Beta-jakauma

{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}} | kurtosis = \frac{6[\alpha^3+\alpha^2(1-2\beta)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)]}{\alpha\beta(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+3)} | entropy = \begin{matrix}\ln\Beta(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\\\[0.5em] +(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix} | mgf = 1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!} | char = {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\\! (katso hypergeometrinen funktio) | pgf = | fisher = \begin{matrix}\\\ \operatorname{var}[\ln X] &\operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] \\\ \operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] & \operatorname{var}[\ln (1-X)]\end{matrix} }} Beta-jakauma eli \beta-jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat. Jos satunnaismuuttuja X on Beta-jakautunut parametreillä \alpha ja \beta, merkitään se yleensä :X \sim Beta(\alpha,\beta) \sim Be(\alpha,\beta) \sim \beta_{\alpha , \beta}. == Todennäköisyysjakauma == Satunnaismuuttujalla X, joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on \Omega=[0,1], on kaksi positiivista parametria \alpha ja \beta. Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään :f_X(x)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} , missä niin sanottu beta-funktio on :B(\alpha,\beta)=\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}, jossa \Gamma(t) taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi. Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (\scriptstyle \alpha'=\alpha -1 ja \scriptstyle \beta'=\beta-1), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman. Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia: * f_X(x)>0 kaikilla x \in [0,1] * Jos \alpha >1 ja \beta = 1, niin f_X(x) on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä x=1. * Jos \alpha =1 ja \beta > 1, niin f_X(x) on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä x=0. * Jos \alpha >1 ja \beta > 1, niin f_X(x) on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä x=\frac{\alpha-1}{\alpha + \beta -2}. * Jos \alpha <1 ja \beta < 1, niin f_X(x) on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä x=0 ja x=1. * f_X(x) on symmetrinen, jos \alpha = \beta. Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin. == Tunnusluvut ja momentit == === Momenttifunktio === Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä :M(t)=E(e^{tX})=\frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^1 e^{tx} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \, dx . Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on :\mu_n=E(X^n)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+n)} {\Gamma(\alpha+\beta+n)\Gamma(\alpha)}, ja koska gammafunktiolla on \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha), siitä saadaan ensimmäiset momentit :E(X)=E(X^1)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+1)} {\Gamma(\alpha+\beta+1)\Gamma(\alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\alpha\Gamma(\alpha)} {(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} ja :E(X^2)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+2)} {\Gamma(\alpha+\beta+2)\Gamma(\alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)} {(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}. Keskusmomenttien yleinen muoto on :\mu'_n=E((X-\mu)^n)=\left (-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right )^n \cdot {}_2F_1 \left (\alpha,-n;\alpha+\beta;\frac{\alpha+\beta}{\alpha} \right ), missä {}_2\\!F_1 on hypergeometrinen funktio. Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan :\mu=E(X)=\int_0^1xf_X(x)\,dx = \int_0^1x \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \,dx :: = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_0^1 x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1} \,dx = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} B(\alpha+1,\beta) ::=\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}. === Tunnuslukuja === Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista :\mu=\operatorname{E}(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}. Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti :\mu'_2=\operatorname{Var}(X)=\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}. Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla :g_1=\frac{\mu'_3}{{\mu'}^{3/2}_2}=\frac{2(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}. Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen. Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla :\gamma_2=\frac{{\mu'}_4}{{\mu'}_2^2}-3=\frac{6[\alpha^3+\alpha^2(1-2\beta)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)]}{\alpha\beta(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+3)}. Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan. Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun \alpha >1 ja \beta >1 :Mo=\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}. Jos \alpha < 1 tai \beta <1 voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun \alpha = \beta = 1 on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi. == Esimerkkejä == Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä p ja 1-p. Heittojen kokonaismäärän ollessa n=100, noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät X binomijakaumaa X \sim Bin(100,p). Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä p, kun saadaan k=60 "kruunaa", on se Beta-jakautunut p \sim Beta(61,41). Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään :p \sim Beta(k+1,n-k+1). Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä n on pieni ja suhde k/n on lähellä arvoa 0 tai 1. Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista. Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien U_i \sim U(0,1) arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle U_i arvot U_1, U_2 ,..., U_n. Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla U_{(i)}, kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli U_{(1)} < U_{(2)} < ... < U_{(n)}). Silloin arvo U_{(k)} \sim Beta(k,n+1-k) kun k=1,2,...,n. == Muut jakaumat == Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi :X \sim Beta(1,1) \sim U(0,1) . == Lähteet == == Aiheesta muualla == * https://noppa.aalto.fi/noppa/kurssi/mat-1.3621/luennot/Mat-1_3621_todennakoisyyslaskennan_kertausta_.pdf * http://doingbayesiandataanalysis.blogspot.fi/2012/06/beta-distribution-parameterized-by-mode.html * http://users.iems.northwestern.edu/~ajit/beta.pdf * http://www.epixanalytics.com/modelassist/CrystalBall/Model_Assist.htm#Distributions/Continuous_distributions/Beta.htm Luokka:Todennäköisyysjakaumat Luokka:Tilastotiede