Propositiologiikka

Propositiologiikka eli lauselogiikka on symbolisen logiikan alue, jossa tutkitaan propositiosymboleja ja loogisia konnektiiveja sisältävien formaalikielen lauseiden ominaisuuksia. Näistä ominaisuuksista keskeisimpiä ovat totuus ja lauseiden väliset päättelysuhteet. Propositiosymboleina käytetään formaalikielessä yleensä merkkejä p_0, p_1, p_2 jne. Eri propositiosymbolien voidaan tulkita edustavan toisistaan riippumattomia asiantiloja. Loogisille konnektiiveille käytetään usein merkkejä kuten eg, \land, \lor. Nämä vastaavat karkeasti ottaen luonnollisen kielen lausekonnektiiveja, esimerkiksi "ei", "ja" ja "tai". Propositiologiikkaa kehittivät ensimmäisenä stoalaiset. == Propositiologiikan syntaksi == Propositiologiikassa atomilauseita merkitään propositiosymboleilla p_0, p_1, p_2,\ldots\,\\!. Lausemuuttujina käytetään suuria kirjaimia A,B,C,\ldots\,\\!. Lausemuuttujat kuvaavat mielivaltaisia tai toistaiseksi määrittelemättömiä lauseita. Propositiosymboleja voidaan määritellä seuraavaan tapaan: * p_0 =_{df} \,\\!"2 + 4 = 6\,\\!". * p_1 =_{df} \,\\!"Esko ui". * p_2 =_{df} \,\\!"Esko kastuu". Propositiosymboleista voidaan rakentaa monimutkaisempia ilmaisuja loogisten operaattoreiden eli konnektiivien avulla. Joskus osa konnektiiveista voidaan korvata määrittelemällä ne muutaman valitun konnektiivin avulla. Yleensä konnektiiveja esitellään seuraavat viisi, mutta on olemassa myös pari muuta konnektiivia: Shefferin viiva ja Peircen nuoli. Merkitys Merkintä Lukutapa negaatio eg{}A "ei A" () konjunktio (A\wedge{}B) "A ja B" () disjunktio (A\vee{}B) "A tai B" () implikaatio (A\to{}B) "jos A niin B" ekvivalenssi (A\leftrightarrow{}B) "A jos ja vain jos B" Seuraavassa rekursiivisessa määritelmässä määritellään kaikki propositiolauseet. Määritelmä 1 Propositiolause # Propositiosymbolit ovat propositiolauseita. # Jos A\,\\! on propositiolause, niin eg{}A\,\\! on propositiolause. # Jos A\,\\! ja B\,\\! ovat propositiolauseita, niin (A\wedge{}B)\,\\! on propositiolause. # Jos A\,\\! ja B\,\\! ovat propositiolauseita, niin (A\vee{}B)\,\\! on propositiolause. # Jos A\,\\! ja B\,\\! ovat propositiolauseita, niin (A\to{}B)\,\\! on propositiolause. # Jos A\,\\! ja B\,\\! ovat propositiolauseita, niin (A\leftrightarrow{}B)\,\\! on propositiolause. Esimerkki 2 Propositiolauseita * eg{}p_0\,\\! *(p_0\to{}p_1)\,\\! * eg((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1))\,\\! Määritelmän 1 perusteella propositiolauseet voidaan purkaa osatekijöikseen yksiselitteisellä tavalla (katso propositiologiikan rakennepuu). Tällöin edetään vastakkaiseen suuntaan. Jos A\,\\! on propositiolause, niin se on välttämättä muotoa p_i\,\\!, eg{}B\,\\!, (B\wedge{}C)\,\\!, (B\vee{}C)\,\\!, (B\to{}C)\,\\! tai (B\leftrightarrow{}C)\,\\!. Muussa tapauksessa sitä ei ole muodostettu määritelmän mukaisesti. Tämä mahdollistaa matemaattisen induktion soveltamisen logiikkaa koskevissa todistuksissa. == Päättely propositiologiikassa == Propositiologiikassa (kuten formaalissa logiikassa muutenkin) voidaan erottaa kaksi päätapaa tutkia päättelyä: Päättelysäännöt (syntaktinen näkökulma) ja totuusarvon laskeminen (semanttinen näkökulma). Päättelysäännöt sinänsä eivät takaa sitä, että päättely säilyttää totuuden. Tämän takaa vasta sellaisten päättelysääntöjen käyttäminen, joiden eheys (katso eheyslause alempana) on todistettu. Päättelysääntöjen sinänsä soveltaminen on ainoastaan uusien lauseiden johtamista jo oletetuista. Sen sijaan, jos tiettyjen päättelysääntöjen eheys on todistettu, voidaan päättelyn pätevyys todistaa jo pelkästään näihin päättelysääntöihin nojautuen. Eheydestä käytetään usein myös nimityksiä validius ja korrektisuus. Aksioomat ... Päättelysäännöt ... Pari esimerkkiä ... == Totuusjakauma ja propositiolauseen totuusarvo == Määritelmä 3 Totuusjakauma v\,\\! on kuvaus v:\mathbb{N}\to\\{0,1\\}\,\\!, jossa 1=_{df}\,\\!"tosi" ja 0=_{df}\,\\!"epätosi". Määritelmä 4 Propositiosymbolien totuusarvo v(p_i)=_{df}v(i)\,\\!. Symboli v\,\\! esiintyy määritelmässä 4 kahdessa merkityksessä: totuusjakauman symbolina yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella ja propositiolauseen totuusarvon määrittäjänä oikealla puolella. Esimerkki 5 Olkoon v\,\\! totuusjakauma siten, että v(i) =_{df} \Bigg\\{\,\\! 1, jos i < 2 0 muuten. Nyt v(p_0)=1, v(p_1)=1, v(p_2)=0, v(p_3)=0, \ldots\,\\! Propositiologiikan konnektiivit ovat totuusfunktionaalisia. Kutakin funktion määrittelyjoukon totuusarvoa, kaksipaikkaisten konnektiivien tapauksessa totuusarvoparia, vastaa arvojoukossa täsmälleen yksi totuusarvo. Selkeä tapa määritellä täsmällisesti konnektiivien merkitykset on totuusarvotaulukko. Määritelmä 6 Konnektiivien totuusarvotaulukot A\,\\! B\,\\! eg{}A\,\\! eg{}B\,\\! (A\wedge{}B)\,\\! (A\vee{}B)\,\\! (A\to{}B)\,\\! (A\leftrightarrow{}B)\,\\! 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 Negaatio vastaa luonnollisen kielen sanaa ei. Se määrittää lauseen vastakohdan. Lauseen A negaatio ei A on tosi jos (jos ja vain jos) lause A on epätosi. Konjunktio vastaa luonnollisen kielen sanaa ja. Lauseiden A ja B konjunktio A ja B on tosi vain, jos molemmat sen yhdistämät ilmaisut eli lauseet A ja B ovat tosia. Luonnollisen kielen 'tai'-sana on kaksiselitteinen. Joskus sitä käytetään inklusiivisesti, toisinaan taas eksklusiivisesti. Inklusiivisen 'tai'-sanan sisältävä ilmaisu on tosi, jos toinen tai molemmat vaihtoehdoista ovat tosia. Nykykielessä tällöin käytetään joskus sanontaa ”ja/tai”. Eksklusiivinen 'tai'-ilmaisu on tosi, jos vain toinen ilmaisuista on tosi mutta eivät molemmat. Logiikassa tällaista tulkinnanvaraisuutta ei ole, koska konnektiivien merkitykset määritellään täsmällisesti. Yleisempää on käyttää inklusiivista disjunktiota. Eksklusiivinen disjunktio voidaan kuitenkin määritellä seuraavasti: '((A \vee B) \wedge eg(A \wedge B))\,\\!'. Implikaatiolla ilmaistaan totuuden riittävää tai välttämätöntä edellytystä. Lauseen '(A \to B)\,\\!' (luetaan: jos A niin B) mukaan A\,\\! on B\,\\!:n riittävä edellytys ja B\,\\! A\,\\!:n välttämätön edellytys. Ekvivalenssi on tosi jos sen yhdistämien ilmaisujen totuusarvot ovat samat. Määritelmien 4 ja 6 perusteella voidaan laskea minkä tahansa propositiolauseen totuusarvo millä tahansa totuusjakaumalla. Esimerkki 7 Lasketaan propositiolauseen eg((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1))\,\\! totuusarvo. Olkoon totuusjakauma v\,\\! kuten esimerkissä 5. Määritelmän 4 nojalla v(p_0)=1, v(p_1)=1, v(p_2)=0\,\\! ja v(p_3)=0\,\\!. Määritelmän 6 toisen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan v((p_0 \wedge p_2))=0\,\\!. Kolmannen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan v((p_3 \vee p_1))=1\,\\!. Kolmannen rivin ja seitsemännen sarakkeen mukaan siis v(((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1)))=1\,\\!. Edelleen kolmannen sarakkeen mukaan v( eg((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1)))=0\,\\!. Totuustaulua voidaan käyttää myös apuvälineenä propositiolauseen totuusarvon laskemiseksi. Seuraavassa esimerkissä Arvo- riville on merkitty kunkin elementin totuusarvo ja Laskujärjestys-riville järjestys, jossa ne on merkitty. Esimerkki 8 Propositiolauseen totuusarvo totuustaululla p_0\,\\! p_1\,\\! p_2\,\\! p_3\,\\! eg\,\\! ((p_0\,\\! \wedge\,\\! p_2)\,\\! \to\,\\! (p_3\,\\! \vee\,\\! p_1))\,\\! Arvo 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 Laskujärjestys 1 1 1 1 5 2 3 2 4 2 3 2 Propositiolauseen totuus riippuu (tietenkin sen rakenteen ohella) ainoastaan propositiosymbolien totuusarvoista. Koska jokaisella oikein muodostetulla propositiolauseella on yksiselitteinen rakennepuu, voidaan propositiolauseen totuusarvo yksiselitteisesti laskea sen sisältämien propositiosymbolien totuusarvojen perusteella, kuten esimerkeistä 7 ja 8 nähdään. Jos propositiosymbolin totuusarvo tiedetään, niin se voidaan korvata esityksessä totuusarvollaan. Myös propositiosymbolia kompleksisempi propositiolauseen osa voidaan korvata totuusarvollaan. == Tautologia ja looginen seuraus == Klassisessa propositiologiikassa pätevät seuraavat lait: * Principium exclusi terti (lat. kielletyn kolmannen laki), jonka mukaan jokainen lause on aina tosi tai epätosi. * Principium exclusi contradictionis (lat. kielletyn ristiriidan laki), jonka mukaan mikään lause ei voi olla sekä tosi että epätosi. == Propositiologiikan täydellisyys- ja eheyslause == Propositiologiikan täydellisyyslauseen mukaan jos lause A on tautologia, niin lauseella A on luonnollinen päättely. Propositiologiikan eheyslauseen mukaan jos lauseella A on luonnollinen päättely oletuksista B_1, B_2, \dots , B_n; niin jos totuusjakaumalla v pätee v(B_1) = v(B_2) = \ldots = v(B_n) = 1, niin v(A) = 1. Kun täydellisyyslause ja eheyslause yhdistettään, niin saadaan tuloksena seuraava lause: propositiolause A on tautologia jos ja vain jos propositiolauseella A on luonnollinen päättely. Eheyslauseesta siis seuraa, että jos A:lla on luonnollinen päättely, niin lause A on tautologia. Todistetaan tämä eheyslauseen avulla. ==== Todistus ==== Väite: Jos lauseella A on luonnollinen päättely, niin lause A on tautologia. Tehdään vastaoletus: lauseella A on luonnollinen päättely mutta lause A ei ole tautologia. Tällöin on olemassa totuusjakauma v siten, että v(A) = 0, joten v(\lnot A) = 1. Koska : \begin{align} \\{\lnot A\\} & \vdash A \land \lnot A, \\\ \\{A \land \lnot A\\} & \vdash \lnot \lnot A \quad \text{ja} \\\ \\{\lnot \lnot A\\} & \vdash A, \quad \text{niin} \\\ \\{\lnot A\\} & \vdash A. \end{align} Edellä sovellettiin luonnolisen päättelyn tunnettuja sääntöjä konjunktion tuonti, negaation tuonti ja negaation eliminointi. Toisaalta eheyslauseen nojalla koska \\{\lnot A\\} \vdash A ja v(\lnot A) = 1, niin v(A) = 1. Ollaan päädytty ristiriitaan, joten alkuperäinen väite pätee. Täten lause A on tautologia. \square == Konnektiivit ja loogiset portit == Elektroniikassa tärkeimpiä loogisia konnektiiveja vastaavat tietyt loogiset portit seuraavasti: Konnektiivi Yhdistetty lause Looginen portti negaatio "ei A" NOT-portti konjunktio "A ja B" AND-portti disjunktio "A tai B tai molemmat" OR-portti eksklusiivinen disjunktio "A tai B, mutta ei molemmat" XOR-portti Shefferin viiva "ei A tai ei B" NAND-portti Peircen nuoli "ei A eikä B" NOR-portti == Katso myös == * Predikaattilogiikka * Symbolinen logiikka == Lähteet == == Kirjallisuutta == * * == Aiheesta muualla == * Luokka:Logiikka Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit