Juurifunktio

Juurifunktio on muuttujan x \\! matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä :f\colon x \mapsto a x^\frac{1}{n}\qquad a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Z} missä x^\frac{1}{n} on potenssi ja yksikkömurtoluku \tfrac{1}{n} \\! sen eksponentti. Eksponentissa luku n kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä :f(x)=a x^\frac{1}{n}=a \sqrt[n]{x} \qquad a \in \mathbb{R} ==Juurifunktion ominaisuuksia== Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli x \ge 0 laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste n on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu x \ge 0 , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla (-2)^3=-8 \Leftrightarrow \sqrt[3]{-8}=-2. On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on -8: \\{-2, 1+i\sqrt 3, 1-i\sqrt 3\\}. Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen -2, 1+i\sqrt 3, 1-i\sqrt 3 napakulmat ovat \pi, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3} vastaavasti ja siksi lausekkeen \sqrt [3]{-8} arvoksi valitaan 1+i\sqrt 3. ===Parillisuus ja parittomuus=== Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla \sqrt x, \sqrt [3] x, \sqrt [5] x, \dots määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita. ===Monotonisuus=== Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita. ===Käänteisfunktiot=== Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja n \in \N: n = 2, 3, 4, .... Neliöjuurifunktion f(x)=\sqrt x, \ x\ge 0 käänteisfunktio f^{-1}(x) on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio f^{-1}(x)=x^2, \ x\ge 0. Kuutiojuurifunktion f(x)=\sqrt [3] x, \ x\in \R käänteisfunktio on f^{-1}(x)=x^3, \ x\in \R. Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla 2n :f(x)=\sqrt[2n]{x}, \ x\ge0 \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n}, \ x\ge 0 ja parittomilla asteilla 2n+1 :f(x)=\sqrt[2n+1]{x}, \ x\in \R \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n+1}, \ x\in \R. ==Derivointi ja integrointi== Yleinen potenssien derivaatta, kun r \in \R lasketaan :Dx^r=rx^{r-1}. Kun juurifunktion aste on n, tulee derivaataksi :D \sqrt[n]{x}=D x^{\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{n}x^{\tfrac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}x^{-\tfrac{n-1}{n}}=\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt[n]{x}^{n-1}} tai vaihtoehtoisesti ::D \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}x^{-\tfrac{n-1}{n}}=\frac{1}{n}\frac{1}{x^{\tfrac{n-1}{n}}}=\frac{1}{n}\frac{1}{x^{1-{\tfrac{1}{n}}}}=\frac{1}{n}\frac{\sqrt[n]{x}}{x}. Neliöjuuren derivaatta on siten :D\sqrt x = \frac{1}{2\sqrt x} ja kuutiojuuren derivaatta :D\sqrt [3] {x} = \frac{1}{3\sqrt [3] {x}^2}=\frac{\sqrt[3]{x}}{3x} ja neljäsjuuren derivaatta :D\sqrt [4] {x} = \frac{1}{4\sqrt [4] {x}^3}=\frac{\sqrt[4]{x}}{4x}. n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan :\int x^r dx = \frac{1}{r+1}x^{r+1} + C \\! eli :\int x^{\tfrac{1}{n}} \ dx = \frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}x^{1+\tfrac{1}{n}} + C \\!=\frac{n}{n+1}x^{\tfrac{n+1}{n}}+ C \\!=\frac{n}{n+1}x\sqrt[n]{x}+C Silloin neliöjuuren integraali on : \int \sqrt x \ dx = \frac{2}{3} x^{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x\sqrt x + C. ja kuutiojuuren integraali : \int \sqrt [3] x \ dx = \frac{3}{4} x^{\tfrac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} x\sqrt [3] x + C ==Kompleksiluvut== Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja z \in \Complex. De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun z reaalilukuinen potenssi p esitetään polaarisessa muodossa :z^p=[r(\cos \theta +i\sin \theta)]^p = r^p(\cos p\theta + i\sin p\theta), voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi p=\tfrac{1}{n} :z^{\tfrac{1}{n}}=[r(\cos \theta +i\sin \theta)]^{\tfrac{1}{n}} = r^{\tfrac{1}{n}}(\cos \tfrac{\theta+2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\theta+2k\pi}{n}), kun k=0, 1, 2, ..., n-1. ===Neliöjuuri=== Neliöjuurelle \sqrt z saadaan kaksi arvoa, kun k = 0 ja 1. Ensimmäinen juuri on arvoltaan r^{\tfrac{1}{2}}(\cos \tfrac{\theta+2\cdot 0\cdot\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\cdot 0\cdot\pi}{2}) = \sqrt r(\cos \tfrac{\theta}{2} + i\sin \tfrac{\theta}{2}) ja toinen r^{\tfrac{1}{2}}(\cos \tfrac{\theta+2\cdot 1\cdot\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\cdot 1\cdot\pi}{2})=\sqrt r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{2}) eli \sqrt z = \\{\sqrt r(\cos \tfrac{\theta}{2} + i\sin \tfrac{\theta}{2}) , \sqrt r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{2})\\} ===Esimerkki neliöjuurella=== Jos lasketaan kompleksiluvun z=1+i\sqrt 3 neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on r = \sqrt {1^2+{\sqrt 3}^2}=2 ja napakulma \tan \theta= \tfrac{\sqrt 3}{1}=\sqrt 3 eli \theta=60^\circ. Siten z=1+i\sqrt 3= 2(\cos 60^\circ +i\sin 60^\circ)= 2(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt 3}{2}). Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa :\sqrt z = \sqrt {1+i\sqrt 3} = \\{\sqrt 2(\cos \tfrac{60^\circ}{2} + i\sin \tfrac{60^\circ}{2}) , \sqrt 2(\cos \tfrac{60^\circ+360^\circ}{2} + i\sin \tfrac{60^\circ+360^\circ}{2})\\} := \\{\sqrt 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) , \sqrt 2(\cos 210^\circ + i\sin 210^\circ)\\} = \\{\sqrt 2(\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt 3}{2}i), \sqrt 2(-\tfrac{\sqrt 3}{2} - \tfrac{1}{2}i)\\}= \\{\tfrac{1}{\sqrt 2} + \tfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}i, -\tfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2} - \tfrac{1}{\sqrt 2}i\\} ===Kuutiojuuri=== Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun k=0,1,2. :\sqrt [3] z = \\{\sqrt [3] r(\cos \tfrac{\theta}{3} + i\sin \tfrac{\theta}{3}) , \sqrt [3] r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{3} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{3}), \sqrt [3] r(\cos \tfrac{\theta+4\pi}{3} + i\sin \tfrac{\theta+4\pi}{3})\\} ===Neljäsjuuri=== Neljäs antaa neljä arvoa, kun k=0,1,2,3. \sqrt [4] z = \\{\sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta}{4} + i\sin \tfrac{\theta}{4}) , \sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{4} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{4}), \sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta+4\pi}{4} + i\sin \tfrac{\theta+4\pi}{4}), \sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta+6\pi}{4} + i\sin \tfrac{\theta+6\pi}{4})\\} ==Katso myös== *Alkeisfunktio *Imaginaariluku *Juuri (laskutoimitus) *Neliöjuuri *Kuutiojuuri ==Lähteet== * ===Viitteet=== ==Kirjallisuutta== * * ==Aiheesta muualla== * Etälukio: Juurifunktio * Jyväskylän Yliopisto: Potenssi- ja juurifunktiot sekä rationaalipotenssit Luokka:Analyysi Luokka:Differentiaalilaskenta Luokka:Funktiot