Osamäärän derivoimissääntö

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä. == Lauseen muotoilu == Olkoon funktio f: A \to \mathbb{R} esitettävissä funktioiden g ja h osamääränä f\left(x\right) = \frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}. Olkoot lisäksi funktiot g ja h derivoituvia pisteessä a \in A ja h\left(x\right) eq 0. Tällöin f'\left(a\right) = \frac{g'\left(a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h'\left(a\right)}{h\left(a\right)^2}. == Todistus == Derivaatan määritelmän mukaan f'\left(a\right) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f\left(a+\Delta a\right) - f\left(a\right)}{\Delta a} Sijoitetaan funktion f tilalle osamäärä g/h = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)} - \frac{g\left(a\right)}{h\left(a\right)}}{\Delta a} Lavennetaan osamäärät samannimisiksi = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)} - \frac{g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}{\Delta a} Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a} Lisätään ja vähennetään termi g\left(a\right)h\left(a\right) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right) + g\left(a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a} Otetaan h\left(a\right) ja -g\left(a\right) yhteisiksi tekijöiksi = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \left(g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)\left(h\left(a+\Delta a\right) -h\left(a\right)\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a} Supistetaan termillä \Delta a = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)}{\Delta a} h\left(a\right) - g\left(a\right) \frac{h\left(a+\Delta a\right) - h\left(a\right)}{\Delta a} }{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)} Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja- arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä) = \frac{ \lim_{\Delta a \to 0} \frac{g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)}{\Delta a} h\left(a\right) - g\left(a\right) \lim_{\Delta a \to 0} \frac{h\left(a+\Delta a\right) -h\left(a\right)}{\Delta a}}{ \lim_{\Delta a \to 0} h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)} Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden g ja h erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja = \frac{ g'\left(a\right) h\left(a\right) - g\left(a\right) h'\left(a\right)}{ h\left(a\right)^2}. ==Esimerkkejä== ===Esimerkki 1=== Määritä funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f\left(x\right) = \frac{x^2 - 2}{2x^4 + 7} derivaatta pisteessä x = 2. Funktio f voidaan selvästi esittää kahden funktion, g\left(x\right) = x^2 - 2 ja h\left(x\right) = 2x^4 + 7 osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä x = 2 ja funktiolla h ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä. Lasketaan ensin funktioiden g ja h derivaattafunktiot: g'\left(x\right) = 2x, h'\left(x\right) = 8x^3. Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee: f'\left(2\right) = \frac{g'\left(2\right)h\left(2\right) - g\left(2\right)h'\left(2\right)}{h\left(2\right)^2} Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan f'\left(2\right) = \frac{\left(2 \cdot 2\right)\left(2 \cdot 2^4 + 7\right) - \left(2^2 - 2\right)\left(8 \cdot 2^3\right)}{\left(2 \cdot 2^4 + 7\right)^2} = \frac{28}{1521}. ===Esimerkki 2=== Määritä funktion f\left(x\right) = \frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+1} derivaatta pisteessä x = 0. Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä |x|+1 ei ole derivoituva pisteessä x = 0, mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon f\left(x\right) = 1, jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla. Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä. ==Lähteet== * Luokka:Differentiaalilaskenta