Todennäköisyydet generoiva funktio

Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus tgf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja. Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä. == Määritelmä == Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo :G(t)=E(t^X). === Diskreetti satunnaismuuttuja === Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja :G(t)=\sum_{i=0}^\infty f(x_i)t^{x_i}, jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan X arvoille x_i. Muuttuja t on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan t arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia. Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos -1< t < 1. Siten arvo t=0 on sallittu arvo. Sen sijaan arvo t=1 ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja- arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä :\lim_{t \to 1-}G(t)=G(1-). Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa -1 \le t \le 1, sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä G(1-) merkitään siksi G(1). Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille. === Jatkuva satunnaismuuttuja === Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään :G(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}t^xf_X(x) \, dx . == Ominaisuuksia == === Funktion arvo: G(0) === Yleisessä tapauksessa, missä X = \\{x_0,x_1,x_2,\dots\\}, saadaan :G(0)=\sum_{i=0}^\infty f(x_i)\cdot 0^{x_i}=0 . Erityistapauksessa, jossa Y = \\{i|i=0,1,2,3 \dots\\}=\\{0,1,2,3,\dots\\} ja niiden todennäköisyydet vastaavasti f(x_i)=f_i=p_i=P(X=i), tulee generoivasta funktiosta :G(t)=\sum_{i=0}^\infty p_i\cdot t^{y_i}=p_0t^0+p_1t^1+p_2t^2+\dots, josta saadaan :G(0)=\sum_{i=0}^\infty p_i\cdot 0^{y_i}=p_0 , kunhan \lim_{t \to 0}p_0\cdot t^{y_0}=\lim_{t \to 0}p_0\cdot t^{0}=p_0. === Funktion arvo: G(1-) === Yleisessä tapauksessa, missä X = \\{x_0,x_1,x_2,\dots\\}, saadaan :G(1-)= \lim_{t \to 1-}G(t)= \lim_{t \to 1-} \left (\sum_{i=0}^\infty f(x_i)\cdot t^{x_i} \right )= \sum_{i=0}^\infty f(x_i)\cdot 1^{x_i} = \sum_{i=0}^\infty f(x_i)=1, sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi. === Riippumattomat satunnaismuuttujat === Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja Y kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta X_1 ja X_2 merkitsemällä Y=X_1+X_2, voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla :G_Y(t)=G_{X_1}(t)G_{X_2}(t). === Momentit generoiva funktio === Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo :M(t)=E[e^{tX}]. Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla :M(t)=G(e^{t}). == Tekijämomentit == Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti: :G(t)=E(t^X)=\sum_{i=1}^\infty f(x_i)t^{x_i} :G'(t)=D\left (\sum_{i=1}^\infty f(x_i)t^{x_i} \right )=x_1f(x_1)t^{x_1-1} + x_2f(x_2)t^{x_2-1} + x_3f(x_3)t^{x_3-1}+\dots :G(t)=D^2\left (\sum_{i=1}^\infty f(x_i)t^{x_i} \right )=x_1(x_1-1)f(x_1)t^{x_1-2} + x_2(x_2-1)f(x_2)t^{x_2-2} + x_3(x_3-1)f(x_3)t^{x_3-2} + \dots Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa :G'(t)=\sum_{i=1}^\infty x_if(x_i)t^{x_i-1} ja sen arvo ykkösessä antaa :G'(1-)=\lim_{t \to 1-}G(t)=\sum_{i=1}^\infty x_if(x_i)1^{x_i-1}=\sum_{i=1}^\infty x_if(x_i)=E[X] eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa :G(t)=G^{(2)}(t)=\sum_{i=1}^\infty x_i(x_i-1)f(x_i)t^{x_i-2} ja sen arvo ykkösessä on :G(1-)=\lim_{t \to 1-}G^{(2)}(t)=\lim_{t \to 1-}\left (\sum_{i=1}^\infty x_i(x_i-1)f(x_i)t^{x_i-2}\right ) ::::=\sum_{i=1}^\infty x_i(x_i-1)f(x_i)1^{x_i-2}=\sum_{i=1}^\infty x_i(x_i-1)f(x_i)=E[X(X-1)] eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi. Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan :G^{(r)}(1)=E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)\dots(X-r+1)] eli r:s tekijämomentti. == Todennäköisyysarvot == Erityistapauksessa, jossa Y = \\{0,1,2,3,\dots\\} ja niiden todennäköisyydet vastaavasti f(x_i)=p_i=P(Y=i), saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet p_i. Generoiva funktio on nyt :G(t)=\sum_{i=0}^\infty p_i\cdot t^{y_i}=p_0t^0+p_1t^1+p_2t^2+\dots ja sen ensimmäinen derivaatta on :G'(t)=\sum_{i=1}^\infty y_ip_it^{y_i-1}=0\cdot p_0t^{-1}+ 1\cdot p_1t^0+ 2p_2t^1+3p_3t^2\dots=p_1t^0+2p_2t^1+3p_3t^2+\dots. Sijoittamalla siihen t=0 saadaan :G'(0)=p_10^0+2p_20^1+3p_30^2+\dots=p_1, kun tilanteessa "0^0" huomataan \lim_{t \to 0}t^0=1. Toinen derivaatta antaa :G(t)=\sum_{i=1}^\infty y_i({y_i-1})p_it^{y_i-2}= 1\cdot0\cdot p_1t^{-1}+ 2\cdot1 p_2t^0+3\cdot2 p_3t^1+4\cdot3 p_4t^3+\dots=2p_2t^0+6p_3t^1+12p_4t^2+\dots ja sijoittamalla taas t=0 saadaan :G(0)=2p_20^0+6p_30^1+12p_40^2+\dots=2p_2 . Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua :p_k=\frac{G^{(k)}(0)}{k!}. Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: todennäköisyydet generoiva funktio. == Esimerkki: noppa == Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun i todennäköisyydellä P(X=i)=\tfrac{1}{6}. Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio :G(t)=\sum_{i=1}^\infty f(x_i)t^{x_i}=P(X=1)t^1+P(X=2)t^2+P(X=3)t^3+P(X=4)t^4+\dots , jolla on ominaisuus :G(1)=\tfrac{1}{6}\cdot 1^1+\tfrac{1}{6}\cdot 1^2+\tfrac{1}{6}\cdot 1^3+\tfrac{1}{6}\cdot 1^4+ \dots=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+0+0+\dots=1 eli todennäköisyyksien summa on yksi. Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa: :G(t)=\tfrac{1}{6}t^1+\tfrac{1}{6}t^2+\tfrac{1}{6}t^3+\tfrac{1}{6}t^4+\tfrac{1}{6}t^5+\tfrac{1}{6}t^6 :::=\tfrac{1}{6}\left ( t^1+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6\right ). === Tekijämomentit ja varianssi === Derivaatta kohdassa yksi on :G'(t)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)t^1+3P(X=3)t^2+4P(X=4)t^3+\dots ja :G'(1)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)+\dots :::=1 \cdot\tfrac{1}{6}+2\cdot\tfrac{1}{6}+3\cdot\tfrac{1}{6}+4\cdot\tfrac{1}{6}+5\cdot\tfrac{1}{6}+6\cdot\tfrac{1}{6}+0+0+ \dots=\tfrac{7}{2}=E[X] . (odotusarvo) Toinen derivaatta kohdassa yksi on :G(t)=2\cdot1P(X=2)t^0+3\cdot2P(X=3)t^1+4\cdot3P(X=4)t^2+\dots ja :G(1)=2\cdot1\cdot\tfrac{1}{6}+3\cdot2\cdot\tfrac{1}{6}+4\cdot3\cdot\tfrac{1}{6}+\dots=\tfrac{35}{3}=E[X(X-1)] . (ensimmäinen tekijämomentti) Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta :G(1)+G'(1)-(G'(1))^2=\tfrac{35}{3}+\tfrac{7}{2}-\left (\tfrac{7}{2}\right )^2=\tfrac{35}{12}=Var(X). == Lähteet == == Aiheesta muualla == * Cut the Knot's: Probability generating functions Luokka:Todennäköisyyslaskenta