Tavallinen differentiaaliyhtälö

Tavallinen differentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on ainoastaan yksi muuttuja. == Määritelmä == Olkoon F muuttujan x funktio ja olkoon y=y(x) yhden muuttujan funktio. Tällöin yhtälöä :F\left (x,y(x),y'(x),\ldots, y^{(n-1)}(x) \right )=y^{(n)}(x) kutsutaan tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi, jonka kertaluku on n. == Eräiden yhtälöiden ratkaisuja == === Separoituvat yhtälöt === Yhtälö Ratkaisutapa Ratkaisu Ensimmäinen kertaluku, x ja y separoituviaMathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M. R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7 \begin{align} P_1(x)Q_1(y) + P_2(x)Q_2(y)\,\frac{dy}{dx} &= 0 \\\ P_1(x)Q_1(y)\,dx + P_2(x)Q_2(y)\,dy &= 0 \end{align} Separointi (jakaminen tulolla P2Q1). \int^x \frac{P_1(\lambda)}{P_2(\lambda)}\,d\lambda + \int^y \frac{Q_2(\lambda)}{Q_1(\lambda)}\,d\lambda = C Ensimmäinen kertaluku, x separoituva \begin{align} \frac{dy}{dx} &= F(x) \\\ dy &= F(x) \, dx \end{align} Integrointi. y= \int^x F(\lambda) \, d\lambda + C Ensimmäinen kertaluku, y separoituva \begin{align} \frac{dy}{dx} &= F(y) \\\ dy &= F(y) \, dx \end{align} Separointi (jakaminen F:llä). x=\int^y \frac{d\lambda}{F(\lambda)} + C Ensimmäinen kertaluku, x ja y separoituvia \begin{align} P(y)\frac{dy}{dx} + Q(x) &= 0 \\\ P(y)\,dy + Q(x)\,dx &= 0 \end{align} Integrointi. \int^y P(\lambda)\, d\lambda + \int^x Q(\lambda)\,d\lambda = C === Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt === Yhtälö Ratkaisutapa Ratkaisu Ensimmäinen kertaluku, homogeeninen \frac{dy}{dx} = F \left( \frac y x \right ) Sijoita y = ux ja separoi u ja x. \ln (Cx) = \int^{y/x} \frac{d\lambda}{F(\lambda) - \lambda} Ensimmäinen kertaluku, separoituva \begin{align} yM(xy) + xN(xy)\,\frac{dy}{dx} &= 0 \\\ yM(xy)\,dx + xN(xy)\,dy &= 0 \end{align} Separointi (jakaminen xy:llä). \ln (Cx) = \int^{xy} \frac{N(\lambda)\,d\lambda}{\lambda [N(\lambda)-M(\lambda)] } Jos N = M, ratkaisu on xy = C. Eksakti, ensimmäinen kertaluku \begin{align} M(x,y) \frac{dy}{dx} + N(x,y) &= 0 \\\ M(x,y)\,dy + N(x,y)\,dx &= 0 \end{align} jossa \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} Integrointi. \begin{align} F(x,y) &= \int^x M(\lambda,y)\,d\lambda + \int^y Y(\lambda)\,d\lambda \\\ &= \int^y N(x,\lambda)\,d\lambda + \int^x X(\lambda)\,d\lambda=C \end{align} jossa Y(y)= N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int^x M(\lambda,y)\,d\lambda ja X(x)= M(x,y)-\frac{\partial}{\partial x}\int^y N(x,\lambda)\,d\lambda Epäeksakti, ensimmäinen kertaluku \begin{align} M(x,y) \frac{dy}{dx} + N(x,y) &= 0 \\\ M(x,y)\,dy + N(x,y)\,dx &= 0 \end{align} jossa \frac{\partial M}{\partial x} eq \frac{\partial N}{\partial y} Kerroin μ(x, y), jolle \frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x} Sopivalle μ(x, y) \begin{align} F(x,y) = &\int^x \mu(\lambda,y)M(\lambda,y)\,d\lambda + \int^y Y(\lambda)\,d\lambda \\\ = &\int^y \mu(x,\lambda)N(x,\lambda)\,d\lambda + \int^x X(\lambda)\,d\lambda = C \end{align} jossa Y(y)= N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int^x \mu (\lambda,y)M(\lambda,y)\,d\lambda ja X(x)= M(x,y)-\frac{\partial}{\partial x}\int^y \mu (x,\lambda)N(x,\lambda)\,d\lambda === Toisen kertaluvun yhtälöt === Yhtälö Ratkaisutapa Ratkaisu Toinen kertalukuFurther Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN: 0-7135-1594-5 \frac{d^2y}{dx^2} = F(y) Kerro , sijoita ja integroi kahdesti. x = \pm \int^y \frac{ d \lambda}{\sqrt{2 \int^\lambda F(\varepsilon) \, d \varepsilon + C_1}} + C_2 === Lineaariset n:nnen kertaluvun yhtälöt === Yhtälö Ratkaisutapa Ratkaisu Ensimmäinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, kertoimet: \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) Kerroin: e^{\int^x P(\lambda)\,d\lambda}. y = e^{- \int^x P(\lambda) \, d\lambda}\left[\int^x e^{\int^\lambda P(\varepsilon) \, d\varepsilon}Q(\lambda) \, d\lambda +C \right] Toinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, kertoimet: \frac{d^2y}{dx^2}+2p(x)\frac{dy}{dx}+\left(p(x)^2+p'(x)\right)y=q(x) Kerroin: e^{\int^x P(\lambda)\,d\lambda} y = e^{- \int^x P(\lambda) \, d\lambda}\left[\int^x\left(\int^\xi e^{\int^\lambda P(\varepsilon) \, d\varepsilon}Q(\lambda) \, d\lambda \right)d\xi +C_1x+C_2\right] Toinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, vakiokertoimetMathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3 \frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = r(x) y = y_c + y_p Jos b_2 > 4c: y_c = C_1e^{ -\frac x2\,\left(b + \sqrt{b^2 - 4c}\right)} + C_2e^{-\frac x2\,\left(b - \sqrt{b^2 - 4c}\right)} Jos b_2 = 4c: y_c = (C_1x + C_2)e^{-\frac{bx}{2}} Jos b_2 < 4c: y_c = e^{ -\frac{bx}{2}} \left[ C_1 \sin\left( x\,\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}\right) + C_2\cos\left( x\,\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}\right)\right] Kertaluku n, lineaarinen, epähomogeeninen, vakiokertoimet \sum_{j=0}^n b_j \frac{d^j y}{dx^j} = r(x) y = y_c + y_p y_c = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{\ell=1}^{k_j} C_{j,\ell} x^{\ell-1}\right )e^{\alpha_j x} jossa C_j e^{\alpha_j x} = C_j e^{\chi_j x}\cos(\gamma_j x + \varphi_j) == Lähteet == *