Simpsonin sääntö

Simpsonin sääntö on numeerinen menetelmä, jolla voidaan approksimoida määrättyä integraalia, kun integroitavan funktion integraalifunktiota ei tunneta tai haluta käyttää. Jos väli [a,b] jaetaan kahteen yhtä pitkään osaväliin, niin tällöin pätee likimääräisesti: : \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]. Usein merkitään osavälien pituutta kirjaimella h = (b-a)/2, jolloin yllä oleva kaava voidaan kirjoittaa muodossa: : \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]. Simpsonin sääntö on nimetty englantilaisen matemaatikon Thomas Simpsonin (1710–1761) mukaan. == Johtaminen == Simpsonin sääntö voidaan johtaa useammalla eri tavalla, joilla kaikilla saadaan luonnollisesti sama tulos. Tässä artikkelissa paneudutaan kuitenkin vain yhteen tapaan. Muista tavoista kiinnostunut lukija voi katsoa lisätietoa viitteistä. === Interpolointi toisen asteen polynomifunktiolla === Lähtökohtana on korvata funktio f toisen asteen polynomifunktiolla g(x)=px2+qx+r, joka saa samat arvot kuin funktio f välin [a,b] päätepisteissä ja keskipisteessä. Lasketaan nämä arvot, sillä niitä tarvitaan lopuksi: : f(a) = g(a)=pa^2+qa+r,f(\frac{a+b}{2}) = g(\frac{a+b}{2})=p(\frac{a+b}{2})^2+q\frac{a+b}{2}+r, f(b) = g(b) = pb^2+qb+r Tällöin integraali voidaan kirjoittaa polynomin g avulla muodossa: : \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (px^2+qx+r) \, dx = (\frac{1}{3}px^3+\frac{1}{2}qx^2+rx)|_{a}^{b} = \frac{1}{3}p(b^3-a^3)+\frac{1}{2}q(b^2-a^2)+r(b-a) Hyödyntämällä kaavoja :a^3-b^3 = \left(a-b\right)(a^2+ab+b^2) :a^2-b^2 = \left(a-b\right)(a+b) saadaan edelleen :=\frac{1}{3}p(b-a)(a^2+ab+b^2)+\frac{1}{2}q(b-a)(a+b)+r(b-a)=\frac{b-a}{3}\left(p(a^2+ab+b^2)+\frac{3}{2}q(a+b)+3r\right) :=\frac{b-a}{6}\left(p(2a^2+2ab+2b^2)+6q\frac{a+b}{2}+6r\right)=\frac{b-a}{6}\left(p(a+b)^2+pa^2+pb^2+6q\frac{a+b}{2}+6r\right) :=\frac{b-a}{6}\left(4p(\frac{a+b}{2})^2+4q\frac{a+b}{2}+4r+pa^2+pb^2+2q\frac{a+b}{2}+2r\right) :=\frac{b-a}{6}\left(pa^2 +qa+r+ 4\left(p(\frac{a+b}{2})^2+q\frac{a+b}{2}+r\right)+pb^2+qb+r\right) := \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]. Edellinen lasku on hieman helpompi laskea loppuun jos tehdään aluksi muuttujan vaihto: :s=\frac{x-a}{h} jolloin dx=hds ja integraali tulee muotoon :\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx h\int_{0}^{2} g(s) \,ds == Simpsonin säännön virhe == Jaettaessa väli [a,b] kahteen yhtä suureen osaan eli n=2 jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/2 saadaan Simpsonin säännön virheeksi : E_2 = -\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi) missä \xion jokin piste väliltä (a,b) ja f^{(4)}(\xi)on funktion f neljäs derivaatta kyseisessä pisteessä. Simpsonin sääntö antaa tarkan vastauksen kaikille polynomeille, joiden asteluku on pienempi tai yhtä suuri kuin kolme, koska virhetermi sisältää funktion neljännen derivaatan, mikä on tietysti = 0 kun funktio f on korkeintaan kolmatta astetta. == Yleistetty Simpsonin sääntö == Koska Simpsonin säännön virhe on suoraan verrannollinen laskettavan integroimisvälin pituuteen, saadaan virhe mahdollisimman pieneksi kun välin pituutta pienennetään. Käytännössä tämä tehdään jakamalla väli [a,b] useaan pienempään osaväliin [xi,xi+h], joihin jokaiseen käytetään Simpsonin sääntöä. Jos väli [a,b] jaetaan yhtä pitkiin väleihin, joita on N=2n kappaletta, (välejä tulee olla parillinen määrä, sillä Simpsonin sääntöä sovelletaan aina kahteen osaväliin) tulee jokaisen osavälin pituudeksi h=(b-a)/N. Tällöin saadaan yleistetty Simpsonin sääntö: :\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\bigg]. == Yleistetyn Simpsonin säännön virhe == Jaettaessa väli [a,b] yhtä suuriin osaväleihin, joita on N=2n kappaletta, jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/N, saadaan yleistetyn Simpsonin säännön virheeksi: :E_n=-\frac{(b-a)^5}{180N^4}f^{(4)}(\xi) missä \xion jokin välin (a,b) piste == Simpsonin 3/8-sääntö == Jos funktiota f ei approksimoidakaan toisen asteen polynomifunktiolla g (kahdella osavälillä) vaan kolmannen asteen polynomifunktiolla (kolmella osavälillä), jolta vaaditaan, että g saa samat arvot kuin funktio f osavälien päätepisteissä, saadaan likimääräiseksi arvioksi: : \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{3h}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3} \right) + f(b)\right] = \frac{b-a}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}\right) + f(b)\right]. == Simpsonin 3/8-säännön virhe == :E_n= -\frac{(b-a)^5}{6480} f^{(4)}(\xi), missä \xion jokin välin (a,b) piste == Lähteet == * * * === Viitteet === == Kirjallisuutta == * * Luokka:Numeerinen analyysi