Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on skalaariarvoinen determinantti, joka kuvaa tiettyjä sitä vastaavan lineaarikuvauksen ominaisuuksia. Esimerkiksi 3 \times 3 matriisin determinantin itseisarvo kertoo kuinka paljon tilavuus muuttuu lineaarikuvauksessa. Neliömatriisin A determinantti merkitään: :\det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c\\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{vmatrix} Matriisin A alimatriisi A_{ij} saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \displaystyle \det A_{ij} sanotaan alkion a_{ij} alideterminantiksi. == Määritelmä == Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla: Matriisin A=[a_{ij}]_{n \times n} determinantti on :\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1, j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}, jossa (j_1, j_2, j_3, \dots, j_n) on eräs \\{1, \dots, n\\}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja : \sigma \left( j_1, j_2, j_3, ..., j_n \right) = \begin{cases} 1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on parillinen} \\\ -1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on pariton} \end{cases} Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n. Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin: : \begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix} = \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c == Laskusääntöjä == *\det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right) * \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right) , jossa A ja B ovat molemmat n \times n -matriiseja. *Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla : \det \left( A \right) = 0 *Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia, : \det \left( A \right) = 0 *Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c, :\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right) *Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo. *Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään, :\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right) Sarrus’n sääntö on eräs menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi. == Determinantin laskeminen == Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla: :\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ik} \,, \quad A\in\mathbb{R}^{n \times n}, jossa Aik on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja k:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään. Esimerkki: : \begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\\ 6 & 0 & 1 \\\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\\ 2 & 0 \end{vmatrix} \- 5 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\\ 3 & 0 \end{vmatrix} \+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\\ 3 & 2 \end{vmatrix} \\\ &= 1 \cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right) \- 5 \cdot \left( 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \right) \+ 7 \cdot \left( 6 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \right) = 97 \end{align} Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo 25\times25 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin: :\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn} ,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja d_{ii} ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla: # Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: c = -1c_0. # Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: c = c_0. # Kun kerrotaan rivi vakiolla k: c = k c_0. Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa. == Alkion komplementti == määritellään alkion a_{ij} \,\\! komplementti eli kofaktori :C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\\!. Matriisin A = (a_{ij})\,\\! adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään :\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}. == Determinantin käyttäminen == Neliömatriisia A sanotaan kääntyväksi tai säännölliseksi, jos \det A e 0. Jos \det A = 0, matriisi on singulaarinen. Säännölliselle matriisille A pätee :A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I. Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi. == Geometrisia tulkintoja == Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantti vastaa lineaarikuvauksen geometrisia ominaisuuksia. Determinantin itseisarvo vastaa joko pinta-alan tai tilavuuden muutosta lineaarikuvauksessa. Determinantin positiivinen etumerkki tarkoittaa, että kätisyys ei muutu kuvauksessa, kun taas kätisyyden peilaavien kuvauksien determinantti on negatiivinen. Jos determinantti on 0, lineaarikuvaus litistää pienempään ulottuvuuteen, suoralle tai tasolle. Lisäksi determinantti vastaa matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia. == Lähteet == == Kirjallisuutta == * Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 * de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273. * Lay, David C. (22 elokuuta 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 * Meyer, Carl D. (15 helmikuuta 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31 * Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover * Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 * G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 MR0019078 * Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6 * Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International * Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall === Muita lineaarialgebraan liittyviä kirjoja === * Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817. * Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand * Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International * Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 * Bretscher, Otto (2004), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0 * Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2 * Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra * Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0 * Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 * Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8 * Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations * Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd ed.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2 * Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9 * Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd ed.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0 * Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6 * The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., ISBN 978-1-59327-413-9 * Axler, Sheldon (February 26, 2004), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98258-8 * Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1 * Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3 * Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6 * Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0 * Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1376-8 * Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2664-5 * Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0 * Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3 * Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5 * Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3 * Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (October 15, 1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 * Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9 * Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice- Hall, Inc., MR 0276251 * Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3 * Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Linear Algebra (5th ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-486024-4 * Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 * Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1 * Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6 * Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4 * Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on October 31, 2009 * Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7 * Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3 * Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9 * Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7 * Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2 * Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1 * Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9 * Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6 * Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9 * Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3 * McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3 * Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0 Luokka:Matriisit