Neutraalialkio

Joukon S alkio e on neutraalialkio eli identiteetti jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation * suhteen, jos e * a = a ja a * e = a kaikilla a\in S. Neutraalialkio ei siis "muuta" toista alkiota tässä operaatiossa. Neutraalialkio on yksikäsitteinen (jos se on olemassa). Esimerkiksi reaalilukujen (samoin kokonaislukujen ja rationaalilukujen) yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun 1. Tietynkokoisten neliömatriisien matriisikertolaskun neutraalialkio on identiteettimatriisi. Jos S on parillisten lukujen joukko, sillä ei ole neutraalialkiota kertolaskun suhteen (ei edes oikeaa eikä vasenta). Vasen neutraalialkio toteuttaa ehdon e * a = a ja oikea neutraalialkio ehdon a * e = a kaikilla a\in S. Jos binäärioperaatiolle on olemassa sekä vasen että oikea neutraalialkio, ne ovat yksikäsitteisiä ja samat (siis kaksipuolinen neutraalialkio eli neutraalialkio). Kertolaskun neutraalialkiota kutsutaan joskus ykkösalkioksi ja yhteenlaskun neutraalialkiota nolla-alkioksi. Yksikkö saattaa tarkoittaa mitä tahansa kääntyvää alkiota (kertolaskun suhteen). Kirjain e tulee saksankielisestä sanasta Einheit. ==Formaalinen määritelmä ja nimityksiä== Olkoon operaatio * joukossa S määritelty binäärioperaatio (eli *:S\times S\rightarrow S). Joukon S alkio e on vasemmanpuoleinen neutraalialkio, jos e * a = a kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin, jos a * e = a kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e oikeanpuoleinen neutraalialkio. Jos e on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen neutraalialkio eli a * e = e * a =e kaikilla a\in S, sitä kutsutaan neutraalialkioksi. Tällöin pari (S,*) on monoidi, jos lisäksi * on assosiatiivinen. ==Esimerkkejä== Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Määritelkäämme vallan erikoinen laskutoimitus \star seuraavasti: \star :\R\times\R \rightarrow \R, missä a\star b=a \ \mbox{kun}\ a,b \in \R. Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan a\star 2=a. Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä a\star b=b on tilanne päinvastainen. Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista \\{2, 3, 4, 5, ...\\}, ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille (\Z,\heartsuit), kun laskutoimitus määritellään a \heartsuit b = 1 +a\cdot b. Määriteltäköön reaaliluvuille laskutoimitus \circledcirc, jossa a \circledcirc b = a + b - 1. Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä a \circledcirc 1 = a + 1 - 1 = a ja 1 \circledcirc b = 1 + b - 1 = b. Vaikka e olisi joukon S operaation * neutraalialkio, voi olla olemassa S:n osajoukko T, johon e ei kuulu ja joka on silti suljettu operaation * suhteen neutraalialkionaan jokin toinen alkio f. Itse asiassa S ja T voivat olla jopa ykkösellisiä renkaita samoilla operaatioilla. ===Muita esimerkkejä=== joukko binäärioperaattori neutraalialkio reaaliluvut yhteenlasku ( + ) 0 reaaliluvut kertolasku ( * ) 1 vektorit yhteenlasku ( + ) nollavektori n x n neliömatriisi yhteenlasku ( + ) nollamatriisi n x n neliömatriisi kertolasku ( * ) yksikkömatriisi kaikki funktiot joukosta M itseensä yhdistetty funktio ( o ) identiteettifunktio merkkijonot yhdistäminen tyhjä merkkijono vain kaksi alkiota {e, f} * määritelty niin että e * e = f * e = e ja f * f = e * f = f e ja f ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista neutraalialkiota. Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti. ==Neutraalialkio ja käänteisalkio== Luvun a käänteisalkio b ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion e eli a*b=e. Jos parilla (S,*) on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio. == Katso myös == * Käänteisalkio * Magma, Monoidi ja Ryhmä ==Lähteet== ==Aiheesta muualla== * Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s) * PlanetMath: Grupoid * Dr. Claire Wladis: The Identity Property * Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets Luokka:Abstrakti algebra fa:عمل دوتایی#عضو خنثی