Luettelo matemaattisista merkeistä

Seuraavassa taulukossa on matematiikassa usein käytettyjä symboleja. ==Matematiikan perussymbolit== Symboli Nimi Selitys Esimerkkejä Luetaan Kategoria = yhtäsuuruus x = y tarkoittaa, että x ja y esittävät samaa asiaa tai arvoa. 1 \+ 1 = 2 = on yhtä suuri kuin x = y tarkoittaa, että x ja y esittävät samaa asiaa tai arvoa. 1 \+ 1 = 2 = kaikkialla x = y tarkoittaa, että x ja y esittävät samaa asiaa tai arvoa. 1 \+ 1 = 2 ≠ <> != erisuuruus x ≠ y tarkoittaa, että x ja y eivät esitä samaa asiaa tai arvoa. (Symboleita != ja <> käytetään lähinnä tietojenkäsittelytieteessä.) 1 ≠ 2 ≠ <> != ei ole yhtä suuri kuin, on eri suuri kuin x ≠ y tarkoittaa, että x ja y eivät esitä samaa asiaa tai arvoa. (Symboleita != ja <> käytetään lähinnä tietojenkäsittelytieteessä.) 1 ≠ 2 ≠ <> != kaikkialla x ≠ y tarkoittaa, että x ja y eivät esitä samaa asiaa tai arvoa. (Symboleita != ja <> käytetään lähinnä tietojenkäsittelytieteessä.) 1 ≠ 2 < > ≪ ≫ aito epäyhtälö x < y tarkoittaa, että x on pienempi kuin y. x > y tarkoittaa, että x on suurempi kuin y. x ≪ y tarkoittaa, että x on paljon pienempi kuin y. x ≫ y tarkoittaa, että x on paljon suurempi kuin y. 3 < 4 5 > 4 0,003 ≪ 1000000 < > ≪ ≫ on pienempi kuin, on suurempi kuin, on paljon pienempi kuin, on paljon suurempi kuin x < y tarkoittaa, että x on pienempi kuin y. x > y tarkoittaa, että x on suurempi kuin y. x ≪ y tarkoittaa, että x on paljon pienempi kuin y. x ≫ y tarkoittaa, että x on paljon suurempi kuin y. 3 < 4 5 > 4 0,003 ≪ 1000000 < > ≪ ≫ järjestysteoria x < y tarkoittaa, että x on pienempi kuin y. x > y tarkoittaa, että x on suurempi kuin y. x ≪ y tarkoittaa, että x on paljon pienempi kuin y. x ≫ y tarkoittaa, että x on paljon suurempi kuin y. 3 < 4 5 > 4 0,003 ≪ 1000000 ≤ ≥ epäyhtälö x ≤ y tarkoittaa, että x on pienempi tai yhtä suuri kuin y. x ≥ y tarkoittaa, että x on suurempi tai yhtä suuri kuin y. 3 ≤ 4 ja 5 ≤ 5 5 ≥ 4 ja 5 ≥ 5 ≤ ≥ on pienempi tai yhtä suuri kuin, on suurempi tai yhtä suuri kuin x ≤ y tarkoittaa, että x on pienempi tai yhtä suuri kuin y. x ≥ y tarkoittaa, että x on suurempi tai yhtä suuri kuin y. 3 ≤ 4 ja 5 ≤ 5 5 ≥ 4 ja 5 ≥ 5 ≤ ≥ järjestysteoria x ≤ y tarkoittaa, että x on pienempi tai yhtä suuri kuin y. x ≥ y tarkoittaa, että x on suurempi tai yhtä suuri kuin y. 3 ≤ 4 ja 5 ≤ 5 5 ≥ 4 ja 5 ≥ 5 ∝ verrannollisuus y ∝ x tarkoittaa, että y = kx jollakin vakiolla k. jos y = 2x, on y ∝ x ∝ on verrannollinen y ∝ x tarkoittaa, että y = kx jollakin vakiolla k. jos y = 2x, on y ∝ x ∝ kaikkialla y ∝ x tarkoittaa, että y = kx jollakin vakiolla k. jos y = 2x, on y ∝ x + yhteenlasku 4 + 6 tarkoittaa lukujen 4 ja 6 summaa. 2 + 7 = 9 + plus 4 + 6 tarkoittaa lukujen 4 ja 6 summaa. 2 + 7 = 9 + aritmetiikka 4 + 6 tarkoittaa lukujen 4 ja 6 summaa. 2 + 7 = 9 + erillinen yhdiste A1 \+ A2 tarkoittaa joukkojen A1 ja A2 erillistä yhdistettä. A1 = {1, 2, 3, 4} ∧ A2 = {2, 4, 5, 7} ⇒ A1 \+ A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)} + joukkojen ... ja ... erillinen yhdiste A1 \+ A2 tarkoittaa joukkojen A1 ja A2 erillistä yhdistettä. A1 = {1, 2, 3, 4} ∧ A2 = {2, 4, 5, 7} ⇒ A1 \+ A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)} + joukko-oppi A1 \+ A2 tarkoittaa joukkojen A1 ja A2 erillistä yhdistettä. A1 = {1, 2, 3, 4} ∧ A2 = {2, 4, 5, 7} ⇒ A1 \+ A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)} − vähennyslasku 9 − 4 tarkoittaa 4 vähenettynä luvusta 9. 8 − 3 = 5 − miinus 9 − 4 tarkoittaa 4 vähenettynä luvusta 9. 8 − 3 = 5 − aritmetiikka 9 − 4 tarkoittaa 4 vähenettynä luvusta 9. 8 − 3 = 5 − negatiivinen etumerkki −3 tarkoittaa luvun 3 vastalukua. −(−5) = 5 − vastaluku ; miinus −3 tarkoittaa luvun 3 vastalukua. −(−5) = 5 − aritmetiikka −3 tarkoittaa luvun 3 vastalukua. −(−5) = 5 − joukko-opillinen komplementti A − B tarkoittaa niitä A:n alkioita, jotka eivät kuulu joukkoon B. {1,2,4} − {1,3,4} = {2} − miinus. A − B tarkoittaa niitä A:n alkioita, jotka eivät kuulu joukkoon B. {1,2,4} − {1,3,4} = {2} − joukko-oppi A − B tarkoittaa niitä A:n alkioita, jotka eivät kuulu joukkoon B. {1,2,4} − {1,3,4} = {2} × kertolasku 3 × 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 × 8 = 56 × kertaa 3 × 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 × 8 = 56 × aritmetiikka 3 × 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 × 8 = 56 × karteesinen tulo X×Y tarkoittaa kaikkia järjestettyjen parien joukkoa, joiden ensimmäinen alkio kuuluu X:ään ja toinen Y:hyn. {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} × Joukkojen ... ja ... karteesinen tulo; joukkojen ... ja ... suora tulo X×Y tarkoittaa kaikkia järjestettyjen parien joukkoa, joiden ensimmäinen alkio kuuluu X:ään ja toinen Y:hyn. {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} × joukko-oppi X×Y tarkoittaa kaikkia järjestettyjen parien joukkoa, joiden ensimmäinen alkio kuuluu X:ään ja toinen Y:hyn. {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} × ristitulo u × v tarkoittaa vektorien u ja v ristituloa. (1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2) × risti u × v tarkoittaa vektorien u ja v ristituloa. (1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2) × vektorilaskenta u × v tarkoittaa vektorien u ja v ristituloa. (1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2) * kertolasku 3 * 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 * 8 = 56 * kertaa 3 * 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 * 8 = 56 * aritmetiikka 3 * 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 * 8 = 56 * pistetulo u * v tarkoittaa vektorien u ja v pistetulos (1,2,5) * (3,4,−1) = 6 * piste u * v tarkoittaa vektorien u ja v pistetulos (1,2,5) * (3,4,−1) = 6 * vektorilaskenta u * v tarkoittaa vektorien u ja v pistetulos (1,2,5) * (3,4,−1) = 6 ÷ ⁄ jakolasku 6 ÷ 3 tai 6 ⁄ 3 tarkoittaa 6 jaettuna 3:lla 2 ÷ 4 = 0,5 12 ⁄ 4 = 3 ÷ ⁄ jaettuna 6 ÷ 3 tai 6 ⁄ 3 tarkoittaa 6 jaettuna 3:lla 2 ÷ 4 = 0,5 12 ⁄ 4 = 3 ÷ ⁄ aritmetiikka 6 ÷ 3 tai 6 ⁄ 3 tarkoittaa 6 jaettuna 3:lla 2 ÷ 4 = 0,5 12 ⁄ 4 = 3 ± plus-miinus 6 ± 3 tarkoittaa sekä 6 + 3 että 6 - 3. yhtälöllä x = 5 ± √4, on kaksi ratkaisua, x = 7 tai x = 3. ± plus tai miinus 6 ± 3 tarkoittaa sekä 6 + 3 että 6 - 3. yhtälöllä x = 5 ± √4, on kaksi ratkaisua, x = 7 tai x = 3. ± aritmetiikka 6 ± 3 tarkoittaa sekä 6 + 3 että 6 - 3. yhtälöllä x = 5 ± √4, on kaksi ratkaisua, x = 7 tai x = 3. ± plus-miinus 10 ± 2 tai yhtäpitävästi 10 ± 20% tarkoittaa väliä 10 − 2=8:sta 10 + 2=12:een. Jos a = 100 ± 1 mm, on a ≥ 99 mm ja ≤ 101 mm. ± plus tai miinus 10 ± 2 tai yhtäpitävästi 10 ± 20% tarkoittaa väliä 10 − 2=8:sta 10 + 2=12:een. Jos a = 100 ± 1 mm, on a ≥ 99 mm ja ≤ 101 mm. ± mittaus 10 ± 2 tai yhtäpitävästi 10 ± 20% tarkoittaa väliä 10 − 2=8:sta 10 + 2=12:een. Jos a = 100 ± 1 mm, on a ≥ 99 mm ja ≤ 101 mm. miinus-plus 6 ± (3 ∓ 5) tarkoittaa sekä 6 + (3 - 5) että 6 - (3 + 5). cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y). miinus tai plus 6 ± (3 ∓ 5) tarkoittaa sekä 6 + (3 - 5) että 6 - (3 + 5). cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y). aritmetiikka 6 ± (3 ∓ 5) tarkoittaa sekä 6 + (3 - 5) että 6 - (3 + 5). cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y). √ neliöjuuri √x tarkoittaa epänegatiivista lukua, jonka neliö on x. √4 = 2 √ neliöjuuren päähaara, neliöjuuri √x tarkoittaa epänegatiivista lukua, jonka neliö on x. √4 = 2 √ reaaliluvut √x tarkoittaa epänegatiivista lukua, jonka neliö on x. √4 = 2 √ kompleksinen neliöjuuri jos z = r exp(iφ) esitetään napakoordinaateissa, missä -π < φ ≤ π, on √z = √r exp(i φ/2). √(-1) = i √ kompleksinen neliöjuuri … neliöjuuri jos z = r exp(iφ) esitetään napakoordinaateissa, missä -π < φ ≤ π, on √z = √r exp(i φ/2). √(-1) = i √ kompleksiluvut jos z = r exp(iφ) esitetään napakoordinaateissa, missä -π < φ ≤ π, on √z = √r exp(i φ/2). √(-1) = i |…| itseisarvo |x| tarkoittaa reaaliakselilla tai kompleksitasolla lukujen x ja 0 välistä etäisyyttä. |3| = 3 |–5| = |5| | i | = 1 | 3 + 4i | = 5 |…| itseisarvo |x| tarkoittaa reaaliakselilla tai kompleksitasolla lukujen x ja 0 välistä etäisyyttä. |3| = 3 |–5| = |5| | i | = 1 | 3 + 4i | = 5 |…| luvut |x| tarkoittaa reaaliakselilla tai kompleksitasolla lukujen x ja 0 välistä etäisyyttä. |3| = 3 |–5| = |5| | i | = 1 | 3 + 4i | = 5 |…| Euklidinen etäisyys |x – y| tarkoittaa x:n ja y:n euklidista etäisyyttä. Jos x = (1,1) ja y = (4,5), |x – y| = √([1–4]2 \+ [1–5]2) = 5 |…| euklidinen etäisyys, euklidinen normi |x – y| tarkoittaa x:n ja y:n euklidista etäisyyttä. Jos x = (1,1) ja y = (4,5), |x – y| = √([1–4]2 \+ [1–5]2) = 5 |…| geometria |x – y| tarkoittaa x:n ja y:n euklidista etäisyyttä. Jos x = (1,1) ja y = (4,5), |x – y| = √([1–4]2 \+ [1–5]2) = 5 |…| Determinantti |A| tarkoittaa neliömatriisin A determinanttia \begin{vmatrix} 1&2 \\\ 2&4 \\\ \end{vmatrix} = 0 |…| determinantti |A| tarkoittaa neliömatriisin A determinanttia \begin{vmatrix} 1&2 \\\ 2&4 \\\ \end{vmatrix} = 0 |…| Matriisilaskenta |A| tarkoittaa neliömatriisin A determinanttia \begin{vmatrix} 1&2 \\\ 2&4 \\\ \end{vmatrix} = 0 | jakaa Yksi pystysuora viiva tarkoittaa tasan jakamista. a|b tarkoittaa, että a jakaa b:n. Koska 15 = 3×5, on voimassa 3|15 ja 5|15. | jakaa Yksi pystysuora viiva tarkoittaa tasan jakamista. a|b tarkoittaa, että a jakaa b:n. Koska 15 = 3×5, on voimassa 3|15 ja 5|15. | lukuteoria Yksi pystysuora viiva tarkoittaa tasan jakamista. a|b tarkoittaa, että a jakaa b:n. Koska 15 = 3×5, on voimassa 3|15 ja 5|15. ! kertoma n ! on tulo 1 × 2× ... × n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 ! kertoma n ! on tulo 1 × 2× ... × n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 ! kombinatoriikka n ! on tulo 1 × 2× ... × n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 T transpoosi Vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään A_{ij} = (A^T)_{ji} T transpoosi Vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään A_{ij} = (A^T)_{ji} T matriisilaskenta Vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään A_{ij} = (A^T)_{ji} ~ todennäköisyysjakaumat X ~ D, tarkoittaa satunnaismuuttujan X jakauma on D. X ~ N(0,1), on standardinormaalijakauma ~ on jakauma X ~ D, tarkoittaa satunnaismuuttujan X jakauma on D. X ~ N(0,1), on standardinormaalijakauma ~ tilastotiede X ~ D, tarkoittaa satunnaismuuttujan X jakauma on D. X ~ N(0,1), on standardinormaalijakauma ~ Riviekvivalenssi A~B tarkoittaa, että B voidaan saada A:stä alkeisrivitoimituksella. \begin{bmatrix} 1&2 \\\ 2&4 \\\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&2 \\\ 0&0 \\\ \end{bmatrix} ~ on riviekvivalentti A~B tarkoittaa, että B voidaan saada A:stä alkeisrivitoimituksella. \begin{bmatrix} 1&2 \\\ 2&4 \\\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&2 \\\ 0&0 \\\ \end{bmatrix} ~ Matriisilaskenta A~B tarkoittaa, että B voidaan saada A:stä alkeisrivitoimituksella. \begin{bmatrix} 1&2 \\\ 2&4 \\\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&2 \\\ 0&0 \\\ \end{bmatrix} ⇒ → ⊃ implikaatio A ⇒ B tarkoittaa, että jos A on tosi, on myös B tosi. Jos A on epätosi, B:stä ei voida sanoa tämän perusteella mitään. → voi tarkoittaa samaa kuin ⇒ tai sillä voi olla kohdassa funktio selitetty merkitys. ⊃ voi tarkoittaa samaa kuin ⇒, tai se voi tarkoittaa yläluokkaa. x = 2 ⇒ x2 = 4 on totta, mutta x2 = 4 ⇒ x = 2 on epätotta, koska x voi olla myös −2\. ⇒ → ⊃ seuraa; jos … niin A ⇒ B tarkoittaa, että jos A on tosi, on myös B tosi. Jos A on epätosi, B:stä ei voida sanoa tämän perusteella mitään. → voi tarkoittaa samaa kuin ⇒ tai sillä voi olla kohdassa funktio selitetty merkitys. ⊃ voi tarkoittaa samaa kuin ⇒, tai se voi tarkoittaa yläluokkaa. x = 2 ⇒ x2 = 4 on totta, mutta x2 = 4 ⇒ x = 2 on epätotta, koska x voi olla myös −2\. ⇒ → ⊃ propositionaalilogiikka, Heytingin algebra A ⇒ B tarkoittaa, että jos A on tosi, on myös B tosi. Jos A on epätosi, B:stä ei voida sanoa tämän perusteella mitään. → voi tarkoittaa samaa kuin ⇒ tai sillä voi olla kohdassa funktio selitetty merkitys. ⊃ voi tarkoittaa samaa kuin ⇒, tai se voi tarkoittaa yläluokkaa. x = 2 ⇒ x2 = 4 on totta, mutta x2 = 4 ⇒ x = 2 on epätotta, koska x voi olla myös −2\. ⇔ ↔ ekvivalenssi A ⇔ B tarkoittaa, että A on tosi jos ja vain jos B on tosi x \+ 5 = y +2 ⇔ x \+ 3 = y ⇔ ↔ jos ja vain jos, joss A ⇔ B tarkoittaa, että A on tosi jos ja vain jos B on tosi x \+ 5 = y +2 ⇔ x \+ 3 = y ⇔ ↔ propositionaalilogiikka A ⇔ B tarkoittaa, että A on tosi jos ja vain jos B on tosi x \+ 5 = y +2 ⇔ x \+ 3 = y ¬ ˜ looginen negaatio Väite ¬A on tosi jos ja vain jos A on epätosi. ¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y) ¬ ˜ ei Väite ¬A on tosi jos ja vain jos A on epätosi. ¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y) ¬ ˜ propositiologiikka Väite ¬A on tosi jos ja vain jos A on epätosi. ¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y) ∧ looginen konjuktio tai kohtaa lattiisissa Väite A ∧ B on totta jos A ja B ovat molemmat totta. Muutoin A ∧ B on epätosi. Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∧ B(x) tarkoittaa min(A(x), B(x)). n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3 kun n on luonnollinen luku. ja; min Väite A ∧ B on totta jos A ja B ovat molemmat totta. Muutoin A ∧ B on epätosi. Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∧ B(x) tarkoittaa min(A(x), B(x)). n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3 kun n on luonnollinen luku. propositiologiikka, lattiisiteoria Väite A ∧ B on totta jos A ja B ovat molemmat totta. Muutoin A ∧ B on epätosi. Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∧ B(x) tarkoittaa min(A(x), B(x)). n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3 kun n on luonnollinen luku. potenssi 6^4 tarkoittaa 6 potenssiin 4 6 ^ 4 = 1296 ∨ looginen disjunktio tai yhdiste lattiisissa Väite A ∨ B on totta jos ainakin toinen A tai B on totta, epätotta jos molemmat epätosia. Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∨ B(x) tarkoittaa max(A(x), B(x)). n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 kun n on luonnollinen luku. ∨ tai; max Väite A ∨ B on totta jos ainakin toinen A tai B on totta, epätotta jos molemmat epätosia. Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∨ B(x) tarkoittaa max(A(x), B(x)). n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 kun n on luonnollinen luku. ∨ propositiologiikka, lattiisiteoria Väite A ∨ B on totta jos ainakin toinen A tai B on totta, epätotta jos molemmat epätosia. Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∨ B(x) tarkoittaa max(A(x), B(x)). n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 kun n on luonnollinen luku. ⊕ ⊻ eksklusiivinen tai Väite A ⊕ B on tosi kun joko A tai B, mutta ei molemmat, ovat tosia. A ⊻ B tarkoittaa samaa asiaa. (¬A) ⊕ A on aina tosi, A ⊕ A on aina epätosi. ⊕ ⊻ xor Väite A ⊕ B on tosi kun joko A tai B, mutta ei molemmat, ovat tosia. A ⊻ B tarkoittaa samaa asiaa. (¬A) ⊕ A on aina tosi, A ⊕ A on aina epätosi. ⊕ ⊻ propositionaalilogiikka, Boolen algebra Väite A ⊕ B on tosi kun joko A tai B, mutta ei molemmat, ovat tosia. A ⊻ B tarkoittaa samaa asiaa. (¬A) ⊕ A on aina tosi, A ⊕ A on aina epätosi. ⊕ ⊻ suora summa Suora summa on tapa yhdistää useita objekteja yhdeksi yleiseksi objektiksi. Suoran summan merkintä on ⊕, merkintää ⊻ käytetään vain logiikassa. Vektoriavaruuksille U, V ja W pätee: U = V ⊕ W ⇔ (U = V + W) ∧ (V ∩ W = ) ⊕ ⊻ suora summa Suora summa on tapa yhdistää useita objekteja yhdeksi yleiseksi objektiksi. Suoran summan merkintä on ⊕, merkintää ⊻ käytetään vain logiikassa. Vektoriavaruuksille U, V ja W pätee: U = V ⊕ W ⇔ (U = V + W) ∧ (V ∩ W = ) ⊕ ⊻ abstrakti algebra Suora summa on tapa yhdistää useita objekteja yhdeksi yleiseksi objektiksi. Suoran summan merkintä on ⊕, merkintää ⊻ käytetään vain logiikassa. Vektoriavaruuksille U, V ja W pätee: U = V ⊕ W ⇔ (U = V + W) ∧ (V ∩ W = ) ∀ universaalikvanttori ∀ x: P(x) tarkoittaa, että P(x) on voimassa kaikilla x. ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. ∀ kaikilla, jokaisella ∀ x: P(x) tarkoittaa, että P(x) on voimassa kaikilla x. ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. ∀ predikaattilogiikka ∀ x: P(x) tarkoittaa, että P(x) on voimassa kaikilla x. ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. ∃ olemassaolokvanttori ∃ x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa ainakin yksi x jolle P(x) on tosi. ∃ n ∈ ℕ: n on parillinen. ∃ on olemassa ∃ x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa ainakin yksi x jolle P(x) on tosi. ∃ n ∈ ℕ: n on parillinen. ∃ predikaattilogiikka ∃ x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa ainakin yksi x jolle P(x) on tosi. ∃ n ∈ ℕ: n on parillinen. ∃! yksikäsitteisyyskvanttori ∃! x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa täsmälleen yksi x jolle P(x) on tosi. ∃! n ∈ ℕ: n \+ 5 = 2n. ∃! on olemassa täsmälleen yksi ∃! x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa täsmälleen yksi x jolle P(x) on tosi. ∃! n ∈ ℕ: n \+ 5 = 2n. ∃! predikaattilogiikka ∃! x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa täsmälleen yksi x jolle P(x) on tosi. ∃! n ∈ ℕ: n \+ 5 = 2n. := ≡ :⇔ määritelmä x := y tai x ≡ y tarkoittaa, että x on määritelmän mukaan y (jotkut käyttävät merkkiä ≡ kongruenssi). P :⇔ Q tarkoittaa, että P on määritelmän mukaan loogisesti ekvivalentti Q:n kanssa. cosh(x):=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) A xor B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) := ≡ :⇔ on määritelmän mukaan x := y tai x ≡ y tarkoittaa, että x on määritelmän mukaan y (jotkut käyttävät merkkiä ≡ kongruenssi). P :⇔ Q tarkoittaa, että P on määritelmän mukaan loogisesti ekvivalentti Q:n kanssa. cosh(x):=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) A xor B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) := ≡ :⇔ kaikkialla x := y tai x ≡ y tarkoittaa, että x on määritelmän mukaan y (jotkut käyttävät merkkiä ≡ kongruenssi). P :⇔ Q tarkoittaa, että P on määritelmän mukaan loogisesti ekvivalentti Q:n kanssa. cosh(x):=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) A xor B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) ≅ yhtenevä △ABC ≅ △DEF tarkoittaa, että kolmio ABC on yhtenevä kolmion DEF kanssa. ≅ on yhtenevä △ABC ≅ △DEF tarkoittaa, että kolmio ABC on yhtenevä kolmion DEF kanssa. ≅ geometria △ABC ≅ △DEF tarkoittaa, että kolmio ABC on yhtenevä kolmion DEF kanssa. ≡ kongruenssirelaatio a ≡ b (mod n) tarkoittaa, että a − b on jaollinen n:llä (0\leq b) 13 ≡ 3 (mod 5) ≡ ... on kongruentti ... modulo ... a ≡ b (mod n) tarkoittaa, että a − b on jaollinen n:llä (0\leq b) 13 ≡ 3 (mod 5) ≡ modulaariaritmetiikka a ≡ b (mod n) tarkoittaa, että a − b on jaollinen n:llä (0\leq b) 13 ≡ 3 (mod 5) { , } joukkosulkeet {a,b,c} tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat a, b ja c. ℕ = { 1, 2, 3, …} { , } joukko … {a,b,c} tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat a, b ja c. ℕ = { 1, 2, 3, …} { , } joukko-oppi {a,b,c} tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat a, b ja c. ℕ = { 1, 2, 3, …} { : } { | } joukko ja ehto mitkä alkiot kuuluvat joukkoon {x : P(x)} tarkoittaa niitä x joille P(x) on tosi. {x | P(x)} on sama kuin{x : P(x)}. {n ∈ ℕ : n2 < 20} = { 1, 2, 3, 4} { : } { | } joukko … jolle {x : P(x)} tarkoittaa niitä x joille P(x) on tosi. {x | P(x)} on sama kuin{x : P(x)}. {n ∈ ℕ : n2 < 20} = { 1, 2, 3, 4} { : } { | } joukko-oppi {x : P(x)} tarkoittaa niitä x joille P(x) on tosi. {x | P(x)} on sama kuin{x : P(x)}. {n ∈ ℕ : n2 < 20} = { 1, 2, 3, 4} { } tyhjä joukko tarkoittaa joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota. { } tarkoittaa samaa. {n ∈ ℕ : 1 < n2 < 4} = { } tyhjä joukko tarkoittaa joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota. { } tarkoittaa samaa. {n ∈ ℕ : 1 < n2 < 4} = { } joukko-oppi tarkoittaa joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota. { } tarkoittaa samaa. {n ∈ ℕ : 1 < n2 < 4} = ∈ ∉ joukkoon kuuluvuus relaatio a ∈ S tarkoittaa, että a on S:n alkio S; a ∉ S tarkoittaa, että a ei kuulu S:ään. (1/2)−1 ∈ ℕ 2−1 ∉ ℕ ∈ ∉ kuuluu joukkoon, ei kuulu joukkoon a ∈ S tarkoittaa, että a on S:n alkio S; a ∉ S tarkoittaa, että a ei kuulu S:ään. (1/2)−1 ∈ ℕ 2−1 ∉ ℕ ∈ ∉ kaikkialla, joukko-oppi a ∈ S tarkoittaa, että a on S:n alkio S; a ∉ S tarkoittaa, että a ei kuulu S:ään. (1/2)−1 ∈ ℕ 2−1 ∉ ℕ ⊆ ⊂ osajoukko (subset) A ⊆ B tarkoittaa, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. (aito osajoukko) A ⊂ B tarkoittaa A ⊆ B mutta A ≠ B. (Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊂ ja ⊆ välillä.) (A ∩ B) ⊆ A ℕ ⊂ ℚ ℚ ⊂ ℝ ⊆ ⊂ on osajoukko (subset) A ⊆ B tarkoittaa, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. (aito osajoukko) A ⊂ B tarkoittaa A ⊆ B mutta A ≠ B. (Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊂ ja ⊆ välillä.) (A ∩ B) ⊆ A ℕ ⊂ ℚ ℚ ⊂ ℝ ⊆ ⊂ joukko-oppi (subset) A ⊆ B tarkoittaa, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. (aito osajoukko) A ⊂ B tarkoittaa A ⊆ B mutta A ≠ B. (Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊂ ja ⊆ välillä.) (A ∩ B) ⊆ A ℕ ⊂ ℚ ℚ ⊂ ℝ ⊇ ⊃ yläjoukko A ⊇ B tarkoittaa, että jokainen B:n alkio on myös A:n alkio. A ⊃ B tarkoittaa, että A ⊇ B mutta A ≠ B. (Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊃ ja ⊇ välillä.) (A ∪ B) ⊇ B ℝ ⊃ ℚ ⊇ ⊃ on yläjoukko A ⊇ B tarkoittaa, että jokainen B:n alkio on myös A:n alkio. A ⊃ B tarkoittaa, että A ⊇ B mutta A ≠ B. (Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊃ ja ⊇ välillä.) (A ∪ B) ⊇ B ℝ ⊃ ℚ ⊇ ⊃ joukko-oppi A ⊇ B tarkoittaa, että jokainen B:n alkio on myös A:n alkio. A ⊃ B tarkoittaa, että A ⊇ B mutta A ≠ B. (Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊃ ja ⊇ välillä.) (A ∪ B) ⊇ B ℝ ⊃ ℚ ∪ joukko-opillinen yhdiste eksklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot tai kaikki B:n alkiot, mutta ei molempia. "A tai B, mutta ei molempia." inklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot, kaikki B:n alkiot tai kaikki molempien joukkojen alkiot. "A tai B tai molemmat". A ⊆ B ⇔ (A ∪ B) = B (inclusive) ∪ joukkojen … ja … yhdiste eksklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot tai kaikki B:n alkiot, mutta ei molempia. "A tai B, mutta ei molempia." inklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot, kaikki B:n alkiot tai kaikki molempien joukkojen alkiot. "A tai B tai molemmat". A ⊆ B ⇔ (A ∪ B) = B (inclusive) ∪ joukko-oppi eksklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot tai kaikki B:n alkiot, mutta ei molempia. "A tai B, mutta ei molempia." inklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot, kaikki B:n alkiot tai kaikki molempien joukkojen alkiot. "A tai B tai molemmat". A ⊆ B ⇔ (A ∪ B) = B (inclusive) ∩ joukko-opillinen leikkaus A ∩ B koostuu niistä alkioista, jotka sisältyvät sekä A:han että B:hen. {x ∈ ℝ : x2 = 1} ∩ ℕ = {1} ∩ leikkaa A ∩ B koostuu niistä alkioista, jotka sisältyvät sekä A:han että B:hen. {x ∈ ℝ : x2 = 1} ∩ ℕ = {1} ∩ joukko-oppi A ∩ B koostuu niistä alkioista, jotka sisältyvät sekä A:han että B:hen. {x ∈ ℝ : x2 = 1} ∩ ℕ = {1} \Delta symmetrinen erotus A\Delta B tarkoittaa joukkoa, jonka kukin alkio kuuluu täsmälleen toiseen joukoista A ja B. {1,5,6,8} \Delta {2,5,8} = {1,2,6} \Delta symmetrinen erotus A\Delta B tarkoittaa joukkoa, jonka kukin alkio kuuluu täsmälleen toiseen joukoista A ja B. {1,5,6,8} \Delta {2,5,8} = {1,2,6} \Delta joukko-oppi A\Delta B tarkoittaa joukkoa, jonka kukin alkio kuuluu täsmälleen toiseen joukoista A ja B. {1,5,6,8} \Delta {2,5,8} = {1,2,6} ∖ joukko-opillinen komplementti A ∖ B tarkoittaa joukkoa, joka koostuu niistä A:n alkioista, jotka eivät kuulu B:hen. {1,2,3,4} ∖ {3,4,5,6} = {1,2} ∖ miinus A ∖ B tarkoittaa joukkoa, joka koostuu niistä A:n alkioista, jotka eivät kuulu B:hen. {1,2,3,4} ∖ {3,4,5,6} = {1,2} ∖ joukko-oppi A ∖ B tarkoittaa joukkoa, joka koostuu niistä A:n alkioista, jotka eivät kuulu B:hen. {1,2,3,4} ∖ {3,4,5,6} = {1,2} ( ) funktion parametrit f(x) tarkoittaa funktion f arvoa kohdassa x. Jos f(x) := x2, on f(3) = 32 = 9. ( ) f(x) tarkoittaa funktion f arvoa kohdassa x. Jos f(x) := x2, on f(3) = 32 = 9. ( ) joukko-oppi f(x) tarkoittaa funktion f arvoa kohdassa x. Jos f(x) := x2, on f(3) = 32 = 9. ( ) Laskujärjestyksen muuttaminen Sulkeet lasketaan järjestyksessä sisimmästä uloinpaan. (8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4. ( ) sulkeet Sulkeet lasketaan järjestyksessä sisimmästä uloinpaan. (8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4. ( ) kaikkialla Sulkeet lasketaan järjestyksessä sisimmästä uloinpaan. (8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4. f:X→Y funktionuoli f: X → Y tarkoittaa funktiota f, joka kuvaa joukon X joukolle Y. Määritellään f: ℤ → ℕ asettamalla f(x) := x2. f:X→Y joukolta … joukolle … f: X → Y tarkoittaa funktiota f, joka kuvaa joukon X joukolle Y. Määritellään f: ℤ → ℕ asettamalla f(x) := x2. f:X→Y joukko-oppi,tyyppiteoria f: X → Y tarkoittaa funktiota f, joka kuvaa joukon X joukolle Y. Määritellään f: ℤ → ℕ asettamalla f(x) := x2. o yhdistetty funktio fog on funktio, jolle (fog)(x) = f(g(x)). jos f(x) := 2x, ja g(x) := x + 3, on (fog)(x) = 2(x + 3). o yhdiste fog on funktio, jolle (fog)(x) = f(g(x)). jos f(x) := 2x, ja g(x) := x + 3, on (fog)(x) = 2(x + 3). o joukko-oppi fog on funktio, jolle (fog)(x) = f(g(x)). jos f(x) := 2x, ja g(x) := x + 3, on (fog)(x) = 2(x + 3). ℕ N Luonnolliset luvut N tarkoittaa määritelmästä riippuen joukkoa { 1, 2, 3, ...} tai joukkoa { 0, 1, 2, ...}. ℕ = {|a| : a ∈ ℤ, a ≠ ℕ N N N tarkoittaa määritelmästä riippuen joukkoa { 1, 2, 3, ...} tai joukkoa { 0, 1, 2, ...}. ℕ = {|a| : a ∈ ℤ, a ≠ ℕ N luvut N tarkoittaa määritelmästä riippuen joukkoa { 1, 2, 3, ...} tai joukkoa { 0, 1, 2, ...}. ℕ = {|a| : a ∈ ℤ, a ≠ ℤ Z kokonaisluvut ℤ on joukko {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ja ℤ+ on joukko {1, 2, 3, ...} . ℤ = {p, -p : p ∈ ℕ} ∪ {0} ℤ Z Z ℤ on joukko {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ja ℤ+ on joukko {1, 2, 3, ...} . ℤ = {p, -p : p ∈ ℕ} ∪ {0} ℤ Z luvut ℤ on joukko {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ja ℤ+ on joukko {1, 2, 3, ...} . ℤ = {p, -p : p ∈ ℕ} ∪ {0} ℚ Q rationaaliluvut ℚ tarkoittaa joukkoa {p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℤ+}. 3,14000... ∈ ℚ π ∉ ℚ ℚ Q Q ℚ tarkoittaa joukkoa {p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℤ+}. 3,14000... ∈ ℚ π ∉ ℚ ℚ Q luvut ℚ tarkoittaa joukkoa {p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℤ+}. 3,14000... ∈ ℚ π ∉ ℚ ℝ R reaaliluvut ℝ tarkoittaa reaalilukujen joukkoa. π ∈ ℝ √(−1) ∉ ℝ ℝ R R ℝ tarkoittaa reaalilukujen joukkoa. π ∈ ℝ √(−1) ∉ ℝ ℝ R luvut ℝ tarkoittaa reaalilukujen joukkoa. π ∈ ℝ √(−1) ∉ ℝ ℂ C kompleksiluvut ℂ means {a + b i : a,b ∈ ℝ}. i = √(−1) ∈ ℂ ℂ C C ℂ means {a + b i : a,b ∈ ℝ}. i = √(−1) ∈ ℂ ℂ C luvut ℂ means {a + b i : a,b ∈ ℝ}. i = √(−1) ∈ ℂ ℂ C mielivaltainen vakio C voi olla mikä tahansa luku, jota ei ole yleensä kiinnitetty. Esiintyy usein integraaleja laskettaessa. jos f(x) = 6x² + 4x, on F(x) = 2x³ + 2x² + C, missä F'(x) = f(x) ℂ C C C voi olla mikä tahansa luku, jota ei ole yleensä kiinnitetty. Esiintyy usein integraaleja laskettaessa. jos f(x) = 6x² + 4x, on F(x) = 2x³ + 2x² + C, missä F'(x) = f(x) ℂ C integraalilaskenta C voi olla mikä tahansa luku, jota ei ole yleensä kiinnitetty. Esiintyy usein integraaleja laskettaessa. jos f(x) = 6x² + 4x, on F(x) = 2x³ + 2x² + C, missä F'(x) = f(x) 𝕂 K reaali- tai kompleksilukujen joukko K tarkoittaa usein, että tulos on voimassa sekä reaali- että kompleksiluvuille. : x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{K} koska : x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{R} ja :x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{C}. 𝕂 K K K tarkoittaa usein, että tulos on voimassa sekä reaali- että kompleksiluvuille. : x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{K} koska : x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{R} ja :x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{C}. 𝕂 K lineaarialgebra K tarkoittaa usein, että tulos on voimassa sekä reaali- että kompleksiluvuille. : x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{K} koska : x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{R} ja :x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{C}. ∞ ääretön ∞ on laajennetun reaaliakselin alkio, joka on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku. Esiintyy usein raja-arvoja laskettaessa. limx→0 1/|x| = ∞ ∞ ääretön ∞ on laajennetun reaaliakselin alkio, joka on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku. Esiintyy usein raja-arvoja laskettaessa. limx→0 1/|x| = ∞ ∞ luvut ∞ on laajennetun reaaliakselin alkio, joka on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku. Esiintyy usein raja-arvoja laskettaessa. limx→0 1/|x| = ∞ … normi x on normiavaruuden alkion x normi. x \+ y ≤ x + y normi pituus lineaarialgebra ∑ summaus \sum_{k=1}^{n}{a_k} tarkoittaa a1 \+ a2 \+ … \+ an. \sum_{k=1}^{4}{k^2} = 12 \+ 22 \+ 32 \+ 42 ::= 1 \+ 4 \+ 9 \+ 16 = 30 ∑ summa yli … \sum_{k=1}^{n}{a_k} tarkoittaa a1 \+ a2 \+ … \+ an. \sum_{k=1}^{4}{k^2} = 12 \+ 22 \+ 32 \+ 42 ::= 1 \+ 4 \+ 9 \+ 16 = 30 ∑ aritmetiikka \sum_{k=1}^{n}{a_k} tarkoittaa a1 \+ a2 \+ … \+ an. \sum_{k=1}^{4}{k^2} = 12 \+ 22 \+ 32 \+ 42 ::= 1 \+ 4 \+ 9 \+ 16 = 30 ∏ tulo \prod_{k=1}^na_k tarkoittaa tuloa a1a2···an. \prod_{k=1}^4(k+2) = (1+2)(2+2)(3+2)(4+2) ::= 3 × 4 × 5 × 6 = 360 ∏ tulo yli … \prod_{k=1}^na_k tarkoittaa tuloa a1a2···an. \prod_{k=1}^4(k+2) = (1+2)(2+2)(3+2)(4+2) ::= 3 × 4 × 5 × 6 = 360 ∏ aritmetiikka \prod_{k=1}^na_k tarkoittaa tuloa a1a2···an. \prod_{k=1}^4(k+2) = (1+2)(2+2)(3+2)(4+2) ::= 3 × 4 × 5 × 6 = 360 ∏ Karteesinen tulo \prod_{i=0}^{n}{Y_i} tarkoittaa kaikkia (n+1)-jonoja ::(y0, …, yn). \prod_{n=1}^{3}{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R} = \mathbb{R}^3 ∏ karteesinen tulo, suora tulo \prod_{i=0}^{n}{Y_i} tarkoittaa kaikkia (n+1)-jonoja ::(y0, …, yn). \prod_{n=1}^{3}{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R} = \mathbb{R}^3 ∏ joukko-oppi \prod_{i=0}^{n}{Y_i} tarkoittaa kaikkia (n+1)-jonoja ::(y0, …, yn). \prod_{n=1}^{3}{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R} = \mathbb{R}^3 ∐ erillinen yhdiste ∐ erillinen yhdiste ∐ kategoriateoria ′ • derivaatta f ′(x) on funktion f derivaatta kohdassa x, eli f:n tangentin kulmakerroin kohdassa x. Siis \dot{x}(t)=\frac{\partial}{\partial t}x(t). Jos f(x) := x2, on f ′(x) = 2x ′ • … pilkku derivaatta f ′(x) on funktion f derivaatta kohdassa x, eli f:n tangentin kulmakerroin kohdassa x. Siis \dot{x}(t)=\frac{\partial}{\partial t}x(t). Jos f(x) := x2, on f ′(x) = 2x ′ • differentiaali- ja integraalilaskenta f ′(x) on funktion f derivaatta kohdassa x, eli f:n tangentin kulmakerroin kohdassa x. Siis \dot{x}(t)=\frac{\partial}{\partial t}x(t). Jos f(x) := x2, on f ′(x) = 2x ∫ määräämätön integraali tai antiderivaatta ∫ f(x) dx tarkoittaa funktiota, jonka derivaatta on f. ∫x2 dx = x3/3 + C ∫ määräämätön integraali antiderivaatta ∫ f(x) dx tarkoittaa funktiota, jonka derivaatta on f. ∫x2 dx = x3/3 + C ∫ differentiaali- ja integraalilaskenta ∫ f(x) dx tarkoittaa funktiota, jonka derivaatta on f. ∫x2 dx = x3/3 + C ∫ määrätty integraali ∫ab f(x) dx tarkoittaa etumerkillä varustettua funktion kuvaajan ja x-akselin rajaamaa pinta-alaa välillä a≤x≤b. ∫0b x2 dx = b3/3; ∫ integraali ∫ab f(x) dx tarkoittaa etumerkillä varustettua funktion kuvaajan ja x-akselin rajaamaa pinta-alaa välillä a≤x≤b. ∫0b x2 dx = b3/3; ∫ differentiaali- ja integraalilaskenta ∫ab f(x) dx tarkoittaa etumerkillä varustettua funktion kuvaajan ja x-akselin rajaamaa pinta-alaa välillä a≤x≤b. ∫0b x2 dx = b3/3; ∇ gradientti ∇f (x1, …, xn) on f:n osittaisderivaatoista muodostettu vektori (∂f / ∂x1, …, ∂f / ∂xn). Jos f (x,y,z) := 3xy + z², on ∇f = (3y, 3x, 2z) ∇ del, nabla, gradientti ∇f (x1, …, xn) on f:n osittaisderivaatoista muodostettu vektori (∂f / ∂x1, …, ∂f / ∂xn). Jos f (x,y,z) := 3xy + z², on ∇f = (3y, 3x, 2z) ∇ differentiaali- ja integraalilaskenta ∇f (x1, …, xn) on f:n osittaisderivaatoista muodostettu vektori (∂f / ∂x1, …, ∂f / ∂xn). Jos f (x,y,z) := 3xy + z², on ∇f = (3y, 3x, 2z) ∂ osittaisderivaatta Jos f (x1, …, xn), on ∂f/∂xi f:n derivaatta muuttujan xi suhteen. Muita muuttujia käsitellään derivoitaessa vakioina. Jos f(x,y) := x2y, on ∂f/∂x = 2xy ∂ osittaisderivaatta, d Jos f (x1, …, xn), on ∂f/∂xi f:n derivaatta muuttujan xi suhteen. Muita muuttujia käsitellään derivoitaessa vakioina. Jos f(x,y) := x2y, on ∂f/∂x = 2xy ∂ differentiaali- ja integraalilaskenta Jos f (x1, …, xn), on ∂f/∂xi f:n derivaatta muuttujan xi suhteen. Muita muuttujia käsitellään derivoitaessa vakioina. Jos f(x,y) := x2y, on ∂f/∂x = 2xy ∂ reuna ∂M tarkoittaa M:n reunaa ∂{x : x ≤ 2} = {x : x = 2} ∂ reuna ∂M tarkoittaa M:n reunaa ∂{x : ∂ topologia ∂M tarkoittaa M:n reunaa ∂{x : ⊥ kohtisuoruus x ⊥ y tarkoittaa, että x on kohtisuorassa y:hyn nähden tai yleisemmin, x on ortogonaalinen y:n kanssa. Jos l ⊥ m ja m ⊥ n, on l n. ⊥ on kohtisuorassa x ⊥ y tarkoittaa, että x on kohtisuorassa y:hyn nähden tai yleisemmin, x on ortogonaalinen y:n kanssa. Jos l ⊥ m ja m ⊥ n, on l ⊥ geometria x ⊥ y tarkoittaa, että x on kohtisuorassa y:hyn nähden tai yleisemmin, x on ortogonaalinen y:n kanssa. Jos l ⊥ m ja m ⊥ n, on l ⊥ pienin alkio x = ⊥ tarkoittaa, että x on pienin alkio. ∀x : x ∧ ⊥ = ⊥ ⊥ pienin alkio x = ⊥ tarkoittaa, että x on pienin alkio. ∀x : x ∧ ⊥ = ⊥ ⊥ lattiisiteoria x = ⊥ tarkoittaa, että x on pienin alkio. ∀x : x ∧ ⊥ = ⊥ yhdensuuntaisuus x y tarkoittaa, että x ja y ovat yhdensuuntaisia. Jos l m ja m ⊥ n, on l ⊥ n. on yhdensuuntainen x Jos l geometria x Jos l ⊧ seuraa A ⊧ B tarkoittaa, että lauseesta A seuraa lause B, eli jokaisessa mallissa, jossa A on tosi, on myös B tosi. A ⊧ A ∨ ¬A ⊧ seuraa A ⊧ B tarkoittaa, että lauseesta A seuraa lause B, eli jokaisessa mallissa, jossa A on tosi, on myös B tosi. A ⊧ A ∨ ¬A ⊧ malliteoria A ⊧ B tarkoittaa, että lauseesta A seuraa lause B, eli jokaisessa mallissa, jossa A on tosi, on myös B tosi. A ⊧ A ∨ ¬A ⊢ johtopäätös x ⊢ y tarkoittaa, että y on johdettu x:stä. A → B ⊢ ¬B → ¬A ⊢ on johdettu x ⊢ y tarkoittaa, että y on johdettu x:stä. A → B ⊢ ¬B → ¬A ⊢ propositionaalilogiikka, predikaattilogiikka x ⊢ y tarkoittaa, että y on johdettu x:stä. A → B ⊢ ¬B → ¬A ◅ normaali aliryhmä N ◅ G tarkoittaa, että N on G:n normaali aliryhmä. Z(G) ◅ G ◅ on normaali aliryhmä N ◅ G tarkoittaa, että N on G:n normaali aliryhmä. Z(G) ◅ G ◅ ryhmäteoria N ◅ G tarkoittaa, että N on G:n normaali aliryhmä. Z(G) ◅ G / tekijäryhmä G/H tarkoittaa tekijäryhmää G modulo sen normaali aliryhmä H. {0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}} / mod G/H tarkoittaa tekijäryhmää G modulo sen normaali aliryhmä H. {0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}} / ryhmäteoria G/H tarkoittaa tekijäryhmää G modulo sen normaali aliryhmä H. {0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}} / tekijäjoukko A/~ tarkoittaa kaikkien ~:n ekvivalenssiluokkien joukkoa A:ssa. Jos määritellään ~ asettamalla x~y ⇔ x-y∈Z, on R/~ = {{x+n : n∈Z} : x ∈ (0,1]} / mod A/~ tarkoittaa kaikkien ~:n ekvivalenssiluokkien joukkoa A:ssa. Jos määritellään ~ asettamalla x~y ⇔ x-y∈Z, on R/~ = {{x+n : n∈Z} : x ∈ (0,1]} / joukko-oppi A/~ tarkoittaa kaikkien ~:n ekvivalenssiluokkien joukkoa A:ssa. Jos määritellään ~ asettamalla x~y ⇔ x-y∈Z, on R/~ = {{x+n : n∈Z} : x ∈ (0,1]} ≈ isomorfismi G ≈ H tarkoittaa, että ryhmä G on isomorfinen ryhmän H kanssa Q / {1, −1} ≈ V, missä Q on kvaternioryhmä ja V on Kleinin neliryhmä. ≈ on isomorfinen G ≈ H tarkoittaa, että ryhmä G on isomorfinen ryhmän H kanssa Q / {1, −1} ≈ V, missä Q on kvaternioryhmä ja V on Kleinin neliryhmä. ≈ ryhmäteoria G ≈ H tarkoittaa, että ryhmä G on isomorfinen ryhmän H kanssa Q / {1, −1} ≈ V, missä Q on kvaternioryhmä ja V on Kleinin neliryhmä. ≈ likimäärin yhtä suuri x ≈ y tarkoittaa, että x on likimäärin yhtä suuri kuin y π ≈ 3,14159 ≈ on likimäärin yhtä suuri kuin x ≈ y tarkoittaa, että x on likimäärin yhtä suuri kuin y π ≈ 3,14159 ≈ kaikkialla x ≈ y tarkoittaa, että x on likimäärin yhtä suuri kuin y π ≈ 3,14159 ~ samaa kertaluokkaa m ~ n, tarkoittaa, että suureet m ja n on samaa kertaluokkaa. 2 ~ 5 8 × 9 ~ 100 , mutta π2 ≈ 10 ~ suunnilleen yhtä paljon likimääräinen arvio m ~ n, tarkoittaa, että suureet m ja n on samaa kertaluokkaa. 2 ~ 5 8 × 9 ~ 100 , mutta π2 ≈ 10 ~ Approksimointiteoria m ~ n, tarkoittaa, että suureet m ja n on samaa kertaluokkaa. 2 ~ 5 8 × 9 ~ 100 , mutta π2 ≈ 10 〈,〉 ( | ) < , > · : sisätulo 〈x,y〉 tarkoittaa x:n ja y:n sisätuloa, joka on määrätty sisätuloavaruudessa. Tavallisille vektoreille pistetulon merkintä on tavallisempi: x·y. Matriiseille voidaan käyttää piste-notaatiota. Kahden vektorin x = (2, 3) ja y = (−1, 5) pistetulo on: 〈x, y〉 = 2×−1 + 3×5 = 13 A:B = \sum_{i,j} A_{ij}B_{ij} 〈,〉 ( | ) < , > · : sisätulo 〈x,y〉 tarkoittaa x:n ja y:n sisätuloa, joka on määrätty sisätuloavaruudessa. Tavallisille vektoreille pistetulon merkintä on tavallisempi: x·y. Matriiseille voidaan käyttää piste-notaatiota. Kahden vektorin x = (2, 3) ja y = (−1, 5) pistetulo on: 〈x, y〉 = 2×−1 + 3×5 = 13 A:B = \sum_{i,j} A_{ij}B_{ij} 〈,〉 ( | ) < , > · : Vektorilaskenta 〈x,y〉 tarkoittaa x:n ja y:n sisätuloa, joka on määrätty sisätuloavaruudessa. Tavallisille vektoreille pistetulon merkintä on tavallisempi: x·y. Matriiseille voidaan käyttää piste-notaatiota. Kahden vektorin x = (2, 3) ja y = (−1, 5) pistetulo on: 〈x, y〉 = 2×−1 + 3×5 = 13 A:B = \sum_{i,j} A_{ij}B_{ij} ⊗ tensoritulo V ⊗ U tarkoittaa V:n ja U:n tensorituloa. {1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} = {{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}} ⊗ tensoritulo V ⊗ U tarkoittaa V:n ja U:n tensorituloa. {1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} = {{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}} ⊗ lineaarialgebra V ⊗ U tarkoittaa V:n ja U:n tensorituloa. {1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} = {{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}} * konvoluutio f * g tarkoittaa f:n ja g:n konvoluutiota. (f * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau * konvoluutio f * g tarkoittaa f:n ja g:n konvoluutiota. (f * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau * f * g tarkoittaa f:n ja g:n konvoluutiota. (f * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau \bar{x} keskiarvo \bar{x} tarkoittaa keskiarvoa. x = \\{1,2,3,4,5\\}; \bar{x} = 3. \bar{x} yläviiva \bar{x} tarkoittaa keskiarvoa. x = \\{1,2,3,4,5\\}; \bar{x} = 3. \bar{x} tilastotiede \bar{x} tarkoittaa keskiarvoa. x = \\{1,2,3,4,5\\}; \bar{x} = 3. \triangleq delta yhtäsuuruus \triangleq tarkoittaa yhtäsuuruutta määritelmän perusteella. Kun käytetään merkkiä \triangleq, yhtäsuuruus ei ole yleisessä tapauksessa voimassa, mutta ottaen huomioon tapauksessa vallitsevat oletukset, on yhtäsuuruus voimassa. p(x_1,x_2,...,x_n) \triangleq \prod_{i=1}^n p(x_i | x_{\pi_i}). \triangleq yhtäsuuruus määritelmän perusteella \triangleq tarkoittaa yhtäsuuruutta määritelmän perusteella. Kun käytetään merkkiä \triangleq, yhtäsuuruus ei ole yleisessä tapauksessa voimassa, mutta ottaen huomioon tapauksessa vallitsevat oletukset, on yhtäsuuruus voimassa. p(x_1,x_2,...,x_n) \triangleq \prod_{i=1}^n p(x_i | x_{\pi_i}). \triangleq kaikkialla \triangleq tarkoittaa yhtäsuuruutta määritelmän perusteella. Kun käytetään merkkiä \triangleq, yhtäsuuruus ei ole yleisessä tapauksessa voimassa, mutta ottaen huomioon tapauksessa vallitsevat oletukset, on yhtäsuuruus voimassa. p(x_1,x_2,...,x_n) \triangleq \prod_{i=1}^n p(x_i | x_{\pi_i}). ==Katso myös== *Matemaattinen merkintä ==Aiheesta muualla== * Jeff Miller: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols * TCAEP – Institute of Physics * GIF and PNG Images for Math Symbols Symbolit Luokka:Matemaattiset symbolit Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit