Korkeus (geometria)

Korkeus on geometriassa korkeusjanan pituus pisteen ja toisen janan välillä siten, että korkeusjana on kohtisuorassa toista, usein kannaksi kutsuttua, janaa, tai sen jatketta, vastaan. Tällöin sanotaan, että korkeus(jana) on kannan normaali(jana), ja päinvastoin. Janojen kohtaamispistettä kutsutaan kantapisteeksi. Korkeusjanan monikulmion sivuja suurempi merkitys perustunee pinta-alojen ja tilavuuksien tunnettuihin laskukaavoihin, joissa korkeuden tunteminen on tärkeää. Korkeus on ilmeisesti tärkeä myös siksi, että ihmisen rakentaminen suuntautuu painovoimaa vastaan ja rakenteet ovat pystysuorassa eli kohtisuorassa vaakasuoraa alustaa vastaan. == Korkeus pinta-ala- ja tilavuuslaskuissa == Monikulmion pinta-alan määritys voidaan tehdä käyttämällä pelkästään sivujen pituuksia, sekä pituuksia ja kulmia tai sitten sivun pituuksia ja korkeutta. Seuraavassa joitakin tilanteita, joissa korkeuksia käytetään ja miten korkeus näissä tilanteissa on määritelty. Area of triangle.svg|Kolmion korkeus on tylppäkulmaisella kolmiolla kärjen E etäisyys kannan jatkeelle CD. Pinta-ala lasketaan kertomalla puolikas kolmion sivun pituudella a = BC sitä vastaavalla korkeudella h: A = \tfrac{1}{2}ah Rhomboid altitude.JPG| Suunnikkaan pinta-ala voidaan laskea kertomalla sivun pituus a = HI korkeudella h = v = LK, joka on sivun HI ja sen yhdensuuntaisen vastasivun JK välinen etäisyys: A = ah. Trapeziod altitude.JPG|Puolisuunnikkaan pinta-ala voidaan laskea kertomalla yhdensuuntaisten sivujen a = DE ja b = FG välinen etäisyys eli korkeus h = GP sivujen a ja b pituuksien keskiarvolla: A = \tfrac{a+b}{2}h. Cylinder.svg|Lieriön tilavuus lasketaan kertomalla ympyrämuotoisen pohjan pinta-ala Ap lieriön korkeudella h: V = A_ph Pyramid altitude.JPG|Kartion, jollainen on myös kuvan suora neliöpohjainen pyramidi, tilavuus lasketaan kertomalla kolmasosa pohjan ABCD pinta-alan Ap ja korkeuden h = vt tulolla: V = \tfrac{1}{3}A_ph Oblique pyramid altitude.JPG|Vaikka kartio olisi vino, mitataan korkeus h = vt aina etäisyytenä pyramidin kärjestä sen pohjan tasolle mitattuna. Truncated cone.svg|Katkaistun kartion tilavuus lasketaan eri kokoisten pohjan pinta-alojen ja niiden välisen etäisyyden avulla. Korkeus määritetään ylä- ja alapohjan välisenä kohtisuorana etäisyytenä h. == Kolmio == Kolmiolla on kolme eri korkeusjanaa, jotka kulkevat kolmion kärjen ja kantapisteen välissä. Teräväkulmaisella kolmiolla kantapiste sijaitsee aina kolmion sivulla eli kannalla, mutta tylppäkulmaisella kolmiolla jotkin kantapisteet saattavat sijaita sivun eli kannan jatkeella. Triangle.Orthocenter.svg|Teräväkulmaisella kolmiolla korkeusjanojen kantapisteet sijaitsevat kolmion sivuilla. Acute triangle altitudes.JPG|Teräväkulmaisella kolmiolla korkeusjanojen leikkauspiste, ortokeskus, voi sijaita aivan kolmion reunalla. Right triangle altitudes.JPG|Suorakulmaisella kolmiolla kaksi sivua eli kateetit ovat samalla korkeusjanoja ja ortokeskus sijaitsee kolmion siinä kärjessä, jonka kulma on suora. Obtude triangle altitudes.JPG|Tylppäkulmaisen kolmion korkeusjanojen jatkeet leikkaavat kolmion ulkopuolella. Keskimmäistä korkeusjanaa on jatketty kärjestä ylöspäin ja kahta reunimmaista korkeusjanaa on jatkettu kannan jatkeen läpi ylöspäin. Sivujen lisäksi myös kolmion korkeusjanat määrittelevät kolmion yksikäsitteisesti. Jos kahdella kolmiolla on yhtä pitkät korkeusjanat, ovat ne yhtenevät kolmiot. === Ortokolmio ja ortokeskus === Korkeusjanat, tai niiden jatkeet, leikkaavat aina yhdessä pisteessä, jota kutsutaan ortosentriksi tai ortokeskukseksi. Kantapisteistä voidaan piirtää kolmio, jota kutsutaan ortokolmioksi. Ortokolmion kulmanpuolittajina ovat kolmion korkeusjanat. Ortokolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste on siksi ortokeskuksessa. Kolmion ortokeskus H, painopiste G ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste O ovat kollineaariset eli sijaitsevat samalla suoralla. Pisteiden välisille etäisyyksille pätee HG = 2·GO. === Yleinen kolmio === Kolmion pinta-ala voidaan kolmion korkeusjanojen avulla laskea kolmella eri tavalla :A = \tfrac{1}{2}ah_a = \tfrac{1}{2}bh_b = \tfrac{1}{2}ch_c. Kun R on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde, ja kun \beta ja \gamma ovat sivujen b ja c vastaiset kulmat, määräytyy kolmiossa sivua a vastaan olevan korkeusjanan h_a pituus lausekkeista :h_a= \frac{bc}{2R}=\frac{2A}{a}=c \sin \gamma = b \sin \beta . === Tasakylkinen ja -sivuinen kolmio === Tasakylkisessä kolmiossa kylkien pituudet ovat b ja kanta a, jolloin kolmion korkeudet ovat :h_a=\sqrt{b^2-\tfrac{1}{4} a^2} ja :h_b = \frac{2A}{b} = \frac{a\sqrt{b^2-\tfrac{1}{4}a^2}}{b}. Tasasivuisessa kolmiossa sivujen pituudet ovat a, jolloin korkeus on aina :h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. == Katso myös == * Korkeus == Lähteet == * * * * * * === Viite === Luokka:Geometria