Lp-avaruus

Matematiikassa Lp-avaruudet ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä. Lp-avaruuksia kutsutaan myös Lebesgue-avaruuksiksi Henri Lebesguen mukaan Dunford & Schwartz, 1958, III.3, joskin BourbakinBourbaki 1987 mukaan ne esitteli ensimmäisenä RieszRiesz 1910. Lp-avaruudet ovat tärkeitä Banach- avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla. ==Motivaatio == Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset Lp-avaruudet eli Lp-normit reaaliselle vektoriavaruudelle Rn. Kahden vektorin summa avaruudessa Rn määritellään :\ (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n), ja skalaarilla (eli reaaliluvulla) \lambda kertominen :\ \lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n). Vektorin x = (x1, x2, …, xn) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla :\ \|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{1/2}, mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin x pituus. Jos p on reaaliluku, p ≥ 1, niin vektorin x Lp-normi määritellään :\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}. Näin ollen L2 on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys L1 on koordinaattien erojen summa). Tämä on tapana laajentaa arvolle p = ∞ määrittelemällä :\ \|x\|_\infty=\max \left\\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\\}, mikä on sama kuin raja-arvo Lp- normista, kun p lähestyy ääretöntä. Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla p ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot. Millä tahansa arvolla p ≥ 1 avaruus Rn varustettuna Lp-normilla (eli p-normilla) on Banach-avaruus. === Kun 0 < p < 1 === Avaruudessa Rn, kun n > 1, kaava :\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p} ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio :d_p(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (Rn, dp) käytetään merkintää ℓnp. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi. ==ℓp-avaruudet == : Tämä p-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä ℓp. Tämän erikoistapauksia ovat: * ℓ1, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva, * ℓ2, neliösummautuvien jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja * ℓ∞, rajoitettujen jonojen avaruus. Tämä p-normi määritellään :\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\cdots\right)^{1/p}. Jos normi on ääretön, x ei kuulu avaruuteen ℓp. Vastaavasti ∞-normi määritellään :\ \|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots). Voidaan todistaa, että :\ \|x\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|x\|_p, jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön. Kaikki nämä ℓp-avaruudet ovat Banach-avaruuksia. Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit x ovatkin funktioita f ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus. == Lp-avaruudet == Olkoon 1 ≤ p < ∞ ja olkoon (S, Σ, μ) mitta- avaruus. \mathcal{L}^p(S, \mu)-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin Lp- avaruus) on kaikkien niiden mitallisten funktioiden S\rightarrowC (tai S\rightarrowR) joukko, joiden itseisarvon p:nnen potenssin integraali on äärellinen eli :\|f\|_p := \left({\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{1/p}<\infty. Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla :(f+g)(x)=f(x)+g(x) \ \ \ \text{ja} \ \ \ (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \, kaikilla skalaareilla λ. Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||p. Niinpä tämä avaruus \mathcal{L}^p(S, \mu) on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus {L}^p(S, \mu) samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis {L}^p(S, \mu) on :L^p(S, \mu) := \mathcal{L}^p(S, \mu) / N, missä :N := \mathrm{ker}(\|\cdot\|_p) = \\{f : f = 0 \ \mu\text{- melkein kaikkialla} \\}. Avaruus L∞(S, μ) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla :\|f\|_\infty := \inf \\{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ melkein kaikilla } x\\}. Jälleen :\|f\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|f\|_p, jos f ∈ L∞(S, μ) ∩ Lq(S, μ) jollain q < ∞. Arvoilla 1 ≤ p ≤ ∞ avaruus Lp(S, μ) on Banach-avaruus. Rieszin-Fischerin lause sanoo, että se on täydellinen. Usein avaruuden nimi lyhennetään Lp(μ) tai Lp. Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner- avaruuksille eli sellaisten funktioiden Lp-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty. === Erikoistapauksia === Kuten ℓ2-avaruus, myös avaruus L2 on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille L2-sisätulo määritellään : \langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x). Kompleksitapauksessa L∞ on kommutatiivinen C*-algebra. ℓp-avaruudet (1 ≤ p ≤ ∞) ovat erikoistapaus Lp-avaruuksista, jossa joukko S on positiivisten kokonaislukujen joukko N ja mitta μ on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle S avaruutta L p lukumäärämitalla merkitään ℓp(S). Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ2(V) kanssa, missä V on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko. ==Lähteet== * * * * * * * * * * * * * ===Viitteet=== Luokka:Lineaarialgebra