Neliöllinen keskiarvo

Neliöllinen keskiarvo () on eräs lukujoukkoa tai jakaumaa kuvaavista matemaattisista keskiluvuista. Termi RMS liittyy läheisesti standardipoikkeamaan, ja muun muassa sähkötekniikassa RMS-keskiarvostamalla lasketaan vaihtojännitteen tehollisarvo. Neliöllinen keskiarvo muuttujalle x\,\\! määritellään seuraavalla tavalla: :R(x) \equiv \sqrt{\left\langle x^2 \right\rangle}, missä \langle ... \rangle tarkoittaa aritmeettista keskiarvoa. Määritelmää käyttäen saadaan diskreeteille jakaumille lauseke, joka on muotoa :R(x) = \sqrt{\frac{\sum_{k=1}^N x_k^2}{N}} ja jatkuville jakaumille :R(x) = \sqrt{\frac{\int [P(x)]^2\, dx}{\int P(x)\, dx}}. == RMS-keskiarvostaminen sähkötekniikassa == Sähkötekniikassa tehoja laskettaessa, kun käytössä on vaihtojännite (vaihtovirta), niin halutaan yleensä huippujännitteen sijaan tietää tehollisarvo. Näin siksi, että vaihtojännite, joka ilmaistaan tehollisarvonsa avulla antaa kuormaan saman tehon kuin vastaavan suuruinen tasajännite. Tehollisarvo lasketaan vaihtojännitteestä keskiarvoistamalla käyttämällä RMS-keskiarvostamista. Tämän vuoksi ammattipiireissä yleensä puhutaankin RMS-arvosta tehollisarvon sijaan. === Vaihtojännitteen tehollisarvon johto === Tehollisarvo määritellään keskimääräisen tehon avulla. Tehon määritelmän ja Ohmin lain avulla hetkelliseksi tehoksi resistiiviseen kuormaan saadaan :P(t) = {v^2(t) \over R}, missä v(t) on jännitteen arvo tietyllä ajan hetkellä t ja R kuorman resistanssi. Keskimääräiselle teholle saadaan lauseke integroimalla vaihtojännite ajan jakson T yli sekä jakamalla integroinnista saatu tulos jakson pituudella. :P_{avg} = {1 \over R} \left({1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} v^2(t)\, dt\right) = {v^2_{rms} \over R}, missä t_0 on ajan hetki tarkastelujakson alussa. Keskimääräinen teho on merkitty yhtä suureksi kuin tehollisarvoisesta jännitteestä v_{rms} laskettu teho. Ratkaistaan jännitteen tehollisarvo ottamalla neliöjuuri. :v_{rms} = \sqrt{{1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} \, v^2(t)\, dt} Tämä johdettu tehollisarvon laskentakaava on sama kuin olisi käytetty suoraan RMS-keskiarvostamista. Kaava on helppo muistaa, sillä lyhenne RMS kertoo suoraan laskutavan, Root-Mean- Square (neliöjuuri-keskiarvo-neliöinti). Kaavaa tarvitaan laskettaessa tehollisarvot erilaisille vaihtojännitteille, joista yleisimmin käytettyjä ovat siniaalto, kolmioaalto ja kanttiaalto. ==== Tehollisarvo siniaallolle ==== Sinimuotoinen vaihtojännite on muotoa :v(t) = V_0 \sin(\omega t),\,\\! missä V_0 on jännitteen amplitudi, t aika ja \omega kulmataajuus. Tehollisarvon lauseke sinimuotoiselle jännitteelle on :v_{rms,\sin} = \sqrt{{1 \over T} \int_{0}^{T} \, V_0^2 \sin^2\left(\frac{2 \pi}{T} t\right)\, dt} = \frac{V_0}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{\int_{0}^{2 \pi} \, \sin^2(t)\, dt}. Lausekkeen ensimmäisessä osassa kulmataajuus on muutettu muotoon \omega = 2 \pi / T. Jälkimmäisessä osassa ajanjakson T paikalle on sijoitettu sinin jakson pituus, joka on 2 \pi. Ajasta riippumaton jännitteen amplitudi on tuotu myös integraalin ulkopuolelle. Seuraavaksi käytetään hyväksi jo tunnettua sinin neliön integraalia: :\int \, \sin^2(x)\, dx = \frac {x}{2}-\frac{1}{4} \sin(2 x) + C. Laskut suorittamalla saadaan, että sinimuotoisen jännitteen tehollisarvo on vaihtojännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kahdella. :v_{rms,\sin} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} ==== Tehollisarvo kolmioaallolle ==== Ideaalisen kolmioaallon yksi jakso, T/4 verran viivästettynä, on alla olevan yhtälöryhmän mukainen. Aaltoa on viivästetty, jotta tehollisarvoa laskettaessa päästään vähemmällä integroinnilla. On myös hyvä huomata, että kolmioaalto muuttuu paraabelin muotoiseksi, kun se korotetaan toiseen potenssiin. :v(t) = \begin{cases} \frac{4 V_0}{T} t&, \mbox{kun } -T/4 \le t < T/4 \\\ -\frac{4 V_0}{T} t+2 V_0&, \mbox{kun } T/4 \le t \le 3T/4 \end{cases} Kolmioaallon jännitteen tehollisarvo on jännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kolmella. :v_{rms,kolmio} = \frac{V_0}{\sqrt{3}} ==== Tehollisarvo kanttiaallolle ==== Ideaalinen kanttiaalto yhden jakson verran on muotoa: :v(t) = \begin{cases} V_0 &, \mbox{kun } 0 \le t < T/2 \\\ -V_0 &, \mbox{kun } T/2 \le t \le T \end{cases} Kanttiaallon jännitteen tehollisarvo on sama, kuin aallon huippujännitteen itseisarvo. :v_{rms,kantti} = V_0\,\\! ==Lähteet== == Kirjallisuutta == * Luokka:Tilastotiede Luokka:Sähkötekniikka Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit Luokka:Aritmetiikka