Tilavuusintegraali

Tilavuusintegraali eli avaruusintegraali on kolmiulotteisessa avaruudessa \mathbb{R}^3 tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa. == Määritelmä == Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona A = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times [a_3, b_3] Jos funktio f on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on \int_A f\ = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_3}^{b_3} f(x, y, z) dx dy dz Jos D \subset \mathbb{R}^3 on mielivaltainen rajoitettu joukko ja f siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti: Valitaan suorakulmainen särmiö A \subset \mathbb{R} siten, että D sisältyy A:hen eli D \subset A. Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio fD siten, että # f(x, y, z) = f(x, y, z), kun (x, y, z) \in D, ja # f(x, y, z) = 0, kun (x, y, z) otin D Nyt määritellään, että :\int_D f = \int_D f_D. Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön A valinnasta, kunhan D kokonaan sisältyy siihen. Jos alue D ei ole rajoitettu, voidaan määritellä: :\int_D f = \lim_{t\to\infty} \int_{D \cap R_t} f, kun R_t = \\{(x, y, z)||x| \le t, |y| \le t, |z| \le t\\}, mikäli tämä raja-arvo on olemassa. Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön. == Tilavuusmitta == Joukon D karakteristinen funktio määritellään funktiona χD, jonka arvo on # \chi_D (x, y, z) = 1, kun (x, y, z) \in A, ja # \chi_D (x, y, z) = 0, kun (x, y, z) otin A, Rajoitetun joukon D tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion chi_D tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli: V = \int_D \chi_D, mikäli karakteristinen funktio on integroituva. Koska χD saa arvon 0 kaikkialla alueen D ulkopuolella, voidaan alue D, jonka yli funktio χD korvata millä tahansa laajemmalla alueella A, johon D sisältyy (eli D \subset A), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa: V = \int A \chi_D. Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen D jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen D yli: V = \int_D 1 == Tilavuusintegraali pallo- ja sylinterikoordinaatistossa == Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla. Olkoot D, D' \subset \mathbb{R}^n avoimia, \overline{D} ja \overline{D'} kompakteja, \partial D ja \partial D' nollajoukkoja sekä \omega bijektiivinen C^1-kuvaus, \omega : D \rightarrow D'. Jos f :\overline{D'} \rightarrow \mathbb{R} on jatkuva, niin \int_{D'} f \,dx_1 \ldots \,dx_n =\int_D f(\omega)|\tau(\omega)|\,dx_1 \ldots \,dx_n , missä \tau(\omega) on kuvauksen \omega jacobiaani eli Jacobin determinantti \tau(\omega)=det \omega'=\begin{vmatrix} \partial_1 \omega_1 & \cdots & \partial_n \omega_1 \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ \partial_1 \omega_n & \cdots & \partial_n \omega_n \end{vmatrix}, ja \omega_1, \ldots, \omega_n ovat \omega:n koordinaattifunktiot. Kuvaukselle \omega : \left ( 0,R \right )\times \left [ 0,2\pi \right ]\times \left [ 0,\pi \right ) \rightarrow B(\overline{0}, R), \omega(r,\rho,\theta)=(\omega_1,\omega_2,\omega_3), missä \begin{cases} \omega_1=r\sin\theta\cos\rho \\\ \omega_2=r\sin\theta\sin\rho\\\ \omega_3=r\cos\theta \end{cases} saadaan Jacobin determinantiksi |\tau(\omega)|=r^2\sin\theta, kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion f avaruusintegraalille lauseke: \iiint\limits_D f(r,\rho,\theta)r^2 \sin\theta \,dr\,d\rho\, d\theta Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista \begin{cases} x_1=r\cos\rho \\\ x_2=r\sin\rho\\\ x_3=x_3 \end{cases} Jacobin determinantiksi |\tau(x)|=r ja tästä funktion f avaruusintegraalille lauseke \iiint\limits_D f(r,\rho,z)r \,dr\,d\rho\, dz. == Esimerkki == Lasketaan \mathbb{R}^3:n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla \int_{\overline{B}(0,R)} 1 \,dx_1\,dx_2\,dx_3 pallokoordinaatteihin sijoituksella: \begin{align} \int_{\overline{B}(0,R)} 1 \,dx_1\,dx_2\,dx_3 & =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} 1 \cdot r^2\sin\theta \,d\rho\,d\theta\,dr \\\ & =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi} 2\pi r^2\sin\theta \,d\theta\,dr \\\ & =\int_{0}^{R} 4\pi r^2 \,dr \\\ & = \frac{4}{3}\pi R^3. \end{align} == Katso myös == * Pintaintegraali == Lähteet == Luokka:Integraalilaskenta