Vuorotteleva sarja

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa S = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\,a_k = a_1 - a_2 + a_3 -a_4 + \ldots oleva sarja, missä \,a_k >0 \, \, jokaisella \, k = 1,2, \ldots Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien S_n = \sum_{k= 1}^{n}(-1)^{k-1} a_k = a_1 - a_2 + \ldots + a_n muodostama jono (S_n)_{n=0}^{\infty} suppenee. == Leibnizin kriteerio == Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista. Lause: Sarja S = u_1 - u_2 + u_3 - \ldots + u_{2n-1} - u_{2n} + \ldots, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis u_0 > u_1 > u_2 > \ldots > u_n > \ldots > 0, \; \text{ja } \; \lim_{k \to \infty} a_k = 0 . Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono (u_k) suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan S termit kaksittain S = (u_1 - u_2) + (u_3-u_4) + \ldots + (u_{2k-1} - u_{2k} \ldots), niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun S_2 < S_4 < S_6 \ldots < S_{2n} < \ldots . Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme S = u_1 - (u_2 - u_3) - (u_4 - u_5) - \ldots . Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen S_1 > S_3 > S_5 > \ldots > S_{2n-1}> \ldots . Yhtälöstä : S_{2n} - S_{2n-1} = -u_{2n} seuraa edelleen, että S_{2n-1} > S_{2n}, oli summausindeksi n mikä hyvänsä. Lopulta, koska oletimme ehdon \lim_{n \to \infty} u_n = 0 olevan voimassa, saamme \lim_{n \to \infty} S_{2n} - S_{2n-1} = 0. Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa S . Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono S_n suppenee ja \lim_{n \to \infty} S_n = S. ==Sarjan summan arvioiminen== Vuorottelevan sarjan summaa S voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia S_n . Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä S - S_n = \sum_{k =1}^{\infty}(-1)^{k-1} u_k - \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} u_k = \sum_{k=n+1}^\infty (-1)^{k-1} u_k = u_{n+1} - (u_{n+2} - u_{n+3}) - (u_{n+4} - u_{n+5}) - \ldots \leq u_{n+1} ja näin saadaan virhetermille arvio |R_n| = |S - S_n | = |\sum_{k =1}^{\infty}(-1)^{k-1} u_k - \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} u_k| \leq |u_{n+1}| ==Itseisesti suppeneva sarja== Sarja \sum u_k on itseisesti suppeneva, jos sarja \sum |u_k| suppenee. Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä. Todistus: Oletetaan, että sarja \sum u_k suppenee itseisesti. Tällöin sarjat \sum |u_k| ja \sum 2 |u_k| suppenevat. Koska epäyhtälöt : 0 \leq u_k + |u_k| \leq 2 |u_k| ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja \sum u_k + |u_k| suppenee. Näin ollen \sum a_k suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä \sum a_k = \sum (a_k + |a_k|) - \sum |a_k|. Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana. ==Ehdollinen suppeneminen== Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k} hajaantuu. Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä. \ln (2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots . Järjestetään termit uudelleen seuraavasti: \begin{align} & {} \quad \left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)-\frac{1}{12}+\cdots \\\\[8pt] & = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots \\\\[8pt] & = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots\right)= \frac{1}{2} \ln(2), \end{align} jolloin päädyttäisiin tulokseen : \ln (2) = \frac{1}{2} \ln (2), mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa. ==Katso myös== * Sarja (matematiikka) * Harmoninen sarja ==Lähteet== ==Kirjallisuutta== * Luokka:Matemaattiset sarjat