Birleşme özelliği (ikili işlemler)
Matematikte birleşmeli özellik, bir küme üzerine tanımlanmış ikili işlemlerin ayırt edici özelliklerinden biridir. Bu özelliği sağlayan ikili işlemlere birleşmeli işlem denir. Açık olarak bu özellik, (xy)z = x(yz) demektedir, yani üç elemanı "çarparken" işlem sırasının önemli olmadığını söylemektedir, bir başka deyişle birleşmeli özellikte işlem yaparken paranteze gerek olmadığını söylemektedir. Örneğin tam sayılar kümesi Z üzerine tanımlanmış olan toplama işlemi birleşmeli bir işlemdir ancak çıkarma işlemi birleşmeli değildir, çünkü 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
        +
        z
        =
        x
        +
        (
        y
        +
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}
  
 eşitliği her 
  
    
      
        x
        ,
        
        y
        ,
        
        z
      
    
    {\displaystyle x,\,y,\,z}
  
 için sağlanmasına karşın, 
  
    
      
        (
        x
        −
        y
        )
        −
        z
        =
        x
        −
        (
        y
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x-y)-z=x-(y-z)}
  
 eşitliği 
  
    
      
        z
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle z\neq 0}
  
 için sağlanmaz.
Üç 
  
    
      
        x
        ,
        
        y
        ,
        
        z
      
    
    {\displaystyle x,\,y,\,z}
  
 elemanı için geçerli olan bu özellik elbet 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 tane eleman için de geçerlidir. Örneğin 
  
    
      
        (
        x
        y
        )
        (
        z
        t
        )
        =
        (
        (
        x
        y
        )
        z
        )
        t
        =
        (
        x
        (
        y
        z
        )
        )
        t
        =
        x
        (
        y
        (
        z
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (xy)(zt)=((xy)z)t=(x(yz))t=x(y(zt))}
  
.

  
    
      
        ⋆
      
    
    {\displaystyle \star }
  
, X kümesi üzerine bir ikili işlem ise ve her 
  
    
      
        x
        ,
        
        y
        ,
        z
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x,\,y,z\in X}
  
 için 
  
    
      
        (
        x
        ⋆
        y
        )
        ⋆
        z
        =
        x
        ⋆
        (
        y
        ⋆
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x\star y)\star z=x\star (y\star z)}
  
 ise, 
  
    
      
        ⋆
      
    
    {\displaystyle \star }
  
 ikili işleminin birleşmeli işlem olduğu söylenir. Toplama, çarpma gibi cebirde rastlanan işlemlerin birçoğu birleşme özelliğini sağlar. Ancak çıkarma işlemi (tamsayılar kümesi üzerinde) birleşmeli işlem değildir çünkü 
  
    
      
        x
        −
        (
        y
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle x-(y-z)}
  
 sayısı eğer z, 0'a eşit değilse 
  
    
      
        (
        x
        −
        y
        )
        −
        z
      
    
    {\displaystyle (x-y)-z}
  
'ye eşit değildir.
Birleşmeli özelliği sağlayan yapılarda işlemler yapılırken parantez gerekmez. Bu yüzden 
  
    
      
        (
        x
        ⋆
        y
        )
        ⋆
        z
      
    
    {\displaystyle (x\star y)\star z}
  
 ve 
  
    
      
        x
        ⋆
        (
        y
        ⋆
        z
        )
      
    
    {\displaystyle x\star (y\star z)}
  
 yerine, 
  
    
      
        x
        ⋆
        y
        ⋆
        z
      
    
    {\displaystyle x\star y\star z}
  
 yazılır. Aynı şey dört eleman çarpılırken de geçerlidir: Birleşmeli özelliğini sağlayan bir işlem söz konusu olduğunda, 
  
    
      
        (
        x
        ⋆
        y
        )
        ⋆
        (
        z
        ⋆
        t
        )
      
    
    {\displaystyle (x\star y)\star (z\star t)}
  
, 
  
    
      
        (
        x
        ⋆
        (
        y
        ⋆
        z
        )
        )
        ⋆
        t
      
    
    {\displaystyle (x\star (y\star z))\star t}
  
, 
  
    
      
        x
        ⋆
        (
        (
        y
        ⋆
        z
        )
        )
        ⋆
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x\star ((y\star z))\star t)}
  
, gibi çarpımlar parantezsiz olarak 
  
    
      
        x
        ⋆
        y
        ⋆
        z
        ⋆
        t
      
    
    {\displaystyle x\star y\star z\star t}
  
 olarak yazılır.
Birleşmeli özelliği sağlamayan yapılarda 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}}
  
 elemanını tanımlamak bile sorun olabilir, nitekim bu eleman 
  
    
      
        x
        ⋆
        (
        x
        ⋆
        x
        )
      
    
    {\displaystyle x\star (x\star x)}
  
 olarak tanımlanabileceği gibi 
  
    
      
        (
        x
        ⋆
        x
        )
        ⋆
        x
      
    
    {\displaystyle (x\star x)\star x}
  
 olarak da tanımlanabilir. 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{4}}
  
 için çok daha fazla seçenek olabilir.
Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların birleşmeli işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer 
  
    
      
        f
        ,
        
        g
        ∈
      
    
    {\displaystyle f,\,g\in }
  
 Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşmeli özelliği vardır.
Cebirde ender olsa da birleşmeli özelliğini sağlamayan işlemler önemli olabilir. Örneğin Lie cebirlerindeki köşeli parantez işlemi birleşmeli değildir. Öte yandan Lie cebirlerinde köşeli parantez işlemi, Jacobi eşitliği sayesinde, birazcık olsun birleşme özelliğini sağlar.