Eksponentiaalinen hajoaminen

Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen arvo pienenee nopeudella, joka on suoraan verrannollinen suureen senhetkiseen arvoon. Eksponentiaalisesti vähenevä suure N toteuttaa siis hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön: :\frac{dN}{dt} = -\lambda N, missä λ on positiivinen luku. Tätä verrannollisuuskerrointa kutsutaan myös hajoamisvakioksi. Eksponentiaalinen väheneminen on luonnon ilmiöissä yleinen vähenemistahti. Yhtälöä kutsutaankin hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin. == Differentiaaliyhtälön ratkaisu == Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon :\frac{dN}{N} = -\lambda dt ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N0 eli N:n arvo hetkellä t=0 ja Nt eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t. :\int_{ N_0}^{N_t}\frac{dN}{N}=-\lambda \int_{0}^{t} dt :ln \frac {N_t}{N_0} = -\lambda t josta saadaan lopulta ratkaistua Nt: :N_t=N_0 \cdot e^{-\lambda t} Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi. == Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet== ===Puoliintumisaika=== Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla N_t=\frac{N_0}{2}, eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi :T = \frac{\ln 2}{\lambda} Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla \lambda=\ln 2/T hajoamislain integraalimuotoon): :N_t=N_0\cdot e^{-\frac{\ln 2}{T} t}=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}} Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa (t = T) suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua (t = 2T) neljäsosaan jne. === Keskimääräinen elinaika=== Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika \tau. Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi: :\tau = \frac {1}{\lambda} Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N0 ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa. Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta. === Useita rinnakkaisia hajoamisia === Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö: :-\frac{dN_t}{dt} = N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N\, Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla \lambda_1 + \lambda_2=\lambda_c. Tällöin \frac{dN_t}{dt}=-\lambda_c N Nyt saadaan yhtälö :\frac{1}{\tau_c}=\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}\,, josta ratkaisemalla saadaan :\tau_c=\frac{\tau_1 \cdot \tau_2}{\tau_1+\tau_2} Tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa : \frac{1}{\tau _c}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\tau_i} == Esimerkkejä == * Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla. Radioaktiivisessa hajoamisessa on kysymyksessä peräkkäin tapahtuvista 1. kertaluvun reaktioista. * Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista. * Korkealla ilmakehässä, ilmanpaine vähenee eksponentiaalisesti korkeuden funktiona. ==Katso myös== * Alkeisreaktio * Eksponenttifunktio * Eksponentiaalinen kasvu ==Aiheesta muualla== * A stochastic simulation of exponential decay * Tutorial on time constants == Viitteet == Luokka:Differentiaaliyhtälöt