Topologia (matematiikka)

Topologia on matematiikan alue, joka käsittelee topologisiksi avaruuksiksi kutsuttuja piste­joukkoja ja niiden sellaisia ominaisuuksia, jotka säilyvät homeo­morfis­meissa, toisin sanoen sellaisissa jatkuvissa bijektiivi­sissä kuvauksissa, joiden käänteis­kuvaukset ovat myös jatkuvia. Suominen & Vala: Topologia, Johdanto, s. 1–2 Tyypillisiä topologisia ominaisuuksia ovat kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo sekä alueen yhtenäisyys, samoin alueessa mahdollisesti olevien "reikien" lukumäärä. Sen sijaan monet tärkeät geo­metriset käsitteet kuten etäisyydet ja kulmat eivät ole topologisia käsitteitä, sillä ne eivät yleensä säily homeo­morfis­meissa. Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat eli homeo­morfiset, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muunnoksella" == Avoimet joukot ja topologia == On osoittautunut, että kaikki topologiset käsitteet voidaan määritellä avoimen joukon käsitteen avulla. Tämän vuoksi tämä käsite on nykyisin otettu topologian perus­käsitteeksi. Teknisenä terminä topo­logialla tarkoitetaan sellaista kokoelmaa \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) jonkin perus­joukon osajoukkoja, joka täyttää seuraavat ehdot: * Koko perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen, * Se sisältää joukkojensa mielivaltaiset yhdisteet, ja * Se sisältää joukkojensa äärelliset leikkaukset.Väisälä 2012, 32 Tällöin kyseisen kokoelman \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) alkioita U \in \mathcal{T} sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria ( X, \mathcal{T} ) topologiseksi avaruudeksi. == Diskreettitopologia ja minitopologia == Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden X topologiaan kuuluvat ainakin alkiot \emptyset ja X. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös X:n potenssijoukko \mathcal{P}(X) on eräs X:n topologia, diskreetti topologia. Siten X:n indiskreettitopologia on aina X:n diskreetin topologian osajoukko. == Saman avaruuden topologiat == Yleisesti jos T_1 ja T_2 ovat joukon X kaksi topologiaa ja T_1 \subset T_2, sanotaan että T_1 on karkeampi eli heikompi kuin T_2. Vastaavasti topologia T_2 on hienompi eli vahvempi kuin T_1. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään. == Metrisen avaruuden topologia == Jokainen metrinen avaruus eli joukko, jossa kahden pisteen välille on määritelty etäisyys, metriikka, on samalla topo­loginen avaruus. Tällöin avoimia joukkoja eli perusjoukon topo­logiaan kuuluvia joukkoja ovat ne, joissa joukon jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan kuuluu kyseiseen joukkoon, toisin sanoen jokaista joukon pistettä x kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen luku \epsilon, että jos d (x, y) < \epsilon, niin y kuuluu myös kyseiseen joukkoon. Tällaisten avointen joukkojen muodostamaa topo­logiaa sanotaan kyseisen metriikan määräämäksi topo­logiaksi. Samassa joukossa voidaan kuitenkin määritellä useita täysin eri metriikkoja, jotka määräävät saman topo­logian. Metriikka sinänsä ei olekaan avaruuden topo­loginen ominaisuus. Toisaalta on olemassa topo­logisia avaruuksia, joiden topologiaa ei voida määrätä minkään metriikan avulla; tällaiset avaruudet eivät ole metristyviä. === Esimerkkejä === Reaalilukujen joukossa \mathbb{R} nimitetään tavan­­omaiseksi topo­logiaksi metriikan : d(x, y) = | y - x | määräämää topo­logiaa. Tässä metriikassa siis lukujen tai niitä vastaavien lukusuoran pisteiden etäisyys on yksin­kertaisesti niiden erotuksen itseisarvo. Tällöin avoimia joukkoja ovat muun muassa kaikki avoimet välit sekä joukot, jotka saadaan tällaisten yhdisteinä. Vastaavasti jokaisessa euklidisessa avaruudessa \mathbb{R}^n tavanomaiseksi topo­logiaksi nimitetään luonnollisen metriikan : d ((x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n)) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + ... + (y_n - x_n)^2} määräämää topologiaa. Näissä tapauksissa kaikki avointen joukkojen avulla määri­teltävät topo­logiset käsitteet kuten kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo osoittautuvat yhtä­pitäväksi sen kanssa, miten vastaavat käsitteet voidaan määritellä lukujen erotuksen tai avaruuden pisteiden etäisyyden avulla. == Historia == Topologian alaan kuuluvia käsitteitä käytettiin differentiaali- ja integraali­laskennassa jo 1600-luvulla. Seuraavalla vuosi­sadalla muun muassa Leonhard Euler käsitteli eräissä artikke­leissaan topo­logian alaan kuuluvia kysymyksiä.Hart, s. 386 Bergamini, s. 188 Järjestelmällisesti topo­logiaa alettiin kuitenkin kehittää vasta 1800-luvun lopulla. Avoimen joukon käsitteen otti euklidisissa avaruuksissa käyttöön Georg Cantor 1880-luvulla. Metrisen avaruuden käsitteen määritteli Fréchet vuonna 1906. Topologisen avaruuden käsitteen määritteli peri­aatteessa ensimmäisenä Hausdorff vuonna 1914, joskin hänen antamaansa määritelmään sisältyi eräs lisäehto, jonka täyttäviä avaruuksia sanotaan nykyään Hausdorff-avaruuksiksi. Yleisemmän topo­logisen avaruuden käsitteen, jossa tämä lisä­ehto ei välttämättä ole voimassa, määritteli Kazimierz Kuratowski vuonna 1922. == Käsitteitä == * Avaruus * Kompaktius * Yhtenäisyys * Polkuyhtenäisyys * Jatkuva kuvaus * Avoin joukko * Suljettu joukko * Homeomorfismi * Lineaarikuvaus * Piste * Täydellisyys * Algebrallinen topologia * Yleinen topologia == Eräitä topologian alaan kuuluvia erityiskysymyksiä == * Möbiuksen nauha * Königsbergin siltaongelma == Lähteet == * * * * * * * === Viitteet === == Aiheesta muualla == Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit