Kolmioluku

Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55. Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku T_n on T_{n-1}+n=T_n. Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä: : Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku n. Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää. == Formaalinen määritelmä== Kolmioluvut T_n saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen: :T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}. Merkintä {n+1 \choose 2} tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin n+1:sta alkiosta muodostettavien parien lukumäärä. == Yhteyksiä matematiikkaan == Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on kerrottu esimerkkejä eräistä kolmiolukujen ominaisuuksista. === Arjen erikoisuuksia === Keilat asetetaan kolmioluvun T_4 = 10 tapaan tetraktyksen muotoon. Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun T_5 = 15 tapaan. Pedon luku on kolmioluku T_{6\cdot6}=T_{36}= 666\. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat. ===Kolmiolukujen ominaisuksia === Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku C_n. :T_n^2-T_{n-1}^2=n^3 = C_n Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan T_3^2-T_{2}^2=6^2-3^2=36-9=27=3^3 = C_3. Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku. :T_n^2+T_{n-1}^2=T_{n^2} Kun esimerkiksi n = 3, saadaan T_3^2+T_{2}^2=6^2+3^2=36+9=45=T_9=T_{3^2}. Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi. :3T_n+T_{n-1}=T_{2n} (kuvio 1) :3T_n+T_{n+1}=T_{2n+1} (kuvio 2) Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa. :1+3+5+ \dots +(2n-1)=T_n + T_{n-1} Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan. === Kytkentä muihin kuviolukuihin === Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku N_n: :T_n+T_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2} =\frac{n^2+n+n^2-n}{2}=n^2=N_n = (T_n - T_{n-1})^2 Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä. T_3+T_4=6 + 10 = 16 = 4^2=N_4 T_4+T_5=10 + 15 = 25=5^2=N_5 Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta. 8T_n+1 = N_{2n+1} = (2n+1)^2, eli tässä kuvan mukaisessa tapauksessa 8T_7+1 =225=15^2=(2\cdot7+1)^2= N_{15}. Toinen vastaava esimerkki on :T_{n-1} + 6T_n + T_{n+1}= N_{2n+1} = (2n+1)^2. Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti :T_1-T_2+T_3-T_4+ \dots +T_{2n-1}=N_n=n^2 saadaan tulokseksi neliöluku. Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku H_n: H_n = T_{2n-1} Jokainen viisikulmioluku P_n on kolmasosa kolmioluvusta: P_n = \frac{1}{3} T_{3n-1} Jos S_n on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi 5S_n + 1 = T_i, joka on kolmioluku T_i. Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö: :1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3=T_n^2=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun: :1^3+3^3+5^3+7^3+ \dots + (2n-1)^3=T_{2n^2-1}=n^2(2n^2-1) ===Yhteyksiä muuhun matematiikkaan=== Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. Kaikki luvun 4T_n+1 jakajat ovat muotoa 4k+1 ja samoin on laita lukujen 6T_n+1, jotka ovat kaikki muotoa 6k+1. Muotoa 10T_n+1 olevilla luvuilla on jakajina luvut 10k+1 ja 10k-1 eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9. Parilliset täydelliset luvut P ovat kolmiolukuja T_p, jossa p on alkuluku. Kaikki P > 6 ovat muotoa P=1+9T_n=T_{3n+1}, missä T_n on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa n=8i+1. Kombinatoriikassa n-henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä {n \choose 2} monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku T_{n-1}. Kolmiolukuja T_n = 1+2+3+4+ \dots+n voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti n! = 1 \cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \dots \cdot n. Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin: :\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} |x-y|^n \,dx\,dy= \frac{1}{T_{n+1}}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}. ==Historiaa== Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen T_4 kolmioranennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua. Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla tuli perustettua lukuteoria. Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli n termiä, tuli summaksi 2(1-\frac{1}{n+1}) ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2. Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, jolloin jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. == Katso myös == * Metcalfen laki * OEIS – kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ==Lähteet== * === Viitteet === ==Aiheesta muualla== * Hobson, N.: "Triangular Numbers" * Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares Luokka:Kuvioluvut Luokka:Luonnolliset luvut