Ruusukäyrä

Ruusukäyrä eli Grandin ruusu ( tai Rhodonea) on matematiikassa käyrä, jota voidaan pitää sinifunktion kuvaajana napakoordinaatistossa. == Yleiskuvaus == Jokainen ruusukäyrä on yhdenmuotoinen sellaisen käyrän kanssa, jonka yhtälö napakoordinaateissa on muotoa :\\!\,r=a \cos(k\theta) tai vaihtoehtoisesti :\\!\,r=a \sin(k\theta). Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan edellisessä tapauksessa esittää yhtälöparilla :\\!\,x=a \cos(k\theta)\cos(\theta) :\\!\,y=a \cos(k\theta)\sin(\theta). Nimi ruusukäyrä johtuu siitä, että käyrä tyypillisesti muistuttaa muodoltaan ruusun teriötä. Jos k on kokonaisluku, tällä käyrän kuvaamalla ruusulla on *2k terälehteä, jos k on parillinen, ja *k terälehteä, jos k on pariton. Vakio a osoittaa terälehtien pituuden. Kun k on parillinen, koko käyrä tulee piirretyksi tasan kerran, kun kulma θ kasvaa 0:sta 2π:hin. Kun k on pariton, tämä tapahtuu jo välillä 0:sta π:hin. Yleisemmin sama tapahtuu millä tahansa välillä, jonka pituus on 2π, kun k on parillinen, tai π, jos k on pariton. Jos k on puoliluku (esimerkiksi 1/2, 3/2 tai 5/2), käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 4k terälehteä. Esimerkiksi: n=7, d=2, k= n/d =3,5, kun θ kasvaa 0:sta 4π:hin. Jos k voidaan esittää muodossa n±1/6, missä n on nollasta poikkeava kokonaisluku, käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 12k terälehteä. Jos k voidaan esittää muodossa n/3, missä n on kokonaisluku, joka ei ole jaollinen kolmella, käyrä muistuttaa muodoltaan ruusua, jolla on n terälehteä, jos n on pariton, ja 2n terälehteä, jos n on parillinen. Jos k on rationaaliluku, käyrä on suljettu, ja sillä on äärellinen pituus. Ellei k ole kokonaisluku, terälehdet saattavat olla osittain päällekkäin. Jos k on irrationaaliluku, käyrä ei ole suljettu, ja sen pituus on ääretön. Tässä tapauksessa käyrä on lisäksi tiheä, toisin sanoen se sivuuttaa yksikkökiekon jokaisen pisteen mielivaltaisen läheltä. Koska :\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right) kaikilla \theta, käyrät, joiden yhtälöt napakoordinaateissa ovat :\,r=\sin(k\theta) and \,r = \cos(k\theta) ovat yhtenevät ja voidaan kuvata toisilleen π/2k radiaanin rotaatiolla. Ruusukäyrille antoi nimen italialainen matemaatikko Guido Grandi vuosien 1723 ja 1728 välillä. Eräs ruusukäyrän erikoistapaus on neliapilan muotoinen käyrä, jolla k = 2. Sillä on karteesisissa koordinaateissa myös yhtälö :(x^2 + y^2)^3 = 4a^2x^2y^2 ==Pinta-ala== Ruusukäyrän :r=a \cos (k\theta)\,, sisään jäävän alueen eli terälehtien yhteenlaskettu pinta-ala on : \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2} jos k on parillinen, ja : \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4} jos k on pariton positiivinen kokonaisluku. Sama pätee ruusukäyrille, joiden yhtälö napakoordinaateissa on :r=a \sin (k\theta)\, sillä tämän yhtälön kuvaaja saadaan kosinin avulla määritellystä ruusukäyrästä yksinkertaisella rotaatiolla. ==Muodon riippuvuus parametrista k == Ruusukäyrän napakoordinaateissa esitetyssä yhtälössä esiintyy vakiotekijä k. Kun k on kokonaisluku, käyrä muodostaa muodoltaan kukkaa. Sillä on k terälehteä, jos k on pariton, ja 2k terälehteä, jos k on parillinen. Sen sijaan millään vakion k arvolla ei saada aikaan sellaista kukkaa, jossa terälehtien lukumäärä on parillinen mutta ei neljällä jaollinen (esimerkiksi 2, 6, 10 tai 14). Kun d on alkuluku, on n/d supistumaton murtoluku. Kun ruusukäyrän yhtälössä oleva k on tällainen murtoluku, käyrän terälehden ovat osittain päällekkäin. Niiden terälehtien lukumäärä, joiden kanssa kukin niistä on osittain päällekkäin, on yhtä suuri kuin järjestysluku, joka ilmoittaa, kuinka mones alkuluku d on alkulukujen jonossa, kun luku 1 lasketaan mukaan (esimerkiksi kun d on 2, tämä luku on 2, ja vastaavasti alkulukuja 3, 5 ja 7 vastaavat lukumäärät 3, 4 ja 5). Kun k on muotoa k = 1/d, missä d on parillinen, käyrä muodostaa sarjan sisäkkäisiä silmukoita, ja keskellä on kaksi pienintä silmukkaa, jotka sivuavat toisiaa origossa. Käyrä on symmetrinen x-akselin suhteen. Jos taas d on pariton, käyrä muodostaa d div 2 sisäkkäistä silmukkaa, joista pienin sivuaa origoa joko vasemmalla (kun d on muotoa d = 4n − 1) tai oikealla ((kun d on muotoa d = 4n + 1).0 Jos d ei ole alkuluku eikä n ole 1, käyrän muodostaa sarja toisensa leikkaavia silmukoita. Jos k on irrationaaliluku, ruusukäyrällä on äärettömän monta terälehteä, ja se on tiheä yksikkökiekossa. Rose Curve animation with Gears n1 d1.gif|n=1, d=1, k=1 Rose Curve animation with Gears n1 d3.gif|n=1, d=3, k≈0.333 Rose Curve animation with Gears n3 d1.gif|n=3, d=1, k=3 Rose Curve animation with Gears n4 d5.gif|n=4, d=5, k=0.8 == Lähteet == * === Viitteet === == Aiheesta muualla == Luokka:Käyrät