Metrinen avaruus

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia. ==Määritelmä== Metrinen avaruus on pari (X, d), missä X on joukko ja d : X \times X \to \mathbb{R} kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon X alkioilla x, y ja z toteuttaa ehdot # d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) (kolmioepäyhtälö), # d(x,y) = d(y,x) \,\\!, # d(x, x) = 0, ja # d(x,y) = 0 \,\\! \implies x = y . Ehdoista seuraa d(x,y) \ge 0, sillä 0 = d(x, x) \le (1) d(x, y) + d(y, x) = (2) d(x, y) + d(x, y) = 2 d(x, y). Kun d toteuttaa ehdot 1–3, se on pseudometriikka. Täten jokainen metriikka on myös pseudometriikka. Metristä avaruutta (X, d) kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi X, jos käytössä oleva metriikka d on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden X alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua d(x,y) pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi. ==Esimerkkejä== * Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa X voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka (myös {0, 1}-metriikka) määrittelemällä d(x, y) = 0 jos x = y ja d(x, y) = 1 muutoin. * Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan d(x, y) = |x - y|. * Jokaisessa joukossa \mathbb{R}^n tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden P=(p_1,p_2,\dots,p_n)\, ja Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\, välinen etäisyys on :\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2} Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä. * Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos (X,|| \cdot ||) on normiavaruus, niin funktio d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}, d(x,y) = || x - y || määrää metriikan joukkoon X. * Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin. ==Määritelmiä== ===Kuulat ja pallot=== Olkoon (X,d) metrinen avaruus, x \in X ja r \in \mathbb{R}_+ = \\{y \in \mathbb{R} : y > 0\\}. Tällöin joukkoa :B(x,r) = \\{y \in X : d(y,x) < r\\} kutsutaan avaruuden X x-keskiseksi r-säteiseksi avoimeksi kuulaksi. Toisin sanoen, B(x,r) on niiden pisteiden y \in X joukko, joiden etäisyys pisteestä x on aidosti pienempi kuin r. Joukkoa B(x,r) kutsutaan myös pisteen x kuulaympäristöksi. Vastaavasti määritellään joukot :\overline B(x,r) = \\{y \in X : d(y,x) \leq r\\} ja :S(x,r) = \\{y \in X : d(y,x) = r\\}, joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi. On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden X metriikasta d, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä B_d(x,r). ===Avoin ja suljettu joukko=== Avaruuden (X,d) osajoukko U \subseteq X on avoin, jos jokaisella pisteellä x \in U on kuulaympäristö B(x,r) siten, että B(x,r) \subseteq U. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään X:n topologian, ns. tavallisen topologian \mathcal{T}_d; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden (X,\mathcal{T}) topologiaa \mathcal{T} metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin X:n metriikka d siten, että \mathcal{T} = \mathcal{T}_d. Joukko F \subseteq X on suljettu, jos sen komplementti \complement F on avoin. Joukko A \subseteq X voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan. ===Rajoitettu joukko=== Metrisen avaruuden (X, d) osajoukkoa A \subseteq X sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde r \in \mathbb{R}_+, että d(x, y) < r kaikilla x, y \in A. Pienintä tällaista sädettä (pienin yläraja) sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi. ===Pisteen etäisyys joukosta=== Metrisen avaruuden pisteen x \in X etäisyys joukosta A \subseteq X on lyhin etäisyys pisteestä x johonkin joukon A pisteeseen, toisin sanoen :d(x, A) = \inf \\{d(x, y) : y \in A\\}.Väisälä 2012, 24 ==Katso myös== *Avaruus (matematiikka) *Ultrametrinen avaruus ==Lähteet== * ==== Viitteet ==== ==Kirjallisuutta== * * == Aiheesta muualla == Luokka:Topologia Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit