Ekvivalenssiluokka

Ekvivalenssiluokka on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvi­valentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvi­valenssi­luokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi. Ekvi­valenssi­luokka on siis joukko [a]=\\{x\in A|xRa\\}, missä R on joukon A ekvivalenssi­relaatio ja a\in A. Ekvi­valenssi­relaation määritelmästä seuraa, että ekvi­valenssi­luokat muodostavat joukon osituksen. Ekvi­valenssi­luokkien joukkoa sanotaan joukon A tekijä­joukoksi relaation R suhteen, ja sitä merkitään A / R. Kun joukolla A on jokin struktuuri ja ekvi­valenssi­relaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijä­joukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijä­renkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa. == Merkintä ja muodollinen määritelmä == Ekvi­valenssi­relaatio on binäärirelaatio ~, jolla on seuraavat kolme ominaisuutta: * Jokainen joukon X alkio a on relaatiossa itsensä kanssa eli a \sim a (refleksiivisyys) * Jos a \sim b, niin b \sim a (symmetrisyys) * Jos a \sim b ja b \sim c, niin a \sim c (transitiivisuus) Sille ekvi­valenssi­luokalle, johon alkio a kuuluu, käytetään merkintää [a], ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa ~ alkion a kanssa eli ekvi­valentteja alkion a kanssa: :[a] = \\{ x \in X \mid a \sim x \\} Jos ekvi­valenssi­relaatiolle käytetään merkintää R, voidaan sille ekvi­valenssi­luokalle, johon a kuuluu, käyttää myös merkintää a_R. Sitä sanotaan myös a:n R-ekvi­valenssi­luokaksi. Kaikkien X:n ekvi­valenssi­luokkien joukolle ekvi­valenssi­relaation R suhteen käytetään merkintää X/R, ja sitä sanotaan X:n tekijäjoukoksi R:n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä X modulo R. Surjektiota x\mapsto [x] joukosta X joukolle X/R, joka kuvaa jokaisen alkion ekvi­valenssi­luokalleen, sanotaan kanoniseksi surjektioksi tai kanoniseksi projektioksi. Kun jokaisesta ekvi­valenssi­luokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan sektioksi. Jos tälle sektiolle käytetään merkintää s, saadaan [s(c)] = [c] jokaiselle ekvi­valenssi­luokalle c. Alkiota s(c) sanotaan c:n edustajaksi. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvi­valenssi­luokan edustajaksi. Toisinaan jotakin sektiota voidaan pitää "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvi­valenssi­luokkien edustajia sanotaan kanonisiksi edustajiksi. Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvi­valenssi­relaatioon, jossa a ~ b, jos a - b on jaollinen annetulla kokonais­luvulla n, jota sanotaan modulukseksi. Jokaiseen ekvi­valenssi­luokkaan kuuluu vain yksi ei-nega­tiivinen kokonais­luku, joka on pienempi kuin n, ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää a mod n voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun a jaetaan n:llä). == Esimerkkejä == * Olkoon X on kaikkien autojen joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "on saman värinen kuin". Tällöin yhden ekvi­valenssi­luokan muodostavat kaikki vihreät autot. Tekijäjoukko X/~ voidaan luonnollisesti samastaa kaikkien niiden värien joukon kanssa, joita autoilla on, ja sen kardinaliteetti on autojen eri värien lukumäärä. * Olkoon X kaikkien suomenkielisten etunimien joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "alkaa samalla kirjaimella kuin". Tällöin ekvi­valenssi­luokat ovat [Aatami]={Aatami, Anna, Antti, Aino,...} [Belle]={Belle, Bettiina,...} ja niin edelleen aina aakkosten loppuun asti. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on yhtä monta kuin kirjaimia aakkosissa. * Olkoon X on tason kaikkien suorakulmioiden joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin". Tällöin jokaista positiivista reaalilukua A vastaa ekvi­valenssi­luokka, johon kuuluvat kaikki suora­kulmiot, joiden pinta-ala joissakin annetuissa yksiköissä on A. * Olkoon X kokonaislukujen joukko \mathbb{Z} ja ~ ja siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: x ~y, jos ja vain jos x - y on parillinen luku. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on kaksi: toiseen kuuluvat kaikki parilliset ja toiseen kaikki parittomat kokonaisluvut. Tässä relaatiossa luvut 7, 9 ja 1 ovat kaikki tekijäjoukon \mathbb{Z}/~ saman alkion edustajia. * Olkoon X jonkin (vähintään viikon pituisen) aikavälin kaikkien päivien joukko ja ~ siinä määritelty ekvi­valensirelaatio: x ~ y, jos ja vain jos päivästä x päivään y tai päivästä y päivään x kuluvien (tai kuluneiden) vuoro­kausien lukumäärä on jaollinen 7:llä. Tämä on yhtä­pitävää sen kanssa, että päivät x ja y ovat samana viikonpäivänä, ja joukkoon X\~ alkiot eli ekvivalenssi­luokat ovat seitsemän viikonpäivää. * Olkoon X kokonais­lukujen sellaisten järjestettyjen parien (a, b) joukko, joissa b ei ole nolla, ja ~ siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: (a,b) ~ (c,d), jos ja vain jos ad = bc. Tällöin kutakin ekvi­valenssi­luokkaa (a,b) vastaa murtoluku a/b, ja tätä ekvi­valenssi­relaatiota voidaankin käyttää rationaalilukujen muodollisena määritelmänä samastamalla rationaaliluvut tällaisten ekvi­valenssi­luokkien kanssa. Samalla tavalla voidaan mistä tahansa kokonaisalueesta muodostaa sitä vastaavien "murtolukujen" kunta. * Olkoon X eulidisen tason kaikkien suorien joukko ja määritellään relaatio ~ niin, että L ~ M, jos ja vain jos suorat L ja M ovat yhden­suuntaisia tai jos L ja M ovat sama suora. Tällöin relaatio on ekvi­valenssi­relaatio, ja kaikkien suorien joukko, jotka ovat yhden­suuntaisia L:n kanssa, on ekvi­valenssi­luokka. Jokaista tällaista ekvi­valenssi­luokkaa vastaa tietyn suuruinen kulma, jonka siihen kuuluvat suorat muodostavat esimerkiksi x-akselin suuntaisten suorien kanssa. Samalla jokainen tällainen ekvi­valenssi­luokka määrittelee yhden ideaalisen, äärettömän kaukaisen pisteen. == Ominaisuuksia == Jokainen alkio x \in X kuuluu johonkin ekvi­valenssi­luokkaan [x]. Elleivät ekvi­valenssi­luokat [x] ja [y] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvi­valenssi­luokkien joukko muodostaa joukon X osituksen: jokainen X:n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvi­valenssi­luokkaan. Kääntäen jokaista X:n ositusta vastaa ekvi­valenssi­relaatio, jossa x ~ y, jos ja vain jos x ja y kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon. ekvi­valenssi­relaation ominaisuuksista seuraa, että :x \sim y, jos ja vain jos [x] = [y]. * x \sim y * [x] = [y] * [x] \cap [y] e \emptyset. == Graafinen esitys == Jokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos ~ on joukon X ekvi­valenssi­relaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon X alkioita niin, että s ja t yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos s ~ t. Tässä esityksessä ekvi­valenssi­luokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella. ==Invariantit== Olkoon ~ on X:n ekvi­valenssi­relaatio ja P jokin sellainen joukon X alkioiden ominaisuus, että jos x ~ y ja alkiolla x on ominaisuus P, myös alkiolla y on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta P sanotaan relaation ~ invariantiksi tai että ominaisuus P on hyvin määritelty relaation ~ suhteen. Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Jos f(x1) = f(x2 aina, kun x1 ~ x2, kuvausta f sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka luokkainvariantiksi tai lyhyemmin invariantiksi relaation ~ suhteen. Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että "f on yhteensopiva relaation ~ kanssa. Jokainen funktio f ; X → Y määrittelee samalla myös lähtöjoukossa X:n erään ekvi­valenssi­relaation, jossa x1 ~ x2, jos ja vain jos f(x1 = f(x2). ekvi­valenssi­luokan x muodostavat kaikki ne X:n alkiot, jotka kuvautuvat f(x):lle, toisin sanoen luokka [x] on joukon {f(x)} alkukuva. Tätä ekvi­valenssi­relaatiota sanotaan kuvauksen f kerneliksi. Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon X ekvi­valentit alkiot (ekvi­valenssi­relaation ~x suhteen) maalijoukon Y ekvi­valenteille alkioille (ekvi­valenssi­relaation ~y suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan morfismiksi X:stä Y:hyn. ==Tekijäavaruus == Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvi­valenssi­relaatiota vastaavat ekvi­valenssi­luokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa. Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvi­valenssi­luokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijä­avaruus on tekijä­joukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijä­avaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta. == Lähteet == == Kirjallisuutta == * * * * * * * * * * * * * * Luokka:Joukko-oppi