Hitausmomentti

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg*m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä. Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä. ==Matemaattinen määritelmä== Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on : J = mr^2. Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa: :J = \sum_i m_i r_i^2. Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli: :J = \int r^2\,dm, missä \scriptstyle dm on tiheysjakauma tilan yli. Koska \scriptstyle m=\rho V, saadaan :dm=\rho\,dV. ==Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja== * Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa * Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus * Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml² * Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr² * Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr² * Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr² * Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr² == Hitausmomenttitensori == Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu n:stä kappaleesta, joiden massat ovat m_\alpha, missä \alpha=1, 2, 3,\dotsc,n. Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella \vec\omega jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella \vec v ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus \vec v_\alpha=\vec v+\vec\omega\times\vec r_\alpha, missä \vec r_\alpha kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin K=K_\text{trans}+K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha v^2+\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha(\vec\omega\times\vec r_\alpha)^2. Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa \left(\vec a\times\vec b\right)^2=\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)=a^2b^2-\left(\vec a\cdot\vec b\right)^2, on rotaatioenergia on tällöin K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha\left(\omega^2r_\alpha^2-\left(\vec\omega\cdot\vec r_\alpha\right)^2\right). Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa \vec\omega=(\omega_1, \omega_2, \omega_3)^\mathbf{T} ja \vec r_\alpha=(x_{\alpha, 1}, x_{\alpha, 2}, x_{\alpha, 3})^\mathbf{T}. Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha\left(\left(\sum_i\omega_i^2\right)\left(\sum_kx_{\alpha, k}^2\right)-\left(\sum_i\omega_i x_{\alpha, i}\right)\left(\sum_j\omega_jx_{\alpha, j}\right)\right). Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee \omega_i=\sum_j\omega_j\delta_{ij}, joten: \begin{align} K_\text{rot}&=\frac{1}{2}\sum_\alpha\sum_{i,j}m_\alpha\left(\omega_i\omega_j\delta_{ij}\left(\sum_k x_{\alpha, k}^2\right)-\omega_i\omega_jx_{\alpha, i}x_{\alpha, j}\right) \\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\omega_i\omega_j\sum_\alpha m_\alpha\left(\delta_{ij}\sum_k x_{\alpha, k}^2-x_{\alpha, i}x_{\alpha, j}\right) \end{align} Määritellään \alpha-summan ij:s termi suureeksi J_{ij}, ts. J_{ij}=\sum_\alpha m_\alpha\left(\delta_{ij}\sum_k x_{\alpha,k}^2-x_{\alpha, i}x_{\alpha, j}\right). Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon: K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_{i,j}J_{ij}\omega_i\omega_j=\frac{1}{2}J\omega^2, missä J on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä J_{ij} on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa 3\times 3-matriisin alkioiksi: \\{\mathbf J\\}=\left\\{\begin{matrix}\sum_\alpha m_\alpha(x_{\alpha,2}^2+x_{\alpha, 3}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,1}x_{\alpha,2} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,1}x_{\alpha,3} \\\ -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,2}x_{\alpha,1} & \sum_\alpha m_\alpha(x_{\alpha,1}^2+x_{\alpha, 3}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,2}x_{\alpha,3} \\\ -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,3}x_{\alpha,1} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,3}x_{\alpha,2} & \sum_\alpha m_\alpha(x_{\alpha,1}^2+x_{\alpha, 2}^2)\end{matrix}\right\\} Matriisia \left\\{\mathbf J\right\\} kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot J_{11}, J_{22} ja J_{33} ovat kappaleen hitausmomentit x_1-, x_2\- ja x_3-akselien suhteen. Jos käytetään koordinaattien (x_{\alpha, 1}, x_{\alpha, 2}, x_{\alpha, 3}) sijaan karteesisia koordinaatteja (x_\alpha, y_\alpha, z_\alpha) ja merkitsemällä r_\alpha^2=x_\alpha^2+y_\alpha^2+z_\alpha^2, tensori \left\\{\mathbf J\right\\} voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon: \\{\mathbf J\\}=\left\\{\begin{matrix}\sum_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2-x_\alpha^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_\alpha y_\alpha & -\sum_\alpha m_\alpha x_\alpha z_\alpha \\\ -\sum_\alpha m_\alpha y_\alpha x_\alpha & \sum_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2-y_\alpha^2) & -\sum_\alpha m_\alpha y_\alpha z_\alpha \\\ -\sum_\alpha m_\alpha z_\alpha x_\alpha & -\sum_\alpha m_\alpha z_\alpha y_\alpha & \sum_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2-z_\alpha^2)\end{matrix}\right\\} Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. J_{ij}=J_{ji}. Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on \rho=\rho(\vec r), niin J_{ij}=\iiint_V \rho(\vec r)\left(\delta_{ij}\sum_k x_k^2-x_ix_j\right)\,\mathrm dV, missä \mathrm dV=\mathrm dx_1\,\mathrm dx_2\,\mathrm dx_3 on paikkavektorin \vec r osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja V on kappaleen tilavuus. == Katso myös == *Liikemäärä *Pyörimismäärä *Steinerin sääntö == Lähteet == Luokka:Suureet Luokka:Klassinen mekaniikka Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit