Matriisi

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen. == Määritelmä == Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita kutsutaan tyypin m \times n matriisiksi ja sitä merkitään seuraavalla tavalla: :\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix} Rivillä i ja sarakkeessa j olevaa matriisin alkiota merkitään a_{ij} tai A_{ij}. Lävistäjäalkio on alkio, jolla i=j. == Tavallisia matriiseja == Yksikkömatriisi \boldsymbol {I} on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. n \times n yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla \boldsymbol{I}_{n \times n}. Tällöin pätee \boldsymbol{I}_{ij} = 1, kun i = j, ja muuten \boldsymbol{I}_{ij} = 0. :\boldsymbol I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\ 0 & \ddots & & 0 \\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix} Nollamatriisi \mathbf{O} on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia. Neliömatriisilla on yhtä monta riviä ja saraketta. Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille \boldsymbol A_{n \times n} pätee että A_{ij} = 0 kun i e j: : \boldsymbol A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\\ 0 & a_2 & \, & 0 \\\ \vdots & \, & \ddots & \vdots \\\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\\ \end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n) 1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi. Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori. == Transpoosi ja symmetrisyys == Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi: jos \boldsymbol A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\\ 4&5&6\end{bmatrix}, niin \boldsymbol A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1&4\\\ 2&5\\\ 3&6\end{bmatrix}. Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli \boldsymbol A^\operatorname{T}=\boldsymbol A. == Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa== === Skalaarilla kertominen === Matriisi \boldsymbol A = (a_{ij}) kerrotaan skalaarilla c siten, että jokainen \boldsymbol A:n alkio kerrotaan skalaarilla c: :c\boldsymbol A = \boldsymbol Ac = ( ca_{ij})\,\\! === Yhteenlasku === Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista. Matriisien \boldsymbol A_{m \times n} ja \boldsymbol B_{m \times n} summa on (\boldsymbol A+\boldsymbol B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix} === Kertolasku === thumb|Matriisien kertolasku. Matriisien kertolaskussa tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakariveistä ja toisen matriisin sarakkeista muodostettujen vektoreiden pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa m \times p ja B kokoa p \times n. Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa m \times n. Nyt matriisitulo on \boldsymbol {AB} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_n \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_n \end{bmatrix} , missä kukin \mathbf{a}_i on matriisin A i:nnestä vaakarivistä muodostettu vektori, ja \mathbf{b}_j on matriisin B j:nnestä sarakkeesta muodostettu vektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty. ==== Esimerkki ==== \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\\ 5 & 2 \\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & -3 \\\ 0 & -2 & 6 \\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3\cdot 1+(-1)\cdot 0 & 3\cdot 4+(-1)\cdot(-2) & 3\cdot (-3)+(-1)\cdot 6 \\\ 5\cdot 1+2\cdot 0 & 5\cdot 4+2\cdot(-2) & 5\cdot (-3)+2\cdot 6 \\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 14 & -15 \\\ 5 & 16 & -3 \\\ \end{array} \right). === Tärkeimmät laskusäännöt === Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille A, B ja C, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty: *\boldsymbol {A + O = A} *\boldsymbol {A O = O A = O}, missä (\forall [\boldsymbol O]_{ij} = 0) *\boldsymbol{A + B = B + A} *(\boldsymbol{A + B) + C = A + (B + C)} *c(\boldsymbol{A + B}) = c\boldsymbol A + c\boldsymbol B *1\boldsymbol{ A = A} *\boldsymbol {A(BC) = (AB)C} *c(\boldsymbol{AB}) = (c\boldsymbol A)\boldsymbol B = \boldsymbol A(c\boldsymbol B) *\boldsymbol{A(B + C) = AB + AC} *\boldsymbol{(A + B)C = AC + BC} *\boldsymbol{IA = AI = A} *\boldsymbol{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}} Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: \boldsymbol {AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}} On huomattava, että yleisesti \boldsymbol{AB e BA}, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia. == Determinantti == Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin A determinantti merkitään: :\det \boldsymbol A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c\\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{vmatrix} Matriisin \boldsymbol A alimatriisi \boldsymbol A_{ij} saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \displaystyle \det \boldsymbol A_{ij} sanotaan alkion a_{ij} alideterminantiksi. Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. === Määritelmä === Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla: Matriisin \boldsymbol A=[a_{ij}]_{n \times n} determinantti on :\det \boldsymbol A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1, j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n} ,jossa (j_1, j_2, j_3, \dots, j_n) on eräs \\{1, \dots, n\\}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja : \sigma \left( j_1, j_2, j_3, ..., j_n \right) = \begin{cases} 1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on parillinen} \\\ -1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on pariton} \end{cases} Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla alkiot 2 ja 3 keskenään. Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin: : \begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix} = \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c === Laskusääntöjä === *\det \left( \boldsymbol{A^\operatorname{T}} \right) = \det \left( \boldsymbol A \right) * \det (\boldsymbol A\cdot \boldsymbol B) = \det (\boldsymbol A ) \cdot \det (\boldsymbol B) , jossa A ja B ovat molemmat n \times n -matriiseja. *Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla : \det ( \boldsymbol A ) = 0 *Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia, : \det \left( \boldsymbol A \right) = 0 *Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c, :\det \left( \boldsymbol A_1 \right) = c\cdot\det \left( \boldsymbol A \right) *Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo. *Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään, :\det \left( \boldsymbol A_1 \right) = -\det \left( \boldsymbol A \right) === Determinantin laskeminen === Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla: :\det \boldsymbol A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij} \,, \quad A\in\mathbb{R}^{n \times n} ,jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan, kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään. Esimerkki: : \begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\\ 6 & 0 & 1 \\\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\\ 2 & 0 \end{vmatrix} \- 5 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\\ 3 & 0 \end{vmatrix} \+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\\ 3 & 2 \end{vmatrix} \\\ &= 1 \cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right) \- 5 \cdot \left( 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \right) \+ 7 \cdot \left( 6 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \right) = 97 \end{align} Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo 25\times25 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin: :\det \left( \boldsymbol A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn} ,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja d_{ii} ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla: # Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: c = -1c_0. # Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: c = c_0. # Kun kerrotaan rivi vakiolla k: c = k c_0. Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa. Sarrus’n sääntö on eräs tapa 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi. === Alkion komplementti === määritellään alkion a_{ij} \,\\! komplementti eli kofaktori :C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\\!. Matriisin \boldsymbol A = (a_{ij})\,\\! adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään :\operatorname{adj} \boldsymbol A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}. === Determinantin käyttäminen === Neliömatriisia \boldsymbol A sanotaan singulaariseksi, jos \det \boldsymbol A = 0 \,\\!. Jos \det \boldsymbol A e 0, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen). Ei-singulaariselle matriisille \boldsymbol A pätee :\boldsymbol A \left( \frac{1}{\det \boldsymbol A}\operatorname{adj} \boldsymbol A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det \boldsymbol A}\operatorname{adj} \boldsymbol A \right) \boldsymbol A = \boldsymbol I. Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi. ==Matriisit ja lineaarikuvaukset== Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m vastaa tietty m \times n kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla. Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi. == Lineaariset yhtälöryhmät == Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m ehtoa ja n tuntematonta muuttujaa, on muotoa: \begin{align} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + &\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + &\cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\\ &\ \ \vdots \\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + &\cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{align} Sama voidaan esittää matriisilla \boldsymbol A_{m \times n} ja n-pituisilla vektoreilla \boldsymbol{x} ja \boldsymbol{b} lyhyesti muodossa A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}: \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ \vdots \\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\\ b_2 \\\ \vdots \\\ b_m \end{bmatrix} Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää. == Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys == Neliömatriisi \boldsymbol A_{n \times n} on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi \boldsymbol B_{n \times n} siten että \boldsymbol{AB = I}_{n \times n} ja \boldsymbol{BA=I}_{n \times n}. Muussa tapauksessa matriisi \boldsymbol A on singulaarinen. Matriisia \boldsymbol B kutsutaan matriisin \boldsymbol A käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla \boldsymbol A^{-1}. Säännölliset n \times n-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat yhteen- ja kertolaskun suhteen renkaan, jota merkitään GL_n. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla. Oletetaan, että lineaarisessa yhtälöryhmässä \boldsymbol A_{n \times n} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} on n ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis \boldsymbol A on n \times n neliömatriisi. Matriisin \boldsymbol A_{n \times n} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli \boldsymbol A on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori \boldsymbol{b} mikä hyvänsä. Mikäli \boldsymbol A on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin \boldsymbol{b} arvosta. Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on, että matriisi \boldsymbol A on säännöllinen, jos ja vain jos \boldsymbol{Ax = 0} \Leftrightarrow \boldsymbol{x = 0}. ==Historia== Englanninkielisen sanan Matrix tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850: Sana ( ’kohtu’ < mater ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”). ==Lähteet== ==Kirjallisuutta== * * * == Aiheesta muualla == * Matriisien kertolasku eli matriisitulo * Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit