Isogonaalinen konjugaatti

Isogonaalinen konjugaatti \scriptstyle X^{-1} on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle \scriptstyle X, joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä \scriptstyle X^{-1}. Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät \scriptstyle X^{*} ja \scriptstyle X'. == Sijainti kolmiossa == === Trilineaariset koordinaatit === Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit :P = x:y:z, ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit : P^{-1} = x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}. Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin. Toisaalta myös : (P^{-1})^{-1} = (x^{-1})^{-1}:(y^{-1})^{-1}:(z^{-1})^{-1} = x:y:z = P, jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden \scriptstyle P ja \scriptstyle P^{-1} olevan toistensa isogonaalisia pisteitä. === Barysentriset koordinaatit === Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on :P = x:y:z ja isogonaaliset koordinaatit ovat :P^{-1} = a^2yz:b^2xz:c^2xy, missä a, \, b \, ja \, c ovat kolmion sivujen pituuksia. == Esimerkkejä == Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja: * kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste (\scriptstyle I = X_1) itsensä kanssa (\scriptstyle X_1) * kolmion ympäri piiretyn ympyrän keskipiste (\scriptstyle O = X_3) ja ortokeskus (\scriptstyle H = X_4) * symmediaaninen piste (\scriptstyle K = X_6) ja kolmion painopiste (\scriptstyle G = X_2) * Gergonnen piste (\scriptstyle Ge = X_7) ja piste \scriptstyle X_{55} * ensimmäinen Napoleonin piste (\scriptstyle N_1 = X_{17}) ja piste \scriptstyle X_{61} * toinen Napoleonin piste (\scriptstyle N_2 = X_{18}) ja piste \scriptstyle X_{62} * Nagelin piste (\scriptstyle Na = X_8) ja piste \scriptstyle X_{56} * ensimmäinen Fermat'n piste (\scriptstyle F_1 = X_{13}) ja ensimmäinen isodynaaminen piste (\scriptstyle X_{15}) == Todistus == Todistetaan isogonaalisen konjugaatin \scriptstyle P^{-1} olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle \scriptstyle P, joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska \scriptstyle P on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta :\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} =1. === Janat sinilausekkeiksi === Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta \scriptstyle \triangle AC\,'C kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina) :\frac{AC'}{\sin \measuredangle ACC'}=\frac{CA}{\sin \measuredangle CC'A} \Leftrightarrow AC' = \frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A} ja kolmiosta \scriptstyle \triangle C\,'BC ensimmäisen osamäärän nimittäjä :\frac{C'B}{\sin \measuredangle C'CB}=\frac{BC}{\sin \measuredangle BC'C} \Leftrightarrow C'B = \frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}. Koska kulmat \scriptstyle \measuredangle CC'A ja \scriptstyle \measuredangle BC'C ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli \scriptstyle \sin \measuredangle CC'A = \sin \measuredangle BC'C, saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä :\frac{AC'}{C'B} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}{\frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\cancel {\sin \measuredangle CC'A}}}{\frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC'C}}} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{BC \sin \measuredangle C'CB}. Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää :\frac{BA'}{A'C} = \frac{AB \sin \measuredangle BAA'}{CA \sin \measuredangle A'AC} ja :\frac{CB'}{B'A} = \frac{BC \sin \measuredangle CBB'}{AB \sin \measuredangle B'BA} ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan :\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} =1 \Leftrightarrow \frac{\cancel{CA} \sin \measuredangle ACC'}{\cancel{BC} \sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\cancel{AB} \sin \measuredangle BAA'}{\cancel{CA} \sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\cancel{BC} \sin \measuredangle CBB'}{\cancel{AB} \sin \measuredangle B'BA} = 1 \Leftrightarrow eli :\frac{\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA} = 1. === Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi === Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä \scriptstyle P^{-1}, tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua :\frac{AC}{CB} \cdot \frac{BA}{AC} \cdot \frac{CB}{BA} =1. Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa :\frac{AC}{\sin \measuredangle ACC}=\frac{CA}{\sin \measuredangle CCA} \Leftrightarrow AC = \frac{CA \sin \measuredangle ACC}{\sin \measuredangle CCA} ja :CB = \frac{BC \sin \measuredangle CCB}{\sin \measuredangle BCC}. Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa :\frac{AC}{CB} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC}{\sin \measuredangle CCA}}{\frac{BC \sin \measuredangle CCB}{\sin \measuredangle BCC}} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC}{\cancel {\sin \measuredangle CCA}}}{\frac{BC \sin \measuredangle CCB}{\cancel {\sin \measuredangle BCC}}} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC}{BC \sin \measuredangle CCB}. Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi \scriptstyle \measuredangle ACC' = \measuredangle CCB ja \scriptstyle \measuredangle C'CB = \measuredangle ACC, jolloin :\frac{AC}{CB} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC}{BC \sin \measuredangle CCB} \Leftrightarrow \frac{AC \cdot BC}{CB \cdot CA} = \frac{\sin \measuredangle ACC}{\sin \measuredangle CCB} \Leftrightarrow \frac{AC \cdot BC}{CB \cdot CA} = \frac{\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle ACC'}. Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat (\scriptstyle \measuredangle BAA' = \measuredangle AAC ja \scriptstyle \measuredangle A'AC = \measuredangle BAA sekä \scriptstyle \measuredangle CBB' = \measuredangle BBA ja \scriptstyle \measuredangle B'BA = \measuredangle CBB ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti: :\frac{BA}{AC} = \frac{AB \sin \measuredangle BAA}{AC \sin \measuredangle AAC} \Leftrightarrow \frac{BA \cdot CA}{AC \cdot AB} = \frac{\sin \measuredangle A'AC}{\sin \measuredangle BAA'}. ja :\frac{CB}{BA} = \frac{BC \sin \measuredangle CBB}{AB \sin \measuredangle BBA} \Leftrightarrow \frac{CB \cdot AB}{BA \cdot BC} = \frac{\sin \measuredangle B'BA}{\sin \measuredangle CBB'}. === Sijoitus Cevan yhtälöön === :\frac{\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA} = 1 \Leftrightarrow \frac{CB \cdot CA}{AC \cdot BC} \cdot \frac{AC \cdot AB}{BA \cdot CA} \cdot \frac{BA \cdot BC}{CB \cdot AB} = 1 \Leftrightarrow :\frac{CB \cdot \cancel{CA}}{AC \cdot \cancel{BC}} \cdot \frac{AC \cdot \cancel{AB}}{BA \cdot \cancel{CA}} \cdot \frac{BA \cdot \cancel{BC}}{CB \cdot \cancel{AB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{CB}{AC} \cdot \frac{AC}{BA} \cdot \frac{BA}{CB} = 1 Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle: :\frac{AC}{CB} \cdot \frac{BA}{AC} \cdot \frac{CB}{BA} = 1. == Lähteet == * === Viitteet === == Aiheesta muualla == * Abel, Zachary: Triangle Centers (tehtäviä merkillisistä pisteistä) * Abel, Zachary: Mean Geometry * Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry * Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16, University of Kentucky Luokka:Geometria