Euklidinen avaruus

Euklidinen avaruus on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat. Euklidista avaruudelle käytetään merkintöjä \mathbb{R}^n tai \mathbb{E}^n. Tunnetuin euklidinen avaruus on \mathbb{R}^1 eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso \mathbb{R}^2 ja kolmiulotteinen avaruus \mathbb{R}^3. Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla. == Johdanto == Esimerkiksi vektoriavaruuden \mathbb{R}^3 alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot (x,y,z). Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain: :(1,2,3)+(20,30,40)=(21,32,43). Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esimerkiksi :7\cdot(1,2,3)=(7,14,21). Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin. Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari, :(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz. Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen \mathbb{R}^3 normi eli pituusmitta: :\|(a,b,c)\|=\sqrt{(a,b,c)\cdot(a,b,c)}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin \mathbf x,\mathbf y\in\mathbb{R}^3 etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi: :d(\mathbf x,\mathbf y)=\|\mathbf x-\mathbf y\|. Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa \mathbb{R}^n. == Määritelmiä == Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli \mathbb{R}:n karteesisena tulona itsensä kanssa n kertaa. Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä n-jonoja, eli niissä on n kappaletta alkioita. Esimerkiksi ::\mathbf x=(x_1,x_2, \ldots, x_n). Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat n kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria: ::\mathbf{e}_1=(1,0,0,\ldots,0), ::\mathbf{e}_2=(0,1,0,\ldots,0), ::\vdots ::\mathbf{e}_n=(0,0,0,\ldots,1). \mathbb{R}^n:n mielivaltainen vektori merkitään ::\mathbf x=(x_1,x_2,...,x_n), missä reaaliluvut x_i ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana: ::\mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i. Lukua 0 vastaa nollavektori ::\mathbf 0=\underbrace{(0,0,\ldots,0)}_{n\ {\rm kpl}}. Kahden \mathbb {R}^n:n vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen: ::\mathbf x+\mathbf y=\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)\mathbf{e}_i. Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen: ::a\mathbf x=\sum_{i=1}^n(ax_i) \mathbf{e}_i. == Laskusääntöjä == Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. \mathbb{R}^n:n vektoreille \mathbf x ja \mathbf y se on ::\mathbf x \cdot \mathbf y=\sum_{i=1}^n x_iy_i. Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa: ::\|\mathbf x\|=\sqrt {\sum_{i=1}^n(x_i)^2}. Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille x ja y se on ::d(\mathbf x,\mathbf y)=\|\mathbf x-\mathbf y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i- y_i)^2} Kulma vektoreiden \mathbf x ja \mathbf y välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla: ::\theta= \cos^{-1} \left ( \dfrac{\mathbf x \cdot \mathbf y}{\|\mathbf x\|\|\mathbf y\|} \right ) . == Katso myös == * Eukleides == Lähteet == * * * === Viitteet === ==Kirjallisuutta== * * * Luokka:Lineaarialgebra Luokka:Euklidinen geometria Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit