Birebir fonksiyon
Matematikte birebir fonksiyon (injektif fonksiyon), eşitlikleri birbirine haritalayan bir fonksiyondur.

  
    
      
        f
        :
        X
        ⟶
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\longrightarrow Y}
  
, 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
'ten 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        
          x
          
            2
          
        
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}
  
 için 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}
  
 eşitliği 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}}
  
 eşitliğini gerektiriyorsa, yani 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
'in iki değişik elemanı 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.
Örneğin, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}}
  
 kuralıyla tanımlanan 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        ⟶
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }
  
 fonksiyonu birebir değildir çünkü - yine - örneğin 
  
    
      
        f
        (
        −
        5
        )
        =
        f
        (
        5
        )
      
    
    {\displaystyle f(-5)=f(5)}
  
 eşitliği sağlanır; öte yandan gene 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=x^{2}}
  
 kuralıyla tanımlanan 
  
    
      
        g
        :
        
          
            R
          
          
            ≥
            0
          
        
        ⟶
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} }
  
 fonksiyonu birebirdir.
Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer 
  
    
      
        f
        :
        X
        ⟶
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\longrightarrow Y}
  
 ve 
  
    
      
        g
        :
        Y
        ⟶
        Z
      
    
    {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}
  
 birebir iki fonksiyonsa o zaman 
  
    
      
        g
        ∘
        f
      
    
    {\displaystyle g\circ f}
  
 fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.
Eğer 
  
    
      
        f
        :
        X
        ⟶
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\longrightarrow Y}
  
 ve 
  
    
      
        g
        :
        Y
        ⟶
        Z
      
    
    {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}
  
 iki fonksiyonsa ve 
  
    
      
        g
        ∘
        f
      
    
    {\displaystyle g\circ f}
  
 (bkz. bileşke) birebirse o zaman 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        
          x
          
            2
          
        
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}
  
 için 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}
  
 ise, o zaman her iki tarafı da 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
'de değerlendirerek, 
  
    
      
        g
        (
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        )
        =
        g
        (
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))}
  
 elde ederiz, yani 
  
    
      
        (
        g
        ∘
        f
        )
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        (
        g
        ∘
        f
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (g\circ f)(x_{1})=(g\circ f)(x_{2})}
  
. Buradan da 
  
    
      
        g
        ∘
        f
      
    
    {\displaystyle g\circ f}
  
 birebir olduğundan 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}}
  
 çıkar.
Cantor'un kümeler kuramına göre eğer 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
'ten 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
'in 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
'den "daha az"  ya da eşit sayıda elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|\leq |Y|}
  
 olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne göre 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|\leq |Y|}
  
 ve 
  
    
      
        
          |
        
        Y
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        X
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |Y|\leq |X|}
  
 ise 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≃
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|\simeq |Y|}
  
'dır, yani 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 ile 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 arasında bir eşleme vardır.