Täydellisyyslause

Olkoot A ja B_1, B_2, \dots , B_m propositiolauseita, ja olkoon propositiolausejoukko \mathcal{J} = \\{B_1, B_2, \dots , B_m\\}. Propositiologiikan täydellisyyslause kuuluu seuraavasti: jos kaikilla totuusjakaumilla v pätee v(A) = 1, kun v(B_1) = v(B_2) = \ldots = v(B_m) = 1; niin propositiolauseella A on luonnollinen päättely propositiolausejoukosta \mathcal{J}. == Todistus == === Todistuksessa käytettäviä lemmoja === Olkoon \mathcal{K} maksimaalisesti ristiriidaton propositiolausejoukko, ja olkoot D ja E propositiolauseita. Lemmojen todistuksissa sovelletaan luonnollisen päättelyn tunnettuja päättelysääntöjä ja tuloksia. ==== Lemma 1 ==== Jos \mathcal{K} \vdash D, niin D \in \mathcal{K}. Todistus: Jos \mathcal{K} \vdash D ja jos \mathcal{K} \cup \\{D\\} on ristiriitainen, niin \mathcal{K} \cup \\{D\\} \vdash C \land \lnot C jollakin propositiolauseella C ja edelleen \mathcal{K} \vdash \lnot D. Täten \mathcal{K} on ristiriitainen, mikä on ristiriita, joten \mathcal{K} \cup \\{D\\} on ristiriidaton. Koska \mathcal{K} on maksimaalisesti ristiriidaton, niin \mathcal{K} = \mathcal{K} \cup \\{D\\}, joten D \in \mathcal{K}. ==== Lemma 2 ==== \lnot D \in \mathcal{K} jos ja vain jos D ot\in \mathcal{K}. Todistus: Jos \lnot D \in \mathcal{K} ja jos D \in \mathcal{K}, niin \mathcal{K} \vdash \lnot D ja \mathcal{K} \vdash D. Koska \mathcal{K} on ristiriidaton, niin ollaan saatu ristiriita, joten D ot\in \mathcal{K}. Jos taas D ot\in \mathcal{K} ja jos \mathcal{K} \cup \\{\lnot D\\} on ristiriitainen, niin saadaan \mathcal{K} \cup \\{\lnot D\\} \vdash C \land \lnot C jollakin propositiolauseella C ja edelleen \mathcal{K} \vdash \lnot \lnot D ja \mathcal{K} \vdash D, joten lemman 1 nojalla D \in \mathcal{K}. Ollaan saatu ristiriita, joten \mathcal{K} \cup \\{\lnot D\\} on ristiriidaton. Koska \mathcal{K} on maksimaalisesti ristiriidaton, niin \mathcal{K} = \mathcal{K} \cup \\{\lnot D\\}, joten \lnot D \in \mathcal{K}. ==== Lemma 3 ==== (D \land E) \in \mathcal{K} jos ja vain jos D \in \mathcal{K} ja E \in \mathcal{K}. Todistus: Jos (D \land E) \in \mathcal{K}, niin \mathcal{K} \vdash D \land E, josta saadaan \mathcal{K} \vdash D ja \mathcal{K} \vdash E. Lemman 1 nojalla D \in \mathcal{K} ja E \in \mathcal{K}. Jos taas D \in \mathcal{K} ja E \in \mathcal{K}, niin \mathcal{K} \vdash D ja \mathcal{K} \vdash E, mistä saadaan \mathcal{K} \vdash D \land E, joten lemman 1 nojalla (D \land E) \in \mathcal{K}. ==== Lemma 4 ==== (D \lor E) \in \mathcal{K} jos ja vain jos D \in \mathcal{K} tai E \in \mathcal{K}. Todistus: Jos (D \lor E) \in \mathcal{K} ja jos D ot\in \mathcal{K} ja E ot\in \mathcal{K}, niin lemman 2 nojalla \lnot D \in \mathcal{K} ja \lnot E \in \mathcal{K}, mistä saadaan \mathcal{K} \vdash (\lnot D \land \lnot E). Propositiolauseesta \lnot D \land \lnot E voidaan tunnetusti päätellä propositiolause \lnot (D \lor E). Täten \mathcal{K} \vdash D \lor E ja \mathcal{K} \vdash \lnot (D \lor E), mikä on ristiriita, joten D \in \mathcal{K} tai E \in \mathcal{K}. Jos taas D \in \mathcal{K} tai E \in \mathcal{K}, niin \mathcal{K} \vdash D tai \mathcal{K} \vdash E. Saadaan joka tapauksessa \mathcal{K} \vdash D \lor E, joten lemman 1 nojalla (D \lor E) \in \mathcal{K}. ==== Lemma 5 ==== (D \to E) \in \mathcal{K} jos ja vain jos D ot\in \mathcal{K} tai E \in \mathcal{K}. Todistus: Jos (D \to E) \in \mathcal{K}, niin \mathcal{K} \vdash D \to E. Tunnetusti \\{D \to E\\} \vdash \lnot D \lor E, joten \mathcal{K} \vdash \lnot D \lor E. Lemman 1 nojalla (\lnot D \lor E) \in \mathcal{K}, joten lemman 4 ja lemman 2 nojalla D ot\in \mathcal{K} tai E \in \mathcal{K}. Jos taas D ot\in \mathcal{K} tai E \in \mathcal{K}, niin lemman 2 ja lemman 4 nojalla \mathcal{K} \vdash \lnot D \lor E. Tunnetusti \\{\lnot D \lor E\\} \vdash D \to E, joten \mathcal{K} \vdash D \to E. Lemman 1 nojalla (D \to E) \in \mathcal{K}. ==== Lemma 6 ==== (D \leftrightarrow E) \in \mathcal{K} jos ja vain jos joko \\{D, E\\} \subset \mathcal{K} tai \\{\lnot D, \lnot E\\} \subset \mathcal{K}. Todistus: Jos (D \leftrightarrow E) \in \mathcal{K}, niin \mathcal{K} \vdash D \leftrightarrow E. Tunnetusti \\{D \leftrightarrow E\\} \vdash (D \land E) \lor (\lnot D \land \lnot E), joten \mathcal{K} \vdash (D \land E) \lor (\lnot D \land \lnot E). Lemman 1 nojalla (D \land E) \lor (\lnot D \land \lnot E) \in \mathcal{K}, joten lemman 4 nojalla (D \land E) \in \mathcal{K} tai (\lnot D \land \lnot E) \in \mathcal{K}. Lemman 3 nojalla \\{D, E\\} \subset \mathcal{K} tai \\{\lnot D, \lnot E\\} \subset \mathcal{K}. Jos taas \\{D, E\\} \subset \mathcal{K} tai \\{\lnot D, \lnot E\\} \subset \mathcal{K}, niin lemman 3 nojalla (D \land E) \in \mathcal{K} tai (\lnot D \land \lnot E) \in \mathcal{K}. Lemman 4 nojalla (D \land E) \lor (\lnot D \land \lnot E) \in \mathcal{K}, joten \mathcal{K} \vdash (D \land E) \lor (\lnot D \land \lnot E). Tunnetusti (D \land E) \lor (\lnot D \land \lnot E) \vdash D \leftrightarrow E, joten \mathcal{K} \vdash D \leftrightarrow E. Lemman 1 nojalla (D \leftrightarrow E) \in \mathcal{K}. === Propositiologiikan täydellisyyslauseen todistus === Olkoot A ja B_1, B_2, \dots , B_m propositiolauseita, ja olkoon propositiolausejoukko \mathcal{J} = \\{B_1, B_2, \dots , B_m\\}. Propositiologiikan täydellisyyslause: jos kaikilla totuusjakaumilla v pätee v(A) = 1, kun v(B_1) = v(B_2) = \ldots = v(B_m) = 1; niin \mathcal{J} \vdash A. Tehdään vastaoletus: kaikilla totuusjakaumilla v pätee v(A) = 1, kun v(B_1) = v(B_2) = \ldots = v(B_m) = 1; ja toisaalta \mathcal{J} vdash A. Väite 1: \mathcal{J} \cup \\{\lnot A \\} on ristiriidaton lausejoukko. Tehdään väitteen 1 vastaoletus: \mathcal{J} \cup \\{\lnot A \\} on ristiriitainen. Tällöin jollakin propositiolauseella C pätee \mathcal{J} \cup \\{\lnot A \\} \vdash C \land \lnot C. Propositiologiikan tunnettuja päättelysääntöjä soveltamalla saadaan \mathcal{J} \cup \\{\lnot A \\} \vdash \lnot \lnot A ja edelleen \mathcal{J} \vdash A. Ollaan päädytty ristiriitaan. Täten väite 1 pätee. Koska \mathcal{J} \cup \\{\lnot A \\} on ristiriidaton, niin sillä on Lindenbaumin lauseen nojalla maksimaalisesti ristiriidaton laajennus \mathcal{K}, jolla \mathcal{J} \cup \\{\lnot A \\} \subset \mathcal{K}. Olkoon v totuusjakauma siten, että kaikille atomilauseille p_0, p_1, \dots pätee : v(p_n) = \begin{cases} 1, \quad & \text{jos} \ p_n \in \mathcal{K} \\\ 0, & \text{jos} \ p_n ot\in \mathcal{K}. \end{cases} Väite 2: propositiolauseella D pätee v(D) = 1 jos ja vain jos D \in \mathcal{K}. Todistetaan väite 2 induktiolla propositiolauseen D rakenteen suhteen. # D = p_n. Totuusjakauman v määritelmän nojalla v(D) = v(p_n) = 1 jos ja vain jos p_n = D \in \mathcal{K}. # D = \lnot E. Induktio- oletus on, että v(E) = 1 jos ja vain jos E \in \mathcal{K}, mikä on loogisesti yhtäpitävää sen kanssa, että v(E) = 0 jos ja vain jos E ot\in \mathcal{K}. v(D) = v(\lnot E) = 1 jos ja vain jos v(E) = 0 jos ja vain jos E ot\in \mathcal{K}. Lemman 2 nojalla E ot\in \mathcal{K} jos ja vain jos \lnot E = D \in \mathcal{K}. # D = (E \land F). Induktio-oletus on, että v(E) = 1 jos ja vain jos E \in \mathcal{K} ja että v(F) = 1 jos ja vain jos F \in \mathcal{K}. v(D) = v(E \land F) = 1 jos ja vain jos v(E) = v(F) = 1. Induktio-oletuksen nojalla v(E) = v(F) = 1 jos ja vain jos E \in \mathcal{K} ja F \in \mathcal{K}. Lemman 3 nojalla E \in \mathcal{K} ja F \in \mathcal{K} jos ja vain jos (E \land F) = D \in \mathcal{K}. # D = (E \lor F). Induktio-oletus on, että v(E) = 1 jos ja vain jos E \in \mathcal{K} ja että v(F) = 1 jos ja vain jos F \in \mathcal{K}. v(D) = v(E \lor F) = 1 jos ja vain jos v(E) = 1 tai v(F) = 1 jos ja vain jos E \in \mathcal{K} tai F \in \mathcal{K}. Lemman 4 nojalla E \in \mathcal{K} tai F \in \mathcal{K} jos ja vain jos (E \lor F) = D \in \mathcal{K}. # D = (E \to F). Induktio-oletus on, että v(E) = 1 jos ja vain jos E \in \mathcal{K} ja että v(F) = 1 jos ja vain jos F \in \mathcal{K}. v(D) = v(E \to F) = 1 jos ja vain jos v(E) = 0 tai v(F) = 1 jos ja vain jos E ot\in \mathcal{K} tai F \in \mathcal{K}. Lemman 5 nojalla E ot\in \mathcal{K} tai F \in \mathcal{K} jos ja vain jos (E \to F) = D \in \mathcal{K}. # D = (E \leftrightarrow F). Induktio-oletus on, että v(E) = 1 jos ja vain jos E \in \mathcal{K} ja että v(F) = 1 jos ja vain jos F \in \mathcal{K}. v(D) = v(E \leftrightarrow F) = 1 jos ja vain jos joko v(E) = v(F) = 1 tai v(E) = v(F) = 0 jos ja vain jos joko E \in \mathcal{K} ja F \in \mathcal{K} tai E ot\in \mathcal{K} ja F ot\in \mathcal{K}. Lemman 6 nojalla joko E \in \mathcal{K} ja F \in \mathcal{K} tai E ot\in \mathcal{K} ja F ot\in \mathcal{K} jos ja vain jos (E \leftrightarrow F) = D \in \mathcal{K}. Täten väite 2 todistettiin päteväksi. Koska \lnot A \in \mathcal{K} ja koska \\{B_1, B_2, \dots , B_m\\} \subset \mathcal{K}, niin väitteen 2 nojalla totuusjakaumalla v pätee v(\lnot A) = v(B_1) = v(B_2) = \ldots = v(B_m) = 1 ja siis v(A) = 0. Ollaan saatu ristiriita. Siis alkuperäinen väite eli propositiologiikan täydellisyyslause pätee. \square Luokka:Logiikka