Tangentiaalinen nelikulmio

Tangentiaalinen nelikulmio eli ympyrän ympäri piirretty nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi. Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista . == Ominaisuuksia == * Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta s=\tfrac{1}{2} (a+b+c+d), missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa s=a+c=b+d, eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä. Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan. * Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä. * Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi \tan {\frac{\alpha}{2}} \cdot \tan{\frac{\gamma}{2}}=1 ja \tan {\frac{\beta}{2}} \cdot \tan{\frac{\delta}{2}}=1. * Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen. * Tällaisen nelikulmion pinta-ala on A=rs, missä r on sisäympyrän säde. * Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja Bretschneiderin lauseen avulla :r= \frac{\sqrt{4 p^2 q^2 -(a^2-b^2+c^2-d^2)^2}}{2(a+b+c+d)} = \frac{\sqrt{p^2 q^2 -(a-b)^2 (a+b-s)^2}}{2s} ::= \sqrt{\frac{b c d + a c d + a b d + a b c}{a+b+c+d}} missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä. == Erikoistapauksia == === Neliö === Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde r on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös apoteemaksi kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde R on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on a, saadaan :r = \frac{1}{2}a sekä R = \frac{\sqrt{2}}{2}a . === Neljäkäs === Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli \beta = 90^\circ - \alpha. Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten \alpha = 2\gamma eli \gamma = \tfrac{1}{2}\alpha. Jos päätetään aluksi kulma \gamma = \tfrac{1}{2}\alpha, voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = tA ja JB = tB, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun :a = t_A + t_B. Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista :t_A = r \cot \gamma (kolmiosta \Delta AJO) ja :t_B = r \tan \gamma (kolmiosta \Delta OJB). Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta :a = t_A + t_B = r \cot \gamma + r \tan \gamma = r (\cot \gamma + \tan \gamma) eli :r = \frac{a}{\cot \gamma + \tan \gamma}. Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään sisäympyrän generoivan polynomin kertoimet ovat ::S_1^4 = t_A + t_B + t_C + t_D = 2t_A + 2t_B = 2(t_A + t_B), koska tA = tC ja tB = tD, ja vielä ::S_3^4 = t_At_Bt_C + t_Bt_Ct_D + t_Ct_Dt_A + t_Dt_At_B = 2(t_A^2t_B +t_At_B^2) = 2t_At_B(t_A + t_B). Polynomi saa muodon :S_1^4 r^2 - S_3^4 = 0 eli :2(t_A + t_B) r^2 - 2t_At_B(t_A + t_B) =0 jonka positiivinen juuri on :r = \sqrt{\frac{2t_At_B \cancel{(t_A + t_B)}}{2 \cancel{(t_A + t_B)}}} = \sqrt{t_At_B}. Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun t_A = t_B = \tfrac{1}{2}a. == Katso myös == * Syklinen nelikulmio, jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle. * Bisentrinen nelikulmio, joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio. * Säännöllinen monikulmio, jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa. == Lähteet == * === Viitteet === Luokka:Monikulmiot