Lagrangen kertoimet

Lagrangen menetelmä on ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen mukaan nimetty menetelmä yhtälörajoitetun optimointitehtävän ratkaisemiseksi. == Määritelmä == Olkoon f\, minimointitehtävän kohdefunktio ja g\, rajoite- ehtofunktio. Tarkastellaan näiden määrittämää rajoiteoptimointititehtävää :\min f(x_0, x_1, \dots) :\text{ehdolla} \quad g_i(x_0, x_1, \dots) = 0, ~i \in \\{1,\dots,N\\} Tehtävä voidaan kirjoittaa muodossa, jota kutsutaan Lagrangen funktioksi L, :L(x_0, x_1, \dots, \lambda) = f(x_0, x_1, \dots) + \sum_{i=0}^N \lambda_i g_i(x_0, x_1, \dots) Kertoimia \lambda_i \in \mathbb{R} kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Esitetyn optimointitehtävän käypä eli rajoite-ehdot täyttävä ratkaisu löydetään Lagrangen funktion L, ääriarvopisteessä (x_0^*, x_1^*, \dots, x_n^*), jossa siis abla L(x_0^*, x_1^*, \dots, x_n^*) = 0. Voidaan tulkita, että kertoimet ohjaavat ratkaisun rajoite-ehtojen määräämään käypään joukkoon. == Esimerkki == Minimointitehtävä \min f(x, y),\quad g(x,y) = 0 ratkaistaan seuraavasti: * kirjoita tehtävä funktiona L(x, y, \lambda) * etsi osittaisderivaatat muuttujien x, y ja \lambda suhteen * ratkaise derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä Langrangen funktio esimerkille :L(x, y) = f(x, y) - \lambda g(x, y) Etsitään osittaisderivaatat ja niiden muodostama yhtälöryhmä : abla L(x,y,\lambda) = \begin{cases} \frac{\partial}{\partial x} L = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) + \lambda \frac{\partial}{\partial x} g(x,y) \\\ \frac{\partial}{\partial y} L = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) + \lambda \frac{\partial}{\partial y} g(x,y) \\\ \frac{\partial}{\partial \lambda} L = g(x,y) \end{cases} Ratkaistaan saadusta yhtälöryhmästä ääriarvopisteet (x^*, y^*, \lambda^*) algebran menetelmin (ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä). == Menetelmä == Olkoon f\, minimointitehtävän kohdefunktio ja g\, rajoite-ehtofunktio. Kutsutaan ehdon g(x,y) = 0\, määräämien pisteiden joukkoa käyräksi C\,. Olkoot funktiot derivoituvia kaikkien muuttujiensa suhteen käyrän C\, pisteissä. Oletetaan myös, että kohdefunktio f\, on derivoituva tehtävän ratkaisupisteen (x_0, y_0)\, ympäristössä. Kun lisäksi oletetaan, että piste (x_0, y_0)\, ei ole käyrän C\, päätepiste, ja gradientti abla g(x_0, y_0) eq 0\,, on olemassa sellainen luku \lambda_0 \, niin, että piste (x_0, y_0, \lambda_0)\, on ns. Lagrangen funktion L\, :L(x_0, x_1, \dots, \lambda) = f(x_0, x_1, \dots) + \lambda g(x_0, x_1, \dots) kriittinen piste. Toisin sanoen funktion f\, käyrällä g(x,y) = 0\, sijaitsevat ääriarvot voidaan löytää etsimällä Lagrangen funktion ääriarvot. Ääriarvot löydetään ratkaisemalla funktion L osittaisderivaatojen nollakohta :0 = \frac{\partial L}{\partial x} = f_1(x,y) + \lambda g(x,y) :0 = \frac{\partial L}{\partial y} = f_1(x,y) + \lambda g(x,y) :0 = \frac{\partial L}{\partial \lambda} = g(x,y) eli : abla L(x_0, x_1, \dots, x_n, \lambda) = \mathbf{0} == Geometrinen tulkinta == Lagrangen kerroin \lambda\, voidaan nähdä skaalaustekijänä, jolla rajoitusehdon gradienttivektoria abla g(x)\, tulee kertoa, että siitä tulee yhtä pitkä kuin kohdefunktion gradienttivektorista abla f(x) \, optimointitehtävän ratkaisupisteessä. Tulkinta yleistyy useamman rajoitusehdon tapaukseen, jolloin aktiivisia rajoitusehtoja vastaavat kertoimet \lambda_i \, valitaan niin, että niiden lineaarikombinaatio vastaavien gradienttien kanssa kumoaa kohdefunktion gradientin. == Herkkyystulkinta == Herkkyystulkinnassa tarkastellaan, miten kohdefunktion arvo muuttuu, kun yhtälörajoitetta muutetaan. Tarkastellaan \min f(x), ~h(x) = c muotoista tehtävää, missä c. Lagrangen kerroin ilmaisee kunka paljon kohdefunktion arvo muuttuu yhtälörajoituksen muuttuessa eli : abla_c f(x) = -\lambda\, missä abla_c tarkoittaa gradienttia rajoitusehdon muutoksen suhteen. == Esimerkki: pisteen etäisyys suorasta == Esitetään tehtävä matemaattisessa muodossa ja ratkaistaan se Lagrangen menetelmällä. Olkoon piste p = (x_0, y_0) ja suora ax + by + c = 0, missä a, b, c \in \mathbb{R} ovat mielivaltaisia vakioita. Minimoidaan etäisyyden funktio : \min d(x, y) = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2\, ehdolla : ax + by + c = 0 Suoran yhtälö on siis optimointitehtävän ehto. Muodostetaan etäisyysfunktiosta ja ehdosta Lagrangen funktio : \begin{align}L(x,y,\lambda) & = d(x, y) + \lambda g(x, y) \\\ & = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + \lambda(ax + by + c) \end{align} Ratkaistaan funktion L ääriarvot muuttujien x, y ja \lambda suhteen etsimällä osittaisderivaattojen nollakohdat: :\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x} L = 2(x - x_0) + \lambda a & = 0 \\\ \frac{\partial}{\partial y} L = 2(y - y_0) + \lambda b & = 0 \\\ \frac{\partial}{\partial \lambda} L = ax + by + c & = 0\\\ \end{cases} == Katso myös == * Matemaattinen optimointi == Lähteet == * Robert A. Adams (1999), Calculus: A Complete Course 5. painos, Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-79131-5. Luokka:Matemaattinen_optimointi