Käänteisfunktio

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion f käänteisfunktiota merkitään f^{-1}. Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x. Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita. ==Määritelmä== Olkoon f:A\to B funktio. f\,:n kuvajoukko f(A)\, on kaikkien niiden alkioiden y\in B\, joukko, joille y=f(x)\, jolloin x\in A\,. Jos f\, on injektio (ehdosta f(x_1)=f(x_2)\, aina seuraa x_1=x_2\,) on mahdollista määritellä funktio g:f(A)\to A asettamalla g(y)\,:ksi se x\in A, jolle y=f(x)\,. Täten g\, tulee toteuttamaan ehdon g(f(x))=x\, kaikilla x\in A ja f(g(y))=y\, kaikilla y\in f(A). Funktiota g\, sanotaan funktion f\, käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla f^{-1}\,. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko. Jos funktio g\, on funktion f\, käänteisfunktio, on samalla myös f\, funktion g\, käänteisfunktio. ==Esimerkkejä== Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon _f_ funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon _M_ perheenjäsenien nimien joukko ja _I_ perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen :M = \\{Juhani, Anna, Siru, Pasi, Taru\\} :I = \\{37, 32, 10, 8, 5\\} :f : M \rightarrow I :f(Juhani) = 37, f(Anna) = 32, f(Siru) = 10, f(Pasi) = 8, f(Taru) = 5 Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on _f_ :n käänteisfunktio: :f^{-1} : I \rightarrow M :f^{-1}(37) = Juhani, f^{-1}(32) = Anna, f^{-1}(10) = Siru, f^{-1}(8) = Pasi, f^{-1}(5) = Taru _f_ :n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. ==Reaalifunktiot== Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion f\, käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla x\, yhtälöstä y=f(x)\,. Esimerkiksi funktion f:\mathbb R\to \mathbb R, f(x)=2x+3\, käänteisfunktioksi saadaan näin f^{-1}:\mathbb R\to \mathbb R, f^{-1}(y)=\frac{1}{2}(y-3). Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla f\, olisi käänteisfunktio, f\,:n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio, eli f saa jokaista arvoa vain kerran. Esimerkiksi funktiolla f:\mathbb R\to \mathbb R, f(x)=x^2\, ei ole käänteisfunktiota, koska funktio saa esim. arvon 9 kahdessa kohdassa (f(-3) ja f(3)). Toisaalta samalla funktiolla vain positiivisten reaalilukujen joukossa eli f:\mathbb R^+\to \mathbb R^+, f(x)=x^2\,, on käänteisfunktio f^{-1}\,, f^{-1}(y)=\sqrt y. ===Esimerkkejä=== * Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion y = x^n\, käänteis­funktio on juurifunktio y = \sqrt[n]{x}. Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio. * Eksponenttifunktion y = e^x\,käänteis­funktio on logaritmifunktio y = \ln x\,. * Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi. ==Käänteisfunktion derivaatta== Jos f\, ja f^{-1}\, ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava \left( f^{-1} \right)' (f(x)) = \frac{1}{f'(x)}. == Lähteet == ==Kirjallisuutta== * * * * Luokka:Joukko-oppi