignon la droite CO, on remplira justement
la condition cherchée, c’est-à-dire que si on imprime à la crémaillère
un mouvement de translation de droite à gauche, la courbe CK s’appuiera
constamment sur la droite CO, en lui restant tangente.

En effet, supposons la courbe CK transportée en CL, le rayon OC sera alors
en OL ; or, si au point L on mène la droite LC, le triangle LOC est rectangle
en L, c’est-à-dire la droite OL est perpendiculaire sur LC, donc OL est tangente
à la courbe LC. Par conséquent, si la marche de la crémaillère est régu-

UO COURS RAISONNÉ

lière, celle du pignon le sera .également. La même courbe GK est reportée
sur tous les points de division de la crémaillère comme on l’a fait déjà pour le
pignon. ■'-■. :

Pour reconnaître quelle doit être la longueur à donner à la dent, il suffit de
porter deux fois l’épaisseur Çb 2 deC en L sur le cercle générateur OLC, et de
mener par le point L une ligne parallèle à la droite AB>

Si par tous les .points de division du cercle primitif du pignon, on mène
une suite de rayons qui concourent au point 0, on aura les flancs ij,kl, etc.,
dont la limite est obtenue par un cercle tracé du centre 0, et tangent à la
droite mn ; par le même motif que .celui indiqué pour la crémaillère ;, on a
également augmenté le fond des creux en terminant les flancs par des arcs de
cercle qui se raccordent avec la circonférence intérieure tracée avec un rayon
plus petit que celui de la circonférence précédente.

Comme il serait trop long en dessin de répéter les courbes déterminées sur
toutes les dents, il est convenable de découper sur un morceau de carton ou
de placage un calibre ou gabarit, suivant la première courbe tracée rigoureusement,
dont on se sert comme pistolet, "en le reportant successivement à tous
les points de division et en. ayant soin pour cela de se guider sur les lignes
milieux des dents, afin que ces dents soient parfaitement symétriques.

On se contente quelquefois pour éviter le calibre de tracer le contour des
dents par une portion:de cercle qui doit autant que possible se rapprocher de
la courbe.

A cet effet, l’arc doit être tangent au flanc et passer par le point limite de
la dent. Ainsi, supposons que Ton veuille remplacer la courbure des dents de
la crémaillèrepar un arc de cercle tel que celui or de la dent P, on sait que
cette courbe doit être tangente en o à la verticale op et passer par le point r,
correspondant à. celui L, et obtenu en portant hq de r'. en r. Si on tire la
corde or, et qu’on élève sur son milieu une perpendiculaire Si, son point de
rencontre avec la droite primitive AC donnera le cercle s de l’arc cherché ;
en transportant le point s sur toute la.ligne AB, et en conservant le même
rayon os on peut tracer de même toutes’les autres dents. ' "■■

On emploie un procédé analogue pour remplacer la courbure des dents du
pignon,
ENGRENAGE D’UNE VIS SANS FIN AVEC UNE ROUE. ,Figures 5 et 6, planche 18,

207. Cet engrenage se construit comme celui d’une-crémaillère et d’un
pignon ; à cet effet, on suppose la vis et la roue coupées par un plan passant par
l’axe de la première et parallèle à la face de la seconde ; -on est alors amené à
un tracé tout à -faitidentique à celui de la fîg. 4, c’est-à-dire qu’après s’être
donné le cercle primitif GCJ èt-la droite tangente AB parallèle à l’axe MN de la

vis, on cherche la développante CD pour la courbure des dents de la roue et la
cycloïde C K pour la courbure des dents de la vis. On limite la longueur de ces
courbes comme précédemment ; du reste, la partie teintée de la fig. 6 montre
ce tracé et la forme des dents.

C’est ainsi que l’engrenage de la vis sans fin et de la roue est ramené à celui
d’une crémaillère et d’une roue droite. Le tracé que nous venons d’indiquer
suffit dans la construction pour déterminer le profil des dents.

Pour représenter en dessin géométral la vue extérieure au lieu de la coupe
des dentures de la roue et de la vis, il est utile de connaître le pas et le diamètre
de la vis d’une part, et de l’autre l’épaisseur de la roue (fig. 5).

Soit M’A', le rayon moyen qui mesure la distance de la ligne primitive AB
à l’axe MN, et a b la largeur de la roue. Lorsque la vis est à simple filet
(177) , le pas est égal à celui de la denture, par conséquent à l’épaisseur
de la dent, plus l’épaisseur du creux ; dans ce cas une révolution de la vis fait
tourner la roue d’une dent, c’est ce qui a été supposé sur les figures.

Si la vis est à deux ou trois filets, son pas est égal à deux ou trois fois le
pas de la denture, et alors une révolution de la vis fait marcher la roue de deux
ou trois dents.

La roue ayant une certaine épaisseur et devant engrener avec les filets de
lavis, a nécessairement sa denture inclinée comme ceux-ci ; cette inclinaison
varie donc suivant le pas ou le nombre de filets. On doit observer en outre
que les parties latérales des dents étant simplement tangentes à la surface
gauche ou rampante des filets de la vis, le contact n’a toujours lieu rigoureusement
qu’en un point qui varie successivement de position tout en restant
dans le plan O'M’ de section. Dans la représentation des filets de la vis, on a
à exprimer les hélices passant par les sommets de des dents, et celles décrites
par les fonds/, ?. Pour exprimer ces hélices, nous avons transporté ces points
à gauche de la fig. 6, sur laquelle leur tracé est indiqué et déterminé à l’aide
de la projection fig. 5, et en suivant les principes expliqués (173). Toutes les
opérations sont suffisamment désignées et repérées par les lettres et les
chiffres des fig. 5 et 6.

208. Pour la représentation extérieure des dents de la roue fig. 6, il est utile
de développer une portion de la surface du cylindre, engendrée par la ligne primitive
A B, autour de l’axe de la vis, laquelle surface contient l’hélice de contact
kiklm ; à cet effet on porte sur la ligne droite E'A', fig. 7, la demi-circonférence
développée A' m E2 ; au point E', on élève la perpendiculaire C’ E'
que l’on fait égale à CE, moitié du pas (fig. 6) , et en tirant la droite C’A', on
a l’inclinaison réelle des filets.

Si de chaque côté de m, on porte m a' et m b', correspondant à m’a, et
m’b, fig. 5, et qu’on mène par ces points des parallèles à CE', la portion de
droite p g, comprise entre elles détermine la largeur et l’inclinaison des dents
de la roue. Des points p r, on mène pt,etrs, parallèles à E' A', les distances
ts etsq, qui sont égales, sont portées sur le cercle primitif de la roue (fig. 6. ) 
<42 COURS RAISONNÉ :
de s en tet en g-, après avoir toutefois tracé, mais « m ponctué, les contours
correspondants à ceux des dents coupées F et G. :  !

Il-s-uffitalor-s de répéter aux points t et q, ces mêmes, contours, en les limitant
aux mêmes cercles intérieurs et extérieurs, ■■:■:.::

Enfin on obtient la roue de côté ou la projectioniatérale des dents (fig. 5) ,
en projetant les points w„M, X, en « ',« ?, #', qui donnent l’intérieur des dents
et les points u2,v 2, x 1, en ud, vs, x'à -, qui expriment l’extérieur. .■••::

On exécute quelquefois des engrenages à'vis sans fin , en rendant les dents
de la roue en partie concentriques à l’axe de ;lâ vis, afin 'qu’elles’ se trouvent
en contact avec les filets , sur une certaine:étendue auJieu de lesvtouçher en
quelques points: ■■■>.■ -\ : '--■ '-> . ■:'. .-.' .-•'.''

Cette 'dispositions qui exige une main-d’oeuvre particulière, s’applique surtout
lorsqu’on vent obtenir de la précision et éviter le jeu dans-la transmission
de mouvement. - " -■'.-■■

., ..''.'■ ENGRÈNAGE5. DROITS "OU CYLINDRIQUES. '. '"'■'
 ;.. : :' '.-■.'■' Planche -19. :-.:.' ;-  ;■-.l,TRACÉ DE DEUX RODES DROITES S’ENGRENANT EXTÉRIEUREMENT.
''■■ ■■■ - Wigxvre 4-, pkàiehe =1:9 » - "■ ;-'■■ ■■ ■■-■:■■'■■. >

209. Deux roues droites sont celles dont les dentures sont parallèles et
taillées sur des surfaces cylindriques. Lorsqu’elles né sont pas dé même diamètre,
lapjus petite s’appelle généralement pignon.
"Deux,roues destinées à se conduire mutuellement ne peuvent former un
engrenage exact qu’à la condition d’avoir leurs, rayons pu leurs circonférences
primitives proportionnels au nombre de dents qu’elles doivent contenir ; par
conséquent poui\ construire l’engrenage de deux roues., il faut connaître soit
le nombre de dents de chacune et le rayon de l’une d’elles,-soit leurs rayons
ou diamètres et le nombre de dents de l’une, soit encore la distance de leurs
centres et le rayon ou le nombre de dents de l’une d’elles, soit enfin le nombre
de révolutions des deux roues et la distance de leurs centres, dule rayon et
lenombre_de dents de l’une d’elles j1,)..  ;

Si onsuppose donnés : les rayons À B '=' 240 et B G = 400, des cercles primitifs
de deux roues droites, et n — 24 ;, le nombre des dents du pignon, on
trouve d’abord lé nombre de dents N, de la roue par la proportion :

AB:BÎC:: w: Nqu240-iioo::^: N = 4Q,

Traçons donc les cercles primitifs A B et B C et divisons-les respectivement
en vingt-quatre et en quarante parties égales, on obtient ainsi lé pas ou le
milieu des’derits qui est égal sur les deux circonférences^ "On subdivise alors
\. -'Nous renvoyons aux notes et données (pages’151 et suivantes j’pbur la solution’-de ces
divers problèmes., ■.■':-.:.■. .:.
le pas en quatre parties égales pour avoir le milieu des creux et en môme temps
les côtés ou les flancs de chaque dent. Si sur la ligne des centres A C, et sur la
ligne AI) , considérée comme diamètre, on décrit une circonférence dont le
centre est en 0 et si on fait rouler cette circonférence autour de la circonférence
primitive DB E, de la roue, le point de contact B engendrera, comme
on l’a vu fig. lre, une épicycloïde BF, qui est la courbe convenable pour la
forme à donner aux dents de la roue et que l’on porte d’une manière symétrique
de chaque côté des divisions, comme le montre la figure.

Si maintenant on fait rouler le même cercle de rayon OB, dans l’intérieur
de la circonférence primitive GBII du pignon, on obtiendra l’épicycloïde
droite BO (voir fig. 3, pi. 18) dont une portion B a, est prise pour le flanc de
la dent du pignon.

En admettant la courbe B F, liée invariablement avec la roue et assujétie à
tourner d’une manière uniforme autour du centre C , dans le sens de la flèche
I, elle satisfera à la condition de conduire le flanc Ba, qui est solidaire avec
le pignon, en le faisant tourner avec la môme uniformité autour du centre A,
c’est-à-dire que l’espace parcouru par le point B, sur la circonférence primitive
GB H, sera exactement le môme que celui parcouru par le même point B,
sur la circonférence primitive E B D.

210. Pour déterminer la longueur à donner à la dent, il faut toujours que la
courbe épicycloïdale soit assez longue pour mener le flanc correspondant sur
une étendue égale au pas, c’est-à-dire jusqu’à ce que la ligne ou le flanc B a
soit arrivé en c d ; en ce moment, on remarque que la courbe B F s’est transportée
en b/', et se trouve en contact avec le flanc au point/, sur la circonférence
du cercle générateur de rayon A 0. Ainsi, en définitive, on obtient le
point de limite/, en portant de B en/, sur le cercle générateur, la longueur du
pas de l’engrenage. On fait passer par ce point /, une circonférence que l’on
décrit du centre G et qui coupe toutes les dents de la roue à la longueur
voulue.

Théoriquement on détermine les creux du pignon en traçant du centre A
une circonférence tangente à la précédente, mais en pratique, comme il est
nécessaire de laisser du jeu entre le bout des dents et le fond des creux, la
circonférence est décrite avec un rayon plus petit A a.

211. D’après ce qui précède, si la roue devait toujours commander le pignon
sans être entraînée par lui, les dentures de la roue auraient la forme indiquée
en J, et celles du pignon, l’aspect de la figure teintée en K ; mais comme généralement
on exécute les engrenages pour se conduire mutuellement, nous
devons aussi tracer les dentures de manière à ce que le pignon puisse à son
tour commander la roue.

A cet effet sur le milieu 0' du rayon BC, considéré comme diamètre, on
trace une circonférence que l’on fait rouler sur la circonférence primitive
H B G, du pignon, le point de contact B engendre l’épicycloïde B L, qui convient
à la courbure des dents de ce pignon. On sait que le môme point B dé-
Ui COURS RAISONNÉ

crirait l’épicycloïde droite B' 0', en faisant rouler le même cercle à l’intérieur
de celui E.B.D, cette épiçycloïde droite donne le flanc des dents de la roue.
On opère alorsxomme pour le pignon et on limite les dents de celui-ci, en
portant de B en/.la. longueur du pas en faisant passer par ce point’./', une
circonférence décrite .du centre A.: '

On limite également le fond des creux de la roue par un cercle de rayon C g,
qui n’est pas tout à fait "tangent à cette circonférence pour laisser un jeu suffisant
au passage des dents du pignon-. On obtient ainsi des dentures complètes,
d’une forme régulière et satisfaisant aux conditions d’entraînement réciproque
des deux roues. .

Dans l’opération graphique que l’on vient d’effectuer, on a supposé les largeurs
des creux égales aux épaisseurs des dents, mais comme il est nécessaire,
en pratique de ménager du jeu pour faciliter le dégagement des: dents, il est
bon de laisser celles-Gi un peu plus minces, ce que l’on fait sur le dessin en
ayant le soin de rentrer le trait de l’épaisseur de la ligne au crayon, généralement
ce qui est égal au l/15e ou au 1/20e du pas. Pour conserver de lajorce à
la denture, on arrqndit le fond des creux, comme on le remarque sur chaque
dent de la fig. .4. ■.. .■ -.-.:- -  ;

Lorsque la roue est d’un petit diamètre, la jante JvL, qui porte les dents est
fondue pleine avec le moyeu P, en évidant cependant l’espace annulaire Q ;
dans les roues de .certaines dimensions la jante M’ est reliée avec le moyeu P',
par des bras ou croisillons à nervures Q'. qui se raccordent: comme l’indique
la fig. 4 
-':"..:■'.:■ '■:'.. •.'.■-. " ,TRACÉ DE DEUX ROUES. DROITES S’ÉNGRENANT INTÉRIEUREMENT.
" . . Figure 5, planche -19.

212. On doit observerpour le tracé de cet engrenage, comme dans le précédent,
que le nombre de dents du pignon et de la roue doit 1 être exactement
en rapport avec leur diamètre. La courbure des.dents se détermine aussi par
les mômes principes ; ainsi, On obtient la courbure BL du pignon en faisant
rouler autour de sa circonférence primitive GBH, le cercle décrit du centre 0
avec le rayon OB, égal à la moitié de celui BC, delà circonférence primitive
DBE, de la roue. L’opération à suivre a été expliquée fig. 3. Les flancs Ba,
ou les côtés des dents de là roue, sont déterminés par des rayons qui concourent
au centre C. .:. ,■..■'..,…■•,■ ., ;.-..'■'

On trouvé de même la courbure BF des dents de cette roue, en faisant
rouler dans l’intérieur de son cercleprimitif BDE, la circonférence décrite du
centre 0', avec le rayon BO', égal à la moitié du rayon BA, delà circonférence
primitive GBH, du pignon. Ces courbes ainsi obtenues, on achève les
dentures comme nous l’avons expliqué sur la fig. 4e. On observe toutefois que
sur la fig. 5, la denture du pignon qui rigoureusement pourrait être coupée par
un cercle passant au point/, et décrit du centre A, se prolonge au delà afin

de rester pins longtemps en contact et de présenter ainsi un plus grand nombre
de dents engagées, ensuite, dans le but de répartir l’effet à transmettre sur
un plus grand nombre de points.

TRACÉ PRATIQUE DE DEUX ROUES DROITES.
Planche 20.

213. Nous avons supposé dans les tracés précédents qui comprennent les prin,
cipes généraux sur les engrenages à crémaillères et cylindriques, que les dentures
de la crémaillère et du pignon , ou du pignon et de la roue, étaient de
même substance ; dans ce cas elles sont de même épaisseur , mais il arrive
•fréquemment dans la construction que l’une des roues a sa denture en bois
et l’autre en fonte. Alors l’épaisseur de la première est sensiblement plus
forte que la seconde, bien que le pas soit le même pour les deux roues, tel
est l’engrenage représenté en plan et en élévation sur les fig. 1 et 2 de la
planche 20.

On suppose que ces engrenages soient dans le rapport de 3 : 4, aloz-s le
pignon porte 36 dents et la roue 48. Après avoir divisé le cercle primitif tracé
avec le rayon CR de la roue en 96 parties égales pour représenter le milieu
des dents et celui des creux, et de même le cercle primitif du pignon en
. 72 parties égales , on décrit des centres 0 et 0', les cercles générateurs qui
déterminent les courbes cycloïdales B F et BL. On prend les 11/21 du pas b c
pour l’épaisseur de la dent de bois drr Jes 9/21 pour celle de la dent de fonte et
la 1/21e partie restante est conservée pour le jeu ; on mène alors une suite de
rayons qui indiquent les flancs des dents de la roue et du pignon , et à partir
de leur cercle primitif, on porte sur le prolongement de leurs rayons, à l’aide
d’un gabarit découpé sur les courbes B L et BF, les épicycloïdes exprimant les
parties courbes qu’on limite d’ailleurs comme il a été dit planche 19e.

On se contente souvent en dessin de remplacer les courbes épicycloïdales
par des arcs de cercle qui remplissent à très-peu près les mêmes conditions,
en faisant en sorte que ces arcs soient tangents aux rayons des cercles primitifs
 ; on procède à cet effet de la manière suivante :

Soit (fig. 10) , une dent du pignon dessinée sur une échelle plus grande ; on
fait passer par le point de contact B, une tangente Bo, au cercle primitif, on
élève ensuite une perpendiculaire sur le milieu de la corde Bw, qui passe par
les deux extrémités de la courbe des dents ; ces deux droites se rencontrent au
point o qui est le centre de l’arc de cercle B mn, lequel se confond sensiblement
avec la courbe épicycloïdale ; le même arc est répété sur toutes les divisions
du pignon avec le même rayon Bo. Une opération analogue détermine le
rayon de l’arc de cercle qui remplace la courbe dans les dents de la roue.

Généralement il convient dans les engrenages à dents de bois, de donner à
celles-ci une hauteur égale aux 3/4 du pas, et aux dents de fonte, une hauteur
égale aux 2/3 du pas. Dans tous les cas la hauteur des dents dans les deux
f46( , ViGOÙRS 'RAISONNÉ '•■:•■

roues ne doit jamais être moindre que celle déterminée par les points de contact,
ff, .situés sur les cercles générateurs des épicycïoïdes et décrits des
centres 0 et 0'. Le rapport entre la saillie n m de la dent et le flanc np est
comme, 4 : 5, c’est-à-dire qu’en divisant la hauteur totale de la dent en 9 parties
égales, il faut prendre S parties pouirla hauteur de la Courbe ; et 5 pour le
flanc. Lorsque les dentures sont en fonte, l’épaisseur p q, dé la jante est égale
à l’épaisseur rs, de la dent, quelquefois elle n’est égale qu’aux 3/4, mais alors
elle est renforcée en dedans par une nervure. -

Pour les denturesde bois, comme il est nécessaire de donner de l’assise aux
tenons i ;des dents, on donne à la jante une épaisseur p q, qui est souvent
double de l’épaisseur de la dent. Les tenons doivent être/ajustés avec beaucoup
de soin dans la jante,- sous forme légèrement conique, et retenus à l’intérieur
soit par des goupilles en fer u, qui les traversent, soit -par des clés en
bois v taillées préalablement en queue d’hironde (V) et chassées fortement
entre les bouts des tenons ; ces deux modes d’ajustement sont indiqués: dans
l’ensemble fig. lreetsurle détail fig. 7. 11 est un troisième mode de denture
en bois,. qui n’est peut-être pas très-répandu, mais qui n’en^ est pas moins
d’une très-bonne construction. Nous l’avons représenté en T-sur la figure 3e ;
on voit qu’il consiste dans l’addition de deux, portées s, qui, en donnant
de l’assise à la dent, permettent de faire le tenon £ beaucoup plus fort, et par
suite la masse de fonte beaucoup moins lourde, conditions également importantes
dans la construction. '

La largeur xy des dents est égale à 2 ou 3 fois leur pas ;.dans les. roues en
fonte, la largeur des couronnes se confond avec celle des dents ; il n’,én est
pas de même pour les roues à dents de bois, car les couronnas devant être
garnies de, mortaises pour recevoir les ;dents, ont une largeur égalé à celle
des dents augmentée d’une fois et demie ; à deux fois leur épaisseur.

Nous ayons dit que dans les engrenages de grandes dimensions, la jante
M’, est réunie au moyeu P', par des bras ou croisillons Q' ; le nombre de ces
bras varie de 4, 6 et 8, suivant les diamètres ; dans l’exemple qui nous occupe,
le nombre est de (5, et on s’est arrangé pour que le nombre de jdents dans la
roue soit divisible par le facteur 6, aM que les nervures, qui renforcent les
milieux de ces bras se trouvent toujours comprisesentre deux dents consécutives..
. , ■ .- . . ' ■. ;./ ;.,.'..• ; :■■:,■:„ ;,■

Les nervures sont raccordées par des congés simples nu à filets avec le corps
de chaque bras, comme l’indiquent les fig. 5 et 6, qui sont des coupes faites
suivant les lignes 1, 2 de la fig. lre. .- :
1. Assemblage ou entaillure du bois faite^ en formé de queue d’Hirondelle. Tout le monde
n’est pas d’accord sur.cette expression, quelques personnes disent queue d’hironde ; d’autres,
et c’est le plus grand nombre, s’en rapportant à nos dicïionnairesi'sé serv.ejit.de l’expression
queue d’aronde. L’étymologie. latine est hirundo.(hirondelle) , dont on a fait par corruption
arondeUe, aronde, mot qui exprime encore dans quelques parties,de la.France l’hirondelle
commune. . ; ■ "'-'.-■'" ■•'"Il nous semble logique et rationnel dédire queue d’Ttironâe.
D’autres fois, le raccord se fait par de simples plans inclinés ou chanfreins
fig. 8 ; et pour plus de simplicité les nervures se terminent sur les faces du
bras à arêtes vives (fig. 9.) Mais dans tous les cas ces nervures sont plus épaisses
vers leur naissance que vers les bords extérieurs, et conservent la môme
dimension sur toute la longueur du bras, tandis que le corps du bras augmente
du centre à la circonférence.

Les figures 3 et 4 indiquent des sections faites par le centre des roues suivant
les lignes brisées 3, 4, 5 de la fig. V. Nous remarquerons au sujet de
ces coupes, que d’un côté on suppose qu’elles sont faites parallèlement aux
bras et ramenées dans le plan CC ou AA', ce qui évite d’avoir des raccourcis,
tandis que l’autre partie est réellement projetée sur les mômes plans. Dans ces
sortes de dessins, on se dispense de faire ces projections inclinées parce
qu’elles ne donnent pas la véritable dimension des parties que l’on veut
représenter.

Les opérations et les cotes indiquées sur le dessin complètent le tracé
général de la planche 20, soit comme projection, soit comme coupe ou
section.

TRACÉ ET CONSTRUCTION DES MODÈLES EN BOIS DE ROUES

D’ENGRENAGE.
MODÈLES DE UOCES DROITES.Planche 21.

214. Si, comme nous l’avons dit, on doit porter du soin dans la confection
des modèles en bois en général, c’est surtout dans l’exécution des modèles de
roues d’engrenage, à cause des proportions rigoureuses qui doivent exister
entre leurs diamètres et le nombre des dents.

Le modeleur doit tenir compte non-seulement du retrait de la fonte, mais
encore de la quantité de matière qui doit être enlevée par le tournage et l’alésage.
Il doit en outre assembler toutes les parties du modèle, assez solidement
pour qu’elles ne puissent se déformer pendant le travail du moulage.

Ainsi pour les roues à dents de bois, la jante devant être percée d’un grand
nombre d’ouvertures ou mortaises appelées cabinets, au lieu de faire venir ces
ouvertures au modèle, ce qui l’affaiblirait et rendrait d’ailleurs le moulage
trop difficile, on rapporte au contraire à la circonférence extérieure des
saillies ou portées qui indiquent au mouleur la place des noyaux en sable,
destinés à la formation de ces cabinets.

En tenant compte de ces observations, on peut se proposer d’établir les modèles
de deux engrenages droits, tels que ceux représentés sur la planche 20.
MODÈLE DU PIGNON.
215. Les figures 1 et 2 montrent une moitié de plan et la coupe verticale du
modèle en bois du pignon. Il se compose de plusieurs parties principales, savoir:

la jante ou Ta couronne et ses dents, le moyeu et ses portées ; les/bras et leurs
nervures, parties que nous^llons successivement’examiner. '

JÂ'NTE OU COURONNE. -^ Le menuisier modeleur débite dans des planches
d’une épaisseur de 25 à 35 millimètres, des cintres A, de même rayon correspondant
à celui que doit avoir'le pignon, augmenté du retrait et du tournage.
Ces cintres sont superposés, collés à plat-joint et placés \ de manière à ce que
lés joints se contrarient comme le montre la fig. 3. Ainsi disposés, ils ne sont
pas susceptibles de travailler ou de gercer par les effets de ' Fhumidité ou de
la sécheresse, comme le ferait une couronne d’une seule pièce. •

La couronne entière étant terminée, après que les joints sont parfaitement
secs, on la monte sur un tour aplateau afin de la .dresserintérieurement et extérieurement
et sur ses deux faces parallèles, pour lui donner la dimension et
la forme déterminées par un tracé préalablement exécuté de grandeur naturelle,
sur une planche, par le modeleur même. '

Dans cet état,"il. trace sur la- surface extérieure, des traits de division qui
indiquent la place des dents, lorsque celles-ci sont simplement fixées à la
couronne par des vis ou clous, mais il est préférable pour la solidité dû modèle,
au lieu.de les appliquer simplement contre la couronne,-de pratiquer,
dans cette dernière,"des entailles d’une petite profondeur, et dans lesquelles
les dents sont ajustées à queue d’hirondej comme on le voit en B (fig,.1) '..
' MOYEU. — Le moyeu se Compose de deux blocs de bois formés chacun d’une
seule pièce D, ou de plusieurs quand il est de grande dimension.

Ces blocs sont tournés chacun séparément, suivant la forrhe exacte de
l’épure- et doivent comprendre entre eux l’épaisseur du corps du: bras. ~

"BRAS ; OU CROISILLONS. — Le corps de chaque bras G (fig ; 4) , est aussi découpé
dans des planches minces, non-seulement suivant, le contour extérieur
apparent qu’il doit avoir à la fonte, mais encore en ayant égard aux parties à
encastrer dans la jante et le moyeu. L’extrémité à, du côté du moyeu p, a la
forme d’un secteur correspondant à la sixième partie du cercle* parce que le
pignon porte 6 bras ; les deux faces latérales b de cette-partie du bras sont à
rainures pour s’assembler à l’aide de languettes collées c (fig.'1)  ; cet ajustement
a l’avantage de faire joindre lès bras entre eux avec beaucoup: de solidité ;
l’autre extrémité d du bras est découpée circulairement pour affecter la
forme de là jante qu’elle pénètre ; àcët effet la jante elle-même a dû préalablement
recevoir une entaille analogue.  ;

Il reste maintenant à rapporter lés’ nervures sur le corps C’ du bras ; ces
nervures E sont chacune débitées séparément, suivant la forme indiquée
fig, 5 ; elles comprennent un supplément eet/ à chaque extrémité pour s’encastrer
dans la Couronne et le moyeu. Lorsque toutes ces nervures sont en
place et collées dans la jante, on rapporte les deux parties du moyeu D. sur les~
deux faces des bras, après avoir eu le soin d’encoller les entailles faites pour
recevoir le-bout des nervures ; on place enfin sur les faces extérieures du
moyeu les portées coniques F, servant dé guides au mouleur, 1 pouf placer son

noyau en sable au centre de la pièce moulée. Pour que le tout soit parfaitement
solidaire, on traverse le moyeu par un boulon central G, qui permet de
changer au besoin le diamètre des portées et par suite celui du trou de l’engrenage
sans endommager le modèle.

Si pour donner plus de grâce au modèle on veut garnir ses bras de moulures
i, on rapporte celles-ci à l’intérieur à la jonction des nervures et du bras
lorsque le modèle est terminé. Elles sont collées ou fixées par des pointes. La
section fig. 6 indique la forme et la place de ces moulures.

On doit observer que dans les dentures qui doivent marcher brutes de fonte,
leur modèle en prend exactement la forme, mais lorsqu’elles doivent être
taillées, ce qui est presque toujours indispensable pour marcher bois sur
fonte, les portées B sont alors beaucoup plus fortes en tous sens pour suffire
à l’enlèvement de la matière lors du dressage des dents. (1 ) 
MODÈLE DE LA ROCE.
216. Les fig. 7,8 et 9 représentent en élévation, en plan et en coupe verticale
le modèle en bois de la roue qui engrène avec le pignon précédent. Il se compose,
comme celui de la jante, du moyeu et des bras ; ces parties qui sont désignées
par les mômes lettres se construisent exactement de la même manière.

Il existe toutefois une différence essentielle à l’extérieur de la jante : au
lieu des dents taillées B qui doivent venir de fonte avec le pignon, ce sont des
portées B' qui indiquent au mouleur, sur toute la circonférence, l’emplacement
des noyaux en terre destinés à former les cabinets ; ces portées sont appliquées
ou encastrées dans la jante et fixées soit par des clous /, soit par des vis m ;
dans ce dernier cas, on a l’avantage de changer au besoin les portées pour
varier le nombre des dents très-facilement sans fatiguer ou détériorer le modèle.
Dans le modèle en bois, la longueur des portées B' se prolonge d’un
côté sur la face qui descend dans le châssis inférieur du moule, afin de bien
asseoir tous les noyaux et de faciliter la sortie du modèle, bien que, dans l’exécution,
les cabinets n’aient que la dimension convenable, pour laisser l’épaisseur
à la jante comme elle est indiquée planche 20.
BOITES A NOYAUX.
217. Les noyaux des cabinets doivent être non-seulement placés à égale distance
sur le pourtour delà couronne, mais encore être rigoureusement de même
forme et de même dimension, afin que tous les cabinets soient égaux. A cet
effet, on remet au mouleur une boîte en bois qui peut s’exécuter de plusieurs
manières ; ainsi les fig. 10 et 11 représentent la vue de face et une section
horizontale suivant la ligne 3-4, d’une première boîte à noyaux dont la ca1.
Voir les notes et données pratiques, pages 163 et 16i.
vite comprend la partie n, correspondante à la portée B' de là couronne, et
celle d, l’évidemeht ou la partie creuse (lu cabinet ; cette dernière a exactement
là section de là jante dans la largeur de l’entaille. Le mouleur remplit
cette cavité de terre préalablement préparée ; qu’il tassé et qu’il fait affleurer
avec une racle ; il renverse la boîte pour sortir le noyau qui se trouve ainsi
formé ; il recommencé là mêiiie opération pour un nouveau noyau, et
quand ils sont tous secs, il les placé dans les cavités du moule formées par
les portées B'. •

Les fig. 12, 13 et 14 font voir une autre constrUctibn de boîte à noyait qui
est formée dé deux pièces en bois H et I, laissant entre elles la cavité no,
correspondante à là précédente ; dans ce cas, les noyaux sOnt affleurés par les
extrémités au lieu de l’être sur une face ; et pour les enlever, on sépare les
deux parties de la boîte, assemblées par des goupilles dé repère k.
. Pour les moyeux de grande dimension, les blocs du moyeu D sont assemblés
par deux ou plusieurs boulons G, au lieu d’un.

Une moitié de la roue est moulée dans un châssis incrusté dans le .sol de
l’atelier, et appelé châssis inférieur, l’autre moitié est moulée dans un châssis
semblable appelé châssis supérieur ou contre-châssis ; on comprend alors que
pour enlever le modèle du sable, sans nuire à la régularité de l’empreinte, il
faut avoir lé soin de ménager, comme nous l’avons dit déjà, de la dépouille
soit à la jante, soit au moyeu, soit aux nervures des bras.

Lorsque les modèles sont un peu lourds on applique sur la jante deux
écrous à oreilles ou à pattes L, en fer (fig. 1,8 et 15) , et dans lesquels on
taraude des broches à poignée, qui permettent au mouleur d’enlever le modèle
du sable. avec plus de commodité et sans détériorer le modèle.

Les fig ; 1, 2, 8 et 9, représentent dans -une même vue, diverses projections
pour éviter la répétition dés tracés et pour simplifier tout le dessin. Cette
faculté se présenté fréquemment dans les tracés destinés à la construction.
Règles et donnees pratiques.
ENGRENAGES.
218. Nous avons dit que deux engrenages ne fonctionnaient régulièrement qu’à la
condition d’un rapport exact entre les rayons ou les diamètres et le nombre des dents.Il résulte de ce principe que lorsqu’on connaît les rayons primitifs de deux roues et
le nombre de dents de l’une, on peut déterminer celui de l’autre et réciproquement.Ainsi, en représentant par N, le nombre de dents d’une roue de rayon R, et par n,
celui d’une roue de rayon r, on a la proportion directe : N : n :: R : r, d’où on peut
déduire toujours l’une quelconque des quantités, lorsqu’on connaît les trois autres.Premier exemple : Soit une roue dont le rayon a 12 centimètres et portant 75 dents ;
quel sera le nombre de dents d’une, roue qui doit engrener avec la première et qui a un
rayon de 8 centimètres ?Deuxième exemple : Soient 75 et 50, les nombres de dents de deux roues en contact
et 12 centimètres le rayon de la première, on trouve le rayon de la seconde roue
par la proportion :219. Les vitesses de rotation ou le nombre de révolutions des axes qui portent deux
roues engrenant ensemble, sont en raison inverse des diamètres, rayons ou nombres de
dents de ces roues.Par conséquent, en représentant par V, la vitesse de rotation de l’arbre qui porte la
plus petite roue, le pignon, dont le rayon est r, et le nombre de dents n, et par v, la
vitesse de l’arbre qui porte la grande roue de rayon R, et du nombre de dents N, on a
les proportions inverses suivantes :Dans ces proportions, on peut encore déterminer l’une quelconque des quatre quantités
quand on connaît les trois autres.
Premier exemple : Une roue , dont le rayon est de 20 centimètres, a une vitesse452 COURS RAISONNÉde 25 révolutions par minute, quel est le rayon du pignon qui engrène avec elle et qui
doit faire 60 révolutions dans le même temps : on a la proportion inverse :rayon, au pignon.Une roue de 60 dents doit marcher avec une vitesse de 25 révolutions par minute,
et commander un pignon qui doit en faire 75, quel sera le nombre de dents de
celui-ci : ~ -nombre des dents, du pignon.Ces principes s’appliquent également aux poulies ou tambours mis en communication
par des cordes ou courroies.Quelquefois, les roues d’engrenages cylindriques ne sont connues que par la distance
de leurs centres, le nombre de dents qu’elles doivent contenir ou leur nombre de révolutions ;
dans ce cas, il y â d’une part proportion inverse entre Ja distance des centres,-la
somme des révolutions des roues et entre les rayons ;eties-nombres, de révolutions ; et
d’autre part proportion directe entre la distance des centres, la somme des dents des
deux roues et leurs.'rayons, ou lé nombre, de dents dechacune:- ,SoitD, la distance'des centres ou des axes de deux roues &,r dont les nombres de
dents sont-N’et n, ou dont les vitesses réciproques sont v et. V ;. on a i° la proportionPremier exemple : Soit 0m 455 la distance des axes de deux roues, dont une doit
faire 22-révolutions par. minute, et l’autre 15,5 ; Quelest le rayon de chacune des deux
-roues ?- '.'■."■ ;..' •'.-.. ' ■•.■.'■■"'•■ •'Il est évident que lorsqu’on" connaît le rayon de l’une des roues, il est inutile pour
trouver l’autre .de résoudre la seconde proportion, car il suffit de retrancher de la distance
des axes, le premier rayon trouve ; ainsi : • '•'..'.'■ ;../■".-■ ;■■:-•.. … . ■ : ■ f . -Deuxième exemple .- Connaissant la. distance D = 0,455, des axes de deux roues,
dont l’une doit porter 31 dents, et l’autre 44, ôû demandé leurs rayons.DE DESSIN INDUSTRIEL. 133ou plus simplement : r = 0,455 — 0,267 = 0,188.On peut aussi déterminer géométriquement les rayons de deux roues d’engrenage,
lorsqu’on connaît la distance de leurs centres et le nombre de révolutions de chacune
d’elles, par la règle suivante :On divise la distance en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans la somme des
deux vitesses, puis on prend pour rayon du pignon, un nombre de parties égal à celui
que marque en unités la moindre vitesse, et pour rayon de la grande le reste de ces
parties.Exemple : Soit 16 centimètres la distance de deux axes parallèles, dont l’un doit
faire 6 révolutions et l’autre 4. La distance étant divisée en 6 + 4 = 10, parties égales,
on en prend 4 pour le rayon du pignon, et 6 pour le rayon de la roue.Cette règle est très-simple, lorsque le rapport eutre les nombres de révolutions est
exprimé par des nombres entiers, comme 1 : 4 ou 2 : 5 ; car alors il suffit de faire la
somme de ces nombres et de diviser la distance des centres suivant le nombre d’unités
contenues dans cette somme.La table suivante permet de résoudre divers problèmes relatifs aux engrenages, quand
on connaît le nombre de dents, ou le pas, ou le rayon.XXVe TABLE SERVANT A DETERMINER LES NOMBRES DE DENTS OU LES DIAMÈTRES DES ROUES
D’ENGRENAGE, QUAND ON CONNAIT LE PAS DE LA DENTURE ET RÉCIPROQUEMENT.NOMBRE. COEFFICIENT. NOMBRE. COEFFICIENT. NOMBRE. COEFFICIENT. NOMBRE. COEFFICIENT10 3.183 46 « .642 82 26.100 H8 37.559H 3.501 47 14.960 83 26.419 H9 37.87812 3.820 48 15.278 84 26.737 120 38.19613 4.I38 49 15.597 85 27.055 121 38.51414 4.456 SO 15.915 86 27.374 122 38.83315 4.774 51 16.233 87 27.692 123 39.15116 5.093 S2 16.532 88 28.010 124 S9./(6917 5.411 53 16.870 89 28.329 125 39.78818 5.729 54 17.188 90 28.647 126 40.10619 6.048 55 17.506 91 28.965 127 40.42420 6.366 S6 17.825 92 29.284 128 40.74221 6.684 57 18.143 93 29.602 129 41.06122 7.002 58 18.461 94 29 920 130 41.37923 7.3-21 59 18.780 95 30.238 131 41.69724 7.639 60 19.098 96 30.557 132 42.01625 7.957 61 19.416 97 30.875 133 42.33426 8.276 62 19.734 98 31.193 134 4-2.65227 8.594 63 20.033 99 31.512 135 42.97028 8.912 64 20.371 100 31.830 136 43.28929 9.231 65 20.689 101 32.148 137 43.60730 9.549 66 21.008 102 32.467 138 43.92531 9.867 67 21.326 103 32.785 139 44.24432 10.186 68 21.644 104 33.103 140 44.56233 10 504 69 21.963 105 33.421 141 44.88034 10 822 70 22.281 106 33.740 142 45.19935 H.140 71 22.599 107 34.058 143 45.51736 11.459 72 22 917 108 34.376 144 45.83537 11 777 73 23.236 109 34.695 14S 46.15338 12.095 74 23.554 110 35.013 146 46.47239 12.414 75 23.872 111 35.331 147 46.19040 12.732 76 24.191 112 35.650 148 47.10841 13.050 ?7 24.509 113 35.968 149 47.42742 13.369 78 24.827 114 36.286 130 47.74543 13 687 79 25.146 113 36.604 151 48.06344 14 005 80 25.464 116 36.923 152 48.38245 14 323 81 25.782 117 37.241 153 48.700■184" GQKK:S. RAISOJipÉRÈGLES SUR LA TABLE ERBGÉDENTE : '.. './" ' ■:1° Jour déterminer le diamètre d’une roue d’engrenage, connaissant le p as des dents .
et leur nombre : ""• . -' ■-. . •Multipliez le. diamètre correspondantdans la tableau nombre de dents donné,
par le pas donné■en mètres, leproduit exprimera te•diamètre en métrés. •■.-.■'
- Premier exemple ; : Quel est le diamètre-d’Une roué dé 63 dents dôntie pas es
depm0335 ? ^.': "'' , :: ; !"'■■ ': -. ;": ; .:.' ;. ;'/ ;  ;QiX à dans.la taî) lp vis-à-vis 63 dents, un diamètre de: 20,058, alors ."■.-.■■.- 20,053 X 0,0335 = 0m672, ,diamètre de la roue> r ; ;■^Deuxième, .exemple.:-.: Quels sont- les diamètres de deux roues de 41 et de 153
dents qui doivent marcher•ensemble ; leur pas étant de0m025,
On. a ; d’une part :  ; ■ ;■ ..■ ;''.'..■'-'"",', '.-' 13,05 X- 0,025== '0m_326,diamètre de la roue dé 41 dents, et d’une autre part :48,70 X 0^25= lm 217, ; -.- Vdiamètre,de la, roue de 153 dents. ; : y v '2° Pour déteïmin’er le pas des dents d’une roue, connaissant le diamètre et le nombrede dents : . ' ''.:.:". ' ". '■:'■'Divisez le diamètre donné par le nombre qui dans la table correspond au nombredonné.de:dents ; le quotient exprimeravif'pas cherché.
Premier exemple : Quel est le pas d’une roue de 63 dents et de 0m 672 de diamètre ?. 0,672 : 2Q,053 =="0m 0335, pas demandé.'Deuxièmè,e~xemple .-On poudraitconstruire une roue de 126dentspour marcher
avec la précédente,'quelserisondiamètïe ? '. ;":: ■'■".'::0i0335 X 40,106 'i=.:M34, ".' ;■" ■diamètçe de la roué, de 126 dents sur le même pas,3° Pour trouver le nombre^de dents d’une roue dont on connaît le pas et le diamètre.
.DÏviseïLce diamètre par te/pas-donné, le quotient correspondanpdànèla table
sera le mmbre de âents cherché. v ; ; V - :. . ' >^ ; . '■'■"■Si ce nombrè^n’existait pas dans la tablée on prendrait celui qui en approche lé plus.
' Premier exemple,: Le diamètre d’une ; roue est ;de ; Om672, le pas dès: dents est de
0^0335 ;. quel est le nombre :de> dents qUé ;:îaroue ;dp|.t contenir ? ;: :,■•'.■.""'''" 0,6J2 ;Vo,0335= 20^053.==63 dents. ;Deuxième exemple: Quel ; doitêtre le nombre de ;dents d’une ;roue de.0m875,qui doit
marcher avec une Grémaillèredqnt le pas est de 0j025y '\ ,■ - - . ; -• / ; .0,875 r0,025 = 34,: '.: ; ;le nombre correspondant le plus proeheest 110, nombre de dents cherchéDE DESSIN INDUSTRIEL. -155VITESSE ANGULAIRE ET A LA CIRCONFÉRENCE DES ROUES.219. Connaissant la vitesse angulaire de l’axe d’un volant, d’une roue ou d’une
poulie, on détermine la vitesse à leur circonférence par la règle :Multipliez la circonférence de la roue ou du volant par le nombre de tours de
l’axe par minute, le produit exprimera l’espace parcouru dans le même temps, et
ce produit divisé par 60 donnera la vitesse par seconde à la circonférence de la
roue.Exemple : Soit une roue de 1 m 33 de diamètre montée sur un arbre qui fait 20 révolutions
par minute, quelle sera la vitesse à la circonférence ?Circonférence de la roue : = 1 ^33 X 3,1416 = 4m 176.4M 176 x 20 tours = 83m 60,
espace parcouru dans une minute,vitesse à la circonférence de la roue.Lorsque l’on connaît la vitesse à la circonférence d’un volant ou d’une roue, on détermine
la vitesse angulaire ou le nombre de tours par la règle suivante :Divisez la vitesse à la circonférence de la roue, par cette circonférence, le quotient
donnera la vitesse angulaire par seconde, et en multipliant par 60, on a la vitesse
par minute.Dans l’exemple précédent, lm 39 étant la vitesse par seconde à la circonférence de la
roue de lm 33 de diamètre :vitesse angulaire par seconde,et Ot 33 X 60 = 20 tours par minute.En pratique, on peut facilement se rendre compte sur place de la vitesse d’une roue
qui a un mouvement uniforme. On marque à cet effet avec de Ja craie un point sur la
circonférence de la roue, on note combien de fois ce point mobile vient coïncider, dans
un temps donné, avec un point fixe d’observation, puis on multiplie ce nombre de tours
par la circonférence décrite par le point mobile ; ce produit, divisé par le temps d’observation
exprimé en secondes, donnera la vitesse à la circonférence de la roue ; tout
autre point aurait une vitesse différente proportionnée à sa distance du centre de mouvement.Exemple: Une roue de 2 mètres de.diamètre a parcouru, d’après l’observation,
75 révolutions dans une minute, quelle est sa vitesse à la circonférence ?vitesse à la circonférence de la roue.156 : COURS RAISONNE .Réciproquement : connaissant la vitesse à la circonférence d’une roue, on détermine
le nombre de tours qu’elle parcourt dans une'minute par la formule :Quand plusieurs roues ou poulies sont placées-sur un même axe, on détermine (connaissant
la vitesse de rotation de ces axes) la vitesse à la circonférence de chacune
d’elles, en multipliant successivement la circonférence de châcune'des roues par le
nombre de tours de l’axe par minute, et en divisant chacun de ces produits par 60.Exemple : Trois roues ou poulies a, b, c, sont placées sur le même axe, le rayon de
la roue ou poulie a, égale lra10, le rayon de la poulie b = lm60, le rayon de la
poulie c = 2,15, et l’axe fait 12 tours par minute, quelle est la vitesse à la circonférence
de ces 3 mobiles ? -…..'DIMENSIONS DES, ENGRENAGES. "220. En construction, on a à déterminer dans les roués d’engrenage :
l°La force et lès dimensions des dents ; - . ' ■
2° Les dimensions de la jante qui porte ces dents ;3° Les dimensions à donner aux bras.221. ÉPAISSEUR DES DENTS. — La résistance opposée au mouvement de la roue peut
être considérée comme une force appliquée à la-couronne pour l’empêcher détourner, et
la puissance, dans le cas de son plus grand effortj comme appliquée à l’extrémité des
dents. Ces dernières peuvent donc être considérées comme des solides encastrés d’un
bout et chargés de l’autre, et l’équation d’équilibre est alors,dans laquelle -P, exprime la pression en kilogrammes à l’extrémité de la dent ;/j, la hauteur ousaillie des dents en dehors de la jante (en centimètres)  ; .k, un coefficient numérique ; .-' 'e, l’épaisseur des dents en centimètres ;l, leur largeur suivant l’axe. ■ ' ■■Dans cette formule, le coefficient numérique h, qui est" déterminé en tenant compte
du mouvement des dents de l’engrenage, est variable suivant la nature de la matière.D’après les expériences de Tredgold, sur des roues d’engrenage bien construites, on
a adopté généralement pour valeur moyenne du coefficient k, le nombre 25, pour les
dentures de fonte. La formule devient alors :

formule dont trois dimensions sont variables.
On établit habituellement entre ces quantités les relations suivantes :
l, varie entre 3 e et 8 e,
Et h = 1,2 e à 1,5 e,
Soit l — 4,5 e et h = 1,2 e, en substituant ces valeurs dans la formule, elle devient :

Si l’on adopte entre l’épaisseur e et la largeur l des dents, le rapport uniforme indiqué,
on a, pour les faibles pressions, des dents trop minces, et pour les fortes pressions
des dents trop épaisses et un pas trop grand. Pour rester dans les limites convenables
d’épaisseur, il convient de faire varier le rapport de e à l, selon les pressions, et afin de
n’avoir pas un pas trop considérable, on détermine la largeur des dents, à priori, d’après
la charge qu’elles ont à supporter, de la manière suivante : pour la charge de,

La hauteur h doit rester comprise entre, 1,2 X e et 1,5 X e ; 1,5 X e applicable
aux faibles charges et 1,2 X e, aux fortes charges.

Pour les dents de bois qui sont ordinairement en charme et en cormier, le coefficient
doit être augmenté d’un tiers dans chacune des dernières formules, qui deviennent :
158 GOmiS RAISONNÉOn suppose toujours, dans toutes ces formules que quoiqu’il y ait généralement plusieurs
dents en contact, chacune d’elles supporte tout l’effort, comme s’il n’y en avait
qu’une seule, et qu’elles dussent résister pendant fort longtemps à l’usure et aux chocs.
, La pression P sur les dents se détermine d’après la quantité de travail que les roues
se transmettent par seconde à la circonférence primitive. .,-.■•■Cettepxessiop, s’obtient en divisant l’effoffi.qu’elle doit transmettre., exprimé en
Mlogravimètves, par. la vitesse à sa circonférence primitive par seconde. (') Premier exemple .• "Une roue d’engrenage doit transmettre à "sa circonférence primitive
un effort dé §00 lrilogrammètres ayec-une.vitesse de 2m 09 par seconde ; quelle est
la pression que ses dents supportent ?effort auquel doit résister chaque dent, sans crainte de se-rompre, malgré un long
travail. ■-_ . -Deuxième exemple-: Soit une roue dentée de 2 mètres de diamètre, transmettant
une puissance de 20 chevaux, e.t marchant à la vitesse de 25, tours par minute, quelle
est la pression sur les dents ? .pression sur la dent.Quand on connaît l’effort que doit supporter une roue à sa circonférence, on obtient
l’épaisseur dé la dent par l’une des formules précédentes, suivant le rapport que l’on
adopte entre la largeur et l’épaisseur, et aussi suivant la nature de la matière.Ainsi dans le premier exemple précédent où P = 239 ML, l’épaisseur de la dent, supposée
en fonte, serait, en faisant /.=. 3,5 e1. Voir (241 et suiv. ) pour les expressions de force, vitesse, travail et kilogrammètres.
et dans le deuxième exemple où f = 573 kil., l’épaisseur serait, si la dent est en cormier,
avec l = 5 e
3eExemple. Une roue hydraulique de 4m 20 ;de diamètre fait 4,5 révolutions par
minute et transmet une force de 25 chevaux par un engrenage en fonte de lm 65
de rayon ; on demande 1° la pression sur les dents de cet engrenage, et 2° l’épaisseur
de ces dents ?
Quatrième exemple : Le pignon droit en fonte des machines pneumatiques de SaintGermain
a lm06 de diamètre, et il est monté sur un arhre de couche qui doit transmettre
une force effective de 200 chevaux, à la vitesse de 45 révolutions par minute :
quelles sont les pressions sur les dents et les dimensions de celles-ci ?

On leur a donné en exécution, 75 m/m d’épaisseur et 52cent-5 de largeur.

222. PAS DES DENTS. —On se rappelle (203) que le pas d’une denture en fonte,
mesuré sur la circonférence primitive, comprend : 1° l’épaisseur e de la dent ; 2° la largeur
du creux, laquelle est égale à e augmenté de l/10e dans le cas ordinaire,

ce qui donne p = 2,1 e.
\4 60 COURS RAISONNÉAinsi des exemples qui précèdent, on trouve successivement :Lorsque la roué d ?engrenage est calculée pour porter des dents de bois, comme,
dans le deuxième exemple qui précèdev elle doit alors marcher avec un pignon dont
les dents sont en fonte et n’ont que les 3/4 de l’épaisseur de celles en bois ; dans ce cas
le pas est égal à :Ainsi on aurait dans cet exemple,D’après cela, connaissant le pas de l’engrenage qui, pour deux roues en contact, doit
être rigoureusement le même sur les circonférences primitives, on obtient le nombre
de dents de l’une des roues par la formule suivante : :. '■-.■dans laquelle N représente le nombre de dents de la roué,
R, le rayon de cette roue, .et p, le pas des dents mesuré sur la circonférence primitive.
1er Exemple. Quel est le nombre de dents de la roue de 1 mètre de rayon et dont 1 e
pas est "égal à Om 0278 ? : ■•On a : :' ' ■"'" •On comprend sans peine qu’il est indispensable de négliger la fraction qui reste en
effectuant l’opération, ce qui modifie le pas d’une quantité insensible. Ainsi dans cet
exemple, en adoptant 225 dents, le pas devientaulieu de 0,0278VDeuxième exemple .- On demande le nombre de dents de bois qui doivent garnir la
roue de 2 mètres de diamètre, dont le pas est de 0^0598 ?Lorsqu’une roue est à dents de bois, il est souvent utile, pour la régularité de leur
ajustement dans la jante, de mettre leur nombre en rapport avec celui des bras, et alors
il faut modifier le pas ; ainsi, dans cet exemple, la roue deyant porter 6 bras, pour que le
nombre de dents soit divisible nar 6. il faudrait 102 ou 108 dents : en adoDtant le nre-DE DESSIN INDUSTRIEL. 461mier, le pas est un peu augmenté. Afin d’éviter des calculs qui sont quelquefois pénibles,
nous avons réuni dans la table suivante les épaisseurs et le pas des dents, pour des
roues d’engrenage, en adoptant, d’après M. Morin, le coefficient 0,105, ce qui suppose
la formule e = 0,105 KP pour les dentures de fonte et e = 0,145 l/P pour les dentures
de bois ; la largeur constamment égale à près de 4,5 fois l’épaisseur.XXVIe TABLE DES DIMENSIONS A DONNER AU PAS ET A L’ÉPAISSEUR DES DENTS
D’ENGRENAGE QUAND ON CONNAIT LA PRESSION QU'ELLES DOIVENT SUPPORTER.ROUES A DENTS DE FONTE. ROUES A DENTS DE BOIS.PRESSION ^ _ ,en ÉPAISSEUR PAS ÉPAISSEUR PASkilogrammes. ies denls dc 1,enSren3Se des dents de l’engrenage
en millimètres. en millimètres. en millimètres. en millimètres.5 2.3 4.9 3.2 5.910 3.3 6.9 4.7 8.715 4.0 8.5 5.6 10.420 4.6 9.7 6.4 U.830 S.7 « 2.0 7.9 14.440 6.6 13.9 9.1 16.950 7.4 15.6 40.2 18.960 8.1 17.0 H.2 20.870 8.7 18.4 12.1 22 480 9.4 19.7 12.9 23.990 9.9 20.8 13.7 25.3100 10.5 22.0 14.5 26.8125 11.6 24.4 16.1 29.8150 12.8 26.9 17.7 32.7175 13.8 29.1 19.1 34.8200 14.8 31.1 20.2 37.4225 15.7 33.0 21.7 40.1250 16.6 34.8 22.9 42 4275 17.3 36.3 23.9 44.2300 18.2 38.1 25.1 46.4350 19.6 41.2 27.1 50.1400 21.0 43.2 29.0 53.6500 23.4 49.1 32.4 89.9600 25.7 54.0 35.5 65.7700 27.7 58.2 37.2 69.1800 29.7 62.4 41.0 75.8900 31.S 66.1 43.8 83.01000 33.2 69.6 45.8 84.7Il est évident que, d’après cette table et les règles précédentes, on peut toujours
déterminer, non-seulement l’épaisseur et le pas des dents, mais encore leur hauteur et
leur largeur, puisqu’elles sont en rapport avec leur épaisseur.223. DIMENSIONS DE LA JANTE. La largeur de la jante est ordinairement égale à
celle des dents, lorsque celles-ci sont en fonte. Néanmoins, dans certains cas, ceux par
exemple où il y a variation de vitesse et chocs réitérés, comme dans les usines à fer, on
fait la jante plus large que les dents, et les extrémités de celles-ci sont encastrées en
totalité ou en partie de manière que la résistance des dents s’en trouve augmentée.
On donne à ces cercles extérieurs à peu près la demi-épaisseur de la dent.On ne donne jamais à la jante une épaisseur moindre que les 3/4 de celle de la dent, et
encore souvent la jante est renforcée par une nervure intérieure, comme nous l’avons
dit (213).Lorsque les dents sont en bois, la jante est beaucoup plus épaisse afin de donner de
l’assise aux tenons ; elle est assez ordinairement comprise entre 1,5 et 2 fois l’épaisseur.
COURS RAISONNE

224. NOHBBÈ ET DiîtENSipisrs DES BEÀS. Le nonibre des bras ou croisillons.que doit
avoir une roue d’engrenage, n’a pas été jusqu’à présent déterminé rigoureusement ;
l’expérience a appris que jusqu’à 1m 00 de diamètre, quatre bras sont suffisants, de iro 00
à 2"' 00 de diamètre, G bras paraissent nécessaires et suffisent ; au-delà de 2m 50 de diamètre,
on met 8 bras, et de 5™ on en met 10 ; il est bien rare qu’on dépasse ce dernier
nombre, à moins de dimensions extraordinaires.

Soit que les bras en fonte se coulent d’une seule pièce, avec la couronne en fonte qui
porte les dents, (et c’est ce que l’on fait pour les roues d’un petit diamètre, c’est-à-dire
dont le rayon rie dépasse pas 2m00) , soit que les bras se coulent séparément de la couronne,
on donne toujours à leur section la forme en croix, doriHâ plus forte branche
est dans le sens.de l’effort exercé à la circonférence. Cette partie doit donc être telle
qu’elle résiste à, cet effort/Lorsqu’une roue est en mouvement sous une cliârge considérable,
l’expérience a prouvé qu’il se produit sur les bras un effort qui tend à leur
faire prendre la forme de surface gauche et à leur faire subir une inflexion dans le
sens latéral. ; C’est pour s’opposer à-ces effets qu’on renforce le bras par des nervures.

L’effort le plus considérable s’exerçant près, du moyeu de la roue, on fait les bras
plus larges en cet endroit que près de la couronne,.afin de se rapprocher de la forme
d’égale résistance (voyez les figures de là planche (20). On donne d’ailleurs au moyeu
une épaisseur telle qu’elle permette un bon Calage sur l’arbre, 10 à 12 c/m peuvent être
regardés comme maximum de cette épaisseur. Les bras sont plus minces que la jante
n’est large, et assez ordinàiremeut leur épaisseur est le 1/3 de celle de la couronne.
Cette proportion est bonne pour les petits engrenages, c’est-à-dire pour ceux au-dessous
de 2,00 de diamètre.

Pour les grands engrenages, on se contente de prendre pour épaisseur du bras et de
sa nervure 1/4 de la largeur de la couronne.

Les nervures latérales doivent avoir au plus l’épaisseur du bras. Assez ordinairement
on donne au bras pour largeur près de la jante, les 2/3 de la largeur près du moyeu.

Voici, d’après Tredgold, une table des proportions à donner aux bras ou croisillons,
selon l’effort exercé à la circonférence des roues, en supposant à ces dernières 1* 00 de
rayon et 0 bras, dont l’épaisseur est supposée égale au 1/5 de la largeur.de la couronne.
XXVIIe TABLE DES. PROPORTIONS A DONNER AUX BRAS 0D CROISILLONS DES ROUES.EFFORT TANGENTIEL LARGEUR DES BRAS LARGEUR TOTALEà - - .• en . des nervures OBSERVATIONS.LA ROUE. CENTIMÈTRES. EN CENTIMÈTRES.. ' ■10 Ml. 4.20 1.2.1' tes dimensions de ce tableaui06-0°2i°0 - sojt celles qu’il faut donner80 8.00 - 3.00 ^. ■ . :,. ; ..: , .. - 458 8.50 3.90 aux iras, au milieu de la lon244- 9.70 4.85 guérir comprise entre lé moyen
430 - "' '\t.u '•'■■ SrSS" **« »« <* »*■■ •■
580 :■•''■ ,12.12 8.25730 ' . 13.10 .8.73870 Î3.8Ô 9.70 ■ ' '■1100 ~ 14.50 . 10.671210 15.50 ' 11.641500- 16.00 12.60 - - -1750 16.50 13.68' 2200 17.00 ' ■ . liiÔé2300 17.50 '- 16.502660 18.00 17.002840 - 18.50 17.95 '' - 3220 19.00 19.503500 19.00 19.ïdI ■ … …DE DESSIN INDUSTRIEL. 163Pour appliquer les nombres de ce tableau à une roue d’un autre diamètre, mais
ayant aussi 6 bras, il faudra multiplier ces nombres par V R, R, étant le rayon de la
roue dont on veut calculer les bras.225. MODÈLES EN BOIS. Nous donnons ci-après une table comparative des diamètres
à donner aux modèles en bois afin que le retrait de la fonte, ou la matière enlevée par
le façonnage, coïncide avec les dimensions réelles que l’on veut donner aux pièces.Nous ferons à son sujet les observations suivantes :Les nombres de la deuxième colonne représentent le retrait que la fonte éprouve après
son refroidissement. Ainsi une pièce qui aurait été moulée avec un diamètre de lm010,
après qu’elle serait fondue, en fonte de fer bien douce et susceptible d’être facilement
travaillée, ne porterait plus que lm00 de diamètre.Les nombres de la troisième colonne donnent les diamètres du modèle, eu égard
au retrait de la fonte.Ceux de la cinquième colonne représentent non-seulement le retrait de la fonte, mais
encore la quantité de matière qu’on sera susceptible d’enlever par le tournage de la
pièce. Cette quantité est variable et doit être plus forte pour de grands diamètres, ce
qui, du reste, est facile à expliquer sur des pièces de petites dimensions.Toute pièce quelconque ne peut être fondue avec toute la précision, toute la rigueur
mathématique, soit d’abord parce que le modèle, quelque précaution qu’on ait prise
pour le perfectionner, travaille, se déjette plus ou moins, les lignes qui étaient exactement
droites ou circulaires deviennent gauches, soit aussi parce que le mouleur, en
la retirant du sable, est obligé de la remuer, l’ébranlé tellement, que la pièce s’agrandit
dans des parties et prend du gauche dans d’autres, soit encore parce que le retrait de
la pièce fondue est plus sensible dans de certains points que dans d’autres : ainsi, par
exemple, dans une roue d’engrenage, on verra toujours que le diamètre extérieur mesuré
sur la ligne des bras, est sensiblement plus faible que celui mesuré sur une ligne passant
par le milieu de l’espace existant entre deux bras. Cette différence est tellement
sensible que pour les roues de 3 à 4 mètres elle peut s’élever à 3 ou 4 millimètres. Il
est évident qu’on doit avoir égard à toutes ces considérations dans la confection d’un
modèle, sans quoi on risquerait de faire des erreurs graves.RÈGLES SUB LA. TABLE SUIVANTE. Si une pièce finie doit avoir un diamètre compris
entre deux nombres consécutifs de la première colonne de la table :Ajoutez à ce diamètre le nombre pris dans la deuxième colonne et qui correspond
au plus fort des deux nombres consécutifs, pour avoir le diamètre du modèle, si
toutefois la pièce ne doit pas être tournée.Il faudra, au contraire , prendre le nombre correspondant dans la quatrième
colonne, si la pièce doit être tournée.1erExemple : Quel est le diamètre à donner au modèle d’une pièce qui, fondue et
non tournée, doit avoir lm225 de diamètre ?Ce diamètre doit être compris entre lm20 et lm30 ; donc le diamètre du modèle
doit êtrelm225 + 0ra013 = 1">238.2eExemple : Quel est le diamètre à donner au modèle d’une pièce qui, fondue et
tournée, doit avoir lm 225 de diamètre ?Comme dans l’exemple précédent, ce diamètre sera compris entre lm 20 et lm 30 de la
première colonne, mais au lieu de lire le résultat dans la deuxième, on se reportera à
la quatrième qui donne :lm225 + 0m019 = lm244.164
COURS ÏIMSONNÉ DE DESSIN INDUSTRIEL.
XXVIII* 2 TABtE-COMPARATIVE DES DIAMETRES A DONNER AUX MODELES EN BOIS- DE PIEGES
.CIRCULAMES. QUI l) 6lYENT ETRE EN FONTE DO0GE, TOTJRNÉÈSrCJU- NON TOtîRNEÈS.- -' -:-. .--, — . .-. -- - …--,■ : ~>■ LA PIÈCE-U'ÉTAKT PAS TOTTKHEÉ, LA PiÈÛB ETANT TODKNÉË,.■■ DIAMÈTRE ; __■ - "■ ù^^_^ï^__^^_'- : : M’"" '_ '' ;'' -i_U"_2_ ; 1_^_^' '"" '"' -• ' ;de la ■ ajouter à ce diam: -: : "::--"diaiiiètr€>' !". '^ '- ;âjonteF ati:dîàm.'- ' ;- ;. ■ffiainiëtfê-"-: -"-:| :
..'pièceunie/ : ;': ■'''■' -ï,our:/V^' ;. :': ; à ■'■-':_ ^ùvmezm :^y-^':-■■:\^
lë modèle. ■'.'■.- donner au modèle, pour le modèle, donner ,au modèle.'mètres. -■■-.- millimètres. ' mètres..■•--•■■:■ . miiUmètres.' ''■■■. " 'métrés.-.0^10 '■,"•…,• 1 ..'-. .0.101 8 . -0.105- .' 0-.20- "■■::" ■-'•■■ 2 •'-' '.-'-.<■'bi2CB'-' ---'.'•■ --6 ■■-■':■'•: ."■ ^ 0:206 . : -j :.- . 0.30 '■,.'• .' 3'■■■'■: ,. .0:303 ■". "7.'■. 0.307 j0:40 ■' -> X ' .'•* ' 0.404 .:.''■' ;. '8 ' ; :' i:' ::0i408 ;: ;4.50 ■•• !••. '■■- ;: 5 , !'■:': . ^O-SOD >'•' - !. ;(10. v ,:., ;-.,b.S) 0: ; . i ;,0.60 - 6 .0.606 11 .'•"• 0.611 ''"'0:70 ;'-'' • ;■<• ■■'''7'■'■■ I : ' -'bi707' ; ' ;:■-. ^-jVia':'.,-.M- ^0i712^r ;'.0.80 . . 8. . ,' 0.808 . 13 . 0:813Ô ;9Ô 9 0.909 - : - :T4' ; :" : ' 0.914 ,:,1.00. .-■,'■'■ i0:.' :. l.'OfO ■ ..,'■■ 16 .. ;,.:. 1.016. •■:1.10 . -'Ml’'"-' ,1.111 .".'' 17 ■•':. " "4.117■■'■■■■ '1.20 ; " ■■-■.. ' .' :i2' ;- ; -,•'■■:. •' :- 1.212 ' ■ ;'• ? :"•■'■ - .' »8 ;' • ;:T ;- . v : l.:2Î8 !■ ;.-.,' .-. ;■
…1.30.. .13, - : 1.313 - ,19 1.3191.40 ."■■ Ai.' i.iii :-■■-■■■■ 20 '1.'420 ■"■v:.->■■• i.so ■,.. ;■: .•■•^s’"' .-"i:.si5 .■•:-'•,'■ ; :i -ai:--.-, : ; 1.521 ; '.-.1.60- " 16 1.616 " 22 " ", i ;622r '1.70 .'• * 47 -:■■: ■■- ''" 1.717',.'' ;■■-■.' ,23 ;- -u'i^'.i 1:723 ;;, -, ■.1.80. , ■-. 18 : ; . .-1.818 .:':■ ,24 ■,'.'■. 1.S24:. i■■■- 1.90 ~ "■ - !19 1.919, : 25' ": " I  !'-1.925 - ■■ - I: 2 ;00 ' ; :20 ; : ,:■ 2.020, ,,.:,. ;. ;• 27 ; ,'.,. ;.. ,2.027 .-• ;, ; I …. "2.10 21 ' - 2.121 "28 . ■ '2.128 , '"2:20'. ■• 22 - '"• ; ' '"'■■2.,'222i': " '-■ ' 29 ;,.-' ;  ;2.229 :2.30… '- ; ; 23 . ..2.323 ■…,.■ , . 30 ,., : . . 2.3302.40" ; . '24- •■' . 2.424' ' :. 3Ï : ' ' .'2M31 "
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SUITE DE L’ETUDE DES ENGRENAGES
EXCENTRIQUES.
ENGRENAGES D’ANGLE OU CONIQUES.

226. Les roues droites ou cylindriques ne peuvent servir que pour transmettre
le mouvement à des axes parallèles ; mais quand les axes sont inclinés
ou forment entre eux un angle quelconque, les roues d’engrenage changent
de formes et sont appelées roues d’angle ou coniques.

Pour que ces engrenages se trouvent dans de bonnes conditions et puissent
transmettre au besoin des efforts considérables, comme les roues cylindriques,
il est essentiel que les deux axes soient situés dans un même plan ; dans ce cas,
ces axes se rencontrent en un point qui est le sommet commun des deux roues.

On a quelquefois employé des engrenages à lanterne qui se composent
d’une roue à alluchons, ou à dents saillantes implantées perpendiculairement
au plateau et engrenant avec un pignon formé de plusieurs fuseaux ou cylindres,
également espacés autour du centre et fixés entre deux plateaux parallèles
 ; ces engrenages, qui se rencontrent encore dans de vieux moulins, sont
extrêmement vicieux et ont l’inconvénient de s’user très-rapidement.

On exécute dans certaines circonstances, comme dans quelques métiers de
filature, des espèces de roues d’angle dont les axes ne sont pas situés dans un
même plan ; mais ces roues, dont les dentures ne présentent toujours qu’un
seul point de contact, ne peuvent être construites que sur de très-petites
dimensions et pour transmettre des efforts extrêmement faibles. Nous ne
croyons pas utile d’entrer dans des détails au sujet de ces sortes d’engrenages
que l’on doit éviter d’employer, par cela même que l’on peut les remplacer
avantageusement par des roues d’angle. Les dentures des engrenages coniques
peuvent être en métal ou en bois, comme celles des roues cylindriques, et
leurs formes géométriques reposent sur les mêmes principes.
ENGRENAGE D’UNE ROUE D’ANGLE A DENTS DE BOIS
ET D’UN PIGNON EN FONTE.Planche 22.

227. Soient AB et AC (fig. 1 et 2) les axes de ces deux roues que nous supposons
ici à angle droit ; observons toutefois que ce que nous allons dire s’applique
exactement à la construction de deux roues dont les axes formeraient un
12
<I66 ' COURS RAISONNÉ

angle quelconque aigu où obtusi Soient BD = 0'n220 et EF = 0° 440, les
rayons des cercles primitifs du pignon et de la roue. 11 importe d’abord de
déterminer la place que ces rayons doivent occuper sur leurs axes respectifs.

A cet effet, d’un point quelconque B," pris sur l’axe ÀB, on élève-une perpendiculaire
BD que l’on fait égale au rayon du pignon, et par lepoint D on
mène une parallèle DL à cet axe ; de môme d’un point quelconque E, pris sur
l’axe AG, on lui élève une perpendiculaire EF, égale au rayon de la roue, et
par le point F on mène FH, parallèle à cet axe". Lé point G dé rencontre des
deux droites FH et DL détermine le point de contact des deux circonférences
primitives dont les rayons sont GI et GK, respectivement égaux à BD et EF.
Ces rayons sont reportés de I en H et de K en L ; les points H G L sont joints au
sommet commun A, ce qui détermine les cônes primitifs AHG et AGL du
pignon et de là roiièHa droite AG expriniê la génératrice, du contact dé ces
deux cônes. Ces cônes primitifs jouissent dès mômes propriétés que les circonférences
primitives des roues droites, c’est-à-dire que leurs vitesses de rotation
sont en raison inversé de leurs diamètres et que ces derniers sont directement
proportionnels à leurs nombres de dents respectifs.

Ces cônes primitifs ainsi obtenus,"on décrit dès centrés 0 et 0' (fig. 2-et 3) ,
sur le prolongement des deux axes donnés, les cercles primitifs ÀH'F et
G/K/L/, on divise ces cercles en autant de parties égales qu’ils doivent contenir
de dents, c’esl-a-Hire le pignon en 24 et la roue en 48, ce qui donne le pas ;
chaque partie est ensuite divisée en deux pour exprimer le milieu des dents et
desl’creux, et on porte de chaque côté de ces lignes milieux lès demi-épaisseurs
de chaque dent, en tenant compte des différences que nous.avons indiquées
(213.) pour la denture de bois ou de fonfô.

Le contour extérieur des dentures se trouve situé sur des cônes dont les
génératrices sont perpendiculaires à celles dés cônes primitifs ; on les obtient
eh élevantâu point de contact G sur là-ligne ÀG, utié perpendiculaire BÇ, qui
rencontre l’axé du pignon eh B et celui de la rode èii C ; les points B et C sont
les sommets de deux cônes BHG et CGL. Si on développé Ces nouveaux cônes
sur un même plan, on pourra aisément exprimer sur ce plan la forme exacte
dés dentures. Or, nous avons vii (170) que le développement d’un "côhè sur une
surface plane donné lieu au tracé d’un secteur qui a pour rayon la génératrice
du cône et pour arc le développement de la circonférence de sa base. Comme
il est inutile ici de développer le cône entier, il suffît de décrire d’un point
quelconque B' (fig. 4) , avec le rayon BG, un arc dé cerclé acb, sur lequel,
à partir de c, on porte des distances égales, l’une ad, à l’épaisseur de
la dent du pignon (fig. 3) , et l’autre ce à répaisseur de la dent de la roue
(fig, 2)  ; on opère de même pour la roue, c’est-à-dire que du point C’,
situé sur le prolongement de B'ë, on décrit avec le rayon CG un arc de
cercle fog, sur lequel on porte des distances respectivement égales aux premiers
cd et ce. Cela fait* on effectué sur ces deux cercles les mêmes "opérations
que celles mentionnées pour tes dentures des roues cylindriques ; ainsi

sur le rayon Wc, considéré comme diamètre, on décrit un cercle i cj, qui en
roulant autour delà circonférence/c<7, considérée comme cercle primitif de
la grande roue, détermine l’épicycloïde c h, laquelle donne la courbure des
dents de la roue ; de même le cercle k<: l, décrit sur le rayon cC, comme diamètre,
donne en roulant autour du cercle acb, l’épicycloïde cm que l’on
prend pour la courbure des dents du pignon. Après avoir transporté ces
courbes symétriquement de chaque côté des épaisseurs, on limite les dents en
portant sur ces deux cercles générateurs, du point de contact c, la longueur
en en c k, égale au pas des dents, et alors de C et de B', comme centres, on
décrit des cercles qui passent un peu au delà, l’un du point n, l’autre du point
k ; pour marquer le fond des dents, on trace des cercles analogues qui ne sont
pas tout à fait tangents aux premiers. Les points o et p, qui marquent le fond
et l’extrémité des dents, se projettent sur la ligne B C, en o' et p' ; on mène de
ces derniers des lignes qui concourent au sommet A, et qui représentent en
section verticale les génératrices extrêmes des dents.

Par cela même que ces dents sont convergentes en un même point, le contour
intérieur des dents ne peut être le même que le contour extérieur, la
différence est d’autant plus grande que la largeur Gr, portée sur la génératrice
de contact, est elle-même plus grande. Du reste ce contour se détermine
comme le premier ; ainsi au point r, on élève sur cette génératrice la perpendiculaire
st, qui s’arrête sur les lignes d’axe, et qui donne les génératrices de
deux cônes dont la surface contient le contour des faces intérieures des dents.
Pour opérer comme ci-dessus, on développe ces cônes en décrivant des points
s’ et t’, des cercles avec des rayons égaux à rs et à r t ; la figure 5e fait voir à
cet égard le tracé qui est analogue à celui de la fig. 4.

Tout ce qui vient d’être dit ne concerne que la forme d’une dent de chaque
roue ; en exécution, après avoir découpé sur ces dents des gabarits, on doit
reporter ceux-ci sur les cônes extérieurs dont les génératrices sont BG et GC,
pour représenter le contour des faces extérieures des dents, et sur ceux dont
les génératrices sont rs etrt, pour le contour des faces intérieures des mêmes
dents. Toutefois, pour que l’opération soit régulière, il faut avoir le soin de
tracer sur les surfaces coniques extérieures des deux roues et qui contiennent
les génératrices extrêmes passant par les points o 7, delà roue et du pignon, une
suite de génératrices concourant au sommet A, à l’aide d’une sorte d’équerre
analogue à celle X, de la fig. 3 (pi. 23) pour le pignon, et à celle T, de la fig. h,
pour la roue.

Les dents étant déterminées, on achève la section partielle (fig. I ) de l’engrenage,
en se donnant le rayon des arbres, l’épaisseur du moyeu et celle des
jantes, d’après les cotes indiquées. On observera que les dents de bois sont
ajustées dans la jante de la roue delà même manière que dans les engrenages
cylindriques, en faisant toujours concourir les côtés des tenons au même sommet
commun A. Cette coupe, avec les tracés ou rabattements (fig. 4 et 5) , suffisent
dans la construction ; mais quand on veut représenter extérieurement

l’engrenage complet de deux roues d’angle, il faut déterminer les projections
des dentures ; à cet effet on trace d’abord ces dents sur des plans parallèles aux
bases des roues, comme l’indiquent les figures 2 et-3.. On se rappelle que les
divisions ont été faites préalablement sur lès cercles primitifs AH/F etL’K'G'.
Pour exprimer les milieux des dents et des creux, et eh outre les côtés ouïes
flancs, il ■reste'" donc à tracer les arêtes extérieures et les parties courbes.
L’opération pour le pignon consisté a projeter enp sur la figure 3, le point pr
qui limite le bout des dents ( fig. 1 ) et à décrire du centre 0 avec le rayon 0 p
une circonférence sur laquelle s’arrêtentlesigénératricés extrêmes.

La position de ces génératrices s’obtient en portant de chaque côté des
lignes milieux vO, des distances égales a vu oiivp, prises sur -la figure'4 ; on
tire alors des points M-et p, une suite de lignesqui concourent au centre 0 ; on
cherche ensuite le centre d !unarc de cercle qui remplace la courbe épicycloïdale
passant aux points ew,et tangente,au rayon eO. La fig. 3" indique que le
tracé consiste à mener en e uneualgènte es, au rayon eO, et a élever sur le
milieu de la corde eu, une perpendiculaire qui rencontre cette tangente au
point s,-"centre cherché. Le rayon e s sert au tracé graphique du même arc,
pour là courbure extérieure de toutes les dents du pignon ; on complète la
projection de ces dents en déterminant leur courbure intérieure de la même
manière après avoir projeté les cercles passant aux points r etp 2 (fig. 1). On
trace enfin les fonds des dents en projetant les cercles qui passent aux points
y et y':. On observe que la portion de la figure 3e que nous venons de décrire
représente la vue de face intérieure d’un quart du pignon. L’autre partie de
cette figure suppose qu’il est vu de face extérieurement■■•: dans ce dernier cas,
on n’a à représenté, !" que les dents du côté de la grande base, commejsi c’était
une simple roue droite/ .}…"■''"

La projection latérale (fig. lre)  des dentures du pignon s’obtient en projetant
successivement," d’une part, les points e sur la ligne primitive HG, et,
d’autre part ;les points iip sur la ligne extérieure pp' ;\ des points e on tire des
lignes qui concourent au sommet B pour représenter les flancs qui s’arrêtent
sur la ligne y y, et par les points u et p: on fait passer les courbes tangentes à ces
flancs aux points e. (Pour être rigoureux dans la représentation de ces courbes,
on devrait déterminer des points intermédiaires en traçant des cercles entre
la circonférence extérieure et la circonférence primitive.) Par les points u ; et p
on mène des droites qui concourent au sommet commun A ; on obtient de
même la projection’ latérale de la^ partie intérieure des dents par la projection
des cercles passant par les points r, y' et_p 2, en ayant le soin dé faire concourir
les flancs e' y' au sommet s, et de les raçcorderpar des courbes passant
en e' et //. ' , ; ■ .

La fig. 2 comprend sur un premier quart à gauche M, la projection de face
intérieure des dents de bois de la roue obtenue commedans la fig. 3. Le tracé,
pour obtenir le centre \s de l’arc qui remplace la courbure de chaque dent, est
représenté sur la figure 2 " . - ~ -■ / : '

Cette projection sert à déterminer la projection latérale fig. l"> des dentures
de cette roue, les lignes et les lettres montrent que l’opération est identique à
celle du pignon.

La môme fig. 2 comprend aussi un second quart N de la roue, vue du côté
opposé à la denture pour montrer la projection de face des tenons des dents
de bois dont les côtés concourent au sommet 0'. Le troisième quart P représente
la vue de face intérieure de la couronne avec les cabinets en supposant les
dents enlevées, et le quatrième quart l\ montre la vue] de face extérieure de
cette même couronne et de ses cabinets.

La fig. 6e représente une section d’un des bras de la roue, faite suivant la
ligne 1-2, fig. 2. La fig. 7u est une section de la couronne faite suivant la
ligne 3-4, passant par le milieu d’un cabinet. La fig. 8e donne une projection
latérale et les vues par bout d’une dent en bois.

Les roues d’angle comme les roues cylindriques sont retenues sur leurs
arbres par des clés et par des vis de pression V qui en assurent la fixité.

Les cotes indiquées sur les diverses figures de la planche 22 suffisent pour
la construction, celles qui ne le sont pas sont déterminées par le tracé.

CONSTRUCTION DES MODÈLES EN BOIS.
ROUE ET PIGNON D’ANGLE.Planche 23.

228. Les observations que nous avons déjà faites pouf les modèles en bois
des roues droites ou cylindriques s’appliquent évidemment à la construction
des modèles de roues d’angle ; toutefois la forme de ces dernières nécessite
d’entrer dans quelques nouveaux détails qui les concernent plus spécialement.
PIGNON CONIQUE.
229. Les fig. 1 et 2 représentent les deux projections du modèle en bois du
pignon d’angle décrit dans la planche précédente. La fig. 3e est une section
verticale faite suivant la ligne 1-2, montrant d’un côté les cintres superposés
et bruts qui doivent composer la jante, et de l’autre l’assemblage de celle-ci
finie, avec le bras et ses nervures.

On voit par ces figures que la couronne A se compose aussi comme le
pignon droit, de plusieurs cintres superposés et collés, mais disposés en gradins
de manière à augmenter de diamètre du sommet à la base. On tourne
les surfaces intérieures et extérieures de cette couronne ainsi préparée , en
ayant soin de se conformer au tracé préalablement fait, grandeur d’exécution,
sur une planche parfaitement dressée et de se guider par des fausses équerres
que le modeleur doit établir d’après ce tracé môme. Après avoir dressé sur le
tour la première face b' V perpendiculaire à l’axe du cône, le modeleur doit

<!70 COURS RAISONNÉ

tourner la surface extérieure conique a'b' de la jante ; à cet effet il prend une
première fausse équerre T (fig. h)  dont un côté bb correspond à la face
plane b' b', et le second côté a b correspond à l’inclinaison de la génératrice
a' b' ; il lui est donc facile d’enlever l’excédant du bois survies cintres pour
obtenir la surface extérieure lisse et conique de la couronne. On détermine
aussi l’inclinaison du cône extrême dont la génératrice est Bar, perpendiculaire
comme on se le rappelle à la génératrice de contact G ;à l’aide de la
fausse équerre X, fig. 3, dont le côté a b s’applique exactement sur }a surface
a' b', et dont le côté ac donne alors la direction de a' c’ ; la même équerre
étant retournée détermine également la face interne ô'^du petit cône qui a
pour génératrice s r, parallèle à la première B G. On porte enfin les épaisseurs
a' c’ et b' d’. de la jante sur le modèle en bois, afin de dresser la surface
intérieure suivant la ligne âl c’. .

Il faut maintenant entailler la couronne pour y loger les bras G, et leurs
nervures E. Comme le pignon est d’un petit diamètre, le nombre des bras est
limité à quatre ; ces bras sont placés du côté extérieur de la. jante, de sorte
que leurs nervures se trouvent tout d’un côté et se limitent à sa grande base.
Leur entaille dans la couronne a lieu suivant une rainure circulaire que l’on
voit en e'f, fig. 2, et en g' d’, fig. 3 ; et-Jeur aj ustemerit central s’effectue comme
dans le pignon droit, par des joints qui se dirigent dans le sens d’un rayon.

Les bras ne se trouvent pas placés au milieu dû moyeu comme dans l’engre -
nage droit, ils s’appliquent sur la base de ce moyeu qui peut être alors d’une
seule pièce, et les nervures E sont entaillées sur toute sa longueur et se
trouvent ainsi encastrées par leurs extrémités. Le moyeu est un, cône afin de
présenter de la dépouille au moulage ; il est alors compris entre les génératrices
m.n ; les droites op, qui sont au contraire parallèles à l’axe, indiquent
la profondeur des entailles qui reçoivent les nervures ; ces dernières, comme
le montre la coupe fig. 10, sont plus épaisses vers les bras.

On rapporte sur les deux faces opposées du moyeu les portées F, et on
retient le tout par un boulon central.

Le modèle du pignon ainsi préparé, on divise la surface extérieure en autant
de parties qu’il doit contenir de dents et de creux ;,on trace par chacun des
points de division, à l’aide delà fausse équerre T, autant de génératrices qui
indiquent la place des dents ou des entailles qui doivent les recevoir.

On débite chaque dent séparément en se guidant sur le tracé de la planche
qui, indépendamment de la ..coupe verticale fig. 3, doit comprendre aussi la
forme de chaque extrémité des dents B/ et celle de leurs entaillés ; la fig. 5
montre ce tracé pour le gros bout des dents. ,
ROUE D’ANGLE.
230. Les fig. 6 et 1 représentent l’élévation et le plan du modèle de la roue
conique à denture de bois, décrite dans la planche 22. La fig. 8 est une section
verticale faite par l’axe de ce modèle, montrant d’un côté la disposition des

cintres superposés qui doivent composer la couronne A , et de l’autre côté la
couronne finie et assemblée avec ses bras C et le moyeu D.

La fig. 9e montre la fausse équerre T, destinée à déterminer l’inclinaison du
cône extérieur a' b' de la couronne.

La fig. 11e est une section transversale d’un des croisillons faite suivant la
ligne 7-8.

Tout ce qui concerne la construction de la couronne A , de ses bras G et du
moyeu D, comme l’assemblage de ces parties, a été expliqué dans les figures
précédentes. Nous les avons indiquées toutes par les mômes lettres ; il n’y a de
changement que dans la disposition des portées B' à répartir sur la couronne,
et qui doivent former les cabinets propres à recevoir, lorsque la pièce est fondue
, la denture en bois.

Disons d’abord que ces portées doivent être découpées de telle sorte que le
bout k l, soit en plan incliné par rapport à la surface V a\ au lieu de lui être
perpendiculaire , afin qu’elles puissent facilement se dégager du sable ; cette
nécessité résulte de ce que la jante et les bras sont moulés sur le châssis inférieur,
c’est à-dire renversés, tandis que les nervures et le moyeu se moulent
dans le châssis supérieur. Ces portées d’ailleurs n’ont d’autre objet, comme
nous l’avons déjà vu , que d’indiquer au mouleur la place des noyaux dans le
moule. Le mouleur confectionne ces noyaux dans des boîtes semblables à
celles décrites fig. 10 et 11, pi. 21, et que nous avons reproduites, vues de
face, fig. 12, et en coupes faites suivant les lignes 9-10 et 11-12, sur les fig. 13
et 14, pi. 23. On a tenu compte, dans l’exécution de cette boîte, de l’inclinaison
k l concernant la dépouille des portées.

Les tracés pour l’exécution de ces modèles sont suffisamment indiqués, et
présentent une grande analogie avec ceux des planches précédentes ; nous
renvoyons également aux observations faites pour les soins à prendre dans la
confection du modèle concernant le dressage, le tournage et le polissage de
toutes les parties ( 149 et 214 ).

ENGRENAGES A DÉVELOPPANTES ET A HÉLICES.
Planche 24.
ENGRENAGE DE « EUX RODES DROITES A DÉVELOPPANTES DE CERCLE.Figures 1 et 2, planche 24.

231. Dans les divers engrenages à épicycloïdes dont nous avons indiqué les
tracés, on a remarqué que :

1" Le tracé des dents d’une roue dépend du diamètre de celle avec laquelle
elle engrène ;

2° La distance des centres des deux roues est invariable ;

3° La distance du point de contact des dents par rapport aux centres des
roues varie depuis l’origine jusqu’à la fin du contact ; de là résulte que les den-

tares s’usentinëgalement, en subissant un frottement plus considérable au
commencement du contact qu’à la fiii. - ■■"■:-

Ges considérations ont amené à introduire, depuis quelques années, dans la
construction des machines, des engrenages dits à développantes de cercles
qui réalisent les avantages suivants :

1° La forme dès^lents d’une roue est indépendante du diamètre de celle avec
laquelle elle engrène ; -■ - - ! • -

2° La distance des centres de ces roues peut être variable. Quelques auteurs
leur put aussi attribué le mérite d’avoir une pression constante sur les dents et
de présenter une usure égale partout, ce qui n’existe pas puisque, ;C0mme dans
les engrenages à' épicycloïdes, le contact se rapproche bu s’éloignedes centres.

Ces engrenages à~développantes sont établis sur le principe suivant :

Soient donnés, fig. ire, les-centres 0 et 0'de deux roues, et Tés rayons 0 A
et À Ô' des cercles primitifs ; soit aussi-0 B, Te rayon d’un cercle quelconque
décrit dti centre 0, à la circonférence duquel on mène du point A une tangente
AB que l’on prolonge indéfiniment de part et d’autre, ; du centre 0'on
abaisse sur cetté'tangente une perpendiculaire CKC qui détermine le rayon
d’un autre cercle. Ce sont ces cercles de rayons OB et O'C que nous prenons
pour la génération dès développantes a b et c d que l’on trace d’ailleurs comme
il a étélndiqué sur la pi. l’8'(l-97-) > >

Nous observerons que la courbe ab qui provient du développement du
cercle OB, est la forme delà dent de la roue,qui a pour rayon OÀ, et tracée
du môme centre 0, et que là courbe c d, est prise pour la dent du pignon dont
lerayon est AO', ainsi la forme de la dentdu pignon-est complètement indépendante
dudiamèlre delà l’oue, comme la forme-de la dent de celle-ci est
indépendante du diamètre du pignon ; d’où il résulte que ces engrenages,
ainsi construits/peuvent tout aussi bien engrenei 4 avec d’autresa'oues à développantes
qui auraient le même pas, mais dont les- diamètres seraient tout à
fait différents, ce qui rigoureusement ne petit avoir lieu avec les engrenages
à épicycloïdes, quoique en pratique les Constructeurs le fassent pour des roues
de grands diamètres dont lesrayons: diffèrent peu. ->

Les développantes ab et d ;ô doivent être reportées symétriquement de
chaque côté des lignes de division qui expriment les milieux des dents. Si nous
supposons maintenant les deux développantes A ô' et A c’, en contact,au point
A, sur la ligne des centres.OO', on porte lepas/# des dents, mesuré sur les
cercles primitifs ; de A en e sur la tangente commune BC, et du centre 0', avec
le rayon 0' e, on trace une circonférence qui limite le bout des dents du pignon.

Le pas étant reporté de même de A en e', sur cette tangente, on décrit du
centre 0, avec le rayon 0 e'', une autre circonférence qui -limite le bout des
dents de la roue. Il est évident que le fond des creux est déterminé par des
cercles décrits des mêmes centres avec des rayons réduits pour ne pas toucher
l’extrémité des dents. •

La fig. 3° est un tracé qui indique : 1° quele point de contact A, des deux

développantes, lorsque les deux roues tournent sur leurs axes, varie sans cesse
de position en restant constamment sur la ligne de tangence BC ; ainsi le
point de contact A, de la développante A ô'(Gg. V) , en supposant que le
pignon tourne dans le sens indiqué par la flèche, s’éloigne de plus en plus du
centre 0', tandis que le même point de la développante A c’ de la roue commandée
se rapproche du centre 0 de celle-ci, et que l’on peut varier la distance
des deux centres 00', en conservant les mêmes courbes, mais alors l’inclinaison
de la tangente commune BC, change et devient par exemple BC, lorsque
le centre 0' se rapproche en 0".

Dans la pratique, au lieu de se donner arbitrairement le rayon OB, et par
suite le rayon OC, on peut déterminer les cercles générateurs des développantes
et l’inclinaison de la tangente commune BC, en portant sur l’un des
cercles primitifs (par exemple celui du pignon) , à partir du point de contact
A, pris sur la ligne des centres, une longueur A i, égale au pas des dents ; on
tire le rayon i 0', sur lequel on abaisse de A une perpendiculaire A m ; la longueur
m 0' détermine alors le rayon du cercle générateur de la développante
pour la denture du pignon ; la ligne m A prolongée est la tangente commune,
et la droite 0 n abaissée du centre 0 perpendiculairement sur elle, ou menée
parallèlement à m 0' donne le rayon du cercle générateur de la développante
pour les dents de la roue.

En suivant cette dernière règle, les dentures pour de grands engrenages
paraissent peu différer des dentures épicycioïdales.

Mais en se donnant, comme dans le premier cas ci-dessus, les rayons OB
et O'C des cercles générateurs sensiblement plus petits que les cercles primitifs
des deux roues, l’inclinaison de la tangente commune devient plus grande
par rapport à la ligne des centres, et on obtient des dents plus fortes à la
racine, ce qui est utile pour des engrenages soumis à de grands efforts ou à
des chocs. On observe encore que dans ces engrenages à développantes, les
flancs sont presque nuls et peuvent être au besoin la continuation des courbes,
ce qui conserve toute la force près de la jante, avantage qui n’existe pas dans
les engrenages à épicycloïdes, dans lesquels les flancs concourent au centre et
donnent par conséquent aux dents moins d’épaisseur vers le fond qu’au cercle
primitif.

La flg. 2e, qui est ombrée, est une projection verticale de la roue détachée
de son pignon. Les autres parties des engrenages se construisent de la même
manière que celles relatives aux systèmes déjà décrits.
ENGRENAGES HÉLIÇOÏDES.Fig. ketb, pi. 24.

232. Si dans l’engrenage d’une roue et d’une vis sans fin, on remplace la
vis par une roue ou un pignon à denture inclinée en hélice, comme celle avec
laquelle elle engrène, on forme alors un engrenage héliçoïde.
m COURS RAISONNE

Ce ■■-système- ; proposé par le- mécanicien anglais White, jouit de deux propriétés
qui avaient été regardées comme incompatibles, savoir : vitesse angulaire
dans un rapport constant et frottement de roulement, c’est-à-dire que
le pignon décrivant des arcs égaux, fait parcourir à la roue.déntée des espacés
angulaires aussi égaux, et que les courbes par lesquelles ; les dents Sont en
contact se conduisent comme deux cercles roulant sur un même plan.

Ces propriétés ont cela d’avantageux, que les dentures restent constamment
en contact et ne sont pas aussi susceptibles de donner du jeu que les dentures
des engrenages cylindriques ou coniques. -'> '

La forme des dents dés engrenages héliçoïdes f eut être déterminée par deux
ép.icycloïdes ou des développantes de cercle ; seulement les-surfaces gauches
latérales sont inclinées suivant desr hélices qui se/mettent successivement en
contact. De telle sorte que i'engrènemènt ayant lieu, par exemple, sur la face
antérieure, les hélices correspondantes sur la-largeur des dents s’entraînent
respectivement jusque la face opposée, J

On peut établir des roues héliçoïdes soit sur des axes parallèles où concourant
en un même point pour remplacer alors les roues droites ou lès roues
d ;anglé, soit sur des axes qui ne sont pas situés dans un même plan.

Nous donnons sur les fig. 4 et 5 (pi. 24)  ;le tracé d’un engrenage de White,
a axes parallèles, comme étant, le plus souvent appliqué dans la construction.
Soient OA ; et Q'A, ies rayons des cercles primitifs des deux roues héliçoïdes,
lesquels rayons sont donnés en rapport avec les nombres de dents comme dans
les engrenages ordinaires. Nous supposons que ces rayons soient situés dans
un plan vertical B'C, et que l’on opère sur ce plan rabattu sur Ta fig. 4,: pour
obtenir la forme extérieure ou le bout des dents, comme on le ferait pour une
denture épicycloïdale. Cette opération qu’ilest inutile de rappeler, donne après
avoir tracé les cercles ^générateurs ODA, et AD’O' les deux èourbes A b et A c
pour le contoùrdès dents et les flancs correspondants A ê et A e. -

La denture étant ainsi tracée sur^ le plan^WC, qui représente par exemple
la face ou la base antérieure des deux roues, oh se donne laface opposée EF,
qui lui est parallèle et qui limitéla largeur de la roue.

On trace la denture sur cette face comme sur la première, mais alors en
supposant que les divisions des dents soient reportées sur les cercles primitifs
en arrière d’une quantité AÀ^, plus grande que le pas des dents. On répète
donc à partir de A', sur le cercle primitif de la roue, lemême contour que
celui obtenu "en e Ai, et de même à partir de G', sur, le cercle primitif du
pignon, le contour d A n, de la dent G. Toutes ces dents, comme appartenant
au plan EF, qui est caché par le plan B'G^ ne- doivent être indiquées qu’en
lignes ponctuées sur la fig. -4e, projection commune des deux plans, à moins
que l’on ne détache sur une figure spéciale les rabattements du plan EF,
comme oh l’a fait pourle plan B'G'. - ■ '.-.""■"■

On observe par cette disposition que si la courbe A i de la dent A de la
roue se trouvant en contact sur le cercle primitif avec le flanc G â de la dent

G du pignon dans le plan antérieur B'C’, a fait marcher celle-ci d’une certaine
quantité dans le sens indiqué par les flèches, la courbe opposée A' i' viendra
bientôt se trouver elle-même en contact avec le flanc correspondant G' âl du
pignon dans le plan EF, c’est-à-dire que si la courbe A i était reliée à la courbe
A' i', par une surface héliçoïde comme le flanc G d avec celui G' d’, tous les
points de la première surface viendraient successivement s’appuyer sur ceux
correspondants de la seconde pendant le mouvement de rotation, de telle
sorte que lorsque la courbe A i sera arrivée en A2 i-, c’est-à-dire qu’elle aura
parcouru un espace égal à AA', la courbe A' i' sera venue prendre sa place
pour se trouver en contact avec le flanc G' d’. Il résulte donc de là que deux
dents consécutives sont toujours en contact sur la ligne des centres pendant un
espace égal à la distance AA'.

Pour déterminer la projection latérale, 6g. 5, des deux roues, il faut chercher
les courbes formant les arêtes vives des surfaces hcliçoïdes qui relient
les deux faces opposées des dents. Le principe est exactement le même que
celui exposé (208) , mais ici, comme on n’a que des fragments d’hélices à
tracer, au lieu de chercher le pas et de le diviser en rapport avec la circonférence
entière, il suffit de partager la largeur B'E de l’engrenage, en un certain
nombre de parties égales, et de mener par les points de division des
lignes parallèles à B'C’ ; on partage de même les arcs AA', ee', i i'', en autant
de parties égales par des rayons qui concourent au centre 0. Ces divisions
sont reportées pour la clarté du dessin en 1, 2, 3, 4, etc., 1', 2', 3', i', etc.,
sur la fig. 4e. F.es points successifs 1, 2, 3, k, etc., étant projetés sur les lignes
correspondantes de la fig. 5, donnent sur celle-ci la courbe 1, 3, 5, 6, correspondante
à l’arête extérieure qui joint les points i i'. On a de même la courbe
1', 3', 5', 6'. II est évident que l’arête a a' du fond des dents, donne la courbe
a a' (fig. 5) dont le pas est égal à celui des premières, mais située sur un
cylindre d’un diamètre plus petit.

Toutes les autres projections latérales des dents de la roue et du pignon se
tracent de la même manière, mais affectent des formes différentes en raison
de la position respective de chaque dent par rapport au plan vertical.

233. En exécution, pour connaître l’inclinaison exacte des dentures, on
établit la proportion dont les quatre termes sont: le rayon de la roue, sa largeur,
la distance donnée A A' et le pas cherché de l’hélice ; par conséquent on
a : A A' : A 0 : : B'E : x, qui donne le pas de la roue, et géométriquement il
suffit de porter sur une ligne droite M N (fig. 6) , une longueur égale au développement
de l’arc A A 7 ; on élève sur cette droite, à l’extrémité N, une perpendiculaire
NL que l’on fait égale à la largeur B'E des roues, la ligne LM
donne l’inclinaison moyenne de l’hélice correspondante au cercle primitif ; en
portant de même de N en I la longueur de l’arc i i' rectifié, et de N en J celle
de l’arc ee', on a les inclinaisons LI et LJ correspondantes aux hélices qui
passent par l’extrémité i et le fond e des dents. On comprend que les hélices
doivent avoir la même inclinaison pour le pignon comme pour la roue qui

'476 • COURS RAISONNÉ

engrène avec lui,- bien que le pas soit différent, puisque son rayon est plus
petit, car alors la proportion est A A7 ou AG' : AO' ; : B' E : ce pour le pas du
pignon. ■■'• ; … ■-*•.. -,■■•".

Lorsque les roues sont placées sur des axes qui se rencontrent comme pour
un engrenage d’angle, les hélices appartiennent alors à des surfaces coniques
et doivent être tracées comme il a été indiqué (174 ) après avoir déterminé la
forme des dents à chaque bout,-sûr le rabattement des deux faces opposées.

En étudiant les tracés des -divers systèmes d’engrenages que nous\venons
d’exposer, on se trouvera en état d’établir, dans de bonnes conditions, toute
espèce dé transmission de mouvement par les engrenages. -

• ' ORGANES DES MACHINES. -
…..' TRACÉ D’EXCENTRIQUES. .
•' • ; Planche 25.' .

234^ Les excentriques sont des organes appliqués dans lès transformations
de mouvements, comme lés roues d’engrenagepôur les-transmissions.

Leur objet est de-transformer le mouvement circulaire continu dont ils sont
doués, tantôt en un mouvement rectiligrie alternatif, tantôt en unmouvement
circulaire alternatif, et cela d’ailleurs dans toute direction.
EXCENTRIQUE CIRCULAIRE.
235. On distingue plusieurs sortes d’excentriques. Le plus simple et le plus
généralement employé,.consiste en un disque circulaire plein ou à jour, assujéti
à tourner d’une manière continue-, sur un axe qui ne passe pas par son
centre ;'tels sont les excentriques représentés sur les fig. de la pi ; 38. . v

L’amplitude du mouvement ou la course de la pièce quecegenre d’excentrique
fait mouvoir est toujours égale au double de la distance,de son centre à
l’axe, c’est-à-dire au diamètre de la circonférence décrite par ce centre. Dans
ce système, la marche de lâ.pièce a lieu sans intèrruptionfen allant comme,en
revenant, mais d ?une manière- irrëgulière depuis le .commencement jusqu’à
la fin de la course, bien que l’axe de l’excentrique reçoive une rotation régulière.
.•.-.-: . " •■'-.. ■.-,-.. -■ , •■ :  ;. '-■■■• " ;.■'■'.,'.'.
".'.'■ '•.-■'•' -..■ ;■'■■ . EXCENTRIQUE A:COEUR. '
'" .■'' Figure îre.:v ■■ ; '-■''.' V. ■ \'
236 ; Lorsqu’on veut produire un ;mouvement rectiligne alternatif uniforme,
le contour de l’excentrique n’est plus uh cercle^ mais se trouve déterminé par
 ;une courbe que l’on peut toujours construire géométriquement en se donnant
.la ; courge etle rayon, ;ou la distance du centre au point de contact le plûsxapproché.

 ; '…■•■.'■.•'.:.■•' ' V -. .-■■ ;•-' ■'■'■>.••''. -: ■.:..:'• !■ ;-■ '

., '. La fig. lr% pi. 25iduontre un exemple d’un.excentrique de ce genre.

Soit a a', la marche rectiligne à parcourir, et o , le centre de l’arbre sur
lequel est monté l’excentrique, on se propose de faire avancer le point a jusqu’en
a', dans une demi-révolution, d’une manière uniforme, et de le ramener
de même à sa première position pendant la deuxième demi révolution.

Du centre o on décrit, avec les rayons o a et o o/, deux circonférences que
l’on divise en un nombre quelconque de parties égales par les rayons passant
aux points 1,2, 3, 4, etc. On divise de môme la longueur a a'en un nombre
moitié plus petit de parties égales aux points 1', 2', 3''. etc. On fait également
passer par ces points des circonférences concentriques aux premières.

Ces circonférences sont successivement rencontrées par les rayons ol, o2,
o3, etc., en b, c, d, e, etc. La courbe continue passant par ces points donne la
courbe extérieure théorique de l’excentrique convenable pour faire marcher
le point a jusqu’en a' d’une manière uniforme, puisqu’à chaque distance égale
a' 1', l’2', 2'3', etc., parcourue par le point a, correspondent successivement
des espaces angulaires égaux a'1, 12, 233, décrits par l’excentrique dans sa
rotation.

Comme en pratique on ne peut agir sur un seul point, on lui substitue
d’ordinaire un galet de rayon a i qui a justement son centre au point a luimôme.
On comprend alors que, pour que ce galet puisse recevoir le même
mouvement que le point, il faut modifier l’excentrique en décrivant de chacun
des points bc, du centre de la courbe primitive, une suite d’arcs de cercle du
rayon a i, et en menant une courbe tangente à la circonférence de ces arcs, ce
qui donne le véritable contour de l’excentrique B ainsi réduit.

On voit par le tracé que dans ce genre d’excentrique la courbe est symétrique
par rapport à la ligne a e qui passe par le centre ; par conséquent la
première partie de l’excentrique qui, de a en a', a poussé le galet et par suite
la tige verticale A à l’extrémité de laquelle celui-ci est adapté, est tout à l’ait
semblable à la seconde partie sur laquelle le galet reste en contact en descendant
de a'en a. Ainsi la rotation régulière et continue de l’excentrique B produit
le mouvement alternatif et uniforme du galet et de sa tige A qui est
maintenue par des guides dans sa direction verticale.

En construction, cet excentrique est plein ou évidé, suivant sa dimension, et
porte un moyeu pour se fixer sur l’axe comme une roue. Lorsqu’il est évidé ,
la jante est formée d’une couronne concentrique, au contour extérieur et renforcée
par une nervure qui se raccorde avec le moyeu.

L’application de l’excentrique en coeur se rencontre dans une foule de
machines et particulièrement dans celles de filature.
EXCENTRIQUE A MOUVEMENT UNIFORME ET INTERMITTENT.Figures 2 et 3.

Il se présente dans certaines machines, comme par exemple dans les métiers
à tisser, pour le mouvement des fisses, des cas où les organes doivent être nni-

« 8 . « GtiiS RAISONNÉ.

mes d’un mouvement rèctiligne uiïiformermais avec repos à chaque extrémité
de la course. Le temps durepos peut indifféremment être le même, où plus
petit que celui pendant lequelle parcours a Heu.

Lafigi âsre'présenfèfe feacé d^un excentrique de..eè genre, en supposant que
l’espace angulaire parcouru par î'ëxëentriqjie pour faire marcher le point a
en q !, est moitié de l’espace angulaire qu’il décrit pendant,que ce point reste
en repos, soit eh à, soit en a' ; on a donc divisé les circonférences om. et oa'
en six parties égales, aux points a'\ ;fgi,h etj ; de ces parties^ les 1 deux opposées
1/et.fÀ correspondent aux courbes excentrées bf ètl h qui produisent
le mouvement du point tandis queies autres correspondent au repos.

Après avoir tracé les’diamètre's lÂet//,on détermine les courbes excentrées
S/et Ih comme pour ^excentrique continu, fig. lr*,vc’est-à-dire on divise
les arcs 1/et je en un certain nombre dé parties égaies et par les points
2',' 3' et ¥, on décrit des circonférences concentriques que lés rayons coupent
aûxpoints ç de. La réunion.deLces points forme les courbes symétriques cherchées
bj et Ih. - ' • _ ' '■. , ■ ;..

Les arcs bai et fyh", qui relient les extrémités de ces courbes, sont concentriques
èl’axe, et par conséquent tant que le point a reste eh contact avec ces
arcs, il ne peut avoir de mouvement quoique l’excentrique continue sa rotation.

La même observation que nous avons faite pour rexcentrique ;précédent
s’applique exactement à celui/C, qui nous occupe,, dans le contour pratique qui
se réduit suivant lerayon al du galet substitué au point a,. Ce qui est d’ailleurs
suffisamment indiquéjpar lé tracé. ' - ..■:■■■:■'-■■■

Cet excentrique n’ayant pas de' grands efforts à vaincre est allégé par de
grands évidèmehts 5 sa jante est alors de peu ' d’épaisseur et se raccordé avec
son nloyéU par des bras courbes de même épaisseur. La fig. 3 qui en est une
section- faite suivant la ligne 1-2 dé la fig ; 2% fait voir la largeur de cet excentrique
et .de son moyeu ; etles dimensions du galet et de son axe.

Lorsque le point mobile où le galet, au lieu de marcher en ligne: droite, est
assujéti à décrire un arc dé cercle à ; comme étâht adapté à un levier, les
courbes de l’excentrique né sont plus symétriques,  ;màis l’opération "pour
les déterminer est.-toujours là même, le changement résulte delà divisibh de
l’arc qui remplacé la droite ta'. ""••■■' ' " '
EXGENTRIQDE T^ANGULAIHE.
■ , .Figures If, et 5. , '..

238 ; Dans les machines à vapeur, pour faire mouvoir le tiroir de distribution,
on fait assëï souvënt’usagé d’ûhè sorte d’èxëëntriquë dont là forme est
un triangle curviligne équilatéral. Le tiroir de distribution est une pièce en
fonte T, rectangulaire (fig. âets) , et évidée intérieurement pour servir de
conduit ;II s’applique par son eontour interne dressé sur une surface également
bien dressée ab, appartenant au cylindre à vapeur D. Il a pour objet de

laisser arriver la vapeur tantôt dans la partie supérieure du cylindre par le
conduit latéral c, tantôt dans la partie inférieure par le canal d. L’évidement
du tiroir a pour objet d’établir alternativement la communication de ces conduits
c ou cl, avec l’orifice de sortie E (1). On voit donc que pour remplir ce
but, le tiroir doit être animé d’un mouvement rectiligne alternatif ou de va-etvient ;
à cet effet il est suspendu à une tige verticale t, dont la partie supérieure
se relie par une traverse à la tringle u. Cette tringle dont une portion
est dessinée fig. C, est solidaire avec un cadre ou châssis F, dans lequel est
logé l’excentrique curviligne G.

C’est ce dernier qui doit remplir la condition de faire monter et descendre
le tiroir d’une certaine quantité et avec intermittence afin que l’orifice c, par
exemple, reste ouvert à la vapeur un certain temps, pendant que l’autre d est
en communication avec l’échappement, et réciproquement.

Soit o e, fig. 4, la course totale du tiroir, on décrit du point o, avec cette
longueur pour rayon, une circonférence que l’on divise en six parties égales
aux points e, i , 2, 3, 4 et 5. Des points 1 et 2, pris à volonté, avec le rayon
o e, on décrit les deux arcs o 2 et oï, de manière à former le triangle curviligne
o, 1, 2, qui n’est autre que l’excentrique G et dont chaque côté est
égal à la 6e partie de la circonférence. Si maintenant on trace les deux parallèles
5, 1 et 4, 2, tangentes à deux des côtés du triangle G, on aura les deux
parois intérieures du châssis F.

Cet excentrique est en acier ainsi que les deux parois du cadre F ; il est
appliqué et retenu par une vis h, contre un disque ou plateau H monté sur
l’arbre J, comme le montre la coupe horizontale fig. 5, faite suivant la ligne
3-4 de la fig. 4.

On conçoit aisément que si l’arbre tourne dans le sens indiqué par la flèche,
la partie courbe o 1 de l’excentrique, agissant contre la paroi supérieure du
châssis, force celui-ci à se soulever et avec lui la tringle ?/, de telle sorte que
lorsque le point 1 est arrivé en e, c’est-à-dire que l’excentrique a parcouru
l/6c de la circonférence, cette paroi occupe la position mn, ce qui indique
que le tiroir s’est élevé d’une quantité égale à la moitié de la distance o c, et
que par suite il découvre l’orifice d, pour laisser entrer la vapeur dans la partie
inférieure du cylindre ( fig. B. )  ; tandis qu’il établit la communication entre
le canal e, et l’orifice E, d’échappement, pour laisser sortir la vapeur de la
partie supérieure du cylindre. Si le mouvement de l’excentrique continue
pendant un second 1/6° de la circonférence, le tiroir restera en repos, parce
qu’alors l’arc, 1, 2, qui est concentrique à l’axe, ne change pas pendant tout
le temps de son contact, la position de la paroi m n ; mais dès que le point 2
est arrivé en e, le côté o 1 de l’excentrique est en o 5, par conséquent il commence
à se trouver en contact avec la paroi inférieure du châssis qui se con1.
Nous verrons plus loin, en donnant le dessin d’une machine à vapeur complète, la relation
qui existe entre la marche du piston et celle du tiroir de distribution dans des conditions
données.
fond avec la ligne 2,4, ; il fait donc descendre celui-ci, jusqu’à ce que l’arc
o 1 soit arrivé en o 3. La paroi inférieure du châssis occupe alors la position
m ! n’, qui correspond a celle du tiroir indiqué fig, B.

Il résulte de cette.disposition que le tiroir reste en repos .chaque fois qu’il
arrivé à l’extrémité de Sa course, soit en haut, soit en bas, ; et’icëla pendant un
temps correspondant au. 1/6e de la circonférence décrite par l’excentrique.
Le mouvement ascensionnel et le mouvement descensionnél s’effectuent pendant
que le tiroir parcourt les 2/6= de la circonférence, et la marche du tiroir
n’est pas uniforme, quoique la rotation de l’excentrique soit régulière.

En construction,, les angles de l’excentrique, sont légèrement arrondis pour
éviter un choc trop dur et une usure trop rapide.. / .
 ; EXCENTRIQUE A DÉVELOPPANTE.
- • Figures 6 et t… .■■'.'"'■

239. Dans certaines industries, on emploie avec succès des pilons pour
concasser le tan, le plâtre, et autres, substances ; on emploie également des
martinets pour forger le. fer. . ■■•- ; :••■'-.^ - .- ..„,..,

-, L’organe qui produit le soulèvement du pilon.ou du marteau, est un excentrique
appelé carné, dont la courbe extérieure doit être une développante de
cercle, préférable à toute autre courbe pour déterminer un mouvement uniforme.
," - :. ..' :\ :'.,■, ;■ ; _ :,

Ce.genre d’excentrique doit remplir la condition de soulever la charge à
une certaine -hauteur et de la laisser ensuite tomber.par son propre poids sans
obstacle. ■ - . . ' , \ : …- ,. . ,

Connaissant le diamètre dé l’arbre qui doit porter là camé, on se donné le

cercle générateur de la développante.,- qui est assez généralement celui de son

.moyeu. ; ' ;■ -.. :- - -: - ..:.. ' ;-.-■, ; .[ '. ■ -"'.. ?;..■■

Soit A, fig. 6 et7, un arbre enfer, Ao, le rayon du.icercle générateur, et
a a !, la hauteur à laquelle doit s’élever le mentonnet B. fig. ■ », qui fait corps
avec le pilon X. On développe (197) la circonférence du cercle A o, à l’aide
d’une suite,de.tangentes qui donnent les points,c-, â,e, etc., dont la réunion
forme la développante bf ï. La portion b o se raccorde avec le moyeu et
n’appartient plus à la développante, par la raison ;xjuèl’extrémité du mentonnetne
commence à être en contact avec la came, qu’à: la distance donnée A a.
De ce point on a élevé une perpendiculaire sur laquelle on a porté la hauteur
donnée a a'. Si donc du centre A, avec un rayon égal à la distance A a'., on
décrit un arc de cercle, a', m:, i, cetarc couperalacourbeen i,point de limite
du développement de la came. On comprend en effet que si on fait tourner
l’arbre A sur lequel -est calé l’excentrique, en admettant qu’il soit placé à la
partie inférieure, de telle sorte que le point i, soit en a ; il soulèvera lerrientonnet
dont le côté inférieur est représenté par la droite ma, et le conduira
uniformément jusqu’en m1 a' ; le point i sera alors arrivé en a'. Dèscetins-

DE DESSIN INDUSTRIEL. ^

tant, le mouvement rotatif se continuant, la came abandonne le mentonnet,
et le pilon tombe de tout son poids.

On aurait pu tracer la développante avec le cercle de rayon A a, ce qui
déterminerait une came plus courte, quoique produisant la môme hauteur
ascensionnelle du pilon. Dans ce cas, l’excentrique a moins de trajet angulaire
à parcourir pour une même élévation, ce qui permet d’augmenter la vitesse
de rotation, et par conséquent le nombre de coups dans un temps donné.

Nous renvoyons aux notes et calculs les problèmes relatifs aux cames et
aux pilons.

L’excentrique que nous avons représenté (fig. B) , est appliqué à des machines
destinées à hacher des écorces de chêne pour la fabrication du tan.
Ces écorces sont renfermées dans une espèce d’auge en bois E, qui est solidement
fixée sur le sol ; les pilons portent à leur extrémité inférieure des tranchants
n, en forme de croissant. La paroi de l’auge du côté des pilons est
verticale, tandis que la paroi opposée est une sorte de courbe elliptique qui
tend à ramener la matière constamment sous les couteaux. Les pilons C sont
guidés dans leur marche rectiligne entre des coulisseaux : leur poids varie de
200 à 300 kilog., et leur chute n’est pas au-dessous de 45 à 50 centimètres. La
fig. 7e est un plan vu en dessous qui montre suffisamment la largeur de l’excentrique,
celle de son moyeu et l’épaisseur de sa nervure qui réunit celui-ci
à la jante.
EXCENTRIQUE A MOUVEMENT INTERMITTENT VARIABLE.Figures 8 et 9.

240. On établit pour certaines machines à vapeur des excentriques doubles
ou superposés d’une à deux épaisseurs indépendantes qui permettent de faire
marcher le tiroir de distribution d’une manière intermittente et variable, à
volonté, dans le but de déterminer et d’intercepter dans des instants voulus la
communication entre les orifices du cylindre à vapeur et le conduit qui vient
de la chaudière. Cette disposition permet de faire marcher la machine par
expansion, et de varier la détente (') à volonté dans de certaines limites.

Dans ce genre d’excentrique, on se donne le rayon o a (fig. 8) du moyeu de
l’excentrique, et la longueur b c de la course totale à faire parcourir au tiroir.
Cette course, qui doit être égale à trois fois la hauteur de l’orifice d’introduction,
lorsque le bord du tiroir est de môme largeur que celui-ci, ne doit pas
être franchie en une seule période, mais au contraire une première partie, ou
le 1/3, est parcourue à un certain moment, et les deux autres tiers d’une manière
continue à une époque plus reculée, c’est-à-dire qu’il y a un instant de
repos entre le premier tiers et les deux autres, comme il y a de môme un
temps d’arrêt entre ces deux derniers et le premier.
1. On verra plus loin, au sujet des machines à vapeur, ce que l’on entend par expansion et
détente.43
m COURS RAISONNÉ

Après avoir tracé avec les rayons oa ei oc deux circonférences concentriques,
on se donne les espaces angulaires a d et/^correspondants aux
temps pendant lesquels le tiroir doit rester stationnaire, et ceux g h et c f, qui
correspondent à son mouvement ; on divise la course totale b c en trois parties
égales aux points ij, par lesquels on fait passer des circonférences concentriques
aux premières. Aux points fg h on mène des rayons que l’on prolonge
en/'g' et h'.

Comme l’excentrique doit agir sur deux galets G, diamétralement opposés,
on se donne également le rayon a e de çeux-çj ; l’un est tracé du centre e sur
le prolongement du rayon oa, et tangent à la circonférence décrite avec ce
rayon ; l’autre du centre e', sur le prolongenient du rayon oc, est tangent à la
circonférence décrite avec ce rayon.

Entre les deux points d et’k, compris dans l’angle donné g oh, on fait passer
Une courbe k Id, dont les extrémités se raccordent tangentiellement avec les
circonférences o a et oi, de manière à éviter les soubresauts brusques. Si on
divise alors l’espace g h en un certain nombre de parties égales, puis que l’on
mène par les pojnts.de divisions 1,'2, etc., deux rayons que l’on prolonge
jusqu’en 1/, %', etc. ; sur chacun de ces rayons pu décrit avec le rayon ae du
galet une suite de petits, cercles tangents à là courbe k l d, on obtient ainsi les
points rsi, qui indiquent les positions successives que le centre du galet est
susceptible de prendre sur la ligne e e1 quand il est poussé par cette courbe.
Si alors, à partir de ces^ points, sûr chacun dès rayons correspondants, on
porte la distance ee', qui est invariable, on déterminera les positions successives
rr s’ l’, du second galet ; par conséquent, après avoir décrit de ces derniers
points comme centres, une suite d’arcs de cercle avec le rayon du galet,
on mène la courbe d’-,V,f, tangente à ces arcs, et qui ■' ; se raccorde avec les
circonférences de rayons c o et-/ o. Cette courbé satisfait à la condition dé rester
constamment en contact avec le galet G', pendant que la première dlk
conduit Je galet G ; or, pour que les galets restent constamment dans la même
direction et transmettent leur mouvement rectiligne au tiroir, leurs axes sont
portés par des chapes à joues H, solidaires avec un châssis I, formé de quatre
branches dressées en leur milieu, pour rester appuyées sur l’arbre o.

L’une des extrémités du châssis est reliée par une bielle en fonte i (fig. s) à
un levier coudé K, dont le centre d’oscillation est en M ; c’est à la secondé
branche de ce dernier que s’adaptent les tringles v, qui s’adaptent à la tige x,
du tiroir T. Pans la position donnée à l’excentrique et au galet (fig. 8) , le tiroir
débouche l’orifice supérieure', qui reste ouvert pendant tout le temps que
l’gxcentrique parcourt l’angle a o d, parce que l’arc a d et son opposé c d, qui
sont respectivement en contact avec les galets GG'^ sont concentriques à l’axe
o. Mais le point d, étant arrivé en a, si l’on fait tourner l’axe o dans le sens
de la flèche, l’excentrique décrira bientôt l’angle do g, pendant lequel sa
courbe saillante dlk, poussera le galet G de gauche à droite, et par suite le
galet G', entraîné dans la même direction, glissera sur la courbe d’, V g'. Dans
DE DESSIN INDUSTRIEL. 183
ce mouvement le tiroir est soulevé d’une quantité égale au 1/3 de sa course,
qui correspond justement à la hauteur de l’orifice c’ ; celui-ci est alors fermé
complètement quand le rayon o k de l’excentrique est arrivé en o e. Arrivé à
cette position, le tiroir doit encore rester en repos, pendant que l’excentrique
continue à marcher, et décrit l’angle gof. Aussitôt que le rayon of est parvenu
en o e, les galets et le tiroir doivent fonctionner de nouveau afin de
découvrir l’orifice inférieur c 2. Ce changement doit s’opérer pendant que l’excentrique
parcourt l’angle foc ; à cet effet on s’est encore donné la courbe
a' b' c qui se raccorde tangentiellement avec les circonférences des rayons o k
et oc. On obtient la courbe opposée a, m, n, en procédant comme on l’a fait
pour celle d’Vg', opposée à la première dlk, et comme d’ailleurs l’indique
le tracé, afin que les deux galets restent en contact avec le contour extérieur
de l’excentrique.

Après le parcours de l’angle fo c, les galets et le tiroir resteront de nouveau
en repos, pendant que l’axe o décrira l’angle c od", et alors la courbe dlk va
se trouver en contact avec le galet G', et elle repoussera ce galet de droite à
gauche comme elle avait d’abord poussé le premier G de gauche à droite, afin
d’obliger le tiroir à fermer l’orifice c 2.

Si on suppose que l’excentrique ainsi construit est composé de deux parties
égales superposées, l’une fixe M sur l’axe O, par une clé, et l’autre M’ libre sur
ce dernier, on pourra varier la position de l’une par rapport à l’autre, et par
suite, faire avancer la courbe de détente dlk, pour que le tiroir interrompe
plus tôt la communication des orifices d’entrée de vapeur au cylindre, et varie
ainsi le degré de détente ou d’expansion.

La fig. 9 est une section horizontale qui indique les deux parties de l’excentrique
et la disposition des galets dans leur chape H et le châssis I.

La fig. F est la vue de face du siège du cylindre, sur lequel s’applique le
tiroir de distribution.
Règles et données pratiques
TRAVAIL MÉCANIQUE.
241. Travailler, c’est vaincre pendant un certain temps des résistances sans cesse
renouvelées dans la durée de ce temps : ainsi limer, scier, raboter, traîner des fardeaux,
c’est un travail.Le travail mécanique résulte de l’action simple d’une force, sur une résistance qui
lui est directement opposée, et qu’elle détruit continuellement en faisant parcourir un
certain chemin au point d’application de cette résistance et dans sa direction propre.D’après cette définition, le travail mécanique de tout moteur est le produit de deux
quantités indispensables :•"•'" •1° L’effort ou la pression exercée ;2° Le chemin parcouru ou la vitesse (*)  ; ;Et ce travail augmente avec la pression et avec la vitesse : si par exemple la pression
exercée est de 4 kilogrammes avec une vitesse de 1 mètre, le travail sera exprimé par
4X1=4. ,Si la vitesse double, le travail deviendra 4 x 2■'= 8 ; il aura doublé, et si, la vitesse
étant doublée ou égale à 2 mètres, la pression est devenue égale à 8 kilogrammes, le
travail sera 8 X 2 = 16, il aura quadruplé.Ainsi, il est constant que le travail mécanique grandit avec la pression et la vitesse.On a adopté pour unité de travail mécanique le kilogramme élevé à 1 mètre ; le produit
prend le nom de kilogrammètre, qui s’écrit k.m. Ainsi quand l’effort exercé est de
20 kilog. et que l’espace parcouru par son point d’application est de 2 mètres, le travail
est exprimé par 40 k.m- ou 40 kilog. élevés à la hauteur de 1 mètre.Le travail ou l’effet utile des moteurs et des machines de toute espèce se rapporte
à cette unité commune, en y faisant entrer le temps, ce qui est très-important pour arriver
à la comparaison delà puissance des moteurs. En effet, on pourra .dire d’une machine
: elle produit tant de kilogrammètres d’effet utile dans un temps donné ; d’un
cheval : il produit tant de kilogrammètres dans le même temps ; et d’un homme : il
produit tant de kilogrammètres aussi dans le même temps.On a formé pour les moteurs puissants une plus grande unité de travail qui dérive
de la première et à laquelle on a donné le nom de cheval-vapeur (2). On se rappelle
qu’un cheval-vapeur équivaut à 75.kilog. élevés à 1 mètre par seconde.Les moteurs employés généralement dans l’industrie sont de deux espèces. l°Lesmoteurs
animés, c’est-à-dire les hommes et les animaux ; 2° les moteurs inanimés, c’està-dire
l’air, l’eau, la vapeur et les gaz.Ces derniers étant seulement soumis aux lois physiques, peuvent sans cesse continuer
leur action ; il n’en est pas de même des premiers, qui sont susceptibles de se fatiguer
au bout d’un certain temps de travail et de prendre du repos.Le travail mécanique de l’homme et des animaux que l’on peut appeler travail jour1.La vitesse linéaire est l’espace parcouru par un corps, dans un temps donné ; par exemple,
dans une seconde. - . . '2. Il ne faut pas confondre la force de cheval-vapeur, qui est constante et de convention avec
celle de cheval de trait, qui est variable comme la force musculaire de l’animal. Nous avons
vu qu’en France, la force de cheval-vapeur correspond à un travail de 75 kilogrammètres par
seconde, ce qui donne 4S00 kilogrammètres par minute. En Angleterre le cheval-vapeur est
estimé par l’élévation de 33,000 livres avoir-du-poids, à un pied anglais par minute.COURS RAISONNÉ DE DESSIN INDUSTRIEL. 185nalier, a pour valeur le produit de l’effort exercé par la vitesse et le temps pendant lequel
l’action peut être soutenue. Mais il existe un effort, une vitesse et une durée d’action
qui donnent la plus grande valeur possible au travail journalier de l’un de ces deux
moteurs animés et qui prend le nom de travail maximum.XXIXe TABLE DES QUANTITÉS DE TRAVAIL QUE PEUVENT FOURNIR L’HOMME
ET LES ANIMAUX.POIDS ÉLEVÉ VITESSE TRAVAIL BORÉE QUANTITÉNATURE DU TRAVAIL. on etf°rt ,™. par , dU , ,de.,moyen chemin travail travailexercé. par seconde, seconde. journalier, journalier, iÉLÉVATION VERTICALE DES POIDS, kilogramm. mètres, kilogrammèt. heures, kilogramme !.'Un homme montant une rampe douce
ou un escalier sans fardeau, son travail
consistant dans l’élévation du poids de son
corps 65 0.15 9.75 8 280800Un manoeuvre élevant des poids avec
une corde ei une poulie, ce qui l’oblige à
faire descendre la corde à vide 18 0.20 3.60 6 77760Un manoeuvre élevant des poids ou les
soulevant avec la main 20 0.17 3.40 6 73440Un manoeuvre élevant des poids ou les
portant sur son dos, au haut d’une rampe
douce ou d’un escalier et revenant à vide. 65 0.04 2.60 6 56160Un manoeuvre élevant des matériaux
avec une brouette, eu montant une rampe
au 1/12 et revenant à vide 60 0.02 1.20 10 43200Un manoeuvre élevant des terres à la
pelle à la hauteur moyenne de 1 m. 60… 27 0.40 1.08 10 38880ACTION SDR LES MACHINES.Un manoeuvre agissant sur une roue à
chevilles ou à tambour :1° Au niveau de l’axe de la roue 60 0.15 9.00 8 2592002° Vers le bas de la roue ou à 2i°…. 12 0.70 8.40 8 251120Un manoeuvre marchant et poussant, ou
tirant horizontalement 12 0.60 7.20 8 207360lin manoeuvre agissant sur une manivelle
8 0.75 6.00 8 172800Un manoeuvre exercé poussant et tirant
alternativement dans le sens vertical 5 I.IO 5.50 8 138400Un cheval attelé à une voiture ordinaire
et allant au pas 70 0.90 63.00 10 2168000Un cheval attelé à un manège et allant
au pas 45 0.90 40.50 8 H66400Un cheval attelé à un manège et allant
au trot 30 2.00 60.00 4.5 972400Unboeufattelédemêmeetallantaupas. 65 0.60 39.00 8 4123200Unmuletalteléde même et allant au pas. 30 0.90 27.00 8 777600Un âne attelé de même et allant au pas. 14 0.80 11.60 8 334080On peut reconnaître, d’après ce tableau, qu’un manoeuvre agissant sur une manivelle,
fait décrire à l’extrémité de cette manivelle un chemin de 0,n 75 par seconde, ou
60 X 0,75 = 45 mètres par minute, ou en supposant que la manivelle ait 0m 35 de rayon,
ce qui correspond à une circonférence del’homme est capable d’une vitesse ordinaire de486 COURS RAISONNÉAinsi, le même manoeuvre déployant un effort de 8 kilog. avec la même vitesse constante
de 0m 75, produira un travail de :comme il peut exercer ce travail 8 heures par jour, le travail pendant ce temps, est
comme l’indique la table xxix*, de 172800tm. ••■■■■.On peut donc compter que pour un travail journalier, jin homme agissant sur une
manivelle, est susceptible d’élever constamment 8 kilog. à 0m75 de hauteur par
seconde ; mais lorsqu’un homme ne doit agir-que momentanément sur là manivelle
d’une grue, d’un treuil ou cabestan, il peut développer, pendant quelques instants, une
puissance beaucoup plus considérable.ïl résulte d’expériences faites en Angleterre sur une grue, de déchargement qu’un
homme a pu élever en 90" à la hauteur de 5mÔ3 une charge de 475^57. Or, pour
ramener ce travail à l’unité adoptée de 1 kil, élevé à lmètrè par seconde, il suffit de
multiplier le poids élevé 475^.57 par la hauteur 5,03, et dé diviser ce produit par la
durée du travail ou 90", le quotient 26km-58 indique le travail par seconde ;L’expérience la plus avantageuse a constaté qu’un Irlandais d’une'très -grande fqrce
est arrivé, mais avec la plus grande difficulté, à élever à la même hauteur â ?: 5*03,
une charge de 1666 S-25, en 132", ce qui donne par seconde un travail deIl est évident que l’homme ne peut déployer ainsi une telle puissance que pendant des
instants très-limités ; on ne peut comparer ce travail avec celui qui doit durer plusieurs
heures consécutives. Quoique la charge et la vitesse indiquées, sur làtàblexxix.t, soient
celles qui conviennent le mieux, cependant, si lé cas exigeait que la force à appliquer à
l’extrémité de la manivelle fût de 12 kil., au-iieu--'dç'8.k11og|,,âioik:feyï^É'i,rtçvrait
diminuer et deviendrait ,On a fait la remarque qu’un cheval parcourant par heure lès différentes distances
de 1600 mètres, 4800m, 80qqm, 16,ooom et 24,oppm, nepëut traîner pour chacunequeles
poids correspondants de 88 kilog., 6>5 k.,45 k., 11 k.,'.et..O0 k ;. ., ' jAinsi dès l’instant où l’on veut gagner de la force, on perd de la vitesse ; réciproquement
si l’on voulait gagner du temps et aller plus vite ; cet excès de vitesse lie pourrait
être obtenu qu’aux dépens de la charge, de manière à obtenir, dans le cas d’action sur
une manivelle, pour produit de ? deux facteurs,, un travail équivalent à 6 k.m. par
seconde. - ."…'.'■■•Dans/tous ; les cas: de l’action directe des forées, il y a vitesse imprimée,-par cela
même qu’il y a action d’une forcé, donc ii ya mouvement.'On distingue deux espèces de mouvement, le mouvement uniforme et le mouvement
varié. ■ r .','243. MOUVEMENT UWIFOEME. —Un corps a un mouvement uniforme quand il parcourt
des espaces égaux dans des temps égaux. Si, par exemple, un corps parcourt
5 mètres dans la première seconde, 5 mètres dans la deuxième seconde, et ainsi de
suite, le mouvement est dit uniforme.DE DESSIN INDUSTRIEL. 187En représentant par E l’espace, par V la vitesse et par T le temps, la formule
E = V X T, indique que l’espace égale la vitesse multipliée par le temps.Premier exemple : La vitesse d’un corps soumis à un mouvement uniforme est de
3 mètres, quel espace aura-t-il parcouru au bout de 10 secondes ?c’est-à-dire que la vitesse par seconde égale l’espace divisé par le temps.Deuxième exemple: L’espace parcouru pendant 10 secondes est de 30'mètres,
quelle est la vitesse ?Les roues d’engrenage des machines sont, ainsi que la plupart des transmissions,
généralement animées d’un mouvement uniforme.244. MOUVEMENT VABIÉ. — Quand un corps parcourt dans des temps égaux, des
espaces qui augmentent ou qui diminuent toujours de la même quantité, le mouvement
s’appelle uniformément varié.L’espace dans le mouvement uniformément varié égale la demi-somme des vitesses
extrêmes, multipliée par le temps en secondes.Premier exemple : Quel est l’espace parcouru au bout de 4 secondes par un mobile
dont la vitesse au point de départ est de 2 mètres, et au bout de ce temps est égale à
6 mètres ?Deuxième exemple : Quel est l’espace parcouru au bout de 4 secondes par un mobile
qui, au point de départ, possède une vitesse de 6 mètres laquelle au dernier moment se
trouve réduite à 2 mètres.On voit, par ce double exemple, qu’à conditions égales, l’espace parcouru est le même
dans le mouvement uniformément retardé ou accéléré.La vitesse, au bout d’un certain temps, dans le mouvement uniformément accéléré,
égale la vitesse primitive, plus le produit du temps en secondes par l’accroissement de
vitesse par seconde.Premier exemple : Quelle est la vitesse d’un corps au bout de 8 secondes, en supposant
la vitesse primitive = t, et en admettant que cette vitesse augmente de 3 mètres
par chaque seconde ?La vitesse que doit posséder un corps, au bout d’un certain temps, dans le mouvement
uniformément retardé, est égale à la vitesse au départ, moins le produit du temps
en secondes par la diminution de vitesse par seconde.Exemple : Un corps part avec une vitesse de 22 mètres par seconde et cette vitesse88 COURS RAISONNÉdiminue successivement de 2 mètres par seconde ; quelle sera la vitesse de ce corps au
bout de 10 secondes ?245. Les mouvements que doivent exécuter les organes des machines peuvent être
ramenés à deux espèces principales : 1° le mouvement continu ; 2° le mouvement alternatif
ou de va-et-vient.Ces deux sortes de mouvements peuvent s’exécuter soit en ligne droite, soit suivant
une circonférence de cercle. Le mouvement s’effectue quelquefois en ligne courbe, mais
on peut toujours en pratique le ramener à un ou plusieurs arcs de cercles.Ces mouvements principaux donnent lieu, dans la construction des machines, aux
diverses combinaisons suivantes :i rectiligne continu.
Le mouvement rectiligne continu se change en j circulaire continu.' circulaire alternatif.j rectiligne continu.
Le mouvement rectiligne alternatif seéchange en ! circulaire continu.I circulaire alternatif.1' rectiligne continu,
rectiligne alternatif,
circulaire continu,
circulaire alternatif.
1 rectiligne alternatif,
circulaire continu,
circulaire alternatif.MACHINES SIMPLES.246. On appelle ainsi les agents mécaniques qui servent d’auxiliaires dans la composition
des machines, soit pour enlever des charges, soit pour vaincre des résistances.Ces agents mécaniques sont au. nombre de six: le levier, le treuil, la poulie ou
moufle, le plan incliné, la vis et le coin.Les treuils et les moufles ne sont que des transformations du levier, de même que la
vis et le coin ne sont que des transformations du plan incliné.Ces machines simples reposent sur les principes suivants :1° Les moments de la puissance et de la résistance sont égaux quand la machine est
en équilibre. On entend par moment’le. produit d’une force par l’espace que parcourt
son-point d’application.2° La résistance est en raison inverse de la vitesse ou de l’espace qu’elle parcourt,
c’est-à-dire que plus cette résistance est grande, plus sa vitesse est petite, et réciproquement.
■.■.■.■■•■•■■.3° On perd toujours une partie de la puissance pour vaincre l’inertie ( * ) , les frottements
et autres résistances.247. LEVIER-—Le levier est une barre inflexible dont tous les points peuvent osciller
ou .tourner autour d’un centre fixe appelé point d’appui.Tout levier reçoit l’action d’une puissance et d’une résistance, et la .distance de la
puissance ou de la résistance au point d’appui s’appelle bras de levier1. On appelle inertie la-résislance qu’oppose un corps quelconque aux efforts qui tendent à
lui faire changer d’éla t ; d’où l’on dit que la matière est inerte.DE DESSIN INDUSTRIEL. 489On distingue trois genres de leviers, résultant des différentes positions de la puissance,
du point d’appui et de la résistance.Dans tous les cas, la -puissance et la résistance sont en raison inverse de leur distance
au point d’appui.C’est-à-dire que, pour l’état d’équilibre, le moment de la puissance P X A, ou le produit
de cette puissance par son bras de levier, égale le produit R X B, de la résistance
par son bras de levier ; ce qui donne lieu à la proportion inverse suivante :Dans cette proportion, connaissant trois quelconques des quatre termes qui la composent,
on peut toujours déterminer le quatrième terme.248. POULIE, MOUFLE. — On distingue deux espèces de poulies, les poulies fixes et
les poulies mobiles.Les poulies fixes tournent autour de leur axe sans changer de place, et servent seulement,
au moyen de cordes, chaînes ou courroies, à changer la direction de la force
motrice, sans donner aucun avantage mécanique.Les poulies mobiles, au contraire, produisent de la force et agissent comme des leviers
du deuxième genre.L’avantage d’une seule poulie mobile consiste à doubler l’effet de la puissance : ainsi,
si à l’extrémité de la corde on applique une puissance de 10 kilog., elle équilibrera une
charge de 20 lui. Cet avantage résulte de ce que la poulie mobile, se trouvant soulevée
par les cordons, ne s’élève que d’un espace égal à la moitié de l’espace parcouru par la
puissance ; or, si la puissance marche de 6 cent., la charge ne sera élevée que de 3 centimètres,
et le moment 10 X 6 de la puissance égale le moment 20 x 3 de la résistance,
condition d’équilibre des leviers.Si la poulie fixe ne produit aucun avantage mécanique, du moins en changeant la
direction de la puissance, elle facilite le mouvement, en ce sens qu’il est plus facile de
tirer de haut en bas, que de bas en haut, et d’ailleurs le poids du moteur devient un
aide à la puissance.L’ensemble de plusieurs poulies montées dans la même chape se nomme moufle ; les
poulies peuvent avoir le même axe, ou des axes différents ; l’une des moufles est fixe,
et l’autre mobile ; l’avantage acquis par une moufle mobile est comme deux fois le
nombre de poulies qu’elle porte, sans avoir égard au nombre de poulies que porte la
moufle fixe, indispensable pour la direction des cordons.Cet avantage mécanique de la moufle mobile résulte de ce que l’espace parcouru par
la puissance dans un certain temps donné est égal à la somme des raccourcissements
des cordons enroulés sur les poulies mobiles, tandis que la résistance ne s’élève ou ne
parcourt que le quotient de cet espace divisé par le nombre des cordons.Et de là vient cette règle : En divisant le poids à élever ou la charge par deux fois
le nombre de poîdies mobiles, le quotient exprime la puissance requise pour contre-balancer
cette résistance.249. ÏBEDIL. — Un treuil simple se compose d’un rouleau dont les tourillons prennent
appui sur des supports, et auquel le mouvement est communiqué par une manivelle.
La position du rouleau est, suivant les circonstances, horizontale ou verticale.L’avantage mécanique, qui résulte du travail simple, dépend de la longueur de la
manivelle, comparativement au rayon du rouleau, c’est-à-dire que la puissance P est à
la résistance ou charge R, comme b, le rayon du rouleau, est à a, le rayon de la manivelle ;
proportion qui donne lieu aux mêmes règles que pour le levier.Ainsi, multipliez la résistance par le rayon du rouleau, et divisez par le rayon de la
manivelle, le quotient exprimera la puissance.4 90 COURS RAISONNÉDans un treuil composé, la puissance est appliquée à l’extrémité d’une manivelle
quij fixée sur l’axe d’un pignon, transmet cette puissance à une roue montée sur l’axe
du rouleau, autour duquel s’enroule un câble qui porte la résistance.Dans un treuil composé d’une ou plusieurs paires d’engrenages, il faut, outre le rapport
du rayon de la manivelle au rayon du rouleau, faire entrer dans la règle le rapport
des rayons des pignons aux rayons des roues.C’est-à-dire que l’on à dans ce cas, comme pour les leviers composés, la proportion :ou la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des pignons et du rouleau
est au produit dés rayons des roués et de la manivelle.Ce qui donne lieu aux règles suivantes : '■ •Ve BÈGÉÈ. En multipliant la charge à soulever par le produit du rayon du
rouleau avec les rayons des pignons, et en divisant le ; résultai par îe produit’du
rayon delà manivelle avec tous les rayons des roues, le quotient exprimé la puissance
à appliquer à l’extrémité dé la manivelle pour équilibrer la résistance.2° EÈG-LE. Si onmultiplie la puissance par le rayon dé là manivelle ef par les
rayons des roues, et qu’on -divise ce prbdiiit par leraygndurùulëàùéiparles
rayons des pignons, le quotient exprime la résistance à laquelle là puissance donnée
fait équilibre. . . .3e BÈGLÊ. En multipliant entre eux les rayons des pignons et du rouleau, et en
divisant lé produit par les rayons des roues et dé là manivelle, le quotient exprime
le rapport de là puissance à-la résistance.250. PLAN INCLINÉ.— Lorsqu’un corps est tiré le long d’un plan vertical,tout le
poids de ce corps est supporté par la force qui l’élève ; dans ce cas, là puissance est
égale au fardeau à soulever.' .Quand un corps est tiré sur un plan horizontal, on n’a pas à traîner le poids du fardeau,
mais seulement lé frottement du au poids dû corps sur le terrain ou lé plan.Mais si un corps est tiré sur un plan incliné, la puissance nécessaifêipôùr l’élever
sera comme l’inclinaison du plan, de sorte que :Si la force agit parallèlement au plan, la longueur du plan est au fardeau,
comme la hauteur du plan est à la puissance :L’avantage acquis par lé plan incliné est aussi grand que sa longueur remporte sur
sa hauteur verticale ; c’est donc le rapport entré la longueur et la hauteur du plan qui
donne l’avantage delà puissance, ce qui conduitaux règles’suivantesV1" La résistance midtipliée par la hauteur et divisée par là.lbnguëurdu plan,
égalé la puissance requise pour Maintenir'le corps éh repos sur le planincliné.2° La puissance multipliée par là longueur dû pian éi divisée par là hauteur,
égale la résistance. , '3° Là résistance multipliée par là basé du plan incliné et diviséepàr sa longueur,
égale là charge sur ce'plan. .25i. Vis.— La vis peut être assimilée àun plan incliné dont la longueur est représentée
par la circonférence du cylindre sur lequel elle est formée, et dont là hauteur est le
pas de la vis ; par suite, plus la circonférence de la vis sera grande, comparativement à
la hauteur du pas, phis grand aussi sera l’avantage mécanique\-, et si là puissance est
transmise par un levier, l’avantage mécanique sera exprimé par le rapport entre là circonférence
extérieure du levier et là hauteur du pas. :252. COIN. — L’application dd coin sous diverses formes est généralement répandue
en industrie. Presque tous les outils se rapportent au coin, lés ciseaux, les burins, les
fers de rabot, lés scies, lès limes, etc. Tous ces outils agissent ou par leur tranchant,DE DESSIN INDUSTRIEL. 194ou par leurs extrémités aiguës , et il y a pour chacun d’eux , un angle convenable pour
produire le meilleur résultat.Dans leur application aux presses, les coins ont la forme d’un triangle, isocèle. L’avantage
mécanique du coin peut s’assimiler à celui du plan incliné, car il dépend du rapport
entre la largeur de la tête du coin et la longueur des côtés ( ' ).253. REMARQUE. — Il est essentiel d’observer, pour éviter toute illusion, que lorsque
par l’emploi des pouvoirs mécaniques , on augmente l’effet de la force appliquée, l’espace
parcouru par la résistance ou charge que l’on soulève est aussi, comparativement
au chemin que parcourt la puissance, diminué dans le même rapport ; ce résultat,
vrai sans aucune exception, peut se résumer ainsi : En mécanique, ce que l’on gagne
en force on le perd en vitesse, et réciproquement.On conclut de là que le but véritable des machines n’est pas d’augmenter le travail
des moteurs qui y sont appliqués, mais bien de transforme leur action en un travail
approprié suivant les circonstances. On peut faire qu’une force médiocre, celle d’un
homme, puisse soulever un fardeau considérable, mais avec une vitesse proportionnellement
moindre.En résumé : le travail développé par la puissance dans un temps donné, doit
toujours égaler le travail utile, plus le travail des résistances nuisibles ; et l’effet
utile d’une machine sera d’autant plus grand qu’on se sera attaché à diminuer le
travail des résistances nuisibles.CENTRE DE GRAVITÉ.254 Tous les corps sont soumis également à l’action de la pesanteur. La gravité ou
la pesanteur est cette impulsion qui attire tous les corps vers le centre de la terre ; l’effort
qui fait équilibre à la gravité pour l’annuler est égal au poids du corps.La distance des corps au centre de la terre étant très-éloignée, on a admis que la
gravité agissait parallèlement sur tous les corps, et sa direction est donnée par le fil à
plomb. Le centre de gravité d’un corps est le point qui, étant soutenu, est capable de
tenir lui seul tout le corps en équilibre.Le centre de gravité varie de position suivant la nature et la forme des corps ; on peut
le déterminer d’une manière générale par le procédé suivant :Suspendez le corps de forme quelconque à un fil ; quand le corps sera en repos, la
direction du fil passera par le centre de gravité du corps. Suspendez ensuite le corps
par un autre point, la nouvelle direction du fil prolongé contiendra aussi le centre de
gravité, et le point de rencontre des directions successivement ramenées à la verticale,
est dit le centre de gravité du corps.Le centre de gravité des corps réguliers, comme les sphères, les cylindres, les prismes,
est placé à leur centre de configuration.Le centre de gravité d’un triangle isocèle se trouve au tiers à partir de la base, sur
la droite qui joint le milieu de la base au sommet opposé.Le centre de gravité d’une pyramide, qui a pour base un triangle ou un polygone
quelconque, est au quart à partir de la base, sur la droite qui joint le centre de gravité
de la base au sommet. Il en est de même du centre de gravité d’un cône.Le centre de gravité d’une demi-sphère homogène est à partir du centre de figure
au 3/8° du rayon qui aboutit au centre de la surface convexe.Le centre de gravité d’une ellipse est au point d’intersection des deux axes.Lorsqu’un corps immobile est placé verticalement ou incliné sur un plan, il faut, pour1. Pour plus de détails et pour des exemples relatifs à ces machines élémentaires, nous renvoyons
au Guide de mécanique pratique à l’usage des mécaniciens, 1 vol. in-12, par Armengaud
jeune.192 COURS RAISONNÉque sa position soit stable, que la direction du poids du corps, ou la verticale passant
par son centre de gravité, passe aussi par la surface de contact entre, le .corps et le plan
sur lequel il reposé ; de là la possibilité des tours inclinées en maçonnerie.On peut juger alors qu’un corps sera d’autant plus stable sur un terrain, qu’il présentera
une base plus étendue ; ainsi un cône sera, par la position moins élevée de son
centre de gravité, plus stable sur un terrain qu’un cylindre de même base et de même
hauteur. La stabilité des murs de construction est consolidée par les fondations qu’on
leur donne, et par suite par la plus grande surface de base qu’ils possèdent..ESTIMATION DE LA FORCE DES MOTEURS.255. Bien que, comme nous le verrons plus loin, on puisse déterminer par le calcul la
puissance des moteurs, cependant les différents modes de construction peuvent modifier
notablement leur véritable effet utile, on a donc dû s’occuper de rechercher un
appareil qui permît d’apprécier aussi exactement que possible la forcé réelle ou le travail
dont, ils sont susceptibles. -Le frein de Prony, qui est l’instrument le plus généralement employé à cet effet, repose
sur le principe du levier, et consiste à fixer d’une manière invariable sur l’arbre
principal du moteur dont on veut connaître la force, une poulie en fonte en deux parties
que l’on réunit par des boulons. On embrasse ensuite la gorge de cette poulie par
deux mâchoires , dont le serrage sur la poulie est augmenté à volonté par des boulons
avec écrous à oreilles. La mâchoire inférieure porte un long levier à l’extrémité duquel
est suspendu un plateau avec des poids ; on connaît d’avance la force pour laquelle la
machine a été livrée, il ne. reste qu’à charger le plateau des poids nécessaires pour
que cette charge combinée avec le bras du levier, donne en lrilogrammètres un produit
égal à celui de la puissance de la machine.Lorsque l’appareil du frein est placé sur la machine, qu’on a disposé préalablement
un baquet contenant une dissolution de savon et d’eau pour alimenter constamment
par une petite pompe ou un entonnoir la surface flottante de la poulie en fonte, et qu’on
a eu le soin d’équilibrer le poids de l’appareil de manière à ce qu’on n’ait qu’à s’occuper
des poids placés dans le plateau, on met la machine en mouvement, en ouvrant
successivement le robinet d’introduction de vapeur. La machine acquiert bientôt une
vitesse qui dépasse celle pour laquelle elle a été livrée ; on serré alors peu à peu les
écroùs à oreilles pour-augmenter le frottement des mâchoires sur la poulie en fonte.
A mesure que le frottement augmente, la vitesse delà machine diminue ; on ouvre alors
complètement lé robinet de vapeur pour ramener la machine à sa vitesse. Enfin,' au
bout de quelques instants, lorsque le frottement des mâchoires sur l’arbre est-tel que
le levier se soulève au-dessus de la direction horizontale,'que la machine est à sa
vitesse de régime et à la pression de vapeur, déterminée, il y a équilibre entre la puissance'de
la machine et la charge du levier, et oh en conclut évidemment que la machinedéveloppe
la puissance en chevaux pour laquelle elle à été livrée. En augmentant
successivement la charge du levier par l’addition de poids dans le plateau, on se rend
compte de la force réelle maximum de la machine ; de même, si' là machine n’a pas la
force voulue, en retirant successivement des poids du plateau, on reconnaît la force
qui lui manque pour avoir la puissance convenue.256. CALCUL DU FKEIN. — On détermine le poids qui doit faire équilibre à la forcé de
la machine, connaissant la longueur du bras du levier ou le rayon du frein depuis le
centre de l’arbre jusqu’au point de suspension du plateau, et la force nominale en chevaux,
par la règle suivante : ,.Multiplies, la force nominale en chevaux par 4500, divisez ce produit par la cir-DE DESSIN INDUSTRIEL. 193conférence du levier et par le nombre de révolutions par minute, le quotient est le
poids cherché.Prenons pour exemple une machine à vapeur de la force de 16 chevaux, devant faire
30 tours par minute ; et le rayon du frein placé sur son arbre de 3 mètres.Tel est le poids net à placer dans le plateau suspendu à l’extrémité du levier, après
avoir toutefois équilibré l’appareil du frein en le suspendant à son centre de gravité.On calcule aussi la puissance réelle maximum de la machine par la règle suivante :Multipliez la circonférence du levier du frein par le nombre de révolutions de
l’arbre par minute et par la charge du plateau, et divisez par 4500, le quotient
exprimera la force réelle de la machine.EXEMPLE : Supposons que l’arbre d’une machine à vapeur fasse 30 révolutions par
minute, que le rayon du levier du frein soit de 3 mètres, et le poids total placé dans
le plateau = 127M ; quelle est en chevaux-vapeur la force maximum de la machine.257. LOCATION DE FOKCE. A Paris, et dans plusieurs villes industrielles, on établit des
moteurs dont on loue partiellement la puissance à différents fabricants, qui n’ont
besoin que d’une force limitée. Mais souvent il arrive des contestations entre le propriétaire
et les locataires parce que, ne connaissant pas exactement la résistance, et
que d’ailleurs elle peut être très-variable à chaque instant, l’un pense qu’on lui absorbe
trop de force, et l’autre qu’on ne lui en donne pas assez. Il serait essentiel d’avoir, à
cet égard, des mesureurs de force, qui mettraient toujours les parties d’accord. Nous
pensons que l’on devrait faire usage soit des cônes de friction de grand diamètre, soit
des courroies libres avec des poulies de tension chargées d’un poids proportionnel, de
telle sorte que le mouvement soit interrompu dès que la résistance dépasse le maximum
de la force louée.CHUTE DES CORPS258. Lorsque les corps tombent par leur propre poids, les vitesses qu’ils acquièrent
sont proportionelles aux temps écoulés, tandis que les espaces parcourus sont comme
les quarrés des temps.On a reconnu par expérience qu’un corps tombant librement de l’état de repos, parcourt
un espace de 4m 904, pendant la première seconde, et acquiert au bout de ce temps
une vitesse égale à 9"'808.D’après cela, si les temps d’observation sont : f, 2'', 3", 4'',Les vitesses correspondantes en mètres seront . . . 9m808,19m6, 29,u4, 39m2.Les espaces parcourus à la fin de chaque temps seront. 4m9, I9m6, 44"'l, 78m4.Lesespac.es parcourus pendant chaque temps seront. 4m9, 14m7, 24"'5, 34m3.C’est-à-dire d’après ce tableau, que si les temps sont comme les
nombres 1, 2, 3, 4, etc.Les vitesses seront aussi comme 1, 2, 3, 4.Les espaces parcourus seront comme les quarrés ou 1, 4, 9. 16.Et les espaces pour chaque temps, comme les nombres impairs . 1, 3, 5, 7.Ces principes sont applicables à tous les corps, quel que soit leur poids, parce que la
pesanteur agit uniformément sur tous les corps, surtout quand cette chute a lieu dans
un espace vide d’air.
La vitesse qu’un éôfp acquiert dans ùfi temps dônùé en tombant librement,se détermine
en multipliant le temps en secondes par 9™ 81. J.
Èxëèvplë : Soit à trouver la vitesse acquise par lin corps au bout dé 12 secondes :

Lorsqu’un corps tombe d’une hauteur H, la vitesse qu’il a acquise aUbas de cette
chute est donnée par la formulé

ce qui conduit à la règle suivante : multipliez la hauteur donnée en mètres par 19,62,
la racine quarfëè de ce produit exprimera la vitesse en mètres par secondé au bout de
la chute H, . "." ■'
Exempté : Quelle est la vitesse acquise, par un corps après’tnie chuté de 65 mètres ?

d’où est tirée la règle suivante: divisez Je quarré de la vitesse par 19,62, le quotient
exprimera lîihciuteur de laquelle un corps est .tombé,- sa Vitesse au départ étant nulle.
Exemple ■ On corps possède, une vitesse de 35s 17 ; de quelle hauteur H ; este-il tombé
pour acquérir'cette vitesse ;? '■-. ;.' .-. .-

Pour éviter les calculs, relatifs à ces questions de hauteurs et de vitesses correspondantes
dont les applications sont très-nombreusçs, nous donnons çi-après une table
quf les résume, sur une grande étendue, depuis là tjtesse d’un centimètre par seconde
jusqu’à celle de dix mètres. .. :

259. INERTIE. — Nous avons dit que lorsqu’un corps est au repos pu en mouvement,
il tend à persévérer dans cet état jusqu’à ce qu’une cause quelconque vienne J’en tirer.

C’est cette cause ou force d’inertie inhérente à. la matière qui se.réyeiè parla résistance
qu’un cheval éprouve au premiernionient,- pour entraîner^ une chargé qtii Une fois
en mouvement est facilement vaincue ; c’est encore la:forcé d’inertie qui, lorsque le
cheval veut ensuite s’arrêter ; tend à çonsèryer l’élan çje la voiture pu de la charge pour
pousser le cheval et l’empêcher de s’arrêter instantanémeiit. :..-,'"

Le travail pour vaincre l’inertie croît comme le quarré delà vitesse imprimée à la
charge ; ce travail est exprimé parla formule: -•-.."_
DE DESSIN INDUSTRIEL. 195Exemple : Supposons une voiture chargée en totalité de 6000 kilog., et animée d’une
vitesse de 3 mètres par seconde, quelle résistance présentera-t-elle en vertu de l’inertie
pour s’arrêter :260. QUANTITÉ DE MOUVEMENT.— L’effort qu’un corps en mouvement peut exercer
sur un corps en repos vaut, en kilogrammètres, le produit de la masse du mobile par sa
vitesse ; ce produit s’appelle quantité de mouvement. Si un corps de masse m est animé
d’une vitesse v, sa quantité de mouvement est exprimée par m y, ou commeCe qui distingue la quantité de mouvement de la quantité de travail des moteurs,
c’est que dans le travail mécanique on fait entrer l’effort du moteur, tandis que dans la
quantité d’action, c’est la masse qui agit.261. FOBCE VIVE.— Quand une force motrice imprime à un corps une certaine
vitesse, le résultat de son action s’appelle force vive ; elle est numériquement le produit
de la masse du corps par le quarré de la vitesse qui lui est imprimée.En représentant par M la masse d’un corps, par V la vitesse imprimée,est l’expression de la force vive de ce corps. Cette force vive est le double du travail
développé par la pesanteur. En effet, quand un corps de poids P tombe d’une hauteur
H, le corps a acquis au bas de sa chute une vitesse V que nous avons trouvéeainsi, le travail mécanique développé par la pesanteur est égal à la moitié de la force
vive.262. FOBCES CENTIULES. — Lorsqu’un corps tourne librement autour d’un axe, il
est soumis à deux forces centrales : l’une, appelée la force centripète, tend à tirer le
corps vers l’axe ; l’autre, appelée la force centrifuge, tend au contraire à éloigner le
corps du centre. Ces deux forces sont égales et directement opposées.L’effort centrifuge qu’exerce un corps dans son mouvement de rotation, et qui tend à
en désunir les parties, est exprimé par la formule :dans laquelle pf représente le poids du corps, V sa vitesse en mètres par seconde, et R
le rayon, ou la distance du centre de mouvement au centre du corps.
Exemple.: Soit une boule de poids P = 10 kilosr. placée à l’extrémité d’un rayon/196. COURS RAISONNÉ DE DESSIN INDUSTRIEL.tm50, et animée d’une vitesse rotative .de 12 mètres par seconde ., quel est l’effort
centrifuge qui tendrait à détacher cette boule du rayon ?XXXe TABLE DES HAUTEURS CORRESPONDANTES A DIFFÉRENTES VITESSESy- '
LES UNES ET LES AUTRES EXPRIMÉES EN CENTIMÈTRES. " '' -". ,0 ' '• HAUTEUR HAUTEUR | - HAUTEUR HAUTEUR HAUTEURVITESSE. IVITESSE. VITESSE. VITESSE. VITESSE.1 coi'respouilaate. correspondante. correspondante. correspondante. correspondante.cent-. centim. cent. centim. cent. centim. cent. centini. cent: centim.1 0.001 S7 1.6S 165 13.88 448 '•■100.94 725 267.942 0 002 88 1.71 170 14.73 ".480 103.22 730 271.643 0 005 59 1.77 - 175 IS.61 455 .105.53 735 275.384 0 009 60 1.84 180 16.51 460 107.86 740 279.145 n-013 61 1.90 185 ;i7.45 465 110.22 745 ,282.926 l 0.019 62 1.96 190 18.40 470 .112 60 750 28K ;737 0.026 ;63 2 02 195 19.38 475 115.01.. -755 290.578 0.034 64, 2.09 • 200 20.39 480 « 7.44 760 294.439 0.043 65 2.15 205 21.42 485 119.90 765- 398.32
10 0.051 66 2.-J2 210 22.48 490 122.39 770- 302.23.11 0.062 67 ,2.29 : 215 23.86 495 124.90 775 306.1712 0.074 68 2.36 220 24.67 500 ' 127.44 780 310.1313 0.087 69 2.43 225 25.80 505 130.00 785 314.1214 0.101 70 2.50 230 26 96 510 132.58 790 318.1315 0.113 71 2.57 235 28.15 515 135.20 795 322.17
,16 0.131 72 2.64 240 29.36 520 137.84 800 326.2417 0.148 73 2.72 245 30.60 525 140.50 805 330.3318 0.166 74 2.79 250 31.86 530 143^19 . 810 334.4519 0.185 75 2.87 255 33.1S 535 145.90 815 338 ;5920 0.204 76 2.95 260 34.46 540 148.64 820 342.7521 0.225 77 3.02 265 35.80 545 151.41 828 346.9522 0.247 78 3.10 270 37.« 550 184.20 830 351.1623 0.270 79 3.18 275 38.55 555 157.01 838 355.4124 0.294 80 3.26 280 39.96 560 .159.85 840 .359 6825 0.319 81 3.34 285 4Ï.40 565 162.72 845 363.9726 0.348 . 82 3.43 290 « .87 570 165.62 850 368.2927 0.372 83 3.51 295 7,4.36 575 . 168.54 855 372.6428 0.400 84 3.60 3.00 45.88 , 580 171.48 860 377:0129 0.429 85 3.68 305 47.42 585 174.45 865 381.4130 0.459 86 3.77 310 ■- 48.99 S90 177.44 870 388.8331 0.490 87 3.86 315 50.58. 595 180.46 875 390.2832 0.522 88 3.95 320 52.20 600. 183.51 880 394.7533 0.555 89 4.04 325 33.84 605- 186.58 • 888 399.2534 0.589 90 4.13 330 55.51 6I0 189.68 890 403.7735 0.624 91 4.22 338 57.21 615 192.80 895 408.3236 , 0.660 92 4.31 340. 58.93 620 195.95. 900 412.9037 0.697 93 4.41 345 60.67 625 199.12 905 i '417.5038 0.735 94 4.50 350 62.44 ■ 630 ' 202.32 910 42-2.1239 0.775 95 4-60 385 64.24 635 205.54 9I5 426.7740 0:816 96 4.70 360 66.06 640 278.79 920 431.4841 0.836 97 4.80 365 67.91- 645 212.07 .925 436.1542 0.899 98 4.90 370 69.78 ' 650 215.37 930 440.8843 0.942 99 5.00 375 71.68 688 . 218.69 . 935 445.6344 0.986 100 .5.10 380 73.61 660 222.05 940 450.4145 1.032 105 5.62 385 75.56 665 225.42 945 455.2246 1.078- 110 6.17 390 77.53 670. 228.83 980 460.0347 .1.125 115 6.74 395 79.53 675 232.25 958 464.9048 1.174 120 7.34 400 81.56. 680 235.71 960 ' 469.7849 1.228 125 7.97 405 83.61 685 ' 239.19 965 474-6950 1.274 130 8.61 410 85.69 690 249.69 . 970 -i79.6251 1.325 135 9.29 415 37.79 695 246.22 975 484,5852 1.378 140 9.99 /' 30 89.92 700 249.78 080 489.5653 1.431 145 10.72 425 92.07 705 253.36 988 494.57
84 1.486 • 150 11.47 « 30 94.25 710 256.96 990 499.6055 1.541 155 12.25 « P 96.46 718 260.60 995 504.6656 1.598 160 13.05 "0 98.69 720 264*âSs=", lïOOi ' 509.75l ' ■ ■:•: ■ : ;:.' ^^'■•4^k---.-.. ■  ; ' ■ . : //vV = ■ '■V/>,A . ■Chapitre vil
PRINCIPES ÉLÉMENTAIRES DES OMBRES.

263. Nous avons admis en principe, au sujet des traits de force, que dans les
dessins géométraux, les objets étaient éclairés par des rayons parallèles entre
eux, et de plus parallèles à la diagonale d’un cube dont deux faces verticales
opposées sont perpendiculaires à la fois aux deux plans de projection.

Nous avons fait voir que les projections horizontale et verticale de ces
rayons font des angles de 45° avec la ligne de terre.

On a déjà pu apprécier les avantages de cette direction donnée aux rayons
lumineux qui ont en outre le mérite de faire reconnaître au premier aspect
les saillies des objets par une seule projection.

264. D’après cette convention, lorsqu’on considère un objet quelconque recevant
ainsi les rayons de lumière parallèles, on peut imaginer que ces rayons
forment entre eux un cylindre ou un prisme qui aurait pour base le contour
éclairé de l’objet. La partie qui est rencontrée par ces rayons est entièrement
éclairée, et celle opposée se trouve entièrement privée de lumière. On dit alors
que cette partie non éclairée est Vombre propre du corps.

265. Si maintenant on suppose que ces rayons lumineux se prolongent jusqu’à
la rencontre d’une surface quelconque, le contour limité par ces rayons
sur cette surface, et qui alors est aussi privé de lumière, s’appelle ombre portée.
La ligne qui sépare la partie éclairée de celle qui ne l’est pas, s’appelle ligne de
séparation d’om,bre et de lumière. Elle est toujours droite quand les surfaces
sont planes ; elle peut être droite ou courbe lorsque les surfaces sont cylindriques,
coniques, sphériques ou courbes.

266. En principe général, la détermination des ombres propres et portées revient
à chercher le point de contact ou de rencontre d’une droite, qui exprime
le rayon de lumière, avec un plan ou une surface quelconque ; mais comme l’application
de ce principe, quoique paraissant d’abord fort simple, présente des
difficultés dans la pratique à cause de la variété des contours des objets, il est
indispensable de donner des exemples destinés à faire reconnaître les tracés
les plus expéditifs à employer, tout en conservant l’exactitude géométrique.

Nous allons d’abord nous proposer de faire ces applications sur des corps
simples limités par des surfaces planes, puis sur des surfaces cylindriques, et
H
nous passerons ensuite : successivement à dès objets plus compliqués. Les modèles
auxquels nous avons donné la préférence sont ceux qui^se, rencontrent
le plus fréquemment en mécanique et en architecture : ils: peuvent suffire
pour tout ce qui peut se présenter dans les études d’ombres. -V"''v ;."\.

OMBRES DE PRISMES,,PYRAMIDES ET CYLINDRES, -pj
PRISME. . .- ;■… .. , ■'■ - ■',:-,--■/:[Planche 26.) - - ;.v
267. Etant données, figures 1 et 1« , les projections horizontale.et verticale
d’un cube, déterminer l’ombre portée par ce. cube sur le plan horizontal.

Par la position même donnée à ce cube, il est facile dé voir que les faces
éclairées sont celles représentées en AD et AG en projection horizontale, et
celles projetées verticalement en k'W et À'G' ;; les faces opposées BÇ et BD,
fig. lre, et B'C’, B'E^, fig. i", sont alors dans l’ombre propre ; maïs-comme ces
faces ne se réduisent sur ces projections qu’à de simples lignes, l’ombre
propre ne peut pas être rendue autrement que par des traits renforcés qui
sont passés à l’encre de Chine dans un dessin au trait, et au pinceau dans un
dessinlavé. :, .■"'-' -".•" -

Ces lignes, qui séparent les faces éclairées du cube* de-Celles qui n&le sont
pas, sont ce qu’qn.appelle, avôns-noUs dit, les lignes de séparation d’ombre et
de lumière. Nous n’avons réellement à nous occuper que de chercher l’ombre
portée proprement dite.' , ; -

268. Lorsque l’objet repose sur le plan horizontal comme ;nous l’admettons
dans cet exemple, et qu’il se trouve éloigné du plan vertical à une distance plus
grande que sa hauteur entière, toute l’ombre qu’il porté se trouve sur le plan
horizontal* et alors, pour déterminer celle-ci, il suffit de mener par chacun des
angles dueube, dés rayons de lumière Ce, Bp, D d> parallèles -à R, et de
chercher les points c b d, dé rencontre de ces rayons avec le plan.

A cet effet, par les points C’et A', fig.. la, projections des deux premiers
BD, on mène les rayons CV et A/B', parallèles à W, et qui rencontrent la
ligne de terre Lï en c’ et B'. - J

Si de ces points on tire les perpendiculaires c’a et B'B, elles couperont les
premiers rayons, en c, b etd\ Le contour de l’ombre portée sur le plan horizontal
est alors limité entre les lignes Ce, cb,bdet dT>; - : "- »'■

.La face E'B', par laquelle le cube repose sur le plan horizontal, ne formant
pas de saillies ne peut donner d’ombre portée ; il-en résulte que l’ombre que
nous venons de déterminer est seule apparente et exprimée par une teinte
plate uniforme qui se pose d’ordinaire au pinceau par un ton gris d’encre de
Chiner' '': ---■/-. • " ;.--:'--: -','

269. Onobserve que les lignes db et bc sont parallèles aux droites DBet BC,
parce que celles-ci sont elles-mêmes parallèles au plan horizontal ; or, lors-

qu’une ligne est parallèle à un plan (82) , sa projection sur ce plan est une
ligne parallèle à elle-même, il en résulte cette première conséquence que :
Lorsqu’une droite est parallèle à un plan de projection, elle porte ombre sur ce
plan suivant une droite qui lui est égale et parallèle.

270. On remarque aussi que les droites D d, B b, C c, qui sont les ombres
portées par les verticales projetées en D, B et C, sont inclinées à 45° sur la
ligne de terre, d’où l’on tire cette deuxième conséquence :
Lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan de projection, elle porte
ombre sur ce plan suivant une droite parallèle au rayon de lumière et par conséquent
inclinée à 45° par rapport à la ligne de terre.

271. Ces observations permettent de simplifier notablement les opérations.
Ainsi au lieu de chercher séparément chacun des points c, b, d, où. les rayons
de lumière percent le plan horizontal, il suffit de connaître l’un de ces points,
celui b, par exemple, et de mener les droites bd, bc, parallèles aux côtés DB
et BC, jusqu’à la rencontre des lignes à 45° tracées des points D, C.

Dans le cas actuel, on peut même se dispenser entièrement de la projection
verticale fig. la ; il eût suffi en effet de porter la diagonale AB de D en d, ou
de B en b, ou de C en c, car les projections verticale CV et horizontale C c,
d’un même rayon de lumière, sont de même longueur, ce qui résulte de ce
que nous avons pris pour rayon de lumière la diagonale du cube, et que les
deux projections AB et A'B 7 de cette diagonale sont égales. D’où on tire cette
autre conséquence :
Si par un point, donné par ses deux projections, on mène un rayon de lumière,
et sipn cherche lès points où ce rayon perce l’un des plans de projection, les longueurs
sont les mêmes sur ces deux projections.

272. Enfin, on observe encore que la distance B d prise sur le prolongement
de la ligne verticale CB, est égale à la hauteur entière C’B', qui est celle du
cube ; par conséquent au lieu de porter la diagonale AB, de B en b, il eût suffi
de porter la hauteur du cube de B en d, et de mener par le point d, une parallèle
à DB, jusqu’à la rencontre du rayon B b, et par le point b, une parallèle
bc à BC.

Ainsi, l’ombre portée d’un point sur un plan est égale à la saillie ou à la distance
de ce point au plan.

273. Les fig. 2 et 28 représentent un prisme à base hexagonale supposé élevé
au-dessus de la ligne de terre, mais toujours assez éloigné du plan vertical
pour que toute l’ombre portée se trouve dans le plan horizontal.

On voit encore que les faces verticales AB, BC et AF, sont éclairées, et que
celles opposées ED, DC et FE, sont dans l’ombre propre.

Parmi ces faces, celle CD est seule apparente en projection verticale (fig 2") 
et représentée par le rectangle C’D’HG, qui alors est couvert d’une teinte plus
foncée que les ombres portées pour la distinguer de celles-ci.

274. L’opération pour déterminer l’ombre portée sur le plan horizontal est
évidemment la même que la précédente ; toutefois, comme la base inférieure

JH ne repose,pas sur le plan horizontal, il ne faut pas seulementmener des
rayons de lumière par les points C, D, È, F, de la base supérieure, mais ; encore
en faire autant des points: correspondants J, I, G, H, de'la base opposée.

Nous observerons comme précédemment que ces deux faces étant parallèles
au plan horizontal, donnent chacune pour ombre portée Une figure égale et
parallèle à elle-même ; par ;conséquent, au lieu de chercher l’ombre de tous
les points, passant par les sommets des angles, il eût suffi de trouver l’un des
points d, par exemple, de là base supérieure et un point quelconque k, de la
base inférieure et de former, à partir de ces points, deux hexagones égaux et
parallèles à celui AB, CD, ËF.

On- comprend d’ailleurs que, comme ce sont les lignes de séparation d’ombre
et de lumière qui limitent le contour de Fombre portée, il est inutile de chercher
lès points situés dans l’intérieur de cette ombre et qui correspondent à
tous lës’points de la surface de l’objet, qui n’appartiennent pas à ces lignes de
séparation d’ombre et de lumière. '■• '■,"■•-.■'"'■■

275. Ainsi, les points-a,-b, h, e, n’ont pas besoin d’être déterminés. En général,
<m ne détermine pas dans lès dessins, l’ombre portée par les points correspondants
à dés.points ou à des lignes complètement éclairés ou dans l’ombre
propre- ; on se contente toujours de chercher l’ombré portée par les points situés
sur les lignes de séparation d’ombre et de lumière. .-:: .'…■"- -'■>

276. D’après ce que nous avons vu précédemment, on peut obtenir l’ombre
d’un point sur un plan de projection, par l’extrémité, de la diagonale du carré
qui a pour côté la distance de ce pointa l’autre plan. -'■'-.'

- Ainsi, on a par exemple l’ombre horizontale k, du point projeté en F et I,
fig. 2 et 2oe, en formant lé carré F Ik, ayant pour côté la longueur F l, égale
à la distance IV du point au-dessus du plan horizontal.

On a de même les ombres gïjportées par les points GÏJ, qui sont à la
même hauteur que le premier au-dessus du plan horizontal.

Pour les points c,d, e,f, qui correspondent à la base supérieure A'D’, il suffit
de déterminer la diagonale D’d’, du carré qui a pour hauteur la distance D’ »?,
de cette base au-dessus.du plan horizontal, et de porter Cette diagônaië de C
en c/D’en’d, E en e, etc.- v * - '
■"' PYRAMIDE.- ; '-
277. Lorsque plusieurs droites concourent en un même point, leurs ombres
portées sur l’un ou sur l’autre des plans de projection concourent également en
un même point qui est la projection du premier. Ainsi dans la pyramide fig. 3
et3« , quia son sommet projetéen S et S’, toutes les arêtes latérales se dirigeant
vers ce point, portent ombre sur le plan horizontal, suivant autant de
droites qui concourent au point s, ombre portée par le sommet sur ce même
plan ; il suffit donc pour déterminer l’ombre portée par une pyramide sur un
des plans de projection, de mener un rayon de lumière par lé sommet, et de

chercher le point où ce rayon perce le plan, puis de réunir ce dernier à tous
les points de la base, quand cette dernière repose sur le plan de projection. Si
au contraire cette base se trouve au-dessus du plan, il faut chercher l’ombre
portée par chacun des angles et joindre les points à celui qui représente
l’ombre du sommet.
TRONC DE PYRAMIDE.
278. Lorsqu’on n’a qu’un tronçon de la pyramide et que le sommet n’est pas
déterminé, on est obligé de chercher l’ombre portée par les angles des deux
bases ; ainsi les points E, F, G, H, de la base supérieure portent ombre sur le
plan horizontal en efgh, que l’on a obtenu en menant par chacun des points
E'F', G'H', de la projection verticale, des rayons à 45° qui rencontrent la ligne
de terre en e'fg'h', points que l’on projette horizontalement jusqu’à la rencontre
des rayons correspondants menés de E, F, G et H ; en joignant les
points efgh, aux angles AB, CD, situés sur le plan horizontal, on a l’ombre
portée sur ce plan par chacune des arêtes latérales de la pyramide.

Par cela même que ces arêtes sont diversement inclinées au plan horizontal,
leurs ombres portées sur ce plan sont aussi différemment inclinées par rapport
à la ligne de terre, mais les côtés de la base supérieure étant parallèles à
ce plan, donnent pour ombre une figure égale et parallèle à cette base, ce qui
n’aurait pas lieu si elle était inclinée au plan.

11 est évident que dans la position donnée à la pyramide par rapport aux
rayons de lumière, les deux faces latérales ÀEHD et AEFB sont éclairées,
tandis que leurs opposées DHGC et CGFB sont dans l’ombre. Cette dernière,
qui est seule apparente en élévation, figure 3e, y est exprimée par une teinte
grise.
CYLINDRE.
279. Un cylindre à base circulaire étant un corps régulier, il suffit, pour déterminer
les lignes de séparation d’ombre et de lumière, de lui mener deux plans
tangents parallèles au rayon lumineux. Lorsque le cylindre est vertical comme
dans les fig. k et ia, ces plans tangents se projettent sur le plan horizontal,
suivant deux droites A a, B b, tangentes au cercle et inclinées à 45°. Ces
droites donnent par leurs points de contact A et B, avec le cercle, la projection
des lignes de séparation d’ombre et de lumière qui se projettent verticalement
en A'C et B'D ; l’une de ces lignes est apparente sur cette projection,
l’autre ne l’est pas. On a donc ainsi la partie AEB du cylindre qui se trouve
éclairée, et celle opposée AFB qui est dans l’ombre propre. Une portion seulement
de cette dernière est apparente et teintée sur la fig. ka.

280. Quant à l’ombre portée, nous rémarquons que par cela môme que les
deux lignes de séparation d’ombre et de lumière sont verticales, elles portent

ombre sur le plan horizontal, comme on l’a vu précédemment, suivant deux
lignes à 45° ck, dB, qui ne sont autres que le prolongement des premiers
rayons tangents. Les deux bases du cylindre étant parallèles au plan horizontal
portent ombre sur ce plan suivant des cercles de môme rayon, il suffit alors
de déterminer l’ombre portée n, o, par les centres N et 0', et de décrire de
ces points n, o, des circonférences du rayon commun OA ou OB. L’ombre entière
du cylindre est alors comprise entre les deux circonférences et les deux
tangentes cA cl dB.
OMBRE PORTÉE D’UN CYLINDRE SDR UN AUTRE.j
281. Jusqu’alors nous^n’avons considéré que l’ombre portée d’un objet sur
l’un des plans de projection, mais il arrive souvent qu’un corps porte ombre
sur un autre ; ou que l’objet par rapport à sa configuration particulière a des
saillies qui portent ombre sur lui-même.

Soit, fig. 6, la projection verticale- d’un cylindre composé d’une tige Â, et
d’une tête saillante B, de même forme cylindrique et concentrique, on a d’abord
à chercher la séparation d’ombre et de lumière sur les deux cylindres ;
on trace à cet effet, fig. 6°, une projection verticale perpendiculaire à la précédente
et par conséquent à l’axe du cylindre. Dans cette figure, le rayon de
lumière se projette également à 4-5° par rapport a la ligne de terre ; il suffit
donc de mener les deux droites CV> et T) 'd’, tangentes aux cercles A' et B 7 ; les
points de contact c’ et d’, se projettent sur la fig. 6, suivant les droites ab et
D d, qui- sont les lignes de séparation d’ombre et de lumière.

Au lieu de mener ces tangentes, on â directement les points de contact c’d’,
par le rayon O d’, qui est perpendiculaire ad rayon de lumière.

282. L’ombre portée par la saillie B, sur le cylindre A, est. limitée par l’ombre
de la portion de circonférence d’C/ML ; on détermine les points de cette ombre
en prenant différents points, C’, E', F', G', sur cette circonférence et en menant
par chacun d’eux une suite de rayons parallèles qui rencontrent la circonférence
du cylindre A', en c’, e',f,'ol g' ; si après avoir projeté les premiers
points sur la base d H, (fig. 6) , on mène par les points C, E, F, G des rayons de
lumière parallèles aux premiers, et si on projette sur ces lignes les points de
rencontre c’, e',f et g', on obtiendra les points de la courbe c e f g, qui se
limite à la ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Comme on l’a vu plus haut, on peut au lieu de projeter les points c’, e',f, g',
se contenter de porter les longueurs des rayons correspondants Ce', EV, Vf,
G'g', de C en c, de E en e, de F en /, de G en g.
OMBRE PORTÉE D’UN CYLINDRE SDR UN PRISME.
283. Les fig. 7 et 1a représentent deux projections verticales d’un prisme A, à
base octogonale et à portée cylindrique B.

On mène comme précédemment le rayon 0 d’, perpendiculaire au rayon
de lumière pour obtenir le point de contact d’, et par suite la ligne de séparation
d’ombre et de lumière D d, sur la portée cylindrique B.

La face inclinée c’i' du prisme se trouvant dans la direction du rayon de
lumière, et par conséquent inclinée à 45° sur le plan vertical, est considérée
comme étant complètement dans l’ombre ; l’arête ab est alors la ligne de séparation
d’ombre et de lumière sur la figure 7, et la surface a b i d est teintée.
L’ombre portée par l’embase saillante B sur le prisme se réduit donc à celle
portée par la portion de circonférence G'F-'H', sur les deux faces c’f etfh'.
Les lignes et les lettres indiquées font bien voir que l’opération est la môme
que dans l’exemple précédent, et donne les deux courbes cefetfgh. En général,
il suffit pour ces courbes, qui ne sont autre que des portions d’ellipses,
de chercher les points extrêmes et un point intermédiaire vers le milieu.
OMBRE PORTÉE D’UN PRISME SUR UN AUTRE.
28t. Les fig. 8 et 8S représentent les projections verticales d’un prisme à
base octogonale et surmonté d’un prisme plus grand et concentrique. Quoique
pour déterminer cette courbe le tracé soit semblable aux précédents,
nous avons cru devoir le donner pour exemple afin de faire voir :

1° Qu’une droite porte toujours ombre sur une surface plane suivant une
droite, et qu’alors il suffit d’avoir deux points de la droite pour connaître son
ombre portée.

Ainsi, la droite E'C porte ombre sur la face plane, fc, suivant une
droite ec (fig. 8).

2° Toute ligne parallèle à une surface plane porte ombre sur celle-ci, suivant
une ligne parallèle à elle-même.

Ainsi, la droite E'G' de l’embase B' étant parallèle à la face/y du prisme A,
porte ombre sur celle-ci, suivant une droite fg, parallèle à la ligne FG, projection
verticale de l’arête F'G'. Il n’en est pas de même de la portion ef, fig. 8
parce que la portion de l’arête E'F' n’est pas parallèle à la face/V (fig. 8").
OMBRE PORTÉE D’UN PRISME SUR UN CYLINDRE.
285. Les fig. 9 et 9" représentent une tige cylindrique A, surmontée d’une
embase saillante B de forme hexagonale. Nous donnons cet exemple pour faire
voir que, lorsqu’un cylindre droit est parallèle ou perpendiculaire à un plan de
projection, toute droite perpendiculaire à l’axe de ce cylindre et parallèle à ce
plan de projection, porte ombre sur la surface cylindrique suivant une courbe
égale à sa base ; par conséquent si le cylindre est à base circulaire, comme nous
le supposons dans le cas présent, l’ombre portée est un cercle de même rayon
que le cylindre : ainsi la droite D’F', située dans un plan perpendiculaire à
l’axe du cylindre A, et en même temps parallèle au plan vertical, fig. 9, porte
m }' .'\%::'' ; fîOBRf ^RAI&qfNÉ v. ' ?■ ?;' ?.// ;

ombre sur celui-ci suivant une portion: de eércje ;é ê/, dont on obtient le>cëntre
o^enrliratij ; dupoint.©unrayoir de ; Minière ©ï-j. ;- jusqu’à lârènteôritrëdël’fc
rêtep^FA:pr6îongee ; Ce rapfl rencontre la-sircpriferênfeé itle^Ia hasev dir cy^
lipdré en i',. qui est projeté en i sur le ; rayon eôrresponâant B ;i^ figv 9, et déi \

^terminéi-un point-symétrique au point ^

pfoïôngé^usqu’a^raxej dohnele centre'/ de l ?arç cei, dont le îâyonib< ou
ep' ; est égal à-çelui Q# du cylindre. ? v -::/:" - ' : : :/^x -^
'■'-■■'■■ 28,6. L’arêteWW'qui ■ quoique-située dans un plan-perpendioulairë a Taxe,
n ?est pasp^aîlèleàuplân ve^

 ; Tant un Gëf'cTêj ina® suivant une courbe êlliptiqùe^^

dès pôintsj|i'àprës les procédés" dicrits- et’indiqués dAailleurs^urxës flguf es. Si ;
l’einbase ;B uùi:porte ombre sur le cylindre .était carrée ait lieu ?d’être hex ago ;

nale,-çè:qui ; se présente souvëntîl’un fig. 98 ; étant perpendiculaii'e

àuplan vertical, figi-%.porterait ombre sur la surface latérale
du cylindre suivant la ligne a fé^tf* ;. ■ v  ;; ",.- ■:-) > : ■"■:
, Ainsi Routes les fois qu’une- .
non-seulement elle perte ombre sûr ce plan suivantune'ligne-aY6°^mais encore ■'-■
sur'toutesurfacti projetéedans, ce plan. .." ;'■" '..' ■'.- "/.. i V ; <- o .■ ?- ;. ,. ; ■".■^■j. •■:'-:.■ -,
^OBSERVATION, -r* Dans les quatre exémples ;que nous Venons ^examiner,,
on ;s’est contentédeiie,représenter en lignes d’opérations ]que la denii-projection
verticalevauxiliaire^ ;^B(/-comme ; étant suffisante: pour déterminer:
Tombrey qui n’§si ;d’ailleurs ap ?parente>que ; sur la ^surface correspondante' à
cettejnoitié.'Les opérations relatives à la détermination de l’ombre ; ne sont
évidemment pas changéësy lorsque l’axe des objets: est horizontal âulieu/ d’être
vertical. " ?; ? '. ;■■' '.■-.'ï- ■'" ?"-/'.": ; ; ' ?:': ; '■' ?■■ " :--~ v''\ ^: /:':':-- ;^:'-'.

'■' -■- ;' ;■':■■ >: ;:: ? -e OMBRE D-ON CYLMDUE OBHQOÈ. -: ; 'v: ?;- ;-

287. Nous donnons dansjesji^ures Ë> £t5^
cale d’un cylindre droit dont l’axe est lïor-izontal, mais incliné au plan yerticaî ;

Dans cette projection-oblique, o,n.se^
lier pour déterminer lési. lignes de séparation 4'oiabre et de4umièfë* ; qui : sont
tpujours des droites parallèles,à taxe du cylindre, parce qu’on M peutobte--
nir directemëntles points ; de contact des^ayons lumineux av^c la ;base ; i .'='.'

Nous nousi servirons-à cet effet d’une co ;nstructïon,gënérale que noiisverj’ons
appliquée dans Un grand nombre dé cas. Jette^constructionconsiste à
déterminer sur un plaa donné quelconque ^perpéndicùlali'e^l^^
gedmétraux, la/projection ? du rayon

bàttemé&t de ce f aybh^sur l’un ouTautrë des plans de projection ?; il en résulte
quei si dans ce plan donné:on a, une courbé quelconque, il suffit pour avoir un
- point de la lignedë séparation de lumière situé sur cette cpurbej de mener à
cette dernière ùne:ou deuxtangentes "parallèles au-rayon âé lumière projeté
sursbn plan « t rabattu dans le plante projection^ ^ : ^ ;;^ '  ?;

ïinsivSôientRO ët-R'Ô'j lers projections dW

nous de déterminer la projection de ce rayon sur le plan ab de la base du cylindre ;
à cet effet, projetons le point R en r par une perpendiculaire à ab, la
ligne r 0 représente la projection horizontale du rayon de lumière sur ce
plan ab, la projection verticale r' 0' de ce rayon s’obtient en projetant le
point 0 en 0', sur la ligne de terre, et le point r en r', sur l’horizontale RV et
en joignant ce point r' au point 0'. On mène alors sur la fig. 5a des tangentes
aux ellipses, projections verticales des bases du cylindre et parallèles au rayon
r'O', leurs points de contact donnent d’une part la première ligne c’d’ de séparation
d’ombre et de lumière qui est apparente sur le plan vertical, et d’autre
part la seconde ligne e'f qui n’est pas visible.

En projetant ces points de contact respectivement sur les deux bases ab et
g h, on obtient les mêmes lignes de séparation d’ombre et de lumière cdetfe
sur le plan horizontal.

Ces mômes lignes cd et/e peuvent être déterminées sans avoir recours à la
projection verticale, en faisant le rabattement de la base du cylindre en a2b 2,
et celui du rayon de lumière projeté sur cette base ; à cet effet, après avoir
tracé le cercle a2m b 2, avec le rayon 0 a, on porte de r en r la hauteur RV 3 du
point R au-dessus du plan horizontal, ce qui donne la ligne 0 r 2, pour le rabattement
du rayon de lumière dans le plan de la base. Si on mène alors deux
tangentes au cercle et parallèles à ce rayon, leurs points de contact c2 et/ 2
représentent en rabattement les lignes de séparation d’ombre et de lumière
que l’on obtient sur la fig. 5, par des perpendiculaires menées de ces points
sur la droite a b.

288. Lorsqu’on a ainsi déterminé l’ombre propre du cylindre, il devient
facile de tracer son ombre portée sur le plan horizontal ; d’une part on construit
l’ombre portée par les deux bases, ce qui donne des ellipses, et de l’autre
celles d’à" et f'e" portées par les deux lignes cd et fe de séparation d’ombre
et de lumière, et qui sont justement des tangentes à ces ellipses.

Si le cylindre se trouvait incliné à 45° sur le plan vertical, tout en restant
horizontal, les lignes de séparation d’ombre et de lumière se confondraient
avec les génératrices extrêmes en projection horizontale et en projection verticale
sur la ligne d’axe ou ligne milieu du cylindre.

PRINCIPES DE LAVIS.

(Planche 27.) 

289. Avant de nous étendre davantage sur les études d’ombres, nous devons
observer que les ombres propres et portées, simplement représentées par des
teintes plates, afin de ne pas rendre les tracés confus, doivent suivre les dégradations
suivant le contour des objets ou la position de leurs surfaces par
rapport à la lumière.

Bien qu’il soit difficile d’établir une théorie exacte sur les principes du lavis,
.&■206 COURS RAISONNE
nous croyons cependant devoir exposer, quelques notions, qui, avec l’aide des
conseils du professeur, permettront à l’élève de vaincre les premières difficultés
et de se familiariser bientôt avec cette étude."

En peinture comme dans tous les genres de dessins, les effets d’ombre et
de'lumière reposent sur les principes suivants.
SURFACES ÉCLAIRÉES.
290. Lorsqu’une surface est éclairée, si tous les points sont à égale distance.de
l’oeil, elle reçoit sur toute son étendue une teinte claire uniforme.

Dans le dessin géomélral où l’on suppose tous les rayons visuels parallèles
au plan de projection, toute face parallèle à ce plan a tous ses points également
distants de l’oeil : telle est la face plane et verticale abcd du prisme
figure &,pl. 27.

291. De deux surfaces ainsi disposées parallèlement et par conséquent éclairées
de la même manière, celle qui se trouve le plus proche de l’oeil reçoit une teinte
plus faible que l’autre.

292. Toute surface éclairée et inclinée par rapport du plan du tableau ( 1) 
ayant ses points inégalement distants de Foeil, doit recevoir une teinte inégale.

Or, 'd’après le principe précédent, ce sont les parties lesplus avancées qui
doivent ôlre plus claires ; cet effet est rendu sur la face adfe, qui, comme le
montre le plan fig, 1, est inclinée au plan vertical de projection."

293. Des deux faces éclairées, celle qui se présente directement à la lumière
est exprimée par une teinte plus claire.

Ainsi, la face c’a1', fig. 1, se présentant plus directement aux rayons lumineux
que la face a'b', reçoit un ton qui étant dégradé en raison de son inclinaison
par rapport au plan vertical est plus faible que celui posé sur cette seconde
face. C’est surtout vers l’arête ad, fig. A, que la différence de ton doit être
très-sensible.
SURFACES DANS l/OMBRE.
294. Lorsqu’une surface est dans l’ombre et parallèle à un plan de projection
ou au plan du tableau, elle reçoit un ton foncé uniforme sur toute son étendue.

On en voit un exemple sur le filet B, fig. (G (pi. 28) qui est parallèle au plan
vertical ; la différence du ton posé sur ce filet comparativement au ton du .bandeau
À, qui lui est parallèle, mais éclairé, exprime bien l’opposition d’une
partie dans l’ombre avec celle dans la lumière, conformément aux deux principes
290 et 294.

295. De deux surfaces parallèles dans l’ombre, celle la plus rapprochée de l’oeil
est la plus fortement teintée.
1. OD entend par tableau, en dessin géomélral, comme en perspselive, le plan sur lequel
l’objet est dessiné.
Ainsi, l’ombre portée sur le filet B ( fig. c, pi. 28 ) est sensiblement plus prononcée
que celle portée sur le plan vertical qui est plus éloigné.

296. lorsqu’une surface non éclairée est inclinée au plan de projection, les
parties les plus proches de l’oeil sont les plus foncées.

La i'ace bcjhc (fig. h, pi. 27) projetée horizontalement en b'g' (fig. 1) se
trouve dans ce cas. Elle montre que le ton vers l’arête bc est notablement
plus fort que vers l’arête g h.

297. Lorsque deux surfaces dans Vombre sont inégalement inclinées par rapport
à la lumière, l’ombre portée est plus prononcée sur celle qui la reçoit le plus
directement.

Ainsi, l’ombre portée adfe, sur la face F, du prisme fig. g, pi. 26, est plus
forte que celle dabc, portée sur la face G, parce que, comme l’indiquent les
lignes f'h' et f'c’ ( fig. 1"■) , la première se présente plus directement à la lumière
que la seconde. Ces premiers principes sont mis en application sur les modèles
des planches 26, 27 et suivantes.

Comme il importe pour rendre les dégradations des ombres d’avoir quelques
connaissances sur le lavis proprement dit, nous allons entrer dans des explications
succinctes à cet égard.

Deux méthodes sont généralement adoptées pour exprimer les dégradations
des ombres, l’une dite à teintes plates, l’autre dite à teintes fondues.

Nous avons dit quelques mots sur la pose des teintes plates au sujet des
coupes représentées en couleur (137). Ces premiers indices peuvent servir
de base à la première méthode, qui présente moins de difficultés pour les
commençants. Elle se borne, en effet, à reproduire la dégradation des tons
par une suite de teintes plates superposées.
LAVIS A TEINTES PLATES.
298. 1° Soit proposé de laver un prisme à teintes plaies (fig. h, pi. 27).
Suivant la position de ce prisme par rapport au plan de projection (fig. 1) ,

on reconnaît que la face a'b' est parallèle au plan vertical et qu’elle est entièrement
éclairée ; elle doit donc recevoir une teinte-claire et uniforme que l’on
étend au pinceau soit à l’encre de Chine, soit à la sépia, comme on l’a fait sur
le rectangle abed. Lorsque les surfaces sont très-grandes, il est bon de préparer
le papier par une teinte très-faible, et d’arriver au ton par une seconde
teinte (137).

La face b'g', étant inclinée au plan vertical et complètement clans l’ombre,
doit recevoir (294) une teinte dégradée depuis l’arête bc, jusqu’à l’arête
gh ; on obtient cette dégradation par la pose successive de plusieurs teintes
plates. A cet effet, pour opérer régulièrement, nous engageons les commençants
à diviser !a face b'g', fig. 1, en plusieurs parties égales en 1', %', et à
mener par ces points des lignes parallèles aux côtés bc cïgh, fig. â. Ces lignes
doivent être tracées très-légèrement au crayon, parce qu’elles ne servent que

de guides ou directrices.- On met alors une première teinte -grise sur la surface
comprise entre la première ligne 1, 1 et l’arête bc (fig. 2)  ; lorsque cette
teinte est suffisamment sèche, on en pose une seconde semblable qui recouvre
la première, et qui s’étend depuis l’arête bc, jusqu’à la ligne 2, 2 (fig. 3).
Enfin, une troisième teinte recouvrant les deux précédentes, se termine à
l’arête extérieure g h, fig.â, et complète-le ton dégradé de la face bchg.

Le nombre de teintes destinées à exprimer la graduation, doit évidemment
varier suivant la largeur de la surface dégradante, et on comprend que plus
les teintes seront multipliées, plus elles pourront être/faibles, et par suite
moins seront dures les lignes sur lesquelles le pinceau se sera arrêté.

Nous recommandons aussi à ce sujet d’avoir le soin d’effacer les lignes au
crayon, après que les teintes sont bien sèches.- ^

299. Cette méthode de superposer les teintes en les couvrant de plus en plus
est préférable à celle, quelquefois employée, de couvrir d’abord toute la surface
bghc, d’une teinteunie, puis de poser une seconde éteinte ô22e, et enfin de
terminer par la teinte étroite bile, parce qu’une teinte qui en recouvre une
autre l’adoucit et fait paraître la directrice moins apparente. La face e'a',fig. 1,
étant aussi inclinée au plan vertical, mais entièrement éclairée, doit recevoir
(292) untontrès-clâir, plus prononcé cependant, du côté de l’arête extrême
ef, fig.& ; on procède pour le lavis de cette face comme pour la précédente,
en ayant le soin dé faire les teintes beaucoup plus faibles. "

300. 2° Soit-proposé de laver un cylindre à teintes plates (fig. I, pi. 27) ,
Dans un cylindre, on doit tenir compte delà dégradation des tons sur la

partie dans l’ombre et sur celle qui reçoit la lumière. On se rappelle,: à cet
effet, que la ligne de séparation d’ombre et de lumière ab est déterminée par
le rayon à 45°, Oa', fig. k, perpendiculaire au rayon de lumière, par conséquent
toute la portion de l’ombre propre apparente sur la projection verticale^
fig. B, est comprise entre cette ligne ab, et la génératrice extrême cd.
Or, d’après le principe (296) , le ton de cette surface doit aller en dégradant
de a b en cd, comme le plan incliné b'g' (fig. 1).

Par opposition, toute la partie du cylindre comprise entre a b et la génératrice
extrême fg est éclairée ; toutefois, il faut observer qu’à cause de sa forme
arrondie, chacune de ses génératrices est à inégale distancé du plan vertical
de projection, et forme des angles différents avec la direction de la lumière.
Par conséquent, cette surface doit recevoir des tons dégradés (292). Pour
bien en exprimer l’effet, il importe de connaître quelle est la portion de cette
surface, la.plus claire ou la plus brillante, c’est évidemment celle qui entoure
la génératrice e i, -fig. i, contenue dans le plan vertical du rayon de lumière
RO (fig. k). Mais remarquons que les rayons visuels sont perpendiculaires au
plan vertical, et par conséquent parallèles à VO..I1 en résulte que la-partie de
la surface qui paraît à l’oeil la plus claire se trouve rapprochée de cette ligne
VO, et est déterminée par la ligne TO qui divise l’angle dès deux droites 110
et VO en deux parties égales ; si donc on projette les points é et m’ (fig. 4) ,
DE DESSIN INDUSTRIEL. 209
suivant les droites ei et m n ( fig. B) , on aura la surface ei m n la plus
éclairée.

301. Cette surface est brillante et reste tout à fait blanche lorsque le cylindre
est poli, comme un arbre en fer tourné, par exemple, ou une colonne en
marbre ; on l’éteint au contraire par une teinte légère, tout en la laissant la
plus claire par rapport au reste de la surface, lorsque le cylindre est brut,
comme un tuyau en fonte.

302. D’après ces diverses observations, nous supposons encore pour les commençants
le dessin du cylindre frn/a'c’ (fig. k)  divisé en un certain nombre de
parties égales qui sont d’autant plus multipliées, que le cylindre est d’un plus
grand diamètre. On projette ces divisions suivant autant de lignes verticales
que l’on trace légèrement au crayon. On met alors une première teinte grise
sur la partie dans l’ombre acdb (fig. 5) , pour la distinguer immédiatement
de la partie éclairée ; quand elle est sèche, on pose une seconde teinte qui
couvre la ligne de séparation d’ombre et de lumière a b, de chaque côté entre
deux divisions consécutives, comme l’indique la 6g. 6 ; on met de même après
celle-ci une troisième teinte qui recouvre la seconde d’une division à droite et
à gauche (fig. 7) , on continue de la môme manière en recouvrant de plus en
plus, suivant les directrices au crayon, ce qui donne successivement des résultats
exprimés par les fig. 8, 9 et 10.

303. On s’occupe en dernier lieu de la partie J’eig, qui est dans la demiteinte
et que l’on recouvre également de teintes successives et plus légères
indiquées par la fig. 10. On termine, enfin, par une teinte très-légère que
l’on étend sur presque toute la surface, en ne laissant à découvert qu’une
très-petite portion de la surface brillante emni, fig. g.
LAVIS A TEINTES FONDUES.
304. Les teintes fondues diffèrent des teintes plates, pour exprimer les effets
d’ombre et de lumière, en ce qu’elles se dégradent au fur et ù mesure qu’elles
se posent ; elles ont sur les premières le mérite de ne pas laisser de lignes
tranchées qui paraissent quelquefois dures à l’oeil et semblent exprimer une
suite de facettes qui n’existent réellement pas. Néanmoins, pour le lavis des
machines, elles conviennent parfaitement et font ressortir et briller davantage
les différents objets qu’elles représentent. Nous conseillons donc toujours
de laver les dessins des machines et appareils industriels à teintes plates et les
dessins d’architecture à teintes fondues.

La pose de ces teintes présentant plus de difficultés, exige une certaine
habitude que l’on peut acquérir, du reste, en suivant la méthode que nous
allons indiquer.

305. 1° Soit proposé de laver, à feintes fondues, les faces d’un tronc de pyramide
à base hexagonale, fig. S, pi. 27.

La position de ce solide, par rapport au plan vertical, est analogue à celle

.210 ■■ COURS .RAISONNÉ ."

du prisme (fig. A). Ainsi, la face abed doit recevoir un ion uniforme qui,
rigoureusement, en raison de ce qu’elle n’est pas parallèle au plan vertical,
devrait légèrement-dégrader de haut en bas. ' :.

La face bghc ; étant inclinée et dans l’ombre, doit être dégradée: de bc jusqu’à
g h : à cet effet, on applique contre l’arête bc (fig.. 15) ,' une première
teinte que l’on dégrade de gauche k: droite, en prenant pour limite la directrice
1,1 ; cette dégradation s’effectue en séchant le pinceau qui contient la
teinte, afin d’affaiblir le bord de celle-ci, et on la complète avec un second pinceau
légèrement imbibé d’eau ; c’est ce que.nous avonsessayéd’exprimer sur
la fig. 15. ' '. -■'-•. ; ; -'.'■''" --"… ■■'.-'

Lorsque ce premier ton est suffisamment sec, oh le recouvré d’une teinte
fondue-de même, mais qui s’étend sur une plus grande largeur.,6cj 2, 2, limitée
par la directrice 2 ; 2 (fig. 16)  ; en procédant de la même manière pour
une 3e et une 4e teinte, etc., recouvrant toujours les premières, on arrive à
produire le ton gradué et fondu de la face*^ A.c (fig. a ) v , v

On opère de'même, mais a vecdes teintes plus faibles, pour la face éclairée
e-adfqui se présente presque-perpendiculairement à la lumière, mais qui est
inclinée par rapport au plan vertical. '■■■'--'•

Pour être rigoureux- suivant les principes énoncés ; le ton sur cette face doit
dégrader non-seulement depuis ef jusqu’en armais "encore dé eà en fd. Et
pour la face dans l’ombre bghc, le ton devrait être un peu plus fort vers la
base'cft, et dégrader vers là-partie supérieure bg\ Mais on peut réellement
négliger cette dégradation, qui d’ailleurs doit-être peu sensible, afin de ne pas
augmenter la difficulté du lavis. -.'■-.. ; -

.306. 2° Soit proposée laver un cylindre à teintes fondues (fig ; C-,pL.'27).

En suivant les indications données figure k', pouf la pose régulière des
tons, les élèves pourront laver un cylindre, à teintes fondues, en mettant
d’abord une première teinte sur la ligne dé séparation d’ombre'et de lumière,
et en là fondant dé chaque côt,é de cette ligne (fig. 11)  ; puis successivement
une 2e et une 3e teinte qui se fondent: .également (fig", 12)  ; ils arrivent ainsi
aux résultats exprimés par les fig. 13 et c ' „

 ; Notas n’avons pas crii devoir indiquer toutes ces teintés successives, pensant
bien avoir fait suffisamment comprendre la méthode par ce qui précède-, nous
engageons les élèves à faire ainsi quelques études de lavis sur des corps simples
de différentes dimensions. - ; *. '

307. Lorsqu’én posant une teinte, il arrive qu’on fasse quelques taches soit
par lé défaut du papier ou par toute autre cause, on doit lès corriger en épongeant
légèrement, lorsqu’elles sont plus fortes que la teinteVet en mettant
avec le pinceau presque sec quelques faibles tons dans les parties les plus
pâles, pour les raccorder avec le ton général.

Les figl &.-, B, E, iP, B,.de Iapl. 26, représentent divers modèles lavés, dont
on a préalablement tracé lès ombres, comme il à été indiqué sur les fig. 1 à 9.
Ces modèles peuvent 7 servir de guides pour les effets d’ombre et de: lumière,

=P
DE DESSIN INDUSTRIEL. 241
quoique gravés d’une manière différente que ceux de la pi. 27 ; toutefois, nous
engageons toujours l’élève à les dessiner sur une plus grande échelle, afin de
s’habituer à la pose des grandes teintes.

SUITE DES ÉTUDES D’OMBRES.
Planche 28.
OMBRE PORTÉE DANS UN CYLINDRE CREDX.

308. Lorsqu’un cylindre creux, comme un cylindre de machinée vapeur, une
colonne en fonte, un tuyau de conduite, etc., est coupé par un plan passant
par son axe, on a, d’une part, une arête droite, et de l’autre, une portion de
l’une de ses bases, qui portent ombre sur la surface intérieure du cylindre.

Proposons-nous de déterminer l’ombre portée dans l’intérieur d’un cylindre
a vapeur A coupé par un plan vertical passant par son axe, fig. 1 et 1°. Cherchons
d’abord l’ombre portée par l’arête saillante BC, qui n’est autre que l’intersection
du plan coupant avec la surface intérieure du cylindre. Cette droite
étant verticale est projetée horizontalement au point B', et porte ombre dans
le cylindre, suivant une droite bf, qui est aussi verticale et déterminée par la
rencontre du rayon de lumière Wbf, avec le cylindre B'F'6'.
Ainsi, lorsqu’une droite est parallèle aux génératrices du cylindre, elle porte
ombre sur la surface de celui-ci, suivant une droite parallèle à l’axe. II suffit
donc de chercher un seul point de la droite pour avoir l’ombre entière.

309. Déterminons maintenant l’ombre portée dans le cylindre parlaportion
circulaire B'E'F', de la base supérieure. Si on prend sur ce cercle un point quelconque
E', que l’on projette verticalement en E, et que l’on mène par ce point
un rayon EV,Ee, on trouve que ce dernier rencontre la surface concave du
cylindre au point e', qui se projette verticalement en e ; ce que nous venons
de dire s’applique à un point quelconque de l’arc E'F', on a les points extrêmes
de l’ombre portée, d’un côté, par une tangente à l’arc tracé en F', et qui
donne le point F sur la base même du cylindre, et de l’autre le point b, qui
déjà a été déterminé'par l’arête BC. On a donc la courbe Feô, pour l’ombre
portée par la portion circulaire B'E'F'.

310. Si, comme dans les fig. 1 et 1", nous supposons le cylindre à vapeur renfermant
son piston P, représenté non coupé, la base de ce piston portera ombre
sur la paroi du cylindre, suivant une courbe dho, que l’on détermine en prenant
à volonté des points B', IF, 0', sur la circonférence du piston, et en menant
par ces points, sur les deux plans de projection, des rayons de lumière qui
rencontrent le cercle Wb'o' du cylindre en b', h' et o', lesquels se projettent
verticalement en d,h,o ; la courbe réunissant ces points donne l’ombre portée
à l’intérieur du cylindre par le piston. La tige T de ce piston, étant cylindrique
et verticale, porte ombre dans l’intérieur du cylindre, suivant un rectangle

dont les côtés verticaux ij,kl, déterminés par. les tangentes Vi'> et .K/#y sont
parallèles à l’axe, , .■■
311. Soient, fig..2et%a, les projections d’un cylindre convexe A, tangent à
un cylindre concave B, sous forme d’une doucine ou de cannelures arrondies.
Ce problème, qui consiste à déterminer l’ombre propre d’un cylindre convexe
et l’ombre portée par un cylindre concave, résume ce qui a été dit pour
déterminer l’ombre propre d’un cylindre (fig. 4-'et\a, pi. 26) , et.ce que nous
venons de dire pour le cylindre creux (fig. 1 et’l")  ; les opérations sont suffisamment
indiquées fig. 2 et 2B, nous observerons seulement qu’il est toujours
essentiel de déterminer en premier .lieu lés points extrêmes -'(71) ', qui limitent
l’ombre propre CG, et l’ombre portée B,cg ; ces points CD’ s’obtiennent,
comme nous l’avons vu, plus exactement par lés raypns OC et D’E perpendiculaires
aux rayons de lumière.
. ," "■ ^ .' . "'■'■ .OMBRES D’UN CONE.- '' ,:
312. Dans cette étude, nous’ nous proposons de déterminer : 1° l’ombre propre
ou la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la.surface du cône ;
2° l’ombre portée de ce cône sur le plan vertical de projection ; 3° l’ombre portée
par un prisme àbaseçarrée et horizontale sur le cône et sur le plan vertical
de projection. .-.•.■• - - -- '

313.1° Nous avons posé en principe général, que pour trouver l’ombre propre
d’une surface quelconque, il fallait mener une suite de rayons de lumière parallèles
et. tangents à cette surface, ,mais lorsque le corps est engendré par
une droite ; comme un cylindre oUun cône, il suffit de.tracer des plans tangents
parallèles aux rayons lumineux pour obtenir les lignes de séparation
d’ombre et de lumière.. . , : v ■ ■ ^ v

Dans le cas du cône représenté fig. 3-et3a, et.dont l’axe ST est vertical, l’opération
consiste à mener par lesommét S et S’, deux lignes à 45°, S s et SY,
qui donnent en /l’ombre portée par ce sommet sur le plan horizontal ;-de ce
point on mène une. droite « V, tangente à la base A'CB'du cône. ,Cette droite
représente la trace.du plan tangent au cône sur lé plan horizontal, on obtient
alors la génératrice de contact, en abaissant du centre SV,un rayon SV, perpendiculaire
à cette trace a's’, on a la projection horizontale de l’une des lignes
de séparation d’ombre et de lumière ; làprojection verticale Sa de cette .droite
s’obtient en projetant le point de contact a' en a sur la base AB, et en réunissant
ce dernier au sommet S. La seconde ligne S’b' de séparation d’ombre et
de lumière du eône s’obtient de même par la tangente éb'i seulement sa projection
verticale n’est pas apparente sûr la fig. Ba.

, 314. 2° L’ombre portée du cône sur le plan verticalest limitée d’une partpar
la ligne dé. séparation d’ombre et de lumière, et de l’autre par-la portion de

la base éclairée comprise entre ces deux lignes ; or, la droite Sa porte ombre
suivant une droite s2 a 2, comme l’indique le tracé, et la base A'E'C’B' porte
ombre suivant une courbe elliptique feda 2 qui se détermine par points d’après
le tracé (fig. 5, pi. 26).

315. 3° L’ombre portée par la base inférieure GH du prisme rectangulaire P,
sur la surface convexe, se détermine d’après le principe déjà énoncé : que lorsqu’une
droite est parallèle à un plan, elle porte ombre sur ce plan, suivant
une droite égale et parallèle à elle-même, il en résulte que si on coupe le cône
par un plan MN parallèle à sa base, l’ombre portée par la droite GH, sur ce
plan, sera déterminée en menant par le point I de la base situé sur l’axe du
cône et projeté horizontalement en S’, un rayon de lumière qui rencontre ce
plan MN au point i, lequel se projette horizontalement en i', sur la projection
du môme rayon. Si donc du point i on porte la distance i'i 2 égale à S’J’, et
que par le point i2 on mène la droite G2 H 2, cette dernière exprimera l’ombre
portée par le côté GH sur le plan MN ; mais celui-ci coupe le cône suivant un
cercle dont le diamètre MN, compris entre ses génératrices extrêmes, se
projette horizontalement en M/I/N’. La rencontre de la droite G2H 2 avec la
circonférence de ce cercle donnera donc deux points i2 et i3 qui, projetés verticalement
en i i", sur MN, déterminent deux points de l’ombre portée.

En opérant de la même manière pour tout autre plan sécant parallèle à MN,
on pourrait obtenir d’autres points de la courbe ; on reconnaît que ces plans
sont pris à la hauteur convenable, lorsque les projections de la droite GH se
rencontrent avec les cercles correspondants ; et on évite à cet égard des tâtonnements,
en cherchant d’abord les points limites de la courbe ; ainsi dans
l’exemple qui nous occupe, on obtient le sommet g de la courbe en portant la
distance J’S’ (fig. 3) de I en J, sur la droite IG (fig. 3"). Par ce point J, on
mène un rayon de lumière ; le point de rencontre g", de ce rayon, avec la génératrice
extrême AS, se projette sur la génératrice ST, par l’horizontale
g" g, et détermine le sommet g. On obtient ensuite les points extrêmes h h' de
la même ombre, en rabattant le point G' en G3 sur le plan vertical. Cette opération
consiste à décrire du centre S’, avec le rayon S’G', l’arc de cercle G'G".
On mène ensuite par le point G 3, projection de G", la droite G3 A', parallèle
au rabattement du rayon de lumière dans le plan vertical et incliné, comme
nous l’avons vu, suivant l’angle de 35° 16'. Le point de rencontre h' de cette
droite avec la génératrice extrême AS, détermine le plan h' h, qui est rencontré
par les rayons à 45°, menés des points I et G, aux points limites
cherchés h, h'.

L’ombre portée du prisme P, sur le plan vertical, ne présente aucune particularité
en dehors des principes déjà exposés.
OMBRE D’CJN CONE RENVERSÉ.
316. Lorsque le cône, au lieu de reposer sur sa base, prend appui sur son
sommet, comme dans les fig. i et ¥, les rayons lumineux éclairent une
45
moindre partie de sa surface, et les lignes de séparation d’ombre et de lumière
s’obtiennent en menant également par le sommet SS’des lignes,à 45°, que l’on
prolonge jusqu’au plan de labase AB,.- - . ; ,

On observe que les points de rencontre s., s’ doivent s,e trouver à gauche de
l’axe du cône, au lieu d’être à,drqite. Par le point /, projection horizontale
du point de rencontre s ; on mène les deux tangentes s’a', s’b',\ à la circonférence
delà base A'B'D’, tes rayons S’a 7 et S’b', passant aux points .de contact,
donnent la projection horizontale des deux lignes de séparation d’ombre et de
lumière, et font voir que la partie ; éclairée du cône, qui est la surface,b' G2
a/S{, est toujours plus -petite que, la partie dans l’ombre b'ïy'a'S’.

La première ligne SV est seule apparente en projection verticale, flg. 4° ;
elle est déterminée par la projection du point .a' en a, et par la réunion de ce
point », au sommet S. On voit que le cône étant coupé par un plan horizontal
DE, cetteligne aS s’arrête en c sur ce plan, ., • .

v 317. Le cône, ainsi renversé, est aussi,surmonté d’une embase carrée, dont
les côtés FG' et C’H' portent ombre sur sa surface latérale. Or, le côté FG.', projeté
emG, fig. ka, est perpendiculaire au plan vertical, parvçonséquent il porte
ombre sur le cône suivant une ligne à 45°, G/,- on déterminé'.le point limite/
en procédant comme précédemment, c’est-à-dire en rabattant le point G' en
Gs sur le plan vertical, et en.menant par le point G3 la droite'G3/i^ parallèle
au rabattement du rayon de lumière, on tire ensuite l’horizontale h"h qui est
rencontrée par le rayon G/ en./.

Comme l’embase est carrée, le sommet g de la courbe s’obtient directement
par le point dé rencontre g" du rayon de lumière avec la génératrice extrême
AS, et par l’horizontale g"g, menée de ce point. On détermine ensuite un
point quelconque i" de la courbe par la section d’un plan horizontal MN, avec
le rayon de lumière mené du centre I du carré. . _ . -.-■ ■■ ;'-'
 ; '"• . 'OMBRE'A L’INTÉRIEUR-D’UN CQNE CREUX.: .•'■'.■■:.'
318. Lafig. 5 représente un plan vu en dessus d’un tronc de cône creux, et
l’a fig..5°'est une section verticale par l’axe de ce cône. On a à chercher en
projection horizontale l’ombre portée sur la paroi intérieure du cône^par la
portion A'BC, de la circonférence de sa base, et l’ombre portée en projection
verticale par l’arête saillante DS, et par la partie circulaire A'D’ projetée
en AD. : ."' ' "'':.--.7" ''

Nous devons d’abord observer que^la droite DS, qui'est’uhe génératrice du
cône, porte ombre sur celui-ci,,, suivant une droite, car tout plan parallèle au
rayon de lumière et passant par cette droite, coupe le cône suivant une génératrice ;
on mène donc du point D’, le rayon à 45° D’d’, et du centre S’ on abaisse
la perpendiculaire S’E', cette droite représente la projection horizontale de
l’intersection du cône avec le plan, passant par l’arête D’S’, et parallèle au
rayon de lumière ; en projetant le point È' en E, fig. 5« , et en joignant SE, on

a la projection verticale de cette ligne d’intersection, et par suite l’ombre portée
par l’arête DS. Le rayon de lumière mené du point D détermine le point
limite d sur cette même droite. On obtient aussi sur le plan horizontal les
points limites A'et G de la courbe, par les tangentes s’A' et s’C menées du
point s’, où le rayon de lumière rencontre ce plan. La détermination du point
symétrique b' de la même courbe a lieu par la droite D&, menée du point D
parallèlement au rayon de lumière SR, préalablement rabattu en SR2 ;le point
de rencontre b de cette droite avec la génératrice SF, directement opposée à
celle qui passe en D, se projette horizontalement en b' sur le prolongement du
rayon de lumière BS’.

319. L’opération pour trouver un point quelconque intermédiaire de la
courbe, repose sur le principe énoncé précédemment, que lorsqu’une ligne ou
une surface est parallèle à un plan , l’ombre portée est aussi une ligne ou une
surface égale et parallèle à la première. Si donc on mène un plan MN parallèle
à la base DF du cône, l’ombre portée par cette base sur ce plan est un cercle,
il suffit alors de mener par le centre 0, fig. 5« , un rayon 0« qui rencontre le
plan MN en a, lequel se projette horizontalement en a' sur le rayon même ; si
du point a', comme centre avec le rayon DO, on trace un cercle H'ÏJ, celui-ci
exprime l’ombre entière portée par la base DF sur le plan sécant ; or, ce plan
coupe le cône suivant un cercle dont MN est le diamètre, et que l’on trace sur
la projection horizontale en H/M’JN’ ; ce cercle est rencontré par le premier
aux points" H' et J, qui sont deux points de l’ombre sur la fig. 5 ; l’un de ces
points est apparent dans le plan vertical et se projette en H sur la ligne MN.
APPLICATIONS.
320. Nous donnons sur cette planche, comme dans la planche 26, des modèles
lavés et finis, sur lesquels on peut faire l’application des principes que nous
venons d’indiquer, soit comme ombres propres et portées, soit comme lavis.
Ainsi, la fig. A représente l’intérieur d’un cylindre à vapeur avec son piston
et sa tige. On a tenu compte dans cet exemple de ce principe général, que les
ombres sont d’autant plus vigoureuses qu’elles se trouvent sur des surfaces
plus éclairées, par conséquent le ton le plus foncé doit partir de la génératrice
correspondante à G h, fig. 1", qui est située dans le plan vertical du rayon de
lumière passant par l’axe du cylindre ; le ton de l’ombre doit donc dégrader à
gauche et à droite de cette ligne.

321. Dans cette dégradation successive, on a aussi égard aux effets de la
lumière réfléchie, qui font qu’une surface dans l’ombre ne peut pas être complètement
noire. Dans un cylindre creux, pour la portion qui est dans l’ombre,
c’est la génératrice FF 2, fig. ia, projetée en F 7, fig. 1, qui doit être la moins
foncée, comme recevant plus directement les rayons de la lumière réfléchie.
On se rappelle que ce point F' est obtenu par le rayon TF' perpendiculaire au
rayon de lumière.

- La fig. ; s. montre -un exemple: relatif aux :douçinës et cannelures arrondies,
etfaitbienyoir la différence ;entre une ombre propre et une ombre portée
pour détacher les. saillies des creux. . :. y-■

La fig. -fi est un fragment d’entablement de l’ordre dorique, donné comme
application de l’ombre jortée sur les cônes et dé celles portées par ceux-ci sur
un plan vertical ;, , .' ,:-""~. ;.'■• ;'•':.■■ -':

..• Cet exemple^ t’ait" voir que pour l’effet du dessin, il importe beaucoup de
faire une grande différence de ton entre les ombres portées des premiers et
des seconds plans, comme aussï-entre lés’ ombres portées sur des surfaces
arrondies et des surfaces planes. .' ' \ , ■'-* :) i "i

La figuré a réunit la projection d’un cylindre avec deux cônèsopposés’par
leurs bases pour démontrer que le lavis sur chacune" des surfacesne doit pas
être rendu de la niême manière. -, ■ " J ' - ■ "

Le ton: du cône ; supérieur est moins avancé comme ombre que celui, du
cylindre ; tandis que le ton sur le-cône inférieur est au contraire -plus sensiblement
avancé, ce dont on s’est rendu compte sur les tracés j.\fig. ; 3a
"et i ?.--■,■"-. ".-.-." "^ ■■•'•'■■ ..-'-"• . -y:\- ' :'■'"'■■'■■''-". /':''

Les figr'getfsont des modèles lavés de cônes.vus^extériéurement et intérieurement,
et sur lesquels on doit faire les mêmes observations comme effets
d’ombres dégradées et de demi-teintes. '.-""' :>-v V: , - 7 ;
'■:■'-/:: ;' ;_ - ''■.■"■ ;"•• OUDRE^TOSG-AN.^:^ ;- y \/ ?: " ;' ;: ;; ;'

V "'•.-'- Planche 29. •"',.''-.'■'■_ . ' ,
/ " OMBRE DTJ TORE. . \. --■.._,
322. En géométrie, lé tore ou anneau estun solide engendré par uncercle
qui tourne autour d’un axe en restant constamment dans le plan de cet, axe,
de sorte que toute section faite par un plan passant.par l’axe est un cercle
de niême rayon, et que toute section perpendiculaire à.l’axe« donne ;aussi des
cercleSj mais variables de diamètre.., / / , . .-""■ ' .: .'.,..*■•'

Nous ayons vu que dans Varchitecture le tore est-une des parties essentielles
de la base et du chapiteau de la colonne.de chaque ordre, il nous-a donc paru
utile dé faire connaître la détermination denses ombres propre et portée, ren
indiquant à cet effet les tracés les plus simples. .-

Les fig. 1 et 1° représentent les deuxprojections d’un tore A, supposé engendré
par un demi-cercle a/e, assujéti à tourner'autour d’un axe vertical
OP. '■ '. ■ y' .' y ; y'y.'j’, ■''■ ' ■ -..
\ 323. Proposons-nous de déterminer l’ombre propre oulaligrie de séparation
d’ombre et de lumière surla surface extérieure de ce tore. Il convient de chercher
d’abord les points principaux qui sont d’ailleurs très-faciles à obtenir ;.
ainsi, en menant parallèlement au rayon de lumière,RO' deux droites, tangentesaux
cerclés a,f,c, qui limitent le contour du tore,on a les deux points

extrêmes bdde la courbe. Ces points de contact sont obtenus très-exactement
en abaissant des centres o et o' de ces cercles, des rayons perpendiculaires sur
ces tangentes. Si on tire du point b la ligne horizontale 6e, on obtient sur la
droite verticale OP, le point e milieu de la courbe.

Pour avoir la courbe en projection horizontale, on projette les points be de
la fig. I" en b'e'd’, fig. 1, qui correspondent au cercle ayant pour rayon be ou
dO ; on obtient encore un point g, en traçant la droite à 45°, O'g', perpendiculaire
au rayon de lumière R'O'. Cette droite rencontre le cercle extérieur
f'hf, qui limite le tore, en projection horizontale et dont la projection est,
en //, passant par le centre o o', le point de rencontre e' se projette alors en g
sur cette droite ff.

Pour trouver le point i qui paraît le plus bas de la courbe, et qui est situé
sur le rayon de lumière contenu dans le plan vertical i'Of, qui passe par l’axe
du tore, on rabat ce plan dans le plan vertical, sa section dans l’anneau étant
un cercle se rabat alors sur le cercle générateur afc ; le rayon de lumière situé
dans ce môme plan se rabat aussi suivant une tangente ki 2 à ce cercle et
inclinée, comme on le sait, suivant l’angle de 35° 16', le point de contact i- est
celui cherché en rabattement ; on le projette horizontalement en z 3, et on le
ramène à sa véritable position i', sur le rayon k'O', par un arc de cercle décrit
du centre O' avec le rayon O'f, puis on projette le point i' verticalement en ?',
sur la ligne horizontale tirée du point de contact i-.

On se contente habituellement de ces cinq principaux points b, i, e, g et d,
de la ligne de séparation d’ombre et de lumière ; mais si l’on veut d’aulres
points intermédiaires, on mène des plans sécants passant par l’axe, tels que
celui O'B', qui coupe le tore suivant un cercle de môme rayon que celui du
cercle générateur, on opère alors pour trouver le point de contact du rayon
de lumière tangent è cette section, suivant la méthode indiquée (fig. 5 et 5",
pi. 26) , c’est-à-dire que l’on cherche la projection du rayon de lumière sur ce
plan O'B', il suffit pour cela d’abaisser sur ce plan une perpendiculaire RV,
d’un point quelconque pris sur le rayon lumineux, on obtient le rabattement
de ce rayon ainsi projeté sur le plan O'B', en faisant tourner ce dernier autour
de l’axe O', jusqu’à devenir parallèle au plan vertical ; le point r' décrit alors
un arc de cercle autour de O', pour se placer en r", et comme sa hauteur audessus
du plan horizontal reste la môme que celle du point 11', on tire du
point R, l’horizontale Rr qui donne par sa rencontre avec la verticale r"r, le
point r, et par suite la ligne rO', pour le rabattement cherché du rayon de lumière.
Il est évident que le cercle de section situé dans le môme plan O'B',
s’est aussi rabattu dans le plan vertical suivant afc, par conséquent si on mène
à celui-ci une tangente mn, parallèle à rO', on a le point de contact n , qui
se projette horizontalement en n’, et que l’on ramène par l’arc décrit du
centre o', avec le rayon n’O', sur la droite O'B'. On a ainsi la projection horizontale
ri 3 du point cherché, que l’on projette verticalement en ri 1, sur la ligne
horizontale passant par le plan de contact n.

Si on prolonge l’arc de .cercle n’rfi, au delà du rayon O'g'i et que Ton porte
la distance g'ns àeg' en f^ on obtiendra'"aussi un point/'symétrique àirà 3 par
rapport à ce rayon O'g'., qui est incliné à &5V>et perpendiculaire à la ligne
R/O'. Ge point V se projette verticalement enJ, sur l’horizontale p'£, tracée audessus
de la ligne milieu//, â.lafdistànce/jg' égale à.çs qui existé au-dessous,
entre cette ligne et la droite nn 2. - .•-■.■• ■ ,.■ ■ :•,:,-.

^24. Lorsqu’on connaît l’ombre propre d’un tore, on détermine aisément
l’ombre qu’il porte suivun plan horizontal, enmenant par • des points quelconques,
pris sur la ligne^de séparation d’ombre et de lumière j des rayons
à 45°,. et en déterminant les points où ces rayons rencontrent le plan ; ainsi
dans lés4g- 2 et 2", une poi'tion du "tore A porte ombre sur. le plan horizontal
BC, suivant une courbe dont la partie Vô'c’est’ seule apparente (fig. 2). ;

Urr point quelconque brôf de, cette courbe, est déterminé par la rencontre
du rayon dôlumièrë, mené de î, V,avec le plan horizontal BC. • r -

- 325. Lorsque le tore est surmonté d’un filet cylindrique, il peut arriver que
la ligne de séparation d’ombre et de lumière de celui-ci porte ombre sur la
surface,, ce qui a lieu pour le filet D, dontTa: ligne de séparation d !ombre et de
lumière est fh. Cette ligne étant verticale pôrte^ ombre suivant une Jign&à" 45°,
f'î' ;,qm. l’on .détermine en menant par le point/ un rayon: dé lumière qui rencontré:
en i le plan horizontal âa. Il resté alors à déterminer l’ombre portée
par la portion de cercle /'/-, d’après la méthode générale expliquée sur les
fig.3,4 et 5 de la pi. 5, et que nous rappelons d’ailleurs icisur les fig. 3 et 3".
Cette'méthode s’applique aussi pour déterminer T Ombré portée nj ëïji'j’r, de
la ligne de séparation d’ombr.eet de lumière mn\ du cylindre' E,,sur la gorge
annulaire qui raccorde ce cylindre avec le filet D. . / ■ ■ ;
OMBRE PORTÉE D’UNE DROITE::SÛRM TORE.
326. La fig. 3-représeïite la projection horizontale vue en dessous d’un fragment
de chapiteau dont la fig. 3S est la ^projection verticale pour montrer
l’ombré portée du larmier F, qui'est un prisme carré, ; sur le quart de rond’À,
qui est annulaire. . ' .

Nous nous servons encore "du principegénéralque lorsqu’une droite est
parallèle à un plan ; son ombre sur ce plan estunedigné parallèle à elle-même.
Il suffit,, au reste, de comparer les opérations indiquées ; avec celles des fig." 3
et 3« , pL 28, pouf'-reconnaître qu’elles sont exactement les mêmes ; ainsi on
obtient d’une part pour l’ombré portée là ligne à 45°,:&f, qui .est limitée à la
ligne de séparation d’ombre et de lumière:bel du tore,--.et del’autre la courbe
■i'Jg i^jiour. l’ombre portée de la droite Gff sur letore qui doit égàlements’arrêter
sur'la même ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Lësfig. 3 et 3ff complètent ce qui est relatif à l’ombre du chapiteau d’une
colonne, elles montrent l’opération à effectuer pour déterminer Tômbre portée
par la ligne de séparation d’ombré et de lumière du tore sur un cylindre,

et aussi celle portée par une portion du larmier sur le môme cylindre. Le
tracé se réduit à mener des rayons de lumière par les points i''e, d’une partie
de la ligne de séparation d’ombre et de lumière du tore, et de chercher leur
intersection avec la surface cylindrique E. Les opérations ne présentant aucune
particularité, et étant d’ailleurs suffisamment indiquées sur les fig. 3
et 3", nous n’avons pas à nous y arrêter.

Pour rendre les épures plus intelligibles, nous n’avons pas donné aux figures
les dimensions réelles qu’elles doivent respectivement avoir pour la représentation
du dessin d’un ordre quelconque ; ces dimensions sont d’ailleurs exactement
indiquées sur la Dg. L qui représente le modèle, lavé à l’effet, de
l’entablement et de la colonne de l’ordre toscan, dans le double but de faire
voir l’application des ombres et les différences de tons que l’on doit observer
au lavis.
OMBRE D’UNE SUBFACE OE RÉVOLUTION.
327. On appelle surface de révolution, celle qui est engendrée par une ligne
droite ou courbe assujétie à tourner autour d’un axe fixe, en restant constamment
à la môme distance ; ainsi, le cylindre, le cône droit, la sphère, le
tore, sont autant de surfaces de révolution ; il en est de même de la surface
engendrée par la courbe abc, tournant autour de l’axe ÀB, fig. 4 et 4". D’après
cette définition, toute section faite perpendiculairement à l’axe donne un
cercle, ces sections sont des parallèles. Toute section faite par l’axe donne
une ligne égale à la courbe génératrice et se nomme méridienne.

328. Pour déterminer l’ombre d’une surface de révolution, on peut employer
deux moyens, soit en menant des plans perpendiculaires à Taxe, et en considérant
les sections faites par ces plans comme autant de bases de cônes droits,
soit en imaginant des plans passant par l’axe, et en projetant sur ces plans les
rayons de lumière, pour avoir par des lignes parallèles à ces rayons et tangentes
aux méridiennes, des points de contact qui appartiennent à la ligne de
séparation d’ombre et de lumière. Cette dernière méthode ayant été appliquée
dans les figures précédentes i et i", pi. 6, et fig. 3 et 4, pi. 28. Nous avons cru
devoir indiquer de préférence la première.

Soit donc un plan horizontal quelconque b d, fig. 4 et 4", qui coupe la surface
de révolution suivant un cercle dont le rayon est be, et que l’on projette
horizontalement en b'e'd’, par les points b et d, on mène deux tangentes à la
courbe génératrice qui forme le contour extérieur de la surface de révolution,
ces tangentes se rencontrent sur l’axe au point s, sommet du cône sbd, par
ce sommet on mène le rayon de lumière sf et A'b' ; ce rayon rencontre le
plan de section en/,/, de ce dernier point, menant les deux droites fg' et
j’e', tangentes au cercle b'e'd’, on a les points de contact g' et i' qui sont deux
points de la ligne de séparation de lumière, situés sur le plan bd ; de ces points,
le dernier seul i' est apparent en /, sur la projection verticale.

C’est ainsi qu’on a déterminé les points h et /situés sur les plans CD etEF,
menés parallèlement au premier ; ■.-"■'. - - -:: . :

329. Dans léxas où les tangentes à la courbe génératrice sont verticales, ce
qui a lieu pour les plans MN et a l-, lés points m et n de la ligne de séparation
de lumière sont déterminés par des tangentes à 45°, aux sections circulaires
dans la jprojection horizontale, parce qu’alors ces:sections sont les bases de
cylindres.droits au lieu d’être celles de cônes. Lorsqu’on a ainsi déterminé un
assez grand nombre de points sur la fig. 4« , on les réunit entre euxp.our former
la courbe apparente minhj’E, qui est la.ligne.de séparation d’ombre et
de lumière sur la surface de révolution. :. .- .- -

Cette méthode est générale, et elle s’applique quel que soit le contour de la
surface de révolution.,. .-.-." •_-■. ;->" .- ■ ■■■'..•.

Comme il est bon. de déterminer le "point le plus bas "k de cette courbe, on
cherche ce point en fajsant, comme précédemment pour le tore, le rabattement
du rayon de lumière R'A':, et en menant à la courbe .génératrice abc,
une tangente parallèle au rabattement RB ; le point de contact ramené en h'.
sur la projection horizontale du rayon de lumière, se projette: alors eh Jt sur
la ligne horizontale tracée de ce point de contact.' . , ■ v .'• .

. ïïne partie de cette courbe, celle inférieure E&i, porte ombre sur ; le filet
cylindrique co ; pour déterminer cette ombre, il faut’d’abord tracer la courbe
E Jcj, sur le. plan horizontal, fig. 4-, et mener par les points de cette courbe
des rayons de lumière qui rencontrent le cercle do', hase du cylindre, en autant
de points’que l’on projette.-verticalement et qui déterminent ia courbe
cpq, les lignes de projection n’ont pu être indiquées sur la figure, mais il est
facile de les comprendre. .,'. - - /L . : - ; ; :

330. La fig. ^représente la projectioni verticale d’un balustre employé souvent
comme balcon en pierre en architecture, et quelquefoisdans les machines
comme support isolé. Aurdessous du filet qui termine la surface de révolution -
se trouve une gorgé annulaire, sur la surface »de laquelle la- base"de ce filet
porte ombre. Il est facile de. voir que cette'ombre doit être construite exactement
comme celle que nous avons indiquée sur les fig. 3 et~3'z, pl.28 et suivantes.
.,', ?:■'- '.': . . ,:-\,:'.:.,..■ ;-: :"■■■'•.

Les fig. g et G donnent les modèles lavés de deux sortes de balustres à sm>:
fac,e de réyolution, nous engageons les élèves à les dessiner ; sur une grande
échelle, afin d’ydéterminer les ombres rigoureusement,- en suivant les principes
que nous avons exposés. Ces balustres se font ordinairement en pierre
et sont susceptibles de recevoir les dimensions les plus variées ;: nous avons
supposé sur le dessin qu’ils étaient dessinés à une échelle de 1^10° ;::
Regles et donnees pratiques
POMPES A EAU.
331. On distingue dans l’industrie trois espèces de pompes :1° Les pompes aspirantes ou élévatoires, dans lesquelles le piston élève l’eau audessus
de lui, après avoir aspiré l’air qui se trouvait au-dessous, tel est le système que
nous donnons (PI. 37) (*).2° Les pompes foulantes, dans lesquelles le piston refoule l’eau à des hauteurs plus
ou moins considérables. Les pompes alimentaires des machines à vapeur sont des
pompes foulantes (Voyez pi. 39).3° Les pompes aspirantes et foulantes qui réunissent les deux systèmes précédents.PRINCIPES HYDBOSTATIQUES.332. Quelle que soii la hauteur h laquelle une pompe verse son eau, quels que
soient le diamètre et l’inclinaison des tuyaux d’aspiration et d’ascension, le pistuîi
porte toujours une charge d’eau égale au pnids d’une colonne de ce fluide qui aurait
pour base celle du piston même et pour hauteur ta différence de niveau entre la
surface du puisard et le point de versement.Ainsi en désignant par H, la différence de niveau, par D le diamètre du piston, on a
pour la charge ou pression P sur le piston,et pour exprimer cette pression en kilogrammes il faut multiplier cette quantité par
1000 qui est le poids d’un mètre cube d’eau, ce qui donne alors,333. Indépendamment de cette charge qui correspond à l’effet utile de la machine, la
puissance nécessaire pour élever le piston a encore à vaincre les résistances passives
qui proviennent :1° Du frottement du piston dans l’intérieur du corps de pompe ;1. Il est à remarquer que la hauteur à laquelle s’élève un liquide dans le vide, par l’effet de
la pression atmosphérique, est en raison inverse de la pesanteur spéciiique de ce liquide. Ainsi
cette pression, qui est égale à 1 k. 033 par centiraèlre quarré, fait élever dans le vide l’eau à une
hauteur de 10 met. 33, tandis que la même pression sur le mercure ne le fait élever qu’à
0 met. 76, parce que la pesanteur spéciiique du mercure est 13 fois 59 celle de l’eau. Si l’air
pressait sur un liquide plus léger que l’eau, il élèverait ce liquide dans le vide à une hauteur
au-dessus de 10 met. 33, déterminée par l’excès de pesanteur spécifique de l’eau sur le liquide.
En pratique on ne doit compter que sur une hauteur de 8 à 9 met. pour la distance du puisard
au bas du corps de pompe, à cause du vide imparfait.
"222. COURS RAISONNÉ

2° Du, frottement de l’eau dans celui-ci et dans lés tuyaux ; v

•3° De:l’étranglement de l’eau à son entrée dans le tuyau d’aspiration et à son passage
au cylindre, par la soupape dor.niaritefixî d’aspiration• ;-. -' ;..*., ;-.', ~::

4° Du ppidsde cette soupape ;

5° Enfin, de l’inertie de la masse d’eau a, recevoir.

On lie peut déterminer ces résistances que d’une.manière approximative. Toutefois
, il résulte des expériences de M. d’Aubuisson, que l’effort à vaincre pour lever le
piston dans une pompe aspirante est égal à ' .■

il-suffit alors d’ajouter a ce résultat le poids du piston et de sa tige/,.

334. L’effort à exercer sur le 'pistondans sà.descente favorisée.par son poids et .celui
de> sa tige est toujours très-petit compa.râtivement.à celui qu’exige laJevée. : ' ;

Dans les pompés ordinaires,le .volume d’eau versé à chaque .coupi de,piston, ; au lieu
d’être.donné par '■■.-. : ' . ,• ;•:.-.. … ' ;:-..(… • .■.-■.<-■■ !

est déterminé par l’expression qui varie entre ':,■' '■'. - 1' ' '■■. - r ^  ;. : ~r
l représentant la longueur de la course du piston’/ '

La vitesse du piston est, au minimum- de 0in 16 par secondé, et au maximum de
0m 24 à 0,25. Le diamètre du tuyaii d !aspiration ët ;du tuyau d’ascension est égal 1 aux
2/3 ou aux 3/4 de celui du-covps de pompe ; l’aire de l’ouverture masquée parles soupapes
doit être au moins la moitié de celle du corps de pompe. : _ ' '
.•■:':"■''. ' - , . -- ■■ POMPES FOULANTES: ■■■: !■ , • . ;■  ;: : : .-■ ■ y:v:  ;' -■ ■'
.335. Ce qui vient d’être-dit pour les pompes aspirantes s’applique également aux
pompes foulantes, il est toutefois une résistance ;qui est plus considérable dans ces dernières,
c’est celle que fait éprouver au moment où elle s’ouvre la soupape de. retenue, et
en général toute soupape portant sur elle une masse d’eau et dont la surface supérieure
est^plus grande ; que celle de l’orifice./: ; ; … ^ ^ ;':. ;..'" ■ . W:.- ; \,
._ ; -■■ ■'■'.-■• POMPES ASPIKANTÈS Eï FOULANTES.  ;
336. La.pompe.aspirante et foulante se compose ordinairement d’un corps de pompe,
d’un court,tuyau d’aspiration, d’un tuyau d’ascension,, d’unpistbn plein appelé plongeur,
et de deux ; soupapes, l’une d’aspiration et l’autre de retenue..' •

Qn^ accouple, souvent les pompés aspirantes et foulantes comme on.le'fait ppur les
■pompes: foulantes ■proprement dites. Les deux corps de ; pompe n’ont alors qu’un seul
tuyau .d’aspiration et un ..seul tuyau d’ascension. .• -■.:■■ ..: ■.■/.■■

337. La force nécessaire pour faire mouvoir 'une ou plusieurs .pompes est exprimée
par 850 D ? H y, ou, en tenant compté dé l’effort exigé pour l’abaissement du piston,
est égale à 900 D2 H u,-c exprimant la vitesse du'piston "par seconde. ■■ ;-
DE DESSIN INDUSTRIEL. 223On sait que cette vitesse v s’obtient en multipliant le nombre de coups de piston par
minute, par la longueur de sa course et en divisant le produit par 60. Ainsi. on a71, étant le nombre d’oscillations doubles ou de montée et de descente du piston par
minute ; par conséquent la puissance est égale àD’après ces données, soit proposé de résoudre les problèmes suivants :
1° Quelle est la force F, à employer pour faire mouvoir une pompe dont le piston a
0™ 24 de diamètre et une course de 0m 40, avec une vitesse de 15 oscillations doubles
par minute, la hauteur totale entre le niveau du puisard et le point de versement de
l’eau étant de 25 mètres ?Pour exprimer cette puissance en chevaux, il faut diviser par 75 et l’on a2 » Quelle est la quantité d’eau élevée par cette pompe en 10 heures de travail
continu ?
En admettant d’après la formule (333) le volume effectif V,Et le volume par minute,Le volume d’eau élevé en 10 heures est donc3° Quel diamètre faut-il donner à une pompe pour élever 12' » 42 par heure, en
admettant que la vitesse du piston soit de om 20 par seconde et sa course 0' » 40, et
que la distance du niveau du puisard au point de versement de l’eau soit de 25 mètres ?La formule précédente relative au volume effectif par coup de piston outÙ COURS RAISONNÉ

: Or, le volume 12m.c. 43 correspondant à un travail d’une heure devient par minute

car la vitesse du piston par seconde ou 0^20 X 60 == 12 m par minute
et 12 7 0,40 = 30 oscillations simples ou 15 coups effectifs par minute.
' PRESSE'HYDRAULIQUE.
338. La presse, hydraulique est une application de la pompe aspirante et foulante ;
elle consiste en un gros piston renfermé dans un corps de pompe qui- est mis en communication
par un tuyau aveaune autre pompe d’un diamètre très-petit. Le grand piston
est attaché à un plateau destiné à comprimer ou écraser des substances quelconques. ■

La pression que. la base- du petit piston exerce sur l’eau, lorsqu’il baisse, se transmet
par l’intermédiaire du fluide contenu dans le tuyau, à la base du grand piston ; et,
comme elle est égale sur chacun dés points des deux bases, son effort total sur chacune
d’elles est en raison de sa surface : de-sorte que si les diamètres des deux pistons sont
dans le rapport de 1 à 5, l’effort exercé sur le grand, qui peut à son tour s’exercer sur
d’autres corps, sera 25 fois plus-grand que celui qui a été fait sur lé petit. Admettons
qu’un homme agisse avec une pression de 30 kilog. à l’extrémité d’un levier de lm de
long ; et que le point de ce même levier, auquel tient la tige du petit piston, né soit qu’à
0m05 de l’autre extrémité où estle point d’appui : le bras de levier de la puissance sera 20
fois plus considérable que celui cte la résistance, et l’effort au grand piston sera évidemment
de 25 X 30 X 20= 15000, effort pareil à celui de 500 hommes agissant à la fois.

Il y a donc, dans une presse hydraulique, à considérer deux avantages, l’un hydrostatique
et le second mécanique, avantages de puissance, mais avec diminution proportionnée
de vitesse dans la marche du gros piston. ■"'."'■.

L’avantage hydrostatique est dans le rapport de la surface du petit au grand piston,
l’avantage mécanique est dans le rapport du bras au levier. On construit sur ce principe
des presses hydrauliques très-puissantes et capables d’exercer des pressions de
4 à 500,000 kilog. et plus sur le plateau du gros piston.

CALGULS.ET DONNÉES SUR L’HYDRAULIQUE. :
' ' ' DÉPENSES D’EAU PAR DIVERS ORIFICES./
339. La dépense ou le volume d’eau fourni dans un temps donné, varie suivant’ la
vitesse de l’eau, et dépend de la surface et de la forme de l’orifice d’écoulement.
Vitesse à la surface. —^La vitesse de l’eau à la surface d’un canal ou d’une rivière
dont on veut déterminer la dépense, s’obtient en jetant dans le plus fort courant un ou
plusieurs bois flotteurs en-bois légers,- sous forme de disques de 30 millimètres de
DE DESSIN INDUSTRIEL. 22Sdiamètre environ ; on observe alors, avec une montre à secondes, le temps que mettent
ces flotteurs à parcourir une distance prise aussi étendue que possible sur la partie la
plus régulière du cours d’eau ; puis on divise l’espace parcouru par le temps exprimé en
secondes, le quotient donne en mètres la vitesse à la surface du courant.Exemple : Supposons que l’espace parcouru par chacun des flotteurs soit de 50 mètres
en 35 secondes, quelle est la vitesse à la surface du courant ?Si la vitesse n’est pas la même dans toute la longueur du canal, on emploie, pour la
déterminer en un lieu désigné, un moulinet ou une roue très-légère, dont les palettes
trempent très-faiblement dans l’eau, puis on multiplie le nombre de révolutions qu’elle
fait dans une minute, par sa circonférence moyenne, celle qui correspond au milieu de
la partie plongée ; le produit exprime alors l’espace parcouru dans une minute, et en
divisant par 60, on a la vitesse à la surface du courant par seconde.Exemple : Supposons que le moulinet, dont la circonférence moyenne égale lm5,
fasse 120 révolutions dans une minute, quelle est la vitesse du courant ?340. Vitesse moyenne- —La vitesse obtenue précédemment n’est que celle à la surface
du courant ; or la vitesse moyenne V, celle qui est nécessaire pour le jaugeage du
cours d’eau, se déduit de la première, en la multipliant par un coefficient qui varie dans
les proportions suivantes :Vitesse à la surface… ' 0,u10 I 0,50 j lm00 lm50 2m00 : 2m50 3m 00 j 3m 50 I 4m 00
Rapport de V à V…. ! 0, 76 I 0,78 ! 0, 81 \ 0, 83 | 0, 85  ; 0, 86 j 0, 87 | 0, 881 0, 89Exemple : Quelle est la vitesse moyenne d’un courant dont la vitesse à la surface
est égale à 3 mètres ?Elle égale 0,87 X 3m = 2m 61.La vitesse moyenne de l’eau clans un canal découvert à pentes et à profil uniformes,
se détermine par la formule suivante :Cette formule exige que l’on fasse le nivellement exact de la surface des eaux sur une
certaine longueur L, aussi étendue que possible, que l’on mesure la surface S et le contour
mouillé P du profil, enfin que l’on connaisse la pente H des eaux, correspondante
à la longueur L.Exemple : Quelle est la vitesse moyenne de l’eau dans un canal à section rectangulaire
uniforme, présentant une largeur de 3ra 50, une profondeur de lm20 sur une étendue
de 140 mètres avec une pente de 0m 08 ?La surface du profil ou S = 3m50 x 1' »20 = 4m-<l-20.Le contour mouillé P = 3" » 50 +(2 X 1™ 20) = 5m 90.Ainsi, d’après cette formule, il faut, pour obtenir la vitesse du courant, extraire la
racine quarrée des quantités placées sous le radical-:V~5puis multiplier cette racine
par le coefficient 56,86, et retrancher du produit 0,072. .-•- •-:■,■ ;
JAUGEAGE D’UN CANAL A SECTION ET A PENTE UNIFORMES.
' 341. Connaissant la vitesse moyenne d’un canal à section régulière et à pente uniforme,
on trouve sa' dépense en 1" par la formule suivante D = S X V, dans laquelle D exprime
la dépense par seconde, S la surface du profil du canal, et Y' la vitesse moyenne.
Exemple : Quel est le jaugeage d’un canal dont la surface de profil =. 4m-î- 20,
dont la vitesse moyenne = 1 » 065 ?

342. Vitesseau'fond des cariàit,x. -4- La vitesse de l’eau, au fond dés canaux est
"plus faible encore-que la vitesse moyenne. - - ~r

"En représentant par Y la vitesse'a la surface, par' V' la vitesse moyenne, et par V" la
vitesse au fond du canal, on a là relation V"= 2V —Y. C’est-à-dire que là vitesse au
fond d’un canal est égale à 2 fois la vitesse moyenne,,moins la vitesse à la surface.
Exemple : La vitesse à la surface d’un canal = 2 mètres, la vitesse moyenne = lm 55,
quelle est la vitesse au fond ? '■'■'-'. ~> ' "-. < /.

Une trop grande'vitesse au fond des canaux entrameles matériaux et est une cause
de détérioration ; une trop petite vitesse, au contraire, en retenant les limons, devient
une cause d’obstruction. ! ' .. ■ .. -, ■/■■-■

Le tableau suivant donne la limite quela vitesse de l’eau ne peut dépasser au fond
d’un canal, suivant sa nature, sans le dégrader.. -_ ■
XXXIe TABLE. — VITESSE DE L’EAU DES CANAUX.-, ' LIMITE '. ''. .NATURE DU.-FOND. •". de - ;'' ; ■ '.-.-.- - la Vitesse ; "• i mètres.Tërre.détrempée, hrane ……….. ….. 0.076 . ^Argile tendre. ; …………..,. ;…….. . 0.152,Sahie : ;-..' 0.305-Gravier. . .0.009.Cailloux …… - 0-..G14: Pierres cassées, silex……. '. ;.. ;, 1.220. Cailloux agglomérés, schistes tendres…. ■ 1.520Roches en couches……..1.' :"…. ' 1.830 -,> Roches dures ……………C. 3 ;050
343. Module de Prony.— Le produit  !d’uné source quelconque peut encore se déterminer
en barrant le cours d’eaû dans toute sa largeur par des planches minces percées
DE DESSIN INDUSTRIEL. 227de trous de 20 millimètres de diamètre , disposés sur une même ligne horizontale : on
débouche une partie de ces trous recouverts par des tampons , de manière à établir le
niveau à une hauteur constante au-dessus du centre des orifices , et quand ce niveau
est atteint sans varier, il sort par les orilices découverts, le produit de la source.La quantité d’eau écoulée par chaque orifice de 0>"02 de diamètre pratiqué dans une
planche de 0,017 d’épaisseur, et sous une charge d’eau sur le centre de 0mQ3 est de
20 mètres cubes par 24 heures.Un autre moyen de jauger un cours d’eau consiste à établir un barrage de vanne
verticale ou de.vanne en déversoir, et à calculer la dépense en se basant sur les règles
suivantes qui y ont rapport.CALCUL DES DÉPENSES D’EAU EFFECTUÉES PAR DES ORIFICES
RECTANGULAIRES A MINCES PAROIS.344. Comme il importe, dans la plupart des circonstances, de savoir déterminer le
volume d’eau qui s’écoule par une vanne de décharge ou par une vanne motrice verticale,
afin de. connaître le volume, et, par suite, la valeur du cours d’eau ; nous commençons
par donner une table qui permettra de déterminer ces dépenses d’une manière extrêmement
simple, et mettra ces opérations à la portée de tous les industriels, de tous les
praticiens.Cette table a été calculée d’après la formule suivante :D, représente le volume d’eau dépensée en litres par 1'' ;l, la largeur de l’orifice ouvert exprimée en mètres ;A, la hauteur verticale de cet orifice ;H, la charge ou la hauteur de pression mesurée depuis le centre de l’orifice jusqu’auniveau supérieur du réservoir ;
g, exprime l’action delapesanteur et est égal à 9m81 ;v, = V 2(/H, la vitesse due à la hauteur H ;Voyez au sujet de cette vitesse la table, page 196 ( xxxc table )  ;et enfin
m, coefficient qui varie, en pratique, suivant les hauteurs h et H, de 0,59 à 0,GG, enadmettant que la contraction soit complète, c’est-à-dire qu’elle ait lieu sur les quatrecôtés de l’orifice et les charges étant relevées au-dessus de cet orifice.
Nous donnons, dans la première colonne de la table, les hauteurs des orifices en centimètres
, et dans les colonnes suivantes les résultats des dépenses effectuées en litres,
par seconde, pour des hauteurs dépression variant de 0,,, 20 à 4 mètres,:XXXIle TABLE DES DÉPENSES’D’EAU - PAR ORIEiCE CHARGÉ DE I MÈTRE DE LARGE,i ■■■". LA CONTRACTION ÉTANT COMPLÈTE., ' ": . ,HAUTEUR "-• - VOLUMES "EN LITRES CORRESPONDANTS AUX HAUTEURS DEdes orifices '■■.■• '_ " - '".centimètres, Om 20. ' Om 30. 0 »» OmsO. OmgO.': 0m70: 0m 80. 1™ 00.4 - 50 61 ' ,71. 79 86' , 93 . 99. 1105 -, 62 " ,- 76 88 98 107 .' . 116. 124 ; - 1386 75 . 91 107 117 128 139' 148 1,65
.7 - 86 106.- 122. ,136 148 161 172 ' "1928 98 120- ,. 139 ,155 " 170 *: ' . 184 . "' 196 : ' 2199 . 109 - 135 "■'■ -156 / 174 ; 191 ' 208 .220 246
10' 122 149 173 193 212 . 228 246 27211 .133. 164 189 212 230 ."-■-, '249 ', _ 267- 29912 ^-145-:_ 178. 206 230 25Î 272 291V:. 32613 157 192 - 2. 22 249 272 : '294. 314 - -.352
.',14 168'. -206 .238 . 267  ; 292. .316. . 338 ; ■ v - 3,79,15 179 " 220 255 -, 285  ; - ;312 s ■ 338 361. ,405"16 " 190 234 271 - -304 330 - 360 385 ' 43217 201 :' .248 ." 287 ,322 '. 35p. 382 4Ï4. . '45618 213 . 262 304 340 370 403 432- : .48419 - 223/ 276 324 358 392 425 454. 510
.20 235 291, 337 -- 377 ; 414 . 447 485 • " 536..21 247 -, "305 .354 396- -431 470 . 612 .- 56322 259 320 ■" 370" "- 417 451 . "492- 538 ,590.23 271 334 388-' .434 472 - ' 515 ~: ; 550 616
' ■- 24 "282/ , 348 .404' 452. 492 : , . : 537' 574 ' .643" 25 . 294. ' 363 '420 471 ; : 516 ,-559." 598 ■ 670 .26 '_■ 306 ,, ,377 437 .'_ 490 -,538 .-. . 581, 626 69727 318 . ■- 392 454. 509 V 559 604 645 72428 329 406 471 527 573 .626 679 . 74029 '340 . 421 487 546 602 649 693 - 777
30, 353 434 ' 504 564.." "624 . 670 "718 "804
31 364 449 521." 583 ,-635. , - 694 741 831.32 376 463 638 602 .655 715 765 - . " . ■ 85733 388 477 , 555, 622 .676 737 . : 789- 88434. 400 . 491 .572 640 . 696' ^ 759, ^ 813 / 911 .1 35 415 507 588 ■ 659 ..'., 717 782 837 " 938 '36 424 520 .- 605 677 737 . 804 861 96537 .-.''- 436 - '534 , 622 696 J 758 826. 885 / 98138 -■ 450. 549 638 ■ 715 . ,778 -849 \- 909 -, 1018
39. 462 ■'- 664 653 734 ' 798 872 933 104540 484 577 671 753 819 .894 957 107041 . » ; 591 688 772 840 . 915 981 109742 » . 606 70s - 790 - 860 ' - 936 1005 .112443 » 620 722 .809 881 '. 961. ' , 1028 ' 115144 11 ~635 737 828 901- 983 1053 117145 » 649 . 754 847. 920 - 1005, 1076 ' 120446 » 663 - 771' " . 866 941 1028 1100 123147 ». . ,677 787 . -885 961 1050 1124 1257
'48. » 691 804 ' 903 _ 982 , 1072 1148 128449' . ', » ' 706 820 . 922 „ 1002 1095 . .1172 131160 » ' 7.19 836 .940 -1023' - 1113 ." 1194'.. .1337DE DESSIN INDUSTRIEL. 229TABLE DES DÉPENSES D’EAU PAR ORIFICE CHARGÉ DE '1 MÈTRE DE LARGE,
LA CONTRACTION ÉTANT COMPLÈTE.VOLUMES EN LITRES CORRESPONDANT AUX HAUTEURS DE1m 20. 1"i/<0. ira 00. 1m80. 2m 00. ! 2™ 50 3m 00. 3m 30. 4™ 00.121 130 138 1/(6 154 172 188 201 213j 151 162 173 182 191 214 255 251 268181 194 207 218 229 257 281 301 321210 226 241 235 207 299 327 330 374240 258 275 290 305 341 374 400 427267 289 309 326 343 382 420 450 481298 321 342 362 380 424 460 500 533327 353 376 398 418 406 511 550 587356 384 409 434 453 507 557 599 640385 416 443 469 492 549 602 647 693414 446 476 504 530 590 648 697 745443 477 509 530 566 631 693 747 799S 472 509 B42 574 603 673 739 797 852 ! 501 540 575 610 638 715 784 847 905I 529 571 608 644 677 757 830 896 95S •558 601 641 680 715 799 876 946 1011586 627 675 715 733 841 922 996 1003615 664 708 751 790 884 968 1046 1118645 695 742 787 828 926 1014 1096 1171674 726 776 823 865 908 1060 1146 1224703 758 809 839 903 1010 1106 1193 1278733 790 843 895 941 1032 1152 1245 1331762 822 877 930 978 1094 1198 1295 1384791 853 911 966 1016 H36 1245 1345 1-437820 885 944 1001 1054 1172 1291 1393 1491850 910 978 1037 1092 1220 1337 1444 1544880 948 1010 1073 1029 1262 1385 1494 1597909 980 1046 1109 1167 1303 1429 1544 1650939, 1011 1079 1144 1203 1366 1475 1594 1703969 1043 1113 1180 1242 1389 1521 1644 1756998 1074 1147 1216 1279 1431 1568 1693 18101027 1103 1180 1252 1317 1473 1614 1743 18631057 1138 1214 1288 1355 1515 1660 1793 19101086 1169 1248 4324 1392 1557 1706 1843 1 691115 1201 1283 1359 1430 1599 1752 1893 20231145 1232 1315 1395 1468 1641 1798 1943 20761174 1266 1331 1431 1506 1683 1844 1992 21291203 1298 1384 « 67 1543 1725 1890 2042 21821233 1329 1419 1503 1581 1768 1936 2092 22361262 1361 1453 1538 1618 1809 1982 2142 22891291 1393 1486 1574 1656 1851 2029 2192 23431321 1424 1520 1609 1694 1894 2075 2211 23941350 14B6 1554 1636 1731 1936 2121 2291 24491380 1488 4588 1681 1769 1978 2167 2341 25041409 1519 1622 1716 1807 2020 2213 2391 25591438 1551 | 1656 1753 1845 2062 2339 2440 26141468 1583 \ 1690 1789 1882 2104 2305 2490 2669| j16
Au -moyeu' àe- cette" tablej nous pouvons maintenant dëtérrmnèr, .par une" simple opération,
la dépense d’eau effectuée'par un orifice rectangulaire à mince paroi ou par uiie
vanne verticale avec charge ou pression surl’oriflca, lorsque la contraction’est complète,
caril suffit évidemment de -chercher dans la tablele nombre correspondant à la hauteur
de Vorifice et à la charge sur son centre, et de multiplier ce nombre par la largeur
donnée dé l’orifice.■ ;'."" ■■• ; .: '
Exemple:- Quelle estladépënsë effectuée par l’orifice d’une vanne verticale de ïmètre
50 de. large, la hauteur de cet orifice étant deQm25, et la hauteur dépression, depuis le
centre de cet orifice jusqu’au niveau supérieur étant de 2>n 50, la contraction étant’complète ?
On-trouve dans la'table, en regard dé:0,25 cent, et dans’la colonne correspondante
à.2m 50, le" nombre Î052.
On"à ;donc, lm5 X1052=i578lit-o ; pour la dépense réelle.

Il serait également facile d’évaluer tres-approximatiyement rCdépensé'd’eau côrrespondanïe
à des données qiïî seraient différentes de celles contenues dans’là table.
Préinier exemple : Quel est le volume d’eau écoulé par une vanne verticale
de 0™80 de large, la hauteur de l’orifice ouvert étant de 16e- et la charge sur le centre
dë2i »75' ?; ,./ .-'-•.'.,.  ; '  ;-V .'■■■'•.,:

Cette charge de 2 » 75 n’est pas dans là table, mais elle se trouve comprise entre 2™ 50
et 3™00 ; la,dépense correspondante à l’orifice de 16e-, sur un mètre de large,: sera
donc’comprise entre 673 et.739 ; elle est donc à très-peu près 1' 706, par conséquent,
7Ô6X0m80=664:lit: 80, dépense cherchée. ? " '■' '■•■'"
Deuxième exemple': Si la hauteur de l’orifice était-'de 16e- 5, àùliéu de-i6, les autres
données restant.lés mêmes, comme cette hauteur est comprise entre 16etl7 cent., la
dépense, effectuéè-par un mètre de large serait évidemment comprise entre les nombres
,673 et 715, pour la charge de'2m50vet entre les nombres 739 et.784 pour la charge de
3 mètres ; elle serait donc, à très-peu près, une moyenne entre ces quatre nombres,

On à donc 727 lit. 75 X0m8 — £82 lit. 20.p6'ur la dépense effective. . "■■'_■

345. CONTRACTION NON COMPLÈTE. Lorsqu’un ou plusieurs côtés de l’orifice se trouvent
sûr le prolongement ; .même des parois du réservoir, la contraction est sensibleihent
diminuée, et alors le coefficient de contiaction est plus considérable. - ' .

Dans ce cas, pour calculer la dépense effective^ on devra multiplier "les nombres par :

1,125 si la contraction n’a lieu que sur un seul côté. -

, 1,072 - id. sur deux éotës.  ;

1,035 id. sur trois côtés.' "-
Exehiple : On demande la dépense d’eau qui s’écoule par un orifice dé 0ta25 de hauteur
et ïln 30 de largeur, avec une .charge de. Ôm 80 sur son centre débouchant à l’air
libre, le-seuil se trouvant sur le prolongement’ même du fond du Canal -, c’est-à-dire la
contraction ayant lieu sur trois côtés de l’orifice ? .■/:■■■ -

On trouve, d’après la table, que la dépense est de 598 litres pour un mètre de large,
par conséquent 598 X lm 31 = 777"lit. pour là largeur "de im30i lorsque là contraction
est complète ;.onà donc*777 X 1,035 = 804 lit.,.dépense réelle cherchée.'.',■

346: VANNE INCLINÉE, il arrive, des circonstances’où là vanné est inclinée ;.dans ce cas ;,
si la ëonti'actidh est nulle sur les côtés et le fond de l’orifice, le coefficient augmente
DE DESSIN INDUSTRIEL. 231sensiblement. Alors, pour calculer la dépense effective, il faut multiplier les nombres
de la table précédente par 1,33 si la vanne est inclinée à 45°, ou 1 de base suri de
hauteur, et 1,23 si la vanne est inclinée à 60 », ou 1 de base sur 2 de hauteur.Exemple : On voudrait connaître le volume d’eau dépensée par un orifice incliné à
45° de 0"' 17 de hauteur verticale, sur lm25 de large, la hauteur de pression ou charge
d’eau sur le centre de l’orifice étant de 1 "' 20 ; les deux côtés verticaux et le fond de l’orifice
étant dans le prolongement des parois du réservoir.On trouve dans la table 398 X lm25 = 622 lit. 5 ; l’orifice étant vertical et la contraction
complète ; par conséquent 022,5 X 1,33 = 828 lit., dépense cherchée.347. VANNES D’ÉCLUSES. Lorsque des vannes verticales ont leur seuil très-près du
fond du radier d’amont, comme en général les vannes d’écluse, pour déterminer la
dépense dans ce cas :Multipliez le résultat donné dans la table par 1,04.Exemple : Quel est le volume d’eau dépensée en 1" par une vanne d’écluse, dont
l’orifice est ouvert à 0m38 de hauteur sur 0m80 de largeur, avec une pression de 2,50
sur le centre ?La table donne 1,599 lit. pour la dépense effectuée par un orifice de lm de large ;On a donc 1,599 lit. X 0m 80 X 1,04= 1,330 lit. 60, pour dépense effective.Lorsque deux vannes d’écluse sont ouvertes en même temps et ne se trouvent pas à
plus de trois mètres de distance, pour calculer la dépense :Multipliez les nombres donnés dans la table par 0,915Exemple : Si les orifices de deux vannes d’écluses placées à deux mètres l’une de
l’autre avaient ensemble une largeur de lm50, et étaient ouverts à la même hauteur
de 0™45, avec une charge sur le centre de l1"80, quelle serait la dépense effective
pari" ?On trouve dans la table 1,609 lit. sous le pression de im80,et une largeur de 1"\CALCUL DES DÉPENSES D’EAU PAR ORIFICES EN DÉVERSOIR.348. La formule pratique emplo\'ée par les ingénieurs pour déterminer le volume
d’eau qui s’écoule dans l’espace d’une seconde par un orifice en déversoir est celle-ci :formule dans laquelle,D représente, comme précédemment, le volume d’eau dépensée en litres par 1" ;l: la largeur du déversoir en mètres ;H, la hauteur de l’orifice mesurée verticalement depuis l’arête supérieure du déversoir
jusqu’à la ligne horizontale déterminée par miniveau jusqu’au point où la dénivellation
n’est plus sensibleNous avons alors calculé la table suivante en supposant :I" Que la largeur de l’orifice d’écoulement est de 1 mètre ;2" Que la hauteur d’orifice varie de 0'"005 en O-OOS, depuis 0m 05 jusqu’à 0™75.
Cette hauteur est exprimée en centimètres dans la première colonne de la table, et la
vitesse qui lui correspond est donnée dans la table page 196 ;3° Le déversoir étant supposé ne pas être de même largeur, mais plus étroit que le
réservoir ou le canal d’arrivée de l’eau, auquel cas MM. Poncelet et Lesbros donnent
pour m les valeurs numériques suivantes :232COURS RAISONNÉ"Pour la hauteur H de… 0m03 |0lli04 j0™06 |0mO8T0ra10 loM’5,ÏOm20 iOra22 "
: ;Le> coefficient m devient. 0,4i2|o,407|0,40i|ô) 397jo,395 !o,393î0) 39o|o,385Les dépenses correspondantes, dans cette circonstance, sont données par. la,deuxième
colonne de la.table ; elles sont exprimées en litres ou kilogrammes ; -:•-.',4° Le réservoir étant .sensiblement de même largeur que le déversoir, et: sa profondeur
n’étant pas beaucoup plus grande que la hauteur de la lame, d’eau au-dessus du
seuil ou de, là ;crête du déversoir, dans ce cas, suivant M. d’Aubuisson (expériences de
M. Castal) , le. coefficient m est moyennement égal à 0,42. Les dépenses correspondantes
sont alors dans la troisième colonne de la table. '<--■.■ " .--XXXïiïe TABLE RELATIVE AUX DEPENSES D’EAU EFFECTUÉES PAfl DES ORIFICES EN DÉVERSOIR,
'■•'.- i DE 4 MÈTRE DE.LARGEUR.■:•••■ ' ••. ■■:-■■ :.- ■■ ; ;• • ~—" ~ ~ : "_"—~ ~~ ' ~~— : ~ : : ~^™,:v-- DÉPENSE^ HMTEDRS ■ ■Mvmsiê :'WTA' ' 'UV^SESdu
niveau ■„• du niveau „. du niveau - .-,".-.-■ ,,., . EN LITRES PAR 1 ' EN LITRES PAR 1" , EN LITRES PAR \"au-dessus .. . .■ • .. . ,.,, ■ .au-dessus- - ■ • • .:„■:' ■• au-dessus • .. - ,. ;, sur un mètre de large. sur un mètre de large. , sur un mètre de large.. , du -. . ° du " - du .déversoir.. :r-.: "—^—--—— déversoir r~~~~*"*"-^~—*r~- -déversoir " '''-:' -'en centim-. ierCas. 2e. cas. ■ encentim. ter Cas. 2e cas. eii-centim, 1er cas. 2e cas.cenlim. litres. litres. _ centim. litres. lilres. centjm. 'litres. -litres.5.0 .20 21 . 28.S . 259 '283 52.0 639 098'5.5 „ . 23 ' 24 . 29.0 - 266 " 290' 52-5 6 ;48 708.6.0 .,.26 27 .29.5 : 273 ~ 298 53.0 , -658 : 718,.'6.5 "29 31 ' 30.6 280 306 53.5 667." "" 728'■:■. '7.0 :. 32 34. ,30.5 287 -, -313 54-0 ,676 ; 738 '7.5 ■ 36 38 31.0 , .293 321 54-5 685 . 7488.0 •■'.' 40 - 42 31.5' 301- ' 329 .55.0 694 .7588.5"43 , 46 , ;32.0 309 -.' 337. 55-5 -704 ,,-769 ■9.0 ' '47' 50 '32.S 315 344 56-Ô 713 779.9.5 51 . 54 33.0 323 353 56.5 .'724 79010.0 56 59 33rfi" ' 330 361 57.0 733 . '. - 800- 10.5 60 63 34.0 338 369 ' 57-5 743 81-1
11.0 64 68 '34.5 -345 ' 377 58-0 753 822
11.5 68 73 35.0 353 .385 , .58.5 -. 762 : 832
12.0 72 77. 35.5 36Q 393 59-0 .771 842
12.5 - 77 82 - 36.0 - 368 402 •'■-' ' 59.-5 ^781 853.13.0- 82 87 36.5 375 410 60-0 791 .86413.5 86 -92 ' 37.0 382 . " 419 60-5 801 875,14.0 .92 ,'-■' 98 ' 37.5 392. - 428 61 iO ;■'• 811 , 886Ï4.5 97 103 38.0 - 399 436 ■ 61.5 821' 896. 15.0. -101 108 38.5 ' . 408' : 445 "62.0 ■■- 831 ' 907- 15.5 107 114' 39:o 415 -153 62.5 841 918
16.0 111 119 \ 39.5 .423 462 63.0 851 ' 929
16.H 117 125 40.0 … -431 471 63.5 861 . 940
17.0 121 130 ' 40.5 -439 . 479' 64.0 871 951
17 5 127 136 4I.0 447 488 64>> 882 -963
18.0 132 142 41.5 , 455-- 497 65.0 .892 '. 974
18.5 138 148 42.0 , 463 506 65-5- 902 985
19 0 143 154 42.5 - 472 • 515 ' -- 66.0 - ' 912- 996
19.5. 149 160 43.0 481 525' 66.5 922' .1007.
20.0. 154 166 43.S 488 533 67.0 . 932- 1018
20.5 160 173 ' 44.0-, 497 ' 543 67.5 943 - '1030.
21.0 166 179 44.5 506 552 68.0. 954 1042
21.5 "■ 171 "' 185 45.0 514 561 68 ;5 965 1054
22.0 176 , 192 45.5 523 571 69.0 - '976 1066
22.5 182 199 ' 46.0 .531 . 581 69.5 987 1078
23.0 188 205 ' -46:5 540" ~ 590 7.6.0 '998' 1090
23.5 194 212 47 ;0 549 599 .70.5 . 1008 - 1101
24.0 202 219 '47.5' 558 -609 71.6' 1019 Hi-3
24.5 207 226 .48.0.. .567 ' 619. 71.5 1030 1125
25.0 -212 233 48.5 576 " 629 72.0 1041 -1137-25.5 220 ' 240 49.0' - 584 638: 72.5 105-2 1149 ;26.0 . 226 "247 49.5 593: 648 . 73.0 1063 116126.5 233 254 50.0 603 -'658 73.5 1073 117227:0239 261 50.5 612. 668- . 74.0 .1084 1184 '27.5 245 268 51.0 621 678 74.5 1095 .119628.6 .253 276 5K5 630 -688 . 75,0 -1106:-, -:1208DE DESSIN INDUSTRIEL. 233RÈGLE- Au moyen de cette table, le calcul, pour déterminer la dépense d’eau effectuée
par un orifice en déversoir, se réduit à la règle suivante :Multipliez la largeur de la vanne ou du déversoir exprimée en mètres par le résultat
de la deuxième colonne, correspondant à la hauteur de l’orifice dans la
première, si le déversoir n’est pas de même largeur que le canal d’arrivée de l’eau, et
qu’il ne soit d’ailleurs pas accompagné d’un coursier, c’est-à-dire que l’eau verse immédiatement
dans l’air.Et par le résultat de la troisième colonne correspondant à la même hauteur, si
le canal d’arrivée de l’eau est égal en largeur à celle du déversoir, et que sa profondeur
ne soit pas sensiblement plus grande que la hauteur au-dessus du seuil ou de l’arête
supérieure du déversoir.Premier exemple : On demande de déterminer le volume d’eau écoulé par seconde
au-dessus d’une vanne en déversoir dont la longueur est de 2m 50, la hauteur de l’orifice
de 0in22 ; on suppose se trouver dans la première circonstance ?On voit, dans la deuxième colonne de la table, que la dépense effectuée par un orifice
de un mètre de large à la hauteur de 0m 22 est de 176 litres ; on a donc :176 X 2'n 50 = 440 litres pour le volume cherché.Deuxième exemple : On voudrait déterminer la dépense, avec les mêmes données,
dans la deuxième circonstance où le réservoir est de même largeur que le déversoir.Dans la troisième colonne, le nombre qui donne la dépense effectuée par un mètre
de large à la hauteur de 0m22 est de 192 litres ; on a donc :192 X 2ra 50 = 480 litres pour le volume cherché.REMARQUE. Si la hauteur donnée était comprise entre deux des nombres exprimés
dans la table, il faudrait prendre, pour la dépense correspondante, une moyenne proportionnelle
entre les deux résultats qui correspondent à ces nombres.Exemple : Quelle est la dépense d’eau qui s’effectue par un déversoir de 3 mètres de
large, la hauteur au-dessus du seuil étant de 0m 183 ?Dans la première circonstance, la dépense effectuée sur un mètre de large serait
comprise entre 132 et 138 litres, la moyenne est à très-peu près 136.Par conséquent 136 X 3m=408 litres, dépense effective.Et dans la deuxième circonstance, la dépense sur un mètre, étant comprise entre
142 et 148, serait d’environ 146,D’où 146 X 3 = 438 litres, dépense réelle.DÉTERMINÉE LA. LARGEUR D’UN ORIFICE EN DÉVERSOIR.349. Lorsqu’on connaît le volume d’eau par seconde, et qu’on veut déterminer la largeur
à donner soit à un déversoir, soit à une vanne qui doit être disposée en déversoir,
pour pouvoir effectuer la dépense sous une hauteur donnée, il suffit d’opérer de la manière
suivante :Cherchez dans la table quel est le nombre correspondant à cette hauteur (lequel
exprime-, la dépense sur uni métré, de: large) , : et- divisez ; le volume- donné, exprimé en
litres, par ce nombre ; onarla, largeur che7'chée] en piètres.- ■■'■■-.
Premier exemple, .--Quelle-est la largeur à donner à un déversoir qui doit effectuer
une dépense de'Om-c- 6. ou 600 litres: par seconde, sous une hauteur au-dessus du seuil
de 0m12 ? ':…" /■' "■ , ' ■ ;■. ■■ . - '.'■ ::' ; - ■ ' f-~

• On trouve, .dansla deuxième ; colonne de la table, en regard de 0m 12, le -nombre'72.

On a donc '■60O..T--7-2'>?=:.8,,î.33.,-:laïgëuÉ/4êa]iëiidée. ..
^Deuxième ; exemple : On-demande laJargeur.d’uneLVanne en déversoir, pour: dépenser
un volume d’eau de 448 litres par seconde, sous une hauteur de-.0 »n205 ?

On.a, d’après-la table, 160.litres pour ;;la, !dép.ense:effeétuéé -par uneJârgeur de un
.-mètre,'sous la hauteur de:0ni205. . .. ;-:

Donc -.. 448^ 160 —2^:80, ;longueur.de .la ;.va'mie.. ' • ; •',

350.-_ DÉTERMINER LA HitiTEDB DE L’OBIFICE. Il peut arriver des circonstances où
l’on soit limité dans la largeur.à,donner,à.la vanne en déversoir, il.faut alors déterminer
la moindre hauteur à donner à l’orifice pour pouvoir effectuer la dépense d’eau voulue,
ce ,qui devient facile par la règle suivante : , . -
Divisez,la -dépense exprimée en-litres-par-i"''parla largeur-limite en-mètres, et
ehërb/ïe&idans la table le nombre gui dans la deuxième colonne se rapproche le plus
du quotient trouvé ; le nombre-en regard dans la' première colonne, sera-là hauteur
cherchée, à très-peu près. ■■'"■:.'.' ' '■ ' ' '
Exemple : Par quelle hauteur d’orifice en déversoir "doit s’effectuer unèdépense'de
3-50 litres, si on est limité.par une largeur de 2 mètres ?

On a . .: 350 ^2 = 175 litres.

On trouve dans la deuxième colonne de la table, 176 litres qui. correspondent à 0m 22
dé la première colonne ; ce qui serait.donc la hauteur cherchée, à un millinîètre près.

351..OBSERVATION. Quand ou ne peut mesurer la hauteur H exactement, on doit chercher
a prendre celle A, immédiatement au-dessus dej’arête supérieure du déversoir,, et
alors on multiplie cette nouvelle, hauteur par. l,I78,pour.ayoir.ia:.yale.ur.de,H, à laquelle
correspondent lesnombres de la deuxième ou de la troisième colonne, suivant que la
largeur du déversoir est moindre ou. égale à celle dû réservoir ; \

- Premier, exemple : Déterminer :la. dépense,,d’eau, effectuée ,par,,un:.,déyerspirT,de
4 mètres de large, l’épaisseur de la lame d’eau ou7i, mesurée àu-dessùs du seuil étant
0™ 11, la largeur, du déversoir étant environ.les 4/5e de célle'du réservoir.,

On a Omll x l,178 = 0m13 pourlahauteurHdUniye.au au-dessus de rareté du déversoir,
.'-'"'".'-.'.*

A cette hauteur correspond dans la deuxième colonne 82-litres,

Donc 82 x 4 = 328, dépense effective cherchée.
Deuxième exemple : Quelle.serait la dépensé, dans.les mêmes conditions, si-le réservoir
était de même largeur que le déversoir, et que sa profondeur fût environ de la
hauteur supposée ? - -

On aurait encore 0m 11 X'1,178 = 0m 13' pour la hauteur H ;Cette hauteur correspond
à ;87 litres.dans la troisième colonne ; . ■-.'

Onadonc '- . 87X.4— 348-litres pour,la.dépenseréelle..'
DE DESSIN INDUSTRIEL. 235352. DÉVERSOIR ACCOMPAGNÉ D’UN CANAL ou couBSiEB. II peut arriver qu’un orifice
en déversoir soit accompagné d’un coursier ou canal légèrement incliné ou même horizontal
, et qu’il se trouve resserré par rapport au fond et aux parois du réservoir, la dépense
d’eau est alors sensiblement altérée. Dans ce cas, pour déterminer la dépense, il
faut multiplier les nombres de la deuxième colonne de la table par 0,83, lorsque la hauteur
de l’orifice sera de 0™ 20 et au-dessus,par 0,80 si la hauteur est de 0m 15et par 0,76 si la hauteur est de 0m 10.TUYAUX DE CONDUITE DES EAUX.353. Les formules employées pour l’établissement d’une conduite d’eau régulière
par des tuyaux cylindriques, sont les suivantes :Dans lesquelles V est la vitesse moyenne de régime ;D, le volume en mètres cubes.d, le diamètre intérieur de la conduite ;J, la pente par mètre , ou la longueur L de la conduite divisée par la différence de
niveau de ses deux extrémités ;Et S la section de la conduite.Afin d’abréger les calculs, nous donnons la table suivante, au moyen de laquelle on
peut, résoudre rapidement les diverses questions relatives à l’établissement des conduites
d’eau par des tuyaux cylindriques.Premier exemple : Quelle est la pente à donner à une conduite de 0m10 qui doit
débiter 11 litres d’eau par 1" ?Cette charge d’après la table est de 0« 10 ou 1 mill. par mètre.Deuxième exemple : Quel est le diamètre d’une conduite de 500 mètres de longueur,
capable de débiter 168 mètres cubes d’eau par heure, la charge totale pouvant
s’élever à 0m 265 ?On a 168m. c. ou 16S,000li'. f 60 X 60 = 46l’t. 65 , dépense par 1",et 0,265 T 500™- = 0°- 53 charge par mètre.On trouve dans la table que le diamètre suffisant pour débiter cette quantité d’eau
avec cette charge, est de 0m 25 ou 25 centimètres.236
COURS RAISONNÉ DE DESSIN INDUSTRIEL.
XXXIVe TABLÉ RELATIVE A L’ÉTABLISSEMENT DES TUYAUX DE CONDUITE.' "VITESSE DIAMÈTRE DES TDY. DIAMÈTRE DES TOY. DIAMÈTRE DESTUY. DIAMÈTRE DES TUY. -DIAMÈTRE "-DÉS TOT.| OmlO. OmiS. Omâo. " i 0m25, 0m30.enmëtres dépenses’ J* »Wg[ dépenses ^^ dépenses ^af*''dépenses j£ »W »- depenses, charges’en litres. vZZf en litres Pa', Z, e-nlitres Pdè w ' en litres W*f- en litres P ?r,metT>arl".pari". £'££. -pir-r. encS: ^"-. enS: P^i". &$& par 1", de long.0.10 0.8 , 0.02- 1.8: O.Ol 3.1 dM- •" 4.9 0.01 7 07 0 01 '0.15 1.2 0.04 2.6 0.03 4.7 0 ;02 7.4 0.02 10 60 o'oi0.20 1.6- 0.07 3.S 0.05 6.3 0.03 9.8 . 0.03 • - 1414 0020.25 2.0 0 ;10. 4,4 0.07 . 7.8. ; 0.08 12:3 0.04 17.67 " 0:030.30 , 2.3' 0.15 5.3 0.10 .9.4 , ■ 0.07 14.7 0.06 21 [20 0.050.35 2.7 0.19 6.1 0.13 ' 11.0 - 0.10 17.2 o:08 24 74 0 070.40 3.1 0,25 . 7.1' 0.17 12.6 0.12 19.6 0.10 . 2827 0 08.0.45 ;'3,5. 0.31 8.0, 0.21 .14.1 0.16. ' 22.0 0.12 31 81 ■ 0 100.50 3.9 ,0.38 8,8 0.25 1517. 0.19 24.5 0.15 3ô'34 0'l30.55 4.3 0.46 9 ;7 0.30 17.3 0.23 27.0 8.18 - SSSS 0.150.60 4.7..: 0.54 10.6 0.36 18.8 0.27 29.4 0.22" : 42 41" 0 18.0.65,, 5.1 0.63 11.5 0.42 20.4 0.32 31.9 8.25 4s’g5 "0-210.70 .5.5 0.73 12.4 0.49, 22.0 0.36 34.4. 0.29 49 48 0 24" .0.75 5.9: 0,83 13.2 0.56. .23:6 0.42 36.8 0.33 -53'or 0 280.80 6.3 ,0.95 14.1 0.63 25.1 0.47 '39.3 0.38 56-55 o'si.0.85 6.7 1.06 .15.0 0.71 26.7 , 0.53 . 41.7 8.43. 60'o8 0^350,90 7.0 1.19 15.9. 0.79 28.3 0.59 44.2 0.48 ■'6'3:62 '- 0 40'0.95- 7.5 1.32 .16.8 0.88 29.8 0.66 . 46.6. 0.53 . 67"'l5 0'441.00 ,7.8 1.46 17.7 ' 0.97 31.4. Ô.73 "49,1 .0.58 70V 0 49■1.10 8.6 1.76 19.4 ' 1,17' 34.5 0.88 . 54.-0 0.70 77V '(j’s91,20 9.4 2.09 2,1.2 1.3.9 37.7. 1.04 58.9 8 83 " « 4*8 0*691.30 - 10.2 2.44 23.0 1.G3 ■ 40.8, M.22' 63.8 0 98:■" "■. 91'9 0 81. 1.40 11.0 2.82 24.7 1.88 44.0 ,1.41, 68.7 1.13 98~9 , o''9'< ■"1.50, 11.8 3.24 26.5 2.16 ,47.1 1.62 •' 73.6 1.29 ' 106"0" l’08 I1.60 12.6 3.68 28.3 2.45 50.3 1.84 • 78.5 : 147. H3Y iV  ;■1.70. 13.3 4.14 ' 30.6 .2.76 53.4 2.07 .83 4 1 66 12o'V j’38 i1.80. 14.1 4.64 31.8 3.09, 56.5 2.32 88.3 1.85 i27'2 l’55 ',1.00. 14,9 ,5.16 33.6 -3.44 59.7 2.58. 93.3 2 06 i34-3 1-72 .:2.00 15.7 5.71 '35.3 3.80 62.8 2.85 98.2 '2 28 m A 1'90 "'2.10 .16.4. 6.29, .37,1' '4.1,9'- 66.0 ,3:14 ■ .103.1 ■ 2.51 « 8'-4 VlO'2.20 17.2 .6.89 38.9 '4.60 69.1 . 3.45 _ 108,0 2 76 155'"5 . 2-30 i2.30 .18.0 7.53 40.6 5.02 72.2 3.76 112.9 .' 3 01 " ". 162'6" ' 2"50 '2 ;40 18.8-, 8.19 42.4 5.46.: 73.4 4.09 ' 117.8 3 28 ' 169 !6 2:73 ■2.50. 19,6 8.88 44.2 5,91 7815 4.44 122.7 ' â'.55" 176'V '2'96 .2.60 20.4 9.60 45.9 6.40 8I.7 4.80 .127.6 3 83 : "l83'8 3"20 i2.70 21.2 10.34 47.7 -6.89 84.8 5,17 132.5 4 14 19n’s 3M '2.80 22.0 11.11 49.4 '7.41,. 88.0 , 5'.56 137..4 4 45' 1979 3-70 '"2.90 22.8 11.92. .51.2 7.94 ■■- 91.1 .5.95 142.3 4*77 205'n î'97 !3:00 2.36 12,74 „-53.0 8.50 94.2. ;6.37 14*. 3 ,5.10 212.Y 4.'25 'I——-—— ;-'"" ;"■• ' ■■"'X' ^ ' ' ' - ' '"■ ' - ' - 1
Chapitre vil
(SUITE.) 

APPLICATION DES OMBRES AUX ENGRENAGES.
Planche 30.
ENGRENAGES DROITS.Figures 1 et 2.

354. Nous avons déjà dit, qu’en général, le lavis à l’effet d’un objet quelconque
exige le tracé préalable des ombres propres et portées qui peuvent
exister sur toute sa surface.

Ainsi, pour laver à l’effet l’engrenage de deux roues droites, fig. A, il est
indispensable de déterminer séparément sur chacune de ces roues, soit l’ombre
propre sur leur surface extérieure, soit l’ombre portée des dents sur la même
surface ou sur elles-mêmes ; nous avons indiqué l’opération pour l’une des
roues sur les fig. 1 et 2.

La surface extérieure AC de la couronne A de la roue étant cylindrique, la
ligne de séparation d’ombre et de lumière est naturellement déterminée par une
tangente au cercle et parallèle au rayon de lumière, ou mieux par le rayon
OD, perpendiculaire à celui-ci : la projection du point de contact D donne en
élévation (fig. 2) , la projection verticale D’E, de cette droite. On obtient de
même par la projection du point E, la droite F'G, pour la ligne de séparation
d’ombre et de lumière sur la surface extérieure des dents qui est également
cylindrique. Une partie de la surface latérale des dents se trouve aussi dans
l’ombre, ce que l’on reconnaît facilement en menant des rayons de lumière
par les arêtes extrêmes, telles que celles projetées en a, b, c, etc. ; ainsi les
surfaces ad, be, cf, ne recevant pas de lumière, sont teintées en élévation,
suivant les contours a'd’gh, b'e'ij et c’fkl.

Chacune de ces dents porte aussi ombre sur la surface cylindrique de la couronne,
et comme leurs arêtes a'h, b'j,c’l, etc., sont verticales, leurs ombres
portées sur la couronne sont aussi des droites verticales ; on les obtient en
menant des rayons de lumière par les points a, b, c et a'b'c’, et en projetant les
points de rencontre m no en m’n’o'.

Pour compléter l’ombre des dents sur la couronne de la roue, il faut aussi
déterminer l’ombre portée par le contour ad, be, ef, etc. On a déjà les points
47
extrêmes d’e'f et w' »'û' ; .dans ".la plupart des cas, ces points peuvent suffire.
Mais pour plus d’exactitude, il est bon de chercher,des points intermédiaires ;
le contour de la partie inférieure des dents porte également ombre sur la couronne
et s’obtient de la môrtie manière| ^n B|enant par les points p, q, r, etc.,
des rayons de lumière qui rencontrent cette "surface eh des points projetés
verticalement en r'v', etc.

Quelques dents portent ombre aussi les unes sur les autres, mais comme
leurs surfaces sont verticales, ces ombres s’obtiennent encore par.la rencontre
des rayons de lumière avec leurs surfaces ; ainsi les arêtes projetées
en sty, etc., portent ombre suivant des droites qui se projettent verticalement
en u'u 2, gë-x\ et’-.^z% etc.• ■■■■V"Y:■', ;" . : / ' .■

On a enfin, lorsqu’on fait une projection horizontale d’un engrenage, à déterminer
l’ombre portée par la couronné sur les tenons des dents et surles
croisillons ; or-, comme toutes les surfaces sont horizontales et parallèles,
l’ombre portée sur chacune'est un cercle égal à celui HIL, qui est la projection
de la surface intérieure de la cûuronnë- ; il suffit alors de mener par le
centre 00', un rayon çje lumière, et de chercher les points, d/interfeçtion 02
et-QS avec’le plan MO'' et.NO'" qui limitent la.surfacesupérieure $61 tenpns
et des bras, puis de tracer dé ces points 02 et O 3, comme centras, des, arcs $e
cercle avec le rayon, commun OHL(280). On détermine ; "de, la^nijmj manière
l’ombre portée du moyeu de la roue, et celle: dès.nervuresi gur les, crpjsillons.

Lorsqu’on a fait ainsi les opérations .nécessaires pour/lespmb^es. de, chaque
roue, on procède pour le lavis suivant les principes exposés (289. e| suiv.) , en
couvrant d’abord de teintes les parties qui doivent être les plus, prononcées, et
en laissait intactes les partiesfaibles que Ton ne couvre. q.u !e,n dernip lieu ; le
modèle fig. Àj~que nous recommandons de^^ dessiper toujours s.ur un,e, grande
échelle, indigue du reste les …diversesi dégradationsL de tgn| pp,ur repçirg les
effets ; selohlà position 4e,s plans et le contour des surfaces ; prt a supposé clans
cette figuré, les rou.es/montées sur, Jeurs axes.'^ùi ;|0t-âlors\oînbj^'e^ lavés,
comme des cylindrée polis. ..
 !' ■ -. : ENGRENAGES n’AWGLE. ' "' v' '.''..'.'"'
 ;'.- ; Figures S et k. ' , ■:".■:■■•.'.' ■"

355. On ; doit procéder pour cette étude> comme pour.1% précédante, c’est-àdirë
tracer d’abord les ombres propre^ et portées sur chaque roue, Les fig. 3,
et h représentent le.s çrojeçtiops horizontale etyèçtiiçaie.'jf'jine^'piie.çppjpe à
dents de fonte sur lar surface"de laquelle b3§ ombr,est §p^t4ndjquée(s..,

La surface extérieure des dents et de ja çQuronne ; ,, gtanj. cpjiique, l’ombre,
propre s’obtient con^me céli.è d’un pône, en menant ;, pa,r lé spni^ejt unp^an
tangent’ parallèle au rayon de lumière, et en. çherchanf 1^ gén^r^rice de opntact
de ce plan avec la, surface çpnique^(313). ' ' "

C’est "ainsi, que pour la surface extérieure <Jesf deptg o(n .a la génératrice^ prp,r
DE DESSIN INDUSTRIEL. 239
jetée en OÀ, fig. 3, et pour la surface extérieure de la couronne, la génératrice
projetée en OB. Ces génératrices, qui sont les lignes de séparation
d’ombre et de lumière, ont leurs projections verticales suivant les droites C’A'
et DB', concourant au sommet du cône ; et comme dans le cas actuel ces droites
sont situées entre deux dents, elles ne sont pas apparentes dans la fig. k.

Certaines dents ont leurs faces latérales dans l’ombre, ainsi que toute la
surface conique inférieure correspondante aux gros bouts des dents, ce que
l’on reconnaît par les teintes les plus prononcées de la fig. 4.

On n’a donc plus qu’à déterminer l’ombre portée par les arêtes extérieures
ad, be, cf, et par les contours dg, eh et fi. Or, les arêtes extérieures a d, be,
cf, portent ombre sur la surface conique de la couronne, suivant des droites
qui ne sont autres que des génératrices de cette surface, puisque pour obtenir
cette ombre il faut mener par les arêtes des plans parallèles au rayon de lumière,
et qui passent nécessairement par le sommet commun 0 ; il suffit donc
véritablement de chercher l’ombre portée par un point de chacune de ces
arêtes. Prenons, par exemple, les points d, e,f, ces derniers étant situés sur
un même cercle E<2F, l’opération se borne à chercher l’ombre portée par ce
cercle sur une surface conique ; cette opération est la même que celle que
nous avons déjà indiquée plusieurs fois, elle consiste, en effet, à mener des
plans GH et IJ, perpendiculaires à l’axe, et par conséquent parallèles au plan
du cercle Wd’F'.

356. On a vu que l’ombre portée par la circonférence E d~F, sur chacun des
plans coupants, était une circonférence égale à elle-même, il suffit alors d’y
déterminer l’ombre portée par le centre 00', elle se trouve en oo', sur le plan
GH, et en oV sur le plan IJ. Si donc des points o et o 2, comme centres avec les
rayons o K/ et oH', égaux au rayon OE, on trace des arcs de cercle, ces arcs
rencontreront les circonférences G'K'H' et VUV, projections des plans de
section en K' et JK qui, projetés verticalement en K et J, donnent deux points
de la courbe JKMN, cette courbe exprime l’ombre portée de la circonférence
E dF sur le cône qui limite les creux des dents ; par conséquent en traçant des
rayons de lumière des points d’e'f, etc., leurs rencontres respectives avec la
courbe seront des points MPQ, qui expriment leur ombre portée. Ces points
se projettent horizontalement en M’P'Q/.

Les points ghi, situés sur la base supérieure du cône, portent naturellement
ombre sur eux-mêmes ; si on voulait avoir des points intermédiaires
entre ceux déjà déterminés, il faudrait imaginer un cercle tel que celui
G'K'W, passant entre les points d et g qui limitent l’extrémité et le fond des
dents, et on obtiendrait pour l’ombre portée de ce cercle sur le cône, la
courbe projetée verticalement en RSÏ.

Puisque les génératrices ad, b e, cf, portent ombre suivant des génératrices,
il suffit pour avoir celles-ci de mener par les points M’, 0/ et P', des lignes qui
concourent au sommet du cône en plan comme en élévation.

On obtient enfin l’ombre portée par les génératrices extrêmes telles que/c,

sur lés dents de la roue, en menant par le point/le rayon de lumière//î qui
rencontre le flanc Zmde la dent suivante dont le plan est vertical.. Ge point de
rencontre se projette verticalement en f sur la projection fi' du rayon de lumière.
On mène alors de ce point V une ligne ï'n concourant au sommet du
cône, pour limiter l’ombre portée par l’arête/e.

357. Dans le cas où le rayon de lumière passant par l’extrémité delà dent
comme celui tiré dû point p, rencontrerait la partie courbe des dents, il faudrait,
pour être rigoureux, imaginer par ce point un plan vertical passant par
un rayon de lumière, et chercher son intersection avec la surface courbé, ce
que l’on obtient par un simple rabattement, comme nous en avons déjà vu
des exemples (287). .'.'''"-' , " ; -• . ;"■'"'"'

358. Le modèle (fig. i) représente l’application d’une roue d’angle à dents
de bois, avec laquelle engrènent à la fois deux pignons dentés en fonte. On
remarque que quoique l’ombre sur chacune de ces roues ne soit pas la même
à cause de leurposition respective, par rapport à là lumière, leurs ombres se
déterminent cependant par les mêmes opérations que celles’qui viennent
d’être indiquées. ''. " " !.'/' '".""-.'•.'

On devra pour ïe layis de ce modèle suivre lès principes :èt les observations
déjà exposésV en tenant compte dès parties claires et des parties ûôires.
On observe aussi que-par la position des pignons sur ce-modèle ; le bout
" interne du tourillon de l’un se trouve dans l’ombre,-tandis que le bout interne
du tourillon de l’autre pignohest éclairé. .

APPLICATION DES OMBRES AUX VIS, :

..- - , ':■''--■■V. ;.-'r-■■'■",'■:' Planche -31.:. . ;: ''-i-,"■••■•'-

359. On sait qu’uné'vis peut être engendrée soit par un triangle, soit par un
rectangle, soit même par un cercle dont le plan passé par l’axe de la vis et se
meut suivant une hélice. Elle est alors dite vis à filets triangulaires, carrés, et
arrondis. Dans chacun de ces cas, les arêtes extérieures "desfilets portent
ombres soit sur le noyau,,soit sur la surface gauche ou rampante dû filet. Si la "
vis est surmontée ou accompagnée d’Une embase, elle reçoit en outre une
ombre portée sur la surface extérieure des filets-ou du noyau. Nous allons
successivement déterminer les ombres de ces diverses espèces,de vis. '
VIS ; CYLINDRIQUE A FILET CAjRRE. '■.*,.'■■x- . Figures 1,2, 2« et 3.-  ;;.: ;: ' :

360. La limite de l’ombre propre de la vis s’^obtient comme celle d’un cylindre
droit, en menant un rayon OA, perpendiculaire à la directrice dû rayon, de
lumière-RO, et en projetant le point Aen A', A 2, suivant une ligne parallèle à
l’axe du cylindre. Oh a de même par la projection dupoint-B, la ligne de séparation
d’ombre et de lumière B'B 2 sûr la surface du noyau ;
DE DESSIN INDUSTRIEL. 241
L’ombre portée par l’arête extérieure des Blets sur la surface cylindrique du
noyau se détermine simplement par des droites C c, D d, menées parallèlement
au rayon de lumière RO, et rencontrant le cercle ErfB, projection du noyau
en cd ; projetant alors les points CD en CD’, et menant de ces derniers parallèlement
au rayon R/, les droites CV, D’d’, on obtient sur celles-ci les points
c’d’ pour l’ombre cherchée, on peut ainsi multiplier les points de cette ombre
autant qu’il est nécessaire.

Lorsque les fdets de la vis sont inclinés à gauche ( fig. 2S et 3) au lieu d’être
inclinés à droite comme fig. 1 et 2, l’opération, pour déterminer les ombres,
n’en reste pas moins la môme. Ce qui est indiqué suffisamment par les mêmes
lettres en regard des parties symétriques ; on observe seulement que la fig. 3,
exprimant le rabattement sur la droite de la moitié de la vis sur le plan vertical,
au lieu d’un rabattement à gauche comme fig. lte, le rayon de lumière se
rabat également sur la droite, en formant toujours un angle de 45° avec la
ligne d’axe qui est horizontale.

L’embase polygonale FGHI, qui sépare la vis à droite de la vis à gauche,
porte ombre sur une partie de celle-ci, suivant des courbes qu’il est facile de
déterminer d’après (285 et 286) , et dont on voit les points principaux en/, g,
fig. 2« et 3.
VIS A PLUSIEURS FILETS RECTANGULAIRES.Figures k et 5.

361. La construction de l’ombre d’une vis rectangulaire ne change pas, soit
que cette vis se trouve horizontale ou verticale, soit qu’elle ait un seul ou plusieurs
filets, soit encore que son inclinaison ait lieu à gauche ou à droite ; ainsi,
la vis à plusieurs filets rectangulaires, représentée fig. 4 et 5, reçoit d’une part
une ombre propre limitée par la ligne verticale A'A 2, projection du point A, et
de l’autre une ombre portée c’d’f, sur le noyau, par l’arête extérieure C’D’E',
du filet ; elle reçoit également en partie l’ombre portée par l’embase circulaire
GHI, sur les filets et sur le noyau ; ces ombres se déterminent exactement
comme sur les figures 1, 2 et 3 (361).
VIS A FILET TRIANGULAIRE.Figures 6, 68, 7 et 8.

362. Lorsque la vis est engendrée par un triangle isocèle, tel que cad,
figure 6, dont la hauteur a b est plus grande que la moitié de la base cd, il y
a ombre portée par l’arête extérieure des filets sur leur surface gauche. Pour
déterminer cette ombre en suivant la méthode générale qui consiste à chercher
la rencontre d’un rayon de lumière avec la surface, on est conduit à chercher
la courbe d’intersection de cette surface avec un plan passant par ce rayon et
parallèle à l’axe de la vis.

Soit,-à cet effet, le plan sécant ÈO, fig.< 7, l’intersection dé ce plan avec l’arête
extérieurecWp du filet se trouve en EE'j fig. 6et 7, de même soti intersection
avec L’arête intérieure dlq,ie trouve en r, r'. l’ouï obtenir dés points
intermédiaires de la courbe .d’intersection, nous supposons tracées, dii'cëntre
0 avec les rayons 0 m et 0 ?rdes circonférences (|ui représentent là projection
des cylindres sur lesquels sont tracées des hélices comprises entre-celle intérieure
alq et celle extérieure dW et s, et du même pas qUé ces dernières.
On a alors les points de.rencontre 7i« (fig ; 7) qui se projettèiifren À'ï' (%. 6) ,
par conséquent en joignant tous lés points W'h'i' et r, On a la côûrhë d’intersection
du plan sécant avec la sui'fàcë gauche ; si donc du point E' on mène
le rayon de lumière EV, situé dans ce pian, sa rencontre avec là courbé lionne
un point y de l’ombré cherchée ; '■

On trouvera de même en nienânt encore dès plans FH et GÏ parallèles au
premier EO, les courbes d’intersection F2/ !!' êtWj’g'l, et parsuite .sur 1 ces
.dernières les points/' et g' de l’ombre portée ; oii peut obtenir ainsi autant de
points utiles à la détermination de l’ombré portée par fàr'étë extérieure bG'p,
cette courbe se répète évidemment sûr les autres filets ; Nous ferons rëmàf^
quer qu’il n’existe pas d’ombré portée lorsque là profondeur dûfilét est telle,
que ab, fig. 6, est plus petit que la moitié de la base ed ou du pas’.'

Le tracé indiqué sur les 'figures 68 et 8 qui représentent une vis inclinée à
gauche, fait voir que les opérations pour déterminer l’ombre portée sont
exactement les mêmes. ,

Le noyau N, qui sépare les deux portions de vis, reçoit comme le bout N’
une brnbré portée par l’arête extérieure dés filets.
OMBRE DUNE YIS A FILET ARRONDI ET SERPENTIN.
" Figures 9 et ÏÔ. '

363'. Gés figurés’ représentent une sorte de vis engendrée ■£'&? un’ cercle
a Vc â, dont le plan passé par l’axé et dont tous Tés points décrivent des hélices
en tournant autour de cet axe. Les évidertiéhts ou cïeûx de là' vis s’ont aussi
formés d’une surface gauche engendrée par le demi-cercle d e/ ; tangent au
premier. On a alors à déterfhihêf suîîîëtté vis la limite de l’ombre propre de
chaque filet, et l’ombre portée par cette ligne sur les creux.

Le filet saillant étant une espèce de tore en spirale ,ia détermination de son
ombré propre revient à celle indiquée pour l’àMêàu (323:).

Ainsi, si oti coupé là vis par un plafï vertical GO', sa section avec ; le filet donne
évidemment un cerclé qui se projette en/, V (fig, 9 j. Ce cerclé, étant incliné
au plan, vertical dé projection, fig. iô, se projette sur Celui-ci',, suivant une
ellipse dont on à les points principaux jk £','en projetant Tes points j’h'l’, respectivement
sûr lès liélïcës correspondantes aux points à, b, c ; si donc on projette
sur le^'plan GO, que nous supposons ramené en og, fig. 10s, lé rayon
DE DESSIN INDUSTRIEL 2i'i
de lumière Ro, il suffira de déterminer le point de contact de ce rayon avec la
convbe j kl ; h cet effet, on cherché la projection dé ce rayon sur lé plan vertical
en g'o' (fig. 10") , puis on mène parallèlement à la droite i/o', une tangente g2o 2,
à l’ellipse jkl, son point de contact m, avec cette derhiërè, est un point de là
ligne de séparation d’ombré et de lumière sûr la surface extérieure du filet. On
procédera de même polir tout autre point de là limite de cette ombre propre.

Si on continue la Sectiori dii plan GO, sur le creux dé là vis, on obtiendra
aussi la courbe elliptique »o 5, dont les points principaux sont également situés
sur des hélices qui passent par Iespdints d, è, f ; il suffit de prolonger le rayon
de lumière g-o- sur la rencontre de cette ellipse no2p, pour obtenir un point
o2 de l’ombré portée par lé point correspondant m, de là courbe de séparation
d’ombre et de lumière sur les gorges.

On remarque que le prolongement de la ligrle s i, de séparation d’ombre
et de lumière, porte ombre sur la surface extérieure du filet qui se trouve
immédiatement au-dessous, comme aussi l’embase qui forriiélatéte delà vis
porte ombré également sur les filets.

APPLICATION DES OMBRES A UNE CHAUDIERE ET SOÊï FOURNEAU.
Planche 32.
OMBKE DE LA SPHÈRE.Figurelre.

364. On se rappelle que là sphère est un solide régulier engendré jjar ù'ri
demi-cercle tournant autour de son diarhètre. De cette défin’ition, il résilié
que sa surface convexe ou concave, selon qu’on la considère pleine ou creuse,
est une surface dé révolution dont tous les points sont également distants du
cercle générateur. Pour déterminer l’ombre propre sur la surface d’une sphère,
on pourrait opérer exactement d’après le principe général ( 328 ) , mais il est
plus simple pour ce cas particulier d’employer le procédé suivant.

Supposons la sphère enveloppée par un cylindre droit, dont l’axe soit parallèle
au rayon de lumière ; ce cylindre touchera la sphère, suivant un grand
cercle qui n’est autre que la ligne dé séparation d’ombre et de lumière, et dont
le plan est perpendiculaire au rayon lumineux, et par conséquent incliné aux
plans de projection ; il en résulte que la projection de cette ligne sur ces plans
est une ellipse.

Ainsi soit, fig. 1, la projection horizontale d’une sphère de rayon OA, les projections
des génératrices extrêmes ÎSC et DE, parallèles au rayon de lumière RO,
ont leur contact avec le contour extérieur de la sphère, aux points CE, qui sont
diamétralement opposés, et qui sont les extrémités du grand axe de l’ellipse.

Comme en général cette courbe peut être déterminée par ses deux axes, il
reste à chercher son petit axe. A cet effet, concevons un plan vertical passant
parle rayon RO, et supposons dans ce plan deux rayons do lumière tangents
Ml COURS RAISONNE. .

à la sphère ; si nous faisons tourner,ce plan autour du. rayon RO, considéré
comme .charnière* pour |e rabattre dans le plan horizontal, le grand cercle
suivant lequel il coupe là sphère se rabat nécessairement suivant le cercle
tracé ; avec le rayon AO' ; et le rayon de lumièresôrabat comme on ra,yu(:287) 
suivant la ligne: R'O,.formant avec là ligne RO l’angle de'3X5°.16, et que
■ l’on ;obtient du reste en portant le côté :GR, d’un carré quelconque GOER,
sur la perpendiculaire RR' élevée en R. Les deux rayons lumineux tangents à
la sphère se rabattent alors suivant les droites HL et MN, parallèles âu ;. rabattement
R'.O ; leurs points de contact avec le grand cercle se trouvent aux
extrémités du diamètreLN, perpendiculaire:^ la même droite R'O. En faisant
revenir le plan dans sa véritable position, ces points se projettent en, L’ et N
sur la trace RO, et donnent ainsi le petit axe L’JV de l’ellipse cherchée.

.36. Si au lieu de construire cette ellipse/par les-moyens ordinaires on
préfère en déterminer les points par une suite de sections et de jabattementsanalogues,il
suffira par exemple de tracer un plan a b parallèleà RO,
puis derabattre la section-faite par ce plan dans là sphère, dans le plan ;horizontal,,
suivant la circonférence du rayon c 0 égal à ac ; on mène ensuite la
tangente e d„, parallèle à R/O, et dont le point ^également situé sur le diamètre
LN, se projette en cl’ sur la trace a 6, on obtient ainsi autant de points
de la courbe que l’on mène de.plans ; la distance c d’ étant reportée de e en d ?,
donne le point symétrique d2 de la partie de l’ellipse non apparente.

Si la projection de la sphère était faite sur un plan vertical, l’opération serait
tout à fait identique, seulement le grand axe de l’ellipse, au lieu de se trouver
dans la (hrection CE, serait au contraire dans la direction perpendiculaire AI,
comme on le voit sur la fig. i, ombrée à l’effet. , … -
OMBRE PORTEE DANS UNE, SPHÈRE .CREUSE.,:■..■-, ;..,  ;.
..,,. ;..•'■'-'■ ..'. .'■ ■' ■ Figure ^.'-'-^^ : r  ;' ■') '■'-.
366. Lorsqu’une sphère creuse est coupée par un plan passant par son
centre et parallèle à l’un des plans de projection, le rebord circulaire interne
de la section porté ombre sur sa surface concave, suivant une, courbe elliptique
1 que l’on peut.détërminer soit par je. principe général de sections parallèles,
exposé (28T) , soit par le système plus simple de sections et de rabattements
que nous venons d’indiquer, et dont la fig, ;2. renouvelle l’application. ; ,

Cette figure représente la projection d’une sphère creuse suivie plan vertical,
et reproduisant la section, faite\suivant la ligne 1,.2, dé la chaudière dessinée
fig: 4 et 5 Si on coupé .cette sphère..'par ûn.plan diamétral, AB, parallèle
au rayon dé lumière, sa. section rabattue fig. 3, est un demi-cercle A'G'R ; le
rayon de lumière situé dans ce, plan et/passant par le point A, se rabat aussi
suivant la ligne A'C’, parallèle au rabattement R'A, obtenu, comme l’indique
la fig. % Cette droite A'C rencontre. lé cerclé A'Ç'B' au point C qu’on projette
sûr l’a trace AB eh C, et quf est le point de l’ombre portée, par le point A.

On obtient de môme les points bd, par les plans ab, cd, parallèles à AB, et
coupant la sphère suivant des demi-cercles rabattus en a'b'e. Ce demi-cercle
est rencontré en b par le rayon a'b' mené parallèlement à A'C.

Les points extrêmes DE se trouvent situés à l’extrémité du diamètre DE,
perpendiculaire au rayon AO, et représentent le grand axe de l’ellipse. Ces
ombres se rencontrent fréquemment en architecture et en mécanique ,
comme dans les niches, les dômes, les chaudières, etc.
APPLICATIONS.
367. La fig. k représente la section longitudinale suivant la ligne 3, 4, d’une
chaudière cylindrique en tôle, à bouts sphériques et surmontée de deux tubulures
cylindriques, dont une est fermée par un couvercle ou trou d’homme.

La fig. 5 est un plan vu en dessus de cette chaudière et des tubulures.

La fig. 6 est une section transversale faite par la ligne 5, 6.

On a à déterminer pour cette chaudière :

1° Sur la fig. k, l’ombre portée BdC et E&C sur les surfaces sphériques qui
limitent la chaudière ; et celles Cgi, j kl, sur la surface cylindrique, comme
aussi l’ombre portée dans l’intérieur des tubulures ;

2° Sur la ligne fig. 5, l’ombre propre des parties cylindriques et sphériques
de la surface extérieure de la chaudière, et l’ombre portée sur celles-ci
par les tubulures cylindriques.

Nous repérons avec les mômes lettres sur la fig. 7, le tracé analogue à la
fig. 3, pour obtenir la courbe elliptique DdC de l’ombre portée par la portion
circulaire AcD, sur la surface sphérique intérieure de la chaudière.

On a obtenu de môme la portion E bC l, à l’aide du rabattement fig. 8, en
observant que les sections faites parallèlement au rayon de lumière au-dessus
de la trace ab, donnent des demi-cercles, tandis que celles faites au-dessous,
telles que celle FC, donnent bien une portion circulaire à droite de la ligne
aO, mais une portion elliptique à gauche de cette môme droite. Il esta remarquer
que les tubulures cylindriques, montées sur la chaudière, donnent lieu
à des intersections IJKF qui portent ombre à l’intérieur de la chaudière, au
lieu des portions droites IF delà génératrice extrême du cylindre, ce qui
existerait réellement si les tubulures étaient supprimées.

L’ombre portée par ces intersections est limitée aux courbes JKL, que l’on
obtient à l’aide de la section fig. 6, en projetant les points JKLF sur l’arc
J’K'L’F', et en menant par ces points des rayons de lumière qui rencontrent la
surface intérieure du cylindre en j’k'ï, lesquels se projettent alors, pour les
deux tubulures en j, k, l, sur les rayons correspondants, fig. 4. La partie droite
GI, de la génératrice extrême du cylindre, porte ombre sur la surface interne
de celui-ci suivant une droite, U, qui (308) est située sur l’axe 00.

Une partie de la génératrice extrême IN de chaque tubulure cylindrique
porte aussi ombre sur la surface intérieure de la chaudière suivant une courbe

ifej qui n’est autre qu’une po'rtioh de circonférence dont le centre est ëh o,
et dont le rayon oî est égal à celui ;cO de l’a ëhâuiliérë ; cette offltifê test Circulaire,
parce que là droite IN est perpendiculaire à ï'axë du tyiindrëi et que le
plan de ces dëu'î Ùgnës-est parallèle au plan 'Vertical de projection.

On peut/ au reste, déterminer les points ïmf dé là Cbùrltë Jdifëctërneht à
l’àidê des deux projections Qg-. 4 et 6. ■"■: ~*

Il en est de même de là bourbe 1 %''§] §,- qui est /âdssi ùii a'rc’ de cercle, p'ârCë
que la droite NP du couvercle qui ferme la première tubulure estencore perpendiculaire
à l’axe de celle-ci, et parallèle au plan vertical de projection. Les
arêtes NR et RM. étant ; verticales portent ombre'sur cette même tubulure
suivant dés lignes qui sont aussi verticales (Suâ'j: Là seconde tubulure itant
ouyëftëasàbàslsûpëfiëufë, TômBfe portée sur sàsurTàêë-iiïtërnëëst fiéces’-
sair'èîSënt différëhté de celle : porté'ë sur là preihiêre, mais elle ' S’ô'Btiërit du
reste delà miffie Mntèf'éqûè sûr les ûg: i et î » (pB 28). "Oh observe toutefois
qu’une partie s £# de éëty.dhlBfe-résulte'dtf plan inférieur STÙ duBBrd de
la tubulure, et l’autre partie svvès^èWL^éM !ë^ërMiv^^^g\iet-5:

On à ëiïMIâcdufBlîC^
avec la dfditë "i i\ et qui résulté de l’ombre portée par l’are JLËijÎT ; et par là
partiedroite HI de la généfâtncëVëxtr'ëmë'ïïu^ëylïndfë: ; - ,

■ ■Toute la ;Ii|n1§DlË^:i quiproviëht d©
de la chaudière slir sa siirfàCê inîernë est fêëîlëb1MBtiâ ;mên%''^ùe,:Mlè.''Q ?iésîgnée
en architecture sous le nom d’ombre portée 'de -ici iitche-, M. bBsëryànt
ttiutëfôïs que cette' ômBre est dans une aiitrë' pôsitiôri, parce qûë l’àxë delà
nicHëë'StvërticàL ''-'"' - "' ;'■

Il reste à faire lé tracé des offibres propres et portées sûr" là surface extérieure
flë 'RMStidîèfë'^ëii-'p>'Ôjècïidn-'fiorjzbntâïëî fïgûr'ë 5 ; $u'ânï 8 l’ombre
propre ; elle consiste d’ûïïe: paît îeû celle Iïïnitêë 1 par 1 là ligne âë sêpràliôn
d’om’bije et de Minière'. Wâï que l’on dMèn’t plff là tangente lài5° niènêe en G,
et de l’autre par" lès ëôlirbëë ëllipti<}ûës G& et âc’E, sûr les Bouts spHëfiqûës
delà Chaudière,-et que l’en déterminé comme sur làfig. i"î • "

368 ; Pô'ûf TdiïiBrë pdttéé ÏÏèitûBûlûrës soit sûr'leursBridê's, sbît Sûr la surface
extérieure 3e là elMïaiëré ,■ elles sent tiàtûrehëmënt’ dëtérmïrïees parties
liglie's à &S° ; À'IÏ' ètlî'E'vfàngentësàÛ cytindr'ë-ëxtèrïéûr <JësvtûBûlÛtesV et qui
se prolongent ' en ligne- droite jusqu’à là limité de séparation’ d’6'mbrë et de
lûmléYë5lorsque" c’és’tûBûlûrëssoMàssëïs^îllântë'è ;/Mâissi au Contraire elles
avaient peu de Bâûlëm’^ comme on le sugpose ;siîf le râ'hattèrîiënt fig ; W ; on
aurait à dé'tëfmitiër' l’OniBre portée par ûhë portion dèlaBâsësupériëûré B'C’,
s’oit sûr la partie ëyiiûdfiquë de là çnaudièr'e, soit SÛr4â partie SphWiquë. Poiir
trouver fdmlM dans ce cas ; nbtis supposons ûh plâû vertical pssàn’t par le
rayon dëlûmière R'O'ï fig. 5,61 coupant lé cylindre suivant ûrië èllip'se, et la
sphère suiyàrit Ûri grand cercle. Ceplari transporté en È 2, Ô2,xét ràBàttû sûr le
plfân horizontal fig. $, dôïïnë là CoûrBë F2&2H2:,>pôÛr le. ràBàtlëmerit de ladite
s’èbloû': kélpblnt clë ëôntocti ? rqidftë ëÛB^se râBàt aussi dans cette fig ; en
B3 ; si donc on mène par ce dernier point la parallèle B3I 2, au rayon de lumière
rabattu R 303, elle rencontrera la courbe d’intersection en I 2 ; la projection
horizontale F de ce point sur la trace R2Ha, se reporte de B' en I', sur la
trace correspondante RT, fig. 5. On opère de môme par une autre section
faite parallèlement à la première et passant par le point G' pour obtenir un
second point c’ de l’ombre. Les opérations pour déterminer les courbes d’intersection
sont suffisamment indiquées sur les fig. 5 et 7.

369. La chaudière cylindrique à vapeur représentée en section longitudinale,
fig. A, vue par bout, fig. B, et en section transversale, fig. fi, résume les
applications que nous venons de traiter relativement aux sphères et aux cylindres,
et en même temps elle sert de modèle pour le lavis avec les effets qui
doivent y être observés suivant les divers principes exposés précédemment.

370. Nous rappelons que pour rendre ces effets il ne faut pas toujours s’arrêter
aux ombres propres et portées, mais encore déterminer les parties claires
ou brillantes, comme déjà on l’a fait pour les cylindxTS en relief ou en creux.
De même que sur un cylindre ou un cône, il existe une ligne brillante, de
même sur la surface de la sphère se trouve un point brillant.

Ce point est situé sur le rayon de lumière passant par le centre de la sphère,
fig. lre. Mais comme les rayons visuels ne sont pas dans la même direction que
les rayons lumineux, la position de ce point brillant paraît un peu changée ;
ainsi si on rabat le plan vertical RO, fig. 1™, dans le plan horizontal, le rayon
de lumière est rabattu, comme on l’a vu, suivant la droite R'O, et par conséquent
son point de rencontre avec la sphère se rabat en i ; d’un autre côté les
rayons visuels qui sont perpendiculaires au plan horizontal se rabattent suivant
des droites parallèles à CO ; or, ce dernier rayon rencontre la sphère au
point C, et comme la lumière se réfléchit sur une surface par rapport aux
rayons visuels, en faisant un angle d’incidence égal à l’angle de réflexion, si
on divise l’angle i OC en deux parties égales par la droite nO, on aura le point
n qui paraîtra à l’oeil le point correspondant à la partie la plus éclairée.

Pour l’effet du dessin, il est préférable de ménager la partie brillante ou la
plus claire entre les deux points i' et n1 qui résultent de la projection des
points i et n sur le rayon RO. Lorsque la sphère est un corps poli, comme une
boule en acier, cuivre ou ivoire, on a le soin de laisser autour de ce point brillant,
une partie circulaire tout à fait, blanche ; quand le corps est mat comme
on l’a supposé sur la fig. i, on laisse bien cette partie plus claire que le reste
de la surface, mais cependant en la couvrant d’un ton léger.

Dans une sphère creuse (fig. 2 et 3) , il y a à tenir compte non-seulement
du point brillant qui se projette de la même manière sur le rayon de lumière
AB, entre les points i' et n’, mais encore du point qui dans l’ombre portée
doit être le moins foncé ; on détermine ce dernier en m’ (fig. 2) par la droite
m 0', fig. 3, tracée perpendiculairement au rayon de lumière rabattu A'C.

371. La chaudière est placée dans son fourneau qui est construit entièrement
en briques avec une cloison située dans le milieu de sa longueur, pour obliger

la flamme et la fumée qui se dégagent du foyer, à se diriger dans la galerie de
gauche, puis revenir par la galerie dé droite et sortir dans un troisième canal
ou carrieau avant de s’échapper dans la cheminée: ce troisième carneau renferme
un bouilleur plein d’eaumise en communication avec la chaudière par un
tube plongeur, et recevant l’eau d’alimentation qu’elle échauffe àunétempérature
assez élevée pour ne pas refroidir la chaudière lors de son-introduction.

La chaudière est à moitié ou à 2/3 remplie d’eau (' ) ,l’espace ; restant ainsi
que les .tubulures sont réservés pour la vapeur.La base de la cheminée est
en pierre de taille ou en moellons, ; et tout le. corps est en -briques, de même
les fondations du fourneau sont en moellons ou en pierre de taillei
Outre ;çe modèle de chaudière, nous donnons encore comme exercice de
lavis à l’effet la pi. 33, que nous engageons à dessiner sur une échelle deux à
trois fois plus grande,- afin d’acquérir de la main et de l’habileté.

" "LAVIS EN NOIR, r- LAVIS EN COULEURS. '

-' , ■ -■'■'■".'■ --Planche 33. "'-■•' '," _.
' . ' - ■ . * ^ … - '
372. Dans un grand nombre de dessins et particulièrement’ dans les projets

destinés à l’exécution, on né se contente pas de laver les objets à l’encre de
Chine,/mais-en outre on recouvre leurs surfaces-d’un ton dérouleur appropriée
la nature de la matière. Le lavis, d’une part, fait bien-foir les saillies et
les formes des surfaces,' et de l’autre les couleurs expriment de quelles matières
elles sont composées ; ce double travail rend le dessin beaucoup : plus
intelligible en le rapprochant du relief. "'.•.'■ ■ ;'-'.' - - .

Un dessin peut être colorié de plusieurs manières. Le procédé' lé plus facile
consiste à laver d’abord toutes les surfaces à l’Encre de- Chine, en observant la
force ou la dégradation des tons, suivant l’ombre et la lumière, comme on l’a
supposé dans chacune des planches qui précèdent ; on recouvre ensuite lès
surfaces: entières de chaque objet d’un ton.de couleur qui est d’abord tout
de convention, et que l’on peut poser par teintes plates,: suivant les indications
de la pi. 40. - ■ ''/'"'

Ce premier mode* d’opérer peut suffire dans plusieurs eas> mais il laisse à
désirer sous le rapport de l’effet du dessin, qui ; est généralement sans vigueur
et d’un aspect froid et7moriotone. On obtient un meilleur résultat eh-ne poussant
pas à un ton aussi avancé le lavis àl’enere de Chine, et en recouvrant alors
les surfaces avec des teintes de couleurs que l’on étend au pinceau par dégradations
successives, comme pourle'simple lavis, de telle sorte que les parties
les plus foncées conservent le ton local de la'matière, tandis que les parties
claires deviennent extrêmement faibles.
1. ta ligneîd’eau sur le dessin est supposée descendue'jusqu’à l’axe de la chaudière, afin de
laisser apparente une.plus grande partie de l’ombre portée. ■ . u
Lorsqu’on a acquis une certaine habitude dans le mélange et la composition
des couleurs, on procède d’une manière plus directe et plus vigoureuse, en
supprimant complètement le lavis préalable à l’encre de Chine, et en posant
successivement des tons coloriés qui rendent à la fois les effets d’ombre et de
lumière, et la nature de la matière. Cette dernière méthode a l’avantage de
donner à chaque partie du dessin plus de transparence, plus de chaleur, et
satisfait à toutes les conditions désirables.

En général, tout dessin destiné à être lavé doit être tracé en lignes grises,
au lieu d’être noires, comme pour un dessin au toit ; le faible ton de ces
lignes permet de ne pas les faire trop fines, et le trait étant alors plus nourri
sert mieux de guide au pinceau. Un trait noir quoique fin aurait l’inconvénient
de rendre les contours du lavis plus durs, et serait plus susceptible
d’être dépassé.

373. Nous avons essayé de donner sur la pi. 33, un modèle ombré et lavé
aux couleurs, et embrassant les matières le plus en usage dans les constructions.

La fig. lre représente un chapiteau de colonne dorique en bois. Quoique les
bois soient de nature bien différente, on s’en tient, quant au dessin, à une
seule nuance, qui est, comme nous l’avons dit, toute de convention.

On a dû surtout à cet égard chercher à éviter la confusion, en affectant une
couleur spéciale pour la représentation de chaque substance, sans s’arrêter à
sa couleur naturelle et à toutes ses variétés.

Pour colorier ce chapiteau en bois, d’après le premier des procédés que
nous venons de mentionner, on le lave préalablement à l’encre de Chine dans
toutes ses parties ombrées, puis lorsque ce lavis est arrivé au ton convenable
et suffisamment sec, on couvre toute la surface d’un ton composé de gomme
gutte, de carmin et d’encre de Chine, analogue à celui de la Dg. k, pi. 10, en
observant toutefois que le ton doit être un peu plus gris, pour le rendre moins
vif que dans les coupes.

On modifie aisément ce procédé et on se rapproche du second, en laissant à
nu certaines parties de l’objet, et en fondant celles-ci à pinceau presque sec,
vers les lignes les plus éclairées. Mais si on est assez familiarisé avec le pinceau
et les couleurs, on évite, comme nous l’avons dit, le lavis préalable en
noir, en composant constamment chaque ton, par le mélange immédiat de
l’encre de Chine et des couleurs, et en les superposant graduellement soit à
teintes plates, soit à teintes fondues. On a le soin de poser ces teintes en commençant
par les parties les plus foncées, et en les recouvrant par d’autres de
plus en plus faibles, pour arriver ainsi à un effet plus vif et plus transparent.
Quelquefois on simule les noeuds et les veines du bois par des traits irréguliers
et très-variés, formés au pinceau comme la fig. lre peut en donner l’idée.

C’est en suivant ces principes qu’on arrive de même à colorier d’autres objets
de nature différente, en variant seulement le mélange d’après les indications
de la pi. 10.

La fig. 2 représente une tète de cheminée en briques et de forme circulaire.

Dans celte vue extérieure, on a indiqué le contour de chaque brique, et pour
mieux les détacher, on a eu le soin dans le lavis de ménager des reflets vers les
arêtes de celles qui se trouvent dans la demi-teinte.

La fig. 3 représente la base d’une colonne dorique en pierres de taille et cannelée.
Cette colonne étant \ue extérieurement ne reçoit pas un ton de carmin
comme on le fait pour la maçonnerie en coupe. On est convenu de l’exprimer
par un ton gris jaune composé de gomme-gutte comme couleur dominante, et
d’une légère quantité d’encre de Chine et de carmin.

Ces trois modèles de bois, briques et pierres, représentent des corps mats
qui ne pouvant jamais recevoir un brillant comme un métal poli, sont teintés
même sur les parties les plus éclairées.

La fig. h est une tète de \is en fer ; comme on l’a supposée dressée, tournée
et polie sur toute sa surface, on a dû conserver des blancs sur les parties brillantes
par opposition aux surfaces brutes ou mates II en est de même de la
base de colonne en fonte représentée par la fig. 5, et du double coussinet en
bronze projeté latéralement fig. 6.

Nous espérons que les principes d’ombres et de laus exposés dans ce chapitre
pourront suffisamment servir de guides aux diverses applications qui
peuvent se présenter, pour exprimer soit les effets d’ombre et de lumière, soit
les dégradations des tons, suivant la position des plans ou la nature des matières,
comme suivant le degré dépoli des surfaces. On comprend, en effet, que
pour deux objets de même nature, mais situés à inégale distance, et que l’on se
propose de colorier, les teintes douent être plus Aives et plus transparentes
sur celui du premier plan, tout en observant plus de force et plus d’énergie
dans les parties ombrées.
Chapitre viii.
COUPE DES PIERRES.
Planche 34.

374. La coupe des pierres a pour objet de préparer et de tailler les pierres
de telle sorte, qu’en les plaçant les unes à côté des autres dans des positions
déterminées, elles forment des ouvertures, des voûtes, des arcades, etc.,
cette opération s’appelle appareiller.

L’étude de la coupe des pierres repose entièrement sur la géométrie descriptive
dont elle n’est qu’une application particulière, et rentre, dans ce que
nous avons exposé, sur la génération des surfaces ainsi que sur leurs intersections
et développements.

Pour appareiller, le contre-maître, ou l’ouvrier chargé de ce soin, doit
tracer, au préalable à l’échelle d’exécution, un dessin, une épure générale qui
indique exactement la place des joints des pierres ; celles-ci prennent alors,
suivant la position qu’elles occupent, la, dénomination de claveaux, voussoirs,
sommiers, clés, etc.

Notre intention n’est pas de faire un traité complet sur la coupe des pierres,
mais comme cette étude est du ressort du dessin géométral, nous avons jugé
utile d’en donner quelques applications, qui suffiront pour montrer la marche
à suivre dans ce genre d’opérations.
AIUUÈRE-YOUSSURE DE MARSEILLE.{Fig. let%) 
375. Proposons-nous de faire l’épure d’une baie de porte ou de fenêtre en
pierres de taille, évidée à sa partie supérieure en forme de surface gauche,
analogue à celle qui porte le nom à'arrière-voussure de Marseille. Cette surface
est engendrée par une droite CA, assujétie à s’appuyer constamment sur
l’horizontale C’K/, projetée en C, et se mouvoir d’une part sur la demi-base
BEQ d’un cylindre droit dont l’axe est C’K/, et de l’autre sur un arc de cercle
FKA, situé dans un plan parallèle à celui de la base BED.

Les faces latérales FBLN et ÀIIQD de la baie sont verticales, et, projetées
horizontalement en FB' et A'D’ (fig. 2) , ces faces rencontrent la surface
%m COURS RAISONNÉ :

gauche suivant les courbes FB et AD qu’il s’agit d’abord de déterminer.

À cet effet, on cherche les-projections de diverses positions de la droite
génératrice CA, afin d’obtenir leurs intersections avec l’un des plans obliques ;
remarquons que, si on prolonge l’arcFKA, à <droite par exemple de la
figure lrc, et que l’on tire du point G les lignes CJ, Ca, Gb et GG, elles représenteront
autant de projections verticales de la génératrice CA. Ces droites
rencontrent la circonférence BED en lede, qui se projettent horizontalement
sur la ligne B'DC, projection de la base du cylindre en Vc’d’e'. Ces mômes
droites rencontrent aussi l’arc de cercle, FA G en J ab G, que l’on projette de
même sur la ligne F'G' qui est la projection horizontale de cet arc en J’a'b'Q'.
La réunion de ces derniers points avec les premiers I' c’d’e' donne les droites
C’ 2 J’ C3 »', C4b', C5G' qui sont lés projections horizontales de. la génératrice
correspondante aux projections verticales (fig. lre). .

Ces droites rencontrent le plan A'D’-aux points M’fi' que l’on projette
alors verticalement en:M/Tsur les droites CJy Ca, Gô ; la courbe AM/iD,
passant par chacun de ces points, donne l’intersection cher'chée,on la reporte
symétriquement en, FB sur la gauche de la fig. lre, pour éviter un second tracé
qui est semblable au premier. ' ■■<--., ,'\ .' ; ,-

Pour connaître /cette intersection en vraie grandeur, il faut "déterminer le
rabattement du plan AB.QD qui la contient. Pour cela, on rabat le "plan D’A'
dans le plan vertical,- en le faisant’tourner autour de la verticale bQ,'projetée
horizontalement enD’ ; dans ce mouvement, chacun des points k !-W,f décrit
des arcs de cercle ^autour dé D’comme centre pour se placer en M2,,A 2 et/2i 2.
Par Jes points correspondants/AM/ de la projection’verticale, on mène les
droites AA", MM", ff" sur lesquelles se projettent les points précédents M 2,
A 2, p et on a alors la courbe A"M"/"D, qui représente la forme exacte de
l’intersection. -■'. -..' , ■ T

376. L’épure préliminaire que l’on vient de tracer ne donne encore que la
forme de surface de la-voussure, il re ;ste. maintenant -à la subdiviser en un certain
.nombre de parties pour représenter les pierres de taille qui doivent la
composer. ' ' - ■ . ,

Le nombre de divisions dépend nécessairement des matériaux dont on peut
disposer, et dans tous les cas le nombre doit toujours être impair, pour réserver
au milieu la pièce principale que l’on appelle clé. . '- .

Les divisions sont faites sur la demi-circonférence BED par une suite de
rayons concourant au centre C ; ce sont ces lignes qui représentent les traces
dés joints ; en contre-bas de la voussure les pieds droits X se composent d’une
suite de pierres d’égales dimensions dont les joints sont horizontaux.

Les projections horizontales des joints de chacune des pierres pour la voussure
sont des lignes droites,.parce que ces joints sont formés par des plans
perpendiculaires au plan vertical, et dont l’intersection avec la surface-gauche
est toujours une droite génératrice ; ainsi lés plans OC et PC de la clé K sont
perpendiculaires: au plan vertical, et ont leurs parties m A et ol comprises entre
DE DESSIN INDUSTRIEL. 253
les cercles générateurs BED, et FKA, et projetés horizontalement suivant les
droites n’h' et o'V qui représentent la vue en dessous des arêtes des joints, ou
leurs intersections avec la surface gauche.

Il en est de même des plans mC et JC qui contiennent les joints des claveaux
Y, Z ; les joints kg et IM, se projettent aussi horizontalement suivant
des droites k'g' et’M’Y.

377. L’épure d’ensemble étant ainsi terminée, l’appareilleur doit détacher
chaque pierre de la voussure, pour en représenter toutes les faces de joints, ce
qu’il fait en choisissant dans le chantier les pierres de dimensions convenables,
et qui sont débitées préalablement en parallélipipèdes rectangles.

Ainsi, pour la clé K, par exemple, détaillée de face et en coupe par le
milieu (fig. 3 et 4) , il prend un parallélipipède dont la base pqrs est capable de
circonscrire les deux faces parallèles de la clé, et dont lahauteur est au moins
égale à sa longueur l’u'. Après avoir fait dresser les deux faces verticales t’o'
et u'v du prisme, ainsi que la face horizontale i'u' ; il trouve sur la face antérieure,
fig. 3, les côtés parallèles et verticaux tO et wP, puis les lignes obliques
Ohet PI et qui, comme on le sait, concourent au même point G, axe de la voussure.
11 relève alors sur un gabarit les arcs no ethl (fig. l) pour les reporter
en no et hl sur la face du parallélipipède (fig. 3). D’après ce premier tracé, le
tailleur de pierres enlève sur les côtés du parallélipipède toute la matière qui
excède les lignes OAet VI ; ces dernières faces obtenues, l’appareilleur trace
sur elles les lignes projetées en nhetol. Afin de faire mieux comprendre la
forme que présente le joint, on l’a rabattu perpendiculairement à la ligne P l
(fig. 4 bis). On voit qu’il est très-facile d’obtenir ce rabattement, puisque l’on
a, d’une part, la ligne V'y égale à K'K 2, qui représente l’épaisseur du mur
ou de la voûte, et que d’un autre côté on a "toutes les autres dimensions également
relevées sur la projection horizontale (fig. 2)  ; d’où il résulte que la
direction de o'i' est rigoureusement déterminée.

Cette droite ainsi que celle correspondante sur la face opposée Oh, servent
de guides au tailleur de pierres pour dresser la surface gauche de la clé comprise
entre ces deux faces, et comme vérification, cette surface doit être taillée
de telle sorte qu’une règle puisse s’y appliquer sur toute son étendue, en
s’appuyant sur les deux arcs no et hl, dont l’un est projeté en o' sur la face PV
et l’autre en V.

Pour déterminer les faces de joints de l’un des deux claveaux Z, représenté
en détail, fig. 5 et 6, sur lesquelles ces faces ne sont pas vues dans leur véritable
grandeur, on est obligé d’opérer comme précédemment par rabattement.


Ainsi, pour obtenir la face de joint projetée en Oh, du point w comme
centre, on décrit une suite d’arcs de cercles avec les rayons oiv, niv, hiv,
pour ramener lespoints O, n, h, sur la verticale « y O 2, O 2, n 2, h 2 ; il suffit alors
de porter de h2 en h' la distance n’h' (fig. 2) , et de joindre le point h' (fig. 7) 
au point n 2, pour avoir la direction de la génératrice n2h', qui était projetée
18
en nh ^(fig,: !). .•-.On. achève :. ;.Ià.j: face de : joint par^lesylignës horizontales
Q2u',hrz', y'v', etpar,les verticales w^ et 'z' y' qui: déjà sont vues dans leur
véritable grandeur-sur là fig. 6. r : . , M’::^:H'.>:-, ;--,"4 ^ ■.-

 ;Le même mode de: rabattementf est applicable pour la ; seconde face projetée
en m.g, ramenée en m2g- 2, et rabattue ;sur la fig. 8 ; seulement, pûuitpe.dernier
claveau, on doit avoir égard à la portion d’intersection qu’il Contient et que
nousayons rabattue en vraie ; grandeur en a3 m3> après l’avoir, relevée ail gabarit
de, J/f. en -M’', (fig, lie)  : le dernier claveau Xrcontient,par conséquent
l’autre partie ,,M^D de. l’intersection ;., ; .. - ;; ■.-,- .« ■: r ; ;  ;'M’/. ;;->..

Ce qui vient d’être, expliquépour l’appareillage de ; la c !éj3t !d[un -des-claveaux
, s’étend sans autre difficulté à la taille des autresrpierresqui composent
l’arrière-voussure dite_ de Marseille,  ;:i ;; ;J- ;i',i}-,ïi.' ;: :: .<j ■- ?.>. ,g\ .. ;. ;. •-. ?; ■■■■ ;:,'•:
JDans cette application, il y avait à tenir compte, .indépendamment ; des faces
des joints, de la surface gauche -de ; la: baie ; -mais dans le cas le ;pl us. général
dès baies droites où.cintrées., comme celle représentée (fig.,d 6/« ,) ,'l’Opération
se simplifie, eton n’a à s’occuper que.de lataille pourlesi faces dejointsydlaprès
le mode,de rabattement plus haut décrit ; le tracé-do cette^^ figure ne présentant
aucune particularité, nous avons cru inutile de nous yTarrêfer.. ;  ;:

378. Soit-proposé de tram- une voûte circulaire, à plein, cintre, .rencontré par
■deux plans obliquésà son axej(t}g. 9 eilù) }^}.- .■■■-.-.  ;; ;.., … ■■■-. ?. ; ' ;- ;:. :-.

ÎPour représenter cette voûte, on asupposé l’un des plans de sëctioni parallèle
au plan vertical, ilen’résulte que l’aie de-la.voûte est jncliné ;à ;Cë:pl ;an.
^Soient AB cet axe et GD.la trace d’un plan qui lui est perpendiculaire ; du
point B, comme centre, on décrit ,1e demi-cercle. GAI) , qui  ;rep,i:ésente-en
rabattement le cintre exact de la voûte. Supposons ce cercle divisé. :eni : un
nombre impairde parties^égales, en a,■&, c, d,.ej ; déchacun de,ces points ; on
trée des droites ;qûi concourent au centre B, pour -représenter les -faces de
joints a g, bh, ci, etc., des ckyeauxvet qui ; sont normales-à ; la courbure circu--
laire de la voûte, dont l’épaisseur, est supposée limitée par un second: cercle
g i l, concentrique au premier ; chacune de ces faces rencontre le cintre suivant
des lignes parallèles à son axe ; on obtient les projections horizontales
supposées vues en dessous de ces lignes entirantdes points a,'b,c, d, des parallèles
à la droite BA, ces dernières s’arrêtent sur ïe ;plan.yertical AE, qui limite
la voûte. Les faces extérieures du claveau et de la clé sont liniitées ; par des
droites verticales, telles que:mÂ, in,oj, et des droites horizontales^ fet MO.
.On a alors àprojeter sur le plan vertical (fig. 10 ;)  ;-l’intersection du pMnde
section AE, avec chacun des^claveaux…-, •,'.'■'' ;:>-.■ ;-:.^ ; v ;. \-r- ;MRemarquons

d’abord que, de ce qu’il est incliné à l’axe du cylindre, il coupe
ce dernier suivant une-éllipse, qui a pour demi grand ;axe la longueur C’A et
et pour demi petit axe AB', égal au rayon À'B. La portion existante de cette
ellipse est tracée suivant l’une des méthodes indiquées (53 et suivi) en rabat1.
Cet exempleest tiré de l’entrée du viaduc du Chemin de fer dé Strasbourg près du débar-'
cadère de Paris, et se rencontre fréquemment dans la cpnstrùètion dès chemins’de fer ;.■•'. ;  ;'
tement (fig. 9) suivant la courbe C’63B', que l’on reproduit en c"b"a !', sur
l’élévation (fig. 10).

Si on détermine de môme la projection du demi-cercle Fil, qui limite les
faces des joints, on obtiendra aussi l’ellipse F"g"i" ; il ne reste plus qu’à projeter
les points a'b'c’, sur la première ellipse en a"b"c", comme aussi sur la
seconde ellipse les points g"h"i", correspondants à ceux g, h, i. Les droites
F"C", g"a", h"b", i"c", représentent l’intersection des faces de joints des claveaux
et de la clé, avec le plan AE.

La voûte étant supposée limitée au plan CD, on doit aussi représenter sur
la projection verticale l’intersection de ce dernier avec les claveaux qui sont
eux-mêmes prolongés jusqu’à ce plan. On a donc à projeter les ellipses G"b'"c’",
et F'"g'"i'", correspondantes aux quarts de cercles dont les rayons sont FB et CB.
Comme les claveaux ne peuvent avoir toute la longueur de la voûte, ils sont
limités par des plans MN, perpendiculaires à l’axe, et par conséquent parallèles
à CD, et on a le soin de disposer les joints situés dans ces plans, de manière
à se contrarier comme dans toutes les assises de pierres de taille.

379. Nous avons maintenant à déterminer l’intersection du plan oblique
AG, avec la même voûte cintrée ; ce plan rencontre aussi le cintre de la voûte,
suivant une ellipse que l’on rabat en G' q, t (fig. 11) , pour en avoir la véritable
grandeur ; cette ellipse a pour demi grand axe la longueur GA, et pour demi
petit axe le rayon A'B.

Après avoir divisé cette courbe en un certain nombre impair de parties
égales, on lui mène des normales pu, qv, rx, syet tz (*) , qui expriment les
faces de joints des claveaux dont les faces extérieures sont encore limitées par
des lignes horizontales et verticales.

Si on suppose que la voûte est limitée au plan, sa surface devient alors celle
de parement, et les divisions des claveaux doivent se faire sur la première
ellipse G'q t, et se limiter sur la seconde ellipse E'q2t 2, obtenue par le tracé du
plan HI, parallèle à GA ; enjoignant par des droites les points de division,
obtenus sur la première ellipse, au centre 0, on a les points de rencontre
p 2, q 2, r 2, s 2, de ces lignes avec la deuxième ellipse, et par suite les droites
pp 2, qq 2, rr 2, ss*, qui représentent les intersections des claveaux avec la voûte
et dont les faces se nomment douelles ; ces droites sont projetées horizontalement
eap'p', g'q", r'r", etc., où elles sont apparentes, parce que cette projection
est supposée vue en dessous ; à l’aide des deux figures (fig. 9 et 11) , on
détermine facilement la projection verticale (fig. 10) , où les mêmes lignes sont
désignées par les mêmes lettres.

Pour limiter les claveaux et les raccorder avec la voûte circulaire, il faut les
couper par des plans tels que JK et LP (fig. 9) , perpendiculaires à l’axe AB ;
les intersections de ces plans avec la voûte donnent des cercles qui se projettent
sur la fig. 11, suivant les ellipses intérieures L’q2V et LVX', et les ellipses
1. On appelle normale à une courbe, la perpendiculaire élevée sur la tangente en un point
donné, également sur la courbe (73).
extérieures J’QR'et L’S’P', lesquelles correspondent aux cercles des rayons
CB et FB. Gn termine enfin les joints des claveaux par des plans tels que
E'P"S’Q,-passant par l’axe AB, et dont les intersections avec layoûte donnent
les-lignes horizontales Y'Zr'et QB ; l’un de ces points est apparent sur l’élévation
(fig. 10). '•'■■/' .. ■

380. Pour la construction, il est indispensable de détailler séparément chacun
des claveaux ; afin d’en-faire çohrïaîtrétoutes les faces. Nous avons représenté
sur les fig. 12, 13,14 et 15, le plan et l’élévation jTun des claveaux (G,
détâché de la fig. 11, en tenant compte sur l’élévation des lignes qui n’étaient
pas apparentes dans le rabattement (fig. 11). Ainsi on distingue sur cette
élévation’: • .-'

1° La face antérieure v g r x, qui est projetée horizontalement sur là trace du
plan GÀ ; on sait que cette face rencontre la voûte suivant une portion elliptique
projetée en qr ; ,

2° La face de joint xrr2w, dont l’arête opposée xr, est projetée sur le môme
plan GA, en xr 1)  l’arête opposée wr2',projetée sur la ligne v"r !', parallèle à GÂ,
dont le côté inférieur rr 2, intersection de cette face avec la voûte, est projeté
suivant la ligne r'r", et dont enfin le quatrième côté xw, est projeté enx'w' ;

3° Là deuxième J’ape de joint vqq2W, opposée à la précédente, est projetée,
en v ! q'q^W y -■:",'' ' ■ ;,. '

4° La face QSZY, qui a sa projection horizontale en Q'S’Z'Y' ; cette face est
située dans un plan passant par l’axe de la voûte et réprésentée, par suite,
sur le rabattement ( fig. 14 ) , suivant le rayon PQ" ; '  ; '■'■"

5° Là douelle qq2Y1r2r, dont les côtés q q2 et r'r 2, sont, comme on le sait,
projetés en qqh et r'r", et les côtés qr et Zr 2, en q'r', et ZV, et enfin le côté
q2Y, projeté en q* Y' ;

6° Enfin la dernière face Q, dont il sera facile de se rendre compte en se
repérant avec les lettres qui soni toujours lès mêmes pourries mêmes points.
Nous avons dû, pour rendre cette projection verticale plus intelligible, faire le
rabattement d’une'partie sur la fig. 14, suivant le plan LP, perpendiculaire à
l’axe ; on a alors dans leurs véritables dimensions les faces projetées suivant
les plans verticaux SV" et ¥q". 11 à suffi, pour avoir les différents points apparents
sur ce rabattement, de porter les hauteurs verticales à partir de la ligne
GO de l’élévation (fig. 13) , ce qui donne, par exemple, les pointsVgVa ; 3, etc.,
correspondants à ceuxr2.q2vx. ; ; .'::•'-'■.■"•' /'

Les modèles choisis dans cette planche 34 /réunissent les principales difficultés
qui se rencontrent dans la coupe des pierres et font reconnaître que. les
opérations se bornent, en général, à effectuer des projections ou des rabattements
sur des plans parallèles aux- faces des joints afin d’avoir toujours celles-ci
dans leurs Véritables dimensions.
Règles et données pratiques
ROUE S’HYDRAULIQUES.
381. La chute d’un cours d’eau varie suivant les localités, et donne lieu à l’emploi de
récepteurs ou roues hydrauliques qui, en raison de leurs dispositions, reçoivent les
dénominations suivantes :1° Roues de côté recevant l’eau au-dessous du centre, et ayant leurs aubes parfaitement,
emboîtées dans un coursier circulaire à partir du point de prise d’eau.2° Roues dites à augets ou en dessus, qui reçoivent l’eau à leur sommet.3° Roues à axe vertical désignées sous le nom de turbines, et pouvant marcher
noyées dans l’eau à toute profondeur.4" Roues à aubes ou à palettes planes, recevant l’eau à leur partie inférieure, et se
mouvant dans des coursiers qui les emboîtent sur une partie de leur développement.5° Roues à palettes courbes, recevant également l’eau eu dessous.6° Roues pendantes montées sur bateaux et suspendues dans le courant même.RODES DE CÔTÉ A AUBES PLANES ET A COURSIER CIRCULAIRE.382. La meilleure disposition à adopter pour la construction d’une roue de côté, à
aubes planes, emboîtée dans un coursier circulaire, est celle dans laquelle l’orifice est
formé par une vanne en déversoir, et lorsque cette vanne est abaissée de 0,u20 à 0m25
au-dessous du niveau général du réservoir.Soit à déterminer la largeur d’une roue de côté, sur les données suivantes :1° La dépense d’eau est de 1,200 litres par seconde.2° La hauteur de la chute est de 2'"475.3° On demande que le volume d’eau s’écoule par une épaisseur de lame de 0"'23.LARGEUR DE LA HOUE. —On sait, d’après la table xxxnic, qu’avec un orifice en
déversoir de 0m23 de hauteur, on peut effectuer une dépense de 188 litres d’eau par
seconde sur 1 mètre de large, par conséquent, la largeur à donner à la vaune, pour
effectuer la dépense de 1200 litres, est de1200-^188 = 6'" 38.383. DIAMÈTRE DE LA ROUE. —Le diamètre d’une roue de ce genre n’est pas rigoureusement
déterminé, car il n’influe pas directement sur l’effet utile qu’elle peut rendre ;
cependant on conçoit qu’il ne doit pas être trop petit, car alors l’eau pourrait s’admettre
trop près de la ligne horizontale passant par le centre et même au-dessus de
cette ligne, ce qui serait un inconvénient ; de même, il ne doit pas être trop grand, car
des dimensions exagérées ne font qu’augmenter le volume et le poids delà roue, et, par
suite, la charge et les frottements des tourillons.En général, pour des chutes de 2 à 3 mètres, il convient de donner au rayon extérieur
de la roue au moins la hauteur moyenne de la chute, augmentée de deux fois258 COURS RAISONNÉ ..'".'l’épaisseur de la pltfs forte lame d’eau qui doit-passer au-dessus de là vanne
plongeante. - l ; -> ' ■'.' -, Ainsi, dans le cas.ci-dessus, la hauteur de la chute étant limitég à 2m475,ie rayon.
de la roue ne peut avoir moins €e 2" 475^ plus deux,fois Tépaisséûr de là latrie qui peut,
s’élever, quand le volume d’eau augmente, à 0m600, c’est-à-dire 3*775, ce qui correspond
à un diamètre de 6m 150.Des roues de même système, établies sur des chutes de 2m60 à 2ra70, n’ont quelquefois
pas plus de diamètre extérieur.- 384. VITESSE DE EA BODE. —La vitesse qu’il convient de donner à une roue hydraulique
de coté, doit être-, suivant la théories/égale à là-moitié decelle due à'ia hauteur
de l’orifice, c’est-à-dire, de lm00 à lm10 dans ce^cas ; cependant la pratique prouve
qu’on peut, sans inconvénient’, s’écarter assez sensiblement de cette règle ,-, et faire
marcher la roué avec une vitesse de, i ? 150 à im 60 par ('V au besoin, ce qui peut être,
dans diverses circonstances-, d’un très-grand avantagé. '" "V" •.' ;., '.' ■■/. ?'. ./"■• '_'■-'…Si on fait faire à la roue trois tours par minute,.la vitesse moyenne a là circonférence
extérieure des aubes est  ;alors de " ' ' '. ' . . .  ; "•■-■ Ainsi v lorsque la hauteur-de l’orifice est dé Ô™ 24,.danslequelcasla'yitesse correspondante
de l’eàu est de 2™ 17 environ, commeie montré la tablé xxxe,:qùi'donné les
hauteurs d’orifice \ 23çeànt. S6 et 24.67/le rapport de 1 a vitesse de là roue" à'"celle de
l’eau = 0,47 ; '  ;' -' ■',-:' ;'---- :"' '^.':--■"■'■■ ' /-' ■/"• ■' ;:'' :  ;:'{ ;' !-'i--- !T^v^' ;/ ;?Si l.a hauteur de l’orifice se réduisait à 0m Ï5,,ee qui suppose que la dépense ne-serait
que de . -, "- . ".-, ,, • _■■, v >-■.- ;• ',-.\ ; ;': ;;' .■ ;■„■ -"Hy-^a101"*-X6m32 = 638 litres pari", ."la vitesse dé l’eau Corresp.oiidante n’est plus que de i,m72 , et dans ce cas, le rapport
de la vitesse de la roue ( qui reste la même) :à celle" de l’eau, devient 0m595 : i. ', '.'385, ROSIBBE D’AUBES., iEBB CAPAGIXÉ, — Quoique le nombre d’aubes ne puisse
être rigoureusement fixé, il importe cependant que leur écartement ne soit pas beaucoup
. plus grand que la plus forte épaisseur de la lamé d’èau passant sur la vanne.'ïl est nécessaire
que le nombre d’aubes puisse être divisible par celui'des bras, afin 'qu’il: ne se
rencontre pas un coyau, dans l’assemblage même d’un: bras "avec la couronne. Or,
comme lé diamètre extérieur de la roué est de ' ' '.':" '■'. ,-: '/, ./.'.'-' - ' '. ' 6^150 X 3,1416 4= 19m,32 :\/, !' . , : ;-- ,v-. ;;'■ .. -V::on peut, sans inconvénient, l’établir'avec 8 bras, en luii donnant 64 aubes, le plus
grand - écartement existant, entre celles-ci' est de o™32 ; avec cette distance, on ne doit
généralement pas .admettre une épaisseur de lame d’eau plus deiÔP 25 à  ;0 ?" 26, car,_à
0m27, elle commence à Cracher, l’admission ne peut se faire complètement, l’eaû
rejaillit dans l’intérieur et il seproduit des secousses continuelles.Ainsi donc il faut compter, pour donner l’écartement aux aubes d ?une roue hydraulique
recevant l’eau par un orifice en déversoir, environ le tiers ou aumoins Jequart
en plus de la hauteur de cet orifice,.et s’arranger, d’ailleurs, pour que le nombre
d’aubes soit divisible par le nombre debf as. ■-''• -■ "VPour des rôUes de 3in50 à 4m75 de diamètre, il suffit de sixbras par chaque cordon,
et, pour des roues de 5 à 7'mètres, on doit compter toujours 8 bras par cordon ; ceDE DESSIN INDUSTRIEL. 259nombre doit évidemment augmenter pour des roues au-dessus de 7 mètres, cas extrêmement
rare.Quanta la capacité formée par les aubes, le coursier et les mur s latéraux, elle doit
être au moins le double'du volume d’eau dépensé. Ainsi, on pourra toujours déterminer
la profondeur à donner aux aubes, en connaissant la plus grande dépense à
effectuer.En effet, admettant cpje le plus grand volume d’eau disponible soit de 1,340 litres
(au lieu de 1,200) par seconde, puisque la vitesse de la circonférence extérieure de la
roue est de lm02i, la quantité d’aubes contenues dans cet espace est égale à\oIume d’eau contenu dans chaque auget pendant la marche de la roue ; si la capacité
de l’auget est double, elle doit donc être de Om-c-86, mais le produit de la largeur 6m3S
de la roue par la distance 0"' 32 de deux aubes consécutives, est égal à 2,n022,On a donc 0>n- »-86 : 2m 022 = 0m42pour la profondeur des aubes ; mais comme la distance des aubes n’est pas la même au
fond qu’aux extrémités, comme d’ailleurs le fond est encore rétréci par les contreaubes
inclinées à 45 degrés, et qu’enfin la capacité est diminuée par l’épaisseur même
des planches dont ces aubes et contre.-aubes sont composées, il faut évidemment augmenter
cette profondeur. Lorsque les dépenses d’eau sont considérables, et qu’on est
limité par la largeur à donner à la roue, il est préférable de supprimer les contre-aubes
comme nous l’avons indiqué sur le dessin, pi. 3G, et de faire les aubes très-prolongées
vers le centre de la roue.EFFET UTILE DE LA. BOUE.386. La force absolue d’un cours d’eau est le produit du volume d’eau dépensé par V
(exprimé en kilogrammes) par la hauteur de chute exprimée en mètres. Ainsi, lorsque
la dépense est de 1300 litres ou 1300 kilogr. par 1", et que la hauteur totale delà chute
est de 2m475, le produit 1300 lui. par 2m475, exprime en kilogrammètres, la force
absolue ; on peut encore l’évaluer en chevaux-vapeur, en divisant le résultat par 75, on
aurait donc :1300 X 2,475 = 3217km _^_ 75 = 43 chevaux.Les roues de côté, à aubes planes, à coursier circulaire, et recevant l’eau en déversoir,
lorsqu’elles sont bien établies, peuvent utiliser 70 à 75 0/0 de la force absolue du
cours d’eau.BOUES A AUGETS BECEVANT L’EAU EN DESSUS.387. Soit proposé d’établir une roue hydraulique à augets, recevant l’eau à son sommet,
dans les circonstances suivantes :1° La chute totale disponible ou la hauteur verticale existant entre le niveau inférieur
et le niveau supérieur, est de 4,n56, sans variation sensible ;2" Le volume d’eau à dépenser par 1" est supposé à très-peu près constant, et mesuré
par une vanne verticale avec pression sur l’orifice et contraction complète.3° La largeur de cette vanne est de 0m50, la hauteur de l’ouverture est de 0"'14,
et la.charge ou la hauteur existante du niveau supérieur au centre ;de l’orifice est
de0mS5v '■•'•-"' ' ■ '■" ' ■''"•. •'■' -■■
Solution. En cherchant dans- la table xxxii 0, des dépenses d’eau-, on-trouve
280 litres pour le volume d’eau qui s’écoule ;par l’orifice de 0mt4 de hauteur sur 1 mètre
de large avec une .pression sur-te-centre de 0^.55, ;par.eonséqûérit on.à-:^

280 X 0,50 = 140 litres

. Cette dépense étant connue, si on n’est pas limité pour la largeur à donner a la roue,
on pourra l’établir, pour qu’elle donne, à très-peu ,près, le maximum d’effet utile qu’on
doit en attendre. Pour cela, oh devra régler sa vitesse v à 1 mètre par seconde à la
circonférence, parce qu’on, n’aurait ■ pas grand avantage à employer une vitesse
moindre., à cause du plus grand poids résultant d’une augmentation de largeur ;de
la'roue. . , ' . ■ . ' ■'■

En .adoptant cette vitesse de 1 mètre, celle V de l’eau sortant de l’orifice pour arriver
sur les augets devra être ;de-2. mètres ; or, On a.vu (table xxxe)  que cette vitesse
correspondait à une hauteur ,de pression HV de 0m205, sur le xentre de'l’orifice. -''>

Cette hauteur est déjà à déduire de la chute totale.

Pour de petites dépenses d’eau, il convient de 1 donner peu de hauteur à l’orifice dèia
vanne, afin que l’épaisseur de' la, lame soit faible, et que l’admission de l’eau dans les
augets se fasse mieux ; on peut laj’égler.sur 0m 06. , ' '' ' - '

,On doit ajouter la moitié de cette hauteur ou 0m 03, à la première Om205, pour la hauteur
entière de l’eau dans la huche devant là vanne, depuis.le niveau supérieur jusqu’au
fond. - . - ■ • ;•. . \ . - ; . ; ' -. '•■… ■■ \-':.:„ ■.. ,..-,.' •

Prenant aussi. 0m01, pour-hauteur de la légère pente du petit’ coursier qui existe
depuis la vanne jusqu’au sommet de la roue,,et 0m0i pour le jeu que l’on peut supposer
entre celle-ci et ce coursier, on aura,-en déduisant ces quantités de la chute entière,
4m56 et: ' , . ■ - -

pour le diamètre extérieur d de la roue. '- -<' ■■'■-•: ;. - ',-•-■ .

Comme on doit, autant qu’il est possible, disposer le canal d’arrfvée'de l’eau et la largeur
de la vanne-j de manière qu’il n’y ait pas de contraction-sur les côtés latéraux et
sur 'le fond de l’orifice, en divisant, d’après la table xxxne, la dépense 140,''^ par le
nombre 75, .correspondant à la hauteur 0m06 et à la-charge 0'°20 jet par le coefficient
loe125 ; .■■• " . . - . ' ,

pour la largeur de la vanne. En ajoutant 0,10 à ce résultat, on a lm76 pour celle de la
roué. r ': ■ '…■ ' ■'■" ;'

La profondeur des augets est déterminée par ._

Par conséquent, le diamètre intérieur dl de la roue.devient -
DE DESSIN INDUSTRIEL. 261En augmentant de 1/5 environ cette profondeur, ce qui ferait on’257, on a l’écartement
à donner aux augets ; ainsi, comme la circonférence intérieure est égale àen la divisant par 0m257, il vientMais pour une roue de 4m305 de diamètre extérieur, il faut compter sur 8 bras ; si
on veut faire les couronnes en fonte et par segments, il est utile que le nombre d’augets
soit divisible par 8 ; il conviendra donc d’en mettre 48 au lieu de 47, et alors leur écartement
à la circonférence intérieure deviendraMaintenant il ne reste plus qu’à tracer la roue ; pour cela, on décrit avec les rayons
des cercles intérieur et extérieur, deux circonférences concentriques, on divise la première
en 48 parties égales, et par chaque point de division on fait passer des rayons
comme il a été indiqué sur la pi. 36 ; on porte sur chacun d’eux, à partir de la circonférence
intérieure, une distance un peu plus grande que la moitié de la profondeur,
soit om 12, pour marquer le fond des augets.La roue établie de cette manière peut rendre 79 à 80 p. o/o de la force brute de
l’eau. Or, cette force, exprimée en chevaux, est égale àEn déduisant 5 à 6 p. 0/0 au plus, pour le frottement des tourillons de la roue dans
leurs coussinets, on peut encore.compter sans crainte que la force utilisée et transmise
par cette roue, pourra être de 74 à 75 p. 0/0,Le nombre de révolutions que cette roue doit faire par minute est depuisque sa vitesse v est de 1 mètre par 1" ou 60 mètres par 1'.En suivant la solution précédente, on a vu que la largeur à donner à la roue était de
lm76 ; on aurait pu obtenir une largeur beaucoup moindre, en la faisant tourner plus
vite et en augmentant la vitesse de l’eau. Supposons qu’on résolve la question dans
l’hypothèse que la vitesse de la roue dût être de 1 m 50, au lieu d’un mètre ; il faut alors
pour que la vitesse de l’eau sortant de l’orifice, soit double de celle de la roue, qu’elle
égale 3 mètres par seconde.La hauteur de pression du niveau au centre de l’orifice doit être pour cela de O'MG.Admettant l’orifice de la vanne également ouvert à 0m06, la hauteur totale au-dessus
de la roue serait
• Par conséquent -le diamètre extérieur de ceîlë-ci, ! -'Y'' ' ' "" '''"''' ":'}:. . '

La largeur de la vanne ■',/:■ .. .,,,,,…. •'. ….

et’.par suite la largeur de la roue = 1,1-1 -f- 0,10 = 1™21.

Cette largeur est, comme on le voit, .sensiblement’ moindre que, dans le, premier cas ;
disons aussi que l’effet utile que cette-rôtie plus étroite-marçhant à la vitesse de 1.050
par 1" sera capable de transmettre,,, sera 4. à 5.p.-0/0 plus faible. Cependantil peut être
préférable dans Men des circonstances’d’adopter cette largeur, plus.faible, soit pour
rendre la roue plus légère et plus économique de construction, soit encore pour la
mettre plus en rapportavecla vitesse à communiquer aux appareilla mouvoir. Ainsi il
est évident que cette roue devrait faire :, ..'"■.'■ '"

60 X ï*50^4m305 X 3,14 = 6,66reYolùlions^ar-inîiltitè,.''.1."." ''-'

tandis que la première n’en fait que4,44: -'■". ' ; - . -  ;: ;, ':: ':"'

"Les autres parties de la roué, qui se'détermiueraient d’ailleurs comme ci- dessus, se-"
raient à très-peu. près les .mêmes. . - -. . " . ' """" ' ' . J

On pourrait .encore construire la roue, en admettant une "épaisseur de lârnë d’èâu sensiblement
plus, grande que celle sur laquelle- nous avons basé lés Calculs précédents ;"
ainsi, on pourrait supposer que l’orifice fut ouvert à Oui 10 au lieu dé 0m 06 ;'dans ce
cas, là largeur de la vanne et de la roue serait bien moindre, jnais remarquons bien que
ce serait le cas le plus désavantageux, parce qu’il faudrait faire les augets plus ouverts,
c’est-à-dire que l’angle de la partie antérieure avec la tangente à la circonférence extérieure
et passant par son extrémité, au lieu d’être de 15 à 16°, devrait être dé 30 à,32°,
les augets seraient plus profonds: et plus écartés ; ils. déverseraient.beaucoup,.plus, tôt,
et il en résulterait, par suite, une différence en moins d’effet utile, qui pourrait s’élever
a.15 p. 0/0. Y '.."". : ,.- ■ ;.. . ;.■■: ;. .>., ;■.:.-,…,.. , ;: ;. ;.:… .

Il est vrai que la largeur de la vanne serait réduite à 1 mètre,- en ne faisant marcher
la roue qu’avec une vitesse de 1 mètre par 1", et qu’ellene serait -plus que de om67,
lorsque la roue marcherait à la vitesse de lm5Q, la profondeur des augets serait environ
de0m34, et leur écartemënt de Om 40. :. … ..^.. Y ;.-,, - -'•..■ ■• ■■ ;•■■: ■ :-Y. :■■.:. -- ; '

On conçoit qu’une telle disposition ne peut convenir que dans le cas où les volumes
d’eau à dépenser sont beaucoup plus considérables, et qti'on est tout à fait limité par la
largeur à donner à la roue. ; Y
.--- HOUES A. GALETTES ÏÏ/ANËS. - '■■■'. ;
388. On rencontre encore,"surtout dans les anciens moulins, des roues à palettes
planes placées dans des coursiers droits .ou-inclinés, et.dont le vannage est TerticaJ et
plus ou moins éloigné du centre de la roue…" /•

Ces roues nerendent habituellement que 0,25 à 0,35 d’effet:utile comparativement à
la force absolue du cours d’eau. Dans ces roues, -les aubes ont Z ai centimètres d’éeartement
des parois du coursier !; lorsque ce jeu est plus grand ; l’effet utile diminue notablement
 ; habituellement la largeur de ces roues est-égale à celle dû vannage. ■* . ■:.

Aujourd’hui, onneconstruitplusderouesapalettesplan.es dans dételles conditions ;
il est préférable, lorsqu’on veut avoir une roue à grande vitesse, d’établir des roues em-
DE DESSIN INDUSTRIEL. 263boîtées dans des coursiers circulaires, et recevant l’eau par un orifice chargé ou en
dessous.Ces roues se construisent de la même manière et avec les mêmes soins que celles de
côté et à déversoir ; elles n’en diffèrent, en effet, que par la disposition du vannage qui,
dans les roues de côté, laisse échapper l’eau en dessus ou en déversoir. Leur effet utile
est alors de 0,40 à 0,50, suivant que l’ouverture de la vanne est moins ou plus rapprochée
du niveau. Ainsi, plus le coursier est prolongé vers le niveau supérieur, plus on se
rapproche de la roue à déversoir et par suite plus on obtient d’effet utile.Pour l’établissement d’une roue de ce genre, on se conforme aux règles que nous
venons d’exposer pour celles à déversoir.Soit proposé d’établir une telle roue sur une chute de 1^75 avec une dépense de 440
litres par seconde. Supposons que le centre de l’orifice de la vanne par lequel l’eau se
déverse sur la roue soit à 0ra40 du niveau supérieur, et que la hauteur du même orifice
soit de 0mi5.On trouve, d’après la table xxxne, que la dépense d’eau pour un orifice chargé, dans
ces conditions , est de 255 litres par seconde sur la largeur de 1 mètre, on voit que la
roue devra avoirLa vitesse de l’eau à la sortie de la vanne, correspondante à la charge de 0,40, est de
2'" 802, par conséquent en faisant la vitesse à la circonférence de la roue égale à 0,55
de celle de l’eau, cette vitesse sera égale àLe diamètre de la roue est assez indifférent ; en construction, pour diminuer les frais,
on doit le réduire le plus possible ; toutefois il ne peut pas être moindre que deux fois
la hauteur totale de la chute ; ainsi, dans le cas actuel, il doit être au moins de
4 mètres ( ' ).Si cette roue était construite en déversoir avec le même diamètre et avec un orifice
ou épaisseur de lame d’eau de 0m20, la vitesse de l’eau étant réduite alors à 1"'981, la
vitesse à la circonférence de l’eau ne serait queet par conséquent le nombre de tours :1. On u prétendu souvent que les roues avaient d’autant plus d’effet que leur diamètre était
plus grand ; mais il est évident que la puissance transmise est en raison de la chute et de la
dépense d’eau ; que si la roue augmente de diamètre elle diminue de vitesse angulaire ou de
rotation, et que par conséquent la force qu’elle communique reste la même.m :.CQURS RAISONNÉ •■ ;.:

Mais alors, comme la dépense en déversoir d’un orifice, de Oî ? 20 ? sur un "mètre ' de
large (table xxxme)  est de 166 litres, la largeur delà roue est égale à :

Ainsi, ori voit que la"roue a grande vitesse est plus étroite que là roue en déversoir
pour la même dépense d’eau, et, par suite, plus économique de construction, mais aussi
sôïTèffetut.ile'est a pleine'de 50 p. 0/0, lorsque celui dé l.à.'roue de côté à'petite vitesse
peut s’élever, comme nous l’avons vu,,à 70 p. 0/0:

Quant aux autres dimensions de là 1 roue, nous renvoyons à ce qui a' été dit pour la
roue à déversoir. ' ,"•-.'-' ' . :. .' ■.".
, , BOUES A ADBES COUEEES. . .,■ ■
389. Ces roues sont accompagnées d’un vannage incliné à 1 de-base sur.1 ou:2 de
hauteur, c’est-à-dire de 45 à 60 degrés, et emboîtées à leur partie inférieure par une
portion très-courte de coursier circulaire et entre deux murs latéraux.

- Elles nese construisent guère que sur de liasses chutes, de 0m 50 à lm 30, et lorsqu’on
veut avoir une grande vitesse, leur effet utile-varié de 0/45 à 0,-55. - : •
, Il importe que le vannage soit le plus, près possible de ïa^circonféréncé de la roué et
de ménager au bas de celle-ci, à l’extrémité du coursier., un_ressaut de 10 à 15 cent, pour
faciliter le dégagement de l’eau ; ce ressaut commence à-une distance de la verticale
passant par l’axe de la roue égale, à la distance entre deux aubes consécutives .\L a vitesse
est de 0,50 à 0,55 de celle de l’eau, à la sortie de la vanné.

La largeur de ces roues se calcule comme les précédentes ; quant au diamètre,, on le
réduit suivant’la chute, il ne peut pas d’ailleurs être au-dessous de 3 fois la hauteur de
celle-ci.' -■ '"■ ■. ■ ^-"'" ;•'.' '''.■"' V ' : • ■ '-

La profondeur des aubes circulaires ou la ; largeur de la couronne dans le sens du
rayon ! est, égale aw 1/4 de laçhute augmenté de l’orifice ouvert.'
•Pourtdeschutes au-dessous delm20, l’ouverture de l’orifice ou l’épaisseur de la
lame d’eau-est en pratique de 0™ 20 à 0m22 ; elle doit se réduire a Ôoe 18, ou 0'" 16,
pour des chutes de 1™20 à 4m 50. •- V. ', ' ;

Les aubes se composent.d’une courbe cylindrique tracée par un seul arc de.cercle qui à
l’intérieur delà roue est, tangent au .rayon et forme, jivec la direction du filet de l’eau
qui passe- à l’intérieur de la couronne, un angle de 24 à 25 degrés. L’écartement des
aubes, mesuré à la circonférence extérieure de la roue pour l’angle de 25°, e'sfcde- 24 à
28 centièmes lorsqu’elles sont en tôle, et de 32 à 35 quand elles sont en bois. Le fond
du coursier doit être incliné d’environ 1/12 à 1/15, c’est-à-dire suivant l’hypoténuse
d’un triangle rectangle qui aurait pour basé 12 ou 15, et pour hauteur 1.
TURBINES ('). '■/ ■■
390. Parmi les turbines qui admettent l’eau à la fois ;sur.toute leur couronne, on
distingue celles qui dégorgent l’eau par leur circonférence extérieure,de celles qui la

1. Nous n’avons pu donner à. cette partie des moteurs .hydrauliques toute l’importance qu’elle
eomporle ;iious renvoyons nos lecteurs à notre Publicationjndustrièlle qui renferme les données
et détails de construction pour, l’établissement de ces appareils. . '■ ' {Arm, aîné.) 
DE DESSIN INDUSTRIEL. 26blaissent échapper en dehors. L’effet utile de ces roues varie de 0,55 à 0,65, de la force
absolue du cours d’eau.Dans ces roues, la dépense d’eau se calcule suivant les règles et tables citées plus
haut. Pour les premières, appelées turbines centrifuges, on détermine leur diamètre
intérieur en multipliant le 1/4 ou le'1/5 de la vitesse due à la chute totale par 785,4,
puis on divise le volume d’eau à dépenser exprimé eu litres par le produit obtenu, et on
extrait la racine quarrée du quotient.Exemple : Supposons une chute de 2"' 20, et une dépense d’eau de 800 litres par
seconde. On sait, d’après la table xxxir, que la vitesse due à une hauteur de
2m20 = 6m570.pour le diamètre intérieur du réservoir cylindrique qui surmonte la turbine.
On ajoute 4 à 5 centimètres pour le diamètre intérieur de celle-ci, ce qui donne :0m82à0m91.Le diamètre extérieur est égal au diamètre intérieur multiplié par 1,25, à 1,45, et
devient, d’une part : lm 025 à lm 189et de l’autre, lm 137 à lm319.Lorsque la chute et la dépense d’eau sont variables, on doit calculer les diamètres
dans les différents cas , afin de pouvoir adopter les plus convenables pour établir le
meilleur effet possible pendant la plus grande partie de l’année.Si la variation est très-notable, il convient d’établir deux ou plusieurs turbines calculées
pour les plus petites, les moyennes et les plus grandes dépenses.La hauteur des aubes, c’est-à-dire la distance verticale des deux plateaux entre lesquels
elles sont comprises, est habituellement le 1/5 ou le 1/4 au plus du rayon intérieur
de la couronne.Ainsi, dans le cas actuel, le diamètre étant 0,787 à 0,874, le rayon devient 0,3985
à 0,437, et par suite la hauteur des aubes = Om 10<= à OmllcLes aubes étant de forme cylindrique, leur naissance est normale aux conductrices
fixes qui dirigent l’eau vers elles, et forme, pour ces faibles dépenses d’eau, des angles
de 68 à 70° avec la circonférence intérieure de la roue, c’est-à-dire que l’extrémité des
conductrices forme avec cette circonférence un angle de 20 à 22 degrés ; lorsque les
dépenses sont considérables, cet angle peut s’élever de 30 à 45 degrés ; ainsi, pour une
dépense de 6 à 700 litres il a été reconnu qu’il fallait un angle de 30 degrés environ.Pour le maximum de l’effet utile, la vitesse de la roue doit être égale à environ 0,70
de celle de l’eau ; on peut en pratique s’écarter de 1/10 au delà de ce rapport de vitesse,
et de 1/5 à I/O au-dessous sans diminuer notablement l’effet utile. L’écartement des266:&O.UÏl^ltAlS0NN£
aubes, compté sur la circonférence intérieure, est à peu près égal à la distance des
plateaux de la turbine ; toutefois cet écarlement n’excède pas 18 à 20 centimètres ; les
distances intérieure et extérieure des aubes sont d’ailleurs dans le rapport des diamètres
de la roue.

Nous donnons dans le tableau suivant les dimensions principales, les données et
les résultats de plusieurs sortes de turbines établies dans ces dernières années par
MM. Fourneyron, Fontaine et André Koechlin.

Ces résultats ont été choisis dans les circonstances qui rendent le plus d’effet utile.
XXXVe., TABLE -^-DIMENSIONS ET. RÉSULTATS/PRATIQUES SDR DIVERS, GENRES DE TURBINES ;. ; NOMS DES.THRBINES ET BES CONSTRUCTEURS. ' '/.:' "'"•_-.' .TCRBINE TURBINE : TURBINÉ' TURBINE ■"" "0 ■ - • ' ;''-'"':.'..-DESIGNATION. .', - -de - , . ;. de ' -'.'_ . ,dû".'- . den"C". ' OBSERVATIONS-. , ;■'"''.' '."■. ;•-'•• - --.-MO'DSSAY,. ;/-.. MBÏBAÇH.', .': BOOCHET…. . VÀ'DBHAÏ."- ~ V -' :' "-* .) i ".ÉODEKExnOK. rOUBKETEOK. FOKTAIEE. ■/rOSTilKÉ. '■.' ^ 'Cliule totale…….>>*., ;, v 7m. 56 , ;. /, 3vM^,' ; :Mm,op- ;//. ;lm-40 ^/^^Dépense par seconde.- ;.': S27lit. . ; 2S0Ô-ïit. _ '- ; 218lit - ÛOOlit,■.' ;étaitplaçé au-rdessris du
Diamètre extérieur..: ;. ; dm 850. ./ -jm '90'"'"'.. lm 33 .. .'im 940 fond de ia couronne.
Hauteur de la couronne. ; . pm 1io ; . ,0m 335(1) . . « ■"- »'..■'--.: ','. •' 0f23 ' (2) La-.turbine'était"Levée.delà vanne….,. ; Om 071. ' Om 270 ' '  ; dm OS-  ; J ■'' ' i ' ''_■ noyée dé,Om-550.,-Nombre d’aubes.'…… "'.'…-"'. 32. " / '58. .64 • Pour de petites levéesNombre de coufbes’con- .'-■■." -' ;■ -'■: '■-.. ., ,-r-.' ;- ;,,: de » yarinesj’0iii-.05 paf:.'..-■'dnbtiiccs…..'.-..•. ;■■..:,' .:■'. :*** ;: i  ;i:.:.^:24.-' r--=-:::-:l 24.-■>.' -'"'■-.327^ ''/.'''•'' '■■■."c’,:'~ ■','. •':. ,-.■'-  ; .■ ' ■■..-•■•■■. ' ■ ■' -.r. exemple, cette tnrbineNombré-de,révolutions - - .''■'. ,, ■ "'„„ „„> ■'. -par-ftinnte ;……:,….. - 185 . ; /, 55/i,/ /-/. ;36 ; ' ; '"'. »':'■'''. ^S^W^-B ;0^--. Travail on effet, utile… 35chev. '. : 90. chèv. 2chev.r 18chév..'." /'.'"' '•,-/ . -Rapport de l’effet ntiie a ' " "■'. ; ' ." .."■". .-"■"• ■■■■•■ , .' " . .'//.-:, ;….l’effet absolu…… ;.. ./ ;7P 0/0. . l .7p"0/Q ;P) r /.^iP/pr . ' ,71/0/0' ' ." ■'• /:-^i/.:■■■ = ,'-'■ v
 ;,'# ¥ ;ï^'-Hr' ;"v:■ !/■ ;. yv_ .// ■".iURBrNES^JO^mtï ;'''':-'/'.-":^'' • / ^'"^/^Vlr/y.: '
: • '.'■'■-■ ;■ '-■■ ■-: -•'- ■ ' .cossTRmTES PAu.jàîi.'-AiiriRÉ KaECHLffnÉ-MniHûBsE. •• • ■■'■'■'■'-■•'•' '. ':'■■
■'.- ; DESIGNATION ; -'. :.- ^^-./:^. .^--^,- -^ i_ :,. ÔBSERYÀTlGNS.
'■_. " .. . . i.re TURBINE. - 2e TURBINÉ. 1./ TURBINE/..':. / ;:/ './i. ■:.'.':[\.'"/:'/'. .''-S4'ssÀ:bs-i&p.oM.'. : ?'i^PÀ( !Hri|^po.l(TiJ-.. :pu'BptCHEr.. ;--j ;^ ;;..,r:- ;^.V./-,.t ; ;, :■' Chute totaië.^. ; ;;, ;… ; y: 23'72b ;". //,-2K77 ■■-.//'. ''l’m".70 '■j-.ç-.ï- .•,■■.■$.') ■ A-lâ vitesse f de'.Dépense^ par secondé. ;, v .^84. litres." C-. : 47Ôdit, '.-".■.'' - ; ■■', 3551it ; . 90 tojjrs par,ra(nùtè, la■Diamètre extérieur….. 1. om 800 ' '■ d » 800 ' om 810 - moitié: sèulejnént: des^ar^dés^^^^Nomlredesaugeisr… ;. . :. :16, ; ■■:.,■ 18 ; : ; ;. v t ;. 18 - ;  ;; .Sontgarnis.deiléurson,.Section des orifices:en- - ;.. v' .:. ;:- ;" ;'■' -:':. ?•■-'■■'".' '"">  ; turatëùrs ; L’eM utileseml) le…………-..,. ; :om(i.290. ,,. / . Omq 220 , ; 0mqp706 ; cst encore.de. 70. ;à 71-Section de la'vanne de r, ;i"" .- ."'' ■ ■•'-■' -'.'■■ p. ; 0/0 du travail: mo„isortiéauli.asdëla-roue..: ;,. Omq 450 ; -. pmq.45 ".' ; Omq',2977 ..„ ; ' tej,ri' el 41 est, même.Noinljre.de tours..-. ;…. ;. . i« 8 i » PO-U .ïk .168 ^90-, ;'':" 90- w>" ; éhcétt jle'631 praf 0/d,. Trayait pu. effet utile. ;.  ;-:, 13 -chev…:- : ■ . ; 15- cliév. . '-  ;6 ch.ev.- ; ■■■*■ -lorsque tous les. angetsRa'pportdé i'effetutile à, ..--''.,■ .•':. '.'.." ,'■'. •■-■■■■- ":'■•"■. .: en sont garnis ; '- ■:■■■-. l’effet-absolu'.:.iC.- ;\. ' '. ; ^y-.ir ;) :: -, ^.-720/Q "'.. . '.720/0{') -'. .'' :.-''.DE DESSIN INDUSTRIEL. 267Note sur les machines-outils.VITESSE DE L OUTIL OU DE LA PIECE DANS LES MACHINES DESTINEES
AU TRAVAIL DES BOIS ET DES MÉTAUX.391. Les principales machines - outils employées dans les ateliers de construction
sont :1° Les tours simples, les tours à engrenages et à plateaux, les tours parallèles ou à
chariot et à fileter.2° Les machines apercer, de petites et de grandes dimensions. Les machines dites
radiales.3° Les alésoirs horizontaux et verticaux.4° Les machines à raboter, à outil fixe, ou- à outil mobile, ou travaillant pendant
l’allée et le retour.5° Les machines à mortaiser, à outil vertical avec plateau tournant.6° Les machines à fraiser, ou à schéper, à dresser les écrous ou les têtes de vis.7° Les machines à tarauder les vis, les boulons, les écrous, etc.8° Les plates-formes pour diviser et tailler les engrenages de toutes dimensions.9° Les cisailles droites et circulaires.10° Les balanciers, les découpoirs, les machines à river.11° Les martinets, les marteaux-pilons.12° Les scieries, droites, circulaires ou à chantourner.La vitesse de l’outil, ou de la pièce, dans ces machines, varie suivant la nature de la
matière, et suivant le travail que l’on veut obtenir.En général, pour la fonte douce ou de deuxième fusion, il convient de faire marcher
l’outil, dans les tours, les machines à raboter ou à mortaiser, à la vitesse de sept à huit
centimètres par seconde. Elle doit se réduire à quatre ou cinq centimètres au plus dans
les alésoirs, machines à percer ou à tarauder. Lorsque la fonte est dure, la vitesse
diminue notablement.Pour le fer, on peut sans inconvénient augmenter la vitesse de moitié, parce qu’on
humecte constamment l’outil, soit avec de l’huile, soit avec de l’eau de savon ; ainsi au
tournage, ou au rabotage, la vitesse peut s’élever à onze ou douze centimètres, et à l’alésage,
ou autaraudage, elle est environ de six centimètres.Pour le cuivre, ou le bronze, ou d’autres métaux analogues qui ne sont pas susceptibles
d’échauffer l’outil au travail, la vitesse peut être notablement plus considérable ;
et pour le bois, on n’a pas d’autre limite que celle déterminée par les dimensions
mêmes de la pièce et par la plus grande rotation de la machine.Quant à la p ?-essio ?i ou à l’avancement de l’outil, soit à chaque révolution, soit à
chaque passe, elle varie nécessairement suivant la force et les dimensions mêmes de la
machine, comme aussi suivant le degré de fini des surfaces que l’on veut obtenir ; on ne
peut évidemment donner autant de fer ou autant de pression à l’outil, sur un petit tour
que sur un grand, sur une petite machine à percer que sur un fort alésoir. Cette variation
peut s’étendre pour les différents métaux depuis un dixième de millimètre jusqu’à
un et même deux millimètres. Nous donnons au reste, dans la table suivante, laCOURS RAISONNÉ DE ÎJISSIN: INDUSTRIEL.vitesse de rotation qu’il conyierïtde donner soit à l’outil, lorsque la-pièce est fixe ; soit à
celle-ci, lorsqu’au contraire l’outil ne tourne pas, dans les tours, alésoif s ou machines à
percer. , - .-:'.',-,.: ■"'' ;-'.■"'•■: -,-""-• :. ;..'-' ■■,.■'..'. .-'.r '.■'. ;, ; • , "":- ■•Cette table pourra servir de guide dans rétablissement,des machines-outils, pour les
combinaisons de mouvement’qu’il importe-d’y appliquer selon lés dimensions des objets
que l’on se propose d’y travailler. Ainsi uu tour qui est destiné à ne tourner, par
exemple, que des pièces de quatre à vingt ou trente centimètres dé diamètre, doit avoir
des vitesses de rotation très-grandes, tandis que celui qui.>st ;principal’ément,appliqué
au tournage ; et à l’alésage de fortes pièces, comme cëïles’de un à deux métrés, "doit, au
contraire, être combiné avec des mouvements ; très-lents et en même temps très-forts.XXXVIe TABLE. — VITESSE ET. PEESSION DES OUTILS DANS LES -MACHINES.• ,- -■ . . ' T.O.URNAGE. Travail de l’outil PERÇAGE OU ALÉSAGE. :: Travail dé.l’ottlil-Nombre de révolutions •"" par heure, Nombre,de révolutions ; . pafcheure, '-.--en" "_ . pâr.1'. . • 1t1/2.mill. dépression. : , par/1'., v à 1/2 mill. de pression.: cGiîlîîïièlrGS ' .'■-*■■ -'-":.,. Fonte. ., Feri -Tonte ;. ; - Fer. v Fonte.- . .--Fer.,: '..Fonte.. "7.Fer.•-'-■ - cent. " cent. '. ' . ' cent. "'cent.-'■ 1 -.- 152.9 .229.4 458.S . -687.8 76.4 H4.6 ".229.2 -3/(3:92 "' "76.4 114.6 229'."2  ; 843.9 '38.2 ' 57.3 : 114:6. .171.93 >50".9■'" .76.4- 152.8. ^ 229.2-:, . 25.5■ ; •' "' ;38 ;2'"■• '■■'■■■ r-i7Sïi:'i "■ >i14.64'
38.2 57.3 114.6 '. 171.9 ' vî - 19.1 - . 28.7 …. 57.3 , :85-.9v.-'.s •■ " " 30.6 ■": 45.8 91.7 ~> 137.S S’ .15.3 22:9 - 45:8 '68.76 25.-3 38.2 76.4 114.6 .12.7- < 19.1' -^38,2 ;"- .  ;57.38 -19-1 28.7 , 57.3 . 85.3 '"■ 9.5 "- 14.3: 28:6, -42.910- 15.3 22.9- .45.8 ,.68.7 : .7.6 ï r11 ;;5 22.9 34.312 12.7- 19..1 38.2 5713 6.4 -9.5. -. 19..1 -28.615 - . 10.2. .. 15.3 "30.5 .45.8 5.1 \ '7.6 'V" V-.15i2 ' ;- 22.9>■ ■'./-■ ■''.-'.- Pression de ivmillim. ."' .' Pression de 1 nrillïin.:. ,20,. 7-6, .11.5 -  ;45.'8 , ■ .68^7'. : -. . 3:8 ' '  ;*:Si7 ■•''■ "'•'■'22f ;9" - : 34:3-. 25 6.1 " 9.2 36.6' -55.0- 3.0 ':■ -, 4:6, , .18:3-, .' .27.4 ,'30 5.1 . 7.6 30:5.'. ,45.8 : ' 2.5 > ' ï/s .*' '15.2 ''" 22.9" .35, 4:4 6.5 : ,26.'1 39.0 : - 2.2^.- "3.3 ,13.o: ■■',"19:6.' ; '40 ' 3.8 , 6.7 , 22.9 , …34.3- 1.9 2.9V 11.4" 17.1' 45- 3.4 5.1 ,20.3 '. V 30.5 :".:l’.7 . . . ,-2.5:-- ■ ;1Ù ;1V ' 15.2'.50'.'"" 3.'1 4.6 '. 18.3 27.4 V 1.5 2.3^ ,' '9.1 .. ■ 13.755 2.7- 4.2 -■ 16.2 : "24.9 -1.4 ' '-2.-1-" •'". .8.2. : 12.6"60 2-5 - 3.8 15.2 , 22.9.. J \:sr 1.9. "- 7.6 -11.468". ;' '- 2.3 '-'■ ■■- 3.5 - ! .14.1' 21.1. j 1.2 •- "1.8" ' "7.0" -10.5 .,70 2.2 3.3- 13.0 -T9,6.: I 1.1 .1.6 . .. " 6.5 ' : 9.775 2.0 …3.0. … 42.1 18.3.I" 1.0 1.5 , 6.0.' ,9.080 -- 1.9- 2.9- li.'4 ilA'ï 0.9 ;■'''•■■'T.4 '•"" : 5.7 " 8.590-' 1.7 2.5 . .'10.1 . 1.5 ;2 I 0.8 -1.3 5.0.■. "7,6100' "1.-5  ; ' 2.3 '9.1- "13.7 I 0.8 1.1 4.5" 6.8.110 ,.-.j:V ,2.1 - 8.2 … 12.6 . j. 0 ;7:-" 1.0. 4.4- ,6.2..120"' ■■"' ■I..3 '1.9 : 7:6 ' 11.4 S 0.6 . 0.9 , '3.7 . : 5.7130' 1.2 1.8 "--•"' -7(0.- 10.5 | 0.6 " 0.9 ' 3.4 ' :5.2'140 '1.1 1.6 6.5 '9.7-1 0.5 ,.0.8 3.2 - 4 ;8-150 1.0- .1.-5 6.0 …9.0 !' .0.5 ' 0.8 3.0 . -. 4.5.475 - 0.9 1.3 .■■■<■ -5.1 7..8-J’ 0.4. : ' 0.6 ; 2:6 • -3.9200 0.8 : .1.1.. -4.5- 6.8 0.4 . 0.6, '2.2 - .3.4.I :' 225 -■■ 0.7:. . ,1:0 - 4.0. - 6.0-  ; 0.3 "''0.5 1:9- 3.0' 250 0.6 ■ 0.9. 3.6 5.4 0.3 ■ 0.-4 1:8 . 2:.7.-275 0.5 0 ;8 3.3..' 4.9 - - 0.3 " 0.4 1.6 '2.4300 0 ;5 0.7 3.0.. . 4.5 - 0:2 0.4. ■ 1.5, : 2.2''.' "350 ■:■•"-■.'""" 0.'4 0.6 -2.5 . - 3.9 ' 0.2 ".' ■- 0.3 .'1.2., 1.9-.400 0/3. - 0.5 -2.2 - 3.4. 0.2" -0:3, 'l.l 1.6Chapitre ix.
ETUDE ET LEVE DES MÂCH1IM ES,

APPLICATIONS ET ENSEMBLES DIVERS.

392. Jusqu’ici nous n’avons eu à nous occuper du dessin industriel que sous
le rapport des tracés géométriques des organes principaux, cette première
étude étant d’une grande importance, nous avons dû nous y arrêter plus particulièrement
, d’autant plus qu’elle forme la base de la construction, car elle
comprend non-seulement la forme des objets, mais encore les proportions
qu’il convient de leur donner suivant les diverses fonctions qu’ils sont appelés
à remplir.

Les applications en sont très-nombreuses dans les machines, qui ne sont
réellement que la combinaison bien raisonnée de ces agents. Nous sommes
donc amenés à étudier ces dernières dans leur ensemble.

393. Les machines en général peuvent se subdiviser en trois catégories, les
machines-outils, les machines productives ou de fabrication, et les moteurs.

On entend par machines-outils, les instruments au moyen desquels on travaille
les matières premières, les bois, les métaux, la pierre, etc. : tels sont
les tours à chariot, à engrenages, à plateaux, les machines à percer, à aléser,
à mortaiser, à raboter, à canneler,à river,et en général, les cisailles, les découpoirs,
les scieries, etc. On doit combiner les mouvements de ces machines
de manière à ce que l’outil proprement dit, c’est-à-dire la pièce qui
attaque la matière, marche à une vitesse convenable et en rapport avec la
nature du travail.

Nous avons réuni à ce sujet dans les notes qui accompagnent notre texte,
quelques données ou résultats d’expériences, qui peuvent servir de guides
pour la combinaison des mouvements dans l’établissement de ces machines.

Les machines productives ou de fabrication embrassent les métiers de filature,
de tissage, les machines à imprimer, les pompes, les presses, les moulins
à blé, à huile, etc. ; enfin les moteurs comprennent les manèges, les moulins
à vent, les roues hydrauliques,. les turbines, le machines à vapeur, etc.

Pour l’étude des machines, nous avons choisi de préférence dans ces catégories,
celles qui offrent le plus d’intérêt et de généralité, comme une ma49

a70„ - COURS’. KAI§0:NNÉ: ■ .' ;,■■■
chine à percer dont l’emploi est si fréquent dans les ateliers de serrurerie',.de
mécanique, de chemins de fer, une pompe à élever l’eauV qui sert à l’usage
domestique comme aux fabriques et manufactures, une roue hydraulique de
côté-et une roue en dessus ayec leurs diverses formes d’aubes et d’augets, une
machine à vapeur à haute pression 1 et détente ~a\ ec les tracés géométriques
qui déterminent les positions relatives des pièces principales, et enfin un
moulin à blé marchant par courroies ; d’après le système récemment adopté.
Avant de donner la description de ces machines, il convient d’habituer
l’élèye à dessiner d’après-nature, car jusqu’alors il n’a fait que copier des
modèles graphiques à des échelles différentes ; cette opération consiste à
tracer à la main et en conservant autant que possible la forme et les proportions
des pièces, les élévations, plans, coupes et détails d’une machine,-et à
mesurer, avec un mètre toutes les dimensions de chaque pièce en les indiquant
par, des chiffres sur chacune d’elles ; ce double travail de erôquer.-et de coter
constitue l’étudedulevé des.machines. .-".,..'., ■■■■'.■■-.':'' ^ -

,■■■•.::•■■ : LEVÉ DES--MACHINES. "—:,r- -■■■ ;■'■'■-.[. ;
■ '■'.'.''.. , „:.  !' ;.-'…" ■/:-- iPlanchesMetm^.' ".-■ -■:…'. ■'.- :^' V

394. Avant de commencer Të levéou le croquis d’une machine exécutée, il
est indispensable de bien examiner d’abord son organisation^, lé jeu des diverses
parties fonctionnantes, les agencements intermédiaires: mécaniques■', et enfin
le résultat qu’elle produit ; cet examen préliminaire a pour objet de bien pénétrer
lé dessinateur des parties principales qu’il doit faire ressortir, lorsqu’il
aura à mettre son dessin au net et par suite à le fixer sur les vues d’ensemble
et de détails qu’il doit relever, dételle sorte qu’à Faide de cès ;croquis, la machine
puisse être réprésentée d’une manière complète-et que le dessin au- net
puisse servir àl’exécution d’une semblable, :■' ."
-■■- ; MACHINE A TPEReÊR. .^
• ■'_ - . ■ ■{ Plane Me 35.)  •■-,-■ - "" ;• -■ " ' • • ;'

395. Afin dé donner une idée plus précise du levé des machines, nous prenons
pour modèle une machine simple que nous supposons représentée en
perspective ( 1)  (fig.A) ,pour remplacer lemodèle en relief.

Cette machine est destinée à percer des métaux ; elle. se compose, d’une colonnevertiCale
en fonte A ', laquelle peut faire partie du bâtiment, de l’atelier
ou de l’usine. Cette colonne est creusé et,repose par sa basé élargie sur un
dé en pierre B, encastré dans le sol, et supporte à sa partie supérieure la
poutre C. .
1'., Nous, faisons: voir dans 1& chapitre xei les "principes généraux teperspective -parallëlô ei
de perspective, exacte. , .'■■:, .'"■-'•.. :.■'.-.:. ■ .-. '.-\-.--.." … : ._.DE DESSIN INDUSTRIEL. 274
On a ménagé contre une partie latérale de cette colonne, une face verticale
et dressée D, pour recevoir les trois chaises en fonte E, F et G, qui y sont fixées
par des boulons. A la partie opposée 1) ' de la même colonne est adaptée également
la chaise H, qui, avec celle F, sert de support à l’axe horizontal I. Cet
axe porte d’un côté la poulie J à plusieurs diamètres, sur laquelle passe la courroie
de commande K, et vers l’autre extrémité le pignon d’angle L qui engrène
avec la roue conique plus grande M. Celle-ci est montée sur l’arbre
vertical N, qui n’est autre que le porte-foret, ou porte-outil, mobile dans
les collets des chaises F et G. Cet arbre reçoit un double mouvement, celui de
rotation continue et plus ou moins rapide suivant que la courroie K embrasse
l’une ou l’autre des circonférences du cône J, et l’autre vertical et rectiligne
au moyen de la vis de rappel 0, qui a son écrou dans la douille de la chaise E.
Cette vis porte à son sommet une roue droite P, avec laquelle engrène le
pignon à joues Q, dont l’axe R se prolonge en contre-bas et se termine par un
petit volant à poignée S, faisant fonction de manivelle.

La pièce à percer ou à aléser est pincée entre deux mordaches a a', ajustées
à coulisse sur le plateau T, et que l’on peut l’approcher ou écarter à volonté
par la vis de rappel b, dont la tête porte une manivelle d’étau. Le plateau T
est en deux pièces, pour former collier autour de la colonne A, et se fixe à la
hauteur convenable, contre celle-ci à l’aide de la vis de pression c ; on règle
la position exacte de ce plateau par rapport au foret d, suivant l’épaisseur de
la pièce à percer au moyen de la crémaillère verticale Ù, qui est appliquée
contre la surface de la colonne et avec laquelle engrène un pignon droit dont
l’axe e porte à son extrémité une manivelle/. La rotation de cette manivelle
détermine celle du pignon, et par suite l’ascension ou la descente du plateau.
Ainsi la machine à percer remplit les conditions suivantes : d’une part le
foret d est animé d’un mouvement de rotation plus ou moins rapide, en
même temps qu’il descend verticalement avec une vitesse très-lente, et qui
varie d’ailleurs suivant la nature des matières, et d’autre part, le plateau qui
porte la pièce à percer peut être réglé à la hauteur convenable, d’après les
formes et les dimensions des objets, comme au besoin il peut s’excentrer par
rapport au foret, en le tournant autour de la colonne.

396. Le dessinateur après s’être ainsi rendu compte de la composition et de
la fonction de chaque pièce de la machine, peut procéder à son relevé. Il doit
d’abord faire une espèce de vue d’ensemble sur laquelle il indique par de simples
lignes la place des pièces principales.

On voit fig. lre l’élévation géométrale de la colonne A, avec la position relative
des chaises et du plateau qui ne sont indiqués que par leurs contours ;
on a le soin dans ce premier canevas, comme pour le dessin au net, de mener
soit à la main , soit à la règle , des lignes d’axe qui servent de guides ; ainsi
après avoir tiré la première ligne d’axe g h de la colonne A, on trace de chaque
côté les parties qui en forment le contour ; on mène ensuite parallèlement la
ligne d’axe ij, de l’arbre porte-foret N, puis la ligne horizontale k l, qui re-

présente l’axe de l’arbre du pignon d’angle L, et des poulies motrices J, et de
'même les droites m.n, o p, g r, qui expriment lés. lignes milieux des .chaises
E, F, G ; et enfin- les lignes.s i, et w V, du plateau T et delà chaise H ;
comme aussi les lignes extrêmes x- y et w z de la basé et- du sommet de
la colonne, Dans cet état il faut coter le croquis. La colonne étant garnie
 ;des pièces principales de la machine & percer,et ayantune hauteur à laquelle
il n’est pas possible d’atteindre à la main, on détermine sa hauteur
totale y'z.,:à ; l’aide d’un fil à plomb qu’on ; suspend au point s, dé là, poutre
C, qui repose: sur la colonne, et on mesure ce fil, soit avec une longue
règle, soitavec-un cordon métri que,-pour en porter la cote en mètres et
fractions de mètre, sur la ligne d’axe gh. On mesure ensuite: les diamètresa la
base et au sommet de la colonne, ainsi que ses différentes moulures. Ces dia-,
mètres peuvent se mesurer soit avec un compas d’épaisseur ,^dqnt.on porte
l’ouverture sur le métré pour y lire la cote que l’on écrit sur le croquis, soit
en enveloppant la circonférence, au moyen du cordon-ou d’un mètre trèsflexible.
Ge dernier moyen est toujours employé pour lés cylindres de grandes
dimensions, quand il n’est pas -possible de prendre la mesure sur l’une de
leurs bases. Dans ce cas, pour obtenir le diamètre, il faut diviser,:comme on
l’a vu (72 j,.lacirconférence trouvée par 3,1416./  ;;

Pour avoir la distance de ij àg h, de la colonne, ou applique l’extrémité
du mètre en 'i' contre la surface de la colonne, et on le dirige vers le-centre i
de la roue Pou de la vis-de rappel O ; le chiffre qu’on lit sur le. mètre indique
la cote W, ,à laquelle-on.ajoute le rayon if42, de,1a colonne.' ;• v ■

Si le centre « n’était pas abordable avec le mètre, on. prendrait la distance..
intérieure qui existe.ent.re la sufacë de la colonne et celle ; la vis, et on ajouterait
le rayon de celle-ci et le rayon de colonne.Ces mêmes distances-s’obtiennent
avec une règle lorsqu’elles dépassent la" ; longueur 4u mètre.

Enfin, lorsqu’on a acquis une certaine, habitude, on peut mesurer directement
la distance i i2., en appliquant-lemètre ou la règle, sur la. surface de la
colonne vers son milieu et sur la surfacede l’arbre ou de la vis également vers
son axev . .'"V" -,' ', '..,'.: :•':■•: :. <,..:',■ .■ ;-•-..'-,,,.",. .

11 faut aussi, coter les distances verticales qui existent entre les différentes
lignes horizontales m n, o p,q r, s t ,- ;etc. Les cotes indiquées sur la fig. lre
montrent suffisamment comment toutes ces distances sont mesurées.

Cette "première opération- permet déjà de .fixer sur le dessin à faire, la position
relative des objets qui composent la machine -que l’on^-relève ; il s’agit
maintenant de croquer et coter' toutes.les parties dés pièces de la machine- à
cet effet, pour éviter la confusion^ il est indispensable de■dëtaclier -chacune
de ces pièces, afin de les faire voir sous divers aspects et d’y indiquer toutes
les dimensions. ' ■-…-.'i '■■.'..',-■''.) :''-:

Les fig., 2 et 3 représentent en élévation et.en plan le détail de la chaise
principale F„qui porte les arbres I et NViavëc.le^pignonvL et la roue .M, Ces
vues ne suffisent pas encore pour bien déterminer toutes les parties de,cette

chaise, ainsi on est obligé de faire une section, telle que celle faite suivant la
ligne 1-2, et projetée' fig. 4, afin de montrer la forme exacte des nervures ; on
est également dans la nécessité de faire une vue de côté fig. 5, de la bride b',
qui maintient l’arbre N contre la chaise, et de plus une section verticale fig. 6,
suivant la ligne 3-4, pour montrer le coussinet qui embrasse le tourillon de
l’arbre I ; ce détail est fait autant que possible sur une échelle plus grande pour
indiquer les ajustements et les cotes, et on observe que pour pouvoir faire
une telle section, lorsqu’on n’a pas encore l’habitude de la construction, il
faut nécessairement démonter certaines parties, telles que le chapeau, le coussinet
supérieur, etc.

Pour les engrenages, il suffit de faire la section de la jante et du moyeu,
comme l’indiquent les fig. 2 et 7, et une section fig. 8 de l’un des bras, lorsque
la roue en comporte, puis de compter le nombre de dents et de bras.

Lorsque toutes les parties d’un détail sont ainsi croquées, soit en élévation,
soit en plan, soit en coupe, on cote toutes les dimensions, comme elles sont
indiquées sur les figures, en ayant soin de bien examiner à l’avance celles qui
sont indispensables pour le dessin au net. La cote du diamètre primitif et de
la largeur des dents , suffit d’après ce qui a été dit sur le tracé et la construction
des engrenages, pour les établir et les mettre en rapport. Cette observation,
qui peut s’appliquer également à d’autres organes, permet de simplifier
notablement le croquis.

On détaille de même les autres pièces de la machine ; ainsi les figures 9,
10 et 11 représentent en coupe verticale, en plan et en vue de côté, une portion
du plateau T, avec ses mordaches, son axe et son pignon. La fig. 12 est
une section verticale de la partie inférieure de l’arbre N , avec la vue de face
de son foret cl ; la fig. 13 est une section de la poulie à plusieurs diamètres ou
cônes J, les fig. 14 et 15 montrent la section verticale par l’axe et le plan
du manchon à douille V, qui assemble à rotule la partie supérieure de
l’arbre N, avec la partie inférieure de la vis de rappel 0. Enfin les fig. 16 et 17
donnent un détail complet de l’ajustement et du mouvement du plateau T,
avec le mécanisme qui sert à le retenir à diverses hauteurs. On voit par ces
figures, et par la fig. 1, qu’en tournant la manivelle/, le pignon m engrène
avec la crémaillère U et produit le mouvement d’ascension ; un cliquet n et
une roue à rochet o maintiennent le plateau à une hauteur invariable. Lorsqu’on
veut faire redescendre celui-ci, on soulève le rochet par sa poignée p,
et l’on tourne la manivelle en sens contraire jusqu’à ce que tout le système
ait atteint la hauteur nécessaire.

397. On a indiqué, sur tous les détails précédents, les cotes telles qu’elles
doivent être relevées sur la machine, et toujours exprimées en millimètres,
comme nous l’avons d’ailleurs admis dans tous les modèles qui précèdent,
parce que le millimètre est une unité très-petite qui évite les fractions. On a
aussi touché, comme on le fait habituellement, certaines parties dont la complication
ou les formes diverses pourraient faire confusion et entraîner à des

erreurs/Cette méthode permet, au moyen de quelques coups de crayon, de
reconnaître toujours par une seule: figure quelles sont les parties rondes
d’une machine. \ : .-• . - ' ' •

Pour faciliter les croquis aux commençants,-nous lès engageons.à tracer à
la règle les lignes, d’axes’,, et au compas les cercles principaux., quoique les
dimensions ne soient pas dans les proportions exactes, afin d’arriver à plus de
netteté et plus de régularité dans lés figures. C’est dans ce but qu’on emploie
quelquefois, comme "guides, des feuilles de papier dites quadrillées, dont les
lignes sont verticales et horizontales et également espacées ; telle est la'portion
" de la planche 35, dans laquelle sont compris les croquis fig ; 9,10 étdl.-

On comprend que si Tes lignes du papier quadrillé sont à des distances
métriques égales, comme à 5 ou 10 millimètres, il peut" servir également pour
établir des projets de machines, en permettant de croquer ou de dessiner immédiatement
avec les proportions voulues pour les pièces,-sans avoir recours à
une échelle. .': / ' ' - - ' ■■■'■_..

L’exemple que nous venons de donner comme introduction au levé des
machines peut déjà familiariser l’élève à cette opération. Lés applications
contenues dans les modèles suivants compléteront une telle étude, qui est
d’une grande-importance pour le dessin et la construction. '■• \ , ! "-' ■ ;-'■'

MOTEURS. —ROUES HYDRAULIQUES ;  ; i

'-': ; : -•- ;■' {Planche 36.) '\ -' ; .■ . \

.398. La roue hydraulique représentée fig. 1 est à aubes planes emboîtées
dans un coursier concentrique et recevant l’eau en déversoir un-peu au-dessous
de son centre. :■ . ".'■■ .-•. ;'■'■■■•-

Elle consiste en plusieurs couronnes parallèles A, dans ;lesquelles sont, encastrés
les coyaux B en bois qui portent les aubes ou'palettes G. Lorsque ces
couronnes .sont en fonte, comme onl’a. suppose 1 dansy cet exemple, elles sont
fondues avec des bras ou croisillons D, etavecleur moyeu E,-pour se fixer
par des clavettes « sur un arbre F, également en fonte.: . " ' .■ ' •

La tête du coursier G, qui enveloppe la partie inférieure de cette roue, est
formée d’une pièce en fonte H, appelée col de cygne, qui s’emboîte sur la'
charpente transversale I, et scellée dans les deux murs latéraux fou bgjoyers.
Contre ce col de cygne s’appuie la vanne plongeante J en bois, au-dessus de
laquelle s’écoùleune certaine épaisseur de lame d’eau qui se déverse successivement
sur toutes les aubes.de la roue pour la faire tourner dans le sens de
îa flèche. La rotation de cette roue hydraulique se transmet par la roue
droite R, montée sur le bout de son arbre F, à un pignon en fonte L,.dont
l’arbre de couche communique avec les machines à mettre en action.

En donnant ce modèle, nous avons eu en vue d’examiner ce moteur, nonseulement
sous le rapport du dessin proprement dit, mais encore sous lé
DE DESSIN INDUSTRIEL. 275
rapport du levé, de la construction et de l’établissement de la roue, du
coursier et de son vannage.
CONSTRUCTION ET ÉTABLISSEMENT DE LA ROUE, COURSIER ET VANNAGE.
Le coursier G est construit en pierres de taille dont les joints latéraux concourent
au centre o de la roue, et assises sur un massif en moellons. Toute
cette maçonnerie est faite en mortier de chaux hydraulique, et jointoyée en
ciment romain. Dans certaines localités le coursier est en briques ou en
pierres meulières et quelquefois en bois. La surface concave apparente du
coursier doit être exactement cylindrique et concentrique à la circonférence
extérieure de la roue ; aussi, avant de mettre celle-ci en place, il faut préalablement
dresser cette surface, ce qui se fait soit à l’aide d’un faux arbre, soit
à l’aide de l’arbre môme qui porte la roue. Voici comment :

L’arbre F, muni de ses tourillons (146) , est placé à la hauteur exacte
qu’il doit avoir, et mobile dans des coussinets ajustés sur des plaques de
fonte assises et fortement boulonnées sur les murs latéraux.

On monte sur cet arbre les couronnes A, qui se relient au moyeu par huit
bras ; on adapte à l’extérieur de ces couronnes, mais d’une manière provisoire
seulement, deux rayons ou montants en bois, qu’on relie par une large règle
ou planche dont l’arête extérieure est limitée au rayon exact de la roue et
bien dressée parallèlement à son axe. On comprend qu’en faisant tourner
l’arbre sur ses coussinets , l’arête extérieure de la planche engendre une surface
cylindrique qui est justement celle que doit avoir le coursier ; on peut
donc aisément, en se guidant avec cette règle, donner à cette surface la
forme exacte qui lui convient.

La partie inférieure du coursier se prolonge à partir de la verticale o b,
suivant un plan bc légèrement incliné jusqu’au delà de la roue, pour faciliter
l’écoulement de l’eau.

La charpente I, qui couronne la maçonnerie du coursier, et qui reçoit le
col de cygne H, est aussi cintrée intérieurement comme le coursier, afin de
permettre à la vanne de s’approcher le plus près de la roue : le col de cygne II,
qui forme la crête du coursier, est en fonte plutôt qu’en bois et en pierre,
comme exigeant beaucoup moins d’épaisseur pour résister à la pression de
l’eau. Le sommet du col de cygne se trouve au-dessus du niveau de l’eau, à
une distance verticale déterminée par la plus forte épaisseur de la lame d’eau
que l’on veut admettre sur la roue. Cette lame d’eau varie essentiellement
suivant le volume d’eau à dépenser et la largeur que l’on peut donner à la
roue. La maçonnerie forme , en avant du col de cygne, une cavité M, destinée
à loger la vanne et à permettre d’y descendre au besoin pour nettoyer le
"fond ; la surélévation de cette maçonnerie a pour effet d’empêcher les corps
flottants, arbres, branches, etc., indépendamment d’un grillage placé en
avant, d’arriver jusqu’à la vanne.

■ La vanne, plongeante se compose de deux fortes planches de chêne, assemblées
à rainures 'et languettes, et plus épaisses vers leniilieu qu’aux extrémités,
quand la largeur de la roue dépasse 1 mètre 50 centimètres. L’inclinaison
de'cettèvanneJ est déterminée par une ligne perpendiculaire à l’extrémité du
rayon of, tracé versle milieu ou les deux tiers de l’épaisseur de là ;lame d’eau ;
elle est mobile, dans -deux poteaux en bois N + entièrement 'encastrés dans les
murs latéraux ; sur sa partie supérieure sont’agrafées des ëquerrés en fer
destinées à recevoir à charnières"deux crémaillères droites’ en fonte 0, qui
s’élèvent jusqu’au-dessus, de la charpente P, appelée chapeau de vanne ; et qui
relie les deux poteaux Nî Ces crémaillères s’appuient d’un côté sur des rouleaux
à joues h, qui leur servent de guidés et engrènent de l’autre avec des
pignons droits g, montés sur un même axe horizontal.. Ce dernier se prolonge
d’un bout ducô.té du bâtiment de l’usine, pour porter la roue dentée Q ; avec
laquelle engrène la vis saris fin K., que l’on’peut manoeuvrer à volonté de
l’étage supérieur, à"l’aide d’une manivelle, ou volant à main, montée sur son
axe vertical. Ce mouvement permet de régler la position de la"vanne, et par
suite l’épaisseur delà lame qui 'passe sur eHe, comme d’interrompre au besoin
l’arrivée deTêausur.Ia roue. -.■'.'- ,-… ;. •-. • ."-■■''■

' L’a. couronne À de la roue étant en fûnte>, on a dû, pour en réduire lé poids
autant que possible,'y ménager des évidements ï, "comme le montrent l’élévation,
fig. .1, et la section, fig,. 2, faite suivant la ligne circulaire 1-2. On y a
également réservé, des.mottaises pour recevoir les queues ou tenons des
coya'uxB. ' '■■■'-■■ï. : ' ;■" '.''.' '":"

,'•, Lorsque la roue porte des contre-aubes. ; ■co'mme.ofr le voit sur la partie
inférieure de la fig. I1 ?; et ce qurâ lieu lorsque la dépense d’eau et par suite
l’épàisseur-de la lame qui passe par-dessus la vanne est peu considérable ; les
coyaux sont" trës^courts, et dépassent très-peulës couronnes extérieurement ;
mais quand\au contraire la roue ne porté pas "de contreTaubes, ce qui a lieu
quand le volume d’eau et par suite l’épaisseur de la lame sont considérables,
les aubes C et les coyaux B se prolongent notablement en dedans des -couronnes,
comme on l’a supposé à la partie.supérieure de la fig. "1." Dans l’un
Comme dans l’autre cas, les queues des coyaux sont toujours dirigées suivant
des’rayons qui concourent au'cèntre: dela.roue, et retenues aux couronnes
par dés clavettes eri ferj. Quelquefois, pour faciliter l’ajustement dès-coyaux
sur lesv couronnes, au lieu de lès’emboîter dans des mortaises 1 fermées, on lés
ajustée queue d’hirohde sur ïe côté, comme le montrent les fig. 3 et 4, en
les retenant alors par des cales de côté ; par ce dernier ajustement, on évite
de faire des entailles dans les coyaux: ' . ■••"."." '-':-

Lorsque les couronnes sont en bois, on est nécessairement obligé de les
faire en plusieurs parties que Ton assemble à tenojis et à mprtaisesfig: 5 et 6,
et pour consolider le joint on rapporte, dé chaque côté, des cintres en fer mince
k, qui d’un bout sont reliés par dés boulons, et de l’autre, par des clavettes dont
le serrage détermine le rapprochement des deux parties dé la couronne. Dans

ce système les coyaux sont ajustés à queues et à clavettes, comme l’indiquent
les flg. 7 et 8,et les bras en chêne sont assemblés à tenons avec la couronne,
et reliés par des brides, comme le montrent les flg. 9 et 10.

Les aubes C de la roue sont formées de planches de chêne ou d’orme, que
l’on fixe sur les coyaux B, par des boulons l.

Les co ntre-aubes S, s’appuient sur le bout des aubes et contre les fonçures S’,
et se clouent sur de petits tasseaux en bois m. L’espace libre réservé entre le
bout de l’aube et la fonçure sert au dégagement de l’air. Lorsque les aubes
sont prolongées, elles sont nécessairement formées de plusieurs planches mises
bout à bout.

400. TRACÉ DE LA ROUE HYDRAULIQUE.—Les explications que nous venons
de donner, font comprendre les particularités relatives à la construction de la
roue, du coursier et de son vannage. Le dessinateur doit alors en faire le tracé
en procédant de la manière suivante. Il place le centre o de la roue à la rencontre
de deux lignes qui se coupent à angle droit, et décrit de ce centre un
premier cercle avec un rayon égal à celui de la roue et du coursier ; il divise
alors cette circonférence en autant de parties égales qu’il y a d’aubes. Ce
nombre doit toujours être divisible par celui des bras de la couronne, afin de
ne pas être gêné pour le placement des coyaux ; de chacun des points de division
, il tire des lignes concourant au centre et qui représentent le côté des
coyaux sur lequel s’applique chaque aube. Il trace ensuite les deux cercles
qui expriment la largeur de la couronne, puis le contour entier d’un coyau et
de son aube, suivant les dimensions cotées, il indique de même la clavette et
les boulons ; il observe alors que pour compléter le dessin, il lui suffit de tracer
une suite de circonférences passant par le centre des boulons, par les
extrémités de l’aube, du coyau, de la contre-aube et de la clavette. Quant à
l’aube et aux bras de la couronne, ainsi qu’aux engrenages de transmission,
il doit se reporter au tracé et aux explications concernant ces organes ; il en
est de même du mouvement de la vanne, qui se compose aussi d’engrenages,
dont il a fait également les études.

401. PROJET D’UNE ROUE HYDRAULIQUE. — S’il s’agit de faire le projet de
construction d’une roue hydraulique, analogue à celle que nous venons de
décrire, il suffit de connaître la hauteur de la chute et la dépense d’eau ou le
volume disponible par seconde, et de recourir aux calculs et règles pratiques
qui accompagnent ce texte, pour déterminer, d’une part, le diamètre et la largeur
de la roue, puis la profondeur, l’écartement des aubes, et par suite le
nombre de celles-ci. En recourant également aux tables et notes relatives à la
résistance des matériaux (m 0 chapitre) , on complète les autres dimensions
pour l’arbre, ses tourillons, la couronne et ses bras.

L’étude d’une telle roue se trouve simplifiée si on observe que certaines
dimensions, telles que l’épaisseur des aubes, la section des coyaux et des
couronnes, le diamètre des boulons, etc., et celles du vannage, ne varient
pas sensiblement et qu’on peut s’en rapporter, à cet égard, complètement

à celle indiquée sur le dessin, qui lui-même est relevé d’après l’esécution.
. 402, LEVÉ ; D’UNE ROUE-HYDRAULIQUE. — Le levé d’une roue hydraulique
établie ësttrès-simple si on observe que lés mômes pièces se répètent, et qu’il
suffit d’avoir les dimensions -de l’une d’elles ; ainsi, par exemple, après avoir
mesuré le diamètre et la largeur totale de la roue à l’aide d’une longue règle,
et compté le nombre d’aubes, celui des couronnés et dès bras, on prend le
crôquis.et les cotes d’uïie seuïe ;aube * de,sôn çoyau et de ses attaches, ; on relève
.de môme la section d’une couronne et ds. l’un de ses bras,,.et’enfin celle
de l’arbreetdu moyeu.  ; -■ , : — rv.': - -'.-.'■■■■■ -..■-■/■'- : ; -, ;.'■'.

Les détails indiqués fig. 2 à 10 montrent bien ; les principales parties- détachées
à relever séparément avec l’indication des cotes correspondantes. La
fig ; 2ff est uné^sectipn transversale d’un des bras D, en fonte, près du moyeu,

Le levé du vannage consiste à faire, une section des poteaux dé vanne et de
leur chapeau, et de la vanne elle-même,puis un détail d’une-des crémaillères
de son pignon et de sonrôuleau, comme delà roue et delà-vis sans, fin ; quant
àTinclinaison de la vanne et des poteaux, on a vu qu’elle était déterminée par
des perpendicùlairesrau rayon passant vers le milieu de l’épaisseur de la ; lame
d’eau à la circonférence de la roué. On peut au reste la déterminer à,l’aide
d’un fil à plomb abaissé de l’une des arêtes du chapeau de Tanne jusque vers
leuiveau:de l’eau, et enmesurant la distance horizontale s s, du fila plomb,
àl’uhe des faces du poteau,-etla hauteur vertiçaleri,-une,règle disposée
suivant l’inclinaison du.poteaii et descendue jusqu’au col de cygne, jpermet
toujours de mesurer là distance du sommet de celui-ci, soit par rapport à la
ligne horizontale prolongée r s, soit par rapport au chapeau de:lavvanné:pour
avoir d’une manière/exàcte la distance horizontaler.s, que l’on peut d’ailleurs
supposer jrune distance quelconque au-dessus de l’eau, et que l’on traeed’oidinair'è'sur
l’un de^mur's latéraux du canal d’arrivée d’eau, il est convenable
de'Së servir d’un niveau à bulle d’air qu’autre ; (Fl.l ?s,)  ; 1- -. ;

Pour pouvoir relever exactement le colde cygneet le ^coursier, on est presque
toujours dans l’obligation d’établir'en amont un: batardeau qui permette
dé.mettré à sec toute latêtëducoursier, et d’enlever d’une part la vanne et
de l’autre quelques aubes de la roue. Nous pouvons remarquer que ce travail
peut: être évité, en sachant que la hauteur et i:épaïsseur du col dé cygne sont
à trèVpeu près toujours égales à celles indiquéesfig. ;, 11.,- et en se rappelant
que les joints des. pierres de taille y dës,njoèl.Ion.s ou briques, dont le coursier
péutêtrë formé ^concourent au centre de la roue. > -i , . J ,
■': ' .''' '■ - , ROUE ;EN DESSUS OÙ A ÂUGÉTS. '",:\ "'--''■
'.-"'- .'.'■•  ; [Kiguréi%.)  ._. . ;'-'". '. :.-,

. 403.. CONSTRUCTION DE LA ROUÉ ET DE SON VANNAGE.— ,Les roues à augets
reçoivent l’eau par une vanne disposée à leur sommet et la déversent à leur
partie inférieure ;, elles se construisent en bois ou en fonte. ; Dans le premier
cas, qui est le plus simple et le plus économique > l’arbre, les bras et les cou-

ronnes sont en chêne, et les augets et la fonçure sont aussi en chêne ou en
tôle, telle est la partie inférieure de, la roue représentée sur le dessin fig. 12.
Comme cette roue est d’un petit diamètre, son arbre F est réduit à 6 pans,
par suite chaque couronne A de la roue ne porte que 6 bras D ; ceux-ci s’emboîtent
et se fixent par des boulons sur un tourteau en fonte E, qui lui-même
est assujéti sur l’arbre par des cales ; la section transversale, fig. 13, fait comprendre
cet emboîtement. Les couronnes en bois A, se composent habituellement
de deux cintres superposés et à joints contraires, fig. 14 et 15, pour
éviter le travail du bois et la déformation qui en résulte. Ces cintres sont
réglés par des vis v, des clous, chevilles, ou mieux par leur assemblage avec
les bras D, qui se fait par deux boulons comme l’indique la section fig. 16. Les
augets C sont ou encastrés d’une petite quantité, par le bout, sur la face intérieure
des couronnes, comme on le voit en c’, fig. 1k et 15, ou retenus par
des tasseaux c, et de forts boulons B d’écartement maintiennent cet assemblage
en reliant les deux couronnes A ; ces boulons se placent lorsque la
fonçure S, qui ferme les augets, a été clouée ou vissée sur le bord intérieur
des couronnes. Les couronnes sont revêtues extérieurement d’une bande circulaire
en fer mince G, faisant fonction de frette et recouvrant les joints des
cintres.

Quelquefois les augets sont en partie en bois et en partie en tôle, pour leur
donner plus de durée. Ce sont surtout les bords de ces augets qui doivent
être en métal, comme étant plus susceptibles de s’user. La partie inférieure
du dessin fig. 12, représente trois modes différents de construction de ces
augets.

Lorsque la roue est en fonte , si elle n’est pas d’un grand diamètre, comme
on l’a supposé à la partie supérieure de la fig. 12, les bras et le moyeu E' peuvent
être fondus avec les couronnes A7 ; dans le cas de grands diamètres ces
pièces sont en plusieurs parties assemblées par des boulons. La fonçure S’ et
les augets C sont en tôle de 2 à 3 m/m 1/2 d’épaisseur. Pour fixer ces derniers,
on ménage sur la face interne des couronnes, des nervures B'(fig. 12, 17 et 19) ,
traversées par des boulons à écrous l. Dans la largeur de la roue les augets et
la fonçure sont reliés par des rivets i, ou par de petits boulons i' fig. 17 et 18.

L’avantage des augets en tôle, c’est de pouvoir recevoir une forme cintrée
qui augmente leur capacité et les rend favorables à l’introduction de l’eau,
tandis que les augets en bois sont forcément en deux parties droites, dont
l’une est dirigée vers le centre et l’autre inclinée.

L’eau est amenée par un canal en bois M, jusque vers le sommet de la roue
qui est précédée d’une vanne J, ajustée entre deux coulisses et mobile à l’aide
de deux crémaillères 0 et de deux pignons d, dont l’axe porte une manivelle Q.
Les deux joues verticales N du canal se prolongent au delà du sommet de la
roue, et leur écartement doit être un peu moindre que celui des deux couronnes
, dans le double but de mieux diriger l’eau sur les augets, et d’éviter
le rejaillissement en permettant à l’air de se dégager.

L’épaisseur dé la lame d’eau est réglée.par la distance de- la vanne au-dessus
du coursier, et doit toujours .être moindre que le plus petit e'cartement qui
existé entre deux augëts consécutifs. La pression de l’eau' sur les • augets détermine
là rotation de: la roue,' dans le sens indiqué par la flèche, laquelle se
communiqué aux:machines "à-mouvoir au moyen/d’une roue dentée.intérieurement,
rapportée sur l’une ides couronnes extérieures. Cette rouë,'qui n’a pu
être représentée'' que par son cercle primitif K,'engrène "avec le pignon
droit L, monté à'l’èx'trémité de l’arbre dé couché que l’on prolonge à -Tintérieur
de l’usine.'' '  ;: ; ■ ; ;' ::

404 ;" TRACE , LÈVE ET PROJET D’UNE ROUÉ A ;ÀP'GETS ; — Le. tracé dés principales
parties d’une roue à augets, s’exécute combe celui de-la roué à aubes,
dont elle ne diffère que par lès godets ou récepteurs del’eau. ,Dn.a vuque
lorsque ces godets sont eh" bois, ils sont composés de' deux 1 planchés,: dont
l’une est dânsle sens du rayon de la roue, et dontfautre inclinée suivant la
direction* de l’eau forme un angle de 15 à 30 degrés, par rapport à la tangente
mériée ;de son extrémité à la circonférence extérieure de la couronne,, comme
on lé voit par l’angle a b.c (fig. i7).-Lorsque"raùgét est en tôle, on 'suit le
même ànglô vers le bord extérieur, bien que son contour forme une".courbe
continue que l’on trace, soit par deux ou trois arcs de cercle, comme l’indiquent
lès fig. 12,'17 et 18. ;-■•■ ••/'••'.'. ;

' Pour le levé de cette roue, on suivra également les’ mêmes indications que
ci-dessus, en comptant le nombre d’âùgets et en prenant le croquis exact et
les .cotes de l’un d’eux, ce à. quoi on arrive en mesurant lèsdiamètrés ou les
rayons intérieur et extérieur, puis le plus petit écartemént qui.existe d’un
ôuget à l’autre', ainsi que la profondeur de 6 a d (fig-.-17)  ; enfin s’il était indispensable
d’obtenir la forme ou la courbure de l’"augét, il faudrait nécessairement
le démonter ; afin d’en prendre le ggbarit en appliquant une feuille de
papier contré le bord, comme on le fait pour une dent d’engrenage ou d’autres
courbes qu’il serait difficile de roter. Quant au croquis des autres parties de la
roué, telles que le moyeu, les bras, l’arbre et lé vannage, il lie présente
aucune particularité qui doive nous y arrêter  ;lè: dessin indiqué d’ailleurs à
cet égard les figures ettoutes lès cotes nécessaires: Vétablisserrierit d’une roue
è augets exige la connaissance de la chute et de la dépense d’èàu ; nous ren•-voyons
pour cette étude aux Notes’ étDonnëes/prati'qûeï..' '" - :,

■" ."' ;  ; . - POMPES AMU. . ; V :. ' V y"

''■' ; ■"■ '■_.'•"■" ■ ''(Planche 37. ). . . ; ' . ,.': '"''.

405.' TRACÉ GÉOMÉTRIQUE. —Nous avons indiqué dans les notes et calculs
qui précèdent, lès différents systèmes dé pompes et les dimensions qu’il convient
de leur donner suivant la quantité d’eau qu’elles doivent fournir ;■ nous
allons entrer dans des explications plus complètes,au sujet de leur construc-

tion, de leur jeu et de leur travail,. Nous avons choisi de préférence une
pompe aspirante et foulante dans laquelle le jet est à peu près continu, quoique
sa construction soit analogue à celle d’une pompe dite à simple effet.

La fig. ire, pi. 37, représente une section verticale faite par l’axe de cette
pompe. Elle consiste en un corps cylindrique en fonte A, alésé dans la plus
grande partie de sa longueur et reposant sur un socle à nervures B, fondu
avec la tubulure inférieure C. Ce socle est assujéti soit par des pièces de
charpente D, avec lesquelles il est boulonné, soit sur une maçonnerie. Il renferme
le siège à clapet E, qui se compose d’un cadre rectangulaire double
traversé à son milieu par une cloison élevée a, de manière à présenter deux
plans inclinés sur lesquels viennent s’asseoir les clapets en bronze F, lorsqu’ils
se ferment. La tubulure C terminée par une bride reçoit le tuyau d’aspiration
qui plonge dans le puisard. Vers la partie supérieure du corps de pompe A,
est ménagée une tubulure courbe G, sur laquelle s’adapte le tube ascensionnel
ou de sortie. Le piston de cette pompe se compose d’un anneau en bronze H,
sur la circonférence duquel est ménagée une gorge b (fig. 2) pour recevoir
une tresse de chanvre ou une garniture d’étoupes c, qui coïncide avec la paroi
intérieure du cylindre. Il renferme aussi une cloison d, qui reçoit à charnière
les deux clapets I, venant battre sur un siège incliné formé par les bords
élevés e, du piston. Il est en outre fondu avec une bride/, percée à son centre
pour se relier par le boulon à écrou g, avec la base de la grosse tige creuse J.
Cette tige, qui dans un grand nombre de pompes est d’un très-petit diamètre,
comme celui de la partie K, qui la surmonte, est, dans la fig. lre, d’une section
égale à la moitié de celle du corps de pompe. Il en résulte, comme on va le
voir plus loin, que l’écoulement de l’eau a lieu aussi bien pendant l’ascension
que pendant la descente du piston.

Les clapets F sont accompagnés des saillies h, qui servent à-limiter leur
degré d’ouverture, en buttant contre les parois intérieures du socle B. II en
est de môme des clapets I, qui sont également fondus avec les petites saillies i,
qui buttent contre la tête de la bride/, lorsqu’ils s’ouvrent. On voit que ces
clapets ont leurs sièges inclinés à peu près à 45°, dans le but de faciliter leur
mouvement d’ouverture, en diminuant l’action de leur propre poids. Les
sièges qui les reçoivent sont garnis habituellement d’une bande de cuir ou de
cuivre, pour rendre la fermeture plus hermétique en facilitant l’ajustement.

La fig. 2 représente le détail en élévation du piston H et de ses clapets I ;
la fig. 3 est une section horizontale de ce piston faite à la hauteur de la
ligne 1.2. Les fig. k et 5 donnent en élévation et en plan les détails du siège E
dont on a enlevé les clapets.

Pour éviter que l’air extérieur ne pénètre dans l’intérieur du corps de
pompe, il est fermé à sa base supérieure par un couvercle en fonte L, qui est
garni d’étoupe tout autour de la tige ; cette étoupe est comprimée par un
bouchon M, appelé à cet effet presse-étoupe, analogue à celui que nous
avons décrit pi. 11 (81).

'282… ' €0\JiïS RAISONNÉ

406. JEU DE LÀ EOM^E. -^ L’eitfémité supérieure de la tige K porte une
tête /,(ig.) 6) , pour s’assemble}* à articulation avec la partie inférieure d’une
-tringle'ou-iièlleN-, qui elfe-môme est adaptée à une manivelle 0 ;; celle-ci est
montée à l’extrémité d’un axe horizontal P,-quiiui imprime nu mouvement
rotatif continu ; Ge mouvement se transforme par la bielle en un mouvement
alternatif de jnontée.et de-descente dii pistotî, qui est .assûjéti à marcher en
-ligné-droite, parce que la têtei de sa tige est guidée dansIdës coulisses verticales.

II résulte de cette disposition et de la longueur invariable de chaque pièce
mobile^ que lorsque la manivelle 0 occupe lé piston P, 0 (fig. 6) , le piston est
au bas de sacourse, c’est-à-dire en H' ; par conséquent, pendant que la.mahîtelle
tourne, leplston s’élève et forme le vide au-dessous ;dë lui, parce que
l’espace qui existe entre le clapet F-et sa Base augmenté et avec lui le volume
d’air qui.sy-trouvait renfermé. La pression de cet air sur les clapets diminue
"donc, et celle de J’air extérieur sur le, puisard force Téàu à s’élever dans le
tuyau d’ascension et à faire soulever le clapet F, pouf s’introduire dans je
corps de-pômpe jusque sons hrpiston, en suivant sa marche ascensionnelle.,
,--'■ Lorsquela manivelle-est, arrivée à la position -P, lâ-, ;c’ést-à-dirë lorsqu’éfie
a'décrit une demi-révolutiOm, le piston lui-même occupe la ; position la plus
élevée de sa course ; dans cette position, fout l’espace qu’il laisse après lui
-dans le corps de pompe est rempli d’eau ; si alors la manivelle, coiltinuaiif sa
course, parcourt, la seconde demiTrévolution, le piston descend, et, pressant
• sur la'surface de l’eau, force les clapets, K à se fermer' ; or, Comme Teau est
incompressible, elle oblige les Lelàpetsï à s’ouvrir -pour lui donner passage
à travers le.piston’Hèt à-se loger au-dessus. Mais comme s’a tige J.est ; d’Un
gros L diamètre, etqu’elle occupe ..par suite- un grand, espace dans: le çoïpâ dé
pompe, une partie de cette eau s’échappe nécessairemétit par la tubulure G,
, de~ telle -sorte que quand le piston est au bas de sa coursé, il né f eSteplus dans
le corps de pompe qu’un volume d’eau égal à la moitié du volume engendré
par la base du piston. -% - -"--".'' --" ' . '• : ''''-/ " .' ', '

Tel est l’effet produit par le premier tour de. la manivelle', qui correspond à
uo coup double de piston, c’ëst-à-dire à sa montée' et "à sa. descente ;, , -.' ■

Au second tour, quand le piston remonté, 'il aspire de nouveau un volume
d’eau â: peu prés égala celui qù'iLengéndrë, parce .que les clapets F, qui' s’étaient
'■"fermés,- s’ouvrent de nouveau,' et que .les clapets I, qui étaient ouverts
dans l’a descente,se so^t-fermes. ". ■ ;'. '■■'■..■'['--/■ " --■■"'-' ■ ■""

Dans le même temps, toute l’eau qui était restée auvdessus’dû .piston trouve
à s’écouler par Ia ;.mêrne tubulure 1 G- ,• ainsi, de 4 cette disposition de piston’ à
grosse tige plongeante, il résulte qu’à chaque'courte ascendante la quantité
d’eau élevée dans le corps,de pompe est égale au volume engendré par le
-piston, et-que dans sa course descendanrtela.quanfité d’eau qui s’écoule par h
tuyau de sortie est .égalé â. la moitié de ce volume, -dont ■ l’autre moitié s’échappe
pen dant l’ascension- suivante, ce qui rend: le jet à peu près continu.

Lorsqu’au contraire la tige est trés-mince, comme dans les pompes  ;ordJ-
naires (fig. 6) , l’écoulement de l’eau n’a lieu que pendant la montée du
piston, par conséquent le jet est intermittent.

Dans une pompe, comme dans toute autre machine dont le mouvement
rectiligne est transmis par une manivelle à mouvement de rotation continu,
les espaces parcourus en ligne droite ne correspondent pas aux espaces circulaires
décrits par le bouton de la manivelle ; on voit en effet, par la figure 6,
que si on suppose la manivelle parcourir des arcs égaux à partir de 0, les
dislances correspondantes 0'1', l’2', 2'3', etc., parcourues par le piston sont
irrégulières : petites d’abord au commencement de la course, elles s’agrandissent
progressivement jusque vers le milieu, puis elles dégradent en arrivant
vers l’autre extrémité ; on obtient ces positions successives du piston en
décrivant de chacun des points de division 1, 2, 3, 4, effectués sur la circonférence
décrite par le bouton de la manivelle, avec le rayon égal à la longueur
de la bielle N, une suite d’arcs de cercles ; ces derniers coupent la verticale
passant par le centre P, aux points 021222, etc., qui donnent sur cette ligne
la position correspondante du point d’attache l de la tige du piston ; ces points
sont reportés en O'I'â', etc., sur la môme ligne par la longueur de la tige
mesurée depuis le bouton l jusqu’à la base du piston.

On comprend, par cette irrégularité de la marche du piston, que le jet d’eau
doit aussi varier pendant toute la course ; c’est ce que nous avons voulu
rendre sensible par le tracé fig. 7, qui exprime les volumes successifs du jet
d’eau pour une pompe à simple effet comme celle de la figure 6.

Ce tracé consiste à porter sur une ligne quelconque x y autant de parties
égales que l’on a pris de divisions sur la circonférence décrite par la manivelle ;
puis à chacun des points 1, 2, 3, i, on tire des lignes perpendiculaires à x y.
Comme, pendant l’ascension du piston de 0 à 12 (fig. G et 7) il n’y a pas d’écoulement,
puisque le piston ne fait qu’aspirer, on n’a rien à indiquer sur ces
premières divisions ; mais dès que la manivelle passe le point le plus élevé, le
piston commençant à descendre produit le jet ; on constate alors que lorsqu’il
a parcouru le premier espace rectiligne de 12' à 11', la quantité d’eau qu’il a
refoulée est égale au produit de sa base par la hauteur 11' 12'. C’est cette
hauteur que l’on porte de 13 en a, sur la perpendiculaire menée du point 13 ;
de môme , lorsque le piston descend de 11' à 10', le nouveau volume qu’il a
engendre est encore égal à sa section multipliée par la hauteur 11', 10', qui
est reportée de même de H en 0 ; on voit donc qu’il suffit de porter sur chacune
des perpendiculaires tirées des points de division 15, 1C, 17, etc., les
hauteurs successives parcourues par le piston dans sa descente , pour exprimer
réellement les volumes qu’il a engendrés, car ers volumes sont proportionnels
aux hauteurs, puisque la section du piston reste constante.

Si l’on fait passer par tous les points « , b, c,d, etc., fig. 7, une courbe, on
obtient ; In limite d’une surface que nous avons teintée, et qui permet de
reconnaître les volumes d’eau refoulés par les pistous, correspondants à une
position quelconque de la manivelle. Eu continuant le mouvement le piston

remonte et’aspire, par suite le jet est interrompu pendant Cette.ascension,
pour recommencer de nouveau pendant la descente de la deuxième révolution ;
c’est ce qui est indiqué sur. la fig. -7parune courbé égale à la première, et sur
laquelle sont indiqués les mêmes points. .-. , . ..'■/….>..'

Pour éviter cette irrégularité, on construit des pompes à deux et à trois
corps, dans lesquels la disposition dès pistons est telle que les points d’attache
aux manivelles partagent en deux ou trois parties égales la circonférence décrite
par-celles-ci. •'■'■_'  ;. '' o .,.. ;//•:• .

La fig.- 8 représente, le tracé géométrique du travail d’une pompe à deux
corps ; il est évident que le produit de chacun des pistons .est alternativement
le même, puisque l’un descend pendant que l’autre monté ;'c’est ainsi que
l’un des pistons ayant produit un jet correspondant à la courbe a' V c’, etc. -,
l’autre produit immédiatement après, un jet égal exprimé par la Courbe abçd ;,
ce tracé ne diffère donc de .celui fig. 7, qu’en.ce que les intervalles vides
de.G à 12 et de.24 à.12,. sont, remplis par une ^surface teintée égale ;.-• . :

Çé tracé du produit d’une'.pompe à deux- corps correspond à celui de la
pompe fig. lre, qui, en raison dé sa/grosse, tige plongeante fait, fonction, comme
nous l’avons vu, d’une pompe a double effet. '.'..:■'…-■■-.-- ; /^  ?,

- La fig. 9 représente le tracé du mouvement d’une pompe àtrois corps,
dont les pistoris H, H^:H ?,.que nous avons supposés ramenés dans le même
cylindre -, occupent,,respectivement des positions correspondantes aux trois’
sommets, d’un triangle équilatéral inscrit dans la circonférence décrite du
centre/P, par l’une des manivelles 0 ; 0', O". Par suite.de cette.disposition,
il y a tantôt deux pistons qui s’élèvent en même temps et unyséul qui descend,
et tantôt au. contraire un seul piston, monte pendant que deux autres.■ descend
dent. Il est facile de s’en rendre compte en imaginant^ par'-la pensée et en
faisant le tracé: au besoin avec des couleurs différentes pour la marche de
chaque piston, afin d’éviter toute confusion, que le bouton des manivelles
prend successivement les -positiqn’s-1 i- 2> 3, ivetc-., et en cherchant les
positions, correspondantes des^ points,d’attraction, des bielles N, N/:, W, avec
les tiges des pistons, sur la ligne verticale qui passe par le .centre P. .

Nous avons reparte sur,la fig. 10, le produit de chacune des pompes en
particulier supposée, dé.même d.iamètre, en’ayant Jeispin quand deux pompes
refoulent en même temps d’additionner Jeur travail ; ainsi.'par exemple, lorsque
l’un des pistous élève une quantité d’eau correspondante à la perpendiculaire
13 a, celui qui refoule',en même -/temps.-.fournit un volùme.exprimé 'par
la hauteur a a' ; par conséquent, le volume total du jet àicet instant est exprimé
par la hauteur totale 13 a' ; lorsqu’au contraire une seule des trois pompes refoule,
quand les deux autres remontent, comme on-le -voit sur la fig. .9, le
volume du jet est exprimé par une seule hauteur telle que 18/,- or, on »obserye
que c’est justement au moment- où une seule pompe refoule qu’elle donne,son
maximum de produit ; délàrésulte qu’en somme le jet est-continu et presque
régulier dans toute sa durée -, - comme on ?lë voit, par letracé. de la fig. 10, où

DE DESSIN INDUSTRIEL. 28S

le contour est déterminé par des perpendiculaires, ou ordonnées se rapprochant
de la ligne droite m n.

Pour comparer l’effet d’une pompe à trois corps avec celui de deux pompes
à double effet, ou de trois pompes à double effet, nous avons répété sur les
fig. 8 et 11 les tracés correspondants aux produits de ces derniers systèmes,
et on remarque que bien qu’on en obtienne à égalité de section de piston un
volume d’eau plus considérable, la régularité du jet n’en est pas plus grande.

MOTEURS A VAPEUR.
MACHINE A VAPEUR A HAUTE PRESSION ET A DÉTENTE.Planches 38, 39 et 40.

407. Lorsque la vapeur engendrée dans une chaudière est amenée dans un
vase ou cylindre hermétiquement fermé, elle agit avec toute sa pression sur
les parois du vase, de sorte que si celui-ci renferme un diaphragme ou un
piston, elle tend par sa force expansive ( ') à le faire marcher ; c’est sur cette
mobilité du piston que repose le principe des moteurs à vapeur en général.

Ainsi l’action de la vapeur dans la plupart des appareils de ce nom, consiste
à presser alternativement sur les bases du piston renfermé dans le cylindre,
pour lui donner une impulsion rectiligne de va et vient (187).

Les machines sont à basse, à moyenne, ou à haute pression, suivant que
la tension de la vapeur est à .1 atmosphère, 2 à 4 atmosphères, et 5 à 6 atmosphères
et au-dessus.

Lorsqu’on fait agir alternativement la vapeur en dessus et en dessous du
piston, la machine est dite à double effet, telle est la plus grande partie de
celles employées dans l’industrie ; mais si la vapeur n’agit toujours que sur
l’une des bases du piston, comme cela a lieu dans les appareils d’épuisement
des mines, alors la machine est dite à simple effet.

Les machines à basse ou à moyenne pression sont à condensation, c’est-àdire
que la vapeur en sortant du cylindre, après avoir produit son action sur
le piston, est mise en communication avec un réservoir d’eau froide appelé
condenseur, afin de se liquéfier. Le résultat de cette condensation est de produire
un vide partiel dans le cylindre, et par suite de diminuer notablement
la résistance qui s’oppose à la marche du piston.

Dans les machines à haute pression la vapeur qui a produit son effet sur le
piston s’échappe directement dans l’air, de sorte qu’il a toujours à vaincre en
sens inverse de sa marche la résistance d’une atmosphère.

Les moteurs à vapeur se distinguent encore par machines sans détente et
machines à détente : les premières sont celles dans lesquelles la vapeur arrive
constamment dans le cylindre pendant toute la course du piston, de telle
sorte que la pression reste constante, puisque le volume de vapeur qui entre
i. La force expansive de la vapeur est due à la propriété qu’oui la vapeur et les gaz de chercher
constamment à augmenter de volume.-20m COURS RAISONNÉ

flans les cylindres correspond toujours, au Volume engendré par le/piston.
■■■ pans les machines à- détente, au contraire, la vapeur n’arrive dans le cylindre
que, pendant une p.ortion de la course du piston, de sorte que eej.ui-ci
ne Continue sa marçheque par la force expansiye de la vapeur. , ,\

La machine détaillée pi. 38à ftOest à haute pression et à détente yariahie.

La fig. ; lre,.pl. 38, représente une élévation, extérieure ou. vue de face de la
njaçhine, qui a.pourMtisune colonne ; creuse à jour-, ; :, ; .. . ;.'..

La.fig, 2 estune section horizontale faite à la hauteur de la ligne 1-2.
. La fig. 3 est un fragment d’élévation de la partie inférieure.dela colonne.

La fig. h est une autre section horizontale Faite suivant la ligne 3-4, et la
fig. 5 est.l’élévation du chapiteau de la colonne.

Les fig-6 et 7 sont des tracés relatifs au mouvement du modérateur à
houles, ' .- ■.•.".."..'..'•.'.'-■•- ■…,. ; .'■'■■■■ "" ' ,-■■'•'

La fig. 8, pi. 39, représente ; Une coupe verticale faite par l’axe dé la colonne
et du cylindre à vapeur suivant un plan.5-6,,- parallèle à celui du yolânt. ; ■

La fig. 9 est une autre feoupe'verticale:, perpendiculaire à la précédente,-

Enfin> la fig. 10 estunê section horizontale à la hauteur de^la lignes brisée
7-8-9 et 10,…"… ; .■■ ;•■■■■.-■• :-:-,: '■",..-'. •-. ;.■■

Cette machiné se composé d’un cylindre en fonte A, alésé:.âl’intérieur et
renfermant le piston B. Sur le côté du cylindre, sont .ménagés ; des conduits’ a,p,
par lesquels <là yapeur peut se rendre alternativement au-dessus et au-dessous
du piston. Ces orifices sont successivement recouyerts par un diaphragme ou
tiroir D, dont les détails sont indiqués sur les fig, 28 à 3i, pi.. 4$, et le tiroir
est renfermé lui-même ; dans une boîte .en fonte E,, appelée boîte de(Ustxikùlion,-q}ii
communique avec une seconde bqîte. F, dite b.oit’e de Mtefite ; c’est
dans cette dernière que la vapeur de la chaudière est amenée par le tuyau G.
La communication est interceptée momentanément entre les, deux boites,pen,dânt
la marche de la machine,..par le tiroir de détente H, détaillé fig." 38àM,
pL40,,. ■ \. ;. /..- ; '.'/.'/''.-, '•'■: ■■•.'■',. ■■ .--vV'V - ;:■"/. : ..".,."■•

La tige verticale I, du"piston By se relie à-la partie supérieure par articulation
à upe traversé e 2, qui-la.réunit à la ; bielle en fer forgé J ; suspendue au
ponton,/, de. la manivelle. K ; çeïlerfti-est ajustées et calée àTextré.mité de,l’ar.bre.de/OQ.uche.
L, qui porte d’une part-le volant ïl, et de l’autre les excentriques
N, 0 , P. Le premier de ces ekcentriques est, destiné à faire: mouvoir-.le
tiroir de distribution D, en s.e reliant à sa tige # » par la tringle W.. Le deuxième
fait marcher le tiroir de déteuteli, ,par la tringle 0/, assemblée à ça tige /*,-• et
enfin ; le troisième excentrique P, imprime un mpûyement également alternatif
aupistonQ de la pompe d’alimentation R.. , - -. ".'..*.'-' -'.■'"■' --.,'-.

Le cylindre, a vapeur e§t boulonné d’une manière solide et invariable par sa
partie supérieure à labase pleine du socle ; en fonte S, sur lequel est assise 'et
également boulonnée la colonne T, Le socle est quarré.. ? et/vers lés angles, de
sa base ;inférieure, sont ménagées des Oreilles traversées par des .boulons qui
i'assujétissent sur un massif en maçonnerie, ' ; . ' '.'. ,VS’
DE DESSIN INDUSTRIEL. 287
La colonne T est fondue creuse avec quatre larges ouvertures diamétralement
opposées, dont l’objet est d’en diminuer le poids et de former les passages
nécessaires pour le montage et le démontage des.pièces ; cette colonne
sert de bâtis à toute la machine, elle reçoit à sa partie supérieure un palier en
fonte U, garni de coussinets en bronze, pour porter le premier tourillon de
l’arbre de couche,et les supports k' k,de l’axe / du modérateur à boules ; on a
aussi boulonné contre sa paroi intérieure les deux supports i, des points fixes
du parallélogramme et le guide,/, de la tige du tiroir de distribution.
JEU DE LA MACHINE.
408. Avant d’aller plus loin, donnons d’abord une idée de la marche générale
de la machine.

Comme nous l’avons dit, la vapeur est engendrée dans une chaudière
(189 et pi. 14) , et arrive par le tuyau G, dans la première boîte F ; lorsque
le tiroir H, contenu dans cette boîte, découvre l’orifice d, cette vapeur peut
passer dans la boîte de distribution E, d’où elle se rend, soit au-dessus, soit
au-dessous du piston, suivant que son tiroir D ouvre l’un ou l’autre des deux
orifices a, b. Or, lorsque le piston est par exemple en haut de sa course, le
canal a est ouvert presque entièrement, tandis que le canal b est en communication
avec l’orifice d’échappement c, qui par les deux tuyaux e'' communique
avec l’extérieur. Il en résulte que si la vapeur possède lors de son
introduction dans le cylindre, une pression de 4 atmosphères , par exemple,
elle tend à faire descendre le piston avec toute sa tension ; mais comme le dessous
de celui-ci est en communicalion avec l’air libre, il y a une pression d’une
atmosphère qui s’oppose à sa marche, alors la .pression effective n’est donc
réellement que de 3 atmosphères. Il en est de même lorsque le piston remonte
: le tiroir découvre l’orifice b, pour laisser entrer la vapeur en dessous,
et met le canal a en communication avec les orifices de sortie c, pour donner
issue à la vapeur qui a agi précédemment au-dessus du piston.

Il est à remarquer que si l’introduction de la vapeur avait lieu pendant
toute la marche ascensionnelle et descensionnelle du piston, ce qui pourrait
avoir lieu si le tuyau G communiquait directement avec la boîte de distribution
E et si le tiroir D laissait ouvert l’un des orifices dans la course entière,
la pression de la vapeur resterait constante ; on dit alors que la machine est à
haute pression, sans détente, c’est-à-dire qu’elle marche à pleine vapeur.

Mais dans la machine qui nous occupe, la vapeur s’introduit d’abord dans
la première boîte F, dont le tiroir II ferme à chaque coup le canal de communication
d, avant que le piston arrive à l’une des extrémités de sa course.
Il en résulte que la vapeur contenue dans le cylindre augmente de volume,
mais en môme temps diminue de pression au fur et à mesure que le piston
marche, il y a alors expansion ou détente ; dans ce cas on ne dépense à chaque
coup de piston qu’une quantité de vapeur égale au 1/3, 1/2 ou 2/3, etc.,

du volume du cylindre suivant que l’on a intercepté l’arrivée de là vapeur au
1/3, aui/2, ou aux 2/3 de la course ; c’est.le rapport entre le volume intro.
duit et le volume total du cylindre qui exprimé le degré ,de détente auquel
fonctionne 'l’appareil. ;" -j ■'.•' "' -"■".'- ' ~ :,./'~ .<'{"'■'- ; '

409. PARALtÉLOGRÂsiMÉ. —"Le mouvement rectili'gne alternatif du piston
se transforme eh un mouvement circulaire continur sur l’arbre de couche L,
 ; par l’intermédiaire-de la bielle J’., et de là manivelle K ; mais afin que la marche
du piston soit parfaitement verticale -, on relie le sommet de sa tigél à un
' système de leviers articulés formant parallélogramme. - 1' ■'■- ;'

Ce mécanisme consiste en deux guidés en fer forgéV (fig. 1, 4 et 8) , qui
ont leurs points d’oscillation sur lés tourillons fixes i, et qui s’assemblent ;par
l’autre extrémité vers le milieu des balanciers X,' aiï: moyen de la traverse n.
Ces balanciers sont aussi en fer forgé -et se réunissent d’un bout par articulation
wVaxë de jonction e 2, fig. 9, et/de l’autre à la bielle oscillante Y, qui a son
point d’appui sur l’axe  ;o, dont ; les tourillons sont reçus par des chaises eh
fonte Zyboulonnées-au's’oclédu bâtis. ■'. •'•■' '"-"V'-'- ■•"•'""-"'""'
: La" tête de cette bielle oscillante est dessinée à part sur lés figures 21 et 22
(plv 40)  ; elle porté des coussinets qui forment articulation autour du tourillon
ph,qui là réunit avec les bouts des balanciers X. / . " ,, "

La combinaison de ce mécanisme" est tellëque le point d’attache :e suit 'constamment
une ligne droite sur toute la longueur de la course ; 6h peut l’établir
géométriquement, comme il est indiqué sur lé tracé, fig ;,8 et ïl’.: Nous supposons,'à
cet effet, qu’après avoir tiré d’une part laligne horizontale'i2p et la
vertiçalee, é 3, on porte d’abord de ez en’ eet en e3 iademiilôngueur dé la course
ou'J’e rayon de la'manivelle, puis desi pointsleje 3 ; on décrit un arc d’un râyôn
e #^ëgal à la longueur du balancier ,X, que Ton se donne à volonté', et. qui ne
doit jamais être moindre que celle:dé la course entière du piston. Si on porté
également cette longueurde e2 ëri-p 2, récartêmènt p~p 2 exprimera l’amplitude
deToscillatloii.de la bielle X, dont on placé le centre o au-dessous sur là ligne
verticale tracée à. égale distance des deux points p,^ 2, on se donne ensuite
le point ri, qui réunit le-levier V au balancier X|.ce point n décrit nécessairement
dans lé mduvemënt dupai'aïiélôgrammé, un arc dé cerclé dont il.faut
chercher ïe centre. A cet effet ôïi remarque que quelle que Soit la position du
balancier, le point m reste toujours à égale distance deTextremité p ou de
celle e,- si donc on trace successivement lés lignés’p e^p''e/ ,p2e 2, p e 3, qui indiquent
différentes’ positions du balancier corrôspondantes à celles ë, e', e 2, e 3,
du ; sommet de la tige du piston, on aura pour chacunëde ces lignés les positions
n, nr,n^n% en’y portant soit la distance pn, soit la distance era. On peut alors
déterminer aisément le centre i2 de l’arc passant par ces points (10)..

La figure 10 représente le tracé d’un, parallélogramme analogue, mais eh
supposant que les "guides V soient disposés de telle- sorte que leurs points
d’attache soient exactement au milieu des balanciérs.X', dans ce cas, Je centre
d’oscillation i2 se trouve dans le plan vertical passant par la ligné d’axe ee 3.
DE DESSIN INDUSTRIEL. 289DETAILS DE CONSTRUCTION.
410. CYLINDRE A VAPEUR. — Le cylindre est fondu d’une seule pièce
avec son fond inférieur et les canaux ou conduits de vapeur ; comme il doit être
alésé avec soin pour être parfaitement cylindrique à l’intérieur, une ouverture
centrale a été ménagée à sa base pour le passage de l’arbre de l’alésoir, mais
cette ouverture est fermée par un tampon a 3, qui est mastiqué et boulonné. Sa
base supérieure est fermée par un couvercle en fonte A', qui à son centre
forme boîte à étoupes, pour envelopper la tige du piston et constituer une
fermeture hermétique. L’étoupe est comprimée ou serrée à cet effet par un
bouchon appelé presse-étoupes (140) , et évasé en contre-haut pour servir de
réservoir à l’huile. La partie extérieure du cylindre sur laquelle s’applique le
tiroir est dressée avec beaucoup de soin, afin de coïncider exactement dans
toute son étendue. Il en est de môme de la partie environnante qui reçoit la
boîte de distribution.

PISTON (flg. 8, 9, 19 et 20). — Le piston est à garniture métallique ; il
consiste en deux plateaux de fonte laissant entre eux un espace annulaire
pour recevoir deux bagues concentriques c’ en fer ou en fonte. Ces bagues
sont fendues d’un côté dans toute leur hauteur et placées l’une dans l’autre,
de telle sorte que leur fente est diamétralement opposée ; leur épaisseur
diminue graduellement de chaque côté, jusque vers la fente, et comme elles
sont parfaitement écrouies, elles forment ainsi un ressort d’une grande élasticité
qui tend constamment à les ouvrir. Or, le diamètre de la bague extérieure
étant égal à celui du cylindre, quand les deux parties de la fente sont
rapprochées, d’un autre côté la bague intérieure ajoutant son élasticité à celle
de la première pour tendre toujours à l’agrandir, il en résulte une coïncidence
parfaite entre sa surface extérieure et la paroi intérieure du cylindre
sur toute l’étendue de celle-ci. Ainsi, le contact du piston avec la paroi du
cylindre n’a lieu que par les bagues excentriques et non par les plateaux, qui
sont d’un diamètre légèrement plus petit. Pour empêcher le passage de la
vapeur par la fente de la bague extérieure, on a pratiqué dans celle-ci une
ouverture rectangulaire dans laquelle se loge une petite pièce cr vissée sur la
bague intérieure, et qui ferme le joint sans empêcher le jeu de ces bagues. Le
plateau principal du piston est fixé à sa tige par une clavette (fig. 9). La tige
est en conséquence renflée vers sa base. Le haut de la tige est aussi fixé à
clavette dans une douille V, fig. 9 et 13, terminée par deux branches verticales
entre lesquelles s’ajuste un coussinet en bronze en deux pièces qui
embrasse le milieu de l’axe e2 ; on resserre ce coussinet au moyen d’une
clavette.

411. BIELLE ET MANIVELLE ( fig. 8, 9, 14 et 15). — La fourche qui termine
la bielle J s’assemble d’une manière analogue, mais avec des brides à
clavettes, avec Taxe e\ de chaque côté de la douille, en laissant entre elles le
passage nécessaire pour loger l’épaisseur des balanciers X. La tête de la bielle

(fig.15 et 16) .porte aussi des coussinets pour former articulation autour du
bouton/de la manivelle ; on le serre au moyen d’une vis de pression/'.

Là iDanivelle Kest ; comme la bielle J, en fer forgé, ajustée sur le bout de
l’arbre de couche et fixée par une clé. Le'plus souvent cette manivelle est-en
fonte pour les machines fixes, mais dans les appareils de bateaux et dans lés.
locomotives,-elle est généralement en fer corroyé, comme étant plusi susceptible
de résister aux chocs. . . , J ": ': .
 ;L’arbré_de couche L estaussi en fer ou en fonte ; nous avons donné dans
les notes, des tables et des règles pour en déterminer les dimensions. Il est
supporté* non-seulement-par les coussinets d’un palier U, mais encore par
ceux d’un palier analogue assis sur le, mur.de séparation du local 4e la rhachine.et
de l’atelier. Il doit toujours être renflé vers la partie qui reçoit le
volantM. --'.- '.: - ' ■"■ -\ "." .'•/' ■'■'"-■ ~ ■-'■'' -1.-

412 ; VOLANT. — Le volant est en fonte, d’une seule pièce, parce que son
diamètre ne dépasse pas 3™ .50- ; au-dessus de cette dimension, l’a couronne et
les bras sont fondus en deux: pièces"avec le moyeu, puis boulonnes et frettés.
Pour des. diamètres de  ?5 à 8 mètres", la jante est en plusieurs pièces, et les.
bras ou croisillons sont également fondus à part, puis:assemblés et boulonnés
sur le milieu avec chaque partie de la couronne. On fait quelquefois lés bras
en fer mince, afin de diminuer le poids .d’il volant ? tout en conservant son
énergie (').-.' ■ ''- •:-.•" ■' '\\  ; " ^ ' ;': i ;' '

413. POMPE ALIMENTAIRE. — Cette pompe a pour objet d’envoyer dans
la chaudière une certaine quantité d’éau qui doit remplacer celle'qui s’est
réduite à l’état de vapeur, et.qui a été dépensée parla machiné ;"elle n’est
autre- qu’une pompe fouïànte qui se compose d’un corps" cylindrique R ; dans-:
lequel se meut un piston, plein Q appelé' plongeur.-Le piston ne frotte pas
dans toute l’étendue du corps de la pompe ; celui-ci est -seulement alésédans
sa partie supérieure,, où il sert de boîte à ètoupes pour guider le piston r en
empêchant l’eau de sortir et l’air de.rentfer. „' ' '". . ,:.

Sur "lé" côté est ménagée une tùbulurè'contrëlaquèlle est rapportée la chà^
pelle ou boîte à soupape R' ; qui est habituellement en bronze ; à la partie
inférieure de cette chapelle s’adapte le tuyau d’aspiration T/, qui communiqué
avec Un réservoir d’eau froide et qui porte le robinet S’, analogue à celui
dont’noùs avons donné le dëtailj pi. 17. À sa partie latérale s’applique égaler
ment un tuyau de. sortie muni' d’un robinet semblable-S 2, et que l’on fait
passer ordinairement dans une colonne où se projette là vapeur perdue, afin
d’échauffer l’èau qu’il doit conduire dans la chaudière.. 1 ; ■ ;' -

On voit par les-fig. 9 et 23 que cette chapelle est munie de deux soupapes
s’,,s 2, dont l’une, celle inférieure s’, sert pour l’aspiration, et l’autre, celle
supérieure s2> pour l’échappehient ; cettedernière est d’un diamètre sensiblel.'Ori
trouvera dans les.Notes -et Données pratiques, les règles" relatives aux dimensions à.
donner aux volants,'selon lés conditions qu’ils ont à remplir. ; - - ■ :
ment plus grand que la première, pour que son siège puisse livrer passage à
celle-ci. La base supérieure de la chapelle est fermée par un couvercle autoclave
qu’une seule vis de pression r' tient fermé à l’aide de la bride en fer cf.

Chaque soupape a une partie conique (fig. 24) , pour s’asseoir sur son
siège. Le dessous est cylindrique pour lui servir de guide, mais évidé pour
donner passage à l’eau quand elle est soulevée. C’est pour cette raison qu’elles
sont nommées soupapes à lanternes.

Le corps de pompe est aussi muni d’une soupape de sûreté s 3, dont la fig. 25
donne le détail, et qui a pour objet de donner issue à l’air renfermé dans le
corps de pompe, quand celui-ci est accumulé en assez grande quantité pour
nuire à la fonction de la pompe. Cette soupape est maintenue''en place par un
levier coudé en équerre u, et qui sur sa branche horizontale porte un poids
suffisant pour faire,équilibre à la pression intérieure (195). i

La tête du piston plongeur est surmontée d’une petite tige /', ajustée dans
la douille qui termine la partie inférieure à deux branches de la grande
tringle en fer forgé P' (fig. 9 et 18) , laquelle, comme on l’a dit, embrasse
par sa partie supérieure, qui forme collier, la gorge de l’excentrique circulaire
P (142).

Le jeu de cette pompe est analogue à celui des pompes dont nous avons
donné la description ; ainsi, quand la machine fonctionne et que les robinets
/ et s2 sont ouverts, l’eau monte du réservoir par le tuyau K', force la soupape
s’ à s’ouvrir et se rend dans le corps de pompe, en suivant la marche
ascensionnelle du piston Q ; dès que celui-ci descend, cette eau refoulée ferme
la soupape s’ et ouvre la seconde .s 2 pour se rendre par le tuyau d’échappement
dans la chaudière. On règle l’alimentation en ouvrant plus ou moins les robinets,
et elle cesse complètement par la fermeture de ces derniers ; mais
alors, dans ce cas, comme l’excentrique P et la tringle P' continuent leur
mouvement, il importe de débrayer le plongeur Q, ce que l’on fait en desserrant
la vis de pression « /, par laquelle sa tige est retenue à la tringle, de sorte
que l’étrier à douille b3 (fig. 18) qui termine la tringle P' ne fait plus que
glisser le long de cette tige sans l’entraîner.

414. MODÉRATEUR A BOULE on PENDULE CONIQUE. — Ce mécanisme a pour
objet de régler la vitesse de la machine suivant les résistances à vaincre ; à cet
effet, il fait alternativement ouvrir ou fermer une soupape ou papillon c 3,
placée sur le tuyau d’arrivée de vapeur G ; le passage plus ou moins grand
laissé à la vapeur par l’ouverture ou la fermeture de ce papillon qui est enfermé
dans une boîte particulière ponr la facilité du montage, et qui est ajusté
sur une tige tournant dans une garniture d’étoupes, augmente ou diminue
la quantité de vapeur qui doit passer au cylindre , et par suite détermine l’accélération
ou le ralentissement du piston ainsi que de l’arbre de couche avec
lequel il est mis en communication.

Il consiste fig. lro en un axe vertical l, qui repose par sa partie inférieure
dans un petit support à crapaudine k', et se trouve retenu plus haut par une

équerre à douille k.A sa partie, supérieure: sont assemblées par articulation
deux branches symétriques m’, terminées par dés boules sphériques en fonte
ou en bronze o^,- ces branches se relient également par articulation: à ia bague
mobile en fer .pu en cuivre i', par l’intermédiaire des liens #. , !
. En imprimant à l’axe verticali un mouvement de rotation,, les boules ;entraînées
dans ce mouvement tendent constamment à s’écarter :dé la ligne
verticale par l’effet de la forcé centrifuge [262)  ; tant tpie la vitesse, de.rotation
reste la même, les boules tendent à occuper la position moyenne indiquée sur
le dessin, et correspondante à la vitesse normale ,ou de régime,: c’est-à-dire
celle pour laquelle la machine a été réglée. Lorsque cette - vitesse est dépassée
par le débrayage de quelques-unes des machines en activité,,les boules s’écai'7
tent et cherchent à occuper la position "extrême o2 indiquée surla fig. 6. Dans
cette position des boules, la, bague\-i' est soulevée ; or cette.bague est embrassée,
à, sa gprge.çirculaire par la fourche du levier/ (fig. 9J, lequel est relié à
lavtringle verticale h', qui par une suite debras articulés g', g 2, g 3, gf.&t g*,
communique au papillon c8 dessiné, avec sabolte A2 fig- 26 et 27. Il résulte
de cettgji'ansmissipn que.la soupape se ferme au fur et à mesure que la bague
s’élève. Si au contraire la, vitesse de régime se ralentit par le fait d’unevrésistance
plus grande, les boules se,rapprochent comme le montre la fig. 7. La
. bague i' descend, et par. suite la soupape : s’ouvre, afin de laisser entrer une
plus grande quantité de vapeur, dans Ja boîte de distribution, et, par suite dans
le cylindre. Les positions extrêmes dès branches du modérateur sont limitées
par le secteur a coulisse m 2, qui est fixé surl’axe7. , ; ■■■■: ■■■.. .-■■'•
, Cet.axé -l reçoit son ;mouvement, de l’arbre de couçhe ; L, par..,la poulie,à
gorge JJ3,.qui commande l’arbre intermédiaire r 2, placé ; près du chapiteau de
la colonne T, et les roues d’angleT 3 par la poulie.H, par. conséquent, 11 y a
un rapport constant entre la vitesse de la machine et celle 4u:modérateur.

Le tracé géométrique indiqué fig. 6 et .7 explique suffisamment les positions
respectives de chacune des pièces du pendule,-et fait voir là marche ascensionnelle
delà bague par rapport à l’écartement des boules, suivant le nombre
de révolutions de l’axé et la longueur des.bras (A) , ■'::■:.■■.

' MOUVEMENT DU TIROIR DE DISTRIBUTION
: ET DU TIROIR DE DÉTENTE. ^ "

.415. TIHOIR DE pisTuiBUTiON. --Nous avons’vu que le tiroir D, représenté,
dans ;diverses, positions sur les fig. 28 à 31:et en section horizontale fig. 32,
est attaché par sa tige g, à la tringle verticale N^qui se relie à la barre N *,.. de.
l’excentrique circulaire N., fig. 33 et 3t. Lorsque, comme on l’avait fait jusqu’à
ces derniers temps, le centre, del’excentriquecirculaire setrouve sur ..Un
rayon perpendiculaire à la direction delà manivelle,.lé tiroir de distribution
et lepiston à vapeur ont uu mouvement rectiligne différent, tfest-à-dire que
1. Voir les Notes.et Données pratiques au sujet .desvitesses et des dimensions du pendule
conique. .-'.'..: - …'.'■. . … .
quand la manivelle passe de l’horizontale de gauche à l’horizontale de droite
ou réciproquement, le piston marche dans une direction rectiligne correspondante,
mais l’excentrique passe de la verticale inférieure, située au-dessous de
l’axe de l’arbre de couche, à la verticale supérieure ou vice versa, et par suite
imprime au tiroir un mouvement rectiligne dans un sens opposé, de telle
sorte que lorsque le piston est au milieu de sa course, le tiroir, au contraire,
est à l’extrémité, et les ouvertures d’entrée sont complètement ouvertes pour
livrer passage à la vapeur dans le cylindre.

Pendant que le piston accomplit son mouvement dans un sens, le tiroir va
et revient sur lui-même, la lumière qu’il couvrait se découvre et se recouvre
successivement ; quand au contraire la manivelle a accompli deux quarts de
révolution en sens opposé, le piston monte et descend, tandis que le tiroir
effectue un seul mouvement rectiligne dans le môme sens-.

Enfin, pour chacun de ces mouvements, pendant que les vitesses du piston
vont croissant depuis le commencement jusqu’à la moitié de la course, celles
du tiroir vont décroissant et réciproquement ; il en résulte que le maximum
du chemin parcouru par le piston correspond au minimum de celui parcouru
par le tiroir de distribution.

416. AVANCE ET RECOUVREMENT DU TIROIR. — On a reconnu depuis plusieurs
années qu’il était nécessaire d’incliner le rayon de l’excentrique par
rapport au rayon de la manivelle, au lieu de les placer perpendiculairement
l’un à l’autre, de manière qu’aux points morts (c’est-à-dire les points extrêmes
haut et bas de la course dupiston) , le tiroir a déjà dépassé d’une certaine quantité
le milieu de sa course ; c’est cette quantité que l’on est convenu d’appeler
avance du tiroir.

Le résultat de cette avance est de faciliter l’introduction de la vapeur au
commencement de la course du piston, et en même temps l’échappement de
celle qui a produit son effet ; on obtient par suite plus de régularité dans la
marche, et on perd en môme temps moins de force.

Pour éviter, au moins en grande partie, la contre-vapeur, on donne au
tiroir, en môme temps que l’avance, plus ou moins de recouvrement, c’est-àdire
que la largeur des bandes qui doivent fermer les orifices d’introduction
a b, (flg. 28) " est sensiblement plus grande que la hauteur de ceux-ci.

Pour bien se rendre compte des effets qui résultent de l’avance et du recouvrement
du tiroir de distribution, nous avons représenté sur la fig. 35, un
tracé géométrique qui indique les positions relatives de la manivelle, du
piston, de l’excentrique et du tiroir.

Soit la ligneo 0, qui représente le rayon de la manivelle, on décrit avec la
longueur de cette ligne comme rayon, un demi-cercle qu’on divise en un
nombre quelconque de parties égales. De chacun des points de division on
abaisse des perpendiculaires sur le diamètre o 18. Les points de rencontre
1,2,3, 4, etc., représentent sur ce diamètre les positions respectives du piston
correspondantes à celles 22, 32, 42, etc., du bouton de la manivelle. On n’a

pas égard ici àla longueur dé la bielle qui réunit celie^ci à là-tige du piston,
car on ; suppose que Cette bielle est indéfinie ou reste constamment parallèle
a elle-même, ce qui ne change pas sensiblement les résultats* "

On traceaussi^u centre0, une circonférence avec un rayon’Oâf égal à celui
de l’excentrique N.On indique en a', sur cette circonférence la position que
doit occuper le. centre de cet excentrique âù moment où le piston est à
l’extrémité de sacourse/c’est-à-dire en o> la distance dé ce point a', à là verticale
m n, exprime l’avance du tiroir, et par suite l’angle m 0 a'', s’appelle
l’angle ê'avance'bu dé calage ;-On obtient au reste la position du point rt/, après’
s’être donné, d’une paft/.la hauteur des orifices d’admission<-a et. 6y fig. 28 ;
la largeurrs/dè la bande du tiroir, qui est égalé àla hauteur dé l’orifice àug^v
mentée de deux'fois le recouvrement, et de l’autre l’ouverture:%r,qui -exprime
son avance proprement dite à l’introduction et l’ouverture s’tf, qui
exprime l’avance à réchàppernenki et qui est toujours pltïs grande que la première,
afin que lès orifices de sortie restent ouverts lé plus longtemps possible.
Le diamètre de l’excentrique N, est égal k la-hauteur de la lumière aùgmentée
de la largeur r« , de la bande et de la différence qui-existé entre les deux
avances .s’:tr etr t, c’est donc avec ce demi-diamètre~qù'oh a décrit la circonférence
a'b'c’ty-Qnobtient alors le point a', en portant.du centré 0 à droite de la
verticalemn, iine distance égale à l’avance de l’introduction et, augmentée
du recouvrement ; à partir de ce point ti ! on ;divisé la circonférence en autant
de parties égales que celles décrites par 1 la manivelle, puis de chacun-dés
points de division on- abaisse des perpendiculaires sur le. diamètre m ?i. -

On-tire également la droite ;a' g', parallèle à min ,Ja distance de chacun des
points de division à cette droite a ! g', indique les positipns^suëoessives du
tiroir par rapport à celles du piston. Ainsi, après avoir tiré une ligne horizontale
r u, par le point extrême r, du tiroif au moment oùle piston est>à l’extrémité
de sa courte, on porte la distance Jb' If-, de I2 eh 1', et le point 1',
montré que le tiroir est descendu de cette quantité quand le piston a parcouru
la longueur, o 1 et que la manivelle a décrit le premier arc à 1': On porte de:
mémeles distances c’c^ ^/rf 2, etc. qui correspondent aux 3e et 5e divisions à
partir de la même ligne horizontale rù, de i2en ;3' et.de A2,en 5', sur lés
verticales correspondantes aux positions ;3 et 5s ! dû pistcin et "par suite à celles
32 et52 de la manivelle ; on voit alors que le.tiroir descend toujours jusqu’au
moment où le centre dé l’excentrique est descendu en/, sur la ligne horizon’-
taie0 fy qui correspond à la 6e division, lé,tiroir découvre alors l^oriGceoi,
entièrement comme l’indique la fig. 29, à partir de ce point l’excentrique continuant
à descendre les distances dés points de division à la ligne a', y diminuent,
et lé tiroir remonte constamment de telle sorte,, que lorsque le centre
est arrivé au point p,: c’est-à-dire lorsque la manivelle aparcourù sa demi-révolution
et que le piston est ; arrivé en 18 à l’autre extrémité de sa coursé, le
tiroir occupe la position indiquée fig. 30 ; Cette figure fait voir qu’il découvre
alors la lûrnièreinférieure 6, pour l’introduction de la vapeur et celle supérieure
a, pour l’échappement. Si pendant tout ce parcours on détermine les positions
respectives6',7', 8', 9', etc. du tiroir en portant, comme nous l’avons dit, sur les
lignes verticales 6,7, 8, 9, etc. les distances des points de division de l’excentrique
à la droite « ' g', on formera la courbe u, 3', 6', 9', 18' qui est une sorte
d’ellipse. Ce tracé a l’avantage de réunir dans une seule vue, les positions
relatives de la manivelle, du piston, de l’excentrique et du tiroir, et de déterminer
par un.e position quelconque du piston, celle correspondante du tiroir.

Ainsi, pour avoir la position du tiroir correspondante à celle y du piston à
vapeur, il suffit d’élever la verticale y x', qui rencontre la courbe en v', la
distance v' x', de ce point à l’horizontale t u', passant par le sommet de l’orifice
d’introduction a, indique la quantité dont le tiroir découvre ce dernier. On
voit aussi que la courbe est rencontrée par la ligne horizontale t « ',au point ?/',
qui indique le moment où le tiroir ferme son orifice ; à cette position, le piston
n’est encore arrivé qu’au point y* de sa course, par conséquent il lui reste à
parcourir la distance y 218, sans recevoir de nouvelle vapeur de la chaudière,
ce qui démontre qu’avec un tiroir à recouvrement et avec de l’avance, on peut
déjà marcher à détente ; dans le cas actuel la détente a lieu environ aux 4/5
de la course.

On comprend que si la marche de la machine continue, le piston revient sur
lui-même, le centre de l’excentrique qui était arrivé en p, continue à monter
et le tiroir ne tarde pas à occuper la position indiquée fig. 31, ce qui a lieu
dès que le centre de l’excentrique est arrivé en s ; dans ce cas les orifices a
et b, sont complètement ouverts, le premier à l’échappement et le second à l’introduction,
et le tiroir est au plus haut point de sa course, comme on le trouve
du reste en continuant la courbe u 9' 18', dont le prolongement 18', 24', 30'
est exactement symétrique par rapport à la ligne inclinée u 18'. Nous avons
tracé sur la même fig. 35 une seconde courbe elliptique 0", 9", 18" égale et
parallèle à la première, et qui indique les positions respectives du point s’, de
la bande inférieure du tiroir, par rapport à l’orifice b, afin d’avoir à première
vue les positions respectives de cette seconde bande ; ce tracé se borne évidemment
à porter sur chacune des verticales tirées des points 1,2,3, 4, la distance
constante r .« ', du tiroir fig. 28.

Il est à remarquer que la distance entre les orifices a et / ; peut être arbitraire ;
il est convenable cependant de la réduire autant que possible pour
diminuer la surface du tiroir, et par suite la pression de la vapeur qui agit
sur lui : dans tous les cas il faut toujours que la hauteur de l’orifice d’échappement
c soit plus grande que celle des lumières d’introduction, d’une quantité
au moins égale à la différence qui existe entre les deux avances /V et ir.

417. DÉTENTE. — La marche de l’excentrique 0 de détente est analogue à
celle de l’excentrique de distribution, à l’exception que la position de son
centre n’est pas réglée de la môme manière.

Observons d’abord que cet excentrique n’est pas invariablement fixé sur
l’arbre de couche L, comme le précédent ; il est seulement retenu au manchon

à gorge P 2 ; par les visi£- .(.'fig. 36, 37).-Cette disposition permet de rapprocher
ou- d’éloigner son centre de celui del’arBre selon la course qu’on veut lui
donner ; ; :à cet effet,- son ouverture centrale est allongée,, .ainsi-que celles. ; qui
reçoivent les vis de détente.^ - : . \ ;'■,..'..'.•■

Si Je centre de cet excentrique se trouve daus la.rdirection niême. deJa manivelle,
le tiroir de détente H, guidé parla console A 2, rapportée contre le
socle S et dessinée en détail sur là fig. 43, est complètement ouvert quand le
piston,esta l’extrémité dé sa course ; mais oîra/.supposé:,- sur la fig. 35,'que
ce centre se trouve en a* sur la circonférence décrite du point- 0, avec le
rayon L a4de l’excentrique, et que par suite le tiroir ne découvre pas entièrement
l’orifice cl d’admission, afin de détendre un peu plus. tard…

On divise comme précédemment cette circonférence à partir de a4 én.parties,
égales ; aux points a4 on élève une ligne verticale,, puis on porte successivement
les distances des points de division à cette ligne sur chacune des verticales
1,2, 3, 4, fig. 35, et à partir.de la ligne ; horizontale passant.par.F arête
supérieure r !' d,u tirpir H ; on a ainsi une seconde courbe elliptiques, mWp',
dont l’intérieur est teinté un. peu plus fortement que celle correspondante ; du
. tiroir de distribution,afin de les mieux distinguersur le dessin. Cette courbe
rencontre la ligne.horizontale•' menée par l’arête supérieure de: L’orifice d,,~ au
point n’ ;, qui indique l’instant où le tirôirHferme l’orifice d’admission (fig. 39).
On voit que ce'point correspond à l’a position V du piston à vapeur, ce qui
veut dire que la détente commence quand le piston n’a parcouru encore que
le l/4,de sa. course. En continuant la marche, on voit que.lê tiroir H s’élève de
plus en plus, de telle sorte qu’il commence à .découvrir le: même orifice d’admission
avant•=,que le piston, soit arrivé à l’autre extrémité de/sa course ;
mais oii sait queja vapeur ne:peut pas s’introduire dans le cylindre, puisqu’à
partir: de la position y,y',le tiroir de distribution esta son tour fermé ; il n’y
a donc aucun inconvénient à ce que le tiroir H soit.'-ouvert, à chaque extrémité
de la course, comme l’indiquent les fig, 38 et 40, et comme le montre aussi
le:traçé (fig.J5) >. '■-.■> - '„..--,  ; , ;. ; v- T , ;:■.-,. - ; ■/■ .''■'.-' : ;; -"- :,-. .-

En-y/ariant le rayon de l’excentrique 0, et la position de son centre par,rapport
au rayon de la-manivelle, on conçoit que l’on puisse changer dans une
certaine limite le ; moment où le tiroir H ferme ForifiÇe d’admission et, par
conséquent le degré de détente. .'. ;) ' :

, Les figures 41 et 42 font voir que- la tige ; du tiroir est assemblée àveclui
par un emmanchement à T qui rend Te tiroir assez-libre pour que la vapeur le
fasse appliquer constamment contre la paroi ; dressée ; ce même ajustement est
adopté pour l.e, ; tiroir de distribution. - :- -

Les explications générales que nous venons de donner,- sur la construction
et sur le jeude cette machine, s’étendent évidemment, aux autres systèmes,
qui ne diffèrent que par les dispositions et les ;formè§ ;des pièces. On trouvera
d’ailleurs, dans les Notés ;, les règles et les tables relatives ; aux -calculs de-ces
machines ! … ; -, -,
Regles et données pratiques
MACHINES A VAPEUR.
MACHINE A BASSE PHESSION , A CONDENSATION , SANS DÉTENTE.418. Dans les machines, dites à basse pression, la vapeur est produite à une température
peu élevée au-dessus de 100 degrés centigrades ; on la compte généralement à
105 degrés ; dans ce cas, sa tension est égale à une colonne de mercure de 90 centimètres,
c’est-à-dire de 14 centimètres au-dessus de la pression atmosphérique ; elle est
par conséquent équivalente à la pression de 1 atm. 17 ou de 1 k. 20 par centimètre
quarré. C’est à cette pression que les machines de Watt, sans détente, sont calculées, et
celle qui nous occupe est réglée sur cette donnée.Mais il y â une différence bien grande entre cette pression de la vapeur dans la chaudière
et celle qui donne la puissance effective de la machine. Il est évident qu’une partie
est absorbée soit par la contre-pression, ou le vide imparfait du condenseur, soit
par les frottements des pistons et de toutes les parties mobiles, soit par les fuites et
par les refroidissements. Aussi, pour toutes ces causes, on estime que la force effective
est à peine de 0 k. 50, par centimètre quarré, dans un grand nombre de machines, et au
plus de 0 k. 65, dans les plus puissantes.La règle pour calculer les machines à basse pression, consiste :A multiplier la pression moyenne effective de la vapeur sur le piston, par la
surface de celui-ci, exprimée en centimètres quarrés, et le produit, par la vitesse en
mètres par seconde.Le résultat exprime l’effet utile de la machine en kiiogrammètres.Pour avoir la force en chevaux, il suffit de diviser ce résultat par 75.Ainsi, le diamètre du cylindre d’une machine à basse pression sans détente, étant de
0m856et sa section de 5755 centimètres quarrés, si la pression effective sur le piston est
de 0 k. 63 par centimètre carré et sa vitesse de lm1076.on a 0,63 X 5755 X 1,1076 = 4015 k. m. 67,d’où 4015,67 -r 75 = 53,54 chevaux.Mais la pression effective sur le piston n’est pas toujours de 0 k. 63 par centimètre
quarré, elle est bien plus souvent au-dessous qu’au-dessus de cette quantité. Elle varie
non-seulement suivant la puissance de la machine, mais encore suivant son degré d’entretien.
Ainsi, quelquefois la pression effective ne sera pas de 0 k. 45 pour des machines
de faible force, tandis que dans les machines de grande puissance, elle pourra s’élever
à 0 k. 65.Les machines à simple effet, comme celles employées dans les mines, sont de même
dimension que celles à double effet, mais seulement d’une puissance moitié moindre ;
ainsi, le cylindre d’une machine à basse pression de 100 chevaux, marchant à simple
effet, c’est-à-dire recevant la vapeur au-dessus du piston en descendant seulement, est298COURS RAISONNEexactement le même que celui d’une machine de 50 chevaux, dans laquelle la vapeur
agit alternativement en dessus ;et en dessous du piston. - -■ . .'■Nous donnons,sur ce système dé machine, dans-la table suivante, les. diamètres et
vitesses de pistons.¥'vapeur depuis la force dé 1 Cheval jusqu’à celle de.200 chevaux.XXXVIIe TABLE. — DIAMÈTRES, SURFACES ET VITESSES’DES ■ PISTONS DANS LES MACHINES
' - A BASSE PRESSION ET A DOUBLE EFFET.,.'. AVEC LES’ QUANTITÉS DE VAPEUR DÉPENSÉES
PAR FORCE DE CHEVAL. , ■ ""• '-..'' " '■ . ■-FORCE DIAMÈTRE SURFACE BU PISTON -. COURSE NOMBRE y VITESSE 'VITESSE PRESSION POIBS- •'" -." " "'' - . ', ".'/• , . , effective de-vapeur…i_.. ,,,, ' , ' ',„ V du.Pistou du piston - SH1, dépensée™ ~" '■ ?" ' " - »~~—-—--. au .. … ,ae - ^. . le piston par chev.chevaux, piston.- totale' par cheval piston. révôlut. secc-nde.' -minute. cent ;.qnai\ par henre.cent. met. quar, cent, quar. mètres. pari' mètres, mètres.- kilos ;..' ..■ £i\.- !'. 4' 15 ..'0.018 181 : 0.52 ■ ' 50 " ' .- 0..85 54 - 0.49 38.81'2 - 21 0.036' 178 "0.61 ': 42 ■ ' ■ 0.86 ' -52 : 6.49 : 38.774.■ 30 ■ .0.068.-17.1 "'.-■ 0.-76 34 -0.90 '54 ; 0.49 - .38.77'6 35 0.098 '163 0.91- 31 , ,0.94 '-'57 "0.49 38.72: 8 40 0:128 460 -1.07 ' '27 0.96' 58: , .0.49: 38.7210 45 ~' 0:459 , 159 J..22 24- ■ 0.'98 ,59 0.49.' -38.6412 49. ::0.189 ' -157, ' 1.22 24'" .0.98 . 59 ': 0.49* ■ 38.64 .'16 . . « 5 0.240. '150 1.37 22 .1.01 .60 0.50' -37.SÔ20' 61 0.292 146 1.52 " . 20 '1.02. 64 ". ~- 0.51 . 37.3824 ,66'. 0.346' 144 ' 1^69 48 -4.02' '64- :Ô.52 .' 36.8830-. . 73.:'.- 0.414 ! 13.7 ' . 1.83 .47 ~'-l ;04 .62 0.53: ' 36.04 .40 83. ■-.' 0.535 134- 4.99 '46 AM- 64 0.53 35.70'"50 '94-, , '0..658" .'132. .' 2.13 15 . ^,1.07V .64 . 0.54' 35.32 ! -60 1.00 0.779' , 130 ' 2.28 - 1* ,. ' 1.07 64 ' 0.5.4 '34.94. 70 1.07 r0.903 129 '/2.44 13 - . ' 1.06 :' 63 0.55 : 34.36.80 ■ 4.44 .-■ ' 1.032 "î'29 . 2.44"..-'43 1.06 .63 0.56 ' -34.31- '90' , 1.21. -1.138 126 ■' 2.S9 ! 12 1.04 62'' 0.57 . 33\01'100 .1.27 '4.264 - 126 2.59 • . .' 42 4.04 .62-. 0.58/' .32.97.420 4.39- -4.512 126 . 2.74 11- 1.00 60, -.0.59 34.92460, ,1.60 2.005- '125 - 3.00 ' 10' - 1M - 60' 0i60 . 31.67'200 '1.78 2:480. 124. 3.00 1.0 : i .04 .--60 0.61 : ,31.47DIAMÈTRES DES PISTONS.'— On peut au moyen dé cette table déterminer d’Une manière
bien simple le diamètre et. la vitesse dû piston d’une machine à basse E^ssion et
à double effet, la vapeur produite dans la chaudière .étant supposée à la pression de
1 atin. 17 qui correspond à une colonne de inércure de 90. centimètres. '.'„
- RÈ&LE.,— II.suffit de chercher dans la table quelle est la surface .dù.piston par cheval
et de la multiplier par le nombre de chevaux ;.:de la machine à construire, puis de
déterminer la surface du cercle correspondant. ■Exemple: Quel serait lé diamètre à donner au piston d’une machine à vapeur à
basse pression et à double effet, de la force de,25 chevaux. ..'.-■■On voit dans la quatrième colonne de la table précédente, que la surface^ donner au
piston doit être de 144 centimètres quarrés par force de cheval pour 24 à 26 chevaux,
avec une. vitesse de 1m_02 par seconde. ■■-.. .^ ::'• … !!, '-.■''pour.la surface totale du piston,. : , ■ j ',-'. ;„, . '-. ■ -. ;Ainsi, le, diamètre du piston est de Qm677 ; ■■■ .. ;. ;.'. ,"VITESSES.—Les vitessês-par. seconde et par minuté données dans les 7e et 8e colonnes
de-la table, sont généralement les vitesses de régime ; adoptées en pratique dans l’établis-DE DESSIN INDUSTRIEL 299sèment des machines à vapeur, quel que soit d’ailleurs le nombre de révolutions de la
manivelle ou le nombre de coups de piston par minute, puisque ce nombre est variable
suivant la longueur de la course que l’on veut donner au piston. Ainsi, dans les machines
fixes pour manufactures ou fabriques, la course du piston est généralement plus
longue, et par suite, il donne moins de coups par minute que dans les machines pour
bateaux ; comme dans ces dernières on cherche à réduire le plus possible les hauteurs
de l’appareil, la course est proportionnellement beaucoup plus courte pour la même force.La longueur de la course du piston se règle à volonté par le constructeur, suivant
qu’il trouve plus commode, pour ses transmissions de mouvement, de faire faire à la manivelle
plus ou moins de révolutions par minute, sans pour cela apporter des différences
sensibles dans la vitesse du piston, par rapport à celles adoptées dans la table.Si pourtant on voulait établir une machine avec une vitesse plus faible ou plus grande
que celle donnée dans la table, il faudrait évidemment avoir égard à cette différence,
et augmenter ou diminuer proportionnellement la surface à donner au piston par cheval,
afin d’obtenir la puissance demandée, et cela au moyen d’une simple opération.Exemple : Soit proposé de construire la machine précédente, de la force effective de
25 chevaux, avec une vitesse de piston de 1 mètre par seconde, au lieu de lm02 ?Il suffirait d’établir la proportion inverse suivante :pour la surface à donner au piston par force de cheval, par conséquent,Nous avons donné comme complément de la table, les dépenses de vapeur correspondantes
aux forces de machine, et nous avons déduit les dépenses par heure et par
cheval. On peut reconnaître parla dernière colonne qui donne ces dépenses,qu’elles sont
sensiblement plus considérables dans les machines de petites forces que dans les machines
puissantes, ce qui doit être évidemment ; ainsi, pour une machine de 12 chevaux,
la dépense de vapeur est de 38k 64 par heure et par cheval, tandis que dans une machine
de 100 chevaux, la dépense ne s’élève plus qu’à 32,97 pour la même force et dans
le même temps.Les dépenses ou les poids de vapeur ont été calculés d’après la formule suivante :utS. représentant la surface par cheval ; C, la course du piston ; p, le poids d’un mètre
cube de vapeur à la tension adoptée ; N, le nombre de révolutions.Nous n’avons pas besoin de faire entrer en compte les pertes de vapeur résultant du
refroidissement ou des fuites, et que l’on estime à environ 1/10 de la dépense totale ; on
doit évidemment en tenir compte dans le calcul des chaudières.TUYAU ET ORIFICES DE VAPEUK. — La section du tuyau qui amène la vapeur au
cylindre, et celle des orifices d’introduction sont égales à la 20e partie de la surface du
piston.D’où il résulte que le diamètre à donner au tuyau d’admission doit être le 1/5 de celuidu cylindre.Nous remarquons, du reste, que plus la vitesse de la machine est grande, plus on doit
augmenter la surface du tuyau et des orifices ; c’est à tel point, que dans les machines
locomotives, cette section est quelquefois égale à 1/9 et à 1/10<= de celle des cylindres,
et cependant la prèssiori de la vâpetîr est beaucoup plus élevée, puisqu’elle est ordinairementde
5 à 6 atmosphères, et quelquefois plus. '■■-"' / '"'/'■'":

■POMPE A AIR: ET CONDEWSEUE: — Là course du piston de la pompe à air est égale
rà la moitié de la coursé dii piston à vapeur, et comme il donne: le' même nombre de
coups, mais qu’il n’épuise qu’en montant, il iîe peut élever à chaque Rouble' coup qu’une
quantité d’air et d ?eau équivalente au volume qu’il engendre. '/ "--: ''"■""'[

. Or, la section de la pompeest égale à O^A- 2827," et la longueur.de la coursé est de
0™923 ; la capacité de cette pompe est donc de Om^. 261, et comme lé doublé du volume
engendré par le piston à vapeur est égal à 2>n.c. 125, il en résulte qu’èlle ;ëst un peu plus
du huitième de la capacité du cylindre. \ ": '"">■". '*' ;■

Cette capacité est suffisante pour que la machine puisse marcher avec avantage.
tjja section du condenseur est la même que celle de la pompe, et sa hauteur est de
plus d’un mètre ; ainsi, sa capacité'est "au moins aussi grande. , - - '/ "
'■-:■ Comme'la quantité d’eau à injecter dans le condenseur est variable, suivant le. degré
de température: de l’eau'froide dont on peut disposer) il est bon de savoir la déterminer.
 ; Ori.se sert à cet effet-dé là:règle .suivante.: - \ '■. " "'•. ■'■'■■■ '.>■

RÈGLE, — Prenez l’excès de la-temper.ature.de la vapeur sur celle que doit avoir
l’eau de condensation, ajoutez '550 à .cette différence, et multipliez la soinmë par le
poids de vapeur à: condenser, divisez le• prodpit par la différence~de température.
de Veau dé condensation et de màu froide. Le quotient sera le poids-de Peau froide 'à
injecter. ,.-'.'-- .'■""■. ,-•■'.' '■:-'■. -.\ . ■■"- ■ ■■. ; •■ •■

Ainsi, soit p, le poids de la vapeur à condenser ; t, s’a' température ; P,:lé poids de
l’eau froide à injecter dans le condenseur" ; t’,sa température, et T, celle deTeàûde condensation ;
.'■•'■'■'-.. ".■'•:■■'"'• , ;-. ' '■'..'.•■'- . ;".  ;.-.-: '. ,.'. '

D’où P••== 621-kilog. ou 621 litres-pour, la dépense d’eau froide par minute pour ,1a
condensation. ■•'■ •' . ; …"■ .' -. -..'.,'■• •.' ;" ..''/■"-•' ■ : ■ '

C’est-à-dire que la quantité d’eau à injecter dans !lé condenseur est environ 24 fois lé
poids" de.vapeur dépensée..- '■''■■'':''■.',' ^v-'-"' ; ■"■:.-""■ ^ :.■.'::":-,- ;■''-' :

Si l’eau dé condensation était à là température de 55°, l’eau froide restant à 12°, .

D’où P:= 365' kilog. ou 365 litres’: "•'':." ''.'■'.:''■ \ ' // ■■'". .'.' '"'"'■-.  ;''-:'" '■. ; ' '

C’est-àfdire'quéj dans ce. dernier cas, la quantité d’injection’ ne seraitjusque iifois
celle de la vapeur dépensée. '", -

Mais remarquons que, dans ce caéj la fôrce'de la vapeur à 55° dans"ïe condenseur est
dé 12C75 de mercure, tandis que dans le premier élie n’est que 5,5 cent.- ; il y:à dprie
avantagea condenser à la plus basse ; de ces" deux, températures. ,"

Dès résultats précédents" nous déduisons ce qui suit ;.- ■

1°. Que la course du piston de la ■pompe à air dans les machines à vapeur a basse
pression et a double effet, est ordinairement ;égalé à là moitié de ; la coursé du piston.à
vapeur ;  ; . '.-.". ,…,-■  ;. •' ;'.'■ '.:'^'■'.■'"' '". 1.''} '■■"'"''■

2° Que lédiamètre du piston dé cette pompe est à peu près:égal aux deux tiers du
DE DESSIN INDUSTRIEL. 301diamètre du cylindre à Vapeur, et par conséquent sa surface est environ moitié de la
section de ce cylindre ;3° Que le volume utile, engendré par le piston de cette pompe, est le 1/8e ou au moins
le l/9e du volume engendré par un double coup de piston à vapeur ;4° Que la capacité du condenseur est au moins égale à celle de la pompe à air ;5° Que la section du passage de la soupape de communication entre le condenseur et
cette pompe est égale à 1/4 de la surface de son piston ;6° Que la quantité d’eau froide à injecter dans le condenseur est variable suivant son
degré de température, et suivant aussi la température du mélange ;7° Que cette quantité est égale à 24 fois le poids de vapeur dépensée par le cylindre,
lorsque la température moyenne de l’eau froide est de 12°, et celle de l’eau de condensation
à 38°, ce qui a le plus généralement lieu dans les machines à basse pression à
double effet.POMPE A EAU FROIDE ET POMPE ALIMENTAIKE. — Le volume engendré par le
piston de la pompe à eau froide doit être de 1/24 à 1/18 de celui du cylindre à vapeur.La capacité de la pompe à eau froide doit être dans une machine à basse pression,
à double effet, égale à la 18e partie ou au moins à la 24= partie de celle du cylindre à
vapeur.Celle de la pompe alimentaire à eau chaude doit être égale à la 230e ou 240e partie au
moins du cylindre à vapeur.. MACHINES A VAPEUB A HAUTE PRESSION ET A DÉTENTE.Soient données les dimensions suivantes d’une machine analogue à celle que nous
avons décrite :Le diamètre du cylindre = 0m275La course du piston = 0m680Sa surface = CM- 0594Nombre de coups doubles par minute = 40Supposons d’abord que la pression de la vapeur, arrivant dans le cylindre, se maintienne
à 5 atmosphères, et qu’on veuille détendre pendant les 3/4 de la course du piston,
c’est-à-dire que la vapeur n’arrive dans le cylindre que pendant le premier quart
de la course.Cette pression de 5 atmosphères est égale à 5 X 1,033 =5,165 kilog. par centimètre
quarré ; par conséquent la pression totale exercée sur la surface du piston est de5,165 X 594cq. = 3068 li.Et puisqu’il parcourt avec cette pression un espace égal au quart de la course ou0m680-^4=0m170il est, théoriquement parlant, capable de transmettre une quantité de travail exprimée
par3068k. X om17= 521k.m.56Divisons la longueur 0m51, ou les 3/4 de la course en un nombre pair de parties
égales, en quatre, par exemple, chacune de ces parties sera égale à0,51-— =0m1275
421302 , COURS ; RAISONNÉ -. 'Or, on sait que d’après la lai deMariotte, les v.qlunïessuccessivement occupés -par
une même quantité.de gaz sont en raison-inverse de' sa force de pression, en admettant
toutefois que ce gaz ne çliânge pas d ?état ; ce principe peut être regardé "comme exact
dans les: machines à vapeur, parce que la-détente n’y est jamais, poussée très-doin, et
que comme la vapeur traverse les cy]indiiés..tres.H*apidement, et s’y renouvelle fréquemment,,
elle les maintient, après un certain temps, aune températuretrès-peâdifférente
de celle qu’elle possède ellè-mêine, En désignant par P, la pr'ession 3068k. 'trouvéeau
premier quart delà course, On pourra dojiç établir les relations suivantes : V.aux/points,. ■'■■t..,'' ■% 3 .4" ■.■-'. ;•'■$, jv-' ■,■/..■ •-.-".- ■ ■'•:.c’est-à-direaux espaces successifs —"O.^ITO, 0W2975, 0^425* . 0iI,5525, 0™680
Les pressions correspondantes: étant.. ' : i , ;. - , •■■'•■■ ■••."' ".''On à donc,, d’après là méthode du géomètre anglais Thomas Simpson, .', ■. ■'■•■■ ;La- sommé des pressions extrêmes = -3068'kil. -f- 767.Ml. =■■■" 3835, kil.' Deux fois celle des autres pressions de rangs impairs ==2 X 1227= 2454-, -Quatre fois-celle.des pressions de rangs pairs = 4 (1764 + 944) = 10832 ;r .•■-" ..-.■ ;.. '..' :- - ■■'■.-• r.' ' •'-'■-Total’.:/. . Ï7121 ' ;-"''^Prenant le tiers de cetet quantité et multipliant’par b"'fl275, on aura le travail pror
duit pendant la détente, ' ' . .Ajoutant à ce travail celui = 5'21k-m< 56, produit avant ladéterïte, on a pour le travail
total produit par'la vapeurpendant la course entière du piston, - : : : ' ' -■■"'--.' '. ;.  ; ; ''.. ='l249&« k21).' ; .-.:■ o. .. > -..V'K ' ■ ;-' , - ,'Déduisant maintenant de ce travail, l’effet de ; la pression atmosphérique qui s’oppose
au mouvement du. 'piston pendant toute ; la,çours.e, et quiestégal ; à,. ". ;.: . -.-■: ;:■Ik033 X 594Mt X:0 ?M^M4i7Ï-ni-25
il reste, pour le. travailj-effectif dupiston,. ' ' . ;  ; .  ;; ■": -' ,… ;.•..-•■.' :1249>20 ;—417,25'= ,832H-m.:. .-'.''. -.environ par coup de piston ; et comme celui ;ci doit donner 40 coups doubles ou 80 coupa
simples par minute, le travail effectif par minute devient - '..832 x ; 80. ==. 565,6^ ?ii- ; .,..■■■ ./„.. ;.. \ ; ..On peut arriver à calculer ce travail de la machine, et en général de toutes les machines
à Vapeur à détente, d’une manière beaucoup, plus simple, à l’aide dé la table
suivante : - . . -DE DESSIN INDUSTRIEL. 303XXXVIIIe TABLE. — QUANTITÉS DE TRAVAIL PRODUITES SOUS DIFFÉRENTES DÉTENTES
PAR <l MÈTRE CURE DE VAPEUR A DIVERSES TENSIONS.VOLUME QUANTITÉ DE TRAVAIL CORRESPONDANTE POUR DES TENSIONS DE1 11/2 2 2 1/2 3 4 5 6la ûe ente. a{moSp]j atmosph. atmospli. atmosph. almosph. atmosph. atniosph. atmosph.met. cube kil. met. kil. met. kil. met. kil. met. kil. met. kil. met. kil. met. kil. met.1.00 10333 15500 20666 23833 31000 41333 SI 666 620001.25 121(39 18938 23278 31597 37917 30536 63193 758341.50 14523 21784 29046 36257 43569 S8092 72615 871381 73 16H6 24174 32232 40290 48348 64464 80580 966962.00 17496 26244 34992 43740 S2488 69984 87480 1049762.25 18713 28069 37436 46782 56139 74832 93565 1122782.50 19802 29703 39604 49505 59406 79208 99010 1188122.75 20787 31180 41574 5I967 6236I 83148 103935 1247223.00 21686 32529 43372 54213 63058 86744 108430 1301163.23 22313 33769 45026 56282 67339 90052 112565 1350783.50 23279 34918 46558 58197 69837 93116 116395 1396743.75 23992 3S988 47984 59980 71976 95968 119960 1439524.00 24638 36987 493I6 61645 73974 98632 123290 1479484.25 25285 37927 50570 63212 75855 101140 126425 1517104.50 25875 38812 51750 64687 77625 103500 129375 1552504.75 26434 39651 52868 66085 79302 105736 132170 1586045.00 26964 40446 53928 67410 80892 107836 134820 1617843.25 27467 41200 54934 68667 82401 109868 137335 1648025.50 27949 41923 53898 69872 83847 111796 139745 1676945.75 28408 42612 56816 71020 85224 113632 142040 1704486.00 28848 43272 57696 72120 86344 115392 144240 1730886.25 29270 43905 58540 73175 87810 117080 146350 1756206.50 2967S 44512 59350 74187 89023 118700 : 148375 1780506.75 30065 45097 60130 75162 90193 120260 j 150323 1803907.00 30441 43661 60882 76102 91323 121764 ' 152205 1826467.25 30804 46206 61608 77010 92412 123216 j 154020 1832247.50 31154 46731 62308 77885 93462 124616 ! 155770 1869247.75 31493 47239 62986 78532 94479 125972 I 157465 1889388.00 31820 47730 63640 79550 95460 127280 159100 1909208.25 32139 48208 64278 80347 96417 128556 ! 160695 1928348.50 32447 48670 64894 81117 97341 129788 162235 1946828.75 32747 49120 65494 81867 98241 130988 163735 1964829.00 33038 49557 66076 82395 99114 132I52 165190 1982289.25 33321 49981 66642 83302 99963 133284 166605 1999269.50 33597 50395 67194 83992 100791 134388 167985 2015829.75 33865 50797 67730 84662 101593 135460 169325 20319010.00 34127 51190 68254 85317 102381 136508 170635 204762D’après cette table, si l’on voulait calculer le travail produit par le pistou de la machine
précédente, dans les mêmes conditions que ci-dessus, on chercherait d’abord quel
est le volume primitif de la valeur dépensée pendant le premier quart de la course du
piston. Ce volume est égal àOiM-0594 X 0« i 17 t= om-c. 010098.Or, on voit dans la table que la quantité de travail pour la détente, à quatre fois le
volume primitif d’un mètre cube de vapeur à 5 atmosphères, est de123290 k-ra- ;par conséquent celle qui correspond au volume 0m-c-0(0098, est123290 X 0,010098 = 1245k.m.D’où en déduisant le travail de la pression atmosphérique opposée au mouvement du
piston,
on a 1245 — 417 = 828t.ro..304 , GO-DRS RAISONNÉ ; .quantité à très7peu près égale à celle obtenue plus haut. Ainsi, le calcul poiar^dëtemiiner
le travail d’une niachine à-vapeur dont on- connaît le diamètre et la course du-piston,
la pression-de 'la vapeur et le degré de détente, se réduit à la règle suivante.
'RÈ&LE.J—r Multipliez la surface du piston par la partie de-sa course_. pendant
laquelleAl agit àpleine pression,vous aurez levolume de vapeur dépensée ; multipliez
çe'volu ??ie par la, ;quantité de travail, correspondant, .dans laiable, au-degré de
pression de-la vapeur,-et au: degré de tension donnée ; puis -déduisez de ce/pro-,
duit le travail-résultant. de la pression opposée au mouvement du pistpn pendant
toute la course, et vous aurez la quantité de travail théorique produite pendant toute
cette course. -,- ~. .•„ ~ , - ; :'•'■■'.■'■,  ;: MACHINE A'MOYENNE PRESSION^ A DÉTENTE ÉI CONDENSATION. .1 "'■.Soit donné, le diamètre du cylindre à vapeur , :J.= 0m330- , ,■ .-','".'-.':■. ; Course du piston à vapeur ,. ;==0m65Ô ; .-., Diamètre de la pompe à ,air .— oml80: ''-..' Course de son piston ■ -' = 0m22S ■'.-.'-'.-, Diamètre de k.pornpe alimentaire = 0m035 r":[->
: , v , . Coursé de son. piston '-.- ; • = 0m235 .- ; '.-./.Il résulte de: ces dimensions, que pour les surfaces de piston oh: a. : ;■ / Surface du pist-ôh à.vapeur . \ = 855,30 cent. (juar. -Surface du piston de la pompe à air =254,47 ». ,- ; ,.. . .--. Surface du piston de la pompe alimentaire == 9,62 » 1 - --' ■"'Et pour les volumes engendrés pour ces pistons à chaque course : '.- Celui du cylindre a vapeur.. ; — 55,594 décim.xubes./ ;..'■-'■_.- Celui delà pompé à air •'.' =-8*270-. ;■ :" »- \ ^".-'- ■■ ;■•"
-. .. '•• Celui de la pompe alimentaire^ 0,226 - »' ■'■"- -.-:'.:, - '-.- ;■Supposons que dans la marche habituelle, la pression est de 3 1/2 atmosphères * et
voyons quelle est. la force réelle que l’on peut obtenir, en. admettant que la détente ait
lieu pendant lès 3/4'de la course du piston, c’est-à-dire que la vapeur n’arrive dans le
cylindre que pendant un quart, qui correspond a là longueur'0m 1625'.Puisque la surface du cylindre est de 0™0885, le volume de vapeur dépensée"pendant
lé 1/4- de la course est de : y. ■■■•■■•■. • .• •■ ;'■■':- -.,:'■■■. •-… ■'•••--■'•'.'■-':- f  ;: ' . '-V'' 0,0885 X 0,1625 = 0ni-c.O139 ; .-..' ;'/,■du 13,9 décim. cub..  ; . 'Or, d’après la table relative-aux quantités de travail de la vapeur à diverses tensions,
on trouverait que Je travail d’un mètre cube de vapeur à 3 1/2 atmosphères, et se détendant
de 1 à 4,. est égal à 86303 kilogrammètres ('j^par conséquent on a dans là machine
actuelle, - . - -, ; ",-' ;":-'-■ , .' ...0,0139 X 86303 = 1199^-m.- ':■ \V.-,pour un coup simple de piston. : - ;
Mais de cette quantité on doit retrancher lapréssion qui- a ; lieuen sens contraire, et1: Comme Ia_iable ne contient pas les évaluations pour 31/2 atmosphères, on peut y suppléer
en prenant 21/2 atmosphères,et 1 atmosphère, ce.qui donne'61645 + 24658 = 86303.DE DESSIN INDUSTRIEL 305qui résulte du défaut de vide dans le condenseur, cette pression est égale à 0k27 par
Gentimètre quarré, lorsque la température de l’eau de condensation est de 65°. Admettons
que la machine se trouve dans cet état pendant qu’elle fonctionne, nous aurons à
déduire du résultat précédent le travail résultant de cette pression sur toute la surface
du piston multipliée par la course entière, c’est-à-dire0,27 X 0,0885 X 0,65 X 150k.m.Par conséquent on a 1199,6 — 150,1 = 1049k.m.5pour le travail réel d’un coup de piston ; et si la machine marchait avec une vitesse
de 42 révolutions par minute, ce qui suppose que la vitesse du piston soit 0m90 par seconde,
on trouve que le travail par minute est de1049,5 X 84 == 881588k-niou881588-^4500 = 19,59 chevaux.Mais on sait que tout ce travail est loin d’être transmis à l’arbre moteur, parce qu’une
partie est employée à vaincre les frottements des diverses parties mobiles de la machine
et les autres pertes.En comptant que la force utilisée ne soit que les 4/10 de ce travail, ce qui suppose
que les 6/10 soient complètement perdus, on aurait pour la puissance effective transmise
à l’arbre de la manivelle :19,59 X 0,4 = 7 ch. 84ou près de 8 chevaux effectifs, de 75 kilogrammètres.Si l’on veut connaître la quantité de combustible consommé par heure pour produire
ce travail, nous remarquerons qu’un mètre cube de vapeur à la pression de 3 1/2 atm.
est de 1^8518, et à la pression de 4 atmosphères de 2k0291.Or, quoique nous ayons supposé plus haut que la pression dans le cylindre soit 3 1/2
atmosphères, nous admettons cependant qu’elle est plus considérable dans la chaudière,
pour compenser les pertes par les boîtes, les conduits et les soupapes.En comptant sur une pression de 4 atmosphères, on trouve que le poids de vapeur
dépensée à chaque course, simple de piston est de0,0139 X 2,091 = 0k0291etparheure, 0,0291 X 84 X 60 = 146k204.D’où l’on déduit, dans l’hypothèse qu’un kilog. de houille produit 6 kilog. de vapeur
:146,64-^6 = 24k44 par heure.
Et puisque la puissance obtenue est de 7,84,
on a 24,44-r 7,84 = 3kl,pour la quantité de charbon brûlé par heure et par cheval.
.306 . DE DESSÏ1S1 INDÏJSaJRIEL.

Pour compléter les règles qui précèdent, nous donnons les deux tables suivantes qui
sont relatives aux dimensions principales à donner aux machines à vapeur de divers

systèmes.
XXXIXe T4BLE7 — PROPORTIONS DES MACHINES A VAPEUR A DOUBLE EFFET, AVEC ET
SANS .CONDENSATION-.ET AVEC OU SANS DETENTE (LA PRESSION BE LA VAPEUR ÉTANT
A i ATMOSPH. DANS CELLES A CONDENSATION, ET A S ATMOSPH. DANS LES AUTRES).….. mmen « mi. vmn>,,„ MiCHttES A CONDENSATION BIM SAIS COKJMSiTim HAC1I SWS ÏEWMBFORCE COURSE VITESSE MMBRE et à détente aux 3/4. et à détente aux 3/4 ni condensation.en da piston levote- tomètle' surface poids nrf^ s|nface ^^7^1pu tionspar du pistou "^ iR du piston *J™P™chevaux piston, seconde minute. u par  ! '. ™, an par m p„, J ?:7"piston, cheval £^ piston, cheval, piston jj^cent. cent. f. ' cent. c. par. - ' kilog. ' cent. . ~ç. quàr. cent. iilog-.1 40- 70 S2ÏS . 16:' -'189 : 24.90 T4 , -148 10 50.762 -j 30 75 45.0: ■ 20 160 .22.62' 19 135. '' 14 49.56
4 60 . 80 . ' .40.0 27 148 22.38-. 25 " 124 18. 46.98
6 70 85 36.4 32 138 22.08 31 123 21 45.30
8 80 90 33.7 36 127 21.54 33 106 23 42.0010 90 95 31 7 39 119 21.36 36 100 25 41.3412 100,. 100 30.0 .42 -112 ,21.18, 38 792 - 26 ,40.86.16 110 .105, 28.6 46 .10.4 " -20.B8 ,' 42 . 87 ï ' 29 ,39.9620 120 110 27.5 49 94 20.28 45 81 31 38.82- 25 130 115 26.5 54 92 19.80 49 76 34 38.5230 140 120 25.7 57 86 19.32 52 72 36 37.5635 ; '150 125. '25.0' ''.". 59 77 18:54 , 55 ' '68 - , .38 . '. 37.3840 160 130 24.3 62 75 18.06 57 64 39 36.6050 ,170".'. 135 23.8 '. 67 ,'70 .17.28 .' 62 60' 43 . 36.1860 -' ; 180, 140 23.3 72 68 17.22' 66 "58 46 <-,35..7675 190 145 22.9 78 67 17.16 72 54 50 35.04100 200 . 150 ; 22.5 '85 57 16.62 . 84 . " 55 '56 34.08XL<vTABLE. — PROPORTIONS DES MACHINES A DEUX CYLINDRES A MOYENNE PRESSION,
DÉTENTE ET CONDENSATION DU SYSTÈME DE WOOLF (PRESSION l ATMOSPH.).■~—M, ' '_„„_ DIAMETRE DES C1LIND. COURSE DES MSTOI\S „„„„._EORCE SURFACE DES PISTONS EN CENÎIH. QUARRES. NOMBREen.centimètres. ' : … ,t.. '.- ; ; • r en-mètres,en M . de touischevaux. ,i n totaIe pal cheval. „ par l '"■ "■ s. S s. S. ci16 27 201 572 '■''.-' 50 ' ' C’143 0.67 0.90 . 30.06 19 - 35 283 '962 '47- , 160 ' 0.67 - 0.90 30.08 : 21 ! .- -38 '346 . 1134 43 141 •- 0.75 '1.00 - 30.0.10 . 23 .. 42 . 415 ■ ' .'i 1385 : :'' "41 '-'--' d: ;138 ": -' 0.75. . 1.00 :' 30.0. j. 12 25. 46 . . ,491 1662 40- - 138 '0".82 1.10 27.316 , '28 .,' '"52' >616 2124 38'- 133 .0.90 .1.20 , .. 27Ï520 ,30 ; S4 707 2290 . ' 35 . 114: '0.97 . .'1.30 25.4'■'24:- '■"■'-'■■■'•Sa -' ï 59^ - :'' - 804^ ■' 2734 ' ■ : '-\Z3 •"■ ": 1" ;113 * -'70i97-  ;, : ; . .1 .30 -v-. '25.4 ,, .30, -. 34" .. 63 -908. .3117 30 103 1.20 1.60 '21.6:36 37 ; 67 .-. 1075 : 3526 . 29 . 9'8 ' - 1Y20 1.60 .21.640 '. '-• 37 67 .1075 3526 .26 ".88 1.27 , 1.70. 22.143 39 71 '. . 1194' '':3959 - - 26 ' ' 87 - !i.27 1.70 '22.1. 50 41 , 75 1320. . « 18 .26 88 " . 1.35 . 1.80 20,860 •-• 45 82. 1590' 5281 26 88 -1.35 1.80 20.8,70 ,48 87- 1809 5945 ' , 25 , .." , 84 - . ;,, ,1.50.-.. ,2,00 ,19,580- -51 .- ; 93 " 2043 6793 .25 ■ : 84 " ' 115Ô ^  ; 2.00 ' 19.« .90 54 99 . 2290 7698- ,25. .85 - "1.57 2.10, 18 ;6.100 ' "57 i 104 2552 , '8495" 25' , 85/ :1v57 ' 2.10. '18.6..110 .60 109 . -2827 ,, 9331 ,/, 25' . ' . 84 ' 1.57 2.10 18.6.r120 . 62 114 3019 10207' 25 - , 85 \ 1.57' - 2.10 18.6.130. " 65 "118 3318 10936, 25 84. '. 1.57. 2.10 . 18.6COURS RAISONNÉ 307PENDULE CONIQUE OU MODERATEUR A FORCE CENTRIFUGE.On compare en physique le modérateur à force centrifuge à un pendule simple, dont
la longueur est égale à la distance du point de suspension au plan horizontal passant parles
centres des boules ; et la durée d’une révolution entière décrite par celles-ci, est
égale à celle d’une oscillation complète du pendule.La formule pour déterminer la hauteur verticale ou la distance du point de suspension
au plan des boules est donc la même que celle employée pour trouver la largeur
d’un pendule dont on connaît le nombre de révolutions ; elle peut se réduire à la règle
suivante :RÈGLE. — Divisez le nombre constant 89478, par le quarrê du nombre de révolutions
par minute, le résultat donne la hauteur en centimètres.Exemple : Quelle est la hauteur verticale ou la distance du point d’attache au plan
horizontal décrit par le centre des boules d’un modérateur marchant à la vitesse de
40 révolutions par minute ?pour la hauteur cherchée.D’après cette règle, il nous a été facile de calculer les hauteurs des pendules coniques
depuis la vitesse de 25 tours par 1', jusqu’à celle de G7, qui entrent dans les dimensions
les plus souvent employées en pratique ; nous les avons réunies dans la table suivante,
en y ajoutant une colonne qui établit la différence de hauteur verticale pour chaque révolution.
Et comme l’angle que les branches du pendule font avec son axe est généralement
de 30° quand les boules sont au repos ou marchent à la plus petite vitesse, nous
avons déterminé dans la cinquième colonne de cette table les longueurs à donner à ces
branches depuis leur point de suspension jusqu’au centre des boules , en admettant cet
angle de 30° et en les faisant correspondre avec le nombre de révolutions données daus
la première colonne.Pour calculer ces longueurs, nous nous sommes servi de la règle pratique suivante :RÈGLE.— Divisez le nombre constant 103320 par le quarrê du nombre de révolutions
par minute, le quotient donne la longueur en centimètres.Exemple : Quelle est sous l’angle de 30° la longueur des bras d’un pendule conique
faisant 37 révolutions par minute ?pour la longueur cherchée des bras du pendule, ou le diamètre du cercle décrit par le
centre des boules.Il est évident que si, au contraire, on connaissait la longueur des bras, sous cet angle
de 30° par rapport à leur axe, on trouverait le nombre de révolutions que les boules
doivent faire en 1', en divisant le novibre 103320 par la longueur exprimée en centimètres,
et en extrayant la racine quarrée du quotient.Le poids des boules suivant la résistance à vaincre est donc aussi important à déterminer
que la longueur de leurs branches, pour que l’action du modérateur soit sensible
et pour ainsi dire immédiate. Il arrive très-souvent dans les machines, que le modérateur
ne produit pas d’effet, parce que la longueur des bras n’est pas en rapport avec la
vitesse, et que d’un autre côté le poids des boules n’est pas proportionné à la résistance
à vaincre.308
GOUBS RAISONNÉ

-JNo.us ayons pensé qu ?ii serait intéfessantpoûr les constructeurs et les industriels Savoir
une taWetpii donneraitT immédiatement les vitesses et les : longueurs correspondantes
des pendules coniques employés dans les machinés, afin "de Jes’mettre.à même
d’établir dps rapports exacts entré ceux-ci et,lés arbres qui les commandent ; ils pourrbnt’toujôurs
bien ensuite déterminer le poidsL à donneraux boules.
' JXLf TABI.E. — KELATIVE AUX, DIMENSIONS. DES -BRAS ET, AUX ;VITESSES: DES BOULES DIJ
.'- PENDULE CONIOUE, OÙ MODÉRAT.EUR" A FORCE. CENTRIEUGE.., ., ;. ,NOMBRE,. . •' . LONGUEUR. DIFFÉRENCE LONGUEUR -.NOMBRE , ■ LONGUEnRVpiFFÉRENCE LONGUEUR■ de. _ . " ."du.-- .1- ,de. -.-des bras, de. -- CARRE' .du…, de., désirasrévolutions" ,^es . pendule '•' .longueur ' , sous révolutions dés■ .pendule- ■longueur : sons ..par. vitesses. ': en < pourune unangle par •vitesses’611-- PPaT une un’angleminute. ;. : : 'centini. révolution, 'dé 30° . rninutev ..'- centime : révolution: de.-30°: çentim., millimT cent ; ■:■''■ '.. " tient, mill. :cènt.V: £5. •'■•' -628 -143.1 - ■' 40"8''-'. 16. ; 47 2209- "-40.8'- ' ^ . 47' 26 676 - 432.4 :.-'  ;g6 ■ "153 ■ o .' 48 ; J’ 2304'' 38.8 - K . - 45 ■27 °, 729 , 122.7. . . „g(J , .142  ; 49 .2401 L37.3- . .1S ', ;*3-.■-28. ..'78Ï Ui.i ' „ -132. -SO' : 2500 " 35v8 ■, - , 14 f. 41.29.v: . ; 84f:~ 10614, : V.r"-7()."' .:123, ; , 51 ? y ' 2601 - ' 34J4 .-^ w'- .,,40'-., 30 . ' .-900 ,,  ;:99,4, .-■'•■"•"•63 ,.'■'.■'• '"-« 5 i ; 52 ; . .2704. .-33.|. . - r ^ ~ - L 38 •.'. .31… . 961, . 93.'r . !-• ; g7 ;. . - 107. ; .. 53-, _ ;-2809, , ;31'i8 ;: : ;jy ,12^.: ! M’'-. 32 V_. 1024.-- "87.3 ,. ; 52- ;. 1°1 -" - 5*: "'■"'' 2916 30-7 ; -S ': - 44. »/ '■■■ ! 33—", 33'' / 1089 . 82.1 - ; ' 4g .. ; ■■ 95 • .'.55 . ,3025 ~~29.6 ! : ; io' ; ■'' V3* 134'. 1156 .77.4 .. \. ^ -'"'' ; 89 .: 56 3136 , 28.5 !.• 4(J :, - S535 '•■  ;1225- .73.0 :. 40 . ■ 84{ 57 '3249 27,5: V g' ; .V.'32 /'.,36.' 1296. '69.0^ -37:- ■ 80' '-, ."-58 ': 3364 ;; .26 ;6": ^9. ;;' 31"- 37 ; "1369 • : ;65.3:. - .- '^'■•:'. ■ ,75 , " ; : r59'. :'" 348i ;? 25 ;7.'*' : ,  ; g ''- ' "30 ": ;. ;. 38"r.. :.1444t, ::61.9:j V ^ .. ":'..-. :71 ;'■ ;■ ' ; 60 - .' ; ': ; 3600." " ;-24i8 ,-: '.:.--' -Vg '- ■"-.'* 29.'.-''39'-j 1,521 58.8 .29 , , 68": .61 ••'"'' 3721 '. 24.8' -: ,8..:^, 28 ?40:..'," .1600'-' '" 55.9. ].-,'." -27 • ,". … 64, ; ; ,62.L • "38|4V: 23'.3.i . .'■. 7> ;"- : ;,'27. .-il • ,. .1681.. . ,53.2.. j..'-.." 2g, •. 61-, ,63 3989 .H: 22Î.5 ; ., -Ç'- .: .V -26.--'42' '1764- 50.7 , . ^ - .58 •■ "' . ,- 64.V\ .4096 . ' * ^2J,.9 ,-:> '>: ■ j…._-. . •- •-'25.,  ;;,43- Ï849, - ; ,48.4 ; ' '22' ;- .56 ; "■ , ,65 ' ' :"4225: -.-21:2 • : >,V "6. , ;-- .24. '" -44: •'1936: '"- 46.2 : 'w  ; ; S3"' : 66' '4356.'..' 20.S.  ; \^f 6:j.. - 24 ;..45 2025 .44,2 ' • " 51 .67' 4489: 19.^ " " T’6 ' ' ' "23,- 46 ; - 2116 !42.3 … "49. . .68 ' 4624 ' 19.3 - ' . 23 "'•'■.- *° ..:…•:'.■', - . --. .-
KOTA. Sous l’angle de 30° la force centrifuge est la même pour toutes les longueurs
du pendule. ''•'_','

Cette Table convient aussi aux pendules simples à un seul’bras, que l’on appliqué
depuis "peu dans dés machines a vapeur, à. la place dés modérateurs à force centrifuge.
Chapitre x.
PROJECTIONS OBLIQUES.

APPLICATIONS A UN CYLINDRE A VAPEUR OSCILLANT.
Planche 'A.

419- Dans le dessin géométral, les plans de projection sur lesquels les objets
sont représentés sont choisis de manière à être parallèles à des faces de ces
objets ; il en résulte que celles-ci sont exprimées dans leurs véritables formes
et dimensions.

Il est. des cas cependant où la position de certaines parties de la machine ou
de l’appareil à dessiner, inclinées par rapport à d’autres pièces, ne permet pas
d’avoir toutes les surfaces parallèles aux plans géométraux. Les projections de
ces parties inclinées sont alors dites obliques ou vues en raccourci.

La méthode générale des projections s’applique évidemment au tracé de ces
projections obliques, seulement il importe pour pouvoir effectuer celles-ci avec
exactitude, de représenter d’abord les objets sur des plans auxiliaires parallèles
à leurs faces afin qu’ils puissent y être TUS dans leur véritable grandeur.

420. Ainsi proposons-nous de représenter un prisme à base hexagonale
ou un écrou à 6 pans dont les arêtes sont à la fois inclinées au plan vertical
et au plan horizontal.

Nous représentons d’abord cet écrou, fig. lrc, en le supposant placé de manière
que sa base soit parallèle à un plan horizontal auxiliaire dont la (race
serait LT, fig. 3, ce qui donne ainsi l’hexagone régulier abc de f.

Si on faisait la projection verticale de ce prisme par l’apport à un plan vertical
parallèle à l’une des faces ou à ad, on aurait sur ce deuxième plan auxiliaire,
la projection de chacune des arêtes abc d.

La droite L/rI", indique fig. 3, la ligne d’intersection de ces deux plans auxiliaires
et par conséquent la ligne de terre. Cette ligne forme un angle donné Lo U,
avec la ligne de terre LT du dessin, et exprime ainsi l’inclinaison des bases du
prisme avec le véritable plan horizontal de projection, de même l’angle o', o, o 2,
formé par les perpendiculaires élevées du point o sur ces deux lignes de terre,
exprimera l’inclinaison des arêtes du prisme, par rapport au plan vertical.
D’après cela, il suffit pour avoir les points a'b'c’d’, de porter à gauche et à
22
■ 3"10 ; . , :ÇOU.RS. RAISONNÉ \

droite du point o, sur la ligne ,I/ly, les distances ao-ojiio, et bg ou cg, de la
•fig. 1*. - /: ■'•>"' '■.]■'"-■_ . V- ' " :" '■"■'•'.-: . ■'••'"■'■■.■•
De chacun des points a'b'c’d’, élevant des perpendiculaires sur L’T’, qu’on
limite d’ailleursentre les lignes :a2d2-et a ?d3(flg,,2)  parallèles à cette dernière,
on a la projection verticale entière de ce prisme sur le plan auxiliaire parallèle
à l’une de ses faces cb. Lorsque l’une des bases del’éçrou est arrondie ou terminée
par une portion sphérique, comme on l’a déjà vu (186)  ; lé contour eh
est limité par des arcs de cercles qui expriment les,intersections de chacune
des faces avec la sphère. • - ■ "'.

On peut alorsi au moyen des deux projections fig.i et 2, obtenir la projection
oblique, fig. 4, sur le plan -vertical LT: la fig. ire.donnant les largeurs ou
lés distances de chacun des points par rapport à la ligne d’axe ad, qui passé
par }e centre o, et la figv 2e limitant les hauteurs verticales ou les distances des
points au-dessus du plan horizontal

'. A cet-effet, on élève de l’un des points quelconques, c, par exemple, qui exprime
â lui seul laprojection .horizontale  ;de l’arête c2c ?, une ligne verticale,
et on mené des points correspondants c2c 3, fig. 2, des lignes horizontales qui
rencontrent la verticale en e'' et c" !\ Il en est de même des autres’.points -à, a,
d, etc., qui ont leur projection,,fig..4, en b"' a'" d" d"L. L’opération se borne
doncà menerunesuite de lignes verticales ; de chacun des points ;de'-îa fig. i 10
et des lignes horizontales dés points correspondants de la fig. 2°. Les intersec.tibns
de ces lignes donnent les points de chacune des arêtes de là projection
oblique fig. 4. ''■"-.- . -:'-''. ï ; ■ •-•/-'.. ;■'■ ;: -■' ;■ ,

^ Si on veut avoir rigoureusement les projections des contours circulaires, il
faudrait au moins- déterminer trois points, et comme on jadéjà les 'angles pu
la naissance des -courbes-, ii suffit dé chercher les points milieux, de chacune.
Il en est de même pour le cercle qui représente' l’ouverture centrale de
l’écrou, sa projection oblique est nécessairementune ellipse qui s’obtient par
là projection dés deux-diamètres perpendiculaires dont l’un mn, parallèle au
plan vertical et ne<:hangeant pas de dimension donne le grand axe de l’ellipse,
tandis que l’autre est incliné et en donne le petit axe.

421. En gënéral,laprojection obliqué de tout cercle est toujours une ellipse
qui a pour grand axe le diamètre même du cercle:et dont le petit axe est variable
en raison’de l’inclinaisonou de l’angle que son plan fait avec l’un des
plans de projection. ':.'■"-. .■•-.- .. v- :- ■ .

On voit les applications dé ce principe sur les fig. '&\-& et-1.. Lesdeuxpremières
de ces figures représentent lesprojertions-horizoutales et verticales.
faites sur les plans auxiliaires d’un fragment, dé la tige ;,cylindrique -A,du piston
B, mobile dans lé cylindre à vapeur oscillant G,-et la dernière fig, 7, est la
projection oblique de cette partie de la tige sur le plan vertical correspondant
a celui du-dessin:. ". ■ ;'■ , ., , - ■. ;_'.- , > ■>,… -,'r i, ;. ,. ■ " .. ;,, :/

Ori remarqué que la partie supérieure du fragment de la tige étant limitée
par un plan kl, perpendiculaire à soh-àxe,:est projetée suivant une ellipse qui

a pour grand axe pg, égal a kl, et pour petit axe l’W, projection de cette ligne
kl, sur la fig. 7. Les filets cylindriques rs, tu, etc., de cette tige, se projettent
obliquement suivant des ellipses semblables dont une partie seulement est apparente.
Pour le tore ou l’anneau qui se trouve compris entre ces deux filets,
la projection oblique est une courbe qui résulte de l’intersection d’un cylindre
droit dont les génératrices sont horizontales et tangentes à la surface extérieure
du tore ; si donc on voulait obtenir cette courbe rigoureusement on devrait
opérer exactement comme on l’a fait pour déterminer l’ombre propre de
la surface extérieure de l’anneau (323)  ; mais en pratique, quand le dessin est
sur une petite échelle, on se contente de déterminer les points principaux de
la courbe en projetant d’une part le point v, situé sur le milieu du grand diamètre
y y','du tore, suivant la ligne v'v*, que l’on fait égale à ce diamètre, et
de l’autre les horizontales tangentes en zz' (fig. 6) au contour extérieur de
l’anneau ms2z'\ sur la ligne d’axe ZV(fig. 7) , puis on trace une ellipse sur les
deux lignes v'v'\ et s2 s 3, considérées comme diamètres. La clé D, qui traverse
la tige A, étant à section rectangulaire, se projette sur la fig. 7, suivant deux
rectangles, comme l’indiquent les lignes de projection.

422. D’après ces principes, on peut arriver à faire les projections obliques
d’objets plus ou moins compliqués d’une manière assez simple. Lorsqu’on a
déjà les projections de ces objels faites sur des plans auxiliaires, faisant des
angles connus avec les plans de projection ; ainsi les fig. 10 et 13, sont les projections
obliques d’un cylindre à vapeur oscillant. La première représente ce
cylindre vu extérieurement et la seconde en est une section faite par l’axe.

Il est facile de reconnaître que ces projections ont été obtenues de la même
manière que celles que nous venons d’indiquer fig. 4 et 7, c’est-à-dire, la projection
extérieure (fig. 10) résulte des deux projections droites (fig. 8 et 9) ,
faites l’une sur un plan vertical auxiliaire parallèle à l’axe de la tige et perpendiculaire
à la ligne d’axe des tourillons et l’autre sur un plan horizontal
parallèle aux bases du cylindre et par conséquent perpendiculaire à son axe.
Toutes les parties de ce cylindre se projettent sur la fig. 10, suivant des lignes
droites ou des ellipses, selon qu’elles appartiennent à des droites ou à des
cercles. 11 en est de môme de la section fig. 13 et de la projection horizontale
fig. 14, qui résultent des deux projections droites-faites sur les plans auxiliaires,
fig. 11 et 12, dont l’un vertical passe par l’axe du cylindre et de sa
boîte à vapeur, et dont l’autre est perpendiculaire à cet axe et passe par la
ligne 1-2. Les lignes d’opération indiquées sur ces différentes figures montrent
suffisamment bien toutes les constructions à faire pour obtenir ces projections
obliques. Nous avons d’ailleurs affecté à chaque partie projetée, et principalement
aux axes, des numéros qui indiquent partout où ils se trouvent les points
identiques sur les deux projections.

423. Ces tracés représentent le cylindre à vapeur d’une machine différente
de celle que nous avons décrite précédemment, elle est dite oscillante, parce
qu’au lieu d’être vertical et fixe, le cylindre oscille pendant la marche de son

.312 COURS. RAISONNÉ -

piston B, sur deux tourillons’E,-portés par des ;,coussinets.- Cette disposition de
cylindre oscillant présente l’avantage d’éviter le 'parallélogramme et d’attacher
directement la tige A. du pjstonàla manivelle à laquelle il transmet son mouvement,
la tète H. de cette tige forme alors coussinet pour embrasser le bouton
de la manivelle par articulation: Le fond ou la base inférieure du cylindre,
est fondu avec celunci, seulement on a ménagé une ouverture à son centre
pour le passage de l’arbre portant l’alésoir qui a servi à tourner l’intérieur, du
cylindre. Cette ouverture est fermée par un couvercle en ..fonte. F, boulonnésur
le fond. ,. v '"■'"-'.

Contre Une partie dressée de la surface extérieure du cylindre e§t--rap--
portée la boîtéde distribution G, qui reçoit la vapeur venant directement de
la chaudière et qui renfermé le tiroir H, lequel reçoit un mouvement rectiligne
alternatif, tout en oscillant comme le cylindre. Dans cette marché alternative,
il découvre successivement les princes -a,■ô,.iBg.11, qui ;conduisent
la vapeur, l’un à la partie inférieure du cylindre et-1'autre à la "partie supérieure.Un
ressort méplat I, rapporté à l’intérieur de la boîte, maintient ce
tiroir constamment appliqué contre le siège ou la ; partie plane dressée du
cylindre. .-. .- \ o '■ -,. - -., - ,'-j.--- '.. "■

ta vapeur venant de la chaudière-périètre dans-la boîte par le canal 1 e,
fig. 12, qui.communiqué, avec l’un dès tourillons E, et ia-sortie de la vapeur,
lo.rsqu’elle.a,agi sur le piston, s’effectue -par le canal d’échappement d, qui
communique avec le second tourillon. . • ."c / ".

Le piston B se compose d’un corps en fonte sur la surface extérieure duquel
on a pratiqué Une gorge pour recevoir une garniture d’étoupe'2, qui est
en partie-recouverte par une bague ou cercle métallique -h formant ressort,
et qui coïncide exactement-avecla paroi intérieure du cylindre ; f-
DE DESSIN INDUSTRIEL. 313Chapitre xl
PERSPECTIVE PARALLÈLE.

PRINCIPES ET APPLICATIONS.

( Planche 42. ) 

424. Nous donnons le nom de perspectiveparallèle à des projections obliques
qui diffèrent des précédentes en ce que les rayons visuels, que jusqu’ici nous
avons supposés toujours perpendiculaires aux plans géométraux , forment au
contraire avec ces plans un certain angle tout en restant parallèles entre eux,
d’où il résulte que toutes les droites qui sur ces objets sont parallèles, conservent
leur parallélisme dans ce genre de perspective. Bien qu’en général
l’inclinaison de l’angle soit indifférente, cependant il est préférable dans le
dessin d’en adopter une convenable qui ait l’avantage de faire connaître par
une seule projection les dimensions de l’objet.

Soient AB et A'B', fig. 1 et 2, les deux projections d’une droite à laquelle
nous supposons que les rayons visuels doivent être tous parallèles. La projection
verticale AB, de cette droite, forme avec la ligne de terre LT un angle
CAT, qui est égal à 30 degrés, et sa projection A'B' est telle que la distance
AA' du point A où elle perce le plan horizontal à la ligne de terre, est égale
à deux fois la longueur AB de sa projection verticale, le point B étant celui
où elle perce le plan vertical.

Nous allons faire comprendre par les diverses figures de la planche 42,
qu’en prenant de telles droites pour directrices des rayons visuels, une seule
et môme projection verticale suffit pour exprimer toutes les dimensions d’un
objet. Au lieu de faire coïncider les directrices des divers objets représentés
sur cette planche avec la projection môme des droites que nous venons d’indiquer,
nous avons choisi de préférence le rabattement de ces mêmes lignes
sous un angle de 30°. Ainsi les lignes e'd""k'i" (fig. 3) , sont les droites perpendiculaires
aux plans de projection rabattues sous l’angle en question, tandis
qu’au contraire la droite yz représente la projection de ces droites, parallèle
alors à la projection horizontale A' B' de la figure 2.

425. Le relief, fig. k, représente la perspective parallèle, cavalière ou bâtarde
d’un prisme E, à base carrée, qui surmonte un socle F également prismatique
344 … - ;CO,URS RAISONNÉ -
et carré. Nous supposons que eepfismô est représenté d’abord en projection
horizontale, fig. 3, par deux carrés concentriques (') a/d’èfi et Mi/kï, et
en projection verticale, fig. 4, par lès rectangles ab c d et g h ij ; ces projections
sont, faites en admettant comme nous rayons fa ;it jusqu’à présent que. les
rayons visuels sont perpendiculaires aux plans gébmétraux. ^

Or, si au contraire ces rayons font avec ces plans de projection un angle
égal à ceîui de la droite donnée fig. let 2, chacune des faces parallèles au
plan vertical reste parallèle àce plan et égalé à elle-même, tandis que toutes
les faces perpendiculaires aux deux plans de projection s’obliquent de telle
sorte que les traces/horizontales-dëviéiînëht parallèles à A'B',fig. 2, et les
traces verticales parallèles à ÀB, fig. lro'. Par conséquent, si par les sommets
des angles saillants ahij-, etc., fig. h, on mène des droites parallèles à AB, elles
exprimeront les directions de toutes les arêtes perpendiculaires au plan vertical.
Puisque, comme nousT avons dit,-la longueur de la projection ÀB,'fjg. l’r-%
est égale à la moitié de la perpendiculaire AA', fig. 2e,si à partir des points
aji0, etc V on porte sur les lignés obliques que Ton vient dé: tracer et de
chaque'côtô dé ces points des distancés a a2 et « /2,^/ï 2 et fol 2, ii 2 et-iW^'etç,.,
respectivement égalés à la moitiédès longùem^s a'm et A'w, etc., ônaûfa sur
la fig ; 41a représentation en perspective des diverses droites perpendiculaires
ail plan verïicàr ; et comme toutes lés autres arêtes sont parallèles à ce môme
plan ter tical,, toutes celles qiïrsoht verticalesrestent:verticaleset toutes celles
qui sont parallèles àla ligne-de terre restent horizontales. '■"" ■ :

Ainsi ; les arêtes ab, kg, dc^'ïj, étant verticales, deviennent en perspective
des verticales a2b 2, %%g2,i2j 2, d2c’2,'de mêffieies arêtes ad,bc,lii, ètc.,.qui sont
"parallèles-auxdeuxplans de projection", sont exprimées/par lés droits a2d 2,
ô2c2,7i2i2,parallèlesàlàlrgnetleterre. - ; ''.''' ^ . " ■•''."'

On voit, en adoptant lé raydp visuel "suivant î'àngle-quehoûs avons indiqué,
que ''\%seule "vue perspective de l’objet pëiît en faire connaître tbutés les dimensions,
car'on a d’une part exactement les largeurs et hauteurs des faces
parallèles au"plan vertical, comme si la ■perspective était une projection geométrale
ordinaire avec lés rayons visuels perpendiculaires, et d’autre part lés
lignes’ obliques qui représentent toutes lès arêtes perpendiculaires au plan
vertical ; et qui sont égalés à là moitié de la tengiiëùrde ces dernières.

Observons ici quelè's bases dès prisrhës « tant quarrèes, les côtés h'I, etï'k,
sont égaux h cent Mi','oïl"ik)  par Conséquent, pouf construire la projection
obliquéoii là perspective fig. 4, le plan fig. â dévient inutile, puisque ; alors il.
suffit de porter sur lès lignes Obliques la moitié des ; longueurs a à où M éii
d2e 2 ou ï2/e2 ;. ■■.■•■■ .--.- .'.'•'".■' :'. V" "■'. ".'•'_ '. '-'".'"•'

426. Le relief I représente un tronc dé pyramide régulier i&, reposant èùr
1. Oiï appelle carrés concentriques -les. .carrés qui ont-leurs côtés parallèles et également
distants l’un de l’autre ;..leur, centre de figure .ou la rencontre de leurs ^diagonales est alors
représente pàruhmême point.•'-' - "■'■■' '"'.- "-'■ •""■ ; '■
une base octogonale H, dont la projection horizontale est indiquée en lignes
pleines sur la fig. 5, et la projection verticale en lignes ponctuées sur la fig. G.

D’après les principes exposés plus haut on obtient la perspective de cet
objet on menant d’abord (fig. 5). toutes les droites perpendiculaires et parallèles
à la ligne de terre passant par les angles opposés de chacun des octogones
qui représentent la base supérieure et la base inférieure du tronc de
pyramide ainsi que celle du socle. Parmi ces lignes, toutes celles a'cl’, f'e',
h'i', etc., parallèles à la ligne déterre, ainsi que les côtés p'q', t’u', v'x', qui
lui sont également parallèles, restent horizontales dans la perspective fig. G, et
au contraire toutes les droites, telles que p'r', t’y',v'zr, ainsi que les côtés
a'f, h'V, i'k', perpendiculaires à la ligne de terre, deviennent inclinées à
30 degrés par rapport à celte ligne dans la fig. 6, c’est-à-dire parallèles à la
droite AB, fig. lr 0.

Si donc par les points ag, pq, etc., et les points h,o,i, des deux bases du
tronc de pyramide, on mène des parallèles à cette droite, puis qu’à partir de
chacun de ces points on porte de chaque côté des distances a, a 2, g, g", p, p 2,
h, h 2, etc., respectivement égales aux demi-longueurs des droites correspondantes
à mf et g' n, etc., de la fig. 5, on aura la perspective parallèle de toutes
ces lignes, et par suite en joignant les points extrêmes de chacune d’elles, toutes
les arêtes qui expriment les contours de chacune des bases, puis en joignant les
sommets des angles correspondants de ces bases, on complète la fig. 6.

427. La perspective d’un objet cylindrique dont l’axe est perpendiculaire
au plan vertical tel que le relief (fig. c) peut être déterminée sans le secours
de la projection horizontale, pourvu que l’on connaisse la longueur du
cylindre et desparties perpendiculaires au plan vertical.

Soit abcdgfe (fig. 7) la projection verticale de cet objet, la perspective de
sa base abed sera parallèle à AB. Les cercles qui ont leur centre en o, étant
parallèles au plan vertical, sont vus en perspective suivant des cercles égaux
à eux-mêmes et que l’on obtient en menant par le centre o, la droite o'o 2,
parallèle à AB, et en portant de chaque côté du point o, des distances égales
à la moitié de la demi-longueur du cylindre mesurée dans le sens de l’axe
perpendiculaire au plan vertical ; on décrit alors des points o'o 2, comme centres,
des cercles avec les rayons égaux o'f et o'i' ; les lignes ff 2, et /, i2 tangentes
aux cercles et parallèles à la droite o' o 2, expriment en perspective les
génératrices des deux cylindres ; les portions cylindriques qui raccordent ces
cylindres avec la base se déterminent de même par la ligne n n 2, tracée du
centre n, du cercle dg, parallèlement à o'o 2, et par les distances n n’, nn 2,
égales à la moitié de la demi-longueur réelle de ces surfaces cylindriques.

428. Le relief, fig. p , représente un cône assis sur un socle cylindrique de
même axe perpendiculaire au plan horizontal. Ce cône et ce cylindre sont
projetés sur le plan, fig. 8, en lignes pleines, et sur l’élévation, fig. 9, en lignes
ponctuées.

On divise les cercles qui expriment, fig. 8, les bases du cône et du cylindre
316 COURS RAISONNÉ
en un certain nombre départies égales, et anx points de 'division 1, ■%3…
8, 9on abaisse 4es perpendiculaires^ la ligné. d,e terre, et que l’on prolonge
.ïj.asqu’Àvla'Iigi}'ehori'zon1ale-avo.'v.-'c[ùi- est la projection verticale commune de
ces basés. Parles points a', b',.c’, <?,, on mène des droites parallèles à AB,
fig. lre, et,pn porte surchacune d’elles ; des distances a"¥-,b':%,ctk',, o'h', respectivement
égales aux demi-longueurs des perpendiculaires % ; 3ô,-4c, 5o ;
ce qui donne ; ainsi tous les points 2', 3', 4<> S’, qui , vréunis,: donnent une
■ ellipse: pour la perspective de la base du cylindre ; on a de même:lès points
0y, ^ 8'j de l’ellipse qui représente la perspective de là base du cône. …. ;

Les hauteurs du cône et du socle cylindrique restent ce qu’elles sontréelr
lement, puisque leur axe est parallèle àù ; plan vertieal ;, il n’en est pas de
même de ;leurs bases qui., étant horizontales, se,projettent obliquement suivant
les ellipses que nous venons de déterminer.Xe-sommet du cône, qui se
trouve: à l’extrémjté de l’axe vertical, ne .changeant pas, il suffit dé mener par
ce-poiiit deux tangentes o2m, et o2n, à l’ellipse 6', ■%,■ 81, pour avoir les génératrices
qui expriment son’cpntpur extérieur, en perspective.  ;;:
'-. ; 429. Le .relief ; fig. g, représente..-.la ^perspective d’une sphère métallique
qui surmonté une base polygonale ;et à gorge circulaire dont -la -tige est filetée.
Les-fig. 10 et11 en’sont les projectionsjhorizontale'-et verticale. ;

î^ous ferons d’abord remarquer 'que la sphère,dont Jeffayon’est oa, peut
. se déterminer en perspective ou en projection oblique, de plusieurs’mamères :
i° en imaginant, des sections horizontales âb, cd,.-.ef, qui donnent en plan
dés cercles’dont les rayons sontaV* c’.o' ; et’e.V.,. on obtient la perspective de
. chacun de ces cercles par les mêmes opérations qne précédemment,:ce qui
donné une suite d’ellipses que l’on raccorde extérieurement par Une courbe
qui leur èsttangente et qui est .elle-même elliptique. 2° En menant dés plans
gh, ij, parallèles au plan vertical, lesquels se projettent en perspective, suivant
des cercles dont ; les rayons ;sont F #,im, et dont les centrés se troiiyènt
sur la ligne ;oblique iinf, parallèle aurayon visuel AB, et passant par lëcentre
o de la sphère[ ; la courbe extérieure"menée fangéntiellement à la circonféï
rençe extérieure de tous ces céixles détermine-également le contour delà
perspective de la sphère. 3° En menant d’abord par lëcentre o un rayonvisuel
• n n’, puis une perpendiculaire ëe'r, passant par le même point ; :on porté à.
partir du centre o, et de chaque côté, :Ies longueurs, oe, o e !', égales au rayon
aode la sphère, ce qui donne le petit-axe de l’ellipse. Pour en obtenir le grand
: axe, il faut mener des tangentes au grand cercle de la sphère, parallèles au
rayon visuel rabattu soi ; le plan vertical ; Le rabattement A^B de ; ce rayon est
indiquésur la fig. l ?e et se détermine, d’ailleurs, en élevant ;du point A une
perpendiculaire smf AB, et en y portant la distance AA' de ?A en ; A'f. J

Oh a les points de contact//, de ces tangentes à la sphère,, en traçant du
point o, fig. 11, une perpendiculaire à A^B ; Ces iangentes rencontrent le
rayon n n’ aux.points n n !, dont la distance est- le grand axe de l’ellipse que
l’on peut alors décrire par l’un des procédés connus.

Ce dernier moyen est évidemment le plus simple pour la perspective de la
sphère, mais il lui est tout spécial, car pour toute autre surface de révolution,
comme celle de la gorge qui réunit la sphère à sa base hexagonale, ce procédé
n’est plus applicable. Dans le cas où l’axe de la surface de révolution est vertical,
comme cela a lieu dans cet exemple, il faut recourir au premier moyen
général qui consiste n faire des sections horizontales ; lorsqu’au contraire
l’axe de la surface de révolution est horizontal, on emploie le second procédé
qui consiste à faire des sections parallèles au plan vertical ou perpendiculaires
à l’axe.

La perspective du filet de vis, dont est garnie la tige de la boule, se détermine
d’une manière analogue à celle d’un cercle ; il suffit, en effet, d’établir
les deux projections géométrales, fig. 8 et 12, d’un ou de deux filets, et de
construire la perspective de tous les points qui ont servi justement au tracé
des hélices. Ainsi on mettra, par exemple, le cercle Ipq (fig.8) en perspective
en l\ p*, q'' (fig. 13) , en conservant à cet effet les mômes points Ipq, etc., qui
ont servi au tracé de la vis : par ces points /4p4ç 4 on élèvera des lignes verticales
sur lesquelles on portera les hauteurs VI-, l’I 3, p'jP, etc. ; puis , par les
points l5,1°, etc., on tracera une courbe qui donnera l’hélice extérieure en
perspective. En faisant la même opération à l’égard du cercle intérieur r, s, t
(fig. 10) , on aura de même l’hélice intérieure.

L’examen de la fig. 13 démontre, d’ailleurs, que les hauteurs des lignes verticales
sont les mêmes pour les deux hélices, puisqu’elles sont élevées de
points pris sur des rayons communs aux deux cercles l", p", et rst, considérés
comme des bases.

Nous croyons inutile d’entrer dans plus de développements sur ce genre de
perspective parallèle, dont nous avons d’ailleurs fait voir une application générale
dans la machine à percer, représentée fig. 1, pi. 35, et qui résume à peu
près tout ce qui peut se présenter à ce sujet dans les organes mécaniques.

Dans cet ensemble comme dans les figures que nous venons d’étudier, nous
avons constamment admis que les rayons visuels restent toujours parallèles
entre eux et ont leurs projections verticales inclinées à 30 degrés avec la ligne
de terre, de telle sorte qu’une seule et même vue remplace deux projections
géométrales, non-seulement pour exprimer les contours extérieurs de l’objet,
mais encore pour rendre apparent tout ce qui existe sur leur surface.

On comprend l’utilité de cette méthode pour donner à simple vue une idée
générale et précise du relief d’un objet quelconque ; elle est souvent plus
intelligible pour les gens du monde et peut simplifier, dans certains cas, les
croquis d’un levé de bâtiment ou d’un appareil mécanique.

M8 , COURS RAISONNÉ ;
Chapitre xii.
PERSPECTIVE EXACTE.
7 PRINCIPES ET APPtlCATIOWS, .
/ _ . PRINCIPES ÉLÉMENTAIRES. '". ■"'•' -\ ■ " , . ••'
.'-..:..,..'.. -.-•.",.., :'• [Planche tâ.)  / .-.■■.:-, ..', ■■ '■ •'-.' . . ; ■.[:

430. La perspective rigoureuse diffère dé la perspective parallèle,'•' en ce
que tous les rayons’ visuels partent d’un môme point au lieu" d’être parallèles ;
elle a-pour but dé représenter sur une:surface quelconque les limites, des
objets tels qu’ils nous paraissent lorsque nous lés regardons d’un point donné.

La surface sûr laquelle on suppose que les objets viennent se peindre à nos
yeux, est un plan qui se nomme tableau ; elle est supposée placée entré Toeil
et l’objet '.' ■ ■' ; .'" ; :- '.- -. ''[y-~ ""''■-''■"■_ " .--. '■ '' /"

Le point fixe d’où émanent lés rayons visuels s’appelle point dé vue ; pour
déterminer la perspective d’un objet, il faut se donner les projections horizontale
et verticale de cet objet, celles du point de vue et la position: dû tableau ;
et le principe général dé la perspective séjéduit alors a concevoir des rayons
visuels, passant.par les divers points apparents dé j’objèt et à chercher"Vinierséction
de ces rayons avec la' surface du tableau. ; \ :

, _■■- PREMIER PROBLÈME. ■/--:
PERSPECTIVE -D’UN 'PRISME CREUX. .
431. Soient A et .'A*., (îg. 1 et„'2, les projections horizontale et.verticale
d’un prisme dont on veut connaître.la. perspective/le .point de vue étant
projeté en 'V ; V/, et-le tableau. T, TV étant supposé placé perpendiculairement
aux deux plans géométraux.r .-"V, '."': .■'■'■ '•■,'•'':- - v v

Menons du point.V, en projection horizontale^ dés rayons visuels^ chacun
des points « , 6, c, d,.appartenant au contour'..extérieur dû prisme. La rencontre
de chacune dé ces droites :avec.le tableau détermine les points ~b 2, a 2,
c2 et cZ 2, qui donnent.sur la projection horizontale de celui-ci la perspective
des pointsn, fe, c, d. … '

On tire de môme du point V, en projection verticale, des ;rayons visuels
a'\J>,p' y, f_W, eT, qui rencontrent le tableau en a", b"/f" et e", -ces
derniers sont alors la projection verticale de la perspective des points a', b', e ;f.

Comme par la position donnée au tableau le dessin de la perspective de
l’objet n’est pas apparent, puisque tous les points sont situés sur la ligne
verticale T, rlv, nous allons rabattre le plan du tableau dans le plan vertical de
projection, en le faisant tourner autour du centre o, intersection de la
trace T T’, avec la ligne de terre L M. Dans ce rabattement, chacun des
points a 2, b 2, c 2, d 2, décrit des arcs de cercles qui les ramènenfen a 3, b 3, c 3, d 3,
sur la ligne de terre. On élève de ces derniers des perpendiculaires à celle-ci,
jusqu’à la rencontre des horizontales menées des points a", b"f", e" ; les
points d’intersection de ces lignes donnent la perspective a\ b\ c\ d’ 1, des
angles a, b, c, d, de la base supérieure du prisme ; on a de même e2,/ 2, g, h,
pour la perspective de la base inférieure qui est parallèle, à la première ; par
conséquent, en réunissant tous ces points deux à deux , comme l’indique la
fig. à, on a la perspective entière de tout le contour extérieur de l’objet ; le
prisme étant ôvidé à l’intérieur, on aperçoit dans cette perspective le contour
i', m’, n’, o', correspondant à la base i, m, n, o, de cet évidement.

Le point de vue dont les projections géométrales sont V et V 7, se projette
sur le plan du tableau en v, v2 ; dans le rabattement de ce plan sur le plan
vertical, le point de vue se rabat en v-, v" ; par conséquent le point v" est la
position réelle du point de vue sur le dessin en perspective.

On observe dans ce tracé que chacune des lignes a1 b\ a' 1 à'', et b' 1 c\ qui
expriment la perspective des arêtes correspondantes a b, ad, et b c, sont les
intersections des plans passant par ces droites et par le point de vue avec le
plan du tableau ; or comme l’intersection de deux plans est toujours une ligne
droite, on en conclut:

432. 1° La perspective d’une ligne droite est une ligne droite.

On remarque aussi que les verticales telles que b" e 2, ck h, d’' g, sont les perspectives
des arêtes verticales projetées en b, c, d, d’où on déduit :

433. 2° Les perspectives de droites verticales sont verticales, lorsque le
tableau est lui-même vertical.

On voit également que les horizontales b' 1 c\ d*a*, et e2 h, f2g, de la perspective
correspondent aux droites projetées horizontalement bc, ad, et parallèles
au tableau, d’où :

434. 3° La perspective de toute droite horizontale et parallèle au tableau est
horizontale.

Enûn les droites a'"o", d’'c\ e2/ 2 et kg, qui concourent au même point v",
projection du point de vue sur le tableau, correspondent aux arêtes a b, de,
p.f, horizontales et perpendiculaires au tableau ; d’où il résulte :

435. 4° Les perspectives des droites horizontales et perpendiculaires au
plan dutableau sont des droites qui concourent au point de vue.

On voit encore par les fig. 1 et 2, que la largeur de la perspective dans le
dessin fig. A, est comprise entre les points b2 et d 2, qui appartiennent aux
rayons visuels extrêmes menés en projection horizontale, et que sa hauteur est
limitée entre les deux points a" et e", qui correspondent aux rayons visuels

extrêmes en projection verticale, l’angle formé par les rayons extrêmes est dit
angle optique, cet-angle b2.Y dS en projection horizontale, diffère de celui
a"Y:' e"-, en projection verticale. '■-■■. '■' !/■•''-.-■ .■■■"'■••■:' ',■

, La position del’.objet et celle du point de vue étant données, les dimensions
-de la perspective varient suivant la position du tableau ; on voit en-effet sur
'là- fig. lTe que si l’on transporte :1e tableau. 11' en -tt’\ Vers l’objet, la limité'de
la perspective comprise entre les rayons visuels devient plus grande ; si, au
contraire, on le transporte en i21^, vers le point de: vue, la limitë-tlïminue
notablement ; " .. v ! > , - '. ■'■ "

Siau lieu de déplacer le tableau., on éloigne on on rapproche.le point de
vue, ,on augmente ou diminue la grandeur de la -perspective ; on en conclut
alors: . \ ; •:.'■ ■■'.-.., -' ■ ' V/. y:_\ ■> '■■ ;, ■'-: ; '.•-. -■-•' ' '- \. :.'■.-"'

: 436. 5° Lès dimensions en perspective d’un objet ne dépendent ni,de sa
grandeur réelle:i ni de là distance'd’où on le regarde, mais bien des distances
du point devueet de l’objet’jpar'rapportau tableau, r ■''■'■. •.■'"-. ;•

■"■ " : - v ;'-- ;-\ v,.,. ;.: DEUXIÈME PROBLÈME. •■ :~\--' ;. ;:•■:,:>■ : ■
' :"■' ;. ; '■ PERSPECTIVE .P'tJN CYLINDRE.- ■'•""' - ;,'■ ' : ;; -: '
-. Figures d.et \4. .-'■-. ; :. , ' /V -,

437. Pour obtenir la perspective du cylindre vertical projeté en B:et B', on
opéré, commet dans l’exemple précédent, en menant du point’de vue W, une,
suite dé rayons "visuels que Pon-fait concourir à différents points\-a] b, c, d, ë,
pris de préférence à égale distance sur la base supérieure du cylindre ; ces
rayonsrencontrent^plan Tv T’, du tableau,_. auxpoints d 2, c2,..a 2, g%, etc.:,' en
projection horizontale et aux points a",-c", 'd"\ etc.:, en projection verticale.

Si on rabat le plan du tableau sur le plairvértical, ces différents points se
retrouvent en c 4 ; <f, a4,g*, etc., qui réunis forment lïneicourbè elliptique apparente,
parce-que le point de vue est situé plus hautï ■ : ]:

Les mîmes points[-a ; b, c, d, de la projection horizontale,-étant projetés verticalement
donnent là perspective d*, âs,^,^ 5, delà base inférieure du cylindre
ejt dont une partie seulement est visible. : ' •■:-: . ■

Les deux tangentes verticales d4,:ds, g","g'ù, aux ellipses complètent la perspective
extérieure du cylindre fig. I. ; -.-. : •'■'■■ ;_' : '■■ ;.■'-■■"■■

Commence cylindre est creux, la même opération est nécessaire pôurtràcer
la perspective de son avidement. , - ■'■■r' '■■■■'■• ■'■'■ :V ;■' '.'.'.■"':

On observe qu’en faisant à égale distance et ;èn nonïbre pair, à partir du
diamètre cg, parallèle au tableau^: les différentes divisions de,la'projection
horizontale du cylindre, on a toujours deux points situés sur une même ligne
perpendiculaire et dont par conséquent la perspective est ; située sur une droite
qui concourt au point de vue v"_, tels sont les pojnts b, d, dont la perspective
b*, d\ est située sur la ligne v" d’ 1 ; oh a ainsi lin moyen de ^vérification de
l’exactitude du tracé. ':.■:':
DE DESSIN INDUSTRIEL. 321TROISIÈME PROBLÈME.PERSPECTIVE D’UN SOLIDE RÉGULIER DONT LE POINT DE VUE EST SITUÉ
DANS UN PLAN PASSANT PAR SON "AXE ET PERPENDICULAIRE AU PLAN
DU TABLEAU.Figures 5 et 6.438. Soient V et V les projections du point de vue situé sur le plan vertical
Vo, passant par l’axe o, o'', du solide CC, et perpendiculaire au tableau TT’.
On voit déjà que ce point de vue se trouve en perspective, fig. c, sur la ligne
verticale v" v\ qui représente l’axe de l’objet, et par rapport à laquelle toutes
les arêtes latérales sont symétriques ; tels sont les côtés ab et cd, qui sont
perpendiculaires au plan du tableau et qui, comme on se le rappelle, ont leurs
projections b' 1 a' 1, c’ 1 d", dirigées au point de vue v". Il en est de même des
arêtes fg, hi, dont les perspectives/ 7' g\h'' i'\ concourent également au point v".Quant aux arêtes verticales, elles conservent en perspective leur verticalité,
et les lignes horizontales ad, Im, nk, cb, parallèles au tableau ont pour perspectives
des droites horizontales telles que a"d\ lA ?n*, n’'k\ c^b' 1.La conséquence de ce problème est que toutes les fois que le point de vue
est situé dans un plan passant par l’axe d’un solide régulier et perpendiculaire
au plan du tableau, la perspective est symétrique par rapport à la ligne d’axe,
et qu’il suffit alors de faire les opérations pour un côté de la figure.QUATRIÈME PROBLÈME.PERSPECTIVE D’UN COUSSINET DONT L’AXE EST VERTICAL.Figures 7 et 8.439. Le point de vue étant situé , comme dans l’exemple précédent, dans un
plan vertical passant par l’axe de l’objet et en même temps perpendiculaire au
plan du tableau, la perspective est également symétrique par rapport à la ligne
d’axe v"v 2 ; on n’a à observer ici que cette particularité : l’intérieur du coussinet
étant cylindrique et terminé par des bases demi-circulaires horizontales,
la- perspective de ces bases donne des ellipses régulières dont il suffit de déterminer
les axes ; on a le grand axe a* c", par la perspective de la droite a c,
qui est horizontale et parallèle au tableau, et le demi petit axe ô4 d’, par la
perspective de b'' d, qui est également horizontale, mais perpendiculaire au
tableau et qui par conséquent concourt au point de vue. On remarquera que
le grand axe de l’ellipse de la partie supérieure du coussinet est encore égal
à a" c\ mais que, par l’effet de la perspective même, le petit axe est plus petit
que b" d’. Le résultat de cette perspective se voit bien sur la fig. s.32-2 COURS’RAISONNÉ " ;
~ ; '/ ;'él^eÈMÉ PROBLÈME: /■'■".'. ;.' ■:'■'■.
PERSPECTIVE ; D’fN ROBINET,A ; BOISSEAU SPHÈRÏQOE. . /
. ■ ■.".'< """.■ Figures Q et li). .: ..- '. • .\J… - .

440. En suivant le principe général, on conçoit que pour obtenir la perspective
d’une sphère, on doit mener du-point de vue une suite de-rayons visuels’tangents
à sa surface extérieure ; mais pouf avoir ; les points dé contact
de ces rayons, il est nécessaire de mener clans la sphère une- suite ; de plans
parallèles qui-la coupent suivant des cercles ; on cherche alors. la'perspective
de la circohférencede chacun de ces cercles, et la' courbe-extérieure qui les
enveloppe n’est autre que le contour delà perspective de la sphère. -

Dans Texemplë fig. 9 et 10] le point de vue étant encore comme ci-dessus
situé dans un plan passant par le centrale ; la sphère "et/perpendiculaire .au
plan du tableau, là perspective de'cette splièrè dans ce casest.une ellipse qui
a pour petit axe làbase-« ^^'du Mànglè:/bpliq'u^'rè ?j/V,ii6V"en’'''prjojéc’ti6n’
horizontale,' et pour grand axéla base"e2:"d2.du triangle ;c 2, \'\ d2\ëïr projection
verticale, parce que Te cône dr^^^^^ formé par tous lesrayons visuels qui
enveloppeiït la sphère, est rencontré .obliquement par le plan du tableau TT’.

Mais 7 si le point dé vue était situé sur une ligné horizontale passant par le
centre o de là sphère, la perspective de celle-ci serait évidemment un cercle.
Le\boissea'u sphérique est traversé par une ouverture •horizontale pour ;Te passage) 
de la clé du robinet, et l’entrée e/ de cette ouverture étant située dans
un plan parallèle au tableau, devient en perspective,' fig. g, un cercle dont le
diamètre est e2/ 2. .."■"■ •."-•"' : v ' T. r

Quant aux brides cylindriques des tubulures qui terminêrtifleboisSeau, les
deux demi-cercles agb, et a h b, donnent lieu à des demi-ellipses qui ont
pour grand axe commun la droite liofizôntare a* bS correspondante à,« b,
et, pour demi petit axe, l ?une la verticale g 2] o 2, perspective 'de g" o", et
l’autre le prolongement de çetle veriicaie, perspective de o",:K'l. ~ <; -, ~~ ;

■ Ainsi la perspective d’un-cercle dont le plan est ; horizontal ,'et dontJa ligne
passanipar. le centre et fe point de- vue est ^rpendiculajre au tableau', se
compose de'deux demi-ellipses, ayant leur grand axe commun, et leur petit
axe situé sur la môme ligne, mais différent suivant la positiqn ;dU point de vue
par rapport au plan de ce cercle ; cette différence, est^rendue très-sensiblefdans
la perspective de la bride supérieure, fig ; Ë. .':• , v : ."•'. v :

SIXIÈME PROBLÈME.
PERSPECTIVE D’UN OBJET PLACÉ DANS UNE POSITION QUELCONQUE
PAU RAPPORT AU PLAN DU TABLEAU.Figures 11 eï 12.

441. Dans chacun des problèmes précédents, nous avons supposé quelquesunes
des faces des objets représentés, parallèles ou perpendiculaires au plan
tableau, mais il peut arriver que toutes les arêtes qui limitent les contours
d’un objet forment des angles quelconques avec ce dernier ; tel est le cas que
nous avons à examiner sur les lig. 11 et 12.

Soit a b c d, la projection horizontale d’un carré dont les côtés sont inclinés
au plan T, V du tableau , et dont on se propose de tracer la perspective.
Le point visuel étant projeté en W, si on opère comme il a été indiqué sur
les fig. 1 et % on trouvera en a-, b 2, c 2, d 2, la projection horizontale des points
de la perspective, et en a", b", c", d", la projection verticale des mômes points
qui, lorsqu’on ramène le plan du tableau TTY sur le plan vertical, en le faisant
tourner autour du point o, comme centre, se représentent rigoureusement en
a\ b'', c’', d’' : ces points réunis forment un quadrilatère dont les deux côtés
opposés a''b'', c’'d\ concourent au môme point/, et les deux autres côtés
opposés concourent à celui/ ; ces deux points/et/', sont appelés points de
fuite. Ils se déterminent géométriquement en menant du point V, projection
horizontale du point de vue, les lignes VT et VT’, parallèles aux côtés a b, et
b c, du carré donné, et en prolongeant ces droites jusqu’à la trace T V du
tableau. Si alors on porte sur la ligne horizontale, v' V, tirée du point V 7, et
appelée ligne d’horizon, la distance v T, de v" en /, et la distance v T/, de v"
en /', on a les deux points cherchés.

Il résulte de ce qui précède, que lorsque des droites inclinées au plan du
tableau sont parallèles, leurs perspectives concourent vers un même point situé
sur la ligne d’horizon cl appelé point de fuite.

Lorsque plusieurs faces ou arêtes situées dans des plans différents sont
parallèles, leurs perspectives n’en concourent pas moins aux points de fuite,
ce qui permet de simplifier les opérations.

Ainsi les arêtes des faces horizontales hr i', cth"i", du prisme quadrangulaire
étant respectivement parallèles aux côtés du carré ab cd, ont encore
pour perspective les droites f e 3, « V', concourant au premier point/, et les
droites i3 g 3, i'' g' 1, concourant au second point de fuite/.

Le cône F, F', qui est traversé latéralement par le prisme, a son sommet
projeté horizontalement en S, fig. 12, et verticalement en S’, fig. 11, et son
axe vertical. La perspective des points S et S’, sur le plan du tableau se trouve
en s, pour la projection horizontale , et en s’ pour la projection verticale ; par
conséquent, dans le rabattement du tableau, ces points viennent se repré-
m COURS, RAISONNÉ , .

senter en s2 et S2 sur là môme vertiacle, S 2, o 2 ; qui est alors la perspective de
l’axe à S’ et le point S 2, est la perspective du sommet du cône. :

Si on trace comme précédemment la perspective des deux bases k I, et m, n,
du tronc de cône* il suffira de mener du point S 2, les deux tangentes S2 m/,
et S2 ri' à la base supérieure fig.:i, pour obtenir la perspective du cône entier.

■-.■'.■'■ " APPLICATIONS.- "' ■'. ; .'J/./.:. ".
MOCLIN A BLÉ MARCHANT VÀR COURROIES, ÉTABLI CHEZ M. DARBLAY- ' . V •- ;".: ' À CORBEIL. . ■ ' -: - ,'- :- ■"-•  ;: ■- ■■'
- - ,' . •■'-■■ Plançfieskk,etk§. / -■- ;/. •'.. ;.-

442. Les premiers principes de- perspective',: que nous venons:d’exposer,
permettent de faire des applications sur dès objets-plus compliqués, et même
sur des vues, d’ensemble de machines et d’architecture ; inous.avons, à cet effet,
réuni dans la planche 45, un .exemple qui peut -donner une idée générale de
cette étude. Cette planche représente la perspective d’un moulin à blé à colonnes
et à courroies, établi,sur. le système le plus récent ; avant d’entrer dans, quelques
explications au siijet.de'cette, perspective générale, il nousfparaît indispensable
de décrire les différentes parties du mécanisme qui compose lé moulin
que nous avons du représenter en projection géométralé dans la.planche hk.

La construction des moulins a hlé a subi des améliorations tEès-importantes
depuis un certain nombre d’années, non-seulement sous ,1e rapport du moteur
principal, mais encore sous le rapport des mouvements, du mécanisme/et des
appareils de nettoyage et de blutage. Gomme ce sont des machines,extrêmement
utiles, et on.peut.mêmé dire de première"nécessité, nous avons crû devoir
donner, comme modèle, dans ce traité,:un moulin bien monté, et tel qu’il
s’en établit aujourd’hui, dans les différentes contrées de l’Europe '.-•:"

'443. Avant l’introductiondusystème dit américain, nous n’avions en France
que des moulins grossiers, à grandes meules éveillées de 2. mètres de diamètre^
etproduisantce que l’onappelaitde la mouture économique. Ces moulins étaient
mussoit par des roues à palettes, recevant l’eau en dessous, soit par de mauvaises
turbines, comme celles du midi. A mesure qu’ils sont remplacés-, on. réforme
non-seulement le mécanisme en entier, mais encore le moteur et le genre de
meules. En effet, les moulins_amériCains, connus plus particùlièr.erffent sous
le nom-:de moulins anglais, se distinguent des moulins, français, en ceque,
d’une part, les meules plus petites de diamètre sont rayonnées, et à éveillures
très-serrées, et de l’autre, en"ce,que la vitesse de rotation de ces meules est
plus grande, et que par suitèlesmôuvëmentssont plus multipliés. Un moulin
à grandes meules éveillées, de 2"mètres de diamètre, marche ordinairement à
une vitesse de 55 à 60 révolutions par minute, mû par une roue^hydraulique
en/dessous faisant souvent 10 et 12 tours ; son mouvement ne se composé que
d’une roue à alluchons et d’une lanterne, ou mieux d’une roue d’angle et d’un
petit pignon dans le rapport de.5 ou 6 al. Mais un moulin anglais, ayant

habituellement des meules de lm 30 de diamètre, doit avoir une vitesse de 115
à 120 révolutions par minute, et marchant par une bonne roue hydraulique
à augets ou à aubes planes en déversoir, qui ne fait que 3 à k tours par minute,
il faut nécessairement que les mouvements soient multipliés. Lorsqu’ils ne se
composent que d’engrenages, on les fait à double et le plus souvent à triple
harnais, c’est-à-dire à deux ou trois paires de roues dentées. Dans ces derniers
temps, on a cherché à remplacer le dernier mouvement consistant en la
roue horizontale et les pignons placés sur les arbres des meules, par de
grandes poulies, afin de commander celles-ci par des courroies. Cette disposition
présente l’avantage de rendre les mouvements plus doux, et de permettre
d’arrêter à volonté une paire de meules, sans arrêter le moteur et par suite
tout le moulin, ce qui est essentiel, surtout lorsque celui-ci est d’une certaine
importance et qu’il se compose de plusieurs paires de meules.
kkk. Le dessin, pi. kk, représente un tel moulin, marchant par courroies,
établi chez M. Darblay à Corbeil : il se compose de 10 paires de meules placées
sur deux rangées parallèles ; l’usine en possède ainsi plusieurs séries semblables.

Chaque série est mise en mouvement par une turbine hydraulique système
Fourneyron.—La fig. 1 représente le plan d’une partie du mécanisme principal
du côtédel’une des rangées de meules.—La fig. 2 en est une élévation extérieure
prolongée jusqu’à l’arbre vertical de la turbine.—La fig. 3 est une section
transversale faite perpendiculairement à l’arbre de couche de commande.

On voit en A, sur la fig. 2, le prolongement de l’arbre vertical en fer qui
descend plus bas pour porter la turbine horizontale, cet arbre est supporté
par son pivot à sa partie inférieure, et retenu par un collet en bronze a, à sa
partie supérieure ; ce collet se compose de deux coussinets ajustés au sommet
de la chaise creuse en fonte B, assise sur la plaque de fondation C, et reliée
en outre avec le support à nervure et à jour D, lequel reçoit le premier palier
b du grand arbre de couche E.

Cet arbre porte d’abord le pignon d’angle en fonte F, à large denture, et
commandé par la roue d’angle horizontale G, à dents de bois, montée sur le
bout de l’arbre de la turbine ; celui-ci est réuni par un manchon de fonte c à
l’axe en fer A', que l’on a prolongé jusque dans les étages supérieurs du bâtiment
, afin de servir à donner le mouvement aux divers appareils de l’usine,
tels que monte-sacs, comprimeurs, tarares ou cylindres verticaux et cribles ,
bluteries à farines et à sons, râteaux, élévateurs ou chaînes sans fin, etc. A
chaque étage cet axe est maintenu par un collier garni de coussinets semblables
à celui d vu en coupe sur la fig. 2.

L’arbre de couche E devant commander les deux rangées de paires de
meules, se compose de plusieurs pièces réunies par des manchons en fonte e,
et il est supporté, sur différents points de sa longueur, par des paliers /à
coussinets de bronze, recouverts de leur chapeau à réservoir d’huile et boulonnés
sur la base des chaises à arcades en fonte H ; ces chaises forment
poëlettes, à leur partie supérieure, pour recevoir la crapaudine en bronze et
23326 COURS RAISONNE
le grain d’acier qui soutiennent la pointe aciérée g de chaque arbre vertical I ;
une vis de pression ï est rapportée en dessous pour soulager au besoin, et un
boîtard ou palier renversé I, boulonné aux solives du plancher ( fig. 2 et 3) ,
sert decollier à l’arbre par le" haut. '..

Chacun des arbres veiiicaux I, porte un pignon d’angle K, à denture de
fonte taillée et tournée, et deux poulies horizontales L, de même diamètre ;
les pignons "engrènent avec les roues coniques K' à dents de bois, fixées sur
le grand arbre de couche, et les poulies sont-mises en communication-par les
-courroies eh cuir h, avec d’autres poulies semblables L/, de même diamètre
qu’elles. Ces dernières sont chacune montées sur un fer de meule M, que l’on
fait habituellement en fonte tournée avec soin ; un tendeur ou galet cylindrique
à joue N, traversé par un petit axe eh fer que soutiennent les deux
bras d’une chape mobile 0, sert à tendre la courroie de chaque meule, au
degré convenable ; à cet effet, oti a adapté à la console un levier k, à l’extrémité
duquel est attachée une cordelette passant sur les poulies à gorge et à
chape l, et chargée d’un léger poids m. Ainsi, dans la position donnée à chacun
des leviers ou bascules k sur le dessin, lés galets agissent et’les courroies sont
tendues, par conséquent le mouvement imprimé aux poulies L se transmet
aux poulies XJ ; mais si on soulève les poids, pour qu’ils ne tirent plus., les
leviers deviennent libres, les galets sont répoussés,- par suite les courroies
sont lâchés et ne commandent plus, les poulies 1/ et par conséquent les fers
de meules sont arrêtés. Les chapes mobiles 0 sont retenues par des coussinets
contré les consoles de fonte Pj boulonnées au-dessous dû-plancher ; elles peuvent
ainsi prendre diverses positions en tournant comme autour d’un axe fixe,
et les tendeurs eux-mêmes tournent aussi avec leurs axes dans les coussinets
dès chapes. Pour que les courroies lie tombent pas ; lorsqu’elles sont détendues,
on a rapporté de distance en distance des goujons eh fer w à dès tiges verticales
o fixées au plafond.

Chaque ter de meules est muni à sa base d’une fausse pointe aciérée p, qui
pivote sur un grain d’acier trempé, ajusté àU fôhdd’une crapaudine eh bronze
q (fig. 4) rqui est elle-même renfermée dans un manchon ou gobelet cylindrique
en fonte r, lequel’« st porté par la.poëletle h' ; celle-ci est fondue avec
une partie des plates-formes p', qui couronnent les deux massifs eh pierre de
taille o', sur lesquels repose tout le beffroi du moulin ; des -vis de pression
latérales taraudées -sur les côtés de chaque poëlette et pressant contre le gobelet,
permettent de centrer la crapaudine et par suite te fer* de meules, tandis
"qu’on peut le soulager et par suite rapprocher plus ou moins la meule supérieure
de la meule inférieure à l’aide de la tige filetée s, qui traverse une petite
roue droite t avec laquelle engrène un pignon denté w  ;(fig ; 2) rdônt l’axe vertical
est surmonté d’une poignée v. En tournant celle-ci à débité ou à gauche,
on fait mouvoir  ;les deux petits engrenages, et comme la" tige* hé peut "tourner,
elle est forcée, par ce mouvement, démonter ou de descendre, et oblige
par suite la crapaudine, le.fer de meules et là meule supérieure à en faire
DE DESSIN INDUSTRIEL. 327
autant. On règle donc ainsi l’écartement des deux meules avec toute la précision
désirable, suivant le travail que l’on veut faire.

Au sommet de chacun des fers est aussi rapporté un pointai acièré qui
pénètre en partie dans le centre de la nille à deux branches w (fig. 3) , laquelle
est scellée par ses extrémités dans l’oeillard de la meule supérieure ou courante
Q ; un manchon conique en fonte x, relie le fer avec la nille et par suite
avec cette meule, qui alors est entraînée dans sa rotation, lorsqu’il est mis en
mouvement. Sur la base supérieure du manchon de nille, est une sorte de
soucoupe circulaire dans laquelle plonge le tube qui termine les engreneurs
ou distributeurs en cuivre R. Ces engreneurs, qui reçoivent le blé venant
d’une trémie commune par les tuyaux y, reposent sur des bascules en bois S
( fig. 2 ) , assemblées d’un bout à charnière avec une chape z, et portant de
l’autre une tringle verticale en fer z', pour servir à les lever ou les baisser au
besoin, et par suite écarter ou rapprocher le bout des tubes du fond de leurs
soucoupes ; cette disposition a pour objet de laisser entrer plus ou moins de
grains dans les meules. Les supports où les chapes de chaque bascule sont fixés
sur les archures en bois T qui recouvrent chaque paire de meules, en laissant
entre elles un espace libre, dans lequel tombe la mouture ou la boulange au
fur et à mesure qu’elle est produite, pour se rendre de là dans des conduits qui
l’amènent soit dans des boîtes, soit dans des chaînes à godets, afin d’être
versée dans une chambre où elle ost remuée et se refroidit.

Les meules inférieures ou gisantes Q/, de même diamètre que les courantes,
renferment à leur centre des boîtards en fonte b', garnis de coussinets qui
embrassent les fers de meules et les maintiennent exactement dans leur verticalité.
Ces meules sont rayonnées comme l’indique le plan de l’une d’elles
(fig. 1 ) , c’est-à-dire que des cannelures peu profondes sont pratiquées sur
leurs surfaces travaillantes, et présentent d’un côté une arête vive, de manière
à former cisaille, afin de couper chaque grain de blé soumis à leur action.
La rhabilluro fine et serrée qui est faite au ciseau entre ces rayons achève de
concasser et de moudre le blé. Elles reposent sur une corniche où faux plancher
en fonle U, par l’intermédiaire de 3 vis de nivelage a' qui permettent de
les mettre parfaitement de niveau, et 4. vis latérales a- (fig. 1) taraudées dans
les cadres de fonte qui surmontent la corniche, servent à centrer chacune
d’elles en les retenant sur les côtés.

Les corniches et leurs cadres sont non-seulement boulonnés aux poutrelles
du plancher en charpente du bâtiment, mais encore elles sont supportées de
distance en distance aux colonnes de fonte V placées entre chaque paire de
meules, et reposant sur les plates-formes o' et leurs massifs en pierre ; elles
se relient en outre avec les grandes colonnes en bois X, qui se trouvent vers
les extrémités du beffroi. Une grille ou balustrade en fer Y est disposée de
chaque côté des engrenages de commande pour éviter les accidents qui pourraient
survenir en passant trop près de ces derniers. Des regards sont ménagés
dans les massifs.
PERSPECTIVE DU MOULIN. ; . -:\ [planche 45.) 

445., On a pu observer dans les études préliminaires qui précèdent que les
dimensions perspectives d’un objet dépendent à la fois de : la position du
point de vue et de l’objet par rapport au tableau, dont la dimension est
restreinte nécessairement à celle de la feuille de papier.

Dans la perspective d’un ou de plusieurs objets, on doit avoir égard nonseulement
à la distance de laquelle ces objets doivent être vus, mais encore à
l’élévation plus ou moins grande de l’oeil, ou de la ligne d’horizon. Dans
l’exemple choisi, nous, avons .supposé le point de vue placé à la hauteur de
l’oeil de l’homme, mais il est évident que cette hauteur d’horizon n’est pas
invariable, elle dépend du plus ou moins de développement- :que Fon veut
avoir dans les objets à mettre en perspective ; ainsi, pour une machine qui
occupe peu de hauteur, il faut nécessairement placer le point de vue moins
-élevé, et, dans tous les cas, à une distance assez éloignée pour qu’il puisse
embrasser la machine dans toute son étendue sans changer de position. •

Pour l’architecture, la ligne d’horizon ne se trouve pas au-dessous de la
hauteur de l’homme, et on peut, en général, espérer d’assez bons effets, lorsque
la distance du spectateur au tableau est égale.-à environ une fois et demie
ou deux fois la largeur du papier, pourvu qu’il y ait au moins la même distance
entre le plan du tableau elles objets qui en sont les plus rapprochés.:

Le goût et la pratique du dessin perspectif faciliteront toujours le choix à
faire pour adopter les dispositions, les plus convenables. •:

. Nous avons représenté en tt{, fig. 1 et 2, pi.. 44, la position du tableau qui,
est rabattu sur le plan vertical (fig. 5, :pl. 45) , . ; :

Le point de vue, pour, satisfaire aux principales conditions indiquées cidessus,
est supposé placé, par rapport au tableau, à une distance égale à deux
fois environ la largeur occupée par le.mécanisme du moulin en projection
verticale ; if n’a pu alors trouver place sur les projections géométrales, pi. 44,
mais sa perspective est apparente en « 'sur la.fig. 5. .

Pour dresser le canevas de cette perspective, il est nécessaire de chercher
la position de toutes les lignes d’axe des colonnes, dés fers, de meules, des
engrenages et, en général, de toutes les pièces symétriques .Ainsi des points
1,2,3, 4, etc., fig. 1, on mène une. suite de rayons visuels, qui rencontrent
le plan du tableau en 1", 2", 3/', ;4'V et qui, dans le rabattement du tableau
surle plan vertical (fig. 5) , se reproduisent en V, 2', 3', k', etc.

Les droites verticales tracées de chacun de ces .points expriment les lignes
d’axe. On cherche alors la perspective des objets situés sur lès premiers plans,
comme la colonne X. Celle-ci étant, d’une part, très-proche du tableau, et,
d’urf autre.côté, les rayons d’optique,tangents, à la partie cylindrique étant
tous deux inclinés dû même côté, il en résulte que ?sa perspective paraît d’un
diamètre plus fort qu’il n’existe réellement. - . , " : ;

On détermine ensuite les perspectives des colonnes V, qui, ayant leurs axes
situés dans un même plan perpendiculaire au tableau, diminuent graduellement
suivant les lignes qui concourent au point de vue v'. Il résulte de là
qu’ayant la perspective complète de la première colonne V, il suffit de diriger
de chacun des points principaux des moulures des lignes au point de vue pour
obtenir la perspective des points correspondants et, par suite, les hauteurs
respectives de chacune des colonnes suivantes.

II en est de même de la perspective de chacun des fers de meules, des poulies
et autres accessoires, dont les centres se trouvent aussi dans le plan vertical
passant par l’axe des colonnes V.

Pour les engrenages d’angle KK', dont les axes sont verticaux et projetés horizontalement
en 2,10, 11, fig. I, et qui, par suite, ont leurs perspectives sur les
lignes verticales en 2', 10', 11', etc. (fig. 5) , il est utile de déterminer la perspective
du sommet du cône s’, sur la surface duquel se trouvent toutes les dents,
parce que la perspective de toutes les arêtes de la denture concourt à ce point.

Les arêtes des dents de chacune des roues d’angle KK', dont l’axe est horizontal,
ont également pour perspective des droites qui concourent à ce même
point/ ; quant aux arêtes des flancs des dents, comme elles appartiennent
aussi à des cônes dont la surface est perpendiculaire au premier, leurs perspectives
concourent de même vers un même point qui est la perspective des
sommets de ces cônes.

Les lignes d’axe des bras de la roue K', concourant au centre de cette roue,
ont pour perspective des droites qui se dirigent vers le point o~, perspective
du centre de cette roue.

Puisque la perspective des objets qui se répètent, et dont les axes sont
situés dans un même plan perpendiculaire au tableau, est toujours semblable,
et qu’elle ne fait que diminuer de dimension suivant leur distance respective au
tableau, on comprend que quand on a déterminé la perspective de l’un d’eux,
on puisse simplifier les opérations de la perspective des autres, surtout si on a
le soin de prolonger les différentes lignes qui concourent au point de vue. Cette
observation s’applique soit aux engrenages, soit aux coussinets et aux chaises
qui portent les différents arbres, soit aux poulies, aux archures, etc. C’est
ainsi que sur la fig. 5 on a tracéles principales lignes de concours qui expriment
toutes les hauteurs, et dont les rayons visuels, qui n’ont pu être tous indiqués
sur la projection horizontale, fig 1, doivent néanmoins être tracés pour donner,
parleursintersectionsavecle plan du tableau »', toutes les largeurs horizontales.

La iîg. 6 représente, sur une plus grande échelle, l’ensemble de cette perspective
ombrée à l’effet, pour mieux en faire comprendre toutes les parties. Cette
vue ne diffère du tracé, fig. 5, que parce qu’elle est plus complète et qu’elle est
supposée retournée. Elle a un double but, d’apprendre aux élèves le tracé de
la perspective des objets d’architecture et de mécanique, et de leur donner en
même temps une idée de la dégradation des tons, suivant la différence des
plans, conformément aux principes exposés sur les études d’ombres et de lavis.
Regles ET: données pratiques:
TRAVAIL DE DIVERSES MACHINES.
MOULINS A BLE.
446, Comme aous l’ayons vu en traitant du gros mécanisme proprement dit (10e livraison) ,
le diamètre généralement adopté dans les moulins, pour les meules à l’anglaise,
est de •l" 130, et leur vitesse est de 115 à 120 révolutions par minute. Ce telles meules,
dans les usines bien organisées des environs de Paris, ne moulent,,en moyenne,
que 15 à. 16 hectolitres de blé par 24 heures ; niais on obtient aussi 60, 62 et 63 p. 100
dé farine première, qui est si recherchée par la boulangerie de la capitale. ..:■■'

Dans ces conditions, nous^ avons trouvé qu’il faut la force utile d’un cheval de
75 kilogrâmniëtres pour moudre moyennement 20 à 22 kilogrammes de blé par heure, ou
4 chevaux environ pour 80 à 88 kilogrammes ; nous comprenons, dans cette évaluation,
la puissance.'nécessaire, non-seulement pour faire mouvoir le mécanisme des meules,
mais encore pour tous les accessoires et appareils dé l’usine: • ;'■

Qji.yoit dpnç, d ?après cela, que pour, moudre 15 à 16 hectolitres par 24 heures (ce
qui correspond là 50 ou 51 kilogrammes par heure) , il faut une'force réelle de deux'chevaux
et demi, y compris le nettoyage et le blutage.'/

Si donc on a une. puissance utile de 15 chevaux, par exemple, on devra monter 6 paires
de meules, dans les conditions qui précèdent, pour employer cette force a faire marcher
toute l’usine. Il est à remarquer que. dans ce compte, nous comprenons lapaire de
meules qui peut être en rhabillage ; cette opération se-faisant à peu près régulièrement
tous les cinq ou six jours ou toutes les semaines au plus, .il y en a donc presque constamment
une paire arrêtée et découverte pour être rhabillée ; le meunier actif s’arrange,
d’ailleurs, pour que ce travail se fasse bien, avec rapidité, et autant que possible, pendant
le jour. ■'"-'-.'■

Dans les usines qui font lés moutures moins serrées, et qui, par conséquent^ travaillent
avec des meules moins rapprochées, comme celles de la plus grande partie de
la Bourgogne, du Lyonnais, et de plusieurs autres contrées, on fait moudre: 24 à 25
hectolitres de blé par paire de. meules et par 24.heures, et souvent même plus ; le travail
est donc beaucoup plus considérable, mais-c’est évidemment aux dépens de la qualité
des farines ; on fait alors, presque toujours, plus de rondes ou dèsecondês que de
premières. :-.--.. ; . .. ■

La forcé employée par chaque paire de meules est nécessairement plus grande ,.cependant
elle n’augmente pas proportionnellement à la quantité des produits. En effet,
d’après.les expériences que nous ayons faites, nous’ayons vu que l’on moud, dans le
second cas, 25: à 26 kilogrammes de blé avec la force utile d’un cheval de 75 kilbgrammètres,
tandis que, dans le premier cas, on ne moud pas plus de 20 à 22. il’y à'.donc
. un avantage réel sous ce rapport, et on peut dire, sans crainte: d’erreur sensible, qu’avec
la puissance de 4 chevaux, on pourra moudre (suivantle genre de mouture adopté
à Dijon, à Lyon,-et ailleurs) 100 à 104 kilpg. de blé par heure, tandis que dans les
environs de Éaris, avec cette même puissance, on ùe produit que 80 à 88 kilogrammes.
Dans les moulins destinés à la guerre, les hioutur.es étant, comme nous l’avons dit,
beaucoup plus grossières, et, par conséquent, lesmêules travaillant moins rapprochées,
la dépense dé force est encore proportionnellement moindre, d’autant plus que les appareils
dé nettoyage et de blutage sont extrêmement restreints ; aussi on peut estimer
COURS RAISONNÉ DE DESSIN INDUSTRIEL3H1que le travail est bien de 28 à 30 kilogrammes de blé moulu par heure et par cheval
En effet, d’après des expériences suivies , faites à la manutention des vivres de Paris,
nous avons constaté qu’avec une machine à vapeur de la force de 24 à 25 chevaux, faisant
marcher habituellement 7 paires de meules de tm30, on a moulu 17,374 kilogrammes
de blé en 24 heures ; ce travail correspond à la puissance de trois chevaux et
demi et à 103k 4 de blé moulu par paire de meules, soit à 29k 5 par cheval et par heure.On peut donc conclure des résultats qui précèdent :1" Qu’avec la force utile et réelle de 1 cheval (ou 75 kilogrammètres par seconde) , on
doit moudre au minimum 20 kilog. de blé, et au maximum 30 kilog. par heure ;2" Que la quantité minimum s’applique aux moulins qui travaillent pour le commerce,
et particulièrement pour la capitale, en extrayant le plus possible des farines de
première qualité ;3° Que la quantité moyenne (ou 25 à 26 kilog. par heure) est le résultat produit par
des moulins qui travaillent également pour le commerce, mais en faisant beaucoup de
farines rondes comme celles livrées à la consommation de Lyon et d’autres contrées ;4" Enfin, que la quantité maximum correspond aux produits des moulins qui ne font
que des moutures grossières, et dans lesquels les appareils de nettoyage et de blutage
sont très-simples.XLII,: TABLE. — DE LA FORCE, DE LA QUANTITÉ DE BLE MOULU, ET DU NOMBRE DE PAIRES
DE MEULES A L’ANGLAISE AVEC LES APPAREILS DE NETTOYAGE, DE BLUTAGE ET AUTRES
ACCESSOIRES.FORCE EFFECTIVE QUANTITÉ DE BLÉ MOULU mWRE DE PAIRES DE MEULES.DÉPENSÉE EN EN KILOGRAMMES PAR HEUREclievaux. kilog. met. minimum. moyenne. maximum. minimum. moyenne. maximum.1 75 20 23 30 I » f » 1 »2 150 40 50 00 1 » 1 » 1 »3 223 8.)  75 90 I » 1 » In4 300 80 100 120 1 à 2 In I »5 375 100 125 130 2 » 1 a 2 1126 450 120 130 180 2 à 3 2 » 1 a 27 525 140 175 210 2 à 3 2 .. 2 »8 600 160 200 240 3 » 2 a 3 2 »9 673 180 223 270 3 à 4 3 » 2 a 3
10 750 200 250 300 4 » 3 » 2 a 3
12 900 240 300 3G0 * à 5 4 » 3 »
14 1050 280 350 420 S » 4 à 5 4 »
16 1200 320 400 480 6 » 5 » 4 à 5
18 1350 360 450 540 G à 7 G » 5 »
20 1500 400 500 000 7 » 6 à 7 S a G
22 1650 440 550 GGO 8 » 7 » 6 »
24 1800 480 600 720 9 «  8 » G à 7
20 1950 520 650 780 10 » 8 à 9 7 »
28 2100 560 700 840 H » 9 «  l>
30 2250 600 750 900 12 » 10 » g il S
32 2400 040 800 960 12 à 13 10 à 11 9 »34 2550 680 S30 1020 13 » Il » 9 à 103G 2700 720 900 1080 14 » 12 » 10 »38 2850 760 950 1140 (3. 12 à 1.1 10 à 1140 3000 800 1000 1200 16 » 13 » Il »45 3375 900 1123 1350 18 » 15 » 12 à 1350 3750 1000 1250 1500 20 » IG a 17 14 » I53 4125 1100 1373 1650 22 » 18 » 15 à 10GO 4500 1200 1500 1800 24 » 20 » 17 » |65 4875 1300 1625 1930 26 » 21 à 22 18 à 1970 5250 1400 1750 2100 28 u 23 » 20 »75 5625 1500 1873 2250 30 » 25 » 21 à 2280 6000 1600 2000 2400 32 » 26 à 27 »85 6375 1700 2125 2530 34 » 28 i, 24 »90 6750 1800 2230 2000 36 » 30 » 25 à 2695 7125 1900 2375 2850 3S o 31 a 32 27 »100 7500 2000 2500 3000 40 » 33 » 28 à 29
OH conçoit que d’après ces conclusions-, nous ayons pu établir la table-précédente
qui, à première vue, donné, d’une part, la quantité de blé que l’on peut moudre avec
une force utile i connue, et de plus, le nombre approximatif de paires de.meules que
l’on doit adopter lorsqu’on veut monter une minoterie sur une puissance déterminée.

Il est facile de voir par cette table que • le nombre de paires de meuies varie suivant -
les trois cas mentionnés plus haut ; nous croyons qu’elle est suffisante pour servir de
guide dans là-construction des moulins, quel que soit, le genre de moteur que l’on
adopte. '■ J ■ ■ ..

Nous devons le dire, c’est plutôt sur de telles données qu’il importe de fixer là quantité
de meules, lorsqu’on est appelé à remplacer un vieux moulin par un nouveau, que
sur ce qui existait antérieurement, car il n’y a généralement aucun rapport entre le
travail d’une ancienne paire de meules à la française de lm80 à 2m 10 de diamètre, et
celui d’une paire de meules à, l’anglaise. En effet, nous avons vu monter dans telle localité,
dans telle usine, qui n’avait que deux paires de meules anciennes de 2 mètres,
trois ou quatre paires de petites meules de 1 »30, et dans telle autre jusqu’à six,-huit
et dix paires. - - ■

Ces différences notables existent pour plusieurs raisons ■': ainsi, on comprend que si
le moteur appliqué à un vieux mouiin est mal établi, mal disposé, il utilise peu la force
disponible, et n’est capable que de faire un travail beaucoup inférieur à celui qu’il devrait
réellement produire. D’un autre côté, les grandes meules à la française, à larges
éveillures mais sans rayon, peuvent moudre beaucoup ou peu à.volonté ; et, d’ailleurs,
le travail est généralement plus grossier. Nous pensons, en fait, que la quantité de blé
moulu par une paire de grandes meules, dans un temps donné, est presque toujours
au moins double de celle d’une paire de petites meules.

Nous croyons devoir encore, à ce sujet, faire une observation qui paraîtra de quelque
importance, du moins auprès de-certaines personnes. Dans plusieurs localités, sans
adopter d’une manière complète le système anglais, on a monté des moulins sur un
système mixte, c’est-à-dire qu’on a perfectionné les mouvements, le mode de mouture,
et surtout le moteur hydraulique : de tels moulins produisant un travail assez avanta-'
geux, nous dirons même produisant plus, avec une force motrice donnée, qu’on n’a pu
leur faire produire plus tard, en les mettant entièrement à l’anglaise, on a été surpris
et on s’est même, quelquefois, plaint près du constructeur d’obtenir moins après qu’avant
leur établissement.

Il faut bien le reconnaître, lorsqu’on améliore un moulin français, c’est à-dire lorsqu’on
lui applique une bonne roue hydraulique et une bonne communication de mouvement,
tout en conservant les grandes meules et avec peu d’accessoires, comme il est
après tout, dans. son ensemble, sensiblement moins compliqué que le moulin anglais
qui viendrait le remplacer ou qui serait établi avec la même force disponible, il doit
produire plus que celui-ci, quoique ce dernier soit généralement préféré, parce que les
appareils y sont plus complets et disposés pour marcher d’une manière plus continue et
plus suivie. ' -. ,

Nous devons dire aussi qu’il y a des meuniers qui donnent la préférenceà des meules
de lm40 à lm50, et quelquefois même à des meules de- l »n 60 de diamètre, en adoptant
néanmoins le mode américain, c’est-à-dire des meules rayonnées et rhabillées exactement
comme celles de 1™30. Ils leur font faire plus d’ouvrage dans le même temps
qu’à celles-ci, quoiqu’ils leur donnent une vitesse moindre, qui ne s’élève guère qu’à 90
à 100 révolutions par minute. Ces dimensions, pius grandes, peuvent présenter un
avantage, c’est de simplifier, d’une part, le, mécanisme en diminuant ie nombre de
paires de meules, et de permettre, de l’autre, de tirer parfois mieux parti de toute la
puissance du moteur. On comprend, en effet, qu’on peut avoir trop de force, dans de
certains moments, pour faire marcher un moulin de plusieurs paires de meules de
DE DESSIN INDUSTRIEL.333lm30, en travaillant bien, et que cette force pourrait être utilisée entièrement avec des
meules de lm50 à lm 60 ; ou bien il peut arriver que l’on n’a pas assez de puissance
pour faire tourner deux paires de petites meules, mais trop pour une seule paire ; et
que l’on ne veut pas faire les frais auxquels entraîne tout le mécanisme, tandis qu’avec
une seule paire de meules, plus grandes, on peut profiter de toute la force et travailler
convenablement avec moins de dépense première, moins de frais d’achat et d’entretien.
Nous terminons ces renseignements en donnant un état de la mouture à diverses
époques.1830. t01'ÉTAT DE MOUTURE.— (Ancien moulin à vapeur de M. Benoit, à SaintDenis ;
ce moulin n’existe plus.) 
Produits de 100 parties de blé moulu, suivant le système américain.Farine de blé , lrc qualité = 64 IFarine tirée des gruaux, id = 3 ( toute farineId. 2e qualité = 61= 75 p. 100.Id. 3e et 4" id = 2) Gros son à 20 lui. l’hectolitre. = 6 jPetit son à 34 kil. id = 7 I issues diversesRecoupettesde28à30kil. id = 61 = 23Remoulage de 45 à 50 lui. id = 4 ]Déchets = 2Total général =1001837. 2° ÉTAT D’UNE MOUTUBE de 3,520 setiers de blé pesant ensemble 417,452
kilog. — (Moulin à l’anglaise des environs de Paris.) Farine l’c et 2° qualité = 300,579 soit 72 p. 100Id. 3" id = 1.8401Id. 4e id = 7,5861Criblures = 2,856 » 0,7 »Issues diverses = 88,016 » 21,5 »Déchets, évaporation, balayures = 16,575 » 3,5 »Total général 417,4521848. 3° ÉTAT D’UNE MOUTURE de 100 setiers pesant ensemble 11,800 lui.Farine 1>'° qualité = 70 p. 100 soit 8,260 kil.Id. 2e id = 2 id. 236 »ld. 3uet40 id = 4 id. 472 »Issues diverses =20 id. 2,360 »Total 11,328 kil.334 COURS RAISONNÉSCIERIES.447. Les scieries mécaniques sont devenues d’une grande importance enPrariee. On
peut les diviser en deux catégories bien distinctes, savoir : les scieries à mouvement
continu et les scieries à mouvement alternatif.Lès premières comprennent non-seulement les scies circulaires, mais encore les scies
sans fin, composées d’une lame mince s’enveloppant sur deux rouleaux ou poulies,
comme une courroie ordinaire, '.'■'■" \Les secondes comprennent les scies à lames droites, verticales ou légèrement inclinées,
et à lames horizontales ou coupant suivant une direction’horizontale.Nous donnons le résumé des expériences faites sûr une scierie à plusieurs lames,
dont le châssis porte-scie pèse près de 400 kilog.La force dépensée par le moteur a été pour un travail deom-^iBl de surface sciée
par minute, de 3 chevaux 70 dans du chêne sec, et de 4,50 chevaux pour une surface
de 0m13l par minute, dans du chêne de 4 ans de coupe, eh faisant marcher quatre
lames à la fois,xe qui donne dans le premier cas 0,925 de cheval par lame, et dans le
deuxième 1,125 cheval. '• ' :-L’épàisseur de la voie ou du trait de,scie est ordinairement de 3 à 4 millimètres au
plus. ' "• ■••.■■•----.•••Une scie alternative fournissant en moyenne 120 coups par minute, avec une course
de 0m60, et des manivelles de 0m 30 de rayon, parcourt en’une'minute un espace de"■"•'.".' 120 X 2X0,60 = 144 métrés,soit 2m 40 par seconde.Or, avec une telle course, on peut débiter des bois dé 50 à 60 centimètres degrosseur,
et même plus ; on trouve,~en prenant la plus-petite dimension, que le travail obtenu
par 1', avec une avance de 2 miilim., est dé' 120 X 0,002 X 0,50 = Om-Ï-120pour la. surface sciée, mesurée sur un côté seulement,
soit, par heure, 0,120 X 60 = 7m-ï-80.448. TKAYAIL D’UNE SCIE ALTERNATIVE CONDUITE PAU DEUX SCIEUBS DE LONG.—Deux hommes donnant moyennement 50 coups de scie par minute, peuvent marcher
sans s’arrêter pendant 3 à 4 minutes. En admettant que leur temps d’arrêt soit de 30
secondes ou 1/2 minute, la course de leur scie de 0™975 et la longueur entière de la
lame de lm30, ils scient une longueur de 0m92 en 7 minutes de temps, ce qui donne
une surface sciée de0,92 X0,315 = 0m.q.2898,
soit, par minute, 0,2898-^7 = 0m04t4. "DE DESSIN INDUSTRIEL 338Ainsi, le travail de ces deux hommes est à peu près équivalent à celui d’une lame de
la première scierie décrite, qui prend la puissance de près d’un cheval. Cette différence
peut se concevoir aisément, si l’on remarque que dans une scierie mécanique une partie
de la force motrice est employée pour vaincre les frottements de toutes les pièces
mobiles qui communiquent le mouvement au châssis porte-scie, tandis que dans la
scierie à bras, la puissance lui est directement appliquée, et le châssis n’est toujours
que d’un faible poids comparativement à celui de la machine.Dans la scie manuelle, dont nous parlons, les dents sont espacées de 0m013, ainsi il
y en a 75 en travail sur toute la course de 0m975. La profondeur de ces dents est de
0m0065, c’est-à-dire moitié de leur écartement, et elles sont très-peu couchées sur les
côtés parce que les ouvriers les dégagent par des chanfreins taillés alternativement
d’un côté et de l’autre.La scie ne travaillant qu’en descendant, on peut voir par ce qui précède que son
avancement moyen est de0>»92-^7 = 0m1314 par 1',et, par coup de scie, de 0,1314-^50 = 0m 00263 ;c’est-à-dire d’un peu plus de 2 millim. 1/2. Avancement qui est à peu près le même
que celui que l’on donne ordinairement pour le chêne avec une scie mécanique.SCIEEIES A PLACAGE. — Pour les scies à placage qui travaillent généralement des
bois durs, et qui, de plus, doivent fournir des feuilles très-minces et parfaitement égales
et régulières, on conçoit qu’il serait de toute impossibilité d’imprimer au bois des avancements
aussi considérables qu’on le fait pour débiter des sapins en madriers ou en
planches.La vitesse de ces scies est peut-être plus grande que partout ailleurs. Elle n’est pas
moindre, en effet, de 280 coups par 1', et s’élève souvent même à 300 révolutions, ce
qui est plus du double de la vitesse ordinaire que l’on avait adoptée en origine.En avançant seulement de 1/2 mil. à chaque révolution dans de l’acajou, la longueur
sciée, par minute, serait de300 X 0,0005 = 0m 15,et, par heure, Om 15 X 60= 9™ 00.Si la largeur du bois était de 40 centimètres, la surface totale du bois scié, par heure,serait de 9m X 0,40 = 3™- q- 60,et par journée de 12 heures, en comptant 2 heures de perte pour l’affûtage, le montage
et le démontage de la scie et du bois, le graissage, etc., le travail total serait de3">60 X 10 = 36'n- q.Remarquons que le prix actuel payé aux scieries à la mécanique, pour le sciage des
bois d’acajou , est, à Paris, généralement de 28 fr. les 100 kilog. en fournissant au
moins 20 feuilles au pouce ou par 27 millimètres d’épaisseur.Il y a vingt ans à peine, on prenait 10 fr. le kilog., soit 1,000 fr. les 100 kilog. pour336 COURS RAISONNÉce sciage, et encore on obtenait Hen rarement autant de feuilles dans cette épaisseur.
On peut juger, par cette immense différence, dès effets de la concurrence et des perfectionnements
apportés dans la construction des machines et dans la fabrication.450. SCIÉS CIRCULAIRES..—Les sciés circulaires sont, sans contredit^ Tes plus simples,
et celles qui ont peut-être le plus d’applications dans l’industrie. Elles sont employées
sur toutes les dimensions^ depuis 2 ou 3 Centimètres jusqu’à 1 mètre de diamètre et
même plus. Les plus petites -, et surtout les plus faibles, servent le plus généralement
pour découper des objets très-minutieux, en os, en corne ou en ivoire. Dans les platesformes,
pour tailler les côtés droits des dents en bois, lès sciés circulaires sont employées
depuis 6 à 8 centimètres jusqu’à i4.et 16, suivant la puissance de la machine,
comme suivant la force même de la denture. Pour la menuiserie, l’ébériisterie ou la
carrosserie, on les emploie depuis 0m 12 jusqu’à p,n60 de diamètre. Dans les ateliers
de-construction, ces scies circulaires sont pour ainsi dire indispensables parla vitesse
avec laquelle elles opèrent, comme par le travail qu’elles sont capables de faire. Ces
scies ont en général, 0m20 à O ? 1140 de diamètre, et elles marchent avec une vitesse qui
qui n’est pas au-dessous de 400 tours par minute, et peut s’élever jusqu’à 600 et même
plus. -Expériences sur'une scie circulaire de0m70de diamètre.Ve OBSERVATION. — Essence, du bois scié, chêne d’un an de coupe de 0m222 dehauteur. - 'Nombre de tours de la scie en 1'……….. ':………… ;………. 266Surface .sciée en 1'…..-.-■……………,-… ;……..:……. '..'-… Om-ï- 18:2e OBSEBVATION. — Essence >du bois: scié ; sapin en planches sèches de 0m27 delargeur sur 0m 027 ..d’épaisseur :Nombre de tours de la scie en 1'.. ." ■■■……….. -.-:.. '….. 244Surface sciée en 1' ………. ………. om-q- 75(Nota.)  Ces résultats montrent que pour le débit dès petits bois, une scie circulaire
fait au moins autant d’ouvrage que quatre scies verticales, dans le même temps et avec
la même force motrice.On observera que la surface du sciage notée ci-dessus" est le produit de la hauteur de
la pièce par la longueur sciée, et non par la somme des deux faces séparées par la scie,
ainsi que l’on compte ordinairement dans le débit du bois.MATIERES FILAMENTEUSES.ITXATUBE DU COTON ;.451. Dans la filature proprement dite, on opère sur le coton les diyerses opérations
suivantes : 1° louvetage ; 2<> battage ; 3°cardage ; 4° étirage ; 5° filage en gros ;
6° filage en fin, 7° retordage ; 8° passage à la vapeur ; 9° dévidage et mise en écheVeaùx ;ÏO°
empaquetage.452. Lotir. —"Le coton est livré aux manufactures en balles fort serrées, d’un poids
d’environ 200 kilog. Pour le décomprimer, lui rendre son élasticité et Iè débarrasser des
corps durs et étrangers, on le soumet à une-machine désignée, sous le nom de loup ouDE DESSIN INDUSTRIEL. 337diable, dont la partie principale est un tronc de cône garni sur sa surface convexe de
dents minces ; sa vitesse de rotation est de 5 à 600 tours par minute, ce qui peut correspondre
à une vitesse à la circonférence moyenne de 26 à 31 mètres. La génératrice de
ce tronc de cône fait avec l’axe un angle d’environ 10 degrés.453. BATTEURS. — Le passage du coton à la machine précédente ne fait qu’ébaucher
le travail, il est nécessaire de le soumettre à un battage plus énergique pour le, débarrasser
de toutes les matières étrangères ; à cet effet, on se sert de machines connues
sous les noms de batteur éplucheur et batteur étaleur.XLIUe TABLE. — VITESSES ET DIMENSIONS PRINCIPALES DES BATTEURS.DIAMÈTRES NOMBRE VITESSENOMS DES ORGANES. en détours . à Iacirconférencemillimètres. par minute. en millimètresBattenr épluclieur.Premier rouleau alimentaire 65 11 i 37Premier cylindre cannelé alimentaire 36 20 37Premier volant à deux baltes » 1200 »Deuxième rouleau alimentaire 63 12 40.8Deuxième cylindre cannelé alimentaire 35 j 20 *0.2Batteur étaleur.Cylindres cannelés 41 18.5 3D.7Volant a deux battes i> 1214 »Tambour mélallitiue 487 2.74 69.83Rouleau d’appel en fer toi 11.09 60.4Rouleau couvert de peau 150 7.88 61.85IiC batteur éplucheur, ainsi que le batteur étaleur, fournissent 250 lui. de coton en
douze heures de travail ; le dernier a l’avantage sur le premier de disposer le colon en
nappes régulières pour être placé immédiatement derrière la carde.454. CARDES. — Le cardage a pour objet, non-seulement de bien ouvrir le coton,
mais encore de le débarrasser des ordures qui n’ont pu être expulsées aux batteurs, et
de le mettre sous la forme d’un ruban léger sans consistance.Le coton est généralement cardé deux fois : le premier cardage est désigné sous le
nom de cardage en gros, et le second de cardage en fin. Les machines ne diffèrent
entre elles que par les degrés de finesse des dents de cardes, et par quelques variations
de vitesses des parties mobiles comme l’indique le tableau suivant.338COURS RAISONNÉXLIVe TABLE. — DIAMETRES ET VITESSES DÉS PRINCIPAUX ORGANES DES CARDES A COTON., ' DIAMÈTRES ■ NOMBRE ; / VITESSE■NQ-MS DES ORGANES. '"' en" détours. à la .par circonférencemillimètres. minute. par seconde.Carde d’Ourscamp. ,.. ;Rouleau, alimentaire 68 ' 2.76 98Cylindre cannelé… .. ..■ . .3,* .6.  ;98>Second tambour…. ,……..: ;. 940 ; 120 ,5704Petit tambour… .. ;..:…….• ……….^ - 374 3.787 74* ;Cylindre cannelé derrière la tête d’étirage .27 59.4 83.8Cylindre cannelé devant la tète d’étirage……. … 31 " 98.84 160.2 :Rouleau d’appel ;…. …. .70 . 46.15 169.Gros hérisson ….. ,………. ;. 170 4.01 35.7Petit hérisson. 96 , ; 480: . .- -, .2511.6Carde ordinaire. -Rouleau alimentaire……… : 135 6.346 * 2.4Cylindre cannelé . " 32 1.467 ." 2.43Grand tambour… : 975 • 120. ' . 6122.''Pejit tambour…… …..'…. ;. ;…  ;. , 325 '5:98 . 101,65Rouleau d’appel.. .. èl 31.95 .102.44So. NUMÉROS DES FILS. - Nous ;avons dit. que le coton sortait de la.cardé sous
formje d’un ruban ; comme il est, souvent nécessaire de pouvoir en déterminer le numéro,
c’est-â-dire lé degré d’allongement qu’on leur a fait subir, nous allons faire connaître
la manière d’y arriver. ,Dans la filature de coton, on entend par numéro d’un ruban ou d’un 131 le rapport
de leur longueur à une autre prise pour unité,-correspondant à un. poids invariable ;
ainsi, le n° i représentant une longueur dé 1,000.mètres,p,pur ; un poids de 5:00 grammes ;"
le m 15 veut dire qu’un poids de 5,00 grammes a une. longueur de .15 mille mètres ; de
même le n ? 70 'indique ce même poids à une longueur dé 70.mille.mètres, tandis que le
n° 6,25 ne correspondrait qu’à une longueur de 250 mètres, le poids étant toujours de
•500.grammes.. . … .' … .., '456. BANCS D’ETIRÀGE.- Les préparations précédentes .pnt, surtout pourobjet.de,-diviser
"les fibres,,afin de les séparer dés cprjDS iétrangers et de livrer la matière première
sous la forme de rubans composés de filaments, qui ne.soritpasvarriv.es à.un état de
parallélisme qu’ils doivent atteindre. Celles que nous allons exposer ont pour objet de
réunir plus intimement les fibres par des étirages successifs et parallèles, de manière à
donner au ruban une grande ténuité et une homogénéité parfaite, et les machines qui
produisent ces résultats se nohiment bancs d’étirage.' Ces bancs sont formés de la réunion
de plusieurs paires de cylindres cannelés placés l’un devant l’autre-, dont les
vitesses de rotation sont différentes ; la réunion de ces paires de cylindres constitue ceDE DESSIN INDUSTRIEL.339que l’on appelle le nombre de têtes du banc, et on entend par table les diverses parties
cannelées d’un même cylindre.Les bancs d’étirage les plus usités se composent généralement de cinq têtes, le tableau
suivant donne les diamètres et les vitesses de rotation, et celles à la circonférence
des cylindres cannelés. La vitesse de l’arbre, qui porte les poulies motrices, peut varier
de 100 à 180 tours par minute.XLVC TABLE. — VITESSES ET DIAMÈTRES DES CYLINDRES CA.N’NELÉS DANS LES ÉTIRAGES.IDESIGNATION DIAMÈTRES VITESSE VITESSE PRESSIONS jîle rotation à la . j<e ;>en par circonférence tT1« AGES. "" " """""cylindres. millimètres. minute. par minute. tète de devant, tête de derrièreN" S 27 22.50 1.907 i.68 kilogrammes. kilogrammes.i 27 37.73 3.198 2.13 35 à 40 20 à 303 32 67.92 6.824 \ .032 27 83.33 7.0G4 2.131 32 130.00 15.072L’étirage , produit par deux paires de cylindres cannelés , s’obtient en divisant la
vitesse à la circonférence du cylindre, qui est la plus grande, par l’autre ; ainsi, pour
avoir l’étirage du cylindre n° 4 au cylindre n° 5, on divise la vitesse à la circonférence
de ce dernier 3'" 198 par celle l’"907 du second ; le quotient l,fi8 indique l’étirage, et
pour avoir l’étirage total, il suffit de diviser 15m 072 par 1'" 907 ; le quotient 7,9 exprime
cet étirage.Le calcul des étirages ne présente pas plus de difficultés que celui des transmissions
de mouvement par courroie ou par engrenages ; il suffit de chercher le rapport entre
les débits des cylindres fournisseurs et étireurs. Les calculs à effectuer ont été indiqués
dans la partie du Cours relative aux engrenages et poulies.Généralement les bancs d’étirage réunissent leur produit sur une machine dite à
bascule, pour être ensuite soumis à l’action du banc à broches.'157. BANCS A BROCHES. — Dans cette machine, le ruban ou mieux la mèche est. nonseulement
laminée par un système de cylindres cannelés, mais elle, reçoit, en outre,
un certain degré de torsion en s’enroulant autour d’une bobine traversée à son centre
par une broche, laquelle porte à sa partie supérieure une ailette. Le mouvement des
cylindres cannelés est uniforme comme celui de la broche et par conséquent de son
ailette, mais il en est tout autrement de la bobine qui, devant renvider la mèche par
couclies, doit avoir deux mouvements différents variables , l’un de translation dans le
sens de la broche, l’autre de rotation autour de cette dernière.Il y a deux sortes de bancs à broches, celui en gros et celui en lin.La vitesse de ces machines s’indique par le nombre de tours de broches, ce nombre
est généralement pour les bancs en gros de 450 à 500 par minute pour les numéros
0,5 à I, et dans ceux en fin elle est de 000 à 700 tours pour les numéros 2,8 à 3.
Le tableau ci-contre fera connaître ces divers résultats dans la marche des bancs à
broches.340COURS RAISONNEXLVIe TABLE. — VITESSES VARIABLES DE ROTATION ET ASCENSIONNELLES
•DE'LA BOBINE POUR LE"KENVIDAGE. - '' ■ - - .."■,■■■■■.■ 7|ROTATIONDIAMETRES NOMBRE LONGUEUR DUREE je [j ]) 0|jine VITESSE Ide filets du fil . de l’ascension .ifour les ascensionnelleCOUCHES. en CIMOSMIIKKCB. d’une couche à chaque différentes de la bobine.'ou en couche. bobines en a chaque imillimètres anneaux (1) une minute, en seconde. nne minute. v_-. .couche.1 35 - 109.9 36 3956.4 120 228.80 100.2 45 1,51.3 d° . 5086.8. 154.2 173.28 77.773 SB . 172.7 d° 6217.2 'l88.5 141.78 . 63.63' 4 . • 65 204.1 do 7347.6 222.8 119.90 ' . 53.84■458. TRAVAIL DYNAMIQUE DÉVELOPPÉ PAB ON OUVKIEB FILEUB. DUBAKT SA
JODBNÉE.—Unfileur de première classe, c’est-à-dire ayant fait ses preuves et acquis
son grade par des services rendus et une habileté reconnue, conduit deux métiers
portant 36Ô broches. Il a sous ses ordres un fileur de deuxième classe qui remplit habituellement
les fonctions de rattacheur, et qui, au besoin, est destiné à suppléer le fileur
n° 1. Deux autres rattacheurs desservent, en outre, les deux métiers qui sont parallèles
et fonctionnent en sens inverse, de telle sorte que quand l’un d’eux avance de manière
à étirer le coton^ l’autre recule et enveloppe le coton filé sur la broche.Le fileur en.ramenant le métier dans sa première position exerce deux actions ; l’une
qui consiste à pousser le chariot delà main gauche, tandis que de la main droite il
conduit une manivelle qui fait tourner les broches par le moyen de poulies, de cordes
et de tambours. . . ■ .La journée étant de 13 heures, un fileur produit par semaine en conduisant deux
métiers : ■'■'.■■■.■•■■ 120 kil.de fil du n° 30. ' " ''-,':' ou 56,2 id. n" 60ou 26,4 id. n° 100
ou 13,-8 id. n° 140En observant que le kilogramme de fil 'fait une longueur égale au produit de 2,000
mètres par le numéro , et que les 360 broches développent 576 mètres à chaque ai.
guillée, on peut facilement calculer lé nombre d’aiguillées produites en un jour sur un
métier, et, par suite,' le travail mécanique du fileur en multipliant ce nombre d’aiguillées
par 13,47 kilogrammètres. '■ -On trouve ainsi que le travail journalier de l’ouvrier fileur est de :28,058 kilog. met. pour le n° 30 .- -' ' 26,280 id. ' n° 6020,582 id. n° 10014,898 id. . nM401. On nomme anneau la longueur d’un fil après une révolution entière de la bobine.DE DESSIN INDUSTRIEL. 3-HMaintenant, il est admis qu’un manoeuvre, agissant sur une manivelle, peut faire
dans_ une journée de huit heures un travail équivalent à 172,800 lui m.Il en résulte donc que le travail dynamique journalier d’un fileur est à celui que
peut produire un manoeuvre agissant sur une manivelle dans le rapport de :1 à 6,15 pour le n° 30
1 à 6,57 id. n° 60
1 à 8,4 id. n° 100
1 à 11,5 id. n°140FILATUKE DES LAINES.459. On distingue deux espèces de filatures de laines ; l’une est dite cardée et l’autre
peignée, selon que la laine est préparée au moyen de la carde ou du peigne. Les fils
qui proviennent de la première sont principalement destinés aux étoffes qui doivent être
soumises m feutrage et au foulage, tandis que ceux de la seconde le sont aux étoffes
non drapées, dont la surface reste unie en laissant apercevoir les fils de la trame et de
la chaîne.LAINE CARDÉE.460. BATTERIE ET LOUVETAGE.-—Pour ne pas sortir du cadre que nous nous sommes
tracé, il ne sera fait mention que des préparations mécaniques, qui ont du reste beaucoup
d’analogie avec celles du coton, car elle doit être comme ce dernier nettoyée, ouverte
et cardée ; la machine qui produit cette première opération se nomme batterie ;
sa partie essentielle est un tambour, tantôt cylindrique, tantôt conique, armé de dents
droites, plus ou moins espacées ; sa vitesse de rotation varie selon qu’elle est mise en
mouvement par un moteur animé ou par un moteur continu et inanimé, sans, pour
cela, modifier le résultat du travail ; il n’y a de changé que la quantité.En sortant de cette machine, la laine a déjà repris son élasticité ; l’opération qui suit,
désignée sous le nom de louvetage, a pour objet de compléter ce travail. La machine
qui est employée se nomme loup ; elle ne diffère de la précédente que par un plus
grand nombre de dents, dont se trouve garnie la surface cylindrique du tambour, et
une plus grande vitesse de rotation, qui est au moins de 600 tours par minute ; certaines
machines vont même jusqu’à 1200 tours dans le même temps.On soumet la laine deux ou trois fois à l’action consécutive de cette machine, selot.
sa nature et l’étoffe pour laquelle on la destine, puis elle est graissée avant de la porter
aux cardes.461. CARDAGE. —L’objet du cardage de la laine est le même que celui exposé pour le
coton, seulement les cardes à laine subissent quelques modifications dans leur construction,
comme, par exemple, dans la substitution de cylindres travailleurs ou cardeurs
nettoyeurs aux chapeaux, lesquels cylindres ont pour effet, d’une part, de donner
aux filaments des directions opposées, de manière à faciliter, lors du foulage, l’enchevêtrement
et l’accrochage des brins les uns aux autres, et, de l’autre, de débourrer
mécaniquement les cylindres sans l’intervention de l’ouvrier ; dans le graissage du cuir
des cardes, afin de le rendre plus souple et l’empêcher d’absorber la graisse de la
laine, enfin dans rembourrage des dents ou le remplissage de ces dernières avec des
débris de laine grasse, pour lui donner ainsi plus de consistance et de solidité."2.1342 COURS RAISONNÉXLVile TABLE. — VITESSES ET PRINCIPALES DIMENSIONS DES CARDES A LAINE.1 . . DIAMÈTRES NOMBRE VITESSENOMS-DES PIÈCES. .en détours par minuteniillimélres. par minute. en mètres..-■'.■ ~- ' ' ~CARDE AMÉRICAINE DE 1 m 20 DE LARGE PRODUISANT 70 A 73 HIL. EN 12 HEURES.Toile sans fln = » » Om 260Gros tambour …. ' 1200 90. 339.000Cylindres alimentaires…….. ; — 60 1.40 0.2601er Nettoyeur sur les cylindres alimentaires….. , 100 450.- . 141.3e Nettoyeur:. 100 234. .73.4703e, 4e et 5e Nettoyeurs.'. ………J….. iOO 293. 90.6806° Nettoyeur sur îëpéig'neur.,. ;………….:…… : ioo 33. 10.360- TràyaMeurs. ; … t…. 200 '■ ib.35 0.500 !- Volant ••••' ■■■■ 300 432.00 405.Peigneur cylindrique…… ;., , 450 . 7. 9v900Tambour peau dé mouton ..< 740 5.46 12.666, CARDE FINISSEUSESPeignenrs .220 12 8.289Petit rouleau après les bobines ■.. ……… 45 66 ,9.330Rouleau dépression sur celui d’enroùlement.du. fil. ..u 22 15 • .1.071Petites bobines….. ;.. — i.' 25 . : 300 ., 235.5CARDE ORDINAIRE 1 LOQÙETTES OU PLAQUES, .Peigneurs… .L. ;. ;.i….. 450 4.29 .5.975Gros tambour…. ……………. 1000 100 314.160Travailleurs 166 _ - .1778 0.931 ■'Volant : 250 500 392.500Nettoyeurs ou batailleurs … 83 300 7.818Preneurs. 0 1.05 0.132D’après les observations des meilleurs constructeurs et îilalèurs, on établit généralement
les relations suivantes dans les.diiïérentês parties d’une carde ordinaire. -Le rapport de la vitesse de rotation du peigneur à celle du tambour doit être comprise
entre 25,3 :,1 et.19 : 1 ; celui de la vitesse du gros tambour aux travailleurs est comme
56:1.: / , ….•,.- -■.. 'Le diamètre du volant est toujours 1/4 de celui du gros tambour ; et la vitesse à la
circonférence excède d’un 1/4.à 1/5, celle du gros tambour. .■-. ;La vitesse de rotation des preneurs est à celle du gros tambour comme 1: 95.Le peigne, doué d’un mouvement alternatif, doit donner quatre coups et demi à 5
coups pendant un tour du tambour ; s} le peigne est circulaire ; la vitesse à sa circonfé^rence
 est de 4/4 à 1/5 plus grande que celle du peigneur.On fait habituellement subir trois passages à la laine avant de la transformer eri
une grosse mèche pour être portée derrière, le métier à filer. Celui-ci diffère âes Mull.Tenny
ordinaires, en ce.qu’il ne porte qu’une seule/rangée de cylindres cannelés ; ilsDE DESSIN INDUSTRIEL.. 3.4.3fournissent le fil nécessaire pour une aiguillée, leur mouvement n’est pas continu, ils
s’arrêtent pendant une portion de la marche du chariot, et c’est dans ce moment que,
ce dernier continuant à marcher, le fil est allongé. La vitesse du chariot est d’environ
l’"48 à lm50 par minute, ce qui correspond à trois courses entières, c’est-à-dire trois
allées et trois retours en une minute.IA1KE PEIGNEE.462. PEIGNAGE.—Dansce genre de filature, onfaitsubir à la laine les mêmes premières
préparations qu’à la laine cardée avant de la soumettre à l’action des peignes qui
sont mus, soit à la main ou mécaniquement ; l’objet de ce travail est aussi comme le
précédent, de nettoyer à fond les fibres, de les redresser et de les ranger parallèlement
entre elles dans un morceau de bois.La longueur des aiguilles, pour la première rangée, est de 0' »25 ; celle de la seconde
de 0m20 à 0'"22, et leur nombre est ordinairement de 39 pour l’une des rangées, et
de 40 pour l’autre.Le peignage mécanique s’effectue par deux peignes circulaires doués d’un mouvement
de rotation autour de leurs axes inclinés à l’horizon et situés dans des plans différents.
Leur diamètre varie nécessairement avec le système de peigneuses, il est généralement
de lm20 à 2 mètres, et le nombre de révolutions de 00 à 35 par minute avec
le plus grand diamètre ; 120 à 130 révolutions suffisent pour la durée du peignage de
toute la laine dont elles sont chargées dans les cas ordinaires ; elle dépend, du reste
du plus ou moins de facilité que présente la laine.463. RÉUNISSEUSE. — Les rubans obtenus par les peigneuses sont portés sur une
table sans fin, placée derrière une machine, désignée sous le nom de réunisseuse, où,
après avoir été étirés et frottés, ils forment une grosse bobine, qui est ensuite divisée en
échevettes de 12 à 15 mètres de longueur.XLVIII 0 TABLE. — DIAMÈTRES, PRINCIPALES VITESSES ET TRAVAIL D’UNE RÉUNISSEUSE.\ DIAMÈTRE NOMBliE LONGULUU :NOMS DES 1UÈC1ÎS. en <C 0U1S en OBSERVATIONS,millimètres. minute, millimètres.Cylindre de la toile sans tin… 80 44.2 320 La longeur des cylindres comlircmlce nue l’on nomme la taille.Cylindres cannelés de derrière c’est-à-dire la partie cannelée.portant chacun 41 cannelures. 31 :i8 91 ' La pression s’obtient par1 . . mipouls de G kilogrammes placé| Cylindre de pression ' M » !« an milieu d’un levier qui s’upPeignescirculaires -IS 22 SO paie par ses extrémités sur les" I cylindres cannelés.| Cylindres cannelés de devant.. : !C M 9- 2 La pression se fait par unI Cylindres de pression des pré- !^ier il l’exirémilé iluqncl se' ' ' trouve un poids de 17 k 150. Le| cédents2…, Si » (00 rapport entre les deux branchesI Tambour du rota-frotleur Sa 30 i U5 est comme I : 6.I Cette machine peut produireRouleau d’appel ton 30 | -'i26 en 12 heures de travail continu,Poulies motrices â« 11« 51 une ,b ?bi, »e d.°'" le développement
de la mèche est 7322 met.344COURS RAISONNÉ464. DÉFEUTRETJBS. — Les rubans, ainsi coupés de longueur, sont, amenés à l’appareil
à tortillonner ; le but de cette opération est dé redresser les filaments ; dès que les
tortillons sont.formés, on les porte pour être bruis dans une caisse close où la température
est élevée par la vapeur de 35 à 45 degrés suivant la finesse de la laine, puis
ils sont retirés et séehés pour être détortillonnés et passés ensuite à la machine, désignée
sous le nom de défeutreurs à passer les traits.. Lorsqu’on remplace le tortillonnage par la vapeur, c’est au défeutreur qu’on commence
à l’appliquer, au moyen d’un tube en cuivre disposé entre les cylindres étireurs
et les peignes, et sur lequel le ruban est obligé de passer ; on prolonge quelquefois l’action
de la vapeur jusqu’aux bobinoirs, si cela est nécessaire.XLIXe TABLE. — VITESSES ET DIMENSIONS PRINCIPALES DES DÉFÉTJTRÈURS:__- — , _ — -, _ _- __DIAMÈTRES NOMBRE LONGUEURùc toursNOMS DES PIECES. en ^ en. . OBSERVATIONS..millimètres. minute. millimètres.
'Défeutreur simple a passer les traits.PREMIÈRE PARTIE. ' .Cylindres cannelés de l’entrée. Le diamètre-dés peignes est
■ 36 cannelures 38 128 105 toujours pris du fond des aiCylindres
de pression■•……. ■ 65 "> » 105 guilles. . \Premier peigne…. 95 M 95. .'La pression de la premièrePremier cylindre étireur, 50 can- 105 entrée et du cylindre lamineur'.. nelures. : 60 32 »  ; est directe, les poids sont chaCylindrede pression 2. 130" ', » 105 - cun de 22kilog.■ . 2 La prcssionse faitau moyenDEUXIÈME PARTIE. d’un levier, dont les BranchesCylindres rinnelés W faune- sont dans le rapport de 1 à 5," cewl I cannÊles> 5U canne M ,tn <JU 1 correspond à une pressionJP^ ™- .f ?. » \\l directe de 110 kilogrammes.Cylindres de pression 130 » 110 se tait M moj en d un poids deRouleaux d’appel 60 86.94 "128 "' xPoulies motrices.. …….. 216 428 60. ; .Défeutreur double à deux étirages successifs.- ' ' La pression des cylindres.'-.,… d’enlréequel’onnommesimplePREMIEREENTRÉE, mententi'ée,-se faitparunpoidsde 22 kil. placé au milieu d’unCylindres de derrière ou d’en- ' levier dont les extrémités s’aptrée48 cannelures 40 .20.51 106 puient sur les deux cylindres.Deuxième cylindre ' 40 23 106 2 La pression se fait au moyenPoignes…. 95 6.90 .' 64 d’un levier dont le petit bras aPremier cylindre étireur ou la- 0"i 055 de longueur et le,grandmineur, 64 cannelures2.:.. . » » » 0.320 à l’extrémité duquel estPoulies .motrices… 395 70 72 ' suspendu un poids de 11 k.500..- Dans. cette machine comme■ '" dans la précédente, le CylindreDEUXIÈME ENTRÉE. ; . étireur de la ire partie parcourt- plus de chemin que le cylindreCylindres de devant, 65 canne- de l’èntrée'de la 2e partie, quoilures..…… … ;.. -63 70 106 que l’un alimente l’autre ; pourPeignes … 81 ■ /IO.OO 113 laisser flotter, un peu le ruhanDeuxième cylindre extérieur… 63 175, 106 et éviter ainsi les coupures.Rouleaux d’appel. -.-. 60 187 128465. BOBINOIB. — Après lé défeutrage, la laine passe encore à une autre machiné
de préparation appelée bobinoir. -,DE DESSIN INDUSTRIEL. 345L" TABLE. — BOBINOm A DEUX GROSSES CANETTES.r "DIAMÈTRES NOMBRE LONGUEURNOMS DES PIÈCES. en de tours en OBSERVATIONS,millimètres. par r millimètres.Deux rangs de cylindres à SO < Les vitesses des cylindres" ' et des peignes varient selon lecannelures 1 <,.. 34 » 9'< pignon de la télé de cheval quipeut avoir 20 à 40 dents, ce quiTuyau de vapeur 65 » » fait varier la vitesse de rotationdes cylindres d’entrée de 1S t. 69Peignes 43 » 46 à 311.38 par minute, et la vitesse
de rotation des peignes deCylindre étireur à 60 canne- 4 t. 564 à 91.128 également parinp„.,,. on „. minute. Entre les deux cylindresmLi ' m J" a* se trouve un tuyau de chauffageDmiiini „,„t, ;,.t ! o ?n tna -r. u'ou partent de petits tuvauxlouliesmotnces’ 2,0 120 o4 qui injectent la vapeur dans lesRn,.i„„„ ,,,„„.„, „ ?. ,,.„ entonnoirs réunisseurs.Rouleau d appel 35 » 152 2 Le (liamôu.e des poulies m0.Tambour formant les rouleaux lriLf J££,on des cylhldl.es àdu porte-canettes 300 13 05 700 l’entrée se fait directement pardes poids de -22 k. 51)  ; celle desLong pignon qui commande les cylindres étireurs se fait avec letomimnnn « «..« „„„„<.„ \ o » même poids, par un levier donttambours porte-canettes a 20 ]es 1]ra'ndie' <sont da„s Ie ,,ap.dents 39 133.33 680 port de 1 : 775, soit 174 k. 375.On se sert généralement dans toutes les machines de préparation de laine peignée,
de cinq genres de peignes dont nous résumons les diverses dimensions dans le tableau
suivant.Lle TABLE. — DIAMÈTRES, NOMBRES DE DENTS ET TRAVAIL DES PEIGNES.
i i '
DIAMÈTRES- ' NOMBRE NOMBRE LONGUEUR DIAMÈTRE SURFACE NOMBREpris de dents de dents N°MBRE du manchon du développée de dentsNUMÉROS, il la pointe par sur total sur manchon du manchon pardes dents rangée en une circon- des (] Us> la partie en en décim. centimètresen millim. longueur. férence. des dents, millimètres. carrés. carrés.1 97 38 40 1520 95 81 2.38 6.382 97 32 40 1280 72 81 1.80 7.113 72 41 31 1271 58 60 1.09 11.664 62 60 40 1500 50 50 1.57 15.285 52 50 25 1250 41 40 1.02 12.15FILATDBE DU LIN ET DU CHANVRE.466. Les filateurs reçoivent le lin en bottes du poids de 3k50, après qu’il a déjà subi
dans les campagnes deux préparations, le rouissage et le teillage, ce qui le transforme
ainsi en filasse brute ; ces premières préparations sont obtenues au moyen d’instruments
désignés sous les noms de moque ou de broie, que l’on manoeuvre à la main ou méca-3i6 COURS RAISONNÉniquement par une machine à teiller (') qui peut travailler 70 à 90 kilog. de matière par
jour, suivant la qualité de celle-ci, et la plus ou moins grande facilité qu’elle présente
au travail. Après le teillage, le chanvre n’est pas encore en état d’être peigné, car ses
tiges, présentant une rudesse sensiblement plus grande que celles du lin, ont besoin
d’être battues et assouplies. . - . ' . , - '.'.Le battage se fait à la main, au moyen de marteaux, ou bien mécaniquement par des
pilons qui, après avoir été soulevés par des cames, retombent sur la matière à battre,
comme encore par une machine désignée sous le nom de battoir-, qui consiste en une
série de fort ? cylindres cannelés entre lesquels on fait passer le chanvre, où il est énergiquement
pressé. ' ~ " '■'''' '467. PEI&ÎÎAGE.— Le peignàge a pour objet de séparer complètement les fibres les
unes des autres, de les débarrasser de tous les corps étrangers, de leur donner de la
flexibilité et de la douceur au toucher, afin de faciliter leur glissement et de les ranger
aussi parallèlement que possible entre elles.Cette opération peut se faire à la main ou mécaniquement ; la première, comme
toutes les opérations préliminaires, est simple ; le peigne, dont on fait usage, consiste
en une pièce.de.bois rectangulaire, à laquelle est ad.aptée une pièce métallique garnie
de deux rangs d’aiguilles en acier ; il est fixé, d’une manière invariable, au niur à une
hauteur d’environ 0m75. Le peigneur, pour travailler convenablement, doit avoir un
assortiment composé le plus ordinairement de.six peignes dont les dents sont de plus
en plus resserrées ; ainsi, pour une même largeur, on a le nombre dé dents suivantes :
13,26,- 32, 60, 80 et 120. ' - . ; <:■•.■■.'<■.■ -On opère ordinairement sur des poignées de filasse de O.kl-2 à Ok 15. Dans ce travail,
on obtient, en outre des filaments longs^ une quantité notable de brins courts que l’on
nomme etoupes, qui restent engagés dans le fond des dents, d’où. ils. sont tirés à la
main ; le reste forme un déchet considérable occasionné par les corps, étrangers, et par
les parcelles de chenevotte qui restent dans la mèche ; on compte que, en moyenne,
100 kilog. de lin brut peigné donnent un rendement. -" ,En longs brins de 65 à 54 ;En étoupes de…. 30 à 40 . ,.Déchets de 5 à 6100 à 10.0Pour,peigne^ le chanvre, on doit couper préalablement les mèches à la longueur convenable,
car les flbr.es étant plus longues et présentant des, différences degro.sseur plus
sensibles que celles du lin, il est nécessaire de les couper pour faciliter le travail-du
peignàge et arriver à des qualités plus régulières. On peigne le chanvre de la même
manière que le lin, en ayaiit soin de se servir dé peignes convenables, et en observant
que cette matière,est généralement plus grossière. \On estime qu’un ouvrier peut peigner en moyenne 15 kilog. de lin en un jour, et
que pour le chanvre, pendant le même temps, il n’en pourra livrer que. 10 kilog. ; cette
dernière matière étant plus dure se peigne plus lentement.Dans certaines filatures, le peignàge du lin ou du chanvre se fait mécaniquement ;
on peut alors facilement peigner 140 à 150 kilog. de lin brut par jour. Cependant,
malgré la perfection des machines,: on peut dire que, à certains égards, les produits
obtenus avec ces dernières sont .toujours inférieurs à ceux d’un bon peignàge à la
main. •_Quelquefois on coupe le lin avant de le peigner, afin d’en égaliser davantage les brins
et former des produits plus uniformes ; dans ce cas, le peignàge mécanique est plus1. Armengaud &\\\ë,'Publication industrielle (lom. 2 et 3). .DE DESSIN INDUSTRIEL.347utilement employé, et les plus grands inconvénients disparaissent, en ce sens du moins
que les étoupes qui en proviennent sont bien meilleures.468. CAKDAGE DES ÉTOUPES.— Le cardage des étoupes est le même que pour le coton,
mais les machines en usage sont différentes ; elles ressemblent plutôt, quant à leur
forme, à celles employées pour la laine (') , puisque, comme dans ces dernières, les
chapeaux sont remplacés par des cylindres, seulement la forme et la grosseur des dents
sont sensiblement modifiées ; on se sert des n°s 9 à 12, pour un premier cardage, ce
qui constitue ce que l’on nomme la carde en gros ou briseuse ; et des nos 6 à 9 pour le
second cardage, dont la carde prend le nom de carde enfin on finisseuse.Les dents, au lieu de présenter un certain angle comme dans les cardes à coton et à
laine, ont une inclinaison régulière de la racine à la pointe. Nous donnons dans le tableau
suivant les dimensions principales d’une carde ordinaire d’étoupes.LIle TABLE. — VITESSES, DIAMETRES, ET TRAVAIL DE LA CARDE.I ' " " : ""RÉVOLUTIONS DIAMÈTRES CIRCONFÉRENCES DÉVELOPPEMENTCYLINDRES. par en en enminute. mètres. mètres. mètres.Gros tambour I 180.00 1.420 4.460 808.000Petit nettoyeur 336.00 0.142 0.446 149.000Autre nettoyeur 397.00 0.142 0.446 177.000Volant ,. 38S.09 0.253 0.831 468.OoOPeignoir 6.90 0.410 1.288 8.887Élireur a la sortie du délivreur…. 33.60 0.090 0.282 9.475Alimentaire 0.96 0.080 0.231 0.240Travailleur S.24 0.170 0.534 2.798La finesse des dents doit aller en augmentant, des premiers aux derniers éléments
d’une carde.LIIIe TABLE. — VITESSES ET DÉVELOPPEMENT DES CYLINDRES DES NOUVELLES
CARDES A ÉTOUPES.RÉVOLUTIONS DIAMÈTRES CIRCONFÉRENCES DÉVELOPPEMENTCYLINDRES. par en en par minuteminute. mètres. mètres. en mètres.^Gros tamliour 120.000 1.525 4.792 57S.040 jNettoyeurs 336.000 0.155 0.487 163.632 jFournisseurs 0.841 0.080 0.251 0.211 jTravailleurs 1.762 0.130 0.408 0.718 jDélivreurs 1-262 0.308 0.968 1.220 jÉtireurs 5.6M 0.110 0-34S 1.912 |1. Voir la Publication industrielle de M. Armengaud aîné, tom. 2, * el 5.348 COURS RAISONNÉ469. MACHINE 4 RÉDWIB LES ÉTOOTES —Les rubans fournis par la carde en gros ou
briseuse, tombent dans un pot en fer-blanc ; ce sont ces rubans que l’on travaille une
seconde fois à la carde en fin ou finisseuse, après les avoir réunis autour d’un petit
cylindre d’une longueur égale à celle de la carde ; pour en former une grosse bobine.
La préparation de ces rubans et leur disposition en nappes sont effectuées aux machines
à réunir ou doubleuses.470. ÉTALAGE, ÉTIBAGE, DOUBLAGE ET LAMINAGE DES LONGS BBINS.■■—Le ruban de
lin pu de chanvre se forme comme dans les bancs à étirer le coton, au moyen d’étirages
et de doublages successifs pratiqués entre des systèmes de cylindres cannelés
tournant avec des vitesses différentes. La première.machine à étirer a pour objet de
souder les unes aux autres les.mèches provenant du peignage, de manière à les transformer
en un ruban continu. Pour cet effet, on étale les mèches à la suite.les unes
des autres, de manière que la seconde couvre toujours en grande partie la première,
et à mesure qu’on les engage entre les cylindres. ■ "La machine doit avoir une vitesse telle qu’elle laisse le temps à l’ouvrier d’étaler convenablement
les mèchettes. En sortant de la table à étaler, les rubans passent successivement
à un premier, à Un second, à un troisième, et quelquefois à un quatrième cylindre
pour les numéros élevés. L’expérience indique que le rapport des étirages doit
être compris entre 4 : 40 et 1 : 60. La vitesse de Ja poulie motrice 80 à 100 tours
par minute. Le rapport de développement entre le cylindre fournisseur et le cylindre
étireur doit être proportionnel à ces nombres. La vitesse des vis, celle des rouleaux,
des cuirs sans fin, du tablier, doit être la même et égale à celle des fournisseurs ou Un
peu moindre.471. BANC A BEOCHES.—Cette machine ne diffère de celle du coton que par l’adoption
dés peignes ou gills formés d’aiguilles fines en acier que l’on place entre les cylindres
fournisseurs.et étireurs pour servir à guider les filaments, et, en outre, que parce qu’il
y a autant de rangées de peignes que de rubans et, par conséquent, de bobines aux
métiers. Les étirages varient de 1 à 15, de là 20, et les torsions sont ordinairement
comprises entre 3 à 5 tours dé broches pour une longueur de 0m 10.Les nombres généralement adopFés sont compris dans les limites suivantes. Pour
le lin on donne une torsion de3 tours par 0m 10 jusqu’au n° 25.3l5 id. dun°35 au.n°50.4'5 id. du n° 50 au-dessus (') •La vitesse des broches ne peut guère dépasser 450 tours, sans qu’il y ait de l’ébranlement
dans la machine et des ruptures de fils. ■ "■ "
Pour les étqupes, les torsions pour un décimètre de longueur sont les suivantes :4' jusqu’au n° t6
£J dun° 16 au n° 30
6l5dun°30aun°40Les étirages aux bancs à broches sont moyennement de 1 à 10 à là 12, et dépassent
rarement 18. .472. MÉTIEBS A FILEK LE LIN. — On distingue deux espèces principales de métiers
à filerle lin, le métier à sec, et le métier à eau chaude. Le premier a beaUcoupd’analogie1. Pour les fils de lin, c’est le titrage anglais qui est généralement usité. Le numéro indique
en mesure anglaise le poids d’une longueur constante de fil. L’unité de longueur èsl une échevette
de 300 yards, et le poids employé est la livre anglaise. Si une échevetie ou 300 yards
pèse une livre, le.fil sera du n° 1, s’il faut 3 écKevettes pour former la livre, le fil sera du
n° 3, et ainsi de suite.DE DESSIN INDUSTRIEL. 349avec les continus du coton. Les différences n’existent que sur certaines mesures pour
qu’il soit mieux approprié avec ; la nature de la nouvelle matière et avec la finesse généralement
moindre que celle donnée à des mèches de coton d’une môme longueur. Avec
ce genre de métier, on ne peut pas filer un numéro métrique au-dessus du n° 10 ; il
faut toujours avoir recours à l’eau lorsqu’on veut obtenir des numéros au-dessus.L’étirage varie de 1 à S et 1 à 12, la torsion varie selon l’objet pour lequel on destine
le fil ; une torsion de 45 tours pour un décimètre convient généralement au fil n° 30
anglais, ou n° 9 métrique pour la trame.On l’élève à 50 tours pour la chaîne, et à 60 pour le fil à coudre ; du reste, pour un
numéro quelconque, les torsions sont toujours proportionnelles aux racines quarrées
des numéros des fils à produire. La vitesse des broches dépend de la torsion qu’on veut
imprimer, cependant, comme ce métier ne sert qu’à des numéros communs, elle dépasse
rarement 1200 tours à la minute.473. MÉTIEK A EAU CHAUDE. — Ce métier à filer ne diffère du précédent que par le
rapprochement entre les cylindres fournisseurs et étireurs, et l’addition d’un baquet à
eau chaude, dans lequel on fait passer le ruban afin d’obtenir par son immersion dans le
liquide échauffé la dissolution de la partie gommeuse qui retient les filaments unis
entre eux. L’eau est échauffée, par l’introduction de la vapeur dans le fond de l’auge,
à une température qui varie, suivant les contrées où il a été récolté, comme suit :Pour ceux du pays de Caux, ceux de Russie, et les lins gris communs en général
30° au plus.Pour le lin jaune.de belle qualité 60° à 70°.Les lins forts d’Anjou et le chanvre 80° à 90°.Ces chiffres ne présentent rien d’absolu, ils varient nécessairement suivant les soins
donnés.aux préparations, à la maturité et au rouissage de la matière.Les étirages sont moindres que dans le métier à sec, ils vont de 1 à 5 et de 1 à 8. On
donne ordinairement de 300 à 350 tours à la poulie motrice du métier ; quant à la torsion,
par suite des numéros qu’on file, la vitesse des broches varie assez ordinairement
de 2,500 à 3,000 révolutions par minute.
CHEMINS DE FER ET BATEAUX.
474. On sait que les locomotives en usage sur les chemins de fer, ainsi que les bateaux
qui sillonnent les fleuves et les mers, sont mis en mouvement par l’impulsion de
la vapeur. Les dimensions de notre cadre ne nous permettant pas de décrire, d’une manière
complète, ces importants appareils, nous ne ferons que mentionner leurs dimensions
principales afin de pouvoir juger, à première vue, leur importance comparative.
Nous commencerons par l’examen des machines du chemin du Nord qui peuvent,
à bon droit, servir de type général.LIVe TABLÉ. — DIMENSIONS PRINCIPALES ADOPTÉES POUR LES LOCOMOTIVES EN SERVICESUR LA LIGNE DU NORD. ..-,-,..-..'"..■:■ - MACHINES’-.'.., MACHINERDÉSIGNATION
DÉS PIÈCES.. . ;'■ ■ .- à. ' S./ •■•
- .' ■ voyageurs. " marchandises.niHENSIONS GÉNÉRiaÇES> . , . .• .Diamètre des cylindres. …………. 0,380 0,380., Course du piston…,, ,.:. … ;….:.:. 0.560 • 0.610i Diamètre, dès roués motrices..,….,. …..>. ;…,.."……. ,:.., 1 ;.680 ; r 1,220,Rapport de la vitesse dès roues à celle des. pistons—….,… ;…….., 4.7/1:1 3.14:1.Dfawè'tre des roues d’avant…'……./…..'./…….'…^.. ^ …• 1.00 '1.220s^Piamètra.desroues d’arrière… …'…,…..,..,…….. ;…….,,… . . 1^00, "• r8 ?0 , !■■■ DIMENSIONS PRINCIPALES. ' :.: " ; - i ■.- ' ■ ;Longueur intérieure delà hoité à feu, partie supérieure… <-. 0.925 0.925■Largeurs partie inférieure ……,…,.,..,….,,.y.,.,….: 0.91/* 0,914.-Longueur extérieure.. ;v……….' 1.128 1.125Largeur ……..t. ■ x 1.104 1.104Hauteur intérieure totale de la Doile à feu, jusqu’au-dessus de l’enveloppe. 1.380 . 1.380Diamètre extérieur d » corps de là: chaudière. … ;…..",..-…. ;….. ;. ;….. !.'…. ;..- 0.970. ; 0.970.,Longueur de la partie cylindrique'entre les plaques 3.685 3.685 /_' Lôhgenrdes tuhes de fumée.-. :.•.. ;.■…,.. ;…….i.-.i…-••••"••.•- 3.800 -3.800■ Nombre., ;..,,…. •••••■■. ?•. *% ?, , 1 ?. ? _Longueur extérieure delà Mîfe à fumée… ;., t ;…:.,. ;……….'…. .1.170 Î.170Largeur,ycompris Iesplaques..,….:………… ,….,..,..■, ;,, ;;,..,.,. ■ ; 0.770 . ; <S.86.3j ;Longueur totale intérieure de la chaudière dû dehors de la holte à feu… - 5.580 5.673Épaisseur de laidaque tabulaire a l’endroit des tubes 0.023 .0.023Epaisseur des tôles de la partie cylindrique île là chaudière O.oto 0.O1O. Hauteur au-dessus du rail ; du haut de la.cheminée. .:…>:.. ; '.-..—… ■ 4\opo :. A-POQ.Hauteur de la partie cylindrique, du dessus dé l’essieu moteur… 0.380 0:505Diamètre extérieur de: la cheminée……….. ;. ;……… ;.., ;……. . 0 ;340i ■ 0.340 ,Epaisseur intérieure de la Wle de la cheminée. —. 0,006. 0,,006Hauteur de iachéminée àu-déssus de la bbfté à fumée …..> 1:.710 1.815 ; Surface de.chauffe directe ou.du foyer ;……. L- …..,…… ;..„. .5,01,2 5.012Surface de chauffe des tùbés.'… I……………… ….. ;:… ■" (Î6.500 66.500Surface-dé chauiretotalei., …-.,.,.:….. •' 7J ;.512- 71,512<Volume 'disponihle comme réservoir de vapeur… .•■•••. ••:,,•• ..,,.•. - . -fi'. ?5J .0-961LONGUEUR TOTALE Uïï B1TIS A ROUES, SAVOIR : .Longueur du bout du longeron à la boite à feu. 0.400 ', 1.395Longueur totale extérieure de la chaudière. … 5.660v 5.710Longueur de la holte à fumée à la barre extrême 0.230 0.127TOTAL.., . ■" 6.310 7.232Hauteur du longeron -, 0.200 0.200Epaisseurdu longeron …….. 0.030 ~ 0.030Hauteur dé la partie supérieure dès longero.ns au-dessus du,rail ,.. ;.>'.'. ; / - 1.265 1.060Espacement d’axe en axe des longerons ..*… ….. 1.226 1.226Epaisseur des handages au milieu 0.050 0.050Diamètre des tourillons des roues motrices 0.160 0.160. Longueur d.eSitourillonS ; des roues motrices… ,…..,..,..„.„., ;.,,••,•'—. , .0..1S0.. O.iso^Diamètre du corps’dè l’essieu. ;………'……………… '..■:'….'.. '. .6.155 0.155I Diainè'tre des tourillons des roues d’avant et d’arrière…,,,…,-….,.-..-,:. :' Ô.1I40, \ ~ Q ;i80 ,Longueur des tourillons des roues d’avant et d’arrière.. ,.• 0,160 0.150Diamètre dîfcorps de l’essieu…….. '.'.'."':…..'.'…-.. ..' ;'.'.-..,….' . 0.i'35 0.ï45Epaisseur des pistons ,,…, ,…,.., ..- .-..- ■■ , 0,.1J5.8 0.115Longueur"totale du cylindre,'.non compris le fond..'-. .0.770 0.840■. Diamètre de la:lige dii ;pislon. .,.,,,.,… ;; ,..,-…..,….., i - 0:OSB . 0^055 ;Longueur de la bielle à fourchette.. 1.375 . 1.470Diamètre dùimahïietdn.r…,'..• ;…..,… ,.,..-. ;…..'……. ;… ; .0.080 ■ 6:080Longueur du manneton de la Welle…, .-..,:.,. P..09.Û , 0>0 ?0Ecarlement d’axe en axe des cylindres ".'…..' i.888' ' 2.076Course des excentriques 0.116 0.116, Angle de calage….:. 30<J 30OLongueur des barres d’excentrique de centré en centre .1.390 1.116Recouvrement intérieur des tiroirs • O.ôlo 0.010Recouvrement extérieur des tiroirs 0.02a , 0.035Largeur des conduits de vapeur , 0.040 .0.035DE DESSIN INDUSTRIEL. 381« -oô "§ ^ o « i m to S ei —2 S- - -^ w ai o w M"3 g g g « » o o g ■* ooo'gLssSmoS. ?« co ©I ^l^s w © o an £ ; .*. oo £• .d © o © © &*_:1 £ s to sn « o ^ « • o-=- a S-^ « ooi -^ .*I O O © •" -r- ^S / °•3 t ! ,S \ to_8 >■ K 'rl’S ^ .~ ï£ cà <2 © ■*■ ^ to !Q a M "H la. g s-ssaas=ss( !,^S = ssss-"-=,i°*Cfi I ^ 3 ©©©©.MM©© p •** M © (NS >-J H — a> \ ,.2 —a.O . . . © so 2 co © w &9i o^ n o- 3 j ? ï. a°s=ass’ ?,Baa^aggsaB=s’ !°"K P- ! ^ o os to o^d^r © -^ M ~ © •=* es o ©l rH^- ©^ ——ea 3 s % ssasjjaBa ™ ™ a s a S oP^ Ô O 00 m © © © .* OO -<- © CC =0 © Cl Ï.0m° S ,3 g = " oai o g. « S S ^ Xî K S ? "•5<Noet2o "^d » g J BBS’5s,sa,,-ssro = sg6ses = '=g°g•< v> g — C5©co©-*eoo© l> E TO <N © •*- 4= S3 oa °< ~ S _ "S : 'Se „j« • 1 . » s s- g . .ES S 1 ; 3 "aa°sjsCTaaa" ;-g = sasa-Eo« o3 i : 1 ,
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J2 S S, « ■s •« a a'S f | a' S S, s îl »,g' sg »K P o Ex<U- „ • - K u O P F ; "DE DESSIN INDUSTRIEL. 353OBSERVATIONS.475. Les premiers appareils de navires à vapeur construits pour l’État viennent
d’Angleterre ; mais depuis plusieurs années, nos principaux constructeurs français,
MM. Cave, Schneider, Benêt, Mazeline, Nillus, Gâche, etc , se sont occupés de ce genre
de construction, et y ont apporté des modifications notables qui rendent les machines
incomparablement moins pesantes, occupant peu de volume et produisant une
économie considérable sur le combustible. Dans ces appareils, les chaudières sont à
tubes présentant de grandes surfaces de chauffe et plus de solidité que les chaudières
à parois planes.A l’aide de forts martinets mécaniques, ou mieux encore de marteaux pilons agissant
directement par Faction de la vapeur, on exécute les pièces de forge de ces machines
avec une grande perfection. Des établissements spéciaux, comme celui de MM. Petin
et Gaudet à Rive-de-Gier, sont très-bien outillésrjeûi eopfletainer les pièces les plus
fortes, et à des prix extrêmement réduits. ^^^~~^/^h\FIN DU COURS DE DESSIN INDUSTRIEL.
Table des matièresCONTENUESDans le cours raisonné de dessin industrielPRÉFACE 5SIGNES ABRÉVIATIFS OU CONVENTIONNELS
10
CHAPITRE PREMIER.
DESSIN I.IHTÉAIRE 11DÉFINITIONS. Des lignes et des surfaces.Planche l™ 12Observations 15Problèmes 16APPLICATIONS , dessins de parquets, plafonds,
balcons, etc. Planche 2 22Raccords, profils et moulures. PL 3. 26
Éléments gothiques, ogives et rosaces.Planche 4 30TRACÉS des ovales, ellipses, paraboles,volutes, etc. Planche 5° 31De l’ove, flg. 1™ id.De l’ellipse, flg 2 32Des tangentes à l’ellipse 34De la parabole 35Tracé de la volute, flg. 6 36Problème id.RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.LIGUES ET SURFACES 37Mesure des surfaces id.irc TABLE. — Multiplicateurs pour des
polygones de 3 à 12 côtés 39Circonférence et surface du cercle 40H" TABLE — Relations entre les cercles
et les carrés ilme TABLE. Valeur des principales mesures
linéaires étrangères en mesures
métriques M
CHAPITRE II.
ÉTUDE DES PROJECTIONS 45PRINCIPES ÉLÉMENTAIRES. Projections
d’un point. Planche 6° id.Projections d’une droite 46Projections d’une surface plane 4"PRISMES ET CORPS RONDS. Planche 7°. 4 !) Projections d’un cube, flg. & 59Projections d’un prisme droit à base
carrée ou d’un parallclipipède rectangle,
flg. B 51Projections d’une pyramide rectangulaire,
flg. © id.Projections d’un prisme droit évidé,fig.'B … 52Projections d’un cylindre droit, flg. M.. 53Projections d’un cône droit, flg. W id.Projections d’une sphère, flg. © id.DES TRAITS DE FORCE 54Projections de cylindres cannelés et deroues à rochets. Planche S" 57ÉLÉMENTS D’ARCHITECTURE. Ordre toscan.
Planche 9e 59Tracé de l’ordre toscan 60RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.MESURE SES SOLIBES 63ive TABLE. — Pesanteurs spécifiquesdes principaux corps solides 63Parallélipipèdes 65vc TABLE. — Surfaces et volumes despolyèdres réguliers id.Pyramides id.Cylindres 66Cènes 67Tronc de cône id.Sphère id.Calotte, zone, secteur et segment sphériques68Observations 69vi° TABLE. — Poids des fers carrés etronds, pour une longueur de 1 mètre. 70Règle id.vu 11 TABLE. —Poids d’un mètre carré defeuilles de tôle en fer laminé, cuivrerouge, plomb, zinc, étain et argent,suivant les épaisseurs 713Kfi TiTîr.R r>KS MATIÈRES M7Règle…. 71Tine, TABLE. — Dimensions cotées des :
différentes parties d’un ordre entier.
Ordre toscan .. \. 72ixe TABLE. Ordre dorique denticulaire. 73xe TABLE. — Poids d’un mètre courant
de tuyaux en fonte variant de diamètre
et d’épaisseur 74xie TABLE.- — Poids d’un mètre courant
de tuyaux de plomb étiré, Variant de
diamètre et d’épaisseur 75xne TABLE. — Poids d’un mètre courant
de tuyaux en fer laminé, ou étiré au
banc . id.xine TABLE. — Principales mesures
françaises et anglaises ; 76Conversion des principales mesures anglaises
en mesures françaises métriques,
et réciproquement id.
CHAPITRE KL
TEINTES DES’ COUPES ET APPX.ICATIONS.
7.7COULEURS CONVENTIONNELLES. , id.Composition.des teintés. Planche iôl.. id.Pose des teintes !………. ; 79SUITE DE L’ÉTUDE DES PROJECTIONS.Utilité des coupes….:.. 80Pièces détachées. Planche 11. id.Crapaudine. id.Presse-étoupes… 81Joint sphérique: -: id,.Soupape de sûreté……. 82Soupape d’équilibre. ; .'.:………….'. 83APPLICATIONS ÉLÉMENTAIRES. Arbres,Manchons,Modèlesenbois. Planché 12. 84Arbre en bois ……….. … id.Arbre ëh fonte. 85Manchons d’accouplement:..:..:./…. 86
CONFECTION D’UN MODÈLE EN BOIS ETD’UN MANCHON D’ACCOUPLEMENT…: 87Dépouille et retrait ……:. 88.APPLICATIONS ÉLÉMENTAIRES. Rails etcoussinets pour chemins de fer. PI. 13. 88RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
91Résistance à la compression et à l’écrase:
ment .• id.xivc TABLE. — Poids que peuvent supporter
des solides soumis à un effort de
compression, tels que les colonnes,
les piliers, les pilastres, les étais, les.
poteaux, etc. …….:…………. 91Bois ET MÉTAUX, PIERRES, BRIQUES
ET MORTIERS…… …:…:…..,. 92Résistance à la traction ;.. ……. ; 93xve TABLE.—Solides prismatiques ou
cylindriques soumis à des efforts detraction longitudinale ; 95Résistance à la flexion 96xvie TABLE. — Servant à déterminer les
' . diamètres des tourillons de roues hydrauliques,
ou des arbres soumis à defortes eharges 99Résistance à la torsion….:…..:… :… 100
xvneTABLÈ.—Dia mètre des tourillons des
arbres soumis à des efforts de torsion. 102Régie id.Frottement des corps en contact 103xvme TABLE.—Frottement des surfaces
planes à l’état de repos et en mouvement.
104xixe TABLE.'—Frottement des tourillons
en mouvement sur leurs coussinets.. id,
CHAPITRE IV.
INTERSECTIONS SES SURFACES…………
, .'. … 105Développements et applications id.INTERSECTIONS ET DÉVELOPPEMENTS DE,CYLINDRES ET CÔNES. Planche 14… -id.Tuyaux et chaudières. id.Intersections d’un cône ei d’une sphère. 107Développements… id.Développement du cylindre 108Développement du cône. ; • 109TRACÉS et développements. Hélices, viset serpentins. Planche 15……. :. .. 110Hélices. . ;.. : id.Développement de l’hélice….: 112Vis …. '., id.Écrous : 113Serpentin ………….. 114APPLICATION DE L’HÉLICE. Construction
de l’escalier.Planche 16……. 115INTERSECTIONS DES SURFACES. Application
aux robinets. Planche 17 118RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.VAPEUR………………….. ;.. 122xxe TABLE. Températures, poids et
volumes de la vapeur à diverses pressions.
………………. …. id.xxie TABLÉ. — Quantité de chaleur développée
par un kilog. de combustible
brûlé…. …………….'."……. 124xxne TABLE.-—Epaisseurs à donner aux
, chaudières à vapeur cylindriques en
tôle ou en cuivré laminé……… . 125Des surfaces de chauffe……………. id.xxme TABLE. M Dimensions et épaisseurs
des chaudières pour une pression
de 5 atmosphères: ;…………. 126Exemples sur le Calcul des chaudières. ; : id.DIMENSIONS DES GRILLES ……… ;. ;. 129TABLE DES MATIÈRES 357CHEMINÉES 129Application id.Soupapes do sûreté 131xxiv 0 TABLE.— Diamètres à donner auxoritices des soupapes de sûreté 132CHAPITRE V.ÉTUDE ET CONSTRUCTION’DES ENGRENAGES 133DÉVELOPPANTE DE CERCLE, CYCLOÏDEET ÉPICYCLOÏDE. Planches 18 et 19.Développante de cercle, fig. 1™, PI. 18. id.Cycloïde. Fig. 2, Plancha 18 .. 13iËpicycloïde extérieure. Fig. lre, PI. 19. 135Épicycloïde extérieure décriie par un
cercle tournant autour d’un cercle fixe
<[iii est intérieur. Fig. 3, PI. 19 130Épicycloïde intérieure. Fig. -2, PI. 19.. 137TRACÉ de l’engrenage d’une crémaillère
et d’uu pignon. Fig. 4, Planche W.. id.Engrenage d’une vis sans (in avec une
roue. Fig. 5 et (i, Planche 18 140ENGRENAGES DROITS ou CYLINDRIQUES.TRACÉ de deux roues droites s’engrenant
extérieurement. Fig. 4, PI. 19. 112TRACÉ de deux roues droites s’engrenant
intérieurement. Fig. 5, Planche 19. 14iTRACÉ PRATIQUE DE DEUX ROUES
DROITES. Planche 20 liaTRACÉ ET CONSTRUCTION DES MODÈLES
EN BOIS DE ROUES D’ENGRENAGE. Modèles
de roues droites. Planche 21.. 1 i-7Modèle du pignon id.Jante ou couronne 148Moyeu id.Bras ou croisillons id.Modèle de la roue 149Boîtes à noyaux id.RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.ENGRENAGES 151xxve TABLE , servant à déterminer les
nombres de dents ou les diamètres des
roues d’engrenage, quand on connaît
le pas de la denture et réciproquement
153Règles sur la table précédente 155Vitesseangulaire et à la circonférencedes roues 155Dimensions des engrenages 156Pas des dents 159xxvie TABLE. — Dimensions à donner
au pas et à l’épaisseur des dents d’engrenage
quand on connaît la pressionqu’elles doivent supporter 161Dimensions de la jante id.Nombre des bras 102xxvne TABLE. — Proportions à donner
aux liras ou croisillons des roues id.Modèles en bois 163xxviie TABLE, comparative des diamètres
à donner aux modèles en bois de pièces
circulaires qui doivent être en
fonte douce, tournées ou non tournées
164CHAPITRE VI.SUITE SE 1,'ÉTUQE DES ENGRENAGES
Ifi5EXCENTRIQUES, ENGRENAGES D’ANGLE
ou CONIQUES id.Engrenage d’une roue d’angle à dents
de bois et d’un pignon en fonte. Planche
22 id.CONSTRUCTION DES MODÈLES EN BOIS.
Roue et pignon d’angle Planche 23. 169Pignon conique  ?. id.Roue d’angle 170ENGRENAGES A DÉVELOPPANTES ET A
HÉLICES. Planche 21Engrenage de deux roues droites à développantes
de cercle, fig. 1 et 2.
Planche 24 171Engrenages béliçoïdes. fig. 4 et 5.
Planche 2i- 173OBGANES DE MACHINES. Tracés d’excenIriquos.
Planche 25 176Excentrique circulaire id.Excentrique à coeur. Fig. lre id.Excentrique à mouvement uniforme et
intermittent, fig. 2 et 3 177Excentrique triangulaire, fig. i et 5 178Excentrique à développante, fig. 6 et 7. 180Excentrique à mouvement intermittent
variable,/ty. 8 et 9 181RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.TRAVAIL MÉCANIQUE 184XXIXe TABLE. — Quantités de travail
que peuvent fournir l’homme et lesanimaux 185Mouvement uniforme 186Mouvement varié 187_Machines simples 188Levier id.Poulie, moufle 189Treuil id.Plan incliné 190Vis id.Coin id.Remarque 191Centre de gravité id.Estimation de la force des moteurs 192Calcul du frein id.Location de force 193Chute des corps id.Inertie 194Quantité de mouvement 195Force vive id.Forces centrales .195,xxx 0 TABLE. — Hauteurs correspondantes
à différentes vitessqs^, lésâmes,et les autres, exprimées encentimètres^ 196
CHAPITRE VfI.
ffB.IïffCIPES BI.ÉMEBI'ÏAÎB.ESBES OMBB.ES..'…….'..".. .".Y… 197OMBB.ES DE PRISMES, PYRAMIDES ET
CYLINDRES, Prisme. Planché 26 ;. ..'.'• 198 -Pyramide .". 266Tronc de pyramide…:….. 201Cylindre ".'.' id.Ombre portée d’un cylindre sur un autre. 202
Ombre portée d’un cylindre sur unprisme^. "….. .e……… !….. id.Ombre portée d’un prisme sur un autre. 203
Ombre portée d’un prisme sur un cylindre
'.".' . id.bservation 204Ombre d’un cylindre oblique id.PRINCIPES DE LAVIS. Planche,27…… 265Surfaces éclairées -….'. 206Surfaces dans l’ombre id.Lavis à teintes plates -.. 207Lavis à teintes fondues 209SUITE DES ÉTUDES D’OMBRES. PL 2S.Ombre portée dans un cylindre creux… 211
Ombre portée d’un cylindre sur unautre . . 212Ombre d’un cône id\Ombre d’un cône renversé ; .. .'. 213:Ombre a l’intérieur d’un cône creux… 214Applications… ; • 215ORDRE TOSCAN. Planche 29. Ombre dûtore ' 216Ombre portée d’une droite sur un tore. 218Ombre d’une surface de révolution. .21.9
RÈGLES ^ ET ■ DONNÉES PRATIQUES.
POBÏPJES. A.EASJ.. 221,Principes.hydrostatiques id.Pompes, foulantes. 222,Pompes aspirantes.et foulantes id.Presse hydraulique…. ; 224CALCULS ET. DONNÉES SUR L’HYDRAULIQUEDépense .d’eau, par divers .orifices… id.Jaugeage d’un.canalà.section e.t.à.penteuniformes… 226.-xxxie TABLE,— .Vitesse.de PeaudeseaTnaux. , id.Calcul des dépenses.d’eau effectuées par
des orifices, rectangulaires, à, minces.parois. 227XXXJI 0 .TABLE. .—. Dépenses d’eau par.
orifice chargé de.l mètre.de large, la'contraction étant .complète 228xxxin 0 TABLE.—Dépenses d’eau effectuées
par des orifices.en déversoir, de ;:. 1: mètre deiargeur. ……………. 232: ;Déterminer, la largeur. dfUn, oxiîiç&en- .
déversoir ..•••■• •••,• • •, 2iî ?Déterminer la hauteur de l’orifice 234Observation …… id.Déversoir accompagné d’un canal ou
coursier. , •••••. 2- ?£.Tuyau de'cbnduitedes,eaux……….._ ~tj|.xxxive TABLE. — Établissement des
tuyaux dé,conduite."………"'..'….• 236APPLICATION DES. OMBRES AUX ENGRENAGES.
Planche 36…V……y..'..:.Engrenages .droits, fig. i et2….. ;..,. 23.7Engrenagesd’angles, fig. 3 et i.. .'….. 238 ;,APPLICATION DES OMBRES AUX VIS.
Planche3Ï…….'.y:.y..jyy.:.'. 216Visrcylindrique à filet carré, fig, i, 2, 2aet 3 ".".. '."……………r…".. ■■ '■ id.Vis à plusieurs filets rectangulaires: ?Hg.iét5'y*y.yy.\.i.\yy ;..'yy.yy..y 241. Visa filet triangulaire, fig. 6,6 », 7et 8. id’.Ombre d’une vis’ à filet arrondi et serpentin,
fig.Sei 10• ■ • • ■•'•"• '•'■■ •■ ;•••• 2*2jAPPLICATION DES OMBRES A UNE CHAUDIÈRE
ET SON FOURNEAU ;. '.'.'… ':.'■'.Ombre de la sphère^ fig. i™,' pi. 32… '. 243Ombre portée dans une sphère creusé,fig:.2.:……..''y-..yy..yyy..y.yy~. saApplications. '.'. .'……..'… 245.,LAVIS ENN’O'IR. LAVIS EN COULEURS.PI.33'. !:..'.'r.V".. ;>;'•■".'.■.'."::y.yy.yy 2,48
CHAPITRE VIHV
COUPES DES - EIERB.ESArrière-voussure de. Marseille. Pi. 34,
fig. i.et 2. :
RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.
R.OUES. HyiîRAïJJ.IQUES ; .. 257Roues de côté à.aubes planes et-à coursier
circulaire……………….. id..Diamètre et largeur.de la.roue id,.Vitesse de IEL roue.. 25.8Effet utile.de.la.roue…… 259Roues à. augets recevant r.eau,en .dessus, id,Roues à, palettes, planes- 262 »Roues à aubes.courbes……………. 264Turbines id,-xxxy° TABLE. Dimensions: et, résultats.,
pratiques, sur, divers, genres. de… tur-rbines 26,6NOTE SUR,LES,MACHINES OUTILS., ……Vitesse.de l’.outil .o.u.,d,e.Ja.pièce dans les,
machines .destinées au. travail des bois,
et.desmétaux .26,7,xxxvie.TABLE. —Vitesse etpression.des
outils, dans les machines ■• 268
TABLE DES MATIÈRES.
359
CHAPITRE IX.
ÉTUDE ET LEVÉ DES MACHISTESAPPLICATIONS ET ENSEMBLES DIVERS .. 269Levé des machines. Planches 35 et 36.. 270Machine à percer. Planche 35 id.Moteurs, roues hydrauliques. PL 36 27iConstruction et établissement de la roue,coursier et vannage 275Tracé de la roue hydraulique 277Projet d’une roue hydraulique id.Levé d’une roue hydraulique 278Roue en-dessus et à augets, fig. 12 id.Construction de la roue et de son vannage
, id.Tracé, levé et projet d’une roue à augets
280POMPES A EAU. Planche 37 id.Tracé géométrique id.Jeu de la pompe 282MOTEURS A VAPEURMachine à vapeur à haute pression et àdétente. Planches 38, 39 et 10 285Jeu de la machine 287Parallélogramme 288Détails de construction 289Cylindre à vapeur id:Piston , id.Bielle et manivelle id.Volant 290Pompe alimentaire id.Modérateur à boule ou pendule conique. 291
MOUVEMENT DU TIROIR DE DISTRIBUTION
ET DU TIROIR DE DÉTENTE.Tiroir de distribution 292Avance et recouvrement du tiroir 293Détente 295
RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.
MACHINES A VAPEURMachine à basse pression, à condensation
, sans détente 297xxxviie TABLE.—Diamètres, surfaces et
vitesses des pistons dans les machines
à basse pression et à double effet,
avec les quantités de vapeur dépensées
par force de cheval 298Diamètres des pistons id.Vitesses id. \Tuyau et orilice de vapeur 299Pompe à air et condenseur 300Règle id. <Pompe à eau froide et pompe alimentaire
301Machines à vapeur à haute pression et à idétente id.XXXVIII 0 TABLE. Quantités de travail |produites sous différentes délentes |par un mètre cube de vapeur à diverses
tensions 303Machine à moyenne pression, à détente
et condensation 30i.xxxix 0 TABLE. — Proportions des machines
à vapeur à double effet, avec et
sans condensation et avec et sans détente.
(La pression de la vapeur étant
à i atmosphères dans celles à condensation,
et à 5 atmosphères dans les
autres) 306XLe TABLE.— Proportions des machines
à deux cylindres à moyenne pression,
détente et condensation du système
de Woolf. (Pression t almosph.) id.Pendule conique ou modérateur à force
centrifuge 307XLI 0 TABLE. —■ Relative aux dimensions
des bras et aux vitesses des boules
du pendule conique ou modérateur à
force centrifuge 308Nota id.
CHAPITRE X.
PROJECTIONS OBLIQUESAPPLICATION A UN CYLINDRE A VAPEUR
OSCILLANT. Planche il 309
CHAPITRE XI.
PERSPECTIVE PARALLÈLE…PRINCIPES ET APPLICATIONS. PI. 42 313
CHAPITRE XII.
PERSPECTIVE EXACTE. PRIIVCIPES
ET APPLICATIONS. — Principes
élémentaires. Planche b'S 318PREMIER PROBLÈME. Perspective d’un
prisme creux id.DEUXIÈME PROBLÊME. Perspective d’un
cylindre, fig. 3 et i 320TROISIÈME PROBLÈME. Perspective d’un
solide régulier dont le point de vue est
situé dans un plan passant par son axe
et perpendiculaire au plan du tableau
fig. 5 et 6 321QUATRIÈME PROBLÈME Perspective d’un
coussinet dont l’axe est vertical, fig. 7
et 8 id.CINQUIÈME PROBLÈME Perspective d’un
robinet à boisseau sphérique, fig. 9 et
10 322SIXIÈME PROBLÈME. Perspective d’un objet
placé dans une position quelconque,
par rapport au plan du tableau, fig. 11
el 12 323360 TABLE DES MATIERES.APPLICATIONS.Moulin à ble marchant par courroies, établi
chez M. Darblay â.Corbeil. Planches
U et 45 : 321Perspective du moulin. Planche 45….. 328RÈGLES ET DONNÉES PRATIQUES.TRAVAIl DE DIVERSES MACHINES.—Moulin
à blé 330XLiie IABLE.—De la force, de la quantité
de blé moulu et du nombrede paires de
meules à l’anglaise avec les appareils
de nettoyage, de blutage et autres accessoires
• • 331État de mouture à diverses.époques. … 333SCIERIES. • 334Travail d’une scie alternative conduite
par deux scieurs de long id.Scieries à placage.. 335Scies circulaires. '..:….. 336MATIÈRES FILAMENTEUSES. FILATURE
DU COTON id.Loup id.Batteurs 337XLIII 0 TABLE. —Vitesses et dimensions
principales des.batteurs. id.Cardes. id.XLive TABLE.—Diamètres et vitesses des
principaux organes des cardes à coton. 338Numéros des fils id.Bancs d’étirage :. ■■■ ■ id.XLVe TABLE.—Vitesses et diamètres des
cylindres cannelés dans les étirages.. 339Bancs à broches .:…'. id.XLVT 6 TABLE. — Vitesses variables de
rotation et ascensionnelles de la bobine
pour le renvidage 340Travail dynamique développé par un ouvrier
fileur durant sa journée id.FILATURE DES LAINES. ……… 1….. 341Laine cardée id.Batterie et louvelage. — Cardage id.XLYiie TABLE. — Vitesses et dimensions
principales des cardes à laine 342Laine peignée. ; 343Peignage. — Réunisseuse id.XLTine TABLE. —Diamètres, principales
vitesses et travail d’une réunisseuse..Défeutreurs. ………. ;.. ; 344XLixe TABLE. — Vitesses et dimensions
principales des défeutreurs id.Bobinoir. id.Le TABLE. — Bobinoir à deux grosses
canettes 345Lie TABLE. — Diamètres, nombres de
dents et travail des peignes id.FILATURE DU LIN ET DU CHANVRE. … . id.Peignage. ………. 346Cardage des.étoupes. 347Lii" TABLE. — Vitesses,,diamètres et travail
de la carde id.LIIP TABLE. —Vitesses et développements
des cylindres des nouvelles
cardes à étoupes.Machine à réunir les étoupes. …. . 318Étalage, étirage, doublage et laminage
des longs brins id.Bancs à broches id.Métiers à filer le lin id.Métiers à eau chaude. 349CHEMINS DE FER ET BATEAUX id.Live TABLE. — Dimensions principales
adoptées pour les.locomotives en ser-, .
vice sur la ligne du Nord 350LV° TABLE. —. Dimensions principales
des bateaux à vapeur pour rivières. . 351LVI 0 TABLE. — Dimensions principales
de quelques bâtiments à vapeur de
l’Etat, ^^M^^J. 352Observa*rfiBs. .]î>>?fe. •' 353FIN DE LA TABLE DESTàAIl^R^SA-^^^'i"S ?Hg5.. , ,. ■{f: ;--"&ffî*-jF