Tasajakauma

{t(b-a)} |char = \frac{\mathrm{e}^{itb}-\mathrm{e}^{ita}}{it(b-a)} }} Tasajakauma eli tasainen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti. Tasajakaumaa merkitään usein :X \sim \operatorname{Tas}(a,b) \sim \operatorname{Unif}(a,b) \sim \operatorname{U}(a,b), missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit a ja b rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman P(c \le X \le d) (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja satunnaisesti väliltä [a,b]. Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi \scriptstyle {rnd}) simuloidaan \scriptstyle \operatorname{Tas}(0,1)-jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan \scriptstyle (b-a)\cdot {rnd} + a . == Todennäköisyysjakauma == Jakauman parametrit a,b \in \mathbb{R} toteuttavat ehdon a, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli [a,b]. Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot :f_X(x)=\begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{kun } x \in [a,b] \\\ 0 & \text{kun } x otin [a,b] \end{cases}, ja muualla arvon nolla. Kertymäfunktio on :F_X(x) = P(X \le x)=\begin{cases} 0 & \text{kun } x < a \\\ \frac{x-a}{b-a} & \text{kun } x \in [a,b] \\\ 1 & \text{kun } x > b \end{cases} == Tunnusluvut ja momentit == === Momenttifunktio === Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä :M(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\, \mathrm{d}x= \int_{a}^b e^{tx} \frac{1}{b-a} \mathrm{d}x ::= \frac{1}{t(b-a)}\int_{a}^b te^{tx} \mathrm{d}x =\frac{e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}\, . Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla M(0)=1. Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina. Ensimmäiset origomomentit ovat :\mu=E(X)=\lim_{t \to 0}M'(t)=\tfrac{1}{2}(a+b) :\mu_2=E(X^2)=\tfrac{1}{3}(a^2+ab+b^2) :\mu_3=E(X^3)=\tfrac{1}{4}(a+b)(a^2+b^2) :\mu_4=E(X^4)=\tfrac{1}{5}(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) ja niiden yleinen termi on :\mu_n=E(X^n)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}. Keskusmomenttien yleinen muoto on :\mu'_n=E((X-\mu)^n)=\frac{(a-b)^n+(b-a)^n}{2^{n+1}(n+1)}. === Tunnuslukuja === Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista :\mu=\operatorname{E}(X)=\frac{1}{2}(a+b). Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti :\mu'_2=\operatorname{Var}(X)=\sigma^2=\frac{1}{12}(b-a)^2. Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla :g_1=\frac{\mu'_3}{{\mu'}^{3/2}_2}=\frac{0}{{\mu'}^{3/2}_2}=0. Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen. Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla :\gamma_2=\frac{{\mu'}_4}{{\mu'}_2^2}-3=-\frac{5}{6}. Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan. == Muut jakaumat == Beta-jakauma \beta (1,1) vastaa tasaista jakaumaa. Tasajakauman universaalisuuslauseen mukaan jokainen jatkuva todennäköisyysjakauma voidaan muuttujan vaihdolla muuntaa noudattamaan yksikkötasajakaumaa. == Lähteet == ==Aiheesta muualla== Luokka:Todennäköisyysjakaumat Luokka:Tilastotiede Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit