Nabla

∇ Nabla-symboli Nabla on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasakylkisen kolmion muotoinen symboli abla (∇). Sillä voidaan merkitä skalaarifunktion (esim. lämpötila) ja vektorifunktion (esim. sähkökenttä, jolla on suunta) gradienttia sekä vektorifunktion divergenssiä tai roottoria. Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta. Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta. == Merkitykset == Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa \scriptstyle \mathbb{R}^3, jonka koordinaatit ovat (x, y, z), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti: : abla = {\partial \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial \over \partial z} \mathbf{k}, missä \scriptstyle \\{\mathbf{i}, \mathbf{j},\mathbf{k} \\} ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa. Vaikka \scriptstyle {\partial \over \partial x}, \scriptstyle {\partial \over \partial y} ja \scriptstyle {\partial \over \partial z} ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori. === Gradientti === Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa \scriptstyle \mathbb{R}^3 määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti: : \mbox{grad}\, f = abla f = {\partial f \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial f \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial f \over \partial z} \mathbf{k}. Funktion f gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa f kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa. Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota f, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (x,y). Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti. ===Divergenssi=== Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on \vec v = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k} , sen divergenssi on: :\mbox{div}\,\vec v = abla \cdot \vec v = {\partial v_x \over \partial x} + {\partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z} .Lehto, s. 99 Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä. === Roottori === Avaruudessa \scriptstyle \mathbb{R}^3 määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona. Funktion \vec{v}(x, y, z) = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k} roottori on siis: : \mbox{curl}\;\vec v = abla \times \vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \mathbf{i} + \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \mathbf{k}.Lehto, s. 69 Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen. Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa: : abla \times \vec v = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\[2pt] {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\\\[2pt] v_x & v_y & v_z \end{matrix}\right| Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä. ===Laplacen operaattori=== Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin. Se määritellään seuraavasti: : \Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}. Sekin voidaan esittää myös nablan avulla: :\Delta = abla \cdot abla = abla^2. Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä. == Laskusääntöjä == Olkoon f, g:\mathbb R^3\to\mathbb R skalaarifunktioita sekä \vec A, \vec B: \mathbb R^3\to\mathbb R^3 vektorikenttiä siten, että jokainen niistä ovat derivoituvia ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Tällöin seuraavat nablan laskusäännöt ovat voimassa: # abla(fg)=f abla g+g abla f # abla\cdot\left(f\vec A\right)=( abla f)\cdot\vec A+f\left( abla\cdot\vec A\right) # abla\times\left(f\vec A\right)=( abla f)\times\vec A+f\left( abla\times\vec A\right) # abla\cdot\left(\vec A\times\vec B\right)=\left( abla\times\vec A\right)\cdot\vec B-\vec A\cdot\left( abla\times\vec B\right) # abla\times\left(\vec A\times\vec B\right)=\left( abla\cdot\vec B\right)\vec A+\left(\vec B\cdot abla\right)\vec A-\left( abla\cdot\vec A\right)\vec B-\left(\vec A\cdot abla\right)\vec B # abla\left(\vec A\cdot\vec B\right)=\vec A\times\left( abla\times\vec B\right)+\vec B\times\left( abla\times\vec A\right)+\left(\vec A\cdot abla\right)\vec B+\left(\vec B\cdot abla\right)\vec A Lisäksi, mikäli f:n ja \vec A:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia, pätevät myös seuraavat säännöt: # * abla\cdot\left( abla\times\vec A\right)=0 (Roottorin divergenssi on aina nolla.) # abla\times\left( abla f\right)=\vec 0 (Gradientin roottori on aina nollavektori.) # abla\times\left( abla\times\vec A\right)= abla\left( abla\cdot\vec A\right)- abla^2\vec A == Tietotekniikka == Unicodessa nablan koodi­arvo on U+2207. HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa `&nabla;` ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä ` abla`. ==Lähteet== ==Kirjallisuutta== * Luokka:Matemaattiset symbolit Luokka:Differentiaalilaskenta bn:ন্যাবলা ca:Símbol nabla de:Nabla en:Nabla symbol et:Nabla (sümbol) eo:Nabla simbolo he:נבלה (סימן) pl:Symbol nabla ru:Набла sl:nabla