Nollanjakaja

Renkaan R alkiota a kutsutaan vasemmanpuoleiseksi nollanjakajaksi, jos R:ssä on nollasta poikkeava x siten, että ax = 0. Vastaavasti renkaan alkiota a kutsutaan oikeaksi nollan jakajaksi, jos R :ssä on nollasta poikkeava y, jolla ya = 0 . Nollanjakaja on alkio, joka on vasen tai oikea nollan jakaja. Kaksipuolinen nollanjakaja on alkio, joka on sekä vasen että oikea nollan jakaja (nollasta poikkeava x, jolla ax = 0 voi olla eri kuin nollasta poikkeava y, jolla ya = 0). Jos rengas on kommutoiva, niin vasemmat ja oikeat nollanjakaja ovat samat. Kommutatiivinen rengas R on kokonaisalue, jos 0 on sen ainoa nollanjakaja mutta R e\\{0\\}. == Esimerkkejä == * Renkaassa \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, jakojäännösluokka \overline{2} on nollajakaja, koska \overline{2} \times \overline{2}=\overline{4}=\overline{0} . * Kokonaislukujen renkaan \mathbb{Z} ainoa nollanjakaja on 0. * Nollasta poikkeavan renkaan nilpotentti elementti on aina kaksipuolinen nollanjakaja. * Renkaan idempotentti alkio e e 1 on aina kaksipuolinen nollanjakaja, koska e(1-e)=0=(1-e)e . * n × n-neliömatriisien rengas jonkin kunnan yli omaa nollasta poikkeavia nollanjakajia, jos n ≥ 2. Esimerkkejä nollan jakajista 2×2-matriiseilla (millä tahansa nollasta poikkeavalla renkaalla) näytetään tässä: \begin{pmatrix}1&1\\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\\0&0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&0\\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\\0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\0&0\end{pmatrix}. === Yksipuolinen nollajakaja === * Käsitellään rengasta (muodollisista) matriiseista\begin{pmatrix}x&y;\\\0&z;\end{pmatrix} missä x,z\in\mathbb{Z} ja y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Tällöin \begin{pmatrix}x&y;\\\0&z;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b;\\\0&c;\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb;+yc\\\0&zc;\end{pmatrix} ja \begin{pmatrix}a&b;\\\0&c;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y;\\\0&z;\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya;+zb\\\0&zc;\end{pmatrix}. Jos x e0 e z, niin \begin{pmatrix}x&y;\\\0&z;\end{pmatrix} on vasen nollanjakaja jos ja vain jos x on parillinen, koska \begin{pmatrix}x&y;\\\0&z;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x;\\\0&0\end{pmatrix}, ja se on oikea nollanjakaja jos ja vain jos z is parillinen (vastaavista syistä). Jos x tai z on 0, se on kaksipuolinen nollanjakaja. == Ominaisuuksia == * Tarkastellaan n × n matriisia jonkin kunnan yli. Tällöin vasemmat ja oikeat nollanjakajat ovat samat ja ne ovat sama joukko kuin singulaarimatriisit. n × n-matriisien renkaassa kokonaisideaalialueen yli nollanjakajat täsmälleen ne matriisit, joiden determinantti nolla. * Vasen tai oikea nollan jakaja ei voi koskaan olla yksikköä, koska jos a on käännettävä ja ax = 0 jollekin nollasta poikkeavalle x lle, niin 0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x, mikä on ristiriita. * Jos a ei ole vasen nollanjakaja, niin ax = ay tarkoittaa, että x = y. * Jos b ei ole oikea nollanjakaja, niin xb = yb tarkoittaa, että x = y. == Modulin nollanjakaja == Olkoon R kommutatiivinen rengas, olkoon M R-moduuli ja a R:n alkio. Sanotaan, että a on M -säännöllinen, jos "kertominen a:lla" eli M \,\stackrel{a}\to\, M on injektiivinen, muutoin sanotaan, että a on M:n nollajakaja. Tämän sivun alussa annettu määritelmä on tuon määritelmän rajoittuma tapaukseen M=R. == Aiheesta muualla == * Zero divisor, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] * Weisstein, Eric W. Zero Divisor. MathWorld. Luokka:Nolla Luokka:Rengasteoria Luokka:Abstrakti algebra