Modulaarinen aritmetiikka

Modulaarinen aritmetiikka (lyhyemmin modulaariaritmetiikka, joskus myös kello­taulu­aritmetiikka), on kokonaislukuja käsittelevä matemaattisen lukuteorian haara, jossa luvut korvataan niillä jako­jäännöksillä (oikeastaan residyillä), jotka saadaan jaettaessa luku tietyllä vakiolla, moduluksella. Täten luvut ikään "kiertävät kehää" määrä­välein, saavuttaessaan tämä vakion. Nykyaikaisen lähestymis­tavan modulaariselle aritmetiikalle kehitti Carl Friedrich Gauss teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae, joka julkaistiin vuonna 1801. Tutun esi­merkin modu­laari­sen aritme­tiikan käyttö­yhteydestä muodostavat kello­ajat. Kun käytetään 12 tunnin kello­aika­järjestelmää, johon tavalliset kellotaulut yhä perustuvat, kuusi tuntia kello 9:n jälkeen kello on 3. Tavallisessa yhteenlaskussa tosin saataisiin tulokseksi 9 + 6 = 15, mutta kello 12:n jälkeen kello­ajat alkavat uudestaan alusta, sillä vuorokausi on jaettu kahteen 12 tunnin jaksoon. Näin ollen tunnit noudattavat modu­laarista aritme­tiikkaa modulo 12. Nykyisin useimmissa maissa käytetään kuitenkin viralli­sesti 24 tunnin järjes­telmää, jossa kello­ajat alkavat uudestaan alusta vasta klo 24:n jälkeen. Jos kello on nyt 12, se on 3 tunnin kuluttua 15, mutta 21 tunnin kuluttua 9 seuraavana päivänä. Tällöin on siis kyseessä modu­laari­nen aritme­tiikka modulo 24. == Kongruenssirelaatio == Modulaarista aritme­tiikkaa voidaan käsitellä mate­maatti­sesti ottamalla käyttöön kokonaislukujen kongruenssirelaatio, joka on yhteen­sopiva kokonais­lukujen renkaan lasku­toimitusten — yhteen-, vähennys- ja kertolaskun — kanssa. Jos valitaan jokin posi­tiivinen kokonais­luku n, kahden kokonais­luvun a ja b sanotaan olevan kongruentteja modulo n, mikä merkitään: :a \equiv b \pmod n,\, jos niiden erotus on jaollinen n:llä. Esimerkiksi :38 \equiv 14 \pmod {12}\, koska 38 − 14 = 24, joka on jaollinen 12:lla. Sama pätee nega­tiivisille kokonais­luvuille: : -8 \equiv 7 \pmod 5.\, : 2 \equiv -3 \pmod 5.\, : -3 \equiv -8 \pmod 5.\, Luku n on kongruenssi­relaation modulus. Jos sekä a että b ovat posi­tiivisia, ne ovat kongru­entteja modulo n, jos ja vain jos niiden jakoj­äännökset n:llä jaettaessa ovat samat. Niinpä esi­merkiksi :38 \equiv 14 \pmod {12}\, koska lukujen 38 ja 14 jako­jäännös 12:lla jaettaessa on sama, 2. Merkintä­tavasta on huomattava, että koska samassa yhteydessä saatetaan käyttää useita kongruenssi­relaatioita, joilla on eri modulus, merkinnässä on mukana myös modulus. Vaikka merkintä­tapa näin ollen viittaa siihen, että kyseessä olisi kolmipaikkainen relaatio, kongruenssi annetun moduluksen suhteen on kaksi­paikkainen on binäärirelaatio. Kongruenssi­relaation yhteen­sopivuus perus­lasku­toimitusten kanssa merkitsee sitä, että se noudattaa seuraavia lakeja: Jos :a_1 \equiv b_1 \pmod n ja :a_2 \equiv b_2 \pmod n, niin: *a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod n\, *a_1 - a_2 \equiv b_1 - b_2 \pmod n\, Nämä lait pätisivät siinäkin tapauksessa, että teoria laajenne­ttaisiin käsittämään kaikki reaali­luvut, toisin sanoen vaikka luvut a_1, a_2, b_1, b_2, n\, eivät kaikki olisikaan kokonais­lukuja, mutta kongruenssi määriteltäisiin reaali­luvuille muutoin samaan tapaan kuin edellä. Seuraava ominaisuus pätee kuitenkin vain, jos ne kaikki ovat kokonais­lukuja: * a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod n.\, ==Jakojäännökset== Modulaarisen aritme­tiikan käsite liittyy läheisesti jakoyhtälöön ja siinä esiintyvään jako­jäännökseen. Jako­jäännöksen määrittä­mistä nimite­täänkin joskus modulo-operaatioksi, ja joskus näkee käytet­tävän sellaistakin merkintää kuin . Erona jako­yhtälöön verrattuna on kongruenssin käsite, jolle käytetään merkintää "≡" yhtäläisyys­merkin "=" asemesta. Lukujen kongruenssi on ekvivalenssirelaatio, johon liittyviä ekvivalenssi­luokkia sanotaan jäännös­luokiksi. Kunkin jäännös­luokan edustajaksi valitaan tavallisesti sen pienin ei-nega­tiivinen luku, esimerkiksi . Tätä sanotaan myös residyksi. Tästä seuraa, että vaikka on oikein merkitä , ja , on väärin merkitä (missä "=" esiintyy "≡" -merkin sijasta). Jokainen positiivinen kokonais­luku kuuluu kongruenssi­relaatiossa siihen jäännös­luokkaan, jonka edustajana on sen jako­jäännös moduluksella jaettaessa. Tällöin siis residy on sama kuin jako­jäännös. Nega­tiivisten kokonais­lukujen tapauksessa asia on kuitenkin toisin, koska jako­jäännös tavalliseen tapaan laskettuna on tällöin nega­tiivinen. Niinpä esi­merkiksi luvun -17 jako­jäännös 12:lla jaettaessa on -5 (sillä ), mutta kongruenssi­relaatiossa luvut -17 ja -5 kuuluvat ekvi­valenssi­luokkaan, jota edustamaan valitaan luku 7. Tämä on siis luvun -17 residy 12:lla jaettaessa. Tietokoneiden ohjelmointikielissä jako­jäännös­operaatiolel käytetään yleensä merkintää "%" (esi­merkiksi C:ssä, Javassa, Perlissä ja Pythonissa) tai "mod" (esimerkiksi Pascalissa, BASICissa, SQL;ssä ja Haskellissa), poikkeuksena muun muassa Excel. Nämä antavat tulokseksi jako­jäännöksen sillä tavoin, että esimerkiksi C++:ssa tulos on negatiivinen, jos ensimmäinen argumentti (jaettava) on negatiivinen, ja Pythonissa, jos toinen argumentti (jakaja) on nega­tiivinen. Joissakin ohjelmointi­kielissä, esimerkiksi Rubyssa, on lisäksi erikseen funktio "modulo", joka palauttaa residyn jako­jäännöksen sijasta. Sulku­merkit jätetään joskus merkinnästä pois, esimerkiksi tai , tai ne merkitään moduluksen ympärille, esimerkiksi or . Sellaistakin merkintää kuin näkee joskus käytettävän, mutta se ei ole yksi­selitteinen, ellei sen merkitys ilmene asia­yhteydestä. ===Jakojäännös funktiona === Laskutoimitus, jolla jakojäännös (residy) muodostetaan, voidaan esittää käyttä­mällä lattiafunktiota. Jos b ≡ a (mod n), missä n > 0, niin kun jako­jäännös b on laskettu :b = a - \left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor \times n, missä \left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor \, on suurin kokonais­luku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin \frac{a}{n}, niin ::\begin{array}{lcl} a \equiv b \pmod n \text{ and,}\\\ 0 \le b < n. \end{array} Jos sen sijaan on muodostettava b, joka on välillä −n ≤ b < 0, on :b = a - \left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor \times n - n. == Jäännösluokkasysteemit == Jokaista jäännös­luokkaa modulo n edustamaan voitaisiin valita mikä tahansa siihen kuuluva luku, vaikka yleensä sitä edustamaan valitaan pienin siihen kuuluva ei-negatiivinen luku. On huomattava, että mitkä tahansa kaksi lukua, jotka eivät kuulu samaan jäännös­luokkaan, eivät myöskään ole kongru­entteja modulo n. Lisäksi jokainen kokonais­luku kuuluu yhteen ja vain yhteen jäännös­luokkaan modulo n. Kokonaislukujen joukkoa {0, 1, 2, ..., n - 1} sanotaan pienimmäksi jäännös­luokka­systeemiksi modulo n. Mitä tahansa n kokonais­luvun joukko, jossa mitkään kaksi eri lukua eivät ole keskenään kongru­entteja modulo n, sanotaan täydelliseksi jäännös­luokka­systeemiksi modulo n. On selvää, että pienin jäännös­luokka­systeemi on täydellinen jäännös­luokka­systeemi ja että täydellinen jäännös­luokka­systeemi on joukko, johon kuuluu yksi edustaja kustakin jäännös­luokasta modulo n. Pienin jäännös­luokka­systeemi modulo 4 on {0, 1, 2, 3}. Muita täydellisiä jäännös­luokka­systeemejä modulo 4 ovat esimerkiksi: *{1,2,3,4} *{13,14,15,16} *{-2,-1,0,1} *{-13,4,17,18} *{-5,0,6,21} *{27,32,37,42} Sitä vastoin esimerkiksi seuraavat joukot eivät ole täydellisiä jäännös­luokka­systeemejä modulo 4: *{-5,0,6,22} sillä 6 on kongruentti 22:n kanssa modulo 4. *{5,15} sillä täydellisessä jäännös­luokka­systeemissä modulo 4 täytyy olla tasan 4 keskenään epä­kongruenttia lukua. === Redusoidut jäännösluokkasysteemit === Jokainen kokonais­lukujen φ(n) joukko, missä φ(n) tarkoittaa Eulerin φ-funktiota ja missä nämä luvut ovat suhteellisia alku­lukuja n:n kanssa ja joista mitkään kaksi eivät ole kongruentteja modulo n, on redusoitu jäännös­luokka­systeemi modulo n.Long, s. 85. Edellä mainittu esimerkki, {5,15}, on redusoitu jäännös­luokka­systeemi modulo 4. ==Jäännösluokat == Kongruenssi modulo n on ekvivalenssirelaatio, ja ekvivalenssiluokkaa, johon kokonais­luku a kuuluu, merkitään \overline{a}_n. Siihen kuuluvat luvut \left\\{\ldots, a - 2n, a - n, a, a + n, a + 2n, \ldots \right\\}. Tätä joukkoa, johon kuuluvat a:n kanssa kongruentit luvut modulo n, sanotaan a:n kongruenssi­luokaksi tai jäännös­luokaksi modulo n. Jos modulus n tunnetaan asia­yhteydestä, sille voidaan käyttää myös merkintää \displaystyle [a]. ==Kokonaisluvut modulo n== Jäännösluokkien joukkoa modulo n sanotaan kokonais­luvuiksi modulo n, ja sille käytetään merkintää \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n tai joskus myös \mathbb{Z}_n. Merkintää \mathbb{Z}_n ei kuitenkaan suositella, koska se saattaa sekaantua n-adisten lukujen joukkoon. Jäännös­luokkien joukko määritellään seuraavasti. :\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\\{ \overline{a}_n | a \in \mathbb{Z}\right\\}. Kun n ≠ 0, joukolla \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} on n alkiota ja se voidaan esittää muodossa :\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\\{ \overline{0}_n, \overline{1}_n, \overline{2}_n,\ldots, \overline{n-1}_n \right\\}. Kun n = 0, joukko \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ei ole tyhjä, sitä vastoin sen on \mathbb{Z}, sillä \overline{a}_0 = \left\\{a\right\\}. Yhteen-, vähennys- ja kertolasku joukossa \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} voidaan määritellä seuraavasti: * \overline{a}_n + \overline{b}_n = \overline{(a + b)}_n * \overline{a}_n - \overline{b}_n = \overline{(a - b)}_n * \overline{a}_n \overline{b}_n = \overline{(ab)}_n. Edellä esitetystä seuraa, että tämä on hyvin määritelty. Varustettuna näillä lasku­toimituksilla \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} on kommutatiivinen rengas, jota kutstuaan jäännösluokkarenkaaksi. Esimerkiksi renkaalle \mathbb{Z}/24\mathbb{Z}, pätee :\overline{12}_{24} + \overline{21}_{24} = \overline{9}_{24} kuten 24-tuntisen kellon aritmetiikassa. Merkintää \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} käytetään, koska kyseessä on \mathbb{Z}:n tekijärengas ideaalin n\mathbb{Z} suhteen, jonka muodostavat kaikki n:llä jaolliset kokonais­luvut, missä 0\mathbb{Z} on yksialkioinen joukko \left\\{0\right\\}. Niinpä \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} on kunta, jos n\mathbb{Z} on maksimaalinen ideaali, toisin sanoen, jos n on alkuluku. Joukko-opin termein jäännösluokka \overline{a}_n on a:n sivuluokka tekijäryhmässä \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, joka on syklinen ryhmä. Joukolla \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} on monia huomattavia matemaattisia ominaisuuksia, joilla on perustava merkitys monilla matematiikan aloilla. Monissa yhteyksissä, esimerkiksi renkaan karakteristikaa käsiteltäessä, on sopivaa pitää jäännös­luokka­ryhmän erikoistapauksena myös tapausta n = 0 eli joukkoa \mathbb{Z}/0\mathbb{Z}. Kuten edellä jo todettiin, se on isomorfinen kokonais­lukujen renkaan \mathbb{Z} kanssa. Kun n on alkuluku, kokonaislukujen joukko modulo n muodostaa samalla äärellisen kunnan. ==Sovelluksia== Modulaarista aritmetiikkaa sovelletaan lukuteoriassa, ryhmäteoriassa, rengasteoriassa, solmuteoriassa, abstraktissa algebrassa, tietokonealgebrassa, kryptografiassa, tietojen­käsittely­tieteessä, kemiassa sekä jopa kuva­taiteissa ja musiikissa. Se on yksi lukuteorian perus­pilareista, joka liittyy lähesti tämän matematiikan haaran kaikkiin kysymyksiin, ja se tarjoaa hyviä esimerkkejä ryhmä- ja rengasteorian sekä abstraktin algebran käsitteistä. Moniin eri yhteyksissä käytettäviin numero­tunnisteisiin kuuluu tarkistemerkki, joka yleensä määräytyy tunnisteen muiden numeroiden perusteella modulaarisen aritmetiikan keinoin. Esimerkiksi kansain­välisessä pankki­tilin numerossa (IBAN käytetään modu­laarista aritme­tiikkaa modulo 97 pankki­tilin numeroa syötettäessä mahdollisesti tehtävien virheiden paljastamiseen. Samaan tapaan suomalaisessa henkilö­tunnuksessa viimeinen numero on tarkiste­merkki modulo 31. Kemikaalien CAS-numeron viimeinen numero on niin ikään tarkistemerkki. Se lasketaan kertomalla tunnisteen kummankin osan viimeinen numero 1:llä, toiseksi viimeinen 2:lla ja niin edelleen ja ottamalla näin saatujen lukujen summasta jakojäännös modulo 10. Tietokone­algebrassa modulaarista aritmetiikkaa käytetään usein rajoitettaessa kokonais­luku­kerrointen suuruutta lasku­toimitusten väli­vaiheissa. Kaikki tunnetut tehokkaat algoritmit polynomien jakamiseksi tekijöihin perustuvat modu­laariseen aritme­tiikkaan. Siihen perustuvat myös tehokkaimmat menetelmät polynomien suurimman yhteisen tekijän löytämiseksi sekä monet lineaarialgebran ja Gröbnerin baasin algoritmit kokonais- ja rationaali­luvuille. Tietojenkäsittelytieteessä modulaarista aritmetiikka sovelletaan usein biteittäisessä lasku­toimituksissa ja muissa toimituksissa, joissa käytetään kiinteän levyisiä, syklisiä tieto­rakenteita. Jako­jäännös­operaatio sellaisena kuin se on valmiina monissa ohjelmointikielissä ja laskimissa on tässä yhteydessä usein käytetty modu­laarisen aritme­tiikan sovellus. Esimerkiksi XOR on kahden bitin summa modulo 2. Musiikin teoriassa aritmetiikka modulo 12 liittyy läheisesti 12 sävelen tasa­vireiseen järjestelmään, jossa eri oktaavien vastaavilla sävelillä on samat nimet ja enharmoniset sävelet samastetaan (toisin sanoen oktaavin päässä toisistaan olevat sävelet, joiden taajuuksien suhde on 1:2 tai 2:1 käsitetään ekvivalenteiksi eikä esimerkiksi cis:n ja des:n välille tehdä eroa.) Käsin suoritettujen lasku­toimitusten tulosten tarkistamiseen voidaan helposti käyttää yhdeksänkoetta. Se perustuu modu­laariseen aritme­tiikkaan modulo 9 ja erityisesti siihen, että 10 ≡ 1 (mod 9). Aritmetiikkaan modulo 7 perustuvat menetelmät, joilla voidaan laskea, miksi viikonpäiväksi jokin päivä­määrä sattuu. Peri­aatteessa asia voidaan selvittää laskemalla, kuinka monta vuoro­kautta silloin on kulunut jostakin valitusta alku­päivästä, jota vastaava viikon­päivä tunnetaan, ja ottamalla tästä luku­määrästä jako­jäännös 7:llä jaettaessa. Käytän­nölli­sempiä menetelmiä tarjoavat kuitenkin Zellerin sääntö ja doomsday-sääntö, mutta nekin perustuvat modu­laari­seen arit­me­tiikkaan modulo 7. Modulaarisella aritmetiikalla on sovelluksia oikeustieteessä, taloustieteessä, peliteoriassa ja muilla yhteis­kunta­tieteiden aloilla, varsinkin sovelluksissa, joissa resurssien kohden­ta­minen on keskeinen kysymys. == Lähteet == * * * Maarten Bullynck "Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th century Germany " * Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.3: Modular arithmetic, pp. 862–868. * Anthony Gioia, Number Theory, an Introduction Reprint (2001) Dover. ISBN 0-486-41449-3 * === Viitteet === == Kirjallisuutta == * ==Aiheesta muualla== * modular art Modulaarisen aritmetiikan sovelluksia taiteessa * * artikkeli modulaarisesta aritmetiikasta GIMPS-wikissä * Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables * Whitney Music Box—an audio/video demonstration of integer modular math Luokka:Aritmetiikka Luokka:Ryhmäteoria Luokka:Rengasteoria Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit