Bravais’n hila

Bravais’n hila on geometriassa ja kristallografiassa ääretön pistejoukko, jonka muodostavat ne avaruuden pisteet, joiden paikkavektorit kolmiulotteisessa avaruudessa ovat muotoa :\mathbf{R} = n_{1}\mathbf{a}_{1} + n_{2}\mathbf{a}_{2} + n_{3}\mathbf{a}_{3} missä a1, a2 ja a3 ovat kolme erisuuntaista, lineaarisesti riippumatonta vektoria ja n1, n2 ja n3 mielivaltaisia kokonaislukuja. Tällaisten pisteiden paikkavektorien joukko on suljettu vektorien yhteen- ja vähennyslaskun suhteen, toisin sanoen kahden tähän joukkoon kuuluvan vektorin summa ja erotus kuuluvat myös tähän joukkoon. Bravais’n hila on saanut nimensä ranskalaisen fyysikko Auguste Bravais’n (1811–1863) mukaan, joka vuonna 1850 todisti, että on olemassa 14 mahdollista kidehilatyyppiä. Bravais’n hila on translaatiosymmetrinen sellaisten yhdensuuntaissiirtojen suhteen, joiden siirtymävektori vastaa jonkin siihen kuuluvan pisteen paikkavektoria. Toisin sanoen jos hilassa siirrytään toiseen paikkaan tällaisen siirtymävektorin osoittamalla tavalla, sen pisteen ympäristö, johon päädytään, on samanlainen kuin lähtöpisteenkin. Bravais’n hilan käsite voidaan siis määritellä puhtaan geometrisesti, mutta sen tärkeimmät sovellukset liittyvät kiinteiden aineiden kidehilojen tutkimukseen eli kristallografiaan. Tällöin hilapisteet vastaavat atomien, ionien tai polymeeriketjujen sijaintia aineen kidehilassa. Kiteessä nämä sijaitsevat säännöllisessä järjestyksessä, niin että monessa tapauksessa atomien tai ionien sijaintipaikat muodostavat Bravais’n hilan. Tosin on huomattava, että geometrinen Bravais’n hila jatkuu joka suunnassa äärettömän kauas, kun taas kidehila käsittää vain rajallisen alueen, jota rajoittavat kiteen rajapinnat. Kun kiteen läpimitta kuitenkin tyypillisesti on tuhansia tai jopa miljoonia kertoja suurempi kuin atomien välinen etäisyys, valtaosa kiteen atomeista sijaitsee sen sisällä ja vain pieni osa kokonaismäärästä rajapinnalla. Kahta Bravais’n hilaa pidetään yleensä ekvivalentteina, jos niillä on isomorfiset symmetriaryhmät. Tässä mielessä kolmiulotteisessa avaruudessa on 14 erilaista Bravais’n hilaa. Nämä 14 mahdollista Bravais’n hilaa muodostavat osajoukon 230 avaruusryhmästä. ==Kahdessa ulottuvuudessa== Kaksiulotteisessa avaruudessa on viisi erilaista Bravais’n hilaa,, jotka voidaan ryhmitellä neljään kideperheeseen. Kideperhe Schoenfliesin merkintä Bravais’n hila Bravais’n hila Kideperhe Schoenfliesin merkintä Yksinkertainen Keskinen Monokliininen C2 vinoasentoinen Ortorombinen D2 Suorakulmainen keskinen Heksagonaalinen D6 Heksagonaalinen Tetragonaalinen D4 Neliömäinen Yksikkökopit määräytyvät koppien sivujen suhteellisten pituuksien (a ja b) sekä niiden välisen kulman (\theta mukaan. Yksikkökopin pinta-ala voidaan laskea sivuja vastaavien vektorien a ja b eli hilavektorien ristitulon avulla: :A = |\vec{a} \times \vec{b}|, Keskinen suorakulmainen Bravais’n hila eroaa yksinkertaisesta suorakulmaisesta vain siinä, että siinä on hilapiste, paitsi suorakulmion kärjissä, myös sen keskipisteessä. Voisi olettaa, että vastaavalla tavalla muistakin hiloista voitaisiin johtaa uusi hilatyyppi. Kuitenkin jos neliölliseen hilaan lisätään hilapisteet neliöiden keskipisteisiin, saadaan vain toinen neliöllinen hila, jonka hilavektorit ovat alkuperäisiin nähden 45 asteen kulmassa. Jos taas monokliiniseen hilaan lisätään hilapisteet suunnikkaan muotoisten yksikkökoppien keskipisteisiin, saadaan jälleen monokliininen hila, jossa vain toinen hilavektoreista sekä hilavektorien välinen kulma poikkeavat alkuperäisistä. Jos taas heksagonisen hilan yksikkökoppien keskipisteisiin lisätään hilapisteet, saadaan yksinkertainen suorakulmainen hila, jonka hilavektorien suunnat poikkeavat alkuperäisen hilasta. Seuraavassa taulukossa luetellaan kideperheiden ominaisuuksia: Kideperhe Yksikkökopin pinta-ala Sivujen pituudet Sivujen välinen kulma Monokliininen ab \, \sin\theta a ≠ b θ ≠ 90° Ortorombinen ab a ≠ b θ = 90° Heksagonaalinen \frac{\sqrt{3}}{2}\, a^2 a = b θ = 120° Tetragonaalinen a^2 a = b θ = 90° ==Kolmessa ulottuvuudessa== Kolmiulotteisessa avaruudessa on 14 Bravais’n hilaa. Ne saadaan yhdistämällä kuhunkin seitsemästä kidejärjestelmästä yksi keskisyystyypeistä. Keskisyystyypit osoittavat hilapisteiden paikat yksikkökopissa seuraavasti: *Yksinkertainen eli primitiivinen (P): hilapisteitä on vain kopin kärkipisteissä *Pohjakeskiset (A, B tai C): hilapisteet on yksikkökopin kärjissä sekä lisäksi tietyn suuntaisten sivutahkojen keskipisteissä. *Tilakeskinen (I): hilapisteet ovat yksikkökopin kärjissä sekä lisäksi kopin keskipisteessä *Pintakeskinen (F): hilapisteet ovat yksikkökopin kärjissä sekä lisäksi sen kaikkien sivutahkojen keskipisteissä Kaikkia kidejärjestelmän ja keskisyystyypin yhdistelmiä ei kuitenkaan tarvita kuvaamaan kaikkia mahdollisia hiloja, sillä osoittautuu, että jotkin niistä ovat ekvivalentteja toistensa kanssa. Esimerkiksi monokliinin tilakeskinen hila voidaan kuvata myös monokliinisenä pohjakeskisenä hilana valitsemalla kiteen akselit toisin. Samoin kaikki pohjakeskiset A- ja B-hilat voidaan kuvata joko C-hilana tai yksinkertaisena hilana. Tämä vähentää yhdistelmien lukumäärän neljääntoista, jotka esitetään seuraavassa taulukossa: Kideperhe Hilajärjestelmä Schoenfliesin merkintä 14 Bravais’n hilaa 14 Bravais’n hilaa 14 Bravais’n hilaa 14 Bravais’n hilaa Kideperhe Hilajärjestelmä Schoenfliesin merkintä Yksinkertainen (P) Pohjakeskinen (C) Tilakeskinen (I) Pintakeskinen (F) Trikliininen Trikliininen Ci Monokliininen Monokliininen C2h Ortorombinen Ortorombinen D2h Tetragonaalinen Tetragonaalinen D4h Heksagonaalinen Romboedrinen D3d Heksagonaalinen Heksagonaalinen D6h Kuutiollinen Kuutiollinen Oh Tarkemmin yksikkökopit voidaan kuvailla kopin särmien suhteellisten pituuksien (a, b, c) ja niiden välisten kulmien (α, β, γ) avulla. Yksikkökopin tilavuus voidaan laskea skalaarikolmitulon , avulla, missä a, b ja c ovat hilavektorit. Kidejärjestelmien ominaisuuksia on lueteltu seuraavassa taulukossa: Kideperhe Hilajärjestelmä Tilavuus Aksiaaliset etäisyydet (särmien pituudet) Akselien väliset kulmat Esimerkkejä Trikliininen Trikliininen abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma} (muut kuin jäljempänä esitettävät tapaukset) (muut kuin jäljempänä esitettävät tapaukset) K2Cr2O7, CuSO4·5H2O, H3BO3 Monokliininen Monokliininen abc \, \sin\beta a ≠ c α = γ = 90°, β ≠ 90° Monokliininen rikki, Na2SO4·10H2O, PbCrO3 Ortorombinen Ortorombinen abc a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90° rombinen rikki, KNO3, BaSO4 Tetragonaalinen Tetragonaalinen a^2c a = b ≠ c α = β = γ = 90° Valkoinen tina, SnO2, TiO2, CaSO4 Heksagonaalinen Romboedrinen a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha} a = b = c α = β = γ ≠ 90° Kalsiitti (CaCO3), sinooperi (HgS) Heksagonaalinen Heksagonaalinen \frac{\sqrt{3}}{2}\, a^2c a = b α = β = 90°, γ = 120° Grafiitti, ZnO, CdS Kuutiollinen Kuutiollinen a^3 a = b = c α = β = γ = 90° NaCl, KCl, sinkkivälke, kupari, hopea === Hiloja, jotka eivät ole Bravais’n hiloja === On olemassa myös kidehiloja, jotka eivät ole Bravais’n hiloja. Sellainen on esimerkiksi heksagonaalinen tiivispakkaus (HCP). Se muodostuu tosin heksagonaalisista yksikkökopeista, joissa hilavektorien välinen kulma on 60°, mutta kussakin tällaisessa yksikkökopissa on kaksi hilapistettä. Jos yksikkökopin korkeutta merkitään h:lla, tasoilla z=nh, missä n on mielivaltainen kokonaisluku, hilapisteet ovat samoilla kohdilla eli kullakin tasolla niillä on samat x- ja y-koordinaatit, mutta tasoilla z = (n+1/2)h nämä koordinaatit ovat toiset. Jos a jokin tasolla z=h/2 olevan hilapisteen paikkavektori, ei piste 2a ole hilapiste ja näin ollen hila ei määritelmän mukaan ole Bravais’n hila. Tasolla z=h/2 olevat hilapisteet muodostavat kylläkin samanlaisen tasasivuisista kolmioista muodostuvan verkoston kuin tasolla z=0 olevatkin, mutta näiden pisteiden kolmiulotteiset lähiympäristöt ovat päinvastaisilla tavoilla suuntautuneet. Jos kuitenkin otetaan huomioon vain joka toisella hilatasolla olevat hilapisteet, ne muodostavat heksagonaalisen Bravais’n hilan. Myöskään timanttirakenteinen hila ei ole Bravais’n hila. Sen yksikkökoppi on kuutio 0<=x ==Neljässä ulottuvuudessa == Matemaattisesti Bravais’n hilan käsite voidaan yleistää myös neljään tai useampaan ulottuvuuteen. Voidaan osoittaa, että neljässä ulottuvuudessa on 64 Bravais’n hilaa, joista 23 on yksinkertaisia ja 41 keskisiä. Kymmenen Bravais’n hilaa jakautuu enantiomorfisiin pareihin, jotka ovat toistensa peilikuvia. == Katso myös == * Asu (mineralogia) * Millerin indeksit == Lähteet == Luokka:Kristallografia Luokka:Geometria