Riemannin zeeta-funktio

Matematiikassa Riemannin zeeta-funktio on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta. ==Määritelmä== Riemannin zeeta-funktio \zeta(s) on määritelty kompleksiluvuille s, joiden reaaliosa > 1, summaksi :\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}. Alueessa \\{s \in \mathbb{C}: \mathrm{Re~} s > 1\\} tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen. Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä 1. Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa. ==Integraaleja== Jos s\in\mathbb{C}\setminus\\{1\\} pätevät kaavat : \zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t ja : \zeta(s)= \frac{1}{s-1} + \frac12+2\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{2\,\pi\,t}-1)}\,\mathrm{d}t. Jos 0 on : \int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \\!. Integraali zeetafunktion derivaatalle on : {\zeta'(s) = 2^{s-1}\left(\frac{\log 2}{s-1} -\frac{1}{(s-1)^2} + \int \limits_0^\infty \frac{2 \arctan t \cdot \cos(s \arctan t) + \log \frac{4}{1 + t^2} \cdot \sin( s \arctan t)}{(1 + t^2)^{\frac{s}{2}} \cdot (e^{\pi t} + 1)} \mathrm{d}t\right) } joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun s=1. ==Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion== :\sum_{k=2}^\infty \zeta(k) x^{k-1}=-\psi_0(1-x)-\gamma missä ψ0 on digammafunktio. :\sum_{n=2}^\infty (\zeta(n) -1) = 1 :\sum_{n=1}^\infty (\zeta(2n) -1) = \frac{3}{4} :\sum_{n=1}^\infty (\zeta(2n+1) -1) = \frac{1}{4} :\sum_{n=2}^\infty (-1)^n(\zeta(n) -1) = \frac{1}{2} : \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{2^{2n}} = \frac16 : \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{4^{2n}} = \frac{13}{30}-\frac{\pi}{8} : \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{8^{2n}} = \frac{61}{126}-\frac{\pi}{16}(\sqrt2+1) : \sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(4n)-1) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right) : \log 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n} : \log \pi=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(2(\tfrac32)^n-3)(\zeta(n)-1)}{n}. Sarjoja Eulerin vakiolle: :\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n} = \gamma :\sum_{n=2}^\infty \frac{\zeta(n) - 1}{n} = 1 - \gamma :\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)-1}{n} = \ln2 + \gamma - 1 : \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n2^{n-1}} = \gamma - \log \frac{4}{\pi} :\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)\ 2^{2n}} = 1+\log \frac{2}{3}-\gamma. Sarja Catalanin vakiolle: : \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1)\ \frac{3^n-1}{4^n}\ \zeta(n+2) = G . :\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} t^{2n} \left[\zeta(2n)-1\right] = \frac{t^2}{1+t^2} + \frac{1-\pi t}{2} - \frac {\pi t}{e^{2\pi t} -1} :\sum_{k=0}^\infty \frac {\zeta(k+n+2)-1}{2^k} {{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta(n+2)-1 :\sum_{k=0}^\infty {k+ u+1 \choose k} \left[\zeta(k+ u+2)-1\right] = \zeta( u+2) :\sum_{k=0}^\infty {k+ u+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+ u+2)-1\right] = 1 :\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+ u+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+ u+2)-1\right] = 2^{-( u+1)} :\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+ u+1 \choose k+2} \left[\zeta(k+ u+2)-1\right] = u \left[\zeta( u+1)-1\right] - 2^{- u} :\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+ u+1 \choose k} \left[\zeta(k+ u+2)-1\right] = \zeta( u+2)-1 - 2^{-( u+2)} == Katso myös == * Zeeta-funktio == Lähteet == == Kirjallisuutta == * Luokka:Kompleksianalyysi Luokka:Analyyttinen lukuteoria Luokka:Erikoisfunktiot