Nelinopeus

Nelinopeus on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neli­ulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta. Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika- avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseis­ajalla. Nelinopeus on kohteen neli­sijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseis­ajan suhteen. Kappaleen nopeus sitä vastoin on sen sijainnin muutos­nopeus kolmi­ulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen. Nelinopeus on näin ollen kohteen maailman­viivan normalisoitu ajan­luontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden neli­nopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen neli­nopeus, minkä vuoksi mahdolliset neli­nopeudet eivät muodosta vektori­avaruutta. Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valon­nopeuden (c) suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen neli­nopeus on aika­koordinaatin suuntainen. == Nopeus == Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaatti­funktion avulla: x^i(t),\; i \in \\{1,2,3\\} ajan t funktiona: :\vec{x} = x^i(t) = \begin{bmatrix} x^1(t) \\\ x^2(t) \\\ x^3(t) \end{bmatrix} , missä luvut x^i(t) tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä t. Nopeuden {\vec{u}} (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailman­viivan pisteessä ovat :{\vec{u}} = \begin{bmatrix}u^1 \\\ u^2 \\\ u^3\end{bmatrix} = {d \vec{x} \over dt} = {dx^i \over dt} = \begin{bmatrix}\tfrac{dx^1}{dt} \\\ \tfrac{dx^2}{dt} \\\ \tfrac{dx^3}{dt}\end{bmatrix}. == Suhteellisuusteoria == Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailu­järjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaatti­funktiota x^{\mu}(\tau),\; \mu \in \\{0,1,2,3\\}, missä x^{0} merkitsee aika­koordinaattia kerrottuna valon­nopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista \tau, jota sanotaan kohteen itseis­ajaksi. : \mathbf{x} = x^{\mu}(\tau) = \begin{bmatrix} x^0(\tau)\\\ x^1(\tau) \\\ x^2(\tau) \\\ x^3(\tau) \\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ct \\\ x^1(t) \\\ x^2(t) \\\ x^3(t) \\\ \end{bmatrix} === Aikadilaatio === Aikadilaatiosta tiedetään, että :t = \gamma \tau \, missä \gamma on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti: : \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} ja u on nopeusvektorin euklidinen normi \vec{u}: :u = || \ \vec{u} \ || = \sqrt{ (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2} . === Nelinopeuden määritelmä === Nelinopeus on maailman­viivan tangentin suuntainen neli­vektori. Nelinopeus missä tahansa maailman­viivan pisteessä \mathbf{x}(\tau) määritellään seuraavasti: :\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{x}}{d \tau} missä \mathbf{x} on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja \tau itseisaika. Nelinopeutta ei voida määritellä valon­nopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailman­viivan tangentti olisi paikan­luontoinen. === Nelinopeuden komponentit === Aika t ja koordinaattina ilmaistu aika x^0 vastaavat toisiaan yhtälön : x^0 = ct = c \gamma \tau \, mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseis­ajan \tau \, , suhteen, saadaan nopeuden komponentti U^\mu \, tapauksessa μ = 0: :U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = c \gamma . Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille \mu = i = 1, 2, 3, saadaan: :U^i = \frac{dx^i}{d\tau} = \frac{dx^i}{dx^0} \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{dx^i}{dx^0} c\gamma = \frac{dx^i}{d(ct)} c\gamma = {1 \over c} \frac{dx^i}{dt} c\gamma = \gamma \frac{dx^i}{dt} = \gamma u^i missä on käytetty yhteyttä : u^i = {dx^i \over dt } . Täten nelinopeudelle \mathbf{U} saadaan: :\mathbf{U} = \gamma \left( c, \vec{u} \right) Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että neli­nopeuden kolme paikan­luontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseis­nopeuden \gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau, toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailu­järjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana. == Lähteet == * * Luokka:Suhteellisuusteoria Luokka:Suureet