Käänteislukufunktio

Käänteislukufunktion arvot muodostetaan ottamalla annetun luvun käänteisluku. Koska nollan käänteislukua ei ole olemassa, saadaan reaalilukufunktion muodolliseksi määritelmäksi :f\colon x \mapsto \frac{1}{x}\qquad x eq 0 \qquad x \in \R. Kuvaus voidaan suorittaa kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Koulumatematiikassa sama ilmaistaan useimmiten :f(x)=\frac{1}{x}\qquad x \in \R \smallsetminus\\{0\\}. Määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut paitsi nolla. Funktio voidaan määritellä myös muilla lukualueilla ja niistä tarkemmin myöhemmin. Käänteislukufunktio on erikoistapaus potenssifunktioista, jossa (kun a=1 ja r=-1) :f(x)=a x^r=1 x^{-1}=x^{-1}=\frac{1}{x}. ==Käänteislukufunktion arvon määrittäminen== ===Kokonais- ja rationaaliluku=== Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun a ja murtoluvun \tfrac{m}{n} käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi: :f(a)=1 \div a=\frac{1}{a} ja :f(\tfrac{m}{n})= \frac{1}{\tfrac{m}{n}}=1 \div \tfrac{m}{n}=1 \cdot \tfrac{n}{m}=\tfrac{n}{m} ===Reaaliluku=== Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella \tfrac{1}{a}, mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi. ===Kompleksiluku=== Kompleksiluvun z=a+bi käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen z_1 ja z_2 jakolaskun ominaisuuksia: :{z_1 \over z_2} = {z_1 \bar{z_2} \over \ z_2 \bar{z_2}} = {z_1 \bar{z_2} \over |z_2|^2} Kun z_1=1 ja z_2=z saadaan :f(z)={1 \over z} = {1 \cdot \bar{z} \over \ z \cdot \bar{z}} = {\bar{z} \over |z|^2}, missä \bar{z}=a-bi on luvun z liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla: :f(z)={1 \over z} = {\bar{z} \over |z|^2} = {{a-bi} \over {a^2+b^2}} = {{a \over {a^2+b^2}}-{b \over {a^2+b^2}}i}. Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan. ==Yleisiä ominaisuuksia== ===Monotonisuus ja nollakohdat=== Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. Funktiolla f(x)=\tfrac{1}{x} ei ole nollakohtia. ===Symmetrisyys ja parittomuus=== Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti :f(x)=\tfrac{1}{x}=x^{-1}, joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut :f(-a)=-f(a). Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste. ===Derivaatta ja integraali=== Reaalifunktion derivaattafunktio on :D \frac{1}{x}=Dx^{-1}=-1x^{-2}=-\frac{1}{x^2}, \quad x eq 0 ja integraalifunktio :\int {\frac{1}{x}}\;dx=\ln{|x|}+C, kun x eq0 ja C \in \R. ===Raja-arvot=== Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat :\lim_{x \to \infty}{\frac{1}{x}}=0 \mbox{ ja } \lim_{x \to -\infty}{\frac{1}{x}}=0. Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on :\lim_{x \to 0+}{\frac{1}{x}}=\infty ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on :\lim_{x \to 0-}{\frac{1}{x}}=-\infty. ==Katso myös== *Kääntäen verrannollisuus *Hyperbeli ==Lähteet ja viitteet== Luokka:Analyysi Luokka:Funktiot