Homografia

Homografia eli projektiivinen muunnos on projek­tiivisessa geo­metriassa projek­tiivisten avaruuksien välinen isomorfismi, jonka indusoivat niiden vektori­avaruuksien välinen isomorfismi, josta ne on johdettu. Se on bijektio, jossa suorat kuvautuvat suoriksi ja näin ollen kollineaatio. Joissakin projek­tiivisissa avaruuksissa voi olla myös kolline­aatioita, jotka eivät ole homo­grafioita, mutta projek­tiivisen geo­metrian perus­lauseen mukaan vähintään kaksi­ulotteisissa reaali­sissa projek­tiivisissa avaruuksissa jokainen kolli­neaatio on samalla homo­grafia. Joskus homo­grafioista käytetään myös nimityksiä projektivi­teetti tai projek­tiivinen kolline­aatio. Historiallisesti homografiat samoin kuin projek­tiiviset avaruudetkin on otettu käyttöön perspektiiviopin ja euklidisen geo­metrian projektioiden yhteydessä. Tähän viittaa myös nimitys homo­grafia, joka etymo­logisesti merkitsee suunnilleen "saman­laista piirtämistä". Myöhemmin 1800-luvun lopulla otettiin käyttöön muodolliset projek­tiivisten avaruuksien määritelmät, joiden mukaan nämä avaruudet erosivat euklidisista ja affiineista avaruuksista siinä, että niihin oli lisätty äärettö­myydessä olevia pisteitä. Näiden abstraktien kon­struk­ti­oi­den myötä otettiin käyttöön termi "projek­tiivinen muunnos". Nämä kon­struk­tiot jakautuvat kahteen luokkaan, jotka on osoitettu ekvi­valenteiksi. Projek­tiivinen avaruus voidaan konstruoida suorien joukkona jonkin kunnan yli muodostetussa vektori­avaruudessa; tähän kon­struk­tioon perustuen voidaan määritellä projektiiviset koordinaatit, ja homo­grafioiden tutkimukseen voidaan soveltaa lineaarialgebraa. Vaihtoehtoinen lähestymistapa perustuu siihen, että projektiivinen avaruus määritellään aksiooma­ryhmän avulla, jossa ei ekspli­siittisesti viitata mihinkään kuntaan (insidenssigeometria). Tältä pohjalta kollineaatio on helpompi määritellä kuin homo­grafia, ja homo­grafia määritellään tietyntyyppisenä kolline­aationa, minkä vuoksi sitä sanotaankin myös "projek­tiiviseksi kolline­aatioksi". Yksin­kertaisuuden vuoksi jäljempänä tässä artikkelissa oletetaan, paitsi milloin toisin mainitaan, että projek­tiiviset avaruudet on määritelty jonkin (kommuta­tiivisen) kunnan yli. Oletetaan myös, että Pappuksen kuusikulmiolause ja Desarguesin lause pätevät. Suuri osa tuloksista kuitenkin pätee tai voidaan yleistää myös sellaisiin projek­tiivisiin geo­metrioihin, joissa nämä lauseet eivät päde. ==Geometrinen tausta== Historiallisesti homografian käsite on otettu käyttöön visuaalisen perspektiivin ymmärtämiseksi, selittämiseksi ja tutkimiseksi ja erityisesti sen selvittämiseksi, millä tavoin kaksi tasokuviota näyttävät erilaisilta eri näkökulmista katsottuina. Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa keskeisprojektio pisteestä O (keskuksesta) tasolle P, johon piste O ei sisälly, on kuvaus, jolla piste A kuvataan tason P ja suoran OA leikkaus­pisteeseen, jos sellainen on olemassa. Projektio ei ole määritelty, jos piste A sijaitsee O:n kautta kulkevalla, P:n kanssa yhden­suuntaisella tasolla. Projek­tiivisen avaruuden käsite otettiin alun perin käyttöön euklidisen avaruuden laajennuksena lisäämällä siihen äärettö­myydessä olevat pisteet, jotta projektio voidaan määritellä kaikille muille pisteille paitsi O:lle. Jos on annettu toinen taso Q, johon piste O ei sisälly, Q:n rajoittumaa edellä mainitussa projektiossa sanotaan per­spek­tivi­teetiksi. Näin määriteltynä per­spek­tivi­teetti on vain osittaisfunktio, mutta projek­tiivi­siin avaruuksiin laajennettuna siitä tulee bijektio. Siksi tämä käsite määritellään tavallisimmin projek­tiivi­sille avaruuksille. Käsite voidaan seuraavasti myös helposti yleistää jokaiselle projektiiviselle avaruudelle, olipa sen ulottuvuus mikä tahansa tai olipa se muodostettu minkä tahansa kunnan yli: jos on annettu kaksi n-ulotteista projek­tiivista avaruutta P ja Q, per­spek­tivi­teetti on bijektio P:stä Q:lle, joka saadaan upottamalla P ja Q n+1 -ulotteiseen projek­tiivi­seen avaruuteen R ja rajoittamalla P:hen jokin keskeis­projektio Q:hun. Jos f on perspektiviteetti P:stä Q:hun ja g perspektiiviteetti Q:sta P:hen, niin yhdistetty kuvaus g°f on homografia P:stä itseensä. Sitä sanotaan keskeiskollineaatioksi, kun P on vähintään kaksiulotteinen. Alun perin homografia määriteltiin yhdistelmäksi äärellisestä määrästä perspektivi­teettejä. Projektiivisen geometrian peruslauseesta seuraa, että tämä määritelmä on yhtäpitävä johdannossa esitetyn ja jäljempänä yksityis­kohtaisemmin käsitellyn algebrallisemman määritelmän kanssa. ==Määritelmä ja esitys homogeenisilla koordinaateilla == n-ulotteinen projektiivinen avaruus kunnan K yli voidaan määritellä suorien joukoksi n+1 -ulotteisessa vektoriavaruudessa, jonka kerroinkunta on K. Jos V:n kanta on kiinnitetty, jokainen V:n piste voidaan esittää Kn+1:n pisteenä (x_0,\ldots,x_n). Koska P(V):n piste on V:n suora, se voidaan esittää minkä tahansa tämän suoran pisteen koordi­naateilla, origoa lukuun ottamatta, ja näitä sanotaan projek­tiivisen avaruuden pisteen homo­geenisiksi koordi­naateiksi. Jos on annettu kaksi yhtä moni­ulotteista projek­tiivista P(V) ja P(W), homo­grafia on vektori­avaruuksien välisen isomorfismin f:V\rightarrow W indusoima kuvaus P('V):sta P(W):hen. Koska f on lineaarinen, tällainen iso­morfismi indusoi bijektion P('V):sta P(W):hen. Kaksi isomorfismia, f ja g, indusoivat saman homo­grafian, jos ja vain jos K:ssa on alkio a, joka ei ole nolla-alkio ja jolle g = af. Tämä voidaan esittää homo­geenisilla koordi­naateilla seuraavasti: Homografia f voidaan määritellä kääntyvällä n+1 × n+1 -matriisilla [ai,j], jota sanotaan homografiamatriisiksi. Pisteen x homo­geenisten koordi­naattien [x_0:\cdots:x_n] ja sen kuva­pisteen y = f(x) koordi­naattien välillä on relaatio :\begin{align} y_0 &= a_{0,0}x_0 +\dots + a_{0,n}x_n\\\ &\vdots\\\ y_n &= a_{n,0}x_0 +\dots + a_{n,n}x_n. \end{align} Kun projek­tiiviset avaruudet on määritelty lisäämällä affiineihin avaruuksiin äärettö­myydessä olevia pisteitä (projektiivinen täydennys), nämä kaavat voidaan esittää affiineilla koordi­naateilla seuraavasti: :\begin{align} y_1 &= \frac{a_{1,0} + a_{1,1}x_1 +\dots + a_{1,n}x_n}{a_{0,0} + a_{0,1}x_1 +\dots + a_{0,n}x_n}\\\ &\vdots\\\ y_n &= \frac{a_{n,0} + a_{n,1}x_1 + \dots + a_{n,n}x_n}{a_{0,0} + a_{0,1}x_1 +\dots + a_{0,n}x_n} \end{align} mikä yleistää seuraavassa osiossa käsiteltävää homo­grafista funktiota. Tämä määrittelee vain osittaisfunktion affiinen avaruuksien välille, sillä funktiota ei ole määritelty hypertasolla, jossa nimittäjä on nolla. ==Projektiivisen suoran homografiat== Projektiivinen suora kunnan K yli voidaan samastaa sen joukon kanssa, joka saadaan lisäämällä K:hon yksi piste, jota sanotaan äärettö­myydessä olevaksi pisteeksi ja merkitään ∞. Kun projek­tiiviset suorat määritellään näin, homo­grafioita ovat kuvaukset :z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}, \text{ where } ad - bc eq 0, joita snotaan homo­grafisiksi funktioiksi tai lineaari­siksi fraktio­naali­siksi muunnoksiksi. Projektiivinen suora kompleksilukujen kunnan yli tunnetaan Riemannin pallona, ja sen homogra­fioita sanotaan Möbius- kuvauksiksi. Ne ovatkin ainoat Riemannin pallon bijektiot itselleen, joissa orientaatio säilyy ja jotka ovat konformi­kuvauksia. Kollineaatioiden teoriassa projektiiviset suorat ovat erikois­asemassa yksi­ulotteisuutensa vuoksi. Kun suoraa pidetään itsenäisenä projek­tiivisena avaruutena, jokainen sen pisteiden permutaatio on kollineaatio, sillä mitkä tahansa pisteet ovat samalla suoralla. Jos projek­tiivinen suora kuitenkin upotetaan useampi­ulotteiseen projektiivisen avaruuteen, tätä avaruuden geometrista rakennetta voidaan käyttää muodostamaan suoralle geometrinen rakenne. Synteettisessä geometriassa käsitellään sen vuoksi vain niitä projek­tiivisen suoran homografioita ja kolline­aatioita, jotka saadaan tämän useampi­ulotteisen avaruuden homo­grafioista ja kollineaatioista. Tällöin projektiivisen geometrian peruslause pätee myös yksi­ulotteisessa tapauksessa. Projek­tiivisen suoran homo­grafia voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös kuvaukseksi, jossa kaksoissuhde säilyy. ==Keskeiskollineaatiot== Edellä homo­grafiat on määritelty lineaari­algebran avulla. Synteetti­sessä geometriassa ne on vanhastaan määritelty tiettyjen keskeis­kollineaatioiksi nimitettyjen homo­grafioiden yhdistetyiksi kuvauksiksi. Projektiivisen geometrian perus­lauseen yksi osa on se, että nämä määritelmät ovat yhtä­pitävät. Projektiivisessa avaruudessa P, jonka ulottuvuus on n = 2, P:n kollineaatio on sellainen bijektio P:stä itselleen, jossa suorat kuvautuvat suoriksi. Keskeis­kollineaatio, jota ainakin aikaisemmin on sanottu myös perspek­tivi­teetiksi, on sellainen bijektio a P:stä itselleen, että on olemassa hypertaso H, jonka kaikki pisteet kuvautuvat itselleen (tätä hypertasoa sanotaan a:n akseliksi) ja piste O (jota sanotaan a:n keskukseksi), jonka kautta kulkevat suorat kuvautuvat kaikki itselleen (mikä ei kuitenkaan edellytä, että näiden suorien jokainen pistekin kuvautuisi itselleen.) Keskeisollineaatioita on kahta tyyppiä. Elaatiot ovat keskeis­kollinaatioita, joiden keskus sijaitsee akselilla, ja homologiat sellaisia, joiden keskus ei ole akselilla. Keskeis­kollinaation määräävät yksi­käsitteisesti keskus, akseli, yksi piste ja sen kuvapiste. Keskeiskollineaatio on homogragia, joka määrittelee (n+1) × (n+1) -matriisi (homografiamatriisi), jolla on n-ulotteinen ominaisavaruus. Se on homologia, jos matriisilla on toinenkin ominaisarvo, jolloin se on dia­gonali­soituva. Se on elaatio, jos kaikki ominais­arvot ovat yhtä suuret eikä matriisi ole dia­gonali­soituva. Keskeis­kollineaatioihin liittyvä geometrinen mieli­kuva on helpoin hahmottaa projek­tiivisen tason tapauksessa. Jos on annettu keskeis­kollineaatio a, tarkastellaan suoraa \ell, joka ei kulje keskuksen O kautta, ja suoraa \ell ' = \alpha(\ell), jolle a sen kuvaa. Jos asetetaan R = \ell \cap \ell ', a on jokin R:n kautta kulkeva suora M. Jokaisen suoralla \ell oleva piste kuvautuu OA:n ja \ell ':n leikkaus­pisteeseen. Jos piste B ei ole suoralla \ell, sen kuvapiste saadaan seuraavasti: jos S= AB\cap M,, niin B'=SA'\cap OB. Vaikka kahden keskeis­kollineaation yhdistetty kuvaus on edelleen homo­grafia, se ei yleensä ole keskeis­kollinaatio. Itse asiassa jokainen homografia saadaan yhdistettynä kuvauksesta äärellisestä määrästä keskeis­kollinaatioita. Synteettisessä geometriassa tätä ominaisuutta, joka on osa projektiivisen geometrian perus­lauseesta, pidetään homo­grafian määritelmänä. ==Projektiivisen geometrian peruslause== Homografioiden lisäksi on muitakin kolline­aatioita. Erityisesti minkä tahansa kunnan F jokainen automorfismi s määrittelee kolline­aation jokaiselle F:n yli muodostetulle projek­tiiviselle avaruudelle; se muodostetaan soveltamalla kuvausta s kaikille tietyn pisteen homogeeni­sille koordi­naateille. Näitä kolline­aatioita sanotaan auto­morfi­siksi kolline­aatioiksi. Projektiivisen geometrian peruslause käsittää seuraavat kolme väitettä: # Jos projektiiviselle avaruudelle P on valittu kaksi projek­tiivista kantaa, on yksi ja vain yksi P:n homo­grafia, joka kuvaa ensimmäisen kannan toiselle kannalle. # Jos projektiivinen avaruus P on vähintään kaksi­ulotteinen, jokainen P:n kollineaatio on auto­morfisen kolline­aation ja homografian yhdistetty kuvaus. Erityisesti reaali­lukujen kunnan yli muodostetuissa vähintään kaksi­ulotteisissa projek­tiivisissa avaruuksissa jokainen kollineaatio on homografia. # Jokainen homografia voidaan esittää yhdistettynä kuvauksesta äärellisestä määrästä perspek­tivi­teettejä. Erityisesti jos projektiivinen avaruus on vähintään kaksi­ulotteinen, jokainen homo­grafia voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena äärellisestä määrästä keskeis­kollineaatioita. Jos projektiiviset avaruudet määritellään aksioomien avulla, kuten synteettisessä geo­metriassa tehdään, lauseen kolmas osa on pelkkä määritelmä. Jos projek­tiiviset avaruudet sen sijaan määritellään lineaarialgebrallisesti, lauseen ensimmäinen osa seuraa suoraan määritelmästä. ==Homografiaryhmät== Koska jokaisella homografialla on käänteiskuvaus ja homo­grafioiden yhdistetty kuvaus on myös homo­grafia, annetun projektiivisen avaruuden homografiat muodostavat ryhmän. Esimerkiksi Möbiuksen ryhmä on kompleksisen projek­tiivisen suoran homografia­­ryhmä. Homografia­ryhmiä sanotaan myös projektiivisiksi lineaarisiksi ryhmiksi. Koska kaikki saman kunnan yli muodostetut yhtä moni­ulotteiset homografiat ovat isomorfisia, on samoin niiden homografia­ryhmien laita. Niitä voidaan sen vuoksi käsitellä yhtenä ryhmänä, joka vaikuttaa eri avaruuksissa, ja niiden merkinnässä onkin mukana vain ulottuvuus, ei mikään tietty projektiivinen avaruus. Kunnan F yli muodostetun n-ulotteisen projektiivisen avaruuden homografiaryhmälle käytetään merkintää PGL(n + 1, F). Edellä esitetystä homografian määritelmästä seuraa, että PGL(n + 1, F) voidaan käsittää myös tekijäryhmäksi GL(n + 1, F) / F*I, missä GL(n + 1, F) on kääntyvien matriisien yleinen lineaarinen ryhmä ja F*I on F:n muiden kuin nolla-alkion ja (n + 1) × (n + 1) -yksikkömatriisin tulojen muodostama ryhmä. Kun F on Galois'n kunta GF(q), homografia­ryhmälle käytetään merkintää . Esimerkiksi PGL(2,7) vaikuttaa kahdeksaan pisteeseen äärellisen kunnan GF(7) yli muodostetun projektiivisella suoralla, kun taas PGL(2,4), joka on isomorfisen alternoivan ryhmän A5 kanssa, on viisipisteisen projektiivisen suoran homografiaryhmä. ==Kaksoissuhde== Homografiateorian kannalta on oleellista, että homografiassa neljän samalla suoralla olevan pisteen kaksoissuhde säilyy. Jos kunnan F yli muodostetulta suoralta valitaan kolme pistettä, a, b, ja c, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen homografia h tältä suoralta joukkoon F ∪ {∞}, että h(a) = ∞, h(b) = 0 ja h(c) = 1. Jos samalta suoralta valitaan neljäs piste, pisteiden a, b, c ja d kaksoissuhde, jota merkitään [a,b; c,d], määritellään pisteen d kuvapisteeksi h(d) kuvauksessa h. Toisin sanoen jos d:llä on homogeeniset koordinaatit [k : 1] pisteiden a, b ja c muodostamassa projektiivisen avaruuden kannassa, niin [a, b; c,d] = k. == Lähteet == ==Kirjallisuutta== * * Luokka:Projektiivinen geometria