Säännöllinen monikulmio

Säännöllinen monikulmio on geometriassa konveksi monikulmio, joka on samalla sekä syklinen monikulmio että tangentiaalinen monikulmio, ja jolla erityisesti kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Säännöllinen monikulmio on siis tasasivuinen ja tasakulmainen. Säännöllisestä muodosta johtuen sillä on olemassa useita symmetria-akseleita ja keskipiste. Säännöllisten monikulmioiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja. Säännöllisiä monikulmioita ovat esimerkiksi seuraavat monikulmiot: File:Equilateral-triangle.svg|Tasasivuinen kolmio File:Sqr Geometry.png|Neliö File:Star polygon 5-1.svg|Säännöllinen viisikulmio File:Star polygon 6-1.svg|Säännöllinen kuusikulmio File:Star polygon 7-1.svg|Säännöllinen seitsenkulmio File:Star polygon 8-1.svg|Säännöllinen kahdeksankulmio File:Star polygon 9-1.svg|Säännöllinen yhdeksänkulmio File:Decagon.svg|Säännöllinen kymmenkulmio == Nimityksiä == Monikulmioita nimitetään lukusanan avulla esimerkiksi viisikulmioksi. Yleistäen, jos monikulmiossa on n kulmaa, sitä voidaan kutsua n-kulmioksi. Tällaisella säännöllisellä monikulmiolla on siten n kulmaa, kärkeä ja sivua. Kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan saman suuruisia, joten monikulmio on tasakulmainen, ja kaikki sivut ovat saman pituisia, joten se on myös tasasivuinen. Säännöllinen monikulmio voidaan ajatella säännölliseksi sykliseksi monikulmioksi, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä säännöllisin välein. Ympyrää kutsutaan monikulmion ympäri piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin ulkoympyräksi. Ulkoympyrän keskipiste on samalla monikulmion symmetriapiste, jota voidaan kutsua myös monikulmion keskipisteeksi. Monikulmion kärjet sijaitsevat ison säteen R etäisyydellä keskipisteestä ja säteillä voidaan jakaa monikulmio tasakylkisiin kolmioihin, joita on yhtä monta kuin sivujakin. Kolmioita nimitetään keskuskolmioiksi. Keskipisteen ja sivun välistä etäisyyttä kutsutaan apoteemaksi eli sisään piirretyn monikulmion sivun etäisyydeksi. Säännöllinen monikulmio voidaan myös ajatella säännölliseksi tangentiaaliseksi monikulmioksi, jonka sivut sivuavat tangentteina monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Tätä ympyrää voidaan kutsua monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin sisäympyräksi. Sisäympyrän sädettä r kutsutaan pieneksi säteeksi ja sen arvo on sama kuin edellä mainitulla apoteemalla. == Ominaisuuksia == Säännölliset monikulmiot perivät kaikki yleisen monikulmion ominaisuudet. Niillä on säännöllisyydestä johtuen paljon erityisiä ominaisuuksia: * Säännöllisen monikulmion ympäri ja sisälle voidaan aina piirtää edellä kuvatulla tavalla ympyrät. * Jos annetaan kulmien lukumäärä ja piirin pituus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on suurin pinta-ala. * Jos annetaan kulmien lukumäärä ja pinta-alan suuruus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on lyhin piiri. * Jos säännöllisen monikulmion sisältä valitaan mielivaltaisesti sisäpiste, niin sisäpisteestä sivuille piirrettyjen kohtisuorien yhteispituus on sama kuin "apoteema kertaa n". Seuraavissa kaavojen suureet tarkoittavat: s on sivun pituus, a on apoteema, p on piiri, A on ala, n on kulmien lukumäärä, \alpha on sisäkulman suuruus. === Kulmat === * Sisäkulma on \alpha = \frac{n-2}{n} \cdot 180^\circ. * Ulkokulma eli sivun ja viereisen sivun jatkeen välinen kulma \beta = \frac{360^\circ}{n} * keskuskolmion keskuskulma β on yhtä suuri kuin ulkokulma: \beta = \delta === Sivunpituus === Sivun pituus voidaan määrittää trigonometristen funktioiden avulla. Sivun pituus lasketaan: s = 2r \tan{\frac{180^\circ}{n}} = 2R \sin{\frac{180^\circ}{n}} = \sqrt \frac {4 A \tan{\frac{180^\circ}{n}}}{n} Tietyillä kulmilla sivun pituus voidaan määrittää tarkastikin: * tasasivuinen kolmio: s = R\sqrt{3} = 2r\sqrt{3} * neliö: s = R\sqrt{2} = 2r * säännöllinen kuusikulmio: s = R = \frac{2r\sqrt{3}}{3} === Sisä- ja ulkoympyrän säde === Kummallekin ympyrälle on omat trigonometriset kaavansa: * Sisäympyrän säde: r = \tfrac{1}{2} s \cot{\frac{180^\circ}{n}} = R \cos{\frac{180^\circ}{n}} * Ulkoympyrän säde: R = \tfrac{1}{2} s \csc{\frac{180^\circ}{n}} = r \sec{\frac{180^\circ}{n}} Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan säde ilmoittaa tarkastikin: * tasasivuinen kolmio: r = \frac{s\sqrt{3}}{6} ja R = \frac{s\sqrt{3}}{3} * neliö: r = \frac{s}{2} ja R = \frac{s\sqrt{2}}{2} * säännöllinen viisikulmio: r = \frac{s}{10} \sqrt{25+10\sqrt{5}} ja R = \frac{s}{10} \sqrt{50+10\sqrt{5}} * säännöllinen kuusikulmio: r = \frac{s\sqrt{3}}{2} ja R = s === Pinta-ala === Pinta-ala voidaan ilmaista monella eri tavalla. Yksinkertainen geometrinen tapa on kertoa puolipiiri apoteemalla : A = \frac{p a}{2} = \frac{n s a}{2}. Toisaalta se voidaan laskea trigonometriseti: :A = \tfrac{1}{4} n s^2 \cot{\frac{180^\circ}{n}} = n r^2 \tan{\frac{180^\circ}{n}} = \tfrac{1}{2} n R^2 \sin{\frac{360^\circ}{n}}. Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan pinta-ala ilmoittaa tarkastikin: * tasasivuinen kolmio: A = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4} * neliö: A = s^2 * säännöllinen viisikulmio: A = \frac{s^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} * säännöllinen kuusikulmio: A = \frac{3s^2 \sqrt{3}}{2} == Konstruktiot == Geometriassa on antiikin ajoista lähtien yritetty konstruoida säännöllisiä monikulmioita pelkästään harppia ja viivainta käyttämällä. Jo se kysymys, onko se ylipäätään mahdollista, on ollut vaikea kysymys vastattavaksi. Saksalainen Carl Gauss todisti, että sellaiset säännölliset n-kulmiot ovat konstruoitavissa, jossa n = 2^p (jossa p \ge 2), tai n = 2^p(2^{2^k}+1) (jossa p \ge 0, \, k \ge 0, \, ja \, 2^{2^k}+1 on alkuluku). Ensimmäisen säännön mukaan konstruoitavia n-kulmioita ovat 4-, 8-, 16-, 32-, ... ja niin edelleen. Toisen säännön mukaan näiden lisäksi voidaan konstruoida vielä 3-, 6-, 12-, 24-, ... sekä 5-, 10-, 20-, 40-, ... sekä 17-, 34-, 68-, ... sekä 257- ja 65537-kulmioita ja niin edelleen. == Historiaa: Piin määritys == Antiikin suureen ajattelijaan Arkhimedeeseen on liitetty piin arvon laskeminen. Hän piirsi ympyrän ympärille ja sisäpuolelle n-kulmiot, joiden piirien pituudet hän laski. Ulkopuolen piirin pituus oli luonnollisesti pitempi kuin ympyrän kehä, ja sisäpuolisen n-kulmion piiri sitä pienempi. Piin likiarvoksi saatiin tällä menetelmällä piin ylä- ja alarajan keskiarvo. Kun kulmien lukumäärää n suurennettiin puolittamalla edellisen kuvion kulmia, tarkentui piin likiarvo. Piin määrittämiseksi on keskitty lukuisia muitakin menetelmiä, joten tällä menetelmällä on enää lähinnä historiallinen arvo. == Vertailutaulukko == :n: Kulmaluku :\varphi: Sivua vastaava keskuskulma :a: Sivunpituus :R: Ulkoympyrän säde :r: Sisäympyrän säde :\beta: Sisäkulma :A: Pinta-ala n Nimitys \varphi \frac{a}{R} \frac{r}{R} \beta \frac{A}{R^2} Kuvio 2 Jana 180° 2,0000 0,0000 0 0,0000 3 Kolmio 120° 1,7321 0,5000 60 1,2990 4 Nelikulmio 90° 1,4142 0,7071 90 2,0000 5 Viisikulmio 72° 1,1756 0,8090 108 2,3776 6 Kuusikulmio 60° 1,0000 0,8660 120 2,5981 7 Seitsemänkulmio 51,43° 0,8678 0,9010 128,57 2,7364 8 Kahdeksankulmio 45° 0,7654 0,9239 135 2,8284 9 Yhdeksänkulmio 40° 0,6840 0,9397 140 2,8925 10 Kymmenenkulmio 36° 0,6180 0,9511 144 2,9389 11 11-kulmio 32,73° 0,5635 0,9595 147,27 2,9735 12 12-kulmio 30° 0,5176 0,9659 150 3,0000 13 13-kulmio 27,69° 0,4786 0,9709 152,31 3,0207 14 14-kulmio 25,71° 0,4450 0,9749 154,29 3,0372 15 15-kulmio 24° 0,4158 0,9781 156 3,0505 16 16-kulmio 22,5° 0,3902 0,9808 157,5 3,0615 17 17-kulmio 21,18° 0,3675 0,9830 158,82 3,0706 18 18-kulmio 20° 0,3473 0,9848 160 3,0782 19 19-kulmio 18,95° 0,3292 0,9864 161,05 3,0846 20 20-kulmio 18° 0,3129 0,9877 162 3,0902 21 21-kulmio 17,14° 0,2981 0,9888 162,86 3,0949 22 22-kulmio 16,36° 0,2846 0,9898 163,64 3,0991 23 23-kulmio 15,65° 0,2723 0,9907 164,35 3,1027 24 24-kulmio 15° 0,2611 0,9914 165 3,1058 25 25-kulmio 14,4° 0,2507 0,9921 165,6 3,1086 26 26-kulmio 13,85° 0,2411 0,9927 166,15 3,1111 27 27-kulmio 13,33° 0,2322 0,9932 166,67 3,1133 28 28-kulmio 12,86° 0,2239 0,9937 167,14 3,1153 29 29-kulmio 12,41° 0,2162 0,9941 167,59 3,1171 30 30-kulmio 12° 0,2091 0,9945 168 3,1187 == Lähteet == * * == Lähteet == == Aiheesta muualla == * Luokka:Geometria Luokka:Monikulmiot