Nopeuspotentiaali

Nopeuspotentiaali on virtaavan fluidin nopeutta kuvaava potentiaalifunktio. Nopeuspotentiaalin avulla voidaan ratkaista fluidin virtausnopeuden vektorikomponentit, mutta toisaalta se myös yksinkertaistaa joitain virtausmekaniikan ongelmia. Jos kolmiulotteinen vektorikenttä \mathbf v on pyörteetön, ts. abla\times\mathbf v=0, niin on olemassa skalaarifunktio \phi(x, y, z) siten, että \mathbf v= abla\phi. Funktiota \phi kutsutaan nopeuspotentiaalifunktioksi. Merkintä abla tarkoittaa osittaisdifferentiaalioperaattoria (nabla). == Nopeuspotentiaali virtausmekaniikassa == === Virtauksen nopeusvektorikenttä === Pyörteettömän virtauksen nopeuspotentiaalin \phi tunteminen antaa oitis nopeusvektorin komponentit. Koska \mathbf v= abla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x}\,\mathbf i+\frac{\partial\phi}{\partial y}\,\mathbf j+\frac{\partial\phi}{\partial z}\,\mathbf k, missä \mathbf i, \mathbf j ja \mathbf k ovat karteesisen koordinaatiston kantavektorit, niin virtausnopeuden komponentit ovat: v_x=\frac{\partial\phi}{\partial x}, \quad v_y=\frac{\partial\phi}{\partial y} \quad\text{ja}\quad v_z=\frac{\partial\phi}{\partial z}. Nopeuspotentiaalifunktion \phi ekvipotentiaaleja (virtausalueessa määritellyt käyrät, joille \phi=\text{vakio}) sanotaan virtauksen potentiaaliviivoiksi. Todellisuudessa kolmiulotteisen virtauksen ekvipotentiaalit ovat avaruuden pintoja, mutta kaksiulotteisessa virtauksessa ekvipotentiaalit ovat viivoja. === Bernoullin yhtälö ajasta riippuvalle potentiaalivirtaukselle === Nopeuspotentiaalin käyttäminen yksinkertaistaa virtausta kuvaavia yhtälöitä, sillä nopeusvektorin kolmen komponentin, v_x, v_y ja v_z, sijaan tarvitaan vain yksi muuttuja. Esimerkkinä johdetaan yhtälö, joka kuvaa ajallisesti muuttuvaa, pyörteetöntä, kitkatonta ja kokoonpuristumatonta virtausta. Tällaista virtausta kuvaa nk. Eulerin yhtälö (jota ei pidä sekoittaa Eulerin kaavaan): \rho\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt}=\rho\mathbf g- abla p, missä :\rho on fluidin tiheys, :\mathbf v=v_x\,\mathbf i+v_y\,\mathbf j+v_z\,\mathbf k on fluidin nopeus, :\mathbf g on putoamiskiihtyvyys ja :p on paine. Aikaderivaatta Eulerin yhtälössä voidaan korvata materiaaliderivaatalla: \frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt}=\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+\left(\mathbf v\cdot abla\right)\mathbf v Lisäksi käytetään tietoa, että \left(\mathbf v\cdot abla\right)\mathbf v\equiv abla\left(\frac{1}{2}v^2\right)+\left( abla\times\mathbf v\right)\times\mathbf v, : Todistus Merkitään \mathbf v(x, y, z)=u(x, y, z)\,\mathbf i+v(x, y, z)\,\mathbf j+w(x, y, z)\,\mathbf k. Käytetään lyhennyssyistä osittaisderivaatoille merkintöjä \partial f/\partial x\equiv\partial_xf, \partial f/\partial y\equiv\partial_yf ja \partial f/\partial z\equiv\partial_zf. Vasen puoli: :\begin{align} \mathbf v\cdot abla&=\left(u\,\mathbf i+v\,\mathbf j+w\,\mathbf k\right)\cdot\left(\partial_x\,\mathbf i+\partial_y\,\mathbf j+\partial_z\,\mathbf k\right)\\\ &=u\partial_x+v\partial_y+w\partial_z \end{align} Tällöin :\begin{align} \left(\mathbf v\cdot abla\right)\mathbf v&=\left(u\partial_x+v\partial_y+w\partial_z\right)(u\,\mathbf i+v\,\mathbf j+w\,\mathbf k) \\\ &=\left(u\partial_xu+v\partial_yu+w\partial_zu\right)\,\mathbf i+\left(u\partial_xv+v\partial_yv+w\partial_zv\right)\,\mathbf j+\left(u\partial_xw+v\partial_yw+w\partial_zw\right)\,\mathbf k \end{align} Oikea puoli: Kirjoitetaan normin neliö auki: v^2=\lVert\mathbf v\rVert^2=u^2+v^2+w^2. :\begin{align} abla\left(\frac{1}{2}\lVert\mathbf v\rVert^2\right)&=\frac{1}{2} abla\left(u^2+v^2+w^2\right) \\\ &=\frac{1}{2}(\partial_x\,\mathbf i+\partial_y\,\mathbf j+\partial_z\,\mathbf k)\left(u^2+v^2+w^2\right) \\\ &=\frac{1}{2}\left(\partial_xu^2+\partial_xv^2+\partial_xw^2\right)\,\mathbf i+\frac{1}{2}\left(\partial_yu^2+\partial_yv^2+\partial_yw^2\right)\,\mathbf j+\frac{1}{2}\left(\partial_zu^2+\partial_zv^2+\partial_zw^2\right)\,\mathbf k \end{align} Muistetaan yhdistetyn funktion derivointisäännöstä, että \partial_xf^2=2f\,\partial_xf. Tällöin :\begin{align} abla\left(\frac{1}{2}\lVert\mathbf v\rVert^2\right)&=(u\partial_xu+v\partial_xv+w\partial_xw)\,\mathbf i+(u\partial_yu+v\partial_yv+w\partial_yw)\,\mathbf j+(u\partial_zu+v\partial_zv+w\partial_zw)\,\mathbf k \end{align}. Roottori: :\begin{align} abla\times\mathbf v&=\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ u & v & w \end{vmatrix}=(\partial_yw-\partial_zv)\,\mathbf i-(\partial_xw-\partial_zu)\,\mathbf j+(\partial_xv-\partial_yu)\,\mathbf k \end{align} Tällöin :\begin{align} \left( abla\times\mathbf v\right)\times\mathbf v&=\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\\ (\partial_yw-\partial_zv) & (\partial_zu-\partial_xw) & (\partial_xv-\partial_yu) \\\ u & v & w \end{vmatrix} \\\ &=\left(w\partial_zu-w\partial_xw-v\partial_xv+v\partial_yu\right)\,\mathbf i+\left(u\partial_xv-u\partial_yu-w\partial_yw+w\partial_zv\right)\,\mathbf j+ \\\ &+\left(v\partial_yw-v\partial_zv-u\partial_zu+u\partial_xw\right)\,\mathbf k \end{align} Koko oikea puoli aukikirjoitettuna on siis: :\begin{align} abla\left(\frac{1}{2}\lVert\mathbf v\rVert^2\right)+\left( abla\times\mathbf v\right)\times\mathbf v&=\left(u\partial_xu+v\partial_xv+w\partial_xw+w\partial_zu-w\partial_xw-v\partial_xv+v\partial_yu\right)\,\mathbf i+ \\\ &+\left(u\partial_yu+v\partial_yv+w\partial_yw+u\partial_xv-u\partial_yu-w\partial_yw+w\partial_zv\right)\,\mathbf j+ \\\ &+\left(u\partial_zu+v\partial_zv+w\partial_zw+v\partial_yw-v\partial_zv-u\partial_zu+u\partial_xw\right)\,\mathbf k \\\ &=\left(u\partial_xu+v\partial_yu+w\partial_zu\right)\,\mathbf i+\left(u\partial_xv+v\partial_yv+w\partial_zv\right)\,\mathbf j+\left(u\partial_xw+v\partial_yw+w\partial_zw\right)\,\mathbf k \end{align} Huomataan, että väitetyn yhtälön oikea ja vasen puoli ovat samat. Q.E.D. missä v=\lVert \mathbf v \rVert on virtauksen vauhti (nopeuden euklidinen normi). Pyörteettömyydestä johtuen abla\times\mathbf v=0. Tällöin Eulerin yhtälö muuttuu muotoon \rho\left[\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+ abla\left(\frac{1}{2}v^2\right)\right]=\rho\mathbf g- abla p. Kirjoitetaan nopeus (ja vauhti) nopeuspotentiaalin avulla: \mathbf v= abla\phi ja v=\lVert abla\phi\rVert. Oletetaan vielä, että tarkastelukoordinaatisto on valittu siten, että painovoima osoittaa alaspäin, eli \mathbf g=-g\,\mathbf k= abla(-gz). Tällöin abla\left[\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\lVert abla\phi\rVert^2+\frac{p}{\rho}+gz\right]=0. Toisin sanoen: \frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\lVert abla\phi\rVert^2+\frac{p}{\rho}+gz=\text{vakio}. Tämä yhtälö on nk. ajasta riippuva Bernoullin yhtälö pyörteettömälle virtaukselle (jota ei pidä sekoittaa ajasta riippumattomaan Bernoullin lakiin). == Eräitä nopeuspotentiaaleja == Esitetään esimerkkeinä joitain yksinkertaisia virtaustilanteita ja niiden nopeuspotentiaalit. Yksinkertaisuuden vuoksi käytetään vain kaksiulotteisia virtauksia, jolloin nopeusvektori on aina muotoa \mathbf v=v_x\,\mathbf i+v_y\,\mathbf j. === Tasainen, yksiulotteinen virtaus === Tarkastellaan virtausta, jossa fluidi liikkuu tasaisella nopeudella positiivisen x-akselin suuntaan. Virtauksen nopeus on tällöin kaikkialla \mathbf v=u_0\mathbf i,missä u_0 on vakio (virtauksen vauhti). Nopeuspotentiaalin osittaisderivaatat ovat tällöin: \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial x}=v_x=u_0 \\\ \displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial y}=v_y=0 \end{cases} Tämä 1. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöpari ratkeaa melko helposti: \phi(x, y)=u_0x+C, missä C on vakio. Tärkeintä on havaita, että nopeuspotentiaali ei riipu millään tavoin y:stä. Potentiaaliviivojen yhtälö saadaan asettamalla \phi=u_0x+C=\text{vakio}, josta seuraa, että x=\text{vakio}. Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki y-akselin suuntaiset suorat. === Pistemäinen lähde tai nielu origossa === Olkoon koordinaatiston origossa pistemäinen lähde, josta pulppuavan fluidin tilavuusvirta on Q>0 (Seuraavat päätelmät pätevät myös, jos Q<0. Tällöin kyseessä on lähteen sijaan nielu). Olkoon lähteen virtaus puhtaasti säteittäistä, eli jokainen virtaviiva osoittaa lähteestä suoraan poispäin. Jos tarkastellaan origon ympärillä virtausaluetta, jonka paksuus z-suunnassa on b>0, niin tilavuusvirta jokaisen origokeskisen, r-säteisen ympyrän läpi on: Q=2\pi rbv_r=\text{vakio}, missä v_r on virtauksen säteittäinen vauhti. Tilavuusvirta on vakio säteestä riippumatta, sillä kokoonpuristumattoman fluidin kokonaistilavuus ei voi muuttua sen liikkuessa kauemmas lähteestä (tai nielusta). Ts. fluidia ei voi syntyä tai kadota muualla kuin lähteessä tai nielussa. Näin ollen fluidin vauhti kaikkialla xy-tasossa on: v_r=\frac{Q}{2\pi b}\cdot\frac{1}{r}. Viimeistään tässä vaiheessa kannattaa siirtyä osittain napakoordinaatteihin, sillä kaikki ilmiöt tähän mennessä ovat puhtaasti säteittäisiä. Näin ollen lähteen (tai nielun) virtauksen nopeus on (karteesisissa koordinaateissa ja napakoordinaateissa): \begin{align} \mathbf v&=v_r\,\mathbf e_r \\\ &=\frac{Q}{2\pi br}(\cos\theta\,\mathbf i+\sin\theta\,\mathbf j)\\\ &=\frac{Q}{2\pi br^2}(x\,\mathbf i+y\,\mathbf j) \\\ &=\frac{Q}{2\pi b(x^2+y^2)}(x\,\mathbf i+y\,\mathbf j) \\\ &=v_x\,\mathbf i+v_y\,\mathbf j, \end{align} missä \mathbf e_r=\cos\theta\,\mathbf i+\sin\theta\,\mathbf j on napakoordinaatiston säteittäinen kantavektori. Tästä saadaan virtauksen nopeuspotentiaalin osittaisderivaatat (kun x, y eq0): \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial x}=v_x=\frac{Q}{2\pi b}\cdot\frac{x}{x^2+y^2} \\\ \displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial y}=v_y=\frac{Q}{2\pi b}\cdot\frac{y}{x^2+y^2} \end{cases} Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:\begin{align} \phi(x, y)&=\frac{Q}{4\pi b}\ln\left(x^2+y^2\right)+f(y) \\\ &=\frac{Q}{2\pi b}\ln r+f(y), \end{align} missä f(y) on mikä tahansa vain muuttujasta y riippuva derivoituva funktio. Vastaavasti alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on: \begin{align} \phi(x, y)&=\frac{Q}{4\pi b}\ln\left(x^2+y^2\right)+g(x) \\\ &=\frac{Q}{2\pi b}\ln r+g(x), \end{align} missä g(x) on mikä tahansa vain muuttujasta x riippuva derivoituva funktio. Koska kummankin yhtälön ratkaisujen tulee toteutua yhtäaikaa, on ainoa mahdollisuus, että f(y)=g(x)=C=\text{vakio}. Siispä nopeuspotentiaali on: \phi=\frac{Q}{4\pi b}\ln\left(x^2+y^2\right)+C=\frac{Q}{2\pi b}\ln r+C Asetetaan \phi=\text{vakio}, josta seuraa välttämättä, että r=\text{vakio} (tai karteesisissa koordinaateissa x^2+y^2=\text{vakio}). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origokeskeiset ympyrät. === Vorteksi === Vorteksi on virtaus, jossa fluidi kiertää origoa (tai muuta kiinteää pistettä) ympyränmuotoisella radalla. Napakoordinaateissa vorteksin virtauksen nopeus on: \mathbf v=f(r)\,\mathbf e_\theta,White, s. 545 missä \mathbf e_\theta=-\sin\theta\,\mathbf i+\cos\theta\,\mathbf j ja f(r) kuvaa virtauksen vauhtia vorteksin keskeltä mitatun etäisyyden funktiona. Valitsemalla f(r)=K/r, missä K=\text{vakio}, saadaan virtaus, jota kutsutaan vapaaksi vorteksiksi: \begin{align} \mathbf v&=\frac{K}{r}\,\mathbf e_\theta \\\ &=K\left(-\frac{\sin\theta}{r}\,\mathbf i+\frac{\cos\theta}{r}\,\mathbf j\right) \\\ &=K\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\,\mathbf i+\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathbf j\right) \\\ \end{align} Vaikka vorteksi on helppo mieltää pyörteelliseksi virtaukseksi, ei vapaa vorteksi kuitenkaan sitä ole. On melko yksinkertaista osoittaa, että vapaalle vorteksille pätee abla\times\mathbf v=0 (kun x, y eq0), joten nopeuspotentiaali on olemassa. Tällöin: \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial x}=v_x=-\frac{Ky}{x^2+y^2} \\\ \displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial y}=v_y=\frac{Kx}{x^2+y^2} \end{cases} Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on: \begin{align} \phi(x, y)&=-K\arctan\left(\frac{x}{y}\right)+f(y) \\\ &=-K\arctan\left(\frac{r\cos\theta}{r\sin\theta}\right)+f(y) \\\ &=-K\arctan\left(\frac{\sin(\pi/2-\theta)}{\cos(\pi/2-\theta)}\right)+f(y) \\\ &=-K\arctan\left(\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)+f(y) \\\ &=K\theta-K\frac{\pi}{2}+f(y), \end{align}missä f(y) on mikä tahansa vain muuttujasta y riippuva derivoituva funktio. Alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on: \begin{align} \phi(x, y)&=K\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+g(x) \\\ &=K\arctan\left(\tan\theta\right)+g(x) \\\ &=K\theta+g(x), \end{align} missä g(x) on mikä tahansa vain muuttujasta x riippuva derivoituva funktio. Kummankin yhtälön tulee toteutua yhtä aikaa, mikä on mahdollista esimerkiksi, jos f(y)=K\frac{\pi}{2}+C \quad\text{ja}\quad g(x)=C=\text{vakio}. Siispä nopeuspotentiaali on: \phi=K\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+C=K\theta+C Asetetaan \phi=\text{vakio}, josta seuraa välttämättä, että \theta=\text{vakio} (tai karteesisissa koordinaateissa y/x=\text{vakio}). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origon kautta kulkevat suorat. == Lähteet == Luokka:Virtausdynamiikka