Rencontre-ongelma

Rencontre-ongelma eli yhteensattumisongelma on todennäköisyys sille, että kun joukon A alkiot kuvataan joukon B alkioiksi ja joukon B alkiot sekoitetaan satunnaiseen järjestykseen, niin kuvauksessa kaikki joukon A alkiot saavat sekoituksessa jonkun uuden joukon B alkion. Todennäköisyyden arvo riippuu alkioiden lukumäärästä, mutta se on asymptoottisesti vakio \tfrac{1}{\mathrm e}=0{,}368. Käytännön esimerkkinä tästä ovat pikkujoulun lahjapaketit, missä juhlavieraat tuovat lahjasäkkiin lahjapaketin ja ne jaetaan takaisin lahjan tuoneiden kesken umpimähkään. Penconte-ongelmassa päätellään todennäköisyys sille, että "kukaan ei saa omaa lahjaansa takaisin". == Ongelman ratkaisu == Ratkaisu on johdettavissa käyttäen apuna joukko-opin ja todennäköisyyslaskennan kaavoja. Olkoon lahjapaketin tuojien lukumäärä n \in \mathbb{N}. Sovitaan, että tapahtuma A_i sattuu, jos vieras i saa takaisin oman lahjansa. Kysytty todennäköisyys on siis \mathbb{P} \left( \bigcap_{i=1}^n A_i^\mathrm c \right). De Morganin lakien mukaan pätee yhtälö \bigcap_{i=1}^n A_i^\mathrm c = \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)^\mathrm c. Tämän ja komplementin todennäköisyyden kaavalla saadaan yhtälö \mathbb{P} \left( \bigcap_{i=1}^n A_i^\mathrm c \right) = \mathbb{P} \left[ \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)^\mathrm c \right]= 1-\mathbb{P} \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right). Todennäköisyyslaskennan yleinen yhteenlaskukaava on \mathbb{P} \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{k=1}^n \left[ (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \ldots < i_k} \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \right]. Näin ollen riittää laskea tapahtumien A_1, \ldots , A_n kaikkien kombinaatioiden leikkausten todennäköisyydet. Koska lahjojen oletetaan jakautuvan symmetrisin todennäköisyyksin, on \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) = \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_j \right) kaikilla indeksikombinaatioilla \\{ i_1 , \ldots , i_k \\} \subset \\{ 1, \ldots , n \\}. Yhteenlaskukaava supistuu tällöin binomikertoimen avulla merkittynä muotoon \mathbb{P} \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{k=1}^n \left[ (-1)^{k-1} {n \choose k} \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_j \right) \right]. Todennäköisyys, että k ensimmäistä vierasta saavat takaisin omat lahjansa, on \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_j \right) = \frac{1 \cdot (n-k)!}{n!} = \frac{(n-k)!}{n!}. Kun tämä sijoitetaan yhteenlaskukaavaan, saadaan vastaus \mathbb{P} \left( \bigcap_{i=1}^n A_i^\mathrm c \right) = 1 - \sum_{k=1}^n \left( (-1)^{k-1} {n \choose k} \frac{(n-k)!}{n!} \right) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}. Tämän kaavan avulla pystytään kysytty todennäköisyys laskemaan helposti eri lukumäärän n arvoille. Kun n lähestyy ääretöntä, suppenee todennäköisyys eksponenttifunktion määritelmän mukaan kohti Neperin luvun käänteislukua \mathrm e^{-1} \approx 0{,}367 \, 879. Summalausekkeen luonteesta johtuen suppeneminen on hyvin nopeaa, ja likiarvo 0{,}368 pätee aina, kun lahjan tuovia vieraita on vähintään kuusi. n todennäköisyys 2 \frac{1}{2} = 0{,}5 3 \frac{1}{3} \approx 0{,}333 4 \frac{3}{8} = 0{,}375 5 \frac{11}{30} \approx 0{,}367 6 \frac{53}{144} \approx 0{,}368 7 \frac{103}{280} \approx 0{,}367 \, 857 8 \frac{2 \, 119}{5 \, 760} \approx 0{,}367 \, 882 9 \frac{16 \, 687}{45 \, 360} \approx 0{,}367 \, 879 Luokka:Todennäköisyyslaskennan ongelmat