Topologin sinikäyrä

Topologin sinikäyrä on tason pistejoukko, jonka muodostavat suorien x = 0 ja x = 1 väliin jäävä osa funktion y = sin (1/x) kuvaajasta sekä origo. Topologisena avaruutena sillä on joukko erikoisia ominaisuuksia, joiden vuoksi sitä käytetään usein esimerkkinä oppikirjoissa. == Matemaattinen määritelmä == Topologin sinikäyrä voidaan määritellä sellaisen funktion f kuvaajana, joka saa puoliavoimen välin (0, 1] jokaisessa pisteessä x arvon \sin{\frac{1}{x}} ja arvolla 0 arvon 0: T=\left\\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)\right|x \in]0,1]\right\\}\cup\\{(0,0)\\}. Toisinaan topologin sinikäyräksi määritellään laajempi avaruus, johon kuuluvat origon lisäksi sanotun funktion kuvaajan koko origon oikealla puolella oleva osa: T=\left\\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)\right|x > 0\right\\}\cup\\{(0,0)\\}. Sen topologia saadaan tason topologiasta relatiivitopologiana. == Ominaisuuksia == Kun muuttuja x lähestyy nollaa, sen käänteisluku 1/x kasvaa rajatta. Tästä sekä sinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että funktion y = sin (1/x) nollakohtia ovat kaikki muotoa :\frac {1}{n \pi} olevat luvut, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Näin ollen 0 on funktion nollakohtien kasautumispiste. Funktiolla ei kuitenkaan ole raja- arvoa origossa, sillä olipa \epsilon > 0 kuinka pieni positiivinen kokonaisluku tahansa, avoimella välillä (0, \epsilon), ja myös välillä (-\epsilon, 0), funktio saa kaikki reaalilukuarvot väliltä [-1, 1], vieläpä jokaisen niistä äärettömän monta kertaa. Tämä ilmenee käyrän heilahtelujen tihenemisenä origon läheisyydessä. Koska raja-arvoa ei ole, tämä funktio ei ole myöskään jatkuva origossa. Topologisena avaruutena topologin sinikäyrä T on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen, sillä origoa ei voida yhdistää polulla käyrän muihin pisteisiin. T ei myöskään ole lokaalisti yhtenäinen origossa. Topologin sinikäyrä T voidaan muodostaa lokaalisti kompaktin avaruuden kuvana jatkuvassa kuvauksessa, mutta se itse ei ole lokaalisti kompakti. Olkoon V joukko {-1} \cup (0, 1] ja määritellään funktio f: V -> T seuraavasti: :f(-1) = (0, 0) :f(x) = (x, \sin{\frac{1}{x}}), kun x > 0. Tällöin joukko V on lokaalisti kompakti ja funktio on jatkuva, mutta T ei ole lokaalisti kompakti origossa. T:n topologinen ulottuvuus on 1. == Muunnelmia == Topologin sinikäyrästä on olemassa muunnelmia, joilla on muita mielenkiintoisia ominaisuuksia. Suljettu topologin sinikäyrä voidaan määritellä lisäämällä topologin sinikäyrään sen kosketuspisteiden joukko eli pisteiden (0,-1) ja (0,1) välinen jana \\{(0,y) \mid y\in[-1,1]\\}. Se on samalla topologin sinikäyrän sulkeuma. Tämä joukko on suljettu ja rajoitettu ja näin ollen Heinen–Borelin lauseen mukaan kompakti avaruus, mutta sillä on muutoin samankaltaisia ominaisuuksia kuin topologin sinikäyrällä: se on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen eikä polkuyhtenäinen. Laajennettu topologinen sinikäyrä määritellään lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään vielä pisteiden (0,1) ja (1,1) välinen jana \\{(x,1) \mid x\in[0,1]\\}. Topologisena avaruutena se on polkuyhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen. Varsovan ympyrä saadaan lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään kaari, joka yhdistää pisteen (0, -1) pisteeseen (1, sin 1). Tämä avaruus ei ole kutistuva, vaikka sen kaikki homotopiaryhmät ovat triviaaleja. == Lähteet == * * === Viitteet === Luokka:Käyrät Luokka:Topologiset avaruudet