Pintaintegraali

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain \mathbb{R}^3:n pinnoille. == Määritelmä == Olkoon D \subset \mathbb{R}^2 yhtenäinen ja \omega : D \rightarrow \mathbb{R}^3 eräs \mathbb{R}^3:n derivoituva pinta. Olkoon A \subset \mathbb{R}^3 joukko siten, että pinnan \omega kuvaaja \omega (D) \subset A. Olkoon nyt funktio f : A \rightarrow \mathbb{R} sellainen, että funktio h : D \rightarrow \mathbb{R}, h (x,y) = f(\omega (x,y))||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)||, on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska \omega on \mathbb{R}^3:n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat \mathbb{R}^3:n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion f pintaintegraali yli pinnan \omega on luku \int\limits_\omega f = \iint\limits_D f(\omega (x,y))||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\,\mbox{d}y. == Sovelluksia == Jos valitsemme nyt funktioksi f = 1, niin pintaintegraali antaa pinnan \omega kuvaajan pinta- alan. Saamme siis pinnan \omega kuvaajan pinta-alaksi kaavan A( \omega ) = \iint\limits_D ||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y . Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta \omega : \bar{B}(0,r) \rightarrow \mathbb{R}^3, \omega (x,y) = (x,y,\sqrt{r^2-x^2-y^2}). Huomataan, että pinnan \omega kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan \omega kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat: \partial_1 \omega (x,y) = (\partial_1 x, \partial_1 y, \partial_1 \sqrt{r^2-x^2-y^2}) = (1,0,-x / \sqrt{r^2-x^2-y^2}) \partial_2 \omega (x,y) = (\partial_2 x, \partial_2 y, \partial_2 \sqrt{r^2-x^2-y^2}) = (0,1,-y / \sqrt{r^2-x^2-y^2}) Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori: \partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y) = \begin{vmatrix} (1,0,0) & (0,1,0) & (0,0,1)\\\1 & 0 & -x / \sqrt{r^2-x^2-y^2}\\\0 & 1 & -y / \sqrt{r^2-x^2-y^2} \end{vmatrix} = (x / \sqrt{r^2-x^2-y^2},y / \sqrt{r^2-x^2-y^2},1) ja edelleen sen normiksi ||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| = ||(x / \sqrt{r^2-x^2-y^2},y / \sqrt{r^2-x^2-y^2},1)|| = \sqrt{(x / \sqrt{r^2-x^2-y^2})^2 + (y / \sqrt{r^2-x^2-y^2})^2 + 1^2} = \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}. Näin ollen \mbox{Pallon kuoren pinta-ala} = 2A(\omega ) = 2\iint\limits_{\bar{B}(0,r)} ||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y = 2\iint\limits_{\bar{B}(0,r)} \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}} \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y = 4\pi r^2. (lopun integroinneissa käytetään apuna tasa- arvokäyrien teoriaa). == Vuopintaintegraali == Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta \omega ja joukko A \subset \mathbb{R}^3 kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio F : A \rightarrow \mathbb{R}^3 sellainen, että funktio H : D \rightarrow \mathbb{R}, H (x,y) = F(\omega (x,y))\cdot (\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)), on integroituva yli joukon D. Nyt funktion F vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan \omega on luku \int\limits_\omega F \cdot \mbox{d}\bar{A} = \iint\limits_D F(\omega (x,y))\cdot (\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)) \, \mbox{d}x\,\mbox{d}y. Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos E \subset \mathbb{R}^3 on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, E \subset A, missä A \subset \mathbb{R}^3 on avoin ja \omega : D \rightarrow \mathbb{R}^3 on \mathbb{R}^3:n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon E reuna \partial E, niin derivoituvan funktion F : A \rightarrow \mathbb{R}^3 vuo \int\limits_\omega F \cdot \mbox{d}\bar{A} = \iiint\limits_D abla \cdot F \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y\, \mbox{d}z. == Lähteet == Luokka:Integraalilaskenta