Mittaintegraali

Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä [0,\infty]. Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta. == Määritelmä == Olkoon (X, \mathcal{A}, \mu) mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta. Kuvaus f: X \rightarrow \mathbb{R} on yksinkertainen, jos f = \sum_{i=1}^k a_i 1_{A_i}, missä a_1, \ldots, a_k \geq 0; A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{A} ja joukot A_1, \ldots, A_k ovat perusjoukon X ositus ja 1_{A_i} on indikaattorifunktio. Yksinkertaisen funktion f integraali on I(f,\mu) = \sum_{i=1}^k a_i \mu(A_i). Olkoon f: X \rightarrow [0,\infty] kuvaus, joka on \mu-mitallinen. Kuvauksen f integraali on \int_X f(x) \, d\mu(x) = \int_X f \, d\mu = \sup \\{ I(g,\mu) \, | \, g \ \textrm{on} \ \textrm{yksinkertainen} \ \textrm{kuvaus} \ X \rightarrow \mathbb{R} \ \textrm{ja} \ g \leq f \\}. Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta \mu on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa \int_X f. Kuvauksen f integraali yli joukon E \in \mathcal{A} on \int_E f = \int_X f \cdot 1_E. Kuvaus f: X \rightarrow \mathbb{R} \cup \\{ \infty, -\infty \\} on integroituva, jos pätee ehto \int_X |f| < \infty. f on integroituva yli joukon E \in \mathcal{A}, jos pätee \int_E |f| < \infty. f on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee \int_X \max \\{ f,0 \\} < \infty tai \int_X \max \\{ -f,0 \\} < \infty. == Perusominaisuuksia == Oletetaan, joukko E \in \mathcal{A}, f ja g ovat \mathcal{A}-mitallisia kuvauksia E \rightarrow \mathbb{R} \cup \\{ \infty, -\infty \\} ja integroituvia yli joukon E. * pätee kolmioepäyhtälö \left| \int_E f \right| \leq \int_E |f| * summa f+h on integroituva yli joukon E ja \int_E (f+g) = \int_E f + \int_E g * jos \lambda \in \mathbb{R}, niin \lambda f on integroituva yli joukon E ja \int_E \lambda f = \lambda \int_E f * jos f \leq g, niin \int_E f \leq \int_E g * jos \mu (E) =0, niin \int_E f = 0 * jos f=g melkein kaikkialla joukossa E, niin \int_E f = \int_E g Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon. Jos lisäksi G \in \mathcal{A}, E ja G ovat erillisiä sekä h on \mu-mitallisia kuvaus E \cup G \rightarrow \mathbb{R} \cup \\{ \infty, -\infty \\} ja integroituva yli joukon E \cup G, niin \int_{E \cup G} h = \int_E h + \int_G h. == Integroituvien funktioiden avaruudet Lp ja L∞ == Olkoon (X, \mathcal{A}, \mu) mitta-avaruus, \mu täydellinen mitta ja luku 1 \leq p < \infty. Merkitään eksponentilla p integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla L^p = L^p (X) = L^p (\mu) = L^p (X, \mathcal{A}, \mu) = \\{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \int_X |f|^p \, d\mu < \infty \\}. Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla L^\infty = L^\infty (X) = L^\infty (\mu) = L^\infty (X, \mathcal{A}, \mu) = \\{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \operatorname{ess} \, \sup |f| < \infty \\}. f on siis integroituva jos ja vain jos f \in L^1. Sanotaan, että f on neliöintegroituva, jos f \in L^2. Ominaisuuksia: * L^p on Banach-avaruus kaikilla 1 \leq p \leq \infty * jos \mu on äärellinen mitta ja 1 \leq q \leq p \leq \infty, niin L^p(\mu) \subset L^q(\mu) == Epäyhtälöitä integraalille == === Hölderin epäyhtälö === Jos p>1 ja q>1 siten, että \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, sekä f \in L^p ja g \in L^q, niin Hölderin epäyhtälö on \int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f|^p \, d\mu \right)^\frac{1}{p} \left( \int_X |f|^q \, d\mu \right)^\frac{1}{q}. Jos p=1 ja q=\infty, niin epäyhtälö pätee muodossa \int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f| \, d\mu \right) \operatorname{ess} \sup |g| . Lukuja p ja q kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi. ===Minkowskin epäyhtälö=== Jos f,g\in L^p, niin ||f+g||_p\leq||f||_p+||g||_p. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle L^p-funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus L^p on vakaa yhteenlaskun suhteen. == Fatoun lemma == Olkoon joukko E \in \mathcal{A} ja (f_i)_{i \in \mathbb{N}} jono \mathcal{A}-mitallisia kuvauksia E \rightarrow [0,\infty]. Tällöin \int_E \liminf_{i \rightarrow \infty} f_i \leq \liminf_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i ja \int_E \limsup_{i \rightarrow \infty} f_i \geq \limsup_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i. == Konvergenssilauseet == Olkoon joukko E \in \mathcal{A} ja (f_i)_{i \in \mathbb{N}} jono \mu-mitallisia kuvauksia E \rightarrow \mathbb{R} \cup \\{ -\infty, \infty \\} siten, että jonon raja-arvo \lim_{i \rightarrow \infty} f_i on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että \int_E \lim_{i \rightarrow \infty} f_i = \lim_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i. Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa. === Monotonisen konvergenssin lause === Jos pätee 0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \ldots, niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa. === Dominoidun konvergenssin lause === Jos on olemassa integroituva kuvaus g: E \rightarrow \mathbb{R} \cup \\{ -\infty, \infty \\} siten, että |f_j| \leq g kaikilla j \in \mathbb{N} melkein kaikkialla joukolla E, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa. Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi. === Rajoitetun konvergenssin lause === Jos \mu (E) < \infty ja |f_i| < \infty kaikilla i \in \mathbb{N}, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa. == Integraalimitta == Jokaiseen mitta-avaruuden (X,\mathcal{A},\mu) mitalliseen kuvaukseen f: X \rightarrow [0,\infty] voidaan liittää mittaintegraali \int_A f \, d\mu yli jokaisen joukon A \in \mathcal{A}. Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus A \mapsto \int_A f \, d\mu, A \in \mathcal{A} on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia. == Daniellin integraali == Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966). == Katso myös == *Viivaintegraali *Pintaintegraali Usein esiintyviä integraaleja: * Lebesgue–Stieltjes-integraali * Riemannin integraali * Riemann–Stieltjes-integraali * Epäoleellinen integraali * Bochner-integraali == Lähteet == ==Kirjallisuutta== * Luokka:Mittateoria Luokka:Integraalilaskenta