Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti. Kaksiulotteisen avaruuden \mathbb R^2 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden f(x, y) integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi ja kolmiulotteisen avaruuden \mathbb R^3 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden f(x, y, z) integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi.Adams & Essex, s. 835 Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla. == Merkintätavoista == Tavanomaista, välillä [a, b]\subset\mathbb R määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti: \int_a^b f(x)\,\mathrm dx. Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion f(x, y) integraalia yli tason D\subset\mathbb R^2 (merkinnästä \mathbb R^2 ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä: \iint_D f(x, y)\,\mathrm dA. Vastaavasti kolmen muuttujan funktion f(x, y, z) integraalia yli avaruuden R\subset\mathbb R^3 merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä: \iiint_R f(x, y, z)\,\mathrm dV. Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa A\subset\mathbb R^n, missä n\in\mathbb N, n\geq3, määritellyn funktion f(x_1, x_2,\dotsc, x_n) integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä: \int\dots\int_A f(x_1, x_2,\dotsc, x_n)\,\mathrm dV,Adams & Essex, s. 855 \int\dots\int_A f(x_1, x_2,\dotsc, x_n)\,\mathrm dx_1\dotsc\mathrm dx_n. Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista): \int_A f(x_1,\dotsc, x_n)\,\mathrm dx_1\dotsc\mathrm dx_n,\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV tai \int_A f(\mathbb x)\,\mathrm d\mathbb x, missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää f(\mathbb x)=f(x_1, x_2,\dotsc, x_n). Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti. == Määritelmä == Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään. === Kaksinkertainen integraali === Olkoon D\subset\mathbb R^2 suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja f:D\to\mathbb R rajoitettu kuvaus. Jos D:hen kuuluvat kaikki pisteet (x, y) siten, että x\in[a, b] ja y\in[c, d], niin D:hen voidaan määritellä ositus P siten, että \begin{align} a&=x_0 Ositus P koostuu m\cdot n:stä suorakulmiosta R_{ij}, missä 1\leq i\leq m ja 1\leq j\leq n, jotka edelleen koostuvat pisteistä (x, y), missä x\in[x_{i-1}, x_i] ja y\in[y_{j-1}, y_j]. Suorakulmion R_{ij} pinta-ala on \Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j=(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla \mathrm{diam}(R_{ij})=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_j)^2}=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_j-y_{j-1})^2}. Määritellään osituksen P suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi: \lVert P\rVert=\max_{1\leq i\leq m,~1\leq j\leq n}\mathrm{diam}(R_{ij}). Valitaan jokaisesta suorakulmiosta R_{ij} mielivaltainen piste (x_{ij}^*, y_{ij}^*) ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa: S_P(f)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A_{ij}. Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio R_{ij} ja korkeus on funktion f arvo pisteessä (x_{ij}^*, y_{ij}^*) (siis mikäli f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\geq0). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion D ja funktion f kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta. Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja \Delta A_{ij} pienennetään (jolloin jaon normi \lVert P\rVert pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että \lVert P \rVert\to0. Lopullinen määritelmä kuuluu: :Funktio f:D\to\mathbb R on integroituva suorakulmion D yli ja sillä on kaksinkertainen integraali :I=:\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA, :jos kaikilla \varepsilon>0 on olemassa (\varepsilon:sta riippuva) luku \delta>0 siten, että ehto :\left|S_P(f)-I\right|<\varepsilon :pätee kaikille D:n osituksille P, joille \lVert P\rVert<\delta sekä kaikkien osajoukkojen R_{ij} kaikissa pisteissä (x_{ij}^*, y_{ij}^*). Merkintä \mathrm dA tarkoittaa differentiaalista pinta- alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan \Delta A=\Delta x\Delta y raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa \mathrm dA=\mathrm dx\,\mathrm dy=\mathrm dy\,\mathrm dx, mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla. === Kolmin- tai useammankertainen integraali === Olkoon n\in\mathbb N, n\geq 3. JoukkoI=[a_1, b_1]\times[a_2, b_2]\times\dotsc\times[a_n, b_n]on avaruuden \mathbb R^n kompakti väli (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi f: I\to\mathbb R rajoitettu funktio. Jos 1\leq i\leq n, niin välin [a_i, b_i] jako P_i on: a_i=t_0\leq t_1\leq\dotsc\leq t_{k_i}=b_i. Ts. väli [a_i, b_i] voidaan esittää k_i:n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) [t_{i-1}, t_i] unioinina. Jos jokaiselle 1\leq i\leq n on olemassa välin [a_i, b_i] jako P_i, niin joukon I jako on: P=P_1\times P_2\times\dotsc\times P_n. Jako P määrää \kappa=k_1\cdot k_2\cdot\dotsc\cdot k_n kappaletta kompakteja jakovälejä I_1, I_2,\dots, I_\kappa, jotka osittavat välin I. Merkitään mielivaltaista joukon I pistettä (x_1, x_2, \dotsc, x_n)=\mathbb x sekä kaikilla j\in\\{1, 2, \dotsc, \kappa\\}: g_j=\inf_{\mathbb x\in I_j} f(\mathbb x) ja G_j=\sup_{\mathbb x\in I_j} f(\mathbb x) (ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon P liittyvä alasumma kaavalla s_P(f)=\sum_{j=1}^\kappa\left[g_j\cdot\prod_{i=1}^n(b_i- a_i)\right]=\sum_{j=1}^\kappa\left[g_j\cdot(b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2)\cdot\dotsc\cdot(b_n- a_n)\right] ja vastaavasti jakoon P liittyvä yläsumma kaavalla S_P(f)=\sum_{j=1}^\kappa\left[G_j\cdot\prod_{i=1}^n(b_i- a_i)\right]=\sum_{j=1}^\kappa\left[G_j\cdot(b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2)\cdot\dotsc\cdot(b_n- a_n)\right]. Joukolle I voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako P tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos P on välin I jako, P' on P:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon P jakopisteet) ja P on kummankin edellisen jaon alajako, niin: s_P(f)\leq s_{P}(f)\leq S_{P}(f)\leq S_{P'}(f) Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos P on joukon I mielivaltainen jako, niin aina \sup_{P} s_P(f)\leq\inf_{P} S_P(f). :Tällöin funktio f: I\to\mathbb R on (Riemann-)integroituva (joukossa I tai joukon I yli), jos :\sup_{P} s_P(f)=\inf_{P} S_P(f). Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon I=[a_1, b_1]\times[a_2, b_2]\times\dotsc\times[a_n, b_n]\subset\mathbb R^n, n\geq 2 ja f: I\to\mathbb R on rajoitettu funktio. Tällöin funktio f on integroituva, jos ja vain, jos kaikilla \varepsilon>0 on olemassa välin I jako P siten, että S_P(f)-s_P(f)<\varepsilon. === Integrointi yleisen joukon yli === Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että I=[a_1, b_1]\times[a_2, b_2]\times\dotsc\times[a_n, b_n]\subset\mathbb R^n on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue A\subset I ja funktio f: A\to\mathbb R rajoitettu. Määritellään funktio \hat f:I\to\mathbb R siten, että: \hat f(\mathbb x)=\begin{cases}f(\mathbb x), &\text{ jos } \mathbb x\in A \\\ 0, &\text{ jos } \mathbb x\in I\,\backslash\,A. \end{cases} Jos \hat f on integroituva yli I:n, niin myös funktio f on integroituva yli A:n ja: \int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=\int_I\hat f(\mathbb x)\,\mathrm dV. Integraalin arvo ei riipu joukon I valinnasta, kunhan A\subset I. == Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia == Olkoon seuraavassa n\in\mathbb N, A\subset\mathbb R^n, \mathbb x=(x_1, x_2,\dotsc, x_n), funktiot f ja g integroituvia funktioita joukossa A sekä a\in\mathbb R ja b\in\mathbb R vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille: * \int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=\int_{\mathrm{int}(A)}f(\mathbb x)\,\mathrm dV (merkintä \mathrm{int}(A) tarkoittaa joukon A sisäpisteiden joukkoa). * \int_A 1\,\mathrm dV = integrointialueen A tilavuus (pinta-ala, jos n=2 ja pituus, jos n=1). * \int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=0, jos \mathrm{int}(A)=\varnothing (joukolla A ei ole sisäpisteitä). * Funktio a\cdot f+b\cdot g on integroituva joukossa A ja \int_A \left(af(\mathbb x)+bg(\mathbb x)\right)\,\mathrm dV=a\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV+b\int_A g(\mathbb x)\,\mathrm dV. * Jos f(\mathbb x)\leq g(\mathbb x) kaikilla \mathbb x\in A, niin \int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV\leq\int_A g(\mathbb x)\,\mathrm dV. * Kolmioepäyhtälö: \left|\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV\right|\leq\int_A\left|f(\mathbb x)\right|\,\mathrm dV. * Jos joukot A_1, A_2, \dotsc, A_k osittavat joukon A, niin \int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=\sum_{i=1}^k\int_{A_i}f(\mathbb x)\,\mathrm dV. == Integrointimenetelmiä == === Symmetrioiden käyttö === Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta- alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta. ==== Esimerkki 1 ==== Olkoon integrointialue D\subset\mathbb R^2 suorakulmio a\leq x\leq b, c\leq y\leq d. Tällöin \begin{align} \iint_D 3\,\mathrm dA&=3\iint_D\mathrm dA=3\cdot(D\text{:n pinta-ala}) \\\ &=3(b-a)(d-c). \end{align} ==== Esimerkki 2 ==== Määritetään integraalin \iint_{x^2+y^2\leq1}(\sin x+y^3+4)\,\mathrm dA arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on xy-tason origokeskinen yksikkökiekko (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi: \begin{align} \iint_{x^2+y^2\leq1}(\sin x+y^3+4)\,\mathrm dA&=\iint_{x^2+y^2\leq1}\sin x\,\mathrm dA+\iint_{x^2+y^2\leq1}y^3\,\mathrm dA+\iint_{x^2+y^2\leq1}4\,\mathrm dA \\\ &=:I_1+I_2+I_3 \end{align} Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio f(x, y)=\sin x on pariton funktio, niin kuvaajan ja xy-tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa x<0 ja x>0. Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin I_1=0. Vastaavasti, funktio g(x, y)=y^3 on myös pariton, joten I_2=0. Näin ollen \begin{align} I_1+I_2+I_3&=I_3=\iint_{x^2+y^2\leq1}4\,\mathrm dA \\\ &=4\cdot(\text{ympyrän } x^2+y^2\leq1 \text{ pinta-ala}) \\\ &=4\pi. \end{align} === Iterointi === Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue D\subset\mathbb R^2 on * säännöllinen y-suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat x=a ja x=b, sekä mikä tahansa y-akselin suuntainen suora leikkaa alueen D reunan korkeintaan kahdesti.Adams & Essex, s. 813−815 * säännöllinen x-suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat y=c ja y=d, sekä mikä tahansa x-akselin suuntainen suora leikkaa alueen D reunan korkeintaan kahdesti. Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue D on säännöllinen y-suunnassa ja sitä rajoittavat suorat x=a ja x=b sekä käyrät y=\alpha(x) ja y=\beta(x) siten, että \alpha(x)\leq\beta(x) kaikilla x\in[a, b]. Funktion z=f(x, y) kuvaajan ja xy- tason väliin jäävä avaruus voidaan viipaloida yz-tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis x=\text{vakio}) pitkin x-akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla: A(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy. Tällöin kaksinertainen integraali \iint_D f(x, y)\,\mathrm dA saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala A(x) ja paksuus \mathrm dx) tilavuudet suorien x=a ja x=b välillä: \iint_D f(x, y)\,\mathrm dA=\int_a^b A(x)\,\mathrm dx=\int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy\right)\,\mathrm dx. Samaa integraalia voidaan merkitä myös: \int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy tai \int_a^b\mathrm dx\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy. Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla: :Jos D\subset\mathbb R^2 on rajoitettu ja säännöllinen y-suunnassa (a\leq x\leq b, \alpha(x)\leq y\leq\beta(x)) sekä f:D\to\mathbb R on jatkuva funktio, niin :\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA=\int_a^b\mathrm dx\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy. :Jos D\subset\mathbb R^2 on rajoitettu ja säännöllinen x-suunnassa (c\leq y\leq d, \gamma(y)\leq x\leq\delta(y)) sekä f:D\to\mathbb R on jatkuva funktio, niin :\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA=\int_c^d\mathrm dy\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)}f(x, y)\,\mathrm dx. ==== Esimerkki 3 ==== D\subset\mathbb R^2 on neliö, jonka määrittelevät rajat 0\leq x\leq 1 ja 1\leq y\leq 2. Määritetään neliön D ja tason z=4-x-y väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue D on säännöllinen sekä x\- että y-suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa. ===== Esimerkki 3a: ===== Integroidaan ensin x\- ja sitten y-suunnassa. Integroitaessa x-suunnassa muuttujaa y kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön D rajoittaman kappaleen tilavuus on: \begin{align} V&=\iint_D(4-x-y)\,\mathrm dA \\\ &=\int_{y=1}^2\mathrm dy\int_{x=0}^1(4-x-y)\,\mathrm dx \\\ &=\int_{y=1}^2\mathrm dy\,\Bigg|_{x=0}^1\left(4x-\frac{1}{2}x^2-xy\right) \\\ &=\int_1^2\left(\frac{7}{2}-y\right)\,\mathrm dy \\\ &=\Bigg|_1^2\left(\frac{7}{2}y-\frac{1}{2}y^2\right)=2 \end{align} ===== Esimerkki 3b: ===== Integroidaan ensin y\- ja sitten x-suunnassa. Integroitaessa y-suunnassa muuttujaa x kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön D rajoittaman kappaleen tilavuus on: \begin{align} V&=\iint_D(4-x-y)\,\mathrm dA \\\ &=\int_{x=0}^1\mathrm dx\int_{y=1}^2(4-x-y)\,\mathrm dy \\\ &=\int_{x=0}^1\mathrm dx\,\Bigg|_{y=1}^2\left(4y-xy-\frac{1}{2}y^2\right) \\\ &=\int_0^1\left(\frac{5}{2}-x\right)\,\mathrm dx \\\ &=\Bigg|_0^1\left(\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}x^2\right)=2 \end{align} ==== Esimerkki 4 ==== Ratkaistaan itegraali I=\iint_De^{y^3}\,\mathrm dA, missä aluetta D\subset\mathbb R^2 rajaavat suorat x=0 ja y=1 sekä käyrä x=y^2 (tai y=\sqrt x). Alue D on säännöllinen sekä x\- että y-suunnissa. Koska funktiolle f:\mathbb R\to\mathbb R, f(y)=e^{y^3} ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan x-suunnassa: \begin{align} I&=\iint_De^{y^3}\,\mathrm dA \\\ &=\int_{y=0}^1\mathrm dy\int_{x=0}^{y^2}e^{y^3}\,\mathrm dx \\\ &=\int_{y=0}^1\mathrm dy\,\Bigg|_{x=0}^{y^2}xe^{y^3} \\\ &=\int_0^1y^2e^{y^3}\,\mathrm dy \\\ &=\Bigg|_0^1\frac{1}{3}e^{y^3}=\frac{e-1}{3} \end{align} ==== Esimerkki 5 ==== Olkoon A\subset\mathbb R^3 suorakulmainen laatikko siten, että 0\leq x\leq a, 0\leq y\leq b ja 0\leq z\leq c, missä a, b ja c ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali I=\iiint_A(xy^2+z^3)\,\mathrm dV. Avaruus A viipaloidaan nyt (esimerkiksi) xy-tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan z suhteen. Nämä viipaleet ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa: \begin{align} I&=\iiint_A(xy^2+z^3)\,\mathrm dV \\\ &=\int_{z=0}^c\mathrm dz\int_{y=0}^b\mathrm dy\int_{x=0}^a(xy^2+z^3)\,\mathrm dx \\\ &=\int_{z=0}^c\mathrm dz\int_{y=0}^b\mathrm dy\,\Bigg|_{x=0}^a\left(\frac{1}{2}x^2y^2+xz^3\right) \\\ &=\int_{z=0}^c\mathrm dz\int_{y=0}^b\left(\frac{1}{2}a^2y^2+az^3\right)\,\mathrm dy \\\ &=\int_{z=0}^c\mathrm dz\,\Bigg|_{y=0}^b\left(\frac{1}{6}a^2y^3+ayz^3\right) \\\ &=\int_0^c\left(\frac{1}{6}a^2b^3+abz^3\right)\,\mathrm dz \\\ &=\Bigg|_0^c\left(\frac{1}{6}a^2b^3z+\frac{1}{4}abz^4\right) \\\ &=\frac{1}{6}a^2b^3c+\frac{1}{4}abc^4 \end{align} === Muuttujanvaihto === Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujan­vaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien x ja y sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat x ja y voidaan esittää kahden muun muuttujan, u ja v, funktioina: \begin{cases}x=x(u, v) \\\ y=y(u, v). \end{cases} Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi uv-tason osajoukolta D xy-tason osajoukolle S. Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi.Adams & Essex, s. 829−831 Tällöin on olemassa käänteismuunnos \begin{cases}u=u(x, y) \\\ v=v(x, y)\end{cases} joukolta S joukolle D. Jos funktioilla x(u, v) ja y(u, v) on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti \frac{\partial(u, v)}{\partial(x ,y)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} eq0 pisteessä (u, v), niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen (u, v) ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin \frac{\partial(u, v)}{\partial(x ,y)}=\left(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)^{-1} Koordinaatistomuunnoksessa joukolta S (xy-tasolta) joukolle D (uv-tasolle) integroitava funktio f:S\to\mathbb R, f(x, y) muuntuu funktioksi g:D\to\mathbb R, g(u, v)=f\left(x(u, v), y(u, v)\right). Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde: \mathrm dA=\mathrm dx\,\mathrm dy=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella): :Olkoon x=x(u, v) ja y=y(u, v) injektioita uv- tason osajoukolta D xy-tason osajoukolle S. Olkoon funktioilla x(u, v) ja y(u, v) olemassa joukossa D jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien u ja v suhteen. Jos funktio f(x, y) on integroituva S:ssä ja jos g(u, v)=f\left(x(u, v), y(u, v)\right), niin: :\iint_Sf(x, y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint_Dg(u, v)\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla: :Olkoon x=x(u, v, w), y=y(u, v, w) ja z=z(u, v, w) injektioita uvw-avaruuden osajoukolta D xyz-avaruuden osajoukolle S. Olkoon funktioilla x(u, v, w), y(u, v, w) ja z(u, v, w) olemassa joukossa D jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien u, v ja w suhteen. Jos funktio f(x, y, z) on integroituva S:ssä ja jos g(u, v, w)=f\left(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)\right), niin: :\iiint_Sf(x, y, z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\iiint_Dg(u, v, w)\left|\frac{\partial(x, y ,z)}{\partial(u, v, w)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dwAdams & Essex, s. 842Friedman, s. 346 Tässä Jacobin determinatti on: \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix} Muuttujanvaihto yleistyy n:lle muuttujalle: :Olkoon \mathbf x=\mathbf x(\mathbf u)kuvaus avoimelta joukolta U\subset\mathbb R^n avoimelle joukolle S\subset\mathbb R^n siten, että Jacobin determinantti :\frac{\partial(x_1,\dots,x_n)}{\partial(u_1,\dots,u_n)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \frac{\partial x_1}{\partial u_2} & \dotsb & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\ \frac{\partial x_2}{\partial u_1} & \frac{\partial x_2}{\partial u_2} & \dotsb & \frac{\partial x_2}{\partial u_n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ \frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \frac{\partial x_n}{\partial u_2} & \dotsb & \frac{\partial x_n}{\partial u_n}\end{vmatrix} eq0. :Olkoon D rajoitettu U:n osajoukko ja funktio f integroituva kuvajoukossa \mathbf x(D)\subset S. Tällöin funktio :f(\mathbf x(\mathbf u))\left|\frac{\partial(x_1, \dots, x_n)}{\partial(u_1, \dots, u_n)}\right| :on integroituva D:ssä ja :\int\dots\int_{\mathbf x(D)}f(\mathbf x)\,\mathrm dx_1\dotsb\mathrm dx_n=\int\dots\int_Df(\mathbf x(\mathbf u))\left|\frac{\partial(x_1, \dots, x_n)}{\partial(u_1, \dots, u_n)}\right|\,\mathrm du_1\dotsb\mathrm du_n.Friedman, s. 277 ==== Esimerkki 6 ==== Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi: \begin{cases}x(r, \theta)=r\cos\theta \\\ y(r, \theta)=r\sin\theta, \end{cases} missä r\geq0 ja 0\leq\theta<2\pi (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{vmatrix}=r. Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa. Ratkaistaan integraali \iint_S(y^2/x^2)\,\mathrm dA, missä integrointialue S on x-akselin ja suoran y=\sqrt{3}\cdot x väliin jäävä osa ympyrärenkaasta 0. Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on: \frac{y^2}{x^2}=\frac{r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta}=\tan^2\theta Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on a>0 ja ulkosäde b\geq a ja jota raoittavat suorat y=0 ja y=\sqrt 3\cdot x. Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti 0 sekä \theta=\arctan(0)=0 ja \theta=\arctan(\sqrt3)=\pi/3. Integraali on tällöin: \begin{align} \iint_S\frac{y^2}{x^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy&=\iint_D\tan^2\theta\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right|\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \\\ &=\iint_D\tan^2(\theta)\cdot\underbrace{|r|}_{=r}\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \\\ &=\int_{\theta=0}^{\pi/3}\tan^2\theta\,\mathrm d\theta\int_{r=a}^br\,\mathrm dr \\\ &=\frac{1}{2}(b^2-a^2)\int_{\theta=0}^{\pi/3}(\sec^2\theta-1)\,\mathrm d\theta \\\ &=\frac{1}{2}(b^2-a^2)\Bigg|_{\theta=0}^{\pi/3}(\tan\theta-\theta) \\\ &=\frac{1}{2}(b^2-a^2)\cdot\left(\sqrt 3-\frac{\pi}{3}\right), \end{align} missä käytettiin tietoa \sec^2\theta-\tan^2\theta=1. ==== Esimerkki 7 ==== Määritetään ellipsoidin E tilavuus, kun E:n määrittelee yhtälö \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1, missä a>0, b>0 ja c>0 ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa \begin{cases}x(u, v, w)=au \\\ y(u, v, w)=bv \\\ z(u, v, w)=cw, \end{cases} jolloin ellipsoidi E kuvautuu yksikköpalloksi B, jossa u^2+v^2+w^2\leq 1. Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on: \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\\ 0 & b & 0 \\\ 0 & 0 & c\end{vmatrix}=abc Tällöin ellipsoidin E tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus): \begin{align} V&=\iiint_E1\,\mathrm dV=\iiint_E 1\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz \\\ &=\iiint_B\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw \\\ &=abc\iiint_B\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw \\\ &=abc\cdot(\text{pallon }B\text{ tilavuus}) \\\ &=\frac{4}{3}\pi abc \end{align} Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa. == Käytännön sovelluksia == * Funktion f: D\to\mathbb R, missä D\subset\mathbb R^2 on rajoitettu joukko, ja xy-tason väliin jäävä tilavuus on V=\iint_Df(x, y)\,\mathrm dA * Kolmiulotteisen kappaleen, jota rajoittaa avaruus A\subset\mathbb R^3, massa saadaan kolminkertaisella integraalilla m=\iiint_A \rho(x, y, z)\,\mathbb dV, missä \rho(x, y, z) on kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z)\in A. * Jos \mathcal S on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa siten, että z=f(x, y) on rajoitettu ja jatkuva funktio sekä (x, y)\in D, missä D\subset\mathbb R^2 on rajoitettu joukko, niin pinnan \mathcal S pinta-ala on: A=\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,\mathrm dAAdams & Essex, s. 849Friedman, s. 331 * Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma \rho(x, y, z) alueessa B\subset\mathbb R^3, massakeskipiste (x_0, y_0, z_0) määritetään kaavoilla: \begin{cases} x_0=\displaystyle{\frac{1}{m}\iiint_Bx\rho\,\mathrm dV} \\\ y_0=\displaystyle{\frac{1}{m}\iiint_By\rho\,\mathrm dV} \\\ z_0=\displaystyle{\frac{1}{m}\iiint_Bz\rho\,\mathrm dV}, \end{cases} missä m=\iiint_B\rho(x, y, z)\,\mathrm dV on kappaleen kokonaismassa.Adams & Essex, s. 851 Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori \vec r_0=x_0\mathbf i+y_0\mathbf j+z_0\mathbf k on \vec r_0=\frac{1}{m}\iiint_B\rho\vec r\,\mathrm dV, missä \vec r=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k\in\mathbb R^3. * Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma \rho(x, y, z) alueessa B\subset\mathbb R^3, hitausmomentti pyörimisakselin L suhteen on I=\iiint_Br^2\,\mathrm dm=\iiint_Br^2\rho\,\mathrm dV, missä r on differentiaalisen massaelementin \mathrm dm=\rho\,\mathrm dV etäisyys pyörimisakselista L.Adams & Essex, s. 853 * Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma \rho(x, y, z) alueessa B\subset\mathbb R^3, hitaussäde pyörimisakselin L suhteen on r_\text{g}=\sqrt{\frac{I}{m}}=\sqrt{\frac{\iiint_B r^2\rho\,\mathrm dV}{\iiint_B\rho\,\mathrm dV}}. == Katso myös == * Riemannin integraali * Pintaintegraali * Tilavuusintegraali == Lähteet == Luokka:Integraalilaskenta