Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi () on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi. Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi (), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia. == Määritelmä == Matriisin A liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi: :\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T}. Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään. Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin A kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A). Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi. == Esimerkkejä == === 2 × 2 -matriisin liittomatriisi === 2 × 2 -matriisin :\mathbf{A} = \begin{pmatrix} & \\\ & \end{pmatrix} liittomatriisi on :\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\, & \\!\\!\\\ & \end{pmatrix}. Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A. === 3 × 3 -matriisin liittomatriisi === Käsitellään 3\times 3 -matriisia : \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\ 4 & 5 & 6 \\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} Muodostetaan ensin alideterminantit: \left|A_{11}\right| = \left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|, \left|A_{12}\right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right|, \left|A_{13}\right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \left|A_{21}\right| = \left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|, \left|A_{22}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right|, \left|A_{23}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \left|A_{31}\right| = \left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right|, \left|A_{32}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right|, \left|A_{33}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi: : \mathbf{C} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ -\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ +\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\\ 5 & 6 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\\ 4 & 6 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix} Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi: : \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ -\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ +\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\\ 4 & 6 \end{matrix} \right| \\\ & & \\\ +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix} missä :\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|= \det\left( \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right). Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti: \left| \begin{matrix}a & b \\\ c & d \end{matrix} \right| = ad - bc == Ominaisuuksia == Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet: :\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}, :\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A}), :\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1. Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m: :\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{m}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{m}. Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi: :\mathrm{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}. Lisäksi, :\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}, :\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2}\mathbf{A} ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A. ===Käänteismatriisi=== Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa: :\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf I_n \qquad (*) missä \mathbf I_n on n×n -yksikkömatriisi. Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla. Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on :1 = \det(\mathbf I_n) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1}), ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että :\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}). ===Karakteristinen polynomi=== Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan: : \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}), missä luvut p_j ovat p(t):n kertoimet, : p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots + p_{n} t^{n}. ===Jacobin kaava === Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle: :\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \alpha} \det(A)= \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A) \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \alpha}\right). ==Lähteet == * === Viitteet === ==Kirjallisuutta== * * Luokka:Matriisit