Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa

Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa Involutionaalinen symmetria Cs, (*) [ ] = Syklinen symmetria Cnv, (*nn) [n] = Diedrinen symmetria Dnh, (*n22) [n,2] = Polyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32) Polyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32) Polyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32) Polyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32) Tetraedrinen symmetria Td, (*332) [3,3] = Oktaedrinen symmetria Oh, (*432) [4,3] = Ikosaedrinen symmetria Ih, (*532) [5,3] = Diedrinen symmetria on geometriassa sellaisen kolmiulotteisen kappaleen tai pistejoukon symmetria, jolla on symmetriaryhmänä jokin abstakti diedriryhmä Dihn ( n ≥ 2 ). Eri tavoin diedrisesti symmetrisiä kappaleita ovat muun muassa särmiöt, bipyramidit, antiprismat ja trapetsoedrit. Tällaiselle kappaleelle voidaan suorittaa jonkin akselin ympäri 360/n asteen rotaatio, jolla se kuvautuu itselleen, toisin sanoen tämä rotaatio on kappaleen symmetriaoperaatio. Lisäksi kappaleen symmetriaoperaatiota saattavat olla peilaukset eräiden tämän akselin kautta kulkevien tai sitä vastaan kohtisuorien tasojen suhteen. == Tyypit== Kolmessa ulottuvuudessa on kolme tyyppiä diedrisiä symmetrioita. Seuraavassa esitetään ne kaikki Schönfliesin, Coxeterin ja orbifoldimerkinnöillä. ;Kiraalinen: *Dn, [n,2]+, (22n) kertaluvun 2n – diedrinen symmetria eli para-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dihn) ;Akiraaliset: *Dnh, [n,2], (*22n), kertaluvun 4n – prismaattinen symmetria eli täysi orto-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dihn × Z2) *Dnd (tai Dnv), [2n,2+], (2*n), kertaluvun 4n – antiprismaattinen symmetria eli täysi gyro-n- kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dih2n) Kun luku n on annettu, kaikilla kolmella on n-kertainen pyörähdyssymmetria yhden akselin suhteen (rotaatiossa kulman 360°/n kappale ei muutu), ja kaksinkertainen symmetria kohtisuoran akselin suhteen. Arvolla n = ∞ nämä vastaavat kolmea friisiryhmää. Tässä on käytetty Schönfliesin merkintää sekä Coxeterin symbolia hakasuluissa ja orbifoldimerkintää tavallisissa suluissa. Termiä horisontaalinen (h) käytetään, kun rotaatioakseli on pystysuora. Kahdessa ulottuvuudessa symmetriaryhmä Dn sisältää peilauksia suorien suhteen. Kun kaksiulotteinen taso on asetettu vaakasuorasti kolmiulotteiseen avaruuteen, tällainen peilaus voidaan käsittää rajoittumaksi joko tämän tason peilauksesta pystysuoran tason suhteen tai 180°:n rotaatiosta peilaussuoran ympäri. Kolmessa ulottuvuudessa nämä ovat kaksi aivan eri operaatiota: ryhmä Dn sisältää vain rotaatiot, ei peilauksia. Saman kertaluvun pyramidaalinen symmetria Cnv muodostaa oman ryhmänsä. Heijastussymmetrialla n-kertaisen rotaation akselia vastaan kohtisuoran tason suhteen saadaan Dnh [n], (*22n). Dnh on säännöllisen n-kulmaisen särmiön ja myös säännöllisen n-sivuisen bipyramidin symmetriaryhmä. Dnd on säännöllisen n-sivuisen antiprisman ja Dn osittain kierretyn särmiön symmetriaryhmä. Tässä edellytetään, että n on vähintään 2, sillä seuraavat ryhmät ovat samoja: *D1 ja C2 ovat sama kertaluvun 2 ryhmä, johon kuuluu vain 180°:n rotaatio *D1h ja C2v ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tässä tasossa olevan suoran ympäri *D1d ja C2h ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tasoon nähden kohtisuorassa olevan suoran ympäri Tapauksessa n = 2 ei ole yhtä pääakselia ja kahta lisäakselia vaan kolme keskenään samankaltaista akselia. *D2 [2,2]+, (222) kertalukua 4 on yksi kolmesta symmetriaryhmätyypistä, jota vastaava abstrakti ryhmä on Kleinin neliryhmä. Sillä on kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia. Se on kuboidin symmetriaryhmä, kun siihen on merkitty S-kirjain kahdelle vastakkaiselle sivulle samoin päin suunnattuina. *D2h, [2,2], (*222) kertalukua 8 on kuboidin symmetriaryhmä. *D2d, [4,2+], (2*2) kertalukua 8 on muun muassa seuraavien kappaleiden symmetriaryhmä: * neliökuboidi, jonka yhteen neliömäiseen sivuun on piirretty lävistäjä ja toiseen sivuun sitä vastaan kohtisuora lävistäjä; *säännöllinen tetraedri, joka on venytetty kahden vastaakkaisen sivun keskipisteiden välisen janan suunnassa (D2d on tetraedrisen symmetrian Td aliryhmä); skaalauksella vähennetään symmetriaa. ==Aliryhmät== D2h, [2,2], (*222), aliryhmien hierarkia D4h, [4,2], (*224), aliryhmien hierarkia Ryhmällä Dnh, [n,2], (*22n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät: * Cnh, [n+,2], (n*), kertalukua 2n * Cnv, [n,1], (*nn), kertalukua 2n * Dn, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n Ryhmällä Dnd, [2n,2+], (2*n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät: * S2n, [2n+,2+], (n×), kertalukua 2n * Cnv, [n+,2], (n*), kertalukua 2n * Dn, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n Dnd on myös ryhmän D2nh aliryhmä. ==Esimerkkejä== D2h, [2,2], (*222) Kertaluku 8 D2d, [4,2+], (2*2) Kertaluku 8 D3h, [3,2], (*223) Kertaluku 12 koripallon saumat baseball-pallon saumat (kun saumausten suuntia ei oteta huomioon) rantapallo (kun värejä ei oteta huomioon) Dnh, [n], (*22n): särmiöitä D5h, [5], (*225): pentagrammipohjainen särmiö pentagrammipohjainen antiprisma D4d, [8,2+], (2*4): pullistettu neliöpohjainen antiprisma D5d, [10,2+], (2*5): viisikulmainen antiprisma viisikulmainen risteävä antiprisma pentagonaalinen trapetsoedri D17d, [34,2+], (2*17): 17-kulmainen antiprisma == Lähteet == * * * == Aiheesta muualla == * Luokka:Geometria Luokka:Ryhmäteoria