Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, funktion raja-arvoilla tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu) kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja- arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla. == Merkintätapoja == Raja-arvo on latinaksi limes, mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä :\lim_{x \to p}f(x) = L, joka luetaan "funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p". Sen toinen merkintätapa on :f(x) \to L \text{, kun } x \to p, joka luetaan edelliseen tapaan. == Määritelmiä == === Intuitiivinen määritelmä === Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää funktion raja-arvon käsitettä. Jos funktion arvoa f(p) ei voi, taikka saa laskea tietyllä luvulla p, voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun p viereisiä) lukuja x. Mitä pienempi on lukujen p ja x välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo f(x) vastaisi kuviteltua funktion arvoa f(p) (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut x poikkeavat luvusta p, sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle L, ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen x arvojen lähestyessä luvun p arvoa. Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono (x_i), joka lähestyisi lukua p lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla x_i laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono f(x_i). Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä. === Määritelmä toispuolisten raja- arvojen avulla === Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun :\lim_{x \to p+}f(x) = \lim_{x \to p-}f(x) = L, missä L on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on oikeanpuoleinen raja-arvo ja toinen vasemmanpuoleinen raja-arvo, on raja-arvo olemassa ja sen arvo on L eli :\lim_{x \to p}f(x) = L. ==== Raja-arvon numeerinen määrittäminen ==== x f(x)=\frac{\sin(x)}{x} 1 0,841471 0.1 0,998334 0.01 0,999983 0.001 0,999999 0 ei määritelty (0/0), mutta \to 1 -0.001 0,999999 -0.01 0,999983 -0.1 0,998334 -1 0,841471 Taulukossa on laskemia funktion f(x)= {\sin {x} \over x} arvoista, kun muuttuja lähestyy ensin nollaa oikealta (yläpuolella) ja sitten vasemmalta (alapuolella). Likiarvoista voidaan todeta, että todennäköinen raja-arvo on luku 1,joka jää kummankin lukujonon väliin. Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio f(x)= {\sin {x} \over x} on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa (\mathbb{R}\diagdown \\{0\\}.) Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja f(1),f(0,1),f(0,01),f(0,001), \dots niin, että x \to 0. Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli :\lim_{x \to 0+}f(x) = 1. Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan f(-1),f(-0,1),f(-0,01),f(-0,001), \dots. Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli :\lim_{x \to 0-}f(x) = 1.. Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon- delta-tekniikalla (katso seuraava luku). Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen. === Eksakti määritelmä === Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon (\epsilon) ja delta (\delta) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava. Funktion f realilukuarvoinen määrittelyjoukko on A niin, että f: A\to \mathbb{R} on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku p, eli [a,b]\diagdown \\{p\\} (luku p voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo L kohdassa p, jos kaikilla luvuilla \epsilon > 0 on aina olemassa luku \delta > 0 siten, että :|f(x)-L| < \epsilon \text{, kun } 0 < |x-p| < \delta. Siis, valittiinpa positiivinen luku \epsilon kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku \delta siten, että kaikilla korkeintaan \delta:n etäisyydellä olevilla luvuilla x ovat funktion f(x) arvot korkeintaan \epsilon:n etäisyydellä raja-arvosta L. Toistamalla \epsilon:n pienentämisen, tulisi myös \delta pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun \delta:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun \epsilon. ==== Esimerkki epsilon-delta-tekniikasta ==== Funktiolla f(x)=x^2 on toki olemassa arvo luvulla x=3, joka on f(3)=3^2=9. Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja- arvo L, kun luvut x lähestyvät lukua p = 3. Siis osoitetaan, että (lähde:) : \lim_{x \to 3}f(x) = \lim_{x \to 3}x^2 = 9. Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon L = 9 erotuksen suuruuden ylärajaksi \epsilon siten, että :|f(x)-L| = |x^2-9| < \epsilon, missä \epsilon > 0. Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa p = 3 tulee x valita, että ollaan korkeintaan \epsilon:in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä :|x^2-9| = |x-3||x+3|, ja kun x on riittävän lähellä arvoa p = 3, on :|x-3| < 1 ja :|x+3| =|x-3+3+3|\le |x-3|+2|3| \le 1+2|3|=7. Nyt huomataan että \epsilon ja \delta riippuvat toisitaan. Siis :|x^2-9| \le |x-3|\cdot 7 < \epsilon, kunhan :0 < |x-3| < {\epsilon \over 7}, jolloin valitaan \delta = min \\{ {\epsilon \over 7}, 1\\}. Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun \epsilon:ia pienennetään, pienenee myös \delta. Erityisesti, valitsemalla x luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla x riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi. === Toispuolinen raja- arvo === Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen x ja p erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, x lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa. Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut x ovat lukua p suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua p oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo x-p. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja :\lim_{x \to p+}f(x) = L^+ \Leftrightarrow |f(x)-L| < \epsilon \text{, kun } 0 < x-p < \delta. Raja-arvon L yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua p lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut x ovat aina lukua p pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot :\lim_{x \to p-}f(x) = L^- \Leftrightarrow |f(x)-L| < \epsilon \text{, kun } 0 < p-x < \delta. === Epäoleellinen raja-arvo === Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä. Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se :\lim_{x \to +\infty}f(x) = L, jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy plus ääretöntä"). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se :\lim_{x \to -\infty}f(x) = L, jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy miinus ääretöntä"). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa L luvulla. Tällöin sanotaan, että "funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L". Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos :\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty, jos tulos kasvaa rajatta ja :\lim_{x \to +\infty}f(x) = -\infty, jos tulos vähenee rajatta. Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä :\lim_{x \to +\infty}f(x) = L, määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla :|f(x)- L| < \epsilon \text{, kun } x > M_\epsilon, eli funktion arvo f(x) on \epsilon:n etäisyydellä raja-arvosta L, kun muuttuja x on ylittänyt rajan M_\epsilon. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa L, kunhan muuttuja x kasvatetaan tarpeeksi suureksi. == Raja-arvon määritelmä funktioteoriassa == Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa z = x + iy) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun z moduuli lasketaan |z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}. Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla |a-b|. Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia z = x + iy, ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun z_0) määriteltyä kompleksifunktiota f(z)=u(x,y) + iv(x,y), pystytään joskus määrittämään funktion f(z) raja-arvo :\lim_{z\to z_0}f(z). Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue G voi olla pisteen z_0 ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku z voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua z_0 mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun z_0 määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina :|z-z_0| = |(x + iy)-(x_0 + iy_0)|=|(x-x_0)+i(y-y_0)|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadaan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku L kohdassa z_0, jos kaikilla luvuilla \epsilon > 0 on aina olemassa luku \delta > 0 siten, että :|f(z)-L| < \epsilon \text{, kun } 0 < |z-z_0| < \delta. == Käyttö differentiaali- ja integraalilaskennassa == === Funktion jatkuvuuden toteaminen === Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä p, mikäli sen toispuoleiset raja- arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion f(p) arvo: :\lim_{x \to p+}f(x) = \lim_{x \to p-}f(x) = f(p). Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä. === Derivaatan määritelmä === Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä x_0. Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena :f'(x) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. == Raja- arvojen laskusääntöjä == Jos funktioilla f(x) ja g(x) on olemassa raja-arvot (\lim\limits_{x \to p} g(x) = G e 0), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt: : \lim_{x \to c} k = \text{, kun } \, k\in \R \, :\lim\limits_{x \to p} kf(x) = k\lim_{x \to c} f(x) = k \cdot F :\lim\limits_{x \to p} (f(x) + g(x)) = \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) = F + G :\lim\limits_{x \to p} (f(x) - g(x)) = \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) = F - G :\lim\limits_{x \to p} (f(x)\cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) = F \cdot G :\lim\limits_{x \to p} (f(x)/g(x)) = {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)} = F/G Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin. Yhdistetyillä funktioilla :\lim_{y \to p} f(y) = L \text{ ja } \lim_{x \to a} g(x) = p \text{ } \Rightarrow \lim_{x \to a} f(g(x)) = L == Historia == Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon modernin tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan "Cours d'analyse" (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes- merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa. == Katso myös == * Lukujonon raja-arvo == Lähteet == * * * * * Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I , (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999 ===Viitteet=== == Aiheesta muualla == * Encyclopedia of Math: Limit, Luokka:Differentiaalilaskenta Luokka:Analyysi