Kolmion ympäri piirretty ympyrä

Kolmion ympäri piirretty ympyrä tarkoittaa geometriassa kolmion kärkien kautta kulkevaa ympyrää. Kolmen pisteen kautta voidaan aina piirtää joko ympyrä tai suora. Jos kolme pistettä ovat kollineaarisia, voidaan niiden kautta piirtää suora. Jos pisteet ovat epäkollineaariset, muodostuu pisteistä kolmio. Koska kolmio on aina konsyklinen, voidaan sen kärkien kautta piirtää ympyrä. Ympyrää kutsutaan myös nimellä ulkoympyrä. Ympyrän keskipiste voi olla kolmion sisä- tai ulkopuolella. Jos kolmio on teräväkulmainen kolmio, on keskipiste kolmion sisäpuolella. Jos kolmio on suorakulmainen kolmio, on keskipiste kolmion hypotenuusalla. Jos kolmio on tylppäkulmainen kolmio, on keskipiste kolmion ulkopuolella. Image:Triangle (Acute) Circumscribed.svg|Teräväkulmaisella kolmiolla keskipiste on kolmion sisällä Image:Triangle (Right) Circumscribed.svg|Suorakulmaisella kolmiolla keskipiste on hypotenuusalla Image:Triangle (Obtuse) Circumscribed.svg|Tylppäkulmaisella kolmiolla keskipiste on kolmion ulkopuolella == Yleinen kolmio == === Koordinaateilla === Jos kolmion kärkien koordinaatit merkitään \scriptstyle P_1(x_1,y_1), \scriptstyle P_2(x_2,y_2) ja \scriptstyle P_3(x_3,y_3), voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla :\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0, joka on evaluoituna :a(x^2 + y^2) + b_xx + b_yy + c =0, missä :a \equiv \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2 & 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}, x:n kerroin b_x saadaan matriisista :D=\begin{bmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\\ \end{bmatrix} jättämällä x_i termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti b_y:n suhteen) determinantista :b_x= - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\\ x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\\ x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \\\ \end{vmatrix} ja :b_y=\begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & 1 \\\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & 1 \\\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & 1 \\\ \end{vmatrix}, ja vakiotermi c :c \equiv - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 \\\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 \\\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 \\\ \end{vmatrix}. Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa :(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2, missä keskipisteen koordinaatit ovat :x_0=-\frac{b_x}{2a} ja :y_0=-\frac{b_y}{2a} sekä säde :r=\frac{\sqrt{b_x^2+b_y^2-4ac}}{2|a|}. === Sivujen pituuksilla === Jos kolmion sivujen pituudet merkitään a, b ja c, on säde :R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}. === Sivun ja kulman avulla === Jos kolmiosta tunnetaan sivu ja sen vastainen kulma, saadaan Sinilauseesta :R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{c}{2 \sin \gamma}. == Erityinen kolmio == === Tasakylkisellä ja -sivuisella kolmiolla === Tasasivuisen kolmion, jonka sivun pituus on a, ympäröivän ympyrän säde R on :R=\frac{a}{\sqrt{3}}. Tasakylkisellä kolmiolla, jossa kylkien pituudet ovat a ja kannan pituus b säde on :R = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2-b^2}}. === Suorakulmaisella kolmiolla === Ympyrän säde on puolet hypotenuusan c eli kolmion pisimmän sivun pituudesta :R = \tfrac{1}{2}c ja keskipisteen paikka on hypotenuusan keskipisteessä (Thaleen lause). == Lähteet == * * * === Viitteet === == Aiheesta muualla == * Circumcircle of a triangle Luokka:Geometria