人類はいつから数学を始めた
Passage 1: フレーゲは数学のあらゆる心理的な記述に反対する（緒論V-X）。数学が純粋に客観的であるのに対し、心理的な記述は主観的なものに訴える。 数学は人間の思考から完全に独立している。 数学的実在にはそれらについて考えている人間に無関係に客観的な特性がある。数学的言明は人類の歴史と進化を通じて自然に進化した何かとして考えることはできない。判断は「分析的アプリオリ」な判断か、「総合的アポステリオリ」な判断のどちらかと考えられる。
しかし、カントは、数学は「総合的アプリオリ」であるという。例として、「7+5=12」という命題では7+5という概念を分析しても12という概念は出てこない。したがって、この命題は総合的である（カントは、このことはもっと大きな数を使ってみればいっそうはっきりすると言う）。ところが、我々は経験によらず、感性による直観（5本の指のような）を援用して12という概念を手に入れることができる。つまり、これはアプリオリな判断である(§5)。 
Passage 2: そもそも高校まででは1800年以降に発見された数学は何一つ教えられていないとデュドネはいう。しかも1800年以前に発見されていた事実の全てが教えられているわけではない。多くの数学を応用する人々、特に物理学者などにとっても大半はマクスウェルまでの数学しか不要であると嘆く。デュドネは1800年以前の数学を古典的数学といい、それ以降のとくに1800年から1930年までに開発された現代的手法の重要性を説き、その全てを理解するには相当努力せねばならないが、考え方を理解するだけであればなんとか可能ではないかと思って執筆に至った。純粋数学が理解できるのは全人類の中でもわずか数千人程度しかいないとデュドネはいう。現代数学とは関係などをより一般化したものであり、例えば数同士にも函数同士にも成り立つような関係を、より抽象化して考えるわけであり、そういった現代数学を啓蒙するために本書を執筆したが、デュドネはあくまで現代数学における事実を述べただけであり、意見を述べたのではないとも述べている。 
Passage 3: 有史より遥か古い時代の線画にも、数学の知識や、天体観測に基づいた測時法があったことを示すものがある。古生物学者による例では、南アフリカの砂岩洞窟の中に、幾何学的模様で彩られた線刻画が発見され、紀元前7万年頃[1]のものと推定されている。他にも、アフリカやフランスで発見されている紀元前3万5千～2万年頃[2]の先史時代遺物の中に、時間を表現しようとした形跡がある[3]。