Kombinaatio

Kombinatorisessa matematiikassa joukon alkioiden kombinaatio on joukon osajoukko. k-kombinaatio on joukon S osajoukko, jossa on k kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole merkitystä kombinaatioissa: kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä, esittävät samaa kombinaatiota. Sen sijaan variaatiossa jäsenten järjestyksellä on merkitystä eli eri järjestys on eri variaatio. k-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "n yli k:n", joka kirjoitetaan yleensä :{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, missä :k = kombinaation jäsenten lukumäärä, :n = pääjoukon S jäsenten lukumäärä. Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä. Oheisessa taulukossa on eräitä kombinaation C(n, k) arvoja. Erityisesti C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n ja C(n, n) = 1. Voidaan myös kirjoittaa differenssiyhtälö : C(n, k) = C(n – 1, k) + C(n – 1, k – 1) eli taulukkoarvo saadaan kahden aikaisemmin lasketun summana. Edelleen havaitaan, että sarakkeella n olevien lukujen summa on : \sum_{k=0}^n C(n, k) = 2^n k luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa 6 1 5 1 6 4 1 5 15 3 1 4 10 20 2 1 3 6 10 15 1 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 n 1 2 4 8 16 32 64 2^n Kombinaatio voidaan esittää myös lukumäärän laskemista kuvaavilla summalausekkeilla: : \binom{n}{1} = \sum_{i=1}^n 1 , : \binom{n}{2} = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n 1 , : \binom{n}{3} = \sum_{i=1}^{n-2} \sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{k=j+1}^{n} 1 , jne. == Esimerkkejä == === Esimerkki 1. === C(5, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa viiden henkilön joukosta. Lasketaan se: {5 \choose 3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 5 \cdot 2 = 10. === Esimerkki 2. === Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan k numeroa oikein (0 \le k \le 7): Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaan laskemalla kaikki 7:n oikean numeron k-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita k numeroa (muista, että k on korkeintaan 7): :{7 \choose k} Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla: :{7 \choose k} {32 \choose 7-k} siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen k numeroa oikein ja 7-k väärin. Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä {39 \choose 7}: :{7 \choose k} {32 \choose 7-k} : {39 \choose 7} Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on {7 \choose 5} {32 \choose 7-5} : {39 \choose 7} = {7 \choose 5} {32 \choose 2} : {39 \choose 7} = 21 \cdot 496 : 15 380 937 = 10416 : 15 380 937 \approx 1 : 1477 \approx 0{,}0006772 == Katso myös == * Permutaatio == Lähteet == == Aiheesta muualla == Luokka:Joukko-oppi Luokka:Kombinatoriikka Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit