Antiprisma

Uniformisten antiprismojen joukko Uniformisten antiprismojen joukko Tyyppi uniforminen monitahokas Tahkoja 2 n-kulmiota, 2n kolmiota Särmiä 4n Kärkiä 2n Conwayn monitahokasmerkintä An Kärkikuvio 3.3.3.n Schläflin symboli { }⊗{n} s{2,2n} sr{2,n} Coxeterin diagrammit Symmetriaryhmä Dnd, [2+,2n], (2*n), kertaluku 4n Rotaatioryhmä Dn, [2,n]+, (22n), kertaluku 2n Duaalimonitahokas Trapetsoedri Ominaisuudet kupera, semiregulaarinen, kärkitransitiivinen Verkko Antiprisma on geometriassa monitahokas, jonka muodostaa kaksi keskenään yhtenevää, yhden­suuntaisille tasoille asetettua monikulmiota, joita sanotaan antiprisman pohjiksi ja joita yhdistää toisiinsa vuorotteleva nauha kolmioita. Jos pohjat ovat n-kulmioita, sanotaan antiprismaa n-sivuiseksi antiprismaksi. Antiprismat ovat prismatoidien alaluokka, ja ne voidaan myös katsoa surkastuneiksi erikois­tapaukseksi pullistetuista moni­tahokkaista. Antiprismat muistuttavat muutoin särmiöitä, paitsi että niiden pohjia on kierretty toistensa suhteen ja että niiden sivutahkot eivät ole suunnikkaita vaan kolmioita. Jos pohja on säännöllinen n-kulmio, erityisen huomattava on antiprisma, jonka pohjia on kierretty toisiinsa kulman verran. Vielä säännöllisempi antiprisma saadaan, jos pohjien keskipisteet toisiinsa yhdistävä jana on kohtisuorassa pohjatasoihin nähden, jolloin kyseessä on suora antiprisma. Sillä on tahkoina kaksi n-kulmiota, joita yhdistää 2n tasakylkistä kolmiota. ==Uniformiset antiprismat == Antiprismaa sanotaan uniformiseksi, jos sen kaikki tahkot ovat säännöllisiä monikulmioita. Jos sen pohjat ovat säännöllisiä n-kulmioita, muina tahkoina sillä on 2n tasasivuista kolmiota. Uniformiset antiprismat muodostavat äärettömän sarjan uniformisia monitahokkaita, samoin kuin uniformiset särmiötkin. Tapauksessa vastaava särmiö on surkastunut, mutta antiprismaksi saadaan erikoistapauksena, kaksikulmaisena antiprismana, säännöllinen tetraedri. Tapauksessa saadaan kolmikulmaiseksi antiprismaksi säännöllinen oktaedri. Uniformisia antiprismoja Antiprisman nimi Kaksikulmainen (digonaalinen) antiprisma (tetraedri) Kolmikulmainen (trigonaalinen) antiprisma (oktaedri) Nelikulmainen (tetragonaalinen) antiprisma Viisikulmainen (pentagonaalinen) antiprisma Kuusikulmainen (heksagonaalinen) antiprisma Seitsenkulmainen (heptagonaalinen) antiprisma ... Apeirogonaalinen antiprisma Monitahokkaan kuva Vastaava pallopinnan laatoitus Kärkikonfiguraatio 2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 ∞.3.3.3 == Antiprismojen duaalikappaleet == Antiprismojen duaalikappaleita ovat trapetsoedrit. Niitä tutki tiettävästi ensimmäisenä Johannes Kepler, joka myös antoi niille nimen, joskin on mahdollista, että jo Arkhimedes tunsi ne, sillä niiden kärjet toteuttavat samat ehdot kuin Arkhimedeen kappaleet. === Schlegelin diagrammit=== A3 A4 A5 A6 A7 A8 ==Karteesiset koordinaatit== Jos suoran n-kulmaisen antiprisman sivutahkot ovat tasakylkisiä kolmioita, sen kärkien karteesiset koordinaatit ovat: :\left( \cos\frac{k\pi}{n}, \sin\frac{k\pi}{n}, (-1)^k h \right) missä k saa kaikki kokonaislukuarvot välilt 0...2n - 1\. Jos sivutahkot ovat tasasivuisia kolmiota, on :2h^2=\cos\frac{\pi}{n}-\cos\frac{2\pi}{n}. ==Pinta-ala ja tilavuus== Olkoon a uniformisen antiprisman sirämän pituus. Silloin kappaleen tilavuus on :V = \frac{1}{12} na^2 (\cot{\frac{\pi}{2n}} + \cot{\frac{\pi}{n}})\sqrt{1 - \frac{1}{4 \cos^2{\frac{\pi}{2n}}}}, ja sen tahkojen yhteenlaskettu pinta-ala on :A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2. == Antiprismoista johdettuja monitahokkaita == On olemassa ääretön joukko typistettyjä antiprismoja, muun muassa vähemmän symmetrinen muoto typistetystä oktaedrista (typistetty kolmikulmainen antiprisma). Ne voidaan alternoida niin, että saadaan pullistettuja antiprismoja. Niistä kaksi kuuluu Johnsonin kappaleisiin, ja typistetty kolmikulmainen antiprisma on vähemmän symmetrinen muoto säännöllisestä ikosaedrista. Antiprismoja Antiprismoja Antiprismoja Antiprismoja Antiprismoja ... s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} s{2,2n} Typistettyjä antiprismoja Typistettyjä antiprismoja Typistettyjä antiprismoja Typistettyjä antiprismoja Typistettyjä antiprismoja ... ts{2,4} typistetty oktaedri ts{2,6} ts{2,8} ts{2,10} ts{2,2n} Pullistettuja antiprismoja Pullistettuja antiprismoja Pullistettuja antiprismoja Pullistettuja antiprismoja Pullistettuja antiprismoja Pullistettu disfenoidi J84 Säännöllinen ikosaedri Pullistettu antiprisma J85 Epäsäännölliset... Epäsäännölliset... ... ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10} {2,2n} ==Symmetria== Sellaisen suoran n-kulmaisen antiprisman symmetriaryhmä, jonka pohja on säännöllinen monikulmio ja sivutahkoina tasakylkiset kolmiot, on Dnd kertalukua 4n. Poikkeuksena ovat tetraedri, jolla on laajempi symmetriaryhmä Td kertalukua 24, johon sisältyy aliryhminä kolme versiota ryhmästä D2d, sekä oktaedri, jonka symmetriaryhmä Oh on kertalukua 48 ja sisältää aliryhminään kolme versiota ryhmästä D3d. Peilaus pisteen suhteen eli inversio kuuluu symmetriaryhmään, jos ja vain jos n on pariton. Anriprisman rotaatioryhmä on Dn kertalukua 2n. Poikkeuksena ovat tetraedri, jolla on laajempi rotaatioryhmä T kertalukua 12 sisältäen aliryhminään kolme versiota ryhmästä D2, sekä oktaedri, jolla on laajempi rotaatioryhmä O kertalukua 24 sisältäen aliryhminään neljä versiota ryhmästä D3. == Tähtiantiprismat == 5/2-antiprisma 5/2-antiprisma 5/2-antiprisma 5/3-antiprisma 5/3-antiprisma 5/3-antiprisma 9/2-antiprisma 9/2-antiprisma 9/4-antiprisma 9/4-antiprisma 9/5-antiprisma 9/5-antiprisma Uniformisia tähtiantiprismoja nimetään niiden pohjana olevien tähtimonikulmioiden {p/q} mukaan. Niitä on kahta tyyppiä: eteneviä () ja takautuvia ( eli leikattuja. Takautuvilla muodoilla kärkikuviot leikkaavat toisensa, ja niitä merkitään muotoa p/(p - q) olevilla murtoluvuilla murtolukujen p/q sijasta, esimerkiksi 5/3 luvun 5/2 sijasta. Takautuvissa antiprismoissa kolmiomaiset sivutahkot, jotka yhdistävät pohjat toisiinsa, leikkaavat rotaatiosymmetria-akselin. Etenevissä antiprismoissa näin ei ole laita. Joitakin tähtiantiprismoja, joiden pohjana on säännöllinen tähtimonikulmio, ei voida konstruoida niin, että kaikki särmät olisivat yhtä pitkät, ja näin ollen ne eivät ole uniformisia monitahokkaita. Tähtiantiprismaojen komponentit voidaan myös konstruoida, kun luvuilla p ja q on yhteisiä tekijöitä; niinpä antiprisma 10/4 on kahden 5/2 -antiprisman yhdistelmä. Seuraavassa taulukossa on kuvattu tähtiantiprismat 12-kulmaisiin saakka sekä niiden pohjakuviot ja merkinnät. Tähtiantiprismat symmetrian mukaan Tähtiantiprismat symmetrian mukaan Tähtiantiprismat symmetrian mukaan Tähtiantiprismat symmetrian mukaan Tähtiantiprismat symmetrian mukaan Tähtiantiprismat symmetrian mukaan Symmetriaryhmä Uniformiset tähdet Uniformiset tähdet Uniformiset tähdet Uniformiset tähdet Muut tähdet d4d [2+,8] (2*5) neliö 3.3/2.3.4 d5h [2,5] (*225) Pentagrammi 3.3.3.5/2 Viisikulmio 3.3/2.3.5 d5d [2+,10] (2*5) Pentagrammi 3.3.3.5/3 d6d [2+,12] (2*6) Kuusikulmio 3.3/2.3.6 d7h [2,7] (*227) Heptagrammi (7/2) 3.3.3.7/2 Heptgrammi (7/4) 3.3.3.7/4 d7d [2+,14] (2*7) Heptagrammi (7/3) 3.3.3.7/3 d8d [2+,16] (2*8) Oktagrammi (8/3) 3.3.3.8/3 Oktagrammi (8/5) 3.3.3.8/5 d9h [2,9] (*229) Enneagrammi (9/2) 3.3.3.9/2 Enneagrammi (9/4)3.3.3.9/4 d9d [2+,18] (2*9) Enneagrammi (9/4) d10d [2+,12] (2*10) Dekagrammi (10/3) 3.3.3.10/3 d11h [2,11] (*2.2.11) 3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6 d11d [2+,22] (2*11) 3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7 d12d [2+,24] (2*12) Dodekagrammi (12/5) 3.3.3.12/5 Dodekagrammi (12/7)3.3.3.12/7 ... == Antiprima arkkitehtuurissa == One World Trade Center New Yorkissa on pitkänomainen neliöpohjaisen antiprisman muotoinen pilvenpiirtäjä. == Lähteet == * === Viitteet === == Aiheesta muualla == Luokka:Monitahokkaat