Uniforminen monitahokas

Uniforminen monitahokas on monitahokas, jonka kaikki sivutahkot ovat säännöllisiä monikulmioita ja joka on kärkitransitiivinen, toisin sanoen se voidaan aina kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa kärki voidaan kuvata mille tahansa toiselle. Tästä seuraa, että sen kaikki kärjet ovat yhtenevät. Uniforminen monitahokas voi olla joko * säännöllinen (jos se on myös tahko- ja särmätransitiivinen) * kvasisäännöllinen (jos se on myös särmätransitiivinen mutta ei tahkotransitiivinen), tai * semiregulaarinen (jos se ei ole tahko- eikä särmätransitiivinen). Uniformisen monitahokkaan ei tarvitse olla kupera, joten monet uniformiset monitahokkaat ovat samalla tähtimonitahokkaita. On olemassa kaksi ääretöntä uniformisten monitahokkaiden luokkaa sekä lisäksi vielä 75 näihin luokkiin kuulumatonta uniformista monitahokasta: *Äärettömät luokat: ** särmiöt eli prismat ** antiprismat * Muut kuperat: ** 5 Platonin kappaletta – säännölliset kuperat monitahokkaat ** 13 Arkhimedeen kappaleta – 2 kvasisäännöllistä ja 11 semiregulaarista kuperaa monitahokasta * Tähtimonitahokkaat: ** 4 Kepler-Poinsotin kappaletta – säännölliset ei-kuperat monitahokkaat ** 53 uniformista tähtitahokasta – 5 kvasisäännöllistä ja 48 semiregulaarista, Lisäksi on olemassa myös joukko degeneroituja uniformisia monitahokkaita, joissa osa särmistä yhtyy toisiinsa, muun muassa yksi John Skillingin löytämä, jota sanotaan suureksi kaksoispullistetuksi dirombidodekaedriksi eli Skillingin kuvioksi. Uniformisten monitahokkaiden duaalikappaleet ovat sivutransitiivisia eli isoedrisiä, ja niiden kärkikuviot ovat säännöllisiä monikulmioita. Ne luokitellaan usein rinnakkain uniformisten duaalikappaleidensa kanssa. Säännöllisen monitahokkaan duaalikappale on säännöllinen, kun taas Arkhimedeen kappaleiden duaalit ovat Catalanin kappaleita. Uniformisen monitahokkaan käsite on erikoistapaus uniformisen polytoopin käsitteestä, joka soveltuu myös muotoihin korkeampi- tai alempiulotteisessa avaruudessa. ==Määritelmä == Coxeter, Longuet-Higgins ja Miller määrittelivät vuonna 1954 uniformiset monitahokkaat kärkitransitiivisiksi monitahokkaiksi, joiden sivut ovat säännöllisiä monikulmioita. Monitahokkaan he määrittelivät sellaiseksi äärelliseksi joukoksi monikulmioita, että jokainen monikulmion sivu on tasan yhden toisenkin monikulmion sivuna, niin että millään monikulmioiden ei- tyhjällä aidolla osajoukolla ei ole samaa ominaisuutta. Monikulmiolla he impilisiittisesti tarkoittivat kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa olevaa monikulmiota; niiden sallitaan olla ei-kuperia ja leikata toisensa. Uniformisen monitahokkaan käsitettä on erinäisillä tavoilla yleistetty. Jos ei edellytetä, että sellaisen on oltava yhtenäinen, voidaan myös useamman komponentin, esimerkiksi viiden kuution yhdistelmää pitää uniformisena. Jos ei edellytetä, että monitahokkaan on oltava degeneroitumaton, saadaan myös niin sanottuja degeneroituja uniformisia monitahokkaita. Tämä edellyttää, että monitahokkaan käsite on määriteltävä yleisemmin. Branko Grünbaum kiinnitti vuonna 1994 julkaisemassaan artikkelissa huomiota siihen, että vaikka jo Eukleides luetteli viisi säännöllistä monitahokasta ja myöhemmin muun muassa Kepler, Poinsot, Hess ja Brückner olivat eri tavoin luokitelleet monitahokkaita, kukaan heistä ei ollut esittänyt itse monitahokkaan käsitteelle täsmällistä ja yksikäsitteistä määritelmää. Samassa artikkelissa hän itse esitti käsitteelle jokseenkin monimutkaisen määritelmän. McMullen ja Schulte esittivät vuonna 2003 monitahokkaan käsitteelle yleisemmän määritelmän. Heidän mukaansa monitahokas on kaksiulotteinen abstrakti polytooppi, jolla on ei-degeneroitunut kolmiulotteinen realisaatio. Tässä abstrakti polytooppi on sen sivutahkojen yhdistelmä, joka toteuttaa useita ehtoja, ja realisaatio on kuvaus sen kärkien joukosta johonkin avaruuteen, ja realisaatiota sanotaan ei-degeneroituneeksi, jos millä tahansa kahdella abstraktin polytoopin tahkolla on erilliset realisaatiot. Monitahokas voi olla degeneroitunut esimerkiksi seuraavilla tavoilla: *Kätketyt tahkot. Joillakin monitahokkailla osa tahkoista voi olla kätkettyjä siinä mielessä, ettei mikään niiden sisäpiste näy ulkopuolelta. Sellaisia ei yleensä pidetä uniformisina monitahokkaina. *Degeneroidut komponentit. Monitahokas saattaa koostua useammasta melkein toisistaan erillään olevasta komponentista, jolla kuitenkin on yksi tai useampi yhteinen särmä. Yhtenäisten särmien vuoksi monitahokas on tällöin kuitenkin topologisessa mielessä yhtenäinen. *Kaksinkertaiset peitteet. On olemassa suunnistumattomia monitahokkaita, joilla on kaksoispeite ja ja jotka täyttävät uniformisen monitahokkaan määritelmän ehdot. Näillä kaksoispeitteillä on kaksinkertaisia tahkoja, särmiä ja kärkiä. Niitä ei yleensä lueta uniformisiin monitahokkaisiin. *Kaksinkertaiset tahkot. On useita monitahokkaita, joilla on Wythoffin konstruktiolla aikaansaatuja kaksinkertaisia tahkoja. Useimmat kirjoittajat eivät salli kaksinkertaisia tahkoja ja poistavat ne osana konstruktiota. *Kaksinkertaiset särmät. Skillingin kuviolla on kaksinkertaisia särmiä, kuten degeneroituneilla uniformisilla monitahokkaillakin, mutta niiden tahkoja ei muodostaa kirjoittaa kahden uniformisen monitahokkaan yhdisteenä. ==Historia== Säännölliset kuperat monitahokkaat: * Säännölliset monitahokkaat eli Platonin kappaleet tunnettiin jo antiikin Kreikassa, ja niitä tutkivat pythagoralaiset, Platon (n. 424–348 eKr.), Theaitetos (n. 417–369 eKr.), Timaios Lokroilainen n. 420–380 eKr.) ja Eukleides (noin 300 eKr.). Säännöllisen dodekaedrin keksivät etruskit ennen vuotta 500 eKr. Ei-säännölliset uniformiset kuperat monitahokkaat: * Kuboktaedrin tunsi jo Platon. * Arkhimedes (287–212 eKr.) löysi kaikki 13 Arkhimedeen kappaletta. Hänen oma teoksensa aiheesta on kadonnut, mutta Pappos Aleksandrialainen (n. 290–350 jKr.) mainitsee Arkhimedeen luetelleen 13 monitahokasta. * Piero della Francesca (1415–1492) löysi uudelleen Platonin kappaleiden viisi typistettyä muunnosta: typistetyn tetraedrin, typistetyn oktaedrin, typistetyn kuution, typistetyn dodekaedrin ja typistetyn ikosaedrin. * Luca Pacioli julkaisi Francescan tutkimukset vuonna 1509 uudestaan teoksessaan De divina proportione. Siinä hän lisäsi joukkoon Leonardo da Vincin kuvaaman rombikuboktaedrin, jota hän sanoi ikosiheksaedriksi, koska siinä oli 26 tahkoa. * Johannes Kepler (1571–1630) julkaisi vuonna 1619 ensimmäisenä täydellisen luettelon Arkhimedeen kappaleista ja tunnisti uniformisten särmiöiden ja antiprismojen äärettömät perheet. Säännölliset tähtimonitahokkaat: * Kepler löysi vuonna 1619 kaksi säännöllisistä Kepler–Poinstotin kappaleista ja Louis Poinsot vuonna 1809 kaksi muuta. Augustin Cauchy (1789–1857) todisti, ettei tällaisia kappaleita ole enempää kuin jo tunnetut neljä, ja nimen niille antoi Arthur Cayley (1821–1895). Muut 53 ei-säännöllistä tähtimonitahokasta: * Jäljellä olevista 53 uniformisesta monitahokkaasta Edmund Hess löysi kaksi vuonna 1878, Albert Badoureau 36 lisää vuonna 1881. Vuonna 1881 Pitsch löysi heistä riippumatta 18 tällaista monitahokasta, joista kolme oli ennen tuntemattomiua. Kaikkiaan näistä tunnettiin sen jälkeen 41. * Geometrikko H.S.M. Coxeter löysi loput 12 uniformista tähtimonitahokasta yhteistyössä J. C. P. Millerin (1930–1932) kanssa, mutta ei julkaissut tutkimuksiaan. M.S. Longuet-Higgins ja H.C. Longuet-Higgins löysivät itsenäisesti niistä 11. Lesavre ja Mercier löysivät niistä viisi uudestaan vuonna 1947. * H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins ja J. C. P. Miller julkaisivat vuonna 1954 luettelon tuntemistaan uniformisista monitahokkaista * S. P. Sopov todisti vuonna 1970, että edellä mainittujen esittämä luettelo on täydellinen eli että enempää uniformisia monitahokkaita ei ole. * Vuonna 1974, Magnus Wenninger julkaisi teoksen Polyhedron models, jossa hän luetteli kaikki 75 ei-prismaattista uniformista monitahokasta. Monilla niistä oli ennen julkaisemattomat nimet, jotka niille antoi Norman Johnson. * J. Skilling todisti vuonna 1975 edeltäjistään riippumatta, että luettelo oli täydellinen, ja osoitti, että jos uniformisen monitahokkaan määritelmää väljennetään siten, että särmät saavat yhtyä toisiinsa, tällaisia monitahokkaita saadaan vain yksi lisää. * Vuonna 1987 Edmond Bonan piirsi kaikki uniformiset monitahokkaat ja niiden duaalikappaleet Turbo Pascal -ohjelmalla nimeltä Polyca. Melkein kaikki niistä näytettiin Eastbournen kongressiteatterissa, Britanniassa pidetyssä International Stereoscopic Unionin kongressissa. * Vuonna 1993 Zhi Har'El muodosti täydelliset kaleidoskooppiset konstruktiot uniformisille monitahokkaille ja niiden duaalikappaleille Kaleido- nimisellä tietokoneohjelmalla ja teki asiasta yhteenvedon artikkelissa Uniform Solution for Uniform Polyhedra. * Samana vuonna 1993 R. Mäder laati tätä Kaleido-ratkaisua vastaavan ohjelman Mathematica-ohjelmistoon hieman erilaisella indeksointijärjestelmällä. * Vuonna 2002 Peter W. Messer löysi minimaalisen joukon suljetussa muodossa ilmaistavia lausekkeita, joilla voidaan määrittää minkä tahansa uniformisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen tärkeimmät kombinatoriset ja metriset suureet, kun tunnetaan vain sen Wythoffin symboli. == Kuperat uniformiset monitahokkaat == Kuperat uniformiset monitahokkaat voidaan nimetä Wythoffin konstruktio-operaatioilla sen mukaan, mikä on niiden suhde säännöllisiin monitahokkaisiin. Yksityiskohtaisemmin kuperat uniformiset monitahokkaat luetellaan jäljempänä Wythoffin konstruktioiden mukaan kussakin symmetriaryhmässä. Wythoffin konstruktio sisältää toistoja, jotka saadaan alemmista symmetrian muodoista. Kuutio on säännöllinen monitahokas ja samalla särmiö, jonka pohjana on neliö. Oktaedri on säännöllinen monitahokas ja samalla antiprisma, jonka tahkot ovat kolmioita. Oktaedri on samalla typistetty tetraedri. Monet monitahokkaat saadaan toistamalla eri konstruktioita, ja sen mukaisesti ne on merkitty eri väreillä. Wythoffin konstruktio soveltuu yhtä lailla myös uniformisiin monitahokkaisiin sekä pallopinnan uniformisiin tessellaatioihin, minkä vuoksi nekin ovat seuraavissa taulukoissa mukana. Pallopinnan laatoituksiin kuuluvat myös hosoedrit ja diedrit, jotka ovat degeneroituneita monitahokkaita. Nämä symmetriaryhmät muodostetaan peilauksilla saaduista pisteryhmistä kolmessa ulottuvuudessa, ja kutakin niistä edustaa peruskolmio (p q r), missä p > 1, q > 1, r > 1 ja . * Tetraedrinen symmetria (3 3 2) – kertaluku 24 * Oktaedrinen symmetria (4 3 2) – kertaluku 48 * Ikosaedrinen symmetria (5 3 2) – kertaluku 120 * diedrinen symmetria (n 2 2), missä n = 3,4,5,... – kertaluku 4n Loput muodot, joilla ei ole peilaussymmetriaa, konstruoidaan alternaatiolla, toisin sanoen poistamalla joka toinen kärki sellaisesta monitahokkaasta, jolla on parillinen määrä tahkoja. Särmiöiden ja niiden diedrisen symmetrian myötä Wythoffin konstruktioilla pallopinnalla saadaan lisää kaksi säännöllisten tessellaatioiden luokkaa, joita vastaavat monitahokkaat kuitenkin ovat degeneroituneita: diedrit, joilla on vain kaksi tahkoa, ja hosoedrit, joilla on vain kaksi kärkeä. Särmiöt saadaan säännöllisistä hosoedreista typistämällä. Jäljempänä seuraavissa taulukoissa kuperat uniformiset monitahokkaat, särmiöitä lukuun ottamatta, on merkitty järjestysnumeroilla 1–18, ja ne on lueteltu symmetriaryhmiensä mukaan järjestettyinä. Prismaattisia muotoja on äärettömän monta, ja ne jakautuvat neljään perheeseen: # hosoedrit H2... (vain pallopinnan tessellaationa) # diedrit D2... (vain pallopinnan tessellaatioina) # särmiöt P3... (typistettyjä hosoedreja) # antiprismat A3... (pullistettujan särmiöitä) === Wythoffin konstruktio-operaatiot === Operaatio Symboli Coxeterin diagrammi Kuvaus Alkuperäinen {p,q} t0{p,q} Mikä tahansa monitahokas tai laatoitus Suoristettu (r) () r{p,q} t1{p,q} q Särmät typistetään täysin niin, että niistä jää jäljelle vain niiden keskipiste. Saadun monitahokkaan tahkoina ovat sekä alkuperäisen monitahokkaan että sen duaalikappaleen tahkojen keskiosat. Monitahokkaat nimetään kahden alkuperäisen monitahokkaan tahkojen lukumäärien mukaan: {p,q} ja {q,p}. Esimerkiksi kuboktaedri r{4,3} saadaan suoristamalla kuutiosta ja oktaedrista. Kahdesti suoristettu (2r) () (myös duaali 2r{p,q} t2{p,q} Kahdesti suoristettu (duaali) saadaan typistämällä edelleen niin, että alkuperäisen monitahokkaan tahkot kutistuvat pisteiksi. Uudet tahkot syntyvät alkuperäisen monitahokkaan jokaisen kärjen ympärille. Särmien lukumäärä on sama kuin alkuperäisessä monitahokkaassa, mutta ne ovat kohtisuorassa alkuperäisen monitahokkaan särmiin nähden. Kahdesti suoritettu monitahokas on sama kuin alkuperäisen monitahokkaan duaalikappale. Typistetty (t) () t{p,q} t0,1{p,q} Alkuperäisen monitahokkaan jokaisen kärjen ympäriltä leikataan pala pois, ja uusi tahko täyttää syntyneen aukon. Pois leikattavan alueen suuruus voi vaihdella, mutta on vain yksi ratkaisu, jolla saadaan uniforminen typistetty monitahokas. Tämän monitahokkaan tahkoilla on kaksinkertainen määrä sivua alkuperäisen monitahokkaan tahkoihin verrattuna, ja siinä ovat mukana myös duaalikappaleen tahkot. Kaksoistypistetty (2t) () (myös typistetty duaali) 2t{p,q} t1,2{p,q} }} Kaksoistypistystä voidaan pitää duaalin typistämisenä. Kaksoistypistetty kuutio on typistetty oktaedri. Kantelloitu (rr)() (myös laajennettu) rr{p,q} Kärkien typistämisen lisäksi jokaista alkuperäistä särmää on leikattu vinoksi niin, että niiden paikalle saadaan uusia suorakulmaisia tahkoja. Uniforminen kantelloitu monitahokas on alkuperäisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen puolivälissä. Kantelloidun monitahokkaan nimi muodostetaan yhdistämällä alkuperäisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen nimet ja lisäämällä näin saadun nimen alkuun etuliike rombi, esimerkiksi kuutiosta ja oktaedrista saadaan rombikuboktaedri rr{4,3}. Täystypistetty (tr) ( tai cantitruncated) tr{p,q} t0,1,2{p,q} Typistys- ja kantellointioperaation yhdistetään. Täystypistetyn monitahokkaan tahkoilla on kaksinkertainen määrä sivuja alkuperäisen monitahokkaan tahkoihin verrattuna, kaksinkertainen määrä tahkoja alkuperäisen kappaleen duaaliin verrattuna ja uusina tahkoina neliöitä alkuperäisen monitahokkaan särmien ympärillä. Alternaatio-operaatiot Operaatio Symboli Coxeterin diagrammi Kuvaus Pullistettu suoritettu (sr) () sr{p,q} Täystypistetty monitahokas, josta joka toinen kärki on poistettu. Kaikissa alkuperäisissä tahkoissa on vain puolet alkuperäisten sivujen lukumääristä, ja neliöt surkastuvat särmiksi. Koska täystypistetyissä muodoissa on kolme tahkoa kärkeä kohti, muodostuu uusia kolmioita. Yleensä nämä alternoivat tahkojen muodot poikkeavat jonkin verran alkuperäisistä, jotta saadaan jälleen uniformiset monitahokkaat. Jälkimmäisen variaation mahdollisuus riippuu vapausasteesta. Pullistettu (s) () s{p,2q} Alternoitu typistetty kanttinen pullistettu (s2) ) s2{p,2q} Alternoidusti kantelloitu (hrr) ) hrr{2p,2q} === Taulukot monitahokkaista johdettuina säännöllisistä monitahokkaista === Alkuperäinen Typistetty Suoristettu Kaksoistypistetty (typ. duaali) Kaksoissuoristettu (duaali) Kantelloitu Täystypistetty Pullistettu Coxeterin diagrammi Laajennettu Schläflin symboli \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \\\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} r\begin{Bmatrix} p \\\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p \\\ q \end{Bmatrix} s\begin{Bmatrix} p \\\ q \end{Bmatrix} Laajennettu Schläflin symboli {p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q} 2r{p,q} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q} Laajennettu Schläflin symboli t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} ht0,1,2{p,q} Wythoffin symboli (p q 2) q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2 Kärkikonfiguraatio pq q.2p.2p (p.q)2 p.2q.2q qp p.4.q.4 4.2p.2q 3.3.p.3.q Tetraedrinen (3 3 2) 3.3.3 3.6.6 3.3.3.3 3.6.6 3.3.3 3.4.3.4 4.6.6 3.3.3.3.3 Oktaedrinen (4 3 2) 4.4.4 3.8.8 3.4.3.4 4.6.6 3.3.3.3 3.4.4.4 4.6.8 3.3.3.3.4 Ikosaedrinen (5 3 2) 5.5.5 3.10.10 3.5.3.5 5.6.6 3.3.3.3.3 3.4.5.4 4.6.10 3.3.3.3.5 Seuraavassa taulukossa ovat pallopinnan tessellaatiot, joilla on diedrinen symmetria: (p 2 2) Alkuperäinen Typistetty Suoristettu Kaksoistypistetty (typ. duaali) Kaksoissuoristettu (duaali) Kantelloitu Täystypistetty Pullistettu Coxeterin diagrammi Laajennettu Schläflin symboli \begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \\\ 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix} r\begin{Bmatrix} p \\\ 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p \\\ 2 \end{Bmatrix} s\begin{Bmatrix} p \\\ 2 \end{Bmatrix} Laajennettu Schläflin symboli {p,2} t{p,2} r{p,2} 2t{p,2} 2r{p,2} rr{p,2} tr{p,2} sr{p,2} Laajennettu Schläflin symboli t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} ht0,1,2{p,2} Wythoffin symboli 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2 Kärkikonfiguraatio p2 2.2p.2p p.2.p.2 p.4.4 2p p.4.2.4 4.2p.4 3.3.3.p Diedrinen (2 2 2) {2,2} 2.4.4 2.2.2.2 4.4.2 2.2 2.4.2.4 4.4.4 3.3.3.2 Diedrinen (3 2 2) 3.3 2.6.6 2.3.2.3 4.4.3 2.2.2 2.4.3.4 4.4.6 3.3.3.3 Diedrinen (4 2 2) 4.4 2.8.8 2.4.2.4 4.4.4 2.2.2.2 2.4.4.4 4.4.8 3.3.3.4 Diedrinen (5 2 2) 5.5 2.10.10 2.5.2.5 4.4.5 2.2.2.2.2 2.4.5.4 4.4.10 3.3.3.5 Diedrinen (6 2 2) 6.6 2.12.12 2.6.2.6 4.4.6 2.2.2.2.2.2 2.4.6.4 4.4.12 3.3.3.6 ==== Tetraedrisesti symmetriset monitahokkaat ==== Pallopinnan tetraedrisella symmetrialla (Td saadaan viisi uniformista monitahokasta, ja kuudes saadaan pullistusoperaatiolla. Tetraedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta, jonka yhdessä kärjessä on kaksi peiliä, molemmissa muissa kaksi peiliä, ja sitä esittää symboli (3 3 2). Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä A2 tai [3,3], taikka Coxeterin diagrammi: . Näin saadaan 24 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan tetrakis-heksaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla: : # Nimi Graafi A3 Graafi A2 Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Graafi A3 Graafi A2 Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Pos. 2 [3] (4) Pos. 2 [2] (6) Pos. 2 [3] (4) Tahkoja Särmiä Kärkiä 1 Tetraedri {3,3} {3} 4 6 4 [1] Kahdesti suoristettu tetraedri (Sama kuin tetraedri) t2{3,3}={3,3} {3} 4 6 4 2 Suoristettu tetraedri (Sama kuin oktaedri) t1{3,3}=r{3,3} {3} {3} 8 12 6 3 Typistetty tetraedri t0,1{3,3}=t{3,3} {6} {3} 8 18 12 [3] Kaksoistypistetty tetraedri (Sama kuin typistetty tetraedri) t1,2{3,3}=t{3,3} {3} {6} 8 18 12 4 Rombitetratetraedri (Sama kuin kuboktaedri) t0,2{3,3}=rr{3,3} {3} {4} {3} 14 24 12 5 Typistetty tetratetraedri (Sama kuin typistetty oktaedri) t0,1,2{3,3}=tr{3,3} {6} {4} {6} 14 36 24 6 Pullistettu tetratetraedri (Sama kuin ikosaedri) sr{3,3} {3} 2 {3} {3} 20 30 12 ==== Oktaedrisesti symmetriset monitahokkaat ==== Pallopinnan oktaedrisella symmetrialla (Oh) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta, ja toiset seitsemän saadaan poistamalla näin saaduista joka toinen kärki. Näistä 14 muodosta kuusi on samoja, jotka esiintyvät myös edellä tetraedristesti symmetristen monitahokkaiden taulukossa. Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (4 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä B2 tai [4,3], taikka Coxeterin diagrammi: . Näin saadaan 48 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan disdyakis-dodekaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla: : # Nimi Graafi B3 Graafi B2 Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Graafi B3 Graafi B2 Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Pos. 2 [4] (6) Pos. 1 6px Pos. 0 [3] (8) Tahkoja Särmiä Kärkiä 7 Kuutio {4,3} {4} 6 12 8 [2] Oktaedri {3,4} {3} 8 12 6 [4] Suoristettu kuutio Suoristettu oktaedri (Kuboktaedri) {4,3} {4} {3} 14 24 12 8 Typistetty kuutio t0,1{4,3}=t{4,3} {8} {3} 14 36 24 [5] Typistetty oktaedri t0,1{3,4}=t{3,4} {4} {6} 14 36 24 9 Kantelloitu kuutio Kantelloitu oktaedri rombikuboktaedri t0,2{4,3}=rr{4,3} {8} {4} {6} 26 48 24 10 Täystypistetty kuutio täystypistetty oktaedri typistetty kuboktaedri t0,1,2{4,3}=tr{4,3} {8} {4} {6} 26 72 48 [6] Pullistettu oktaedri (Sama kuin ikosaedri) = s{3,4}=sr{3,3} {3} {3} 20 30 12 [1] Puolikuutio (Sama kuin tetraedri) = h{4,3}={3,3} 1/2 {3} 4 6 4 [2] Kanttinen kuutio (Sama kuin typistetty tetraedri) = h2{4,3}=t{3,3} 1/2 {6} 1/2 {3} 8 18 12 [4] (Sama kuin kuboktaedri) = rr{3,3} 14 24 12 [5] (Sama kuin typistetty oktaedri) align=center }} = tr{3,3} 14 36 24 [9] Kanttinen pullistettu oktaedri (sama kuin rombikuboktaedri) s2{3,4}=rr{3,4} 26 48 24 11 Pullistettu kuutio Pullistettu kuboktaedri sr{4,3} {4} 2 {3} {3} 38 60 24 ==== Ikosaedrisesti symmetriset monitahokkaat ==== Pallopinnan ikosaedrisella symmetrialla (Ih) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta sekä vielä yksi lisää poistamalla joka toinen kärki. Näin saaduista kahdeksasta muodosta vain yksi on sama, joka esiintyy myös edellä tetraedrisesti ja oktaedristen monitahokkaiden taulukoissa. Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (5 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä G2 tai [4,3], taikka Coxeterin diagrammi: . Näin saadaan 120 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan disdyakis-triakontaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään vuorottelevin värein pallon pinnalla: : # Nimi Graafi A3 Graafi A2 Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Graafi A3 Graafi A2 Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Pos. 2 [5] (12) Pos. 1 [2] (30) Pos. 0 [3] (20) Tahkoja Särmiä Kärkiä 12 Dodekaedri {5,3} {5} 12 30 20 [6] Ikosaedri }} {3,5} {3} 20 30 12 13 Suoritettu dodekaedri Suoristettu ikosaedri Ikosidodekaedri t1{5,3}=r{5,3} {5} {3} 32 60 30 14 Typistetty dodekaedri align=center 3 t0,1{5,3}=t{5,3} {10} {3} 32 90 60 15 Typistetty ikosaedri }} t0,1{3,5}=t{3,5} {5} {6} 32 90 60 16 Kantelloitu dodekaedri Kantelloitu ikosaedri Rombikosidodekaedri }} t0,2{5,3}=rr{5,3} {5} {4} {3} 62 120 60 17 Täystypistetty dodekaedri Täystypistetty ikosaedri Typistetty ikosidodekaedri }} t0,1,2{5,3}=tr{5,3} {10} [4} {6} 62 180 120 18 Pullistettu dodekaedri Pullistettu ikosidodekaedri sr{5,3} {5} 2 {3} {3} 92 150 60 ==== Diedrinen symmetria, särmiöt ja antiprismat ==== Pallopinnan diedrisella symmetrialla (Dph) saadaan kaksi ääretöntä joukkoa uniformisia monitahokkaita, särmiöt ja antiprismat, sekä lisäksi kaksi ääretöntä joukkoa degeneroituja monitahokkaita, hosoedrit ja dihedrit, joita vastaavat tietyt laatoitukset eli tessellaatiot pallon pinnalla. Diedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (p 2 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä I2(p) tai [n2], taikka Coxeterin diagrammi: . Seuraavassa esitetään viisi ensimmäistä diedristä symmetriaa: D2 ... D6. Diedrinen symmetria Dp on kertalukua 4n ja esittää bipyramidin tahkoja. Pallopinnalla sitä vastaa päiväntasaaja pituussuunnassa sekä tasavälein n pituuspiiriä. ====== Diedrinen symmetria (2 2 2) ====== Diedrisellä symmetrialla D2h (2 2 2) saadaan 8 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavassa näkyvän neliöpohjaisen bipyramidin eli oktaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla: : # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit [2] (2) Pos. 1 [2] (2) Pos. 0 [2] (2) Tahkoja Särmiä Kärkiä D2 H2 kaksikulmainen diedri kaksikulmainen hosoedri {2,2} {2} 2 2 2 D4 Typistetty kaksikulmainen diedri (Sama kuin neliödiedri) t{2,2}={4,2} [4} 2 4 4 P4 [7] Täystypistetty kaksikulmainen diedri (Sama kuin kuutio) }} t0,1,2{2,2}=tr{2,2} {4} {4} [4} 6 12 8 A2 [1] Pullistettu kaksikulmainen diedri sama kuin tetraedri) sr{2,2} 2 {3} 4 6 4 ====== Diedrinen symmetria (3 2 2) ====== Diedrisellä symmetrialla D3h (3 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kuusikulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla: : # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Pos. 2 [3] (2) Pos. 1 [2] (3) Pos. 0 [2] (3) Tahkoja Särmiä Kärkiä D3 Kolmikulmainen diedri {3,2} {3} 2 3 3 H3 Kolmikulmainen hosoedri {2,3} {2} 3 3 2 D6 Typistetty kolmikulmainen diedri (sama kuin kuusikulmainen diedri) t{3,2} {6} 2 6 6 P3 Typistetty kolmikulmainen hosoedri (Kolmikulmainen särmiö) t{2,3} {3} [4} 5 9 6 P6 Täystypistetty kolmikulmainen diedri (Kuusikulmainen särmiö) 6px}} t0,1,2{2,3}=tr{2,3} {6} [4} [4} 8 18 12 A3 [2] Pullistettu kolmikulmainen diedri (Sama kuin kolmikulmainen antiprisma) (Sama kuin oktaedri) sr{2,3} {3} 2 {3} 8 12 6 P3 Kanttinen pullistettu kolmikulmainen diedri (Kolmikulmainen särmiö) }} s2{2,3}=t{2,3} 5 9 6 ====== Diedrinen symmetria (4 2 2) ====== Diedrisellä symmetrialla D4h (4 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kahdeksankulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla: : # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Pos. 2 [4] (2) Pos. 1 [2] (4) Pos. 0 [2] (4) Tahkoja Särmiä Kärkiä D4 neliödiedri {4,2} [4} 2 4 4 H4 neliöhosoedri {2,4} {2} 4 4 2 D8 Typistetty neliödiedri (Sama kuin kahdeksankulmainen diedri) align=center 2 t{4,2} {8} 2 8 8 P4 [7] Typistetty neliöhosoedri (Kuutio) }} t{2,4} {4} {4} 6 12 8 D8 Täystypistetty neliödiedri (Kahdeksankulmainen särmiö) align=center 2 t0,1,2{2,4}=tr{2,4} {8} [4} [4} 10 24 16 A4 Pullistettu neliödiedri (Neliöpohjainen antiprisma) 9px9px9px sr{2,4} [4} 2 {3} 10 16 8 P4 [7] Kanttinen pullistettu neliödiedri (Kuutio) 9px9px s2{4,2}=t{2,4} 6 12 8 A2 [1] Pullistettu neliöpohjainen hosoedri (Kaksikulmainen hosoedri) (Tetraedri) 9px9px s{2,4}=sr{2,2} 4 6 4 ====== Diedrinen symmetria (5 2 2) ====== Diedrisellä symmetrialla D5h (4 2 2) saadaan 20 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kymmenkulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla: : # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Pos. 2 [5] (2) Pos. 1 [2] (5) Pos. 0 [2] (5) Tahkoja Särmiä Kärkiä D5 Viisikulmainen diedri {5,2} {5} 2 5 5 H5 Viisikulmainen hosoedri {2,5} {2} 5 5 2 D10 Typistetty viisikulmainen diedri (Sama kuin kymmenkulmainen diedri) t{5,2} {10} 2 10 10 P5 Typistetty viisikulmainen hosoedri (Sama kuin viisikulmainen särmiö) t{2,5} {5} [4} 7 15 10 P10 Täystypistetty viisikulmainen diedri (Kymmenkulmainen särmiö) t0,1,2{2,5}=tr{2,5} {10} [4} [4} 12 30 20 A5 Pullistettu viisikulmainen diedri (Viisikulmainen antiprisma) 9px9px9px}} sr{2,5} {5} 2 {3} 12 20 10 P5 Kanttinen pullistettu viisikulmainen diedri (Viisikulmainen särmiö) 9px9px s2{5,2}=t{2,5} 7 15 10 ====== Diedrinen symmetria (6 2 2) ====== Diedrisellä symmetrialla D6h (4 2 2) saadaan 24 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kaksitoistakulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla: # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät Elementtien lukumäärät # Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Pos. 2 [6] (2) Pos. 1 [2] (6) Pos. 0 [2] (6) Tahkoja Särmiä Kärkiä D6 Kuusikulmainen diedri {6,2} {6} 2 6 6 H6 Kuusikulmainen hosoedri {2,6} {2} 6 6 2 D12 Typistetty kuusikulmainen diedri (Sama kuin kaksitoistakulmainen diedri) align=center 2 t{6,2} {12} 2 12 12 H6 Typistetty kuusikulmainen hosoedri (Sama kuin kuusikulmainen särmiö) }} t{2,6} {6} [4} 8 18 12 P12 Täystypistetty kuusikulmainen diedri (12-kulmainen särmiö) align=center 2}} t0,1,2{2,6}=tr{2,6} {12} [4} [4} 14 36 24 A6 Pullistettu kuusikulmainen diedri (Kuusikulmainen antiprisma) 9px9px9px sr{2,6} {6} 2 {3} 14 24 12 P3 Kanttinen kuusikulmainen diedri (Kolmikulmainen särmiö) = h2{6,2}=t{2,3} 5 9 6 P6 Kanttinen pullistettu kuusikulmainen diedri (Kuusikulmainen särmiö) 9px9px}} s2{6,2}=t{2,6} 8 18 12 A3 [2] Pullistettu heksagonaalinen hosoedri (Sama kuin triangulaarinen antiprisma) (Sama kuin oktaedri) 9px9px}} s{2,6}=sr{2,3} 8 12 6 == Uniformiset tähtimonikulmiot == Uniformisia tähtimonitahokkaita, jotka eivät ole särmiöitä, on kaikkiaan 57. Ne voidaan muodostaa Wythoffin konstruktiolla Schwarzin kolmioista. Uniformisista tähtimonitahokkaista neljä on säännöllisiä (Kepler-Poinsotin kappaleet), viisi kvasisäännöllistä ja loput 48 semiregulaarisia. Eri tutkijat ovat numeroineet uniformiset monitahokkaat eri tavoin. Seuraavissa taulukoissa sarake C# tarkoittaa Coxeterin vuonna 1954, W# Wenningerin vuonna 1974 ja K# Kaleidon vuonna 1993 käyttämää numerointia. Coxeterin numeroinnissa kuperat muodot saivat numerot 15–32, kolme prismaattista muotoa numerot 33–35 ja ei-kuperat muodot numerot 36–92. Wenninger antoi Platonin kappaleille numerot 1–5, Arkhimedeen kappaleille numerot 6–18, tähtimäisille muodoille numerot 19–66, mihin sisältyy myös neljä säännöllistä ei-kuperaa monitahokasta, sekä loput numerot 67–119 ei-kuperille uniformisille monitahokkaille. Kaleidon numeroinnissa 80 muotoa ryhmiteltiin symmetrian mukaan: numerot 1–4 kuuluivat sellaisten prismaattisten muotojen äärettömille perheille, joilla on diedrinen symmetria, numerot 6–9 tetraedrisesti, numerot 10–26 oktaedrisesti ja numerot 46–80 ikosaedrisesti symmetrisille kappaleille. U# tarkoittaa Mathematica -teoksessa käytettyä numerointia, joka eroaa Kaleidon numeroinnista siinä, että viisi prismaattista muotoa siirrettiin viimeisiksi, jolloin ei- prismaattiset muodot saivat numerot 1–75. Sarake ”Khii” taulukoissa tarkoittaa Eulerin karakteristikaa. Särmiöt eivät ole mukana seuraavissa taulukoissa. === Kepler–Poinsotin kappaleet === Nimi Kuva Wythoffin symboli Kärki- kuvio Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien- toituva? Tiheys Tahkojen tyypit Suuri dodekaedri 5/2 | 2 5 (5.5.5.5.5)/2 Ih C44 W021 U35 K40 12 30 12 -6 Kyllä 3 12{5} Suuri ikosaedri 5/2 | 2 3 (3.3.3.3.3)/2 Ih C69 W041 U53 K58 12 30 20 2 Kyllä 7 20{3} Pieni tähti- dodekaedri 5 | 2 5/2 (5/2)5 Ih C43 W020 U34 K39 12 30 12 -6 Kyllä 3 12{5/2} Suuri tähti- dodekaedri 3 | 2 5/2 (5/2)3 Ih C68 W022 U52 K57 20 30 12 2 Kyllä 7 12{5/2} === Kvasisäännölliset uniformiset tähtimonitahokkaat === Nimi Kuva Wythoffin symboli Kärki- kuvio Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien- toituva? Tiheys Tahkojen tyypit Suuri ikosidodekaedri 2 | 5/2 3 (5/2.3)2 Ih C70 W094 U54 K59 30 60 32 2 Kyllä 7 20{3}+12{5/2} Dodeka- dodekaedri 2 | 5/2 5 (5/2.5)2 Ih C45 W073 U36 K41 30 60 24 -6 Kyllä 3 12{5}+12{5/2} Pieni trigonaarinen ikosidodekaedri 3 | 5/2 3 (5/2.3)3 Ih C39 W070 U30 K35 20 60 32 -8 Kyllä 2 20{3}+12{5/2} Ditrigonaalinen dodekadodekaedri 3 | 5/3 5 (5/3.5)3 Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 Kyllä 4 12{5}+12{5/2} Suuri ditrigonaalinen ikosidodekaedri 3/2 | 3 5 (5.3.5.3.5.3)/2 Ih C61 W087 U47 K52 20 60 32 -8 Kyllä 6 20{3}+12{5} |} === Muut uniformiset tähtimonitahokkaat === Nimi Kuva Wythoffin symboli Kärki- kuvio Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien- toituva? Tiheys Tahkojen tyypit Oktahemioktaedri 3/2 3 | 3 6.3/2.6.3 Oh C37 W068 U03 K08 12 24 12 0 Kyllä 8{3}+4{6} Tetrahemiheksaedri 3/2 3 | 2 4.3/2.4.3 Td C36 W067 U04 K09 6 12 7 1 Ei 4{3}+3{4} Kubohemioktaedri 4/3 4 | 3 6.4/3.6.4 Oh C51 W078 U15 K20 12 24 10 -2 Ei 6{4}+4{6} Pieni rombiheksaedri 2 4 (3/2 4/2) | 4.8.4/3.8/7 Oh C60 W086 U18 K23 24 48 18 -6 Ei 12{4}+6{8} Pieni kubikuboktaedri 3/2 4 | 4 8.3/2.8.4 Oh C38 W069 U13 K18 24 48 20 -4 Kyllä 2 8{3}+6{4}+6{8} Ei-kupera suuri rombikuboktaedri 3/2 4 | 2 4.3/2.4.4 Oh C59 W085 U17 K22 24 48 26 2 Kyllä 5 8{3}+(6+12){4} Pieni dodekahemi- dodekaedri 5/4 5 | 5 10.5/4.10.5 Ih C65 W091 U51 K56 30 60 18 -12 Ei 12{5}+6{10} Suuri dodekahemi- ikosaedri 5/4 5 | 3 6.5/4.6.5 Ih C81 W102 U65 K70 30 60 22 -8 Ei 12{5}+10{6} Pieni ikosihemi- dodekaedri 3/2 3 | 5 10.3/2.10.3 Ih C63 W089 U49 K54 30 60 26 -4 Ei 20{3}+6{10} Pieni dodekikosaedri 3 5 (3/2 5/4) | 10.6.10/9.6/5 Ih C64 W090 U50 K55 60 120 32 -28 Ei 20{6}+12{10} Pieni rombidodekaedri 2 5 (3/2 5/2) | 10.4.10/9.4/3 Ih C46 W074 U39 K44 60 120 42 -18 Ei 30{4}+12{10} Pieni dodekikosi- dodekaedri 3/2 5 | 5 10.3/2.10.5 Ih C42 W072 U33 K38 60 120 44 -16 Kyllä 2 20{3}+12{5}+12{10} Rombikoksaedri 2 3 (5/4 5/2) | 6.4.6/5.4/3 Ih C72 W096 U56 K61 60 120 50 -10 Ei 30{4}+20{6} Suuri ikosikosi- dodekaedri 3/2 5 | 3 6.3/2.6.5 Ih C62 W088 U48 K53 60 120 52 -8 Kyllä 6 20{3}+12{5}+20{6} Tähtimäinen typistetty heksaedri 2 3 | 4/3 8/3.8/3.3 Oh C66 W092 U19 K24 24 36 14 2 Kyllä 7 8{3}+6{8/3} Suuri rombiheksaedri 2 4/3 (3/2 4/2) | 4.8/3.4/3.8/5 Oh C82 W103 U21 K26 24 48 18 -6 Ei 12{4}+6{8/3} Suuri kubikuboktaedri 3 4 | 4/3 8/3.3.8/3.4 Oh C50 W077 U14 K19 24 48 20 -4 Kyllä 4 8{3}+6{4}+6{8/3} Suuri dodekahemi- dodekaedri 5/35/2 | 5/3 10/3.5/3.10/3.5/2 Ih C86 W107 U70 K75 30 60 18 -12 Ei 12{5/2}+6{10/3} Pieni dodekahemi- ikosaedri 5/35/2 | 3 6.5/3.6.5/2 Ih C78 W100 U62 K67 30 60 22 -8 Ei 12{5/2}+10{6} Suuri ikosihemi- dodekaedri 3/2 3 | 5/3 10/3.3/2.10/3.3 Ih C85 W106 U71 K76 30 60 26 -4 Ei 20{3}+6{10/3} Kubitypistetty kuboktaedri 4/3 3 4 | 8/3.6.8 Oh C52 W079 U16 K21 48 72 20 -4 Kyllä 4 8{6}+6{8}+6{8/3} Suuri typistetty kuboktaedri 4/3 2 3 | 8/3.4.6/5 Oh C67 W093 U20 K25 48 72 26 2 Kyllä 1 12{4}+8{6}+6{8/3} Typistetty suuri dodekaedri 2 5/2 | 5 10.10.5/2 Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 -6 Kyllä 3 12{5/2}+12{10} Pieni tähtimäinen typistetty dodekaedri 2 5 | 5/3 10/3.10/3.5 Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 -6 Kyllä 9 12{5}+12{10/3} Suuri tähtimäinen typistetty dodekaedri 2 3 | 5/3 10/3.10/3.3 Ih C83 W104 U66 K71 60 90 32 2 Kyllä 13 20{3}+12{10/3} Typistetty suuri ikosaedri 2 5/2 | 3 6.6.5/2 Ih C71 W095 U55 K60 60 90 32 2 Kyllä 7 12{5/2}+20{6} Suuri dodekikosaedri 3 5/3(3/2 5/2) | 6.10/3.6/5.10/7 Ih C79 W101 U63 K68 60 120 32 -28 Ei 20{6}+12{10/3} Suuri rombidodekaedri 2 5/3 (3/2 5/4) | 4.10/3.4/3.10/7 Ih C89 W109 U73 K78 60 120 42 -18 Ei 30{4}+12{10/3} Ikosidodeka- dodekaedri 5/3 5 | 3 6.5/3.6.5 Ih C56 W083 U44 K49 60 120 44 -16 Kyllä 4 12{5}+12{5/2}+20{6} Pieni trigonaalinen dodekikosi- dodekaedri 5/3 3 | 5 10.5/3.10.3 Ih C55 W082 U43 K48 60 120 44 -16 Kyllä 4 20{3}+12{;5/2}+12{10} Suuri trigonaalinen dokekikosi- dodekaedri 3 5 | 5/3 10/3.3.10/3.5 Ih C54 W081 U42 K47 60 120 44 -16 Kyllä 4 20{3}+12{5}+12{10/3} Suuri dodekikosi- dodekaedri 5/2 3 | 5/3 10/3.5/2.10/3.3 Ih C77 W099 U61 K66 60 120 44 -16 Kyllä 10 20{3}+12{5/2}+12{10/3} Pieni ikosikosi- dodekaedri 5/2 3 | 3 6.5/2.6.3 Ih C40 W071 U31 K36 60 120 52 -8 Kyllä 2 20{3}+12{5/2}+20{6} Rombodideka- dodekaedri 5/2 5 | 2 4.5/2.4.5 Ih C48 W076 U38 K43 60 120 54 -6 Kyllä 3 30{4}+12{5}+12{5/2} Suuri rombikosi- dodekaedri 5/3 3 | 2 4.5/3.4.3 Ih C84 W105 U67 K72 60 120 62 2 Kyllä 13 20{3}+30{4}+12{5/2} Ikositypistetty dodeka- dodekaedri 5/3 3 5 | 10/3.6.10 Ih C57 W084 U45 K50 120 180 44 -16 Kyllä 4 20{6}+12{10}+12{10/3} Typistetty dodeka- dodekaedri 5/3 2 5 | 10/3.4.10/9 Ih C75 W098 U59 K64 120 180 54 -6 Kyllä 3 30{4}+12{10}+12{10/3} Suuri typistetty ikosidodekaedri 5/3 2 3 | 10/3.4.6 Ih C87 W108 U68 K73 120 180 62 2 Kyllä 13 30{4}+20{6}+12{10/3} Pullistettu dodeka- dodekaedri | 2 5/2 5 3.3.5/2.3.5 I C49 W111 U40 K45 60 150 84 -6 Kyllä 3 60{3}+12{5}+12{5/2} Invertoitu pullistettu dodeka- dodekaedri | 5/3 2 5 3.5/3.3.3.5 I C76 W114 U60 K65 60 150 84 -6 Kyllä 9 60{3}+12{5}+12{5/2} Suuri pullistettu ikosidodekaedri | 2 5/2 3 34.5/2 I C73 W116 U57 K62 60 150 92 2 Kyllä 7 (20+60){3}+12{5/2} Suuri invertoitu pullistettu ikosidodekaedri | 5/3 2 3 34.5/3 I C88 W113 U69 K74 60 150 92 2 Kyllä 13 (20+60){3}+12{5/2} Suuri retropullistettu ikosidodekaedri | 3/25/3 2 (34.5/2)/2 I C90 W117 U74 K79 60 150 92 2 Kyllä 37 (20+60){3}+12{5/2} Suuri pullistettu dodekikosi- dodekaedri | 5/35/2 3 33.5/3.3.5/2 I C80 W115 U64 K69 60 180 104 -16 Kyllä 10 (20+60){3}+(12+12){5/2} Pullistettu ikosidodeka- dodekaedri | 5/3 3 5 33.5.5/3 I C58 W112 U46 K51 60 180 104 -16 Kyllä 4 (20+60){3}+12{5}+12{5/2} Pieni pullistettu ikosikosi- dodekaedri | 5/2 3 3 35.5/2 Ih C41 W110 U32 K37 60 180 112 -8 Kyllä 2 (40+60){3}+12{5/2} Pieni retropullistettu ikosikosi- dodekaedri | 3/23/25/2 (35.5/3)/2 Ih C91 W118 U72 K77 60 180 112 -8 Kyllä 38 (40+60){3}+12{5/2} Suuri dirombikokosi- dodekaedri | 3/25/3 3 5/2 (4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2 Ih C92 W119 U75 K80 60 240 124 -56 Ei 40{3}+60{4}+24{5/2} Luetteloon voidaan lisätä vielä seuraava suuri kaksoispullistettu dirombododekaedri, jonka 360 särmästä 240 on pareittain päällekkäin muodostaen 120 kahden yhtyvän särmän paria. Koska sen särmät ovat tällä tavoin degeneroituneet, sitä ei aina lueta uniformisiin monitahokkaisiin kuuluvaksi. Jos nämä 120 paria lasketaan kukin yhdeksi särmäksi, jossa toisensa kohtaa neljä tahkoa, kappaleella on vain 240 särmää, ja sen Eulerin karakteristikaksi saadaan 24. Nimi Kuva Wythoffin symboli Kärki- kuvio Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien- toituva? Tiheys Tahkojen tyypit Suuri kaksoispullistettu dirombidodekaedri | (3/2) 5/3 (3) 5/2 (5/2.4.3.3.3.4. 5/3. 4.3/2.3/2.3/2.4)/2 Ih \-- -- -- -- 60 360 (*) 204 -96 Ei 120{3}+60{4}+24{5/2} == Lähteet == * * * * === Viitteet === == Aiheesta muualla == Luokka:Monitahokkaat