Banachin tulitikkuongelma

Banachin tulitikkuongelma on klassisen todennäköisyyslaskennan tehtävä, joka on kunnianosoitus Stefan Banachille. Feller, William, An Introduction to Probability Theory And Its Applications, Luku VI, Kohta 8, Wiley, 1968 Matemaatikko Hugo Steinhaus kertoi, että ongelman inspiraation lähteenä oli ollut Banachin tupakointi, ja koska nimestä tuli kirjallisuudessa niin suosittu, hän päätti olla muuttamatta ongelman nimeä. Kuvitellaan tilanne, jossa matemaatikko kantaa aina yhtä tulitikkurasiaa oikeassa taskussaan ja yhtä tulitikkurasiaa vasemmassa taskussaan. Kun hän tarvitsee tulitikun, hän valitsee toisen taskuista sattumanvaraisesti, käyttää yhden tulitikun ja laittaa rasian taskuun katsomatta, kuinka monta tulitikkua rasiaa jäi. Tarkastellaan tilannetta, jossa matemaatikko huomaa ensimmäisen kerran, että toinen rasioista on tyhjä. Oletetaan, että alun perin molemmissa rasioissa on täsmälleen N tulitikkua. Mikä on todennäköisyys, että toisessa rasiassa on täsmälleen k tikkua (k=0,1,\ldots,N) silloin, kun matemaatikko havaitsee toisen rasian olevan tyhjä? ==Ratkaisu== Olkoon vasemman taskun valinta ”onnistuminen” ja oikean taskun valinta ”epäonnistuminen”. Huomataan, että vasemman taskun rasia on tyhjä hetkellä, kun oikean taskun rasiassa on täsmälleen k tikkua jos ja vain jos täsmälleen N−k epäonnistumista tapahtuu ennen onnistumista N+1. Taskun valinnan todennäköisyys on p = 1/2, joten saamme negatiivisella binomijakaumalla todennäköisyydeksi :P[X=N-k] = \binom{2N-k}{N}\left(\frac{1}{2}\right)^{2N-k+1}. Sama todennäköisyys pätee myös sille, että oikean taskun ollessa tyhjä vasemmassa on k tikkua. Täytyy siis laskea tapaukset yhteen, joten vaadittu todennäköisyys on :2P[X=N-k] = \binom{2N-k}{N}\left(\frac{1}{2}\right)^{2N-k}. ==Taulukko== Numeerisia arvoja, kun alkuperäinen tulitikkumäärä on N=50, nähdään seuraavasta taulukosta. p_{k} on todennäköisyys sille, että rasiassa on k tikkua. \Sigma p_{k}=p_{0}+...+p_{k} on todennäköisyyksien summa. k p_{k} \Sigma p_{k} k p_{k} \Sigma p_{k} k p_{k} \Sigma p_{k} 0 0,079 589 0,079 589 17 0,015 447 0,952 469 34 0,000 012 0,999 981 1 0,079 589 0,159 178 18 0,012 283 0,964 752 35 0,000 006 0,999 987 2 0,078 785 0,237 963 19 0,009 587 0,974 338 36 0,000 003 0,999 999 3 0,077 177 0,315 140 20 0,007 338 0,981 676 37 0,000 001 0,999 999 4 0,074 790 0,389 931 21 0,005 504 0,987 180 38 <0,000001 0,999 999 5 0,071 674 0,461 605 22 0,004 041 0,991 220 39 <0,000001 0,999 999 6 0,067 902 0,529 506 23 0,002 901 0,944 121 40 <0,000001 0,999 999 7 0,063 568 0,593 073 24 0,002 034 0,996 155 41 <0,000001 0,999 999 8 0,058 671 0,651 855 25 0,001 392 0,997 547 42 <0,000001 0,999 999 9 0,053 671 0,705 527 26 0,000 928 0,998 475 43 <0,000001 0,999 999 10 0,048 363 0,753 890 27 0,000 602 0,999 077 44 <0,000001 0,999 999 11 0,042 989 0,796 879 28 0,000 379 0,999 456 45 <0,000001 0,999 999 12 0,037 676 0,834 555 29 0,000 232 0,999 688 46 <0,000001 0,999 999 13 0,032 538 0,867 094 30 0,000 137 0,999 825 47 <0,000001 0,999 999 14 0,027 676 0,894 770 31 0,000 078 0,999 903 48 <0,000001 0,999 999 15 0,023 171 0,917 941 32 0,000 043 0,999 946 49 <0,000001 0,999 999 16 0,019 081 0,937 022 33 0,000 023 0,999 969 50 <0,000001 1,0 ==Katso myös== * Stefan Banach * Banachin avaruus * Banachin kiintopistelause * Banachin–Tarskin paradoksi ==Lähteet== ==Aiheesta muualla== * Java-sovellus Luokka:Todennäköisyyslaskennan ongelmat