Tekijäavaruus (lineaarialgebra)

Tekijäavaruus lineaarialgebrassa on suppeampi vektoriavaruus, joka saadaan "kutistamalla" jossakin vektoriavaruudessa V jokin sen aliavaruus N nollaksi. Vektoriavaruuden V tekijäavaruus aliavaruuden N suhteen eli modulo N merkitään V/N. == Muodollinen määritelmä == Muodollisesti tekijäavaruus konstruoidaan seuraavasti. Olkoon V vektoriavaruus, jonka kerroinkunta on K, ja olkoon N jokin V:n aliavaruus]. Määritellään V:ssä ekvivalenssirelaatio ~ siten, että x ~ y, jos ja vain jos x − y ∈ N. Toisin sanoen alkiot x ja y ovat ekvivalentteja, jos toinen niistä voidaan saada lisäämällä toiseen jokin N:n alkio. Tästä määritelmästä voidaan päätellä, että jokainen N:n alkio on ekvivalentti nollavektorin kanssa; täsmällisemmin sanottuna kaikki N:ään kuuluvat vektorit kuvautuvat nollavektorin ekvivalenssiluokkaan. Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio x kuuluu, käytetään usein merkintää :[x] = x + N sillä sen määrittää joukko :[x] = {x + n : n ∈ N}. Tekijäavaruus V/N eli V/~ (V modulo N) määritellään tällöin kaikkien ekvivalenssirelaation ~ avaruudessa V määrittelemien ekvivalenssiluokkien joukoksi. Näiden ekvivalenssiluokkien eli tekijäavaruuden alkioiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen määritellään tällöin seuraavasti:* *α[x] = [αx] for all α ∈ K, and *[x] + [y] = [x+y]. Helposti voidaan osoittaa, että nämä laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen ne eivät riipu siitä, mikä alkio valitaan edustamaan ekvivalenssiluokkaa. Näillä laskutoimituksilla varustettuna tekijäavaruus V/N on K:n vektoriavaruus, jossa N on nollaluokka, [0]. Kuvausta, joka liittää alkioon v ∈ V sitä vastaavan ekvivalenssiluokan [v] sanotaan ekvivalenssikuvaukseksi. == Esimerkkejä == Olkoon X = \mathbb{R}^2 tavanomainen karteesinen taso ja olkoon Y origon kautta kulkeva suora X:ssä. Silloin tekijäavaruus X/Y voidaan samastaa tasossa X olevien Y:n suuntaisten suorien muodostaman avaruuden kanssa. Toisin sanoen joukon X/Y alkioita ovat Y:n suuntaiset suorat tasossa X. Tämä tarjoaa tavan visualisoida tekijäavaruuksia geometrisesti. Toinen esimerkki on avaruuden \mathbb{R}^n tekijäavaruus sen aliavaruuden suhteen, jonka muodostavat m ensimmäistä standardia kantavektoria. Avaruuteen \mathbb{R}^n kuuluvat kaikki järjestetyt n reaaliluvun jonot (x1,…,xn). Mainitun aliavaruuden, joka voidaan samastaa \mathbb{R}^m:n kanssa, muodostavat sellaiset n reaaliluvun järjestetyt jonot, joissa viimeiset n−m lukua ovat nollia: Kaksi \mathbb{R}:n vektoria kuuluvat tämän kongruenssiluokkaan modulo tämä aliavaruus, jos ja vain jos niiden viimeiset n−m koordinaattia ovat samat. Tekijäavaruus \mathbb{R}^n/\mathbb{R}^m on ilmeisellä tavalla isomorfinen avaruuden \mathbb{R}^{n-m} kanssa. Yleensäkin jos V on aliavaruuksien U ja W (sisäinen) suora summa eli :V=U\oplus W niin tekijäavaruus V/U on isomorfinen W:n kanssa. Funktioavaruuksien tärkeitä tekijäavaruuksia ovat Lp-avaruudet. == Ominaisuuksia == Avaruudesta V tekijäavaruuteen V/U on olemassa luonnollinen epimorfismi, joka saadaan kuvaamalla jokainen x \in V sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle [x]. Tämän epimorfismin ydin on aliavaruus U. Jos U on V:n aliavaruus, tekijäavaruuden V/U dimensiota sanotaan U:n kodimensioksi V:ss'. Koska V:n kanta voidaan muodostaa U:n kannasta A ja V/U:n kannasta B lisäämällä A:han jokaisen B:n alkion edustaja, V:n dimensio on avaruuksien U ja V/U dimensioiden summa. Jos V on äärellisulotteinen, U:n kodimensio V:ss' on Vn ja U:n dimensioiden erotus: :\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U). Olkoon T : V -> W lineaarikuvaus. T:n ydin (kernel), jolle käytetään merkintää ker(T) on niiden alkioiden x ∈ V joukko, joilla Tx = 0. Ydin on V:n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus V/ker(T) on isomorginen V:n kuva-avaruuden kanssa, joka on W:n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että V:n dimensio on sama kuin T:n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa: :\dim(\mathrm{Ker}(T)) + \dim(\mathrm{Im}(T)) = \dim(V) Tekijäavaruutta W/im(T) sanotaan lineaarikuvauksen T : V -> W kokerneliksi. == Banachin avaruuden tekijäavaruus aliavaruuden suhteen == Jos X on Banachin avaruus ja M sen suljettu osajoukko, myös tekijäavaruus X/M on Banachin avaruus. Tekijäavaruudelle saadaan valmiiksi myös vektoriavaruuden rakenne edellä selitetyllä menettelyllä. Avaruudessa X/M määritellään normi seuraavasti: : \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X. Tekijäavaruus X/M on täydellinen normin suhteen, joten se on Banachin avaruus. === Esimerkkejä === Olkoon C[0,1] välillä [0,1] määriteltyjen jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden muodostama Banach-avaruus, jolla on supremumnormi. Muodostetaan sille aliavaruus M, johon kuuluvat ne funktiot f ∈ C[0,1], joilla f(0) = 0. Tällöin ekvivalenssiluokan, johon annettu funktio g kuuluu, määrittää funktion arvo 0:ssa, ja tekijäavaruus C[0,1] / M on isomorfinen \mathbb{R}:n kanssa. Jos X on Hilbertin avaruus, tekijäavaruus X/M on isomorfinen M:n ortogonaalisen komplementin kanssa. == Lähteet == * === Viitteet === Luokka:Lineaarialgebra Luokka:Funktionaalianalyysi