Binomilause

Alkeisalgebrassa binomilause kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on x tai y jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi: :(x+y)^1 = x + y :(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 :(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 :(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 :(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 Kerroin a termissä xbyc tunnetaan binomikertoimena \tbinom nb tai \tbinom nc (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta :{n \choose b} = \frac{n!}{b! \cdot (n-b)!} missä b! tarkoittaa luvun b kertomaa. Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa \tbinom nb osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa n alkion joukolla on. ==Historiaa== Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia. Al-Karaji antoi myös matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota. ==Lauseen väite== Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (x + y):n summaksi, joka on muotoa :(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n, missä jokainen \tbinom nk on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan tai binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa :(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}. Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen x :n ja y :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen. ==Esimerkkejä== Tavallisin esimerkki binomilauseesta on x + y:n neliö: :(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\\! Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet x + y:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä : : \begin{align} (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\\\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\\\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\\\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\\\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7. \end{align} Huomaa, että #x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n ( n potenssissa (x+y)^n.) #y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on n (myös n potenssissa(x+y)^n.) #Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.) ==Todistuksia== ===Kombinatorinen todistus=== ====Esimerkki==== xy2n kerroin :\begin{align} (x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\\ &= xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy \\\ &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3. \end{align} \, on \tbinom{3}{2}=3 koska on kolme kolmen kirjaimen pituista x,y jonoa, joissa on tarkalleen kaksi y'tä, nimittäin, :xyy, \; yxy, \; yyx, vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin, :\\{2,3\\},\;\\{1,3\\},\;\\{1,2\\}, missä jokaisessa osajoukossa eritellään yn paikka vastaavassa jonossa. ====Yleinen tapaus==== Kun kehitetään auki (x + y)n niin se tuottaa 2n tulojen summaa, jotka ovat muotoa e1e2 ... en missä jokainen ei on x tai y. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa xn−kyk k:n arvoilla 0:sta n:ään. Kun k tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo: *alkioiden lukumäärä xn − kyk:n alkioiden kehitelmässä *n-alkioisten jonojen lukumäärä x:ää ja y:tä, joissa y on tarkalleen k kertaa *k-alkioisten osajoukkojen lukumäärä joukosta {1, 2, ..., n} *{n \choose k} Tämä todistaa binomilauseen. == Binomisarja == Jos eksponentti n ei ole positiivinen kokonaisluku eikä nolla, ei lauseketta (1 + x)^n voida kehittää polynomiksi. Yleistetyn binomilauseen mukaan sille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmä: :\begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align} , missä yleensä pätee kuitenkin vain, |x| < 1 (ja eräissä tapauksissa silloinkin, kun |x| = 1), jolloin sarja suppenee. Tässä kertoimille \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} käytetään myös merkintää \alpha \choose k. Tätä sarjaa sanotaan binomisarjaksi. Erikoistapauksessa, kun n on positiivinen kokonaisluku, sarjan kertoimet n+1:nnestä lähtien ovat kaikki nollia, jolloin tuloksena saadaan algebran binomilause. == Lähteet == *Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007. *Binomial Theorem Introduction == Aiheesta muualla == Luokka:Algebra Luokka:Kombinatoriikka