Sivuluokka

Sivuluokka on matematiikan osa-alueen ryhmäteorian käsite. Jos H on ryhmän G aliryhmä ja a \in G \ , niin ryhmän G osajoukkoa :aH = \left\\{ ah | h \in H \right\\} kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti osajoukkoa :Ha = \left\\{ ha | h \in H \right\\} kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän H oikeaksi sivuluokaksi. Vasempia ja oikeita sivuluokkia kutsutaan yhteisellä nimellä sivuluokka, mikäli puolella ei ole merkitystä. Yleisessä tapauksessa tosin aH ot = Ha \ . Aliryhmää H, jolla pätee aH = Ha \ kaikilla a \in G \ sanotaan ryhmän G normaaliksi aliryhmäksi. Esimerkiksi kaikkien Abelin ryhmien aliryhmät ovat normaaleja. Sivuluokilla on merkittävä osa ryhmäteoreettisissa tarkasteluissa. Sivuluokkien avulla voidaan esimerkiksi helposti todistaa Lagrangen lause ja ne esiintyvät myös ryhmän tekijäryhmien alkioina. ==Ominaisuuksia== Olkoon H on ryhmän G aliryhmä ja a,b \in G \ . Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä *alkio b kuuluu alkion a määräämään aliryhmän H vasempaan sivuluokkaan, *aH = bH \ eli alkioiden a ja b määräämät aliryhmän H vasemmat sivuluokat ovat samat, *Ha^{-1} = Hb^{-1} \ eli alkioiden a ja b käänteisalkioiden määräämät aliryhmän H oikeat sivuluokat ovat samat ja *a^{-1}b \in H. \ Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu hyödylliseksi, sillä relaatio a \sim b \ : a^{-1}b \in H \ kaikilla a,b \in G \ on joukon G ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän H vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja :G = \bigcup_{a \in G} aH \ eli ryhmä G voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä H on eräs omista sivuluokistaan. Koska funktio :f: H \rightarrow aH, f(h) = ah \ on bijektio kaikilla a \in G \ , niin aliryhmällä H on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli H on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän H kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota. Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus :g: \left\\{ aH | a \in G \right\\} \rightarrow \left\\{ Ha | a \in G \right\\}, f(aH) = Ha^{-1} \ on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän H vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän H oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän H indeksiksi ryhmässä G. Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli H \leq G \ ja aliryhmän indeksi ryhmässä G on n, niin voidaan valita sellaiset alkiot t_1, t_2, \ldots, t_n \in G \ , että lista t_1H, t_2H, \ldots, t_nH sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista Ht_1, Ht_2, \ldots, Ht_n sisältää kaikki oikeat sivuluokat. ==Muuta huomionarvoista== Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä aH ja Ha, additiivisessa a + H ja H + a. Tässä merkinnässä H:n paikalle ajatellaan sijoitetuksi jokainen H:n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot. Erityisesti renkaiden ollessa kyseessä sivuluokkia kutsutaan myös jäännösluokiksi. == Lähteet == Luokka:Ryhmäteoria