Vedamatematiikka

Vedamatematiikka on kokoelma pikalaskemisen sääntöjä. Se perustuu 16 sutraan ja 13 upa-sūtraan eli seurauslauseeseen, joiden väitetään kattavan koko matematiikan. Ne esitti 1900-vuosisadan alussa hinduoppinut ja matemaatikko Jagadguru Swami Sri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja. == 16 Sūtraa ja upa- sūtrat == === Sūtrat eli kaavat === Sūtrien nimien suomennokset on tehty englanninkielisistä nimistä. # EKĀDHIKENA PŪRVEŅA () # NIKHILAM NAVATAS’CARAMAM DASATAH () # ŨRDHVA TIRYAGBHYĀM () # PARĀVARTYA – YOJAYET () # SŨNYAM SĀMYASAMUCCAYE () # ĀNURŨPYE ŚŨNYAMANYAT () # SAŃKALANA – VYAVAKALANĀBHYAM () # PŨRANĀPŨRAŅĀBHYĀM () # CALANA - KALANĀBHYĀM () # EKANYŨŅENA PŨRVENA () # YĀVADŨNAM () # VYAŞŢISAMAŞŢIH () # ŚEŞĀNYAŃ KENA CARAMEŅA () # SOPĀNTYADVAYAMANTYAM () # GUŅITASAMUCCAYAH () # GUŅAKA SAMUCCAYAH () === Upa-sūtrat tai seurauslauseet === Upa-sūtrat ovat seurauksia tai edistyneitä sovelluksia sūtrista. # ĀNURŨPYENA () # S’ISYATE S’ESASAMJ ÑAH # ĀDYAMĀDYENĀNTYA - MANTYENA () # KEVALAIH SAPTAKAMGUNYAT # VESTANAM # YAVADŨNAM TAVADŨNAM # YĀVADŨNAM TĀVADŨNĪKŖTYA VARGAÑCA YOJAYET () # ANTYAYOR DAŚAKE′PI () # ANTYAYOREVA () # SAMUCCAYAGUNITAH # LOPANASTHĀPANĀBHYĀM () # VILOKANAM () # GUNÌTA SAMUCCAYAH - SAMUCCAYA GUŅÌTAH () == Esimerkkejä sūtrien soveltamisesta ja niiden algebrallisia todistuksia == Sūtrat ja upa-sūtrat ovat oleellisesti muistisääntöjä ja laskuteknisiä ohjeita, joiden tarkoitus on helpottaa ja nopeuttaa käytännön laskemista. Siksi ne ymmärtää parhaiten esimerkkien avulla. === Yhtä suuremmalla kuin edellinen === Sūtra EKĀDHIKENA PŪRVEŅA eli suomeksi "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" on jako- ja kertolaskuun liittyvä laskutekninen ohje. Sillä on kaksi sovellusta. ==== Kertolasku: Numeroon 5 päättyvien lukujen neliöt ==== Lasketaan 25². Luku on 25. Viimeinen numero on siis 5 ja edellinen on 2. Nyt "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" tarkoittaa lukua 2+1=3. Nyt kerrotaan "edellinen" numero (2) "yhtä suuremmalla" (3). Näin saadaan tulon vasen puoli: 2 * 3 = 6. Tulon oikea puoli on 5² = 25. Siis 25² = 2 X 3 / 25 = 625. (Merkki "/" ei tässä ole jakomerkki; se vain erottaa vasemman ja oikean puolen.) Samoin, 35²= 3 X (3+1) /25 = 3 X 4/ 25 = 1225; 105²= 10 X 11/25 = 11025; ===== Todistus ===== Käytetään kaavaa (ax + b)² = a²x² + 2abx + b². Sijoitetaan kaavaan x = 10 ja b = 5. Tällöin :(10a + 5)² = 10²a² + 2* 10a * 5 + 5² :::= 10²a² + 10²a + 5² :::= 10²(a²+ a ) + 5² :::= 100a (a + 1) + 25. Nyt tulon vasen puoli on a(a + 1) ja oikea puoli 25. M.O.T. ==== Jakolasku: Yhdeksään päättyvien lukujen yksikkömurrot ==== "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" -sutran avulla voidaan laskea helposti muotoa 1/a9, missä a on luonnollinen luku, olevien murtolukujen desimaalikehitelmät. Tämä voidaan tehdä sekä jakamalla että kertomalla. Tässä esitellään jakolasku Laskutavat esitellään P. Satyanarayana Sarman teoksen Vedic Mathematics – Methods verkkoversiossa sivulla http://www.vedamu.org/Mathematics/MathematicalFormulae/Sutras/sutras.asp otsikko ii) Vulgar fractions whose denominators are numbers ending in NINE. Esimerkissämme nimittäjä on 19, joten on purva ("edellinen") 1 ja yhtä suurempi on 1+1=2. Sovelletaan sutraa tässä kontekstissa. Sovitaan lisäksi merkinnästä a;b, jossa a tarkoittaa osamäärää ja b jakojäännöstä. Askel 1: Jaa 1 luvulla 20, eli 1:20 = 0;1. Saadaan 0.10\. Askel 2: 10:2=5;0. Saadaan 0,005\. Askel 3: 5:2 = 2;1. Saadaan 0,0512\. Askel 4: 12:2 = 6;0. Saadaan 0,05206\. Askel 5: 6:2 = 3;0. Saadaan 0,052603\. Askel 6: 3:2 = 1;1. Saadaan 0,0526311\. Askel 7: 11:2 = 5;1. Saadaan 0,05263115\. Askel 8: 15:2 = 7;1. Saadaan 0,052631517\. Askel 9: 17:2 = 8;1. Saadaan 0,0526315718\. Askel 10: 18:2 = 9;0. Saadaan 0,05263157809\. Askel 11: 9:2 = 4;1. Saadaan 0,052631578914\. Askel 12: 14:2 = 7;0. Saadaan 0,0526315789407\. Askel 13: 7:2 = 3;1. Saadaan 0,05263157894713\. Askel 14: 13:2 = 6;1. Saadaan 0,052631578947316\. Askel 15: 16:2 = 8;0. Saadaan 0,0526315789473608\. Askel 16: 8:2 = 4;0. Saadaan 0,05263157894736804\. Askel 17: 4:2 = 2;0. Saadaan 0,052631578947368402\. Askel 18: 2:2 = 1;0. Saadaan 0,0526315789473684201\. Algoritmin suoritus voidaan keskeyttää tähän, koska seuraavaksi suoritetaan 1:2, jolloin ollaan taas askeleessa 1. Vastaus on siis \frac{1}{19} = 0{,}052631578947368421052631578947368421.... Huomataan myös, että vastaus voidaan lukea helposti askelien osamääristä: 0,5,2,6, jne. ==Lähteet== == Aiheesta muualla == *Sri Sathya Sai Veda Pratishtan Luokka:Aritmetiikka