Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä

Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä on menetelmä, jolla voidaan tehdä äärellinen jono sisätuloavaruuden V lineaarisesti riippumattomia vektoreita ortogonaalisiksi eli keskenään kohtisuoriksi siten että ortogonaalinen jono virittää V:n saman aliavaruuden kuin alkuperäinen jono. Toisin sanoen ortogonaalinen jono on saman aliavaruuden kanta kuin alkuperäinen jono. Ortogonaalisesta jonosta saadaan normittamalla ortonormaali. Menetelmä on nimetty tanskalaisen Jørgen Pedersen Gramin ja saksalaisen Erhard Schmidtin mukaan. ==Gramin–Schmidtin menetelmä== Olkoon ( w1, ..., wn ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( u1, ..., un ), jolle pätee span( w1, ..., wn ) = span( u1, ..., un ) kaikilla k \in { 1, ..., n } eli jonot ( w1, ..., wn ) ja ( u1, ..., un ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti: Valitaan \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{w}_1 . \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{w}_2 - proj_{V_{1}} (\boldsymbol{w}_2) = \boldsymbol{w}_2 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_2, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1, missä V1 on vektorin v1 virittämä aliavaruus ja projV1(w2) on vektorin w2 kohtisuora projektio aliavaruudelle V1. Merkintä \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle tarkoittaa vektoreiden a ja b sisätuloa; \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \in \mathbf{R}. Merkintä \Vert \boldsymbol{a} \Vert tarkoittaa vektorin a normia; \Vert \boldsymbol{a} \Vert^2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} \rangle. Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa \Vert \boldsymbol{a} \Vert \geq 0 ja erityisesti pätee \Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert = \Vert \boldsymbol{w}_1 \Vert > 0 , koska muutoin w1 = 0, mikä ei ole mahdollista, koska jono ( w1, ..., wn ) on vapaa. \boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{w}_3 - proj_{V_{2}} (\boldsymbol{w}_3) = \boldsymbol{w}_3 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_2 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_2 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_2, missä V2 on vektoreiden v1 ja v2 virittämä aliavaruus ja projV2(w3) on vektorin w3 kohtisuora projektio aliavaruudelle V2. \vdots \boldsymbol{v}_k = \boldsymbol{w}_k - \sum_{j=1}^{k-1} proj_{V_{k-1}}(\boldsymbol{w}_k), missä Vk-1 on vektoreiden v1, v2, ..., vk-1 virittämä aliavaruus ja projVk-1(wk) on vektorin wk kohtisuora projektio aliavaruudelle Vk-1. Näin muodostettu jono ( v1, ..., vn ) on ortogonaalinen. Ortonormaali jono ( u1, ..., un ) saadaan normittamalla jono ( v1, ..., vn ): (\boldsymbol{u}_1,..., \boldsymbol{u}_n) = \displaystyle \biggl ( \dfrac{\boldsymbol{v}_1}{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert},..., \dfrac{\boldsymbol{v}_n}{\Vert \boldsymbol{v}_n \Vert} \biggr ). ==Esimerkki== Sisätuloavaruuden R3 (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( w1, w2, w3 ), missä w1 = [1 0 1]T, w2 = [0 1 2]T ja w3 = [1 -1 2]T. Sovelletaan jonoon Gramin–Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono. Valitaan \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{w}_1 = [1\quad 0\quad 1]^T, \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{w}_2 - \dfrac{\boldsymbol{w}_2 \cdot \boldsymbol{v}_1}{ \boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_1} \boldsymbol{v}_1 = [0 \quad 1 \quad 2]^T - [1 \quad 0 \quad 1]^T = [-1 \quad 1 \quad 1]^T, \boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{w}_3 - \dfrac{\boldsymbol{w}_3 \cdot \boldsymbol{v}_1}{\boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_1} \boldsymbol{v}_1 - \dfrac{\boldsymbol{w}_3 \cdot \boldsymbol{v}_2}{\boldsymbol{v}_2 \cdot \boldsymbol{v}_2} \boldsymbol{v}_2 = [1 \quad -1 \quad 2]^T - \dfrac{3}{2} [1 \quad 0 \quad 1]^T = \biggl [-\dfrac{1}{2} \quad -1 \quad \dfrac{1}{2} \biggr ]^T. Tarkistetaan: Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli niiden välinen pistetulo on nolla: \boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_2 = [1\quad 0\quad 1]^T \cdot [-1 \quad 1 \quad 1]^T = 1*(-1)+0*1+1*1 = 0, \boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_3 = [1\quad 0\quad 1]^T \cdot \biggl [-\dfrac{1}{2} \quad -1 \quad \dfrac{1}{2} \biggr ]^T = 1* \biggl(-\dfrac{1}{2} \biggr)+0*(-1)+1*\dfrac{1}{2} = 0, \boldsymbol{v}_2 \cdot \boldsymbol{v}_3 = [-1 \quad 1 \quad 1]^T \cdot \biggl [-\dfrac{1}{2} \quad -1 \quad \dfrac{1}{2} \biggr ]^T = (-1)*\biggl(-\dfrac{1}{2} \biggr)+1*(-1)+1* \dfrac{1}{2} = 0. Normitetaan vielä: \boldsymbol{u}_1 = \dfrac{\boldsymbol{v}_1}{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \; [1 \quad 0 \quad 1]^T, \boldsymbol{u}_2 = \dfrac{\boldsymbol{v}_2}{\Vert \boldsymbol{v}_2 \Vert} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \; [-1 \quad 1 \quad 1]^T ja \boldsymbol{u}_3 = \dfrac{\boldsymbol{v}_3}{\Vert \boldsymbol{v}_3 \Vert} = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \; \biggl [-\dfrac{1}{2} \quad -1 \quad \frac{1}{2} \biggr ]^T . Nyt jono (u1, u2, u3 ) on ortonormaali jono ja span(u1, u2, u3 ) = span(w1, w2, w3 ). ==Lähteet== *Honkasalo Hannu 2003: Lineaarialgebra I. Helsingin yliopisto. Matematiikan laitos. *Pesonen Martti E. 2011: Lineaarialgebra. Itä-Suomen yliopisto. ==Aiheesta muualla== * Luokka:Lineaarialgebra