Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus. Lause kuuluu seuraavasti: olkoon f \colon [a, b] \to \R jatkuva funktio suljetulta väliltä [a, b] reaalilukujen joukolle \R. Olkoon u reaaliluku, joka toteuttaa ehdon f(a) < u < f(b) tai f(a) > u > f(b). Tällöin (avoimen) välin (a, b) jollekin pisteelle c pätee f(c) = u. Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi f on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat f(1) = 3 ja f(2) = 5, on f:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4. Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta u = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota g(x) = f(x) - u, jolloin g(a) = f(a) - u < 0 ja g(b) = f(b) - u > 0. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa c \in (a, b), jolla g(c) = 0 \iff f(c) - u = 0 \iff f(c) = u. == Todistus == Todistetaan ensimmäinen tapaus f (a) < u < f (b). Tapauksen f (b) < u < f (a) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota g (x) = -f(x). Olkoon S niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo f(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin u eli S = {x \in [a, b] : f(x) ≤ u}. Tällöin S on epätyhjä (koska a kuuluu siihen, f(a) < u) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa b. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla S on olemassa supremum eli pienin yläraja c = sup S. Väite: f (c) = u. Oletetaan ensin, että f(c) > u. Silloin f(c) - u > 0. Koska funktio f on jatkuva eli \lim_{x \to \ c}f(x) = f(c), on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että | f(x) - f(c) | < f(c) - u aina kun | x - c | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( f(c ) - u) < f(x) - f(c) < f(c) - u eli f(x) > f(c) - ( f(c) - u ) = u aina kun | x - c | < δ, siis f (x) > u kaikille x \in ( c - δ, c + δ). Siten c - δ on joukon S yläraja, joka on pienempi kuin c, ristiriita (c ei nyt voi olla joukon S pienin yläraja). Oletetaan seuraavaksi, että f(c) < u. Nyt u - f(c) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että | f(x) - f(c) | < u - f(c) aina kun | x - c | < δ. Silloin -(u - f(c)) < f(x) - f(c) < u - f(c) eli f(x) < f(c) + (u - f (c)) = u kaikille x \in ( c - δ, c + δ). Siten on olemassa x > c, jolle f(x) < u, taas ristiriita c:n määritelmän kanssa (c ei nyt voikaan olla joukon S yläraja). Koska ei voi olla f(c) < u eikä f(c) > u, tulee olla f(c) = u. □ ==Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella== ===Lemma=== Jos funktio f on jatkuva pisteessä x_0 ja f(x_0) > 0, niin on olemassa \delta > 0 siten, että f(x) > 0, kun |x - x_0| < \delta. Jos funktio f on jatkuva pisteessä x_0 ja f(x_0) < 0, niin on olemassa \delta > 0 siten, että f(x) < 0, kun |x - x_0| < \delta. ====Lemman todistus==== Todistetaan tapaus f(x_0) > 0. Tapaus f(x_0) < 0 todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota -f. Koska f on jatkuva pisteessä x_0 ja f(x_0) > 0, niin on olemassa \delta > 0 siten, että :|f(x) - f(x_0)| < \frac{f(x_0)}{2}, kun :|x - x_0| < \delta. Tällöin :-\frac{f(x_0)}{2} < f(x) - f(x_0) < \frac{f(x_0)}{2}, joten :f(x_0) - \frac{f(x_0)}{2} < f(x), kun :|x - x_0| < \delta. Täten :0 < \frac{f(x_0)}{2} < f(x), kun :|x - x_0| < \delta. \ \square Olkoot a < b, f(a) < 0 ja f(b) > 0. Tapaus, jossa f(a) > 0 ja f(b) < 0, todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota -f. Olkoon joukko J = \\{x \in [a, b] \mid f(x) < 0\\}. Koska a \in J, niin J eq \emptyset. Koska J eq \emptyset ja J on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa \sup J. Koska f on jatkuva välillä [a, b] ja f(a) < 0, niin lemman nojalla on olemassa \delta_1 > 0 siten, että a + \delta_1 < b ja f(x) < 0, kun a \leq x < a + \delta_1. Koska f on jatkuva välillä [a, b] ja f(b) > 0, niin lemman nojalla on olemassa \delta_2 > 0 siten, että a + \delta_1 < b - \delta_2 ja f(x) > 0, kun b - \delta_2 < x \leq b. Täten a < \sup J < b. Olkoon s = \sup J. Väite: f(s) = 0. Tehdään vastaoletus: f(s) eq 0. Koska f on jatkuva välillä [a, b], niin lemman nojalla on olemassa \delta > 0 siten, että (s - \delta, s + \delta) \subset (a, b) ja joko f(x) > 0 tai f(x) < 0, kun x \in (s - \delta, s + \delta). Jos f(x) > 0, kun x \in (s - \delta, s + d), niin s - \frac{\delta}{2} \in (a, b) on joukon J yläraja. Tällöin s ei ole joukon J pienin yläraja. Jos f(x) < 0, kun x \in (s - \delta, s + d), niin s ei ole joukon J yläraja. Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että f(s) eq 0. Täten alkuperäinen väite pätee eli f(s) = 0 pätee. Siis todistettin, että jos f on jatkuva funktio välillä [a, b], f(a) < 0 ja f(b) > 0, niin on olemassa s \in (a, b) siten, että f(s) = 0. \square ==Lähteet== == Kirjallisuutta == * ==Aiheesta muualla== * Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem Luokka:Analyysi